Chương 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG *****
§1- AÙNH XAÏ- HAØM SOÁ
Trong baøi naøy, baïn seõ hoïc
------------------------------------------------------------------------------
 Khaùi nieäm aùnh xaï vaø haøm soá.
 Ñôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc.
 Tích caùc aùnh xaï-Haøm soá hôïp.
 Moät soá öùng duïng cuûa aùnh xaï vaø haøm soá.
---------------------------------------------------------------------------
Trong cuoäc soáng haøng ngaøy, chuùng ta thöôøng gaëp caùc qui taéc töông öùng nhö:
Moãi ñòa chæ email töông öùng vôùi maät khaåu cuûa noù, moãi hoïc sinh trong moät lôùp hoïc
töông öùng vôùi soá thöù töï hoïc sinh ñoù trong danh saùch lôùp, moãi sinh vieân hoïc theo quy
cheá tín chæ töông öùng vôùi soá tín chæ maø sinh vieân ñoù tích luõy ñöôïc, moãi quyeån saùch
töông öùng vôùi soá trang cuûa noù, moãi ngöôøi töông öùng vôùi caân naëng ngöôøi ñoù, moãi saûn
phaåm ñöôïc baùn trong moät sieâu thò töông öùng vôùi giaù baùn saûn phaåm ñoù (baát kyø moãi saûn
phaåm naøo cuõng coù giaù duy nhaát), moãi taøi khoaûn ngaân haøng töông öùng vôùi soá taøi khoaûn
cuûa noù, moãi taøi khoaûn ngaân haøng töông öùng vôùi soá tieàn cuûa taøi khoaûn ñoù,…
Caùc pheùp töông öùng nhö treân goïi laø aùnh xaï (coøn goïi laø aùnh xaï ñôn trò), moät khaùi nieäm
cô baûn voâ cuøng quan troïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu öùng duïng. Sau ñaây chuùng ta seõ xaây
döïng moät caùch hình thöùc chính xaùc khaùi nieäm aùnh xaï, haøm soá cuøng moät soá khaùi nieäm
lieân quan vaø minh hoïa baèng caùc ví duï phong phuù nhieàu öùng duïng .
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 1
1. Ñònh nghóa aùnh xạ
Cho X, Y laø hai taäp hôïp khaùc roãng. Moät aùnh xaï f töø taäp X ñeán taäp Y laø qui taéc
cho töông öùng moãi phaàn töû xX vôùi moät phaàn töû (duy nhaát) xaùc ñònh yY. Khi
ñoù ta vieát y = f (x) vaø ñoïc “ y laø aûnh cuûa x qua f ”. Taäp X goïi laø taäp nguoàn
hay taäp xaùc ñònh, Y goïi laø taäp ñích cuûa aùnh xaï f . Kyù hieäu: f : X → Y x  f (x)
 Cho A  X thì taäp f(A) = f(x) : x A goïi laø aûnh cuûa A qua aùnh xaï f, f(X) goïi
laø taäp giaù trò cuûa f vaø kyù hieäu laø Imf.
 Cho B  Y thì taäp f-1(B) = x X: f(x)  B goïi laø nghòch aûnh cuûa B. Neáu yB
thì ta vieát f-1 ( y) thay cho f-1 (y) .
 Taäp con G = (x, f (x)) : x  X cuûa tích Ñeà-caùc XY goïi laø ñoà thò cuûa aùnh xaï f .
 Khi X  vaø Y  thì aùnh xaï f : X → Y goïi laø haøm soá bieán soá thöïc hay goïi
taét laø haøm soá. Ví duï 1.1
a) Taäp X   thì f: X → X x  x
laø moät aùnh xaï vaø goïi laø aùnh xaï ñoàng nhaát, kyù hieäu 1X hay IdX.
b) Taäp A laø taäp con khaùc  cuûa X thì f: A → X a  a
laø moät aùnh xaï vaø goïi laø pheùp nhuùng A vaøo X.
c) X = T2, T3, T4, T5, T6, T7, CN, Y = 0,1 thì qui taéc f: X → Y xaùc ñònh
nhö sao laø aùnh xaï: f(T2) = 1, f(T3) = 1, f(T4) = 1, f(T5) = 1, f(T6) = 1, f(T7) = 0, f(CN) = 0.
d) Quy taéc maõ hoùa: moãi sinh vieân Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM vôùi moät maõ soá sinh
vieân duy nhaát laø moät aùnh xaï töø taäp caùc sinh vieân Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM
vaøo taäp caùc maõ soá sinh vieân maø Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM söû duïng. (baát kyø sinh
vieân naøo cuõng coù maõ soá vaø khoâng coù sinh vieân naøo coù nhieàu hôn 1 maõ soá)
e) Quy taéc maõ hoùa: moãi quyển sách trong thư viện Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM vôùi
moät maõ soá duy nhaát laø moät aùnh xaï töø taäp caùc quyển sách trong thư viện Tröôøng
ÑH SPKT TP.HCM vaøo taäp caùc maõ soá maø thư viện Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM
söû duïng. (baát kyø quyển sách naøo cuõng coù maõ soá vaø khoâng coù quyển sách naøo coù nhieàu hôn 1 maõ soá) f) 2x + 3
Cho R laø taäp soá thöïc. Qui taéc f : R\  
1 → R xaùc ñònh nhö sau f (x) = laø x − 1
moät aùnh xaï ïTuy nhieân, qui taéc 2x + 3
g : R → R xaùc ñònh nhö sau g (x) = x − 1
khoâng laø aùnh xaï vì g ) 1 ( khoâng xaùc ñònh.
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 2
g) Quy tắc xaùc ñònh nhö sau laø moät aùnh xaï, f : N * → R 1
n  f (n) = n
Aùnh xaï naøy ñöôïc vieát goïn   1   .   n
h) Quy taéc töông öùng moãi soá töï nhieân n N * vôùi moät soá thöïc duy nhaát x  R , laø n
moät haøm soá. Khi ñoù, chuùng ta thöôøng goïi quy taéc naøy laø daõy soá x . Noùi caùch n
khaùc, aùnh xaï töø taäp caùc soá töï nhieân (hoaëc taäp con cuûa taäp caùc soá töï nhieân) vaøo
taäp soá thöïc goïi laø daõy soá.
2. Ñònh nghóa haøm soá
Cho   X . Haøm soá moät bieán soá thöïc f xaùc ñònh treân taäp X laø quy taéc cho
töông öùng moãi x  X vôùi moät phaàn töû (duy nhaát) y  . Kyù hieäu: f : X →
x  y = f (x)
Khi ñoù, taäp X goïi laø taäp xaùc ñònh hay mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f vaø kyù hieäu
D( f ) , taäp f (X ) = y = f (x) : x  X goïi laø taäp giaù trò cuûa haøm soá f vaø thöôøng kyù hieäu
E( f ) . Taäp G =(x, f (x)) : x  
X goïi laø ñoà thò haøm soá f xaùc ñònh treân taäp X trong maët phaúng 0xy .
Nhaän xeùt Haøm soá moät bieán soá thöïc laø aùnh xaï laø aùnh xaï töø taäp con cuûa taäp  vaøo .
Noùi caùch khaùc, vôùi X   thì aùnh xaï f : X →  goïi laø haøm soá moät bieán soá thöïc
hay goïi taét laø haøm soá. Aùnh xaï töø taäp hôïp soá vaøo taäp hôïp soá laø haøm soá. Ví duï 1.2 x − x a) Haøm sin hyperbolic: e − e shx =
coù taäp xaùc ñònh D =  vaø taäp giaù trò E = 2 x − x b) Haøm cos hyperbolic: e + e chx =
coù taäp xaùc ñònh D =  vaø taäp giaù trò E = ,1 [ +). 2 c) Haøm soá 3x + 2 f (x) =
coù taäp xaùc ñònh D = \ 
1 vaø vaø taäp giaù trò E = \ 3. x − 1
d) Vôùi a laø haèng soá döông khaùc 1, haøm soá x
y = a coù taäp xaùc ñònh D =  vaø taäp giaù trò laø E = ( , 0 +).
e) Vôùi a laø haèng soá döông khaùc 1, haøm soá y= log x coù taäp xaùc ñònh D = ( , 0 + )  vaø a
taäp giaù trò laø E = . f) Haøm soá 1 2 s =
gt cho bieát moái lieân heä giöõa quaõng ñöôøng rôi töï do cuûa moät vaät vôùi 2
gia toác g = const  0 theo bieán thôøi gian t (t  0) .
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 3
g) Haøm soá tính chi phí saûn xuaát x saûn phaåm bieát chi phí saûn xuaát goàm chi phí coá
ñònh vaø moãi saûn phaåm khi saûn xuaát toán k (k  0) ñôn vò tieàn : C(x) = kx + C o
❖ Chuù yù veà mieàn xaùc ñònh haøm soá i)
Veà maët toaùn hoïc: Trong ñònh nghóa treân, chuùng ta cho tröôùc taäp hôïp X
roài môùi xaùc ñònh quy luaät f cuûa haøm soá neân mieàn xaùc ñònh haøm soá ñaõ
bieát tröôùc laø D( f ) = X . Neáu haøm soá ñöôïc cho döôùi daïng bieåu thöùc (töùc laø
cho bieát quy luaät f cuûa haøm soá tröôùc) maø chöa chæ ra D( f ) thì khi ñoù
mieàn xaùc ñònh haøm soá D( f ) laø taäp taát caû caùc giaù trò cuûa bieán sao cho bieåu thöùc coù nghóa.
ii) Veà maët öùng duïng: Mieàn xaùc ñònh haøm soá laø taäp taát caû caùc giaù trò cuûa bieán
sao cho bieán vaø haøm coù yù nghóa trong kinh teá, kyõ thuaät, ñôøi soáng,…Trong
tröôøng hôïp naøy, chuùng ta caàn coù kieán thöùc veà vaán ñeà (hay lónh vöïc) maø ta
nghieân cöùu öùng duïng khi tìm taäp xaùc ñònh haøm soá. Chaúng haïn, haøm soá
C(x) laø chi phí saûn saûn xuaát x saûn phaåm cuûa moät coâng ty thì soá saûn phaåm
khoâng theå aâm (x  0) vaø khoâng vöôït quaù naêng löïc saûn xuaát cuûa coâng ty
(x  x -soá saûn phaåm toái ña maø coâng ty coù theå saûn xuaát ñöôïc do bò raøng o
buoäc veà thôøi gian, nhaân löïc, nguyeân vaät lieäu,…), vaø neáu saûn phaåm laø thaønh
phaåm nhö quaàn, aùo, baøn, gheá, xe, maùy moùc, ….thì x phaûi laø soá nguyeân.
3. Caùc phöông phaùp bieåu dieãn haøm soá
 Cách 1 Bieåu dieãn baèng lôøi;
 Cách 2 B eå
i u dieãn baèng baûng soá lieäu;
 Cách 3 Bieåu dieãn baèng baèng ñoà thò (hình aûnh);
 Cách 4 Bieåu dieãn baèng bieåu thöùc: Bieåu thöùc töôøng minh ( y = f (x ) ) , bieåu thöùc daïng aån (
 x = x(t) 
F (x, y) = )
0 , bieåu thöùc daïng tham soá  t
, T  R  .
  y= y( t) 
 Coù theå keát hôïp caùc caùch bieåu dieãn treân hay söû duïng baát kyø ngoân ngöõ deå bieåu
dieãn sao cho thoûa quy taéc ñònh nghóa laø ñöôïc. Ví duï 1.3
a) Toång doanh thu cuûa cuûa moät coâng ty tính töø luùc coâng ty baét ñaàu hoaït ñoäng (t = 0)
laø haøm soá theo thôøi gian.
b) Thaû 10000 con caù vaøo moät ao nuoâi, moät soá caù coù theå cheát, moät soá tieáp tuïc phaùt
trieån vaø sinh saûn. Soá löôïng caù trong ao tính töø luùc thaû (t = 0) laø moät haøm soá theo thôøi gian.
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 4
c) Haøm soá y = y(t) theo doõi caân naëng y cuûa moät beù sô sinh theo thôøi gian t trong
3 thaùng töø luùc sinh ta thu ñöôïc baûng
Thôøi gian t (thaùng) 0 1 2 3 Caân naëng y (kg ) 3,3 4,5 5,5 6,3
d) Daân soá theá giôùi theá kyû 20 cho bôûi baûng sau laø haøm soá theo thôøi gian
e) Haøm soá f (x) cho bôûi ñoà thò sau
f) Ñoà thò haøm baäc thang ñôn vò u(t) 1 0 t
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 5
Haøm soá naøy moâ taû traïng thaùi moät coâng taéc chuyeån töø "OFF" sang "ON" ôû thôøi ñieåm
0 vaø giöõ nguyeân traïng thaùi ñoù ñeán  .
Bieåu thöùc haøm baäc thang ñôn vò ( unit step function, Heavisite’s unit function): u(t) =  0 kh i t 0  1 kh i t  0
g) Ñoà thò haøm baäc thang ñôn vò treã a ñôn vò thôøi gian u(t-a) 1 0 a t
Haøm soá naøy moâ taû traïng thaùi moät coâng taéc chuyeån töø "OFF" sang "ON" ôû thôøi ñieåm
a vaø giöõ nguyeân traïng thaùi ñoù ñeán  .
Bieåu thöùc haøm baäc thang ñôn vò treã (unit step function, Heavisite’s unit function): u(t-a) =  0 khi t  a  1 khi t  a h) Haøm loïc: 1 khi
a  t  b
u (t) = u(t-a) – u( - t b) = 
, ñoà thò nhö hình veõ sau. ab
0 khi t  a  t  b uab (t) 1 0 a b t
Haøm soá naøy moâ taû traïng thaùi moät coâng taéc chuyeån töø "OFF" sang "ON" ôû thôøi ñieåm
a, giöõ nguyeân traïng thaùi "ON" trong khoaûng thôøi gian töø a ñeán b, ñeán thôøi ñieåm b
chuyeån sang traïng thaùi "OFF" roài giöõ nguyeân traïng thaùi naøy ñeán  .
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 6
Khi nhaân haøm lọc u (t) với hàm tín hieäu bất kỳ f (t) ta được hàm u (t) f (t) sẽ giữ ab ab
nguyên tín hiệu như f (t) trong khoảng thời gian a  t  b và bằng 0 bên ngoài khoảng này.
i) Cuøng moät haøm soá cho nhieàu daïng bieåu thöùc  x= t3 +1 3 y =
x −1 (daïng töôøng minh); 3
y − x + 1 = 0(daïng aån); , t 
R (daïng tham soá) y = t 
4. Ñôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc
Cho aùnh xaï f : X → Y
i) Aùnh xaï f goïi laø ñôn aùnh neáu: x1, x2  X x1 x2  f (x )  f (x ) . 1 2
ii) Aùnh xaï f goïi laø toaøn aùnh neáu: y Y, x X sao cho f (x ) = y.
iii) Aùnh xaï f goïi laø song aùnh neáu f vöøa laø ñôn aùnh, vöøa laø toaøn aùnh.
iv) Giaû söû aùnh xaï f laø song aùnh. Khi ñoù qui taéc ngöôïc laïi 1− f : Y → X y  1 x f − = ( )
y sao cho f (x) = y
cuõng laø moät aùnh xaï goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa aùnh xaï f . Khi f laø haøm soá thì aùnh xaï
ngöôïc töông öùng ñöôïc goïi laø haøm soá ngöôïc hay haøm ngöôïc.
Ví duï 1.4 (maõ thay theá)
Goïi  laø taäp goàm 26 chöõ caùi tieáng Anh vaø aùnh xaï f :  →  xaùc ñònh baèng caùch
bieán moãi chöõ caùi haøng treân thaønh moät chöõ caùi töông öùng theo thöù töï ñoù haøng döôùi. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z   v w a y h x b c d e f g z i j k l m n o p q r s t u
Deã daøng kieåm chöùng f laø moät song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc töông öùng xaùc ñònh baèng
caùch bieán moãi chöõ caùi haøng döôùi thaønh chöõ caùi töông öùng haøng treân.
Khi ñoù, thoâng ñieäp “attack at midnight” ñöôïc vieát thaønh “voovaf vo zdyidbco”, vaø
thoâng ñieäp maõ “zhho zh vo ijji” ñöôïc giaûi maõ thaønh “meet me at noon”. Ví duï 1.5
Pheùp töông öùng cuûa caùc soá treân cuøng moät haøng cuûa hai coät tuøy yù trong baûng sau laø song aùnh.
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 7 Heä thaäp phaân Heä nhò Heä thaäp phaân luïc phaân 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Ví duï 1.6
a) Aùnh xaï ñoàng nhaát laø moät song aùnh. Pheùp nhuùng laø moät ñôn aùnh.
b) Aùnh xaï trong ví duï 1c laø moät toaøn aùnh, khoâng ñôn aùnh.
c) Cho R laø taäp caùc soá thöïc. Qui taéc f : R\1→ R\2 xaùc ñònh nhö sau 2x + 3 f (x ) =
laø moät song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc 1− f
: R\2→ R\1 xaùc ñònh x − 1 nhö sau y + 3 2x + 3 1 f − ( ) y =
. Töùc laø, haøm ngöôïc cuûa haøm f (x) = chính laø y − 2 x − 1 haøm y + 3 1 f − ( ) y = . y − 2
d) Cho R laø taäp caùc soá thöïc. Qui taéc f : R→ R xaùc ñònh nhö sau 3
f (x) = x laø
moät song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc 1− f
: R→ R xaùc ñònh nhö sau 1 f − ( ) y = 3 y .
Töùc laø, haøm ngöôïc cuûa haøm 3
f (x) = x chính laø haøm 1
f − (y) = 3 y .
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 8
e) Vieäc maõ hoùa caùc ñoái töôïng (con ngöôøi, haøng hoùa, …) trong ñôøi soáng haøng
ngaøy thoâng thöôøng phaûi tuaân theo quy taéc laø moät ñôn aùnh hay song aùnh.
Song aùnh vaø aùnh xaï ngöôïc ñöôïc öùng duïng raát nhieàu trong vieäc maõ hoùa vaø
giaûi maõ thoâng tin (maõ ñoái xöùng).
5. Tích caùc aùnh xaï. ( aùnh xaï hôïp, haøm soá hôïp)
* Ñònh nghóa :Cho caùc aùnh xaï f : X → Y vaø g : Y → Z . Khi ñoù vôùi xX, qua f
ta ñöôïc y = f (x)  Y, qua g ta ñöôïc z = g(y) = g( f (x)) Z. Do ñoù qui taéc h : X → Z
x  h (x) = g( f (x))
cuõng laø moät aùnh xaï goïi laø aùnh xaï tích hay aùnh xaï hôïp cuûa hai aùnh xaï f vaø g vaø
vieát laø h = gf . Khi f ,g laø caùc haøm soá thì h = gf goïi laø haøm hôïp cuûa f vaø g . Ví duï 1.7
Cho caùc aùnh xaï f : R→ R xaùc ñònh bôûi 3
f (x) = x vaø g: R→ R xaùc ñònh bôûi 3
g(x) = cos x . Khi ñoù caùc aùnh xaï tích gf : R→ R xaùc ñònh bôûi g( f (x)) = cosx vaø 3
fg :R→ R xaùc ñònh bôûi f (g(x)) = cos x .
* Ñònh lyù 1: Giaû söû tích caùc aùnh xaï sau ñaây thöïc hieän ñöôïc. Khi ñoù ta coù:
i) Tính keát hôïp: f(gh) = (fg)h
ii) Neáu f ñôn aùnh, g ñôn aùnh thì gf ñôn aùnh.
iii) Neáu f toaøn aùnh, g toaøn aùnh thì gf toaøn aùnh.
iv) Neáu f song aùnh, g song aùnh thì gf song aùnh.
v) Neáu gf ñôn aùnh thì f ñông aùnh.
vi) Neáu gf toaøn aùnh thì g toaøn aùnh.
6. Thu heïp vaø môû roäng aùnh xaï
Cho aùnh xaï f : X → Y vaø   A  X . Khi ñoù aùnh xaï g: A → Y x g(x) = f(x)
goïi laø aùnh xaï thu heïp cuûa aùnh xaï f treân A vaø kyù hieäu laø g= fA hoaëc g = f , coøn aùnh A
xaï f goïi laø môû roäng cuûa g treân X.
Ví duï 1.8 Cho aùnh xaï f: R→ [-1,1] vaø A = [0,  ]thì fA: [0,  ] → [-1,1] x sinx x  sinx
Khi ñoù f laø toaøn aùnh nhöng khoâng song aùnh, fA laø song aùnh.
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 9 Baøi taäp
Baøi 1.1 Tröôøng ÑH SPKT TP.HCM thöïc hieän moät ñôït vaän ñoäng quyeân goùp tieàn
giuùp ñôõ naïn nhaân chaát ñoäc dam cam. Ñoái töôïng vaän ñoäng quyeân laø toaøn theå giaùo
vieân, sinh vieân, caùn boä vieân chöùc toaøn tröôøng. Hoûi quy taéc töông öùng moãi ngöôøi vôùi
soá tieàn maø ngöôøi ñoù ñoùng goùp (ngöôøi khoâng ñoùng goùp thì soá tieàn maø ngöôøi ñoù goùp laø
0) coù laø moät aùnh xaï khoâng? Taïi sao?
(aùnh xaï töø taäp goàm toaøn theå giaùo vieân, sinh vieân, caùn boä vieân chöùc toaøn tröôøng vaøo taäp soá thöïc)
Baøi 1.2 Cho ví dụ ít nhất: a) 2 đơn ánh; b) 2 toàn ánh;
c) 2 song ánh và xác định ánh xạ ngược;
d) 2 ánh xạ không đơn ánh cũng không toàn ánh. Baøi 1 3 .
a) Với mỗi các biểu diễn hàm số, hãy cho ví dụ ít nhất 3 hàm số.
b) Cho ví dụ ít nhất 2 hàm số là đơn ánh nhưng không là toàn ánh.
c) Cho ví dụ ít nhất 2 hàm số là song ánh và xác định hàm số ngược Baøi 1.4
a) Chöùng minh aùnh xaï f : (− ;  +) → ( ;
0 +) xaùc ñònh bôûi f (x) = x
a , vôùi 0  a  1, laø moät song aùnh.
b) Chöùng minh aùnh xaï g : ( ; 0 + )
 → (−;+) xaùc ñònh bôûi g (x) = log x, vôùi a
0  a  1, laø moät song aùnh. Hoûi g coù laø haøm soá ngöôïc cuûa f khoâng? Taïi sao?
ÖÙng duïng: Ñeå nhaân hai soá döông lôùn A vaø B ngöôøi ta döïa vaøo ñaúng thöùc
log (AB) = log A + log B a a a
Döïa vaøo song aùnh xaùc ñònh giaù trò töøng soá haïng veá phaûi, tính toång ñöôïc giaù
trò veá traùi, roài döïa vaøo song aùnh suy ra tích AB .
c) Chöùng minh haøm soá x + 3
h : R\2→ R\1 xaùc ñònh nhö sau ( h ) x = laø moät x − 2
song aùnh vaø tìm haøm soá ngöôïc. Baøi 1.5
Cho A  , B   laø hai taäp hôïp höõu haïn; kyù hieäu A laø soá phaàn töû taäp A vaø B laø
soá phaàn töû taäp B. Chöùng minh:
a) Neáu aùnh xaï f : A → Bñôn aùnh thì A  B . Khi naøo daáu “=” xaûy ra?
b) Neáu aùnh xaï f : A → B toaøn aùnh thì B  A . Khi naøo daáu “=” xaûy ra?
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 10
c) Trong cuoäc soáng haøng ngaøy, chaéc baïn ñaõ vaø ñang quen daàn vôùi caùc maõ soá nhö:
Maõ soá sinh vieân, maõ soá coâng chöùc, maõ soá thueá, maõ soá doanh nghieäp hay coâng
ty, maõ soá saùch trong caùc thö vieän hoaëc nhaø saùch, maõ haøng hoùa trong sieâu thò,
maõ soá khaùch haøng, soá ñieän thoaïi, soá chöùng minh nhaân daân, soá xe, maõ ASCII,
ñòa chæ email, ñòa chæ IP, …. Taïi sao khi maõ hoùa thì quy taéc maõ hoùa phaûi laø moät
ñôn aùnh töø taäp caùc phaàn töû hay ñoái töôïng caàn maõ hoùa vaøo taäp caùc maõ ñöôïc söû duïng?
Baøi 1.6 (P= plaintext = bản rõ , C = ciphertext = bản mã ) a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z  
  #  + x b * $ % f g ) = j   m   p q @  t 
Goïi  laø taäp goàm 26 chöõ caùi tieáng Anh, ’ laø taäp gồm 26 kyù töï ôû haøng döôùi. Xeùt
aùnh xaï f :  → ’ xaùc ñònh baèng caùch bieán moãi kyù töï haøng treân thaønh moät kyù töï
töông öùng theo thöù töï ñoù haøng döôùi.
a) Chöùng minh f laø moät song aùnh.
b) Bieát baûn tin vaø baûn maõ ñeàu ñöôïc maõ hoùa döïa vaøo song aùnh f .
Vieát baûn maõ C cuûa thoâng ñieäp P = the enemy attack at daw;
vieát baûn roõ P’ cuûa baûn maõ C’ = θλ αθ # mt jbm * t $ # +
$ =#+ jx +# m +
Baøi 1.7 Tìm tập xác định các hàm số sau a) 1+ x 1− x f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = 4 3x e −1 d) (e + ) 1 y = x 1 ( + x ) (x + ) 1 ln(7 − x) x ln 7 ( − x)
Baøi 1.8 Ngöôøi ta caàn xaây döïng moät ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N caïnh bôø
bieån qua ñieåm M ñeán ñaûo I caùch bôø bieån moät ñoaïn IH = 3 km
(ñöôøng bôø bieån NH xem nhö ñöôøng thaúng; treân ñoaïn MI ñöôøng oáng ngaàm döôùi ñaùy bieån) nhö hình veõ. I Bieån 3 (km) 8-x (k ) m x (k ) m
N Bôø bieån M H Bôø bieån
Chieàu daøi caùc ñoaïn: IH = k
3 m , NH = k
8 m , MH = x km , NM = 8 ( − x)km
Chi phí xaây döïng moãi km ñöôøng oáng nöôùc treân ñaát lieàn doïc bôø bieån (ñoaïn NM ) laø 100 0 , 0 U
0 SD / km . Chi phí xaây döïng moãi km ñöôøng oáng nöôùc ngaàm döôùi
bieån (ñoaïn MI ) laø 20 , 0 00 U 0 SD / km .
Gọi C(x) là hàm số theo biến x tính toång chi phí xaây döïng ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø
maùy nöôùc N qua ñieåm M ñeán ñaûo I. Xác định biểu thức của C(x) và tìm tập xác định hàm số này.
TOAÙN KINH TẾ 1…….….……………………………..……… …
… ………………….………………… …
. ………………………… Trang 11