Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 45 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

44 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

45 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
1
CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho
2
x
, rồi đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải phương trình:
4 3 2
3 4 3 1 0x x x x+ + + + =
HD:
Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho
2
x
ta được:
22
22
3 1 1
3 4 0 3 4 0x x x x
x x x x
+ + + + = = + + + + =
Đặt
22
2
11
2x y x y
x
x
+ = = + = −
, Thay vào phương trình ta có:
2
2 3 4 0yy− + + =
Bài 2: Giải phương trình:
4 3 2
6 25 12 25 6 0x x x x+ + − + =
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT
2
0x
ta được:
Đặt:
22
2
11
2x t x t
x
x
− = = + = +
, Thay vào phương trình ta được:
( )
22
6 2 25 12 0 6 25 24 0t t t t+ + + = = + + =
Bài 3: Giải phương trình:
4 3 2
5 12 5 1 0x x x x+ − + + =
HD:
Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho
2
0x
, ta
được:
22
22
5 1 1 1
5 12 0 5 12 0x x x x
xx
xx
+ − + + = = + + + − =
Đặt:
22
2
11
2x t x t
x
x
+ = = + = −
, Thay vào phương trình ta được:
( )( )
2
5 14 0 7 2t t t t+ − = = + −
Bài 4: Giải phương trình:
4 3 2
2 4 2 1 0x x x x+ + + + =
Bài 5: Giải phương trình:
4 3 2
3 6 3 1 0x x x x− − + + =
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho
2
0x
, ta
được:
22
22
3 1 1 1
3 6 0 3 6 0x x x x
xx
xx
− − + + = = + − − − =
Đặt
1
xt
x
−=
, Phương trình tương đương với:
2
3 4 0tt− − =
Bài 6: Giải phương trình:
4 3 2
2 9 14 9 2 0x x x x− + − + =
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
2
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho
2
0x
ta được:
22
22
9 2 1 1
2 9 14 0 2 9 14 0x x x x
xx
xx
− + − + = = + − + + =
Đặt:
1
xt
x
+=
, phương trình trở thành:
2
2 9 10 0tt− + =
Bài 7: Giải phương trình:
4 3 2
3 4 3 1 0x x x x− + − + =
Bài 8: Giải phương trình:
4 3 2
3 13 16 13 3 0x x x x− + − + =
Bài 9: Giải phương trình:
4 3 2
6 5 38 5 6 0x x x x+ − + + =
Bài 10: Giải phương trình:
4 3 2
6 7 36 7 6 0x x x x+ − − + =
Bài 11: Giải phương trình:
4 3 2
2 6 2 0x x x x+ − + + =
Bài 12: Giải phương trình:
4 3 2
2 5 6 5 2 0x x x x− + − + =
Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
4 3 2
2 1 0x x x x− + − + =
Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
4 3 2
10x x x x+ + + + =
HD:
Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được:
( )
( )
4 3 2 5 5
1 1 1 0 1 1x x x x x x x x− + + + + = − = = = = =
Cách 2: Đặt
1
yx
x
=+
Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
4 3 2
2 4 3 2 0x x x x− + − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
22
1 2 0x x x x− + − + =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
3
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( )( )( )( )
x a x b x c x d k+ + + + =
Phương pháp:
Nhận xét về tích
a d b c+ = +
, rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ
Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung
Bài 1: Giải phương trình:
( )( )( )( )
7 5 4 2 72x x x x− − − − =
HD:
Phương trình tương đương với
( )( )( )( )
( )( )
22
7 2 5 4 72 9 14 9 20 72 0x x x x x x x x− − − − = = − + − + − =
Đặt
2
9 14x x t− + =
, khi đó phương trình trở thành:
( ) ( )( )
6 72 0 12 6 0t t t t+ − = = + − =
Với
2
2
9 23
12 9 14 12 0
24
t x x x

= − = − + = − = − + =


Với
( )( )
2
6 9 14 6 1 8 0t x x x x= = − + = = − − =
Bài 2: Giải phương trình:
( )( )( )( )
1 3 5 7 297x x x x− − + + =
HD:
Phương trình tương đương với:
( )( )( )( )
( )( )
22
1 5 3 7 297 0 4 21 4 5 297 0x x x x x x x x− + − + − = = + − + − − =
Đặt
2
45x x t+ − =
khi đó phương trình trở thành:
( ) ( ) ( )( )
2
2
16 297 0 8 19 0 27 11 0t t t t t− − = = − − = = − + =
Với
( )( )
2
27 4 5 27 8 4 0t x x x x= = + − = = + − =
Với
( )
2
2
11 4 5 11 2 2 0t x x x= − = + − = − = + + =
Bài 3: Giải phương trình sau:
( )( )( )( )
7 5 4 2 72x x x x− − − − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
22
2 24x x x x+ + − =
Đặt
2
1x x y+ − =
, Khi đó phương trình trở thành:
( )( )
22
1 1 24 1 24 25y y y y+ − = = − = = =
Bài 4: Giải phương trình:
( )( )( )( )
1 2 4 5 40x x x x+ + + + =
Bài 5: Giải phương trình:
( )( )( )
1 1 2 24x x x x+ − + =
Bài 6: Giải phương trình:
( )( )( )( )
4 5 6 7 1680x x x x− − − − =
Bài 7: Giải phương trình:
( )( )( )
1 1 2 24x x x x− + + =
Bài 8: Giải phương trình:
( )( )( )( )
1 3 5 7 297x x x x− − + + =
Bài 9: Giải phương trình:
( )( )( )
1 2 3 24x x x x+ + + =
Bài 10: Giải phương trình:
( )( )
( )
2
2 2 10 72x x x+ − − =
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
4
Đặt
2
4xy−=
. Phương trình trở thành:
( ) ( )
2
22
6 72 6 9 81 3 9 0y y y y y− = = − + = = − − =
Bài 11: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 8 1 4 1 9x x x− − =
HD:
Nhân 8 vào hai vế ta được:
( ) ( )
2
8 8 1 8 2 72x x x− − =
Đặt
81xy−=
, ta được :
( ) ( )
( )( )
2 2 2
1 1 72 9 8 0y y y y y+ − = = − + =
Bài 12: Giải phương trình:
( ) ( )( )
2
12 7 3 2 2 1 3x x x+ + + =
HD:
Nhân hai vế với 24 ta được:
( ) ( )( )
2
12 7 12 8 12 6 72x x x+ + + =
Đặt
12 7 y+=
Bài 13: Giải phương trình:
( )( ) ( )
2
2 1 1 2 3 18x x x+ + + =
HD:
Nhân hai vế với 4 ta được:
( )( ) ( )
2
2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + =
, Dặt
22xy+=
Bài 14: Giải phương trình:
( ) ( )( )
2
6 7 3 4 1 6x x x+ + + =
HD:
Nhân hai vế với 12 ta được:
( ) ( )( )
2
6 7 6 8 6 6 72x x x+ + + =
Đặt
67yx=+
Bài 15: Giải phương trình:
( )( )( )( )
4 1 12 1 3 2 1 4 0x x x x+ − + + − =
HD :
Phương trình
( )( )( )( )
( )( )
22
4 1 3 2 12 1 1 4 0 12 11 2 12 11 1 4 0x x x x x x x x= + + − + − = = + + + − − =
Đặt
2
12 11 1x x t+ − =
khi đó phương trình trở thành:
( ) ( )( )
3 4 0 4 1 0t t t t+ − = = + − =
Với
22
4 12 11 1 4 12 11 3 0t x x x x= − = + − = − = + + =
Với
( )( )
2
1 12 11 1 1 3 2 4 1 0t x x x x= = + − = = − + =
Bài 16: Giải phương trình:
( )
( )
2
2
1 4 8 3 18x x x+ + + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
1 4 2 1 1 18 1 4 1 1 18x x x x x


+ + + − = = + + − =



Đặt
( ) ( )
2
1 , 0x t t+ =
, Thay vào phương trình ta được:
( )
2
4 1 18 4 18 0t t t t− = = − − =
Bài 17: Giải phương trình:
( )( )( )( )
2
2 3 4 6 6 0x x x x x+ − + − + =
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
5
Vì
0x =
không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
2
x
ta
được:
12 12
4 1 6 0xx
xx
− − − + + =
. Đặt
12
tx
x
=−
, ta có:
( )( )
2
1
4 1 6 0 3 2 0
2
t
t t t t
t
=
− + + = − + =
=
Với
2
4
12
1 1 12 0
3
x
t x x x
x
x
=
= − = − − =
=−
Với
2
2 2 12 0 1 13t x x x= − − = =
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
3; 4; 1 13x x x= − = =
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG
PHƯƠNG
( ) ( )
44
x a x b c+ + + =
Bài 1: Giải phương trình:
( ) ( )
44
1 3 82xx+ + + =
HD:
Đặt
2yx=+
, ta có:
( ) ( )
44
42
1 1 82 6 40 0y y y y+ + − = = + − =
Bài 2: Giải phương trình:
( ) ( )
44
6 8 16xx− + − =
HD:
Đặt
7xy−=
, phương trình trở thành:
( ) ( )
44
1 1 16yy− + + =
Rút gọn ta được:
4 2 4 2
2 12 2 16 6 7 0y y y y+ + = = + − =
Bài 3: Giải phương trình:
( ) ( )
44
2 6 82xx− + − =
Bài 4: Giải phương trình:
( ) ( )
44
3 5 2xx+ + + =
Bài 5: Giải phương trình:
( ) ( )
44
3 5 16xx+ + + =
Bài 6: Giải phương trình:
( ) ( )
44
2 3 1xx− + − =
Bài 7: Giải phương trình:
( ) ( )
44
1 3 82xx+ + − =
Bài 8: Giải phương trình:
( ) ( )
44
2,5 1,5 1xx− + − =
Bài 9: Giải phương trình:
( ) ( )
44
4 2 32xx− + − =
Bài 10: Giải phương trình:
( ) ( )
44
1 3 2xx+ + + =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
6
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1: Giải phương trình:
( ) ( )
2
22
2 3 1 5 2 3 3 24 0x x x x+ − − + + + =
Bài 2: Giải phương trình:
( ) ( )
2
22
4 12x x x x+ + + =
Bài 3: Giải phương trình:
( ) ( )
2
22
6 9 15 6 10 1x x x x− + − − + =
HD :
Đặt :
( ) ( )
2
2
6 9 3 , 0x x x t t− + = − =
, Thay vào phương trình ta được :
( ) ( )( )
22
15 1 1 15 16 0 1 16 0t t t t t t− + = = − − = = + − =
Bài 4: Giải phương trình:
( )
( )
2
2
2
4 2 2 43x x x− + − =
HD :
Biến đổi phương trình :
( ) ( )
2
22
4 2 4 4 43x x x x− + − + =
. Đặt
2
4x x y+=
Bài 5: Giải phương trình:
( )
( )
2
2
2
2 3 16 3 0xx− − + =
HD :
Ta có:
( )
( )
2
2
2
2 3 4 12 0PT x x= − − + =
( )( )
22
2 3 4 12 2 3 4 12 0x x x x= − − − − + + =
( )( )
22
2 4 15 2 4 9 0x x x x= − − + + =
Bài 6: Giải phương trình sau:
43
4 8 5 0x x x− + − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
4 3 2 2
4 4 4 8 5 0x x x x x− + − + − =
( ) ( )
2
22
2 4 2 5 0x x x x= − − − − =
Bài 7: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
4 4 4
3 2 5 2x x x− + − = −
HD:
Đặt
3
52
2
xy
x y z
xz
−=
= − = +
−=
, phương trình trở thành:
( )
( )
4
4 4 2 2
2 3 2 0y z y z yz y yz z+ + + = + + =
Bài 8: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
4 4 4
7 8 15 2x x x− + − = −
HD:
Đặt
( )
4
44
7 , 8 0x a x b a b a b− = − = = + − + =
22
3
40
2
ab a ab b

= + + =


Bài 9: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 2 1x x x+ + − = −
HD:
Đặt
1
12
2
xy
xt
xz
+=
= − =
−=
thì ta có:
0x y z+ + =
Phương trình trở thành:
3 3 3
0y z t+ + =
vậy
0yzt =
( )( )( )
1 2 1 2 0x x x+ − − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
7
Bài 10: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 2 1x x x+ + − = −
HD:
Đặt
1 , 2 ,1 2 0x a x b x c a b c+ = − = − = = + + =
Phương trình tương đương với
( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 3
1 2 1 2 0 0x x x a b c+ + − + − = = + + =
Bài 11 : Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 2 2
1 3 1 2 0x x x x+ + + + =
HD:
Đặt
( )( )
2 2 2
1 3 2 0 2 0x y y xy x x y y x+ = = + + = = + + =
Bài 12: Giải phương trình:
( ) ( )
2
42
4 2 1 12 2 1 0x x x x− − − − =
HD :
Đặt
( )
2
21
xa
xb
=
−=
. Khi đó phương trình trở thành:
( )( )
22
4 12 0 6 2 0a ab b a b a b− − = = − + =
Với
( ) ( )
2
22
6 6 2 1 12 6 0 6 30a b x x x x x= = = − = − + = = − =
Với
( )
( )
2
2
2
2 4 2 0 2 6a b x x x= − = + − = = + =
Bài 13: Giải phương trình:
( )( )
2 2 4
3 8 4 4 12 0x x x x− + − + =
HD:
Phương trình tương đương với:
( )( )( )( )
4
3 2 2 2 2 12 0x x x x x − − − + + =
( )
( )
2
24
3 4 4 2 12 0x x x x + − − + =
( )
( )
2
2 2 4
4 4 4 2 12 0x x x x x − + − − + =
( ) ( )
22
24
4 2 2 12 0x x x x

− − − + =


( ) ( )
22
24
4 2 2 12 0x x x x − − − + =
Đặt:
( )
2
2
2
xa
xb
=
−=
, Khi đó phương trình trở thành:
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
12 4 0 12 6 2 0 6 2 2 0 6 2 0a ab b a ab ab b a a b b a b a b a b+ − = + − − = + − + = − + =
( )
2 2 2
6
60
6 4 4 5 4 4 0
0
20
ab
ab
x x x x x
a b l
ab
=
−=
= − + + − =
==
+=
Giải pt trên ta được:
2 2 6
5
x
−
=
Bài 14: Giải phương trình:
( )( )
22
1 4 3 192x x x− + + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )( ) ( )( ) ( )
2
2
1 1 3 192 1 1 3 192x x x x x x− + + = = − + + =
Đặt
1xy+ = =
Phương trình trở thành:
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 192 4 192y y y y y− + = = − =
Đặt
2
2yz−=
, Phương trình trở thành:
( )( )
2 2 192 14z z z+ − = = =
Bài 15: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
1 2 3x x x x+ + + + = +
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
8
HD:
Đặt
3xy=+
, Phương trình trở thành:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
3 4 5 6y y y y+ + + + + = +
( )
2
2 9 21 0y y y= + + =
Bài 16: Giải phương trình:
( )
( )
( )
2
2
23
3 1 2 1 5 1x x x x− + − + = +
HD :
Vì
1x =−
không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho
3
1x +
ta được:
2
2
11
32
11
x x x
x x x
− + +
−
+ − +
. Đặt
2
2
1 2 1
3 5 3 5 2 0 2,
13
xx
t t t t t t
xt
−+
= − = − − = = = −
+
2
3 13
2 3 1 0
2
t x x x
= − − = =
2
1
3 2 4 0
3
t x x= − − + =
phương trình vô nghiệm
Bài 17: Giải phương trình:
( )( )( ) ( )( )
2
1 2 3 4 5 360x x x x x+ + + + + =
HD:
Phương trình
( )( )( )
2 2 2
6 5 6 8 6 9 360x x x x x x + + + + + + =
Đặt
2
6t x x=+
, ta có phương trình:
( )( )( )
5 8 9 360y y y+ + + =
( )
22
0
22 157 0 0 6 0
6
x
y y y y x x
x
=
+ + = = + =
=−
Vậy phương trình có hai nghiệm:
0; 6xx= = −
.
Bài 18: Giải phương trình:
( )
3
33
5 5 5 24 30 0x x x x+ + + + + =
HD:
Ta có:
( )
33
5 30 5 5 5 5x x x x x+ + = + + − +
nên phương trình tương đương
( ) ( )
3
3 3 3
5 5 5 24 24 30 0x x x x x x+ + + + + + + =
. Đặt
3
55u x x= + +
. Ta được hệ:
( )
( )
3
22
3
55
60
55
u u x
u x u ux x u x
x x u
+ + =
− + + + = =
+ + =
.
( )
( )
32
4 5 0 1 5 0 1x x x x x x + + = + − + = = −
.
Vậy
1x =−
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 19: Giải phương trình:
( )( )
22
2 3 6x x x x+ + + + =
HD:
Đặt
2
2x x t+ + =
. Phương trình đã cho thành
( )
2
16
3
t
tt
t
=
+ =
=−
.
Với
2t =
thì
22
2 2 0 0x x x x x+ + = + = =
hoặc
1x =−
.
Với
3t =−
thì
22
1 21
2 3 5 0
2
x x x x x
−
+ + = − + + = =
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1 21 1 21
1;0; ;
22
S

− − − +

=−



.
Bài 20: Giải phương trình:
( ) ( )( )
2
6 7 3 4 1 1x x x+ + + =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
9
HD:
Biến đổi phương trình thành
( )( )
22
36 84 49 36 84 48 12x x x x+ + + + =
.
Đặt
2
36 84 48t x x= + +
thì phương trình trên thành
( )
3
1 12
4
t
tt
t
=
+ =
=−
.
Với
3t =
thì
22
3
36 84 48 3 36 84 45 0
2
x x x x x+ + = + + = = −
hoặc
5
6
x =−
.
Với
4t =−
thì
22
36 84 48 4 36 84 52 0x x x x+ + = − + + =
, phương trình này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
53
;
62
S

= − −


.
Bài 21: Giải phương trình:
( ) ( )
44
1 3 82xx− + + =
HD:
Đặt
1yx=+
thì phương trình đã cho thành
42
10
24 48 216 82
12
yx
yy
yx
==

+ + =

= − = −

.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
2;0S =−
.
Bài 22: Giải phương trình:
( )( )( )( )
1 2 4 5 10x x x x+ + + + =
HD:
Đặt
1 2 4 5
3
4
x x x x
yx
+ + + + + + +
= = +
thì phương trình trở thành:
( )( )
2 2 4 2
6 6 3
4 1 10 5 6 0
6 6 3
yx
y y y y
yx

= − = − −
− − = − − =

= = −


.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
6 3; 6 3S = − − −
.
Bài 23: Giải phương trình:
( )( )
2 2 2
2 2 2 2x x x x x+ + + + =
HD:
Do
0x =
không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho
2
x
ta được:
22
1 2 2xx
xx
+ + + + =
. Đặt
2
yx
x
=+
thì phương trình trở thành.
( )( )
2
0
01
1 2 2
3 2 2
3
x
yx
x
yy
yx
x
x
+=
= = −

+ + =

= − = −

+ = −
Bài 24: Giải phương trình:
( )( )( )( )
2
2 1 8 4 4x x x x x− − − − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2 2 2
2 4 1 8 4 6 8 9 8 4x x x x x x x x x x− − − − = − + − + =
.
Do
2x =
không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
2
x
ta được:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
10
88
6 9 4xx
xx
+ − + − =
. Đặt
8
yx
x
=+
thì phương trình trở thành
( )( )
2
5
6 9 4 15 50 0
10
y
y y y y
y
=
− − = − + =
=
.
Với
5y =
thì
2
8
5 5 8 0x x x
x
+ = − + =
(vô nghiệm).
Với
10y =
thì
2
5 17
8
10 10 8 0
5 17
x
x x x
x
x
=−
+ = − + =
=+
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
( )
5 17;5 17S = − +
.
Bài 25: Giải phương trình:
( ) ( )
22
2 2 2
3 2 1 2 3 1 5 0x x x x x+ − − + − + =
HD:
Do
0x =
không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho
2
x
ta
được
22
11
3 2 2 3 5 0xx
xx
− + − − + + =
. Đặt
1
yx
x
=−
, phương trình trở thành:
( ) ( )
22
2
1
3 2 2 3 5 0 1 0
1
y
y y y
y
=
+ − + + = − =
=−
. Suy ra
1
15
1
2
1
15
1
2
x
x
x
x
x
x
−
−=
=
− = −
=
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1 5 1 5
;
22
S

−

=



.
Bài 26: Giải phương trình:
4 3 2
3 4 5 4 3 0x x x x− − + + =
HD:
Phương trình không nhận
0x =
là nghiệm, chia hai vế cho
2
x
được :
2
2
11
3 4 5 0xx
xx
+ − − − =
. Đặt
1
tx
x
=−
thì phương trình trở thành
2
3 4 1 0tt− + =
2
3 4 1 0 1t t t− + = =
hoặc
1
3
t =
.
Với
1t =
thì
2
1 1 5
1 1 0
2
x x x x
x
+
− = − − = =
hoặc
15
2
x
−
=
.
Với
1
3
t =
thì
2
3
1 1 1 37
3 3 0
32
x x x x
x
+
− = − − = =
hoặc
4
1 37
2
x
−
=
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1 5 1 5 1 37 1 37
; ; ;
2 2 2 2
S

+ − + −

=



.
Bài 27: Giải phương trình:
4 3 2
2 21 34 105 50 0x x x x− + + + =
(1)
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
11
Ta thấy
105
5
21
k = = −
−
và
2
50
25
2
k ==
nên phương trình là phương trình bậc bốn có
hệ số đối xứng tỉ lệ.
( )
2
2
25 5
1 2 21 34 0
+ − − + =
xx
xx
. Đặt
5
tx
x
=−
suy ra
22
2
25
10tx
x
= + −
. Phương trình trở thành
2
2 21 54 0 6t t t− + = =
hoặc
9
2
t =
.
Với
6t =
thì
22
5
6 6 5 6 5 0x x x x x
x
− = − − − − =
.
Phương trình có hai nghiệm
12
3 14; 3 14xx= + = −
.
Với
9
2
x =
thì
2
59
2 9 10 0
2
x x x
x
− = − − =
.
Phương trình có hai nghiệm
34
9 161 9 161
;
44
xx
+−
==
.
Vậy PT (1) có tập nghiệm
9 161 9 161
3 14;3 14; ;
44
S

+−

= + −



.
Bài 28: Giải phương trình:
1 1 1 1 1
0
1 2 3 4x x x x x
+ + + + =
+ + + +
HD:
Điều kiện
1; 2; 3; 4;0x − − − −
. Ta biến đổi phương trình thành:
( ) ( )
22
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
00
4 1 3 2 4 4 3 2
xx
x x x x x x x x x x
++
+ + + + = + + =
+ + + + + + + +
2 2 2
1 1 1
0
4 4 3 2( 4 4)x x x x x x
+ + =
+ + + + +
. Đặt
2
4u x x=+
, phương trình trở thành
( )
1 1 1
0
3 2 4u u u
+ + =
++
( )( )
2
25 145
5 25 24
10
0
2 3 4
25 145
10
u
uu
u u u
u
−+
=
++
=
++
−−
=
.
Do đó
2
2
25 145
4
10
25 145
4
10
xx
xx
−+
+=
−−
+=
. Tìm được tập nghiệm của phương trình là
15 145 15 145 15 145 15 145
2 ; 2 ; 2 ; 2
10 10 10 10
S

+ + − −

= − − − + − + − −



.
Bài 29: Giải phương trình:
4 4 8 8 8
1 1 2 2 3
x x x x
x x x x
+ − + −
+ − − = −
− + − +
HD:
Biến đổi phương trình thành
22
5 5 10 10 8 10 40 8
1 1 2 2 3 1 4 3
−
+ − + = − − = −
− + − + − −x x x x x x
. Đặt
( )
2
1, 4; 0u x u u u=
dẫn đến phương
trình
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
12
2
16
4 65 16 0
1
4
u
uu
u
=
− + =
=
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là
11
; 4; ;4
22
S

= − −


.
Bài 30: Giải phương trình:
( )
2 2 2
1 6 2 5
2 12 35 4 3 10 24
x x x x
x x x x x x x x
+ + + +
+ = +
+ + + + + + +
HD:
Điều kiện
7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0x − − − − − − −
. Biến đổi phương trình thành
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 6 2 5
2 5 7 1 3 4 6
x x x x
x x x x x x x x
+ + + +
+ = +
+ + + + + + +
1 1 1 6 1 1
2 2 2 5 7
xx
x x x x
++
− + −
+ + +
2 1 1 5 1 1
2 1 3 4 6
xx
x x x x x
++
= − + −
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
7 2 5 1 6 3 4x x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2 7 0
7 7 10 7 6 7 12
x
x x x x x x x

+ + − − =

+ + + + + + +

2 2 2 2
7
2
1 1 1 1
0(*)
7 7 10 7 6 7 12
x
x x x x x x x x
=−
+ + − =
+ + + + + + +
.
Đặt
2
7u x x=+
thì phương trình (*) có dạng
1 1 1 1 1 1 1 1
00
10 6 12 6 10 12u u u u u u u u
+ + + = − + − =
+ + + + + +
2
18 90 0uu + + =
.
Mặt khác
( )
2
2
18 90 9 9 0u u u+ + = + +
với mọi
u
. Do đó phương trình (*) vô
nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7
2
x =−
.
Bài 31: Giải phương trình:
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4
0
1 2 3 4
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + +
+ − − =
+ + + +
HD:
Điều kiện
4; 3; 2; 1x − − − −
. Biến đổi phương trình thành
1 2 3 4 1 4 2 3
00
1 2 3 4 1 4 2 3x x x x x x x x
+ − − = − + − =
+ + + + + + + +
22
31
0
5 4 5 6
x
x x x x

+ =

+ + + +

22
0
31
0(*)
5 4 5 6
x
x x x x
=
+=
+ + + +
.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
13
Đặt
2
5u x x=+
thì phương trình (*) trở thành
3 1 11
0
4 6 2
u
uu
+ = = −
++
.
Từ đó ta có
2
53
2 10 11 0
2
x x x
−
+ + = =
.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
5 3 5 3
0; ;
22
S

− − − +

=



.
Bài 32: Giải phương trình:
22
43
1
4 8 7 4 10 7
xx
x x x x
+=
− + − +
HD:
Do
0x =
không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức
ở vế trái của phương trình cho
x
, rồi đặt
7
4yx
x
=+
ta được
43
1
8 10yy
+=
−−
.
Phương trình trên có 2 nghiệm
16, 9yy==
.
Với
9y =
thì
2
7
4 9 4 9 7 0x x x
x
+ = − + =
. Phương trình này vô nghiệm.
Với
16y =
thì
2
7
4 16 4 16 7 0x x x
x
+ = − + =
. Phương trình này có hai nghiệm
12
17
;
22
xx==
.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
17
;
22
S

=


.
Bài 33: Giải phương trình:
( )( )
2 2 2
2 3 1 2 5 1 9x x x x x− + + + =
HD:
Đặt
2
21t x x= + +
, phương trình (1) thành
( )( )
2 2 2 2 2 2
4 4 9 16 9 25 5t x t x x t x x t x t x− + = − = = = −
hoặc
5tx=
.
Với
5tx=−
thì
22
37
2 1 5 2 6 1 0
2
x x x x x x
−
+ + = − + + = =
.
Với
5tx=
thì
22
22
2 1 5 2 4 1 0
2
x x x x x x
+ + = − + = =
.
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
3 7 2 2
;
22

−




Bài 34: Giải phương trình:
( )( )
( )
2
22
5 1 4 6 1x x x x− + − = −
HD:
Đặt
1ux=−
đưa phương trình (2) về dạng tổng quát
( )( )
2 2 2
7 3 2 3 6u u u u u− − − − =
.
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau
Viết phương trình đã cho về dạng
( )( )
( )
2
22
4 5 5 4 6 1 0x x x x− − + − − − =
.
Đặt
2
4tx=−
, Phương trình thành
( ) ( )( ) ( )( )
2
5 5 6 6 1 0 6 6 1 0t x t x x t x t x+ − + + − + − = − + + − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
14
22
22
37
6 6 4 6 6 6 2 0
1 21
1
4 1 5 0
2
x
t x x x x x
tx
x x x x
x
=

= − − = − − + =

−
= − +
− = − + + − =
=

.
Vậy tập nghiệm của PT(2) là
1 21 1 21
;3 7; ;3 7
22
S

− − − +

= − +



.
Bài 35: Giải phương trình:
4 3 2
9 16 18 4 0x x x x− + + + =
HD:
PT tương đương với
( )
4 2 2
9 2 16 4 0x x x x− − + + =
Đặt
2
2tx=−
thì
2 4 2
44t x x= − +
, PT trên thành:
( )( )
22
9 20 0 4 5 0t xt x t x t x− + = − − =
22
22
26
4 2 4 4 2 0
5 33
5
2 5 5 2 0
2
x
t x x x x x
tx
x x x x
x
=

= − = − − =

=
− = − − =
=

.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
5 33 5 33
2 6; ;2 6;
22

−+

−+



.
Bài 36: Giải phương trình:
( )
2
2
2
12
3 6 3
2
x
xx
x
−
= − −
+
HD:
Điều kiện
2x −
. Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương:
( )
4 3 2 4 2 2
3 6 16 36 12 0 3 6 6 16 12 0x x x x x x x x+ − − − = + − − − =
.
Đặt
2
6tx=−
thì
2 4 2
12 36t x x= − +
, suy ra
4 2 2
3 3 36 108x t x= + −
,
PT trên thành:
( )
2
3 6 20 0 3 6 20 0 0t xt t t t x t+ + = + + = =
hoặc
3 6 20tx= − −
.
Với
0t =
thì
2
60x −=
, suy ra
6x =
(thỏa mãn đk).
Với
3 6 20tx= − −
ta có
2
3 18 6 20xx− = − −
hay
2
3 6 2 0xx+ + =
suy ra
33
3
x
−
=
(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là
3 3 3 3
; 6; ; 6
33
S

− − − +

=−



.
Bài 37: Giải phương trình:
22
2 13
6
3 5 2 3 2
xx
x x x x
+=
− + + +
HD:
Đặt
2
32tx=+
PT(5) trở thành
2 13
6
5
xx
t x t x
+=
−+
. ĐK:
5,t x t x −
.
Khử mẫu thức ta được PT tương đương
( )( )
22
2 13 11 0 2 11 0t tx x t x t x− + = − − =
tx=
hoặc
11
2
tx=
(thỏa mãn ĐK)
Với
tx=
thì
22
3 2 3 2 0x x x x+ = − + =
.Phương trình vô nghiệm.
Với
11
2
tx=
thì
2
11 1
3 2 6 11 2 0
22
x x x x x+ = − + = =
hoặc
4
3
x =
.Vậy tập
nghiệm của PT(5) là
14
;
23



.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
15
Bài 38: Giải phương trình:
( )( )
2 4 2
1 2 1 0x x x− + + =
HD:
Lời giải: PT
( )( )( )
2 2 2 2
1 1 2 1 0x x x x + − + + =
( )( )
4 2 4 2
2 1 0x x x x + + − + =
( ) ( )
2
4 2 4 2
2 1 0x x x x + − + + =
( )
2
4 2 4 2
1 0 1 0x x x x + − = + − =
.
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là
5 1 5 1
;
22

−−

−



.
Bài 39: Giải phương trình:
22
2
2
2 2 4
20 5 20 0
1 1 1
x x x
x x x
− + −
+ − =
+ − −
HD:
Điều kiện
1x 
.
Đặt
22
;
11
xx
yz
xx
−+
==
+−
, PT có dạng:
( )
2
22
20 5 20 0 5 2 0 2y z yz y z y z+ − = − = =
Dẫn đến
( )( ) ( )( )
22
2. 2 2 1 2 1
11
xx
x x x x
xx
−+
= − − = + +
+−
2 2 2
2 6 4 3 2 9 2 0x x x x x x − + = + + − + =
9 73
2
x
+
=
hoặc
9 73
2
x
−
=
(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là
9 73 9 73
;
22

−+




.
Bài 40: Giải phương trình:
4 3 2
4 19 106 120 0x x x x− − + − =
Bài 41: Giải phương trình:
4 3 2
4 12 5 6 15 0x x x x+ + − − =
Bài 42: Giải phương trình :
4
87xx=+
HD :
( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 8 8 2 1 2 4 2x x x x x x x x + + = + + + + = + +
( )
( )
2
2
22
1 2 2 1 2 2x x x x + = + + = +
22
1 2 2 1 2. 2 2x x x x + = + + = +
22
1 2. 2 2 2 . 2 2 1x x x x+ = + − = −
2
11
2. 2 2
22
xx − + = −
2
2 4 2 1
22
x

−
− =



Bài 43: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 8 1 4 1 9x x x− − =
Bài 44: Giải phương trình:
4 3 2
2 5 2 0x x x x− − + + =
HD:
Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho
2
0x
ta
được:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
16
2
2
12
2 5 0xx
x
x
− − + + =
2
2
11
2 5 0xx
x
x
= + − − − =
Đặt:
22
2
11
2x t x t
x
x
− = = + = +
, Thay vào phương trình ta được:
( )( )
2
2 1 0 2 1 1 0t t t t− − = = + − =
Bài 45: Giải phương trình:
4 3 2
4 6 4 24 0x x x x− + − − =
Bài 46: Giải phương trình:
( ) ( )( )
3
4 2 8 96 0x x x x− − − + + =
Bài 47: Giải phương trình:
( )
( )
42
1 2 2 0x x x x+ − − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( ) ( )
2
4
1 1 1 0x x x

+ − − + =


Đặt:
11y x x y= − = = +
, Thay vào phương trình ta được:
( )
( )
4
2
1 1 0y y y+ + + =
4 3 2
5 6 5 1 0y y y y= + + + + =
Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
0y
, ta được:
2
2
51
5 6 0yy
y
y
+ + + + =
2
11
5 2 0yy
yy
= + + + − =
Bài 48: Giải phương trình:
( )
( )
( )
2
2
23
2 1 7 1 13 1x x x x+ + − − = −
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( ) ( )
( )
2
2
22
2 1 7 1 13 1 1x x x x x x+ + − − = − + +
Chia hai vế cho
2
1xx++
, ta được:
( )
2
22
13 1
1
27
11
x
x
x x x x
−

−
−=

+ + + +

Đặt:
2
1
1
x
y
xx
−
=
++
, phương trình trở thành:
( )( )
2
2 7 13 2 1 7 0y y y y− − = + − =
Bài 49: Giải phương trình:
( )
( )
3
3
26
3 2 3 2x x x x− + = − −
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )
( )
33
3
22
3 2 3 2x x x x− + + − =
Dễ thấy:
22
3 2 3 2x x x x− + + − =
, Thay vào phương trình trên ta được:
( )
( )
( )
( )
3
3
3
22
3 2 3 2 3 2 3 2x x x x x x

− + + − = − + + −

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
33
33
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2x x x x x x x x x x= − + + − = − + + − + − + −
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
17
( )
( )
22
3 3 2 3 2 0x x x x= − + − =
2
2
3 2 0
3 2 0
0
xx
x
x
− + =
= − =
=
1
2
2
3
0
x
x
x
x
=
=
=
=
=
Bài 50: Giải phương trình:
( )( )
( )
2
22
9 9 22 1x x x x+ + = −
HD:
Đặt
1yx=−
, Phương trình trở thành:
( )( )
2 2 2
2 10 11 10 22y y y y y+ + + + =
Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho
2
0y
.
Phương trình trở thành:
10 10
2 11 22yy
yy
+ + + + =
Đặt:
10
2yt
y
+ + =
, Phương trình:
( )
2
2
9 22 9 22 0
11
t
t t t t
t
=
+ = = + − = =
=−
Với t = 2, ta được:
2
10 10
2 2 0
y
y
yy
+
+ + = = =
( Vô lý)
Với t = -11, ta được :
2
10
2 11 13 10 0y y y
y
+ + = − = + + =
Bài 51: Giải phương trình:
( )( )
2 2 2
3 3 2 3 2x x x x x− + − + =
HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho
2
0x
ta
được:
33
3 2 2xx
xx
+ − + − =
, Đặt:
3
xt
x
+=
, phương trình trở thành:
( )( )
2
3 2 2 5 4 0t t t t− − = = − + =
Bài 52: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 2 2
1 3 1 2 0x x x x+ + + + =
HD:
Đặt
( )
2
1 , 1x t t+ =
, Khi đó phương trình trở thành:
( )( )
22
3 2 0 2 0
2
tx
t xt x t x t x
tx
=−
+ + = = + + = =
=−
Với
2
2
13
10
24
t x x x x

= − = − = + = + + =


( Vô nghiệm)
Với
( )
2
2
2 2 1 1 0 1t x x x x x= − = − = + = + = = = −
Bài 53: Giải phương trình:
( )
2
2
9 12 1xx− = +
HD:
Cộng cả hai vế với
2
36x
ta được:
( ) ( )
( )
22
2
2 2 2 2 2 2
9 36 36 12 1 18 81 36 6 1x x x x x x x x− + = + + = + + + = +
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
18
( )
( )
( )
( )
22
22
2 2 2
18 81 6 1 9 6 1 0x x x x x= + + = + = + − + =
( )( )
22
9 6 1 9 6 1 0x x x x= + − − + + + =
Bài 54: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
7 8 15 2x x x− + − = −
HD:
Nhận thấy:
( ) ( )
7 8 2 15x x x− + − = −
, Thay vào phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
2 2 2
7 8 7 8x x x x− + − = − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
7 8 7 8 2 7 8 0x x x x x x= − + − = − + − + − − =
( )( )
2 7 8 0xx= − − =
Bài 55: Giải phương trình:
32
1
3
x x x− + =
Bài 56: Giải phương trình:
32
4 6 12 8 0x x x− + − =
Bài 57: Giải phương trình:
( )
2
2
9 12 1xx− = +
HD:
Cộng thêm
2
36x
vào hai vế ta được:
( )
2
2 2 3
9 36 36 12 1x x x x− + = + +
Bài 58: Giải phương trình :
1
6 1 8 27
x x x−
+ = −
HD :
( )
31
3
2 .3 2 3 1
x
x x x
−
= − −
Đặt
1
2
3
x
x
a
b
−
=
=
, Phương trình trở thành :
( ) ( ) ( )( )
33
3
1 3 1a b a b+ − + − = − −
Vì
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = + + + + − − −
,
Khi đó :
1
2 3 1
xx−
=+
Bài 59: Giải phương trình:
( )( ) ( )
2 2 2
8 4 1 2 1 4 1x x x x x x− − + + = + +
HD:
Nhận thấy
1x =−
không phải là nghiệm của phương trình
Với
1x −
, phương trình đã cho tương đương với
22
2
8 4 1 1
4
21
x x x x
xx
− − + +
=
++
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
22
22
22
3 2 1 2 1
1
1 4 4 4 3 3
44
21
4 2 1 4 2 1
41
x x x x
x
x x x x
xx
x x x x
x
+ + + − +
−
+ + + +
= = = +
++
+ + + +
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 0 1xx− = = =
(1)
Lại có:
( )
( )
2
2
2
3 4 2 1
8 4 1 3 3
1
4 4 4 4
xx
xx
x
− − +
−−
= = − −
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 0 1xx− = = =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1
Bài 60: Giải các phương trình sau:
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 4 16 0x x x x x x+ + + + + + =
HD:
Đặt
2
4x x t+ + =
, ta có:
22
8 16 0t xt x+ + =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
19
( )
2
22
4 0 4 4 0 5 4 0t x x x x x x= + = = + + + = = + + =
( )( )
1 4 0xx+ + =
Bài 61: Giải các phương trình sau:
( ) ( )
2
22
4 12x x x x+ + + =
HD:
Đặt
2
y x x=+
, Phương trình trở thành:
( )( )
2
4 12 0 6 2 0y y y y+ − = = + − =
Bài 62: Tìm x biết:
( ) ( )
2
22
4 12x x x x+ + + =
HD:
Đặt
2
x x t+=
, Phương trình trở thành:
( )( )
2
4 12 0 6 2 0t t t t+ − = = + − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
20
DẠNG 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp :
+ Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là :
( )
1x −
+ Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là :
( )
1x +
+ Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do
+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của
hệ số bậc cao nhất
+ Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình
bậc 2
Bài 1: Giải phương trình:
4 3 2
2 5 4 12 0x x x x+ + + − =
HD:
Phương trình tương đương với
( )( )
( )
2
1 2 6 0x x x x− + + + =
Bài 2: Giải phương trình:
4 3 2
2 4 5 6 0x x x x+ − − − =
HD:
Phương trình tương đương với:
( )( )
( )
2
2 3 1 0x x x x− + + + =
Bài 3: Giải phương trình:
42
6 8 0x x x+ + − =
HD:
Phương trình tương đương với
( )( )
( )
2
1 2 4 0x x x x− + − + =
Bài 4: Giải phương trình:
4 3 2
6 7 1 0x x x x− − + + =
HD:
Phương trình tương đương với:
( )
( )( )
2
1 2 1 3 1 0x x x− − + =
Bài 5: Giải phương trình:
4 3 2
2 4 3 2 0x x x x− + − + =
HD:
Phương trình tương đương với
( )( )
22
1 2 0x x x x− + − + =
Bài 6: Giải phương trình:
4 3 2
2 3 8 6 5 0x x x x+ + + + =
HD :
Phương trình tương đương với
( )( )
22
1 2 5 0x x x x+ + + + =
Bài 7: Giải phương trình sau:
( )
2
2
4 8 1xx− = +
HD :
Thêm
2
16x
vào hai vế ta được :
( )
( )
( )( )
2
2
2 2 2
4 4 1 4 5 4 3 0x x x x x x+ = + = + + − + =
Bài 8: Giải phương trình sau:
42
4 12 9 0x x x− + − =
HD:
Biến đổi phương trình
( )
2
4
2 3 0xx− − =
Bài 9: Giải phương trình:
42
10 20 0x x x− − + =
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
21
Biến đỏi phương trình thành :
22
1 17
( 5)( 4) 0
2
x x x x x
−
− − + − = =
và
1 21
2
x
=
Bài 10: Giải phương trình:
42
22 8 77 0x x x− − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
22
1 2 2
( 2 7)( 2 11) 0
1 2 3
x
x x x x
x
= −
+ − − − =
=
Bài 11: Giải phương trình:
4 3 2
6 8 2 1 0x x x x− + + − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
22
23
23
( 4 1)( 2 1) 0
12
12
=+
=−
− + − − =
=+
=+
x
x
x x x x
x
x
,
Bài 12: Giải phương trình:
4 3 2
2 5 6 3 0x x x x+ − + − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
22
3 21
2
( 3 3)( 1) 0
3 21
2
x
x x x x
x
−+
=
+ − − + =
−−
=
Bài 13: Giải phương trình :
42
4 12 9 0x x x− + − =
HD :
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
2
22
2
2 3 0
2 3 2 3 0 1; 3
2 3 0
xx
x x x x x x
xx
+ − =
+ − − + = = =
− + =
Bài 14: Giải phương trình :
42
13 18 5 0x x x− + − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( ) ( )
4 2 2
4 4 9 18 9 0x x x x − + − − + =
Bài 15: Giải phương trình :
4 3 2
2 10 11 1 0x x x x− + + − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
22
2 2 2 2
5 1 1 3 9 1 3 1
2 3 1 0
2 4 4 4 16 2 4 2
x x x x x x x x x
− − = + + = + − + − − =
2
2
22
2 4 1 0
2
3 1 0
3 13
2
x
xx
xx
x
=
− + =

− − =
=
Bài 16: Giải phương trình:
43
2 4 0x x x+ + − =
HD:
Phương trình
( )( )
( )
4 3 2
2 4 0 1 2 2 0x x x x x x= + + − = = − + + =
Bài 17: Giải phương trình:
42
30 31 30 0x x x− + − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
22
HD:
( )
4 2 4 2
30 31 30 0 30 1 0x x x x x x x− + − = = + − − + =
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2 2 2
1 30 1 0 1 1 30 1 0x x x x x x x x x x= + − − + = = + − + − − + =
( )( )
22
1 30 0x x x x= − + + − =
,
Vì
( )( )
2
22
13
1 0 30 0 6 5 0
24
x x x x x x x

− + = − + = + − = = + − =


Bài 18: Cho đa thức:
( )
4 3 2
6 40 1979P x x x x x m= + + − + −
a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2
b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0
HD:
a,
( ) ( )
( )
32
2 3 12 16 2011P x x x x x m= − + + − + −
, Do
( )
px
chia hết cho
2x −
nên
2011 0m −=
2011m= =
b, Với m=2011=>
( ) ( )
( )
32
2 3 12 16P x x x x x= − + + −
Do đó:
( ) ( )
( )
( )( )
( )
3 2 2
0 2 3 12 16 0 2 1 4 16 0P x x x x x x x x x= = − + + − = = − − + + =
( )( )
2 1 0xx= − − =
Vì
( )
2
2
4 16 0
1
x
xx
x
=
+ + =
=
Bài 19: Giải bất phương trình:
( ) ( )
22
22
2 3 4 4 0x x x x+ + − + +
HD:
Biến dổi phương trình về dạng:
( )
( )
2
2 3 4 8 0x x x x+ + +
Nhận thấy:
( ) ( )
2
22
3 4 8 2 2 4 0 2 0 2x x x x x x x+ + = + + + = + = −
hoặc
0x
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
22
10 20 24 8 24 51 0x y xy x y+ + + − +
HD:
Biến đổi thành:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 4 2 6 1 0x y x y+ + + + − −
3 4 0
4
40
3
2 6 0
xy
x
x
y
y
+=
=−
= + = =

=
−=
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
23
DẠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Bài 1: Giải phương trình:
5 4 3 2
3 3 1 0x x x x x− + + − + =
HD:
Nhận thấy
1x =−
là 1 nghiệm của phương trình ta có:
( )
( )
4 3 2
1 2 5 2 1 0x x x x x+ − + − + =
( ) ( )
2
22
1 1 0x x x+ − + =
Bài 2: Giải phương trình:
5 4 3 2
2x x x x x= + + + +
HD:
Phương trình tương đương với
( ) ( )
( )
( )
5 4 3 2 4 3 2
1 1 0 2 1 0x x x x x x x x x x− − + + + + = = − + + + + =
Ta thấy phương trình
4 3 2
1x x x x+ + + +
vô nghiệm
Bài 3: Giải phương trình sau:
( )
5 3 4 2
3 2 3x x x x x+ + = + +
HD:
Phương trình tương đương với
( )
( )
42
2 2 3 0x x x− + + =
Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
6 5 4 3 2
10x x x x x x+ + + + + + =
HD:
Nhân hai vế với
1x −
ta được:
7
1 0 1xx− = = =
Bài 5: Giải phương trình:
52
22x x x+ + = −
HD :
Ta có:
( )
( )
5 2 5 2
2 2 0 2 2 0PT x x x x x x= + + + = = + + + =
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 2
1 2 1 0 1 1 2 1 0x x x x x x x x= + + + = = + − + + + =
( )
( )
22
1 1 2 0x x x x

= + − + + =

Ta thấy
( )
2 2 2 2
0, 1 0 1 2 2x x x x x x − + = − + +
vậy PT có 1 nghiệm
1x =−
Bài 6: Giải phương trình:
5 4 3 3
2 3 3 2 1 0x x x x x+ + + + + =
HD:
Phương trình có 1 nghiệm x = -1
Bài 7: Giải phương trình:
6 5 4 3 2
3 6 21 6 3 1 0x x x x x x+ − − − + + =
HD :
Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách
giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy
0x =
không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho
3
x
ta được:
32
32
1 1 1
3 6 21 0x x x
x x x
+ + + − + − =
. Đặt
1
,2t x t
x
= +
. Ta có:
( )
2 2 3 2
23
11
2; 3x t x t t
xx
+ = − + = −
nên phương trình trở thành:
( ) ( )
22
3 3 2 6 21 0t t t t− + − − − =
( ) ( )
2
32
3
3 9 27 0 3 3 0
3
t
t t t t t
t
=
− − − = + − =
=−
2
1 3 5
3 3 3 1 0
2
t x x x x
x
= + = − + = =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
24
2
35
3 3 1 0
2
t x x x
−
= − + + = =
. Vậy phương trình có bốn nghiệm :
3 5 3 5
;
22
xx
−
==
.
Bài 8: Giải phương trình:
63
7 8 0xx− − =
HD:
Đặt
3
xt=
, phương trình trở thành:
( )( )
2
7 8 0 1 8 0t t t t− − = = + − =
Bài 9: Tìm x, y, z biết:
2 2 2
10 4 6 4 4 5 0x y z x y xz+ + + − − + =
HD :
2 2 2 2
9 6 1 4 4 4 4 0x x y y z xz x= + + + − + + − + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 2 2 0x y z x= + + − + − =
Do đó :
3 1 0x +=
và
20y −=
và
20zx−=
Bài 10: Tìm x, y, z biết:
2 2 2
9 2 18 4 6 20 0x y z x z y+ + − + − + =
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
9 18 9 6 9 2 2 1 0x x y y z z= − + + − + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
9 1 3 2 1 0x y z= − + − + + =
,
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
25
DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Bài 1: Tìm x biết:
a,
3 3 3 3
13 14 15 16
x x x x− − − −
+ = +
b,
1 3 5 7
65 63 61 59
x x x x+ + + +
+=+
HD:
a,
( )
3 3 3 3 1 1 1 1
0 3 0
13 14 15 16 13 14 15 16
x x x x
x
− − − −

= + − − = = − + − − =


=>
3x =
vì
11
0
13 15
−
và
11
0
14 16
−
nên
1 1 1 1
0
13 14 15 16
+ − −
b,
1 3 5 7 66 66 66 66
1 1 1 1
65 63 61 59 65 63 61 59
x x x x x x x x+ + + + + + + +
= + + + = + + + = + = +
=>
( )
1 1 1 1
66 0 61
65 63 61 59
xx

+ + − − = = = −


vì
1 1 1 1
0
65 63 61 59
+ − −
Bài 2: Tìm x, biết:
a,
29 27 25 23 21
5
21 23 25 27 29
x x x x x− − − − −
+ + + + = −
b,
10 14 5 148
0
30 43 95 8
x x x x− − − −
+ + + =
HD:
a,
29 27 25 23 21
1 1 1 1 1 0
21 23 25 27 29
x x x x x− − − − −
= + + + + + + + + + =
=>
50 50 50 50 50
0
21 23 25 27 29
xxxxx−−−−−
+ + + + =
=>
( )
1 1 1 1 1
50 0
21 23 25 27 29
x

− + + + + =


b, =>
10 14 5 148
3 2 1 6 0
30 43 95 8
x x x x− − − −
− + − + − + + =
=>
100 100 100 100
0
30 43 95 8
xxxx−−−−
+ + + =
=>
( )
1 1 1 1
100 0
30 43 95 8
x

− + + + =


Bài 3: Tìm x, biết:
a,
5 4 3 100 101 102
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
b,
2 1 4 3
7 8 5 6
x x x x− − − −
+ = +
HD:
a,
5 4 3 100 101 102
1 1 1 1 1 1
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
= − + − + − = − + − + −
=>
105 105 105 105 105 105
100 101 102 5 4 3
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
=>
105 0 105xx− = = =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
26
b, =>
2 1 4 3 9 9 9 9
1 1 1 1
7 8 5 6 7 8 5 6
x x x x x x x x− − − − − − − −
− + − = − + − = + = +
=>
9 0 9xx− = = =
Bài 4: Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4 5 6
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
b,
2 19 2 17 2 7 2 5
21 23 33 35
x x x x+ + + +
− = −
HD:
a, =>
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
94 93 94 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + + + + = + + + + +
=>
95 95 95 95 95 95
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
=>
95 0 95xx+ = = = −
b, =>
2 19 2 17 2 7 2 5
1 1 1 1
21 23 33 35
x x x x+ + + +
+ − + = + − +
2 40 2 40 2 40 2 40
21 35 33 23
x x x x+ + + +
= + = +
2 40 0 20xx= + = = = −
Bài 5: Tìm x, biết:
a,
1 2 3 4 5 6
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
b,
1 2 3 4
15 14 13 12
x x x x+ + + +
+ = +
HD:
a, =>
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
− + − + − = − + − + −
60 60 60 60 60 60
59 58 57 56 55 54
x x x x x x− − − − − −
= + + = + +
=>
60 0 60xx− = = =
b,
1 2 3 4
1 1 1 1
15 14 13 12
x x x x+ + + +
= + + + = + + +
16 16 16 16
15 14 13 12
x x x x+ + + +
= + = +
=>
16 0 16xx+ = = = −
Bài 6, Tìm x, biết:
a,
5 15 1990 1980
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
+ = +
b,
1 3 5 7
2015 2013 2011 2009
x x x x− − − −
+ = +
HD:
a, =>
5 15 1990 1980
1 1 1 1
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
− + − = − + −
1995 1995 1995 1995
1990 1980 5 15
x x x x− − − −
= + = +
1995 0 1995xx= − = = =
b,
1 3 5 7
1 1 1 1
2015 2013 2011 2009
x x x x− − − −
= − + − = − + −
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
27
2016 2016 2016 2016
2016 0 2016
2015 2013 2011 2009
x x x x
xx
− − − −
= + = + = − = = =
Bài 7, Tìm x, biết:
a,
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
x x x x x+ + + + +
+ + = +
b,
315 313 311 309
4
101 103 105 107
x x x x− − − −
+ + + = −
HD:
a,
( )
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
10 11 12 13 14
x x x

= + + + − − = = + = = = −


b,
315 313 311 309
1 1 1 1 0
101 103 105 107
x x x x− − − −
= + + + + + + + =
=>
416 416 416 416
0 416 0 416
101 103 105 107
xxxx
xx
−−−−
+ + + = = − = = =
Bài 8: Giải phương trình:
315 313 311 309 307
50
101 103 105 107 109
x x x x x− − − − −
+ + + + + =
HD:
Phương trình tương đương với :
<=>
315 313 311 309 307
1 1 1 1 1 0
101 103 105 107 109
x x x x x
− − − − −
+ + + + + + + + + =
416 416 416 416 416
0
101 103 105 107 109
xxxxx−−−−−
= + + + + =
( )
1 1 1 1 1
416 0
101 103 105 107 109
x

= − + + + + =


416 0 416xx= − = = =
Bài 9: Giải phương trình:
90 76 58 36 15
15
10 12 14 16 17
x x x x x− − − − −
+ + + + =
Bài 10: Giải phương trình:
1 3 5 7 9 11 13 15
65 63 61 59 57 55 53 51
x x x x x x x x+ + + + + + + +
+ + + = + + +
Bài 11: Giải phương trình:
315 313 311 309 307
50
101 103 105 107 109
x x x x x− − − − −
+ + + + + =
Bài 12: Giải phương trình:
22
34
1
2
5 6 6 8
x x x
x
x
x x x x
++
+ + + =
+
+ + + +
Bài 13: Giải phương trình:
2 2 2
1 1 1 3
42
5 4 11 28 17 70
x
x x x x x x
+ + =
−
+ + + + + +
HD:
Phương trình tương đương với:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 1 1 3
1 4 4 7 7 10 4 2x x x x x x x
+ + =
+ + + + + + −
Bài 14: Giải phương trình:
1 1 1 1
2008 1 2009 2 2010 4 201 1 5x x x x
− = −
+ + + +
HD:
Phương trình tương đương với:
1 1 1 1
2008 1 2011 5 2010 4 2009 2x x x x
+ = +
+ + + +
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
28
( )( ) ( )( )
4019 6 4019 6
2008 1 2011 5 2010 4 2009 2
xx
x x x x
++
= =
+ + + +
TH1:
4019 6 0x +=
TH2:
( )( ) ( )( )
2
2008 1 2011 5 2010 4 2009 2 2 5 3 0x x x x x x+ + = + + = + + =
Bài 15: Giải phương trình:
22
2 13 6
3 4 1 3 2 1
x
x x x x
+=
− + + +
HD:
Điều kiện:
1
0, 1,
3
x x x
Biến đổi phương trình thành:
2 13 6
11
3 4 3 2
x
xx
xx
+=
− + + +
Đặt:
1
34xt
x
+ − =
, Khi đó phương trình trở thành:
2
2 13
6 2 7 4 0
6
tt
tt
+ = = + − =
+
Bài 16: Giải phương trình:
3
x b c x c a x a b
a b c
− − − − − −
+ + =
HD:
Phương trình tương đương với:
( )
1 1 1
00
x b c a x a b c x a b c
x a b c
a b c a b c

− − − − − − − − −
+ + = = − − − + + =


,
TH1: Nếu
1 1 1
0 x a b c
a b c
+ + = = + +
TH2: Nếu
1 1 1
0
a b c
+ + =
, phương trình có nghiệm với mọi x
Bài 17: Giải phương trình:
( )
22
42
1 1 3
11
1
xx
x x x x
x x x
+−
+=
+ + − +
++
HD:
Phân tích
( )( )
4 2 2 2
1 1 1x x x x x x+ + = + + − +
Bài 18: Giải phương trình:
22
22
2 1 2 2 7
6
2 2 2 3
x x x x
x x x x
+ + + +
+=
+ + + +
HD:
Vì
2
2
2 2 0,
2 3 0,
x x x
x x x
+ +
+ +
, đặt
2
22x x y+ + =
, Khi đó phương trình trở thành:
2
17
5 7 6 0
16
yy
yy
yy
−
+ = = − − =
+
Bài 19: Giải phương trình:
2 2 2 2
2 2 8 20 4 6 6 12
1 4 2 3
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + +
+ = +
+ + + +
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( ) ( ) ( ) ( )
1 4 2 3
1 4 2 3
1 4 2 3
x x x x
x x x x
+ + + + + = + + + + +
+ + + +
Bài 20: Giải phương trình:
2
2
21
4 6 0
4 10
xx
xx
− + − =
−+
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
29
HD:
Điều kiện:
2
4 10 0xx− +
Đặt
2
4 10x x t− + =
khi đó phương trình trở thành:
( )( )
22
21
4 0 4 21 0 4 21 0 7 3 0t t t t t t t
t
− + = = − + + = = − − = = − + =
Với
( )( )
2
7 4 10 7 1 3 0t x x x x= = − + = = − − =
Với
( )
2
2
3 4 10 3 2 9 0t x x x= − = − + = − = − + =
Bài 21: Giải phương trình:
2 2 2
1 18 18
2 3 2 2 2 1x x x x x x
+=
+ − + + + +
HD:
Đặt
2
21x x t+ + =
, Khi đó phương trình trở thành:
( ) ( ) ( )( )
1 18 18
1 18 4 18 4 1
41
t t t t t t
t t t
+ = = + + − = − +
−+
( )( )
2
18 72 0 12 6 0t t t t= − + = = − − =
Với
( )
( )
2
2
2
12 2 1 12 1 12 2 3t x x x= = + + = = + = =
Với
( )
( )
2
2
2
6 2 1 6 1 6 6t x x x= = + + = = + = =
Bài 22: Giải phương trình sau:
( )
2 2 2
2
22
22
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
xx
xx
+ + + − + + = +
HD:
Điều kiện x
0
Phương trình
( )
22
2
22
22
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
xx
xx


= + + + + − + = +


( ) ( )
2
22
2
2
11
8 8 4 4 16x x x x
x
x
= + − + = + = + =
Bài 23: Giải phương trình:
( )
( )
2
4
4
21
1 1 2 1
11
1
1
ax
x x x
aa
a
a
−
− − −
+ − =
−+
−
−
Bài 24: Giải phương trình :
2 2 2
1 1 1 1
9
2 6 8 10 24x x x x x x
+ + =
+ + + + +
Bài 25: Giải phương trình :
2
2
53
40
5
x x x
x
xx
+−
+ + =
+−
HD:
ĐK:
2
0, 5 0x x x + −
Đặt
2
2
5 3 3
5
x x x
t
xt
xx
+−
= = =
+−
, Thay vào phương trình ta được:
( )( )
3
4 3 1 0t t t
t
+ = = + + =
Bài 26: Giải phương trình:
22
2
2
2 2 5 4
.0
1 1 2
1
x x x
xx
x
+ − −
+ − =
+−
−
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
30
Nhận thấy:
2
2
4 2 2
.
11
1
x x x
xx
x
− − +
=
−+
−
, Đặt hai ẩn phụ:
22
,
11
xx
ab
xx
+−
==
+−
. Thay vào
phương trình:
( )( )
22
2
5
0 2 2 0
2
2
ab
a ab b a b a b
ab
=
− + = = − − = =
=
Với
( )
( )( ) ( )( )
2
22
2
2 2 1 2 2 1 3 2 0
11
x
x
a b x x x x x x
xx
−
+
= = = = + − = − + = − + + =
+−
Với
( )
( )( ) ( )( )
2
22
2
2 2 2 1 2 1 3 2 0
11
x
x
a b x x x x x x
xx
+
−
= = = = + − = − + = + − =
+−
Bài 27: Giải phương trình:
( )
2
2
2
25
11
5
x
x
x
+=
+
HD:
Điều kiện
5x −
Ta viết lại phương trình thành
2
2
2 2 2
5 10 10
11 0 11 0
5 5 5 5
x x x x
x
x x x x


− + − = + − =


+ + + +


.
Đặt
2
5
x
t
x
=
+
thì phương trình có dạng
2
1
10 11 0
11
t
tt
t
=
+ − =
=−
Nếu
1t =
ta có:
2
2
1 21
1 5 0
52
x
x x x
x
= − − = =
+
. Nếu
2
11 11
5
x
t
x
= − = −
+
2
11 55 0xx + + =
phương trình vô nghiệm.
Bài 28: Giải phương trình:
55
6
11
xx
xx
xx
−−
+=
++
HD:
ĐK:
1x −
Phương trình tương đương với:
2
2
55
60
11
xx
xx
xx
−−
+ − =
++
( )( ) ( ) ( )
22
2
5 1 5 6 1 0x x x x x x= − + + − − + =
( )( )
( )
4 3 2 2
5 11 13 6 0 1 2 2 3 0x x x x x x x x= − + − + = = − − − + =
Bài 29: Giải phương trình:
( )
2
2
2
8
1
x
x
x
+=
+
HD:
ĐK:
1x −
Phương trình tương đương với:
( ) ( )
22
2 2 4 3 2
1 8 1 2 6 16 8 0x x x x x x x x+ + = + = + − − − =
( )
( )
2
2
2 2 2 0x x x= + − − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
31
Bài 30: Giải phương trình:
22
90
11
xx
xx
+=
+−
HD:
ĐK:
1x 
Phương trình tương đương với :
( ) ( )
( ) ( )
22
22
22
11
90
11
x x x x
xx
− + +
=
+−
( )
4 3 2 4 2 2
2
2
22
90
1
x x x x x x
x
− + + + +
= =
−
( )
4 2 4 2
2 2 90 2 1x x x x= + = − +
42
44 91 45 0xx= − + =
Bài 31: Giải phương trình:
( )
( )
( )
2
2
2
1
18
2
x
x
x
+
+ + =
+
HD:
Phương trình tương đương với:
( )
2
11
1 2 1 . 8
22
xx
xx
xx

++
+ − + + =

++

( ) ( )
2
22
11
2. 8 0
22
xx
xx

++

= + − =
++


Đặt
( )
2
1
2
x
y
x
+
=
+
, Phương trình trở thành:
2
2 8 0yy+ − =
Bài 32: Giải phương trình:
22
12 3
1
4 2 2 2
xx
x x x x
−=
+ + + +
HD:
Để ý rằng nếu
x
là nghiệm thì
0x
nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho
x
thì
thu được:
12 3
1
22
42xx
xx
−=
+ + + +
. Đặt
2
2tx
x
= + +
thì phương trình trở thành:
22
1
12 3
1 12 3 6 2 7 6 0
6
2
t
t t t t t t
t
tt
=
− = − − = + − + =
=
+
.
Với
1t =
ta có:
2
2
2 1 2 0x t t
x
+ + = + + =
vô nghiệm.
Với
6t =
ta có:
2
2
2 6 4 2 0 2 2x x x x
x
+ + = − + = =
.
Bài 33: Giải phương trình:
( )
2
2
2
3 6 3
2
x
xx
x
= − −
+
HD:
Biến đổi phương trình:
( ) ( )
2
2
2 2 1 0 3 3 1 0
2 2 2
x x x
x x x x
x x x
− + − − = + − − − =
+ + +
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là
33
6;
3
xx
−
= =
.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
32
Bài 34: Giải phương trình:
( )
32
3
3
3
20
1
1
xx
x
x
x
+ + − =
−
−
HD:
Sử dụng HĐT
( ) ( )
3
33
3a b a b ab a b+ = + − +
ta viết lại phương trình thành:
( )
3
3 2 2 2
3
3
33
2 0 3 2 0
1 1 1 1 1
1
x x x x x x
x x x
x x x x x
x
+ + − = + − + + − =


− − − − −
−
hay
3 2 3
2 2 2 2 2
2
3
3 2 0 1 1 1 1 2 2 0
1 1 1 1 1
x x x x x
xx
x x x x x
− + − = − = − = − + =
− − − − −
.
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 35: Giải phương trình:
2 2 2
1 1 1 1
18
9 20 11 30 13 42x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
HD:
ĐKXĐ:
4, 5, 6, 7x x x x − − − −
Phương trình trở thành:
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1
18
4 5 5 6 6 7x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
= − + − + − =
+ + + + + +
( )( )
1 1 1
13 2 0
4 7 18
xx
xx
= − = = + − =
++
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
33
DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I, Phương trình dạng:
( ) ( )
f x g x=
Phương pháp:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
=−
,
Bài 1: Giải phương trình sau:
2 3 3xx+ = −
Bài 2: Giải phương trình sau:
2
2
0
1
xx
x
x
−+
−=
+
Bài 3: Giải phương trình sau:
2 1 1xx− = −
Bài 4: Giải phương trình sau:
2
2 1 3 4x x x+ = − −
HD:
Phương trình tương đương với:
( )
2
2
2
2
5 3 5
2 1 3 4
5 5 0
2
2 1 3 4
30
1 13
2
x
x x x
xx
x x x
xx
x
=
+ = − −
− − =
= =
+ = − − −
− − =
=
Bài 5: Giải phương trình:
2
2 5 2 7 5 0x x x− + − + =
HD:
Vì
2
2 5 0, 2 7 5 0,x x x− − +
Nên suy ra:
2
2 5 2 7 5 0x x x− + − +
Dấu bằng xảy ra khi:
( )( )
2
5
2 5 0
5
2
2
2 7 5 0
1 2 5 0
x
x
x
xx
xx
=
−=
= = =

− + =
− + =
Bài 6: Giải phương trình:
32
1 3 2x x x− = − +
HD:
Phương trình tương đương với:
32
32
1 3 2
1 3 2
x x x
x x x
− = − +
− = − −
1, 1 2xx= = = −
Bài 7: Giải phương trình:
956
2
+−=− xxx
HD:
956
2
+−=− xxx
2
2
6 5 9
6 5 9
x x x
x x x
− = − +
− = − + −
1
3
x
x
=
=
, Vậy: x= 1; x= 3
Bài 8: Giải phương trình :
( )
2
2 4 3 1x x x− + − =
HD:
Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
TH 1:
0
12
x
x

ta có:
22
35
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x
− + = − + = =
.
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô
nghiệm.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
34
TH 2:
01x
ta có
22
15
(1) 4 3 1 0
2
−−
− − + = + − = =x x x x x
(l) hoặc
15
2
x
−+
=
TH 3: x > 2 ta có
22
1 29
(1) 4 3 7 0
2
−−
+ − = + − = =x x x x x
(l) hoặc
1 29
2
x
−+
=
Vậy phương trình có hai nghiệm
15
2
1 29
2
x
x
−+
=
−+
=
.
Bài 9:
2 1 2 1 4− + + =xx
( 1)x =
Bài 10: Giải phương trình :
2 3 4− + − =xx
19
( ; )
22
x =
Bài 11: Giải phương trình :
2 2 2 1 5+ + − =xx
Bài 12: Giải phương trình :
243 −=+ xx
1
( 3; )
2
x = − −
Bài 13: Giải phương trình :
11
2
=+− xx
( )
0; 1x =
Bài 14: Giải phương trình :
22
22− − = +x x x x
2 1 17
( ; )
34
−
=−x
Bài 15: Giải phương trình :
22
2 2 1− = −x x x
1
( 1; ; 1 2)
3
= − − x
Bài 16: Giải phương trình :
3 5 2 1xx− = +
Bài 17: Giải phương trình :
7 4 3 4xx− = −
Bài 18: Giải phương trình :
21xx+=
Bài 19: Giải phương trình :
3 4 2xx+=−
Bài 20: Giải phương trình :
3 2 1xx− = −
Bài 21: Giải phương trình :
2 5 3 2xx+ = −
Bài 22: Giải phương trình :
3 2 1xx− = −
Bài 23: Giải phương trình :
27
31
1
x
x
x
+
=−
−
Bài 24: Giải phương trình :
31
3
2
x
x
x
−
=−
+
Bài 25: Giải phương trình :
52
2
3
x
x
x
−
=−
+
Bài 26: Giải phương trình :
2
42xx− + =
Bài 27: Giải phương trình :
1 2 3 0xx− + + =
Bài 28: Giải phương trình :
2
1 1 0xx− + − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
35
Bài 29: Giải phương trình :
22
1 3 2 0x x x− + − + =
Bài 30: Giải phương trình :
5 2 3 4 4 5x x x+ + − = +
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
36
II, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( ) ( )
f x g x=
Phương pháp:
Cách 1: Phá giá trị tuyệt đối
Cách 2: Điều kiện
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
f x g x
gx
f x g x
=
=
=−
,
Bài 1: Giải phương trình:
2 1 2xx+ = +
Bài 2: Giải phương trình sau:
4 3 5xx+ + =
Bài 3: Giải phương trình:
11
2
=−+ xx
HD:
11
2
=−+ xx
2
11xx − = −
2
2
2
2
11
11
1 0 1
1 1 0 1
0
1 (1 )
12
11
x
x
xx
x x x x
x
xx
xx
xx
−
−
− =

− = − = =
=
− = −

= = −
− = − +
Vậy x=1; x= 0
Bài 4: Giải phương trình sau:
3
11x x x− = + +
Bài 5: Giải phương trình sau:
2
4 2 1 2x x x− + =
Bài 6: Giải phương trình sau:
2
5 4 4x x x− + = +
Bài 7: Giải phương trình:
2
4 5 4 17x x x− − = −
HD:
Với
17
4 17 0
4
xx− =
, Khi đó:
0, 0VT VP
, suy ra phương trình vô nghiệm
Với
17
4
x
, Khi đó phương trình tương đương với
( )( )
22
22
2 6 0
4 5 4 17 8 12 0
4 5 17 4 22 0
22
xx
x x x x x
x x x x
x
− − =

− − = − − + =
= =

− − = − − =
=

Bài 8: Giải phương trình:
( )
2
1 4 9xx+ = +
HD:
( )
2
1 4 9xx+ = +
, Đặt
( )
,0t x t=
, Phương trình trở thành:
( )
2
2
4
1 4 9 2 8 0
2( )
t
t t t t
tl
=
+ = + = − − = =
=−
Bài 9: Giải phương trình sau:
( )
2
1 3 1 2 0xx+ − + + =
HD:
Đặt:
( )
1 , 0x t t+ =
, Khi đó phương trình trở thành:
2
1
3 2 0
2
t
tt
t
=
− + = =
=
Bài 10: Giải phương trình:
( )
4 1 2 1 1x x x− = − +
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
37
HD:
Đặt:
( )
2 2 2 2
2 1 , 0 4 4 1 4 4 1x t t t x x x x t− = = = − + = − = −
, Thay vào phương
trình ta được:
2
4 4 2 1 1 0x x x− − − − =
hay
22
1( )
1 1 0 2 0
2
tl
t t t t
t
=−
− − − = = − − = =
=
Bài 11: Giải phương trình:
( )
2
2
2
9 2 2
1 2 7
1
1
xx
xx
x
x
−−
+ + = +
−
−
HD:
ĐKXD:
1x
, Phương trình tương đường với:
( )
( )
2
2
93
1 7 1
1
1
xx
x
x
− + = − −
−
−
Đặt:
( )
3
1 , 0
1
x t t
x
− − =
−
, suy ra:
( )
( )
( )
( )
22
2
22
2
99
1 6 1
1 1 6
t x x
x x t
= − + − = − +
− − = +
Phương trình trở thành:
2
1
67
6
t
tt
t
=
+ = =
=
Bài 12: Giải phương trình:
2
3 2 2 3x x x− = + +
HD:
Vì
2
2 3 0,x x x+ +
, Nên phương trình
( )
2
2
3 2 2 3
3 2 2 3
x x x
x x x
− = + +
=
− = − + +
2
2
50
5 1 0
xx
xx
− + =
=
+ + =
5 21
2
x
x

=
−
=
Bài 13: Giải phương trình:
2
20xx− − =
Bài 14: Giải phương trình:
2
2 1 5 0x x x+ + + − =
Bài 15: Giải phương trình:
2
2 5 1 5 0x x x+ − + + =
Bài 16: Giải phương trình:
2
4 20 4 2 5 13 0x x x− + − + =
Bài 17: Giải phương trình:
2
4 2 2 1 0x x x− + − + =
Bài 18: Giải phương trình:
2
2 5 1 5 0x x x− + − + =
Bài 19: Giải phương trình sau:
( )
2
2 1 3 2 1 4 0xx− − − − =
HD:
Đặt:
( )
2 1 , 0t x t= −
, Phương trình trở thành:
2
1( )
3 4 0
4
tl
tt
t
=−
− − = =
=
Bài 20: Giải phương trình:
4 2 2
2
6 4 2x x x
x
x
− + −
=
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
38
ĐKXĐ:
0x
, đặt
( )
2
2
,0
x
tt
x
−
=
Khi đó phương trình trở thành:
2
1
20
2
t
tt
t
=−
− − = =
=
Bài 21: Giải phương trình:
821
22
+−=− xxx
9
()
2
x =
Bài 22: Giải phương trình:
1223
2
+=+− xxx
( 5 21)x =
Bài 23: Giải phương trình :
x
x
x
=
−
−
2
1
2
13
()
2
x
=
Bài 24: Giải phương trình:
5
232
23
=
−++
−−
xx
xx
23 3
( ; )
9 23
x =−
Bài 25: Giải phương trình:
2
11
2
( 2)
xx
xx
− + +
=
−
( )
5x =
Bài 26: Giải phương trình:
22
12 2+ − = − −x x x x
( 5; 7)=x
Bài 27: Giải phương trình:
2
3 2 2 1− + − =x x x
( 5 21)=x
Bài 28: Giải phương trình:
2
4 3 3− + = +x x x
( 0; 5)=x
Bài 29: Giải phương trình:
1
23−=x
x
1 3 17
( 1; ; )
24
+
=x
Bài 30: Giải phương trình:
2
1 1 4xx− = −
Bài 31: Giải phương trình:
2
4 1 2 4x x x+ = + −
Bài 32: Giải phương trình:
2
3 5 2 3x x x− = + −
Bài 33: Giải phương trình:
2
5 3 2 5 0x x x+ − − − =
Bài 34: Giải phương trình:
22
2 8 1x x x− + = −
Bài 35: Giải phương trình:
2
5 1 1 0xx− − − =
Bài 36: Giải phương trình:
22
3 2 6xx− = −
Bài 37: Giải phương trình:
1 3 1
2 3 1
xx
xx
− − +
=
−+
Bài 38: Giải phương trình:
2
12
2
3
xx
x
x
−−
=
−
Bài 39: Giải phương trình:
2 3 3
21
x
xx
−
=
+−
Bài 40: Giải phương trình:
23
2 1 2 1
xx
xx
+ − +
=
−+
Bài 41: Giải phương trình:
2
23
1
2 15
x
xx
−
=
+−
HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
39
Ta có:
( )( )
2
2 3 2 3
11
53
2 15
xx
xx
xx
−−
= = =
+−
+−
, ĐKXĐ:
5, 3xx − −
Xét
3x
, Phương trình
2
1 3(l)
5
x
x
= = = = −
+
Xét
3x
và
5x −
phương trình
2
17
5
x
x
−
= = = = −
+
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
7x =−
Bài 42: Giải phương trình:
2
4 4 5 2 1 5 0x x x− − − − =
HD:
Nếu
1
2
x
, Phương trình trở thành:
( )
2 2 7 0xx−=
Nếu
1
2
x
phương trình trở thành:
( )( )
2 5 1 0xx+ − =
Bài 43: Giải phương trình:
31xx− = +
HD:
Xét
0x
phương trình đã cho trở thành:
31xx− = +
Với
3 3 1x x x = − = +
vô nghiệm
Với
0 3 1xx = =
thỏa mãn:
Xét x < 0 phương trình đã cho trở thành:
31xx+ = +
Với
3 0 3 1x x x− = + = +
vô nghiệm
Với
32xx − = = −
không thỏa mãn:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
40
III, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x t x+ + =
Phương pháp:
Lập bảng xét dấu:
Sử dụng tính chất:
.0a b a b a b+ = + =
hoặc:
( )
0a b a b b a b− = − = −
Bài 1: Giải phương trình sau:
1 2 2 3 3 4x x x− − − + − =
Bài 2: Giải phương trình sau:
1
3
2
3
1
x
x
+
+=
+
HD:
Điều kiện:
1x −
Đặt
( )
10x t t+ =
, Phương trình trở thành:
2
3
2 2 1 0
3
t
tt
t
+ = = − + =
Bài 3: Giải phương trình sau:
22
4 3 4 3x x x x− + + − =
HD:
Biến đổi phương trình về:
( )( ) ( )
3 1 4 3x x x x− − + − =
Bài 4: Giải phương trình sau:
1 1 1 1 2xx− + − − − =
HD:
Sử dụng tính chất
( )
0a b a b b a b− = − = −
Phương trình tương đương với:
( )
1 1 1 1 2 2 2,xx− + − − − = = =
Dấu bằng khi:
( )
2 1 1 0 2xx− − =
Vậy phương trình có nghiệm
2x
Bài 5: Giải phương trình sau:
1 3 1 2 2 2x x x x x+ + − = + + + −
Bài 6: Giải phương trình sau:
( )
2
2
0
a x a
a
xx
xx
+
+ =
HD:
Phương trình đã cho
22
20x a x a a= + + − =
TH1:
xa−
, phương trình trở thành:
( )( )
22
2 3 0 3 0x ax a x a x a− − = = + − =
TH2:
xa−
, phương trình trở thành :
22
20x ax a x a+ + = = = −
Bài 7: Giải phương trình sau:
3 2 7xx− + + =
Bài 8: Giải phương trình sau:
2 3 1x x x− + = −
Bài 9: Giải phương trình sau:
( )
1 3 , 1 3x x x x x+ − = + −
Bài 10: Giải phương trình sau:
31xx− = +
HD:
Xét
0x
, phương trình có dạng
31xx− = +
, Giải phương trình bình thường
Xét
0x
, Phương trình tương đương với
31xx− − = +
, Giải phương trình bình
thường
Bài 11: Giải phương trình sau:
2 2 3 3 4x x x− − + − =
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
41
Bài 12: Giải phương trình sau:
2 1 3 2 4x x x− − + − =
Bài 13: Giải phương trình sau:
1 2 3 4x x x x+ + + + + =
Bài 14: Giải phương trình sau:
2
3 1 1x x x x+ − + + =
Bài 15: Giải phương trình sau:
3
3 2 0xx− + =
Bài 16: Giải phương trình sau:
1 5 14 2 9
17
4 8 5 5 2 8
x x x x

− − − −
− − = −



Bài 17: Giải phương trình sau:
1 3 2x x x+ + = −
Bài 18: Giải phương trình sau:
5 1 6x x x− + − = −
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
42
IV. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
21mx m mx x+ = + +
HD:
Phương trình :
( )
21
21
21
mx m mx x
mx m mx x
mx m mx x
+ = + +
+ = + + =
+ = − + +
( )
21
2 1 2 1(1)
xm
m x m
=−
=
+ = − −
Với (1):
Nếu
1
2 1 0
2
mm
−
+ = = =
, Phương trình có nghiệm đúng với mọi x
Nếu
1
2 1 0
2
mm
−
+ =
, phương trình tương đương với
1x =−
Kết luận:
Với
1
2
m
−
=
, Phương trình có nghiệm đúng với mọi x
Với
1
2
m
−
, Phương trình có hai nghiệm là x=-1 và x=2m-1
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau:
2 1 1mx x x+ − = −
HD:
Ta có:
( )
( )
1 0(2)
2 1 1
2 1 1
2 1 1
3 2(3)
mx
mx x x
mx x x
mx x x
mx
+=
+ − = −
+ − = − = =
+ − = −
+=
Với phương trình (2) ta có:
Nếu
1m =−
, Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x
Nếu
1m −
, Thì phương trình có nghiệm x = 0
Với phương trình (3) ta có :
Nếu
3m =−
, thì phương trình (3) vô nghiệm
Nếu
3m −
, thì phương trình (3) có nghiệm
2
3
x
m
=
+
Kết luận : Với
1m =−
, Phương trình có nghiệm đúng với mọi x
Với
3m =−
, Phương trình có nghiệm x = 0
Với
1, 3mm − −
, Phương trình có nghiệm x=0 và
2
3
x
m
=
+
Bài 3 : Tìm m để phương trình
( )
22
1 2 1x x mx m x m+ = − + − −
, có 3 nghiệm phân biệt :
HD :
Phương trình tương đương với :
( ) ( )( )
1 1 2 1x x x mx m+ = + − −
( )
1
1 2 1 0
21
mx
x x mx m
x mx m
=−
= + − − − = =
= − −
(4)
Với (4) tương đương với :
( )
( )
1 1 2 (1)
21
21
1 1 2 (2)
m x m
mx m x
mx m x
m x m
− = =
− − =
=
− − = −
+ = +
Nếu
1m =
, thì phương trình (1) vô nghiệm, Khi đó PT ban đầu không thể có ba
nghiệm phân biệt
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
43
Nếu
1m =−
, thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có ba nghiệm
phân biệt
Nếu
1m 
, thì
12
1
(4)
12
1
m
x
m
m
x
m
+
=
−
=
+
=
+
Để có ba nghiệm phân biệt thì :
12
1
1
m
m
+
−
−
và
12
1
1
m
m
+
−
+
và
1 2 1 2
11
mm
mm
++
−+
Hay
21
0; ;
32
m

− −


Kết luận : Vậy với
12
1; ; ;0;1
23
m

−−
−


, thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Bài 4: Giải và biện luận |x
2
– 2x +m|+x=0
HD :
Ta có: |x
2
– 2x +m|+x=0
2
2x x m x − + = −
2
2
2
0
0
3 0 (1)
2
0 (2)
x
x
x x m
x x m x
x x m
−

− + =

− + =
− + =
Ta có :
1
94m = −
và
2
14m = −
Biện luận
+
2
411
2
493
0
m
x
m
xm
−−
=
−−
=
+ m > 0: Vô nghiệm
Bài 5: Cho phương trình :
2
2 2 1 3 0x x x m− − − + + =
a, Giải phương trình khi m= -2
b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm
HD:
Phương trình
( )
2
1 2 1 2 0x x m= − − − + + =
Đặt
( )
1 , 0t x t= −
, ta có phương trình:
2
2 2 0t t m− + + =
(1)
A, Khi m= -2, ta có :
2
0
20
2
t
tt
t
=
− = =
=
B, Phương trình đã cho có nghiệm <=> phương trình (1) có nghiệm với
2
0 2 2t m t t = = − + −
có nghiệm
0t =
đồ thị hàm số
( )
22f x t t= − + −
,
với
)
0;t
+
, cắt trục hoành hay
2m −
Bài 6: Giải và biện luận phương trình :
21mx m x+ = +
HD :
Ta có PT
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1
21
21
1 2 1 2
m x m
mx m x
mx m x
m x m
− = −
+ = +
= =
+ = − +
+ = − −
Giải (1) :
Với
1m =
, Phương trình trở thành :
01x =−
, Vô nghiệm
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
44
Với
1m
, Phương trình tương đương với
12
1
m
x
m
−
=
−
Giải (2) :
Với
1m =−
, Phương trình trở thành :
01x =
, phương trình vô nghiệm
Với
1m −
, Phương trình tương đương với :
21
1
m
x
m
−−
=
+
Kết luận :
Với
1m =
, Phương trình có nghiệm là
3
2
x
−
=
Với
1m 
, Phương trình có nghiệm là :
12
1
m
x
m
−
=
−
và
21
1
m
x
m
−−
=
+
Bài 7: giải và biện luận phương trình:
21mx x mx+ = −
HD :
Ta có :
( )
( )
1
21
2
21
21
2 2 1
mx x mx
x
mx x mx
mx x mx
mx
−
+ = −
=
+ = − = =
+ = − −
+=
Với phương trình :
( )
2 2 1mx+=
(*) , ta có :
Nếu
1m =−
thì phương trình (*) vô nghiệm
Nếu
1m −
thì phương trình (*) có nghiệm
1
22
x
m
=
+
Kết luận :
1m =−
, Phương trình có nghiệm
1
2
x
−
=
1m −
, Phương trình có nghiệm
1
2
x
−
=
và
1
22
x
m
=
+
Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau:
31x m x+ = −
Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau:
2
4 2 2 0x x x m m+ − − + − =
Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x
2
– 2x + m| = x
2
+ 3x – m – 1
Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
4 3 2x m x m− = +
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
32x m x m+ = −
Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2x m x m+ = − +
Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
2x x m x− + =
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 1 5mx −=
Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2 1x m x m+ = + −
Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 2 1x m x m− = + +
Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1x m x− = +
Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 2 2x m x m+ = −
Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
31x m x+ = −
Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1x m x− = −
Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
20x a x a a+ + − =
Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1 2 3mx x m+ = − −
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
45
Bài 24: Cho phương trình:
3 2 1 4xx− + + =
a, Giải phương trình
b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình.
| 1/45
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: 2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x , rồi đặt ẩn phụ 4 3 2
Bài 1: Giải phương trình: x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 HD: 2
Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho x ta được: 3 1  1     2 2 x + 3x + 4 + + = 0 = x + + 3 x + + 4 = 0     2 2 x xx   x  1 2 1 2 Đặt x + = y = x + = y − 2 2 x x
, Thay vào phương trình ta có: 2
y − 2 + 3y + 4 = 0 4 3 2
Bài 2: Giải phương trình: 6x + 25x + 12x − 25x + 6 = 0 HD:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT 2 x  0 ta được: 2 25 6  2 1   1  6x + 25x +12 − + = 0 = 6 x + + 25 x − +12 = 0 2  2 x x x   x      1 2 1 2 Đặt: x − = t = x + = t + 2 2 x x
, Thay vào phương trình ta được: 2 2
6(t + 2) + 25t +12 = 0 = 6t + 25t + 24 = 0 4 3 2
Bài 3: Giải phương trình: x + 5x − 12x + 5x + 1 = 0 HD: 2
Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta được: 2 5 1  2 1   1  x + 5x −12 + + = 0 = x + + 5 x + −12 = 0 2  2 x x x   x      1 2 1 2 Đặt: x + = t = x + = t − 2 2 x x
, Thay vào phương trình ta được: 2
t + 5t −14 = 0 = (t + ) 7 (t − 2) 4 3 2
Bài 4: Giải phương trình: x + 2x + 4x + 2x + 1 = 0
Bài 5: Giải phương trình: 4 3 2
x − 3x − 6x + 3x +1 = 0 HD: 2
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta được: 2 3 1  2 1   1 
x − 3x − 6 + + = 0 = x + − 3 x − − 6 = 0 2  2 x x x   x      1 2 Đặt x − = t
t − 3t − 4 = 0 x
, Phương trình tương đương với:
Bài 6: Giải phương trình: 4 3 2
2x − 9x +14x − 9x + 2 = 0 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho 2 x  0 ta được: 2 9 2  2 1   1 
2x − 9x +14 − + = 0 = 2 x + − 9 x + +14 = 0 2  2 x x x   x      1 2 Đặt: x + = t
2t − 9t +10 = 0 x
, phương trình trở thành:
Bài 7: Giải phương trình: 4 3 2
x − 3x + 4x − 3x +1 = 0 4 3 2
Bài 8: Giải phương trình: 3x −13x + 16x − 13x + 3 = 0 4 3 2
Bài 9: Giải phương trình: 6x + 5x − 38x + 5x + 6 = 0
Bài 10: Giải phương trình: 4 3 2
6x + 7x − 36x − 7x + 6 = 0
Bài 11: Giải phương trình: 4 3 2
2x + x − 6x + x + 2 = 0
Bài 12: Giải phương trình: 4 3 2
2x − 5x + 6x − 5x + 2 = 0 4 3 2
Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x − x + 2x − x + 1 = 0 4 3 2
Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x + x + x + x + 1 = 0 HD:
Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được: (x − )( 4 3 2
x + x + x + x + ) 5 5 1
1 = x −1 = 0 = x = 1 = x = 1 1
Cách 2: Đặt y = x + x 4 3 2
Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x − 2x + 4x − 3x + 2 = 0 HD: 2 2
Biến đổi phương trình thành: (x − x + )
1 (x − x + 2) = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k Phương pháp:
Nhận xét về tích a + d = b + c , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ
Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung
Bài 1: Giải phương trình: (x − ) 7 (x − )
5 (x − 4)(x − 2) = 72 HD:
Phương trình tương đương với
(x − )(x − )(x − )(x − ) = = ( 2x − x + )( 2 7 2 5 4 72 9
14 x − 9x + 20) − 72 = 0 Đặ 2
t x − 9x + 14 = t , khi đó phương trình trở thành:
t (t + 6) − 72 = 0 = (t +12)(t − 6) = 0 2 2  9  23 Với t = 12 −
= x − 9x +14 = −12 = x − + = 0  2    4 2
Với t = 6 = x − 9x + 14 = 6 = (x − ) 1 (x − ) 8 = 0
Bài 2: Giải phương trình: (x − ) 1 (x − ) 3 (x + ) 5 (x + ) 7 = 297 HD:
Phương trình tương đương với:
(x − )(x + )(x − )(x + )− = = ( 2 x + x − )( 2 1 5 3 7 297 0 4
21 x + 4x − 5) − 297 = 0 Đặ 2
t x + 4x − 5 = t khi đó phương trình trở thành: (t − )t − = = (t − )2 2 16 297 0
8 −19 = 0 = (t − 27)(t + ) 11 = 0 2
Với t = 27 = x + 4x − 5 = 27 = (x + ) 8 (x − 4) = 0 Với t = −
= x + x − = − = (x + )2 2 11 4 5 11 2 + 2 = 0
Bài 3: Giải phương trình sau: (x − ) 7 (x − )
5 (x − 4)(x − 2) = 72 HD: 2 2
Biến đổi phương trình thành: (x + x)(x + x − 2) = 24 2
Đặt x + x −1 = y , Khi đó phương trình trở thành: (y+ )(y− ) 2 2 1
1 = 24 = y −1 = 24 = y = 25
Bài 4: Giải phương trình: (x + )
1 (x + 2)(x + 4)(x + ) 5 = 40
Bài 5: Giải phương trình: x (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) = 24
Bài 6: Giải phương trình: (x − 4)(x − )
5 (x − 6)(x − ) 7 = 1680
Bài 7: Giải phương trình: x (x − ) 1 (x + ) 1 (x + 2) = 24
Bài 8: Giải phương trình: (x − ) 1 (x − ) 3 (x + ) 5 (x + ) 7 = 297
Bài 9: Giải phương trình: x( x + )
1 ( x + 2)( x + ) 3 = 24 2
Bài 10: Giải phương trình: ( x + 2)(x − 2) (x −10) = 72 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 2
Đặt x − 4 = y . Phương trình trở thành: y(y − ) =
= y − y + = = (y − )2 2 2 6 72 6 9 81 3 − 9 = 0 2
Bài 11: Giải phương trình: 2x (8x − ) 1 (4x − ) 1 = 9 HD: 2
Nhân 8 vào hai vế ta được: 8x (8x − ) 1 (8x − 2) = 72 2 2 2
Đặt 8x −1 = y , ta được : (y + ) 1 y (y − )
1 = 72 = (y − 9)(y + 8) = 0 2
Bài 12: Giải phương trình: (12x + 7) (3x + 2) (2x + ) 1 = 3 HD: 2
Nhân hai vế với 24 ta được: (12x + 7) (12x + 8) (12x + 6) = 72 Đặt 12 + 7 = y 2
Bài 13: Giải phương trình: (2x + ) 1 (x + ) 1 (2x + 3) = 18 HD: 2
Nhân hai vế với 4 ta được: (2x + )
1 (2x + 2) (2x + 3) = 0 , Dặt 2x + 2 = y 2
Bài 14: Giải phương trình: (6x + 7) (3x + 4) ( x + ) 1 = 6 HD: 2
Nhân hai vế với 12 ta được: (6x + 7) (6x + 8) (6x + 6) = 72
Đặt y = 6x + 7
Bài 15: Giải phương trình: (4x + ) 1 (12x − ) 1 (3x + 2)(x + ) 1 − 4 = 0 HD : Phương trình
= ( x + )( x + )( x − )(x + ) − = = ( 2 x + x + )( 2 4 1 3 2 12 1 1 4 0 12 11
2 12x +11x −1)− 4 = 0 Đặ 2
t 12x + 11x − 1 = t khi đó phương trình trở thành:
(t + )3t −4 = 0 = (t + 4)(t − )1 = 0 2 2 Với t = 4
− = 12x +11x −1 = 4
− = 12x +11x + 3 = 0 2
Với t = 1 = 12x + 11x −1 = 1 = (3x − 2)(4x + ) 1 = 0 2
Bài 16: Giải phương trình: (x + ) ( 2 1 4x + 8x + ) 3 =18 HD:
Biến đổi phương trình thành:
(x + )2  (x + x+ )−  = =(x+ )2  (x+ )2 2 1 4 2 1 1 18 1 4 1 −1 = 18    2 Đặt (x + )
1 = t,(t  0) , Thay vào phương trình ta được: t ( t − ) 2
4 1 = 18 = 4t − t −18 = 0
Bài 17: Giải phương trình: ( x + )( x − )( x + )( x − ) 2 2 3 4 6 + 6x = 0 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 4
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho 2 x ta được:  12  12  12 x − − 4 x − +1 + 6 = 0   
. Đặt t = x − , ta có:  x  xx ( t = t − 4)(t + ) 1 2
1 + 6 = 0  t − 3t + 2 = 0   t = 2 12 x = 4 Với 2 t = 1  x −
=1 x − x −12 = 0   xx = 3 − Với 2
t = 2  x − 2x −12 = 0  x =1 13
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = 3
− ; x = 4; x =1 13
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ( + )4 + ( + )4 x a x b = c 4 4
Bài 1: Giải phương trình: ( x + ) 1 + (x + 3) = 82 HD: 4 4
Đặt y = x + 2 , ta có: (y + ) + (y − ) 4 2 1
1 = 82 = y + 6y − 40 = 0 4 4
Bài 2: Giải phương trình: ( x − 6) + ( x − 8) = 16 HD: 4 4
Đặt x − 7 = y , phương trình trở thành: (y − ) 1 + (y + ) 1 = 16 Rút gọn ta được: 4 2 4 2
2y +12y + 2 =16 = y + 6y − 7 = 0 4 4
Bài 3: Giải phương trình: ( x − 2) + ( x − 6) = 82 4 4
Bài 4: Giải phương trình: ( x + ) 3 + (x + ) 5 = 2 4 4
Bài 5: Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5) = 16 4 4
Bài 6: Giải phương trình: ( x − 2) + ( x − 3) = 1 4 4
Bài 7: Giải phương trình: ( x + ) 1 + (x − 3) = 82 4 4
Bài 8: Giải phương trình: ( x − 2, ) 5 + (x −1, ) 5 = 1 4 4
Bài 9: Giải phương trình: (4 − x) + ( x − 2) = 32 4 4
Bài 10: Giải phương trình: ( x + ) 1 + ( x + 3) = 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ 2 2 2
Bài 1: Giải phương trình: (2x + 3x − )
1 − 5(2x +3x + ) 3 + 24 = 0 2 2 2
Bài 2: Giải phương trình: (x + x) + 4(x + x) = 12 2 2 2
Bài 3: Giải phương trình: (x − 6x + 9) −15(x − 6x +10) =1 HD : 2 Đặt : 2
x − 6x + 9 = (x − 3) = t,(t  0) , Thay vào phương trình ta được : 2 t − (t + ) 2 15
1 = 1= t −15t −16 = 0 = (t + ) 1 (t −16) = 0 2 2 2
Bài 4: Giải phương trình: (x − 4x) + 2(x − 2) = 43 HD : 2 2 2 2
Biến đổi phương trình : (x − 4x) + 2(x − 4x + 4) = 43 . Đặt x + 4x = y 2 2
Bài 5: Giải phương trình: ( 2 2x − ) 3 −16(x + 3) = 0 HD : 2 2 Ta có: PT = ( 2 2x − ) 3 − (4x +12) = 0 = ( 2 x − − x − )( 2 2 3 4
12 2x − 3 + 4x +12) = 0 = ( 2 x − x − )( 2 2 4
15 2x + 4x + 9) = 0
Bài 6: Giải phương trình sau: 4 3
x − 4x + 8x − 5 = 0 HD: 4 3 2 2
Biến đổi phương trình thành: (x − 4x + 4x − 4x + 8x − 5) = 0 2 2 2
= (x −2x) − 4(x −2x)−5= 0 4 4 4
Bài 7: Giải phương trình: (3 − x) + (2 − x) = (5 − 2x) HD: 3 − x = y Đặt 
= 5 − 2x = y + z , phương trình trở thành: 2 − x = z
y + z + (y + z)4 4 4 = yz( 2 2
2y + 3yz + 2z ) = 0 4 4 4
Bài 8: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2x) HD:  2 3 2 
Đặt x − = a x − = b = a + b − (a + b)4 4 4 7 , 8
= 0 = 4ab a + ab + b = 0  2    3 3 3
Bài 9: Giải phương trình: ( x + )
1 + (x − 2) = (2x − ) 1 HD: x +1 = y Đặt 
= 1− 2x = t thì ta có: x + y + z = 0 x − 2 = z
Phương trình trở thành: 3 3 3
y + z + t = 0 vậy yzt = 0 (x + )
1 (x − 2)(1− 2x) = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 6 3 3 3
Bài 10: Giải phương trình: ( x + )
1 + (x − 2) = (2x − ) 1 HD: Đặt x +1 = , a x − 2 = ,
b 1− 2x = c = a + b + c = 0 3 3 3
Phương trình tương đương với (x + ) + (x − ) + ( − x) 3 3 3 1 2 1 2
= 0 = a + b + c = 0 2 2 2 2
Bài 11 : Giải phương trình: (x + ) 1 + 3x(x + ) 1 + 2x = 0 HD: 2 2 2
Đặt x +1 = y = y + 3xy + 2x = 0 = (x + y)(y + 2x = 0)
Bài 12: Giải phương trình: x − x ( x − ) − ( x − )2 4 2 4 2 1 12 2 1 = 0 HD : 2 x = a Đặt 
. Khi đó phương trình trở thành: (2x − ) 1 = b 2 2
a − 4ab −12b = 0 = (a − 6b)(a + 2b) = 0
Với a = b = x = ( x − ) = x −
x + = = (x − )2 2 2 6 6 2 1 12 6 0 6 = 30
Với a = − b = x + x − = = (x + ) = ( )2 2 2 2 4 2 0 2 6 2 2 4
Bài 13: Giải phương trình: (3x − 8x + 4)(x − 4) +12x = 0 HD:
Phương trình tương đương với:  ( x − )(x − )(x − )(x + ) 4 3 2 2 2 2 +12x = 0
 ( x + x − )(x − )2 2 4 3 4 4
2 +12x = 0  ( x − x + x − )(x − )2 2 2 4 4 4 4 2 +12x = 0  x (x )2  − − (x − )2 2 4 4 2 2 +12x = 0 2 2 2 4 
 4x x − 2 − x − 2 +12x = 0   ( ) ( ) 2 x = a Đặ  t: 
, Khi đó phương trình trở thành: (x − )2 2 = b 2 2 2 2
12a + 4ab − b = 0 12a + 6ab − 2ab − b = 0  6a(2a + b) − b(2a + b) = 0  (6a − b)(2a + b) = 0 6a − b = 0 6a = b 2 2 2    
x = x − x +  x + x − = 2a + b = 0 a = b =  (l) 6 4 4 5 4 4 0 0 2 2 6
Giải pt trên ta được: x −  = 5 2 2
Bài 14: Giải phương trình: (x − )
1 (x + 4x + 3) =192 HD:
Biến đổi phương trình thành:
(x − )(x+ )(x+ ) = =(x− )(x+ )2 2 1 1 3 192 1 1 (x + ) 3 =192 Đặ 2 2 2
t x + 1 = y = Phương trình trở thành: ( y − 2) y ( y + 2) = 192 = y (y − 4) = 192 Đặt 2
y − 2 = z , Phương trình trở thành: (z + 2)(z − 2) =192 = z = 1  4 3 3 3
Bài 15: Giải phương trình: 3 x + (x + )
1 + (x + 2) = (x + 3)
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7 HD: 3 3 3 3
Đặt x = y + 3 , Phương trình trở thành: (y + )
3 + (y + 4) + (y + ) 5 = (y + 6) 2
= 2y(y + 9y + 2 ) 1 = 0 2 2
Bài 16: Giải phương trình: ( 2
x − x + ) − ( x + ) = ( 3 3 1 2 1 5 x + ) 1 HD : Vì x = 1
− không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 3 x +1 ta được: 2 x − x +1 x +1 3 − 2 . Đặt 2 x +1 x − x +1 2 x − x +1 2 1 2 t =
 3t − = 5  3t −5t − 2 = 0  t = 2,t = − x + 1 t 3 3  13 2
t = 2  x − 3x −1 = 0  x = 2 1 2 t = −
 3x − 2x + 4 = 0 phương trình vô nghiệm 3 2
Bài 17: Giải phương trình: ( x + )
1 ( x + 2)( x + 3) ( x + 4)( x + 5) = 360 HD: Phương trình  ( 2 x + x + )( 2 x + x + )( 2 6 5 6
8 x + 6x + 9) = 360 Đặt 2
t = x + 6x , ta có phương trình: ( y + 5)( y +8)( y + 9) = 360  =  y( x 0 2 y + 22 y +157) 2
= 0  y = 0  x + 6x = 0   x = 6 −
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0; x = 6 − .
Bài 18: Giải phương trình: ( x + x + )3 3 3 5
5 + 5x + 24x + 30 = 0 HD: Ta có: 3 x + x + = ( 3 5 30
5 x + 5x + 5) − x + 5 nên phương trình tương đương (x + x+ )3 3 + ( 3 x + x +) 3 5 5 5 24
x + 24x + 30 = 0 . Đặt 3
u = x + 5x + 5 . Ta được hệ: 3 u
 +5u +5 = x   (u − x)( 2 2
u + ux + x + 6 = 0  u = x . 3 )
x +5x +5 = u 3
x + x + =  (x + )( 2 4 5 0
1 x − x + 5) = 0  x = 1 − . Vậy x = 1
− là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 19: Giải phương trình: ( 2 x + x + )( 2
2 x + x + 3) = 6 HD: t = Đặt 2
x + x + 2 = t . Phương trình đã cho thành t (t + ) 2 1 = 6   . t = 3 − Với t = 2 thì 2 2
x + x + 2 = 2  x + x = 0  x = 0 hoặc x = 1 − . 1 −  21 Với t = 3 − thì 2 2 x + x + 2 = 3
−  x + x + 5 = 0  x = . 2  − − − + 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 21 1 21 S =  1 − ;0; ;  .  2 2   2
Bài 20: Giải phương trình: (6x + 7) (3x + 4)( x + ) 1 = 1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 8 HD:
Biến đổi phương trình thành ( 2 x + x + )( 2 36 84
49 36x + 84x + 48) =12 . t = Đặt 2
t = 36x + 84x + 48 thì phương trình trên thành t (t + ) 3 1 = 12   . t = 4 − 3 5 Với t = 3 thì 2 2
36x + 84x + 48 = 3  36x + 84x + 45 = 0  x = − hoặc x = − . 2 6 Với t = 4 − thì 2 2
36x + 84x + 48 = 4
−  36x + 84x + 52 = 0, phương trình này vô nghiệm.  
Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 3 S = − ;− .  6 2  4 4
Bài 21: Giải phương trình: ( x − ) 1 + ( x + 3) = 82 HD:  y =1 x = 0
Đặt y = x +1 thì phương trình đã cho thành 4 2
24 y + 48y + 216 = 82     .  y = 1 − x = 2 −
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =  2 − ;  0 .
Bài 22: Giải phương trình: ( x + )
1 ( x + 2)( x + 4)( x + 5) =10 HD: + + + + + + + Đặ x 1 x 2 x 4 x 5 t y =
= x + 3 thì phương trình trở thành: 4 y = − 6 x = − 6 −3 ( 2 y − 4)( 2 y − ) 4 2
1 = 10  y − 5y − 6 = 0     . y = 6 x = 6 −3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 6 − 3; 6 −  3 .
Bài 23: Giải phương trình: ( 2 x + x + )( 2 x + x + ) 2 2 2 2 = 2x HD:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho 2 x ta được:  2  2  2 x + +1 x + + 2 = 2   
. Đặt y = x + thì phương trình trở thành.  x  xx  2 x + = 0  y = 0  x = 1 x − ( y + ) 1 ( y + 2) = 2        y = 3 − 2  x = 2 − x + = 3 −  x
Bài 24: Giải phương trình: ( x − )( x − )( x − )( x − ) 2 2 1 8 4 = 4x HD:
Biến đổi phương trình thành:
((x− )(x− ))((x− )(x− )) 2 = x  ( 2 x − x + )( 2 x − x + ) 2 2 4 1 8 4 6 8 9 8 = 4x .
Do x = 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2 x ta được:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 9  8  8  8 x + − 6 x + −9 = 4   
. Đặt y = x + thì phương trình trở thành  x  xx (  y =
y − 6)( y − 9) 5 2
= 4  y −15y + 50 = 0   .  y =10 8 Với y = 5 thì 2 x +
= 5  x − 5x + 8 = 0 (vô nghiệm). x 8 x = 5− 17 Với y = 10 thì 2 x +
=10  x −10x + 8 = 0   . x x = 5+ 17
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = (5 − 17;5 + 17 ) . 2 2
Bài 25: Giải phương trình: ( 2
x + x − ) − ( 2 x + x − ) 2 3 2 1 2 3 1 + 5x = 0 HD:
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho 2 x ta được 2 2  1   1  1 3 x −
+ 2 − 2 x − + 3 + 5 = 0    
. Đặt y = x − , phương trình trở thành:  x   xxy =
3( y + 2)2 − 2( y + 3)2 1 2
+ 5 = 0  y −1 = 0   . Suy ra  y = 1 −  1  1 −  5 x − =1  x = x 2    . 1   1 5 x − = 1 −  x =  x  2 −   
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 S =  ;  .  2 2  
Bài 26: Giải phương trình: 4 3 2
3x − 4x − 5x + 4x + 3 = 0 HD:
Phương trình không nhận x = 0 là nghiệm, chia hai vế cho 2 x được :  1   1  1 2 3 x + − 4 x − −5 = 0    
. Đặt t = x − thì phương trình trở thành 2  x   x x 2
3t − 4t +1 = 0 2 1
3t − 4t +1 = 0  t = 1 hoặc t = . 3 1 1+ 5 1− 5 Với t = 1 thì 2 x −
=1 x − x −1= 0  x = hoặc x = . x 2 2 1 1 1 1+ 37 1− 37 Với t = thì 2 x −
=  3x − x −3 = 0  x = hoặc x = . 3 3 x 3 2 4 2  + − + − 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 1 37 1 37 S =  ; ; ; .  2 2 2 2  
Bài 27: Giải phương trình: 4 3 2
2x − 21x + 34x +105x + 50 = 0 (1) HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 105 50 Ta thấy k = = −5 và 2 k =
= 25 nên phương trình là phương trình bậc bốn có −21 2  25   5  5
hệ số đối xứng tỉ lệ. ( ) 2 1  2 x + − 21 x − + 34 = 0    
. Đặt t = x − suy ra 2  x   x x 25 9 2 2 t = x +
−10. Phương trình trở thành 2
2t − 21t + 54 = 0  t = 6 hoặc t = . 2 x 2 5 Với t = 6 thì 2 2 x −
= 6  x − 6x − 5  x − 6x − 5 = 0 . x
Phương trình có hai nghiệm x = 3+ 14; x = 3− 14 . 1 2 9 5 9 Với x = thì 2 x −
=  2x − 9x −10 = 0 . 2 x 2 + −
Phương trình có hai nghiệ 9 161 9 161 m x = ; x = . 3 4 4 4  9 + 161 9 − 161  
Vậy PT (1) có tập nghiệm S = 3  + 14;3− 14; ;  .  4 4  
Bài 28: Giải phương trình: 1 1 1 1 1 + + + + = 0 x x +1 x + 2 x + 3 x + 4 HD:
Điều kiện x 1 − ; 2 − ; 3 − ; 4 − ; 
0 . Ta biến đổi phương trình thành:  1 1   1 1  1 2( x + 2) 2( x + 2) 1 + + + + = 0  + + = 0     2 2
x x + 4   x +1 x + 3  x + 2 x + 4x x + 4x + 3 x + 2 1 1 1  + + = 0 . Đặt 2
u = x + 4x , phương trình trở thành 2 2 2 x + 4x x + 4x + 3 2(x + 4x + 4)  2 − 5 + 145 u = 1 1 1 2 + + = 5u + 25u + 24 10  = 0   . u u + (u + ) 0 3 2 4
2u (u + 3)(u + 4)  2 − 5 − 145 u =  10  2 − 5 + 145 2 x + 4x = Do đó 10 
. Tìm được tập nghiệm của phương trình là  2 − 5 − 145 2 x + 4x =  10    15 + 145 15 + 145 15 − 145 15 − 145  S =  2 − − ; 2 − + ; 2 − + ; 2 − − . 10 10 10 10   x + x − x + x −
Bài 29: Giải phương trình: 4 4 8 8 8 + − − = − x −1 x +1 x − 2 x + 2 3 HD: 5 5 − 10 10 8 10 40 8
Biến đổi phương trình thành + − + = −  − = − 2 2 x − 1 x + 1 x − 2 x + 2 3 x − 1 x − 4 3 . Đặt 2
u = x (u  1,u  4;u  0) dẫn đến phương trình
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 11 u =16 2 4u 65u 16 0  − + =  1 
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là u =  4  1 1  S = − ; 4 − ; ;4 .  2 2  x +1 x + 6 x + 2 x + 5
Bài 30: Giải phương trình: + = + x ( x + 2) 2 2 2 x +12x + 35 x + 4x + 3 x +10x + 24 HD:
Điều kiện x 7 − ; 6 − ; 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ; 
0 . Biến đổi phương trình thành x +1 x + 6 x + 2 x + 5 + = +
x ( x + 2) ( x + 5)( x + 7)
(x + )1(x +3) (x +4)(x +6) x +1 1 1  x + 6  1 1   − + −     2  x x + 2  2  x + 5 x + 7  x + 2  1 1  x + 5  1 1  = − + −    
2  x +1 x + 3  x x + 4 x + 6  1 1 1 1 1 1 1 1  + + + = + + + x x + 2 x + 5 x + 7 x +1 x + 3 x + 4 x + 6  1 1   1 1   1 1   1 1   + + + = + + +        
x x + 7   x + 2 x + 5   x +1 x + 6x   x + 3 x + 4  (    x + ) 1 1 1 1 2 7 + − − = 0   2 2 2 2
x + 7 x + 7x +10 x + 7x + 6 x + 7x +12   7 x = −  2   . 1 1 1 1  + + − = 0(*) 2 2 2 2
 x + 7x x + 7x +10 x + 7x + 6 x + 7x +12 Đặt 2
u = x + 7x thì phương trình (*) có dạng 1 1 1 1  1 1   1 1  + + + = 0  − + − = 0     u u +10 u + 6 u +12
u u + 6   u +10 u +12  2
u +18u + 90 = 0. Mặt khác u + u + = (u + )2 2 18 90 9
+ 9  0 với mọi u. Do đó phương trình (*) vô nghiệm. 7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − . 2 2 2 2 2 x + x +1 x + 2x + 2 x + 3x + 3 x + 4x + 4
Bài 31: Giải phương trình: + − − = 0 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 HD:
Điều kiện x 4 − ; 3 − ; 2 − ;− 
1 . Biến đổi phương trình thành 1 2 3 4  1 4   2 3  + − − = 0  − + − = 0     x +1 x + 2 x + 3 x + 4
x +1 x + 4   x + 2 x + 3  x = 0  3 1    x + = 0    3 1 . 2 2
x + 5x + 4 x + 5x + 6   + = 0(*) 2 2
x + 5x + 4 x + 5x + 6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 12 Đặ 3 1 11 t 2
u = x + 5x thì phương trình (*) trở thành + = 0  u = − . u + 4 u + 6 2 5 −  3 Từ đó ta có 2
2x +10x +11 = 0  x = . 2  − − − + 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 5 3 5 3 S = 0  ; ;  .  2 2   4x 3x
Bài 32: Giải phương trình: + =1 2 2 4x − 8x + 7 4x −10x + 7 HD:
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở 7
vế trái của phương trình cho x , rồi đặt y = 4x + ta được x 4 3 + =1 y − 8 y − . 10
Phương trình trên có 2 nghiệm y =16, y = 9 . 7 Với y = 9 thì 2 4x +
= 9  4x − 9x + 7 = 0 . Phương trình này vô nghiệm. x 7 Với y = 16 thì 2 4x +
=16  4x −16x + 7 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm x 1 7 x = ; x = . 1 2 2 2 1 7
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =  ;  . 2 2
Bài 33: Giải phương trình: ( 2 x − x + )( 2 x + x + ) 2 2 3 1 2 5 1 = 9x HD: Đặt 2
t = 2x + x +1, phương trình (1) thành
(t − x)(t + x) 2 2 2 2 2 2 4 4
= 9x t −16x = 9x t = 25x t = 5
− x hoặc t = 5x . 3 −  7 Với t = 5 − x thì 2 2 2x + x +1 = 5
− x  2x + 6x +1= 0  x = . 2 2  2
Với t = 5x thì 2 2
2x + x +1 = 5x  2x − 4x +1 = 0  x = . 2 −   
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 3 7 2 2  ;   2 2  
Bài 34: Giải phương trình: ( x − x + )( x − ) = ( x − )2 2 2 5 1 4 6 1 HD:
Đặt u = x −1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát ( 2 u − u − )( 2 u − u − ) 2 7 3 2 3 = 6u .
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau
Viết phương trình đã cho về dạng ( x − − x + )( x − ) − ( x − )2 2 2 4 5 5 4 6 1 = 0 . Đặt 2
t = x − 4 , Phương trình thành 2 t + ( 5 − x +5)t +( 6
− x + 6)(x − )
1 = 0  (t − 6x + 6)(t + x − ) 1 = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 13  =  2 2 x 3 7 t = 6x − 6
x − 4 = 6x − 6
x − 6x + 2 = 0          −  . 2 2 1 21 t = −x +1
x − 4 = −x +1
x + x − 5 = 0 x =  2  1 − − 21 1 − + 21 
Vậy tập nghiệm của PT(2) là S =  ;3 − 7; ;3 + 7  .  2 2  
Bài 35: Giải phương trình: 4 3 2
x − 9x +16x +18x + 4 = 0 HD: PT tương đương vớ 4 2 2
i x − 9x (x − 2) +16x + 4 = 0 Đặt 2
t = x − 2 thì 2 4 2
t = x − 4x + 4 , PT trên thành: 2 2
t − 9xt + 20x = 0  (t − 4x)(t −5x) = 0  =  2 2 x 2 6 t = 4xx − 2 = 4x
x − 4x − 2 = 0           . 2 2 5 33 t = 5xx − 2 = 5x
x − 5x − 2 = 0 x =  2  − + 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 33 5 33 2 − 6; ; 2 + 6;  .  2 2   2 x −12
Bài 36: Giải phương trình: 2 = − − ( x x x + 2) 3 6 3 2 HD: Điều kiện x  2
− . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: 4 3 2 4 x + x − x − x − =  x + x( 2 x − ) 2 3 6 16 36 12 0 3 6 6 −16x −12 = 0 . Đặt 2
t = x − 6 thì 2 4 2
t = x −12x + 36 , suy ra 4 2 2
3x = 3t + 36x −108 , PT trên thành: 2
3t + 6xt + 20t = 0  t (3t + 6x + 20) = 0  t = 0 hoặc 3t = 6 − x − 20. Với t = 0 thì 2
x − 6 = 0 , suy ra x =  6 (thỏa mãn đk). 3 −  3 Với 3t = 6 − x − 20 ta có 2 3x −18 = 6 − x − 20 hay 2
3x + 6x + 2 = 0 suy ra x = 3  3 − − 3 3 − + 3 
(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là S =  ; − 6; ; 6  .  3 3   2x 13x
Bài 37: Giải phương trình: + = 6 2 2 3x − 5x + 2 3x + x + 2 HD: Đặ 2x 13x t 2
t = 3x + 2 PT(5) trở thành +
= 6 . ĐK: t  5x,t  −x . t − 5x t + x
Khử mẫu thức ta được PT tương đương 2 2
2t −13tx +11x = 0  (t − x)(2t −11x) = 0  11
t = x hoặc t = x (thỏa mãn ĐK) 2
Với t = x thì 2 2
3x + 2 = x  3x − x + 2 = 0 .Phương trình vô nghiệm. 11 11 1 4 Với t = x thì 2 3x + 2 =
x  6x −11x + 2 = 0  x = hoặc x = .Vậy tập 2 2 2 3 1 4
nghiệm của PT(5) là  ;  . 2 3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 14
Bài 38: Giải phương trình: 2 x ( 4 x − )( 2 1 x + 2) +1 = 0 HD: Lời giải: PT 2  x ( 2 x + )( 2 x − )( 2 1 1 x + 2) +1 = 0  ( 4 2 x + x )( 4 2
x + x − 2) +1 = 0  (x + x )2 4 2 − ( 4 2
2 x + x ) +1 = 0
 (x + x − )2 4 2 4 2 1
= 0  x + x −1 = 0 .
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là    5 −1 5 −1  − ;  . 2 2   2 2 2  x − 2   x + 2  x − 4
Bài 39: Giải phương trình: 20 + 5 − 20 = 0     2  x +1   x −1  x −1 HD: Điều kiện x  1  . − + Đặ x 2 x 2 t = y; = z , PT có dạng: x +1 x −1 y + z − yz =  ( y − z)2 2 2 20 5 20 0 5 2 = 0  2y = z x − 2 x + 2 Dẫn đến 2. =
 2(x − 2)(x − )
1 = ( x + 2)( x + ) 1 x +1 x −1 9 + 73 9 − 73 2 2 2
 2x − 6x + 4 = x + 3x + 2  x − 9x + 2 = 0  x = hoặc x = 2 2 9− 73 9+ 73
(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là  ;  .  2 2  
Bài 40: Giải phương trình: 4 3 2
x − 4x −19x +106x −120 = 0
Bài 41: Giải phương trình: 4 3 2
4x +12x + 5x − 6x −15 = 0 4
Bài 42: Giải phương trình : x = 8x + 7 HD : 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
x + 2x +1 = 2x + 8x + 8  (x ) + 2x +1 = 2(x + 4x + 2 )
 (x + )2 = (x + )2 2 2 1 2
2  x +1 = 2 x + 2 2 2
x +1 = 2 x + 2  x +1 = 2.x + 2 2 2 2
x +1= 2.x + 2 2  x − 2.x = 2 2 −1 2 1 1  x − 2.x + = 2 2 − 2 2 2  2  4 2 −1   x −  =  2  2   2
Bài 43: Giải phương trình: 2x (8x − ) 1 (4x − ) 1 = 9 4 3 2
Bài 44: Giải phương trình: 2x − x − 5x + x + 2 = 0 HD: 2
Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x  0 ta được:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 15  1   1 2 1 2 2 
2x − x − 5 + + = 0 = 2 x + − x − − 5 = 0 2 x x  2 x   x      1 1 Đặ 2 2 t: x − = t = x + = t + 2 2 x x
, Thay vào phương trình ta được: 2
2t − t −1 = 0 = (2t + ) 1 (t − ) 1 = 0 4 3 2
Bài 45: Giải phương trình: x − 4x + 6x − 4x − 24 = 0 3
Bài 46: Giải phương trình: ( x − 4) − x ( x − 2) ( x + 8) + 96 = 0 4 2
Bài 47: Giải phương trình: x + ( x − )
1 (x − 2x + 2) = 0 HD:  
Biến đổi phương trình thành: x + (x − ) (x − )2 4 1 1 +1 = 0  
Đặt: y = x −1 = x = y +1 , Thay vào phương trình ta được: 4 4 3 2 (y+ ) + y( 2 1 y + )
1 = 0 = y + 5y + 6y + 5y +1= 0 2
Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho y  0 , ta được: 2 5 1 y + 5y + 6 + + = 0 2 y y 2  1   1  = y + + 5 y + − 2 = 0  y   y      2 2 2 3
Bài 48: Giải phương trình: 2(x + x + ) 1 − 7(x − ) 1 =13(x − ) 1 HD: 2 2 2 2
Biến đổi phương trình thành: 2(x + x + ) 1 − 7(x − ) 1 =13(x − ) 1 (x + x + ) 1 2  x −1  13(x − ) 1 2
Chia hai vế cho x + x + 1 , ta được: 2 − 7 =  2  2  x + x +1 x + x +1 x −1 2 Đặt: = y
2 − 7y −13y = y + 2 1− 7y = 0 2 x
, phương trình trở thành: ( )( ) + x +1 3 3 2 6
Bài 49: Giải phương trình: (x − 3x + 2) = x − (3x − 2) HD: 3 3 3 2 2
Biến đổi phương trình thành: (x − 3x + 2) + (3x − 2) = (x ) 2 2
Dễ thấy: x − 3x + 2 + 3x − 2 = x , Thay vào phương trình trên ta được: 3 3 2 2
(x −3x+2) +(3x−2) = (x −3x+2)+(3x−2) 3
= (x − x + )3 +( x − )3 = (x − x + )3 +( x − )3 2 2 + ( 2
x − x + )( x − )( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 x )
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 16 x = 1 2
x − 3x + 2 = 0 x = 2  2 2 
= 3(x − 3x + 2)(3x − 2) x = 0 = 3x − 2 = 0  =  2 x = 2 x = 0   3  x  = 0
Bài 50: Giải phương trình: (x + )(x + x) = (x − )2 2 2 9 9 22 1 HD: 2 2 2
Đặt y = x −1 , Phương trình trở thành: (y + 2y +10)(y +11y +10) = 22y 2
Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho y  0 .  10  10 
Phương trình trở thành: y + 2 + y +11+ = 22  y  y     10 t = 2 Đặt: y + + 2 = t
t t + 9 = 22 = t + 9t − 22 = 0 = y , Phương trình: ( ) 2 t  = 11 − 2 10 y +10
Với t = 2, ta được: y + + 2 = 2 = = 0 y y ( Vô lý) 10 2
Với t = -11, ta được : y + + 2 = 1
− 1= y +13y +10 = 0 y 2 2 2
Bài 51: Giải phương trình: (x − 3x + 3)(x − 2x + 3) = 2x HD: 2
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x  0 ta được:  3  3  3
x + − 3 x + − 2 = 2  x + = t x  x  , Đặt:
, phương trình trở thành:    x
(t − )(t − ) 2 3
2 = 2 = t − 5t + 4 = 0 2 2 2 2
Bài 52: Giải phương trình: (x + ) 1 + 3x(x + ) 1 + 2x = 0 HD: 2
Đặt x +1 = t,(t  )
1 , Khi đó phương trình trở thành: t = −x 2 2
t + 3xt + 2x = 0 = (t + x)(t + 2x) = 0 = t  = 2 − x 2 2  1  3
Với t = −x = −x = x + 1 = x + + = 0  2  ( Vô nghiệm)   4
Với t = − x = − x = x + = ( x + )2 2 2 2 1 1 = 0 = x = −1
Bài 53: Giải phương trình: (x − )2 2 9 =12x +1 HD: 2
Cộng cả hai vế với 36x ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(x −9) +36x =36x +12x+1=(x ) +18x +81+36x =(6x+ )1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 17 2 2 2 2 2 2 2
= (x ) +18x +81= (6x + )
1 = (x + 9) −(6x + ) 1 = 0 2 2
= (x + 9− 6x − ) 1 (x + 9+ 6x + ) 1 = 0 2 2 2
Bài 54: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2x) HD: Nhận thấy: (x − ) 7 + (x − )
8 = 2x −15 , Thay vào phương trình ta được: 2 2 2
(x − 7) + (x −8) = (7− x + 8− x) 2 2 2 2
= (x − 7) + (x − 8) = (7 − x) + (8 − x) + 2(7 − x)(8 − x) = 0
= 2(7− x)(8− x) = 0
Bài 55: Giải phương trình: 3 2 1
x − x + x = 3
Bài 56: Giải phương trình: 3 2
4x − 6x +12x − 8 = 0
Bài 57: Giải phương trình: (x − )2 2 9 =12x +1 HD: 2
Cộng thêm 36x vào hai vế ta được: (x − )2 2 2 3
9 + 36x = 36x +12x +1 x x x 1 −
Bài 58: Giải phương trình : 6 + 1 = 8 − 27 HD : x x 3x (3x− )1 2 .3 = 2 − 3 −1 2x = a 3 3 Đặt 
, Phương trình trở thành : 3
a + (−b) + (− )
1 = 3a(−b)(− ) 1 x 1 3 − = b 3 3 3 2 2 2
Vì x + y + z − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z − xy − yz − zx) , Khi đó x x 1 − : 2 = 3 +1 2 2 2
Bài 59: Giải phương trình: (8x − 4x − ) 1 (x + 2x + ) 1 = 4(x + x + ) 1 HD: Nhận thấy x = 1
− không phải là nghiệm của phương trình 2 2 8x − 4x −1 x + x +1 Với x  1
− , phương trình đã cho tương đương với = 2 4 x + 2x +1 Ta có: x + x +1 4x + 4x + 4 3(x + 2x + )
1 + (x − 2x + ) 1 3 (x − )2 2 2 2 2 1 3 = = = +  2 x + 2x +1 4( 2 x + 2x + ) 1 4( 2 x + 2x + ) 1 4 4(x + )2 4 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x −1 = 0 = x = 1 (1)
8x 4x 1 3− 4( 2 2 x − 2x + − − )1 3 2 3 Lại có: = = − (x − ) 1  4 4 4 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x −1 = 0 = x = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1 2 2 2 2
Bài 60: Giải các phương trình sau: (x + x + 4) + 8x (x + x + 4) +16x = 0 HD: Đặt 2
x + x + 4 = t , ta có: 2 2
t + 8xt +16x = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 18 = (t + x)2 2 2 4
= 0 = x + x + 4 + 4x = 0 = x + 5x + 4 = 0
(x + )1(x + 4) = 0 2 2 2
Bài 61: Giải các phương trình sau: (x + x) + 4(x + x) = 12 HD: 2 2
Đặt y = x + x , Phương trình trở thành: y + 4y −12 = 0 = (y + 6)(y − 2) = 0 2 2 2
Bài 62: Tìm x biết: (x + x) + 4(x + x) = 12 HD: 2 Đặt 2
x + x = t , Phương trình trở thành: t + 4t −12 = 0 = (t + 6)(t − 2) = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 19
DẠNG 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp :
+ Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là : (x − )1
+ Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là : (x + )1
+ Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do
+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của hệ số bậc cao nhất
+ Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình bậc 2 4 3 2
Bài 1: Giải phương trình: x + 2x + 5x + 4x − 12 = 0 HD: 2
Phương trình tương đương với (x − )
1 (x + 2)(x + x + 6) = 0
Bài 2: Giải phương trình: 4 3 2
x + 2x − 4x − 5x − 6 = 0 HD: 2
Phương trình tương đương với: (x − 2)(x + ) 3 (x + x + ) 1 = 0
Bài 3: Giải phương trình: 4 2
x + x + 6x − 8 = 0 HD: 2
Phương trình tương đương với (x − )
1 (x + 2)(x − x + 4) = 0
Bài 4: Giải phương trình: 4 3 2
6x − x − 7x + x +1 = 0 HD: 2
Phương trình tương đương với: (x − ) 1 (2x − ) 1 (3x + ) 1 = 0
Bài 5: Giải phương trình: 4 3 2
x − 2x + 4x − 3x + 2 = 0 HD: 2 2
Phương trình tương đương với (x − x + )
1 (x − x + 2) = 0
Bài 6: Giải phương trình: 4 3 2
2x + 3x + 8x + 6x + 5 = 0 HD : 2 2
Phương trình tương đương với (x + x + )
1 (2x + x + 5) = 0
Bài 7: Giải phương trình sau: (x − )2 2 4 = 8x +1 HD : 2
Thêm 16x vào hai vế ta được : (x + )2 =( x+ )2 2 = ( 2 x + x + )( 2 4 4 1 4 5 x − 4x + ) 3 = 0
Bài 8: Giải phương trình sau: 4 2
x − 4x +12x − 9 = 0 HD:
Biến đổi phương trình x − ( x − )2 4 2 3 = 0
Bài 9: Giải phương trình: 4 2
x −10x − x + 20 = 0 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 20 1 −  17
Biến đỏi phương trình thành : 2 2
 (x − x −5)(x + x − 4) = 0  x = và 2 1 21 x = 2
Bài 10: Giải phương trình: 4 2
x − 22x − 8x + 77 = 0 HD: x = 1 −  2 2
Biến đổi phương trình thành: 2 2
 (x + 2x − 7)(x − 2x −11) = 0   x =1 2 3
Bài 11: Giải phương trình: 4 3 2
x − 6x + 8x + 2x −1 = 0 HD: x = 2 + 3  x = 2 − 3
Biến đổi phương trình thành: 2 2
 (x − 4x +1)(x − 2x −1) = 0   , x = 1 + 2   x = 1+ 2
Bài 12: Giải phương trình: 4 3 2
x + 2x − 5x + 6x − 3 = 0 HD:  3 − + 21 x = 2
Biến đổi phương trình thành: 2 2
 (x + 3x − 3)(x − x +1) = 0    3 − − 21 x =  2
Bài 13: Giải phương trình : 4 2
x − 4x +12x − 9 = 0 HD :
Biến đổi phương trình thành: ( x + x − =
x + 2x −3)(x −2x +3) 2 2 3 0 2 2 = 0    x =1; x = 3 2
x − 2x + 3 = 0
Bài 14: Giải phương trình : 4 2
x −13x +18x − 5 = 0 HD:
Biến đổi phương trình thành:  ( 4 2
x − x + ) − ( 2 4 4
9x −18x + 9) = 0
Bài 15: Giải phương trình : 4 3 2
2x −10x +11x + x −1 = 0 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2 2  5 1  1 3 9  1 3   1  2 2 2  x − x − = x + x + = x +  x − 2x +      ( 2 x − 3x − ) 1 = 0  2 4  4 4 16  2 4   2   2  2  = 2 x
2x − 4x +1 = 0 2     2
x − 3x −1 = 0  3  13 x =  2
Bài 16: Giải phương trình: 4 3
x + x + 2x − 4 = 0 HD: 4 3 2
Phương trình = x + x + 2x − 4 = 0 = (x − )
1 (x + 2)(x + 2) = 0
Bài 17: Giải phương trình: 4 2
x − 30x + 31x − 30 = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 21 HD: 4 2 4 2
x − 30x + 31x − 30 = 0 = x + x − 30(x − x + ) 1 = 0 3 2 2 2 = x (x + )
1 − 30(x − x + )
1 = 0 = x (x + ) 1 (x − x + )
1 − 30(x − x + ) 1 = 0 2 2
= (x − x + )
1 (x + x − 30) = 0, 2 2  1  3 2
Vì x − x + 1 = x −
+  0 = x + x − 30 = 0 =  
(x + 6)(x − )5 = 0  2  4
Bài 18: Cho đa thức: P (x) 4 3 2
= x + x + 6x − 40x + m −1979
a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2
b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0 HD: 3 2
a, P ( x) = (x − 2)(x + 3x +12x −16) + m − 2011 , Do p ( x) chia hết cho x − 2 nên
m − 2011 = 0 = m = 2011 3 2
b, Với m=2011=> P ( x) = ( x − 2) (x + 3x +12x −16) Do đó:
P(x) = = (x − )( 3 2
x + x + x − ) = = (x − )(x − )( 2 0 2 3 12 16 0 2
1 x + 4x +16) = 0 x = 2
= (x − 2)(x − ) 1 = 0 2
Vì (x + 4x +16  0) = x  = 1 2 2 2 2
Bài 19: Giải bất phương trình: (2x + 3x + 4) − (x + x + 4)  0 HD: 2
Biến dổi phương trình về dạng: x ( x + 2)(3x + 4x + 8)  0 2 2 2
Nhận thấy: 3x + 4x + 8 = ( x + 2) + 2x + 4  0 = x ( x + 2)  0 = x  2 − hoặc x  0
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 2 2
10x + 20y + 24xy +8x − 24y + 51 0 HD: 2 2 2
Biến đổi thành: (3x + 4y) + ( x + 4) + (2y − 6) −1  0 3x + 4y = 0  x = 4 −
= x + 4 = 0 =   y = 3 2y − 6 = 0 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 22
DẠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Bài 1: Giải phương trình: 5 4 3 2
x − x + 3x + 3x − x +1 = 0 HD: Nhận thấy x = 1
− là 1 nghiệm của phương trình ta có: (x + )( 4 3 2
1 x − 2x + 5x − 2x + ) 1 = 0 (x + )2 2 − x( 2 1 x + ) 1 = 0
Bài 2: Giải phương trình: 5 4 3 2
x = x + x + x + x + 2 HD:
Phương trình tương đương với ( 5x − )−( 4 3 2
x + x + x + x + ) = = (x − )( 4 3 2 1 1 0
2 x + x + x + x + ) 1 = 0 Ta thấy phương trình 4 3 2
x + x + x + x +1 vô nghiệm 5 3 4 2
Bài 3: Giải phương trình sau: x + x + 3x = 2 (x + x + 3) HD: 4 2
Phương trình tương đương với 2(x − 2)(x + x + 3) = 0 6 5 4 3 2
Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x + x + x + x + x + x + 1 = 0 HD: 7
Nhân hai vế với x −1 ta được: x − 1 = 0 = x = 1
Bài 5: Giải phương trình: 5 2
x + x + 2x = 2 − HD : Ta có: 5 2
PT = x + x + x + = = ( 5 2 2 2 0
x + x ) + (2x + 2) = 0 2 = x ( 3 x + ) + ( x + ) 2
= = x (x + )( 2 1 2 1 0 1 x − x + ) 1 + 2 ( x + ) 1 = 0 = (x + ) 2 x  ( 2 1 x − x + ) 1 + 2 = 0  Ta thấy 2 2 2 x x − x +  = x ( 2 0, 1 0 x − x + )
1 + 2  2 vậy PT có 1 nghiệm x = 1 −
Bài 6: Giải phương trình: 5 4 3 3
x + 2x + 3x + 3x + 2x +1 = 0 HD:
Phương trình có 1 nghiệm x = -1
Bài 7: Giải phương trình: 6 5 4 3 2
x + 3x − 6x − 21x − 6x + 3x +1 = 0 HD :
Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách
giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 3 x ta được: 1  1   1  3 2 1 x + + 3 x + − 6 x + − 21= 0    
. Đặt t = x + , t  2. Ta có: 3 2 xx   x x 1 1 2 2 3 x + = t − 2; x +
= t ( 2t −3 nên phương trình trở thành: 2 3 ) x x t ( 2 t − ) + ( 2 3
3 t − 2) − 6t − 21 = 0 t =
t − 3t − 9t − 27 = 0  (t + 3)2 3 3 2 (t −3) = 0   t = 3 − 1 3  5 2 t = 3  x +
= 3  x −3x +1= 0  x = x 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 23 3 −  5 2 t = 3
−  x + 3x +1= 0  x =
. Vậy phương trình có bốn nghiệm : 2 3 −  5 3  5 x = ; x = . 2 2
Bài 8: Giải phương trình: 6 3
x − 7x − 8 = 0 HD: Đặ 3 2
t x = t , phương trình trở thành: t − 7t − 8 = 0 = (t + ) 1 (t −8) = 0 2 2 2
Bài 9: Tìm x, y, z biết: 10x + y + 4z + 6x − 4y − 4xz + 5 = 0 HD : 2 2 2 2
= 9x + 6x +1+ y − 4y + 4 + 4z − 4xz + x = 0 2 2 2 = (3x + )
1 + (y − 2) + (2z − x) = 0
Do đó : 3x +1 = 0 và y − 2 = 0 và 2z − x = 0 2 2 2
Bài 10: Tìm x, y, z biết: 9x + y + 2z −18x + 4z − 6y + 20 = 0 HD: 2 2 2
= (9x −18x + 9) + (y − 6y + 9) + 2(z + 2z + ) 1 = 0 2 2 2 = 9(x − )
1 + (y − 3) + 2(z + ) 1 = 0 ,
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 24
DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài 1: Tìm x biết: x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 x +1 x + 3 x + 5 x + 7 a, + = + b, + = + 13 14 15 16 65 63 61 59 HD: x − 3 x − 3 x − 3 x − 3  1 1 1 1  a, = + − − = 0 = (x − ) 3 + − − = 0   13 14 15 16 13 14 15 16  1 1 1 1 1 1 1 1 => x = 3 vì −  0 và −  0 nên + − −  0 13 15 14 16 13 14 15 16 b,  x +1   x + 3   x + 5   x + 7  x + 66 x + 66 x + 66 x + 66 = +1 + +1 = +1 + +1 = + = +          65   63   61   59  65 63 61 59   1 1 1 1 => ( x + ) 1 1 1 1 66 + − − = 0 = x = 6 − 1   vì + − −  0  65 63 61 59  65 63 61 59 Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21− x a, + + + + = 5 − b, 21 23 25 27 29 x −10 x −14 x − 5 x −148 + + + = 0 30 43 95 8 HD:  29 − x   27 − x   25− x   23− x   21− x  a, = +1 + +1 + +1 + +1 + +1 = 0            21   23   25   27   29  50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x => + + + + = 0 => 21 23 25 27 29 (   − x) 1 1 1 1 1 50 + + + + = 0    21 23 25 27 29   x −10   x −14   x −5   x −148  b, => −3 + − 2 + −1 + + 6 = 0          30   43   95   8  x −100 x −100 x −100 x −100 => + + + = 0 => 30 43 95 8 (   x − ) 1 1 1 1 100 + + + = 0    30 43 95 8  Bài 3: Tìm x, biết: x − 5 x − 4 x − 3 x −100 x −101 x −102 x − 2 x −1 x − 4 x − 3 a, + + = + + b, + = + 100 101 102 5 4 3 7 8 5 6 HD: a,  x −5   x − 4   x −3   x −100   x −101   x −102  = −1 + −1 + −1 = −1 + −1 + −1              100   101   102   5   4   3  x −105 x −105 x −105 x −105 x −105 x −105 => + + = + + 100 101 102 5 4 3
=> x −105 = 0 = x =105
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 b, =>  x − 2   x −1   x − 4   x −3  x − 9 x − 9 x − 9 x − 9 −1 + −1 = −1 + −1 = + = +          7   8   5   6  7 8 5 6
=> x − 9 = 0 = x = 9 Bài 4: Tìm x, biết: x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 a, + + = + + b, 94 93 92 91 90 89 2x +19 2x +17 2x + 7 2x + 5 − = − 21 23 33 35 HD:  x +1   x + 2   x + 3   x + 4   x + 5   x + 6  a, => +1 + +1 + +1 = +1 + +1 + +1              94   93   94   91   90   89  x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 => + + = + + 94 93 92 91 90 89
=> x + 95 = 0 = x = 9 − 5  2x +19   2x +17   2x + 7   2x + 5  b, => +1 − +1 = +1 − +1          21   23   33   35  2x + 40 2x + 40 2x + 40 2x + 40 = + = + 21 35 33 23
= 2x + 40 = 0 = x = 2 − 0 Bài 5: Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x − 5 x − 6 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 a, + + = + + b, + = + 59 58 57 56 55 54 15 14 13 12 HD:  x −1   x − 2   x −3   x − 4   x −5   x − 6  a, => −1 + −1 + −1 = −1 + −1 + −1              59   58   57   56   55   54  x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 = + + = + + 59 58 57 56 55 54
=> x − 60 = 0 = x = 60  x +1   x + 2   x + 3   x + 4  b, = +1 + +1 = +1 + +1          15   14   13   12  x +16 x +16 x +16 x +16 = + = + 15 14 13 12
=> x +16 = 0 = x = 1 − 6 Bài 6, Tìm x, biết: x − 5 x −15 x −1990 x −1980 x −1 x − 3 x − 5 x − 7 a, + = + b, + = + 1990 1980 5 15 2015 2013 2011 2009 HD:  x −5   x −15   x −1990   x −1980  a, => −1 + −1 = −1 + −1         1990   1980   5   15  x −1995 x −1995 x −1995 x −1995 = + = + 1990 1980 5 15
= x −1995 = 0 = x =1995  x −1   x −3   x −5   x − 7  b, = −1 + −1 = −1 + −1          2015   2013   2011   2009 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 26 x − 2016 x − 2016 x − 2016 x − 2016 = + = +
= x − 2016 = 0 = x = 2016 2015 2013 2011 2009 Bài 7, Tìm x, biết: x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 a, + + = + b, 10 11 12 13 14 315 − x 313 − x 311− x 309 − x + + + = 4 − 101 103 105 107 HD:   a, = (x + ) 1 1 1 1 1 1 + + − −
= 0 = x +1= 0 = x = 1 −   10 11 12 13 14   315− x   313− x   311− x   309 − x  b, = +1 + +1 + +1 + +1 = 0          101   103   105   107  416 − x 416 − x 416 − x 416 − x => + + +
= 0 = 416 − x = 0 = x = 416 101 103 105 107
315 − x 313 − x 311− x 309 − x 307 − x
Bài 8: Giải phương trình: + + + + + 5 = 0 101 103 105 107 109 HD:
Phương trình tương đương với :  315− x   313− x   311− x   309 − x   307 − x  <=> +1 + +1 + +1 + +1 + +1 = 0  101   103   105   107   109           
416 − x 416 − x 416 − x 416 − x 416 − x = + + + + = 0 101 103 105 107 109 ( x) 1 1 1 1 1 416  = − + + + + = 0 101 103 105 107 109  
= 416 − x = 0 = x = 416
x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x −15
Bài 9: Giải phương trình: + + + + = 15 10 12 14 16 17
x +1 x + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x +11 x +13 x +15
Bài 10: Giải phương trình: + + + = + + + 65 63 61 59 57 55 53 51
315 − x 313 − x 311− x 309 − x 307 − x
Bài 11: Giải phương trình: + + + + + 5 = 0 101 103 105 107 109 x x + 3 x + 4
Bài 12: Giải phương trình: x + + + = 1 2 2 x + 2 x
+ 5x + 6 x + 6x + 8 1 1 1 3
Bài 13: Giải phương trình: + + = 2 2 2 x
+ 5x + 4 x +11x + 28 x +17x + 70 4x − 2 HD:
Phương trình tương đương với: 1 1 1 3 ( + + = x + )
1 (x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x +10) (4x − 2) 1 1 1 1
Bài 14: Giải phương trình: − = −
2008x +1 2009x + 2 2010x + 4 2011x + 5 HD: 1 1 1 1
Phương trình tương đương với: + = +
2008x +1 2011x + 5 2010x + 4 2009x + 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 27 4019x + 6 4019x + 6 = ( = 2008x + ) 1 (2011x + ) 5
(2010x + 4)(2009x +2) TH1: 4019x + 6 = 0 TH2: ( x + )( x + ) = ( x + )( x + ) 2 2008 1 2011 5 2010 4 2009
2 = 2x + 5x + 3 = 0 2 13 6
Bài 15: Giải phương trình: + = 2 2 3x
− 4x +1 3x + 2x +1 x HD: 1
Điều kiện: x  0, x  1, x  3 2 13 6
Biến đổi phương trình thành: + = 1 1 3 − 4 + 3 + 2 x x x + x x 1 2 13 Đặ 2 t: 3x + − 4 = t +
= 6 = 2t + 7t − 4 = 0 x
, Khi đó phương trình trở thành: t t + 6
x − b − c x − c − a x − a − b
Bài 16: Giải phương trình: + + = 3 a b c HD:
Phương trình tương đương với:
x − b − c − a x − a − b − c x − a − b − c   + +
= = (x − a − b − c) 1 1 1 0 + + = 0 a b ca b c  ,   1 1 1 TH1: Nếu
+ +  0 = x = a + b + c a b c 1 1 1 TH2: Nếu + + = 0 a b c
, phương trình có nghiệm với mọi x x +1 x −1 3
Bài 17: Giải phương trình: + = 2 2
x + x +1 x − x +1 x ( 4 2 x + x + ) 1 HD: 4 2 2 2
Phân tích x + x + 1 = (x + x + ) 1 (x − x + ) 1 2 2
x + 2x +1 x + 2x + 2 7
Bài 18: Giải phương trình: + = 2 2 x
+ 2x + 2 x + 2x + 3 6 HD: 2
x + 2x + 2  0, x  2 Vì 
, đặt x + 2x + 2 = y , Khi đó phương trình trở thành: 2
x + 2x + 3  0, xy −1 y 7 2 +
= = 5y − 7y − 6 = 0 y y +1 6 2 2 2 2
x + 2x + 2 x + 8x + 20 x + 4x + 6 x + 6x +12
Bài 19: Giải phương trình: + = + x +1 x + 4 x + 2 x + 3 HD:
Biến đổi phương trình thành: (x + ) 1 + + (x + ) 4 + = (x + ) 2 + + (x + ) 3 1 4 2 3 + x +1 x + 4 x + 2 x + 3 21
Bài 20: Giải phương trình: 2
− x + 4x − 6 = 0 2 x − 4x +10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 28 HD: Điề 2
u kiện: x − 4x + 10  0 Đặ 2
t x − 4x + 10 = t khi đó phương trình trở thành: 21 2 2
− t + 4 = 0 = −t + 4t + 21 = 0 = t − 4t − 21 = 0 = (t − 7)(t + 3) = 0 t 2
Với t = 7 = x − 4x + 10 = 7 = (x − ) 1 (x − ) 3 = 0
Với t = − = x − x + = − = (x − )2 2 3 4 10 3 2 + 9 = 0 1 18 18
Bài 21: Giải phương trình: + = 2 2 2
x + 2x − 3 x + 2x + 2 x + 2x +1 HD: Đặ 2
t x + 2x + 1 = t , Khi đó phương trình trở thành: 1 18 18 + = = t (t + )
1 +18t (t − 4) =18(t − 4)(t + ) 1 t − 4 t +1 t 2
= t −18t + 72 = 0 = (t −12)(t − 6) = 0 Với t = = x + x + = = (x + ) = = ( )2 2 2 12 2 1 12 1 12 2 3 Với t =
= x + x + = = (x + ) = = ( )2 2 2 6 2 1 6 1 6 6 2 2 2  1   1   1  1  2 2 2
Bài 22: Giải phương trình sau: 8 x + + 4 x + − 4 x + x + = x + 4    2   2    ( )  x   x   x  x  HD: Điều kiện x  0 2 2 1 1  1 1          2 2 2
Phương trình = 8 x + + 4 x +  x + − x +  = x + 4    2   2    ( )  x   x  x   x     2  1   1  2 2 2 = 8 x + − 8 x +
= x + 4 = x + 4 = 16    2  ( ) ( )  x   x  2
x −1 1− x 2x −1 2a (x − ) 1
Bài 23: Giải phương trình: + − = 4 a −1 1+ a 1− a ( 4a − )1 1 1 1 1
Bài 24: Giải phương trình : + + = 2 2 2
x + 2x x + 6x + 8 x +10x + 24 9 2 x + x − 5 3x
Bài 25: Giải phương trình : + + 4 = 0 2 x x + x − 5 HD: ĐK: 2
x  0,x + x − 5  0 2 x + x − 5 3x 3 Đặt t = = = 2 x
x + x − 5 t , Thay vào phương trình ta được: 3 t + = 4 = (t + ) 3 (t + ) 1 = 0 t 2 2 2  x + 2   x − 2  5 x − 4
Bài 26: Giải phương trình: + − . = 0     2  x +1   x −1  2 x −1 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 29 2
x − 4 x − 2 x + 2 x + 2 x − 2 Nhận thấy: = . = , a = b 2 x , Đặt hai ẩn phụ: . Thay vào −1 x −1 x +1 x +1 x −1 phương trình: 5 a = 2b 2 2
a − ab + b = 0 = (a − 2b)(2a − b) = 0 = 2  2a = b Với x + 2 2(x − 2) a = 2b = =
= (x + 2)(x − )
1 = 2(x − 2)(x + ) 2
1 = −x + 3x + 2 = 0 x +1 x −1 Với 2(x + 2) x − 2 2a = b = =
= 2(x + 2)(x − )
1 = (x − 2)(x + ) 2
1 = x + 3x − 2 = 0 x +1 x −1 2 2 25x
Bài 27: Giải phương trình: x + = 11 ( x + )2 5 HD: Điều kiện x  5 − 2 2 2 2 2  5x  10xx  10x
Ta viết lại phương trình thành x − + −11= 0      + −11= 0  x + 5  x + 5  x + 5  x + 5 . 2 x t  =1 Đặt t =
t +10t −11 = 0  
x + thì phương trình có dạng 2 5 t  = 11 − 2 x 1 21 2 x Nếu t = 1 ta có: 2
=1 x − x −5 = 0  x = . Nếu t = 1 − 1 = 1 − 1 x + 5 2 x + 5 2
x +11x + 55 = 0 phương trình vô nghiệm.  5− x  5− x
Bài 28: Giải phương trình: x x + = 6   x 1   x 1  + +  HD: ĐK: x  1 − 2 2  5 − x   5 − x
Phương trình tương đương với: x + x − 6 = 0   x 1     x 1  + +  2 2 2
= x (5− x)(x + )
1 + x (5− x) − 6(x + ) 1 = 0 4 3 2 2
= x − 5x +11x −13x + 6 = 0 = (x − )
1 (x − 2)(x − 2x + 3) = 0 2 x
Bài 29: Giải phương trình: 2 x + = 8 ( x + )2 1 HD: ĐK: x  1 −
Phương trình tương đương với:
x (x + )2 + x = (x + )2 2 2 4 3 2 1 8
1 = x + 2x − 6x −16x − 8 = 0 2 = (x + ) ( 2 2
x − 2x − 2) = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 30 2 2  x   x
Bài 30: Giải phương trình: + = 90   x 1    x 1 + −  HD: ĐK: x  1  x (x − )2 1 + x (x + )2 2 2 1
Phương trình tương đương với : = 90 ( x + )2 1 (x − )2 1 4 3 2 4 2 2
x − 2x + x + x + 2x + x 4 2 4 2 =
= 2x + 2x = 90 x − 2x +1 ( = ( ) x − ) 90 2 2 1 4 2
= 44x − 91x + 45 = 0 2 2 x +1
Bài 31: Giải phương trình: ( x + ) ( ) 1 + = 8 ( x + 2)2 HD:
Phương trình tương đương với: 2 2 2 2  x +1  x +1 (x )1  + (x + )1 x +1− + 2   (x + )1. = 8 =   + 2. − 8 = 0  x + 2  x + 2  x + 2  x + 2   (x + )2 1 2 Đặt = y y + 2y −8 = 0 x + 2
, Phương trình trở thành: 12x 3x
Bài 32: Giải phương trình: − =1 2 2 x + 4x + 2 x + 2x + 2 HD:
Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x  0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu đượ 12 3 2 c: −
=1. Đặt t = x + + 2 thì phương trình trở thành: 2 2 x x + 4 + x + 2 + x x 12 3 t =1 2 2
− =1 12t − 3t − 6 = t + 2t t − 7t + 6 = 0   . t + 2 tt = 6 2 Với t = 1 ta có: 2 x +
+ 2 =1  t + t + 2 = 0 vô nghiệm. x 2 Với t = 6 ta có: 2 x +
+ 2 = 6  x − 4x + 2 = 0  x = 2  2 . x 2 x
Bài 33: Giải phương trình: 2 = − − ( x x x + 2) 3 6 3 2 HD:
Biến đổi phương trình: 2  x  ( ) (    − + − x − )2 x x x 2 2 1 = 0  + x − 3 − 3x −1 = 0     x + 2   x + 2  x + 2  3 −  3
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là x =  6; x = . 3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 31 3 2 x 3x
Bài 34: Giải phương trình: 3 x + + − = ( x − ) 2 0 3 1 x −1 HD: 3 Sử dụng HĐT 3 3
a + b = (a + b) − 3ab(a + b) ta viết lại phương trình thành: 3 3 2 2 2 x 3xx xx  3x 3 x + + − =  + − + + − = (     hay x − ) 2 0 x 3 x 2 0 3 1 x −1  x −1 x −1 x −1 x −1 3 2 3 2 2 2 2 2  x   x  3xxx 2   −3  + − 2 = 0   −1 =1
−1=1 x − 2x + 2 = 0.  x −1  x −1 x −1  x −1  x −1
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. 1 1 1 1
Bài 35: Giải phương trình: + + = 2 2 2 x
+ 9x + 20 x +11x + 30 x +13x + 42 18 HD: ĐKXĐ: x  4 − ,x  5 − ,x  6 − ,x  7 − 1 1 1 1
Phương trình trở thành: ( + + = x + 4)(x + ) 5
(x + )5(x +6) (x +6)(x + 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − =
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18 1 1 1 = − = = (x + ) 13 (x − 2) = 0 x + 4 x + 7 18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 32
DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I, Phương trình dạng: f (x) = g(x)
f (x) = g(x) Phương pháp:  ,  f
 (x) = −g(x)
Bài 1: Giải phương trình sau: 2x + 3 = x − 3 2 x − x + 2
Bài 2: Giải phương trình sau: − x = 0 x +1
Bài 3: Giải phương trình sau: 2x −1 = x −1
Bài 4: Giải phương trình sau: 2
2x +1 = x − 3x − 4 HD:
Phương trình tương đương với:  5  3 5 2 2 2 +1 = − 3 − 4  − 5 − 5 = 0 x x x x x x = 2  =  =  2x +1 = −  ( 2x −3x −4) 2 x  − x − 3 = 0  1 13 x =  2 2
Bài 5: Giải phương trình: 2x − 5 + 2x − 7x + 5 = 0 HD: 2 2
Vì 2x − 5  0, 2x − 7x + 5  0, Nên suy ra: 2x − 5 + 2x − 7x + 5  0  5 2x − 5 = 0 x = 5 Dấu bằng xảy ra khi:  =  2 = x = 2
2x − 7x + 5 = 0  (x − ) 1 (2x + ) 2 5 = 0
Bài 6: Giải phương trình: 3 2
x −1 = x − 3x + 2 HD: 3 2
x −1 = x − 3x + 2
Phương trình tương đương với: 
= x = 1, x = 1 −  2 3 2 x
 −1 = 3x − x − 2
Bài 7: Giải phương trình: x − 6 2 = x − 5x + 9 HD: 2
x − 6 = x − 5x + 9 x = 1 x − 6 2
= x − 5x + 9    , Vậy: x= 1; x= 3 2 x
 − 6 = −x + 5x − 9 x  = 3
Bài 8: Giải phương trình : 2
x − x + 2x − 4 = 3 ( ) 1 HD:
Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp: x  0 3  5 TH 1:  ta có: 2 2
(1)  x − 3x + 4 = 3  x − 3x +1 = 0  x = . 1   x  2 2
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 33 1 − − 5
TH 2: 0  x  1 ta có 2 2
(1)  −x − x + 4 = 3  x + x −1 = 0  x = (l) hoặc 2 1 − + 5 x = 2 1 − − 29 TH 3: x > 2 ta có 2 2
(1)  x + x − 4 = 3  x + x − 7 = 0  x = (l) hoặc 2 1 − + 29 x = 2  1 − + 5 x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm  .  1 − + 29 x =  2
Bài 9: 2x −1 + 2x +1 = 4 (x = 1  ) 1 9
Bài 10: Giải phương trình : x − 2 + x − 3 = 4 (x = ; ) 2 2
Bài 11: Giải phương trình : 2 x + 2 + 2 x −1 = 5 1
Bài 12: Giải phương trình : 3x + 4 = x − 2 (x = 3 − ;− ) 2
Bài 13: Giải phương trình : 2 x −1 + x = 1 (x = 0; )1 2 1 −  17
Bài 14: Giải phương trình : 2 2
x − x − 2 = x + 2x (x = − ; ) 3 4 1
Bài 15: Giải phương trình : 2 2
x − 2x = 2x −1
( x = 1; − ; − 1  2 ) 3
Bài 16: Giải phương trình : 3x − 5 = 2x +1
Bài 17: Giải phương trình : 7x − 4 = 3x − 4
Bài 18: Giải phương trình : 2x +1 = x
Bài 19: Giải phương trình : 3x + 4 = x − 2
Bài 20: Giải phương trình : x − 3 = 2x −1
Bài 21: Giải phương trình : 2x + 5 = 3x − 2
Bài 22: Giải phương trình : x − 3 = 2x −1 2x + 7
Bài 23: Giải phương trình : = 3x −1 x − 1 3x −1
Bài 24: Giải phương trình : = x −3 x + 2 5x − 2
Bài 25: Giải phương trình : = x − 2 x + 3
Bài 26: Giải phương trình : 2 x − 4 + x = 2
Bài 27: Giải phương trình : x −1 + 2x + 3 = 0
Bài 28: Giải phương trình : 2
x −1 + x −1 = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 34
Bài 29: Giải phương trình : 2 2
x −1 + x − 3x + 2 = 0
Bài 30: Giải phương trình : 5x + 2 + 3x − 4 = 4x + 5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 35
II, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x) = g( x) Phương pháp:
Cách 1: Phá giá trị tuyệt đối  f x = g x
Cách 2: Điều kiện g(x) ( ) ( )  0 =  ,  f
 (x) = −g(x)
Bài 1: Giải phương trình: 2x +1 = x + 2
Bài 2: Giải phương trình sau: x + 4 + 3x = 5
Bài 3: Giải phương trình: 2 x + x −1 = 1 HD: 2 2
x + x −1 = 1  x −1 = 1 − x  1 −  x  1  1 −  x  1 2 1  − x  0   x = 1 2  
 x −1 = 1− x  x = 0  x = 1  2
x −1 = (1− x )    x  = 0 2 x  −1 = 1 − + x x  = 1 x = 2 − Vậy x=1; x= 0
Bài 4: Giải phương trình sau: 3
x −1 = x + x +1
Bài 5: Giải phương trình sau: 2
4x − 2x +1 = 2x
Bài 6: Giải phương trình sau: 2
x − 5x + 4 = x + 4
Bài 7: Giải phương trình: 2
x − 4x − 5 = 4x −17 HD: 17
Với 4x − 17  0 = x VT VP  4 , Khi đó: 0,
0 , suy ra phương trình vô nghiệm 17
Với x  4 , Khi đó phương trình tương đương với 2 2
x − 4x − 5 = 4x −17
x − 8x +12 = 0
(x − 2)(x − 6) = 0  =  =  2 2 x
 − 4x − 5 = 17 − 4x x  − 22 = 0 x =   22
Bài 8: Giải phương trình: ( x + )2 1 = 4 x + 9 HD: ( x + )2
1 = 4 x + 9 , Đặt t = x ,(t  0) , Phương trình trở thành: (  = t + )2 t 4 2
1 = 4t + 9 = t − 2t − 8 = 0 = t  = 2 − (l)
Bài 9: Giải phương trình sau: ( x + )2 1 − 3 x +1 + 2 = 0 HD: t = 1 2
Đặt: x +1 = t,(t  0) , Khi đó phương trình trở thành: t − 3t + 2 = 0 = t  = 2
Bài 10: Giải phương trình: 4x (x − ) 1 = 2x −1 +1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 36 HD:
Đặt: x − = t (t  ) 2 2 2 2 2 1 ,
0 = t = 4x − 4x +1 = 4x − 4x = t −1 , Thay vào phương trình ta được: t = 1 − (l) 2 2 2
4x − 4x − 2x −1 −1 = 0 hay t −1− t −1 = 0 = t − t − 2 = 0 = t  = 2 2 9 x − 2x − 2
Bài 11: Giải phương trình: 2 x + +1 = 2x + 7 ( x − )2 x −1 1 HD: 2 9 3
ĐKXD: x  1 , Phương trình tương đường với: (x − ) 1 + = 7 x −1− ( x − )2 x −1 1 3 Đặt: x −1− = t,(t  0) x −1 , suy ra: t = (x − )2 9 9 1 + − 6 = x −1 + 2 ( )2 2 ( x − ) 1 (x − )2 2 1 = t + 6 t = 1 2
Phương trình trở thành: t + 6 = 7t = t  = 6
Bài 12: Giải phương trình: 2
3x − 2 = x + 2x + 3 HD: 2
3x − 2 = x + 2x + 3 2
Vì x + 2x + 3  0, x
 , Nên phương trình =  3x − 2 = −  ( 2x +2x +3) x  2
x − x + 5 = 0  =  5 −  21 =  2 x x =  + 5x +1 = 0  2
Bài 13: Giải phương trình: 2
x − x − 2 = 0
Bài 14: Giải phương trình: 2
x + 2x + x +1 − 5 = 0
Bài 15: Giải phương trình: 2
x + 2x − 5 x +1 + 5 = 0
Bài 16: Giải phương trình: 2
4x − 20x + 4 2x − 5 +13 = 0
Bài 17: Giải phương trình: 2
x − 4x + 2 x − 2 +1 = 0
Bài 18: Giải phương trình: 2
x − 2x + 5 x −1 + 5 = 0
Bài 19: Giải phương trình sau: ( x − )2 2
1 − 3 2x −1 − 4 = 0 HD: t = 1 − (l) 2
Đặt: t = 2x −1 ,(t  0) , Phương trình trở thành: t − 3t − 4 = 0 = t  = 4 4 2 2 x − 6x + 4 x − 2
Bài 20: Giải phương trình: = 2 x x HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 37 2 x − 2
ĐKXĐ: x  0 , đặt t = ,(t  0) xt = 1 − 2
Khi đó phương trình trở thành: t − t − 2 = 0 = t  = 2 9
Bài 21: Giải phương trình: 2 x −1 2 = x − 2x + 8 (x = ) 2
Bài 22: Giải phương trình: 2
x − 3x + 2 = 2x +1 (x = 5  21) x 2 − 1 1  3
Bài 23: Giải phương trình : = x (x = ) x − 2 2 3 − 2x − x 23 3
Bài 24: Giải phương trình: = 5 (x = − ; ) 2 + 3x + x − 2 9 23 2 x − 1 + x + 1
Bài 25: Giải phương trình: = 2 x = x (x − ( )5 2)
Bài 26: Giải phương trình: 2 2
x + x −12 = x − x − 2 (x = 5; 7)
Bài 27: Giải phương trình: 2
x − 3x + 2 − 2x = 1 (x = 5  21)
Bài 28: Giải phương trình: 2
x − 4x + 3 = x + 3 (x = 0; 5) 1 3 + 17
Bài 29: Giải phương trình: 1 2x − 3 = (x = 1; ; ) x 2 4
Bài 30: Giải phương trình: 2
x −1 = 1− 4x
Bài 31: Giải phương trình: 2
4x +1 = x + 2x − 4
Bài 32: Giải phương trình: 2
3x − 5 = 2x + x − 3
Bài 33: Giải phương trình: 2
x + 5x − 3x − 2 − 5 = 0
Bài 34: Giải phương trình: 2 2
x − 2x + 8 = x −1
Bài 35: Giải phương trình: 2
x − 5 x −1 −1 = 0
Bài 36: Giải phương trình: 2 2
3x − 2 = 6 − x x −1 3 − x +1
Bài 37: Giải phương trình: = 2x − 3 x + 1 2 x − x −12
Bài 38: Giải phương trình: = 2x x − 3 2x − 3 3
Bài 39: Giải phương trình: = x + 2 x − 1 x + 2 −x + 3
Bài 40: Giải phương trình: = 2x −1 2x + 1 2 x − 3
Bài 41: Giải phương trình: = 1 2 x + 2x −15 HD:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 38 2 x − 3 2 x − 3 Ta có: = 1= = 1
x  − x  − 2 x , ĐKXĐ: 5, 3 + 2x −15 (x + )5(x − )3 2
Xét x  3 , Phương trình = = 1 = x = −3(l) x + 5 2 −
Xét x  3 và x  5 − phương trình = = 1 = x = −7 x + 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 7 −
Bài 42: Giải phương trình: 2
4x − 4x − 5 2x −1 − 5 = 0 HD: 1 Nếu x  2x 2x − 7 = 0
2 , Phương trình trở thành: ( ) 1 Nếu x
2x + 5 x −1 = 0
2 phương trình trở thành: ( )( )
Bài 43: Giải phương trình: x − 3 = x + 1 HD:
Xét x  0 phương trình đã cho trở thành: x − 3 = x + 1
Với x  3 = x − 3 = x +1 vô nghiệm
Với 0  x  3 = x = 1 thỏa mãn:
Xét x < 0 phương trình đã cho trở thành: x + 3 = x +1 Với 3
−  x  0 = x + 3 = x +1 vô nghiệm Với x  3 − = x = 2 − không thỏa mãn:
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 39
III, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f (x) + g(x) + h(x) = t (x) Phương pháp: Lập bảng xét dấu:
Sử dụng tính chất: a + b = a + b = .
a b  0 hoặc: a −b = a − b = b(a −b)  0
Bài 1: Giải phương trình sau: x −1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 3 x +1
Bài 2: Giải phương trình sau: + = 2 x +1 3 HD: Điều kiện: x  1 − 3 t 2
Đặt x +1 = t (t  0) , Phương trình trở thành: + = 2 = t − 2t +1 = 0 t 3
Bài 3: Giải phương trình sau: 2 2
x − 4x + 3 + x − 4x = 3 HD:
Biến đổi phương trình về: ( x − ) 3 (x − )
1 + x (x − 4) = 3
Bài 4: Giải phương trình sau:
x −1 +1 − x −1 −1 = 2 HD:
Sử dụng tính chất a − b = a − b = b (a − b)  0
Phương trình tương đương với: x −1 +1− ( x −1 − ) 1 = 2 = 2 = 2,
Dấu bằng khi: 2( x −1 − )
1  0 = x  2
Vậy phương trình có nghiệm x  2
Bài 5: Giải phương trình sau: x +1 + 3 x −1 = x + 2 + x + 2 x − 2 2 2a x + a a
Bài 6: Giải phương trình sau: x + = (x  0) x x HD: Phương trình đã cho 2 2
= x + 2a x + a − a = 0 2 2 TH1: x a
− , phương trình trở thành: x − 2ax − 3a = 0 = (x + a)(x − 3a) = 0 2 2
TH2: x  −a , phương trình trở thành : x + 2ax + a = 0 = x = −a
Bài 7: Giải phương trình sau: x − 3 + x + 2 = 7
Bài 8: Giải phương trình sau: x − 2x + 3 = x −1
Bài 9: Giải phương trình sau: x + 1 − x = x + x − 3 ,(1  x  ) 3
Bài 10: Giải phương trình sau: x − 3 = x + 1 HD:
Xét x  0 , phương trình có dạng x − 3 = x + 1 , Giải phương trình bình thường
Xét x  0 , Phương trình tương đương với −x − 3 = x + 1 , Giải phương trình bình thường
Bài 11: Giải phương trình sau: x − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 40
Bài 12: Giải phương trình sau: x − 2 x −1 + 3 x − 2 = 4
Bài 13: Giải phương trình sau: x +1 + x + 2 + x + 3 = 4x
Bài 14: Giải phương trình sau: 2
x x + 3 − x + x +1 = 1 3
Bài 15: Giải phương trình sau: x − 3 x + 2 = 0
x −1 1  x − 5 14 − 2 x x − 9 7
Bài 16: Giải phương trình sau: −  −  = − 4 8  5 5  2 8  
Bài 17: Giải phương trình sau: x + x +1 = 3− 2x
Bài 18: Giải phương trình sau: 5 − x + x −1 = x − 6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 41 IV. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: mx + 2m = mx + x + 1 HD:
mx + 2m = mx + x +1
Phương trình : mx + 2m = mx + x +1 = mx +2m = −(mx+ x+  )1 x = 2m −1 =  (2m + ) 1 x = 2 − m −1(1) Với (1): 1 Nếu 2m 1 0 m − + = =
= 2 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 1 Nếu 2m 1 0 m − +  =  x = −
2 , phương trình tương đương với 1 Kết luận: 1 Với m −
= 2 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 1 Với m −
 2 , Phương trình có hai nghiệm là x=-1 và x=2m-1
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: mx + 2x −1 = x −1 HD:
mx + 2x −1 = x −1 (m + ) 1 x = 0(2)
Ta có: mx + 2x − 1 = x − 1 = =  mx
+ 2x −1 = 1− x (m + ) 3 x = 2(3)
Với phương trình (2) ta có: Nếu m = 1
− , Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x Nếu m  1
− , Thì phương trình có nghiệm x = 0
Với phương trình (3) ta có : Nếu m = 3
− , thì phương trình (3) vô nghiệm 2 Nếu m  3
− , thì phương trình (3) có nghiệm x = m + 3 Kết luận : Với m = 1
− , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x Với m = 3
− , Phương trình có nghiệm x = 0 2 Với m  1 − ,m  3
− , Phương trình có nghiệm x=0 và x = m +3 2 2
Bài 3 : Tìm m để phương trình x + x = mx − (m + )
1 x − 2m −1 , có 3 nghiệm phân biệt : HD :
Phương trình tương đương với : x (x + ) 1 = (x + )
1 (mx − 2m − ) 1 mx = −
= x + ( x − mx − m − ) 1 1 2
1 = 0 =  x = mx −2m−1 (4) 
mx − 2m −1 = x (m − ) 1 x = 1 = 2 ( m 1)
Với (4) tương đương với : =  mx
− 2m −1 = −x (m + ) 1 x = 1+ 2 (2) m
Nếu m = 1 , thì phương trình (1) vô nghiệm, Khi đó PT ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42 Nếu m = 1
− , thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có ba nghiệm phân biệt  1+ 2m x =  m −1 Nếu m  1  , thì (4) =   1+ 2m x =  m +1 1+ 2m 1+ 2m 1+ 2m 1+ 2m
Để có ba nghiệm phân biệt thì :  −1  −1  m −1 và m +1 và m −1 m +1 2 1  Hay m  0;− ;− 3 2    1 − 2 − 
Kết luận : Vậy với m   1 − ; ; ;0;1 2 3
 , thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt  
Bài 4: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 HD : 2
Ta có: |x2 – 2x +m|+x=0  x − 2x + m = −xx  0 −x  0  2  
 x − 3x + m = 0 (1) Ta có :  = 9− 4m và  =1− 4m 2
x − 2x + m = x 1 2  2 x
 − x + m = 0 (2) Biện luận 3 − 9 − 4m 1− 1− 4m + m  0 x =  x = 2 2 + m > 0: Vô nghiệm 2
Bài 5: Cho phương trình : x − 2x − 2 x −1 + m + 3 = 0
a, Giải phương trình khi m= -2
b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm HD:
Phương trình = (x − )2
1 − 2 x −1 + m + 2 = 0
Đặt t = x −1 ,(t  0) , ta có phương trình: 2t − 2t + m + 2 = 0 (1) t = 0 2
A, Khi m= -2, ta có : t − 2t = 0 = t  = 2
B, Phương trình đã cho có nghiệm <=> phương trình (1) có nghiệm với 2
t  0 = m = −t + 2t − 2 có nghiệm t  0 = đồ thị hàm số f (x) = −t + 2t − 2 , với t 0;+ 
) , cắt trục hoành hay m  2 −
Bài 6: Giải và biện luận phương trình : mx + 2m = x + 1 HD :
mx + 2m = x +1 (m − ) 1 x = 1− 2m( ) 1 Ta có PT =  =  mx + 2m = −  (x + )1 (m + ) 1 x = 2 − m −1(2) Giải (1) :
Với m = 1, Phương trình trở thành : 0x = 1 − , Vô nghiệm
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 43 1− 2m
Với m  1 , Phương trình tương đương với x = m −1 Giải (2) : Với m = 1
− , Phương trình trở thành : 0x =1 , phương trình vô nghiệm −2m −1 Với m  1
− , Phương trình tương đương với : x = m +1 Kết luận : 3 Với m = 1
 , Phương trình có nghiệm là x − = 2 1− 2m −2m −1 Với m  1
 , Phương trình có nghiệm là : x = x = m −1 và m +1
Bài 7: giải và biện luận phương trình: mx + 2x = mx −1 HD :  1 mx 2x mx 1 x −  + = − = 
Ta có : mx + 2x = mx −1 =  =
mx + 2x = −(mx −  ) 2 1 
(2m + 2) x =1
Với phương trình : (2m + 2) x = 1 (*) , ta có : Nếu m = 1
− thì phương trình (*) vô nghiệm 1 Nếu m  1
− thì phương trình (*) có nghiệm x = 2m+2 Kết luận : 1 m = 1
− , Phương trình có nghiệm x − = 2 1 1 m  1
− , Phương trình có nghiệm x − = x = 2 và 2m + 2
Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau: 3x + m = x −1
Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: 2
x + 4x − 2 x − m + 2 − m = 0
Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1
Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x −3m = 2x + m
Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + 2m = x − m
Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x + m = x − 2m + 2
Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2
x − 2x + m = x
Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx −1 = 5
Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x + m = 2x + 2m −1
Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x − m = 2x + m +1
Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x +1
Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = 2x − 2m
Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = x −1
Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x −1
Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2
x + 2a x + a − a = 0
Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx +1 = 2x − m −3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 44
Bài 24: Cho phương trình: x − 3 + 2 x +1 = 4 a, Giải phương trình
b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình.
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 45