Chương 6: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa | Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chương 6: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa | Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 31 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Chương 6
CHU I S VÀ CHU I LǛY TH A
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản thường
được sử dụng vế chuỗi số. Một số tính chất cơ bản về chuối số dương, chuỗi đan dấu như
tiêu chuẩn Leibnitz cũng được giới thiệu. Chúng tôi cũng đưa ra những khái niệm cơ bản
mang tính chất giới thiệu về chuỗi hàm, phần quan trọng mà chúng tôi muốn nhấn mạnh ở
đây là khảo sát sự hội tụ cũng như khai triển một số hàm thường gặp thành chuỗi lũy thừa. 6.1. Chu i s
6.1.1. Các khái niệm cơ bản 1. Định nghĩa
Cho dãy số vô hạn (u ) n + , tổng vô hạn ∈ n Z ∞
u + u + u + ... + u ∑u n + ... 1 2 3
được gọi là chuỗi số, ký hiêu là: n n =1
u được gọi là số hạng thứ n. n 2. Dãy t ng riêng ∞ Đặt s = u ∑u 1 + u2 +u +... 3 + u n
n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số n n =1 ∞ (s ) ∑u n
+ được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số n . ∈ n Z n =1
3. Chu i s hội tụ, phân kỳ ∞
Chuỗi số ∑un được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn Lim s = s và s được gọi là tổng n n=1 n → ∞ ∞
của nó. Ta viết: ∑u = s n . n=1 ∞
Nếu giới hạn Lim sn không tồn tại hay bằng ∞ thì chuỗi số ∑un được gọi là phân kỳ n → ∞ n =1
và khi đó chuỗi số không có tổng. 4. Phần dư th n ∞ Trong
trường hợp chuỗi số ∑ un hội tụ có tổng bằng S thí hiệu S-Sn được gọi là phần n =1 ∞
dư thứ n của chuỗi số ∑ un , ký hiêu là: rn n =1
Vậy, dưới dạng ngôn ngữ “ł-N”, ta có: 122 ∞ Chuỗi số ∑u ⇔ ε ∀ > ,
0 ∃N : n > N ⇒ s − s n < ε n hội tụ n =1 ⇔ ε
∀ > ,0 ∃N : n > N ⇒ r n < ε 5. Các ví dụ ∞ 1) n q 1
∑ = + q +...+ qn +...(tổng cấp số nhân vô hạn) n=0
Ta có tổng riêng S = 1 + q + ... + qn . Xét các tr n ường hợp sau a) q ≠ 1 ∞, q > n 1 ⎧ 1 1 q + − ⎪ Ta có S = lim S n = n ⎨ 1 1 − , suy ra q n→∞ ⎪ , q < 1 ⎩1− q b) q = 1 Ta có
S = 1+1+ ... +1 = n Do m S = + . ∞ n đó: li n n→∞ c) q = -1 1 ⎧ , n = 2k +1 Ta có
S = 1−1+1− ... = ⎨
. Do đó lim S không t n ồn tại n 0, n ⎩ = 2k n→∞ ∞ n 1 Vậy q ∑ = <
− , hội tụ, nếu | q | 1. n=0 1 q ∞ Chuỗi số n
q phân kỳ nếu | q |≥ thì chuỗi phân kỳ ∑ 1 n=0 ∞ 1 2) Cho chuỗi số ∑
n=1 n(n + ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s n = + + +...+ = 1
( − ) + ( − ) + ( − ) + ...+ ( − ) = . 1 2 . 2 3 4 . 3 n(n + ) 1 2 2 3 3 4 n n +1 1 = 1− n + 1
⇒ lims = 1 Vậy, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng bằng 1. n n →∞
6.1.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
1. Tiêu chuẩn Cauchy ∞
Chuỗi số ∑u h
⇔ ∀ε > 0, ∃ N > 0 : p > q ≥ N ⇒ s s . p − q < ε n ội tụ n=1 2. Ví dụ 123
Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số ∑∞ 1 phân kỳ. n n=1 Giải
∃ ε = 1 : ∀N, ∃ p = 2N > q = N ≥ N : s p − sq = s s 2 N − N = 3 = 1 + 1 + + 1 N ... > 1 + 1 + + 1 ... = = 1 > 1 = ε N +1 N + 2 2N 2N 2N 2N 2N 2 3
6.1.3. Điều kiện cần để chu i s hội tụ 1. Định lý ∞
Nếu chuỗi số ∑u m u = 0 . n hội tụ thì li n n=1 n→∞ Chứng minh: ∞ n→∞
Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ ∑u ⇒ s ⎯⎯⎯→ s n n n=1 n→∞ Suy ra
u = s − s ⎯⎯⎯⎯ → s − s = 0 n n n 1 − 2. Hệ quả ∞
Nếu lim u ≠ 0 thì chu ∑u n ỗi số n phân kỳ. n→∞ n=1 Ví dụ ∞ n n 1 Chuỗi số ∑ phân kỳ vì u → ≠ 0 khi n → ∞ n = n=1 2n + 1 2n +1 2 3. Chú ý →∞ ∞ n u ⎯⎯⎯⎯ → 0 ch ∑u n
ỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số n hội tụ. n =1 ∞ 1
Chẳng hạn, xét chuỗi số ∑ n =1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n s = + + + ... + > + + + ... + = = n n 1 2 3 n n n n n n ∞ 1 Mà Lim
n = + ∞ ⇒ Lim sn = + ∞ . Vậy, chuỗi số ∑ phân kỳ. n→∞ n→+∞ n =1 n
6.1.4. Tính chất cuả chu i s hội tụ 1.Tính chất 1 124 ∞ ∞
Nếu chuỗi số ∑u ∑v
n hội tụ có tổng là s, chuỗi số
n hội tụ có tổng là s’ thì các chuỗi n=1 n =1 ∞ ∑(u ± v ) n n
cũng hội tụ và có tổng là s ± s’ n 1 = Chứng minh: ∞ ∞ Gọi s ∑u
n và s’n lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số ∑v n và . n n=1 n =1 / / / / Khi
đó, lim s = s và lim s = s ⇒ lim (s + s ) = s + s ⇒ đ n n n n .p.c.m n→∞ n→∞ n→∞ Ví dụ ∞ 3n 4n Tính
tổng của chuỗi số sau: ∑ + n n =1 12 Giải Ta có 1 n ∞ 1 1 4 ( ) = = ∑ và 4 1 3 n 1 = 1− 4 1 n ∞ ∞ n n ∞ ∞ 1 1 + 3 3 4 1 1 1 1 n n 5 ( ) = = ∑ ⇒ ∑ = ( ) ∑ + ( ) = + = ∑ 3 1 2 n n 1 = 1− n 1 12 = n 1 4 = n 1 3 3 2 6 = 3 2. Tính chất 2 ∞ ∞
Nếu chuỗi số ∑u ∑ku
n hội tụ có tổng là s thì chuỗi số
n cũng hội tụ và có tổng là ks. n=1 n =1 Chứng minh: ∞ Gọi s ∑u
n lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi số: n n=1
⇒ Lim ks = k Lims = ks ⇒ đ.p.c.m. n n n→∞ n→∞ 3. Tính chất 3
Tính hội tụ hay phân kỳ của 1 chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi chuỗi số
đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Chứng minh: ∞ ∞
Nếu bớt đi từ ∑u ∑u
n m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số n n=1 n = m+1 125 ∞ ∞ Gọi s ∑u
n và s’k lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số ∑ u và n n n=1 n =m+1
⇒ s/ = s + − s k m k m ∞ m+k → ∞ * k → ∞
Nếu chuỗi số ∑ u /
n hội tụ ⇒ s
⎯⎯⎯⎯⎯→ s ⇒ s ⎯⎯⎯⎯→ s − s m+k ⇒ k m n=1 ∞
chuỗi số ∑un hội tụ. n=m+1 ∞
* Nếu chuỗi số ∑un phân kỳ ⇒ s không có gi k → và do s m + ∞ k ới hạn khi m n=1 ∞ hữu hạn ⇒s’ ∑u
k không có giới hạn khi k → ∞ ⇒ chuỗi số n phân kỳ. n = m+1 Ví dụ ∞ 1
Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n=1 n + 3 Giải
Chuỗi này suy từ chuỗi điều hoà bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng đầu tiên. Mà chuỗi ∞ đ 1
iều hoà phân kỳ nên chuỗi ∑ cũng phân kỳ. n=1 n + 3 Bài tập
Tính tổng của các chuỗi sau ∞ ∞ ∞ 2n + ∑ 1 1 1 ) 1 ) 3 ∑ 4) ∑ 2 2 2
n=1 n(n + ) 4 n =1 4n − 1
n =1n (n + ) 1 ∞ ∞ 2n 5n ∞ 1 2 ∑ 1 ) ) 5 ∑ + 6) ∑ n 2
n =1 n(n + )( 1 n + 2) n =1 10 n=1 4n −1 6.2. Chu i s dương 6.2.1. Định nghĩa
Chuỗi số dương là chuỗi số u , mà ∑∞ n u n > , 0 ∀n ≥ 1 n=1 Ví dụ ∞ 1 ∑ là chuỗi số dương. 1 = +1.3n n n 6.2.2. Định lý
Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy (sn) bị chặn trên. Chứng minh: 126 Vì
u hội tụ nên dãy (s ∑∞ u > 0, n ∀ ≥1 n n) hội tụ. Mà vì , suy ra dãy (s n n) tăng, do đó n=1
(sn) bị chặn trên. Ngược lại nếu (sn) bị chăn trên, thì tồn tại dưới hạn, vì dãy (sn) tăng, do đó chuỗi số u hội tụ. ∑∞ n n=1 Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: 1 1) ∑∞ 2 n=1 n 1 1 1 1 1 1 1 Ta có S n = + + ... + ≤ + + ... + = 2 − ≤ 2 12 2 2 2 n 1 1.2 (n − ) 1 n n
Suy ra sn bị chặn. Vậy chuỗi trên hội tụ. 1 2) ∑∞ n=1 n Ta có 1 1 1 1 1 1 n S = + + ... + ≥ + + ... + = = n n 1 2 n n n n n
Suy ra sn không bị chặn. Vậy chuỗi phân kỳ.
6.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
1. Tiêu chuẩn so sánh a. Định lý ∞ ∞
Giả sử ∑ u ∑v n và
n là 2 chuỗi dương thoả u ≤ v n ∀ ≥ n , khi đó n n 0 n =1 n =1 ∞ ∞
* Nếu chuỗi ∑ v ∑u
n hội tụ thì chuỗi n hội tụ. n =1 n =1 ∞
* Nếu chuỗi ∑ u ∑∞v
n phân kỳ thì chuỗi n h phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh:
Do tính chất 3 của chuỗi số hội tụ, có thể giả sử n = 1, nghĩa là u ≤ v n ∀ 0 n n ∞ ∞ * Gọi s ∑u ∑v
n và sn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi n và n n =1 n =1
⇒ sn ≤ s’n n ∀ (1) 127 ∞ Nếu chuỗi ∑ v / /
n hội tụ và có tổng là s’, nghĩa là Lim s = s n n =1 n→∞
⇒ s’n ≤ s’ n ∀ (2) ∞
Từ (1) và (2) ⇒ s < s/ ∀n ∑u n ⇒ Chuỗi n hội tụ. n =1 ∞ * Nếu chuỗi ∑ u ⇒ n s ⎯ ⎯ ⎯ + → ∞ n phân kỳ ∞ → n (3) n =1 ∞ Từ (3) và (1) suy ra: ∑v n s/ ⎯n ⎯
⎯ →+∞, nghĩa là chuỗi n phân kỳ. →∞ n =1 b. Ví dụ Xét
sự hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ 1 1) ∑ n n=1 n.2 1 1 Do ≤ n ∀ n n n .2 2 ∞ 1 mà chuỗi ∑
hội tụ ⇒ chuỗi đã cho hội tụ. n n=12 ∞ 1 2) Chuỗi số ∑ phân kỳ vì n=2 n − 1 1 1 ∞ 1 <
∀n ≥ 2 mà chuỗi ∑ phân kỳ n n −1 n =2 n ∞ 2n 3) ∑ n + n 1 = 7 2n 2n 2 Ta có: 0 < < ( )n, n ∀ ≥ 7n + 1 2n 7 n ∞ ⎛ 2 ⎞ 2n
Mà chuỗi ∑⎜ ⎟ hội tụ nên chuỗi ∑∞ hội tụ. n n 1 = 7 ⎝ ⎠ n=1 5 + n ln n 4) ∑∞ n=2 n Ta có: ln n 1 > , n ∀ ≥ 3 n +1 n +1 128 ∞ 1 ∞ ln n Mà chuỗi ∑ phân kỳ nên chuỗi ∑ phân kỳ. n=2 n +1 n=2 n +1
2. Tiêu chuẩn tương đương ∞ ∞ u Giả sử ∑ u ∑v n n và
n là 2 chuỗi dương thoả lim = k n =1 n =1 n→∞ vn ∞
1) Nếu 0 < k < +∞ thì hai chuỗisố ∑ un và,
v đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. ∑∞ n n =1 n=1
2) Nếu k = 0. và chuỗi số v hội tụ thì u hội tụ. ∑∞ ∑∞ n n n=1 n=1
3) Nếu k = +∞ và chuỗi số v phân kỳ thì u phân kỳ. ∑∞ ∑∞ n n n=1 n=1 Chứng minh u u 1) Từ n lim = k ta có ε ∀ > , 0 ∃n 0 : . 0 >
∀n ≥ n ⇒ n 0 − k < ε n ∞ → v v n n u Do
đó n < ε + k suy ra u < (ε + k)v , n ∀ ≥ n . v n n 0 n Nếu
v hội tụ nên chuỗi ∑∞
∑∞(ε + k)v hội tụ. Theo định lý ở trên ta suy ra chuỗi n n n=1 n=1 ∞ u h ∑ n ội tụ. n 1 = ∞ u Nếu v phân k ∑
lim n = k suy ra n
ỳ thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý từ n→∞ v n 1 = n v 1 lim n =
. Vì 0 < k < +∞ 1
nên 0 < < +∞ . Do đo nếu chuỗi
u hội tụ thì t suy ra ∑∞ n n→∞ u k k n n=1 ∞ ∞ chuỗi v h ∑ u ∑ n ội tụ. Vậy phân k n ỳ. n 1 = n 1 = ∞ ∞ Vậy 2 chuỗi u , v ∑ ∑ n n
đồng hội tụ hoặc phân kỳ. n 1 = n 1 = ∞ 2) Giả sử k = 0 và v h ∑ n ội tụ. n 1 = 129 u u Khi
đó từ giả thiết lim n = 0 ta có ε ∀ > 0, n
∃ > 0: n < ε, n
∀ ≥ n ⇒ u < εv , ∀n ≥ n . 0 0 n n 0 n→∞ v v n n ∞ ∞ ∞ Vì v h ∑
∑εv hội tụ, do đó u ∑ hội tụ. n ội tụ, nên n n n 1 = n 1 = n 1 = ∞ 3)
Chứng minh hoàn toàn tương tự như mục (2). Giả sử k = +∞ và v ∑ phân kỳ. Từ n n 1 = u v
lim n = +∞ suy ra lim n = 0 . n→∞ v n→∞ u n n ∞ ∞ Do
đó ∑u phân kỳ, vì nếu u hội tụ thì theo (ii) suy ra ∑∞ ∑ hội tụ mâu thuẫn. n n vn n=1 n=1 n 1 = Chú ý
Thường ta so sánh với chuỗi số quan trọng chuỗi cấp số nhân và chuỗi điều hoà. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: n 2 ∞ 2 + n +1 1) ∑ n + + n 1 = 5 2n 2 n 2 2 + n +1 ∞ ∞ 2 Ta có u =
> 0 , với mọi n ≥1. Ta sẽ so sánh với chuỗi số v ∑ = ( )n ∑ n 5n + 2n + 2 n n 1 = n 1 = 5 hội tụ. Dễ thấy rằng u
lim n = 1 , do đó chuỗi số đã cho hội tụ. n→∞ vn ∞ ln n 2) ∑ n 1 = n ln n 1 Ta có u = ≥ , với mọi n ≥ 3. n n n ∞ 1 Mà chuỗi ∑
phân kỳ ( ví dụ ở trên), nên chuỗi đã cho phân kỳ. n 1 = n ∞ 3n +1 3) ∑ 2 n 1 = n n + n + 2 3n +1 Ta có u = > 0, với mọi n ≥ 1. n 2 n n + n + 2 130 1 u Chọn v =
> 0. Ta có. Do lim n = 3 chuỗi ∑∞v hội tụ, nên n + 1 hội n n ∑∞ n n n→∞ v 3 n n=1 n=1 n + n + 2 tụ. /
3. Tiêu chuẩn D Alembert /
a. Định lý D Alembert ∞ u ∞ n +1
Nếu chuỗi số dương ∑u Lim = D ∑u D < n thoả thì chuỗi số 1 và n sẽ hội tụ khi n =1 n → ∞ u n = n 1
phân kỳ khi D > 1 ∞ Khi
D = 1Chuỗi số dương ∑un có thể hội tụ hoặc phân kỳ. n =1 ∞ Khi
D = + ∞ chuỗi số dương ∑ un phân kỳ. n =1 Chứng minh: * D <1
1 - D > 0 Chọn ε < 1− D ⇒ D + ε 1 < u u n 1 + n 1 lim
= D ⇒ ∃n : n>n + ⇒ − D < ε 0 0 n → +∞ u u n n
⇒ u + < (D + ε )u ∀n > n n 1 n 0
n = n + 1 : u D ε u n <( ) 0 + + 2 n +1 0 0 2
n = n + 2 : u D ε u D ε u n < ( + ) n <( ) 0 + + 3 +2 n 1 + 0 0 0
n = n + k : u < (D + + +ε)ku 0 + 0 n k 1 0 n 1 ... ∞ Mà
chuỗi số ∑(D + ε )k u < D + ε n 1 h 0 < 1 0 + ội tụ do k =0 ∞ ∞ ⇒ Chuỗi số ∑u ∑u
n hội tụ ⇒ Chuỗi số n hội tụ. n= +1 n= 0 n 1 * D >1
Chọn ε = D −1hay D − ε = 1 un+ Lim
1 = D ⇒ ∃n : n 0 >n ⇒ un+1 0 − D < ε n → +∞ u u n n un 1
⇒ + > D − ε =1 n
∀ > n ⇒ u + > u n
∀ > n ⇒ Limun ≠ 0 0 u n 1 n 0 n→∞ n 131 ∞
⇒ chuỗi số dương ∑un phân kỳ. n =1 u * n +
Khi D = +∞ : Với M=1, ∃N : 1 n > N ⇒
> 1 ⇒ u > u ∀n > N u n+`1 n n ∞ ⇒ u ⎯n ∑u n ⎯
⎯→∞→ 0 ⇒ chuỗi số dương n phân kỳ. n=1 b. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau ∞ ∞ (n + 1)! 1) ∑ u n = 2 ∑ n n=1 n=1 u (n + 2) 2n n + 2 n 1 lim + =lim[ × ] = lim = ∞ n 1 + n→∞ n u →∞ 2 (n +1)! n→∞ 2 n ∞ (n )! 1
⇒ Chuỗi số ∑ + phân kỳ. n n =1 2 ∞ ∞ n 2) ∑ u n = 5 ∑ n n=1 n=1 u ⎡n +1 5n ⎤ n +1 1 ∞ n n 1 lim + = lim . ⎢ ⎥ = lim
= <1 ⇒ Chuỗi số ∑ hội tụ. n 1 + n n→∞ n u →∞ 5 n n →∞ 5n n =15 n ⎣ ⎦ 5 ∞ 2n 3) ∑ n 1 = n! n n 1 2 2 + Ta có u = ,u = . Do đó n n 1 + n! (n +1)! u 2 n 1 + = → 0 n → ∞ u n + , khi
. Vậy chuỗi đã cho hội tụ. 1 n 3 2 ∞ n − n +1 4) ∑ n + + n 1 = 2 3n ln n 3 2 3 n − n +1 n Ta có u = ~ = v n 2n + 3n + ln n 2n n v ( n n+ n + ) 1 3 2 1 1 = . → <1 . vn 2 n 1 + 3 n 2 Do đó chuỗi v h n ội tụ ∑∞n=1 Chú ý 132 Khi
D = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. n e ! n
Chẳng hạn, xét chuỗi ∑ ∞ n n=1 n n ⎛ ⎞ Ta có un 1 + = e
→1khi n → ∞ . Vì ⎜ + 1 1
⎟ < e với mọi n ≥ 1nên u > u , n 1 + n u ⎛ n n ⎝ ⎠ n 1 ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ n ⎠ n e ! n
với mọi n ≥ 1. Đặc biệt u ≥ u = e , suy ra lim u ≥ e . Do v ∑∞ phân kỳ. n 1 n ậy chuỗi n n=1 n
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
4. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương . Gi u ả sử ∑∞ n lim
u = L . Khi đó n n n→∞ n=1 1) Nếu L < 1 thì u hội tụ; ∑∞ n n=1 2) Nếu L > 1 thì u phân kỳ. ∑∞ n n=1 Chứng minh: Giả sử: n lim u = L . n n→∞
- Khi L < 1. Lấy r sao cho L < r < 1. Khi đó ∃n > 0 : n u < r, ∀n ≥ n , nghĩa là 0 n 0 ∞ n
u < r n , n
∀ ≥ n . Vì chuỗi
r hội tụ nên chuỗi ∑∞ ∑u hội tụ. n 0 n n=n n=1 0
- Khi L > 1. Ta có n
∃ > 0:n u > ,1 n
∀ ≥ n , tức là u > ,1 ∀n ≥ n . Do u n 0 đó 0 n 0 n
không dần về 0 khi n → ∞ . Vậy chuỗi u phân kỳ . ∑∞ n n=1 Chú ý
Khi L = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: 133 n ∞ ⎛ 2n +1 2 1) ∑ ⎞ ⎜ l = <1 ⎝ + ⎟ hội tụ, vì n 1 = 3n 2 ⎠ 3 2 n ∞ ⎛ n +1⎞ 2) ∑⎜
⎟ phân kỳ, l = e >1 n 1 = n ⎝ ⎠
5. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy a. Định lý ∞
Xét chuỗi số dương ∑u . Đặt hàm số f(x) thỏa f (n) = u , n ∀n ≥ 1 n = n 1
Giả sử hàm f(x) đó liên tục, dương, giảm trên ; 1 [ +∞) . +∞ Khi đó chuỗi u hội tụ
f (x)dx h ⇔ ội tụ. ∑∞ n ∫ n=1 1 Chứng minh: Theo
giả thiết, ta có với mọi k, hàm f(x) giảm trên đoạn [k, k+1] nên u
, theo định lý trung bình tích
k + = f (k + )
1 ≤ f (x) ≤ f (k) = u , k
∀x ∈[k,k + ] 1 1 k 1 + phân ta có u
≤ f (x)dx ∫ ≤ u k 1 k . Do +
đó với mọi k nên ta có k 2 3 n
u ≤ f (x)dx ≤ u , u ≤ f (x)dx ≤ u , ..., u f x dx u n ≤ ( ) ≤ , 2 1 ∫ 3 2 ∫ 1 ∫ n− 1 2 n 1 − Suy ra: 2 3 n n
u + u + ... + u ≤ f (x)dx + f (x)dx + ... +
f (x)dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 n 1 2 n 1 − 1
≤ u + u + ... + u 1 2 n 1 − Do đó: n s u f (x)dx s n − 1 ≤ ≤ n 1 ∫ − 1 n Đặt I f (x)dx
s − u ≤ I , I ≤ s (*) n = . Ta có, n 1 n n n 1 ∫ − 1 ∞
( ⇒ ? ) Giả sử chuỗi ∑u h n ội tụ. n=1 Theo
định lý mục 2, suy ra dãy tổng riêng (sn-1) bị chặn. Do đó từ bất đẳng thức (*) suy ra dãy {I } c n ũng bị chặn. Hơn nữa d lim I ễ thấy dãy {I }t n n
ăng. Do vậy tồn tại, do n→∞ 134 +∞
đó f (x)dx hội tụ. ∫1 +∞ (? ⇐) Giả sử
f (x)dx hội tụ. Khi đó {I } b {S } n
ị chặn. Từ bất đẳng thức (*) suy ra ∫ n 1 ∞ bị chặn, cho nên chuỗi u h ∑ n ội tụ. n 1 = b. Ví dụ ∞ 1
1) Xét sự hội tụ của chuỗi , ∑ α ∈R (chuỗi Riemann) n 1 = nα - Nếu α > 1
0 : đặt f (x) =
. Kiểm tra thấy f (x) thoả tất cả các điều kiện của định lý. xα +∞ 1
Ta biết rằng tích phân suy rộng ∫ dx α >1 α ≤1 1 xα hội tụ khi và phân kỳ khi - Nếu α ≤ 1 0 thì lim u = lim ≠ 0 n nα ∞ 1 Vậy chuỗi ,
∑ α ∈R hội tụ khi α >1 và phân kỳ khi α ≤1 n 1 = nα ln n 2) ∑ ∞ n= 3 2 1 n ln n 1 1 Ta có u = ≥ , với mọi
n ≥ 3. Mà chuỗi ∑ ∞
phân kỳ, nên chuỗi đã cho n 3 2 3 n n2 2 n=1 3 n phân kỳ. 3 4 n −1 3) ∑∞ n=1 n n + 1 4 3 4 3 n − 1 n 1 1 3 4 Ta có n −1 ~ = . Vì chuỗi ∑ ∞
phân kỳ, nên chuỗi ∑∞ phân kỳ. 1 1 1 n n + 1 n=1 n=1 n n +1 2 6 . n n n 6 n ∞ ln n 4) ∑ n =3 n Giải ln x
Dùng tiêu chuẩn tích phân, xét hàm số f (x) = x 135 1 − ln x D / f / ( x) =
, f (x) = 0 ⇔ x = e f = ( , 0 +∞) , 2 x Bảng xét dấu đạo hàm x 0 e 3 + ∞ / f + 0 - / f f
Hàm f (x) liên tục, đơn điệu giảm, dương trong , 3 [ + ∞) +∞ +∞ +∞ 2 ln xdx ⎛ ln x b⎞ Mặt khác,
= ln xd(ln x) = lim ln xd(ln x) = lim ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ b→+∞ b x →+∞ 2 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎛ ln2 b − ln2 3⎞ ∞ ln n Lim = +∞ . Vậy chuỗi ∑ phân kỳ. b→+∞⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ n =3 n 1 5) ∑∞ n n n= ln 2 1
Xét hàm số f (x) = liên tục, dương trên [ ,
2 +∞) và un = f (n) ∀n ≥ 2 x ln x x + / ln 1 f (x) = −
< 0 ∀x >1 ⇒ f (x) giảm trên [ ,2+∞) 2 x ln 2 x +∞ b dx d l ( n x) Mặt khác, = lim = ∫ ∫ lim l
[ n ln x ]b = lim ⎡ln ln b = ln ln 2 ⎤ ⎣ ⎦ =+ ∞ x 2 ln b x →+∞ ln x b→+∞ b→+∞ 2 2
⇒ Chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân. Bài tập
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau n 1 ⎛ 3 ⎞ 1) ∑∞ 2 ⎜ ⎟ 1 4 n n = ⎝ ⎠ ∞ n+1 2) ∑ =1 2 n n +2 2 1.4.9 n ... 3) ∑∞
1.3.5.7...(4n 3) n=1 − ∞ 5n + 3 4) ∑ ln n 1 = 5n 2 1 ⎛ 1 n ⎞ 5) ⎜1+ ∑∞ ⎟ n n n 1 = 2 ⎝ ⎠ 136 ∞ n 6) ∑ =1 3 n n +2
6.3. Chu i s đan dấu - Chu i s có dấu bất kỳ
6.3.1. Chu i đan dấu 1. Định nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
u − u + u − ... hay − u + u − u + ... , (1) 1 2 3 1 2 3 Trong đó u > 0, n ∀ ≥1 n Ví dụ 1 1 1 − + − ... 2 3
Ta quy ước chỉ xét chuỗi đan dấu có dạng n−1 u u u ... 1 u . 1 − 2 + 3 − = ∑∞(− ) n n=1
2. Định lý Leibnitz a. Định lý ∞ n− Nếu dãy {u l → ∑(− ) 1
n } à một dãy giảm và u 0 khi n 1 u n → ∞ thì chuỗi h n ội tụ và n 1 = ∞ ∑(− )n 1− 1 u ≤ u . n 1 n 1 = Chứng minh:
Để chứng tỏ dãy tổng riêng (sn) hội tụ ta chứng minh nó có 2 dãy con hội tụ (s2m) và (s2m+1)
Ta có s2(m+1) = s2m+2 =s2m + (u2m+1 - u2m+2 ) > s2m => (s2m) tăng Mặt khác, ta cũng có s +
= u − (u − u ) + (u − u ) + (u − u ) + ...(u − u ) + < u 2(m ) 1 1 [ 2 3 4 5 6 7 2m 2m 1 ] 1
⇒ Dãy (s2m) hội tụ về s ≤ u1 Chú ý rằng s ∀ 2m > 0 m Ta lại có: s s u m = 2 1 + m + 2 2m 1 + Do u ⇒ u m+ → 0 n → 0 2 1
⇒ s2 + → s + 0 1 = s m s
→ s ⇔ ∀ε > ,0 ∃m : m > m ⇒ s2m − s < ε 2m 1 1 137
s + → s ⇔ ∀ε > ,
0 ∃m : m > m ⇒ s2m+1 − s < ε 2m 1 2 2
Đặt N = max (2m ,2m +1) 1 2 Khi đó, n
∀ > N có 2 khả năng
* n = 2k > 2m ⇒ k > m1 ⇒ s2k − s < ε 1
* n = 2k + 1 > 2m 1 2 +
⇒k > m2 ⇒ s2k+1 = s < ε Vậy ∀ε > ,
0 ∃N : n > N ⇒ s (đ.p.c.m) n − s < ε b. Ví dụ ∞ n 1 Xét
sự hội tụ cua chuỗi đan dấu ∑(− −1 ) 1 . n =1 n Giải 1 n ∞ → un = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →0 và dãy (u ) ⇒ n
đơn điệu giảm (u ) h n ội tụ thưeo Leibnitz n
và tổng s ≤ u = 1 1 c. Chú ý
Nếu chuỗi (1) thoả Leibnitz và hội tụ về s thì chuỗi
− (u − u + u − u +...) h 1 2 3 4 ội tụ về -s
Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibnitz được thoả thì chuỗi đan dấu
± (u − u + u − u + ...) h s ≤ u . 1 2 3 4
ội tụ và tổng s của nó thoả 1
d. Tính gần đúng t ng của chu i đan dấu hội tụ
Nếu chuỗi đan dấu ± (u − u + u − u + ...) thoả Leibnitz thì chuỗi phần dư thứ n 1 2 3 4 u u r u n ≤ n+ + n+ + ... 1 2
cũng hội tụ theo Leibnitz và theo chú ý ở trên ta có: n +1
Theo định lý Leibnitz, ta chỉ biết chuỗi đan dấu hội tụ nhưng không rõ s bằng bao
nhiêu nên nảy sinh vấn đề ước lượng tổng s . Ta xem s ≈ s s − s r u n = n ≤
n sẽ vấp phải sai số tuyệt đối là: n 1 + Ví dụ ∞ n − 1 Trở lại chuỗi ∑ (− 1 ) 1 . , nếu ta xem n =1 n 1 1 1 1
s ≈ s = 1− + − + ≈ 5 , 0 + 0.33 − , 0 25 + , 0 2 ≈ 0,78 5 2 3 4 5 1
Vấp phải sai số tuyệt đối là r ≤ u = ≈ 167 , 0 5 6 6
Thông thường ta gặp bài toán ngược lại 138 “
Phải chọn n tối thiểu bằng bao nhiêu để giá trị gần đúng sn của chuỗi đan dấu chính
xác đến Ł ( nghĩa là sai số tuyệt đối không vượt quá Ł)’’. Áp
dụng vào ví dụ trên, ta phải chọn n sao cho: r u 5 ≤ 6 ≤ δ 1 1 Chẳng hạn δ = 0 001 .
, thế thì n phải thoả ≤
⇔ n +1 ≤ 1000 ⇔ n ≥ 999 n +1 1000
Vậy, n tối thiểu là 999.
6.3.2. Chu i có dấu bất kỳ 1. Định lý ∞ ∞
Nếu chuỗi số ∑ u ∑u n hội tụ thì hội tụ. n =1 n=1 n Chứng minh ∞ ∞ Gọi s ∑u ∑ u
n và s’n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số và n , n=1 n n =1 /
nghĩa là s = u + u + u + u ...
s = u + u + u + ...u n 1 2 3 n và n 1 2 3 n ∞
Trong chuỗi ∑u , ký hiệu n=1 n +
s n là tổng của tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên −
s n là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các số hạng âm trong n số hạng đầu tiên. Ta có + − + − s s s s/ s s n = n + n = n − n và n + / − / Rõ ràng ( + s ) v à ( − s )
s ≤ s s ≤ s n là nh n ững dãy tăng và n n , n n (1) ∞ / / / / Theo
giả thiết, chuỗi số ∑ u ⇒ → s < s n ∀ n hội tụ s s n và n (2) n =1 + − Từ (1) và (2) ⇒ / / s < s ∀ , n s < s n ∀ n n
Suy ra rằng các dãy số ( + s ) ( − s ) n và n
đều hội tụ (vì đều tăng và bị chặn trên.) Do đó (s ) n cũng hội tụ. 2. Định nghĩa ∞ ∞
Chuỗi số ∑u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số ∑ un hội tụ. n =1 n n =1 3. Ví dụ 139 ∞ sin nx ∑ hội tụ tuyệt đối. n = 3 1 n Giải sin nx sin nx 1 Ta có 3 = 3 ≤ n 3 ∀ n n n ∞ 1 mà chuỗi số ∑
hội tụ ( Chuỗi Riemann với α = 3 > ) 1 n= 3 1 n 4. Chú ý ∞
Điều kiện ∑ u hội tụ chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để chuỗi số n n =1 ∞ ∑ ∞ ∞ u u
n hội tụ. Nghĩa là có trường hợp chuỗi số ∑ u ∑ phân
n hội tụ nhưng chuỗi số n n=1 n =1 n =1 ∞
kỳ, ta nói chuỗi số ∑un bán hội tụ. n=1 Ví dụ ∞ ∞ n 1 ∞ 1 n 1 Chuỗi số ∑ (− −1 ) 1 .
bán hội tụ vì chuỗi số ∑ (− −1 ) 1
= ∑ là chuỗi điều hoà phân n =1 n n=1 n n=1 n kỳ. Ví dụ
Xét tính hội tụ của các chuỗi số ∞ sin n 1) ∑ 2 n 1 = n sin n 1 Ta có | | ≤
, do đó chuỗi đã cho hội tụ 2 n 2 n n
2) ∑( )n⎛ 2n + − 1 1 ⎟⎞ ⎜ ⎝ n 3 + 1⎠ Ta có 2n 1 + 2 n | u | = → <1 n
=>Chuỗi đã cho hội tụ. 3n 1 + 3 Chú ý Nếu chuỗi | u
phân kỳ thì chưa kết luận chuỗi ∑ |
∑u hội tụ hay phân kỳ. Tuy n n
nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được ∑| u | phân kỳ thì n u cũng phân kỳ. ∑ n Thật vậy, từ 140 u n 1 + >1 ⇔ u |
> u | |> u |> 0, n
∀ ≥ n 0 , do đó u không d u n ần về 0, tức là 0 > n 1 + n n n 0 un
không tiến về 0, suy ra chuỗi phân kỳ. Ví dụ 2 n n e ∑(− )1 n! (n+ )2 1 u e n n ! 1 Ta có 1 + = = e2n 1
+ → +∞ . Do đó chuỗi đã cho phân kỳ. u n + e n + n ( ) . 2 1 ! n 1
Trường hợp ∑| u | phân kỳ nhưng ∑u n
∑u hội tụ thì chuỗi được gọi là bán hội n n tụ. Ví dụ ∞ n− 1 ∑(− ) 1 1 là bán hội tụ. n 1 = n Bài tập 1)
Chứng tỏ rằng các chuỗi số sau bán hội tụ n 1 ln n 2n 1 n + n 1 + a) ∑∞ − (−1) b) ∑∞ n− (− 1 1) c) ∑ ∞ (−1) 2 n 2 n 1 n=1 n + n + 1 n=1 n=1 + 2 2n 1 n + 1 n d ) ∑∞(−1) e) ∑∞(− n 1)
f ) ∑∞(− n 1) 3 n 3 2 n=1 + n=1 2n − 1 n=1 n + 1 ∞ cos nπ
2) Cho chuỗi số ∑ n =1 n! a)
Chứng tỏ rằng chuỗi số này hội tụ theo Leibnitz, hơn thế nữa nó còn hội tụ tuyệt đối. b)
Phải chọn n tối thiểu là bao nhiêu để sn là trị gần đúng của tổng của chuỗi với độ chính xác δ = , 0 001 6.4. Chu i luỹ th a 6.4.1. Chu i hàm 1. Định nghĩa Chuỗi hàm là chuỗi u ( ) x ∑ u (x) n , trong đó các là các hàm c n ủa x.
Khi x = xo thì chuỗi hàm trở thành chuỗi số ∑u (x ). Nếu chuỗi số hội tụ thì điểm x n 0 o
gọi là điểm hội tụ, nếu nó phân kỳ thì xo gọi là điểm phân kỳ. -
Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. 141