Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Công thức cấp số cộng và bài tập
Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Công thức cấp số cộng và bài tập áp dụng như thế nào cùng theo dõi
bài viết dưới đây của Luật Minh Khuê nhé.
Mục lục bài viết
1. Cấp số cộng là gì?
Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ) trong đó kể từ số hạng thứ hai đều
là tổng của số hạng ngay trước nó với một số không đổi khác 0. Số không đổi đó được gọi là công sai.
Số d được gọi là công sai cấp số cộng
2. Tính chất cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng
đứng kề với nó, nghĩa là
3. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u( n) của nó được xác định bằng công thức
4. Công thức tính tổng cấp số cộng
Giả sử u ( n ) là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n , gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó,
( Sn = u1 + u2 +.....+ u(n ) ) . Khi đó ta có:
Kết hợp với công thức u( n ) = u1 + ( n - 1 ) d, ta có:
5. Ví dụ minh họa cấp sô cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng u ( n ) thỏa mãn u1 = -1, d = 3 . TÍnh S ( 20 ) Ta có
S ( 20 ) = 20 u1 + 20 x ( 20 - 1 ) /2 x 3
= 20 x ( - 1 ) + 20 x 19 /2 x 3 = 550
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = 5, d = 4 . Hãy tính u ( 26 ) Ta có :
u ( 26 ) = u1 + ( 26 - 1 ) d = 5 + ( 26 - 1 ) x 4 = 105
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = -2, d = 7. Tìm công thức có số hạng tổng quát
u ( n ) = u1 + ( n - 1 ) d = -2 + ( n - 1 ) x 7 = 7n - 9
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. TÍnh công sai d
Ta có S ( 100) = 24850
⇔ n / 2 x ( u1 + u ( n ) ) = 24850 ⇔ u ( 100 ) = 496
Có u ( 100 ) = u1 + 99 d
⇔ d = ( u ( 100 ) - u1 ) / 99 ⇔ d = 5
6. Bài tập áp dụng
Câu 1: Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì sao?
Câu 2: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?
Câu 3: Cho cấp số cộng u ( n) với điều kiện d = 3, u1 = - 1. TÍnh S ( 100 )
Câu 4: Cho cấp số cộng u ( n ) có tổng 100 số hạng đầu bằng 2400, u1 = 1. Tính công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu?
Câu 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng của bình
phương của chúng bằng 120.
Câu 6: Cho một cấp số cộng có u1 = - 3, u6 = 27. Tính d? A. d = 5 B. d = 7 C. d = 6 D. d = 8
Câu 7: Cho một cấp số cộng u1 = 1/ 3, u8 = 26. Tính d? A. d = 11 / 3 B. d = 3 / 11 C. d = 10 / 3 D. d = 3 / 10
Câu 8: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = - 0,1, d = 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1,6 B. 6 C. 0,5 D. 0,6
Câu 9: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = - 0,1, d = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là : 0,6
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là : 0,5
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là : 3,9
Câu 10: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng là 120 A. 1, 5, 6, 8 B. 2, 4, 6, 8 C. 1, 4, 6, 9 D. 1, 4, 7, 8
Câu 11: Cho dãy số u ( n ) = 1 / 2 n + 1
A. Dãy số trên không phải là cấp số cộng
B. Số hạng thứ n + 1: u ( n + 1 ) = 1 / 2 n
C. HIệu só u ( n + 1) - u ( n ) = 1 / 2
D. Tổng của năm số hạng đầu tiên là S ( 5 ) = 12
Câu 12: Cho dãy số u ( n ) với u ( n ) = 2n + 5. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Là cấp số cộng có d = - 2
B. Là cấp số cộng có d = 2
C. Số hạng thứ n + 1 : u ( n + 1 ) = 2n +7
D. Tổng của bốn số hạng đầu tiên là S ( 4 ) = 40
Câu 13: Cho dãy số u ( n ) có d = - 2 , S ( 8 ) = 72. Tính u1 ? A. u1 = 16 B. u1 = - 16 C. u1 = 1 / 16 D. u1 = - 1 / 16
Câu 14: Cho dãy số u ( n ) có công sai d = 0,1; S ( 5 ) = - 0,5. Tính u1 ? A. u1 = 0,3 B. u1 = 10 / 3 C. u1 = - 10 / 3 D. u1 = - 0,3
Câu 15: Cho dãy số u ( n ) có u1 = -1, công sai d = 2, S ( n ) = 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng ? A. n = 20 B. n = 21 C. n = 22 D. n = 23
Câu 16: Dãy số u ( n ) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai? Biết 1. u ( n ) = 2n + 3 A. d = - 2 B. d = 3 C. d = 5 D. d = 2 2. u ( n ) = - 3n + 1 A. d = -2 B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1 3. u ( n ) = n^ 2 +1 A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1 4. u ( n ) = 2 / n A. d = Ø B. d = 1 / 2 C. d = - 3 D. d = 1
Câu 17: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai 1. u ( n ) = 3n + 1 A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1 2. u ( n ) = 4 - 5n A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 5 D. d = 1
3. u ( n ) = ( 2n + 3 ) / 5 A. d = Ø B. d = 2 / 5 C. d = - 3 D. d = 1
4. u ( n ) = ( n + 1 ) / n A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1 5. u ( n ) = n / 2^n A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1 6. u ( n ) = n ^2 + 1 A. d = Ø B. d = 3 C. d = - 3 D. d = 1
Câu 18: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = - 0,3 và u8 = 8. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Sô hạng thứ hai của cấp số cộng này là 1,4
B. Số hạng thứ ba của cấp số cộng này là 2,5
C. Số hạng thứ tư của cấp số cộng này là 3,6
D. Số hạng thứ bảy của cấp số cộng này là 7,7
Câu 19: Dãy số u ( n ) với u ( n ) = 7 - 2n . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Ba số hạng đầu u1 = 5, u2 = 3, u3 = 1
B. Số hạng thứ n + 1 : u ( n + 1 ) = 8 - 2n
C. Là cấp số cộng có công sai d = - 2
D. Số hạng thứ tư: u4 = - 1
Câu 20: Cho dãy số u ( n ) có u1 = căn bặc hai của 2, d = căn bậc hai của 2, S= 21 căn bậc hai của hai.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S là tổng của năm số hạng đầu của cấp số cộng
B. S là tổng của sáu số hạng đầu của cấp số cộng
C. S là tổng của bảy số hạng đầu của cấp số cộng
D. S là tổng của bốn số hạng đầu cấp số cộng