Chuyên đề Tích phân xác định môn Toán cao cấp | Trường Đại học Phạm Văn Đồng

§2 . TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH
Sau khi hoïc xong baøi naøy, baïn coù theå:
 Hieåu vaø bieát caùch öùng duïng ñònh nghóa, tính chaát tích phaân xaùc ñònh.
 Bieát caùch aùp duïng phöông phaùp ñoåi bieán tính tích phaân xaùc ñònh.
 Bieát caùch aùp duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn tính tích phaân xaùc ñònh.
 Bieát caùch öùng duïng tích phaân xaùc ñònh. 1.Ñònh nghóa
Cho haøm soá y  f (x) xaùc ñònh treân ñoaïn a,b. Chia tuøy yù ñoaïn a,b thaønh n ñoaïn con bôûi caùc ñieåm chia
a  x  x  x  ....  x  ...  x  b o 1 2 k n
Mỗi cách chia ñoaïn a,b như trên gọi là một phân hoạch của ñoaïn a,b.
Ñaët x  x  x
vaø treân ñoaïn x , x ta laáy ñieåm t tuøy yù ( k = 1, 2, 3, ...., n). Laäp toång k 1  k  k k k 1  k n I  f t ( ). x  I n  k k ,
n goïi laø toång tích phaân hay tổng Riemann cuûa haøm f(x) treân ñoaïn k1
a,b. Cho n   sao cho max x  0 . Khi ñoù neáu I daàn ñeán moät giôùi haïn höõu haïn I k n
khoâng phuï thuoäc caùch chia ñoaïn a,b vaø caùch laáy caùc ñieåm t thì giaù trò I goïi laø tích phaân k b
xaùc ñònh cuûa haøm soá f (x) treân a,b vaø kyù hieäu laø  f (x)dx a
Ñoaïn a,b goïi laø ñoaïn tích phaân; a vaø b laàn löôït laø caän döôùi vaø caän treân; x goïi laø bieán laáy tích phaân.
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 14 n b I  lim  f t( x Δ ).  f (x)dx k k  n   n1 a max x Δ  k 0
Khi ñoù haøm f (x) goïi laø khaû tính treân ñoaïn a,b. b
Trong ứng dụng thực tế, khi n đủ lớn và max x Δ
đủ bé thì có thể tính gần đúng f (x)dx k  a ? như sau b n f(x)dx   f t ( ). x Δ  k k a k 1  S S max min S  S  S min max
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 15
2.Ñieàu kieän toàn taïi.
Neáu haøm soá f (x) lieân tuïc treân ñoaïn a,b hoaëc f (x) coù höõu haïn ñieåm giaùn ñieåm loaïi 1 b
treân ñoaïn a,b thì toàn taïi  f (x)dx. a
3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân xaùc ñònh b b b b 1)
dx  b  a 1
; f (x)dx  
 f t()dt  f (s)ds  ...  a a a a b b b b b 2) f(x)  ( g x   ) dx   f(x dx )   ( g x dx ) ;  kf(x dx ) k  f(x dx ) , k = const a a a a a b b b 3)
f (x)  g(x) 
dx    f (x)dx   g(x)dx , vôùi ,   const a a a b 4)
Neáu f (x)  0 x  a,b  thì  f(x dx )  0 a b b 5)
Neáu f (x)  g(x) , x  a,b thì  f(x dx )   ( g x dx ) a a b 6)
Neáu m  f (x)  M, x a,b thì m (b - a)  f(x)dx   M(b -a). a
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 16 b b 7)  f(x dx )   f(x)dx a a b c b b a a 8)
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx;  f (x)dx = -  f (x)dx ;  f (x)dx  0 a a c a b a a 9)
Neáu f (x) laø haøm leû treân -a, a thì :
f (x)dx  0  .  a a a 10)
Neáu f (x) laø haøm chaün treân -a, a thì : f(x)dx  f(x)dx   . a 
 Chuù yù Trong caùc tính chaát treân, ta giaû thieát raèng caùc tích phaân ñeàu toàn taïi. π
Ví dụ 10 Tính tích phân I  5
(  4x2019  8sin9 x)dx  π Giải π π π π I  5
(  4x2019  8sin9 x)dx   5 dx  
(4x2019  8sin9 x)dx   π
10  (4x2019  8sin9 x)dx  π π π π π
Vì f (x)  4x2019 9
 8sin x laø haøm leû neân (4 2019 x
 8sin9 x)dx  0  π π Vaäy I  5
(  4x2019  8sin9 x)dx  π 10  π
4. Ñònh lyù veà giaù trò trung bình b
Neáu f (x) lieân tuïc treân a, b thì toàn taïi soá c  a,b sao cho f(x)dx  f c ( )(b  a)  . Khi ñoù a b 1 ñaïi löôïng
 f (x)dx ñöôïc goïi laø giaù trò trung bình cuûa haøm f (x) treân ñoaïn a,b. b  a a
5- Coâng thöùc Newton - Leibnitz
5.1 Định lý cơ bản của Giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus, Part II) x
Neáu haøm f (x) lieân tuïc treân khoaûng (α, β)  a  const thì haøm F(x) =  f(t dt ) laø moät a '  x  nguyeân haøm cuûa  
f (x) treân ñoaïn (α, β) . Töùc laø f (t)dt
 F '(x)  f (x) .    , x   (α, β)    a  
Heä quaû Vôùi giaû thieát caùc ñaïo haøm vaø tích phaân ñeàu toàn taïi thì
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 17 ' u(x)    f (t)dt
 f (u(x)).u'(x)       a  x 3 sin t 3x x Ví d 2 2
ụ 11 Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau: f (x)  
dt , g(x)    t e
dt , h(x)   te dt , t 1 0 2 x Giải ' x  sin t  sin x
Ñaïo haøm f '(x)   dt     t  x  1  ' 3x   Ñaïo haøm 2 2 2 t 9 x 9
g'(x)   e dt   e 3 ( x)' 3 x e     0  ' ' 3 3 x x 2 x     Ñaïo haøm 2 2 2 6 2 h'(x) t t t x   e dt   
e dt  e dt   e 3 2 4 x x  e 2        2 x 0 0    
5.2 Coâng thöùc Newton - Leibnitz
* Định lý cơ bản của Giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus, Part I)
Neáu f (x) lieân tuïc treân ,   vaø F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f (x) treân ,   thì b
 f (x)dx  F b
( )  F (a) a,b  ,   (Coâng thöùc Newton – Leibnitz) a 5.3 Hệ quả
i) Suy ra, neáu haøm soá f (x) coù ñaïo haøm f '(x) lieân tuïc treân ,   thì f (x) laø nguyeân haøm
cuûa f '(x) treân ,   neân ta coù b f b
( )  f (a)   f '(x)dx a,b ,   a
ii) Neáu f (x) lieân tuïc treân ,   vaø F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f (x) treân ,   thì
giaù trò trung bình f (x) treân ñoaïn [a,b] laø b 1 F b ( )  F (a) b 1
 f (x)dx  
 F'(x)dx b  a b  a b  a a a
Ví dụ 12 Taïi moät nôi quan saùt, nhieät ñoä trong moät ngaøy töø 0 giôø ñeán 24 giôø xaùc ñònh gaàn
ñuùng theo quy luaät cho bôûi haøm soá nhö sau 2 2 T (t)  12  (t  )
13 oC vôùi 0  t  24 3
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 18
Tính nhieät ñoä trung bình trong khoaûng töø 2 giôø ñeán 14 giôø. Giải
Nhieät ñoä trung bình trong khoaûng töø 2 giôø ñeán 14 giôø laø 14 14 1 1  2 1  2 14 2 
T(t)dt  12  (t  ) 13 dt  12t  (t  ) 13 3    67 . 12 oC 14  2 12 3 12  9  2 2 2  
Vaäy nhieät ñoä trung bình trong khoaûng töø 2 giôø ñeán 14 giôø xaáp xæ 12.67 o - C .
Ví dụ 13 Tính caùc tích phaân π π 4 1 a) 1
A  (6x  2sin3x)dx b) B   2
tan xdx c) I  dx  e2x  1 0 0 0 Giải π π a) 2 2 2 4
A  (6x  2sin3x)dx  3 ( x  cos3x)  3π  3 0 3 0 π π π π 4 4 4 4 π π b) B  4 π  2 tan xdx   1 (  2 tan x  ) 1 dx   1 (  2
tan x)dx   dx  tan 4 x  x  1  0 0 4 0 0 0 0 1 1 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x c) 1 1  e  e e 1 (e  )' 1 I  dx   dx  1 (  )dx  1 (  )dx    e2x  1 e2x  1 e2x  1 2 e2x  1 0 0 0 0 1 1 2 x 1 2 1  (x  ln(e  ) 1  1  ln(e  ) 1  ln 2 2 0 2 2
6 . Caùc phöông phaùp tính tích phaân xaùc ñònh
6.1- Phöông phaùp ñoåi bieán
6.1.1.Coâng thöùc bieán ñoåi thöù nhaát b
Xeùt tích phaân f((x)).'(x)dx 
vôùi f(x) lieân tuïc treân ñoaïn (a),(b). Giaû söû u = (x) a
thoûa caùc ñieàu kieän sau:
 (x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân a, b.
 Khi x bieán thieân treân a, b thì (x) bieán thieân treân (a),(b) (hoaëc (b),(a) neáu (b)< (a)). b (b) Khi ñoù f(x)  .'(x dx )   f(u du ) a  ) a (
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 19
6.1.2.Coâng thöùc ñoåi bieán thöù hai
Giaû söû haøm x = (t) thoûa caùc ñieàu kieän sau:
 Haøm (t) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân , ; () = a, () = b
 Khi t bieán thieân trong ,  thì x bieán thieân trong a, b b β khi ñoù  f(x dx )   f((t)).'(t)dt α a
Ví dụ 14 Tính caùc tích phaân 2 a) dx 8 dx A   b) B   3 2
1 x3 x   1 1 1  (x  ) 1 Giải
a) Ñaët t 3 
x  1  x  t3  1  dx  t 2 3 dt Ñoåi caän x 1 2 t 0 1 1 3 2 1 2 t t  1  1 1 1 1 π A   dt  3 dt  3 1 (  )dt  (
3 t  arctan t)  1 ( 3  )    1 2  t 1 2  t 1 2  t 0 4 0 0 0 2 dx 3π Vaäy A   3   3 2 4 1 1  (x  ) 1
b)Ñaët x  t3  dx  t2 3 dt
Ñoåi caän x 1 8 t 1 2 2 3 2 2 t 1 2 1 1 2 4 B  dt  3 dt  3 (  )dt  (ln 3 t  ln(  )) 1  ( 3 2ln 2  ln ) 3  3ln  t 3   t (t  ) 1 t(t  ) 1 t t  1 1 3 1 1 1 8 dx 4 Vaäy B    .
1 x3 x   3ln 1 3 b dx
Ví dụ 15 Tính I b ( )  
rồi tính lim I (b) x 2 ln x b e Giải dx
Đặt t  ln x  dt  x Ñoåi caän x e b t 1 lnb b dx ln b dt 1 ln b 1 1 I b ( )     1  
. Do đó, lim I (b)  lim 1 (  )  1 x ln2 x t 2 t 1 ln b b b ln b e 1
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 20
6.2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
Neáu u  u(x) , v  v(x) laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a,b] thì: b b u dv .  uv   b  a  v du . a a
 Chuù yù Cho p(x) laø moät ña thöùc theo bieán x STT Daïng tích phaân Caùch tính 1  kx kx
u  p(x) dv  e dx
 p(x)e dx  Nhoùm 2  kx kx
u  p(x) dv  e dx
 p(x)a dx  I 3 
u  p(x) dv  cos kxdx
 p(x)coskxdx  4 
u  p(x) dv  sin kxdx
 p(x)sin kxdx  5 
u  ln(ax  b) dv  p(x)dx
 p(x)ln(ax  b)dx  Nhoùm II 6 β
u  arcsin kx dv  p(x)dx
 p(x)arcsin kxdx α 7 β
u  arccos kx dv  p(x)dx
 p(x)arccoskxdx α 8 
u  arctgkx dv  p(x)dx
 p(x)arctan kxdx  9 β
u  arc cot gkx dv  p(x)dx
 p(x)arccot gkxdx α
Ví dụ 16 Tính caùc tích phaân π 1
a) A  (2x  2 )
1 sin xdx b) B   2 3 ( x  4x) 1
ln(  x)dx 0 0 Giải π π
a) A  (4x  )
6 sin x cos xdx  (2x  )
3 sin 2xdx 0 0
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 21  du  2dx
 u  2x  3 Ñaët     cos 2x dv  sin 2xdx chon
v  sin 2xdx       2 π π cos 2x π (2π  ) 3 3 sin 2x π
A  (2x  sin ) 3 2xdx          (2x  ) 3  cos2xdx      π 2 0 2 2 2 0 0 dv u 0 π
Vaäy A  (2x  2 )
1 sin xdx  π  0  dx  u  1 ln(  x) du  b) Ñaët    x 1 2   dv  3
( x  4x)dx chon v  2 3
( x  4x)dx  3 x  2x   2 1 1 1 2 3 x3 2  x2 B   1 ln(  2 x) 3 ( x  4x)         dx  1
ln(  x)(x  2x )  dx  0 x  1 0 u dv 0 1 3 2 x x 1 1 2 1
 3ln 2  (x  x 1  )dx   3ln 2  ( 
 x  ln(x  )) 1  2 ln 2  x  1 3 2 0 6 0 1 2 1 Vaäy B  3 ( x  4x) 1 ln(  x)  2ln 2   dx 6 0 Baøi taäp
Baøi 1 Tính caùc tích phaân sau ñaây: 10  ln 2 a)  2 x lg xdx 4 x dx k) e 1 dx f)   1  (sinx 2 cos x) 0 0 1 x  1 1 b) dx  2 3 2 3 x l)  1  x 1 x dx 0 g) x  dx  1 0  0   sin xdx 2 c) dx  1 m) cos x h)  x3 1 xdx 3 sin    x 0 4   dx d)   dx 4 dx x  x   i) n)      x   8 cos x  0   dx e) 1  2  j) Min(x  ; 3 4x 2 dx ) sin x    x   0 o) dx   x  2sin x  cosx 0
Baøi 2 Tính caùc tích phaân sau:
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 22 5  0 a)  2 2x ln(x  x dx ) 2 x  i) . ( 3   ) e) x e x 1 dx 
( x  ) co s x. d x 2  1   7 dx ln 5 2x e b) 3 2 e dx 3  x  2x  1  ln x j) 3 f)  ln xdx  0 1  x  1 x x e 1 1 ln 2  3 7x  2 2 3 2 6 c) dx x 2x 10x 12     dx g) dx k) x2   x  2 2  2 x  2x  10 2 1 2 3 x x  9 e 3 e ln x 2 1  ln x 1  3ln x.ln x 1 2 d) x arctan x  dx h) dx  l)  dx 1 x x 2 1 1  x 0
Baøi 3 Haõy tính caùc tích phaân sau:  1 e ln x 2 a)    2 x sin xdx d)  e xdx g)   dx  x  0 0 1  e 4  2  4 2 xdx e) (ln x) dx
h)  lnx  x  9 dx b)    2 1 0 cos x 0 5 2 e  1 1  3 f) 2x ln(x 1 dx ) i)  dx c)       ln(x  ) 1  3 3x 1  (6x  ) 1 dx 2 ln x 2  ln x  e 0
Baøi 4 Laäp moät heä phöông trình tuyeán tính coù duy nhaát nghieäm vaø nghieäm cuûa heä laøcaùc
haèng soá A, B, C, D, E, F thoûa 4 x  x  3 A B(x  )
1 2  C(x  ) 1  D E(2x  ) 4  F f (x)  =   (x  ) 1 3 (x  )( 3 2 x  4x  ) 8 x  3 (x  ) 1 3 2 x  4x  8 1
Tính  f (x)dx 0 Baøi 5 b a) Tính I b ( )  xexdx 
(b  0) roài tính lim I (b) . b 0 2 dx
b) Tính J (c)  
(c  0) roài tính lim J (c) 2 x  4x  5 c c 2 1
c) Tính K (c)  dx  (c  )
1 roài tính lim K (c) x  1 c 1  c c 1
d) Tính H (c)  dx 
(c  2) roài tính lim H (c) 3 2  x c 2  1
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 23
Haõy nhaän xeùt veà yù nghóa hình hoïc caùc keát quaû tính ñöôïc.
Baøi 6 Cho bieát chieåu daøi caïnh cuûa moãi oâ vuoâng trong hình laø m
1 (töùc laø moãi oâ vuoâng coù dieän tích 1 2
m ) . Haõy tính gaàn ñuùng hình veõ sau ñaây vôùi sai soá khoâng vöôït quaù 2 1m .
Baøi 7 Ño vaø tính dieän tích hoà nöôùc caïnh hoäi tröôøng (khu A)vôùi sai soá khoâng vöôït quaù 2 5 , 1 m .
TOAÙN CAO CAÁP 1 ……………………………………………………..………………….….………………………………………………… Trang 24