Chuyên đề giới hạn và hàm số liên tục môn Toán 11 chương trình mới
Tài liệu gồm 226 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phan Nhật Linh, bao gồm lý thuyết cần nhớ, phân loại và phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn và hàm số liên tục môn Toán 11 chương trình mới. Bài tập rèn luyện trong mỗi dạng toán gồm: bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, bài tập trắc nghiệm đúng sai, bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn; phù hợp với định hướng ra đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11 85 tài liệu
Môn: Toán 11 3.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC NG
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI Ơ Ư H 5 GIỚI HẠN C HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 01
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể nhỏ hơn n ) n
một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = 0 hay u → 0 khi n → + . n n n→+
Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: • 1 lim
= 0 với k là một số nguyên dương k n→+ n • lim n
q = 0 nếu | q | 1 n→+
• Nếu u v với mọi n 1 và lim v = 0 thì lim u = 0 . n n n n n→+ n→+
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (u có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim (u − a = n ) 0 n ) n→+
và kí hiệu lim u = a hay u → a khi n → + . n n n→+
2 Định lý về giới hạn hữu hạn
a) Nếu lim u = a và lim v = b thì n n
• lim(u + v = a+ b
• lim(u − v = a− b n n ) n n ) • u a lim(u .v ) = . a b • lim n
= (nếu b 0 ). n n v b n limu = a lim u = a b) Nếu n thì n . u 0, n n a 0
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u có công bội q , với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. n
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức sau đây: GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 1
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI u1 S u u u u q 1 . 1 2 3 n 1 q
4 Giới hạn vô cực của dãy số
Ta nói dãy số (u có giới hạn là + khi n → + . Nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một n ) n
số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limu = + hay u → + khi n → + . n n
• Dãy số (u có giới hạn là − khi n → + nếu lim( u − = + . n ) n )
Kí hiệu: limu = − hay u → − khi n → + . n n
Nhận xét: limu = + lim( u − ) = − . n n
Ta thừa nhận các kết quả sau: • lim k
n = + với k nguyên dương • lim n
q = + nếu q 1.
Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: • u
Nếu lim u = a và limv = thì lim n = 0 . n n vn • u
Nếu limu = a 0 , limv = 0 và v 0, n
0 thì lim n = + . n n n vn
• Nếu limu = + và limv = a 0 thì limu .v = + . n n n n 2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tính giới hạn bằng định nghĩa, định lí về giới hạn dãy số Phương pháp:
• Để chứng minh limu = 0 ta chứng minh n a
0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n sao cho u a n n a n a
• Để chứng minh limu = L ta chứng minh lim(u − L = n ) 0 n
• Để chứng minh limu = + ta chứng minh n M
0 lớn tùy ý luôn tồn tại một số n sao cho u M n n M n M
• Để chứng minh limu = − ta chứng minh lim( u − = + n ) n
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Nếu limu = a và limv = b thì: n n
• lim(u + v = a+ b
• lim(u − v = a− b n n ) n n ) • u a lim(u .v ) = . a b • lim n
= (nếu b 0 ). n n v b n limu = a lim u = a Nếu n thì n . u 0, n n a 0
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây: − + 2 − a) 2n 1 16n 2 lim b) lim c) 4 lim n n 2n +1 2 n − 2n + 3 2 d) lim e) 1 lim f) lim 2 2n 3 − n + 7 (n + )1(n − 2) n 2 − + + g) 3 3n 4n 1 lim h) 2 lim i) lim 2n + 1 5 7n + 3 2n − 3n + 7 (2n + ) 1 (n − 2) + n n n + n n + j) 4 7 lim k) 4.3 5 lim l) lim 3 n + n 2.5n + 7n (2n + )1(5+ 7n)
Bài tập 2: Chứng minh các giới hạn sau đây: 2 + + n n − a) 2n n n lim = 2 b) 6 2 lim = 6 c) 7 2.8 lim = 2 − 2 n + 4 n + 5 8n + 3n n n + n − c) 2.3 5 3.3 sin 3n 1 lim = 1 d) lim = 3 e) lim( 2
n + n − n) = 5n + 3n 3n 2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 3
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Dạng 2: Giới hạn dạng phân thức f (n)
Phương pháp: Tính giới hạn lim
trong đó f (n) và g (n) là các đa thức bậc n . g (n)
• Bước 1: Đặt k , i n
n với k là số mũ cao nhất của đa thức f (n) và i là số mũ cao nhất của đa thức
g (n) ra làm nhân tử chung. f (n) • 1
Bước 2: Áp dụng kết quả lim = 0 suy ra lim = ... k n g (n) BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây: 2 3 − 3 − + a) n 4n n 7n n 2 lim b) lim c) lim 3 2n + 5n − 2 2 1 + 2n 2 n + n + 1 4 2 − + + 2 + − d) n 4n n 2 5n 3n 7 lim ( e) lim f) lim n + ) 1 (2 + n)( 2 n + ) 1 2 2n + n + 1 2 n
Bài tập 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 3 2 − + + + + a) 3n 2n 1 2n 1 n u = b) u = c) 2025 2024 u = n 3 2n − n n 2 n + n + 3 n n − 2023 +
Bài tập 3: Cho dãy số ( n b u với 2 u =
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u có giới hạn hữu n ) n ) n 5n + 3
hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu ? 2 4n + n + 2
Bài tập 4: Cho dãy số (u với u =
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a bằng n ) n 2 an + 5 bao nhiêu? 4 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Dạng 3: Giới hạn dãy số dạng lũy thừa f (n)
Phương pháp: Tính giới hạn lim
trong đó f (n) và g (n) là các lũy thừa dạng n X g (n)
• Bước 1: Đưa biểu thức về cùng số mũ n .
• Bước 2: Chia tử và mẫu số cho n
a trong đó a là số có trị tuyệt đối lớn nhất.
• Bước 3: Áp dụng kết quả “ Nếu q 1 thì lim n q = 0 ”. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây: n + a) n lim (2n 3n + ) b) lim 4n − + ( 2 − ) c) 1 3 lim 3 3 . n + 2n n n − n + n 1 + n − + d) 4 3 . 2 5 4 1 lim e) 7 1 lim f) lim 2 5 . n + 4n 2 − 3 . n − 3 6 . n 2 5
. n − 6n 2 n 1 1 1 1+ + + + 2 n + + + + + 3 3 3 n n 1 3 − 2.5 g) 1 3 3 3 lim h) lim i) lim n 1 + 2 3 + + 2n 2 n n 1 n 2 2 2 2 + 5 1+ + + + 5 5 5 n n 1 n + 3 4.2 + − − 3 (− ) 5n 1 1 2 n n 1 3 4.2 + − − 3 j) lim lim l) lim . 3.2n + k) 4n 5n+2 3 3.2n + 4n
Bài tập 2: Cho dãy số (u , xác định bởi: n ) u − 4 u +1 a) u = 1; n u = . n
1. Tính giới hạn lim n 1 n 1 + u + 6 u + 4 n n u +1 b) u = 3, n u = , n
1. Tính giới hạn lim u 1 n 1 + 2 n 2 −
Bài tập 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của an 1 1
a thuộc (0; 20) sao cho lim 3 + − là một số nguyên. 2 3 + n 2n GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 5
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Dạng 4: Giới hạn dãy số dạng căn thức
Phương pháp: Ở dạng toán này ta thường gặp 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Đơn giản thì ta chỉ rút nhân tử chung (như dạng 2) n khi n 0
Lưu ý: 2a 2a n = n =
ở đây ta chỉ có n → + nên 2a 2a n = n
−n khi n 0 Trườ 0
ng hợp 2: Nhân lượng liên hợp, khi giới hạn ở dạng vô định: ;0.; 0 A − B 2 − A B A − B = A − B = A + B A + B A − B 3 A − B 3 3 A − B = 3 ( A − B = 2 2
A )2 + A B + ( B )2 3 3 3 3 . (3 A) 3
+ A.B + (B)
Bên cạnh đó áp dụng các tính chất để tính được kết quả của giới hạn: 1 1 a) lim = 0 ; lim
= 0 ( với k là số nguyên dương). n k n b) lim n
q = 0 (nếu q 1).
c) Nếu u = c (với c là hằng số) thì lim u = lim c = c . n n BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây: a) ( 2 2 lim
n + 7 − n + 5 ) b) ( 2 lim
n − n +1 − n) c) (3 2 3 lim
n − n + n) 8n + 2 2n + 9 d) lim n
( n+1− n) e) lim lim 2n − f) 1 n + 2 2 + + − 2 3 6 + − g) 4n 1 2n 1 n 1 n lim h) lim 2
n + 4n +1 + n 4 2 n +1 + n
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau đây: 2 + − + 2 + − + − a) 4n 3 2n 1 2n 1 n 2n 4 A = lim b) B = lim 2
n + 2n + 3n 2 3n + n + 7 2 2 + − − 3 6 4 + + − + − c) 3n 1 n 1 n n 1 4 n 2n 1 C = lim d) D = lim n (2n +3)2 2 3 3 2 − + + − 2 3 6 + − e) 4n 1 8n 2n 3 n 1 n E = lim f) F = lim 2 4 4
16n + 4n − n +1 4 2 n +1 − n 6 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Dạng 5: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1.
• Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (u : n ) u1
S = u + u + ... + u + ... = 1 2 n 1− q
• Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10: n a a a a 1 2 3
X = N, a a a ...a ... = N + + + +...+ +... 1 2 3 n 2 3 10 10 10 10n BÀI TẬP TỰ LUẬN n 1 − Bài tập 1: 1 1 1 1
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, − , , − ,..., − ,... 2 4 8 2
Bài tập 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 0, 212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Bài tập 3: 2 3 n 1 − Tổng S = 1+ 0, 9 + + + +
+ có kết quả bằng bao nhiêu? n (0,9) (0,9) ... (0,9) ... Bài tập 4: Cho 2 3
S = 1+ q + q + q + ..., q 1 2 3 2 2 3 3
T = 1 + Q + Q + Q + ..., Q 1 ; E = 1 + qQ + q Q + q Q + ... . Biểu thị biểu thức E theo S,T Bài tập 5: 1
Tìm số hạng U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S = 4; q = . 1 2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 7
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 3 Câu 1: Tính lim được kết quả bằng 2n + 3 3 A. . B. 0 . C. 1. D. + . 2 3 − n + 4 Câu 2: Tính lim được kết quả bằng 3 + n A. 1 − . B. − . C. −3 . D. 4 . n(n + ) 1 Câu 3:
Giới hạn của dãy số (u với u = bằng n ) n 2 2n + n + 3 1 A. . B. 1. C. 3 . D. + . 2 2n + 1 Câu 4: Giới hạn lim bằng 2 n + 3n + 2 A. 2 . B. + . C. 0. D. − . 3 n − n Câu 5: Giới hạn lim bằng 2 n + n + 1 A. 1. B. − . C. 1 − . D. + . 2 2n + n + 5 Câu 6: Giới hạn lim bằng 2n + 1 A. 1. B. 0 . C. − . D. + .
(2n − 3)(3n + ) 1 Câu 7: Giới hạn L = lim bằng: 2 6n + n + 1 A. 1. B. 0 . C. − . D. + . (an + )3 1 ( 2 n + 3n + 5) 1 Câu 8: Cho L = lim
. Tìm tất cả các giá trị của a để L = . (2n − ) 1 (n + 3)2 2 2 2
A. a = 0 .
B. a = 1. C. a . D. a . 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + ... + n Câu 9: Giới hạn L = lim bằng 3 n 1 1 A. . B. 0 . C. + . D. . 3 6 1 n
Câu 10: Cho dãy số (u ) * : u = , n và (v
v = u . Tính limv n ): n n 2 n + n n n n k 1 = A. 0. B. 1. C. + . D. − . 2 4n + 2 + n Câu 11: Tính lim . n −1 A. 2 . B. 3 . C. + . D. 5 . 8 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI 3 3 n + 2023 Câu 12: Tính lim . 2n + 2024 3 2023 1 A. . B. . C. + . D. 0 . 2024 2 n + 5 − 2n Câu 13: Tính lim . n −1 A. 0 . B. 1 − . C. − . D. −2 . 3 n + 5 − 2 n Câu 14: Tính lim . 2 n + 5 A. 0 . B. + . C. − . D. 1. 3 3 2
8n + n −1 + 4n + 3 Câu 15: Tính lim . 3n − 7 2 4 A. 2 . B. . C. . D. 4 . 3 3 3 6 3 6 2
n + 4 − 27n − 3n + 1 Câu 16: Tính lim . 2 n − 2024 A. 0 . B. + . C. −3 . D. −2 . 2 3 3 2
n − 4 − 8n + n Câu 17: Tính lim . n A. 0 . B. −2 . C. − . D. 1 − . 2 3 3 2
9n − 4 − n + n a a Câu 18: Giả sử lim
= với a,b và tối giản. Giá trị của T = 2a − 3b bằng 5n + 11 b b A. −9 . B. 1 − . C. 21 . D. 11 − . 4 3 6
16n − 4 − n + Câu 19: Biết lim = 12
− với a 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 an + A. a ( 1 − 2; 2 − ) . B. a ( 2 − ;2) .
C. a (2;6) .
D. a (6;12) . 4 3 6
n − 4 − 27n + 5 + 9n + 1 Câu 20: Biết lim = 1
− với a 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 an + n + 1 A. a ( 7 − ;− ) 1 . B. a ( 1 − ; ) 1 .
C. a (1;7) .
D. a (7;12) .
Câu 21: Giá trị của giới hạn lim( 3n + 5 − 3n +1) bằng: A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. Câu 22: Tính ( 2
lim n − n − 4n + 1) . A. − . B. −2 . C. + . D. 2 .
Câu 23: Kết quả của lim n( n + 5 − n ) bằng A. + . B. − . C. 2 . D. 0 .
Câu 24: Giá trị đúng của lim n
( 4n+1− 4n−1) là 1 −1 A. 0 . B. . C. + . D. . 2 2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 9
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI a Câu 25: Biết ( 2
lim n + 1 − n + n ) = với a,b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản. Khi đó b b a + 2b bằng. A. 3. B. 1. C. 5. D. 2. Câu 26: Giới hạn ( 2 lim
n + 5n + 1 − n) bằng 3 1 5 A. . B. 0 . C. . D. . 2 4 2 Câu 27: Tính n ( 2 3 3 lim
4n + 1 − 8n + n ). 1 A. + . B. 1. C. − . D. . 6 3
Câu 28: Giới hạn lim ( 2
an + bn + 1 − n) = (a;b ) . Khi đó 3 2
a + b bằng. 2 A. 12. B. 9. C. 11. D. 10. a a
Câu 29: Biết giới hạn n ( 2 2 lim
n + 3 − n + 2 ) = với * a , b và
là phân số tối giản. Khi b b đó, giá trị 2
a − b bằng. A. 3. B. 1 − . C. 4. D. 5.
Câu 30: Cho các số thực a, , b c thỏa mãn 2 c + a = 8 và ( 2 lim
an + bn − cn) = 2 .
Tính P = a + b + c A. 24 − . B. 6 . C. 12 . D. 14 .
Câu 31: Cho dãy (u có limu = 3 , dãy (v có lim v = 5 . Khi đó lim(u .v = n n ) ? n ) n ) n n A. 15. B. 8. C. 5. D. 3.
Câu 32: Cho lim u = 3
− ; limv = 2 . Khi đó lim(u − v bằng n n ) n n A. −5 . B. 1 − . C. 5 . D. 1.
Câu 33: Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim n q = 0 ( q ) 1 .
B. limC = C ( C là hằng số). 1 1 C. lim = 0 (k ) 1 . D. lim = 0 . k n n 4 3n − 2n + 4 Câu 34: Tìm lim . 2 4n + 2n + 3 3 A. 1 − . B. + . C. 0 . D. . 4 1 + 19n Câu 35: Giá trị lim bằng 18n + 19 19 1 1 A. . B. . C. + . D. . 18 18 19 Câu 36: ( 2 lim n − n + ) 1 .(2 − n) bằng A. + . B. − . C. 0 . D. 1 − . Câu 37: ( 2 lim 2 n 3n − ) bằng A. 3 . B. 2 . C. − . D. + . 10 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI n 2n 3 − 2.5
Câu 38: Kết quả của lim bằng n 1 + n +5 2 + 5 3 A. . − B. . + C. 2 D. . 2 3 3 2 an + 5n − 7 a
Câu 39: Biết rằng lim
= b 3 . Tính giá trị của biểu thức P = . 2 3 3n − n + 2 b 1 1 A. P = . B. P = 3. C. P = 27. D. P = . 27 3
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( 2 2 lim
n − 8n − n + a ) = 0? A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Câu 41: 2 3 3 2 lim 2n 2n 1 n n + + − + bằng A. − . B. 0 . C. + . D. 2 . n
Câu 42: Cho dãy (u với 1 u = +1, * n . Tính S
= u + u + u + ... + u , ta được kết quả n ) n 2 2020 1 2 3 2020 1 1 1 1 A. 2021 − . B. 2021 + . C. 2020 + . D. 2020 − . 2020 2 2020 2 2019 2 2019 2 1 1 1
Câu 43: Tổng vô hạn sau đây S = 1 + + + ... +
+ ... có giá trị bằng: 2 3 3 3n 3 A. 3. B. . C. 4 . D. 2 . 2
Câu 44: Tính tổng các nghiệm x (0; ) của phương trình 2 3 sin + sin + sin + ... + sinn x x x x + ... = 1 . 5 2 A. . B. . C. . D. . 6 6 3 2 3 5n + n a 5 a
Câu 45: Giới hạn lim = (với * a,b và
là phân số tối giản). Tổng T = a + b bằng 2(3n + ) 1 b b A. 9 B. 3 C. 8 D. 5 n 1 3 + − 4.5n
Câu 46: Tính giới hạn lim . n n 1 2.5 + 5.4 + 1 1 A. − . B. 2 . C. −2 . D. − . 7 5 2 2n − n + 4 4
Câu 47: Giá trị của tham số a để lim = là 2 an + n + 3 3 8 2 3 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = 6 . 3 3 2 4n + 1 3n + 4n Câu 48: Biết lim = a và lim = .
b Tổng a + 4b bằng 2n + 5 n 1 4 + + 3 A. 5. B. 4. C. 2. D. 3. 2 Câu 49: Cho lim ( 2
n + an − n) =
. Số thực a thuộc khoảng nào sau đây? 2 A. (2;3). B. (1;2). C. ( 1 − ;0). D. (0; ) 1 . GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 11
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI 3 2
an + 2bn + n + 2023
Câu 50: Cho a,b là các số thực thỏa mãn lim
= 1. Tổng 2a + b bằng 2 2n + 3 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 51: Cho a,b là các số thực thỏa mãn ( 2 2 lim
n + an + 2 − n + bn +1) =1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a + b = 2.
B. a − b = 2.
C. a + b = 1.
D. a − b = 1. 1 2 n Câu 52: Giá trị lim + + ... + bằng 2 2 2 n n n 1 1 A. 1. B. . C. . D. 0 . 2 3 4 2n + n +1 a a Câu 53: Biết lim
= với là phân số tối giản. Tính a + 2b . 3 4
n − n + 3n b b A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 9 .
Câu 54: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để ( 2 lim
n − 4n + 7 + a − n) = 0 . A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .
Câu 55: Cho số a = 3,13131313... là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 13 , số a được biểu diễn x
dưới dạng phân số tối giản dạng a =
, trong đó x và y là các số nguyên dương. Tìm tổng x + y y .
A. x + y = 490 .
B. x + y = 409 .
C. x + y = 211 .
D. x + y = 130 . 4 2n + n +1 a a Câu 56: Biết lim
= với là phân số tối giản. Tính a + 2b . 3 4
n − n + 3n b b A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 9 . 2 3 2n + 3n a a Câu 57: Biết lim
= , với ;(a;b ) là phân số tối giản. Tính a + b . 3 n + 2 b b A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 58: Giá trị của giới hạn ( 2 2023 2 2023 lim n + 2 n − n − 2 n ) là A. 2024 2 . B. 2023 2 . C. 0 . D. + .
Câu 59: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để ( 2 lim
n − 4n + 7 + a − n) = 0 . A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .
Câu 60: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( 2 2 lim
n − 8n − n + a ) = 0. A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Câu 61: Giá trị của E = ( 2 3 3 2 lim n + n + 1 −
2n − 3n + 1) bằng: A. + . B. − . C. 0. D. 1.
Câu 62: Cho dãy số (u xác định bởi u = 3, 2u = u +1, n
1. Gọi S là tổng n số hạng đàu tiên của n ) 1 n 1 + n n
dãy số (u . Tính lim S . n ) n
A. lim S = − . B. lim S = 1.
C. lim S = + . D. lim S = 1 − . n n n n 12 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI 1 1 1
Câu 63: Cho dãy số (u với u = + +...+
. Giới hạn của dãy số bằng: n ) n 2 2 2 n +1 n + 2 n + n A. + . B. 0 . C. − . D. 1.
6sin n − 8cos n Câu 64: lim bằng 2 3n + 1 A. 1 − . B. 0 . C. + . D. 1. 3 2 n .cos (n ) ! Câu 65: lim bằng 2n + 1 A. 1 − . B. 0 . C. + . D. 1. . n cos 2n Câu 66: lim 5 − bằng 2 n + 3 A. 5 . B. −5 . C. 0 . D. 1. 2 4 2
n − 2n + 5 − n + 3n +1
Câu 67: Chọn kết quả đúng của lim : 3 + 5n 1 A. − . B. 0 . C. . D. + . 5 2 3 2n + 3n a a Câu 68: Biết lim
= , với ;(a;b ) là phân số tối giản. Tính a + b . 3 n + 2 b b A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 1 2 3 n Câu 69: lim + + + ... + bằng 2 2 2 2 n n n n 1 1 A. 1. B. 0. C. . D. . 3 2 1 3 2n −1
Câu 70: Cho dãy số (u xác định bởi: u = + ++ với * n
Giá trị của lim u bằng: n ) n 2 2 2 n n n n A. 0. B. + . C. − . D. 1 1 1 1
Câu 71: Cho dãy số (u với u = + + ...+ . Tính lim u . n ) n 1.3 3.5 (2n − ) 1 .(2n + ) 1 n 1 1 A. . B. 0. C. 1. D. . 2 4 1 1 1
Câu 72: Tìm lim u biết u = + + ...+ n n 2 2 2 2 −1 3 −1 n − . 1 3 3 2 4 A. . B. . C. . D. . 4 5 3 3 1 1 1 1
Câu 73: Tính giới hạn lim + + +...+ . 1.2 2.3 3.4 n (n + )1 3 A. 0. B. 2. C. 1. D. . 2 2 1+ 2 + 2 + ... + 2n
Câu 74: Tìm giới hạn sau lim 2 1+ 3 + 3 + ... + 3n 3 A. 0. B. 2. C. 1. D. . 2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 13
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI 1 1 1
Câu 75: Tìm L = lim + + ... + 1 1+ 2 1 + 2 + ... + n 5 3 A. L = .
B. L = + .
C. L = 2 . D. L = . 2 2 1 1 1
Câu 76: Với n là số nguyên dương, đặt S = + + ...+ . Khi đó n 1 2 + 2 1 2 3 + 3 2 n n +1 + (n + ) 1 n lim S bằng n 1 1 1 A. B. . C. 1. D. . 2 +1 2 −1 2 + 2 f ( )
1 . f (3). f (5)... f (2n − ) 1
Câu 77: Đặt f (n) = (n + n + )2 2
1 +1, xét dãy số (u sao cho u = . Tìm n ) n
f (2). f (4).f (6)... f (2n) lim n u . n 1 1 A. lim n u = .
B. lim n u = 3 . C. lim n u = .
D. lim n u = 2 . n n n n 3 2 1 1 1 1
Câu 78: Với n là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt S = + + +...+ . Tính lim S . n 3 3 4 3 C C C C n 3 4 5 n 3 1 A. 1. B. . C. 3. D. . 2 3
Câu 79: Cho dãy số (u với 2 2 u =
n + an + 5 − n +1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để n ) n lim u = 1. − n A. 3. B. 2. C. 2. − D. 3. −
Câu 80: Một hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khỗi
cầu có bán kính gấp đôi bán kính của khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng
là 50 cm . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng.
A. Chiều cao của mô hình không quá 1,5 mét. B. Chiều cao của mô hình tối đa là 2 mét.
C. Chiều cao của mô hình dưới 2 mét.
D. Mô hình có thể đat được chiều cao tùy ý.
Câu 81: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,... sao cho 1 1 1 2 2 2 3 3 3
A B C là một tam giác đều cạnh bằng x và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác A B C 1 1 1 n n n
là tam giác trung bình của tam giác A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương n 1 − n 1 − n 1 − n
ứng là diện tích tam giác A B C . Tính tổng S = S + S + ...+ S + ... n n n 1 2 n 3 3 2 3 A. 2 x . B. 2 3x . C. 2 x . D. 2 x . 3 2 3 14 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. + Câu 1: n Biết giới hạn 2 1 lim
= a . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 − 3n
a) Giá trị a lớn hơn 0 .
b) x = a là trục đối xứng của parabol (P) 2
: y = 3x + 4x − 7 . c) Bộ ba số 5 1
− ;a; lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 2 . 3 3
d) Cho cấp số nhân (u với công bội q = 3 và u = a thì u = 6 . n ) 1 3
Giả sử ta có lim f (x) = và lim g ( x) = . Với ( ; a b
) . Xét tính đúng sai của các khẳng Câu 2: a b x→ → 0 x x 0 x định sau: a) lim f
( x).g ( x) = . a b . x→ 0 x b) lim 2 f
(x) − g(x) = 2a − b . x→ 0 x f ( x) c) a lim = .
x → x0 g ( x) b
f (x) + 2g (x) d) 2b lim = a + với (a 0). x → x0 f (x) a
Câu 3: Tính được các giới hạn. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) lim( 2)n = − b) lim n = 0 c) ( 3 2
lim 2n + 2n − 4) = + d) ( 4 3 lim 5
− n + n − 4n) = −
Câu 4: Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 1 1 S = 1 + + + + 2 4 8 và 1 1 T = − + −+ (− )n 1 1 1
+ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 3 3 3n a) 1 1 1 S = 1 +
+ + + là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 1 q = . 2 4 8 2 b) 1 1 T = − + −+ (− )n 1 1 1
+ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 1 q = . 2 3 3 3n 3 c) S T d) 1 S = T GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 15
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI 2 4n + n + 2 Câu 5:
Cho dãy số (u với u =
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: n ) n 2 an + 5
a) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a = 2.
b) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 1, giá trị của a = 3.
c) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 3 , giá trị của a là một số nguyên
d) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng −2 , giá trị của a = 2 − Câu 6: Đặt I = ( 2 2 2 lim
n + a n − n + (a + 2) n + 1) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: n −1
a) Ta biến đổi được I = lim 2 2
n + n + n + 1
b) Nếu I = 0 thì có 3 giá trị a thỏa mãn
c) Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1
d) Có 2 giá trị a nguyên để I = 1 3 3 2 an + 5n − 7 Câu 7:
Cho giới hạn L = lim
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 3n − n + 2 1
a) Khi a = 1 thì L = 3 1
b) Khi a = 0 thì L = 3
c) Khi a 0 thì L 0 a + c 1
d) Khi L = b 3 + c với ,
b c là các tham số thì P = = 3 b 2 2 an − 1 1 Câu 8:
Cho giới hạn L = lim 3 + −
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 3 + n 2n
a) L = 2 khi a = 1
b) L = 3 thì có 2 giá trị nguyên a thỏa mãn
c) L 3 khi a 6 2 an − 1 1
d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho lim 3 + − là một số nguyên. 2 3 + n 2n 2 − + n n 1 + + Câu 9: 2n n 4 3 4 Biết lim = 2 và lim
= b . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 an + n + 3 4n + 3
a) Giá trị của a = 2
b) Giá trị của b = 4 c) 2a − b = 0 d) Ba số a, ,
b 16 lập thành một cấp số nhân
Câu 10: Cho dãy số (u với 2
u = an + n − 1 với a
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: n ) n
a) Với a = 1, giới hạn của dãy số đã cho là 1.
b) Với a = 2 , giới hạn của dãy số đã cho là + . c) Với 5 a = −
, giới hạn của dãy số đã cho là − . 2
d) Với a 0 , giới hạn của dãy số đã cho là − . 16 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Câu 11: Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 5000000 đồng một tháng. Cứ sau một chu
kỳ 3 năm thì ông An được tăng lương 4% . Xét tính đúng sa i của các khẳng định sau:
a) Mức lương ông An nhận được sau 3 năm là 5200000 đồng
b) Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là 374400000 đồng
c) Dự đoán công thức tính số tiền lương ông An được nhận u , sau n chu kì năm công tác là: n n 26 u = 5000000. đồng n 25
d) Giả sử ông An đi làm sau đúng 35 năm thì được về hưu. Tổng số tiền lương ông nhận được
trong cả quá trình công tác là 2612277740 đồng
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 2 + Câu 1: . n n 1 lim
bằng bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)? 2 2 − n + n +1 n 1 + − Câu 2: 1 1 1 ( 1) Tổng S = − + −+
+ bằng bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)? 3 9 27 3n − Câu 3: n
Cho dãy số (u với 3 1 u =
+ 2024 . Khi đó lim u bằng bao nhiêu? n ) n .2n n n n→+ Câu 4: Cho 2 lim 4n 3n 1 (an b) − + − + = 0,(a,b )
S = a + b . n→+ . Tính 8 Câu 5: a
Biết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,212121... =
( với a,b là các số dương có ước chung lớn b
nhất là 1). Tính giá trị a + b . 3 1 a n − + 2 − + Câu 6: 2n 3 n 1 n Giới hạn n n lim = lim với ;
a b là các số tự nhiên. Tính 2
P = a + b 3n n + 2n 2 b + n 1 . a 1 − Câu 7: n Giá trị của giới hạn ( 2 lim
n + 2n − 2 − n) = lim với ;
a b là các số tự nhiên. 1 1 1 + . b − +1 2 n n Tính = ( + )2 S a b 3n n 1 + − n − Câu 8: 2 3 1 3.a Giới hạn 3 lim = lim với ;
a b là các số hữu tỉ. Tính giá trị 8(a + b) n 1 + n 1 8 + 6 − 3 1 8 + . n b 6 Câu 9: 1 1 1 1 Tìm giới hạn lim + + ++ 1.3 3.5 5.7 (2n − ) 1 (2n + ) 1 n + 1 1 1 (− ) 1 1
Câu 10: Tìm tổng S = − + −+ + 3 9 27 3n n
Câu 11: Giá trị của tổng 1 1 1 1 T = 1 + + + + + = a + b
với a;b là các số tự nhiên. Tính 2 2 2 2 2 giá trị = ( + )2 S a b GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 17
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,271414 viết dạng phân số có dạng m với m;n là các số tự n
nhiên và m là phân số tối giản. Tính n − 3m n
Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111 viết dạng phân số có dạng a với a;b là các số tự b
nhiên và a là phân số tối giản. Tính b − 2a b u = 2 − Câu 14: u
Cho dãy số (u với 1
, tính lim n . Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. n ) u = 3u −1, n 2 3n n n 1 − − Câu 15: 5 . a n
Biết rằng giới hạn ( 2 lim
n − 4n + 5 + 3 − n) = lim + b với ;
a b là các số tự 2
n − 4n + 5 + n nhiên. Tính giá trị b S = a − Câu 16: n 7
Biết rằng giới hạn ( 2
lim 1 + 3n − 9n − n + 7 ) = lima + với ; a ; b c là các 2 . b n + .
c 9n − n + 7
số tự nhiên. Tính giá trị a − b + c Câu 17: a b
Biết giới hạn lim( 3 3 2
n + 3 − n + 2 ) = lim − lim với 2 3 ( 3 n + ) 2 2 3 3 n + n + 2 3
+ n + n n + 3 ;
a b là các số nguyên dương. Tính T = 2a + 3b . a 2 2 + − + Câu 18: n 2n n n
Giới hạn dãy số u = có dạng lim n với ; a ;
b c là các số tự n n b c 1 + + 1+ n n nhiên. Tính giá trị 2 2 2
a + b + c 1 + + 3 2 3 1 1 − + Câu 19: 2n n n Biết giới hạn n lim = lim với ;
a b là các số nguyên dương. 2 2
n + n − n a 2 3 3 − b +1− −1 n n
Tính S = a + b .
Câu 20: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 1 1 S = 1 −
+ − + Kết quả làm tròn đến hàng phần 2 4 8 mười. + + + + − Câu 21: 1 3 5 ... 2n 1
Tính giới hạn L = lim . 2 5n − n + 1
(3n + 2)(2n + ) 1
Câu 22: Tính giới hạn L = lim − 2n + 2 . 3n + 2
Câu 23: Tính giới hạn L = ( 24 12 3 36 24 lim n
+ 6n +1 − n + 3n + 2 ).
Câu 24: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R = 2(cm) như Hình 3a . Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán
kính R chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình R
3b . Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính rồi 2 4 18 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI
chồng lên các hình trước như hình 3c). Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn
(làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Câu 25: Cho hình vuông C có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần 1
bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C (hình vẽ). Từ hình 2
vuông C lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C ,C ,C ,...,C . Gọi S là 2 1 2 3 n i
diện tích của hình vuông 2025
C (i 1, 2,3,..., n ). Khi đó lim
S + S + ... + S bằng bao 2 ( 1 2 n ) i n→ + a nhiêu?
Câu 26: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống
đất (hình vẽ). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng 10
đạt được trước đó. Tổng quãng đường mà quả bóng di chuyển từ khi thả cho đến khi dừng hẳn
bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
-----------------HẾT----------------- GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 19
Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI BÀI 02
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa: Cho khoảng K chứa x và hàm số y = f ( x) xác định trên K hoặc K \ x . Ta nói hàm số 0 0
y = f ( x) có giới hạn là số thực L khi x dần tới x nếu với dãy số ( x bất kì, x K \ x và x → x n 0 n ) 0 n 0
ta có f ( x) → L .
Kí hiệu: lim f ( x) = L . x→ 0 x
Nhận xét: lim x = x ; lim c = c (với c là hằng số). 0 x → → 0 x x 0 x
Định lý về giới hạn hữu hạn:
• Giả sử lim f (x) = L và lim g (x) = M khi đó: x→ → 0 x x 0 x
lim f (x) + lim g (x) = L + M . lim f
( x).g ( x) = . L M . x→ → x→ x 0 x x 0 x 0 f ( x) L
lim f ( x) − lim g ( x) = L − M . lim = (nếu M 0 ). x→ →
x → x0 g ( x) 0 x x 0 x M
• Nếu f (x) 0 và lim f (x) = L thì L 0 và lim = f (x) = L x→ x→ x 0 x 0
(Dấu của f ( x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x ) 0
2 Giới hạn một bên
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (x ;b . Số thực L được gọi là giới hạn bên phải của hàm 0 )
số f ( x) khi x → x nếu với mọi dãy số ( x bất kì, x x b và x → x ta có lim f (x = L . n ) n ) 0 0 n n 0
Kí hiệu: lim f ( x) = L hoặc f (x) → L khi x x + → . + 0 x→ 0 x
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; a x
. Số thực L được gọi là giới hạn bên trái của hàm 0 )
số f ( x) khi x → x nếu với mọi dãy số ( x bất kì, a x x và x → x ta có lim f ( x = L . n ) n ) 0 n 0 n 0
Kí hiệu: lim f ( x) = L hoặc f ( x) → L khi x x − → . − 0 x→ 0 x
Định lý: lim f ( x) = L lim f (x) = lim f (x) = L x − + → → → 0 x x 0 x x 0 x
Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f ( x), g ( x),h( x) xác định trên K chứa điểm x . 0
Nếu g ( x) f ( x) h(x) x
K và lim g (x) = lim h(x) = L thì lim f (x) = L . x→ → → 0 x x 0 x x 0 x GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 1