



















Preview text:
CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT. Định nghĩa: Tính chất:
- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n (n )
1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau
- Trong n (n )
1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n - Nếu ( ;
a b) = d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax + by = d - Ta có: n n ( )( n 1− n 1 .... b − − = − + − ) n n a b a b a
= a − b (a− b) - Ta có: n n ( )( n 1− n 1 .... − + = + − + ) n n a b a b a b
= a + b (a+ b) với n là số tự nhiên lẻ LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: 3 n + 5n 6. HD: Ta có: 3 n + n = ( 3 5
n − n) + 6n , như vậy ta cần chứng minh 3
n − n 6 = n(n− ) 1 (n+ ) 1 6. Do n(n− ) 1 (n + )
1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3
Bài 2: Chứng minh rằng : 3
n +11n 6, n Z HD : Ta có: 3 3
n + n = n − n + n = n( 2 11 12 n − )
1 +12n = n(n+ ) 1 (n− ) 1 +12n Vì n(n+ ) 1 (n− )
1 là ba số nguyên liên tiếp = n(n+ ) 1 (n− ) 1 6 và 3
12n 6 = n + 11n 6
Bài 3: Chứng minh rằng: A = n(n+ ) 1 (2n+ ) 1 6, n N HD:
Ta có: A = n(n+ ) 1 (n− ) 1 + (n+ 2) = (n− ) 1 n(n+ ) 1 + n(n+ ) 1 (n+ 2) 6 Bài 4: Chứng minh rằng: 3 2
m + 3m − m− 3 48, m lẻ HD:
Vì m là số lẻ, Đặt m = 2k +1,(k N) Khi đó ta có : 3 2
A = m + m − m− = (m+ )( 2 3 3 3 m − ) 1 = (m− ) 1 (m+ ) 1 (m+ ) 3
Thay m = 2k + 1 vào A ta được : A = 8(k + 2)(k + ) 1 k Vì k(k + )
1 (k + 2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A 48 Bài 5: Chứng minh rằng: 4 3 2
n − 4n − 4n +16n 384,n chẵn HD:
Vì n chẵn, Đặt n = 2 ,
k (k N) , Khi đó ta có: 4 3 2
A = n − n − n +
n = n(n− )( 2 4 4 16
4 n − 4) , Thay n = 2k vào A ta được: Trang 1
A = 16(k − 2)(k − ) 1 k (k + )
1 , Vì (k − 2)(k − ) 1 k (k + )
1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 6: Chứng minh rằng: 5 3
B = n − 5n + 4n 120,( n N) HD: Ta có: B = n( 4 2
n − n + ) = n( 2 n − )( 2 5 4
1 n − 4) = n(n+ ) 1 (n− ) 1 (n+ ) 2 (n− 2) 120
Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh 4 3 2
A = n −14n + 71n −154n +120 24 HD:
Ta cần chứng minh A 3 và A 8 , ta có : 4 3 2 3 A = n − n + n − n + = n (n− ) 2 14 71 154 120 2 −12n (n− ) 2 + 47n(n− ) 2 − 60(n− ) 2 A = (n− ) 2 2 n (n− ) 3 − 9n(n− ) 3 + 20(n− ) 3 = (n− ) 2 (n− ) 3 n (n− ) 3 − 5(n− 4) A = (n− ) 2 (n− )
3 (n− 4)(n− )
5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A 3
Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số 4 Vậy A 8 Bài 8: Chứng minh rằng: 4 3 2
n + 6n +11n + 6n 24 HD: Ta có: 4 3 2
A = n + 6n +11n + 6n = n(n+ ) 1 (n+ 2)(n+ )
3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A 3
Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A 8 Bài 2: CMR: 4 3 2
n − 2n − n + 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD : Ta có: 4 3 2 2
n − 2n − n + 2n = n n (n − 2) − (n − 2) = n (n − ) 1 (n + ) 1 (n − 2)
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 2 3 a a a Bài 9: Chứng minh rằng: + +
là một số nguyên với mọi a nguyên 3 2 6 HD: 2 3 a a a a(a+ ) 1 (a+ ) 2 Ta có: + + = . Vì a(a+ )
1 (a+ 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 6 3 2 6 6
Bài 10: Chứng minh rằng: 5
n − n 30,n HD: Ta có: 5
A = n − n = (n− )n(n+ )( 2 1 1 n + )
1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác: 5
A = n − n = (n− )n(n+ )( 2 1 1 n − 4 + )
5 = (n− 2)(n− ) 1 n(n+ )
1 (n+ 2) + 5(n− ) 1 n(n+ ) 1 Thấy (n− ) 2 (n− ) 1 n(n+ )
1 (n+ 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A 5
Bài 11: Chứng minh rằng: 3
n +1964n 48, n chẵn HD:
Vì n là số chẵn, Đặt n = 2 ,
k (k N) Khi đó ta có : 3
n +1964n = 8(k − ) 1 k (k + ) 1 + 3888k Vì (k − ) 1 k(k + )
1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chứng minh rằng: 4 n + ( 3 7 7+ 2n ) 64, n lẻ HD: Trang 2
Vì n lẻ, Đặt n = 2k +1,(k N) , Khi đó ta có: A = n + ( + n ) = (n + )2 4 2 2 7 7 2 7 ,
Thay n = 2k +1 vào ta được: A = (k +k+ )2 2 16 2 , Vì 2
k + k + 2 = k(k + ) 1 + 2 2 (k + k + )2 2 2 4 = A 64
Bài 13: Chứng minh rằng: 4 2
n + 6n − 7 64,n lẻ HD:
Vì n lẻ, Đặt: n = 2k +1,(k N) , Khi đó: 4 2
A = n + n − = ( 2 n − )( 2 6 7 1 n + ) 7 ,
Thay n = 2k +1 vào ta được: A = k(k + )( 2 16 1 k + k + 2) Bài 14: Chứng minh rằng: 2
A = n + 4n + 3 8, n lẻ. HD:
Ta có: A = (n+ ) 1 (n+ )
3 , Vì n là số lẻ, Đặt n = 2k +1,(k N) = A = (2k + 2)(2k + 4) 8
Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD:
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n −1; ; n n +1,( n Z)
Gọi A = (n− )3 + n + (n+ )3 3 3 2
= n − n + n + n + = (n− )n(n+ ) + ( 2 1 1 3 3 18 9 9 3 1 1 9 n + ) 1 −18n Thấy: (n− ) 1 n(n+ ) 1 3 = 3(n− ) 1 n(n+ ) 1 9 Vậy A 9
Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : 3 3 3
a + b + c 6 khi và chỉ khi a + b + c 6 HD : Xét 3 3 3 = +
+ − − − = ( 3 − ) + ( 3 − ) + ( 3 A a b c a b c a a b b c − c) Mà 3
a − a = a(a− ) 1 (a+ )
1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a− ) 1 (a+ ) 1 6 Như vậy A 6 => 3 3 3
a + b + c 6 = a + b + c 6
Bài 17: Chứng minh rằng: 12 8 4
n − n − n +1 512, n lẻ HD:
Vì n lẻ, Đặt n = 2k +1,(k N) , Khi đó: 2 12 8 4
A = n − n − n + = ( 4 n − )( 8 n − ) = ( 2 n − )( 2 n + ) ( 4 1 1 1 1 1 n + )1 2 2
Thay n = 2k +1 vào A ta được: A =
k(k + ) ( 2 k + k + ) ( 4 64 1 2 2 1 n + )1
Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: (n+ ) 5 (n+ ) 6 6n HD:
Ta có: A = (n+ )(n+ ) 2 2 5
6 = n +11n + 30 = 12n + n − n + 30 2 n − n 6 n n−1 3 (1) 2 ( )
Vì 12n 6n cần chứng minh n − n + 30 6n = = 30 6n 30 n (2)
Từ (1) = n = 3k hoặc n = 3k +1,(k N)
Từ (2) = n1;2;3;5;6;10;15;3
0 = n1;3;10;3 0 là thỏa mãn.
Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HD:
Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: ,
n n + 1,n + 2,...,n + 1989 (1)
Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: ,
n n + 1,n + 2,...,n + 999 phải có 1 số chia hết cho 1000,
giả sử là n , Khi đó n có tận cùng là 3 chữ số 0 0 0 Trang 3
Giả sử tổng các chữ số của n là s khi đó 27 số n ,n + 9,n +19,...,n + 899 0 0 0 0 0
Có tổng các chữ số lần lượt là: ,
s s+ 1,s+ 2,...,s+ 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27.
Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab − a − b +1 chia hết cho 48
ta có: ab − a − b +1 = (a − ) 1 (b − ) 1 , HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
a = ( n + )2 b = ( n + )2 2 1 ; 2 3 với n Z
Nên ab − a − b + = a −
b − = ( n + )2 − ( n + )2 − = n(n + )2 1 ( 1)( 1) 2 1 1 2 3 1 16 1 (n + 2)
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48 Trang 4
Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A = n(2n+ ) 7 (7n+ ) 7 6. HD :
Ta có : n hoặc 7n + 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A 2
Lấy n chia cho 3 ta được : n = 3k + r (k N,0 r 2)
Với r = 0 = n = 3k = A 3
Với r = 1 = n = 3k + 1 = 2n + 7 = 6k + 9 3 = A 3
Với r = 2 = n = 3k + 2 = 7n + 1 = 21k + 15 3 = A 3
Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : 2
A = 4a + 3a + 5 6 HD :
Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a = 6m1,(m Z) 2
Với a = m+ = A = ( m+ ) + ( m+ ) + = ( 2 6 1 4 6 1 3 6 1
5 6 24m +11m+ 2) 6 2
Với a = m− = A = ( m− ) + ( m− ) + = ( 2 6 1 4 6 1 3 6 1
5 6 24m − 5m+ ) 1 6
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2 n + 9n − 2 11 HD: Ta có: 2 2 n + n −
= n − n − = ( 2 n − n − ) 2 9 2 11 2 2 11 4 2
2 11= 4n − 8n +1 11 = (2n− ) 1 (2n− ) 3 11 ,
Khi đó: 2n −1 11 hoặc 2n − 3 11 = n = 11m+ 6 hoặc n = 11m+ 7,(m N)
Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 2
4n +1 5 và chia hết cho 13 HD:
Đặt n = 65k + r,(k N,0 r 64) Chọn r sao cho 2
4r +1 = 65 = r = 4
, Vậy với mọi số n = 65k 4 đều thỏa mãn.
Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì 2 3 n 3n A = + +1 13,n N HD:
Vì n 3 = n = 3k + r,(k N,1 r 2) Khi đó: (23k r) 3k r
2r ( 6k ) r ( 3k ) 2 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 r 3r A + + = + + = − + − + + +1 2k
Thấy: 6k − = ( 3) − = ( 3 3 1 3 1 3 − )
1 .M = 26M 13 và 3k − = ( 3 3 1 3 − ) 1 .N = 26N 13 Với 2r r 2
r = 1 = 3 + 3 + 1 = 3 + 3+ 1 13 = A 13 Với 2r n 4 2
r = 2 = 3 + 3 + 1 = 3 + 3 +1 = 91 13 = A 13
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n −1 7 HD:
Lấy n chia cho 3 ta có: n = 3k + r,(k N,0 r 2) Với n 3
= 0 = = 3 = 2 −1= 2 k −1= 8k r n k −1= (8− ) 1 .M = 7M 7 Với n 8k 1 3k ( 3 1 3 1 2 1 2 1 2.2 1 2 2 k r n k + = = = + = − = − = − = − ) 1 +1 , Mà 2 1 7 2n k − = −1 chia 7 dư 1 Với n 3k 2 ( 3 2 3 2 2 1 2 1 4 2 k r n k + = = = + = − = − = − ) 1 + 3 Mà 3 2 k 1 7 2n − = −1 chia 7 dư 3 Vậy với n = 3 ,
k (k N) thì 2n −1 7 Trang 5
Bài 7: Chứng minh rằng: A = n( 2 n + )( 2 1 n + 4) 5,( n Z) HD:
Lấy n chia cho 5 ta được: n = 5q + r,( ,
q r Z,0 r ) 4
Với r = 0 = n 5 = A 5 Với 2
r = 1,4 = n + 4 5 = A 5 Với 2
r = 2,3 = n +1 5 = A 5
Bài 8: Cho A = a + a + ... + a và 5 5 5
B = a + a + ... + a , Chứng minh rằng: A − B 30 1 2 n 1 2 n HD:
Ta có: B − A = ( 5
a − a ) + ...+ ( 5 a − a 1 1 n n ) Xét 5
a − a = a ( 4 a − ) 1 = a (a + ) 1 (a − ) 1 ( 2 a +1 30 1 1 1 1 1 1 1 1 )
Bài 9: Chứng minh rằng nếu ( ; n ) 6 = 1 thì 2 n −1 24, n Z HD: Vì ( ; n )
6 = 1 = n = 6k + r,( ,
k r N,r = ) 1 Với 2
r = 1 = n −1 24
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 2 2 n 2n + +1 7 HD:
Xét n = 3k + r,( ,
k r N,0 r 2) Ta có: 2n n
2r ( 6k ) r ( 3k ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 n 2n + + = − + − + + +1
Xét các TH cụ thể ta được: 2 2 n 2n + +1 7
Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 4 2
24m + 1 = n , Chứng minh rằng: mn 5 HD: Ta có: 4 2 4 m + = n = m − ( 4 m − ) 4 =
m − (m− )(m+ )( 2 24 1 25 1 25 1 1 m + ) 1
Nếu m 5 = mn 5 = ĐPCM Nếu m 5 = ( ; m ) 5 = 1=> 5
m − m = m( 4
m − ) = m(m− )(m+ )( 2 1 1 1 m + ) 1
= m(m− )(m+ )( 2 1 1 m − 4 + ) 5 = (m− ) 2 (m− ) 1 m(m+ )
1 (m+ 2) + 5m(m− ) 1 (m+ ) 1 5 Nên 4 2
m −1 5 = n 5 = n 5 = mn 5 , ĐPCM.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : 3 2 2
x − 8x + 2x x + 1 HD : Ta có : 3 2
x − x + x = x( 2 x + ) − ( 2 x + ) 2 2 8 2 1 8
1 + x + 8 x +1= x + 8 x +1
Nếu x + 8 = 0 = x = −8 thỏa mãn Nếu 2
x 8 = x + 8 x +1 = x01; 2 = x0; 2
Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 2 2
5a +15ab − b 49 = 3a + b 7 HD:
Ta có: a + ab − b
= a + ab − b
= a + ab + b = ( a+ b)2 2 2 2 2 2 2 5 15 49 5 15 7 9 6 7 3 7 = 3a + b 7
Mặt khác: a + b = a + b = k(k Z) 2 2 3 7 3 7
= b = 7k − 3a = 5a +15ab − b 2 2
= a + a( k − ) a − ( k − ) a = ( 2 5 15 7 3 7 3
49 3ak − a ) 49 Trang 6
Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 2 2
a + b chia hết cho tích a.b 2 2 a + b
Tính giá trị của biểu thức: A = ab HD: a = da Gọi d = ( ; a ) 1 b =
,(a ;b = 1 , ta có: 2 2 2
a + b = d (a + b và 2 ab = d a b 1 1 ) 1 1 ) b = db 1 1 1 Vì 2 2 2 2
a + b ab = a + b a b 2 2
= a + b a và b 2 = a b và 2 b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vì (a ;b = 1= a b và b a = a = b = 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 2 d ( 2 2 a + b 1 1 ) 2 2 2.d a Vậy 1 A = = = 2 2 2 2 d a b d a 1 1 1
Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A = m+ n và 2 2
B = m + n HD :
Gọi d = UCLN ( ; A B) , Vì ( ; m ) n = 1 = ,
A B cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2
2mn = A − B d và 2 2
2mn + 2n = 2nA d = 2n d (1)
Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2 d = d = 2
Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ ( ) 2
1 = n d , tương tự : 2 m d Vì ( ; m )
n = 1 = d = 1
Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n = 10a + ,
b (0 b 10) thì ab 6 HD:
Ta có: 2n = 10a + b = b 2 = ab 2 , ta cần chứng minh ab 3
Mặt khác : 2n = 10 + = 2n a b
có chữ số tận cùng là b
Đặt = 4 + ,( , ,0 ) 3 = 2n = 16 . k 2r n k r k r N r Nếu 0 2n 16k r = = =
có tận cùng là 6 = b = 6 = ab 6
Nếu 1 3 = 2n − 2x = 2r (16k − ) 1 10 = 2n r
tận cùng là 2r = = 2r b
= 10 = 2n − 2x = 2r (16k a − )
1 3 = a 3 = ab 6
Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: 5 5 5 5
S= 1 + 2 + 3 + ... + n (1+ 2 + 3+ ...+ ) n HD:
Đặt: 2A = 2(1+ 2 + 3+ ...+ )
n = n(n+ ) 1
Mặt khác, với n lẻ ta có: n n * a + b a + ,
b (a,b N ) 5 Nên S ( 5 5
n ) 5 (n ) = + + + − + ( 5 2 1 2 1 n + ) 1 n +1 5 5 5 = S =
( 5 + (n− ) ) + ( 5 + (n− ) ) + + ((n− ) + ) 5 2 1 1 2 2 ... 1 1 + 2n n Mà ( ; n n + )
1 = 1 = 2S n(n+ )
1 = 2A = S A p 1 1 1 Bài 19: Cho = 1− + − ....+ ,( ,
p q Z) . Chứng minh rằng p 1979 q 2 3 1319 HD: p 1 1 1 1 1 Ta có: = 1+ + ...+ − 2 + + ...+ q 2 1319 2 4 1318 Trang 7 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + ...+ − 1+ + + ...+ = + ...+ 2 1319 2 3 659 660 1319 2.p 1 1 1 1 1 1 1979.A 2 . p B = = + + + + ...+ + = = q = q
660 1319 661 1318 1319 660 B 1979.A
Mà B 1979 = p 1979
Bài 20: Cho a ,a ,a ,...a 1;−
1 , n N , thỏa mãn: a a + a a + a a + .... + a a = 0 , n ( * 1 2 3 ) 1 2 2 3 3 4 n 1
Chứng minh rằng: n 4 HD:
Đặt x = a a , x = a a ,..., x = a a = x , x , x 1; 1
− , Hơn nữa x + x + ...+ x = 0 1 1 2 2 2 3 n n 1 1 2 3 1 2 n
Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 * (m N )
= n = 2m và x x x ...x = 1 m −
và x x x ...x = a a ...a = 1 1 2 3 n ( 1 2 n)2 1 2 3 n ( )
Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4.
Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab(a+ b) 7 và (a+ )7 7 7 7
b − a − b 7 HD: 7 Ta có: (a+ ) 7 7
b − a − b = ab(a+ ) b ( 2 2 7
a + ab + b )2 Vì ab(a+ ) 2 2 3
b 7 = a + ab + b 7 Chọn 2 3
b = 1 = a + a + 1 = 7 = a Trang 8
Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh rằng : 2
S= n + 3n − 38 49,n N HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2
S = n + 3n − 38 49 Khi đó: 2
S= n + n − − (n− ) 2 3 38 7
6 = n − 4n + 4 , Mà S
= S = (n− )2 49 7 2
7 = n − 2 7 = n = 7t + 2 , thay vào S ta được: S= ( 2
49 t + t ) − 28 = S 49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: 2
n + n + 215,n Z HD: Giả sử: 2 2
n + n + 2 15 = n + n + 2 3 = n(n+ ) 1 + 2 3 (1) n = 3k +1
Từ (1) = n 3 = ,k Z n = 3k −1 2
= n −1= (n− ) 1 (n+ ) 1 3 Lại có: 2 2
n + n + 2 = n −1+ n + 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy 2 n + n + 215 Bài 3: Chứng minh rằng: 2
n + 3n + 5121, n N HD: Giả sử: n + n + = n + n+ = n + n+ = n + n+ + = ( n+ )2 2 2 2 2 3 5 121 3 5 11 4 12 20 11 4 12 9 11 11 2 3 +11 11 Nhưng 2
A = n + 3n + 5 11 nhưng A121 vì 11 121 2 n + 4
Bài 4: Xét phân số A =
Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 sao cho n + 5
phân số A chưa tối giản. HD:
Giả sử A chưa tối giản. Đặt d = ( 2 n + 4;n + ) 5 = d 1 2 Ta có: (n+ ) − ( 2 5
n + 4) d =10n+ 21 d =10(n+ )
5 − 29 d = 29 d = d = 29. Ngược lại: Nếu n + = n+ = k ( * k N ) 2 = n + = ( 2 5 29 5 29 ,
4 29 29m − 5k + )
1 29 = A chứ tối giản
Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n + = k ( *
5 29 , k N ) = 1 n 2002 = 1 m 69
Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản. Bài 5: Chứng minh rằng: 3 2
9n + 9n + 3n −16 343, n N HD:
Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho 2
n + n + 2 49 không HD:
Giả sử tông tại số tự nhiên n để n + n + = n + n+ = ( n+ )2 + = ( n+ )2 2 2 2 49 4 4 8 49 2 1 7 49 2 1 7
Vì 7 là số nguyên tố = n + = ( n+ )2 2 1 7 2
1 + 7 49 từ đó = 7 49 ( vô lý) Bài 7: Chứng minh rằng: 2 *
n + n + 1 9,n N HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 2
n + n +1 9 = (n+ 2)(n− ) 1 + 3 9 Trang 9
Vì 3 là số nguyên tố nên (n+ 2) 3 hoặc (n − ) 1 3 Nếu (n+ ) 2 3 = (n+ ) 2 (n− )
1 + 3 3 nhưng không chia hết cho 9 Nếu (n− )
1 3 = (n+ 2)(n− )
1 3 nhưng không chia hết cho 9 Bài 8: Chứng minh rằng: 2
4n − 4n +18 289,n N HD: 2
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2 n − n + = ( n− ) 2 4 4 18 289 2 1 +17 17 = (2n− ) 1 17
Vì 17 là số nguyên tố nên ( n− ) = ( n− )2 2 1 17 2
1 289 Khi đó: ( n− )2 2 1 +17 289
Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ; a b) sao cho: ( 2 a + b ) ( 2 a b − ) 1 HD: Gỉả sử 2 2 * 2
a + b a b − = k
N a + b = k( 2
a b − ) = a+ k = b( 2 1 : 1 ka − b) Đặt 2 m = ka − ,
b (m Z) = a+ k = mb , Do * * , a ,
b k N = m N , khi đó ta có: (m− )(b− ) 2 1
1 = mb − m− b +1= a + k − ka +1= (a+ ) 1 (k − ka+ ) 1 , Vì * ,
m b N = (m− ) 1 (b− )
1 0 = 1 k(a− ) 1 , Do * ,
k a N = a −1 0 ta có : TH1 : k(a− )
1 = 0 = a = 1 thay vào đẳng thức ta được : (m− ) 1 (b− ) 1 = (a+ ) 1 (k − ka+ ) 1 m− = m =
Ta được: (m− )(b− ) 1 1 2 1 1 = 2 = = b −1= 2 b = 3 TH2: k(a− )
1 = 1 = k = a −1 = 1 = k = 1 và a = 2, Thay k = 1,a = 2 vào đẳng thức ta được:
(m− )1(b− )1 = (a+ )1(k− ka+ )1 ta được: (m− )1(b− )1 = 0= m= b=1
Nếu m = 1 thì từ a + k = mb = b = 3 Vậy các cặp số ( ; a ) b = (1; ) 2 ,(1; ) 3 ,(2 ) ;1 ,(2; ) 3 Trang 10
Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: n n
A + B ( A+ B), n LẺ
Bài 1: Chứng minh rằng = 2005n + 60n −1897n −168n A 2004, n N HD:
Ta có: 2004 = 12.167 , ta cần chứng minh A 12, A 167 Ta có :
(2005n 1897n) (168n 60n A = − − − )
Áp dụng tính chất : n n
a − b (a− b), với mọi n tự nhiên và a − b 0
Khi đó : 2005n 1897n −
(2005−189 )7 và 168n 60n − (168− 60) => Vậy A 12 Tương tự :
(2005n 168n) (1897n 60n A = − − − ) Khi đó A 167
Bài 2: Cho n N , CMR : 5n (5n ) 1 6n (3n 2n A = + − + ) 91 HD:
Ta cần chứng minh A 7 và A 13 Ta có :
25n 5n 18n 12n (25n 18n) (12n 5n A = + − − = − − − )
Áp dụng tính chất : n n
a − b (a− b) = A 7
Tương tự : = (25n −12n) − (18n − 5n A ) = A 13
Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng: 2n n n 1 6 19 2 + + − 17 HD: Ta có: 2n n n 1 6 19 2
36n 19n 2.2n (36n 2n) (19n 2n A + = + − = + − = − + − ) Vì 36n 2n −
(36−2 = 34) và 19n 2n − 17 Bài 4: Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 1 + 3 + 5 + 7 2 HD : Ta có: 3 3 3 3 A = + + + = ( 3 3 + ) + ( 3 3 1 3 5 7 1 7
3 + 5 ) = 8N + 8M 8
Bài 5: Chứng minh rằng: 8n 6
2 .5 n −1980n − 441n +1 1979, n N HD: Ta có: 8n 6n n ( 6 2 .5 1980 441 1
4 n 441n ) (1980n 1n A = − − + = − − − ) Vì 6 4 n 441n 4000000n 441n − = −
3999559 và 1980n 1n − 1979
Bài 6: Chứng minh rằng: 6n 6
3 − 2 n 35,n N HD: n n Ta có: 6n 6n − = ( 6) − ( 6) = ( 6 6 − ) M = ( 3 3 + )( 3 3 3 2 3 2 3 2 . 3 2
3 − 2 ).M = 35.19M 35
Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 HD : Ta có: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + +
59 = 51.5n 8.64n (59 8).5n 8.64n 59.5n 8(64n 5n + = − + = + − ) Vì ( n 2
64 − 5 ) (64 −5) nên ta có đpcm Bài 8: Chứng minh rằng: 2 9 n + 14 15 HD: Ta có: 2n 2
9 +14 = 9 n −1+15 = (81n − ) 1 +15 = 80n +15 5 Trang 11
Bài 9: Chứng minh rằng: = 20n + 16n − 3n A
−1 232,n N HD: Tách 232 = 17.19 . Khi đó:
(20n 3n) (16n A = − + − ) 1
Lại có: 20n − 3n = (20 − )
3 .M = 17M 17 , và 16n −1 = (16+ ) 1 .N = 17N 17 Khi đó: A 17 Mặt khác:
(20n )1 (16n 3n A = − + − ) , Mà 20n −1 = (20− )
1 .P = 19.P 19 và 16n − 3n = (16+ )
3 .Q = 19.Q 19 = A 19
Bài 10: Chứng minh rằng: n
n − n + n − (n− )2 2 1 1 , n 1 HD: Với n
n = = n − n + n − = (n− )2 2 2 1 1 1 = 1 Với n 2
n = A = n − n + n − = ( n 2 2 1
n − n ) + (n− ) 1 2 = n ( n−2 n − ) + (n− ) 2
= n (n− )( n−3 n−4 1 1 1 n + n + ...+ ) 1 + (n− ) 1 2 2
= (n− )( n 1− n−2 2 n + n
+ + n + ) = (n− )( n 1 n − − ) + + ( 2 1 ... 1 1 1 ... n − ) 1 + (n− )
1 = (n− )1 .M (n− )1
Bài 11: Chứng minh rằng: 2n 1 + 2n+2 3 + 2 7,n N HD: n Ta có: 2n 1 + 2n+2 2 3 + 2
= 3.3 n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3.(7+ )
2 + 4.2n = 7. + 7.2n M 7
Bài 12: Chứng minh rằng: mn( 4 4
m − n ) 30, , m n N HD: Ta có: mn( 4 4
m − n ) = mn( 2 m − )( 2 m + ) − mn( 2 n − )( 2 1 1 1 n + ) 1 30
Bài 13: Chứng minh rằng: = 3n A
+ 63 72,n N,n 2 và n là số chẵn HD: Đặt = ( ) n 2k = + = + = ( 2 2 , 3 63 3 63 3 k − ) 1 + 64 = (9k n k k N − ) 1 + 64 8 hay A 8 Mặt khác: 2 3n n = 9 và 63 9 = A 9
Bài 14: Tìm giá trị của n để:
20n 16n 3n A = + − −1 323 HD: Ta có: 323 = 17.19
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để 2n+3 4n 1 A 3 2 + = + 25 HD: Ta có: 2n 3 4n 1 2n 4n 2n 2n 4 3 2 3 .27 2 .2 3 .25 3 .2 2 . n A + + = + = + = + + 2 2 3 .
n 25 2(9n 16n = + + )
Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a(a− ) 1 (b − ) 1 192 HD: 2 2
Đặt a = (2k − ) 1 ,b = (2k + )
1 ,(k N) , Khi đó ta có:
(a− )1(b− )1 =16k(k+ )1(k− )1 64 và 3
Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: 2 2 2
a = b + c , Chứng minh rằng: abc 60 HD :
Ta có : 60=3.4.5, đặt M = abc
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 2 2 2
= a ,b ,c chia hết cho 3 dư 1 Trang 12 2 2 2
= a b + c , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M 3
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 2 2 2
= a ,b ,c chia 5 dư 1 hoặc 4 2 2
= b + c chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 2 2 2
= a b + c , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5
Nếu a, b, c là các số lẻ 2 2
= b ,c chia 4 dư 1 2 2 = b + c ( ) 2 2 2
mod4 = a b + c
Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn:
+ Nếu c là số chẵn =>M 4 + Nếu c là số lẻ, mà 2 2 2
a = b + c = a là số lẻ 2
= b = (a− c)(a+ b) 2 b
a+ c a − c b = = =
chẵn = b 4 = M 4 2 2 2 2
Vậy M = abc 3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 2
36n + 60n + 24 24 HD : Ta có: 2
= 36n + 60n + 24 = 12n(3n+ ) 5 + 24 , Thấy ;
n 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n(3n+ ) 5 2 => ĐPCM Trang 13
Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh n *
A = 16 −15n −1 225, n N HD:
Với n = 1 = A = 0 225 đúng
Giả sử n = k 1 và = 16k A −15k −1 225
Ta cần chứng minh với n = k + 1 thì k 1 16 + −15(k + ) 1 −1 225 Thật vậy: k 1 16 + −15( + )
1 −1 = 16.16k −15 −16 = (16k −15 − ) 1 +15.16k k k k −15
= 16k −15k −1+15.15.M = A+ 225.M 225 Vậy n *
A = 16 −15n −1 225, n N
Bài 2: Chứng minh rằng: 3n+3 3
− 26n − 27 29,n 1 HD:
Bài 3: Chứng minh rằng: 2n+2 * 4
−1 15,n N HD:
Chuyên đề 4: SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau a b a c 1. Nếu a c 2. Nếu
(ma + nb) c , m n Z b c b c a b a b 3. Nếu a [b,c] ( BCNN) 4. a c a . b c a c ( ,bc) =1 ab c
p P(songuyento) a p 5. Nếu a c 6. Nếu ( , b c) =1 ab p b p
7. Nếu a b a b 8. Nếu n n a b a b(n Z + )
9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n
10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích a m a b m a c +) +) n
a m a m(n N ) +) ab cd b m ab m b d
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Trang 14
- Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong
đó có 1 nhân tử là m ( A n) m
- Nếu m là hợp số, ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi
chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó.
- Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất là ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
Bài 1: Chứng minh rằng a. 2
a − a 2( a N) b. 3
a − a 3( a Z) c. 5
a − a 5;6;30( a Z) d. 7
a − a 2( a Z) Lời giải: a. Ta có : 2
a − a = a(a −1) 2 b. 3
a − a = a(a −1)(a +1) = (a −1)a(a +1) 3 5 4 2
a − a = a(a −1) = a(a −1)(a +1)(a +1) c. 2,3 6 5.6 = 30 5 2 2 2 2 2
a − a = a(a −1)(a +1) = a(a −1)[(a − 4) + 5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5n(n −1) 5 5 d. 7 6 2 2 2
a − a = a(a −1) = a(a −1)(a + a +1)(a − a +1)
+) Nếu a = 7k(k Z) a 7 +) Nếu 2 2
a = 7k +1(k Z ) a −1 = 49k +14k 7
+) Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng
a. n(n +1)(2n +1) 6 b. 3 n +11n 6 c. 2 2
mn(m − n ) 6 d. 3 m + 5m 6 Lời giải:
a. Ta có: n(n +1)(2n +1) = n(n +1)[(n-1)+(n+2)]= n(n+1)(n-1) + n(n +1)(n + 2) 2,3 6 6 b. 3 3
n +11n = n − n +12n = n(n −1)(n +1) +12n 6 6 c. 2 2 2 2
mn(m − n ) = m [
n (m −1) − (n −1)]= mn(m-1)(m+1) − mn(n −1)(n +1) 6 6 d. 3 3
m + 5m = m − m + 6m = m(m −1)(m +1) + 6m 6 6 Trang 15
Bài 3: Chứng minh với mọi n lẻ thì a. 2
A = n + 4n + 3 8 b. 3 2
B = n + 3n − n − 3 48 c. 12 8 4
C = n − n − n +1 512 d. 4 2
D = n −10n + 9 384 Lời giải: a. Ta có: 2
n + 4n + 3 = (n +1)(n + 3)
Vì n là số lẻ nên n + 1 và n + 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 b. 3 2
n + 3n − n − 3 = (n + 3)(n −1)(n +1)
Vì n lẻ, đặt n = 2k + 1 (n + 3)(n −1)(n +1) = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k +1)(k + 2) 48( k N) 6 12 8 4 8 4 4 2 4 2 2 2 2 4
n − n − n +1 = (n −1)(n −1) = (n −1) (n +1) = (n −1) (n +1) (n +1) c. 2 2 2 4 4 2 2
=16.[ k(k+1)] .(n +1) .(n +1) 2 .2 .2 .2 = 512 4 2 2 2 chan 2 2 a ch n 2 d. 4 2 4 2 2 2
n −10n + 9 = (n − n ) − (9n − 9) = n (n +1)(n −1) − 9(n +1)(n −1) = (n − 3)(n −1)(n +1)(n + 3)
Đặt n = 2k + 1 ( k thuộc Z )
D = (2k − 2)2k(2k + 2)(2k + 4) =16 k(k −1)(k +1)(k + 2) D 384 24
Bài 4: Chứng minh rằng số 3 2 2
A = n (n − 7) − 36n 5040 n N Lời giải: 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3
A = n (n − 7) − 36n = [
n n (n − 7) − 36] = [
n (n − 7n) − 36] = n(n − 7n − 6)(n − 7n + 6)
= n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n +1)(n + 2)(n + 3)
Là tích của 7 số nguyên liên tiếp
+) Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5
+) Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9)
+) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040
Bài 5: Chứng minh rằng 4 3 2
A = 3n −14n + 21n −10n 24 Lời giải: 4 3 2 3 2 3 2 2
A = 3n −14n + 21n −10n = n(3n −14n + 21n −10) = n(3n − 3n −11n +11n +1on −10) 2 2
A = n(n −1)(3n −11n +10) = n(n −1)(3n − 6n − 5n +10) = n(n −1)(n − 2)(3n − 5) = n(n −1)(n − 2)(3n − 9 + 4) Trang 16
A = (3n − 9)n(n − 2) + 4n(n −1)(n − 2) = 3n(n −1)(n − 2)(n − 3) + 4n(n −1)(n − 2) 8 24 6 24
Bài 6: Chứng minh rằng: 5 3 2
A = n − 5n + 4n 120 = 2 .3.5 n Z Lời giải: 5 3 4 2 4 3 3 2 2 3 2
A = n − 5n + 4n = n(n − 5n + 4) = n(n + n − n − n − 4n − 4n + 4n + 4) = n(n +1)(n − n − 4n + 4)
A = n(n +1)(n −1)(n − 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có: a. 3 2
A = n + 6n + 8n 48 b. 4 3 2
B = n − 4n − 4n +16n 348(n 4 , n chẵn ) Lời giải: a. 3 2
A = n + 6n + 8n 48 = n(n + 2)(n + 4)
Đặt n = 2k A = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k +1)(k + 2) A 48 6 b. Đặt 4 3 2 3 2
n = 2k(k 2) A = 16k 3
− 2k −16k + 32k =16k(k − 2k − k + 2) =16k(k − 2)(k −1)(k +1) B 16.24 = 384 3,8 24
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n lẻ thì : 8 6 4 2
A = n − n − n + n 1152 n N
Lời giải: 1152 = 9.27 = 32.27 2 6 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2
A = n (n − n − n +1) = n [(n − n ) − (n −1] = n (n −1)(n −1) = n (n −1) (n +1) 2 2
A = [ n(n-1)(n+1)] (n +1) A 9(1) 3 9
Vì n lẻ nên n – 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4 tích 2 số chẵn
chia hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn chia hết cho 2 2 7 A 8 .2 = 2 (2) Từ (1)(2) 7 2
A 2 .3 (dpcm)
Bài 9: Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 Lời giải: Đặt 2 2
m = (2k −1) ; n = (2k +1) (k Z ) 2 2 2 2 2
A = (m −1)(n −1) = [(2k-1) −1][(2k+1) −1] = (4k − 4k)(4k + 4k) = 16k (k −1)(k +1)
Ta đi chứng minh A chia hết cho 64 và 3
A = (k −1).k .k(k +1) A 16.2.2 = 64; A =16k (k −1)k(k +1) A 3 A 64.3 =192 2 2 3 Trang 17
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng: 5 4 3 2 a. n n 7n 5n n + + + + à l sô tu nhiên b. 2
B = n(n −1)(3n + 2) 12 120 12 24 12 5 Lời giải: a. 5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2 n n 7n 5n n
n +10n + 35n + 50n + 24n
n(n +10n + 35n + 50n + 24)
n(n +1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + + + + = = = 120 12 24 12 5 120 120 120 b. 2
B = n(n −1)(3n + 2) = n(n −1)(n +1)(3n + 2)
Lại có: n + 1 + n – 1 = 2n chia hết cho 2 nên n + 1 và n – 1 cùng tính chẵn lẻ
N + 3n + 2 = 4n + 2 chia hết cho 2 nên n và 3n + 2 cùng tính chẵn lẻ
Do đó A luôn có ít nhất 2 số chẵn. Vậy B 3 B 12
Bài 11:[ Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2014 – 2015 ]
Cho x, y là các số nguyên, CMR : 5 5
A = x y − xy 30 Lời giải : Ta có : 5 5 4 4 4 4 2 2
A = x y − xy = xy(x −1− y +1) = xy(x −1) − xy( y −1) = x(x −1)(x +1)(x +1) y − xy( y +1)( y −1)( y +1) 2 2
A = x(x −1)(x +1)[(x − 4) + 5]− xy(y −1)(y +1)[(y − 4) + 5] 30 30
Bài 12: [ Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 – 2016 ]
CMR : Với x, y là hai số nguyên bất kỳ ta có : 4 4
A = xy(x −15y) − xy( y +15y) 30 Lời giải : 4 4 5 2 5 2 4 4 2
A = xy(x −15y) − xy(y +15y) = x y −15xy − xy −15xy = xy(x − y ) − 30xy Bai9 30
Bài 13: Cho n là số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau với 10. CMR : 4 A = n −1 40 Lời giải:
Vì (n,10) = 1 (n,2) = ( , n 5) = 1 Ta có : 4 2
n −1 = (n −1)(n +1)(n +1) 8 vì tích của hai số chẵn liên tiếp
Ta đi chứng minh A chia hết cho 5
+) Xét n = 5k + 1 ; n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 đều thỏa mãn chia hết cho 5. Bài 14: CMR *
= ( +1)( + 2)...(2 −1).2 2n A n n n n n N Trang 18 Lời giải: n Cách 1: 1.2.3.... (
n n +1)(n + 2)...2n (2.4.6...2 )
n [1.3.5..(2n-1)] 2 (1.2.3... ) n [1.3.5...(2n-1)] A = = = 1.2.3.....n 1.2.3.4....n 1.2.3...n n n *
A = 2 [1.3.5...(2n-1)] 2 n N
Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học +) n = 1 1 ( A 1) = 2 2
+) Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là ta có: = ( +1)( + 2)...2 2k A k k k
+) Ta đi chứng minh đúng với n = k + 1 k k 1 (
A k 1) (k 2)(k 3)...(2k 2) 2(2k 1). ( A k) 2.2 2 + + = + + + = + = (dpcm)
Bài 15: Cho n số x1, x2, …xn mỗi số chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1. CMR: Nếu x1x2 + x2x3 +
… +xnx1 = 0 thì n chia hết cho 4 Lời giải:
Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; … ; yn = xnx1
y .y ...y nhận giá trị 1 hoặc -1 và = y + y +...+ y = 0 1 2 n 1 2 n
Suy ra trong số y1, ….yn thì số các số có giá trị = 1 bằng với số các số có giá trị = -1 suy ra n chẵn suy ra n = 2k
Ta có : y1.y2….yn = (x1.x2…xn)2 = 1
Có k số trong n số y1 , y2 , … , yn = 1 và k số trong n số y1 ,…..yn bằng -1
Vậy k phải chẵn. Suy ra k = 2q. vậy n = 4q chia hết cho 4 (đpcm)
Bài 16: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số 3 Lời giải:
Ta có: 30000 số có 5 chữ sô chia hết cho 3 ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách 3 số có 1 số chia hết cho 3 )
Ta đi đếm số các số chia hết cho 3 mà không chứa chữ số 3 nào
Giả sử: abcde(a 0;0 a, ,
b c, d,e 9.a, ,
b c, d,e 3) có 8 cách chọn a ; b,c,d có thể chọn 9 cách
Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho 3
a + b + c + d 3 e = 0,6,9
Nếu a + b + c + d 3d 1
u e = 2,5,8(du2)
a +b + c + d 3du2 e =1,4,7(d 1 u )
Vậy có 3 cách chọn e. suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết 3 không chứa thừa số 3 Trang 19
Suy ra có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn bài toán.
Dạng 2: Sử dụng các công thức sau nâng cao a. n n
a − b a − b a
,b Z,a b,n N b. n n
a + b a + b a
,b Z,a b
− ,n N,(n :le) c. n n
a − b a + b a
,b Z,a b,n N,(n : chan)
Bài 1: Chứng minh rằng a. 51 70 70 2 −1 7 b. 2 +3 13 c. 19 17 n 17 +19 18 d. 4 2 −1 15 n N Lời giải: a. Ta có: 51 3 17 7 3
2 −1 = (2 ) −1 2 −1 = 7 b. 70 70 2 35 2 35 35 35 2 + 3 = (2 ) + (3 ) = 4 + 9 4 + 9 = 13 c. 19 17 19 17
17 +19 = (17 +1) + (19 −1) d. 4n 4 n n 4
2 −1 = (2 ) −1 2 −1 = 15 n N 18 18
Bài 2: Chứng minh rằng a. n+2 2n 1 11 12 + + 133 b. n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 c. 2 7.5 n 12.6n +
19 d. 20n +16n − 3n −1 323(nlasotunhienchan) Lời giải: a. n+2 2n 1 + 2 n 2 11 +12
=11 .11 +12.12 n =121.11n +12.144n = (133−12).11n +12.144n = 133.11n +12(144n −11n) 133 133 b. n+2 n 2n 1 + n n 2 5 + 26.5 + 8
= 25.5 + 26.5 + 8.8 n = 51.5n + 8.64n = (59 −8).5n +8.64n = 59.5n + 8(64n − 5n) 59 59 c. 2n n 2 7.5 12.6
7.5 n (19 7).6n 19.6n 7(25n 6n + = + − = + − ) 19 19
d. 20n +16n −3n −1 = (20n −3n) + (16n −1) = (20n −1) + (16n −3n) 20−3 16 1 + 20 1 − 16+3 Bài 3: Cho 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 B = 1+ 2 + ...+100 Lời giải:
Ta có: B =1+ 2 +...+100 = (1+100).100 : 2 =101.50
Ta đi chứng minh A chia hết cho 101 và 50. +) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 = (1 +100 ) + (2 + 99 ) +... + (50 + 51 ) A 101 101 101 101 +) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = 1 + 2 + 3 + ...+100 = (1 + 99 ) + (2 + 98 ) + ...+ (50 +100 ) A 50 A 101.50 50 50 50 Trang 20