-
Thông tin
-
Quiz
Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác – Nguyễn Hữu Biển
Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT) 134 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CẨM NANG CHO MÙA THI
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com LỜI GIỚI THIỆU
Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội
dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác
các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các công thức và kiến thức nền
tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách
học thuộc các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng,
chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đó biết phân chia các dạng toán và kỹ
thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề thi.
Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp
11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT. Tài liệu được biên
soạn tỉ mỉ, phân chia dạng toán rõ ràng, công thức đầy đủ, mỗi phần đều có ví dụ minh họa và
hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng có thể học lại từ đầu không mấy
khó khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ có một “cẩm nang”
để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử.
Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em học sinh và độc giả.
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN
Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com
CÁC EM CÓ THỂ TÌM ĐỌC THÊM CÁC SÁCH DO THẦY BIÊN SOẠN VÀ ĐÃ PHÁT HÀNH
(1). Các chuyên đề đại số 9 (Ôn thi vào lớp 10)
(2). Tinh hoa hình học (Ôn thi vào lớp 10)
(3). Luyện đề môn toán (Ôn thi vào lớp 10)
(4). Tinh hoa hình học (Ôn thi THPT quốc gia)
(5). Luyện đề môn toán (Ôn thi THPT quốc gia)
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hàm số y = sinx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y) + Tập giá trị: [ -1 ; 1 ]
(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là −1 ≤ s inx ≤ 1 )
+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ (Vì x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x + 2π) = s inx - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị hàm
số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ thị
được thuận tiện)
+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x 0 π 2 y = sinx 1 0 0 + Đồ thị hàm số
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó muốn khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số trên đoạn [0;π] (nửa chu kỳ) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta được đồ thị trên đoạn [− ;
π π] (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang phải
theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ; π 4 ; π 6 ; π ... *Nhận xét:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 1
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π
+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng − + k.2 ; π + k.2π 2 2 π 3π
+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng + k.2 ; π + k.2π, k ∈Z 2 2 2. Hàm số y = cosx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa
là −1 ≤ cosx ≤ 1)
+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua trục tung Oy).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x + 2 )
π = cosx - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị
hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ
thị được thuận tiện: )
+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x 0 π 2 y = cosx 1 -1 + Đồ thị hàm số
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó, muốn
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số trên đoạn [0;π] (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta được đồ
thị trên đoạn [− ;
π π] (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang
phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ; π 4 ; π 6 ; π ...
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 2
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Hàm số y = tanx π
+ TXĐ: D = R \ + kπ / k ∈ Z (Vì cos x ≠ 0 ). 2 + Tập giá trị: R
+ Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
+ Chu kỳ T = π (Vì tan(x + π) = tan x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm π thì giá trị hàm số
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ π ) π
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0; (nửa chu kỳ) 2 π x 0 2 y = tanx +∞ 10 + Đồ thị hàm số π
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ + kπ / k ∈ Z , tuần hoàn với chu kỳ π . 2
Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo π
sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;
(nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc 2 π π
tọa độ O ta được đồ thị trên đoạn − ; (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu 2 2
được sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ; π 2 ; π 3 ; π ... y = tanx
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 3
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nhận xét: π π
+ Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng − + k. ; π + k.π, k ∈Z 2 2
+ Hàm số không có khoảng nghịch biến. π
+ Mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm + k. ; π 0 gọi là 1 đường 2 π
tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x = + k.π 2
làm 1 đường tiệm cận) 4. Hàm số y = cotx + TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ } Z (Vì sin x ≠ 0 ) . + Tập giá trị: R
+ Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
+ Chu kỳ T = π (Vì cot(x + π) = cot x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm π thì giá trị hàm số
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ π ) π
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0; (nửa chu kỳ) 2 π x 0 2 +∞ y = cotx 0 + Đồ thị hàm số
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ {kπ / k ∈ }
Z , tuần hoàn với chu kỳ π . Do đó,
muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ π
đồ thị hàm số trên đoạn 0;
(nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O 2 π π
ta được đồ thị trên đoạn − ; (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang 2 2
trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ; π 2 ; π 3 ; π ...
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 4
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y = cotx *Nhận xét:
+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k. ; π π + k.π) k ∈Z
+ Hàm số không có khoảng đồng biến biến.
+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x = k.π làm 1 đường tiệm cận II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Lý thuyết vận dụng:
+ Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R
+ Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R π
+ Hàm số y = tanx có TXĐ: D = R \ + kπ / k ∈ Z (Vì cos x ≠ 0 ) 2
+ Hàm số y = cotx có TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ } Z (Vì sin x ≠ 0 )
BÀI TẬP: Tìm tập xác định của các hàm số sau 2 5cos x − s inx + 7 2 cos x − s inx + 2 1). y= 2). y= 1− s inx cos x 1+ s inx 1− cos x 3). y = 4). y = 1− cos x 2 cos x x + 3 2x 2x 5). y = 2 + sin 3x + 3cos 6). y = sin − 5cos x − 2 x + 3 2x −1 π 7). y = t anx + c otx 8). y = tan(2x + ) 4 1+ cos x 9). y =
10). y = 2 + sin x + cos x . x sin x
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 5
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 + tgx π 11). y =
12) y = 2tgx + 3cot g 2x − 1+ sin x 3 HƯỚNG DẪN 2 5cos x − s inx + 7 π 1). Hàm số y=
xác định khi 1− s inx ≠ 0 ⇔ s inx ≠ 1 ⇔ x ≠ + k.2π (k ∈ Z) 1− s inx 2 π
Vậy TXĐ: D = R \ + k.2 , π k ∈Z 2 2 cos x − s inx + 2 π 2) Hàm số y=
xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k.π (k ∈Z) cos x 2 π Vậy TXĐ: D = R \ + k. , π k ∈Z 2 1+ sinx
3). Vì 1+ s inx ≥ 0 và 1− cos x ≥ 0 với mọi x nên
≥ 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1− cos x 1+ s inx
1− cos x ≠ 0 . Vậy hàm số y =
xác định khi 1− cos x ≠ 0 hay cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π . 1− cos x Vậy TXĐ: D = R \ {k.2 , π k ∈ } Z 1− cos x
4). Vì 1− cos x ≥ 0 và 2
cos x ≥ 0 với mọi x nên
≥ 0 với x thỏa mãn điều kiện 2 cos x π π cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
+ k.π . Vậy TXĐ: D = R \ + k. , π k ∈Z 2 2 x + 3
5). Hàm số y = 2 + sin 3x + 3cos
xác định ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . x − 2 Vậy TXĐ: D = R \ { } 2 x ≠ −3 2x 2x x + 3 ≠ 0 6). Hàm số y = sin − 5cos xác định ⇔ ⇔ 1 . x + 3 2x −1 2x −1 ≠ 0 x ≠ 2 1
Vậy TXĐ: D = R \ −3; 2 π
7). tanx xác định khi và chỉ khi x ≠ + k. ,
π k ∈Z , cotx xác định khi và chỉ khi 2 x ≠ k. , π k ∈Z .
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 6
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x ≠ + k.π k.π
Vậy y = t anx + c otx xác định khi và chỉ khi 2 (k ∈ Z) hay x ≠ (k ∈ Z) . 2 x ≠ k.π k.π TXĐ: D = R \ , k ∈ Z 2 π π π π k.π
8). y = tan 2x + xác định khi và chỉ khi 2x + ≠ + k.π hay x ≠ + (k ∈ Z) . 4 4 2 8 2 π k.π Vậy TXĐ: D = R \ + , k ∈ Z 8 2 1+ cos x 9). Biểu thức y =
có nghĩa khi và chỉ khi: x.s inx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ . x sin x
Vậy tập xác định của hàm số là: D = R \ {kπ / k ∈ } Z
10). Do 2 + sin x + cos x = (1+ sin x) + (1+ cos x) > 0
Do đó hàm số y = 2 + sin x + cos x được xác định với mọi x. Vậy tập xác định của hàm số là: D = R 3 + tgx 11). Biểu thức y =
có nghĩa khi và chỉ khi: 1+ sin x π π x ≠ + kπ x ≠ + kπ 2 π 2 ⇔ ⇔ x ≠ + kπ π 2 s in x ≠ 1 − x ≠ − + k2π 2 π
Vậy tập xác định của hàm số là: D = R \ + kπ / k ∈ ℕ 2 π
12). Biểu thức y = 2tgx + 3cot g 2x −
có nghĩa khi và chỉ khi : 3 π π x ≠ + kπ x ≠ + kπ 2 2 ⇔ π π π 2x − ≠ kπ x ≠ + k 3 6 2
Vậy tập xác định của hàm số là: π π π
D = D \ A ∪ B với A = x / x ≠
+ kπ và B = x / x ≠ + k . 2 6 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 7
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 + cos
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số = x y . sin x
Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin ≠ 0 ⇔ ≠ π , ∈ . ℤ x x k k . Tập xác định là = ℝ \{ π, ∈ } ℤ D k k . sin x
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y = . cos ( x − π )
Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ ( −π ) π 3π cos
≠ 0 ⇔ −π ≠ + π ⇔ ≠ + π , ∈ℤ x x k x k k . 2 2 3π Tập xác định là = ℝ \ + π , ∈ℤ D k k . 2 2π
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y = tan 5x + . 3
Hướng dẫn: Hàm số xác định 2π 2 ⇔ π π π π cos 5 + ≠ 0 ⇔ 5 + ≠ + π ⇔ ≠ − + , ∈ ℤ x x k x k k . 3 3 2 30 5 π π Tập xác định là = ℝ \ − + , ∈ ℤ D k k . 30 5 2 + cos x
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số y = . 1 − sin x π
Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin ≠ 1 ⇔ ≠ + 2π , ∈ℤ x x k k . 2 π Tập xác định là = ℝ \ + 2π , ∈ℤ D k k . 2 2 + cos x
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số y = . 2 − sin x
Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ 2 (luôn thoả với mọi x). Tập xác định là = ℝ D . 2 + sin x
Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số y = . cos x +1
Hướng dẫn: Ta có 1
− ≤ sin x ≤1 và 1
− ≤ cos x ≤ 1 nên 2 + sin x > 0 và cos x +1 ≥ 0. 2 + sin x ≥ 0(luoân thoaû)
Hàm số xác định ⇔ cos x +1 ⇔ cos x ≠ 1
− ⇔ x ≠ π + kπ ,k ∈ℤ . cos x +1≠ 0 Tập xác định là = ℝ \{π + π, ∈ } ℤ D k k .
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 8
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5 − 3cos 2x
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số y = π . 1 + sin 2x − 2
Hướng dẫn: Ta có 1
− ≤ cos 2x ≤ 1 nên 5 − 3cos 2x > 0 . π
Mặt khác 1 + sin 2x − ≥ 0 . 2 Hàm số xác định 5−3cos2x ≥ 0 (luoân thoaû) π 1+sin2x− π ⇔ π π 2
⇔sin2x− ≠ 1
− ⇔2x− ≠ − +k2π ⇔ x ≠ kπ,k∈ℤ. 2 2 2 π 1
+sin2x− ≠ 0 2 Tập xác định là = ℝ \{ π, ∈ } ℤ D k k . π 1 + cot + x 3
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số y = π . 2 tan 3x − 4 Hướng dẫn: π π π sin + x ≠ 0 + x ≠ kπ x ≠ − + π k 3 3 3 π π π π π
Hàm số xác định ⇔ cos 3x − ≠ 0 ⇔ 3x −
≠ + kπ ⇔ x ≠ + k , k ∈ ℤ . 4 4 2 4 3 π π π π 2 3 tan 3 − ≠ 0 x − ≠ kπ x ≠ + k x 4 12 3 4 π π π π π Tập xác định là = ℝ \ − + π , + , + , ∈ ℤ D k k k k . 3 4 3 12 3 1 − tan 4x
Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số y = . 2sin x − 2 Hướng dẫn: π π π 4 x ≠ + kπ x ≠ + k 2 8 4 cos 4x ≠ 0 π π Hàm số xác định ⇔
⇔ x ≠ + k2π ⇔ x ≠ + k2π , 2 k ∈ ℤ . s in x ≠ 4 4 2 3π 3π x ≠ + k2π x ≠ + k2π 4 4 π π π 3π Tập xác định là = ℝ \ + , + 2π , + 2π , ∈ℤ D k k k k 8 4 4 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 9
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π 1 + cos x
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x + + . 6 1 − cos x 1 + cos x Hướng dẫn: Vì 1
− ≤ cos x ≤ 1 nên 1+ cos x ≥ 0 và 1− cos x ≥ 0 ⇒ ≥ 0. 1 − cos x π π π sin x + ≠ 0 x + ≠ kπ x ≠ − + kπ Hàm số xác định ⇔ 6 ⇔ 6 ⇔ 6 , ℤ k ∈ . 1 − cos x ≠ 0 x ≠ k 2π x ≠ k 2π π Tập xác định là
= ℝ \ − + π , 2π , ∈ℤ D k k k . 6 1
Bài 11. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 + sin x − . 2 tan x −1 Hướng dẫn: Vì 1
− ≤ sin x ≤1 nên 2 + sin x ≥ 0 . Hàm số xác định
2 + sin x ≥ 0(luoân thoaû) π x ≠ ± + π k tan x ≠ ±1 ± 2 4 ⇔ tan x −1 ≠ 0 ⇔ ⇔ , k, ℤ m ∈ . cos x ≠ 0 π cos x ≠ 0 x ≠ + π k 2 π π Tập xác định là
= ℝ \ ± + π , + π , ∈ℤ D k k k . 4 2 π 1 + tan + 2x 3
Bài 12. Tìm tập xác định của hàm số y = . 2 cot x + 1
Hướng dẫn: Hàm số xác định 2
cot x +1 ≠ 0(luoân thoaû) π π π π π + 2x ≠ + kπ x ≠ + ⇔ k cos + 2x ≠ 0 ⇔ 3 2 ⇔ 12 2 , ℤ k ∈ . 3 x ≠ kπ x ≠ kπ sin x ≠ 0 π π Tập xác định là = ℝ \ + , π , ∈ ℤ D k k k . 12 2
Dạng 2: TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Lý thuyết vận dụng:
+ Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π 2π
Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ: T = a
+ Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T = π
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 10
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = a
+ Nếu hàm số f(x) có chu kỳ T , hàm số g(x) có chu kỳ T thì hàm số y = f (x) + g(x) có 1 2 chu kỳ T = k.BCNN(T ;T ) 1 2
Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ T = π , tức là:
f(x + π) = f(x), x
∀ (*) và T = π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) Hướng dẫn
HS y = f(x) = sin2x có TXĐ: D = R. ∀x ∀ ∈D , ta có:
f(x + π) = sin 2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin 2x = f(x) .
Giả sử có số T sao cho: 0 < T < π và f(x + T ) = f(x), ∀x ∀ . 0 0 0 π π π π π Cho x =
, ta được: sin 2( + T ) = sin 2.
⇒ sin( + 2T ) = sin = 1 4 0 0 4 4 2 2 π π ⇒
+ 2T = + k.2π (k ∈Z) ⇒ T = k.π (k ∈Z). Điều này trái với giả thiết 0 < T < π 0 0 2 2 0
Nghĩa là T = π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện f(x + T) = f(x), ∀x ∀ .
Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π .
Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau π 1). 2 y = 2 sin 3x 2). 2
y = 4cos (5x + )
3). y = tan(3x − 2) 6 π π x 2 tan 4x
4). y = cot(−5 − x + )
5). y = sin − x + tan 6). y = 4 3 3 1− co 8 s x 1− 1+co 8sx Hướng dẫn 2π π 1). 2
y = 2 sin 3x = 1 − cos6x . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T = = 6 3 π π 2). 2
y = 4cos (5x + ) = 2 + 2cos(10x + ) . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 6 3 2π π T = = 10 5 π
3). y = tan(3x − 2) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 3
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 11
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π π
4). y = cot(−5
− x + ) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = = 4 5 − 5 π x
5). Ta thấy hàm số f (x) = sin − x có chu kỳ T = 2π . Hàm số g(x) = tan có chu kỳ 3 1 3
T = 3π . Vậy hàm số y co chu kỳ T = 6π 2 6). Ta có : sin 4x 2 tan 4x ( + os ) 2 .2 cos 4x tan 4x 1 c 8x 2 sin 4x.cos4x sin 8x cos4x y = = = = = = tan 8x 1+ co 8 s x −1+ co 8 s x co 8 s x co 8 s x co 8 s x co 8 s x 1+ co 8 s x π
Vậy hàm số y có chu kỳ T = 8
Dạng 3: XÉT TÍNH CHẴN - LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Lý thuyết vận dụng:
+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x
thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x)
+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc
D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x)
BÀI TẬP: Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau
1). y = x + cos5x 2). 2
y = 3 cos x + sin x c otx 3). 2
y = sin x. sin 2x 4). y = 2 1 + cos x 5). f (x) = 3sin x − 2 6). f (x) = s inx − cos x 7). 2 f (x) = s in . x cos x + t anx 8). f (x) = sin 2x − co 3 s x Hướng dẫn
1) Hàm số y = f(x) = x + cos5x có TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . ∀x
∀ ∈D, f(−x) = −x + cos(−5
− x) = x + cos5x = f(x) . Vậy f(x) là hàm số chẵn. 2) Hàm số 2
y = f(x) = 3 cos x + sin x có TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2 2 2 ∀x
∀ ∈D, f(−x) = 3cos(−x) + sin (−x) = 3 cos x + (− s inx) = 3 cos x + sin x = f(x).
Vậy f(x) là hàm số chẵn. 3) Hàm số 2
y = sin x. sin 2x có TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D .
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 12
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2 ∀x
∀ ∈D, f(−x) = sin (−x).sin(−2x) = − sin x. sin 2x = −f(x). Vậy 2
y = f(x) = sin x. sin 2x là hàm số lẻ. c otx
4) Hàm số y = f(x) =
có TXĐ: D = R \ {k.π / k ∈ }
Z . Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2 1 + cos x cot(−x) c otx ∀x
∀ ∈D, f(−x) = = −
= −f(x) . Vậy f(x) là hàm số lẻ. 2 2
1 + cos (−x) 1 + cos x f (−x) ≠ f (x)
5). TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . Xét f (−x) = −3sin x − 2 ⇒ . f (−x) ≠ −f (x)
Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ. f (−x) ≠ f (x)
6). TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . Xét f (−x) = − s inx − cos x ⇒ f(−x) ≠ −f(x)
Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
7). TXĐ: D = R. Ta có x ∈ D ⇒ −x ∈ D . Xét 2
− = − inx os − anx = −( 2 f ( x) s .c x t s in . x cos x + t anx) = −f (x)
Vậy f(x) là hàm số lẻ.
8). Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
Dạng 4: TÌM MIN - MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Lý thuyết vận dụng: Ta có: −1
− ≤ sin(ax + b) ≤ 1,∀x ∀ ∈ R,−1
− ≤ cos(ax + b) ≤ 1,∀x ∀ ∈ R
BÀI TẬP: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số π
1). y = 2cos(x + ) + 3 2). y = 4 sin x 3 1
3). y = 3 + sin x cos x
4). y = 1 + s inx − 3 4 5). y = − ( 2 1 sin x ) −1 6). f(x) = 9 sin2 − 2x
7). f(x) = 2cos2x – cosx + 1
8). f(x) = sin2x – 4sinx – 2 Hướng dẫn π 1). x ∀ , ta có: −1
− ≤ cos x + ≤ 1 nên 3 π π −2
− ≤ 2cos x + ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2cos x + + 3 ≤ 5 ⇔ 1 ≤ y ≤ 5 3 3
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 13
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π ⇒ y
=1 ⇔ cos x + = −1, y = 5 ⇔ cos x + =1 min max 3 3 2). ∀x
∀ ≥ 0 , ta có: −1
− ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −4 ≤ 4sin x ≤ 4 ⇔ −4 ≤ y ≤ 4 . ⇒ y = −4 ⇔ sin x = −1, y = 5 ⇔ sin x =1 min max 1 1
3). Ta có: y = 3 + sin x cos x = 3 + sin 2x . x ∀ , ta có: −1
− ≤ sin 2x ≤ 1 nên: 4 8 1 1 1 1 1 1 23 25
− ≤ sin 2x ≤ ⇔ 3 − ≤ 3 + sin 2x ≤ 3 + ⇔ ≤ y ≤ . 8 8 8 8 8 8 8 8 25
Vậy giá trị lớn nhất của y là
đạt được khi: sin2x = 1 8 23
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là
đạt được khi: sin2x = -1 8 4). x ∀ , ta có:
−1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1+ sinx ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 1+ sinx ≤ 2 ⇔ −3 ≤ 1+ sinx − 3 ≤ 2 − 3 ⇔ −3 ≤ y ≤ 2 − 3
Vậy giá trị lớn nhất của y là 2 − 3 đạt được khi: sinx = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt được khi: sinx = -1 5). Hàm số: y = − ( 2
1 sin x ) −1 có tập xác định là D = R
Với mọi x ∈ R ta luôn có: − ≤ − ( 2 1
1 sin x ) −1 ≤ 2 −1 ⇔ 1 − ≤ y ≤ 2 −1. *) y ⇔ ( 2
sin x ) = −1; *)y = −1 xảy ra khi: ( 2 sin x ) =1 m = 2 −1 ax min
6). Do 0 ≤ sin22x ≤1 ⇒ 9 – sin22x > 0, ∀ x ∈ ℝ Vậy hàm số f(x) = 9 sin2 −
2x xác định với ∀ x ∈ ℝ . Ta có 0 ≤ sin22x ≤1
⇒ 8 < 9 – sin22x ≤ 9, ∀ x ∈ ℝ 2 2 ⇒ y = 8 ⇔ sin x = 1, y = 3 ⇔ sin x = 0 min max
7). Hàm số f(x) = 2cos2x – cosx + 1 xác định với ∀ x ∈ ℝ . Đặt t = cosx, khi đó -1 ≤ t ≤ 1
Xét hàm số F(t) = 2t2 – t + 1 và có bảng biến thiên sau:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 14
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 t -∞ -1 4 1 +∞ 2 F(t) 4 7 8 7 1 Từ đó ta có: ⇒ y = 4 ⇔ cos x = −1, y = ⇔ cos x = max min 8 4
8). Hàm số f(x) = sin2x – 4sinx – 2 xác định với ∀ x ∈ ℝ . Đặt t =sinx, khi đó –1 ≤ t ≤ 1. T a có: F(t) = t2 – 4t – 2 t -∞ -1 1 2 +∞ F(t) 3 -5 ⇒ y = 3 ⇔ sin x = 1 − , y = 5 − ⇔ s inx =1 max min
Dạng 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = s inx Hướng dẫn 1 x -2π -π O π 2π
s inx nÕu sinx ≥ 0
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: s inx = (y ≥ 0)
− s inx nÕu sinx < 0
Như vậy, đồ thị hàm số y = s inx trên trục số được suy ra bằng cách như sau:
+ Phần đồ thị với s inx ≥ 0 thì lấy bằng chính nó (giữ nguyên) (Vì
s inx = s inx nÕu sinx ≥ 0 )
+ Phần đồ thị với s inx < 0 thì lấy đối xứng qua trục hoành (Vì
s inx = − s inx nÕu sinx < 0 )
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
+ Suy ra đồ thị hàm số y = sin 2x .
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 15
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
+ Tìm các khoảng đồng biên - nghịch biến của hàm số y = sin2x.
+ Tìm các khoảng để hàm số y = sin2x nhận giá trị dương - giá trị âm. Hướng dẫn
* Ý 1: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x + TXĐ: R 2π + Chu kỳ T = = π 2
+ Hàm số y = sin2x là hàm lẻ, đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ π
+ Xét BBT của hàm số y = sin2x trên nửa chu kỳ 0; 2 π π x 0 4 2 y = sin2x 0 1 0 π
(Hàm số y = sin2x trên nửa chu kỳ 0;
là hàm số y = sinx trên nửa chu kỳ [0;π] ) 2 + Đồ thị hàm số 1 π π - π x 4 2 -π π O π - 2 4 -1
* Ý 2: Suy ra đồ thị hàm số y = sin 2x
+ Vì y = sin 2x ≥ 0 nên đồ thị hàm số y = sin 2x được suy ra từ đồ thị hàm số y = sin 2x bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sin 2x với y ≥ 0
- Lây đối xứng phần còn lại qua trục Ox
Ta có đồ thị như hình bên dưới:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 16
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 x -π π π O π π π - - 2 4 4 2 * Ý 3: π π
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng − + k ; π + kπ,k ∈Z 4 4 π 3π
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng + k ; π + kπ,k ∈ Z 4 4 * Ý 4: π
+ y ≥ 0 trên các khoảng k ; π + kπ,k ∈Z 2 π
+ y ≤ 0 trên các khoảng − + k ; π kπ,k ∈Z 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 17
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ t cot c o t α
1. Cách nhớ các trục lượng giác
+ cosin là trục nằm ngang M
+ song song với nó có chàng cot } sin α { tan α α
+ còn sin thì đứng thẳng băng cos
+ đối diện với nó có tan đứng chờ cosα sin tan • −1 ≤ sinα ≤ 1, α ∀ • −1 ≤ cosα ≤ 1, α ∀ • sin( k
α + 2π ) = sinα ,k ∈ℤ • cos( k
α + 2π ) = cosα ,k ∈ℤ • tan( k
α + π ) = tanα,k∈ℤ • cot( k
α + π ) = cotα,k∈ℤ
2. Sáu công thức cơ bản 1 (1) 2 2 sin cos 1 α + α = (4) 2 1 tan + α = 2 cos α sin α 1 (2) tan α = (5) 2 1 cot + α = cos α 2 sin α cos α (3) cot α = (6) tan . cot 1 α α = sin α
3. Công thức cộng - trừ: cos thì cos cos sin sin
sin thì sin cos cos sin rõ ràng
cos thì đổi dấu hỡi chàng
sin thì giữ dấu xin nàng nhớ cho
tan tổng thì lấy tổng tan, chia một trừ tích với tan - dễ mà (1) cos (a b) cos a. cos b sin a. sin b + = − (2) cos (a b) cos a. cos b sin a. sin b − = + + (5) ( + ) tan a tan b tan a b = 1 tan a.tan b − (3) sin (a b) sin a. cos b sin b. cos a + = + − (6) ( − ) tan a tan b tan a b = (4) sin (a b) sin a. cos b sin b. cos a − = − 1 tan a. tan b +
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 18
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos + cos = 2cos.cos cos - cos = -2sinsin sin + sin = 2sin.cos sin - sin = 2cos.sin a b a b + − (1) cos a cos b 2 cos . cos + = 2 2 a b a b + − (2) cos a cos b 2 sin . sin − = − 2 2 a b a b + − (3) sin a sin b 2 sin . cos + = 2 2 a b a b + − (4) sin a sin b 2 cos . sin − = 2 2
Tình mình cộng với tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta
Tình mình hiệu với tình ta, sinh ra hiệu chúng, con ta con mình sin (a b + ) (5) tan a tan b + = cosa.cos b sin (a b − ) (6) tan a tan b − = cosa.cos b
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
Suy ra từ công thức tổng thành tích
“cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
sin sin nửa cos-trừ, trừ cos-cộng
sin cos nửa sin-cộng, cộng sin-trừ”. 1 (1) cos a. cos b cos (a b) cos(a b) = + + − 2 1 (2) sin a. sin b cos (a b) cos(a b) = − + − − 2 1 (3) sin a. cos b sin (a b) sin(a b) = + + − 2 1 (4) cosa. sin b sin (a b) sin(a b) = + − − 2
(có công thức (3), có thể không cần công thức (4) hoặc ngược lại)
6. Công thức góc nhân đôi: (1) sin 2a 2 sin a. cos a = (2) 2 2 2 2 cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a = − = − = −
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 19
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
7. Công thức hạ bậc hai:
Suy ra từ công thức góc nhân đôi 1 cos 2a − 1 cos 2a + (1) 2 sin a = (2) 2 cos a = 2 2
8. Công thức góc nhân ba:
Nhân ba một góc bất kỳ
sin thì ba bốn, cos thì bốn ba
dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phương chỗ bốn, thế là ok. (1) 3 sin 3a 3 sin a 4 sin a = − (2) 3 cos3a 4 cos a 3 cos a = −
9. Công thức hạ bậc ba:
Suy ra từ công thức góc nhân ba. 1 1 (1) 3 sin a = (3sin a s in3a − ) (2) 3 cos a = (3 cos a cos 3a + ) 4 4 x
10. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tan x qua t tan = : 2
sin, cos mẫu giống nhau chả khác
ai cũng là một cộng bình tê ( 2 1 + t )
sin thì tử có hai tê (2t),
cos thì tử có 1 trừ bình tê ( 2
1 − t ). 2t 2t (1) sin x = (3) tan x = 2 1 t + 2 1 t − 2 1 t − 2 1 t − (2) cos x = (4) cot x = 2 1 t + 2t
Nếu đặt t = tan x 2t 2t (1) sin 2x = (3) tan 2x = 2 1 t + 2 1 t − 2 1 t − 2 1 t − (2) cos 2x = (4) cot 2x = 2 1 t + 2t
11. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:
cos đối , sin bù, phụ chéo, khác π tan (thì bằng nhau - còn lại đối nhau) cos (−α) cos = α s in (π −α) sin = α s in cos cos (−α) sin = − α (π −α) = − α (1) Góc đối: (2) Góc bù: tan (−α) tan = − α tan (π −α) tan = − α cot (−α) cot = − α cot cot (π −α) = − α
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 20
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π s in − α cos = α 2 π tan (π + α) tan = α cos − α sin = α 2 sin sin (π + α) = − α (3) Góc phụ:
(4) Góc sai kém π : π cos (π + α) cos = − α tan − α cot = α 2 cot cot (π + α) = α π cot − α tan = α 2 π Hai góc hơn kém nhau 2
(sin chéo - cos bằng, còn lại chéo đối) • sin π π α + = cosα • tanα + = −cotα 2 2 • cos π π α + = −sinα • cot α + = −tanα 2 2
12. Công thức bổ sung: π π (1) sin cos 2 sin α + α = α + 2 cos = α − 4 4 π π (2) sin cos 2 sin α − α = α − 2 cos = α + 4 4 π π (3) cos sin 2 cos α − α = α + 2 sin = − α 4 4
13. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o α π π π π 2π 3π π 5 3π 0 π 2π HS 6 4 3 2 3 4 6 2 1 1 sinα 2 3 3 2 0 1 0 −1 0 2 2 2 2 2 2 1 1 cosα 3 2 3 1 0 − 2 − − −1 2 2 2 2 2 2 0 1 tanα 3 3 0 1 3 || − 3 −1 − 0 || 0 3 3 cotα 3 3 || 3 1 0 − −1 − || 0 || 3 3 3
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 21
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 0o 30o 45o 60o 90o π π π π 0 6 4 3 2 s in 0 1 2 3 4 Quy tắc 5 ngón tay c o s 4 3 2 1 0 2 0o 30o 45o 60o 90o π π π π 0 6 4 3 2 tan 0 3 9 27
Đầu voi - đuôi chuột cot 27 9 3 0 Ở giữa gấp ba 3
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 22
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. CÁC KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a.
a) Nếu a > 1 : Phương trình vô nghiệm
x = α + k.2π
b) Nếu a ≤ 1 : Đưa phương trình về dạng: sinx = sin α ⇔ (k ∈ Z)
x = π − α + k.2π
* Các trường hợp đặc biệt:
+ sinx = 0 ⇔ x = k.π( π k ∈Z) π + sinx = 1 ⇔ x = + k.2π( π k ∈Z) 2 π + sinx = -1 ⇔ x = −
+ k.2π(k ∈Z) 2
Ví dụ: Giải các phương trình sau x + π 1 1). sin = − 5 2 x + π π 11π = − + k2π x = − + k10π x + π 1 π 5 6 6 + Ta có sin = − = sin − ⇔ ⇔ (k ∈ Z) 5 2 6 x + π π 29π = π + + k2π x = + k10π 5 6 6 2). sin 2x = 1− 3 2x = α + k2π x = ...
+ Ta thấy −1 ≤ 1− 3 ≤ 1, đặt 1− 3 = sin α ⇒ ⇔ 2x = π − α + k2π x = ... π π
3). sin 2x − = sin + x 5 5 π π 2π 2x − = + x + k2π x = + k2π π π 5 5 5 + sin 2x sin x − = + ⇒ ⇔ 5 5 π π π 2π 2x − = π − + x + k2π x = + k 5 5 3 3 3 4). sin ( 0 x + 20 ) = 2 3 x 20 60 k.360 + = + x = 40 + k.360 + sin (x + 20 ) 0 0 0 0 0 0 = ⇔ ⇔ 0 0 0 0 0 0 2
x + 20 = 180 − 60 + k.360 x = 100 + k.360
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 23
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2. Phương trình cosx = a
a) Nếu a > 1 : Phương trình vô nghiệm
x = α + k.2π
b) Nếu a ≤ 1 : Đưa phương trình về dạng: cosx = sin α ⇔ (k ∈ Z)
x = −α + k.2π
* Các trường hợp đặc biệt: π + cosx = 0 ⇔ x = + k.π( π k ∈Z) 2
+ cosx = 1 ⇔ x = k.2π( π k ∈Z)
+ cosx = -1 ⇔ x = π + k.2π( π k ∈Z)
Ví dụ: Giải các phương trình sau x 1). cos = cos 2 2 x x + cos
= cos 2 ⇒ = ± 2 + k2π ⇔ x = 2 ± 2 + k4π 2 2 π 2 2). cos x + = 18 5 2 2 π π + Ta thấy −1 ≤ ≤ 1, đặt = cosα ⇒ x + = ±α + k2π ⇔ x = ±α − + k2π 5 5 18 18 3). os ( − ) 3 c x 5 = 2 π π π + os ( − ) 3 c x 5 =
= cos ⇒ x − 5 = ± + k2π ⇔ x = 5 ± + k2π 2 6 6 6 2 4). cos ( 0 x + 60 ) = 2 2 x = −15 + k.360 + cos (x + 60 ) 0 0 0 0 0 0 =
⇒ x + 60 = ±45 + k.360 ⇔ 0 0 2 x = −105 + k.360 1 5). 2 cos x = 2 1 1+ cos2x 1 π π π + 2 cos x = ⇔
= ⇔ cos2x = 0 ⇒ 2x = + kπ ⇔ x = + k 2 2 2 2 4 2 3 6). 2 sin x = 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 24
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 1− cos2x 3 + 2 sin x = ⇔ = ⇔ cos2x =1− 3 ∈[ 1 − ; ]
1 ⇔ 2x = ±α + k2π , với cosα = 1− 3 2 2 2 π
3. Phương trình tanx = a. Điều kiện x ≠
+ k.π(k ∈Z) 2
+ Đưa phương trình về dạng: t anx = tan α ⇔ x = α + k.π( π k ∈Z)
* Các trường hợp đặc biệt:
+ tanx = 0 ⇔ x = k.π( π k ∈Z) π + tanx = 1 ⇔ x =
+ kπ(k ∈Z) 4 π + tanx = -1 ⇔ x = − + kπ( π k ∈Z) 4
Ví dụ: Giải các phương trình sau 3π 1). tan 3x = tan 5 3π 3π π π
+ ĐK: cos 3x ≠ 0 , tan 3x = tan ⇒ 3x = + kπ ⇔ x = + k 5 5 5 3 2). 0 tan(x −15 ) = 5 3). tan (2x − ) 1 = 3 π π π + ĐS: ( − ) 1 tan 2x 1 = 3 = tan ⇒ x = + + k 3 2 6 6 4). sin x = cos x π
+ sin x = cos x ⇒ t anx = 1 ⇒ x = + kπ 4 5). sinx + cosx = 0 π
+ sinx + cosx = 0 ⇒ t anx = −1 ⇒ x = − + kπ 4
4. Phương trình cotx = a. Điều kiện x ≠ k.π( π k ∈Z)
+ Đưa phương trình về dạng: cot x = cot α ⇔ x = α + k.π( π k ∈Z)
* Các trường hợp đặc biệt: π + cotx = 0 ⇔ x =
+ kπ(k ∈Z) 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 25
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π + cotx = 1 ⇔ x =
+ kπ(k ∈Z) 4 π + cotx = -1 ⇔ x = − + kπ( π k ∈Z) 4
Ví dụ: Giải các phương trình sau 1). cot 3x = 1 + ĐK: cos 3x ≠ 0 π π π + cot 3x = 1 ⇒ 3x = + kπ ⇔ x = + k 4 12 3 2π 2). cot 4x = cot 7 + ĐK: cos 4x ≠ 0 2π 2π π π + cot 4x = cot ⇒ 4x = + kπ ⇔ x = + k 7 7 14 4 3). cot 3x = −2 + ĐK: cos 3x ≠ 0 α π
+ cot 3x = −2 ⇒ 3x = α + kπ ⇔ x = + k , với cot α = −2 3 3 1 4) cot ( 0 2x −10 ) = 3 + ĐK: os ( 0 c 2x −10 ) ≠ 0 1 + cot ( 0 2x −10 ) 0 0 0 0 0 =
⇒ 2x −10 = 60 + k.180 ⇔ x = 35 + k.90 3
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ SỞ
1. Phương trình cổ điển (phương trình bậc nhất đối với sin và cos)
asinx + bcosx = c (*) (a, b, c ∈ R vµ 2 2
a + b ≠ 0 )
+ §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm lµ: 2 2 2
a + b ≥ c .
+ C¸ch gi¶i trong tr−êng hîp tæng qu¸t:
- Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh (*) cho 2 2 a + b
- Biến đổi để áp dụng công thức cộng cos (a b) cos a. cos b sin a. sin b ± = ∓ ; sin (a b) sin a. cos b sin b. cos a ± = ±
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 26
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau: 2 x x
VD1: KD-07: sin + o c s
+ 3 cos x = 2 2 2 Hướng dẫn: x x x x 1 3 1 2 2 ⇔ sin + cos
+ 2.sin .cos + 3 cos x = 2 ⇔ s inx + 3 cos x = 1 ⇔ s inx + cos x = 2 2 2 2 2 2 2 π π π π π
⇔ cos .s inx + cos x.sin = sin ⇔ sin x + = sin 3 3 6 3 6 π π π x + = + k.2π x = − + k.2π 3 6 6 ⇔ ⇔ ;k ∈ Z π π π x + = π − + k.2π x = + k.2π 3 6 2
VD2: 3.sin 7x − o c s7x = 2 Hướng dẫn: 3 1 2 π π 2 π π ⇔ sin 7x − o c s7x = ⇔ o c s sin 7x − sin o c s7x =
⇔ sin 7x − = sin 2 2 2 6 6 2 6 4 π π 5π 2π 7x − = + k.2π x = + k 6 4 84 7 ⇔ ⇔ ;k ∈ Z π π 11π 2π 7x − = π − + k.2π x = + k 6 4 84 7
VD3: 2 2 (cos x + s inx)cos x = 3 + o c s2x Hướng dẫn: 1 + c 2x 2 os ⇔ 2 2 os c
x + 2 2 s inx cos x = 3 + os c 2x ⇔ 2 2
+ 2 sin 2x = 3 + os c 2x 2
⇔ 2 sin 2x + ( 2 −1) o
c s2x = 3 − 2 2 2 2
+ Ta thấy ( 2 ) + ( 2 −1) < (3 − 2 ) nên phương trình vô nghiệm VD4: 3 3
4 sin x cos 3x + 4cos x sin 3x + 3 3 o c s4x = 3 Hướng dẫn:
3 sin x − sin 3x 3 cos x + o c s3x ⇔ 4. o c s3x + 4. sin 3x + 3 3 o c s4x = 3 4 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 27
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ 3sin x. o
c s3x − sin 3x cos 3x + 3cos x sin 3x + o
c s3x sin 3x + 3 3 o c s4x = 3
⇔ 3(sin xcos3x + cosxsin 3x) + 3 3 o
c s4x = 3 ⇔ 3sin 4x + 3 3 o
c s4x = 3 ⇔ sin 4x + 3 o c s4x = 1 π π x = + k 1 3 1 π π π π 8 2 ⇔ sin4x + o c s4x = ⇔ o
c s 4x − = o c s
⇔ 4x − = ± + k2π ⇔ ;k ∈ Z 2 2 2 6 3 6 3 π π x = − + k 24 2 VD5: 3
4 sin x − 1 = 3sin x − 3 o c s3x Hướng dẫn: ⇔ os − ( 3 3c 3x
3 sin x − 4sin x) = 1 ⇔ 3 o
c s3x − sin 3x = 1 3 1 1 π π 1 ⇔ o
c s3x − sin 3x = ⇔ o c s o c s3x − sin sin 3x = 2 2 2 6 6 2 π 2π x = + k π π π π 18 3 ⇔ o
c s 3x + = o c s
⇔ 3x + = ± + k2π ⇔ ;k ∈ Z 6 3 6 3 π 2π x = + k 6 3
VD6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong trường hợp đó ( 3
2m cos x + s inx ) 2
= 2m + cos x − s inx + 2 3
Hướng dẫn: ⇔ (2m + 1)s inx + (2m − 1) 2
cos x = 2m + 2 Phương trình có nghiệm 2 ⇔ (
⇔ 2m + 1) + (2m −1) 3
≥ 2m + ⇔ (4m −1)2 2 2 1 2 2 2
≤ 0 ⇔ 4m −1 = 0 ⇔ m = ± 2 2 1 π TH1: m =
⇒ s inx = 1 ⇔ x = + k2π,k ∈ Z ; 2 2 1
TH2: m = − ⇒ o c sx = −1
− ⇔ x = π + k2π,k ∈ Z 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 28
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2. Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích của sin-cos (Phương trình đối xứng)
(1): a(sinx ± cosx) + b.sinxcosx + c = 0
Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx; đk: − 2 ≤ t ≤ 2 2 − ⇒ t 1 ⇒ 2
t = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = 2
(2): a(sinx - cosx) + b.sinxcosx + c = 0 2 1 − t
Phương pháp: Đặt t = sinx - cosx; đk: − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x = 2 * Chú ý: π π + sin x cos x 2 sin x 2 cos + = + x = − 4 4 π π + sin cos 2 sin α − α = α − 2 cos = − α + 4 4
+ Với phương trình dạng a sin x ± cos x + b sin x. cos x + c = 0 , ta đặt
t = sin x ± cos x , (0 ≤ t ≤ 2)
Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau VD1: 2 + + os2 2 cos 2x sin x cos x c
x sin x = 2 (s inx + cos x) Hướng dẫn:
⇔ 2cos 2x + sin xcos x(s inx + cos x) = 2(s inx + cos x)
⇔ 2(cos x − s inx)(cos x + s inx) + sin xcos x(s inx + cos x) = 2(s inx + cos x) (Do cos2x = o c s2 2
x − sin x = (cos x − s inx)(cos x + s inx))
⇔ (s inx + cosx) 2
(cos x − s inx) + sin x cos x − 2 = 0 π
TH1: sin x + cos x = 0 ⇔ s inx = − cos x ⇔ t anx = −1
− ⇔ x = − + kπ,k ∈ Z 4
TH2: 2(cos x − s inx) + sin x cos x − 2 = 0 ⇔ 2(s inx − cos x) − sin x cos x + 2 = 0 2 1 − t
+ Đặt t = s inx − cos x; − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
thay vào phương trình ta có: 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 29
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π 1 t = −1
− ⇒ s inx − cos x = −1 − ⇔ − 2 o c s x + = −1 − ⇔ o c s x + = (1) 2 4 4 2
t + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −3 − ∉ − 2; 2 = − ∉ − x = k2π π π π π Từ (1) ⇔ o
⇔ c s x + = o c s
⇔ x + = ± + k2π ⇔ π ;k π ∈ Z 4 4 4 4
x = − + k2π 2 VD2: 3 3
cos x + sin x = sin 2x + s inx + cos x Hướng dẫn: ⇔ ( 3
s inx + cos x) − 3sin xcos x (s inx + cos x) = 2sin xcos x + s inx + cos x 2 t − 1
+ Đặt t = s inx + cos x; − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
thay vào phương trình ta có: 2 t = −2 − ∉ − 2; 2 = − ∉ − … 3 2
t + 2t − t − 2 = 0 ⇔ (t + 2) ( 2
t − 1) = 0 ⇔
⇔ t = ±1± π π π 1 2 o
c s x − = 1 o c s x − =
s inx + cos x = 1 4 4 2 ⇔ ⇔ ⇔
s inx + cos x = −1 + = − π π 1
2 sin x + = −1 −
sin x + = − 4 4 2 π π π π x − = ± + k2π x = + k2π 4 4 2 π π x = k2π
⇔ x − = − + k2π ⇔ ;k ∈ Z 4 4 π
x = − + k2π π π 2 x − = π + + k2π 4 4
x = π + k2π
VD3: 2 sin x + c otx=2sin2x+1 Hướng dẫn:
+ ĐK: sin x ≠ 0 cos x 2 2 ⇔ 2sin x +
= (2sin xcos x).2 + 1 ⇔ 2sin x + cos x = 4sin xcos x + s inx s inx 2
⇔ 2sin x − s inx 2
+ cos x − 4sin xcos x = 0 ⇔ s inx 2
(2 sin x − 1) + cos x(1 − 4 sin x) = 0
⇔ (2sin x −1)(s inx − cos x − 2sin xcos x) = 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 30
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = + k2π 1 π 6 TH1: sin x = = sin ⇔ ;k ∈ Z 2 6 5π x = + k2π 6
TH2: sin x − cos x − 2sin x cos x = 0
t = 1+ 2 ∉ − 2; 2 = + ∉ −
+ Đặt t = s inx 2
− cos x;− 2 ≤ x ≤ 2 ⇒ t − 2t −1 = 0 = − − ≤ ≤
⇔ t =1− 2 π π 1 − 2
⇒ s inx − cos x = 1 − 2 ⇔ 2 o c s x +
= 1 − 2 ⇔ o c s x + = 4 4 2 π 1 − 2 1− 2 π − − π
⇔ x + = ± arccos
+ k2π ⇔ x = ± arccos − + k2 ; π k ∈ Z 4 2 2 4 3
VD4: (s inx + cos x) − 2 (sin 2x + 1) + s inx + cos x − 2 = 0 Hướng dẫn: ⇔ ( 3
s inx + cos x) − 2 (2sin x cos x + 1) + s inx + cos x − 2 = 0 ⇔ ( 3 2
s inx + cos x) − 2 (s inx + cos x) + s inx + cos x − 2 = 0 + Đặt : = inx 3 2 2 t s
+ cos x;− 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ t − 2.t + t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t + 1) = 0 ⇔ t = 2 π π π π π
⇒ s inx + cos x = 2 sin x + = 2 ⇔ sin x + = 1 ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2 ; π k ∈ Z 4 4 4 2 4
III. VẬN DỤNG GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHỔ BIẾN
DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PHƯƠNG TRÌNH CƠ SỞ
Giải các phương trình sau (1) . o
c s7x − sin 5x = 3 ( o
c s5x − sin 7x) Hướng dẫn: 1 3 1 3
⇔ cos7x + 3 sin 7x = sin5x + 3cos5x ⇔ cos7x + sin 7x = sin 5x + cos5x 2 2 2 2 π π π π π π
⇔ cos cos7x + sin sin7x = sin sin 5x + cos cos5x ⇔ cos 7x − = cos 5x − 3 3 6 6 3 6
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 31
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = + kπ π π 12
⇔ 7x − = ± 5x − + k2π ⇔ ;k ∈ Z 3 6 π kπ x = + 24 6 x 3π (2) 2 4 sin − 3 o c s 2
2x = 1 + 2cos x − 2 4 Hướng dẫn:
1 − cos x 3π π 3π ⇔ 4 − 3 o
c s2x = 1 + 1 + o c s 2x −
⇔ 2 − 2cos x − 3 o
c s2x = 2 + o c s − 2x 2 2 2 π π
⇔ −2cos x − 3 o c s2x = o
c s 2π − 2x − = o c s x +
⇔ −2cos x − 3 o
c s2x = sin(−2 − x) 2 2 ⇔ cos x + 3 o
c s2x = sin 2x ⇔ sin 2x − 3 o c s2x = 2 cos x 1 3 ⇔ π π ⇔ s in 2x − o
c s2x = cos x ⇔ sin sin 2x − o c s o c s2x = cos x 2 2 6 6 π π π ⇔ o c s o c s2x − sin
sin 2x = − cos x ⇔ o c s 2x +
= − cos x = o c s (π − x) 6 6 6 5π 2π x = + k 18 3 ⇔ ;k ∈ Z 7π 2π x = − + k 16 3 π c 2x − 1 2 os
(4) tan + x − 3 tan x = 2 o c s2x Hướng dẫn: cos x ≠ 0 cos x ≠ 0 + ĐK: π ⇔ o c s + x ≠ 0 s inx ≠ 0 2 2 2 − sin x 1 2 2 2 3
⇔ −cot x − 3tan x = = −2 − tan x ⇔ −
− tan x = 0 ⇔ tan x = −1 − o c s2x t anx π
⇔ t anx = −1 ⇔ x = − + k ; π k ∈ Z 4
(1− 2sinx)cosx (5) KA-09: ( + )( = 3
1 2 sin x 1 − s inx ) Hướng dẫn:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 32
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 s inx ≠ − + ĐK: 2 sinx ≠ 1
⇔ (1 − 2sin x)cosx = 3 (1+ 2sinx)(1 −s inx)
⇔ cos x − 2sin xcos x = 3 − 3 s inx + 2 3 s inx − 2 3 s inx 1 − o c s2x
⇔ cos x − sin 2x = 3 + 3 s inx − 2 3 2
⇔ cos x − sin 2x = 3 s inx + 3 o c s2x
⇔ cos x − 3 s inx = sin 2x + 3 o c s2x ⇔ 1 − 3 1 3 cos x s inx = sin 2x + o c s2x 2 2 2 2 π π ⇔ π π ⇔ o c s cos x − sin s inx = sin sin 2x + o c s o c s2x 3 3 6 6 π x = + k2π π π ⇔ 2 o
c s x + = o
c s 2x − ⇔ ;k ∈ Z 3 6 π x = − + k2π 18 (6) KD-09: 3 o
c s5x − 2sin 3x cos 2x − s inx = 0 Hướng dẫn: 1 ( sin a.cos b = = sin
(a +b)+sin(a −b) ) 2 1 ⇔ 3 o
c s5x − 2. (sin 5x + s inx) − s inx = 0 ⇔ 3 o
c s5x − sin 5x = 2sin x 2 π π kπ
− 5x = x + k2π x = + π 3 18 3
⇔ sin − 5x = s inx ⇔ ⇔ ;k ∈ Z 3 π π kπ
− 5x = π − x + k2π x = − − 3 6 2 (7) KB-09: inx + + os = os 3 s cos x.sin 2x 3c 3x 2(c 4x + sin x) Hướng dẫn: 2 ⇔sin (
x 1− 2sin x) +cosx.sin2x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔sin . x co 2
s x +cosx.sin2x + 3co 3 s x = 2cos4x 1 3 π ⇔sin3x + 3co 3
s x = 2cos4x ⇔ sin3x + co 3
s x = cos4x ⇔cos − 3x = co 4 s x 2 2 6
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 33
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = − + k2π π 6 ⇔3x − = 4
± x +k2π ⇔ ;k ∈Z 6 π 2π x = +k 42 7 x
(8) KB-06: cot x + s inx(1 + t anx.tan ) = 4 2 Hướng dẫn: s inx ≠ 0
+ ĐK: cos x ≠ 0 x o c s ≠ 0 2 x x x sin o c s .cos x + s inx inx .sin cos x s cos x ⇔ + inx 2 + = ⇔ + inx 2 2 s 1 . 4 s = 4 s inx cos x x s inx x o c s cos x. o c s 2 2 x o c s cos x cos x sin x o c s2 2 x + sin x ⇔ + inx 2 s . = 4 ⇔ + = 4 ⇔ = 4 s inx x s inx o c sx s inx os .cos x cos x.c 2 π x = + kπ 1 ⇔ π ⇔ = 1 1 12
4 ⇔ cos x.s inx =
⇔ sin 2x = = sin ⇔ ;k ∈ Z s inx.cos x 4 2 6 5π x = + kπ 12 (9). inx + + os = os 3 s cos x.sin 2x 3c 3x 2(c 4x + sin x) Hướng dẫn ⇔ inx( 2 s
1− 2sin x ) + cos x.sin 2x + 3co 3 s x = 2 cos 4x ⇔ sin . x cos2x + cos x.sin 2x + 3co 3 s x = 2 cos 4x ⇔ sin 3x + 3co 3 s x = 2 cos 4x π x = − + k2π π 6 ⇔ cos − 3x = cos4x ⇔ 6 π 2π x = + k 42 7 x
(10). cot x + s inx(1 + t anx.tan ) = 4 2 Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 34
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x ĐK: s inx, cos x, cos ≠ 0 2 x sin cos x s inx 2 ⇔ + sinx1+ . = 4 s inx cos x x cos 2 x x cos x.cos + sinx.sin cos x 2 2 ⇔ + sinx = 4 s inx x cos x.cos 2 x cos cos x 2 ⇔ + sinx = 4 s inx x cos x.cos 2 cos x s inx ⇔ + = 4 s inx cos x 1 1 ⇔ = 4 ⇔ sin 2x = sin x cos x 2 π π 2x = + k2π x = + kπ 6 ⇔ 12 ⇔ π 5π 2x = π − + k2π x = + kπ 6 12
(11) sin x + cos x = 2 os c 9x Hướng dẫn: π π x = − + k π π 32 4 ⇔ 2 o
c s x − = 2 o c s9x ⇔ o
c s x − = o c s9x ⇔ ;k ∈ Z 4 4 π π x = + k 40 5
(12) 2 sin 4x = s inx + 3 cos x Hướng dẫn: π 2π x = + k 1 3 π 9 3
⇔ sin 4x = s inx +
cos x ⇔ sin 4x = sin x + ⇔ ;k ∈ Z 2 2 3 4π 2π x = + k 15 5 3 1 (13) + = 8cos x s inx cos x Hướng dẫn:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 35
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC s inx ≠ 0 + ĐK: cos x ≠ 0
⇔ 3 cos x + s inx 2
= 8cos x.s inx ⇔ 3 cos x + s inx = 8( 2
1 − sin x).s inx
⇔ 3 cos x + s inx = 8s inx 3
− 8sin x ⇔ 3 cos x − s inx 3
= 6sin x − 8sin x
⇔ 3 cos x − s inx = 2( 3
3 sin x − 4sin x) ⇔ 3 cos x − s inx = 2.sin 3x π π x = + k 3 1 π 12 2 ⇔
cos x − s inx = sin 3x ⇔ sin
− x = sin 3x ⇔ ;k ∈ Z 2 2 3 π x = + kπ 3 o c s2x − cos x (14) = 3 sin 2x + s inx Hướng dẫn: s inx ≠ 0
+ ĐK: sin 2x + s inx = s inx (2cos x + 1) ≠ 0 ⇔ 1 cos x ≠ − 2 ⇔ o
c s2x − cos x = 3 (sin 2x + s inx) ⇔ o
c s2x − 3 s inx = cos x + 3 s inx 2π x = − + k2π π π 3 ⇔ o
c s 2x + = o
c s x − ⇔ ;k ∈ Z 3 3 2π x = k 3 2 + 3 2 (15) cos 3x. o c s3 3
x − sin 3x.sin x = 8 Hướng dẫn: 3 cos x + o c s3x
3 sin x − sin 3x 2 + 3 2 ⇔ o c s3x. − sin 3x. = 4 4 8 o c s2 2
3x + sin 3x + 3 ( o
c s3x.cos x − sin 3x.s inx ) 2 + 3 2 ⇔ = 5 8 3 2 2 π π π ⇔ o c s2 2
3x + sin 3x + 3. o c s4x = 1 + ⇔ o c s4x = = o c s ⇔ x = ± + k ;k ∈ Z 2 2 4 16 2 ( π 2 − 3 ) x 2
cos x − 2 sin − 2 4 (16) = 1 2 cos x − 1
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 36
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng dẫn: 1
+ ĐK: cos x ≠ 2 π − − ⇔ ( − ) 1 o c s x 2 π 2 3 cos x − 2.
= 2cos x −1 ⇔ 2cos x − 3 cos x −1 + o c s
− x = 2cos x −1 2 2
⇔ 2cos x − 3 cos x −1 + s inx = 2cos x −1 ⇔ s inx − 3 cos x = 0 1 3 π π
⇔ 2. s inx −
cos x = 0 ⇔ 2 sin x − = 0 ⇔ x = + kπ 2 2 3 3 4π
Kết hợp ĐK ta có: x = + k2 ; π k ∈ Z 3 2 cos 4x
(17) cot x = t anx + sin2x Hướng dẫn:
+ ĐK: sin 2x ≠ 0
x = kπ (ktm) cos x s inx 2 cos 4x ⇔ − = ⇔ o ⇔ − = ⇔ c s2 2
x − sin x = o c s4x ⇔ o c s2x = o c s4x ⇔ π ;k ∈ Z s inx cos x 2 sin x cos x x=k 3 x 3 2 2 π (18). 4sin − 3 o
c s2x = 1 + 2cos x − 2 4 Hướng dẫn 1− cos x 3π ⇔ 4 − 3cos2x = 1+ 1 + cos 2x − 2 2 3π 3π
⇔ 2 − 2cos x − 3cos2x = 2 + cos 2x − = cos − 2x 2 2 π π
⇔ −2cos x − 3cos2x = cos 2π − 2x − = cos 2x + 2 2
⇔ −2cos x − 3cos2x = sin ( 2 − x) ⇔ 2cos x + 3cos2x = sin 2x ⇔ sin 2x − 3cos2x = 2cos x
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 37
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ sin 2x − 3cos2x = 2cos x 1 3 ⇔ sin 2x − cos2x = cos x 2 2 π π
⇔ sin sin 2x − cos cos2x = cos x 6 6 π π
⇔ cos cos2x − sin sin 2x = −cos x 6 6 π
⇔ cos 2x + = cos(π − x) 6 π 5π 2π 2x + = π − x + k2π x = + k 6 18 3 ⇔ ⇔ π + = −(π − ) 7π 2x x + k2π x = − + k2π 6 6 π c 2x − 1 2 os
(19). tan + x − 3 tan x = 2 o c s2x Hướng dẫn cos x ≠ 0 cos x ≠ 0 ĐK: π ⇔ cos + x ≠ 0 s inx ≠ 0 2 2 −2sin x 2 2 ⇔ −cot x − 3tan x = = 2 − tan x 2 cos x 1 π 2 3 ⇔ −
− tan x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ t anx = −1 ⇔ x = − + kπ t anx 4
(20). (1+ 3 )sinx + (1 − 3 )cos x = 2 Hướng dẫn
⇔ sinx + 3 sinx + cos x − 3 cos x = 2 1 3 1 3 ⇔ sinx + s inx + cos x − cos x = 1 2 2 2 2 π π π π
⇔ sin sinx − cos cosx+sin sinx + cos cos x =1 6 6 3 3 π π
⇔ − cos + x + cos − x =1 6 3 π π
⇔ cos − x − cos + x = −1 3 6
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 38
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π
⇔ −2sin .sin − x =1 4 12 2 π 1 π 1 ⇔ sin
− x = − ⇔ sin − x = 2 12 2 12 2 π x = + k2π 6 ⇔ 5π x = + k2π 6
DẠNG 2: NHÓM THỪA SỐ CHUNG
Giải các phương trình lượng giác sau Bài 1: KB-2008: 3 3 2 2
sin x − 3 cos x = sin x.cos x − 3 sin x cos x Hướng dẫn 2 2 2 2
⇔ sin x(cos x − sin x) + 3 cos x(cos x − sin x) = 0
⇔ sin x cos 2x + 3 cos x cos 2x = 0
⇔ cos 2x(sin x + 3 cos x) = 0 π π TH1: cos2x = 0 ⇔ π 2x =
+ kπ ⇔ x = + k (k ∈ Z) 2 4 2
TH2: sin x + 3 cos x = 0 ⇔ sin x = − 3 cos x ⇔ π
tan x = − 3 = tan(− ) 3 ⇔ π x = −
+ kπ (k ∈ Z) 3
Bài 2: (2 cos x − )
1 (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x
Hướng dẫn: sin 2x = 2sin x cos x ⇔ (2cos x − )
1 (2 sin x + cos x) = sin x(2 cos x − ) 1 ⇔ (2cos x − )
1 (sin x + cos x) = 0 π 1 π x = ± + k2π cos x = = cos ⇔ 3 2 3 ⇔ ∈ (k Z) π tan x = −1 x = − + kπ 4
sin 2x + 2 cos x − sin x −1 Bài 3: KD-2011: = 0 tan x + 3 Hướng dẫn tan x ≠ − 3 * ĐK: cosx ≠ 0
* sin 2x + 2 cos x − sin x −1 = 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 39
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
⇔ 2sin x cos x + 2cos x − sin x −1 = 0
⇔ 2cos x(sin x + ) 1 − (sin x + ) 1 = 0 ⇔ (sin x + ) 1 (2 cos x − ) 1 = 0 π
sin x = −1 ⇔ x = − + k π 2 2 x = 1 cos = π cos
⇔ x = ± π + k π 2 2 3 3 π ( (x = − + k π 2 loại ) 3
Bài 4: KB-2005: 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 Hướng dẫn
⇔ 1+ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos2 x −1 = 0
⇔ sin x + cos x + 2cos x(sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x + cos x) 1 ( + 2 cos x) = 0 π tan x = 1 − x = − + kπ s
in x + cos x = 0 4 ⇔ 1 2π ⇔ (k ∈ Z ) 2 cos x = −1 cos x = − = cos 2π x = ± + k2 2 3 π 3
Bài 5: KB -2010: (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 Hướng dẫn
⇔ sin 2x cos x + cos 2xcos x + 2cos 2x − sin x = 0
⇔ 2sin x cos2 x + cos 2x(cos x + 2) − sin x = 0
⇔ sin x(2cos2 x − )
1 + cos 2x(cos x + 2) = 0
⇔ sin x cos 2x + cos 2x(cos x + 2) = 0
⇔ cos 2x(sin x + cos x + 2) = 0 π π TH1: cos2x=0 ⇔ π 2x =
+ kπ ⇔ x = + k (k ∈ Z) 2 4 2
TH2: sinx + cosx + 2 = 0 ⇔ phương trình vô nghiệm vì 2 2 2 1 + 1 < ( 2 − )
Bài 6: KD - 2008: 2sinx(1+co2x) +sin2x = 1 + 2cosx Hướng dẫn 2
⇔ 2 sinx .2 cos x + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
⇔ 2sin x cos x(2cos x +1) = 2cos x +1
⇔ (2cos x +1)(2sin x cos x −1) = 0 2π 1 2π x = ± + k2π cos x = − = cos 3 ⇔ 2 3 ⇔ π (k ∈ Z) π sin 2x = 1 x = + kπ 4
Bài 7: KB-2011: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 40
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2
⇔ 2sin x.cos x + sin x cos x − cos 2x − sin x − cos x = 0 2
⇔ sin x(2cos x + cos x −1) − (cos2x + cos x) = 0
⇔ sin x(cos2x + cos x) − (cos2x + cos x) = 0
⇔ (s inx −1)(cos2x + cos x) = 0 π sin x =1 ⇔ x = + k2 , π k ∈ Z 2 cos x = −1 x = π + k2π 2
cos 2x + cos x = 0 ⇔ 2 cos x −1+ cos x = 0 ⇔ 1 π ⇔ π (k ∈ Z) cos x = = cos x = ± + k2π 2 3 3 Bài 8: KA-2007: 1
( + sin 2 x) cos x + 1
( + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x Hướng dẫn
⇔ cos x + sin2 xcos x + sin x + cos2 xsin x = 1+ sin 2x
⇔ cos x + sin x + sin x cos x(sin x + cos x) = (sin x + cos x)2
⇔ (sin x + cos x) 1
( + sin x cos x − sin x − cos x) = 0 π
TH1: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −
+ kπ (k ∈ Z) 4
TH2: 1 + sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
⇔ 1− sin x + cos x(sin x − ) 1 = 0 ⇔ 1 ( − sin x) 1 ( − cos x) = 0 π
sin x = 1 ⇒ x = + k2 π 2 (k ∈ Z )
cos x = 1 ⇒ x = k2π
Bài 9: sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6x Hướng dẫn 1 − cos 6x 1 + cos8x 1 − cos10x 1 + cos12 ⇔ − = − x 2 2 2 2
⇔ cos12x − cos6x + cos10x − cos8x = 0
⇔ −2sin 9xsin 3x − 2sin 9xsin x = 0
⇔ sin 9x(sin 3x + sin x) = 0 π
TH1: sin9x = 0 ⇔ 9x = π k k ⇔ x = 9 kπ x =
3x = −x + k 2π
TH2: sin3x = -sinx = sin (-x) ⇔ 2 ⇔ , k ∈ Z
3x = π + x + k2π π x = + kπ 2
Bài 10: ĐHKB-2007 : 2 sin 2 2x + sin 7x −1 = sin x Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 41
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
⇔ sin 7x − sin x = 1− 2sin2 2x
⇔ 2cos 4xsin 3x = cos 4x
⇔ cos 4x(2sin 3x − ) 1 = 0 π π π
TH1: cos4x = 0 ⇔ 4x = π k + ⇔ x = + k 2 8 4 π π 2π 3x = + k2π x = + k 1 π 6 18 3 TH2: sin 3x = = sin ⇔ ⇔ .(k ∈ Z ) 2 6 5π 5π 2π 3x = + k2π x = + k 6 18 3 π (1+ sin x + cos 2x)sin(x + ) 1 Bài 11: KA-2010: 4 = cos x 1+ tan x 2 Hướng dẫn cos x ≠ 0
* ĐK: tan x ≠ −1 * Phương trình 2 2 ⇔ (1+ sin x + cos 2x). (sin x + cos x) = cos x(1+ tan x) 2 2
⇔ (1+ sin x + cos 2x)(sin x + cos x) = (cos x + sin x)
⇔ (sin x + cos x)(1+ sin x + cos 2x −1) = 0
TH1: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 (loại)
TH2: sin x + cos2x = 0 ⇔ sin x + 1 − 2sin 2 x = 0 sin x = (
1 loai )vì cos x = 0 x = −π + ⇔ k π 2 1 π 6 sin x = − = sin(− ) ⇔ 2 6 π
x = π + + k π 2 6 1+ sin 2x + cos 2x Bài 12: KA-2011: = 2 sin x sin 2x 2 1+ cot x Hướng dẫn * KĐ: sinx ≠ 0
1 + sin 2x + cos 2x *
= 2 sin x.2sin x cos x cos2 x 1 + sin2 x 2 2
⇔ sin x(1+ sin 2x + cos 2x) = 2 sin x.2cos x
⇔ 1+ sin 2x + cos 2x = 2 2 cos x 2
⇔ 1+ sin 2x + 2cos x −1 = 2 2 cos x 2
⇔ 2sin x cos x + 2cos x = 2 2 cos x
⇔ cos x(sin x + cos x − 2) = 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 42
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π TH1: cosx = 0 ⇔ x =
+ kπ ,k ∈ Z 2 TH2: sinx + cosx = 2 π π π π
⇔ 2 cos(x − ) = 2 ⇔ cos(x − ) =1 ⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2 , π k ∈ Z 4 4 4 4 1 1 7π Bài 13: KA - 08 : + = 4sin( − x) sin x 3π 4 sin(x − ) 2 Hướng dẫn * KĐ: * Ta có: 3π 3π 3 sin(x − π ) = sin x cos − cos x.sin = cos x 2 2 2 7π 7π 7π sin( − x) = sin .cos x − cos .sin x 4 4 4 2 2 = − cos x − sin x 2 2 2 = − (cos x + sin x) 2 1 1 Vậy phương trình: ⇔ +
= −2 2(cos x + sin x) sin x cos x
⇔ sin x + cos x = −2 2(sin x + cos x).sin . x cos x
⇔ (sin x + cos x) 1 ( + 2 sin 2x) = 0 π
TH1: sin x + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + π k 4 π π 2x = − + k2π x = − + kπ 2 π 4 8 TH2: sin 2x = − = sin(− ) ⇔ ⇔ , k ∈ Z 2 4 π 5π 2x = π + + k2π x = + kπ 4 8 x π
Bài 14: KB-2003: sin 2 ( − x ). tan 2 x − cos2 = 0 2 4 2 Hướng dẫn * KĐ: cosx ≠ 0 π 1 − cos(x − ) x π 1 − sin x * 2 sin 2 ( − ) = = 2 4 2 2
1 − sin x sin 2 x 1 + cos Phương trình: ⇔ x . − = 0 2 cos 2 x 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 43
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 ( − sin x).sin 2 ⇔
x − 1(+ cos x) = 0 1 ( − sin x) 1 ( + sin x) ⇔ sin2 x − 1 ( + cos x) 1 ( + sin x) = 0 ⇔ 1 ( − cos x) 1 ( + cos x) − 1 ( + cos x) 1 ( + sin x) = 0 ⇔ 1 ( + cos x) 1
( − cos x −1 − sin x) = 0 ⇔ 1
( + cos x).(sin x + cos x) = 0
TH1: cosx = -1 ⇔ x = π + k π 2 π
TH2: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −
+ kπ ,k ∈ Z 4 cos 2x 1 Bài 15: KA- 03: 2 cot x −1 = + sin x − sin 2x 1+ tan x 2 Hướng dẫn sin x ≠ 0 * ĐK: cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 * Phương trình đã cho: cos x cos 2x 2 1 ⇔ −1 =
+ sin x − sin 2x sin x sin x 2 1 + cos x cos x − sin x
cos x(cos x − sin x)(cos x + sin x) ⇔ = + sin2 x − sin . x cos x sin x cos x + sin x cos x − sin ⇔
x = cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x) sin x 1
⇔ (cos x − sin x)(
− cos x + sin x) = 0 sin x π
TH1: sin x = cosx ⇔ x = + π k 4
TH2: 1-sinxcosx + sin 2 x = 0 1 cos x 2 ⇔ −
+1 = 0 ⇔ 1+ cot x − cot x +1 = 0 (vô nghiệm) 2 sin x sin x
Bài 16: KD-10: sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0 Hướng dẫn 2
⇔ 2sin x cos x − (1− 2sin x) + 3sin x − cos x −1 = 0 2
⇔ (2sin x −1)cos x + 2sin x + 3sin x − 2 = 0
⇔ (2sin x −1)cos x + (sin x + 2)(2sin x −1) = 0
⇔ (2sin x −1)(cos x + sin x + 2) = 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 44
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = + k2π 1 π 6
sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ ⇔ 2 6 5π x = + k2π 6 2 2 2
sin x + cos x = −2 (vônghiem)vì 1 +1 < ( 2 − )
Bài 17: sin2x + 2 cos2x + 4cosx - sinx-1 = 0 Hướng dẫn
⇔ 2sin x cos x − sin x + 2(2cos2 x − ) 1 + 4 cos x −1 = 0
⇔ sin x(2cos x − )
1 + 4 cos2 x + 4 cos x − 3 = 0
⇔ sin x(2cos x − ) 1 + (2 cos− ) 1 (2 cos x + ) 3 = 0 ⇔ (2cos x − )
1 (sin x + 2 cos x + ) 3 = 0
TH1: sinx + 2cosx = -3 (vô nghiệm) vì 2 2 2 1 + 1 < (− ) 3 1 π π TH2: cosx =
= cos ⇔ x = ± + k2π.(k ∈ Z) 2 3 3
Bài 18: 2sin2x -cos2x = 7sinx + 2 cosx - 4 Hướng dẫn
⇔ 4sin x cos x − 1
( − 2sin 2 x) − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0
⇔ 4sin x cos x + 2sin2 x − 7sin x − 2cos x + 3 = 0
⇔ 2cos x(2sin x − )
1 + (2sin 2 x − 7 sin x + ) 3 = 0
⇔ 2cos x(2sin x − ) 1 + (2sin x − ) 1 (sin − ) 3 = 0 ⇔ (2sin x − )
1 (2 cos x + sin x − ) 3 = 0 π x = + k 2π ⇔ 1 π 6 sin x = = ⇔ , k ∈ Z 2 6 5π x = + k π 2 6 2 (2 − sin 2 ).sin 3 4 x x
Bài 19: tan x +1 = 4 cos x Hướng dẫn * ĐK: cosx ≠ 0 * PT 4 2 sin x (2 − sin 2x).sin 3x ⇔ +1 = 4 4 cos x cos x 4 4 2
⇔ sin x + cos x = (2 − sin 2x).sin 3x 1 2 2
⇔ 1− sin 2x = (2 − sin 2x).sin 3x 2 2 2
⇔ 2 − sin 2x = 2(2 − sin 2x).sin 3x
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 45
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π 2π x = + k π π 2 18 3
⇔ (2 − sin 2x)(2sin 3x −1) = 0 ⇔ sin 3x = = sin ⇔ , k ∈ Z 2 6 5π 2π x = + k 18 3
Bài 20: 3 - tan x (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 Hướng dẫn * KĐ: Cosx ≠ 0
sin x sin x + 2 sin x cos x * PT ⇔ 3 − ( ) + 6 cos x = 0 cos x cos x
⇔ 3cos2 x − sin2 x − 2sin2 x cos x + 6cos3 x = 0 ⇔ 3cos2 x 1
( + 2 cos x) − sin 2 x 1 ( + 2 cos x) = 0 ⇔ 1 ( + 2 cos x) 3 ( cos2 2 x − si x) = 0 TH1: 1 + 2cosx = 0 ⇔ .... TH2: 3cos2 . x 1
( − cos2 x) = 0 (Phương trình bậc 2 ẩn là cosx …) + x x 3 1 ( 3 sin )
Bài 21: 3 tan x − π tan x + = 8cos2 ( − ) cos 2 x 4 2 Hướng dẫn
* ĐK: cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 * PT π ⇔ tan x 3 ( tan 2 x − ) 1 + 1 ( 3 + sin x). 1
( + tan 2 x) = 4 1 + cos( − x) = 4 1 ( + sin x) 2 ⇔ tan x 3 ( tan 2 x − ) 1 + 1 ( + sin x [ ) 3 ( tan 2 x − ) 1 − 4]− 4 1 ( + sin x) = 0 ⇔ tan x 3 ( tan 2 x − ) 1 + 1 ( + sin x [
) 3 tan 2 x −1 + 4 − 4]= 0 ⇔ tan x 3 ( tan 2 x − ) 1 + 1 ( + sin x) 3 ( tan 2 x − ) 1 = 0 ⇔ 3 ( tan 2 x − )
1 (tan x + 1 + sin x) = 0 2 3 π
TH1: 3 tan x −1 = 0 ⇔ tan x = ± ⇔ x = ± + π k 3 6 TH2: tanx +1 + sinx = 0 sin ⇔
x +1+ sin x = 0 ⇔ sin x + cos x + sin xcos x = 0 cos x π - Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x + );− 2 ≤ t ≤ 2. 4 t 1 2 2; 2 = − − ∉ − π 2 −1 + t ≠ 1 ± 2 ⇒ ....t + 2t −1 = 0 ⇔ ⇒ sin(x + ) = = sin α 4 2 t = −1+ 2 π π x + = α + k2π x = α − + k 2π ⇔ 4 ⇔ 4 , k ∈ Z π 3π x + = π −α + k2π x = −α + k π 2 4 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 46
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 22: 2 sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos 2x Hướng dẫn
⇔ 2(sin3 x − cos3 x) − (sin x − cos x) = (cos x − sin x)(cos x + sin x)
⇔ 2(sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x + sin x cos x) − (sin x − cos x) + (sin x − cos x)(sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x − cos x)(2 + sin 2x −1+ sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x + 2sin x cos x + ) 1 = 0 π
(chú ý: s inx − cos x = 0 ⇔ x = + kπ ) 4 π 3 x = + π k π 4 t = 0 - Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x − ) … ⇒
… ĐS: ⇔ x = π + k π 2 4 t = −1 π
x = − + k π 2 2 Bài 23: sin x 2 + sin x 3 + sin x 4 + sin x = cos x 2 + cos x 3 + cos x 4 + cos x Hướng dẫn
⇔ (sin x − cos x) + (sin2 x − cos2 x) + (sin3 x − cos3x) + (sin4 x − cos4 x) = 0 π
sin x − cos x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ ,k ∈ ⇔ Z 4
1 + sin x + cos x + 1 + sin x cos x + sin x + cos x = 0(2) π
Xét (2): đặt t = sin x + cos x = 2 cos(x − ) , − 2 ≤ t ≤ 2 4 t = −1 … ⇒ 2
t + 4t + 3 = 0 ⇔ t = − (3loai) x = π + k2π π 1 3π + với t = -1 ⇔ cos(x − ) = − = cos ⇔ π , k ∈ Z 4 2 4 x = − + k2π 2
Bài 24: 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx Hướng dẫn
⇔ 2sin x(2cos2 x) + 2sin x cos x = 1+ 2cos x
⇔ 2sin x cos x(2cos x + ) 1 − 1 ( + 2 cos x) = 0 ⇔ (2cos x + )
1 (2 sin x cos x − ) 1 = 0 1 π 2 TH1: cos x = − ⇔ x = ± + k π 2 2 3 1 π
TH2: 2sinxcosx -1 = 0 ⇔ sin 2x = ⇔ x = − + π k 2 4 x π Bài 25: sin 2 ( − x ). tan 2 x − cos2 = 0 2 4 2 Hướng dẫn * ĐK: cos x ≠ 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 47
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * PT π 1− cos(x − ) 2 1− cos 1+ cos x 2 ⇔ . − = 0 2 2 cos x 2
1− sin x (1− cos x)(1+ cos x) 1+ cos x ⇔ . − = 0 2 2 cos x 2 2
⇔ (1− sin x)(1− cos x)(1+ cos x) − cos x(1+ cos x) = 0 2
(1 cos x) (1 sin x)(1 cos x) cos x ⇔ + − − − = 0 2
(1 cos x) (1 sin x)(1 cos x) (1 sin x) ⇔ + − − − − = 0
⇔ (1+ cos x)(1− sin x)(1− cos x −1− sin x) = 0
⇔ (1+ cos x)(1− sin x)(cos x + sin x) = 0 π x = + k2π sin x = 1 2
⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z t anx = −1 π x = − + k2π 4 π
+ Kết hợp đk: ⇒ x = −
+ kπ ; x = π + k2π ,k ∈ Z 4 Bài 26: 2 2
3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 3) cos x Hướng dẫn * ĐK: sin x ≠ 0 cos 2 x * 3
+ 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x sin 2 x
⇔ 3cos2 x + 2 2 sin 4x = 2cos .
x sin 2 x + 3 2 cos . x sin 2 x
⇔ 3cos x(cos x − 2 sin2 x) + 2sin2 x( 2 sin2 x − cos x) = 0
⇔ (cos x − 2 sin2 x) 3
( cos x − 2sin 2 x) = 0 −1+ 3 x x k 2 cos = = cosα = ±α + cos x − 2 1 ( − cos x) = π 2 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 π 3cos x − 2 1 ( − cos x) = 0 1 x = ± + k π cos x = 2 3 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 48
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 3: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC 3, TRÙNG PHƯƠNG
2(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x Bài 1: KA-06: = 0 2 − 2sin x Hướng dẫn 2 * ĐK: sin x ≠ 2
* 2(cos6 x + sin s x) − sin x cos x = 0 3 sin 2x 2 ⇔ 2(1− sin 2x) − = 0 4 2 2 ⇔ 3sin 2x + sin 2x − 4 = 0 π sin 2x =1 ⇔ x = + k , π k ∈ Z 4 ⇔ 4 sin 2x = − (loai) 3 5π
+ Kết hợp đk: ⇒ x =
+ k2π ,k ∈ Z 4 π 4 4 3
Bài 2: KD-05: cos x + π
sin x + cos(x − ).sin 3 ( x − ) − = 0 4 4 2 Hướng dẫn 1 π π 3 2
⇔ 1− sin 2x + sin(3x − ).cos(x − ) − = 0 2 4 4 2 1 1 π 3 2 ⇔ 1− sin 2x + sin 2x + sin(4x − − = 0 2 2 2 2 2
⇔ 2 − sin 2x + sin 2x − cos 4x − 3 = 0 2 2
⇔ 2 − sin 2x + sin 2x − (1− 2sin 2x) − 3 = 0 sin 2x = 2 − (vôlý) 2
⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔ π sin 2x =1 ⇔ x = + k , π k ∈ Z 4 Bài 3: KA-05: cos2 3 .
x cos 2x − cos2 x = 0 Hướng dẫn 1 + cos 6x 1 + ⇔ x .cos 2x −
cos 2 = 0 ⇔ cos6 .xcos2x −1 = 0 2 2
⇔ (4cos3 2x − 3cos 2x).cos 2x −1 = 0 2 1 x loai 4 2 cos 2 = −
⇔ 4cos 2x − 3cos 2x −1 = 0 ⇔ ( ) 4
cos2 2x = 1 ⇔ cos 2x = ±1 kπ
(Hoặc sin2x = 0 ⇔ x = , k ∈ Z ) 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 49
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2
Bài 4: KB-03: cot x − tan x + 4sin 2x = sin2x Hướng dẫn sin x ≠ 0 * ĐK: cosx ≠ 0 cos x sin x 2 * − + 4sin 2x = sin x cos x sin 2x 2(cos 2 x − 2 ⇔
sin x) + 4sin x = 2 2 sin 2x sin 2x
⇔ cos 2x + 2sin2 2x = 1 ⇔ cos 2x + 2 1 ( − cos2 2x) −1 = 0 1 2π π cos 2x = − = cos
⇔ x = ± + kπ ,k ∈ ⇔ Z 2 3 6 cos 2x = ( 1 loai) π
Kết hợp đk: ⇒ x = ± + π k 6
Bài 5: KB-04: 5sin x − 2 = 3 tan 2 x 1 ( − sin x) Hướng dẫn * Đk: cos x ≠ 0 sin 2 x * 5sinx - 2 = 3 . 1 ( − sin x) 1 ( − sin 2 x) 2 ⇔ x 5sin x − 2 = sin 31+ sin x ⇔ 5 ( sin x − 2) 1
( + sin x) = 3sin 2 x
⇔ 2sin2 x + 3sin x − 2 = 0 π
sin x = −2(vônghiem) x = + k π 2 ⇔ 1 π ⇔ 6 sin x = = sin π 5 2 6 x = + k π 2 6 cos 3x + sin 3x Bài 6:KA-02: ( 5 sin x + ) = cos 2x + 3 1 + 2 sin 2x Hướng dẫn 1 * ĐK: sin 2x ≠ − 2
4 cos3x − 3cos x + 3sin x − 4 sin 3 x * 5(sinx + ) = cos 2x + 3 1 + 2sin 2x
(cos x − sin x) 1 ( + 2 sin 2x) ⇔ 5 sin x + = cos 2x + 3 1 + 2sin 2x Chú ý:
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 50
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 3 2 2
(4(cos x − sin x) − 3(cos x − sin x) = 4(cos x − sin x)(cos x + sin x + sin x cos x) − 3(cos x − sin x)
= (cos x − sin x)(4 + 4sin x cos x − 3) = ....)
Bài này nên biến đổi: cos3x + sin 3x trước rồi thay vào) ⇔ (
5 sin x + cos x − sin x) = cos 2x + 3 cos x = 2 l ( oai) 2
⇔ 5cos x = (2cos x − ) 1 + 3 ⇔ 1 π π cos x =
= cos ⇔ x = ± + k2π ,k ∈ Z 2 3 3
Bài 7: 2 cos2 2x + cos 2x = 4 cos2 x.sin 2 2x Hướng dẫn
⇔ 2cos3 2x + 4cos2 2x − cos 2x − 2 = 0
⇔ (cos 2x + 2)(2cos2 2x − ) 1 = 0 1 1 + cos 4x 1 π π π ⇔ cos2 2x = ⇔
= ⇔ cos 4x = 0 ⇔ 4x = + π k ⇔ x = + k . 2 2 2 2 8 2 1
(nếu làm: cos 2x = ± sẽ có 4 họ nghiệm) 2
Bài 8: KD-06: cos3x - cos2x - cosx - 1 = 0 Hướng dẫn
⇔ 4cos3 x − 3cos x + 2cos2 x −1− cos x −1 = 0
⇔ 4cos3 x + 2cos2 x − 4cos x − 2 = 0
⇔ 2cos2 x(2cos x + ) 1 − 2(2 cos x + ) 1 = 0 ⇔ (2cos x + ) 1 (cos2 x − ) 1 = 0 1 2π cos x = − x = ± + k π ⇔ 2 ⇔ 2 3 , k ∈ Z cos2 x = 1 x = kπ
Bài 9: KD-02: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0; x ∈ [ 14 ; 0 ] Hướng dẫn
⇔ 4cos3 x − 3cos x − 4(2cos2 x − ) 1 + 3cos x − 4 = 0
⇔ 4cos3 x − 8cos2 x = 0 ⇔ 4cos2 x(cos x − 2) = 0 ⇔ π
cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ ,k ∈ Z 2 π π 3π 5π 7π Do x ∈ [ 1 ; 0 4] ⇒ 0 ≤
+ kπ ≤ 14 ⇔ k = ; 1 ; 0 3 ; 2 ⇒ x = ; ; ; 2 2 2 2 2 5x 3x Bài 10: 4 cos .cos + 2 8 ( sin x − ) 1 .cos x = 5 2 2 Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 51
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 5x 3x 5x 3x ⇔ 4. cos( + ) + cos( −
) +16sin x cos x − 8cos x = 5 2 2 2 2 2
⇔ 2[cos4x + cos x]+8sin 2x −8cos x = 5 ⇔ 2cos 4x + 8sin 2x = 5 2
⇔ 2(1− 2sin 2x) + 8sin 2x − 5 = 0 2
⇔ −4sin 2x + 8sin 2x − 3 = 0 3 π π sin 2x = (loai) 2x = + k2π x = + kπ 2 2 ⇔ 6 12
4 sin 2x − 8sin 2x + 3 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ , k ∈ Z 1 π 5π 5π sin 2x = = sin = + π = + π 2x k2 x k 2 6 6 12 1
Bài 11: 2 cos 2x − 8cos x + 7 = cos x Hướng dẫn * ĐK: cos x ≠ 0 * 2(2 cos2 x − )
1 .cos x − 8cos2 x + 7 cos x = 1 cos x = 1 x = k2π 3 2
⇔ 4cos x −8cos x − 5cos x −1 = 0 ⇔ 1 ⇔ π cos x = x = ± + k2π 2 3
Bài 12: sin 2 x + sin 2 3x − 3cos2 2x = 0 Hướng dẫn 1 − cos 2x 1 − cos 6x ⇔ + − 3cos2 2x = 0 2 2
⇔ 2 − cos 2x − (4cos3 2x − 3cos 2x) − 6cos2 2x = 0
⇔ 2cos32x + 3cos2 2x − cos 2x −1 = 0 1 π cos 2x = − x = ± + k π ⇔ 2 ⇔ 3 , k ∈ Z 5 −1 α cos 2x = = cosα x = ± + k π 2 2 1 2 Bài 13: 48 − − .(1+ cot 2x.cot x) = 0 4 2 cos x sin x Hướng dẫn sin x ≠ 0 * ĐK: cosx ≠ 0 * PT
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 52
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 2 cos 2x cos x ⇔ 48 − − .(1+ . ) = 0 4 2 cos x sin x sin 2x sin x 1 2 sin 2x.sin x + cos 2x.cos x ⇔ 48 − − .( ) = 0 4 2 cos x sin x sin 2x.sin x 1 2 cos x ⇔ 48 − − . = 0 4 2 cos x sin x sin 2x.sin x 1 2 cos x ⇔ 48 − − . = 0 4 3 cos x sin x 2 sin x.cos x 1 1 ⇔ 48 − − = 0 4 4 cos x sin x 4 4 ⇔ 48cos x.sin x − (s 4 4 in x + cos x) = 0 1 4 2
⇔ 3sin 2x − (1− sin 2x) = 0 2 4 2 ⇔ 6sin 2x + sin 2x − 2 = 0 2 1 π 2 sin 2x = − (loai) sin 2x = = sin 3 2 4 ⇔ ⇔ 1 1 π 2 sin 2x = sin 2x = − = sin(− ) 2 2 4 π 3π π 5π ⇔ x = + k ; π x = + k ; π x = − + k ; π x = + k , π k ∈ Z 8 8 8 8 x x Bài 14: 4 2
(s inx + 3).sin − (s inx + 3).sin +1 = 0 2 2 Hướng dẫn ⇔ ( s inx + 3) x x 4 2
sin − sin +1 = 0 2 2 ⇔ ( s inx + 3) x x 2 2
.sin sin −1 +1 = 0 2 2 ⇔ ( s inx + 3) x x 2 2 .sin 1
− cos −1 +1 = 0 2 2 ( ⇔ − s inx + 3) x x 2 2
.sin cos +1 = 0 2 2 ⇔ −(sinx + 3) 1 2 . sin x +1 = 0 4 π s inx =1 ⇔ x = + k2 , π k ∈ Z 3
⇔ sin x + 3sin2 x − 4 = 0 ⇔ 2 s inx = −2∉[−1; ] 1 4 4 sin x + cos x 1 1 Bài 15: = cot2x- (ĐK: …) 5sin 2x 2 8sin 2x Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 53
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 2 1− sin 2x 1 cos2x 1 2 ⇔ = . − 5sin 2x 2 sin 2x 8sin 2x 2 2 2
⇔ 4cos 2x − 20cos 2x + 9 = 0 (sin 2x = 1− cos 2x) 9 cos2x = ∉[−1; ] 1 4 ⇔ 1 π cos2x = ⇔ x = ± + k , π k ∈ Z 2 6 Bài 16: + os( 2 cos 2x c 2 tan x + ) 1 = 2
Hướng dẫn: ĐK cos x ≠ 0 2 sin x ⇔ cos2x + cos x 2. +1 = 2 2 cos x 2 sin x ⇔ cos2x + 2. + cos x − 2 = 0 cos x ⇔ ( 2 2 cos x − ) 1 cos x + 2 ( 2 1− cos x ) 2 + cos x − 2cos x = 0 3 2
⇔ 2cos x − cos x − 3cos x + 2 = 0 cos x = 2∉[ 1 − ; ] 1 ⇔ cosx =1⇔... Bài 17: 6 2
3cos 4x − 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 Hướng dẫn ⇔ 3(cos4x + ) 2 1 − 2 cos x ( 4 4 cos x − ) 1 = 0 2 2 ⇔ 3.2cos 2x − 2cos x ( 2 2 cos x − ) 1 ( 2 2 cos x + ) 1 = 0 2 2 ⇔ 6cos 2x − 2cos x.cos2x ( 2 2 cos x + ) 1 = 0 2 cos2x 3cos 2x cos x ( 2 2 cos x )1 ⇔ − + = 0 cos2x 3 ( 2 2 cos x ) 4 2 1 2cos x cos x ⇔ − − − = 0 ⇔ cos2x ( 4 2 2 cos x − 5 cos x + 3) = 0 cos2x = 0 x = π + k2π cos2x = 0 2 ⇔ cos x = 1 ⇔ ⇔ π s inx 0 = x = ± + k2π 3 2 3 cos x = > 1 2 Bài 18: 2 inx os + os ( 2 − ) 3 s .c 2x c x tan x 1 + 2 sin x = 0 Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 54
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ sinx( 2 cos2x + 2sin x ) 2 + cos x ( 2 tan x − ) 1 = 0 ⇔ sinx(cos2x +1− cos2x) 2 sin x 2 2 + cos x. − cos x = 0 2 cos x 2 2 ⇔ sinx + sin x − cos x = 0 2 ⇔ sinx + sin x − ( 2 1− sin x ) = 0 2 ⇔ 2sin x + sinx −1 = 0 π x = − + k2π 2 s inx = −1 π ⇔ 1 ⇔ x = + k2π s inx = 6 2 5π x = + k2π 6
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP
Khi gặp phương trình lượng giác đẳng cấp bậc n (mọi hạng tử trong phương trình đều có
bậc n) hoặc có dạng tương tự như đẳng cấp thì ta chia 2 vế của phương trình cho n cos x Bài 1: 4 2 2 4
3cos x − 4 cos x.sin x + sin x = 0 Hướng dẫn
+ Ta thấy cos x = 0 ⇔ s inx = ±1 không là nghiệm của phương trình ⇒ cos x ≠ 0
+ Chia 2 vế của phương trình cho 4 cos x ≠ 0 ta được: 2 tan x =1 2 4
3 − 4 tan x + tan x = 0 ⇔ ⇔ ... 2 tan x = 3 Bài 2: 3 3 2
cos x − 4 sin x − 3cos x.sin x + s inx = 0 Hướng dẫn
+ Ta thấy cos x = 0 ⇔ s inx = ±1 không là nghiệm của phương trình ⇒ cos x ≠ 0
+ Chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta được: s inx 1 3 2 3 2 1− 4 tan x − 3 tan x +
= 0 ⇔ 1− 4 tan x − 3tan x + tan x = 0 3 2 cos x cos x 3 2
⇔ 1− 4 tan x − 3tan x + tan x ( 2 1+ tan x ) 3 2
= 0 ⇔ 3tan x + 3tan x- tan x −1 = 0 3 tan x = 3 3 ⇔ tan x = − ⇔ ... 3 tan x = −1
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 55
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 3: 2 sin x (tan x + )
1 = 3sin x (cos x − sin x) + 3 Hướng dẫn + ĐK: cos x ≠ 0
+ Chia 2 vế của phương trình cho 2 cos x ≠ 0 ta được: 2 tan x (tan x + ) 2 1 = 3 tan x − 3 tan x + 3( 2 1+ tan x ) 3 2
⇔ tan x + tan x − 3tan x − 3 = 0 ⇔ (tan x + ) 1 ( 2 tan x − 3) = 0 tan x = −1 ⇔ ⇔ ... tan x = ± 3 π Bài 4: 3 8 cos x + = cos 3x 3 Hướng dẫn 3 π 3
⇔ 2cos x + = 4cos x − 3cos x 3 3 π π 3
⇔ 2cos x.cos −sin x.sin = 4cos x − 3cos x 3 3 3 1 3 3 ⇔ 2 cos x −
sin x = 4 cos x − 3cos x 2 2 3 2 2 3 3
⇔ cos x − 3 3 cos x sin x + 9sin x cos x − 3 3 sin x = 4cos x − 3cos x 3 3
⇔ −3cos x − 3 3 sin x − 3 3 co 2 2
s x sin x + 9sin x cos x + 3cos x = 0 3 2
⇔ −3− 3 3 tan x − 3 3 tan x + 9 tan x + 3( 2 1+ tan x ) = 0 3 2
⇔ −3 3 tan x +12 tan x − 3 3 tan x = 0 tan x = 3 ⇔ tan x = 0 ⇔ ... 1 tan x = 3 Bài 5: 3
2 cos x = 6sin x − 5sin 2x.cos x Hướng dẫn 3 2
⇔ 2cos x = 6sin x −10sin x.cos x ⇔ 2 = 6 tan x ( 2 1+ tan x ) −10 tan x 3
⇔ 6 tan x − 4 tan x − 2 = 0 π ⇔ t anx =1 ⇔ x = + k , π k ∈ Z 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 56
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 6: 3 s inx + cos x − 4 cos x Hướng dẫn
Chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta có ⇔ t anx( 2 1+ tan x ) 2 +1+ tan x − 4 = 0 3 2
⇔ tan x + tan x + t anx − 3 = 0 π ⇔ t anx =1 ⇔ x = + k , π k ∈ Z 4 Bài 7 (KB-09) 3 3 2 2 sin x − 3cos x = s in . x cos x − 3 sin x.cos x Hướng dẫn
Chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta có 3 2
⇔ tan x − 3 = t anx − 3 tan x 3
⇔ tan x + 3 t anx − t anx − 3 = 0 π π t anx = 1 x = + k 4 2 ⇔ t anx = −1 ⇔ π x = − + kπ t anx = − 3 3 Bài 8: 2 sin x (t anx + )
1 = 3sin x (cos x − s inx) + 3
Hướng dẫn: ĐK cos x ≠ 0 sin x 2 ⇔ sin x
+1 = 3sin x (cos x −sinx) + 3 cos x 3 2 2 2
⇔ sin x + sin x cos x = 3sin x cos x − 3sin x cos x + 3cos x
Chia 2 vế của phương trình cho cos x ≠ 0 ta có 3 2 2
⇔ tan x + tan x = 3tan x − 3tan x + 3( 2 1+ tan x ) π x = − + kπ ⇔ ( anx + )( 2 − ) 4 t 1 tan x 3 = 0 ⇔ π x = ± + kπ 3
Bài 9: Cho phương trình 2 + ( − ) x − ( + ) 2 sin x 2 m 1 sin cos x m 1 cos x = m
Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Hướng dẫn * Với 2
cos x = 0 ⇒ sin x = m ⇒ m = 1 thì phương trình có nghiệm.
* Với m ≠ 1 ⇒ cos x ≠ 0 , chia 2 vế của phương trình cho 2 cos x ≠ 0 ta có ⇔ ( − ) 2 m 1 tan x − 2(m − ) 1 t anx + 2m +1 = 0(1) + Đặt = anx ⇒ ( − ) 2 t t m 1 t − 2 (m − ) 1 t + 2m +1 = 0 (2)
+ Phương trình (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ −2 ≤ m < 1
KL: giá trị m cần tìm thỏa mãn yếu cầu bài toán là −2 ≤ m ≤ 1 Bài 10: 3 3 + os = ( 5 5 sin x c x 2 sin x + cos x ) Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 57
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chia 2 vế của phương trình cho 5 cos x ≠ 0 ta có 1 1 3 ⇔ tan x. + = 2( 5 tan x +1 2 2 ) cos x cos x 3 ⇔ tan x.( 2 1+ tan x ) + ( 2 1+ tan x ) = 2( 5 tan x + ) 1 5 3 2
⇔ tan x − tan x − tan x +1 = 0 3 ⇔ tan x ( 2 tan x − ) 1 − ( 2 tan x − ) 1 = 0 ⇔ ( 2 tan x − ) 1 ( 3 tan x − ) 1 = 0 π π
⇔ t anx = ±1 ⇔ x = + k , k ∈ Z 4 2 Bài 11: 2 2 cos x − 3 sin 2x = 1+ sin x Hướng dẫn 2 2
⇔ cos x − 2 3 sin x cos x =1+ sin x
Chia 2 vế của phương trình cho cos x ≠ 0 ta có ⇔ − anx = ( 2 + ) 2 1 2 3 t 1 tan x + tan x t anx = 0 ⇔ x = kπ ⇔ π
t anx = − 3 ⇔ x = − + kπ 3
Bài 12: sin 2x + 2 tan x = 3
Hướng dẫn: ĐK cos x ≠ 0 s inx ⇔ 2sin x cos x + 2 = 3 cos x
Chia 2 vế của phương trình cho 2 cos x ≠ 0 ta có s inx s inx 1 3 ⇔ 2. + 2. . = 2 2 cos x cos x cos x cos x ⇔ 2 tan x + 2 tan x.( 2 1+ tan x ) = 3( 2 1+ tan x ) 3 2
⇔ 2 tan x − 3tan x + 4 tan x − 3 = 0 π ⇔ t anx = 1 ⇔ x = + k , π k ∈ Z 4 Bài 13: 3
sin x.sin 2x + sin 3x = 6 cos x Hướng dẫn 2 3 3
⇔ 2sin x cos x + 3sin x − 4sin x = 6cos x
+ Ta thấy khi cos x = 0 ⇒ s inx = ±1 phương trình vô nghiệm, chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta được
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 58
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 3 sin x 3sin x 1 sin x ⇔ 2 + . − 4. = 6 2 2 3 cos x cos x cos x cos x 2 ⇔ 2 tan x + 3tan x ( 2 1+ tan x ) 3 − 4 tan x = 6 3 2
⇔ tan x − 2 tan x − 3tan x − 6 = 0 ⇔ (t anx − 2)( 2 tan x − 3) = 0
t anx = 2 = tan α ⇔ x = α + kπ ⇔ π
t anx = ± 3 ⇔ x = ± + kπ 3 5sin 4x.cos x Bài 14: 3 6 sin x − 2 cos x = 2 cos 2x Hướng dẫn: ĐK 2 2
cos 2x ≠ 0 ⇔ cos x − sin x ≠ 0 ⇔ t anx ≠ 1 ± 10 sin 2x cos 2x cos x 3 ⇔ 6sin x − 2cos x = 2 cos 2x 3
⇔ 6sin x − 2cos x = 5sin 2x cos x 3 2
⇔ 6sin x − 2cos x =10sin x cos x
+ Chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta được ⇔ 6 tan x ( 2 1+ tan x) − 2 =10 tan x 3
⇔ 3tan x − 2 tan x −1 = 0 ⇔ (t anx − ) 1 ( 2 3 tan x + 3 tan x + ) 1 = 0 Phương trình vô nghiệm Bài 15: 3 sin x − 4sin x + cos x = 0 Hướng dẫn
+ Chia 2 vế của phương trình cho 3 cos x ≠ 0 ta được ⇔ t anx( 2 1+ tan x ) 3 2 − 4 tan x +1+ tan x = 0 3 2
⇔ 3tan x − tan x − t anx −1 = 0 ⇔ (t anx − ) 1 ( 2 3 tan x + 2 tan x + ) 1 = 0 π ⇔ t anx =1 ⇔ x = + kπ 4 Bài 16: 2 2 t a .
nx sin x − 2sin x = 3(cos2x + sin x cos x) Hướng dẫn
+ Chia 2 vế của phương trình cho 2 cos x ≠ 0 ta được 3( 2 2 cos x − sin x + sin x cos x 3 2 ) 3 2 ⇔ tan x − 2 tan x = ⇔ tan x − 2 tan x = 3( 2 1− tan x + t anx 2 ) cos x 3 2
⇔ tan x + tan x − 3tan x − 3 = 0 ⇔ (tanx + ) 1 ( 2 tan x − 3) = 0 π π
⇔ t anx = −1 ⇔ x = − + k ;
π t anx = ± 3 ⇔ x = ± + kπ 4 3
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 59
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC (sưu tầm)
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của
phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của
chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp.
I. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng
bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất: A = 2 A + 2 B = ⇔ 0 0 B = 0
Bài 1. Giải phương trình: 3 tan 2 x + 4sin 2 x − 2 3 tan x − 4sin x + 2 = 0 Hướng dẫn 2 2
3 tan x + 4 sin x − 2 3 tan x − 4sin x + 2 = 0 2 2
⇔ 3tan x − 2 3 tan x +1+ 4sin x − 4sin x +1 = 0 2 2
⇔ ( 3 tan x −1) + (2sin x −1) = 0 3 π tan x = x = + mπ 3 tan x −1 = 0 3 6 ⇔ ⇔ ⇔ (m,n∈Z) 2sin x −1 = 0 1 π sin x = x = + 2nπ 2 6 π ĐS x = + 2 π
k (k ∈ Z ) 6
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f (x) = g(x) ,
ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: f (x) ≥ ,
A ∀x ∈ (a, b) và g (x) ≤ ,
A ∀x ∈ (a,b) thì khi đó: f (x) =
f (x) = g(x) ⇔ A
g(x) = A
Nếu ta chỉ có f (x) > A và g(x) < A , ∀x ∈ (a,b) thì kết luận phương trình vô ngiệm.
Bài 2. Giải phương trình: cos5 2 x + x = 0 Hướng dẫn 5
cos x + x 2 = 0 ⇔ x 2 5 = − cos x
Vì −1 ≤ cos x ≤ 1 nên 0 2
≤ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 − π π mà [− ] 1 , 1 ⊂ , ⇒ cos x > , 0 ∀x ∈ [− ]1 , 1 ⇒ − cos5 x < , 0 ∀x ∈ [− ]1 , 1 2 2 Do 2
x > 0 và − cos5 x < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 60
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 3. Giải phương trình: sin1996 x + cos1996 x = 1 (1) Hướng dẫn (1) 1996 ⇔ sin x 1996 + cos x 2 = sin x 2 + cos x
⇔ sin2 x(sin1994 x − ) 1 = cos2 x 1 ( − cos1994 x) (2) sin 2 x ≥ 0 Ta thấy
⇒ sin 2 x(sin1994 x − ) 1 ≤ , 0 x ∀ sin1994 x ≤ 1 cos2 x ≥ 0 Mà ⇒ cos2 x 1 ( − cos1994 x) ≥ , 0 ∀x
1− cos1994 x ≥ 0 x = mπ s in x = 0 π x = + mπ s
in 2 x(sin1994 x − ) 1 = 0 s in x = 1 ± 2 Do đó (2) ⇔ ⇔ ⇔
(m, n ∈ Z ) c os2 x 1 ( − cos1994 x) = 0 cos x = 0 π x = + n π cos x = ±1 2 x = nπ π
Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z ) 2 π
ĐS x = k (k ∈ Z ) 2
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương
trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây: sin ax = 1 sin ax = 1 sin bx = 1 sin bx = −1 (1). sin a .
x sin bx = 1 ⇔ (2). sin a .
x sin bx = −1 ⇔ sin ax = − sin ax = − 1 1 sin bx = −1 sin bx = 1
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: cos a . x cos bx = 1 cos a . x cos bx = 1 − sin a . x cos bx = 1 sin a . x cos bx = 1 −
III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của
phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
+ Dùng tính chất đại số
+ Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình f (x) = 0 có 1 nghiệm x = α ∈ (a,b) và hàm f đơn điệu trong (a,b)
thì f (x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = α .
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 61
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trình f (x) = g(x) có 1 nghiệm x = α ∈ (a,b) , f (x) tăng (giảm) trong
(a, b) , g ( x) giảm (tăng) trong (a, b) thì phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x = α là duy nhất. 2 x
Bài 4. Giải phương trình: cos x = 1 − với x > 0 2 Hướng dẫn
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x = 0. 2 Đặt f (x) = x cos x +
−1 là biểu thức của hàm số có đạo hàm f '(x) = −sin x + x > , 0 ∀x > 0 2
(vì x > sin x , x ∀ )
⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ( , 0 +∞)
⇒ f (x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong ( , 0 +∞)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG
Bài 1: Giải phương trình: 2
x − 2x cos x − 2 sin x + 2 = 0 (1) Hướng dẫn Ta có (1) 2
⇔ x − 2x cos x + cos2 x + sin 2 x − 2sin x +1 = 0 2 2
⇔ (x − cos x) + (sin x −1) = 0 x − cos x = 0 cos x = x ⇔ ⇔ s in x −1 = 0 s in x = 1 Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình: sin 4 x + cos15 x = 1 Hướng dẫn
Ta có: sin 4 x + cos15 x = 1 4 ⇔ sin x 15 + cos x 2 = sin x 2 + cos x
⇔ sin 2 x(sin 2 x − ) 1 = cos 2 x 1 ( − cos 13 x) (1)
Vì sin 2 x(sin 2 x − ) 1 ≤ , 0 x ∀ Và cos2 x 1 ( − cos13 x) ≥ , 0 ∀x x = mπ sin x = 0 π x = + mπ
sin 2 x(sin 2 x − ) 1 = 0 sin x = ±1 2 Do đó (1) ⇔ ⇔ ⇔ ( , m n ∈ Z ) cos2 x 1 ( − cos13 x) = 0 cos x = 0 π = + π x n cos x = 1 2 x = 2nπ π ĐS x =
+ kπ hay x = 2 π
k , (k ∈ Z ) 2
Bài 3: Giải các phương trình: π 1 4 4 1
1). sin x + cos (x + ) = (1)
2). (tan x + cot x)n = cosn x + sin n x(n = , 3 , 2 , 4 ...) 4 4 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 62
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng dẫn 1). Ta có: 2 π 1 + cos(2x + ) 1 ( − cos 2x)2 2 1 (1) ⇔ + = 4 4 4 ⇔ 1 ( − cos 2x)2 + 1 ( − sin 2x)2 = 1
⇔ cos2x + sin 2x = 1 π 2 ⇔ cos(2x − ) = 4 2 x = kπ ⇔ π (k ∈ Z ) x = + kπ 4 π
2). Với điều kiện x ≠ k
ta có tan x và cot x luôn cùng dấu nên: 2 n 1 1 1 1 tan x + cot x = tan x +
cot x ≥ 2 tan x ⋅ cot x = 1 ⇒ tan x + cot x ≥ 1 4 4 4 4 1 2 1 1
Dấu "=" xảy ra ⇔ tan x =
cot x ⇔ tan x = ⇔ tan x = ± 4 4 2 2 1
+ Với n = 2 : phương trình tan x + cot x = 1 có nghiệm cho bởi: 4 1 1 tan x = ±
⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z) 2 2
+ Với n ∈ Z , n > 2 thì:
cos n x + sin n x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1 π x = k khi n = 2m Dấu bằng xảy ra 2 ⇔
(k, m ∈ Z ) π
x = 2kπ hay x =
+ 2kπ khi n = 2m +1 2 π
(đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k của phương trình) 2 Vậy với n > ,
2 n ∈ Z thì phương trình vô nghiệm. 1
ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2 1 1
Bài 4: Giải phương trình: cos x −1 + cos3x −1 = 1 (1) cos x cos3x Hướng dẫn cos x > 0
Điều kiện: cos3x > 0
Khi đó (1) ⇔ cos x − cos2 x + cos3x − cos2 3x = 1
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 63
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 1 1 2 2 1 Vì a − a +
= (a − ) ≥ 0 ⇒ a − a ≤ 4 2 4 2 1 2 1
Do đó cos x − cos x ≤
và cos 3x − cos 3x ≤ 4 4 2 1 2 1
⇒ cos x − cos x ≤ và cos3x − cos 3x ≤ 2 2 2 1 1
cos x − cos x = cos x = Dấu bằng xảy ra ⇔ 4 ⇔ 2 ⇔ x ∈∅ 2 1 1
cos 3x − cos 3x = cos 3x = 4 2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 5: Giải phương trình: 3 sin x 3 + cos x 4 = 2 − sin x Hướng dẫn
sin 3 x ≤ sin 2 x , x ∀
cos3 x ≤ cos2 x , x ∀
⇒ sin3 x + cos3 x ≤ 1 , x ∀
2 − sin 4 x ≥ 1 , x ∀
sin 3 x + cos3 x = 1 π
Vậy phương trình tương đương: . ĐS x =
+ 2kπ (k ∈ Z) 2 − sin4 x = 1 2 π
Bài 6: Giải phương trình: sin x + tan x − 2x = 0 với 0 ≤ x ≤ 2 Hướng dẫn
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x = 0 π
Đặt f (x) = sin x + tan x − 2x liên tục trên ; 0 2 (cos x − )
1 (cos2 x − cos x − ) 1 π
Có đạo hàm: f '(x) = ≥ 0,∀x ∈ ; 0 do 2 cos x 2 1 − 5 1 + 5
< 0 ≤ cos x ≤ 1 <
⇒ cos2 x − cos x −1 < 0 2 2 π
⇒ f đơn điệu tăng trên ; 0 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 64
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP
Bài 1: Giải phương trình: sin 2x − o
c s2x = 2sin x −1.
Bài 2: Giải phương trình: 2
sin 2x − 2 cos x = 3sin x − cos x .
Bài 3: Giải phương trình: 2 cos 2x + 8sin x − 5 = 0 . 17π x π
Bài 4: Giải phương trình: 2 sin(2x +
) +16 = 2 3.sin x cosx + 20 sin ( + ) 2 2 12 2
3(2.cos x + cos x − 2) + (3 − 2cos x).sin x
Bài 5: Giải phương trình: = 0 2cos x + 1
Bài 6: Giải phương trình: 2(cos x + sin 2x) = 1+ 4 sin x(1+ cos 2x)
Bài 7: Giải phương trình: sin 2x +1 = 6 sin x + cos 2x .
Bài 8: Giải phương trình: 3sin x − cos x + 2 − cos 2x − sin 2x = 0
Bài 9: Giải phương trình : sin 2x − (sin x + cos x − ) 1 (2sin x − cos x − 3) = 0
Bài 10: Giải phương trình lượng giác: 2 2
cos x + 3 cos x + 3sin x − 3sin x = 0
Bài 11: Giải phương trình : 3 (cos 2x - sin x) + cos x (2sin x + ) 1 = 0 . π π 1
Bài 12: Giải phương trình sau: cos
− x − sin 2x + = . 4 4 2
Bài 13: Giải phương trình: ( x + )( x + x − ) 2 2 sin 1 3cos 4 2 sin 4 + 4 cos x = 3 .
Bài 14: Giải phương trình: 2 cos5x.cos3x sin x cos8x + =
Bài 15: Giải phương trình sin 2x +1 = 6sin x + cos 2x .
Bài 16: Giải phương trình: cos2x + 2 sin x −1− 2 sin x cos 2x = 0 . 2
3 sin 2x − 2cos x −1
Bài 17: Giải phương trình: = 0 2 cos x −1
Bài 18: Giải phương trình: sin 2 x − 2 2 (s inx + cosx) = 5
Bài 19: Giải phương trình cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0
Bài 20: Giải phương trình: 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 . π
Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x − -1= 0. 4
Bài 22: Giải phương trình: cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 π
Bài 23: Giải phương trình cos x + cos3x = 1+ 2 sin 2x + . 4
Bài 24: Giải phương trình: sin 3x + 3 cos 3x − 2sin x = 0 . π
Bài 25: Giải phương trình : 2 2 2 sin x −
= 2sin x − tan x 4
Bài 26: Giải phương trình: 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 .
Bài 27: Giải phương trình cosx + sinx ( − cosx)2 2 1 = 2 + 2sinx . π
Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: 2 2 2 cos
− 2x + 3 cos 4x = 4cos x −1. 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 65
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP
Bài 1: Giải phương trình: sin 2x − o
c s2x = 2sin x −1. Hướng dẫn
BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng : 2
2 s inx(cos x −1) + 2sin x = 0 s inx = 0
s inx(sin x + cos x −1) = 0 ⇔ sin x +cos x −1= 0
+ Với sinx = 0 ⇔ x = k2π x = k2π π 1 + Với
sin x + cos x −1 = 0 ⇔ sin(x + ) = ⇔ π , k ∈Z 4 2 x = + k2π 2 π
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. x = kπ , x = + k2π 2
Bài 2: Giải phương trình: 2
sin 2x − 2 cos x = 3sin x − cos x . Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương 2
2 sin x − 3sin x − 2 + 2sin x cos x + cos x = 0 ⇔ (2sin x + )
1 (sin x + cos x − 2) = 0
+ sin x + cos x − 2 = 0 : Phương trình vô nghiệm π x = − + k2π 6
+ 2 sin x +1 = 0 ⇔ (k ∈ ℤ) 7π x = + k2π 6 π 7π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = − + k2π , x =
+ k2π (k ∈ℤ). 6 6
Bài 3: Giải phương trình: 2 cos 2x + 8sin x − 5 = 0 . Hướng dẫn
2 cos 2x + 8sin x − 5 = 0 ⇔ 2 1
( − 2sin2 x) + 8sin x − 5 = 0
⇔ 4sin2 x −8sin x + 3 = 0 3 π sin x = (lo¹i) x = + k π 2 ⇔ 2 ⇔ 6 (k ∈ Z) π 5 sin x = 1 x = + k π 2 2 6 17π x π
Bài 4: Giải phương trình: 2 sin(2x +
) +16 = 2 3.sin x cosx + 20 sin ( + ) 2 2 12 Hướng dẫn
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với π
cos2x − 3 sin 2x +10cos(x + ) + 6 = 0 6
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 66
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π c
⇔ os(2x + ) + 5cos(x + ) + 3 = 0 3 6 π π 2
⇔ 2cos (x + ) + 5cos(x + ) + 2 = 0 6 6 π 1 π
Giải được cos(x + ) = −
và cos(x + ) = −2 (loại) 6 2 6 π 1 π 5π
+ Giải cos(x + ) = −
được nghiệm x k = + 2π và x k = − + 2π 6 2 2 6 2
3(2.cos x + cos x − 2) + (3 − 2cos x).sin x
Bài 5: Giải phương trình: = 0 2cos x + 1 Hướng dẫn ĐK:
Pt đã cho tương đương với pt: Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc
Bài 6: Giải phương trình: 2(cos x + sin 2x) = 1+ 4sin x(1+ cos 2x) Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x + 2sin 2x = 1+ 4sin 2 . x cos x
⇔ (1− 2cos x)(2sin 2x −1) = 0 π x = ± + k2π 1 3 cos x = 2 π ⇔ ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 1 12 sin 2x = 2 5π x = + kπ 12 π π 5π
Vậy pt có nghiệm là: x = ± + k2π ; x = + kπ ; x =
+ kπ ( k ∈ Z ) 3 12 12
Bài 7: Giải phương trình: sin 2x +1 = 6 sin x + cos 2x . Hướng dẫn
(sin 2x − 6sin x) + (1− cos 2x) = 0 ⇔ x ( x − ) 2 2 sin cos
3 + 2 sin x = 0 ⇔ 2sin x (cos x − 3 + sin x) = 0
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 67
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x = 0 ⇔
⇔ x = kπ . Vậy nghiệm của PT là x = kπ ,k ∈ Z
sin x + cos x = 3(Vn)
Bài 8: Giải phương trình: 3sin x − cos x + 2 − cos 2x − sin 2x = 0 Hướng dẫn 2
sin x − cos x +1+ 2sin x + 2sin x − 2sin x cos x = 0
⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0 7π x = + k2π 6 π − 2 s inx − cos x = 1 − sin(x − ) = π − = + π 4 2 ⇔ x k 2 − 1 ⇔ ⇔ 6 s inx = 1 − 2 s inx = 3 π 2 x = + k2π 2 x = k 2π ⇔
Bài 9: Giải phương trình : sin 2x − (sin x + cos x − ) 1 (2sin x − cos x − 3) = 0 Hướng dẫn ⇔ ( + )2 PT sin x cos x −1 = (sin x + cosx− ) 1 (2sin x − cos x − 3)
⇔ (sin x + cos x) −1 (sin x + cos x) +1 = (sin x + cosx− ) 1 (2sin x − cos x − 3) x = k2π sin x + cos x = 1 ⇔ ⇔ π sin x 2 cos x 4(VN) − = x = + k2π 2
Bài 10: Giải phương trình lượng giác: 2 2
cos x + 3 cos x + 3sin x − 3sin x = 0 Hướng dẫn 2 2 3 3 2 2
cos x + 3 cos x + 3sin x − 3sin x = 0 ⇔ cos x + = − 3sin x 2 2 3 3 cos x + = − 3 sin x 2 2 + = ⇔ 3 sin x cos x 0 (1) ⇔ 3 3
3 sin x − cos x = 3 (2) cos x + = − + 3 sin x 2 2 1 π (1) ⇔ tan x = − ⇔ x = − + kπ 3 6 π x = + k2π π π 2
(2) ⇔ sin x − = sin ⇔ 6 3 5π x = + k2π 6
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 68
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x = − + kπ hay x = + k2π. 6 2
Bài 11: Giải phương trình : 3 (cos 2x - sin x) + cos x (2sin x + ) 1 = 0 . Hướng dẫn
⇔ sin 2x + 3 cos 2x = 3 sin x − cos x 1 3 3 1 ⇔ sin 2x + cos 2x = sin x − cos x 2 2 2 2 π π π π
⇔ sin 2x cos + cos 2x sin = sin x cos − cos x sin 3 3 6 6 π π π π π 2x
+ = x − + k2π x = − + k2π ⇔ 3 6 2 sin(2x + ) = sin(x − ) ⇔ (k ∈ ℤ) ⇔ (k ∈ ℤ) 3 6 π π 5π k 2π 2x +
= π − (x − ) + k2π = + x 3 6 18 3 π π 1
Bài 12: Giải phương trình sau: cos
− x − sin 2x + = . 4 4 2 Hướng dẫn π π 1 π π Pt đã cho cos
− x − sin 2x + =
⇔ 2 cos − x − 2 sin 2x + = 1 4 4 2 4 4
⇔ cos x + sin x − sin 2x − o c s2x = 1
⇔ sin x(1− 2cos x) + cos x(1− 2cos x) = 0.
⇔ (sin x + cos x)(1− 2cos x) = 0. π = − = − + π + = tan x 1 x k
⇔ cos x sin x 0 4 ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 1 1 − 2 cos x = 0 cos x = π x = ± + k2 2 π 3 π π
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: x = −
+ kπ , x = ± + k2π ,(k ∈ℤ) . 4 3
Bài 13: Giải phương trình: ( x + )( x + x − ) 2 2 sin 1 3cos 4 2 sin 4 + 4 cos x = 3 . Hướng dẫn ( x + )( x + x − ) 2 2 sin 1 3cos 4 2 sin 4 + 4 cos x = 3 ⇔ ( x + ) ( x + x − ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 +1 − 4sin x ⇔ (2sin x + ) 1 (3cos4x − ) 3 = 0 π 7π π
⇔ x = − + k2π hay x =
+ k2π hay x = k với k ∈ Z . 6 6 2
Bài 14: Giải phương trình: 2 cos5x.cos3x sin x cos8x + = Hướng dẫn
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 69
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 ⇔ 1 π π 7π
sinx = 1 hoặc sin x = − ⇔ x =
+ k2π; x = − + k2π; x =
+ k2π ,(k ∈ Z) 2 2 6 6
Bài 15: Giải phương trình sin 2x +1 = 6sin x + cos 2x . Hướng dẫn
sin 2x +1 = 6sin x + cos 2x
⇔ (sin 2x − 6sin x) + (1− cos2x) = 0 ⇔ x ( x − ) 2 2 sin cos 3 + 2 sin x = 0
⇔ 2sin x(cos x −3+sin x) = 0 sin x = 0 ⇔
⇔ x = kπ . Vậy nghiệm của PT là x = kπ ,k ∈ Z
sin x + cos x = 3(Vn)
Bài 16: Giải phương trình: cos2x + 2 sin x −1− 2 sin x cos 2x = 0 . Hướng dẫn +PT ⇔ o
c s2x (1− 2sin x) − (1− 2sin x) = 0 ⇔ ( o c s2x − ) 1 (1− 2sin x) = 0
+ Khi cos2x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ Z 1 π 5π + Khi s inx =
⇔ x = + k2π hoặc x = + k2π , k ∈ Z 2 6 6 2
3 sin 2x − 2cos x −1
Bài 17: Giải phương trình: = 0 2 cos x −1 Hướng dẫn 1 dk : o c sx ≠ 2 2 pt ⇔
3 sin 2 x − 2 cos x − 1 = 0 ⇔
3 sin 2 x − cos2x=2 π π
⇔ sin(2x- ) = 1 ⇔ x = + kπ 6 3 4π
Đối chiếu đk , pt có nghiệm : x =
+ m.2π (m ∈ Z ) 3
Bài 18: Giải phương trình: sin 2x − 2 2 (s inx + cosx) = 5 Hướng dẫn
Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ). ⇒ sin2x = t2 - 1 ⇔ 2
t − 2 2t − 6 = 0 ⇔ t = − 2 (t/m) π
+ Giải được phương trình sinx + cosx = − 2 … ⇔ o c s(x − ) = −1 4 + Lấy nghiệm … 5π Kết luận : x =
+ k2π ( k∈ Z ) 4
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 70
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 19: Giải phương trình cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 Hướng dẫn cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + ) 1 = 0 π π 2 sin x − = 0 x = + π k
sin x − cos x = 0 4 ⇔ 4 ⇔ ⇔
cos x − sin x + 1 = 0 π π 2 sin x − = 1 x = + k π
2 , x = π + k π 2 4 2 π π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x =
+ kπ , x = + k2π , x = π + k2π (k ∈Z) 4 2
Bài 20: Giải phương trình: 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 . Hướng dẫn 3 1 1 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 ⇔ 3 sin 2x − cos 2x = 1 ⇔
sin 2x − cos 2x = 2 2 2 π x = + kπ π π 6
⇔ sin 2x − = sin ⇔ (k ∈ℤ) 6 6 π x = + kπ 2 π
Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x − -1= 0. 4 Hướng dẫn
PT đã cho tương đương: sin 2x + cos x −(sin x −cos ) x −1= 0 ⇔ 2cos (
x sin x +1) −sin x −1= 0 ⇔ ( 1 sin x + ) 1 (2cos x − )
1 = 0 ⇔ sin x = −1 hoặc cos x = 2 π
+ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π. 2 1 π + o c sx =
⇔ x = ± + 2kπ . 2 3 π π
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: x = −
+ k2π ; x = ± + 2kπ ( k ∈ Z ) 2 3
Bài 22: Giải phương trình: cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 Hướng dẫn PT cos 2x + 1
( + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + ) 1 = 0 π π 2 sin x − = 0 x = + π k
sin x − cos x = 0 4 ⇔ 4 ⇔ ⇔
cos x − sin x + 1 = 0 π π 2 sin x − = 1 x = + k π
2 , x = π + k π 2 4 2 π π
VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm: x =
+ kπ , x = + k2π , x = π + k2π (k ∈Z) 4 2
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 71
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
Bài 23: Giải phương trình cos x + cos3x = 1+ 2 sin 2x + . 4 Hướng dẫn π
cos x + cos3x = 1+ 2 sin 2x + 4
⇔ 2cos x cos2x = 1+ sin 2x + cos2x ⇔ 2
2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0
⇔ cos x(cos x + sinx)(1+ sinx − cosx) = 0 π x = + kπ 2 cos x = 0 π = − + π ⇔ x k cos x + sinx = 0 ⇔ 4 (k ∈ℤ) 1 + sinx − cosx = 0 x = k2π 3π x = + k2π 2 π x = + kπ 2 π
Vậy, phương trình có nghiệm: x = − + kπ (k ∈ℤ) 4 x = k2π
Bài 24: Giải phương trình: sin 3x + 3 cos 3x − 2sin x = 0 . Hướng dẫn π
sin 3x + 3cos3x − 2sin x = 1 3 0 ⇔ sin 3x +
cos3x = sin x ⇔ sin 3x + = sin x . 2 2 3 π π π
Suy ra phương trình có các nghiệm: x = −
+ kπ ; x = + k (với k ∈ℤ ) 6 6 2 π
Bài 25: Giải phương trình : 2 2 2 sin x −
= 2sin x − tan x 4 Hướng dẫn π
Đ/K cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
+ lπ (l ∈Z) ( ) * 2 π Phương trình 2 2
⇔ 1− cos 2x − = 2sin x − tan x ⇔ 1− sin 2x = 2sin x − tan x 2 cosx+ sinx 2 ⇔ 2sin .
x cosx+ 2 sin x − tan x −1 = 0 ⇔ 2sin . x (cosx+ sinx) − = 0 cos x ⇔ ( + = = − x + x)( x − ) cos x sin x 0 tan x 1 cos sin sin 2 1 = 0 ⇔ ⇔ sin 2x −1 = 0 sin 2x = 1
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 72
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = − + kπ 4 π π ⇔ ⇔ x = + k
, k ∈ Z ( Thoả mãn điều kiện ( ) * ) π 4 2 x = + kπ 4
Bài 26: Giải phương trình: 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 . Hướng dẫn 3 1 1 2
2 sin x + 3 sin 2x − 2 = 0 ⇔ 3 sin 2x − cos 2x = 1 ⇔
sin 2x − cos 2x = 2 2 2 π x = + kπ π π 6
⇔ sin 2x − = sin ⇔ (k ∈ℤ) 6 6 π x = + kπ 2
Bài 27: Giải phương trình cosx + sinx ( − cosx)2 2 1 = 2 + 2sinx . Hướng dẫn
PT ⇔ cosx + sinx ( 2 2
1+ cos x − 2cosx) − 2 − 2sinx = 0 ⇔ (cosx − 2)(1+ sin2x) = 0 (*) π
Do cosx − 2 ≠ 0 nên (*) ⇔ 1+ sin2x = 0 ⇔ sin2x = −1 ⇔ x = − + kπ. 4 π
Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: 2 2 2 cos
− 2x + 3 cos 4x = 4cos x −1. 4 Hướng dẫn
Phương trình ban đầu tương đương: π 2 1+ cos
− 4x + 3 cos 4x = 4cos x −1 2 2
⇔ sin 4x + 3 cos 4x = 4cos x − 2 1 3 2 ⇔ sin 4x +
cos 4x = 2 cos x −1 2 2 π
⇔ cos 4x − = cos 2x 6 π x = + kπ 12 ⇔ π kπ x = + 36 3
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Giáo viên: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 73 CÁC SÁCH ĐÃ PHÁT HÀNH
(1). Các chuyên đề đại số 9 (Ôn thi vào lớp 10)
(2). Tinh hoa hình học (Ôn thi vào lớp 10)
(3). Luyện đề môn toán (Ôn thi vào lớp 10)
(4). Tinh hoa hình học (Ôn thi THPT quốc gia)
(5). Luyện đề môn toán (Ôn thi THPT quốc gia)
ĐỂ ĐẶT MUA SÁCH, CÁC EM LIÊN HỆ VỚI THẦY
Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Gmail: ng.huubien@gmail.com
Điện thoại: 01234.170.323