Chương 5: Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian EUCLIDE | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội
Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHƯƠNG V 7/13/2014 ThS. NGUYỄN HẢI SƠN 1
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa.
Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV→R gọi là
một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t/c sau: (i) (
x x ; y) ( x ; y) ( x ; y) 1 2 1 2 (ii) ( ; x y) ( ; x y) (iii) ( ;
x y y ) ( ; x y ) ( ; x y ) 1 2 1 2 (iv) ( ;
x y) ( ; x y) với x
, x , x , y, y , y V , 1 2 1 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến
tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.
VD1. Ánh xạ φ: RxR → R xác định bởi φ(x,y)=x.y là
một dạng song tuyến tính.
VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi
φ(u,v)=x .x +y y là một dạng song tuyến tính với 1 2 1 2 u=(x , y ), v=(x , y ). 1 1 2 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V → R với V là một R-
kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.
VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính
trên V thì ánh xạ φ : VxV → R xác định bởi
φ(u,v)=f(u).g(v) là một dạng song tuyến tính.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi 1 3 y (
x, y) x x 1 1 2 2 4 y 2
là một dạng song tuyến tính.
Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V → R gọi là đối
xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V.
VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các
dạng song tuyến tính đối xứng.
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.
a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính
trên V. Gọi B={e , e ,…, e } là một cơ sở của V. 1 2 n
Đặt φ(e ,e )=a với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận i j ij
A=[a ] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. ij
VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 → R xđ
bởi φ(u,v)=x .x +y y với u=(x , y ), v=(x , y ). 1 2 1 2 1 1 2 2
Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và B={v =(1;1),v =(1;2)}. 1 2
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
b. Biểu thức tọa độ.
Cho x=x e +x e +…+x e và y=y e +y e +…+y e . 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n Khi đó. n n ( x, y) x y ( e ,e ) a x y [x]t [ A y] i j i j ij i j B B i, j 1 i, j 1 ( , x ) y [x]t [ A ] y B B
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
c. Công thức đổi tọa độ
G/s B’={v , v ,…, v } là cơ sở khác của V và T là 1 2 n
mtr chuyển cơ sở từ B sang B’.
Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.
Ta có [x] T[x] , [y] T[y] B B ' B B ' (
x, y) [x]t A'[y] B ' B ' Suy ra t (
x, y) [x]t [ A y] T A T B B [x] [y] B ' B ' [x]t ( t T AT )[y] B ' B '
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH t t t Do đó [x] (T AT )[y] [x] A '[y] B ' B ' B ' B ' ' t A T AT
ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính
trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà
hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối
với một cơ sở bất kì.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa
a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R-
kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn
phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.
- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở
B nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng
sinh ra nó theo một cơ sở B.
Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm.
Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x).
+ φ(x,x) gọi là xác định dương nếu ( ; x x) 0, x
+ φ(x,x) gọi là xác định âm nếu ( ; x x) 0, x
- Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm
thì nó gọi là không xác định dấu.
- Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi
là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận
A đối với cơ sở B của V. n t Ta có (
x, x) x Ax a x x ij i j B B i, j 1
Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn
phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 (
x, x) a x a x ... a x 11 1 22 2 nn n
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 2 2 (
x, x) a x a x ... a x 11 1 22 2 nn n
NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi a 0, i ii
φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi a 0, i ii
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG → Bài toán:
“Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc”
hay “Tìm một cơ sở của V để ma
trận của dạng toàn phương có dạng chéo”
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2. Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp
◆ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) ◆ Phương pháp Jacobi
◆ Phương pháp chéo hóa trực giao
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng
toàn phương sau về dạng chính tắc. a) 2 2 2 (
x) 2x x x 3x x 4x x 1 2 3 1 2 1 3 b) (
x) x x x x x x 1 2 2 3 3 1
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.2 Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[a ] ij
đối với một cơ sở {e , e ,…, e } nào đó của V. 1 2 n a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n A a a a 1 n n2 nn
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Nếu A có các định thức con chính 0, k 1, n k a a a 11 12 1k a a a 21 22 2k k a a a k1 k 2 kk
thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở
đó dạng toàn phương có dạng chính tắc. 1 2 1 2 1 2 ( x) y y ... n y 1 2 n 1 2 n