Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Phùng Hoàng Em
Tài liệu gồm 36 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phùng Hoàng Em, tổng hợp kiến thức cần nhớ, phân loại, phương pháp giải toán và bài tập trắc nghiệm có đáp án chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . 11
Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . 11 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . 16
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . 17
Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . 18
Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối
với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.
ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 A
Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B
Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Trang i
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG
1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R. y
• Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, − π ∀ 2 x ∈ R. x −π π π
• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm 2
số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số y = sin x
• Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T =
2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z. 2 Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R. y
• Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, − − π π ∀ 2 π x ∈ R. x π
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị 2
hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số y = cos x
• Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu
kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z. y 3 Hàm số y = tan x π
• Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. 2 n π o Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 • Tập giá trị: R. −π − π2 • Là hàm số lẻ. x O π π 2
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa
là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z. Trang 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 Hàm số y = cot x y
• Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z.
Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . • Tập giá trị: R. • Là hàm số lẻ. 3 • π
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, − − π π 2 2
nghĩa là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z. π x O π 2
5 Một số trường hợp đặc biệt
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B A0 A cos O cos O cos O B0 sin x = 1 ⇔ x = π + k2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2 2 π 2 π sin x = 0 ⇔ x = kπ
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x sin sin sin B A A0 cos cos O O cos O B0 cos x = 1 ⇔ x = k2 cos x = 0 ⇔ x = π + k π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 2 π
B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau: f (x) 1. y = xác định ⇔ g(x) 6= 0. g(x) 2. y = 2n
p f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, trong đó n ∈ ∗ N . π
3. y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= + kπ, k ∈ Z. 2
4. y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= kπ, k ∈ Z. Trang 2
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
# Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: 2 sin x + 3 1 + cos x 2 + 3 cos 2x a) y = b) y = c) y = cos x 1 − cos x sin x 1 + cos x sin x − 3 2 sin x + 3 d) y = e) y = f) y = 1 + sin x cos x + 1 cos x + 2 2 sin x + 3 2 sin x − 3 x − 1 g) y = h) y = i) y = sin . sin x − 1 2 sin x + 3 x + 2 √ √ cos x − 2 … 1 + cos x j) y = 3 − 2 cos x. k) y = l) y = 1 + cos x 1 − cos x
# Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: π a) y = 2 tan x + 3 b) y = 2 tan 2x − 4 sin x c) y = cot x + + 1 4
# Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R. √ √ sin x − 1 a) y = m − cos x b) y = 2 sin x − m c) y = cosx+m
# Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = pcos2 x − (2 + m)cosx + 2m có tập xác định R.
{ DẠNG 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
Phương pháp giải. Ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng.
2. Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả. Khi đó
• Nếu f (−x) = f (x): hàm số đã cho là hàm chẵn.
• Nếu f (−x) = − f (x): hàm số đã cho là hàm lẻ.
• Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ. CHÚ Ý
¬ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
® Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
¯ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
# Ví dụ 5. Xét tinh chẵn lẻ của hàm số Å 9π ã a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x. 2
# Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin5x. Trang 3
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
{ DẠNG 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
Phương pháp giải. Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau:
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản
¬ −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R;
−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R;
® 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R;
¯ 0 ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R. ° Cô – si: ± Bunhiacopxki: √
a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0
(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) a c
Dấu bằng xảy ra khi a = b. Dấu bằng xảy ra khi = . b d
Sử dụng điều kiện có nghiệm
¬ sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.
cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.
® sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2.
Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận.
# Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau 1 − 2sin2x √ a) y = 2 sin x + 3 b) y = c) y = 2 + cos x − 1 3 d) y = 4 sin x cos x + 1; e) y = 4 − 3 sin2 2x. f) y = (3 − sin x)2 + 1 g) y = sin4x + cos4x h) y = sin6x + cos6x
# Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sinx + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. √
# Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2x đạt giá trị nhỏ nhất.
# Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau √ a) y = 3 sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = 3 sin x + 4 cos x
# Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau a) y = 2sin2x − 3 sin x + 1 b) y = 2cos2x + 3 cos x − 2 c) y = cos 2x − sin x + 3 √
# Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cos2 x − 2 3sinx cosx + 1. sin x + 3 cos x + 1
# Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . sin x − cos x + 2
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = − tan x. n π o A. D = R \ + kπ, k ∈ Z .
B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}. 2 Trang 4
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC n π o
C. D = R \ {k2π, k ∈ Z}. D. D = R \ + k2π, k ∈ Z . 2
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x. n π o A. D = R\ k |k ∈ Z . B. D = R\{kπ|k ∈ Z}. 2 n π o
C. D = R\{k2π|k ∈ Z}. D. D = R\ + kπ|k ∈ Z . 2 1 − 3 cos x
Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y = là sin x π A. x 6= + kπ, k ∈ Z. B. x 6= k2π, k ∈ Z. 2 kπ C. x 6= , k ∈ Z. D. x 6= kπ, k ∈ Z. 2 2 sin x + 1
Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = là 1 − cos x π π A. x 6= k2π. B. x 6= kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= + k2π. 2 2 π
Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π 5π π A. x 6= + k . B. x 6= + kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= + k . 6 2 12 2 12 2
Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A. R. B. (−∞; 0]. C. [0; +∞]. D. [−1; 1].
Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A. [−2; 2]. B. [0; 2]. C. [−1; 1]. D. [0; 1].
Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.
Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A. y = sin2 x. B. y = x cos 2x. C. y = x sin x. D. y = cos x.
Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x. π kπ A. x 6= kπ, k ∈ Z. B. x 6= + kπ, k ∈ Z. C. x 6= , k ∈ Z. D. x ∈ R. 2 2 2 cos 3x − 1
Câu 11. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1
A. D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}.
B. D = R \ {k2π; k ∈ Z}. π
C. D = R \ { + kπ; k ∈ Z}.
D. D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}. 2
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π.
C. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
D. Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A. T = 2π. B. T = . C. T = π. D. T = 4π. 2
Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn? π π A. y = sin x + . B. y = cos x + . C. y = sin 2x.
D. y = tan x − sin 2x. 2 2
Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Trang 5
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y 1 −π π O x 2π −1 A. y = 1 + sin x. B. y = 1 − sin x. C. y = sin x. D. y = cos x.
Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? y 2 1 x −π π O π π − 2 2 A. y = cos x + 1. B. y = 2 − sin x. C. y = 2 cos x. D. y = cos2 x + 1. √
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A. max y = 3 và min y = 1.
B. max y = 3 và min y = 2.
C. max y = 3 và min y = −2.
D. max y = 3 và min y = −1. √
Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin x + 3. √ √ √ A. max y = 5, min y = 1. B. max y = 5, min y = 2 5. √ √ C. max y = 5, min y = 2. D. max y = 5, min y = 3. π
Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x − . 4
A. min y = −2, max y = 4.
B. min y = 2, max y = 4.
C. min y = −2, max y = 3.
D. min y = −1, max y = 4.
Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x.
A. min y = 1, max y = 2.
B. min y = 1, max y = 3.
C. min y = 2, max y = 3.
D. min y = −1, max y = 3. √
Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + sin 2x. √ √
A. min y = 2, max y = 1 + 3.
B. min y = 2, max y = 2 + 3. √
C. min y = 1, max y = 1 + 3.
D. min y = 1, max y = 2. 4
Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = . 1 + 2sin2x 4 4 A. min y = , max y = 4. B. min y = , max y = 3. 3 3 4 1 C. min y = , max y = 2. D. min y = , max y = 4. 3 2
Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x. 3 A. max y = 4, min y = .
B. max y = 3, min y = 2. 4 3
C. max y = 4, min y = 2. D. max y = 3, min y = . 4
Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1.
A. max y = 6, min y = −2.
B. max y = 4, min y = −4.
C. max y = 6, min y = −4.
D. max y = 6, min y = −1. Trang 6
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A. min y = −6; max y = 4.
B. min y = −6; max y = 5.
C. min y = −3; max y = 4.
D. min y = −6; max y = 6.
Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A. max y = 4, min y = −6.
B. max y = 6, min y = −8.
C. max y = 6, min y = −4.
D. max y = 8, min y = −6. 1 3
Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x −
cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của 2 4 T . A. 4. B. 6. C. 7. D. 3.
Câu 28. Hàm số y = cos2x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng 9 9 A. 3; 1. B. 1; −1. C. ; 0. D. ; 2. 4 4
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x − sin 2x + 5 là √ √ √ √ A. 6 + 2. B. 6 − 2. C. 2. D. − 2. sin x + 2 cos x + 1
Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = . sin x + cos x + 2 A. M = −2. B. M = −3. C. M = 3. D. M = 1. —HẾT— Trang 7
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Phương trình sin x = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. sin sin sin B A0 A cos O cos O cos O B0 sin x = 1 ⇔ x = π + k2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2 2 π 2 π sin x = 0 ⇔ x = kπ √ √ ® ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ; ± ; ±
. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc 2 2 2 ◦ β tương ứng.
¬ Công thức theo đơn vị rad: sin ñx = α + k2π sin x = a ⇔ , k ∈ Z N M x = π − α + k2π a
Công thức theo đơn vị độ: O ñx = ◦ β + k360◦
sin x = a ⇔ x = 180◦ − ◦ β + k360◦ , k ∈ Z
Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñx = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ , k ∈ Z x = π − arcsin a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ , k ∈ Z f (x) = π − g(x) + k2π 2 Phương trình cos x = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. Trang 8
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin sin B A cos cos O O cos O A0 B0 cos x = 1 ⇔ x = k2 cos x = 0 ⇔ x = π + k π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 2 π √ √ ® ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ; ± ; ±
. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc 2 2 2 ◦ β tương ứng.
¬ Công thức theo đơn vị rad: ñx = α + k2π cos x = a ⇔ , k ∈ M Z x = −α + k2π cos
Công thức theo đơn vị độ: O a ñx = ◦ β + k360◦ cos x = a ⇔ N x = − ◦ β + k360◦ , k ∈ Z
Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñx = arccos a + k2π cos x = a ⇔ , k ∈ Z x = − arccos a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔ , k ∈ Z f (x) = −g(x) + k2π 3 Phương trình tan x = a. √ ® ´ 3 √ Trường hợp a ∈ 0; ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc 3 ◦ β tương ứng. tang
¬ Công thức theo đơn vị rad: N a
tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O
Công thức theo đơn vị độ: M tan x = a ⇔ x = ◦ β + k180◦, k ∈ Z
Trường hợp a khác các số ở trên thì Trang 9
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4 Phương trình cot x = a. √ ® ´ 3 √ Trường hợp a ∈ ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan
1 để đổi số a về góc ◦ α hoặc β 3 a π
tương ứng. Riêng a = 0 thì α = 2 cotang a
¬ Công thức theo đơn vị rad: N
cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O
Công thức theo đơn vị độ: M cot x = a ⇔ x = ◦ β + k180◦, k ∈ Z
Trường hợp a khác các số ở trên thì
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.
B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp giải.
• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu;
• Chọn và ráp công thức nghiệm.
# Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √3 π a) sin 3x = − b) 2 sin − x = 1
c) 2 sin (x − 45◦) − 1 = 0 2 5 Å 2π ã √ d) cos x − = 1 e) 2 cos 2x − 1 = 0 f) 3 cos x − 1 = 0. 3
# Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: √3 √ π a) tan 3x = − b) 3 tan − x = 1 c) tan (x − 45◦) − 1 = 0 3 6 √ √ d) sin x − 3 cos x = 0 e) 3 cot x − 1 = 0
f) (tan x − 2)(cot x + 1) = 0.
# Ví dụ 3. (A.2014). Giải phương trình sinx + 4cosx = 2 + sin2x Trang 10
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
{ DẠNG 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng Phương pháp giải.
• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau ¬ sin u = sin v cos u = cos v ® tan u = tan v ¯ cot u = cot v
• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau: ¬ − sin x = sin(−x). − cos x = cos (π − x). π π ® sin x = cos − x . ¯ cos x = sin − x . 2 2
# Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) sin 3x = sin 2x b) sin 2x − sin x = 0 c) sin 5x + sin x = 0 d) cos 2x − cos x = 0 e) cos 8x + cos x = 0 f) cos 4x − sin x = 0
# Ví dụ 5. (B.2013). Giải phương trình sin5x + 2cos2 x = 1
{ DẠNG 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định Phương pháp giải.
# Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: cos x cos2 x − sin2 x a) = 0 b) √ = 0 c) tan x(1 − 2 sin2 x) = 0 1 − sin x 2 − sin x π π
# Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2x + + tan − x = 0. 6 3 −π • Đáp số x = + kπ, k ∈ Z. 2 x x
# Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0. 3 2 3π π • Đáp số x = + k3π, x = − + k2π, (k ∈ Z). 4 2
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
# Ví dụ 9. Giải phương trình √ = 0 3 + tan x π • Đáp số x = + k2π. 3
{ DẠNG 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b) cho trước Phương pháp giải.
¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ
Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k.
® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được.
¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng. Trang 11
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
# Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √ a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3 π ). b)
2 sin(x − 1) = −1 trên − 7π , π . 2 2 π √ c) 2 cos 3x − − 1 = 0 trên (− π , π ). d) tan(3x + 2) − 3 = 0 trên − π , π . 3 2 2 √ π −π 2π
# Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3tan 2x − = 0 với < x < . 3 4 3
# Ví dụ 12. Giải phương trình tan(x + 30◦) + 1 = 0 với −90◦ < x < 360◦. π π
# Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π;π) sao cho sin x − + 2 cos x + = 0. 3 6
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM √
Câu 1. Với k ∈ Z thì phương trình 2 sin(x + 60◦) = 3 có nghiệm là
A. x = k.1800; x = 600 + k.1800.
B. x = k.3600; x = −1200 + k.3600.
C. x = k.3600; x = 600 + k.3600.
D. x = −300 + k.3600; x = 900 + k.3600.
Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x = 0? A. tan x = 0. B. cos x = −1. C. cot x = 1. D. cos x = 1.
Câu 3. Tìm m để phương trình cos 2x = 1 − m có nghiệm. A. −1 6 m 6 3. B. 0 6 m 6 2. C. m 6 2. D. m > 0.
Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 1 √ 1 A. sin x = . B. tan x = 3. C. sin x = 3. D. cos x = − . 2 2
Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi ñm < −1 A. m > 1. B. m < −1. C. −1 ≤ m ≤ 1. D. m > 1.
Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = kπ, k ∈ Z. 2 3π π C. x = + kπ, k ∈ Z. D. x = − + k2π, k ∈ Z. 2 2 √ π 3
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x − = . 3 3 π 2π A. x = + kπ, k ∈ Z. B. x = + kπ, k ∈ Z. 3 3 π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = kπ, k ∈ Z. 3 √3
Câu 8. Phương trình cos x = − có tập nghiệm là 2 ß 5π ™ n π o A. x = ± + k2π; k ∈ Z . B. x = ± + kπ; k ∈ Z . 6 3 n π o n π o C. x = ± + k2π; k ∈ Z . D. x = ± + kπ; k ∈ Z . 3 6 √3
Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x = . 2 Trang 12
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π k2π π x = + , k ∈ Z x = + k2π, k ∈ Z 9 A. 9 3 . B. . 2π k2π 2π x = + , k ∈ Z x = + k2π, k ∈ Z 9 3 9 π kπ π k2π x = + , k ∈ Z x = + , k ∈ Z C. 9 3 3 3 . D. . 2π kπ 2π k2π x = + , k ∈ Z x = + , k ∈ Z 9 3 3 3
Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là 11π −π π −7π A. x = + k2π và x = + k2π. B. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 −π 7π −π 7π C. x = + kπ và x = + kπ. D. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6
Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là π π 2π A. − . B. . C. . D. π. 2 4 3
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là n π o n π o A. + 2kπ, k ∈ Z . B. + kπ, k ∈ Z . 4 4 n π o C. {kπ, k ∈ Z}. D. + 2kπ, k ∈ Z . 2 2
Câu 13. Phương trình sin x =
có số nghiệm thuộc (−π; π) 3 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. √3
Câu 14. Cho phương trình sin 2x =
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π] 2 thì giá trị của n là A. n = 8. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 2.
Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0. π π 5π A. x = ± + k2π (k ∈ Z). B. x = + k2π; x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 4 π 5π C. x = + k2π (k ∈ Z). D. x = + k2π (k ∈ Z). 4 4
Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương 1 trình cos 2x = − . 2 ß ™ n π π π o n π π π o n π π π o 2π π π A. , , ; , , . B. , , ; , , . 3 3 3 4 4 2 3 3 3 3 6 6 ß 2π π π ™ n π π π o C. , , . D. , , . 3 6 6 3 3 3 m
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = . 2 A. m ≤ 1. B. −1 ≤ m ≤ 1. C. −2 ≤ m ≤ 2.
D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 1. π
Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x − = 1 trong khoảng (0; π) là 2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là π π A. x = ± + k2π, k ∈ Z. B. x = ± + kπ, k ∈ Z. 6 3 π π C. x = ± + 2π, k ∈ Z. D. x = ± + k2π, k ∈ Z. 6 3 Trang 13
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là n π o A. −kπ, k ∈ Z. B. − + kπ, k ∈ Z . 4 n π o C. − + k2π, k ∈ Z .
D. {90◦ + k180◦, k ∈ Z}. 2 π 1
Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + = trên đường tròn lượng 3 2 giác là A. 4. B. 6. C. 1. D. 2. x Câu 22. Phương trình cos = −1 có tập nghiệm là 2
A. {2π + k4π|k ∈ Z}. B. {π + k2π|k ∈ Z}. C. {k4π|k ∈ Z}. D. {k2π|k ∈ Z}.
Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 là π π π A. x = π + k2π. B. x = kπ. C. x = + kπ. D. x = + k . 2 4 2
Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0. π π π A. k (k ∈ Z). B. kπ (k ∈ Z). C. k (k ∈ Z). D. k (k ∈ Z). 2 4 8
Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1. 4071315π 4071315π 8141621π 8141621π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 4 2 4
Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 27. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A. 16145. B. 20181. C. 20179. D. 16144.
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = m2 −9 có nghiệm. A. 5. B. 2. C. 1 . D. 3 . —HẾT— Trang 14
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin x + b = 0 a · cos x + b = 0 ® a · tan x + b = 0 ¯ a · cot x + b = 0
L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản. b b
¬ a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = −
a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = − a a b b
® a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = −
¯ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = − a a
2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx L Dạng phương trình • a sin x ± b cos x = c (1).
• Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2. √
L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho a2 + b2. Khi đó a b c (1) ⇔ √ sin x ± √ cos x = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 c
⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √a2 +b2 c a b ⇔ sin (x ± φ ) = √ (2), với cos φ = √ và sin φ = √ . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước. Chú ý hai công thức sau:
• sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b).
• cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b).
3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình
¬ a · sin2 x + b · sin x + c = 0
a · cos2 x + b · cos x + c = 0
® a · tan2 x + b · tan x + c = 0
¯ a · cot2 x + b · cot x + c = 0 Trang 15
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC L Phương pháp giải
• Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t.
• Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x.
• Chú ý với phương trình số ¬ và thì −1 ≤ t ≤ 1.
B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải.
# Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ a) 2 sin x + 1 = 0; b) 2 cos x − 1 = 0; √ √ c) tan x + 3 = 0; d) 3 cot x − 1 = 0.
# Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: π √ π a) 2 sin x − + 1 = 0. b) 2 cos 3x − − 1 = 0. 6 4 π √ √ π c) tan − x + 3 = 0. d) 3 cot x + + 3 = 0. 3 6
# Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2sin2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π;2π].
# Ví dụ 4. Giải phương trình (2cosx − 1)(sinx + cosx) = sin2x − sinx. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Giải các phương trình sau √ a) 2 cos 2x + 3 = 0. b) 2 sin 3x + 1 = 0 √ √ π c) 2 cos 2x − 2 = 0. d) 3 − 2 3 cos x + = 0. 4 Å ã π √ 2π √ e) 2 cos x − + 1 = 0. f) 2 2 sin x + = 6. 6 5 √ π g) 3 sin(x − 1) + 2 = 0. h) 3 tan − 2x + 1 = 0. 6 √ √ π i) (cos 2x + 2)(cot 3x − 1) = 0. j) 2 − 2 3 tan x + = 0. 3
c Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √ Å 7π π ã a)
3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − , . 2 2
c Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
c Bài 4. Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x.
c Bài 5. Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x. Trang 16
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
{ DẠNG 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải.
# Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0;
b) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0. √ √
c) 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0; d) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0.
# Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) cos 2x + cos x + 1 = 0; b) 6 sin2 3x + cos 12x = 14; c) cos 4x + 6 = 7 cos 2x; d) 7 tan x − 4 cot x = 12.
# Ví dụ 7. Giải các phương trình sau √ √ Ä ä 2 2 5 a) 1 − 2 + 2 sin x + = 0; b) tan2 x − + 7 = 0. 1 + cot2 x cos x
# Ví dụ 8. Giải các phương trình sau cos 2x + 3 cot x + sin 4x
4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x a) = 2; b) = 0. cot 2x − cos 2x cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 6. Giải các phương trình sau a) cos2 x + cos x − 2 = 0;
b) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; √
c) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0;
d) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0.
c Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 tan x + cot x − 3 = 0
b) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ; x
c) 2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x; d) cos 2x + cos x = 4 sin2 − 1 2
c Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình √3 √ x
− tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x. tan . cos2 x 2
{ DẠNG 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương pháp giải.
# Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: √ √ a) sin x + 3 cos x = 1; b) 3 sin 2x − cos 2x = 2; √ c) sin 2x − 3 cos 2x = 2; d) 3 sin x + cos x = 2. Trang 17
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Å 2π 6π ã √ √
# Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈ ;
của phương trình cos 7x − 3 sin 7x = − 2. 5 7 x x 2 √
# Ví dụ 11. (D.2007). Giải phương trình sin + cos + 3 cos x = 2. 2 2 (1 − 2 sin x) cos x √
# Ví dụ 12. Giải phương trình = 3. (1 + 2 sin x)(1 − sin x) BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 9. Giải các phương trình sau: √ √ √ a) cos x − 3 sin x = 1 b) 3 sin x + cos x = 2 √ √ c) 3 cos x − sin x = 0 d) sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 4x
c Bài 10. Giải các phương trình sau π √ a) cos(π − 2x) − cos 2x + = 2; 2 √ π √ b)
3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x − = 2 2; 6 √ √ √ c) sin x − 2 cos 3x = 3 cos x + 2 sin 3x; √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = − sin 5x sin 7x.
c Bài 11. Giải các phương trình sau: √ a) sin x − 3 cos x = 2 sin 5x √ b) 3 sin 2x + 2sin2x = 2 √ c)
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x √ sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3x e) √ Ä ä
f) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x π
c Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x + ) + sin x + 2 cos x = 3. 6
c Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
c Bài 14. Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
{ DẠNG 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Phương pháp giải. L Dạng phương trình
• a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 Trang 18
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Tổng quát: a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d L Phương pháp giải
• Trường hợp 1. Xét cos x = 0, khi đó sin x = ±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình π Nếu thỏa mãn, suy ra x =
+ kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2. 2
Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2.
• Trường hợp 2. Xét cos x 6= 0, chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trình
đang xét về dạng phương trình bậc hai theo tan x.
• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp. Chú ý công thức sin x 1 ¬ = tan x. sin 2x = 2 sin x cos x ® = tan2 x + 1 cos x cos2 x
# Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x − 3 sin x. cos x + sin2x = 0
b) sin2x − sin 2x − 3cos2x + 2 = 0 √
c) 4sin2x + 3 3 sin 2x − 2cos2x = 4 d) 4cos2x + sin 2x − 3 = 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 15. Giải các phương trình sau: √ √ Ä ä Ä ä a) 2sin2x + 3 + 3 sin x cos x + 3 − 1 cos2x = −1 1
b) sin2x + sin 2x − 2cos2x = 2 √
c) 4sin2x + 3 3 sin 2x − 2cos2x = 4 √ √ 3 + 2 d) sin2x + 3 sin x cos x + 2cos2x = 2
e) 2sin2x − 5 sin x cos x − cos2x = −2 √ Ä ä
f) 3sin2x + 8 sin x cos x + 8 3 − 9 cos2x = 0
{ DẠNG 5. Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx · cosx Phương pháp giải. L Dạng phương trình
• a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0.
• a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0. L Phương pháp giải: • Đặt t = sin x ± cos x Trang 19
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Tính t2 = (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2 sin x · cos x. Từ đây ta tính được sin x · cos x.
• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t. Giải tìm t, sau đó tìm x. Chú ý √ √ √ π
¬ Điều kiện của t là − 2 ≤ t ≤ 2. sin x ± cos x = 2 sin x ± . 4
# Ví dụ 14. Giải các phương trình
a) sin x cos x + 2 (sin x + cos x) = 2
b) sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0 √ √ π
c) 4 2 (sin x + cos x) + 3 sin 2x − 11 = 0 d) sin 2x + 2 sin x − = 1 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 16. Giải các phương trình
a) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1
b) cot x − tan x = sin x + cos x 1 1 10 3 c) sin x + cos x + + = d) 1 + sin3x + cos3x = sin 2x sin x cos x 3 2
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM √
Câu 1. Phương trình 2 sin x − 3 = 0 có các nghiệm là π π x = + k2π x = + k2π 3 A. 3 , k ∈ Z. B. , k ∈ Z. π 2π x = − + k2π x = + k2π 3 3 π π x = + k2π x = + kπ 3 C. 3 , k ∈ Z. D. , k ∈ Z. π 2π x = − + k2π x = + kπ 3 3
Câu 2. Cho phương trình sin x − (m + 1) cos x = 2. Tìm m để phương trình có nghiệm. √ √ Ä ó î ä A. m ∈ [0; −2].
B. m ∈ −∞; −1 − 3 ∪ −1 + 3; +∞ . √ √ î ó
C. m ∈ (−∞; −2] ∪ [0; +∞). D. m ∈ −1 − 3; −1 + 3 .
Câu 3. Giải phương trình 2 cos x − 1 = 0. π π A. x = ± + k2π, k ∈ Z. B. x = ± + k2π, k ∈ Z. 3 6 π π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = ± + 2π, k ∈ Z. 3 3
Câu 4. Nghiệm của phương trình cot 3x = −1 là π π A. x = + kπ với k ∈ Z. B. x = − + kπ với k ∈ Z. 12 12 π π π π C. x = + k với k ∈ Z. D. x = − + k với k ∈ Z. 12 3 12 3
Câu 5. Nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là π π kπ π A. x = + k2π. B. x = + kπ. C. x = . D. x = + k2π. 4 4 2 2 Trang 20
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x − 3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ (−∞; a] ∪ [b; +∞) với a, b ∈ Z. Tính a + b. A. −4. B. 4. C. 0. D. 8.
Câu 7. Giải phương trình sin 2x = 1. kπ π A. x = , với k ∈ Z. B. x = + k2π, với k ∈ Z. 2 2 π π C. x = + kπ, với k ∈ Z. D. x = + k2π, với k ∈ Z. 4 4
Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm? π 2017 A. tan x = π. B. sin x = . C. sin x + cos x = 2. D. cos x = . 4 2018
Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là π π kπ π A. x = ± + k2π; k ∈ Z. B. x = + , x = + kπ; k ∈ Z. 4 8 2 4 π π C. x = − kπ; k ∈ Z. D. x = + kπ; k ∈ Z. 4 8
Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x − cos x = 0 trên đường tròn lượng giác. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 11. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 0. Chọn khẳng định đúng. Å ã Å ã π 3π π 3π A. x0 ∈ 0; . B. x0 ∈ ; 2π . C. x0 ∈ ; π . D. x0 ∈ π; . 2 2 2 2 π
Câu 12. Nghiệm của phương trình 2 sin 4x − − 1 = 0 là 3 x = k2π ñx = kπ A. π (k ∈ Z). B. (k ∈ Z). x = + k2π x = π + k2π 2 π π x = π + k2π x = + k 8 2 C. π (k ∈ Z). D. (k ∈ Z). x = k 7π π 2 x = + k 24 2
Câu 13. Phương trình 2 sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ (0; 2π)? A. 1 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. Vô số nghiệm. D. 2 nghiệm.
Câu 14. Giải phương trình cos 2x + 5 sin x − 4 = 0. π π π A. x = + kπ. B. x = k2π. C. x = + kπ. D. x = + k2π. 2 2 2 1 π Câu 15. Cho sin x + cos x = và 0 < x < . Tính giá tri của sin x. √ 2 2 √ √ √ 1 − 7 1 + 7 1 − 7 1 + 7 A. sin x = . B. sin x = . C. sin x = . D. sin x = . 4 4 6 6
Câu 16. Cho x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x + 2(sin x + cos x) = 2. Khi đó, giá trị của P = 3 + sin 2x0 là √2 A. P = 3 + . B. P = 2. C. P = 0. D. P = 3. 2 √
Câu 17. Giải phương trình sin 3x + cos 3x = 2. π 2π π π A. x = + k , k ∈ Z. B. x = + k , k ∈ Z. 9 3 6 3 π π 2π C. x = + kπ, k ∈ Z. D. x = + k , k ∈ Z. 3 12 3 Trang 21
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ π
Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x + = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π. 3 A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 19. Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (−π; π)? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. 1
Câu 20. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình cos 4x + = 0 là 2 5π π π 7π A. . B. . C. . D. . 6 6 2 6
Câu 21. Cho phương trình cos 2x +cos x = 2. Khi đặt t = cos x, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? A. 2t2 + t − 3 = 0. B. 2t2 − t − 1 = 0. C. 2t2 − t − 3 = 0. D. 2t2 + t − 1 = 0. sin 3x
Câu 22. Số nghiệm phương trình
= 0 thuộc đoạn [2π; 4π] là cos x + 1 A. 6. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm. A. 1 ≤ m ≤ 2. B. m ≤ 2. C. 1 < m < 2. D. m ≥ 1. √
Câu 24. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = 2 vô nghiệm là ñm ≥ 0 A. m > 0. B. −2 < m < 0. C. . D. m < −2. m ≤ −2
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình m sin 2x − 3 cos 2x = 2m + 1 có nghiệm? A. 4. B. 2. C. 1. D. 10.
Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương 1 trình cos 2x = − . 2 n π π π o n π π π o n π π π o A. ; ; , ; ; . B. ; ; . 3 3 3 2 4 4 3 3 3 ß ™ ß ™ n π π π o 2π π π 2π π π C. ; ; , ; ; . D. ; ; . 3 3 3 3 6 6 3 6 6 π √ π √ π Câu 27. Cho 0 < α < thỏa mãn sin α + 2 sin − α = 2. Tính tan α + . √ 2 √ 2 √ 4 √ 9 + 4 2 −9 + 4 2 9 − 4 2 9 + 4 2 A. − . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 28. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [0; 200π] của phương trình cos 2x − 3 cos x − 4 = 0. A. T = 10000π. B. T = 5100π. C. T = 5151π. D. T = 10100π. √ π
Câu 29. Số nghiệm của phương trình cos2 x − sin 2x = 2 + cos2
+ x trên khoảng (0; 3π) bằng 2 A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 30. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x −1)(2 cos2 x −(2m +1) cos x +m) =
0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. —HẾT— Trang 22
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
{ DẠNG 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối
với một hàm số lượng giác Phương pháp giải.
# Ví dụ 1. Giải các phương trình sau x
4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x a) cos 2x + 2 cos x = 2 sin2 b) √ = 0. 2 Ç å 3 cos x sin x − 2 c) 2 tan2 x + cos 4x = 1
d) 2 sin3 x + 4 cos3 x = 3 sin x. Đáp số: π π 4π π a) x = + k2π; x = − + k2π. b) x = + k2π; x = − + k2π. 3 3 3 3 π kπ π c) x = + ; x = kπ. d) + kπ. 4 2 4
# Ví dụ 2. Cho phương trình cos5x cosx = cos4x cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc (−π; π) Đáp số: π π 5π • Nghiệm x = ± + kπ.
• Do x ∈ (−π; π) nên x = ± ; x = ± . 6 6 6 Å 9π ã Å 15π ã
# Ví dụ 3. Phương trình sin 2x + − 3 cos x −
= 1 + 2 sin x có tất cả bao nhiêu 2 2 ï π 5π ò nghiệm thuộc đoạn ; ? 6 6 Đáp số: π 5π ï π 5π ò π 5π • x = kπ; x = + k2π; x = + k2π. • Do x ∈ ; nên x = ; x = . 6 6 6 6 6 6
# Ví dụ 4. (A-2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình Å cos 3x + sin 3x ã 5 sin x + = cos 2x + 3. 1 + 2 sin 2x Đáp số: π 5π
• Biến đổi phương trình về 5 cos x = • Nghiệm x = ; x = . 3 3 2 cos 2x + 3. Trang 23
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
{ DẠNG 2. Biến đổi asinx + bcosx Phương pháp giải.
# Ví dụ 5. Giải các phương trình sau √ π √ a) cos x − 3 sin x = 2 cos 2x − . b)
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. 6 (1 − 2 sin x) cos x √ √ c) = 3 d) sin x + cos x. sin 2x + 3 cos 3x = (1 + 2 sin x)(1 − sin x) 2 cos 4x + sin3x. Đáp số: π π k2π π π π π a) x = + k2π; x = − + . b) x = + k ; x = − + k . 2 18 3 18 3 6 2 π 2π π π 2π c) x = − + k . d) x = − + k2π; x = + k . 18 3 6 42 7
# Ví dụ 6. (DB1-2008) Tìm nghiệm trên khoảng (0;π) của phương trình x √ Å 3π ã 4sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2cos2 x − 2 4 Đáp số: 5π 2π 7π • Nghiệm x = + k ; x = − + k2π 18 3 6 5π 17π 5π • Do x ∈ (0; π) nên x = ; x = ; x = . 18 18 6
{ DẠNG 3. Biến đổi đưa về phương trình tích Phương pháp giải.
# Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 3
a) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
b) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = . 2
c) sin x + sin 2x + 4 sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0
d) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x Đáp số: ß π π π 2π 5π 2π ™ π kπ π a) + k , + k , + k , k ∈ Z b) + ; ± + kπ (k ∈ Z) 8 4 18 3 18 3 8 4 3 kπ π π c) x = d) x = k , x = k 3 9 2
# Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a) (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2x
b) 2 cos x − sin 2x = 1 + cos 2x
c) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x
d) (2 sin x − 1) (2 sin 2x + 1) = 3 − 4 cos2 x. Đáp số: Trang 24
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π 5π π a) x = π +k2π; x = + k2π; x = + k2π. b) x = + kπ; x = k2π. 6 6 2 π π π π c) x = ± + k2π; x = − + kπ. d) x = kπ, x = ± + k2π, x = + k2π, x = 3 4 3 6 5π +k2π. 6
# Ví dụ 9. Giải các phương trình sau 1 1 Å 7π ã 1 1 a) + = 4 sin − x . b) sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x sin x Å 3π ã 4 2 sin x sin 2x sin x − 2
c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
d) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 Đáp số: π π 5π π π a) x = − + kπ; x = − + kπ; x = + b) x = + k . 4 8 8 4 2 kπ. π π π 5π c) x = + k . d) x = + k2π; x = + k2π 4 2 6 6
{ DẠNG 4. Một số bài toán biện luận theo tham số Phương pháp giải.
# Ví dụ 10. Cho phương trình cos2x + 5cosx + 5 − m = 0. Xác định tất cả các giá trị của m để h π i
phương trình có nghiệm x ∈ ; π . 2 Đáp số:
• Biến đổi cos 2x = 2 cos2 x − 1. • Kết quả m > 1. √ √
# Ví dụ 11. Biết rằng phương trình 2 sin x +
2 cos x + m2 − m = 0 (với m là tham số) có
nghiệm khi m ∈ [a; b]. Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2. Đáp số:
• Sử dụng điều kiện có nghiệm.
• Kết quả m ∈ [−1; 2]. Vậy P = 5.
# Ví dụ 12. Cho phương trình (sinx + 1)(sin2x − msinx) = mcos2 x. Tìm tập tất cả các giá trị π
thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0; . 6 Đáp số: • Phân tích nhân tử; √3 • Kết quả 0 < m < . 2 Trang 25
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
# Ví dụ 13. Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình msin2 x − 3sinx cosx − m − Å 3π ã
1 = 0 có đúng ba nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 Đáp số: • Chia hai vế cho cos2 x.
• Kết quả m ∈ (−∞; −1).
# Ví dụ 14. Số các giá trị nguyên của m để phương trình (cosx + 1)(4cos2x − mcosx) = ï 2π ò
m sin2 x có đúng 2 nghiệm x ∈ 0; là 3 Đáp số: • Phân tích nhân tử.
• Kết quả: m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2}
# Ví dụ 15. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số y
nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] của phương trình f (cos x) = 1. 4 Đáp số: 2
• Giao của đồ thị với đường nằm ngang. • Kết quả 5 nghiệm. O x −1 1
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
c Bài 1. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 π 3π 5π 7π Đáp số: x = ; x = ; x = ; x = 2 2 2 2 x
c Bài 2. Giải phương trình tan x + cos x − cos2x = sin x 1 + tan x. tan . 2 Đáp số: x = k2π 2 − sin22x sin 3x
c Bài 3. Giải phương trình tan4x + 1 = cos4x π 2π 5π 2π Đáp số: x = + k ; x = + k 18 3 18 3 sin4x + cos4x 1 1
c Bài 4. Giải phương trình = cot 2x − . 5 sin 2x 2 8 sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ. 6 x π x
c Bài 5. Giải phương trình sin2 − tan2x − cos2 = 0. 2 4 2 π
Đáp số: x = π + k2π; x = − + kπ. 4
c Bài 6. Giải phương trình cos 2x + cos x 2tan2x − 1 = 2 π
Đáp số: x = (2k + 1)π, x = ± + k2π 3
c Bài 7. Giải phương trình 3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0 π Đáp số: x = ± + kπ 3 Trang 26
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
c Bài 8. 3 cos 4x − 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0. π π Đáp số: x = + k , x = kπ. 4 2 √ Ä ä x π 2 − 3 cos x − 2sin2 −
c Bài 9. Giải phương trình 2 4 = 1. 2 cos x − 1 π Đáp số: x = + (2k + 1)π. 3 cos2x (cos x − 1)
c Bài 10. Giải phương trình = 2(1 + sin x). sin x + cos x π Đáp số: x = − + kπ, x = π + k2π. 2 2 cos 4x
c Bài 11. Giải phương trình cot x = tan x + sin2xπ Đáp số: x = ± + kπ. 3
c Bài 12. Giải phương trình cos23x. cos 2x − cos2x = 0. π Đáp số: x = k 2
c Bài 13. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. π 2π Đáp số: x = − + kπ; x = ± + k2π, 4 3√ 2 + 3 2
c Bài 14. Giải phương trình cos 3x. cos3 x − sin 3x. sin3 x = . 8 π π Đáp số: x = ± + k 16 2
c Bài 15. Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x. π Đáp số: x = − + kπ; x = kπ. 4 2
c Bài 16. cot x − tan x + 4 sin 2x = . sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ. 3 cos 2x 1
c Bài 17. Giải phương trình cot x − 1 = + sin2x − sin 2x. 1 + tan x 2 π Đáp số: x = + kπ. 4 √ √
c Bài 18. Giải phương trình 2cos2x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x). 2π Đáp số: x = + kπ. 3 sin 2x cos 2x
c Bài 19. Giải phương trình + = tan x − cot x. cos x sin x π Đáp số: x = ± + k2π. 3
c Bài 20. Xác định m để phương trình 2 sin4x + cos4x + cos 4x + 2 sin 2x − m = 0(*) có ít nhất h π i
một nghiệm thuộc đoạn 0; . 2 10 Đáp số: − ≤ m ≤ −2. 3 Trang 27
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG A ĐỀ SỐ 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = − tan x. n π o A. D = R \ + kπ, k ∈ Z .
B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}. 2 n π o
C. D = R \ {k2π, k ∈ Z}. D. D = R \ + k2π, k ∈ Z . 2
Câu 2. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A. R. B. (−∞; 0]. C. [0; +∞]. D. [−1; 1].
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A. [−2; 2]. B. [0; 2]. C. [−1; 1]. D. [0; 1].
Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.
Câu 5. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A. y = sin2 x. B. y = x cos 2x. C. y = x sin x. D. y = cos x. 2 cos 3x − 1
Câu 6. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1
A. D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}.
B. D = R \ {k2π; k ∈ Z}. π
C. D = R \ { + kπ; k ∈ Z}.
D. D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}. 2
Câu 7. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A. T = 2π. B. T = . C. T = π. D. T = 4π. 2
Câu 8. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 −π π O x 2π −1 A. y = 1 + sin x. B. y = 1 − sin x. C. y = sin x. D. y = cos x. √
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A. max y = 3 và min y = 1.
B. max y = 3 và min y = 2.
C. max y = 3 và min y = −2.
D. max y = 3 và min y = −1.
Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A. max y = 4, min y = −6.
B. max y = 6, min y = −8.
C. max y = 6, min y = −4.
D. max y = 8, min y = −6.
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là ß ™ n π π o 2π 2π A. S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z . B. S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z . 3 3 3 3 n π π o n π π o C. S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . D. S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . 3 3 6 6 Trang 28
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
Câu 12. Phương trình sin x − = 1 có nghiệm là 3 x 5π 5π π A. x = + kπ. B. x = + k2π. C. x = + kπ. D. x = + k2π. 3 6 6 3 √3
Câu 13. Nghiệm của phương trình tan x = − được biểu diễn trên y 3
đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? B
A. Điểm F, điểm D. D C
B. Điểm C, điểm F.
C. Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F. x
D. Điểm E, điểm F. A0 O A E F B0
Câu 14. Gọi S là tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3 cos x − 1 = 0. Tính S. A. S = 0. B. S = 4π. C. S = 3π. D. S = 2π. 1
Câu 15. Số nghiệm của phương trình cos x =
thuộc đoạn [−2π; 2π] là 2 A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. ï 3π ò
Câu 16. Số nghiệm thực của phương trình sin 2x + 1 = 0 trên đoạn − ; 10π là 2 A. 12. B. 11. C. 20. D. 21. √
Câu 17. Cho phương trình 2 sin x −
3 = 0. Tổng các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình đã cho là π 2π 4π A. π. B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 18. Phương trình sin x = cos x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−π; π]? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 19. Phương trình cos2 x + cos x − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0; 2π]. A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. √
Câu 20. Phương trình sin x −
3 cos x = 1 có tập nghiệm là n π π o n π π o A. − + k2π; + k2π , với k ∈ Z. B. − + k2π; − + k2π , với k ∈ Z. 6 2 6 2 ß 7π π ™ n π π o C. + k2π; + k2π , với k ∈ Z. D. − + kπ; − + kπ , với k ∈ Z. 6 2 6 2
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm. A. m ≤ 2. B. 1 < m < 2. C. m ≥ 1. D. 1 ≤ m ≤ 2. √
Câu 22. Điều kiện của tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = 2 vô nghiệm là ñm ≥ 0 A. . B. m < −2. C. −2 < m < 0. D. m > 0. m ≤ −2
Câu 23. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x −1)(2 cos2 x −(2m +1) cos x +m) =
0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 24. Giả sử A, B là các điểm lần lượt nằm trên y
các đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x sao cho tam √ A Ç å π 2 giác OAB nhận điểm G ; làm trọng tâm. O y = cos x π 3 3 x
Tính diện tích S của tam giác OAB, biết xA ∈ [0; 2π]. B y = sin x Trang 29
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ √ √ π 3 π 2 π 2 π 3 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 6 8 6 8
Câu 25. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x y
trên đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn A B 2π
ABCD là hình chữ nhật và CD = . Tính độ dài đoạn O π x 3 D C BC. √ √ 2 1 3 y = sin x A. . B. . C. 1. D. . 2 2 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN
c Bài 1. Giải phương trình a) 2 sin x − 1 = 0
b) 2 cos2 x − 3 sin x − 3 = 0 √ c) sin x + cos x = 2 cos 5x d) cos 3x + cos x + sin 2x = 0
c Bài 2. Giải phương trình
4 sin4 x + cos4 x − 2 sin2 x − 1
a) 4 sin x cos x − 3 = 3(sin x + cos x) b) = 0 1 − cos 4x —HẾT— Trang 30
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B ĐỀ SỐ 2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 2x. ï 1 1 ò A. T = − ; . B. T = [−2; 2]. C. T = R. D. T = [−1; 1]. 2 2
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2x. n π o n π o A. D = R\ + kπ, k ∈ Z . B. D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 4 n π kπ o C. D = R\kπ, k ∈ Z . D. D = R\ + , k ∈ Z . 4 2 π
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot x − . 3 n π o n π o A. D = R \ + k2π, k ∈ Z . B. D = R \ + kπ, k ∈ Z . 3 3 ß ™ n π o 5π
C. D = R \ − + k2π, k ∈ Z . D. D = R \ + kπ, k ∈ Z . 3 6
Câu 4. Chu kì tuần hoàn T của hàm số y = cos x là bao nhiêu? π A. T = 2π. B. T = π. C. T = 3π. D. T = . 2 sin x
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 − cos x n π o A. D = R. B. D = R \ + kπ, k ∈ Z . 2
C. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
D. D = R \ {k2π, k ∈ Z}.
Câu 6. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = sin x? y y x O x A. O B. y y O x O x C. D. 2 sin x − 1
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = . 3 1 2 A. m = − . B. m = − . C. m = −3. D. m = −1. 3 3
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 2 − | cos x|. A. M = 1. B. M = 3. C. M = 0. D. M = 2.
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x − cos x. √ A. M = 0. B. M = 1. C. M = 2. D. M = 2. π Câu 10. Hỏi x =
là nghiệm của phương trình nào sau đây? 4 1 A. sin x = 1. B. cos x = 1. C. sin x. cos x = . D. sin 2x = 0. 2 √3
Câu 11. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2x = − . 2 Trang 31
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ß π 2π ™ ß π 4π ™ A. S = − + kπ, + kπ, k ∈ Z . B. S = − + k2π, + k2π, k ∈ Z . 6 3 3 3 ß π 5π ™ ß π 5π ™ C. S = + k2π, + k2π, k ∈ Z . D. S = + k2π, + k2π, k ∈ Z . 6 6 12 12 π
Câu 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x. cos x − = 0. 4 ß 3π ™ A. S = {kπ, k ∈ Z}. B. S = + kπ, k ∈ Z . 4 ß ™ n π o 3π C. S = − + kπ, k ∈ Z . D. S = kπ; + kπ, k ∈ Z . 4 4 √
Câu 13. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2x = 2. A. S = R. ß 1 √ 1 √ ™ B. S = − arccos 2 + kπ; arccos 2 + kπ, k ∈ Z . 2 2 C. S = ∅. n π π o D. S = − + k2π; + k2π . 4 4
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của số thực a để phương trình cos x = a2 có nghiệm. A. a ∈ R. B. a ∈ R \ {0}. C. a ∈ [0; 1]. D. a ∈ [−1; 1].
Câu 15. Phương trình tan 2x = 1 có họ nghiệm là π kπ π A. x = + , k ∈ Z. B. x = + kπ, k ∈ Z. 8 2 4 π π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = + k2π, k ∈ Z. 4 4 √
Câu 16. Họ nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0 là π π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = − + kπ, k ∈ Z. 3 6 π π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = + kπ, k ∈ Z. 3 6
Câu 17. Phương trình tan (2x + 12◦) = 0 có họ nghiệm là
A. x = −6◦ + k180◦, k ∈ Z.
B. x = −6◦ + k360◦, k ∈ Z.
C. x = −12◦ + k90◦, k ∈ Z.
D. x = −6◦ + k90◦, k ∈ Z.
Câu 18. Cho phương trình a sin x + cos x = b. Tìm tất cả các giá trị thực của a, b để phương trình có nghiệm. A. b2 − a2 ≤ 1. B. b2 − a2 < 1. C. b2 + a2 ≤ 1. D. b2 + a2 ≥ 1. √
Câu 19. Tìm tập nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = −2. ß 5π ™ A. S = ∅. B. S = − + k2π k ∈ Z . 6 ß ™ n π o 5π C. S = + k2 π k ∈ Z . D. S = − + kπ k ∈ Z . 6 6
Câu 20. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình sin x + sin 2x = 0. A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 21. Giải phương trình 2 sin2 x + 5 sin x + 3 = 0. π π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = − + k3π, k ∈ Z. 2 2 π π kπ C. x = − + k2π, k ∈ Z. D. x = − + , k ∈ Z. 2 2 2
Câu 22. Giải phương trình cos 2x − 5 sin x − 3 = 0. π 7π π 7π A. x = − + kπ, x = + kπ, k ∈ Z. B. x = − + k3π, x = + k3π, k ∈ Z. 6 6 6 6 π 7π π 7π C. x = − + k4π, x = + k4π, k ∈ Z. D. x = − + k2π, x = + k2π, k ∈ Z. 6 6 6 6 Trang 32
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 23. Giải phương trình tan x + 2 cot x − 3 = 0. π π A. x = ± + k2π, k ∈ Z. B. x = ± + kπ, k ∈ Z. 4 4 π π C. x =
+ kπ, x = arctan 2 + kπ, k ∈ Z. D. x = ±
+ kπ, x = ± arctan 2 + kπ, k ∈ Z. 4 4
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m cos x + sin x = 1 − m có nghiệm. A. m ≤ 0. B. m < 0. C. m ≥ 0. D. m < 1.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình cos 2x − cos x + m = 0 có nghiệm? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. BÀI TẬP TỰ LUẬN
c Bài 1. Giải các phương trình sau: π a) 2 cos x − = 0; b) sin 3x − cos 3x = −1; 4 √ π c) 3 tan − x = 1;
d) sin x + cos x − sin x cos x = 1. 3
c Bài 2. Tính tổng các nghiệm x ∈ 0; 100 của phương trình
cos3 x − cos2 x + 1 = cos2x+tan2x. cos2 x —HẾT— Trang 33
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 1. A 2. B 3. D 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. B 10. C 11. D 12. B 13. C 14. A 15. D 16. A 17. B 18. A 19. A 20. B 21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. A 27. C 28. C 29. A 30. D
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2 1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. B 17. C 18. C 19. D 20. D 21. A 22. A 23. D 24. C 25. A 26. B 27. A 28. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A 12. D 13. D 14. D 15. B 16. D 17. D 18. D 19. C 20. C 21. A 22. A 23. A 24. B 25. C 26. C 27. A 28. A 29. C 30. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1 1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A 11. C 12. B 13. A 14. D 15. A 16. A 17. A 18. D 19. C 20. C 21. D 22. C 23. B 24. B 25. B
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 2 1. D 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. D 8. D 9. D 10. C 11. A 12. D 13. C 14. D 15. A 16. B 17. D 18. A 19. B 20. A 21. C 22. D 23. C 24. C 25. A Trang 34
Document Outline
- HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- blackDạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
- blackDạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
- blackDạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- blackDạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
- blackDạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng
- blackDạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định
- blackDạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b) cho trước
- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- blackDạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- blackDạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- blackDạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- blackDạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
- blackDạng 5. Phương trình chứa sinx cosx và sinx cosx
- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
- PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- blackDạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác
- blackDạng 2. Biến đổi asinx + bcosx
- blackDạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích
- blackDạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
- ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
- Đề số 1
- Đề số 2
- ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
- HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC