Chương1: Biến cố và xác suất của biến cố | Bài giảng Xác suất thống kế | Học viện ngân hàng

XÁC SUẤT – THỐNG KÊ
Giáotrình: Lý thuyết xác suất và thống kê toán – Nguyễn Cao Văn và
Trần Thái Ninh – NXB ĐH KTQD – 2012 Bàitập:
1. Lý thuyết xác suất và thống kê toán – Nguyễn Cao Văn và
Trương Giêu – NXB KHKT – 2009
2. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học (dành cho sv các
trường kinh tế ) - T. A. Hải; N. V. An; B. D. Phú - NBGBD – 2019.
Thiết bị: nên Máy tính Casio fx – 570ES PLUS,… hvnh.edu.vn XÁC SUẤT - THỐNG KÊ
1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác xuất. Một số quy luật
phân phối xác suất thông dụng
3. Biến ngẫu nhiên 2 chiều 4. Cơ sở lý thuyết mẫu 5. Ước lượng tham số
6. Kiểm định giả thuyết thống kê
A. Nhắc lại kiến thức về giải tích tổ hợp
1. Hoán vị: Giả sử có n phần tử xếp vào n vị trí. Số cách đổi chỗ của n phần tử
cho nhau – số hoán vị của n phần tử đó, bằng n!
2. Tổ hợp: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ n phần tử (k≤ n), 2 cách lấy là khác
nhau nếu giữa chúng có ít nhất 1 phần tử khác nhau (không quan tâm đến vị
trí, hay thứ tự lấy): Số cách lấy là Ckn cách.
3. Chỉnh hợp: Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử, 2 cách lấy là khác nhau
nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các
phần tử là khác nhau. Số cách lấy ra như vậy – chỉnh hợp chập k của n. Ký hiệu Akn = n!/(n-k)!
Ví dụ: chọn ngẫu nhiên ra 2 người từ nhóm người A,B,C để đi làm nhiệm vụ. Ai
được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng. Tính số cách chọn? A23
• Chú ý: Có 4 cách lấy ra k phần tử từ n phần tử:
- C1: Lấy ra theo nghĩa tổ hợp; (số phần tử: ?)
- C2: Lấy ra theo nghĩa chỉnh hợp; (số phần tử: ?)
- C3: Lấy ra từng phần tử không hoàn lại k lần; (số phần tử: ?)
- C4: Lấy ra từng phần tử (k lần lấy), mỗi lần lấy xong đều có hoàn lại. (số phần tử: ?)
! Phân biệt 4 cách trên như sau: B. XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
1. Phépthử ngẫu nhiênvàkhônggianmẫu;
2. Biếncốvàmốiquanhệgiữachúng;
3. Xácsuấtcủamộtbiếncố;
4. Cácquytắctínhxácsuất.
Lý thuyết xác suất là “toán học của các ngẫu nhiên”
Ngẫu nhiên? Những sự việc xảy ra trong tình huống mà ta không
thể dự báo được kết quả của nó như thế nào một cách chắc chắn.
Trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp những câu nói: mai trời
sẽ mưa, giá mặt hàng A có thể sẽ giảm.. Đây chính là sự khẳng định về việc
xảy ra các sự kiện đó.
Toán học đã lượng hoá việc khả năng xảy ra các sự kiện này bằng
các con số thuộc [0,1] – xác suất của các sự kiện. Con số đó càng nhỏ thì
khả năng xảy ra càng thấp, càng lớn thì khả năng xảy ra càng cao.
1. Phépthử ngẫu nhiênvàkhônggianmẫu
Một hành động mà kết quả không thể dự báo chắc chắn
trướcđượcgọilàmột“phépthử ngẫunhiên”
Ví dụ: khi gieomộtcon xúcxắcđồng chất, takhông biếtchắc
chắnlànósẽxuất hiện mặt mấychấm.
Việcgieoconxúcxắclàmộtphépthửngẫunhiên.
! Kýhiệuphépthửngẫunhiên: τ
! Tậphợptấtcảcáckếtquảcủaphépthửτ gọilàKhônggian mẫu, kýhiệulàΩ:
Ω =tập tấtcảcác kếtquảcóthểxảyracủaτ
2.Biến cố và mối quan hệ giữa chúng
a. Biến cố: Các kết quả có thể có khi thực hiện một phép thử τ được
gọi là biến cố. Thường ký hiệu: Chữ in hoa
A=”nội dung của biến cố”
! Một kết quả của τ đgl “kết quả thuận lợi” cho biến cố A nếu A xảy
ra khi kết quả đó xảy ra. Tập các kết quả thuận lợi cho A ký hiệu là ΩA .
! Mỗi kết quả của τ là một biến cố.
! Biến cố không thể: Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử τ (∅).
! Biến cố chắc chắn: biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử (𝜔).
b. Mối quan hệ giữa các biến cố
! Quan hệ kéo theo: Biến cố A đgl kéo theo biến cố B, ký hiệu A Í B
ó A xảy ra thì suy ra B xảy ra.
! Quan hệ tương đương: A và B đgl tương đương với nhau, ký hiệu
A = B khi và chỉ khi A kéo theo B và B kéo theo A.
! Biến cố đối: Biến cố đối của A, ký hiệu Ā: Ā xảy ra nếu A không xảy ra.
c. Các phép toán trên biến cố
! Phép hợp các biến cố: ký hiệu A U B
ĐN: AÈB xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
! Phép giao của các biến cố: A.B.
ĐN: A.B xảy ra ó cả A và B cũng xảy ra.
Ví dụ 1: Có 3 người cùng bắn vào 1 mục tiêu một cách độc lập.
Ak= “người thứ k bắn trúng mục tiêu”:
Hãy xây dựng các biến cố sau:
a. Chỉ có người thứ 1 bắn trúng mục tiêu;
b. Chỉ có 1 người bắn trúng mục tiêu;
c. Chỉ có 2 người bắn trúng mục tiêu;
d. Có người bắn trúng mục tiêu.
! Tính chất chung của các phép toán
! ∪ ! = !! ∪ !!; !!. ! = !!. !!; !!!! ∪ ! = !!; !!!. ! = !!!
! ∪ Ω = !Ω; !!!!. Ω = !!; !!! ∪ ∅ = !!; !!. ∅ = ∅!
! ∪ !. ! = ! ∪ ! . ! ∪ ! ; !!!. ! ∪ ! = !!. !! ∪ !. !!
!"= ! !!∪ !!;!!! ∪ ! = ! !!! !
3. Xác suất của biến cố
Toán học đã lượng hoá được khả năng xảy ra của biến cố A, lượng
hoá này gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A): 0≤ P(A) ≤ 1.
a. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Giả sử 1 phép thử τ có tất cả n kết quả đồng khả năng, trong đó có m
kết quả thuận lợi cho A. Khi đó P(A) = m/n
Ví dụ 2 : Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất, tính khả năng xuất
hiện mặt có số chấm chẵn.
Chú ý: Từ tính đối xứng của phép thử, các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
b. Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học
Ví dụ 3: giả sử người ta bắn vào một cái bia ở tầm gần, sao cho việc
trúng mỗi điểm trên bia là như nhau. Tính xác suất bắn trúng hồng tâm (vòng 10)?
ĐN: Giả sử phép thử T có vô số kết cục đồng khả năng, có thể biểu
diễn như là điểm của miền hình học Ω nào đó, các kết quả thuận lợi
cho biến cố A được biểu diễn như là điểm của miền hình học ΩA nào đó. Khi đó
P(A) = độ đo của ΩA / độ đo của Ω
c. Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê
Việc tính khả năng để một máy nào đó sản xuất ra phế phẩm, ta
không thể dùng 2 ĐN trên mà phải dựa vào quan sát thực tế => định
nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê
Một thí dụ thực nghiệm như sau: Người Số lần tung Số lần mặt Tần suất sấp Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005
Ta thấy số lần sấp/số lần gieo ≈ 0.5 = xác xuất của biến cố xuất hiện mặt sấp.
ĐN: Giả sử phép thử τ được lặp đi, lặp lại nhiều lần trong những điều
kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì
f(A) =m/n – tần suất xuất hiện biến cố A
Khi n tăng lên vô cùng, tần suất ≈ P(A)
Cả 3 định nghĩa về xác suất ở trên, có tính chất sau: ! 0 ≤ P(A) ≤ 1; ! P(Ø) = 0; P(Ω) = 1;
! Nếu P(A) > P(B) thì khả năng xuất hiện của A là nhiều hơn.
d. Nguyên lý xác suất nhỏ, NLXS lớn
NLXS nhỏ: nếu 1 biến cố có xác suất rất nhỏ, trên thực tế có thể cho
rằng phép thử mà biến cố đó xuất hiện sẽ không xảy ra.
NLXS lớn: một biến cố có xác suất rất (lớn) gần 1, trên thực tế có thể
cho rằng biến cố này sẽ xảy ra.
Hai nguyên lý này được ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống khi xét
sự tin cậy của một khẳng định nào đó. Người ta thường đầu tư vào
những lĩnh vực ít rủi ro hoặc xác suất thành công cao.
4. Các quy tắc tính xác suất 4.1. Quy tắc cộng
Nếu các biến cố Ai: i = 1..n liên quan tới phép thử τ là các biến cố
xung khắc từng đôi một (Ai. Aj = Ø), thì ! ! P A! = P(A!) ! !!! !!!
Ví dụ 1: Trong 1 lô sp gồm 200 sản phẩm của nhà máy A có 60
sp của tổ 1, 80 sp của tổ 2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm xác suất để
sp đó thuộc tổ 1 hoặc tổ 2? Tính chất: ! P(A) = 1 – P(Ā) (1); P(ĀB) = P(B) – P(AB) (2); ! Câu hỏi: P(A$B)=???
Chú ý: gắn với công thức cộng xác suất là điều kiện xung khắc.
Nếu không có điều kiện xung khắc từng đôi. Ta có công thức cộng xs TQ: $ $ P ' A! =) P(A!) − ) 𝑃A!A' + )
PA!A'A( + ⋯ + −1$)#P(A#A* … A$) !"# !"# #%!&'%$ #%!&'&(%$
Ví dụ 3: Một công ty QC một loại dịch vụ: 40% người biết qua truyền hình, 35% qua truyền thanh và 10% qua cả 2
hình thức thông tin. Tính tỷ lệ khách hàng nắm được thông tin?
Ví dụ 4: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ thanh toán là T1, T2. Tỷ lệ
khách hàng dùng T1, T2 tương ứng là 60%, 55% và cả hai loại thẻ là
30%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng. Tính xác suất để:
1. Người đó có sử dụng thẻ ngân hàng?
2. Người đó không sử dụng thẻ ngân hàng?
3. Người đó chỉ sử dụng một loại th ? ẻ
4.2. Xác suất có điều kiện (việc xảy ra biến cố này ảnh hưởng bc khác)
Ví dụ 5: Trong ví có 20 tờ tiền. Biết rằng, trong đó có 6 tờ 500
ngàn, 5 tờ tiền giả, trong số tiền giả có 4 tờ 500 ngàn. Rút ngẫu
nhiên 1 tờ tiền. Tính xác suất tờ đó là giả trong các trường hợp sau: (A)
a. Trước khi rút không biết mệnh giá của tờ tiền?
b. Trước khi rút đã thấy đó là tờ 500 ngà ? n P(A) = |ΩA|/|Ω| = 5/20; P(A|loại 500 ngàn) = 4/6
ĐN: GiảsửP(A)> 0.XácsuấtcóđiềukiệncủabiếncốB vớiđiềukiệnbiếncốA đãxảyra
làmộtsốkhôngâmkýhiệuP(B|A), nóbiểuthịkhảnăngxảyracủabiếncốB khibiếncố A đãxảyra: P(B|A)= P(A.B)/P(A)
Vídụ6:Tronghộpkíncó6 thẻATM củaBIDVvà4 thẻcủa MB. Lấyngẫu nhiênlầnlượt
2 lần, mỗi lần1 thẻtheophương thứckhông hoànlại. Tínhxácxuấtđểlầnthứ 2 lấy
đượcthẻcủaMB,nếubiếtlần1 đãlấyđượcthẻcủaBIDV.
C=“lấyngẫu nhiênkhônghoànlại2 thẻ…”
A:“lần1 rútđượcthẻcủaBIDV”
B:“lần2 rútđượcthẻcủaMB”
CầntínhP(C)= P(B|A)= P(AB)/P(A) P(A) =6/10 P(AB) =6.4/(10.9) Vậy: P(B|A)=4/9
Ví dụ 7: Một người lấy ngẫu nhiên 2 thẻ thanh toán trong 6 thẻ:
trong đó có 4 thẻ thuộc ngân hàng N1 và 2 thẻ thuộc ngân hàng
N2. Khả năng được chọn của mỗi thẻ là như nhau.
a. Tính xác suất để người đó lấy được 2 thẻ đều của của ngân
hàng N1, biết rằng người ấy lấy ra ít nhất 1 thẻ của N1?
b. Giả sử trong 6 thẻ nêu trên, có 1 thẻ đánh mã X của ngân hàng
N1. Tính xác suất để thẻ này được lấy? Tính xác suất để thẻ mã
X được lấy, nếu biết rằng người ấy đã lấy ra ít nhất 1 thẻ của ngân hàng N1.
a. B = “Hai thẻ được chọn đều là của N1”;
A = “Ít nhất 1 thẻ được chọn là của N1”
P(B|A) = P(BA)/P(A) = P(B)/P(A) = P(B)/(1-p(Ā)) = (C24/C26)/(1 – 1/C26) = 3/7
b. C = “Thẻ mã X được chọn” P(C) = (1*5)/C26 = 1/3
P(C|A) = P(CA)/P(A) = P(C)/( 1 – p(Ā)) = (1/3)/ ( 1 – 1/C26) = 5/14 Chú ý:
! Ta có P(A|B) = 1 – P(Ā|B);
! Nếu A kéo theo B thì P(B|A) = 1;
! Nếu B kéo theo A thì A.B = B => P(B|A) = P(B)/P(A) (**).
4.3. Quy tắc nhân xác suất
ĐN: Hai bc A và B đgl độc lập với nhau nếu P(Ā|B) = P(Ā) hoặc P(B|A) = P(B)
(A xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng gì tới B).
Dễ thấy nếu P(B) > 0 thì P(AB) = P(A)P(B|A)
Chú ý: Nếu A, B độc lập thì ! P(AB) = P(A)P(B)
Trong trường hợp họ các biến cố là phụ thuộc:
P(A1…An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) Chứng minh:
Vídụ8:Mộtngườicó3 chitiếtmáyloạiI,2 chitiếtmáyloạiIIđượcđểchungtrong
mộtchiếchộp. Kháchhàngthứnhấtđếnmuachitiếtmáyđó, ngườibánlấyngẫunhiên 1 chitiết.
1. Tínhxácsuấtđểkháchhàngthứnhấtmuađượcchitiếtloại1?Kháchhàngthứ 2
đếnmua, ngườibánlại lấyngẫunhiên1 cái.
2. Tínhxácsuấtđểkháchhàng thứ2 muaphảichitiếtloại2?
3. Xácsuấtnàylàbaonhiêu, nếungười bán quênmấtchitiếtbánlúcđầulàchitiết loạimấy?
Ai=“ngườithứi muađượcchitiếtloại1”:i=1,2; 1.P(A1)=3/5
2.P(Ā2|A1)=1–P(A2|A1) =1–2/4=1/2
3.P(Ā2)=P(Ā2.Ω)= P[Ā2. (A1 UĀ1)]= P(Ā2A1 UĀ2Ā1)
= P(A1)P(Ā2|A1)+P(Ā1).P(Ā2|Ā1)=(3/5).(1/2)+(2/5).(1/4)
Vídụ9:Bắnliêntiếpvàomụctiêu, chođếnkhicó1 viênđạnđầutiêntrúng thì dừnglại.
Tìmxácsuấtđểsaochophảibắntớiviênthứ4.Biếtrằngxácsuấtbắntrúng củamỗilần lànhưnhau, bằng0,3.
Ai=“lầnthứi bắntrúngmụctiêu” A=“bắnđếnlầnthứ4” P(A)= P(Ā1 Ā Ā A 2 3 4) =?
Cóđiềukiện: P(Ai+1|Ai) = 0; P(Ai+1|Āi) = 0.3; Āi+1. Āi=Āi+1
Gắnvớicôngthứcnhânxácsuấtlàtínhđộclậpcủabiếncố. Công thức nhân:
! HaibiếncốA.BđộclậpthìP(AB) = P(A)P(B)
! Họ{Ai:i=1…n}đgl độclậptoànphầnnếu nóđộclậptừngđôimộtvàmỗibiếncốđộc
lậpvớigiaocủamộtsốtuỳý cácbiếncốcòn lại.
Khiđó: P(A1A2…An) = P(A1)P(A )…P(A 2 n)
Ví dụ 10: Một lô hàng gồm 100 sp, trong đó có 10 phế phẩ . m Rút ngẫu nhiên lần
lượt 4 sản phẩm theo kiểu có hoàn lại. Nếu tất cả 4 sản phẩm đều tốt, thì lô hàng
được chấp nhận. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận.
Chú ý: ĐLTP => ĐL đôi một, ngược lại?
Phản ví dụ: Gieo một khối tứ diện đều, có mặt 1 sơn đỏ, mặt 2 sơn xanh, mặt 3
sơn vàng, mặt 4 sơn cả xanh, đỏ và vàng. Dễ thấy 3 biến cố: lấy được mặt có sơn
màu đỏ, mặt có sơn màu xanh, mặt có sơn màu vàng độc lập đôi một nhưng
không độc lập toàn phần! P(Đ) = P(X) = P(V) = 2/4=1/2; P(Đ|X)= P(X|V) = P(Đ|V) = ½
Vậy: Đ,X,V độc lập đôi 1. Mà P(ĐXV) = ¼ khác P(Đ)P(X)P(V) nên không độc lập toàn phần.
4.4. Công thức xác suất đầy đủ
ĐN: Họ các biến cố {H1, H2, … , Hn} được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố nếu nó
thoả mãn 2 điều kiện sau:
Hi.Hj = Æ với mọi i khác j; n H = Ω ∪ i i=1
Ví dụ (hệ đầy đủ các biến cố)
Định lý: (CT XS đầy đủ) Giả sử có nhóm đầy đủ các biến cố {H1, H2, … , Hn} có
xác suất khác 0. A là biến cố nào đó trong cùng một phép thử. Khi đó: n P(A) =∑P(H )P(A | H ) i i i=1
Ví dụ 11: Có 3 hộp đựng sản phẩm như sau:
Hộp 1: 6 chính phẩm; 4 phế phẩm;
Hộp 2: 10 chính phẩm; 5 phế phẩm;
Hộp 3: 15 chính phẩm; 5 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 2 sp. Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra
có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm?
- {Hi: sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ I}- nhóm đầy đủ các bc.
- A: sp lấy ra là chính phẩm. - P(A) = ΣP(Hi)P(A|Hi) = …
Nhậnxét: Nếu một phép thử gồm 2 giai đoạn, biến cố A liên quan đến giai
đoạn sau, thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu là một nhóm đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 2: Trong 1 trạm cấp cứu bỏng, thấy 80% bỏng do nóng; 20% bỏng do hoá
chất. Loại bỏng do nóng có 30% bị biến chứng, bỏng do hoá chất có 50% bị biến
chứng. Từ tập hồ sơ bệnh án, rút ngẫu nhiên 1 bệnh án. Tìm xác suất để rút được
bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng?
Chúý: không phải lúc nào cũng cần phải có 2 giai đoạn. 4.5. Công thức Bayes
(Cơ bản và quan trọng trong LTXS – trong mọi giáo trình)
Định lý: GiảsửbiếncốA cóthểxảyrađồngthờivới1 trongn bcH1,H2,…,Hn, vànhóm
nàytạonên nhómđầyđủ cácbiếncố. Khiđó Nhậnxét:
- {Hi}-giảthiết, P(Hi)–đượcxácđịnhtrướckhiphépthửđượctiếnhành– xácsuất tiênnghiệm; - P(H nghiệm
i|A) –đượcxácđịnhsaukhiphépthửđượctiếnhành– xácsuấthậu .
CôngthứcBayesđánh giá lại xác suất xảy ra các giả thiết khiđãbiếtkếtquảcủaphép
thửlàbiếncốA đãxảyra.
Ví dụ 12: Có 3 hộp đựng sản phẩm:
H1: 6 chính phẩm, 4 phế phẩm;
H2: 10 chính phẩm, 5 phế phẩm;
H3: 15 chính phẩm, 5 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm, thấy nó là phế phẩm.
a. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc hộp 1.
b. Sản phẩm đó có khả năng thuộc hộp nào cao nhất?
Ví dụ 13: Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về một loại hàng hoá, thấy có:
34 người trả lời “sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể sẽ mua”, 70 người trả lời “không mua”.
Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương
ứng với các cách trả lời trên là: 40%, 20%, 1%.
a. Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó?
b. Trong số khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm, có bao nhiêu
phần trăm đã trả lời là “sẽ mua”?
Chú ý: Trong công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes: có thể thay
điều kiện nhóm đầy đủ các biến cố Hi bởi điều kiện xung khắc từng đôi 1 và A ⊂ H1∪ H2∪ …. ∪ Hn Bài tập (XSTP – Bayes):
1. Một lô hàng có 60% sản phẩm của máy A, 40% sp của máy B. Tỷ lệ phế
phẩm tương ứng của các máy A, B là 3%, 4%. Lấy ngẫu nhiên 1 sp để kiểm tra.
a. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm?
b. Giả sử đã lấy được phế phẩm, thì phế phẩm đó có khả năng do máy nào sản xuất hơn.
2. Có 2 hộp đựng thẻ ATM. Hộp thứ nhất có 6 thẻ của BIDV, 4 của
MB, Hộp thứ 2 chứa 7 thẻ của BIDV và 3 thẻ của MB.
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, và từ đó lấy ra 2 thẻ:
a. Tìm xác suất để lấy được 2 thẻ của BIDV?
b. Tìm xác suất để lấy được 1 thẻ của BIDV?
c. Giả sử lấy được 2 thẻ của BIDV. Tìm xác suất để 2 thẻ đó thuộc hộp thứ nhất?
Hi: hộp lấy ra là hộp i: i = 1,2; P(Hi) = 0.5
{H1, H2} nhóm đầy đủ các biến cố vì …
a. X =“2 thẻ lấy ra đều của BIDV”
P(X) = P(H1). P(X|H1) + P(H2)P(X|H2) = 0.5 . C26/C210+ 0.5.C27/C210=0.4
b. Y = “lấy được 1 thẻ của BIDV trong 2 thẻ lấy ra” P(Y) = P(H 1 2
1). P(Y|H1) + P(H2)P(Y|H2) = 0.5 . (C 6. C14)/C 10 + 0.5.(C17. C13)/C210
c. P(H1|X) = [P(H1)P(X|H1)]/P(X)
3. Có 2 lô hàng: lô thứ nhất có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm, lô thứ 2 có 7 chính
phẩm, 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ 2,
sau đó từ lô thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm:
a. Tìm xác suất để lấy được 2 chính phẩm?
b. Tìm xác suất để lấy được 1 chính phẩm?
c. Giả sử đã lấy được 2 chính phẩm. Tìm xác suất để 2 sản phẩm đó là chính
phẩmđã được bỏ từ hộp 1 sang?
H1: “lấy được 2 chính phẩm từ lô 1 bỏ sang lô 2”
H2: “lấy được 2 phế phẩm từ lô 1 bỏ sang lô 2”
H3: “lấy được 1 chính phảm 1 phế phẩm từ lô 1 bỏ sang lô 2”
{H1, H2, H3} tạo thành nhòm đầy đủ các biến cố vì … P(H1) = C26/C210 P(H2) = C24/C210 P(H3) = (C16.C14)/C210
a. A =“lần sau lấy ở lô 2 được 2 chính phẩm”
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3)
= (C26/C210).(C29/C212) + (C24/C210).(C27/C212) + ((C1 1 6.C 4)/C210).(C28/C212)
b. B =“Trong 2 sản phẩm lấy ra lần 2 có một chính phẩm”
P(B) = P(H1)P(B|H1) + P(H2)P(B|H2) + P(H3)P(B|H3)
= (C26/C210)((C19.C13)/C212)) + (C24/C210).((C17.C15)/C212)) + ((C1 2 6.C14)/C210).((C18.C14)/C 1 ) 2 )
c. P(H1|A) = P(AH1)/P(A) = [P(H1)P(A|H1)]/P(A)
= [(C26/C210) (C29/C212)]/P(A) = …
4. Trong kho có 3 chi tiết loại 1 và 2 chi tiết loại 2. Xác suất để sau
1 năm hoạt động chi tiết bị hỏng tương tứng là 0.1 và 0.2
a. Lấy ngẫu nhiên 2 chi tiết ra sử dụng. Tính xác suất để sau 1
năm không có chi tiết nào bị hỏng?
b. Giả sử sau 1 năm hoạt động có 1 chi tiết bị hỏng. Tính xác suất
để đó là chi tiết loại 2?
H1 =“2 chi tiết lấy ra là loại 1”
H2 =“2 chi tiết lấy ra là loại 2”
H1 =“ trong 2 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết là loại 1, một chi tiết là loại 2”
{H1, H2, H3} tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố vì P(H 2 2 1) = C23/C 5 P(H2) = C22/C 5 P(H3) = C13C12/ C25
a. A=“sau một năm 2 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào bị hỏng”
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3)
= (C23/C25).0,92 + (C22/C25). 0,82 + (C1 1 2 3C 2/ C 5).0,9. 0,8
b. B = “sau 1 năm hoạt động, trong 2 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết bị hỏng”
P(B) = P(H1)P(B|H1) + P(H2)P(B|H2) + P(H3)P(B|H3)
= (C23/C25)(0,9.0,1 + 0,1.0,9) + (C22/C25)(0,8.0,2 + 0,2.0,8)
+ (C13C12/ C25)(0,9.0,2 + 0,1.0,8) = 0,242
c. “ Chi tiết bị hỏng trong 2 chi tiết lấy ra là chi tiết loại 2”
Ta cần tính P(C|B) = P(BC)/P(B) = P(C)/P(B) do C => B
P(C) = P(H1)P(C|H1) + P(H2)P(C|H2) + P(H3)P(C|H3) với
P(C|H1) = P(chi tiết bị hỏng là chi tiết loại 2 trong 2 chi tiết loại 1 đã lấy ra)
= P(biến cố không thể) = 0
P(C|H2) = P(Chi tiết bị hỏng là chi tiết loại 2 trong 2 chi tiết loại 2 lấy ra) = 0,8.0,2
P(C|H3) = P(Chi tiết bị hỏng là chi tiết loại 2 trong 2 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết loại
1 và 1 chi tiết loại 2) = 0,9.0,2
Vậy P(C|B) = (0 + C22/ C25 .0,8.0,2 + C13C15.0,9.0,2)/0,242
5. Một xí nghiệp có 2 dây chuyền cùng lắp ráp một loại sản phẩm với tỷ lệ phế
phẩm tương ứng là 2% và 3%. Một khách hàng mua 2 sản phẩm của xí nghiệp
đó. Tính xác suất để khách hàng mua được: a. 2 chính phẩm? b. Một chính phẩm?
H1 =“2 sản phẩm lấy ra của dây chuyền 1”
H2 =“2 sản phẩm lấy ra của dây chuyền 2”
H3 =“2 sản phẩm lấy ra có 1 của dây chuyền 1 và 1 của dây chuyền 2”
{H1, H2, H3} – nhóm đấy đủ các biến cố
Số các cách lấy ra 2 sản phẩm là: (sp1,sp2); (sp2,sp1); (sp1,sp1); (sp2,sp2)
Vì vậy: P(H1) = ¼ = P(H2); P(H3) = ½
a. X = “2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm”
P(X) = P(H1)P(X|H1) + P(H2)P(X|H2) + P(H3)P(X|H3)
= 1/4. 0,982 + 1/4. 0,97+2 + 1/2. 0,98.0,97
b. Y = “trong 2 sản phẩm lấy ra có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm”
P(Y) = P(H1)P(Y|H1) + P(H2)P(Y|H2) + P(H3)P(Y|H3) =0,25. 0,98.0,02 + 0,2 .
5 0,97.0,03 + 0,5.(0,98.0,03 + 0,0 . 2 0,97)
6. Tỷ lệ phế phẩm của 1 công ty là 5%. Trước khi đưa ra thị trường, người ta
dùng 1 thiết bị để kiểm tra chất lượng để loại bỏ phế phẩm. Thiết bị kiểm tra có
độ chính xác với chính phẩm là 90%, phế phẩm là 99%.
a. Tìm tỷ lệ phế phẩm của công ty đó trên thị trường?
b. Tìm tỷ lệ chính phẩm bị loại?
c. Tìm tỷ lệ sai sót của thiết bị kiểm tra đó?
H1 =“sản phẩm kiểm tra là một phế phẩm” P(H1) = 0,05
H2 =“sản phẩm kiểm tra là một chính phẩm” P(H2) = 0,95
a. Tỷ lệ phế phẩm trên thị trường là tỷ lệ phế phẩm nhưng được kết luận là chính phẩm.
A=“Sản phẩm được máy kết luận là chính phẩm”
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2)
= 0,05. 0,01 + 0,95. 0,9 = 0,8555
Cần tính P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = 0,05. 0,01 /0,8555 = 0,00058
b. Tìm tỷ lệ chính phẩm bị loại tư là chính phẩm bị kết luận là phế phẩm
P(H2|Ā) = P(H2)P(Ā|H2) / P(Ā) = P(H2)[1 – P(A|H2)]/[1 – P(A)] = 0,95.0,1/ 1 ( -0,8555) = 0,6574
c. Tìm tỷ lệ sai sót của thiết bị kiểm tra
B=“sản phẩm bị kết luận nhầm”
P(B) = P(H1)P(B|H1) + P(H2)P(B|H2)
= 0,05. 0,01 + 0,95.0,1 = 0,0955
7. Một kho rượu có 2 loại rượu A,B. Lấy ngẫu nhiên 1 chai cho 4 người kiểm tra,
với khả năng kết luận đúng của mỗi người là 80%. Giả sử có 3 người kết luận
chai rượu lấy ra là rượu loại A, 1 người kết luận là rượu loại B. Tìm xác suất để
chai rượu lấy ra đúng là chai rượu loại A?
H1=“lấy được chai rượu loại A” P(H1) = 0,5
H2=“lấy được chai rượu loại B” P(H2) = 0,5
A=“ba người kết luận chai rượu đó là loại A, một người kết luận là loại B” P(A|H1) =C3 4 0,83.0,2 =0,4096 P(A|H2)=C3 4.0,23.0,8 =0,0256
P(A)= P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)
=0,5.C3 4 0,83.0,2+0,5.C3 4.0,23.0,8=0,2176
Cần tính P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = 0,5. 0,4096/0,2176b= 0,9412
8. Lô thứ nhất có 80 chính phẩm, 20 phế phẩm. Lô thứ 2 có 70 chính phẩm, 30
phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 1 lô và lấy ra 1 sản phẩm thì được phế phẩm.
a. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra thuộc lô 1?
b. Từ lô còn lại lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm này cũng là phế phẩm?
Hi=“lô thứ i được lấy ra” : i = 1.2 P(Hi) = ½
{H1, H2} nhóm đầy đủ các biến cố
A =“sản phẩm lấy ra là phế phẩm”
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) = 0,5.1/5 + 0,5.3/10 = 0,25
a. Cần tính P(H1|A) = [P(H1)P(A|H1) ]/P(A) = 0,4
b. B=“từ lô còn lại lấy ra được 1 phế phẩm”
Ta có nhóm đầy đủ các biến cố là {H1|A, H2|A} với P(H1|A) = 0,4; P(H2|A) = 0,6
P(B) = P(H1|A) . P(B|H1A) + P(H2|A) . P(B|H2A) =0,4.30/100+0,6.20/100=0,24
9. Có 2 lô hàng. Lô thứ nhất có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm. Lô thứ 2 có 7 chính
phẩm và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 1 lô và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm
thì được chính phẩm. Tìm xác suất để lấy tiếp 2 sản phẩm nữa từ lô đó thì được 1 chính phẩm?
Hi=“lô thứ i được lấy ra” : i = 1.2 P(Hi) = ½
{H1, H2} nhóm đầy đủ các biến cố
A =“sản phẩm lấy ra là chính phẩm”
P(A)= P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) = 0,5. 6/10 + 0,5.7/10 = 0.65 P(H1|A) = 0,5.0,6/0,65 = 6/13 P(H2|A) = 0,5.0,7/0,65 = 7/13
Ta có nhóm đầy đủ các biến cố là {H1|A, H2|A} với P(H1|A) = 6/1 ; 3 P(H2|A) = 7/13
B=“lấy tiếp 2 sản phẩm từ lô đó thì được 1 chính phẩm”
P(B) = P(H1|A) . P(B|H1A) + P(H2|A) . P(B|H2A) = 6/13. C1 1 5C14/C29 + 7/1 . 3 C 6C13/C29 = 0,526
10. Trung tâm cứu nạn Quốc gia nhận được tin báo là có 1 máy bay bị rơi. Theo
đánh giá thì khả năng máy bay rơi ở vùng núi, vùng biển và vùng đồng bằng
tương ứng là 0.6;0.3 và 0.1. Khả năng tìm thấy máy bay ở những vùng đó tương ứng là 0.2;0.6;0.9:
a. Đầu tiên người ta cử ngay 1 đội tìm kiếm đến vùng núi và không tìm thấy
máy bay rơi. Vậy khả năng máy bay rơi ở các vùng nói trên là bao nhiêu?
b. Người ta cử tiếp 3 đội tìm kiếm khác đến tìm kiếm ở cả 3 nơi và vẫn không
thấy. Vậy khả năng máy bay rơi ở các vùng nói trên là bao nhiêu?
H1=“máybayrơiởvùngnúi” P(H1)=0,6
H2=“máybayrơiởvùngbiển” P(H2)=0,3
H3=“máybayrơiởvùngđồngbằng” P(H1)=0,1
{H1,H2,H3} tạothànhnhómđầyđủaccsbiếncốvì..
a. A = “đội cứu hộ không tìm thấy may bay rơi ở vùng núi’
P(A)= P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) =0,6.0,8+0,3.1+0,1.1=0,88 Cầntính P(H1|A)=0,6.0,8/0,88=0,5455 P(H2|A) =0,3.1/0,88 = 3 0, 409 P(H3|A) =0,1/0,88 =0,1136
b. B= “3 đội tìm kiếm khác đến 3 nơi và cũng không tìm thấy”
Ta có nhóm đầy đủ các biến cố là {H1|A, H2|A, H3|A}
P(B) = P(H1|A)P(B|H1A) + P(H2|A)P(B|H2A) + P(H3|A)P(B|H3A)
= 0,5455.0,8 + 0,3409.0,4 + 0,1136.0,1 = 0,5841
P(H1|B)=0,5455.0,8/0,5841=0,7471
P(H2|B)=0,3409.0,4/0,5841=0,2335
P(H3|B)=0,1136.0,1/0,5841=0,0194
Vậykhảnăngtìmthấymáybayrơiở vùngnúilàcaonhất
Các kiến thức và dạng bài tập chương I:
! Đặt biến cố, xây dựng biến cố phức hợp
! Công thức tổng xác suất, biến cố xung khắc
! Công thức tích xác suất, biến cố độc lập
! Xác suất có điều kiện
! Công thức xác suất đầy đủ (***) ! Công thức Bayes (***)