13 trang 9 lượt tải

Chuyên đề Giới hạn hàm số môn Toán cao cấp 1 | Trường Đại học Phạm Văn Đồng

17

Chuyên đề Giới hạn hàm số môn Toán cao cấp 1 | Trường Đại học Phạm Văn Đồng. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: Toán cao cấp 1 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Phạm Văn Đồng 43 tài liệu

Tác giả:

Profile

Ho Khang

1 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/13
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 40
Chương 2
GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ- HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
§1.GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ
Sau khi hoïc xong baøi naøy, baïn coù theå:
Bieát khaùi nieäm giôùi haïn haøm soá moät bieán, caùc tính chaát giôùi haïn;
Bieát caùc daïng voâ ñònh, caùc daïng khoâng phaûi voâ ñònh;
Bieát caùc giôùi haïn ñaëc bieät vaø caùch söû duïng caùc giôùi haïn naøy khi tính giôùi
haïn;
Hieåu khaùi nieäm vaø yù nghóa voâ cuøng beù (VCB), voâ cuøng lôùn (VCL) vaø bieát
caùch öùng duïng khi tính giôùi haïn;
Biết cách sử dụng quy tắc L’Hospitale để tính giới hạn;
Bieát ứng dụng và phaân tích yù nghóa giôùi haïn vaøo caùc baøi toaùn thực teá.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1. Ñònh nghóa
Vôùi
0
beù, ta goïi
-laân caän ñieåm
o
x
laø taäp taát caû caùc ñieåm
x
thoûa
−
o
xx
, kyù hieäu
),(
o
xB
.
−=
oo
xxxxB :),(
Ñieåm
goïi laø ñieåm tuï cuûa
D
(
D
) neáu moïi
-laân caän ñieåm
o
x
chöùa voâ soá ñieåm
thuoäc
D
.
Kyù hieäu
f(x) lim
0
xx→
duøng ñeå chæ giôùi haïn cuûa haøm soá
)(xf
khi
x
daàn veà ñieåm
o
x
vaø ñònh
nghóa nhö sau ñaây (
L
laø haèng soá).
Ñònh nghóa 1 Cho haøm soá
)(xfy =
coù mieàn xaùc ñònh
D
vaø
o
x
laø ñieåm tuï cuûa
D
.
f(x) lim
0
xx→
⎯→⎯
⎯→⎯
=
L ) xf(y d thì
x xD,xy d
L
n
0nn
aõ
aõ
ÑN
Lưu ý •
on
xxD =⎯→⎯
→n
0n
lim xy xaõ
.
•
on
xxD =⎯→⎯
→n
0n
lim xy xaõ
;
L ) xf(
n
⎯→⎯
Lxf
n
=
→
)(lim
n
• Neáu toàn taïi daõy voâ haïn
Dx
n
vaø
0n
xx ⎯→⎯
thì
o
x
goïi laø ñieåm tuï cuûa
D
.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 41
Ñònh nghóa 2 Cho haøm soá
)(xfy =
coù mieàn xaùc ñònh
D
vaø
o
x
laø ñieåm tuï cuûa
D
.
f(x) lim
0
xx→
=
L-f(x) thìx-x0
Dx0 , trcho 0
L
o
thoûa cho sao öôùc
ÑN
Chuù yù Ñònh nghóa 1 vaø ñònh nghóa 2 laø töông ñöông nhau. Trong ñònh nghóa treân ta thaáy,
x
daàn veà ñieåm
o
x
coù nghóa laø
x
gaàn
o
x
bao nhieâu cuõng ñöôïc nhöng
o
xx
.
Quan sát trực quan dự đoán giới hạn
Ví dụ 2.1 Xét giới hạn
=
→
)(lim
2
xf
x
2
4
lim
2
2
−
−
→
x
x
x
a) Quan sát bảng giá trị
Dự đoán
=
→
)(lim
2
xf
x
4
2
4
lim
2
2
=
−
−
→
x
x
x
b) Quan sát đồ thị hàm số dự đoán giới hạn
2
4
)(
2
−
−
==
x
x
xfy
Dự đoán
=
→
)(lim
2
xf
x
4
2
4
lim
2
2
=
−
−
→
x
x
x
2
5
)(
2
−
−
==
x
x
xfy
Dự đoán
=
→
)(lim
2
xf
x
=
−
−
→
2
5
lim
2
2
x
x
x
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 42
Ví dụ 2.2 Tính giới hạn hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xf
khi
1→x
.
Giải
Tập xác định hàm số là
D
= nên
1=
o
x
là điểm tụ của D.
1 xD,x
nn
⎯→⎯
,
1
lim)(lim
2
+
=
→→
n
n
n
n
n
x
x
xf
2
1
11
1
2
=
+
=
Giôùi haïn moät phía
f(x) limf(x) lim
)(
x
x
ax
def
a
a
→
+
→
=
;
f(x) limf(x) lim
)(
x
x
ax
def
a
a
→
−
→
=
Löu yù: Giôùi haïn
f(x) lim
x a→
toàn taïi khi vaø chæ khi
f(x) lim
x
+
→a
toàn taïi,
f(x) lim
x
−
→a
toàn taïi vaø
f(x) lim
x
+
→a
=
f(x) lim
x
−
→a
.
Caùc daïng voâ ñònh
, , , . , , ,
−
STT
DẠNG VÔ ĐỊNH
VÍ DỤ MINH HỌA (Ví dụ 2.3 )
1
0
0
lim
e
x 0
x sinx
1
sinx
→
+
−
,
1
1
1
−
−
→
n
m
x
x
x
lim
2
x
x
x
ln
1
lim
2
−
+→
,
t
e
t
t
2
lim
+→
3
−
(
)
xx
x
−+
+→
1lim
2
4
.0
xx
x
ln
0
lim
2
+
→
,
( )
xxx
x
ln)5ln(lim −+
+→
5
1
( )
t
t
1
1
t
limet1
0t
lim
t
1
+
→
==+
→
x
x
x
2sin
1
)31(
0
lim +
→
,
kt
k
k
P
+
+→
09.0
1lim
với
0t
6
0
0
x
x
x
+
→ 0
lim
,
x
x
x
tan
0
lim
+
→
7
0
lim
x
x
x
→ +
,
x
x
x
sin
1
0
lim
→
+
Một số daïng khoâng phaûi voâ ñònh
)0(
0
= a
a
;
0=
a
;
=
a
;
)0(. = aa
;
)1(0 =
qq
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 43
STT
DẠNG KHÔNG VÔ ĐỊNH
VÍ DỤ MINH HỌA (Ví dụ 2.3 )
1
)0(
0
= a
a
=
+
=
−
+
→
0
0
1
sinxx
x
sinx
e
lim
2
0=
a
0
30
ln
3
lim
2
=
+
+
=
+
−
+→
x
e
x
x
3
=
a
=
+
=
+
+
−
+→
100000001000000
1
lim
2
2
x
x
e
x
4
)0(. = aa
=+=+
+
+
+→
)60()1(6)
5
ln(lim x
x
x
x
5
)1(0 =
qq
0
2
1
12
1
1
2
2
2
lim =
=
+
−
→
−x
x
x
x
6
)1( =
qq
=
=
+
−
→
−
2
3
12
13
1
2
2
2
lim
x
x
x
x
2. Moät soá tính chaát
i) Giôùi haïn cuûa haøm soá (neáu toàn taïi) thì duy nhaát.
ii) Neáu
o
xx →
lim
f(x) = A ,
o
xx →
lim
g(x) = B thì
( )
BAxgxf
xx
o
=
→
)()(lim
BAxgxf
xx
o
.)().(lim =
→
kAxfk
xx
o
=
→
)(.lim
với
constk =
B
A
xg
xf
xx
o
=
→
)(
)(
lim
B
A
xg
xf
xx
o
=
→
)(
)(lim
( vôùi ñieàu kieän caùc veá phaûi khoâng coù daïng voâ ñònh)
iii) Neáu
=
→
=
→
Bxg
xx
Axf
xx
xxgxf
oo
)(lim,)(lim
), xB( ),()(
o
thì A B.
iv) Tính chaát keïp: Neáu
→
==
→
)(lim)(lim
), xB( ),()()(
o
xh
xx
Lxg
xx
xxhxfxg
oo
thì
Lxf
xx
o
=
→
)(lim
v) Neáu
0f(x) lim
0
xx
=
→
thì
0f(x) lim
0
xx
=
→
.
Ví dụ 2.4 (Tính chất kẹp) Tính giới hạn
→
x
x
x
1
coslim
2
0
Giaûi
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 44
Quan sát bảng giá trị
Dự đoán
0
1
coslim
2
0
=
→
x
x
x
Quan sát đồ thị
Dự đoán
0
1
coslim
2
0
=
→
x
x
x
Ta có bất đẳng thức kép
222
1
cos x
x
xx
−
,
0x
Dễ thấy
2
0
2
0
lim0)(lim xx
xx →→
==−
Áp dụng tính chất kẹp ta được
0
1
coslim
2
0
=
→
x
x
x
Hình ảnh trực quan tính chất kẹp thể hiện như
hình bên dưới.
Đồ thị các hàm số
222
,
1
cos, xy
x
xyxy −=
==
3. Moät soá giôùi haïn ñaëc bieät
1
t
tsin
0t
lim =
→
lim
cos
t
t
t
→
−
=
1
t
1
t
e
0t
lim =
−
→
,aln
t
1
t
a
0t
lim =
−
→
a>0
lim
ln( )
t
t
t
→
+
=
( )
lim
t
t
t
→
+ −
=
a
a
( )
t
t
1
1
t
limet1
0t
lim
t
1
+
→
==+
→
lim
ln
t
t
t
p
→ +
=
, p
0lim =
+→
t
e
p
t
t
, p
Ví dụ 2.5 Tính caùc giôùi haïn
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 45
a)
x
kx
x
sin
0
lim
→
)0( = constk
b)
x
x
x
2
ln
lim
+→
c)
x
x
x
n
11
0
lim
−+
→
d)
1
1
lim
2
+
+
→
x
x
x
e)
x
kx
x
tan
0
lim
→
)0( = constk
f)
x
x
x
2
3
1lim
+
→
Giaûi
a)
x
kx
x
sin
0
lim
→
=
kk
kx
kxk
x
==
→
1
sin
0
lim
(giôùi haïn soá )
b)
0
ln
lim
2
=
+→
x
x
x
(giôùi haïn soá )
c)
x
x
x
n
11
0
lim
−+
→
=
( )
nx
x
x
n
111
0
lim
1
=
−+
→
(giôùi haïn soá )
d)
1
1
lim
2
+
+
+→
x
x
x
=
2
1
1
)
1
1(
lim
x
x
x
x
x
+
+
+→
= 1 ;
1
1
lim
2
+
+
−→
x
x
x
=
2
1
1
)
1
1(
lim
x
x
x
x
x
+−
+
−→
= -1
e)
x
kx
x
tan
0
lim
→
=
kk
kx
k
kx
kx
x
==
→
.1
cos
.
sin
0
lim
f)
x
x
x
2
3
1lim
+
→
=
6
3
3
1
1lim
+
→
x
x
x
=
6
e
(giôùi haïn soá vôùi
3
x
t =
)
1.4. Voâ cuøng beù- Voâ cuøng lôùn (VCB-VCL)
1.4.1. Ñònh nghóa
• u(x) 0 goïi laø VCB khi x → x
o
neáu
0)(lim =
→
xu
xx
o
•
)(xg
goïi laø VCL khi x → x
o
neáu
=
→
)(lim xg
xx
o
Löu yù: u(x) laø VCL khi x → x
o
)x(u
1
laø VCB khi x → x
o
.
Ví dụ 2.6
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 46
a) Vôùi
k
laø soá nguyeân,
0sinlim =
→
kx
x
neân
kxsin
laø VCB khi
→x
.
b) Vôùi
constk =
:
)1ln( x+
,
1−
kx
e
,
kxsin
,
kxcos1−
,
1)1( −+
k
x
,
xtan
laø caùc VCB
khi
0→x
.
c) Doøng ñieän
−=
− t
L
R
e
R
E
ti
o
1)(
trong maïch maéc noái tieáp RL nhö hình veõ
Hình Maïch RL
Vì
0)1(1lim)(lim
0
00
=−=
−=
−
++
→→
e
R
E
e
R
E
ti
oo
tt
t
L
R
neân
)(ti
laø VCB khi
+
→ 0t
. Töùc laø, ngay
sau thôøi ñieåm ñoùng maïch thì doøng ñieän trong maïch xaáp xæ 0.
d) Theo thuyeát töông ñoái, Lorentz ñöa ra coâng thöùc ruùt goïn
2
2
1
c
v
LL
o
−=
bieåu dieãn chieàu daøi
L
cuûa moät vaät theå bôûi haøm soá theo vaän toác
v
öùng vôùi moät ngöôøi
quan saùt, trong ñoù
o
L
laø chieàu daøi vaät theå luùc ñöùng yeân vaø
c
laø vaän toác aùnh saùng. Ta
coù,
01limlim
2
2
=−=
−−
→→
c
v
LL
o
cvcv
neân
2
2
1
c
v
LL
o
−=
laø VCB khi
−
→ cv
. Töùc laø, khi moät vaät
chuyeån ñoäng vôùi vaän toác gaàn baèng vaän toác aùnh saùng thì kích thöôùc vaät co laïi xaáp xæ
baèng 0.
e)
xln
,
x
e
,
)1( aa
x
,
k
x
(vôùi
)0k
laø caùc VCL khi
+→x
.
Vì
−=−
→
+
)1ln(
1
lim x
x
neân
)1ln( −x
laø VCL khi
+
→1x
.
f) Cho
kt
o
eQtQ =)(
, vôùi
0= constk
vaø
0= constQ
o
, laø haøm soá bieåu dieãn moät ñaïi
löôïng taêng theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian
t
vôùi löôïng ban ñaàu
o
k
o
QeQQ ==
0.
)0(
. Vì
+==
+→+→
kt
o
tt
eQtQ lim)(lim
neân
kt
o
eQtQ =)(
laø VCL khi
+→t
.
Töùc laø, moät ñaïi löôïng taêng theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian
t
thì sau khoaûng
thôøi gian
t
ñuû lôùn ñaïi löôïng naøy seõ lôùn ñeán gần như voâ haïn.
g) Cho
kt
o
eQtQ
−
=)(
, vôùi
0= constk
vaø
0= constQ
o
, laø haøm soá bieåu dieãn moät ñaïi
löôïng giảm theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian
t
vôùi löôïng ban ñaàu
o
k
o
QeQQ ==
− 0.
)0(
. Vì
0lim)(lim ==
−
+→+→
kt
o
tt
eQtQ
neân
kt
o
eQtQ
−
=)(
laø VCB khi
+→t
.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 47
Töùc laø, moät ñaïi löôïng giảm theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian
t
thì sau
khoaûng thôøi gian
t
ñuû lôùn ñaïi löôïng naøy seõ nhỏ dần về 0 (những gì đặc trưng bởi
đại lượng này sẽ chuyển hóa, hay biến mất, hay tuyệt chủng,...).
1.4.2. So saùnh VCB, so saùnh VCL
Vô cùng bé
Vô cùng lớn
Cho u(x), v(x) laø hai VCB khi x → x
o
vaø
giaû söû
)(
)(
lim
xv
xu
xx
o
→
= K
i) K = 1: u(x) vaø v(x) goïi laø hai VCB töông
ñöông; kyù hieäu: u(x)v(x), khi x→ x
o
.
ii) K = 0: u(x) laø VCB caáp cao hôn v(x), kyù
hieäu: u(x) = o(v(x)), khi x → x
o
.
iii) K = : u(x) laø VCB caáp thaáp hôn v(x),
khi x → x
o
.
iv) 0 K : u(x) vaø v(x) laø hai VCB cuøng
caáp, khi x → x
o
.
Cho u(x), v(x) laø hai VCL khi x → x
o
vaø
giaû söû
)(
)(
lim
xv
xu
xx
o
→
= K
i) K =1: u(x) vaø v(x) goïi laø hai VCL
töông ñöông khi x → x
o
.
ii) K = 0: u(x) laø VCL caáp thaáp hôn v(x)
khi x → x
o
.
iii) K = : u(x) laø VCL caáp cao v(x) khi x
→ x
o
.
iv) 0 K : u(x) vaø v(x) laø hai VCL
cuøng caáp khi x → x
o
.
Ví dụ 2.7
a) Töø caùc giôùi haïn ñaëc bieät töø ôû treân cho chuùng ta caùc VCB töông ñöông khi
0→t
sau ñaây:
tsin
t
,
tcos1−
2
2
t
,
1−
t
e
t
,
1−
t
a
t
aln
,
)1ln( t+
t
,
1)1( −+
a
t
at
b) Khi
→x
,
356
23
−+− xxx
laø VCL töông ñöông vôùi
3
6x
.
c) Khi
→x
vaø
0
n
a
,
01
1
1
... axaxaxa
n
n
n
n
++++
−
−
laø VCL töông ñöông vôùi
n
n
xa
.
Qui taéc thay VCB, VCL töông ñöông- Qui taéc ngaét boû VCB caáp cao, VCL caáp thaáp
VÔ CÙNG BÉ
VÔ CÙNG LỚN
Cho u(x), v(x), f(x), g(x) laø caùc VCB
khi
o
xx →
Neáu u(x) f(x), v(x) g(x) khi
o
xx →
thì
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx →
=
)(
)(
lim
xv
xu
xx
o
→
Neáu u(x) laø VCB caáp cao hôn f(x) vaø
v(x) laø VCB caáp cao hôn g(x), khi
o
xx →
thì
)()(
)()(
lim
xvxg
xuxf
xx
o
→
=
)(
)(
lim
xg
xf
xx
o
→
Cho u(x), v(x), f(x), g(x) laø caùc VCL
khi
o
xx →
Neáu u(x) töông ñöông f(x), v(x) töông
ñöông g(x) khi
o
xx →
thì
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx →
=
)(
)(
lim
xv
xu
xx
o
→
Neáu u(x) laø VCL caáp thaáp hôn f(x) vaø v(x)
laø VCL caáp thaáp hôn g(x) khi
o
xx →
thì
)()(
)()(
lim
xvxg
xuxf
xx
o
→
=
)(
)(
lim
xg
xf
xx
o
→
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 48
Ví dụ 2.8
a) Neáu
)(xut =
laø VCB khi
o
xx →
thì
1
u(x)
sin(u(x))
lim
0
xx
=
→
.
b) Neáu
)(xut =
laø VCB khi
o
xx →
thì
1
u(x)
u(x))ln(1
lim
0
xx
=
+
→
.
c) Neáu
)(xut =
laø VCB khi
o
xx →
thì
1
u(x)
1-e
lim
u(x)
0
xx
=
→
.
d) Neáu
)(xut =
laø VCB khi
o
xx →
thì
aln
u(x)
1-a
lim
u(x)
0
xx
=
→
, vôùi a>0.
e) Neáu
)(xut =
laø VCB khi
o
xx →
thì
e=+
→
u(x)
1
u(x))1( lim
0
xx
.
f)
=
+
→
sin5x
tan2x)ln(1
lim
0x
=
→
sin5x
tan2x
lim
0x
5
2
5x
2x
lim
0x
=
→
(thay VCB töông ñöông)
g)
0
x
2
lim
cosx-1 x
sin2
lim
33
2
0x0x
==
+
+
→→
xxx
(ngaét boû VCB caáp cao)
h)
===
++
+−
→→→
2
7
lim
2x
7
lim
12
657
lim
xxx
2
3
2
3
xx
xx
xx
(thay VCL töông ñöông)
i)
4
3
4e
3
lim
4e
53
lim
2x
2
22x
32
xx
==
+−
−+
+→+→
xx
e
xx
xe
(thay VCL töông ñöông hay ngaét boû VCL caáp thaáp)
1.5 Qui taéc L’Hospital
Qui taéc 1 Giaû söû caùc haøm f(x), g(x) thoûa:
• f(x), g(x) coù ñaïo haøm trong laän caän ñieåm a (a höõu haïn hoaëc baèng ) coù theå tröø
ñieåm a.
•
lim ( ) lim ( )
x a
f x
x a
g x
→
=
→
=
vaø g
’
(x) 0 trong laân caän ñieåm a.
Khi ñoù neáu
lim
,
( )
,
( )
x a
f x
g x
A
→
=
thì
lim
( )
( )
lim
,
( )
,
( )
x a
f x
g x
x a
f x
g x
A
→
=
→
=
(A höõu haïn hoaëc voâ haïn).
Qui taéc 2: Giaû söû caùc haøm f(x), g(x) thoûa:
• f(x), g(x) coù ñaïo haøm trong laän caän ñieåm a (a höõu haïn hoaëc baèng ) coù theå tröø
ñieåm a.
•
lim ( ) lim ( )
x a
f x
x a
g x
→
=
→
=
, vaø g
’
(x) 0 trong laân caän ñieåm a.
Khi ñoù neáu
lim
,
( )
,
( )
x a
f x
g x
A
→
=
thì
lim
( )
( )
lim
,
( )
,
( )
x a
f x
g x
x a
f x
g x
A
→
=
→
=
(A höõu haïn hoaëc voâ haïn).
Ví dụ 2.9 Tính caùc giôùi haïn
a)
1
4
lim
1
1
−
−
−
→
x
x
e
arctgx
b)
x
x
x
+
→0
lim
c)
1
)1ln(
lim
2
−
+
+→
x
x
e
x
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 49
Giaûi
Aùp duïng quy taéc L’Hospital
a)
1
4
lim
1
1
−
−
−
→
x
x
e
arctgx
)(L
=
2
1
1
1
lim
1
2
1
=
+
−
→
x
x
e
x
b)
x
x
x
+
→0
lim
=
1lim
0ln
0
==
+
→
ee
xx
x
( vì
x
x
xx
xx
1
ln
limlnlim
00
++
→→
=
)(L
=
0)(lim
1
1
lim
1
ln
lim
0
2
00
=−=
−
=
+++
→→→
x
x
x
x
x
xxx
)
c)
1
)1ln(
lim
2
−
+
+→
x
x
e
x
)(L
=
0
0
1
2
lim
2
=
+
=
+
+→
x
x
e
x
x
1.6. Caùc caùch thöôøng duøng ñeå tính giôùi haïn
Neáu khoâng coù daïng voâ ñònh thì thay vaøo;
Aùp duïng tính chaát, ñònh nghóa giôùi haïn;
Aùp duïng haèng ñaúng thöùc, löôïng lieân hieäp;
Aùp duïng caùc giôùi haïn ñaët bieät;
Aùp duïng voâ cuøng beù, voâ cuøng lôùn;
Ñoåi bieán (cho goïn hoaëc gaàn gioáng vôùi caùc daïng ñaëc bieät);
Aùp duïng quy taéc L’Hospital;
Quan sát đồ thị hay bảng số có thể “dự đoán” kết quả giới hạn hay tính xaáp xæ giôùi
haïn. Nhiều trường hợp cách này cũng cho kết quả chính xác;
Söû duïng phoái hôïp caùc caùch treân hoặc dùng Casio, máy tính có phần mềm phù hợp.
1.6. Ứng dụng và yù nghóa giôùi haïn
Khái niệm giới hạn là nền tảng để xây dựng các khái niệm hàm số liên tục, đạo hàm,
tích phân, tích phân suy rộng,…mà chúng sẽ nghiên cứu và khám phá ứng dụng ở các
phần/bài/chương/môn học tiếp theo. Trong các ví dụ ngay sau đây, chúng ta bước đầu
làm quen với việc phân tích ý nghĩa và ứng dụng của giới hạn.
Ví dụ 2.10 Baïn vai soá tieàn ban ñaàu
P
vôùi laõi suaát
r
vaø lãi được ghép liên tục
(compounded continuously) vào vốn thì số tiền tích lũy sau t năm là
=)(tF
rt
Pe
.
Vì
+=
+→
rt
t
Pelim
neân ñaây laø moät VCL khi
+→t
. Noùi caùch khaùc khi thôøi gian ñuû lôùn
thì soá tieàn baïn phaûi traû raát lôùn.
ÔÛ phaàn cuoái cuûa chöông naøy, baïn seõ thaáy caùch gheùp laõi ñònh kyø vaø gheùp laõi lieân tuïc
thì soá tieàn cheânh leäch nhau khoâng ñaùng keå. Laõi meï ñeû laõi con, neân neáu tham lam hay
khoâng öùng xöû vôùi tieàn ñuùng möïc khoân ngoan thì baïn coù theå baát haïnh vì nôï naàn vaø
laøm cho ngöôøi thaân mình bò vaï laây.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 50
Ví dụ 2.11 Xeùt maïch ñieän RL nhö hình veõ. Trong ñoù i(0) = 0, R, L laø caùc haèng soá.
Hình Maïch RL
Neáu E(t) = E
0
laø haèng soá thì
−=
− t
L
R
e
R
E
ti
o
1)(
. Tính
)(lim ti
t +→
öôùc tính giaù trò
)(ti
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
Giaûi
Ta coù
)(lim ti
t +→
=
+→t
lim
−
− t
L
R
e
R
E
o
1
=
( )
01−
R
E
o
=
R
E
o
Öôùc tính giaù trò
)(ti
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn:
)(ti
R
E
o
(vaø
)(ti
R
E
o
)
Ví dụ 2.12
a) Cho
)(tr
=
t
e
2382,0
23500500
−
+
(ñôn vò $1) laø giaù trò baùn laïi cuûa moät maùy sau
t naêm(tính töø luùc mua, t = 0) . Tính
)(lim tr
t +→
vaø öôùc tính giaù trò maùy sau khoaûng
thôøi gian t ñuû lôùn.
b) Giaû söû daân soá moät quoác gia sau t naêm tính töø naêm 2013 laø
)(tp
, ñôn vò tính 10
trieäu ngöôøi, ñöôïc xaáp xæ bôûi moâ hình logistic cho bôûi haøm
)(tp
t
e
003,0
1
18
−
+
=
.
Tính daân soá naêm 2013; tính
)(lim tp
t +→
vaø öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau
khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
c) Nhieät ñoä
)(tTT =
cuûa moät xaùc cheát trong moät caên phoøng
C
o
20
sau
t
giôø tính
töø luùc ngöôøi ñoù cheát cho bôûi
t
etT
07.0
1720)(
−
+=
C
o
Tính
)(lim tT
Ot
+
→
,
)(lim tT
t +→
vaø öôùc tính nhieät ñoä xaùc cheát sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
Giaûi
a)
)(lim tr
t +→
=
+→t
lim
)
2382,0
23500500(
t
e
−
+
=
500
.
Öôùc tính giaù trò cuûa maùy sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn::
)(tr
$
500
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 51
b)
)(lim tp
t +→
=
+→t
lim
t
e
003,0
.1
18
−
+
=
18
.
Öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn:
)(tp
180 trieäu ngöôøi.
c)
)(lim tT
Ot
+
→
=
+
→Ot
lim
)1720(
07.0 t
e
−
+
= 20 +17 = 37 (
C
o
)
→
Ngay sau thôøi ñieåm ngöôøi
naøy cheát thì nhieät ñoä xaùc cheát laø 37
C
o
.
)(lim tT
t +→
=
+→t
lim
)1720(
07.0 t
e
−
+
= 20+ 0 = 20
Öôùc tính nhieät ñoä xaùc cheát sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn:
CtT
o
20)(
(vaø
)20)( CtT
o
Bài tập
Baøi 2.1 Tính caùc giôùi haïn sau:
a)
1
1
2
1
−
→
x
x
lim
b)
−
−
→
xln
1
x1
x
1x
lim
c)
−+
→
x1
2
xx
x
lim
d)
( )
xln)axln(x
x
lim −+
+→
e)
1
1
1
−
−
→
n
m
x
x
x
lim
f)
−
→
1ax
x
lim
x
1
, a > 0
Baøi 2.2 Tính caùc giôùi haïn sau : ( aùp duïng tính chaát keïp)
a)
( )
xsinxsin
x
lim −+
+→
1
b)
x
1
sin.x
0x
lim
→
, vôùi > 0
c)
xsin
x
1
sinx
0x
lim
2
→
Baøi 2.3 Tính caùc giôùi haïn sau :
a)
xlnx
x
x
x
lim
1
1
−
→
b)
xx
x
xx
lim
+
−
→
2
45
0
c)
lim
e
x 0
x sinx
1
sinx
→
+
−
d)
lim
( )ln cos( )
( )ln
x
x
x x
→
−
−
Baøi 2.4 Tính caùc giôùi haïn sau : ( daïng
00
,0,1
)
a)
lim
x
x
x
→
+
b)
( )
lim sin
x
x
x
→
+
c)
x
tgx
x
2sin
1
)1(
0
lim +
→
d)
xsin
)x(cos
x
lim
1
0→
e)
lim
x
x
x
→ +
f)
47
5
2
+
−
+
→
x
x
x
x
lim
Baøi 2.5 Xeùt maïch ñieän RL nhö hình veõ. Trong ñoù i(0) = 0, R, L laø caùc haèng soá.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 52
Hình Maïch RL
Neáu E(t) = E
0
sint , laø haèng soá thì
)(ti
=
222
o
LwR
wLE
+
−
coswt +
)LwR(
wRL
222
+
sinwt +
222
o
LwR
wLE
+
−
t
L
R
e
−
Tính
+→t
lim
t
L
R
e
−
vaø xaùc ñònh quy luaät bieán thieân cuûa
)(ti
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
(HD: Xem lại cách giải phương trình lượng giác cổ điển bằng cách đưa vào cung phụ mà bạn đã học ở phổ thông)
Baøi 2.6 Goïi
)(tp
laø giaù saûn phaåm (ñôn vò tính USD) taïi thôøi ñieåm t. Tính
)(lim tp
t +→
vaø öôùc tính giaù saûn phaåm sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn trong caùc tröôøng hôïp sau:
a)
t
etp
08,0
2)(
−
+=
b)
)(tp
=
tt
eCeC
4
21
−−
+
+
t
e
3
2
1
375
−
−
c)
)(tp
=
tt
eCeC
7
21
−−
+
+
t
e
2
5
1
200
−
−
Baøi 2.7 (Mô hình hàm mũ)
Đại lượng
Q
gọi là tăng trưởng liên tục theo biến thời gian
t
với quy luật hàm
mũ nếu
rt
o
eQQ =
(với
0= constQ
o
-là giá trị ban đầu,
0= constr
)
Tính
)(lim tQ
t +→
vaø suy ngẫm về giá trị của
)(tQ
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Theo
baïn, trong ñôøi soáng thöïc teá coù toàn taïi ñaïi naøo taêng lieân tuïc theo quy luaät haøm muõ cuûa
bieán thôøi gian trong khoaûng thôøi gian ñuû lôùn khoâng ? Taïi sao ?
Baøi 2.8 (Mô hình logistic)
Giaû söû daân soá moät quoác gia sau t naêm tính töø naêm 2016 laø
)(tp
, ñôn vò tính trieäu
ngöôøi, ñöôïc xaáp xæ bôûi moâ hình logistic cho bôûi haøm
)(tp
t
eK
K
015,0
).327(327
327
−
−+
=
, với
0= constK
Tính daân soá naêm 2016; tính
)(lim tp
t +→
vaø öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau khoaûng thôøi
gian t ñuû lôùn.

Tài liệu khác của Trường Đại học Phạm Văn Đồng

Preview text:

Chương 2
GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ- HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
§1.GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ
Sau khi hoïc xong baøi naøy, baïn coù theå:
Bieát khaùi nieäm giôùi haïn haøm soá moät bieán, caùc tính chaát giôùi haïn;
Bieát caùc daïng voâ ñònh, caùc daïng khoâng phaûi voâ ñònh;
Bieát caùc giôùi haïn ñaëc bieät vaø caùch söû duïng caùc giôùi haïn naøy khi tính giôùi haïn;
Hieåu khaùi nieäm vaø yù nghóa voâ cuøng beù (VCB), voâ cuøng lôùn (VCL) vaø bieát
caùch öùng duïng khi tính giôùi haïn;
Biết cách sử dụng quy tắc L’Hospitale để tính giới hạn;
Bieát ứng dụng và phaân tích yù nghóa giôùi haïn vaøo caùc baøi toaùn thực teá.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1. Ñònh nghóa
Vôùi   0 beù, ta goïi  -laân caän ñieåm x laø taäp taát caû caùc ñieåm x thoûa x − x   , kyù hieäu o o ( B x , ) . o
B(x , ) = x : x x o  −  o
Ñieåm x goïi laø ñieåm tuï cuûa D (  D  ) neáu moïi  -laân caän ñieåm x chöùa voâ soá ñieåm o o thuoäc D . Kyù hieäu
lim f(x) duøng ñeå chæ giôùi haïn cuûa haøm soá f (x) khi x daàn veà ñieåm x vaø ñònh x →x o 0
nghóa nhö sau ñaây ( L laø haèng soá).
Ñònh nghóa 1 Cho haøm soá y = f (x) coù mieàn xaùc ñònh D   vaø x laø ñieåm tuï cuûa D . o ÑN daõ  y xn x D, ⎯ ⎯ → x lim f(x) = L  n 0 x →x 0 thì d y aõ x f( ) ⎯ ⎯ → L n
Lưu ý • D y aõ x ⎯
⎯ → x  lim x = x . n 0 n o n → • D y aõ x ⎯
⎯ → x  lim x = x ; x f( ) ⎯ ⎯ → L
 lim f (x ) = L n 0 n o n n n → n →
• Neáu toàn taïi daõy voâ haïn x  vaø x ⎯ ⎯ x
→ thì x goïi laø ñieåm tuï cuûa D . n  D n 0 o
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 40
Ñònh nghóa 2 Cho haøm soá y = f (x) coù mieàn xaùc ñònh D   vaø x laø ñieåm tuï cuûa D . o ÑN   c 0 h o tröôùc  ,   0 s ao c ho  x  thoû a D lim f(x) = L  x →x
0  x - x   thì f(x) - L   0  o
Chuù yù Ñònh nghóa 1 vaø ñònh nghóa 2 laø töông ñöông nhau. Trong ñònh nghóa treân ta thaáy, x
daàn veà ñieåm x coù nghóa laø x gaàn x bao nhieâu cuõng ñöôïc nhöng x x . o o o
Quan sát trực quan dự đoán giới hạn 2 Ví d x − ụ 2.1 4
Xét giới hạn lim f (x) = lim x→2 x →2 x − 2
a) Quan sát bảng giá trị 2 D x − ự đoán 4 lim f (x) = lim = 4 x→2 x→2 x − 2
b) Quan sát đồ thị hàm số dự đoán giới hạn 2 x − 5 2 x − 4
y = f (x) =
y = f (x) = x − 2 x − 2 2 x − 5 2
Dự đoán lim f (x) = lim =  D x − ự đoán 4 lim f (x) = lim = 4 x→2 x→2 x − 2 x→2 x→2 x − 2
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 41 Ví dụ x
2.2 Tính giới hạn hàm số f (x) = khi x →1. 2 x + 1 Giải
Tập xác định hàm số là D =  nên x =1 là điểm tụ của D. o  x 1 1 x  ⎯
⎯ → , lim f (x ) = lim n = = n  x D, 1 n n 2 n→ n→ x +1 12 +1 2 n def def
Giôùi haïn moät phía lim f(x) = lim f(x) ; lim f(x) = lim f(x) x →a + x →a − x →a x →a ( x a) ( xa)
Löu yù: Giôùi haïn
lim f(x) toàn taïi khi vaø chæ khi lim f(x) toàn taïi,
lim f(x) toàn taïi vaø x →a + − x→a x →a lim f(x) = lim f(x) . + − x→a x →a
Caùc daïng voâ ñònh
 −       , , , . , , ,    STT DẠNG VÔ ĐỊNH
VÍ DỤ MINH HỌA (Ví dụ 2.3 ) 1 0 m lim x + sinx , x −1 lim 0 x 0 esinx → −1 x → n 1 x −1 2  x2 − 1 2 , t  lim lim x→+ ln x t t → + e 3  − 
lim ( x2 +1 − x) x → + 4  . 0 lim x2 ln x , lim x(ln(x + ) 5 − ln x) x 0+ → x → + 5  t 1 lim (1+ t)1  1 t = e = lim 1   +  t → 0 t →   t  1 kt  09 . 0  sin 2x lim 1 ( + 3x) , lim P1+  với t  0 x→0 k →+  k  6 0 0 x lim x , tan x lim x x + → 0 x 0+ → 7 0   sin x lim x x ,  1  lim   x → + → + x x 0 
Một số daïng khoâng phaûi voâ ñònh a  =  a  (a  ) 0 ; = 0; =  ; .
a  = (a  ) 0 ; q = ( 0 q  ) 1 0  a
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 42 STT DẠNG KHÔNG VÔ ĐỊNH
VÍ DỤ MINH HỌA (Ví dụ 2.3 ) 1 a x + sinx  + =  0 (a  ) 0 lim = =  0 x→ sinx e −1 0 2 a 2 − = e x + 3 0 + 3 0 = =  lim 0 x→+ ln x +  3  2 =  x + 1  lim = =  a − →+ 2 x x e +1000000 0 +1000000 4 .
a  = (a  ) 0  x + 5  lim ln( ) + 6(x + ) 1 = (0 + 6) =  x →  + x  5  q = ( 0 q  ) 1 2 x 1 − 2  x −  1   1  lim =   = 0  x  →  2 2 x + 1    2  6  q = (  q  ) 1 2  x 1 3 2 x −1  −  3  lim =   =   x  → 2   2x +1  2 
2. Moät soá tính chaát
i) Giôùi haïn cuûa haøm soá (neáu toàn taïi) thì duy nhaát.
ii) Neáu lim f(x) = A , lim g(x) = B thì x → x x → x o o
lim ( f (x)  g(x)) = A B f (x) A lim = x → xo → g(x) B x xo  lim f (x g ). (x) = A B . x → x
lim  f (x)g(x) B = A o x → xo
lim k. f (x) = kA với k = const x → xo
( vôùi ñieàu kieän caùc veá phaûi khoâng coù daïng voâ ñònh)
f (x)  g(x),x x B( , ) iii) Neáu  o  thì A  B.
 lim f (x) = A, lim g(x) = Bx→x x→x o o
g(x)  f (x)  h(x),x x B( , )
iv) Tính chaát keïp: Neáu  o  
 thì lim f (x) = L
 lim g(x) = L = lim h(x) x→x x→xx → x o o o v) Neáu li m f(x) = 0 thì li m f(x) = 0 . x →x x →x 0 0 Ví d 2  1 
ụ 2.4 (Tính chất kẹp) Tính giới hạn limx c  os  x→0  x Giaûi
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 43 Quan sát bảng giá trị
Ta có bất đẳng thức kép  1  2 2 2
− x x cos   x , x  0  x  Dễ thấy 2 2 li (
m −x ) = 0 = lim x x 0 → x 0 →
Áp dụng tính chất kẹp ta được  1  lim 2 x cos  = 0 x→0  x
Hình ảnh trực quan tính chất kẹp thể hiện như hình bên dưới.   Dự đoán 1 lim 2 x cos  = 0 x→0  x  Quan sát đồ thị Đồ thị các hàm số  1    2 2 2
y = x , y = x cos ,  y = −x Dự đoán 1 lim 2 x cos  = 0  x x→0  x
3. Moät soá giôùi haïn ñaëc bieät sin t a  lim = 1 (+ )t − t → 0 t  lim = a t →  t − cost   lim = t 1  1 t  →  t 
 lim (1+ t) t = e = lim 1+  t t → 0 t →   t  e −1  lim = 1 lnp t t → 0 t  lim =  ,  p t t → + t a −1  lim = ln , a a>0 p t t → 0 t  lim = 0 ,  p t ln(+ t) t → + e  lim =  t →  t
Ví dụ 2.5 Tính caùc giôùi haïn
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 44 2 n a) sin kx ln x 1 + x −1 lim
(k = const  ) 0 b) lim c) lim → x x 0 → + x x → x x 0 2x d) x + 1 tan kx  3  lim e) lim
(k = const  ) 0 f) lim 1 +  2 x →  x + 1 → x x 0 →   x xGiaûi a) sin kx k sin kx lim = lim
= k 1 = k (giôùi haïn soá ) → x x 0 → kx x 0 2 b) ln x lim = 0 (giôùi haïn soá ) x → + x 1 n (1+ x) c) 1 + x −1 n − 1 1 lim = lim = (giôùi haïn soá ) → x x 0 → x n x 0 1 1 x 1 ( + ) x 1 ( + ) d) x + 1 x + 1 lim = lim x = 1 ; lim = lim x = -1 2 x → + x + 1 2 x → + 1 x → − x + 1 x → − 1 x 1+ − x 1+ 2 2 x x e) tan kx sin kx k lim = lim . = k . 1 = k → x x 0 → kx coskx x 0 6  x     2x 3    f)  3  1 x lim 1 +  = lim 1+   = 6
e (giôùi haïn soá  vôùi t = ) →   x x  →  x x  3    3    
1.4. Voâ cuøng beù- Voâ cuøng lôùn (VCB-VCL) 1.4.1. Ñònh nghóa
• u(x)  0 goïi laø VCB khi x → xo neáu lim u(x) = 0 x → xo
• g(x) goïi laø VCL khi x → xo neáu lim g(x) =  x → xo 1
Löu yù: u(x) laø VCL khi x → xo  laø VCB khi x → x ( u x) o. Ví dụ 2.6
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 45
a) Vôùi k laø soá nguyeân, lim sinkx = 0 neân sinkx laø VCB khi x →  . x → 
b) Vôùi k = const : ln 1 ( + x) , kx e
−1, sinkx , 1− coskx , 1 ( + )k x
−1, tan x laø caùc VCB khi x → 0.  − R t
c) Doøng ñieän Eo   i t ( ) = 1 − L e
trong maïch maéc noái tieáp RL nhö hình veõ R    
Hình Maïch RL  − R t  Vì Eo L E lim i(t) = lim 1 − e = o 1 ( 0
− e ) = 0 neân i(t) laø VCB khi +
t → 0 . Töùc laø, ngay + + t →0 t →0 R     R
sau thôøi ñieåm ñoùng maïch thì doøng ñieän trong maïch xaáp xæ 0.
d) Theo thuyeát töông ñoái, Lorentz ñöa ra coâng thöùc ruùt goïn 2 v L = L 1 − o 2 c
bieåu dieãn chieàu daøi L cuûa moät vaät theå bôûi haøm soá theo vaän toác v öùng vôùi moät ngöôøi
quan saùt, trong ñoù L laø chieàu daøi vaät theå luùc ñöùng yeân vaø c laø vaän toác aùnh saùng. Ta o 2 2 coù, v v lim L = lim L 1 −
= 0 neân L = L 1− laø VCB khi −
v → c . Töùc laø, khi moät vaät − − o 2 o 2 v→c v→c c c
chuyeån ñoäng vôùi vaän toác gaàn baèng vaän toác aùnh saùng thì kích thöôùc vaät co laïi xaáp xæ baèng 0.
e) ln x , x
e , ax (a  ) 1 , k
x (vôùi k  )
0 laø caùc VCL khi x → + .
Vì lim ln(x − )
1 = − neân ln(x − ) 1 laø VCL khi + x → 1 . x → + 1 f) Cho kt Q t
( ) = Q e , vôùi k = const  0 vaø Q = const  0 , laø haøm soá bieåu dieãn moät ñaïi o o
löôïng taêng theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian t vôùi löôïng ban ñaàu k Q( = Q e 0. ) 0
= Q . Vì lim Q t() = kt lim Q e = + neân kt Q t
( ) = Q e laø VCL khi t → + . o o o t →+ →+ o t
Töùc laø, moät ñaïi löôïng taêng theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian t thì sau khoaûng
thôøi gian t ñuû lôùn ñaïi löôïng naøy seõ lôùn ñeán gần như voâ haïn. g) Cho −kt Q t ( ) = Q e
, vôùi k = const  0 vaø Q = const  0 , laø haøm soá bieåu dieãn moät ñaïi o o
löôïng giảm theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian t vôùi löôïng ban ñaàu −k Q( = Q e 0. ) 0
= Q . Vì lim Q(t) = lim −kt Q e = 0 neân −kt Q t ( ) = Q e
laø VCB khi t → +. o o o t →+ →+ o t
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 46
Töùc laø, moät ñaïi löôïng giảm theo quy luaät haøm muõ bieán thôøi gian t thì sau
khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn ñaïi löôïng naøy seõ nhỏ dần về 0 (những gì đặc trưng bởi
đại lượng này sẽ chuyển hóa, hay biến mất, hay tuyệt chủng,...).
1.4.2. So saùnh VCB, so saùnh VCL Vô cùng bé Vô cùng lớn
 Cho u(x), v(x) laø hai VCB khi x → xo vaø  Cho u(x), v(x) laø hai VCL khi x → xo vaø giaû söû u(x) u(x) lim = K giaû söû lim = K → v(x) x x → v(x) x x o o
i) K = 1: u(x) vaø v(x) goïi laø hai VCB töông i) K =1: u(x) vaø v(x) goïi laø hai VCL
ñöông; kyù hieäu: u(x)v(x), khi x→ xo.
töông ñöông khi x → xo.
ii) K = 0: u(x) laø VCB caáp cao hôn v(x), kyù ii) K = 0: u(x) laø VCL caáp thaáp hôn v(x)
hieäu: u(x) = o(v(x)), khi x → xo. khi x → xo.
iii) K = : u(x) laø VCB caáp thaáp hôn v(x), iii) K = : u(x) laø VCL caáp cao v(x) khi x khi x → xo . → xo .
iv) 0 K  : u(x) vaø v(x) laø hai VCB cuøng iv) 0  K  : u(x) vaø v(x) laø hai VCL
caáp, khi x → xo.
cuøng caáp khi x → xo. Ví dụ 2.7
a) Töø caùc giôùi haïn ñaëc bieät töø ôû treân cho chuùng ta caùc VCB töông ñöông khi t → 0 sau ñaây: 2 t
sint t , 1 − cost
, te −1t , t
a − 1 t lna , ln 1 ( + t)  t , 1 ( + )a t −1 at 2 b) Khi x →  , 6 3 2
x − x + 5x − 3 laø VCL töông ñöông vôùi 3 6x .
c) Khi x →  vaø a  0 , n n 1 a x + a
x − + ... + a x + a laø VCL töông ñöông vôùi n a x . n n n 1 − 1 0 n
Qui taéc thay VCB, VCL töông ñöông- Qui taéc ngaét boû VCB caáp cao, VCL caáp thaáp VÔ CÙNG BÉ VÔ CÙNG LỚN
Cho u(x), v(x), f(x), g(x) laø caùc VCB Cho u(x), v(x), f(x), g(x) laø caùc VCL khi x → x khi x → x o o
 Neáu u(x)  f(x), v(x)  g(x) khi  Neáu u(x) töông ñöông f(x), v(x) töông x → x thì
ñöông g(x) khi x → x thì o o f (x) u(x) f (x) u(x) lim = lim lim = lim g(x) x → x → v(x) x x g(x) x → x → v(x) x x 0 o 0 o
 Neáu u(x) laø VCB caáp cao hôn f(x) vaø  Neáu u(x) laø VCL caáp thaáp hôn f(x) vaø v(x)
v(x) laø VCB caáp cao hôn g(x), khi
laø VCL caáp thaáp hôn g(x) khi x → x thì o x → x thì  o f (x) u(x) f (x) lim = lim
f (x)  u(x) f (x) →
g(x)  v(x) → g(x) lim = lim x x x x o o →
g(x)  v(x) x x → g(x) x x o o
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 47 Ví dụ 2.8 sin(u(x) )
a) Neáu t = u(x) laø VCB khi x → x thì lim = 1. o x →x 0 u(x) ln(1 + u(x))
b) Neáu t = u(x) laø VCB khi x → x thì li m = 1. o x →x 0 u(x) eu(x) - 1
c) Neáu t = u(x) laø VCB khi x → x thì li m = 1. o x →x 0 u(x) au(x) - 1
d) Neáu t = u(x) laø VCB khi x → x thì li m = lna , vôùi a>0. o x →x 0 u(x) 1
e) Neáu t = u(x) laø VCB khi x → x thì li m 1 ( + u(x) u(x)) = e . o x →x 0 ln(1+ tan2x) tan2x 2x 2 f) li m = li m = li m = (thay VCB töông ñöông) x→0 sin5x x→0 sin5x x→0 5x 5 2x + sin2x 2x g) lim = lim
= 0 (ngaét boû VCB caáp cao) 3 x→0 x + 1- cosx 3 x→0 x 7 3 x − 5x + 6 7 3 x 7x h) lim = lim = lim
=  (thay VCL töông ñöông) x → 2 2 x + x + x → 2 x→ 1 2x 2 3 2x 3 e + x − 5 3 2x e 3 i) lim = lim
= (thay VCL töông ñöông hay ngaét boû VCL caáp thaáp) x →+ 4e2x 2 x − x + →+ x 4e2x 4
1.5 Qui taéc L’Hospital
Qui taéc 1 Giaû söû caùc haøm f(x), g(x) thoûa:
• f(x), g(x) coù ñaïo haøm trong laän caän ñieåm a (a höõu haïn hoaëc baèng ) coù theå tröø ñieåm a. •
lim f(x) = lim g(x) =  vaø g’(x)  0 trong laân caän ñieåm a. x → a x → a , , Khi ñoù neáu f (x) f(x) f (x) lim = A thì lim = lim
= A (A höõu haïn hoaëc voâ haïn). , x → a g (x) x → a g(x) , x → a g (x)
Qui taéc 2: Giaû söû caùc haøm f(x), g(x) thoûa:
• f(x), g(x) coù ñaïo haøm trong laän caän ñieåm a (a höõu haïn hoaëc baèng ) coù theå tröø ñieåm a. •
lim f(x) = lim g(x) =  , vaø g’(x)  0 trong laân caän ñieåm a. x → a x → a , , Khi ñoù neáu f (x) f(x) f (x) lim = A thì lim = lim
= A (A höõu haïn hoaëc voâ haïn). , x → a g (x) x → a g(x) , x → a g (x)
Ví dụ 2.9 Tính caùc giôùi haïn arctgx − 2 a) 4 ln 1 ( + x ) lim b) x lim x c) lim 1 − x 1 → x x e −1 + x→0 x→+ e −1
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 48 Giaûi
Aùp duïng quy taéc L’Hospital  1 arctgx − ( L) a) 4 2 1 + lim = 1 lim x = 1 − 1 − 1 → x x e −1 1 → x x e 2 1 ( L) b) ln x ln x x lim x = lim x ln 0 e
x = e = 1 ( vì lim x ln x = lim = lim
= lim x = lim(−x) = 0 ) + + + + + + x→ x→ − + x→0 x →0 x→0 x→0 1 0 1 0 1 x →0 x 2 x x 2x 2 ( L) c) ln 1 ( + x ) 2 0 + lim = 1 lim x = = 0 →+ x x e −1 →+ x x e + 
1.6. Caùc caùch thöôøng duøng ñeå tính giôùi haïn
 Neáu khoâng coù daïng voâ ñònh thì thay vaøo;
 Aùp duïng tính chaát, ñònh nghóa giôùi haïn;
 Aùp duïng haèng ñaúng thöùc, löôïng lieân hieäp;
 Aùp duïng caùc giôùi haïn ñaët bieät;
 Aùp duïng voâ cuøng beù, voâ cuøng lôùn;
 Ñoåi bieán (cho goïn hoaëc gaàn gioáng vôùi caùc daïng ñaëc bieät);
 Aùp duïng quy taéc L’Hospital;
 Quan sát đồ thị hay bảng số có thể “dự đoán” kết quả giới hạn hay tính xaáp xæ giôùi
haïn. Nhiều trường hợp cách này cũng cho kết quả chính xác;
 Söû duïng phoái hôïp caùc caùch treân hoặc dùng Casio, máy tính có phần mềm phù hợp.
1.6. Ứng dụng và yù nghóa giôùi haïn
Khái niệm giới hạn là nền tảng để xây dựng các khái niệm hàm số liên tục, đạo hàm,
tích phân, tích phân suy rộng,…mà chúng sẽ nghiên cứu và khám phá ứng dụng ở các
phần/bài/chương/môn học tiếp theo. Trong các ví dụ ngay sau đây, chúng ta bước đầu
làm quen với việc phân tích ý nghĩa và ứng dụng của giới hạn.
Ví dụ 2.10 Baïn vai soá tieàn ban ñaàu P vôùi laõi suaát r vaø lãi được ghép liên tục
(compounded continuously) vào vốn thì số tiền tích lũy sau t năm là F (t) = rt Pe . Vì rt
lim Pe = + neân ñaây laø moät VCL khi t → + . Noùi caùch khaùc khi thôøi gian ñuû lôùn t →+
thì soá tieàn baïn phaûi traû raát lôùn.
ÔÛ phaàn cuoái cuûa chöông naøy, baïn seõ thaáy caùch gheùp laõi ñònh kyø vaø gheùp laõi lieân tuïc
thì soá tieàn cheânh leäch nhau khoâng ñaùng keå. Laõi meï ñeû laõi con, neân neáu tham lam hay
khoâng öùng xöû vôùi tieàn ñuùng möïc khoân ngoan thì baïn coù theå baát haïnh vì nôï naàn vaø
laøm cho ngöôøi thaân mình bò vaï laây.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 49
Ví dụ 2.11 Xeùt maïch ñieän RL nhö hình veõ. Trong ñoù i(0) = 0, R, L laø caùc haèng soá.
Hình Maïch RL  − R t  Neáu E(t) = E Eo  
0 laø haèng soá thì i t ( ) = 1 − L e
. Tính lim i(t) öôùc tính giaù trò R   t →+  
i(t) sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Giaûi  − R t  Ta coù E E E o   lim i(t) = lim 1 − L e
= o (1− 0) = o t →+ t →+ R     R R Öôùc tính giaù trò E E
i(t) sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn: i(t) 
o (vaø i(t)  o ) R R Ví dụ 2.12 a) − Cho , 0 r(t) = t 500 + 2350 e 2382 0
(ñôn vò $1) laø giaù trò baùn laïi cuûa moät maùy sau
t naêm(tính töø luùc mua, t = 0) . Tính lim r(t) vaø öôùc tính giaù trò maùy sau khoaûng t →+ thôøi gian t ñuû lôùn.
b) Giaû söû daân soá moät quoác gia sau t naêm tính töø naêm 2013 laø p(t) , ñôn vò tính 10
trieäu ngöôøi, ñöôïc xaáp xæ bôûi moâ hình logistic cho bôûi haøm 18 p(t) = . −0, t 1 + e 003
Tính daân soá naêm 2013; tính lim p(t) vaø öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau t →+
khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
c) Nhieät ñoä T = T(t) cuûa moät xaùc cheát trong moät caên phoøng o
20 C sau t giôø tính
töø luùc ngöôøi ñoù cheát cho bôûi − 07 . 0 t T t ( ) = 20 + e 17 o C
Tính lim T(t) , lim T(t) vaø öôùc tính nhieät ñoä xaùc cheát sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. + t →O t →+ Giaûi a) − , 0 2382t
lim r(t) = lim 500 ( + 23500e ) = 500 . t →+ t →+
Öôùc tính giaù trò cuûa maùy sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn:: r(t)  $500
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 50 b) 18 lim p(t) = lim = 18. − t →+ t →+ 0, t 1 + e 003 .
Öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn: p(t)  180 trieäu ngöôøi.
c) lim T(t) = lim (20 17 07 . 0 t e− +
) = 20 +17 = 37 ( o C ) → Ngay sau thôøi ñieåm ngöôøi + + t →O t →O
naøy cheát thì nhieät ñoä xaùc cheát laø 37 o C .
lim T(t) = lim (20 17 07 . 0 t e− + ) = 20+ 0 = 20 t →+ t →+
Öôùc tính nhieät ñoä xaùc cheát sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn: T t o
( )  20 C (vaø T (t) 20oC) Bài tập
Baøi 2.1 Tính caùc giôùi haïn sau: 1 d) lim x(ln(x + ) a − ln x) a) x 1 lim 2 − x → + x →1 m x −1 x 1 e) lim b)   lim  −  x → n 1 x −1 x →  1 1− x ln x   1  f) lim xax −1 , a > 0 c)  2    lim x x +1 − x x →    x →   
Baøi 2.2 Tính caùc giôùi haïn sau : ( aùp duïng tính chaát keïp) a) lim (sin x +1 − sin x) 2 1 x → + x sin c) x lim  1 b) x → 0 sin x
lim x .sin , vôùi  > 0 x → 0 x
Baøi 2.3 Tính caùc giôùi haïn sau : x x + sinx a) x − lim 1 c) lim x sinx 1 → x ln x x→0 e −1 x x ln cos(x − )  b) 5 − 4 lim d) lim ( ) x→0 x2 + x x→ ( x − )  ln x
Baøi 2.4 Tính caùc giôùi haïn sau : ( daïng  0 0 1 0 , , ) a)  lim xx 1 e) x x x → +  c) lim sin 2x lim 1 ( + tgx) → x → +  x 0 b) x + lim (+ sin ) x x 7 4 1  x + 2  x →  f) lim   d) sin lim (cosx) x  →  x − 5  x x 0 →
Baøi 2.5 Xeùt maïch ñieän RL nhö hình veõ. Trong ñoù i(0) = 0, R, L laø caùc haèng soá.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 51
Hình Maïch RL
Neáu E(t) = E0sint ,  laø haèng soá thì − E R owL wRL − EowL t i(t) = coswt + sinwt + L e− 2 2 2 R + w L (R2 + w2L2 ) 2 2 2 R + w L R Tính − t lim L e
vaø xaùc ñònh quy luaät bieán thieân cuûa i(t) sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. t →+
(HD: Xem lại cách giải phương trình lượng giác cổ điển bằng cách đưa vào cung phụ mà bạn đã học ở phổ thông)
Baøi 2.6 Goïi p(t) laø giaù saûn phaåm (ñôn vò tính USD) taïi thôøi ñieåm t. Tính lim p(t) t →+
vaø öôùc tính giaù saûn phaåm sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn trong caùc tröôøng hôïp sau: a) 0 − , t p t ( ) = 2 + e 08 b) 1 p(t) = −t 4 − t − C e + C e + t 375 − e 3 1 2 2 c) 1 p(t) = −t 7 − t − C e + C e + t 200 − e 2 1 2 5
Baøi 2.7 (Mô hình hàm mũ)
Đại lượng Q gọi là tăng trưởng liên tục theo biến thời gian t với quy luật hàm mũ nếu rt
Q = Q e (với Q = const  0 -là giá trị ban đầu, r = const  0 ) o o
Tính lim Q(t) vaø suy ngẫm về giá trị của Q(t) sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Theo t →+
baïn, trong ñôøi soáng thöïc teá coù toàn taïi ñaïi naøo taêng lieân tuïc theo quy luaät haøm muõ cuûa
bieán thôøi gian trong khoaûng thôøi gian ñuû lôùn khoâng ? Taïi sao ?
Baøi 2.8 (Mô hình logistic)
Giaû söû daân soá moät quoác gia sau t naêm tính töø naêm 2016 laø p(t) , ñôn vò tính trieäu
ngöôøi, ñöôïc xaáp xæ bôûi moâ hình logistic cho bôûi haøm 327K p(t) =
, với K = const  − 0 0,01 t
327 + (K − 327 e 5 ).
Tính daân soá naêm 2016; tính lim p(t) vaø öôùc tính daân soá quoác gia naøy sau khoaûng thôøi t →+ gian t ñuû lôùn.
TOAÙN CAO CAÁP 1 …….……………………………..……..……………………….………………….………………………………… Trang 52
Document Outline

  • Ví dụ 2.9 Tính caùc giôùi haïn

Tài liệu liên quan: