Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Phạm Hùng Hải

Tài liệu gồm 66 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Hùng Hải, tổng hợp kiến thức cần nhớ, phân loại, phương pháp giải toán và bài tập trắc nghiệm + tự luận chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

39 20 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Fly Education Thầy Hải Toán

K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng

SĐT: 0905958921

PHƯƠNG TRÌNH

LƯ

Ợ

NG GIÁC

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

2021

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

MỤC LỤC

Chương1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1

§0 – Công thức lượng giác cần nhớ 1

§1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3

AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

CC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§2 – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 17

AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

CC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§3 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 29

AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

| Dạng 5. Phương trình chứa sin x ±cos x và sin x ·cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

§4 – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 48

AA PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

| Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm

số lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

| Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i/63 i/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

MỤC LỤC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

| Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

| Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

BB BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§5 – ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57

AA Đề số 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

BB Đề số 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

§6 – ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63

ii/63 ii/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

1) Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

GTLG

Góc

(I) (II) (III) (IV )

sin α + + − −

cos α + − − +

tan α + − + −

cot α + − + −

(Nhất cả - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos)

cos x

sin x

−1

(I)(II)

(III) (IV )

2π

3π

−

2) Công thức lượng giác cơ bản

sin

α + cos

α = 1 tan α =

sin α

cos α

cot α =

cos α

sin α

tan α ·cot α = 1 1 + tan

α =

cos

1 + cot

α =

sin

3) Cung góc liên kết

Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau Cung (góc) phụ nhau

cos(−α) = cos α sin(π −α) = sin α sin



−α



= cos α

sin(−α) = −sin α cos(π −α) = −cos α cos



−α



= sin α

tan(−α) = −tan α tan(π −α) = −tan α tan



−α



= cot α

cot(−α) = −cot α cot(π −α) = −cot α cot



−α



= tan α

1/63 1/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

0. Công thức lượng giác cần nhớ

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Cung (góc) hơn kém π Cung (góc) hơn kém

cos(π + α) = −cos α sin



+ α



= cos α

sin(π + α) = −sin α cos



+ α



= −sin α

tan(π + α) = tan α tan



+ α



= −cot α

cot(π + α) = cot α cot



+ α



= −tan α

4) Công thức cộng

sin (a ±b) = sin a ·cos b ±cos a ·sin b cos (a ±b) = cos a ·cos b ∓sin a ·sin b

tan (a + b) =

tan a + tan b

1 −tan a ·tan b

tan (a −b) =

tan a −tan b

1 + tan a ·tan b

Hệ quả: tan



+ x



1 + tan x

1 −tan x

và tan



−x



1 −tan x

1 + tan x

5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba

Nhân đôi Hạ bậc Nhân ba

sin 2α = 2 sin α ·cos α

sin

α =

1 −cos 2α

sin 3α = 3 sin α −4 sin

cos 2α = cos

α −sin

= 2 cos

α −1

= 1 −2 sin

cos

α =

1 + cos 2α

cos 3α = 4 cos

α −3 cosα

tan 2α =

2 tan α

1 −tan

tan

α =

1 −cos 2α

1 + cos 2α

tan 3α =

3 tan α −tan

1 −3 tan

cot 2α =

cot

α −1

2 cot α

cot

α =

1 + cos 2α

1 −cos 2α

6) Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cos

a + b

·cos

a −b

cos a −cos b = −2 sin

a + b

·sin

a −b

sin a + sin b = 2 sin

a + b

·cos

a −b

sin a −sin b = 2 cos

a + b

·sin

a −b

tan a + tan b =

sin(a + b)

cos a ·cos b

tan a −tan b =

sin(a −b)

cos a ·cos b

cot a + cot b =

sin(a + b)

sin a ·sin b

cot a −cot b =

sin(b −a)

sin a ·sin b

Đặc biệt

sin x + cos x =

√

2 sin



x +



√

2 cos



x −



sin x −cos x =

√

2 sin



x −



= −

√

2 cos



x +



7) Công thức biến tích thành tổng

cos a ·cos b =

[cos(a −b) + cos(a + b)] sin a ·sin b =

[cos(a −b) −cos(a + b)]

sin a ·cos b =

[sin(a −b) + sin(a + b)]

2/63 2/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A–KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hàm số y = sin x

○ Tập xác định: D = R.

○ Tập giá tr ị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R.

○ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số

nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

○ Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π,

nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z.

Đồ thị hàm số y = sin x

−π

−

2. Hàm số y = cos x

○ Tập xác định: D = R.

○ Tập giá tr ị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R.

○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số

nhận trục Oy làm trục đối xứng.

○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T =

2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z.

Đồ thị hàm số y = cos x

−π

−

3. Hàm số y = tan x

○ Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6=

+ kπ, k ∈ Z.

Tập xác định: D = R\

+ kπ, k ∈ Z

○ Tập giá tr ị: R.

○ Là hàm số lẻ.

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là

tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z.

−π

−

4. Hàm số y = cot x

3/63 3/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

○ Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z.

Tập xác định: D = R \

{

kπ, k ∈ Z

}

○ Tập giá tr ị: R.

○ Là hàm số lẻ.

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là

cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z.

−π

−

3π

5. Một số trường hợp đặc biệt

 Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x

cos

sin

sin x = 1 ⇔ x =

+ k2π

cos

sin

sin x = −1 ⇔ x = −

+ k2π

cos

sin

sin x = 0 ⇔ x = kπ

 Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x

cos

sin

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos

sin

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos

sin

cos x = 0 ⇔ x =

+ kπ

B–PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

○ y = tan f (x) =

sin f (x)

cos f (x)

ĐKXĐ

−−−−−−−−−−−−−→ cos f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6=

+ kπ, k ∈ Z.

○ y = cot f (x) =

cos f (x)

sin f (x)

ĐKXĐ

−−−−−−−−−−−−−→ sin f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= kπ, k ∈ Z.

○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

y =

P(x)

ĐKXĐ

−−−−−−−−→ P(x) 6= 0.○ y =

P(x)

ĐKXĐ

−−−−−−−−→ P(x) ≥ 0.○

4/63 4/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

y =

P(x)

ĐKXĐ

−−−−−−−−→ P(x) > 0.○

Khi tìm tập xác định, ta xem nó có mẫu không? có tan, cot không? có căn không?

○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:



+ sin x = 1 ⇔ x =

+ k2π.

+ sin x = −1 ⇔ x = −

+ k2π.

+ sin x = 0 ⇔ x = kπ.

○



+ cos x = 1 ⇔ x = k2π.

+ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π.

+ cos x = 0 ⇔ x =

+ kπ.

○



+ tan x = 1 ⇔ x =

+ kπ.

+ tan x = −1 ⇔ x = −

+ kπ.

+ tan x = 0 ⇔ x = kπ.

○



+ cot x = 1 ⇔ x =

+ kπ.

+ cot x = −1 ⇔ x = −

+ kπ.

+ cot x = 0 ⇔ x =

+ kπ.

○

c Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y =

2 sin x + 3

cos x

a) y =

1 + cos x

1 −cos x

b) y =

2 + 3 cos 2x

sin x

y =

1 + cos x

1 + sin x

d) y =

sin x −3

cos x + 1

e) y =

2 sin x + 3

cos x + 2

y =

2 sin x + 3

sin x −1

g) y =

2 sin x −3

2 sin x + 3

h) y = sin

x −1

x + 2

.i)

y =

√

3 −2 cos x .j) y =

√

cos x −2

1 + cos x

k) y =

…

1 + cos x

1 −cos x

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5/63 5/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y = 2 tan x + 3a) y = 2 tan 2x −4 sin xb) y = cot



x +



+ 1c)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R.

y =

√

m −cos xa) y =

√

2 sin x −mb) y =

sin x −1

cos x + m

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

cos

x −(2 + m) ·cos x + 2m có tập xác định

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6/63 6/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.

Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D , suy ra D là tập đối xứng và chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là ta sẽ thay x bằng −x, sẽ có hai kết quả thường gặp sau:

○ Nếu f (−x) = f (x) thì f (x) là hàm số chẵn.

○ Nếu f (−x) = −f (x) thì f (x) là hàm số lẻ.

○ Nếu D không là tập đối xứng (∃x ∈ D ⇒ −x 6∈ D ) hoặc ( f (−x) 6= f (x) và f (−x) 6= −f (x))

ta sẽ kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ.

○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết trong dạng toán này, cụ thể

cos(−a) = cos a, sin(−a) = −sina, tan(−a) = −tan a, cot(−a) = −cot a.

○ Lũy thừa: sin

(−α) = sin

α, cos

(−α) = cos

α, tan

(−α) = tan

α, . . .

○ Đồ thị của hàm số chẵn nhận tr ục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ

O làm tâm đối xứng.

c Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

y = f (x ) = sin

2x +

9π

;a) y = f (x ) = tan x + cot x.b)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7/63 7/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan

2x ·sin 5x.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

○ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒



0 ≤ |sin x| ≤ 1

0 ≤ sin

x ≤ 1

hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒



0 ≤ |cos x| ≤ 1

0 ≤ cos

x ≤ 1.

○ Biến đổi về dạng: m ≤ y ≤ M.

Kết luận: max y = M và miny = m.

 Phương pháp: Khảo sát parabol.

Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác, ta có thể dụng phương pháp đặt

ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận.

Kiến thức cơ bản về parabol:

○ Đỉnh parabol (P) : y = ax

+ bx + c là I

−

; −

∆

○ Bảng biến thiên:

a > 0 :

−∞

−

+∞

−

∆

○ a < 0 :

−∞

−

+∞

−

∆

○

8/63 8/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

 Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức.

○ Bất đẳng thức Cauchy:

○ ∀a, b ≥ 0 thì

a + b

≥

√

ab. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0.

○ ∀a, b, c ≥ 0 thì

a + b + c

≥

√

abc. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ≥ 0.

○ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

○ ∀x, y, a, b ∈ R thì |ax + by| ≤

+ b

)(x

+ y

). Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi

○ ∀x, y ∈ R, a, b > 0 thì

≥

(x + y)

a + b

. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi

Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên

đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau đó

thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol.

m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max

x∈D

f (x).○ m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min

x∈D

f (x).○

c Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

y = 2 sin x + 3.a) y =

1 −2sin

.b) y =

√

2 + cos x −1.c)

y = 4 sin x cos x + 1.d) y = 4 −3 sin

2x.e) y = (3 −sin x)

+ 1.f)

y = sin

x + cos

x.g) y = sin

x + cos

x.h)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10/63 10/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

c Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)

−1 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 −3

√

1 −cos

x đạt giá trị nhỏ nhất.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau

y =

√

3 sin x + cos xa) y = sin 2x −cos 2xb) y = 3 sin x + 4 cos xc)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11/63 11/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau

y = 2sin

x −3 sin x + 1a) y = 2cos

x + 3 cos x −2b) y = cos 2x −sin x + 3c)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12/63 12/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos

x −2

√

3 sin x cos x + 1.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

sin x + 3 cos x + 1

sin x −cos x + 2

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = −tanx.

A D = R \

+ kπ, k ∈ Z

. B D = R \

{

kπ, k ∈ Z

}

C D = R \

{

k2π, k ∈ Z

}

. D D = R \

+ k2π, k ∈ Z

13/63 13/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x.

A D = R\

|k ∈ Z

. B D = R\{kπ|k ∈ Z}.

C D = R\{k2π|k ∈ Z}. D D = R\

+ kπ|k ∈ Z

Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y =

1 −3 cos x

sin x

là

A x 6=

+ kπ, k ∈ Z. B x 6= k2π, k ∈ Z. C x 6=

kπ

, k ∈ Z. D x 6= kπ, k ∈ Z.

Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y =

2 sin x + 1

1 −cos x

là

x 6= k2π. B x 6= kπ. C x 6=

+ kπ. D x 6=

+ k2π.

Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan



2x −



là

A x 6=

+ k

. B x 6=

5π

+ kπ. C x 6=

+ kπ. D x 6=

5π

+ k

Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây?

A R. B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D [−1; 1].

Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là

A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. D [0; 1].

Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.

Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:

A y = sin

x. B y = x cos 2x. C y = x sin x. D y = cos x.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.

A x 6= kπ, k ∈ Z. B x 6=

+ kπ, k ∈ Z. C x 6=

kπ

, k ∈ Z. D x ∈ R.

Câu 11. Tập xác định của hàm số y =

2 cos 3x −1

cos x + 1

là

A D = R \{π + kπ; k ∈ Z}. B D = R \{k2π; k ∈ Z}.

C D = R \{

+ kπ;k ∈ Z}. D D = R \{π + k2π; k ∈ Z}.

Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π. B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π.

C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π. D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là

A T = 2π. B T =

. C T = π. D T = 4π.

Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn?

A y = sin



x +



. B y = cos



x +



. C y = sin 2x. D y = tan x −sin 2x.

Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

−π

2π

−1

14/63 14/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

A y = 1 + sin x. B y = 1 −sin x. C y = sin x. D y = cos x.

Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương

án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?

−π

−

A y = cos x + 1. B y = 2 −sin x. C y = 2 cos x. D y = cos

x + 1.

Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số y =

√

cos x + 2.

A max y = 3 và min y = 1. B maxy = 3 và min y = 2.

C max y = 3 và miny = −2. D max y = 3 và min y = −1.

Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =

√

2 sin x + 3.

A max y =

√

5, min y = 1. B maxy =

√

5, min y = 2

√

C max y =

√

5, min y = 2. D max y =

√

5, min y = 3.

Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin



2x −



A min y = −2, max y = 4. B miny = 2, max y = 4.

C min y = −2, max y = 3. D min y = −1, max y = 4.

Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 −2 cos

3x.

A min y = 1, max y = 2. B miny = 1, max y = 3.

C min y = 2, max y = 3. D min y = −1, max y = 3.

Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 +

√

2 + sin 2x.

A min y = 2, max y = 1 +

√

3. B miny = 2, max y = 2 +

√

C min y = 1, max y = 1 +

√

3. D min y = 1, max y = 2.

Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =

1 + 2sin

A min y =

, max y = 4. B miny =

, max y = 3.

C min y =

, max y = 2. D min y =

, max y = 4.

Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin

x + cos

2x.

A max y = 4, min y =

. B max y = 3, min y = 2.

C max y = 4, min y = 2. D max y = 3, min y =

Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sinx + 4 cosx + 1.

A max y = 6, min y = −2. B maxy = 4, min y = −4.

C max y = 6, min y = −4. D max y = 6, min y = −1.

Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sinx + 4 cosx −1.

A min y = −6; max y = 4. B miny = −6; max y = 5.

C min y = −3; max y = 4. D min y = −6; max y = 6.

Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x −1.

A max y = 4, min y = −6. B maxy = 6, min y = −8.

C max y = 6, min y = −4. D max y = 8, min y = −6.

15/63 15/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y =

sin

x −

cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T .

A 4. B 6. C 7. D 3.

Câu 28. Hàm số y = cos

x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng

A 3; 1. B 1; −1. C

; 0. D

; 2.

Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos

x −sin 2x + 5 là

A 6 +

√

2. B 6 −

√

2. C

√

2. D −

√

Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =

sin x + 2 cos x + 1

sin x + cos x + 2

A M = −2. B M = −3. C M = 3. D M = 1.

—HẾT—

16/63 16/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A–KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình sin x = a.

 Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.

cos

sin

sin x = 1 ⇔ x =

+ k2π

cos

sin

sin x = −1 ⇔ x = −

+ k2π

cos

sin

sin x = 0 ⇔ x = kπ

 Trường hợp a ∈

; ±

√

; ±

√

. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc β

◦

tương

ứng.

¬ Công thức theo đơn vị rad:

sin x = a ⇔

x = α + k2π

x = π −α + k2π

, k ∈ Z

 Công thức theo đơn vị độ:

sin x = a ⇔

x = β

◦

+ k360

◦

x = 180

◦

−β

◦

+ k360

◦

, k ∈ Z

sin

 Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.

sin x = a ⇔

x = arcsin a + k2π

x = π −arcsin a + k2π

, k ∈ Z

 Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)

sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔

f (x) = g(x) + k2π

f (x) = π −g(x) + k2π

, k ∈ Z

2. Phương trình cosx = a.

 Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.

17/63 17/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

cos

sin

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos

sin

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos

cos x = 0 ⇔ x =

+ kπ

 Trường hợp a ∈

; ±

√

; ±

√

. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc β

◦

tương

ứng.

¬ Công thức theo đơn vị rad:

cos x = a ⇔

x = α + k2π

x = −α + k2π

, k ∈ Z

 Công thức theo đơn vị độ:

cos x = a ⇔

x = β

◦

+ k360

◦

x = −β

◦

+ k360

◦

, k ∈ Z

cos

 Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.

cos x = a ⇔

x = arccos a + k2π

x = −arccos a + k2π

, k ∈ Z

 Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)

cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔

f (x) = g(x) + k2π

f (x) = −g(x) + k2π

, k ∈ Z

3. Phương trình tan x = a.

 Trường hợp a ∈

0; ±

√

; ±1; ±

√

. Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc β

◦

tương

ứng.

18/63 18/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

¬ Công thức theo đơn vị rad:

tan x = a ⇔ x = α + k π, k ∈ Z

 Công thức theo đơn vị độ:

tan x = a ⇔ x = β

◦

+ k180

◦

, k ∈ Z

tang

 Trường hợp a khác các số ở trên thì

tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z.

4. Phương Trình cot x = a

 Trường hợp a ∈

√

; ±1; ±

√

. Ta bấm máy SHIFT tan

để đổi số a về góc α hoặc β

◦

tương

ứng. Riêng a = 0 thì α =

¬ Công thức theo đơn vị rad:

cot x = a ⇔ x = α + k π, k ∈ Z

 Công thức theo đơn vị độ:

cot x = a ⇔ x = β

◦

+ k180

◦

, k ∈ Z

cotang

 Trường hợp a khác các số ở trên thì

cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

B–PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản

• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu;

• Chọn và ráp công thức nghiệm.

c Ví dụ 1. Giải các phương tr ình sau:

sin 3x = −

√

a) 2 sin



−x



= 1b) 2 sin (x −45

◦

) −1 = 0c)

19/63 19/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

cos

x −

2π

= 1d)

√

2 cos 2x −1 = 0e) 3 cos x −1 = 0.f)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

tan 3x = −

√

3 tan



−x



= 1b) tan (x −45

◦

) −1 = 0c)

sin x −

√

3 cos x = 0d)

√

3 cot x −1 = 0e) (tan x −2)(cot x + 1) = 0.f)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20/63 20/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3 (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng

• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau

sin u = sin v¬ cos u = cos v tan u = tan v® cot u = cot v¯

• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau:

−sin x = sin(−x).¬ −cos x = cos (π −x).

sin x = cos



−x



.® cos x = sin



−x



.¯

c Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

sin 3x = sin 2xa) sin 2x −sin x = 0b) sin 5x + sin x = 0c)

cos 2x −cos x = 0d) cos 8x + cos x = 0e) cos 4x −sin x = 0f)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21/63 21/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5 (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos

x = 1

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định

c Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

cos x

1 −sin x

= 0a)

cos

x −sin

√

2 −sin x

= 0b) tan x(1 −2 sin

x) = 0c)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22/63 22/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Giải phương trình tan



2x +



+ tan



−x



= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Giải phương trình



cot

−1



cot

+ 1



= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Giải phương trình

sin 2x + 2 cos x −sin x −1

√

3 + tan x

= 0

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23/63 23/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b) cho trước

¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ

 Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k.

® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được.

¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng.

c Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

√

3 tan x −3 = 0 trên (0, 3 π).a)

√

2 sin(x −1) = −1 trên

−

7π

.b)

2 cos



3x −



−1 = 0 trên (−π, π).c) tan(3x + 2) −

√

3 = 0 trên



−



.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24/63 24/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Giải phương trình 3 −

√

3 tan



2x −



= 0 với

−π

< x <

2π

Ê Lời giải.

25/63 25/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Giải phương trình tan (x + 30

◦

) + 1 = 0 với −90

◦

< x < 360

◦

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π; π) sao cho sin



x −



+ 2 cos



x +



= 0.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Với k ∈ Z thì phương trình 2 sin(x + 60

◦

) =

√

3 có nghiệm là

A x = k.180

; x = 60

+ k.180

. B x = k.360

; x = −120

+ k.360

C x = k.360

; x = 60

+ k.360

. D x = −30

+ k.360

; x = 90

+ k.360

Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x = 0?

A tan x = 0. B cos x = −1. C cot x = 1. D cos x = 1.

Câu 3. Tìm m để phương trình cos 2x = 1 −m có nghiệm.

A −1 6 m 6 3. B 0 6 m 6 2. C m 6 2. D m > 0.

Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A sin x =

. B tan x =

√

3. C sin x = 3. D cos x = −

Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi

26/63 26/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

A m > 1. B m < −1. C −1 ≤ m ≤ 1. D

m < −1

m > 1.

Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là

A x = −

+ kπ, k ∈ Z. B x = kπ, k ∈ Z.

C x =

3π

+ kπ, k ∈ Z. D x = −

+ k2π, k ∈ Z.

Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot



x −



√

A x =

+ kπ, k ∈ Z. B x =

2π

+ kπ, k ∈ Z. C x =

+ k2π, k ∈ Z. D x = kπ, k ∈ Z.

Câu 8. Phương trình cos x = −

√

có tập nghiệm là

x = ±

5π

+ k2π;k ∈ Z

™

. B

x = ±

+ kπ;k ∈ Z

x = ±

+ k2π;k ∈ Z

. D

x = ±

+ kπ;k ∈ Z

Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x =

√







x =

k2π

, k ∈ Z

x =

2π

k2π

, k ∈ Z

. B







x =

+ k2π, k ∈ Z

x =

2π

+ k2π, k ∈ Z







x =

kπ

, k ∈ Z

x =

2π

kπ

, k ∈ Z

. D







x =

k2π

, k ∈ Z

x =

2π

k2π

, k ∈ Z

Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sinx + 1 = 0 là

A x =

11π

+ k2π và x =

−π

+ k2π. B x =

+ k2π và x =

−7π

+ k2π.

C x =

−π

+ kπ và x =

7π

+ kπ. D x =

−π

+ k2π và x =

7π

+ k2π.

Câu 11. Phương trình sin x −cos x = 1 có một nghiệm là

A −

. B

. C

2π

. D π.

Câu 12. Tập nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là

+ 2kπ, k ∈ Z

. B

+ kπ, k ∈ Z

. C

{

kπ, k ∈ Z

}

. D

+ 2kπ, k ∈ Z

Câu 13. Phương trình sin x =

có số nghiệm thuộc (−π; π)

A 1. B 3. C 2. D 4.

Câu 14. Cho phương trình sin 2x =

√

. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π] thì giá

trị của n là

A n = 8. B n = 5. C n = 6. D n = 2.

Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x −cos x = 0.

A x = ±

+ k2π (k ∈ Z). B x =

+ k2π;x =

5π

+ k2π (k ∈ Z).

x =

+ k2π (k ∈ Z). D x =

5π

+ k2π (k ∈ Z).

27/63 27/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình

cos 2x = −

;

. B

;

2π

™

2π

™

. D

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x =

A m ≤ 1. B −1 ≤ m ≤ 1. C −2 ≤ m ≤ 2. D m ≤ −1 hoặc m ≥ 1.

Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos



x −



= 1 trong khoảng (0; π) là

A 4. B 1. C 2. D 3.

Câu 19. Phương trình 2 cos x −1 = 0 có nghiệm là

A x = ±

+ k2π, k ∈ Z. B x = ±

+ kπ, k ∈ Z.

C x = ±

+ 2π, k ∈ Z. D x = ±

+ k2π, k ∈ Z.

Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là

A −kπ, k ∈ Z. B

−

+ kπ, k ∈ Z

−

+ k2π, k ∈ Z

. D

{

◦

+ k180

◦

, k ∈ Z

}

Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin



2x +



trên đường tròn lượng giác

là

A 4. B 6. C 1. D 2.

Câu 22. Phương trình cos

= −1 có tập nghiệm là

A {2π + k4π|k ∈ Z}. B {π + k2π|k ∈ Z}. C {k4π|k ∈ Z}. D {k2π|k ∈ Z}.

Câu 23. Nghiệm của phương trình sin

x −cos

x = 0 là

A x = π + k2π. B x = kπ. C x =

+ kπ. D x =

+ k

Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0.

A k

(k ∈ Z). B kπ (k ∈ Z). C k

(k ∈ Z). D k

(k ∈ Z).

Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1.

A S =

4071315π

. B S =

4071315π

. C S =

8141621π

. D S =

8141621π

Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0

A 1. B 4. C 2. D 3.

Câu 27. Phương trình sin 5x −sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π;2018π]?

A 16145. B 20181. C 20179. D 16144.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos

πx = m

−9 có nghiệm.

A 5. B 2. C 1 . D 3 .

—HẾT—

28/63 28/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THƯỜNG GẶP

A–KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

L Dạng phương trình

a ·sin x + b = 0¬ a ·cos x + b = 0

a ·tan x + b = 0® a ·cot x + b = 0¯

L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản.

a ·sin x + b = 0 ⇔ sin x = −

¬ a ·cos x + b = 0 ⇔ cos x = −



a ·tan x + b = 0 ⇔ tan x = −

® a ·cot x + b = 0 ⇔ cot x = −

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

L Dạng phương trình

• a sin x ±bcos x = c (1).

• Điều kiện có nghiệm a

+ b

≥ c

L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho

√

+ b

. Khi đó

(1) ⇔

√

+ b

sin x ±

√

+ b

cos x =

√

+ b

⇔ cos φ ·sin x ±sin φ ·cos x =

√

+ b

⇔ sin (x ±φ ) =

√

+ b

(2), với cos φ =

√

+ b

và sin φ =

√

+ b

Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước.

Chú ý hai công thức sau:

• sin a cos b ±cos asin b = sin(a ±b).

• cos a cos b ±sin asin b = cos(a ∓b).

3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

L Dạng phương trình

29/63 29/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

a ·sin

x + b ·sin x + c = 0¬ a ·cos

x + b ·cos x + c = 0

a ·tan

x + b ·tan x + c = 0® a ·cot

x + b ·cot x + c = 0¯

L Phương pháp giải

• Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t.

• Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x.

• Chú ý với phương trình số ¬ và  thì −1 ≤t ≤ 1.

B–PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

c Ví dụ 1. Giải các phương tr ình sau:

2 sin x + 1 = 0;a)

√

2 cos x −1 = 0;b)

tan x +

√

3 = 0;c)

√

3 cot x −1 = 0.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30/63 30/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

2 sin



x −



+ 1 = 0.a)

√

2 cos



3x −



−1 = 0.b)

tan



−x



√

3 = 0.c)

√

3 cot



x +



+ 3 = 0.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31/63 31/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

c Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x −1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π].

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x −1) (sin x + cos x) = sin 2x −sin x.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

32/63 32/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Bài 1. Giải các phương trình sau

2 cos 2x +

√

3 = 0.a) 2 sin 3x + 1 = 0b)

2 cos 2x −

√

2 = 0.c) 3 −2

√

3 cos



x +



= 0.d)

2 cos



x −



+ 1 = 0.e) 2

√

2 sin

x +

2π

√

6.f)

3 sin(x −1) + 2 = 0.g)

√

3 tan



−2x



+ 1 = 0.h)

(cos 2x +

√

2)(cot 3x −1) = 0.i) 2 −2

√

3 tan



x +



= 0.j)

Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

√

3 tan x −3 = 0 trên (0, 3 π).a)

√

2 sin(x −1) = −1 trên

−

7π

;

.b)

Bài 3. Giải phương trình 2 sin

2x + sin 7x −1 = sin x.

Bài 4. Giải phương trình (cos x −sin x)sin xcos x = cos x cos 2x.

Bài 5. Giải phương trình (2 sin x −cos x)(1 + cos x) = sin

| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau

3 sin

x −5 sin x + 2 = 0;a) 4 cos

x −4 cos x −3 = 0.b)

3 sin

2x + 7 cos 2x −3 = 0;c)

√

3 tan

x −2 tan x +

√

3 = 0.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33/63 33/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Giải các phương trình sau

cos 2x + cos x + 1 = 0;a) 6 sin

3x + cos 12x = −2;b)

cos 4x + 6 = 7 cos 2x;c) 7 tan x + 4 cot x = 11.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34/63 34/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau

1 −

2 +

√

sin x +

√

1 + cot

= 0;a) tan

x −

cos x

+ 7 = 0.b)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35/63 35/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Giải các phương trình sau

cos 2x + 3 cot 2x + sin 4x

cot 2x −cos 2x

= 2;a)

4 sin

2x + 6 sin

x −9 −3 cos 2x

cos x

= 0.b)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36/63 36/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 6. Giải các phương trình sau

cos

x + cos x −2 = 0;a) 2 sin

x −5 sin x + 2 = 0;b)

6 cos

x + 5 sin x −7 = 0;c) 3 tan

x −2

√

3 tan x + 1 = 0.d)

Bài 7. Giải các phương trình sau:

2 tan x + cot x −3 = 0a) 5 sin x −2 = 3(1 −sin x)tan

x ;b)

2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x ;c) cos 2x + cos x = 4 sin





−1d)

Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình

√

cos

−tan x −2

√

3 = sin x



1 + tan x. tan



| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

c Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

sin x +

√

3 cos x = 1;a)

√

3 sin 2x −cos 2x = 2;b)

sin 2x −

√

3 cos 2x = 2;c) 3 sinx + cos x = 2.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37/63 37/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38/63 38/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈

2π

;

6π

của phương trình cos 7x −

√

3 sin 7x = −

√

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11 (D.2007). Giải phương trình



sin

+ cos



√

3 cos x = 2.

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39/63 39/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Giải phương trình

(1 −2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 −sin x)

√

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 9. Giải các phương trình sau:

cos x −

√

3 sin x = 1a)

√

3 sin x + cos x =

√

2b)

√

3 cos x −sin x = 0c) sin 3x −

√

3 cos 3x = 2 sin 4xd)

Bài 10. Giải các phương trình sau

cos(π −2x) −cos



2x +



√

2;a)

√

3 cos 2x + sin 2x + 2 sin



2x −



= 2

√

2;b)

sin x −

√

2 cos 3x =

√

3 cos x +

√

2 sin 3x;c)

cos 7x cos 5x −

√

3 sin 2x = −sin 5x sin 7x.d)

40/63 40/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Bài 11. Giải các phương trình sau:

sin x −

√

3 cos x = 2 sin 5xa)

√

3 sin 2x + 2sin

x = 2b)

√

3 cos 5x −2 sin 3xcos 2x −sin x = 0c)

cos 7x cos 5x −

√

3 sin 2x = 1 −sin 7x sin5xd)

sin x + cos x sin 2x +

√

3 cos 3x = 2



cos 4x + sin



tan x −3 cot x = 4

sin x +

√

3 cos x

Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x +

) + sin x + 2 cos x = 3.

Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x)cos x + 2 cos 2x −sin x = 0.

Bài 14. Giải phương trình sin 2x −cos 2x + 3 sin x −cos x −1 = 0.

| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

L Dạng phương trình

• a sin

x + bsin x cos x + ccos

x = 0

• Tổng quát: a sin

x + bsin x cos x + ccos

x = d

L Phương pháp giải

• Trường hợp 1. Xét cos x = 0, khi đó sin x = ±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình

— Nếu thỏa mãn, suy ra x =

+ kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2.

— Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2.

• Trường hợp 2. Xét cos x 6= 0, chia 2 vế phương tr ình cho cos

x ta đưa phương trình đang xét về

dạng phương trình bậc hai theo tan x.

• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp.

Chú ý công thức

sin x

cos x

= tan x.¬ sin 2x = 2 sin x cos x

cos

= tan

x + 1®

c Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:

2cos

x −3 sin x. cos x + sin

x = 0a) sin

x −sin 2x −3cos

x + 2 = 0b)

4sin

x + 3

√

3 sin 2x −2cos

x = 4c) 4cos

x + sin 2x −3 = 0d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41/63 41/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42/63 42/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 15. Giải các phương trình sau:

2sin

x +

3 +

√

sin x cos x +

√

3 −1

cos

x = −1a)

sin

x + sin 2x −2cos

x =

4sin

x + 3

√

3 sin 2x −2cos

x = 4c)

sin

x +

√

3 sin x cos x + 2cos

x =

3 +

√

2sin

x −5 sin x cos x −cos

x = −2e)

3sin

x + 8 sin x cos x +

√

3 −9

cos

x = 0f)

| Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cosx và sin x · cos x

L Dạng phương trình

• a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0.

• a (sin x −cos x) + b sin x cos x + c = 0.

L Phương pháp giải:

• Đặt t = sin x ±cos x

• Tính t

= (sin x ±cos x)

= 1 ±2 sin x ·cos x. Từ đây ta tính được sin x ·cos x.

• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t. Giải tìm t, sau đó tìm x.

Chú ý

Điều kiện của t là −

√

2 ≤t ≤

√

2.¬ sin x ±cos x =

√

2 sin



x ±



.

c Ví dụ 14. Giải các phương trình

sin x cos x + 2 (sin x + cos x) = 2a) sin x −cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0b)

√

2 (sin x + cos x) + 3 sin 2x −11 = 0c) sin 2x +

√

2 sin



x −



= 1d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43/63 43/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44/63 44/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 16. Giải các phương trình

sin x −cos x + 7 sin 2x = 1a) cotx −tan x = sin x + cos xb)

sin x + cos x +

sin x

cos x

c) 1 + sin

x + cos

x =

sin 2xd)

C–BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Phương trình 2 sin x −

√

3 = 0 có các nghiệm là







x =

+ k2π

x = −

+ k2π

, k ∈ Z. B







x =

+ k2π

x =

2π

+ k2π

, k ∈ Z.







x =

+ k2π

x = −

+ k2π

, k ∈ Z. D







x =

+ kπ

x =

2π

+ kπ

, k ∈ Z.

Câu 2. Cho phương trình sin x −(m + 1)cosx = 2. Tìm m để phương trình có nghiệm.

A m ∈ [0; −2]. B m ∈

−∞; −1 −

√

∪

−1 +

√

3; +∞

C m ∈ (−∞; −2] ∪[0; +∞). D m ∈

−1 −

√

3; −1 +

√

Câu 3. Giải phương trình 2 cos x −1 = 0.

A x = ±

+ k2π, k ∈ Z. B x = ±

+ k2π, k ∈ Z.

C x =

+ k2π, k ∈ Z. D x = ±

+ 2π, k ∈ Z.

Câu 4. Nghiệm của phương trình cot 3x = −1 là

A x =

+ kπ với k ∈ Z. B x = −

+ kπ với k ∈ Z.

C x =

+ k

với k ∈ Z. D x = −

+ k

với k ∈ Z.

Câu 5. Nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là

A x =

+ k2π. B x =

+ kπ. C x =

kπ

. D x =

+ k2π.

Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x −3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ (−∞; a] ∪[b; +∞) với

a, b ∈ Z. Tính a + b.

A −4. B 4. C 0. D 8.

Câu 7. Giải phương trình sin 2x = 1.

A x =

kπ

, với k ∈ Z. B x =

+ k2π, với k ∈ Z.

C x =

+ kπ, với k ∈ Z. D x =

+ k2π, với k ∈ Z.

Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?

A tan x = π. B sin x =

. C sin x + cos x = 2. D cos x =

2017

2018

45/63 45/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là

A x = ±

+ k2π;k ∈ Z. B x =

kπ

, x =

+ kπ;k ∈ Z.

C x =

−kπ;k ∈ Z. D x =

+ kπ;k ∈ Z.

Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x −cos x = 0 trên đường tròn

lượng giác.

A 1. B 4. C 3. D 2.

Câu 11. Gọi x

là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin

x +2 sin x cos x −cos

x = 0. Chọn khẳng

định đúng.

A x

∈





. B x

∈

3π

; 2π

. C x

∈



; π



. D x

∈

π;

3π

Câu 12. Nghiệm của phương trình 2 sin



4x −



−1 = 0 là





x = k2π

x =

+ k2π

(k ∈ Z). B

x = kπ

x = π + k2π

(k ∈ Z).





x = π + k2π

x = k

(k ∈ Z). D







x =

+ k

x =

7π

+ k

(k ∈ Z).

Câu 13. Phương trình 2 sin x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ (0; 2π)?

A 1 nghiệm. B 4 nghiệm. C Vô số nghiệm. D 2 nghiệm.

Câu 14. Giải phương trình cos 2x + 5 sin x −4 = 0.

A x =

+ kπ. B x = k2π. C x =

+ kπ. D x =

+ k2π.

Câu 15. Cho sin x + cos x =

và 0 < x <

. Tính giá tri của sin x.

A sin x =

1 −

√

. B sinx =

1 +

√

. C sin x =

1 −

√

. D sin x =

1 +

√

Câu 16. Cho x

là nghiệm của phương trình sin x cos x + 2(sin x + cos x) = 2. Khi đó, giá trị của P =

3 + sin 2x

là

A P = 3 +

√

. B P = 2. C P = 0. D P = 3.

Câu 17. Giải phương trình sin 3x + cos 3x =

√

A x =

+ k

2π

, k ∈ Z. B x =

+ k

, k ∈ Z.

C x =

+ kπ, k ∈ Z. D x =

+ k

2π

, k ∈ Z.

Câu 18. Số nghiệm của phương trình

√

2 cos



x +



= 1 với 0 ≤ x ≤ 2π.

A 4. B 3. C 1. D 2.

Câu 19. Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (−π; π)?

A 3. B 1. C 2. D 4.

Câu 20. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình cos 4x +

= 0 là

5π

. B

. C

. D

7π

Câu 21. Cho phương trình cos 2x +cosx = 2. Khi đặt t = cos x, phương trình đã cho trở thành phương trình

nào dưới đây?

A 2t

+t −3 = 0. B 2t

−t −1 = 0. C 2t

−t −3 = 0. D 2t

+t −1 = 0.

46/63 46/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 22. Số nghiệm phương trình

sin 3x

cos x + 1

= 0 thuộc đoạn [2π; 4π] là

A 6. B 2. C 4. D 5.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos

x = m −1 có nghiệm.

A 1 ≤ m ≤ 2. B m ≤ 2. C 1 < m < 2. D m ≥ 1.

Câu 24. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1)cos x =

√

2 vô nghiệm là

A m > 0. B −2 < m < 0. C

m ≥ 0

m ≤ −2

. D m < −2.

Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình m sin 2x −3 cos 2x = 2m +1 có nghiệm?

A 4. B 2. C 1. D 10.

Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương trình

cos 2x = −

;

. B

;

2π

;

™

. D

2π

;

™

Câu 27. Cho 0 < α <

thỏa mãn sin α +

√

2 sin



−α



√

2. Tính tan



α +



A −

9 + 4

√

. B

−9 + 4

√

. C

9 −4

√

. D

9 + 4

√

Câu 28. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [0; 200π] của phương trình cos 2x −3 cos x −4 = 0.

A T = 10000π. B T = 5100π. C T = 5151π. D T = 10100π.

Câu 29. Số nghiệm của phương trình cos

x −sin 2x =

√

2 + cos



+ x



trên khoảng (0; 3π) bằng

A 4. B 1. C 3. D 2.

Câu 30. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x −1)(2 cos

x −(2m + 1)cosx + m) = 0 có

đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là

A 1. B 2. C 3. D Vô số.

—HẾT—

47/63 47/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

A–PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương

trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác

c Ví dụ 1. Giải các phương tr ình sau

cos 2x + 2 cos x = 2 sin

4 sin

2x + 6 sin

x −9 −3 cos 2x

cos x

sin x −

√

= 0.b)

2 tan

x + cos 4x = 1c) 2 sin

x + 4 cos

x = 3 sin x.d)

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Cho phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos 2x + 1. Tìm các nghiệm của phương

trình thuộc (−π;π)

Đáp số:

Nghiệm x = ±

+ kπ.• Do x ∈ (−π;π) nên x = ±

; x = ±

5π

.•

c Ví dụ 3. Phương trình sin

2x +

9π

−3 cos

x −

15π

= 1 + 2 sin x có tất cả bao nhiêu nghiệm

48/63 48/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

thuộc đoạn

;

5π

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

x = kπ; x =

+ k2π; x =

5π

+ k2π.• Do x ∈

;

5π

nên x =

; x =

5π

.•

c Ví dụ 4. (A-2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình

sin x +

cos 3x + sin 3x

1 + 2 sin 2x

= cos 2x + 3.

Đáp số:

Biến đổi phương trình về 5 cos x = 2 cos 2x +

• Nghiệm x =

; x =

5π

.•

| Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx

c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau

cos x −

√

3 sin x = 2 cos



2x −



.a)

√

3 cos 5x −2 sin 3xcos 2x −sin x = 0.b)

(1 −2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 −sin x)

√

3c) sin x + cosx. sin 2x +

√

3 cos 3x =



cos 4x + sin



49/63 49/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Đáp số:

x =

+ k2π; x = −

k2π

.a) x =

+ k

; x = −

+ k

.b)

x = −

+ k

2π

.c) x = −

+ k2π; x =

+ k

2π

.d)

c Ví dụ 6. (DB1-2008) Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình

4sin

−

√

3 cos 2x = 1 + 2cos

x −

3π

Đáp số:

• Nghiệm x =

5π

+ k

2π

; x = −

7π

+ k2π

• Do x ∈ (0; π) nên x =

5π

; x =

17π

; x =

5π

| Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích

c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau

2 sin

2x + sin 7x −1 = sin xa) cos

x + cos

2x + cos

3x =

.b)

sin x + sin 2x + 4 sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0c) sin

3x −cos

4x = sin

5x −cos

6xd)

Đáp số:

+ k

2π

5π

+ k

2π

, k ∈ Z

™

kπ

; ±

+ kπ (k ∈ Z)b)

x =

kπ

c) x = k

, x = k

c Ví dụ 8. Giải các phương trình sau

(2 sin x −cos x)(1 + cos x) = sin

xa) 2 cos x −sin 2x = 1 + cos 2xb)

(2 cos x −1)(2 sin x + cos x) = sin 2x −sin xc) (2 sinx −1)(2sin 2x + 1) = 3 −4 cos

x.d)

Đáp số:

x = π + k2π; x =

+ k2π; x =

5π

+ k2π.a) x =

+ kπ; x = k2π.b)

x = ±

+ k2π; x = −

+ kπ.c) x = kπ, x = ±

+ k2π, x =

5π

+ k2π.

50/63 50/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

c Ví dụ 9. Giải các phương trình sau

sin x

sin

x −

3π

= 4 sin

7π

−x

.a) sin 2x + sin x −

2 sin x

−

sin 2x

= 2 cot 2xb)

(sin 2x + cos 2x)cos x + 2 cos 2x −sin x = 0c) sin 2x −cos 2x + 3 sin x −cos x −1 = 0d)

Đáp số:

x = −

+ kπ; x = −

+ kπ; x =

5π

+ kπ.a) x =

+ k

.b)

x =

+ k

.c) x =

+ k2π;x =

5π

+ k2πd)

| Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số

c Ví dụ 10. Cho phương trình cos 2x + 5 cos x +5 −m = 0. Xác định tất cả các giá trị của m để phương

trình có nghiệm x ∈

; π

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

• Biến đổi cos 2x = 2 cos

x −1.

• Kết quả m > 1.

c Ví dụ 11. Biết rằng phương trình

√

2 sin x +

√

2 cos x +m

−m = 0 (với m là tham số) có nghiệm khi

m ∈ [a; b]. Tính giá trị biểu thức P = a

+ b

Ê Lời giải.

51/63 51/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

• Sử dụng điều kiện có nghiệm.

• Kết quả m ∈ [−1; 2]. Vậy P = 5.

c Ví dụ 12. Cho phương trình (sin x +1)(sin 2x−msin x) = m cos

x. Tìm tập tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương tr ình có nghiệm trên khoảng





Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

• Phân tích nhân tử;

52/63 52/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

• Kết quả 0 < m <

√

c Ví dụ 13. Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình m sin

x −3 sin x cos x −m −1 = 0

có đúng ba nghiệm thuộc khoảng

3π

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

• Chia hai vế cho cos

• Kết quả m ∈ (−∞; −1).

c Ví dụ 14. Số các giá trị nguyên của m để phương trình (cos x + 1) (4 cos 2x −m cos x) = m sin

x có

đúng 2 nghiệm x ∈

2π

là

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53/63 53/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đáp số:

• Phân tích nhân tử.

• Kết quả: m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2}

c Ví dụ 15.

Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π]

của phương trình f (cos x) = 1.

Đáp số:

• Giao của đồ thị với đường nằm ngang.

• Kết quả 5 nghiệm.

−1

54/63 54/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Ê Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B–BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình cos 3x −4 cos 2x + 3 cos x −4 = 0

Bài 2. Giải phương trình tan x + cos x −cos

x = sin x



1 + tan x. tan



Bài 3. Giải phương trình tan

x + 1 =



2 −sin



sin 3x

cos

Đáp số: x =

+ k

2π

; x =

5π

+ k

2π

Bài 4. Giải phương trình

sin

x + cos

5 sin 2x

cot 2x −

8 sin 2x

Đáp số: x = ±

+ kπ.

Bài 5. Giải phương trình sin



−



tan

x −cos

= 0.

Đáp số: x = π + k2π; x = −

+ kπ.

Bài 6. Giải phương trình cos 2x + cos x



2tan

x −1



= 2

Đáp số: x = (2k + 1)π, x = ±

+ k2π

Bài 7. Giải phương trình 3 −tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0

Đáp số: x = ±

+ kπ

Bài 8. 3 cos 4x −8cos

x + 2cos

x + 3 = 0.

Đáp số: x =

+ k

, x = kπ.

Bài 9. Giải phương trình

2 −

√

cos x −2sin



−



2 cos x −1

= 1.

Đáp số: x =

+ (2k + 1)π.

Bài 10. Giải phương trình

cos

x (cos x −1)

sin x + cos x

= 2(1 + sin x).

Đáp số: x = −

+ kπ, x = π + k2π.

Bài 11. Giải phương trình cot x = tan x +

2 cos 4x

sin 2x

Đáp số: x = ±

+ kπ.

Bài 12. Giải phương trình cos

3x. cos 2x −cos

x = 0.

Đáp số: x = k

55/63 55/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Bài 13. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

Đáp số: x = −

+ kπ; x = ±

2π

+ k2π,

Bài 14. Giải phương trình cos 3x. cos

x −sin 3x. sin

x =

2 + 3

√

Đáp số: x = ±

+ k

Bài 15. Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x.

Đáp số: x = −

+ kπ; x = kπ.

Bài 16. Giải phương trình cot x −tan x + 4 sin 2x =

sin 2x

Đáp số: x = ±

+ kπ.

Bài 17. Giải phương trình cot x −1 =

cos 2x

1 + tan x

+ sin

x −

sin 2x.

Đáp số: x =

+ kπ.

Bài 18. Giải phương trình 2cos

x + 2

√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +

√

3 cos x).

Đáp số: x =

2π

+ kπ.

Bài 19. Giải phương trình

sin 2x

cos x

cos 2x

sin x

= tan x −cot x.

Đáp số: x = ±

+ k2π.

Bài 20. Xác định m để phương trình 2



sin

x + cos



+ cos 4x + 2 sin 2x −m = 0(*) có ít nhất một nghiệm

thuộc đoạn

Đáp số: −

≤ m ≤ −2.

56/63 56/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

A–ĐỀ SỐ 1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = −tanx.

A D = R \

+ kπ, k ∈ Z

. B D = R \

{

kπ, k ∈ Z

}

C D = R \

{

k2π, k ∈ Z

}

. D D = R \

+ k2π, k ∈ Z

Câu 2. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây?

A R. B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D [−1; 1].

Câu 3. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là

A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. D [0; 1].

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. B

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.

Câu 5. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:

A y = sin

x. B y = x cos 2x. C y = x sin x. D y = cos x.

Câu 6. Tập xác định của hàm số y =

2 cos 3x −1

cos x + 1

là

A D = R \{π + kπ; k ∈ Z}. B D = R \{k2π; k ∈ Z}.

C D = R \{

+ kπ;k ∈ Z}. D D = R \{π + k2π; k ∈ Z}.

Câu 7. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là

A T = 2π. B T =

. C T = π. D T = 4π.

Câu 8. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

−π

2π

−1

A y = 1 + sin x. B y = 1 −sin x. C y = sin x. D y = cos x.

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

√

cos x + 2.

A max y = 3 và min y = 1. B maxy = 3 và min y = 2.

C max y = 3 và miny = −2. D max y = 3 và min y = −1.

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x −1.

A max y = 4, min y = −6. B maxy = 6, min y = −8.

C max y = 6, min y = −4. D max y = 8, min y = −6.

Câu 11. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là

A S =

+ k2π, −

+ k2π, k ∈ Z

. B S =

2π

+ k2π, −

2π

+ k2π, k ∈ Z

™

C S =

+ kπ, −

+ kπ, k ∈ Z

. D S =

+ kπ, −

+ kπ, k ∈ Z

57/63 57/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 12. Phương trình sin



x −



= 1 có nghiệm là

A x =

+ kπ. B x =

5π

+ k2π. C x =

5π

+ kπ. D x =

+ k2π.

Câu 13. Nghiệm của phương trình tan x = −

√

được biểu diễn trên đường

tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

A Điểm F, điểm D.

B Điểm C, điểm F.

C Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F.

D Điểm E, điểm F.

Câu 14. Gọi S là tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3 cosx −1 = 0. Tính S.

A S = 0. B S = 4π. C S = 3π. D S = 2π.

Câu 15. Số nghiệm của phương trình cos x =

thuộc đoạn [−2π; 2π] là

A 4. B 2. C 3. D 1.

Câu 16. Số nghiệm thực của phương trình sin 2x + 1 = 0 trên đoạn

−

3π

; 10π

là

A 12. B 11. C 20. D 21.

Câu 17. Cho phương trình 2 sin x −

√

3 = 0. Tổng các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình đã cho là

A π. B

. C

2π

. D

4π

Câu 18. Phương trình sin x = cos x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−π; π]?

A 0. B 1. C 3. D 2.

Câu 19. Phương trình cos

x + cos x −2 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0; 2π].

A 4. B 3. C 2. D 1.

Câu 20. Phương trình sin x −

√

3 cos x = 1 có tập nghiệm là

−

+ k2π;

+ k2π

, với k ∈ Z. B

−

+ k2π;−

+ k2π

, với k ∈ Z.

7π

+ k2π;

+ k2π

™

, với k ∈ Z. D

−

+ kπ;−

+ kπ

, với k ∈ Z.

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos

x = m −1 có nghiệm.

A m ≤ 2. B 1 < m < 2. C m ≥ 1. D 1 ≤ m ≤ 2.

Câu 22. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1)cos x =

√

2 vô nghiệm là

m ≥ 0

m ≤ −2

. B m < −2. C −2 < m < 0. D m > 0.

Câu 23. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x −1)(2 cos

x −(2m + 1)cosx + m) = 0 có

đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là

A 1.

B 2. C 3. D Vô số.

58/63 58/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 24. Giả sử A, B là các điểm lần lượt nằm trên các đồ

thị hàm số y = sin x và y = cos x sao cho tam giác OAB nhận

điểm G

;

√

làm trọng tâm. Tính diện tích S của tam

giác OAB, biết x

∈ [0; 2π].

πO

y = sin x

y = cos x

A S =

√

. B S =

√

. C S =

√

. D S =

√

Câu 25. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x trên

đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình

chữ nhật và CD =

2π

. Tính độ dài đoạn BC.

√

. B

. C 1. D

√

A B

y = sin x

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Giải phương trình

2 sin x −1 = 0a) 2cos

x −3 sin x −3 = 0b)

sin x + cos x =

√

2 cos 5xc) cos3x + cos x + sin 2x = 0d)

Bài 2. Giải phương trình

4 sin x cos x −3 = 3(sin x + cos x)a)



sin

x + cos



−2 sin

x −1

1 −cos 4x

= 0b)

—HẾT—

59/63 59/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

B–ĐỀ SỐ 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 2x .

A T =

−

;

. B T = [−2; 2]. C T = R. D T = [−1; 1].

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2x.

A D = R\

+ kπ, k ∈ Z

. B D = R\

+ kπ, k ∈ Z

C D = R\



kπ, k ∈ Z



. D D = R\

kπ

, k ∈ Z

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot



x −



A D = R \

+ k2π, k ∈ Z

. B D = R \

+ kπ, k ∈ Z

C D = R \

−

+ k2π, k ∈ Z

. D D = R \

5π

+ kπ, k ∈ Z

™

Câu 4. Chu kì tuần hoàn T của hàm số y = cos x là bao nhiêu?

A T = 2π. B T = π. C T = 3π. D T =

Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y =

sin x

1 −cos x

A D = R. B D = R \

+ kπ, k ∈ Z

C D = R \{kπ, k ∈ Z}. D D = R \{k2π, k ∈ Z}.

Câu 6. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = sin x?

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y =

2 sin x −1

A m = −

. B m = −

. C m = −3. D m = −1.

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 2 −|cos x|.

A M = 1. B

M = 3. C M = 0. D M = 2.

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x −cos x.

A M = 0. B M = 1. C M = 2. D M =

√

Câu 10. Hỏi x =

là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin x = 1. B cosx = 1. C sin x. cos x =

. D sin 2x = 0.

Câu 11. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2x = −

√

60/63 60/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

A S =

−

+ kπ,

2π

+ kπ, k ∈ Z

™

. B S =

−

+ k2π,

4π

+ k2π, k ∈ Z

™

C S =

+ k2π,

5π

+ k2π, k ∈ Z

™

. D S =

+ k2π,

5π

+ k2π, k ∈ Z

™

Câu 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x. cos



x −



= 0.

A S =

{

kπ, k ∈ Z

}

. B S =

3π

+ kπ, k ∈ Z

™

C S =

−

+ kπ, k ∈ Z

. D S =

kπ;

3π

+ kπ, k ∈ Z

™

Câu 13. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2x =

√

A S = R.

S =

−

arccos

√

2 + kπ;

arccos

√

2 + kπ, k ∈ Z

™

C S = ∅.

D S =

−

+ k2π;

+ k2π

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của số thực a để phương trình cos x = a

có nghiệm.

A a ∈ R. B a ∈ R \{0}. C a ∈ [0; 1]. D a ∈ [−1; 1].

Câu 15. Phương trình tan 2x = 1 có họ nghiệm là

A x =

kπ

, k ∈ Z. B x =

+ kπ, k ∈ Z.

C x =

+ k2π, k ∈ Z. D x =

+ k2π, k ∈ Z.

Câu 16. Họ nghiệm của phương trình cot x +

√

3 = 0 là

A x = −

+ kπ, k ∈ Z. B x = −

+ kπ, k ∈ Z.

C x =

+ k2π, k ∈ Z. D x =

+ kπ, k ∈ Z.

Câu 17. Phương trình tan (2x + 12

◦

) = 0 có họ nghiệm là

A x = −6

◦

+ k180

◦

, k ∈ Z. B x = −6

◦

+ k360

◦

, k ∈ Z.

C x = −12

◦

+ k90

◦

, k ∈ Z. D x = −6

◦

+ k90

◦

, k ∈ Z.

Câu 18. Cho phương trình asin x + cos x = b. Tìm tất cả các giá trị thực của a, b để phương trình có

nghiệm.

A b

−a

≤ 1. B b

−a

< 1. C b

+ a

≤ 1. D b

+ a

≥ 1.

Câu 19. Tìm tập nghiệm của phương trình sin x +

√

3 cos x = −2.

A S = ∅. B S =

−

5π

+ k2π



k ∈ Z

™

C S =

+ k2π



k ∈ Z

. D S =

−

5π

+ kπ



k ∈ Z

™

Câu 20. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình sin x + sin 2x = 0.

A 3. B 1. C 2. D 4.

Câu 21. Giải phương trình 2 sin

x + 5 sin x + 3 = 0.

A x = −

+ kπ, k ∈ Z. B x = −

+ k3π, k ∈ Z.

C x = −

+ k2π, k ∈ Z. D x = −

kπ

, k ∈ Z.

Câu 22. Giải phương trình cos 2x −5 sin x −3 = 0.

A x = −

+ kπ, x =

7π

+ kπ, k ∈ Z. B x = −

+ k3π, x =

7π

+ k3π, k ∈ Z.

61/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

C x = −

+ k4π, x =

7π

+ k4π, k ∈ Z. D x = −

+ k2π, x =

7π

+ k2π, k ∈ Z.

Câu 23. Giải phương trình tan x + 2 cot x −3 = 0.

A x = ±

+ k2π, k ∈ Z. B x = ±

+ kπ, k ∈ Z.

C x =

+ kπ, x = arctan 2 + kπ, k ∈ Z. D x = ±

+ kπ, x = ±arctan2 + kπ, k ∈ Z.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m cos x + sin x = 1 −m có nghiệm.

A m ≤ 0. B m < 0. C m ≥ 0. D m < 1.

Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x−cosx +m = 0 có nghiệm?

A 4. B 3. C 2. D 1 .

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Giải các phương trình sau:

2 cos



x −



= 0;a) sin3x −cos 3x = −1;b)

√

3 tan



−x



= 1;c) sinx + cos x −sin xcos x = 1.d)

Bài 2. Tính tổng các nghiệm x ∈



0; 100



của phương trình

cos

x −cos

x + 1

cos

= cos 2x + tan

—HẾT—

62/63 62/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1

1. A 2. B 3. D 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. B 10. C

11. D 12. B 13. C 14. A 15. D 16. A 17. B 18. A 19. A 20. B

21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. A 27. C 28. C 29. A 30. D

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2

1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D

7. B

8. A 9. A 10. D

11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. B 17. C 18. C 19. D 20. D

21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. B 27. A 28. B

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3

1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B 10. B

11. A 12. D 13. D 14. D 15. B 16. D 17. D 18. D 19. C 20. C

21. A 22. A 23. A 24. B 25. C 26. C 27. A 28. A 29. C 30. B

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1

1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A

11. C 12. B 13. A 14. D 15. A 16. A 17. A 18. D 19. C 20. C

21. D 22. C 23. B 24. B 25. B

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 2

1. D 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D

7. D

8. D 9. D 10. C

11. A 12. D 13. C 14. D 15. A 16. B 17. D 18. A 19. B 20. A

21. C 22. D 23. C 24. C 25. A

63/63 63/63

p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/66

| | Tải xuống

Preview text:

Fly Education Thầy Hải Toán
K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT: 0905958921 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021 MỤC LỤC Chương 1.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 §0 –
Công thức lượng giác cần nhớ 1 §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác......................................................................4 Đường
| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số...................................................................................................7
| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất .......................................................................... 8 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Con §2 –
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 17 Có A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Đó B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ở
| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản .................................................................... 19
| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng.......................................................21 Chí
| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định..........................................22 Ý
| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước ............................ 24 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Có §3 –
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 29 Đâu A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nơi
| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác...................................30
| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ..................................... 33
| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ....................................................... 37
| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx................................................41
| Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x ........................................................... 43 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 §4 –
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 48 A
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
| Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm
số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
| Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx....................................................................................................49 i/63 i/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 ii MỤC LỤC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
| Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích................................................................................50
| Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số.....................................................................51 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 §5 –
ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57 A
Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B
Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §6 –
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63 Hải Hùng Phạm Ths: Gv ii/63 ii/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 ơng ưh HÀM SỐ HÀM LƯỢNG SỐ GIÁ LƯỢNG C GIÁ V C À VÀ C 1 PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG LƯỢNG TRÌNH GIÁ LƯỢNG C GIÁ
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ C
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
1) Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác sin x y Góc + ( 1 I) (II) (III) (IV ) Đường GTLG π sin α + + − − 2 cos α + − − + (II) (I) Con tan α + − + − cot α + − + − π cos x 0 Có
(Nhất cả - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos) 2π x −1 O 1 (III) (IV ) Đó Ở 3π 2 −1 − Chí Ý
2) Công thức lượng giác cơ bản Có Đâu sin α cos α sin2 α + cos2 α = 1 tan α = cot α = cos α sin α 1 1 Nơi tan α · cot α = 1 1 + tan2 α = 1 + cot2 α = cos2 α sin2 α
3) Cung góc liên kết Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau Cung (góc) phụ nhau π cos(−α) = cos α sin(π − α) = sin α sin − α = cos α 2 π sin(−α) = − sin α cos(π − α) = − cos α cos − α = sin α 2 π tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α tan − α = cot α 2 π cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α cot − α = tan α 2 1/63 1/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 2
0. Công thức lượng giác cần nhớ
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH π
Cung (góc) hơn kém π Cung (góc) hơn kém 2 π cos(π + α) = − cos α sin + α = cos α 2 π sin(π + α) = − sin α cos + α = − sin α 2 π tan(π + α) = tan α tan + α = − cot α 2 π cot(π + α) = cot α cot + α = − tan α 2 4) Công thức cộng
sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b
cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b tan a + tan b tan a − tan b tan (a + b) = tan (a − b) = 1 − tan a · tan b 1 + tan a · tan b π 1 + tan x π 1 − tan x Hệ quả: tan + x = và tan − x = 4 1 − tan x 4 1 + tan x
5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba Hải Nhân đôi Hạ bậc Nhân ba 1 − cos 2α sin 2α = 2 sin α · cos α sin2 α =
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α 2 Hùng cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 1 + cos 2α α − 1 cos2 α =
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α 2 = 1 − 2 sin2 α Phạm 2 tan α 1 − cos 2α 3 tan α − tan3 α tan 2α = tan2 α = tan 3α = 1 − tan2 α 1 + cos 2α 1 − 3 tan2 α cot2 α − 1 1 + cos 2α Ths: cot 2α = cot2 α = 2 cot α 1 − cos 2α
Gv 6) Công thức biến đổi tổng thành tích a + b a − b a + b a − b cos a + cos b = 2 cos · cos cos a − cos b = −2 sin · sin 2 2 2 2 a + b a − b a + b a − b sin a + sin b = 2 sin · cos sin a − sin b = 2 cos · sin 2 2 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a · cos b cos a · cos b sin(a + b) sin(b − a) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a · sin b sin a · sin b Đặc biệt √ √ π π sin x + cos x = 2 sin x + sin x − cos x = 2 sin x − 4 4 √ √ π π = 2 cos x − = − 2 cos x + 4 4
7) Công thức biến tích thành tổng 1 1 cos a · cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 2 1 sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2 2/63 2/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 3
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số y = sin x ○ Tập xác định: D = R. y
○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R. − π2
○ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số x −π π π
nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 2
○ Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2
Đồ thị hàm số y = sin x π ,
nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z. Đường 2. Hàm số y = cos x Con ○ Tập xác định: D = R. y Có
○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R. − − π π 2 π Đó
○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số x π 2 Ở
nhận trục Oy làm trục đối xứng.
○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T =
Đồ thị hàm số y = cos x Chí
2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z. Ý Có 3. Hàm số y = tan x π Đâu
○ Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. y 2 n π o Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . Nơi 2 ○ Tập giá trị: R. ○ Là hàm số lẻ. −π − π2
○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là x O π π
tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ 2 Z. 4. Hàm số y = cot x 3/63 3/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 4 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
○ Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. y
Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . ○ Tập giá trị: R. ○ Là hàm số lẻ.
○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 3π π , nghĩa là − − π π 2 2
cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z. π x O π 2 5.
Một số trường hợp đặc biệt
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B Hải A0 A cos O cos O cos O B0 Hùng sin x = 1 ⇔ x = π + k2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2 2 π 2 π sin x = 0 ⇔ x = kπ
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x Phạm sin sin sin B Ths: A A0 cos cos O O cos O Gv B0 cos x = 1 ⇔ x = k2 cos x = 0 ⇔ x = π + k π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 2 π
B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ: sin f (x) ○ ĐKXĐ π y = tan f (x) = −
−−−−−−−−−−−−
→ cos f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= + kπ, k ∈ Z. cos f (x) 2 cos f (x) ○ ĐKXĐ y = cot f (x) = −
−−−−−−−−−−−−
→ sin f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= kπ, k ∈ Z. sin f (x)
○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: 1 ĐKXĐ ○ ĐKXĐ y =
−−−−−−−−→ P(x) 6= 0. ○ y = 2n
pP(x) −−−−−−−−→ P(x) ≥ 0. P(x) 4/63 4/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 5
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 1 ĐKXĐ ○ y =
−−−−−−−−→ P(x) > 0. 2n pP(x)
o Khi tìm tập xác định, ta xem nó có mẫu không? có tan, cot không? có căn không?
○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt: π + sin x = 1 ⇔ x = + k2π. + cos x = 1 ⇔ x = k2 π . 2 + cos x = −1 ⇔ x = π ○ π + k2π . ○ + sin x = −1 ⇔ x = − + k2π. 2 π + cos x = 0 ⇔ x = + kπ. + sin x = 0 ⇔ x = kπ . 2 π π + cot x = 1 ⇔ x = + kπ. + tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 4 π π ○
○ + cot x = −1 ⇔ x = − + kπ. + tan x = −1 ⇔ x = − + kπ. 4 4 π + tan x = 0 ⇔ x = kπ . + cot x = 0 ⇔ x = + kπ. 2 Đường
c Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: 2 sin x + 3 1 + cos x 2 + 3 cos 2x Con a) y = b) y = c) y = cos x 1 − cos x sin x Có 1 + cos x sin x − 3 2 sin x + 3 d) y = e) y = f) y = 1 + sin x cos x + 1 cos x + 2 Đó 2 sin x + 3 2 sin x − 3 x − 1 g) y = h) y = i) y = sin . Ở sin x − 1 2 sin x + 3 x + 2 √ √ cos x − 2 … 1 + cos x Chí j) y = 3 − 2 cos x. k) y = l) y = 1 + cos x 1 − cos x Ý Ê Lời giải. Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5/63 5/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 6 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: π a) y = 2 tan x + 3 b) y = 2 tan 2x − 4 sin x c) y = cot x + + 1 4 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R. Phạm √ √ sin x − 1 a) y = m − cos x b) y = 2 sin x − m c) y = cosx+m Ths: Ê Lời giải. Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = pcos2 x − (2 + m) · cos x + 2m có tập xác định R. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6/63 6/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 7
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Con
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác. Nếu ∀x ∈ Có
D thì −x ∈ D, suy ra D là tập đối xứng và chuyển sang bước tiếp theo.
Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là ta sẽ thay x bằng −x, sẽ có hai kết quả thường gặp sau: Đó
○ Nếu f (−x) = f (x) thì f (x) là hàm số chẵn. Ở
○ Nếu f (−x) = − f (x) thì f (x) là hàm số lẻ. Chí o
○ Nếu D không là tập đối xứng (∃x ∈ D ⇒ −x 6∈ D) hoặc ( f (−x) 6= f (x) và f (−x) 6= − f (x)) Ý
ta sẽ kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ. Có
○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết trong dạng toán này, cụ thể
cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a. Đâu
○ Lũy thừa: sin2n(−α) = sin2n α, cos2n(−α) = cos2n α, tan2n(−α) = tan2n α, . . . Nơi
○ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ
O làm tâm đối xứng.
c Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số Å 9π ã a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x. 2 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7/63 7/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 8 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
Phạm Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.
Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn: Ths: 0 ≤ | sin x| ≤ 1 0 ≤ | cos x| ≤ 1 ○ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒
hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ Gv 0 ≤ sin2 x ≤ 1 0 ≤ cos2 x ≤ 1.
○ Biến đổi về dạng: m ≤ y ≤ M.
Kết luận: max y = M và min y = m.
Phương pháp: Khảo sát parabol.
Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác, ta có thể dụng phương pháp đặt
ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận.
Kiến thức cơ bản về parabol: Å b ã ○ ∆
Đỉnh parabol (P) : y = ax2 + bx + c là I − ; − . 2a 4a ○ Bảng biến thiên: ○ a > 0 : ○ a < 0 : b b 00 x 10 −∞ 20 − 30 +∞ 00 x 10 −∞ 20 − 30 +∞ 2a 2a ∆ 01 11 21 31 01 11 21 − 31 y y 4a ∆ 02 12 22 − 32 02 12 22 32 4a 8/63 8/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 9
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức.
○ Bất đẳng thức Cauchy: a + b √ ○ ∀a, b ≥ 0 thì ≥
ab. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0. 2 a + b + c √ ○ ∀a, b, c ≥ 0 thì
≥ 3 abc. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ≥ 0. 3
○ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: x y
○ ∀x, y, a, b ∈ R thì |ax + by| ≤ p(a2 + b2)(x2 + y2). Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi = . a b x2 y2 (x + y)2 x y
○ ∀x, y ∈ R,a,b > 0 thì + ≥
. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi = . a b a + b a b
o Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên
đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau đó
thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol. Đường
○ m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x).
○ m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x). x∈D x∈D Con
c Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau Có 1 − 2sin2x √ a) y = 2 sin x + 3. b) y = . c) y = 2 + cos x − 1. 3 Đó Ở d) y = 4 sin x cos x + 1. e) y = 4 − 3 sin2 2x. f) y = (3 − sin x)2 + 1. g) y = sin4x + cos4x. h) y = sin6x + cos6x. Chí Ý Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9/63 9/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 10 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10/63 10/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 11
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
c Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con √ Có
c Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2x đạt giá trị nhỏ nhất. Ê Lời giải. Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau √ a) y = 3 sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = 3 sin x + 4 cos x Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11/63 11/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 12 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau a) y = 2sin2x − 3 sin x + 1 b) y = 2cos2x + 3 cos x − 2 c) y = cos 2x − sin x + 3 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12/63 12/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 13
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √
c Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó Ở sin x + 3 cos x + 1
c Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . Chí sin x − cos x + 2 Ê Lời giải. Ý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = −tanx. n π o A D = R \ + kπ, k ∈ Z .
B D = R \ {kπ,k ∈ Z}. 2 n π o
C D = R \ {k2π,k ∈ Z}. D D = R \ + k2π, k ∈ Z . 2 13/63 13/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 14 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x. n π o A D = R\ k |k ∈ Z . B D = R\{kπ|k ∈ Z}. 2 n π o C D = R\{k2π|k ∈ Z}. D D = R\ + kπ|k ∈ Z . 2 1 − 3 cos x
Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y = là sin x π kπ A x 6= + kπ, k ∈ Z. B x 6= k2π, k ∈ Z. C x 6= , k ∈ Z. D x 6= kπ, k ∈ Z. 2 2 2 sin x + 1
Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = là 1 − cos x π π A x 6= k2π. B x 6= kπ. C x 6= + kπ. D x 6= + k2π. 2 2 π
Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π 5π π A x 6= + k . B x 6= + kπ. C x 6= + kπ. D x 6= + k . 6 2 12 2 12 2
Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A R. B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D [−1; 1].
Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là Hải A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. D [0; 1].
Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Hùng
C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.
Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A y = sin2 x. B y = x cos 2x. C y = x sin x. D y = cos x.
Phạm Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tanx+cotx. π kπ A x 6= kπ, k ∈ Z. B x 6= + kπ, k ∈ Z. C x 6= , k ∈ Z. D x ∈ R. 2 2 Ths: 2 cos 3x − 1
Câu 11. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1 Gv
A D = R \ {π + kπ;k ∈ Z}.
B D = R \ {k2π;k ∈ Z}. π
C D = R \ { + kπ;k ∈ Z}.
D D = R \ {π + k2π;k ∈ Z}. 2
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π.
B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π.
C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A T = 2π. B T = . C T = π. D T = 4π. 2
Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn? π π A y = sin x + . B y = cos x + . C y = sin 2x. D y = tan x − sin 2x. 2 2
Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 −π π O x 2π −1 14/63 14/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 15
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH A y = 1 + sin x. B y = 1 − sin x. C y = sin x. D y = cos x.
Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? y 2 1 x −π π O π π − 2 2 A y = cos x + 1. B y = 2 − sin x. C y = 2 cos x. D y = cos2 x + 1. √
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A max y = 3 và min y = 1.
B max y = 3 và min y = 2.
C max y = 3 và min y = −2.
D max y = 3 và min y = −1. √
Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin x + 3. √ √ √ A max y = 5, min y = 1. B max y = 5, min y = 2 5. √ √ Đường C max y = 5, min y = 2. D max y = 5, min y = 3. π
Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x − . 4 Con
A min y = −2, max y = 4. B min y = 2, max y = 4.
C min y = −2, max y = 3.
D min y = −1, max y = 4. Có
Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x. Đó A min y = 1, max y = 2. B min y = 1, max y = 3. C min y = 2, max y = 3.
D min y = −1, max y = 3. Ở √
Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + sin 2x. √ √ Chí
A min y = 2, max y = 1 + 3.
B min y = 2, max y = 2 + 3. √ Ý
C min y = 1, max y = 1 + 3. D min y = 1, max y = 2. 4
Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = . Có 1 + 2sin2x 4 4 A min y = , max y = 4. B min y = , max y = 3. 3 3 Đâu 4 1 C min y = , max y = 2. D min y = , max y = 4. 3 2
Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x. Nơi 3 A max y = 4, min y = . B max y = 3, min y = 2. 4 3 C max y = 4, min y = 2. D max y = 3, min y = . 4
Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1.
A max y = 6, min y = −2.
B max y = 4, min y = −4.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 6, min y = −1.
Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A min y = −6; max y = 4.
B min y = −6; max y = 5.
C min y = −3; max y = 4.
D min y = −6; max y = 6.
Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A max y = 4, min y = −6.
B max y = 6, min y = −8.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 8, min y = −6. 15/63 15/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 16 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 1 3
Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x −
cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T . 2 4 A 4. B 6. C 7. D 3.
Câu 28. Hàm số y = cos2x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng 9 9 A 3; 1. B 1; −1. C ; 0. D ; 2. 4 4
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x − sin 2x + 5 là √ √ √ √ A 6 + 2. B 6 − 2. C 2. D − 2. sin x + 2 cos x + 1
Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = . sin x + cos x + 2 A M = −2. B M = −3. C M = 3. D M = 1. —HẾT— Hải Hùng Phạm Ths: Gv 16/63 16/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 17
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.
Phương trình sin x = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. sin sin sin B A0 A cos O cos O cos O B0 sin x = 1 ⇔ x = π + k2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2 2 π 2 π sin x = 0 ⇔ x = kπ Đường √ √ ® ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ; ± ; ±
. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc ◦ α hoặc β tương 2 2 2 Con ứng. Có
¬ Công thức theo đơn vị rad: sin Đó ñx = α + k2π sin x = a ⇔ , k ∈ Z Ở N M x = π − α + k2π a Chí
Công thức theo đơn vị độ: O Ý ñx = ◦ β + k360◦
sin x = a ⇔ x = 180◦ − ◦ +k360◦ , k ∈ Z Có β Đâu
Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ Nơi x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ , k ∈ Z x = π − arcsin a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ , k ∈ Z f (x) = π − g(x) + k2π 2.
Phương trình cosx = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. 17/63 17/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 18
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH sin sin B A cos cos O O cos O A0 B0 cos x = 1 ⇔ x = k2 cos x = 0 ⇔ x = π + k π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 2 π √ √ ® ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ; ± ; ±
. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc ◦ α hoặc β tương 2 2 2 ứng.
¬ Công thức theo đơn vị rad: ñx = α + k2π cos x = a ⇔ , k ∈ M Z x = −α + k2π Hải cos
Công thức theo đơn vị độ: O a ñ ◦ Hùng x = β + k360◦ cos x = a ⇔ N x = − ◦ β + k360◦ , k ∈ Z Phạm
Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. Ths: ñ Gv x = arccos a + k2π cos x = a ⇔ , k ∈ Z x = − arccos a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔ , k ∈ Z f (x) = −g(x) + k2π 3.
Phương trình tan x = a. √ ® ´ 3 √ Trường hợp a ∈ 0; ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc ◦ α hoặc β tương 3 ứng. 18/63 18/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 19
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
¬ Công thức theo đơn vị rad: tang
tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z N a
Công thức theo đơn vị độ: O tan x = a ⇔ x = ◦ β + k180◦, k ∈ Z M
Trường hợp a khác các số ở trên thì
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4.
Phương Trình cot x = a √ Đường ® ´ 3 √ 1 Trường hợp a ∈ ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan để đổi số a về góc ◦ α hoặc β tương 3 a π Con
ứng. Riêng a = 0 thì α = 2 Có
¬ Công thức theo đơn vị rad: cotang a Đó
cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z N Ở
Công thức theo đơn vị độ: O Chí cot x = a ⇔ x = ◦ β + k180◦, k ∈ Ý Z M Có
Trường hợp a khác các số ở trên thì Đâu
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z. Nơi
B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu;
• Chọn và ráp công thức nghiệm.
c Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √3 π a) sin 3x = − b) 2 sin − x = 1
c) 2 sin (x − 45◦) − 1 = 0 2 5 19/63 19/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 20
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Å 2π ã √ d) cos x − = 1 e) 2 cos 2x − 1 = 0 f) 3 cos x − 1 = 0. 3 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
c Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: √3 √ π a) tan 3x = − b) 3 tan − x = 1 c) tan (x − 45◦) − 1 = 0 3 6 √ √ d) sin x − 3 cos x = 0 e) 3 cot x − 1 = 0
f) (tan x − 2)(cot x + 1) = 0. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20/63 20/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 21
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 3 (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng Ở
• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau Chí ¬ sin u = sin v cos u = cos v ® tan u = tan v ¯ cot u = cot v Ý
• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau: Có ¬ − sin x = sin(−x). − cos x = cos (π − x). π π ® sin x = cos − x . ¯ cos x = sin − x . Đâu 2 2 Nơi
c Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) sin 3x = sin 2x b) sin 2x − sin x = 0 c) sin 5x + sin x = 0 d) cos 2x − cos x = 0 e) cos 8x + cos x = 0 f) cos 4x − sin x = 0 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21/63 21/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 22
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 5 (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos2 x = 1 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định Gv
c Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: cos x cos2 x − sin2 x a) = 0 b) √ = 0 c) tan x(1 − 2 sin2 x) = 0 1 − sin x 2 − sin x Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22/63 22/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 23
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c π π
Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2x + + tan − x = 0. 6 3 Ê Lời giải. Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở x x
c Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0. Chí 3 2 Ý Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
c Ví dụ 9. Giải phương trình √ = 0 3 + tan x Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23/63 23/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 24
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước
¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ
Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k.
® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được. Hải
¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng.
c Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước Hùng √ √ Å 7π π ã a)
3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − , . 2 2 √ Phạm π π π c) 2 cos 3x − − 1 = 0 trên (−π, π). d) tan(3x + 2) − 3 = 0 trên − , . 3 2 2 Ê Lời giải. Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24/63 24/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 25
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ − 2 c π π π
Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3 tan 2x − = 0 với < x < . 3 4 3 Ê Lời giải. 25/63 25/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 26
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 12. Giải phương trình tan (x + 30◦) + 1 = 0 với −90◦ < x < 360◦. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π π
Hải c Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π;π) sao cho sin x− + 2 cos x + = 0. 3 6 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM √
Câu 1. Với k ∈ Z thì phương trình 2sin(x + 60◦) = 3 có nghiệm là
A x = k.1800; x = 600 + k.1800.
B x = k.3600; x = −1200 + k.3600.
C x = k.3600; x = 600 + k.3600.
D x = −300 + k.3600; x = 900 + k.3600.
Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x = 0? A tan x = 0. B cos x = −1. C cot x = 1. D cos x = 1.
Câu 3. Tìm m để phương trình cos 2x = 1 − m có nghiệm. A −1 6 m 6 3. B 0 6 m 6 2. C m 6 2. D m > 0.
Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 1 √ 1 A sin x = . B tan x = 3. C sin x = 3. D cos x = − . 2 2
Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi 26/63 26/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 27
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ñm < −1 A m > 1. B m < −1. C −1 ≤ m ≤ 1. D m > 1.
Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là π A x = − + kπ, k ∈ Z. B x = kπ, k ∈ Z. 2 3π π C x = + kπ, k ∈ Z. D x = − + k2π, k ∈ Z. 2 2 √ π 3
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x − = . 3 3 π 2π π A x = + kπ, k ∈ Z. B x = + kπ, k ∈ Z. C x = + k2π, k ∈ Z. D x = kπ, k ∈ Z. 3 3 3 √3
Câu 8. Phương trình cos x = − có tập nghiệm là 2 ß 5π ™ n π o A x = ± + k2π; k ∈ Z . B x = ± + kπ; k ∈ Z . 6 3 n π o n π o C x = ± + k2π; k ∈ Z . D x = ± + kπ; k ∈ Z . 3 6 √ Đường 3
Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x = . 2  π k2π  π Con x = + , k ∈ Z x = + k2π, k ∈ Z A 9 3 9  . B  .  2π k2π  2π x = + k2 Có x = + , k ∈ Z π , k ∈ Z 9 3 9  π kπ  π k2π x = + , k ∈ Z x = + , k ∈ Z Đó C 9 3 3 3  . D  .  2π kπ  2π k2π Ở x = + , k ∈ Z x = + , k ∈ Z 9 3 3 3
Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là Chí 11π −π π −7π Ý A x = + k2π và x = + k2π. B x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 −π 7π −π 7π C x = + kπ và x = + kπ. D x = + k2π và x = + k2π. Có 6 6 6 6
Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là π π 2π Đâu A − . B . C . D π. 2 4 3
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là Nơi n π o n π o n π o A + 2kπ, k ∈ Z . B + kπ, k ∈ Z . C {kπ, k ∈ Z}. D + 2kπ, k ∈ Z . 4 4 2 2
Câu 13. Phương trình sin x =
có số nghiệm thuộc (−π; π) 3 A 1. B 3. C 2. D 4. √3
Câu 14. Cho phương trình sin 2x =
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π] thì giá 2 trị của n là A n = 8. B n = 5. C n = 6. D n = 2.
Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0. π π 5π A x = ± + k2π (k ∈ Z). B x = + k2π; x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 4 π 5π C x = + k2π (k ∈ Z). D x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 27/63 27/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 28
2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình 1 cos 2x = − . 2 ß ™ n π π π o n π π π o n π π π o 2π π π A , , ; , , . B , , ; , , . 3 3 3 4 4 2 3 3 3 3 6 6 ß 2π π π ™ n π π π o C , , . D , , . 3 6 6 3 3 3 m
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = . 2 A m ≤ 1. B −1 ≤ m ≤ 1. C −2 ≤ m ≤ 2.
D m ≤ −1 hoặc m ≥ 1. π
Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x − = 1 trong khoảng (0; π) là 2 A 4. B 1. C 2. D 3.
Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là π π A x = ± + k2π, k ∈ Z. B x = ± + kπ, k ∈ Z. 6 3 π π C x = ± + 2π, k ∈ Z. D x = ± + k2π, k ∈ Z. 6 3
Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là n π o A −k − + k . Hải π , k ∈ Z. B π , k ∈ Z 4 n π o C − + k2π, k ∈ Z .
D {90◦ + k180◦, k ∈ Z}. 2 π 1
Hùng Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x+ =
trên đường tròn lượng giác 3 2 là A 4. B 6. C 1. D 2. x
Phạm Câu 22. Phương trình cos = −1 có tập nghiệm là 2 A {2π + k4π|k ∈ Z}. B {π + k2π|k ∈ Z}. C {k4π|k ∈ Z}. D {k2π|k ∈ Z}.
Ths: Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x−cos4 x = 0 là π π π A x = π + k2π. B x = kπ. C x = + kπ. D x = + k . Gv 2 4 2
Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0. π π π A k (k ∈ Z). B kπ (k ∈ Z). C k (k ∈ Z). D k (k ∈ Z). 2 4 8
Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1. 4071315π 4071315π 8141621π 8141621π A S = . B S = . C S = . D S = . 2 4 2 4
Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0 A 1. B 4. C 2. D 3.
Câu 27. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A 16145. B 20181. C 20179. D 16144.
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = m2 − 9 có nghiệm. A 5. B 2. C 1 . D 3 . —HẾT— 28/63 28/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 29
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin x + b = 0 a · cos x + b = 0 ® a · tan x + b = 0 ¯ a · cot x + b = 0
L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản. Đường b b
¬ a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = −
a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = − a a Con b b
® a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = −
¯ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = − a a Có 2.
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Đó Ở L Dạng phương trình • a sin x ± b cos x = c (1). Chí Ý
• Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2. Có √
L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho a2 + b2. Khi đó a b c Đâu (1) ⇔ √ sin x ± √ cos x = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 c
⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √ Nơi a2 + b2 c a b ⇔ sin (x ± φ ) = √ (2), với cos φ = √ và sin φ = √ . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước. Chú ý hai công thức sau:
• sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b).
• cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b). 3.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình 29/63 29/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 30
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
¬ a · sin2 x + b · sin x + c = 0
a · cos2 x + b · cos x + c = 0
® a · tan2 x + b · tan x + c = 0
¯ a · cot2 x + b · cot x + c = 0 L Phương pháp giải
• Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t.
• Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x.
• Chú ý với phương trình số ¬ và thì −1 ≤ t ≤ 1.
B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Hải c Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ a) 2 sin x + 1 = 0; b) 2 cos x − 1 = 0; Hùng √ √ c) tan x + 3 = 0; d) 3 cot x − 1 = 0. Ê Lời giải. Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30/63 30/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 31
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: π √ π a) 2 sin x − + 1 = 0. b) 2 cos 3x − − 1 = 0. 6 4 π √ √ π c) tan − x + 3 = 0. d) 3 cot x + + 3 = 0. 3 6 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31/63 31/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 32
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
c Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π]. Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
c Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = sin 2x − sin x. Ê Lời giải. Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN 32/63 32/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 33
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Bài 1. Giải các phương trình sau √ a) 2 cos 2x + 3 = 0. b) 2 sin 3x + 1 = 0 √ √ π c) 2 cos 2x − 2 = 0. d) 3 − 2 3 cos x + = 0. 4 Å ã π √ 2π √ e) 2 cos x − + 1 = 0. f) 2 2 sin x + = 6. 6 5 √ π g) 3 sin(x − 1) + 2 = 0. h) 3 tan − 2x + 1 = 0. 6 √ √ π i) (cos 2x + 2)(cot 3x − 1) = 0. j) 2 − 2 3 tan x + = 0. 3
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √ Å 7π π ã a)
3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − ; . 2 2
Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x. Đường
Bài 4. Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x.
Bài 5. Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x. Con
| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Có Đó
c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau Ở
a) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0;
b) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0. √ √
c) 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0; d) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0. Chí Ý Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33/63 33/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 34
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hùng c Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) cos 2x + cos x + 1 = 0; b) 6 sin2 3x + cos 12x = −2; Phạm c) cos 4x + 6 = 7 cos 2x; d) 7 tan x + 4 cot x = 11. Ê Lời giải. Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34/63 34/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 35
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau Ở √ √ Ä ä 2 2 5 a) 1 − 2 + 2 sin x + = 0; b) tan2 x − + 7 = 0. Chí 1 + cot2 x cos x Ý Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35/63 35/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 36
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 8. Giải các phương trình sau cos 2x + 3 cot 2x + sin 4x
4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x a) = 2; b) = 0. cot 2x − cos 2x cos x Hải Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36/63 36/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 37
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 6. Giải các phương trình sau a) cos2 x + cos x − 2 = 0;
b) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; √
c) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0;
d) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0. Đường
Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 tan x + cot x − 3 = 0
b) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ; Con x
c) 2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x; d) cos 2x + cos x = 4 sin2 − 1 Có 2
Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình Đó √ √ Ở 3 x
− tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x. tan . cos2 x 2 Chí Ý
| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Có
c Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: √ √ Đâu a) sin x + 3 cos x = 1; b) 3 sin 2x − cos 2x = 2; √ c) sin 2x − 3 cos 2x = 2; d) 3 sin x + cos x = 2. Nơi Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37/63 37/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 38
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38/63 38/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 39
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å 2 6 ã √ √ c π π
Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈ ;
của phương trình cos 7x − 3 sin 7x = − 2. 5 7 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí Ý 2 √ Có x x
c Ví dụ 11 (D.2007). Giải phương trình sin + cos + 3 cos x = 2. 2 2 Ê Lời giải. Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39/63 39/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 40
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 − 2 sin x) cos x √
c Ví dụ 12. Giải phương trình = 3. (1 + 2 sin x)(1 − sin x) Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 9. Giải các phương trình sau: √ √ √ a) cos x − 3 sin x = 1 b) 3 sin x + cos x = 2 √ √ c) 3 cos x − sin x = 0 d) sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 4x
Bài 10. Giải các phương trình sau π √ a) cos(π − 2x) − cos 2x + = 2; 2 √ π √ b)
3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x − = 2 2; 6 √ √ √ c) sin x − 2 cos 3x = 3 cos x + 2 sin 3x; √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = − sin 5x sin 7x. 40/63 40/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 41
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Bài 11. Giải các phương trình sau: √ a) sin x − 3 cos x = 2 sin 5x √ b) 3 sin 2x + 2sin2x = 2 √ c)
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x √ sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3x e) √ Ä ä
f) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x π
Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x + ) + sin x + 2 cos x = 3. 6
Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
Bài 14. Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Đường L Dạng phương trình Con
• a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0
• Tổng quát: a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Có L Phương pháp giải Đó
• Trường hợp 1. Xét cos x = 0, khi đó sin x = ±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình Ở π
— Nếu thỏa mãn, suy ra x =
+ kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2. 2 Chí
— Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2. Ý
• Trường hợp 2. Xét cos x 6= 0, chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trình đang xét về
dạng phương trình bậc hai theo tan x. Có
• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp. Đâu Chú ý công thức sin x 1 ¬ = tan x. sin 2x = 2 sin x cos x ® = tan2 x + 1 Nơi cos x cos2 x
c Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x − 3 sin x. cos x + sin2x = 0
b) sin2x − sin 2x − 3cos2x + 2 = 0 √
c) 4sin2x + 3 3 sin 2x − 2cos2x = 4 d) 4cos2x + sin 2x − 3 = 0 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41/63 41/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 42
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42/63 42/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 43
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 15. Giải các phương trình sau: √ √ Ä ä Ä ä a) 2sin2x + 3 + 3 sin x cos x + 3 − 1 cos2x = −1 1
b) sin2x + sin 2x − 2cos2x = 2 √
c) 4sin2x + 3 3 sin 2x − 2cos2x = 4 √ √ 3 + 2 d) sin2x + 3 sin x cos x + 2cos2x = 2
e) 2sin2x − 5 sin x cos x − cos2x = −2 √ Ä ä
f) 3sin2x + 8 sin x cos x + 8 3 − 9 cos2x = 0 Đường
| Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x Con L Dạng phương trình Có
• a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0.
• a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0. Đó Ở L Phương pháp giải: • Đặt t = sin x ± cos x Chí
• Tính t2 = (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2 sin x · cos x. Từ đây ta tính được sin x · cos x. Ý
• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t. Giải tìm t, sau đó tìm x. Có Chú ý √ √ √ π Đâu
¬ Điều kiện của t là − 2 ≤ t ≤ 2. sin x ± cos x = 2 sin x ± . 4 Nơi
c Ví dụ 14. Giải các phương trình
a) sin x cos x + 2 (sin x + cos x) = 2
b) sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0 √ √ π
c) 4 2 (sin x + cos x) + 3 sin 2x − 11 = 0 d) sin 2x + 2 sin x − = 1 4 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43/63 43/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 44
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44/63 44/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 45
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 16. Giải các phương trình
a) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1
b) cot x − tan x = sin x + cos x 1 1 10 3 c) sin x + cos x + + = d) 1 + sin3x + cos3x = sin 2x sin x cos x 3 2
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM √
Câu 1. Phương trình 2 sin x − 3 = 0 có các nghiệm là Đường  π  π x = + k2π x = + k2π A 3 3  , k ∈ Z. B  , k ∈ Z.  π  2π x = − + k2π Con x = + k2π 3 3  π  π x = + k2π x = + kπ Có C 3 3  , k ∈ Z. D  , k ∈ Z.  π  2π x = − + k2π x = + kπ 3 Đó 3
Câu 2. Cho phương trình sin x − (m + 1) cos x = 2. Tìm m để phương trình có nghiệm. Ở √ √ Ä ó î ä A m ∈ [0; −2].
B m ∈ −∞; −1 − 3 ∪ −1 + 3; +∞ . √ √ î ó
C m ∈ (−∞; −2] ∪ [0; +∞).
D m ∈ −1 − 3; −1 + 3 . Chí Ý
Câu 3. Giải phương trình 2 cos x − 1 = 0. π π A x = ± + k2π, k ∈ Z. B x = ± + k2π, k ∈ Z. 3 6 Có π π C x = + k2π, k ∈ Z. D x = ± + 2π, k ∈ Z. 3 3
Câu 4. Nghiệm của phương trình cot 3x = −1 là Đâu π π A x = + kπ với k ∈ Z. B x = − + kπ với k ∈ Z. 12 12 π π π π Nơi C x = + k với k ∈ Z. D x = − + k với k ∈ Z. 12 3 12 3
Câu 5. Nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là π π kπ π A x = + k2π. B x = + kπ. C x = . D x = + k2π. 4 4 2 2
Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x − 3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ (−∞; a] ∪ [b; +∞) với a, b ∈ Z. Tính a + b. A −4. B 4. C 0. D 8.
Câu 7. Giải phương trình sin 2x = 1. kπ π A x = , với k ∈ Z. B x = + k2π, với k ∈ Z. 2 2 π π C x = + kπ, với k ∈ Z. D x = + k2π, với k ∈ Z. 4 4
Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm? π 2017 A tan x = π. B sin x = . C sin x + cos x = 2. D cos x = . 4 2018 45/63 45/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 46
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là π π kπ π A x = ± + k2π; k ∈ Z. B x = + , x = + kπ; k ∈ Z. 4 8 2 4 π π C x = − kπ; k ∈ Z. D x = + kπ; k ∈ Z. 4 8
Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x − cos x = 0 trên đường tròn lượng giác. A 1. B 4. C 3. D 2.
Câu 11. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 0. Chọn khẳng định đúng. Å ã Å ã π 3π π 3π A x0 ∈ 0; . B x0 ∈ ; 2π . C x0 ∈ ; π . D x0 ∈ π; . 2 2 2 2 π
Câu 12. Nghiệm của phương trình 2 sin 4x − − 1 = 0 là 3 x = k2π ñx = kπ A  π (k ∈ Z). B (k ∈ Z). x = + k2π x = π + k2π 2   π π x = π + k2π x = + k C 8 2   π (k ∈ Z). D (k ∈ Z). x = k  7π π Hải 2 x = + k 24 2
Câu 13. Phương trình 2 sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ (0; 2π)? A 1 nghiệm. B 4 nghiệm. C Vô số nghiệm. D 2 nghiệm.
Hùng Câu 14. Giải phương trình cos2x+5sinx−4 = 0. π π π A x = + kπ. B x = k2π. C x = + kπ. D x = + k2π. 2 2 2 1 Phạm π Câu 15. Cho sin x + cos x = và 0 < x < . Tính giá tri của sin x. √ 2 2 √ √ √ 1 − 7 1 + 7 1 − 7 1 + 7 A sin x = . B sin x = . C sin x = . D sin x = . Ths: 4 4 6 6
Câu 16. Cho x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x + 2(sin x + cos x) = 2. Khi đó, giá trị của P = Gv 3+sin2x0 là √2 A P = 3 + . B P = 2. C P = 0. D P = 3. 2 √
Câu 17. Giải phương trình sin 3x + cos 3x = 2. π 2π π π A x = + k , k ∈ Z. B x = + k , k ∈ Z. 9 3 6 3 π π 2π C x = + kπ, k ∈ Z. D x = + k , k ∈ Z. 3 12 3 √ π
Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x + = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π. 3 A 4. B 3. C 1. D 2.
Câu 19. Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (−π; π)? A 3. B 1. C 2. D 4. 1
Câu 20. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình cos 4x + = 0 là 2 5π π π 7π A . B . C . D . 6 6 2 6
Câu 21. Cho phương trình cos 2x + cos x = 2. Khi đặt t = cos x, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? A 2t2 + t − 3 = 0. B 2t2 − t − 1 = 0. C 2t2 − t − 3 = 0. D 2t2 + t − 1 = 0. 46/63 46/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 47
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH sin 3x
Câu 22. Số nghiệm phương trình
= 0 thuộc đoạn [2π; 4π] là cos x + 1 A 6. B 2. C 4. D 5.
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm. A 1 ≤ m ≤ 2. B m ≤ 2. C 1 < m < 2. D m ≥ 1. √
Câu 24. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = 2 vô nghiệm là ñm ≥ 0 A m > 0. B −2 < m < 0. C . D m < −2. m ≤ −2
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình m sin 2x − 3 cos 2x = 2m + 1 có nghiệm? A 4. B 2. C 1. D 10.
Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương trình 1 cos 2x = − . 2 n π π π o n π π π o n π π π o A ; ; , ; ; . B ; ; . 3 3 3 2 4 4 3 3 3 ß ™ ß ™ n π π π o 2π π π 2π π π Đường C ; ; , ; ; . D ; ; . 3 3 3 3 6 6 3 6 6 π √ π √ π Câu 27. Cho 0 < α < thỏa mãn sin α + 2 sin − α = 2. Tính tan α + . Con √ 2 √ 2 √ 4 √ 9 + 4 2 −9 + 4 2 9 − 4 2 9 + 4 2 A − . B . C . D . 7 7 7 7 Có
Câu 28. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [0; 200π] của phương trình cos 2x − 3 cos x − 4 = 0. Đó A T = 10000π. B T = 5100π. C T = 5151π. D T = 10100π. √ π Ở
Câu 29. Số nghiệm của phương trình cos2 x − sin 2x = 2 + cos2
+ x trên khoảng (0; 3π) bằng 2 A 4. B 1. C 3. D 2. Chí
Câu 30. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x − 1)(2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m) = 0 có Ý
đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là A 1. B 2. C 3. D Vô số. Có —HẾT— Đâu Nơi 47/63 47/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 48
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
A – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
| Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương
trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác
c Ví dụ 1. Giải các phương trình sau x
4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x a) cos 2x + 2 cos x = 2 sin2 b) √ = 0. 2 Ç å 3 cos x sin x − 2 c) 2 tan2 x + cos 4x = 1
d) 2 sin3 x + 4 cos3 x = 3 sin x. Hải Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2. Cho phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos 2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc (−π; π) Đáp số: π π 5π • Nghiệm x = ± + kπ.
• Do x ∈ (−π; π) nên x = ± ; x = ± . 6 6 6 Å 9 ã Å 15 ã c π π
Ví dụ 3. Phương trình sin 2x + − 3 cos x −
= 1 + 2 sin x có tất cả bao nhiêu nghiệm 2 2 48/63 48/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 49
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ï π 5π ò thuộc đoạn ; ? 6 6 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có Đáp số: Đó Ở π 5π ï π 5π ò π 5π • x = kπ; x = + k2π; x = + k2π. • Do x ∈ ; nên x = ; x = . 6 6 6 6 6 6 Chí Ý
c Ví dụ 4. (A-2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình Có Å cos 3x + sin 3x ã 5 sin x + = cos 2x + 3. 1 + 2 sin 2x Đâu Đáp số: Nơi π 5π
• Biến đổi phương trình về 5 cos x = 2 cos 2x + • Nghiệm x = ; x = . 3 3 3.
| Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx
c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau √ π √ a) cos x − 3 sin x = 2 cos 2x − . b)
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. 6 (1 − 2 sin x) cos x √ √ c) = 3 d) sin x + cos x. sin 2x + 3 cos 3x = (1 + 2 sin x)(1 − sin x) 2 cos 4x + sin3x. 49/63 49/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 50
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Đáp số: π π k2π π π π π a) x = + k2π; x = − + . b) x = + k ; x = − + k . 2 18 3 18 3 6 2 π 2π π π 2π c) x = − + k . d) x = − + k2π; x = + k . 18 3 6 42 7
c Ví dụ 6. (DB1-2008) Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình x √ Å 3π ã 4sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2cos2 x − 2 4 Đáp số: 5π 2π 7π • Nghiệm x = + k ; x = − + k2π 18 3 6 5π 17π 5π • Do x ∈ (0; π) nên x = ; x = ; x = . 18 18 6 Hải
| Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích
Hùng c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 3
a) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
b) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = . 2 Phạm
c) sin x + sin 2x + 4 sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0
d) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x Ths: Đáp số: Gv ß π π π 2π 5π 2π ™ π kπ π a) + k , + k , + k , k ∈ Z b) + ; ± + kπ (k ∈ Z) 8 4 18 3 18 3 8 4 3 kπ π π c) x = d) x = k , x = k 3 9 2
c Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a) (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2x
b) 2 cos x − sin 2x = 1 + cos 2x
c) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x
d) (2 sin x − 1) (2 sin 2x + 1) = 3 − 4 cos2 x. Đáp số: π 5π π a) x = π + k2π; x = + k2π; x = + k2π. b) x = + kπ; x = k2π. 6 6 2 π π π π c) x = ± + k2π; x = − + kπ. d) x = kπ, x = ± + k2π, x = + k2π, x = 3 4 3 6 5π +k2π. 6 50/63 50/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 51
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
c Ví dụ 9. Giải các phương trình sau 1 1 Å 7π ã 1 1 a) + = 4 sin − x . b) sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x sin x Å 3π ã 4 2 sin x sin 2x sin x − 2
c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
d) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 Đáp số: π π 5π π π a) x = − + kπ; x = − + kπ; x = + kπ. b) x = + k . 4 8 8 4 2 π π π 5π c) x = + k . d) x = + k2π; x = + k2π 4 2 6 6
| Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số Đường
c Ví dụ 10. Cho phương trình cos 2x + 5 cos x + 5 − m = 0. Xác định tất cả các giá trị của m để phương h π i Con trình có nghiệm x ∈ ; π . 2 Ê Lời giải. Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí Ý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đâu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nơi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đáp số:
• Biến đổi cos 2x = 2 cos2 x − 1. • Kết quả m > 1. √ √
c Ví dụ 11. Biết rằng phương trình 2 sin x + 2 cos x + m2 − m = 0 (với m là tham số) có nghiệm khi
m ∈ [a; b]. Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2. Ê Lời giải. 51/63 51/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 52
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải Đáp số: • Hùng
Sử dụng điều kiện có nghiệm.
• Kết quả m ∈ [−1; 2]. Vậy P = 5.
Phạm c Ví dụ 12. Cho phương trình (sinx+1)(sin2x−msinx) = mcos2x. Tìm tập tất cả các giá trị thực của π
tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0; . Ths: 6 Ê Lời giải. Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đáp số: • Phân tích nhân tử; 52/63 52/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 53
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH √3 • Kết quả 0 < m < . 2
c Ví dụ 13. Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình m sin2 x − 3 sin x cos x − m − 1 = 0 Å 3π ã
có đúng ba nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Có
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ở
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chí Ý Đáp số: Có • Chia hai vế cho cos2 x.
• Kết quả m ∈ (−∞; −1). Đâu
c Ví dụ 14. Số các giá trị nguyên của m để phương trình (cos x + 1) (4 cos 2x − m cos x) = m sin2 x có Nơi ï 2π ò đúng 2 nghiệm x ∈ 0; là 3 Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53/63 53/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 54
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hải
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hùng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ths:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đáp số: • Phân tích nhân tử.
• Kết quả: m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2} c Ví dụ 15.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] y
của phương trình f (cos x) = 1. 4 Đáp số: 2
• Giao của đồ thị với đường nằm ngang. O x − • 1 1 Kết quả 5 nghiệm. 54/63 54/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 55
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Ê Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B – BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 x
Bài 2. Giải phương trình tan x + cos x − cos2x = sin x 1 + tan x. tan . 2 2 − sin22x sin 3x
Bài 3. Giải phương trình tan4x + 1 = Đường cos4x π 2π 5π 2π Đáp số: x = + k ; x = + k 18 3 18 3 Con sin4x + cos4x 1 1
Bài 4. Giải phương trình = cot 2x − . 5 sin 2x 2 8 sin 2x Có π Đáp số: x = ± + kπ. 6 x x Đó π
Bài 5. Giải phương trình sin2 − tan2x − cos2 = 0. 2 4 2 Ở π
Đáp số: x = π + k2π; x = − + kπ. 4 Chí
Bài 6. Giải phương trình cos 2x + cos x 2tan2x − 1 = 2 π Ý
Đáp số: x = (2k + 1)π, x = ± + k2π 3 Bài 7. Có
Giải phương trình 3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0 π Đáp số: x = ± + kπ 3 Đâu
Bài 8. 3 cos 4x − 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0. π π Đáp số: x = + k , x = kπ. 4 2 Nơi √ Ä ä x π 2 − 3 cos x − 2sin2 −
Bài 9. Giải phương trình 2 4 = 1. 2 cos x − 1 π Đáp số: x = + (2k + 1)π. 3 cos2x (cos x − 1)
Bài 10. Giải phương trình = 2(1 + sin x). sin x + cos x π Đáp số: x = − + kπ, x = π + k2π. 2 2 cos 4x
Bài 11. Giải phương trình cot x = tan x + sin2x π Đáp số: x = ± + kπ. 3
Bài 12. Giải phương trình cos23x. cos 2x − cos2x = 0. π Đáp số: x = k 2 55/63 55/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 56
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Bài 13. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. π 2π Đáp số: x = − + kπ; x = ± + k2π, 4 3 √ 2 + 3 2
Bài 14. Giải phương trình cos 3x. cos3 x − sin 3x. sin3 x = . 8 π π Đáp số: x = ± + k 16 2
Bài 15. Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x. π Đáp số: x = − + kπ; x = kπ. 4 2
Bài 16. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2x = . sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ. 3 cos 2x 1
Bài 17. Giải phương trình cot x − 1 = + sin2x − sin 2x. 1 + tan x 2 π Đáp số: x = + kπ. 4 √ √
Bài 18. Giải phương trình 2cos2x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x). 2π Hải Đáp số: x = + kπ. 3 sin 2x cos 2x
Bài 19. Giải phương trình + = tan x − cot x. cos x sin x π Hùng Đáp số: x = ± + k2π. 3
Bài 20. Xác định m để phương trình 2 sin4x + cos4x + cos 4x + 2 sin 2x − m = 0(*) có ít nhất một nghiệm h π i thuộc đoạn 0; . Phạm 2 10 Đáp số: − ≤ m ≤ −2. 3 Ths: Gv 56/63 56/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 57
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG A – ĐỀ SỐ 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = −tanx. n π o A D = R \ + kπ, k ∈ Z .
B D = R \ {kπ,k ∈ Z}. 2 n π o
C D = R \ {k2π,k ∈ Z}. D D = R \ + k2π, k ∈ Z . 2
Câu 2. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A R. B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D [−1; 1].
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. D [0; 1].
Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Đường
A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. Con
Câu 5. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A y = sin2 x. B y = x cos 2x. C y = x sin x. D y = cos x. Có 2 cos 3x − 1
Câu 6. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1 Đó
A D = R \ {π + kπ;k ∈ Z}.
B D = R \ {k2π;k ∈ Z}. Ở π
C D = R \ { + kπ;k ∈ Z}.
D D = R \ {π + k2π;k ∈ Z}. 2
Câu 7. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là Chí π A T = Ý 2π. B T = . C T = π. D T = 4π. 2
Câu 8. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn Có
phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 Đâu −π π O x 2π Nơi −1 A y = 1 + sin x. B y = 1 − sin x. C y = sin x. D y = cos x. √
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A max y = 3 và min y = 1.
B max y = 3 và min y = 2.
C max y = 3 và min y = −2.
D max y = 3 và min y = −1.
Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A max y = 4, min y = −6.
B max y = 6, min y = −8.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 8, min y = −6.
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là ß ™ n π π o 2π 2π A S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z . B S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z . 3 3 3 3 n π π o n π π o C S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . D S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . 3 3 6 6 57/63 57/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 58
5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH π
Câu 12. Phương trình sin x − = 1 có nghiệm là 3 x 5π 5π π A x = + kπ. B x = + k2π. C x = + kπ. D x = + k2π. 3 6 6 3 √3
Câu 13. Nghiệm của phương trình tan x = −
được biểu diễn trên đường y 3
tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? B A Điểm F, điểm D. D C B Điểm C, điểm F.
C Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F. x A0 O A D Điểm E, điểm F. E F B0
Câu 14. Gọi S là tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3 cos x − 1 = 0. Tính S. A S = 0. B S = 4π. C S = 3π. D S = 2π. 1
Câu 15. Số nghiệm của phương trình cos x =
thuộc đoạn [−2π; 2π] là 2 Hải A 4. B 2. C 3. D 1. ï 3π ò
Câu 16. Số nghiệm thực của phương trình sin 2x + 1 = 0 trên đoạn − ; 10π là Hùng 2 A 12. B 11. C 20. D 21. √
Câu 17. Cho phương trình 2 sin x − 3 = 0. Tổng các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình đã cho là Phạm π 2π 4π A π. B . C . D . 3 3 3
Ths: Câu 18. Phương trình sinx = cosx có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−π;π]? A 0. B 1. C 3. D 2.
Gv Câu 19. Phương trình cos2x+cosx−2 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0;2π]. A 4. B 3. C 2. D 1. √
Câu 20. Phương trình sin x − 3 cos x = 1 có tập nghiệm là n π π o n π π o A − + k2π; + k2π , với k ∈ Z. B − + k2π; − + k2π , với k ∈ Z. 6 2 6 2 ß 7π π ™ n π π o C + k2π; + k2π , với k ∈ Z. D − + kπ; − + kπ , với k ∈ Z. 6 2 6 2
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm. A m ≤ 2. B 1 < m < 2. C m ≥ 1. D 1 ≤ m ≤ 2. √
Câu 22. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = 2 vô nghiệm là ñm ≥ 0 A . B m < −2. C −2 < m < 0. D m > 0. m ≤ −2
Câu 23. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x − 1)(2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m) = 0 có
đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là A 1. B 2. C 3. D Vô số. 58/63 58/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 59
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
Câu 24. Giả sử A, B là các điểm lần lượt nằm trên các đồ y
thị hàm số y = sin x và y = cos x sao cho tam giác OAB nhận √ A Ç å π 2 điểm G ;
làm trọng tâm. Tính diện tích S của tam O y = cos x π 3 3 x
giác OAB, biết xA ∈ [0; 2π]. B y = sin x √ √ √ √ π 3 π 2 π 2 π 3 A S = . B S = . C S = . D S = . 6 8 6 8
Câu 25. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x trên y
đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình A B 2π chữ nhật và CD = . Tính độ dài đoạn BC. O π x √ 3 √ D C 2 1 3 A . B . C 1. D . y = sin x 2 2 2 Đường BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Giải phương trình Con a) 2 sin x − 1 = 0
b) 2 cos2 x − 3 sin x − 3 = 0 √ Có c) sin x + cos x = 2 cos 5x d) cos 3x + cos x + sin 2x = 0
Bài 2. Giải phương trình Đó Ở
4 sin4 x + cos4 x − 2 sin2 x − 1
a) 4 sin x cos x − 3 = 3(sin x + cos x) b) = 0 1 − cos 4x Chí —HẾT— Ý Có Đâu Nơi 59/63 59/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 60
5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH B – ĐỀ SỐ 2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 2x. ï 1 1 ò A T = − ; . B T = [−2; 2]. C T = R. D T = [−1; 1]. 2 2
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x. n π o n π o A D = R\ + kπ, k ∈ Z . B D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 4 n π kπ o C D = R\kπ, k ∈ Z . D D = R\ + , k ∈ Z . 4 2 π
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot x − . 3 n π o n π o A D = R \ + k2π, k ∈ Z . B D = R \ + kπ, k ∈ Z . 3 3 ß ™ n π o 5π
C D = R \ − + k2π,k ∈ Z . D D = R \ + kπ, k ∈ Z . 3 6
Câu 4. Chu kì tuần hoàn T của hàm số y = cos x là bao nhiêu? Hải π A T = 2π. B T = π. C T = 3π. D T = . 2 sin x
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . Hùng 1 − cos x n π o A D = R. B D = R \ + kπ, k ∈ Z . 2
C D = R \ {kπ,k ∈ Z}.
D D = R \ {k2π,k ∈ Z}.
Phạm Câu 6. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = sinx? y y Ths: x O Gv A x O B y y O x O x C D 2 sin x − 1
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = . 3 1 2 A m = − . B m = − . C m = −3. D m = −1. 3 3
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 2 − | cos x|. A M = 1. B M = 3. C M = 0. D M = 2.
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x − cos x. √ A M = 0. B M = 1. C M = 2. D M = 2. π Câu 10. Hỏi x =
là nghiệm của phương trình nào sau đây? 4 1 A sin x = 1. B cos x = 1. C sin x. cos x = . D sin 2x = 0. 2 √3
Câu 11. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2x = − . 2 60/63 60/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 61
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ß π 2π ™ ß π 4π ™ A S = − + kπ, + kπ, k ∈ Z . B S = − + k2π, + k2π, k ∈ Z . 6 3 3 3 ß π 5π ™ ß π 5π ™ C S = + k2π, + k2π, k ∈ Z . D S = + k2π, + k2π, k ∈ Z . 6 6 12 12 π
Câu 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x. cos x − = 0. 4 ß3π ™ A S = {kπ, k ∈ Z}. B S = + kπ, k ∈ Z . 4 ß ™ n π o 3π C S = − + kπ, k ∈ Z . D S = kπ; + kπ, k ∈ Z . 4 4 √
Câu 13. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2x = 2. A S = R. ß 1 √ 1 √ ™
B S = − arccos 2 + kπ; arccos 2 + kπ, k ∈ Z . 2 2 C S = ∅. n π π o D S = − + k2π; + k2π . 4 4 Đường
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của số thực a để phương trình cos x = a2 có nghiệm. A a ∈ R. B a ∈ R \ {0}. C a ∈ [0; 1]. D a ∈ [−1; 1].
Câu 15. Phương trình tan 2x = 1 có họ nghiệm là Con π kπ π A x = + , k ∈ Z. B x = + kπ, k ∈ Z. 8 2 4 Có π π C x = + k2π, k ∈ Z. D x = + k2π, k ∈ Z. 4 4 √ Đó
Câu 16. Họ nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0 là π π Ở A x = − + kπ, k ∈ Z. B x = − + kπ, k ∈ Z. 3 6 π π C x = + k2π, k ∈ Z. D x = + kπ, k ∈ Z. Chí 3 6 Ý
Câu 17. Phương trình tan (2x + 12◦) = 0 có họ nghiệm là
A x = −6◦ + k180◦, k ∈ Z.
B x = −6◦ + k360◦, k ∈ Z. Có
C x = −12◦ + k90◦, k ∈ Z.
D x = −6◦ + k90◦, k ∈ Z.
Câu 18. Cho phương trình a sin x + cos x = b. Tìm tất cả các giá trị thực của a, b để phương trình có Đâu nghiệm. A b2 − a2 ≤ 1. B b2 − a2 < 1. C b2 + a2 ≤ 1. D b2 + a2 ≥ 1. √ Nơi
Câu 19. Tìm tập nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = −2. ß 5π ™ A S = ∅. B S = − + k2π k ∈ Z . 6 ß ™ n π o 5π C S = + k2 π k ∈ Z . D S = − + kπ k ∈ Z . 6 6
Câu 20. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình sin x + sin 2x = 0. A 3. B 1. C 2. D 4.
Câu 21. Giải phương trình 2 sin2 x + 5 sin x + 3 = 0. π π A x = − + kπ, k ∈ Z. B x = − + k3π, k ∈ Z. 2 2 π π kπ C x = − + k2π, k ∈ Z. D x = − + , k ∈ Z. 2 2 2
Câu 22. Giải phương trình cos 2x − 5 sin x − 3 = 0. π 7π π 7π A x = − + kπ, x = + kπ, k ∈ Z. B x = − + k3π, x = + k3π, k ∈ Z. 6 6 6 6 61/63 61/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 62
5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH π 7π π 7π C x = − + k4π, x = + k4π, k ∈ Z. D x = − + k2π, x = + k2π, k ∈ Z. 6 6 6 6
Câu 23. Giải phương trình tan x + 2 cot x − 3 = 0. π π A x = ± + k2π, k ∈ Z. B x = ± + kπ, k ∈ Z. 4 4 π π C x =
+ kπ, x = arctan 2 + kπ, k ∈ Z. D x = ±
+ kπ, x = ± arctan 2 + kπ, k ∈ Z. 4 4
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m cos x + sin x = 1 − m có nghiệm. A m ≤ 0. B m < 0. C m ≥ 0. D m < 1.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x − cos x + m = 0 có nghiệm? A 4. B 3. C 2. D 1 . BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Giải các phương trình sau: π a) 2 cos x − = 0; b) sin 3x − cos 3x = −1; 4 √ π c) 3 tan − x = 1;
d) sin x + cos x − sin x cos x = 1. 3
Hải Bài 2. Tính tổng các nghiệm x ∈ 0;100 của phương trình cos3 x − cos2 x + 1 Hùng = cos 2x + tan2 x. cos2 x —HẾT— Phạm Ths: Gv 62/63 62/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 63
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH
BÀI 6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 1. A 2. B 3. D 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. B 10. C 11. D 12. B 13. C 14. A 15. D 16. A 17. B 18. A 19. A 20. B 21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. A 27. C 28. C 29. A 30. D
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2 1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. B 17. C 18. C 19. D 20. D 21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. B 27. A 28. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3 Đường 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A 12. D 13. D 14. D 15. B 16. D 17. D 18. D 19. C 20. C Con 21. A 22. A 23. A 24. B 25. C 26. C 27. A 28. A 29. C 30. B Có
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1 Đó 1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A Ở 11. C 12. B 13. A 14. D 15. A 16. A 17. A 18. D 19. C 20. C 21. D 22. C 23. B 24. B 25. B Chí Ý
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 2 Có 1. D 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. D 8. D 9. D 10. C 11. A 12. D 13. C 14. D 15. A 16. B 17. D 18. A 19. B 20. A 21. C 22. D 23. C 24. C 25. A Đâu Nơi 63/63 63/63
p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921
Document Outline

Bia Toan 11 Chuong 1 Luong Giac
1D1-V13
- HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
  - Công thức lượng giác cần nhớ
  - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
    - KIẾN THỨC CẦN NHỚ
    - PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
    - 124 Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
    - 124 Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
    - 124 Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
    - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
    - KIẾN THỨC CẦN NHỚ
    - PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
    - 124 Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
    - 124 Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng
    - 124 Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định
    - 124 Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b) cho trước
    - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
    - KIẾN THỨC CẦN NHỚ
    - PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
    - 124 Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
    - 124 Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
    - 124 Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
    - 124 Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
    - 124 Dạng 5. Phương trình chứa sinx cosx và sinx cosx
    - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
    - PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
    - 124 Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác
    - 124 Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx
    - 124 Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích
    - 124 Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số
    - BÀI TẬP TỰ LUYỆN
  - ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
    - Đề số 1
    - Đề số 2
  - ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Phạm Hùng Hải

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác - Kết Nối Tri Thức