Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Dương Minh Hùng

Tài liệu gồm 89 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Dương Minh Hùng, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

50 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

89 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 1
§➊. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
. Hàm số sin:
➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi
số thực x với số thực sinx
sin: R R
x sinx được gọi là hàm số sin,
Kí hiệu y = sinx
➋. Tính chất:
Tập xác định .
Tập giá trị: ,có nghĩa là .
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi
khoảng , .
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).
Hình 1.
. Một số giá trị đặc biệt:
①.
Hàm số sin
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 2
. Hàm số côsin:
➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng
mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R R
x cosx được gọi là hàm số
cos,
Kí hiệu y = cosx
➋. Tính chất:
Tập xác định .
Tập giá trị: ,có nghĩa là .
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng
, .
là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).
Hình 2.
Ta có nên đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo vectơ
.Một số giá trị đặc biệt:
②.
Hàm số cos
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 3
. Hàm số tan:
➊. Định nghĩa:
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức:
y = (cosx
0)
Kí hiệu là y = tanx.
➋. Tính chất:
Tập xác định:
Tâp giá trị là R.
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi
đường thẳng làm đường tiệm cận. (Hình 3)
Hình 3.
. Một số giá trị đặc biệt :
.
.
③. Hàm số tan
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 4
. Hàm số tan:
➊. Định nghĩa:
Hàm số cot là hàm số được xác định bởi công
thức:
y = (sinx
0)
Kí hiệu là y = cotx.
➋. Tính chất:
Tập xác định: .
Tập giá trị: .
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng .
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi
đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 4).
Hình 4
. Một số giá trị đặc biệt :
.
.
.
④. Hàm số cot
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 5
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
tan( )
6
y x
Lời giải
Điều kiện:
2
cos( ) 0
6 6 2 3
x x k x k
TXĐ:
2
\ ,
3
D k k
.
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số
2
2
cot ( 3 )
3
y x
Lời giải
Điều kiện:
2 2 2
sin( 3 ) 0 3
3 3 9 3
x x k x k
TXĐ:
2
\ ,
9 3
D k k
.
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số
tan 2
cot(3 )
sin 1 6
x
y x
x
Lời giải
Điều kiện:
sin 1
2
2
sin(3 ) 0
6
18 3
x
x k
k
x
x
Vậy TXĐ:
\ 2 , ;
2 18 3
k
D k k
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số
tan5
sin 4 cos3
x
y
x x
Lời giải
Phân dạng bài tập
Ⓑ
.Ghi nhớ
xác định
xác định .
xác định xác định.
xác định xác định.
xác định xác định và .
xác định xác định và .
➊.Dạng 1
Tìm tập xác định
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 6
Ta có:
sin 4 cos3 sin 4 sin 3
2
x x x x
7
2cos sin
2 4 2 4
x x
Điều kiện:
cos5 0
10 5
cos 0 2
2 4 2
2
7
sin 0
14 7
2 4
x k
x
x
x k
k
x
x
Vậy TXĐ:
2
\ ; 2 ,
10 5 2 14 7
k k
D k
.
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:
2
cos 1y x
.
Lời giải
Ta biến đổi:
2
1 cos2 1 1
cos 1 1 cos2 .
2 2 2
x
y x x
Do đó
f
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
2
.
Câu 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:
2 2
sin .cos
5 5
y x x
.
Lời giải
.Ghi nhớ
Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số là một hàm số tuần hoàn với chu kì
Nếu hàm số chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là
thì hàm số có chu kì là bội chung nhỏ nhất của .
Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì hàm số (c là hằng số)
cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T.
➋.Dạng 2
Tuần hoàn, chu kỳ
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 7
Ta biến đổi:
2 2 1 4
sin .cos sin
5 5 2 5
y x x x
.
Do đó
f
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2 5
4
2
5
.
Câu 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:
cos cos 3.
y x x
Lời giải
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn
có số thực dương
thỏa :
cos cos 3 cos cos 3
f x f x x x x x
cos 1 2
0 cos cos 3 2 3
cos 3 1 3 2
n
m
x
n
m
vô lí, do
,
m
m n
n
là số hữu tỉ.
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Câu 4: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó:
1
sin
y
x
.
Lời giải
Tập xác định:
D \ ,k k
.
Ta xét đẳng thức
1 1
sin sin .
sin sin
f x f x x x
x x
Chọn
2
x
thì
sin 1
x
và do đó
sin 1 2 , .
2 2 2
k k
Số dương nhỏ nhất trong các số T là
2
.
Rõ ràng
D, 2 D, 2 D
x x k x k
và
1 1
2
sin 2 sin
f x k f x
x k x
Vậy
f
là hàm số tần hoàn với chu kì
2
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 8
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
{.
9
sin 2
2
y f x x
|.
tan coty f x x x
Lời giải
{.
Tập xác định
D
, là một tập đối xứng. Do đó
x D
thì
x D
.
Ta có
9
sin 2 sin 2 4 sin 2 cos 2
2 2 2
f x x x x x
.
Có
cos 2 cos2f x x x f x
.
Vậy hàm số
f x
là hàm số chẵn.
|.
Hàm số có nghĩa
cos 0
2
sin 0
x
x k
x
x l
(với
,k l
).
Tập xác định
\ , ,
2
D k l k l
, là một tập đối xứng. Do đó
x D
thì
x D
Ta có
tan cot tan cot tan cotf x x x x x x x f x
.
Vậy hàm số
f x
là hàm số lẻ.
Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
7
tan 2 .sin5y x x
Lời giải
Hàm số có nghĩa khi
cos2 0x
2
2
x k
,
4 2
k
x k
.
.Ghi nhớ
cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) = = (-sinx)
2
= sin
2
x
. Tìm chu kỳ của hàm số
Bước 1 : Tìm TXĐ của hàm số
Bước 2 : Chứng minh là tập đối xứng, nghĩa là
Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) . Có 3 khả năng:
. Chú ý: Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm số lẻ. y=cosxlà hàm chẵn
➌.Dạng 3
Tính chẵn, lẻ
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 9
Tập xác định
\ ,
4 2
k
D k
, là một tập đối xứng. Do đó
x D
thì
x D
.
Ta có
7 7
tan ( 2 ).sin( 5 ) tan 2 .sin5f x x x x x f x
.
Vậy hàm số
f x
là hàm số chẵn.
. Bài tập minh họa:
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1.
4sin cos 1y x x
2.
2
4 3sin 2y x
Giải
1. Ta có
2sin 2 1y x
.
Do
1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 2 sin 2 1 3x x x
1 3y
.
*
1 sin 2 1 2 2
2 4
y x x k x k
.
*
3 sin 2 1
4
y x x k
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
3
, giá trị nhỏ nhất bằng
1
.
2. Ta có:
2 2
0 sin 1 1 4 3sin 4x x
*
2
1 sin 1 cos 0
2
y x x x k
.
*
2
4 sin 0y x x k
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
4
, giá trị nhỏ nhất bằng
1
.
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau
1
sin
sin
y x
x
trong khoảng
0 x
.Ghi nhớ
; 0 sin
2
x 1 ; A
2
+ B B
Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn thì
Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn thì
➍.Dạng 4
GTLN-GTNN
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 10
Giải
Vì
0 x
nên
0 sin 1x
,do đó
1
sin
sin
x
x
Vậy hàm số đạt giá trị , lớn nhất là
0
tại
sin 1
2
x x
.
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
1 2
sin 2
x
y
x
.
{.
\ ,D k k
.
|.
\ 2 , 2 ,
2
D k k k
.
}.
\ ,
2
D k k
.
~.
\ ,
2
D k k
.
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số
3
cos 1
y
x
{.
\ 2 ,
2
D k k
.
|.
\ 2 ,D k k
.
}.
\ 2 ,D k k
.
~.
\ ,D k k
.
Câu 3: Tập xác định của hàm số
sin 1y x
là
{.
.
|.
|k k
.
}.
2 |
2
k k
.
~.
|
2
k k
.
Câu 4: Tìm tập xác định
D
của hàm số
1
1 sin
y
x
.
{.
\ 2 ,D k k
.
|.
\ 2 ,D k k
.
}.
\ 2 ,
2
D k k
.
~.
\ 2 ,
2
D k k
.
Câu 5: Tập xác định
D
của hàm số
tan 3y x
là
{.
\ ,
3
k
D k
.
|.
\ ,
6 3
k
D k
.
}.
\ ,D k k
.
~.
\ ,
2
D k k
.
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số
tan
sin 1
x
y
x
.
{.
.
|.
\ 2 ,
2
k k
.
}.
\ ,
2
k k
.
~.
\ ,k k
.
Câu 7: Tập xác định của hàm số
tan 2
6
y x
là
{.
\ ,
2
k k
.
|.
\ ,
6 2
k
k
.
Bài tập trắc nghiệm
Ⓒ
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 11
}.
\ ,
6
k k
. ~.
\ ,
6 2
k
k
.
Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số
1 cos cot
y x x
.
{.
\ ,k k
. |.
;1

.
}.
\ ,
2
k k
.` ~.
1;1 \ 0
.
Câu 9: Hàm số
sin 1
3 sin
x
y
x
có tập xác định là
{.
\ 2 |
2
k k
|.
.
}.
. ~.
2 |
2
k k
.
Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số
1 cos
1 sin
x
y
x
.
{.
\ |k k
. |.
\ 2 |
2
k k
.
}.
. ~.
\ 2 |k k
.
Câu 11: Tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
là
{.
\ ,
2
k k
. |.
\ ,
2
k k
.
}.
\ ,k k
. ~.
\ 2 ,k k
.
Câu 12: Tập xác định của hàm số
1
1 cos
f x
x
là
{.
\ 2 1
2
k k
. |.
\ 2 1k k
.
}.
\ k k
. ~.
\ 2k k
.
Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số
1
sin
2
y
x
{.
\ (2 1) ,D R k k
|.
\ ,
2
k
D R k
}.
\ (2 1) ,
2
D R k k
~.
\ ,D R k k
Câu 14: Hàm số
tan 2
1 tan
x
y
x
có tập xác định là
{.
. |.
\ |
4 2
k k
.
}.
\ |
2
k k
. ~.
\ , |
4 2 2
k k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 12
Câu 15: Tập xác định của hàm số
3 cot
2
cos 1
x
y
x
là:
{.
\ .
k k
|.
\ 2 .
k k
}.
\ 2 .
k k
~.
\ 2 .
2
k k
Câu 16: Cho các hàm số
1 sin3
y x
.
2
tan 3
2
cos 2
x
y
x
.
2
2cos 1
3
sin 1
x
y
x
.
4 1 sin
y x
.
2cos 3
5
sin 1
x
y
x
.
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là
{.
4
. |.
1
. }.
3
. ~.
2
Câu 17: Tập xác định của hàm số
cos 2
1 sin
x
y
x
là
{.
\ |k k
. |.
\ |
2
k k
.
}.
\ 2 |k k
. ~.
\ 2 |
2
k k
.
Câu 18: Tập xác định của hàm số
1
sinx 1
y
là
{.
\ 2 ,
2
k k
. |.
\ 2 ,
2
k k
.
}.
\ ,
2
k k
. ~.
.
Câu 19: Tập xác định của hàm số
inx 1
i
s
nx
s
2
y
là
{.
2;
|.
2;
}.
\ 2
. ~.
.
Câu 20: Hàm số
2sin 1
1 cos
x
y
x
xác định khi
{.
2
2
x k
. |.
x k
. }.
2
x k
. ~.
2
x k
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
{. Các hàm số
sin , cos , cot
y x y x y x
đều là hàm số chẵn.
|. Các hàm số
sin , cot , tan
y x y x y x
đều là hàm số lẻ.
}. Các hàm số
sin , cot , tan
y x y x y x
đều là hàm số chẵn.
~. Các hàm số
sin , cos , cot
y x y x y x
đều là hàm số lẻ.
Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
{. . |. . }. . ~. .
Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
{.
tan
y x
. |.
cos
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cot
y x
.
Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
{.
cos
y x
. |.
tan
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cot
y x
.
cot 4
y x
tan 6
y x
sin 2
y x
cos
y x
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 13
Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
{.
1 sin
y x
. |.
.tan
y x x
. }.
5
sin
y x
. ~.
2
cos .sin
y x x
.
Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
{.
2sin
y x
. |.
2sin 2
y x
. }.
sin cos
y x x
. ~.
2cos
y x
Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên
?
{.
sin
2
y x
. |.
tan
y x
. }.
sin
y x
. ~.
sin
6
y x
.
Câu 28: Cho hàm số
1
cos
y
x
. Phát biểu nào sau đây đúng?
{. Hàm số có tập xác định là
\ 0
.
|. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
}. Hàm số đó là hàm số lẻ trên
\ ,
2
D k k
.
~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên
.
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
{.
2
cos
y x x
. |.
sin 2
y x
. }.
2
sin
y x
. ~.
cos 2
y x
.
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?
{.
sin tan
4 4
y x x
. |.
1
tan
sin
y x
x
.
}.
4 4
sin cos
y x x
. ~.
cos
y x
.
Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.
{.
cot
y x
. |.
sin
y x
. }.
tan
y x
. ~.
cos
y x
.
Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?
{.
cos
3
y x
. |.
sin
y x
. }.
1 sin
y x
. ~.
sin cos
y x x
.
Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
{.
tan
y x
. |.
sin
y x
. }.
cos
y x
. ~.
cot
y x
.
Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T
?
{.
sin
y x
. |.
2sin
y x
. }.
sin 2
y x
. ~.
2 sin
y x
.
Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì
2
T
?
{.
tan
3
x
y
. |.
tan
2
x
y
. }.
tan 3
y x
. ~.
tan 2
y x
.
Câu 36: Chọn khẳng định sai?
{. Hàm số
tan sin
y x x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2 .
|. Hàm số
os
c
y x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2 .
}. Hàm số
cot tan
y x x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
.
~. Hàm số
sin
y x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
.
Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
cot 3
6
y x
là
{.
. |.
2
3
. }.
3
. ~.
2
.
Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng?
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 14
{. Hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
.
|. Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
}. Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
~. Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Câu 39: Trong bốn hàm số:
1 cos2 ; 2 sin ; 3 tan2 ; 4 cot 4
y x y x y x y x
có mấy hàm số
tuần hoàn với chu kỳ
?
{.
3
. |.
2
. }.
0
. ~.
1
.
Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
{.
cos
y x
tuần hoàn với chu kỳ
. |.
cos
y x
là hàm nghịch biến trên
0;
.
}.
cos
y x
là hàm chẵn. ~.
cos
y x
có tập xác định
.
Câu 41: Hàm số
2 2
1 1
1 tan 1 cot 2
y
x x
có chu kì là:
{.
2
T
. |.
2
T
. }.
T
. ~.
4
T
.
Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số
cot
y x
là
{.
. |.
2
. }.
k
, (
k
). ~.
2
k
, (
k
).
Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
tan
y x
là
{.
2
|.
}.
2
~.
3
Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
cos
y x
{.
2
T
. |. T
. }.
2
T
. ~.
2
T
.
Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3cos2 5
y x
lần lượt là
{.
–8
và
–2
. |.
2
và
8
. }.
–5
và
3
. ~.
–5
và
2
.
Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
7 2sin
4
y x
lần lượt là
{.
4
và
7
. |.
5
và
9
. }.
2
và
7
. ~.
2
và
2
.
Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số
2 cos 3 1
y x
.
{.
3;1
. |.
3; 1
. }.
1;3
. ~.
1;3
.
Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3cos 4
y x
là
{.
7
. |.
5
. }.
8
. ~.
6
.
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3sin
4
y x
là:
{. 0. |. -3. }. 3. ~. -1.
Câu 50: Hàm số
sin
y x
có tập giá trị là:
{.
. |.
1;1
. }.
;
. ~.
0;
Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số
2sin 1
y x
là
{.
1
. |.
1
. }.
1
2
. ~.
3
.
Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
4 sin 3 1
y x
lần lượt là
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 15
{.
2
và
2
.
|.
4 2
và
8
.
}.
2
và
4
.
~.
4 2 1
và
7
.
Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 cosy x
là
{.
2
và
1
.
|.
2
và
0
.
}.
2
và
1
.
~.
3
và
1
.
Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị để
hàm số nhận giá trị âm.
{.
.
|.
.
}.
.
~.
.
Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
3 2cosy x
lần lượt là
{.
max min
5, 1y y
.
|.
max min
1, 1y y
.
}.
max min
3, 1y y
.
~.
max min
5, 1y y
.
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số
2cos siny x x
.
{.
11
2
M
.
|.
5M
.
}.
3M
.
~.
6M
.
Câu 57: Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 cos 2 1y x
trên đoạn
3
;
6 8
. khi đó
.M m
bằng
{.
1
.
|.
2 2 2.
}.
2 2.
~.
2 2 2.
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
4 sin 3 1y x
lần lượt là
{.
4 2 1
và
7
.
|.
4 2
và
8
.
}.
2
và
4
.
~.
2
và
2
.
Câu 59: Tập giá trị hàm số
5sin sco12y x x
là
{.
12;5
.
|.
13;13
.
}.
17;17
.
~.
13;13
.
Câu 60: Hàm số
3
4 11cosy x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương?
{.
15.
.
|.
14
.
}.
13
.
~.
23
.
Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số
5sin 2 12cos2y x x
là
{.
10
.
|.
12
.
}.
17
.
~.
13
.
Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
{.
coty x
.
|.
sin 2y x
.
}.
siny x
.
~.
cos2y x
.
Câu 63: Cho đồ thị với
;x
. Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?
sin
y x
3 5
;
2 2
x
;0 ; ;2
0;
;2
3
;2
2
x
y
2
-5
2
-3
2
-
2
5
2
3
2
2
-3
-2
-
3
2
O
1
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 16
{.
cos
y x
. |.
cos
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cos
y x
.
Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số
sin
y x
, hãy tìm số nghiệm của phương trình:
1
sin
2018
x
trên đoạn
5 5
;
2 2
.
{.
4
. |.
6
. }.
10
. ~.
5
.
Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?
{.
2
cos
3
x
y
. |.
2
sin
3
x
y
. }.
3
cos
2
x
y
~.
3
sin
2
x
y
.
Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
{.
3
sin .
2
x
y |.
2
sin .
3
x
y }.
3
cos .
2
x
y ~.
2
cos .
3
x
y
Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
{. Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
|. Hàm số
sin
y x
nghịch biến trên khoảng
;
2
.
}. Hàm số
cot
y x
đồng biến trên khoảng
;
2
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 17
~. Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Câu 68: Hàm số
tan
y x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
{.
0;
. |.
3
;
2 2
. }.
3
;
2 2
. ~.
2 ;
.
Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
{. Hàm số
y cot
x
đồng biến trên khoảng
0;
.
|. Hàm số
y sin
x
đồng biến trên khoảng
3 5
;
2 2
.
}. Hàm số
y sin
x
nghịch biến trên khoảng
;2
.
~. Hàm số
y cos
x
đồng biến trên khoảng
;
2 2
.
Câu 70: Cho hàm số
sin
y x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
{. Hàm số đã cho là hàm lẻ. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là
1;1
.
}. Hàm số đã cho đồng biến trên
0;2
. ~. Hàm số đã cho có tập xác định
.
Câu 71: Cho ba hàm số
sin ; cos ; tan
y x y x y x
. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên
3
0;
2
?
{.
1
. |.
3
. }.
0
. ~.
2
.
Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
1 2
sin 2
x
y
x
.
{.
\ ,D k k
. |.
\ 2 , 2 ,
2
D k k k
.
}.
\ ,
2
D k k
. ~.
\ ,
2
D k k
.
Lời giải
Hàm số xác định
sin 2 0 .
2
x x k
Vậy
\ ,
2
D k k
.
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số
3
cos 1
y
x
{.
\ 2 ,
2
D k k
. |.
\ 2 ,D k k
.
}.
\ 2 ,D k k
. ~.
\ ,D k k
.
Lời giải
Điều kiện
cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k
Suy ra tập xác định
\ 2 ,D k k
.
Câu 3: Tập xác định của hàm số
sin 1
y x
là
{.
. |.
|k k
. }.
2 |
2
k k
. ~.
|
2
k k
.
Lời giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 18
Điều kiện:
sin 1 0 sin 1 sin 1
x x x
2 ,
2
x k k
.
Tập xác định
2 |
2
D k k
Câu 4: Tìm tập xác định
D
của hàm số
1
1 sin
y
x
.
{.
\ 2 ,D k k
. |.
\ 2 ,D k k
.
}.
\ 2 ,
2
D k k
. ~.
\ 2 ,
2
D k k
.
Lời giải
1
1 sin
y
x
xác định khi
1 sin 0.
x
Có
1 sin 1
x
, x
1 sin 0
x
x
.
Do đó
1 sin 0
x
1 sin 0
x
sin 1
x
2
2
x k
, k
.
Vậy
\ 2 ,
2
D k k
.
Câu 5: Tập xác định
D
của hàm số
tan 3
y x
là
{.
\ ,
3
k
D k
. |.
\ ,
6 3
k
D k
.
}.
\ ,D k k
. ~.
\ ,
2
D k k
.
Lời giải
Điều kiện:
cos3 0 3
2 6 3
k
x x k x
k
.
Tập xác định:
\ , .
6 3
k
D k
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số
tan
sin 1
x
y
x
.
{.
.
|.
\ 2 ,
2
k k
.
}.
\ ,
2
k k
.
~.
\ ,k k
.
Lời giải
Hàm số xác định
cos 0
sin 1
x
x
2
2
2
x k
k
x k
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 19
Vậy tập xác định của hàm số là:
\ ,
2
D k k
.
Câu 7: Tập xác định của hàm số
tan 2
6
y x
là
{.
\ ,
2
k k
.
|.
\ ,
6 2
k
k
.
}.
\ ,
6
k k
.
~.
\ ,
6 2
k
k
.
Lời giải
Điều kiện:
cos 2 0 2 ,
6 6 2 6 2
k
x x k x k
.
Do đó tập xác định
\ ,
6 2
k
D k
.
Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số
1 cos cot
y x x
.
{.
\ ,k k
.
|.
;1

.
}.
\ ,
2
k k
.
~.
1;1 \ 0
.
Lời giải
Hàm số xác định
1 cos 0 cos 1
,
sin 0
x x
x k k
x x k
.
Tập xác định của hàm số
\ ,D k k
.
Câu 9: Hàm số
sin 1
3 sin
x
y
x
có tập xác định là
{.
\ 2 |
2
k k
|.
.
}.
.
~.
2 |
2
k k
.
Lời giải
+) Ta có:
sin 1 0,x x
và
3 sin 2
x
>
0, x
+) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi
sin 1 0 2 ,
2
x x k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 20
Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số
1 cos
1 sin
x
y
x
.
{.
\ |k k
.
|.
\ 2 |
2
k k
.
}.
.
~.
\ 2 |k k
.
Lời giải
Hàm số xác định
1 cos
0
1 sin
1 sin 0
x
x
x
sin 1 2
2
x x k k
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
\ 2 |
2
k k
.
Câu 11: Tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
là
{.
\ ,
2
k k
. |.
\ ,
2
k k
.
}.
\ ,k k
. ~.
\ 2 ,k k
.
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số là
sin 0
cos 1
x
x
,
2
x k
k l
x l
,x k k
.
Vậy, tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
là
\ ,k k
.
Câu 12: Tập xác định của hàm số
1
1 cos
f x
x
là
{.
\ 2 1
2
k k
. |.
\ 2 1k k
.
}.
\ k k
. ~.
\ 2k k
.
Lời giải
Điều kiện:
1 cos 0 cos 1 2 ,x x x k k
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
\ 2D k k
.
Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số
1
sin
2
y
x
{.
\ (2 1) ,D R k k
|.
\ ,
2
k
D R k
}.
\ (2 1) ,
2
D R k k
~.
\ ,D R k k
Lời giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 21
Hàm số
1
sin
2
y
x
xác định khi
sin 0 (1 2 ) , .
2 2 2 2
x x k x k x k k
Câu 14: Hàm số
tan 2
1 tan
x
y
x
có tập xác định là
{.
. |.
\ |
4 2
k k
.
}.
\ |
2
k k
. ~.
\ , |
4 2 2
k k k
.
Lời giải
Hàm số xác định
4 2
cos 2 0
4 2
cos 0
2
tan 1
2
4
x k
x
x k
x x k
x k
x
x k
.
Câu 15: Tập xác định của hàm số
3 cot
2
cos 1
x
y
x
là:
{.
\ .
k k
|.
\ 2 .
k k
}.
\ 2 .
k k
~.
\ 2 .
2
k k
Lời giải
Điều kiện:
2
sin 0
2 2
2
cos 1 2
x x
x k
k
x k
x k
x x k
,
k
.
Vậy
\ .
D k k
Câu 16: Cho các hàm số
1 sin3
y x
.
2
tan 3
2
cos 2
x
y
x
.
2
2cos 1
3
sin 1
x
y
x
.
4 1 sin
y x
.
2cos 3
5
sin 1
x
y
x
.
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là
{.
4
. |.
1
. }.
3
. ~.
2
Lời giải
1 sin3y x
có
D
.
2
tan 3
2
cos 2
x
y
x
có điều kiện là
2
cos 0
2
cos 2 0
x
x k
x
,
k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 22
2
2cos 1
3
sin 1
x
y
x
có
D
.
4 1 sin
y x
có điều kiện là
sin 1
x
luôn đúng
x
.
2cos 3
5
sin 1
x
y
x
có điều kiện là
2cos 3
0
2
sin 1
2
sin 1 0
x
x k
x
x
,
k
.
Vậy các hàm số
1 , 3 , 4
có tập xác định là
.
Câu 17: Tập xác định của hàm số
cos 2
1 sin
x
y
x
là
{.
\ |k k
. |.
\ |
2
k k
.
}.
\ 2 |k k
. ~.
\ 2 |
2
k k
.
Lời giải
Điều kiện:
1 sin 0 sin 1 2
2
x x x k
k
.
Vậy tập xác định của hàm số là
\ 2 |
2
D k k
.
Câu 18: Tập xác định của hàm số
1
sinx 1
y
là
{.
\ 2 ,
2
k k
. |.
\ 2 ,
2
k k
.
}.
\ ,
2
k k
. ~.
.
Lời giải
Hàm số
1
sinx 1
y
xác định khi:
sinx 1 0 sinx 1 0 2
2
x k
TXĐ:
\ 2 ,
2
D k k
.
Câu 19: Tập xác định của hàm số
inx 1
i
s
nx
s
2
y
là
{.
2;
|.
2;
}.
\ 2
. ~.
.
Lời giải
Ta có
i1
.
s nx 1, x
Do đó
inx 2 0,s x
. Vậy tập xác định
D
Câu 20: Hàm số
2sin 1
1 cos
x
y
x
xác định khi
{.
2
2
x k
. |.
x k
. }.
2
x k
. ~.
2
x k
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi
1 cos 0
x
cos 1
x
2
x k
với
k
.
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 23
{. Các hàm số
sin , cos , cot
y x y x y x
đều là hàm số chẵn.
|. Các hàm số
sin , cot , tan
y x y x y x
đều là hàm số lẻ.
}. Các hàm số
sin , cot , tan
y x y x y x
đều là hàm số chẵn.
~. Các hàm số
sin , cos , cot
y x y x y x
đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Các hàm số
sin , cot , tan
y x y x y x
đều là hàm số lẻ.
Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
{. . |. . }. . ~. .
Lời giải
Hàm số có tập xác định .
Ta có .
Và .
Vậy hàm số là hàm số chẵn.
Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
{.
tan
y x
. |.
cos
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cot
y x
.
Lời giải
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Nên hàm số
cos
y x
có đồ thị đối
xứng qua trục tung.
Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
{.
cos
y x
. |.
tan
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cot
y x
.
Lời giải
Hàm số
cos
y x
có tập xác định là
và
cos cosx x x
cos
y x
là hàm số
chẵn.
Hàm số
sin
y x
,
tan
y x
,
cot
y x
là hàm số lẻ.
Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
{.
1 sin
y x
. |.
.tan
y x x
. }.
5
sin
y x
. ~.
2
cos .sin
y x x
.
Lời giải
Xét hàm số
5
sin
y f x x
có tập xác định
D
.
Ta có
5 5
sin sin
x x
f x x x f x
Vậy hàm số
5
sin
y x
là hàm số lẻ.
Xét hàm số
1 sin
y f x x
có tập xác định
D
.
Ta có
1 sin 1 sin
x x
f x x x
,
f x f x
f x f x
.
Vậy hàm số
1 sin
y x
là hàm số không chẵn, không lẻ.
cot 4
y x
tan 6
y x
sin 2
y x
cos
y x
cos
y x
D
x D x D
cos cos
y x x x y x
cos
y x
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 24
Xét hàm số
.tan
y f x x x
có tập xác định
\ ,
2
D k k
.
Ta có
.tan .tan
x D x D
f x x x x x f x
.
Vậy hàm số
.tan
y x x
là hàm số chẵn.
Xét hàm số
2
cos .sin
y f x x x
có tập xác định
D
.
Ta có
2 2
cos sin cos sin
x x
f x x x x x f x
Vậy hàm số
2
cos .sin
y x x
là hàm số chẵn.
Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
{.
2sin
y x
. |.
2sin2
y x
. }.
sin cos
y x x
. ~.
2cos
y x
Lời giải
Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là
D
là tập đối xứng.
Đáp án {.
2sin
f x x
,
2sin 2sin
f x x x
f x f x
. Vậy
2sin
y x
là hàm số lẻ.
- Đáp án
|.
2sin 2
f x x
,
2sin 2 2sin 2
f x x x
f x f x
. Vậy
2sin2
y x
là hàm số lẻ.
- Đáp án
}.
sin cos
f x x x
,
sin cos sin cos
f x x x x x
f x f x
. Vậy
sin cos
y x x
là hàm số không chẵn không lẻ.
- Đáp án
~.
2cos
f x x
,
2cos 2cos
f x x x
f x f x
. Vậy
2cos
y x
là hàm số chẵn.
Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên
?
{.
sin
2
y x
. |.
tan
y x
. }.
sin
y x
. ~.
sin
6
y x
.
Lời giải
sin cos
2
y x x
là hàm số chẵn trên
.
Câu 28: Cho hàm số
1
cos
y
x
. Phát biểu nào sau đây đúng?
{. Hàm số có tập xác định là
\ 0
.
|. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
}. Hàm số đó là hàm số lẻ trên
\ ,
2
D k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 25
~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên
.
Lời giải
Hàm số
1
cos
y
x
là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng.
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
{.
2
cos
y x x
. |.
sin 2
y x
. }.
2
sin
y x
. ~.
cos 2
y x
.
Lời giải
Hàm số
sin 2
y x
là hàm số lẻ vì:
Hàm số có tập xác định là
nên x x
và
sin 2 sin 2
y x x x y x
.
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?
{.
sin tan
4 4
y x x
. |.
1
tan
sin
y x
x
.
}.
4 4
sin cos
y x x
. ~.
cos
y x
.
Lời giải
Ta có
Xét hàm số , tập xác định
Rõ ràng không là tập đối xứng, chẳng hạn nhưng .
Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.
{.
cot
y x
. |.
sin
y x
. }.
tan
y x
. ~.
cos
y x
.
Lời giải
Hàm số
cos
y x
là hàm số chẵn.
Hàm số
tan ; cot ; sin
y x y x y x
là hàm số lẻ.
Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?
{.
cos
3
y x
. |.
sin
y x
. }.
1 sin
y x
. ~.
sin cos
y x x
.
Lời giải
TXĐ:
!
x
!
x
!
Và
y(x) sin x
sin x sin x y x
Vậy hàm số trên là hàm số chẵn
Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
{.
tan
y x
. |.
sin
y x
. }.
cos
y x
. ~.
cot
y x
.
Lời giải
Hàm số
tan , sin , cot
y x y x y x
là các hàm số lẻ.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 26
Hàm số
cos
y x
là hàm số chẵn
Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T
?
{.
sin
y x
. |.
2sin
y x
. }.
sin 2
y x
. ~.
2 sin
y x
.
Lời giải
Xét hàm số
sin 2
y x
ta có:
sin 2 sin 2 2 sin 2 ,y x x x x y x x
Do đó hàm số
sin 2
y x
tuần hoàn với chu kỳ T
.
Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì
2
T
?
{.
tan
3
x
y
. |.
tan
2
x
y
. }.
tan 3
y x
. ~.
tan 2
y x
.
Lời giải
Ta có: Hàm số
tan 2
y x
có tập xác định là
\
4 2
D k
.
a)
x D
ta có
2
x D
b)
tan 2 tan 2 tan 2
2 2
y x x x x
.
Giả sử có số
0
2
T
thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho:
y x T y x
Với
0
x
ta có
tan 2 tan 0
2
T T k
0
2
T
1 1
0 1 0
2 2 2 2
k k k T
trái với điều giả sử.
Suy ra
2
T
là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b).
Vậy hàm số
tan 2
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
Câu 36: Chọn khẳng định sai?
{. Hàm số
tan sin
y x x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2 .
|. Hàm số
os
c
y x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
2 .
}. Hàm số
cot tan
y x x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
.
~. Hàm số
sin
y x
là hàm số tuần hoàn với chu kì
.
Lời giải
Hàm số
sin
y x
và
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2 .
Hàm số
tan
y x
và
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Nên khẳng định sai là
.
D
Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
cot 3
6
y x
là
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 27
{.
. |.
2
3
. }.
3
. ~.
2
.
Lời giải
Hàm số
cot 3
6
y x
có chu kỳ tuần hoàn là
3
.
Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng?
{. Hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
.
|. Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
}. Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
~. Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Lời giải
Hàm số
sin
y x
và
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
. Hàm số
tan
y x
và
cot
y x
tuần
hoàn với chu kì
.
Câu 39: Trong bốn hàm số:
1 cos2 ; 2 sin ; 3 tan2 ; 4 cot4
y x y x y x y x
có mấy hàm số
tuần hoàn với chu kỳ
?
{.
3
. |.
2
. }.
0
. ~.
1
.
Lời giải
Hàm số
cos2
y x
tuần hoàn với chu kỳ
.
Hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kỳ
2
.
Hàm số
tan 2
y x
tuần hoàn với chu kỳ
2
.
Hàm số
cot 4
y x
tuần hoàn với chu kỳ
4
.
Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
{.
cos
y x
tuần hoàn với chu kỳ
. |.
cos
y x
là hàm nghịch biến trên
0;
.
}.
cos
y x
là hàm chẵn. ~.
cos
y x
có tập xác định
.
Lời giải
Vì hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kỳ
2
.
Câu 41: Hàm số
2 2
1 1
1 tan 1 cot 2
y
x x
có chu kì là:
{.
2
T
. |.
2
T
. }.
T
. ~.
4
T
.
Lời giải
Ta có:
2 2
2 2
1 1 1 cos2 1 cos4
cos sin 2
1 tan 1 cot 2 2 2
x x
y x x
x x
1 1
cos4 cos2 1
2 2
x x
Do hàm số
1
cos4
y x
có chu kì
1
2
4 2
T
, hàm số
2
cos 2
y x
có chu kì
2
2
2
T
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 28
Vậy hàm số đã cho có chu kì
T
Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số
cot
y x
là
{.
. |.
2
. }.
k
, (
k
). ~.
2
k
, (
k
).
Lời giải
Dựa vào sách giáo khoa,
T
là chu kì tuần hoàn của hàm số
cot
y x
.
Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
tan
y x
là
{.
2
|.
}.
2
~.
3
Lời giải
Theo tính chất của hàm số
tan .
y x
Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số
cos
y x
{.
2
T
. |. T
. }.
2
T
. ~.
2
T
.
Lời giải
Chọn. ~
Hàm số lượng giác:
cos
y x
có chu kỳ là
2
.
Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3cos2 5
y x
lần lượt là
{.
–8
và
–2
.|.
2
và
8
.}.
–5
và
3
.~.
–5
và
2
.
Lời giải
Ta có
1 cos2 1 8 3cos2 5 2 8 2
x x y
+/
8 cos2 1
2
y x x k
+/
2 cos2 1
y x x k
Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3cos2 5
y x
lần lượt là –8 và –2.
Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
7 2sin
4
y x
lần lượt là
{.
4
và
7
. |.
5
và
9
. }.
2
và
7
. ~.
2
và
2
.
Lời giải
Ta có:
1 sin 1 2 2sin 2 5 7 2sin 9
4 4 4
x x x
Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho lần lượt là
5
và
9
.
Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số
2cos 3 1
y x
.
{.
3;1
. |.
3; 1
. }.
1;3
. ~.
1;3
.
Lời giải
Tập xác định :
D
.
Ta có:
1 cos 3 1 1 2cos 3 1 3
x x
1 3
y
.
Mà hàm số đã cho liên tục trên
D
.
Vậy tập giá trị của hàm số là
1;3
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 29
Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3cos 4
y x
là
{.
7
. |.
5
. }.
8
. ~.
6
.
Lời giải
Do 1 cos 1x x
nên
1 3cos 4 7
x
,
x
.
Nên
max 7
y
đạt được khi
cos 1 2
x x k
k
.
min 1
y
đạt được khi
cos 1 2
x x k
k
.
Suy ra
max min 8
y y
.
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3sin
4
y x
là:
{. 0. |. -3. }. 3. ~. -1.
Lời giải
Ta có:
1 sin 1 3 3sin 3
4 4
x x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
3sin
4
y x
là -3
Câu 50: Hàm số
sin
y x
có tập giá trị là:
{.
. |.
1;1
. }.
;
. ~.
0;
Lời giải
Hàm số
sin
y x
có tập giá trị trong đoạn
1;1
Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số
2sin 1
y x
là
{.
1
. |.
1
. }.
1
2
. ~.
3
.
Lời giải
Vì
sin 1
x
,
x
nên
2sin 1 3
y x
,
x
.
3
y
khi
sin 1
x
2
2
x k
,
k
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
2sin 1
y x
là
3
.
Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
4 sin 3 1
y x
lần lượt là
{.
2
và
2
. |.
4 2
và
8
. }.
2
và
4
. ~.
4 2 1
và
7
.
Lời giải
Đặt sin
x t
1 1
t
. Xét hàm số
4 3 1
y t
có
2
0 1;1
3
y t
t
Do đó
1;1
max 1 7
y y
;
1;1
min 1 4 2 1
y y
.
Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 cos
y x
là
{.
2
và
1
. |.
2
và
0
. }.
2
và
1
. ~.
3
và
1
.
Lời giải
2 2
,0 cos 1 1 cos 0 1 2
x x x y
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 30
Câu 54: Cho hàm số trên đoạn có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị để
hàm số nhận giá trị âm.
{.
.
|.
.
}.
.
~.
.
Lời giải
Trên các khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số
nhận giá trị âm.
Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
3 2cosy x
lần lượt là
{.
max min
5, 1y y
.
|.
max min
1, 1y y
.
}.
max min
3, 1y y
.
~.
max min
5, 1y y
.
Lời giải
Ta có
2 2 2
0 cos 1 2 2cos 0 1 3 2cos 3x x x
.
Vậy
max min
3, 1y y
.
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số
2cos siny x x
.
{.
11
2
M
.
|.
5M
.
}.
3M
.
~.
6M
.
Lời giải
Ta có:
2 1
2cos sin 5 cos sin 5 cos
5 5
y x x x x x
với góc
0;2
thỏa
mãn
2 1
cos ;sin
5 5
.
Do đó:
5y
hay giá trị lớn nhất của hàm số là
5M
khi
cos 1 2 ,x x k k
.
Câu 57: Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 cos 2 1y x
trên đoạn
3
;
6 8
. khi đó
.M m
bằng
{.
1
.
|.
2 2 2.
}.
2 2.
~.
2 2 2.
Lời giải
3 3
; 2 ;
6 8 3 4
x x
2 1 2
cos2 2 2 cos 2 1 1
2 2 2
x x
2
1; 2 . 2 2.
2
M m M m
sin
y x
3 5
;
2 2
x
;0 ; ;2
0;
;2
3
;2
2
;0 ; ;2
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 31
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
4 sin 3 1
y x
lần lượt là
{.
4 2 1
và
7
. |.
4 2
và
8
. }.
2
và
4
. ~.
2
và
2
.
Lời giải
4 sin 3
y f x x
.
Có
1 sin 1
x
2 sin 3 4
x
2 sin 3 2
x
4 2 1 4 sin 3 1 7
x
.
Có
4 sin 3 1 4 2 1 2
2
x x k
;
4 sin 3 1 7 2
2
x x k
.
Vậy
min 4 2 1
x
f x
,
max 7
x
f x
.
Câu 59: Tập giá trị hàm số
5sin
s
c
o
12
y x x
là
{.
12;5
. |.
13;13
. }.
17;17
. ~.
13;13
.
Lời giải
Ta có:
5sin 12 c
5sin 12 c 13.
1
s
o
3
o
s
x x
y x x
os13. sin sin c oc os13csx x x
với
5 12
sin , cos
13 13
Lại có:
1 c 1 13os os
13c 13
x x
Vậy tập giá trị hàm số
5sin
s
c
o
12
y x x
là
13;13
Câu 60: Hàm số
3
4 11cos
y x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương?
{.
15.
. |.
14
. }.
13
. ~.
23
.
Lời giải
Ta có:
3 3 3
1 cos 1 1 cos 1 11 11cos 11 7 4 11cos 15.
x x x x
Suy ra các giá trị nguyên của hàm số
3
4 11cos
y x
là:
7; 6; 5;....;0;1;2;...;15 .
S
Nên có tất cả
23
giá trị nguyên.
Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số
5sin 2 12cos2
y x x
là
{.
10
. |.
12
. }.
17
. ~.
13
.
Lời giải
Cách 1
Ta có:
M
là giá trị lớn nhất của hàm số
5sin2 12cos2
y x x
trên
nếu
0
x
sao
cho
0
y x M
và
M y x
,
x
.
Suy ra phương trình
5sin 2 12 cos 2
x x M
phải có nghiệm.
Phương trình
5sin 2 12 cos 2
x x M
có nghiệm
2 2 2 2
5 12 169 13 13 13
M M
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
5sin 2 12cos2
y x x
bằng
13
.
Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 32
{.
cot
y x
. |.
sin2
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cos2
y x
.
Lời giải
Câu 63: Cho đồ thị với
;
x
. Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?
{.
cos
y x
. |.
cos
y x
. }.
sin
y x
. ~.
cos
y x
.
Lời giải
Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm
0; 1
và
; 1
. Thay các điểm
trên vào các hàm số ở các phương án thì chỉ có phương án
B
thỏa mãn.
Cách 2: Từ hình vẽ ta suy ra hàm số đồng biến trên đoạn
0;
. Trong các phương án chỉ
có hàm số ở phương án
B
thỏa mãn.
Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số
sin
y x
, hãy tìm số nghiệm của phương trình:
1
sin
2018
x
trên đoạn
5 5
;
2 2
.
{.
4
. |.
6
. }.
10
. ~.
5
.
Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy, đường thẳng
1
2018
y
cắt đồ thị hàm số
sin
y x
trên đoạn
5 5
;
2 2
tại
5
điểm phân biệt.
Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?
x
y
2
-5
2
-3
2
-
2
5
2
3
2
2
-3
-2
-
3
2
O
1
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 33
{.
2
cos
3
x
y . |.
2
sin
3
x
y . }.
3
cos
2
x
y ~.
3
sin
2
x
y .
Lời giải
Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm
3
;0
4
Suy ra đó là đồ thị hàm số
2x
y = cos
3
.
Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, ~.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
{.
3
sin .
2
x
y
|.
2
sin .
3
x
y
}.
3
cos .
2
x
y
~.
2
cos .
3
x
y
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục
Oy
nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn,
loại hai phương án A và |.
Ta lại có
3 1
y
mà
2(3 )
cos cos 2 1
3
cho nên ta chọn phương án ~.
Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
{. Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
|. Hàm số
sin
y x
nghịch biến trên khoảng
;
2
.
}. Hàm số
cot
y x
đồng biến trên khoảng
;
2
.
~. Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Lời giải
Hàm số
cot
y x
nghịch biến trên khoảng
;
2
.
Câu 68: Hàm số
tan
y x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
{.
0;
. |.
3
;
2 2
. }.
3
;
2 2
. ~.
2 ;
.
Lời giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 34
Tập xác định:
\ ,
2
D k k
.
Hàm số
tan
y x
đồng biến trên khoảng
;
2 2
k k
nên đồng biến trên khoảng
3
;
2 2
.
Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
{. Hàm số
y cot
x
đồng biến trên khoảng
0;
.
|. Hàm số
y sin
x
đồng biến trên khoảng
3 5
;
2 2
.
}. Hàm số
y sin
x
nghịch biến trên khoảng
;2
.
~. Hàm số
y cos
x
đồng biến trên khoảng
;
2 2
.
Lời giải
Ta có các lưu ý sau:
* Hàm số
y cot
x
nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.
* Hàm số
y sin
x
đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên
mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
.
* Hàm số
y cos
x
đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
và nghịch biến trên mỗi
khoảng
2 ; 2
k k
.
Câu 70: Cho hàm số
sin
y x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
{. Hàm số đã cho là hàm lẻ. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là
1;1
.
}. Hàm số đã cho đồng biến trên
0;2
. ~. Hàm số đã cho có tập xác định
.
Lời giải
• Hàm số
sin
y x
có tập xác định:
D
.
• Hàm số
sin
y x
có tập giá trị:
1;1
T
.
Ta có: x x
. Mà
sin sin
y x x x f x
.
Do đó hàm số
sin
y x
là hàm lẻ.
• Hàm số
sin
y x
đồng biến trên khoảng
;
2 2
và nghịch biến trên
3
;
2 2
.
Vậy đáp án C sai.
Câu 71: Cho ba hàm số
sin ; cos ; tan
y x y x y x
. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên
3
0;
2
?
{.
1
. |.
3
. }.
0
. ~.
2
.
Lời giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 35
Hàm số
siny x
đồng biến trên
0;
2
và nghịch biến trên
3
;
2 2
.
Hàm số
cosy x
nghịch biến trên
0;
2
.
Hàm số tany x gián đoạn tại
2
.
Vậy không có hàm số nào đồng biến trên
3
0;
2
.
§➋
.
PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
➊.Phương trình sinx = a
a
> 1: PT vô nghiệm
a
1: PT có các nghiệm
. x = arcsina + k2, k Z;
. x = – arcsina + k2, k Z
Chú ý:
sinf(x) = sing(x)
( ) ( ) 2
( )
( ) ( ) 2
f x g x k
k Z
f x g x k
sinx = sin
0
0 0
0 0 0
x = β + k360
(k Z)
x = 180 -β + k360
Các trường hợp đặc biệt:
.sinx = 1 x =
2
+ k2
.sinx = –1 x = –
2
+ k2
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 36
➋. Phương trình cosx = a
a
> 1: PT vô nghiệm
a
1: PT có các nghiệm
.x = arccosa + k2, k Z;
.x = – arccosa + k2, k Z
Chú ý:
cosf(x) = cosg(x) f(x) = g(x) + k2, k Z
cosx = cos
0
x =
0
+ k360
0
, k Z
Các trường hợp đặc biệt:
.cosx = 1 x = k2
.cosx = –1 x = + k2
➌. Phương trình tanx = a
ĐK: x
2
+ k (k Z).
PT có nghiệm x = arctana + k, k Z;
Chú ý:
tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k, k Z
tanx = tan
0
x =
0
+ k180
0
, k
Z
Các trường hợp đặc biệt:
.tanx = 1 x =
4
+ k
.
tanx =
–
1
x =
–
4
+ k
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 37
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình
sin 0x
là
{.
2 ,
2
S k k
.
|.
,S k k
.
}.
2 ,S k k
.
~.
2 ,
2
S k k
.
Lời giải
Ta có:
sin 0x x k
,
k
.
Câu 2: Nghiệm của phương trình
1
sinx
2
là
{.
5
;
6 6
x k x k
.
|.
2
6
x k
.
}.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
.
~.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
.
Lời giải
2
1
6
sinx
5
2
2
6
x k
x k
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình
3
sin
4 2
x
là
{.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
➍. Phương trình cotx = a
ĐK: x k (k Z).
PT có nghiệm x = arccota + k, k Z;
Chú ý:
cotf(x) = cotg(x) f(x) = g(x) + k, k Z
cotx = cot
0
x =
0
+ k180
0
, k Z
Các trường hợp đặc biệt:
.cotx = 1 x =
4
+ k
.cotx = –1 x = –
4
+ k
2
Phân dạng bài tập
Ⓑ
①. Dạng 1: Phương trình sinx = a
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 38
|.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
}.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
~.
7
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
Lời giải
Ta có
2
2
3
4 3
12
sin
5
4 2
2 2
4 3 12
x k
x k
x k
x k x k
Câu 4: Nghiệm của phương trình
1
sin .cos
2
x x
là
{.
2
x k
; k
.
|.
4
k
x
; k
.
}.
4
x k
; k
.
~.
x k
; k
.
Lời giải
Ta có:
1
sin .cos sin 2 1 2 2
2 2 4
x x x x k x k
k
.
Câu 5: Nghiệm của phương trình
sin 0
3
x
là
{.
3
x k k
. |.
2
3
x k k
.
}.
2
6
x k k
. ~.
x k k
.
Lời giải
sin 0
3 3 3
x x k x k k
.
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Giải phương trình sau
2cos 2 0
x
.
{.
2 ,
4
x k k
. |.
2 ,
4
x k k
.
}.
2 ,
4
x k k
. ~.
,
4
x k k
.
Lời giải
Ta có:
2
2cos 2 0 cos cos cos 2 ,
2 4 4
x x x x k k
.
②. Dạng 2: Phương trình cosx = a
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 39
Câu 2: Nghiệm của phương trình
3
cos
2
x là
{.
2
2 ;
3
x k k
. |.
5
;
6
x k k
.
}.
;
3
x k k
. ~.
5
2 ;
6
x k k
.
Lời giải
Ta có
3 2 3
cos cos cos 2 ;
2 3 3
x x x k k
.
Câu 3: Phương trình lượng giác
cos3 cos
15
x
có nghiệm là
{.
2
15
x k
. |.
2
45 3
k
x
. }.
2
45 3
k
x
. ~.
2
45 3
k
x
.
Lời giải
Ta có
cos3 cos
15
x
3 2
15
x k
2
45 3
k
x
.
Câu 4: Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x
là
{.
2
3
x k k
. |.
2
6
x k k
.
}.
2
2
3
x k k
. ~.
6
x k k
.
Lời giải
Ta có
1
cos
2
x
2
2
3
2
2
3
x k
k
x k
.
Câu 5: Tập nghiệm của phương trình
2
cos
2
x là
{.
3
2
4
k k
.
|.
5
2 ; 2
4 4
k k k
.
}.
3
2
4
k k
.
~.
2
4
k k
.
Lời giải
2
2
4
cos cos cos ,
2 4
2
4
x k
x x k
x k
.
③. Dạng 3: Phương trình tanx = a
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 40
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình
tan 1 0
x
là
{.
2 ,
4
S k k
. |.
,
4
S k k
.
}.
,
4
S k k
. ~.
2 ,
4
S k k
.
Lời giải
tan 1 0
x
tan 1
x
,
4
x k k
.
Câu 2: Nghiệm của phương trình
tan 2 1 0
x
là:
{.
8
x k
. |.
4
x k
. }.
8 2
x k
. ~.
4 2
x k
.
Lời giải
tan 2 1 0 tan 2 1
x x
2
4 8 2
x k x k
.
Câu 3: Nghiệm của phương trình
tan cot
x x
là
{.
4 2
x k k
. |.
2
4
x k k
.
}.
4
x
. ~.
4
x k k
.
Lời giải
tan cot tan tan
2 2 4 2
x x x x x x k x k
(
k
).
Câu 4: Số nghiệm của phương trình
5
tan 2 3 0
6
x
trên khoảng
0;3
là
{.
3
. |.
8
. }.
4
. ~.
6
.
Lời giải
5 5
tan 2 3 0 2
6 6 3 4 2
k
x x k x k
.
1 11
0;3 0 3 0;1;2;3;4;5
4 2 2 2
k
k
x k k
.
Vậy phương trình có
6
nghiệm
trên khoảng
0;3
.
Câu 5: Tất cả các nghiệm của phương trình
tan cot
x x
là
{.
,
4 4
x k k
. |.
2 ,
4
x k k
.
}.
,
4
x k k
. ~.
,
4 2
x k k
.
Lời giải
Điều kiện
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
x x m m
x
tan cot tan tan
2
x x x x
2 4 2
x x k x k k
thỏa mãn điều
kiện.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 41
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
cot 3
6
x
là
{.
5
6
. |.
3
. }.
6
. ~.
12
.
Lời giải
cot 3 , .
6 6 6 3
x x k x k k
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
3
.
Câu 2: Tất cả các nghiệm của phương trình
o
cot 15 3 0
x
là:
{.
o o
75 360
x k ,
k
. |.
o o
45 360
x k ,
k
.
}.
o o
75 180
x k ,
k
. ~.
o o
45 180
x k ,
k
.
Lời giải
Ta có:
o
cot 15 3 0
x
o
cot 15 3
x
o o o
15 30 180
x k
o o
45 180
x k ,
k
.
Nghiệm của phương trình đã cho là:
o o
45 180
x k ,
k
.
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
cot 1 0
4
x
trên khoảng
;3
là
{.
2
. |.
3
. }.
1
. ~.
4
Lời giải
Ta có:
cot 1 0
4 4 4 2
x x k x k k
.
1 7
3
2 2 2
ycbt k k
, mà
k
nên
0;1;2;3
k
.
Bài tập rèn luyện
Câu 1: Nghiệm của phương trình
1
sinx
2
là
{.
5
;
6 6
x k x k
. |.
2
6
x k
.
}.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
. ~.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
.
Câu 2: Giải phương trình sau
2cos 2 0
x
.
{. 2 ,
4
x k k
. |. 2 ,
4
x k k
.
}. 2 ,
4
x k k
. ~. ,
4
x k k
.
Câu 3: Nghiệm của phương trình
3
cos
2
x là
{.
2
2 ;
3
x k k
. |.
5
;
6
x k k
.
④. Dạng 4: Phương trình cotx = a
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 42
}.
;
3
x k k
. ~.
5
2 ;
6
x k k
.
Câu 4: Phương trình lượng giác
cos3 cos
15
x
có nghiệm là
{.
2
15
x k
. |.
2
45 3
k
x
. }.
2
45 3
k
x
. ~.
2
45 3
k
x
.
Câu 5: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai?
{.
sin 1 2
2
x x k
. |.
sin 0
x x k
.
}.
sin 0 2
x x k
~.
sin 1 2
2
x x k
.
Câu 6: Nghiệm của phương trình
2sin 1 0
x
là
{.
2
2 ,
3
x k k
. |.
2
6
,
7
2
6
x k
k
x k
.
}. 2 ,
6
x k k
. ~.
2
3
,
2
2
3
x k
k
x k
.
Câu 7:
8
2 ,
3
x k k
là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
{.
2cos 1 0
x
. |.
2sin 1 0
x
. }.
2cos 1 0
x
. ~.
2sin 3 0
x
.
Câu 8: Phương trình
tan tan
x
,
thuộc
có nghiệm là
{.
2x k k
. |.
2 ; 2x k x k k
.
}.
x k k
. ~.
2 ; 2x k x k k
.
Câu 9: Nghiệm của phương trình
sin 0
x
là
{.
2 ,
2
x k k
. |.
,
2
x k k
. }.
0
x
. ~.
,x k k
.
Câu 10: Nghiệm của phương trình
1
cos
2
x
là
{.
2
3
x k k
. |.
2
6
x k k
.
}.
2
2
3
x k k
. ~.
6
x k k
.
Câu 11: Tập nghiệm của phương trình
3
sin
4 2
x
là
{.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
|.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
}.
5
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
~.
7
2 , 2 |
12 12
S k k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 43
Câu 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
cot 3
6
x
là
{.
5
6
. |.
3
. }.
6
. ~.
12
.
Câu 13: Phương trình
2
sin 0
3 3
x
có nghiệm là
{.
3
2 2
k
x k
. |.
6
x k k
.
}.
2 3
3 2
k
x k
. ~.
x k k
.
Câu 14: Tập nghiệm của phương trình
2
cos
2
x
là
{.
3
2
4
k k
. |.
5
2 ; 2
4 4
k k k
.
}.
3
2
4
k k
. ~.
2
4
k k
.
Câu 15: Phương trình
cos 0
x
có nghiệm là
{.
2
x k k
. |.
2 x k k
.
}.
2
2
x k k
. ~.
x k k
.
Câu 16: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
{.
tan 99
x
. |.
2
cos 2
2 3
x
.
}.
cot 2018 2017
x
. ~.
3
sin 2
4
x
.
Câu 17: Nghiệm của phương trình
1
sin .cos
2
x x
là
{.
2
x k
; k
. |.
4
k
x
; k
.
}.
4
x k
; k
. ~.
x k
; k
.
Câu 18: Phương trình
2sin 3 0
x
có tập nghiệm là
{.
2 ,
6
k k
. |.
2 ,
3
k k
.
}.
5
2 , 2 ,
6 6
k k k
. ~.
2
2 , 2 ,
3 3
k k k
.
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
{.
cos 0 2
2
x x k
. |.
cos 1 2
x x k
.
}.
cos 1 2
x x k
. ~.
cos 0
2
x x k
.
Câu 20: Nghiệm của phương trình
sin 0
3
x
là
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 44
{.
3
x k k
. |.
2
3
x k k
.
}.
2
6
x k k
. ~.
x k k
.
Câu 21: Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
1 2 1 3
sin ; sin ; sin
2 2 2
x x x
{.
0
. |.
1
. }.
3
. ~.
2
.
Câu 22: Tập nghiệm của phương trình
2cos 1 0
x
là
{.
:
3
S k k
. |.
2 :
6
S k k
.
}.
2 :
3
S k k
. ~.
:
6
S k k
.
Câu 23: Tập nghiệm của phương trình
tan 1 0
x
là
{.
2 ,
4
S k k
. |.
,
4
S k k
.
}.
,
4
S k k
. ~.
2 ,
4
S k k
.
Câu 24: Tập nghiệm của phương trình
sin3 1 0
x
là
{.
,
2
k k
. |.
2 ,
2
k k
.
}.
2 ,
6
k k
. ~.
2
,
6 3
k k
.
Câu 25: Tất cả các nghiệm của phương trình
o
cot 15 3 0
x
là:
{.
o o
75 360
x k ,
k
. |.
o o
45 360
x k ,
k
.
}.
o o
75 180
x k ,
k
. ~.
o o
45 180
x k ,
k
.
Câu 26: Tập nghiệm của phương trình
sin 0
x
là
{.
2 ,
2
S k k
.
|.
,S k k
.
}.
2 ,S k k
. ~.
2 ,
2
S k k
.
Câu 27: Họ nghiệm của phương trình
0
cot(2 30 ) 3
x
là:
{.
0 0
90 180
x k
. |.
0 0
30 180
x k
. }.
0 0
30 90
x k
. ~.
0 0
60 180
x k
.
Câu 28: Khẳng định nào sau đây là sai?
{.
sin 1 2 .
2
x x k
|.
sin 0 .
x x k
}.
os 1 .
c x x k
~.
os 0 .
2
c x x k
Câu 29: Phương trình
cos
x m
có nghiệm khi:
{.
1
m
. |.
1
m
. }.
1
m
. ~.
1
m
.
Câu 30: Nghiệm của phương trình
2
sin 1
x
là
{.
.
x k
|.
2
k
x
. }.
2
2
x k
. ~.
2
x k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 45
Câu 31: Nghiệm của phương trình
tan 2 1 0
x
là:
{.
8
x k
. |.
4
x k
. }.
8 2
x k
. ~.
4 2
x k
.
Câu 32: Nghiệm của phương trình
2 cos 2 2
x
.
{.
2
x k
. |.
2
x k
. }.
2
x k
. ~.
2
2
x k
.
Câu 33: Cho
2
3
x k k
là nghiệm của phương trình nào sau đây
{.
2cos 3 0
x
. |.
cos2 1
x
. }.
2sin 3 0
x
. ~.
2cos 3 0
x
.
Câu 34: Cho
2
x k k
là nghiệm của phương trình nào sau đây
{.
cos 2 0
x
. |.
cos2 1
x
. }.
sin 1
x
. ~.
sin 0
x
.
Câu 35: Cho phương trình
1
sin
2
x
, nghiệm của phương trình là:
{.
2
6
2
2
x k
x k
|.
2
6
2
6
x k
x k
}.
2
6
5
2
6
x k
x k
~.
2
2
x k
.
Câu 36: Phương trình
cos cos
3
x
có nghiệm là
{.
2
2
3
x k
. |.
3
x k
. }.
2
3
x k
. ~.
2
3
x k
.
Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai?
{. sin 1 2 ,
2
x x k k
. |. tan 1 ,
4
x x k k
.
}.
2 ,
1
3
cos
2
2 ,
3
x k k
x
x k k
. ~.
sin 0 2 ,x x k k
.
Câu 38: Nghiệm của phương trình
sin 2 1 0
x
là
{.
, .
4
x k k
|.
2 , .
2
x k k
.
}.
, .
4
x k k
~.
2 , .
2
x k k
Câu 39: Phương trình
2cos 1
x
có một nghiệm là
{.
2
x
. |.
2
x
. }.
3
x
. ~.
x
.
Câu 40: Giải phương trình
cos 1
x
.
{.
2
k
x
, k
. |.
x k
, k
.
}.
2
2
x k
, k
. ~.
2
x k
, k
.
Câu 41: Phương trình
cos 0
x
có nghiệm là:
{.
2
x k k
. |.
2 x k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 46
}.
2
2
x k k
. ~.
x k k
.
Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
{.
tan 3 0
x
. |.
2
2cos cos 1 0
x x
.
}.
sin 3 0
x
. ~.
3sin 2 0
x
.
Câu 43: Gọi
là nghiệm trong khoảng
;2
của phương trình
3
cos
2
x
, nếu biểu diễn
a
b
với
a
,
b
là hai số nguyên và
a
b
là phân số tối giản thì
ab
bằng bao nhiêu?
{.
42
ab
. |.
6
ab
. }.
66
ab
. ~.
30
ab
.
Câu 44: Nghiệm của phương trình:
sin 4 cos 5 0
x x
là.
{.
2
2
2
18 9
x k
k
x
. |.
2
18 9
x k
k
x
.
}.
2
2
2
18 9
x k
k
x
. ~.
2
2
2
9 9
x k
k
x
.
Câu 45: Trong khoảng
0;
phương trình
cos 4 sin 0
x x
có tập nghiệm
S
bằng
{.
7
; ;
6 10 10
S
. |.
3
;
6 10
S
.
}.
2 3 7
; ; ;
3 3 10 10
S
. ~.
5 3 7
; ; ;
6 6 10 10
S
.
Câu 46: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
cos 0
3
x
.
{.
3
3 ,
2
x k k
. |.
3
6 ,
2
x k k
.
}. ,x k k
. ~.
,
2
x k k
.
Câu 47: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
cos 2 cos 0
x x
trong khoảng
0;2
bằng
T
.
Vậy
T
bằng bao nhiêu?
{.
T
. |.
7
6
T
. }.
4
3
T
. ~.
2
T
.
Câu 48: Số nghiệm của phương trình
cot 1 0
4
x
trên khoảng
;3
là
{.
2
. |.
3
. }.
1
. ~.
4
Câu 49: Cho
6
AOC AOF
như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình
2sin 1 0
x
được
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 47
{. Điểm
E
, điểm
D
. |. Điểm
C
, điểm
F
.
}. Điểm
D
, điểm
C
. ~. Điểm
E
, điểm
F
.
Câu 50: Nghiệm của phương trình
tan cot
x x
là
{.
4 2
x k k
. |.
2
4
x k k
.
}.
4
x
. ~.
4
x k k
.
Câu 51: Phương trình
1
sin
2
x
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn
0; 20
?
{.
10.
|.
11.
}.
21.
~.
20.
Câu 52: Số nghiệm của phương trình
cos2 1 0
x
trên đoạn
0;1000
là
{.
1000
. |.
999
. }.
2000
. ~.
1001
.
Câu 53: Tập các giá trị của tham số
m
để phương trình
2017
2 3 0
2
sin x m
có nghiệm là
{.
1;1
. |.
1;1
. }.
3 3
;
2 2
. ~.
2 2
;
3 3
.
Câu 54: Phương trình
1
sin 2
2
x
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
15
0;
2
?
{.
18.
|.
16.
}.
14.
~.
12.
Câu 55: Phương trình
cot 3
x
có bao nhiêu nghiệm thuộc
2018 ,2018
?
{.
2018
. |.
4035
. }.
4037
. ~.
4036
.
Câu 56: Phương trình
1
cos 30
2
x
có các nghiệm là
{.
360
60 360
x k
x k
. |.
360
6
360
2
x k
x k
.
}.
30 2
90 2
x k
x k
. ~.
30 360
90 360
x k
x k
.
Câu 57: Phương trình
1
sin 2
2
x
có hai họ nghiệm có dạng
x k
và
x k
,
k
3
0
4 4
. Khi đó, tính
2 2
?
{.
2
3
. |.
2
3
. }.
2
25
72
. ~.
2
25
72
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 48
Câu 58: Số nghiệm của phương trình:
1
cos2
2
x
thuộc khoảng
; 2
là
{.
4
. |.
1
. }.
2
. ~.
3
.
Câu 59: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
2
2cos 1
x
?
{.
2
cos
2
x
. |.
2
sin
2
x
. }.
2
tan 1
x
. ~.
tan 1
x
.
Câu 60: Số nghiệm của phương trình
5
tan 2 3 0
6
x
trên khoảng
0;3
là
{.
3
. |.
8
. }.
4
. ~.
6
.
Câu 61: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
30 , ,
AOC AOF E D
lần lượt là các điểm
đối xứng của
,
C F
qua gốc
.
O
Nghiệm của phương trình
2sin 1 0
x
được biểu diễn trên
đường tròn lượng giác là những điểm nào?
{. Điểm
C
, điểm
.
D
|. Điểm
,
E
điểm
.
F
}. Điểm
,
C
điểm
.
F
~. Điểm
,
E
điểm
.
D
Câu 62: Số nghiệm của phương trình
2sin 3 0
x
trên đoạn đoạn
0;2
là
{. 3. |. 1. }. 4. ~. 2.
Câu 63: Nghiệm của phương trình
sin 2 cos 0
x x
là
{.
2 2
( )
2
6 3
k
x
k
k
x
. |.
2
2
( )
2
2 3
x k
k
k
x
.
}.
2
2
( )
6 3
x k
k
k
x
. ~.
2
( )
2
4
x k
k
x k
.
Câu 64: Tập nghiệm của phương trình
2cos2 1 0
x
là
{.
2 , 2 ,
3 3
S k k k
. |.
2 2
2 , 2 ,
3 3
S k k k
.
}.
, ,
3 3
S k k k
. ~.
, ,
6 6
S k k k
.
Câu 65: Phương trình
2cos 1 0
x
có tập nghiệm là
{.
2 ,
3
k k
. |.
2 ,
6
k k
.
}.
2 , 2
3 6
k k l l
. ~.
2 , 2
3 6
k k l l
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 49
Câu 66: Cho hàm số
sin
y x x
, số nghiệm thuộc
;2
2
của phương trình
1
y y
là
{. 2. |. 0. }. 1. ~. 3.
Câu 67: Nghiệm của phương trình
1
sin .cos
2
x x
là
{.
2
x k
;
k
. |.
4
k
x
;
k
.
}.
4
x k
;
k
. ~.
x k
;
k
.
Câu 68: Phương trình
tan 3 tan
x x
có nghiệm là
{.
x k
. |.
2
x k
. }.
2
x k
. ~.
2
x k
.
Câu 69: Phương trình
cos2 1
m x
có nghiệm khi
{.
0
m
. |.
1
1
m
m
. }.
1
m
. ~.
1
m
.
Câu 70: Tập nghiệm của phương trình
sin cos
3
x x
là:
{.
,
12
k k
. |.
1
,
12
k k
. }.
,
2
k k
. ~.
1
,
2
k k
.
Câu 71: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?
{.
3sin 1 0
x
. |.
2
2cos cos 1 0
x x
.
}.
5 tan 3 0
x
~.
3cos 5 0
x
.
Câu 72: Phương trình
1
sin 2
2
x
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
15
0;
2
?
{.
18.
|.
16.
}.
14.
~.
12.
Câu 73: Cho phương trình
3sin 2 1
5
x m
có nghiệm khi
; .
m a b
Khi đó
b a
bằng
{.
6.
|.
0.
}.
2.
~.
4.
Câu 74: Tập nghiệm
S
của phương trình
cos3 cos
x x
là
{.
,S k k
. |.
,
2
k
S k
.
}.
,
3
k
S k
. ~.
,
2
S k k
.
Câu 75: Phương trình
sin 2 1
2
x
có mấy nghiệm trong nửa khoảng
;
2 2
?
{.
0
. |.
2
. }.
1
. ~.
3
.
Câu 76: Phương trình
cos3 sin
x x
có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
?
{.
0
. |.
2
. }.
3
. ~.
1
.
Câu 77: Tất cả các nghiệm của phương trình
tan cot
x x
là
{.
,
4 4
x k k
. |.
2 ,
4
x k k
.
}.
,
4
x k k
. ~.
,
4 2
x k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 50
Câu 78: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3
sin 3
4 2
x
bằng
{.
9
. |.
6
. }.
6
. ~.
9
.
Câu 79: Biết các nghiệm của phương trình
1
cos2
2
x
có dạng
x k
m
và
x k
n
,
k
;
với
,
m n
là các số nguyên dương. Khi đó
m n
bằng
{. 4. |. 3. }. 5. ~. 6.
Câu 80: Phương trình
2 sin 0
x m
vô nghiệm khi
m
là:
{.
2 2
m . |.
2
m . }.
2
2
m
m
. ~.
2
m .
Câu 81: Số nghiệm của phương trình
sin3
0
1 cos
x
x
trên đoạn
0;
là:
{. 4. |. 2. }. 3. ~. Vô số.
Câu 82: Số nghiệm của phương trình
sin 1
4
x
thuộc đoạn
0;2
là
{.
2
. |.
0
. }.
1
. ~.
3
.
Câu 83: Giải phương trình
2cos 1 sin 2 0
2 2
x x
.
{.
2
2 ,
3
x k k
. |.
2 ,
3
x k k
.
}.
4 ,
3
x k k
. ~.
2
4 ,
3
x k k
.
Câu 84: Giải phương trình
2cos 1 0
x
.
{. 2 ,
6
x k k
. |. 2 ,
3
x k k
.
}. 2 ,
3
x k
. ~. 2 ,
3
x k k
.
Câu 85: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2
3sin 2 5 0
x m
có nghiệm?
{.
6.
|.
2.
}.
1.
~.
7.
Câu 86: Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình:
tan tan3x
x
{.
55 .
|.
171
.
2
}.
45 .
~.
190
.
2
Câu 87: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin sin 2 0
x x
trên đoạn
0;2
.
{.
4
. |.
5
. }.
3
. ~.
2
.
Câu 88: Phương trình:
cos 0
x m
vô nghiệm khi m là:
{.
1 1
m
. |.
1
m
. }.
1
m
. ~.
1; 1
m m
Câu 89: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
,
M N
?
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 51
{.
2sin2 1
x
. |.
2cos2 1
x
. }.
2sin 1
x
. ~.
2cos 1
x
.
Câu 90: Tìm tổng các nghiệm của phương trình
sin 3 cos 0
x x
trên
0;
.
{.
5
8
. |.
3
. }.
. ~.
2
.
Câu 91: Cho phương trình
sin 2 sin 2 cos 0,
x x m x m
m
là tham số. Số các giá trị nguyên của
m
để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên
7
; 3
4
là
{.
0
. |.
2
. }.
3
. ~.
1
Câu 92: Cho phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình trên.
{.
7
2
. |.
. }.
3
2
. ~.
4
.
Câu 93: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
8sin .cos .cos2 3 0
x x x
là
m
n
. Khi đó
m n
bằng
{. 12. |. 13. }. 14. ~. 11
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
11.A 12.B 13.A 14.D 15.A 16.B 17.C 18.D 19.A 20.A
21.D 22.C 23.C 24.D 25.D 26.B 27.C 28.C 29.A 30.D
31.C 32.C 33.C 34.B 35.C 36.C 37.D 38.C 39.C 40.D
41.A 42.C 43.C 44.A 45.D 46.A 47.D 48.D 49.D 50.A
51.D 52.A 53.D 54.B 55.D 56.D 57.A 58.C 59.C 60.D
61.A 62.D 63.B 64.C 65.A 66.D 67.C 68.A 69.B 70.B
71.D 72.B 73.A 74.B 75.C 76.C 77.D 78.C 79.D 80.C
81.C 82.C 83.D 84.D 85.B 86.C 87.B 88.D 89.C 90.D
91.D 92.B 93.C
Hướng dẫn giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 52
Câu 1:
2
1
6
sinx
5
2
2
6
x k
x k
Câu 2: Ta có:
2
2cos 2 0 cos cos cos 2 ,
2 4 4
x x x x k k
.
Câu 3: Ta có
3 2 3
cos cos cos 2 ;
2 3 3
x x x k k
.
Câu 4: Ta có
cos3 cos
15
x
3 2
15
x k
2
45 3
k
x
.
Câu 5:
Câu 6:
1
2sin 1 0 sin
2
x x
2
6
,
7
2
6
x k
k
x k
.
Câu 7: Với
8
2 ,
3
x k k
ta có:
2 1 2 3
cos cos ;sin sin
3 2 3 2
x x
.
Do đó
8
2 ,
3
x k k
là một họ nghiệm của phương trình
2cos 1 0
x
.
Câu 8:
Câu 9:
sin 0 ,x x k k
.
Câu 10:
Ta có
1
cos
2
x
2
2
3
2
2
3
x k
k
x k
.
Câu 11: Ta có
2
2
3
4 3
12
sin
5
4 2
2 2
4 3 12
x k
x k
x k
x k x k
Câu 12:
cot 3 , .
6 6 6 3
x x k x k k
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
3
.
Câu 13: Ta có
2
sin 0
3 3
x
2
3 3
x
k
2
3 3
x
k
2 3
x k
3
2 2
k
x k
.
Câu 14:
2
2
4
cos cos cos ,
2 4
2
4
x k
x x k
x k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 53
Câu 15: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì
cos 0
2
x k kx
.
Câu 16: Vì
2
1
3
là nên phương trình
2
cos 2
2 3
x
vô nghiệm.
Câu 17: Ta có:
1
sin .cos sin 2 1 2 2
2 2 4
x x x x k x k
k
.
Câu 18:
2
3
3
2sin 3 0 sin
2
2
2
3
x k
x x k
x k
.
Câu 19: Ta có:
cos 0
2
x x k
.
cos 1 2
x x k
.
cos 1 2
x x k
.
Đáp án sai :
cos 0 2
2
x x k
.
Câu 20:
sin 0
3 3 3
x x k x k k
.
Câu 21: Do
y sin
x
có tập giá trị là
1;1
nên các phương trình
1 2
sin ;sin
2 2
x x
có
nghiệm; phương trình
1 3
sin
2
x
vô nghiệm do
1 3
1
2
Câu 22: Ta có
1
2cos 1 0 cos 2 ,
2 3
x x x k k
.
Câu 23:
tan 1 0
x
tan 1
x
,
4
x k k
.
Câu 24: Ta có phương trình
sin3 1 0
x
sin3 1
x
3 2
2
x k
2
,
6 3
x k k
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2
,
6 3
k k
.
Câu 25: Ta có:
o
cot 15 3 0
x
o
cot 15 3
x
o o o
15 30 180
x k
o o
45 180
x k ,
k
.
Nghiệm của phương trình đã cho là:
o o
45 180
x k ,
k
.
Câu 26: Ta có:
sin 0
x
x k
,
k
.
Câu 27:
Lời giải
0
cot(2 30 ) 3
x
0 0 0
2 30 30 180
x k
0 0
30 90x k k
Câu 28:
Lời giải
Ta có:
os 1 2 .
c x x k
Suy ra C là đáp án sai
Câu 29:
Lời giải
Phương trình
cos
x m
có nghiệm khi
1
m
do
1 cos 1
x
.
Câu 30:
Lời giải
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 54
cos 0
2
Pt x x k
. Vậy chọn D
Câu 31:
tan 2 1 0 tan 2 1
x x
2
4 8 2
x k x k
.
Câu 32: Ta có:
2cos 2 2 cos 2 1 2 2 ,
2
x x x k x x k k
Câu 33: Ta có:
2
3
3
2sin 3 0 sin sin
2
2 3
2 2
3 3
x k
x x k
x k k
Câu 34: Ta có:
cos 2 1 2 2
2
x x k x k k
Câu 35:
2 2
1
6 6
sin sin sin ,
5
2 6
2 2
6 6
x k x k
x x k Z
x k x k
Câu 36:
cos cos 2
3 3
x x k
Câu 37:
Ta có
sin 0 ,x x k k
, nên đáp án D sai.
Câu 38: * Ta có:
sin 2 1 0 sin 2 1
x x
2 2 ; ;
2 4
x k k x k k
.
Câu 39:
1
2cos 1 cos cos 2 ,
2 3 3
x x x k k
. Vậy
3
x
là một nghiệm của pt
đã cho.
Câu 40: Ta có
cos 1
x
2
x k
, k
.
Câu 41: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì
cos 0
2
x k kx
.
Câu 42: + Phương trình
sin 3 0 sin 3
x x
phương trình
sin 3 0
x
vô nghiệm.
+ Phương trình
2
cos 1
2cos cos 1 0
1
cos
2
x
x x
x
phương trình
2
2cos cos 1 0
x x
có nghiệm.
+ Phương trình
tan 3 0 tan 3
x x
arctan 3
x k
phương trình
tan 3 0
x
có nghiệm.
+ Phương trình
2
sin
3
x
mà
2
1 1
3
nên phương trình
3sin 2 0
x
có nghiệm.
Câu 43: Phương trình
3
cos 2
2 6
x x k k
.
Với
11
;2
6
x x
. Suy ra
11
a
và
6
b
.
Vậy
66
ab
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 55
Câu 44:
2
2
sin 4 cos5 0 cos5 sin 4 cos 4
2
2
18 9
x k
x x x x x
k
x
.
Câu 45:
2
6 3
cos 4 sin 0 cos 4 sin cos
2
2
10 5
x k
x x x x x
x k
.
Suy ra trong khoảng
0;
phương trình đã cho có tập nghiệm là
5 3 7
; ; ;
6 6 10 10
S
.
Câu 46: Ta có
3
cos 0 3 ,
3 3 2 2
x x
k x k k
.
Câu 47:
2
2 2
2
cos 2 cos 0 cos 2 cos
2
2 2
3
3
x k
x x k
x x x x x k
x x k
x k
.
Với
2 4
0;2 ;
3 3
x x x
.
Vậy
2 4
2
3 3
T
.
Câu 48: Ta có:
cot 1 0
4 4 4 2
x x k x k k
.
1 7
3
2 2 2
ycbt k k
, mà
k
nên
0;1;2;3
k
.
Câu 49:
2
1
6
2sin 1 0 sin
7
2
2
6
x k
x x k
x k
.
Các cung lượng giác
2
6
x k
,
7
2
6
x k
lần lượt được biểu diễn trên đường tròn
lượng giác bởi các điểm
F
và
E
.
Câu 50:
tan cot tan tan
2 2 4 2
x x x x x x k x k
( k
).
Câu 51: Cách 1:
Ta có
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
, với
.
k

+)
1 119
0 2 20 .
6 12 12
k k
Lại có k
nên
0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 .
k
+)
5 5 115
0 2 20 .
6 12 12
k k
Lại có k
nên
0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 .
k
Vậy phương trình
1
sin
2
x
có 20 nghiệm trên đoạn
0; 20 .
Cách 2:
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 56
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn
0;2
phương trình
1
sin
2
x
có 2 nghiệm, tương
tự với
2 ;4 , 4 ;6 ,... 18 ;20 .
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm
nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên
0;20
chọn đáp án
~.
Câu 52:
cos2 1 0 cos2 1 2 2x x x k
,
2
x k k
.
Ta có:
1 1999
0 1000
2 2 2
k k
.
Ta được
0;1;2;...999
k
.
Có
1000
giá trị
k
, ứng với
1000
nghiệm của phương trình trên
0;1000
.
Câu 53: Ta có:
2017 2017 3
2 3 0
2 2 2
m
sin x m sin x
có nghiệm
khi và chỉ khi
3 2 2
1 1
2 3 3
m
m
.
Câu 54: Ta có:
2 2
1
6
12
sin 2 sin 2 sin
5
2 6
2 2
6 12
x k
x k
x x
x k x k
k
.
Trường hợp 1:
12
x k
k
.
Vì
15 15 1 89
0 0 0;1;2;3; 4;5;6;7
2 12 2 12 12
k
x k k k
.
Vậy có tất cả có
8
giá trị
k
tương ứng với trường hợp
1
có
8
nghiệm là:
12
x
;
13
12
x
;
25
12
x
;
37
12
x
;
49
12
x
;
61
12
x
;
73
12
x
;
85
12
x
.
Trường hợp 2:
5
12
x k
k
.
Vì
15 5 15 5 85
0 0 0;1;2;3;4;5;6;7
2 12 2 12 12
k
x k k k
.
Vậy có tất cả có
8
giá trị
k
tương ứng với trường hợp
2
có
8
nghiệm là:
5
12
x
;
17
12
x
;
29
12
x
;
41
12
x
;
53
12
x
;
65
12
x
;
77
12
x
;
89
12
x
Vậy trên khoảng
15
0;
2
phương trình đã cho có tất cả là
16
nghiệm.
Câu 55:
cot 3 1x
,
6
x k k
, mà
2018 2018x
.
2018 2018
6
k
1
2018 2018
6
k
1 1
2018 2018
6 6
k
,
k
.
Suy ra
2018 2017k
,
k
.
Vậy
1
có
4036
nghiệm thuộc
2018 ,2018
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 57
Nhận xét: Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
T
, nên trên mỗi đoạn có độ dài bằng
một chu kì thì phương trình
cot 3
x
có đúng một nghiệm. Mà đoạn
2018 ;2018
được
chia làm
4036
đoạn có độ dài bằng 1 chu kì dạng
2018 ; 2017
,
2017 ; 2016
,
…,
2017 ;2018
nên phương trình đã cho có
4036
nghiệm.
Câu 56: Ta có:
30 60 360 30 360
1
cos 30 ,
30 60 360 90 360
2
x k x k
x k
x k x k
Câu 57:
1
sin 2
2
x
2 2
6
7
2 2
6
x k
x k
12
7
12
x k
x k
k
.
7
,
12 12
2
2 2
3
.
Câu 58: Cách 1:
1 2
cos2 2 2 ,
2 3 3
x x k x k k
.
+) Xét
2 4 4
; 2 1
3 3 3 3
k k k x
.
+) Xét
4 7 5
; 2 2
3 3 3 3
k k k x
.
Vậy phương trình
1
cos2
2
x
có 2 nghiệm trên
; 2
.
Cách 2:
Hàm số
cos2
y x
là hàm số tuần hoàn với chu kì T
. Trên mỗi khoảng có độ dài bằng
chu kì thì phương trình
cos 2 , 1 1, 0
x m m m
luôn có đúng hai nghiệm.
Do đó trên
; 2
thì phương trình
1
cos2
2
x
có đúng hai nghiệm.
Câu 59:
2 2 2 2
2
1 1
2cos 1 cos 2 1 tan 2 tan 1
2 cos
x x x x
x
.
Câu 60:
5 5
tan 2 3 0 2
6 6 3 4 2
k
x x k x k
.
1 11
0;3 0 3 0;1;2;3;4;5
4 2 2 2
k
k
x k k
.
Vậy phương trình có
6
nghiệm
trên khoảng
0;3
.
Câu 61:
Ta có:
2
1
6
2sin 1 0 sin ,
5
2
2
6
x k
x x k
x k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 58
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm
,
C
điểm
D
.
Câu 62: Tự luận
2 2
3
3 3
2sin 3 0 sin sin sin ,
2
2 3
2 2
3 3
x k x k
x x x k
x k x k
- Xét
2
3
x k
5 1 5
0 2 0 2 2 2 0
3 3 3 6 6
x k k k k
Chỉ có một nghiệm
0;2
3
x
- Xét
2
2
3
x k
2 2 4 1 2
0 2 0 2 2 2 0
3 3 3 3 3
x k k k k
Chỉ có một nghiệm
2
0;2
3
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn
0;2
.
Câu 63:
sin 2 cos 0
2sin .cos cos 0
cos .(2sin 1) 0
2
cos 0
2
cos 0
2
( )
2
1
2
2sin 1 0
sin
6
2
7
2 3
2
6
x x
x x x
x x
x k
x
x k
x
x k Z
k
k
x
x
x
x k
Câu 64: Ta có
1 2
2cos 2 1 0 cos 2 cos
2 3
x x
2
2 2
3 3
.
2
2 2
3 3
x k x k
k
x k x k
Câu 65:
1
2cos 1 0 cos cos
2 3
x x
2
3
2
3
x k
k
x k
.
Câu 66: Ta có
' sinx cos
'' cos cos sin 2 cos sin
y x x
y x x x x x x x
Do đó
2
1
3
1 2cos 1 cos
2
2
3
x k
y y x x k Z
x k
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 59
Trường hợp 1. Với
2
3
x k k Z
Do
;2
2
x
nên
5 5
2 2
2 3 12 6
k k
Suy ra
0
k
ta được
3
x
.
Trường hợp 2. Với
2
3
x k k Z
Do
;2
2
x
nên
1 7
2 2
2 3 12 6
k k
Suy ra
0
k
ta được
; 1
3
x k
ta được
5
3
x
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc
;2
2
của phương trình
1
y y
là
3
x
;
3
x
;
5
3
x
.
Câu 67: Ta có:
1
sin .cos sin 2 1 2 2
2 2 4
x x x x k x k
k
.
Câu 68: Điều kiện:
cos3 0
cos 0
6 3
x
x k
x
k
.
Ta có:
tan 3 tan 3
2
x x x x k x k
.
Kết hợp với điều kiện ta được
x k
k
.
Câu 69: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
0
1
1 .
1
1
1
m
m
m
m
m
Câu 70: Ta có:
sin cos
3
x x
sin sin
2 3
x x
sin sin
6
x x
2
1
6
,
12
2
6
x x k
x k k
x x k VL
.
Câu 71:
5
3cos 5 0 cos
3
x x
.
Ta có
1 cos 1
x
nên phương trình vô nghiệm.
Câu 72: Ta có:
2 2
1
6
12
sin 2 sin 2 sin
5
2 6
2 2
6 12
x k
x k
x x
x k x k
k
.
Trường hợp 1:
12
x k
k
.
Vì
15 15 1 89
0 0 0;1;2;3;4;5;6;7
2 12 2 12 12
k
x k k k
.
Vậy có tất cả có
8
giá trị
k
tương ứng với trường hợp
1
có
8
nghiệm là:
12
x
;
13
12
x
;
25
12
x
;
37
12
x
;
49
12
x
;
61
12
x
;
73
12
x
;
85
12
x
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 60
Trường hợp 2:
5
12
x k
k
.
Vì
15 5 15 5 85
0 0 0;1;2;3;4;5;6;7
2 12 2 12 12
k
x k k k
.
Vậy có tất cả có
8
giá trị
k
tương ứng với trường hợp
2
có
8
nghiệm là:
5
12
x
;
17
12
x
;
29
12
x
;
41
12
x
;
53
12
x
;
65
12
x
;
77
12
x
;
89
12
x
Vậy trên khoảng
15
0;
2
phương trình đã cho có tất cả là
16
nghiệm.
Câu 73: Ta có:
1
3sin 2 1 sin 2
5 5 3
m
x m x
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1
1 1 2 4.
3
m
m
Suy ra:
6.
b a
Câu 74: Phương trình:
3 2
cos3 cos
3 2
2
2
x k
x x k
k
x x x
k
x x k
x
k
.
Kết luận: Vậy phương trình tập nghiệm
,
2
k
S k
.
Câu 75: Ta có:
sin 2 1 2 2
2 2 2 8
x x k x k
.
Do
5 3
;
2 2 2 8 2 8 8
x k k
Mặt khác do
0
8
k k x
.
Vậy phương trình có nghiệm
8
x
Câu 76: Ta có
3 2
8 2
2
cos3 sin cos3 cos
2
3 2
2 4
x k
x x k
x x x x
x x l
x l
.
5 3
; 1; 0
8 2 2 2 2 8 2 2 4 4
x k k k k
.
Vậy họ nghiệm này có hai nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
là
3
,
8 2
x x
.
1 3
; 0
4 2 2 2 4 2 4 4
x l l l l
.
Vậy họ nghiệm này có một nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
là
4
x
.
Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
.
Câu 77: Điều kiện
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
x x m m
x
tan cot tan tan
2
x x x x
2 4 2
x x k x k k
thỏa mãn điều
kiện.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 61
Câu 78:
3
sin 3
4 2
x
3 2
4 3
2
3 2
4 3
x k
x l
7 2
36 3
11 2
36 3
k
x
l
x
;
;
k l
TH1:
0
x
;
x
lớn nhất
Chọn
17
1;
36
13
1;
36
k x
l x
13
36
x
TH2:
0
x
;
x
nhỏ nhất
Chọn
7
0;
36
11
0;
36
k x
l x
7
36
x
Khi đó tổng cần tìm là:
13 7
36 36 6
.
Câu 79:
1
cos2
2
x
2
2 2
2
3 3
cos 2 cos
2
3
2 2
3 3
x k x k
x k
x k x k
3 3 6
m n
.
Câu 80: +)
2 sin 0 sin
2
m
x m x
, phương trình có nghiệm khi
1 1 2 2
2
m
m
+)
2 sin 0 sin
2
m
x m x
, phương trình vô nghiệm khi
2
1
2 2
m
m
m
Chọn đáp án C
Câu 81: ĐKXĐ:
1 2 ,cosx x k k
.
Khi đó:
3
0 3 0 3 ,
1 3
sin x k
sin x x k x k
cosx
.
Mà 0 x
nên
2
0, , ,
3 3
x x x x
. Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của
phương trình trên đoạn
0;
là
2
, ,
3 3
x x x
.
Câu 82: Ta có
sin 1 2 2 ,
4 4 2 4
x x k x k k
.
Vì
0;2 .
4
x x
Phương trình có 1 nghiệm trên đoạn
0;2
Câu 83: Ta có :
2cos 1 0 1
2
2cos 1 sin 2 0
2 2
sin 2 0 (2)
2
x
x x
x
.
Giải
1
:
1 2
2 cos 1 0 cos 2 4 ,
2 2 2 2 3 3
x x x
k x k k
.
Giải
2
:
sin 2 0
2
x
, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có họ nghiệm là
2
4 ,
3
x k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 62
Câu 84: Ta có:
1
2cos 1 0 cos cos 2 ,
2 3 3
x x x k k
.
Câu 85: Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
5
sin 2
3
m
x
Vì
sin 2 1;1
x
nên
2
2
2 2 2
5
1;1 2;8
3
2 2 2
m
m
m
m
Vậy nên có 2 giá trị chọn B
Câu 86:
Lời giải
Điều kiện để phương trình có nghĩa
cosx 0
2
*
cos3x 0
6 3
x k
k
x
Khi đó, phương trình 3x
2
k
x k x
so sánh với đk
2
, 0;30 0;...;4 0; ;2 ;....;9
2
x k
x k x
x k

Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình là:
45
.
Câu 87: Ta có
2
2 2
sin sin 2 0 sin 2 sin , ,
3
2 2
2
k
x x k
x
x x x x k l
x x l
x l
.
Vì
0;2
x
nên
0 2
x
.
+ Với
2
3
k
x
. Ta có
2
0 2 0 3
3
k
k
. Suy ra
0 0
2
1
3
4
2
3
3 2
k x
k x
k x
k x
.
+ Với
2
x l
. Tương tự
1 1
0 2 2
2 2
l l
. Suy ra 0l x
.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên
0;2
là
5
.
Câu 88: Theo lý thuyết phương trình
cos
x m
vô nghiệm khi:
1
1
m
m
.
Câu 89: Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại
điểm
1
2
với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của
phương trình lượng giác cơ bản:
1
sin 2sin 1
2
x x
⇒ Đáp án. }.
Câu 90: Ta có:
3 2
2
sin 3 cos 0 sin 3 sin
3
2
3 2
2
x x k
x x x x
x x l
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 63
4
,
3
8 2
x k
k l
x l
.
Mà
0;x
nên
0
4
3
0
8 2
k
l
. Do
k
l
nên
1
0
1
k
l
l
3
4
3 3 3 7
2
8 4 8 8
7
8
x
x T
x
.
Câu 91: Phương trình đã cho tương đương với phương trình
1
cos (1)
2cos -1 sin - 0
2
sin (2)
x
x x m
x m
có 1 nghiệm là
8
3
x
trên
7
; 3
4
Suy ra
1
3
2
2
;0
2
m
m
m
Câu 92: Ta có:
3
2
2 2
3
4 4
sin 2 sin
2
3
4 4
2 2
6 3
4 4
x k
x x k
x x
x k
x x k
k
.
+ Xét
2x k
k
.
Do
1
0 0 2 0
2
x k k
. Vì
k
nên không có giá trị
k
.
+ Xét
2
6 3
x k
k
.
Do
2 1 5
0 0
6 3 4 4
x k k
. Vì
k
nên có hai giá trị
k
là:
0; 1k k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 64
Với
0
6
k x
.
Với
5
1
6
k x
.
Do đó trên khoảng
0;
phương trình đã cho có hai nghiệm
6
x
và
5
6
x
.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng
0;
là:
5
6 6
.
Câu 93: Tập xác định:
D
.
Ta có:
8sin .cos .cos2 3 0
x x x
4sin 2 .cos2 3
x x
3
2sin 4 3 sin 4
2
x x
4 2
3 13 2
2
4 2
3 6 2
k
x k x
k
x k x
k
.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
1
14
13
13
m
m n
n
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 65
§➌. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Chýõng 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
➊. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
. Định nghĩa:
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là pt có dạng: at + b = 0,
Trong đó a, b là các hằng số (a 0), t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ: 2sinx –
√
3 = 0; 2cosx – 3 = 0;
√
3tanx + 1 = 0; cotx -1 = 0
. Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2sinx – 3 = 0; b)
√
3tanx + 1 = 0
Hướng dẫn giải:
a) 2sinx – 3 = 0 sinx =
> 1: phương trình vô nghiệm
b)
√
3tanx + 1= 0 tanx = –
√
x = –
+ 𝑘𝜋
.PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 5cosx – 2sin2x = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1
Hướng dẫn giải:
a) 5cosx – 2sin2x = 0 cosx(5 – 4sinx) = 0
b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 2sin4x = –1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) 2cos
2
x – 1 = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0 c) sinx + cosx = 1
Hướng dẫn giải:
a) 2cos
2
x – 1 = 0 cos2x = 0
b) sinx + sin2x + sin3x = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0
c) sinx + cosx = 1
√
2sin
󰇡
𝑥+
󰇢
=1
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 66
➋. PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác
. Định nghĩa: PT bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: at
2
+ bt + c = 0;
trong đó a, b, c là các hằng số (a
0), t là một HSLG.
Ví dụ :
a) 2sin
2
x + 3sinx – 2 = 0 b) 3cos
2
x – 5cosx + 2 = 0
c) 3tan
2
x – 2
√
3tanx + 3 = 0 d) 3cot
2
x – 5cotx – 7 = 0
. Cách giải
Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx)
Đưa về PT: at
2
+ bt + c = 0
Chú ý: Nếu đặt t = sinx (cosx) thì cần có điều kiện –1 t 1
a) 2sin
2
x + 3sinx – 2 = 0
󰇥
𝑡=sin𝑥, − 1≤𝑡≤1
2𝑡
+ 3𝑡− 2=0
b) 3cos
2
x – 5cosx + 2 = 0
󰇥
𝑡=cos𝑥, − 1≤𝑡≤1
3𝑡
− 5𝑡+ 2=0
c)
󰇥
𝑡=tan𝑥
3𝑡
− 2
√
3𝑡+ 3=0
d)
󰇥
𝑡=cot𝑥
3𝑡
− 5𝑡− 7=0
. Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
a)
2si
n
+
√
2
sin
−
2
=
0
b) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0
c) cos
2
x + sinx + 1 = 0
d)
√
3tan
2
x – (1 +
√
3)tanx + 1=0
Hướng dẫn giải:
a)
󰇫
𝑡=sin
, − 1≤𝑡≤1
2𝑡
+
√
2𝑡− 2=0
b)
󰇥
𝑡=cos𝑥, − 1≤𝑡≤1
2𝑡
− 3𝑡+ 1=0
c)
󰇥
𝑡=sin𝑥, − 1≤𝑡≤1
−𝑡
+ 𝑡+ 2=0
d)
𝑡=tan𝑥
√
3𝑡
− (1 +
√
3)𝑡+ 1=0
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 67
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 68
➌. PT bậc nhất đối với sinx và cosx
. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx
sinx + cosx =
√
2sin
󰇡
𝑥+
󰇢
=
√
2cos
󰇡
𝑥−
󰇢
sinx – cosx =
√
2sin
󰇡
𝑥−
󰇢
= −
√
2cos
󰇡
𝑥+
󰇢
asinx+bcosx=
√
𝑎
+ 𝑏
.sin(x+)
với cos =
√

, sin =
√

. PT dạng asinx + bcosx = c
Nếu a = 0, b 0 hoặc a0, b=0 thì đưa về PTLG cơ bản.
Nếu a 0, b 0 thì dùng công thức biến đổi ở trên đưa về PTLG cơ bản.
Điều kiện có nghiệm: 𝑎
2
+ 𝑏
2
≥𝑐
2
Cách giải: Chia hai vế của (1) cho
𝑎
2
+ 𝑏
2
, ta được
(
1
)
⇔
√

sin𝑥+
√

cos𝑥=
√

Vì
󰇡
√

󰇢
+
󰇡
√

󰇢
=1 nên ta đặt
󰇱
sin𝜑=
√

cos𝜑=
√

Phương trình trở thành:sin𝑥sin𝜑+ cos𝑥cos𝜑=
√

⇔cos
(
𝑥− 𝜑
)
=
√

Đặt cos𝛼=
√

ta được phương trình lượng giác cơ bản giải được.
. Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
a) sinx +
√
3
cosx = 1
b)
√
3
sin3
𝑥
−
cos3
𝑥
=
√
2
c) 3cosx + 4sinx = –5
d) 2sin2x – 2cos2x =
√
2
Hướng dẫn giải:
a) 2sin
󰇡
𝑥+
󰇢
= 1
b) 2sin
󰇡
3𝑥−
󰇢
=
√
2
c) cos(x + ) = –1 , với cos =
d) sin
󰇡
2𝑥−
󰇢
=
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 69
Câu 1: Phương trình 2sin𝑥−1=0 có tập nghiệm là
{.
𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋;

+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
|.
𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋;−

+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
}.
𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋;−
+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
~.
𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
Lời giải
Ta có: 2sin𝑥− 1=0⇔sin𝑥=
⇔sin𝑥=sin
⇔
𝑥=
+ 𝑘2𝜋
𝑥=

+ 𝑘2𝜋
𝑘∈ℤ .
Câu 2: Phương trình cot𝑥+
√
3=0 có các nghiệm là
{.
𝑥=
+ 𝑘.2𝜋
(
𝑘∈ℤ
)
.
|.
𝑥=
+ 𝑘.𝜋
(
𝑘∈ℤ
)
.
}.
𝑥=−
+ 𝑘.2𝜋
(
𝑘∈ℤ
)
.
~.
𝑥=−
+ 𝑘. 𝜋
(
𝑘∈ℤ
)
.
Lời giải
Ta có: cot𝑥+
√
3=0⇔cot𝑥=−
√
3⇔cot𝑥=cot
󰇡
−
󰇢
⇔𝑥=−
+ 𝑘.𝜋
(
𝑘∈ℤ
)
.
Câu 3: Phương trình sin𝑥=cos𝑥 có số nghiệm thuộc đoạn
[
−𝜋;𝜋
]
là
{.
3.
|.
5.
}.
2.
~.
4.
Lời giải
Ta có sin𝑥=cos𝑥⇔tan𝑥=1⇔𝑥=
+ 𝑘𝜋, (𝑘∈ℤ).
Theo đề 𝑥∈
[
−𝜋; 𝜋
]
⇔−𝜋≤
+ 𝑘𝜋≤𝜋⇔−
≤𝑘≤
.
Mà 𝑘∈ℤ⇒𝑘∈
{
−1; 0
}
.
Vậy có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Số nghiệm trên đoạn
[
0;2𝜋
]
của phương trình sin2𝑥− 2cos𝑥=0 là
{.
4.
|.
3.
}.
2.
~.
1.
Lời giải
Ta có: sin2𝑥 − 2cos𝑥=0⇔2sin𝑥cos𝑥− 2cos𝑥=0⇔2cos𝑥
(
sin𝑥− 1
)
=0
⇔
󰇣
cos𝑥=0
sin𝑥=1
⇔𝑥=
+ 𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ.
Nghiệm trên đoạn
[
0;2𝜋
]
ứng với 0≤
+ 𝑘𝜋≤2𝜋⇔−
≤𝑘≤
.
Phân dạng bài tập
Ⓑ
①. Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo 1 hàm số lượng giác
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 70
Vì 𝑘∈ℤ nên chọn 𝑘=0, 𝑘=1 .
Vậy trên đoạn
[
0;2𝜋
]
phương trình đã cho có 2 nghiệm.
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin
𝑥− 3sin𝑥+ 1=0 thỏa điều kiện 0≤𝑥<
là
{. 𝑥=
. |. 𝑥=
. }. 𝑥=
~. 𝑥=

.
Lời giải
2sin
𝑥− 3sin𝑥 +1=0⇔
sin𝑥=1
sin𝑥=
1
2
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑥=
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋
𝑥=
𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
𝑥=
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
;𝑘∈ℤ.
Vì 0≤𝑥<
nên chỉ có nghiệm 𝑥=
.
Câu 2: Tập nghiệm 𝑆 của phương trình cos
𝑥− 3cos𝑥=0 là
{. 𝑆=
󰇥
−
󰇦
. |. 𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
}. 𝑆=
󰇥
󰇦
. ~. 𝑆=
󰇥
+ 𝑘𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
Lời giải
Chọn D
cos
𝑥− 3cos𝑥=0⇔
cos𝑥=0
cos𝑥=3(𝐿)
⇔𝑥=
+ 𝑘𝜋,𝑘∈ℤ.
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình sin
𝑥−5sin𝑥+ 4=0 là
{. 𝑆=
󰇥
+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
. |. 𝑆=
{
𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ
}
.
}. 𝑆=
{
𝑘𝜋,𝑘∈ℤ
}
. ~ . 𝑆=
󰇥
+ 𝑘𝜋,𝑘∈ℤ
󰇦
.
Lời giải
Ta có: sin
𝑥− 5sin𝑥+4=0 ⇔
sin𝑥=1
sin𝑥=4 (𝐿)
.
sin𝑥=1⇔𝑥=
+ 𝑘2𝜋,𝑘∈ℤ.
Câu 4: Tổng các nghiệm thuộc khoảng
(
0;𝜋
)
của phương trình 2cos
5𝑥+ 3cos5𝑥− 5=0 là
{.
. |.

. }.
𝟑𝝅
𝟓
. ~.
𝟗𝝅
𝟓
Lời giải
2cos
5𝑥+3cos5𝑥− 5=0⇔
cos5𝑥=1
cos5𝑥=−
5
2
(
𝐿
)
⇔5𝑥=𝑘2𝜋⇔𝑥=
𝑘2𝜋
5
;𝑘∈ℤ
Vì 𝒙 thuộc khoảng
(
0;𝜋
)
nên có 2 nghiệm thỏa mãn là 𝑥=

;𝑥=

Vậy tổng các nghiệm bằng

.
②. Dạng 2: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 71
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm của phương trình cos𝑥+sin𝑥=1là
{.
󰇩
𝑥=
+ 𝑘𝜋
𝑥=𝑘𝜋
. |.
󰇩
𝑥=
+ 𝑘𝜋
𝑥=𝑘2𝜋
. }.
󰇩
𝑥=
+ 𝑘2𝜋
𝑥=𝑘2𝜋
. ~.
󰇩
𝑥=
+ 𝑘2𝜋
𝑥=𝑘𝜋
.
Lời giải
Ta có cos𝑥+sin𝑥=1⇔
√
2cos
󰇡
𝑥−
󰇢
=1⇔cos
󰇡
𝑥−
󰇢
=
√
⇔
𝑥−
=
+ 𝑘2𝜋
𝑥−
=−
+ 𝑘2𝜋
⇔
󰇩
𝑥=
+ 𝑘2𝜋
𝑥=𝑘2𝜋
,𝑘∈ℤ.
Câu 2: Nghiệm của phương trình sin𝑥+
√
3cos𝑥=
√
2 là
{.𝑥=−
+ 𝑘2𝜋;𝑥=

+ 𝑘2𝜋. |.𝑥=−

+ 𝑘2𝜋;𝑥=


+ 𝑘2𝜋.
}.𝑥=
+ 𝑘2𝜋;𝑥=

+ 𝑘2𝜋. ~.𝑥=−
+ 𝑘2𝜋;𝑥=−

+ 𝑘2𝜋.
Lời giải
Ta có sin𝑥 +
√
3cos𝑥=
√
2⇔
sin𝑥+
√
cos𝑥=
√
⇔cos
sin𝑥+ sin
cos𝑥=sin
⇔sin
󰇡
𝑥+
󰇢
=sin
⇔
𝑥+
=
+ 𝑘2𝜋
𝑥+
=

+ 𝑘2𝜋
⇔
𝑥=−

+ 𝑘2𝜋
𝑥+
=


+ 𝑘2𝜋
,
(
𝑘∈ℤ
)
Câu 3: Tìm số nghiệm 𝑥∈
󰇣
−

;−
󰇢
của phương trình
√
3sin𝑥=cos
󰇡

− 2𝑥
󰇢
?
{. 4. |. 3. }. 1. ~. 2.
Lời giải
Ta có:
√
3sin𝑥=cos
3𝜋
2
− 2𝑥
⇔
√
3sin𝑥+ sin2𝑥=0⇔
√
3sin𝑥+ 2sin𝑥cos𝑥=0
⇔sin𝑥
√
3 + 2cos𝑥
=0⇔
sin𝑥=0
cos𝑥=cos
5𝜋
6
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑥=𝑘𝜋
𝑥=
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
𝑥=−
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
,𝑘∈ℤ.
+ Ta có:
𝑥=𝑘𝜋∈
−
3𝜋
2
;−
𝜋
2
⇔−
3𝜋
2
≤𝑘𝜋<−
𝜋
2
⇔−
3
2
≤𝑘<−
1
2
⇔𝑘=−1
(
𝑑𝑜 𝑘∈ℤ
)
.
𝑥=
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋∈
−
3𝜋
2
;−
𝜋
2
⇔−
3𝜋
2
≤
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋<−
𝜋
2
⇔−
14
12
≤𝑘<−
8
12
⇔𝑘
=−1
(
𝑑𝑜 𝑘∈ℤ
)
.
③. Dạng 3: Phương trình a.sinx+b.cosx=c
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 72
𝑥=−
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋∈
−
3𝜋
2
;−
𝜋
2
⇔−
3𝜋
2
≤−
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋<−
𝜋
2
⇔−
4
12
≤𝑘<
2
12
⇔𝑘
=0
(
𝑑𝑜 𝑘∈ℤ
)
.
Vậy phương trình
√
3sin𝑥=cos
󰇡

− 2𝑥
󰇢
có 3 nghiệm 𝑥∈
󰇣
−

;−
󰇢
.
. Bài tập minh họa:
Câu 1: Điều kiện để phương trình: 3sinx + mcosx=5 vô nghiệm là
{.
󰇣
m≤−4
m≥4
. |. m>4. }. m<−4. ~. −4<m<4.
Lời giải
Phương trình 3sin𝑥+ 𝑚cos𝑥=5 vô nghiệm khi và chỉ khi 3
+ 𝑚
<5
⇔𝑚
<16⇔
−4<𝑚<4.
Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình
(
𝑚+ 1
)
sinx − 3cos𝑥=𝑚+ 2 có nghiệm
là
{.
(
3; +∞
)
. |.
(
−∞; 3
)
. }.
[
3; +∞
)
. ~.
(
−∞; 3
]
.
Lời giải
Phương trình có nghiệm khi
(
𝑚+ 1
)
+ 3
≥
(
𝑚 + 2
)
⇔−2𝑚≥−6⇔𝑚≤3.
Câu 3: Điều kiện của 𝑚 để phương trình 𝑚sin𝑥− 3cos𝑥=5 có nghiệm là.
{. 𝑚≥
√
34. |. −4≤𝑚≤4. }.
󰇣
𝑚≤−4
𝑚≥4
.
~. 𝑚≥4.
Lời giải
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 𝑚sin𝑥− 3cos𝑥=5 là
𝑚
+ 9≥25⇔
󰇣
𝑚≤−4
𝑚≥4
.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để phương trình 2𝑠𝑖𝑛
𝑥+𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥=2𝑚 vô nghiệm?
{.
󰇩
𝑚≤0
𝑚≥
. |. 0≤𝑚≤
. }. 0<𝑚<
. ~.
󰇩
𝑚<0
𝑚>
.
Lời giải.
Ta có: 2𝑠𝑖𝑛
𝑥+ 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥=2𝑚⇔𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 −𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑚−1
(
1
)
Điều kiện phương trình
(
1
)
vô nghiệm là: 𝑚
+ 1<
(
2𝑚 −1
)
⇔3𝑚
− 4𝑚>0⇔
󰇩
𝑚<0
𝑚>
.
Vậy với
󰇩
𝑚<0
𝑚>
thì phương trình trên vô nghiệm.
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 𝑚 thuộc đoạn
[
0;10
]
để phương trình
(
𝑚+ 1
)
sin𝑥− cos𝑥=1− 𝑚 có nghiệm.
{. 21. |. 18. }. 20. ~. 11.
Lời giải
④. Dạng 4: Phương trình lượng giác có chứa tham số.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 73
Phương trình
(
𝑚 +1
)
sin𝑥− cos𝑥=1− 𝑚có nghiệm
⇔
(
𝑚 + 1
)
+
(
−1
)
≥
(
1 − 𝑚
)
⇔𝑚≥−
.
Vì 𝑚 nhận giá trị nguyên thuộc đoạn
[
0;10
]
nên có 11 giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
{.
3sin 2x
.
|.
1 1
cos 4
4 2
x
.
}.
2sin 3cos 1x x
.
~.
2
cot cot 5 0x x
.
Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình
2sin 3 0x
.
{.
x
.
|.
3
arcsin 2
2
3
arcsin 2
2
x k
k
x k
.
}.
3
arcsin 2
2
3
arcsin 2
2
x k
k
x k
.
~.
x
.
Câu 3: Nghiệm của phương trình
2
sin 4sin 3 0x x
là
{.
2 ,
2
x k k
.
|.
2 ,
x k k
.
}.
2 ,
2
x k k
.
~.
2 ,
x k k
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
{.
tan 3x
.
|.
sin 3 0x
.
}.
3sin 2 0x
.
~.
2
2cos cos 1 0x x
.
Câu 5: Giải phương trình
2
3sin 2cos 2 0x x
.
{.
,
2
x k k
.
|.
,x k k
.
}.
2 ,x k k
.
~.
2 ,
2
x k k
.
Câu 6: Nghiệm của phương trình lượng giác
2
sin 2sin 0x x
có nghiệm là:
{.
2x k
.
|.
x k
.
}.
2
x k
.
~.
2
2
x k
.
Câu 7: Nghiệm của phương trình
2
2 sin – 3sin 1 0x x
thỏa điều kiện:
0
2
x
.
{.
6
x
.
|.
4
x
.
}.
2
x
.
~.
2
x
.
Bài tập rèn luyện
Ⓒ
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 74
Câu 8: Nghiệm dương bé nhất của phương trình:
2
2sin 5sin 3 0
x x
là:
{.
6
x
. |.
2
x
. }.
3
2
x
. ~.
5
6
x
.
Câu 9: Phương trình
cos2 4sin 5 0
x x
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
0;10
?
{.
5
. |.
4
. }.
2
. ~.
3
.
Câu 10: Phương trình lượng giác
2
cos 2cos 3 0
x x
có nghiệm là:
{.
2 .
x k
|.
0
x
. }.
2
2
x k
. ~. Vô nghiệm.
Câu 11: Cho phương trình:
cos2 sin 1 0
x x
*
. Bằng cách đặt
sin
t x
1 1
t
thì phương
trình
*
trở thành phương trình nào sau đây?
{.
2
2 0
t t
. |.
2
2 0
t t
. }.
2
2 2 0
t t
. ~.
2
0
t t
.
Câu 12: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10
của phương trình
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
.
{.
105
2
. |.
105
4
. }.
297
4
. ~.
299
4
.
Câu 13: Số nghiệm của phương trình
2
2sin 2 cos2 1 0
x x
trong
0;2018
là
{.
1009
. |.
1008
. }.
2018
. ~.
2017
.
Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
2
cos cos 0
x x
thỏa mãn điều kiện 0 x
.
{.
2
x
. |.
0
x
. }.
x
. ~.
4
x
.
Câu 15: Nghiệm của phương trình
2
3cos – 8 cos – 5
x x
là
{.
x k
. |.
2
x k
. }.
2
x k
. ~.
2
2
x k
.
Câu 16: Giải phương trình
2
2sin 3sin 2 3
x x
{.
3
x k
. |.
3
x k
. }.
2
3
x k
. ~.
5
3
x k
.
Câu 17: Giải phương trình
2 2 2
sin sin tan 3
x x x
.
{.
6
x k
. |.
6
2
x k
. }.
3
x k
. ~.
3
2
x k
.
Câu 18: Giải phương trình
4 4
4 sin cos 5cos 2 .
x x x
{.
6
x k
. |.
24 2
k
x
. }.
12 2
k
x
. ~.
6 2
k
x
.
Câu 19: Giải phương trình
2
4
cos cos
3
x
x
.
{.
3
3
4
5
3
4
x k
x k
x k
. |.
4
5
4
x k
x k
x k
. }.
3
3
4
x k
x k
. ~.
3
5
3
4
x k
x k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 75
Câu 20: Nghiệm của phương trình:
sin cos 1
x x
là
{.
2
x k
. |.
2
2
2
x k
x k
. }.
2
4
x k
. ~.
2
4
2
4
x k
x k
.
Câu 21: Phương trình
2
2sin 3sin2 3
x x
có nghiệm là
{.
3
x k
. |.
2
3
x k
. }.
4
3
x k
. ~.
5
3
x k
.
Câu 22:
Điều kiện có nghiệm của pt .sin5 .cos5
a x b x c
là
{.
2 2 2
a b c
. |.
2 2 2
a b c
. }.
2 2 2
a b c
. ~.
2 2 2
a b c
.
Câu 23: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
{.
3sin 2
x
. |.
1 1
cos 4
4 2
x
.
}.
2sin 3cos 1
x x
. ~.
2
cot cot 5 0
x x
.
Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình
5sin 12cos
x x m
có nghiệm?
{.
13
. |. Vô số. }.
26
. ~.
27
.
Câu 25: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
sinx sin( )
3
y x
bằng
a
và
b
. Khi đó
S a b ab
có giá trị bằng
{.
3
|.
2
}.
3
~.
3
Câu 26: Cho phương trình
2
2 sin cos 4cos 5
m x x x m
, với
m
là một phần tử của tập hợp
3; 2; 1;0;1;2
E
. Có bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đã cho có nghiệm?
{.
3
. |.
2
. }.
6
. ~.
4
.
Câu 27: Số nghiệm thuộc
3
;
2
của phương trình
3
3 sin cos 2
2
x x
là:
{.
3
. |.
1
. }.
2
. ~.
0
.
Câu 28: Nghiệm của phương trình
sin 3 cos 2
x x
là:
{.
5
2 ; 2
12 12
x k x k
. |.
3
2 ; 2
4 4
x k x k
.
}.
2
2 ; 2
3 3
x k x k
. ~.
5
2 ; 2
4 4
x k x k
.
Câu 29: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của
a
để phương trình
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
có
nghiệm
{.
3
a
|.
2
a
}.
1
a
~.
1
a
Câu 30: Nghiệm của phương trình
cos sin 1
x x
là:
{.
2 ; 2
2
x k x k
. |.
; 2
2
x k x k
.
}.
; 2
6
x k x k
. ~.
;
4
x k x k
.
Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
sin cos 5
2 2
x x
m
có nghiệm.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 76
{.
2
2
m
m
. |.
2
2
m
m
. }.
2 2
m
. ~.
2 2
m
.
Câu 32: Phương trình
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0
x x
có các nghiệm là:.
{.
2
4
2
6
x k
x k
. |.
2
2
2
3
x k
x k
. }.
2
6
2
9
x k
x k
. ~.
2
8
2
12
x k
x k
.
Câu 33: Tìm số các giá trị nguyên của
m
để phương trình
cos 2 sin 2 1 0
m x m x m
có
nghiệm.
{.
0
|.
3
}. vô số ~.
1
Câu 34:
Nghiệm của phương trình
sin cos3
0
x x
là:
{.
6
x k
. |.
3
x k
. }.
3
x k
. ~.
6
x k
.
Câu 35: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình:
2 cos3 sin cos
x x x
.
{.
2
. |.
3
. }.
3
2
. ~.
.
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để phương trình
sin 3cos 2
3 3
x x m
vô nghiệm.
{.
21.
|.
20.
}.
18.
~.
9.
Câu 37: Cho phương trình
sin 4cos 2 5
m x x m
với
m
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của
m
để phương trình có nghiệm?
{.
4
. |.
7
. }.
6
. ~.
5
.
Câu 38: Phương trình:
3
3sin3 3 sin9 1 4sin 3
x x x
có các nghiệm là:
{.
2
6 9
7 2
6 9
x k
x k
. |.
2
9 9
7 2
9 9
x k
x k
. }.
2
12 9
7 2
12 9
x k
x k
. ~.
54 9
2
18 9
x k
x k
.
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
sin 1 .cos 5
2 2
x x
m
vô
nghiệm?
{.
3
m
hoặc
1
m
. |.
1 3
m
.
}.
3
m
hoặc
1
m
. ~.
1 3
m
.
Câu 40: Hàm số
2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 3
x x
y
x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
{.
1.
. |.
2.
}.
3.
~.
4.
Câu 41: Tổng tất cả các giá trị nguyên của
m
để phương trình
4 sin 4 cos 2 5 0
x m x m
có nghiệm là:
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 77
{.
5
|.
6
}.
10
~.
3
Câu 42: Tìm m để phương trình
sin 5cos 1
m x x m
có nghiệm.
{.
12
m
. |.
6
m
}.
24
m
. ~.
3
m
.
Câu 43: Với giá trị lớn nhất của
a
bằng bao nhiêu để phương trình
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
có nghiệm?
{.
2
. |.
11
3
. }.
4
. ~.
8
3
.
Câu 44: Để phương trình
sin 2 os2 2
m x c x
có nghiệm thì
m
thỏa mãn
{.
1.
m
|.
3
.
3
m
m
}.
2
.
2
m
m
~.
1.
m
Câu 45: Tìm
m
để phương trình 2sin cos 1
x m x m
có nghiệm
;
2 2
x
{.
1 3
m
. |.
3
2
m
. }.
1 3
m
. ~.
3
2
m
.
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
2sin x + msin2x = 2m
vô nghiệm?
{.
0
4
3
m
m
. |.
4
0
3
m
. }.
4
0
3
m
. ~.
0
4
3
m
m
.
Câu 47: Điều kiện để phương trình
.sin 3cos 5
m x x
có nghiệm là:
{.
4
m
. |.
4 4
m
. }.
34
m
. ~.
4
4
m
m
.
Câu 48: Tìm
m
để phương trình
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
m
x x
có nghiệm.
{.
2 0
m
|.
0 1
m
}.
2
2
11
m
~.
2 1
m
Câu 49: Để phương trình:
2
sin 2 1 sin 3 2 0
x m x m m
có nghiệm, các giá trị thích hợp của
tham số
m
là:
{.
1 1
2 2
1 2
m
m
. |.
1 1
3 3
1 3
m
m
. }.
2 1
0 1
m
m
. ~.
1 1
3 4
m
m
.
Câu 50: Cho phương trình:
sin cos sin cos 0
x x x x m
, trong đó
m
là tham số thự}. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là
{.
1
2 2
2
m
. |.
1
2 1
2
m
.
}.
1
1 2
2
m . ~.
1
2 1
2
m
.
ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16 17 18
19
C A C B C B A A A A A A C A B B C A A
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 78
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B A A C D C A C A B A A B D A C C C D D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A A D B A D A C B D
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Lời giải
Chọn C
Phương trình
2sin 3cos 1
x x
có
2 2 2
2 3 1
. Vậy phương trình
2sin 3cos 1
x x
có nghiệm.
Câu 2.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3
2sin 3 0 sin 1
2
x x
nên phương trình vô nghiệm.
Câu 3.
Lời giải
Chọn C
2
sin 4sin 3 0
x x
sin 1
sin 3
x
x
.
Với
sin 1
x
2 ,
2
x k k
.
Với
sin 3
x
phương trình vô nghiệm.
Câu 4.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1 sin 1
x
nên phương trình
sin 3 0 sin 3
x x
vô nghiệm.
Câu 5.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
3sin 2cos 2 0
x x
2
3cos 2cos 5 0
x x
cos 1
x
2 ,x k k
.
Câu 6.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 79
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
sin 0
sin 2sin 0 sin sin 2 0 .
sin 2
x
x x x x
x
Vì
1 sin 1
x
nên chỉ có
sin 0
x
thỏa mãn. Vậy ta có
sin 0 ,
x x k
.
k
Câu 7.
Lời giải
Chọn A
2
2sin – 3sin 1 0
x x
2
2
sin 1
2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
Vì
0
2
x
nên nghiệm của phương trình là
6
x
.
Câu 8.
Lời giải
Chọn A
2
sin 3
2sin 5sin 3 0
1
sin
2
x
x x
x
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
.
Câu 9.
Lời giải
Chọn A
PT đã cho
2
2sin 4sin 6 0
x x
sin 1
sin 3
x
x VN
2 ,
2
x k k
.
Theo đề:
0;10
x
0 2 10
2
k
1 21
4 4
k
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 80
Vì k
nên
1;2;3;4;5
k
. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng
0;10
.
Câu 10.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
cos 2 cos 3 0.
x x
Đặt
cos
x t
với điều kiện
1 1,
t
ta được phương trình bậc hai theo
t
là
2
2 3 0.
t t
*
Phương trình
*
có hai nghiệm
1
1
t
và
2
3
t
nhưng chỉ có
1
t
thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có
cos x 1 2 ,
x k
.
k
Câu 11.
Lời giải
Chọn A
2 2 2
cos 2 sin 1 0 1 2sin sin 1 0 2sin sin 0 2 0
x x x x x x t t
.
Câu 12.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
sin 2 3sin 2 2 0
x x
sin 2 1
sin 2 2
x
x
(loaïi)
sin 2 1
x
4
x k
,
k
.
Theo đề bài:
0 10
4
k
1 41
4 4
k
1, 2,...,10
k
.
Vậy tổng các nghiệm là:
3 3 3
... 9
4 4 4
S
105
2
.
Câu 13.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2sin 2 cos2 1 0
x x
2
2 1 cos 2 cos2 1 0
x x
2
2cos 2 cos2 3 0
x x
cos2 1
3
cos2 ( / )
2
x
x ko t m
cos2 1
x
2 2
x k k Z
2
x k
Để
0;2018
x
0 2018 ,
2
k k Z
1 1
2018 ,
2 2
k k Z
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 81
0;2017 ,
k k Z
.
Khi đó phương trình có 2018 nghiệm.
Vậy chọn đáp án 𝐶.
Câu 14.
Lời giải
Chọn {.
Ta có
2
cos 0
cos cos 0
2
cos 1
2
x
x k
x x
x
x k
k
.
Với
2
x k
, do 0 x
nên ta được
2
x
.
Với
2
x k
, do 0 x
nên không có
x
nào thỏa mãn.
Câu 15.
Lời giải
Chọn B
2
3cos – 8 cos – 5
x x
2
cos 1
3cos 8cos 5 0 2
5
cos 1
3
x
x x x k k
x
.
Câu 16.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2sin 3sin 2 3
x x
1 cos 2 3sin 2 3
x x
3sin 2 cos2 2
x x
3 1
sin 2 cos 2 1
2 2
x x
sin 2 1
6
x
2 2
6 2 3
x k x k
.
Câu 17.
Lời giải
Chọn C
ĐK:
cos 0
2
x x k
.
4 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
sin sin cos
sin sin tan 3 3 sin sin cos 3cos
cos
x x x
x x x x x x x
x
2
tan 3 tan 3
3
x x x k
(tm).
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 82
Câu 18.
Lời giải
Chọn A
4 4 2 2
4 sin cos 5cos 2 4 1 2sin cos 5cos 2
x x x x x x
2 2 2
4 2sin 2 5cos 2 4 2 1 cos 2 5cos 2 2cos 2 5cos 2 2 0
x x x x x x
1
cos2
cos2 cos 2 2
2
3 3 6
cos2 2 ( )
x
x x k x k
x l
.
Câu 19.
Lời giải
Chọn A
2
4 4 1 cos 2 2 2
cos cos cos 2cos 2. 1 cos3.
3 3 2 3 3
x x x x x
x
2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
2 2cos 1 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos 3 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x
2
2
2
3
cos 1
23
2
3 6
2 3
cos
2 5
3 2
2
3 6
x
k
x
x
k
x
x
k
3
3
4
5
3
4
x k
x k
x k
.
Câu 20.
Lời giải
Chọn B
sin cos 1 2 sin 1
4
x x x
2
1
4 4
sin
4
2
2
4 4
x k
x
x k
2
2
2
x k
x k
.
Câu 21.
Lời giải
Chọn A
Phương trình tương đương
3sin2 cos2 2
x x
sin 2 1 2 1
6 6 3
x x x k
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 83
Câu 22.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm
Câu 23.
Lời giải
Chọn C
Phương trình
2sin 3cos 1
x x
có
2 2 2
2 3 1
. Vậy phương trình
2sin 3cos 1
x x
có nghiệm.
Câu 24.
Lời giải
Chọn D
Phương trình 5sin 12cos
x x m
có nghiệm khi và chỉ khi
2
2 2
5 12
m
2
169
m
13 13
m
.
Suy ra có
27
số nguyên
m
để phương trình 5sin 12cos
x x m
có nghiệm.
Câu 25.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1 3 3 3
sinx sinx cos x sinx x
2 2 2 2
y cos
.
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm số khi đó phương trình
0
3 3
sinx x
2 2
y cos
có nghiệm khi và chỉ khi
2
0 0
9 3 12
3 3
4 4 4
y y
.
Suy ra
3, 3
a b
Vậy
3
S a b ab
Câu 26.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2 sin cos 4cos 5
m x x x m
1 cos 2
sin 2 4 5
2
x
m x m
sin 2 2cos2 3
m x x m
.
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
5
4 3
9
m m m
.
Vậy có ba giá trị của
m E
để phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 27.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 84
Lời giải
Chọn C
Ta có
3
3 sin cos 2
2
x x
3 sin sin 2x x
3sin sin 2 3sin 2sin cos
x x x x x
sin 0
5
3 5
2
cos cos
6
2 6
x
x k
x k
x
k
.
Bài ra
3
;
2
x
nên
3
; 1
2
k k x
.
5 3 7
2 ; 1
6 2 6
k k x
.
5 3
2 ;
6 2
k k x
.
Do đó số nghiệm thuộc
3
;
2
của phương trình đã cho là
2
.
Câu 28.
Lời giải
Chọn A
sin 3 cos 2
x x
1 3 2
sin cos cos .sin sin .cos sin
2 2 2 3 3 4
x x x x
2
2
3 4
12
sin sin
3 5
3 4
2 2
3 4 12
x k
x k
x k
x k x k
.
Câu 29.
Lời giải
Chọn B
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
1 cos 2 1 cos 2
2sin 2 3 2
2 2
x x
a x a
cos2 4sin 2 3 3 cos2 4
a a x x a a x
4sin 2 2 cos 2 4 4
x a x a
*
*
có nghiệm khi
2
2 2
4 4 4 4
a a
2
12 32 0
a a
2
12 32 0
a a
8
0
3
a
.
Do a
và là số lớn nhất nên
2
a
.
Câu 30.
Lời giải
Chọn A
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 85
cos sin 1
x x
2
2
4 4
2 sin 1 sin
3
4 4 2
2
4 4
x k
x x
x k
2
2
2
x k
k
x k
.
Câu 31.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
2
2 2 2
2
1 5 4
2
m
m m
m
.
Câu 32.
Lời giải
Chọn B
Phương trình tương đương
3sin cos sin 3 cos 3 1 0
x x x x
2sin 2sin 1 3 4cos .sin 1 3
6 3 12 3
3 1 5
cos cos cos
12 12 12
2 2
2
2
2
3
x x x
x x
x k
x k
Câu 33.
Lời giải
Chọn D
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2
2
2 2 1
m m m
2
2 3 0
m
3 3
2 2
m
Vậy có
1
giá trị nguyên.
Câu 34.
Lời giải
Chọn A
1
sin cos 0 sin .cos 0
3
3 .
sin 0
2 62
x x x x x
6 6
x k x k k Z
.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 86
Câu 35.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2 cos3 sin cos
x x x
cos3 cos
4
x x
8
16 2
x k
k
x k
.
Vì
0;
x
nên nhận
7
8
x
,
16
x
,
9
16
x
.
Câu 36.
Lời giải
Chọn C
Phương trình vô nghiệm
2
2
2 2
1
1 3 2 4 4 0
1
m
m m
m
.
10;10
10; 9; 8;...; 2; 2;...;8;9;10
m
m
m
có
18
giá trị.
Câu 37.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện để phương trình
sin 4cos 2 5
m x x m
có nghiệm là
2
2 2
10 73 10 73
16 2 5 3 20 9 0
3 3
m m m m m
.
Vậy
1, 2,3,4,5,6
m
.
Câu 38.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3 3
3sin3 3 cos9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1
x x x x x x
2
9 2
1
3 6 54 9
sin 9 3 cos9 1 sin 9
5 2
3 2
9 2
3 6 18 9
k
x k x
x x x
k
x k x
.
Câu 39.
Lời giải
Chọn D
Phương trình
sin 1 .cos 5
2 2
x x
m
vô nghiệm khi
2 2 2
a b c
2
2
1 1 5 2 3 0 1 3
m m m m
.
Câu 40.
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 87
Lời giải
Chọn B
Ta có
2sin 2 cos 2
2 sin 2 1 cos 2 3 .
sin 2 cos 2 3
x x
y y x y x y
x x
.
Điều kiện để phương trình có nghiệm
2 2 2
2
2 1 3 7 2 5 0
y y y y y
.
5
1 1;0
7
y
y y
nên có
2
giá trị nguyên.
Câu 41.
Lời giải
Chọn A
4 sin 4 cos 2 5 0
x m x m
4 sin 4 cos 2 5
x m x m
.
Phương trình có nghiệm khi
2 2
2
4 4 2 5 0
m m
2
3 12 7 0
m m
6 57 6 57
3 3
m
Vì
m
nên
0,1,2, 3, 4
m
.
Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của
m
để phương trình có nghiệm là
10
.
Câu 42.
Lời giải
Chọn A
Phương trình có nghiệm
2
2
25 1 2 24 12
m m m m
.
Câu 43.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2 2
sin 2sin 2 3 cos 2
a x x a x
1 cos 2 x 1 cos 2 x
2sin 2 3 2
2 2
a x a
4sin 2 2 cos2 4 4 *
x a x a
.
Phương trình
*
có nghiệm
2
2
16 4 4 4
a a
2
12 32 0
a a
8
0
3
a
.
Câu 44.
Lời giải
Chọn B
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 88
2 2 2
2
sin 2 os2 2
1 2
sin 2x cos 2
1 1 1
2
sin 2
1
m x c x
m
x
m m m
x
m
có nghiệm khi
2
3
2
1 .
1
3
m
m m
Câu 45.
Lời giải
Chọn A
Đặt
tan
2
x
t
, do
;
2 2
x
suy ra
1;1
t
.
Phương trình trở thành tìm
m
để phương trình
2
2 2
4 1
. 1
1 1
t t
m m
t t
có nghiệm thuộc đoạn
1;1
.
Ta có
2
2 2
4 1
. 1
1 1
t t
m m
t t
.
Hoành độ đỉnh là
0
2
t
loại. Ta có
1 3
f
và
1 1
f
.
Suy ra
1 3
f t
. Vậy ta chọn đáp án {.
Câu 46.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2sin x + msin2x = 2m msin2x - cos2x = 2m - 1
1
Điều kiện phương trình
1
vô nghiệm là:
2
2 2
0
1 2 1 3 4 0
4
3
m
m m m m
m
.
Vậy với
0
4
3
m
m
thì phương trình trên vô nghiệm.
Câu 47.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện để phương trình
.sin 3cos 5
m x x
có nghiệm là
2 2 2 2
3 5 16
m m
4
4
m
m
.
Câu 48.
Lời giải
2
1 1
2
2 2
m t t f t
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 89
Chọn C
Ta có
2 cos s inx 4 0,x x
nên
cos 2sin 3
cos 2sin 3 2cos sin 4
2cos sin 4
x x
m x x m x x
x x
2 1 cosx- 2 s inx 4 3 0
m m m
(1)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
2
2
2 1 2 4 3 11 24 4 0 2
11
m m m m m m
Câu 49.
Lời giải
Chọn B
Đặt
t sin
x
2
3
2 1 3 2 0
2
t m
t m t m m
t m
sin 3
sin 2
x m
x m
Để phương trình có nghiệm thì
1 1
1 3 1
3 3
1 2 1
1 3
m
m
m
m
Câu 50.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
1
sin cos 2 sin cos
2
t
x x t t x x
. Khi đó ta có phương trình
2
2
1
0 2 2 1 0 *
2
t
t m t t m
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình
*
có nghiệm
2 2 0
2 1 2
1
1
2
2; 2 2 1.
1
2
2
2 1 2 2 2 0
2
2 1 2 2 2 0
m
s
m
t m
m
f m
f m
| 1/89
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Chương 1:
§➊. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tóm tắt lý thuyết Ⓐ ①. Hàm số sin . Hàm số sin:
➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi
số thực x với số thực sinx sin: R  R x
sinx được gọi là hàm số sin, Kí hiệu y = sinx ➋. Tính chất:  Tập xác định .  Tập giá trị: ,có nghĩa là .
 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và nghịch biến trên mỗi khoảng , . 
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1). Hình 1.
. Một số giá trị đặc biệt:   
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 1
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung ②. Hàm số cos . Hàm số côsin:
➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng
mỗi số thực x với số thực cosx cos: R  R x
cosx được gọi là hàm số cos, Kí hiệu y = cosx ➋. Tính chất:  Tập xác định .  Tập giá trị: ,có nghĩa là .
 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và nghịch biến trên mỗi khoảng , . 
là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2). Hình 2. Ta có
nên đồ thị của hàm số
được suy ra từ đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo vectơ
.Một số giá trị đặc biệt:   .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 2
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung ③. Hàm số tan . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa:
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức: y = (cosx  0) Kí hiệu là y = tanx. ➋. Tính chất:  Tập xác định:  Tâp giá trị là R.
 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . 
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng
làm đường tiệm cận. (Hình 3) Hình 3.
. Một số giá trị đặc biệt :   .  .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 3
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung ④. Hàm số cot . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa:
Hàm số cot là hàm số được xác định bởi công thức: y = (sinx  0) Kí hiệu là y = cotx. ➋. Tính chất:  Tập xác định: .  Tập giá trị: .
 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng . 
là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng
làm đường tiệm cận (Hình 4). Hình 4
. Một số giá trị đặc biệt :  .  .  .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 4
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Phân dạng bài tập Ⓑ ➊.Dạng 1 Tìm tập xác định .Ghi nhớ  xác định  xác định .  xác định xác định.  xác định xác định.  xác định xác định và .  xác định xác định và . . Bài tập minh họa: 
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y  tan(x  ) 6 Lời giải      2
Điều kiện: cos(x  )  0  x    k  x   k 6 6 2 3    2  TXĐ: D   \   k , k  .  3  2
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số 2 y  cot (  3x) 3 Lời giải      2 2 2 Điều kiện: sin(  3x)  0   3x  k  x   k 3 3 9 3     2  TXĐ: D   \   k , k  .  9 3  tan 2x 
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số y   cot(3x  ) sin x 1 6 Lời giải   s  in x  1  x    k2     Điều kiện: 2     sin(3x  )  0  k  6 x     18 3      k 
Vậy TXĐ: D   \   k2 ,   ; k    2 18 3  tan 5x
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số y  sin 4x  cos3x Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 5
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung    
Ta có: sin 4x  cos3x  sin 4x  sin  3x    2   x    7x    2cos  sin       2 4   2 4      cos5  0 x   k x  10 5          x Điều kiện: cos   0    x   k2   2 4  2     k2  7x    s  in 0 x         14 7   2 4         k k 2 
Vậy TXĐ: D   \   ;  k 2 ,    . 10 5 2 14 7 
➋.Dạng 2 Tuần hoàn, chu kỳ .Ghi nhớ  Hàm số
là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số
là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số
là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số
là một hàm số tuần hoàn với chu kì  Nếu hàm số
chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là
thì hàm số có chu kì là bội chung nhỏ nhất của .  Nếu hàm số
tuần hoàn với chu kì T thì hàm số (c là hằng số)
cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T. . Bài tập minh họa:
Câu 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: 2 y  cos x 1. Lời giải   1 cos 2x 1 1 Ta biến đổi: 2 y  cos x 1  1  cos 2x  . 2 2 2   2
Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì     . 2  2   2 
Câu 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y  sin x .cos x     .  5   5  Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 6
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   2   2  1  4  Ta biến đổi: y  sin x .cos x  sin x       .  5   5  2  5    2 5
Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì    .  4  2    5 
Câu 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y  cos x  cos 3.x Lời giải
 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương  thỏa :
 f x    f x  cosx    cos 3  x    cos x  cos 3x cos   1    2n   m
x  0  cos   cos 3  2      3  vô lí, do
cos 3  1  3  2m n m ,
m n    là số hữu tỉ. n
 Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. 1
Câu 4: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: y  . sin x Lời giải
 Tập xác định: D   \k,k    . 1 1
 Ta xét đẳng thức f x    f x        x   sin  x  sin .x sin sin x      
 Chọn x  thì sin x  1 và do đó sin
   1      k2 , k  .  2    2  2 2
 Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2 . 1 1
 Rõ ràng x  D, x  k2  D, x  k2  D và f  x  k2     f x sin x  k2    sin x
 Vậy f là hàm số tần hoàn với chu kì   2 .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 7
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung ➌.Dạng 3 Tính chẵn, lẻ .Ghi nhớ
 cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx  sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x
. Tìm chu kỳ của hàm số  Bước 1 : Tìm TXĐ của hàm số
 Bước 2 : Chứng minh là tập đối xứng, nghĩa là
 Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) . Có 3 khả năng:
. Chú ý: Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm số lẻ. y=cosxlà hàm chẵn . Bài tập minh họa:
Câu 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số    {. y  f  x 9  sin 2x   
|. y  f  x  tan x  cot x  2  Lời giải
{. Tập xác định D   , là một tập đối xứng. Do đó x   D thì x  D .           Ta có f  x 9  sin 2x 
 sin 2x   4  sin 2x   cos 2x       .  2   2   2 
 Có f x  cos 2
 x  cos2x  f x .
 Vậy hàm số f x là hàm số chẵn.   cos x  0 x   k
|. Hàm số có nghĩa     2 (với k,l   ). s  in x  0 x  l   
Tập xác định D   \   k,l k,l , là một tập đối xứng. Do đó x   D thì  2  x D
 Ta có f x  tanx  cot x   tan x  cot x  tan x  cot x   f  x.
 Vậy hàm số f x là hàm số lẻ.
Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 7 y  tan 2 . x sin 5x Lời giải     k
Hàm số có nghĩa khi cos 2x  0  2x   k  x   , k   . 2 4 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 8
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung    k 
Tập xác định D   \  
, k   , là một tập đối xứng. Do đó x   D thì  4 2  x D .  Ta có f x 7 7  tan ( 2  x).sin( 5  x)  tan 2 . x sin 5x  f  x .
 Vậy hàm số f x là hàm số chẵn. ➍.Dạng 4 GTLN-GTNN .Ghi nhớ  ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B 
 Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn thì
 Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn thì  . Bài tập minh họa:
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y  4sin xcos x  1 2. 2 y  4  3sin 2x Giải
1. Ta có y  2sin 2x  1. Do 1   sin 2x  1 2   2sin 2x  2  1   2sin 2x  1  3  1   y  3.   * y  1   sin 2x  1
  2x    k2  x    k. 2 4 
* y  3  sin 2x  1  x   k . 4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 2. Ta có: 2 2
0  sin x  1 1  4  3sin x  4  * 2
y  1  sin x  1  cos x  0  x   k. 2 * 2
y  4  sin x  0  x  k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau y  x  1 sin
trong khoảng 0  x   sin x
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 9
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Giải 1
Vì 0  x   nên 0  sin x  1,do đó sin x  sin x 
Vậy hàm số đạt giá trị , lớn nhất là 0 tại sin x  1  x  . 2 Bài tập trắc nghiệm Ⓒ 1 2x
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y  . sin 2x  
{. D   \k ,k    .
|. D   \   k2 ,k2 ,k  .  2      
}. D   \   k ,k  .
~. D   \ k ,k .  2   2  3
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số y  cos x 1  {. 
D   \   k2 ,k  .
|. D   \k2 , k    .  2 
}. D   \  k2 ,k    .
~. D   \  k ,k    .
Câu 3: Tập xác định của hàm số y  sin x 1 là     {.  . |. k | k    .
}.   k2 | k . ~.   k | k  .  2   2  1
Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin x
{. D   \k2,k    .
|. D   \  k2 ,k    .     
}. D   \   k2 ,k  .
~. D   \   k2 , k .  2   2 
Câu 5: Tập xác định D của hàm số y  tan 3x là k   k  {. D   \  , k  . |. D   \   , k  .  3   6 3   
}. D   \k,k    .
~. D   \   k ,k  .  2  tan x
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số y  . sin x 1   {. .
|.  \   k2 , k  .  2   
}.  \   k ,k  . ~.  \k ,k    .  2    
Câu 7: Tập xác định của hàm số y  tan 2x    là  6       k 
{.  \   k ,k . |.  \   , k .  2   6 2 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 10
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung    k 
}.  \   k ,k . ~.  \   , k .  6   6 2 
Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số y  1 cos x  cot x . {.  \k , k    . |. ;  1 .  
}.  \   k , k  .` ~.  1  ;  1 \   0 .  2  sin x 1 Câu 9: Hàm số y  có tập xác định là 3  sin x  
{.  \   k2 | k  |.  .  2    }.  .
~.   k2 | k .  2  1 cos x
Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y  . 1 sin x   {.  \k | k    .
|.  \   k2 | k .  2  }.  . ~.  \k2 | k    . cot x
Câu 11: Tập xác định của hàm số y  là cos x 1      {.  \ k ,k  .
|.  \   k ,k .  2   2  }.  \k ,k    . ~.  \k2,k    .
Câu 12: Tập xác định của hàm số f  x 1  là 1 cos x    {.  \   2k   1 k . |.  \   2k  1 k    .  2  }.  \k k    . ~.  \k2 k    . 1
Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y     sin x     2  k 
{. D  R \(2k 1) , k    |. D  R \  ,k   2     }. D  R \ (  2k 1) ,k  ~. D  R \k ,k     2  tan 2x Câu 14: Hàm số y  có tập xác định là 1 tan x    {.  .
|.  \   k | k .  4 2       
}.  \   k | k .
~.  \   k ,  k | k  .  2   4 2 2 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 11
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung x 3  cot
Câu 15: Tập xác định của hàm số 2 y  là: cos x 1 {.  \k k    . |.  \k2 k    .  
}.  \  k2 k    .
~.  \   k2 k .  2  Câu 16: Cho các hàm số   tan x  3 2cos x 1 1 y  sin 3x . 2 y  . 3 y  . 2 cos x  2 2 sin x 1  x  4 y  1 sin x .   2cos 3 5 y  . sin x 1
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  {. 4 . |. 1. }. 3 . ~. 2 cos x  2
Câu 17: Tập xác định của hàm số y  là 1 sin x    {.  \k | k    .
|.  \   k | k  .  2     }.  \k2 | k    .
~.  \   k2 | k .  2  1
Câu 18: Tập xác định của hàm số y  là sinx 1    {.  
 \   k2 ,k  .
|.  \   k2 , k  .  2   2    
}.  \   k ,k . ~.  .  2  s inx 1
Câu 19: Tập xác định của hàm số y  là s inx  2 {.  2  ;  |. 2;  }.  \  2 . ~.  . 2sin x 1 Câu 20: Hàm số y  xác định khi 1 cos x   {. x   k2 . |. x  k . }. x  k 2 . ~. x   k 2 2
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
{. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số chẵn.
|. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ.
}. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số chẵn.
~. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số lẻ.
Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  cot 4x . |. y  tan 6x . }. y  sin 2x . ~. y  cos x .
Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? {. y  tan x . |. y  cos x . }. y  sin x . ~. y  cot x .
Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  cos x . |. y  tan x . }. y  sin x . ~. y  cot x.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 12
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y  1 sin x . |. y  . x tan x . }. 5 y  sin x . ~. 2 y  cos . x sin x .
Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  2  sin x . |. y  2sin 2x .
}. y  sin x  cos x . ~. y  2  cos x
Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?       {. y  sin  x  . |. y  tan x . }. y  sin x . ~. y  sin x    .  2   6  1 Câu 28: Cho hàm số y 
. Phát biểu nào sau đây đúng? cos x
{. Hàm số có tập xác định là  \  0 .
|. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.  
}. Hàm số đó là hàm số lẻ trên D   \   k ,k  .  2 
~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên  .
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. 2 y  x cos x . |. y  sin 2x . }. 2 y  sin x . ~. y  cos 2x .
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?       1 {. y  sin x   tan x      . |. y  tan x  .  4   4  sin x }. 4 4 y  sin x  cos x . ~. y  cos x .
Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. {. y  cot x . |. y  sin x . }. y  tan x . ~. y  cos x .
Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?  {.   y  cos x    . |. y  sin x . }. y  1  sin x . ~. y  sin x  cos x .  3 
Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  tan x . |. y  sin x . }. y  cos x . ~. y  cot x .
Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? {. y  sin x . |. y  2sin x . }. y  sin 2x . ~. y  2  sin x . 
Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì T  ? 2 x x {. y  tan . |. y  tan . }. y  tan 3x . ~. y  tan 2x . 3 2
Câu 36: Chọn khẳng định sai?
{. Hàm số y  tan x  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . |. Hàm số y  o
c s x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
}. Hàm số y  cot x  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì .
~. Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì  .   
Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cot 3x    là  6  2  {.  . |. . }. . ~. 2 . 3 3
Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 13
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
{. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì  .
|. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . 
}. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì . 2
~. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  .
Câu 39: Trong bốn hàm số:  
1 y  cos2x; 2 y  sin x ; 3 y  tan 2x ; 4 y  cot 4x có mấy hàm số
tuần hoàn với chu kỳ  ? {. 3. |. 2 . }. 0 . ~. 1.
Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
{. y  cos x tuần hoàn với chu kỳ  .
|. y  cos x là hàm nghịch biến trên 0;  .
}. y  cos x là hàm chẵn.
~. y  cos x có tập xác định  . 1 1 Câu 41: Hàm số y   có chu kì là: 2 2 1 tan x 1cot 2x  {. T  . |. T  2 . }. T   . ~. T  4 . 2
Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x là {.  . |. 2 . }. k , ( k   ). ~. k2 , ( k   ).
Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  tan x là  {. 2 |.  }. ~. 3 2
Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cos x  {. T  . |. T   . }. T  2 . ~. T  2 . 2
Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2x  5 lần lượt là {. –8 và –2 . |. 2 và8 . }. –5 và 3 . ~. –5 và 2 .   
Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2sin x    lần lượt là  4  {. 4 và 7 . |. 5 và 9 . }. 2  và 7 . ~. 2  và 2 .
Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số y  2 cos 3x 1 . {. 3;  1 . |.  3  ;  1 . }.  1  ;  3 . ~. 1;  3 .
Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  3cos x  4 là {. 7 . |. 5 . }. 8 . ~. 6 .   
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  3sin  x   là:  4  {. 0. |. -3. }. 3. ~. -1.
Câu 50: Hàm số y  sin x có tập giá trị là: {.  . |.  1  ;  1 . }.    ; . ~. 0; 
Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số y  2sin x 1 là 1 {. 1  . |. 1. }.  . ~. 3 . 2
Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 14
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung {. 2 và 2 . |. 4 2 và 8 . }. 2 và 4 . ~. 4 2 1 và 7 .
Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y  2  cos x là {. 2 và 1. |. 2 và 0 . }. 2 và 1. ~. 3 và 1.     Câu 54: Cho hàm số y  3 5 sin x trên đoạn ;
có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị x để  2 2   
hàm số nhận giá trị âm.  3  {.    ;0;;2 . |. 0;  . }. ;2  . ~. ; 2 .    2 
Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2
y  3  2cos x lần lượt là {. y  5, y 1. |. y 1, y  1  . }. y  3, y  1. ~. y  5, y  1  . max min max min max min max min
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 cos x  sin x . 11 {. M  . |. M  5 . }. M  3 . ~. M  6 . 2
Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2x 1   3  trên đoạn  ;  . khi đó M .m bằng 6 8    {. 1. |. 2  2 2. }. 2  2. ~. 2 2  2.
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là {. 4 2 1 và 7 . |. 4 2 và 8 . }. 2 và 4 . ~. 2 và 2 .
Câu 59: Tập giá trị hàm số y  5sin x 12 cos x là {. 12;5 . |.  1  3;1  3 . }.  1  7;17. ~.  1  3;13 . Câu 60: Hàm số 3
y  4 11cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? {. 15. . |. 14 . }. 13 . ~. 23.
Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2x 12cos 2x là {. 10 . |. 12. }. 17 . ~. 13 .
Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? y -5 - 3 2 -2 - 2  2 3 2 x 1 -3 -3  5 O 2 2 2 2 {. y  cot x . |. y  sin 2x . }. y  sin x . ~. y  cos 2x .
Câu 63: Cho đồ thị với x  
 ;  . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 15
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung {. y  cos x . |. y   cos x . }. y  sin x . ~. y  cos x . 1
Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số y  sin x , hãy tìm số nghiệm của phương trình: sin x  2018 5 5  trên đoạn ;  . 2 2    {. 4 . |. 6 . }. 10 . ~. 5.
Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây? 2x 2 3x 3 {. y  cos . |.  x y sin . }. y  cos ~.  x y sin . 3 3 2 2
Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 3x 2x 3x 2x {. y  sin . |. y  sin . }. y  cos . ~. y  cos . 2 3 2 3
Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
{. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .  
|. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng ;   .  2    
}. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng ;   .  2 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 16
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
~. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  .
Câu 68: Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  3    3   {. 0;  . |.  ;    . }.  ;   . ~.  2  ;   .  2 2   2 2 
Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
{. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng 0;  .  3 5 
|. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng ;   .  2 2 
}. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng ;2  .    
~. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng  ;   .  2 2 
Câu 70: Cho hàm số y  sin x . Khẳng định nào dưới đây sai?
{. Hàm số đã cho là hàm lẻ.
|. Hàm số đã cho có tập giá trị là  1  ;  1 .
}. Hàm số đã cho đồng biến trên 0;2  .
~. Hàm số đã cho có tập xác định  .  3 
Câu 71: Cho ba hàm số y  s in x; y  cos x ; y  tan x . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 0;    2  ? {. 1. |. 3. }. 0 . ~. 2 .
Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm 1 2x
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y  . sin 2x  
{. D   \k , k    .
|. D   \   k2 ,k2 ,k  .  2      
}. D   \   k ,k  .
~. D   \ k ,k .  2   2  Lời giải 
Hàm số xác định  sin 2x  0  x  k . 2   
Vậy D   \ k ,k .  2  3
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số y  cos x 1  {. 
D   \   k2 ,k  .
|. D   \k2 ,k    .  2 
}. D   \  k2 ,k    .
~. D   \  k ,k    . Lời giải
Điều kiện cos x 1  0  cos x  1  x    k2 , k  
Suy ra tập xác định D   \  k2 ,k    .
Câu 3: Tập xác định của hàm số y  sin x 1 là     {.  . |. k | k    .
}.   k2 | k . ~.   k | k  .  2   2  Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 17
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Điều kiện: sin x 1  0  sin x 1  sin x 1 
 x   k2 , k  . 2  
Tập xác định D    k2 | k   2  1
Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin x
{. D   \k2, k    .
|. D   \  k2,k    .     
}. D   \   k2 ,k  .
~. D   \   k2 ,k .  2   2  Lời giải 1 y 
xác định khi 1 sin x  0. 1 sin x Có 1  sin x  1 , x
    1 sin x  0 x    . 
Do đó 1 sin x  0  1 sin x  0  sin x  1  x   k2 , k  . 2  
Vậy D   \   k2 ,k .  2 
Câu 5: Tập xác định D của hàm số y  tan 3x là k   k  {. D   \  , k  . |. D   \   , k  .  3   6 3   
}. D   \k,k    .
~. D   \   k ,k  .  2  Lời giải   k
Điều kiện: cos3x  0 3x   k  x   k . 2 6 3  k 
Tập xác định: D   \   , k .  6 3  tan x
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số y  . sin x 1 {. .  
|.  \   k2 ,k  .  2   
}.  \   k , k  .  2  ~.  \k ,k    . Lời giải       x k cos x  0  Hàm số xác định  2    k  s  in x  1  x   k2  2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 18
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  
Vậy tập xác định của hàm số là: D   \   k ,k  .  2    
Câu 7: Tập xác định của hàm số y  tan 2x    là  6   
{.  \   k,k .  2     k  |.  \   , k  .  6 2   
}.  \   k ,k .  6   k  ~.  \   , k .  6 2  Lời giải       k Điều kiện: cos 2x 
 0  2x    k  x   , k     .  6  6 2 6 2  k 
Do đó tập xác định D   \   ,k  .  6 2 
Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số y  1 cos x  cot x . {.  \k , k    . |. ;  1 .  
}.  \   k , k  .  2  ~.  1  ;  1 \  0 . Lời giải 1   cos x  0 cos x  1 Hàm số xác định      x  k , k  . s  in x  0 x  k
Tập xác định của hàm số D   \k , k    . sin x 1 Câu 9: Hàm số y  có tập xác định là 3  sin x  
{.  \   k2 | k   2  |.  . }.  .  
~.   k2 | k .  2  Lời giải +) Ta có: sin x 1 0, x
 và 3  sin x  2>0, x   
+) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi sin x 1  0  x   k2,k  . 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 19
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 1 cos x
Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y  . 1 sin x {.  \k | k    .  
|.  \   k2 | k  .  2  }.  . ~.  \k2 | k    . Lời giải 1 cos x   0 
Hàm số xác định  1 sin x  sin x  1  x   k2 k .  2 1 sin x  0  
Vậy tập xác định của hàm số là:  \   k2 | k  .  2  cot x
Câu 11: Tập xác định của hàm số y  là cos x 1      {.  \ k ,k  .
|.  \   k ,k .  2   2  }.  \k ,k    . ~.  \k2 ,k    . Lời giải sin x  0 x  k
Điều kiện xác định của hàm số là   
k,l   x  k,k . cos x  1 x  l2 cot x
Vậy, tập xác định của hàm số y  là  \k ,k    . cos x 1
Câu 12: Tập xác định của hàm số f  x 1  là 1 cos x    {.  \   2k   1 k  . |.  \   2k  1 k    .  2  }.  \k k  . ~.  \k2 k    . Lời giải
Điều kiện: 1 cos x  0  cos x  1  x  k 2 , k   .
Vậy tập xác định của hàm số là: D   \k2 k    . 1
Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y     sin x     2  k 
{. D  R \(2k 1) , k    |. D  R \  ,k   2     }. D  R \ (  2k 1) ,k  ~. D  R \k ,k     2  Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 20
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 1 Hàm số y     sin x     2        xác định khi sin x 
 0  x   k  x   k  x  (1 2k) ,k  .     2  2 2 2 tan 2x Câu 14: Hàm số y  có tập xác định là 1 tan x    {.  .
|.  \   k | k  .  4 2       
}.  \   k | k  .
~.  \   k ,  k | k  .  2   4 2 2  Lời giải    x   k  4 2 cos 2x  0     x   k      Hàm số xác định 4 2
 cos x  0  x   k   . 2  tan x 1  x   k     2 x   k  4 x 3  cot
Câu 15: Tập xác định của hàm số 2 y  là: cos x 1 {.  \k k    . |.  \k2 k    .  
}.  \  k2 k    .
~.  \   k2 k .  2  Lời giải  x  x s  in  0   k x  k2 Điều kiện:  2  2    x  k , k   .     x    k2 cos x 1 x    k2
Vậy D   \k k    . Câu 16: Cho các hàm số   tan x  3 2cos x 1 1 y  sin 3x . 2 y  . 3 y  . 2 cos x  2 2 sin x 1  x  4 y  1 sin x .   2cos 3 5 y  . sin x 1
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  {. 4 . |. 1. }. 3 . ~. 2 Lời giải  1 y  sin 3x có D   .   tan x  3 cos x  0  2 y  có điều kiện là 
 x   k , k  . 2 cos x  2 2 cos x  2  0 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 21
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   2cos x 1 3 y  có D   . 2 sin x 1 4
y  1 sin x có điều kiện là sin x  1 luôn đúng x   . 2cos x  3   2cos x  3   0   5 y 
có điều kiện là  sin x 1  x   k2 , k  . sin x 1 2 s  in x 1 0 Vậy các hàm số  
1 ,3,4 có tập xác định là  . cos x  2
Câu 17: Tập xác định của hàm số y  là 1 sin x    {.  \k | k    .
|.  \   k | k  .  2     }.  \k2 | k    .
~.  \   k2 | k .  2  Lời giải 
Điều kiện: 1 sin x  0  sin x  1
  x    k2  k  . 2   
Vậy tập xác định của hàm số là D   \   k2 | k  .  2  1
Câu 18: Tập xác định của hàm số y  là sinx 1    {.  
 \   k2 ,k   .
|.  \   k2 ,k  .  2   2    }. 
 \   k ,k . ~.  .  2  Lời giải 1   Hàm số y 
xác định khi: s inx 1  0  s inx 1  0  x   k2 sinx 1 2   
TXĐ: D   \   k2 ,k .  2  s inx 1
Câu 19: Tập xác định của hàm số y  là s inx  2 {.  2  ;  |. 2;  }.  \  2 . ~.  . Lời giải
Ta có 1  s inx  1, x  . Do đó sinx  2  0, x   . Vậy tập xác định D   2sin x 1 Câu 20: Hàm số y  xác định khi 1 cos x   {. x   k2 . |. x  k . }. x  k 2 . ~. x   k 2 2 Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1  cos x  0  cos x  1  x  k 2 với k   .
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 22
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
{. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số chẵn.
|. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ.
}. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số chẵn.
~. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số lẻ. Lời giải
Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ.
Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  cot 4x . |. y  tan 6x . }. y  sin 2x . ~. y  cos x . Lời giải
Hàm số y  cos x có tập xác định D   . Ta có x   D  x  D .
Và y x  cosx  cos x  y  x .
Vậy hàm số y  cos x là hàm số chẵn.
Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? {. y  tan x . |. y  cos x . }. y  sin x . ~. y  cot x . Lời giải
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Nên hàm số y  cos x có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  cos x . |. y  tan x . }. y  sin x . ~. y  cot x . Lời giải
Hàm số y  cos x có tập xác định là  và cosx  cos x x
   y  cos x là hàm số chẵn.
Hàm số y  sin x , y  tan x , y  cot x là hàm số lẻ.
Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y 1 sin x . |. y  . x tan x . }. 5 y  sin x . ~. 2 y  cos . x sin x . Lời giải
Xét hàm số y  f  x 5
 sin x có tập xác định D   . x    x    Ta có   f  x 5  x 5 sin  sin x   f x Vậy hàm số 5
y  sin x là hàm số lẻ.
Xét hàm số y  f  x 1 sin x có tập xác định D   . x    x     f  x  f  x Ta có  ,  .  f
 x  1 sin x  1 sin x  f
 x   f  x
Vậy hàm số y  1 sin x là hàm số không chẵn, không lẻ.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 23
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 
Xét hàm số y  f  x  .
x tan x có tập xác định 
D   \   k , k   .  2  x  D  x  D  Ta có  .  f
 x  x.tan x  . x tan x  f  x Vậy hàm số y  . x tan x là hàm số chẵn. Xét hàm số y  f x 2  cos .
x sin x có tập xác định D   . x    x    Ta có   f  x  x 2 x 2 cos sin  cos x sin x  f x Vậy hàm số 2 y  cos . x sin x là hàm số chẵn.
Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  2  sin x . |. y  2sin 2x .
}. y  sin x  cos x . ~. y  2  cos x Lời giải
Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là D   là tập đối xứng. Đáp án {. f  x  2  sin x , f x  2  sin x  2sin x
 f x   f  x. Vậy y  2  sin x là hàm số lẻ. - Đáp án
|. f  x  2sin 2x , f x  2sin  2  x  2  sin 2x
 f x   f  x. Vậy y  2sin2x là hàm số lẻ. - Đáp án
}. f  x  sin x  cos x , f x  sin x  cosx  sin x  cos x
 f x  f x . Vậy y  sin x cos x là hàm số không chẵn không lẻ. - Đáp án ~. f  x  2  cos x , f x  2  cosx  2  cosx
 f x  f x . Vậy y  2
 cos x là hàm số chẵn.
Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?       {. y  sin  x  . |. y  tan x . }. y  sin x . ~. y  sin x    .  2   6  Lời giải    y  sin  x  cos x  
là hàm số chẵn trên  .  2  1 Câu 28: Cho hàm số y 
. Phát biểu nào sau đây đúng? cos x
{. Hàm số có tập xác định là  \  0 .
|. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.  
}. Hàm số đó là hàm số lẻ trên D   \   k ,k  .  2 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 24
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên  . Lời giải 1 Hàm số y 
là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng. cos x
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. 2 y  x cos x . |. y  sin 2x . }. 2 y  sin x . ~. y  cos 2x . Lời giải
Hàm số y  sin 2x là hàm số lẻ vì:
Hàm số có tập xác định là  nên x
    x và
y x  sin 2x  sin 2x  yx .
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?       1 {. y  sin x   tan x      . |. y  tan x  .  4   4  sin x }. 4 4
y  sin x  cos x . ~. y  cos x . Lời giải Ta có Xét hàm số , tập xác định
Rõ ràng không là tập đối xứng, chẳng hạn nhưng .
Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. {. y  cot x . |. y  sin x . }. y  tan x . ~. y  cos x . Lời giải
Hàm số y  cos x là hàm số chẵn.
Hàm số y  tan x ; y  cot x ; y  sin x là hàm số lẻ.
Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?  {.   y  cos x    . |. y  sin x . }. y  1  sin x . ~. y  sin x  cos x .  3  Lời giải TXĐ: ! x ! x !
Và y(x)  sinx  sin x  sin x  yx
Vậy hàm số trên là hàm số chẵn
Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  tan x . |. y  sin x. }. y  cos x . ~. y  cot x . Lời giải Hàm số y  tan , x y sin ,
x y  cot x là các hàm số lẻ.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 25
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Hàm số y  cos x là hàm số chẵn
Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? {. y  sin x . |. y  2sin x . }. y  sin 2x . ~. y  2  sin x . Lời giải
Xét hàm số y  sin 2x ta có:
y  x     sin 2
  x     sin 
2x  2   sin 2x  yx, x
Do đó hàm số y  sin 2x tuần hoàn với chu kỳ T   . 
Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì T  ? 2 x x {. y  tan . |. y  tan . }. y  tan 3x . ~. y  tan 2x . 3 2 Lời giải   
Ta có: Hàm số y  tan 2x có tập xác định là D  \    k  .  4 2   a) x   D ta có x   D 2       b) y x   tan 2 x   tan     2x    tan 2x .  2   2  
Giả sử có số 0  T 
thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho: y  x  T   y x 2 
Với x  0 ta có tan 2T  tan 0  T   k 2    0  T  1 1
 0   k  1   k   k  0  T  trái với điều giả sử. 2 2 2 2 2  Suy ra T 
là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b). 2 
Vậy hàm số y  tan 2x tuần hoàn với chu kì T  . 2
Câu 36: Chọn khẳng định sai?
{. Hàm số y  tan x sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . |. Hàm số y  o
c s x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
}. Hàm số y  cot x  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì .
~. Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì . Lời giải
Hàm số y  sin x và y  cos x tuần hoàn với chu kì 2.
Hàm số y  tan x và y  cot x tuần hoàn với chu kì .
Nên khẳng định sai là D.   
Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cot 3x    là  6 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 26
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 2  {.  . |. . }. . ~. 2 . 3 3 Lời giải     Hàm số y  cot 3x  
 có chu kỳ tuần hoàn là .  6  3
Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng?
{. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì  .
|. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . 
}. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì . 2
~. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải
Hàm số y  sin x và y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Hàm số y  tan x và y  cot x tuần hoàn với chu kì  .
Câu 39: Trong bốn hàm số:  
1 y  cos2x; 2 y  sin x ; 3 y  tan 2x ; 4 y  cot 4x có mấy hàm số
tuần hoàn với chu kỳ  ? {. 3 . |. 2 . }. 0 . ~. 1. Lời giải
Hàm số y  cos 2x tuần hoàn với chu kỳ  .
Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 . 
Hàm số y  tan 2x tuần hoàn với chu kỳ . 2 
Hàm số y  cot 4x tuần hoàn với chu kỳ . 4
Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
{. y  cos x tuần hoàn với chu kỳ  .
|. y  cos x là hàm nghịch biến trên 0;  .
}. y  cos x là hàm chẵn.
~. y  cos x có tập xác định  . Lời giải
Vì hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 . 1 1 Câu 41: Hàm số y   có chu kì là: 2 2 1 tan x 1cot 2x  {. T  . |. T  2 . }. T   . ~. T  4 . 2 Lời giải Ta có: 1 1 2 2 1cos 2x 1cos4x y    cos xsin 2x   2 2 1 tan x 1cot 2x 2 2 1  1  cos4x  cos2x1 2 2 2  2
Do hàm số y  cos 4x có chu kì T 
 , hàm số y  cos 2x có chu kì T    1 1 4 2 2 2 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 27
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Vậy hàm số đã cho có chu kì T  
Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x là {.  . |. 2 . }. k , ( k   ). ~. k 2 , ( k   ). Lời giải
Dựa vào sách giáo khoa, T   là chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x .
Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  tan x là  {. 2 |.  }. ~. 3 2 Lời giải
Theo tính chất của hàm số y  tan . x
Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cos x  {. T  . |. T   . }. T  2 . ~. T  2 . 2 Lời giải Chọn. ~
Hàm số lượng giác: y  cos x có chu kỳ là 2 .
Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2x  5 lần lượt là
{. –8 và –2 .|. 2 và8 .}. –5 và 3 .~. –5 và 2 . Lời giải Ta có 1   cos2x 1 8   3cos2x 5  2   8   y  2   +/ y  8   cos2x  1   x   k 2 +/ y  2
  cos2x 1 x  k
Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2x  5 lần lượt là –8 và –2.   
Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2sin x    lần lượt là  4  {. 4 và 7 . |. 5 và 9 . }. 2 và 7 . ~. 2 và 2 . Lời giải          Ta có: 1  sin x   1  2  2  sin x 
 2  5  7  2sin x   9        4   4   4 
Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho lần lượt là 5 và 9 .
Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số y  2 cos 3x 1 . {. 3;  1 . |.  3  ;  1 . }.  1  ;  3 . ~. 1;  3 . Lời giải
Tập xác định : D   .
Ta có: 1  cos 3x  1  1  2 cos 3x 1  3  1  y  3 .
Mà hàm số đã cho liên tục trên D   .
Vậy tập giá trị của hàm số là  1  ;  3 .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 28
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  3cos x  4 là {. 7 . |. 5 . }. 8 . ~. 6 . Lời giải Do 1   cos x 1 x
  nên 1 3cos x  4  7 , x   .
Nên max y  7 đạt được khi cos x  1  x  k 2 k  . 
min y  1 đạt được khi cos x  1  x    k 2 k  . 
Suy ra max y  min y  8 .     
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  3sin  x   là:  4  {. 0. |. -3. }. 3. ~. -1. Lời giải      
Ta có: 1  sin  x    1 3  3sin  x    3  4   4    
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin  x   là -3  4 
Câu 50: Hàm số y  sin x có tập giá trị là: {.  . |.  1  ;  1 . }.    ; . ~. 0;  Lời giải
Hàm số y  sin x có tập giá trị trong đoạn  1  ;  1
Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số y  2sin x 1 là 1 {. 1  . |. 1. }.  . ~. 3 . 2 Lời giải
Vì sin x  1, x   nên y  2sin x 1  3 , x   . 
y  3 khi sin x  1  x   k2 , k  . 2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y  2sin x 1 là 3 .
Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là {. 2 và 2 . |. 4 2 và 8 . }. 2 và 4 . ~. 4 2 1 và 7 . Lời giải 2 Đặt sin x  t  1
  t 1. Xét hàm số y  4 t  3 1 có y   0 t 1;  1 t  3 Do đó max y  y  
1  7 ; min y  y   1  4 2 1.  1  ;  1  1  ;  1
Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y  2  cos x là {. 2 và 1. |. 2 và 0 . }. 2 và 1. ~. 3 và 1. Lời giải 2 2
x  ,0  cos x  1  1  cos x  0  1  y  2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 29
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung     Câu 54: Cho hàm số y  3 5 sin x trên đoạn ;
có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị x để  2 2   
hàm số nhận giá trị âm.  3  {.    ;0;;2  . |. 0;  . }. ;2  . ~. ; 2 .    2  Lời giải Trên các khoảng  
 ;0;;2  đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nhận giá trị âm.
Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2
y  3  2cos x lần lượt là {. y  5, y 1. |. y 1, y  1  . }. y  3, y  1. ~. y  5, y  1  . max min max min max min max min Lời giải Ta có 2 2 2 0  cos x 1 2   2
 cos x  0 1 3 2cos x  3. Vậy y  3, y 1. max min
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 cos x  sin x . 11 {. M  . |. M  5 . }. M  3 . ~. M  6 . 2 Lời giải  2 1 
Ta có: y  2 cos x  sin x  5 cos x  sin x  5 cos  
x   với góc  0;2  thỏa  5 5  2 1 mãn cos  ;sin  . 5 5
Do đó: y  5 hay giá trị lớn nhất của hàm số là M  5 khi
cos x   1  x     k2,k    .
Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2x 1   3  trên đoạn  ;  . khi đó M .m bằng 6 8    {. 1. |. 2  2 2. }. 2  2. ~. 2 2  2. Lời giải   3    3  x   ;  2x   ;  6 8   3 4      2 1 2  
 cos 2x   2  2 cos 2x 1  1 2 2 2 2  M  1; m  2   M .m  2  2. 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 30
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là {. 4 2 1 và 7 . |. 4 2 và 8 . }. 2 và 4 . ~. 2 và 2 . Lời giải
y  f  x  4 sin x  3 . Có 1
  sin x  1  2  sin x  3  4  2  sin x  3  2  4 2 1 4 sin x  3 1 7 .  
Có 4 sin x  3 1  4 2 1  x    k 2 ; 4 sin x  3 1  7  x   k2 . 2 2
Vậy min f  x  4 2 1, max f  x  7 . x x
Câu 59: Tập giá trị hàm số y  5sin x 12 cos x là {.  1  2;5 . |.  1  3;1  3 . }.  1  7;17. ~.  1  3;13 . Lời giải  5sin x 12 c s o x 
Ta có: y  5sin x 12 cos x  13.   13  13.sin sin x  o c s o c s x  1  3 o c s x    5 12 với sin , cos     13 13  Lại có: 1
  cosx   1  1  3  1  3 o c s x   13
Vậy tập giá trị hàm số y  5sin x 12 cos x là  1  3;1  3 Câu 60: Hàm số 3
y  4 11cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? {. 15. . |. 14 . }. 13 . ~. 23 . Lời giải Ta có: 3 3 3
1  cos x  1  1  cos x  1  11  11cos x  11  7  4 11cos x  15.
Suy ra các giá trị nguyên của hàm số 3
y  4 11cos x là: S  7;6; 5;....;0;1;2;...;1  5 .
Nên có tất cả 23 giá trị nguyên.
Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2x 12cos 2x là {. 10 . |. 12. }. 17 . ~. 13 . Lời giải Cách 1
Ta có: M   là giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin2x 12cos2x trên  nếu x   sao 0
cho y  x  M và M  y  x , x   . 0 
Suy ra phương trình 5 sin 2x  12 cos 2x  M phải có nghiệm. Phương trình 5 sin 2x  12 cos 2x  M có nghiệm 2 2 2 2
 M  5 12 169 13  1  3  M 13.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2x 12cos 2x bằng 13 .
Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 31
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung y -5 - 3 2 -2 - 2  2 3 2 x 1 -3 -3  5 O 2 2 2 2 {. y  cot x . |. y  sin 2x . }. y  sin x . ~. y  cos 2x . Lời giải
Câu 63: Cho đồ thị với x  
 ;  . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào? {. y  cos x . |. y   cos x . }. y  sin x . ~. y  cos x . Lời giải
Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm 0;  1 và ;  1 . Thay các điểm
trên vào các hàm số ở các phương án thì chỉ có phương án B thỏa mãn.
Cách 2: Từ hình vẽ ta suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 0; . Trong các phương án chỉ
có hàm số ở phương án B thỏa mãn. 1
Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số y  sin x , hãy tìm số nghiệm của phương trình: sin x  2018 5 5  trên đoạn ;  . 2 2    {. 4 . |. 6 . }. 10 . ~. 5 . Lời giải 1
Nhìn đồ thị ta thấy, đường thẳng y 
cắt đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 2018 5 5  ; 
tại 5 điểm phân biệt. 2 2   
Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 32
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 2x 2 3x 3 {. y  cos . |.  x y sin . }. y  cos ~.  x y sin . 3 3 2 2 Lời giải  3 
Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm ;0    4  2x
Suy ra đó là đồ thị hàm số y = cos . 3
Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, ~.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 3x 2x 3x 2x {. y  sin . |. y  sin . }. y  cos . ~. y  cos . 2 3 2 3 Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục Oy nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn,
loại hai phương án A và |. 2(3 )
Ta lại có y 3  1 mà cos
 cos2  1 cho nên ta chọn phương án ~. 3
Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
{. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .  
|. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng ;   .  2    
}. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng ;   .  2 
~. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải   
Hàm số y  cot x nghịch biến trên khoảng ;   .  2 
Câu 68: Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  3    3   {. 0;  . |.  ;    . }.  ;   . ~.  2  ;   .  2 2   2 2  Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 33
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  
Tập xác định: D   \   k ,k  .  2     
Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng   k ;  k 
 nên đồng biến trên khoảng  2 2   3    ;    .  2 2 
Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
{. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng 0;  .  3 5 
|. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng ;   .  2 2 
}. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng ;2  .    
~. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng  ;   .  2 2  Lời giải Ta có các lưu ý sau:
* Hàm số y  cot x nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.    
* Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ;  k2   và nghịch biến trên  2 2    3  mỗi khoảng  k2;  k2   .  2 2 
* Hàm số y  cos x đồng biến trên mỗi khoảng  
  k2;k2  và nghịch biến trên mỗi
khoảng k2 ;  k2  .
Câu 70: Cho hàm số y  sin x . Khẳng định nào dưới đây sai?
{. Hàm số đã cho là hàm lẻ.
|. Hàm số đã cho có tập giá trị là 1;  1 .
}. Hàm số đã cho đồng biến trên 0;2  .
~. Hàm số đã cho có tập xác định  . Lời giải
• Hàm số y  sin x có tập xác định: D   .
• Hàm số y  sin x có tập giá trị: T   1  ;  1 . Ta có: x
   x. Mà yx  sinx  sin x   f x .
Do đó hàm số y  sin x là hàm lẻ.       3 
• Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng  ;   và nghịch biến trên ;   .  2 2   2 2  Vậy đáp án C sai.  3 
Câu 71: Cho ba hàm số y  s in x; y  cos x ; y  tan x . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên 0;    2  ? {. 1. |. 3 . }. 0 . ~. 2 . Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 34
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung      3 
Hàm số y  s in x đồng biến trên 0;   và nghịch biến trên ;   .  2   2 2    
Hàm số y  cos x nghịch biến trên 0;   .  2  
Hàm số y  tan x gián đoạn tại . 2  3 
Vậy không có hàm số nào đồng biến trên 0;   .  2  Chương 1:
§➋. PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Tóm tắt lý thuyết Ⓐ ➊.Phương trình sinx = a  a > 1: PT vô nghiệm
 a  1: PT có các nghiệm
. x = arcsina + k2, k  Z;
. x =  – arcsina + k2, k  Z Chú ý:   f (x)  ( g x)  k2 sinf(x) = sing(x)  (k   Z)  f (x)    ( g x)  k2 0 0 
 sinx = sin0  x = β + k360  (k  Z) 0 0 0 x = 180 -β + k360
Các trường hợp đặc biệt: 
.sinx = 1  x = 2 + k2 
.sinx = –1  x = – 2 + k2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 35
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
➋. Phương trình cosx = a  a > 1: PT vô nghiệm
 a  1: PT có các nghiệm
.x = arccosa + k2, k  Z;
.x = – arccosa + k2, k  Z Chú ý:
 cosf(x) = cosg(x)  f(x) =  g(x) + k2, k  Z
 cosx = cos0  x =  0 + k3600, k  Z
Các trường hợp đặc biệt: .cosx = 1  x = k2
.cosx = –1  x =  + k2 
➌. Phương trình tanx = a 
 ĐK: x  2 + k (k  Z).
 PT có nghiệm x = arctana + k, k  Z; Chú ý:
 tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k, k  Z
 tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  Z
Các trường hợp đặc biệt:  .tanx = 1  x = 4 + k 
.tanx = –1  x = – 4 + k
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 36
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
➍. Phương trình cotx = a
 ĐK: x  k (k  Z).
 PT có nghiệm x = arccota + k, k  Z; Chú ý:
 cotf(x) = cotg(x)  f(x) = g(x) + k, k  Z
 cotx = cot0  x = 0 + k1800, k  Z
Các trường hợp đặc biệt:  .cotx = 1  x = 4 + k 
.cotx = –1  x = – 4 + k  2 Phân dạng bài tập Ⓑ
①. Dạng 1: Phương trình sinx = a . Bài tập minh họa:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình sin x  0 là  
{. S    k2 , k  S  k , k  .  2  . |.      }. S  k2 , k    .
~. S    k2 , k   .  2  Lời giải
Ta có: sin x  0  x  k , k   .
Câu 2: Nghiệm của phương trình 1 s inx  là 2 {.    5 x   k ; x   k . |. x    k 2 . 6 6 6 }.  5  
x    k 2 ; x    k 2 . ~. 5 x   k 2 ; x   k 2 . 6 6 6 6 Lời giải   x   k2 1  6 s inx    2  5 x    k2  6    3
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình sin x     là  4  2   5  {. S    k2 ,  k2 |k  . 1  2 12 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 37
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   5  |. S    k2 ,   k2 |k   .  12 12    5  }. S    k2 ,  k2 |k .  12 12    7  ~. S    k2 ,  k2 |k  . 1  2 12  Lời giải      x    k2 x   k2  3     Ta có 4 3 12 sin x         k   4  2    5 x  k2      x   k2  4 3  12 1
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin . x cos x  là 2 {. x  k2 ; k  . k |. x  ; k  . 4  }. x   k ; k  . 4 ~. x  k ; k  . Lời giải 1   Ta có: sin . x cos x 
 sin 2x  1  2x   k 2  x   k k  . 2 2 4   
Câu 5: Nghiệm của phương trình sin x   0   là  3   
{. x    k k   .
|. x    k2 k  . 3 3  }. x   k2 k . ~. x  k k . 6 Lời giải       sin x 
 0  x   k  x   k k     .  3  3 3
②. Dạng 2: Phương trình cosx = a . Bài tập minh họa:
Câu 1: Giải phương trình sau 2cos x  2  0.  
{. x    k2 , k   .
|. x   k2 ,k   . 4 4  
}. x    k2 ,k   .
~. x    k , k   . 4 4 Lời giải 2  
Ta có: 2 cos x  2  0  cos x 
 cos x  cos  x    k2,k   . 2 4 4
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 38
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 3
Câu 2: Nghiệm của phương trình cos x  là 2 2 5 {. x    k2;k   . |. x   k;k  . 3 6  5
}. x    k ;k   . ~. x    k2 ;k   . 3 6 Lời giải 3 2 3 Ta có cos x    cos x  cos  x   k2;k   . 2 3 3 
Câu 3: Phương trình lượng giác cos 3x  cos có nghiệm là 15   k 2  k 2  k 2 {. x    k 2 . |. x    . }. x    . ~. x   . 15 45 3 45 3 45 3 Lời giải    k  Ta có cos3x  cos  3x    2 k 2  x    . 15 15 45 3 1
Câu 4: Nghiệm của phương trình cos x   là 2  
{. x    k2 k  .
|. x    k2 k  . 3 6 2  }. x    k2 k   .
~. x    k k   . 3 6 Lời giải  2 x   k2 1  Ta có cos x   3   k  . 2 2   x    k2  3 2
Câu 5: Tập nghiệm của phương trình cos x  là 2 3  {.   k2 k   .  4     5  |.   k2;  k2 k  .  4 4   3  }.   k2 k  .  4    
~.   k2 k  .  4  Lời giải   x   k2 2   4 cos x   cos x  cos   , k   . 2 4  x    k2  4
③. Dạng 3: Phương trình tanx = a
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 39
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung . Bài tập minh họa:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình tan x 1  0 là     
{. S    k2 ,k  .
|. S    k ,k  .  4   4      
}. S    k ,k  .
~. S    k2 ,k .  4   4  Lời giải 
tan x 1  0  tan x  1
  x    k ,k   . 4
Câu 2: Nghiệm của phương trình tan 2x 1  0 là:       {. x   k . |. x   k . }. x   k . ~. x   k . 8 4 8 2 4 2 Lời giải   
tan 2x 1  0  tan 2x  1  2x   k  x   k . 4 8 2
Câu 3: Nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k k .
|. x    k 2 k   . 4 2 4   }. x   . ~. x   k k   . 4 4 Lời giải      
tan x  cot x  tan x  tan
 x  x   x  k  x   k   ( k  ).  2  2 4 2  5 
Câu 4: Số nghiệm của phương trình tan 2x   3  0   0;3 là  6  trên khoảng   {. 3 . |. 8 . }. 4 . ~. 6 . Lời giải  5  5   k tan 2x   3  0  2x     k  x   k     .  6  6 3 4 2        1 11 k k x 0;3  0    3    k   k 0;1;2;3;4;  5 . 4 2 2 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng 0;3  .
Câu 5: Tất cả các nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k ,k   . |. x   k2 , k   . 4 4 4    }. x   k , k   . ~. x   k , k   . 4 4 2 Lời giải sin x  0  Điều kiện 
 sin 2x  0  x  m , m   cos x  0 2      
tan x  cot x  tan x  tan  x    x   x  k  x   k
 k  thỏa mãn điều  2  2 4 2 kiện.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 40
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
④. Dạng 4: Phương trình cotx = a . Bài tập minh họa:   
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot x   3   là  6  5    {. . |. . }. . ~. . 6 3 6 12 Lời giải       cot x 
 3  x    k  x   k , k .    6  6 6 3 
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là . 3
Câu 2: Tất cả các nghiệm của phương trình  o
cot x 15   3  0 là: {. o o
x  75  k360 , k  . |. o o
x  45  k360 , k  . }. o o x  75  1 k 80 , k  . ~. o o x  45  1 k 80 , k  . Lời giải Ta có:  o
cot x 15   3  0   o cot x 15   3 o o o  x 15  30  1 k 80 o o  x  45  1 k 80 , k  .
Nghiệm của phương trình đã cho là: o o x  45  1 k 80 , k  .   
Câu 3: Số nghiệm của phương trình cot x  1  0   trên khoảng    ;3  là  4  {. 2 . |. 3 . }. 1. ~. 4 Lời giải       Ta có: cot x 
1  0  x     k  x    k k     .  4  4 4 2  1 7 ycbt  
    k  3    k  , mà k   nên k 0;1;2;  3 . 2 2 2 Bài tập rèn luyện
Câu 1: Nghiệm của phương trình 1 s inx  là 2 {.  5  x   k ; x   k . |. x    k 2 . 6 6 6 }.  5  
x    k 2 ; x    k2 . ~. 5 x   k 2 ; x   k 2 . 6 6 6 6
Câu 2: Giải phương trình sau 2cos x  2  0.  
{. x    k2 ,k   .
|. x   k2 , k   . 4 4  
}. x    k2 ,k   .
~. x    k , k   . 4 4 3
Câu 3: Nghiệm của phương trình cos x  là 2 2 5 {. x    k2 ;k   . |. x    k;k   . 3 6
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 41
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  5
}. x    k ;k   . ~. x    k2 ;k   . 3 6 
Câu 4: Phương trình lượng giác cos 3x  cos có nghiệm là 15   k 2  k 2  k2 {. x    k 2 . |. x    . }. x    . ~. x   . 15 45 3 45 3 45 3
Câu 5: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai? 
{. sin x  1  x    k 2 .
|. sin x  0  x  k . 2 
}. sin x  0  x  k 2 ~. sin x  1  x   k2 . 2
Câu 6: Nghiệm của phương trình 2sin x 1  0 là   x    k2 2  {. x    k2 , k . |. 6  , k   . 3 7   x   k2  6    x   k2 
}. x    k2 , k  . ~. 3  , k   . 6 2   x   k2  3 8 Câu 7: x 
 k 2 , k   là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 {. 2 cos x 1  0 . |. 2 sin x 1  0 . }. 2 cos x 1  0 . ~. 2sin x  3  0 .
Câu 8: Phương trình tan x  tan ,  thuộc  có nghiệm là
{. x    k2 k  .
|. x    k2 ; x     k2 k  .
}. x    k k . ~. x    k2; x     k2 k .
Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x  0 là   {. x 
 k2 , k  . |. x   k,k  . }. x  0 . ~. x  k , k   . 2 2 1
Câu 10: Nghiệm của phương trình cos x   là 2  
{. x    k2 k   .
|. x    k2 k   . 3 6 2  }. x    k2 k   .
~. x    k k   . 3 6    3
Câu 11: Tập nghiệm của phương trình sin x     là  4  2   5  {. S    k2 ,  k2 |k . 1  2 12    5  |. S    k2 ,   k2 |k   .  12 12    5  }. S    k2 ,  k2 |k .  12 12    7  ~. S    k2 ,  k2 |k . 1  2 12 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 42
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   
Câu 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot x   3   là  6  5    {. . |. . }. . ~. . 6 3 6 12  2x   Câu 13: Phương trình sin   0   có nghiệm là  3 3   k3  {. x    k  . |. x   k k  . 2 2 6 2 k3 }. x    k  . ~. x  k k . 3 2 2
Câu 14: Tập nghiệm của phương trình cos x  là 2 3     5  {.   k2 k   . |.   k2 ;  k2 k  .  4   4 4   3     }.   k2 k  .
~.   k2 k  .  4   4 
Câu 15: Phương trình cos x  0 có nghiệm là  {. x   k k   .
|. x  k 2 k   . 2  }. x   k2 k   .
~. x  k k   . 2
Câu 16: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?    2 {. tan x  99 . |. cos 2x     .  2  3 3 }. cot 2018x  2017 . ~. sin 2x   . 4 1
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin . x cos x  là 2 k {. x  k2 ; k  . |. x  ; k  . 4  }. x   k ; k  . ~. x  k ; k  . 4
Câu 18: Phương trình 2sin x  3  0 có tập nghiệm là      
{.   k2 , k  .
|.   k2 , k   .  6   3   5   2  }.   k2 ,  k2 ,k   . ~.   k2 ,  k2 , k  .  6 6   3 3 
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?  {. cos x  0  x   k 2 .
|. cos x  1  x  k 2 . 2 
}. cos x  1  x    k 2 . ~. cos x  0  x   k . 2   
Câu 20: Nghiệm của phương trình sin x   0   là  3 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 43
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  
{. x    k k   .
|. x    k2 k  . 3 3  }. x   k2 k . ~. x  k k . 6
Câu 21: Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm? 1  2 1 3 sin x  ; sin x  ; sin x  2 2 2 {. 0 . |. 1. }. 3. ~. 2 .
Câu 22: Tập nghiệm của phương trình 2 cos x 1  0 là      
{. S    k : k  .
|. S    k2 : k .  3   6       
}. S    k2 : k .
~. S    k : k  .  3   6 
Câu 23: Tập nghiệm của phương trình tan x 1  0 là     
{. S    k2 , k  .
|. S    k ,k  .  4   4      
}. S    k ,k  .
~. S    k2 ,k .  4   4 
Câu 24: Tập nghiệm của phương trình sin 3x 1  0 là   {.    
  k , k   . |.   2k , k   .  2   2      2 }.  
  k2 , k   . ~.   k , k   .  6   6 3 
Câu 25: Tất cả các nghiệm của phương trình  o
cot x 15   3  0 là: {. o o
x  75  k360 , k  . |. o o
x  45  k360 , k  . }. o o x  75  1 k 80 , k  . ~. o o x  45  1 k 80 , k  .
Câu 26: Tập nghiệm của phương trình sin x  0 là  
{. S    k2 , k  S  k , k  .  2  . |.      }. S  k2 , k  
 . ~. S    k2,k  .  2 
Câu 27: Họ nghiệm của phương trình 0 cot(2x  30 )  3 là: {. 0 0 x  90  1 k 80 . |. 0 0 x  30  1 k 80 . }. 0 0 x  30  k90 . ~. 0 0 x  60  1 k 80 .
Câu 28: Khẳng định nào sau đây là sai?  {. sin x  1  x   k 2.
|. sin x  0  x  k . 2 
}. cosx  1  x    k . ~. cosx  0  x   k. 2
Câu 29: Phương trình cos x  m có nghiệm khi: {. m  1. |. m  1. }. m  1. ~. m  1.
Câu 30: Nghiệm của phương trình 2 sin x  1 là k   {. x  k. |. x  . }. x   2k . ~. x   k . 2 2 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 44
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 31: Nghiệm của phương trình tan 2x 1  0 là:       {. x   k . |. x   k . }. x   k . ~. x   k . 8 4 8 2 4 2
Câu 32: Nghiệm của phương trình 2 cos 2x  2 .   {. x  k2 . |. x    k 2 . }. x   k . ~. x   k2 . 2 2  Câu 33: Cho x 
 k2 k  là nghiệm của phương trình nào sau đây 3 {. 2cos x  3  0. |. cos 2x  1.
}. 2sin x  3  0 . ~. 2cos x  3  0 .  Câu 34: Cho x 
 k k   là nghiệm của phương trình nào sau đây 2 {. cos 2x  0 . |. cos 2x  1. }. sin x  1. ~. sin x  0. Câu 35: Cho phương trình 1 sin x 
, nghiệm của phương trình là: 2       x   k 2  x   k 2  x   k2  {. 6   |. 6  }. 6  ~. x   k 2 .    5 2 x   k 2           x k 2 x k2  2  6  6 
Câu 36: Phương trình cos x  cos có nghiệm là 3 2    {. x   k 2 . |. x    k . }. x    k2 . ~. x   k 2 . 3 3 3 3
Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai?   {. sin x  1  x   k2 ,k  . |. tan x  1  x   k ,k  . 2 4   x   k2 ,k    }. 1 3 cos x    .
~. sin x  0  x  k 2 , k   . 2  x    k2 ,k     3
Câu 38: Nghiệm của phương trình sin 2x 1  0 là  
{. x    k , k  .
 |. x   k2 , k  .  . 4 2   }. x   k , k  .
 ~. x    k2 , k  .  4 2
Câu 39: Phương trình 2 cos x  1 có một nghiệm là    {. x   . |. x  . }. x  . ~. x   . 2 2 3
Câu 40: Giải phương trình cos x 1. k {. x  , k   . |. x  k , k   . 2 
}. x   k2, k   . ~. x  k2, k   . 2
Câu 41: Phương trình cos x  0 có nghiệm là:  {. x   k k   .
|. x  k 2 k   . 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 45
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  }. x   k2 k   .
~. x  k k   . 2
Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? {. tan x  3  0 . |. 2
2 cos x  cos x 1  0 . }. sin x  3  0 . ~. 3sin x  2  0 . 3 a
Câu 43: Gọi  là nghiệm trong khoảng ;2  của phương trình cos x  , nếu biểu diễn   2 b a
với a , b là hai số nguyên và là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu? b {. ab  42 . |. ab  6 . }. ab  66 . ~. ab  30 .
Câu 44: Nghiệm của phương trình: sin 4x  cos 5x  0 là.     x   k2  x   k  {. 2  . |. 2  .  k2   k x      x     18 9  18 9     x    k2  x   k2  }. 2  . ~. 2  .  k 2   k2 x     x     18 9  9 9
Câu 45: Trong khoảng 0;  phương trình cos 4x  sin x  0 có tập nghiệm S bằng   7   3  {. S   ; ;  . |. S   ;  .  6 10 10   6 10   2 3 7   5 3 7  }. S   ; ; ; . ~. S   ; ; ;  .  3 3 10 10   6 6 10 10  x
Câu 46: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos  0 . 3 3 3 {. x   k3 , k   . |. x   k6 , k   . 2 2  }. x  k , k  . ~. x   k , k  . 2
Câu 47: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x  cos x  0 trong khoảng 0;2  bằng T . Vậy T bằng bao nhiêu? 7 4 {. T   . |. T  . }. T  . ~. T  2 . 6 3   
Câu 48: Số nghiệm của phương trình cot x  1  0   trên khoảng    ;3  là  4  {. 2 . |. 3 . }. 1. ~. 4  Câu 49: Cho  AOC   AOF 
như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình 2sin x 1  0 được 6
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 46
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung {. Điểm E , điểm D . |. Điểm C , điểm F . }. Điểm D , điểm C . ~. Điểm E , điểm F .
Câu 50: Nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k k  .
|. x    k2 k  . 4 2 4   }. x   . ~. x   k k  . 4 4 Câu 51: Phương trình 1
sin x  có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 0; 20  ? 2 {. 10. |. 11. }. 21. ~. 20.
Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 2x 1  0 trên đoạn 0;1000  là {. 1000 . |. 999 . }. 2000 . ~. 1001.  2017 
Câu 53: Tập các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x   3m  0   có nghiệm là  2   3 3  2 2 {.  1  ;  1 . |.  1  ;  1 . }.  ;  . ~.  ; . 2 2     3 3   1  15 
Câu 54: Phương trình sin 2x  có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;   ? 2  2  {. 18. |. 16. }. 14. ~. 12.
Câu 55: Phương trình cot x  3 có bao nhiêu nghiệm thuộc  2  018 ,2018 ? {. 2018 . |. 4035 . }. 4037 . ~. 4036 . Câu 56: Phương trình x   1 cos 30  có các nghiệm là 2      x  k360 x k360  {. 6  . |.  . x  6  0  k360   x    k360  2 x  30  k2 x  30  k360 }.  . ~.  . x  9  0  k2 x  9  0  k360 1
Câu 57: Phương trình sin 2x   có hai họ nghiệm có dạng x    k và x    k , k   2   3      0      . Khi đó, tính 2 2   ?  4 4  2  2   2 25 2 2  5 {. . |. . }. . ~. . 3 3 72 72
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 47
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 1
Câu 58: Số nghiệm của phương trình: cos 2x   thuộc khoảng  ; 2  là 2 {. 4 . |. 1. }. 2 . ~. 3.
Câu 59: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 2cos x 1? 2 2 {. cos x  . |. sin x  . }. 2 tan x  1. ~. tan x 1. 2 2  5 
Câu 60: Số nghiệm của phương trình tan 2x   3  0   0;3 là  6  trên khoảng   {. 3 . |. 8 . }. 4 . ~. 6 .
Câu 61: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết  AOC   AOF  30 ,
 E, D lần lượt là các điểm
đối xứng của C, F qua gốc .
O Nghiệm của phương trình 2 sin x 1  0 được biểu diễn trên
đường tròn lượng giác là những điểm nào? {. Điểm C , điểm D. |. Điểm E, điểm F. }. Điểm C, điểm F. ~. Điểm E, điểm D.
Câu 62: Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn đoạn 0;2  là {. 3. |. 1. }. 4. ~. 2.
Câu 63: Nghiệm của phương trình sin 2x  cos x  0 là   k   x     x    k2  {. 2 2  (k  ) . |. 2  (k  ) .  k2   k2 x      x    6 3  2 3     x   k2  x    k  }. 2  (k ) . ~. 2  (k  ) .  k   x        x k2  6 3  4
Câu 64: Tập nghiệm của phương trình 2cos 2x 1  0 là   2 2 {.  
S    k2 ,   k2 , k   . |. S    2k ,   2k , k  .  3 3   3 3      }.  
S    k ,  k ,k   .
~. S    k ,  k , k   .  3 3   6 6 
Câu 65: Phương trình 2cos x 1  0 có tập nghiệm là      
{.   k2 ,k  .
|.   k2 ,k  .  3   6        
}.   k2 k ,  l2 l  .
~.   k2 k ,  l2 l  .  3 6   3 6 
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 48
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   
Câu 66: Cho hàm số y  xsin x , số nghiệm thuộc  ;2 
của phương trình y  y  1 là 2    {. 2. |. 0. }. 1. ~. 3. 1
Câu 67: Nghiệm của phương trình sin . x cos x  là 2 k {. x  k 2 ; k   . |. x  ; k   . 4  }. x   k ; k   . ~. x  k ; k   . 4
Câu 68: Phương trình tan 3x  tan x có nghiệm là   {. x  k . |. x  k 2 . }. x  k . ~. x   k . 2 2
Câu 69: Phương trình mcos 2x  1 có nghiệm khi m  1 {. m  0 . |.  . }. m 1. ~. m 1. m  1  
Câu 70: Tập nghiệm của phương trình sinx cos x  là: 3      1    1 
{.   k , k  . |.   k,k  . }.   k ,k  . ~.   k ,k  . 1  2  1  2   2  2 
Câu 71: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm? {. 3sin x 1  0 . |. 2 2cos x  cos x 1  0 . }. 5 tan x  3  0 ~. 3cos x  5  0 . 1  15 
Câu 72: Phương trình sin 2x  có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;   ? 2  2  {. 18. |. 16. }. 14. ~. 12.   
Câu 73: Cho phương trình 3sin 2x  1  m   có nghiệm khi m  ;
a b. Khi đó b  a bằng  5  {. 6. |. 0. }. 2. ~. 4.
Câu 74: Tập nghiệm S của phương trình cos 3x  cos x là k  {. S  k ,k    . |. S   , k   .  2  k    }. S   , k   .
~. S    k ,k  .  3   2        
Câu 75: Phương trình sin 2x   1  
có mấy nghiệm trong nửa khoảng  ;  ?  2  2 2    {. 0 . |. 2 . }. 1. ~. 3 .    
Câu 76: Phương trình cos3x  sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  ;  ? 2 2    {. 0 . |. 2 . }. 3 . ~. 1.
Câu 77: Tất cả các nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k ,k   . |. x   k2 , k   . 4 4 4    }. x   k , k   . ~. x   k , k   . 4 4 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 49
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   3
Câu 78: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x     4    2 bằng     {. . |. . }.  . ~.  . 9 6 6 9 1  
Câu 79: Biết các nghiệm của phương trình cos 2x   có dạng x 
 k và x    k , k   ; 2 m n với ,
m n là các số nguyên dương. Khi đó m  n bằng {. 4. |. 3. }. 5. ~. 6.
Câu 80: Phương trình 2sin x  m  0 vô nghiệm khi m là: m  2  {. 2   m  2 . |. m  2 . }.  . ~. m  2  . m  2 sin 3x
Câu 81: Số nghiệm của phương trình
 0 trên đoạn 0;  là: 1 cos x {. 4. |. 2. }. 3. ~. Vô số.   
Câu 82: Số nghiệm của phương trình sin x   1  
thuộc đoạn0;2  là  4  {. 2 . |. 0 . }. 1. ~. 3 .  x  x 
Câu 83: Giải phương trình 2cos 1 sin  2  0    .  2  2  {. 2  x   k2 ,  k  . |. x   k2 ,  k   . 3 3 }.  2
x    k4,k   . ~. x    k4 ,  k  . 3 3
Câu 84: Giải phương trình 2cos x 1  0 .   {. x    k2 ,k   . |. x   k2 ,k   . 6 3   }. x    2 ,k  . ~. x    k2 ,k  . 3 3
Câu 85: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
3sin 2x  m  5  0 có nghiệm? {. 6. |. 2. }. 1. ~. 7.
Câu 86: Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30của phương trình: tan x  tan 3x 171 190 {. 55. |. . }. 45. ~. . 2 2
Câu 87: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x  sin 2x  0 trên đoạn 0;2 . {. 4 . |. 5 . }. 3 . ~. 2 .
Câu 88: Phương trình: cos x  m  0 vô nghiệm khi m là: {. 1  m  1 . |. m  1. }. m  1. ~. m  1; m  1
Câu 89: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ?
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 50
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung {. 2sin2x  1. |. 2cos2x  1. }. 2sin x  1. ~. 2cosx  1.
Câu 90: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 3x  cos x  0 trên 0;  . 5  {. . |. . }.  . ~. 2 . 8 3
Câu 91: Cho phương trình sin 2x  sin x  2m cos x  m  0, m là tham số. Số các giá trị nguyên của 7 
m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên ; 3  là 4    {. 0 . |. 2 . }. 3. ~. 1     3 
Câu 92: Cho phương trình sin 2x   sin x    
 . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;   4   4  của phương trình trên. 7 3  {. . |.  . }. . ~. . 2 2 4 m
Câu 93: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 8sin . x cos . x cos 2x  3  0 là . Khi đó m  n n bằng {. 12. |. 13. }. 14. ~. 11 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B 13.A 14.D 15.A 16.B 17.C 18.D 19.A 20.A 21.D 22.C 23.C 24.D 25.D 26.B 27.C 28.C 29.A 30.D 31.C 32.C 33.C 34.B 35.C 36.C 37.D 38.C 39.C 40.D 41.A 42.C 43.C 44.A 45.D 46.A 47.D 48.D 49.D 50.A 51.D 52.A 53.D 54.B 55.D 56.D 57.A 58.C 59.C 60.D 61.A 62.D 63.B 64.C 65.A 66.D 67.C 68.A 69.B 70.B 71.D 72.B 73.A 74.B 75.C 76.C 77.D 78.C 79.D 80.C 81.C 82.C 83.D 84.D 85.B 86.C 87.B 88.D 89.C 90.D 91.D 92.B 93.C Hướng dẫn giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 51
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   x   k2 1 Câu 1:  6 s inx    2  5 x    k2  6 2  
Câu 2: Ta có: 2 cos x  2  0  cos x 
 cos x  cos  x    k2,k   . 2 4 4 3 2 3 Câu 3: Ta có cos x    cos x  cos  x   k2;k   . 2 3 3    k  Câu 4: Ta có cos 3x  cos  3x    2 k 2  x    . 15 15 45 3 Câu 5:   x    k2 1 
Câu 6: 2sin x 1  0  sin x    6  , k   . 2 7   x   k2  6 8 2 1 2 3 Câu 7: Với x 
 k 2 , k   ta có: cos x  cos   ;sin x  sin  . 3 3 2 3 2 8 Do đó x 
 k2 , k   là một họ nghiệm của phương trình 2cos x 1  0 . 3 Câu 8:
Câu 9: sin x  0  x  k , k   . Câu 10:  2 x   k2 1  Ta có cos x   3   k  . 2 2   x    k2  3      x    k2 x   k2  3     Câu 11: Ta có 4 3 12 sin x         k   4  2    5 x  k2      x   k2  4 3  12       Câu 12: cot x 
 3  x    k  x   k , k .    6  6 6 3 
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là . 3  2x   Câu 13: Ta có sin   0    3 3  2x     k 3 3 2x      k 3 3  2x     k3  k3  x    k . 2 2   x   k2 2   Câu 14: 4 cos x   cos x  cos   , k  . 2 4  x    k2  4
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 52
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 
Câu 15: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x  0  x   k k . 2 2    2 Câu 16: Vì
 1 là nên phương trình cos 2x     3  2  3 vô nghiệm. 1   Câu 17: Ta có: sin .
x cos x   sin 2x  1  2x 
 k2  x   k k  . 2 2 4   x   k2 3  3
Câu 18: 2sin x  3  0  sin x    k . 2 2   x   k2  3 Câu 19: Ta có:   cos x  0  x   k . 2
 cos x  1  x  k2 .  cos x  1   x    k2 . 
Đáp án sai : cos x  0  x   k 2 . 2       Câu 20: sin x 
 0  x   k  x   k k     .  3  3 3 1  2
Câu 21: Do y  sin x có tập giá trị là 1; 
1 nên các phương trình sin x  ;sin x  có 2 2 1 3 1 3
nghiệm; phương trình sin x  vô nghiệm do  1 2 2 1 
Câu 22: Ta có 2 cos x 1  0  cos x   x    k2 , k   . 2 3 
Câu 23: tan x 1  0  tan x  1  x    k , k   . 4   
Câu 24: Ta có phương trình sin 3x 1  0  sin 3x  1   3x    k2 2  x    k , k   . 2 6 3   2 
Vậy tập nghiệm của phương trình là   k , k   .  6 3  Câu 25: Ta có:  o
cot x 15   3  0   o cot x 15   3 o o o  x 15  30  1 k 80 o o  x  45  1 k 80 , k  .
Nghiệm của phương trình đã cho là: o o x  45  1 k 80 , k  .
Câu 26: Ta có: sin x  0  x  k , k   . Câu 27: Lời giải 0 cot(2x  30 )  3 0 0 0  2x  30  30  1 k 80  x  0  0 30 k90 k  Câu 28: Lời giải
Ta có: cosx  1  x    k 2 . Suy ra C là đáp án sai Câu 29: Lời giải
Phương trình cos x  m có nghiệm khi m  1 do 1   cos x 1. Câu 30: Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 53
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  Pt  cos x  0  x   k . Vậy chọn D 2   
Câu 31: tan 2x 1  0  tan 2x  1  2x   k  x   k . 4 8 2 
Câu 32: Ta có: 2 cos 2x  2  cos 2x  1  2x    k2  x  x   k , k   2   x   k2 3   Câu 33: Ta có: 3
2sin x  3  0  sin x   sin   k  2 3  2 x     k2   k2  3 3 
Câu 34: Ta có: cos 2x  1  2x    k2  x   k k  2     x   k2 x   k2 1    Câu 35: 6 6 sin x   sin x  sin     , k  Z 2 6  5 x  k2     x   k2  6  6   Câu 36: cos x  cos  x    k2 3 3 Câu 37:
Ta có sin x  0  x  k , k   , nên đáp án D sai.  
Câu 38: * Ta có: sin 2x 1  0  sin 2x  1  2x 
 k2 ; k    x   k; k  . 2 4 1     
Câu 39: 2cos x  1  cos x   cos  x    k2 ,  k   
 . Vậy x  là một nghiệm của pt 2  3  3 3 đã cho.
Câu 40: Ta có cos x 1  x  k2 , k   . 
Câu 41: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x  0  x   k k . 2
Câu 42: + Phương trình sin x  3  0  sin x  3
  phương trình sin x  3  0 vô nghiệm. cos x 1 + Phương trình 2 2cos x cos x 1 0      1   phương trình cos x    2 2
2 cos x  cos x 1  0 có nghiệm.
+ Phương trình tan x  3  0  tan x  3   x  arctan  3
   k  phương trình
tan x  3  0 có nghiệm. 2 2
+ Phương trình sin x  mà 1   1 nên phương trình 3sin x  2  0 có nghiệm. 3 3 3 
Câu 43: Phương trình cos x 
 x    k2 k  . 2 6  Với x    11 ; 2  x 
. Suy ra a  11 và b  6 . 6 Vậy ab  66 .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 54
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   x   k2     Câu 44: 2
sin 4x  cos5x  0  cos5x  sin 4x  cos 4x      .  2   k2 x     18 9   2 x   k     Câu 45: 6 3
cos 4x  sin x  0  cos 4x   sin x  cos x      .  2    2 x    k  10 5  5 3 7 
Suy ra trong khoảng 0;  phương trình đã cho có tập nghiệm là S   ; ; ;  .  6 6 10 10  x x  3 Câu 46: Ta có cos  0    k  x   k3 , k   . 3 3 2 2 x  k2 2x  x  k2 2 Câu 47: cos 2x cos x 0 cos 2x cos x         2  x  k . 2x  x  k2 x  k 3  3   Với x     2 4 0; 2  x  ; x  . 3 3 2 4 Vậy T    2 . 3 3       Câu 48: Ta có: cot x 
1  0  x     k  x    k k    .  4  4 4 2  1 7 ycbt  
    k  3    k  , mà k   nên k 0;1;2;  3 . 2 2 2   x    k2 1   Câu 49: 6
2sin x 1  0  sin x    k . 2 7   x   k2  6  7
Các cung lượng giác x    k2 , x 
 k2 lần lượt được biểu diễn trên đường tròn 6 6
lượng giác bởi các điểm F và E .      
Câu 50: tan x  cot x  tan x  tan
 x  x   x  k  x   k   ( k  ).  2  2 4 2 Câu 51: Cách 1:   x   k2 1  Ta có 6 sin x    , với k  .  2 5   x   k2  6  1 119 +) 0   k2  20    k 
. Lại có k   nên k 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;  9 . 6 12 12  +) 5 5 115 0   k2  20    k 
. Lại có k   nên k 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;  9 . 6 12 12 1
Vậy phương trình sin x  có 20 nghiệm trên đoạn 0; 20 . 2 Cách 2:
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 55
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 1
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn 0;2  phương trình sin x  có 2 nghiệm, tương 2
tự với 2 ;4 , 4;6 ,...18 ;20 . Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm
nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên 0;20   chọn đáp án ~. 
Câu 52: cos 2x 1  0  cos 2x  1
  2x    k2  x   k , k   . 2  1 1999 Ta có: 0 
 k  1000    k  . 2 2 2
Ta được k 0;1;2;...99  9 .
Có 1000 giá trị k , ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên 0;1000 .  2017   2017  3m Câu 53: Ta có: 2sin x   3m  0  sin x        có nghiệm  2   2  2 3m 2 2 khi và chỉ khi 1  1    m  . 2 3 3     2x   k2 x   k 1    Câu 54: Ta có: 6 12 sin 2x   sin 2x  sin     k  . 2 6  5 2x  k2     x   k  6  12   Trường hợp 1: x   k k  . 12 15  15 1 89 k Vì 0  x   0   k     k 
 k  0;1;2;3;4;5;6;  7 . 2 12 2 12 12
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:  13 25 37 49 61 73 85 x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  . 12 12 12 12 12 12 12 12 5  Trường hợp 2: x   k k  . 12 15 5 15 5 85 k Vì 0  x   0   k     k 
 k  0;1;2;3;4;5;6;  7 . 2 12 2 12 12
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 17 29 41 53 65 77 89 x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  12 12 12 12 12 12 12 12  15  Vậy trên khoảng 0; 
 phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.  2   Câu 55: cot x  3   1  x 
 k ,k  , mà 2018  x  2018 . 6   2  018   k  1 2018  2  018   k  1 1
2018  2018   k  2018  , k   . 6 6 6 6
Suy ra 2018  k  2017 , k   . Vậy  
1 có 4036 nghiệm thuộc  2  018 ,2018  .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 56
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Nhận xét: Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T   , nên trên mỗi đoạn có độ dài bằng
một chu kì thì phương trình cot x  3 có đúng một nghiệm. Mà đoạn  2
 018 ;2018  được
chia làm 4036 đoạn có độ dài bằng 1 chu kì dạng  2
 018 ; 2017 ,  2  017 ; 2016 ,
…, 2017 ;2018  nên phương trình đã cho có 4036 nghiệm. 1 x      k  x    k 
Câu 56: Ta có: cos  x  30 30 60 360 30 360    , k   2  x 30 60 k360         x  9  0  k360     2x    k 2 x    k 1   Câu 57: sin 2x   6   12   k  . 2 7   7 2x   k2      x k  6  12 7  2     ,   2 2     . 12 12 3 Câu 58: Cách 1: 1 2  cos 2x    2x  
 k2  x    k , k  . 2 3 3   +) Xét  k    2 4 4 ; 2
  k   k  1 x  . 3 3 3 3  
+) Xét   k    4 7 5 ; 2
  k   k  2  x  . 3 3 3 3 1
Vậy phương trình cos 2x   có 2 nghiệm trên  ; 2  . 2 Cách 2:
Hàm số y  cos 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   . Trên mỗi khoảng có độ dài bằng
chu kì thì phương trình cos 2x  m, 1  m  1, m  0 luôn có đúng hai nghiệm. 1
Do đó trên  ; 2  thì phương trình cos 2x   có đúng hai nghiệm. 2 1 1 Câu 59: 2 2 2 2 2cos x  1  cos x  
 2  1 tan x  2  tan x 1. 2 2 cos x  5  5   k Câu 60: tan 2x   3  0  2x     k  x   k     .  6  6 3 4 2        1 11 k k x 0;3  0    3    k   k 0;1;2;3;4;  5 . 4 2 2 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng 0;3  . Câu 61:   x   k2 1  Ta có: 6
2sin x 1  0  sin x    , k   . 2 5   x   k2  6
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 57
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C, điểm D . Câu 62: Tự luận     x   k2 x   k2 3   3    3
2sin x  3  0  sin x   sin x  sin       , k   2  3    2   x     k2 x   k2  3  3  - Xét x   k2 3   5 1 5 0  x  2  0 
 k2  2    k2     k   k  0 3 3 3 6 6  Chỉ có một nghiệm x  0;2  3 2 - Xét x   k2 3 2 2 4 1 2 0  x  2  0   k2  2    k2     k   k  0 3 3 3 3 3 2 Chỉ có một nghiệm x  0;2  3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2 . sin 2x  cos x  0  2sin . x cos x  cos x  0  cos . x (2sin x 1)  0   Câu 63: x   k  2   cos x  0  x    k2 cos x  0     2   
1  x    k2   (k  Z ) 2sin x 1  0 sin x    6  k2   2  x   7  2 3 x   k2  6  2   2x   k2 x   k 1 2    
Câu 64: Ta có 2 cos 2x 1  0  cos 2x    cos 3 3     k . 2 3 2  2x k2    x   k  3  3 1 
Câu 65: 2cos x 1  0  cos x   cos 2 3   x   k2  3   k .  x    k2  3 Câu 66: Ta có y '  s inx  x cos x
y '  cos x  cos x  x sin x  2 cos x  x sin x Do đó   x   k2 1  3
y  y  1  2 cos x  1  cos x    k  Z  2  x    k2  3
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 58
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  Trường hợp 1. Với x   k2 k  Z  3     5 5 Do  x   ; 2  nên    k2  2    k  2    2 3 12 6 
Suy ra k  0 ta được x  . 3 
Trường hợp 2. Với x    k2 k  Z  3     1 7 Do  x   ; 2  nên 
   k2  2    k  2    2 3 12 6  5
Suy ra k  0 ta được x   ; k  1 ta được x  . 3 3      5
Vậy có 3 nghiệm thuộc  ;2 
của phương trình y  y  1 là x  ; x   ; x  . 2    3 3 3 1   Câu 67: Ta có: sin .
x cos x   sin 2x  1  2x 
 k2  x   k k  . 2 2 4 cos3x  0   Câu 68: Điều kiện: 
 x   k k  . cos x  0 6 3 
Ta có: tan 3x  tan x  3x  x  k  x  k . 2
Kết hợp với điều kiện ta được x  k k  . m  0  m  1
Câu 69: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  1  m 1  . 1    m  1  m  Câu 70: Ta có:       
sinx cos x             sinx sin x sinx sin x    3  2 3  6    x  x  k2  6 1    x   k,k   .  
x   x k  VL 12 2  6 5
Câu 71: 3cos x  5  0  cos x  . 3 Ta có 1
  cos x 1 nên phương trình vô nghiệm.     2x   k 2 x   k 1    Câu 72: Ta có: 6 12 sin 2x   sin 2x  sin     k   . 2 6  5 2x  k 2     x   k  6  12   Trường hợp 1: x   k k  . 12 15  15 1 89 k Vì 0  x   0   k     k 
 k  0;1;2;3;4;5;6;  7 . 2 12 2 12 12
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:  13 25 37 49 61 73 85 x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  . 12 12 12 12 12 12 12 12
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 59
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 5  Trường hợp 2: x   k k  . 12 15 5 15 5 85 k Vì 0  x   0   k     k 
 k  0;1;2;3;4;5;6;  7 . 2 12 2 12 12
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 17 29 41 53 65 77 89 x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  ; x  12 12 12 12 12 12 12 12  15  Vậy trên khoảng 0; 
 phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.  2        m 1 Câu 73: Ta có: 3sin 2x  1  m  sin 2x        5   5  3 m 1
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  1  2   m  4. 3 Suy ra: b  a  6. x  k 3x  x  k2 k
Câu 74: Phương trình: cos 3x cos x     k  x   k  . 3x  x  k2 x  2  2 k 
Kết luận: Vậy phương trình tập nghiệm S   , k   .  2        Câu 75: Ta có: sin 2x 
1  2x    k2  x   k   .  2  2 2 8        5 3 Do x   ;     k     k   2 2    2 8 2 8 8 
Mặt khác do k    k  0  x  . 8 
Vậy phương trình có nghiệm x  8      3x   x  k2 x   k      Câu 76: Ta có 2 8 2
cos 3x  sin x  cos3x  cos  x       .  2      3x    x  l2 x    l  2  4           5 3 x   k   ;     k 
   k   k 1;  0 . 8 2  2 2    2 8 2 2 4 4     3 
Vậy họ nghiệm này có hai nghiệm thuộc đoạn  ;  là x   , x  . 2 2    8 2         1 3 x    l   ;      l 
   l   l  0 . 4  2 2    2 4 2 4 4     
Vậy họ nghiệm này có một nghiệm thuộc đoạn  ;  là x   . 2 2    4    
Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thuộc đoạn  ;  . 2 2    sin x  0  Câu 77: Điều kiện 
 sin 2x  0 x  m , m   cos x  0 2      
tan x  cot x  tan x  tan  x    x   x  k  x   k
 k  thỏa mãn điều  2  2 4 2 kiện.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 60
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung     7 k2   3 3x    k2  x    Câu 78: sin 3x    4 3 36 3      ; k;l   4    2   2 3x   11 l2    l2  x    4 3  36 3 TH1: x  0 ; x lớn nhất  17 k  1  ; x     13 Chọn 36  x      13 36 l  1; x     36 TH2: x  0; x nhỏ nhất  7 k  0; x    7 Chọn 36  x     11 36 l  0; x    36 13 7 
Khi đó tổng cần tìm là:     . 36 36 6  2   2x   k2 x   k 1 2   Câu 79: cos 2x   3 3  cos 2x  cos     k  2 3 2     2x    k2 x    k  3  3
 m  n  3  3  6 . m m
Câu 80: +) 2 sin x  m  0  sin x 
, phương trình có nghiệm khi 1   1  2   m  2 2 2 m m  m  2
+) 2 sin x  m  0  sin x 
, phương trình vô nghiệm khi  1  2  2 m  2 Chọn đáp án C
Câu 81: ĐKXĐ: cosx  1  x  k 2 , k   . sin3x k Khi đó:
 0  sin3x  0  3x  k  x  , k   . 1 cosx 3  2
Mà 0  x   nên x  0, x  , x 
, x   . Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của 3 3  2
phương trình trên đoạn 0;  là x  , x  , x   . 3 3       Câu 82: Ta có sin x 
1  x    k2  x   k2 , k     .  4  4 2 4 
Vì x 0;2   x  .  Phương trình có 1 nghiệm trên đoạn 0;2  4  x 2cos 1  0   1 x x     Câu 83: Ta có : 2 2cos 1 sin  2  0      .  2  2  x sin  2  0 (2)  2   Giải   1 : x x 1 x 2 2 cos 1  0  cos  
   k 2  x    k 4 , k   . 2 2 2 2 3 3 Giải 2 : x
sin  2  0 , phương trình vô nghiệm. 2 2
Vậy phương trình có họ nghiệm là x    k4 , k   . 3
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 61
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 1    
Câu 84: Ta có: 2cos x 1  0  cos x   cos  x    k2 ,k     . 2  3  3 2 m  5
Câu 85: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2x  3 2 m  5  2  2  m   2 Vì sin 2x  1  ;  1 nên  1  ;  2 1  m 2;8   3  2  m  2 2
Vậy nên có 2 giá trị chọn B Câu 86: Lời giải       cos x  0 x k 
Điều kiện để phương trình có nghĩa 2      * cos3x  0  k  x    6 3 k
Khi đó, phương trình 3x  x  k  x  so sánh với đk 2 x  k2
, x 0;30  k  0;...;  4  x   0;;2;....;9 x    k2
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30của phương trình là: 45 .  2k 2x  x  k2 x  Câu 87: Ta có sin x sin 2x 0 sin 2x sin  x         3 ,k,l    . 2x    x  l2  x    2l
Vì x0;2  nên 0  x  2 . k  0  x  0  2 k 1 x  2k 2k  + Với 3 x  . Ta có 0 
 2  0  k  3. Suy ra . 3 3  4 k  2  x   3 k  3  x  2 1 1
+ Với x    2l . Tương tự 0    2l  2    l  . Suy ra l  0  x   . 2 2
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên 0;2  là 5 . m   1
Câu 88: Theo lý thuyết phương trình cos x  m vô nghiệm khi: m  1  . 
Câu 89: Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại 1
điểm với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của 2 1
phương trình lượng giác cơ bản: sin x 
 2sin x  1 ⇒ Đáp án. }. 2   3x  x   k2     Câu 90: Ta có: 2
sin 3x  cos x  0  sin 3x  sin x       2  3 3x   x  l2  2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 62
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   x    k  4   k,l  . 3  x   l  8 2   0    k    k  1 k  Mà x 0;  nên 4  . Do   nên l  0 3   l    0   l    l 1  8 2   3 x   4  3 3 3 7   x   T     2  . 8 4 8 8  7 x   8
Câu 91: Phương trình đã cho tương đương với phương trình  1   x  x m cos x (1) 2cos -1 sin - 0    2  sin x  m (2) 8 7  có 1 nghiệm là x  trên ; 3 3  4     m 1   3 m  Suy ra  2   2  m  ;0 2       3 2x   x   k2 x    k2  3      Câu 92: Ta có: 4 4 sin 2x sin x             2 k  .  4   4   3 x    k 2x     x   k2  6 3  4 4
+ Xét x    k2 k  . 1
Do 0  x    0    k2      k  0 . Vì k  nên không có giá trị k . 2  2 + Xét x   k k  . 6 3  2 1 5 Do 0  x    0   k
     k  . Vì k  nên có hai giá trị k là: 6 3 4 4 k  0; k  1.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 63
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung   Với k  0  x  . 6 5  Với k  1  x  . 6  5
Do đó trên khoảng 0;  phương trình đã cho có hai nghiệm x  và x  . 6 6  5
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng 0;  là:    . 6 6
Câu 93: Tập xác định: D   . 3 Ta có: 8sin . x cos .
x cos 2x  3  0  4sin 2 .
x cos 2x  3  2sin 4x  3  sin 4x  2     k 4x   k2 x    3  13 2     k . 2     k 4x   k2 x    3  6 2  m 1
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là    m  n 14 . 13 n 13
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 64
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Chýõng 1:
§➌. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Tóm tắt lý thuyết Ⓐ
➊. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . Định nghĩa:
 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là pt có dạng: at + b = 0,
 Trong đó a, b là các hằng số (a  0), t là một trong các hàm số lượng giác.
 Ví dụ: 2sinx – √3 = 0; 2cosx – 3 = 0; √3tanx + 1 = 0; cotx -1 = 0
. Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2sinx – 3 = 0; b) √3tanx + 1 = 0 Hướng dẫn giải:
a) 2sinx – 3 = 0 sinx = > 1: phương trình vô nghiệm
b) √3tanx + 1= 0  tanx = –  x = – + 𝑘𝜋 √
.PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 5cosx – 2sin2x = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 Hướng dẫn giải:
a) 5cosx – 2sin2x = 0 cosx(5 – 4sinx) = 0
b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 2sin4x = –1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 2cos2x – 1 = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0 c) sinx + cosx = 1 Hướng dẫn giải:
a) 2cos2x – 1 = 0 cos2x = 0
b) sinx + sin2x + sin3x = 0  sin2x(2cosx + 1) = 0
c) sinx + cosx = 1 √2sin 𝑥 + = 1
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 65
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
➋. PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác
. Định nghĩa: PT bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: at2 + bt + c = 0;
trong đó a, b, c là các hằng số (a  0), t là một HSLG. Ví dụ : a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0
c) 3tan2x – 2√3tanx + 3 = 0 d) 3cot2x – 5cotx – 7 = 0 . Cách giải
 Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx)
 Đưa về PT: at2 + bt + c = 0
 Chú ý: Nếu đặt t = sinx (cosx) thì cần có điều kiện –1  t  1
a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 𝑡 = sin𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 + 3𝑡 − 2 = 0
b) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 𝑡 = cos𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 3𝑡 − 5𝑡 + 2 = 0 𝑡 = tan𝑥 c) 3𝑡 − 2√3𝑡 + 3 = 0 d) 𝑡 = cot𝑥 3𝑡 − 5𝑡 − 7 = 0 . Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau: Hướng dẫn giải: a) 2sin + √2sin − 2 = 0 b) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
𝑡 = sin , − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 a) c) cos2x + sinx + 1 = 0 2𝑡 + √2𝑡 − 2 = 0
d) √3tan2x – (1 + √3)tanx + 1=0
b) 𝑡 = cos𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 − 3𝑡 + 1 = 0
c) 𝑡 = sin𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 −𝑡 + 𝑡 + 2 = 0 𝑡 = tan𝑥 d)
√3𝑡 − (1 + √3)𝑡 + 1 = 0
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 66
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 67
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
➌. PT bậc nhất đối với sinx và cosx
. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx
 sinx + cosx = √2sin 𝑥 + = √2cos 𝑥 −
 sinx – cosx = √2sin 𝑥 − = −√2cos 𝑥 +
 asinx+bcosx=√𝑎 + 𝑏 .sin(x+)  với cos = , sin = √ √
. PT dạng asinx + bcosx = c
 Nếu a = 0, b  0 hoặc a0, b=0 thì đưa về PTLG cơ bản.
 Nếu a  0, b  0 thì dùng công thức biến đổi ở trên đưa về PTLG cơ bản.
 Điều kiện có nghiệm: 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 𝑐2
Cách giải: Chia hai vế của (1) cho 𝑎2 + 𝑏2, ta được  (1) ⇔ sin𝑥 + cos𝑥 = √ √ √ sin𝜑 =  Vì + = 1 nên ta đặt √ √ √ cos𝜑 = √
 Phương trình trở thành:sin𝑥sin𝜑 + cos𝑥cos𝜑 = ⇔ cos(𝑥 − 𝜑) = √ √  Đặt cos𝛼 =
ta được phương trình lượng giác cơ bản giải được. √ . Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau: a) sinx + √3cosx = 1 Hướng dẫn giải:
b) √3sin3𝑥 − cos3𝑥 = √2 c) 3cosx + 4sinx = –5 a)  2sin 𝑥 + = 1 d) 2sin2x – 2cos2x = √2 b)  2sin 3𝑥 − = √2
c)  cos(x + ) = –1 , với cos = d) sin 2𝑥 − =
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 68
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Phân dạng bài tập Ⓑ
①. Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo 1 hàm số lượng giác
Câu 1: Phương trình 2sin𝑥 − 1 = 0 có tập nghiệm là {. 𝑆 = + 𝑘2𝜋; + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . |. 𝑆 = + 𝑘2𝜋; − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . }. 𝑆 =
+ 𝑘2𝜋; − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . ~. 𝑆 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải 𝑥 = + 𝑘2𝜋
Ta có: 2sin𝑥 − 1 = 0 ⇔ sin𝑥 = ⇔ sin𝑥 = sin ⇔ 𝑘 ∈ ℤ . 𝑥 = + 𝑘2𝜋
Câu 2: Phương trình cot𝑥 + √3 = 0 có các nghiệm là
{. 𝑥 = + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).
|. 𝑥 = + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).
}. 𝑥 = − + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).
~. 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ). Lời giải
Ta có: cot𝑥 + √3 = 0 ⇔ cot𝑥 = −√3 ⇔ cot𝑥 = cot −
⇔ 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).
Câu 3: Phương trình sin𝑥 = cos𝑥 có số nghiệm thuộc đoạn [−𝜋; 𝜋] là {. 3. |. 5. }. 2. ~. 4. Lời giải
Ta có sin𝑥 = cos𝑥 ⇔ tan𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, (𝑘 ∈ ℤ).
Theo đề 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋] ⇔ −𝜋 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ .
Mà 𝑘 ∈ ℤ ⇒ 𝑘 ∈ {−1; 0}.
Vậy có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Số nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋] của phương trình sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 là {. 4. |. 3. }. 2. ~. 1. Lời giải
Ta có: sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2sin𝑥cos𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2cos𝑥(sin𝑥 − 1) = 0 cos𝑥 = 0 ⇔
⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. sin𝑥 = 1
Nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋] ứng với 0 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 69
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Vì 𝑘 ∈ ℤ nên chọn 𝑘 = 0, 𝑘 = 1 .
Vậy trên đoạn [0; 2𝜋] phương trình đã cho có 2 nghiệm.
②. Dạng 2: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác . Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ 𝑥 < là {. 𝑥 = . |. 𝑥 = . }. 𝑥 = ~. 𝑥 = . Lời giải 𝜋 ⎡𝑥 = + 𝑘2𝜋 2 sin𝑥 = 1 ⎢ 𝜋
2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 ⇔
1 ⇔ ⎢𝑥 = + 𝑘2𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ. sin𝑥 = 6 2 ⎢ ⎢ 5𝜋 𝑥 = + 𝑘2𝜋 ⎣ 6
Vì 0 ≤ 𝑥 < nên chỉ có nghiệm 𝑥 = .
Câu 2: Tập nghiệm 𝑆 của phương trình cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 là {. 𝑆 = − . |. 𝑆 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . }. 𝑆 = . ~. 𝑆 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải Chọn D cos𝑥 = 0 cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 ⇔
⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. cos𝑥 = 3(𝐿)
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 là {. 𝑆 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .
|. 𝑆 = {𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
}. 𝑆 = {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. ~ . 𝑆 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải sin𝑥 = 1
Ta có: sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 ⇔ . sin𝑥 = 4 (𝐿)
sin𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Câu 4: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 𝜋) của phương trình 2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 là {. . |. . }. 𝟑𝝅. ~. 𝟗𝝅 𝟓 𝟓 Lời giải cos5𝑥 = 1 𝑘2𝜋
2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 ⇔ 5
⇔ 5𝑥 = 𝑘2𝜋 ⇔ 𝑥 = ; 𝑘 ∈ ℤ cos5𝑥 = − (𝐿) 5 2
Vì 𝒙 thuộc khoảng (0; 𝜋) nên có 2 nghiệm thỏa mãn là 𝑥 = ;𝑥 =
Vậy tổng các nghiệm bằng .
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 70
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
③. Dạng 3: Phương trình a.sinx+b.cosx=c . Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm của phương trình cos𝑥 + sin𝑥 = 1là {. 𝑥 = + 𝑘𝜋. |. 𝑥 = + 𝑘𝜋. }. 𝑥 = + 𝑘2𝜋. ~. 𝑥 = + 𝑘2𝜋. 𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘𝜋 Lời giải
Ta có cos𝑥 + sin𝑥 = 1 ⇔ √2cos 𝑥 − = 1 ⇔ cos 𝑥 − = √ 𝑥 − = + 𝑘2𝜋 𝑥 = + 𝑘2𝜋 ⇔ ⇔ , 𝑘 ∈ ℤ. 𝑥 − = − + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋
Câu 2: Nghiệm của phương trình sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 là
{.𝑥 = − + 𝑘2𝜋; 𝑥 = + 𝑘2𝜋. |.𝑥 = − + 𝑘2𝜋; 𝑥 = + 𝑘2𝜋. }.𝑥 = + 𝑘2𝜋; 𝑥 = + 𝑘2𝜋.
~.𝑥 = − + 𝑘2𝜋; 𝑥 = − + 𝑘2𝜋. Lời giải
Ta có sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 ⇔ sin𝑥 + √ cos𝑥 = √ ⇔ cos sin𝑥 + sin cos𝑥 = sin 𝑥 + = + 𝑘2𝜋 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 ⇔ sin 𝑥 + = sin ⇔ ⇔ ,(𝑘 ∈ ℤ) 𝑥 + = + 𝑘2𝜋 𝑥 + = + 𝑘2𝜋
Câu 3: Tìm số nghiệm 𝑥 ∈ − ; −
của phương trình √3sin𝑥 = cos − 2𝑥 ? {. 4. |. 3. }. 1. ~. 2. Lời giải Ta có: 3𝜋 √3sin𝑥 = cos
− 2𝑥 ⇔ √3sin𝑥 + sin2𝑥 = 0 ⇔ √3sin𝑥 + 2sin𝑥cos𝑥 = 0 2 𝑥 = 𝑘𝜋 sin𝑥 = 0 ⎡ 5𝜋 ⎢𝑥 = + 𝑘2𝜋
⇔ sin𝑥 √3 + 2cos𝑥 = 0 ⇔ 5𝜋 ⇔ 6 , 𝑘 ∈ ℤ. cos𝑥 = cos ⎢ 6 ⎢ 5𝜋 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 ⎣ 6 + Ta có: 3𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 3 1 𝑥 = 𝑘𝜋 ∈ − ; − ⇔ − ≤ 𝑘𝜋 < − ⇔ − ≤ 𝑘 < −
⇔ 𝑘 = −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ). 2 2 2 2 2 2 5𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 14 8 𝑥 = + 𝑘2𝜋 ∈ − ; − ⇔ − ≤ + 𝑘2𝜋 < − ⇔ − ≤ 𝑘 < − ⇔ 𝑘 6 2 2 2 6 2 12 12
= −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ).
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 71
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung 5𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 4 2 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 ∈ − ; − ⇔ − ≤ − + 𝑘2𝜋 < − ⇔ − ≤ 𝑘 < ⇔ 𝑘 6 2 2 2 6 2 12 12 = 0(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ).
Vậy phương trình √3sin𝑥 = cos
− 2𝑥 có 3 nghiệm 𝑥 ∈ − ; − .
④. Dạng 4: Phương trình lượng giác có chứa tham số. . Bài tập minh họa:
Câu 1: Điều kiện để phương trình: 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là {. m ≤ −4. |. m > 4. }. m < −4. ~. −4 < m < 4. m ≥ 4 Lời giải
Phương trình 3sin𝑥 + 𝑚cos𝑥 = 5 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 + 𝑚 < 5 ⇔ 𝑚 < 16 ⇔ −4 < 𝑚 < 4.
Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình (𝑚 + 1)sinx − 3cos𝑥 = 𝑚 + 2 có nghiệm là {. (3; +∞). |. (−∞; 3). }. [3; +∞). ~. (−∞; 3]. Lời giải
Phương trình có nghiệm khi (𝑚 + 1) + 3 ≥ (𝑚 + 2) ⇔ −2𝑚 ≥ −6 ⇔ 𝑚 ≤ 3.
Câu 3: Điều kiện của 𝑚 để phương trình 𝑚sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 có nghiệm là. {. 𝑚 ≥ √34. |. −4 ≤ 𝑚 ≤ 4. }. 𝑚 ≤ −4 ~. 𝑚 ≥ 4. 𝑚 ≥ 4 . Lời giải
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 𝑚sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 là 𝑚 ≤ −4 𝑚 + 9 ≥ 25 ⇔ . 𝑚 ≥ 4
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để phương trình 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑚 vô nghiệm? 𝑚 ≤ 0 𝑚 < 0 {. . |. 0 ≤ 𝑚 ≤ . }. 0 < 𝑚 < . ~. . 𝑚 ≥ 𝑚 > Lời giải.
Ta có: 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑚 ⇔ 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2𝑚 − 1 (1)
Điều kiện phương trình (1) vô nghiệm là: 𝑚 + 1 < (2𝑚 − 1) ⇔ 3𝑚 − 4𝑚 > 0 ⇔ 𝑚 < 0. 𝑚 > 𝑚 < 0 Vậy với
thì phương trình trên vô nghiệm. 𝑚 >
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 𝑚 thuộc đoạn [0; 10] để phương trình
(𝑚 + 1)sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚 có nghiệm. {. 21. |. 18. }. 20. ~. 11. Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 72
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Phương trình (𝑚 + 1)sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚có nghiệm
⇔ (𝑚 + 1) + (−1) ≥ (1 − 𝑚) ⇔ 𝑚 ≥ − .
Vì 𝑚 nhận giá trị nguyên thuộc đoạn [0; 10] nên có 11 giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập rèn luyện Ⓒ
Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 1 1 {. 3 sin x  2. |. cos 4x  . 4 2 }. 2sin x  3cos x  1. ~. 2 cot x  cot x  5  0 .
Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 .   3  x  arcsin  k2     2  {. x  . |.  k .   3  x     arcsin  k2     2    3  x  arcsin  k2     2  }.  k . ~. x   .   3  x   arcsin  k2       2 
Câu 3: Nghiệm của phương trình 2
sin x  4sin x  3  0 là 
{. x    k2 , k   .
|. x    k2 , k   2 .  }. x   k2 , k   . ~. x  k 2 , k   2
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? {. tan x  3 . |. sin x  3  0 . }. 3sin x  2  0 . ~. 2
2 cos x  cos x 1  0 .
Câu 5: Giải phương trình 2
3sin x  2cos x  2  0 .  {. x   k , k   . |. x  k , k   . 2  }. x  k 2 , k   . ~. x   k 2 , k   . 2
Câu 6: Nghiệm của phương trình lượng giác 2
sin x  2sin x  0 có nghiệm là:   {. x  k2 . |. x  k . }. x   k . ~. x   k2 . 2 2 
Câu 7: Nghiệm của phương trình 2
2 sin x – 3sin x 1  0 thỏa điều kiện: 0  x  . 2     {. x  . |. x  . }. x  . ~. x   . 6 4 2 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 73
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 8: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2
2sin x  5sin x  3  0 là:   3 5 {. x  . |. x  . }. x  . ~. x  . 6 2 2 6
Câu 9: Phương trình cos 2x  4sin x  5  0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10  ? {. 5. |. 4 . }. 2 . ~. 3.
Câu 10: Phương trình lượng giác 2
cos x  2cos x  3  0 có nghiệm là:  {. x  k2. |. x  0 . }. x   k2 . ~. Vô nghiệm. 2
Câu 11: Cho phương trình: cos 2x  sin x 1  0 * . Bằng cách đặt t  sin x  1   t   1 thì phương
trình * trở thành phương trình nào sau đây? {. 2 2  t t  0 . |. 2 t t  2  0. }. 2 2  t t 2  0. ~. 2 t  t  0 .
Câu 12: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10  của phương trình 2
sin 2x  3sin 2x  2  0 . 105 105 297 299 {. . |. . }. . ~. . 2 4 4 4
Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2
2sin 2x  cos 2x 1  0 trong 0;2018  là {. 1009 . |. 1008 . }. 2018 . ~. 2017 .
Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác 2
cos x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .   {. x  . |. x  0 . }. x   . ~. x  . 2 4
Câu 15: Nghiệm của phương trình 2
3 cos x  – 8 cos x – 5 là  {. x  k . |. x    k2 . }. x  k2 . ~. x    k 2 . 2
Câu 16: Giải phương trình 2 2sin x  3 sin 2x  3   2 5 {. x    k . |. x   k . }. x   k . ~. x   k . 3 3 3 3
Câu 17: Giải phương trình 2 2 2 sin x  sin x tan x  3.     {. x    k . |. x    k 2 . }. x    k . ~. x    k 2 . 6 6 3 3
Câu 18: Giải phương trình  4 4
4 sin x  cos x  5cos 2 .x        {. k k k x    k . |. x    . }. x    . ~. x    . 6 24 2 12 2 6 2 4x
Câu 19: Giải phương trình 2 cos  cos x . 3   x  k3 x  k  x  k3 x  k3   
{. x    k3 . |. x    k . }.  . ~.  .   5 4  4 x    k3 x    k3  5   4  4  5 x    k3 x    k  4  4
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 74
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x 1 là   x  k2     x k2  {. x  k2 . |.      4  . }. x k 2 . ~.  . x   k2 4    2 x    k2  4 Câu 21: Phương trình 2
2sin x  3 sin 2x  3 có nghiệm là  2 4 5 {. x   k . |. x   k . }. x   k . ~. x   k . 3 3 3 3
Điều kiện có nghiệm của pt . a sin 5x  . b cos5x  c là Câu 22: {. 2 2 2 a  b  c . |. 2 2 2 a  b  c . }. 2 2 2 a  b  c . ~. 2 2 2 a  b  c .
Câu 23: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 1 1 {. 3 sin x  2. |. cos 4x  . 4 2
}. 2sin x  3cos x  1. ~. 2 cot x  cot x  5  0 .
Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 5sin x 12cos x  m có nghiệm? {. 13 . |. Vô số. }. 26 . ~. 27 . 
Câu 25: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  s inx  sin(x  ) bằng a và b . Khi đó 3
S  a  b  ab có giá trị bằng {. 3 |. 2 }. 3  ~.  3 Câu 26: Cho phương trình 2
2m sin x cos x  4 cos x  m  5 , với m là một phần tử của tập hợp E   3  ; 2;1;0;1; 
2 . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm? {. 3. |. 2 . }. 6 . ~. 4 .  3   3 
Câu 27: Số nghiệm thuộc  ;   
của phương trình 3 sin x  cos  2x   là: 2     2  {. 3. |. 1. }. 2 . ~. 0 .
Câu 28: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:  5  3 {. x    k2 ; x   k2 . |. x    k2 ; x   k2 . 12 12 4 4  2  5 }. x   k2 ; x   k2 .
~. x    k2 ; x    k2 . 3 3 4 4
Câu 29: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình 2 2
a sin x  2sin 2x  3a cos x  2 có nghiệm {. a  3 |. a  2 }. a  1 ~. a  1 
Câu 30: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:   {. x  k2 ; x   k2 .
|. x  k ; x    k 2 . 2 2   }. x   k ; x  k2 . ~. x   k ; x  k . 6 4 x x
Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m sin  cos  5 có nghiệm. 2 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 75
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung m  2 m  2 {.  . |.  . }. 2   m  2 . ~. 2   m  2 . m  2 m  2 
Câu 32: Phương trình  3   1 sin x   3  
1 cos x  3 1  0 có các nghiệm là:.         x    k2  x    k2  x    k2  x    k2  {. 4 6  . |. 2 . }. . ~. 8 .         x   k2              x k2 x k2 x k2  6  3  9  12
Câu 33: Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình m cos x  m  2sin x  2m 1  0 có nghiệm. {. 0 |. 3 }. vô số ~. 1
Nghiệm của phương trình 3 sin x  cos x  0 là: Câu 34:     {. x    k . |. x    k . }. x   k . ~. x   k . 6 3 3 6
Câu 35: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;  của phương trình:
2 cos 3x  sin x  cos x .  3 {. . |. 3 . }. . ~.  . 2 2
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình       sin x   3 cos x   2m     vô nghiệm.  3   3  {. 21. |. 20. }. 18. ~. 9.
Câu 37: Cho phương trình msin x  4cos x  2m 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình có nghiệm? {. 4 . |. 7 . }. 6 . ~. 5. Câu 38: Phương trình: 3
3sin 3x  3 sin 9x 1 4sin 3x có các nghiệm là:   2   2   2     x     k x     k x     k x     k {. 6 9  . |. 9 9  . }. 12 9  . ~. 54 9  . 7   2 7   2 7   2   2 x    k x   k x   k x   k  6 9  9 9  12 9  18 9 x x
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình sin  m   1 .cos  5 vô 2 2 nghiệm? {. m  3 hoặc m  1  . |. 1   m  3 . }. m  3 hoặc m  1  . ~. 1   m  3 . 2sin 2x  cos 2x Câu 40: Hàm số y 
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x  cos 2x  3 {. 1. . |. 2. }. 3. ~. 4.
Câu 41: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x  m  4cosx  2m  5  0 có nghiệm là:
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 76
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung {. 5 |. 6 }. 10 ~. 3
Câu 42: Tìm m để phương trình msin x  5cos x  m 1 có nghiệm. {. m  12 . |. m  6 }. m  24. ~. m  3 .
Câu 43: Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình 2 2
a sin x  2 sin 2x  3a cos x  2 có nghiệm? 11 8 {. 2 . |. . }. 4 . ~. . 3 3
Câu 44: Để phương trình msin 2x  o
c s2x  2 có nghiệm thì m thỏa mãn m  3 m  2 {. m  1. |.  . }.  . ~. m  1. m    3 m    2    
Câu 45: Tìm m để phương trình 2sin x  mcos x  1 m có nghiệm x   ;  2 2    3 3 {. 1   m  3. |.   m . }. 1  m  3. ~. m  . 2 2
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2
2sin x + msin2x = 2m vô nghiệm? m  0 m  0 4 4 {.  4 . |.   . }.   . ~.  .  0 m 0 m 4 m  3 3 m   3  3
Câu 47: Điều kiện để phương trình .
m sin x  3cos x  5 có nghiệm là: m  4 {. m  4 . |. 4   m  4 . }. m  34 . ~.  . m  4 cos x  2sin x  3
Câu 48: Tìm m để phương trình m  có nghiệm. 2cos x  sin x  4 2 {. 2   m  0 |. 0  m  1 }.  m  2 ~. 2   m  1  11
Câu 49: Để phương trình: 2 sin x  2m  
1 sin x  3mm  2  0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:  1 1    1 1 m    m   2   m  1   1   m  1 {.  2 2 . |.  . }. . ~. .  3 3    0  m  1 3  m  4 1   m  2 1   m  3
Câu 50: Cho phương trình: sin xcos xsin x cosxm0, trong đó m là tham số thự}. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 {. 2  m    2 . |.   2  m  1 . 2 2 1 1 }. 1 m   2 . ~.   2  m  1. 2 2 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C A C B C B A A A A A A C A B B C A A
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 77
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A C D C A C A B A A B D A C C C D D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A A D B A D A C B D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Lời giải Chọn C
Phương trình 2sin x  3cos x  1có 2 2 2
2  3  1 . Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1có nghiệm. Câu 2. Lời giải Chọn A 3
Ta có: 2sin x  3  0  sin x   1 nên phương trình vô nghiệm. 2 Câu 3. Lời giải Chọn C sin x 1 2
sin x  4sin x  3  0   . sin x  3  Với sin x  1  x   k2 , k  . 2
Với sin x  3 phương trình vô nghiệm. Câu 4. Lời giải Chọn B Ta có: 1
  sin x  1 nên phương trình sin x  3  0  sin x  3  vô nghiệm. Câu 5. Lời giải Chọn C Ta có 2 3sin x  2cos x  2  0 2
 3cos x  2cos x  5  0  cos x 1  x  k2 , k   . Câu 6.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 78
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Lời giải Chọn B sin x  0 Ta có 2
sin x  2sin x  0  sin x sin x  2  0  .  sin x  2 Vì 1
  sin x 1 nên chỉ có sin x  0 thỏa mãn. Vậy ta có
sin x  0  x  k , k . Câu 7. Lời giải Chọn A   x   k2  2 sin x 1   2 2 sin x – 3sin x  1  0    1  x   k2 k   sin x   6  2  5 x   k2  6   Vì 0  x 
nên nghiệm của phương trình là x  . 2 6 Câu 8. Lời giải Chọn A sin x  3  2 2sin x 5sin x 3 0      1 sin x   2   x   k2 1  6  sin x    . 2 5   x   k2  6 Câu 9. Lời giải Chọn A sin x  1  PT đã cho 2
 2sin x  4sin x  6  0  
 x    k2 , k  . sin x  3  VN  2 
Theo đề: x 0;10   0    k2  1 21 10   k  . 2 4 4
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 79
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung
Vì k  nên k 1;2;3;4; 
5 . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng 0;10  . Câu 10. Lời giải Chọn A Ta có 2
cos x  2 cos x  3  0. Đặt cos x  t với điều kiện 1  t  1, ta được phương trình bậc hai theo t là 2 t  2t  3  0. *
Phương trình * có hai nghiệm t  1 và t  3
 nhưng chỉ có t thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có 1 2 1
cos x  1  x  k 2 , k . Câu 11. Lời giải Chọn A 2 2 2
cos 2x  sin x 1  0  1 2sin x  sin x 1  0  2sin x  sin x  0  2t  t  0 . Câu 12. Lời giải Chọn A sin 2x  1   Ta có: 2
sin 2x  3sin 2x  2  0  
 sin 2x  1  x    k , k   . sin 2x  2  (loaïi) 4 
Theo đề bài: 0    k  1 41 10   k   k  1, 2,...,10 . 4 4 4 3  3   3  105
Vậy tổng các nghiệm là: S      ...  9      . 4  4   4  2 Câu 13. Lời giải Chọn C Ta có 2
2sin 2x  cos 2x 1  0   2
2 1 cos 2x cos2x 1 0 2
 2cos 2x  cos 2x  3  0  cos 2x  1     3
 2x  k2 k Z       cos 2x  1    x k cos 2x  ( ko t / ) m 2  2 
Để x0;2018   0   k  2018,k  1 1
Z    k  2018  ,k  Z 2 2 2
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 80
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung  k 0;201  7 ,k Z .
Khi đó phương trình có 2018 nghiệm. Vậy chọn đáp án 𝐶. Câu 14. Lời giải Chọn {.   cos x  0 x   k Ta có 2 cos x cos x 0       2 k  . cos x 1  x  k2   Với x 
 k , do 0  x   nên ta được x  . 2 2
Với x  k2 , do 0  x   nên không có x nào thỏa mãn. Câu 15. Lời giải Chọn B cos x  1 2 3 cos x  – 8 cos x – 5 2  3cos x 8cos x 5 0      5
 x    k2 k  . cos x    1   3 Câu 16. Lời giải Chọn B Ta có 2
2sin x  3 sin 2x  3  1 cos 2x  3 sin 2x  3  3 sin 2x  cos 2x  3 1 2  sin 2x  cos 2x  1 2 2        sin 2x   1  
 2x    k2  x   k .  6  6 2 3 Câu 17. Lời giải Chọn C  ĐK: cos x  0  x   k . 2 4 2 2 sin x  sin x cos x 2 2 2 2
sin x  sin x tan x  3   3  sin x 2 2 sin x  cos x 2  3cos x 2 cos x  2
 tan x  3  tan x   3  x    k (tm). 3
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 81
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Câu 18. Lời giải Chọn A  4 4 x  x  x   2 2 4 sin cos 5cos 2
4 1 2sin x cos x  5cos 2x 2   x  x    2  x 2 4 2sin 2 5cos 2 4 2 1 cos 2
 5cos 2x  2cos 2x  5cos 2x  2  0  1 cos 2x       2
 cos 2x  cos  2x    k2  x    k  . 3 3 6 cos 2x  2 (l) Câu 19. Lời giải Chọn A 4x 4x 1 cos 2x 2x 2x 2 cos  cos x  cos   2cos 2.  1 cos3. 3 3 2 3 3  2x  2x 2x 2x 2x 2x 2 3 3 2  2 2cos 1  1 4cos  3cos  4cos  4cos  3cos  3  0  3    3 3 3 3 3 2x  k2  2x   3 x  k3 cos  1    3 2x     
   k2  x    k3 . 2x 3   3 6  4 cos     2x 5   3 2       5 k2 x    k3  3 6  4 Câu 20. Lời giải Chọn B   
sin x  cos x  1  2 sin x   1    4     x    k2 x  k2  1    4 4  sin x          .  4  2    x   k2 x      k2   2 4 4 Câu 21. Lời giải Chọn A
Phương trình tương đương 3 sin 2x  cos 2x  2       sin 2x 
 1  2x   1  x   k    6  6 3
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 82
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Câu 22. Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm Câu 23. Lời giải Chọn C
Phương trình 2sin x  3cos x  1có 2 2 2
2  3  1 . Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1có nghiệm. Câu 24. Lời giải Chọn D
Phương trình 5sin x 12cos x  m có nghiệm khi và chỉ khi   2 2 2 5 12  m  2 m  169  13  m  13 .
Suy ra có 27 số nguyên m để phương trình 5sin x 12cos x  m có nghiệm. Câu 25. Lời giải Chọn C 1 3 3 3 Ta có y  sinx  sinx  cos x  sinx  co x s . 2 2 2 2 3 3
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình y  sinx 
cosx có nghiệm khi và chỉ khi 0 0 2 2 9 3 12 2 y      3  y  3 . 0 0 4 4 4
Suy ra a   3,b  3 Vậy S  a  b  ab  3  Câu 26. Lời giải Chọn A  x Ta có 2
2m sin x cos x  4 cos x  m  1 cos 2 5  m sin 2x  4  m  5 2
 msin 2x  2cos 2x  m  3. 5
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi m  4  m  32 2  m  . 9
Vậy có ba giá trị của m  E để phương trình đã cho có nghiệm. Câu 27.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 83
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Lời giải Chọn C  3  Ta có 3 sin x  cos  2x 
  3 sin x  sin 2x    2 
 3 sin x  sin 2x  3 sin x  2  sin xcos x sin x  0 x  k    3 5  5  k  . cos x    cos x    k2  2 6  6  3   3  Bài ra x   ;    nên k   ;    k  1   x    . 2     2    5  3  7  k2   ;    k  1 x   . 6  2    6 5  3    k2   ;    k   x  . 6  2     3 
Do đó số nghiệm thuộc  ;   
của phương trình đã cho là 2 . 2    Câu 28. Lời giải Chọn A    sin x  3 cos x  1 3 2 2  sin x  cos x 
 cos .sin x  sin .cos x  sin 2 2 2 3 3 4      x    k2 x    k2    3 4    12  sin x   sin       k  .  3  4   3 5 x k2     x   k2  3 4  12 Câu 29. Lời giải Chọn B  x  x 2 2
a sin x  2sin 2x  3a cos x  1 cos 2 1 cos 2 2  a  2sin 2x  3a  2 2 2
 a  a cos 2x  4sin 2x  3a  3a cos 2x  4  4sin 2x  2a cos 2x  4  4a *
* có nghiệm khi  a    a2 2 2 4 4 4 4 2  12a  32a  0 2  12a  32a  8 0  0  a  . 3
Do a  và là số lớn nhất nên a  2 . Câu 30. Lời giải Chọn A
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 84
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung    x    k2   2      cos x  sin x  1 4 4  2 sin x   1  sin x          4   4  2  3 x    k2  4 4 x  k2    k   . x   k2  2 Câu 31. Lời giải Chọn A 2 m  2
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 2 2 2
m 1  5  m  4   . m  2  Câu 32. Lời giải Chọn B
Phương trình tương đương  3sin x  cos x  sin x  3cos x  3 1  0              2sin x   2sin x   1 3  4cos x  .sin   1 3          6   3   12   3     3 1     5   cos x    cos x   cos        12  2 2  12   12    x    k2  2    x   k2  3 Câu 33. Lời giải Chọn D
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
m  m  2   m  2 2 2 2 1 2  2m  3  3 3 0    m  2 2
Vậy có 1 giá trị nguyên. Câu 34. Lời giải Chọn A 3 1      3 sin x  cos x  0 
.sin x  .cos x  0  sin x   0  
 x   k  x    k k  Z  . 2 2  6  6 6
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 85
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Câu 35. Hướng dẫn giải Chọn C   x    k    
Ta có: 2 cos3x  sin x  cos x  cos 3x  cos x  8     k  .  4     x   k  16 2 7  9
Vì x 0;  nên nhận x  , x  , x  . 8 16 16 Câu 36. Lời giải Chọn C 2 m  1 
Phương trình vô nghiệm  1   3  2m2 2 2  4m  4  0   . m 1 m
 m  10; 9; 8;...; 2; 2;...;8;9;10   có 18 giá trị. m 10;10     Câu 37. Lời giải Chọn C Điều kiện để phương trình msin x  4cos x  2m 5 có nghiệm là   m  16  2m  52 10 73 10 73 2 2  3m  20m  9  0   m  . 3 3 Vậy m 1, 2,3, 4,5,  6 . Câu 38. Lời giải Chọn D Ta có 3 x  x   x   3 3sin 3 3 cos 9 1 4sin 3
3sin 3x  4sin 3x  3 cos9x 1      k2 9x    k2 x     1  3 6    54 9
 sin 9x  3 cos9x 1  sin 9x         .  3  2   5   k2 9x    k2 x    3 6  18 9 Câu 39. Lời giải Chọn D x x
Phương trình sin  m   1 .cos  5 vô nghiệm khi 2 2 2 2 2
a  b  c   m  2 2 1
1  5  m  2m  3  0  1  m  3. Câu 40.
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 86
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Lời giải Chọn B 2sin 2x  cos 2x Ta có y 
  y  2sin 2x   y   1 cos 2x  3y. . sin 2x  cos 2x  3
Điều kiện để phương trình có nghiệm   y  2   y  2   y2 2 2 1 3  7 y  2 y  5  0 . 5 1 y y        y 1; 
0 nên có 2 giá trị nguyên. 7 Câu 41. Lời giải Chọn A
4 sinx  m  4cosx 2m  5  0  4sinx m  4cosx  2m 5 . 2 2
Phương trình có nghiệm khi 2
4 m 4 2m  5  0 2  3  m  12m  7  0 6  57 6  57   m  3 3
Vì m   nên m  0,1,2,3,  4 .
Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 . Câu 42. Lời giải Chọn A
Phương trình có nghiệm  m   m  2 2 25
1  2m  24  m  12 . Câu 43. Lời giải Chọn D Ta có:   2 2
a sin x  2sin 2x  3a cos x  2  1 cos 2 x 1 cos 2 x a  2sin 2x  3a  2 2 2
 4sin 2x  2a cos 2x  4  4a  * .
Phương trình * có nghiệm   a    a2 2 16 4 4 4  2 12a  32a  0  8 0  a  . 3 Câu 44. Lời giải Chọn B
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 87
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung msin 2x  o c s2x  2 m 1 2  sin 2x  cos 2x  2 2 2 m 1 m 1 m 1   x   2 sin 2  2 m 1 2 m  3 có nghiệm khi 1   . 2 m 1 m    3 Câu 45. Lời giải Chọn A x    
Đặt t  tan , do x   ; suy ra t  1  ;  1 . 2  2 2    2 4t 1 t
Phương trình trở thành tìm m để phương trình  . m
 1 m có nghiệm thuộc đoạn  1  ;  1 . 2 2 1 t 1 t 2 4t 1 t 1 1 Ta có  . m  1 m 2
 m  t  2t   f t . 2 2 1 t 1 t 2 2
Hoành độ đỉnh là t  2 loại. Ta có f   1  3 và f   1  1  . 0 Suy ra 1
  f t  3. Vậy ta chọn đáp án {. Câu 46. Lời giải Chọn D Ta có: 2
2sin x + msin2x = 2m  msin2x - cos2x = 2m - 1   1 m  0
Điều kiện phương trình   1 vô nghiệm là: m 1 2m 2 2 2 1 3m 4m 0         4 . m   3 m  0 Vậy với 
4 thì phương trình trên vô nghiệm. m   3 Câu 47. Lời giải Chọn A m  4 
Điều kiện để phương trình .
m sin x  3cos x  5có nghiệm là 2 2 2 2
3  m  5  m  16   . m  4 Câu 48. Lời giải
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 88
Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung Chọn C
Ta có 2 cos x  s inx  4  0, x   nên cos x  2sin x  3 m 
 cos x  2sin x  3  m2cos x  sin x  4 2 cos x  sin x  4  2m  
1 cosx-m  2sinx  4m 3  0 (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2m  2
1  m  22  4m  32 2 2
 11m  24m  4  0   m  2 11 Câu 49. Lời giải Chọn B t  3  m sin x  3  m Đặt t  sin x 2  t  2m  
1 t  3m m  2  0     t  m  2 sin x  m  2  1 1 1  3  m  1   m 
Để phương trình có nghiệm thì   3 3  1  m  2  1 1 m  3 Câu 50. Lời giải Chọn D  Đặt x  x  t  t   2 t 1 sin cos 2  sin x cos x 
. Khi đó ta có phương trình 2 2 t 1 2
 t  m  0  t  2t  2m 1  0 * 2
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệm   2  2m  0  s  2  1 2 m  1  2  1 t   2; 2             f  m  2 1 2 1. 1 2 2  2m  0 m    2 2  2   f
  2   1 2 2  2m  0
St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155 89