Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Đặng Thị Oanh

Tài liệu gồm 47 trang tóm gọn lý thuyết và bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác thuộc chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1, tài liệu được biên soạn bởi cô giáo Đặng Thị Oanh.

25 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

47 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Định nghĩa hàm số lượng giác:
Hàm số sin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực
x
với một số thực
sin x
sin :
sinx y x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là
sin .y x
Hàm số côsin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực
x
với một số thực
cos x
cos:
cosx y x
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là
cos .y x
Hàm số tang: là hàm số được xác định bởi công thức
sin
cos 0 ,
cos
x
y x
x
kí hiệu là
tan .y x
Hàm số côtang: là hàm số được xác định bởi công thức
cos
x
y x
kí hiệu là
cot .y x
1. Tập xác định của hàm số lượng giác
1.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Tập xác định của hàm số
y f x
là tập tất cả các giá trị x để biểu thức
f x
có nghĩa.
b. Hàm số sin
siny x
: Tập xác định
.
D
sin
y f x
xác định khi và chỉ khi
f x
xác định.
c. Hàm số côsin
cosy x
: Tập xác định
.
D
cos
y f x
xác định khi và chỉ khi
f x
xác định.
d. Hàm số tang
tany x
: Tập xác định
\ , .
2
D k k
tan
y f x
xác định
(
f x
xác định và
2
f x k k
).
e. Hàm số côtang
coty x
: Tập xác định
\ , .
D k k
cot
y f x
xác định
(
f x
xác định và
f x k k
).
f. Chú ý: Tập xác định của một số hàm số cơ bản
f x
y
g x
có nghĩa khi và chỉ khi
0.
g x
y f x
có nghĩa khi và chỉ khi
0.
f x
f x
y
g x
có nghĩa khi và chỉ khi
0.
g x
1.2. Bài tập
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
5sin 2 cosy x x
b)
2
1
sin 2 1 cos 2
2
y x x
c)
sin 2 4
y x
d)
2
1
cos
1
y
x
e)
2
1
sin cos 9
2
y x
x
f)
2
sin
1
x
y
x
g)
1
2 cos
y
x
h)
3 2siny x
i)
2
1 cosy x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 2
k)
sin
cos
x
y
x
l)
sin 2
sin 2
x
y
x
m)
cos 2 1
sin 1
x
y
x
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
2
cos
1
x x
y
x
b)
1
sin 1
y
x
c)
2 sin
1 cos
x
y
x
d)
1
1 2sin .cos
y
x x
e)
siny x
f)
1
cos
2
y x
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số:
a)
cot .y x
b)
tan .
3
y x
c)
cot .
6
y x
d)
1
.
cot
y
x
e)
tan cot .y x x
f)
1
.
tan 1
y
x
g)
tan3 .cot5 .y x x
h)
2
1 cot
.
1 cos2
x
y
x
i)
tan .y x
Đáp án:
1a.
,
D
1b.
,
D
1c.
2; ,
D
1d.
1;1 ,
D
1e.
3;3 \ 2 ,
D
1f.
\ 1 ,
D
1g.
,
D
1h.
,
D
1i.
,
D
1k.
\ ,
2
D k k
1l.
\ ,
2
D k k
1m.
\ 2 .
2
D k k
2a.
0; 2 \ 1 ,
D
2b.
\ 2 ,
2
D k k
2c.
\ 2 ,
D k k
2d.
\ ,
4
D k k
2e.
2 ; 2 ,
D k k k
2f.
k 2 ; 2 .
3 3
D k k
3a.
\ ,
D k k
3b.
\ ,
6
D k k
3c.
\ ,
6
D k k
3d.
\ ,
2
D k k
3e.
\ ,
2
D k k
3f.
\ , , ,
2 4
D k m k m
3g.
\ , , ,
6 3 5
D k m k m
3h.
\ , ,
D k k m
3i.
; .
2
D k k k
2. Chu kỳ của hàm số lượng giác
2.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: - Hàm số
y f x
có tập xác định
D
được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất
một số thực
0
T
sao cho với mọi
x D
, ta có:
i)
D,
x T
ii)
.f x T f x
- Số thực
T
thoả mãn các điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn
.y f x
- Nếu hàm số tuần hoàn
y f x
có chu kỳ nhỏ nhất
0
T
0
0
T
thì
0
T
được gọi là chu
kỳ cơ sở của hàm số tuần hoàn
.y f x
b. Hàm số sin
siny x
: Chu kỳ
0
2 .
T
sin
y ax b
có chu kỳ
0
2
.
T
a
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 3
c. Hàm số côsin
cosy x
: Chu kỳ
0
2 .
T
cos
y ax b
có chu kỳ
0
2
.
T
a
d. Hàm số tang
tany x
: Chu kỳ
0
.
T
tan
y ax b
có chu kỳ
0
.
T
a
e. Hàm số côtang
coty x
: Chu kỳ
0
.
T
cot
y ax b
có chu kỳ
0
.
T
a
f. Chú ý: Nếu hàm số
1
y f x
có chu kỳ
1
T
và hàm số
1
y f x
có chu kỳ
2
T
thì hàm số
1 2
. .
y m f x n f x
có chu kỳ
T
là bội chung nhỏ nhất của
1
T
và
2
.T
2.2. Bài tập
Bài 1. Tìm chu kỳ của các hàm số sau:
a)
siny x
b)
cos2y x
c)
tan
3
x
y
d)
cot 3 2
y x
e)
2
cos 1
5
x
y
f)
1 cos 3
5
y x
g)
2tan 4
2
y x
h)
2
siny x
i)
1 cos 2y x
Bài 2. Tìm chu kỳ của các hàm số sau:
a)
tan coty x x
b)
y sin 2 cos
2
x
x
c)
tan 2cot3 4
y x x
d)
cot cot cot
2 3
x x
y x
e)
2sin .cos3y x x
f)
3 2
cos sin
5 7
x x
y
3. Tập giá trị của hàm số lượng giác
3.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
có tập xác định
.D
Tập
T
được gọi là tập giá trị nếu
T
thoả
mãn hai điều kiện:
i) Với mọi
x D
kéo theo
,y f x T
ii) Với mỗi
y T
, tồn tại
x D
sao cho
.y f x
b. Hàm số sin
siny x
: Tập giá trị
1;1 .
T
c. Hàm số côsin
cosy x
: Tập giá trị
1;1 .
T
d. Hàm số tang
tany x
: Tập giá trị
.
T
e. Hàm số côtang
coty x
: Tập giá trị
.
T
f. Chú ý: Nếu hàm số
y f x
có tập giá trị
;T a b
thì giá trị lớn nhất của hàm số là b
max
y b
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là a
min
y a
.
3.2. Bài tập
Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số:
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 4
a)
3
sin 3 4 .
y x x
b)
cot
6
y x
c)
tan
3
y x
d)
cos 2
4
y x
e)
4sin 5y x
f)
4 3cos2y x
g)
2
sin 3y x
h)
3
3cos 2 3 7
y x
i)
2sin cos 3y x x
Bài 2. Tìm tập giá trị của hàm số:
a)
sin
cos
x
y
x
b)
siny x
c)
tany x
d)
2 cosy x
e)
2
1 cosy x
f)
1
cos
2
y x
g)
1
sin
2
y x
h)
1
tan 1
y
x
i)
1
sin 1
y
x
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
3
sin 3 4
y x x
b)
cos 2
4
y x
c)
4sin 5y x
d)
4 3cos2y x
e)
2
sin 3y x
f)
3
3cos 2 3 7
y x
g)
2sin cos 3y x x
h)
siny x
i)
2 cosy x
k)
2
1 cosy x
l)
1
cos
2
y x
m)
1
sin .
2
y x
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
2
4sin 4sin 3y x x
b)
2
cos 2sin 2y x x
c)
4 2
sin 2cos 1y x x
d)
sin cosy x x
e)
1 3
sin cos 3
2 2
y x x
f)
3sin 2 cos2y x x
4. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
4.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
có tập xác định
D
.
1 .
Hàm số
y f x
được gọi là hàm số chẵn nếu:
i)
x D x D
(
D
là tập đối xứng),
ii)
, .f x f x x D
2 .
Hàm số
y f x
được gọi là hàm số lẻ nếu:
i)
x D x D
(
D
là tập đối xứng),
ii)
, .f x f x x D
b. Hàm số sin
siny x
: Tập xác định
D
và là hàm số lẻ.
c. Hàm số côsin
cosy x
: Tập xác định
D
và là hàm số chẵn.
d. Hàm số tang
tany x
: Tập xác định
\ ,
2
D k k
và là hàm số lẻ.
e. Hàm số côtang
coty x
: Tập xác định
\ ,D k k
và là hàm số lẻ.
f. Chú ý:
1 .
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua tâm O.
2 .
Nếu
D
không là tập đối xứng (Tức là
x D
mà
x D
), thì ta kết luận hàm số
y f x
không chẵn, không lẻ.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 5
3 .
Nếu tồn tại
x D
mà
f x f x
và
f x f x
thì hàm số
y f x
không
chẵn, không lẻ.
4 .
Hàm số chẵn (lẻ)
Hàm số chẵn (lẻ)
Hàm số chẵn (lẻ).
5 .
Hàm số chẵn
*
Hàm số chẵn
Hàm số lẻ
*
Hàm số lẻ
Hàm số chẵn.
6 .
Hàm số chẵn
*
Hàm số lẻ
Hàm số chẵn
*
Hàm số lẻ
Hàm số lẻ.
7 .
Hàm số chẵn
Hàm số lẻ
Hàm số lẻ
Hàm số chẵn
Hàm số không chẵn, không lẻ.
4.2. Bài tập
Bài 1. Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
a)
sin 2y x
b)
2cos 3y x
c)
sin cosy x x
d)
tan coty x x
e)
4
siny x
f)
sin .cosy x x
g)
3
3
cos 1
sin
x
y
x
h)
tany x
i)
sin2y x x
k)
sin
1
x
y
x
l)
coty x
m)
2
sin 3
y x
5. Tập đơn điệu của hàm số lượng giác
5.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
D
và
;
a b D
.
1 .
Hàm số
y f x
được gọi là đồng biến trên khoảng
;a b
nếu
1 2
, ;x x a b
và
1 2
x x
, ta có
1 2
.f x f x
2 .
Hàm số
y f x
được gọi là nghịch biến trên khoảng
;a b
nếu
1 2
, ;x x a b
và
1 2
x x
, ta có
1 2
.f x f x
b. Hàm số sin
siny x
: Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2 , .
2 2
k k k
c. Hàm số côsin
cosy x
: Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 , .
k k k
d. Hàm số tang
tany x
: Đồng biến trên mỗi khoảng
; , .
2 2
k k k
e. Hàm số côtang
coty x
: Nghịch biến trên mỗi khoảng
; , .
k k k
f. Chú ý:
y f x
đồng biến trên
;a b
khi và chỉ khi
1 2
1 2
0, ; .
f x f x
x a b
x x
y f x
nghịch biến trên
;a b
khi và chỉ khi
1 2
1 2
0, ; .
f x f x
x a b
x x
5.2. Bài tập
Bài 1. Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của các hàm số lượng giác trên khoảng
K
cho trước:
a)
sin 2 , 0;
y x K
b)
2cos 3, 0;2
y x K
c)
5 tan , ;
2 2
y x K
d)
1
cot3 , 0;
2 3
y x K
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 6
e)
2 2
sin cos , 0;
y x x K
f)
sin .cos 3, 0;
y x x K
g)
1
, ;
sin 1 2 2
y K
x
h)
3 cos sin , 0;2
y x x K
Đáp án: 1a.
0; :
4
x
ĐB,
3
; :
4 4
x
NB,
3
; :
4
x
ĐB; 1b.
0; :
x
NB,
;2 :
x
ĐB;
1c.
; :
2 2
x
NB; 1d.
0; :
3
x
NB; 1e.
0; :
2
x
ĐB,
; :
2
x
NB; 1f.
0; :
4
x
ĐB,
3
; :
4 4
x
NB,
3
; :
4
x
ĐB; 1g.
; :
2 2
x
NB; 1h.
0; :
6
x
ĐB,
7
; :
6 6
x
NB,
7
;2 :
6
x
ĐB.
6. Đồ thị của hàm số lượng giác
6.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Các bước vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
Tìm tập xác định
D
của hàm số.
Tìm tập giá trị
Tìm chu kỳ
0
T
của hàm số.
Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ
0
T
(thường chọn
0
0;T
hoặc
0 0
;
2 2
T T
).
Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ đã xác định ở trên.
Suy ra phần đồ thị còn lại qua phép tịnh tiến theo véctơ
0
. .v k T i
về bên trái và bên phải song
song với trục hoành
Ox
(với
i
là véctơ đơn vị trên trục
Ox
).
b. Hàm số
siny x
Tập xác định
.
D
Tập giá trị
1;1 .
Chu kỳ
2 .
T
Bảng biến thiên trên đoạn
0;2 :
x
0
2
3
2
2
y
1
0
0
0
1
Tịnh tiến theo véctơ
2 .v k i
ta được đồ thị hàm số
sin .y x
Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ
O
làm tâm đối xứng.
- Hàm số đồng biến trên khoảng
0;
2
,
3
;2
2
và nghịch biến trên
3
; .
2 2
Đồ thị:
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 7
x
y
O

2
3
2
2
3
2

2

c. Hàm số
cosy x
Tập xác định
.
D
Tập giá trị
1;1 .
Chu kỳ
2 .
T
Bảng biến thiên trên đoạn
0;2 :
x
0
2
3
2
2
y
1
1
0
0
1
Tịnh tiến theo véctơ
2 .v k i
ta được đồ thị hàm số
cos .y x
Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung
Oy
làm trục đối xứng.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
0;
và đồng biến trên
;2 .
Đồ thị:
x
y
O

2
3
2
2
3
2

d. Hàm số
tany x
Tập xác định
\ , .
2
D k k
Tập giá trị
.
Chu kỳ
.
T
Bảng biến thiên trên khoảng
; :
2 2
x
2
0
2
y
0
Tịnh tiến theo véctơ
.v k i
ta được đồ thị hàm số
tan .y x
Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ
O
làm tâm đối xứng.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 8
Đồ thị:
e. Hàm số
coty x
Tập xác định
\ , .
D k k
Tập giá trị
.
Chu kỳ
.
T
Bảng biến thiên trên khoảng
0; :
x
0
2
y
0
Tịnh tiến theo véctơ
.v k i
ta được đồ thị hàm số
cot .y x
Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ
O
làm tâm đối xứng.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Đồ thị:
f. Chú ý: Một số phép biến đổi đồ thị:
Từ đồ thị hàm số
y f x
, suy ra đồ thị hàm số
y f x b
bằng các tịnh tiến đồ thị
y f x
lên trên trục hoành
b
đơn vị nếu
0
b
và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành
b
đơn
vị nếu
0.
b
Từ đồ thị hàm số
y f x
, suy ra đồ thị hàm số
y f x a
bằng các tịnh tiến đồ thị
y f x
qua bên trái của trục hoành
a
đơn vị nếu
0
a
và tịnh tiến qua bên phải trục hoành
a
đơn vị nếu
0.
a
Từ đồ thị hàm số
y f x
, suy ra đồ thị
y f x
bằng cách lấy đối xứng đồ thị
y f x
x
y
O
2
2
x
y
O
2
3
2
2
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 9
qua trục hoành.
Đồ thi hàm số
, khi 0
, khi 0
f x f x
y f x
f x f x
được suy từ đồ thị
y f x
bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị
y f x
ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị
y f x
nằm ở
phiá dưới trục hoành qua trục hoành.
6.2. Bài tập
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
siny x
b)
cos2y x
c)
tan 1y x
d)
cot
4
y x
e)
2 siny x
f)
tany x
7. Bài tập trắc nghiệm
7.1. Tập xác định của hàm số lượng giác
Câu 1. Tập xác định của hàm số
cosy x
là:
A.
0; .
D

B.
0; .
D
C.
.
D
D.
\ 0 .
D
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số
cot sin .y x x
A.
\ , .
2
D k k
B.
\ , .
D k k
C.
\ 2 , .
2
D k k
D.
\ 2 , .
D k k
Câu 3. Tập xác định của hàm số
2tany x
là:
A.
\ , .
2
D k k
B.
\ , .
D k k
C.
\ 2 , .
2
D k k
D.
\ 2 , .
D k k
Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số
2017
2018cot 2 .y x
A.
\ , .
D k k
B.
\ , .
2
D k k
C.
\ , .
2
D k k
D.
\ , .
4 2
D k k
Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số
2
sin
1
x x
y
x
là:
A.
D
. B.
0; .
D

C.
1; .
D
D.
1; .
D

Câu 6. Tập xác định của hàm số
2
cos 1
y x
là:
A.
\ 1;1 .
D
B.
1;1 .
D
C.
1; .
D

D.
\ 1;1 .
D
Câu 7. Tập xác định của hàm số
2
1
sin 2cos 1
2
y x
x
là:
A.
2; .
D

B.
2; .
D

C.
1;1 .
D
D.
\ 2 .
D
Câu 8. Tập xác định của hàm số
1
2 cos
y
x
là:
A.
\ , .
D k k
B.
.
D
C.
\ , .
2
D k k
D.
\ 2 .
D
Câu 9. Để tìm tập xác định của hàm số
tan cot ,y x x
một học sinh giải theo các bước sau:
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 10
Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là
sin 0
.
cos 0
x
x
Bước 2.
, .
2
x k
k m
x m
Bước 3.
.
2
x n n
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
\ , .
2
D n n
Câu giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?
A. Câu giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Câu 10. Tập xác định của hàm số
tan
sin 1
x
y
x
là:
A.
\ 2 , .
2
D k k
B.
\ , .
2
D k k
C.
\ 2 , .
2
D k k
D.
\ , .
2
D k k
Câu 11. Tập xác định của hàm số
2
tan
2 4
x
y
là:
A.
3
\ 2 , .
2
D k k
B.
3
\ , .
2
D k k
C.
\ 2 , .
2
D k k
D.
\ 2 , .
2
D k k
Câu 12. Tập xác định của hàm số
1
3tan 2coty x x
x
là:
A.
\ 0 .
D
B.
\ , .
2
D k k
C.
\ , .
D k k
D.
\ , .
2
D k k
Câu 13. Tập xác định của hàm số
1
cos
1 2
x
y
x
là:
A.
1; \ 3 .
D 
B.
\ 3 .
D
C.
1; \ 3 .
D
D.
1; .
D
Câu 14. Tập xác định của hàm số
tan 2 1
y x
là:
A.
\ , .
4 2
k
D k
B.
1
\ , .
2 4 2
k
D k
C.
1
\ , .
2 4
D k k
D.
3
\ , .
4 2
k
D k
Câu 15. Hàm số nào sau đây có tập xác định
?
A.
2cos .y x
B.
1
sin
y
x
. C.
sin 2
cos 1
x
y
x
. D.
sin 2 3
.
cos 2
x
y
x
Câu 16. Tìm các giá trị của
;
x
để hàm số
3
cos
2
y x
có nghĩa.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 11
A.
0 .
x
B.
3
.
2
x
C.
.
6
x
D.
.
6 6
x
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị
m
để hàm số
2 1 2cosy m x
xác định trên
.
A.
0.
m
B.
1.
m
C.
1
.
2
m
D.
1
.
2
m
Câu 18. Tất cả các giá trị
m
để hàm số
1
2sin 4
m
y x
m
xác định trên
là:
A.
1.
m
B.
1 0.
m
C.
1 0.
m
D.
1
m
hoặc
0.
m
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị
m
để hàm số
sin 2
2 3cos
x
y
m x
xác định trên
.
A.
3
.
2
m
B.
3
.
2
m
C.
3
.
2
m
D.
3
.
2
m
Câu 20. Tìm tập xác định
D
của hàm số
tan cos
2
y x
.
A.
\ , .
2
D k k
B.
\ 2 , .
2
D k k
C.
\ , .
D k k
D.
\ 2 , .
D k k
7.2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A.
2
cosy x
. B.
cosy x x
. C.
2
cosy x
. D.
cosy x x
.
Câu 2. Chu kỳ của hàm số
sin 2 1
y x
là:
A.
.
2
T
B.
.
T
C.
2 .
T
D.
4 .
T
Câu 3. Chu kỳ của hàm số
2 3
x
y
là:
A.
2 .
T
B.
.
2
T
C.
.
T
D.
2 .
T
Câu 4. Chu kỳ của hàm số
2
siny x
là:
A.
.
T
B.
2 .
T
C.
4 .
T
D.
2
.
T
Câu 5. Chu kỳ của hàm số
sin .cos 3y x x
là:
A.
.
T
B.
2 .
T
C.
4 .
T
D.
2
4 .
T
Câu 6. Chu kỳ của hàm số
sin cosy x x
là:
A.
2 .
T
B.
4 .
T
C.
.
T
D.
3 .
T
Câu 7. Hàm số
tan 2 cot
2
x
y x
là hàm tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
2
T
B.
.
T
C.
3
.
2
T
D.
2 .
T
Câu 8. Hàm số
2cos3 sin2y x x
tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
T
B.
2
.
3
T
C.
2 .
T
D.
3 .
T
Câu 9. Hàm số
cos .cos3y x x
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ:
A.
2 .
T
B.
2
.
3
T
C.
2
4
.
3
T
D.
.
T
Câu 10. Hàm số
1
cos 2 1 sin 3
2
x
y x
m
với
*
m
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
6 .
Giá trị
của
m
là:
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 12
A.
3
.
5
m
B.
3.
m
C.
5.
m
D.
6.
m
Câu 11. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
2
tan cos
2 4
x x
y
m
(
*
)
m
là
hàm tuần hoàn với chu kỳ
6 .
Tổng các phần tử của
S
bằng
A. 3. B. 6. C. 9. D. Không tính được.
Câu 12. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
1 2
cot sin
3 2 3
x x
y
m
(
*
)
m
là
hàm tuần hoàn với chu kỳ
6 .
Tổng các phần tử của
S
bằng
A. 2. B. 6. C. 8. D. 12.
7.3. Tập giá trị của hàm số lượng giác
Câu 1. Tìm tập giá trị
T
của hàm số
sin 2y x
.
A.
2;2 .
T
B.
1;1 .
T
C.
.
T
D.
1;1 .
T
Câu 2. Hàm số
2
4cos 2 3y x
có tập giá trị là:
A.
3;7 .
T
B.
7
T
. C.
0;3 .
T
D.
1;7 .
T
Câu 3. Tìm tập giá trị
T
của hàm số
2
5sin 4.
y x
A.
4;9 .
T
B.
2;3 .
T
C.
3 .
T
D.
.
T
Câu 4. Tìm tập giá trị
T
của hàm số
1 2 sin 2 .y x
A.
1;3 .
T
B.
3;5 .
T
C.
1;3 .
T
D.
1;5 .
T
Câu 5. Hàm số nào sau đây có tập xác định và tập giá trị đều là
?
A.
sin .y x
B.
tan 2 .y x
C.
1
.cos .
y x
x
D.
sin .y x x
Câu 6. Xét bốn mệnh đề sau:
(1): Trên
,
hàm số
siny x
có tập giá trị là
1;1 .
(2): Trên
0; ,
2
hàm số
siny x
có tập giá trị là
0;1 .
(3): Trên
3
0; .
4
hàm số
siny x
có tập giá trị là
2
0; .
2
(4): Trên
0; ,
hàm só
siny x
có tập giá trị là
0;1 .
Số mệnh đề đúng là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị biến
x
để hàm số
2 cos 1y x
đạt giá nhỏ nhất.
A.
.
2
x k k
B.
2 .
x k k
C.
2 .
2
x k k
D.
2 .
x k k
Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số
y x
là:
A.
max 5 3.
y
B.
max 3 3.
y
C.
max 3.
y
D.
max 1 3.
y
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3sin
3 4
y x
bằng bao nhiêu?
A.
3.
B.
2.
C.
1.
D. 0.
Câu 10. Giá trị nhỏ nhất
m
và giá trị lớn nhất
M
của hàm số
sin cosy x x
là:
A.
2; 2.
m M
B.
2; 2.
m M
C.
2; 2.
m M
D.
0; 2.
m M
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 13
Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2sin 3y x
trên đoạn
;
6 3
là:
A. 5. B. 3. C.
7
.
2
D.
9
.
2
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cos 1
y
x
là:
A.
min 0.
y
B.
min 1.
y
C.
min 2.
y
D. Không xác định.
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
1 tan
y
x
là:
A.
min 0.
y
B.
min 1.
y
C.
min 2.
y
D. Không xác định.
Câu 14. Tập giá trị của hàm số
sin cosy x x
là:
A.
2; 2 .
T
B.
2;2 .
T
C.
.
T
D.
1;1 .
T
Câu 15. Tập giá trị của hàm số
tan coty x x
là:
A.
.
T
B.
2;2 .
T
C.
\ 0 .
T
D.
\ 2;2 .
T
Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số
2
sin 2cos 2y x x
là:
A. 0. B. 4. C.
5 2.
D. 5.
Câu 17. Hàm số
cos
4
y x
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
3
0;
4
khi nào?
A.
0.
x
B.
1.
x
C.
.
4
x
D.
3
.
4
x
Câu 18. Xét hàm số
siny x
trên đoạn
;
2 2
.
A. Không có GTLN. B. GTNN là
1.
C. GTLN là 1. D. GTNN là 1.
Câu 19. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3sin 4cosy x x
. Giá trị
của
M m
là:
A. 0. B. 1. C. 5. D. 7.
Câu 20. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2cos 3y x
trên đoạn
0;
3
. Giá trị của
.M m
là:
A.
5.
B.
3.
C.
5 3 3 .
D.
20.
Câu 21. Tập giá trị của hàm số
4cos 3sin 4
y x x
là:
A.
0;3 .
B.
1;3 .
C.
0; 11 .
D.
3; 11 .
Câu 22. Gọi
T
là tập giá trị của hàm số
2 2
3 4sin .cos .y x x
Số phần tử nguyên của
T
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
tan 2 tan 3y x x
.
A.
min 2.
y
B.
min 3.
y
C.
min 5.
y
D. Không xác định được.
Câu 24. Cho hàm số
2
2sin cos 2y x x
. Khi đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng:
A. 2. B. 3. C. 4. D.
2 2.
Câu 25. Hàm số
tan
4
y x
có tập giá trị trên đoạn
;0
4
bằng:
A.
1;0 .
T
B.
0;1 .
T
C.
2
;0 .
2
T
D.
2
0; .
2
T
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 14
Câu 26. Với giá trị nào sau đây của
m
thì hàm số
sin 2y m x
và hàm số
cos 1y x
có cùng tập giá
trị?
A.
2.
m
B.
1.
m
C.
1.
m
D.
2.
m
Câu 27. Hàm số
cosy x
nhận giá trị âm với mọi
x
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
;0 .
2
B.
0; .
2
C.
0; .
D.
; .
2
Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin 4sin 5y x x
là:
A.
9.
B.
8.
C. 0. D. 9.
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số
2
1 2cos cosy x x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 30. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số
1 2siny x
trên đoạn
5
; .
6 6
A.
1.
m
B.
0.
m
C.
1
.
2
m
D.
2.
m
Câu 31. Hàm số
5 4sin 2 .cos 2y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 32. Hàm số
sin sin
3
y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33. Giá trị lớn nhất của hàm số
2
cos 2 cosy x x
là:
A.
max 1.
y
B.
1
max .
3
y
C.
max 2.
y
D.
max 2.
y
Câu 34. Tồng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
4cos cos 1y x x
là:
A. 5. B.
43
.
16
C.
47
.
16
D.
81
.
16
Câu 35. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố
A
trong ngày thứ
t
của năm 2018 được cho bởi
một hàm số
4sin 60 10
178
y t
với
t
và
t 0.
Vào ngày nào trong năm thì thành phố
A
có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5.
Câu 36. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu
h
(mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm
t
(giờ) trong một ngày bởi công thức
3cos 12.
8 4
t
h
Mực nước của kênh cao nhất khi:
A.
13
t
(giờ). B.
14
t
(giờ). C.
15
t
(giờ). D.
16
t
(giờ).
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
2
2cos 3 sin 2 2 1
x x m
nghiệm
đúng với mọi
.
x
A.
0.
m
B.
0.
m
C.
2.
m
D.
2.
m
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
4 5sin 5 2 1
x m
nghiệm đúng
với mọi
.
x
A.
0.
m
B.
1.
m
C.
2.
m
D.
3.
m
Câu 39. Cho hàm số
2
sin 4 2 cos 2y x m x m
và
max minA y y
. Với
3
2
2
m
thì giá trị
của
A
theo tham số
m
là:
A.
2
4 16 25.
A m m
B.
4 .A m
C.
2
4 8 9.
A m m
D.
4 1.
A m
7.4. Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 15
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
tany x
là hàm số lẻ. B.
coty x
là hàm số lẻ.
C.
siny x
là hàm số lẻ. D.
cosy x
là hàm số lẻ.
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
sin 2 .y x
B.
cos3 .y x
C.
tan 4 .y x
D.
cot 5 .y x
Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A.
sin3 .y x
B.
.cosy x x
. C.
cos .tan2 .y x x
D.
tan
.
sin
x
y
x
Câu 4. Cho các hàm số
2018
cot 2 , cos , 1 sin , tan .y x y x y x y x
Số hàm số chẵn là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 5. Cho hàm số
cos 2f x x
và
tan 3g x x
, chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
f x
là hàm số lẻ,
g x
là hàm số lẻ.
B.
f x
là hàm số lẻ,
g x
là hàm số chẵn.
C.
f x
là hàm số chẵn,
g x
là hàm số lẻ.
D.
f x
là hàm số chẵn,
g x
là hàm số chẵn.
Câu 6. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A.
2
sin .y x
B.
sin .cos .y x x
C.
sin .tan .y x x
D.
sin .cot .y x x
Câu 7. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A.
2 cos .y x x
B.
cos3 .y x
C.
2
.sin 3 .
y x x
D.
3
3
cos
.
x
y
x
Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số không chẵn, không lẻ?
A.
3
sin tan
.
2cos
x x
y
x
B.
tan cot .y x x
C.
sin 2 cos2 .y x x
D.
2
2 sin 3 .y x
Câu 9. Có bao nhiêu hàm số lẻ trong các hàm số sau:
.sin ,y x x
cos
,
x
y
x
2
tan 3
y x
và
cot .
2
y x
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ?
A.
sin .y x
B.
cos .
2
y x
C.
.siny x x
. D.
cot 1.
y x
Câu 11. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục
Oy
?
A.
sin 3
y x
. B.
2
.sin .y x x
C.
2
.
cos
x
y
x
D.
2
.cos 2.
y x x x
Câu 12. Cho hàm số
3
cos .sin 3
2
y m x x
(với
m
và
1;5 )
m
. Tổng tất cả các giá trị của
tham số
m
để hàm số đã cho là hàm số chẵn là:
A. 6. B. 8. C. 10. D. 12.
Câu 13. Gọi
,m n
lần lượt là số các hàm số chẵn và số các hàm số lẻ trong các hàm số dưới đây:
3
. 3sin , . 2cos 2 ,
2
3
. sin , . .tan .
4
I y x x II y x
III y x IV y x x
Giá trị của
m n
là:
A. 2. B. 1. C. 0. D.
1.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 16
Câu 14. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
2
tan 2 1 sin
2
y x m x
là hàm
số lẻ. Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng:
A. 0. B. 1. C. 2. D. Không xác định được.
Câu 15. Cho hàm số
3 1 sin cos , khi 0
sin 3 2 cos , khi 0
a x b x x
y
a x b x x
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
a
và
b
để
hàm số đã cho là hàm số lẻ.
A.
, 0.
a b
B.
3
, .
2
a b
C.
1
, 3.
2
a b
D. Không có
,a b
thoả mãn.
7.5. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Câu 1. Cho hàm số
sin .y x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
; ,
2
nghịch biến trên khoảng
3
; .
2
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
3
; ,
2 2
nghịch biến trên khoảng
; .
2 2
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
0; ,
2
nghịch biến trên khoảng
;0 .
2
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
; ,
2 2
nghịch biến trên khoảng
3
; .
2 2
Câu 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
;0 ?
A.
cos .y x
B.
sin .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Câu 3. Với
31 33
; ,
4 4
x
mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
siny x
đồng biến. B. Hàm số
cosy x
nghịch biến.
C. Hàm số
tany x
nghịch biến. D. Hàm số
coty x
nghịch biến.
Câu 4. Cho hai hàm số
sin 2 , 1 cos 2 .f x x g x x
Với
0; ,
4
x
mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. Cả hai hàm số
y f x
và
y g x
đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số
y f x
và
y g x
đều đồng biến.
C. Hàm số
y f x
nghịch biến, hàm số
y g x
đồng biến.
D. Hàm số
y f x
đồng biến, hàm số
y g x
nghịch biến.
Câu 5. Hàm số
sin 2y x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
0; .
4
B.
; .
2
C.
3
; .
2
D.
3
;2 .
2
Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng
; ?
3 6
A.
tan 2 .
6
y x
B.
cot 2 .
6
y x
C.
sin 2 .
6
y x
D.
cos 2 .
6
y x
Câu 7. Hàm số
cosy x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
0; .
2
B.
;2 .
C.
; .
D.
0; .
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 17
Câu 8. Hàm số
siny x
đồng biến trên khoảng?
A.
6 ; 5 .
B.
19
;10 .
2
C.
7
; 3 .
2
D.
15
7 ; .
2
Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số
cos 2
3
y x
là:
A.
2
; , .
6 3
k k k
B.
5 11
; , .
12 12
k k k
C.
; , .
3 6
k k k
D.
5
; , .
6 6
k k k
Câu 10. Trong khoảng
0; ,
2
hai hàm số nào sau đây cùng đồng biến?
A.
siny x
và
cos .y x
B.
siny x
và
tan .y x
C.
siny x
và
cot .y x
D.
cosy x
và
cot .y x
Câu 11. Trên đoạn
0;2
hàm số
siny x
đồng biến trên những khoảng nào?
A.
0; .
B.
; .
2 2
C.
;2 .
D.
0;
2
và
3
;2 .
2
Câu 12. Với
0; ,
2
x
mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số
siny x
tăng. B. Hàm số
coty x
giảm.
C. Hàm số
tany x
tăng. D. Hàm số
cosy x
tăng.
7.6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 1. Đồ thị hàm số
cos
2
y x
được suy ra từ đồ thị
C
của hàm số
cosy x
bằng cách:
A. Tịnh tiến
C
qua trái một đoạn có độ dài là
.
2
B. Tịnh tiến
C
qua phải một đoạn có độ dài là
.
2
C. Tịnh tiến
C
lên trên một đoạn có độ dài là
.
2
D. Tịnh tiến
C
xuống dưới một đoạn có độ dài là
.
2
Câu 2. Đồ thị hàm số
siny x
được suy ra từ đồ thị
C
của hàm số
cosy x
bằng cách:
A. Tịnh tiến
C
qua trái một đoạn có độ dài là
.
2
B. Tịnh tiến
C
qua phải một đoạn có độ dài là
.
2
C. Tịnh tiến
C
lên trên một đoạn có độ dài là
.
2
D. Tịnh tiến
C
xuống dưới một đoạn có độ dài là
.
2
Câu 3. Đồ thị hàm số
siny x
được suy ra từ đồ thị
C
của hàm số
cos 1y x
bằng cách:
A. Tịnh tiến
C
qua trái một đoạn có độ dài là
2
và lên trên 1 đơn vị.
B. Tịnh tiến
C
qua phải một đoạn có độ dài là
2
và lên trên 1 đơn vị.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 18
C. Tịnh tiến
C
qua trái một đoạn có độ dài là
2
và xuống dưới 1 đơn vị.
D. Tịnh tiến
C
qua phải một đoạn có độ dài là
2
và xuống dưới 1 đơn vị.
Câu 4. Đồ thị của hàm số
tany x
là:
A.
1
.C
B.
2
.
C
C.
3
.C
D.
4
.
C
Câu 5. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O


2

3
2

2

3
2

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
1 sin 2 .y x
B.
cos .y x
C.
sin .y x
D.
cos .y x
Câu 6. Điểm nào sau đây nằm trên đồ thị của hàm số
2sin 3
3
y x
?
A.
0;0 .
O
B.
0; 3 .
M
C.
2
; 3 .
3
N
D.
3; .
3
P
Câu 7. Đồ thị hàm số
cosy x
nhận được từ đồ thị hàm số
siny x
qua phép tịnh tiến theo véctơ
A.
0; .
2
u
B.
0; .
2
u
C.
;0 .
2
u
D.
;0 .
2
u
Câu 8. Đồ thị hàm số
cot 1
3
y x
nhận được từ đồ thị hàm số
coty x
qua phép tịnh tiến theo
vectơ
A.
; 1 .
3
u
B.
;1 .
3
u
C.
; 1 .
3
u
D.
;1 .
3
u
x
y
O
(C
1
)
2
2

x
y
O


2
3
4
2
(C
2
)
x
y
O
(C
3
)

2
3
2
2
3
2
x
y
O
(C
4
)




Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 19
Câu 9. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O






Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
sin .
2
x
y
B.
sin .
2
x
y
C.
sin .
4
x
y
D.
cos .
2
x
y
Câu 10. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O

4
3
4
5
4
2
2
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2 sin .
6
y x
B.
3
cos .
4
y x
C.
3
sin .
4
y x
D.
cos .
4
y x
Câu 11. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O
2

3
4
7
4
2
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2 sin .
4
y x
B.
2 sin .
4
y x
C.
3
2 sin .
4
y x
D.
2 cos .
4
y x
Câu 12. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 20
x
y
O


2

3
2

2

3
2

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
cos .y x
B.
cos .y x
C.
cos .y x
D.
cos 2 .y x
Câu 13. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O


2

3
2

2

3
2

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
y sin .x
B.
sin .y x
C.
sin .y x
D.
sin .y x
Câu 14. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O

2

3
2

2

3
2

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
1 sin .y x
B.
1 sin .y x
C.
1 sin .y x
D.
1 cos .y x
Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.
x
y
O
2
2

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
tan .y x
B.
cot .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 21
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình
sin sinx a
1.1. Lý thuyết
a.
2
sin sin .
2
x a k
x a k
x a k
b.
arcsin 2
sin 1 1 .
arcsin 2
x a k
x a a k
x a k
c.
sin sin sin sin .u v u v
d.
sin cos sin .
2
u v u v
e.
sin cos sin sin .
2
u v u v
f.
sin 0
a x b
(Phương trình bậc nhất đối với hàm số sin)
sin .
b
x
a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 .
x x k k
sin 1 2 .
2
x x k k
sin 1 2 .
2
x x k
sin 1 .
2
x x k
1.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
sin 0
x
b)
sin 2 1x
c)
sin 1
4
x
d)
sin 1
3
x
e)
1
sin 3
6 2
x
f)
1
sin
3
x
g)
sin 2 2
x
h)
2
sin 2 1
2
x
i)
3
sin
2 3 2
x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
sin sin 2
4
x x
b)
sin3 cosx x
c)
0
sin 120 cos 2x x
d)
sin3 sin 0
4 2
x
x
e)
2
sin 1x
f)
2
sin 1
x
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số sau có nghiệm:
a)
sin 2 2x m
b)
sin 1 3 7
x m
c)
sin
1
m
x
m
d)
sin3 2
m x m
e)
2
sin 3
m x m m
f)
2
sin 2 2
4
x m m
2. Phương trình
cos cosx a
2.1. Lý thuyết
a.
2
cos cos .
2
x a k
x a k
x a k
b.
arccos 2
cos 1 1 .
arccos 2
x a k
x a a k
x a k
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 22
c.
cos cos cos cos .u v u v
d.
cos sin cos cos .
2
u v u v
e.
cos sin cos cos .
2
u v u v
f.
cos 0
a x b
(Phương trình bậc nhất đối với hàm số côsin)
cos .
b
x
a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
cos 0 .
2
x x k k
cos 1 2 .
x x k k
cos 1 2 .
x x k k
cos 1 .
x x k k
2.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
cos 0
x
b)
cos2 1x
c)
cos 1
4
x
d)
cos 1
3
x
e)
1
cos 3
6 2
x
f)
1
cos
3
x
g)
cos2 2
x
h)
2
cos 2 1
2
x
i)
3
cos
2 3 2
x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
cos cos 2
4
x x
b)
cos3 sinx x
c)
0
cos 120 cos 2x x
d)
cos3 sin 0
4 2
x
x
e)
cos 1
x
f)
2
cos 2 1
x x
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số sau có nghiệm:
a)
cos 2
x m
b)
cos 1 2 7
x m
c)
cos 2
1
m
x
m
d)
0
cos 3 120 2
m x m
e)
2
cos3
m x m m
f)
2
cos 2
4
x m m
3. Phương trình
tan tanx a
3.1. Lý thuyết
a.
tan tan .
x a x a k k
b.
tan arctan .
x a x a k k
c.
tan tan tan tan .u v u v
d.
tan cot tan tan .
2
u v u v
e.
tan cot tan tan .
2
u v u v
f.
tan 0
a x b
(Phương trình bậc nhất đối với hàm số tang)
tan .
b
x
a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
tan 0 .
x x k k
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 23
tan 1 .
4
x x k k
3.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
0
tan tan 30
x
b)
tan 2 tan
3 4
x
c)
tan 1
x
d)
tan 2 3
x
e)
5 1
tan
6
3
x
f)
tan 3 0
x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
0 0
tan 2 45 tan 30
x
b)
tan tan3
3
x x
c)
tan 2 cot
6
x x
d)
tan 2 1 cot 0
x x
e)
2
tan 1x
f)
2
tan 2x 3 tan 2
x
4. Phương trình
cot cotx a
4.1. Lý thuyết
a.
cot cot .
x a x a k k
b.
cot arccot .
x a x a k k
c.
cot cot cot cot .u v u v
d.
cot tan cot cot .
2
u v u v
e.
cot tan cot cot .
2
u v u v
f.
cot 0
a x b
(Phương trình bậc nhất đối với hàm số côtang)
cot .
b
x
a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
cot 0 .
2
x x k k
cot 1 .
4
x x k k
4.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
0
cot cot 30
x
b)
cot 2 cot
3 4
x
c)
cot 1
x
d)
cot 2 3
x
e)
5 1
cot
6
3
x
f)
cot 3 0
x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
0 0
cot 2 45 cot 30
x
b)
cot cot3
3
x x
c)
cot 2 tan
6
x x
d)
cot 2 1 tan 0
x x
e)
cot 1
x
f)
2
cot 1
x
4. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phương trình
sin sinx
có các nghiệm là:
A.
2
, .
2
x k
k
x k
B.
, .
x k
k
x k
C.
2
, .
2
x k
k
x k
D.
, .
x k
k
x k
Câu 2. Phương trình
0
tan tan
x
có các nghiệm là:
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 24
A.
0
.180 , .
x k k
B.
0
.360 , .
x k k
C.
0
.180 , .
x k k
D.
0
.360 , .
x k k
Câu 3. Phương trình
cos 0
x
có các nghiệm là:
A.
2 , .
2
x k k
B.
2 , .
2
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
, .
x k k
Câu 4. Phương trình nào sau đây có cùng tập nghiệm với phương trình
cos 0
x
?
A.
sin 1.
x
B.
sin 1.
x
C.
tan 0.
x
D.
cot 0.
x
Câu 5. Phương trình
cot 2 3
x
có các nghiệm là:
A.
, .
12 2
x k k
B.
, .
12
x k k
C.
, .
6 2
x k k
D.
, .
6
x k k
Câu 6. Phương trình
2
cos 1x
có các nghiệm là:
A.
2 , .
x k k
B.
, .
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
x k k
Câu 7. Số nghiệm của phương trình
2 cos 2 1
3
x
với
0 2
x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Cho phương trình
2
2 5 2 cos 2 2 1.
m m x m
Tìm tập hợp
M
các giá trị của tham số
m
để
phương trình đã cho có nghiệm.
A.
2;3 .
M
B.
;1 3; .
M
 
C.
1
.
2
M
D.
;1 3; .
M
 
Câu 9. Trên
0; ,
phương trình
1
sin 2
2
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 10. Phương trình
3
cot
3
x
với
0
2
x
A. Có nghiệm là
.
3
B. Có nghiệm là
.
9
C. Không có nghiệm. D. Có nghiệm là
.
3
Câu 11. Phương trình
sin .cos .cos2 0
x x x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
, .
2
k
x k
C.
, .
4
k
x k
D.
, .
8
k
x k
Câu 12. Phương trình
cot 3
0
1
sin
2
x
x
có các nghiệm là:
A.
2 , .
6
x k k
B.
, .
6
x k k
C.
7
x k k
D.
7
, .
6
x k k
Câu 13. Với giá trị nào của
m
thì phương trình
sin 2 sin 2x m m x
vô nghiệm?
A.
1.
m
B.
1
.
2
m
C.
1
.
2
m
D.
1
.
2
m
Câu 14. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
cos 2 0
x
A.
sin 2 1.
x
B.
2
sin 1.
x
C.
tan 1.
x
D.
2
tan 1.
x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 25
Câu 15. Số nghiệm của phương trình
cos 0
2 4
x
thuộc khoảng
;8
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình
2cos 1
3
x
trên
;
là
A.
2
.
3
B.
.
3
C.
4
.
3
D.
7
.
3
Câu 17. Phương trình
cos 0
x m
vô nghiệm khi
A.
1.
m
B.
1.
m
C.
1 1.
m
D.
1
m
hoặc
1.
m
Câu 18. Phương trình
sin3 cosx x
có các nghiệm là:
A.
; , .
8 2 4
x k x k k
B.
2 ; 2 , .
2
x k x k k
C.
; , .
4
x k x k k
D.
; , .
2
x k x k k
Câu 19. Gọi
X
là tập nghiệm của phương trình
0
cos 15 sin .
2
x
x
Khi đó
A.
0
290 .X
B.
0
250 .X
C.
0
240 .X
D.
0
220 .X
Câu 20. Phương trình
sin .cos 0
x x
là:
A.
, .
4
x k k
B.
, .
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
, .
2
x k k
Câu 21. Phương trình
tan 3 0
x
có các nghiệm là
A.
, .
3
x k k
B.
, .
3
x k k
C.
, .
6
x k k
D.
, .
6
x k k
Câu 22. Gọi
T
là tập nghiệm của phương trình
tan .cot 1x x
. Giá trị của
T
là:
A.
.
T
B.
T k k
C.
\ .
2
T k k
D.
\ .
2
T k k
Câu 23. Phương tình
sin cos
3
sin cos
x x
x x
tương đương với phương trình:
A.
tan 3.
4
x
B.
cot 3.
4
x
C.
tan 3.
4
x
D.
cot 3.
4
x
Câu 24. Phương trình
cos cos 1
3 3
x x
có các nghiệm là:
A.
2 , .
x k k
B.
2 , .
2
x k k
C.
, .
x k k
D.
, .
2
x k k
Câu 25. Phươg trình
tan cotx x
có các nghiệm là:
A.
, .
4
x k k
B.
, .
4
x k k
C.
, .
4 2
x k k
D.
, .
4 4
x k k
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 26
Câu 26. Số vị trí điểm biểu diễn của phương trình
1
sin 2
3 2
x
trên đường tròn lượng giác là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 27. Với những giá trị nào của
x
thì giá trị của các hàm số
sin3y x
và
siny x
bằng nhau?
A.
2
, .
2
4
x k
k
x k
B.
, .
4 2
x k
k
x k
C.
2
, .
4 2
x k
k
x k
D.
, .
4
x k
k
x k
Câu 28. Gọi
0
x
là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2cos 2
0.
1 sin 2
x
x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0
0; .
4
x
B.
0
; .
4 2
x
C.
0
3
; .
2 4
x
D.
0
3
; .
4
x
Câu 29. Trên đoạn
2017;2017
, phương trình
sin 1 sin 2 0
x x
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1926. B. 642. C. 641. D. 1284.
Câu 30. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3
sin 3
4 2
x
bằng:
A.
.
6
B.
5
.
18
C.
.
18
D.
.
6
Câu 31. Gọi
0
x
là nghiệm âm lớn nhất của phương trình
0
3
cos 5 45 .
2
x
Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
0 0
0
90 ; 60 .
x
B.
0 0
0
60 ; 45 .
x
C.
0 0
0
45 ; 30 .
x
D.
0 0
0
30 ;0 .
x
Câu 32. Trên đoạn
;2 ,
2
phương trình
13
cos
14
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 33. Tổng các nghiệm của phương trình
0
tan 2 15 1
x
trên khoảng
0 0
90 ;90
bằng:
A.
0
0 .
B.
0
30 .
C.
0
30 .
D.
0
60 .
Câu 34. Cho
tan 1.
2
x
Hãy tính
sin 2 .
6
x
A.
1
sin 2 .
6 2
x
B.
1
sin 2 .
6 2
x
C.
x
D.
3
sin 2 .
6 2
x
Câu 35. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
tan 1?
x
A.
2
sin .
2
x
B.
2
cos .
2
x
C.
cot 1.
x
D.
2
cot 1.
x
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
cos 1
x m
có nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 37. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
3
x m
có
nghiệm. Tính tổng
T
của các phần tử trong
.S
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 27
A.
6.
T
B.
3.
T
C.
2.
T
D.
6.
T
Câu 38. Cho phương trình
1 1 cos 0
x x x
. Kết luận nào sau đây về phương trình là đúng?
A. Có 1 nghiệm. B. Có 2 nghiệm. C. Vô nghiệm. D. Có vô số nghiệm.
Câu 39. Phương trình
cos sin 1
x
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
2 ;2 ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 40. Phương trình
3
sin 2
2
x
có các nghiệm có dạng
x k
;
.
x k k
Khi đó giá
trị của
.
là:
A.
2
.
9
B.
2
20
.
9
C.
2
4
.
9
D.
2
2
.
9
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 28
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
2
0
at bt c
.
trong đó
, ,a b c
là các hằng số
0
a
và
t
là một hàm số lượng giác.
b. Mở rộng:
3 2
0
at bt ct d
(Với
t
là một hàm số lượng giác).
d. Phương pháp giải: (Đặt ẩn biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có))
sin , cos :t x t x
điều kiện
1 1.
t
sin , cos :t x t x
điều kiện
0 1.
t
2 2
sin , cos :t x t x
điều kiện
0 1.
t
tan , cot :t x t x
không có điều kiện đối với biến
t
.
1.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
2sin sin 3 0
x x
b)
2
4sin 4cos 1 0
x x
c)
2
tan 1 3 tan 3 0
x x
d)
2
4sin 2 3 1 sin 3 0
x x
e)
5 5 2
4cos .sin 4sin .cos sin 4x x x x x
f)
3
4cos 3 2 sin2 8cosx x x
g)
2 2
tan cot 2
x x
h)
2
cot 2 4cot2 3 0
x x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2
4 sin 3 2 3 1 cos 3 3 4
x x
b)
cos2 9cos 5 0
x x
c)
2 2
4cos 2 6 16 cos 1 3 13
x x
d)
2
1
1 3 tan 1 3 0
cos
x
x
e)
2
3
tan 9
cos
x
x
f)
2
4
9 13cos 0
1 tan
x
x
g)
2
1
cot 3
sin
x
x
h)
2
2
1
3cot 5
cos
x
x
i)
2
cos 2 3cos 4cos
2
x
x x
k)
2cos 2 tan 1x x
Bài 3. Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos 2
sin
1 2sin 2 5
x x x
x
x
. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc
khoảng
0;2 .
Bài 4. Cho phương trình
cos5 .cos cos4 .cos2 3cos2 1.
x x x x x
Tìm các nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
; .
Bài 5. Giải phương trình
4 4 4
5
sin sin sin .
4 4 4
x x x
2. Phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
2.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số
sin x
và
cos x
là phương trình có dạng
sin cos
a x b x c
.
b. Mở rộng:
sin cos
a u b u c
(Với
u u x
).
c. Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
.a b c
d. Phương pháp giải: (Sử dụng công thức cộng để biến đổi phương trình về dạng cơ bản)
B1. Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos .
a b c
x x
a b a b a b
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 29
B2. Đặt
2 2 2 2
cos sin
a b
a b a b
(Hoặc ngược lại, tuỳ vào mong muốn đưa về sin hay côsin
của bài toán).
B3. Phương trình trở thành:
2 2 2 2
sin .cos sin .cos sin .
c c
x x x
a b a b
2.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x
b)
6
sin cos
2
x x
c)
3cos3 sin3 2
x x
d)
sin cos 2sin5x x x
e)
3sin 2 sin 2 1
2
x x
f)
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0
x x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2
3sin 3 sin 2 3
x x
b)
sin 8 cos 6 3 sin 6 cos8x x x x
c)
3 1
8cos2
sin cos
x
x x
d)
cos 3sin 2cos
3
x x x
e)
sin5 cos5 2cos13x x x
f)
2
3cos 4sin 6 9 cos 12sin 16 0
x x x x
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
3sin 2cos 2
x x
b)
3cos 4sin 3 0
x x
c)
cos 4sin 1
x x
d)
2sin 5cos 5
x x
e)
3 2
2sin sin
4 4 2
x x
f)
3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
Bài 4. Tìm
m
để phương trình
2 sin cos 2
m x m x
có nghiệm.
Bài 5. Tìm
m
để phương trình
2 1 sin 1 cos 3
m x m x m
vô nghiệm.
3. Phương trình đẳng cấp bậc hai
3.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
2 2
sin sin .cos cos 0 1
a x b x x c x
.
b. Mở rộng:
2 2
sin sin .cos cos .a x b x x c x d
c. Phương pháp giải:
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos2 1
sin ; cos ; sin .cos sin 2
2 2 2
x x
x x x x x
:
2 2
sin sin .cos cos 0 1 cos2 sin 2 1 cos 2 0
sin 2 cos2
a x b x x c x a x b x c x
b x c a x a c
(Đây là phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
).
Cách 2:
B1. Kiểm tra
cos 0
x
có thoả mãn phương trình
1
không? (Nếu
. 0
a c
thì
cos 0
x
không thoả mãn
phương trình
1
).
B2. Với
cos 0,
x
chia hai vế của phương trình
1
cho
2
cos x
ta được:
2
tan tan 0.
a x b x c
(Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số
tany x
).
d. Chú ý:
2 2 2 2 2 2
sin sin .cos cos sin sin cos cos sin cos .a x b x x c x d a x b x x c x d x x
3.2. Bài tập
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 30
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2 sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x
b)
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0
x x x x
c)
2 2
4sin 3 3 sin .cos 2cos 4
x x x x
d)
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x
e)
2 2
2 sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1
x x x x
f)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2
x x x x
g)
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0
x x x x
h)
2 2
2 1 sin sin 2 2 1 cos 2
x x x
i)
2 2
3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0
x x x x
j)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0
x x x x
k)
2 2
cos 3sin 2 3 sin .cos 1 0
x x x x
l)
2 2
2cos 3sin .cos sin 0
x x x x
m)
2 2
2cos 3sin .cos sin 0
x x x x
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau:
a)
3 2 3
sin 2sin .cos 3cos 0
x x x
b)
2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x
c)
3 2 2 3
sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos 0
x x x x x x
Bài 3. Tìm
m
để phương trình
2 2
1 sin sin 2 2cos 1m x x x
có nghiệm.
Bài 4. Tìm
m
để phương trình
2 2
3 2 sin 5 2 sin 2 3 2 1 cos 0
m x m x m x
vô nghiệm.
4. Phương trình đối xứng
4.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với
sin x
và
cos x
là phương trình có dạng :
sin cos sin .cos 0 1
a x x b x x c
.
b. Mở rộng:
sin cos sin .cos 0.
a x x b x x c
c. Phương pháp giải:
Đặt
sin cos 2 cos
4
t x x x
, điều kiện
2 2 2
t t
.
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos 1
2
t x x x x t
.
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo
t
.
Giải phương trình này tìm
t
thoả mãn
2.
t
Suy ra
.x
d. Chú ý:
Với phương trình
sin cos sin .cos 0.
a x x b x x c
Đặt
sin cos 2 cos
4
t x x x
,
2
1
sin .cos 1
2
x x t
.
cos sin 2 cos 2 sin .
4 4
x x x x
cos sin 2 cos 2 sin .
4 4
x x x x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 31
4.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
b)
2 sin cos 2sin 2 2
x x x
c)
3 sin cos 2sin 2 3
x x x
d)
1 2 1 sin cos sin 2x x x
e)
sin cos 4sin .cos 1 0
x x x x
f)
1 2 sin cos sin 2 1 2
x x x
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau:
a)
sin 2 4 cos sin 4
x x x
b)
5sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
c)
1 2 1 sin cos sin 2x x x
d)
cos sin 3sin 2 1 0
x x x
e)
sin 2 2 sin 1
4
x x
f)
2
sin cos 2 1 sin cos 2 0
x x x x
5. Phương trình dạng khác
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
sin sin 3x x
b)
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
c)
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1x x x
d)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau:
a)
6 6
1
sin cos
4
x x
b)
4 6
cos 2sin cos2x x x
Bài 3. Giảỉ các phương trình sau:
a)
1 2sin .cos sin 2cosx x x x
b)
sin sin cos 1 0
x x x
c)
3 3
sin cos cos2x x x
d)
sin 2 1 2 cos cos 2x x x
e)
2
sin 1 cos 1 cos cosx x x x
f)
2
2sin 1 2cos 2 2sin 1 3 4cosx x x x
g)
2
sin sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x x
h)
sin sin 2 sin 3 2 cos cos 2 cos3x x x x x x
Bài 4. Giảỉ các phương trình sau:
a)
2cos .cos 2 1 cos 2 cos3x x x x
b)
2sin .cos 2 1 2cos 2 sin 0
x x x x
c)
2
3cos cos3 2cos 2sin .sin2x x x x x
d)
2
cos5 .cos cos 4 .cos2 3cos 1x x x x x
Bài 5. Giảỉ các phương trình sau:
a)
sin sin 3 sin 5 0
x x x
b)
cos 7 sin 8 cos3 sin 2x x x x
c)
cos 2 cos8 cos 6 1x x x
d)
2 2
sin7 cos 2 sin 2 sinx x x x
Bài 6. Giảỉ các phương trình sau:
a)
3 3
1
sin cos sin 2 .sin cos sin 3
4
2
x x x x x x
b)
1 sin 2 2cos3 sin cos 2sin 2cos3 cos 2x x x x x x x
6. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
2cos 3 0.
x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
.
6
S
B.
11
.
6
S
C.
13
.
6
S
D.
13
.
6
S
Câu 2. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
tan 2 3 0
3
x
trên đường tròn lượng giác
là?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 3. Trên đoạn
0;2018 ,
phương trình
3cot 3 0
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
2
4cos 1?
x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 32
A.
1
cos
2
x
. B.
2
1
sin .
4
x
C.
2
cot 3.
x
D.
2
tan 3
x
.
Câu 5. Phương trình
2
4sin 3
x
có các nghiệm là:
A.
3
, .
4
3
x k
k
x k
B.
2
3
, .
2
2
3
x k
k
x k
C.
, , .
3 6
k
x
k l
x l
D.
, , .
3
k
x
k l
x l
Câu 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A.
sin cos 3
x x
. B.
3
sin
2
x
.
C.
3sin 2 cos2 1.
x x
D.
3sin 4 cos 5.
x x
Câu 7. Các nghiệm của phương trình
sin 2 3cos2 0
x x
là:
A.
, .
3 2
x k k
B.
, .
6 2
x k k
C.
, .
3
x k k
D.
, .
6
x k k
Câu 8. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình
sin cos
x x m
có nghiệm?
A.
2 2.
m
B.
2 2.
m
C.
0.
m
D.
2
m
hoặc
2.
m
Câu 9. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình
sin 3cos 5
m x x
vô nghiệm?
A.
4 4.
m
B.
8
m
hoặc
2.
m
C.
4
m
hoặc
4.
m
D.
34
m
hoặc
34.
m
Câu 10. Phương trình
3sin3 cos3 1
x x
tương đương với phương trình nào sau đây:
A.
1
sin 3 .
6 2
x
B.
sin 3 .
6 6
x
C.
1
sin 3 .
6 2
x
D.
1
sin 3 .
6 2
x
Câu 11. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình
5cos sin 1
x m x m
có nghiệm?
A.
.
m
B.
12.
m
C.
12.
m
D.
24.
m
Câu 12. Cho phương trình
sin 1 3 cos 2.
m x m x m
Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
A.
1
3.
3
m
B.
1
.
3
m
C.
3.
m
D. Không có giá trị nào của
.m
Câu 13. Phương trình
2 2
sin 4sin .cos 3cos 0
x x x x
có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương
trình nào sau đây?
A.
tan 1 tan 3 0.
x x
B.
tan 1 tan 3 0.
x x
C.
tan 1 tan 3 0.
x x
D.
tan 1 tan 3 0.
x x
Câu 14. Phương trình
2 2
sin 4sin .cos 4cos 5
x x x x
có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương
trình nào sau đây?
A.
2sin cos 0.
x x
B.
2sin cos 0.
x x
C.
2cos sin 0.
x x
D.
2cos sin 0.
x x
Câu 15. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình
2 2
sin sin 2 cos 1
m x x x m
có nghiệm?
A.
.
m
B.
1.
m
C.
1.
m
D.
0.
m
Câu 16. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
6 sin cos sin .cos 6 0
x x x x
trên đường
tròn lượng giác là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 33
Câu 17. Cho phương trình
3 sin cos 2sin 2 3 0
x x x
. Đặt
sin cos ,t x x
ta được phương trình
nào dưới đây?
A.
2
3 2 0.
t t
B.
2
2 3 1 0.
t t
C.
2
2 3 5 0.
t t
D.
2
3 4 0
t t
.
Câu 18. Gọi
S
là tập tất cả các nghiệm của phương trình
2
sin 2017 0.
x x x
Số phần tử của
S
là:
A. 642. B. 643. C. 644. D. 645.
Câu 19. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo
sin x
và
cos x
?
A.
2
sin cos 1 0.
x x
B.
sin 2 cos 0.
x x
C.
2sin 3cos 1.
x x
D.
2cos 3sin 3 1.
x x
Câu 20. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A.
2cos 3 0.
x
B.
3sin2 10 0.
x
C.
2
cos cos 6 0.
x x
D.
3sin 4 cos 5.
x x
Câu 21. Phương trình
2 2
1 cos cos cos3 sin 0
x x x x
tương đương với phương trình:
A.
cos cos cos3 0.
x x x
B.
cos cos cos 2 0.
x x x
C.
cos cos cos 2 0.
x x x
D.
cos cos cos3 0.
x x x
Câu 22. Số nghiệm thuộc nửa khoảng
69
;
14 10
của phương trình
2
2sin 3 1 4sin 0
x x
là:
A. 34. B. 40. C. 41. D. 46.
Câu 23. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
2
sin .cos 1 sinx x x
trên đường tròn lượng
giác là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 24. Phương trình
2 2
sin 2 cos 3 1x x
có các nghiệm là:
A.
, .
5 5
x k
k
x k
B.
, .
5
x k
k
x k
C.
2
, .
2
5
x k
k
x k
D.
2
, .
5 5
2
x k
k
x k
Câu 25. Phương trình
sin 3 cos 2 1 2sin .cos 2x x x x
tương đương với phương trình:
A.
sin 2sin 1 0.
x x
B.
sin 2sin 1 0.
x x
C.
sin sin 1 0.
x x
D.
sin sin 1 0.
x x
Câu 26. Phương trình
2sin cot 1 2sin 2x x x
tương đương với phương trình:
A.
2sin 1
.
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
B.
2sin 1
.
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
C.
2sin 1
.
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
D.
2sin 1
.
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
Câu 27. Phương trình
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x
tương đương với phương trình:
A.
tan 3.
x
B.
tan 2 3.
x
C.
tan3 3.
x
D.
tan6 3.
x
Câu 28. Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
cos 2 sin 2 1.
x x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
4
S
B.
.
2
S
C.
3
.
4
S
D.
5
.
4
S
Câu 29. Số nghiệm của phương trình
sin 2 3cos2 3
x x
trên khoảng
0;
2
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 34
Câu 30. Tính tổng
T
các nghiệm của phương trình
2 2
cos sin2 2 sinx x x
trên khoảng
0;2 .
A.
7
.
8
T
B.
21
.
8
T
C.
11
.
4
T
D.
3
.
4
T
Câu 31. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất
0
x
của phương trình
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 .x x x
A.
0
.
2
x
B.
0
.
18
x
C.
0
.
24
x
D.
0
.
54
x
Câu 32. Số nghiệm của phương trình
sin5 3cos5 2sin7x x x
trên khoảng
0;
2
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33. Gọi
0
x
là nghiệm âm lớn nhất của phương trình
sin9 3cos7 sin7 3cos9 .x x x x
Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
0
;0 .
12
x
B.
0
; .
6 12
x
C.
0
; .
3 6
x
D.
0
; .
2 3
x
Câu 34. Biến đổi phương trình
cos3 sin 3 cos sin3x x x x
về dạng
sin sin
ax b cx d
với
,b d
thuộc khoảng
; .
2 2
Tính
.b d
A.
.
12
b d
B.
.
4
b d
C.
.
3
b d
D.
.
2
b d
Câu 35. Hàm số
2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 3
x x
y
x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để phương trình
sin 3 cos
3 3
x x m
vô nghiệm?
A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
cos sin 2 1
x x m
vô nghiệm.
A.
; 1 1; .
m
B.
;0 0; .
m
C.
; .
m
D.
1;1 .
m
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
2018;2018
để phương trình
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
có nghiệm?
A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.
Câu 39. Hỏi trên
0; ,
2
phương trình
2
2sin 3sin 1 0
x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 40. Cho phương trình
2
cot 3 3cot3 2 0.
x x
Đặt
cot3 ,t x
ta đươc phương trình nào sau đây?
A.
2
3 2 0.
t t
B.
2
3 9 2 0.
t t
C.
2
9 2 0.
t t
D.
2
6 2 0.
t t
Câu 41. Số nghiệm của phương trình
2
4sin 2 2 1 2 sin 2 2 0
x x
trên
0;
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 42. Hỏi
7
3
x
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
2sin 3 0.
x
B.
2sin 3 0.
x
C.
2cos 3 0.
x
D.
2cos 3 0.
x
Câu 43. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
tan 2 3 0
3
x
trên đường tròn lượng
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 35
giác là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 44. Hỏi trên đoạn
0;2018 ,
phương trình
3cot 3 0
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 45. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
2
2cos 5cos 3 0
x x
trên đường tròn lượng
giác là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 46. Số nghiệm của phương trình
2
sin 2 cos2 1 0
x x
trên đoạn
;4
là:
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 47. Tính tổng
T
tất cả các nghiệm của phương trình
2
x x
trên đoạn
0;8 .
A.
0.
T
B.
4 .
T
C.
8 .
T
D.
16 .
T
Câu 48. Số nghiệm của phương trình
2
1
3 1 cot 3 1 0
sin
x
x
trên khoảng
0;
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 49. Cho phương trình
cos cos 1 0.
2
x
x
Nếu đặt
cos ,
2
x
t
ta được phương trình nào sau đây?
A.
2
2 0.
t t
B.
2
2 1 0.
t t
C.
2
2 1 0.
t t
D.
2
2 0.
t t
Câu 50. Cho phương trình
5
cos2 4cos .
3 6 2
x x
Nếu đặt
cos ,
6
t x
ta được phương
trình nào sau đây?
A.
2
3
2 4 0.
2
t t
B.
2
3
2 4 0.
2
t t
C.
2
3
2 4 0.
2
t t
D.
2
3
2 4 0.
2
t t
Câu 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
tan cot 8
x m x
có nghiệm.
A.
16.
m
B.
16.
m
C.
16.
m
D.
16.
m
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
có
nghiệm trên khoảng
3
; .
2 2
A.
1 0.
m
B.
1 0.
m
C.
1 0.
m
D.
1 0.
m
Câu 53. Biết rằng khi
0
m m
thì phương trình
2 2
2sin 5 1 sin 2 2 0
x m x m m
có đúng 5 nghiệm
phân biệc thuộc khoảng
;3
2
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
3; .
2
m
B.
1 1
; .
2 2
m
C.
1
;1 .
2
m
D.
1; .
m
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
2cos 3 3 2 cos3 2 0
x m x m
có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng
; .
6 3
A.
1 2.
m
B.
1 2.
m
C.
1 2.
m
D.
1 2.
m
Câu 55. Giải phương trình
2 2
sin 3 1 sin .cos 3cos 0
x x x x
.
A.
, .
3
x k k
B.
, .
4
x k k
C.
3
, .
4
x k
k
x k
D.
2
3
, .
2
4
x k
k
x k
Câu 56. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 36
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 3.
x x x x
A.
3 1
sin tan 0.
3 1
x x
B.
3 1
cos 1 tan 0.
1 3
x x
C.
cos 1 tan 2 3 0.
x x
D.
2
cos 1 tan 2 3 0.
x x
Câu 57. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
2
sin 3sin cos 1?
x x x
A.
2
x x
B.
sin 1 cot 3 0.
x x
C.
sin . tan 2 3 0.
2 4
x x
D.
2
cos 1 tan 3 0.
2
x x
Câu 58. Cho phương trình
2
cos 3sin cos 1 0.
x x x
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
x k
không là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho
2
cos x
thì ta được phương trình
2
tan 3tan 2 0.
x x
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho
2
sin x
thì ta được phương trình
2
2cot 3cot 1 0.
x x
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình
cos 2 3sin 2 3 0.
x x
Câu 59. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
2 2
sin 4sin cos 4cos 5
x x x x
trên đường
tròn lượng giác là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 60. Số nghiệm của phương trình
2 2
cos 3sin cos 2sin 0
x x x x
trên khoảng
2 ;2
là:
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 61. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để phương trình
2 2
11sin 2 sin 2 3cos 2
x m x x
có nghiệm?
A. 6. B. 15. C. 16. D. 21.
Câu 62. Tìm điều kiện để phương trình
2 2
sin sin cos cos 0
a x a x x b x
với
0
a
có nghiệm.
A.
4 .a b
B.
4 .a b
C.
4
1.
b
a
D.
4
1.
b
a
Câu 63. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
sin cos sin cos 0
x x x x m
có
nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 64. Từ phương trình
3 3
3
1 sin cos sin 2 ,
2
x x x
ta tìm được
cos
4
x
có giá trị bằng:
A. 1. B.
2
.
2
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 65. Từ phương trình
2 sin cos tan cot ,x x x x
ta tìm được
cos x
có giá trị bằng:
A. 1. B.
1.
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 66. Hỏi trên đoạn
0;2018 ,
phương trình
sin cos 4sin2 1x x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.
Câu 67. Cho
x
thoả mãn
2sin 2 3 6 sin cos 8 0.
x x x
Tính
sin 2 .x
A.
1
sin 2 .
2
x
B.
2
sin 2 .
2
x
C.
1
sin 2 .
2
x
D.
2
sin 2 .
2
x
Câu 68. Nếu
1 sin 1 cos 2
x x
thì
cos
4
x
bằng bao nhiêu?
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 37
A. 1. B.
1.
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 69. Từ phương trình
1 3 cos sin 2sin cos 3 1 0,
x x x x
nếu ta đặt
sin cost x x
thì
giá trị của
t
nhận được là:
A.
1t
hoặc
2.
t
B.
1t
hoặc
3.
t
C.
1.
t
D.
3.
t
Câu 70. Cho
x
thoả mãn
6 sin cos sin cos 6 0.
x x x x
Tính
cos .
4
x
A.
cos 1.
4
x
B.
cos 1.
4
x
C.
2
cos .
4 2
x
D.
2
cos .
4 2
x
Câu 71. Cho
x
thoả mãn phương trình
sin 2 sin cos 1.
x x x
Tính
sin .
4
x
A.
sin 0
4
x
hoặc
sin 1.
4
x
B.
sin 0
4
x
hoặc
2
sin .
4 2
x
C.
sin 0
4
x
hoặc
sin 1.
4
x
D.
sin 0
4
x
hoặc
2
sin .
4 2
x
Câu 72. Từ phương trình
5sin2 16 sin cos 16 0,
x x x
ta tìm được
sin
4
x
có giá trị bằng:
A.
2
.
2
B.
2
.
2
C. 1. D.
2
.
2
Câu 73. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin 3cos 1y x x
lần lượt là
, .M m
Khi đó
tổng
M m
bằng:
A.
2 3.
B.
3.
C. 2. D. 4.
Câu 74. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin cos 2cos 2 3sin cosy x x x x x
lần lượt
,M m
. Khi đó tổng
M m
bằng:
A. 2. B.
17.
C.
13
.
4
D.
17
.
2
Câu 75. Phương trình
2 2 2 4
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
tương đương với phương trình nào sau
đây?
A.
sin .sin 2 .sin 4 0.
x x x
B.
cos .cos 2 .cos 4 0.
x x x
C.
cos .cos 2 .cos5 0.
x x x
D.
sin .sin 2 .sin 5 0.
x x x
Câu 76. Số nghiệm của phương trình
2
cos 4cos 3 4cos2 3cos 4 0
x x x x
trên đoạn
0;14
là:
A. 2. B.
3.
C. 4. D. 5.
Câu 77. Cho tam giác
,ABC
biết
cos 1.
B C
Hỏi tam giác
ABC
có đặc điểm gì?
A.
ABC
cân. B.
ABC
đều. C.
ABC
nhọn. D.
ABC
vuông.
Câu 78. Cho tam giác
,ABC
biết
sin 1.
B C
Hỏi tam giác
ABC
có đặc điểm gì?
A.
ABC
cân. B.
ABC
đều. C.
ABC
nhọn. D.
ABC
vuông.
Câu 79. Phương trình
sin
18
x
x
có bao nhiêu nghiệm?
A. Vô số nghiệm. B.
1 nghiệm.
C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 38
Câu 80. Cho phương trình
2 0 2 0 0
cos 30 sin 30 sin 60
x x x
và các tập số thực:
0 0 0 0 0 0 0 0
. 30 120 . 60 120 . 30 360 . 30 360 .
I x k II x k III x k IV x k
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình:
A. Chỉ
.I
B.
Chỉ
.II
C.
I
và
.III
D.
I
và
.IV
Câu 81. Tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương trình
sin .cos3 sin 2cos3 2 0
x x x x
là:
A.
2
.
3
B.
2 .
C.
4 .
D. 0.
Câu 82. Nếu
;x y
là nghiệm của phương trình
2
2 sin 1 0
x x xy
thì số các giá trị của
x
là:
A. 1. B.
2.
C. 3. D. Vô số.
Câu 83. Cho phương trình
cos .cos 7 cos 3 .cos 5x x x x
. Phương trình nào dưới đây tương đương với
phương trình đã cho?
A.
sin 4 0.
x
B.
sin 5 0.
x
C.
cos 3 0.
x
D.
cos 4 0.
x
Câu 84. Phương trình nào dưới đây tương đương phương trình
1
2 cos .cos2 .cos4 ...cos 2 1
n n
x x x x
?
A.
sin 0.
x
B.
sin sin2 .
n
x x
C.
1
sin sin 2 .
n
x x
D.
2
sin sin 2 .
n
x x
Câu 85. Phương trình
4 4
sin3 cos sinx x x
có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào
sau đây?
A.
cos 2 sin 3 .x x
B.
cos 2 sin 3 .x x
C.
cos 2 sin 2 .x x
D.
cos 2 sin 2 .x x
Câu 86. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
3sin 2 cos2 2.
x x
B.
3sin 4cos 5.
x x
C.
x x
D.
sin .
3
x
Câu 41. Gọi
,m M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhât của hàm số
2sin cos
.
sin cos 3
x x
y
x x
Giá trị
của
m M
là:
A.
2
.
7
B.
2
.
7
C. 4. D. 5.
Câu 42. Giá trị lớn nhất của hàm số
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
bằng:
A.
2 2
.
4
B.
4
8.
C. 2. D. 1.
Câu 43. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
bằng:
A.
2
.
11
B. 0. C.
1
.
2
D. 1.
Câu 44. Gọi
,m M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
1 sin
.
2 cos
x
y
x
Giá trị của
.m M
bằng:
A.
2.
B. 0. C.
8
.
3
D.
5
.
8
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 39
ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẴNG VÀ TNPT CÁC NĂM
1. Bài tập tự luận
Bài 1. (ĐHA, 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương trình
cos3 sin 3
5 sin cos2 3.
1 2sin 2
x x
x x
x
Bài 2. (ĐHB, 2002) Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .x x x x
Bài 3. (ĐHD, 2002) Tìm
x
thuộc đoạn
0;14
nghiệm đúng của phương trình:
cos3 4cos 2 3cos 4 0.
x x x
Bài 4. (ĐHA, 2003) Giải phương trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2 .
1 tan 2
x
x x x
x
Bài 5. (ĐHB, 2003) Giải phương trình
2
cot tan 4sin 2 .
sin 2
x x x
x
Bài 6. (ĐHD, 2003) Giải phương trình
2 2 2
sin tan cos 0.
2 4 2
x x
x
Bài 7. (ĐHA, 2004) Cho tan giác
ABC
không tù, thoả mãn điều kiện
cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3.
A B C
Tính ba góc của tam giác
.ABC
Bài 8. (ĐHB, 2004) Giải phương trình
2
5sin 2 3 1 sin tan .x x x
Bài 9. (ĐHD, 2004) Giải phương trình
2cos 1 2sin cos sin2 sin .x x x x x
Bài 10. (ĐHA, 2005) Giải phương trình
2 2
cos 3 cos2 cos 0.
x x x
Bài 11. (ĐHB, 2005) Giải phương trình
1 sin cos sin 2 cos 2 0.
x x x x
Bài 12. (ĐHD, 2005) Giải phương trình
4 4
3
cos sin cos sin 3 0.
4 4 2
x x x x
Bài 13. (ĐHA, 2006) Giải phương trình
6 6
2 cos sin sin cos
0.
2 2sin
x x x x
x
Bài 14. (ĐHB, 2006) Giải phương trình
cot sin 1 tan .tan 4.
2
x
x x x
Bài 15. (ĐHD, 2006) Giải phương trình
cos 3 cos 2 cos 1 0.
x x x
Bài 16. (ĐHA, 2007) Giải phương trình
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 .x x x x x
Bài 17. (ĐHB, 2007) Giải phương trình
2
sin cos 3cos 2.
2 2
x x
x
Bài 18. (ĐHD, 2007) Giải phương trình
2
2sin 2 sin7 1 sin .x x x
Bài 19. (ĐHA, 2008) Giải phương trình
1 1 7
4sin .
3
sin 4
sin
2
x
x
x
Bài 20. (ĐHB, 2008) Giải phương trình
3 3 2 2
sin 3 cos sin .cos 3sin .cos .x x x x x x
Bài 21. (ĐHD, 2008) Giải phương trình
2sin 1 cos2 sin2 1 2cos .x x x x
Bài 22. (CĐ, 2008) Giải phương trình
sin3 3 cos3 2sin 2 .x x x
Bài 23. (ĐHA, 2009) Giải phương trình
1 2sin cos
3.
1 2sin 1 sin
x x
x x
Bài 24. (ĐHB, 2009) Giải phương trình
3
sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sin .x x x x x x
Bài 25. (ĐHD, 2009) Giải phương trình
3 cos5 2sin3 .cos 2 sin 0.
x x x x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 40
Bài 26. (CĐ, 2009) Giải phương trình
2
1 2sin cos 1 sin cos .x x x x
Bài 27. (ĐHA, 2010) Giải phương trình
1 sin cos 2 sin
1
4
cos .
1 tan
2
x x x
x
x
Bài 28. (ĐHB, 2010) Giải phương trình
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0.
x x x x x
Bài 29. (ĐHD, 2010) Giải phương trình
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0.
x x x x
Bài 30. (CĐ, 2010) Giải phương trình
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5.
2 2
x x
x x
Bài 31. (ĐHA, 2011) Giải phương trình
2
1 sin 2 cos 2
2 sin .sin 2 .
1 cot
x x
x x
x
Bài 32. (ĐHB, 2011) Giải phương trình
sin 2 .cos sin .cos cos 2 sin cos .x x x x x x x
Bài 33. (ĐHD, 2011) Giải phương trình
sin 2 2cos sin 1
0.
tan 3
x x x
x
Bài 34. (CĐ, 2011) Giải phương trình
2
cos4 12sin 1 0.
x x
Bài 35. (ĐHA, 2012) Giải phương trình
3sin2 cos2 2cos 1.
x x x
Bài 36. (ĐHB, 2012) Giải phương trình
2 cos 3sin cos cos 3sin 1.
x x x x x
Bài 37. (ĐHD, 2012) Giải phương trình
sin 3 cos 3 sin cos 2 cos 2 .x x x x x
Bài 38. (CĐ, 2012) Giải phương trình
2cos 2 sin sin 3 .x x x
Bài 39. (ĐHA, 2013) Giải phương trình
1 tan 2 2 sin .
4
x x
Bài 40. (ĐHB, 2013) Giải phương trình
2
sin5 2cos 1.
x x
Bài 41. (ĐHD, 2013) Giải phương trình
sin 3 cos 2 sin 0.
x x x
Bài 42. (CĐ, 2013) Giải phương trình
cos sin 2 0.
2
x x
Bài 43. (ĐHA, 2014) Giải phương trình
sin 4cos 2 sin 2 .x x x
Bài 44. (ĐHB, 2014) Giải phương trình
2 sin 2cos 2 sin 2 .x x x
Bài 45. (2015) Tính giá trị của biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 ,
P
biết
2
sin .
3
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 41
ÔN TẬP CHƯƠNG I
MỨC ĐỘ 1. NHẬN BIẾT
Câu 1. Tập xác định của hàm số
2018
sin
y
x
là:
A.
\ , .
D k k
B.
\ 0 .
D
C.
\ , .
2
D k k
D.
.D
Câu 2. Tập xác định của hàm số
tany x
là:
A.
\ , .
D k k
B.
\ 2 , .
D k k
C.
\ , .
2
D k k
D.
\ 2 , .
2
D k k
Câu 3. Tập xác định của hàm số
coty x
là:
A.
\ , .
D k k
B.
\ 2 , .
D k k
C.
\ , .
2
D k k
D.
\ 2 , .
2
D k k
Câu 4. Tập xác định của hàm số
cos 2 3
y x
là:
A.
.D
B.
3
; .
2
D

C.
3
; .
2
D
D.
3
\ .
2
D
Câu 5. Tập xác định của hàm số
sin
1
x
y
x
là:
A.
.D
B.
\ 1 .
D
C.
1; .
D
D.
\ 0 .
D
Câu 6. Điều kiện xác định của hàm số
1 sin
cos
x
y
x
là:
A.
, .
2
x k k
B.
, .
x k k
C.
2 , .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 7. Hàm số
siny x
tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
B.
2 .
C.
3 .
D.
4 .
Câu 8. Hàm số
cosy x
tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
B.
2 .
C.
3 .
D.
4 .
Câu 9. Hàm số
tany x
tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
B.
2 .
C.
3 .
D.
4 .
Câu 10. Hàm số
coty x
tuần hoàn với chu kỳ:
A.
.
B.
2 .
C.
3 .
D.
4 .
Câu 11. Hàm số nào sâu đây nhận trục tung (trục
)Oy
làm trục đối xứng?
A.
sin .y x
B.
cos .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Câu 12. Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
A.
sin .y x
B.
cos .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Câu 13. Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số chẵn?
A.
.sin .y x x
B.
.cos .y x x
C.
.tan .y x x
D.
.cot .y x x
Câu 14. Hàm số nào dưới đây là hàm số không chẵn, không lẻ?
A.
sin .y x x
B.
cos .y x x
C.
tan .y x x
D.
cot .y x x
Câu 15. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ?
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 42
A.
2
sin .y x x
B.
2
cos
.
x
y
x
C.
2
tan .y x x
D.
2
cot .y x x
Câu 16. Hàm số
siny x
đồng biến trên khoảng:
A.
0; .
B.
3
; .
2 2
C.
;2 .
D.
; .
2 2
Câu 17. Hàm số
siny x
nghịch biến trên khoảng:
A.
0; .
B.
3
; .
2 2
C.
;2 .
D.
; .
2 2
Câu 18. Hàm số
cosy x
đồng biến trên khoảng:
A.
0; .
B.
3
; .
2 2
C.
;2 .
D.
; .
2 2
Câu 19. Hàm số
cosy x
nghịch biến trên khoảng:
A.
0; .
B.
3
; .
2 2
C.
;2 .
D.
; .
2 2
Câu 20. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
; ?
2
A.
sin .y x
B.
cos .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Câu 21. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng
3
;2 ?
2
A.
sin .y x
B.
cos .y x
C.
tan .y x
D.
cot .y x
Câu 22. Xét các đồ thị hàm số sau:
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số
sin ?y x
A.
1
.C
B.
2
.C
C.
3
.C
D.
4
.C
Câu 23. Phương trình
sin sinx a
có các nghiệm là:
A.
2
, .
2
x a k
k
x a k
B.
2
, .
2
x a k
k
x a k
x
y
O
(C
1
)
2
2

x
y
O


2
3
4
2
(C
2
)
x
y
O
(C
3
)

2
3
2
2
3
2
x
y
O
(C
4
)




Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 43
C.
, .
x a k
k
x a k
D.
, .
x a k
k
x a k
Câu 24. Phương trình
cos cosx a
có các nghiệm là:
A.
2
, .
2
x a k
k
x a k
B.
2
, .
2
x a k
k
x a k
C.
, .
x a k
k
x a k
D.
, .
x a k
k
x a k
Câu 25. Xét các đồ thị hàm số sau:
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số
cos ?y x
A.
1
.C
B.
2
.C
C.
3
.C
D.
4
.C
Câu 26. Phương trình
0
sin sinx
có các nghiệm là:
A.
0 0
0 0 0
360
, .
180 360
x k
k
x k
B.
0 0
0 0
360
, .
360
x k
k
x k
C.
0 0
0 0 0
180
, .
180 180
x k
k
x k
D.
0 0
0 0 0
180
, .
180 180
x k
k
x k
Câu 27. Phương trình
0
cos cosx
có các nghiệm là:
A.
0 0
0 0 0
360
, .
180 360
x k
k
x k
B.
0 0
0 0
360
, .
360
x k
k
x k
C.
0 0
0 0 0
180
, .
180 180
x k
k
x k
D.
0 0
0 0 0
180
, .
180 180
x k
k
x k
Câu 28. Phương trình
tan tanx a
có các nghiệm là:
A.
, .
x a k k
B.
, .
x a k k
C.
, .
x a k k
D.
, .
x a k k
Câu 29. Phương trình
cot cotx a
có các nghiệm là:
x
y
O
(C
1
)
2
2

x
y
O


2
3
4
2
(C
2
)
x
y
O
(C
3
)

2
3
2
2
3
2
x
y
O
(C
4
)




Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 44
A.
, .
x a k k
B.
, .
x a k k
C.
, .
x a k k
D.
, .
x a k k
Câu 30. Xét các đồ thị hàm số sau:
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số
cot ?y x
A.
1
.C
B.
2
.C
C.
3
.C
D.
4
.C
Câu 31. Phương trình
0
tan tan
x
có các nghiệm là:
A.
0 0
180 , .
x k k
B.
0 0
360 , .
x k k
C.
, .
x k k
D.
x k k
Câu 32. Phương trình
0
cot cot
x
có các nghiệm là:
A.
0 0
180 , .
x k k
B.
0 0
360 , .
x k k
C.
, .
x k k
D.
x k k
Câu 33. Phương trình
sin 1x
có các nghiệm là:
A.
2 , .
x k k
B.
, .
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 34. Phương trình
sin 1x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
2 , .
2
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 35. Phương trình
sin 0x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
2 , .
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 36. Phương trình
cos 1x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
2 , .
x k k
x
y
O
(C
1
)
2
2

x
y
O


2
3
4
2
(C
2
)
x
y
O
(C
3
)

2
3
2
2
3
2
x
y
O
(C
4
)




Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 45
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 37. Xét các đồ thị hàm số sau:
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số
tan ?y x
A.
1
.C
B.
2
.C
C.
3
.C
D.
4
.C
Câu 38. Phương trình
cos 0x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
2 , .
x k k
C.
, .
2
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 39. Phương trình
cos 1x
có các nghiệm là:
A.
, .
x k k
B.
2 , .
x k k
C.
x k k
D.
2 , .
2
x k k
Câu 40. Điều kiện của tham số
m
để phương trình
sin x m
có nghiệm là:
A.
1m
hoặc
1.m
B.
1 1.m
C.
1m
hoặc
1.m
D.
1 1.m
Câu 41. Điều kiện của tham số
m
để phương trình
sin x m
vô nghiệm là:
A.
1m
hoặc
1.m
B.
1 1.m
C.
1m
hoặc
1.m
D.
1 1.m
Câu 42. Điều kiện của các hệ số
, ,a b c
để phương trình
sin cosa x b x c
có nghiệm là:
A.
2 2 2
.a b c
B.
2 2 2
.a b c
C.
2 2 2
.a b c
D.
2 2 2
.a b c
Câu 43. Điều kiện của các hệ số
, ,a b c
để phương trình
sin cosa x b x c
vô nghiệm là:
A.
2 2 2
.a b c
B.
2 2 2
.a b c
C.
2 2 2
.a b c
D.
2 2 2
.a b c
Câu 44. Phương trình
3sin cos 1x x
tương đương với phương trình:
A.
1
sin .
6 2
x
B.
1
sin .
6 2
x
C.
sin 1.
6
x
D.
1
cos .
3 2
x
Câu 45. Phương trình nào sau đây có nghiệm?
A.
2sin 3cos 1.x x
B.
sin 2 2.x
x
y
O
(C
1
)
2
2

x
y
O


2
3
4
2
(C
2
)
x
y
O
(C
3
)

2
3
2
2
3
2
x
y
O
(C
4
)




Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 46
C.
sin 3cos 4x x
D.
cos 3 0.x
MỨC ĐỘ 2. THÔNG HIỂU
Câu 46. Tập xác định của hàm số
1
sin 1 cos
x
y x
x
là:
A.
.D
B.
\ 0 .
D
C.
1; .
D

D.
\ , .
D k k
Câu 47. Hàm số
tan coty x x
xác định khi và chỉ khi:
A.
sin 0.x
B.
cos 0.x
C.
sin 2 0.x
D.
cos 2 0.x
Câu 48. Hàm số
1
2 2sin
tan 1
y x
x
xác định khi và chỉ khi:
A.
2 2sin 0.x
B.
tan 1.x
C.
cos 0.x
D.
cos 0
.
tan 1
x
x
Câu 49. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3sin 2y x
. Giá trị của
M m
là:
A.
4.
B. 0. C.
5.
D.
1.
Câu 50. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác
sin 3 1
4
x
trên đường tròn
lượng giác là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 51. Số nghiệm của phương trình
cos 4 0
6
x
trên nữa khoảng
0;2
là:
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 52. Gọi
M
là giá trị lớn nhất của hàm số
5 cos3y x
. Khi đó,
2
2M M
bằng:
A. 40. B. 18. C. 28. D. 38.
Câu 53. Gọi
m
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
5 cos3y x
. Khi đó,
2
1m m
bằng:
A. 21. B. 43. C. 31. D. 41.
Câu 54. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
tan 3
6
x
bằng:
A.
2
.
3
B.
.
3
C.
3
.
4
D.
.
4
Câu 55. Gọi
0 1
,x x
lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2
2sin 3cos 3 0x x
. Giá trị của
0 1
x x
là:
A.
.
6
B.
0.
C.
.
6
D.
.
3
Câu 56. Hàm số
sin 3
6
1 cos
x
y
x
có tập xác định là:
A.
sin 3 0
.
6
1 cos 0
x
x
B.
sin 3 0
.
6
1 cos 0
x
x
C.
sin 3.
6
x
D.
cos 1.x
Câu 57. Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì
3 ?T
A.
2cos2 .y x
B.
sin .
3
x
y
C.
2
sin .
3
x
y
D.
2sin3 .y x
Đại số và giải tích 11 (CB)
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 47
Câu 58. Hàm số
sin 2 3
4
y x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
0; .
4
B.
; .
4 2
C.
3
; .
2 4
D.
3
; .
4
Câu 59. Nghiệm
2 ,
x k k
là của phương trình:
A.
sin 2 0.
4
x
B.
6
x
C.
2sin 1 0.
4
x
D.
cos
| 1/47
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Đại số và giải tích 11 (CB)
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Định nghĩa hàm số lượng giác:
Hàm số sin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với một số thực sin x sin :   
x y  sin x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y  sin . x
Hàm số côsin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với một số thực cos x cos :   
x y  cos x
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y  cos . x sin x
Hàm số tang: là hàm số được xác định bởi công thức y
cos x  0, kí hiệu là y  tan x. cos x cos x
Hàm số côtang: là hàm số được xác định bởi công thức y
sin x  0, kí hiệu là y  cot x. sin x
1. Tập xác định của hàm số lượng giác 1.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y f x là tập tất cả các giá trị x để biểu thức f x có nghĩa. b. Hàm số sin
y  sin x : Tập xác định D  .  
y  sin  f x xác định khi và chỉ khi f x xác định. c. Hàm số côsin
y  cos x : Tập xác định D  .  
y  cos  f x xác định khi và chỉ khi f x xác định. d. Hàm số tang   
y  tan x : Tập xác định D   \   k , k  .  2   
y  tan  f x xác định  ( f x xác định và f x 
k k   ). 2 e. Hàm số côtang
y  cot x : Tập xác định D   \ k, k  . 
y  cot  f x xác định  ( f x xác định và f x  k k   ).
f. Chú ý: Tập xác định của một số hàm số cơ bản f x  y
có nghĩa khi và chỉ khi g x  0. g x  y
f x có nghĩa khi và chỉ khi f x  0. f x  y
có nghĩa khi và chỉ khi g x  0. g x 1.2. Bài tập
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1
a) y  5sin x  2 cos x b) y  sin 2x   1  cos  2
x  2 c) y  sin 2x  4 2 1 1  2x  d) y  cos e) 2 y  sin  cos 9  x f) y  sin   2 1 x x  2  x 1 1 g) y  h) y  3  2sin x i) 2
y  1  cos x 2  cos x
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 1
Đại số và giải tích 11 (CB) sin x sin x  2 cos2x   1 k) y  l) y  m) y  cos  x    sin 2x sin x 1
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
x  2  x  1 2  sin x a) y  cos   b) y  c) y   x 1     sin x 1 1 cos x 1 1 d) y  e) y  sin x
f) y  cos x  1 2sin . x cos x 2
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số:       a) y  cot x.
b) y  tan x  .  
c) y  cot x  .    3   6  1 1 d) y  .
e) y  tan x  cot . x f) y  . cot x tan x 1 2 1 cot x g) y  tan 3 . x cot 5 . x h) y  . i) y  tan x. 1 cos 2x Đáp án:
1a. D  , 1b. D  , 1c. D  2; , 1d. D  1; 
1 , 1e. D  3;  3 \  
2 , 1f. D   \   1 , 1g. D  ,     
1h. D  , 1i. D  , 1k. D   \   k k  , 1l. D   \ k k  , 1m.  2   2    
D   \   k2 k  .  2    
2a. D  0; 2 \  
1 , 2b. D   \ 
k 2 k  , 2c. D   \ k 2k  , 2d.  2       
D   \   k k  , 2e. D  k 2 ;  k2 k  , 2f. D    k 2 ;  k2 k  .    4   3 3     
3a. D   \ k k  , 3b. D   \   k k  , 3c. D   \   k k  , 3d.  6   6          
D   \ k k  , 3e. D   \ k k , 3f. D   \   k ,  m k, m , 3g.  2   2   2 4        
D   \   k , m
k, m  , 3h. D   \ k k, m   , 3i. D k ;
k k     .  6 3 5   2 
2. Chu kỳ của hàm số lượng giác 2.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: - Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất
một số thực T  0 sao cho với mọi x D , ta có:
i) x T  D,
ii) f x T   f x.
- Số thực T thoả mãn các điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn
y f x.
- Nếu hàm số tuần hoàn y f x có chu kỳ nhỏ nhất 0 T  0
T  0 thì 0
T được gọi là chu
kỳ cơ sở của hàm số tuần hoàn y f x. b. Hàm số sin
y  sin x : Chu kỳ 0 T  2. 2 
y  sin ax b có chu kỳ 0 T  . a
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 2
Đại số và giải tích 11 (CB) c. Hàm số côsin
y  cos x : Chu kỳ 0 T  2. 2 
y  cos ax b có chu kỳ 0 T  . a d. Hàm số tang
y  tan x : Chu kỳ 0 T   .  
y  tan ax b có chu kỳ 0 T  . a e. Hàm số côtang
y  cot x : Chu kỳ 0 T   .  
y  cot ax b có chu kỳ 0 T  . a
f. Chú ý: Nếu hàm số y  1
f x có chu kỳ 1
T và hàm số y  1
f x có chu kỳ 2 T thì hàm số y  . m T 1 f x  .
n f2  x có chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của 1 T và 2. 2.2. Bài tập
Bài 1. Tìm chu kỳ của các hàm số sau: x a) y  sin x
b) y  cos 2x c) y  tan 3 2x   
d) y  cot 3x  2 e) y  cos 1
f) y  1 cos 3x    5  5     g) y  2 tan 4  x    h) 2 y  sin x
i) y  1 cos 2x  2 
Bài 2. Tìm chu kỳ của các hàm số sau: x
a) y  tan x  cot x b) y  sin 2x  cos
c) y  tan x  2cot 3x  4 2 x x 3x 2x
d) y  cot x  cot  cot e) y  2sin . x cos 3x f) y  cos  sin 2 3 5 7
3. Tập giá trị của hàm số lượng giác 3.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số y f x có tập xác định .
D Tập T   được gọi là tập giá trị nếu T thoả mãn hai điều kiện:
i) Với mọi x D kéo theo y f x T ,
ii) Với mỗi y T , tồn tại x D sao cho y f x. b. Hàm số sin
y  sin x : Tập giá trị T  1  ;1 . c. Hàm số côsin
y  cos x : Tập giá trị T  1  ;1 . d. Hàm số tang
y  tan x : Tập giá trị T  .  e. Hàm số côtang
y  cot x : Tập giá trị T  . 
f. Chú ý: Nếu hàm số y f x có tập giá trị T  a;b thì giá trị lớn nhất của hàm số là b max y b
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là a min y a. 3.2. Bài tập
Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 3
Đại số và giải tích 11 (CB)       a) y   3
sin x  3x  4.
b) y  cot x   
c) y  tan x     6   3    
d) y  cos 2x   
e) y  4sin x  5
f) y  4  3cos 2x  4  g) 2
y  sin x  3 h) 3
y  3cos 2x  3  7
i) y  2sin x cos x  3
Bài 2. Tìm tập giá trị của hàm số: sin x a) y  b) y  sin x c) y  tan x cos  x    1 d) y  2  cos x e) 2
y  1  cos x
f) y  cos x  2 1 1 1 g) y   sin x h) y  i) y  2 tan x 1 sin x 1
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:    a) y   3
sin x  3x  4
b) y  cos 2x   
c) y  4sin x  5  4 
d) y  4  3cos 2x e) 2
y  sin x  3 f) 3
y  3cos 2x  3  7
g) y  2sin x cos x  3 h) y  sin x i) y  2  cos x 1 1 k) 2
y  1  cos x
l) y  cos x  m) y   sin x. 2 2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 2
y  4sin x  4sin x  3 b) 2
y  cos x  2sin x  2 c) 4 2
y  sin x  2 cos x 1 1 3
d) y  sin x  cos x e) y  sin x  cos x  3
f) y  3 sin 2x  cos 2x 2 2
4. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác 4.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số y f x có tập xác định D .  
1 . Hàm số y f x được gọi là hàm số chẵn nếu: i) x
  D  x D ( D là tập đối xứng),
ii) f x  f x, x   . D
2. Hàm số y f x được gọi là hàm số lẻ nếu: i) x
  D  x D ( D là tập đối xứng),
ii) f x   f x,x  . D b. Hàm số sin
y  sin x : Tập xác định D   và là hàm số lẻ. c. Hàm số côsin
y  cos x : Tập xác định D   và là hàm số chẵn. d. Hàm số tang   
y  tan x : Tập xác định D   \   k ,k  và là hàm số lẻ.  2  e. Hàm số côtang
y  cot x : Tập xác định D   \ k ,k   và là hàm số lẻ. f. Chú ý:  
1 . Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua tâm O.
2. Nếu D không là tập đối xứng (Tức là x
  D mà x D ), thì ta kết luận hàm số
y f x không chẵn, không lẻ.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 4
Đại số và giải tích 11 (CB)
3. Nếu tồn tại xD mà f x  f x và f x   f x thì hàm số y f x không chẵn, không lẻ.
4. Hàm số chẵn (lẻ) Hàm số chẵn (lẻ) Hàm số chẵn (lẻ).
5. Hàm số chẵn * Hàm số chẵn Hàm số lẻ * Hàm số lẻ Hàm số chẵn.
6. Hàm số chẵn * Hàm số lẻ Hàm số chẵn * Hàm số lẻ Hàm số lẻ.
7. Hàm số chẵn Hàm số lẻ Hàm số lẻ Hàm số chẵn Hàm số không chẵn, không lẻ. 4.2. Bài tập
Bài 1. Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
a) y  sin 2x
b) y  2 cos x  3
c) y  sin x  cos x
d) y  tan x  cot x e) 4 y  sin x f) y  sin . x cos x 3 cos x 1 g) y  h) y  tan x
i) y x sin 2x 3 sin x sin x k) y  l) y  cot x m) y   2 sin x  3 x 1
5. Tập đơn điệu của hàm số lượng giác 5.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng D và a;b  D .  
1 . Hàm số y f x được gọi là đồng biến trên khoảng a;b nếu  1 x , 2
x  a;b và 1 x  2 x , ta có f  1
x   f  2 x .
2. Hàm số y f x được gọi là nghịch biến trên khoảng a;b nếu  1 x , 2
x  a;b và 1 x  2 x , ta có f  1
x   f  2 x . b. Hàm số sin     
y  sin x : Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ;  k 2 
 và nghịch biến trên mỗi khoảng  2 2    3   k 2 ;
k 2 , k  .     2 2  c. Hàm số côsin
y  cos x : Đồng biến trên mỗi khoảng  
  k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng
k2 ;  k2 , k  .  d. Hàm số tang     
y  tan x : Đồng biến trên mỗi khoảng   k ;
k , k  .     2 2  e. Hàm số côtang
y  cot x : Nghịch biến trên mỗi khoảng k ;  k  , k  .  f. Chú ý: f  1
x   f  2 x  
y f x đồng biến trên a;b khi và chỉ khi  0, x   ; a b. 1 x  2 x f  1
x   f  2 x  
y f x nghịch biến trên a;b khi và chỉ khi  0, x   ; a b. 1 x  2 x 5.2. Bài tập
Bài 1. Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của các hàm số lượng giác trên khoảng K cho trước:
a) y  sin 2x, K  0; 
b) y  2 cos x  3, K  0; 2      1   
c) y  5  tan x, K   ;   d) y  cot 3x, K  0;    2 2  2  3 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 5
Đại số và giải tích 11 (CB) e) 2 2
y  sin x  cos x, K  0;  f) y  sin .
x cos x  3, K  0;  1     g) y  , K   ;   h) y
3 cos x  sin x, K  0; 2  sin x 1  2 2       3   3 
Đáp án: 1a. x  0; :   ĐB, x  ; :   NB, x  ; : 
 ĐB; 1b. x  0;  : NB, x   ; 2  : ĐB;  4   4 4   4                  1c. x   ; :   NB; 1d. x  0; :   NB; 1e. x  0; :   ĐB, x  ; :   NB; 1f. x  0; :   ĐB,  2 2   3   2   2   4    3   3           7  x  ; :   NB, x  ; :   ĐB; 1g. x   ; :   NB; 1h. x  0; :   ĐB, x  ; :   NB,  4 4   4   2 2   6   6 6   7  x  ; 2 :   ĐB.  6 
6. Đồ thị của hàm số lượng giác 6.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Các bước vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
 Tìm tập xác định D của hàm số.  Tìm tập giá trị  Tìm chu kỳ 0 T của hàm số.
 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số.
 Lập bảng biến thiên của hàm số trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ 0
T (thường chọn 0; 0 T   T T  hoặc 0 0  ;  ). 2 2   
 Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ đã xác định ở trên.  
 Suy ra phần đồ thị còn lại qua phép tịnh tiến theo véctơ v k. 0
T .i về bên trái và bên phải song 
song với trục hoành Ox (với i là véctơ đơn vị trên trục Ox ).
b. Hàm số y  sin x
 Tập xác định D  . 
 Tập giá trị 1;  1 .
 Chu kỳ T  2.
 Bảng biến thiên trên đoạn 0; 2  : x  3 0  2 2 2 1 y 0 0 0 1   
 Tịnh tiến theo véctơ v  2k.i ta được đồ thị hàm số y  sin . x
 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.     3    3 
- Hàm số đồng biến trên khoảng 0;   , ; 2   và nghịch biến trên ; .    2   2   2 2   Đồ thị:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 6
Đại số và giải tích 11 (CB) y  x  3   O  3    2 2 2 2 2 
c. Hàm số y  cos x
 Tập xác định D  . 
 Tập giá trị 1;  1 .
 Chu kỳ T  2.
 Bảng biến thiên trên đoạn 0; 2  : x  3 0  2 2 2 1 1 y 0 0 1   
 Tịnh tiến theo véctơ v  2k.i ta được đồ thị hàm số y  cos . x
 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  và đồng biến trên  ; 2 .  Đồ thị: y  x 3   O   3   2 2 2 2 
d. Hàm số y  tan x  
 Tập xác định D   \   k , k  .  2   Tập giá trị . 
 Chu kỳ T   .    
 Bảng biến thiên trên khoảng  ; :    2 2  x    0 2 2  y 0   
 Tịnh tiến theo véctơ v k.i ta được đồ thị hàm số y  tan x.
 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 7
Đại số và giải tích 11 (CB)  Đồ thị: y x   O    2 2
e. Hàm số y  cot x
 Tập xác định D   \ k, k  .  Tập giá trị . 
 Chu kỳ T   .
 Bảng biến thiên trên khoảng 0;  : x  0  2  y 0   
 Tịnh tiến theo véctơ v k.i ta được đồ thị hàm số y  cot x.
 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.  Đồ thị: y x   O   3   2 2 2
f. Chú ý: Một số phép biến đổi đồ thị:
 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x  b bằng các tịnh tiến đồ thị
y f x  lên trên trục hoành b đơn vị nếu b  0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành b đơn vị nếu b  0.
 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x a bằng các tịnh tiến đồ thị
y f x  qua bên trái của trục hoành a đơn vị nếu a  0 và tịnh tiến qua bên phải trục hoành a
đơn vị nếu a  0.
 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị y   f x bằng cách lấy đối xứng đồ thị y f x
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 8
Đại số và giải tích 11 (CB) qua trục hoành.  f   x ,
khi f x  0
 Đồ thi hàm số y f x  
được suy từ đồ thị y f x bằng cách giữ  f
x, khi f x  0 
nguyên phần đồ thị y f x ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y f x nằm ở
phiá dưới trục hoành qua trục hoành. 6.2. Bài tập
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y   sin x
b) y  cos 2x
c) y  tan x 1   
d) y  cot x   
e) y  2 sin x f) y  tan x  4  7. Bài tập trắc nghiệm
7.1. Tập xác định của hàm số lượng giác
Câu 1. Tập xác định của hàm số y  cos x là:
A. D  0; .
B. D  0;  . C. D  .  D. D   \   0 .
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y  cot x  sin . x  
A. D   \   k , k  .
B. D   \ k , k  .  2   
C. D   \   k2 , k .
D. D   \ k2 , k  .  2 
Câu 3. Tập xác định của hàm số y  2  tan x là:  
A. D   \   k , k  .
B. D   \ k , k  .  2   
C. D   \   k2 , k .
D. D   \ k2 , k  .  2 
Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số 2017 y  2018cot 2 . x   
A. D   \ k, k  .
B. D   \ k , k  .  2      
C. D   \   k , k  .
D. D   \   k , k .  2   4 2  2
x  2x  3 
Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y  sin   là:  x 1     A. D   .
B. D  0; .
C. D  1;.
D. D  1;.
Câu 6. Tập xác định của hàm số 2
y  cos x 1 là:
A. D   \ 1  ;1 . B. D  1  ;1 .
C. D  1;. D. D   \  1  ;  1 . 1 2
Câu 7. Tập xác định của hàm số y  sin
 2cos1 x  là: x  2
A. D  2; .
B. D  2; . C. D  1  ;1 .
D. D   \   2 . 1
Câu 8. Tập xác định của hàm số y  là: 2  cos x
A. D   \ k, k  . B. D  .   
C. D   \   k , k  . D. D   \   2 .  2 
Câu 9. Để tìm tập xác định của hàm số y  tan x  cot x, một học sinh giải theo các bước sau:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 9
Đại số và giải tích 11 (CB) sin x  0
Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là  . cos x  0    x   k Bước 2.   2
k,m. x m  
Bước 3.  x nn . 2   
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D   \ n ,n  .  2 
Câu giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào? A. Câu giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. tan x
Câu 10. Tập xác định của hàm số y  là: sin x 1    
A. D   \   k2 , k .
B. D   \   k , k  .  2   2        C. D   \ 
k 2 , k  .
D. D   \ k , k  .  2   2   x  
Câu 11. Tập xác định của hàm số 2 y  tan    là:  2 4   3  3  A. D   \ 
k2 , k . B. D   \ 
k , k .  2   2      
C. D   \   k2 , k . D. D   \ 
k 2 , k  .  2   2  1
Câu 12. Tập xác định của hàm số y  3tan x  2cot x  là: x   A. D   \   0 .
B. D   \   k , k  .  2    
C. D   \ k, k  .
D. D   \ k , k  .  2   x 1 
Câu 13. Tập xác định của hàm số y  cos  là: x 1  2  
A. D  1; \   3 . B. D   \   3 .
C. D  1;  \   3 .
D. D  1;.
Câu 14. Tập xác định của hàm số y  tan 2x   1 là:  k  1  k  A. D   \   , k  . B. D   \    , k  .  4 2   2 4 2  1   3 k  C. D   \  
k , k  . D. D   \   , k  .  2 4   4 2 
Câu 15. Hàm số nào sau đây có tập xác định  ? 1 sin 2x sin 2x  3
A. y  2cos x. B. y  sin . C. y  . D. y  . x cos x  1 cos x  2 3
Câu 16. Tìm các giá trị của x   
 ;  để hàm số y  cos x  có nghĩa. 2
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 10
Đại số và giải tích 11 (CB) 3    A. 0  x   . B.  x   . C.  x   . D.   x  . 2 6 6 6
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y
2m 1 2 cos x xác định trên  . 1 1 A. m  0. B. m  1. C. m   . D. m  . 2 2 m 1
Câu 18. Tất cả các giá trị m để hàm số y
 2 sin 4x xác định trên  là: m A. m  1  . B. 1   m  0. C. 1   m  0. D. m  1  hoặc m  0. sin 2x
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y  xác định trên .  2m  3cos x 3 3 3 3 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2   
Câu 20. Tìm tập xác định D của hàm số y  tan cos x   .  2     
A. D   \   k , k  .
B. D   \   k2 , k  .  2   2 
C. D   \ k, k  .
D. D   \ k2 , k  .
7.2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Câu 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. 2 y  cos x .
B. y x cos x . C. 2 y  cos x .
D. y x  cos x .
Câu 2. Chu kỳ của hàm số y  sin 2x   1 là:  A. T  . B. T   . C. T  2. D. T  4. 2  x  
Câu 3. Chu kỳ của hàm số y  cot    3   là:  2 3   A. T  2  . B. T  . C. T   . D. T  2. 2
Câu 4. Chu kỳ của hàm số 2
y  sin x là: A. T   . B. T  2. C. T  4. D. 2 T   .
Câu 5. Chu kỳ của hàm số y  sin .
x cos x  3 là: A. T   . B. T  2. C. T  4. D. 2 T  4 .
Câu 6. Chu kỳ của hàm số y  sin x  cos x là: A. T  2. B. T  4. C. T   . D. T  3 . x
Câu 7. Hàm số y  tan 2x  cot
là hàm tuần hoàn với chu kỳ: 2  3 A. T  . B. T   . C. T  . D. T  2. 2 2
Câu 8. Hàm số y  2cos3x  sin 2x tuần hoàn với chu kỳ: 2 A. T   . B. T  . C. T  2. D. T  3 . 3
Câu 9. Hàm số y  cos .
x cos3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ: 2 2 4 A. T  2. B. T  . C. T  . D. T   . 3 3 1  x
Câu 10. Hàm số y  cos 2x   1  sin  3   với *
m   là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6. Giá trị 2  m  của m là:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 11
Đại số và giải tích 11 (CB) 3 A. m  . B. m  3. C. m  5. D. m  6. 5 x  2x  
Câu 11. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  tan  cos    ( * m   ) là 2  m 4 
hàm tuần hoàn với chu kỳ 6. Tổng các phần tử của S bằng A. 3. B. 6. C. 9. D. Không tính được. x 1  2x  
Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  cot  sin    ( * m   ) là 3 2  m 3 
hàm tuần hoàn với chu kỳ 6. Tổng các phần tử của S bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 12.
7.3. Tập giá trị của hàm số lượng giác
Câu 1. Tìm tập giá trị T của hàm số y  sin 2x .
A. T  2; 2. B. T  1  ;1 . C. T  .  D. T  1;  1 . Câu 2. Hàm số 2
y  4 cos 2x  3 có tập giá trị là: A. T  3;7. B. T    7 . C. T  0;3. D. T  1;7.
Câu 3. Tìm tập giá trị T của hàm số 2 y  5sin x  4. A. T  4;9. B. T  2;3. C. T    3 . D. T  . 
Câu 4. Tìm tập giá trị T của hàm số y  1  2 sin 2x . A. T  1;  3 . B. T  3;5. C. T  1;3. D. T  1;5.
Câu 5. Hàm số nào sau đây có tập xác định và tập giá trị đều là ? 1 A. y  sin x. B. y  tan 2 . x C. y  . x cos .
D. y x  sin . x x
Câu 6. Xét bốn mệnh đề sau:
(1): Trên , hàm số y  sin x có tập giá trị là 1  ;1 .    (2): Trên 0; , 
hàm số y  sin x có tập giá trị là 0;  1 . 2     3   2  (3): Trên 0; . 
hàm số y  sin x có tập giá trị là 0; .   4    2  
(4): Trên 0; , hàm só y  sin x có tập giá trị là 0;  1 . Số mệnh đề đúng là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị biến x để hàm số y  2 cos x 1 đạt giá nhỏ nhất.  A. x
k k  .
B. x k 2 k  . 2  C. x
k 2 k  .
D. x    k 2 k  . 2
Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số y  3  2 cos x  3 là:
A. max y  5  3. B. max y  3  3. C. max y  3. D. max y  1 3.  2  
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x    bằng bao nhiêu?  3 4  A. 3  . B. 2  . C. 1  . D. 0.
Câu 10. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y  sin x  cos x là:
A. m   2; M  2. B. m  2; M   2. C. m  2  ; M  2.
D. m  0; M  2.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 12
Đại số và giải tích 11 (CB)    
Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  2sin x  3 trên đoạn  ;  là: 6 3    7 9 A. 5. B. 3. C. . D. . 2 2 2
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  là: cos x  1 A. min y  0. B. min y  1. C. min y  2. D. Không xác định. 2
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  là: 2 1 tan x A. min y  0. B. min y  1. C. min y  2. D. Không xác định.
Câu 14. Tập giá trị của hàm số y  sin x  cos x là:
A. T   2; 2  . B. T  2; 2. C. T  .  D. T  1  ;1 .  
Câu 15. Tập giá trị của hàm số y  tan x  cot x là: A. T  . 
B. T  2; 2. C. T   \   0 .
D. T   \ 2; 2.
Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  sin x  2 cos x  2 là: A. 0. B. 4. C. 5  2. D. 5.     3 
Câu 17. Hàm số y  cos x  
 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;   khi nào?  4   4   3 A. x  0. B. x  1. C. x  . D. x  . 4 4    
Câu 18. Xét hàm số y  sin x trên đoạn  ;  . 2 2   
A. Không có GTLN. B. GTNN là 1  . C. GTLN là 1. D. GTNN là 1.
Câu 19. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  4cos x . Giá trị
của M m là: A. 0. B. 1. C. 5. D. 7.
Câu 20. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos x  3 trên đoạn    0; 
. Giá trị của M .m là: 3    A. 5  . B. 3  . C. 5  3  3. D. 20.
Câu 21. Tập giá trị của hàm số y
4 cos x  3sin x  4 là: A. 0;  3 . B. 1;  3 . C. 0; 11 . D.  3; 11 .    
Câu 22. Gọi T là tập giá trị của hàm số 2 2 y  3  4sin . x cos .
x Số phần tử nguyên của T là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  tan x  2 tan x  3 . A. min y  2. B. min y  3. C. min y  5.
D. Không xác định được. Câu 24. Cho hàm số 2
y  2sin x  cos 2x . Khi đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng: A. 2. B. 3. C. 4. D. 2  2.      
Câu 25. Hàm số y  tan x  
 có tập giá trị trên đoạn  ;0   bằng:  4   4   2   2  A. T  1;0. B. T  0;  1 . C. T   ;0 .   D. T  0; .   2   2  
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 13
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 26. Với giá trị nào sau đây của m thì hàm số y m sin 2x và hàm số y  cos x 1 có cùng tập giá trị? A. m  2  . B. m  1  . C. m  1. D. m  2.
Câu 27. Hàm số y  cos x nhận giá trị âm với mọi x thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?          A.  ;0 .   B. 0; .   C. 0; . D. ; .    2   2   2 
Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  sin x  4sin x  5 là: A. 9  . B. 8  . C. 0. D. 9.
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  1 2 cos x  cos x là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.   5 
Câu 30. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  1 2sin x trên đoạn  ; .  6 6    1 A. m  1  . B. m  0. C. m  . D. m  2. 2
Câu 31. Hàm số y  5  4 sin 2 .
x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.   
Câu 32. Hàm số y  sin x   sin x  
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?  3  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33. Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  cos x  2  cos x là: 1 A. max y  1. B. max y  . C. max y  2. D. max y  2. 3
Câu 34. Tồng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  4 cos x  cos x 1 là: 43 47 81 A. 5. B. . C. . D. . 16 16 16
Câu 35. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2018 được cho bởi   
một hàm số y  4sin t  60 10 
với t   và t  0. Vào ngày nào trong năm thì thành phố 178   
A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5.
Câu 36. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h (mét) của mực nước   t  
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức h  3cos  12.    8 4 
Mực nước của kênh cao nhất khi: A. t  13 (giờ). B. t  14 (giờ). C. t  15 (giờ). D. t  16 (giờ).
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2
2 cos x  3 sin 2x  2m 1 nghiệm
đúng với mọi x  .  A. m  0. B. m  0. C. m  2. D. m  2.
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4  5 sin 5x  2  m 1 nghiệm đúng với mọi x  .  A. m  0. B. m  1. C. m  2. D. m  3. 3 Câu 39. Cho hàm số 2
y  sin x  4m  2cos x  2m và A  max y  min y . Với  m  2 thì giá trị 2
của A theo tham số m là: A. 2
A  4m 16m  25. B. A  4 . m C. 2
A  4m  8m  9.
D. A  4m 1.
7.4. Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 14
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. y  tan x là hàm số lẻ.
B. y  cot x là hàm số lẻ.
C. y  sin x là hàm số lẻ.
D. y  cos x là hàm số lẻ.
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y  sin 2 . x B. y  cos 3 . x C. y  tan 4 . x D. y  cot 5 . x
Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? tan x A. y  sin 3 . x B. y  . x cos x . C. y  cos . x tan 2 . x D. y  . sin x
Câu 4. Cho các hàm số y x y   x    2018 cot 2 , cos
, y  1  sin x, y  tan .
x Số hàm số chẵn là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 5. Cho hàm số f x  cos 2x và g x  tan 3x , chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số lẻ.
B. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn.
C. f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ.
D. f x là hàm số chẵn, g x là hàm số chẵn.
Câu 6. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. 2 y  sin . x B. y  sin . x cos . x C. y  sin . x tan . x D. y  sin . x cot . x
Câu 7. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? 3 cos x
A. y  2x  cos . x B. y  cos 3 . x C. 2
y x .sin  x  3. D. y  . 3 x
Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số không chẵn, không lẻ? sin x  tan x A. y
. B. y  tan x  cot .
x C. y  sin 2x  cos 2 . x D. 2 y  2  sin 3x. 3 2 cos x cos x
Câu 9. Có bao nhiêu hàm số lẻ trong các hàm số sau: y  .
x sin x, y  , y   2 tan x  3 và x    y  cot x  .    2  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ?   
A. y  sin x .
B. y  cos x  .   C. y  . x sin x .
D. y  cot x 1.  2 
Câu 11. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy ? 2 x
A. y  sin x  3 . B. 2 y x .sin . x C. y  . D. 2 y x  . x cos x  2. cos x  3 
Câu 12. Cho hàm số y m  cos . x sin  3x
 (với m và m   1;5) . Tổng tất cả các giá trị của  2 
tham số m để hàm số đã cho là hàm số chẵn là: A. 6. B. 8. C. 10. D. 12. Câu 13. Gọi ,
m n lần lượt là số các hàm số chẵn và số các hàm số lẻ trong các hàm số dưới đây:  3  
I . y  3sin x x,
II . y  2cos 2x  ,    2   3  
III . y  sin x  ,  
IV . y  .
x tan  x   .  4 
Giá trị của m n là: A. 2. B. 1. C. 0. D. 1  .
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 15
Đại số và giải tích 11 (CB)   
Câu 14. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số 2
m để hàm số y  tan x  2m   1 sin x    là hàm  2 
số lẻ. Tổng tất cả các phần tử của S bằng: A. 0. B. 1. C. 2.
D. Không xác định được.   3a   
1 sin x b cos x, khi x  0
Câu 15. Cho hàm số y  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số a và b để a sin x  
3  2bcos x, khi x  0 
hàm số đã cho là hàm số lẻ. 3 1 A. a  , b  0. B. a, b  . C. a  , b  3. D. Không có , a b thoả mãn. 2 2
7.5. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Câu 1. Cho hàm số y  sin .
x Mệnh đề nào sau đây đúng?     3 
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; , 
 nghịch biến trên khoảng  ; .    2   2   3      
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  , 
 nghịch biến trên khoảng  ; .    2 2   2 2       
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; , 
 nghịch biến trên khoảng  ; 0 .    2   2        3 
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; , 
 nghịch biến trên khoảng ; .    2 2   2 2 
Câu 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng    ; 0? A. y  cos . x B. y  sin . x C. y  tan x. D. y  cot x.  31 33  Câu 3. Với x  ; , 
 mệnh đề nào sau đây là đúng?  4 4 
A. Hàm số y  sin x đồng biến.
B. Hàm số y  cos x nghịch biến.
C. Hàm số y  tan x nghịch biến.
D. Hàm số y  cot x nghịch biến.   
Câu 4. Cho hai hàm số f x   sin 2x, g x  1 cos 2 .
x Với x  0; , 
 mệnh đề nào sau đây là  4  đúng?
A. Cả hai hàm số y f x và y g x đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số y f x và y g x đều đồng biến.
C. Hàm số y f x nghịch biến, hàm số y g x đồng biến.
D. Hàm số y f x đồng biến, hàm số y g x nghịch biến.
Câu 5. Hàm số y  sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?        3   3  A. 0; .   B. ; .   C.  ; .   D. ; 2 .    4   2   2   2     
Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng  ; ?    3 6       
A. y   tan 2x  .  
B. y  cot 2x  .    6   6       
C. y  sin 2x  .  
D. y  cos 2x  .    6   6 
Câu 7. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?    A. 0; .   B.  ; 2 . C.    ; . D. 0; .  2 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 16
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 8. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng?  19   7   15  A. 6 ; 5 . B. ;10 .   C.  ; 3   .   D. 7 ; .    2   2   2    
Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số y  cos 2x    là:  3    2   5 11  A.  k ;
k , k    . B.  k ;
k , k    .  6 3   12 12        5  C.   k ;
k , k    . D.   k ;
k , k    .  3 6   6 6     Câu 10. Trong khoảng 0; , 
 hai hàm số nào sau đây cùng đồng biến?  2 
A. y  sin x và y  cos . x
B. y  sin x và y  tan x.
C. y  sin x và y  cot . x
D. y  cos x và y  cot x.
Câu 11. Trên đoạn 0; 2  hàm số y  sin x đồng biến trên những khoảng nào?         3  A. 0; . B.  ; .   C.  ; 2 . D. 0;   và ; 2 .    2 2   2   2     Câu 12. Với x  0; , 
 mệnh đề nào sau đây sai?  2 
A. Hàm số y  sin x tăng.
B. Hàm số y  cot x giảm.
C. Hàm số y  tan x tăng.
D. Hàm số y  cos x tăng.
7.6. Đồ thị của hàm số lượng giác   
Câu 1. Đồ thị hàm số y  cos x  
 được suy ra từ đồ thị C  của hàm số y  cos x bằng cách:  2  
A. Tịnh tiến C  qua trái một đoạn có độ dài là . 2 
B. Tịnh tiến C  qua phải một đoạn có độ dài là . 2 
C. Tịnh tiến C  lên trên một đoạn có độ dài là . 2 
D. Tịnh tiến C  xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2
Câu 2. Đồ thị hàm số y  sin x được suy ra từ đồ thị C  của hàm số y  cos x bằng cách: 
A. Tịnh tiến C  qua trái một đoạn có độ dài là . 2 
B. Tịnh tiến C  qua phải một đoạn có độ dài là . 2 
C. Tịnh tiến C  lên trên một đoạn có độ dài là . 2 
D. Tịnh tiến C  xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2
Câu 3. Đồ thị hàm số y  sin x được suy ra từ đồ thị C  của hàm số y  cos x 1 bằng cách: 
A. Tịnh tiến C  qua trái một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị. 2 
B. Tịnh tiến C  qua phải một đoạn có độ dài là và lên trên 1 đơn vị. 2
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 17
Đại số và giải tích 11 (CB) 
C. Tịnh tiến C  qua trái một đoạn có độ dài là
và xuống dưới 1 đơn vị. 2 
D. Tịnh tiến C  qua phải một đoạn có độ dài là
và xuống dưới 1 đơn vị. 2
Câu 4. Đồ thị của hàm số y  tan x là: y y x x      O   O  3    2 2 2 2 4 (C (C 1) 2) y y   x x 3  O  3  O      2 2 2 2   (C (C3) 4) A.  1 C . B. C2 . C. C3 . D. C4 .
Câu 5. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y  x 3   O   3    2  2  2  2 
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y  1 sin 2 . x B. y  cos . x C. y   sin . x D. y   cos . x   
Câu 6. Điểm nào sau đây nằm trên đồ thị của hàm số y  2 sin x   3   ?  3   2     A. O 0; 0. B. M 0;  3 . C. N ; 3 .   D. P  3;  .    3   3 
Câu 7. Đồ thị hàm số y  cos x nhận được từ đồ thị hàm số y  sin x qua phép tịnh tiến theo véctơ                 A. u  0;  .   B. u  0; .   C. u   ;0 .   D. u  ; 0 .    2   2   2   2    
Câu 8. Đồ thị hàm số y   cot  x 1  
nhận được từ đồ thị hàm số y  cot x qua phép tịnh tiến theo  3  vectơ                 A. u   ; 1  .   B. u   ;1 .   C. u  ; 1  .   D. u  ;1 .    3   3   3   3 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 18
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 9. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y  x    O    
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?  x x x x A. y  sin  .   B. y  sin . C. y  sin . D. y  cos .  2  2 4 2
Câu 10. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y  x O  3 5 4 4 4 2  2 
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?     3  A. y  2 sin x  .  
B. y  cos x  .    6   4   3    
C. y  sin x  .  
D. y  cos x  .    4   4 
Câu 11. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y 2  x O 3 7  4 4  2
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?      
A. y   2 sin x  .   B. y  2 sin x  .    4   4   3     C. y  2 sin x  .  
D. y  2 cos x  .    4   4 
Câu 12. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 19
Đại số và giải tích 11 (CB) y  x 3   O   3    2  2  2  2 
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y  cos . x
B. y  cos x . C. y   cos . x D. y  cos 2 . x
Câu 13. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y  x 3   O   3    2  2  2  2 
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y  sin . x
B. y  sin x .
C. y  sin x . D. y   sin . x
Câu 14. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y   x 3   O   3    2  2  2  2
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y  1 sin x . B. y  1 sin . x
C. y  1 sin x . D. y  1 cos . x
Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. y x    O   2 2
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y  tan x.
B. y  cot x .
C. y  tan x . D. y  cot x.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 20
Đại số và giải tích 11 (CB)
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sin x  sin a 1.1. Lý thuyết
x a k 2
a. sin x  sin a  k   .
x    a k2 
x  arcsin a k 2
b. sin x a  1   a   1  k   .
x    arcsin a k 2 
c. sin u   sin v  sin u  sin v.   
d. sin u  cos v  sin u   v .    2    
e. sin u   cos v  sin u  sin v  .    2  b
f. a sin x b  0 (Phương trình bậc nhất đối với hàm số sin)  sin x   . a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt:
 sin x  0  x k k  . 
 sin x  1  x
k 2 k  . 2 
 sin x  1  x    k 2 . 2 
 sin x  1  x   k . 2 1.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:    a) sin x  0 b) sin 2x  1 c) sin x   1     4        1 1 d) sin  x  1   e) sin 3x     f) sin x    3   6  2 3 2  x   3 g) sin 2x  2 h) sin 2x   1  i) sin      2  2 3  2
Bài 2. Giải các phương trình sau:   
a) sin x  sin 2x  0  
b) sin 3x  cos x
c) sin  x 120    cos 2x  4    x  d) sin 3x  sin   0   e) 2 sin x  1 f) 2 sin x  1  4 2 
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có nghiệm: m
a) sin 2x  2m b) sin x 1  3  m  7 c) sin x m 1   
d) m sin 3x  2  m e) mx   2 sin 3  m m f) 2 sin 2x   m  2m    4 
2. Phương trình cos x  cos a 2.1. Lý thuyết
x a k 2
a. cos x  cos a  k   .
x  a k 2 
x  arccos a k2
b. cos x a  1   a   1  k   .
x   arccos a k 2 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 21
Đại số và giải tích 11 (CB)
c. cos u   cos v  cos u  cos   v.   
d. cos u  sin v  cos u  cos  v .    2    
e. cos u   sin v  cos u  cos  v .    2  b
f. a cos x b  0 (Phương trình bậc nhất đối với hàm số côsin)  cos x   . a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt 
 cos x  0  x
k k  . 2
 cos x  1  x k 2 k  .
 cos x  1  x    k 2 k  .
 cos x  1  x k k  . 2.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:    a) cos x  0 b) cos 2x  1 c) cos x   1     4        1 1 d) cos  x  1   e) cos 3x     f) cos x    3   6  2 3 2  x   3 g) cos 2x  2 h) cos 2x   1  i) cos      2  2 3  2
Bài 2. Giải các phương trình sau:   
a) cos x  cos 2x  0  
b) cos3x  sin x
c) cos  x 120    cos 2x  4    x  d) cos 3x  sin   0 2   e) cos x  1
f) cos  x  2x 1  4 2 
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có nghiệm: m
a) cos 2x m b) cos x 1  2  m  7
c) cos  x  2  m 1    d) m  0
cos 3x 120   m  2 e) 2
mcos3x m m f) 2 cos x   m  2m    4 
3. Phương trình tan x  tan a 3.1. Lý thuyết
a. tan x  tan a x a k k   .
b. tan x a x  arctan a k k  .
c. tan u   tan v  tan u  tan v.   
d. tan u  cot v  tan u  tan  v .    2    
e. tan u   cot v  tan u  tan  v .    2  b
f. a tan x b  0 (Phương trình bậc nhất đối với hàm số tang)  tan x   . a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt 
tan x  0  x k k  .
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 22
Đại số và giải tích 11 (CB)  
tan x  1  x  
k k  . 4 3.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:       a) 0 tan x  tan 30 b) tan 2x   tan      c) tan x  1   3   4   5  1 d) tan 2 x   3 e) tan x    
f) tan 3  x  0  6  3
Bài 2. Giải các phương trình sau:       a)  0 x   0 tan 2 45  tan 30 b) tan
x   tan 3x  
c) tan 2x  cot x     3   6  d) tan 2x   1  cot x  0 e) 2 tan x  1 f)  2
tan x  2x  3  tan 2
4. Phương trình cot x  cot a 4.1. Lý thuyết
a. cot x  cot a x a k k   .
b. cot x a x  arccot a k k  .
c. cot u   cot v  cot u  cot v.   
d. cot u  tan v  cot u  cot  v .    2    
e. cot u   tan v  cot u  cot  v .    2  b
f. a cot x b  0 (Phương trình bậc nhất đối với hàm số côtang)  cot x   . a
g. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt 
 cot x  0  x
k k  . 2 
 cot x  1  x  
k k  . 4 4.1. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:       a) 0 cot x  cot 30 b) cot 2x   cot      c) cot x  1   3   4   5  1 d) cot 2 x   3 e) cot x    
f) cot 3  x  0  6  3
Bài 2. Giải các phương trình sau:       a)  0 x   0 cot 2 45  cot 30 b) cot
x   cot 3x  
c) cot 2x  tan x     3   6  d) cot 2x   1  tan x  0 e) cot x  1 f) 2 cot x  1 4. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phương trình sin x  sin    có các nghiệm là:
x    k 2
x    k A. , k  .   B. , k  .   x     k 2  x     k 
x    k 2
x    k C. , k  .   D. , k  .  
x     k 2 
x     k  Câu 2. Phương trình 0
tan x  tan  có các nghiệm là:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 23
Đại số và giải tích 11 (CB) A. 0
x    k.180 , k  .  B. 0
x    k.360 , k  .  C. 0 x  
  k.180 , k  .  D. 0 x  
  k.360 , k  . 
Câu 3. Phương trình cos x  0 có các nghiệm là:   A. x
k 2 , k  .  B. x  
k 2 , k  .  2 2  C. x
k , k  . 
D. x k , k  .  2
Câu 4. Phương trình nào sau đây có cùng tập nghiệm với phương trình cos x  0 ? A. sin x  1. B. sin x  1. C. tan x  0. D. cot x  0.
Câu 5. Phương trình cot 2x  3 có các nghiệm là:    A. x   k , k  .  B. x
k , k  .  12 2 12    C. x   k , k  .  D. x
k , k  .  6 2 6 Câu 6. Phương trình 2
cos x  1 có các nghiệm là: 
A. x k 2 , k  .
 B. x k , k  .  C. x k , k  . 
D. x    k2 , k  .  2   
Câu 7. Số nghiệm của phương trình 2 cos 2x   1  
với 0  x  2 là:  3  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Cho phương trình  2
2m  5m  2cos 2x  2m 1. Tìm tập hợp M các giá trị của tham số m để
phương trình đã cho có nghiệm. 1  A. M  2;  3 . B. M   ;  
1  3; . C. M   . D. M   ;   1  3; .  2  1
Câu 9. Trên 0; , phương trình sin 2x   có bao nhiêu nghiệm? 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 3 
Câu 10. Phương trình cot x   với 0  x  3 2    A. Có nghiệm là . B. Có nghiệm là
. C. Không có nghiệm. D. Có nghiệm là  . 3 9 3 Câu 11. Phương trình sin . x cos .
x cos 2x  0 có các nghiệm là: kkk
A. x k , k  .  B. x  , k  .  C. x  , k  .  D. x  , k  .  2 4 8 cot x  3 Câu 12. Phương trình  0 có các nghiệm là: 1 sin x  2   A. x
k 2 , k  .  B. x
k , k  .  6 6 7 7 C. x
k 2 , k  .  D. x
k , k  .  6 6
Câu 13. Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x m m sin 2x vô nghiệm? 1 1 1 A. m  1. B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2
Câu 14. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình cos 2x  0 A. sin 2x  1. B. 2 sin x  1. C. tan x  1. D. 2 tan x  1.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 24
Đại số và giải tích 11 (CB)  x  
Câu 15. Số nghiệm của phương trình cos   0  
thuộc khoảng  ;8  là:  2 4  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.   
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 2 cos x   1   trên    ;  là  3  2  4 7 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 17. Phương trình cos x m  0 vô nghiệm khi A. m  1. B. m  1  . C. 1   m  1.
D. m  1 hoặc m  1  .
Câu 18. Phương trình sin 3x  cos x có các nghiệm là:     A. x   k ; x
k , k  . 
B. x k 2 ; x
k 2 , k  .  8 2 4 2  
C. x k ; x
k , k  .  D. x k
; x k , k  .  4 2  x
Câu 19. Gọi X là tập nghiệm của phương trình 0 cos 15  sin . x   Khi đó  2  A. 0 290  X . B. 0 250  X . C. 0 240  X . D. 0 220  X . Câu 20. Phương trình sin .
x cos x  0 là:    A. x k , k  . 
B. x k , k  .  C. x k , k  .  D. x
k , k  .  4 2 2
Câu 21. Phương trình tan x  3  0 có các nghiệm là   A. x
k , k  .  B. x  
k , k  .  3 3   C. x
k , k  .  D. x  
k , k  .  6 6
Câu 22. Gọi T là tập nghiệm của phương trình tan .
x cot x  1 . Giá trị của T là: A. T  . 
B. T   \ k k  .     
C. T   \   k k  .
D. T   \ kk .  2   2  sin x  cos x Câu 23. Phương tình
  3 tương đương với phương trình: sin x  cos x       A. tan x   3.   B. cot x   3.    4   4        C. tan x    3.   D. cot x    3.    4   4        Câu 24. Phương trình cos  x  cos  x  1     có các nghiệm là:  3   3  
A. x k 2 , k  .  B. x
k 2 , k  .  2 
C. x k , k  .  D. x
k , k  .  2
Câu 25. Phươg trình tan x  cot x có các nghiệm là:   A. x
k , k  .  B. x  
k , k  .  4 4     C. x   k , k  .  D. x   k , k  .  4 2 4 4
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 25
Đại số và giải tích 11 (CB)    1
Câu 26. Số vị trí điểm biểu diễn của phương trình sin 2x    
trên đường tròn lượng giác là  3  2 A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 27. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y  sin 3x và y  sin x bằng nhau? x k2 x k A.   , k  .  B.    , k  .  x   k 2 x   k  4  4 2 x k2  x k C.    , k  .  D.   , k  .  x   kx   k  4 2  4 2 cos 2x Câu 28. Gọi 0
x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 sin 2x         3   3  A. 0 x  0; .   B. 0 x  ; .   C. 0 x  ; .   D. 0 x  ; .    4   4 2   2 4   4 
Câu 29. Trên đoạn 2017; 2017 , phương trình sin x  1sin x  2   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 1926. B. 642. C. 641. D. 1284.    3
Câu 30. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x     bằng:  4  2  5   A.  . B.  . C.  . D. . 6 18 18 6 Câu 31. Gọi 0 3 0
x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos 5x  45   . Mệnh đề nào sau đây 2 đúng? A. x   0 0 0 0 0 90  ; 6  0 . B. 0 x   60  ; 4  5 . C. x   0 0 0 0 0 45  ; 30  . D. 0 x  30 ;0 .    13 Câu 32. Trên đoạn  ; 2 , 
phương trình cos x  có bao nhiêu nghiệm? 2    14 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 33. Tổng các nghiệm của phương trình  0
tan 2x 15   1 trên khoảng  0 0 90  ;90  bằng: A. 0 0 . B. 0 30  . C. 0 30 . D. 0 60  .       Câu 34. Cho tan x   1.   Hãy tính sin 2x  .    2   6     1    1 A. sin 2x    .   B. sin 2x   .    6  2  6  2    3    3 C. sin 2x    .   D. sin 2x   .    6  2  6  2
Câu 35. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x  1? 2 2 A. sin x  . B. cos x  . C. cot x  1. D. 2 cot x 1. 2 2
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x m 1 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.   
Câu 37. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x   m  2   có  3 
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 26
Đại số và giải tích 11 (CB) A. T  6. B. T  3. C. T  2  . D. T  6  .
Câu 38. Cho phương trình  1 x  1 x cos x  0 . Kết luận nào sau đây về phương trình là đúng? A. Có 1 nghiệm. B. Có 2 nghiệm. C. Vô nghiệm. D. Có vô số nghiệm.
Câu 39. Phương trình cos sin x  1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  2   ; 2 ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 3
Câu 40. Phương trình sin 2x  
có các nghiệm có dạng x    k ; x    k k  . Khi đó giá 2 trị của . là: 2  2 20 2 4 2 2 A.  . B.  . C. . D. . 9 9 9 9
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 27
Đại số và giải tích 11 (CB)
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 2
at bt c  0 . trong đó a, ,
b c là các hằng số a  0 và t là một hàm số lượng giác. b. Mở rộng: 3 2
at bt ct d  0 (Với t là một hàm số lượng giác).
d. Phương pháp giải: (Đặt ẩn biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có))  t  sin ,
x t  cos x : điều kiện 1   t  1.
t  sin x , t  cos x : điều kiện 0  t  1.  2 2
t  sin x, t  cos x : điều kiện 0  t  1.
t  tan x, t  cot x : không có điều kiện đối với biến t . 1.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2
2sin x  sin x  3  0 b) 2
4sin x  4cos x 1  0 c) 2
tan x  1 3  tan x  3  0 d) 2
4 sin x  2  3   1 sin x  3  0 e) 5 5 2 4cos . x sin x  4sin .
x cos x  sin 4x f) 3
4cos x  3 2 sin 2x  8cos x g) 2 2
tan x  cot x  2 h) 2
cot 2x  4cot 2x  3  0
Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2
4 sin 3x  2  3  1cos 3x  3  4
b) cos 2x  9 cos x  5  0 1 c) 2   x 2 4 cos 2 6
 16 cos 1 3x  13 d)
 1 3 tan x 1 3  0 2   cos x 3 4 e) 2  tan x  9 f) 9 13cos x   0 cos x 2 1 tan x 1 1 g)  cot x  3 h) 2  3cot x  5 2 sin x 2 cos x x i) 2
cos 2x  3 cos x  4 cos
k) 2 cos 2x  tan x  1 2
sin 3x  cos 3x 3  cos 2x
Bài 3. Cho phương trình sin x  
. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc 1 2sin 2x 5 khoảng 0; 2 .
Bài 4. Cho phương trình cos 5 .
x cos x  cos 4 .
x cos 2x  3cos 2x 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc khoảng    ; .      
Bài 5. Giải phương trình 4 4 4 5 sin x  sin x   sin x   .      4   4  4
2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 2.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số sin x và cos x là phương trình có dạng
a sin x b cos x c .
b. Mở rộng: a sin u b cos u c (Với u u x ).
c. Điều kiện có nghiệm: 2 2 2
a b c .
d. Phương pháp giải: (Sử dụng công thức cộng để biến đổi phương trình về dạng cơ bản) a b c
B1. Chia hai vế của phương trình cho 2 2
a b , ta được: sin x  cos x  . 2 2 2 2 2 2 a b a b a b
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 28
Đại số và giải tích 11 (CB) a b B2. Đặt  cos 
 sin (Hoặc ngược lại, tuỳ vào mong muốn đưa về sin hay côsin 2 2 2 2 a b a b của bài toán). c c
B3. Phương trình trở thành: sin .
x cos  sin.cos x
 sin  x    . 2 2 2 2 a b a b 2.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau: 6
a) cos x  3 sin x  2
b) sin x  cos x  2
c) 3 cos 3x  sin 3x  2
d) sin x  cos x  2 sin 5x    e) 3 sin 2x  sin  2x  1  
f)  3 1sin x   3 1cos x  3 1  0  2 
Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2
3sin x  3 sin 2x  3
b) sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos 8x 3 1    c) 8 cos 2x  
d) cos x  3 sin x  2 cos  x   sin x cos x  3 
e) sin5x  cos5x  2 cos13x f)  x x  2 3 cos 4 sin 6
 9 cos x  12 sin x 16  0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 3sin x  2 cos x  2
b) 3 cos x  4sin x  3  0
c) cos x  4sin x  1 
d) 2sin x  5cos x  5       3 2    e) 2sin x   sin x      
f) 3 cos 2x  sin 2x  2 sin 2x   2 2    4   4  2  6 
Bài 4. Tìm m để phương trình m  2 sin x m cos x  2 có nghiệm.
Bài 5. Tìm m để phương trình 2m  
1 sin x  m  
1 cos x m  3 vô nghiệm.
3. Phương trình đẳng cấp bậc hai 3.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 2 2
a sin x b sin .
x cos x c cos x  0   1 . b. Mở rộng: 2 2
a sin x bsin .
x cos x c cos x d.
c. Phương pháp giải:  1 cos 2x 1 cos 2x 1 
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc 2 2 sin x  ; cos x  ; sin . x cos x  sin 2x   :  2 2 2  2 2
a sin x b sin .
x cos x c cos x  0
a 1 cos 2x  b sin 2x c 1 cos 2x  0
b sin 2x  c a cos 2x  a c
(Đây là phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x ). Cách 2:
B1. Kiểm tra cos x  0 có thoả mãn phương trình 1 không? (Nếu a.c  0 thì cos x  0 không thoả mãn
phương trình 1 ).
B2. Với cos x  0, chia hai vế của phương trình 1 cho 2 cos x ta được: 2
a tan x b tan x c  0.
(Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số y  tan x ). d. Chú ý: 2 2 2 2 a x b x x c
x d a x b x x c x d  2 2 sin sin .cos cos sin sin cos cos
sin x  cos x. 3.2. Bài tập
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 29
Đại số và giải tích 11 (CB)
Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 x     x x     2 2 sin 1 3 sin . cos 1 3 cos x  1 b) 2 x x x     2 3 sin 8 sin .cos 8 3 9 cos x  0 c) 2 2 4 sin x  3 3 sin .
x cos x  2 cos x  4 d) 2 2 1
sin x  sin 2x  2 cos x  2 e) 2 x     x x     2 2 sin 3 3 sin .cos 3 1 cos x  1 f) 2 2 5sin x  2 3 sin .
x cos x  3cos x  2 g) 2 2 3sin x  8sin .
x cos x  4cos x  0 h)    2 x x     2 2 1 sin sin 2 2 1 cos x  2 i)    2 x x x     2 3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos x  0 j) 4 2 2 4
3cos x  4sin x cos x  sin x  0 k) 2 2
cos x  3sin x  2 3 sin .
x cos x 1  0 l) 2 2 2cos x  3sin .
x cos x  sin x  0 m) 2 2 2cos x  3sin .
x cos x  sin x  0
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau: a) 3 2 3 sin x  2sin .
x cos x  3cos  0  b) 2 2 1 3 sin .
x cos x  sin x  2 c) 3 2 2 3 sin x  5sin .
x cos x  3sin .
x cos x  3cos x  0
Bài 3. Tìm m để phương trình m   2 2
1 sin x  sin 2x  2 cos x  1 có nghiệm.
Bài 4. Tìm m để phương trình  m  
2 x   m  
x   m   2 3 2 sin 5 2 sin 2 3 2
1 cos x  0 vô nghiệm.
4. Phương trình đối xứng 4.1. Lý thuyết
a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình có dạng :
a sin x  cos x   b sin x.cos x c  0 1 .
b. Mở rộng: a sin x  cos x b sin .
x cos x c  0.
c. Phương pháp giải:   
 Đặt t  sin x  cos x  2 cos x  
 , điều kiện  2  t  2  t  2  .  4  2 1  t  1 2 sin .
x cos x  sin . x cos x    2t  1. 2
 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t .
 Giải phương trình này tìm t thoả mãn t  2. Suy ra x. d. Chú ý:
 Với phương trình a sin x  cos x b sin .
x cos x c  0.    1
Đặt t  sin x  cos x  2 cos x 2    ,  sin . x cos x   t  1 .  4  2      
 cos x  sin x  2 cos x   2 sin x  .      4   4       
 cos x  sin x  2 cos x    2 sin x  .      4   4 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 30
Đại số và giải tích 11 (CB) 4.2. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin 2x  3 3 sin x  cos x  8  0
b) 2 sin x  cos x  2sin 2x  2
c) 3sin x  cos x  2sin 2x  3
d) 1 21 sin x  cos x  sin 2x
e) sin x  cos x  4 sin .
x cos x 1  0
f) 1 2 sin x  cos x  sin 2x 1 2
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau:
a) sin 2x  4 cos x  sin x  4
b) 5sin 2x 12 sin x  cos x 12  0
c) 1 2 1 sin x  cos x  sin 2x
d) cos x  sin x  3sin 2x 1  0    2
e) sin 2x  2 sin x   1  
f) sin x  cos x   2  
1 sin x  cos x  2  0  4 
5. Phương trình dạng khác
Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 2
sin x  sin 3x b) 2 2 2 3
sin x  sin 2x  sin 3x  2 c) 2 2 2
cos x  cos 2x  cos 3x  1 d) 2 2 2 2
cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  2
Bài 2. Giảỉ các phương trình sau: a) 6 6 1
sin x  cos x  b) 4 6
cos x  2sin x  cos 2x 4
Bài 3. Giảỉ các phương trình sau: a) 1  2 sin .
x cos x  sin x  2 cos x
b) sin x sin x  cos x 1  0 c) 3 3
sin x  cos x  cos 2x
d) sin 2 x  1  2 cos x  cos 2 x e) x   x 2 sin 1 cos
 1 cos x  cos x f)  x   x x   2 2sin 1 2 cos 2 2 sin 1  3  4 cos x g)  x x x x 2 sin sin 2 sin sin 2
 sin 3x h) sin x  sin 2x  sin 3x  2 cos x  cos 2x  cos 3x
Bài 4. Giảỉ các phương trình sau: a) 2 cos .
x cos 2x  1 cos 2x  cos 3x b) 2 sin .
x cos 2x 1 2 cos 2x  sin x  0 c) 2
3cos x  cos3x  2cos x  2sin . x sin 2x d) 2 cos5 .
x cos x  cos 4 .
x cos 2x  3cos x 1
Bài 5. Giảỉ các phương trình sau:
a) sin x  sin 3x  sin 5x  0
b) cos 7x  sin 8x  cos 3x  sin 2x
c) cos 2x  cos 8x  cos 6x  1 d) 2 2
sin 7x  cos 2x  sin 2x  sin x
Bài 6. Giảỉ các phương trình sau:    a) 3 3 1
sin x  cos x  sin 2 . x sin x
 cos x  sin 3x   2  4 
b) 1 sin 2x  2 cos 3x sin x  cos x  2sin x  2 cos 3x  cos 2x 6. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 cos x  3  0. Khẳng định nào sau đây đúng? 5 11 13 13 A.  S. B.  S. C.  S. D.   S. 6 6 6 6   
Câu 2. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2x   3  0  
trên đường tròn lượng giác  3  là? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 3. Trên đoạn 0; 2018 , phương trình 3 cot x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 4 cos x  1?
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 31
Đại số và giải tích 11 (CB) 1 A. cos x  . B. 2 1 sin x  . C. 2 cot x  3. D. 2 tan x  3 . 2 4 Câu 5. Phương trình 2
4sin x  3 có các nghiệm là:     x   k  x   k 2 3  3 A.  , k  . B.  , k  . 4  2 x   k x   k 2  3  3   k  kx   x  C.  3
6 , k,l  . D. 
3 , k, l  .   x l  x l 
Câu 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm: 3
A. sin x  cos x  3 . B. sin x  . 2
C. 3 sin 2x  cos 2x 1.
D. 3sin x  4 cos x  5.
Câu 7. Các nghiệm của phương trình sin 2x  3 cos 2x  0 là:     A. x   k , k  .  B. x   k , k  .  3 2 6 2   C. x
k , k  .  D. x
k , k  .  3 6
Câu 8. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sin x  cos x m có nghiệm? A. 2  m  2. B.  2  m  2. C. m  0. D. m  2 hoặc m   2.
Câu 9. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình m sin x  3 cos x  5 vô nghiệm? A. 4  m  4.
B. m  8 hoặc m  2.
C. m  4 hoặc m  4.
D. m  34 hoặc m   34.
Câu 10. Phương trình 3 sin 3x  cos3x  1
 tương đương với phương trình nào sau đây:    1     A. sin 3x    .   B. sin 3x    .    6  2  6  6    1    1 C. sin 3x   .   D. sin 3x    .    6  2  6  2
Câu 11. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 5 cos x m sin x m  1 có nghiệm? A. m   .  B. m  12. C. m  12. D. m  24.
Câu 12. Cho phương trình msin x  1 3m cos x m  2. Tìm m để phương trình có nghiệm. 1 1 A.  m  3. B. m  . C. m  3.
D. Không có giá trị nào của . m 3 3 Câu 13. Phương trình 2 2 sin x  4sin .
x cos x  3cos x  0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. tan x  
1 tan x  3  0. B. tan x  
1 tan x  3  0. C. tan x  
1 tan x  3  0. D. tan x  
1 tan x  3  0. Câu 14. Phương trình 2 2 sin x  4sin .
x cos x  4cos x  5 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2 sin x  cos x  0. B. 2 sin x  cos x  0. C. 2 cos x  sin x  0. D. 2 cos x  sin x  0.
Câu 15. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 2
msin x  sin 2x  cos x m 1 có nghiệm? A. m   .  B. m  1. C. m  1. D. m  0.
Câu 16. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 6 sin x  cos x  sin .
x cos x  6  0 trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 32
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 17. Cho phương trình 3sin x  cos x  2sin 2x  3  0 . Đặt t  sin x  cos x, ta được phương trình nào dưới đây? A. 2
t  3t  2  0. B. 2
2t  3t 1  0. C. 2
2t  3t  5  0. D. 2
t  3t  4  0 .
Câu 18. Gọi S là tập tất cả các nghiệm của phương trình 2
x x sin 2017 x  0. Số phần tử của S là: A. 642. B. 643. C. 644. D. 645.
Câu 19. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x ? A. 2
sin x  cos x 1  0.
B. sin 2x  cos x  0.
C. 2 sin x  3cos x  1.
D. 2 cos x  3sin 3x  1.
Câu 20. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A. 2 cos x  3  0.
B. 3sin 2x  10  0. C. 2
cos x  cos x  6  0.
D. 3sin x  4 cos x  5. Câu 21. Phương trình 2 2
1 cos x  cos x  cos3x  sin x  0 tương đương với phương trình:
A. cos x cos x  cos 3x  0.
B. cos x cos x  cos 2x  0.
C. cos x cos x  cos 2x  0.
D. cos x cos x  cos 3x  0.   69 
Câu 22. Số nghiệm thuộc nửa khoảng ; 2 
 của phương trình 2 sin 3x 1 4sin x  0 là: 14 10  A. 34. B. 40. C. 41. D. 46.
Câu 23. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2 sin .
x cos x  1 sin x trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 24. Phương trình 2 2
sin 2x  cos 3x  1 có các nghiệm là:      x   k x k A.  5 5 , k  . B.  5 , k  .    x  k  x k   x k 2   2 x   k C.  2 , k  .  D.  5 5 , k  .   x k   5 x k 2 
Câu 25. Phương trình sin 3x  cos 2x  1  2 sin .
x cos 2x tương đương với phương trình:
A. sin x 2 sin x   1  0.
B. sin x 2 sin x   1  0.
C. sin x sin x   1  0.
D. sin x sin x   1  0.
Câu 26. Phương trình 2 sin x  cot x  1  2 sin 2x tương đương với phương trình: 2sin x  1  2sin x  1  A. .  B. . 
sin x  cos x  2sin x cos x  0 
sin x  cos x  2sin x cos x  0  2sin x  1 2sin x  1 C. .  D. . 
sin x  cos x  2sin x cos x  0 
sin x  cos x  2sin x cos x  0 
sin x  sin 2x  sin 3x Câu 27. Phương trình
 3 tương đương với phương trình:
cos x  cos 2x  cos 3x A. tan x  3. B. tan 2x  3. C. tan 3x  3. D. tan 6x  3.
Câu 28. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2x  sin 2x  1. Khẳng định nào sau đây đúng?   3 5 A.  S. B.  S. C.  S. D.  S. 4 2 4 4   
Câu 29. Số nghiệm của phương trình sin 2x  3 cos 2x  3 trên khoảng 0;   là:  2  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 33
Đại số và giải tích 11 (CB)
Câu 30. Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2
cos x  sin 2x  2  sin x trên khoảng 0;2 . 7 21 11 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 8 8 4 4
Câu 31. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất 0
x của phương trình 3
3sin 3x  3 cos 9x  1 4 sin 3 . x     A. 0 x  . B. 0 x  . C. 0 x  . D. 0 x  . 2 18 24 54   
Câu 32. Số nghiệm của phương trình sin 5x  3 cos 5x  2sin 7x trên khoảng 0;   là:  2  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 33. Gọi 0
x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin 9x  3 cos 7x  sin 7x  3 cos9 . x Mệnh đề nào sau đây đúng?                A. 0 x   ; 0 .   B. 0 x   ;  .   C. 0 x   ;  .   D. 0 x   ;  .    12   6 12   3 6   2 3 
Câu 34. Biến đổi phương trình cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3x về dạng sin ax b  sin cx d  với     ,
b d thuộc khoảng  ; . 
 Tính b d .  2 2      A. b d  . B. b d  .
C. b d   . D. b d  . 12 4 3 2
2 sin 2x  cos 2x
Câu 35. Hàm số y
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2x  cos 2x  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1  0;1  0 để phương trình       sin x   3 cos x   m     vô nghiệm?  3   3  A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để phương trình cos x  sin x  2 m   1 vô nghiệm. A. m ;    1 1;. B. m ;  0 0;. C. m ;  . D. m 1  ;  1 .
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2  018;201  8 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 có nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.    Câu 39. Hỏi trên 0; ,   phương trình 2
2sin x  3sin x 1  0 có bao nhiêu nghiệm?  2  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 40. Cho phương trình 2
cot 3x  3cot 3x  2  0. Đặt t  cot 3 ,
x ta đươc phương trình nào sau đây? A. 2
t  3t  2  0. B. 2
3t  9t  2  0. C. 2
t  9t  2  0. D. 2
t  6t  2  0.
Câu 41. Số nghiệm của phương trình 2
4sin 2x  21 2sin 2x  2  0 trên 0;  là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 7 Câu 42. Hỏi x
là nghiệm của phương trình nào sau đây? 3
A. 2sin x  3  0. B. 2sin x  3  0. C. 2cos x  3  0. D. 2cos x  3  0.   
Câu 43. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2x   3  0  
trên đường tròn lượng  3 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 34
Đại số và giải tích 11 (CB) giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 44. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình 3 cot x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 45. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
2cos x  5cos x  3  0 trên đường tròn lượng giác là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 46. Số nghiệm của phương trình 2
sin 2x  cos 2x 1  0 trên đoạn    ;4  là: A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. x x
Câu 47. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 sin  3cos
 0 trên đoạn 0;8 . 4 4 A. T  0. B. T  4 . C. T  8 . D. T  16 . 1
Câu 48. Số nghiệm của phương trình  3 1 cot x
3 1  0 trên khoảng 0;  là: 2     sin x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x
Câu 49. Cho phương trình cos x  cos
1  0. Nếu đặt t  cos
, ta được phương trình nào sau đây? 2 2 A. 2 2t t  0. B. 2 2
t t 1  0. C. 2
2t t 1  0. D. 2 2
t t  0.       5   
Câu 50. Cho phương trình cos 2 x   4 cos  x  .     Nếu đặt t  cos  x ,   ta được phương  3   6  2  6  trình nào sau đây? A. 2 3 2t  4t   0. B. 2 3 2t  4t   0. C. 2 3 2t  4t   0. D. 2 3 2t  4t   0. 2 2 2 2
Câu 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x m cot x  8 có nghiệm. A. m  16. B. m  16. C. m  16. D. m  16.
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x  2m  
1 cos x m 1  0 có   3  nghiệm trên khoảng ; .    2 2  A. 1  m  0. B. 1  m  0. C. 1  m  0. D. 1  m  0. 2 2
Câu 53. Biết rằng khi m  0
m thì phương trình 2sin x  5m  
1 sin x  2m  2m  0 có đúng 5 nghiệm   
phân biệc thuộc khoảng  ;3 
 . Mệnh đề nào sau đây đúng?  2   1   1 1   1  A. m  3  ;  . m 1; .   B. m   ; .   C. m  ;1 .   D.    2   2 2   2  2
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2cos 3x  3  2m cos3x m  2  0    
có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng  ; .    6 3  A. 1  m  2. B. 1  m  2. C. 1  m  2. D. 1  m  2.
Câu 55. Giải phương trình 2 x    2 sin 3 1 sin .
x cos x  3 cos x  0 .   A. x
k , k  .  B. x
k , k  .  3 4     x   k  x   k 2  3   3 C.  , k  .  D.  , k  .     x   k x   k 2   4   4
Câu 56. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 35
Đại số và giải tích 11 (CB) 2 x     2 sin
3 1 sin x cos x  3 cos x  3.  3 1   3 1 
A. sin x  tan x    0. B. cos x   1  tan x    0.  3 1       1 3   C. cos x  
1 tan x  2  3  0. D.  2 cos x  
1 tan x  2  3  0.
Câu 57. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2
sin x  3 sin x cos x  1? A. x  2 cos cot x  3  0. B. sin x  
1 cot x  3  0.              C. sin x  . tan x   2  3  0. 2      D. cos x  1   
  tan x  3  0. 2 4          2   Câu 58. Cho phương trình 2
cos x  3sin x cos x 1  0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. x k không là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2
cos x thì ta được phương trình 2
tan x  3tan x  2  0.
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2
sin x thì ta được phương trình 2
2cot x  3cot x 1  0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình cos 2x  3sin 2x  3  0.
Câu 59. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2 2
sin x  4sin x cos x  4cos x  5 trên đường tròn lượng giác là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 60. Số nghiệm của phương trình 2 2
cos x  3sin x cos x  2sin x  0 trên khoảng  2  ;2  là: A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 61. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1  0;1  0 để phương trình
2 x m  2 11sin
2 sin 2x  3cos x  2 có nghiệm? A. 6. B. 15. C. 16. D. 21.
Câu 62. Tìm điều kiện để phương trình 2 2
a sin x a sin x cos x b cos x  0 với a  0 có nghiệm. 4b 4b A. a  4 . b B. a  4 . b C.  1. D.  1. a a
Câu 63. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x m  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.    Câu 64. Từ phương trình 3 3 3
1 sin x  cos x
sin 2x, ta tìm được cos x    có giá trị bằng: 2  4  2 2 2 A. 1. B. . C.  . D.  . 2 2 2
Câu 65. Từ phương trình 2 sin x  cos x  tan x  cot ,
x ta tìm được cos x có giá trị bằng: 2 2 A. 1. B. 1. C.  . D. . 2 2
Câu 66. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình sin x  cos x  4sin 2x 1 có bao nhiêu nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.
Câu 67. Cho x thoả mãn 2sin 2x  3 6 sin x  cos x  8  0. Tính sin 2 . x 1 2 1 2 A. sin 2x   . B. sin 2x   . C. sin 2x  . D. sin 2x  . 2 2 2 2   
Câu 68. Nếu 1 sin x1 cos x  2 thì cos x    bằng bao nhiêu?  4 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 36
Đại số và giải tích 11 (CB) 2 2 A. 1. B. 1. C.  . D. . 2 2
Câu 69. Từ phương trình 1 3cos x  sin x  2sin xcos x  3 1 0, nếu ta đặt t  sin x  cos x thì
giá trị của t nhận được là:
A. t  1 hoặc t  2.
B. t  1 hoặc t  3. C. t  1. D. t  3.   
Câu 70. Cho x thoả mãn 6sin x  cos x  sin x cos x  6  0. Tính cos x  .    4        A. cos x   1.    B. cos x   1.    4   4     2    2 C. cos x    .   D. cos x   .    4  2  4  2   
Câu 71. Cho x thoả mãn phương trình sin 2x  sin x  cos x  1. Tính sin x  .    4              2 A. sin x   0   hoặc sin x   1.   B. sin x   0   hoặc sin x   .    4   4   4   4  2             2 C. sin x   0   hoặc sin x   1.    D. sin x   0   hoặc sin x    .    4   4   4   4  2   
Câu 72. Từ phương trình 5sin 2x 16sin x  cos x 16  0, ta tìm được sin x    có giá trị bằng:  4  2 2 2 A. . B.  . C. 1. D.  . 2 2 2
Câu 73. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  3 cos x 1 lần lượt là M , . m Khi đó
tổng M m bằng: A. 2  3. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 74. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x x2 sin cos
 2 cos 2x  3sin x cos x lần lượt
M , m . Khi đó tổng M m bằng: 13 17 A. 2. B. 17. C.  . D. . 4 2 Câu 75. Phương trình 2 2 2 4
cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  2 tương đương với phương trình nào sau đây? A. sin . x sin 2 . x sin 4x  0. B. cos . x cos 2 . x cos 4x  0. C. cos . x cos 2 . x cos 5x  0. D. sin . x sin 2 . x sin 5x  0.
Câu 76. Số nghiệm của phương trình x  2 cos
4 cos x  3  4cos 2x  3cos x  4  0 trên đoạn 0;1  4 là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 77. Cho tam giác ABC, biết cos B C 1. Hỏi tam giác ABC có đặc điểm gì? A. ABC cân. B. ABC đều. C. ABC nhọn. D. ABC vuông.
Câu 78. Cho tam giác ABC, biết sin  B C 1. Hỏi tam giác ABC có đặc điểm gì? A. ABC cân. B. ABC đều. C. ABC nhọn. D. ABC vuông. sin x  Câu 79. Phương trình  có bao nhiêu nghiệm? x 18 A. Vô số nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 37
Đại số và giải tích 11 (CB) Câu 80. Cho phương trình 2  0 x   2   0 x     0 cos 30 sin 30
sin x  60  và các tập số thực: 0 0 0 0 0 0 0 0
I. x  30  1 k 20
II. x  60  1 k 20
III. x  30  k360
IV. x  30  k360 .
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình: A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I và III . D. I và IV .
Câu 81. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2  của phương trình sin .
x cos 3x  sin x  2 cos 3x  2  0 là: 2 A. . B. 2 . C. 4 . D. 0. 3 2 Câu 82. Nếu  ;
x y là nghiệm của phương trình x  2xsin  xy 1  0 thì số các giá trị của x là: A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 83. Cho phương trình cos .
x cos 7 x  cos 3 .
x cos 5x . Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình đã cho? A. sin 4x  0. B. sin 5x  0. C. cos 3x  0. D. cos 4x  0.
Câu 84. Phương trình nào dưới đây tương đương phương trình n 1
2  cos .cos 2 .cos 4 ...cos 2n x x x x  1? A. n n n sin x  0. B. sin x  sin 2 . x C. 1 sin x sin 2   . x D. 2 sin x  sin 2 . x Câu 85. Phương trình 4 4
sin 3x  cos x  sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cos 2x  sin 3 . x
B. cos 2x   sin 3 .
x C. cos 2x  sin 2 . x
D. cos 2x   sin 2 . x
Câu 86. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x  cos 2x  2.
B. 3sin x  4 cos x  5. 
C.  3 sin x  cos x  3. D. sin x  . 3 2sin x  cos x Câu 41. Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhât của hàm số y  . Giá trị
sin x  cos x  3
của m M là: 2 2 A. . B.  . C. 4. D. 5. 7 7
cos x  2sin x  3
Câu 42. Giá trị lớn nhất của hàm số y  bằng:
2cos x  sin x  4 2  2 A. . B. 4 8. C. 2. D. 1. 4
cos x  2sin x  3
Câu 43. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  bằng:
2cos x  sin x  4 2 1 A. . B. 0. C.  . D. 1. 11 2 1 sin x
Câu 44. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  . Giá trị của 2  cos x . m M bằng: 8 5 A. 2. B. 0. C.  . D.  . 3 8
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 38
Đại số và giải tích 11 (CB)
ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẴNG VÀ TNPT CÁC NĂM 1. Bài tập tự luận
Bài 1. (ĐHA, 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2  của phương trình 
cos 3x  sin 3x  5 sin x   cos 2x  3.    1 2sin 2x
Bài 2. (ĐHB, 2002) Giải phương trình 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6 . x
Bài 3. (ĐHD, 2002) Tìm x thuộc đoạn 0;1 
4 nghiệm đúng của phương trình:
cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0. cos 2x 1
Bài 4. (ĐHA, 2003) Giải phương trình 2 cot x 1   sin x  sin 2 . x 1 tan x 2 2
Bài 5. (ĐHB, 2003) Giải phương trình cot x  tan x  4 sin 2x  . sin 2xx   x
Bài 6. (ĐHD, 2003) Giải phương trình 2 2 2 sin  tan x  cos  0.    2 4  2
Bài 7. (ĐHA, 2004) Cho tan giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện
cos 2 A  2 2 cos B  2 2 cos C  3. Tính ba góc của tam giác ABC.
Bài 8. (ĐHB, 2004) Giải phương trình x     x 2 5sin 2 3 1 sin tan . x
Bài 9. (ĐHD, 2004) Giải phương trình 2cos x  
1 2sin x  cos x  sin 2x sin . x
Bài 10. (ĐHA, 2005) Giải phương trình 2 2
cos 3x cos 2x  cos x  0.
Bài 11. (ĐHB, 2005) Giải phương trình 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0.      
Bài 12. (ĐHD, 2005) Giải phương trình 4 4 3
cos x  sin x  cos x  sin 3x    0.      4   4  2  6 6
2 cos x  sin x  sin x cos x
Bài 13. (ĐHA, 2006) Giải phương trình  0. 2  2 sin xx
Bài 14. (ĐHB, 2006) Giải phương trình cot x  sin x 1 tan . x tan  4.    2 
Bài 15. (ĐHD, 2006) Giải phương trình cos 3x  cos 2x  cos x 1  0.
Bài 16. (ĐHA, 2007) Giải phương trình  2  xx   2 1 sin cos
1 cos xsin x 1 sin 2 . x 2  x x
Bài 17. (ĐHB, 2007) Giải phương trình sin  cos  3 cos x  2.    2 2 
Bài 18. (ĐHD, 2007) Giải phương trình 2
2sin 2x  sin 7x 1  sin . x 1 1  7 
Bài 19. (ĐHA, 2008) Giải phương trình   4 sin  x .   sin x  3   4 sin x      2 
Bài 20. (ĐHB, 2008) Giải phương trình 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin .
x cos x  3 sin . x cos . x
Bài 21. (ĐHD, 2008) Giải phương trình 2sin x1 cos 2x  sin 2x 1 2cos . x
Bài 22. (CĐ, 2008) Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2sin 2 . x
1 2sin xcos x
Bài 23. (ĐHA, 2009) Giải phương trình  3.
1 2sin x1 sin x
Bài 24. (ĐHB, 2009) Giải phương trình x x x x   3 sin cos .sin 2 3 cos 3
2 cos 4x  sin x.
Bài 25. (ĐHD, 2009) Giải phương trình 3 cos 5x  2sin 3 .
x cos 2x  sin x  0.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 39
Đại số và giải tích 11 (CB)
Bài 26. (CĐ, 2009) Giải phương trình   x2 1 2 sin
cos x  1 sin x  cos . x    
1  sin x  cos 2x sin x     4  1
Bài 27. (ĐHA, 2010) Giải phương trình  cos . x 1  tan x 2
Bài 28. (ĐHB, 2010) Giải phương trình sin 2x  cos 2x cos x  2cos 2x sin x  0.
Bài 29. (ĐHD, 2010) Giải phương trình sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x 1  0. 5x 3x
Bài 30. (CĐ, 2010) Giải phương trình 4 cos cos  2 8sin x   1 cos x  5. 2 2
1  sin 2x  cos 2x
Bài 31. (ĐHA, 2011) Giải phương trình  2 sin . x sin 2 . x 2 1  cot x
Bài 32. (ĐHB, 2011) Giải phương trình sin 2 .
x cos x  sin .
x cos x  cos 2x  sin x  cos . x
sin 2x  2 cos x  sin x 1
Bài 33. (ĐHD, 2011) Giải phương trình  0. tan x  3
Bài 34. (CĐ, 2011) Giải phương trình 2
cos 4x 12sin x 1  0.
Bài 35. (ĐHA, 2012) Giải phương trình 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1.
Bài 36. (ĐHB, 2012) Giải phương trình 2cos x  3sin xcos x  cos x  3sin x 1.
Bài 37. (ĐHD, 2012) Giải phương trình sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  2 cos 2x.
Bài 38. (CĐ, 2012) Giải phương trình 2 cos 2x  sin x  sin 3 . x   
Bài 39. (ĐHA, 2013) Giải phương trình 1 tan x  2 2 sin x  .    4 
Bài 40. (ĐHB, 2013) Giải phương trình 2
sin 5x  2cos x  1.
Bài 41. (ĐHD, 2013) Giải phương trình sin 3x  cos 2x  sin x  0.   
Bài 42. (CĐ, 2013) Giải phương trình cos
x  sin 2x  0.    2 
Bài 43. (ĐHA, 2014) Giải phương trình sin x  4 cos x  2  sin 2 . x
Bài 44. (ĐHB, 2014) Giải phương trình 2 sin x  2cos x  2  sin 2 . x 2
Bài 45. (2015) Tính giá trị của biểu thức P  13cos 2 2  3cos 2  , biết sin  . 3
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 40
Đại số và giải tích 11 (CB) ÔN TẬP CHƯƠNG I MỨC ĐỘ 1. NHẬN BIẾT 2018
Câu 1. Tập xác định của hàm số y  là: sin x
A. D   \ k , k    . B. D   \   0 .  
C. D   \   k , k  . D. D  .   2 
Câu 2. Tập xác định của hàm số y  tan x là:
A. D   \ k , k    .
B. D   \ k2 , k    .    
C. D   \   k , k  .
D. D   \   k 2 , k  .  2   2 
Câu 3. Tập xác định của hàm số y  cot x là:
A. D   \ k , k    .
B. D   \ k2 , k    .    
C. D   \   k , k  .
D. D   \   k 2 , k  .  2   2 
Câu 4. Tập xác định của hàm số y  cos 2x  3 là:  3   3   3  A. D  .  B. D  ;  .   C. D  ;  .    D. D  \  .  2   2   2  x
Câu 5. Tập xác định của hàm số y  sin là: x 1 A. D  .  B. D   \   1 .
C. D  1;. D. D   \   0 . 1 sin x
Câu 6. Điều kiện xác định của hàm số y  là: cos x  A. x
k , k  . 
B. x k , k  .  2   C. x
k 2 , k  .  D. x  
k 2 , k  .  2 2
Câu 7. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kỳ: A.  . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 8. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kỳ: A.  . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 9. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kỳ: A.  . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 10. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kỳ: A.  . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 11. Hàm số nào sâu đây nhận trục tung (trục Oy) làm trục đối xứng? A. y  sin . x B. y  cos . x C. y  tan . x D. y  cot . x
Câu 12. Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn? A. y  sin . x B. y  cos . x C. y  tan . x D. y  cot . x
Câu 13. Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số chẵn? A. y  . x sin . x B. y  . x cos . x C. y  . x tan . x D. y  . x cot . x
Câu 14. Hàm số nào dưới đây là hàm số không chẵn, không lẻ?
A. y x  sin x.
B. y x  cos x.
C. y x  tan x.
D. y x  cot . x
Câu 15. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ?
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 41
Đại số và giải tích 11 (CB) cos x A. 2 y x sin . x B. y  . C. 2
y x  tan . x D. 2
y x  cot . x 2 x
Câu 16. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng:   3      A. 0; . B. ; .   C.  ;2 . D.  ; .    2 2   2 2 
Câu 17. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng:   3      A. 0; . B. ; .   C.  ;2 . D.  ; .    2 2   2 2 
Câu 18. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng:   3      A. 0; . B. ; .   C.  ;2 . D.  ; .    2 2   2 2 
Câu 19. Hàm số y  cos x nghịch biến trên khoảng:   3      A. 0; . B. ; .   C.  ;2 . D.  ; .    2 2   2 2    
Câu 20. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ; ?    2  A. y  sin . x B. y  cos . x C. y  tan . x D. y  cot . x  3 
Câu 21. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng ; 2 ?    2  A. y  sin . x B. y  cos . x C. y  tan . x D. y  cot . x
Câu 22. Xét các đồ thị hàm số sau: y y x x      O   O  3    2 2 2 2 4 (C (C 1) 2) y y   x x 3     O 3 O     2 2 2 2   (C3) (C4)
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào bi ể u diễ
n hàm số y  sin x ? A. C . B. C . C. C . D. C . 4  3  2  1 
Câu 23. Phương trình sin x  sin a có các nghiệm là:
x a k 2
x a k 2 A.  , k  .  B.  , k  . 
x    a k 2 
x  a k 2 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 42
Đại số và giải tích 11 (CB)
x a k
x a k C.  , k  .  D.  , k  . 
x    a k 
x  a k 
Câu 24. Phương trình cos x  cos a có các nghiệm là:
x a k 2
x a k 2 A.  , k  .  B.  , k  . 
x    a k 2 
x  a k 2 
x a k
x a k C.  , k  .  D.  , k  . 
x    a k 
x  a k 
Câu 25. Xét các đồ thị hàm số sau: y y x x      O   O  3    2 2 2 2 4 (C (C 1) 2) y y   x x 3     O 3 O     2 2 2 2   (C3) (C4)
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số y  cos x ? A. C . B. C . C. C . D. C . 4  3  2  1  Câu 26. Phương trình 0
sin x  sin  có các nghiệm là: 0 0  0 0
x    k360 
x    k360 A.  , k  .  B.  , k  .  0 0 0
x  180    k360 0 0  x     k360  0 0  0 0 x    180 k  x    180 k C.  , k  .  D.  , k  .  0 0 0
x  180    180 k 0 0 0 
x  180    180 k  Câu 27. Phương trình 0
cos x  cos có các nghiệm là: 0 0  0 0
x    k360 
x    k360 A.  , k  .  B.  , k  .  0 0 0
x  180    k360 0 0  x     k360  0 0  0 0 x    180 k  x    180 k C.  , k  .  D.  , k  .  0 0 0
x  180    180 k 0 0 0 
x  180    180 k
Câu 28. Phương trình tan x  tan a có các nghiệm là:
A. x a k   , k  .  B. x a   k   , k  . 
C. x a k , k  . 
D. x  a k , k  . 
Câu 29. Phương trình cot x  cot a có các nghiệm là:
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 43
Đại số và giải tích 11 (CB)
A. x a k   , k  .  B. x a   k   , k  . 
C. x a k , k  . 
D. x  a k , k  . 
Câu 30. Xét các đồ thị hàm số sau: y y x x      O   O  3    2 2 2 2 4 (C (C 1) 2) y y   x x 3     O 3 O     2 2 2 2   (C3) (C4)
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số y  cot x ? A. C . B. C . C. C . D. C . 4  3  2  1  Câu 31. Phương trình 0
tan x  tan có các nghiệm là: A. 0 0 x    1 k 80 , k  .  B. 0 0
x    k360 , k  . 
C. x    k , k  . 
D. x    k 2 , k  .  Câu 32. Phương trình 0
cot x  cot có các nghiệm là: A. 0 0 x    1 k 80 , k  .  B. 0 0
x    k360 , k  . 
C. x    k , k  . 
D. x    k 2 , k  . 
Câu 33. Phương trình sin x  1 có các nghiệm là:
A. x k 2 , k  . 
B. x k , k  .    C. x
k , k  .  D. x
k 2 , k  .  2 2
Câu 34. Phương trình sin x  1 có các nghiệm là: 
A. x k , k  .  B. x
k 2 , k  .  2   C. x  
k , k  .  D. x  
k 2 , k  .  2 2
Câu 35. Phương trình sin x  0 có các nghiệm là:
A. x k , k  . 
B. x k 2 , k  .    C. x
k , k  .  D. x
k 2 , k  .  2 2
Câu 36. Phương trình cos x  1 có các nghiệm là:
A. x k , k  . 
B. x k 2 , k  . 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 44
Đại số và giải tích 11 (CB)   C. x
k , k  .  D. x
k 2 , k  .  2 2
Câu 37. Xét các đồ thị hàm số sau: y y x x      O   O  3    2 2 2 2 4 (C (C 1) 2) y y   x x 3     O 3 O     2 2 2 2   (C3) (C4)
Hỏi trong các đồ thị hàm số trên, đồ thị nào biểu diễn hàm số y  tan x ? A. C . B. C . C. C . D. C . 4  3  2  1 
Câu 38. Phương trình cos x  0 có các nghiệm là:
A. x k , k  . 
B. x k 2 , k  .    C. x
k , k  .  D. x
k 2 , k  .  2 2
Câu 39. Phương trình cos x  1  có các nghiệm là:
A. x k , k  . 
B. x k 2 , k  .  
C. x    k2 , k  .  D. x
k 2 , k  .  2
Câu 40. Điều kiện của tham số m để phương trình sin x m có nghiệm là:
A. m  1 hoặc m  1. B. 1  m  1.
C. m  1 hoặc m  1. D. 1  m  1.
Câu 41. Điều kiện của tham số m để phương trình sin x m vô nghiệm là:
A. m  1 hoặc m  1. B. 1  m  1.
C. m  1 hoặc m  1. D. 1  m  1.
Câu 42. Điều kiện của các hệ số , a ,
b c để phương trình a sin x b cos x c có nghiệm là: A. 2 2 2
a b c . B. 2 2 2
a b c . C. 2 2 2
a b c . D. 2 2 2
a b c .
Câu 43. Điều kiện của các hệ số , a ,
b c để phương trình a sin x b cos x c vô nghiệm là: A. 2 2 2
a b c . B. 2 2 2
a b c . C. 2 2 2
a b c . D. 2 2 2
a b c .
Câu 44. Phương trình 3 sin x  cos x  1 tương đương với phương trình:    1    1       1 A. sin x   .   B. sin  x  .   C. sin x   1.   D. cos x   .    6  2  6  2  6   3  2
Câu 45. Phương trình nào sau đây có nghiệm?
A. 2 sin x  3cos x  1. B. sin 2 x  2.
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 45
Đại số và giải tích 11 (CB)
C. sin x  3cos x  4 D. cos x  3  0. MỨC ĐỘ 2. THÔNG HIỂU  x 1 
Câu 46. Tập xác định của hàm số y  sin x 1  cos   là:  x  A. D  .  B. D   \   0 .
C. D  1;.
D. D   \ k , k    .
Câu 47. Hàm số y  tan x  cot x xác định khi và chỉ khi: A. sin x  0. B. cos x  0. C. sin 2 x  0. D. cos 2x  0. 1
Câu 48. Hàm số y  2  2sin x
xác định khi và chỉ khi: tan x 1 cos x  0 A. 2  2sin x  0. B. tan x  1. C. cos x  0. D.  . tan x  1 
Câu 49. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  2 . Giá trị của M m là: A. 4. B. 0. C. 5. D. 1.   
Câu 50. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác sin 3x   1   trên đường tròn  4  lượng giác là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.   
Câu 51. Số nghiệm của phương trình cos  4x  0  
trên nữa khoảng 0;2  là:  6  A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 52. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y  5  cos 3x . Khi đó, 2
M M  2 bằng: A. 40. B. 18. C. 28. D. 38.
Câu 53. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  5  cos 3x . Khi đó, 2
m m  1 bằng: A. 21. B. 43. C. 31. D. 41.   
Câu 54. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình tan x   3   bằng:  6  2  3  A.  . B.  . C.  . D.  . 3 3 4 4
Câu 55. Gọi x , x lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 0 1 2
2sin x  3cos x  3  0 . Giá trị của x x là: 0 1    A.  . B. 0. C. . D.  . 6 6 3    sin x   3    6 
Câu 56. Hàm số y  có tập xác định là: 1  cos x         sin  x   3  0   sin  x   3  0   A.   6  . B.   6  . 1   cos x  0   1 cos x  0     C. sin x   3.    D. cos x  1.  6 
Câu 57. Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì T  3 ?  x   2x  A. y  2cos 2 . x B. y  sin .   C. y  sin .   D. y  2 sin 3 . x  3   3 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 46
Đại số và giải tích 11 (CB)   
Câu 58. Hàm số y  sin 2x   3  
đồng biến trên khoảng nào sau đây?  4           3   3  A. 0; .   B. ; .   C. ; .   D. ; .    4   4 2   2 4   4   Câu 59. Nghiệm x
k 2 , k   là của phương trình: 3       A. sin 2x   0.   B. 2 cos x   3.    4   6     C. 2sin x  1  0.   D. cos    4 
Giáo viên Đặng Thị Oanh - 0949264768 Page 47