Chuyên đề cơ bản ứng dụng tích phân trong hình học ôn thi TN THPT môn Toán

Chuyên đề cơ bản ứng dụng tích phân trong hình học ôn thi TN THPT môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

44 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dành cho học sinh mất gốc Toán
Tác giả: LÊ BÁ BẢO
Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
Admin CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chủ đề:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
fx
liên tục trên đoạn
;ab


, trục
hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
d
b
a
S f x x
(1)
Minh họa các dạng thường gặp:
0, ; .f x x a b


0, ; .f x x a b


fx
không mang 1 dấu trên
;.ab


(H)
O
f(x)
y
x
b
a
d
b
a
S f x x
a
b
x
y
f(x)
O
(H)
d
b
a
S f x x



(H)
c
f(x)
a
b
y
x
O
dd
cb
ac
S f x x f x x



Bài toán 2: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số
fx
,
gx
liên tục trên
;ab


và
hai đường thẳng
được tính theo công thức:
d
b
a
S f x g x x
(2)
Minh họa các dạng thường gặp:
, ; .f x g x x a b


, ; .f x g x x a b


, ; ;f x g x x a c


, ; ; .f x g x x c b a c b


(H)
g(x)
O
a
b
f(x)
x
y
d
b
a
S f x g x x



(H)
g(x)
O
a
b
f(x)
x
y
d
b
a
S g x f x x



(H)
c
a
b
g(x)
f(x)
y
O
x
dd
cb
ac
S f x g x x g x f x x

Lưu ý:
Phương pháp tự luận tính:
d ( ) ( )
b
H
a
S f x g x x
Bước 1: Giải phương trình
.Giả sử có hai nghiệm
1 2 1 2
,x x a x x b
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bước 2: Như vậy trên các đoạn
1 1 2 2
; , ; , ;a x x x x b
thì
( ) ( )f x g x
không đổi dấu:
Tức là:
d d d d
12
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xx
bb
H
a a x x
S f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x
ddd
12
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xx
b
a x x
f x g x x f x g x x f x g x x
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab


. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x
, trục hoành, các đường thẳng
xa
,
xb
là
A.
d
b
a
f x x
. B.
d
a
b
f x x
. C.
d
b
a
f x x
. D.
d
b
a
f x x
.
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1;2
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
1x
,
2x
có diện tích là
A.
1
2
dS f x x
. B.
1
2
dS f x x
. C.
2
1
dS f x x
. D.
2
1
dS f x x
.
Câu 3: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
và
0, ;f x x a b
. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b
được tính
bằng công thức nào sau đây?
A.
d
b
a
S f x x
. B.
d
b
a
S f x x
. C.
d
b
a
S f x x
. D.
2
d
b
a
S f x x


Câu 4: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, 2 , 0, 1y x y x x x
được tính theo
công thức nào dưới đây?
A.
1
2
0
2dS x x x
. B.
1
2
0
2dS x x x
. C.
1
2
0
2dS x x x
. D.
1
2
0
2dS x x x
.
Câu 5: Gọi
S
là diện tích hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
y f x
, trục hoành và hai
đường thẳng
1, 2xx
trong hình vẽ bên.
Đặt
02
10
d , da f x x b f x x


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
S a b
. B.
S a b
. C.
S a b
. D.
S b a
.
Câu 6: Cho hàm số
y f x
có đồ thị là hình bên dưới. Gọi
12
;AA
là các số dương biểu diễn cho
diện tích của các phần tô đậm phía trên và phía dưới
Ox
(tham khảo hình vẽ)
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Khi đó
4
3
df x x
bằng
A.
12
2AA
. B.
12
AA
. C.
12
AA
. D.
21
AA
.
Câu 7: Công thức tính diện tích
S
của hình phẳng
H
giới hạn bởi các đồ thị hàm số
,y f x
y g x
và hai đường thẳng
,xa
xb
như hình vẽ bên dưới:
A.
dd.
cb
ac
S f x g x x g x f x x

B.
d .
b
a
S g x f x x



C.
dd.
cb
ac
S g x f x x f x g x x

D.
d .
b
a
S f x g x x



Câu 8: Cho hai đồ thị hàm số
2
3f x x
và
2
x
gx
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
đây ?
A.
1
2
2
0
3 4 d
x
xx




. B.
1
2
0
3 2 d
x
xx
.
C.
3
2
2
1
3 2 d
x
xx
. D.
3
2
1
3 2 d
x
xx
.
Câu 9: Cho hàm số
y f x
và
y g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Diện tích
S
của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức là
A.
d
c
a
S g x f x x


. B.
d
c
a
S f x g x x
.
C.
d
c
a
S f x g x x


. D.
d
c
a
S f x g x x


.
Câu 10: Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới
đây?
A.
3
2
df x g x x
. B.
3
2
dg x f x x
.
C.
03
20
d g df x g x x x f x x

. D.
03
20
ddg x f x x f x g x x

.
Câu 11: Cho hàm số
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 0, 1, 2y f x y x x
(như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
12
11
d dS f x x f x x


B.
12
11
d dS f x x f x x


.
C.
12
11
d dS f x x f x x

. D.
12
11
d dS f x x f x x

.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích
S
của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
A.
3
0
dS f x x
. B.
4
0
dS f x x
. C.
3
0
dS f x x
. D.
4
0
dS f x x
.
Câu 13: Diện tích hình phẳng
H
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục hoành và hai
đường thẳng
,x a x b
ab
(phần tô đậm như hình vẽ) được tính theo công thức.
A.


dd
cb
ac
S f x x f x x
. B.
d
b
a
f x x
.
C.
d
b
a
f x x
. D.

dd
cb
ac
S f x x f x x
.
Câu 14: Hình vẽ bên dưới biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số
y f x
tại ba điểm có hoành độ
2;0;2
. (tham khảo hình vẽ)
Gọi
S
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
y f x
và trục hoành, khẳng định nào sau đây
sai?
A.
02
20
ddS f x x f x x


. B.
02
20
ddS f x x f x x

.
C.
2
2
dS f x x
. D.
02
20
ddS f x x f x x


.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào
dưới đây?
A.
d
2
2
1
2 2 4x x x

. B.
d
2
1
22xx

. C.
d
2
1
22xx
. D.
d
2
2
1
2 2 4x x x
.
Câu 16: Cho hình phẳng
H
như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng
H
.
A.
9
ln3 2
2
. B.
1
. C.
93
ln3
22
. D.
9
ln3 2
2
.
Câu 17: Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục hoành, đường thẳng
như hình dưới đây:
Biết
d 3
c
a
f x x 
và
d 5
b
c
f x x
. Hỏi
S
bằng bao nhiêu?
A.
3
. B.
5
. C.
8
. D.
2
.
Câu 18: Cho hàm số
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x
,
0y
,
1x 
và
5,x
như hình vẽ bên dưới đây:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
dd
15
11
S f x x f x x


. B.
dd
15
11
S f x x f x x


.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
C.
dd
15
11
S f x x f x x

. D.
dd
15
11
S f x x f x x

.
Câu 19: Cho đồ thị hàm số
y f x
trên đoạn
2;2
như hình vẽ dưới đây:
Biết
12
21
22
dd
15


f x x f x x
và
1
1
76
d
15
f x x
. Diện tích hình phẳng gạch chéo bằng
A.
98
15
B.
32
15
. C.
18
5
. D.
8
.
Câu 20: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Biết các diện tích
1
7
12
S
và
2
45
4
S
. Tính tích phân
3
1
dI f x x
.
A.
32
3
I
. B.
71
6
I
. C.
71
6
I 
. D.
32
3
I 
.
Câu 21: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần
,AB
lần lượt bằng
11
và
2.
Giá trị của
0
1
3 1 dI f x x

bằng
A.
13
.
3
B.
3.
C.
9.
D.
13.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 22: Tính diện tích
S
hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2xy
,
1y
,
0x
và
1x
.
A.
1
3
S
. B.
47
15
S
. C.
5
3
S
. D.
5
3
S
.
Câu 23: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
2
yx
,
1y 
,
0x
,
1x
được
tính bởi công thức nào sau đây?
A.
1
2
0
1dS x x
. B.
1
2
0
1dS x x

. C.
1
2
2
0
1dS x x
. D.
1
2
0
1dS x x

.
Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2yx
, trục
Ox
và các đường thẳng
1x
,
2x
được tính bằng công thức nào sau đây?
A.
2
2
2
1
2dxx
. B.
2
2
1
2dxx
. C.
2
2
1
2dxx
. D.
2
2
1
2dxx
.
Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x
, trục hoành, các đường thẳng
1, 2xx
.
A.
1
6
. B.
4
. C.
9
2
. D.
29
6
.
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
31y x x
và đường thẳng
1yx
được tính
theo công thức nào dưới đây?
A.
4
2
0
4dx x x
. B.
4
2
0
4dx x x
. C.
4
2
0
4dx x x
. D.
4
2
0
2dx x x
.
Câu 27: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
31yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0, 2xx
là
A.
10S
. B.
12S
. C.
8S
. D.
9S
.
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x
và trục hoành là
A.
1
6
. B.
1
6
. C.
1
36
. D.
1
6
.
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
yx
và
yx
bằng
A.
1
6
. B.
125
6
. C.
6
. D.
125
6
.
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồi thị hàm số
2
41y x x
và đường thẳng
21yx
bằng
A.
4
3
. B.
16
3
. C.
4
. D.
20
3
.
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
3
33f x x x
;
3g x x
là
A.
8S
. B.
4S
. C.
12S
. D.
16S
.
Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
32
21y x x
và
2
1yx
là
A.
27
4
. B.
189
4
. C.
6
. D.
3
4
.
Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
C
:
32
25y x x x
và đồ thị
'C
của hàm số
2
5y x x
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 34: Diện tích của hình phẳng
()H
giới hạn bởi các đường cong
3
12y x x
và
2
yx
là
A.
937
.
12
S
B.
343
.
12
S
C.
793
.
4
S
D.
397
.
4
S
Câu 35: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x x
và đồ thị hàm số
2
y x x
bằng
A.
37
12
. B.
9
4
I
. C.
81
12
. D.
13
.
Câu 36: Gọi
S
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
:
1
x
Hy
x
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị
của
S
bằng
A.
ln2 1.S 
B.
ln4 1.S 
C.
D.
Câu 37: Công thức tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
2
1yx
, trục
hoành và đường thẳng
2x
là
A.
d
2
2
1
1S x x

. B.
d
1
2
1
1S x x

. C.
d
2
2
1
1S x x

. D.
d
2
2
1
1S x x
.
Câu 38: Cho hình thang cong
H
giới hạn bởi các đường
x
ye
,
0y
,
0x
,
ln 4x
. Đường
thẳng
(0 ln4)x k k
chia
H
thành hai phần có diện tích là
1
S
và
2
S
như hình vẽ dưới
đây:
Giá trị
k
để
12
2SS
là
A.
2
ln4
3
k
. B.
ln 2k
. C.
8
ln
3
k
. D.
ln 3k
.
Câu 39: Tính diện tích
S
của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
f x x
và
2g x x
như trong hình sau:
A.
7
3
S
. B.
10
3
S
. C.
11
3
S
. D.
7
3
S
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 40: Cho hàm số
()y f x
liên tục trên và hàm số
2
( ) ( )y g x xf x
có đồ thị trên đoạn
0;2


(như hình vẽ).
x
y
y = g(x)
2
1
Biết diện tích miền tô màu là
5
2
S
, tích phân
d
4
1
()f x x
bằng
A.
5.
B.
5
.
2
C.
5
.
4
D.
10.
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab


. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x
, trục hoành, các đường thẳng
xa
,
xb
là
A.
d
b
a
f x x
. B.
d
a
b
f x x
. C.
d
b
a
f x x
. D.
d
b
a
f x x
.
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1;2
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
1x
,
2x
có diện tích là
A.
1
2
dS f x x
. B.
1
2
dS f x x
. C.
2
1
dS f x x
. D.
2
1
dS f x x
.
Lời giải:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1;2
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
1x
,
2x
có diện tích là
2
1
dS f x x
.
Câu 3: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
và
0, ;f x x a b
. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b
được tính
bằng công thức nào sau đây?
A.
d
b
a
S f x x
. B.
d
b
a
S f x x
. C.
d
b
a
S f x x
. D.
2
d
b
a
S f x x


Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b
được tính bằng công thức
dd
bb
aa
S f x x f x x

(Vì
0, ;f x x a b
).
Câu 4: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, 2 , 0, 1y x y x x x
được tính theo
công thức nào dưới đây?
A.
1
2
0
2dS x x x
. B.
1
2
0
2dS x x x
. C.
1
2
0
2dS x x x
. D.
1
2
0
2dS x x x
.
Lời giải:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, 2 , 0, 1y x y x x x
được tính theo
công thức
1 1 1
2 2 2
0 0 0
2 d 2 d 2 dS x x x x x x x x x
.
Câu 5: Gọi
S
là diện tích hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
y f x
, trục hoành và hai
đường thẳng
1, 2xx
trong hình vẽ bên.
Đặt
02
10
d , da f x x b f x x


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
S a b
. B.
S a b
. C.
S a b
. D.
S b a
.
Lời giải:
Ta có:
2 0 2
1 1 0
d d dS f x x f x x f x x

02
10
ddf x x f x x

ab
.
Câu 6: Cho hàm số
y f x
có đồ thị là hình bên dưới. Gọi
12
;AA
là các số dương biểu diễn cho
diện tích của các phần tô đậm phía trên và phía dưới
Ox
(tham khảo hình vẽ)
Khi đó
4
3
df x x
bằng
A.
12
2AA
. B.
12
AA
. C.
12
AA
. D.
21
AA
.
Lời giải:
Ta có
04
12
30
d ; dA f x x A f x x

.
Khi đó
4 0 4
12
3 3 0
d d df x x f x x f x x A A

.
Câu 7: Công thức tính diện tích
S
của hình phẳng
H
giới hạn bởi các đồ thị hàm số
,y f x
y g x
và hai đường thẳng
,xa
xb
như hình vẽ bên dưới:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
dd.
cb
ac
S f x g x x g x f x x

B.
d .
b
a
S g x f x x



C.
dd.
cb
ac
S g x f x x f x g x x

D.
d .
b
a
S f x g x x



Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số
( ), ( )y f x y g x
liên
tục trên
;ab
, hai đường thẳng
,x a x b a b
là:
d
b
a
S f x g x x
Do đó: công thức tính diện tích
S
của hình phẳng
H
giới hạn bởi các đồ thị hàm
số
,y f x
y g x
và hai đường thẳng
,xa
xb
như hình vẽ là
d d .
cb
ac
S f x g x x g x f x x

Câu 8: Cho hai đồ thị hàm số
2
3f x x
và
2
x
gx
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
đây ?
A.
1
2
2
0
3 4 d
x
xx




. B.
1
2
0
3 2 d
x
xx
.
C.
3
2
2
1
3 2 d
x
xx
. D.
3
2
1
3 2 d
x
xx
.
Lời giải:
Dựa theo hình vẽ trên, diện tích phần gạch chéo tính theo công thức
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
11
22
00
3 2 d 3 2 d
xx
x x x x

.
Câu 9: Cho hàm số
y f x
và
y g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích
S
của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức là
A.
d
c
a
S g x f x x


. B.
d
c
a
S f x g x x
.
C.
d
c
a
S f x g x x


. D.
d
c
a
S f x g x x


.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y f x
,
y g x
và hai dường thẳng
xa
,
xc
ta có
d
c
a
S f x g x x
.
Câu 10: Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới
đây?
A.
3
2
df x g x x
. B.
3
2
dg x f x x
.
C.
03
20
d g df x g x x x f x x

. D.
03
20
ddg x f x x f x g x x

.
Lời giải:
Từ đồ thị hai hàm số
y f x
và
y g x
ta có diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình
vẽ bên dưới được tính là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
3
2
dS f x g x x

03
20
ddf x g x x f x g x x

03
20
ddf x g x x g x f x x

.
Câu 11: Cho hàm số
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 0, 1, 2y f x y x x
(như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
12
11
d dS f x x f x x


B.
12
11
d dS f x x f x x


.
C.
12
11
d dS f x x f x x

. D.
12
11
d dS f x x f x x

.
Lời giải:
Ta có
2 1 2
1 1 1
d d dS f x x f x x f x x

Nhìn hình ta thấy hàm số
fx
liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn
1;1
nên
11
11
ddf x x f x x


; hàm số
fx
liên tục và nhận giá trị không dương trên đoạn
1;2
nên
22
11
ddf x x f x x

Vậy
12
11
d dS f x x f x x


.
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Diện tích
S
của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
A.
3
0
dS f x x
. B.
4
0
dS f x x
. C.
3
0
dS f x x
. D.
4
0
dS f x x
.
Lời giải:
Ta có
33
00
ddS f x x f x x

.
Câu 13: Diện tích hình phẳng
H
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục hoành và hai
đường thẳng
,x a x b
ab
(phần tô đậm như hình vẽ) được tính theo công thức.
A.


dd
cb
ac
S f x x f x x
. B.
d
b
a
f x x
.
C.
d
b
a
f x x
. D.

dd
cb
ac
S f x x f x x
.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
d d d d d
b c b c b
a a c a c
S f x x f x x f x x f x x f x x
Câu 14: Hình vẽ bên dưới biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số
y f x
tại ba điểm có hoành độ
2;0;2
. (tham khảo hình vẽ)
Gọi
S
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
y f x
và trục hoành, khẳng định nào sau đây
sai?
A.
02
20
ddS f x x f x x


. B.
02
20
ddS f x x f x x

.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
C.
2
2
dS f x x
. D.
02
20
ddS f x x f x x


.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
và trục hoành là
2
2
dS f x x
đúng.
Trục hoành cắt đồ thị hàm số
y f x
tại ba điểm có hoành độ
2;0;2
nên
02
20
ddS f x x f x x


đúng.
Theo hình vẽ, đồ thị hàm số
y f x
nằm bên dưới trục hoành nên
02
20
ddS f x x f x x

đúng.
Vậy đáp án sai là
02
20
ddS f x x f x x


.
Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào
dưới đây?
A.
d
2
2
1
2 2 4x x x

. B.
d
2
1
22xx

. C.
d
2
1
22xx
. D.
d
2
2
1
2 2 4x x x
.
Lời giải:
Ta thấy:
1;2x


:
22
3 2 1x x x
nên
dd
22
2 2 2
11
3 2 1 2 2 4S x x x x x x x




.
Câu 16: Cho hình phẳng
H
như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng
H
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
9
ln3 2
2
. B.
1
. C.
93
ln3
22
. D.
9
ln3 2
2
.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng
H
là:
3
1
lnS x x
.
Đặt
2
1
ln
1
2
du dx
ux
x
dv xdx
vx

, nên:
3 3 3
33
2 2 2
1 1 1
11
1 1 1 1 9
ln d ln d ln ln3 2
2 2 2 4 2
S x x x x x x x x x x

.
Câu 17: Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục hoành, đường thẳng
như hình dưới đây:
Biết
d 3
c
a
f x x 
và
d 5
b
c
f x x
. Hỏi
S
bằng bao nhiêu?
A.
3
. B.
5
. C.
8
. D.
2
.
Lời giải:
Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có:
d d d 3 5 8
b c b
a a c
S f x x f x x f x x
.
Câu 18: Cho hàm số
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x
,
0y
,
1x 
và
5,x
như hình vẽ bên dưới đây:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
dd
15
11
S f x x f x x


. B.
dd
15
11
S f x x f x x


.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
C.
dd
15
11
S f x x f x x

. D.
dd
15
11
S f x x f x x

.
Lời giải:
Ta có diện tích hình phẳng cần tìm
d
5
1
S f x x
dd
15
11
f x x f x x


dd
15
11
f x x f x x


.
Câu 19: Cho đồ thị hàm số
y f x
trên đoạn
2;2
như hình vẽ dưới đây:
Biết
12
21
22
dd
15


f x x f x x
và
1
1
76
d
15
f x x
. Diện tích hình phẳng gạch chéo bằng
A.
98
15
B.
32
15
. C.
18
5
. D.
8
.
Lời giải:
Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng bằng
2 1 1 2
2 2 1 1
22 76 22
8
15 15 15
f x dx f x dx f x dx f x dx
.
Câu 20: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Biết các diện tích
1
7
12
S
và
2
45
4
S
. Tính tích phân
3
1
dI f x x
.
A.
32
3
I
. B.
71
6
I
. C.
71
6
I 
. D.
32
3
I 
.
Lời giải:
Dựa trên đồ thị hàm số ta có
0
1
1
7
d
12
S f x x

.
3
2
0
45
d
4
S f x x
3
0
45
d
4
f x x
.
Do đó
1
03
01
3
7 45 32
d d d
12 4 3
f x x f x x fI xx


.
Câu 21: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần
,AB
lần lượt bằng
11
và
2.
Giá trị của
0
1
3 1 dI f x x

bằng
A.
13
.
3
B.
3.
C.
9.
D.
13.
Lời giải:
+) Xét
0
1
3 1 dI f x x

, đặt
3 1 3
3
dt
x t dt dx dx
+) Đi cận
12
01
xt
xt
1 0 1
2 2 0
1 1 1 1
dt= dt + dt 11 2 3.
3 3 3 3
AB
I f t f t f t S S




Câu 22: Tính diện tích
S
hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2xy
,
1y
,
0x
và
1x
.
A.
1
3
S
. B.
47
15
S
. C.
5
3
S
. D.
5
3
S
.
Lời giải:
Ta có
x d x d
11
22
00
5
2 1 2 1
3
S x x

.
Câu 23: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
2
yx
,
1y 
,
0x
,
1x
được
tính bởi công thức nào sau đây?
A.
1
2
0
1dS x x
. B.
1
2
0
1dS x x

. C.
1
2
2
0
1dS x x
. D.
1
2
0
1dS x x

.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Lời giải:
Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
2
yx
,
1y 
,
0x
,
1x
được
tính bởi công thức
11
22
00
1 d 1 dS x x x x

.
Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2yx
, trục
Ox
và các đường thẳng
1x
,
2x
được tính bằng công thức nào sau đây?
A.
2
2
2
1
2dxx
. B.
2
2
1
2dxx
. C.
2
2
1
2dxx
. D.
2
2
1
2dxx
.
Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2yx
, trục
Ox
và các đường thẳng
1x
,
2x
là:
2
2
1
2dxx
Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x
, trục hoành, các đường thẳng
1, 2xx
.
A.
1
6
. B.
4
. C.
9
2
. D.
29
6
.
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
0
0
1
x
xx
x

dd
02
22
10
29
6
S x x x x x x

.
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
31y x x
và đường thẳng
1yx
được tính
theo công thức nào dưới đây?
A.
4
2
0
4dx x x
. B.
4
2
0
4dx x x
. C.
4
2
0
4dx x x
. D.
4
2
0
2dx x x
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol
2
31y x x
và đường thẳng
1yx
là:
22
0
3 1 1 4 0
4
x
x x x x x
x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
31y x x
và đường thẳng
1yx
là:
44
22
00
4 d 4 dS x x x x x x

(do
2
40xx
với mọi
0;4x
).
Câu 27: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
31yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0, 2xx
là
A.
10S
. B.
12S
. C.
8S
. D.
9S
.
Lời giải:
Diện tích
S
của hình phẳng cần tính là
2
2
0
3 1 d 10S x x
(đvdt).
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x
và trục hoành là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
1
6
. B.
1
6
. C.
1
36
. D.
1
6
.
Lời giải:
Ta có:
2
0
0
1
x
xx
x
. Nhận thấy
2
0 0;1y x x x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x x
và trục hoành là
11
23
22
00
1
1 1 1
dd
0
2 3 2 3 6
xx
S x x x x x x




.
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
yx
và
yx
bằng
A.
1
6
. B.
125
6
. C.
6
. D.
125
6
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
yx
và
yx
là:
22
0
0
1
x
x x x x
x
Diện tích hình phẳng
1
2
0
1
.
6
S x xdx
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồi thị hàm số
2
41y x x
và đường thẳng
21yx
bằng
A.
4
3
. B.
16
3
. C.
4
. D.
20
3
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
22
0
4 1 2 1 2 0
2
x
x x x x x
x
22
22
00
4
22
3
S x x dx x x dx

.
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
3
33f x x x
;
3g x x
là
A.
8S
. B.
4S
. C.
12S
. D.
16S
.
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
3
33f x x x
và
3g x x
:
33
0
3 3 3 4 0
2
x
x x x x x
x

Diện tích cần tìm là
2 0 2
3 3 3
2 2 0
4 d 4 d 4 dS x x x x x x x x x

02
33
20
4 d 4 dx x x x x x

44
22
02
2 2 8
20
44
xx
xx
.
Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
32
21y x x
và
2
1yx
là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
27
4
. B.
189
4
. C.
6
. D.
3
4
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
3 2 2
2 1 1x x x
32
30xx
0
3
x
x
.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
3
32
0
27
3d
4
S x x x
.
Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
C
:
32
25y x x x
và đồ thị
'C
của hàm số
2
5y x x
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2 2
2 5 5x x x x x
3
0
2 2 0 1
1
x
x x x
x

.
Diện tích hình phẳng là:
d
1
3
1
22S x x x

d
0
3
1
22x x x

+
d
1
3
0
22x x x
.
dd
01
33
10
2 2 2 2x x x x x x

=
01
44
22
10
11
1
2 2 2 2
xx
xx
.
Câu 34: Diện tích của hình phẳng
()H
giới hạn bởi các đường cong
3
12y x x
và
2
yx
là
A.
937
.
12
S
B.
343
.
12
S
C.
793
.
4
S
D.
397
.
4
S
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:
3 2 2
0
12 ( 12) 0 3
4
x
x x x x x x x
x
.
Diện tích cần tìm là:
d d d
4 0 4
3 2 3 2 3 2
3 3 0
12 12 12S x x x x x x x x x x x x

dd
04
04
4 3 4 3
3 2 3 2 2 2
30
30
12 12 6 6
4 3 4 3
x x x x
x x x x x x x x x x

99 160 937
4 3 12

.
Câu 35: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x x
và đồ thị hàm số
2
y x x
bằng
A.
37
12
. B.
9
4
I
. C.
81
12
. D.
13
.
Lời giải:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2 3 2
0
2 0 1
2
x
x x x x x x x x
x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x x
và đồ thị hàm số
2
y x x
là:
d d d
1 0 1
3 2 3 2 3 2
2 2 0
22S x x x x x x x x x x x x x

01
4 3 4 3
22
20
16 8 1 1 37
41
4 3 4 3 4 3 4 3 12
x x x x
xx
.
Câu 36: Gọi
S
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
:
1
x
Hy
x
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị
của
S
bằng
A.
ln2 1.S 
B.
ln4 1.S 
C.
D.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
H
và trục
Ox
là:
1
01
1
x
x
x
.
Giao điểm
H
và trục
Oy
là:
0; 1
.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
:
1
x
Hy
x
và các trục tọa độ là:
dd
11
1
0
00
12
1 2ln 1 2ln2 1 ln4 1
11
x
S x x x x
xx





.
Câu 37: Công thức tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
2
1yx
, trục
hoành và đường thẳng
2x
là
A.
d
2
2
1
1S x x

. B.
d
1
2
1
1S x x

. C.
d
2
2
1
1S x x

. D.
d
2
2
1
1S x x
.
Lời giải:
Xét phương trình:
d
2
22
1
1 0 1 1x x S x x
.
Câu 38: Cho hình thang cong
H
giới hạn bởi các đường
x
ye
,
0y
,
0x
,
ln 4x
. Đường
thẳng
(0 ln 4)x k k
chia
H
thành hai phần có diện tích là
1
S
và
2
S
như hình vẽ dưới
đây:
Giá trị
k
để
12
2SS
là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
2
ln4
3
k
. B.
ln 2k
. C.
8
ln
3
k
. D.
ln 3k
.
Lời giải:
Ta có
d
0
1
0
1
k
k
x x k
S e x e e
và
d
ln4
ln4
2
4
x x k
k
k
S e x e e
.
Ta có
12
2 1 2 4 ln3
kk
S S e e k
.
Câu 39: Tính diện tích
S
của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
f x x
và
2g x x
như trong hình sau:
A.
7
3
S
. B.
10
3
S
. C.
11
3
S
. D.
7
3
S
.
Lời giải:
4
44
3
2
2
00
2
2 10
2 d 2 d 2
3 2 3
x
S x x x x x x x x




.
Câu 40: Cho hàm số
()y f x
liên tục trên và hàm số
2
( ) ( )y g x xf x
có đồ thị trên đoạn
0;2


(như hình vẽ).
x
y
y = g(x)
2
1
Biết diện tích miền tô màu là
5
2
S
, tích phân
d
4
1
()f x x
bằng
A.
5.
B.
5
.
2
C.
5
.
4
D.
10.
Lời giải:
Ta có diện tích miền tô màu là
5
2
S
, nên
dd
22
22
11
5
2
S xf x x xf x x

.
Đặt
dd
2
2t x t x x
, khi
11xt
, khi
2 4.xt
Vì thế
d d d
2 4 4
2
1 1 1
51
( ) ( ) 5.
22
xf x x f t t f t t
Vậy
d
4
1
( ) 5.f x x
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chủ đề:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC:
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay.
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới
hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
liên tục trên
;,ab


trục
Ox
và hai
đường thẳng
quanh trục
Ox
ta được khối tròn xoay có
thể tích là:
d
2
b
x
a
V f x x
(6)
O
y
x
f(x)
b
a
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục.
Ta tiến hành chia phần thể tích
V
thành các phần thể tích thành phần
12
, ,...VV
mà mỗi phần được
tính bằng các công thức (6), (7).
Minh họa các dạng thường gặp:
, ; .f x g x x a b


, ; .g x f x x a b


g(x)
f(x)
b
a
O
y
x
d
22
b
a
V f x g x x



x
y
O
a
b
f(x)
g(x)
d
22
b
a
V g x f x x



, ; ;f x g x x a c


,;g x f x x c b


.
, ; ;f x h x x a c


,;g x h x x c b


.
g(x)
f(x)
b
c
a
x
y
O
dd
2 2 2 2
cb
ac
V f x g x x g x f x x


O
y
x
h(x)
g(x)
f(x)
c
b
a
dd
2 2 2 2
cb
ac
V f x h x x g x h x x


Dạng 3:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vật thể
H
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình
xa
và
xb
ab
. Gọi
Sx
là diện tích thiết diện của
H
bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ là
x
, với
a x b
. Giả sử hàm số
y S x
liên
tục trên đoạn
;ab


.
Khi đó, thể tích
V
của vật thể
H
được cho bởi công thức:
d
b
a
V S x x
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Viết công thức tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b a b
, xung quanh
trục
Ox
.
A.
d
2
.
b
a
V f x x
B.
d
2
.
b
a
V f x x
C.
d .
b
a
V f x x
D.
d .
b
a
V f x x
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay do hình
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
0, 4xx
quay quanh trục
Ox
là:
A.
0
2
4
dV f x x
. B.
4
0
dV f x x
. C.
4
0
dV f x x
. D.
4
2
0
dV f x x
.
Câu 3: Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,y f x
trục hoành và đường thẳng
xb
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
2
d
c
b
V f x x


. B.
d
b
c
V f x x
. C.
2
d
b
c
V f x x


. D.
d
c
b
V f x x


.
Câu 4: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y f x
, đường thẳng
xa
,
xb
và trục hoành quanh
Ox
ta được khối tròn xoay có
thể tích là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
2
d
b
a
f x x


. B.
2
d
b
a
f x x


. C.
2
d
b
a
f x x


. D.
d
b
a
f x x
.
Câu 5: Cho hình phẳng
H
giới hạn với đường cong
y f x
, đường thẳng
, , 1y g x Oy x
(tham
khảo hình vẽ).
x
y
g(x)
f(x)
1
O
Khối tròn xoay tạo thành khi quay
H
quanh trục hoành có thể tích
V
được tính bởi công
thức nào dưới đây?
A.
dd



22
.
bb
aa
xxgV f x x
B.
dd

22
.
bb
aa
xxgV f x x
C.
dd



22
.
bb
aa
xxgV f x x
D.
d



2
.
b
a
V f x g x x
Câu 6: Cho hàm số
,y f x y g x
xác định và liên tục trên đoạn
;ab
(có đồ thị như hình vẽ).
Gọi
H
là hình phẳng được tô đậm trong hình, khi quay
H
quanh trục
Ox
ta thu được khối
tròn xoay có thể tích
V
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A.
d
b
a
V f x g x x


. B.
πd
b
a
V f x g x x


.
C.
2
πd
b
a
V f x g x x


. D.
22
πd
b
a
V f x g x x



.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 7: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
3;4


. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
3x
,
4x
. Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo
thành khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức:
A.
d
4
2
3
V f x x
. B.
d
4
22
3
V f x x
. C.
d
4
3
V f x x
. D.
d
4
2
3
V f x x
.
Câu 8: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi
cosyx
,
0y
,
0x
,
4
x
. Thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay
H
quanh trục
Ox
bằng
A.
( 2)
4

. B.
2
8
. C.
( 2)
8

. D.
2
1
4
.
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vật thể
H
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình
xa
và
xb
ab
. Gọi
Sx
là diện tích thiết diện của
H
bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ là
x
, với
a x b
. Giả sử hàm số
y S x
liên
tục trên đoạn
;ab


. Khi đó, thể tích
V
của vật thể
H
được cho bởi công thức nào sau đây?
A.
d
2
b
a
V S x x


. B.
d
b
a
V S x x
. C.
d
2
b
a
V S x x


. D.
d
b
a
V S x x
.
Câu 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
1x 
và
1x
, biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
11xx
là một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng
4
1 x
.
A.
3
4
. B.
2
5
. C.
4
. D.
1
4
.
Câu 11: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
(0 )xx

là một tam giác đều cạnh
2 sinx
.
A.
2 3.
B.
3.
C.
2 3.
D.
3.
Câu 12: Cho vật thể
T
giới hạn bởi hai mặt phẳng
0; 2xx
. Cắt vật thể
T
bởi mặt phẳng vuông
góc với trục
Ox
tại
02xx
ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
1
x
xe
. Thể tích vật thể
T
bằng
A.
4
13 1
4
e
. B.
4
13 1
4
e
. C.
2
2e
. D.
2
2 e
.
Câu 13: Cho vật thể
T
được giới hạn bởi hai mặt phẳng
2x 
và
2x
. Biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
x
,
2;2x
là
một hình vuông có cạnh bằng
2
4 x
. Thể tích của vật thể
T
bằng
A.
. B.
32
3
. C.
32
3
. D.
8
3
.
Câu 14: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0x
,
x
. Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
0 x

là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng
ins2x
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
7
1
6
. B.
9
1
8
. C.
7
2
6
. D.
9
2
8
.
Câu 15: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0x
và
3x
, có thiết diện bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
03xx
là một hình chữ nhật có
hai kích thước bằng
x
và
2
29 x
bằng
A.
3V
. B.
18V
. C.
22V
. D.
20V
.
Câu 16: Tính thể tích
V
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
1x
và
4x
, biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
x
bất kì (
14x
) thì
được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là
2x
.
A.
21 3
. B.
21
. C.
63 3
. D.
63
.
Câu 17: Cho
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
x
y e x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1, 2xx
;
V
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
quanh trục
hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
d
2
1
4
x
V e x x

. B.
d
2
1
4
x
V x e x

. C.
d
2
1
4
x
V e x x
. D.
d
2
1
4
x
V x e x
.
Câu 18: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 3, 0, 2
x
y e y x x
được tính bởi
công thức nào dưới đây?
A.
2
2
0
( 3)
x
S e dx

. B.
2
0
( 3)
x
S e dx
. C.
2
0
( 3)
x
S e dx
. D.
2
0
( 3)
x
S e dx

.
Câu 19: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
81
10
V
. B.
81
10
V
. C.
9
2
V
. D.
9
2
V
.
Câu 20: Giả sử
D
là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol
2
32y x x
và trục hoành. Quay
D
quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
30
V
. B.
1
6
V
. C.
6
V
. D.
1
30
V
.
Câu 21: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
23y x x
và trục Ox quanh
trục Ox là:
A.
16
15
. B.
512
15
. C.
3
16
15
. D.
16
15
.
Câu 22: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
yx
và
23yx
quanh trục Ox
là:
A.
1088
15
. B.
138
5
. C.
9
2
. D.
72
5
.
Câu 23: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đồ thị
2 1 lny x x
, trục hoành và đường thẳng
xe
.
Thể tích
V
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
D
quanh trục
Ox
được tính theo
công thức nào dưới đây?
A.
2
1
2 1 ln d
e
V x x x
. B.
2
1
2
2 1 ln d
e
V x x x
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
C.
2
1
2 1 ln d
e
V x x x

. D.
2
1
2
2 1 ln d
e
V x x x

.
Câu 24: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
31
1
x
y
x
trục hoành và đường thẳng
1x
là
A.
3 ln3
. B.
3ln3 2
. C.
3ln3 1
. D.
3ln3 1
.
Câu 25: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
2
3yx
,
0y
,
0x
,
2x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
d
2
2
2
0
3V x x

B.
d
2
2
0
3V x x

C.
d
2
2
2
0
3V x x
D.
d
2
2
0
3V x x
Câu 26: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị
2
2y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho
H
quay quanh
Ox
.
A.
4
3
V
. B.
16
15
V
. C.
16
15
V
. D.
4
3
V
.
Câu 27: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
21y x x
và trục hoành. Thể tích của vật
thể tròn xoay khi quay
H
quanh trục hoành bằng
A.
9
8
. B.
81
80
. C.
81
80
. D.
9
8
.
Câu 28: Kí hiệu
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2( 1) ,
x
y x e
trục tung và trục hoành.
Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung quanh trục
Ox
.
A.
4 2 .Ve
B.
4 2 .Ve

C.
2
5.Ve
D.
2
5.Ve

Câu 29: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P):
2
yx
và đường thẳng d:
2yx
quay xung quanh trục
Ox
bằng
A.
d
2
2
0
(2 )x x x
. B.
d
2
22
0
( 2 )x x x
. C.
dd
22
24
00
4x x x x


. D.
dd
22
24
00
4x x x x


.
Câu 30: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
e
x
yx
,
0y
,
0x
,
1x
xung quanh trục
Ox
là
A.
ed
1
0
.
x
V x x
B.
ed
1
22
0
x
V x x
. C.
ed
1
2
0
x
V x x
. D.
ed
1
22
0
x
V x x
.
Câu 31: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 , , 0, 4y x Ox x x
quay quanh trục
Ox
. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng
A.
2
68
3
. B.
28
3
. C.
68
3
. D.
2
28
3
.
Câu 32: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
1
, 0, 0, 2
1
y y x x
x
. Quay hình phẳng
H
quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
31
2
. B.
ln 3
. C.
8
9
. D.
ln3
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 33: Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
x
y e x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1, 2xx
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung
quanh trục hoành.
A.
2
6V e e
. B.
2
6V e e
. C.
2
6V e e
. D.
2
6V e e
.
Câu 34: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường thẳng
2
3 , 0, 1, 2
x
y y x x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
2
4
1
3d
x
Vx
. B.
2
4
1
3d
x
Vx
. C.
2
2
1
3d
x
Vx
. D.
2
2
1
6d
x
Vx
.
Câu 35: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi các đường
5 , 0, 2, 2
x
y y x x
. Thể tích khối tròn
xoay tạo thành do hình phẳng
D
quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới
đây?
A.
2
2
25 d .
x
Vx
B.
2
2
2
5 d .
x
Vx
C.
2
2
5 d .
x
Vx
D.
2
2
0
2 5 d .
x
Vx
Câu 36: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 1, 1y x x x
và trục hoành bằng?
A.
2
3
B.
1
3
C.
2
3
D.
3
Câu 37: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
3yx
, trục
Ox
và
hai đường thẳng
1; 4xx
quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây?
A.
4
2
1
3dV x x
. B.
4
1
3dV x x
. C.
4
1
9dV x x
. D.
4
1
3dV x x
.
Câu 38: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 sinyx
, trục hoành và các đường thẳng
0x
,
x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quay quanh trục hoành có thể tích
V
bằng
bao nhiêu?
A.
2 1 .V

B.
2 1 .V


C.
2
2.V
D.
2.V
Câu 39: Cho hình phẳng
D
giới hạn với đường cong
2
1yx
, trục hoành và các đường thẳng
0, 1xx
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng bao
nhiêu?
A.
4
3
V
. B.
2V
. C.
4
3
V
. D.
2V
.
Câu 40: Cho hàm số
y f x
liên tục và nhận giá trị dương trên . Gọi
1
D
là hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số
y f x
, các đường
0x
,
1x
và trục
Ox
. Gọi
2
D
là hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số
1
3
y f x
, các đường
0x
,
1x
và trục
Ox
. Quay các hình phẳng
1
D
,
2
D
quanh trục
Ox
ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là
1
V
,
2
V
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
12
9VV
. B.
21
9VV
. C.
12
3VV
. D.
21
3VV
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Viết công thức tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
, trục
Ox
và hai đường thẳng
,x a x b a b
, xung quanh
trục
Ox
.
A.
d
2
.
b
a
V f x x
B.
d
2
.
b
a
V f x x
C.
d .
b
a
V f x x
D.
d .
b
a
V f x x
Lời giải:
Chọn đáp án A.
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay do hình
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
0, 4xx
quay quanh trục
Ox
là:
A.
0
2
4
dV f x x
. B.
4
0
dV f x x
. C.
4
0
dV f x x
. D.
4
2
0
dV f x x
.
Câu 3: Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,y f x
trục hoành và đường thẳng
xb
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
2
d
c
b
V f x x


. B.
d
b
c
V f x x
. C.
2
d
b
c
V f x x


. D.
d
c
b
V f x x


.
Lời giải:
Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,y f x
trục hoành và đường thẳng
xb
là
2
d.
b
c
V f x x


Câu 4: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y f x
, đường thẳng
xa
,
xb
và trục hoành quanh
Ox
ta được khối tròn xoay có
thể tích là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
2
d
b
a
f x x


. B.
2
d
b
a
f x x


. C.
2
d
b
a
f x x


. D.
d
b
a
f x x
.
Lời giải:
Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x
liên tục trên
;ab
, đường thẳng
xa
,
xb
và trục hoành quanh
Ox
ta được khối tròn xoay có thể tích là
2
d
b
a
V f x x


.
Câu 5: Cho hình phẳng
H
giới hạn với đường cong
y f x
, đường thẳng
, , 1y g x Oy x
(tham
khảo hình vẽ).
x
y
g(x)
f(x)
1
O
Khối tròn xoay tạo thành khi quay
H
quanh trục hoành có thể tích
V
được tính bởi công
thức nào dưới đây?
A.
dd



22
.
bb
aa
xxgV f x x
B.
dd

22
.
bb
aa
xxgV f x x
C.
dd



22
.
bb
aa
xxgV f x x
D.
d



2
.
b
a
V f x g x x
Câu 6: Cho hàm số
,y f x y g x
xác định và liên tục trên đoạn
;ab
(có đồ thị như hình vẽ).
Gọi
H
là hình phẳng được tô đậm trong hình, khi quay
H
quanh trục
Ox
ta thu được khối
tròn xoay có thể tích
V
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
d
b
a
V f x g x x


. B.
πd
b
a
V f x g x x


.
C.
2
πd
b
a
V f x g x x


. D.
22
πd
b
a
V f x g x x



.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay hình phẳng
H
quay quanh trục
Ox
:
22
πd
b
a
V f x g x x



.
Câu 7: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
3;4


. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
3x
,
4x
. Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo
thành khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức:
A.
d
4
2
3
V f x x
. B.
d
4
22
3
V f x x
. C.
d
4
3
V f x x
. D.
d
4
2
3
V f x x
.
Lời giải:
Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab


. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
quanh trục hoành, ta được khối tròn
xoay có thể tích
V
được tính theo công thức:
d
2
b
a
V f x x
.
Câu 8: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi
cosyx
,
0y
,
0x
,
4
x
. Thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay
H
quanh trục
Ox
bằng
A.
( 2)
4

. B.
2
8
. C.
( 2)
8

. D.
2
1
4
.
Lời giải:
dd
44
4
2
00
0
sin2 1 ( 2)
cos 1 cos2 .
2 2 2 2 4 2 8
x
V x x x x x


Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vật thể
H
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình
xa
và
xb
ab
. Gọi
Sx
là diện tích thiết diện của
H
bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ là
x
, với
a x b
. Giả sử hàm số
y S x
liên
tục trên đoạn
;ab


. Khi đó, thể tích
V
của vật thể
H
được cho bởi công thức nào sau đây?
A.
d
2
b
a
V S x x


. B.
d
b
a
V S x x
. C.
d
2
b
a
V S x x


. D.
d
b
a
V S x x
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Lời giải:
Câu 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
1x 
và
1x
, biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
11xx
là một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng
4
1 x
.
A.
3
4
. B.
2
5
. C.
4
. D.
1
4
.
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
4
1 x
là
4
1
2
x
Ta có diện tích thiết diện được cho bằng:
2
4
4
1 1 1
1
24
2
x
S x x




Thể tích vật thể cần tìm là:
11
4
11
12
.1
45
V S x dx x dx


.
Câu 11: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
(0 )xx

là một tam giác đều cạnh
2 sinx
.
A.
2 3.
B.
3.
C.
2 3.
D.
3.
Lời giải:
Ta có
2
0 0 0 0
0
3
( ) ( ) .(2 sinx) 3.sinx 3cos 2 3.
4
V S x dx S x dx dx dx x
Câu 12: Cho vật thể
T
giới hạn bởi hai mặt phẳng
0; 2xx
. Cắt vật thể
T
bởi mặt phẳng vuông
góc với trục
Ox
tại
02xx
ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
1
x
xe
. Thể tích vật thể
T
bằng
A.
4
13 1
4
e
. B.
4
13 1
4
e
. C.
2
2e
. D.
2
2 e
.
Lời giải:
Diện tích thiết diện là
2
2
1
x
S x x e
.
Thể tích của vật thể
T
là
22
2
2
00
1
x
V S x dx x e dx

.
22
22
4
2
2 2 2 2
00
00
1 9 1 1 1
11
2 2 2 2
x x x x
ex
V x e x e dx e e dx






2
4 4 4
2 4 4
0
9 1 3 1 1 1 1 13 1
3
2 2 4 4 4 4
x
e e e
e e e
.
Câu 13: Cho vật thể
T
được giới hạn bởi hai mặt phẳng
2x 
và
2x
. Biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
x
,
2;2x
là
một hình vuông có cạnh bằng
2
4 x
. Thể tích của vật thể
T
bằng
A.
. B.
32
3
. C.
32
3
. D.
8
3
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Lời giải:
Thể tích của vật thể
T
là
2
22
3
2
22
22
2
32
4 d 4 d 4
33
x
V x x x x x





.
Câu 14: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0x
,
x
. Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
0 x

là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng
ins2x
.
A.
7
1
6
. B.
9
1
8
. C.
7
2
6
. D.
9
2
8
.
Lời giải:
Gọi
Sx
là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có
hoành độ
x
0 x

,
a
là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
ins2x
. Ta có:
in in
22
2 2 2
1
s 2 s 2
2
a a x a x
in
2
2
11
s2
24
S x a x
.
Vậy thể tích vật thể là
cos
d in d in in d in d
2
2
0 0 0 0
1 1 1 1 2
s 2 s 4s 4 4s 4
4 4 4 2
x
V S x x x x x x x x x



cos in d cos
0
1 1 sin2 9
2 8s 9 8 9 2
0
8 8 2 8
x
x
x x x x x
x



.
Câu 15: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0x
và
3x
, có thiết diện bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
03xx
là một hình chữ nhật có
hai kích thước bằng
x
và
2
29 x
bằng
A.
3V
. B.
18V
. C.
22V
. D.
20V
.
Lời giải:
Ta có:
3
2
0
2 9 d 1V x x x
Đặt
2 2 2
9 9 d dt x t x t t x x
.
Đổi cận:
x
t
0
3
3
0
Khi đó:
3
03
3
2
30
0
2 . d 2 d 2 18
3
t
V t t t t t

.
Câu 16: Tính thể tích
V
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
1x
và
4x
, biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
x
bất kì (
14x
) thì
được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là
2x
.
A.
21 3
. B.
21
. C.
63 3
. D.
63
.
Lời giải:
Diện tích thiết diện tạo ra khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có
hoành độ
x
bất kì (
14x
) là
2
2
23
3. 3 3
4
x
S x x
nên thể tích vật thể là
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
4
2
1
3 3 63 3.V x dx
Câu 17: Cho
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
x
y e x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1, 2xx
;
V
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
quanh trục
hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
d
2
1
4
x
V e x x

. B.
d
2
1
4
x
V x e x

. C.
d
2
1
4
x
V e x x
. D.
d
2
1
4
x
V x e x
.
Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
quanh trục hoành là:
dd
22
2
11
44
xx
V e x x x e x


.
Câu 18: Diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 3, 0, 2
x
y e y x x
được tính bởi
công thức nào dưới đây?
A.
2
2
0
( 3)
x
S e dx

. B.
2
0
( 3)
x
S e dx
. C.
2
0
( 3)
x
S e dx
. D.
2
0
( 3)
x
S e dx

.
Lời giải:
2 2 2
0 0 0
| ( 3)| | 3| ( 3)
x x x
S e dx e dx S e dx
.
Câu 19: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
81
10
V
. B.
81
10
V
. C.
9
2
V
. D.
9
2
V
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
0
30
3
x
xx
x
.
3
2
2
0
3V x x dx

3
2 3 4
0
96x x x dx
3
5
34
0
3
3
25
x
xx



5
34
33
3.3 .3
25



81
10
.
Câu 20: Giả sử
D
là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol
2
32y x x
và trục hoành. Quay
D
quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
30
V
. B.
1
6
V
. C.
6
V
. D.
1
30
V
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
3 2 0
2
x
xx
x
.
Thể tích của vật thể là:
2
2
2
1
32V x x dx
2
4 2 3 2
1
9 4 6 4 12x x x x x dx
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
2
5
3 4 3 2
1
34
3 4 6
5 2 3
x
x x x x x



30
.
Câu 21: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
23y x x
và trục Ox quanh
trục Ox là:
A.
16
15
. B.
512
15
. C.
3
16
15
. D.
16
15
.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường
2
23y x x
với
0y
là
1; 3xx
. Vậy thể tích của
khối tròn xoay cần tính là:
1
2
2
3
512
23
15
V x x dx
.
Câu 22: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
yx
và
23yx
quanh trục Ox
là:
A.
1088
15
. B.
138
5
. C.
9
2
. D.
72
5
.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường
2
yx
với
23yx
là
1; 3xx
. Vậy thể tích của khối
tròn xoay cần tính là:
33
2
2
2
11
1088
23
15
V x dx x dx



.
Câu 23: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đồ thị
2 1 lny x x
, trục hoành và đường thẳng
xe
.
Thể tích
V
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
D
quanh trục
Ox
được tính theo
công thức nào dưới đây?
A.
2
1
2 1 ln d
e
V x x x
. B.
2
1
2
2 1 ln d
e
V x x x
.
C.
2
1
2 1 ln d
e
V x x x

. D.
2
1
2
2 1 ln d
e
V x x x

.
Lời giải:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Xét phương trình hoành độ giao điểm
1
1
2 1 ln 0 1
2
1
x
x x x
x
x
.
Vậy nên thể tích cần tính là
2
1
2 1 ln d
e
V x x x

.
Câu 24: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
31
1
x
y
x
trục hoành và đường thẳng
1x
là
A.
3 ln3
. B.
3ln3 2
. C.
3ln3 1
. D.
3ln3 1
.
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
3 1 1
0 3 1 0
13
x
xx
x
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là
11
2
2
11
33
31
dd
1
x
V f x x x
x


Xét tích phân
1 1 1
2 2 2
1 1 1
3 3 3
3 1 2
3 1 3 2
d d d
1
1 1 1
x
x
I x x x
x
x x x





1
22
3ln 1 3ln2 1 3ln 3 3.ln3 2
1
13
3
x
x



Vậy
3ln3 2V
.
Câu 25: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
2
3yx
,
0y
,
0x
,
2x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
d
2
2
2
0
3V x x

B.
d
2
2
0
3V x x

C.
d
2
2
2
0
3V x x
D.
d
2
2
0
3V x x
Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục
Ox
là:
d
2
2
2
0
3V x x

.
Câu 26: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị
2
2y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho
H
quay quanh
Ox
.
A.
4
3
V
. B.
16
15
V
. C.
16
15
V
. D.
4
3
V
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
H
với trục hoành:
2
1
2
2
20
0
x
xx
x
.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do
H
quay quanh
Ox
là:
d
2
2
2
0
2.V x x x

d
2
2 3 4
0
4 4 .x x x x
2
5
34
0
4
.
35
x
xx




16
15
.
Câu 27: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
21y x x
và trục hoành. Thể tích của vật
thể tròn xoay khi quay
H
quanh trục hoành bằng
A.
9
8
. B.
81
80
. C.
81
80
. D.
9
8
.
Lời giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
2 1 0
1
2
x
xx
x

.
+ Thể tích cần tìm là
d
1
2
2
1
2
81
21
80
V x x x
.
Câu 28: Kí hiệu
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2( 1) ,
x
y x e
trục tung và trục hoành.
Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung quanh trục
Ox
.
A.
4 2 .Ve
B.
4 2 .Ve

C.
2
5.Ve
D.
2
5.Ve

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
2 1 0 1
x
x e x
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung quanh trục
Ox
là:
11
2
2
2
00
2 1 4 1
xx
V x e dx x e dx




. Đặt
2
2
2
21
1
2
x
x
du x dx
ux
e
v
dv e dx





11
11
2 2 2
22
2
00
00
4 1 4 2 1 4 1 4 1
2 2 2
x x x
x
e e e
V x x dx x x e dx

Gọi
1
2
1
0
1
x
I x e dx
. Đặt
2
2
1
2
x
x
u x du dx
e
dv e dx v
1
1
22
1
2 2 2
1
0
0
0
4 1 4 2 2 3
22
xx
x
ee
I x dx e e e
Vậy
1
2
2
22
1
0
4 1 2 3 5
2
x
e
V x I e e
.
Câu 29: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P):
2
yx
và đường thẳng d:
2yx
quay xung quanh trục
Ox
bằng
A.
d
2
2
0
(2 )x x x
. B.
d
2
22
0
( 2 )x x x
. C.
dd
22
24
00
4x x x x


. D.
dd
22
24
00
4x x x x


.
Lời giải:
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
12
10
8
6
4
2
2
y
15
10
5
5
10
15
x
y
= 2x
y
=
x^2
O
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
2
0
2
2
x
xx
x

Ta có :
dx dx dx dx
2 2 2 2
2 2 2 2 4
0 0 0 0
(2 ) ( ) 4
Ox
V x x x x
Câu 30: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
e
x
yx
,
0y
,
0x
,
1x
xung quanh trục
Ox
là
A.
ed
1
0
.
x
V x x
B.
ed
1
22
0
x
V x x
. C.
ed
1
2
0
x
V x x
. D.
ed
1
22
0
x
V x x
.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng quay quanh trục
Ox
.
Ta có:
ed
1
22
0
x
V x x
.
Câu 31: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 , , 0, 4y x Ox x x
quay quanh trục
Ox
. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng
A.
2
68
3
. B.
28
3
. C.
68
3
. D.
2
28
3
.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
4
2
44
2
00
0
4 68
1 1 2
2 3 3
x
V x dx x x dx x x x




.
Câu 32: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường
1
, 0, 0, 2
1
y y x x
x
. Quay hình phẳng
H
quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
31
2
. B.
ln 3
. C.
8
9
. D.
ln3
.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay bằng
2
22
00
11
x = x
1
1
V d d
x
x





2
0
ln 1 ln3x

.
Câu 33: Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
4
x
y e x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1, 2xx
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
xung
quanh trục hoành.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
A.
2
6V e e
. B.
2
6V e e
. C.
2
6V e e
. D.
2
6V e e
.
Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H
quanh trục hoành là:
22
2
11
22
2
4 d d 642
1
x x x
eeV e x x x e x x e

.
Câu 34: Cho hình phẳng
H
giới hạn bởi các đường thẳng
2
3 , 0, 1, 2
x
y y x x
. Gọi
V
là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
2
4
1
3d
x
Vx
. B.
2
4
1
3d
x
Vx
. C.
2
2
1
3d
x
Vx
. D.
2
2
1
6d
x
Vx
.
Lời giải:
Câu 35: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi các đường
5 , 0, 2, 2
x
y y x x
. Thể tích khối tròn
xoay tạo thành do hình phẳng
D
quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới
đây?
A.
2
2
25 d .
x
Vx
B.
2
2
2
5 d .
x
Vx
C.
2
2
5 d .
x
Vx
D.
2
2
0
2 5 d .
x
Vx
Lời giải:
Ta có thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường
, y 0, , y f x x a x b a b
sinh ra khi quay quanh trục
Ox
là
2
d
b
a
V f x x
.
Áp dụng công thức ta có:
22
2
22
5 d 25 d
xx
V x x




.
Câu 36: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 1, 1y x x x
và trục hoành bằng?
A.
2
3
B.
1
3
C.
2
3
D.
3
Lời giải:
Ta có:
1
33
21
1
1
1 ( 1) 2
[ ] =
3 3 3 3
x
V x dx
.
Câu 37: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
3yx
, trục
Ox
và
hai đường thẳng
1; 4xx
quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây?
A.
4
2
1
3dV x x
. B.
4
1
3dV x x
. C.
4
1
9dV x x
. D.
4
1
3dV x x
.
Lời giải:
Áp dụng công thức ta có
44
2
11
3 d 9 dV x x x x



.
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Câu 38: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 sinyx
, trục hoành và các đường thẳng
0x
,
x
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quay quanh trục hoành có thể tích
V
bằng
bao nhiêu?
A.
2 1 .V

B.
2 1 .V


C.
2
2.V
D.
2.V
Lời giải:
Ta có:
dd
2
00
2 sin 2 sinV x x x x



0
2 cos 2 1xx
.
Câu 39: Cho hình phẳng
D
giới hạn với đường cong
2
1yx
, trục hoành và các đường thẳng
0, 1xx
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng bao
nhiêu?
A.
4
3
V
. B.
2V
. C.
4
3
V
. D.
2V
.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
1
11
3
2
22
00
0
4
11
33
x
V x dx x dx x




.
Câu 40: Cho hàm số
y f x
liên tục và nhận giá trị dương trên . Gọi
1
D
là hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số
y f x
, các đường
0x
,
1x
và trục
Ox
. Gọi
2
D
là hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số
1
3
y f x
, các đường
0x
,
1x
và trục
Ox
. Quay các hình phẳng
1
D
,
2
D
quanh trục
Ox
ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là
1
V
,
2
V
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
12
9VV
. B.
21
9VV
. C.
12
3VV
. D.
21
3VV
.
Lời giải:
Ta có
1
2
1
0
d
V f x x
và
2
11
2
2
00
11
dd
39






V f x x f x x
.
Vậy
21
1
9
VV
hay
12
9VV
.
| 1/44
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dành cho học sinh mất gốc Toán Tác giả: LÊ BÁ BẢO
Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
Admin CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Chủ đề:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x liên tục trên đoạn a;b   , trục b
hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức: S f  x dx (1) a
Minh họa các dạng thường gặp:
f x  0, x
  a;b.  
f x  0, x
  a;b.  
f x không mang 1 dấu trên a;b.   y y f(x) y x f(x) a O b (H) (H) c b x x O a (H) f(x) O a b b b S   f
 xdx c b S f  x  dx S f
 xdx   f  x a dxa a c
Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f x , gx liên tục trên a;b   và b
hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức: S f
 x gx dx (2) a
Minh họa các dạng thường gặp:
f x  gx , x
  a;b.  
f x  gx , x
  a;b.  
f x  gx , x
  a;c;  
f x  gx , x
  c;b ; 
 a c b. y y y f(x) f(x) g(x) (H) (H) f(x) (H) g(x) g(x) x x x O a b O a b O a c b b b S  g
 x f xdx c b S   f
 x gxdxS   f
 x gxdx  g
 x f x a dxa a c Lưu ý: b
Phương pháp tự luận tính: S f (x)  ( g x) dxH a
Bước 1: Giải phương trình f (x)  (
g x) .Giả sử có hai nghiệm x , x a x x b 1 2  1 2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Bước 2: Như vậy trên các đoạn a; x  , x ; x  , x ;b 
f x g x không đổi dấu: 1   1 2   2  thì ( ) ( ) b x x 1 2 b Tức là: S f (x)  ( g x) dx f (x)  ( g x) dx f (x)  ( g x) dx f (x)  ( g x) dx     H a a x x 1 2 x x 1 2 b
  f (x)  ( g x) dx   f (x)  ( g x) dx   f (x)  ( g x) dx          a x x 1 2
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b 
 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x , trục hoành, các đường thẳng x a , x b là b a b b A. f
 xdx .
B. f xdx. C.
f xdx.
D. f xdx. a b a a
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 , trục Ox và hai
đường thẳng x  1 , x  2 có diện tích là 1 1 2 2 A. S f
 xdx. B. S f
 x dx. C. S f
 xdx. D. S f  x dx. 2 2 1 1
Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và f x  0, x
 a;b. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b được tính
bằng công thức nào sau đây? b b b b A. S f
 xdx.
B. S   f
 xdx. C. S  f
 xdx. D. S   f
 x 2 dxa a a a
Câu 4: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x, y  2x , x  0, x  1 được tính theo
công thức nào dưới đây? 1 1 1 1 A. 2 S
2x x dx  .
B. S   2
2x xdx . C. S   2
x  2x dx . D. 2 S
2x x dx  . 0 0 0 0
Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai
đường thẳng x  1, x  2 trong hình vẽ bên. 0 2 Đặt a f
 xdx,b f
 xdx. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1  0
A. S a b .
B. S  a b .
C. S a b .
D. S b a .
Câu 6: Cho hàm số y f x có đồ thị là hình bên dưới. Gọi A ; A là các số dương biểu diễn cho 1 2
diện tích của các phần tô đậm phía trên và phía dưới Ox (tham khảo hình vẽ)
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 4 Khi đó f
 xdx bằng 3 
A. 2 A A .
B. A A .
C. A A .
D. A A . 1 2 1 2 1 2 2 1
Câu 7: Công thức tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x,
y g x và hai đường thẳng x a, x b như hình vẽ bên dưới: c b b
A. S   f
 x gxdx  g
 x f xd .x
B. S  g
 x f xdx .  a c a c b b
C. S  g
 x f xdx   f
 x gxd .x
D. S   f
 x gxdx .  a c a
Câu 8: Cho hai đồ thị hàm số f x 2
 3 x và   2x g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây ? 1 1 2 A.     2  3   4x x dx 2 x      .
B. 3 x 2 dx . 0 0 3 3 2 C.  2 3   2x x  dx . D.  2 3   2x x dx . 1 1
Câu 9: Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Diện tích S của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức là c c
A. S  g
 x f xdx  . B. S f
 x gx dx. a a c c C. S   f
 x gxdx  .
D. S   f
 x gxdx  . a a
Câu 10: Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3
A.   f x  g xdx .
B.  g x  f xdx . 2  2  0 3 0 3
C.   f x  g xdx  gx  f xdx .
D.  g x  f xdx   f x  g xdx . 2  0 2  0
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x, y  0, x  1
 , x  2 (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. S f
 x dxf
 x dx B. S f
 x dxf
 x dx . 1  1 1  1 1 2 1 2
C. S   f
 x dxf
 x dx .
D. S   f
 x dxf
 x dx . 1  1 1  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích S của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây? 3 4 3 4
A. S   f
 xdx.
B. S   f
 xdx. C. S f
 xdx. D. S f  xdx. 0 0 0 0
Câu 13: Diện tích hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai
đường thẳng x a, x b a b (phần tô đậm như hình vẽ) được tính theo công thức. c b b
A. S f xdx  
f xdx .
B. f xdx . a c a b c b
C. f xdx .
D. S   f xdx  
f xdx . a a c
Câu 14: Hình vẽ bên dưới biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm có hoành độ
2;0; 2 . (tham khảo hình vẽ)
Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x và trục hoành, khẳng định nào sau đây sai? 0 2 0 2 A. S f
 xdxf
 xdx.
B. S   f
 xdxf  xdx. 2  0 2  0 2 0 2 C. S f
 x dx. D. S f
 xdx f  xdx . 2  2  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A.   2
2x  2x  4dx . B.   2
x  2dx .
C.  2x  2dx . D.   2 2
x  2x  4dx . 1  1  1  1 
Câu 16: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  . 9 9 3 9 A. ln 3  2 . B. 1. C. ln 3  . D. ln 3  2 . 2 2 2 2
Câu 17: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng
x a, x b, như hình dưới đây: c b
Biết f xdx  3   và f
 xdx  5 . Hỏi Sbằng bao nhiêu? a c A. 3 . B. 5 . C. 8 . D. 2 .
Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , y  0 , x  1 và x  5, như hình vẽ bên dưới đây:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 1 5 A. S f
 xdx f
 xdx . B. S f
 xdx f
 xdx. 1  1 1  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 1 5 1 5
C. S   f
 xdx f
 xdx .
D. S   f
 xdx f
 xdx . 1  1 1  1
Câu 19: Cho đồ thị hàm số y f x trên đoạn 2; 2 như hình vẽ dưới đây: 1  2 22  1 76 Biết
f x dx f x dx    và  d   f x x
. Diện tích hình phẳng gạch chéo bằng 15 15 2  1 1  98 32 18 A. B. . C. . D. 8 . 15 15 5
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây: 7 45 3
Biết các diện tích S  và S
. Tính tích phân I f
 xdx . 1 12 2 4 1  32 71 71 32 A. I  . B. I  . C. I   . D. I   . 3 6 6 3
Câu 21: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần ,
A B lần lượt bằng 11 và 2. 0 Giá trị của I f 3x   1dx bằng 1  13 A. . B. 3. C. 9. D. 13. 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 22: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y 2x , y 1, x 0 và x 1 . 1 47 5 5 A. S  . B. S  .
C. S  . D. S  . 3 15 3 3
Câu 23: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2
y x , y  1, x  0 , x  1 được
tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 1 2 A. S   2 x  
1dx . B. S   2x  
1dx . C. S   2x  
1 dx . D. 2 S   x 1 dx  . 0 0 0 0
Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x  2 , trục Ox và các đường thẳng
x  1 , x  2 được tính bằng công thức nào sau đây? 2 2 2 2 2 A.   2 x  2 dx . B.  2 x  2dx . C.  2 x  2dx . D. 2 x  2 dx  . 1 1 1 1
Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x x , trục hoành, các đường thẳng
x  1, x  2 . 1 9 29 A. . B. 4 . C. . D. . 6 2 6
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y x  3x 1 và đường thẳng y x 1 được tính
theo công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A.  2
x  4xdx . B.  2
x  4xdx . C.  2
x  4xdx . D.  2
x  2xdx . 0 0 0 0
Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y  3x 1 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x  2 là
A. S  10 .
B. S  12 .
C. S  8 . D. S  9 .
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x x và trục hoành là 1 1 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 6 6 36 6
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y x và y x bằng 1 125  125 A. . B. . C. . D. . 6 6 6 6
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồi thị hàm số 2
y  x  4x 1 và đường thẳng y  2x 1 bằng 4 16 20 A. . B. . C. 4 . D. . 3 3 3
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f x 3
x  3x  3; g x  x  3 là
A. S  8 .
B. S  4 .
C. S  12 . D. S  16 .
Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2
y x  2x 1 và 2
y x 1 là 27 189 3 A. . B. . C. 6 . D. . 4 4 4
Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : 3 2 y  2
x x x  5 và đồ thịC' của hàm số 2
y x x  5 bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 34: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong 3
y  x  12x và 2 y  x là 937 343 793 397 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 12 12 4 4
Câu 35: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x x và đồ thị hàm số 2
y x x bằng 37 9 81 A. . B. I . C. . D. 13 . 12 4 12 x
Câu 36: Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H 1 : y
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị x  1 của S bằng
A. S  ln 2  1.
B. S  ln 4  1.
C. S  ln 4  1.
D. S  ln 2  1.
Câu 37: Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2
y x  1 , trục
hoành và đường thẳng x  2 là 2 1 2 2 A. 2 S x  1 dx. B. 2 S x  1 dx. C. S   2 x   1dx . D. 2
S x  1 dx. 1  1  1  1
Câu 38: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường x
y e , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường
thẳng x k (0  k  ln 4) chia H thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ dưới 1 2 đây:
Giá trị k để S  2S là 1 2 2 8
A. k  ln 4 .
B. k  ln 2 .
C. k  ln .
D. k  ln 3 . 3 3
Câu 39: Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f x  x
và g x  x  2 như trong hình sau: 7 10 11 7 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 3 3 3 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 40: Cho hàm số y f (x) liên tục trên và hàm số 2
y g(x)  xf (x ) có đồ thị trên đoạn 0; 2   (như hình vẽ). y y = g(x) x 1 2 5 4
Biết diện tích miền tô màu là S  , tích phân f (x d ) x  bằng 2 1 5 5 A. 5. B. . C. . D. 10. 2 4
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b 
 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x , trục hoành, các đường thẳng x a , x b là b a b b A. f
 xdx .
B. f xdx. C.
f xdx.
D. f xdx. a b a a
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 , trục Ox và hai
đường thẳng x  1 , x  2 có diện tích là 1 1 2 2 A. S f
 xdx. B. S f
 x dx. C. S f
 xdx. D. S f  x dx. 2 2 1 1 Lời giải:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 , trục Ox và hai 2
đường thẳng x  1 , x  2 có diện tích là S f  x dx. 1
Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và f x  0, x
 a;b. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b được tính
bằng công thức nào sau đây? b b b b A. S f
 xdx.
B. S   f
 xdx. C. S  f
 xdx. D. S   f
 x 2 dxa a a a Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng b b
x a, x b được tính bằng công thức S f
 x dx   f
 xdx (Vì f x  0, x
 a;b). a a
Câu 4: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x, y  2x , x  0, x  1 được tính theo
công thức nào dưới đây? 1 1 1 1 A. 2 S
2x x dx  .
B. S   2
2x xdx . C. S   2
x  2x dx . D. 2 S
2x x dx  . 0 0 0 0 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x, y  2x , x  0, x  1 được tính theo 1 1 1 công thức 2 S
2x x dx     2
2x xdx   2
x  2x  dx. 0 0 0
Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai
đường thẳng x  1, x  2 trong hình vẽ bên. 0 2 Đặt a f
 xdx,b f
 xdx. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1  0
A. S a b .
B. S  a b .
C. S a b .
D. S b a . Lời giải: 2 0 2 0 2 Ta có: S f
 x dx f
 x dxf
 x dx   f
 xdxf
 xdx  a b. 1  1  0 1  0
Câu 6: Cho hàm số y f x có đồ thị là hình bên dưới. Gọi A ; A là các số dương biểu diễn cho 1 2
diện tích của các phần tô đậm phía trên và phía dưới Ox (tham khảo hình vẽ) 4 Khi đó f
 xdx bằng 3 
A. 2 A A .
B. A A .
C. A A .
D. A A . 1 2 1 2 1 2 2 1 Lời giải: 0 4 Ta có A f x d ;
x A   f x dx   . 1   2   3  0 4 0 4 Khi đó f
 xdx f
 xdxf
 xdx A A . 1 2 3  3  0
Câu 7: Công thức tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x,
y g x và hai đường thẳng x a, x b như hình vẽ bên dưới:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia c b b
A. S   f
 x gxdx  g
 x f xd .x
B. S  g
 x f xdx .  a c a c b b
C. S  g
 x f xdx   f
 x gxd .x
D. S   f
 x gxdx .  a c a Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số y f (x), y g(x) liên
tục trên a;b , hai đường thẳng x a, x b a b là: b S f
 x gx dx a
Do đó: công thức tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y f x, y g x và hai đường thẳng x a, x b như hình vẽ là c b S   f
 x gxdx g
 x f xd .xa c
Câu 8: Cho hai đồ thị hàm số f x 2
 3 x và   2x g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây ? 1 1 2 A.     2  3   4x x dx 2 x      .
B. 3 x 2 dx . 0 0 3 3 2 C.  2 3   2x x  dx . D.  2 3   2x x dx . 1 1 Lời giải:
Dựa theo hình vẽ trên, diện tích phần gạch chéo tính theo công thức
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 1 1 2 3   2x d    2 3   2x x x x dx. 0 0
Câu 9: Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Diện tích S của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức là c c
A. S  g
 x f xdx  . B. S f
 x gx dx. a a c c C. S   f
 x gxdx  .
D. S   f
 x gxdx  . a a Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y f x , c
y g x và hai dường thẳng x a , x c ta có S f
 x gx dx. a
Câu 10: Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3
A.   f x  g xdx .
B.  g x  f xdx . 2  2  0 3 0 3
C.   f x  g xdx  gx  f xdx .
D.  g x  f xdx   f x  g xdx . 2  0 2  0 Lời giải:
Từ đồ thị hai hàm số y f x và y g x ta có diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 3 0 3 S f
 x gx dx f
 x gx dxf
 x gx dx 2  2  0 0    3
f x  g xdx  g x  f xdx . 2  0
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x, y  0, x  1
 , x  2 (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. S f
 x dxf
 x dx B. S f
 x dxf
 x dx . 1  1 1  1 1 2 1 2
C. S   f
 x dxf
 x dx .
D. S   f
 x dxf
 x dx . 1  1 1  1 Lời giải: 2 1 2 Ta có S f
 xdx f
 xdxf  xdx 1  1  1
Nhìn hình ta thấy hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn  1  ;  1 nên 1 1 f
 xdx f
 xdx ; hàm số f x liên tục và nhận giá trị không dương trên đoạn 1;2 nên 1  1  2 2 f
 xdx   f  xdx 1 1 1 2 Vậy S f
 xdxf  xdx. 1  1
Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Diện tích S của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây? 3 4 3 4
A. S   f
 xdx.
B. S   f
 xdx. C. S f
 xdx. D. S f  xdx. 0 0 0 0 Lời giải: 3 3 Ta có S f
 x dx   f  xdx. 0 0
Câu 13: Diện tích hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai
đường thẳng x a, x b a b (phần tô đậm như hình vẽ) được tính theo công thức. c b b
A. S f xdx  
f xdx .
B. f xdx . a c a b c b
C. f xdx .
D. S   f xdx  
f xdx . a a c Lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tìm là: b c b c b S f
 xdx f
 xdxf
 xdx   f
 xdxf  xdx a a c a c
Câu 14: Hình vẽ bên dưới biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm có hoành độ
2;0; 2 . (tham khảo hình vẽ)
Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x và trục hoành, khẳng định nào sau đây sai? 0 2 0 2 A. S f
 xdxf
 xdx.
B. S   f
 xdxf  xdx. 2  0 2  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 2 0 2 C. S f
 x dx. D. S f
 xdx f  xdx . 2  2  0 Lời giải: 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành là S f  x dx 2  đúng.
Trục hoành cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm có hoành độ 2;0; 2 nên 0 2 S f
 xdx f
 xdx đúng. 2  0
Theo hình vẽ, đồ thị hàm số
y f x nằm bên dưới trục hoành nên 0 2 S   f
 xdxf
 xdx đúng. 2  0 0 2
Vậy đáp án sai là S f
 xdxf  xdx. 2  0
Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A.   2
2x  2x  4dx . B.   2
x  2dx .
C.  2x  2dx . D.   2 2
x  2x  4dx . 1  1  1  1  Lời giải: Ta thấy: x    1  ;2   : 2 2
x  3  x  2x  1 nên 2 2 S     2 x  3  2 x  2x   1  dx    2 2
x  2x  4dx . 1  1 
Câu 16: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 9 9 3 9 A. ln 3  2 . B. 1. C. ln 3  . D. ln 3  2 . 2 2 2 2 Lời giải: 3
Diện tích hình phẳng  H  là: S x ln x  . 1  1 du dx u   ln x  x Đặt    , nên: dv xdx 1 2 v x  2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 9 2 2 2
S x ln x dx x ln x x dx x ln x x  ln 3 2   . 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1
Câu 17: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng
x a, x b, như hình dưới đây: c b
Biết f xdx  3   và f
 xdx  5 . Hỏi Sbằng bao nhiêu? a c A. 3 . B. 5 . C. 8 . D. 2 . Lời giải: b c b
Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có: S f
 x dx   f
 xdx f
 xdx   3    5  8 . a a c
Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , y  0 , x  1 và x  5, như hình vẽ bên dưới đây:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 5 1 5 A. S f
 xdx f
 xdx . B. S f
 xdx f
 xdx. 1  1 1  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 1 5 1 5
C. S   f
 xdx f
 xdx .
D. S   f
 xdx f
 xdx . 1  1 1  1 Lời giải: 5 1 5 1 5
Ta có diện tích hình phẳng cần tìm S f
 x dx f
 x dxf
 x dx f
 xdx f  xdx. 1  1  1 1  1
Câu 19: Cho đồ thị hàm số y f x trên đoạn 2; 2 như hình vẽ dưới đây: 1  2 22  1 76 Biết
f x dx f x dx    và  d   f x x
. Diện tích hình phẳng gạch chéo bằng 15 15 2  1 1  98 32 18 A. B. . C. . D. 8 . 15 15 5 Lời giải:
Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng bằng 2 1  1 2 f
 xdx   f
 xdxf
 xdxf  x 22 76 22 dx     8 . 15 15 15 2  2  1  1
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 7 45 3
Biết các diện tích S  và S
. Tính tích phân I f
 xdx . 1 12 2 4 1  32 71 71 32 A. I  . B. I  . C. I   . D. I   . 3 6 6 3 Lời giải: 0 7
Dựa trên đồ thị hàm số ta có S f x dx   . 1   12 1  3 45 3 45
S   f x dx  
f xdx    . 2   4 4 0 0 3 0 3 7 45 32 Do đó I
f x dx
f x dx
f xdx        . 1  1  0 12 4 3
Câu 21: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần ,
A B lần lượt bằng 11 và 2. 0 Giá trị của I f 3x   1dx bằng 1  13 A. . B. 3. C. 9. D. 13. 3 Lời giải: 0 dt +) Xét I f 3x  
1dx, đặt 3x  1  t dt  3dx dx  3 1  x  1   t  2  +) Đổi cận 
x  0  t 1 1 0 1 1    I f
 t 1  f  tf  t 1
  S S    A B  1 dt= dt + dt 11 2 3. 3 3 3 3 2   2  0 
Câu 22: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y 2x , y 1, x 0 và x 1 . 1 47 5 5 A. S  . B. S  .
C. S  . D. S  . 3 15 3 3 Lời giải: 1 1 5
Ta có S  2x2   1
 dx  2x2 1dx    . 3 0 0
Câu 23: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2
y x , y  1, x  0 , x  1 được
tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 1 2 A. S   2 x  
1dx . B. S   2x  
1dx . C. S   2x  
1 dx . D. 2 S   x 1 dx  . 0 0 0 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Lời giải:
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2
y x , y  1, x  0 , x  1 được 1 1 tính bởi công thức 2 S x    1 dx   2 x    1dx. 0 0
Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x  2 , trục Ox và các đường thẳng
x  1 , x  2 được tính bằng công thức nào sau đây? 2 2 2 2 2 A.   2 x  2 dx . B.  2 x  2dx . C.  2 x  2dx . D. 2 x  2 dx  . 1 1 1 1 Lời giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x  2 , trục Ox và các đường thẳng 2
x  1 , x  2 là: 2 x  2 dx  1
Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x x , trục hoành, các đường thẳng
x  1, x  2 . 1 9 29 A. . B. 4 . C. . D. . 6 2 6 Lời giải: x  0
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2
x x  0   x  1   0
S  x x 2 2 29 dx   2
x xdx    .  6 1 0
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y x  3x 1 và đường thẳng y x 1 được tính
theo công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A.  2
x  4xdx . B.  2
x  4xdx . C.  2
x  4xdx . D.  2
x  2xdx . 0 0 0 0 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol 2
y x  3x 1 và đường thẳng y x 1 là: x  0 2 2
x  3x 1  x 1  x  4x  0   x  4
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y x  3x 1 và đường thẳng y x 1 là: 4 4 2 S
x  4x dx    2
x  4xdx (do 2
x  4x  0 với mọi x 0; 4 ). 0 0
Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y  3x 1 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x  2 là
A. S  10 .
B. S  12 .
C. S  8 . D. S  9 . Lời giải: 2
Diện tích S của hình phẳng cần tính là 2 S
3x 1 dx  10  (đvdt). 0
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x x và trục hoành là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 1 1 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 6 6 36 6 Lời giải: x  0 Ta có: 2
x x  0   . Nhận thấy 2
y x x  0 x  0  ;1 x 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x x và trục hoành là 1 1  x x S
x x dx   xx  2 3 1 1 1 1 2 2 dx        .  2 3 0  2 3 6 0 0
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y x và y x bằng 1 125  125 A. . B. . C. . D. . 6 6 6 6 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 2
y x và y x là: x  0 2 2
x x x x  0   x 1 1 1 Diện tích hình phẳng 2 S x x dx  .  6 0
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồi thị hàm số 2
y  x  4x 1 và đường thẳng y  2x 1 bằng 4 16 20 A. . B. . C. 4 . D. . 3 3 3 Lời giải: x  0
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 2
x  4x 1  2x 1  x  2x  0   x  2 2 2 4 2 S x  2x dx
 2x 2xdx    . 3 0 0
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f x 3
x  3x  3; g x  x  3 là
A. S  8 .
B. S  4 .
C. S  12 . D. S  16 . Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f x 3
x  3x  3 và g x  x  3 : x  0 3 3
x  3x  3  x  3  x  4x  0   x  2  Diện tích cần tìm là 2 0 2 0 2 3 3 3 S
x  4x dx
x  4x dx
x  4x dx   
   3x 4xdx   3x 4xdx 2  2  0 2  0 4 4  x  0  x  2 2 2    2x
   2x   8. 4 2     4 0 
Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2
y x  2x 1 và 2
y x 1 là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 27 189 3 A. . B. . C. 6 . D. . 4 4 4 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: x  3 2 2
x  2x 1  x 1 3 2  x  3x  0 0   . x  3 3 27
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 3 2 S
x  3x dx   . 4 0
Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : 3 2 y  2
x x x  5 và đồ thịC' của hàm số 2
y x x  5 bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 . Lời giải: x  0 
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 2
x x x  5  x x  5 3
 2x  2x  0  x  1  . x  1   1 0 1
Diện tích hình phẳng là: 3 S
2x  2xdx  3
 2x  2xdx  + 3
2x  2xdx  . 1  1  0 0 1 0 1 4 4      x x 1 1   3
2x  2xdx   3
2x  2xdx = 2 2   x   
x     1.  2   2  2 2 1  0 1 0
Câu 34: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong 3
y  x  12x và 2 y  x là 937 343 793 397 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 12 12 4 4 Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong: x  0  3 2 2
x  12x  x  (
x x x  12)  0  x  3  . x  4  4 0 4 Diện tích cần tìm là: 3 2 S
x x  12x d 3 2 x
x x  12x d 3 2
x x x  12x dx    3  3  0 0 4 0    x x   x x  
x x  12x 4 4 3 4 3 3 2 dx   3 2
x x  12xd 2 2 x     6x      6x    4 3   4 3 3 0  3  0 9  9 1  60 937    . 4 3 12
Câu 35: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x x và đồ thị hàm số 2
y x x bằng 37 9 81 A. . B. I . C. . D. 13 . 12 4 12 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia x  0 
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2
x x x x x x  2x  0  x  1  x  2  
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x x và đồ thị hàm số 2
y x x là: 1 S x x   xx  0 1 3 2 dx    3 2
x x  2xdx   3 2
x x  2xdx 2  2  0 0 1 4 3 4 3  x x        2 x x 2 16 8 1 1 37     x      x       4      1   .  4 3   4 3   4 3   4 3  12 2  0 x
Câu 36: Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H 1 : y
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị x  1 của S bằng
A. S  ln 2  1.
B. S  ln 4  1.
C. S  ln 4  1.
D. S  ln 2  1. Lời giải: x  1
Phương trình hoành độ giao điểm H và trục Ox là:
 0  x  1 . x  1
Giao điểm H và trục Oy là: 0; 1 . x
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H 1 : y
và các trục tọa độ là: x  1 1 1 1 x  1  2  S  dx  1  dx   
x2lnx 1  2ln21ln4   1.    0 x 1 x 1  0 0
Câu 37: Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2
y x  1 , trục
hoành và đường thẳng x  2 là 2 1 2 2 A. 2 S x  1 dx. B. 2 S x  1 dx. C. S   2 x   1dx . D. 2
S x  1 dx. 1  1  1  1 Lời giải: 2 Xét phương trình: 2 2
x  1  0  x  1
  S x  1 dx  . 1 
Câu 38: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường x
y e , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường
thẳng x k (0  k  ln 4) chia H thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ dưới 1 2 đây:
Giá trị k để S  2S là 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 2 8
A. k  ln 4 .
B. k  ln 2 .
C. k  ln .
D. k  ln 3 . 3 3 Lời giải: k ln 4 k ln 4 Ta có x  d x k S e x e   x x k     0 e 1  và S e dx e k 4 e  . 1 2 0 k Ta có  2 k   1  24 k S S e
e   k  ln 3 . 1 2
Câu 39: Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f x  x
và g x  x  2 như trong hình sau: 7 10 11 7 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 3 3 3 3 Lời giải: 4 4 4 3      xS x x  2dx x   x  2 2 2 10 2 dx   x   2x   . 3 2 3   0 0 2
Câu 40: Cho hàm số y f (x) liên tục trên và hàm số 2
y g(x)  xf (x ) có đồ thị trên đoạn 0; 2   (như hình vẽ). y y = g(x) x 1 2 5 4
Biết diện tích miền tô màu là S  , tích phân f (x d ) x  bằng 2 1 5 5 A. 5. B. . C. . D. 10. 2 4 Lời giải: 5 2 2 5
Ta có diện tích miền tô màu là S  , nên S xf  2
x  dx xf  2 x dx    . 2 1 1 2 Đặt 2
t x  dt  2 d
x x , khi x  1  t  1 , khi x  2  t  4. 2 4 4 5 1 4 Vì thế  xf
  2xdx f (t d ) t f (t d ) t  5.   Vậy f (x d ) x  5.  1 1 1 2 2 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Chủ đề:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC:
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay.
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới y f(x)
hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên a;b ,   trục Ox và hai
đường thẳng x a, x b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có b x thể tích là: 2 V   f x x  (6) O x  d a b a
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục.
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V , V ,... mà mỗi phần được 1 2
tính bằng các công thức (6), (7).
Minh họa các dạng thường gặp:
f x  gx , x
  a;b.  
g x  f x , x
  a;b.   y y f(x) g(x) g(x) f(x) x x O a b O a b b b 2 V    f  x 2
g xdx  2 V   g  x 2
f xdxa a
f x  gx , x
  a;c; 
gx  f x, x
  c;b   .
f x  hx , x
  a;c;  
g x  hx , x
  c;b   . y y f(x) g(x) f(x) g(x) h(x) x x a c b O O a c b c b c b 2 V    f  x 2
g xd 2 x   g   x 2
f xdx  2 V    f  x 2
h xd 2 x   g   x 2
h xdxa c a c Dạng 3:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình x a và x b a b . Gọi Sx là diện tích thiết diện của H bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x , với a x b . Giả sử hàm số y Sx liên
tục trên đoạn a; b   . b
Khi đó, thể tích V của vật thể H được cho bởi công thức: V S
 xdx a
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a,x ba b , xung quanh trục Ox . b b b b A. 2 V   f
 xd .x B. 2 V f
 xd .x
C. V   f
 xd .x D. V f
 xd .x a a a a
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay do hình  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và hai
đường thẳng x  0, x  4 quay quanh trục Ox là: 0 4 4 4 A. 2 V   f
 xdx. B. V  f
 xdx . C. V  f
 xdx . D. 2 V   f  xdx . 4 0 0 0
Câu 3: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x,
trục hoành và đường thẳng x b (phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục
Ox được tính theo công thức nào dưới đây? c b b c
A. V   f
  x 2dx. B. V f
 xdx. C. V    f
  x 2dx
. D. V    f
  x dx. b c c b
Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , đường thẳng x a , x b và trục hoành quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia b b b b A.   f
 x 2 dx  . B. f
 x 2 dx  . C.    f
 x 2 dx  . D. f
 x dx . a a a a
Câu 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn với đường cong y f x , đường thẳng y g x,Oy, x 1 (tham khảo hình vẽ). y f(x) g(x) x O 1
Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành có thể tích V được tính bởi công thức nào dưới đây? b b b b
A. V    2
f xdx    2 g xd . x B. V  2
f xdx  
 2g xd .x a a a a b b b 2
C. V    2
f xdx    2 g xd . x D. V     f x  gx d  . x a a a
Câu 6: Cho hàm số y f x, y g x xác định và liên tục trên đoạn a ;b(có đồ thị như hình vẽ).
Gọi H là hình phẳng được tô đậm trong hình, khi quay H quanh trục Ox ta thu được khối
tròn xoay có thể tích V . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? b b
A. V   f
 x gxdx.
B. V  π  f
 x gxdx. a a b b C. V   f
 x gx 2 π  dx. D. 2 V   f  x 2 π
g x dx   . a a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 3; 4 
 . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x  3 , x  4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: 4 4 4 4 A. 2 V   f
 xdx. B. 2 2 V   f
 xdx . C. V f
 xdx. D. 2 V f
 xdx . 3 3 3 3 
Câu 8: Cho hình phẳng H giới hạn bởi y  cos x , y  0 , x  0 , x  . Thể tích của khối tròn xoay 4
được tạo thành khi quay H quanh trục Ox bằng (  2)   2 (  2) 2   1 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 4
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình x a và x b a b . Gọi Sx là diện tích thiết diện của H bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x , với a x b . Giả sử hàm số y Sx liên
tục trên đoạn a; b 
 . Khi đó, thể tích V của vật thể H được cho bởi công thức nào sau đây? b b b b 2 2 A. V   S
 x dx.
B. V   S
 xdx. C. V S
 x dx.
D. V S
 xdx . a a a a
Câu 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  1 và x  1 , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1
  x  1 là một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4 1  x . 3 2 1 A. . B. . C. 4 . D. . 4 5 4
Câu 11: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0  x   ) là một tam giác đều cạnh 2 s inx . A. 2 3. B. 3. C. 2 3. D. 3 .
Câu 12: Cho vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0; x  2 . Cắt vật thể T  bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại x0  x  2 ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng  1 x x
e . Thể tích vật thể T  bằng   4 13e   1 4 13e  1 A. . B. . C. 2 2e . D. 2 2 e . 4 4
Câu 13: Cho vật thể T  được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  2 và x  2 . Biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,  x  2  ;2 là
một hình vuông có cạnh bằng 2
4  x . Thể tích của vật thể T  bằng 32 32 8 A.  . B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 14: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 , x   . Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0  x    là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng s inx  2 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 7 9 7 9 A.  1. B.  1. C.  2 . D.  2 . 6 8 6 8
Câu 15: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x  3 là một hình chữ nhật có
hai kích thước bằng x và 2 2 9  x bằng
A. V  3 .
B. V  18 .
C. V  22 . D. V  20 .
Câu 16: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  4 , biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì (1  x  4 ) thì
được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là 2x . A. 21 3 . B. 21 . C. 63 3 . D. 63 .
Câu 17: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y  e  4x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  2 ; V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh trục
hoành. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 2 2 A.    x V
e  4xdx . B.   4 x V
x e dx . C.   x V
e  4xdx . D.  4 x V
x e dx . 1 1 1 1
Câu 18: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y e , y  3
 , x  0, x  2 được tính bởi
công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. x 2
S   (e  3) dx  . B.  ( x S e  3)dx  . C.  ( x S e  3)dx  . D.   ( x S e  3)dx  . 0 0 0 0
Câu 19: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  3x x và trục hoành. Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho  H  quay quanh trục Ox . 81 81 9 9 A. V   . B. V  . C. V  .
D. V   . 10 10 2 2
Câu 20: Giả sử D là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol 2
y x  3x  2 và trục hoành. Quay D
quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích bằng  1  1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 30 6 6 30
Câu 21: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2
y  x  2x  3 và trục Ox quanh trục Ox là: 16 512 3 16 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15
Câu 22: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2
y x và y  2x  3 quanh trục Ox là: 1088 138 9 72 A. . B. . C. . D. . 15 5 2 5
Câu 23: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y  2x   1
ln x , trục hoành và đường thẳng x e .
Thể tích V khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo
công thức nào dưới đây? e e
A. V  2x   2 1 ln d x x .
B. V  2x   2 1 ln d x x . 1 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia e e
C. V   2x   2 1 ln d x x .
D. V   2x   2 1 ln d x x . 1 1 2
Câu 24: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 3x 1 số y
trục hoành và đường thẳng x  1 là x 1 A. 3 ln 3 .
B.  3ln 3  2 . C. 3ln 3 1.
D.  3ln 3   1 .
Câu 25: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
y x  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V    2
x  3 dx
B. V    2
x  3dx C. V   2
x  3 dx
D. V   2
x  3dx 0 0 0 0
Câu 26: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị 2
y  2x x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho H quay quanh Ox . 4 16 16 4
A. V   . B. V   . C. V . D. V . 3 15 15 3
Câu 27: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  2x x  1 và trục hoành. Thể tích của vật
thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành bằng 9 81 81 9 A. . B. . C. . D. . 8 80 80 8
Câu 28: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  2(  1) x y x
e , trục tung và trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox .
A. V  4  2e.
B. V  4  2e . C. 2
V e  5. D. V   2 e  5.
Câu 29: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P): 2
y x và đường thẳng d:
y  2x quay xung quanh trục Ox bằng 2 2 2 2 2 2 A. 2
 (2x x )dx. B. 2 2
 (x  2x) dx. C. 2  4x d 4
x   x dx   . D. 2  4x d 4
x   x dx   . 0 0 0 0 0 0
Câu 30: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  ex y x , y  0 ,
x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là 1 1 1 1 A.   ex V x d . x B. 2   e2x V x dx. C. 2   ex V x dx. D. 2  e2x V x dx. 0 0 0 0
Câu 31: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x ,Ox ,x  0 ,x  4 quay quanh trục Ox . Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng 2 68 28 68 2 28 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 1
Câu 32: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y
, y  0, x  0, x  2 . Quay hình phẳng x 1
H  quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng  8 A.  3 1. B.  ln 3 . C.  . D. ln 3 . 2 9
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 33: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x y
e  4x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục hoành. A. 2
V  6  e e . B. V    2
6  e e . C. V    2
6  e e . D. 2
V  6  e e .
Câu 34: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường thẳng 2  3 x y
, y  0, x  1, x  2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. 4  3 x V dx  . B. 4   3 x V dx  . C. 2   3 x V dx  . D. 2   6 x V dx  . 1 1 1 1
Câu 35: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường  5x y
, y  0, x  2, x  2 . Thể tích khối tròn
xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A.   25x V d . xB. 2  5 x V d . xC.  5x V d . xD. 2  2 5 x V d . x  2  2  2  0
Câu 36: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x, x  1
 , x  1 và trục hoành bằng? 2 1 2  A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 37: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x , trục Ox và
hai đường thẳng x  1; x  4 quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A. 2 V  3 d x x  . B. V  3 xdx  . C. V  9 d x x  . D. V  3 x dx  . 1 1 1 1
Câu 38: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng
x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V  2  1.
B. V  2   1. C. 2 V  2 .
D. V  2 .
Câu 39: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2 y
x 1 , trục hoành và các đường thẳng
x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V .
B. V  2 . C. V .
D. V  2 . 3 3
Câu 40: Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên
. Gọi D là hình phẳng giới hạn 1
bởi đồ thị hàm số y f x , các đường x  0 , x  1 và trục Ox . Gọi D là hình phẳng giới 2 1
hạn bởi đồ thị hàm số y
f x , các đường x  0 , x  1 và trục Ox . Quay các hình phẳng 3
D , D quanh trục Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V , V . Khẳng định 1 2 1 2 nào sau đây đúng?
A. V  9V .
B. V  9V .
C. V  3V .
D. V  3V . 1 2 2 1 1 2 2 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới
hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a,x ba b , xung quanh trục Ox . b b b b A. 2 V   f
 xd .x B. 2 V f
 xd .x
C. V   f
 xd .x D. V f
 xd .x a a a a Lời giải:
Chọn đáp án A.
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay do hình  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và hai
đường thẳng x  0, x  4 quay quanh trục Ox là: 0 4 4 4 A. 2 V   f
 xdx. B. V  f
 xdx . C. V  f
 xdx . D. 2 V   f  xdx . 4 0 0 0
Câu 3: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x,
trục hoành và đường thẳng x b (phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục
Ox được tính theo công thức nào dưới đây? c b b c
A. V   f
  x 2dx. B. V f
 xdx. C. V    f
  x 2dx
. D. V    f
  x dx. b c c b Lời giải:
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x, b
trục hoành và đường thẳng x b là V    f
  x 2d .x c
Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , đường thẳng x a , x b và trục hoành quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia b b b b A.   f
 x 2 dx  . B. f
 x 2 dx  . C.    f
 x 2 dx  . D. f
 x dx . a a a a Lời giải:
Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên a;b , đường thẳng
x a , x b và trục hoành quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là b V    f
 x 2 dx  . a
Câu 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn với đường cong y f x , đường thẳng y g x,Oy, x 1 (tham khảo hình vẽ). y f(x) g(x) x O 1
Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành có thể tích V được tính bởi công thức nào dưới đây? b b b b
A. V    2
f xdx    2 g xd . x B. V  2
f xdx  
 2g xd .x a a a a b b b 2
C. V    2
f xdx    2 g xd . x D. V     f x  gx d  . x a a a
Câu 6: Cho hàm số y f x, y g x xác định và liên tục trên đoạn a ;b(có đồ thị như hình vẽ).
Gọi H là hình phẳng được tô đậm trong hình, khi quay H quanh trục Ox ta thu được khối
tròn xoay có thể tích V . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia b b
A. V   f
 x gxdx.
B. V  π  f
 x gxdx. a a b b C. V   f
 x gx 2 π  dx. D. 2 V   f  x 2 π
g x dx   . a a Lời giải: b
Thể tích khối tròn xoay hình phẳng 2 2
H quay quanh trục Ox : V  π  f
 x g xdx   . a
Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 3; 4 
 . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x  3 , x  4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: 4 4 4 4 A. 2 V   f
 xdx. B. 2 2 V   f
 xdx . C. V f
 xdx. D. 2 V f
 xdx . 3 3 3 3 Lời giải:
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b 
 . Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục hoành, ta được khối tròn b
xoay có thể tích V được tính theo công thức: 2 V   f  xdx. a
Câu 8: Cho hình phẳng H giới hạn bởi y  cos x , y  0 , x  0 , x  . Thể tích của khối tròn xoay 4
được tạo thành khi quay H quanh trục Ox bằng (  2)   2 (  2) 2   1 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 4 Lời giải:    4 4 4       2 sin 2x 1 ( 2) V        cos d x x  
1 cos2xdx x         . 2 2  2  2  4 2  8 0 0 0
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương
trình x a và x b a b . Gọi Sx là diện tích thiết diện của H bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x , với a x b . Giả sử hàm số y Sx liên
tục trên đoạn a; b 
 . Khi đó, thể tích V của vật thể H được cho bởi công thức nào sau đây? b b b b 2 2 A. V   S
 x dx.
B. V   S
 xdx. C. V S
 x dx.
D. V S
 xdx . a a a a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Lời giải:
Câu 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  1 và x  1 , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1
  x  1 là một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4 1  x . 3 2 1 A. . B. . C. 4 . D. . 4 5 4 Lời giải: 4 1  x
Gọi độ dài cạnh tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4 1  x là 2 2  4 1 1 x   1
Ta có diện tích thiết diện được cho bằng: Sx      4
1  x 2  2  4   1 1 1 2
Thể tích vật thể cần tìm là: V Sx.dx   4
1  x dx    .   4 5 1 1
Câu 11: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0  x   ) là một tam giác đều cạnh 2 s inx . A. 2 3. B. 3. C. 2 3. D. 3 . Lời giải:    3   Ta có 2 V
S(x)dx
S(x)dx  .(2 s inx ) dx
3.s inxdx   3 cos x  2 3.     0 0 0 0 0 4
Câu 12: Cho vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0; x  2 . Cắt vật thể T  bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại x0  x  2 ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng  1 x x
e . Thể tích vật thể T  bằng   4 13e   1 4 13e  1 A. . B. . C. 2 2e . D. 2 2 e . 4 4 Lời giải:
Diện tích thiết diện là      2 2 1 x S x x e . 2 2 2
Thể tích của vật thể T  là          2 1 x V S x dx x e dx . 0 0 2 2 1   ex    V x  1 2 2 2 x e  x 1 4 2 2 x 9 1 1 2x 1 2 x e dx    ee dx   2 2  2 2  0 0 0 0   2 4 4 4
9e  1 3e  1 1  2x 4 1 4 1 13e 1    e
 3e e   . 2 2 4 4 4 4 0
Câu 13: Cho vật thể T  được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  2 và x  2 . Biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,  x  2  ;2 là
một hình vuông có cạnh bằng 2
4  x . Thể tích của vật thể T  bằng 32 32 8 A.  . B. . C. . D. . 3 3 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Lời giải: 2 2 2 3 2  x  32
Thể tích của vật thể T  là V    2
4  x  dx    2
4  x dx   4x    .  3  3 2  2  2 
Câu 14: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 , x   . Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0  x    là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng s inx  2 . 7 9 7 9 A.  1. B.  1. C.  2 . D.  2 . 6 8 6 8 Lời giải:
Gọi Sx là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có
hoành độ x 0  x    , a là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 2 1 1 2
s inx  2 . Ta có: 2 2
a a   inx   2 1 s
2  a  sinx  2  Sx 2
a  sinx  2 . 2 2 4
Vậy thể tích vật thể là         1      xV S x x s x  22 1 x   2 s
x  4s x  4 1 1 cos2 d in d in in dx   4sinx   4 d  x 4 4 4  2  0 0 0 0  1   1  sin 2xx   9
cos2x  8sinx  9dx    8cosx  9x     2 . 8 8  2  x  0 8 0
Câu 15: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x  3 là một hình chữ nhật có
hai kích thước bằng x và 2 2 9  x bằng
A. V  3 .
B. V  18 .
C. V  22 . D. V  20 . Lời giải: 3 Ta có: 2
V  2x 9  x dx    1 0 Đặt 2 2 2
t  9  x t  9  x   d t t  d x x . Đổi cận: x 0 3 t 3 0 3 0 3 3 t
Khi đó: V  2t.   dtt 2  2t dt  2 18  . 3 3 0 0
Câu 16: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  4 , biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì (1  x  4 ) thì
được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là 2x . A. 21 3 . B. 21 . C. 63 3 . D. 63 . Lời giải:
Diện tích thiết diện tạo ra khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có 2x 3
hoành độ x bất kì (1  x  4 ) là S x  2 2  3.
 3x 3 nên thể tích vật thể là 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 4 2 V  3x 3dx  63 3.  1
Câu 17: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y  e  4x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  2 ; V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh trục
hoành. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 2 2 A.    x V
e  4xdx . B.   4 x V
x e dx . C.   x V
e  4xdx . D.  4 x V
x e dx . 1 1 1 1 Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh trục hoành là: 2    x   4  2 2 d   4 x V e x x
x e dx . 1 1
Câu 18: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y e , y  3
 , x  0, x  2 được tính bởi
công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. x 2
S   (e  3) dx  . B.  ( x S e  3)dx  . C.  ( x S e  3)dx  . D.   ( x S e  3)dx  . 0 0 0 0 Lời giải: 2 2 2  | x  ( 3  ) |  | x  3|   ( x S e dx e dx S e  3)dx    . 0 0 0
Câu 19: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  3x x và trục hoành. Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho  H  quay quanh trục Ox . 81 81 9 9 A. V   . B. V  . C. V  .
D. V   . 10 10 2 2 Lời giải: x  0
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
3x x  0   . x  3 3 3 3 5  3 x
V   3x x 2 2 dx    2 3 4
9x  6x x dx 3 4
  3x x    2 5  0 0 0 5  3 3  81 3 4
  3.3  .3     .  2 5  10
Câu 20: Giả sử D là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol 2
y x  3x  2 và trục hoành. Quay D
quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích bằng  1  1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 30 6 6 30 Lời giải: x 1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x  3x  2  0   . x  2 2 2 2
Thể tích của vật thể là: V    2
x  3x  2 dx    4 2 3 2
x  9x  4  6x  4x 12xdx 1 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 2 5  x 3 4   3 4 3 2
    3x  4x x x  6x   .  5 2 3  30 1
Câu 21: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2
y  x  2x  3 và trục Ox quanh trục Ox là: 16 512 3 16 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường 2
y  x  2x  3 với y  0 là x  1; x  3 . Vậy thể tích của 1 2 512
khối tròn xoay cần tính là: V    2
x  2x  3 dx   . 15 3 
Câu 22: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2
y x và y  2x  3 quanh trục Ox là: 1088 138 9 72 A. . B. . C. . D. . 15 5 2 5 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường 2
y x với y  2x  3 là x  1; x  3 . Vậy thể tích của khối 3 3 2  2 1088
tròn xoay cần tính là: V   2x  3 dx   2 x dx    . 15 1  1 
Câu 23: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y  2x   1
ln x , trục hoành và đường thẳng x e .
Thể tích V khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo
công thức nào dưới đây? e e
A. V  2x   2 1 ln d x x .
B. V  2x   2 1 ln d x x . 1 1 2 e e
C. V   2x   2 1 ln d x x .
D. V   2x   2 1 ln d x x . 1 1 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia  x  1  1
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x   1
ln x  0   x   x  1  . 2   x 1 e
Vậy nên thể tích cần tính là V   2x   2 1 ln d x x . 1
Câu 24: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 3x 1 số y
trục hoành và đường thẳng x  1 là x 1 A. 3 ln 3 .
B.  3ln 3  2 . C. 3ln 3 1.
D.  3ln 3   1 . Lời giải: 3x 1 1
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
 0  3x 1  0  x   x 1 3 1 1 3x 1
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là 2 V   f
 xdx   dx   x  2 1 1 1   3 3 1 1   3x 1 3 x   1 1  2 3 2 Xét tích phân I  dx  dx     dx    x  2 x  2  x 1 1 1 x   2  1 1 1 1     3 3 3 1  2  2  3ln x 1  
 1  3ln 2 1 3ln  3  3.ln 3  2  x 1   3 3
Vậy V  3ln 3  2 .
Câu 25: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
y x  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V    2
x  3 dx
B. V    2
x  3dx C. V   2
x  3 dx
D. V   2
x  3dx 0 0 0 0 Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox là: 2
V   x  32 2 dx . 0
Câu 26: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị 2
y  2x x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho H quay quanh Ox . 4 16 16 4
A. V   . B. V   . C. V . D. V . 3 15 15 3 Lời giải: x  2
Phương trình hoành độ giao điểm của H với trục hoành: 2 1
2x x  0   . x   0 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do H quay quanh Ox là: 2 2 2  5  4 x 16
V   2x x 2 2 d . x    2 3 4
4x  4x x  d . x 3 4
  . x x      . 3 5  15 0 0 0  
Câu 27: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  2x x  1 và trục hoành. Thể tích của vật
thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành bằng 9 81 81 9 A. . B. . C. . D. . 8 80 80 8 Lời giải: x  1
+ Phương trình hoành độ giao điểm: 2 
2x x  1  0  1  . x    2 1 2 81
+ Thể tích cần tìm là V    2
2x x  1 dx   .  80 1 2
Câu 28: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  2(  1) x y x
e , trục tung và trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox .
A. V  4  2e.
B. V  4  2e . C. 2
V e  5. D. V   2 e  5. Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm 2  1 x x
e  0  x  1
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox là:
du  2 x  1 dx 1 u
  x 12       2     1 2 1 x   4     2 2 1 x V x e dx x e dx . Đặt   2 xe 2x      0 0 dv e dx v  2 1 1 x x x e e e
V  4 x   2 1 2 1  4 2  x  2 1
dx  4 x  1 2 1 2
 4 x 1 2x e dx 2 2 2 0 0 0 0      1 u x 1 du dx  Gọi      2 1 x I x e dx . Đặt 2 x 1 2 x e
dv e dx v  0  2 1 x x e e
I  4 x   2 1 2 1 2x 2 2 1  4
dx  2   e
 2  e    3  e 1 0 2 2 0 0 1 2x 2 e
Vậy V  4 x   1  I  2     2
3   e     2
e  5 . 1  2 0
Câu 29: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P): 2
y x và đường thẳng d:
y  2x quay xung quanh trục Ox bằng 2 2 2 2 2 2 A. 2
 (2x x )dx. B. 2 2
 (x  2x) dx. C. 2  4x d 4
x   x dx   . D. 2  4x d 4
x   x dx   . 0 0 0 0 0 0 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia y
y = x^2 12 10 y = 2x 8 6 4 2 x 15 10 5 5 10 15 O 2 2 x  0
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 x  2x   x   2 2 2 2 2 Ta có : 2 V   (2x) dx 2 2  (x ) dx 2   4x dx 4  x dx     Ox 0 0 0 0
Câu 30: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  ex y x , y  0 ,
x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là 1 1 1 1 A.   ex V x d . x B. 2   e2x V x dx. C. 2   ex V x dx. D. 2  e2x V x dx. 0 0 0 0 Lời giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng quay quanh trục Ox . 1 Ta có: 2   e2x V x dx  . 0
Câu 31: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x ,Ox ,x  0 ,x  4 quay quanh trục Ox . Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng 2 68 28 68 2 28 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:   
V     x 2 4 4
dx   x   x  4 2 x 4 68 1 1 2 dx   
x x x   .  2 3  3 0 0 0 1
Câu 32: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y
, y  0, x  0, x  2 . Quay hình phẳng x 1
H  quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng  8 A.  3 1. B.  ln 3 . C.  . D. ln 3 . 2 9 Lời giải: 2 2 2  1  1
Thể tích khối tròn xoay bằng V   x d =  x d   
  ln  x  2 1   ln 3 .  x 1 x 1 0 0 0
Câu 33: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x y
e  4x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục hoành.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia A. 2
V  6  e e . B. V    2
6  e e . C. V    2
6  e e . D. 2
V  6  e e . Lời giải:
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  quanh trục hoành là: 2 V    xe  4x  2 2 dx   4 x
x e dx    2 2 2 x
x e     2
6  e e . 1 1 1
Câu 34: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường thẳng 2  3 x y
, y  0, x  1, x  2 . Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. 4  3 x V dx  . B. 4   3 x V dx  . C. 2   3 x V dx  . D. 2   6 x V dx  . 1 1 1 1 Lời giải:
Câu 35: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường  5x y
, y  0, x  2, x  2 . Thể tích khối tròn
xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A.   25x V d . xB. 2  5 x V d . xC.  5x V d . xD. 2  2 5 x V d . x  2  2  2  0 Lời giải:
Ta có thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường y f x, y  0, x a, x bab sinh ra khi quay quanh trục Ox là b 2 V   f  xdx . a 2 2 2
Áp dụng công thức ta có:
   5x  d  25x V x dx  . 2  2 
Câu 36: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x, x  1
 , x  1 và trục hoành bằng? 2 1 2  A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải: 1 3 3 x 1 ( 1  ) 2 Ta có: 2 1
V   x dx    [  ] =  . 1  3 3 3 3 1 
Câu 37: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x , trục Ox và
hai đường thẳng x  1; x  4 quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A. 2 V  3 d x x  . B. V  3 xdx  . C. V  9 d x x  . D. V  3 x dx  . 1 1 1 1 Lời giải: 4 4 2
Áp dụng công thức ta có V   3 x  dx  9 d x x  . 1 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Bài giảng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia
Câu 38: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng
x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V  2  1.
B. V  2   1. C. 2 V  2 .
D. V  2 . Lời giải:   2 
Ta có: V    2  sinx dx   2  sinxdx   2x  cosx  2   1 . 0 0 0
Câu 39: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2 y
x 1 , trục hoành và các đường thẳng
x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V .
B. V  2 . C. V .
D. V  2 . 3 3 Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:      xV x 1 1 1 1 dx   x   3 2 4 2 2 1 dx     x   .  3  3 0 0 0
Câu 40: Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị dương trên
. Gọi D là hình phẳng giới hạn 1
bởi đồ thị hàm số y f x , các đường x  0 , x  1 và trục Ox . Gọi D là hình phẳng giới 2 1
hạn bởi đồ thị hàm số y
f x , các đường x  0 , x  1 và trục Ox . Quay các hình phẳng 3
D , D quanh trục Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V , V . Khẳng định 1 2 1 2 nào sau đây đúng?
A. V  9V .
B. V  9V .
C. V  3V .
D. V  3V . 1 2 2 1 1 2 2 1 Lời giải: 1 1 2 1 1  1 Ta có 2 V   f x d 
x và V    f x 2 dx   f x d  x . 2   1     3  9 0 0 0 1
Vậy V V hay V  9V . 2 1 9 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115