
















Preview text:
CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
BÀI I : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TPBĐ)
I) Nguyên hàm :
1) Định nghĩa : Cho hám y = f(x) xác định trong (a,b) . Nếu tồn tại
hàm F(x) sao cho F’(x) =f(x) , x ( , a ) b ta nói F(x) là m t ộ nguyên hàm c a
ủ f(x) trong (a,b).Chẳng hạn :
F(x) = sinx là nguyên hàm c
ủa f(x) = cosx trên R ( vì (sinx)’ = cosx )
F(x) = 2x là nguyên hàm c a ủ f(x) = x trên R 2
2) Các định lý về nguyên hàm:
a) Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì tồn tại nguyên hàm trên đó .
b) Định lý 2: Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]
Nếu G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì G(x)=F(x)+C
II) Tích phân bất định ( TPBĐ ) :
1) Định nghĩa : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì
biểu thức F(x) + C được gọi là TPBĐ của f(x) trên [a,b] . Ký hiệu
f (x)dx F(x) C 2 x
*I cos xdx sin x c , xdx c 2
2) Các tính chất TPBĐ : Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) thì :
a) Tính chất 1: [ f ( )xd ]x' f (x) ; d[ f ( ) x d ]
x f (x)dx
b) Tính chất 2 : d[F(x)] F '(x)dx f (x)dx F( )x c
c) Tính chất 3 : kf (x)dx k f (x)dx , k , R k 0
d) Tính chất 4 : [ f (x) g( )x]dx f (x)dx g(x)dx
e) Tính chât 5 : TPBĐ không phụ thuộc vào biến lấy tích phân.
3) Công thức TPBĐ một số p : hám sơ cấ
a) kdx kxC,C R ,k 0 b) 1 x dx dx 1 , 1 ln ; ; dx x dx c x c c 2 x c 2 1 x x x x c) x a x x
e dx e c ; s a dx
c ,0 a 1 ln a
d) sin xdx cosx ,c cosxdx sinx ,c tan xdx ln cosx ,c cot xdx ln sin x c
e) dx tan ; dx x c
cotx c 2 2 cos x sin x f) dx dx x
arcsin x c ; arcsin c 2 2 2 1 x a x a g) dx dx 1 arctan ; arctan x x c c 2 2 2 1 x a x a a h) dx 1 a x dx 1 x a ln c , ln c 2 2 2 2 a x 2a a x x a 2a x a i) dx 2
ln x x b c 2 x b j) 2 x 2 b 2 x bdx x b
ln x x b c 2 2 Các ví dụ : dx dx x 3 5 (5
)dx 5x dx 3 5 2 3 2 2 2 1) x 5 x 3 x ( 5) x 3 5x 1 x 5 2 3. ln
5ln x x 3 c ln5 2 5 x 5 2) 2 2 2 1 3x (1 x ) 2x dx dx 1 dx dx 2
2arc tan x c 2 2 2 2 2 2 x (1 x ) x (1 x ) x 1 x x 3) 1 cos2 x x sin 2 2 sin x xdx dx c 2 2 4
4)Các phương pháp tính TPBĐ :
4.1) phương pháp đổi biến :
a) Đổi biến x (t) : Cho y = f(x) liên tục đối với biến x và x (t) là hàm
khả vi đơn điệu đối với biến t , thì dx '(t)dt f ( )xdx f[(t)] '(t)dt Ví dụ 1) 2 I
1 x dx . x sin t t arcsin ; x t [
, ] dx cos tdt 2 2 2 2 1 cos 2t t sin 2t
arcsin x sin 2(arcsin x) I
1sin t cos tdt cos tdt dt c c 2 2 4 2 4 dx dt I
. x tan t, t ( , ) t arctan x và dx 2) 2 2 2 x 1 x 2 2 cos t costdt d (sint ) 1 1 I c c 2 2 sin t sin t sin t sin(arctan x)
b)Đổi biến u=u(x) : Cho u=u(x) là hàm khả vi liên tục đối với x
sao cho f(x)dx =g[u(x)]u’(x)dx=g(u)du f (x)dx g(u)du Ví dụ : 1) I= xdx 2 du 2
.u x 3 du 2xdx I
u c x 3 c 2 x 3 2 u 2) I= tan x tan dx e dx dx dx x tan x tan (e 3) 3 e d (tan x) 3 x e 3tan x c 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x
3) I = 1ln x dx x ln x Đặt u = 2 dx 2
1 ln x u 1 ln x 2udu
và ln x u 1 x 2 1 ln x 2 u udu u du 1 1 u 1 1 ln x 1 dx 2 2 (1
)du 2(u ln
) c 2 1 ln x ln c 2 2 2 x ln x u 1 u 1 u 1 2 u 1 1 ln x 1 4) I= 3x x 2 e (e ) x e dx dx 2 x x 2 e 1 (e ) 1 Đăt u = x x
e du e dx 3 x 2 e u 1 dx du (1
)du u arctan x
u c e arctan x e c 2 x 2 2 e 1 u 1 u 1
4.2) phương pháp tích phân từng phần : Cho 2 hàm u =u(x) ,
v =v(x) khả vi , liên tục đối với x .Ta có (uv)’=u’v+v’u (u ) v 'dx . v u ' dx .
u v ' dx uv vdu udv udv uv vdu Ví d : ụ
1)I = xcos xdx . u x du dx,dv cosxdx v sin x I xsin x sin xdx xsin x cosxc 2)I = arctan x dx 2 x Đặt u = arctanx dx dx 1 arctan x dx arctan x 1 x du , dv
v I ( )dx 2 2 2 2 1 x x x x ( x 1 x ) x x 1 x I = 2 arctan x dx d(1 x ) arctanx 1 arctan x x 2
ln x ln(1 x ) c ln c 2 2 x x 2(1 x ) x 2 x 1 x
5) TPBĐ một số hàm sơ cấp: 5.1) Hàm hữu tỷ : a) dx 1 dx 1 I
ln ax b c , a 0 , b) 1 ( ax b)
c ,a 0và 1 ax b a (ax b) a(1 ) Ví d : ụ 1) dx 1 dx 1 I
ln 3x 5 c , 2) I c 4 3 3x 5 3 (2x 5) 6(2x 5) c) dx I 2
ax bx c
Phân tích tam thức bậc 2 thành bình phương đủ và áp dụng các công thức TPBĐ : 2 2 2 2 b c b 2 c b b 2 4 ( ) [( ) ] [( ) ac b ax bx c a x x a x a x ] 2 2 a a 2a a 4a 2a 4a 1 d( x ) Ví d 3) ụ dx 2 2x 1 2 I arctan c 2 x x 1 1 2 3 2 3 3 ( x ) ( ) 2 2 A (2 ) ( Ab ax b B ) d) Ax B 2a 2a I dx dx 2 2
ax bx c
ax bx c I = 2 A
d (ax bx c) Ab dx A 2 ( ) ln ( Ab ) dx B ax bx c B 2 2 2 2a
ax bx c 2a
ax bx c 2a 2a
ax bx c 1 (2x2)6 Ví dụ 4) 2 x 5
1 d( x 2 x 5 ) d( x 1 ) 2 I dx dx 6 2 2 2 2 x 2x 5 x 2x 5 2 x 2x 5 ( x1) 4 1 1 x 1 1 x 1 2 2 I
ln x 2x 5 6. arctan
c ln x 2x 5 3arctan c 2 2 2 2 2 1 5) (2x 2) 4 2 x 3
1 d( x 2 x 3) d( x 1 ) 2 I dx dx 4 2 2 2 2 x 2x 3 x 2x 3 2 x 2x 3 (x 1) 4 1 2 1 x 1 2 1 2 x 1 I
ln x 2x 3 4. ln
c ln x 2x 3 ln c 2 2.2 x 1 2 2 x 3 5.2) Hàm vô tỷ : a) [ ,n I f x (x)]dx Đặt ( ) n n t
x t (x) x (
t) dx '(t)dt I f [ ( t),t] ' (t)dt Ví dụ : 1) dx I 3 1 x 1 Đặt 2 2 3t dt t 11 3 3 3 2 t x 1 t x 1 x t 1
dx 3t dt I 3 dt 1 t t 1 dt 3 3 2 3 2 3
I 3 (t 1) dt 3
(t 1) 3ln t 1 c ( x1 1) 3ln x1 1 c t 1 2 2 2) 1 x I dx x 2 x Đặt t= 2 x 2 x 2t 4t t x dx dt 2 2 2 2 x 2 x t 1 (t 1) 2dt 2 tan 2arctan x I arc t c c 2 t 1 2 x b) dx Ax B I và I dx
( cách làm tương tự TP hữu tỷ ) 2 2
ax bx c
ax bx c 1 Ví dụ 3) (2 x 2) 7 2 x 6
1 d (x 2x 10) d (x 1) 2 I dx dx 7 2 2 2 2 2 x 2x 10 x 2x 10 x 2x 10 (x 1) 9 2 2 I
x 2x 10 7 ln (x 1) (x 1) 9 c 1 (2 2x) 1 4) 2 xdx
1 d (3 2x x ) d (x 1) 2 I dx 2 2 2 2 3 2x x 3 2x x 2 3 2x x 4 (x 1) x 1 2
I 3 2x x arcsin c 2 5.3) Hàm lượng giác:
a) I = f (sin ,xcosx)dx
* Phương pháp chung : Áp dụng công thức lượng giác , đặt: 2 2 x dt 2t 1t 2t 1t 2dt t tan
x 2arctan t dx 2 vàsin x ,cos x I ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t
1 t 1 t 1 t Ví dụ 1) I = dx x 2t 2dt dt 2 2
. t tan sin x ,dx I 2 c c 2 2 2 1 sin x 2 1t 1t (t 1) t 1 tan x 1 2
*Các trường hợp đặc biệt:
- Nếu f(sinx,cosx) là hàm lẽ đối với cosx thì đặt t = cosx
- ------------------------------------------ sinx--------- t = sinx
- ------------------------------chẳn------ cosx ---------t = tanx
- ------------------------------------------ sinx --------- t = cotx Ví dụ 2) 3 4 2 4
I cos x sin xdx (1 sin x) sin x cos xdx Đặt 5 7 5 7 t t sin x sin 2 4 x
t sin x dt cos xdx I (1 t )t dt c c 5 7 5 7 3) dx 1 dx 2 2 (1 tan ) dx I x 6 4 2 2 cos x cos x cos x cos x Đặt 3 5 3 5 dx 2 4 2 t t 2sin x sin tan (1 2 ) sin x t x dt I t t dt t c x c 2 cos x 3 5 3 5
b) I sinaxsinbxdx ,I sinaxcosbxdx ,I cosaxcosbxdx
Áp dụng công thức lượng giác phân tích tích thành tổng Ví dụ 4) sin8x sin 2x cos8x cos2x
I sin 5x cos 3xdx dx c 2 16 4 c) sinn , cosn I xdx I xdx
* Nếu n lẽ thì áp dụng các trường hợp đặc biệt ở trên
* Nếu n chẳn thì áp dụng công thức hạ bậc trong lượng giác Ví dụ 5) 2 1 cos 2x 1 1 cos 2 4 2 x I cos xdx (
) dx ( cos2x )dx 2 4 2 4 x sin 2x 1 cos4x x sin 2x x sin 4x x sin 2x sin 4x I dx c c 4 4 4 4 4 8 2 4 8 6) 5 4 2 2
I sin xdx sin x sin xdx (1 cos x) sin xdx Đặt 3 5 3 5 2t t 2cos x cos 2 2 x
t cos x dt sin xdx I (1 t ) dt t
c cos x c 3 5 3 5
Chú thích : Một số hàm sau không có nguyên hàm dưới dạng sơ cấp : sinx cos x x 2 2 2 e x 1 ,
,sin x ,cosx ,e , , x x ln x x
BÀI II) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
I ) Bài toán tính diện tích hình thang cong y f( ) Y=f(x) i A B O a= x x 0 x x x b i 1 i i n
Cho hinh thang cong AabB được giới hạn bởi đường y = f(x)>0 liên t c ụ
trên [a,b], đường x = a , x = b , tr c ụ ox T
. ính diện tích S c a ủ nó
Chia hình thang cong thành nhiều hình nh b
ỏ ởi các điểm chia trên [a,b]
như sau : a x x x .......... x x ........ . Trên mỗi đoạn 0 1 2 x b i 1 i n
[x , x ] chon ,i 1 , n ,Và x
x x .Khi x
khá bé thì diện tích hình thang cong i 1 i i i i i 1 i
tương ứng trong đoạn đó ấp xĩ vớ x
i diện tích hình chữ nhật có 2 cạnh là n n x
và f ( ) . Vây S f ( )x .Hay S lim f ( )x . i i i i i i 1 n i i1
II)Định nghĩa tích phân xác định(TPXĐ):
Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b] , Chia [a,b] bởi các điểm chia như
trên và cách chọn tương tự bài toán tính diện tích ở trên . Gọi n I f x là t ng t ổ ích phân c a
ủ y = f(x) trêm [a,b] . Khi cho n ( i) i i 1
n sao cho x khá bé , nếu t ng t ổ
ích phân trên tiến tới m t ộ giá trị xác i
định I không phụ thuộc vào cách chia [a,b] và cách chọn điểm trên , ta
gọi giới hạn đó là TPXĐ của y = f(x) trên [a,b] . Ký hiệu :
I= b f (x)dx lim I (maxx 0 ) n i n a Các chú thích : a ) a b a
f (x)dx 0 , ) b
f (x)dx f ( ) x dx a a b
III) Ý nghĩa hình học : Diện tích hình thang cong trong bài toán tính
diện tích ở trên là S = b f( )xdx . a
IV) Định lý điều kiện khả tích : Nếu y = f(x) liên tục trên [a,b] thì
tồn tại TPXĐ ( khả tích ) trên đó .
V) Các tính chất của TPXĐ : 1) b b b b b
kf (x)dx k f (x)dx , và
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx a a a a a 2) Nếu b c b
c [a, b] thì f ( ) x dx
f (x)dx f (x)dx a a c 3) Nếu b b
f (x) g( ) x x [ , a ] b thì
f (x)dx g(x)dx a a 4) Nếu b
m f (x) M x
[a,b]thì m(b a) f (x)dx M (b a) a VI) Các định lý :
1) Định lý giá trị trung bình : Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì b c
[a,b] saocho f (x)dx f (c)(b a) a
2) Định lý đạo hàm theo cận trên : Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm x
(x) f (t )dt là m t ộ nguyên hàm c a ủ f(x) trêm [a,b] a x (x)
a)[ f (t )dt]' f (x) , b)[
f (t )dt ]' f [ ( x)]'(x) Hê quả : a a ( ) x c)[
f (t )dt]' f [ (x)] '(x) f [ (x)] '(x) ( ) x 1 Ví dụ :1. Tìm x 2 1 1 2 1 1 2 [ cos t dt]' cos ( )'cos(sin ) x (sin ) x ' cos cos . x cos(sin ) x 2 2 2 sin x x x x x x x 3 3 cost dt [ cost dt]' 2) 0 0 0 3 lim ( ) lim limcos x 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x' 3) nh l Đị
ý NIUTON-LEPNIT: Nêú f(x) liên t c ụ trên [a,b] có nguyên
hàm là F(x) trên đó thì :
b f (x)dx F( )b F( ) a F( ) x ] b a a Tha Ví d : ụ 2 3 x 8 2 1 x dx ] 0 3 3 0
VII) Các phương pháp TPXĐ : Tương tự như TPBĐ nhưng chú ý khi
đổi biến phải đổi cận tích phân và thay các giá đó vào nguyên hàm đã xác định. Các ví d : ụ 1) 9 3 2 3 x 1 2 t 1 23 I dx , t
x x t dx 2tdt I
2tdt (2t 2)dt x 1 t 1 3 4 2 2 3 e 4 2) dx , 1 ln dx du I u x du I 2 x 1 ln x x 1 1 u 3) 3 2 2 2 2 1 x dx udu u du 1 2 2 2 I
dx , u 1 x x u 1 I (1 )du 2 2 2 x x u 1 u 1 u 1 1 2 2 1 u 1 2 1 1 1 2 1 I [u ln ] 2 ln 2 ln 2 2 u 1 2 3 2 2 1 4) /3 xdx . ; dx I u x du dx dv
v cot x 2 2 sin x sin /4 x /3 /3 /3 3 3
I [x cot I [ x cot ] x
cot xdx [ xcot x ln sin x ] ln /4 /4 9 4 2 /4 2 2 5) e 1 e 1 dx 2 xdx e 1 I
ln(1 x)dx . u ln(1 x) du
,dv dx v x I [x ln(1 x)] 1 1x x 1 1 0 2 e 1 1 e 1 2 1 e 1 2
I [ xln(1 ) x ] (1
)dx [xln(1 )
x x ln(1 ) x ] e 1 0 0 1 0 x a *Chú thích a 2 f ( ) x dx khi f ( ) x chan
f (x)dx 0 a 0
Khi f (x) le
BÀI III) TÍCH PHÂN SUY RỘNG (TPSR) : I)Tích phân suy r ng c ộ ó cận vô cùng :
1) Định nghĩa 1 : Cho hàm y = f(x) xác định trên [ ,a ) , khả tích trên
[a,b] , với mọi b > a . Khi đó TPSR : b
f (x)dx lim
f (x )dx (1) b a a
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói TPSR hội tụ , nếu giới hạn bằng vô cùng hoặc không t n t
ồ ại ta nói TPSR phân kỳ
2) Định nghĩa 2: Cho hàm s
ố y = f(x) xác định trên ( , ] b , khả tích trên
[a,b] , với mọi a < b . Khi đó TPSR : b b
f (x)dx lim
f (x )dx (2) a a
3) Định nghĩa 3 : Cho hàm s
ố y = f(x) xác định trên R , khả tích trên
[a,b] với mọi a,b có a < b . Khi đó TPSR c
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx , c R (3) c
Ví dụ : Tính các TPSR sau : 1) b dx dx 1 b 1 I lim lim[ ] 2 2 1 (x 1) b
(x 1) b 1 x 2 1 1 2) 1 1 dx dx 1 I lim
lim[ln x 3 ] x 3 x 3 a a a a 3) b b x x 2 I e dx lim e dx , t
x x t dx 2tdt I lim 2 t te dt b b 0 0 0 b t t t t 1
u t du d ,
t dv e dt v e
I lim 2[ t
e e ] 2 lim ( 1 ) 2 b b b b e e 4) dx I , 0 x a Nếu b 1 lim dx I
lim[ln x ]b a b b x a khi b 1 Nếu 1 x b 1
1 I lim x dx lim[ ] 1 a a b b a 1 Kết luận dx hôi t khi ụ
1và phân kỳ khi 1 x a
II) Tích phân của hàm không bị chặn trong khoảng lấy tích phân :
1) Định nghĩa 4 : Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b) và lim f ( )x . xb0 Khi đó TPSR b b f ( ) x dx lim
f (x)dx (4) 00 a a
2) Định nghĩa 5 ; Cho hàm y = f(x) xác định trên (a,b] và lim f( )x . xa 0 Khi đó TPSR b b f ( ) x dx lim f ( ) x dx (5) 00 a a
3) Định nghĩa 6 : Cho y = f(x) xác định trên [a ,c)U(c,b] vàlim f (x) . x c Khi đó TPSR b c b f ( ) x dx f ( ) x dx
f (x)dx (6) . c a c
Ví dụ : Tính các TPSR sau : a) 1 1 dx dx 1 1 I lim lim [ ] 2 2 00 0 0 x x x 0 0 b) e e dx d (ln x) I lim
lim [ln ln x ]e 1 00 0 0 x ln x ln x 1 1 c) b b dx I lim
(x a) dx , 0 0 0 ( x ) a a a Khi b dx 1 I lim
lim [ln x a ]b 0 0 0 0 a x a a khi 1 Khi 1 (x a) b 1 1 I lim [ ] a (b a) 0 0 1 khi 1 1 Kết luận b b dx dx và 0
hội tụ khi 1 và phân kỳ khi 1 (x a) (b x) a a III) Các tiêu chuẩn h i ộ t phâ ụ n kỳ c a
ủ TPSR : các tiêu chuẩn này được
minh họa bằng TPSR có cận trên vô cùng( tương tự cho các TPSR khác)
1) Tiêu chuẩn 1 : Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 xác định trên [a,) khả
tích trên [a,b] với mọi b > a sao cho f(x) > g(x) > 0 trên đó ; a) Nếu
g(x)dx phân ky
f (x)dx phân ky a a b) Nếu f ( ) x dx hôi tu ( g ) x dx hôi tu a a
2) Tiêu chuẩn 2 : Cho 2 hàm f(x) , g(x) > 0 , x [ , a ) , Khả tich trên
[a,b] với mọi b > a . G i ọ k = f (x) lim
x g( x) Nếu 0 thì
f (x )dx và g (x )dx cùng hội t ho ụ ặc cùng phân kỳ. a a
Nếu k = 0 thì f(x) < g(x) ( áp dụng tiêu chuẩn 1)
Nêu k = f ( )x g(x) ( áp d ng t ụ iêu chuẩn 1 ) Ví dụ : Xét sự h i ộ t , phâ ụ n kỳ của các TPSR sau : 1) ln(1 ) x dx ln(1 ) x ln 2 I ,x 1 0 2 3 2 3 2 1 x x 3 x Ta có ln2 ln2 dx dx ỳ ậy I cũng phân kỳ 2 phân k v 2/3 x 1 3 1 x 2 2 2) x x 1 e e e 1 2 I
dx ,x 1 x 1 2 3 3 3 x x x ex 1 Ta có 1 1 dx dx ộ ụ ậy I cũng hộ ụ 3 h i t , v i t 3 1 ex e 1 x 3) 2 2 2x x 2x x 1 I dx . f ( ) x 0 và g( ) x 0 3 3 3 4x 3 4x x 1 Ta có 2 3 f ( ) x 2x x 1 k lim lim Mà ( ) dx g x dx
phân kỳ , vậy I cũng 3
x g (x ) x 3 4x 4 x 1 1 phân kỳ. 4) arctan x arctan x 1 I
dx , f (x ) 0,g (x ) 0, x [1,) 3 3 3 4 3 4 1 1 x 1 x x 4 f ( ) x x 3 k lim lim(arctan x ) , Mà ( ) dx g x dx
hội tụ , Vậy I cũng hội 4 4/3
x g(x) x 1 x 2 x 1 1 tụ. x x f (x)
0,x[0,1), lim f (x) , 1 5) x 1 x
(1 x )(1 x)(1 x) x I dx . 4 2 1 0 4 0 1 x 1 g (x ) 0, x
[0,1), lim g (x) x1 0 1 x 1 1 f (x) x 1 dx k lim lim
.Mà g(x)dx hội tụ , Vây I cũng 1/2 x 1 0 x 1 0 2 g (x)
(1 x )(1 x) 2 (1 x) 0 0 hội tụ . 6)I= 1 2 x dx 2 5 3 0 (1 x ) Ta có f(x) = 2 2 x x 0, x [0,1), lim f ( ) x 2 5 5 5 3 3 1 0 (1 x )
(1 x ) (1 x ) x g(x) = 1 1 0, x
[0,1) và lim g( ) x 5/3 5 3 1 0 (1 x) (1 x) x 2 f ( ) x x 1 dx k lim lim . Mà 1 1
g(x)dx phân kỳ , Vậy I cũng x 1 0 x 1 0 3 5 3 5 g (x) (1 5/3 x) 2 (1 x) 0 0 phân kỳ. BÀI IV) ỨNG D ỤNG TPXĐ :
I) Tính diện tích hình phẳng :
1) Diện tích hình thang cong : Theo bài toán tính diện tích thì
diện tích là S = b f( )x dx y y=f(x) a
2) Diện tích hình :phẳng bất kỳ
Cho hình phẳng giới hạn o a b x
đường y = f(x) , y = g(x) x = a , x = b y y=f(x)
là S = b f (x) g(x)dx O a b x y=g(x) a
3)Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đường cong có phương trình tham
số : x x(t)
, t thì S y(t).x '(t)dt
y y (t ) 4)Nếu hình ph t
ẳng đươc cho trong hệ ọa độ cực :Đường cong có Phương trình 2 () , r r f
thì S d . 2
Ví dụ : 1) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn b ng ởi các đườ 2 1 , x x y y
. Hoành độ giao điểm x = -1 ,x= 1 2 y y 2 1 x 2 2 1 y 0 x 2 1 x Diện tích S = 1 2 3 1 x x 1 1 2 (
)dx 2[arctan x ] y 2 0 1 x 2 6 2 3 0
2)Tính diện tích một nhịp Xycloit có phương trình :
x a(t sint )
,a 0,0 t 2 x '(t ) a (1 cost ) 0 x y
a(1 cost ) Diện tích S = 2 2 2 2 2 2 4 ( ) '( ) (1 cos ) 2 sin t y t x t dt a t dt a dt( BT) y 2 0 0 0 3)Tính diện tích hình x Diện tích S = 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 r d
4a (1 cos) d 2a sin d ( BT ) 2 2 2 0 00 0
II) Tính thể tích vật thể : y
1) Vât thể bất kỳ : Cho vật thể được giới hạn S(x)
2 mặt x = a , x = b . Cắt vật thể bởi mặt phẳng a 0 b x
góc với ox có hoành độ x , g i ọ S(x) là diện tích c a ủ
thiết diện thì thể tích vật thể là S=b S(x)dx a
2) Vật thể tròn xoay quanh ox: Cho hình thang cong giới hạn bởi
y = f(x) > 0 ,x = a , x = b , tr c
ụ ox quay quanh ox ta được vật thể tròn
xoay có thể tich S = b 2
f (x)dx y y=f(x) a a o b x
3) Vật thể tròn xoay quanh oy :Cho hình phẳng giới hạn bởi x = g(y) ,y = c , y = d , tr c ụ oy quay quanh oy y x=g(y)
Ta được vật thể tròn xoay có thể tích S = d 2
g (y)dy o x c
Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường
y = ex , x = 0 , x = 1 , y = 0 quay quanh ox y S=1 2 x e x 2 1 2 (e ) dx [ ] (e 1 ) o 1 x 0 2 2 0
III) Tính độ dài đường cong :
1) Độ dài đường cong y =f(x) với b 2
a x b là S 1 y ' dx a
2) Độ dài đường cong có phương trinh tham số :
x x (t ) 2 2 ,
t là S
x ' (t ) y ' (t )dt
y y (t )
3) Độ dài đường cong trong hệ tọa độ cực có phương trình 2 2
r f () , là S
r r ' d
Ví dụ : 1)Độ dài đường y = 2x ,0 x 2 là 2 2 2 x 1 2 2 2 2 2 S 1 y ' dx 1 x dx [
1 x ln x x 1 ] (BT) 0 2 2 0 0
2)Độ dài đường Axtroit 3 2
x a cos t 2 2
,0 t 2 là S
x ' (t ) y ' (t )dt 6a ( BT) 3
y a sin t 0 BÀI TẬP 1) Tính các TPBĐ sau ; a) 2 sin 2xdx 3 3 2 tan , ) , ) 5 , ) dx , ) dx xdx b c x x dx d e 2 4 cos 2 x x 4 x x 1 x f) x cosx arc tan x x 2 xdx dx , g) dx , ) h
sin(ln x)dx , k) dx , l) 2 2 2 2 sin x x x x 1 x 3x 2 2) Tính các TPXĐ sau : 16 3 2 l n2 ln5 x x 3 dx 1 x e e x x 1 2 2 a) , b) dx ,c) 1e dx ,d ) dx ,e) dx 2 x 2 x 9 x x e 3 2 x 3 x 2 0 1 0 0 2 /4 /2 /4 3 /2 x sin 5 xdx x 2 2 3 f )
tan xdx , g) e cos xdx , ) h k) x 1 x dx ,l) cos x cos xdx 3 cos x 0 0 0 0 /2 0 khi f ( ) x le Chú thích a f (x) a dx
2 f (x)dx khi f (x) chan a 0 3) Tính các TPSR sau : e 0 1/ x 1 dx dx ln ) , ) ) x , ) dx ) e a b c dx d e dx f ) x ln xdx 3 2 2 x x ln x x 2 x x 1 1 x 1 x 2 1 1 0 2 2 2 1 3 ) dx , ) x ) xdx , ) dx g h dx k l 2 2 2 (x 2)(x 1) 1 0 4 x 0 1 x 2 4x x 3 4) Xét sự h i ộ tụ , phân kỳ c a ủ : 2 2 1 1 2 x 3 ln(1 x ) x x 2 a) dx b) dx c) x xe dx d ) dx e) dx 3 sin x 2 x 1 x e 1 1 2 0 0 0 1 x 5 ln x x x ln ) ) ) x f dx g dx h dx 3 5 x 5 7 2 x 2e 1 1 1 1 x 1 x 1