Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG Toán 8

Tài liệu gồm 57 trang, hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG Toán 8, giúp học sinh lớp 8 ôn tập, rèn luyện để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi môn Toán 8 các cấp.

38 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

57 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của
biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một
giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu
thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên
Xét biểu thức
()Ax
+) Ta nói
()Ax
có giá trị lớn nhất là M, nếu
()A x M x
và có giá trị x
0
sao cho
0
()A x M=
(Chỉ ra 1 giá trị là được)
+) Ta nói
()Ax
có giá trị nhỏ nhất là m, nếu
()A x m x
và có giá trị x
0
sao cho
0
()A x m=
(Chỉ ra 1 giá trị là được)
Như vậy :
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :
- Chứng minh
Ak
với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :
- Chứng minh
Ak
với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A
Ví dụ: Sai lầm
2
( Không chỉ ra được dấu = )
Đáp án đúng là :
2
1 5 5 5 1
( ) 2( )
2 2 2 2 2
A x x GTNN x= − + = =
B. Các dạng toán
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai
2
ax bx c++
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
2
( ) 4 24A x x x= − +
b.
2
( ) 2 8 1B x x x= − +
c.
2
( ) 3 1C x x x= + −
Lời giải
a.
22
( ) 4 24 ( 2) 20 20 min ( ) 20 2A x x x x x A x x= − + = − + = =
b.
2 2 2
( ) 2 8 1 2( 4 4) 7 2( 2) 7 7 minB 7 2B x x x x x x x= − + = − + − = − − − = − =
c.
22
1 13 13 1
( ) 3 1 3( )
6 12 12 6
C x x x x x
−−
= + − = + − =
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a.
2
( ) 5 4 1A x x x= − − +
b.
2
( ) 3 1B x x x= − + +
Lời giải
a.
2 2 2
4 1 2 9 9 2
( ) 5 4 1 5( ) 5( )
5 5 5 5 5 5
A x x x x x x x
−
= − − + = − + − = − + + =
b.
22
1 13 13 1
( ) 3 1 3( )
6 12 12 6
B x x x x x= − + + = − − + =
3
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2
Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
4 3 2
( ) 6 10 6 9A x x x x x= − + − +
b.
4 3 2
( ) 10 26 10 30B x x x x x= − + − +
c.
4 3 2
( ) 2 3 4 2017C x x x x x= − + − +
d.
42
( ) 2 7D x x x x= − + +
e.
4 3 2
( ) 4 9 20 22E x x x x x= − + − +
f.
( ) ( 3)( 4)( 7)F x x x x x= − − −
g.
( ) ( 1)( 2)( 3)( 6) 2006G x x x x x= − + + + −
Lời giải
a.
4 3 2 4 3 2 2 2 2 2
( ) 6 10 6 9 ( 6 9 ) ( 6 9) ( 3 ) ( 3) 0A x x x x x x x x x x x x x x= − + − + = − + + − + = − + −
2
30
min ( ) 0 3
30
xx
A x x
x
−=
= =
−=
b.
2
4 3 2 2 2 2
50
( ) 10 26 10 30 ( 5 ) ( 5) 5 5 5
50
xx
B x x x x x x x x x
x
−=
= − + − + = − + − + =
−=
c.
2 2 2 2 2 2
( ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2015 ( 2)( 1) 2015 2015 1C x x x x x x x x x= + − + + + + = + − + =
d.
4 2 2 2 2 2
( ) 2 1 2 1 5 ( 1) ( 1) 5 5 1D x x x x x x x x= − + + + + + = − + + + = −
e.
4 3 2 4 3 2 2 2 2 2
( ) 4 9 20 22 ( 4 4 ) 5( 4 4) 2 ( 2 ) 5( 2) 2 2 2E x x x x x x x x x x x x x x= − + − + = − + + − + + = − + − + =
f.
2 2 2
1
( ) ( 3)( 4)( 7) ( 7 )( 7 12) 36 36 0
6
x
F x x x x x x x x x y y
x
=
= − − − = − − + = − − =
=
g.
2 2 2 2
0
( ) ( 5 6)( 5 6) 2006 ( 5 ) 2042 2042
5
x
G x x x x x x x
x
=
= + − + + − = + − −
=−
4
Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên
Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng
( ) ( )( )
22
; . . 0 1F x y ax by cxy dx ey h abc= + + + + +
- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức
( )
( )
2
22
2a ab b a b + =
như sau
( )
( )
22
; ; 2F x y mK x y nG y r= + +
hoặc
( )
( )
22
; ; 3F x y mK x y nH x r= + +
Trong đó
,G y H x
là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn
;K x y px qy k= + +
cũng là biểu
thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với
2
0;4 0a ac b −
Ta có
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 . ; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2a F x y a x abxy acy adx aey ah a x b y d abxy adx bdy= + + + + + = + + + + +
( )
( )
2 2 2
4 2 2 4ac b y y ae bd ah d− + − + −
( )
( )
2
2
22
22
22
2 4 4
44
ae bd ae bd
ax by d ac b y ah d
ac b ac b
−−
= + + + − + + − −
−−
Vậy có (2) với
( )
( )
( )
2
22
2
2
2
1 4 2
. ; 2 ; ; ( ) ;r h
4 4 4 4
44
ae bd
b ac ae bd d
m F x y ax by d n G y y
a a ac b a
a ac b
−
−−
= = + + = − = + = − −
−
−
+) Nếu
( ) ( ) ( )
2
0;4 0 0, 0 2 : ; *a ac b m n F x y r −
+) Nếu
( ) ( ) ( )
2
0;4 0 0, 0 2 : ; **a ac b m n F x y r −
+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất
5
Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa
thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm
- Nếu
( )
;0F x y r
hoặc
( )
;0F x y r
thì không có
( )
;xy
nào thảo mãn F(x; y) = 0
+) Nếu
( ) ( )
2
0;4 0; 0 2 : ;a ac b r F x y − =
phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải
được các bài toán khác
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a.
22
2 2 4 5A x y xy y= + − − +
b.
2 2 2
2 2 5 5B x y y= − + +
Lời giải
a) Ta có
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
( ) 2 2 4 5 2 4 4 1 2 1A x x y xy y x xy y y y x y y= + − − + = − + + − + + = − + − +
0
1 , " " 2
20
xy
A x y R x y
y
−=
= = =
−=
Vậy
min 1 2A x y= = =
b)
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 5 5 4 4 2 5 2 5 5B x y y x xy y x xy y y x y x y= − + + = − + + + + + + = − + + +
20
0
0
xy
xy
xy
−=
= =
+=
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a.
22
( ) 2 2 2 3A x x y xy x= + − − +
b.
22
( ) 3 3B x x xy y x y= + + − −
c.
22
( ) 2 3 4 8 2 18C x x y xy x y= + + − − +
d.
2 2 2
( ) 2 3 4 2( ) 2D x x y z x y z= + + − + + +
e.
22
( ) 2 8 11 4 2 6E x x xy y x y= + + − − +
f.
2 2 2
( ) 2 6 5 6 8 2 2 4 2F x x y z xy yz xz y z= + + − + − + + +
6
g.
2 2 2
( ) 2 2 2 2 2 2 4G x x y z xy xz yz x y= + + + − − − −
h.
22
( ) 1H x x y xy x y= + − − + +
Lời giải
a.
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2 3 ( 2 ) ( 2 1) 2 ( ) ( 1) 2 2 1A x x y xy x x xy y x x x y x x y= + − − + = − + + − + + = − + − + = =
b.
2 2 2 2
( ) ( 2 1) ( 2 1) ( 1) ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 3B x x x y y x y y x y x y= − + + − + + − − − − = − + − + − − −
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
( 1) 2( 1). .( 1) ( ) ( ) ( 1) 3 1 2 1 3
2 2 2 2 4
y y y y y
x x y y x y y
− − − − +

= − + − − + − + − − = − + − + − + −


2
2
1
1
10
1 3( 1)
1 3 3
2
1
24
10
y
x
x
yy
x
y
y
−
=
− + =
−−

= − + + − −


=

−=
c.
2 2 2 2 2
( ) 2 4 2 8 2 18 2 ( ) 2( )2 4 ( 6 9) 1C x x xy y y x y x y x y y y

= + + + − − + = + − + + + + + +

22
2( 2) ( 3) 1 1 min 1 3; 5x y y A y x= + − + + + = = − =
d.
2 2 2 2 2 2
( ) 2 3 4 2( ) 2 2( ) (3 2 ) (4 2 ) 2D x x y z x y z x x y y z z= + + − + + + = − + − + − +
2 2 2
1 2 1 1 1 1 1
2( ) 3( ) (2 ) 2 2
4 3 9 4 2 3 4
x x y y z z

= − + + − + + − + + − − −


2 2 2
1 1 1 11 11 1 1 1
2( ) 3( ) (2 ) ( , , ) ( ; ; )
2 3 2 2 2 2 3 4
x y z x y z= − + − + − + =
e.
2 2 2 2 2
( ) 2( 4 4 ) 3 4 2 6 2( 2 ) 4( 2 ) 2 3 6 4E x x xy y y x y x y x y y y

= + + + − − + = + − + + + + +

22
2 1 0 3
2( 2 1) 3( 1) 1 1
1 0 1
x y x
x y y
yy
+ − = =

= + − + + +

+ = = −

f.
2 2 2
( ) 2 6 5 6 8 2 2 4 2( )F x x y z xy yz xz y z kho= + + − + − + + +
2 2 2 2 2
33
( ) 2 2 (3 ) 2( ) 6 5 8 ( ) 2 4 2
22
y z y z
F x x x y z y z yz y z
++
= − + + + + + − + + +
7
2 2 2 2
3 3 10 25 1
2( ) ( ) 2 4 2
2 2 3 9 3
yz
x y yz z z y z
+
= − + + + + + + +
2 2 2
3 3 5 5 2 1 2 1
2( ) ( ) 2( ) ( ) 1
2 2 3 3 3 3 3 3
yz
x y z y z z z
+

= − + + + + + + + + +


22
3
0
2
1
3 5 2 1 5 2
2(...) ( ) ( 1) 1 1 0 1 min 1
2 3 3 3 3 3
1
10
yz
x
x
y z x y z y A
z
z
+
−=
=

= + + + + + + + + = = =


=−
+=
g.
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2 2 2 2 4 ( 1) ( 2) ( ) 5 5 1; 2; 3G x x y z xy xz yz x y x y x y z x y z= + + + − − − − = − + − + + − − − = = =
h.
2 2 2 2 2
( ) 1 4 ( ) (2 ) 2.2 . 3 4 4 4H x x y xy x y H x x x y y y x y= + − − + + = − + + − + +
2 2 2 2
2 1 8 8
(2 ) 2(2 ) 3 2 3 1 (2 1) 3( 1) (2 1) 3( )
3 2 3 3
x y x y y y x y y y x y y= − − − + + + + = − − + + + = − − + + +
8 2 1 2
min4 ; min
3 3 3 3
A x y A
−
= = = =
Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a.
22
4 5 8 10 12A x y xy y= − − + + +
b.
22
22x y xy x y− − + + +
Lời giải
a.
2 2 2 2 2 2 2
4 5 8 10 12 4 8 4 10 25 37 4( ) ( 5) 37 37A x y xy y x xy y y y x y y= − − + + + = − + − − + − + = − − − − +
5
5
x
y
=
=
b.
2 2 2 2
2 2 4 4 4 4 8 8A x y xy x y A x y xy x y= − − + + + = − − + + +
2 2 2 2
4 4 ( 2) ( 2) ( 2) 4 8A x x y y y y y= − + + − + + + − +
2 2 2 2
2 2 0 2
(2 2) 3( 4 ) 4 (2 2) 3( 2) 16 16 4
2 0 2
x y x
x y y y x y y A
yy
− − = =

= − − − − − + = − − − − − +

− = =

8
Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
22
5 9 12 24 48 82A x y xy x y= + − + − +
b.
2 2 2
3 3 5 3 3 2 2 3B x y z xy yz xz x y= + + + − − − − +
Lời giải
a.
2 2 2 2 2 2
5 9 12 24 48 82 9 12 ( 4) 4( 4) 4( 4) 5 24 82A x y xy x y y y x x x x x= + − + − + = − + + + − + + + +
2
2
16
3 2( 4) ( 4) 2 2 , 4;
3
y x x x y R x y= − + + − + = =
b.
2
22
3 3 4 2
( ) ( ) ( 2) 1 1
2 4 3 3 3
y
B z x y x y

= − + + + − + − +


Bài 5: Tìm GTLN của
2 2 2
( 2 4 )A x y z x y z= + + − + +
Lời giải
2 2 2
1 1 1 7 7 7 1 1 1
( ) 2( ) (2 ) ; ;
2 4 4 16 16 16 2 4 8
A x y z A x y z
−−
− = − + − + − − = = =
Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] . Tìm GTNN của
22
2 2 2 4 2013A x y xy x y= + + + − +
Lời giải
2 2 2 2 2
2 2 2 4 2013 2 ( 1) ( 1) ( 3) 2003 2003 4; 3A x y xy x y x x y y y x y= + + + − + = + + + + + − + = − =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm GTNN của:
22
2 2 2 10 17A x xy y x y= − + + − +
Hướng dẫn
( )
22
2 1 2 10 17A x x y y y= − − + − +
( ) ( ) ( )
22
22
2 1 1 2 10 17 1x x y y y y y

= − − + − + − + − −


( )
( )
2
2
1 8 16x y y y= − + + − +
Bài 2: Tìm min của:
22
22B x xy y x y= − + − −
9
Hướng dẫn
( )
22
2 2 2 2
2 4 4
2 2 2. . 2 1
2 4 4
y y y y
B x x y y y x x y y y

+ + +
= − + + − = − + + − − − −


( )
2
22
4 2 4 8 4 4B x y y y y y= − − + − − − −
Bài 3: Tìm min của:
22
33C x xy y x y= + + − −
Hướng dẫn
( )
22
2 2 2 2
3 6 9 6 9
3 3 2. . 3
2 4 4
y y y y y
C x x y y y x x y y

− − + − +
= + − + − = + + + − −


( )
2
22
4 3 4 12 6 9C x y y y y y

= + − + − − + −

Bài 4: Tìm min của:
22
2 6 12 2 45D x xy y x y= − + − + +
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 6 6 2 45 2 . 6 6 6 2 45 12 36D x x y y y x x y y y y y y= − + + + + = − + + + + + + − + +
( )
2
2
6 5 10 9x y y y= − − + − +
Bài 5: Tìm min của:
22
3 2 10 20E x xy y x y= − + − − +
Hướng dẫn
( )
22
2 2 2 2
2 4 4 4 4
2 3 10 20 2 . 3 10 20
2 4 4
y y y y y
E x x y y y x x y y
− − + − +
= − − + − + = − + + − + −
( )
( ) ( )
2
22
4 2 12 40 80 4 4E x y y y y y= − + + − + − − +
( )
( )
2
2
2 11 36 76x y y y= − + + − +
Bài 6: Tìm max của:
22
2 4 2 10 3F x xy y x y= − + − + + −
Hướng dẫn
( )
2 2 2 2
2 4 2 10 3 2 1 4 10 3F x xy y x y x x y y y− = − + − − + = − + + − +
( ) ( ) ( )
22
22
2 1 1 4 10 3 1F x x y y y y y− = − + + + + − + − +
Bài 7: Tìm min của:
( ) ( )
2
22
6 16 8 2 8 10G x ay x ay x y ay x y= − + − + + − + − +
Hướng dẫn
10
( ) ( )
( )
2
22
6 9 2 1 16 8 8G x ay x ay x x y ay y

= − + − + + + + + − −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
3 1 16 8 1 1 1G x ay x y y a a a= − + + + + − + + + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
3 1 4 1 1 1G x ay x y a a a= − + + + + − − − + − +
Bài 8: Tìm max của:
22
2 4 11H x xy y x y= − + − − + +
Hướng dẫn
( )
2 2 2 2
2 4 11 2 4 11H x xy y x y x x y y y− = − + + − − = − − + − −
( )
2
2
22
2
2 4 4
2 . 4 11
2 4 4
y
y y y
H x x y y
−
− − +
− = − + + − − −
( )
( )
− = − + + − − − − +
2
22
4 2 4 16 44 4 4H x y y y y y
Bài 9: Tìm min của:
22
4 5 6 11I x xy y y= + + − +
Hướng dẫn
( )
2 2 2
4 4 6 11I x xy y y y= + + + − +
Bài 10: Tìm min của:
22
3 3 20K x y xy x y= + − + + +
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
4 4 4 4 12 12 80 4 4 3 3 4 12 80 3K x y xy x y x x y y y y y
= + − + + + = − − + − + + + − −
( )
2
2
4 2 3 3 18 71K x y y y= − + + + +
Bài 11: Tìm min của:
22
2 2 2 1M x xy y y= − + − +
Hướng dẫn
( ) ( )
2 2 2
2 2 1M x xy y y y= − + + − +
Bài 12: Tìm min của:
22
22N x xy y x= − + −
Hướng dẫn
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
2 1 2 1
21
2 1 2 2 . 2
2 4 4
yy
y
N x x y y x x y
++
+
= − + + = − + + −
11
( )
( )
2
22
4 2 1 8 4 4 1N x y y y y= − − + − + +
Bài 13: Tìm min của:
22
2 3 2 1997= − + − +A x xy y x
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 2 1A x x y y x x y y y y y= − + + + = − − + − + + − + +
Bài 14: Tìm min của:
22
2 2 2 10Q x y xy x y= + − + −
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 2 10 2 1 1 2 10 2 1Q x x y y y x x y y y y y y= − − + − = − − + − + − − − +
Bài 15: Tìm min của:
22
2 2 2R x y xy y= + + −
Hướng dẫn
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 1R x y xy y x xy y y y= + + − = + + + − + −
( ) ( )
22
1 1 1x y y= + + − − −
Bài 16: Tìm min của:
22
4 5 4 16 32A x y xy y= + − − +
Hướng dẫn
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 5 4 16 32 4 4 4 16 32A x y xy y x xy y y y= + − − + = − + + − +
Bài 17: Tìm min của:
2 2 2
5 5 4 4 4 12B x y z xy yz z= + + − − − +
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 8B x xy y y yz z z z= − + + − + + − + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 8 8x y y z z= − + − + − +
Bài 18: Tìm min của:
22
5 12 9 4 4C x xy y x= − + − +
Hướng dẫn
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
4 2.2 .3 9 4 4 2 3 2 0C x x y y x x x y x= − + + − + = − + −
Bài 19: Tìm max của:
22
22D x y xy x y= − − + + +
Hướng dẫn
12
( )
2 2 2 2
2 2 2 2D x y xy x y x x y y y− = + − − − = − + + −
( )
2
2
22
2
2 4 4
2 . 2
2 4 4
y
y y y
D x x y y
+
+ + +
− = − + + − −
Bài 20: Tìm min của:
22
5 4 2 3E x y xy y= + − + −
Hướng dẫn
( ) ( )
22
2 2 2
4 4 2 1 4 2 1 4 4E x xy y y y x y y= − + + + + − = − + + − −
Bài 21: Tìm GTNN của
22
3 3 3A a ab b a b= + + − − +
Hướng dẫn
Ta có:
( )
2 2 2 2
4 2 3 4 2 4 4P a ab b a b ab a b= − + + + + + − −
( ) ( )
22
3 2 0a b a b= − + + −
Bài 22: Tìm min của:
( )
22
33G x xy y x y= + + − + +
Hướng dẫn
22
4 4 4 4 12 12 12G x xy y x y= + + − − +
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
4 4 4 3 3 4 12 12 6 9G x x y y y y y y= + − + − + − + − − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4 2 3 3 6 3 2 3 3 1 0G x y y y x y y= + − + − + = + − + −
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
4 2 8 6 15 0x y z x y z+ + − + − + =
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 4 8 4 6 9 1 1x x y y z z− + + + + + − + +
Bài 24: Tìm min của:
22
2 2 2 3A x y xy x= + − − +
Hướng dẫn
( ) ( )
22
2 2 2
2 2 1 2 1 2 2A x xy y x x x y x= − + + − + + = − + − +
Bài 25: Tìm min của:
22
2 2 2 10 17B x xy y x y= − + + − +
Hướng dẫn
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 1 1 2 10 17 2 1B x x y y y y y y= − − + − + − + − − +
( )
( )
2
2
1 8 16x y y y= − + + − +
Bài 26: Tìm min của:
22
2 2 5 8 22D x xy y x y= + + − −
13
Hướng dẫn
( )
2 2 2 2
2 4 4 10 16 44 4 4 4 10 44D x xy y x y x x y y y= + + − − = + − + −
( ) ( )
2
2 2 2
2 4 2.2 4 4 10 44 8 16D x x y y y y y y= + − + − + − − + −
Bài 27: Tìm min của:
22
2 9 6 6 12 2004E x y xy x y= + − − − +
Hướng dẫn
22
2 4 18 12 12 24 4008E x y xy x y= + − − − +
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 4 12 1 9 1 18 24 4008 9 2 1E x x y y y y y y= − + + + + − + − + +
( )
2
2
2 2 1 9 42 3999E x y y y= − − + − +
Bài 28: Tìm min của:
22
2 6 12 12 45F x xy y x y= − + − + +
Hướng dẫn
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 6 6 6 12 45 12 36F x x y y y y y y= − + + + + + + − + +
( )
2
2
6 5 9 9x y y= − − + +
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :
22
3 3 3a ab b a b+ + − − +
Hướng dẫn
( ) ( )
22
22
3 3 3 4 3 2 0P a ab b a b P a b a b= + + − − + = = − + + −
Bài 30: Tìm min của:
2 2 2
6 14 8 6 4A x y z yz zx xy= + + − + −
Hướng dẫn
( )
2 2 2
2 2 3 6 14A x x y z y z= − + + −
( ) ( )
( )
= − + + + + − − + +
2
2 2 2 2 2
2 2 3 2 3 6 14 4 12 9A x x y z y z y z y yz z
( )
= − − + − −
2
22
2 3 2 12 23A x y z y yz z
Bài 31: Tìm min của:
2 2 2
2 3 2 2 2 2 8 2000B x y z xy xz x y z= + + − + − − − +
Hướng dẫn
( )
2 2 2
2 1 2 3 2 8 2000B x x y z y z y z= − − + + + − − +
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 1 2 3 2 2 2000 1 2 2 2x x y z y z y z y z y z yz z y= − − + + − + + + − − + − + + − − +
14
( )
( )
2
22
1 2 4 2 1999x y z y z y yz= − + − + + − + +
( ) ( ) ( )
( )
22
2 2 2
1 2 2 2 2 4 4 1999x y z y y z z z z z

= − + − + − + + + + − + + +


( ) ( )
( )
22
2
1 2 4 1995x y z y z z z= − + − + − − + − +
15
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến
Phương pháp :
- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức.
- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế.
- Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ :
+
2a b ab+
( Dấu = khi a = b, với a, b không âm)
+
22
2a b ab+
( Dấu = khi a = b)
+
1
2a
a
+
( Dấu = khi a = 1)
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
33
;1A x y xy x y= + + + =
b.
22
5 ; 1B x y x y= + + =
c.
22
2 ; 2 1C x y x y= + + =
d.
22
2 5 ;4 3 7D x y x y= + − =
Lời giải
a.
2 2 2 2
( )( )A x y x xy y xy x y= + − + + = +
Có :
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 (1 ) 2 2 1 2( .2 ) 1 2( )
2 4 4 2 2 2
x y x y A y y y y y y y+ = = − = − + = − + = − + − + = − +
Dấu ‘ = ’’ xảy ra
11
;
22
xy==
b. Có
2 2 2 2 2
1 1 1 5 5 1 5
1 1 5 (1 ) 6 2 1 6( ) 6( ) ;
3 6 6 6 6 6 6
x y y x B x x x x x x x x y+ = = − = + − = − + = − + = − + = =
c.
2 2 2
11
2 6 4 1 min
33
C x y y y C y x= + = − + = = =
d.
2 2 2 2
4 7 4 7
4 3 7 2 5( ) 9 98 280 245 2(7 10) 45 45
33
xx
x y y D x D x x x
−−
− = = = + = − + = − +
16
10 3
min 5 ;
77
D x y
−
= = =
Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ]
Cho a + b = 1. Tìm GTNN của
22
( 2 ) ( )A a a b b b a= + + −
Lời giải
Có a + b = 1
2 2 3 3 3 3 3 3 2
1 ( 2 ) ( ) 2 (1 ) (1 ) 2 2 1b a A a a b b b a a ab b ab a b ab a a a a a a = − = + + − = + + − = + + = + − + − = − +
22
1 1 1 1 1
2( ) 2( )
2 2 2 2 2
a a a a a b= − + = − + = =
Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2. Tìm GTNN của
33
2A x y xy= + +
Lời giải
3 3 3
2 ( ) 3 ( ) 2A x y xy x y xy x y xy= + + = + − + +
Theo giả thiết
3 2 2
2 2 2 6 (2 ) 2 (2 ) 4 8 8 4( 1) 4 4 1x y y x A x x x x x x x R x y+ = = − = − − + − = − + = − + = =
Bài 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn : x + y + 4 = 0. Tìm GTLN của
3 3 2 2
2( ) 3( ) 10A x y x y xy= + + + +
Lời giải
Ta có :
3 3 2 2 3 2
2( ) 3( ) 10 2( ) 6 ( ) 3( ) 6 10A x y x y xy x y xy x y x y xy xy= + + + + = + − + + + − +
22
28 80 28 ( 4 ) 80 28( 4 4) 32 28( 2) 32 32 2 2xy x x x x A x x y= − = − − − = − + + + = − + + = − → = −
Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn:
22
4x y xy+ − =
. Tìm GTLN, GTNN của
22
P x y=+
17
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
0
4 8 2 ( ) 8
4
xy
x y xy x y x y xy x y x y x y P
x y xy
−=
+ − = = + + + − = + + − +
+ − =
2xy = =
Vậy GTLN của P = -2
2
2
xy
xy
==
= = −
Mặt khác:
2 2 2 2 2 2 2
22
2
0
8
3
8 2( ) 2 3( ) ( ) 3( )
2
3
4
3
xy
xy
x y xy x y x y x y P
x y xy
xy
= − =
+=
= + − = + − − +

−
+ − =
= − =
Vậy GTNN của P =
22
;
8
33
22
3
;
33
xy
xy
−
==
−
==
Bài 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
2 2 4x y z+ + =
. Tìm GTLN của biểu thức
2A xy yz zx= + +
Lời giải
Từ giả thiết:
2 2 4 4 2 2 2 (4 2 2 ) (4 2 2 )x y z z x y A xy y x y x x y+ + = = − − = + − − + − −
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4 4 2 4 4 4 8 8 4 4 ( 2) ( 2) ( 2) 4 8x y xy x y A x y xy x y x x y y y y y= − − − + + = − − − + + = − − + − − + − − +
22
2
4 2 16 16 16 4
3
(2 2) 3( ) 4 (2 2) 3( )
2
3 3 3 3 3 3
3
x
x y y y x y y A z
y
=
= − + − − − + = − + − − − + =
=
Bài 7: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN của
23A xy yz xz= + +
Lời giải
18
Từ giả thiết
22
6 (2 3 ) (6 )(2 3 ) 3 2 4 18 12z x y A xy z y x xy x y y x x y xy x y = − − = + + = + − − + = − − − + +
2 2 2 2 2 2
3 9 6 12 54 36 9 6 (2 9) 6 36 (3 2 9) 2 81 81A x y xy x y x x y y y x y y = − − − + + = − − − − + =− + − − +
3 2 9 0 3
27 3
00
x y x
Az
yy
+ − = =

=

==

Bài 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn:
22
2 7( ) 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
. Tìm GTNN
3A x y= + +
Lời giải
Từ giả thiết
2 2 2 2 2 2
2 7( ) 2 10 0 4 8 28 28 8 40 0 (2 2 7) 4 9x xy x y y x xy x y y x y y+ + + + + = + + + + + = + + + =
2
(2 2 7) 9 2 2 7 3 3 2 2 7 3 5 2 2 1x y x y x y x y A + + + + − + + − + − −
+)
1 2; 0A x y= = − =
+)
2 5; 0A x y= − = − =
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của
2009S ab=+
, với a, b, là hai số thực khác 0 và
2
2
2
1
24
4
b
a
a
+ + =
Lời giải
Ta có:
2
2 2 2 2
2
1
0
11
4 2 2 ( ) ( ) 2 2 2011
42
0
2
a
bb
a
a a ab ab a a ab a ab ab S
b
aa
a
−=
= + − + + − + − = − + − + + +
−=
1; 2
1; 2
ab
ab
= − = −
==
Ta lại có:
22
1
0
1; 2
1
4 ( ) ( ) 2 2 2 2007
1; 2
2
0
2
a
ab
b
a
a a ab ab ab S
ab
b
a
a
−=
= = −
= − + + − + − + −

= − =
+=
19
Vậy GTNN của S = 2007
( , ) ( 1; 2)ab =
Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ]
Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
2
22
3
1
2
m
n np p+ + = −
. Tìm GTNN, GTLN của
A m n p= + +
Lời giải
Theo giả thiết có:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3
1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2
m
n np p n np p m m n p mn np mp m mn n m np
p m n p m n m p m n p m n p m n p
+ + = − + + + = + + + + + + − + + −
+ = + + + − + − = + + − + + − + +
+)
0
2
20
3
2
mn
A m p m n p
m n p
−=
−
= − − = = = =
+ + = −
+)
0
2
20
3
2
mn
A m p m n p
m n p
−=
= − = = = =
+ + =
Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn :
2 2 2
3x y z+ + =
. Tìm GTLN, GTNN
2A x y z= + +
Lời giải
Từ
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 6 6 6 18 ( 2 ) ( ) (2 ) (2 ) 18x y z x y z x y z x y x z y z+ + = + + = + + + − + − + − =
2 18 3 2 3 2x y z A + + −
+)
0
2
20
32
2
20
2
20
xy
xz
xy
A
yz
z
x y z
−=
−
−=
==

= −

−=

=−
+ + =
20
+)
2
3 2 ; 2
2
A x y z= = = =
Bài 12: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn :
2 2 2
3
2 2 4 3 2 (1)
2
m n p mn mp np+ + + + + =
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A m n p= + +
Lời giải
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(1) 4 4 8 6 2 4 3 3( 2 2 2 ) ( 4 4 )
( 2 ) 3 3( ) ( 2 ) ( ) 3 3( ) 3 1 1
m n p mn mp np m n p mn np pm m mp p
n np p m n p m p n p m n p m n p
+ + + + + = + + + + + + − + +
− + = + + + − + − = + + − + +
+)
20
11
1 0 ;
24
1
mp
A n p m n p
m n p
−=
−−
= − − = = = =
+ + = −
+)
20
11
1 0 ;
24
1
mp
A n p m n p
m n p
−=
= − = = = =
+ + =
Bài 13: Cho x + y = z = 3 ;
2 2 2
;A x y z B xy yz zx= + + = + +
a. Chứng minh
AB
b. Tìm GTNN của A
c. Tìm GTLN của B d. Tìm GTNN của A + B
Lời giải
a. Xét
2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 0
2
A B x y x z y z A B x y z

− = − + − + − = =

b.
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2( ) 0
( ) 9 9 2( ) 3( )
x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx
+ + + + + =
+ + = = + + + + + + +
+ + + +
9 3 3 1A A x y z = = =
c.
2 2 2
9 ( ) 2( ) 3( ) 3 3 1x y z xy yz zx xy yz zx B B x y z= + + + + + + + = = = =
21
d. Có:
29
9 6 1
3
AB
A B B x y z
B
+=
+ = − = = =
Bài 14: Cho
, , 1;2abc−
thỏa mãn:
0abc+ + =
. Tìm GTLN của
2 2 2
P a b c= + +
Lời giải
Với
1,2x−
, ta có:
22
1; 2 ( 1)( 2) 0 2 0 2x x x x x x x x − + − − − +
Áp dụng :
2 2 2
2 2 2 6 6 ( , , ) ( 1, 1,2) 6P a b c a b c a b c a b c GTLN= + + + + + + + = + + + = = − − =
Bài 15: Cho
, , 1;2abc−
thỏa mãn
1abc+ + =
. Tìm GTLN của
2 2 2
P a b c= + +
Lời giải
Ta có :
( 1)( 1)( 1) 0 1 0a b c abc ab bc ca a b c+ + + + + + + + + +
(2 )(2 )(2 ) 0 8 4( ) 2( ) 0 3( ) 9 3( ) 0a b c a b c ab bc ca abc ab bc ca a b c− − − − + + + + + − + + + − + +
2
3( ) 6 2 ( ) 2( ) 1 2( ) 5ab bc ca ab bc ca P a b c ab bc ca ab bc ca + + − + + − = + + − + + = − + +
Dấu ‘ = ’’ xảy ra
( , , ) ( 1,0,2) axP=5a b c m = −
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm min của:
22
3A x y=+
biết
31xy+=
Hướng dẫn
Từ
31xy+ = =
( )
2
2
1 3 3 1 3y x A x x= − = + −
22
12 6 1xx= − +
Bài 2: Tìm min của:
A xy=
biết
31xy+=
Hướng dẫn
Ta có
31xy+ =
( )
2
1 3 1 3 3y x A x x x x= − = = − = − +
Bài 3: Tìm min của:
33
A a b ab= − −
biết: a – b =1
Hướng dẫn
22
( ) ( )
3
3
1 1 1a b A b b b b= + = = + − − +
=
2
2 2 1bb++
Bài 4: Tìm max của:
.B ab=
biết:
3 5 12ab+=
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
12 5
3
b
a
−
=
, thay vào
2
12 5 5 12
3 3 3
b
B b b b
−−

= = +


Bài 5: Tìm min của:
33
C x y xy= + +
biết:
1xy+=
Hướng dẫn
Từ gt =>
1yx=−
thay vào C ta được:
( )
3
32
1 2 2 1C x x xy x x= + − + = − +
Bài 6: Tìm min của:
22
2D x y=+
biết:
21xy+=
Hướng dẫn
Từ gt =>
12xy=−
thay vào
( )
2
2
1 2 2D y y= − +
Bài 7: Tìm min của:
22
25E x y=+
biết:
4 3 7xy−=
Hướng dẫn
Từ gt =>
47
3
x
y
−
=
thay vào E và làm tiếp
Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của
11
11P
ab
= − −
Hướng dẫn
Ta có:
1 1 1 1 4 1 3
1 1 1 1
ab
P
a b ab ab ab ab ab ab

+
= − + + = − + = − + = −


Do
4
, 0 4 2 2 4
2
a b a b ab ab ab = + = = = =
Khi đó:
3 3 3 3 1
11
4 4 4ab ab
= − − =
, dấu = xày ra khi
4
2
ab
ab
ab
+=
= = =
=
Bài 9: Tìm min của:
22
11
11F
ab
= + + +
, biết: a + b = 1 và a,b > 0
Hướng dẫn
Cách 1:
23
Ta có:
2 2 2 2
1 1 2 2
a b a b b a
a b a b
++
+ + + = + + +
=
22
22
84
a b a b
b a b a


+ + + +




8 4.2 2 18 + + =
Cách 2:
Ta có:
22
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
a b a b
F
a b a b ab
a b a b a b

++
= + + + + + = + + + + = + +


22
22
2
2
ab
F
ab
ab
+
= + +
(1)
Mà
22
1 1 2a b a b ab+ = = + = −
thay vào (1) ta được:
2 2 2 2
2 1 2 1
22
ab
F
ab
a b a b
−
= + + = +
Lại có:
22
1 1 1
12
2 4 16
a b ab ab ab a b+ = = = =
2 2 2 2
1 16 1
2 2 16 18F
a b a b
= = = + + =
Dấu = khi và chỉ khi
1
1
2
ab
ab
ab
+=
= = =
=
Bài 10: Cho x, y thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
, tìm Max của: A= x.y
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2
22
2
1
4 2 2
4
y
x x xy xy
x


= + − + + − + +




=>
22
1
42
2
y
x x xy
x
= − + − + +
=>
2 4 2xy xy+ =
Bài 11: Cho hai số thực a,b
0, thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
b
a
a
+ + =
, Tìm min, max của:
2017S ab=+
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
22
2
22
2
11
4 2 2 2
42
bb
a a ab ab a a ab
aa

= + − + + − + + = − + − + +


=>
2 4 2017 2019 2019ab ab S+ = + =
Mặt khác :
22
2
22
2
11
4 2 2 2
42
bb
a a ab ab a a ab
aa

= + − + + + − + = − + − − +


24
=>
2 4 2 2017 2015ab ab ab− + = − = +
=>
2015S
Bài 12: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn:
2
2
2
8
8
8
y
x
x
+ + =
, Tìm min, max của:
2024A xy=+
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
8 16 16
8 16 2 8 8
8 4 4
y y y
x x x x xy xy
x x x


= + + = = + + = + − + + + − +




=>
22
4
8 8 8 16 8 2024 2016
2
y
x x xy xy xy A xy
x
= − + + − + = − + = − = = +
Mặt khác :
22
2
22
2
16 4
16 8 8 8
42
yy
x x xy xy x x xy
xx

= + − + + − + + = − + − + −


=>
8 16 8 2024 2032xy xy S xy− = = = +
Bài 13: Cho x, y
R khác 0 biết:
22
2
1
84
4
xy
x
+ + =
, Tìm x, y để
.B x y=
đạt min và đạt max
Hướng dẫn
Ta có :
( )
2 2 2 2 2
22
11
4 8 4 2 4 4 4 2
44
x y x x y xy xy
xx

= + + = + − + + − + +


4 =
( )
2
2
11
2 2 4 2 4 2 4
22
x x y xy xy B xy
x

− + − + + = + = =


Mặt khác :
( )
2
2
11
4 2 2 4 2 4 2 4
22
x x y xy xy B xy
x
−

= − + + − + = − + = =


Bài 14: Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1, Tìm min của:
( )( )
22
4 3 4 3 25A x y y x xy= + + +
Hướng dẫn
Ta có :
( )
2 3 3 2 2 3 3
16( ) 12 12 9 25 6 12 34A xy x y xy xy x y x y xy= + + + + = + + +
Vì x + y = 1 nên
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
3 1 3x y x y x xy y x y xy xy+ = + − + = + − = −
, thay vào A
( )
22
6 12 1 3 34A x y xy xy= + − +
, Đặt xy = t khi đó:
2
6 2 12A t t= − +
Bài 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
1xy+=
Tìm min của biểu thức:
( )( )
22
4 4 8C x y y x xy= + + +
25
Hướng dẫn
Ta có :
( )( ) ( )
2 2 2 2 3 3 2 2 3 3
4 4 8 4 4 16 8 4 24C x y y x xy x y x y xy xy x y x y xy= + + + = + + + + = + + +
Do
( ) ( )
3
33
1 3 1 3x y x y x y xy x y xy+ = = + = + − + = −
Thay vào C ta được :
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 1 3 24 12 4 2 .6 36 32 6 32 32C x y xy xy x y xy x y xy xy= + − + = + + = + + − = + − −
32MinC =−
, Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
13
62
x y x
xy y

+ = =
=

= − = −

hoặc
2
3
x
y
=−
=
Bài 16: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x + 2y = 3 tìm min của:
22
2A x y=+
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
32xy=−
thay vào
( )
2
22
3 2 2 6 12 9A y y y y= − + = − +
Bài 17: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn:
22
4x y xy+ − =
, Tìm min và max của:
22
A x y=+
Hướng dẫn
Ta có :
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 8 8x y xy x y xy x y x y+ − = = + − = = − + + =
22
8xy +
hay
8A
mặt khác :
( )
2
2 2 2 2 2 2
8 2 2 2 2 2 8 2 3 3 8x y xy x y xy x y x y= + − = + = + = + = + +
8
=>
22
8
3
xy+
hay
8
3
A
Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của:
33
2A x y xy= + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2yx=−
thay vào A ta được :
( ) ( )
3
3
2 2 2A x x x x= + − + −
Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn:
40xy+ + =
, Tìm max của:
( ) ( )
3 3 2 2
2 3 10A x y x y xy= + + + +
Hướng dẫn
Ta có:
4xy+ = −
, nên
( ) ( )
3
33
3 64 12x y x y xy x y xy+ = + − + = − +
,
( )
2
22
2 16 2x y x y xy xy+ = + − = −
thay vào
( ) ( )
2 64 12 3 16 2 10A xy xy xy= − + + − +
26
Bài 20: Cho x, y, z
R, thỏa mãn:
2 2 4x y z+ + =
, tìm max của:
2A xy yz zx= + +
Hướng dẫn
Từ giả thiết
4 2 2z x y = − −
thay vào A ta được :
( ) ( )
22
2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4A xy y x y x x y x y xy x y= + − − + − − = − − − + +
Bài 21: Cho x, y, z
R thỏa mãn:
6x y z+ + =
. Tìm max của:
23A xy yz zx= + +
Hướng dẫn
Từ gt =>
6z x y= − −
thay vào
( ) ( )
2 6 3 6A xy y x y x x y= + − − + − −
Bài 22: Cho x,y
R thỏa mãn:
( )
22
2 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
, tìm min và max của:
3S x y= + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
22
2 7 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
( )
2
2
22
27
2 7 (2 7)
2 2 7 10 0
2 4 4
y
yy
x x y y
+
++

+ + + + + − =


2
2
79
0
24
x y y

+ + + − =


3 7 3
52
2 2 2
x y x y − + + = − + −
2 3 1xy− + +
Bài 23: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
2
22
3
1
2
m
n np p+ + = −
. Tìm min, max của:
A m n p= + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2n np p m m n p np+ + = − = + + + =
=>
( )
2 2 2 2 2 2
( 2 2 2 ) 2 2 2 2m n p mn np mp m n p mn mp+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
2m n p m p m n+ + + − + −
=>
22m n p− + +
Bài 24: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
, Tìm min, max của:
2P x y z= + +
Hướng dẫn
Ta có :
( )
2
2 2 2 2
2 4 2 4 4P x y z x y z xy yz xz= + + = + + + + +
, nên ta nhân 6 vào gt :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
18 6 6 6 4 2 4 4 5 5 2 2 4 4x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx= + + = + + + + + + + + − − −
27
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
18 2 2 2x y z x y x z y z= + + + − + − + −
=>
( )
2
2 18x y z+ +
18 2 18x y z− + +
Bài 25: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
2 2 2
3
2 2 4 3 2
2
m n p mn mp np+ + + + + =
,
Tìm min max của:
B m n p= + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2 2 2
4 4 8 6 2 4 3m n p mn mp np+ + + + + =
=>
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 5 4 2 3m n p mn mp np m n p mp np+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3m n p p m n p+ + + − + − =
=>
( )
2
3 3 1 1m n p m n p+ + = − + +
Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn:
3x y z+ + =
, Tìm min max của:
A xy yz zx= + +
Hướng dẫn
Từ gt=>
3z x y= − −
thay vào
( ) ( )
33A xy y x y x x y= + − − + − −
=
22
33x y xy x y− − + +
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của:
34B xy yz zx= − + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
3z x y= − −
=>
( ) ( )
3 3 4 3B xy y x y x x y= − + − − + − −
22
4 3 16 9 12B x y xy y x = − − − + +
Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 3 4x y z+ − =
, Tìm min max của
A xy yz zx= − + +
Hướng dẫn
Từ gt =>
2 3 4z x y= + −
thay vào
( ) ( )
2 3 4 2 3 4A xy y x y x x y= − + + − + + −
Bài 29: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 3 4x y z+ − =
, tìm min max của:
12 3 4B xy yz zx= − −
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
2 3 4z x y= + −
thay vào
( ) ( )
12 3 2 3 4 4 2 3 4B xy y x y x x y= − + − − + −
Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
2xy+ = −
, tìm min của:
( )
33
2 15 7A x y xy= + − +
Hướng dẫn
28
Từ x + y = -2, ta có:
( ) ( )
3
33
3 8 6x y x y xy x y xy+ = + − + = − +
thay vào
( )
2 8 6 15 7 3 9A xy xy xy= − + − + = − −
và y = - 2 - x thay vào
( )
3 2 9A x x= − − − −
Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2xy+ = −
, Tìm min của
( )
4 4 3 3 2 2 2 2
2 2 13B x y x y x y xy x y xy= + − − + + + +
Hướng dẫn
( )
4 4 3 3 2 2 2 2
2 2 13B x y x y x y xy x y xy= + − − + + + +
Từ x + y = - 2, ta có:
( ) ( )
2
22
4 4 2 2 2 2
2 2 4 2 2x y x y xy x y xy x y

+ = + − − = − −

33
68x y xy+ = −
,
22
42x y xy+ = −
, Thay vào b ta được :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
4 2 2 6 8 2 2 4 2 13B xy x y xy x y xy xy xy= − − − − + + − +
24B xy= − +
, thay
2
22y x B x x= − − = = +
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
5xy+=
, tìm max của:
( )
3 3 2 2
82A x y x y xy= + − + + +
Hướng dẫn
Vì
5xy+=
nên
33
125 15x y xy+ = −
và
22
25 2x y xy+ = −
thay vào
( )
125 15 8 25 2 2A xy xy xy= − − − + +
Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của:
( ) ( )
4 4 3 3 2 2 2 2
4 20 2B x y x y x y x y xy= + − + − + − +
Hướng dẫn
( ) ( )
4 4 3 3 2 2 2 2
4 20 2B x y x y x y x y xy= + − + − + − +
Vì x + y = 5 nên
( )
2
4 4 2 2
25 2 2x y xy x y+ = − −
,
33
125 15x y xy+ = −
,
22
25 2x y xy+ = −
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
25 2 2 4 125 15 20 25 2 2B xy x y xy xy x y xy= − − − − − − − +
Bài 34: Cho hai số x, y thỏa mãn:
( )
44
7 3 2x y xy xy+ − = −
, Tìm min max của:
P xy=
Hướng dẫn
29
Từ gt =>
4 4 2 2
3 2 7x y xy x y+ − + =
=>
( ) ( )
2
2
4 2 2 4 2 2 2 2
3 121
2 4 3 7 2
4 16
x x y y x y xy x y xy

− + + − = = − + − =


=>
2
3 121
2
4 16
xy

−


Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn:
22
7 9 12 4 6 15 0x y xy x y+ + − − − =
, Tìm min max của:
2 3 5A x y= + +
Hướng dẫn
Từ gt =>
( ) ( )
22
2
2 3 2.2 .3 2.2 2.3 1 3 16x y x y x y x+ + − − + + =
=>
( )
2
2
2 3 1 3 16x y x+ + + =
Bài 36: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 2 2
3 2 5 4 2 2 5x y z xy xz yz+ + + − + =
, Tìm min max của:
P x y=+
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 5 2 2 2 5x y xy x y z xy xz yz+ + + + + + − + =
=>
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2 2 2 4 4 5x y x y z xy yz zx z xz x+ + + + + + + + − + =
=>
( )
2
5 5 5x y x y+ = − +
Bài 37: Cho các số x, y, z thỏa mãn:
3 2 1x y z+ + =
. Tìm min max của:
2 2 2
p x y z= + +
Hướng dẫn
Từ gt ta có:
1 3 2y x z= − −
=>
2 2 2
1 9 4 6 12 4y x z x xz z= + + − + −
khi đó :
22
10 5 12 6 4 1P x z xz x z= + + − − +
Bài 38: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của:
234A xy yz zx= + +
Hướng dẫn
Từ gt =>
1z x y= − −
thay vào
( ) ( )
2 3 1 4 1A xy y x y x x y= + − − + − −
Bài 39: Cho x, y
R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x. y
Hướng dẫn
Từ gt =>
12xy=−
thay vào
( )
12P y y=−
Bài 40: Cho x, y
0, x + y = 1, Tìm min, max của:
22
A x y=+
30
Hướng dẫn
Từ gt =>
1yx=−
thay vào
( )
2
2
1A x x= + −
Bài 41: Tìm min max của:
P x y z= + +
, biết:
2 2 2
3
1
2
y z yz x+ + = −
Hướng dẫn
Từ gt =>
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2y z yz x x y z yz+ + = − = + + + =
=>
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2x y z xy yz zx x y z xy zx+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
22x y z x y x z x y z+ + + − + − = = + +
Bài 42: Cho
22
3 2 10 14 18 0x y xy x y+ + − − + =
, Tìm min, max của:
S x y=+
Hướng dẫn
Từ gt =>
( ) ( )
2
2 2 2
2 5 5 3 14 18 10 25 0x x y y y y y y+ − + − + − + − + − =
=>
( )
( )
( )
22
2
5 2 2 1 9 5 9x y y y x y+ − + − + = = + −
=>
3 5 3xy− + −
Bài 43: Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21.
Tìm max của A = a + b + c
Hướng dẫn
Cộng theo vế giả thiết ta được :
( )
3 3 5 72 3 72 2 72a c b a b c b+ + = = + + = −
Do
72
0 24
3
b a b c = + + =
Bài 44: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: 2a + b = 6 - 3c và 3a + 4b = 3c + 4.
Tìm min
2 3 4E a b c= + −
Hướng dẫn
Cộng theo vế ta được :
4
43
3
2
3 2 2
3
c
ac
ab
bc
c
=−
+ = = =

=−
do
0
0
a
b
Khi đó:
( ) ( )
2 4 3 3 3 2 4 2E c c c c= − + − − = −
31
Bài 45: Cho
, , 0,2 7 2014,3 5 3031x y z x y x z + = + =
, Tìm GTLN của biểu thức
A x y z= + +
Hướng dẫn
Cộng theo vế của gt ta có:
5 5 5 5045 2 5045x y z y+ + = −
do
0y
nên
( )
5 5045 1009x y z x y z+ + = + +
Bài 46: Cho
2ab+=
,Tìm max của:
( )
22
A ab a b=+
Hướng dẫn
Ta có:
( )
2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 4a b a b ab A ab ab a b ab+ = = + = − = = − = − +
( )
22
2 1 2 2A a b ab= − − + +
, Max
2A=
Bài 47: Cho x, y thỏa mãn:
( )( )
11 6 2015 3 0x y x y+ + − + =
, Tìm min của:
5 2016P xy x= − +
Hướng dẫn
Từ gt ta có :
11 6 2015 0xy+ + =
hoặc
30xy− + =
TH1: Ta có :
11 2015
11 6 2015 0
6
x
x y y
+
+ + = = =
thay vào P
TH2: ta có:
3 0 3x y y x− + = = = +
thay vào P
Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
3x y z+ + =
, Tìm GTLN của :
B xy yz zx= + +
Hướng dẫn
Ta có :
( ) ( ) ( )
3B xy z x y xy x y x y= + + = + − + +


=
( ) ( )
2
22
3 3 3xy x y x y x y xy x y+ + − + = − − − + +
=
( )
2
2
33
1 3 3
24
y
xy
−−

− + + − +


Bài 49: Cho
22
35x xy y+ + =
, tìm Min hoặc max của biểu thức :
22
22P x xy y= − +
Hướng dẫn
Ta có :
22
22
22
53
P x xy y
x xy y
−+
=
++
32
Dạng 5: Phương pháp đổi biến số
Phương pháp:
- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng các hằng đẳng thức
( ) ( )
22
,a b a b c + +
.
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức
22
( 1) ( 3)A x x= − + −
Lời giải
Đặt
2 2 2
2 ( 1) ( 1) 2 2 2 min 2 0 2y x A y y y A y x= − = + + − = + = = =
Bài 2: Tìm GTNN của
( 1)( 4)( 5)( 8)A x x x x= − − − −
Lời giải
22
( 1)( 4)( 5)( 8) ( 9 8)( 9 20)A x x x x x x x x= − − − − = − + − +
Đặt
2 2 2 2
2
9 8 ( 12) 12 ( 6) 36 36 6 9 14 0
7
x
t x x A t t t t t t x x
x
=
= − + = + = + = + − − = − + =
=
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức
2
2
41
( 0)
xx
Ax
x
−+
=
Lời giải
22
2
4 1 1 1
1 1 4 ( ) ( 2) 3 3 2
2
A y y y A y y x
x x x
= − + = − + = = − − − = =
Bài 4: Tìm GTNN của:
( )( )( )
3 4 7A x x x x= − − −
Lời giải
( )( )( )
( )( )
22
7 3 4 7 7 12A x x x x x x x x= − − − = − − +
, đặt
2
76x x t− + =
, khi đó:
33
( )( )
2
6 6 36 36A t t t= − + = − −
, dấu “ = ” khi
22
1
0 7 6 0
6
x
t x x
x
=
= = − + = =
=
Vậy Min A = - 36 khi x = 1 hoặc x = 6
Bài 5: Tìm GTNN của:
( )( )
( )
2
1 3 4 5B x x x x= − − − +
Lời giải
( )( )
22
4 5 4 5B x x x x= − + − +
, Đặt
2
4 4 0xx− + =
. Khi đó:
( )( )
2
1 1 1 1B t t t= − + = − −
, Dấu “ = “ khi
22
0 4 4 0 2t x x t= = − + = = =
Bài 6: Tìm min của:
( )( )( )
2 4 6 8A x x x x= + + + +
Lời giải
( )( )( )
( )( )
22
6 2 4 8 6 6 8 8A x x x x x x x x= + + + + = + + + +
, Đặt
2
64x x t+ + =
. Khi đó:
( )( )
22
4 4 8 16 8 8 8A t t t t= − + + = − + = − −
, Dấu “ = ” Khi đó:
22
35
0 6 4 0
35
x
t x x
x
= − +
= = + + = =
= − −
Bài 7: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 4B x x x x= + + + +
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
1 4 2 3 5 4 5 6B x x x x x x x x= + + + + = + + + +
, Đặt
2
55x x t+ + =
, Khi đó:
( )( )
2
1 1 1 1B t t t= − + = − −
, Dấu “ = “ khi
22
55
0 5 5 0
2
t x x x
−
= = + + = = =
Bài 8: Tìm GTNN của:
( )( )
22
62A x x x x= + − + +
Lời giải
Đặt
2
2x x t+ − =
. Khi đó:
( )( )
2
4 4 16 16A t t t= − + = − −
Dấu “ = “ xảy ra khi:
2
1
0 2 0
2
x
t x x
x
=
= = + − = =
=−
34
Bài 9: Tìm GTNN của :
( )( )( )( )
1 2 3 6C x x x x= − + + +
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
1 6 2 3 5 6 5 6C x x x x x x x x= − + + + = + − + +
, Đặt
2
5x x t+=
. Khi đó:
( )( )
2
6 6 36 36C t t t= − + = − −
, Dấu “ = ” khi
2
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 10: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
2 1 2 3 2 1D x x x x= − + + +
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
2 1 3 2 2 1 2 5 3 2 5 2D x x x x x x x x= − + + + = + − + +
, Đặt
2
25x x t+=
, Khi đó:
( )( )
2
2
1 25 25
3 2 6
2 4 4
D t t t t t

−
= − + = − − = − −


, Dấu “ = “ khi:
2
1 1 5 29
25
2 2 4
t x x x
−
= = + = = =
Bài 11: Tìm min của:
( )( )( )( )
1 2 3 4 2011C x x x x= + + + + +
Lời giải
( )( )( )( )
1 4 2 3 2011C x x x x= + + + + +
( )( )
22
5 4 5 6 2011x x x x= + + + + +
, Đặt
2
55x x t+ + =
Khi đó:
( )( )
2
55
1 1 2011 5 5 0
2
C t t x x x
−
= − + + = + + = = =
Bài 12: Tìm max của:
( )( )( )( )
5 1 2 3 6E x x x x= + − + + +
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
5 1 6 2 3 5 6 5 6 5E x x x x x x x x= − − + + + = − + − + + +
, đặt
2
5x x t+=
.
Khi đó:
( )( )
( )
22
6 6 5 36 5 41 41E t t t t= − − + + = − − + = − +
Dấu “ = “ Khi
22
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 13: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 6M x x x x= − + + +
35
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
1 6 2 3 5 6 5 6M x x x x x x x x= − + + = = + − + +
, Đặt
2
5x x t+=
.
Khi đó:
( )( )
2
6 6 36 36M t t t= − + = − −
, Dấu “ = ” khi
2
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 14: Tìm min của:
( )
( )
( )
2
1 4 5 2014D x x x= + − + +
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
1 2 2 5 2014 3 10 3 2 2014D x x x x x x x x= + + − + + = + − + + +
, Đặt
2
34x x t+ − =
Khi đó:
( )( )
2
6 6 2014 1978D t t t= − + + = +
, Dấu “= “ xảy ra khi:
22
1
0 3 4 0
4
x
t x x
x
=
= = + − = =
=−
Bài 15: Tìm GTNN của:
4 3 2
6 10 6 9C x x x x= − + − +
Lời giải
( ) ( ) ( )
( )
2
2
4 2 2 2 2
2.3 . 9 6 9 3 3 0C x x x x x x x x x= − + + − + = − + −
Bài 16: Tìm GTNN của:
( ) ( )
44
86D x x= + + +
Lời giải
Đặt:
( ) ( )
44
42
7 1 1 2 12 2 2x y D y y y y+ = = = + + − = + +
Bài 17: Tìm max của:
( ) ( )
44
2 3 1 3 5F x x= − + − −
Lời giải
Đặt
( ) ( )
44
2 2 3 3 3 3x t F t t− = = = − + − −
( ) ( ) ( )
22
2 2 4 2 4 2
3 6 9 3 6 9 2 6 324 484 6 54 484F t t t t t t t t− = + + + − + − = + + = + +
( )
2
2
6 27 3890 3890Ft= − + +
Bài 18: Tìm min của:
( ) ( )
44
37G x x= + + −
36
Lời giải
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
22
44
22
2 5 5 10 25 10 25x t G t t t t t t− = = = + + − = + + + − +
( ) ( )
2
4 2 4 2 4 2 4 4
2 300 1250 2 2.75 5625 10 2 75 10 10G t t t t t= + + = + + − = + − −
Bài 19: Tìm min của:
4 3 2
6 11 12 20I x x x x= − + + +
Lời giải
( )
4 3 2 2 2 2
6 11 12 20 6 9 2 12 20I x x x x x x x x x= − + − + = − + + − +
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3 2 6 9 2 3 2 3 2 2I x x x x x x x= − + − + + = − + − +
Bài 20: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:
( )( ) ( )
2
1 2 3x x x m+ + +
Lời giải
( )( )( )
( )( )
2
22
1 3 2 4 3 4 4VT x x x x x x x= + + + = + + + +
, Đặt
2
4x x t+=
, Khi đó:
( )( )
2
22
7 49 49 7 1 1
3 4 7 12 2. . 12
2 4 4 2 4 4
VT t t t t t t t

−
= + + = + + = + + + − = + −


37
Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
a. Định nghĩa:
0
0
A A A
A A A
=
= −
b. Tính chất
+)
0;A R A A A
+)
,0x y R x y x y xy + +
+)
, ( ). 0x y R x y x y x y y − − −
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
37A x x= − + −
b.
1 2 3B x x x= − + − + −
c.
1 2 3 4C x x x x= − + − + − + −
d.
5 2 7 8D x x x x= + + + + − + −
e.
1 2 3 4 5 6E x x x x x x= + + + + + + + + + + +
Lời giải
a.
3 7 3 7 3 7 4 4 4 ( 3)(7 ) 0 3 7A x x x x x x A x x x= − + − = − + − − + − = = − −
b.
1 2 3B x x x= − + − + −
Ta có :
1 3 1 3 2(1) ( 1)(3 ) 0 1 3B x x x x x x x= − + − = − + − − −
Mà :
2 0 2(2) 2 2x x C x− = =
c.
1 2 3 4C x x x x= − + − + − + −
Ta có :
1 3 1 3 2 1 3; 2 4 2 4 2 2 4x x x x x x x x x x− + − = − + − − + − = − + −
4 min 4 2 4C C x =
38
d.
5 2 7 8D x x x x= + + + + − + −
Áp dụng bất đẳng thức
M M M R
Ta có :
5 2 7 8 5 2 7 8 22D x x x x x x x x x R= + + + + − + − + + + + − + − =
5 0 5
2 0 2
min 22 2 7
7 0 7
8 0 8
xx
xx
Dx
xx
xx
+ −


+ −

= −

−


−

e.
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6E x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + + = − − + − − + − − + + + + + +
1 2 3 4 5 6 9 min 9 4 3E x x x x x x x R E x − − − − − − + + + + + + = = − −
Bài 2: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
325A x x x= + + − + −
b.
23456B x x x x x= − + − + − + − + −
Lời giải
a.
3 2 5 3 2 5 3 5 3 5 8A x x x x x x x x x x x R= + + − + − = + + − + − + + − + + − =
Dấu ‘ = ’
3 0 3
2 0 2 2
5 0 5
xx
x x x
xx
+ −


− = = =


−

b.
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6B x x x x x x x x x x= − + − + − + − + − = − + − + − + − + −
2 3 5 6 2 3 5 6 6 4x x x x x x x x x R x − + − + − + − − + − + − + − = =
Bài 3: Cho số thực x. Tìm GTLN của các biểu thức sau
a.
52A x x= + − −
b.
2 3 5 4B x x x= − − − − −
39
Lời giải
a.
52A x x= + − −
Áp dụng bất đẳng thức :
, ( ) 0x y x y x y R y x y− − −
5 2 5 ( 2) 7 max 7 ( 2)( 5 2) 0 2A x x x x x R A x x x x= + − − + − − = = − + − +
b.
2 3 5 4B x x x= − − − − −
Vì
5 0 5
5 0 2 4 2 4 2 5
( 4)( 2 4) 0 4
xx
x B x x x x x
x x x x
− = =

− − − − − − − + = =

− − − +

Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x. Tìm GTNN của
1 2 2 7 6 2A x x x x= − − − + + − +
Lời giải
Đặt
2 2 2 2 2 2
2( 0) 2 2 2 1 6 9 ( 1) ( 3)t x t t x x t A t t t t t t= − = − = − = − + + − + = − + −
10
1 3 1 3 2 1 3 1 2 3 3 11
30
t
t t t t t x x
t
−
= − + − − + − = −
−
Bài 5: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
4 2 5 1 4 5( 5)A x x x x x= − + − + − − −
b.
2 1 5 3 4 1 8 6 1( 1)B x x x x x x x= − − + + − − + + − −
Lời giải
a. Đặt
2 2 2
5( 0) 5 ( 1) (2 ) 1 2 1 2 1 2 3t x t x t A t t t t t t t t= − = + = + + − = + + − = + + − + + − =
3 2 0 2 5 2 5 9A t t x x= − −
40
b. Đặt
2 2 2 2
1( 0) 1 ( 1) 5 ( 2) ( 3) 1 5 2 3t x t x t A t t t t t t= − = − = − + − + − = − + − + −
10
1 3 1 3 2 2 2 1 2 5 min 2 5
3
t
t t t t t t x x A x
t
−
− + − − + − = = = − = = = =
Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của
3 2 2012A x x= + + − +
Lời giải
Ta có
3 2 2012 3 2 2012A x x x x= + + − + = + + − +
Lại có :
3 3 3x x x+ + −
Mà
2 2 2 3 2 2012 3 2 2012 2017x x x A x x x x− − = + + − + + + − + =
Vậy
2017 3 2MinA x= −
Bài 7: (HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
3 1 4 3A x x x= + + − + − −
Lời giải
Ta có
3 1 4 3 3 1 4 3A x x x x x x= + + − + − − = + + − + − −
Lại có
1 0 1; 3 3 3; 4 4 4 3 0 4 3 4x x x x x x x x A x x− = + + − − − + + + − − =
Vậy
41MinA x= =
Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của
( )
1 2 1 2
.... 2017 ...
nn
A x a x a x a a a a= − + − + + − +
Lời giải
- Trường hợp
1 2 1 2 2
2 ... ... 2017
k k k k
n k A x a x a x a a x a x a x
++
= = − + − + + − + − + − + + − +
41
Ta có
1
1, ; 1,
i i i k k j k j
x a x a x a i k a x a x x a j k
+ + +
− − = − − =
( )
1 2 1 2 2 1 2 2
... ... 2017 ...
k k k k k k k
A x a x a x a a x a x a x a a a
+ + + +
− + − + + − + − + − + + − + = + + + −
( )
1 2 1
... 2017
k k k
a a a a x a
+
+ + + +
- Trường hợp
1 2 1 2 3 2
2 1 .. ... 2017
k k k k k
n k A x a x a x a x a a x a x a x
+ + +
= + = − + − + + − + − + − + − + + − +
Ta có:
1 1 1
0 ; 1,
k k k j k k j
x a x a a x a x x a j k
+ + + + +
− = − − =
Lại có
1, ; 1,
i i k j k j k j
x a x a x a i k a x a x x a j k
+ + +
− − = − − =
( )
1 2 2 2 1 2 3 2 1
... 0 ... 2017 ...
k k k k k k
A x a x a x a a x a x a a a
+ + + + +
= − + − + + − + + − + + − + = + + + −
Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
5 3 2 3 1A x x x= + + − − +
Lời giải
Ta có
33
5 3 2 3 1 2 3 2 3 1
55
A x x x x x x x= + + − − + = + + + + − − +
Mặt khác
3 3 3 3 3
2 0 ;3 3
5 5 5 5 5
x x x x x
−−

+ = + +


Lại có
3 3 29 29 3
3 2 3 2 0 3 3 2 1
2 5 5 5 5
x x x B x x MinB x
−

− − + + + − + = = =


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của
4 3 5 7 2 9 15A x x x= + + − + − −
Lời giải
( ) ( ) ( )
1 2 2 3 2 1 1 2 1
... 2017 ... ... 2017
k k k k k k
a a a MinB a a a a a a x a
+ + + +
+ + + = + + + − + + + =
42
Ta có
17
55
MinA x
−
= =
Bài 2: Tìm GTNN của
1 2 3 4A x x x x= − + − + − + −
Lời giải
Ta có
4 2 3MinA x=
Bài 3: Tìm GTNN của
( )
2
2 1 3 2 1 2A x x= − − − +
Lời giải
Ta có
15
.
44
Min A x
−
= =
hay
1
4
x
−
=
Bài 4: Tìm GTNN của
1 2 3 ... 1998A x x x x= − + − + − + + −
Lời giải
Ta có
2
. 999 999 1000Min A x=
hay
1
4
x
−
=
Bài 5: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
3 2 5 7 11 9A x x x= + + − + −
Lời giải
Ta có
( )
99
. 11 5 3
11 11
Min A x= − + =
hay
1
4
x
−
=
Bài 6: (Chuyên Toán Quảng Trị năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
5 6 2 1 2 2017A x x x= − + + + +
43
Lời giải
Ta có
2018 2 5 2 1
.
22
Min A x
+ − −
= =
hay
1
4
x
−
=
44
Dạng 7: Dạng phân thức
A. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất
2
min ax
2
()
m
m
A A ax bc c
ax bc c
= + +
++
Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau
a)
2
1
9 12 10
A
xx
=
−+
b)
2
2
4
B
xx
=
++
c)
2
22
( 0)
9 12 5
y
Cx
x xy y
=
−+
Lời giải
a.
ax
22
1 1 1 1 2
9 12 10 (3 2) 6 6 6 3
m
A A x
x x x
= = = =
− + − +
b.
ax
2
2
2 2 2 8 8 1
1 15
4 15 15 2
()
24
m
B B x
xx
x
−
= = = = =
++
+
c.
2
22
( 0)
9 12 5
y
Cx
x xy y
=
−+
+)
00yA= =
+)
2
22
2
1 1 1 2 2
0 ( ) 1
9 12 5 (3 2) 1 3 3
9 12 5
x
y A t t x y
xx
t t y t
yy
= = = = = =
− + − +
−+
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau
a)
2
1
1
y
xx
=
++
b)
2
2
6 5 9
y
xx
=
−−
c)
2
22
3
( 0)
25 20 5
y
Ax
x xy y
=
− + −
45
Lời giải
a)Ta có thể viết:
2
2
11
1
13
24
y
xx
x
==
++

++


Vì
2
1 3 3 4 1
2 4 4 3 2
x y x
−

+ + =


Vậy GTLN của
4
3
y =
tại
1
2
x
−
=
b)
2
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 1
;(3 1) 4 4
6 5 9 (3 1) 4 (3 1) 4 4 (3 1) 4 4 2 3
y x x x
x x x x x
− − − −
= = − + = =
− − − + − + − +
c)
00yA= =
+)
2
22
2
3 3 3
0
25 20 5 (5 2) 1
25 20 5
yA
xx
t t t
yy
−
= = =
− + − − +
− + −
Vì
2
2
1 2 2
(5 2) 0 1 3
(5 2) 1 5 5
t A t x y
t
− − = =
−+
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức sau
a)
2
5
25
A
xx
=
−−
b)
2
1
4 11
B
xx
=
−+
Lời giải
a)
( )
2
2
5 5 5
1
2 5 6
16
A maxA x
xx
x
−
= = = =
−−
−−
b)
2
11
2
4 11 7
Bx
xx
= =
−+
46
B. Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
Ta đưa về dạng:
( 0)
CC
Am
DD
= +
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
2
2
3 8 6
( 1)
21
xx
Ax
xx
−+
=
−+
b.
2
2
1
( 1)
( 1)
xx
Bx
x
−+
=
−
c.
2
2
4 6 1
( 2)
( 2)
xx
Cx
x
−+
=
−
d.
2
2
2 16 41
()
8 22
xx
D x R
xx
−+
=
−+
e.
42
22
41
( 1)
xx
E
x
−−
=
+
f.
2
2
3 12 10
45
xx
F
xx
−+
=
−+
Lời giải
a.
2 2 2 2
2 2 2 2
3 8 6 2( 2 1) ( 4 4) ( 2)
( 1) 2 2 2
2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x
A x x
x x x x x
− + − + − + −
= = + = + =
− + − − −
Cách khác:
( )
( )
2
2
2
22
3( 2 1) 2 1 1
3 8 6 2 1
( 1)
2 1 ( 1) 1
1
x x x
xx
Ax
x x x x
x
− + − − +
−+
= = = +
− + − −
−
Đặt
( )
2
2
11
3 2 1 2 2 min 2 1 1 2
11
y A y y y A y x
xx
= = − + = − + = = = =
−−
b.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 4 4 4 2 1 3 6 3 ( 1) 3 3
( 1) 1
( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4
x x x x x x x x x
B x x
x x x x x
− + − + + + − + +
= = = + = + = −
− − − − −
c.
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 4(2 ) 6(2 ) 1 4(2 1) 6 (2 1) 5( 1) 1 1
2
t x A t t t t t t
x t t t

= = + = + − + + = + − + + = + − −

−

11tx = − =
47
d.
22
2 2 2
2 16 41 2( 8 22) 3 3
( ) 2
8 22 8 22 ( 4) 6
x x x x
D x R
x x x x x
− + − + −
= = = −
− + − + − +
Vì
22
2
3 3 1
( 4) 0 ( 4) 6 6
( 4) 6 6 2
xx
x
− − + =
−+
2
min
2
3 1 3 3
2 2 ( 4) 0 4
( 4) 6 2 2 2
D A x x
x
= − − = = − = =
−+
e.
4 2 4 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 1 4( 2 1) 9( 1) 4 9 4 1
4 4 9 4( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1
x x x x x
E t t t
x x x x x
− − + + − + +
= = = − + = − + =
+ + + + +
2
9 81
(2 ) 4
4 16
Et= − − +
Ta có:
2
9 9 1 9 1 1 17
1 2 2 (2 ) 1 1 0
4 4 4 4 16 16 16
t t t A t x
−
− − = − − = − = =
Lời giải ngắn gọn hơn
42
22
5
1 0 1 0
( 1)
xx
E A x
x
+
+ = − =
+
Cách khác:
42
2 2 2 2
41
0 1 1 0
( 1) ( 1)
xx
Ex
xx
+
= − − = − =
++
f.
2
2 2 2
3 12 10 5 5
3 3 3 5 2
4 5 4 5 ( 2) 1
xx
F
x x x x x
−+
= = − = − − = −
− + − + − +
Do
2
2
5
( 2) 1 1 5 2
( 2) 1
xx
x
−
− + − =
−+
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a.
2
2
3 6 10
( 1)
23
xx
Ax
xx
++
=
++
b.
2
2
11
( 1)
21
xx
Bx
xx
− + −
=
−+
c.
2
( 5)
10 25
x
Cx
xx
= −
++
d.
2
2
4 14
( 1)
21
xx
Dx
xx
+−
=
−+
48
Lời giải
a.
22
2 2 2 2
3 6 10 3( 2 3) 1 1
3
2 3 2 3 ( 1) 2 ( 1) 2
x x x x
A
x x x x x x
+ + + +
= = + = +
+ + + + + + + +
Có:
22
ax
2
1 1 1 7 7
( 1) 0 ( 1) 2 2 3 1
( 1) 2 2 2 2 2
m
x x A A x
x
+ + + = + = = = −
++
b.
2 2 2
2 2 2 2
11 2 1 1 11 ( 1) ( 1) 11 1 11
1
2 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1)
x x x x x x x
B
x x x x x x
− + − − + − − + − − − − − −
= = = = − − −
− + − − − −
Đặt
2 2 2
22
1 1 1 1 1
1 11 (11 1) 11( 2. .
1 22 22 22 11
y A y y y y y y
x

= = − − − = − + + = − + + − +

−

22
1 43 43 1 43 1
11( ) 11( ) 21
22 44 44 22 44 22
y y y x
− − −

= − + + = − + = = −


c.
2
2 2 2 2
( 5) 5 1 5 1
( 5) 5 ( )
10 25 ( 5) ( 5) 5 ( 5) 5
x x x
C x t t t
x x x x x x x
+−
= − = = = − = − =
+ + + + + + +
22
1 1 1 1 1 1 1
5 5( ) 5
10 20 20 20 10 5 10
A t t t A t x
x
−
− = − = − − = = =
+
d.
2
2
4 14
( 1)
21
xx
Dx
xx
+−
=
−+
. Đặt
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 (1 ) 4(1 ) 14 ( 1) 4 ( 1) 14 (3 1) 2 2
1
t x A t t t t t t
x t t t

= = + = + + + − = + + + − = − − +

−

1
24
3
D t x= = =
Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của
2
22
74
22
y xy
A
x xy y
−
=
−+
Lời giải
Điều kiện
( , ) (0,0)xy
49
+)
2 2 2
2 2 2 2
6 9 ( 3 )
1 0 1 3 0
( ) ( )
x xy y x y
A A x y
x y y x y y
− + −
+ = = − =
− + − +
+)
2 2 2
2 2 2 2
( 4 4 ) (2 )
4 0 4 1; 2
( ) ( )
y xy x x y
A A x y
x y y x y y
− + − − −
− = = = =
− + − +
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức
( ) ( )
22
22
1 3 3
1 ; 1
( 1) ( 1)
x x x x
A x B x
xx
+ + − +
= − =
+−
Lời giải
22
2
2 2 2
1 ( 2 1) 1 1 1 1 1
1 1 ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1
x x x x x
A y y y
x x x x x
+ + + + − − +
= = = − + = − + =
+ + + + +
2
min
1 3 3 3 1
( ) 1
2 4 4 4 2
A y A y x= − + = = =
+)
22
2
2 2 2
3 3 ( 2 1) 1 1 1 1 1
1 1( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1
x x x x x
B y y y
x x x x x
− + − + − + +
= = = − + = − + =
− − − − −
2
1 3 3 1
( ) 3
2 4 4 2
B y y x= − + = =
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức
22
22
2
xy
A
x xy y
+
=
++
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
22
2
22
22
22
1
1 1 1 1
2
.
2 2 2 2 2
x y x y
xy
xy
A minA x y
x xy y
x y x y

+ + −
−
+

= = = + = =
++
++
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức
( )
2
2
2 10 1
1
21
xx
Ax
xx
−−
=
−+
Lời giải
50
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
22
2
2 2 1 6 1 9
2 10 1 6 9 3
2 1 3 3
2 1 1 1
11
x x x
xx
A
x x x x
xx
− + − − −
−−

= = = + − = − + +

− + − −

−−
Vì
2
33
1 0 1 3 1 0 2
11
x maxA x
xx

− + = + = = −

−−

51
C. Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
1. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a.
2
8 12
4
x
A
x
+
=
+
b.
2
42
2
x
B
x
+
=
+
c.
( 2)( 8)
( 0)
xx
Cx
x
++
=
Lời giải
a.
2 2 2
2 2 2
8 12 8 16 4 ( 4)
1 1 4
4 4 4
x x x x x
Ax
x x x
+ + + − − +
= = = − + − = −
+ + +
b.
2 2 2
2 2 2
4 2 ( 4 4) ( 2) ( 2)
1 1 2
2 2 2
x x x x x
Bx
x x x
+ + + − + +
= = = − − = −
+ + +
c.
2
( 2)( 8) ( 4)
( 0) 18 18 4
x x x
C x x
xx
+ + −
= = + =
Bài 2: Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011]
2
34
1
x
A
x
−
=
+
b.
2
21
2
x
B
x
+
=
+
c.
2
43
1
x
C
x
+
=
+
d.
2
83
41
x
D
x
+
=
+
e.
2
4
41
x
E
x
=
+
Lời giải
52
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011]
2 2 2
2 2 2
3 4 4 4 1 ( 2)
1 1 2 0 2
1 1 1
x x x x x
A x x
x x x
− − + − − −
= = = − − − = =
+ + +
+)
2 2 2
ax
2 2 2
3 4 4 4 4 4 1 (2 1) 1
4 4 4
1 1 1 2
m
x x x x x
A A x
x x x
− + − − − + −
= = = − = =
+ + +
b.
22
2 1 4 2
2 2( 2)
xx
B
xx
++
==
++
+)
2 2 2
min
2 2 2 2
2 1 4 2 ( 4 4) ( 2) ( 2) 1 1 1
2
2 2( 2) 2( 2) 2( 2) 2 2 2
x x x x x x
B A x
x x x x
+ + + + − + + − −
= = = = − = = −
+ + + +
+)
2 2 2
ax
2 2 2 2 2
2 1 4 2 2 1 2 ( 1)
1 1 1 1
2 2( 2) 2 2 2
m
x x x x x x
B A x
x x x x x
+ + − + − + − −
= = = + = + = =
+ + + + +
c.
2 2 2
2 2 2
4 3 4 4 1 ( 2)
1 1 2
1 1 1
x x x x x
Cx
x x x
+ + + − − +
= = = − − = −
+ + +
+)
2 2 2
2 2 2
4 3 4 4 1 4 4 (2 1) 1
44
1 1 1 2
x x x x x
Cx
x x x
+ − + − + + − −
= = = + =
+ + +
d.
2 2 2
2 2 2
8 3 (4 8 4) (4 1) (2 2)
1 1 1
4 1 4 1 4 1
x x x x x
Dx
x x x
+ + + − + +
= = = − + − = −
+ + +
+)
2 2 2
2 2 2
8 3 16 4 (16 8 1) (4 1) 1
44
4 1 4 1 4 1 4
x x x x x
Dx
x x x
+ + − − + −
= = = − =
+ + +
e.
2 2 2
2 2 2
4 4 1 4 1 4 (2 1) 1
11
4 1 4 1 4 1 2
x x x x x
Ex
x x x
+ − − + −
= = = − =
+ + +
+)
2 2 2
2 2 2
4 (4 1) (4 4 1) (2 1) 1
11
4 1 4 1 4 1 2
x x x x x
Ex
x x x
− + + + + + −
= = = − + − =
+ + +
Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ]
Tìm GTLN của biểu thức
32
3( 1)
1
x
A
x x x
+
=
+ + +
53
Lời giải
ax
3 2 2
3( 1) 3
3 0 3 0
11
m
x
A x A x
x x x x
+
= = = = =
+ + + +
Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ] Tìm GTNN của các biểu thức sau
2
2010 2680
()
1
x
D x R
x
+
=
+
Lời giải
2 2 2
2 2 2 2
2010 2680 335(6 8) 335( 6 9 1) 335( 3)
( ) 335 335 3
1 1 1 1
x x x x x x
D x R x
x x x x
+ + + + − − +
= = = = − − = −
+ + + +
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức sau
( )
2
15 16
3
xx
A x R
x
+
++
=
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
2
4
15 16 23 23 23
4
3 3 3 3 3
x
xx
A x R minA x
xx
+
−
++
= = + = =
Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức sau
( )
( )
2 2 2
2 4 4 2
1
,
22
xy y y x
A x y R
x y y x
+ − +
=
+ + +
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )( )
2 2 2
4
2 4 4 2
42
1
1
,
22
12
xy y y x
y
A x y R
x y y x
yx
+ − +
+
= =
+ + +
++
Vì
4
10yx+
nên chia cả tử và mẫu cho
4
1y +
ta được:
2
1
2
A
x
=
+
Vì
22
2
11
0 2 2 0;
22
x x x x A x y R
x
+ = =
+
Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau
2
42
1
x
A
xx
=
++
54
Lời giải
+) Xét
00xA= =
giá trị này không phải giá trị lớn nhất của A vì với
00xA
+) Xét
0x
đặt
1
max min
P A P
A
=
Ta có
( )
42
22
2 2 2
1 1 1
1; 2 2 1 3 3 1
min
xx
P x x Cosi P P x
x x x
++
= = + + + + = = =
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức sau
( )
( )
2
0
2017
x
Ax
x
−
=
+
Lời giải
55
2. Bậc của tử bằng bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau
a.
2
2
23
( 0)
xx
Ax
x
−+
=
b.
2
2
1
( 1)
( 1)
xx
Bx
x
−+
=
−
c.
2
2
23
2
xx
C
x
++
=
+
d.
2
2
2 2016xx
D
x
−+
=
Lời giải
a.
2 2 2
min
2 2 2
2 3 3( 2 3) ( 3) 2 2 2
( 0) 3 3
3 3 3 3 3
x x x x x
A x x A x
x x x
− + − + −
= = = + = = =
b.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 4 4 4 2 1 3 6 3 ( 1) 3 3
( 1) 1
( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4
x x x x x x x x x
B x x
x x x x x
− + − + + + − + +
= = = + = + = −
− − − − −
c.
2 2 2 2
2 2 2 2
2( 2 3) 4 4 2 1 ( 2) 1
2
2( 2) 2( 2) 2( 2) 2 2( 2) 2
x x x x x x
Cx
x x x x
+ + + + + +
= = + = + = −
+ + + +
d.
2 2 2
2 2 2
2 2016 2016 2 .2016 2016 ( 2016) 2015 2015
2016
2016 2016 2016
x x x x x
Dx
x x x
− + − + −
= = = + =
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a.
2
2
6 2 19
37
xx
A
xx
++
=
++
b.
2
2
23
2
xx
B
x
++
=
+
Lời giải
a.
22
2 2 2
6 2 19 2(3 7) 5 5
2
3 7 3 7 3 7
x x x x
A
x x x x x x
+ + + + +
= = = +
+ + + + + +
Đặt
22
ax min ax
1 83 83 1 5 60 1
3 7 3( ) 2 2
83
6 12 12 6 83 6
12
mm
M x x x x A M A x
−−
= + + = + + = = = + = =
56
b.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2( 2) 4 2 3 ( 1)
2 2 1
2 2 2 2
x x x x x x x x x
Bx
x x x x
+ + − + + + − − + + −
= = = = − =
+ + + +
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau
a.
2
2
3 2 3
1
xx
A
x
++
=
+
b.
2
2
22
1
xx
B
xx
−−
=
++
Lời giải
a.
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 3 2( 1) ( 1) ( 1)
2 2 1
1 1 1 1
x x x x x
Ax
x x x x
+ + + + +
= = + = + = −
+ + + +
+)
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 3 4 4 ( 2 1) ( 1)
4 4 1
1 1 1 1
x x x x x x
Ax
x x x x
+ + + − + −
= = − = − =
+ + + +
b.
2 2 2 2
2 2 2
2 2 3 (2 2 2) 3
2 2 0
1 1 1
x x x x x x
Bx
x x x x x x
− − − + +
= = = − − =
+ + + + + +
+) Với
2
2
2
33
0 2 2
11
1
1
x
xA
xx
xx
= − = −
++
++
Ta lại có:
2
2
1 1 3 1 1 3 3 1 1
1 ( ) 2 2 2
3
4 2 4 2
4
Ax
x x x x
−
+ + = + + − = = = −
Bài 4: Tìm GTLN của
2
2
3 6 10
23
xx
A
xx
++
=
++
Lời giải
22
ax max min
2 2 2
1 1 1
3 3 [ ] [( 1) 2] ( 1) 2 2 1
2 3 ( 1) 2 ( 1) 2
m
A A x x x
x x x x
= + = + + + + + = = −
+ + + + + +
ax
2
1 1 7
11
( 1) 2 2 2
m
x A x
x
= − = = −
++
57
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức sau
( )
2
2
3 6 10
23
xx
A x R
xx
++
=
++
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
2
3 6 10 1 1 7
3 3 1
2 3 2 2
12
xx
Ax
xx
x
++
= = + + = = −
++
++
| 1/57
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của
biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một
giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu
thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên Xét biểu thức ( A x) +) Ta nói (
A x) có giá trị lớn nhất là M, nếu ( A x)  M x  và có giá trị x = 0 sao cho ( A x )
M (Chỉ ra 1 giá trị là được) 0 +) Ta nói (
A x) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu ( A x)  m x  và có giá trị x = 0 sao cho ( A x )
m (Chỉ ra 1 giá trị là được) 0 Như vậy :
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A Ví dụ: Sai lầm 1 2 2 2 ( A )
x = 2x − 2x +3 = x + (x −1) + 2  2  GTNN = 2 ( Không chỉ ra được dấu = ) Đáp án đúng là 1 5 5 5 1 : 2 (
A x) = 2(x − ) +
  GTNN =  x = 2 2 2 2 2 B. Các dạng toán
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai 2
ax + bx + c
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. 2 ( A )
x = x − 4x + 24 b. 2 ( B )
x = 2x −8x +1 c. 2 ( C )
x = 3x + x −1 Lời giải a. 2 2 ( A )
x = x − 4x + 24 = (x − 2) + 20  20 x   min ( A )
x = 20  x = 2 b. 2 2 2 ( B )
x = 2x −8x +1= 2(x − 4x + 4) − 7 = 2(x − 2) − 7  7 −  minB = 7 −  x = 2 1 13 1 − 3 1 − c. 2 2
C(x) = 3x + x −1 = 3(x + ) −   x = 6 12 12 6
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau a. 2 ( A ) x = 5 − x −4x +1 b. 2 ( B ) x = 3 − x + x +1 Lời giải 4 1 2 9 9 2 − a. 2 2 2 ( A x) = 5
− x − 4x +1 = 5
− (x + x − ) = 5
− (x + ) +   x = 5 5 5 5 5 5 1 13 13 1 b. 2 2 B(x) = 3 − x + x +1 = 3 − (x − ) +   x = 6 12 12 6 2
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2
Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. 4 3 2 ( A )
x = x − 6x +10x − 6x + 9 b. 4 3 2 ( B )
x = x −10x + 26x −10x + 30 c. 4 3 2 ( C )
x = x − 2x + 3x − 4x + 2017 d. 4 2 ( D )
x = x − x + 2x + 7 e. 4 3 2 E( )
x = x − 4x + 9x − 20x + 22 f. F(x) = x(x − 3)(x − 4)(x − 7)
g. G(x) = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) − 2006 Lời giải a. 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 ( A )
x = x − 6x +10x − 6x + 9 = (x − 6x + 9x ) + (x − 6x + 9) = (x −3 )
x + (x −3)  0 x  2 x − 3x = 0  min ( A x) = 0    x = 3 x − 3 = 0 2 x − 5x = 0 b. 4 3 2 2 2 2
B(x) = x −10x + 26x −10x + 30 = (x − 5x) + (x − 5) + 5  5    x = 5 x − 5 = 0 c. 2 2 2 2 2 2 ( C )
x = x (x + 2) − 2 (
x x + 2) + (x + 2) + 2015 = (x + 2)(x −1) + 2015  2015  x =1 d. 4 2 2 2 2 2 ( D )
x = x − 2x +1+ x + 2x +1+ 5 = (x −1) + (x +1) + 5  5  x = 1 − e. 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2
E(x) = x − 4x + 9x − 20x + 22 = (x − 4x + 4x ) + 5(x − 4x + 4) + 2 = (x − 2x) + 5(x − 2) + 2  2  x = 2 x =1 f. 2 2 2
F (x) = x(x − 3)(x − 4)(x − 7) = (x − 7x)(x − 7x +12) = y − 36  3 − 6  y = 0   x = 6 x = 0 g. 2 2 2 2
G(x) = (x + 5x − 6)(x + 5x + 6) − 2006 = (x + 5x) − 2042  2 − 042   x = 5 − 3
Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên
Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng F (x y) 2 2 ;
= ax +by + cxy + dx + ey + h( . a . b c  0)( ) 1
- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức (a ab + b ) = (a b)2 2 2 2 như sau 2 2
F ( x y) = mK x y2 + nGy2 ; ;
+ r (2) hoặc F ( ; x y) = mK  ;
x y + nH x + r (3)
Trong đó Gy,H x là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K ;
x y = px + qy + k cũng là biểu
thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với 2
a  0;4ac −b  0 Ta có a F (x y) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . ;
= 4a x + 4abxy + 4acy + 4adx + 4aey + 4ah = 4a x +b y + d + 4abxy + 4adx + 2bdy ( 2 ac − b ) 2
y + y ( ae − bd ) 2 4 2 2 + 4ah − d (  ae − bd
ae − bd
= 2ax + by + d ) + (4ac −b ) 2 2 2 2 2 2 y + + 4ah − d −     2 2  4ac − b
 4ac − b  Vậy có (2) với 2 1 b − ac ae − bd d ae − bd m = .F ( ; x y) 2 2 4 2 (2 )
= 2ax + by + d;n = −
;G( y) = y + ; r = h− − 2 4a 4a 4ac − b 4a 4a ( 2 4ac − b ) +) Nếu 2
a  0; 4ac − b  0  m  0, n  0  (2) : F ( ; x y)  r ( ) * +) Nếu 2
a  0;4ac − b  0  m  0, n  0  (2) : F ( ; x y)  r (* ) *
+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất 4
Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm - Nếu F ( ;
x y)  r  0 hoặc F ( ;
x y)  r  0 thì không có ( ;
x y) nào thảo mãn F(x; y) = 0 +) Nếu 2
a  0;4ac − b  0; r = 0  (2) : F ( ;
x y) phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải
được các bài toán khác
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của a. 2 2
A = x + 2y − 2xy − 4y + 5 b. 2 2 2
B = 2x − 2y + 5y + 5 Lời giải
a) Ta có A x = x + y − xy − y + = (x − xy + y ) + ( y − y + ) + = (x − y)2 + ( y − )2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 5 2 4 4 1 2 +1 x − y = 0  A 1 ,
x y R  " = "    x = y = 2 y − 2 = 0
Vậy min A =1  x = y = 2
b) B = x − y + y + = (x − xy + y ) + (x + xy + y ) + y + = (x − y)2 + (x + y)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 4 4 2 5 2 + 5  5 x − 2y = 0   x = y = 0 x + y = 0
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a. 2 2 ( A )
x = 2x + y − 2xy − 2x + 3 b. 2 2 ( B )
x = x + xy + y −3x −3y c. 2 2 C( )
x = 2x + 3y + 4xy −8x − 2y +18 = + + − + + + d. 2 2 2 ( D ) x 2x 3y 4z 2(x y z) 2 e. 2 2 E( )
x = 2x +8xy +11y − 4x − 2y + 6 f. 2 2 2 F( )
x = 2x + 6y + 5z − 6xy +8yz − 2xz + 2y + 4z + 2 5 g. 2 2 2 ( G )
x = 2x + 2y + z + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 4y h. 2 2 H( )
x = x + y − xy − x + y +1 Lời giải a. 2 2 2 2 2 2 2 ( A )
x = 2x + y − 2xy − 2x + 3 = (x − 2xy + y ) + (x − 2x +1) + 2 = (x − ) y + (x 1
− ) +2  2  x = y =1 b. 2 2 2 2 ( B )
x = (x − 2x +1) + (y − 2y +1) + (
x y −1) − (y −1) −3 = (x −1) + (y −1) + (x −1)(y −1) −3 2 2 1 y −1 y −1  y −1 y − 2 y +1 2 2 2 2 2
= (x −1) + 2(x −1). .(y −1) + ( ) − (
) + ( y −1) − 3 = x −1+ −
+ y − 2y +1− 3   2 2 2  2  4  − 2 y 1 2  y −1 3( y −1) x −1+ = 0 x =1 = x −1+ + − 3  3 −     2    2  4  y =1 y −1 = 0 c. 2 2 2 2 2
C(x) = 2x + 4xy + 2 y + y − 8x − 2y +18 = 2 (x + y) − 2(x + y)2 + 4 + ( y + 6 y + 9) +1   2 2
= 2(x + y −2) +(y +3) +11 min A =1 y = 3 − ; x = 5 d. 2 2 2 2 2 2 ( D )
x = 2x + 3y + 4z − 2(x + y + z) + 2 = 2(x − ) x + (3y − 2 )
y + (4z − 2z) + 2 1 2 1  1  1 1 1 2 2 2
= 2(x − x + ) + 3(y − y + ) + (2z) − 2z + + 2 − − −   4 3 9  4  2 3 4 1 1 1 11 11 1 1 1 2 2 2
= 2(x − ) + 3(y − ) + (2z − ) +   ( ,
x y, z) = ( ; ; ) 2 3 2 2 2 2 3 4 e. 2 2 2 2 2
E(x) = 2(x + 4xy + 4y ) + 3y − 4x − 2y + 6 = 2(x + 2y) − 4(x + 2y) + 2 + 3y + 6y + 4  
x + 2y −1 = 0 x = 3 2 2
= 2(x + 2y −1) + 3(y +1) +11     y +1 = 0 y = 1 − f. 2 2 2 F( )
x = 2x + 6y + 5z − 6xy +8yz − 2xz + 2y + 4z + 2(kh ) o 3y + z 3y + z 2 2 2 2 2
F (x) = 2x − 2x(3y + z) + 2(
) + 6 y + 5z + 8yz − (
) + 2 y + 4z + 2 2 2 6 3y + z 3 10 25 1 2 2 2 2 = 2(x − ) + ( y + yz + z ) +
z + 2 y + 4z + 2 2 2 3 9 3 3y + z 3 5 5 2  1 2 1 2 2 2 = 2(x − ) + ( y + z) + 2( y + z) + + ( z + z + ) +1   2 2 3 3 3  3 3 3  3y + z x − = 0  2  x =1 3 5 2 1  5 2  2 2
= 2(...) + (y + z + ) + (x +1) +11  y + z + = 0  y =1  min A =1 2 3 3 3 3 3  z = 1 −  z +1 = 0  g. 2 2 2 2 2 2
G(x) = 2x + 2 y + z + 2xy − 2xz − 2 yz − 2x − 4 y = (x −1) + ( y − 2) + (x + y − z) − 5  5
−  x =1; y = 2; z = 3 h. 2 2 2 2 2 H( )
x = x + y − xy − x + y +1 4H( ) x = (2 ) x − 2.2 .
x y + y + 3y − 4x + 4y + 4 2 1 8 8 2 2 2 2
= (2x − y) − 2(2x − y) + 3y + 2y + 3 +1 = (2x − y −1) + 3( y + y +1) = (2x − y −1) + 3( y + ) +  3 2 3 3 8 2 1 − 2
 min 4A =  x = ; y =  min A = 3 3 3 3
Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau a. 2 2 A = 4 − x −5y 8
+ xy +10y +12 b. 2 2
−x − y +xy + 2x + 2y Lời giải a. 2 2 2 2 2 2 2 A = 4 − x −5y 8
+ xy +10y +12 = 4
− x +8xy −4y − y +10y −25+37 = 4 − (x − )
y − (y −5) + 37  37 x = 5   y = 5 b. 2 2 2 2
A = −x − y +xy + 2x + 2y  4A = 4
− x −4y + 4xy +8x +8y 2 2 2 2 A = 4 − x + 4 (
x y + 2) − (y + 2) + ( y + 2) − 4y +8y
2x − y − 2 = 0 x = 2 2 2 2 2 = (
− 2x − y − 2) −3(y − 4y) + 4 = (
− 2x − y − 2) −3(y − 2) +16 16  A  4     y − 2 = 0 y = 2 7
Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. 2 2
A = 5x + 9y 1
− 2xy + 24x −48y +82 b. 2 2 2
B = 3x + 3y +z + 5xy −3yz −3xz − 2x − 2y + 3 Lời giải a. 2 2 2 2 2 2
A = 5x + 9y 1
− 2xy + 24x −48y +82 = 9y −12 (
y x + 4) + 4(x + 4) − 4(x + 4) + 5x + 24x + 82
= 3y − 2(x + 4)2 16 2
+ (x − 4) + 2  2 x
 , y R x = 4; y = 3 2  3  3 y 4 2 b. 2 2 B = z − (x + y)
+ (x + − ) + (y − 2) +11    2  4 3 3 3
Bài 5: Tìm GTLN của 2 2 2
A = x + y + z − (x + 2y + 4z ) Lời giải 1 1 1 7 − 7 − 7 1 1 1 2 2 2
−A = (x − ) + 2(y − ) + (2z − ) −   A
x = ; y = ; z = 2 4 4 16 16 16 2 4 8
Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] . Tìm GTNN của 2 2 A = x 2
+ y + 2xy + 2x −4y + 2013 Lời giải 2 2 2 2 2 A = x 2
+ y + 2xy + 2x −4y + 2013 = x + 2 (
x y +1) + (y +1) + (y −3) + 2003  2003  x = 4 − ; y = 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm GTNN của: 2 2
A = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 Hướng dẫn 2
A = x − x(y − ) 2 2
1 + 2y −10y +17 x
x (y ) (y )2  y y (y )2 2 2 2 1 1 2 10 17 1  = − − + − + − + − −  
= (x − y + )2 + ( 2 1 y − 8y +16)
Bài 2: Tìm min của: 2 2
B = x − xy + y − 2x − 2y 8 Hướng dẫn = − (  + + +  + 2) 2 2 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 + − 2 = − 2. . + + − 2 y B x x y y y x x y y − − y −1  2 4  4  
B = (x − y − )2 2 2 4
2 + 4y − 8y − y − 4y − 4
Bài 3: Tìm min của: 2 2
C = x + xy + y −3x −3y Hướng dẫn  − − + 
C = x + x (y − ) 2 2 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y − 6y + 9
3 + y − 3y = x + 2.x. + + y − 3y −  2 4  4  
C = (x + y − )2 2 2 4
3 + 4y −12y − y + 6y − 9  
Bài 4: Tìm min của: 2 2
D = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 Hướng dẫn
D = x − x(y + ) + y + y + = x − x (y + ) + (y + )2 2 2 2 2 + y + y + − ( 2 2 6 6 2 45 2 . 6 6 6 2 45 y +12y + 36)
= (x − y − )2 2
6 + 5y −10y + 9
Bài 5: Tìm min của: 2 2
E = x − xy + 3y − 2x −10y + 20 Hướng dẫn
E = x − x(y − ) 2 2 2 2 2
y − 2 y − 4y + 4 2 y − 4y + 4
2 + 3y −10y + 20 = x − 2 . x +
+ 3y −10y + 20 − 2 4 4
E = (x − y + )2 + ( 2y − y + )−( 2 4 2 12 40 80
y − 4y + 4) = (x − y + )2 +( 2 2
11y − 36y + 76)
Bài 6: Tìm max của: 2 2
F = −x + 2xy − 4y + 2x +10y −3 Hướng dẫn 2 2 2
−F = x − xy + y − x − y + = x − x (y + ) 2 2 4 2 10 3 2
1 + 4y −10y + 3
−F = x − x (y + ) + (y + )2 + y − y + − (y + )2 2 2 2 1 1 4 10 3 1
Bài 7: Tìm min của: G = ( x − ay)2 + (x − ay) 2 2 6
+ x +16y −8ay + 2x −8y +10 Hướng dẫn 9 G (x ay)2 (x ay)  = − + − + +   ( 2 x + x + ) 2 6 9 2
1 +16y − 8ay − 8y
G = (x − ay + )2 + (x + )2 + y − y(a + ) + (a + )2 − (a + )2 2 3 1 16 8 1 1 1
G = (x − ay + )2 + (x + )2 + ( y − a − )2 − (a + )2  −(a + )2 3 1 4 1 1 1
Bài 8: Tìm max của: 2 2
H = −x + xy − y − 2x + 4y +11 Hướng dẫn 2 2 2
−H = x − xy + y + x − y − = x − x (y − ) 2 2 4 11
2 + y − 4y −11
y − 2 y − 4y + 4 (y −2)2 2 2 2
−H = x − 2x. +
+ y − 4y −11− 2 4 4
 − H = (x − y + )2 + 2 y − y − −( 2 4 2 4 16
44 y − 4y + 4)
Bài 9: Tìm min của: 2 2
I = x + 4xy + 5y − 6y +11 Hướng dẫn I = ( 2 2
x + xy + y ) 2 4 4 + y − 6y +11
Bài 10: Tìm min của: 2 2
K = x + y − xy + 3x + 3y + 20 Hướng dẫn K x y xy x yx
x (y ) (y )2  y y (y )2 2 2 2 2 4 4 4 4 12 12 80 4 4 3 3 4 12 80 3  = + − + + + = − − + − + + + − −    
K = ( x − y + )2 2 4 2
3 + 3y +18y + 71
Bài 11: Tìm min của: 2 2
M = x − 2xy + 2y − 2y +1 Hướng dẫn M = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2 y − 2y + ) 1
Bài 12: Tìm min của: 2 2
N = x − 2xy + 2y − x Hướng dẫn 2 2 2y +1 2y +1 2y +1 2
N = x − x (2y + ) 2 2 ( ) 2 ( )
1 + 2y = x − 2x. + + 2y − 2 4 4 10
N = (x − y − )2 2 + y − ( 2 4 2 1 8 4y + 4y + ) 1
Bài 13: Tìm min của: 2 2
A = x − 2xy + 3y − 2x +1997 Hướng dẫn
A = x − x(y + ) + y +
= x − x(y − ) + (y − )2 2 2 2 2 + y + − ( 2 2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 y + 2y + ) 1
Bài 14: Tìm min của: 2 2
Q = x + 2y − 2xy + 2x −10y Hướng dẫn
Q = x − x(y − ) + y − y = x − x(y − ) + (y − )2 2 2 2 2
+ y − y − ( 2 2 1 2 10 2 1 1 2 10 y − 2y + ) 1
Bài 15: Tìm min của: 2 2
R = x + 2y + 2xy − 2y Hướng dẫn 2 2 2 2 2
R = x + 2y + 2xy − 2y = x + 2xy + y + y − 2y +1−1 = (x + y)2 + (y − )2 1 −1  −1
Bài 16: Tìm min của: 2 2
A = 4x + 5y − 4xy −16y + 32 Hướng dẫn 2 2
A = x + y − xy − y + = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 4 5 4 16 32 4 4 4y −16y + 32)
Bài 17: Tìm min của: 2 2 2
B = x + 5y + 5z − 4xy − 4yz − 4z +12 Hướng dẫn B = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2
y − yz + z ) + ( 2 4 4 4 4
z − 4z + 4) + 8
= (x − y)2 + (y − z)2 + (z − )2 2 2 2 + 8  8
Bài 18: Tìm min của: 2 2
C = 5x −12xy + 9y − 4x + 4 Hướng dẫn
C = ( x − x y + y )+(x − x + ) = ( x − y)2 +(x − )2 2 2 2 4 2.2 .3 9 4 4 2 3 2  0
Bài 19: Tìm max của: 2 2
D = −x − y + xy + 2x + 2y Hướng dẫn 11 2 2 2
−D = x + y − xy − x − y = x − x (y + ) 2 2 2 2 + y − 2y y + 2 (y + 2)2 2 2 2 y + 4y + 4
−D = x − 2x. + + y − 2y − 2 4 4
Bài 20: Tìm min của: 2 2
E = x + 5y − 4xy + 2y −3 Hướng dẫn
E = x − xy + y + y + y + − = (x − y)2 + (y + )2 2 2 2 4 4 2 1 4 2 1 − 4  −4
Bài 21: Tìm GTNN của 2 2
A = a + ab + b − 3a − 3b + 3 Hướng dẫn 2 2 Ta có: 2 2
P = a − ab + b + ( 2 2 4 2
3 a + b ) + 4 + 2ab − 4a − 4b = (a − b) + 3(a + b − 2)  0
Bài 22: Tìm min của: 2 2
G = x + xy + y − 3(x + y) + 3 Hướng dẫn 2 2
4G = 4x + 4xy + 4y −12x −12y +12
G = x + x(y − ) + (y − )2 2 + ( 2
y − y + )−( 2 4 4 4 3 3 4 12 12 y − 6y + 9)
G = ( x + y − )2 + y − y + = ( x + y − )2 + (y − )2 2 4 2 3 3 6 3 2 3 3 1  0
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + 4y + z − 2x +8y − 6z +15 = 0 Hướng dẫn
( 2x − x + )+( 2y + y+ )+( 2 2 1 4 8 4
z − 6z + 9) +11
Bài 24: Tìm min của: 2 2
A = 2x + y − 2xy − 2x + 3 Hướng dẫn
A = x − xy + y + x − x + + = (x − y)2 + (x − )2 2 2 2 2 2 1 2 1 + 2  2
Bài 25: Tìm min của: 2 2
B = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 Hướng dẫn
B = x − x(y − ) + (y − )2 2 2
+ y − y + − ( 2 2 1 1 2 10 17 y − 2y + ) 1 2
= (x − y + ) + ( 2 1 y − 8y +16)
Bài 26: Tìm min của: 2 2
D = 2x + 2xy + 5y −8x − 22y 12 Hướng dẫn 2 2 2
D = x + xy + y − x − y = x + x (y − ) 2 2 4 4 10 16 44 4 4 4 +10y − 44y D = x +
x (y − ) + (y − )2 2 2 2 2 4 2.2 4
4 +10y − 44y − y + 8y −16
Bài 27: Tìm min của: 2 2
E = 2x + 9y − 6xy − 6x −12y + 2004 Hướng dẫn 2 2
2E = 4x +18y −12xy −12x − 24y + 4008
E = x − x(y + ) + (y + )2 2 2 + y − y + − ( 2 2 4 12 1 9 1 18 24
4008 9 y + 2y + ) 1
E = ( x − y − )2 2 2 2
1 + 9y − 42y + 3999
Bài 28: Tìm min của: 2 2
F = x − 2xy + 6y −12x +12y + 45 Hướng dẫn
F = x − x(y + ) +(y + )2 2 2 + y + y + − ( 2 2 6 6 6 12
45 y +12y + 36) = (x − y − )2 2 6 + 5y + 9  9
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2
a + ab + b − 3a − 3b + 3 Hướng dẫn
P = a + ab + b − a − b + = P = (a − b)2 + (a + b − )2 2 2 3 3 3 4 3 2  0
Bài 30: Tìm min của: 2 2 2
A = x + 6y +14z −8yz + 6zx − 4xy Hướng dẫn 2
A = x − x( y + z) 2 2 2 2
3 + 6y −14z A = x − x( y+ z)+( y+ z)2 2 + 2 y − 2
z −( 2y + yz+ 2 2 2 3 2 3 6 14 4 12 9z )
A = (x − y − z)2 + 2 y − yz − 2 2 3 2 12 23z
Bài 31: Tìm min của: 2 2 2
B = x + 2y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − 2y −8z + 2000 Hướng dẫn 2
B = x − x(y − z + ) 2 2 2
1 + 2y + 3z − 2y − 8z + 2000
= x − x(y − z + ) + (y − z + )2 2 2 2
+ y + z − y − z + − ( 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2000
y + z +1− 2yz − 2z + 2y) 13
= (x − y + z − )2 + ( 2 2 1
y + 2z − 4y + 2yz +1999)
= (x − y + z − )2 
+ y − y(z + ) + (z + )2 2  2 + z −   ( 2 1 2 2 2 2 z + 4z + 4)+1999 
= (x − y + z − )2 + (y − z − )2 + ( 2 1 2 z − 4z +199 ) 5 14
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Phương pháp :
- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức.
- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế.
- Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ :
+ a + b  2 ab ( Dấu = khi a = b, với a, b không âm) + 2 2
a + b  2ab ( Dấu = khi a = b) 1 + a +  2 a ( Dấu = khi a = 1)
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. 3 3
A = x + y + x ; y x + y =1 b. 2 2
B = 5x + y ; x + y =1 c. 2 2
C = x + 2y ; x + 2y =1 d. 2 2 D = 2x 5
+ y ;4x −3y = 7 Lời giải a. 2 2 2 2 A = (x + )
y (x − xy + y ) + xy = x + y 1 1 1 1 1 1 Có : 2 2 2 2 2
x + y = 1  x = 1− y A = (1− y) + y = 2 y − 2 y +1 = 2( y − . y 2 +
− ) +1 = 2(y − ) +  2 4 4 2 2 2 1 1
Dấu ‘ = ’’ xảy ra x = ; y = 2 2 b. Có 1 1 1 5 5 1 5 2 2 2 2 2
x + y = 1  y = 1− x B = 5x + (1− x) = 6x − 2x +1 = 6(x −
x + ) = 6(x − ) +
  x = ; y = 3 6 6 6 6 6 6 1 1 c. 2 2 2
C = x + 2 y = 6 y − 4 y +1  min C =  y = x = 3 3 4x − 7 4x − 7 d. 2 2 2 2
4x − 3y = 7  y =  D = 2x + 5(
)  9D = 98x − 280x + 245 = 2(7x −10) + 45  45 3 3 15 10 3 −
 min D = 5  x = ; y = 7 7
Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ]
Cho a + b = 1. Tìm GTNN của 2 2 A = ( a a + 2 ) b + ( b b − ) a Lời giải Có a + b = 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2
b =1−a A = ( a a + 2 ) b + ( b b − )
a = a + 2ab + b − ab = a + b + ab = a + (1− ) a + ( a 1− )
a = 2a − 2a +1 1 1 1 1 1 2 2
= 2(a − a + ) = 2(a − ) +  a   a = b = 2 2 2 2 2
Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2. Tìm GTNN của 3 3
A = x + y + 2xy Lời giải 3 3 3
A = x + y + 2xy = (x + y) −3xy(x + y) + 2xy Theo giả thiết 3 2 2
x + y = 2  y = 2 − x A = 2 − 6 ( x 2 − ) x + 2 ( x 2 − )
x = 4x −8x +8 = 4(x −1) + 4  4 R x = y =1
Bài 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn : x + y + 4 = 0. Tìm GTLN của 3 3 2 2
A = 2(x + y ) + 3(x + y ) +10xy Lời giải Ta có : 3 3 2 2 3 2
A = 2(x + y ) + 3(x + y ) +10xy = 2(x + ) y − 6x ( y x + ) y + 3(x + )
y − 6xy +10xy 2 2 = 28xy −80 = 28 ( x 4 − − ) x −80 = 2
− 8(x + 4x+ 4)+32 A= 2
− 8(x+ 2) +32  32  x = 2 − → y = 2 −
Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 2
x + y − xy = 4 . Tìm GTLN, GTNN của 2 2
P = x + y 16 Lời giải Ta có: x − y = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y − xy = 4  8 = x + y + x + y − 2xy = x + y + (x − y)  x + y P  8   2 2
x + y − xy = 4  x = y = 2  x = y = 2
Vậy GTLN của P = -2   x = y = 2 − Mặt khác:  2 x = − y =  8 x + y = 0  2 2 2 2 2 2 2 3
8 = 2(x + y ) − 2xy = 3(x + y ) − (x − y)  3(x + y )  P      2 2 3
x + y − xy = 4 2 − x = −y =  3  2 2 − x = ; y =  8 3 3 Vậy GTNN của P =   3  2 − 2 x = ; y =  3 3
Bài 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 2x + 2y + z = 4. Tìm GTLN của biểu thức
A = 2xy + yz + zx Lời giải
Từ giả thiết: 2x + 2y + z = 4  z = 4 − 2x − 2y A = 2xy + y(4 − 2x − 2y) + x(4 − 2x − 2y) 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2
− x −2y −2xy + 4x + 4y  2A = 4
− x −4y −4xy +8x +8y = 4 − x −4 (
x y + 2) − (y − 2) + (y − 2) − 4y +8y  2 x = 4 2 16 16 16  3 4 2 2
= −(2x + y − 2) − 3(y − y) + 4 = −(2x + y − 2) − 3(y − ) +   A     z = 3 3 3 3 3 2 3 y =  3
Bài 7: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN của A = xy + 2yz + 3xz Lời giải 17 Từ giả thiết 2 2
z = 6− x − y A = xy + z(2y +3 )
x = xy + (6 − x − ) y (2y + 3 ) x = 3
− x −2y −4xy +18x +12y 2 2 2 2 2 2 3A = 9 − x −6y 1
− 2xy +54x +36y = 9 − x −6 (
x 2y −9) − 6y 3 + 6y = (
− 3x + 2y −9) −2y +81 81 3
x + 2y − 9 = 0 x = 3  A  27      z = 3 y = 0 y = 0
Bài 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 2
x + 2xy + 7(x + )
y + 2y +10 = 0 . Tìm GTNN A = x + y + 3 Lời giải Từ giả thiết 2 2 2 2 2 2
x + 2xy + 7(x + )
y + 2y +10 = 0  4x +8xy + 28x + 28y +8y + 40 = 0  (2x + 2y + 7) + 4y = 9 2
 (2x + 2y + 7)  9  2x + 2y + 7  3 3
−  2x + 2y + 7  3  5
−  x + y  2 −  2 −  A 1
+) A = 1  x = 2 − ; y = 0 +) A = 2 −  x = 5 − ; y = 0 2 b 1
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của S = ab + 2009 , với a, b, là hai số thực khác 0 và 2 2a + + = 4 2 4 a Lời giải Ta có:  1 a − = 0 2 1 b 1 b  2 2 2 2 a 4 = a + − 2 + a +
− ab + ab − 2 = (a − ) + (a − ) + ab + a ab + 2  ab  2  S  2011  2 a 4 a 2 ba − = 0  2 a = 1 − ;b = 2 −   a =1;b = 2  1 a − = 0 1 b  a =1;b = 2 − Ta lại có: 2 2 a
4 = (a − ) + (a + ) − ab + 2  −ab + 2  ab  2
−  S  2007     a 2 b  a = 1 − ;b = 2 a + = 0  2 18
Vậy GTNN của S = 2007  ( , a ) b = ( 1  ; 2  )
Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ] 2 3m
Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2 2
n + np + p = 1−
. Tìm GTNN, GTLN của A = m + n + p 2 Lời giải Theo giả thiết có: 2 3m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n + np + p = 1−
 2n + 2np + 2 p + 3m = 2  m + n + p + 2mn + 2np + 2mp + m − 2mn + n + m − 2np 2 2 2 2 2 2
+ p = 2  (m + n + p) + (m − n) + (m − p) = 2  (m + n + p)  2  − 2  m + n + p  2  − 2  m + n + p  2 m − n = 0  − 2
+) A = − 2  m − p = 0
m = n = p = 3 
m + n + p = − 2 m − n = 0  2
+) A = 2  m − p = 0
m = n = p = 3 
m + n + p = 2
Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2
x + y + z = 3 . Tìm GTLN, GTNN A = x + y + 2z Lời giải Từ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z = 3  6x + 6y + 6z =18  (x + y + 2z) + (x − )
y + (2x − z) + (2y − z) =18
x + y + 2z 18  3 − 2  A  3 2 x − y = 0   − 2 2x − z = 0 x = y = +) A = 3 − 2     2 2 y − z = 0   z = − 2
x + y + 2z = 0 19 2
+) A = 3 2  x = y = ; z = 2 2 3
Bài 12: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn : 2 2 2 2m + 2n 4
+ p + 3mn + mp + 2np = (1) 2
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = m + n + p Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)  4m + 4n + 8 p + 6mn + 2mp + 4np = 3  3(m + n + p + 2mn + 2np + 2 p )
m + (m − 4mp + 4 p ) + 2 2 2 2 2 2
(n − 2np + p ) = 3  3(m + n + p) + (m − 2 p) + (n − p) = 3  3(m + n + p)  3  1
−  m + n + p 1 m − 2 p = 0  − − +) 1 1 A = 1
−  n − p = 0  m = ; n = p = 2 4
m+ n+ p = 1 −  m − 2 p = 0  +) 1 1
A = 1  n − p = 0
m = ;n = p = 2 4
m+ n + p =1 
Bài 13: Cho x + y = z = 3 ; 2 2 2
A = x + y + z ; B = xy + yz + zx
a. Chứng minh A B b. Tìm GTNN của A c. Tìm GTLN của B d. Tìm GTNN của A + B Lời giải 1 a. Xét 2 2 2 A − B =
(x − y) + (x − z) + (y − z)   0  A B x = y = z   2 2 2 2
x + y + z + 2(xy + yz + zx) = 0 b. 2 2 2 2 2 2 2
(x + y + z) = 9  
 9 = x + y + z + 2(xy + yz + z )
x  3(x + y + z ) 2 2 2
x + y + z xy + yz + zx
 9  3A A  3  x = y = z =1 c. 2 2 2
9 = (x + y +z ) + 2(xy + yz + z )
x  3(xy + yz + z )
x = 3B B  3  x = y = z =1 20 A + 2B = 9 d. Có: 
A + B = 9 − B  6  x = y = z =1 B  3 Bài 14: Cho , a , b c  1 − ; 
2 thỏa mãn: a + b + c = 0 . Tìm GTLN của 2 2 2
P = a + b + c Lời giải Với x  1 − ,2, ta có: 2 2 x  1
− ; x  2 (x +1)(x −2)  0  x − x −2  0  x x+ 2 Áp dụng : 2 2 2
P = a + b + c a + 2 + b + 2 + c + 2 = a + b + c + 6 = 6  ( , a , b ) c = ( 1 − , 1 − ,2) GTLN = 6 Bài 15: Cho , a , b c  1 − ; 
2 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN của 2 2 2
P = a + b + c Lời giải
Ta có : (a +1)(b +1)(c +1)  0  abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 0 (2 − a)(2 − )
b (2 − c)  0  8 − 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) − abc  0  3(ab + bc + ca) + 9 − 3(a + b + c)  0 2
3(ab+bc +c ) a  6
−  ab+bc +ca  2
−  P = (a+b+ )
c − 2(ab + bc + c )
a =1− 2(ab + bc + c ) a  5
Dấu ‘ = ’’ xảy ra  ( , a , b c) = ( 1 − ,0,2)  a m xP=5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm min của: 2 2
A = 3x + y biết 3x + y = 1 Hướng dẫn
Từ 3x + y = 1 = y = − x A = x + ( − x)2 2 1 3 3 1 3 2 2 =12x − 6x +1
Bài 2: Tìm min của: A = xy biết 3x + y = 1 Hướng dẫn
Ta có 3x + y = 1 y = − x = A = x( − x) 2 1 3 1 3 = 3 − x + x
Bài 3: Tìm min của: 3 3
A = a − b − ab biết: a – b =1 Hướng dẫn 21
a = b + = A = (b + )3 3 1
1 − b − (b + ) 1 b = 2 2b + 2b +1
Bài 4: Tìm max của: B = .
a b biết: 3a + 5b =12 Hướng dẫn 12 − 5b 12 −5b  5 − 12 Từ gt ta có: a = , thay vào 2 B = b = b + b   3  3  3 3
Bài 5: Tìm min của: 3 3
C = x + y + xy biết: x + y = 1 Hướng dẫn
Từ gt => y = 1− x thay vào C ta được: C = x + ( − x)3 3 2 1
+ xy = 2x − 2x +1
Bài 6: Tìm min của: 2 2
D = x + 2y biết: x + 2y = 1 Hướng dẫn
Từ gt => x =1− 2y thay vào D = ( − y)2 2 1 2 + 2y
Bài 7: Tìm min của: 2 2
E = 2x + 5y biết: 4x − 3y = 7 Hướng dẫn 4x − 7 Từ gt => y = thay vào E và làm tiếp 3  1  1 
Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P = 1 − 1−  a  b     Hướng dẫn  1 1  1 a + b 1 4 1 3 Ta có: P = 1− + + = 1− + = 1− + = 1−  a b    ab ab ab ab ab ab 4 Do ,
a b  0 = a + b = 4  2 ab = ab  = 2 = ab  4 2 a + b = 4 Khi đó: 3 3 3 3 1  = 1−  1− = 
= a = b = 2 ab 4 ab 4 4 , dấu = xày ra khi a = b 2 2  1   1 
Bài 9: Tìm min của: F = 1+ + 1+   
 , biết: a + b = 1 và a,b > 0  a   b Hướng dẫn Cách 1: 22 2 2 2 2  a + b   a + b   b   a  2 2
a b   a b  Ta có: 1+ + 1+ = 2 + + 2 +         =8 + 4 + +    +   a   b   a   b  2 2
b a   b a   8+ 4.2+ 2 =18 Cách 2: 2 2  2 1   2 1   1 1   1 1   +   +  Ta có: = 1+ + + 1+ + = 2 + 2 + + + = 2 + 2 a b a b F +  2   2     2 2     2 2  a a   b b
a b   a b   ab a b    2 2 2 = 2 a + b F + + (1) 2 2 ab a b 2 1− 2ab 1 Mà 2 2
a + b = 1 = a + b = 1− 2ab thay vào (1) ta được: F = 2 + + = 2 + 2 2 2 2 ab a b a b 1 1 1 Lại có: 2 2
a + b = 1  2 ab = ab  = ab  = a b  2 4 16 1 16 1 =  = F = 2 +  2 +16 = 18 2 2 2 2 a b a ba + b = 1 1 Dấu = khi và chỉ khi  = a = b = a = b 2 2 1 y
Bài 10: Cho x, y thỏa mãn: 2 2x + + = 4, tìm Max của: A= x.y 2 x 4 Hướng dẫn 2  2 2 1   y   1   y  Từ gt ta có : 2 2 4 = x + − 2 +    x +
− xy  + xy + 2 =>4 = x − + x − + xy + 2     2  x   4   x   2 
=> xy + 2  4 = xy  2 2 b 1
Bài 11: Cho hai số thực a,b  0, thỏa mãn: 2 2a + +
= 4 , Tìm min, max của: S = ab + 2017 2 4 a Hướng dẫn 2 2 2  1   b   1   b  Từ gt ta có : 2 2 4 = a + − 2 +    a +
− ab + ab + 2 = a − + a − + ab + 2     2  a   4   a   2 
=> ab + 2  4 = ab + 2017  2019 = S  2019 2 2 2  1   b   1   b  Mặt khác : 2 2 4 = a + − 2 +    a +
+ ab − ab + 2 = a − + a − − ab + 2     2  a   4   a   2  23 => a
− b + 2  4 = ab  2
− = ab + 2017  2015 => S  2015 2 8 y
Bài 12: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: 2 x + +
= 8, Tìm min, max của: A = xy + 2024 2 x 8 Hướng dẫn 2 2 2 8 y 16 y  16   y  Từ gt ta có : 2 2 2 2 8 = x + + =16 = 2x + + = x + −8 +    x +
+ xy  − xy +8 2 2 2 x 8 x 4  x   4  2 2  4   y  => 8 = x − + x +
− xy + 8 = −xy + 8 16 = xy  8
− = A = xy + 2024  2016      x   2  2 2 2  16   y   4   y  Mặt khác : 2 2 16 = x + −8 +    x +
− xy  + xy +8 = x − + x − + xy −8     2  x   4   x   2 
=> xy −8 16 = xy  8 = S = xy + 2024  2032 1
Bài 13: Cho x, y R khác 0 biết: 2 2 8x + y +
= 4, Tìm x, y để B = .
x y đạt min và đạt max 2 4x Hướng dẫn 1  1  Ta có : 2 2 2 4 = 8x + y + = 4x + − 2 +   ( 2 2
4x + y − 4xy + 4xy + 2 2 2 ) 4x  4x  2  1  1 4 = 2x −
+ (2x − y)2 + 4xy + 2 = 4xy + 2  4 = B = xy     2x  2 2  1  1 −
Mặt khác : 4 = 2x −
+ (2x + y)2 − 4xy + 2 = 4
− xy + 2  4 = B = xy     2x  2
Bài 14: Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1, Tìm min của: A = ( 2 x + y)( 2 4 3
4 y + 3x) + 25xy Hướng dẫn Ta có : 2 3 3 2 2 A = xy
+ x + y + xy + xy = x y + ( 3 3 16( ) 12 12 9 25 6
12 x + y ) + 34xy
Vì x + y = 1 nên x + y = ( x + y)(x − xy + y ) = (x + y)2 3 3 2 2
− 3xy =1− 3xy , thay vào A 2 2
A = 6x y +12(1−3xy) + 34xy , Đặt xy = t khi đó: 2
A = 6t − 2t +12
Bài 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1Tìm min của biểu thức: C = ( 2 x + y)( 2 4
y + 4x) + 8xy 24 Hướng dẫn Ta có : C = ( 2 x + y)( 2 y + x) 2 2 3 3 2 2
+ xy = x y + x + y + xy + xy = x y + ( 3 3 4 4 8 4 4 16 8
4 x + y )+ 24xy 3 Do 3 3
x + y = 1 = x + y = (x + y) − 3xy(x + y) = 1− 3xy Thay vào C ta được :
C = x y + ( − xy) + xy = x y + xy + = (x y + xy + )− = (xy + )2 2 2 2 2 2 2 4 1 3 24 12 4 2 .6 36 32 6 − 32  3 − 2 x + y = 1 x = 3 x = −2 MinC = 32
− , Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  = hoặc  xy 6  = − y = 2 − y = 3
Bài 16: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x + 2y = 3 tìm min của: 2 2
A = x + 2y Hướng dẫn
Từ gt ta có: x = 3 − 2 y thay vào A = ( − y)2 2 2 3 2
+ 2y = 6y −12y + 9
Bài 17: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: 2 2
x + y − xy = 4 , Tìm min và max của: 2 2
A = x + y Hướng dẫn
Ta có : x + y − xy = = x + y − xy = = (x − y)2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 8 + x + y = 8 2 2
x + y  8 hay A  8 8
mặt khác : = x + y − xy = x + y = + xy = x + y = + (x + y)2 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 8 2 3 3 8  8 => 2 2 x + y  3 8 hay A  3
Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: 3 3
A = x + y + 2xy Hướng dẫn Từ gt ta có : 3
y = 2 − x thay vào A ta được : 3
A = x + (2 − x) + 2x (2 − x)
Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y + 4 = 0 , Tìm max của: A = ( 3 3 x + y ) + ( 2 2 2
3 x + y ) +10xy Hướng dẫn
Ta có: x + y = 4
− , nên x + y = (x + y)3 3 3
− 3xy (x + y) = 6 − 4 +12xy ,
x + y = ( x + y)2 2 2
− 2xy =16 − 2xy thay vào A = 2( 6
− 4+12xy)+3(16−2xy)+10xy 25
Bài 20: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: 2x + 2y + z = 4, tìm max của: A = 2xy + yz + zx Hướng dẫn
Từ giả thiết  z = 4 − 2x − 2y thay vào A ta được :
A = xy + y ( − x − y) + x( − x − y) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 = 2
− x − 2y − 2xy + 4x + 4y
Bài 21: Cho x, y, z  R thỏa mãn: x + y + z = 6 . Tìm max của: A = xy + 2yz + 3zx Hướng dẫn
Từ gt => z = 6 − x − y thay vào A = xy + 2y (6 − x − y) + 3x(6 − x − y)
Bài 22: Cho x,y  R thỏa mãn: 2
x + xy + (x + y) 2 2 7
+ 2y +10 = 0 , tìm min và max của:
S = x + y + 3 Hướng dẫn Từ gt ta có: 2 2
x + 2xy + 7x + 7y + 2y +10 = 0  2
2 y + 7  (2 y + 7)2 2 (2 y + 7)  7  9 2 2  x + 2x +
+ 2y + 7 y +10 − = 0   2  x + y + + y − = 0    2  4 4  2  4 3 7 3
 −  x + y +  = 5
−  x + y  −2  2
−  x + y + 3 1 2 2 2 2 3m
Bài 23: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2 2
n + np + p = 1− . Tìm min, max của: 2
A = m + n + p Hướng dẫn Từ gt ta có : 2 2 2 2 2 2
2n + 2np + 2p = 2 −3m = 3m + 2n + 2 p + 2np = 2 => 2 2 2
m + n + p + mn + np + mp + ( 2 2 2 ( 2 2 2 )
2m + n + p − 2mn − 2mp) = 2
=> (m + n + p)2 + (m − p)2 + (m − n)2  2 => − 2  m+ n + p  2
Bài 24: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z = 3 , Tìm min, max của: P = x + y + 2z Hướng dẫn
Ta có : P = ( x + y + z)2 2 2 2 2 2
= x + y + 4z + 2xy + 4yz + 4xz , nên ta nhân 6 vào gt : 2 2 2
= x + y + z = ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 18 6 6 6 4 2 4 4
5x + 5y + 2z − 2xy − 4 yz − 4zx) 26
= (x + y + z)2 + (x − y)2 + ( x − z)2 + ( y − z)2 18 2 2 2
=> ( x + y + z)2 2 18
− 18  x + y + 2z  18 3
Bài 25: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2 2 2
2m + 2n + 4 p + 3mn + mp + 2np = , 2
Tìm min max của: B = m + n + p Hướng dẫn Từ gt ta có : 2 2 2
4m + 4n +8p + 6mn + 2mp + 4np = 3 => ( 2 2 2
m + n + p + mn + mp + np) + ( 2 2 2 3 2 2 2
m + n + 5 p − 4mp − 2np) = 3
=> (m + n + p)2 + ( p − m)2 + (n − p)2 3 2
= 3=> (m + n + p)2 3  3 = 1
−  m + n + p 1
Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của: A = xy + yz + zx Hướng dẫn
Từ gt=> z = 3 − x − y thay vào A = xy + y (3− x − y) + x(3− x − y) = 2 2
x − y − xy + 3x + 3y
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của: B = −xy + 3yz + 4zx Hướng dẫn
Từ gt ta có: z = 3 − x − y => B = −xy + 3y (3− x − y) + 4x(3− x − y) 2 2  B = 4
− x −3y −16xy +9y +12x
Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z = 4, Tìm min max của A = −xy + yz + zx Hướng dẫn
Từ gt => z = 2x + 3y − 4 thay vào A = −xy + y (2x + 3y − 4) + x(2x + 3y − 4)
Bài 29: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z = 4, tìm min max của: B = 12xy − 3yz − 4zx Hướng dẫn
Từ gt ta có : z = 2x + 3y − 4 thay vào B =12xy −3y (2x + 3y − 4) − 4x(2x +3y − 4)
Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = 2
− , tìm min của: A = ( 3 3
2 x + y ) −15xy + 7 Hướng dẫn 27
Từ x + y = -2, ta có: x + y = ( x + y)3 3 3
−3xy(x + y) = 8 − + 6xy thay vào A = 2( 8
− + 6xy)−15xy +7 = 3
− xy −9 và y = - 2 - x thay vào A = 3 − x( 2 − − x)−9
Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2 − , Tìm min của 4 4 3 3 2 2
B = x + y − x − y + x y + xy ( 2 2 2 2
x + y ) +13xy Hướng dẫn 4 4 3 3 2 2
B = x + y − x − y + x y + xy ( 2 2 2 2
x + y ) +13xy 2
Từ x + y = - 2, ta có: x + y = (
x + y)2 − xy − x y = ( − xy)2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 − 2x y   3 3
x + y = 6xy −8, 2 2
x + y = 4 − 2xy , Thay vào b ta được : B = ( − xy)2 2 2
− x y − ( xy − ) 2 2 4 2 2 6
8 + 2x y + 2xy (4 − 2xy) +13xy
B = −xy + 24 , thay 2 y = 2
− − x = B = x +2x
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x + y = 5 , tìm max của: 3 3
A = x + y − ( 2 2
8 x + y ) + xy + 2 Hướng dẫn
Vì x + y = 5 nên 3 3
x + y =125−15xy và 2 2
x + y = 25− 2xy thay vào
A =125 −15xy −8(25 − 2xy) + xy + 2
Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của: 4 4
B = x + y − ( 3 3 x + y ) − ( 2 2 x + y ) 2 2 4 20 − 2x y + xy Hướng dẫn 4 4
B = x + y − ( 3 3 x + y ) − ( 2 2 x + y ) 2 2 4 20 − 2x y + xy
Vì x + y = 5 nên x + y = ( − xy)2 4 4 2 2 25 2 − 2x y , 3 3
x + y =125−15xy , 2 2
x + y = 25− 2xy B = ( − xy)2 2 2 − x y − (
− xy) − ( − xy) 2 2 25 2 2 4 125 15 20 25 2 − 2x y + xy
Bài 34: Cho hai số x, y thỏa mãn: 4 4
x + y − 7 = xy (3− 2xy) , Tìm min max của: P = xy Hướng dẫn 28  3  121 Từ gt => 4 4 2 2
x + y −3xy + 2x y = 7 => ( x − 2x y + y ) + 4x y − 3xy = 7 = (x − y ) 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 + 2xy − =    4  16 2  3  121 => 2xy −     4  16
Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 2
7x + 9y +12xy − 4x −6y −15 = 0 , Tìm min max của:
A = 2x + 3y + 5 Hướng dẫn
Từ gt => ( x)2 + ( y)2 2 2 3 + 2.2 .
x 3y − 2.2x − 2.3y +1+ 3x = 16 => ( x + y + )2 2 2 3 1 + 3x = 16
Bài 36: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2 2 2
3x + 2y + 5z + 4xy − 2xz + 2yz = 5, Tìm min max của:
P = x + y Hướng dẫn Từ gt ta có: ( 2 2
x + y + xy) + ( 2 2 2 2
2x + y + 5z + 2xy − 2xz + 2yz ) = 5
=> ( x + y)2 + ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 2 2
4z − 4xz + x ) = 5
=> ( x + y)2  5 = − 5  x + y  5
Bài 37: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x + y + 2z = 1. Tìm min max của: 2 2 2
p = x + y + z Hướng dẫn
Từ gt ta có: y = 1− 3x − 2z => 2 2 2
y =1+ 9x + 4z − 6x +12xz − 4z khi đó : 2 2
P = 10x + 5z +12xz − 6x − 4z +1
Bài 38: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của: A = 2xy + 3yz + 4zx Hướng dẫn
Từ gt => z = 1− x − y thay vào A = 2xy + 3y (1− x − y) + 4x(1− x − y)
Bài 39: Cho x, y R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x. y Hướng dẫn
Từ gt => x =1− 2y thay vào P = y (1− 2y)
Bài 40: Cho x, y  0, x + y = 1, Tìm min, max của: 2 2
A = x + y 29 Hướng dẫn
Từ gt => y = 1− x thay vào A = x + ( − x)2 2 1 3
Bài 41: Tìm min max của: P = x + y + z , biết: 2 2 2
y + z + yz = 1− x 2 Hướng dẫn Từ gt => 2 2 2 2 2 2
2y + 2z + 2yz = 2 −3x = 3x + 2y + 2z + 2yz = 2 => ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 2 2 2
2x + y + z − 2xy − 2zx) = 2
=> ( x + y + z)2 + ( x − y)2 + ( x − z)2 = = (x + y + z)2 2  2 Bài 42: Cho 2 2
x + 3y + 2xy −10x −14y +18 = 0 , Tìm min, max của: S = x + y Hướng dẫn
Từ gt => x + x( y − ) + ( y − )2 2 2 2 2 5 5
+ 3y −14y +18− y +10y − 25 = 0
=> ( x + y − )2 + ( y − y + ) = = (x + y − )2 2 5 2 2 1 9 5  9 => 3
−  x + y − 5  3
Bài 43: Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21. Tìm max của A = a + b + c Hướng dẫn
Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a + 3c + 5b = 72 = 3(a + b + c) = 72 − 2b  72 72
Do b  0 = a + b + c  = 24 3
Bài 44: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: 2a + b = 6 - 3c và 3a + 4b = 3c + 4.
Tìm min E = 2a + 3b − 4c Hướng dẫn  4 c  a = 4 − 3c  a  0
Cộng theo vế ta được : 3
a + b = 2 =  =  do  b  = 3c − 2 2  b   0 c   3
Khi đó: E = 2(4−3c)+3(3c −2)−4c = 2−c 30 Bài 45: Cho ,
x y, z  0, 2x + 7 y = 2014,3x + 5z = 3031, Tìm GTLN của biểu thức A = x + y + z Hướng dẫn
Cộng theo vế của gt ta có: 5x + 5y + 5z = 5045 − 2y  5045 do y  0
nên 5(x + y + z)  5045 = x + y + z 1009
Bài 46: Cho a + b = 2 ,Tìm max của: = ( 2 2 A ab a + b ) Hướng dẫn Ta có: 2 2
a + b = = a + b = − ab = A = ab( − ab) 2 2 2 4 2 4 2 = 2 − a b + 4ab A = − ( 2 2 a b − 2ab + )
1 + 2  2 , Max A = 2
Bài 47: Cho x, y thỏa mãn: (11x + 6y + 2015)(x − y + )
3 = 0 , Tìm min của: P = xy − 5x + 2016 Hướng dẫn
Từ gt ta có : 11x + 6y + 2015 = 0 hoặc x − y + 3 = 0 11x + 2015
TH1: Ta có : 11x + 6y + 2015 = 0 = y = thay vào P 6
TH2: ta có: x − y + 3 = 0 = y = x + 3 thay vào P
Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 3, Tìm GTLN của : B = xy + yz + zx Hướng dẫn
Ta có : B = xy + z (x + y) = xy + 3
 − (x + y)  (x + y) 2  y − 3  3 − = 2
xy + ( x + y) − ( x + y)2 2 2 3
= −x − y − xy + 3x + 3y = − x + +   ( y − ) 1 + 3  3  2  4 Bài 49: Cho 2 2
x + xy + 3y = 5 , tìm Min hoặc max của biểu thức : 2 2
P = x − 2xy + 2y Hướng dẫn 2 2 P
x − 2xy + 2 y Ta có : = 2 2 5
x + xy + 3y 31
Dạng 5: Phương pháp đổi biến số Phương pháp:
- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. 2 2
- Sử dụng các hằng đẳng thức (a b) ,(a + b + c) .
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức 2 2
A = (x −1) + (x −3) Lời giải Đặt 2 2 2
y = x − 2  A = (y +1) + (y −1) = 2y + 2  2  min A = 2  y = 0  x = 2
Bài 2: Tìm GTNN của A = (x −1)(x − 4)(x − 5)(x − 8) Lời giải 2 2
A = (x −1)(x − 4)(x −5)(x −8) = (x −9x +8)(x −9x + 20)  = Đặ x 2 t 2 2 2 2
t = x − 9x + 8  A = t(t +12) = t +12t = (t + 6) − 36  3
− 6  t = 6  x − 9x +14 = 0   x = 7 2 x − 4x +1
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x  0) 2 x Lời giải 4 1 1 1 2 2 A = 1− +
=1− 4y + y (y = )  A = (y − 2) − 3  −3  y = 2  x = 2 x x x 2
Bài 4: Tìm GTNN của: A = x(x − )
3 ( x − 4)( x − 7) Lời giải
A = x (x − )(x − )(x − ) = ( 2 x − x)( 2 7 3 4 7
x − 7x +12) , đặt 2
x − 7x + 6 = t , khi đó: 32
A = (t − )(t + ) 2 6 6 = t − 36  3 − 6 x = 1 , dấu “ = ” khi 2 2
t = 0 = x − 7x + 6 = 0 =  x  = 6
Vậy Min A = - 36 khi x = 1 hoặc x = 6
Bài 5: Tìm GTNN của: B = (x − )(x − )( 2 1 3 x − 4x + 5) Lời giải B = ( 2 x − x + )( 2 4
5 x − 4x + 5) , Đặt 2
x − 4x + 4 = 0 . Khi đó:
B = (t − )(t + ) 2 1 1 = t −1 1 − , Dấu “ = “ khi 2 2
t = 0 = x − 4x + 4 = 0 = t = 2
Bài 6: Tìm min của: A = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) +8 Lời giải
A = x (x + )(x + )(x + ) + = ( 2 x + x)( 2 6 2 4 8 6
x + 6x + 8) + 8 , Đặt 2
x + 6x + 4 = t . Khi đó:
A = (t − )(t + ) 2 2 4
4 + 8 = t −16 + 8 = t − 8  8
− , Dấu “ = ” Khi đó: x = 3 − + 5 2 2
t = 0 = x + 6x + 4 = 0 =  x  = 3 − − 5
Bài 7: Tìm GTNN của: B = (x + ) 1 ( x + 2)(x + ) 3 (x + 4) Lời giải
B = (x + )(x + )(x + )(x + ) = ( 2 x + x + )( 2 1 4 2 3 5
4 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x + 5 = t , Khi đó:
B = (t − )(t + ) 2 1 1 = t −1 1 − , Dấu “ = “ khi 2 2 5 5 t 0 x 5x 5 0 x −  = = + + = = = 2
Bài 8: Tìm GTNN của: A = ( 2 x + x − )( 2 6 x + x + 2) Lời giải Đặt 2
x + x − 2 = t . Khi đó: A = (t − )(t + ) 2 4 4 = t −16  1 − 6 x = 1 Dấu “ = “ xảy ra khi: 2
t = 0 = x + x − 2 = 0 =  x  = 2 − 33
Bài 9: Tìm GTNN của : C = (x − ) 1 (x + 2)(x + ) 3 (x + 6) Lời giải
C = (x − )(x + )(x + )(x + ) = ( 2 x + x − )( 2 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x = t . Khi đó:
C = (t − )(t + ) 2 6 6 = t − 36  3 − 6 x = 0 , Dấu “ = ” khi 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x  = 5 −
Bài 10: Tìm GTNN của: D = (2x − )
1 ( x + 2)( x + ) 3 (2x + ) 1 Lời giải
D = ( x − )(x + )(x + )( x + ) = ( 2 x + x − )( 2 2 1 3 2 2 1 2 5
3 2x + 5x + 2) , Đặt 2
2x + 5x = t , Khi đó: 2 D (t )(t ) 2  1  25 25 3 2 t t 6 t − = − + = − − = − −   2  , Dấu “ = “ khi:   4 4 1 2 1 5 29 t 2x 5x x −  = = + = = = 2 2 4
Bài 11: Tìm min của: C = (x + ) 1 ( x + 2)(x + ) 3 (x + 4) + 2011 Lời giải C = (x + )
1 (x + 4)(x + 2)(x + )
3 + 2011 = ( 2x + x + )( 2 5
4 x + 5x + 6) + 2011, Đặt 2
x + 5x + 5 = t
Khi đó: C (t )(t ) 2 5 5 1 1 2011 x 5x 5 0 x −  = − + + = + + = = = 2
Bài 12: Tìm max của: E = 5+ (1− x)(x + 2)(x + ) 3 (x + 6) Lời giải
E = − (x − )(x + )(x + )(x + ) = −( 2 x + x − )( 2 5 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) + 5 , đặt 2
x + 5x = t .
Khi đó: E = −(t − )(t + ) + = −( 2t − ) 2 6 6 5
36 + 5 = −t + 41  41 x = 0 Dấu “ = “ Khi 2 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x  = 5 −
Bài 13: Tìm GTNN của: M = (x − )
1 ( x + 2)( x + ) 3 ( x + 6) 34 Lời giải
M = (x − )(x + )(x + )(x = ) = ( 2 x + x − )( 2 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x = t .
Khi đó: M = (t − )(t + ) 2 6 6 = t − 36  3 − 6 x = 0 , Dấu “ = ” khi 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x  = 5 −
Bài 14: Tìm min của: D = (x + )( 2
1 x − 4)(x + 5) + 2014 Lời giải
D = (x + )(x + )(x − )(x + ) + = ( 2 x + x − )( 2 1 2 2 5 2014 3
10 x + 3x + 2) + 2014 , Đặt 2
x + 3x − 4 = t
Khi đó: D = (t − )(t + ) 2 6
6 + 2014 = t +1978 , Dấu “= “ xảy ra khi: x = 1 2 2
t = 0 = x + 3x − 4 = 0 =  x  = 4 −
Bài 15: Tìm GTNN của: 4 3 2
C = x − 6x +10x − 6x + 9 Lời giải C = ( x −
x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − x)2 + ( x − )2 4 2 2 2 2 2.3 . 9 6 9 3 3  0
Bài 16: Tìm GTNN của: D = ( x + )4 + ( x + )4 8 6 Lời giải
Đặt: x + = y = D = ( y + )4 +( y − )4 4 2 7 1 1
= 2y +12y + 2  2
Bài 17: Tìm max của: F = − ( x + )4 − ( x − )4 2 3 1 3 5 Lời giải Đặ 4 4
t x − 2 = t = F = 2 − 3(t + ) 3 − 3(t − 3)
−F = (t + t + )2 + (t − t + )2 2 2 4 2 − = t + t + = ( 4 2 3 6 9 3 6 9 2 6 324
484 6 t + 54t )+ 484 F = − (t + )2 2 6 27 + 3890  3890
Bài 18: Tìm min của: G = ( x + )4 + ( x − )4 3 7 35 Lời giải 4 4 2 2
Đặt x − = t = G = (t + ) + (t − ) = ( 2t + t + ) + ( 2 2 5 5 10 25 t −10t + 2 ) 5 G = t + t + = (t + t + )− = (t + )2 4 2 4 2 4 2 4 4 2 300 1250 2 2.75 5625 10 2 75 −10  1 − 0
Bài 19: Tìm min của: 4 3 2
I = x − 6x +11x +12x + 20 Lời giải 4 3 2 2
I = x − x + x − x + = x ( 2 x − x + ) 2 6 11 12 20 6
9 + 2x −12x + 20
I = x (x − )2 + (x − x + ) + = x (x − )2 + (x − )2 2 2 2 3 2 6 9 2 3 2 3 + 2  2
Bài 20: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( x + )(x + )2 1
2 ( x + 3)  m Lời giải
VT = (x + )(x + )(x + )2 = ( 2 x + x + )( 2 1 3 2 4
3 x + 4x + 4) , Đặt 2x + 4x = t , Khi đó: 2 VT (t )(t ) 2 2 7 49 49  7  1 1 3 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t − = + + = + + = + + + − = + −  2 4 4  2    4 4 36
Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối  =   a. Định nghĩa A A A 0  : 
A = −A A  0  b. Tính chất +) A
 R A  0; A A +)  ,
x y R x + y x + y xy  0 +)  ,
x y R x − y x − y  (x − y).y  0
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A = x −3 + x − 7 b. B = x −1 + x − 2 + x −3
c. C = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 d. D = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x −8
e. E = x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 Lời giải
a. A = x −3 + x − 7 = x −3 + 7 − x x −3+ 7 − x = 4 = 4  A  4  (x − 3)(7 − )
x  0  3  x  7
b. B = x −1 + x − 2 + x −3
Ta có : B = x −1 + x − 3 = x −1 + 3− x  2(1)  (x −1)(3− )
x  0 1 x  3
Mà : x − 2  0  x = 2(2)  C  2  x = 2
c. C = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
Ta có : x −1 + x −3 = x −1 + 3− x  2 1 x  3; x − 2 + x − 4 = x − 2 + 4 − x  2  2  x  4
C  4  minC = 4  2  x  4 37
d. D = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x −8
Áp dụng bất đẳng thức M M M  R
Ta có : D = x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8− x x + 5+ x + 2 + 7 − x + 8− x = 22 x   R x + 5  0 x  5 −   x + 2  0 x  2 −  min D = 22      2 −  x  7 7 − x  0 x  7   8
 − x  0 x  8
e. E = x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 = −x −1 + −x − 2 + −x − 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
E  −x −1− x − 2− x −3+ x + 4+ x +5+ x + 6 = 9 x
 R  min E = 9  4 −  x  3 −
Bài 2: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A = x + 3 + x − 2 + x − 5 b. B = x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 Lời giải
a. A = x + 3 + x − 2 + x −5 = x + 3 + x − 2 + x −5  x + 3 + 5 − x x + 3+ 5− x = 8 x  R x + 3  0 x  3 −  
Dấu ‘ = ’  x − 2 = 0  x = 2  x = 2   5 − x  0 x  5  
b. B = x − 2 + x −3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 = x − 2 + x − 3 + x − 4 + 5− x + 6 − x
x − 2 + x −3 + 5− x + 6− x x − 2+ x −3+ 5− x + 6− x = 6 x
  R x = 4
Bài 3: Cho số thực x. Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A = x + 5 − x − 2
b. B = x − 2 −3 x −5 − x − 4 38 Lời giải
a. A = x + 5 − x − 2
Áp dụng bất đẳng thức : x − y x − y  ,
x y R y(x − y)  0
A = x + 5 − x − 2  x + 5 − (x − 2) = 7 x
 R  max A = 7  (x − 2)(x + 5− x + 2)  0  x  2
b. B = x − 2 −3 x −5 − x − 4 x − 5 = 0 x = 5
Vì − x − 5  0  B x − 2 − x − 4  x − 2 − x + 4 = 2      x = 5 (
x − 4)(x − 2 − x + 4)  0 x  4
Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x. Tìm GTNN của A =
x −1− 2 x − 2 + x + 7 − 6 x + 2 Lời giải Đặt 2 2 2 2 2 2 t =
x − 2(t  0)  t = x − 2  x = t − 2  A = t − 2t +1 + t − 6t + 9 = (t −1) + (t − 3) t  −1 0
= t −1 + 3− t t −1+ 3− t = 2  
 1 t  3  1 x − 2  3  3  x 11 3  − t  0
Bài 5: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A = x − 4 + 2 x − 5 + x −1− 4 x − 5 (x  5)
b. B = x − 2 x −1 + 5 x + 3− 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1(x 1) Lời giải a. Đặt 2 2 2 t =
x − 5(t  0)  x = t + 5  A = (t +1) + (2 − t) = t +1 + 2 − t = t +1+ 2 − t t +1+ 2 − t = 3
A = 3  2 −t  0  t  2  x −5  2  5  x  9 39 b. Đặt 2 2 2 2 t =
x −1(t  0)  x = t −1  A = (t −1) + 5 (t − 2) + (t − 3) = t −1 + 5 t − 2 + 3 − t t  −1 0 
t −1 + 3− t t −1+ 3− t = 2  t  = 2
t = 2  x −1 = 2  x = 5  min A = 2  x = 5 t  3 
Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của A = x + 3 + x − 2 + 2012 Lời giải
Ta có A = x + 3 + x − 2 + 2012 = x + 3 + 2 − x + 2012
Lại có : x + 3  x + 3  x  3 −
Mà 2 − x  2 − x x  2  A = x + 3 + 2 − x + 2012  x + 3+ 2 − x + 2012 = 2017 Vậy MinA = 2017  3 −  x  2
Bài 7: (HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của A = x + 3 + x −1 + x − 4 −3 Lời giải
Ta có A = x + 3 + x −1 + x − 4 − 3 = x + 3 + x −1 + 4 − x − 3
Lại có x −1  0  x =1; x + 3  x + 3  x  3
− ; 4− x  4− x x  4  A x +3+ 0+ 4− x −3 = 4
Vậy MinA = 4  x =1
Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của
A = x − a + x − a + ....+ x − a + 2017 a a  ...  a 1 2 n ( 1 2 n ) Lời giải
- Trường hợp n = 2k A = x − a + x − a +...+ x − a + a
− x + a − x +...+ a − x + 2017 1 2 k k 1 + k +2 2k 40
Ta có x − a x − a x a i
 =1,k; a − x a − x x a j  =1,k i i i k 1 + k + j k + j
A x − a + x − a +...+ x − a + a − x + a − x +...+ a − x + 2017 = a + a +...+ a − 1 2 k k 1 + k +2 2k ( k 1+ k+2 2k )
(a +a +...+a +2017  a x a 1 2 k ) k k 1 + - Trường hợp
n = 2k +1 A = x − a + x − a +..+ x − a + x − a
+ a − x + a − x +...+ a − x + 2017 1 2 k k 1 + k +2 k +3 2k Ta có: x − a
 0  x = a ; a
− x a − x x a j  =1,k k 1 + k 1 + k + j k 1 + k + j
Lại có x − a x − a x a i  =1,k; a − x a
− x x a j  =1,k i i k + j k + j k + j
A = x − a + x − a +...+ x − a + 0+ a − x +...+ a
− x + 2017 = a + a +...+ a − 1 2 k k +2 2k 1 + ( k+2 k+3 2k 1 + )
(a +a +...a +2017  MinB = a +a +...+a
− a + a +...a + 2017  x = a 1 2 k ) ( k+2 k+3 2k 1 + ) ( 1 2 k ) k 1 +
Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của A = 5x + 3 + 2x − 3 − x +1 Lời giải Ta có 3 3
A = 5x + 3 + 2x − 3 − x +1 = 2 x +
+ 3 x + + 2x −3 − x +1 5 5 3 3 − 3  3  3 − Mặt khác 2 x +  0  x = ;3 x +  3 x +  x    5 5 5  5  5 3  3  29 29 3 −
Lại có 3− 2x  3 − 2x x   B  0 + 3 x + + 3− 2x +1=  MinB =  x =   2  5  5 5 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015) Tìm GTNN của
A = 4x + 3 + 5x − 7 + 2x − 9 −15 Lời giải 41 1 − 7 Ta có MinA =  x = 5 5
Bài 2: Tìm GTNN của A = x −1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 Lời giải
Ta có MinA = 4  2  x  3
Bài 3: Tìm GTNN của A = ( x − )2 2 1 − 3 2x −1 + 2 Lời giải 1 − 5 −1 Ta có Mi . n A =  x = hay x = 4 4 4
Bài 4: Tìm GTNN của A = x −1 + x − 2 + x − 3 +...+ x −1998 Lời giải −1 Ta có 2 Mi .
n A = 999  999  x  1000 hay x = 4
Bài 5: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
A = x 3 + 2 + x 5 − 7 + x 11 − 9 Lời giải 9 9 −1 Ta có Mi . n A =
( 11− 5+ 3) x= hay x = 11 11 4
Bài 6: (Chuyên Toán Quảng Trị năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của
A = x 5 − 6 + x 2 +1 + 2x + 2017 42 Lời giải 2018 2 + 5 − 2 1 − −1 Ta có Mi . n A =  x = hay x = 2 2 4 43
Dạng 7: Dạng phân thức
A. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất m 2 A =
A  (ax + bc + c) 2 min a m x
ax + bc + c
Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau 1 2 a) A = b) B = 2 9x −12x +10 2 x + x + 4 2 y c) C = (x  0) 2 2
9x −12xy + 5y Lời giải 1 1 1 1 2 a. A = =
  A =  x = 2 2 ax 9x −12x +10 (3x − 2) + 6 6 m 6 3 2 2 2 8 8 1 − b. B = =  =  B =  x = 2 ax x + x + 4 1 15 m 2 15 15 2 (x + ) 2 4 2 y c. C = (x  0) 2 2
9x −12xy + 5y
+) y = 0  A = 0 1 1 x 1 2 2
+) y  0  A = = (t = ) =
1 t =  x = y 2 2 2 x x 9t −12t + 5 y (3t − 2) +1 3 3 9 −12 + 5 2 y y
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau 1 2 2 3y a) y = b) y = c) A = (x  0) 2 x + x +1 2 6x − 5 − 9x 2 2 2
− 5x + 20xy −5y 44 Lời giải 1 1
a)Ta có thể viết: y = = 2 2 x + x +1  1  3 x + +    2  4 2  1  3 3 4 1 − Vì x +
+   y   x =    2  4 4 3 2 4 −1 Vậy GTLN của y = tại x = 3 2 2 2 − 1 1 2 − 2 − 1 − 1 b) 2 y = =
;(3x −1) + 4  4 x      =  x = 2 2 2 2 6x − 5 − 9x (3x −1) + 4 (3x −1) + 4 4 (3x −1) + 4 4 2 3
c) y = 0  A = 0 3 3 3 −
+) y  0  A = = = 2 2 2 x x 2
− 5t + 20t − 5 (5t − 2) +1 2 − 5 + 20 − 5 2 y y 1 2 2 Vì 2 (5t − 2)  0  1 A  3
−  t =  x = y 2 (5t − 2) +1 5 5
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức sau 5 1 a) A = b) B = 2 x − 2x − 5 2 x − 4x +11 Lời giải 5 5 5 − a) A = =  maxA =  x =1 2 x − 2x − 5 (x − )2 1 − 6 6 1 1 b) B =   x = 2 2 x − 4x +11 7 45
B. Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm Ta đưa về C C dạng: A = m + (  0) D D
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau 2 3x − 8x + 6 2 x − x +1 a. A = (x  1) b. B = (x  1) 2 x − 2x +1 2 (x −1) 2 4x − 6x +1 2 2x −16x + 41 c. C = (x  2) d. D = (x R) 2 (x − 2) 2 x − 8x + 22 4 2 4x − x −1 2 3x −12x +10 e. E = f. F = 2 2 (x +1) 2 x − 4x + 5 Lời giải 2 2 2 2 3x − 8x + 6 2(x − 2x +1) (x − 4x + 4) (x − 2) a. A = (x  1) = + = 2 +  2  x = 2 2 2 2 2 x − 2x +1 (x −1) (x −1) (x −1) 2 2 3x − 8x + 6
3(x − 2x +1) − 2( x − ) 1 +1 2 1 Cách khác: A = (x  1) = = + 2 2 x − 2x +1 (x −1) x −1 (x − )2 1 Đặ 1 1 t y =
A = 3− 2y + y = ( y − )2 2
1 + 2  2  min A = 2  y = 1  =1  x = 2 x −1 x −1 2 2 2 2 2 x − x +1 4x − 4x + 4
x + 2x +1 3x − 6x + 3 (x +1) 3 3 b. B = (x  1) = = + = +   x = 1 − 2 2 2 2 2 (x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4 4 1 1  1 1  c. 2 2 2 2 2 t =
x = 2 +  A = t 4(2 + ) − 6(2 + ) +1 = 4(2t +1) − 6t(2t +1) + t = 5(t +1) −1 1 −   x − 2 tt t   t = 1 −  x =1 46 2 2 2x −16x + 41
2(x − 8x + 22) − 3 3 d. D = (x R) = = 2 − 2 2 2 x − 8x + 22 x − 8x + 22 (x − 4) + 6 3 3 1 Vì 2 2
(x − 4)  0  (x − 4) + 6  6   = 2 (x − 4) + 6 6 2 3 1 3 3 2 D = 2 −
 2 − =  A =  (x − 4) = 0  x = 4 2 min (x − 4) + 6 2 2 2 4 2 4 2 2 4x − x −1
4(x + 2x +1) − 9(x +1) + 4 9 4 1 e. 2 E = = = 4 − +
= 4t −9t + 4(t = ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (x +1) (x +1) x +1 (x +1) x +1 9 81 2
E = (2t − ) − + 4 4 16 9 9 1 − 9 1 1 17 Ta có: 2
t  1  2t −  2 − =  (2t − )   A  − = 1
−  t = 1  x = 0 4 4 4 4 16 16 16
Lời giải ngắn gọn hơn 4 2 5x + x E +1 =  0  A  1 −  x = 0 2 2 (x +1) 4 2 4x x +1 Cách khác: E = −  0 −1= 1 −  x = 0 2 2 2 2 (x +1) (x +1) 2 3x −12x +10 5 5 f. F = = 3− = 3−  3−5 = 2 − 2 2 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 (x − 2) +1 5 − Do 2 (x − 2) +1  1  5 −  x = 2 2 (x − 2) +1
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau 2 3x + 6x +10 2 −x + x −11 a. A = (x  1) b. B = (x  1) 2 x + 2x + 3 2 x − 2x +1 x 2 x + 4x −14 c. C = (x  5 − ) d. D = (x  1) 2 x +10x + 25 2 x − 2x +1 47 Lời giải 2 2 3x + 6x +10 3(x + 2x + 3) 1 1 a. A = = + = 3+ 2 2 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 (x +1) + 2 (x +1) + 2 1 1 1 7 7 Có: 2 2
(x +1)  0  (x +1) + 2  2 
  A = 3+ =  A =  x = 1 − 2 ax (x +1) + 2 2 2 2 m 2 2 2 2
−x + x −11 −x + 2x −1− x +1−11 −(x −1) − (x −1) −11 1 11 b. B = = = = 1 − − − 2 2 2 2 x − 2x +1 (x −1) (x −1) x −1 (x −1) Đặ 1  1 1 1 1  t 2 2 2 = y A = 1
− − y −11y = (
− 11y + y +1) = − 11(y + 2. . y + − +  2 2  x −1  22 22 22 11  1 43 4 − 3 1 4 − 3 1 − 2 2 = − 11(y + ) + = −11(y + )   y =  x = 2 − 1    22 44  44 22 44 22 x x (x + 5) − 5 1 5 1 c. 2 C = (x  5 − ) = = = −
= t −5t (t = ) 2 2 2 2 x +10x + 25 (x + 5) (x + 5) x + 5 (x + 5) x + 5 1 1 1 − 1 1 1 1 2 2
 −A = 5t − t = 5(t − ) −   A   t =  =  x = 5 10 20 20 20 10 x + 5 10 2 x + 4x −14 d. D = (x  1) . Đặt 2 x − 2x +1 1 1  1 1  2 2 2 2 2 t =
x =1+  A = t (1+ ) + 4(1+ ) −14 = (t +1) + 4t(t +1) −14t = ( − 3t −1) + 2  2   x −1 tt t  1 D = 2  t =  x = 4 3 2 7 y − 4xy
Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của A = 2 2
x − 2xy + 2y Lời giải
Điều kiện (x, y)  (0,0) 48 2 2 2
x − 6xy + 9y (x − 3y) +) A +1 = =  0  A  1
−  x = 3y  0 2 2 2 2
(x − y) + y
(x − y) + y 2 2 2 (
− y + 4xy − 4x ) ( − 2x − y) +) A − 4 = =
 0  A  4  x =1; y = 2 2 2 2 2
(x − y) + y
(x − y) + y 2 2 x + x +1 x − 3x + 3
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức A = x  1 − ; B = x  1 2 ( ) 2 ( ) (x +1) (x −1) Lời giải 2 2 x + x +1
(x + 2x +1) − x −1+1 1 1 1 2 A = = =1− +
=1− y + y (y = ) 2 2 2 (x +1) (x +1) x +1 (x +1) x +1 1 3 3 3 1 2 A = ( y − ) +
  A =  y =  x = 1 min 2 4 4 4 2 2 2 x − 3x + 3
(x − 2x +1) − x +1+1 1 1 1 +) 2 B = = =1− +
= y − y +1(y = ) 2 2 2 (x −1) (x −1) x −1 (x −1) x −1 1 3 3 1 2 B = ( y − ) +
  y =  x = 3 2 4 4 2 2 2 x + y
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức A = 2 2
x + 2xy + y Lời giải
1 (x + y)2 +(x − y)2 x + y
 1 1 ( x − y)2 2 2 1 1 Ta có: 2 A = = = + .
  minA =  x = y 2 2
x + 2xy + y (x + y)2 2 2 ( x + y)2 2 2 2 2x −10x −1
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức A = x  1 2 ( ) x − 2x +1 Lời giải 49 − − 2( 2 x − 2x + ) 1 − 6( x x x − ) 2 2 1 − 9 2 10 1 6 9  3  Ta có: A = = = 2 + − = − +1 + 3  3   2 x − 2x +1 (x − )2 1
x −1 ( x − )2 1  x −1  2  3  3 Vì − +1  0 x
  1 maxA = 3  +1 = 0  x = 2 −    x −1  x −1 50
C. Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
1. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau 8x +12 4x + 2 a. A = b. B = 2 x + 4 2 x + 2 (x + 2)(x + 8) c. C = (x  0) x Lời giải 2 2 2 8x +12
x + 8x +16 − x − 4 (x + 4) a. A = = = 1 − +  1 −  x = 4 − 2 2 2 x + 4 x + 4 x + 4 2 2 2 4x + 2
(x + 4x + 4) − (x + 2) (x + 2) b. B = = = −1 1 −  x = 2 − 2 2 2 x + 2 x + 2 x + 2 2 (x + 2)(x + 8) (x − 4) c. C = (x  0) = +18 18  x = 4 x x
Bài 2: Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau 3 − 4x 2x +1
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] A = b. B = 2 x +1 2 x + 2 4x + 3 8x + 3 c. C = d. D = 2 x +1 2 4x +1 4x e. E = 2 4x +1 Lời giải 51
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] 2 2 2 3 − 4x
x − 4x + 4 − x −1 (x − 2) A = = = −1 1
−  x − 2 = 0  x = 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 2 2 3 − 4x
4x + 4 − 4x − 4x −1 (2x +1) 1 − +) A = = = 4 −
 4  A = 4  x = 2 2 2 ax x +1 x +1 x +1 m 2 2x +1 4x + 2 b. B = = 2 2 x + 2 2(x + 2) 2 2 2 2x +1 4x + 2
(x + 4x + 4) − (x + 2) (x + 2) 1 1 − 1 − +) B = = = = −   A =  x = 2 − 2 2 2 2 min x + 2 2(x + 2) 2(x + 2) 2(x + 2) 2 2 2 2 2 2 2x +1 4x + 2
−x + 2x −1 x + 2 ( − x −1) +) B = = = + =
+11 A =1 x =1 2 2 2 2 2 ax x + 2 2(x + 2) x + 2 x + 2 x + 2 m 2 2 2 4x + 3
x + 4x + 4 − x −1 (x + 2) c. C = = = −1 1 −  x = 2 − 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 2 2 4x + 3 4
− x + 4x −1+ 4x + 4 ( − 2x −1) 1 +) C = = = + 4  4  x = 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2 2 2 2 8x + 3
(4x + 8x + 4) − (4x +1) (2x + 2) d. D = = = 1 − +  1 −  x = 1 − 2 2 2 4x +1 4x +1 4x +1 2 2 2 8x + 3
16x + 4 − (16x − 8x +1) (4x −1) 1 +) D = = = 4 −  4  x = 2 2 2 4x +1 4x +1 4x +1 4 2 2 2 4x
4x +1− 4x −1+ 4x (2x −1) 1 e. E = = =1− 1 x = 2 2 2 4x +1 4x +1 4x +1 2 2 2 2 4x (
− 4x +1) + (4x + 4x +1) (2x +1) 1 − +) E = = = 1 − +  1 −  x = 2 2 2 4x +1 4x +1 4x +1 2
Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ] 3(x +1)
Tìm GTLN của biểu thức A = 3 2
x + x + x +1 52 Lời giải 3(x +1) 3 A = =
 3  x = 0  A = 3  x = 0 3 2 2 ax
x + x + x +1 x +1 m
Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ] Tìm GTNN của các biểu thức sau 2010x + 2680 D = (x R) 2 x +1 Lời giải 2 2 2 2010x + 2680 335(6x + 8)
335(x + 6x + 9 − x −1) 335(x + 3) D = (x  ) R = = = −335  3 − 35  x = 3 − 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 2 x +15x +16
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức sau A = (xR+) 3x Lời giải x +15x +16 x − + 23 23 23 Ta có: A = (xR ) ( )2 2 4 = +   minA =  x = 4 3x 3x 3 3 3 2 2 xy + y ( 2 y − x) +1
Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức sau A =
x, y R 2 4 4 2 ( )
x y + 2 y + x + 2 Lời giải 2 2 xy + y ( 2 y − x) 4 +1 y +1 Ta có: A = , x y R = 2 4 4 2 ( )
x y + 2 y + x + 2
( 4y + )1( 2x +2) 1 Vì 4 y +1  0 x
 nên chia cả tử và mẫu cho 4
y +1 ta được: A = 2 x + 2 1 1 Vì 2 2 x  0 x
  x + 2  2 x   A =
  x = 0; y R 2 x + 2 2 2 x
Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau A = 4 2 x + x +1 53 Lời giải
+) Xét x = 0  A = 0 giá trị này không phải giá trị lớn nhất của A vì với x  0  A  0 1
+) Xét x  0 đặt P =  AP max min A 4 2 x + x +1 1 1 Ta có 2 2 P = = x + +1; x +
 2 Cosi P  2 +1= 3  P = 3  x = 1  2 2 2 ( ) min x x x −x
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức sau A = x  0 2 ( ) (x + 2017) Lời giải 54
2. Bậc của tử bằng bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau 2 x − 2x + 3 2 x − x +1 a. A = (x  0) b. B = (x  1) 2 x 2 (x −1) 2 x + 2x + 3 2 x − 2x + 2016 c. C = d. D = 2 x + 2 2 x Lời giải 2 2 2 x − 2x + 3 3(x − 2x + 3) (x − 3) 2 2 2 a. A = (x  0) = =
+   x = 3 A =  x = 3 2 2 2 min x 3x 3x 3 3 3 2 2 2 2 2 x − x +1 4x − 4x + 4 x + 2x +1 3x − 6x + 3 (x +1) 3 3 b. B = (x  1) = = + = +   x = 1 − 2 2 2 2 2 (x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4(x −1) 4 4 2 2 2 2 2(x + 2x + 3) x + 4x + 4 x + 2 1 (x + 2) 1 c. C = = + = +   x = 2 − 2 2 2 2 2(x + 2) 2(x + 2) 2(x + 2) 2 2(x + 2) 2 2 2 2 x − 2x + 2016 2016x − 2 . x 2016 + 2016 (x − 2016) 2015 2015 d. D = = = +   x = 2016 2 2 2 x 2016x x 2016 2016
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau 2 6x + 2x +19 2 x + 2x + 3 a. A = b. B = 2 3x + x + 7 2 x + 2 Lời giải 2 2 6x + 2x +19
2(3x + x + 7) + 5 5 a. A = = = 2 + 2 2 2 3x + x + 7 3x + x + 7 3x + x + 7 Đặ 1 83 83 1 − 5 60 1 − t 2 2
M = 3x + x + 7 = 3(x + ) +   x =  A = MA = 2 + = 2  x = a m x min a m x 6 12 12 6 83 83 6 12 55 2 2 2 2 2 2 x + 2x + 3
2x − x + 2x + 3
2(x + 2) − 4 − x + 2x + 3 (x −1) b. B = = = = 2 −  2  x =1 2 2 2 2 x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau 2 3x + 2x + 3 2 x − 2x − 2 a. A = b. B = 2 x +1 2 x + x +1 Lời giải 2 2 2 2 3x + 2x + 3 2(x +1) (x +1) (x +1) a. A = = + = 2 +  2  x = 1 − 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 2 2 2 2 3x + 2x + 3 4x + 4 (x − 2x +1) (x −1) +) A = = − = 4 −  4  x =1 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 2 2 2 2 x − 2x − 2
3x − (2x + 2x + 2) 3x b. B = = = − 2  2 −  x = 0 2 2 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 2 3x 3
+) Với x  0  A = − 2 = − 2 2 x + x +1 1 1 1+ + 2 x x 1 1 3 1 1 3 3 1 1 − Ta lại có: 2 1+ +
= + ( + )   A  − 2 = 2  =  x = −2 2 x x 4 2 x 4 3 2 x 4 2 3x + 6x +10
Bài 4: Tìm GTLN của A = 2 x + 2x + 3 Lời giải 1 1 1 2 2 A = 3 + = 3+  A  [ ]
 [(x +1) + 2]  (x +1) + 2 = 2  x = 1 − 2 2 a m x 2 max min x + 2x + 3 (x +1) + 2 (x +1) + 2 1 1 7    x = 1
−  A =  x = 1 − 2 ax (x +1) + 2 2 m 2 56 2 3x + 6x +10
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức sau A = x R 2 ( ) x + 2x + 3 Lời giải 2 3x + 6x +10 1 1 7 Ta có: A = = 3+  3+ =  x = −1 2 x + 2x + 3 (x + )2 1 + 2 2 2 57