Chương 6: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa | Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Chương 6: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa | Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 31 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

Chương 6
CHUI S VÀ CHUI LǛY THA
Trong chương này, chúng tôi trình bày nhng khái nim và tính cht cơ bn thường
được s dng vế chui s. Mt s tính cht cơ bn v chui s dương, chui đan du như
tiêu chun Leibnitz cũng được gii thiu. Chúng tôi cũng đưa ra nhng khái nim cơ bn
mang tính cht gii thiu v chui hàm, phn quan trng mà chúng tôi mun nhn mnh
đây là kho sát s hi t cũng như khai trin mt s hàm thường gp thành chui lũy
tha.
6.1. Chui s
6.1.1. Các khái nim cơ bn
1. Định nghĩa
Cho dãy s vô hn , tng vô hn
+
Zn
n
u )(
được gi là chui s, ký hiêu là:
......
321
+++++
n
uuuu
=1n
n
u
được gi là s hng th n.
n
u
2. Dãy tng riêng
Đặt được gi là tng riêng th n ca chui s
nn
uuuus ++++= ...
321
=1n
n
u
được gi là dãy tng riêng ca chui s .
+
Zn
n
s )(
=1n
n
u
3. Chui s hi t, phân k
Chui s được gi là hi t nếu tn ti gii hn
=1n
n
u
ssLim
n
n
=
được gi là tng
ca nó. Ta viết: .
s
su
n
n
=
=1
Nếu gii hn không tn ti hay bng
n
n
sLim
thì chui s được gi là phân k
và khi đó chui s không có tng.
=1n
n
u
4. Phn dư th n
Trong trường hp chui s hi t có tng bng S thí hiu S-S
=1n
n
u
n
được gi là phn
dư th n ca chui s , ký hiêu là: r
=1n
n
u
n
Vy, dưới dng ngôn ngł-N”, ta có:
122
Chui s hi t
=1n
n
u
εε
<>>
n
ssNnN :,0
εε
<>>
n
rNnN :,0
5. Các ví d
1) (tng cp s nhân vô hn)
0
1 ... ...
n
n
qqq
=
=+ + + +
n
q
Ta có tng riêng . Xét các trường hp sau
1 ...
n
n
Sq=+ + +
a) q 1
Ta có
1
1
1
n
n
q
S
q
+
=
, suy ra
<
>
=
1,
1
1
1,
lim
q
q
q
S
n
n
b) q = 1
Ta Do đó:
li
1 1 ... 1
n
Sn=++ +=
m .
n
n
S
→∞
=
+∞
c) q = -1
Ta
1, 2 1
1 1 1 ...
0, 2
n
nk
S
nk
=
+
=−+ =
=
. Do đó không tn ti
lim
n
n
S
→∞
Vy
0
1
1
n
n
q
q
=
=
, hi t, nếu ||1q
<
.
Chui s phân k nếu || thì chui phân k
0
n
n
q
=
1q
2) Cho chui s
+
=1
)1(
1
n
nn
=
+
++++=
+
++++= )
1
11
(...)
4
1
3
1
()
3
1
2
1
()
2
1
1(
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
nnnn
s
n
1
1
1
+
=
n
Vy, chui s đã cho hi t và có tng bng 1.
1
n
n
lim s
→∞
=
6.1.2. Tiêu chun hi t Cauchy
1. Tiêu chun Cauchy
Chui s hi t
=1n
n
u
εε
<>>>
qp
ssNqpN :0,0
.
2. Ví d
123
Dùng tiêu chun Cauchy, chng t rng chui s
=1
1
n
n
phân k.
Gii
ε
ε
=>==+++>++
+
+
+
=
===>==
3
1
2
1
22
1
...
2
1
2
1
2
1
...
2
1
1
1
:2,:
3
1
2
N
N
NNNNNN
ssssNNqNpN
NNqp
6.1.3. Điu kin cn để chui s hi t
1. Định lý
Nếu chui s hi t thì
li
=1n
n
u
m 0
n
n
u
→∞
=
.
Chng minh:
Gi s là tng ca chui s hi t
=1n
n
u
n
n
s
s
→∞
⎯⎯
Suy ra
1
0
nn
n
n
uss ss
→∞
⎯⎯=− =
2. H qu
Nếu thì chui s phân k.
lim 0
n
n
u
→∞
=1n
n
u
d
Chui s
+
=1
12
n
n
n
phân k
12
=
n
n
u
n
0
2
1
nkhi
3. Chú ý
chđiu kin cn mà không đủ để chui s hi t.
0
n
n
u
→∞
⎯⎯
=1n
n
u
Chng hn, xét chui s
=1
1
n
n
n
n
n
nnnnn
s
n
==++++>++++=
1
...
1111
...
3
1
2
1
1
1
+=
nLim
n
+=
+∞
n
n
sLim
. Vy, chui s
=
1
1
n
n
phân k.
6.1.4. Tính cht cu chui s hi t
1.Tính cht 1
124
Nếu chui s hi t có tng là s, chui s hi t có tng là s’ thì các chui
cũng hi t và có tng là s ± s’
=
1n
n
u
=1n
n
v
)(
1
n
n
n
vu ±
=
Chng minh:
Gi s
n
và s’
n
ln lượt là các tng riêng th n ca các chui s .
=
1n
n
u
=1n
n
v
Khi đó,
n
n
lim s s
→∞
=
//
n
n
lim s s
→∞
=
/
()
nn
n
lim s s s s
→∞
⇒+=
/
+
đ.p.c.m
d
Tính tng ca chui s sau:
+
=1
12
43
n
n
nn
Gii
Ta có
1
1
11
4
()
1
43
1
4
n
n
=
==
1
1
11
3
()
1
32
1
3
n
n
=
==
111
34 1 1 11
12 4 3 326
() ()
nn
nn
n
nnn
∞∞
===
5
=
+=
+
=+
∑∑
2. Tính cht 2
Nếu chui s hi t có tng là s thì chui s cũng hi t và có tng là ks.
=1n
n
u
=1n
n
ku
Chng minh:
Gi s
n
ln lượt là tng riêng th n ca chui s:
=1
n
n
u
ks
s
Lim
ksLim
n
n
n
n
=
=
đ.p.c.m.
3. Tính cht 3
Tính hi t hay phân k ca 1 chui s không thay đổi khi ta ngt b đi khi chui s
đó 1 s hu hn các s hng đầu tiên.
Chng minh:
Nếu bt đi t m s hng đầu tiên, ta được chui s
=1n
n
u
+= 1mn
n
u
125
Gi s
n
và s’
k
ln lượt là các tng riêng th n và th k ca các chui s
=1n
n
u
+= 1mn
n
u
mkmk
sss =
+
/
* Nếu chui s hi t
=1n
n
u
mk
mk
s
s
+
+
→∞
⎯⎯⎯⎯
/
m
k
k
s
ss
→∞
⎯⎯⎯⇒−
chui s hi t.
+= 1mn
n
u
* Nếu chui s phân k
không có gii hn khi
=1n
n
u
km
s
+
k và do s
m
hu hn s’
k
không có gii hn khi
k
chui s phân k.
+= 1mn
n
u
d
Xét s hi t ca chui s
+
=1
3
1
n
n
Gii
Chui này suy t chui điu hoà bng cách ngt b đi 3 s hng đầu tiên. Mà chui
điu hoà phân k nên chui
+
=1
3
1
n
n
cũng phân k.
Bài tp
Tính tng ca các chui sau
+
=1
)4(
1
)1
n
nn
=1
2
14
1
)3
n
n
+
+
=1
22
)1(
12
)4
n
nn
n
++
=1
)2)(1(
1
)2
n
nnn
+
=1
10
52
)5
n
n
nn
=1
2
14
1
)6
n
n
6.2. Chui s dương
6.2.1. Định nghĩa
Chui s dương là chui s , mà
=1n
n
u
1,0
> nu
n
Ví d
1
1
1.3
n
n
n
=
+
là chui s dương.
6.2.2. Định lý
Chui s dương hi t khi và ch khi dãy (s
n
) b chn trên.
Chng minh:
126
hi t nên dãy (s
=1n
n
u
n
) hi t. Mà vì , suy ra dãy (s
0, 1
n
un>∀
n
) tăng, do đó
(s
n
) b chn trên. Ngược li nếu (s
n
) b chăn trên, thì tn ti dưới hn, vì dãy (s
n
) tăng, do
đó chui s hi t.
=1n
n
u
Ví d
Xét s hi t ca các chui s dương sau:
1)
=1
2
1
n
n
Ta có
2
1
2
)1(
1
...
2.1
1
1
11
...
2
1
1
1
222
=
++++++=
nnn
n
S
n
Suy ra s
n
b chn. Vy chui trên hi t.
2)
=1
1
n
n
Ta có
n
n
n
nnnn
S
n
==++++++=
1
...
111
...
2
1
1
1
Suy ra s
n
không b chn. Vy chui phân k.
6.2.3. Các tiêu chun hi t
1. Tiêu chun so sánh
a. Định lý
Gi s là 2 chui dương tho
=1n
n
u
=1n
n
v
0
nnvu
nn
, khi đó
* Nếu chui hi t thì chui hi t.
=1n
n
v
=1n
n
u
* Nếu chui phân k thì chui h phân k.
=1n
n
u
=1n
n
v
Chng minh:
Do tính cht 3 ca chui s hi t, có th gi s
1
0
=
n
, nghĩa là
nvu
nn
* Gi s
n
s
n
ln lượt là tng riêng th n ca các chui
=1n
n
u
=1n
n
v
s
n
s’
n
(1) n
127
Nếu chui hi t và có tng là s’, nghĩa là
=1n
n
v
//
ssLim
n
n
=
s’
n
s’ (2) n
T (1) và (2)
Chui hi t.
nss
n
<
/
=1n
n
u
* Nếu chui phân k
=1n
n
u
+
n
n
s
(3)
T (3) và (1) suy ra: , nghĩa là chui phân k.
+∞⎯→
n
n
s
/
=1n
n
v
b. Ví d
Xét s hi t ca các chui s sau:
1)
=1
2.
1
n
n
n
Do
n
n
n
n
2
1
2.
1
chui
=1
2
1
n
n
hi t
chui đã cho hi t.
2) Chui s
=2
1
1
n
n
phân k
2
1
11
< n
nn
mà chui
=2
1
n
n
phân k
3)
1
2
72
n
n
n
n
=
+
Ta có:
22
0(),
72 7
n
n
n
n
n
<<
+
1
Mà chui
1
2
7
n
n
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
hi t nên chui
=
+
1
5
2
n
n
n
n
hi t.
4)
=2
ln
n
n
n
Ta có:
ln 1
,3
11
n
n
nn
>∀
++
128
Mà chui
2
1
1
n
n
=
+
phân k nên chui
2
ln
1
n
n
n
=
+
phân k.
2. Tiêu chun tương đương
Gi s là 2 chui dương tho
=1n
n
u
=1n
n
v
k
v
u
n
n
n
=
lim
1) Nếu thì hai chuis và, đồng thi hi t hoc phân k.
+∞<< k0
=1n
n
u
=1n
n
v
2) Nếu k = 0. và chui s hi t thì hi t.
=1n
n
v
=1n
n
u
3) Nếu
+
=
k
và chui s phân k thì phân k.
=1n
n
v
=1n
n
u
Chng minh
1) T
k
v
u
n
n
n
=
lim
ta có
εε
<>> k
v
u
nnn
n
n
00
:0,0
.
Do đó
n
n
u
k
v
ε
<+
suy ra
0
(),
nn
ukvnn
ε
<
+∀
.
Nếu hi t nên chui
=1n
n
v
=
+
1
)(
n
n
vk
ε
hi t. Theo định lý trên ta suy ra chui
hi t.
1
n
n
u
=
Nếu phân k thì ta cũng làm tương t, tuy nhiên chú ý t
1
n
n
v
=
lim
n
n
n
u
k
v
→∞
=
suy ra
1
lim
n
n
n
v
uk
→∞
=
. Vì nên 0 k<<+
1
0
k
<
<+
. Do đo nếu chui hi t thì t suy ra
chui hi t. Vy phân k.
=1n
n
u
1
n
n
v
=
1
n
n
u
=
Vy 2 chui , đồng hi t hoc phân k.
1
n
n
u
=
1
n
n
v
=
2) Gi s hi t.
0k =
1
n
n
v
=
129
Khi đó t gi thiết
lim 0
n
n
n
u
v
→∞
=
ta có
00
0, 0 : ,
n
n
u
nn
n
v
εε
>∃> <∀
0
,
nn
uvnn
ε
⇒<
.
hi t, nên
1
n
n
v
=
1
n
n
v
ε
=
hi t, do đó
1
n
n
u
=
hi t.
3) Chng minh hoàn toàn tương t như mc (2). Gi s k
=
+∞
1
n
n
v
=
phân k. T
lim
n
n
n
u
v
→∞
=+
suy ra
lim 0
n
n
n
v
u
→∞
=
.
Do đó
phân k, vì nếu hi t thì theo (ii) suy ra
=1n
n
u
=1n
n
u
1
n
n
v
=
hi t mâu thun.
Chú ý
Thường ta so sánh vi chui s quan trng chui cp s nhân và chui điu hoà.
Ví d
Xét s hi t ca các chui s sau:
1)
2
1
21
522
n
n
n
n
n
=
++
++
Ta
2
21
0
522
n
n
n
n
u
n
++
=
++
>
, vi mi . Ta s so sánh vi chui s 1n
11
2
()
5
n
n
nn
v
∞∞
==
=
∑∑
hi t.
D thy rng
1lim =
n
n
n
v
u
, do đó chui s đã cho hi t.
2)
1
ln
n
n
n
=
Ta có
ln 1
,
n
n
u
nn
=≥
vi mi . 3n
chui
1
1
n
n
=
phân k ( ví d trên), nên chui đã cho phân k.
3)
2
1
31
2
n
n
nnn
=
+
++
Ta có
2
31
0
2
n
n
u
nnn
+
=>
++
, vi mi . 1n
130
Chn
1
0
n
v
nn
=>
. Ta có. Do
3lim =
n
n
n
v
u
chui
=1n
n
v
hi t, nên
=
++
+
1
3
2
1
n
nn
n
hi
t.
3. Tiêu chun
/
DAlembert
a. Định lý
/
DAlembert
Nếu chui s dương tho
=1n
n
u
D
u
u
Lim
n
n
n
=
+
1
thì chui s s hi t khi
=1n
n
u
1
<
D
phân k khi
1>D
Khi Chui s dương có th hi t hoc phân k.
1D =
=
1n
n
u
Khi D =+ chui s dương phân k.
=1n
n
u
Chng minh:
*
1D <
1 - D > 0 Chn
D< 1
ε
1
<
+
ε
D
11
00
:
nn
n
nn
uu
lim D n n n D
uu
ε
++
→+
=⇒ > −<
01
)( nnuDu
nn
>+<
+
ε
120
00
)(:1
++
+<+=
nn
uDunn
ε
1
2
230
000
)()(:2
+++
+<+<+=
nnn
uDuDunn
εε
00
01
:()
k
nk n
nn ku D u
ε
++ +
=+ < +
1...
chui s hi t do
+
=
+
0
1
0
)(
k
n
k
uD
ε
10
<
+
<
ε
D
Chui s hi t
Chui s hi t.
+= 1
0
nn
n
u
=1n
n
u
*
1D >
Chn 1= D
ε
hay
1
=
ε
D
ε
<>=
++
+
D
u
u
nnnD
u
u
Lim
n
n
n
n
n
1
00
1
:
0
1
1 nnD
u
u
n
n
>=>
+
ε
01
nnuu
nn
>
>
+
0
n
n
uLim
131
chui s dương phân k.
=1n
n
u
* Khi Vi M=1,
:+∞=D
1:
1
>>
+
n
n
u
u
NnN
`1nn
uun
+
⇒>>N
chui s dương phân k.
0⎯→
n
n
u
=1n
n
u
b. Ví d
Xét s hi t ca các chui sau
∑∑
=
=
=
+
1n1n
n
n
u
2
1n
1
)!(
)
1
1
(2) 2 2
[]
2(1)! 2
n
n
n
nn n
n
u
nn
lim lim lim
un
+
+
→∞ →∞ →∞
++
=
+
=
Chui s
+
=1
2
)!1(
n
n
n
phân k.
=
=
=
1n
n
1n
n
u
5
n
2)
1
1
15 1 1
.
55
1
n
n
n
nn n
n
u
nn
lim lim lim
unn
+
+
→∞ →∞ →∞
⎡⎤
++
==<
⎢⎥
⎣⎦
5
=
Chui s
=1
5
n
n
n
hi t.
3)
1
2
!
n
n
n
=
Ta
1
1
22
,
!(
nn
nn
uu
nn
+
+
==
+
1)!
. Do đó
1
2
0
1
n
n
u
un
+
=→
+
, khi . Vy chui đã cho hi t.
n →∞
4)
32
1
1
23ln
n
n
nn
nn
=
−+
++
Ta có
32 3
1
~
23ln 2
nn
nn
nn n
uv
nn
−+
==
++
1
2
12
.
2
)1(
31
3
1
<
+
=
+
+
n
n
v
v
n
n
n
n
.
Do đó chui hi t
=1n
n
v
Chú ý
132
Khi thì chưa có kết lun gì, nghĩa là chui đó có th hi t, cũng có th là phân
k.
1=D
Chng hn, xét chui
=1
!
n
n
n
n
ne
Ta
1
1
1
1
+
=
+
n
n
n
n
e
u
u
khi . Vì
n →∞
e
n
n
<
+
1
1
vi mi nên ,
vi mi n 1. Đặc bit , suy ra
li
. Do vy chui
1n
1nn
uu
+
>
1n
uu≥=e em
n
u
=1
!
n
n
n
n
ne
phân k.
Vy chui đã cho hi t.
4. Tiêu chun Cauchy
Cho chui s dương . Gi s
=1n
n
u
Lu
n
n
n
=
lim
. Khi đó
1) Nếu L < 1 thì hi t;
=1n
n
u
2) Nếu L > 1 thì phân k.
=1n
n
u
Chng minh:
Gi s:
Lu
n
n
n
=
lim
.
- Khi L < 1. Ly r sao cho L < r < 1. Khi đó
00
,:0 nnrun
n
n
<>
, nghĩa là
0
, nnru
n
n
<
. Vì chui hi t nên chui
=
0
nn
n
r
=1n
n
u
hi t.
- Khi L > 1. Ta có
00
,1:0 nnun
n
n
>>
, tc là . Do đó
không dn v 0 khi . Vy chui phân k .
0
,1 nnu
n
>
n
u
n
=1n
n
u
Chú ý
Khi
1
L
=
thì chưa có kết lun gì, nghĩa là chui đó có th hi t, cũng có th là phân
k.
d
Xét s hi t ca các chui sau:
133
1)
1
21
32
n
n
n
n
=
+
+
⎝⎠
hi t, vì
2
1
3
l =<
2)
2
1
1
n
n
n
n
=
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
phân k, 1>= e
l
5. Tiêu chun tích phân Cauchy
a. Định lý
Xét chui s dương
. Đặt hàm s f(x) tha
=1n
n
u
1,)(
=
nunf
n
Gi s hàm f(x) đó liên tc, dương, gim trên
);1[
+
.
Khi đó chui hi t hi t.
=1n
n
u
+∞
1
)( dxxf
Chng minh:
Theo gi thiết, ta có vi mi k, hàm f(x) gim trên đon [k, k+1] nên
]1,[,)()()1(
1
+
=+=
+
kkxukfxfkfu
kk
, theo định lý trung bình tích
phân ta có . Do đó vi mi k nên ta có
1
1
()
k
k
k
ufxdx
+
+
k
u
1
1n
, , ..., ,
1
2
1
2
)( udxxfu
2
3
2
3
)( udxxfu
1
1
)(
n
n
n
n
udxxfu
Suy ra:
23
23
12 11
... ( ) ( ) ... ( ) ( )
nn
n
n
u u u f xdx f xdx f xdx f xdx
+++ + ++ =
∫∫
12
...
n
uu u
≤+++
Do đó:
n
nn
sdxxfus
1
11
)(
Đặt . Ta có,
=
n
n
dxxfI
1
)(
1
,
nnn
II
s
us
−≤
(*)
(
? ) Gi s chui
hi t.
=1n
n
u
Theo định lý mc 2, suy ra dãy tng riêng (s
n-1
) b chn. Do đó t bt đẳng thc (*)
suy ra dãy cũng b chn. Hơn na d thy dãy
{
tăng. Do vy tn ti, do
li I
}{I }I
→∞
n n
m
n
n
134
đó hi t.
1
)( dxxf
+∞
(?
) Gi s hi t. Khi đó b chn. T bt đẳng thc (*) suy ra
b chn, cho nên chui hi t.
+∞
1
)( dxxf
}{
n
I
n
{S }
1
n
n
u
=
b. Ví d
1) Xét s hi t ca chui
1
1
,
n
n
α
α
=
R
(chui Riemann)
- Nếu : đặt 0α >
1
()fx
x
α
=
. Kim tra thy ()
f
x tho tt c các điu kin ca định lý.
Ta biết rng tích phân suy rng
+∞
1
1
dx
x
α
hi t khi và phân k khi 1α > 1
α
- Nếu thì 0α
1
lim lim 0
n
u
n
α
=≠
Vy chui
1
1
,
n
n
α
α
=
R
hi t khi và phân k khi 1α > 1α
2)
=1
3
2
ln
n
n
n
Ta
2
33
ln 1
,
n
n
u
nn
=≥
2
vi mi . Mà chui 3n
=1
3
2
1
n
n
phân k, nên chui đã cho
phân k.
3)
=
+
1
3
4
1
1
n
nn
n
Ta có
6
1
2
1
3
4
3
4
1
.
~
1
1
n
nn
n
nn
n
=
+
. Vì chui
=1
6
1
1
n
n
phân k, nên chui
=
+
1
3
4
1
1
n
nn
n
phân k.
4)
=3
ln
n
n
n
Gii
Dùng tiêu chun tích phân, xét hàm s
x
x
xf
ln
)( =
135
,
),0( +∞=
f
D
2
/
ln1
)(
x
x
xf
=
,
exxf == 0)(
/
Bng xét du đạo hàm
x
0 e 3 +
/
f
/
f
+ 0 -
f
Hàm liên tc, đơn điu gim, dương trong )(xf ),3[
+
Mt khác,
2
33 3
ln ln
ln (ln ) ln (ln )
3
2
bb
b
x
dx x
xd x lim xd x lim
x
+∞ +∞ +∞
→+ →+∞
⎛⎞
== =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
+∞=
+∞
2
3lnln
22
b
Lim
b
. Vy chui
=3
ln
n
n
n
phân k.
5)
=2
ln
1
n
nn
Xét hàm s
x
x
xf
ln
1
)( =
liên tc, dương trên ),2[
+
2)(
=
nnfu
n
10
ln
1ln
)(
22
/
><
+
= x
x
x
x
xf
)(xf gim trên ),2[
+
Mt khác,
2 2
ln
ln ln
()
b
b
dx d x
lim
xx x
+∞
→+∞
==
∫∫
2
ln ln[]
b
b
lim x
→+
=
b
lim
+
ln ln ln ln 2b
=⎤
+=
Chui đã cho phân k theo tiêu chun tích phân.
Bài tp
Kho sát s hi t ca các chui s sau
1)
n
n
n
=
4
31
1
2
2)
=
+
+
1
2
1
2
n
n
n
3)
=
1n
2
3n47531
n941
)...(...
.....
4)
n
n
n
5
35
ln
1
+
=
5)
2
1
1
2
1
1
n
n
n
n
+
=
136
6)
=
+
1
2
3
n
n
n
6.3. Chui s đan du - Chui s có du bt k
6.3.1. Chui đan du
1. Định nghĩa
Chui đan du là chui s có dng
hay
...
321
+ uuu
...
321
+
+
uuu
, (1)
Trong đó
0, 1
n
un>∀
d
...
3
1
2
1
1 +
Ta quy ước ch xét chui đan du có dng .
()
=
=+
1
1
321
1...
n
n
n
uuuu
2. Định lý Leibnitz
a. Định lý
Nếu dãy
{
là mt dãy gim và thì chui hi t
.
}
n
u
0
n
ukhin
()
1
1
1
n
n
n
u
=
()
1
1
1
1
n
n
n
uu
=
−≤
Chng minh:
Để chng t dãy tng riêng (s
n
) hi t ta chng minh nó có 2 dãy con hi t (s
2m
)
và (s
2m+1
)
Ta có s
2(m+1)
= s
2m+2
=s
2m
+ (u
2m+1
- u
2m+2
) > s
2m
=> (s
2m
) tăng
Mt khác, ta cũng có
[]
11227654321)1(2
)...()()()( uuuuuuuuuus
mmm
<
+
+
+
=
++
Dãy (s
2m
) hi t v s u
1
Chú ý rng s
2m
> 0 m
Ta li có:
12212 ++
+=
mmm
uss
Do
0
n
u
0
12
+m
u
sss
m
=+
+
0
12
112
:,0 mmmss
m
>>
ε
ε
< ss
m2
137
2212
:,0 mmmss
m
>
>
+
ε
ε
<
+
ss
m 12
Đặt
12
max ( 2 ,2 1)Nmm=+
Khi đó, có 2 kh năng
Nn >
*
1
22 mkn >=
ε
<> ssmk
k21
*
ε
<=>+>+=
+
ssmkmkn
k 1222
1212
Vy
εε
<>> ssNnN
n
:,0
(đ.p.c.m)
b. Ví d
Xét s hi t cua chui đan du
=
1
1
1
.)1(
n
n
n
Gii
0
1
⎯→
=
n
n
n
u
và dãy đơn điu gim hi t thưeo Leibnitz
)(
n
u
)(
n
u
và tng
1
1
= us
c. Chú ý
Nếu chui (1) tho Leibnitz và hi t v s thì chui
hi t v -s
...)(
4321
++ uuuu
Như vy nếu các gi thiết ca định lý Leibnitz được tho thì chui đan du
hi t và tng s ca nó tho
...)(
4321
++± uuuu
1
us
.
d. Tính gn đúng tng ca chui đan du hi t
Nếu chui đan du
...)(
4321
+
+± uuuu
tho Leibnitz thì chui phn dư th n
cũng hi t theo Leibnitz và theo chú ý trên ta có:
...
21
++
++ nn
uu
1+
nn
ur
Theo định lý Leibnitz, ta ch biết chui đan du hi t nhưng không rõ bng bao
nhiêu nên ny sinh vn đề ước lượng tng .
s
s
Ta xem s s
n
s vp phi sai s tuyt đối là:
1+
=
nnn
urss
Ví d
Tr li chui
=
1
1
1
.)1(
n
n
n
, nếu ta xem
78,02,025,033.05,0
5
1
4
1
3
1
2
1
1
5
++++= ss
Vp phi sai s tuyt đối là
167,0
6
1
6
5
= ur
Thông thường ta gp bài toán ngược li
138
Phi chn n ti thiu bng bao nhiêu để giá tr gn đúng s
n
ca chui đan du chính
xác đến Ł ( nghĩa là sai s tuyt đối không vượt quá Ł)’’.
Áp dng vào ví d trên, ta phi chn n sao cho:
δ
65
ur
Chng hn 001.0=
δ
, thế thì n phi tho
1
1
+
n
1000
1
99910001
+
nn
Vy, n ti thiu là 999.
6.3.2. Chui có du bt k
1. Định lý
Nếu chui s
=
1n
n
u
hi t thì hi t.
n
n
u
=
1
Chng minh
Gi s
n
s’
n
ln lượt là tng riêng th n ca các chui s
n
n
u
=
1
=1n
n
u
,
nghĩa là
nn
uuuus ...
321
+
++=
nn
uuuus ...
321
/
+++=
Trong chui , ký hiu
n
n
u
=
1
là tng ca tt c các s hng dương trong n s hng đầu tiên
+
n
s
n
s
là tng các giá tr tuyt đối ca tt c các s hng âm trong n s hng đầu tiên. Ta
+
=
nnn
sss
+
+
=
nnn
sss
/
ràng v à là nhng dãy tăng và , (1)
)(
+
n
s
)(
n
s
/
nn
ss
+
/
nn
ss
Theo gi thiết, chui s
=
1n
n
u
hi t
//
ss
n
//
n
s
sn
<
(2)
T (1) và (2)
//
,
nn
s
sns s n
+−
<∀ <
Suy ra rng các dãy s đều hi t (vì đều tăng và b chn trên.)
)(
+
n
s
)(
n
s
Do đó cũng hi t.
)(
n
s
2. Định nghĩa
Chui s được gi là hi t tuyt đối nếu chui s
n
n
u
=
1
=
1n
n
u
hi t.
3. Ví d
139
=1
3
sin
n
n
nx
hi t tuyt đối.
Gii
Ta
n
nn
nx
n
nx
=
333
1
sin
sin
chui s
=
1
3
1
n
n
hi t ( Chui Riemann vi
)13 >
=
α
4. Chú ý
Điu kin
=1n
n
u
hi t chđiu kin đủ ch không phi là điu kin cn để chui s
hi t. Nghĩa là có trường hp chui s hi t nhưng chui s
=
1n
n
u
=1n
n
u
=
1n
n
u
phân
k, ta nói chui s bán hi t.
=
1n
n
u
d
Chui s
=
1
1
1
.)1(
n
n
n
bán hi t vì chui s
=
=
=
11
1
11
)1(
nn
n
nn
là chui điu hoà phân
k.
Ví d
Xét tính hi t ca các chui s
1)
2
1
sin
n
n
n
=
Ta có |
2
sin n
n
|
2
1
n
, do đó chui đã cho hi t
2)
()
+
+
n
n
n
n
13
12
1
Ta có
21 2
1
31 3
||
n
n
n
n
u
+
→<
+
=
=>Chui đã cho hi t.
Chú ý
Nếu chui phân k thì chưa kết lun chui
||
n
u
n
u
hi t hay phân k. Tuy
nhiên, nếu dùng tiêu chun D’Alembert hay Cauchy mà biết được
||
n
u
phân k thì
cũng phân k.
n
u
Tht vy, t
140
0
1
1
1||||0,
n
nnn
n
u
uuu nn
u
+
+
>⇔ > > > >
0
0
, do đó không dn v 0, tc là
không tiến v 0, suy ra chui phân k.
n
u
n
u
d
()
2
1
!
n
n
e
n
Ta
()
()
2
2
1
1
!1
.
1! 1
n
n
n
n
u
en
e
un n
e
+
+
==
++
21n+
+
. Do đó chui đã cho phân k.
Trường hp
phân k nhưng
||
n
u
n
u
hi t thì chui được gi là bán hi
t.
n
u
Ví d
()
1
1
1
1
n
n
n
=
là bán hi t.
Bài tp
1) Chng t rng các chui s sau bán hi t
=
++
+
1n
2
1n
1nn
1n
1a )()
=
1n
1n
n
n
1b
ln
)()
=
+
+
1n
2
n
1n
1n2
1c
)()
=
+
+
1n
3
2
n
3n
1n2
1d )()
=
1n
n
1n2
1
1e )()
=
+
1n
2
n
1n
n
1f )()
2) Cho chui s
=
1
!
cos
n
n
n
π
a) Chng t rng chui s này hi t theo Leibnitz, hơn thế na nó còn hi t tuyt
đối.
b) Phi chn n ti thiu là bao nhiêu để s
n
là tr gn đúng ca tng ca chui vi độ
chính xác
001,0=
δ
6.4. Chui lu tha
6.4.1. Chui hàm
1. Định nghĩa
Chui hàm là chui , trong đó các là các hàm ca x.
()
n
ux
()
n
ux
Khi x = x
o
thì chui hàm tr thành chui s
)(
0
xu
n
. Nếu chui s hi t thì đim x
o
gi là đim hi t, nếu nó phân k thì x
o
gi là đim phân k.
- Tp hp tt c các đim x mà chui hàm hi t được gi là min hi t ca chui
hàm.
141
| 1/31

Preview text:

Chương 6
CHU I S VÀ CHU I LǛY TH A
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản thường
được sử dụng vế chuỗi số. Một số tính chất cơ bản về chuối số dương, chuỗi đan dấu như
tiêu chuẩn Leibnitz cũng được giới thiệu. Chúng tôi cũng đưa ra những khái niệm cơ bản
mang tính chất giới thiệu về chuỗi hàm, phần quan trọng mà chúng tôi muốn nhấn mạnh ở
đây là khảo sát sự hội tụ cũng như khai triển một số hàm thường gặp thành chuỗi lũy thừa. 6.1. Chu i s
6.1.1. Các khái niệm cơ bản 1. Định nghĩa
Cho dãy số vô hạn (u ) n + , tổng vô hạn ∈ n Z
u + u + u + ... + uu n + ... 1 2 3
được gọi là chuỗi số, ký hiêu là: n n =1
u được gọi là số hạng thứ n. n 2. Dãy t ng riêng ∞ Đặt s = uu 1 + u2 +u +... 3 + u n
n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số n n =1 ∞ (s ) ∑u n
+ được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số n . ∈ n Z n =1
3. Chu i s hội tụ, phân kỳ
Chuỗi số ∑un được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn Lim s = s s được gọi là tổng n n=1 n → ∞ ∞
của nó. Ta viết: ∑u = s n . n=1 ∞
Nếu giới hạn Lim sn không tồn tại hay bằng ∞ thì chuỗi số ∑un được gọi là phân kỳ n → ∞ n =1
và khi đó chuỗi số không có tổng. 4. Phần dư th n ∞ Trong
trường hợp chuỗi số ∑ un hội tụ có tổng bằng S thí hiệu S-Sn được gọi là phần n =1 ∞
dư thứ n của chuỗi số ∑ un , ký hiêu là: rn n =1
Vậy, dưới dạng ngôn ngữ “ł-N”, ta có: 122 ∞ Chuỗi số ∑u ⇔ ε ∀ > ,
0 ∃N : n > N s s n < ε n hội tụ n =1 ⇔ ε
∀ > ,0 ∃N : n > N r n < ε 5. Các ví dụ ∞ 1) n q 1
∑ = + q +...+ qn +...(tổng cấp số nhân vô hạn) n=0
Ta có tổng riêng S = 1 + q + ... + qn . Xét các tr n ường hợp sau a) q ≠ 1 ∞, q > n 1 ⎧ 1 1 q + − ⎪ Ta có S = lim S n = n ⎨ 1 1 − , suy ra q n→∞ ⎪ , q < 1 ⎩1− q b) q = 1 Ta có
S = 1+1+ ... +1 = n Do m S = + . ∞ n đó: li n n→∞ c) q = -1 1 ⎧ , n = 2k +1 Ta có
S = 1−1+1− ... = ⎨
. Do đó lim S không t n ồn tại n 0, n ⎩ = 2k n→∞ ∞ n 1 Vậy q ∑ = <
− , hội tụ, nếu | q | 1. n=0 1 q ∞ Chuỗi số n
q phân kỳ nếu | q |≥ thì chuỗi phân kỳ ∑ 1 n=0 ∞ 1 2) Cho chuỗi số ∑
n=1 n(n + ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s n = + + +...+ = 1
( − ) + ( − ) + ( − ) + ...+ ( − ) = . 1 2 . 2 3 4 . 3 n(n + ) 1 2 2 3 3 4 n n +1 1 = 1− n + 1
lims = 1 Vậy, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng bằng 1. n n →∞
6.1.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
1. Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số u h
⇔ ∀ε > 0, ∃ N > 0 : p > q N s s . p q < ε n ội tụ n=1 2. Ví dụ 123
Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số ∑∞ 1 phân kỳ. n n=1 Giải
∃ ε = 1 : ∀N, ∃ p = 2N > q = N N : s p sq = s s 2 N N = 3 = 1 + 1 + + 1 N ... > 1 + 1 + + 1 ... = = 1 > 1 = ε N +1 N + 2 2N 2N 2N 2N 2N 2 3
6.1.3. Điều kiện cần để chu i s hội tụ 1. Định lý
Nếu chuỗi số u m u = 0 . n hội tụ thì li n n=1 n→∞ Chứng minh: ∞ n→∞
Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ ∑u s ⎯⎯⎯→ s n n n=1 n→∞ Suy ra
u = s s ⎯⎯⎯⎯ → s s = 0 n n n 1 − 2. Hệ quả
Nếu lim u ≠ 0 thì chuu n ỗi số n phân kỳ. n→∞ n=1 dụ n n 1 Chuỗi số ∑ phân kỳ vì u → ≠ 0 khi n → ∞ n = n=1 2n + 1 2n +1 2 3. Chú ý →∞ ∞ n u ⎯⎯⎯⎯ → 0 chu n
ỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số n hội tụ. n =1 ∞ 1
Chẳng hạn, xét chuỗi số ∑ n =1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n s = + + + ... + > + + + ... + = = n n 1 2 3 n n n n n n ∞ 1 Mà Lim
n = + ∞ ⇒ Lim sn = + ∞ . Vậy, chuỗi số ∑ phân kỳ. n→∞ n→+∞ n =1 n
6.1.4. Tính chất cuả chu i s hội tụ 1.Tính chất 1 124 ∞ ∞
Nếu chuỗi số uv
n hội tụ có tổng là s, chuỗi số
n hội tụ có tổng là s’ thì các chuỗi n=1 n =1 ∞ ∑(u ± v ) n n
cũng hội tụ và có tổng là s ± s’ n 1 = Chứng minh: ∞ ∞ Gọi s ∑u
n và s’n lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số ∑v n và . n n=1 n =1 / / / / Khi
đó, lim s = s lim s = s lim (s + s ) = s + s ⇒ đ n n n n .p.c.m n→∞ n→∞ n→∞ dụ ∞ 3n 4n Tính
tổng của chuỗi số sau: ∑ + n n =1 12 Giải Ta có 1 n ∞ 1 1 4 ( ) = = ∑ và 4 1 3 n 1 = 1− 4 1 n ∞ ∞ n n ∞ ∞ 1 1 + 3 3 4 1 1 1 1 n n 5 ( ) = = ∑ ⇒ ∑ = ( ) ∑ + ( ) = + = ∑ 3 1 2 n n 1 = 1− n 1 12 = n 1 4 = n 1 3 3 2 6 = 3 2. Tính chất 2 ∞ ∞
Nếu chuỗi số uku
n hội tụ có tổng là s thì chuỗi số
n cũng hội tụ và có tổng là ks. n=1 n =1 Chứng minh: ∞ Gọi s ∑u
n lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi số: n n=1
Lim ks = k Lims = ks ⇒ đ.p.c.m. n n n→∞ n→∞ 3. Tính chất 3
Tính hội tụ hay phân kỳ của 1 chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi chuỗi số
đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Chứng minh: ∞ ∞
Nếu bớt đi từ ∑uu
n m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số n n=1 n = m+1 125 ∞ ∞ Gọi s ∑u
n và s’k lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số ∑ u n n n=1 n =m+1
s/ = s + − s k m k m m+k → ∞ * k → ∞
Nếu chuỗi số ∑ u /
n hội tụ ⇒ s
⎯⎯⎯⎯⎯→ s s ⎯⎯⎯⎯→ s s m+kk m n=1 ∞
chuỗi số ∑un hội tụ. n=m+1 ∞
* Nếu chuỗi số ∑un phân kỳ ⇒ s không có gi k → và do s m + ∞ k ới hạn khi m n=1 ∞ hữu hạn ⇒s’ ∑u
k không có giới hạn khi k → ∞ ⇒ chuỗi số n phân kỳ. n = m+1 dụ ∞ 1
Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n=1 n + 3 Giải
Chuỗi này suy từ chuỗi điều hoà bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng đầu tiên. Mà chuỗi ∞ đ 1
iều hoà phân kỳ nên chuỗi ∑ cũng phân kỳ. n=1 n + 3 Bài tập
Tính tổng của các chuỗi sau ∞ ∞ ∞ 2n + ∑ 1 1 1 ) 1 ) 3 ∑ 4) ∑ 2 2 2
n=1 n(n + ) 4 n =1 4n − 1
n =1n (n + ) 1 ∞ ∞ 2n 5n ∞ 1 2 ∑ 1 ) ) 5 ∑ + 6) ∑ n 2
n =1 n(n + )( 1 n + 2) n =1 10 n=1 4n −1 6.2. Chu i s dương 6.2.1. Định nghĩa
Chuỗi số dương là chuỗi số u , mà ∑∞ n u n > , 0 ∀n ≥ 1 n=1 Ví dụ ∞ 1 ∑ là chuỗi số dương. 1 = +1.3n n n 6.2.2. Định lý
Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy (sn) bị chặn trên. Chứng minh: 126 Vì
u hội tụ nên dãy (s ∑∞ u > 0, n ∀ ≥1 n n) hội tụ. Mà vì , suy ra dãy (s n n) tăng, do đó n=1
(sn) bị chặn trên. Ngược lại nếu (sn) bị chăn trên, thì tồn tại dưới hạn, vì dãy (sn) tăng, do đó chuỗi số u hội tụ. ∑∞ n n=1 Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: 1 1) ∑∞ 2 n=1 n 1 1 1 1 1 1 1 Ta có S n = + + ... + ≤ + + ... + = 2 − ≤ 2 12 2 2 2 n 1 1.2 (n − ) 1 n n
Suy ra sn bị chặn. Vậy chuỗi trên hội tụ. 1 2) ∑∞ n=1 n Ta có 1 1 1 1 1 1 n S = + + ... + ≥ + + ... + = = n n 1 2 n n n n n
Suy ra sn không bị chặn. Vậy chuỗi phân kỳ.
6.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
1. Tiêu chuẩn so sánh a. Định lý ∞ ∞
Giả sử uv n và
n là 2 chuỗi dương thoả u v n ∀ ≥ n , khi đó n n 0 n =1 n =1 ∞ ∞
* Nếu chuỗi vu
n hội tụ thì chuỗi n hội tụ. n =1 n =1 ∞
* Nếu chuỗi u ∑∞v
n phân kỳ thì chuỗi n h phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh:
Do tính chất 3 của chuỗi số hội tụ, có thể giả sử n = 1, nghĩa là u v n ∀ 0 n n ∞ ∞ * Gọi suv
nsn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi n n n =1 n =1
sns’n n ∀ (1) 127 ∞ Nếu chuỗi ∑ v / /
n hội tụ và có tổng là s’, nghĩa là Lim s = s n n =1 n→∞
s’ns’ n ∀ (2) ∞
Từ (1) và (2) ⇒ s < s/ ∀n u n ⇒ Chuỗi n hội tụ. n =1 ∞ * Nếu chuỗi ∑ un s ⎯ ⎯ ⎯ + → ∞ n phân kỳ ∞ → n (3) n =1 ∞ Từ (3) và (1) suy ra: ∑v n s/ ⎯n
⎯ →+∞, nghĩa là chuỗi n phân kỳ. →∞ n =1 b. Ví dụ Xét
sự hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ 1 1) ∑ n n=1 n.2 1 1 Do ≤ nn n n .2 2 ∞ 1 mà chuỗi ∑
hội tụ ⇒ chuỗi đã cho hội tụ. n n=12 ∞ 1 2) Chuỗi số ∑ phân kỳ vì n=2 n − 1 1 1 ∞ 1 <
n ≥ 2 mà chuỗi ∑ phân kỳ n n −1 n =2 n ∞ 2n 3) ∑ n + n 1 = 7 2n 2n 2 Ta có: 0 < < ( )n, n ∀ ≥ 7n + 1 2n 7 n ∞ ⎛ 2 ⎞ 2n
Mà chuỗi ∑⎜ ⎟ hội tụ nên chuỗi ∑∞ hội tụ. n n 1 = 7 ⎝ ⎠ n=1 5 + n ln n 4) ∑∞ n=2 n Ta có: ln n 1 > , n ∀ ≥ 3 n +1 n +1 128 ∞ 1 ∞ ln n Mà chuỗi ∑ phân kỳ nên chuỗi ∑ phân kỳ. n=2 n +1 n=2 n +1
2. Tiêu chuẩn tương đương ∞ ∞ u Giả sử ∑ uv n n
n là 2 chuỗi dương thoả lim = k n =1 n =1 n→∞ vn
1) Nếu 0 < k < +∞ thì hai chuỗisố un và,
v đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. ∑∞ n n =1 n=1
2) Nếu k = 0. và chuỗi số v hội tụ thì u hội tụ. ∑∞ ∑∞ n n n=1 n=1
3) Nếu k = +∞ và chuỗi số v phân kỳ thì u phân kỳ. ∑∞ ∑∞ n n n=1 n=1 Chứng minh u u 1) Từ n lim = k ta có ε ∀ > , 0 ∃n 0 : . 0 >
n n n 0 − k < ε n ∞ → v v n n u Do
đó n < ε + k suy ra u < (ε + k)v , n ∀ ≥ n . v n n 0 n Nếu
v hội tụ nên chuỗi ∑∞
∑∞(ε + k)v hội tụ. Theo định lý ở trên ta suy ra chuỗi n n n=1 n=1 ∞ u h ∑ n ội tụ. n 1 = ∞ u Nếu v phân k ∑
lim n = k suy ra n
ỳ thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý từ n→∞ v n 1 = n v 1 lim n =
. Vì 0 < k < +∞ 1
nên 0 < < +∞ . Do đo nếu chuỗi
u hội tụ thì t suy ra ∑∞ n n→∞ u k k n n=1 ∞ ∞ chuỗi v h ∑ un ội tụ. Vậy phân k n ỳ. n 1 = n 1 = ∞ ∞ Vậy 2 chuỗi u , v ∑ ∑ n n
đồng hội tụ hoặc phân kỳ. n 1 = n 1 = ∞ 2) Giả sử k = 0 và v h ∑ n ội tụ. n 1 = 129 u u Khi
đó từ giả thiết lim n = 0 ta có ε ∀ > 0, n
∃ > 0: n < ε, n
∀ ≥ n u < εv , ∀n n . 0 0 n n 0 n→∞ v v n n ∞ ∞ ∞ Vì v h ∑
∑εv hội tụ, do đó u ∑ hội tụ. n ội tụ, nên n n n 1 = n 1 = n 1 = ∞ 3)
Chứng minh hoàn toàn tương tự như mục (2). Giả sử k = +∞ và v ∑ phân kỳ. Từ n n 1 = u v
lim n = +∞ suy ra lim n = 0 . n→∞ v n→∞ u n n ∞ ∞ Do
đó ∑u phân kỳ, vì nếu u hội tụ thì theo (ii) suy ra ∑∞ ∑ hội tụ mâu thuẫn. n n vn n=1 n=1 n 1 = Chú ý
Thường ta so sánh với chuỗi số quan trọng chuỗi cấp số nhân và chuỗi điều hoà. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: n 2 ∞ 2 + n +1 1) ∑ n + + n 1 = 5 2n 2 n 2 2 + n +1 ∞ ∞ 2 Ta có u =
> 0 , với mọi n ≥1. Ta sẽ so sánh với chuỗi số v ∑ = ( )nn 5n + 2n + 2 n n 1 = n 1 = 5 hội tụ. Dễ thấy rằng u
lim n = 1 , do đó chuỗi số đã cho hội tụ. n→∞ vn ∞ ln n 2) ∑ n 1 = n ln n 1 Ta có u = ≥ , với mọi n ≥ 3. n n n ∞ 1 Mà chuỗi ∑
phân kỳ ( ví dụ ở trên), nên chuỗi đã cho phân kỳ. n 1 = n ∞ 3n +1 3) ∑ 2 n 1 = n n + n + 2 3n +1 Ta có u = > 0, với mọi n ≥ 1. n 2 n n + n + 2 130 1 u Chọn v =
> 0. Ta có. Do lim n = 3 chuỗi ∑∞v hội tụ, nên n + 1 hội n n ∑∞ n n n→∞ v 3 n n=1 n=1 n + n + 2 tụ. /
3. Tiêu chuẩn D Alembert /
a. Định lý D Alembert un +1
Nếu chuỗi số dương u Lim = Du D < n thoả thì chuỗi số 1 n sẽ hội tụ khi n =1 n → ∞ u n = n 1
phân kỳ khi D > 1 Khi
D = 1Chuỗi số dương un có thể hội tụ hoặc phân kỳ. n =1 ∞ Khi
D = + ∞ chuỗi số dương un phân kỳ. n =1 Chứng minh: * D <1
1 - D > 0 Chọn ε < 1− D D + ε 1 < u u n 1 + n 1 lim
= D ⇒ ∃n : n>n + ⇒ − D < ε 0 0 n → +∞ u u n n
u + < (D + ε )un > n n 1 n 0
n = n + 1 : u D ε u n <( ) 0 + + 2 n +1 0 0 2
n = n + 2 : u D ε u D ε u n < ( + ) n <( ) 0 + + 3 +2 n 1 + 0 0 0
n = n + k : u < (D + + +ε)ku 0 + 0 n k 1 0 n 1 ... ∞ Mà
chuỗi số ∑(D + ε )k u < D + ε n 1 h 0 < 1 0 + ội tụ do k =0 ∞ ∞ ⇒ Chuỗi số ∑uu
n hội tụ ⇒ Chuỗi số n hội tụ. n= +1 n= 0 n 1 * D >1
Chọn ε = D −1hay D − ε = 1 un+ Lim
1 = D ⇒ ∃n : n 0 >n un+1 0 − D < ε n → +∞ u u n n un 1
⇒ + > D − ε =1 n
∀ > n u + > u n
∀ > n Limun ≠ 0 0 u n 1 n 0 n→∞ n 131 ∞
⇒ chuỗi số dương ∑un phân kỳ. n =1 u * n +
Khi D = +∞ : Với M=1, ∃N : 1 n > N
> 1 ⇒ u > u n > N u n+`1 n n ∞ ⇒ u nu n
⎯→∞→ 0 ⇒ chuỗi số dương n phân kỳ. n=1 b. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau ∞ ∞ (n + 1)! 1) ∑ u n = 2n n=1 n=1 u (n + 2) 2n n + 2 n 1 lim + =lim[ × ] = lim = ∞ n 1 + n→∞ n u →∞ 2 (n +1)! n→∞ 2 n ∞ (n )! 1
⇒ Chuỗi số ∑ + phân kỳ. n n =1 2 ∞ ∞ n 2) ∑ u n = 5n n=1 n=1 un +1 5n n +1 1 ∞ n n 1 lim + = lim . ⎢ ⎥ = lim
= <1 ⇒ Chuỗi số ∑ hội tụ. n 1 + n n→∞ n u →∞ 5 n n →∞ 5n n =15 n ⎣ ⎦ 5 ∞ 2n 3) ∑ n 1 = n! n n 1 2 2 + Ta có u = ,u = . Do đó n n 1 + n! (n +1)! u 2 n 1 + = → 0 n → ∞ u n + , khi
. Vậy chuỗi đã cho hội tụ. 1 n 3 2 ∞ n n +1 4) ∑ n + + n 1 = 2 3n ln n 3 2 3 n n +1 n Ta có u = ~ = v n 2n + 3n + ln n 2n n v ( n n+ n + ) 1 3 2 1 1 = . → <1 . vn 2 n 1 + 3 n 2 Do đó chuỗi v h n ội tụ ∑∞n=1 Chú ý 132 Khi
D = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. n e ! n
Chẳng hạn, xét chuỗi ∑ ∞ n n=1 n n ⎛ ⎞ Ta có un 1 + = e
→1khi n → ∞ . Vì ⎜ + 1 1
⎟ < e với mọi n ≥ 1nên u > u , n 1 + n un n ⎝ ⎠ n 1 ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ n n e ! n
với mọi n ≥ 1. Đặc biệt u u = e , suy ra lim u e . Do v ∑∞ phân kỳ. n 1 n ậy chuỗi n n=1 n
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
4. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương . Gi u ả sử ∑∞ n lim
u = L . Khi đó n n n→∞ n=1 1) Nếu L < 1 thì u hội tụ; ∑∞ n n=1 2) Nếu L > 1 thì u phân kỳ. ∑∞ n n=1 Chứng minh: Giả sử: n lim u = L . n n→∞
- Khi L < 1. Lấy r sao cho L < r < 1. Khi đó ∃n > 0 : n u < r, ∀n n , nghĩa là 0 n 0 ∞ n
u < r n , n
∀ ≥ n . Vì chuỗi
r hội tụ nên chuỗi ∑∞ ∑u hội tụ. n 0 n n=n n=1 0
- Khi L > 1. Ta có n
∃ > 0:n u > ,1 n
∀ ≥ n , tức là u > ,1 ∀n n . Do u n 0 đó 0 n 0 n
không dần về 0 khi n → ∞ . Vậy chuỗi u phân kỳ . ∑∞ n n=1 Chú ý
Khi L = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: 133 n ∞ ⎛ 2n +1 2 1) ∑ ⎞ ⎜ l = <1 ⎝ + ⎟ hội tụ, vì n 1 = 3n 2 ⎠ 3 2 n ∞ ⎛ n +1⎞ 2) ∑⎜
⎟ phân kỳ, l = e >1 n 1 = n ⎝ ⎠
5. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy a. Định lý
Xét chuỗi số dương ∑u . Đặt hàm số f(x) thỏa f (n) = u , n n ≥ 1 n = n 1
Giả sử hàm f(x) đó liên tục, dương, giảm trên ; 1 [ +∞) . +∞ Khi đó chuỗi u hội tụ
f (x)dx h ⇔ ội tụ. ∑∞ nn=1 1 Chứng minh: Theo
giả thiết, ta có với mọi k, hàm f(x) giảm trên đoạn [k, k+1] nên u
, theo định lý trung bình tích
k + = f (k + )
1 ≤ f (x) ≤ f (k) = u , k
x ∈[k,k + ] 1 1 k 1 + phân ta có u
f (x)dx ∫ ≤ u k 1 k . Do +
đó với mọi k nên ta có k 2 3 n
u f (x)dx u , u f (x)dx u , ..., u f x dx u n ≤ ( ) ≤ , 2 1 ∫ 3 2 ∫ 1 ∫ n− 1 2 n 1 − Suy ra: 2 3 n n
u + u + ... + u f (x)dx + f (x)dx + ... +
f (x)dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 n 1 2 n 1 − 1
u + u + ... + u 1 2 n 1 − Do đó: n s u f (x)dx s n − 1 ≤ ≤ n 1 ∫ − 1 n Đặt I f (x)dx
s u I , I s (*) n = . Ta có, n 1 n n n 1 ∫ − 1 ∞
( ⇒ ? ) Giả sử chuỗi ∑u h n ội tụ. n=1 Theo
định lý mục 2, suy ra dãy tổng riêng (sn-1) bị chặn. Do đó từ bất đẳng thức (*) suy ra dãy {I } c n ũng bị chặn. Hơn nữa d lim I ễ thấy dãy {I }t n n
ăng. Do vậy tồn tại, do n→∞ 134 +∞
đó f (x)dx hội tụ. ∫1 +∞ (? ⇐) Giả sử
f (x)dx hội tụ. Khi đó {I } b {S } n
ị chặn. Từ bất đẳng thức (*) suy ra ∫ n 1 ∞ bị chặn, cho nên chuỗi u h ∑ n ội tụ. n 1 = b. Ví dụ ∞ 1
1) Xét sự hội tụ của chuỗi , ∑ α ∈R (chuỗi Riemann) n 1 = nα - Nếu α > 1
0 : đặt f (x) =
. Kiểm tra thấy f (x) thoả tất cả các điều kiện của định lý. xα +∞ 1
Ta biết rằng tích phân suy rộng ∫ dx α >1 α ≤1 1 xα hội tụ khi và phân kỳ khi - Nếu α ≤ 1 0 thì lim u = lim ≠ 0 n nα ∞ 1 Vậy chuỗi ,
∑ α ∈R hội tụ khi α >1 và phân kỳ khi α ≤1 n 1 = nα ln n 2) ∑ ∞ n= 3 2 1 n ln n 1 1 Ta có u = ≥ , với mọi
n ≥ 3. Mà chuỗi ∑ ∞
phân kỳ, nên chuỗi đã cho n 3 2 3 n n2 2 n=1 3 n phân kỳ. 3 4 n −1 3) ∑∞ n=1 n n + 1 4 3 4 3 n − 1 n 1 1 3 4 Ta có n −1 ~ = . Vì chuỗi ∑ ∞
phân kỳ, nên chuỗi ∑∞ phân kỳ. 1 1 1 n n + 1 n=1 n=1 n n +1 2 6 . n n n 6 n ∞ ln n 4) ∑ n =3 n Giải ln x
Dùng tiêu chuẩn tích phân, xét hàm số f (x) = x 135 1 − ln x D / f / ( x) =
, f (x) = 0 ⇔ x = e f = ( , 0 +∞) , 2 x Bảng xét dấu đạo hàm x 0 e 3 + ∞ / f + 0 - / f f
Hàm f (x) liên tục, đơn điệu giảm, dương trong , 3 [ + ∞) +∞ +∞ +∞ 2 ln xdx ⎛ ln x b⎞ Mặt khác,
= ln xd(ln x) = lim ln xd(ln x) = lim ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ b→+∞ b x →+∞ 2 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎛ ln2 b − ln2 3⎞ ∞ ln n Lim = +∞ . Vậy chuỗi ∑ phân kỳ. b→+∞⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ n =3 n 1 5) ∑∞ n n n= ln 2 1
Xét hàm số f (x) = liên tục, dương trên [ ,
2 +∞) và un = f (n) ∀n ≥ 2 x ln x x + / ln 1 f (x) = −
< 0 ∀x >1 ⇒ f (x) giảm trên [ ,2+∞) 2 x ln 2 x +∞ b dx d l ( n x) Mặt khác, = lim = ∫ ∫ lim l
[ n ln x ]b = lim ⎡ln ln b = ln ln 2 ⎤ ⎣ ⎦ =+ ∞ x 2 ln b x →+∞ ln x b→+∞ b→+∞ 2 2
⇒ Chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân. Bài tập
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau n 1 ⎛ 3 ⎞ 1) ∑∞ 2 ⎜ ⎟ 1 4 n n = ⎝ ⎠ ∞ n+1 2) ∑ =1 2 n n +2 2 1.4.9 n ... 3) ∑∞
1.3.5.7...(4n 3) n=1 − ∞ 5n + 3 4) ∑ ln n 1 = 5n 2 1 ⎛ 1 n ⎞ 5) ⎜1+ ∑∞ ⎟ n n n 1 = 2 ⎝ ⎠ 136 ∞ n 6) ∑ =1 3 n n +2
6.3. Chu i s đan dấu - Chu i s có dấu bất kỳ
6.3.1. Chu i đan dấu 1. Định nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
u u + u − ... hay − u + u u + ... , (1) 1 2 3 1 2 3 Trong đó u > 0, n ∀ ≥1 n Ví dụ 1 1 1 − + − ... 2 3
Ta quy ước chỉ xét chuỗi đan dấu có dạng n−1 u u u ... 1 u . 1 − 2 + 3 − = ∑∞(− ) n n=1
2. Định lý Leibnitz a. Định lý n Nếu dãy {u l → ∑(− ) 1
n } à một dãy giảm và u 0 khi n 1 u n → ∞ thì chuỗi h n ội tụ và n 1 = ∞ ∑(− )n 1− 1 u u . n 1 n 1 = Chứng minh:
Để chứng tỏ dãy tổng riêng (sn) hội tụ ta chứng minh nó có 2 dãy con hội tụ (s2m) và (s2m+1)
Ta có s2(m+1) = s2m+2 =s2m + (u2m+1 - u2m+2 ) > s2m => (s2m) tăng Mặt khác, ta cũng có s +
= u − (u u ) + (u u ) + (u u ) + ...(u u ) + < u 2(m ) 1 1 [ 2 3 4 5 6 7 2m 2m 1 ] 1
⇒ Dãy (s2m) hội tụ về s ≤ u1 Chú ý rằng s ∀ 2m > 0 m Ta lại có: s s u m = 2 1 + m + 2 2m 1 + Do uu m+ → 0 n → 0 2 1
s2 + → s + 0 1 = s m s
s ⇔ ∀ε > ,0 ∃m : m > m s2m s < ε 2m 1 1 137
s + → s ⇔ ∀ε > ,
0 ∃m : m > m s2m+1 − s < ε 2m 1 2 2
Đặt N = max (2m ,2m +1) 1 2 Khi đó, n
∀ > N có 2 khả năng
* n = 2k > 2m k > m1 ⇒ s2k s < ε 1
* n = 2k + 1 > 2m 1 2 +
k > m2 ⇒ s2k+1 = s < ε Vậy ∀ε > ,
0 ∃N : n > N s (đ.p.c.m) n s < ε b. Ví dụ n 1 Xét
sự hội tụ cua chuỗi đan dấu ∑(− −1 ) 1 . n =1 n Giải 1 n ∞ → un = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →0 và dãy (u ) ⇒ n
đơn điệu giảm (u ) h n ội tụ thưeo Leibnitz n
và tổng s u = 1 1 c. Chú ý
Nếu chuỗi (1) thoả Leibnitz và hội tụ về s thì chuỗi
− (u u + u u +...) h 1 2 3 4 ội tụ về -s
Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibnitz được thoả thì chuỗi đan dấu
± (u u + u u + ...) h s u . 1 2 3 4
ội tụ và tổng s của nó thoả 1
d. Tính gần đúng t ng của chu i đan dấu hội tụ
Nếu chuỗi đan dấu ± (u u + u u + ...) thoả Leibnitz thì chuỗi phần dư thứ n 1 2 3 4 u u r u n n+ + n+ + ... 1 2
cũng hội tụ theo Leibnitz và theo chú ý ở trên ta có: n +1
Theo định lý Leibnitz, ta chỉ biết chuỗi đan dấu hội tụ nhưng không rõ s bằng bao
nhiêu nên nảy sinh vấn đề ước lượng tổng s . Ta xem s ≈ s s s r u n = n
n sẽ vấp phải sai số tuyệt đối là: n 1 + Ví dụ n − 1 Trở lại chuỗi ∑ (− 1 ) 1 . , nếu ta xem n =1 n 1 1 1 1
s s = 1− + − + ≈ 5 , 0 + 0.33 − , 0 25 + , 0 2 ≈ 0,78 5 2 3 4 5 1
Vấp phải sai số tuyệt đối là r u = ≈ 167 , 0 5 6 6
Thông thường ta gặp bài toán ngược lại 138 “
Phải chọn n tối thiểu bằng bao nhiêu để giá trị gần đúng sn của chuỗi đan dấu chính
xác đến Ł ( nghĩa là sai số tuyệt đối không vượt quá Ł)’’. Áp
dụng vào ví dụ trên, ta phải chọn n sao cho: r u 5 ≤ 6 ≤ δ 1 1 Chẳng hạn δ = 0 001 .
, thế thì n phải thoả ≤
n +1 ≤ 1000 ⇔ n ≥ 999 n +1 1000
Vậy, n tối thiểu là 999.
6.3.2. Chu i có dấu bất kỳ 1. Định lý ∞ ∞
Nếu chuỗi số uu n hội tụ thì hội tụ. n =1 n=1 n Chứng minh ∞ ∞ Gọi suu
ns’n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số và n , n=1 n n =1 /
nghĩa là s = u + u + u + u ...
s = u + u + u + ...u n 1 2 3 n n 1 2 3 n
Trong chuỗi ∑u , ký hiệu n=1 n +
s n là tổng của tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên −
s n là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các số hạng âm trong n số hạng đầu tiên. Ta có + − + − s s s s/ s s n = n + n = n n n + / − / Rõ ràng ( + s ) v à ( − s )
s s s s n là nh n ững dãy tăng và n n , n n (1) ∞ / / / / Theo
giả thiết, chuỗi số ∑ u ⇒ → s < s nn hội tụ s s nn (2) n =1 + − Từ (1) và (2) ⇒ / / s < s ∀ , n s < s nn n
Suy ra rằng các dãy số ( + s ) ( − s ) nn
đều hội tụ (vì đều tăng và bị chặn trên.) Do đó (s ) n cũng hội tụ. 2. Định nghĩa ∞ ∞
Chuỗi số ∑u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số ∑ un hội tụ. n =1 n n =1 3. Ví dụ 139 ∞ sin nx ∑ hội tụ tuyệt đối. n = 3 1 n Giải sin nx sin nx 1 Ta có 3 = 3 ≤ n 3 ∀ n n n ∞ 1 mà chuỗi số ∑
hội tụ ( Chuỗi Riemann với α = 3 > ) 1 n= 3 1 n 4. Chú ý
Điều kiện ∑ u hội tụ chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để chuỗi số n n =1 ∞ ∑ ∞ ∞ u u
n hội tụ. Nghĩa là có trường hợp chuỗi số ∑ u ∑ phân
n hội tụ nhưng chuỗi số n n=1 n =1 n =1 ∞
kỳ, ta nói chuỗi số ∑un bán hội tụ. n=1 dụ ∞ ∞ n 1 ∞ 1 n 1 Chuỗi số ∑ (− −1 ) 1 .
bán hội tụ vì chuỗi số ∑ (− −1 ) 1
= ∑ là chuỗi điều hoà phân n =1 n n=1 n n=1 n kỳ. Ví dụ
Xét tính hội tụ của các chuỗi số ∞ sin n 1) ∑ 2 n 1 = n sin n 1 Ta có | | ≤
, do đó chuỗi đã cho hội tụ 2 n 2 n n
2) ∑( )n⎛ 2n + − 1 1 ⎟⎞ ⎜ ⎝ n 3 + 1⎠ Ta có 2n 1 + 2 n | u | = → <1 n
=>Chuỗi đã cho hội tụ. 3n 1 + 3 Chú ý Nếu chuỗi | u
phân kỳ thì chưa kết luận chuỗi ∑ |
u hội tụ hay phân kỳ. Tuy n n
nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được ∑| u | phân kỳ thì n u cũng phân kỳ. ∑ n Thật vậy, từ 140 u n 1 + >1 ⇔ u |
> u | |> u |> 0, n
∀ ≥ n 0 , do đó u không d u n ần về 0, tức là 0 > n 1 + n n n 0 un
không tiến về 0, suy ra chuỗi phân kỳ. dụ 2 n n e ∑(− )1 n! (n+ )2 1 u e n n ! 1 Ta có 1 + = = e2n 1
+ → +∞ . Do đó chuỗi đã cho phân kỳ. u n + e n + n ( ) . 2 1 ! n 1
Trường hợp ∑| u | phân kỳ nhưng u n
u hội tụ thì chuỗi được gọi là bán hội n n tụ. Ví dụ n− 1 ∑(− ) 1 1 là bán hội tụ. n 1 = n Bài tập 1)
Chứng tỏ rằng các chuỗi số sau bán hội tụ n 1 ln n 2n 1 n + n 1 + a) ∑∞ − (−1) b) ∑∞ n− (− 1 1) c) ∑ ∞ (−1) 2 n 2 n 1 n=1 n + n + 1 n=1 n=1 + 2 2n 1 n + 1 n d ) ∑∞(−1) e) ∑∞(− n 1)
f ) ∑∞(− n 1) 3 n 3 2 n=1 + n=1 2n 1 n=1 n + 1 ∞ cos nπ
2) Cho chuỗi số ∑ n =1 n! a)
Chứng tỏ rằng chuỗi số này hội tụ theo Leibnitz, hơn thế nữa nó còn hội tụ tuyệt đối. b)
Phải chọn n tối thiểu là bao nhiêu để sn là trị gần đúng của tổng của chuỗi với độ chính xác δ = , 0 001 6.4. Chu i luỹ th a 6.4.1. Chu i hàm 1. Định nghĩa Chuỗi hàm là chuỗi u ( ) xu (x) n , trong đó các là các hàm c n ủa x.
Khi x = xo thì chuỗi hàm trở thành chuỗi số ∑u (x ). Nếu chuỗi số hội tụ thì điểm x n 0 o
gọi là điểm hội tụ, nếu nó phân kỳ thì xo gọi là điểm phân kỳ. -
Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. 141