CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIN
BÀI I : TÍCH PHÂN B NH ẤT ĐỊ (TPBĐ)
I) Nguyên hàm :
1) Định nghĩa Cho hám y = f(x) xác đị : nh trong (a,b) . Nếu tn ti
hàm F(x) sao cho F’(x) =f(x) ,
( , )x a b
ta nói F(x) là m t nguyên
hàm c a f(x) trong (a,b).Ch ng h n :
F(x) = sinx là nguyên hàm c ủa f(x) = cosx trên R ( vì (sinx)’ = cosx )
F(x) =
2
2
x
là nguyên hàm c a f(x) = x trên R
2) Các định lý v nguyên hàm:
a) Đị nh lý 1: Nếu f(x) liên t c trên [a,b] thì t n ti nguyên hàm
trên đó .
b) Đị nh lý 2: Cho F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên [a,b] thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm ca f(x) trên [a,b]
Nếu G(x) cũng là một nguyên hàm ca f(x) thì G(x)=F(x)+C
II) Tích phân b nh ất đị ( TPBĐ ) :
1) Định nghĩa : Cho F(x) là mt nguyên hàm ca f(x) trên [a,b] thì
biu th c g a f(x) trên [a,b] . Ký hi u ức F(x) + C đượ ọi là TPBĐ củ
2
( ) ( )
* cos sin ,
2
f x dx F x C
x
I xdx x c xdx c
2) Các tính ch : Cho F(x) là nguyên hàm c a f(x) thì : ất TPBĐ
a) Tính ch t 1:
[ ( ) ]' ( ) ; [ ( ) ] ( )f x dx f x d f x dx f x dx
b) Tính ch t 2 :
[ ( )] '( ) ( ) ( )d F x F x dx f x dx F x c
c) Tính ch t 3 :
( ) ( ) , , 0kf x dx k f x dx k R k
d) Tính ch t 4 :
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
e) Tính chât 5 thu c vào bi n l y tích phân. : TPBĐ không phụ ế
3) Công th t s p : ức TPBĐ mộ hám sơ cấ
a)
b)
1
2
1
, 1 ln ; ; 2
1
x dx dx dx
x dx c x c c x c
x x x
x
c)
; ,0 1
ln
x
x x s
a
e dx e c a dx c a
a
d)
sin cos , cos , tan ln cos , cot ln sinxdx x c xdx sinx c xdx x c xdx x c
e)
2 2
tan ; cot
cos sin
dx dx
x c x c
x x
f)
2 2 2
arcsin ; arcsin
1
dx dx x
x c c
a
x a x
g)
2 2 2
1
arctan ; arctan
1
dx dx x
x c c
x a x a a
h)
2 2 2 2
1 1
ln , ln
2 2
dx a x dx x a
c c
a x a a x x a a x a
i)
2
2
ln
dx
x x b c
x b
j)
2 2 2
ln
2 2
x b
x bdx x b x x b c
Các ví d :
1)
2
2 2
3 2
2
3 5
(5 ) 5 3 5
5
( 5)
3 3
5 1 5
3. ln 5ln 3
ln5
2 5 5
x x
x
dx dx
dx dx
x
x
x x
x
x x c
x
2)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 3 (1 ) 2 1
2 2 tan
(1 ) (1 ) 1
x x x dx dx
dx dx arc x c
x x x x x x x
3)
2
1 cos2 sin 2
sin
2 2 4
x x x
xdx dx c
4)Các phương pháp tính TPBĐ :
4.1) i bi n : phương pháp đổ ế
a) i bi n Đổ ế
( )x t
: Cho y = f(x) liên t i v i bi n x và ục đố ế
( )x t
là hàm
kh vi đơn điệu đối vi biến t , thì
'( ) ( ) [ ( )] '( )dx t dt f x dx f t t dt
Ví d 1)
2
2 2
1 . sin arcsin ; [ , ] cos
2 2
1 cos2 sin2 arcsin sin 2(arcsin )
1 sin cos cos
2 2 4 2 4
I x dx x t t x t dx tdt
t t t x x
I t tdt tdt dt c c
2)
2
2 2
2 2
. tan , ( , ) arctan
2 2 cos
1
cos (sin ) 1 1
sin sin sin sin(arctan )
dx dt
I x t t t x dx
t
x x
tdt d t
I c c
t t t x
b)Đổi biến u=u(x) : Cho u=u(x) là hàm kh vi liên t i v i x ục đố
sao cho f(x)dx =g[u(x)]u’(x)dx=g(u)du
( ) ( )f x dx g u du
Ví d :
1) I=
2 2
2
. 3 2 3
2
3
xdx du
u x du xdx I u c x c
u
x
2) I=
tan
tan tan tan
2 2 2 2
( 3) 3 (tan ) 3 3tan
cos cos cos cos
x
x x x
dx e dx dx dx
e e d x e x c
x x x x
3) I =
1 ln
ln
x
dx
x x
Đặt u =
2 2
1 ln 1 ln 2 ln 1
dx
x u x udu x u
x
2
2 2 2
1 ln 2 1 1 1 1 ln 1
2 2 (1 ) 2( ln ) 2 1 ln ln
ln 1 1 1 2 1
1 ln 1
x u udu u du u x
dx du u c x c
x x u u u u
x
4) I=
3 2
2 2
( )
1 ( ) 1
x x x
x x
e e e
dx dx
e e
Đăt u =
x x
e du e dx
3 2
2 2 2
1
(1 ) arctan arctan
1 1 1
x
x x
x
e u
dx du du u u c e e c
e u u
4.2) phương pháp tích phân từng phn : Cho 2 hàm u =u(x) ,
v =v(x) kh vi , liên t i v i x ục đố .Ta có (uv)’=u’v+v’u
( )' . ' . 'uv dx vu dx u v dx uv vdu udv udv uv vdu
Ví d :
1)I =
cos . , cos sin sin sin sin cosx xdx u x du dx dv xdx v x I x x xdx x x x c
2)I =
2
arctan x
dx
x
Đặt u = arctanx
2 2 2 2
1 arctan arctan 1
, ( )
1 (1 ) 1
dx dx x dx x x
du dv v I dx
x x x x x x x x x
I =
2
2
2
2
arctan (1 ) 1 arctan
ln ln(1 ) ln
2(1 ) 2
1
x
x dx d x arctanx x
x x c c
x x x x x
x
5) TPBĐ mộ hàm sơ cất s p:
5.1) Hàm h u t :
a)
1
ln , 0
dx
I ax b c a
ax b a
, b)
1
1
( ) , 0 1
( ) (1 )
dx
ax b c a
ax b a
Ví d : 1)
4 3
1 1
ln 3 5 , 2)
3 5 3 (2 5) 6(2 5)
dx dx
I x c I c
x x x
c)
2
dx
I
ax bx c
Phân tích tam th c b và áp d ng các công ậc 2 thành bình phương đủ
thức TPBĐ :
2 2
2 2 2 2
2 2
4
( ) [( ) ] [( ) ]
2 4 2 4
b c b c b b ac b
ax bx c a x x a x a x
a a a a a a a
Ví d 3)
2
2 2
1
( )
2 2 1
2
arctan
1
1 3 3 3
( ) ( )
2 2
d x
dx x
I c
x x
x
d)
2 2
(2 ) ( )
2 2
A Ab
ax b B
Ax B
a a
I dx dx
ax bx c ax bx c
I =
2
2
2 2 2
( )
( ) ln ( )
2 2 2 2
A d ax bx c Ab dx A Ab dx
B ax bx c B
a ax bx c a ax bx c a a ax bx c
Ví d 4)
2
2 2 2 2
1
(2 2) 6
5 1 ( 2 5) ( 1)
2
6
2 5 2 5 2 2 5 ( 1) 4
x
x d x x d x
I dx dx
x x x x x x x
2 2
1 1 1 1 1
ln 2 5 6. arctan ln 2 5 3arctan
2 2 2 2 2
x x
I x x c x x c
5)
2
2 2 2 2
1
(2 2) 4
3 1 ( 2 3) ( 1)
2
4
2 3 2 3 2 2 3 ( 1) 4
x
x d x x d x
I dx dx
x x x x x x x
2 2
1 1 1 2 1 1
ln 2 3 4. ln ln 2 3 ln
2 2.2 1 2 2 3
x x
I x x c x x c
x x
5.2) Hàm vô t :
a)
[ , ( )]
n
I f x x dx
Đặt
( ) ( ) ( ) '( ) [ ( ), ] '( )
n
n
t x t x x t dx t dt I f t t t dt
Ví d : 1)
3
1 1
dx
I
x
Đặt
2 2
3 3 2
3
3 1 1
1 1 1 3 3
1 1
t dt t
t x t x x t dx t dt I dt
t t
2 23 3
3 3
3 ( 1) 3 ( 1) 3ln 1 ( 1 1) 3ln 1 1
1 2 2
dt
I t dt t t c x x c
t
2)
1
2
x
I dx
x x
Đặt t=
2
2
2 2 2
2 4
2 2 1 ( 1)
x x t t
t x dx dt
x x t t
2
2
2 tan 2arctan
1 2
dt x
I arc t c c
t x
b)
2 2
dx Ax B
I I dx
ax bx c ax bx c
( cách làm tương tự TP hu t )
Ví d 3)
2
2 2 2 2
1
(2 2) 7
6 1 ( 2 10) ( 1)
2
7
2
2 10 2 10 2 10 ( 1) 9
x
x d x x d x
I dx dx
x x x x x x x
2 2
2 10 7ln ( 1) ( 1) 9I x x x x c
4)
2
2 2 2 2
1
( 2 2 ) 1
1 (3 2 ) ( 1)
2
2
3 2 3 2 3 2 4 ( 1)
x
xdx d x x d x
I dx
x x x x x x x
2
1
3 2 arcsin
2
x
I x x c
5.3) ng giác: Hàm lượ
a) I =
(sin ,cos )f x x dx
* Phương pháp chung : Áp d ng công th t: ức lượng giác , đặ
2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2
tan 2arctan 2 sin ,cos ( , )
2 1 1 1 1 1 1
x dt t t t t dt
t x t dx x x I
t t t t t t
Ví d 1) I =
2 2 2
2 2 2 2
. tan sin , 2
1 sin 2 1 1 ( 1) 1
tan 1
2
dx x t dt dt
t x dx I c c
x
x t t t t
*Các trường h c bi t: ợp đặ
- N u f(sinx,cosx) là hàm l i vế đố ới cosx thì đặt t = cosx
- ------------------------------------------ sinx--------- t = sinx
- ------------------------------ch n------ cosx ---------t = tanx
- ------------------------------------------ sinx --------- t = cotx
Ví d 2)
3 4 2 4
cos sin (1 sin )sin cosI x xdx x x xdx
Đặt
5 7 5 7
2 4
sin sin
sin cos (1 )
5 7 5 7
t t x x
t x dt xdx I t t dt c c
3)
2 2
6 4 2 2
1
(1 tan )
cos cos cos cos
dx dx dx
I x
x x x x
Đặt
3 5 3 5
2 4
2
2 2sin sin
tan (1 2 ) sin
cos 3 5 3 5
dx t t x x
t x dt I t t dt t c x c
x
b)
sin sin , sin cos , cos cosI ax bxdx I ax bxdx I ax bxdx
Áp d ng công th ng giác phân tích tích thành t ng ức lượ
Ví d 4)
sin8 sin 2 cos8 cos2
sin5 cos3
2 16 4
x x x x
I x xdx dx c
c)
sin , cos
n n
I xdx I xdx
* N u n l thì áp dế ụng các trườ ợp đặng h c bit trên
* N u n ch n thì áp dế ng công thc h b ng giác ậc trong lượ
Ví d 5)
2
4 2
1 cos2 1 1 cos 2
cos ( ) ( cos2 )
2 4 2 4
x x
I xdx dx x dx
sin 2 1 cos4 sin 2 sin 4 sin2 sin4
4 4 4 4 4 8 2 4 8
x x x x x x x x x x
I dx c c
6)
5 4 2 2
sin sin sin (1 cos ) sinI xdx x xdx x xdx
Đặt
3 5 3 5
2 2
2 2cos cos
cos sin (1 ) cos
3 5 3 5
t t x x
t x dt xdx I t dt t c x c
Chú thích : Mt s hàm sau không có nguyên hàm dướ ạng sơ i d
cp :
2
2 2
sin cos 1
, ,sin ,cos , , ,
ln
x
x
x x e
x x e
x x x x
BÀI II) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
I ) Bài toán tính di n tích hình thang cong
y f(
i
) Y=f(x)
A B
O a=
0
x
x
1i
i
x
i
n
x b
x
Cho hinh thang cong AabB c gi i h n b ng y = f(x)>0 liên t c đượ ởi đườ
trên [a,b] ng x = a , x = b , tr c ox Tính di n tích S c a nó, đườ .
Chia hình thang cong thành nhi u hình nh b m chia trên [a,b] ởi các điể
như sau :
0 1 2 1
.......... ........
i i n
a x x x x x x b
. Trên m n ỗi đoạ
1 1
[ , ] , 1, , .
i i i i i i i
x x chon i n Và x x x Khi x
khá bé thì di n tích hình thang cong
tương ứng trong đoạ đó ấp xĩ vớn x i din tích hình ch nht có 2 cnh là
( )
i i
x f
. Vây S
1 1
( ) . lim ( )
n n
i i i i
n
i i
f x Hay S f x

.
II)Định nghĩa tích phân xác định(TPXĐ):
Cho hàm y = f(x) xác đị ởi các điểm chia như nh trên [a,b] , Chia [a,b] b
trên và cách ch bài toán tính di n tích trên . ọn tương tự
Gi
1
( )
n
n i i
i
I f x
là t ng tích phân c a y = f(x) trêm [a . Khi cho ,b]
i
n saocho x
khá bé , n u t ng tích phân trên ti n t i m t giá tr xác ế ế
đị nh I không ph thu c vào cách chia [a,b] và cách ch m trên , ta ọn điể
gi gii h a y = f(x) trên [a,b] . Ký hi u : ạn đó là TPXĐ củ
I=
( ) lim (max 0 )
b
n i
n
a
f x dx I x

Các chú thích : a)
( ) 0 , ) ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx b f x dx f x dx
III) Ý nghĩa hình học : Di n tích hình thang cong trong bài toán tính
din tích trên là S =
( )
b
a
f x dx
.
IV) Định lý điều kin kh tích : N u y = f(x) liên t c trên [a,b] thì ế
tn t ại TPXĐ ( khả tích ) trên đó .
V) Các tính cht c : ủa TPXĐ
1)
( ) ( ) , [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b b b
a a a a a
kf x dx k f x dx f x g x dx f x dx g x dx
2) Nếu
[ , ] ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
c a b thì f x dx f x dx f x dx
3) Nếu
( ) ( ) [ , ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b thì f x dx g x dx
4) Nếu
( ) [ , ] ( ) ( ) ( )
b
a
m f x M x a b thì m b a f x dx M b a
VI) Các định lý :
1) Đị nh lý giá tr trung bình : Nếu f(x) liên t c trên [a,b] thì
[ , ] ( ) ( )( )
b
a
c a b sao cho f x dx f c b a
2) Định lý đạo hàm theo cn trên : Nếu f(x) liên tc trên [a,b] thì hàm
( ) ( )
x
a
x f t dt
là m t nguyên hàm c a f(x) trêm [a,b]
Hê qu :
( )
( )
( )
)[ ( ) ]' ( ), )[ ( ) ]' [ ( )] '( )
)[ ( ) ]' [ ( )] '( ) [ ( )] '( )
x
x
a a
x
x
a f t dt f x b f t dt f x x
c f t dt f x x f x x
Ví d :1. Tìm
1
2 2 2
2 2 2
sin
1 1 1 1
[ cos ]' cos ( )' cos(sin )(sin ) ' cos cos .cos(sin )
x
x
t dt x x x x
x x x x
2)
3 3
3
0 0
0 0 0
cos [ cos ]'
0
lim ( ) lim limcos 1
0 '
x x
x x x
t dt t dt
x
x x
3) nh lý NIUTON-LEPNIT: Nêú f(x) liên t c trên [a,b] có nguyên Đị
hàm là F(x) thì : trên đó
( ) ( ) ( ) ( )]
b
b
a
a
f x dx F b F a F x
Tha
Ví d :
2
3
2 1
0
0
8
]
3 3
x
x dx
VII) Các phương pháp TPXĐ : Tương tự TPBĐ nhưng chú ý khi như
đổi biến ph i cải đổ ận tích phân và thay các giá đó vào nguyên
hàm đã xác định.
Các ví d :
1)
9 3 3
2
2
4 2 2
1 1 23
, 2 2 (2 2)
1 3
1
x t
I dx t x x t dx tdt I tdt t dt
t
x
2)
3
4
1 1
, 1 ln 2
1 ln
e
dx dx du
I u x du I
x
x x u
3)
3 2 22 2
2 2 2
2 2 2
1
2 2
1 1
, 1 1 (1 )
1 1 1
x dx udu u du
I dx u x x u I du
x x u u u
2
2
1 1 1 1 1 2 1
[ ln ] 2 ln 2 ln
2 1 2 3 2
2 1
u
I u
u
4)
/3
2 2
/4
. ; cot
sin sin
xdx dx
I u x du dx dv v x
x x
[ cotI x
/3
/3 /3
/4 /4
/4
3 3
[ cot ] cot [ cot ln sin ] ln
9 4
2
I x x xdx x x x
5)
2 2
2
1 1
1
1
1 0
ln(1 ) . ln(1 ) , [ ln(1 )]
1 1
e e
e
dx xdx
I x dx u x du dv dx v x I x x
x x
2
1 2
1
1 1 2
0 0
0
1
[ ln(1 )] (1 ) [ ln(1 ) ln(1 )] 1
1
e
e e
I x x dx x x x x e
x
*Chú thích
0
2 ( ) ( )
( )
0 ( )
a
a
a
f x dx khi f x chan
f x dx
Khi f x le
BÀI III) TÍCH PHÂN SUY R NG (TPSR) :
I)Tích phân suy r ng có c n vô cùng :
1) nh trên Định nghĩa 1 : Cho hàm y = f(x) xác đị
[ , )a
, kh tích trên
[a,b] , v i m i b > a . Khi đó TPSR :
( ) lim ( ) (1)
b
b
a a
f x dx f x dx


Nếu gii h n trên t n t i h u h n ta nói TPSR h i t , n u giế i h n b ng
vô cùng ho c không t n t i ta nói TPSR phân k
2) : Cho hàm s nh trên Định nghĩa 2 y = f(x) xác đị
( , ]b
, kh tích trên
[a,b] , v i m i a < b . Khi đó TPSR :
( ) lim ( ) (2)
b b
a
a
f x dx f x dx


3) : Cho hàm s nh trên R , kh tích trên Định nghĩa 3 y = f(x) xác đị
[a,b] v i m ọi a,b có a < b . Khi đó TPSR
( ) ( ) ( ) , (3)
c
c
f x dx f x dx f x dx c R
 
 
Ví d : Tính các TPSR sau :
1)
1
2 2
1 1
1 1
lim lim[ ]
( 1) ( 1) 1 2
b
b
b b
dx dx
I
x x x

 
2)
1 1
1
lim lim[ln 3 ]
3 3
a
a a
a
dx dx
I x
x x
 


3)
2
0 0 0
lim , 2 lim 2
b b
x x t
b b
I e dx e dx t x x t dx tdt I te dt

 
1
, lim 2[ ] 2 lim ( 1) 2
t t t t
b b
b b
b
u t du dt dv e dt v e I te e
e e
 
4)
, 0
a
dx
I
x

Nếu
1 lim lim[ln ]
b
b
a
b b
a
dx
I x
x
 

Nếu
1
1
1
1 lim lim[ ]
1
1
b
b
a
b b
a
khi
x
I x dx
a
 

Kết lu n
a
dx
x

hôi t khi
1
và phân k khi
1
II) Tích phân c a hàm không b ch n trong kho ng l y tích phân :
1) Định nghĩa 4 : Cho hàm y = f(x) xác đị nh trên [a,b) và
0
lim ( )
x b
f x
.
Khi đó TPSR
0 0
( ) lim ( ) (4)
b b
a a
f x dx f x dx
2) Định nghĩa 5 ; Cho hàm y = f(x) xác đị nh trên (a,b] và
0
lim ( )
x a
f x
.
Khi đó TPSR
0 0
( ) lim ( ) (5)
b b
a a
f x dx f x dx
3) Định nghĩa 6 : Cho y = f(x) xác đị nh trên [a ,c)U(c,b] và
lim ( )
x c
f x
.
Khi đó TPSR
( ) ( ) ( ) (6)
b c b
c a c
f x dx f x dx f x dx
.
Ví d : Tính các TPSR sau :
a)
1 1
1
2 2
0 0 0 0
0 0
1
lim lim [ ]
dx dx
I
x x x

b)
1
0 0 0 0
1 1
(ln )
lim lim [ln ln ]
ln ln
e e
e
dx d x
I x
x x x
c)
0 0
lim ( ) , 0
( )
b b
a a
dx
I x a dx
x a
Khi
0 0 0 0
1 lim lim [ln ]
b
b
a
a
dx
I x a
x a

Khi
1
1
0 0
1
( )
1 lim [ ]
( )
1
1
1
b
a
khi
x a
I
b a
khi

Kết lu n
0
( ) ( )
b b
a a
dx dx
x a b x
h i t khi
1
và phân k khi
1
III) Các tiêu chu n h i t phân k c a TPSR : các tiêu chu c ẩn này đượ
minh h a b ng TPSR có c cho các TPSR khác) ận trên vô cùng( tương tự
1) Tiêu chu n 1 : nh trên Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 xác đị
[ , )a
kh
tích trên [a,b] v i m ọi b > a sao cho f(x) > g(x) > 0 trên đó ;
a) Nếu
( ) ( )
a a
g x dx phân ky f x dx phânky
 
b) N uế
( ) ( )
a a
f x dx hôitu g x dx hôi tu
 
2) Tiêu chu n 2 : Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 ,
[ , )x a 
, Kh tich trên
[a,b] v i m i b > a . G i k =
( )
lim
( )
x
f x
g x

Nếu 0<k<
cùng h i t ho c cùng phân k .
Nếu k = 0 thì f(x) < g(x) ( áp dng tiêu chu n 1)
Nêu k =
( ) ( )f x g x
( áp d ng tiêu chu n 1 )
Ví d : Xét s h i t , phân k c a các TPSR sau :
1)
2
3 3
2 2
1
3
ln(1 ) ln(1 ) ln 2
, 1 0
x dx x
I x
x x
x

Ta có
2 2/3
1 1
3
ln 2
ln 2
dx
dx
x
x
 
phân k v ậy I cũng phân kỳ
2)
2 2
1
2
2 3 3 3
1
1
, 1 1
x x
e e e
I dx x x
x x x ex

Ta có
3 3
1 1
1 1 dx
dx
ex e x
 
h i t , v i t ậy I cũng hộ
3)
2 2
3 3
1
2 2 1
. ( ) 0 ( ) 0
3 4 3 4
x x x x
I dx f x g x
x x x

Ta có
2 3
3
( ) 2 1
lim lim
( ) 3 4 4
x x
f x x x
k
g x x
 
1 1
( )
dx
g x dx
x
 
phân k , v ậy I cũng
phân k .
4)
3 3 33 4 4
1
arctan arctan 1
, ( ) 0, ( ) 0, [1, )
1 1
x x
I dx f x g x x
x x x


4
3
4
( )
lim lim(arctan )
( ) 1 2
x x
f x x
k x
g x x
 
, Mà
4/3
1 1
( )
dx
g x dx
x
 
hi t , V iậy I cũng hộ
t.
5)
1
4
0
1
x
I dx
x
.
4 2
1 0
1 0
( ) 0, [0,1), lim ( ) ,
1 (1 )(1 )(1 )
1
( ) 0, [0,1), lim ( )
1
x
x
x x
f x x f x
x x x x
g x x g x
x
2
1 0 1 0
( ) 1
lim lim
( ) 2
(1 )(1 )
x x
f x x
k
g x
x x
.Mà
1 1
1/2
0 0
( )
(1 )
dx
g x dx
x
hi t , Vây I cũng
hi t .
6)I=
1
2
2 5
3
0
(1 )
x
dx
x
Ta có f(x) =
2 2
2 5 5 5
1 0
3 3
0, [0,1), lim ( )
(1 ) (1 ) (1 )
x
x x
x f x
x x x
g(x) =
5/3
5
1 0
3
1 1
0, [0,1) lim ( )
(1 )
(1 )
x
x g x
x
x
2
35 51 0 1 0
3
( ) 1
lim lim
( )
(1 ) 2
x x
f x x
k
g x
x
. Mà
1 1
5/3
0 0
( )
(1 )
dx
g x dx
x
phân k , V ậy I cũng
phân k .
BÀI IV) NG D ỤNG TPXĐ :
I) Tính di n tích hình ph ng :
1) Din tích hình thang cong : Theo bài toán tính din tích thì
din tích là S =
( )
b
a
f x dx
y y=f(x)
2) Din tích hình :ph ng b t k
Cho hình ph ng gi i h n o a b x
đường y = f(x) , y = g(x) x = a , x = b
y y=f(x)
là S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx
O a b x y=g(x)
3)Nếu hình ph c giẳng đượ i h n b ởi đường cong có phương trình tham
s :
( )
, ( ). '( )
( )
x x t
t thì S y t x t dt
y y t
4)Nếu hình ph t cẳng đươc cho trong hệ ọa độ c :Đường cong có
Phương trình
2
( ) ,
2
r
r f thì S d
.
Ví d : 1) Tính di n tích hình ph c gi i h n b ng ẳng đượ ởi các đườ
2
2
1
,
1 2
x
y y
x
. Hoành độ giao điể m x = -1 ,x= 1
2
2
x
y
y
2
1
1
y
x
0 x
Din tích S =
1
2 3
1
0
2
0
1 1
2 ( ) 2[arctan ]
1 2 6 2 3
x x
dx x
x
y
2)Tính di n tích m t nh ịp Xycloit có phương trình :
( sin )
, 0,0 2 '( ) (1 cos )
(1 cos )
x a t t
a t x t a t
y a t
0 x
Din tích S =
2 2 2
2 2 2 4
0 0 0
( ) '( ) (1 cos ) 2 sin ( )
2
t
y t x t dt a t dt a dt BT
y
3)Tính di n tích hình x
Din tích S =
2 2 2
2 2 2 2 4
0 00 0
1 1
4 (1 cos ) 2 sin ( )
2 2 2
r d a d a d BT
II) Tính th tích v t th : y
1) Vât th b t k : Cho v t th c gi i h n S(x) đượ
2 m t x = a , x = b . C t v t th b i m t ph ng a 0 b x
góc v x , g i S(x) là di n tích c a ới ox có hoành độ
thiết di n thì th tích v t th là S=
( )
b
a
S x dx
2) Vt th tròn xoay quanh ox: Cho hình thang cong gi i h n b i
y = f(x) > 0 ,x = a , x = b , tr c ox q c v t th tròn uay quanh ox ta đượ
xoay có th tich S =
2
( )
b
a
f x dx
y y=f(x)
a o b x
3) Vt th tròn xoay quanh oy :Cho hình ph ng gi i h n b i
x = g(y) ,y = c , y = d , tr c oy quay quanh oy y x=g(y)
Ta được vt th tròn xoay có th tích S =
2
( )
d
c
g y dy
o x
Ví d : Tính th tích v t th tròn xoay do hình ph ng gi i h n b ng ởi đườ
y = e
x
, x = 0 , x = 1 , y = 0 quay quanh ox y
S=
1
2
2 1 2
0
0
( ) [ ] ( 1)
2 2
x
x
e
e dx e
o 1 x
III) Tính độ dài đườ ng cong :
1) Độ dài đường cong y =f(x) v i
2
1 '
b
a
a x b S y dx
2) Độ dài :đường cong có phương trinh tham số
2 2
( )
, ' ( ) ' ( )
( )
x x t
t S x t y t dt
y y t
3) Độ dài đườ ọa độ ực có phương trìnhng cong trong h t c
2 2
( ) , 'r f S r r d
Ví d ng y = : 1)Độ dài đườ
2
,0 2
2
x
x
2 2
2 2 2 2 2
0
0 0
1
1 ' 1 [ 1 ln 1 ]
2 2
x
S y dx x dx x x x
(BT)
2)Độ dài đường Axtroit
3
2
2 2
3
0
cos
,0 2 ' ( ) ' ( ) 6
sin
x a t
t S x t y t dt a
y a t
( BT)
BÀI T P
1) Tính các TPBĐ sau ;
a)
32 3 2
2
2
sin 2
tan , ) , ) 5 , ) , )
4 cos
4
1
xdx dx dx
xdx b c x x dx d e
x
x x
x x
f)
2 2 2
2
cos tan 2
, ) , ) sin(ln ) , ) , )
sin 1
3 2
x x arc x x xdx
dx g dx h x dx k dx l
x x x x
x x
2) Tính các TPXĐ sau :
16 3 n2 ln5 3
2
2
2 2
0 1 0 0 2
1 1 2
) , ) , ) 1 , ) , )
3 2 3 2
9
l
x x
x
x
dx x e e x
a b dx c e dx d dx e dx
x e x x
x x
/4 /2 /4 3 /2
5 2 2 3
3
0 0 0 0 /2
sin
) tan , ) cos , ) ) 1 , ) cos cos
cos
x
x xdx
f xdx g e xdx h k x x dx l x xdx
x
Chú thích
0
0 ( )
( )
2 ( ) ( )
a
a
a
khi f x le
f x dx
f x dx khi f x chan
3) Tính các TPSR sau :
0 1
1/
3
2 2
1 2 1 1 0
2
2 2 1 3
2
2 2 2
1 0 0 2
ln
) , ) ) , ) ) ) ln
ln
1 1
) , ) ) , )
( 2)( 1)
4 1 4 3
e
x
dx dx x dx e
a b c dx d e dx f x xdx
x x x x
x x x x
dx x xdx dx
g h dx k l
x x
x x x x
  
4) Xét s h i t , phân k c a :
1 12 2
3 sin
2
1 2 0 0 0
5
3 55 7
1 1 1
2 3 ln(1 ) 2
) ) ) ) )
1 1
1
ln ln
) ) )
2 1
2 1 1
x
x
x
x x x x
a dx b dx c xe dx d dx e dx
x x e
x
x x x x
f dx g dx h dx
e
x x x
  
  

Preview text:

CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIN
BÀI I : TÍCH PHÂN B
ẤT ĐỊNH (TPBĐ)
I) Nguyên hàm :
1) Định nghĩa : Cho hám y = f(x) xác định trong (a,b) . Nếu tồn tại
hàm F(x) sao cho F’(x) =f(x) , x  ( , a ) b ta nói F(x) là m t ộ nguyên hàm c a
ủ f(x) trong (a,b).Chẳng hạn :
F(x) = sinx là nguyên hàm c
ủa f(x) = cosx trên R ( vì (sinx)’ = cosx )
F(x) = 2x là nguyên hàm c a ủ f(x) = x trên R 2
2) Các định lý về nguyên hàm:
a) Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì tồn tại nguyên hàm trên đó .
b) Định lý 2: Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì
 F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]
 Nếu G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì G(x)=F(x)+C
II) Tích phân bất định ( TPBĐ ) :
1) Định nghĩa : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì
biểu thức F(x) + C được gọi là TPBĐ của f(x) trên [a,b] . Ký hiệu
f (x)dx F(x)  C  2 x
*I  cos xdx  sin x c , xdx   c   2
2) Các tính chất TPBĐ : Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) thì :
a) Tính chất 1: [ f ( )xd ]x' f (x) ; d[ f ( ) x d ]
x f (x)dx  
b) Tính chất 2 : d[F(x)] F '(x)dx f (x)dx F( )xc   
c) Tính chất 3 : kf (x)dx k f (x)dx , k , R k  0  
d) Tính chất 4 : [ f (x) g( )x]dx f (x)dxg(x)dx   
e) Tính chât 5 : TPBĐ không phụ thuộc vào biến lấy tích phân.
3) Công thức TPBĐ một số p : hám sơ cấ
a) kdx kxC,C R ,k  0  b) 1  x dx dx 1   ,   1    ln  ;    ; dx x dx c x c c  2 x c    2   1 x x x x c) x a x x
e dx e c ; s a dx
c ,0  a 1   ln a
d) sin xdx  cosx ,c cosxdx sinx ,c tan xdx  ln cosx  ,c cot xdx  ln sin x c    
e) dx  tan  ; dx x c
  cotx c  2  2 cos x sin x f) dx dx x
 arcsin xc ;  arcsin  c   2 2 2 1 x a x a g) dx dx 1  arctan  ;  arctan x x cc  2  2 2 1 x a x a a h) dx 1 a x dx 1 x a  ln  c ,  ln  c   2 2 2 2 a x 2a a x x a 2a x a i) dx 2
 ln x x b c  2 x b j) 2 x 2 b 2 x bdx x b
ln x x b c  2 2 Các ví d : dx dx x 3 5 (5  
)dx  5x dx 3  5      2 3 2 2 2 1) x  5 x  3 x  ( 5) x  3 5x 1 x  5 2   3. ln
 5ln x x  3  c ln5 2 5 x  5 2) 2 2 2 1 3x (1 x )  2x dx dx 1 dx dx   2
   2arc tan x c  2 2  2 2  2  2 x (1  x ) x (1  x ) x 1 x x 3) 1 cos2 x x sin 2 2 sin x xdx dx    c   2 2 4
4)Các phương pháp tính TPBĐ :
4.1) phương pháp đổi biến :
a) Đổi biến x (t) : Cho y = f(x) liên tục đối với biến x và x (t) là hàm
khả vi đơn điệu đối với biến t , thì dx  '(t)dtf ( )xdxf[(t)] '(t)dt   Ví dụ 1)   2 I
1 x dx . x  sin t t  arcsin ; x t [
, ] dx  cos tdt  2 2  2 2 1 cos 2t t sin 2t
arcsin x sin 2(arcsin x)  I
1sin t cos tdt  cos tdt dt    c    c    2 2 4 2 4 dx   dt I
. x  tan t, t ( , )  t  arctan x và dx   2) 2 2 2 x 1 x 2 2 cos t costdt d (sint ) 1 1  I      c    c  2  2 sin t sin t sin t sin(arctan x)
b)Đổi biến u=u(x) : Cho u=u(x) là hàm khả vi liên tục đối với x
sao cho f(x)dx =g[u(x)]u’(x)dx=g(u)du f (x)dx g(u)du   Ví d : 1) I= xdx 2 du 2
.u x 3  du  2xdx I
u c x 3 c   2 x  3 2 u 2) I= tan x tan dx e dx dx dx x tan x tan (e  3)   3  e d (tan x)  3 xe  3tan x c  2  2  2   2 cos x cos x cos x cos x
3) I = 1ln x dx x ln x Đặt u = 2 dx 2
1 ln x u  1 ln x  2udu
ln x u  1 x 2 1 ln x 2 u udu u du 1 1 u 1  1 ln x 1  dx   2  2 (1
)du  2(u  ln
)  c  2 1 ln x  ln  c   2  2  2 x ln x u 1 u 1 u 1 2 u 1 1 ln x 1 4) I= 3x x 2 e (e ) x e dx dx  2  x x 2 e 1  (e ) 1  Đăt u = x x
e du e dx 3 x 2 e u 1 dx du  (1
)du u  arctan x
u c e  arctan x e c    2 x 2 2 e 1  u 1  u 1 
4.2) phương pháp tích phân từng phn : Cho 2 hàm u =u(x) ,
v =v(x) khả vi , liên tục đối với x .Ta có (uv)’=u’v+v’u (u ) v 'dx  . v u ' dx  .
u v ' dx uv vdu udv udv uv vdu        Ví d : ụ
1)I = xcos xdx . u x du dx,dv  cosxdx v  sin xI xsin x sin xdx xsin x cosxc   2)I = arctan x dx  2 x Đặt u = arctanx dx dx 1 arctan x dx arctan x 1 xdu  , dv
v    I       (  )dx   2 2 2 2 1 x x x x ( x 1 x ) x x 1 x I = 2 arctan x dx d(1 x ) arctanx 1 arctan x x 2      
 ln x  ln(1 x ) c    ln  c   2 2 x x 2(1 x ) x 2 x 1 x
5) TPBĐ một số hàm sơ cấp: 5.1) Hàm hữu tỷ : a) dx 1 dx 1 I
 ln axb c , a  0  , b) 1  (  ax b)
c ,a  0  1  ax b a (ax b) a(1 ) Ví d : ụ 1) dx 1 dx 1 I
 ln 3x 5  c , 2) I     c   4 3 3x  5 3 (2x 5) 6(2x 5) c) dx I   2
ax bx c
Phân tích tam thức bậc 2 thành bình phương đủ và áp dụng các công thức TPBĐ : 2 2  2 2 b c b 2 c b b 2 4    (   )  [(  )   ]  [(  ) ac b ax bx c a x x a x a x  ] 2 2 a a 2a a 4a 2a 4a 1 d( x  ) Ví d 3) ụ dx 2 2x 1 2 I    arctan  c   2 x x  1 1 2 3 2 3 3 ( x  ) ( ) 2 2 A (2  ) ( Ab ax b B  ) d) Ax B 2a 2a I dx dx   2 2
ax bx c
ax bx c I = 2 A
d (ax bx c) Ab dx A 2  (  )  ln    ( Ab  ) dx B ax bx c B    2 2 2 2a
ax bx c 2a
ax bx c 2a 2a
ax bx c 1 (2x2)6 Ví dụ 4) 2 x 5
1 d( x 2 x 5  ) d( x 1  ) 2 I dx dx   6     2 2 2 2 x  2x  5 x  2x  5 2 x  2x  5 ( x1)  4 1 1 x 1 1 x 1 2 2 I
ln x  2x 5  6. arctan
c  ln x  2x 5  3arctan  c 2 2 2 2 2 1   5) (2x 2) 4 2 x 3
1 d( x 2 x 3) d( x 1  ) 2 I dx dx   4     2 2 2 2 x  2x  3 x  2x  3 2 x  2x  3 (x  1)  4 1    2 1 x 1 2 1 2 x 1 I
ln x  2x 3  4. ln
c  ln x  2x 3  ln  c 2 2.2 x  1 2 2 x  3 5.2) Hàm vô tỷ : a)  [ ,n I f x  (x)]dx  Đặt  ( ) n n t
x t (x)  x  (
t) dx  '(t)dt I f [ (  t),t] '  (t)dt  Ví dụ : 1) dx I   3 1 x 1 Đặt 2 2 3t dt t 11 3 3 3 2 t x 1  t x 1   x t 1
 dx 3t dt I   3 dt   1 t t  1 dt 3 3 2 3 2 3
I  3 (t 1) dt  3
 (t 1)  3ln t 1  c  ( x1 1)  3ln x1 1  c   t 1 2 2 2) 1 x I dxx 2 x Đặt t= 2 x 2 x 2t 4tt   x   dx dt 2 2 2 2 x 2 x t  1 (t  1) 2dt   2 tan   2arctan x I arc t cc  2 t 1 2  x b) dx Ax B I và I dx  
( cách làm tương tự TP hữu tỷ ) 2 2
ax bx c
ax bx c 1 Ví dụ 3) (2 x 2) 7 2 x  6
1 d (x  2x 10) d (x 1) 2 I dx dx   7     2 2 2 2     2 x 2x 10 x 2x 10 x  2x  10 (x 1)  9 2 2 I
x  2x 10  7 ln (x 1)  (x 1)  9  c 1  (2 2x) 1 4) 2 xdx
1 d (3 2x x ) d (x  1) 2 I   dx        2 2 2 2 3 2x x 3 2x x 2 3 2x x 4 (x 1) x 1 2
I   3 2xx  arcsin  c 2 5.3) Hàm lượng giác:
a) I = f (sin ,xcosx)dx
* Phương pháp chung : Áp dụng công thức lượng giác , đặt: 2 2 x dt 2t 1t 2t 1t 2dt t  tan
x  2arctan t dx  2 sin x  ,cos x   I  ( , )  2 2 2 2 2 2 2 1  t 1  t 1  t
1  t 1  t 1  t Ví dụ 1) I = dx x 2t 2dt dt 2  2 
. t  tan  sin x  ,dx   I  2  c  c   2 2 2 1 sin x 2 1t 1t (t 1) t 1 tan x 1 2
*Các trường hợp đặc bit:
- Nếu f(sinx,cosx) là hàm lẽ đối với cosx thì đặt t = cosx
- ------------------------------------------ sinx--------- t = sinx
- ------------------------------chẳn------ cosx ---------t = tanx
- ------------------------------------------ sinx --------- t = cotx Ví dụ 2) 3 4 2 4
I  cos x sin xdx  (1 sin x) sin x cos xdx   Đặt 5 7 5 7 t t sin x sin 2 4 x
t  sin x dt  cos xdx I  (1  t )t dt    c    c  5 7 5 7 3) dx 1 dx 2 2    (1 tan ) dx I x    6 4 2 2 cos x cos x cos x cos x Đặt 3 5 3 5 dx 2 4 2 t t 2sin x sin  tan     (1 2  )      sin x t x dt I t t dt t c x    c  2 cos x 3 5 3 5
b) I  sinaxsinbxdx ,I  sinaxcosbxdx ,I  cosaxcosbxdx   
Áp dụng công thức lượng giác phân tích tích thành tổng Ví dụ 4) sin8x  sin 2x cos8x cos2x
I  sin 5x cos 3xdx dx     c   2 16 4 c)  sinn ,  cosn I xdx I xdx  
* Nếu n lẽ thì áp dụng các trường hợp đặc biệt ở trên
* Nếu n chẳn thì áp dụng công thức hạ bậc trong lượng giác Ví dụ 5) 2 1 cos 2x 1 1 cos 2 4 2 x I  cos xdx  (
) dx  (  cos2x )dx    2 4 2 4 x sin 2x 1 cos4x x sin 2x x sin 4x x sin 2x sin 4x I    dx     c    c  4 4 4 4 4 8 2 4 8 6) 5 4 2 2
I  sin xdx  sin x sin xdx  (1 cos x) sin xdx    Đặt 3 5 3 5 2t t 2cos x cos 2 2 x
t  cos x dt   sin xdx I   (1 t ) dt t   
c   cos x    c  3 5 3 5
Chú thích : Một số hàm sau không có nguyên hàm dưới dạng sơ cấp : sinx cos x x 2 2 2  e x 1 ,
,sin x ,cosx ,e , , x x ln x x
BÀI II) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
I ) Bài toán tính diện tích hình thang cong y f( ) Y=f(x) i A B O a= x x 0 x x x b i 1  i i n
Cho hinh thang cong AabB được giới hạn bởi đường y = f(x)>0 liên t c ụ
trên [a,b], đường x = a , x = b , tr c ụ ox T
. ính diện tích S c a ủ nó
Chia hình thang cong thành nhiều hình nh b
ỏ ởi các điểm chia trên [a,b]
như sau : a x x x ..........  x x ........   . Trên mỗi đoạn 0 1 2 x b i 1 i n
[x , x ] chon  ,i 1  , n ,Và x
  x x .Khi x
 khá bé thì diện tích hình thang cong i 1  i i i i i 1  i
tương ứng trong đoạn đó ấp xĩ vớ x
i diện tích hình chữ nhật có 2 cạnh là n n x
và f ( ) . Vây S   f ( )x .Hay S  lim f ( )x . i i i i i i  1 n i i1
II)Định nghĩa tích phân xác định(TPXĐ):
Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b] , Chia [a,b] bởi các điểm chia như
trên và cách chọn tương tự bài toán tính diện tích ở trên . Gọi n I f  x  là t ng t ổ ích phân c a
ủ y = f(x) trêm [a,b] . Khi cho n ( i) i i 1 
n   sao cho x  khá bé , nếu t ng t ổ
ích phân trên tiến tới m t ộ giá trị xác i
định I không phụ thuộc vào cách chia [a,b] và cách chọn điểm trên , ta
gọi giới hạn đó là TPXĐ của y = f(x) trên [a,b] . Ký hiệu :
I= b f (x)dx lim I (maxx  0 )  n i n  a  Các chú thích : a ) a b a
f (x)dx  0 , ) b
f (x)dx   f ( ) x dx    a a b
III) Ý nghĩa hình học : Diện tích hình thang cong trong bài toán tính
diện tích ở trên là S = b f( )xdx  . a
IV) Định lý điều kiện khả tích : Nếu y = f(x) liên tục trên [a,b] thì
tồn tại TPXĐ ( khả tích ) trên đó .
V) Các tính chất của TPXĐ : 1) b b b b b
kf (x)dx k f (x)dx ,
[ f (x)  g(x)]dx f (x)dx g(x)dx      a a a a a 2) Nếu b c b
c [a, b] thì f ( ) x dx
f (x)dx f (x)dx    a a c 3) Nếu b b
f (x)  g( ) x x  [ , a ] b thì
f (x)dx g(x)dx   a a 4) Nếu b
m f (x)  M x
  [a,b]thì m(b a)  f (x)dx M (b a)  a VI) Các định lý :
1) Định lý giá trị trung bình : Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì b c
 [a,b] saocho f (x)dx f (c)(b a)  a
2) Định lý đạo hàm theo cận trên : Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm x
(x)  f (t )dt  là m t ộ nguyên hàm c a ủ f(x) trêm [a,b] a x  (x)
a)[ f (t )dt]'  f (x) , b)[
f (t )dt ]'  f [ (  x)]'(x)    Hê quả : a a  ( ) x c)[
f (t )dt]'  f [ (x)] '(x)  f [ (x)] '(x)   ( ) x 1 Ví dụ :1. Tìm x 2 1 1 2 1 1 2 [ cos t dt]'  cos ( )'cos(sin ) x (sin ) x '   cos cos . x cos(sin ) x  2 2 2 sin x x x x x x x 3 3 cost dt [ cost dt]'   2) 0 0 0 3 lim ( )  lim  limcos x 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x' 3) nh l Đị
ý NIUTON-LEPNIT: Nêú f(x) liên t c ụ trên [a,b] có nguyên
hàm là F(x) trên đó thì :
b f (x)dx F( )b F( ) a F( ) x ] ba a Tha Ví d : ụ 2 3 x 8 2 1 x dx  ]   0 3 3 0
VII) Các phương pháp TPXĐ : Tương tự như TPBĐ nhưng chú ý khi
đổi biến phải đổi cận tích phân và thay các giá đó vào nguyên hàm đã xác định. Các ví d : ụ 1) 9 3 2 3 x 1  2 t 1 23 I dx , t
x x t dx  2tdt I
2tdt  (2t  2)dt     x  1 t 1 3 4 2 2 3 e 4 2) dx  ,  1 ln dx du I u x du   I   2   x 1 ln x x 1 1 u 3) 3 2 2 2 2 1 x dx udu u du 1 2 2 2 I
dx , u  1 x x u  1   I   (1 )du  2  2  2 x x u 1  u 1  u 1  1 2 2 1 u 1   2 1 1 1 2 1 I  [u  ln ]  2 ln  2  ln 2 2 u 1 2 3 2 2 1  4) /3 xdx  .    ; dx I u x du dx dv
v   cot x  2 2 sin x sin  /4 x  /3  /3  /3  3  3
I  [x cot I  [ x cot ] x
cot xdx  [ xcot x ln sin x ]     ln  /4   /4 9 4  2 /4 2 2 5) e 1  e 1  dx 2  xdx e 1 I
ln(1 x)dx . u  ln(1 x)  du
,dv dx v x I  [x ln(1 x)]   1  1x x 1 1 0 2 e 1  1 e  1 2 1 e 1 2
I  [ xln(1 ) x ]  (1
)dx  [xln(1 )
x x ln(1 ) x ]  e 1 0 0  1 0 x a  *Chú thích a 2  f ( ) x dx khi f ( ) x chan
f (x)dx    0 a 0 
Khi f (x) le
BÀI III) TÍCH PHÂN SUY RNG (TPSR) : I)Tích phân suy r ng c ộ ó cận vô cùng :
1) Định nghĩa 1 : Cho hàm y = f(x) xác định trên [ ,a )  , khả tích trên
[a,b] , với mọi b > a . Khi đó TPSR :  b
f (x)dx  lim
f (x )dx (1)   b a a
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói TPSR hội tụ , nếu giới hạn bằng vô cùng hoặc không t n t
ồ ại ta nói TPSR phân kỳ
2) Định nghĩa 2: Cho hàm s
ố y = f(x) xác định trên ( ,  ] b , khả tích trên
[a,b] , với mọi a < b . Khi đó TPSR : b b
f (x)dx  lim
f (x )dx (2)   a  a
3) Định nghĩa 3 : Cho hàm s
ố y = f(x) xác định trên R , khả tích trên
[a,b] với mọi a,b có a < b . Khi đó TPSR  c 
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx , c R (3)      c
Ví dụ : Tính các TPSR sau : 1)  b dx dx 1 b 1 I   lim lim[ ]    2 2 1 (x 1) b
(x 1) b 1 x 2 1 1 2) 1 1 dx dx 1 I   lim
 lim[ln x 3 ]     x 3  x 3 a a a  a 3)  b bxx 2  I e dx  lim e dx , t
x x t dx  2tdt I  lim 2 t te dt    b b 0 0 0     b t t t t 1
u t du d ,
t dv e dt v e
I  lim 2[ t
e e ] 2 lim (   1  ) 2 b b b b e e 4)  dx I  ,   0  xa  Nếu b  1   lim dx I
 lim[ln x ]b    a b b x  a khi   b 1  Nếu 1 x     b 1
 1 I  lim x dx  lim[ ]       1 a a b b   a   1  Kết luận  dx  hôi t khi ụ
 1và phân kỳ khi  1 xa
II) Tích phân của hàm không bị chặn trong khoảng lấy tích phân :
1) Định nghĩa 4 : Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b) và lim f ( )x  . xb0 Khi đó TPSR b b   f ( ) x dx  lim
f (x)dx (4)    00 a a
2) Định nghĩa 5 ; Cho hàm y = f(x) xác định trên (a,b] và lim f( )x  . xa 0  Khi đó TPSR b b f ( ) x dx  lim f ( ) x dx (5)    00 a a  
3) Định nghĩa 6 : Cho y = f(x) xác định trên [a ,c)U(c,b] vàlim f (x)  . xc Khi đó TPSR b c b f ( ) x dx f ( ) x dx
f (x)dx (6)    . c a c
Ví dụ : Tính các TPSR sau : a) 1 1 dx dx 1 1 I   lim  lim [ ]    2  2 00  0  0  x x x 0 0   b) e e dx d (ln x) I   lim
 lim [ln ln x ]e      1    00  0  0 x ln x ln x  1 1 c) b b dx I   lim
(xa) dx ,   0      0 0 ( x  ) a a a    Khi b dx  1  I  lim
 lim [ln x a ]b        0 0  0 0 a xa a    khi   1  Khi 1 (x a)    b 1  1 I  lim [ ]    a (b a)   0 0 1 khi   1  1 Kết luận b b dx dx   0  
hội tụ khi  1 và phân kỳ khi  1 (x a) (b x) a a III) Các tiêu chuẩn h i ộ t phâ ụ n kỳ c a
ủ TPSR : các tiêu chuẩn này được
minh họa bằng TPSR có cận trên vô cùng( tương tự cho các TPSR khác)
1) Tiêu chuẩn 1 : Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 xác định trên [a,) khả
tích trên [a,b] với mọi b > a sao cho f(x) > g(x) > 0 trên đó ; a) Nếu  
g(x)dx phân ky
f (x)dx phân ky   a a b) Nếu  f ( ) x dx hôi tu  ( g ) x dx hôi tu   a a
2) Tiêu chuẩn 2 : Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 , x  [ , a  )  , Khả tich trên
[a,b] với mọi b > a . G i ọ k = f (x) lim
x  g( x)  Nếu 0  thì
f (x )dx và g (x )dx   cùng hội t ho ụ ặc cùng phân kỳ. a a
 Nếu k = 0 thì f(x) < g(x) ( áp dụng tiêu chuẩn 1)
 Nêu k =   f ( )x g(x) ( áp d ng t ụ iêu chuẩn 1 ) Ví dụ : Xét sự h i ộ t , phâ ụ n kỳ của các TPSR sau :  1) ln(1 ) x dx ln(1 ) x ln 2 I  ,x  1   0  2 3 2 3 2 1 x x 3 x   Ta có ln2  ln2 dx dx  ỳ ậy I cũng phân kỳ 2  phân k v 2/3 x 1 3 1 x 2 2 2)  xx 1 e e e 1 2 I
dx ,x  1  x  1    2 3 3 3 x x x ex 1 Ta có  1 1  dx dx   ộ ụ ậy I cũng hộ ụ 3  h i t , v i t 3 1 ex e 1 x 3)  2 2 2x x 2x x 1 I dx . f ( ) x   0 và g( ) x   0  3 3 3  4x 3  4x x 1 Ta có 2 3   f ( ) x 2x x 1 k  lim  lim  Mà ( ) dx g x dx  
 phân kỳ , vậy I cũng 3
x g (x ) x 3  4x 4 x 1 1 phân kỳ. 4)  arctan x arctan x 1 I
dx , f (x )   0,g (x )  0, x   [1,)  3 3 3 4 3 4 1 1 x 1 x x 4   f ( ) x x  3 k  lim  lim(arctan x )  , Mà ( ) dx g x dx   
hội tụ , Vậy I cũng hội 4 4/3
x  g(x) x  1 x 2 x 1 1 tụ. x x f (x)  
 0,x[0,1), lim f (x)  ,  1 5) x 1  x
(1  x )(1  x)(1  x) x   I dx  . 4 2 1 0 4 0 1 x 1 g (x )   0, x
 [0,1), lim g (x)   x1 0 1 x 1 1 f (x) x 1 dx k  lim  lim
 .Mà g(x)dx    hội tụ , Vây I cũng 1/2 x 1 0 x 1  0 2 g (x)
(1  x )(1  x) 2 (1 x) 0 0 hội tụ . 6)I= 1 2 x dx  2 5 3 0 (1 x ) Ta có f(x) = 2 2 x x   0, x  [0,1), lim f ( ) x   2 5 5 5 3 3 1  0 (1 x )
(1 x ) (1 x ) x  g(x) = 1 1   0, x
 [0,1) lim g( ) x   5/3 5 3 1  0 (1   x) (1 x) x 2 f ( ) x x 1 dx k  lim  lim  . Mà 1 1
g(x)dx    phân kỳ , Vậy I cũng x 1 0 x 1  0 3 5 3 5 g (x) (1 5/3 x) 2 (1 x) 0 0 phân kỳ. BÀI IV) NG D ỤNG TPXĐ :
I) Tính diện tích hình phẳng :
1) Diện tích hình thang cong : Theo bài toán tính diện tích thì
diện tích là S = b f( )x dx  y y=f(x) a
2) Diện tích hình :phẳng bất kỳ
Cho hình phẳng giới hạn o a b x
đường y = f(x) , y = g(x) x = a , x = b y y=f(x)
là S = b f (x)  g(x)dx  O a b x y=g(x) a
3)Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đường cong có phương trình tham 
số : x x(t) 
,  t   thì S y(t).x '(t)dt
y y (t )   4)Nếu hình ph t
ẳng đươc cho trong hệ ọa độ cực :Đường cong có  Phương trình 2  () , r r f
     thì S d  . 2 
Ví dụ : 1) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn b ng ởi các đườ 2 1  , x x y y
. Hoành độ giao điểm x = -1 ,x= 1 2 y  y 2 1 x 2 2 1 y  0 x 2 1 x Diện tích S = 1 2 3 1 x x  1 1 2 ( 
)dx  2[arctan x  ]    y 2 0 1  x 2 6 2 3 0
2)Tính diện tích một nhịp Xycloit có phương trình :
x a(t  sint ) 
,a  0,0 t  2  x '(t ) a (1 cost ) 0 x y
  a(1 cost )    Diện tích S = 2 2 2 2 2 2 4 ( ) '( )  (1 cos ) 2 sin t y t x t dt a t dt a dt( BT)    y 2 0 0 0 3)Tính diện tích hình x Diện tích S = 2 2 2 1 1   2 2 2 2 4 r d 
4a (1 cos) d  2a sin d ( BT )    2 2 2 0 00 0
II) Tính thể tích vật thể : y
1) Vât thể bất kỳ : Cho vật thể được giới hạn S(x)
2 mặt x = a , x = b . Cắt vật thể bởi mặt phẳng a 0 b x
góc với ox có hoành độ x , g i ọ S(x) là diện tích c a ủ
thiết diện thì thể tích vật thể là S=b S(x)dxa
2) Vật thể tròn xoay quanh ox: Cho hình thang cong giới hạn bởi
y = f(x) > 0 ,x = a , x = b , tr c
ụ ox quay quanh ox ta được vật thể tròn
xoay có thể tich S = b 2
f (x)dx  y y=f(x) a a o b x
3) Vật thể tròn xoay quanh oy :Cho hình phẳng giới hạn bởi x = g(y) ,y = c , y = d , tr c ụ oy quay quanh oy y x=g(y)
Ta được vật thể tròn xoay có thể tích S = d 2
g (y)dy  o x c
Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường
y = ex , x = 0 , x = 1 , y = 0 quay quanh ox y S=1 2 xex 2 1 2 (e ) dx [ ]  (e 1  )  o 1 x 0 2 2 0
III) Tính độ dài đường cong :
1) Độ dài đường cong y =f(x) với b 2
a x b là S  1 y ' dxa
2) Độ dài đường cong có phương trinh tham số :
x x (t )  2 2 , 
  t   là S
x ' (t ) y ' (t )dt
y y (t ) 
3) Độ dài đường cong trong hệ tọa độ cực có phương trình  2 2
r f () ,      S
r r ' d  
Ví dụ : 1)Độ dài đường y = 2x ,0  x  2 2 2 2 x 1 2 2 2 2 2 S  1 y ' dx  1 x dx  [
1 x  ln x x  1 ]   (BT) 0 2 2 0 0
2)Độ dài đường Axtroit 3 2
x a cos t  2 2 
,0 t  2 là S
x ' (t ) y ' (t )dt  6a  ( BT) 3
y a sin t  0 BÀI TP 1) Tính các TPBĐ sau ; a) 2 sin 2xdx 3 3 2 tan , ) , ) 5 , ) dx , ) dx xdx b c x x dx d e   2    4  cos 2 x x 4  x x 1 x f) x cosx arc tan x x  2 xdx dx , g) dx , ) h
sin(ln x)dx , k) dx , l)  2  2   2  2 sin x x x x 1 x  3x  2 2) Tính các TPXĐ sau : 16 3 2 l n2 ln5 x x 3 dx 1 x e e x x 1 2 2 a) , b) dx ,c) 1e dx ,d ) dx ,e) dx   2    x 2 x  9  x x e 3 2 x 3 x 2 0 1 0 0 2  /4  /2  /4 3  /2 x sin 5 xdx x 2 2 3 f )
tan xdx , g) e cos xdx , ) h k) x 1  x dx ,l) cos x cos xdx      3 cos x 0 0 0 0 /2 0  khi f ( ) x le  Chú thích af (x) a dx   
2 f (x)dx khi f (x) chan   a   0 3) Tính các TPSR sau :    e 0 1/ x 1 dx dx ln ) , ) ) x , ) dx ) e a b c dx d e dx f ) x ln xdx      3  2 2   x x ln x x 2 x x 1 1 x 1 x 2 1 1 0 2 2 2 1 3 ) dx , ) x ) xdx , ) dx g h dx k l     2 2 2 (x 2)(x 1) 1 0 4 x 0 1 x 2 4x x 3 4) Xét sự h i ộ tụ , phân kỳ c a ủ :  2  2  1 1 2 x 3 ln(1  x )   x x 2 a) dx b) dx c) x xe dx d ) dx e) dx  3    sin  x 2 x  1 x e 1 1 2 0 0 0 1 x   5 ln  x x x ln ) ) ) x f dx g dx h dx    3 5 x 5 7 2  x 2e 1 1 1 1 x 1 x 1