Chuyên đề biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức

BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân
chia trên những phân thức.
- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức đã học.
2. Giá trị của phân thức
- Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0.
- Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định
vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0.
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:  x  x  a) 5x 2 2 1 2 ; b) ; c) ; d) 2x  6 2 x  4 2 4x  2x 3 x  27
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: b  2 2y a) 4a 3 6 3 ; b) ; c) ; d) . 3a  8 2 b  2b 2 x  5 3 y  3y  2
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: 2 x 1 x  x  x  a) 2 1 3 4 1 ; b) ; c) ; d) . 2 9x 16 2 x  6x  9 2 2x  3x 3 2 x  4x  3x
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi;
Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng A với A và B là các đa thức, B khác đa B thức 0.
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 4 2  1 y  a)  x 2 A với x  0 và 1 x  ; b) B  với y  2. 1 2 y 2  2 1 x 2 y  2 y  4
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức: x 15 1  2  3y  2 a) 4 4  x 9 y A với x  0;3;4. b) với y  0. x 6 7   1 1 1  2 x 2 2 3y 9 y
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 2 4n n 4   2 a)  m m x M , m  0, n  0, n  2 . m b) 1 N   , x  3  . 1 2  3 x 1 m n x  3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi.
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau: a) A   1 1 2   4x   1  1   với 1 x   .  2x 1 2x 1  2 b)  3 9   3 1  B   :   với x  0, x  3. 2   2 
 x  3 x  6x  9   x  9 3  x 
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 a)  4a  b 4a  b  a 16   b A .  với a  0,a  4 ; b 2 2  2 2
 a  4ab a  4ab  a  b 2  y   y  b) 3 B  1 :   1 với y  1; y  2. 2   y  2   4  y  2 x  x x   Bài 9: Cho biểu thức 2 6 108 6    x P x  x x  x   ' 2 12 2 6
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 3 ; 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 9  ; 2
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
• A  0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu; B
A  0 khi và chỉ khi A và B trái dấu. B
• Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2  0 vói mọi giá trị của a.
• Với a;b Z và b  0 ta có: a  Z  bƯ (a). b x  Bài 10: Cho phân thức 2 A  với x  1; x 1 a) Tìm x để A 1; b) Tìm x để A .  2 x  2x  2
Bài 11: Cho phân thức B  với x  3; x  3 a) Tìm x để B  0; b) Tìm x  để B .  Bài 12: a) Tìm x để phân thức 8 A 
đạt giá trị lớn nhất; 2 x  4x 12 b) Tìm x để phân thức 5 B  
đạt giá trị lớn nhất. 2 x  2x 11 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:  x  x  a) 5x 2 2 1 2 ; b) ; c) ; d) 2x  6 2 x  4 2 4x  2x 3 x  27 Hướng dẫn a)  x  3  b) x  2  c) x  1 0; x  d) x  3 2
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: b  2 2y a) 4a 3 6 3 ; b) ; c) ; d) . 3a  8 2 b  2b 2 x  5 3 y  3y  2 Hướng dẫn a) 8
a  b) b  0; b  2 c) x  d) y  1; y  2 3
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: 2 x 1 x  x  x  a) 2 1 3 4 1 ; b) ; c) ; d) . 2 9x 16 2 x  6x  9 2 2x  3x 3 2 x  4x  3x
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Hướng dẫn a) 4 
x   b) x  3 c) x  0; x  3 d) x  0; x  1; x  3. 3 2
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 1 4 2  1 y  a)  x 2 A với x  0 và 1 x  ; b) B  với y  2. 1 2 y 2  2 1 x 2 y  2 y  4 Hướng dẫn      a) 1 1 2x 1 A  2  : 2        x   x  2x 1 2 2 2    y  b) 4 2 y  2 y  4 y  4 y  2 y  2 y  4 y  2 y  4 B  1 : 1  :  .     2  2  y  2  
y  2y  4  y  2 y  2y  4 y  2  y  22 y  2
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức: x 15 1  2  3y  2 a) 4 4  x 9 y A với x  0;3;4. b) với y  0. x 6 7   1 1 1  2 x 2 2 3y 9 y Hướng dẫn 2 2 a)  x
15   x 6 7  x  8x 15 x  7x 12 x  5 A   2  :    :       4 4x   2 x 2  4x 2x 2(x  4) 3 2 b)  1   1
1  27 y 1 9 y  3y 1 B  3y  : 1   :  3y 1  2   2  2 2  9 y   3y 9 y  9 y 9 y
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 2 4n n 4   2 a)  m m x M , m  0, n  0, n  2 . m b) 1 N   , x  3  . 1 2  3 x 1 m n x  3 Hướng dẫn 2 a) Ta có (2m  n) . m n (n  2m)  n M .  . 2 m n  2m m 2 b) Ta có 1 x(x  3) x  3x 1 N    3 3 3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau: a) A   1 1 2   4x   1  1   với 1 x   .  2x 1 2x 1  2 b)  3 9   3 1  B   :   với x  0, x  3. 2   2 
 x  3 x  6x  9   x  9 3  x  Hướng dẫn a) A  x   x   x   4x   2 (2 1) (2 1) (4 1) 2 2 1  3 4x (2x 1)(2x 1) b) 3 (x  3)(x  3) 9  3  x B .  x 32 x x  3
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 a)  4a  b 4a  b  a 16   b A .  với a  0,a  4 ; b 2 2  2 2
 a  4ab a  4ab  a  b 2  y   y  b) 3 B  1 :   1 với y  1; y  2. 2   y  2   4  y  Hướng dẫn 2 2 2 2 8(a  b ) a 16b 8 2 2y  2 4  y 2  y a) A  b) B  .  a  .  2 2 a 16b  2 2 a  b a 2 y  2 4  4y 2  2y 2 x  x x   Bài 9: Cho biểu thức 2 6 108 6    x P x  x x  x   ' 2 12 2 6
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 3 ; 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 9  ; 2
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. Hướng dẫn
a) Tìm được x  6; x  0 b) Gợi ý: 3 2 2
x  4x  6x  36  (x  6)(x  2x  6) 2  2  6 Ta tìm được  x x P 2x 3 x  3 c) Ta có 2 P 
 x  5x  6  0  (x  3)(x  2)  0  (TM) 2  x  2
d) Tương tự câu c) tìm được x  6(KTM ) hoặc x  1  (TM ) e) 2 2
P  1  x  4x  6  0  (x  2)  2  0 ( vô nghiệm) Vì 2
(x  2)  2  2  0 với mọi x. Do vậy x 
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước. x  Bài 10: Cho phân thức 2 A  với x  1; x 1 a) Tìm x để A 1; b) Tìm x để A .  Hướng dẫn
a) Ta có A >1 dẫn đến 3  0  x  1 (TMĐK) x 1 b) Ta có: 3 A  1
nên A   (x 1) nhận giá trị là Ư(3). Từ đó tìm được x 2  ;0;2;  4 x 1 2 x  2x  2
Bài 11: Cho phân thức B  với x  3; x  3 a) Tìm x để B  0; b) Tìm x  để B .  Hướng dẫn 2 a) Ta có  1  7 7 2 x  x  2  x     0  
nên B  0  x  3  2  4 4 b) Ta có 8 B  x  2 
nên B    (x  3) nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được x  3 x  5  ; 1  ;1;2;4;5;7;1  1 . Bài 12: a) Tìm x để phân thức 8 A 
đạt giá trị lớn nhất; 2 x  4x 12 b) Tìm x để phân thức 5 B  
đạt giá trị lớn nhất. 2 x  2x 11 Hướng dẫn a) Ta có 2 2 1 1
x  4x 12  (x  2)  8  8 hay
 dẫn đến M 1. Từ đó tìm được giá 2 x  4x 12 8
trị lớn nhất của M = 1 khi x = 2. b) Tương tự ta có 2 2 1 1 1
x  2x 11  (x 1) 10  10 hay   N   2 x  x 11 10 2 Giá trị nhỏ nhất của 1 N   khi x = -1 2
Chú ý : Ở bài 12. Ta dựa vào lập luận - Nếu 1 1 M  a  0   ; M a - Nếu 1 1 0  M  a   M a B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 a) x  4 b) 2x 1 9 2 x 16 2 x  4x  4 2 c) x  4 d) 5x  3 2 x 1 x2 2  x
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 a) 1 b) x y  2x 2 2 x  y 2 x  2x 1 c) 5x  y d) x  y 2 x  6x 10 2 2 (x  3)  ( y  2)
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 a) x  5x  6 b) 2 2 x 1 (x 1)(x  3) c) 2x 1 d) 4 2 x  5x  6 2 2 x  y  2x  2
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: 2 3 a) 5x b) 4xy 21x y ( y  0) c) (xy  0) 10 2 y 6xy d) 2x  2 y e) 5x  5y  x x  y (x  y) f) 15 ( ) (x  y) 4 3x  3y 3( y  x)
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: 2 2 a) x 16 x  4x  3 (x  0, x  4) b) (x  3) 2 4x  x 2x  6 3 2 c) 15x(x  y) x  xy ( y(x  y)  0) d) (x  y, y  0) 2 5y(x  y) 2 3xy  3y
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: 2 2 3 2 2 a) (2x  2x)(x  2) x  x y  xy A  với 1 x  b) B  với x  5, y  10 3 (x  4x)(x 1) 2 3 3 x  y
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Bài 7: Thực hiện phép tính:
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  5 1 x x  y 2y a)  b)  5 5 8 8 2 2 2 2 2 c) x  x 1 4x 5  4   d) xy x y xy x y  xy xy 3xy 3xy
Bài 8: Thực hiện phép tính: 2x  4 2  x 3x 2x 1 2  x a)  b)   10 15 10 15 20 2 c) x 1 x  3   d) 1 2x 2x 1   2x  2 2  2x2 2 2x 2x 1 2x  4x
Bài 9: Thực hiện phép tính: 2 2 a) x 6 1 2 10 5   2   b) x xy y x x y   x3  4x 6  3x x  2 2xy y x 2 2 c) 2 1 3  x   d) x  y x  y  x  y x  y x2  y2 x  y
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: x3  x2  2 x3  x2 2  4 x3  x2 2  2x  2 a) b) c) x 1 x  2 2x 1
Bài 11:Tìm giá trị của biến x để: a) P 1 
đạt giá trị lớn nhất x2  2x  6 2 b) x  x Q 1 
đạt giá trị nhỏ nhất x2  2x 1 HƯỚNG DẪN
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2
a) x  4 điều kiện xác định 4 2x 1 x   b)
điều kiện xác định x  2 9 2 x 16 3 2 x  4x  4 2 c) x  4 điều kiện xác định 5x  3   x  1  d) điều kiện xác định 1 x  0,  2 x 1 x2 2  x  2 
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: x  0 2 a) 1 điều kiện xác định  2  b) x y
x điều kiện xác định x 1 x2  y2  y  0 x2  2x 1 c) 5x  y điều kiện xác định x   x2  6x 10 x  3 d) x  y
điều kiện xác định  x 2   y 2 ( 3) (  2)  y  2
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 x  1 
a) x  5x  6 điều kiện xác định 2 x  1  b)
điều kiện xác định  x2 1 (x 1)(x  3) x  3
c) 2x 1 điều kiện xác định x2 x x x  x          2 5 6 0 3 2 0 x2  5x  6 x  3 d) 4
điều kiện xác định x  y  x    x  2 2 2  y2 2 2 0 1 1  0 ( luôn đúng x2  y2  2x  2 với mọi x, y   )
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: 5x 2 3 a) x 4 21  b) xy (y  0)  7 2x c) x y (xy  0) 2  xy 10 2 2y 6xy 2 2x  2y d) x  y 5  5 1  5 (  )  e) x y (x  y) 5  f) x x y (x  y) 4 2 3x  3y 3 3(y  x)  5
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 a) x 16 (x  0, x  4) b) 4x  x2 x2  4x  3 (x  3  ) 2x  6
x  4x  4 x  4 x   1  x  3    x 1   x 4  x x 2 x  3 2 3 2 c) 15x(x  y) (y,(x   y)  0) d) x xy (x  y,y  0) 5y(x  y 2 ) 3xy  3y2 3x  x  y x  x  y   x  y 3y  x  y 3y
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: 2 2 a) (2x  2x)(x A  2)  với x 1  (x3  4x)(x 1) 2 2 2 x  x   x  2 2 2 2 2 x  2 Ta có (2x  2x)(x A  2)    (x3  4x)(x 1)
x  x  2 x  2 x   1 x 1 Thay x 1
 vào biểu thức A ta có: 2  1  3 2  2   2.  2  2 A    2  1 3 1 2 2 3 2 2 b) x  x y  xy B  với x  5,y  10 x3  y3 3 2 2 x  2 2 x  xy  y  Ta có x  x y  xy B  x   x3  y3 x  y 2 2 x  xy  y  x  y Thay x 
 5, y  10 vào biểu thức B ta có: 5 B   1 5 10
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Bài 7: Thực hiện phép tính: x  5 1 x x  y 2y a)  4    b)  x y  5 5 5 8 8 8 2 2 c) x  x 1 4x    x 5 x 1  xy xy xy
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 2 2 2
xy 5y  x xy 4y  x d) 5xy  x y 4xy  x y      5y x 4y x    3y 3xy 3xy 3xy 3xy 3 3
Bài 8: Thực hiện phép tính: 2x  4 2  x x  2 2  x 3 x  2 a)    2 x 2x 8      10 15 5 15 15 15 15 3x 2x 1 2  x 18x 42x   1 32  x b)    23x 2     10 15 20 60 60 60 60 2 2 c) x 1 x  3    x 1 x 3  
2x  2 2  2x2 2x   1 21 x1 x x  2 2 1 x  3 2x  4 x  2     2 x   1  x   1 2 x   1  x   1 2 x   1  x   1 x  1x   1 2x  2 2 d) 1 2x 2x 1 1 2x 2x 1 1      4x 1    2 2x 2x 1 2x  4x 2x
2x 1 2x 1 2x 2 x2x   1 2 x 2x   1 2 x 2x   1 4x 2   2x 2x   1 2x 1
Bài 9: Thực hiện phép tính: 2 2 a) x 6 1 2 10 5   2   b) x xy y x x y   x3  4x 6  3x x  2 2xy y x 2 x 6 1 x  5y 5y  x x  2 y x  y       2  x  2
x  4 32  x x  2 y y x x x 2 1    2 x  4 2  x x  2 x 2 x  2 x  2    
x  2 x  2  x  2 x  2  x  2 x  2 6    x  2 x  2 2 2 c) 2 1 3  x    x  y x  y d) x y x  y  x2  y2 x  y 2 x  y x  y 3    2 2 2 x y x  y   
x  y x  y  x  y x  y  x  y x  y   x  y x  y
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3x  3y  3 2 2  2x  2y  2xy   x  yx  y x  y
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: x3  x2  2 2 x  x    a) 1 2 2 2   x 
. Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì x 1 x 1 x 1 x 1U 2   1  ,  2 . Ta có bảng giá trị: x 1 -2 -1 1 2 x -1 0 2 3 Vậy x 1  ,0,2, 
3 Thì biểu thức có giá trị nguyên. x3  x2 2  4 2 x  x  2  b) 4 2 4   x  . x  2 x  2 x  2
Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì x  2U 4   1  , 2  ,  4 . Ta có bảng giá trị: x  2 -4 -2 -1 1 2 4 x -2 -1 0 2 3 6 Vậy x 2  , 1  ,0,2,3, 
6 thì biểu thức có giá trị nguyên. x3  x2 2  2x  2 2 x 2x      c) = 1 (2x 1) 1 1 2  x 1 2x 1 2x 1 2x 1
Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên thì 2x 1U   1    1 . x  2 -1 1 x 1 3 Vậy x1, 
3 thì biểu thức có giá trị nguyên.
Bài 11:Tìm giá trị của biến x để: a) P 1  1  x2  2x  6 x  2 1  5 Để P thì x  2 1  5 min mà  x  2 1  5  5 Do đó 1 Max P  khi x  1  max 5 2 b) x  x Q 1 
đạt giá trị nhỏ nhất x2  2x 1
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3 ĐS: minQ  khi x  1. 4
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com