23 trang 23 lượt tải

Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Cauchy-Schawrz Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

45

Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si. Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 289 tài liệu

Môn: Toán 8 2.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

2 tháng trước
Danh sách Quiz
/23
Trang 1
BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)
A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân.
Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
- Với
,0ab
thì
2
ab
ab
+
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi
ab=
- Với
, , 0a b c
thì
3
3
3
a b c
abc
++
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi
a b c==
B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho
, , 0x y z
, CMR :
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số
,0xy
, ta có:
2x y xy+
,
Làm tương tự ta sẽ có :
2
2
+
+
y z yz
z x zx
, Nhân theo vế ta được:
( )( )( )
8x y y z z x xyz+ + +
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
xy
y z x y z
zx
=
= = = =
=
Bài 2: Cho
, , 0a b c
và
1abc =
, CMR:
( )( )( )
1 1 1 8abc+ + +
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm
,1a
, ta có :
12+aa
Tương tự ta sẽ có :
( )( )( )
12
1 1 1 8 8
12
+
= + + + =
+
bb
a b c abc
cc
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
1a b c= = =
Bài 3: Cho
,ab
không âm. CMR:
( )( )
14a b ab ab+ +
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm
,ab
, ta có :
2+a b ab
Tương tự :
12+ab ab
, nhân theo vế ta được :
( )( )
14+ + a b ab ab
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
1
1
ab
ab
ab
=
= = =
=
Trang 2
Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:
3
x y z
y z x
+ +
HD:
Ta có:
3
3 . . 3
x y z x y z
y z x y z x
+ + =
, Dấu bằng khi
2
2
2
x yz
x y z
y xz x y z
y z x
z xy
=
= = = = = = =
=
Bài 5: CMR:
4 4 4 4
4a b c d abcd+ + +
, Với mọi
, , ,a b c d
HD :
Vì
4 4 4 4
, , ,a b c d
là 4 số dương =>
( )
4
4 4 4 4
4
44a b c d abcd abcd+ + + =
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
a b c d= = =
Bài 6: Cho
, , , 0; 1a b c d abcd=
. CMR :
2 2 2 2
6a b c d ab cd+ + + + +
HD :
Ta có :
( )
22
2 2 2 2
22
2
3 3.2 6
2
a b ab
a b c d ab cd ab cd abcd
c d cd
+
= + + + + + + =
+
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 7: CMR:
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b c a b a c
+ + + +
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số không âm
22
22
;
ab
bc
, ta có :
22
22
2.
a b a
b c c
+
,
Tương tự :
22
22
2.
b c b
c a a
+
, và
22
22
2.
c a c
a b b
+
Cộng theo vế ta được :
2 2 2
2 2 2
22
a b c a b c
VT VP
c a b
b c a


+ + + + =




Dấu “ = “ xảy ra khi:
a b c==
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR:
bc ca ab
abc
a b c
+ + + +
HD :
Ta có :
2
bc ca b a
cc
a b a b

+ = +


,
Tương tự ta có :
2
ca ab c b
aa
b c b c

+ = +


và
2
ab bc a c
bb
c a c a

+ = +


Cộng theo vế ta được :
22VT VP
Bài 9: Cho
, , 0a b c
. CMR :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2
a b c
a b b c c a a b c

+ + + +

+ + +

HD:
Áp dụng Cô si cho hai số
22
,0ab
, ta có :
22
2a b ab+
Làm tương tự ta sẽ có
22
22
2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
2
+

= + + = + + = + +

+

b c bc
a b c
VT
ab bc ca b c a a b c
c a ca
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
ab
b c a b c
ca
=
= = = =
=
Trang 3
Bài 10: CMR: Với mọi
, , 0a b c
, thì
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


HD:
Áp dụng Cô si cho ba số
, , 0a b c
, ta có :
3
3a b c abc+ +
và
3
1 1 1 1
3
a b c abc
+ +
Nhân theo vế ta có:
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


Dấu “ = “ khi và chỉ khi :
1 1 1
a b c
a b c
a b c
==
= = =
==
Bài 11: Cho
, , 0a b c
và
3abc+ +
,
CMR :
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
abc
a b c a b c
+ + + +
+ + + + + +
HD:
Ta có:
2
2
2 2 2
2
12
3
12
1 1 1 2 2 2 2
12
aa
a b c a b c
bb
a b c a b a
cc
+
+ = + + + + =
+ + +
+
Đặt
1
1 3 6
1
ax
b y x y z a b c
cz
+=
+ = = + + = + + +
+=
=>
1 1 1 3
2
B
x y z
= + +
,
Khi đó:
( )
1 1 1 1 1 1 9 9 3
9
62
x y z
x y z x y z x y z

+ + + + = + + =

++

Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :
( )
1 1 1
9x y z
x y z

+ + + +


Đặt
( )
1 1 1
29
x a b
y b c a b c
a b b c c a
z c a
=+

= + = + + + +

+ + +

=+
9
2
a b c a b c a b c
a b b c c a
+ + + + + +
= + +
+ + +
=
93
3
22
a b c
b c c a a b
+ + − =
+ + +
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR:
13
1 1 2
ab
b a a b
+ +
+++
HD :
( )
1 1 1 1
1 1 1 3 1 3
1 1 1 1
ab
VT a b
b a a b b a a b
= + + + + + − = + + + + −
+ + + + + +
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 3
2 1 1
a b a b
a b a b

= + + + + + + + −



+ + +

93
3
22
− =
Trang 4
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR:
3
a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ − + − + −
HD :
Ta có :
( )( )( )
3
3
abc
VT
b c a c a b a b c
+ − + − + −
Lại có :
( ) ( ) ( )( )
2b c a c a b b c a c a b+ − + + − + − + −
( )( )
22c b c a c a b= + − + −
, Tương tự ta có :
( )( )
a c a b a b c + − + −
và
( )( )
b b c a a b c + − + −
=>
( )( )( )
abc b c a c a b a b c + − + − + −
=>
( )( )( )
3
1 3 1 3
abc
VT
b c a c a b a b c
= =
+ − + − + −
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR:
222
111
2
abc
a bc b ac c ab abc
++
+ +
+++
HD :
Co si cho hai số :
2
,a b c
, Ta được:
2
22
1 1 2 1 1 1
2
2
2
a bc a bc
a bc a bc ab bc
a bc

+ = = +

++

Tương tự ta có :
2
2 1 1 1
2b ac ab bc

+

+

và
2
2 1 1 1
2c ab ca cb

+

+

Cộng theo vế ta được :
1 1 1
2
2
a b c a b c
VT VT
ab bc ca abc abc
+ + + +
+ + = =
Trang 5
Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM
1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.
2. Phương pháp :
- Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra
dấu bằng.
- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.
Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số
Bài 1: Cho
15
2, :
2
a CMR a
a
+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 =>
1 1 1
. .2
24
k a k k
a
= = = = =
Khi đó ta có :
1 1 3 3 3 3 5
2 1 1
4 4 4 4 4 2 2
+ = + + + = + + =
a a a a a
a
a a a
Dấu bằng khi
1
2
4
2
=
= =
=
a
a
a
a
Bài 2: Cho
3a
, Tìm GTNN của:
1
Sa
a
=+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
1 1 1
3 .3
39
a k k
a
= = = = = =
Khi đó ta có :
1 8 2 8.3 2 8 10
9 9 9 3 3 3
9
aa
S
a

= + + + = + =


Vậy Min
10
3
S =
Bài 3: Cho
1x
, Tìm GTNN của:
1
3
2
Ax
x
=+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1 1 1
1 .3
2 2 6
x k k
x
= = = = = =
Khi đó :
1 3 5 2 5.1 5 7
1
2 6 2 2 2 2
4
xx
A
x

= + + + = + =


Bài 4: Cho a, b > 0,
11
1, : 5a b CMR a b
ab
+ + + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1
1 1 1
2 . 4
22
ab
a b k k
ab
a
+=
= = = = = = = =
=
Khi đó :
( )
1 1 1 1
4 4 3VT a b a b a b
a b a b
= + + + = + + + − +
( )
2 4 2 4 3 ab + − +
, Mà
( )
1 3 3a b a b+ = − + −
4 4 3 5VT= + − =
Trang 6
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn :
3; 3xy
.
Tìm GTNN của biểu thức :
11
21 3A x y
yx
= + + +
HD :
Bài 6: Cho
2 0,xy
Tìm GTNN của:
22
xy
P
xy
+
=
HD :
Ta có :
xy
P
yx
=+
, đặt
Dự đoán dấu bằng khi :
1 1 1 1 3
2 .2
2 4 4 4
aa
a k k P
aa

= = = = = = = = + +


2 3.2 3 5
1
4 2 2
4
P + = + =
Bài 7: Cho a
10, b
100, c
1000, Tìm GTNN của:
1 1 1
A a b c
a b c
= + + + + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
1 1 1
10 .10
10 100
a k k
a
= = = = = =
, Tương tự với b và c,
Khi đó ta có :
1 99 2 99.10 101
100 100 100 10
100
aa
B
a

= + + + =


, Tương tự với b và c
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
1abc+ +
,
Tìm GTNN của:
1 1 1
P a b c
abc
= + + + + +
HD :
Dấu bằng khi
1
3
abc= = =
, Khi đó
( )
1 1 1
9 9 9 8P a b c a b c
a b c
= + + + + + − + +
( )
2 9 2 9 2 9 8P a b c + + − + +
Mà
( )
1 8 8a b c a b c+ + = − + + −
Vậy
6 6 6 8 10P + + − =
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
3
2
abc+ +
,
Tìm GTNN của:
1 1 1
P a b c
abc
= + + + + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
( )
1 1 1 1
4 4 4 3
2
a b c P a b c a b c
a b c
= = = = = + + + + + − + +
3 15
4 4 4 3.
22
P + + − =
Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
1abc+ +
,
Tìm GTNN của:
1 1 1
2P a b c
abc

= + + + + +


HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1
3
= = =a b c
Khi đó:
( )
2 2 2
18 18 18 17
= + + + + + − + +
P a b c a b c
a b c
19P=
Trang 7
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
1ab+
, Tìm GTNN của:
1
S ab
ab
=+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
11
4 16
2
a b ab
ab
= = = = =
Khi đó ta có :
1
16 15 2 16 15S ab ab ab
ab

= + − −


mà
1 15
2 1 2 15
44
a b ab ab ab ab
−
+ = = = −
Vậy
15 15 17
2.4 8
4 4 4
S − = − =
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn:
4xy+=
, Tìm GTNN của:
22
33
P x y
xy
= + +
HD :
Dự đoán dấu = khi:
2xy==
khi đó:
33
2P xy
xy
+
, nên
2 8 32
4
k
xy k= = = =
khi đó:
32 1 1
2 2 64P xy
xy xy xy
= + + +
, Mà:
( )
2
1 4 1 1
2.8
44
P
xy
xy
= = +
+
Bài 13: Cho
a, 0,a b 1b + =
, Tìm GTNN của
22
22
11
P a b
ab
= + + +
HD:
Dấu = khi
1
2
ab==
Ta có:
( )
22
22
1 1 2 1 15 1 15
2 2 2.
8 8 8
4
P a b ab ab
ab ab ab ab
ab

= + + + + = + + +


Mà
1 1 15 15
1 2 4
4 8 2
a b ab ab
ab ab
= + = = =
, Thay vào P ta được:
15 17
1
22
P + =
Bài 14: Cho
,0ab
. Tìm GTNN của:
a b ab
P
ab
ab
+
=+
+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
4
a b ab
m
ab
m ab
ab
+
=
= =
+
=
Khi đó ta có :
3 1 3.2 3.2 5
. 2 1
4 4 4 2
44
a b ab a b ab
P
ab
ab ab ab
++
= + + + = + =
+
Bài 15: Cho
0x
, Tìm GTNN của
2
1
4 3 2019
4
A x x
x
= − + +
HD :
Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi
1
2
x =
Biến đổi
( )
( )
2
2
11
4 4 1 2018 2 1 2 2018 2019
44
A x x x x
x
= − + + + + − + + =
Trang 8
Bài 16: Cho
5
, 0,
4
a b a b + =
, Tìm GTNN của
41
4
A
ab
=+
HD :
Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là :
1
1;
4
ab==
Khi đó :
( )
4 1 5
4 4 4 2 16 2 1 4. 5
44
A a b a b
ab
= + + + − + + − =
Bài 17: Cho
0, 6a b a b+ +
, Tìm GTNN của
68
32A a b
ab
= + + +
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là :
2; 4ab==
Khi đó ta có :
( )
6 8 6 3 8 3 3
3 2 2 9 2 4 .6 19
2 2 2 2
ab
A a b a b
a b a b
= + + + = + + + + + + + =
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn:
6xy+
, Tìm GTNN của:
10 8
53P x y
xy
= + + +
HD :
Dấu bằng khi :
xy
, Bấm máy , Tìm điểm rơi là
2, 4xy==
Khi đó ta có :
10 1 8 1
2 5 .5.2 ,, 2 3.4.
2 4 6
x k k h h
x
= = = = = = = = = =
=>
10 5 8 3 5 5 5
2.5 2.2 .6 29
2 6 2 2 2
x y x y
P
xy


= + + + + + + + =




Bài 19: Cho
,0xy
và
22xy+
, Tìm GTNN của
22
23
2 16A x y
xy
= + + +
HD :
Dự đoán điểm rơi :
2 2 2 2x y x y+ = = = −
Thay vào A, bấm máy cho ta
1
1;
2
xy==
Khi đó :
( ) ( )
22
2 3 2 3 2 3
2 1 4 4 1 6 4 16 4 16A x y x y x y
x y x y x y
= + + + + + − + + + = + + +
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :
2 3 20a b c+ +
,
Tìm GTNN của:
3 9 4
2
P a b c
a b c
= + + + + +
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là :
2; 3; 4a b c= = =
Khi đó :
3 3 9 4 3
4 2 2 4 4 2 4
a b c a b c
P
a b c
= + + + + + + + +
( )
11
3 3 2 2 3 8 .20
44
P a b c + + + + + +
Bài 21: Cho
,0ab
thỏa mãn :
2ab
, Tìm GTNN của biểu thức
22
ab
A
ab
+
=
HD :
Ta chia xuống, được :
ab
A
ba
=+
, Đặt
( )
,2
a
tt
b
=
, Khi đó
1
At
t
=+
Dấu bằng xảy ra khi
2t =
, Nên
1 3 2 3.2 5
4 4 4 2
4
tt
A
t

= + + + =


Trang 9
Bài 22: Cho
,0xy
thỏa mãn:
42xy y+
, Tìm GTNN của
22
2xy
A
xy
+
=
HD:
Từ
1
2 4 4 2
4
x
y xy xy y x
y
+ = =
Từ A chia xuống ta được:
2xy
A
yx
=+
, Đặt
1
,
4
x
tt
y

=


Khi đó
2
At
t
=+
, Dấu = khi
1
4
t =
Bài 23: Cho
,0ab
thỏa mãn:
2ab
. Tìm GTNN của
22
22a b ab
P
ab
+−
=
HD:
Ta chia xuống, được:
2.
2
ab
P
ba
= + −
, Đặt
( )
,2
a
tt
b
=
, Khi đó
1
22Pt
t
= + −
Dấu bằng xảy ra khi
1 7 2 7.2 5
2 2 2
4 4 4 2
4
tt
tP
t

= = = + + − + − =


Bài 24: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT:
1 1 2
3
a b a b
+ +
+
HD :
Ta có :
2 2 2
22
a b a b a b
ab
ab a b a b a b
+ + +

= + = + + = + +

+ + +

2
2 1 2 3
2
ab
+ = + =
Bài 25: CMR: với a, b, c > 0 thì :
2 2 2
abc
abc
b c a
+ + + +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2
a b c
b c a a b c
b c a
+ + + + + − + +
( )
2 2 2a b c a b c a b c VP + + − + + = + + =
Bài 26: Cho a, b, c > 0, CMR:
2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + + +
HD :
Ta có :
2
2
2
12
1 2 1 1 1 1 1 1
2
12
a
b a b
b
VT
c b c a b c a b c
c
a c a
+

+ = + + + + +


+
=> ĐPCM
Bài 27: Cho a, b, c > 0, CMR:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
++
+ +
+ + +
HD :
Ta có :
2
4
a b c
a
bc

+
+

+

, Tương tự ta có :
2
4
b c a
b
ca
+
+
+
và
2
4
c a b
c
ab
+
+
+
Cộng theo vế ta được :
22
a b c a b c
VT a b c VT
+ + + +
+ + + =
Trang 10
Bài 28: Cho
, , 0a b c
, Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
++
+ +
+ + +
HD:
Dự đoán dấu = khi
a b c==
, Khi đó:
( )
22
1
. 2 .3
2 3 3 9
a a a
k b c k a k
b c a
= = = + = = =
+
Ta biến đổi:
22
22
2.
2 9 9 3
a b c a a
bc
+
+ =
+
, làm tương tự và cộng theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2
9 3 3 3 3
a b c a b c a b c a b c
a b c
VT VT
+ + + + + + + +
++
+ = − =
Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của:
2 2 2
xyz
P
y z x z x y
= + +
+++
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
2
3
x y z= = =
, Khi đó :
2
1
4
3
x y z
k
y z k
+
= = = =
+
Nên :
2
4
x y z
x
yz
+
+
+
, Tương tự ta có :
1
22
x y z x y z
P x y z P
+ + + +
+ + + = =
Bài 30: Cho x,y > 1, CMR :
22
8
11
xy
yx
+
−−
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
xy=
, Thay vào ta được :
22
82
11
xx
xy
xx
+ = = = =
−−
Khi đó :
( )
2
4 1 4
1
x
yx
y
+ −
−
và
( )
2
4 1 4
1
y
xy
x
+ −
−
( ) ( ) ( )
4 4 1 4 1 8VT x y y x + − − − − =
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR :
3 3 3
abc
ab bc ca
b c a
+ + + +
HD:
Ta có:
( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
b c a a b c
b c a
+ + + + + − + +
Mà:
( )
( )
33
2
ab a b
ab
a a b a ab
bb
+
+
= + = +
Tương tự =>
33
2 2 2 2
,
bc
c b bc a c ca
ca
+ + + +
Khi đó VT
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + − + + = + +
Bài 32: Cho
, , 0a b c
, Chứng minh rằng :
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
P
b c c a a b
++
= + +
+ + +
HD:
Dấu bằng khi
a b c==
, và để sau khi Cô si vẫn còn
2
a
thì ta làm như sau:
Xét
( )
22
2
2.
2 9 3
a b c
aa
bc
+
+
+
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3
22
9 3 3 3
ab bc ca
ab bc ca
P a b c P a b c
++
++
+ + + = + + −
Trang 11
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
33
a b c
a b c
a b c ab bc ca ab bc ca a b c P
++
++
+ + + + = − + + − + + = −
2 2 2
3
a b c
P
++
Bài 33: Cho
, 0, 6, 3x y xy y
, Tìm GTNN của
2019P x y= + +
HD :
Dự đoán điểm rơi tại
3, 2yx==
, Khi đó
1yx=+
,
Cô si cho hai số
1; 0xy+
, ta được :
( ) ( )
1 2018 2 1 2018 2. 2018 2 6 3 2018 2024P x y y x xy y= + + + + + = + + + + =
Bài 34: Cho
, 0, 1x y x y + =
, Tìm GTLN và GTNN của
22
A x y=+
HD:
Ta có:
2
2
0 , 1 1
xx
x y A x y
yy
= = + =
Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi
1
2
xy==
,
Khi đó:
2
2
1
11
4
1
22
1
4
xx
A x y A
yy
+
= + + = =
+
Trang 12
Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số
Bài 1: Cho a
2, Tìm Min của:
2
1
Sa
a
=+
HD :
Dự đoán dấu bằng khi a = 2 =>
2
1 1 1
.2
48
hh
a
= = = =
, Khi đó ta có :
3
2
1 3 1 3.2 3 6 9
3
8 8 4 64 4 4 4 4
a a a
S
a

= + + + + = + =


Bài 2: Cho
2a
, Tìm GTNN của :
3
3
Px
x
=+
HD :
Dự đoán dấu = khi
2x =
, Khi đó :
2
3 3 3
.2
48
k x k k
x
= = = = =
Khi đó :
3
22
3 3 3 3 3 3 1 2 9 2 11
3.3.
8 8 4 8 8 4 64 4 4 4 4
x x x x x x
P
xx
= + + + = + + + + = + =
Bài 3: Cho
1
0
2
a
, Tìm Min của:
2
1
2Sa
a
=+
HD ;
Dự đoán dấu bằng khi
2
1 1 1
4 .2. 4
22
a k k
a
= = = = = =
, Khi đó ta có :
3
2
1
8 8 14 3 64 14S a a a a
a

= + + − −


, mà
1
14 7 3.4 7 5
2
a a S = − − = − =
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn:
1ab+
, Tìm min của
22
11
A a b
ab
= + + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1
2
ab==
( )
22
11
8 8 8 9 15A a a b b a b
ab
= = + + + + + − +
3.4 3.4 15.1 9S= + − =
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:
3
2
abc+ +
, Tìm Min
2 2 2
1 1 1
P a b c
abc
= + + + + +
HD :
Dấu bằng khi
1
2
abc= = =
Khi đoa :
( )
2 2 2
1 1 1
8 8 8 8 8 8 15P a a b b c c a b c
a b c
= + + + + + + + + − + +
3 45 27
3.4 3.4 3.4 15. 36
2 2 2
P + + − = − =
Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:
3
2
abc+ +
, Tìm Min:
2 2 2
1 1 1
A a b c
abc
= + + + + +
HD :
Dấu bằng khi :
1
2
abc= = =
2 2 2
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
8 8 8 8 8 8 4
P a b c
a a b b c c a b c
= = + + + + + + + + + + +
3 3 3 3 9 27
4 4 4 4 4
P
abc

+ + + =

++

Trang 13
Bài 7: Cho
2x
, Tìm GTNN của :
2
34
2Px
x
x
= + +
HD :
Dự đoán dấu = khi
2x =
, Khi đó :
2
41
1 . .2
2
k x k k
x
= = = = =
, Vậy ta tách :
22
3 4 4 3
2 2 2 2
x x x x
P x x
xx
xx
= + + + + = + + + +
, lại nhẩm tiếp :
3 3 3
. .2
24
k x k k
x
= = = = =
Nên
2
4 3 3 9 2 1 13
3 2 3 3
2 2 4 4 4 4 2 2
x x x x
P
x
x
= + + + + + + + = + + =
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:
1abc+ + =
,
Tìm Min của:
( ) ( )
( )
3 3 3
22
2
1
11
a b c
A
c
ab
= + +
−
−−
HD :
Dấu bằng khi
1
3
abc= = =
Khi đó :
( )
3
2
1 1 3
8 8 4
1
a a a
a
a
−−
+ +
−
, Tương tự ta cũng có :
( )
3
2
1 1 3
8 8 4
1
b b b
b
b
−−
+ +
−
( )
3
2
1 1 3
8 8 4
1
c c c
c
c
−−
+ +
−
Bài 9: Cho
, , 0a b c
, thỏa mãn :
3ab bc ca+ + =
,
Tìm GTNN của
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + + + + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1a b c= = =
Xét
( )( )
33
3
1 1 3
3.
8 8 64 4
11
a b c a a
bc
++
+ + =
++
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3 3
33
4 4 4 4 4 2 4
a b c a b c a b c
a b c a b c
PP
+ + + + + + + + +
+ + + +
+ = − − = −
Mà
( ) ( )
2
3 9 3a b c ab bc ca a b c+ + + + = = + +
, Thay vào P ta được :
3 3 3
2 4 4
P − =
Bài 10: Cho
, , 0x y z
thỏa mãn :
3xy yz zx+ +
, Tìm GTNN của :
3 3 3
1 1 1
x y z
P
y z x
= + +
+ + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1x y z= = =
Xét
3
1 1 3.
1 4 2 2
x y x
y
+
+ +
+
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
( ) ( )
35
3 3 9
4 4 2 2 4 4
x y z x y z
x y z
PP
+ + + +
++
+ + + = −
Mà
( ) ( )
2
3 3.3 9 3x y z xy yz zx x y z+ + + + = = + +
,
Thay vào P ta được :
5.3 9 3
4 4 2
P − =
Trang 14
Bài 11: Cho
, , 0x y z
thỏa mãn:
11x y z+ + =
, Tìm GTNN của
3 3 3
49P x y z= + +
HD:
Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau:
Dự đoán
, , 11x a y b z c a b c= = = = + + =
và
( )
P k x y z + +
Áp dụng cô si cho 3 số
333
,,x a a
ta được:
3 3 3 2
3x a a xa+ +
(1)
Tương tự ta cũng có :
3 3 3 2
3y b b yb+ +
(2)
Và
3 3 3 2
3z c c zc+ +
(3)
Để có được biểu thức P ta cộng
(1) 4.(2) 9(3)++
ta được :
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 2 2 2
2 4 2 9 2 3x a y b z c a x b y c z+ + + + + + +
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 4 9 3 4 9P a b c a x b y c z= + + + + +
, đồng nhất với
( )
k x y z++
ta được :
2 2 2
4 9 2 3a b c a b c= = = = =
, mà
11 6 , 3 , 2a b c a x b y c z+ + = = = = = = = =
Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau :
333
6 6 3.36xx+ +
(4) ,
333
3 3 3.9yy+ +
(5) và
333
2 2 3.4zz+ +
(6)
Cộng
( )
( )
3 3 3 3 3 3
(4) 4.(5) 9.(6) 4 9 2.6 8.3 18.2 108 11.108x y z x y z+ + = + + + + + + + =
396P
Trang 15
Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU
Bài 1: Cho
, 0; 4a b a b ab + =
. Tìm GTNN của
22
4 1 4 1
ab
A
ba
=+
++
HD:
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab==
Nếu co si mẫu thì ta được:
2
2
11
4 1 4
4
41
bb
b
b
+ =
+
, Như vậy ta không thể tìm được GTNN
Khi đó ta biến đổi:
( )
2 2 2 2
22
4 4 4 4
2 4 2 2
44
4 1 4 1
ab a b ab a b
A a b a b a b ab ab ab ab
ba
ba
= − + − − + − = + − = − =
++
Mà
( ) ( ) ( )
22
4 0 1a b ab a b a b a b a b+ = + = + − + = +
Vì
, 0 0a b a b = +
Khi đó :
11
4 1 2
22
ab a b ab A= + = =
Bài 2 : Cho
, ,z 0xy
và
3x y z+ + =
, Tìm GTNN của :
2 2 2
1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
1x y z= = =
Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được :
2
2
11
12
2
1
xx
x
x
+ =
+
thì ta đều không tìm ra được GTNN.
Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT
1 1 1 9
a b c a b c
+ + =
++
2 2 2
9
3
P
x y z
+ + +
Mà
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
9
3. 3
33
x y z
x y z x y z x y z
++
+ + + + = + + = =
, Thay vào P ta được :
93
3 3 2
P =
+
Cách 2: Hoặc ta biến đổi :
2 2 2
2 2 2
11
1
1 1 1
x x x
x x x
+−
= = −
+ + +
, Rồi mới Cô si dưới mẫu :
Khi đó ta có :
2 2 2
2
22
1 2 1 1
22
11
x x x x
xx
x
xx
+ = = − −
++
, làm tương tự và cộng theo vế :
33
33
2 2 2
x y z
P

++
− = − =


Bài 3 : Cho
, , 0x y z
và
3x y z+ + =
, Tìm GTNN của
2 2 2
3 3 3
2 2 2
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
HD :
Dự đoán dấu = khi
1x y z= = =
Xét
( )
33
23
3 3 3 3
22
.2
2 2 2 2
x x y xy
x x x xy
x
x y x y x y x y
+−
= = = −
+ + + +
, Vì dấu = khi
x y z==
Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số :
3
32
3 3 6 2
3
3
3
2 2 .
3. 3.
3
2
xy y x
x y y xy y x x x
xy
+ + = = − −
+
Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
( )
( )
3
2 2 2
3
3
2
3
P x y z y x z y x z + + − + +
Trang 16
Mà
33
2 2 3 2
3
2
3 3.
3
xy y
y x x y xy xy y y x
+
= + + =
, Làm tương tự và công theo vế ta có :
( )
2
3
3
2 3 3
xy yz zx
x y z
P

++
++
− +



,
Và
( ) ( )
2
2 2 2
33x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx+ + + + = + + + + = + +
Thay vào P ta được :
( )
2
3 2 1 1
3
P − + =
Trang 17
Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN
Bài 1: Cho
, , 0x y z
và
3x y z+ +
, Tìm GTNN của:
2 2 2
20
P x y z
x y z
= + + +
++
HD:
Ta sẽ dồn
2 2 2
x y z++
về
x y z++
hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người.
Dự đoán dấu = khi
1x y z= = =
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:
( )
( )
2
2 2 2
3 x y z x y z+ + + +
rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi
Cách 2: Ta có
2
12xx+
,
2
12yy+
và
2
12zz+
, Cộng theo vế ta được:
( ) ( )
2 2 2
20
3 2 2 3x y z x y z P x y z
x y z
+ + + + + = + + − +
++
, đặt
( )
, 0 3x y z t t+ + =
Dấu = khi
20 18 2 2 29
3 2 3 2 3 2. 36 3
33
t P t t
t t t
= = = + − = + + − + − =
Bài 2: Cho
, , 1a b c
, Tìm GTLN của:
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b c
P
a b c
a b b c c a

= + + + + +

+ + +

HD:
Ta sẽ dồn về biến
1 1 1
a b c
++
, Dự đoán dấu = khi
1a b c= = =
Ta có:
22
22
1
2
22
aa
a b ab
ab b
ab
+ = =
+
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
1 1 1 1 1 1 1
2
P
a b c a b c

+ + + + +


, Đặt
1 1 1
t
a b c
= + +
, Dự đoán điểm rơi
03t
Và
3
3
22
t
Pt + +
Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR:
( )
2 2 2
99
22
b c a
a b c a b c
+ + +
++
HD :
Ta có :
2
2
a
ca
c
+
,
22
2 , 2
bc
a b b c
ab
+ +
Ki đó
( ) ( )
9 9 9
2 2 2 2 2
a b c a b c
VT a b c
a b c a b c

+ + + +
+ + + = + +


+ + + +

3
3 2.3 3 9
3
2 2 2 2
abc
VT + = + =
Trang 18
Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG
Bài 1: Tìm min của biểu thức:
( )
21
01
1
Ax
xx
= +
−
HD:
Tách
2 2 2 1 2 1 2 1
3 3 2 . 3 2 2
1 1 1
x x x x x x x x
A
x x x x x x
− + − + − −
= + = + + + = +
− − −
Dấu ‘’ = ’’ khi
21
21
1
xx
x
xx
−
= = = −
−
Bài 2: Tìm min của:
5
1
x
B
xx
=+
−
với 0 < x < 1
HD:
Ta có:
( )
51
5 5 5
5 2 5 5
11
x
x x x x
B
x x x x
−
−+
= + = + + +
−−
, dấu bằng khi
( )
51
1
x
x
xx
−
=
−
Bài 3: Tìm min của:
2
21
x
C
x
=+
−
(x > 1)
HD:
1 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2
xx
C
xx
− + −
= + = + + +
−−
, Dấu bằng khi
12
21
x
x
−
=
−
Bài 4: Cho 0 < x < 1, Tìm min của:
4
1
x
B
xx
=+
−
HD:
Ta có:
( )
41
4 4 4
4 4 4
11
x
x x x x
B
x x x x
−
−+
= + = + + +
−−
, dấu bằng khi
( )
41
1
x
x
xx
−
=
−
Bài 5: Tìm min của biểu thức:
2
1
2
x
B
x
+
=
+
với
0x
HD:
Tách
2
4 5 5 5
2 2 4 2 5 4
2 2 2
x
A x x
x x x
−+
= = − + = + + − −
+ + +
Dấu ‘’=’’ khi
Bài 6: Tìm min của:
2
1
x
C
x
=
−
với x >1
HD:
Ta có:
2
1 1 1 1
1 1 2 2 2
1 1 1
x
C x x
x x x
−+
= = + + = − + + +
− − −
, Dấu bằng khi
1
12
1
xx
x
− = = =
−
Bài 7: Tìm min của:
2
2
1
1
xx
A
xx
−+
=
++
với x > 0
HD:
Tách
2
22
1 2 2 2
11
1
11
1
x x x x
A
x x x x
x
x
+ + −
= = − = −
+ + + +
++
, mà
1 2 2
2
1
3
1
x
x
x
x
+ =
++
Trang 19
Bài 8: Tìm min của:
2
44xx
B
x
++
=
với
0x
HD:
Ta có:
4
4 4 4 8Bx
x
= + + + =
, dấu bằng xảy ra khi
4
2xx
x
= = =
Bài 9: Tìm min của:
( )
1
11Bx
x

= + +


với x > 0
HD:
Tách
1
1 1 2 2Bx
x
= + + + +
, dấu bằng xảy ra khi
1
1xx
x
= = =
Bài 10: Tìm min của:
( )
2
2
2
12
1
x
Ax
x

= + + +

+

với
1x −
HD:
Tách
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
2
11
1 1 2 1 2 2 2 2
1
1
A x x x
x
x

= + + + + = + + + +

+
+

Dấu bằng khi
( )
( )
( )
24
4
2
1 1 1
2 1 1 1
22
1
x x x
x
+ = = + = = + =
+
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của:
2
2
x y x y
P
y x y x
= + − + −
HD:
Đặt
2
2
19
2
24
xy
t P t t t
yx

+ = = = − − = − −


, mà
2
19
2 2 0
24
tP

= − − =


Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của:
( )( )
x a x b
A
x
++
=
với x > 0
HD:
Ta có:
( )
2
2
2
x ax bx ab ab
B a b x a b ab a b
xx
+ + +

= = + + + + + = +


Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho
1
ab
xy
+=
,
Tìm x, y để
S x y=+
đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có
( )
2
a b bx ay
S x y a b a b ab
x y y x

= + + = + + + + +


, min
( )
2
S a b=+
Dấu bằng khi
ay bx
xy
=
mà
1,
ab
x a ab y b ab
xy
+ = = = + = +
Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = 1 và x + y = 1, Tìm min của:
( )
22
2 12x y xy
A
xy
++
=
+
HD:
Ta có :
( )
( )
2
2
2 2 12
28
1
2
x y xy xy
x y xy
A x y
x y x y x y

+ − +
++


= = = + +

+ + +

,
Co si
1
2xy
xy
+ +
+
=>
4A
dấu bằng khi
1
1
41
2
+=
= = =
=
xy
xy
xy
Trang 20
BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ
A. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất
đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.
2. Tổng quát:
Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2
hoặc 3 số.
- Với các số
12
, ,... 0
n
b b b
, ta có:
( )
( )
2
2
22
12
12
12
12
...
...
...
n
n
n
n
a a a
a
aa
b b b
b b b
+ + +
+ + +
+ + +
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
= = =
- Với hai số
,0ab
ta có :
( )
1 1 4
ab
ab
+
+
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
11
ab
ab
= = =
- Với ba số
, , 0a b c
thì ta có :
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
++
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
a b c==
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG
Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT :
1 1 4
x y x y
+
+
HD :
Ta có: gt
( ) ( )
22
4
40
xy
x y xy x y
xy x y
+
= = + = −
+
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + + +
+ − + − + −
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
1 1 4 2
2a b c b c a b b
+ =
+ − + −
Tương tự ta cũng có :
1 1 2
b c a c a b c
+
+ − + −
và
1 1 2
c a b a b c a
+
+ − + −
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 3: Cho
0, 0, 1x y x y +
, CMR:
22
11
4
x xy y xy
+
++
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
( )
2
22
1 1 4
4
x xy y xy
xy
+
++
+
, Vì
( )
( )
2
2
1
1 1 1x y x y
xy
+ = + =
+

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM) A: LÝ THUYẾT 1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân.
Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si. 2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. 3. Tổng quát:
Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau: a + b - Với , a b  0 thì
ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a = b 2 a + b + c - Với , a , b c  0 thì 3
 3 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a = b = c 3
B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho x, y, z  0 , CMR : ( x + y)( y + z)(z + x)  8xyz HD:
Áp dụng Cô si cho hai số ,
x y  0 , ta có: x + y  2 xy ,
 y + z  2 yz
Làm tương tự ta sẽ có : 
, Nhân theo vế ta được: ( x + y)( y + z)(z + x)  8xyz
z + x  2 zxx = y
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y = z = x = y = zz = x  Bài 2: Cho , a ,
b c  0 và abc = 1 , CMR: (a + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1  8 HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm ,1
a , ta có : a +1  2 a
b +1  2 b Tương tự ta sẽ có :  = (a + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1  8 abc = 8
c +1  2 c
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a = b = c = 1 Bài 3: Cho ,
a b không âm. CMR: (a + b)(ab + ) 1  4ab HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm ,
a b , ta có : a + b  2 ab
Tương tự : ab +1  2 ab , nhân theo vế ta được : (a + b)(ab + ) 1  4ab a = b
Dấu “ = “ khi và chỉ khi 
= a = b = 1 ab = 1 Trang 1 x y z
Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: + +  3 y z x HD: 2 x = yz x y z x y z x y z  Ta có: + +  3 2 3 . . = 3, Dấu bằng khi
= = = y = xz = x = y = z y z x y z x y z x  2 z = xy  Bài 5: CMR: 4 4 4 4
a + b + c + d  4abcd , Với mọi , a , b , c d HD : Vì 4 4 4 4
a ,b ,c , d là 4 số dương => a + b + c + d  (abcd)4 4 4 4 4 4 4 = 4abcd
Dấu “ = “ khi và chỉ khi a = b = c = d Bài 6: Cho , a , b ,
c d  0;abcd = 1 . CMR : 2 2 2 2
a + b + c + d + ab + cd  6 HD : 2 2
a +b  2ab Ta có : 2 2 2 2 
= a + b + c + d + ab + cd  3(ab + cd )  3.2 abcd = 6 2 2
c + d  2cd
Dấu “ = “ khi và chỉ khi 2 2 2 a b c c b a Bài 7: CMR: + +  + + 2 2 2 b c a b a c HD: 2 2 a b 2 2 a b a
Áp dụng Cô si cho hai số không âm ; , ta có : +  2. , 2 2 b c 2 2 b c c 2 2 b c b 2 2 c a c Tương tự : +  2. , và +  2. 2 2 c a a 2 2 a b b 2 2 2  a b c   a b c
Cộng theo vế ta được : 2 + +   2 + + = VT VP 2 2 2 b c ac a b    
Dấu “ = “ xảy ra khi: a = b = c
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: bc ca ab + +
a + b + c a b c HD : Ta có : bc cab a  + = c +  2c   , a ba b
Tương tự ta có : ca abc b  + = ab bca c a +  2a   và + = b +  2b   b cb c c ac a
Cộng theo vế ta được : 2VT  2VP Bài 9: Cho a b c 1  1 1 1  , a , b c  0 . CMR : + +  + + 2 2 2 2 2 2   a + b b + c c + a 2  a b c  HD:
Áp dụng Cô si cho hai số 2 2
a ,b  0 , ta có : 2 2
a + b  2ab 2 2
b + c  2bc Làm tương tự ta sẽ có a b c 1 1 1 1  1 1 1   = VT  + + = + + = + +   2 2
c + a  2ca 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2  a b c  a = b
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: b = c = a = b = cc = a Trang 2 Bài 10: CMR: Với mọi   , a ,
b c  0 , thì (a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c  HD: 1 1 1 1
Áp dụng Cô si cho ba số , a , b c  0 , ta có : 3
a + b + c  3 abc và 3 + +  3 a b c abc Nhân theo vế ta có: (  
a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c
a = b = c
Dấu “ = “ khi và chỉ khi : 1 1 1 = a = b = c = = a b c Bài 11: Cho , a ,
b c  0 và a + b + c  3 , CMR : a b c 3 1 1 1 + +   + + 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c
2 1+ a 1+ b 1+ c HD: 2 1  + a  2aa b c a b c 3 Ta có: 2 1
 + b  2b = + +  + + = 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 2  2 1+ c  2c  1  + a = x  1 1 1 3 Đặt 1
 + b = y = x + y + z = a + b + c + 3  6 => B = + +  , x y z 2 1  + c = z   
Khi đó: (x + y + z) 1 1 1 1 1 1 9 9 3 + +  9 = + +   =    x y z x y z x + y + z 6 2
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: a b c 3 + + 
b + c c + a a + b 2 HD:  
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : (x + y + z) 1 1 1 + +  9    x y z
x = a + b   
Đặt y = b + c = (a + b + c) 1 1 1 2 + +  9   
a + b b + c c + a z = c + a
a + b + c a + b + c a + b + c 9 = + +  = a b c 9 3 + +  − 3 = a + b b + c c + a 2
b + c c + a a + b 2 2
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: a b 1 3 + + 
b +1 a +1 a + b 2 HD :  a   b   1    VT = + + + + + − =       (a +b+ ) 1 1 1 1 1 1 3 1 + + − 3    b +1   a +1   a + b
b +1 a +1 a + b  1  9 3 (   =
a + ) + (b + ) + (a + b) 1 1 1 1 1  + + − 3     − 3 = 2
a +1 b +1 a + b  2 2 Trang 3
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: a b c + +  3
b + c − a c + a − b a + b − c HD : abc Ta có : VT  33 (
b + c − a)(c + a −b)(a + b − c)
Lại có : (b + c − a) + (c + a −b)  2 (b + c − a)(c + a −b)
= 2c  2 (b + c − a)(c + a −b) , Tương tự ta có :
a  (c + a − b)(a + b − c) và b  (b + c − a)(a + b − c) abc
=> abc  (b + c − a)(c + a −b)(a + b − c) => 3 (  =  =
b + c − a)(c + a −b)(a + b − c) 1 VT 3 1 3 1 1 1 a + b + c
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: + +  2 2 2
a + bc b + ac c + ab 2abc HD : Co si cho hai số : 2
a ,bc , Ta được: 1 1 2 1  1 1 2 
a + bc  2a bc =  =  + 2 2   a + bc 2a bc a + bc 2  ab bc  Tương tự ta có : 2 1  1 1   + 2 1  1 1  và  + 2     b + ac 2  ab bc  2 c + ab 2  ca cb  1 1 1 a + b + c a + b + c
Cộng theo vế ta được : 2VT  + + = = VT ab bc ca abc 2abc Trang 4
Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM 1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau. 2. Phương pháp :
- Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra dấu bằng.
- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.
Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số Bài 1: Cho 1 5
a  2,CMR : a +  a 2 HD :
Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 => 1 1 1
= = k.a = k.2 = k = a 2 4 1 1 a 3a a 3a 3a 3 5
Khi đó ta có : a + = + +  2 + = 1+  1+ = a a 4 4 4a 4 4 2 2 1 a  =
Dấu bằng khi a 4 = a = 2 a = 2
Bài 2: Cho a  3 , Tìm GTNN của: 1 S = a + a HD :
Dự đoán dấu bằng khi : 1 1 1 a = 3 =
= = k.3 = k = a 3 9 Khi đó ta có :  1 a  8a 2 8.3 2 8 10 S = + +  + = + =    a 9  9 9 9 3 3 3 Vậy Min 10 S = 3
Bài 3: Cho x  1, Tìm GTNN của: 1 A = 3x + 2x HD : Dự đoán dấu bằng khi 1 1 1 x = 1 =
= = k.3 = k = 2x 2 6 Khi đó :  1 3x  5x 2 5.1 5 7 A = + +  + = 1+ =    2x 6  2 4 2 2 2 Bài 4: Cho a, b > 0, 1 1
a + b  1,CMR : a + b + +  5 a b HD : a + b =1 1 1 1
Dự đoán dấu bằng khi 
= a = b = = = 2 = k. = k = 4 a = b 2 a 2 Khi đó :  1   1   1   1  VT = + a + + b = + 4a + + 4b − 3         (a +b)  a   b   a   b
 2 4 + 2 4 − 3(a + b), Mà a + b 1= 3
− (a + b)  3 −
= VT  4 + 4 − 3 = 5 Trang 5
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x  3; y  3 .  1   1 
Tìm GTNN của biểu thức : A = 21 x + + 3 y +  y   x      HD : 2 2 x + y
Bài 6: Cho x  2y  0, Tìm GTNN của: P = xy HD : x y x 1
Ta có : P = + , đặt = a = a  2 = P = a + y x y a
Dự đoán dấu bằng khi : 1 1 1  1 a  3a a = 2 =
= = k.2 = k = = P = + +   a 2 4  a 4  4 2 3.2 3 5 P  + =1+ = 4 4 2 2
Bài 7: Cho a  10, b  100, c  1000, Tìm GTNN của: 1 1 1
A = a + + b + + c + a b c HD :
Dự đoán dấu bằng khi : 1 1 1 a = 10 = = = k.10 = k = , Tương tự với b và c, a 10 100 Khi đó ta có :  1 a  99a 2 99.10 101 B = + +  + =   , Tương tự với b và c  a 100  100 100 100 10
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, Tìm GTNN của: 1 1 1
P = a + b + c + + + a b c HD : Dấu bằng khi 1  1   1   1 
a = b = c = , Khi đó P = + 9a + + 9b + + 9c −8      
(a +b + c) 3  a   b   c
P  2 9 + 2 9 + 2 9 − 8(a + b + c) Mà a + b + c 1 = 8
− (a + b + c)  −8
Vậy P  6 + 6 + 6 − 8 = 10
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: 3
a + b + c  , 2 Tìm GTNN của: 1 1 1
P = a + b + c + + + a b c HD :
Dự đoán dấu bằng khi : 1  1   1   1 
a = b = c = = P = + 4a + + 4b + + 4c − 3      
(a +b + c) 2  a   b   c  3 15
P  4 + 4 + 4 − 3. = 2 2
Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, Tìm GTNN của:  1 1 1 
P = a + b + c + 2 + +    a b c  HD : 1
Dự đoán dấu bằng khi a = b = c = 3 Khi đó:  2   2   2  P = 18a + + 18b + + 18c + −17(a + b +      
c) = P  19  a   b   c Trang 6
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a + b  1, Tìm GTNN của: 1 S = ab + ab HD :
Dự đoán dấu bằng khi : 1 1 a = b = = = 4 =16ab 2 ab Khi đó ta có :  1  S = 16ab +
−15ab  2 16 −15ab    ab  − mà 1 15
a + b  2 ab = 1  2 ab = ab  = 1 − 5ab  4 4 Vậy 15 15 17 S  2.4 − = 8 − = 4 4 4 33
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: x + y = 4 , Tìm GTNN của: 2 2
P = x + y + xy HD : 33 Dự đoán dấu = khi: k
x = y = 2 khi đó: P  2xy +
, nên 2xy = 8 = = k = 32 khi đó: xy 4 32 1 1 1 4 1 1 P = 2xy + +  2 64 + , Mà:  = = P  2.8 + xy xy xy xy (x + y)2 4 4 1 1
Bài 13: Cho a,b  0,a+ b = 1 , Tìm GTNN của 2 2
P = a + b + + 2 2 a b HD: 1
Dấu = khi a = b = 2  1 1  2 1 15 1 15 Ta có: P = ( 2 2 a + b ) + +  2ab + = 2ab + +  2. +  2 2 a b    ab 8ab 8ab 4 8ab 1 1 15 15
Mà 1= a+ b  2 ab = ab  =  4 =  , Thay vào P ta được: 4 ab 8ab 2 15 17 P  1+ = 2 2 + Bài 14: Cho ,
a b  0 . Tìm GTNN của: a b ab P = + ab a + b HD :  a + b ab  =
Dự đoán dấu bằng khi : m ab a + b = m = 4  a = b a + b ab 3 a + b 1 3.2 ab 3.2 5 Khi đó ta có : P = + + .  2 + =1+ = 4 ab a + b 4 ab 4 4 ab 4 2
Bài 15: Cho x  0 , Tìm GTNN của 2 1
A = 4x − 3x + + 2019 4x HD : 1
Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi x = 2
Biến đổi A = ( x − x + ) + x + +  ( x − )2 2 1 1 4 4 1 2018 2 1 + 2 + 2018 = 2019 4x 4 Trang 7 5 4 1 Bài 16: Cho ,
a b  0,a + b = , Tìm GTNN của A = + 4 a 4b HD : 1
Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là : a = 1;b = 4  4   1  5
Khi đó : A = 4a+ + 4b + − 4    
(a+ )b  2 16 + 2 1− 4. = 5  a   4b  4 6 8
Bài 17: Cho a + b  0,a + b  6 , Tìm GTNN của A = 3a + 2b + + a b HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là : a = 2;b = 4 Khi đó ta có :  6  
8   6 3a  8 b  3 A = a + + b + = + + + +         (a+ ) 3 3 2
b  2 9 + 2 4 + .6 = 19  a  
b   a 2   b 2 2 2 10 8
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x + y  6 , Tìm GTNN của: P = 5x + 3y + + x y HD :
Dấu bằng khi : x y , Bấm máy , Tìm điểm rơi là x = 2,y = 4 Khi đó ta có : 10 1 8 1 x = 2 =
= 5 = k.5.2 = k = ,, = 2 = 3.4.h = h = x 2 4 6     => 10 5x 8 3y 5x 5y 5 P = + + + + +  2.5 + 2.2 + .6 = 29      x 2   y 6  2 2 2 Bài 19: Cho ,
x y  0 và x + 2y  2 , Tìm GTNN của 2 2 2 3
A = 2x +16y + + x y HD : 1
Dự đoán điểm rơi : x + 2y = 2 = x = 2 − 2y Thay vào A, bấm máy cho ta x = 1; y = 2 2 3 2 3  2   3  Khi đó : A = 2( 2 x + ) 1 + 4( 2 4y + )
1 + + − 6  4x +16y + + = 4x + + 16y + x y x y x   y     
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a + 2b + 3c  20 , Tìm GTNN của: 3 9 4
P = a + b + c + + + a 2b c HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là : a = 2;b = 3;c = 4 Khi đó :  3 3a   9
b   4 c a b 3c P = + + + + + + + +        a
4   2b 2   c 4  4 2 4 1
P  + + + (a + b + c) 1 3 3 2 2 3  8 + .20 4 4 2 2 a + b Bài 21: Cho ,
a b  0 thỏa mãn : a  2b , Tìm GTNN của biểu thức A = ab HD : a b a 1
Ta chia xuống, được : A = + , Đặt = t,(t  )
2 , Khi đó A = t + b a b tt 1 3t 2 3.2 5
Dấu bằng xảy ra khi t = 2 , Nên A = + +  + =  4 t    4 4 4 2 Trang 8 2 2 x + 2y Bài 22: Cho ,
x y  0 thỏa mãn: xy + 4  2y , Tìm GTNN của A = xy HD: Từ x 1
2y xy + 4  4 xy = y  2 x =  y 4 x  1 
Từ A chia xuống ta được: x 2y A = +
, Đặt = t, t y x y  4    2 1
Khi đó A = t + , Dấu = khi t = t 4 2 2
2a + b − 2ab Bài 23: Cho ,
a b  0 thỏa mãn: a  2b . Tìm GTNN của P = ab HD: 2.a b a 1
Ta chia xuống, được: P =
+ − 2 , Đặt = t,(t  )
2 , Khi đó P = 2t + − 2 b a b t 1 t  7t 2 7.2 5
Dấu bằng xảy ra khi t = 2 = P = + + − 2  + − 2 =  t 4    4 4 4 2
Bài 24: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 1 1 2 + +  3 a b a + b HD : + +  + Ta có : a b 2 2 a b a b 2  = + = 2 ab a + b + = + +    + 2 =1+ 2 = 3 ab a + b a + b 2  2 a + b  2 2 2 2 a b c
Bài 25: CMR: với a, b, c > 0 thì : + +
a + b + c b c a HD: 2 2 2  a   b   c  Ta có: 
+ b +  + c +  + a −(a + b + c)  2a + 2b + 2c −(a + b + c) = a + b + c =VP b   c   a
Bài 26: Cho a, b, c > 0, CMR: a b c 1 1 1 + +  + + 2 2 2 b c a a b c HD :  a 1 2 +   2 b a b   b 1 2 1 1 1  1 1 1 
Ta có :  +  = VT + + +  2 + + => ĐPCM 2   c b c a b c   a b c   c 1 2 +   2 a c a 2 2 2 a b c a + b + c
Bài 27: Cho a, b, c > 0, CMR: + + 
b + c c + a a + b 2 HD : 2  a b + c  2 b c + a 2 c a + b Ta có :  +
  a , Tương tự ta có : +  b và +  c b + c 4  c + a 4 a + b 4
Cộng theo vế ta được : a + b + c a + b + c VT +
a + b + c = VT  2 2 Trang 9 2 2 2 a b c a + b + c Bài 28: Cho , a ,
b c  0 , Chứng minh rằng: + + 
b + 2c c + 2a a + 2b 3 HD: 2 2 a a a 1
Dự đoán dấu = khi a = b = c , Khi đó: = = = .
k (b+ 2c) = .
k 3a = k = b + 2c 3a 3 9 2 2 a b + 2c a 2a Ta biến đổi: +  2. =
, làm tương tự và cộng theo vế ta được: b + 2c 9 9 3
3(a+ b+ c) 2(a+ b+ c)
2(a+ b+ c) (a+ b+ c) a+ b+ c VT +  = VT  − = 9 3 3 3 3 2 2 2 x y z
Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P = + + y + z x + z x + y HD : 2 x 1 y + z Dự đoán dấu bằng khi 2
x = y = z = , Khi đó : = = = k = 4 3 y + z 3 k 2 x y + z + + + + Nên : +  x y z x y z
x , Tương tự ta có : P +
x + y + z = P  =1 y + z 4 2 2 2 2 x y Bài 30: Cho x,y > 1, CMR : +  8 y −1 x −1 HD : 2 2 x x
Dự đoán dấu bằng khi x = y , Thay vào ta được : +
= 8 = x = y = 2 x −1 x −1 2 x 2 y Khi đó : + 4( y − ) 1  4x và + 4(x − ) 1  4y y −1 x −1
VT  4( x + y) − 4( y − ) 1 − 4( x − ) 1 = 8 3 3 3 a b c
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR : + +
ab + bc + ca b c a HD: 3 3 3  a   b   c  Ta có: 2 2 2 
+ b  + + c  + + a  −( 2 2 2
a + b + c )  b   c   a  3 3 a + b ab(a + b) Mà: 
= a(a + b) 2 = a + ab b b 3 3 b c Tương tự => 2 2 2 2
+ c b + bc,
+ a c + ca c a Khi đó VT  ( 2 2 2 + + ) + ( + + )−( 2 2 2 a b c ab bc ca
a + b + c ) = ab + bc + ca 3 3 3 2 2 2 a b c a + b + c Bài 32: Cho , a ,
b c  0 , Chứng minh rằng : P = + + 
b + 2c c + 2a a + 2b 3 HD:
Dấu bằng khi a = b = c , và để sau khi Cô si vẫn còn 2
a thì ta làm như sau: 2 a a(b+ c) 2 2 2.a Xét + 
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được: b + 2c 9 3
3(ab+ bc + c ) a 2 2
ab + bc + ca P +  ( 2 2 2
a + b + c ) = P  ( 2 2 2
a + b + c ) − 9 3 3 3 Trang 10 2 2 2 + +  + + = −( + + )  −( + + )
2(a + b + c ) 2 2 2 + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c = P  − 3 3 2 2 2 a + b + c P  3 Bài 33: Cho ,
x y  0, xy  6, y  3 , Tìm GTNN của P = x + y + 2019 HD :
Dự đoán điểm rơi tại y = 3,x = 2 , Khi đó y = x + 1 ,
Cô si cho hai số x +1; y  0 , ta được : P = (x + )
1 + y + 2018  2 y(x + )
1 + 2018 = 2. xy + y + 2018  2 6 + 3 + 2018 = 2024 Bài 34: Cho ,
x y  0, x + y = 1 , Tìm GTLN và GTNN của 2 2
A = x + y HD: 2 x x Ta có: 0  , x y  1= 
= A x + y = 1 2 y y 1
Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi x = y = , 2  2 1 x +  x  4 1 1 Khi đó: 
= A+  x + y = 1= A  1 2 2 2 y +  y  4 Trang 11
Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số
Bài 1: Cho a  2, Tìm Min của: 1 S = a + 2 a HD :
Dự đoán dấu bằng khi a = 2 => 1 1 1 = = .2
h = h = , Khi đó ta có : 2 a 4 8  a a 1  3a 1 3.2 3 6 9 3 S = + + +  3 + = + =  2   8 8 a  4 64 4 4 4 4 3
Bài 2: Cho a  2 , Tìm GTNN của : P = x + 3 x HD : 3 3 3
Dự đoán dấu = khi x = 2 , Khi đó : = = .
k x = 2k = k = 2 x 4 8 3
 3x 3x x   3 3x 3x x 1 2 9 2 11 Khi đó : 3 P = + + + = + + +  3.3. + = + = 2    2 x 8 8 4 x 8 8      4 64 4 4 4 4 Bài 3: Cho 1 1
0  a  , Tìm Min của: S = 2a + 2 2 a HD ; Dự đoán dấu bằng khi 1 1 1 a = =
= 4 = k.2. = k = 4, Khi đó ta có : 2 2 a 2  1  3 S =
+ 8a + 8a −14a  3 64 −14a  , mà 1 a  = 1 − 4a  7
− = S  3.4 − 7 = 5 2   a  2
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: 1 1
a + b  1, Tìm min của A = a + b + + 2 2 a b HD : Dự đoán dấu bằng khi 1  1   1  a = b =
= A = 8a + 8a + + 8b + 9b + −15 a + b  2   2  ( ) 2  a   b
= S  3.4 + 3.4 −15.1 = 9
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 3 1 1 1
a + b + c  , Tìm Min P = a + b + c + + + 2 2 2 2 a b c HD : Dấu bằng khi 1
a = b = c = 2 Khi đoa :  1   1   1 
P = 8a + 8a + + 8b + 8b + + 8c + 8c +
−15 a + b + c  2   2   2  ( )  a   b   c  3 45 27
P  3.4 + 3.4 + 3.4 −15. = 36 − = 2 2 2
Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 3 1 1 1
a + b + c  , Tìm Min: 2 2 2
A = a + b + c + + + 2 a b c HD : Dấu bằng khi : 1
a = b = c = 2  1 1   1 1   1 1  3  1 1 1 2 2 2  = P = a + + + b + + + c + + + + +          8a 8a   8b 8b  
8c 8c  4  a b c  3 3 3 3  9  27 P  + + + =  
4 4 4 4  a + b + c  4 Trang 12 3 4
Bài 7: Cho x  2 , Tìm GTNN của : P = 2x + + 2 x x HD : 4 1
Dự đoán dấu = khi x = 2 , Khi đó : = 1= . k x = .
k 2 = k = , Vậy ta tách : 2 x 2  x x  3 4  4 x x   3  3 3 3 P = + + x + + = + + + x +   , lại nhẩm tiếp : = = . k x = . k 2 = k = 2  2 2 2 x x x 2 2   x        x 2 4  4
x x   3 3x x 9 2 1 13 Nên P = + + + + +  3+ 2 + = 3+ 3+ =  2 x 2 2   x 4      4 4 4 2 2
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1, 3 3 3 Tìm Min của: a b c A = + +
(1−a)2 (1−b)2 ( 2 1− c ) HD : Dấu bằng khi 1
a = b = c = Khi đó : 3 3 a 1− a 1− a 3 3 − − + +  b 1 b 1 b 3
a , Tương tự ta cũng có : + +  b (1−a)2 8 8 4 (1−b)2 8 8 4 3 c 1− c 1− c 3 + +  c (1−c)2 8 8 4 Bài 9: Cho , a ,
b c  0 , thỏa mãn : ab + bc + ca = 3 , 3 3 3 a b c Tìm GTNN của P = ( + + 1+ )
b (1+ c) (1+ c)(1+ ) a (1+ )a(1+ )b HD :
Dự đoán dấu bằng khi a = b = c = 1 3 3 a 1+ b 1+ c a 3a Xét ( + +  =
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được : 1+ b)(1+ c) 3 3. 8 8 64 4
(a+ )1+(b+ )1+(c+ )1 3(a+ b+ c)
3(a+ b+ c) a+ b+ c 3 a+ b + c 3 P +  = P  − − = − 4 4 4 4 4 2 4 3 3 3
Mà (a+ b+ c)2  3(ab+ bc+ c )
a = 9 = a + b + c  3 , Thay vào P ta được : P  − = 2 4 4 3 3 3 x y z Bài 10: Cho , x ,
y z  0 thỏa mãn : xy + yz + zx  3 , Tìm GTNN của : P = + +
y +1 z+1 x +1 HD :
Dự đoán dấu bằng khi x = y = z = 1 3 x y +1 1 3.x Xét + + 
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được : y +1 4 2 2
x + y + z 3 3 3(x + y + ) z 5(x + y + ) z 9 P + + +  = P  − 4 4 2 2 4 4 Mà (x + y+ )2
z  3(xy + yz+ zx)  3.3= 9 = x + y + z  3 , 5.3 9 3
Thay vào P ta được : P  − = 4 4 2 Trang 13 Bài 11: Cho , x ,
y z  0 thỏa mãn: x + y + z = 11 , Tìm GTNN của 3 3 3
P = x + 4y + 9z HD:
Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau: Dự đoán x = , a y = ,
b z = c = a + b + c = 11 và P k(x + y + ) z
Áp dụng cô si cho 3 số 3 3 3
x ,a ,a ta được: 3 3 3 2
x + a + a  3xa (1) Tương tự ta cũng có : 3 3 3 2
y + b + b  3yb (2) Và 3 3 3 2
z + c + c  3zc (3)
Để có được biểu thức P ta cộng (1) + 4.(2) + 9(3) ta được : ( 3 3 x + a ) + ( 3 3 y + b ) + ( 3 3 z + c )  ( 2 2 2 2 4 2 9 2
3 a x + b y + c ) z = P + ( 3 3 3
a + b + c )  ( 2 2 2 2 4 9
3 a x + 4b y + 9c )
z , đồng nhất với k(x + y + ) z ta được : 2 2 2
a = 4b = 9c = a = 2b = 3c , mà a + b + c = 11= a = 6 = , x b = 3 = , y c = 2 = z
Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau : 3 3 3
x + 6 + 6  3.36x (4) , 3 3 3
y + 3 + 3  3.9y (5) và 3 3 3
z + 2 + 2  3.4z (6) Cộng + + = ( 3 3 3
x + y + z ) 3 3 3 (4) 4.(5) 9.(6) 4 9
+ 2.6 + 8.3 +18.2  108(x + y+ ) z = 11.108 P  396 Trang 14
Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU a b Bài 1: Cho ,
a b  0;a + b = 4ab . Tìm GTNN của A = + 2 2 4b +1 4a +1 HD: 1
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2 1 1
Nếu co si mẫu thì ta được: 2 4b +1 4b = 
, Như vậy ta không thể tìm được GTNN 2 4b +1 4b Khi đó ta biến đổi: 2 2 2 2  4ab   4a b   4ab   4a b A = a−  + b −    a−  + b−
 = a+ b − 2ab = 4ab− 2ab = 2ab 2 2 ( ) 4b +1 4a +1 4b 4a        
Mà a + b = ab  (a+ b)2 = (a+ b)2 4
− (a+ b)  0 = a+ b  1 Vì ,
a b  0 = a + b  0 1 1
Khi đó : 4ab = a + b  1= 2ab  = A  2 2 1 1 1 Bài 2 : Cho , x ,
y z  0 và x + y + z = 3 , Tìm GTNN của : P = + + 2 2 2
x +1 y +1 z +1 HD :
Dự đoán dấu bằng khi x = y = z = 1 1 1
Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : 2 x +1 2x = 
thì ta đều không tìm ra được GTNN. 2 x +1 2x 1 1 1 9 9
Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT + +  = P a b c a + b + c 2 2 2
x + y + z + 3 x + y + z Mà (x + y + )
z  (x + y + z ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 9 3.
= x + y + z
= = 3 , Thay vào P ta được : 3 3 9 3 P  = 3+ 3 2 2 2 2 1 x +1− x x
Cách 2: Hoặc ta biến đổi : = = 1−
, Rồi mới Cô si dưới mẫu : 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 2 2 x x x x Khi đó ta có : 2 x +1 2x =  = 1−
 1− , làm tương tự và cộng theo vế : 2 2 x +1 2x x +1 2
x + y + z 3 3 P  3− = 3− =  2    2 2 2 2 2 x y z Bài 3 : Cho , x ,
y z  0 và x + y + z = 3 , Tìm GTNN của P = + + 3 3 3 x + 2y y + 2z z+ 2x HD :
Dự đoán dấu = khi x = y = z = 1 x( 3 x + 2y ) 3 2 3 − 2 . xy x x x 2xy Xét = = = x −
, Vì dấu = khi x = y = z 3 3 3 3 x + 2y x + 2y x + 2y x + 2y 3 3 2 2xy 2 . y x
Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số : 3 3 3 6 2 3
x + y + y  3. xy = 3.y x = x −  x − 3 x + 2y 3 2
Làm tương tự và cộng theo vế ta được : P  (x + y + ) z − ( 3 2 3 2 3 2
y x + z y + x z ) 3 Trang 15 2xy + y Mà 3 2 3 2 3 3 2
3y x = 3. x y xy + xy + y = y x
, Làm tương tự và công theo vế ta có : 3
3  2( xy + yz+ zx) x + y + zP  3−  +  , 2 3 3  
Và x + y + z xy + yz+ zx = (x + y + )2 2 2 2
z  3(xy + yz+ zx) = xy + yz+ zx  3 2
Thay vào P ta được : P  3− (2+ ) 1 = 1 3 Trang 16
Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN Bài 1: Cho , x ,
y z  0 và x + y + z  3 , Tìm GTNN của: 2 2 2 20
P = x + y + z + x + y + z HD: Ta sẽ dồn 2 2 2
x + y + z về x + y + z hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người.
Dự đoán dấu = khi x = y = z = 1
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài: ( + + )  ( + + )2 2 2 2 3 x y z
x y z rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi Cách 2: Ta có 2 x +1 2x , 2
y +1 2y và 2
z +1 2z , Cộng theo vế ta được: 2 2 2
x + y + z +  (x + y + )
z = P  (x + y + ) 20 3 2 2 z − 3+
, đặt x + y + z = t,(0  t  ) 3 x + y + z 20 18 2 2 29
Dấu = khi t = 3 = P = 2t + − 3 = 2t + + − 3 2. 36 + − 3 = t t t 3 3  a b c  1 1 1 Bài 2: Cho , a ,
b c  1 , Tìm GTLN của: P = + + + + +  2 2 2 2 2 2  a b b c c a  + + +  a b c HD: 1 1 1
Ta sẽ dồn về biến + + , Dự đoán dấu = khi a = b = c = 1 a b c a a 1 Ta có: 2 2
a + b  2ab =  =
, Làm tương tự và cộng theo vế ta được: 2 2 a + b 2ab 2b 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 P  + + +
+ + , Đặt t = + + , Dự đoán điểm rơi 0  t  3 2  a b c    a b c a b c t 3
Và P  + t  + 3 2 2 2 2 2
Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: b c a 9 9 + + +  a b c
2(a + b + c) 2 HD : 2 a 2 2 b c Ta có : + c  2a , + a  2 , b + b  2c c a b + +  + +  Ki đó 9 a b c a b c 9 9
VT a + b + c + = +  +   2(a b c) 2  2 2  (a b c)  + + + + 2  3 3 abc 2.3 3 9 VT  + = + 3 = 2 2 2 2 Trang 17
Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG
Bài 1: Tìm min của biểu thức: 2 1 A = + (0  x  ) 1 1− x x HD:
2 − 2x + 2x 1− x + x 2x 1− x 2x 1− x Tách A = + = 3+ +  3+ 2 . = 3+ 2 2 1− x x 1− x x 1− x x −
Dấu ‘’ = ’’ khi 2x 1 x = = x = 2 −1 1− x x Bài 2: Tìm min của: x 5 B = + với 0 < x < 1 1− x x HD: x 5 − 5x + 5x x 5(1− x) x 5(1− x) Ta có: B = + = +
+ 5  2 5 + 5 , dấu bằng khi = 1− x x 1− x x 1− x x Bài 3: Tìm min của: x 2 C = + (x > 1) 2 x −1 HD: x −1+1 2 x −1 2 1 1 x − C = + = + +  2 + , Dấu bằng khi 1 2 = 2 x −1 2 x −1 2 2 2 x −1
Bài 4: Cho 0 < x < 1, Tìm min của: x 4 B = + 1− x x HD: x 4 − 4x + 4x x 4(1− x) x 4(1− x) Ta có: B = + = 4 + +  4 + 4 , dấu bằng khi = 1− x x 1− x x 1− x x 2 x +1
Bài 5: Tìm min của biểu thức: B = với x  0 x + 2 HD: 2 x − 4 + 5 5 5 Tách A = = x − 2 + = x + 2 + − 4  2 5 − 4 x + 2 x + 2 x + 2 Dấu ‘’=’’ khi 5 x + 2 = = x + 2 =  5 x + 2 2 x
Bài 6: Tìm min của: C = với x >1 x −1 HD: 2 x −1+1 1 1 Ta có: C = = x +1+ = x −1+
+ 2  2 + 2 , Dấu bằng khi 1 x −1 = = x = 2 x −1 x −1 x −1 x −1 2 x − x +1
Bài 7: Tìm min của: A = với x > 0 2 x + x +1 HD: 2
x + x +1− 2x 2x 2 Tách A = = 1− = 1− , mà 1 2 2 x +  2 =  2 2 x + x +1 x + x +1 1 x 1 x +1+ 3 x + +1 x x Trang 18 2 x + 4x + 4
Bài 8: Tìm min của: B = với x  0 x HD: Ta có: 4
B = x + 4 +  4 + 4 = 8 , dấu bằng xảy ra khi 4 x = = x = 2 x x Bài 9: Tìm min của:   B = ( x + ) 1 1 1+   với x > 0  x  HD: Tách 1
B = x +1+1+  2 + 2 , dấu bằng xảy ra khi 1 x = = x =1 x x 2 2  
Bài 10: Tìm min của: = ( + )2 x A x 1 + 
+ 2 với x  −1 x +1   HD: 2  
Tách A = ( x + )2 + (x + ) 1 2 1 1 1 +  (  = + + +  + x + ) 2( x ) 1 2 2 2 2 1  (x + )2 1
Dấu bằng khi (x + )2 1 1 1 2 1 =
= x +1 = = x +1 =  2 ( )4 4 (x + ) 1 2 2 2
x y   x y
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của: P = + − + − 2      y x   y x  HD: 2 2 Đặt x y  1  9  1  9 2
+ = t = P = t − t − 2 = t − −  
, mà t  2 = P  2 − − = 0   y x  2  4  2  4
(x + a)(x +b)
Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: A = với x > 0 x HD: 2 2
x + ax + bx + abab Ta có:  B =
= a + b + x +
a + b + 2 ab =   ( a + b) xx a b
Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho + = 1, x y
Tìm x, y để S = x + y đạt min, Tìm min S theo a,b HD:  a b bx ay
Ta có S = (x + y) + = a + b + +
a + b + 2 ab   , min = ( + )2 S a b x y y x ay bx a b Dấu bằng khi =
mà + =1 = x = a + ab, y = b + ab x y x y ( 2 2
2 x + y ) +12xy
Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = 1 và x + y = 1, Tìm min của: A = x + y HD:
(x + y)2 − xy + xy   (x + y)2 2 2 12 2 + 8xy  1  Ta có : A = = = 2 x + y + , x y x y   x y  + + +  1 x + y = 1 1 Co si x + y +
 2 => A  4 dấu bằng khi  = x = y = x + y 4xy = 1 2 Trang 19
BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A. LÝ THUYẾT 1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất
đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ. 2. Tổng quát:
Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2 hoặc 3 số. 2 2 a a a
a + a + ... + a 1 2 n ( 1 2 n )2 2
- Với các số b ,b ,...b  0 , ta có: + + ...+  1 2 n b b b
b + b + ... + b 1 2 n ( 1 2 n ) a a a
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: 1 2 = = ... n = b b b 1 2 n 1 1 4 1 1 - Với hai số ,
a b  0 ta có : + 
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi: = = a = b a b (a+ ) b a b 1 1 1 9 - Với ba số , a ,
b c  0 thì ta có : + + 
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a = b = c a b c a + b + c
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG 1 1 4
Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT : +  x y x + y HD : x + y 4 Ta có: gt = 
= (x + y)2  4xy = (x − y)2  0 xy x + y Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 1 1 1 1 1 1 + +  + +
a + b − c b + c − a c + a − b a b c HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 1 4 2 +  =
a + b − c b + c − a 2b b Tương tự ta cũng có : 1 1 2 +  và 1 1 2 + 
b + c − a c + a − b c
c + a − b a + b − c a
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh 1 1
Bài 3: Cho x  0, y  0, x + y  1, CMR: +  4 2 2 x + xy y + xy HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 1 4 +   1
4 , Vì x + y  1 = ( x + y)2 1 = 1 2 2 x + xy y + xy (x + y)2 (x + y)2 Trang 20

Tài liệu liên quan: