158 trang 7 lượt tải

Chuyên Đề Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

14

Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ. Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x. CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 271 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 tháng trước
Danh sách Quiz
/158
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
- Cho biểu thức
( )
;;A x y z
Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của
( )
;;A x y z
nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau:
+ Với mọi
;;x y z
mà
( )
;;A x y z
xác định mà
( )
;;A x y z M
+ Tồn tại một bộ số
( )
;;x y z
sao cho
( )
;;A x y z M=
- Cho biểu thức
( )
;;A x y z
Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của
( )
;;A x y z
nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau:
+ Với mọi
;;x y z
mà
( )
;;A x y z
xác định mà
( )
;;A x y z N
+ Tồn tại một bộ số
( )
;;x y z
sao cho
B. LUYỆN TẬP
Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp:
- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng các hằng đẳng thức
( ) ( )
22
,a b a b c + +
.
Bài 1: Tìm GTNN của:
( )( )( )
3 4 7A x x x x= − − −
HD:
( )( )( )
( )( )
22
7 3 4 7 7 12A x x x x x x x x= − − − = − − +
, Đặt
2
76x x t− + =
, khi đó:
( )( )
2
6 6 36 36A t t t= − + = − −
, Dấu “ = ” khi
22
1
0 7 6 0
6
x
t x x
x
=
= = − + = =
=
Vậy Min A = - 36 khi x=1 hoặc x=6
Bài 2: Tìm GTNN của:
( )( )
( )
2
1 3 4 5B x x x x= − − − +
HD:
( )( )
22
4 5 4 5B x x x x= − + − +
, Đặt
2
4 4 0xx− + =
. Khi đó:
( )( )
2
1 1 1 1B t t t= − + = − −
, Dấu “ = “ khi
22
0 4 4 0 2t x x t= = − + = = =
Bài 3: Tìm min của:
( )( )( )
2 4 6 8A x x x x= + + + +
HD:
( )( )( )
( )( )
22
6 2 4 8 6 6 8 8A x x x x x x x x= + + + + = + + + +
, Đặt
2
64x x t+ + =
. Khi đó:
( )( )
22
4 4 8 16 8 8 8A t t t t= − + + = − + = − −
, Dấu “ = “ Khi đó:
22
35
0 6 4 0
35
x
t x x
x
= − +
= = + + = =
= − −
Bài 4: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 4B x x x x= + + + +
Trang 2
HD:
( )( )( )( )
( )( )
22
1 4 2 3 5 4 5 6B x x x x x x x x= + + + + = + + + +
, Đặt
, Khi đó:
( )( )
2
1 1 1 1B t t t= − + = − −
, Dấu “ = “ khi
22
55
0 5 5 0
2
t x x x
−
= = + + = = =
Bài 5: Tìm GTNN của:
( )( )
22
62A x x x x= + − + +
HD:
Đặt
2
2x x t+ − =
. Khi đó:
( )( )
2
4 4 16 16A t t t= − + = − −
Dấu “ = “ xảy ra khi:
2
1
0 2 0
2
x
t x x
x
=
= = + − = =
=−
Bài 6: Tìm GTNN của :
( )( )( )( )
1 2 3 6C x x x x= − + + +
HD:
( )( )( )( )
( )( )
22
1 6 2 3 5 6 5 6C x x x x x x x x= − + + + = + − + +
, Đặt
2
5x x t+=
. Khi đó:
( )( )
2
6 6 36 36C t t t= − + = − −
, Dấu “ = “ khi
2
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 7: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
2 1 2 3 2 1D x x x x= − + + +
HD:
( )( )( )( )
( )( )
22
2 1 3 2 2 1 2 5 3 2 5 2D x x x x x x x x= − + + + = + − + +
, Đặt
2
25x x t+=
, Khi đó:
( )( )
2
2
1 25 25
3 2 6
2 4 4
D t t t t t

−
= − + = − − = − −


, Dấu “ = “ khi:
2
1 1 5 29
25
2 2 4
t x x x
−
= = + = = =
Bài 8: Tìm min của:
( )( )( )( )
1 2 3 4 2011C x x x x= + + + + +
HD:
( )( )( )( )
1 4 2 3 2011C x x x x= + + + + +
( )( )
22
5 4 5 6 2011x x x x= + + + + +
, Đặt
2
55x x t+ + =
Khi đó:
( )( )
2
55
1 1 2011 5 5 0
2
C t t x x x
−
= − + + = + + = = =
Bài 9: Tìm max của:
( )( )( )( )
5 1 2 3 6E x x x x= + − + + +
HD:
( )( )( )( )
( )( )
22
5 1 6 2 3 5 6 5 6 5E x x x x x x x x= − − + + + = − + − + + +
, đặt
2
5x x t+=
.
Khi đó:
( )( )
( )
22
6 6 5 36 5 41 41E t t t t= − − + + = − − + = − +
Dấu “ = “ Khi
22
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 10: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 6M x x x x= − + + +
HD:
( )( )( )( )
( )( )
22
1 6 2 3 5 6 5 6M x x x x x x x x= − + + = = + − + +
, Đặt
2
5x x t+=
.
Khi đó:
( )( )
2
6 6 36 36M t t t= − + = − −
, Dấu “ = ” khi
2
0
0 5 0
5
x
t x x
x
=
= = + = =
=−
Bài 11: Tìm min của:
( )
( )
( )
2
1 4 5 2014D x x x= + − + +
HD:
Trang 3
( )( )( )( )
( )( )
22
1 2 2 5 2014 3 10 3 2 2014D x x x x x x x x= + + − + + = + − + + +
, Đặt
2
34x x t+ − =
Khi đó:
( )( )
2
6 6 2014 1978D t t t= − + + = +
, Dấu “= “ xảy ra khi:
22
1
0 3 4 0
4
x
t x x
x
=
= = + − = =
=−
Bài 12: Tìm GTNN của:
4 3 2
6 10 6 9C x x x x= − + − +
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
4 2 2 2 2
2.3 . 9 6 9 3 3 0C x x x x x x x x x= − + + − + = − + −
Bài 13: Tìm GTNN của:
4 3 2
4 9 20 22C x x x x= − + − +
HD:
( ) ( )
4 3 2 2
4 4 5 4 4 2C x x x x x= − + + − + +
Bài 14: Tìm GTNN của:
42
27B x x x= − + +
HD:
( ) ( )
4 2 2
2 1 2 1 5B x x x x= − + + + + +
Bài 15: Tìm GTNN của:
( ) ( )
44
86D x x= + + +
HD:
Đặt:
( ) ( )
44
42
7 1 1 2 12 2 2x y D y y y y+ = = = + + − = + +
Bài 16: Tìm GTNN của :
2
9 6 4 3 1 6A x x x= − − − +
HD:
Đặt:
2 2 2
3 1 9 6 1 4 5x t t x x E t t− = = = − + = = − +
Bài 17: Tìm GTLN của:
( ) ( )
22
2 1 3 2 11A x x x= + − − + −
HD:
2
2 2 2
17 569 569
4 4 1 9 12 4 11 5 17 14 5
10 20 20
A x x x x x x x x

= + + − + − + − = − + − = − + +


Bài 18: Tìm min của:
( ) ( )
44
22A x x= + + −
HD:
( ) ( ) ( )
22
2 2 4 2 3 2 4 2
2 4 2 4 4 16 2 2 8 4 4 16A x x x x x x x x x x x= + + + − + = + + + + + + + +
( ) ( )
2
2 3 4 2 2
2 4 2 8 2 24 32 2 6 40 40x x x x x x+ − − = + + = + − −
Bài 19: Tìm min của:
22
4 4 32 2018A x y x y= + − + +
HD:
( ) ( )
( ) ( )
22
22
4 4 4 32 64 1950 2 4 4 1950 1950A x x y y x y= − + + + + + = − + + +
Bài 20: Tìm min của:
22
34A x y x y= + + −
HD:
( ) ( )
22
2 2 2 2
2 1 2 1 19 19
3 4 3 2.x. 2. . 3
3 2 3 2 12 12
A x x y y x y y x y
−
= + + − = + + − = + + − −
Bài 21: Tìm min của:
22
5 2 12 18B x y xy x= + + − −
HD:
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
4 12 2 18 2 3 27 27B x x x xy y x x y= − + + + − = − + + − −
Bài 22: Tìm max của:
22
3 16 8 5 2B x y xy x= − − − + +
HD:
Trang 4
( )
2
2
2 2 2
5 41
8 16 2 5 2 4 2
48
B x xy y x x x y x

− = + + + − − = + + − −


( )
2
2
5 41 41
42
4 8 8
B x y x

= = − + − − +


Bài 23: Tìm min của:
22
3 4 4 2 4 26A x y xy x y= + + + − +
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
4 4 4 3 2 26 4 2.2 . 1 1 3 2 26 1A y xy y x x y y x x x x x

= + − + + + = + − + − + + + − −


( ) ( )
( )
22
22
2 1 2 4 25 2 1 2 2 1 23 23A y x x x x y x x= + − + + + = + − + + + +
Bài 24: Tìm max của:
22
22A x y xy x y= − − + + +
HD:
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2A x y xy x y x xy x y y x x y y y− = + − − − = − + + − = − + + −
2
2 2 2
22
2 4 4 4 4 2 3
2 . 2 3 1
2 4 4 2 4
y y y y y y y
A x x y y x y

+ + + + + +
= − + + − − = − + − −



2
2
2 1 3 4
4 4 4
2 4 3
xy
A y y
−−
= + − + − −
Bài 25: Tìm min của:
( ) ( )
22
31A x x= − + −
HD:
( )
2
2 2 2
6 9 2 1 2 8 10 2 2 2 2A x x x x x x x= − + + − + = − + = − +
Bài 26: Tìm min của:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 2 4 3B x x x= + + + − +
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 1 3 4 4 4 6 9 8 22 4 38 38B x x x x x x x x x= + + + + + − + + = − − = − − −
Bài 27: Tìm max của:
( ) ( )
44
2 3 1 3 5F x x= − + − −
HD:
Đặt
( ) ( )
44
2 2 3 3 3 3x t F t t− = = = − + − −
( ) ( ) ( )
22
2 2 4 2 4 2
3 6 9 3 6 9 2 6 324 484 6 54 484F t t t t t t t t− = + + + − + − = + + = + +
( )
2
2
6 27 3890 3890Ft= − + +
Bài 28: Tìm min của:
( ) ( )
44
37G x x= + + −
HD:
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
22
44
22
2 5 5 10 25 10 25x t G t t t t t t− = = = + + − = + + + − +
( ) ( )
2
4 2 4 2 4 2 4 4
2 300 1250 2 2.75 5625 10 2 75 10 10G t t t t t= + + = + + − = + − −
Bài 29: Tìm min của:
4 3 2
6 11 12 20I x x x x= − + + +
HD:
( )
4 3 2 2 2 2
6 11 12 20 6 9 2 12 20I x x x x x x x x x= − + − + = − + + − +
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3 2 6 9 2 3 2 3 2 2I x x x x x x x= − + − + + = − + − +
Bài 30: Tìm max của :
22
4 6 8 3N x y x y= − − + − +
HD:
Trang 5
( ) ( )
2 2 2 2
4 6 8 3 6 9 4 8 4 16N x y x y x x y y− = + − + − = − + + + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 4 1 16 3 4 1 16 16N x y N x y− = − + + − = = − − − + +
Bài 31: Tìm max của:
22
3 5 2 7 23P x y x y= − − + + −
HD:
( ) ( )
2 2 2 2
3 5 2 7 23 3 2 5 7 23P x y x y x x y y− = + − − + = − + − +
22
1 7 1213
35
3 10 60
P x y
− = − + − +
=>
22
1 7 1213 1213
35
3 10 60 60
P x y
−
= − − − − −
Bài 32: Tìm max của:
22
7 4 8 18 9R x y xy x= − − − + +
HD:
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
7 4 8 18 9 4 8 4 3 18 9 2 3 3 36R x y xy x y xy x x x x y x− = + + − − = + + + − − = + + − −
( ) ( )
22
2 3 3 36 36R x y x= − + − − +
Bài 33: Tìm max của:
22
5 2 4 4 8 12A x y xy x y= − − + − −
HD:
( )
2 2 2 2
2 4 4 8 12 5 2 4 2 4 12 5A x y xy x y x x y y y− = + − + + − = − − + + −
( ) ( ) ( )
22
22
2 2 2 2 4 12 5 2 2x x y y y y y

= − − + − + + − − −


Bài 34: Tìm max của:
22
2 5 4 2B x y xy x= − − − +
HD:
2 2 2 2 2
5 4 2 2 2. .2 4 2 1 3B x y xy x y y x x x x− = + + − − = + + + − + −
( ) ( )
22
2 1 3 3y x x= + + − − −
( ) ( )
22
2 1 3 3B x y x= − + − − +
Bài 35: Tìm min của:
22
3 3 1989C a ab b x b= + + − − +
HD:
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
33
3
3 3 1989 2. . 3 1989
2 4 4
bb
b
C a a b b b a a b b
−−
−
= + − + − + = + + + − + −
22
4 4 4 4 12 12 7956C a ab b a b= + + − − +
( ) ( ) ( )
22
22
4 4 3 3 4 12 7956 3a a b b b b b

= + − + − + − + − −


( )
2
2
2 3 3 6 7947a b b b= + − + − +
Bài 36: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:
( )( ) ( )
2
1 2 3x x x m+ + +
HD:
( )( )( )
( )( )
2
22
1 3 2 4 3 4 4VT x x x x x x x= + + + = + + + +
, Đặt
2
4x x t+=
, Khi đó:
( )( )
2
22
7 49 49 7 1 1
3 4 7 12 2. . 12
2 4 4 2 4 4
VT t t t t t t t

−
= + + = + + = + + + − = + −


Bài 37: Tìm GTNN của:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
22
2 2 2
2 4 4 1 2 1A x xy y y y x y y= − + + − + + = − + − +
Do:
( ) ( )
22
0, 2 0x y y− −
, Nên
( ) ( )
22
2 1 1A x y y= − + − +
Bài 38: Tìm min của:
22
2 2 8 2028B x y xy x= + + − +
HD:
Trang 6
( ) ( )
2 2 2
2 8 16 2012B x xy y x x= + + + − + +
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức:
43
2 4 5A a a a= − − +
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 3A a a a a a= + − + + + +
=
( )( )
22
2 2 1 3 3a a a+ − + +
dấu bằng khi a=1
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức :
22
2 2 2 10 17A x xy y x y= − + + − +
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
2 1 2 10 17 2 1 1 2 10 17 1A x x y y y x x y y y y y= − − + − + = − − + − + − + − −
( )
2
22
1 2 10 17 2 1A x y y y y y

= − + + − + − + −

Bài 41: Tìm Min của:
2
5 6 1 1P x x= − − −
HD:
TH1:
2
1
56
6
x P x x = = −
TH2:
2
1
5 6 2
6
x P x x = = + −
Trang 7
Dạng 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp:
- Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức
( ) ( )
22
,a b a b c + +
- Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
Bài 1: Tìm GTNN của:
22
2 2 2 10 17A x xy y x y= − + + − +
HD:
( )
22
2 1 2 10 17A x x y y y= − − + − +
( ) ( ) ( )
22
22
2 1 1 2 10 17 1x x y y y y y

= − − + − + − + − −


( )
( )
2
2
1 8 16x y y y= − + + − +
Bài 2: Tìm min của:
22
22B x xy y x y= − + − −
HD:
( )
22
2 2 2 2
2 4 4
2 2 2. . 2 1
2 4 4
y y y y
B x x y y y x x y y y

+ + +
= − + + − = − + + − − − −


( )
2
22
4 2 4 8 4 4B x y y y y y= − − + − − − −
Bài 3: Tìm min của:
22
33C x xy y x y= + + − −
HD:
( )
22
2 2 2 2
3 6 9 6 9
3 3 2. . 3
2 4 4
y y y y y
C x x y y y x x y y

− − + − +
= + − + − = + + + − −


( )
2
22
4 3 4 12 6 9C x y y y y y

= + − + − − + −

Bài 4: Tìm min của:
22
2 6 12 2 45D x xy y x y= − + − + +
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 6 6 2 45 2 . 6 6 6 2 45 12 36D x x y y y x x y y y y y y= − + + + + = − + + + + + + − + +
( )
2
2
6 5 10 9x y y y= − − + − +
Bài 5: Tìm min của:
22
3 2 10 20E x xy y x y= − + − − +
HD:
( )
22
2 2 2 2
2 4 4 4 4
2 3 10 20 2 . 3 10 20
2 4 4
y y y y y
E x x y y y x x y y
− − + − +
= − − + − + = − + + − + −
( )
( ) ( )
2
22
4 2 12 40 80 4 4E x y y y y y= − + + − + − − +
( )
( )
2
2
2 11 36 76x y y y= − + + − +
Bài 6: Tìm max của:
22
2 4 2 10 3F x xy y x y= − + − + + −
HD:
( )
2 2 2 2
2 4 2 10 3 2 1 4 10 3F x xy y x y x x y y y− = − + − − + = − + + − +
( ) ( ) ( )
22
22
2 1 1 4 10 3 1F x x y y y y y− = − + + + + − + − +
Bài 7: Tìm min của:
( ) ( )
2
22
6 16 8 2 8 10G x ay x ay x y ay x y= − + − + + − + − +
HD:
( ) ( )
( )
2
22
6 9 2 1 16 8 8G x ay x ay x x y ay y

= − + − + + + + + − −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
3 1 16 8 1 1 1G x ay x y y a a a= − + + + + − + + + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
3 1 4 1 1 1G x ay x y a a a= − + + + + − − − + − +
Trang 8
Bài 8: Tìm max của:
22
2 4 11H x xy y x y= − + − − + +
HD:
( )
2 2 2 2
2 4 11 2 4 11H x xy y x y x x y y y− = − + + − − = − − + − −
( )
2
2
22
2
2 4 4
2 . 4 11
2 4 4
y
y y y
H x x y y
−
− − +
− = − + + − − −
( )
( )
2
22
4 2 4 16 44 4 4H x y y y y y= − = − + + − − − − +
Bài 9: Tìm min của:
22
4 5 6 11I x xy y y= + + − +
HD:
( )
2 2 2
4 4 6 11I x xy y y y= + + + − +
Bài 10: Tìm min của:
22
3 3 20K x y xy x y= + − + + +
HD:
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
4 4 4 4 12 12 80 4 4 3 3 4 12 80 3K x y xy x y x x y y y y y
= + − + + + = − − + − + + + − −
( )
2
2
4 2 3 3 18 71K x y y y= − + + + +
Bài 11: Tìm min của:
22
2 2 2 1M x xy y y= − + − +
HD:
( ) ( )
2 2 2
2 2 1M x xy y y y= − + + − +
Bài 12: Tìm min của:
22
22N x xy y x= − + −
HD:
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
2 1 2 1
21
2 1 2 2 . 2
2 4 4
yy
y
N x x y y x x y
++
+
= − + + = − + + −
( )
( )
2
22
4 2 1 8 4 4 1N x y y y y= − − + − + +
Bài 13: Tìm min của:
22
2 3 2 1997= − + − +A x xy y x
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 2 1A x x y y x x y y y y y= − + + + = − − + − + + − + +
Bài 14: Tìm min của:
22
2 2 2 10Q x y xy x y= + − + −
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 2 10 2 1 1 2 10 2 1Q x x y y y x x y y y y y y= − − + − = − − + − + − − − +
Bài 15: Tìm min của:
22
2 2 2R x y xy y= + + −
HD:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 1R x y xy y x xy y y y= + + − = + + + − + −
( ) ( )
22
1 1 1x y y= + + − − −
Bài 16: Tìm min của:
22
4 5 4 16 32A x y xy y= + − − +
HD:
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 5 4 16 32 4 4 4 16 32A x y xy y x xy y y y= + − − + = − + + − +
Bài 17: Tìm min của:
2 2 2
5 5 4 4 4 12B x y z xy yz z= + + − − − +
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 8B x xy y y yz z z z= − + + − + + − + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 8 8x y y z z= − + − + − +
Trang 9
Bài 18: Tìm min của:
22
5 12 9 4 4C x xy y x= − + − +
HD:
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
4 2.2 .3 9 4 4 2 3 2 0C x x y y x x x y x= − + + − + = − + −
Bài 19: Tìm max của:
22
22D x y xy x y= − − + + +
HD:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2D x y xy x y x x y y y− = + − − − = − + + −
( )
2
2
22
2
2 4 4
2 . 2
2 4 4
y
y y y
D x x y y
+
+ + +
− = − + + − −
Bài 20: Tìm min của:
22
5 4 2 3E x y xy y= + − + −
HD:
( ) ( )
22
2 2 2
4 4 2 1 4 2 1 4 4E x xy y y y x y y= − + + + + − = − + + − −
Bài 21: Tìm GTNN của
22
3 3 3A a ab b a b= + + − − +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2 2
4 2 3 4 2 4 4P a ab b a b ab a b= − + + + + + − −
( ) ( )
22
3 2 0a b a b= − + + −
Bài 22: Tìm min của:
( )
22
33G x xy y x y= + + − + +
HD :
22
4 4 4 4 12 12 12G x xy y x y= + + − − +
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
4 4 4 3 3 4 12 12 6 9G x x y y y y y y= + − + − + − + − − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4 2 3 3 6 3 2 3 3 1 0G x y y y x y y= + − + − + = + − + −
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
4 2 8 6 15 0x y z x y z+ + − + − + =
HD :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 4 8 4 6 9 1 1x x y y z z− + + + + + − + +
Bài 24: Tìm min của:
22
2 2 2 3A x y xy x= + − − +
HD :
( ) ( )
22
2 2 2
2 2 1 2 1 2 2A x xy y x x x y x= − + + − + + = − + − +
Bài 25: Tìm min của:
22
2 2 2 10 17B x xy y x y= − + + − +
HD :
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 1 1 2 10 17 2 1B x x y y y y y y= − − + − + − + − − +
( )
( )
2
2
1 8 16x y y y= − + + − +
Bài 26: Tìm min của:
22
2 2 5 8 22D x xy y x y= + + − −
HD :
( )
2 2 2 2
2 4 4 10 16 44 4 4 4 10 44D x xy y x y x x y y y= + + − − = + − + −
( ) ( )
2
2 2 2
2 4 2.2 4 4 10 44 8 16D x x y y y y y y= + − + − + − − + −
Trang 10
Bài 27: Tìm min của:
22
2 9 6 6 12 2004E x y xy x y= + − − − +
HD :
22
2 4 18 12 12 24 4008E x y xy x y= + − − − +
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 4 12 1 9 1 18 24 4008 9 2 1E x x y y y y y y= − + + + + − + − + +
( )
2
2
2 2 1 9 42 3999E x y y y= − − + − +
Bài 28: Tìm min của:
22
2 6 12 12 45F x xy y x y= − + − + +
HD :
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 6 6 6 12 45 12 36F x x y y y y y y= − + + + + + + − + +
( )
2
2
6 5 9 9x y y= − − + +
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :
22
3 3 3a ab b a b+ + − − +
HD:
( ) ( )
22
22
3 3 3 4 3 2 0P a ab b a b P a b a b= + + − − + = = − + + −
Bài 30: Tìm min của:
2 2 2
6 14 8 6 4A x y z yz zx xy= + + − + −
HD:
( )
2 2 2
2 2 3 6 14A x x y z y z= − + + −
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 2 3 2 3 6 14 4 12 9A x x y z y z y z y yz z= − + + + + − − + +
( )
2
22
2 3 2 12 23A x y z y yz z= − − + − −
Bài 31: Tìm min của:
2 2 2
2 3 2 2 2 2 8 2000B x y z xy xz x y z= + + − + − − − +
HD:
( )
2 2 2
2 1 2 3 2 8 2000B x x y z y z y z= − − + + + − − +
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 1 1 2 3 2 2 2000 1 2 2 2x x y z y z y z y z y z yz z y= − − + + − + + + − − + − + + − − +
( )
( )
2
22
1 2 4 2 1999x y z y z y yz= − + − + + − + +
( ) ( ) ( )
( )
22
2 2 2
1 2 2 2 2 4 4 1999x y z y y z z z z z

= − + − + − + + + + − + + +


( ) ( )
( )
22
2
1 2 4 1995x y z y z z z= − + − + − − + − +
Trang 11
Dạng 3: PHÂN THỨC
Phương pháp:
- Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo:
Nếu
11
ab
ab
=
- Chia tử cho mẫu nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu rồi đặt ẩn phụ.
- Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt.
Bài 1: Tìm min của:
2
2
6 5 9
A
xx
=
−−
HD:
Ta có:
( )
( )
2
22
9 6 5 9 6 1 4 3 1 4 4x x x x x− + − = − − + + = − − − −
2
2 2 1 1
4 2 2
6 5 9
A
xx
−−
= = =
−
−−
, Dấu “ = ” khi
1
3
x =
Bài 2: Tìm min của:
2
1
49
B
xx
=
−+
HD :
Ta có :
( )
2
2
4 9 2 5 5x x x− + = − +
( )
22
1 1 1
5
49
25
B
xx
x
= = =
−+
−+
, Dấu “ = “ khi x = 2
Bài 3: Tìm max của:
2
3
51
C
xx
−
=
−+
HD :
Ta có :
2
2
2
5 21 21 3 12 4
51
2 4 4 21 7
51
x x x C
xx

−−
− + = − − = = =

−+

, Dấu “ = “ khi
5
2
x =
Bài 4: Tìm min hoặc max của:
2
6
23
D
xx
=
− + −
HD :
Ta có :
( )
( )
2
22
2 3 2 3 1 2 2x x x x x− + − = − − + = − − − −
2
66
3
2
23xx
= = −
−
− + −
Bài 5: Tìm min hoặc max của:
2
2
8
K
x
=
+
HD :
Ta có :
2
2
2 2 1
88
84
8
x
x
+ = =
+
Bài 6: Tìm min hoặc max của:
2
4
1
M
xx
=
++
HD :
Ta có :
2
2
2
1 3 3 4 16
1
2 4 4 3
1
x x x
xx

+ + = + + =

++

Bài 7: Tìm min hoặc max của:
2
2
41xx
G
x
−+
=
HD :
2
41
1G
x
x
= − +
, Đặt
( )
2
2
1
4 1 2 3 3t G t t t
x
= = = − + = − − −
Trang 12
Bài 8: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 8 6
21
xx
E
xx
−+
=
−+
HD :
Đặt
22
1 1 2 1x t x t x t t− = = = + = = + +
( )
( )
2
2
2 2 2
3 2 1 8 1 6
3 2 1 2 1
3
t t t
tt
E
t
t t t
+ + − + +
−+
= = = − +
,
Đặt :
( )
2
2
1
2 3 1 2 2a E a a a
t
= = = − + = − +
Bài 9: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
4 6 1
21
xx
F
x
−+
=
+
HD :
Đặt
2
2
1 2 1
21
24
t t t
x t x x
− − +
+ = = = = =
, Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
2 1 3 1 1
5 5 5 5
1
t t t
tt
F
t
t t t
− + − − +
−+
= = = − +
, Đặt
2
1
1 5 5a F a a
t
= = = − +
Bài 10: Tìm min hoặc max của:
( )
2
10
x
H
x
=
+
HD :
Đặt
22
10 1 10
10 10
t
x t x t H
t
tt
−
+ = = = − = = = −
, Đặt
2
1
10a H a a
t
= = = − +
Bài 11: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2016
x
I
x
=
+
HD :
Đặt
22
2016 1 2016
2016 2016
t
x t x t I
t
tt
−
+ = = = − = = = −
, Đặt
2
1
2016a I a a
t
= = = −
Bài 12: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2000xx
D
x
−+
=
HD :
Ta có :
2
2 2000
1D
x
x
= − +
, Đặt
2
1
1 2 2000a D a a
x
= = = − +
Bài 13: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2015
2015
xx
E
x
−+
=
HD :
Ta có :
2
22
2 2015 2 2015
2015 1
xx
E
x
xx
−+
= = − +
, Đặt
2
1
2015 1 2 2015a E a a
x
= = = − +
2
21
.
2015 2015
E a a= = − +
Bài 14: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2000
x
F
x
=
+
HD :
Đặt
22
2000 1 2000
2000
t
x t F
t
tt
−
+ = = = = −
, Đặt
2
1
2000a F a a
t
= = = −
Trang 13
Bài 15: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
1
21
xx
B
xx
−+
=
++
HD :
( )
2
2
1
1
xx
B
x
−+
=
+
,Đặt
2
1 1 2 1x t x t x t+ = = = − = − +
2
22
3 3 3 3
1
tt
B
t
tt
−+
= = = − +
, Đặt
2
1
3 3 1a B a a
t
= = = − +
Bài 16: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 4xx
A
x
++
=
HD :
2
44
2A
x
x
= + +
, Đặt
2
1
4 4 2a A a a
x
= = = + +
Bài 17: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2012xx
B
x
−+
=
HD :
2
2 2012
1B
x
x
= − +
, Đặt
2
1
2012 2 1a B a a
x
= = = − +
Bài 18 : Tìm cả min và max của:
2
34
1
x
K
x
−
=
+
HD :
Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có :
22
2
34
3 4 . 4 3 0
1
x
a ax a x a x x a
x
−
= = + = − = + + − =
+
, Xét
2
1
16 4 12 0
4
a
aa
a
=−
= − + = =
=
Khi đó ta có :
2
22
3 4 4 4
1 1 1 1
11
x x x
K
xx

− + +
= + − = − −

++

, Dấu = khi
2x =−
Mặt khác :
2
22
3 4 4 4 1
4 4 4 4
11
x x x
K
xx

− − − −
= − + = +

++

, Dấu = khí
1
2
x
−
=
Bài 19: Tìm min hoặc max của:
2
27 12
9
x
M
x
−
=
+
HD :
Nháp :
22
2
27 12
. 9 27 12 . 12 9 27 0
9
x
a a x a x a x x a
x
−
= = + = − = + + − =
+
Có
( )
4
' 36 9 27 0
1
a
aa
a
=
= − − = =
=−
Khi đó ta có :
( )
2
2
2 2 2
23
27 12 4 12 9
4 4 4 4 4
9 9 9
x
x x x
M
x x x
−−

− − − −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
6
27 12 12 36
1 1 1 1 1
9 9 9
x
x x x
M
x x x
−

− − +
= + − = − = − −

+ + +

Trang 14
Bài 20: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 4 8
3
xx
N
x
++
=
+
HD :
2
22
3 9 4 1 4 1
3
33
x x x
N
xx
+ + − −
= = +
++
, Nháp :
2
2
41
. 4 3 1 0
3
x
a a x x a
x
−
= = − + + =
+
Có
( )
4
' 4 3 1 0 1;
3
a a a a
−
= − + = = = =
Khi đó ta có :
( )
2
22
44
41
1 1 3 4 4
33
xx
x
N
xx
− − +

−
= − + + = +

++

Mặt khác :
( )
( )
( )
2
2
2
22
23
4 1 4 4 4 12 9 5 5 5
3
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3
x
x x x
N
x
xx
+

− + +
= + − + = + = +

+
++

Bài 21: Tìm min hoặc max của:
2
83
41
x
P
x
+
=
+
HD :
Nháp :
22
2
83
4 . 8 3 4 . 8 3 0
41
x
a a x a x a x x a
x
+
= = + = + = − + − =
+
Có
( )
' 16 4 3 4; 1a a a a = − − = = = −
Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
41
8 3 16 8 1
4 4 4 4 4
4 1 4 1 4 1
x
x x x
P
x x x
−−

+ − + −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
41
8 3 4 8 4
1 1 1 1 1
4 1 4 1 4 1
x
x x x
P
x x x
+

+ + +
= + − = − = − −

+ + +

Bài 22: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
21
1
xx
C
x
++
=
+
HD :
2
2
2
1
x
C
x
=+
+
, Nháp :
2
2
2
. 2 0
1
x
a a x a x
x
= = + − =
+
, có
2
4 4 0 1aa = − = = =
Khi đó :
2
22
2 2 1
1 1 2 1 1
11
x x x
C
xx

++
= + − + = +

++

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
1
2 2 1
1 1 2 3 3 3
1 1 1
x
x x x
C
x x x
−−

− + −
= − + + = + = +

+ + +

Bài 23: Tìm min hoặc max của:
2
2
1
1
xx
N
x
++
=
+
HD :
2
1
1
x
N
x
=+
+
, Nháp :
2
2
.0
1
x
a a x x a
x
= = − + =
+
, có :
2
1
1 4 0
2
aa = − = = =
Khi đó ta có :
( )
2
2
2
1 1 2 1 1 1
1
2 2 2 2
1
21
x x x
N
x
x

++
= + + − = +

+
+

Mặt khác :
( )
( )
( )
2
2
2
22
1
1 1 2 1 3 3 3
1
2 2 2 2 2
1
2 1 2 1
x
x x x
N
x
xx
−−

− + −
= − + + = + = +

+
++

Trang 15
Bài 24: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
D
x
+
=
+
HD :
Nháp :
2
2
21
. 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
+
= = − + − =
+
, có
( )
1
' 1 2 1 0 1;
2
a a a a
−
= − − = = = =
Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
1
2 1 2 1
1 1 1 1 1
1 2 2
x
x x x
D
x x x
−−

+ − + −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác :
( )
2
2
2
2 1 1 1 4 4 1 1
2 2 2 2
2
22
x x x
D
x
x

+ + + −
= + − = −

+
+

Bài 25: Tìm min hoặc max của:
2
21x
E
x
+
=
HD :
2
21
E
x
x
=+
, Đặt
2
1
2a E a a
x
= = = +
Bài 26: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
F
x
−
=
+
HD :
Nháp :
2
2
21
. 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
−
= = − + + =
+
, có
( )
2
1
' 1 2 1 1 2 ; 1
2
a a a a a a = − + = − − = = = −
Khi đó :
( )
( )
( )
2
2
2
22
2
2 1 1 1 4 4 1 1 1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
x
x x x
F
x
xx
−−

− − + −
= − + = + = +

+
++

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
1
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 2 2
x
x x x
F
x x x
+

− + +
= + − = − = − −

+ + +

Bài 27: Tìm min hoặc max của:
2
68
1
x
G
x
−
=
+
HD :
Nháp :
2
2
68
. 6 8 0
1
x
a a x x a
x
−
= = − + + =
+
, có :
( )
2
' 9 8 8 9 0 1; 9a a a a a a = − + = − − + = = = = −
Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
3
6 8 6 9
1 1 1 1 1
1 1 1
x
x x x
G
x x x
−−

− − + −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
31
6 8 9 6 1
9 9 9 9 9
1 1 1
x
x x x
G
x x x
+

− + +
= + − = − = − −

+ + +

Bài 28: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 6 17
25
xx
Q
xx
−+
=
−+
HD :
Ta có :
2
2
3
25
Q
xx
=+
−+
, mà
( )
2
2
2
2 2 1
2 5 1 4 4
42
25
x x x
xx
− + = − + = =
−+
Trang 16
Bài 29: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 16 41
8 22
xx
R
xx
−+
=
−+
HD :
Ta có :
2
22
2 16 44 3 3
2
8 22 8 22
xx
R
x x x x
− + −
= = −
− + − +
,
Mà
( )
( ) ( )
2
2
22
3 3 1 3 1
8 22 4 6 6
6 2 2
4 6 4 6
x x x
xx
−−
− + = − + = = =
− + − +
Bài 30: Tìm min hoặc max của:
6
4 3 2
27
3 6 9 9
x
A
x x x x
+
=
− + − +
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
33A x x= + +
Bài 31: Tìm min hoặc max của:
6
2
512
8
x
B
x
+
=
+
HD :
Hạ phép chia ta được :
( )
2
4 2 2
8 64 4 48 48B x x x= − + = − +
Bài 32: Tìm min hoặc max của:
4 3 2
2
4 16 56 80 356
25
x x x x
G
xx
+ + + +
=
++
HD :
Hạ phép chia ta được:
( )
2
2
256
4 2 5
25
G x x
xx
= + + +
++
, Đặt
2
256
2 5 4x x t G t
t
+ + = = = +
Sau đó sử dụng co si là ra.
Bài 33: Tìm min của:
2
2
1
1
x
H
x
−
=
+
HD :
2
22
1 2 2
1
11
x
H
xx
+−
= = −
++
Bài 34: Tìm min hoặc max của:
2
8
32
I
x
−
=
+
HD :
Ta có :
2
2
88
3 2 2 4
2
32
x
x
+ = =
+
Bài 35: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2010
x
P
xx
=
−+
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
2 2010
1
2 2010
x
P
xx
−
=+
−+
,
Nháp :
2
2
2 2010
. 2 . 2010 2 2010 0
2 2010
x
a a x a x a x
xx
−
= = − + − + =
−+
Có
( ) ( )
2
1
' 1 2010 2010 0 1;
2009
a a a a a = + − + = = = − =
Làm tương tự như các bài trên .
Trang 17
Bài 36: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 6 5
21
xx
Q
xx
−+
=
−+
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
23
2
21
x
Q
xx
−+
=+
−+
, Đặt
1xt−=
, khi đó ta có :
( )
2
2 2 2
3 2 1
2 2 1 2 1
22
t
tt
Q
t
t t t
−+
−+
= + = = − +
, Đặt
1
a
t
=
2
22Q a a= = − +
Bài 37: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 4xx
A
x
++
=
HD :
2
44
2A
x
x
= + +
, Đặt
2
1
4 4 2t A t t
x
= = = + +
Bài 38: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
B
x
+
=
+
HD :
Nháp :
2
2
21
. 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
+
= = − + − =
+
, có
( )
1
' 1 2 1 0 1;
2
a a a a
−
= − − = = = =
Khi đó ;
( )
2
2
2 2 2
1
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 2 2
x
x x x
B
x x x
−

+ − + −
= − + = + = −

+ + +

Mặt khác :
( )
( )
( )
2
2
2
22
2
2 1 1 1 4 4 1 1 1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
x
x x x
B
x
xx
+

+ + + −
= + − = − = −

+
++

Bài 39: Tìm min hoặc max của:
2
2
2
2
x
C
xx
+
=
++
HD :
Nháp :
2
22
2
2
. 2 2 0
2
x
a a x a x
xx
+
= = + + − − =
++
, có
( ) ( )
2
8 2 2
4 1 .2 1
7
a a a a
= − − − = =
Làm tương tự như các bài trên
Bài 40: Tìm min hoặc max của:
2
2
23
23
xx
D
xx
++
=
−+
HD :
Nháp :
2
22
2
23
. 2 . 3 2 3 0
23
xx
a a x a x a x x
xx
++
= = − + − − − =
−+
, có
( ) ( )( )
2
' 1 3 1 1a a a = + − − −
2
' 2 8 2 0 2 3a a a = − + − = = =
, làm như các bài trên.
Bài 41: Tìm min hoặc max của:
( )
2 2 2
4 4 2 2
1
22
x y x x y
G
x x y y
+ − +
=
+ + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
2 4 2 4
4 4 2 2 2
4 2 4
1 1 1
2 2 2
2 1 1
x y x x y x
G
x x y y y
x y x
+ − + +
= = =
+ + + +
+ + +
Trang 18
Bài 42: Tìm min hoặc max của:
( )
4
2
2
1
1
x
H
x
+
=
+
HD :
Đặt
2 2 4 2
1 1 2 1x t x t x t t+ = = = − = = − +
, khi đó
2
22
2 1 1 2 2
1
tt
H
t
tt
− + +
= = − +
Đặt
2
1
2 2 1a H a a
t
= = = − +
Bài 43: Tìm min hoặc max của:
2
2
34
4
x
A
x
+
=
+
HD :
2
22
3 12 8 8
A= 3
44
x
xx
+−
=−
++
Bài 44: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 2 3
1
xx
C
x
−+
=
+
HD :
2
22
3 3 2 2
3
11
x x x
C
xx
+ − −
= = +
++
Nháp :
2
2
2
. 2 0
1
x
a a x x a
x
−
= = + + =
+
, có
2
' 1 0 1aa = − = = =
Khi đó :
2
22
2 2 1
1 1 3 2 2
11
x x x
C
xx

− − +
= + − + = +

++

Mặt khác :
( )
2
2
2 2 2
1
2 2 1
1 1 3 4 4 4
1 1 1
x
x x x
C
x x x
−+

− − − −
= − + + = + = +

+ + +

Bài 45: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 6 17
35
xx
H
xx
−+
=
−+
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
32
3
35
x
H
xx
+
=+
−+
Nháp :
2
2
32
. 3 . 3 5 2 0
35
x
a a x a x x a
xx
+
= = − − + − =
−+
, có :
( ) ( )
2
2
13 2 67
9 1 4 5 2 11 26 9 0
11
x a a a a a
= + − − = − + + = = =
,
Bài 46: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 16 71
8 22
xx
I
xx
−+
=
−+
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
27
2
8 22
I
xx
=+
−+
, mà
( )
2
2
8 22 4 6 6x x x− + = − +
Bài 47: Tìm min hoặc max của:
2
2
41xx
K
x
−+
=
HD :
2
41
1K
x
x
= − +
, đặt
( )
2
2
1
4 1 2 3 3t K t t t
x
= = = − + = − − −
Trang 19
Bài 48: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 9
24
xx
N
xx
++
=
++
HD :
Hạ phép chia ta được :
2
1
2
24
N
xx
=+
++
, mà
( )
2
2
2 4 1 3 3x x x+ + = + +
Bài 49: Tìm min hoặc max của:
2
4
1
x
P
x
=
+
HD :
Nháp : Đặt
22
2
1
0
2
1
t
x t a at t a a
t
= = = = − + = = =
+
Khi đó :
( )
( )
( )
2
2
2 4 2
4
44
1
1 1 2 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
2 1 2 1
x
x x x
P
x
xx
+

+ + −
= + − = − = −

+
++

, Không xảy ra dấu bằng
Mặt khác :
( )
( )
( )
2
2
2 4 2
4
44
1
1 1 2 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
2 1 2 1
x
x x x
P
x
xx
−−

− + −
= − + = + = +

+
++

Bài 50: Tìm min hoặc max của:
23
2 2 2
2 1999
:
3 2 3 2
x x x
Q
x x x x x
−+
=
− + − +
HD :
Thực hiện phép tính ta được :
2
22
2 1999 2 1999
1
xx
Q
x
xx
−+
= = − +
,
Đặt
2
1
1999 2 1t Q t t
x
= = = − +
Bài 51: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 9
24
xx
D
xx
++
=
++
HD :
2
1
2
24
D
xx
=+
++
, mà
( )
2
2
2 4 1 3 3x x x+ + = + +
Bài 52: Tìm min hoặc max của:
2
2
22
22
xx
F
xx
−+
=
++
HD :
2
4
1
22
x
F
xx
−
=+
++
Nháp :
2
2
4
. 2 . 4 2 0
22
x
a a x a x a a
xx
−
= = + + + =
++
, có
( )
2
' 2 .2 0 2 2 2a a a a = + − = = =
Bài 53: Tìm min hoặc max của:
( )
4
2
2
1
1
x
G
x
+
=
+
HD :
Đặt
2 2 4 2
1 1 2 1x t x t x t t+ = = = − = = − +
Khi đó :
2
22
2 2 2 2
1
tt
G
t
tt
−+
= = − +
, đặt
2
1
2 2 1a G a a
t
= = = − +
Trang 20
Bài 54: Tìm min hoặc max của:
22
22
2 2 9
25
x xy y
H
x xy y
−+
=
++
HD :
Chia cá tử và mẫu cho
2
y
ta được:
2
2
2
2
2. 2. 9
2. 5
xx
y
y
H
xx
y
y
−+
=
++
, đặt
2
22
2 2 9 6 1
2
2 5 2 5
x t t t
tH
y
t t t t
− + +
= = = = −
+ + + +
Nháp :
2
2
61
2 5 6 1 0
25
t
a at at a t
tt
+
= − = + + + + =
++
,
Có :
( ) ( )
2
9
' 3 5 1 0 1;
4
a a a a a = + − + = = = − =
, làm giống các bài trên
Bài 55: Tìm min và max của:
2
43
1
x
I
x
+
=
+
HD:
Nháp:
2
2
43
. 4 3 0
1
x
a a x x a
x
+
= = − + − =
+
, có
( )
' 4 3 0 4; 1a a a a = − − = = = = −
Khi đó:
( )
2
2
2 2 2
21
4 3 4 4 1
4 4 4 4 4
1 1 1
x
x x x
I
x x x
−−

+ − + −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác:
( )
2
2
2 2 2
2
4 3 4 4
1 1 1 1 1
1 1 1
x
x x x
I
x x x
+

+ + +
= + − = − = − −

+ + +

Bài 56: Tìm min
( )
2
2 2 1
2
x
P
x
+
=
+
HD :
Nháp :
2
2
42
. 4 2 2 0
2
x
a a x x a
x
+
= = − + − =
+
, có
( )
' 4 2 2 0 2; 1a a a a = − − = = = = −
Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
21
4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2
x
x x x
P
x x x
−−

+ − + −
= − + = + = +

+ + +

Mặt khác :
2
22
4 2 4 4
1 1 1 1
22
x x x
P
xx

+ + +
= + − = − −

++

Bài 57: Tìm min hoặc max của:
2
2
1
1
x
J
xx
+
=
−+
HD :
Ta có :
2
1
1
x
J
xx
=+
−+
Nháp :
2
2
. . 0
1
x
a a x a x x a
xx
= = − − + =
−+
, có
( )
2
1
1 4 . 0 1;
3
a a a a a
−
= + − = = = =
Khi đó :
( )
2
2
2 2 2
1
21
1 1 1 2 2 2
1 1 1
x
x x x
J
x x x x x x
−


− + −
= + − + = + = −


− + − + − +


Mặt khác :
( )
2
2
2
1 1 2 2 1 2
1
3 3 3 3
1
31
x x x
J
xx
xx

++
= + + − = +

−+
−+

Bài 58: Tìm min hoặc max của:
2
2
2
2
x
K
xx
+
=
++

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa:
- Cho biểu thức A( ; x ; y )
z Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A( ; x ; y ) z nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: + Với mọi ; x ; y z mà A( ; x ; y )
z xác định mà A( ; x ; y ) z M
+ Tồn tại một bộ số ( ; x ; y ) z sao cho A( ; x ; y ) z = M
- Cho biểu thức A( ; x ; y )
z Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của A( ; x ; y ) z nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: + Với mọi ; x ; y z mà A( ; x ; y )
z xác định mà A( ; x ; y ) z N
+ Tồn tại một bộ số ( ; x ; y ) z sao cho A( ; x ; y ) z = N B. LUYỆN TẬP
Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN Phương pháp:
- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng các hằng đẳng thức (a )2 b
(a+ b+ c)2 , .
Bài 1: Tìm GTNN của: A = x ( x − 3)( x − 4)( x − 7) HD:
A = x(x − )(x − )(x − ) = ( 2 x − x)( 2 7 3 4 7
x − 7x +12) , Đặt 2
x − 7x + 6 = t , khi đó: x = 1
A = (t − )(t + ) 2 6 6 = t − 36  3 − 6 , Dấu “ = ” khi 2 2
t = 0 = x − 7x + 6 = 0 =  x = 6 
Vậy Min A = - 36 khi x=1 hoặc x=6
Bài 2: Tìm GTNN của: B = ( x − )( x − )( 2 1 3 x − 4x + 5) HD: B = ( 2 x − x + )( 2 4 5 x − 4x + ) 5 , Đặt 2
x − 4x + 4 = 0 . Khi đó:
B = (t − )(t + ) 2 1
1 = t −1 −1 , Dấu “ = “ khi 2 2
t = 0 = x − 4x + 4 = 0 = t = 2
Bài 3: Tìm min của: A = x ( x + 2)( x + 4)( x + 6) + 8 HD:
A = x(x + )(x + )(x + ) + = ( 2 x + x)( 2 6 2 4 8 6 x + 6x + ) 8 + 8 , Đặt 2
x + 6x + 4 = t . Khi đó:
A = (t − )(t + ) 2 2 4
4 + 8 = t −16 + 8 = t − 8  −8 , Dấu “ = “ Khi đó: x = −3+ 5 2 2
t = 0 = x + 6x + 4 = 0 =  x = −3− 5 
Bài 4: Tìm GTNN của: B = ( x + )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 4) Trang 1 HD:
B = (x + )(x + )(x + )(x + ) = ( 2 x + x + )( 2 1 4 2 3 5
4 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x + 5 = t , Khi đó: − 
B = (t − )(t + ) 2 1
1 = t −1 −1 , Dấu “ = “ khi 2 2 5 5
t = 0 = x + 5x + 5 = 0 = x = 2
Bài 5: Tìm GTNN của: A = ( 2 x + x − )( 2 6 x + x + 2) HD: Đặt 2
x + x − 2 = t . Khi đó: A = (t − )(t + ) 2 4 4 = t −16  1 − 6 x = 1 Dấu “ = “ xảy ra khi: 2
t = 0 = x + x − 2 = 0 =  x = 2 − 
Bài 6: Tìm GTNN của : C = ( x − )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 6) HD:
C = (x − )(x + )(x + )(x + ) = ( 2 x + x − )( 2 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x = t . Khi đó: x = 0
C = (t − )(t + ) 2 6 6 = t − 36  3 − 6 , Dấu “ = “ khi 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x = 5 − 
Bài 7: Tìm GTNN của: D = (2x − )
1 ( x + 2)(x + 3)(2x + ) 1 HD:
D = ( x − )(x + )(x + )( x + ) = ( 2 x + x − )( 2 2 1 3 2 2 1 2 5
3 2x + 5x + 2) , Đặt 2
2x + 5x = t , Khi đó: 2   −
D = (t − )(t + ) 2 1 25 25 3
2 = t − t − 6 = t − −   , Dấu “ = “ khi: 2    4 4 1 −  2 1 5 29
t = = 2x + 5x = = x = 2 2 4
Bài 8: Tìm min của: C = ( x + )
1 (x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2011 HD: C = (x + ) 1 (x + ) 4 (x + 2)(x + ) 3 + 2011 = ( 2 x + x + )( 2 5
4 x + 5x + 6) + 2011 , Đặt 2
x + 5x + 5 = t − 
Khi đó: C = (t − )(t + ) 2 5 5 1
1 + 2011= x + 5x + 5 = 0 = x = 2
Bài 9: Tìm max của: E = 5 + (1− x)( x + 2)( x + 3)( x + 6) HD:
E = − (x − )(x + )(x + )(x + ) = −( 2 x + x − )( 2 5 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) + 5 , đặt 2
x + 5x = t .
Khi đó: E = − (t − )(t + ) + = −( 2t − ) 2 6 6 5
36 + 5 = −t + 41 41 x = 0 Dấu “ = “ Khi 2 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x = 5 − 
Bài 10: Tìm GTNN của: M = ( x − )
1 ( x + 2)( x + 3)(x + 6) HD:
M = (x − )(x + )(x + )(x = ) = ( 2 x + x − )( 2 1 6 2 3 5
6 x + 5x + 6) , Đặt 2
x + 5x = t . x = 0
Khi đó: M = (t − )(t + ) 2 6
6 = t − 36  −36 , Dấu “ = ” khi 2
t = 0 = x + 5x = 0 =  x = 5 − 
Bài 11: Tìm min của: D = ( x + )( 2
1 x − 4)(x + 5) + 2014 HD: Trang 2
D = (x + )(x + )(x − )(x + ) + = ( 2 x + x − )( 2 1 2 2 5 2014 3
10 x + 3x + 2) + 2014 , Đặt 2
x + 3x − 4 = t
Khi đó: D = (t − )(t + ) 2 6
6 + 2014 = t +1978 , Dấu “= “ xảy ra khi: x = 1 2 2
t = 0 = x + 3x − 4 = 0 =  x = 4 − 
Bài 12: Tìm GTNN của: 4 3 2
C = x − 6x +10x − 6x + 9 HD: C = (x −
x x + x ) + (x − x + ) = (x − x)2 + (x − )2 4 2 2 2 2 2.3 . 9 6 9 3 3  0
Bài 13: Tìm GTNN của: 4 3 2
C = x − 4x + 9x − 20x + 22 HD: C = ( 4 3 2
x − x + x ) + ( 2 4 4
5 x − 4x + 4) + 2
Bài 14: Tìm GTNN của: 4 2
B = x − x + 2x + 7 HD: B = ( 4 2
x − x + ) + ( 2 2 1 x + 2x + ) 1 + 5
Bài 15: Tìm GTNN của: D = ( x + )4 + ( x + )4 8 6 HD:
Đặt: x + = y = D = ( y + )4 + ( y − )4 4 2 7 1
1 = 2y +12y + 2  2
Bài 16: Tìm GTNN của : 2
A = 9x − 6x − 4 3x −1 + 6 HD: Đặt: 2 2 2
3x −1 = t = t = 9x − 6x +1 = E = t − 4t + 5
Bài 17: Tìm GTLN của: A = ( x + )2 − ( x − )2 2 1 3 2 + x −11 HD: 2   2 2 2 17 569 569
A = 4x + 4x +1− 9x +12x − 4 + x −11= 5
− x +17x −14 = 5 − x + +   10    20 20
Bài 18: Tìm min của: A = ( x + )4 + ( x − )4 2 2 HD: 2 2 A = ( 2 x + x + ) + ( 2 x − x + ) 4 2 = x + x + + ( 3 2
x + x + x ) 4 2 2 4 2 4 4 16 2 2 8 4 + x + 4x +16
+ ( x − x − x) = x + x + = (x + )2 2 3 4 2 2 2 4 2 8 2 24 32 2 6 − 40  4 − 0
Bài 19: Tìm min của: 2 2
A = x + 4y − 4x + 32y + 2018 HD:
A = (x − x + ) + ( y + y + ) +
= (x − )2 + (y + )2 2 2 4 4 4 32 64 1950 2 4 4 +1950  1950
Bài 20: Tìm min của: 2 2
A = 3x + y + 4x − y HD:  2   1   2   1  19 1 − 9
A = (3x + 4x) + (y − y) 2 2 2 2 2 2 = 3 x + 2.x. + y − 2. . y = 3 x + + y − −   3  2   3  2          12 12
Bài 21: Tìm min của: 2 2
B = 5x + y + 2xy −12x −18 HD:
B = ( x − x) + (x + xy + y ) − = ( x − )2 + (x + y)2 2 2 2 4 12 2 18 2 3 − 27  2 − 7
Bài 22: Tìm max của: 2 2 B = 3
− x −16y −8xy + 5x + 2 HD: Trang 3 2 2  5 41 2 2 2
−B = x + 8xy +16y  + 2x − 5x − 2 =   
 (x + 4y) + 2 x − −   4  8 2 2  5 41 41
= B = −(x + 4y) − 2 x − +   4    8 8
Bài 23: Tìm min của: 2 2
A = 3x + 4y + 4xy + 2x − 4y + 26 HD: 2 2 2
A = y + ( xy − y) 2  2 + x + x + = y +
y (x − ) + (x − )  2 4 4 4 3 2 26 4 2.2 . 1 1
+ 3x + 2x + 26 − (x − ) 1   
A = ( y + x − )2 + x + x + = (x + y − )2 2 + ( 2 2 1 2 4 25 2 1 2 x + 2x + ) 1 + 23  23
Bài 24: Tìm max của: 2 2
A = −x − y + xy + 2x + 2y HD: 2 2 2
−A = x + y − xy − x − y = x − (xy+ x) 2 2
+ y − y = x − x(y+ ) + ( 2 2 2 2 2 2 y − 2y) 2 2 2 2 
y + 2 y + 4y + 4
y + 4y+ 4  y + 2   3y  2 2 A = x − 2 . x + + y − 2y −     = x − +    − 3y −1 2 4 4      2  4   2
 2x − y −1 3  4  2 A = +
y − 4y + 4 − − 4  2  4  3     
Bài 25: Tìm min của: A = ( x − )2 + ( x − )2 3 1 HD:
A = x − x + + x − x + = x − x + = (x − )2 2 2 2 6 9 2 1 2 8 10 2 2 + 2  2
Bài 26: Tìm min của: B = ( x + )2 + ( x + )2 − ( x + )2 2 1 3 2 4 3 HD:
B = (x + x + ) + (x + x + ) − (x + x + ) = x − x − = (x − )2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 4 4 6 9 8 22 4 − 38  3 − 8
Bài 27: Tìm max của: F = − ( x + )4 − ( x − )4 2 3 1 3 5 HD:
Đặt x − = t = F = − (t + )4 − (t − )4 2 2 3 3 3 3 2 2
−F = ( 2t + t + ) + ( 2t − t + ) 4 2 − = t + t + = ( 4 2 3 6 9 3 6 9 2 6 324
484 6 t + 54t ) + 484 F = − (t + )2 2 6 27 + 3890  3890
Bài 28: Tìm min của: G = ( x + )4 + ( x − )4 3 7 HD: 4 4 2 2
Đặt x − = t = G = (t + ) + (t − ) = ( 2t + t + ) + ( 2 2 5 5 10 25 t −10t + 2 ) 5 G = t + t + = (t + t + )− = (t + )2 4 2 4 2 4 2 4 4 2 300 1250 2 2.75 5625 10 2 75 −10  1 − 0
Bài 29: Tìm min của: 4 3 2
I = x − 6x +11x +12x + 20 HD: 4 3 2 2
I = x − x + x − x + = x ( 2 x − x + ) 2 6 11 12 20 6
9 + 2x −12x + 20
I = x (x − )2 + (x − x + ) + = x (x − )2 + (x − )2 2 2 2 3 2 6 9 2 3 2 3 + 2  2
Bài 30: Tìm max của : 2 2
N = −x − 4y + 6x − 8y + 3 HD: Trang 4 2 2
−N = x + y − x + y − = ( 2
x − x + ) + ( 2 4 6 8 3 6 9
4y + 8y + 4) −16
−N = (x − )2 + (y+ )2 − = N = −(x − )2 − (y+ )2 3 4 1 16 3 4 1 +16  16
Bài 31: Tìm max của: 2 2 P = 3
− x − 5y + 2x + 7y − 23 HD: 2 2
−P = x + y − x − y + = ( 2 x − x) + ( 2 3 5 2 7 23 3 2 5y − 7y) + 23 2 2  1  7  1213 2 2  1  7  1213 1 − 213 −P = 3 x − + 5 y − +  => P = 3 − x − − 5 y − −  3  10          60  3  10  60 60
Bài 32: Tìm max của: 2 2 R = 7
− x − 4y −8xy +18x + 9 HD:
−R = x + y + xy − x − = ( y + xy+ x ) + x − x − = (x + y)2 + (x − )2 2 2 2 2 2 7 4 8 18 9 4 8 4 3 18 9 2 3 3 − 36
R = − (x + y)2 − (x − )2 2 3 3 + 36  36
Bài 33: Tìm max của: 2 2
A = 5 − 2x − 4y + 4xy − 8x −12y HD: 2 2 2
−A = x + y − xy + x + y − = x − x(y− ) 2 2 4 4 8 12 5 2 4
2 + 4y +12y − 5 2 2  2 =
x − x(y − ) + (y− )  2 2 2 2 2
+ 4y +12y − 5− 2(y− 2)   
Bài 34: Tìm max của: 2 2
B = 2 − 5x − y − 4xy + 2x HD: 2 2 2 2 2
−B = 5x + y + 4xy − 2x − 2 = y + 2. .
y 2x + 4x + x − 2x +1− 3 = (y + x)2 + (x − )2 2 1 − 3  3 −
B = − ( x + y)2 − (x − )2 2 1 + 3  3
Bài 35: Tìm min của: 2 2
C = a + ab + b − 3x − 3b +1989 HD: 2 2 b − 3 b − 3 b − 3 2
C = a + a(b− ) 2 2 ( ) 2 ( )
3 + b − 3b +1989 = a + 2. . a +
+ b − 3b +1989− 2 4 4 2 2
4C = 4a + 4ab + 4b −12a −12b + 7956  a a(b ) (b )2 = + − + − + b − b + − (b− )2 2 2 4 4 3 3 4 12 7956 3  = ( a+ b− )2 2 2
3 + 3b − 6b + 7947  
Bài 36: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( x + )( x + )2 1
2 ( x + 3)  m HD: 2
VT = (x + )(x + )(x + ) = ( 2 x + x + )( 2 1 3 2 4
3 x + 4x + 4) , Đặt 2
x + 4x = t , Khi đó: 2   −
VT = (t + )(t + ) 2 2 7 49 49 7 1 1 3
4 = t + 7t +12 = t + 2.t. + +12− = t + −  2 4 4  2    4 4
Bài 37: Tìm GTNN của: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 HD:
Ta có: A = x − xy + y + y − y + + = (x − y)2 + (y − )2 2 2 2 2 4 4 1 2 +1
Do: (x − y)2  (y − )2 0,
2  0 , Nên A = (x − y)2 + (y − )2 2 +1 1
Bài 38: Tìm min của: 2 2
B = 2x + y + 2xy − 8x + 2028 HD: Trang 5 B = ( 2 2
x + xy + y ) + ( 2 2
x − 8x +16) + 2012
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức: 4 3
A = a − 2a − 4a + 5 HD: 2 A = a ( 2 a + ) − a( 2 a + ) + ( 2 2 2 2 a + 2) + 3 =( 2 a + )( 2 2 a − 2a + )
1 + 3  3 dấu bằng khi a=1
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2
A = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 HD:
A = x − x(y − ) + y − y + = x − x(y − ) + (y − )2 + y − y + − (y − )2 2 2 2 2 2 1 2 10 17 2 1 1 2 10 17 1 2
A = x − y +  + ( 2 2 1
2y −10y +17− y + 2y −   )1
Bài 41: Tìm Min của: 2
P = 5x − 6x −1 −1 HD: 1 TH1: 2
x  = P = 5x − 6x 6 1 TH2: 2
x  = P = 5x + 6x − 2 6 Trang 6
Dạng 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp:
- Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức (a )2 b
(a+ b+ c)2 ,
- Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
Bài 1: Tìm GTNN của: 2 2
A = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 HD: 2 2 2
A = x − x(y − ) 2 2
1 + 2y −10y +17 2 x
x(y ) (y )  2 2 1 1 2y 10y 17 (y ) 1  = − − + − + − + − −    2
= (x − y+ ) + ( 2 1 y − 8y +16)
Bài 2: Tìm min của: 2 2
B = x − xy + y − 2x − 2y HD: 
y + 2 y + 4y + 4 y
B = x − x(y + ) 2 2 2 2 2 2
2 + y − 2y = x − 2. . x + + y − 2y − − y −1   2 4 4  
B = (x − y − )2 2 2 4
2 + 4y − 8y − y − 4y − 4
Bài 3: Tìm min của: 2 2
C = x + xy + y − 3x − 3y HD: 
y − 3 y − 6y + 9 y − 6y + 9
C = x + x(y− ) 2 2 2 2 2 2
3 + y − 3y = x + 2. . x + + y − 3y −   2 4 4  
C = (x + y − )2 2 2 4
3 + 4y −12y − y + 6y − 9  
Bài 4: Tìm min của: 2 2
D = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 HD: 2 2
D = x − x(y + ) 2 2 + y + y +
= x − x (y+ ) + (y+ ) 2 + y + y + − ( 2 2 6 6 2 45 2 . 6 6 6 2 45 y +12y + 36) = (x − y− )2 2
6 + 5y −10y + 9
Bài 5: Tìm min của: 2 2
E = x − xy + 3y − 2x −10y + 20 HD:
y − 2 y − 4y + 4 y − 4y + 4
E = x − x(y − ) 2 2 2 2 2 2
2 + 3y −10y + 20 = x − 2 . x +
+ 3y −10y + 20− 2 4 4 2 2
E = (x − y + ) + ( 2 y − y + )−( 2 4 2 12 40 80
y − 4y + 4) = (x − y+ ) + ( 2 2
11y − 36y + 7 ) 6
Bài 6: Tìm max của: 2 2
F = −x + 2xy − 4y + 2x +10y − 3 HD: 2 2 2
−F = x − xy + y − x − y + = x − x(y+ ) 2 2 4 2 10 3 2
1 + 4y −10y + 3
−F = x − x(y+ ) + (y+ )2 + y − y+ − (y+ )2 2 2 2 1 1 4 10 3 1
Bài 7: Tìm min của: G = ( x − ay)2 + (x − ay) 2 2 6
+ x +16y −8ay + 2x − 8y +10 HD: 2 G (x ay) (x ay)  = − + − + +    ( 2 x + x + ) 2 6 9 2
1 +16y − 8ay − 8y
G = (x − ay + )2 + (x + )2 + y − y(a+ ) + (a+ )2 − (a+ )2 2 3 1 16 8 1 1 1
G = (x − ay + )2 + (x + )2 + ( y − a− )2 − (a+ )2  −(a+ )2 3 1 4 1 1 1 Trang 7
Bài 8: Tìm max của: 2 2
H = −x + xy − y − 2x + 4y +11 HD: 2 2 2
−H = x − xy + y + x − y −
= x − x(y− ) 2 2 4 11
2 + y − 4y −11
y − 2 y − 4y + 4 y − 2 2 2 ( )2 2 −H = x − 2 . x +
+ y − 4y −11− 2 4 4
= − H = (x − y+ )2 2 + y − y − − ( 2 4 2 4 16 44 y − 4y + 4)
Bài 9: Tìm min của: 2 2
I = x + 4xy + 5y − 6y +11 HD: I = ( 2 2
x + xy + y ) 2 4 4 + y − 6y +11
Bài 10: Tìm min của: 2 2
K = x + y − xy + 3x + 3y + 20 HD: 2 2 2 2  2 K x y xy x y x x(y ) (y )   2 4 4 4 4 12 12 80 4 4 3 3 4y 12y 80 (y )3  = + − + + + = − − + − + + + − −     
K = ( x − y + )2 2 4 2
3 + 3y +18y + 71
Bài 11: Tìm min của: 2 2
M = x − 2xy + 2y − 2y +1 HD: M = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2 y − 2y + ) 1
Bài 12: Tìm min của: 2 2
N = x − 2xy + 2y − x HD: 2 2 2y +1 2y +1 2y +1 2
N = x − x(2y + ) 2 2 ( ) 2 ( )
1 + 2y = x − 2 . x + + 2y − 2 4 4 2
N = (x − y − ) 2 + y − ( 2 4 2 1 8 4y + 4y + ) 1
Bài 13: Tìm min của: 2 2
A = x − 2xy + 3y − 2x +1997 HD: 2 2
A = x − x(y+ ) 2 2 + y +
= x − x(y− ) + (y− ) 2 + y + − ( 2 2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 y + 2y + ) 1
Bài 14: Tìm min của: 2 2
Q = x + 2y − 2xy + 2x −10y HD: 2 2
Q = x − x(y − ) 2 2
+ y − y = x − x(y− ) + (y− ) 2
+ y − y − ( 2 2 1 2 10 2 1 1 2 10 y − 2y + ) 1
Bài 15: Tìm min của: 2 2
R = x + 2y + 2xy − 2y HD: 2 2 2 2 2
R = x + 2y + 2xy − 2y = x + 2xy + y + y − 2y +1−1 = (x + y)2 + (y − )2 1 −1 −1
Bài 16: Tìm min của: 2 2
A = 4x + 5y − 4xy −16y + 32 HD: 2 2
A = x + y − xy − y + = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 4 5 4 16 32 4 4 4y −16y + 32)
Bài 17: Tìm min của: 2 2 2
B = x + 5y + 5z − 4xy − 4yz − 4z +12 HD: B = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2
y − yz+ z ) + ( 2 4 4 4 4
z − 4z+ 4) + 8
= (x − y)2 + (y− )2 z + (z− )2 2 2 2 + 8  8 Trang 8
Bài 18: Tìm min của: 2 2
C = 5x −12xy + 9y − 4x + 4 HD: 2 2 C = ( 2 2 x − x y + y ) + ( 2 4 2.2 .3 9
x − 4x + 4) = (2x − 3y) + (x − 2)  0
Bài 19: Tìm max của: 2 2
D = −x − y + xy + 2x + 2y HD: 2 2 2
−D = x + y − xy − x − y = x − x(y+ ) 2 2 2 2 + y − 2y y + 2 y + 2 + + 2 ( )2 2 y 4y 4 2 −D = x − 2 . x + + y − 2y − 2 4 4
Bài 20: Tìm min của: 2 2
E = x + 5y − 4xy + 2y − 3 HD:
E = x − xy + y + y + y + − = (x − y)2 + (y + )2 2 2 2 4 4 2 1 4 2 1 − 4  4 −
Bài 21: Tìm GTNN của 2 2
A = a + ab + b − 3a − 3b + 3 HD: Ta có: 2 2
P = a − ab + b + ( 2 2 4 2
3 a + b ) + 4+ 2ab− 4a− 4b = (a− )2
b + (a+ b− )2 3 2  0
Bài 22: Tìm min của: 2 2
G = x + xy + y − 3(x + y) + 3 HD : 2 2
4G = 4x + 4xy + 4y −12x −12y +12 2 2
G = x + x(y − ) + (y− ) + ( 2 y − y + )−( 2 4 4 4 3 3 4 12 12 y − 6y + ) 9
G = ( x + y − )2 + y − y + = ( x + y − )2 + (y − )2 2 4 2 3 3 6 3 2 3 3 1  0
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + 4y + z − 2x + 8y − 6z +15 = 0 HD :
( 2x − x+ )+( 2y + y+ )+( 2 2 1 4 8 4 z − 6z+ ) 9 +1 1
Bài 24: Tìm min của: 2 2
A = 2x + y − 2xy − 2x + 3 HD :
A = x − xy + y + x − x + + = (x − y)2 + (x − )2 2 2 2 2 2 1 2 1 + 2  2
Bài 25: Tìm min của: 2 2
B = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 HD :
B = x − x(y − ) + (y − )2 2 2 + y − y + − ( 2 2 1 1 2 10 17 y − 2y + ) 1 2
= (x − y+ ) + ( 2 1 y − 8y +16)
Bài 26: Tìm min của: 2 2
D = 2x + 2xy + 5y − 8x − 22y HD : 2 2 2
D = x + xy + y − x −
y = x + x(y− ) 2 2 4 4 10 16 44 4 4 4 +10y − 44y D = x +
x(y − ) + (y − )2 2 2 2 2 4 2.2 4
4 +10y − 44y − y + 8y −16 Trang 9
Bài 27: Tìm min của: 2 2
E = 2x + 9y − 6xy − 6x −12y + 2004 HD : 2 2
2E = 4x +18y −12xy −12x − 24y + 4008 2 2 E = x −
x(y+ ) + (y+ ) 2 + y − y + − ( 2 2 4 12 1 9 1 18 24
4008 9 y + 2y + ) 1
E = ( x − y − )2 2 2 2
1 + 9y − 42y + 3999
Bài 28: Tìm min của: 2 2
F = x − 2xy + 6y −12x +12y + 45 HD : 2 2
F = x − x(y + ) + (y + ) 2 + y + y + − ( 2 2 6 6 6 12 45
y +12y + 36) = (x − y− )2 2 6 + 5y + 9  9
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2
a + ab + b − 3a − 3b + 3 HD:
P = a + ab + b − a − b + = P = (a − b)2 + (a + b − )2 2 2 3 3 3 4 3 2  0
Bài 30: Tìm min của: 2 2 2
A = x + 6y +14z − 8yz + 6zx − 4xy HD: 2
A = x − x( y + ) 2 2 2 2
3z + 6y −14z 2 2
A = x − x( y + ) z + ( y + ) 2 2 z + y − z − ( 2 2 2 2 3 2 3 6 14
4y +12yz+ 9z )
A = (x − y − )2 2 2 2
3z + 2y −12yz− 23z
Bài 31: Tìm min của: 2 2 2
B = x + 2y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − 2y − 8z + 2000 HD: 2
B = x − x(y − z+ ) 2 2 2
1 + 2y + 3z − 2y − 8z+ 2000 2 2
= x − x(y− z+ ) + (y− z+ ) 2 2
+ y + z − y − z+ − ( 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2000
y + z +1− 2yz− 2z+ 2y) 2
= (x − y+ z− ) + ( 2 2 1
y + 2z − 4y + 2yz+199 ) 9 2 2
= (x − y+ z− )  2
+ y − y(z+ ) + (z+ )  2 + z −    ( 2 1 2 2 2 2 z + 4z+ 4) +1999  2 2
= (x − y+ z− ) + (y− z− ) + ( 2 1 2 z − 4z+199 ) 5 Trang 10 Dạng 3: PHÂN THỨC Phương pháp:
- Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo: 1 1
Nếu a b =  a b
- Chia tử cho mẫu nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu rồi đặt ẩn phụ.
- Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt. 2
Bài 1: Tìm min của: A = 2 6x − 5 − 9x HD:
Ta có: − x + x − = − ( x − x + + ) = −( x − )2 2 2 9 6 5 9 6 1 4 3 1 − 4  4 − 2 2 1 − 1 − 1 =  = = A
, Dấu “ = ” khi x = 2 6x − 5− 9x 4 − 2 2 3 1
Bài 2: Tìm min của: B = 2 x − 4x + 9 HD : 1 1 1
Ta có : x − x + = (x − )2 2 4 9 2 + 5  5 = B = =
 , Dấu “ = “ khi x = 2 2
x − 4x + 9 (x− )2 5 2 + 5 3 −
Bài 3: Tìm max của: C = 2 x − 5x +1 HD : 2  5 21 2 − 1 3 − 12 4 5 Ta có : 2
x − 5x +1= x − −  = C =  =  
, Dấu “ = “ khi x = 2  2  4 4 x − 5x +1 21 7 2 6
Bài 4: Tìm min hoặc max của: D = 2 −x + 2x − 3 HD : 6 6
Ta có : −x + x − = − (x − x + ) = −(x − )2 2 2 2 3 2 3 1 − 2  2 − =  = 3 − 2 −x + 2x − 3 2 − 2
Bài 5: Tìm min hoặc max của: K = 2 x + 8 HD : 2 2 1 Ta có : 2 x + 8  8 =  = 2 x + 8 8 4 4
Bài 6: Tìm min hoặc max của: M = 2 x + x +1 HD : 2  1  3 3 4 16 Ta có : 2
x + x +1= x + +  =    2  2  4 4 x + x +1 3 2 x − 4x +1
Bài 7: Tìm min hoặc max của: G = 2 x HD : 4 1 1 G = 1− +
, Đặt = t = G = t − 4t +1= (t − )2 2 2 − 3  3 − 2 x x x Trang 11 2 3x −8x + 6
Bài 8: Tìm min hoặc max của: E = 2 x − 2x +1 HD : Đặt 2 2
x −1 = t = x = t +1 = x = t + 2t +1 3( 2t + 2t + ) 1 − 8(t + ) 2 1 + 6 3t − 2t +1 2 1 E = = = 3− + , 2 2 2 t t t t 1
Đặt : = a = E = a − 2a + 3 = (a− )2 2 1 + 2  2 t 2 4x − 6x +1
Bài 9: Tìm min hoặc max của: F = ( 2x + )2 1 HD : 2 t −1 t − 2t +1 Đặt 2
2x +1= t = x = = x = , Khi đó : 2 4 2
t − 2t +1− 3(t − ) 2
1 +1 t − 5t + 5 5 5 1 F = = = 1− + , Đặt 2
= a = F = 1− 5a+ 5a 2 2 2 t t t t t x
Bài 10: Tìm min hoặc max của: H = (x + )2 10 HD : t −10 1 10 1
Đặt x +10 = t = x = t −10 = H = = − , Đặt 2 = a = H = 10 − a + a 2 2 t t t t x
Bài 11: Tìm min hoặc max của: I = (x + )2 2016 HD : t − 2016 1 2016 1
Đặt x + 2016 = t = x = t − 2016 = I = = − , Đặt 2
= a = I = a− 2016a 2 2 t t t t 2 x − 2x + 2000
Bài 12: Tìm min hoặc max của: D = 2 x HD : 2 2000 1 Ta có : D = 1− + , Đặt 2
= a = D = 1− 2a+ 2000a 2 x x x 2 x − 2x + 2015
Bài 13: Tìm min hoặc max của: E = 2 2015x HD : 2 x − 2x + 2015 2 2015 1 Ta có : 2015E = = 1− + , Đặt 2
= a = 2015E = 1− 2a+ 2015a 2 2 x x x x 2 2 1 = E = a − .a + 2015 2015 x
Bài 14: Tìm min hoặc max của: F = (x + )2 2000 HD : t − 2000 1 2000 1
Đặt x + 2000 = t = F = = − , Đặt 2
= a = F = a− 2000a 2 2 t t t t Trang 12 2 x − x +1
Bài 15: Tìm min hoặc max của: B = ( 2 x + 2x + ) 1 HD : 2 x − x + 1 B = + = = = − = − + ( ,Đặt 2 x 1 t x t 1 x 2t 1 x + )2 1 2 t − 3t + 3 3 3 1 = B = = 1− + , Đặt 2
= a = B = 3a − 3a+1 2 2 t t t t 2 2x + 4x + 4
Bài 16: Tìm min hoặc max của: A = 2 x HD : 4 4 1 A = 2 + + , Đặt 2
= a = A = 4a + 4a+ 2 2 x x x 2 x − 2x + 2012
Bài 17: Tìm min hoặc max của: B = 2 x HD : 2 2012 1 B = 1− + , Đặt 2
= a = B = 2012a − 2a+1 2 x x x 3 − 4x
Bài 18 : Tìm cả min và max của: K = 2 x +1 HD :
Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có : 3− 4xa = 1 − 2 2 a =
= ax + a = 3− 4x = .
a x + 4x + a − 3 = 0 , Xét 2
 = 16− 4a +12a = 0 = 2  x +1 a = 4  2  3− 4xx + 4x + 4 Khi đó ta có : K = +1 −1= −1 1 − 
, Dấu = khi x = −2 2  2  x +1  x +1 2  3− 4x  4
− x − 4x −1 −1 Mặt khác : K = − 4 + 4 = + 4  4  , Dấu = khí x = 2  2  x +1  x +1 2 27 −12x
Bài 19: Tìm min hoặc max của: M = 2 x + 9 HD : 27−12x Nháp : 2 2 a = = .
a x + 9a = 27−12x = .
a x +12x + 9a − 27 = 0 2 x + 9 a = Có  = − a( a− ) 4 ' 36 9 27 = 0 =  a = 1 −   27−12x
−4x −12x − 9 − (2x − )2 2 3 Khi đó ta có : M = − 4 + 4 = + 4 = + 4  4  2  2 2  x + 9  x + 9 x + 9  27−12xx −12x + 36 (x− )2 2 6 Mặt khác : M = +1 −1= −1= −1 −1  2  2 2  x + 9  x + 9 x + 9 Trang 13 2 3x + 4x + 8
Bài 20: Tìm min hoặc max của: N = 2 x + 3 HD : 2 3x + 9+ 4x −1 4x −1 4x −1 N = = 3+ , Nháp : 2 a = = .
a x − 4x + 3a +1= 0 2 2 x + 3 x + 3 2 x + 3 −
Có  = − a( a+ ) 4 ' 4 3
1 = 0 = a = 1;a = 3  x − −  ( 2x −4x+4 4 1 ) Khi đó ta có : N = −1 +1+ 3 = + 4  4  2  2  x + 3  x + 3  4x −1 4  4
4x +12x + 9 5 (2x + )2 2 3 5 5 Mặt khác : N = + − + 3 = + = +   2  x 3 3  +  3 3( 2 x + ) 3 3 3( 2 x + ) 3 3 3 8x + 3
Bài 21: Tìm min hoặc max của: P = 2 4x +1 HD : 8x + 3 Nháp : 2 2 a = = 4 .
a x + a = 8x + 3 = 4 .
a x − 8x + a − 3 = 0 2 4x +1
Có  ' = 16 − 4a(a− )
3 = a = 4;a = −1  8x + 3  −16x + 8x −1 − (4x − )2 2 1 Khi đó : P = − 4 + 4 = + 4 = + 4  4  2  2 2  4x +1  4x +1 4x +1  8x + 3  4x + 8x + 4 4(x + )2 2 1 Mặt khác : P = +1 −1= −1= −1 −1  2  2 2  4x +1  4x +1 4x +1 2( 2 x + x + ) 1
Bài 22: Tìm min hoặc max của: C = 2 x +1 HD : 2x 2x C = 2 + , Nháp : 2 a = = .
a x + a − 2x = 0 , có 2
 = 4 − 4a = 0 = a = 1  2 x +1 2 x +1 2  2xx + 2x +1 Khi đó : C = +1 −1+ 2 = +1 1  2  2  x +1  x +1  2x  −x + 2x −1 − (x − )2 2 1 Mặt khác : C = −1 +1+ 2 = + 3 = + 3  3  2  2 2  x +1  x + 1 x + 1 2 x + x +1
Bài 23: Tìm min hoặc max của: N = 2 x +1 HD : x x N = 1+ , Nháp : 2 a = = .
a x − x + a = 0 , có : 2 1
 = 1− 4a = 0 = a =  2 x +1 2 x +1 2 2  x 1  1 x + 2x +1 1 1 Khi đó ta có : N = + +1− = +   2  x 1 2  +  2 2( 2 x + ) 1 2 2  x 1  1
−x + 2x −1 3 − (x − )2 2 1 3 3 Mặt khác : N = − +1+ = + = +   2  x 1 2  +  2 2( 2 x + ) 1 2 2( 2 x + ) 1 2 2 Trang 14 2x +1
Bài 24: Tìm min hoặc max của: D = 2 x + 2 HD : 2x +1 − Nháp : 2 a = = .
a x − 2x + 2a −1= 0 , có  = − a( a− ) 1 ' 1 2
1 = 0 = a = 1;a = 2 x + 2 2  2x +1  −x + 2x −1 − (x − )2 2 1 Khi đó : D = −1 +1= +1= +1 1  2  2 2  x +1  x + 2 x + 2 2
 2x +1 1  1 x + 4x + 4 1 1 − Mặt khác : D = + − = −   2  x 2 2  +  2 2( 2 x + 2) 2 2 2x +1
Bài 25: Tìm min hoặc max của: E = 2 x HD : 2 1 1 E = + , Đặt 2
= a = E = a + 2a 2 x x x 2x −1
Bài 26: Tìm min hoặc max của: F = 2 x + 2 HD : 2x −1 Nháp : 2 a = = .
a x − 2x + 2a +1= 0 , có  = − a( a+ ) 2 1 ' 1 2
1 = 1− 2a − a = a = ;a = 1 − 2 x + 2 2
 2x −1 1  1 −x + 4x − 4 1 − (x − 2)2 2 1 1 Khi đó : F = − + = + = +   2  x 2 2  +  2 2( 2 x + 2) 2 2( 2 x + 2) 2 2  2x −1  x + 2x + 1 (x+ )2 2 1 Mặt khác : F = +1 −1= −1= −1 −1  2  2 2  x + 2  x + 2 x + 2 6x − 8
Bài 27: Tìm min hoặc max của: G = 2 x +1 HD : 6x − 8 Nháp : 2 a = = .
a x − 6x + a + 8 = 0 , có : 2 x +1  = − a(a+ ) 2 ' 9
8 = −a − 8a+ 9 = 0 = a = 1;a = −9  6x − 8  −x + 6x − 9 − (x − )2 2 3 Khi đó : G = −1 +1= +1= +1 1  2  2 2  x +1  x +1 x +1  6x − 8  9x + 6x +1 (3x+ )2 2 1 Mặt khác : G = + 9 − 9 = − 9 = − 9  −9  2  2 2  x +1  x +1 x +1 2 3x − 6x +17
Bài 28: Tìm min hoặc max của: Q = 2 x − 2x + 5 HD : 2 2 2 1 Ta có : Q = 3+
, mà x − 2x + 5 = (x − )2 2 1 + 4  4 =  = 2 x − 2x + 5 2 x − 2x + 5 4 2 Trang 15 2 2x −16x + 41
Bài 29: Tìm min hoặc max của: R = 2 x − 8x + 22 HD : 2
2x −16x + 44 − 3 3 Ta có : R = = 2 − , 2 2 x − 8x + 22 x − 8x + 22 2 3 3 1 3 − 1 − Mà 2
x − 8x + 22 = (x − ) 4 + 6  6 =  = =  ( x − )2 6 2 + (x− )2 2 4 6 4 + 6 6 x + 27
Bài 30: Tìm min hoặc max của: A = 4 3 2
x − 3x + 6x − 9x + 9 HD : Hạ phép chia ta được : 2
A = x + 3x + 3 6 x + 512
Bài 31: Tìm min hoặc max của: B = 2 x + 8 HD :
Hạ phép chia ta được : B = x − x + = (x − )2 4 2 2 8 64 4 + 48  48 4 3 2
4x +16x + 56x + 80x + 356
Bài 32: Tìm min hoặc max của: G = 2 x + 2x + 5 HD : 256
Hạ phép chia ta được: G = 4( 2 x + 2x + ) 5 + , Đặt 2 256
x + 2x + 5 = t = G = 4t + 2 x + 2x + 5 t
Sau đó sử dụng co si là ra. 2 x −1
Bài 33: Tìm min của: H = 2 x +1 HD : 2 x +1− 2 2 H = = 1− 2 2 x +1 x +1 8 −
Bài 34: Tìm min hoặc max của: I = 2 3x + 2 HD : 8 8 Ta có : 2 3x + 2  2 =  = 4 2 3x + 2 2 2 x
Bài 35: Tìm min hoặc max của: P = 2 x − 2x + 2010 HD : 2x − 2010
Hạ phép chia ta được : P = 1+ , 2 x − 2x + 2010 2x − 2010 Nháp : 2 a = = . a x − 2 .
a x + 2010a − 2x + 2010 = 0 2 x − 2x + 2010 2 1 Có ' = (a+ )
1 − a(2010a+ 201 ) 0 = 0 = a = 1 − ;a = 2009
Làm tương tự như các bài trên . Trang 16 2 2x − 6x + 5
Bài 36: Tìm min hoặc max của: Q = 2 x − 2x +1 HD : 2 − x + 3
Hạ phép chia ta được : Q = 2 +
, Đặt x −1 = t , khi đó ta có : 2 x − 2x +1 3− 2(t + ) 2 1 2t − 2t +1 2 1 1 Q = 2 + = = 2 − + , Đặt = a 2
= Q = a − 2a + 2 2 2 2 t t t t t 2 2x + 4x + 4
Bài 37: Tìm min hoặc max của: A = 2 x HD : 4 4 1 A = 2 + + , Đặt 2
= t = A = 4t + 4t + 2 2 x x x 2x +1
Bài 38: Tìm min hoặc max của: B = 2 x + 2 HD : 2x +1 − Nháp : 2 a = = .
a x − 2x + 2a −1= 0 , có  = − a( a− ) 1 ' 1 2
1 = 0 = a = 1;a = 2 x + 2 2  2x +1  −x + 2x −1 (x− )2 2 1 Khi đó ; B = −1 +1= +1= 1−  1  2  2 2  x + 2  x + 2 x + 2
 2x +1 1  1 x + 4x + 4 1 (x+ 2)2 2 1 1 − Mặt khác : B = + − = − = −   2  x 2 2  +  2 2( 2 x + 2) 2 2( 2 x + 2) 2 2 2 x + 2
Bài 39: Tìm min hoặc max của: C = 2 x + x + 2 HD : 2 x + 2 8 2 2 Nháp : 2 2 a = = . a x + 2
+ a− x − 2 = 0 , có 2
 = a − 4(a− ) 1 .2(a− ) 1 = a = 2 x + x + 2 7
Làm tương tự như các bài trên 2 x + 2x + 3
Bài 40: Tìm min hoặc max của: D = 2 x − 2x + 3 HD : 2 x + 2x + 3 Nháp : 2 2 a = = . a x − 2 .
a x + 3a − x − 2x − 3 = 0 , có  = (a+ )2 ' 1 − 3(a− ) 1 (a− ) 1 2 x − 2x + 3 2 ' = 2
− a + 8a − 2 = 0 = a = 2  3 , làm như các bài trên. 2 2 x y + x ( 2 x − y) +1
Bài 41: Tìm min hoặc max của: G = 4 4 2 2
2x + x y + y + 2 HD : 2 4 2 4
x y + x − x y +1 x +1 1 Ta có : G = = = 4 4 2 2
2x + x y + y + 2 2( 4 x + ) 2 1 + y ( 4 x + ) 2 1 y + 2 Trang 17 4 x +1
Bài 42: Tìm min hoặc max của: H = ( x + )2 2 1 HD : 2 t − 2t +1+1 2 2 Đặt 2 2 4 2
x +1 = t = x = t −1 = x = t − 2t +1 , khi đó H = = 1− + 2 2 t t t 1 Đặt 2
= a = H = 2a − 2a+1 t 2 3x + 4
Bài 43: Tìm min hoặc max của: A = 2 x + 4 HD : 2 3x +12 − 8 8 A= = 3− 2 2 x + 4 x + 4 2 3x − 2x + 3
Bài 44: Tìm min hoặc max của: C = 2 x +1 HD : 2 3x + 3− 2x 2 − x C = = 3+ 2 2 x +1 x +1 2 − x Nháp : 2 a = = .
a x + 2x + a = 0 , có 2
' = 1− a = 0 = a = 1 2 x +1 2  2 − xx − 2x +1 Khi đó : C = +1 −1+ 3 = + 2  2  2  2  x +1  x +1  −2x  −x − 2x −1 − (x + )2 2 1 Mặt khác : C = −1 +1+ 3 = + 4 = + 4  4  2  2 2  x +1  x +1 x +1 2 3x − 6x +17
Bài 45: Tìm min hoặc max của: H = 2 x − 3x + 5 HD : 3x + 2
Hạ phép chia ta được : H = 3+ 2 x − 3x + 5 3x + 2 Nháp : 2 a = = . a x − 3 .
a x − 3x + 5a − 2 = 0 , có : 2 x − 3x + 5 2 
 = (x + ) − a( a− ) 2 13 2 67 9 1 4 5 2 = 1
− 1a + 26a+ 9 = 0 = a = , 11 2 2x −16x + 71
Bài 46: Tìm min hoặc max của: I = 2 x −8x + 22 HD : 27
Hạ phép chia ta được : I = 2 + , mà x − x + = (x − )2 2 8 22 4 + 6  6 2 x − 8x + 22 2 x − 4x +1
Bài 47: Tìm min hoặc max của: K = 2 x HD : 4 1 1 K = 1− +
, đặt = t = K = t − 4t +1= (t − )2 2 2 − 3  3 − 2 x x x Trang 18 2 2x + 4x + 9
Bài 48: Tìm min hoặc max của: N = 2 x + 2x + 4 HD : 1
Hạ phép chia ta được : N = 2 +
, mà x + x + = (x + )2 2 2 4 1 + 3  3 2 x + 2x + 4 2 x
Bài 49: Tìm min hoặc max của: P = 4 x +1 HD : t 1 Nháp : Đặt 2 2
x = t = a =
= at − t + a = 0 = a =  2 t +1 2   + + (x x x x + )2 2 2 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 − Khi đó : P =  +  − = − = − 
, Không xảy ra dấu bằng 4 x +1 2 2   2( 4 x + ) 1 2 2( 4 x + ) 1 2 2   − − + − (x x x x − )2 2 2 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 Mặt khác : P =  −  + = + = +  4 x +1 2 2   2( 4 x + ) 1 2 2( 4 x + ) 1 2 2 2 3 x − 2x +1999 x
Bài 50: Tìm min hoặc max của: Q = : 2 2 2 x − 3x + 2
x − 3x + 2x HD : 2 x − 2x +1999 2 1999
Thực hiện phép tính ta được : Q = = 1− + , 2 2 x x x 1 Đặt 2
= t = Q = 1999t − 2t +1 x 2 2x + 4x + 9
Bài 51: Tìm min hoặc max của: D = 2 x + 2x + 4 HD : 1 D = 2 +
, mà x + x + = (x + )2 2 2 4 1 + 3  3 2 x + 2x + 4 2 x − 2x + 2
Bài 52: Tìm min hoặc max của: F = 2 x + 2x + 2 HD : 4 − x F = 1+ 2 x + 2x + 2 4 − x Nháp : 2 a = = . a x + 2 .
a x + 4a + 2a = 0 , có  = (a+ )2 ' 2 − .
a 2a = 0 = a = 2  2 2 2 x + 2x + 2 4 x +1
Bài 53: Tìm min hoặc max của: G = ( x + )2 2 1 HD : Đặt 2 2 4 2
x +1 = t = x = t −1 = x = t − 2t +1 2 t − 2t + 2 2 2 1 Khi đó : G = = 1− + , đặt 2
= a = G = 2a − 2a+1 2 2 t t t t Trang 19 2 2
2x − 2xy + 9y
Bài 54: Tìm min hoặc max của: H = 2 2
x + 2xy + 5y HD : Chia cá tử và mẫu cho 2 y ta được: 2 x x 2. − 2. + 9 2 2 x 2t − 2t + 9 6t +1 y y H =
, đặt = t = H = = 2 − 2 x x 2 2 y + + + + + t 2t 5 t 2t 5 2. + 5 2 y y 6t +1 Nháp : 2 a = −
= at + 2at + 5a+ 6t +1= 0 , 2 t + 2t + 5 2 9 Có : ' = (a+ ) 3 − a(5a+ ) 1 = 0 = a = 1
− ;a = , làm giống các bài trên 4 4x + 3
Bài 55: Tìm min và max của: I = 2 x +1 HD: 4x + 3 Nháp: 2 a = = .
a x − 4x + a − 3 = 0 , có  ' = 4 − a(a− )
3 = 0 = a = 4;a = −1 2 x +1  4x + 3  −4x + 4x −1 − (2x − )2 2 1 Khi đó: I = − 4 + 4 = + 4 = + 4  4  2  2 2  x +1  x +1 x +1  4x + 3  x + 4x + 4 (x+ 2)2 2 Mặt khác: I = +1 −1= −1= −1 −1  2  2 2  x +1  x + 1 x + 1 2(2x + ) 1
Bài 56: Tìm min P = 2 x + 2 HD : 4x + 2 Nháp : 2 a = = .
a x − 4x + 2a − 2 = 0 , có  ' = 4 − a(2a− 2) = 0 = a = 2;a = 1 − 2 x + 2  4x + 2  −2x + 4x − 2 −2(x − )2 2 1 Khi đó : P = − 2 + 2 = + 2 = + 2  2  2  2 2  x + 2  x + 2 x + 2 2  4x + 2  x + 4x + 4 Mặt khác : P = +1 −1= −1 1 −  2  2  x + 2  x + 2 2 x +1
Bài 57: Tìm min hoặc max của: J = 2 x − x +1 HD : x Ta có : J = 1+ 2 x − x +1 x − Nháp : 2 a = = . a x − .
a x − x + a = 0 , có  = (a+ )2 1 1 − 4 .
a a = 0 = a = 1;a = 2 x − x +1 3  x
 −x + 2x −1 (x− )2 2 1 Khi đó : J = 1+ −1 +1= 2 +     = 2 −  2 2 2 2  x − x +1  x − x + 1 x − x + 1   2  x 1 1 2 x + 2x +1 2 Mặt khác : J = 1+ + − = +   2  x x 1 3 − +  3 3 3( 2 x − x + ) 1 3 2 x + 2
Bài 58: Tìm min hoặc max của: K = 2 x + x + 2 Trang 20

Tài liệu liên quan: