Trang 1
CHUYÊN ĐỀ CHIA HT
A. LÝ THUYT.
Định nghĩa:
Tính cht:
- Nếu a chia hết cho c m và n, trong đó m, n là hai số nguyên t cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Vi p là s nguyên t. Nếu a.b chia hết cho p thì hoc a chia hết cho p hoc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 s nguyên dương liên tiếp cho n
( )
1n
luôn nhận được hai s dư bằng nhau
- Trong n
( )
1n
s nguyên liên tiếp, luôn có duy nht 1 s chia hết cho n
- Nếu
( )
;a b d=
thì tn ti hai s nguyên x, y sao cho:
ax by d+=
- Ta có:
( )
( )
( )
11
.... b
n n n n n n
a b a b a a b a b
−−
= + =
- Ta có:
( )
( )
( )
11
....
n n n n n n
a b a b a b a b a b
−−
+ = + + = + +
vi n là s t nhiên l
LUYN TP
Dng 1: S DNG TÍCH CÁC S LIÊN TIP
Phương pháp :
Bài 1: Chng minh rng vi mi s nguyên dương
n
ta đều có:
3
56nn+
.
HD:
Ta có:
, như vậy ta cn chng minh
( )( )
3
6 1 1 6n n n n n = +
.
Do
( )( )
11n n n−+
là tích ca 3 s nguyên liên tiếp nên chia hết cho c 2 và 3
Bài 2: Chng minh rng :
3
11 6,n n n Z+
HD :
Ta có:
( )
( )( )
3 3 2
11 12 1 12 1 1 12n n n n n n n n n n n n+ = + = + = + +
( )( )
11n n n+−
là ba s nguyên liên tiếp
( )( )
1 1 6n n n= +
3
12 6 11 6n n n= +
Bài 3: Chng minh rng:
( )( )
1 2 1 6,A n n n n N= + +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 2 1 1 1 2 6A n n n n n n n n n n

= + + + = + + + +

Bài 4: Chng minh rng:
32
3 3 48,m m m m+
l
HD:
Vì m là s lẻ, Đặt
( )
2 1,m k k N= +
Khi đó ta có :
( )
( )
( )( )( )
3 2 2
3 3 3 1 1 1 3A m m m m m m m m= + = + = + +
Thay
21mk=+
vào A ta được :
( )( )
8 2 1A k k k= + +
( )( )
12k k k++
là tích ba s t nhiên liên tiếp nên 6 Vy
48A
Bài 5: Chng minh rng:
4 3 2
4 4 16 384,n n n n n +
chn
HD:
Vì n chẵn, Đặt
( )
2,n k k N=
, Khi đó ta có:
( )
( )
4 3 2 2
4 4 16 4 4A n n n n n n n= + =
, Thay
2nk=
vào A ta được:
Trang 2
( )( ) ( )
16 2 1 1A k k k k= +
, Vì
( )( ) ( )
2 1 1k k k k +
là tích ca 4 s t nhiên liên tiếp
Nên chia hết cho c 3 và 8
Bài 6: Chng minh rng:
( )
53
5 4 120,B n n n n N= +
HD:
Ta có:
( ) ( )( )
( )( )( )( )
4 2 2 2
5 4 1 4 1 1 2 2 120B n n n n n n n n n n n= + = = + +
Bài 7: Cho n là s nguyên, Chng minh
4 3 2
14 71 154 120 24A n n n n= + +
HD:
Ta cn chng minh
3A
8A
, ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2 3 2
14 71 154 120 2 12 2 47 2 60 2A n n n n n n n n n n n= + + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 3 9 3 20 3 2 3 3 5 4A n n n n n n n n n n n


= + =


( )( )( )( )
2 3 4 5A n n n n=
, Vì A là tích ca 4 s t nhiên liên tiếp =>
3A
Ngoài ra trong 4 s nguyên liên tiếp s có hai s chn liên tiếp, mt s 2 và 1 s 4
Vy A 8
Bài 8: Chng minh rng:
4 3 2
6 11 6 24n n n n+ + +
HD:
Ta có:
( )( )( )
4 3 2
6 11 6 1 2 3A n n n n n n n n= + + + = + + +
là tích ca 3 s nguyên liên tiếp nên
3A
Và A cũng là tích của 4 s nguyên liên tiếp, nên có 2 s chn, mt s chia hết cho 2 và 1 s chia
hết cho 4, Nên
8A
Bài 2: CMR:
4 3 2
22n n n n +
chia hết cho 24 vi mi n
Z
HD :
Ta có:
( ) ( ) ( )( )( )
4 3 2 2
2 2 2 2 1 1 2

+ = = +

n n n n n n n n n n n n
là tích 4 s t nhiên liên tiếp nên có 1 s chia hết cho 2 và 1 s chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia
hết cho 3
Bài 9: Chng minh rng:
23
3 2 6
a a a
++
là mt s nguyên vi mi a nguyên
HD:
Ta có:
( )( )
23
12
3 2 6 6
a a a
a a a
++
+ + =
. Vì
( )( )
12a a a++
là tích ca 3 s nguyên liên tiếp => 6
Bài 10: Chng minh rng:
5
30,n n n−
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )
52
1 1 1A n n n n n n= = + +
, là tích ca 3 s nguyên liên tiếp nên chia hết cho c 2
và 3
Mt khác:
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
52
1 1 4 5 2 1 1 2 5 1 1A n n n n n n n n n n n n n n= = + + = + + + +
Thy
( )( ) ( )( )
2 1 1 2n n n n n + +
là tích ca 5 s nguyên liên tiếp nên
5A
Bài 11: Chng minh rng:
3
1964 48, nnn+
chn
HD:
Vì n là s chẵn, Đặt
( )
2,n k k N=
Khi đó ta có :
( ) ( )
3
1964 8 1 1 3888n n k k k k+ = + +
( ) ( )
11k k k−+
là tích ba s nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chng minh rng:
( )
43
7 7 2 64,n n n+ +
l
HD:
Trang 3
Vì n lẻ, Đặt
( )
2 1,n k k N= +
, Khi đó ta có:
( ) ( )
2
4 2 2
7 7 2 7A n n n= + + = +
,
Thay
21nk=+
vào ta được:
( )
2
2
16 2A k k= + +
, Vì
( )
2
2 1 2 2k k k k+ + = + +
( )
2
2
2 4 64k k A + + =
Bài 13: Chng minh rng:
42
6 7 64,n n n+
l
HD:
Vì n lẻ, Đặt:
( )
2 1,n k k N= +
, Khi đó:
( )( )
4 2 2 2
6 7 1 7A n n n n= + = +
,
Thay
21nk=+
vào ta được:
( )
( )
2
16 1 2A k k k k= + + +
Bài 14: Chng minh rng:
2
4 3 8,A n n n= + +
l.
HD:
Ta có:
( )( )
13A n n= + +
, Vì n là s lẻ, Đặt
( ) ( )( )
2 1, 2 2 2 4 8n k k N A k k= + = = + +
Bài 15: Chng minh rng: tng lập phương của ba s nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9
HD:
Gi 3 s nguyên liên tiếp lần lượt là:
( )
1; ; 1,n n n n Z +
Gi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
33
3 3 2 2
1 1 3 3 18 9 9 3 1 1 9 1 18A n n n n n n n n n n n n= + + + = + + + = + + +
Thy:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 3 1 1 9n n n n n n + = +
Vy
9A
Bài 16: Cho a, b, c là các s nguyên. Chng minh rng :
3 3 3
6a b c++
khi và ch khi
6a b c++
HD :
Xét
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
A a b c a b c a a b b c c= + + = + +
( )( )
3
11a a a a a = +
là tích ca 3 s nguyên liên tiếp nên
( )( )
1 1 6a a a−+
Như vậy A 6 =>
3 3 3
66a b c a b c+ + = + +
Bài 17: Chng minh rng:
12 8 4
1 512,n n n n +
l
HD:
Vì n lẻ, Đặt
( )
2 1,n k k N= +
, Khi đó:
( )( ) ( )( ) ( )
2
12 8 4 4 8 2 2 4
1 1 1 1 1 1A n n n n n n n n

= + = = + +

Thay
21nk=+
vào A ta được:
( )
( ) ( )
2
2
24
64 1 2 2 1 1A k k k k n

= + + + +

Bài 18: Tìm s t nhiên n sao cho:
( )( )
5 6 6n n n++
HD:
Ta có:
( )( )
22
5 6 11 30 12 30A n n n n n n n= + + = + + = + +
12 6nn
cn chng minh
( )
2
2
13
6
30 6
30 6
30
nn
nn
n n n
n
n
+ = =
(1)
(2)
T (1)
3nk= =
hoc
( )
3 1,n k k N= +
T (2)
1;2;3;5;6;10;15;30 1;3;10;30nn= =
là tha mãn.
Bài 20: Chng minh rng trong 1900 s t nhiên liên tiếp có 1 s có tng các ch s chia hết cho 27.
HD:
Gi s 1900 s t nhiên liên tiếp là:
, 1, 2,..., 1989n n n n+ + +
(1)
Trong 1000 s t nhiên liên tiếp:
, 1, 2,..., 999n n n n+ + +
phi có 1 s chia hết cho 1000,
gi s
0
n
, Khi đó
0
n
có tn cùng là 3 ch s 0
Trang 4
Gi s tng các ch s ca
0
n
là s khi đó 27 số
0 0 0 0
, 9, 19,..., 899n n n n+ + +
Có tng các ch s lần lượt là:
, 1, 2,..., 26s s s s+ + +
, s có 1 s chia hết cho 27.
Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai s nguyên l liên tiếp, CMR:
1ab a b +
chia hết cho 48
ta có:
( )( )
1 1 1ab a b a b + =
,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai s nguyên l liên tiếp nên:
( ) ( )
22
2 1 ; 2 3a n b n= + = +
vi n
Z
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 ( 1)( 1) 2 1 1 2 3 1 16 1 2ab a b a b n n n n n
+ = = + + = + +
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
Trang 5
Dng 2: XÉT TP HP S DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chng minh rng vi mi s t nhiên
n
ta có :
( )( )
2 7 7 7 6A n n n= + +
.
HD :
Ta có : n hoc
77n +
là s chn vi mi s t nhiên n nên
2A
Lấy n chia cho 3 ta được :
( )
3 ,0 2n k r k N r= +
Vi
0 3 3r n k A= = = =
Vi
1 3 1 2 7 6 9 3 3r n k n k A= = = + = + = + =
Vi
2 3 2 7 1 21 15 3 3r n k n k A= = = + = + = + =
Bài 2: Cho s nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chng minh rng :
2
4 3 5 6A a a= + +
HD :
Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dng :
( )
6 1,a m m Z=
Vi
( ) ( )
( )
2
2
6 1 4 6 1 3 6 1 5 6 24 11 2 6a m A m m m m= + = = + + + + = + +
Vi
( ) ( )
( )
2
2
6 1 4 6 1 3 6 1 5 6 24 5 1 6a m A m m m m= = = + + = +
Bài 3: Tìm tt c các s nguyên dương n sao cho:
2
9 2 11nn+−
HD:
Ta có:
( )
2 2 2 2
9 2 11 2 2 11 4 2 2 11 4 8 1 11n n n n n n n n+ = = = +
( )( )
2 1 2 3 11nn=
,
Khi đó:
2 1 11n
hoc
2 3 11n
11 6nm= = +
hoc
( )
11 7,n m m N= +
Bài 4: Chng minh rng có vô s t nhiên n sao cho
2
4 1 5n +
và chia hết cho 13
HD:
Đặt
( )
65 , ,0 64n k r k N r= +
Chn
r
sao cho
2
4 1 65 4rr+ = = =
, Vy vi mi s
65 4nk=
đều tha mãn.
Bài 5: Chng minh rng nếu
3n
thì
2
3 3 1 13, n N
nn
A = + +
HD:
( )
3 3 , ,1 r 2n n k r k N
= = +
Khi đó:
( )
( ) ( )
23
3 2 6 3 2
3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1
kr
k r r k r k r r
A
+
+
= + + = + + + +
Thy:
( ) ( )
2
6 3 3
3 1 3 1 3 1 . 26 13
k
k
MM = = =
( )
33
3 1 3 1 . 26 13
k
NN = =
Vi
22
1 3 3 1 3 3 1 13
rr
r = = + + = + +
13A=
Vi
2 4 2
2 3 3 1 3 3 1 91 13
rn
r = = + + = + + =
13A=
Bài 6: Tìm tt c các s t nhiên n để
2 1 7
n
HD:
Ly n chia cho 3 ta có:
( )
3 , ,0 2n k r k N r= +
Vi
( )
3
0 3 2 1 2 1 8 1 8 1 . 7 7
n k k
r n k M M= = = = = = = =
Vi
( )
8 1 3 3
1 3 1 2 1 2 1 2.2 1 2 2 1 1
n k k k
r n k
+
= = = + = = = = +
,
2 1 7 2 1
n
k =
chia 7 dư 1
Vi
( )
3 2 3
2 3 2 2 1 2 1 4 2 1 3
n k k
r n k
+
= = = + = = = +
3
2 1 7 2 1
kn
=
chia 7 dư 3
Vy vi
( )
3,n k k N=
thì
2 1 7
n
Trang 6
Bài 7: Chng minh rng:
( )( )
( )
22
1 4 5,A n n n n Z= + +
HD:
Lấy n chia cho 5 ta được:
( )
5 , , ,0 4n q r q r Z r= +
Vi
0 5 5r n A= = =
Vi
2
1,4 4 5 5r n A= = + =
Vi
2
2,3 1 5 5r n A= = + =
Bài 8: Cho
12
...
n
A a a a= + + +
5 5 5
12
...
n
B a a a= + + +
, Chng minh rng:
30AB
HD:
Ta có:
( ) ( )
55
11
...
nn
B A a a a a = + +
Xét
( )
( )( )
( )
5 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 30a a a a a a a a = = + +
Bài 9: Chng minh rng nếu
( )
;6 1n =
thì
2
1 24,n n Z
HD:
( ) ( )
;6 1 6 , , , 1n n k r k r N r= = = + =
Vi
2
1 1 24rn= =
Bài 10: Tìm s t nhiên n để:
2
2 2 1 7
nn
++
HD:
Xét
( )
3 , , ,0 2n k r k r N r= +
Ta có:
( ) ( )
2 2 6 3 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
n n r k r k n n
+ + = + + + +
Xét các TH c th ta được:
2
2 2 1 7
nn
++
Bài 11: Cho hai s t nhiên m, n tha mãn:
42
24 1mn+=
, Chng minh rng:
5mn
HD:
Ta có:
( )
( )( )
( )
4 2 4 4 4 2
24 1 25 1 25 1 1 1m n m m m m m m+ = = = + +
Nếu
55m mn= =
ĐPCM
Nếu
( )
5 ;5 1mm
= =
=>
( )
( )( )
( )
5 4 2
1 1 1 1m m m m m m m m = = + +
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
1 1 4 5 2 1 1 2 5 1 1 5m m m m m m m m m m m m= + + = + + + +
Nên
42
1 5 5 5 5m n n mn = = =
, ĐPCM.
Bài 12: Tìm tt c các s nguyên x sao cho :
3 2 2
8 2 1x x x x + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3 2 2 2 2 2
8 2 1 8 1 8 1 8 1x x x x x x x x x x + = + + + + + = + +
Nếu
8 0 8xx+ = = =
tha mãn
Nếu
2
8 8 1 0 1; 2 0;2x x x x x = + + = =
Bài 13: Cho hai s t nhiên a, b, Chng minh rng:
22
5 15 49 3 7a ab b a b+ = +
HD:
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2
5 15 49 5 15 7 9 6 7 3 7 3 7a ab b a ab b a ab b a b a b+ = + = + + = + = +
Mt khác:
( )
22
3 7 3 7 7 3 5 15a b a b k k Z b k a a ab b+ = + = = = = +
( ) ( )
( )
2
22
5 15 7 3 7 3 49 3 49a a k a k a ak a= + =
Trang 7
Bài 15: Cho a, b là các s nguyên dương sao cho
22
ab+
chia hết cho tích a.b
Tính giá tr ca biu thc:
22
ab
A
ab
+
=
HD:
Gi
( ) ( )
1
11
1
; , ; 1
a da
d a b a b
b db
=
= = =
=
, ta có:
( )
2 2 2
11
a b d a b+ = +
2
11
ab d a b=
2 2 2 2
1 1 1 1
a b ab a b a b+ = +
22
1 1 1
a b a= +
1
b
2
11
ab=
2
11
ba
( )
1 1 1 1
;1a b a b= =
1 1 1 1
1b a a b= = =
Vy
( )
2 2 2
22
11
1
2 2 2
1 1 1
2.
2
d a b
da
A
d a b d a
+
= = =
Bài 16: Cho m, n là hai s nguyên t cùng nhau. Hãy tìm ước s chung ln nht ca hai s
A m n=+
22
B m n=+
HD :
Gi
( )
;d UCLN A B=
, Vì
( )
; 1 ,m n A B= =
cùng tính chn lẻ. khi đó :
2
2mn A B d=−
22
2 2 2 2mn n nA d n d+ = =
(1)
Nếu A, B chn thì m, n l và d chn, T (1) =>
22dd= =
Nếu A, B l thì d l, T
( )
2
1 nd=
, tương tự :
2
md
( )
; 1 1m n d= = =
Bài 17: Cho s t nhiên
3n
, Chng minh rng: nếu
( )
2 10 , 0 10
n
a b b= +
thì
6ab
HD:
Ta có:
2 10 2 2
n
a b b ab= + = =
, ta cn chng minh
3ab
Mt khác :
2 10 2
nn
ab= + =
có ch s tn cùng là b
Đặt
( )
4 , , ,0 3 2 16 .2
n k r
n k r k r N r= + = =
Nếu
0 2 16
nk
r = = =
có tn cùng là
6 6 6b ab= = =
Nếu
( )
1 3 2 2 2 16 1 10 2
n x r k n
r = = =
tn cùng là
22
rr
b= =
( )
10 2 2 2 16 1 3 3 6
n x r k
a a ab= = = = =
Bài 18: Cho s t nhiên
1n
, Chng minh rng:
( )
5 5 5 5
1 2 3 ... 1 2 3 ...S n n= + + + + + + + +
HD:
Đặt:
( ) ( )
2 2 1 2 3 ... 1A n n n= + + + + = +
Mt khác, vi n l ta có:
*
,(a, )
nn
a b a b b N+ +
Nên
( )
( )
( )
5
5 5 5 5
2 1 2 1 1 1S n n n n

= + + + + + +


( )
( )
( )
( )
( )
( )
5 5 5
5 5 5
2 1 1 2 2 ... 1 1 2S n n n n n

= = + + + + + + +


( ) ( )
; 1 1 2 1 2n n S n n A S A+ = = + = =
Bài 19: Cho
( )
1 1 1
1 .... , ,
2 3 1319
p
p q Z
q
= + +
. Chng minh rng
1979p
HD:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 ... 2 ...
2 1319 2 4 1318
p
q
= + + + + + +
Trang 8
1 1 1 1 1
1 ... 1 ...
2 1319 2 3 659
= + + + + + + +
11
...
660 1319
= + +
2. 1 1 1 1 1 1 1979.
...
660 1319 661 1318 1319 660
pA
qB
= = + + + + + + =
2.
1979.
pB
q
A
= =
1979 1979Bp
=
Bài 20: Cho
( )
*
1 2 3
, , ,...a 1; 1 ,
n
a a a n N
, tha mãn:
1 2 2 3 3 4 1
.... 0
n
a a a a a a a a+ + + + =
,
Chng minh rng:
4n
HD:
Đặt
1 1 2 2 2 3 1 1 2 3
, ,..., , , 1; 1
nn
x a a x a a x a a x x x= = = =
, Hơn nữa
12
... 0
n
x x x+ + + =
Thì trong đó các số bng 1 và -1 là bng nhau. Gi s có m s 1 và m s -1
*
()mN
2nm= =
( )
1 2 3
... 1
m
n
x x x x =−
( )
2
1 2 3 1 2
... ... 1
nn
x x x x a a a==
T đó ta được m là s chn => n chia hết cho 4.
Bài 21: Tìm hai s nguyên dương a, b sao cho:
( )
7ab a b
+
( )
7
7 7 7
7a b a b+
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )
2
7
7 7 2 2
7a b a b ab a b a ab b+ = + + +
( )
2 2 3
77ab a b a ab b
+ = + +
Chn
23
1 1 7b a a a= = + + = =
Trang 9
Dng 3: CHNG MINH PHN CHNG
Bài 1: Chng minh rng :
2
3 38 49,S n n n N
= +
HD:
Gi s tn ti s t nhiên n để
2
3 38 49S n n= +
Khi đó:
( )
22
3 38 7 6 4 4S n n n n n= + = +
,
( )
2
49 7 2 7 2 7 7 2S S n n n t= = = = = +
, thay vào S ta được:
( )
2
49 28 49S t t S
= + =
trái vi gi s, Vy S không chia hết cho 49 vi mi s t nhiên n
Bài 2: Chng minh:
2
2 15,n n n Z
+ +
HD:
Gi s:
( )
22
2 15 2 3 1 2 3n n n n n n+ + = + + = + +
(1)
T (1)
31
3,
31
nk
n k Z
nk
=+
= =
=−
( )( )
2
1 1 1 3n n n= = +
Li có:
22
2 1 3 3n n n n
+ + = + +
mâu thun vi gi thiết, Vy
2
2 15nn
++
Bài 3: Chng minh rng:
2
3 5 121,n n n N
+ +
HD:
Gi s:
( )
2
2 2 2 2
3 5 121 3 5 11 4 12 20 11 4 12 9 11 11 2 3 11 11n n n n n n n n n+ + = + + = + + = + + + = + +
Nhưng
2
3 5 11A n n= + +
nhưng
121A
vì 11
121
Bài 4: Xét phân s
2
4
5
n
A
n
+
=
+
Hi có bao nhiêu phân s t nhiên n trong khong t 1 đến 2002 sao cho
phân s A chưa tối gin.
HD:
Gi s A chưa tối gin. Đặt
( )
2
4; 5 1d n n d= + + =
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
5 4 10 21 10 5 29 29 29n n d n d n d d d+ + = + = + = = =
. Ngược li:
Nếu
( ) ( )
* 2 2
5 29 5 29 , 4 29 29 5 1 29n n k k N n m k A+ = + = = + = + =
ch ti gin
Do đó, ta chỉ cn tìm n sao cho
( )
*
5 29 , 1 2002 1 69n k k N n m+ = = =
Vy có tt c 69 giá tr ca m thì n s có 69 giá tr để A chưa tối gin.
Bài 5: Chng minh rng:
32
9 9 3 16 343,n n n n N
+ +
HD:
Bài 6: Có tn ti s t nhiên n sao cho
2
2 49nn++
không
HD:
Gi s tông ti s t nhiên n để
( ) ( )
22
22
2 49 4 4 8 49 2 1 7 49 2 1 7n n n n n n+ + = + + = + + = +
Vì 7 là s nguyên t
( )
2
2 1 7 2 1 7 49nn= + = + +
t đó
7 49=
( vô lý)
Bài 7: Chng minh rng:
2*
1 9,n n n N+ +
HD:
Gi s tn ti s t nhiên n sao cho
( )( )
2
1 9 2 1 3 9n n n n+ + = + +
Trang 10
Vì 3 là s nguyên t nên
( )
23n +
hoc
( )
13n
Nếu
( ) ( )( )
2 3 2 1 3 3n n n+ = + +
nhưng không chia hết cho 9
Nếu
( ) ( )( )
1 3 2 1 3n n n = +
nhưng không chia hết cho 9
Bài 8: Chng minh rng:
2
4 4 18 289,n n n N +
HD:
Gi s tn ti s t nhiên n để
( ) ( )
2
22
4 4 18 289 2 1 17 17 2 1 17n n n n + = + =
Vì 17 là s nguyên t nên
( ) ( )
2
2 1 17 2 1 289nn =
Khi đó:
( )
2
2 1 17 289n
−+
Bài 9: Tìm tt c các cp s nguyên dương
( )
;ab
sao cho:
( ) ( )
22
1a b a b+−
HD:
Gỉả s
( ) ( )
2 2 * 2 2 2
1 : 1a b a b k N a b k a b a k b ka b+ = + = = + =
Đặt
( )
2
,m ka b m Z a k mb= = + =
, Do
**
,,a b k N m N =
, khi đó ta có:
( )( ) ( )( )
2
1 1 1 1 1 1m b mb m b a k ka a k ka = + = + + = + +
,
( )( )
*
, 1 1 0m b N m b =
( )
11ka=
, Do
*
, 1 0k a N a =
ta có :
TH1 :
( )
1 0 1k a a = = =
thay vào đẳng thức ta được :
( )( ) ( )( )
1 1 1 1m b a k ka = + +
Ta được:
( )( )
1 1 2
1 1 2
1 2 3
mm
mb
bb

= =
= = =

= =

TH2:
( )
1 1 1 1 1k a k a k = = = = = =
2a =
, Thay
1, 2ka==
vào đẳng thức ta được:
( )( ) ( )( )
1 1 1 1m b a k ka = + +
ta được:
( )( )
1 1 0 1m b m b = = = =
Nếu
1m =
thì t
3a k mb b+ = = =
Vy các cp s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3ab =
Trang 11
Dng 4: S DNG TÍNH CHT:
( )
,
nn
A B A B n+ +
L
Bài 1: Chng minh rng
2005 60 1897 168 2004,
n n n n
A n N= +
HD:
Ta có:
2004 12.167=
, ta cn chng minh
12, 167AA
Ta có :
( ) ( )
2005 1897 168 60
n n n n
A =
Áp dng tính cht :
( )
,
nn
a b a b−−
vi mi n t nhiên và
0ab−
Khi đó :
( )
2005 1897 2005 1897
nn
−−
( )
168 60 168 60
nn
−−
=> Vy A 12
Tương tự :
( ) ( )
2005 168 1897 60
n n n n
A =
Khi đó
167A
Bài 2: Cho
nN
, CMR :
( ) ( )
5 5 1 6 3 2 91
n n n n n
A = + +
HD:
Ta cn chng minh
7A
13A
Ta có :
( ) ( )
25 5 18 12 25 18 12 5
n n n n n n n n
A = + =
Áp dng tính cht :
( )
7
nn
a b a b A =
Tương tự :
( ) ( )
25 12 18 5 13
n n n n
AA= =
Bài 3: Cho
nN
, Chng minh rng:
21
6 19 2 17
n n n+
+−
HD:
Ta có:
( ) ( )
21
6 19 2 36 19 2.2 36 2 19 2
n n n n n n n n n n
A
+
= + = + = +
( )
36 2 36 2 34
nn
=
19 2 17
nn
Bài 4: Chng minh rng:
3 3 3 3 3
1 3 5 7 2+ + +
HD :
Ta có:
( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 5 7 1 7 3 5 8 8 8A N M= + + + = + + + = +
Bài 5: Chng minh rng:
86
2 .5 1980 441 1 1979,
n n n n
nN +
HD:
Ta có:
( ) ( )
8 6 6
2 .5 1980 441 1 4 441 1980 1
n n n n n n n
A = + =
6
4 441 4000000 441 3999559
n n n n
=
1980 1 1979
nn
Bài 6: Chng minh rng:
66
3 2 35,
nn
nN
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )
6 6 6 6 6 6 3 3 3 3
3 2 3 2 3 2 . 3 2 3 2 . 35.19 35
nn
nn
M M M = = = + =
Bài 7: CMR vi mi s t nhiên n ta có :
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n++
++
HD :
Ta có:
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n++
++
=
( )
( )
51.5 8.64 59 8 .5 8.64 59.5 8 64 5
n n n n n n n
+ = + = +
( )
( )
2
64 5 64 5
n
−−
nên ta có đpcm
Bài 8: Chng minh rng:
2
9 14 15
n
+
HD:
Ta có:
( )
22
9 14 9 1 15 81 1 15 80 15 5
n n n
n+ = + = + = +
Trang 12
Bài 9: Chng minh rng:
20 16 3 1 232,
n n n
A n N= +
HD:
Tách
232 17.19=
.
Khi đó:
( ) ( )
20 3 16 1
n n n
A = +
Li có:
( )
20 3 20 3 . 17 17
nn
MM = =
, và
( )
16 1 16 1 . 17 17
n
NN = + =
Khi đó:
17A
Mt khác:
( ) ( )
20 1 16 3
n n n
A = +
,
( )
20 1 20 1 . 19. 19
n
PP = =
( )
16 3 16 3 . 19. 19
nn
QQ = + =
19A=
Bài 10: Chng minh rng:
( )
2
2
1 1 , 1
n
n n n n n +
HD:
Vi
( )
2
2
2 1 1 1 1
n
n n n n n= = + = =
Vi
( )
( )
22
2 1 1
nn
n A n n n n n n = = + = +
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 3 4
1 1 1 ... 1 1
n n n
n n n n n n n n
= + = + + + +
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 2 1 2
1 ... 1 1 1 ... 1 1
n n n
n n n n n n n n

= + + + + = + + +

( ) ( )
22
1 . 1n M n=
Bài 11: Chng minh rng:
2 1 2 2
3 2 7,
nn
nN
++
+
HD:
Ta có:
( )
2 1 2 2 2
3 2 3.3 2.2 3.9 4.2 3. 7 2 4.2 7. 7.2 7
n
n n n n n n n n
M
++
+ = + = + = + + = +
Bài 12: Chng minh rng:
( )
44
30, ,mn m n m n N
HD:
Ta có:
( ) ( )( ) ( )( )
4 4 2 2 2 2
1 1 1 1 30mn m n mn m m mn n n = + +
Bài 13: Chng minh rng:
3 63 72, , 2
n
A n N n= +
và n là s chn
HD:
Đặt
( )
( ) ( )
22
2 , 3 63 3 63 3 1 64 9 1 64 8
n k k k
n k k N= = + = + = + = +
hay
8A
Mt khác:
2 3 9
n
n =
63 9 9A=
Bài 14: Tìm giá tr của n để:
20 16 3 1 323
n n n
A = +
HD:
Ta có:
323 17.19=
Bài 15: Tìm s t nhiên n để
2 3 4 1
3 2 25
nn
A
++
=+
HD:
Ta có:
2 3 4 1 2 4 2 2 4
3 2 3 .27 2 .2 3 .25 3 .2 2 .2
n n n n n n n
A
++
= + = + = + +
( )
2
3 .25 2 9 16
n n n
= + +
Bài 16: Cho a, b là hai s chính phương lẻ liên tiếp, Chng minh rng:
( )( )
1 1 192a a b−−
HD:
Đặt
( ) ( ) ( )
22
2 1 , 2 1 ,a k b k k N= = +
, Khi đó ta có:
( )( ) ( )( )
1 1 16 1 1 64a b k k k = +
3
Bài 17: Cho ba s nguyên dương a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
a b c=+
, Chng minh rng:
60abc
HD :
Ta có : 60=3.4.5, đặt
M abc=
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3
2 2 2
,,a b c=
chia hết cho 3 dư 1
Trang 13
2 2 2
a b c= +
, Do đó có ít nhất 1 s chia hết cho 3. Vy
3M
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5
2 2 2
,,a b c=
chia 5 dư 1 hoặc 4
22
bc= +
chia 5 dư 2 hoặc 0 hoc 3
2 2 2
a b c= +
, Do đó có ít nhất 1 s chia hết cho 5 => M 5
Nếu a, b, c là các s l
22
,bc=
chia 4 dư 1
( )
2 2 2 2 2
mod4b c a b c= + = +
Do đó 1 trong hai số a, b phi là s chn.
Gi s b là s chn:
+ Nếu c là s chn =>M 4
+ Nếu c là s l, mà
2 2 2
a b c a= + =
là s l
( )( )
2
b a c a b= = +
2
2 2 2 2
b a c a c b
+−
= = =
chn
44bM= =
Vy
3.4.5M abc=
Bài 18: Chng minh rng:
2
36 60 24 24nn++
HD :
Ta có:
( )
2
36 60 24 12 3 5 24n n n n= + + = + +
,
Thy
;3 5nn+
không đồng thi cùng chn hoc cùng l
( )
3 5 2nn+
=> ĐPCM
Trang 14
Dng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Bài 1: Chng minh
*
16 15 1 225,
n
A n n N=
HD:
Vi
1 0 225nA= = =
đúng
Gi s
1nk=
16 15 1 225
k
Ak=
Ta cn chng minh vi
1nk=+
thì
( )
1
16 15 1 1 225
k
k
+
+
Tht vy:
( )
( )
1
16 15 1 1 16.16 15 16 16 15 1 15.16 15
k k k k
k k k
+
+ = = +
16 15 1 15.15. 225. 225
k
k M A M= + = +
Vy
*
16 15 1 225,
n
A n n N=
Bài 2: Chng minh rng:
33
3 26 27 29, 1
n
nn
+
HD:
Bài 3: Chng minh rng:
2 2 *
4 1 15,
n
nN
+
HD:
Chuyên đề 4: S CHIA HT CA S NGUYÊN
A. Kiến thc cn nh
Gi s a, b, c là các s nguyên dương, ta có các tính cht sau
1. Nếu
ab
ac
bc
2. Nếu
( ) ,
ac
ma nb c m n Z
bc
+
3. Nếu
[b,c]
ab
a
ac
( BCNN) 4.
.
( , ) 1
ab
a c a b c
bc
=
5. Nếu
( , ) 1
ab c
ac
bc
=
6. Nếu
()p P songuyento a p
ab p b p

7. Nếu
a b a b
8. Nếu
()
nn
a b a b n Z
+

9. Trong n s nguyên liên tiếp có 1 và ch 1 s chia hết cho n
10. Tính cht chia hết ca mt tng, ca mt hiu, mt tích
+)
a m a b m
b m ab m

+)
()
n
a m a m n N
+)
ac
ab cd
bd
B. Bài tp và các dng toán
Dng 1: Chng minh quan h chia hết
Trang 15
- Để chng minh biu thc A(n) chia hết cho s m, ta phân tích A(n) thành nhân t, trong
đó có 1 nhân tử là m
()A n m
- Nếu m là hp s, ta phân tích m thành tích các tha s đôi một nguyên t cùng nhau, ri
chng minh A(n) chia hết cho tt c các s đó.
- Khi chng minh A(n) chia hết cho m thc cht là ta xét mọi trường hp v s dư khi chia
A(n) cho m
Bài 1: Chng minh rng
a.
2
2( )a a a N
b.
3
3( )a a a Z
c.
5
5;6;30( )a a a Z
d.
7
2( )a a a Z
Li gii:
a. Ta có :
2
( 1) 2a a a a =
b.
3
( 1)( 1) ( 1) ( 1) 3a a a a a a a a = + = +
c.
5 4 2
2,3 6
5 2 2 2 2 2
55
( 1) ( 1)( 1)( 1)
5.6 30
( 1)( 1) ( 1)[( 4) 5)]=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 ( 1)
a a a a a a a a
a a a a a a a a n n
= = + +
=
= + = + +
d.
7 6 2 2 2
( 1) ( 1)( 1)( 1)a a a a a a a a a a = = + + +
+) Nếu
7 ( ) 7a k k Z a=
+) Nếu
22
7 1( ) 1 49 14 7a k k Z a k k= + = +
+) Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm)
Bài 2: Chng minh rng
a.
( 1)(2 1) 6n n n++
b.
3
11 6nn+
c.
22
( ) 6mn m n
d.
3
56mm+
Li gii:
a. Ta có:
2,3 6 6
( 1)(2 1) ( 1)[(n-1)+(n+2)]= n(n+1)(n-1) ( 1)( 2)n n n n n n n n
+ + = + + + +
b.
33
6
6
11 12 ( 1)( 1) 12n n n n n n n n n+ = + = + +
c.
2 2 2 2
66
( ) [( 1) ( 1)]=mn(m-1)(m+1) ( 1)( 1)mn m n mn m n mn n n = +
d.
33
6
6
5 6 ( 1)( 1) 6m m m m m m m m m+ = + = + +
Trang 16
Bài 3: Chng minh vi mi n l thì
a.
2
4 3 8A n n= + +
b.
32
3 3 48B n n n= +
c.
12 8 4
1 512C n n n= +
d.
42
10 9 384D n n= +
Li gii:
a. Ta có:
2
4 3 ( 1)( 3)n n n n+ + = + +
Vì n là s ln n + 1 và n + 3 là tích ca hai s chn liên tiếp nên chia hết cho 8
b.
32
3 3 ( 3)( 1)( 1)n n n n n n+ = + +
Vì n lẻ, đặt n = 2k + 1
6
( 3)( 1)( 1) 2 (2 2)(2 4) 8 ( 1)( 2) 48( )n n n k k k k k k k N + + = + + = + +
c.
4
22
12 8 4 8 4 4 2 4 2 2 2 2 4
2 2 2 4 4 2 2
2
2
2 an 2
1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
16.[ k(k+1)] .( 1) .( 1) 2 .2 .2 .2 512
chan
ch
n n n n n n n n n n
nn
+ = = + = + +
= + + =
d.
4 2 4 2 2 2
10 9 ( ) (9 9) ( 1)( 1) 9( 1)( 1) ( 3)( 1)( 1)( 3)n n n n n n n n n n n n n n + = = + + = + +
Đặt n = 2k + 1 ( k thuc Z )
24
(2 2)2 (2 2)(2 4) 16 ( 1)( 1)( 2) 384D k k k k k k k k D= + + = + +
Bài 4: Chng minh rng s
3 2 2
( 7) 36 5040A n n n n N=
Li gii:
3 2 2 2 2 2 3 2 3 3
( 7) 36 [n ( 7) 36] [(n 7 ) 36] ( 7 6)( 7 6)
( 1)( 2)( 3)( 1)( 2)( 3)
A n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n
= = = = +
= + + +
Là tích ca 7 s nguyên liên tiếp
+) Tn ti 1 bi ca 7 và 1 bi ca 5
+) Tn ti 2 bi ca 3 ( chia hết cho 9)
+) Tn ti 3 bi ca 2 có 1 bôi ca 4 nên chia hết cho 16
Vy A chia hết cho 5040
Bài 5: Chng minh rng
4 3 2
3 14 21 10 24A n n n n= +
Li gii:
4 3 2 3 2 3 2 2
3 14 21 10 (3 14 21 10) (3 3 11 11 1 10)A n n n n n n n n n n n n n on= + = + = + +
22
( 1)(3 11 10) ( 1)(3 6 5 10) ( 1)( 2)(3 5) ( 1)( 2)(3 9 4)A n n n n n n n n n n n n n n n n n= + = + = = +
Trang 17
8 24 6 24
(3 9) ( 2) 4 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2)( 3) 4 ( 1)( 2)A n n n n n n n n n n n n n

= + = +
Bài 6: Chng minh rng:
5 3 2
5 4 120 2 .3.5A n n n n Z= + =
Li gii:
5 3 4 2 4 3 3 2 2 3 2
5 4 ( 5 4) ( 4 4 4 4) ( 1)( 4 4)A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n= + = + = + + + = + +
( 1)( 1)( 2)( 2)A n n n n n= + +
là tích ca 5 s nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120.
Bài 7: Chng minh rng vi mi n chn ta có:
a.
32
6 8 48A n n n= + +
b.
432
4 4 16 348( 4B n n n n n= +
, n chn )
Li gii:
a.
32
6 8 48 ( 2)( 4)A n n n n n n= + + = + +
Đặt n = 2k
6
2 (2 2)(2 4) 8 ( 1)( 2) 48A k k k k k k A = + + = + +
b. Đặt
4 3 2 3 2
3,8 24
2 ( 2) 16 32 16 32 16 ( 2 2) 16 ( 2)( 1)( 1) 16.24 384n k k A k k k k k k k k k k k k B
= = + = + = + =
Bài 8: Chng minh rng vi mi n l thì :
8 6 4 2
1152A n n n n n N= +
Li gii: 1152 = 9.2
7
= 3
2
.2
7
2 6 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2
( 1) [(n ) ( 1] ( 1)( 1) ( 1) ( 1)A n n n n n n n n n n n n n= + = = = +
22
39
[n(n-1)(n+1)] ( 1) 9(1)A n A
= +
Vì n l nên n 1 và n + 1 là 2 s chn liên tiếp
có 1 s chia hết cho 4
tích 2 s chn
chia hết cho 8, mt khác n
2
+ 1 là s chn
chia hết cho 2
27
8 .2 2 (2)A=
T (1)(2)
72
2 .3 ( )A dpcm
Bài 9: Cho m, n là hai s chính phương lẻ liên tiếp, CMR: mn m n chia hết 192
Li gii:
Đặt
22
(2 1) ; (2 1) ( )m k n k k Z= = +
2 2 2 2 2
( 1)( 1) [(2k-1) 1][(2k+1) 1] (4 4 )(4 4 ) 16 ( 1)( 1)A m n k k k k k k k = = = + = +
Ta đi chứng minh A chia hết cho 64 và 3
2 2 3
( 1). . ( 1) 16.2.2 64; 16 ( 1) ( 1) 3 64.3 192A k k k k A A k k k k A A= + = = + =
Trang 18
Bài 10: Cho n là s t nhiên, chng minh rng:
a.
5 4 3 2
75
à sô tu nhiên
120 12 24 12 5
n n n n n
l+ + + +
b.
2
( 1)(3 2) 12B n n n= +
Li gii:
a.
5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2
7 5 10 35 50 24 ( 10 35 50 24) ( 1)( 2)( 3)( 4)
120 12 24 12 5 120 120 120
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n+ + + + + + + + + + + +
+ + + + = = =
b.
2
( 1)(3 2) ( 1)( 1)(3 2)B n n n n n n n= + = + +
Li có: n + 1 + n 1 = 2n chia hết cho 2 nên n + 1 và n 1 cùng tính chn l
N + 3n + 2 = 4n + 2 chia hết cho 2 nên n và 3n + 2 cùng tính chn l
Do đó A luôn có ít nhất 2 s chn. Vy
3 12BB
Bài 11:[ Chuyên Khoa Hc T Nhiên 2014 2015 ]
Cho x, y là các s nguyên, CMR :
55
30A x y xy=−
Li gii :
Ta có :
5 5 4 4 4 4 2 2
( 1 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)A x y xy xy x y xy x xy y x x x x y xy y y y= = + = = + + + +
22
30 30
( 1)( 1)[(x 4) 5] ( 1)( 1)[(y 4) 5]A x x x xy y y= + + + +
Bài 12: [ Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 2016 ]
CMR : Vi x, y là hai s nguyên bt k ta có :
44
( 15 ) ( 15 ) 30A xy x y xy y y= +
Li gii :
4 4 5 2 5 2 4 4 2
30
9
( 15 ) ( 15 ) 15 15 ( ) 30
Bai
A xy x y xy y y x y xy xy xy xy x y xy= + = =
Bài 13: Cho n là s nguyên dương và nguyên tố cùng nhau vi 10. CMR :
4
1 40An=−
Li gii:
Vì (n,10) = 1
( ,2) ( ,5) 1nn = =
Ta có :
42
1 ( 1)( 1)( 1) 8n n n n = + +
vì tích ca hai s chn liên tiếp
Ta đi chứng minh A chia hết cho 5
+) Xét n = 5k + 1 ; n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 đu tha mãn chia hết cho 5.
Bài 14: CMR
*
( 1)( 2)...(2 1).2 2
n
A n n n n n N= + +
Trang 19
Li gii:
Cách 1:
1.2.3.... ( 1)( 2)...2 (2.4.6...2 )[1.3.5..(2n-1)] 2 (1.2.3... )[1.3.5...(2n-1)]
1.2.3..... 1.2.3.4....n 1.2.3...n
n
n n n n n n
A
n
++
= = =
n*
2 [1.3.5...(2n-1)] 2
n
A n N=
Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán hc
+) n = 1
1
(1) 2 2A=
+) Gi s mệnh đề đúng với n = k, tc là ta có:
( 1)( 2)...2 2
k
A k k k= + +
+) Ta đi chứng minh đúng với n = k + 1
1
( 1) ( 2)( 3)...(2 2) 2(2 1). ( ) 2.2 2 ( )
kk
A k k k k k A k dpcm
+
+ = + + + = + =
Bài 15: Cho n s x
1
, x
2
, …x
n
mi s ch nhn giá tr là 1 hoc -1. CMR: Nếu x
1
x
2
+ x
2
x
3
+
… +x
n
x
1
= 0 thì n chia hết cho 4
Li gii:
Đặt y
1
= x
1
x
2
; y
2
= x
2
x
3
; … ; y
n
= x
n
x
1
12
. ...
n
y y y
nhn giá tr 1 hoc -1 và
12
... 0
n
y y y= + + + =
Suy ra trong s y
1
, ….y
n
thì s các s có giá tr = 1 bng vi s các s có giá tr = -1 suy ra
n chn suy ra n = 2k
Ta có : y
1
.y
2
….y
n
= (x
1
.x
2
…x
n
)
2
= 1
Có k s trong n s y
1
, y
2
, … , y
n
= 1 và k s trong n s y
1
,…..y
n
bng -1
Vy k phi chn. Suy ra k = 2q. vy n = 4q chia hết cho 4 (đpcm)
Bài 16: Có bao nhiêu s có 5 ch s, tha mãn: Chia hết cho 3 và có ít nht 1 s 3
Li gii:
Ta có: 30000 s có 5 ch sô chia hết cho 3 ( 10000 đến 99999 có 90000 s, cách 3 s có 1
s chia hết cho 3 )
Ta đi đếm s các s chia hết cho 3 mà không cha ch s 3 nào
Gi s:
( 0;0 , , , , 9. , , , , 3)abcde a a b c d e a b c d e
có 8 cách chn a ; b,c,d có th chn 9 cách
Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho 3
Nếu
3 0,6,9
3 1 2,5,8( 2)
3 2 1,4,7( 1)
a b c d e
a b c d du e du
a b c d du e du
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Vy có 3 cách chn e. suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 s chia hết 3 không cha tha s 3
Trang 20
Suy ra có: 30000 17496 = 12504 s tha mãn bài toán.
Dng 2: S dng các công thc sau nâng cao
a.
, , ,
nn
a b a b a b Z a b n N
b.
, , , ,( : )
nn
a b a b a b Z a b n N n le+ +
c.
, , , ,( : )
nn
a b a b a b Z a b n N n chan +
Bài 1: Chng minh rng
a.
51
2 1 7
b.
70 70
2 3 13+
c.
19 17
17 19 18+
d.
4
2 1 15
n
nN
Li gii:
a. Ta có:
51 3 17 7 3
2 1 (2 ) 1 2 1 7 = =
b.
70 70 2 35 2 35 35 35
2 3 (2 ) (3 ) 4 9 4 9 13+ = + = + + =
c.
19 17 19 17
18 18
17 19 (17 1) (19 1)+ = + +
d.
4 4 4
2 1 (2 ) 1 2 1 15
n n n
nN = =
Bài 2: Chng minh rng
a.
2 2 1
11 12 133
nn++
+
b.
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n++
++
c.
2
7.5 12.6 19
nn
+
d.
20 16 3 1 323( )
n n n
nlasotunhienchan+
Li gii:
a.
2 2 1 2 2
133
133
11 12 11 .11 12.12 121.11 12.144 (133 12).11 12.144 133.11 12(144 11 )
n n n n n n n n n n n++
+ = + = + = + = +
b.
2 2 1 2
59
59
5 26.5 8 25.5 26.5 8.8 51.5 8.64 (59 8).5 8.64 59.5 8(64 5 )
n n n n n n n n n n n n n++
+ + = + + = + = + = +
c.
22
19
19
7.5 12.6 7.5 (19 7).6 19.6 7(25 6 )
n n n n n n n
+ = + = +
d.
20 3 16 1 20 1 16 3
20 16 3 1 (20 3 ) (16 1) (20 1) (16 3 )
n n n n n n n n n
+ +
+ = + = +
Bài 3: Cho
3 3 3 3
1 2 3 ... 100 1 2 ... 100AB= + + + + = + + +
Li gii:
Ta có:
1 2 ... 100 (1 100).100: 2 101.50B = + + + = + =
Ta đi chứng minh A chia hết cho 101 và 50.
+)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
101 101 101
1 2 3 ... 100 (1 100 ) (2 99 ) ... (50 51 ) 101AA= + + + + = + + + + + +
+)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
50 50 50
1 2 3 ... 100 (1 99 ) (2 98 ) ... (50 100 ) 50 101.50A A A= + + + + = + + + + + +

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT. Định nghĩa: Tính chất:
- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n (n  )
1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau
- Trong n (n  )
1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n - Nếu ( ;
a b) = d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax + by = d - Ta có: n n ( )( n 1− n 1 .... b − − = − + − ) n n a b a b a
= a b (ab) - Ta có: n n ( )( n 1− n 1 .... − + = + − + ) n n a b a b a b
= a + b (a+ b) với n là số tự nhiên lẻ LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: 3 n + 5n 6. HD: Ta có: 3 n + n = ( 3 5
n n) + 6n , như vậy ta cần chứng minh 3
n n 6 = n(n− ) 1 (n+ ) 1 6. Do n(n− ) 1 (n + )
1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3
Bài 2: Chứng minh rằng : 3
n +11n 6, n   Z HD : Ta có: 3 3
n + n = n n + n = n( 2 11 12 n − )
1 +12n = n(n+ ) 1 (n− ) 1 +12n n(n+ ) 1 (n− )
1 là ba số nguyên liên tiếp = n(n+ ) 1 (n− ) 1 6 và 3
12n 6 = n + 11n 6
Bài 3: Chứng minh rằng: A = n(n+ ) 1 (2n+ ) 1 6, n   N HD:
Ta có: A = n(n+ ) 1 (n− ) 1 + (n+ 2) =  (n− ) 1 n(n+ ) 1 + n(n+ ) 1 (n+ 2) 6 Bài 4: Chứng minh rằng: 3 2
m + 3m m− 3 48, m  lẻ HD:
Vì m là số lẻ, Đặt m = 2k +1,(kN) Khi đó ta có : 3 2
A = m + m m− = (m+ )( 2 3 3 3 m − ) 1 = (m− ) 1 (m+ ) 1 (m+ ) 3
Thay m = 2k + 1 vào A ta được : A = 8(k + 2)(k + ) 1 k k(k + )
1 (k + 2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A 48 Bài 5: Chứng minh rằng: 4 3 2
n − 4n − 4n +16n 384,n chẵn HD:
Vì n chẵn, Đặt n = 2 ,
k (kN) , Khi đó ta có: 4 3 2
A = n n n +
n = n(n− )( 2 4 4 16
4 n − 4) , Thay n = 2k vào A ta được: Trang 1
A = 16(k − 2)(k − ) 1 k (k + )
1 , Vì (k − 2)(k − ) 1 k (k + )
1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 6: Chứng minh rằng: 5 3
B = n − 5n + 4n 120,( n   N) HD: Ta có: B = n( 4 2
n n + ) = n( 2 n − )( 2 5 4
1 n − 4) = n(n+ ) 1 (n− ) 1 (n+ ) 2 (n− 2) 120
Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh 4 3 2
A = n −14n + 71n −154n +120 24 HD:
Ta cần chứng minh A 3 và A 8 , ta có : 4 3 2 3 A = n n + n n + = n (n− ) 2 14 71 154 120 2 −12n (n− ) 2 + 47n(n− ) 2 − 60(n− ) 2 A = (n− ) 2 2 n  (n− ) 3 − 9n(n− ) 3 + 20(n− ) 3  =  (n− ) 2 (n− ) 3 n  (n− ) 3 − 5(n− 4) A = (n− ) 2 (n− )
3 (n− 4)(n− )
5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A 3
Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số 4 Vậy A 8 Bài 8: Chứng minh rằng: 4 3 2
n + 6n +11n + 6n 24 HD: Ta có: 4 3 2
A = n + 6n +11n + 6n = n(n+ ) 1 (n+ 2)(n+ )
3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A 3
Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A 8 Bài 2: CMR: 4 3 2
n − 2n n + 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD : Ta có: 4 3 2 2
n − 2n n + 2n = n n (n − 2) − (n − 2) = n (n − ) 1 (n + ) 1 (n − 2)  
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 2 3 a a a Bài 9: Chứng minh rằng: + +
là một số nguyên với mọi a nguyên 3 2 6 HD: 2 3 a a a a(a+ ) 1 (a+ ) 2 Ta có: + + = . Vì a(a+ )
1 (a+ 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 6 3 2 6 6
Bài 10: Chứng minh rằng: 5
n n 30,n HD: Ta có: 5
A = n n = (n− )n(n+ )( 2 1 1 n + )
1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác: 5
A = n n = (n− )n(n+ )( 2 1 1 n − 4 + )
5 = (n− 2)(n− ) 1 n(n+ )
1 (n+ 2) + 5(n− ) 1 n(n+ ) 1 Thấy (n− ) 2 (n− ) 1 n(n+ )
1 (n+ 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A 5
Bài 11: Chứng minh rằng: 3
n +1964n 48, n chẵn HD:
Vì n là số chẵn, Đặt n = 2 ,
k (kN) Khi đó ta có : 3
n +1964n = 8(k − ) 1 k (k + ) 1 + 3888k Vì (k − ) 1 k(k + )
1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chứng minh rằng: 4 n + ( 3 7 7+ 2n ) 64, n  lẻ HD: Trang 2
Vì n lẻ, Đặt n = 2k +1,(kN) , Khi đó ta có: A = n + ( + n ) = (n + )2 4 2 2 7 7 2 7 ,
Thay n = 2k +1 vào ta được: A = (k +k+ )2 2 16 2 , Vì 2
k + k + 2 = k(k + ) 1 + 2 2  (k + k + )2 2 2 4 = A 64
Bài 13: Chứng minh rằng: 4 2
n + 6n − 7 64,n lẻ HD:
Vì n lẻ, Đặt: n = 2k +1,(kN) , Khi đó: 4 2
A = n + n − = ( 2 n − )( 2 6 7 1 n + ) 7 ,
Thay n = 2k +1 vào ta được: A = k(k + )( 2 16 1 k + k + 2) Bài 14: Chứng minh rằng: 2
A = n + 4n + 3 8, n  lẻ. HD:
Ta có: A = (n+ ) 1 (n+ )
3 , Vì n là số lẻ, Đặt n = 2k +1,(kN) = A = (2k + 2)(2k + 4) 8
Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD:
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n −1; ; n n +1,( n   Z)
Gọi A = (n− )3 + n + (n+ )3 3 3 2
= n n + n + n + = (n− )n(n+ ) + ( 2 1 1 3 3 18 9 9 3 1 1 9 n + ) 1 −18n Thấy: (n− ) 1 n(n+ ) 1 3 = 3(n− ) 1 n(n+ ) 1 9 Vậy A 9
Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : 3 3 3
a + b + c 6 khi và chỉ khi a + b + c 6 HD : Xét 3 3 3 = +
+ − − − = ( 3 − ) + ( 3 − ) + ( 3 A a b c a b c a a b b c c) Mà 3
a a = a(a− ) 1 (a+ )
1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a− ) 1 (a+ ) 1 6 Như vậy A 6 => 3 3 3
a + b + c 6 = a + b + c 6
Bài 17: Chứng minh rằng: 12 8 4
n n n +1 512, n  lẻ HD:
Vì n lẻ, Đặt n = 2k +1,(kN) , Khi đó: 2 12 8 4
A = n n n + = ( 4 n − )( 8 n − ) = ( 2 n − )( 2 n + ) ( 4 1 1 1 1 1 n +   )1 2 2
Thay n = 2k +1 vào A ta được: A =
k(k + ) ( 2 k + k + ) ( 4 64 1 2 2 1 n +   )1
Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: (n+ ) 5 (n+ ) 6 6n HD:
Ta có: A = (n+ )(n+ ) 2 2 5
6 = n +11n + 30 = 12n + n n + 30 2 n n 6 n n−1 3 (1) 2 ( )
Vì 12n 6n cần chứng minh n n + 30 6n =  =  30 6n 30 n (2)
Từ (1) = n = 3k hoặc n = 3k +1,(kN)
Từ (2) = n1;2;3;5;6;10;15;3 
0 = n1;3;10;3  0 là thỏa mãn.
Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HD:
Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: ,
n n + 1,n + 2,...,n + 1989 (1)
Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: ,
n n + 1,n + 2,...,n + 999 phải có 1 số chia hết cho 1000,
giả sử là n , Khi đó n có tận cùng là 3 chữ số 0 0 0 Trang 3
Giả sử tổng các chữ số của n là s khi đó 27 số n ,n + 9,n +19,...,n + 899 0 0 0 0 0
Có tổng các chữ số lần lượt là: ,
s s+ 1,s+ 2,...,s+ 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27.
Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b +1 chia hết cho 48
ta có: ab a b +1 = (a − ) 1 (b − ) 1 , HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
a = ( n + )2 b = ( n + )2 2 1 ; 2 3 với n Z
Nên ab a b + = a
b − = ( n + )2 −  ( n + )2 −  = n(n + )2 1 ( 1)( 1) 2 1 1 2 3 1 16 1 (n + 2)    
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48 Trang 4
Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A = n(2n+ ) 7 (7n+ ) 7 6. HD :
Ta có : n hoặc 7n + 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A 2
Lấy n chia cho 3 ta được : n = 3k + r (kN,0  r  2)
Với r = 0 = n = 3k = A 3
Với r = 1 = n = 3k + 1 = 2n + 7 = 6k + 9 3 = A 3
Với r = 2 = n = 3k + 2 = 7n + 1 = 21k + 15 3 = A 3
Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : 2
A = 4a + 3a + 5 6 HD :
Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a = 6m1,(mZ) 2
Với a = m+ = A = ( m+ ) + ( m+ ) + = ( 2 6 1 4 6 1 3 6 1
5 6 24m +11m+ 2) 6 2
Với a = m− = A = ( m− ) + ( m− ) + = ( 2 6 1 4 6 1 3 6 1
5 6 24m − 5m+ ) 1 6
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2 n + 9n − 2 11 HD: Ta có: 2 2 n + n
= n n − = ( 2 n n − ) 2 9 2 11 2 2 11 4 2
2 11= 4n − 8n +1 11 = (2n− ) 1 (2n− ) 3 11 ,
Khi đó: 2n −1 11 hoặc 2n − 3 11 = n = 11m+ 6 hoặc n = 11m+ 7,(mN)
Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 2
4n +1 5 và chia hết cho 13 HD:
Đặt n = 65k + r,(kN,0  r  64) Chọn r sao cho 2
4r +1 = 65 = r = 4
 , Vậy với mọi số n = 65k  4 đều thỏa mãn.
Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì 2 3 n 3n A = + +1 13,n N HD:
n 3 = n = 3k + r,(kN,1 r  2) Khi đó: (23k r) 3k r
2r ( 6k ) r ( 3k ) 2 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 r 3r A + + = + + = − + − + + +1 2k
Thấy: 6k − = ( 3) − = ( 3 3 1 3 1 3 − )
1 .M = 26M 13 và 3k − = ( 3 3 1 3 − ) 1 .N = 26N 13 Với 2r r 2
r = 1 = 3 + 3 + 1 = 3 + 3+ 1 13 = A 13 Với 2r n 4 2
r = 2 = 3 + 3 + 1 = 3 + 3 +1 = 91 13 = A 13
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n −1 7 HD:
Lấy n chia cho 3 ta có: n = 3k + r,(kN,0  r  2) Với n 3
= 0 = = 3 = 2 −1= 2 k −1= 8k r n k −1= (8− ) 1 .M = 7M 7 Với n 8k 1 3k ( 3 1 3 1 2 1 2 1 2.2 1 2 2 k r n k + = = = + = − = − = − = − ) 1 +1 , Mà 2 1 7 2n k − = −1 chia 7 dư 1 Với n 3k 2 ( 3 2 3 2 2 1 2 1 4 2 k r n k + = = = + = − = − = − ) 1 + 3 Mà 3 2 k 1 7 2n − = −1 chia 7 dư 3 Vậy với n = 3 ,
k (kN) thì 2n −1 7 Trang 5
Bài 7: Chứng minh rằng: A = n( 2 n + )( 2 1 n + 4) 5,( n   Z) HD:
Lấy n chia cho 5 ta được: n = 5q + r,( ,
q r Z,0  r  ) 4
Với r = 0 = n 5 = A 5 Với 2
r = 1,4 = n + 4 5 = A 5 Với 2
r = 2,3 = n +1 5 = A 5
Bài 8: Cho A = a + a + ... + a và 5 5 5
B = a + a + ... + a , Chứng minh rằng: A B 30 1 2 n 1 2 n HD:
Ta có: B A = ( 5
a a ) + ...+ ( 5 a a 1 1 n n ) Xét 5
a a = a ( 4 a − ) 1 = a (a + ) 1 (a − ) 1 ( 2 a +1 30 1 1 1 1 1 1 1 1 )
Bài 9: Chứng minh rằng nếu ( ; n ) 6 = 1 thì 2 n −1 24, n   Z HD: Vì ( ; n )
6 = 1 = n = 6k + r,( ,
k r N,r =  ) 1 Với 2
r = 1 = n −1 24
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 2 2 n 2n + +1 7 HD:
Xét n = 3k + r,( ,
k r N,0  r  2) Ta có: 2n n
2r ( 6k ) r ( 3k ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 n 2n + + = − + − + + +1
Xét các TH cụ thể ta được: 2 2 n 2n + +1 7
Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 4 2
24m + 1 = n , Chứng minh rằng: mn 5 HD: Ta có: 4 2 4 m + = n = m − ( 4 m − ) 4 =
m − (m− )(m+ )( 2 24 1 25 1 25 1 1 m + ) 1
Nếu m 5 = mn 5 = ĐPCM Nếu m 5 = ( ; m ) 5 = 1=> 5
m m = m( 4
m − ) = m(m− )(m+ )( 2 1 1 1 m + ) 1
= m(m− )(m+ )( 2 1 1 m − 4 + ) 5 = (m− ) 2 (m− ) 1 m(m+ )
1 (m+ 2) + 5m(m− ) 1 (m+ ) 1 5 Nên 4 2
m −1 5 = n 5 = n 5 = mn 5 , ĐPCM.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : 3 2 2
x − 8x + 2x x + 1 HD : Ta có : 3 2
x x + x = x( 2 x + ) − ( 2 x + ) 2 2 8 2 1 8
1 + x + 8 x +1= x + 8 x +1
Nếu x + 8 = 0 = x = −8 thỏa mãn Nếu 2
x  8 = x + 8  x +1 = x01;  2 = x0;  2
Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 2 2
5a +15ab b 49 = 3a + b 7 HD:
Ta có: a + ab b
= a + ab b
= a + ab + b = ( a+ b)2 2 2 2 2 2 2 5 15 49 5 15 7 9 6 7 3 7 = 3a + b 7
Mặt khác: a + b = a + b = k(kZ) 2 2 3 7 3 7
= b = 7k − 3a = 5a +15ab b 2 2
= a + a( k − ) a − ( k − ) a = ( 2 5 15 7 3 7 3
49 3ak a ) 49 Trang 6
Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 2 2
a + b chia hết cho tích a.b 2 2 a + b
Tính giá trị của biểu thức: A = ab HD: a = da Gọi d = ( ; a ) 1 b = 
,(a ;b = 1 , ta có: 2 2 2
a + b = d (a + b và 2 ab = d a b 1 1 ) 1 1 ) b = db 1 1  1 Vì 2 2 2 2
a + b ab = a + b a b 2 2
= a + b a b 2 = a b và 2 b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vì (a ;b = 1= a b b a = a = b = 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 2 d ( 2 2 a + b 1 1 ) 2 2 2.d a Vậy 1 A = = = 2 2 2 2 d a b d a 1 1 1
Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A = m+ n và 2 2
B = m + n HD :
Gọi d = UCLN ( ; A B) , Vì ( ; m ) n = 1 = ,
A B cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2
2mn = A B d và 2 2
2mn + 2n = 2nA d = 2n d (1)
Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2 d = d = 2
Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ ( ) 2
1 = n d , tương tự : 2 m d Vì ( ; m )
n = 1 = d = 1
Bài 17: Cho số tự nhiên n  3 , Chứng minh rằng: nếu 2n = 10a + ,
b (0  b  10) thì ab 6 HD:
Ta có: 2n = 10a + b = b 2 = ab 2 , ta cần chứng minh ab 3
Mặt khác : 2n = 10 + = 2n a b
có chữ số tận cùng là b
Đặt = 4 + ,( ,  ,0   ) 3 = 2n = 16 . k 2r n k r k r N r Nếu 0 2n 16k r = = =
có tận cùng là 6 = b = 6 = ab 6
Nếu 1  3 = 2n − 2x = 2r (16k − ) 1 10 = 2n r
tận cùng là 2r = = 2r b
= 10 = 2n − 2x = 2r (16k a − )
1 3 = a 3 = ab 6
Bài 18: Cho số tự nhiên n  1 , Chứng minh rằng: 5 5 5 5
S= 1 + 2 + 3 + ... + n (1+ 2 + 3+ ...+ ) n HD:
Đặt: 2A = 2(1+ 2 + 3+ ...+ )
n = n(n+ ) 1
Mặt khác, với n lẻ ta có: n n * a + b a + ,
b (a,bN ) 5 Nên S ( 5 5
n )  5 (n )  = + + + − +    ( 5 2 1 2 1 n + ) 1 n +1  5 5 5 = S  = 
( 5 + (n− ) ) + ( 5 + (n− ) ) + + ((n− ) + ) 5 2 1 1 2 2 ... 1 1 + 2n n  Mà ( ; n n + )
1 = 1 = 2S n(n+ )
1 = 2A = S A p 1 1 1 Bài 19: Cho = 1− + − ....+ ,( ,
p qZ) . Chứng minh rằng p 1979 q 2 3 1319 HD: p  1 1   1 1 1  Ta có: = 1+ + ...+ − 2 + + ...+ q  2 1319  2 4 1318     Trang 7  1 1   1 1 1  1 1 = 1+ + ...+ − 1+ + + ...+  = + ...+ 2 1319  2 3 659     660 1319 2.p  1 1   1 1   1 1  1979.A 2 . p B = = + + + + ...+ + = = q = q
 660 1319  661 1318  1319 660       B 1979.A
B 1979 = p 1979
Bài 20: Cho a ,a ,a ,...a 1;− 
1 , nN , thỏa mãn: a a + a a + a a + .... + a a = 0 , n ( * 1 2 3 ) 1 2 2 3 3 4 n 1
Chứng minh rằng: n 4 HD:
Đặt x = a a , x = a a ,..., x = a a = x , x , x  1; 1
− , Hơn nữa x + x + ...+ x = 0 1 1 2 2 2 3 n n 1 1 2 3   1 2 n
Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 * (mN )
= n = 2mx x x ...x = 1 m
x x x ...x = a a ...a = 1 1 2 3 n ( 1 2 n)2 1 2 3 n ( )
Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4.
Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab(a+ b)  7 và (a+ )7 7 7 7
b a b 7 HD: 7 Ta có: (a+ ) 7 7
b a b = ab(a+ ) b ( 2 2 7
a + ab + b )2 Vì ab(a+ ) 2 2 3
b  7 = a + ab + b 7 Chọn 2 3
b = 1 = a + a + 1 = 7 = a Trang 8
Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh rằng : 2
S= n + 3n − 38 49,nN HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2
S = n + 3n − 38 49 Khi đó: 2
S= n + n − − (n− ) 2 3 38 7
6 = n − 4n + 4 , Mà S
= S = (n− )2 49 7 2
7 = n − 2 7 = n = 7t + 2 , thay vào S ta được: S= ( 2
49 t + t ) − 28 = S 49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: 2
n + n + 215,nZ HD: Giả sử: 2 2
n + n + 2 15 = n + n + 2 3 = n(n+ ) 1 + 2 3 (1) n = 3k +1
Từ (1) = n 3 = ,k Zn = 3k −1  2
= n −1= (n− ) 1 (n+ ) 1 3 Lại có: 2 2
n + n + 2 = n −1+ n + 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy 2 n + n + 215 Bài 3: Chứng minh rằng: 2
n + 3n + 5121, n   N HD: Giả sử: n + n + = n + n+ = n + n+ = n + n+ + = ( n+ )2 2 2 2 2 3 5 121 3 5 11 4 12 20 11 4 12 9 11 11 2 3 +11 11 Nhưng 2
A = n + 3n + 5 11 nhưng A121 vì 11 121 2 n + 4
Bài 4: Xét phân số A =
Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 sao cho n + 5
phân số A chưa tối giản. HD:
Giả sử A chưa tối giản. Đặt d = ( 2 n + 4;n + ) 5 = d  1 2 Ta có: (n+ ) − ( 2 5
n + 4) d =10n+ 21 d =10(n+ )
5 − 29 d = 29 d = d = 29. Ngược lại: Nếu n + = n+ = k ( * k N ) 2 = n + = ( 2 5 29 5 29 ,
4 29 29m − 5k + )
1 29 = A chứ tối giản
Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n + = k ( *
5 29 , k N ) = 1 n  2002 = 1 m 69
Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản. Bài 5: Chứng minh rằng: 3 2
9n + 9n + 3n −16 343, n   N HD:
Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho 2
n + n + 2 49 không HD:
Giả sử tông tại số tự nhiên n để n + n + = n + n+ = ( n+ )2 + = ( n+ )2 2 2 2 49 4 4 8 49 2 1 7 49 2 1 7
Vì 7 là số nguyên tố = n + = ( n+ )2 2 1 7 2
1 + 7 49 từ đó = 7 49 ( vô lý) Bài 7: Chứng minh rằng: 2 *
n + n + 1 9,nN HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 2
n + n +1 9 = (n+ 2)(n− ) 1 + 3 9 Trang 9
Vì 3 là số nguyên tố nên (n+ 2) 3 hoặc (n − ) 1 3 Nếu (n+ ) 2 3 = (n+ ) 2 (n− )
1 + 3 3 nhưng không chia hết cho 9 Nếu (n− )
1 3 = (n+ 2)(n− )
1 3 nhưng không chia hết cho 9 Bài 8: Chứng minh rằng: 2
4n − 4n +18 289,nN HD: 2
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2 n n + = ( n− ) 2 4 4 18 289 2 1 +17 17 = (2n− ) 1 17
Vì 17 là số nguyên tố nên ( n− ) = ( n− )2 2 1 17 2
1 289 Khi đó: ( n− )2 2 1 +17 289
Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ; a b) sao cho: ( 2 a + b ) ( 2 a b − ) 1 HD: Gỉả sử 2 2 * 2
a + b a b − = k
  N a + b = k( 2
a b − ) = a+ k = b( 2 1 : 1 ka b) Đặt 2 m = ka − ,
b (mZ) = a+ k = mb , Do * * , a ,
b k N = mN , khi đó ta có: (m− )(b− ) 2 1
1 = mb mb +1= a + k ka +1= (a+ ) 1 (k ka+ ) 1 , Vì * ,
m bN = (m− ) 1 (b− )
1  0 = 1 k(a− ) 1 , Do * ,
k aN = a −1 0 ta có : TH1 : k(a− )
1 = 0 = a = 1 thay vào đẳng thức ta được : (m− ) 1 (b− ) 1 = (a+ ) 1 (k ka+ ) 1 m− = m =
Ta được: (m− )(b− ) 1 1 2 1 1 = 2 =  =  b −1= 2 b = 3 TH2: k(a− )
1 = 1 = k = a −1 = 1 = k = 1 và a = 2, Thay k = 1,a = 2 vào đẳng thức ta được:
(m− )1(b− )1 = (a+ )1(kka+ )1 ta được: (m− )1(b− )1 = 0= m= b=1
Nếu m = 1 thì từ a + k = mb = b = 3 Vậy các cặp số ( ; a ) b = (1; ) 2 ,(1; ) 3 ,(2 ) ;1 ,(2; ) 3 Trang 10
Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: n n
A + B ( A+ B), n LẺ
Bài 1: Chứng minh rằng = 2005n + 60n −1897n −168n A 2004, n   N HD:
Ta có: 2004 = 12.167 , ta cần chứng minh A 12, A 167 Ta có :
(2005n 1897n) (168n 60n A = − − − )
Áp dụng tính chất : n n
a b (ab), với mọi n tự nhiên và a b  0
Khi đó : 2005n 1897n
(2005−189 )7 và 168n 60n − (168− 60) => Vậy A 12 Tương tự :
(2005n 168n) (1897n 60n A = − − − ) Khi đó A 167
Bài 2: Cho nN , CMR : 5n (5n ) 1 6n (3n 2n A = + − + ) 91 HD:
Ta cần chứng minh A 7 và A 13 Ta có :
25n 5n 18n 12n (25n 18n) (12n 5n A = + − − = − − − )
Áp dụng tính chất : n n
a b (ab) = A 7
Tương tự : = (25n −12n) − (18n − 5n A ) = A 13
Bài 3: Cho nN , Chứng minh rằng: 2n n n 1 6 19 2 + + − 17 HD: Ta có: 2n n n 1 6 19 2
36n 19n 2.2n (36n 2n) (19n 2n A + = + − = + − = − + − ) Vì 36n 2n
(36−2 = 34) và 19n 2n − 17 Bài 4: Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 1 + 3 + 5 + 7 2 HD : Ta có: 3 3 3 3 A = + + + = ( 3 3 + ) + ( 3 3 1 3 5 7 1 7
3 + 5 ) = 8N + 8M 8
Bài 5: Chứng minh rằng: 8n 6
2 .5 n −1980n − 441n +1 1979, n   N HD: Ta có: 8n 6n n ( 6 2 .5 1980 441 1
4 n 441n ) (1980n 1n A = − − + = − − − ) Vì 6 4 n 441n 4000000n 441n − = −
3999559 và 1980n 1n − 1979
Bài 6: Chứng minh rằng: 6n 6
3 − 2 n 35,nN HD: n n Ta có: 6n 6n − = ( 6) − ( 6) = ( 6 6 − ) M = ( 3 3 + )( 3 3 3 2 3 2 3 2 . 3 2
3 − 2 ).M = 35.19M 35
Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 HD : Ta có: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + +
59 = 51.5n 8.64n (59 8).5n 8.64n 59.5n 8(64n 5n + = − + = + − ) Vì ( n 2
64 − 5 ) (64 −5) nên ta có đpcm Bài 8: Chứng minh rằng: 2 9 n + 14 15 HD: Ta có: 2n 2
9 +14 = 9 n −1+15 = (81n − ) 1 +15 = 80n +15 5 Trang 11
Bài 9: Chứng minh rằng: = 20n + 16n − 3n A
−1 232,nN HD: Tách 232 = 17.19 . Khi đó:
(20n 3n) (16n A = − + − ) 1
Lại có: 20n − 3n = (20 − )
3 .M = 17M 17 , và 16n −1 = (16+ ) 1 .N = 17N 17 Khi đó: A 17 Mặt khác:
(20n )1 (16n 3n A = − + − ) , Mà 20n −1 = (20− )
1 .P = 19.P 19 và 16n − 3n = (16+ )
3 .Q = 19.Q 19 = A 19
Bài 10: Chứng minh rằng: n
n n + n − (n− )2 2 1 1 , n   1 HD: Với n
n = = n n + n − = (n− )2 2 2 1 1 1 = 1 Với n 2
n  = A = n n + n − = ( n 2 2 1
n n ) + (n− ) 1 2 = n ( n−2 n − ) + (n− ) 2
= n (n− )( n−3 n−4 1 1 1 n + n + ...+ ) 1 + (n− ) 1 2 2
= (n− )( n 1− n−2 2 n + n
+ + n + ) = (n− )( n 1 n −  − ) + + ( 2 1 ... 1 1 1 ... n − ) 1 + (n− )
1  = (n− )1 .M (n− )1
Bài 11: Chứng minh rằng: 2n 1 + 2n+2 3 + 2 7,nN HD: n Ta có: 2n 1 + 2n+2 2 3 + 2
= 3.3 n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3.(7+ )
2 + 4.2n = 7. + 7.2n M 7
Bài 12: Chứng minh rằng: mn( 4 4
m n ) 30, , m nN HD: Ta có: mn( 4 4
m n ) = mn( 2 m − )( 2 m + ) − mn( 2 n − )( 2 1 1 1 n + ) 1 30
Bài 13: Chứng minh rằng: = 3n A
+ 63 72,nN,n  2 và n là số chẵn HD: Đặt = (  ) n 2k = + = + = ( 2 2 , 3 63 3 63 3 k − ) 1 + 64 = (9k n k k N − ) 1 + 64 8 hay A 8 Mặt khác: 2 3n n  = 9 và 63 9 = A 9
Bài 14: Tìm giá trị của n để:
20n 16n 3n A = + − −1 323 HD: Ta có: 323 = 17.19
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để 2n+3 4n 1 A 3 2 + = + 25 HD: Ta có: 2n 3 4n 1 2n 4n 2n 2n 4 3 2 3 .27 2 .2 3 .25 3 .2 2 . n A + + = + = + = + + 2 2 3 .
n 25 2(9n 16n = + + )
Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a(a− ) 1 (b − ) 1 192 HD: 2 2
Đặt a = (2k − ) 1 ,b = (2k + )
1 ,(kN) , Khi đó ta có:
(a− )1(b− )1 =16k(k+ )1(k− )1 64 và 3
Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: 2 2 2
a = b + c , Chứng minh rằng: abc 60 HD :
Ta có : 60=3.4.5, đặt M = abc
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 2 2 2
= a ,b ,c chia hết cho 3 dư 1 Trang 12 2 2 2
= a b + c , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M 3
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 2 2 2
= a ,b ,c chia 5 dư 1 hoặc 4 2 2
= b + c chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 2 2 2
= a b + c , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5
Nếu a, b, c là các số lẻ 2 2
= b ,c chia 4 dư 1 2 2 = b + c  ( ) 2 2 2
mod4 = a b + c
Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn:
+ Nếu c là số chẵn =>M 4 + Nếu c là số lẻ, mà 2 2 2
a = b + c = a là số lẻ 2
= b = (ac)(a+ b) 2  b
a+ c  a c b = = = 
chẵn = b 4 = M 4 2   2  2       2
Vậy M = abc 3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 2
36n + 60n + 24 24 HD : Ta có: 2
= 36n + 60n + 24 = 12n(3n+ ) 5 + 24 , Thấy ;
n 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ  n(3n+ ) 5 2 => ĐPCM Trang 13
Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh n *
A = 16 −15n −1 225, n   N HD:
Với n = 1 = A = 0 225 đúng
Giả sử n = k  1 và = 16k A −15k −1 225
Ta cần chứng minh với n = k + 1 thì k 1 16 + −15(k + ) 1 −1 225 Thật vậy: k 1 16 + −15( + )
1 −1 = 16.16k −15 −16 = (16k −15 − ) 1 +15.16k k k k −15
= 16k −15k −1+15.15.M = A+ 225.M 225 Vậy n *
A = 16 −15n −1 225, n   N
Bài 2: Chứng minh rằng: 3n+3 3
− 26n − 27 29,n  1 HD:
Bài 3: Chứng minh rằng: 2n+2 * 4
−1 15,nN HD:
Chuyên đề 4: SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau a ba c 1. Nếu   a c 2. Nếu 
 (ma + nb) c , m n Z bc bca ba b 3. Nếu    a [b,c] ( BCNN) 4. a ca . b c a c ( ,bc) =1  ab c
p P(songuyento) a p 5. Nếu   a c 6. Nếu    ( , b c) =1 ab pb p
7. Nếu a b a b 8. Nếu n n a b a b(n Z +   )
9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n
10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích a ma b ma c +)    +) n
a m a m(n N ) +)   ab cd bmab m bd
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Trang 14
- Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong
đó có 1 nhân tử là m  ( A n) m
- Nếu m là hợp số, ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi
chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó.
- Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất là ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
Bài 1: Chứng minh rằng a. 2
a a 2( a   N) b. 3
a a 3( a   Z) c. 5
a a 5;6;30( a   Z) d. 7
a a 2( a   Z) Lời giải: a. Ta có : 2
a a = a(a −1) 2 b. 3
a a = a(a −1)(a +1) = (a −1)a(a +1) 3 5 4 2
a a = a(a −1) = a(a −1)(a +1)(a +1)  c.  2,3 6   5.6 = 30 5 2 2 2 2 2
a a = a(a −1)(a +1) = a(a −1)[(a − 4) + 5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5n(n −1)  5 5 d. 7 6 2 2 2
a a = a(a −1) = a(a −1)(a + a +1)(a a +1)
+) Nếu a = 7k(k Z)  a 7 +) Nếu 2 2
a = 7k +1(k Z )  a −1 = 49k +14k 7
+) Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng
a. n(n +1)(2n +1) 6 b. 3 n +11n 6 c. 2 2
mn(m n ) 6 d. 3 m + 5m 6 Lời giải:
a. Ta có: n(n +1)(2n +1) = n(n +1)[(n-1)+(n+2)]= n(n+1)(n-1) + n(n +1)(n + 2) 2,3 6 6 b. 3 3
n +11n = n n +12n = n(n −1)(n +1) +12n 6 6 c. 2 2 2 2
mn(m n ) = m [
n (m −1) − (n −1)]= mn(m-1)(m+1) − mn(n −1)(n +1) 6 6 d. 3 3
m + 5m = m m + 6m = m(m −1)(m +1) + 6m 6 6 Trang 15
Bài 3: Chứng minh với mọi n lẻ thì a. 2
A = n + 4n + 3 8 b. 3 2
B = n + 3n n − 3 48 c. 12 8 4
C = n n n +1 512 d. 4 2
D = n −10n + 9 384 Lời giải: a. Ta có: 2
n + 4n + 3 = (n +1)(n + 3)
Vì n là số lẻ nên n + 1 và n + 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 b. 3 2
n + 3n n − 3 = (n + 3)(n −1)(n +1)
Vì n lẻ, đặt n = 2k + 1  (n + 3)(n −1)(n +1) = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k +1)(k + 2)  48( k   N) 6 12 8 4 8 4 4 2 4 2 2 2 2 4
n n n +1 = (n −1)(n −1) = (n −1) (n +1) = (n −1) (n +1) (n +1) c. 2 2 2 4 4 2 2
=16.[ k(k+1)] .(n +1) .(n +1)  2 .2 .2 .2 = 512 4 2 2 2  chan 2 2 a ch n 2 d. 4 2 4 2 2 2
n −10n + 9 = (n n ) − (9n − 9) = n (n +1)(n −1) − 9(n +1)(n −1) = (n − 3)(n −1)(n +1)(n + 3)
Đặt n = 2k + 1 ( k thuộc Z )
D = (2k − 2)2k(2k + 2)(2k + 4) =16 k(k −1)(k +1)(k + 2)  D 384 24
Bài 4: Chứng minh rằng số 3 2 2
A = n (n − 7) − 36n 5040 n   N Lời giải: 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3
A = n (n − 7) − 36n = [
n n (n − 7) − 36] = [
n (n − 7n) − 36] = n(n − 7n − 6)(n − 7n + 6)
= n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n +1)(n + 2)(n + 3)
Là tích của 7 số nguyên liên tiếp
+) Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5
+) Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9)
+) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040
Bài 5: Chứng minh rằng 4 3 2
A = 3n −14n + 21n −10n 24 Lời giải: 4 3 2 3 2 3 2 2
A = 3n −14n + 21n −10n = n(3n −14n + 21n −10) = n(3n − 3n −11n +11n +1on −10) 2 2
A = n(n −1)(3n −11n +10) = n(n −1)(3n − 6n − 5n +10) = n(n −1)(n − 2)(3n − 5) = n(n −1)(n − 2)(3n − 9 + 4) Trang 16
A = (3n − 9)n(n − 2) + 4n(n −1)(n − 2) = 3n(n −1)(n − 2)(n − 3) + 4n(n −1)(n − 2) 8 24 6 24
Bài 6: Chứng minh rằng: 5 3 2
A = n − 5n + 4n 120 = 2 .3.5 n   Z Lời giải: 5 3 4 2 4 3 3 2 2 3 2
A = n − 5n + 4n = n(n − 5n + 4) = n(n + n n n − 4n − 4n + 4n + 4) = n(n +1)(n n − 4n + 4)
A = n(n +1)(n −1)(n − 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có: a. 3 2
A = n + 6n + 8n 48 b. 4 3 2
B = n − 4n − 4n +16n 348(n  4 , n chẵn ) Lời giải: a. 3 2
A = n + 6n + 8n 48 = n(n + 2)(n + 4)
Đặt n = 2k  A = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k +1)(k + 2)  A 48 6 b. Đặt 4 3 2 3 2
n = 2k(k  2)  A = 16k 3
− 2k −16k + 32k =16k(k − 2k k + 2) =16k(k − 2)(k −1)(k +1)  B 16.24 = 384 3,8 24
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n lẻ thì : 8 6 4 2
A = n n n + n 1152 n   N
Lời giải: 1152 = 9.27 = 32.27 2 6 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2
A = n (n n n +1) = n [(n − n ) − (n −1] = n (n −1)(n −1) = n (n −1) (n +1) 2 2
A = [ n(n-1)(n+1)] (n +1)  A 9(1) 3 9
Vì n lẻ nên n – 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp  có 1 số chia hết cho 4  tích 2 số chẵn
chia hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn  chia hết cho 2 2 7  A 8 .2 = 2 (2) Từ (1)(2) 7 2
A 2 .3 (dpcm)
Bài 9: Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 Lời giải: Đặt 2 2
m = (2k −1) ; n = (2k +1) (k Z ) 2 2 2 2 2
A = (m −1)(n −1) = [(2k-1) −1][(2k+1) −1] = (4k − 4k)(4k + 4k) = 16k (k −1)(k +1)
Ta đi chứng minh A chia hết cho 64 và 3
A = (k −1).k .k(k +1)  A 16.2.2 = 64; A =16k (k −1)k(k +1)  A 3  A 64.3 =192 2 2 3 Trang 17
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng: 5 4 3 2 a. n n 7n 5n n + + + + à l sô tu nhiên b. 2
B = n(n −1)(3n + 2) 12 120 12 24 12 5 Lời giải: a. 5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2 n n 7n 5n n
n +10n + 35n + 50n + 24n
n(n +10n + 35n + 50n + 24)
n(n +1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + + + + = = = 120 12 24 12 5 120 120 120 b. 2
B = n(n −1)(3n + 2) = n(n −1)(n +1)(3n + 2)
Lại có: n + 1 + n – 1 = 2n chia hết cho 2 nên n + 1 và n – 1 cùng tính chẵn lẻ
N + 3n + 2 = 4n + 2 chia hết cho 2 nên n và 3n + 2 cùng tính chẵn lẻ
Do đó A luôn có ít nhất 2 số chẵn. Vậy B 3  B 12
Bài 11:[ Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2014 – 2015 ]
Cho x, y là các số nguyên, CMR : 5 5
A = x y xy 30 Lời giải : Ta có : 5 5 4 4 4 4 2 2
A = x y xy = xy(x −1− y +1) = xy(x −1) − xy( y −1) = x(x −1)(x +1)(x +1) y xy( y +1)( y −1)( y +1) 2 2
A = x(x −1)(x +1)[(x − 4) + 5]− xy(y −1)(y +1)[(y − 4) + 5] 30 30
Bài 12: [ Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 – 2016 ]
CMR : Với x, y là hai số nguyên bất kỳ ta có : 4 4
A = xy(x −15y) − xy( y +15y) 30 Lời giải : 4 4 5 2 5 2 4 4 2
A = xy(x −15y) − xy(y +15y) = x y −15xy xy −15xy = xy(x y ) − 30xy Bai9 30
Bài 13: Cho n là số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau với 10. CMR : 4 A = n −1 40 Lời giải:
Vì (n,10) = 1  (n,2) = ( , n 5) = 1 Ta có : 4 2
n −1 = (n −1)(n +1)(n +1) 8 vì tích của hai số chẵn liên tiếp
Ta đi chứng minh A chia hết cho 5
+) Xét n = 5k + 1 ; n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 đều thỏa mãn chia hết cho 5. Bài 14: CMR *
= ( +1)( + 2)...(2 −1).2 2n A n n n n n   N Trang 18 Lời giải: n Cách 1: 1.2.3.... (
n n +1)(n + 2)...2n (2.4.6...2 )
n [1.3.5..(2n-1)] 2 (1.2.3... ) n [1.3.5...(2n-1)] A = = = 1.2.3.....n 1.2.3.4....n 1.2.3...n n n *
A = 2 [1.3.5...(2n-1)] 2 n   N
Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học +) n = 1 1  ( A 1) = 2 2
+) Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là ta có: = ( +1)( + 2)...2 2k A k k k
+) Ta đi chứng minh đúng với n = k + 1 k k 1 (
A k 1) (k 2)(k 3)...(2k 2) 2(2k 1). ( A k) 2.2 2 + + = + + + = + = (dpcm)
Bài 15: Cho n số x1, x2, …xn mỗi số chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1. CMR: Nếu x1x2 + x2x3 +
… +xnx1 = 0 thì n chia hết cho 4 Lời giải:
Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; … ; yn = xnx1
y .y ...y nhận giá trị 1 hoặc -1 và = y + y +...+ y = 0 1 2 n 1 2 n
Suy ra trong số y1, ….yn thì số các số có giá trị = 1 bằng với số các số có giá trị = -1 suy ra n chẵn suy ra n = 2k
Ta có : y1.y2….yn = (x1.x2…xn)2 = 1
Có k số trong n số y1 , y2 , … , yn = 1 và k số trong n số y1 ,…..yn bằng -1
Vậy k phải chẵn. Suy ra k = 2q. vậy n = 4q chia hết cho 4 (đpcm)
Bài 16: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số 3 Lời giải:
Ta có: 30000 số có 5 chữ sô chia hết cho 3 ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách 3 số có 1 số chia hết cho 3 )
Ta đi đếm số các số chia hết cho 3 mà không chứa chữ số 3 nào
Giả sử: abcde(a  0;0  a, ,
b c, d,e  9.a, ,
b c, d,e  3) có 8 cách chọn a ; b,c,d có thể chọn 9 cách
Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho 3
a + b + c + d 3  e = 0,6,9
Nếu a + b + c + d 3d 1
u e = 2,5,8(du2)
a +b + c + d 3du2  e =1,4,7(d 1 u ) 
Vậy có 3 cách chọn e. suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết 3 không chứa thừa số 3 Trang 19
Suy ra có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn bài toán.
Dạng 2: Sử dụng các công thức sau nâng cao a. n n
a b a b a
 ,b Z,a b,n N b. n n
a + b a + b a
 ,b Z,a b
− ,n N,(n :le) c. n n
a b a + b a
 ,b Z,a b,n N,(n : chan)
Bài 1: Chứng minh rằng a. 51 70 70 2 −1 7 b. 2 +3 13 c. 19 17 n 17 +19 18 d. 4 2 −1 15 n   N Lời giải: a. Ta có: 51 3 17 7 3
2 −1 = (2 ) −1 2 −1 = 7 b. 70 70 2 35 2 35 35 35 2 + 3 = (2 ) + (3 ) = 4 + 9 4 + 9 = 13 c. 19 17 19 17
17 +19 = (17 +1) + (19 −1) d. 4n 4 n n 4
2 −1 = (2 ) −1 2 −1 = 15 n   N 18 18
Bài 2: Chứng minh rằng a. n+2 2n 1 11 12 + + 133 b. n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 c. 2 7.5 n 12.6n +
19 d. 20n +16n − 3n −1 323(nlasotunhienchan) Lời giải: a. n+2 2n 1 + 2 n 2 11 +12
=11 .11 +12.12 n =121.11n +12.144n = (133−12).11n +12.144n = 133.11n +12(144n −11n) 133 133 b. n+2 n 2n 1 + n n 2 5 + 26.5 + 8
= 25.5 + 26.5 + 8.8 n = 51.5n + 8.64n = (59 −8).5n +8.64n = 59.5n + 8(64n − 5n) 59 59 c. 2n n 2 7.5 12.6
7.5 n (19 7).6n 19.6n 7(25n 6n + = + − = + − ) 19 19
d. 20n +16n −3n −1 = (20n −3n) + (16n −1) = (20n −1) + (16n −3n) 20−3 16 1 + 20 1 − 16+3 Bài 3: Cho 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 B = 1+ 2 + ...+100 Lời giải:
Ta có: B =1+ 2 +...+100 = (1+100).100 : 2 =101.50
Ta đi chứng minh A chia hết cho 101 và 50. +) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 = (1 +100 ) + (2 + 99 ) +... + (50 + 51 )  A 101 101 101 101 +) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 = (1 + 99 ) + (2 + 98 ) + ...+ (50 +100 )  A 50  A 101.50 50 50 50 Trang 20