Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Tài liệu gồm 77 trang, hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số 9 chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Mời bạn đọc đón xem.

104 52 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

77 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
1 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
1
2
a x b y c
I
a x b y c


a. Phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).
Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình
bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.
Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị
của ẩn còn lại.
b. Phương pháp cộng đại số:
Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y).
Bước 2:
- Xem xét hệ số của ẩn muốn khử.
- Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
- Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ.
- Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu
cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng
nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên.
- Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.
Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã cho.
Ta suy ra nghiệm của hệ
* Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình đã cho
thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.
Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
* Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:
Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn
Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự
1 1 1
2 2 2
1
2
a x b y c
a x b y c


Ta nhập số liệu tương ứng:
Hàng thứ nhất:
1 1 1
;; a b c
và hàng thứ hai:
2 2 2
;; a b c
Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.
Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 2
B.CÁC DẠNG TOÁN
I. PHƯƠNG PHÁP THẾ
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước
Bước 1. Từ một phương trình đã cho (coi như
phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để
được phương trình mới (chỉ có một ẩn).
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế
cho phương trình thứ hai trong hệ (phương
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi
hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở
bước 1).
Ví dụ: Giải hệ phương trình
bằng
phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
Ta có
32
32
3 3 2 4
34
yx
yx
I
xx
xy




3 2 3 2
9 5 4 5 5
y x y x
xx

3 2 1
11
y x y
xx


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
; 1;1xy
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
23
2 3 4
xy
xy
bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
Ta có
23
2 3 2 3
2 2 3 3 4
2 3 4 2 3 4
xy
x y x y
yy
x y x y


2 3 2 3 1
6 4 2 2
x y x y x
y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
; 1;2xy
.
Lưu ý: Trong phương pháp thế khi lựa chọn rút
x
theo y hay rút
y
theo
x
thì nên cố gắng chọn
các phương trình cho liên hệ của
,yx
có hệ số nguyên.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
3 2 4
4 3 5
xy
xy


bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
3 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Ta có
3
2
3
3 2 4 2 3 4
2
2
2
3
4 3 5 4 3 5
4 3 2 5
4 3 5
2
yx
x y y x
yx
x y x y
xx
xy









3 3 3
3
2 2 2
1
2
2 2 2
2
9 1 1 2
2
4 6 5 6 5 1
222
y x y x y x
y
yx
x
x
x x x x

Vậy hệ phương trình
3 2 4
4 3 5
xy
xy


có nghiệm duy nhất là
; 2;1xy
.
Lưu ý: Nếu không thể lựa chọn phương trình nào để liên hệ của
,yx
có hệ số nguyên thì chúng ta
sẽ lựa chọn phương trình để liên hệ của
,yx
dễ biến đổi nhất.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giải hệ phương trình
35
4 2 8
xy
xy


bằng phương pháp thế.
Câu 2: Giải hệ phương trình
2 3 4
3 4 11
xy
xy

bằng phương pháp thế.
ĐÁP ÁN
Câu 1:
53
3 5 5 3 5 3
4 2 5 3 8
4 2 8 4 2 8 4 10 6 8
yx
x y y x y x
xx
x y x y x x

5 3 5 3 5 3 2
10 2 8 2 2 1 1
y x y x y x y
x x x x
Vậy hệ phương trình
35
4 2 8
xy
xy


nhận
; 1;2xy
là nghiệm duy nhất.
Câu 2:
3
2
3
2 3 4 2 3 4
2
2
2
3
3 4 11 3 4 11
3 2 4 11
3 4 11
2
xy
x y x y
xy
x y x y
yy
xy









33
3
22
1
2
22
2
9 17 2
2
6 4 11 17
22
x y x y
x
xy
y
y
y y y




Vậy hệ phương trình
2 3 4
3 4 11
xy
xy

nhận
; 1;2xy
là nghiệm duy nhất.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 4
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ
phương trình về phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương
pháp thế.
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 1 2 1 4
4 2 3 1 5
xy
xy
bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
3 1 2 1 4
4 2 3 1 5
xy
xy
3 3 2 2 4 3 2 1
4 8 3 3 0 4 3 10
x y x y
x y x y

31
31
22
22
31
4 3 10
4 3 10
22
yx
yx
xx
xy










31
22
93
4 10
22
yx
xx

31
31
2
22
22
17 17 1
1
22
yx
y
yx
x
x
x





Vậy hệ phương trình
3 1 2 1 4
4 2 3 1 5
xy
xy
có
nghiệm duy nhất
; 1;2xy
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2 1 3
2 1 2 3 1
x y y x
x y y x
bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
2 1 3
2 1 2 3 1
x y y x
x y y x
.
2 3 2 3 2 3
2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1
xy x yx y x y y x
xy x xy y x y x y
23
2 3 2 3
2 3 2 3 1
2 6 9 1 4 8
yx
y x y x
xx
x x x

CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
5 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
2 3 1
22
y x y
xx


Vậy hệ phương trình
2 1 3
2 1 2 3 1
x y y x
x y y x
có nghiệm duy nhất
; 2;1xy
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
2 1 2 1 4
3 1 3 2 5
x y y x
x y y x
bằng phương pháp thế.
Hướng dẫn giải
2 1 2 1 4
2 2 4
3 3 2 5
3 1 3 2 5
x y y x
xy x xy y
xy x xy y
x y y x
4
25
xy
xy

4
25
yx
xy

4
2 4 5
yx
xx
4
3
yx
x
4
3
yx
x
1
3
y
x
Vậy hệ phương trình
2 1 2 1 4
3 1 3 2 5
x y y x
x y y x
có nghiệm duy nhất
; 3;1xy
.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Giải hệ phương trình
2 1 3 2 9
3 1 6
xy
xy
bằng phương pháp thế.
Câu 2: Giải hệ phương trình
2 1 2 2 7
2 2 2 1 8
x y y x
x y y x
bằng phương pháp thế.
Câu 3: Giải hệ phương trình
2 3 1 7
3 1 2 6
x y y
xy
bằng phương pháp thế.
Câu 4: Giải hệ phương trình
3 2 3 1 5
3 2 3 2 4
y x x y
x y y x
bằng phương pháp thế.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 6
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Ta có
2 1 3 2 9
2 3 3 9 13
2 3 13 7 14 2
3 9 3 9 3
3 1 6
39
xy
xx
x y x x
x y y x y
xy
yx

Vậy hệ phương trình
2 1 3 2 9
3 1 6
xy
xy
có nghiệm duy nhất
; 2;3xy
.
Câu 2:
Ta có
2 1 2 2 7
72
2 2 2 7 7 2 3
2 7 2 8
2 2 2 8 2 8 2
2 2 2 1 8
x y y x
xy
xy x xy y x y x
yy
x xy xy y x y y
x y y x


Vậy hệ phương trình
2 1 2 2 7
2 2 2 1 8
x y y x
x y y x
có nghiệm duy nhất
; 3;2xy
.
Câu 3:
Ta có
2 3 1 7
2 2 3 3 7 2 4 2 4
3 3 2 6 3 2 3 3 2 3
3 1 2 6
x y y
x y y x y y x
x y x y x y
xy
24
3 2 2 4 3
yx
xx

24
3 4 8 3
yx
xx

24
7 8 3
yx
x


24
75
yx
x


24
5
7
yx
x


18
7
5
7
y
x
Vậy hệ phương trình
2 3 1 7
3 1 2 6
x y y
xy
có nghiệm duy nhất
5 18
;;
77
xy



.
Câu 4:
Ta có
3 2 3 1 5
3 6 3 5
6 3 3 2 4
3 2 3 2 4
y x x y
yx y xy x
x xy xy y
x y y x
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
7 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
65
6 2 4
xy
xy

65
6 6 5 2 4
xy
yy
65
36 30 2 4
xy
yy
1
1
x
y

Vậy hệ phương trình
3 2 3 1 5
3 2 3 2 4
y x x y
x y y x
có nghiệm duy nhất
; 1; 1xy 
.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Đặt điều kiện.
Bước 2. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ
phương trình để đưa hệ phương trình về dạng
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều
kiện của ẩn phụ.
Bước 3. Sử dụng phương pháp thế giải hệ
phương trình theo ẩn phụ.
Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được
thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định
nghiệm của hệ phương trình.
Bước 5. Kết luận.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
12
2
34
1
xy
xy


Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0x
;
0y
Đặt
1
a
x
;
1
b
y
,0ab
. Hệ phương trình đã
cho trở thành
22
341
ab
ab


2 2 2 2
3 4 1 3 4 1
a b a b
a b a b
22
3 2 2 4 1
ab
bb

| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 8
22
10 6 1
ab
b

22
10 5
ab
b

22
1
2
ab
b

1
1
2
a
b
Với
1a
suy ra
1
11x
x
(thỏa mãn);
1
2
b
suy ra
11
2
2
y
y
(thỏa mãn).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
; 1;2xy
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
34
1
12
1 2 4
1 2 3
xy
xy



Hướng dẫn giải
Điều kiện:
1x
;
2y 
Đặt
1
1
a
x
;
1
2
b
y
,0ab
.
Hệ phương trình đã cho trở thành
3 4 1
4
2
3
ab
ab

Ta có
4
3 2 4 1
3 4 1 3 4 1
3
44
22
4
2
33
3
bb
a b a b
a b a b
ab










10 4 1
4
2
3
b
ab

CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
9 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
1
2
4
2
3
b
ab

1
2
1
3
b
a
Với
1
3
a
suy ra
11
1 3 4
13
xx
x
(thỏa mãn điều kiện);
1
2
b
suy ra
11
2 2 0
22
yy
y
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
; 4;0xy
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
2 2 3 1 4
3 2 2 1 7
xy
xy
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
2x
;
1y 
Đặt
2xa
;
1yb
0; 0ab
.
Hệ phương trình đã cho trở thành
2 3 4
3 2b 7
ab
a

Giải hệ phương trình
37
2 3 4
2 3 4
2 3 4
22
37
3 2b 7
37
22
22
aa
ab
ab
a
ba
ba











13 21 13 13
4
1
2 2 2 2
3 7 3 7 2
2 2 2 2
aa
a
b
b a b a





(thỏa mãn điều kiện)
Với
1a
suy ra
2 1 2 1 3x x x
(thỏa mãn điều kiện);
2b
suy ra
1 2 1 4 3y y y
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình
2 2 3 1 4
3 2 2 1 7
xy
xy
có nghiệm duy nhất
; 3;3xy
.
Bài tập tự luyện dạng 3
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 10
Câu 1: Giải hệ phương trình
22
22
4 3 5
24
xy
xy


Câu 2: Giải hệ phương trình
63
3
2
17
2
2
x y x y
x y x y




Câu 3: Giải hệ phương trình
7 2 2 1 1
3 2 1 6
xy
xy
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Đặt
2
ax
0a
;
2
by
0b
ta có hệ phương trình sau
4 3 5
24
ab
ab


Giải hệ phương trình
4 3 5
24
ab
ab


Ta có
4 4 2 3 5
4 3 5 4 3 5 16 8 3 5
2 4 4 2 4 2
42
bb
a b a b b b
a b a b a b
ab

16 11 5 11 11 1 1
4 2 4 2 4 2 2
b b b b
a b a b a b a
(thỏa mãn điều kiện)
Với
2a
suy ra
2
22xx
.
1b
suy ra
.
Vậy hệ phương trình
22
22
4 3 5
24
xy
xy


có các nghiệm là
; 2;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 2; 1xy
.
Câu 2:
Điều kiện:
xy
;
2xy
Đặt
1
a
xy
;
1
2
b
xy
;0ab
ta có hệ phương trình sau
6 3 3
72
ab
ab


Giải hệ phương trình
6 3 3
72
ab
ab


Ta có
1
6 2 7 3 3
6 3 3 6 3 3 12 42 3 3 45 9
5
7 2 2 7 2 7 2 7 3
27
5
b
bb
a b a b b b b
a b a b a b a b
ab
a


CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
11 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Với
3
5
a
suy ra
1 3 5
53
xy
xy
1
5
b
suy ra
11
25
25
xy
xy
Vậy suy ra
;xy
là nghiệm của hệ phương trình
5
3
25
xy
xy


Ta có
55
55
33
33
55
2 5 2 5
2 5 3 5
33
x y x y
x y x y
x y x y
y y y






5 5 25
3 3 9
10 10 10
3
3 9 9
x y x y x
y y y







(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình
63
3
2
17
2
2
x y x y
x y x y




có nghiệm duy nhất
25 10
;;
99
xy



.
Câu 3:
Đặt
2ax
0a
;
1by
0b
ta có hệ phương trình sau
7 2 1
36
ab
ab


Ta có
7 2 3 6 1
7 2 1 7 2 1 13 12 1
3 6 3 6 3 6
36
aa
a b a b a
a b b a b a
ba
13 13 1 1
3 6 3 6 3
a a a
b a b a b

(thỏa mãn điều kiện)
Với
1a
suy ra
2 1 1
21
2 1 3
xx
x
xx



.
3b
suy ra
1 3 2
13
1 3 4
yy
y
yy



.
Vậy hệ phương trình
7 2 2 1 1
3 2 1 6
xy
xy
có các nghiệm là
; 1;2 ; 1; 4 ; 3;2 ; 3; 4xy
.
Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 12
Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận
00
;xy
là nghiệm.
Hệ phương trình
ax by c
a x b y c


có nghiệm
00
;xy
khi và chỉ khi
00
00
ax by c
a x b y c


.
- Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ
phương trình thỏa mãn một số điều kiện khác.
Bước 1. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập
phương trình có ẩn là tham số.
Bước 2. Giải phương trình tham số.
Bước 3. Kết luận
Ví dụ: Cho hệ phương trình
13
22
m x ny
mx y

.
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm
; 1;2xy
.
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
13
22
m x ny
mx y

nhận cặp số
; 1;2xy
là nghiệm của hệ phương trình
nên
1 .1 .2 3
2 .1 2 2
mn
m

22
2 2 2
mn
m


22
0
mn
m

1
0
n
m
Vậy với
1
0
n
m
hệ phương trình
13
22
m x ny
mx y

nhận
; 1;2xy
là nghiệm
của hệ phương trình.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình
23
22
xy
x y m

. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
00
;xy
với
00
yx
.
Hướng dẫn giải
Ta có
32
2 3 3 2
2 3 2 2
2 2 2 2
xy
x y x y
y y m
x y m x y m


32
6 3 2
xy
ym

CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
13 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
32
8
3
xy
m
y

Vậy hệ phương trình
23
22
xy
x y m

nhận
2 7 8
;;
33
mm
xy




là nghiệm.
Mặt khác theo đề bài hệ phương trình
23
22
xy
x y m

có nghiệm duy nhất
00
;xy
với
00
yx
nên
2 7 8
2 7 8 3 15 5
33
mm
m m m m

Vậy với
5m
hệ phương trình
23
22
xy
x y m

có nghiệm duy nhất
00
;xy
với
00
yx
.
Lưu ý: Với hệ phương trình bậc nhất chứa tham số ta vẫn giải như hệ phương trình bậc nhất khi có
đầy đủ các hệ số nhưng lưu ý khi chia hai vế cho đại lượng nào đó thì đại lượng đó khác 0.
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
2 3 2 6
2
x y m
x y m
(
m
là tham số,
0m
). Tìm điều kiện của m để
hệ phương trình có nghiệm duy nhất
00
;xy
sao cho
00
xy
nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 3 2 6 2 3 2 6
22
x y m x y m
x y m y x m



2 3 2 2 6
2
x x m m
y x m
2 3 3 6 2 6
2
x x m m
y x m
5 5 12
2
xm
y x m

12
5
2
xm
y x m

| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 14
12
5
2
5
xm
y

Suy ra hệ phương trình
2 3 2 6
2
x y m
x y m
luôn có nghiệm duy nhất
00
12 2
;;
55
x y m




với mọi
0m
Khi đó
00
12 2 14
5 5 5
x y m m
Vì
0m
nên
00
14 14 14
0
5 5 5
x y m
Dấu "=" xảy ra khi
0m
Vậy với
0m
hệ phương trình
2 3 2 6
2
x y m
x y m
có nghiệm duy nhất
00
;xy
thỏa mãn
00
xy
nhỏ nhất.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Xác định
m
để hệ phương trình
2 1 7 2 6
1 2 12
m x n y
m x n y
có nghiệm
; 1;2xy
.
Câu 2: Xác định
m
để hệ phương trình
3
2 2 5
xy
x y a

có nghiệm
;xy
sao cho
2xy
.
Câu 3: Tìm
m
để hệ phương trình
2
3 5 2
x y a
x y a

có nghiệm duy nhất
;xy
, sao cho
;xy
là các số
nguyên.
Câu 4: Cho hệ phương trình
11
3 1 2
x my m
mx y m
. Tìm số nguyên
m
sao cho hệ phương trình có
nghiệm duy nhất
;xy
mà
,xy
đều là số nguyên.
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Hệ phương trình
2 1 7 2 6
1 2 12
m x n y
m x n y
có nghiệm
; 1;2xy
suy ra
2 1 .1 7 2 .2 6
2 2 14 28 6 2 14 24
1 2 4 12 2 15
1 .1 2 .2 12
mn
m n m
m n m n
mn

7 12
2 15
mn
mn

CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
15 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
7 12
2 15
mn
mn


7 12
7 12 2 15
mn
nn

7 12
9 27
mn
n

7 12
3
mn
n

9
3
m
n
Vậy với
9; 3mn
hệ phương trình
2 1 7 2 6
1 2 12
m x n y
m x n y
có nghiệm duy nhất
; 1;2xy
.
Câu 2:
Ta có
3
33
2 3 2 5
2 2 5 2 2 5
yx
x y y x
x x a
x y a x y a


12
3
33
3
28
3 3 2 5 3 2 8 2 8
3
3
a
yx
y
y x y x
a
x a x a a
x
x



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2 8 1 2
;;
33
aa
xy




Theo giả thiết hệ phương trình
3
2 2 5
xy
x y a

có nghiệm
;xy
sao cho
2xy
nên
2 8 1 2
2. 2 8 2 4 6 6 1
33
aa
a a a a

Vậy với
1a 
hệ phương trình
3
2 2 5
xy
x y a

có nghiệm
;xy
sao cho
2xy
.
Câu 3:
Ta có
2
22
3 5 2 2
3 5 2 3 5 2
y x a
x y a y x a
x x a a
x y a x y a

2
2 5 10 2
y x a
x a a
2
2 3 10
y x a
xa
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 16
2
3 10
2
y x a
a
x
2
3
5
2
y x a
a
x

Vậy hệ phương trình
2
3 5 2
x y a
x y a

nhận
3
; 5; x a 2
2
a
xy



là nghiệm.
Để hệ phương trình có nghiệm nguyên thì
3
5
2
2
a
xa

Vì
5
do đó để
3
5
2
a

thì
3
2
2
a
ak
k
Với
x
;
a
suy ra
2y x a
Vậy để hệ phương trình
2
3 5 2
x y a
x y a

có nghiệm là các số nguyên thì
2ak
k
.
Câu 4:
Từ phương trình (2) ta có
31y m mx
Thế vào phương trình (1) ta được
22
3 1 1 1 3 2 1x m m mx m m x m m
(3)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là
2
1 0 1mm
Khi đó hệ phương trình tương đương với
2
2
1 3 1
3 2 1
3 1 2
3
1 1 . 1
11
12
31
1
31.
11
1
mm
mm
m
x
x
m m m
mm
m
m
y
y m m
mm
m






Để
,xy
thì
2
1m
. Do đó
1 2; 1;1;2 3; 2;0;1mm
Kết hợp điều kiện
1m 
chỉ có
3; 2;0m
thỏa mãn.
Vậy
3; 2;0m
là các giá trị cần tìm.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
17 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
II. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước
Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế hai
phương trình của hệ phương trình đã cho
để được phương trình mới.
Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế
cho một trong hai phương trình của hệ
(vẫn giữ nguyên phương trình kia). Giải
hệ phương trình mới tìm được.
Chú ý:
Trường hợp 1: Nếu các hệ số cùng
một ẩn nào đó trong hai phương trình
bằng nhau thì ta trừ hai phương trình đó,
đối nhau thì ta cộng hai phương trình đó.
Trường hợp 2: Nếu các hệ số cùng
một ẩn trong hai phương trình không
bằng nhau và không đối nhau ta phải thực
hỉện biến đổi cùng nhân hai vế các
phương trình với một số nào đó để đưa về
trường hợp 1.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2x 3y 7
x 2y 4


Hướng dẫn giải
Ta lấy phương trình thứ hai nhân với 2 sau đó trừ
hai phương trình cho nhau.
2x 3y 7 2x 3y 7 2x 3y 7
x 2y 4 2x 4y 8 y 1

2x 4 x 2
y 1 y 1






Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x;y 2;1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
x 2y 7
3x 2y 13


bằng phương pháp cộng đại số.
Hướng dẫn giải
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình
x 2y 7 x 2y 7 2y 7 3 2y 4 x 3
2x 6 x 3 x 3 x 3 y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x;y 3;2
Ví dụ 2. Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau
4x 3y 5
x y 3


Hướng dẫn giải
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 18
Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với 3 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được hệ
phương trình
4x 3y 5 4x 3y 5 4.2 3y 5 3y 3 y 1
7x 14 x 2 x 2 x 2 x 2
Vậy hệ phương trình
4x 3y 5
x y 3


có nghiệm duy nhất
x;y 2;1
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giải hệ phương trình
7x 2y 3
5x 3y 11


bằng phương pháp cộng đại số.
Câu 2: Giải hệ phương trình
4x 5y 23
2x 3y 13


bằng phương pháp cộng đại số.
Câu 3: Giải hệ phương trình
x 4y 8
2x 5y 13


bằng phương pháp cộng đại số.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp
cộng đại số.
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ
phương trình về hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình bằng
phương pháp cộng đại số.
Bước 3. Kết luận.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 x 2 3 y 1 4
3 x 2 2 y 1 8
Hướng dẫn giải
Ta có
2 x 2 3 y 1 4
3 x 2 2 y 1 8
2x 4 3y 3 4 2x 3y 5
3x 6 2y 2 8 3x 2y 12




Nhân hai vế của phương trình một với 2 và hai vế
phương trình hai với 3 sau đó ta cộng hai vế
phương trình với nhau.
2x 3y 5 4x 6y 10
3x 2y 12 9x 6y 36



2x 3y 5 2x 3y 5
13x 26 13x 26





2x 3y 5 2.2 3y 5
x 2 x 2





CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
19 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
3y 9
x2
y3
x2
Vậy hệ phương trình
2 x 2 3 y 1 4
3 x 2 2 y 1 8
có
nghiệm duy nhất
x;y 2;3
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2x y 2 y 2x 1 5
x y 1 y 2 x 8
Hướng dẫn giải
Ta có
2x y 2 y 2x 1 5
2xy 4x 2xy y 5 4x y 4
xy x 2y xy 8 x 2y 8
x y 1 y 2 x 8



Giải hệ phương trình
4x y 5
x 2y 8


.
Nhân hai vế phương trình một với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương
trình
9x 18 x 2 x 2 x 2
x 2y 8 x 2y 8 2y 6 y 3
.
Vậy hệ phương trình
2x y 2 y 2x 1 5
x y 1 y 2 x 8
có nghiệm duy nhất
x;y 2;3
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3x y 1 y 2 3x 1
2x y 2 2y x 2 4
Hướng dẫn giải
Ta có
3x y 1 y 2 3x 1
3xy 3x 2y 3xy 1
2xy 4x 2yx 4y 4
2x y 2 2y x 2 4

3x 2y 1 3x 2y 1
4x 4y 4 x y 1




Giải hệ phương trình
3x 2y 1
x y 1

| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 20
Nhân hai vế phương trình hai với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được ta được hệ
phương trình
x 3 x 3
x y 1 y 4




.
Vậy hệ phương trình
3x y 1 y 2 3x 1
2x y 2 2y x 2 4
có nghiệm duy nhất:
x;y 3; 4
.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Giải hệ phương trình
4 x y 3 y 1 7
2 x 1 y 6
Câu 2: Giải hệ phương trình
2x 1 2y 4y x 1 8
3x y 1 y 3 3x 15
Câu 3: Giải hệ phương trình
2y x 2 x 4 2y 4
5x y 3 y 5x 4 7
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức cùa
hệ phương trình để đưa hệ phương trình
về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2. Đặt điều kiện của ẩn phụ.
Bước 3. Sử dụng phương pháp cộng đại
số giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm
được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để
xác định nghiệm của hệ phương trình.
Bước 5. Kết luận.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
13
2
x 1 y 2
1 2 3
x 1 y 2 2




Hướng dẫn giải
Điều kiện
x 1 0 x 1
y 2 0 y 2



Đặt
11
a; b
x 1 y 2


ta có hệ phương trình sau
a 3b 2
3
a 2b
2


.
Điều kiện
a,b 0
Giải hệ phương trình
a 3b 2
3
a 2b
2


Trừ phương trình một cho phương trình hai ta
được hệ
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
21 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
1
a 3 2
a 3b 2 a 3b 2
2
31
a 2b b
1
b
22
2







1
a
2
1
b
2
(thỏa mãn điều kiện).
Với
1
a
2
thì
11
x 1 2 x 3
x 1 2
(TMĐK)
Với
1
b
2
thì
11
y 2 2 y 0
y 2 2
(TMĐK)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x;y 3;0
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
3 x 1 2 y 2 4
2 x 1 3 y 2 7
Hướng dẫn giải
Đặt
a x 1 a 0 ; b y 2 b 0
Hệ phương trình đã cho trở thành
3a 2b 4
2a 3b 7


Giải hệ phương trình
3a 2b 4
2a 3b 7


3a 2b 4 9a 6b 12 3a 2b 4
2a 3b 7 4a 6b 14 13a 26

3a 2b 4 3.2 2b 4 2b 2 b 1
a 2 a 2 a 2 a 2
Với
a2
thì
x 1 2 x 3
x 1 2
x 1 2 x 1



| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 22
b1
thì
y 2 1 y 1
y 2 1
y 2 1 y 3



Vậy hệ phương trình
3 x 1 2 y 2 4
2 x 1 3 y 2 7
có các nghiệm là
x;y 3; 1 ; 3; 3 ; 1; 1 ; 1; 3
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
4 2x 1 3 y 2 1
2 2x 1 3 y 2 1 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện
1
2x 1 0
x
2
y 2 0
y2




Đặt
a 2x 1 a 0 ; b y 2 b 0
.
Hệ phương trình đã cho trở thành:
4a 3b 1
2a 3b 13

Giải hệ phương trình
4a 3b 1
2a 3b 13

4a 3b 1 4a 3b 1 4a 3b 1
2a 3b 13 4a 6b 26 9b 27

4a 3b 1 4a 3.3 1 4a 8 a 2
b 3 b 3 b 3 b 3
Với
a2
thì
3
2 x 1 2 2x 1 4 2x 3 x
2
.
b3
thì
y 2 3 y 2 9 y 11
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình
4 2x 1 3 y 2 1
2 2x 1 3 y 2 1 3
là
3
x;y ;11
2



.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Giải hệ phương trình
15 3
1
x 2y 2
6 1 3
x 2y 2 2


CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
23 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Câu 2: Giải hệ phương trình
4
3 x 1 7
2y 1
6
x 1 6
2y 1
Câu 3: Giải hệ phương trình
2x 3 2y 1 1
2 x 2 3 2y 1 11
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho
trước
Phương pháp giải
- Tìm giá trị của tham số để hệ phương
trình nhận
00
x ;y
là nghiệm.
Hệ phương trình
ax by c
a x b y c


có nghiệm
00
x ;y
khi và chỉ khi
00
00
ax by c
a x b y c


- Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ
phương trình thỏa mãn một số điều kiện
khác.
Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình
theo tham số m.
Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm
thiết lập phương trình chứa tham số.
Bước 3. Giải phương trình tham số.
Bước 4. Kết luận.
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2m 1 x ny 5
mx n 2 y 7
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm
x;y 1;2
.
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
2m 1 x ny 5
mx n 2 y 7
nhận cặp số
x;y 1;2
là nghiệm của hệ phương trình nên
2m 1 .1 n.2 5
2m 2n 4
m 2n 3
m.1 n 2 .2 7



m 1 n 1
m 2n 3 m 1





Vậy với
n1
m1
hệ phương trình
2m 1 x ny 5
mx n 2 y 7
nhận
x;y 1;2
làm
nghiệm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình
x 2y 1
3x 4y m 3

. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
00
x ;y
thỏa mãn
00
x y 2
.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 24
Hướng dẫn giải
Ta có:
m
x 2y 1 3x 6y 3 2y m
y
2
3x 4y m 3 3x 4y m 3 x 2y 1
x m 1



Theo đề bài hệ phương trình
x 2y 1
3x 4y m 3

có nghiệm duy nhất
00
x ;y
thỏa mãn
00
x y 2
nên
m
m 1 2 2m 2 m 4 m 2
2
.
Vậy với
m2
hệ phương trình
x 2y 1
3x 4y m 3

có nghiệm duy nhất
00
x ;y
thỏa mãn
00
x y 2
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
x y m
2x 5y 3m 6

(m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương
trình có nghiệm là các số nguyên.
Hướng dẫn giải
Ta có:
x y m
x y m 2x 2y 2m x y m
m
2x 5y 3m 6 2x 5y 3m 6 3y m 6
y2
3



Để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì
mm
2
33
.
Suy ra m có dạng
m 3k k
.
Vậy với
m 3k k
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình
2 m 1 x 2n 1 y 2
m 2 x 3ny 21
có nghiệm
x;y 3;2
.
Câu 2: Xác định a để hệ phương trình
x 2y 7
3x 2y 2a 1

có nghiệm
x;y
thỏa mãn
x 2 y
.
Câu 3: Xác định m để hệ phương trình
m 1 x y 3
mx y m

có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
x y 0
.
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
25 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Câu 1.
Ta có
7x 2y 3 21x 6y 9 31x 31 x 1 x 1 x 1
5x 3y 11 10x 6y 22 7x 2y 3 7.1 2y 3 2y 4 y 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình
7x 2y 3
5x 3y 11


là
x;y 1;2
.
Câu 2.
Ta có
4x 5y 23 4x 5y 23 y 3 y 3 y 3 y 3
2x 3y 1 3 4x 6y 26 2x 3y 13 2x 3.3 13 2x 4 x 2
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình
4x 5y 23
2x 3y 13


là
x;y 2;3
Câu 3.
Ta có
x 4y 8 2x 8y 16 3y 3 y 1 x 4
2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5.1 13 y 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình
x 4y 8
2x 5y 13


là
x;y 4;1
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp
cộng đại số.
Câu 1.
Ta có
4 x y 3 y 1 7
4x 4y 3y 3 7 4x y 4 6x 0 x 0
2x 2 y 6 2x y 4 2x y 4 y 4
2 x 1 y 6
Vậy nghiệm của hệ phương trình
4 x y 3 y 1 7
2 x 1 y 6
là
x;y 0; 4
.
Câu 2.
Ta có
2x 1 2y 4y x 1 8
2x 4xy 4xy 4y 8
3xy 3x 3y 3xy 15
3x y 1 y 3 3x 15

x 2y 4
x y 5

3y 9
x y 5

y3
x 3 5
y3
x2

| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 26
Vậy nghiệm của hệ phương trình
2x 1 2y 4y x 1 8
3x y 1 y 3 3x 15
là
x;y 2;3
Câu 3.
Ta có
2y x 2 x 4 2y 4
2yx 4y 4x 2xy 4 4x 4y 4
5xy 15x 5xy 4y 7 15x 4y 7
5x y 3 y 5x 4 7



11x 11
15x 4y 7

x1
15.1 4 y 7

x1
4y 8
x1
y2
Vậy nghiệm của hệ
2y x 2 x 4 2y 4
5x y 3 y 5x 4 7
là
x;y 1;2
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ
Câu 1.
Điều kiện
x 0; y 1
.
Đặt
11
a ; b a;b 0
x 2y 2
ta được hệ phương trình
15a 3b 1
3
6a b
2


Giải hệ phương trình
1
15a 3b 1 15a 3b 1 11
a
33a
6
2
39
1
6a b 18a 3b
15a 3b 1
b
22
2

.
Với
1
a
6
thì
11
x6
x6
.
Với
1
b
2
thì
11
2y 2 2 2y 4 y 2
2y 2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình
là
x;y 6;2
.
Câu 2.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
Điều kiện
1
x 1; y
2
.
Đặt
1
a x 1 a 0 ; b b 0
2y 1
ta được hệ phương trình
3a 4b 7
a 6b 6


Giải hệ phương trình
3a 4b 7
a 6b 6


.
1
1
b
3a 4b 7 3a 4b 7 22b 11
b
2
2
a 6b 6 3a 18b 18 a 6b 6 1
a3
a 6. 6
2



Với
a3
thì
x 1 3 x 1 9 x 8
.
1
b
2
thì
1
y
2y 1 2 2y 1
11
2
2y 1 2
2y 1 2 2y 1 2 2y 3 3
y
2



.
Vậy các nghiệm của hệ phương trình
4
3 x 1 7
2y 1
6
x 1 6
2y 1
là
13
x;y 8; ; 8;
22



.
Câu 3.
Ta có
2x 3 2y 1 1 2x 3 2y 1 1 2x 3 2y 1 1
2 x 2 3 2y 1 11 2x 4 3 2y 1 11 2x 3 2y 1 7

Đặt
a x; b 2y 1 b 0
ta được hệ phương trình
2a 3b 1
2a 3b 7


2a 3b 1 2a 3b 1 2 a 3b 1 2. 2 3b 1 3b 3 b 1
2a 3b 7 4a 8 a 2 a 2 a 2 a 2
Với
a2
thì
x2
b1
thì
2y 1 1 2y 0 y 0
2y 1 1
2y 1 1 2y 2 y 1
Vậy các cặp nghiệm của hệ phương trình
2x 3 2y 1 1
2 x 2 3 2y 1 11
là
x;y 2;0 ; 2; 1
.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho
trước
Câu 1.
27 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 28
Hệ phương trình
2 m 1 x 2n 1 y 2
m 2 x 3ny 21
nhận cặp số
x;y 3;2
là nghiệm nên
2 m 1 x 2n 1 y 2
6m 6 4n 2 2 6m 4n 2 3m 2n 1
3m 6 6n 21 3m 6n 15 3m 6n 15
m 2 x 3ny 21
8n 16 n 2 n 2 n 2 n 2
3m 2n 1 3m 2n 1 3m 2.2 1 3m 3 m 1
.
Vậy với
m 1; n 2
hệ phương trình
2 m 1 x 2n 1 y 2
m 2 x 3ny 21
nhận cặp số
x;y 3;2
là
nghiệm.
Câu 2.
Ta có
x 7 a 3 7 a
x 2y 7 x 2y 7
y y y 5
2 2 2 2 2
3x 2y 2a 1 2x 2a 6
x a 3 x a 3 x a 3


Vậy hệ phương trình
x 2y 7
3x 2y 2a 1

nhận
a
x;y a 3; 5
2



là nghiệm.
Theo giả thiết hệ phương trình
x 2y 7
3x 2y 2a 1

có nghiệm
x;y
thỏa mãn
x 2 y
nên
a
a 3 2 5
2
.
a
a 1 5 2a 2 a 10 3a 12 a 4
2
Vậy với
a4
hệ phương trình
x 2y 7
3x 2y 2a 1

có nghiệm
x;y
thỏa mãn
x 2 y
.
Câu 3.
Ta có
m 1 x y 3 2m 1 x 3 m
m x y m mx y m





Với
1
m
2

ta có hệ phương trình
5
5
0
0.x
2
2
11
mx y m
xy
22






(vô lí).
Vậy với
1
m
2

hệ phương trình vô nghiệm.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
29 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Với
1
m
2

ta có:
3 m 3 m
3m
xx
2m 1 x 3 m
x
2m 1 2m 1
2m 1
3 m 3 m
mx y m
mx y m
m. y m y m m.
2m 1 2m 1









2 2 2 2 2
2
3m
3 m 3 m 3 m
x
x x x
2m 1
2m 1 2m 1 2m 1
m 2m 1
2m m 3m m 2m m 3 m m m 2m
3m m
y y y
y
2m 1 2m 1 2m 1 2m 1
2m 1 2m 1

Suy ra
22
3 m m 2m m m 3
xy
2m 1 2m 1 2m 1
Theo bài ra
x y 0
nên
2
m m 3
0
2m 1

Ta có
2
22
1 1 1 1 1 11
m m 3 m 2.m. m 0
2 4 4 2 4



với mọi
1
m
2

Vậy để
2
m m 3
0
2m 1

thì
1
2m 1 0 m
2
Để hệ phương trình
m 1 x y 3
mx y m

có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
x y 0
thì
1
m
2

.
III. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ minh họa 3: Bằng cách đặt ẩn phụ, hãy giải hệ phương trình sau:
51
10
11
13
18
11
xy
xy




Hướng dẫn giải:
Điều kiện để hệ phương trình xác định là:
1 0 1
1 0 1
xx
yy



Đặt
11
;
11
uv
xy


, ta có hệ phương trình:
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 30
51
10
5 10
11
1 3 3 18
18
11
uv
xy
uv
xy




Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ phương trình
5 10uv
, ta có:
5 10vu
Thế vào phương trình
3 18uv
, ta được:
3 18 3 5 10 18u v u u
16 30 18 16 48uu
3u
Thay
3u 
vào phương trình
5 10vu
, ta được
5. 3 10 5v
Vậy
3
5
u
v


, nên ta có hệ phương trình:
1
3
1 3 1
1 3 3
1
1
1 5 5
1 5 1
5
1
x
x
x
y
y
y




2
32
3
5 4 4
5
x
x
y
y


Vậy, hệ phương trình đã cho một nghiệm
24
;
35



.
IV. Một số bài toán liên quan
Ví dụ minh họa 4: Xác định phương trình đường thẳng
y ax b
biết nó đi qua hai điểm
1;6A
và
2; 3B
.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng
y ax b
đi qua điểm
1;6A
, nên ta có
6 1 6 1a b a b
Đường thẳng
y ax b
đi qua điểm
2; 3B
, nên ta có
3 .2 2 3 2a b a b
Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm của hệ phương
trình:
6 3 9 3
2 3 2 3 3
a b a a
a b a b b




Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là:
33yx
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
31 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Ví dụ minh họa 5: Cho hệ phương trình:
21
1
mx y
mx my m

Giải hệ phương trình khi:
a)
3m
; b)
2m
; c)
0m
.
Hướng dẫn giải:
Cho hệ phương trình
21
1
mx y
mx my m

a. Khi
3m
, ta có hệ phương trình:
3 2 1 3 2 1
3 3 3 1 3 3 2
x y x y
x y x y



1
1
3
31
1
y
x
x
y




Vậy, khi
3m
, hệ phương trình đã cho có nghiệm
1
; ;1
3
xy




b. Khi
2m
, ta có hệ phương trình:
2 2 1
2 2 1
xy
xy


Hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
21
2
x
x
y

hoặc
21
2
y
y
x

c. Khi
0m
, ta có hệ phương trình:
0 2 1 1
0 0 0 1 2
xy
xy

Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, còn phương trình thứ (2) vô
nghiệm, nên hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy khi
0m
, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 32
SƠ ĐỒ TƯ DUY PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c


Giải hệ bằng
Phương pháp thế
Giải hệ bằng
Phương pháp cộng
đại số
Bước 1: Chọn PT dễ nhất (thường là pt có hệ số đơn giản) Rút
ẩn: biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (1) Rồi thay vào phương
trình còn lại được (2)
Bước 2: Giải phương trình (2) 1 ẩn, ta thay ẩn này vào
phương trình (1) để tìm ẩn còn lại Kết luận nghiệm.
Bước 1: Xác định ẩn muốn khử (x hoặc y?...)
Bước 2: Đồng nhất hệ số Xem xét hệ số đứng trước ẩn
muốn khử ở hai phương trình (không quan tâm dấu ) Nhân
2 vế của mỗi phương trình cho số thích hợp sao cho hệ số đứng
trước ẩn muốn khử bằng nhau (không quan tâm dấu).
Bước 3: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai
phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn
muốn khử ở hai phương trình cùng dấu.
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn, suy ra ẩn còn lại và kết luận.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
33 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
PHẦN II.TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ PHẢN XẠ
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Câu 1. Cho hệ phương trình
5
3 2 18
xy
xy
có nghiệm
( ; )xy
. Tính
.xy
là:
A.
5
. B.
84
25
. C.
25
84
. D.
84
5
.
Câu 2. Cho hệ phương trình
5
3 2 18
xy
xy
có nghiệm
( ; )xy
. Tích
2
.xy
là:
A.
7000
. B.
490
. C.
70
. D.
700
.
Câu 3. Cho hệ phương trình
2 7 8
10 3 21
xy
xy
có nghiệm
( ; )xy
. Tổng
xy
là:
A.
5
4
. B.
9
2
. C.
3
2
. D.
7
4
.
Câu 4. Cho hệ phương trình
7 3 5
42
xy
xy
có nghiệm
( ; )xy
. Tổng
xy
là:
A.
5
9
. B.
5
19
. C.
5
19
. D.
5
9
.
Câu 5. Cho hệ phương trình
2 12
2 3 3
xy
xy
. Số nghiệm của hệ phương trình là:
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 6. Cho hệ phương trình
3 2 12
23
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là:
A.
15 3
( ; ) ;
48
xy
.B.
15 3
( ; ) ;
48
xy
.C.
15 3
( ; ) ;
44
xy
. D.
15 3
( ; ) ;
44
xy
.
Câu 7. Số nghiệm của hệ phương trình
23
2 2 6
xy
xy
là:
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 8. Hệ phương trình
2 3 1
32
xy
xy
có bao nhiêu nghiệm?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 9. Số nghiệm của hệ phương trình
1 1 1
3
( )( )
( )( )33
x y xy
x y xy
là:
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 10. Cho hệ phương trình
1 3 1 3
3
( )( ) ( )(
11
)
( )( )( )3)(
x y x y
x y x y
. Chọn câu đúng.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 34
A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (1;1)xy
. B. Hệ phương trình vô nghiệm.
C. Hệ phương trình vô số nghiệm. D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( ); 0;0xy
.
Câu 11. Cho hệ phương trình
. Biết rằng hệ phương trình có
nghiệm là
(1; 2)
. Tính
ab
.
A.
13
8
. B.
13
8
. C.
5
8
. D.
5
8
.
Câu 12. Cho hệ phương trình
24
5
x by
bx ay
. Biết răng hệ phương trình có nghiệm là
(1; 2)
, tính
ab
.
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
7
.
Câu 13. Cho hai đường thẳng:
1
: 2(3 2) 6mx n yd
và
2
: (3 1) 2 56m x nd y
.
Tìm tích
.mn
để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm
( 2;3)I
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Câu 14. Cho hai đường thẳng:
1
: 2(3 2) 18md x n y
và
2
: (3 1) 2 37mxd ny
.
Tìm tích
.mn
để hai đường thẳng
12
,dd
cắt nhau tại điểm
( 5;2)I
.
A.
2; 3mn
. B.
2; 3mn
. C.
2; 3mn
. D.
3; 2mn
.
Câu 15. Tìm
,ab
để đường thẳng
y ax b
đi qua hai điểm
(3; 5), (1;2)MN
A.
7 11
;
22
ab
. B.
7 11
;
22
ab
. C.
7 11
;
22
ab
. D.
7 11
;
22
ab
.
Câu 16. Số nghiệm của hệ phương trình
11
2
2 2 1
1
22
2
1
3
xy
xy
là:
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 17. Hệ phương trình
2
3
11
3
1
11
xy
xy
xy
xy
có nghiệm là:
A.
1
;2
2
. B.
1
2;
2
. C.
1
2;
2
. D.
1
2;
2
.
Câu 18. Tìm các giá trị của
m
và
n
sao cho đa thức
32
( ) ( 2) (3 5) 4P x mx m x n x n
đồng thời chia hết cho
1x
và
3x
A.
22
;7
9
mn
. B.
22
;7
9
mn
.
C.
22
;7
9
mn
. D.
22
7;
9
mn
.
Câu 19. Tìm các giá trị của
m
và
n
sao cho đa thức
32
(2) (3 1) (2 5) . 9 72Q m x n x n x m
đồng thời chia hết cho
2x
và
3x
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
35 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
A.
4 24
;
55
nm
. B.
44
;
55
mn
.
C.
4 24
;
55
mn
. D.
4 24
;
55
mn
.
Câu 20. Cho hệ phương trình
2 5 5
2 2 6
3
2 2 5
34
x y x y
x y x y
Nếu đặt
11
;
22
ab
x y x y
ta được hệ phương trình mới là:
A.
5
25
6
3
34
5
ab
ab
. B.
6
25
5
5
34
3
ab
ab
.
C.
5
25
6
3
34
5
ab
ab
. D.
5
25
6
3
34
5
ab
ab
.
Câu 21. Cho hệ phương trình
26
3
39
49
1
3
xy
xy
xy
xy
. Nếu đặt ta được hệ
phương trình mới là:
A.
11
3
26
11
1
49
ab
ab
. B.
2 6 3
4 9 1
ab
ab
. C.
2 6 3
4 9 1
ba
ba
. D.
2
63
3
4 9 1
ab
ab
.
Câu 22. Biết nghiệm của hệ phương trình
11
1
5
34
xy
xy
là
( ; )xy
. Tính
92xy
A.
10
. B.
14
. C.
11
. D.
13
.
Câu 23. Cho hệ phương trình
1 5 7
9
49
5
xx
y
y
xx
y
y
nếu đặt
;
xx
ab
y
y
(với
0; 0xy
) ta
được hệ phương trình mới là:
A.
15 7 9
495
ab
ab
. B.
15 7 9
495
ab
ab
. C.
15 7 9
1
49
5
ab
ab
. D.
15 7 9
4 9 5
ab
ab
.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 36
Câu 24. Nghiệm của hệ phương trình
3 5 2 3( ) ( )
( ) ( )
0
7 4 3 1 14 0
yx
x x y
là
( ; )xy
Tính
22
xy
.
A.
8
. B.
34
. C.
21
. D.
24
.
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình
23( ) ( )
( ) (
4
25)
x y x y
x y x y
là
( ; )xy
.
Chọn câu đúng.
A.
0; 0xy
. B.
7xy
. C.
7xy
. D.
xy
.
II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Câu 1. Cho hệ phương trình
8 7 16
8 3 24
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là:
A.
3
( ; ) ; 4
2
xy
. B.
3
( ; ) 4;
2
xy
. C.
3
( ; ) ; 4
2
xy
. D.
( ; ) ( 2;2)xy
.
Câu 2. Cho hệ phương trình
4 3 6
24
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là:
A.
( ; ) ( 2; 3)xy
. B.
( ; ) ( 3; 2)xy
. C.
( ; ) ( 2; 3)xy
. D.
( ; ) (3; 2)xy
.
Câu 3. Cho hệ phương trình
2 3 1
49
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là.
();xy
. Tính
xy
.
A.
1xy
. B.
1xy
. C.
0xy
. D.
2xy
.
Câu 4. Cho hệ phương trình
2 3 1
32
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là
();xy
. Tính
33xy
.
A.
3 2 2
. B.
3 2 2
. C.
2 2 2
. D.
3 2 2
.
Câu 5. Cho hệ phương trình
5 3 2 2
6 2 2
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là.
();xy
. Tính
6 3 3xy
.
A.
6
2
B.
56
2
. C.
6
2
. D.
6
.
Câu 6. Cho hệ phương trình
0, 3 0, 5 3
1,5 2 1,5
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình
là
();xy
. Tính
.xy
.
A.
225
. B.
0
. C.
125
. D.
15
.
Câu 7. Cho hệ phương trình
4 3 4
22
xy
xy
. Nghiệm của hệ phương trình là
();xy
. Tính
.xy
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
37 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
A.
2
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 8. Cho hệ phương trình
2
3
1
24
y
x
y
x
. Nghiệm của hệ phương trình là
();xy
. Tính
x
y
.
A.
2
. B.
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 9. Số nghiệm của hệ phương trình
5 2 3 99
3 7 4 1
( ) ( )
7
x y x y
x y x y
là:
A.
2
. B. Vô số. C.
1
. D.
0
.
Câu 10. Số nghiệm của phương trình
2 3 4
4 2 5
( ) ( )x y x y
x y x y
là:
A.
2
. B. Vô số. C.
1
. D.
0
.
Câu 11. Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm
();xy
của hệ phương trình.
53
1
42
x y x y
xy
.
A.
0; 0xy
. B.
0; 0xy
. C.
0; 0xy
. D.
0; 0xy
.
Câu 12. Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của hệ phương trình
23
22
25 9
3
28
yx
x
xy
y
A.
0; 0xy
. B.
0; 0xy
. C.
0; 0xy
. D.
0; 0xy
.
Câu 13. Hệ phương trình
3 2 5 2 7 1
41
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )3 6 6 1 2 3
x y x y
x y x y
tương đương với hệ phương trình
nào sau đây?
A.
13 8
42 5 3
xy
xy
. B.
42 78 48
42 5 3
xy
xy
. C.
42 78 48
42 5 3
xy
xy
. D.
7 13 8
4 5 3
xy
xy
.
Câu 14. Kết luận đúng về nghiệm
( ; )xy
của hệ phương trình
3 1 2 13
2 1 4
xy
xy
A.
. 16xy
. B.
10xy
. C.
6xy
. D.
:4yx
.
Câu 15. . Kết luận đúng về nghiệm
( ; )xy
của hệ phương trình
3 2 1 2
2 3 1 4
xy
xy
A.
.1xy
. B.
0xy
. C.
2xy
. D.
:2yx
.
Câu 16. Tìm
,ab
để hệ phương trình
21
5
ax by
bx ay
có nghiệm là
(3; 4)
.
A.
1
;1
2
ab
. B.
1
;1
2
ab
. C.
1
;1
2
ab
. D.
1
;1
2
ab
.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 38
Câu 17. Tìm a,b để hệ phương trình
4 2 3
38
ax by
bx ay
có nghiệm là
(2; 3)
A.
1; 11ab
. B.
11
1;
6
ab
. C.
11
1;
6
ab
. D.
11
1;
6
ab
.
Câu 18. Nghiệm của hệ phương trình
11
2
21
23
1
21
xy
xy
có tính chất là:
A.
;xy
là số nguyên. B.
;xy
là số vô tỉ .
C.
;xy
là các phân số tối giản có tổng các tử số là
27
. D.
x
nguyên dương,
y
không âm.
Câu 19. Nghiệm của hệ phương trình
5
3
76
1
2
6
76
74
53
xy
xy
có tính chất là:
A.
;xy
là số nguyên. B.
;xy
là số vô tỉ.
C.
;xy
nguyên âm. D.
x
nguyên dương,
y
không âm.
Câu 20. Tìm các giá trị của
m
để nghiệm của hệ phương trình:
1
1
42
21
1
23
xy
xy
xy
xy
Cũng là nghiệm của phương trình
2 7 225m x my m
A.
40m
. B.
5m
. C.
50m
. D.
60m
.
Câu 21. Tìm các giá trị của
m
để nghiệm của hệ phương trình:
2 1 1 4 2 2
3 4 5
2 3 4
2 2 2
43
x y x y
xy
xy
Cũng là nghiệm của phương trình
6 5 2 66mx y m
.
A.
1m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Câu 22. Tìm
,ab
biết đường thẳng
:d y ax b
đi qua điểm
( 4; 2), (2;1)AB
.
A.
1
0;
2
ab
. B.
1
;0
2
ab
. C.
1; 1ab
. D.
11
;
22
ab
.
III. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
Câu 1. Biết hệ phương trình
2
5
x by a
bx ay
có nghiệm
1; 3xy
. Tính
10( )ab
.
A.
15
. B.
16
. C.
14
. D.
17
.
Câu 2. Cho hệ phương trình
23
23
x y m
x y m
(
m
là tham số). Tìm
m
để hệ có
nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
3xy
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
39 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
A.
6m
. B.
6m
. C.
3m
. D.
4m
.
Câu 3. Cho hệ phương trình
2 5 1
22
x y m
xy
. Có bao nhiêu giá trị của
m
để
hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:
22
22xy
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 4. Cho hệ phương trình
7
23
2
45
x y m
x y m
. Có bao nhiêu giá trị của
m
mà
1
2
m
để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:
22
25
16
xy
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 5. Cho hệ phương trình
( 1) 2
1
m x y
mx y m
(
m
là tham số). Nghiệm của hệ phương trình khi
2m
là:
A.
( ; ) (1; 1)xy
. B.
( ; ) ( 1; 1)xy
. C.
( ; ) ( 1;1)xy
. D.
( ; ) (1;1)xy
.
Câu 6. Với
1m
thì hệ phương trình
1
23
x y m
x y m
có cặp nghiệm
( ; )xy
là:
A.
(3;1)
. B.
(1;3)
. C.
( 1; 3)
. D.
( 3; 1)
.
Câu 7. Cho hệ phương trình
( 1) 2
1
m x y
mx y m
(
m
là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi
nói về nghiệm
( ; )xy
của hệ phương trình
A. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
23xy
.
B. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
23xy
.
C. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
23xy
.
D. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
23xy
.
Câu 8. Cho hệ phương trình
(1)
1(2)
x my m
mx y
(
m
là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói
về nghiệm
( ; )xy
của hệ phương trình
A. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
2
2
21
1
mm
xy
m
.
B. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
2
2
21
1
mm
xy
m
.
C. Hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi
m
.
D. Hệ phương trình vô nghiệm với mọi
m
.
Câu 9. Biết rằng hệ phương trình
( 2) 3 5
3
m x y
x my
có nghiệm duy nhất với mọi
m
. Tìm
nghiệm duy nhất theo
m
.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 40
A.
22
9 5 3 1
( ; ) ;
2 3 2 3
mm
xy
m m m m
. B.
22
9 5 3 1
( ; ) ;
2 3 2 3
mm
xy
m m m m
.
C.
22
9 5 3 1
( ; ) ;
2 3 2 3
mm
xy
m m m m
. D.
22
9 5 3 1
( ; ) ;
2 3 2 3
mm
xy
m m m m
.
Câu 10. Biết rằng hệ phương trình
21
21
mx y m
x m y m
có nghiệm duy nhất với mọi
m
. Tìm
nghiệm duy nhất theo
m
.
A.
22
22
2 1 3 2
( ; ) ;
22
m m m
xy
mm
. B.
22
22
3 2 2 1
( ; ) ;
22
m m m
xy
mm
.
C.
22
22
2 1 3 2
( ; ) ;
22
m m m
xy
mm
. D.
22
22
2 1 3 2
( ; ) ;
22
m m m
xy
mm
.
Câu 11. Cho hệ phương trình
3 2 9
5
x y m
xy
có nghiệm
( ; )xy
. Tìm
m
để biểu thức
1A x y x
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1m
. B.
0m
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 12. Cho hệ phương trình
1
2
x my m
mx y m
(
m
là tham số). Tìm
m
để hệ phương trình có
nghiệm duy nhất
( ; )xy
thỏa mãn
2
1
x
y
.
A.
1m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
1m
.
Câu 13. Cho hệ phương trình
24
35
x ay
ax y
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:
A.
1a
. B.
2a
. C. mọi
a
. D.
1a
.
Câu 14. Với giá trị nào của
m
thì hệ phương trình
2
1
mx y m
x my m
có vô số nghiệm.
A.
1m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
1m
.
Câu 15. Cho hệ phương trình
( 1) 1 (1)
( 1) 2 (2)
a x y a
x a y
(
a
là tham số)
Với
0a
hệ có nghiệm duy nhất
( ; )xy
. Tính
xy
theo
a
A.
2
2
2aa
xy
a
.B.
2
2
2a
xy
a
. C.
2
2
1aa
xy
a
.D.
2
2a
xy
a
.
Câu 16. Cho hệ phương trình
2
3
2 2 2
mx y m
x my m m
. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy
nhất, tính
xy
theo
m
A.
4
2
2
2
m
xy
m
. B.
4
2
42
2
mm
xy
m
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
41 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
C.
4
2
2
2
m
xy
m
. D.
4
2
2
2
m
xy
m
.
Câu 17. Cho hệ phương trình
( 1) 1 (1)
( 1) 2 (2)
a x y a
x a y
(
a
là tham số) với
0a
hệ có nghiệm
duy nhất
( ; )xy
. Tìm các số nguyên
a
để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
A.
1a
. B.
1a
. C.
1a
. D.
1a
.
Câu 18. Tìm giá trị của
m
để hệ phương trình
2xy
mx y m
có nghiệm nguyên duy nhất.
A.
1m
. B.
0; 1mm
. C.
0; 2mm
. D.
2; 1mm
.
Câu 19. Cho hệ phương trình
22xy
mx y m
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy
nhất
( ; )xy
, tìm điều kiện của
m
để
1x
và
0y
.
A.
0m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 20. Cho hệ phương trình
2
46
mx y m
x my m
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm
duy nhất
( ; )xy
, tìm hệ thức liên hệ giữa
;xy
không phụ thuộc vào
m
.
A.
2 3 0xy
. B.
23xy
. C.
23xy
. D.
23xy
.
Câu 21. Cho hệ phương trình
1x my
mx y m
. Hệ thức liên hệ giữa
x
và
y
không phụ thuộc vào
giá trị của
m
là
A.
23xy
. B.
3
x
y
. C.
3xy
. D.
22
1xy
.
Câu 22. Cho hệ phương trình
2
46
mx y m
x my m
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm
duy nhất
( ; )xy
, tìm giá trị của
m
để:
6 2 13xy
.
A.
9m
. B.
9m
. C.
8m
. D.
8m
.
Câu 23. Cho hệ phương trình
11
4
(
2
)x m y
xy
. Tìm
m
để hệ phương trình có nghiệm
( ; )xy
thỏa mãn
2 2 5xy
.
A.
5
8
m
. B.
5
8
m
. C.
8
5
m
. D.
8
5
m
.
HƯỚNG DẪN
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Câu 1. Đáp án B.
Ta có
5
3 2 18
xy
xy
55
3. 5 2 18() 3 15 2 18
x y x y
y y y y
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 42
3 28
5
55
5 3 3 3
5
55
yx
xy
y
xy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
28 3 84
( ; ) ; .
5 5 25
x y x y
Câu 2. Đáp án D.
Ta có
3 3 3 10
3 4 2 3 3 4 2 7 7()
x y x y x y x
x y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (10;7)xy
Do đó
22
10 .7 700xy
Câu 3. Đáp án D.
Ta có
87
2 7 8
2
87
10 3 21
10. 3 21
2
y
x
xy
y
xy
y
8 7 8 7
22
40 35 3 21 38 1 9
yy
xx
y y y
8 7 1
22
19
24
y
xy
yx
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
9 1 7
( ; ) ;
4 2 4
x y x y
Câu 4. Đáp án C.
Ta có
11 11
7 3 5 7 3 2 4 5
19 19
4 2 2 4 11 6
2 4.
1 19
()
9
xx
x y x x
x y y x
yy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
11 6 5
( ; ) ;
19 19 19
x y x y
Câu 5. Đáp án A.
Ta có
()
2 12 12 2 12 2
2 3 3 2 12 2 3 3 7 21
x y x y x y
x y y y y
36
12 2.()33
yx
xy
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (6; 3)xy
Câu 6. Đáp án A.
Ta có
3
(
3 15
2 12 3 2 3 2
84
2 3 3 3 2 2 12 8 3 3 3
3
48
)
yx
x y x y x y
x y y y y
xy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
15 3
( ; ) ;
48
xy
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
43 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Câu 7. Đáp án D.
Ta có
23
2 3 2 3
2 2 3 2 6
2 2 6 2 6 2 6
xy
x y x y
yy
x y y y
23
23
66
y
xy
xy
.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Câu 8. Đáp án A.
Ta
có
2 3 2 3 1
2 3 1
32
23
yy
xy
xy
xy
2 6 3 1 6 3 1
2 3 2 3
yy
x y x y
63
63
23
3
3
1
y
y x y
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
63
( ; ) 1;
3
xy
.
Câu 9. Đáp án A.
Ta có
1 1 1 1 1 0
3 3 3 3 3 9 3
( )( )
() 3( 3 12)
x y xy xy x y xy x y
x y xy xy x y xy x y
2
3 3 12 6 12 2 2
x y x y x y x
y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( ); 2;2xy
Câu 10. Đáp án D.
Ta có
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )(
1 3 1 3 3 3 3 3
3 1 1 3 3 3) 33
x y x y xy x y x y x y
x y x y xy x y xy x y
6 2 0 0
4 4 0 6 2 0 4 0 0 0
x y x y x y x y x
x y y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (0; 0)xy
.
Câu 11. Đáp án B.
Thay
1; 2xy
vào hệ ta được
3
2.1 . 2 1 2 3()
(
2
.1 2 . 2 1 4 1
4
2
) 3
1
b
bb
b a b a
a
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 44
3
13
2
1
8
8
b
ab
a
Vậy
13
8
ab
.
Câu 12. Đáp án A.
Thay
1; 2xy
vào hệ ta được
()
(
2 2 4
2) 5
b
ba
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là
a
và
b
và giải hệ phương trình này
2 2 4 2 6 3 3
25
()
() 2 5 3 2. 5 4
b b b b
b a b a a a
Suy ra
4 3 1ab
.
Câu 13. Đáp án A.
+) Thay tọa độ điểm
I
vào phương trình
1
d
ta được
.( 2) 2(3 2).3 6 2 18 18 9 9m n m n m n
+) Thay tọa độ điểm
I
vào phương trình
2
d
ta được
(3 1).( 2) 2 .3 56 6 2 6 56 9m n m n m n
Suy ra hệ phương trình
9 9 9 9 0
.0
9 9 9 9 1 0 0 9
m n m n m n n
mn
m n n n n m
.
Vậy
.0mn
.
Câu 14. Đáp án C.
+) Thay tọa độ điểm
I
vào phương trình
1
d
ta được
.( 5) 2(3 2).2 18 5 12 8 18 5 12 26m n m n m n
+) Thay tọa độ điểm
I
vào phương trình
2
d
ta được
(3 1).( 5) 2 .2 37 15 5 4 37 15 4 42m n m n m n
Suy ra hệ phương trình
15 42
5 12 26
5 12 26
4
15 42
15 4 42 15 42
5 12. 26
4
4
m
mn
n
mn
m
m n m
n
m
15 42 15 42
2
44
3
5 3 15 42 26 50() 126 26
mm
m
nn
n
m m m
Vậy
2; 3mn
.
Câu 15. Đáp án D.
Thay tọa độ điểm
M
vào phương trình đường thẳng ta được
35ab
Thay tọa độ điểm
N
vào phương trình đường thẳng ta được
2ab
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
45 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Từ đó ta có hệ phương trình
7
2 2 2
2
3 5 3 2 5 2 7 11
2
a
a b b a b a
a b a a a
b
Vậy
7 11
;
22
ab
.
Câu 16. Đáp án A.
Điều kiện:
1
2;
2
xy
Đặt
11
;
2 2 1
ab
xy
khi đó ta có hệ phương trình
22
2 3 1 2 2 3() 1
a b a b
a b b b
37
2
2
2
55
3
5 3 3 3
5
55
ab
aa
ab
b
b
bb
Trả lại biến ta được
17
19
7 14 5
25
7
13
6 3 5
4
2 1 5
3
x
x
x
y
y
y
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
19 4
( ; ) ;
73
xy
.
Câu 17. Đáp án C.
Điều kiện:
1; 1xy
Ta có
2
3 2. 3
1 1 1 1
3
1 3. 1
1 1 1 1
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Đặt
;
11
xy
ab
xy
khi đó ta có hệ phương trình
2 3 3 2 3 2 3 2
3 1 3 3 2 1 9 6() 1 5 10
a b b a b a b a
a b a a a a a
22
3 2.2 1
aa
bb
Thay trở lại cách đặt ta được
2
2
22
1
1
1
1
2
1
x
x
xx
x
y
yy
y
y
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1
( ; ) 2;
2
xy
.
Câu 18. Đáp án C.
Ta sử dụng: Đa thức
()Px
chia hết cho đa thức
xa
khi và chỉ khi
( ) 0Pa
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 46
Áp dụng mệnh đề trên với
1a
, rồi với
3a
, ta có
32
32
( 1) ( 1) ( 2).( 1) (3 5).( 1) 4 7
(3) .3 ( 2).3 (3 5).3 4 36 13 3
P m m n n n
P m m n n m n
Theo giả thiết,
()Px
chia hết cho
1x
nên
( 1) 0P
tức là
70n
Tương tự, vì
()Px
chia hết cho
3x
nên
(3) 0P
tức là
36 13 3 0mn
Vậy ta phải giải hệ phương trình
(
7
7 0 7
22
36 13 3 0 36 13 . 7 3) 0
9
n
nn
m n m
m
Trả lời: Vậy
22
;7
9
mn
.
Câu 19. Đáp án D.
Ta sử dụng: Đa thức
()Qx
chia hết cho đa thức
xa
khi và chỉ khi
( ) 0Qa
Áp dụng mệnh đề đã cho với
2a
, rồi với
3a
, ta có
32
32
(2) (3 1)2 (2 5)2 .2 9 72
24 8 8 20 2 9 72 15 10 60
( 3) (3 1)( 3) (2 5)( 3) .( 3) 9 72
81 27 18 45 3 9 72 90 15
Q m n n m
m n n m m n
Q m n n m
m n n m m n
Theo giả thiết,
()Qx
chia hết cho
2x
nên
(2) 0Q
tức là
15 10 60 0mn
(1)
Tương tự, vì
()Qx
chia hết cho
3x
nên
( 3) 0Q
tức là
90 15 0mn
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
4
15 10 60 0 6
5
90 15 0 15 10 6 60 24
5
()
m
m n n m
m n m m
n
Trả lời: Vậy
4 24
;
55
mn
.
Câu 20. Đáp án A.
Ta có
2 5 5
2 2 6
3
2 2 5
34
x y x y
x y x y
11
11
3. 4
5
2. 5.
22
3
.
6
2 2 5
x y x y
x y x y
Đặt
11
;
22
ab
x y x y
ta được hệ phương trình
5
25
6
3
34
5
ab
ab
Câu 21. Đáp án D.
Ta có
26
3
39
49
1
3
xy
xy
xy
xy
2 1 1
. 6. 3
33
11
4. 9. 1
3
xy
xy
xy
xy
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
47 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Đặt
11
;
3
ab
xy
xy
ta được hệ phương trình
2
63
3
4 9 1
ab
ab
Câu 22. Đáp án B.
Điều kiện:
0; 0xy
Đặt
11
;ab
xy
khi đó ta có hệ phương trình
()
1 1 1
3 4 5 3 1 4 5 7 2
a b a b a b
a b b b b
29
77
22
1
77
ba
ab
Trả lại biến ta được
19
7
7
9
12
7
7
2
a
x
b
y
(Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó
77
9 2 9. 2. 14
92
xy
Câu 23. Đáp án B.
Ta có
15 7
9 15. 7. 9
49
5 4. 9. 5
x x x x
yy
yy
x x x x
yy
yy
Đặt
;
xx
ab
y
y
ta được hệ phương trình
15 7 9
495
ab
ab
Câu 24. Đáp án B.
Ta có
3 5 2 3( ) ( )
( ) ( )
0
7 4 3 1 14 0
yx
x x y
3 15 2 6 0 2 3 21
7 28 3 3 3 14 0 10 3 45
y x x y
x x y x y
3 21 2 3 3
8 24 3 1 5 5
y x x x
x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
; 3;5xy
2 2 2 2
3 5 34xy
.
Câu 25. Đáp án D.
Ta có
( ) ( )
(
2 3 4 2 2 3 3 4 5 4
2 5 2)) 25( 35
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
5 4 3 5 3 5
3 5 5 3 5()4 5 3 5 4
x y y x y x
y x x x x x
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 48
11
1
22
2
1 13
35
3. 5
22
xx
x
yx
yy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1 13
( ; ) ;
22
x y x y
và
6xy
.
II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Câu 1. Đáp án A.
Ta có
8 7 16 8 7 16 8 7 16
8 3 24 8 7 ()8 3 16 ( 24 10 40)
x y x y x y
x y x y x y y
4
4
3
8 7.4 16
2
y
y
x
x
. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
3
( ; ) ; 4
2
xy
.
Câu 2. Đáp án D.
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với
2
rồi trừ từng vế của
hai phương trình:
4 3 6 4 3 6 4 3 6 4 3 2 6 3
2 4 4 2 8 2 2 2
()x y x y x y x x
x y x y y y y
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (3; 2)xy
.
Câu 3. Đáp án B.
Ta có
2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
4 9 12 3 27 14 28 1
x y x y x y x
x y x y x y
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
( ; ) (2;1)xy
2 1 1xy
Câu 4. Đáp án D.
2 3 1 2 3 1
3 2 2 6 2
x y x y
x y x y
2 3 1
2 3 1
1
6 3 1
63
xy
xy
y
y
63
63
3
3
63
1
2 3. 1
3
y
y
x
x
.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
63
( ; ) 1;
3
xy
3 3 1 3 2 3 3 2 2xy
.
Câu 5. Đáp án C.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với
2
rồi cộng từng vế của hai phương trình
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
49 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
5 3 2 2 5 6 2 4 6 6 6
6 2 2 6 2 2 6 2 2
x y x y x
x y x y x y
1
1
6
6
1
. 6 2 2
1 2 2
6
x
x
y
y
6
1
6
6
2
21
2
x
x
y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
62
( ; ) ;
62
xy
6 2 3 6
6 3 3 6. 3 3. 6 6
6 2 2 2
xy
.
Câu 6. Đáp án A.
ĐK:
0; 0xy
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với
5
rồi trừ từng vế của hai phương trình:
0,3 0,5 3 1,5 2,5 15
1,5 2 1,5 1,5 2 1,5
x y x y
x y x y
4,5 13,5 3
1,5 2 1,5 1,5 2.3 1,5
yy
x y x
99
9
25
1,5 7,5 5
yy
y
x
xx
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (25;9)xy
25.9 22 5xy
.
Câu 7. Đáp án B.
ĐK:
0; 0xy
Ta có
4 3 4 4 3 4
2 2 4 2 4
x y x y
x y x y
5 0 0 0
1
2 2 2 2
y y y
x
x y x
(tm).
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
( ; ) (1;0) . 0x y x y
.
Câu 8. Đáp án C.
ĐK:
0x
Ta có
24
11
3 2 6
22
11
2 3 1
2 4 2 4
yy
xx
xx
x y y
yy
xx
(TM)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
11
( ; ) ; 1
22
x
xy
y
.
Câu 9. Đáp án C.
Ta có
5 2 3 99 5 10 3 3 99 2 13 99
3 7 4 1
( ) ( )
7 3 7 4 17 6 17
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
6 39 297 6 17 7
6 17 40 280 4
x y x y y
x y y x
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 50
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (4;7)xy
.
Câu 10. Đáp án D.
Ta
có
2 3 4
4 2 5
( ) ( )x y x y
x y x y
(
2 2 3 3 4 5 4 0 1
4 2 5 5 5 5 5
)
x y x y x y
VL
x y x y x y x y
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 11. Đáp án D.
Ta có
53
1
42
x y x y
xy
3 3 5 5 2 8 4
2 4 2 4 2 4
x y x y x y x y
x y x y x y
42
2 4 0 8
x y y
yx
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (2; 8)xy
0; 0xy
.
Câu 12. Đáp án A.
Ta có
23
22
25 9
3
28
yx
x
xy
y
2 2 3 3 31
4 2 4 25 9 4 33 25 3
x y x y x
x y y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (31; 3)xy
0; 0xy
.
Câu 13. Đáp án B.
Ta có
3 2 5 2 7 1
41
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )3 6 6 1 2 3
x y x y
x y x y
7 13 8 4 2 78 48
42 5 3 42 5 3
x y x y
x y x y
Câu 14. Đáp án C.
Điều kiện:
1; 0xy
Ta có
3 1 2 13
2 1 4
xy
xy
3 1 2 13 2 1 4
4 1 2 8 7 1 21
x y x y
x y x
19
1 3 10
4
24
3.3 2 13
x
xx
y
y
y
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (10; 4)xy
. Nên
10 4 6xy
.
Câu 15. Đáp án B.
Điều kiện:
3; 1xy
Ta có
3 2 1 2
2 3 1 4
xy
xy
2 3 4 1 4 3 2 1 2
2 3 1 4 5 1 0
x y x y
x y y
()
(
11
11
3 4 1
3 2. 1 1 3) 22
yy
yy
tm
xx
xx
.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
51 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (1; 1)xy
.
Nên
( 10)1xy
.
Câu 16. Đáp án A.
Thay
3; 4xy
vào hệ phương trình ta được
2 .3 4 1 6 4 1 12 8 2
.3 . 4 5 4 3
()
5) 12 15( 9
a b a b a b
b a a b a b
1
17 17
1
4 3 5
2
b
b
ab
a
.
Vậy
1
;1
2
ab
.
Câu 17. Đáp án D.
Thay
2; 3xy
vào hệ phương trình ta được
4 .2 2 . 3 3 8 6 3 5 5
3
()
(.2 3) 8 3 6 8 3 6 8
a b a b a
b a a b a b
1
11
11
3.1 6 8 6 11
6
a
aa
bb
b
. Vậy
11
1;
6
ab
.
Câu 18. Đáp án C.
ĐK:
2; 1xy
1 1 1 1
22
2 1 2 1
2 3 1 1
1 2. 3. 1
2 1 2 1
x y x y
x y x y
Đặt
11
; ( ; 0)
21
u v u v
xy
ta có hệ
2 2 2 4 5 3
2 3 1 2 3 1 2
33
55
37
2
5
()
5
u v u v v
u v u v u v
vv
TM
uu
Thay lại cách đặt ta được
5 19
17
2
13
77
25
58
15
1
33
()
xx
TM
x
y
yy
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
19 8
( ; ) ;
73
xy
Câu 19. Đáp án D.
Điều kiện:
0; 7; 0x x y
Đặt
11
;
76
ab
xy
ta được
5
21 12 5
74
3
1
1
20 12 2
5 3 2
6
6
ab
ab
ab
ab
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 52
11
21 12 5
33
41
11
41
21. 12 5
3
36
ab
aa
a
bb
Trả lại biến ta có
11
73
(
100
3
7
11
0
6
6
)
66
xx
x
TM
y
y
y
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (100;0)xy
.
Câu 20. Đáp án C.
Ta có
1
1
42
21
1
23
xy
xy
xy
xy
1
1 2 4 4 4 3 6 3
2
3 6 2 2 6 6 6 3 4 2
0
x y x y x y
y
x y x y x y
x
Thay
1
0;
2
xy
vào phương trình
( 2) 7 225m x my m
ta được
19
( 2).0 7 225 225 50
22
m m m m m
.
Câu 21. Đáp án A.
Ta có
2 1 1 4 2 2
3 4 5
2 3 4
2 2 2
43
x y x y
xy
xy
40 20 15 15 48 24 24 8 9 19
6 9 4 16 24 2 4 2 4 30 28 31
x y x y x y
x y x y x y
11
120 135 285
2
120 112 124
7
xy
x
xy
y
Thay
11
;7
2
xy
vào phương trình
6 5 2 66mx y m
ta được
11
6 . 5.7 2 66
2
mm
31 31 1mm
.
Câu 22. Đáp án B.
Đường thẳng
y ax b
đi qua điểm
( 4; 2) 4 2A a b
(1)
Đường thẳng
y ax b
đi qua điểm
(2;1) 2 1B a b
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
1
1
4 2 6 3
2
2
2 1 2 1 1
0
2. 1
2
a
a b a
a
a b a b
b
b
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
53 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Vậy
1
;0
2
ab
.
III. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
Câu 1. Đáp án B.
Thay
1; 3xy
vào hệ ta có:
2.1 .3 3 2 3 9 6
.1 .3 5 3 5 3 5
b a a b a b
b a a b a b
1
10 1
10
3 5 17
10
b
b
ab
a
.
Vậy
1 17
;
10 10
ab
thì hệ phương trình có nghiệm
1, 3 10( ) 16x y a b
Câu 2. Đáp án A.
Ta có
59
2 3 2 4 2 6 2 3
7
2 3 2 3 7 6 6
7
m
x
x y m x y m x y m
x y m x y m y m m
y
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
5 9 6
( ; ) ;
77
mm
xy
Lại có
3xy
hay
5 9 6
3 5 9 6 21 6 36 6
77
mm
m m m m
Vậy với
6m
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( , )xy
thỏa mãn
3xy
.
Câu 3. Đáp án C.
Ta có
2 5 1 5 1 2 5 1 2 2
2 2 2 5 1 2 2 5 1() 01
x y m y m x y m x x m
x y x m x x m y m
Thay vào
22
22xy
ta có
2 2 2 2
() 22 1(2 2 2 )x y m m
2
0
2 4 0
2
m
mm
m
.
Vậy
2;0m
.
Câu 4. Đáp án B.
Ta có
7
4 6 7 2 7 7 7
23
2
4 5 4 5
45
x y m y m
x y m
x y m x y m
x y m
11
4 1 5 4 14()
y m y m
x m m x m
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 54
Thay vào
22
25
16
xy
ta có
2
2 2 2
25 4 1 25
(1 )
16 4 16
m
x y m
22
16 8 1 16 32 16 25m m m m
22
2
32 24 8 0 4 3 1 0
1
4 4 1 0 (4 1)( 1) 0
1
4
m m m m
m
m m m m m
m
Mà
1
1
2
mm
thỏa mãn. Vậy
1m
.
Câu 5. Đáp án D.
Thay
2m
vào hệ ta được
2
23
xy
xy
Khi đó
2 2 1
2 3 1 1
x y x y x
x y x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(1;1)
khi
2m
.
Câu 6. Đáp án A.
Thay
1m
vào hệ phương trình đã cho ta được:
2 2 2 4 3 9 3
2 5 2 5 2 5 1
x y x y x x
x y x y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(3;1)
khi
1m
.
Câu 7. Đáp án A.
Từ
( 1) 2m x y
thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:
2 ( 1) 1 1mx m x m x m
suy ra
2
2 ( 1)ym
với mọi
m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
2
( ; ) 1;2 ( 1)x y m m
22
2 2( 1) 2 ( 1) 4 1x y m m m m
2
3 ( 2) 3m
với mọi
m
.
Câu 8. Đáp án B.
Từ phương trình (1 )
x my m x m my
thế vào phương trình (2) ta được phương
trình:
2
2 2 2 2
2
1
( ) 1 1 ( 1) 1
1
m
m m my y m m y y m y m y
m
(vì
2
1 0;mm
)suy ra
2
22
12
.
11
mm
x m m
mm
với mọi
m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
2
22
21
( ; ) ;
11
mm
xy
mm
22
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1
m m m m
xy
m m m
Câu 9. Đáp án B.
Ta có
3
()232 3) 3 5 ( ( )
3
5m my
m
y
y
xy
m
m
xy x
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
55 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
2
2 2 3 3 1 1
3 6 2 3 5
32
)
()
3
( ( )m m y m
m m y my y
x my
x my
.
Ta có:
22
2 3 ( 1) 2 0m m m m
nên PT
(1)
có nghiệm duy nhất
m
Hay hệ
phương trình có nghiệm duy nhất
m
Từ
(1)
ta có:
2
31
23
m
y
mm
thay vào
(2)
ta có
2
95
23
m
x
mm
Vậy
22
9 5 3 1
( ; ) ;
2 3 2 3
mm
xy
m m m m
Câu 10. Đáp án D.
Ta có
21
21
mx y m
x m y m
22
21
21
2
2
()2 1 1
21
y mx m
y mx m
x m mx m m
x m x m m m
22
22( ) ( )
(
11
2 1 2)
m x m
y mx m
Ta có:
2
2 0;mm
nên PT
(1)
có nghiệm duy nhất
m
Hệ phương trình có nghiệm duy
nhất
m
Từ
(1)
ta có:
2
2
21
2
m
x
m
thay vào
(2)
ta có
22
22
2 1 3 2
. 2 1
22
m m m
y m m
mm
Vậy
22
22
2 1 3 2
( ; ) ;
22
m m m
xy
mm
.
Câu 11. Đáp án A.
Ta có
3 2 9
5
x y m
xy
2
2
1 8 1
3
()
xm
A x y x m
ym
8
max
A
khi
1m
.
Câu 12. Đáp án B.
Xét hệ
1 (1)
2 (2)
x my m
mx y m
Từ (2)
2y m mx
thay vào (1) ta
được
22
(2 ) 1 2 1x m m mx m m m x x m
2 2 2 2
(1 ) 2 1 ( 1) 2 1m x m m m x m m
(3)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
()3
có nghiệm duy nhất
2
1 0 1mm
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất
21
1
1
m
x
m
m
y
m
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 56
Ta có
2 1 1
20
2
11
1 0 1
11
10
11
m
x
mm
x m m
ym
mm
Kết hợp với
()
ta được giá trị
m
cần tìm là
1m
.
Câu 13. Đáp án C.
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu
0a
, hệ có dạng:
2
24
5
35
3
x
x
y
y
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu
0a
, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
2
2
6
3
a
a
a
(luôn đúng, vì
2
0a
với mọi
a
)
Do đó, với
0a
, hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi
a
.
Câu 14. Đáp án B.
22
2
2
21
2
)
1
2
1(
m
y m mx
y m mx
m
x y m
x x m m mx m
x
m
x m m
my
22
2()
2
11
y m mx
x m m m
.
Với
22
1 0 1 1m m m
Nếu
1m
ta được
00x
(đúng với
x
) ⇒ hệ phương trình có vô số nghiệm
Nếu
1m
ta được
02x
(vô lí) ⇒⇒ hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy
1m
thì hệ đã cho vô số nghiệm.
Câu 15. Đáp án A.
Từ PT
(1)
ta có:
(1 ()) 1 ( )y a x a
thế vào PT
(2)
ta được:
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 2
( 1) ( 3)1) 1 (2
x a a x a
x a x a a x a
Với
0a
, phương trình
(3 )
có nghiệm duy nhất
2
2
1a
x
a
. Thay vào
()
ta có:
2 2 2
22
3 2 3 2
22
1 ( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
11
a a a a a
y a a
aa
a a a a a a
aa
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
( ; ) ;
aa
xy
aa
22
2 2 2
1 1 2a a a a
xy
a a a
Câu 16. Đáp án C.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
57 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
22
3 2 3
()2 2 2 2 2 2
mx y m y mx m
x my m m x m mx m m m
2
2
2
2
2
22
2
22
2 2 2
2
)
.
(
m
x
y mx m
m
m
x m m
y m m
m
4
2
22
()
2 2 2
2 0;
22
m m m
x y vì m m
mm
Suy ra
4
2
2
2
m
xy
m
.
Câu 17. Đáp án D.
Từ PT
(1)
ta có:
( 1) ( 1)y a x a
()
thế vào PT
(2)
ta được
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) 2 1 (3)
x a a x a
x a x a a x a
Với
0a
, phương trình
(3 )
có nghiệm duy nhất
2
2
1a
x
a
. Thay vào
()
ta có:
2 2 2
22
3 2 3 2
22
1 ( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
11
a a a a a
y a a
aa
a a a a a a
aa
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
( ; ) ;
aa
xy
aa
Hệ phương trình có nghiệm nguyên:
2
2
2
1
)
1
(
a
x
a
a
y
a
a
Điều kiện cần:
2
22
11
1
a
x
aa
2
1
a
mà
2
0a
2
11aa
(TM
0a
)
Điều kiện đủ:
10ay
(nhận);
12ay
(nhận)
Vậy
1a
hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Câu 18. Đáp án C.
Ta có
(22)
2
1
xy
x mx m x m m
mx y m
Nếu
1 0. 1mx
(vô lí)
Nếu
21
11
11
m
mx
mm
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất
x
nguyên
0; 2mm
Với
2
0
0
x
m
y
(thỏa mãn)
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 58
Với
0
2
2
x
m
y
(thỏa mãn)
Câu 19. Đáp án A.
Ta có
2 2 2 2 2 2
1()2(22)
x y x y x y
mx y m m y y m m y m
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
1
2
m
Suy ra
22
2 2.
2 1 2 1 2 1
m m m
y x x
m m m
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
22
21
21
m
x
m
m
y
m
Để
22
1
1
21
0
0
21
m
x
x
m
ym
y
m
1
1
0
2 1 0
21
0
2
0
0
0
21
m
m
m
m
mm
m
m
Kết hợp điều kiện
1
2
m
ta có
0m
.
Câu 20. Đáp án D.
Ta có
2
46
mx y m
x my m
22
2
2
42
46()
6
2
()
y mx m
y mx m
x m mx m m
x m m m
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
2
4 0 2; 2mm
Khi đó
2
2
2 6 (2 3)( 2) 2 3
( 2)( 2) 2
4
m m m m m
x
m m m
m
23
.2
22
mm
y m m
mm
2 3 1 2
2 2 4
2 2 2
22
11
2 2 2
m
x x x
m m m
m
y y y
m m m
23xy
Vậy hệ thức không phụ thuộc vào
m
là
23xy
.
Câu 21. Đáp án D.
22
11
11
1
1
()
2()
x my x my
x my x my
mx y m m my y m
m m y y m y m m
Do
22
2
2 2 2
2 2 1
1 1 0 1 1
1 1 1
m m m
m y x my
m m m
Xét
2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 (1 ) 4 1 2 2 1 (1 )
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
m m m m m m m m
xy
m m m m m
Vậy
22
1xy
không phụ thuộc vào giá trị của
m
.
Câu 22. Đáp án C.
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
59 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Ta có
22
2
22
46
(
)4 2 6
42
(
) 6
y m x m
mx y m y mx m
x my m x m mx m m
x m m m
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
2
4 0 2;2mm
Khi đó
2
2
2 6 (2 3)( 2) 2 3
( 2)( 2) 2
4
m m m m m
x
m m m
m
23
.2
2
m
y m m
m
Thay
23
2
2
m
x
m
m
y
m
vào phương trình
6 2 13xy
ta được:
2 3 14 1 8
6. 2. 13 13
2 2 2
m m m
m m m
14 18 13 26 8m m m TM
.
Vậy
8m
là giá trị cần tìm.
Câu 23. Đáp án A.
Từ hệ phương trình
11
4
(
2
)x m y
xy
.
Ta có hệ
1
4 2 8 2 4 10 1
10
2 2 5 2 2 5 2 2 5 1
25
x
x y x y x
x y x y x y
y
Thay
1
10
x
vào
12
5
y
phương trình
( 1) 1x m y
Ta được
1 12 5
( 1). 1 1 24( 1) 10 24 15
10 5 8
m m m m
.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 60
PHẦN III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
a.
26
24
xy
xy

b.
35
28
xy
xy

c.
10
8
xy
xy


d.
35
5 2 14
xy
xy


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
a.
1
1
2
3 2 10
xy
xy


b.
1
5 2 10
1
2 5 5
y x y
y x y


c.
0
23
49
48
xy
yx


d.
20
88
xy
xx
xy

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
a.
2 2 3
2 1 6
xy
xy

b.
30
3 2 1 3
xy
xy

c.
2 5 1
52
xy
xy


d.
2 5 2
52
xy
xy


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 5 3 3 5 5
4 4 2 5
xy
xy
b.
3 1 3
3 1 1
xy
xy
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a.
4 3 5 1
2 4 2 1 1
x y x y
xy
b.
3 7 6 1 0
4 1 2 2 7 0
x x y
x x y
Bài 6. Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình:
35
12
x by
ax by


a. Có nghiệm
1;2
b. Có nghiệm
2;2
Bài 7. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a.
1 1 1
3
1 1 1
12
xy
xy


b.
75
1
12
1 1 1
1 2 12
xy
xy




CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
61 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
c.
41
1
22
20 3
1
22
x y x y
x y x y




d.
52
8
31
31
3
31
x y x y
x y x y


Bài 8. Cho hệ phương trình:
32
15 10 5
x y a
xy


a. Có vô số nghiệm với
1a
b. Vô nghiệm với
1a
Bài 9. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
a.
5 10
3 18
xy
xy
b.
4 3 10
2 5 8
xy
xy

c.
1 6 27
2 5 10
9 15
22
xy
xy
d.
11
2
34
2
18
5
xy
xy


Bài 10. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
a.
5 3 19
2 9 31
xy
xy


b.
15 8 46
34
55
xy
xy


c.
3 4 10
6 8 17
xy
xy

d.
5 4 20
11
1
45
xy
xy


Bài 11. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
a.
5 2 3 99
3 7 17
x y x y
x y x

b.
2 3 21
7 4 3 1 14
xy
x x y

c.
2 1 5 1 8
3 1 2 1 1
xy
xy
d.
4 1 2 3 1 5 0
8 1 5 3 1 9
xy
xy
Bài 12. Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
3 1 3
3 1 1
xy
xy
Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số
y ax b
đi qua hai điểm M và N trong mỗi
trường hợp sau:
a.
1;3M
và
2;2N
b.
1; 3M
và
2; 3N
c.
0;0M
và
3;3N
d.
1;4M
và
4; 1N
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 62
a. Hệ phương trình
2
5
x my n
mx ny


có nghiệm là
2; 5xy
?
b. Hệ phương trình
3 2 1
x y m
x y n

có nghiệm là
1; 2xy
?
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a.
10 1
1
12
25 3
2
12
xy
xy




b.
27 32
7
23
45 48
1
23
x y x y
x y x y



c*.
2 6 3 1 5
5 6 4 1 1
xy
xy
d*.
4 3 8
3 5 6
x y x y
x y x y
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:
a.
31
2 2 5
2 3 0
x y z
x y z
x y z
b.
328
26
36
x y z
x y z
x y z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. Biến đổi hệ phương trình
26
26
2 2 6 4
24
xy
xy
yy
xy



16
14
2. 6
2 6 2 6
3
3
4 12 4 3 16 16
16
3
3
x
x
x y x y
y y y
y
y








Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
14 16
;
33



.
b. Biến đổi hệ phương trình
35
35
2 3 5 8
28
xy
xy
yy
xy



18
29
3. 5
3 5 3 5
5
5
6 10 8 5 18 18
18
5
5
x
x
x y x y
y y y
y
y










Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
29 18
;
55




.
c. Biến đổi hệ phương trình
10
10
10 8
8
xy
xy
yy
xy




CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
63 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
10 10 1 10 9
2 10 8 2 2 1 1
x y x y x x
y y y y
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
9; 1
.
d. Biến đổi hệ phương trình
35
35
5 2 3 5 14
5 2 14
yx
xy
xx
xy




24
24
3 5 3 5
11
11
24
5 6 10 14 11 24 17
3. 5
11
11
x
x
y x y x
x x x
y
y








Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
24 17
;
11 11



.
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. Biến đổi hệ phương trình
1
1
1
1
2
2
1
3 2 1 10
3 2 10
2
yx
xy
xx
xy








1 1 4
4
11
22
1
1
.4 1
3 2 10 2 8
2
x
x
y x y x
y
y
x x x

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
4; 1
b. Biến đổi hệ phương trình
1
2 5 1
5 2 10
1
5 2 2
2 5 5
y x y
y x y
y x y
y x y




51
2 5 5 1 5 7 1
77
51
5 2 2 2 2 3 2
2 3 2
77
yx
y x y x y
y x y x y
xx






5 1 5 1
11
7 7 7 7
15 3 1 11 8
22
7 7 7 7
y x y x
x
y
x x x






Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
11;8
.
c. Hệ phương trình đã cho có điều kiện là:
8; 4xy
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 64
Khi đó, biến đổi hệ phương trình
0
3 2 0
23
49
4 8 9 4
48
xy
xy
xy
yx





2
3 2 0
3 2 0
3
4 8 9 4
4 32 9 36
4 9 4
xy
xy
xy
xy
xy
xy




2
8
2
3
19
3
2
12
4. 9 4
4 9 4
3
19
xy
x
xy
yy
xy
y







Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
8 12
;
19 19




.
d. Biến đổi hệ phương trình
20
20
88
88
xy
xy
xx
x x y x
xy



20
20 20
6 20 8 0
8 8 6 8 0
xy
x y x y
yy
x x y x x y



20 80
2 120 60
x y x
yy




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
80;60
.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. Biến đổi hệ phương trình
2 2 3
2 2 3
2 2 2 3 1 6
2 1 6
xy
xy
yy
xy




1 2 6
2 2. 3
2 2 3 2 2 3
5
4 6 1 6 5 1 2 6
1 2 6
5
x
x y x y
y y y
y








1 2 6
2 2 4 12 5 3
2 2. 3
5
5
1 2 6
1 2 6
5
5
x
x
y
y











2 2 3 3
5
1 2 6
5
x
y
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
65 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
2 2 3 3 1 2 6
;
55





.
b. Biến đổi hệ phương trình
3
30
3 3 2 1 3
3 2 1 3
xy
xy
yy
xy



13
33
3.
3
5
5
3 3 1 3 1 3
13
5
5
x
x
xy
yy
y
y






Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
3 3 1 3
;
55





.
c. Biến đổi hệ phương trình
2 5 1 5 2
5 2 2 5 1
x y x y
x y x y





52
52
2 5 2 5 1
2 5 1
xy
xy
yy
xy




5 2 5 2
2 5 2 5 1 5 2 1 1
x y x y
y y y






1
5
1
5 2 1
21
1
5
5 2 1
x
x
y
y









Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
21
1;
5




.
d. Biến đổi hệ phương trình
2 5 2 5 2
2 5 2
52
52
yy
xy
xy
xy




2
2
5 1 2 2 1 2
5
5
2
52
52
0
5
y
y
y
xy
x
x



Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
2
0;
5



.
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 66
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a. Biến đổi hệ phương trình
3 5 3 3 5 5
4 4 2 5
xy
xy
3 5 3 4 4 2 5 3 5 5
4 4 2 5
xx
yx
15 5 15 5
1
25
4 4 2 5
x
x
y
yx




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
1; 2 5
.
b. Biến đổi hệ phương trình
3 1 3
3 1 3
3 1 1 3 1 3 1 3 1
yx
xy
x y x x




3 1 3
3 1 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 4 3
yx
yx
xx
x





43
4 3 4 3 3
3 1 3
3
3
3
43
43
3
3
y
y
x
x










1
3
43
3
y
x

. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
4 3 1
;
33




.
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a. Biến đổi hệ phương trình
4 3 5 1
2 4 2 1 1
x y x y
xy
4 3 5 1
4 3 5 5 1
2 8 4 1
2 4 2 1 1
x y x y
x y x y
xy
xy


3
9 4 8 1
9 8 1
9 8 1
2
3
2 8 3
4
3
4
2
2
yy
xy
xy
xy
xy
xy









CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
67 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
29
27 27
36 8 1 28 1
56
22
29 3
33
4.
44
56 2
22
y
y y y
x
x y x y








29
56
4
7
y
x
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
4 29
;
7 56



b. Biến đổi hệ phương trình
3 7 6 1 0
4 1 2 2 7 0
x x y
x x y
3 21 6 6 6 0 3 6 27
4 4 2 4 14 0 6 4 10
x x y x y
x x y x y




29
2 9 2 9
6 2 9 4 10
6 4 10 8 44
xy
x y x y
yy
x y y



2
11
2
x
y
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
11
2;
2



.
Bài 6. Hệ phương trình:
35
12
x by
ax by


a. Có nghiệm
3.1 .2 5 3 2 5
1;2
.1 .2 12 12
bb
a b a b




3 2 5 2 2 1 1
12 12 1 12 11
b b b b
a b a b a a
Vậy, hệ số
11; 1ab
.
b. Có nghiệm
3. 2 .2 5
6 2 5
2;2
2 2 12
. 2 .2 12
b
b
ab
ab

11 11
2 11
22
6 11 1
6
22
bb
b
ab
aa







Vậy, hệ số
1 11
;
22
ab
.
Bài 7.
a. Điều kiện
0; 0xy
. Đặt ẩn phụ:
11
;ab
xy

| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 68
Khi đó, hệ phương trình
1 1 1
11
1
3
12 3
3
1 1 1
1
1
12
12
12
bb
ab
xy
ab
ab
xy










1
1 1 1
1
2
2
8
3 12 8
4
1 1 1
15
12 8 12
12 24
b
bb
b
a b a
a b a




Với
11
1
24
8
8
5
5
15
8
24
24
b
x
y
y
a
x

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
24
;8
5



.
b. Điều kiện:
1; 2xy
. Đặt ẩn phụ:
11
;
12
ab
xy


khi đó, hệ phương trình
75
1
7 5 1
12
1
1 1 1
12
1 2 12
ab
xy
ab
xy









1
55
7 5 1
7 5 1
12
12
12 144
1
1 17
1
12
12 144
12
bb
ab
bb
ab
a b a
ab











Với
15
144 144
5
22
2 144
55
144
17 144 144
1 17
11
144 17 17
1 144
yy
b
y
a x x
x




134
5
161
17
y
x
(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
161 134
;
17 5



.
c. Điều kiện:
2xy
. Đặt ẩn phụ:
11
;
22
ab
x y x y


CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
69 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
khi đó, hệ phương trình
41
1
41
22
20 3 20 3 1
1
22
ab
x y x y
ab
x y x y







1
41
41
8
20 3 4 1 1
32 4
1
2
a
ba
ba
aa
a
b




Với
11
1
3
28
28
8
5
1 1 2 2
1
2
22
2
x
a
xy
xy
xy
y
b
xy



(thỏa điều kiện)
Kết luận, vậy hệ phương trình có nghiệm là
3
5
2
x
y
d. Điều kiện:
3
1
xy
xy


. Đặt ẩn phụ:
11
;
31
ab
x y x y

Khi đó, hệ phương trình
52
14
8
5 2 8
31
11
3 1 3 3 9
3
3 1 11
a
ab
x y x y
ab
b
x y x y






Với
1 14
11 53
14
3
3 11
14 14
11
11 19
9 1 9
1
99
11 1 11
x y x y
a
xy
x y x y
b
xy





211
252
743
252
x
y
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
211
252
743
252
x
y
Bài 8. Cho hệ phương trình:
32
15 10 5
x y a
xy


a. Với
1a
, ta có:
3 2 1 3 2 1
15 10 5 3 2 1
x y x y
x y x y



| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 70
Hệ phương trình với
1a
là hệ gồm hai phương trình giống nhau (hai đường thẳng trùng nhau) nên
chúng có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
31
22
x
yx

Cách 2: Ta có thể nhìn nhanh số nghiệm của hệ phương trình khi lập tỉ số các hệ số của hai đường
thẳng:
Vì:
3 2 1
15 10 5

nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
b. Với
1a
. Ta có hệ phương trình:
32
15 10 5
x y a
xy


Vì
1a
nên
32
15 10 5
a

. Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a. Biến đổi hệ phương trình
5 10 15 3 30
3 18 3 18
x y x y
x y x y



16 48 3
3 18 5
xx
x y y




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
3; 5
.
b. Biến đổi hệ phương trình
4 3 10 4 3 10
2 5 8 4 10 16
x y x y
x y x y



13 26 2
2 5 8 1
yy
x y x





Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
1;2
.
c. Biến đổi hệ phương trình
1 6 27
5 12 27
2 5 10
2 9 15
9 15
22
xy
xy
xy
xy

5 12 27 10 24 54
2 9 15 10 45 75
x y x y
x y x y




21 21 1
2 9 15 3
yy
x y x




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
3;1
.
d. Biến đổi hệ phương trình
1 1 4
28
3 4 3
22
18 18
55
x y x y
x y x y







CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
71 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
26
15
26
15
15
2
2 12
.15 18
18
5
5
x
x
x
y
y
xy




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
15;12
.
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a. Biến đổi hệ phương trình:
5 3 19 10 6 38
2 9 31 10 45 155
x y x y
x y x y



39 117 3 2
5 3 19 5 9 19 3
y y x
x y x y
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
2;3
.
b. Biến đổi hệ phương trình:
15 8 46
15 8 46
34
5 3 4
55
xy
xy
xy
xy





15 8 46 17 34 2 2
15 9 12 5 3 4 5 6 4 2
x y y y x
x y x y x y
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
2;2
.
c. Hệ phương trình
3 4 10
6 8 17
xy
xy

có tỉ lệ giữa các hệ số là:
3 4 10
6 8 17


dạng
a b c
a b c




nên hệ phương trình vô nghiệm.
d. Hệ phương trình
5 4 20
11
1
45
xy
xy


có tỉ lệ giữa các hệ số là:
5 4 20
11
1
45

dạng
abc
abc




nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
Với nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
5
5
4
x
yx

hoặc
4
4
5
y
xy

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a. Biến đổi hệ phương trình
5 2 3 99
3 7 17
x y x y
x y x

5 10 3 3 99 2 13 99
6 3 17 6 3 17
x y x y x y
x y x y




| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 72
70
19
6 39 297 36 280
9
18
70
6 3 17 6 3 17 70
6 3 17
9
9
y
x
x y y
x y x y
x
y









Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
19 70
;
18 9



b. Biến đổi hệ phương trình
2 3 21
7 4 3 1 14
xy
x x y

2 3 21 2 3 21
7 28 3 3 3 14 10 3 45
x y x y
x x y x y




8 24 3 3
3 21 2 3 21 6 5
x x x
y x y y
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
3;5
c. Biến đổi hệ phương trình
2 1 5 1 8
3 1 2 1 1
xy
xy
2 2 5 5 8 2 5 11
3 3 2 2 1 3 2 0
x y x y
x y x y




6 15 33 11 33
6 4 0 3 2 0
x y y
x y x y




32
3 2 3
yx
x y y




Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
2; 3
* (Những bài toán khá đơn giản như thế này chúng ta không nên đặt ẩn phụ, bởi sẽ tạo ra nhiều
bước thực hiện để hoàn thành bài toán. Cách tốt nhất là khai triển, rồi làm gọn hệ phương trình đã
cho. Sau đó giải theo phương pháp thầy đã nêu.)
d. Biến đổi hệ phương trình
4 1 2 3 1 5 0
8 1 5 3 1 9
xy
xy
4 4 6 2 5 0 4 6 1
8 8 15 5 9 8 15 4
x y x y
x y x y




8 12 2 3 2
8 15 4 4 6 1
x y y
x y x y




2
3
3
4
2
2
4 6. 1
3
3
y
x
x
y










CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
73 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
32
;
43




Bài 12. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
Biến đổi phương trình
3 1 3
3 1 1
xy
xy
3 1 3 3 1 3
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 1
x y x y
x y x y






1
31
3
3 1 3
3 1 3
y
y
xy
xy





1
1
3
3
1
3
3
3
31
31
y
y
y
x
x







1
3
3 1 3 3 1
3 3 1 4 3
3
3 3 1 3 3 1
y
x



Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
4 3 1
;
33




Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số
y ax b
đi qua hai điểm M và N trong mỗi
trường hợp sau:
a. Hàm số
y ax b
đi qua hai điểm
1;3M
và
2;2N
:
Điểm
1;3M
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
31ab
Điểm
2;2N
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
2 2 2ab
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
1
3
3
2 2 8
3
a
ab
ab
b


Vậy,
1
3
a
và
8
3
b
.
b. Hàm số
y ax b
đi qua hai điểm
1; 3M
và
2; 3N
:
| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 74
Điểm
1; 3M
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
31ab
Điểm
2; 3N
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
3 2 2ab
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
0
3
3
32
a
ab
b
ab



Vậy,
0
3
a
b
.
c. Hàm số
y ax b
đi qua hai điểm
0;0M
và
3;3N
:
Điểm
0;0M
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
01b
Điểm
3;3N
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
3 3 2ab
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
01
3 3 0
ba
a b b




Vậy,
1
0
a
b
.
d. Hàm số
y ax b
đi qua hai điểm
1; 4M
và
4; 1N
:
Điểm
1; 4M
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
41ab
Điểm
4; 1N
thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
1 4 2ab
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
41
1 4 3
a b a
a b b



Vậy,
1
3
a
b

.
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
a. Hệ phương trình
2
5
x my n
mx ny


có nghiệm là
2; 5xy
Thay giá trị
2; 5xy
vào hệ phương trình, ta có hệ:
5
4 5 5 4
9
2 5 5 2 5 5 11
9
m
m n m n
m n m n
n




Vậy, với
5
9
m 
và
11
9
n
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
2; 5xy
.
b. Hệ phương trình
3 2 1
x y m
x y n

có nghiệm là
1; 2xy
.
Thay giá trị
1; 2xy
vào hệ phương trình, ta có hệ:
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
75 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
1 2 1
3 2 1 3 4 1 6
x y m m m
x y n n n

Vậy với
1m 
và
6n
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
1; 2xy
.
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a. Hệ phương trình
10 1
1
12
25 3
2
12
xy
xy




có điều kiện
1; 2xy
Với x thỏa điểu kiện.
Đặt ẩn phụ:
11
;
12
ab
xy


, ta có hệ phương trình mới:
10 1
1
10 1
12
25 3 25 3 2
2
12
ab
xy
ab
xy







1
30 3 3 5 1
5
25 3 2 10 1
1
a b a
a
a b a b
b



Từ kết quả
1
5
1
a
b

, suy ra:
11
15
1
1
2
x
y

1 5 6
2 1 3
xx
yy




(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
6; 3
.
b. Hệ phương trình
27 32
7
23
45 48
1
23
x y x y
x y x y



có điều kiện
20
30
xy
xy


Với x thỏa điều kiện.
Đặt ẩn phụ:
11
;
23
ab
x y x y


, ta có hệ phương trình mới:
27 32
1
7
27 32 7
23
9
45 48 45 48 1 1
1
2 3 8
a
ab
x y x y
ab
b
x y x y







| TOÁN 9
THCS.TOANMATH.com| 76
Từ kết quả
1
9
1
8
a
b
, suy ra:
11
29
11
38
xy
xy
2 9 5
3 8 1
x y x
x y y




(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
5;1
.
c*.
2 6 3 1 5
5 6 4 1 1
xy
xy
. Đặt
6 ; 1a x b y
Ta có hệ phương trình:
2 6 3 1 5
2 3 5 1
5 4 1 1
5 6 4 1 1
xy
a b a
a b b
xy



Với
1
1
a
b
, suy ra:
61
1
11
61
2
61
11
1 1 6 1
3
11
61
4
11
x
y
x
x
y
yx
y
x
y



Giải
6 1 7
1
1 1 0
xx
yy



Giải
6 1 5
2
1 1 2
xx
yy



Giải
6 1 7
3
1 1 2
xx
yy



Giải
6 1 5
4
1 1 0
xx
yy



Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là:
7;0 ; 5; 2 ; 7; 2 ; 5;0
.
d*.
4 3 8
3 5 6
x y x y
x y x y
. Đặt
;a x y b x y
Ta có hệ phương trình:
4 3 8
4 3 8 2
3 5 6 0
3 5 6
x y x y
a b a
a b b
x y x y



CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
77 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
Với
2
0
a
b
, suy ra
2
1
2
0
02
2
0
xy
xy
xy
x y x y
xy



Giải
21
1
01
x y x
x y y



Giải
21
2
01
x y x
x y y



Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là:
1;1 1; 1
.
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:
a.
31
31
2 2 5 2 2 3 1 5
2 3 0
2 3 3 1 0
z x y
x y z
x y z x y x y
x y z
x y x y


3 1 3 1 3 1
2 6 2 2 5 8 7 4 4
2 9 3 3 0 8 5 3 8 7
z x y z x y z x y
x y x y x y y
x y x y x y x y
3 1 3 1 1
111
8 1 7 1 1
z x y z x y z
yyy
x x x





Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
1; 1;1
b.
3 2 3 6 8
328
2 6 2 3 6 6
36
36
x y x y
x y z
x y z x y x y
x y z
z x y


3 2 3 6 8
3 6 2 12 8
2 3 6 6 2 3 6 6
36
36
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
z x y
z x y


5 4 4
00
3 6 10
x y y
xx
z x y z





Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
0; 4;10
.
| 1/77
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
a x b y c 1  1 1 1  
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: I  a x b y c 2  2 2 2   a. Phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).
Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình
bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.
Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.
b. Phương pháp cộng đại số:
Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y). Bước 2: -
Xem xét hệ số của ẩn muốn khử. -
Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. -
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ. -
Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu
cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng
nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên. -
Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.
Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã cho.
Ta suy ra nghiệm của hệ
* Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình đã cho
thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.
Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
* Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:
Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn
a x b y c 1  1 1 1  
Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự a xb y c 2  2 2 2  
Ta nhập số liệu tương ứng: Hàng thứ nhất: a ;  b ;
c và hàng thứ hai: a ;  b ;  c  1 1 1 2 2 2
Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.
Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.
1 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 B.CÁC DẠNG TOÁN I. PHƯƠNG PHÁP THẾ
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước x y
Ví dụ: Giải hệ phương trình  I  2 3 : Bướ   bằng
c 1. Từ một phương trình đã cho (coi như x 3 y 4
phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này phương pháp thế.
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để Hướng dẫn giải
được phương trình mới (chỉ có một ẩn). y  3  2x
y  3  2x
Ta có  I      Bướ x  3 y  4 x  3  3 2x 
c 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế 4
cho phương trình thứ hai trong hệ (phương  y 32x y   x  9  5x  4  3 2
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi 5x  5
hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở
y32x y   x  1  1 bướ  c 1). x 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
x; y  1;  1 . Ví dụ mẫu x y
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  2 3
2x  3 y   bằng phương pháp thế. 4
Hướng dẫn giải
x  2 y  3 x  2 y  3
x  2 y  3 Ta có    
2x  3 y  4
2x3y4 22y33y4
x2y3       y    x 2y 3 y  x 1 6 4 2 y  2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  ;
x y   1; 2 .
Lưu ý: Trong phương pháp thế khi lựa chọn rút x theo y hay rút y theo x thì nên cố gắng chọn
các phương trình cho liên hệ của y, x có hệ số nguyên. x y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 2 4 4x  3 y  bằng phương pháp thế. 5
Hướng dẫn giải THCS.TOANMATH.com| 2
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|   3 y x  3x 2 y 4 2 y 3x 4     
y x  2  2 Ta có       4x  3 y  5  3 2 2 4x  3 y  5  3 
4x  3y  5 4x  3 x  2  5     2   3  3  3 y x  2 y x  2 y x  2  3   
y x  2 2 2 2 y          2  9 1 1  1 x  2
4x x  6  5  x  6  5  x  1 x  2  2  2  2 x y
Vậy hệ phương trình 3 2 4 ; x y  2;1 . 4x  3 y
có nghiệm duy nhất là     5
Lưu ý: Nếu không thể lựa chọn phương trình nào để liên hệ của y, x có hệ số nguyên thì chúng ta
sẽ lựa chọn phương trình để liên hệ của y, x dễ biến đổi nhất.
Bài tập tự luyện dạng 1 x y
Câu 1: Giải hệ phương trình 3 5
4x  2 y  bằng phương pháp thế. 8  x y
Câu 2: Giải hệ phương trình  2 3 4 3x  4 y  bằng phương pháp thế. 11 ĐÁP ÁN Câu 1:
3xy5 y  x y  x y   x     4x  2 y  8  5 3 5 3 4x  2 y  8 x  5  3x  8   5 3 4 2  
4x 10  6x  8 y53x           x  y 5 3x x  y 5 3x x  y 2 10 2 8 2 2 1 x  1 x y
Vậy hệ phương trình 3 5 ;
x y  1; 2 là nghiệm duy nhất. 4x  2 y  nhận     8 Câu 2:    x y  2x 3 y 4 x y       x y       
3x  4 y  11  3 3 2 2 3 4 2 2 2
3x  4 y  11  3 
3x  4y 11 3 y  2  4y 11     2   3  3 x y  2 x y  2  3   x y  2 2 2 x        2  9 17  1 y  2
y  6  4y  11  y  17 y  2 2  2  x y
Vậy hệ phương trình  2 3 4 ;
x y  1; 2 là nghiệm duy nhất. 3x  4 y  nhận     11
3 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ 3x   1  2  y   1  4  bằng phương pháp thế.
phương trình về phương trình bậc nhất hai ẩn. 4
  x  2  3 y   1  5
Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương Hướng dẫn giải pháp thế. 3 x   1  2  y   1  4 
Bước 3: Kết luận. 4
  x  2  3 y   1  5
3x32y24     x   y   3x 2y 1 4 8 3 3 0
4x  3 y  10  3 1  3 1 y x    y x   2 2   2 2    3 1 
4x  3y 10 4x  3 x   10     2 2   3 1 y x   2 2   9 3
4x x   10  2 2  3 1 y x   3 1   y x       y  2 2 2 2 2 17 17 x  1  x  x 1  2 2 3 x   1  2  y   1  4 Vậy hệ phương trình  có 4
  x  2  3 y   1  5 nghiệm duy nhất  ;
x y   1; 2 . Ví dụ mẫu
x y  2  y x   1  3
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. 2x   y  
1  y 2x  3  1
Hướng dẫn giải
x y  2  y x   1  3 Xét hệ phương trình  . 2x   y  
1  y 2x  3  1
xy2xyxy3       
xy x xy y  2x y 3 x y  y 2x 3 2 2 2 3 1 2 3 1 2x  3 y  1
y  2x  3 y x y x      x  2x  3  1   2 3
2x  6x  9  1  2 3 2 3  4x  8 THCS.TOANMATH.com| 4
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
y2x3    x  y 1 2 x  2
x y  2  y x   1  3 Vậy hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  ; x y   2;  1 . 2x   y  
1  y 2x  3  1
x 2y  
1  y 2x   1  4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. x  3y  
1  y 3x  2  5
Hướng dẫn giải
x 2y  
1  y 2x   1  4
xy x xy y    
x 3 y  1  y 3x  2  5 2 2 4     
3xy x  3xy  2 y  5
 x y  4 x  2 y  5
 y  x  4 x  2 y  5
y  x  4  x  2  x  4  5
 y  x  4 x  3
 y  x  4 x  3  y 1 x  3
x 2y  
1  y 2x   1  4 Vậy hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  ; x y   3;  1 . x  3y  
1  y 3x  2  5
Bài tập tự luyện dạng 2 2 x  
1  3 y  2  9
Câu 1: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. 3   x   1  y  6
x 2y  
1  y 2x  2  7
Câu 2: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. x
 2  2 y  y 2x   1  8
2 x y  3 y   1  7
Câu 3: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. 3   x   1  2 y  6
3y x  2  x 3y   1  5
Câu 4: Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế. 3x
 2  y  y 3x  2  4
5 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 ĐÁP ÁN Câu 1: 2 x  
1  3 y  2  9
2x  3 y  13
2x  3 3x  9  13 7x  14 x  2 Ta có      
3 x 1  y  6    3x y  9 
y  3x  9
y3x9    y  3 2 x  
1  3 y  2  9 Vậy hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  ; x y   2;3 . 3   x   1  y  6 Câu 2: Ta có
x 2y  
1  y 2x  2  7
xy x xy y x   yx   y x       
x 2  2 y y 2x  1  8 2 2 2 7
2x  2xy  2xy y  8  7 2 7 2 2x y  8
2 7  2 y y  8    3       y  2
x 2y  
1  y 2x  2  7 Vậy hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  ;
x y   3; 2 . x
 2  2 y  y 2x   1  8 Câu 3:
2 x y  3 y   1  7
2x  2 y  3 y  3  7
2x y  4 y  2x  4 Ta có    
3 x  1  2 y  6
3x32y6
3x2y3     3x  2 y  3
y  2x  4  3x  2  2x  4  3
 y  2x  4
3x  4x  8  3
 y  2x  4 7 x  8  3
 y  2x  4 7 x  5
y  2x  4    5 x    7  18 y   7   5 x   7
2 x y  3 y   1  7    Vậy hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất  x y  5 18 ;  ;   . 3   x   1  2 y  6  7 7  Câu 4:
3y x  2  x 3y   1  5
3 yx  6 y  3xy x  5 Ta có  
3x 2  y y 3x  2  4      
6x  3xy  3xy  2 y  4 THCS.TOANMATH.com| 6
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
 6y x  5 6x  2 y  4
 x 6y  5 6x  2 y  4
 x  6y 5 6x  2 y  4
x  6 y  5  6
 6 y  5  2 y  4
 x  6y 5
36 y  30  2 y  4
 x  6y 5 34 y  34
 x  6y 5 y  1  x 1 y  1
3y x  2  x 3y   1  5 Vậy hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  ;
x y   1;   1 . 3x
 2  y  y 3x  2  4
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau 1 2   2 
Bước 1. Đặt điều kiện.  x y
Ví dụ: Giải hệ phương trình  3 4
Bước 2. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ    1  x y
phương trình để đưa hệ phương trình về dạng Hướng dẫn giải
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều Điều kiện: x  0 ; y  0 kiện của ẩn phụ. Bướ 1 1
c 3. Sử dụng phương pháp thế giải hệ Đặt  a ;
b a,b  0. Hệ phương trình đã x y
phương trình theo ẩn phụ.   Bướ a b
c 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được cho trở thành  2 2 3a  4b  1
thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định a  2b  2 a  2  2b
nghiệm của hệ phương trình.   3a  4b  1 3a4b1
Bước 5. Kết luận.
a  2  2b  3
 2  2b  4b  1
7 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
 a  22b 10b  6  1
 a  22b 10b  5
a  2  2b    1 b   2 a  1    1 b   2 1 Với a  1 suy ra
 1 x  1 (thỏa mãn); x 1 1 1 b  suy ra
  y  2 (thỏa mãn). 2 y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là
 ;x y  1;2 . Ví dụ mẫu  3 4   1
 x 1 y  2
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  1 2 4   
 x 1 y  2 3
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  1 ; y  2 Đặ 1 1 t  a ;
b a,b  0. x 1 y  2
3a  4b  1 
Hệ phương trình đã cho trở thành  4 a  2b   3   4 
3a  4b  1
3a  4b  1 3
 2b  4b  1       Ta có  3   4   4   a  2b a   2b 4     3  3 a   2b  3
10b  4  1    4 a   2b  3 THCS.TOANMATH.com| 8
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  1 b   2   4 a   2b  3  1 b   2   1 a   3 1 1 1 Với a  suy ra
  x 1  3  x  4 (thỏa mãn điều kiện); 3 x 1 3 1 1 1 b  suy ra
  y  2  2  y  0 (thỏa mãn điều kiện). 2 y  2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ; x y   4;0 .
2 x  2  3 y 1  4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 x 2  2 y 1  7 
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  2 ; y  1
Đặt x  2  a ; y 1  b a  0;b  0 . a b  
Hệ phương trình đã cho trở thành 2 3 4 3a  2 b  7    
2a  3b  4 a a      
2a  3b  4  
Giải hệ phương trình  3 7 2 3 4  2 2    3 7   3a  2 b  7 b a  3 7    2 2 b a   2 2 13 21 13 13 a   4 a           a1 2 2 2 2 (thỏa mãn điều kiện) 3 7 3 7 b  2 b a  b a   2 2  2 2
Với a  1 suy ra x  2  1  x  2  1  x  3 (thỏa mãn điều kiện); b  2 suy ra
y 1  2  y 1  4  y  3 (thỏa mãn điều kiện).  x   y    Vậy hệ phương trình 2 2 3 1 4  có nghiệm duy nhất  ; x y   3;3 .
3 x  2  2 y 1  7 
Bài tập tự luyện dạng 3
9 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 2 2
4x  3y  5
Câu 1: Giải hệ phương trình  2 2
x  2 y  4  6 3   3
 x y x  2y
Câu 2: Giải hệ phương trình  1 7    2
 x y x  2y
7 x  2  2 y 1  1
Câu 3: Giải hệ phương trình 3 x  2  y 1  6  ĐÁP ÁN Câu 1:   Đặ a b t 2 a xa  0 ; 2 b y
b  0 ta có hệ phương trình sau 4 3 5 a  2b  4 a b
Giải hệ phương trình 4 3 5 a  2b  4 4a  3b  5 4a  3b  5
4 4  2b  3b  5
16  8b  3b  5 Ta có      a  2b  4    a  4  2b
a  4  2ba42b 1611b5        a   b 11b 11 a   bb 1 a   bb 1 4 2 4 2 4 2 a  (thỏa mãn điều kiện) 2 Với a  2 suy ra 2
x  2  x   2 . b  1 suy ra 2
x  1  x  1. 2 2
4x  3y  5 Vậy hệ phương trình  có các nghiệm là 2 2
x  2 y  4
 ;x y  2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1. Câu 2:
Điều kiện: x   y ; x  2 y   Đặ 1 1 a b t a  ; b
a;b  0 ta có hệ phương trình sau 6 3 3 x y x  2 y a  7b  2 a b
Giải hệ phương trình 6 3 3 a  7b  2 Ta có  b
6a  3b  3   
6a3b3    b b  b b   b          a b a   b
a  2  7b 12 42 3 3 a   b  1 6 2 7 3 3 45 9 5 7 2 2 7 2 7 a  2  7b 3 a   5 THCS.TOANMATH.com| 10
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 3 1 3 5 Với a  suy ra
  x y  5 x y 5 3 1 1 1 b  suy ra
  x  2y  5 5 x  2 y 5  5 x y
Vậy suy ra x; y là nghiệm của hệ phương trình  3
x  2y  5  5  5  5  5 x   y x   y  x y
x   y    Ta có 3 3  3   3     5 5
x  2y  5
x  2y  5
 y   2y  5 3y  5   3  3  5  5  25 x   y x   y x     3 3 9       (thỏa mãn điều kiện) 10 10 10 3y   y   y   3  9  9  6 3   3
 x y x  2y    Vậy hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất  x y  25 10 ;  ;   . 1 7     9 9  2
 x y x  2y Câu 3:   Đặ a b
t a x  2 a  0 ; b y 1 b  0 ta có hệ phương trình sau 7 2 1 3a b  6 7a  2b  1 7a  2b  1
7a  2 3a  6  1 13a 12  1 Ta có      3a b  6   
b  3a  6
b  3a  6 b3a6 13a13      b   a  a 1 b   a  a 1 3 6 3 6
b  (thỏa mãn điều kiện) 3 x  2  1 x  1
Với a  1 suy ra x  2  1    . x  2  1 x  3  y 1  3  y  2
b  3 suy ra y  1  3    .  y 1  3 y  4
7 x  2  2 y 1  1 Vậy hệ phương trình  có các nghiệm là
3 x  2  y  1  6   ;x y  1  ;2; 1  ; 4  ; 3  ;2; 3  ; 4  .
Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
11 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận m   1 x ny  3
Ví dụ: Cho hệ phương trình  .     x ; y là nghiệm. 2mx y 2 0 0   
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm
Hệ phương trình ax by c a x   b y   có nghiệm c
 ;x y  1;2 . 
ax by c
Hướng dẫn giải x ; y khi và chỉ khi 0 0  . 0 0  a x   b y   c  0 0 m   1 x ny  3 Hệ phương trình  nhận cặp số
- Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ
2mx y  2
phương trình thỏa mãn một số điều kiện khác.
 ;x y  1;2 là nghiệm của hệ phương trình
Bước 1. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập nên
phương trình có ẩn là tham số. m     Bướ 1 .1 . n 2 3
c 2. Giải phương trình tham số.  2 . m 1  2  2
Bước 3. Kết luận
 m  2n  2 2m  2  2
 m  2n  2 m  0  n 1 m  0 n  Vậy với  1 m  hệ phương trình 0 m   1 x ny  3  nhận  ;
x y   1; 2 là nghiệm
2mx y  2 của hệ phương trình. Ví dụ mẫu x y
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình  2 3
2x y m  . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2
x ; y với y x . 0 0  0 0
Hướng dẫn giải x  2 y  3 x  3  2 y
x  3  2 y Ta có    
2x y m  2
2xym2 232yym2
 x  3 2y
6  3 y m  2 THCS.TOANMATH.com| 12
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
x  3  2 y    8  m y   3  2m  7 x   3   8  my   3 x y   m   m
Vậy hệ phương trình  2 3 x y    là nghiệm.
2x y m  nhận   2 7 8 ; ; 2  3 3  x y
Mặt khác theo đề bài hệ phương trình  2 3 x ; y
với y x nên
2x y m
có nghiệm duy nhất  0 0  2 0 0 2m  7 8  m
 2m  7  8  m  3m  15  m  5 3 3 x y
Vậy với m  5 hệ phương trình  2 3 x ; y với y x .
2x y m
có nghiệm duy nhất  0 0  2 0 0
Lưu ý: Với hệ phương trình bậc nhất chứa tham số ta vẫn giải như hệ phương trình bậc nhất khi có
đầy đủ các hệ số nhưng lưu ý khi chia hai vế cho đại lượng nào đó thì đại lượng đó khác 0. x y m
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình 2 3 2 6 
( m là tham số, m  0 ). Tìm điều kiện của m để
x y m  2
hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x ; y
sao cho x y nhỏ nhất. 0 0  0 0
Hướng dẫn giải
2x  3y  2 m  6
2x  3y  2 m  6 Ta có   
x y m  2
y x m  2
2x  3x m  2  2 m  6
 y xm 2
2x  3x  3 m  6  2 m  6
 y xm 2
5x  5 m 12
 y xm 2  12 x m    5
y x m  2
13 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9  12 x m   5   2  y   5  x y m
Suy ra hệ phương trình 2 3 2 6 
luôn có nghiệm duy nhất
x y m  2   12 2  x ; ym  ; với mọi m  0 0 0     5 5  Khi đó 12 2 14 x y m    m  0 0 5 5 5 14 14 14
Vì m  0 nên  x y m   0   0 0  5 5 5
Dấu "=" xảy ra khi m  0  x y m
Vậy với m  0 hệ phương trình 2 3 2 6 
có nghiệm duy nhất  x ; y
thỏa mãn x y 0 0   0 0 x y m  2 nhỏ nhất.
Bài tập tự luyện dạng 4 2m  
1 x  7 n  2 y  6
Câu 1: Xác định m để hệ phương trình  có nghiệm  ;
x y   1; 2 . m  
1 x  n  2 y  12 x y
Câu 2: Xác định m để hệ phương trình  3
x; y sao cho x  2 y .
2x y  2a  có nghiệm   5
x y a
Câu 3: Tìm m để hệ phương trình  2
x; y , sao cho x; y là các số 3x  5 y  có nghiệm duy nhất   2a nguyên.
x my m 1  1
Câu 4: Cho hệ phương trình 
. Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có
mx y  3m 1  2
nghiệm duy nhất  x; y mà x, y đều là số nguyên. ĐÁP ÁN Câu 1: 2m  
1 x  7 n  2 y  6 Hệ phương trình  có nghiệm  ;
x y   1; 2 suy ra m  
1 x  n  2 y  12 2m  
1 .1  7 n  2.2  6 m   n   m      
m  1 .1  n  2 .2  12 2 2 14 28 6
m  1  2n  4  12 2 14 24     m  2n  15
 m 7n  12 m  2n  15 THCS.TOANMATH.com| 14
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
 m  7n12 m  2n  15
 m  7n12
7n 12  2n  15
 m  7n12 9n  27
 m  7n12 n  3  m  9 n  3 2m  
1 x  7 n  2 y  6
Vậy với m  9; n  3 hệ phương trình  có nghiệm duy nhất m  
1 x  n  2 y  12
 ;x y  1;2 . Câu 2: x y  3 y  3  x
y  3  x Ta có    
2x y  2a  5
2xy2a5 2x 
3 x  2a  5           x           x   a   1 2a y 3 x y y 3 y 3 x 3 2a 8 3 3 2 5 3x  2a  8 x  2a  8    3 x   3  a   a
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y  2 8 1 2 ;  ;    3 3  x y
Theo giả thiết hệ phương trình  3
x; y sao cho x  2 y nên
2x y  2a  có nghiệm   5 2a  8 1  2a  2.
 2a  8  2  4a  6a  6  a  1 3 3 x y
Vậy với a  1 hệ phương trình  3
x; y sao cho x  2 y .
2x y  2a  có nghiệm   5 Câu 3:
x y a  2
y   x a  2
y  x a  2 Ta có    
3x  5 y  2a
3x5y2a 3x5 
x a  2  2a
 y  x a  2
2x  5a 10  2a
 y  x a  2
2x  3a 10
15 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
y  x a  2    3a  10 x   2
y  x a  2    3a x   5  2
x y a   a  Vậy hệ phương trình  2 x y        là nghiệm. 3x  5 y  nhận   3 ; 5; x a 2 2a  2  3a    Để 5
hệ phương trình có nghiệm nguyên thì  2
x a  2 3a 3a Vì 5  do đó để  5 thì
  a  2k k   2 2 Với x  ; a
suy ra y  x a  2 
x y a
Vậy để hệ phương trình  2
a k k   . 3x  5 y
có nghiệm là các số nguyên thì 2 2a Câu 4:
Từ phương trình (2) ta có y  3m 1 mx
Thế vào phương trình (1) ta được x m m   mx  m    2 m   2 3 1 1
1 x  3m  2m 1 (3)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là 2
m 1  0  m  1 Khi đó hệ phương trình tương đương với 2  3m  2m 1 m   1 3m 1  3m  1 2 x    x   3  2   m 1
m 1.m 1 m  1 m  1    m 1 2 3m  1   y   1 y 3m 1 . m        m  1 m  1 m 1 Để 2 x, y  thì
 . Do đó m 12;1;1; 
2  m 3; 2;0;  1 m 1
Kết hợp điều kiện m  1 chỉ có m 3; 2;  0 thỏa mãn.
Vậy m 3; 2; 
0 là các giá trị cần tìm. THCS.TOANMATH.com| 16
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
II. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước 2x  3y  7
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế hai x  2y  4
phương trình của hệ phương trình đã cho
Hướng dẫn giải
để được phương trình mới.
Ta lấy phương trình thứ hai nhân với 2 sau đó trừ
Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế hai phương trình cho nhau.
cho một trong hai phương trình của hệ 2x  3y  7 2x  3y  7 2x  3y  7     
(vẫn giữ nguyên phương trình kia). Giải x  2y  4 2x  4y  8 y  1
hệ phương trình mới tìm được. 2x  4 x  2     Chú ý: y  1 y  1
Trường hợp 1: Nếu các hệ số cùng
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
một ẩn nào đó trong hai phương trình x;y  2;  1
bằng nhau thì ta trừ hai phương trình đó,
đối nhau thì ta cộng hai phương trình đó.
Trường hợp 2: Nếu các hệ số cùng
một ẩn trong hai phương trình không
bằng nhau và không đối nhau ta phải thực
hỉện biến đổi cùng nhân hai vế các
phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1. Ví dụ mẫu x  2y  7
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số. 3x  2y  13
Hướng dẫn giải
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình x  2y  7 x  2y  7 2y  7  3 2y  4 x  3          2x  6 x  3 x  3 x  3 y  2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y  3;2 4x  3y  5
Ví dụ 2. Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau x  y  3
Hướng dẫn giải
17 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với 3 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được hệ phương trình 4x  3y  5 4x  3y  5 4.2  3y  5 3y  3 y  1          7x  14 x  2 x  2 x  2 x  2 4x  3y  5 Vậy hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất x;y  2;  1 x  y  3
Bài tập tự luyện dạng 1 7x  2y  3
Câu 1: Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số. 5x  3y  11 4x  5y  23
Câu 2: Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số. 2x  3y  13 x  4y  8
Câu 3: Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số. 2x  5y  13
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Bước 1. Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ 2
 x  2  3y 1  4 phương trình về 
hệ phương trình bậc nhất 3
 x  2  2 y 1  8 hai ẩn.
Hướng dẫn giải
Bước 2. Giải hệ phương trình bằng 2
 x  2  3y 1  4
phương pháp cộng đại số.
Ta có 3x22y1 8
Bước 3. Kết luận.
2x  4  3y  3  4 2x  3y  5     3x  6  2y  2  8 3x  2y  12
Nhân hai vế của phương trình một với 2 và hai vế
phương trình hai với 3 sau đó ta cộng hai vế phương trình với nhau. 2x  3y  5 4x  6y  10    3x  2y  12 9x  6y  36 2x  3y  5 2x  3y  5     1  3x  26 1  3x  26 2x  3y  5 2.2  3y  5     x  2 x  2 THCS.TOANMATH.com| 18
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 3y  9  x  2 y  3  x  2 2
 x  2  3y 1  4 Vậy hệ phương trình  có 3
 x  2  2 y 1  8
nghiệm duy nhất x;y  2;3 . Ví dụ mẫu 2x
 y  2  y 2x 1  5
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x
 y 1  y 2  x  8
Hướng dẫn giải 2x
 y  2  y 2x 1  5
2xy  4x  2xy  y  5 4x  y  4 Ta có      x  y   1  y 2  x  8
xy  x  2y  xy  8 x  2y  8 4x  y  5
Giải hệ phương trình  . x  2y  8
Nhân hai vế phương trình một với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương trình  9x  18   x  2   x  2 x  2          . x  2y  8 x  2y  8  2y  6  y  3 2x
 y  2  y 2x 1  5 Vậy hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất x;y  2;3 . x
 y 1  y 2  x  8 3x
 y 1  y 2  3x  1
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2x
 y  2  2y x  2  4
Hướng dẫn giải 3x
 y 1  y 2  3x  1
3xy  3x  2y  3xy  1 Ta có    2x
 y  2  2y x  2  4
2xy  4x  2yx  4y  4 3x  2y  1 3x  2y  1     4x  4y  4 x  y  1 3x  2y  1
Giải hệ phương trình x  y 1
19 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Nhân hai vế phương trình hai với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được ta được hệ x  3 x  3 phương trình    . x  y  1 y  4 3x
 y 1  y 2  3x  1 Vậy hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất: x;y  3;4 . 2x
 y  2  2y x  2  4
Bài tập tự luyện dạng 2 4
 x  y  3y 1  7
Câu 1: Giải hệ phương trình 2  x 1  y  6 2x
 1 2y  4y x 1  8
Câu 2: Giải hệ phương trình 3x
 y 1  y 3  3x  15 2y
 x  2  x 4  2y  4
Câu 3: Giải hệ phương trình 5x
 y  3  y 5x  4  7
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau  1 3   2 
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức cùa x 1 y  2
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
hệ phương trình để đưa hệ phương trình 1 2 3    x 1 y  2 2
về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bướ
Hướng dẫn giải
c 2. Đặt điều kiện của ẩn phụ. Bướ     
c 3. Sử dụng phương pháp cộng đại x 1 0 x 1 Điều kiện    y  2  0 y  2
số giải hệ phương trình theo ẩn phụ.
Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm Đặ 1 1 t  a;
 b ta có hệ phương trình sau   đượ x 1 y 2
c thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác đị   
nh nghiệm của hệ phương trình. a 3b 2   . Bướ 3
c 5. Kết luận. a  2b   2 Điều kiện a,b  0 a  3b  2 
Giải hệ phương trình  3 a  2b   2
Trừ phương trình một cho phương trình hai ta được hệ THCS.TOANMATH.com| 20
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|   1  a  3b  2 a  3b  2 a  3  2        2   3   1   a  2b  b     1  2  2 b   2  1 a   2  
(thỏa mãn điều kiện). 1 b   2 1 Với a  thì 2 1 1
  x 1  2  x  3 (TMĐK) x 1 2 1 Với b  thì 2 1 1
  y  2  2  y  0 (TMĐK) y  2 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y  3;0. Ví dụ mẫu
3 x 1  2 y  2  4 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 x 1 3 y2  7 
Hướng dẫn giải
Đặt a  x 1 a  0; b  y  2 b  0 3a  2b  4
Hệ phương trình đã cho trở thành 2a 3b  7 3a  2b  4
Giải hệ phương trình 2a 3b  7 3a  2b  4 9a  6b  12 3a  2b  4      2a  3b  7 4a  6b  14 1  3a  26 3a  2b  4 3.2  2b  4 2b  2 b  1         a  2 a  2 a  2 a  2 x 1  2 x  3
Với a  2 thì x  1  2     x 1  2 x  1
21 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 y  2  1 y  1 b  1 thì y  2  1     y  2  1 y  3
3 x 1  2 y  2  4  Vậy hệ phương trình  có các nghiệm là
2 x 1  3 y  2  7 
x;y 3; 1;3; 3  ; 1  ; 1  ; 1  ; 3  .
4 2x 1 3 y  2  1
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 2x13 y2 13 
Hướng dẫn giải  1 2x 1  0 x   Điều kiện    2 y  2  0 y  2
Đặt a  2x 1 a  0; b  y  2 b  0 . 4a  3b  1
Hệ phương trình đã cho trở thành: 2a 3b 13 4a  3b  1
Giải hệ phương trình 2a 3b 13 4a  3b  1 4a  3b  1 4a  3b  1      2a  3b  13 4a  6b  26 9b  27 4a  3b  1 4a  3.3  1 4a  8 a   2         b  3 b  3 b  3 b  3 3
Với a  2 thì 2x  1  2  2x  1  4  2x  3  x  . 2
b  3 thì y  2  3  y  2  9  y  11 .
4 2x 1 3 y  2  1  
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là   3 x; y  ;11   .
2 2x 1  3 y  2  13   2 
Bài tập tự luyện dạng 3 15 3   1  x 2y  2
Câu 1: Giải hệ phương trình  6 1 3    x 2y  2 2 THCS.TOANMATH.com| 22
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  4 3 x  1   7  2y  1 
Câu 2: Giải hệ phương trình  6  x 1   6  2y  1  2x  3 2y 1  1 
Câu 3: Giải hệ phương trình 2
 x  2  3 2y 1  11
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
- Tìm giá trị của tham số để hệ phương
2m 1x  ny  5
Ví dụ: Cho hệ phương trình  trình nhận x ;y là nghiệm. mx   n  2y  7 0 0  ax  by  c
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình  có nghiệm a x   b y   c x;y  1;2.  ax  by  c Hướ x ; y khi và chỉ khi 0 0  ng dẫn giải 0 0  a x   b y   c  0 0
2m 1x  ny  5
- Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ Hệ phương trình  nhận cặp số mx   n  2y  7
phương trình thỏa mãn một số điều kiện
x;y  1;2 là nghiệm của hệ phương trình nên khác.
Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình 2m   1 .1  n.2  5 2m  2n  4    theo tham số m. m.1  n  2.2  7 m  2n  3
Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm m  1 n  1    
thiết lập phương trình chứa tham số. m  2n  3 m  1
Bước 3. Giải phương trình tham số. n  1 Bướ Vậy với  hệ phương trình
c 4. Kết luận. m  1
2m 1x  ny  5 
nhận x;y  1;2 làm mx   n  2y  7 nghiệm. Ví dụ mẫu x  2y  1
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình 
. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3x  4y  m  3
x ;y thỏa mãn x  y  2 . 0 0  0 0
23 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Hướng dẫn giải Ta có:  m x  2y  1 3x  6y  3 2y  m y         2 3x  4y  m  3 3x  4y  m  3 x  2y 1 x  m 1 x  2y  1
Theo đề bài hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất x ;y thỏa mãn x  y  2 0 0  3x  4y  m  3 0 0 m nên m  1 
 2  2m  2  m  4  m  2 . 2 x  2y  1
Vậy với m  2 hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất x ;y thỏa mãn 0 0  3x  4y  m  3 x  y  2 0 0 x  y  m
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình 
(m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương 2x  5y  3m  6
trình có nghiệm là các số nguyên.
Hướng dẫn giải Ta có: x  y  m x  y  m 2x  2y  2m x  y  m         m 2x  5y  3m  6 2x  5y  3m  6 3y  m  6 y   2  3 Để m m
hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì  2    . 3 3
Suy ra m có dạng m  3k k   .
Vậy với m  3k  k   thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên.
Bài tập tự luyện dạng 4 2
 m 1x  2n 1 y  2
Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình 
có nghiệm x;y  3;2 .
m  2x  3ny  21 x  2y  7
Câu 2: Xác định a để hệ phương trình 
có nghiệm x;y thỏa mãn x  2  y . 3x  2y  2a 1
m 1x  y  3
Câu 3: Xác định m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện mx  y  m x  y  0 . ĐÁP ÁN
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số THCS.TOANMATH.com| 24
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| Câu 1. 7x  2y  3 21x  6y  9 3  1x  31 x  1 x  1 x  1 Ta có            5x  3y  11 1  0x  6y  22 7x  2y  3 7.1  2y  3 2y  4 y  2 7x  2y  3
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là x;y  1;2 . 5x  3y  11 Câu 2. 4x  5y  23 4x  5y  23 y  3 y  3 y  3 y  3 Ta có            . 2x  3y  13 4x  6y  26 2x  3y  13 2x  3.3  13 2x  4 x  2 4x  5y  23
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là x;y  2;3 2x  3y  13 Câu 3. x  4y  8 2x  8y  16 3y  3 y  1 x  4 Ta có          2x  5y  13 2x  5y  13 2x  5y  13 2x  5.1  13 y  1 x  4y  8
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là x;y  4;  1 2x  5y  13
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Câu 1. 4
 x  y  3y 1  7
4x  4y  3y  3  7 4x  y  4 6  x  0 x  0 Ta có          2  x 1  y  6 2x  2  y  6 2x  y  4 2x  y  4 y  4  4
 x  y  3y 1  7
Vậy nghiệm của hệ phương trình 
là x;y  0;4 . 2  x 1  y  6 Câu 2. 2x
 1 2y  4y x 1  8
2x  4xy  4xy  4y  8 Ta có    3x
 y 1  y 3  3x  15
3xy  3x  3y  3xy  15 x  2y  4  xy  5 3y  9  xy  5 y  3  x3 5 y  3  x  2
25 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 2x
 1 2y  4y x 1  8
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là x;y   2  ;3 3x
 y 1  y 3  3x  15 Câu 3. 2y
 x  2  x 4  2y  4
2yx  4y  4x  2xy  4 4x  4y  4  Ta có      5x
 y  3  y 5x  4  7
5xy 15x  5xy  4y  7 1  5x  4y  7 1  1x  11  15x4y  7 x  1  15.14y  7 x  1  4y 8 x  1  y  2 2y
 x  2  x 4  2y  4 Vậy nghiệm của hệ  là x;y  1;2 5x
 y  3  y 5x  4  7
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Câu 1.
Điều kiện x  0; y  1. 1  5a  3b  1  Đặ 1 1 t a  ; b 
a;b  0 ta được hệ phương trình  3 x 2y  2 6a  b   2  1 1  5a  3b  1 1  5a  3b  1  11 a    33a   6
Giải hệ phương trình  3   9   2   . 6a  b  18a  3b  1     1  5a 3b 1    b 2 2   2 1 1 1 Với a  thì   x  6 . 6 x 6 1 1 1 Với b  thì
  2y  2  2  2y  4  y  2 2 2y  2 2  5 3   1 x 2y  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình  là x;y  6;2 . 3 5    5 x 2y  2 Câu 2. THCS.TOANMATH.com| 26
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| Điề 1 u kiện x  1; y   . 2 3a  4b  7 Đặ 1
t a  x  1 a  0; b 
b  0 ta được hệ phương trình  2y  1 a  6b  6 3a  4b  7
Giải hệ phương trình  . a  6b  6  1 b   1 3a  4b  7 3a  4b  7 22b  11  b 2           2 a  6b  6 3a 18b  18 a  6b  6 1   a  6.  6 a  3  2
Với a  3 thì x 1  3  x 1  9  x  8 .  1 y  1 1 1 2y 1  2 2y  1  2 b  thì   2y 1  2       . 2 2y  1 2 2y 1  2 2y  3 3 y   2  4 3 x  1   7  2y  1      
Vậy các nghiệm của hệ phương trình  là   1 3 x; y   8; ; 8;     . 6   2   2  x  1   6  2y  1  Câu 3. 2x  3 2y 1  1 2x  3 2y 1  1 2x  3 2y 1  1    Ta có      2
 x  2  3 2y 1  11
2x  4  3 2y 1  11  2x  3 2y 1  7  2a  3b  1
Đặt a  x; b  2y 1 b  0 ta được hệ phương trình 2a3b  7 2a  3b  1 2a  3b  1 2a  3b  1 2.2  3b  1 3b  3 b  1            2a  3b  7 4a  8 a  2 a  2 a  2 a  2 Với a  2 thì x  2 2y 1  1 2y  0 y  0
b  1 thì 2y  1  1       2y 1  1 2y  2 y  1 2x  3 2y 1  1 
Vậy các cặp nghiệm của hệ phương trình  là x;y    2;0;2; 1. 2
 x  2  3 2y 1  11
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1.
27 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 2
 m 1x  2n 1 y  2 Hệ phương trình 
nhận cặp số x;y  3;2 là nghiệm nên
m  2x  3ny  21 2  m   1 x  2n 1 y  2 6m  6  4n  2  2 6m  4n  2 3m  2n  1         m  2 x  3ny  21 3m  6  6n  21 3  m  6n  15 3  m  6n  15 8  n  16 n  2 n  2 n  2 n  2           . 3m  2n  1 3m  2n  1 3m  2.2  1 3m  3 m  1 2
 m 1x  2n 1 y  2
Vậy với m  1; n  2 hệ phương trình 
nhận cặp số x;y  3;2 là
m  2x  3ny  21 nghiệm. Câu 2.  x 7  a  3 7  a x  2y  7 x  2y  7 y    y    y    5 Ta có      2 2   2 2   2 3x  2y  2a 1 2x  2a  6 x a 3 x a 3      x  a  3 x  2y  7   Vậy hệ phương trình  nhận   a x; y  a  3;   5   là nghiệm. 3x  2y  2a 1  2  x  2y  7
Theo giả thiết hệ phương trình 
có nghiệm x;y thỏa mãn x  2  y nên 3x  2y  2a 1 a a  3  2    5 . 2 a
 a 1    5  2a  2  a 10  3a  12  a  4 2 x  2y  7
Vậy với a  4 hệ phương trình 
có nghiệm x;y thỏa mãn x  2  y . 3x  2y  2a 1 Câu 3.
m 1x  y  3
2m 1x  3  m Ta có    mx  y  m mx  y  m  5  5 0  1 0.x   2 Với m  
ta có hệ phương trình  2   (vô lí). 2 1 1 mx y m    x  y   2 2 1 Vậy với m  
hệ phương trình vô nghiệm. 2 THCS.TOANMATH.com| 28
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 1 Với m   ta có: 2  3  m  3  m     3  m x  x  2m 1 x  3  m x     2m  1  2m  1    2m  1     mx  y  m 3  m 3  m mx y m     m.  y  m y  m  m.  2m 1  2m  1  3  m  3  m  3  m  3  m x  x  x  x       2m  1  2m  1  2m  1  2m  1         m  2m 1 2 2 2 2 2 2 3m  m 2m  m 3m  m 2m  m  3m  m m  2m    y   y   y  y   2m  1 2m  1  2m  1 2m  1  2m  1  2m  1 2 2 3  m m  2m m  m  3 Suy ra x  y    2m  1 2m  1 2m  1 2 m  m  3
Theo bài ra x  y  0 nên  0 2m  1 2 1 1 11  1  11 1 Ta có 2 2 m  m  3  m  2.m.    m    0   với mọi m   2 4 4  2  4 2 2 m  m  3 1 Vậy để
 0 thì 2m 1  0  m   2m  1 2
m 1x  y  3 Để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x  y  0 thì mx  y  m 1 m   . 2
III. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ minh họa 3: Bằng cách đặt ẩn phụ, hãy giải hệ phương trình sau:  5 1   10
 x 1 y 1  1 3    18
 x 1 y 1 Hướng dẫn giải: x 1  0 x  1
Điều kiện để hệ phương trình xác định là:    y 1  0 y    1 Đặ 1 1 t u  ; v
, ta có hệ phương trình: x 1 y 1
29 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9  5 1   10
 x 1 y 1
5u v  10    1 3 
u  3v  18   18
 x 1 y 1
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ phương trình 5u v  10 , ta có: v  5u 10
Thế vào phương trình u  3v  18 , ta được:
u  3v  18  u  35u 10  18
 16u  30  18  16u  48  u  3
Thay u  3 vào phương trình v  5u 10 , ta được v  5. 3   10  5  u  3 Vậy 
, nên ta có hệ phương trình: v    5  1  3   1   3 x 1  x   1 1   3x  3      1 1    5     y   1 1   5y  5 5  y 1  2 x  3x  2  3     5 y  4 4   y   5  2 4 
Vậy, hệ phương trình đã cho một nghiệm ;   .  3 5 
IV. Một số bài toán liên quan
Ví dụ minh họa 4: Xác định phương trình đường thẳng y ax b biết nó đi qua hai điểm
A1;6 và B 2; 3 . Hướng dẫn giải:
Đường thẳng y ax b đi qua điểm A1;6 , nên ta có 6  a  
1  b  a b  6   1
Đường thẳng y ax b đi qua điểm B 2;3 , nên ta có 3   .2 a
b  2a b  3 2
Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm của hệ phương trình:
a b  6 3a  9 a  3     
2a b  3
2a b  3 b     3
Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là: y  3x  3 . THCS.TOANMATH.com| 30
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
mx  2 y  1
Ví dụ minh họa 5: Cho hệ phương trình: mx my m   1
Giải hệ phương trình khi: a) m  3 ; b) m  2 ; c) m  0 . Hướng dẫn giải:
mx  2 y  1
Cho hệ phương trình mx my m   1
3x  2 y  1
3x  2 y  1
a. Khi m  3 , ta có hệ phương trình:   
3x  3 y  3 1 3x  3 y    2  1  y  1 x       3 3x  1 y 1  
Vậy, khi m  3 , hệ phương trình đã cho có nghiệm  x y  1 ;   ;1    3 
2x  2 y  1
b. Khi m  2 , ta có hệ phương trình: 2x  2y   1
Hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: x   y     2x 1 hoặc  2 y 1 y   x    2  2
0x  2 y  1    1
c. Khi m  0 , ta có hệ phương trình: 0x 0y  01  2
Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, còn phương trình thứ (2) vô
nghiệm, nên hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy khi m  0 , hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
31 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
SƠ ĐỒ TƯ DUY PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Chọn PT dễ nhất (thường là pt có hệ số đơn giản)  Rút
ẩn: biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (1)  Rồi thay vào phương
trình còn lại được (2) Giải hệ bằng Phương pháp thế
Bước 2: Giải phương trình (2)  1 ẩn, ta thay ẩn này vào
phương trình (1) để tìm ẩn còn lại  Kết luận nghiệm. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bước 1: Xác định ẩn muốn khử (x hoặc y?...)
a x b y c 1 1 1
a x b y c  2 2 2
Bước 2: Đồng nhất hệ số  Xem xét hệ số đứng trước ẩn
muốn khử ở hai phương trình (không quan tâm dấu )  Nhân
2 vế của mỗi phương trình cho số thích hợp sao cho hệ số đứng Giải hệ bằng
trước ẩn muốn khử bằng nhau (không quan tâm dấu). Phương pháp cộng đại số
Bước 3: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai
phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn
muốn khử ở hai phương trình cùng dấu.
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn, suy ra ẩn còn lại và kết luận. THCS.TOANMATH.com| 32
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
PHẦN II.TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ PHẢN XẠ
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế x y 5
Câu 1. Cho hệ phương trình
có nghiệm (x;y) . Tính x.y là: 3x 2y 18 84 25 84 A. 5 . B. . C. . D. . 25 84 5 x y 5
Câu 2. Cho hệ phương trình
có nghiệm (x;y) . Tích 2 x .y là: 3x 2y 18 A. 7000 . B. 490 . C. 70 . D. 700 . 2x 7y 8
Câu 3. Cho hệ phương trình
có nghiệm (x;y) . Tổng x y là: 10x 3y 21 5 9 3 7 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 7x 3y 5
Câu 4. Cho hệ phương trình
có nghiệm (x;y) . Tổng x y là: 4x y 2 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 9 19 19 9 x 2y 12
Câu 5. Cho hệ phương trình
. Số nghiệm của hệ phương trình là: 2x 3y 3 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 3x 2y 12
Câu 6. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là: x 2y 3 15 3 15 3 15 3 15 3 A. (x;y) ; .B. (x;y) ; .C. (x;y) ;
. D. (x;y) ; . 4 8 4 8 4 4 4 4 x 2y 3
Câu 7. Số nghiệm của hệ phương trình là: 2x 2y 6 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. x 2 y 3 1
Câu 8. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm? x y 3 2 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. (x 1)(y 1) xy 1
Câu 9. Số nghiệm của hệ phương trình là: (x 3)(y ) 3 xy 3 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. (x 1)(y 3) (x 1)(y 3)
Câu 10. Cho hệ phương trình . Chọn câu đúng. (x 3)(y 1) (x 1)(y ) 3
33 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (1;1).
B. Hệ phương trình vô nghiệm.
C. Hệ phương trình vô số nghiệm. D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (0; ) 0 . 2x by 1
Câu 11. Cho hệ phương trình
. Biết rằng hệ phương trình có bx 2ay 1
nghiệm là (1; 2). Tính a b . 13 13 5 5 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 2x by 4
Câu 12. Cho hệ phương trình
. Biết răng hệ phương trình có nghiệm là (1; 2), tính bx ay 5 a b . A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 7 .
Câu 13. Cho hai đường thẳng: d : mx 2(3n 2)y 6 và d : (3m 1)x 2ny 56 . 1 2
Tìm tích m.n để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I ( 2; 3) . A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 2 .
Câu 14. Cho hai đường thẳng: d : mx 2(3n 2)y 18 và d : (3m 1)x 2ny 37 . 1 2
Tìm tích m.n để hai đường thẳng d ,d cắt nhau tại điểm I ( 5;2) . 1 2 A. m 2;n 3 . B. m 2;n 3 . C. m 2;n 3 . D. m 3;n 2 .
Câu 15. Tìm a,b để đường thẳng y ax
b đi qua hai điểm M(3; 5),N(1;2) 7 11 7 11 7 11 7 11 A. a ;b . B. a ;b . C. a ;b . D. a ;b . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 x 2 2y 1
Câu 16. Số nghiệm của hệ phương trình là: 2 3 1 x 2 2y 1 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. 2x y 3 x 1 y 1
Câu 17. Hệ phương trình có nghiệm là: x 3y 1 x 1 y 1 1 1 1 1 A. ; 2 . B. 2; . C. 2; . D. 2; . 2 2 2 2
Câu 18. Tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức 3 2 P(x) mx (m 2)x (3n 5)x 4n
đồng thời chia hết cho x 1 và x 3 22 22 A. m ;n 7 . B. m ;n 7 . 9 9 22 22 C. m ;n 7 . D. m 7;n . 9 9
Câu 19. Tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức 3 2 ( Q 2) (3m 1)x (2n 5)x n.x 9m
72 đồng thời chia hết cho x 2 và x 3 THCS.TOANMATH.com| 34
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 4 24 4 4 A. n ;m . B. m ;n . 5 5 5 5 4 24 4 24 C. m ;n . D. m ;n . 5 5 5 5 2 5 5 2x y x 2y 6
Câu 20. Cho hệ phương trình 3 4 3 2x y x 2y 5 1 1 Nếu đặt a;
b ta được hệ phương trình mới là: 2x y x 2y 5 6 2a 5b 2a 5b A. 6 . B. 5 . 3 5 3a 4b 3a 4b 5 3 5 5 2a 5b 2a 5b C. 6 . D. 6 . 3 3 3a 4b 3a 4b 5 5 2 6 3 3x 9y x y
Câu 21. Cho hệ phương trình (y 0;x
3y). Nếu đặt ta được hệ 4 9 1 x 3y x y phương trình mới là: 1 1 a b 3 2a 6b 3 2b 6a 3 2 a 6b 3 A. 2 6 . B. . C. . D. 3 . 1 1 4a 9b 1 4b 9a 1 a b 1 4a 9b 1 4 9 1 1 1 x y
Câu 22. Biết nghiệm của hệ phương trình
là (x;y) . Tính 9x 2y 3 4 5 x y A. 10 . B. 14 . C. 11 . D. 13 . 15x 7 x 9 y y x x
Câu 23. Cho hệ phương trình nếu đặt a; b (với x 0;y 0 ) ta 4x 9 x y y 5 y y
được hệ phương trình mới là: 15a 7b 9 15a 7b 9 15a 7b 9 15a 7b 9 A. . B. . C. . D. . 4a 9b 5 4a 9b 5 1 4a 9b 4a 9b 5 5
35 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 3(y 5) 2(x 3) 0
Câu 24. Nghiệm của hệ phương trình là (x;y) ( 7 x ) 4 ( 3 x y ) 1 14 0 Tính 2 2 x y . A. 8 . B. 34 . C. 21 . D. 24 . 2(x y) 3(x y) 4
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình là (x;y) . (x y) ( 2 x y) 5 Chọn câu đúng. A. x 0;y 0 . B. x y 7 . C. x y 7 . D. x y .
II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 8x 7y 16
Câu 1. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là: 8x 3y 24 3 3 3 A. (x;y)
; 4 . B. (x;y) 4;
. C. (x;y)
; 4 . D. (x;y) ( 2;2) . 2 2 2 4x 3y 6
Câu 2. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là: 2x y 4 A. (x;y)
( 2; 3) . B. (x;y)
( 3; 2) . C. (x;y)
( 2; 3) . D. (x;y) (3; 2) . 2x 3y 1
Câu 3. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là. 4x y 9
(x;y) . Tính x y . A. x y 1. B. x y 1 . C. x y 0 . D. x y 2 . x 2 y 3 1
Câu 4. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là x y 3 2
(x;y) . Tính x 3 3y . A. 3 2 2 . B. 3 2 2 . C. 2 2 2 . D. 3 2 2 . 5x 3 y 2 2
Câu 5. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là. x 6 y 2 2
(x;y) . Tính 6x 3 3y . 6 5 6 6 A. B. . C. . D. 6 . 2 2 2 0, 3 x 0, 5 y 3
Câu 6. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình 1, 5 x 2 y 1, 5
là (x;y) . Tính x.y . A. 225 . B. 0 . C. 125 . D. 15 . 4 x 3 y 4
Câu 7. Cho hệ phương trình
. Nghiệm của hệ phương trình là 2 x y 2
(x;y) . Tính x.y . THCS.TOANMATH.com| 36
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| A. 2 . B. 0 . C. 2 . D. 1 . 2 y 3 x
Câu 8. Cho hệ phương trình x
. Nghiệm của hệ phương trình là (x;y) . Tính . 1 y 2y 4 x 1 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. . 2 2 5(x 2y) 3(x y) 99
Câu 9. Số nghiệm của hệ phương trình là: x 3y 7x 4y 17 A. 2 . B. Vô số. C. 1 . D. 0 . 2(x y) 3(x y) 4
Câu 10. Số nghiệm của phương trình là: x 4y 2x y 5 A. 2 . B. Vô số. C. 1 . D. 0 .
Câu 11. Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm (x;y) của hệ phương trình. x y x y 5 3 . x y 1 4 2 A. x 0;y 0 . B. x 0;y 0 . C. x 0;y 0 . D. x 0;y 0 . y 2x 3 x
Câu 12. Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 25 9y 3y 2 8 A. x 0;y 0 . B. x 0;y 0 . C. x 0;y 0 . D. x 0;y 0 . (x 3) 2 ( y 5) 2 ( x 7)(y 1)
Câu 13. Hệ phương trình
tương đương với hệ phương trình 4 ( x 1)(3y ) 6 (6x ) 1 (2y ) 3 nào sau đây? x 13y 8 42x 78y 48 42x 78y 48 7x 13y 8 A. . B. . C. . D. . 42x 5y 3 42x 5y 3 42x 5y 3 4x 5y 3 3 x 1 2 y 13
Câu 14. Kết luận đúng về nghiệm (x;y) của hệ phương trình 2 x 1 y 4 A. x.y 16 . B. x y 10 . C. x y 6 . D. y : x 4 . x 3 2 y 1 2
Câu 15. . Kết luận đúng về nghiệm (x;y) của hệ phương trình 2 x 3 y 1 4 A. x.y 1 . B. x y 0 . C. x y 2 . D. y : x 2 . 2ax by 1
Câu 16. Tìm a,b để hệ phương trình có nghiệm là(3; 4) . bx ay 5 1 1 1 1 A. a ;b 1 . B. a ;b 1 . C. a ;b 1 . D. a ;b 1 . 2 2 2 2
37 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 4ax 2by 3
Câu 17. Tìm a,b để hệ phương trình có nghiệm là (2; 3) 3bx ay 8 11 11 11 A. a 1;b 11 . B. a 1;b . C. a 1;b . D. a 1;b . 6 6 6 1 1 2 x 2 y 1
Câu 18. Nghiệm của hệ phương trình có tính chất là: 2 3 1 x 2 y 1
A. x;y là số nguyên.
B. x;y là số vô tỉ .
C. x;y là các phân số tối giản có tổng các tử số là 27 . D. x nguyên dương, y không âm. 7 4 5 3 x 7 y 6
Câu 19. Nghiệm của hệ phương trình có tính chất là: 5 3 1 2 6 x 7 y 6
A. x;y là số nguyên.
B. x;y là số vô tỉ.
C. x;y nguyên âm.
D. x nguyên dương, y không âm. x 1 y x y 1
Câu 20. Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình: 4 2 x 2 y 1 x y 1 2 3
Cũng là nghiệm của phương trình m 2 x 7my m 225 A. m 40 . B. m 5 . C. m 50 . D. m 60 . 2x 1 y 1 4x 2y 2
Câu 21. Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình: 3 4 5 2x 3 y 4 2x 2y 2 4 3
Cũng là nghiệm của phương trình 6mx 5y 2m 66 . A. m 1 . B. m 1. C. m 2 . D. m 3 .
Câu 22. Tìm a,b biết đường thẳng d : y ax b đi qua điểm (
A 4; 2), B(2;1). 1 1 1 1 A. a 0;b . B. a ;b 0 . C. a 1;b 1 . D. a ;b . 2 2 2 2
III. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số 2x by a
Câu 1. Biết hệ phương trình có nghiệm x 1;y 3 . Tính bx ay 5 10(a b) . A. 15 . B. 16 . C. 14 . D. 17 . x 2y m 3
Câu 2. Cho hệ phương trình
(m là tham số). Tìm m để hệ có 2x 3y m
nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x y 3 . THCS.TOANMATH.com| 38
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| A. m 6 . B. m 6. C. m 3 . D. m 4 . 2x y 5m 1
Câu 3. Cho hệ phương trình
. Có bao nhiêu giá trị của m để x 2y 2
hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: 2 2 x 2y 2 . A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 7 2x 3y m
Câu 4. Cho hệ phương trình 2
. Có bao nhiêu giá trị của m mà 4x y 5m 1 25 m
để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: 2 2 x y . 2 16 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . (m 1)x y 2
Câu 5. Cho hệ phương trình
(m là tham số). Nghiệm của hệ phương trình khi mx y m 1 m 2 là: A. (x;y) (1; 1) . B. (x;y)
( 1; 1) . C. (x;y) ( 1;1) . D. (x;y) (1;1). x y m 1 Câu 6. Với m 1 thì hệ phương trình
có cặp nghiệm (x;y) là: x y 2m 3 A. (3;1) . B. (1; 3) . C. ( 1; 3) . D. ( 3; 1) . (m 1)x y 2
Câu 7. Cho hệ phương trình
(m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi mx y m 1
nói về nghiệm (x;y) của hệ phương trình
A. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x y 3 .
B. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x y 3 .
C. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x y 3 .
D. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x y 3 . x my m(1)
Câu 8. Cho hệ phương trình
( m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói mx y 1(2)
về nghiệm (x;y) của hệ phương trình 2 m 2m 1
A. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x y . 2 m 1 2 m 2m 1
B. Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x y . 2 m 1
C. Hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi m .
D. Hệ phương trình vô nghiệm với mọi m . (m 2)x 3y 5
Câu 9. Biết rằng hệ phương trình
có nghiệm duy nhất với mọim . Tìm x my 3
nghiệm duy nhất theo m .
39 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 9 5m 3m 1 9 5m 3m 1 A. (x;y) ;
. B. (x;y) ; . 2 2 m 2m 3 m 2m 3 2 2 m 2m 3 m 2m 3 9 5m 3m 1 9 5m 3m 1 C. (x;y) ;
. D. (x;y) ; . 2 2 m 2m 3 m 2m 3 2 2 m 2m 3 m 2m 3 mx y 2m 1
Câu 10. Biết rằng hệ phương trình
có nghiệm duy nhất với mọi m . Tìm 2x my 1 m
nghiệm duy nhất theo m . 2 2 2m 1 m 3m 2 2 2 m 3m 2 2m 1 A. (x;y) ; . B. (x;y) ; . 2 2 m 2 m 2 2 2 m 2 m 2 2 2 2m 1 m 3m 2 2 2 2m 1 m 3m 2 C. (x;y) ; . D. (x;y) ; . 2 2 m 2 m 2 2 2 m 2 m 2 3x y 2m 9
Câu 11. Cho hệ phương trình
có nghiệm (x;y) . Tìm m để biểu thức x y 5 A xy x
1 đạt giá trị lớn nhất. A. m 1. B. m 0 . C. m 1 . D. m 2 . x my m 1
Câu 12. Cho hệ phương trình
(m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có mx y 2m x 2
nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn . y 1 A. m 1 . B. m 1. C. m 1 . D. m 1. 2x ay 4
Câu 13. Cho hệ phương trình
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi: ax 3y 5 A. a 1 . B. a 2 . C. mọi a . D. a 1. mx y 2m
Câu 14. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm. x my m 1 A. m 1. B. m 1 . C. m 1. D. m 1. (a 1)x y a 1 (1)
Câu 15. Cho hệ phương trình (a là tham số) x (a 1)y 2 (2) Với a
0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y) . Tính x y theo a 2 a a 2 2 a 2 2 a a 1 a 2 A. x y .B. x y . C. x y .D. x y . 2 a 2 a 2 a 2 a 2 mx y m
Câu 16. Cho hệ phương trình
. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy 3 2x my m 2m 2 nhất, tính x y theo m 4 m 2 4 m 4m 2 A. x y . B. x y . 2 m 2 2 m 2 THCS.TOANMATH.com| 40
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 4 m 2 4 m 2 C. x y . D. x y . 2 m 2 2 m 2 (a 1)x y a 1 (1)
Câu 17. Cho hệ phương trình
(a là tham số) với a 0 hệ có nghiệm x (a 1)y 2 (2)
duy nhất (x;y) . Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên. A. a 1. B. a 1 . C. a 1 . D. a 1. x y 2
Câu 18. Tìm giá trị của m để hệ phương trình
có nghiệm nguyên duy nhất. mx y m A. m 1 . B. m 0;m 1 . C. m 0;m 2 . D. m 2;m 1 . x 2y 2
Câu 19. Cho hệ phương trình
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy mx y m
nhất (x;y) , tìm điều kiện của m để x 1 và y 0 . A. m 0 . B. m 1 . C. m 1. D. m 2 . mx y 2m
Câu 20. Cho hệ phương trình
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm 4x my m 6
duy nhất (x;y) , tìm hệ thức liên hệ giữa x;y không phụ thuộc vàom . A. 2x y 3 0 . B. 2x y 3 . C. 2x y 3 . D. 2x y 3 . x my 1
Câu 21. Cho hệ phương trình
. Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào mx y m
giá trị của m là x A. 2x y 3 . B. 3 . C. xy 3 . D. 2 2 x y 1 . y mx y 2m
Câu 22. Cho hệ phương trình
. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm 4x my m 6
duy nhất (x;y) , tìm giá trị của m để: 6x 2y 13 . A. m 9 . B. m 9. C. m 8 . D. m 8 . x (m 1)y 1
Câu 23. Cho hệ phương trình
. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) 4x y 2 thỏa mãn 2x 2y 5 . 5 5 8 8 A. m . B. m . C. m . D. m . 8 8 5 5 HƯỚNG DẪN
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Câu 1. Đáp án B. x y 5 x y 5 x y 5 Ta có 3x 2y 18 3.(y 5) 2y 18 3y 15 2y 18
41 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 3 28 5 y x x y 5 5 5y 3 3 3 x 5 y 5 5 28 3 84
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; x.y 5 5 25 Câu 2. Đáp án D. x y 3 x y 3 x y 3 x 10 Ta có 3x 4y 2 3(y 3) 4y 2 y 7 y 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (10;7) Do đó 2 2 x y 10 .7 700 Câu 3. Đáp án D. 8 7y 2 7 8 x x y 8 7y 8 7y 2 x x Ta có 10x 3y 21 8 7y 2 2 10. 3y 21 40 35y 3y 21 38y 19 2 8 7y 1 x y 2 2 1 9 y x 2 4 9 1 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; x y 4 2 4 Câu 4. Đáp án C. 11 11 7 3 5 7 3 2 ( 4 ) 5 x x x y x x Ta có 19 19 4x y 2 y 2 4x 11 6 y 2 4. y 19 19 11 6 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; x y 19 19 19 Câu 5. Đáp án A. x 2y 12 x 12 2y x 12 2y Ta có 2x 3y 3 ( 2 12 2y) 3y 3 7y 21 y 3 x 6 . x 12 2.( ) 3 y 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (6; 3) Câu 6. Đáp án A. 3 15 3 2 12 3 2 3 2 y x x y x y x y Ta có 8 4 x 2y 3 ( 3 3 2y) 2y 12 8y 3 3 3 x 3 y 4 8 15 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; . 4 8 THCS.TOANMATH.com| 42
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| Câu 7. Đáp án D. x 2y 3 x 2y 3 x 2y 3 Ta có 2x 2y 6 2 2y 3 2y 6 2y 6 2y 6 x 2y 3 y . 6 6 x 2y 3
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Câu 8. Đáp án A. Ta x 2 y 3 1 2 y 3 2 y 3 1 có x y 3 2 x 2 y 3 2 y 6 3 1 y 6 3 1 x 2 y 3 x 2 y 3 6 3 6 3 2 3 y y x y 3 3 x 1 6 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) 1; . 3 Câu 9. Đáp án A. (x 1)(y 1) xy 1 xy x y 1 xy 1 x y 0
Ta có (x 3)(y 3) xy 3 xy 3x 3y 9 xy 3 3x 3y 12 x y x y x y x 2 3y 3y 12 6y 12 y 2 y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (2; ) 2 Câu 10. Đáp án D. (x ) 1 (y ) 3 (x ) 1 (y ) 3 xy 3x y 3 xy 3x y 3 Ta có (x ) 3 (y ) 1 (x ) 1 (y 3) xy x 3y 3 xy 3x y 3 6x 2y 0 x y x y x y x 0 4x 4y 0 6y 2y 0 4y 0 y 0 y 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (0; 0) . Câu 11. Đáp án B. 3 2.1 .( 2) 1 2 3 b b b Thay x 1;y 2 vào hệ ta được 2 b.1 2a.( 2) 1 b 4a 1 3 4a 1 2
43 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 3 b 13 2 a b 1 8 a 8 13 Vậy a b . 8 Câu 12. Đáp án A. 2 b( ) 2 4 Thay x 1;y
2 vào hệ ta được b a( 2) 5
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này 2 b( 2) 4 2b 6 b 3 b 3 b a( 2) 5 b 2a 5 3 2.a 5 a 4 Suy ra a b 4 3 1 . Câu 13. Đáp án A.
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d ta được 1 m.( 2) 2(3n 2).3 6 2m 18n 18 m 9n 9
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d ta được 2 (3m 1).( 2) 2n.3 56 6m 2 6n 56 m n 9 Suy ra hệ phương trình m 9n 9 m 9 n m 9 n n 0 m.n 0 . m n 9 9 n 9n 9 10n 0 m 9 Vậy m.n 0 . Câu 14. Đáp án C.
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d ta được 1 m.( 5) 2(3n 2).2 18 5m 12n 8 18 5m 12n 26
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d ta được 2 (3m 1).( 5) 2n.2 37 15m 5 4n 37 15m 4n 42 15m 42 5m 12n 26 5 12 26 n m n Suy ra hệ phương trình 4 15m 42 15m 4n 42 n 15m 42 5m 12. 26 4 4 15m 42 15m 42 n n m 2 4 4 n 3 5m 3 1 ( 5m 42) 26 50m 126 26 Vậy m 2;n 3 . Câu 15. Đáp án D.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta được 3a b 5
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng ta được a b 2 THCS.TOANMATH.com| 44
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 7 2 2 2 a a b b a b a
Từ đó ta có hệ phương trình 2 3a b 5 3a 2 a 5 2a 7 11 b 2 7 11 Vậy a ;b . 2 2 Câu 16. Đáp án A. 1 Điều kiện: x 2;y 2 1 1 a b 2 a 2 b Đặt a;
b khi đó ta có hệ phương trình x 2 2y 1 2a 3b 1 2 2 ( b) 3b 1 3 7 a 2 b a 2 2 a a b 5 5 3 5b 3 b 3 3 5 b b 5 5 1 7 19 7 14 5 x x
Trả lại biến ta được x 2 5 7 1 3 (Thỏa mãn điều kiện) 6y 3 5 4 y 2y 1 5 3 19 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; . 7 3 Câu 17. Đáp án C. Điều kiện: x 1;y 1 2x y x y 3 2. 3 x 1 y 1 x 1 y 1 Ta có x 3y x y 1 3. 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x y Đặt a;
b khi đó ta có hệ phương trình x 1 y 1 2a b 3 b 3 2a b 3 2a b 3 2a a 3b 1 a 3 3 ( 2a) 1 a 9 6a 1 5a 10 a 2 a 2 b 3 2.2 b 1 x 2 x 2 x 2x 2
Thay trở lại cách đặt ta được x 1 1 y (Thỏa mãn điều kiện) y y 1 1 y 2 y 1 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) 2; . 2 Câu 18. Đáp án C.
Ta sử dụng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x
a khi và chỉ khi P(a) 0
45 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Áp dụng mệnh đề trên với a 1 , rồi với a 3 , ta có 3 2 P( 1) m( 1) (m 2).( 1) (3n 5).( 1) 4n n 7 3 2 P(3) m.3 (m 2).3 (3n 5).3 4n 36m 13n 3
Theo giả thiết, P(x ) chia hết cho x 1 nên P( 1) 0 tức là n 7 0
Tương tự, vì P(x) chia hết cho x 3 nên P(3) 0 tức là 36m 13n 3 0 n 7 n 7 0 n 7
Vậy ta phải giải hệ phương trình m n m ( 22 36 13 3 0 36 13. 7) 3 0 m 9 22 Trả lời: Vậy m ;n 7 . 9 Câu 19. Đáp án D.
Ta sử dụng: Đa thức Q(x) chia hết cho đa thức x
a khi và chỉ khi Q(a) 0
Áp dụng mệnh đề đã cho với a 2 , rồi với a 3 , ta có 3 2 Q(2) (3m 1)2 (2n 5)2 n.2 9m 72 24m 8 8n 20 2n 9m 72 15m 10n 60 3 2 Q( 3) (3m 1)( 3) (2n 5)( 3) n.( 3) 9m 72 81m 27 18n 45 3n 9m 72 90m 15n
Theo giả thiết, Q(x)chia hết cho x 2 nên Q(2) 0 tức là 15m 10n 60 0 (1)
Tương tự, vì Q(x)chia hết cho x 3 nên Q( 3) 0 tức là 90m 15n 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 4 15 10 60 0 6 m m n n m 5 90m 15n 0 15m 10( 6m) 60 24 n 5 4 24 Trả lời: Vậy m ;n . 5 5 Câu 20. Đáp án A. 2 5 5 1 1 5 2. 5. 2x y x 2y 6 2x y x 2y 6 Ta có 3 4 3 1 1 3 3. 4. 2x y x 2y 5 2x y x 2y 5 5 1 1 2a 5b Đặt a;
b ta được hệ phương trình 6 2x y x 2y 3 3a 4b 5 Câu 21. Đáp án D. 2 6 2 1 1 3 . 6. 3 3x 9y x y 3 x 3y x y Ta có 4 9 1 1 1 4. 9. 1 x 3y x y x 3y x y THCS.TOANMATH.com| 46
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 2 1 1 a 6b 3 Đặt a;
b ta được hệ phương trình 3 x 3y x y 4a 9b 1 Câu 22. Đáp án B. Điều kiện: x 0;y 0 1 1 Đặt a;
b khi đó ta có hệ phương trình x y a b 1 a 1 b a 1 b 3a 4b 5 ( 3 1 b) 4b 5 7b 2 2 9 b a 7 7 2 2 a 1 b 7 7 1 9 7 a
Trả lại biến ta được x 7 9 1 2 (Thỏa mãn điều kiện) 7 b y 7 2 7 7 Khi đó 9x 2y 9. 2. 14 9 2 Câu 23. Đáp án B. 15x 7 x x x 9 15. 7. 9 y y y y Ta có 4x 9 x x x 5 4. 9. 5 y y y y x x 15a 7b 9 Đặt a;
b ta được hệ phương trình y y 4a 9b 5 Câu 24. Đáp án B. Ta có 3(y 5) 2(x 3) 0 3y 15 2x 6 0 2x 3y 21 ( 7 x ) 4 ( 3 x y ) 1 14 0 7x 28 3x 3y 3 14 0 10x 3y 45 3y 21 2x x 3 x 3 8x 24 3y 15 y 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 3;5 2 2 2 2 x y 3 5 34 . Câu 25. Đáp án D. ( 2 x y) ( 3 x y) 4 2x 2y 3x 3y 4 5x y 4
Ta có (x y) 2(x y) 5 x y 2x 2y 5 3x y 5 5x y 4 y 3x 5 y 3x 5 y 3x 5 5x 3 ( x 5) 4 5x 3x 5 4
47 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 1 1 1 x x x 2 2 2 1 13 y 3x 5 y 3. 5 y 2 2 1 13
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; x y và x y 6 . 2 2
II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Câu 1. Đáp án A. 8x 7y 16 8x 7y 16 8x 7y 16 Ta có 8x 3y 24 8x 7y (8x 3y) 16 ( 24) 10y 40 y 4 y 4 3
3 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; 4 . 8x 7.4 16 x 2 2 Câu 2. Đáp án D.
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ từng vế của hai phương trình: 4x 3y 6 4x 3y 6 4x 3y 6 4x 3( 2) 6 x 3 . 2x y 4 4x 2y 8 y 2 y 2 y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (3; 2) . Câu 3. Đáp án B. 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3y 1 x 2 Ta có 4x y 9 12x 3y 27 14x 28 y 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) (2;1) x y 2 1 1 Câu 4. Đáp án D. x 2 y 3 1 x 2 y 3 1 x 2 y 3 1 x 2 y 3 1 1 x y 3 2 x 2 y 6 2 6 3 y 1 y 6 3 6 3 y 6 3 3 y 3 . 6 3 x 1 x 2 3. 1 3 6 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) 1; x 3 3y 1 3 2 3 3 2 2 . 3 Câu 5. Đáp án C.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng từng vế của hai phương trình THCS.TOANMATH.com| 48
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 5x 3 y 2 2 5x 6 y 2 4 6x 6 6 x 6 y 2 2 x 6 y 2 2 x 6 y 2 2 1 x 1 1 6 x x 6 x 6 6 6 1 . 6 y 2 2 1 y 2 2 2 y 2 1 y 6 2 6 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; 6 2 6 2 3 6 6x 3 3y 6. 3 3. 6 6 . 6 2 2 2 Câu 6. Đáp án A. ĐK: x 0;y 0
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ từng vế của hai phương trình: 0, 3 x 0, 5 y 3 1, 5 x 2, 5 y 15 4, 5 y 13, 5 y 3 1, 5 x 2 y 1, 5 1, 5 x 2 y 1, 5 1, 5 x 2 y 1, 5 1, 5 x 2.3 1, 5 y 9 y 9 y 9 (thỏa mãn) 1, 5 x 7, 5 x 5 x 25
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (25;9) xy 25.9 225 . Câu 7. Đáp án B. ĐK: x 0;y 0 4 x 3 y 4 4 x 3 y 4 5 y 0 y 0 y 0 Ta có (tm). 2 x y 2 4 x 2 y 4 x 1 2 x y 2 2 x 2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x;y) (1; 0) x.y 0 . Câu 8. Đáp án C. ĐK: x 0 2 4 y 3 2y 6 1 1 x x Ta có x x 2 2 (TM) 1 1 2y 4 2y 4 2x y 3 y 1 x x 1 x 1
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x;y) ; 1 . 2 y 2 Câu 9. Đáp án C. 5(x 2y) 3(x y) 99 5x 10y 3x 3y 99 2x 13y 99
Ta có x 3y 7x 4y 17 x 3y 7x 4y 17 6x y 17 6x 39y 297 6x y 17 y 7 6x y 17 40y 280 x 4
49 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (4;7). Câu 10. Đáp án D. Ta 2(x y) 3(x y) 4 2x 2y 3x 3y 4 x 5y 4 0 1 có (VL) x 4y 2x y 5 x 4y 2x y 5 x 5y 5 x 5y 5
Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Câu 11. Đáp án D. x y x y 3x 3y 5x 5y 2x 8y x 4y Ta có 5 3 x y x 2y 4 x 2y 4 x 2y 4 1 4 2 x 4y y 2 2y 4 0 x 8
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (2; 8) x 0;y 0 . Câu 12. Đáp án A. y 2x 3 x 2x y 2x 3 y 3 x 31 Ta có 2 2 x 25 9y 4x 24y 25 9y 4x 33y 25 y 3 3y 2 8
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (31; 3) x 0;y 0 . Câu 13. Đáp án B. (x 3) 2 ( y 5) 2 ( x 7)(y 1) 7x 13y 8 42x 78y 48 Ta có 4 ( x 1)(3y ) 6 (6x ) 1 (2y ) 3 42x 5y 3 42x 5y 3 Câu 14. Đáp án C. Điều kiện: x 1;y 0 3 x 1 2 y 13 3 x 1 2 y 13 2 x 1 y 4 Ta có 2 x 1 y 4 4 x 1 2 y 8 7 x 1 21 x 1 3 x 1 9 x 10 (thỏa mãn) 3.3 2 y 13 2 y 4 y 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (10; 4) . Nên x y 10 4 6 . Câu 15. Đáp án B. x 3 2 y 1 2 Điều kiện: x 3;y
1 Ta có 2 x 3 y 1 4 2 x 3 4 y 1 4 x 3 2 y 1 2 2 x 3 y 1 4 5 y 1 0 y 1 y 1 y 1 y 1(tm). x 3 2. ( 1) 1 2 x 3 2 x 3 4 x 1 THCS.TOANMATH.com| 50
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) (1; 1) . Nên x y 1 ( 1) 0 . Câu 16. Đáp án A. Thay x 3;y
4 vào hệ phương trình ta được 2a.3 b( 4) 1 6a 4b 1 12a 8b 2 b 1 17b 17 . b.3 a.( 4) 5 4a 3b 5 12a 9b 15 1 4a 3b 5 a 2 1 Vậya ;b 1 . 2 Câu 17. Đáp án D. Thay x 2;y
3 vào hệ phương trình ta được 4a.2 2 . b ( 3) 3 8a 6b 3 5a 5 3b.2 a( 3) 8 3a 6b 8 3a 6b 8 a 1 a 1 a 1 11 11 . Vậy a 1;b . 3.1 6b 8 6b 11 b 6 6 Câu 18. Đáp án C. ĐK: x 2;y 1 1 1 1 1 2 2 x 2 y 1 x 2 y 1 2 3 1 1 1 2. 3. 1 x 2 y 1 x 2 y 1 u v 2 2u 2v 4 5v 3 2u 3v 1 2u 3v 1 u v 2 1 1 Đặt u; v (u;v 0) ta có hệ 3 3 x 2 y 1 v v 5 5 (TM ) 3 7 u 2 u 5 5 5 19 1 7 x 2 1 3 x
Thay lại cách đặt ta được 7 7 x 2 5 (TM ) y 1 5 5 8 y 1 y 3 3 19 8
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; 7 3 Câu 19. Đáp án D. Điều kiện: x 0;x 7;y 0 5 7a 4b 21a 12b 5 1 1 Đặt a; b ta được 3 1 x 7 y 6 1 20a 12b 2 5a 3b 2 6 6
51 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 1 1 21a 12b 5 a a 3 3 41 41a 1 1 21. 12b 5 3 b 3 6 1 1 3 x 7 3 x 100 Trả lại biến ta có x 7 (TM ) 1 1 . y 0 y 6 6 6 y 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) (100; 0) . Câu 20. Đáp án C. x 1 y x y 1 Ta có 4 2 x 2 y 1 x y 1 2 3 1 x 1 2y 4x 4y 4 3x 6y 3 y 2 3x 6 2y 2 6x 6y 6 3x 4y 2 x 0 1 Thay x 0;y
vào phương trình (m 2)x 7my m 225 ta được 2 1 9 (m 2).0 7m m 225 m 225 m 50 . 2 2 Câu 21. Đáp án A. 2x 1 y 1 4x 2y 2 Ta có 3 4 5 2x 3 y 4 2x 2y 2 4 3 40x 20 15y 15 48x 24y 24 8x 9y 19 6x 9 4y 16 24x 24y 24 30x 28y 31 11 120x 135y 285 x 2 120x 112y 124 y 7 11 Thay x ;y
7 vào phương trình 6mx 5y 2m 66 ta được 2 11 6m. 5.7 2m 66 31m 31 m 1 . 2 Câu 22. Đáp án B. Đường thẳng y ax b đi qua điểm ( A 4; 2) 4a b 2 (1) Đường thẳng y ax
b đi qua điểm B(2;1) 2a b 1 (2) 1 a 1 4a b 2 6a 3 a Từ (1) và (2) ta có hệ 2 2 2a b 1 2a b 1 1 2. b 1 b 0 2 THCS.TOANMATH.com| 52
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 1 Vậy a ;b 0 . 2
III. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số Câu 1. Đáp án B. 2.1 b.3 a a 3b 2 3a 9b 6 Thay x 1;y
3 vào hệ ta có: b.1 a.3 5 3a b 5 3a b 5 1 10 1 b b 10 . 3a b 5 17 a 10 1 17 Vậy a ;b
thì hệ phương trình có nghiệm x 1,y 3 10(a b) 16 10 10 Câu 2. Đáp án A. 5m 9 2 3 2 4 2 6 2 3 x x y m x y m x y m Ta có 7 2x 3y m 2x 3y m 7y m 6 m 6 y 7 5m 9 m 6
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ; 7 7 Lại có x y 3 hay 5m 9 m 6 3 5m 9 m 6 21 6m 36 m 6 7 7 Vậy với m
6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x y 3 . Câu 3. Đáp án C. 2x y 5m 1 y 5m 1 2x y 5m 1 2x x 2m Ta có x 2y 2 x 2 5 ( m 1 2x) 2 5x 10m y m 1 Thay vào 2 2 x 2y 2 ta có 2 2 2 2 x 2y 2 (2m) 2(m 1) 2 m 0 2 2m 4m 0 . m 2 Vậy m 2; 0 . Câu 4. Đáp án B. 7 2x 3y m 4x 6y 7 2m 7y 7 7m Ta có 2 4x y 5m 4x y 5 4 5 m x y m y 1 m y 1 m 4x 1 ( m) 5m x 4m 14
53 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 2 25 25 4m 1 25 Thay vào 2 2 x y ta có 2 2 2 x y (1 m) 16 16 4 16 2 2 16m 8m 1 16m 32m 16 25 2 2 32m 24m 8 0 4m 3m 1 0 m 1 2 4m 4m m 1 0 (4m 1)(m 1) 0 1 m 4 1 Mà m m 1 thỏa mãn. Vậy m 1. 2 Câu 5. Đáp án D. x y 2 Thay m
2 vào hệ ta được 2x y 3 x y 2 x y 2 x 1 Khi đó 2x y 3 x 1 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;1) khi m 2 . Câu 6. Đáp án A. Thay m
1 vào hệ phương trình đã cho ta được: x y 2 2x 2y 4 3x 9 x 3 x 2y 5 x 2y 5 x 2y 5 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;1) khi m 1. Câu 7. Đáp án A. Từ (m 1)x y
2 thế vào phương trình còn lại ta được phương trình: mx 2 (m 1)x m 1 x m 1 suy ra 2 y 2 (m 1) với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất 2 (x;y) m 1;2 (m 1) 2 2 2x y 2(m 1) 2 (m 1) m 4m 1 2 3 (m 2) 3 với mọi m . Câu 8. Đáp án B.
Từ phương trình (1 ) x my m x m
my thế vào phương trình (2) ta được phương trình: 2 1 m 2 2 2 2 m(m my) y 1 m m y y 1 (m 1)y 1 m y 2 1 m 2 1 m 2m (vì 2 1 m 0; m )suy ra x m m. với mọi m 2 2 1 m 1 m 2 2m 1 m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) ; 2 2 1 m 1 m 2 2 2m 1 m m 2m 1 x y 2 2 2 1 m 1 m 1 m Câu 9. Đáp án B. (m 2)x 3y 5 (m ) 2 3 ( my) 3y 5 Ta có x my 3 x 3 my THCS.TOANMATH.com| 54
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 2 3m m y 6 2my 3y 5 (m2 2m 3)y 3m 1 1 ( ) . x 3 my x 3 my 2 ( ) Ta có: 2 2 m 2m 3 (m 1) 2 0
m nên PT (1) có nghiệm duy nhất m Hay hệ
phương trình có nghiệm duy nhất m 3m 1 9 5m Từ (1) ta có:y thay vào (2) ta có x 2 m 2m 3 2 m 2m 3 9 5m 3m 1 Vậy (x;y) ; 2 2 m 2m 3 m 2m 3 Câu 10. Đáp án D. mx y 2m 1 Ta có 2x my 1 m y mx 2m 1 y mx 2m 1 2 2 2x m(mx 2m ) 1 1 m 2x m x 2m m 1 m 2 2 (m 2)x 2m ( 1 ) 1 y mx 2m ( 1 2) Ta có: 2 m 2
0; m nên PT (1) có nghiệm duy nhất m Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 2 2m 1 2 2 2m 1 m 3m 2 Từ (1) ta có: x thay vào (2) ta có y m. 2m 1 2 m 2 2 2 m 2 m 2 2 2 2m 1 m 3m 2 Vậy (x;y) ; . 2 2 m 2 m 2 Câu 11. Đáp án A. 3x y 2m 9 x m 2 Ta có 2 A xy x 1 8 (m 1) A 8 khi x y 5 y 3 m max m 1. Câu 12. Đáp án B. x my m 1 (1)
Xét hệ mx y 2m (2) Từ (2) y 2m mx thay vào (1) ta được 2 2 x ( m 2m mx) m 1 2m m x x m 1 2 2 2 2 (1 m )x 2m m 1 (m 1)x 2m m 1 (3)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) 3 có nghiệm duy nhất 2 m 1 0 m 1 2m 1 x
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất m 1 m y m 1
55 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 2m 1 1 2 0 x 2 m 1 m 1 Ta có x m 1 0 m 1 y 1 m 1 1 0 m 1 m 1
Kết hợp với ( ) ta được giá trị m cần tìm là m 1. Câu 13. Đáp án C.
Ta xét 2 trường hợp: x 2 2x 4 + Nếu a 0 , hệ có dạng:
5 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất. 3y 5 y 3 2 a + Nếu a
0 , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2 a 6 (luôn đúng, vì 2 a 0 a 3 với mọi a ) Do đó, với a
0 , hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a . Câu 14. Đáp án B. mx y 2m y 2m mx y 2m mx 2 2 x my m 1 x m 2 ( m mx) m 1 x 2m m x m 1 y 2m mx . 2 2 x(m ) 1 2m m 1 Với 2 2 m 1 0 m 1 m 1 Nếu m 1 ta được 0x
0 (đúng với x ) ⇒ hệ phương trình có vô số nghiệm Nếu m 1 ta được 0x
2 (vô lí) ⇒⇒ hệ phương trình vô nghiệm. Vậy m
1 thì hệ đã cho vô số nghiệm. Câu 15. Đáp án A.
Từ PT (1) ta có: y (a 1)x (a )
1 ( ) thế vào PT (2) ta được: x (a 1) (a 1)x (a 1) 2 2 2 2 2 x (a 1)x (a 1) 2 a x a 1 3) ( 2 a 1 Với a
0 , phương trình (3) có nghiệm duy nhất x . Thay vào ( ) ta có: 2 a 2 2 2 a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) y (a 1) (a 1) 2 2 a a 3 2 3 2 a a a 1 a a a 1 2 2 a a 2 a 1 a 1
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất(x;y) ; 2 2 a a 2 2 a 1 a 1 a a 2 x y 2 2 2 a a a Câu 16. Đáp án C. THCS.TOANMATH.com| 56
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 2 2 mx y m y mx m 3 2 3 2x my m 2m 2 2x m(mx m ) m 2m 2 2m 2 2 x y mx m 2 m 2 2 x(m 2) 2m 2 2m 2 2 y m. m 2 m 2 4 2m 2 m 2m 2 x y (vì m 2 0; m ) 2 2 m 2 m 2 4 m 2 Suy ra x y . 2 m 2 Câu 17. Đáp án D.
Từ PT (1) ta có: y (a 1)x (a
1) ( ) thế vào PT (2) ta được x (a 1) (a 1)x (a 1) 2 2 2 2 2 x (a 1)x (a 1) 2 a x a 1 (3) 2 a 1 Với a
0 , phương trình (3) có nghiệm duy nhất x . Thay vào ( ) ta có: 2 a 2 2 2 a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) y (a 1) (a 1) 2 2 a a 3 2 3 2 a a a 1 a a a 1 2 2 a a 2 a 1 a 1
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất(x;y) ; 2 2 a a 2 a 1 x
Hệ phương trình có nghiệm nguyên: 2 a (a ) y a 1 2 a 2 a 1 1 1 Điều kiện cần: x 1 mà 2 a 0 2 a 1 a 1 (TM a 0 2 2 a a 2 a ) Điều kiện đủ: a 1 y 0 (nhận); a 1 y 2 (nhận) Vậy a
1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên. Câu 18. Đáp án C. x y 2 Ta có x mx 2 m x(m ) 1 m 2 Nếu m 1 0.x 1 (vô lí) mx y m m 2 1 Nếu m 1 x 1 m 1 m 1
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất x nguyên m 0;m 2 x 2 Với m 0 (thỏa mãn) y 0
57 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 x 0 Với m 2 (thỏa mãn) y 2 Câu 19. Đáp án A. x 2y 2 x 2 2y x 2 2y Ta có mx y m m(2 2y) y m 2 ( m 1)y m 1
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m 2 m m 2m 2 Suy ra y x 2 2. x 2m 1 2m 1 2m 1 2m 2 x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2m 1 m y 2m 1 2m 2 1 x 1 x 1 0 1 2m 1 0 m Để 2m 1 2m 1 2 m 0 y 0 m m m 0 y 0 0 m 0 2m 1 2m 1 1
Kết hợp điều kiện m ta có m 0 . 2 Câu 20. Đáp án D. mx y 2m y mx 2m y mx 2m Ta có 4x my m 6 2 2 4x m(mx 2m) m 6 x(m 4) 2m m 6
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 2 m 4 0 m 2; 2 2 2m m 6 (2m 3)(m 2) 2m 3 2m 3 m Khi đó x y m. 2m 2 m 4 (m 2)(m 2) m 2 m 2 m 2 2m 3 1 2 x x 2 2x 4 m 2 m 2 m 2 2x y 3 m 2 2 y y 1 y 1 m 2 m 2 m 2
Vậy hệ thức không phụ thuộc vào m là 2x y 3 . Câu 21. Đáp án D. x my 1 x 1 my x 1 my x 1 my 2 2 mx y m m 1 ( my) y m m m y y m y(m 1) 2m 2 2 2m 2m 1 m Do 2 m 1 1 0 y x 1 my 1 2 2 2 m 1 m 1 m 1 Xét 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4m (1 m ) 4m 1 2m m m 2m 1 (1 m ) 2 2 x y 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 m ) (1 m ) (1 m ) (1 m ) (1 m ) Vậy 2 2 x y
1 không phụ thuộc vào giá trị của m . Câu 22. Đáp án C. THCS.TOANMATH.com| 58
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| mx y 2m y mx 2m y mx 2m Ta có 2 2 4x my m 6 4x m(mx 2m) m 6 x(m 4) 2m m 6
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 2 m 4 0 m 2;2 2 2m m 6 (2m 3)(m 2) 2m 3 2m 3 Khi đó x y m. 2m 2 m 4 (m 2)(m 2) m 2 m 2 2m 3 x m 2 Thay
vào phương trình 6x 2y 13 ta được: m y m 2 2m 3 m 14m 18 6. 2. 13 13 14m 18 13m 26 m 8 TM . m 2 m 2 m 2 Vậy m 8 là giá trị cần tìm. Câu 23. Đáp án A. x (m 1)y 1 Từ hệ phương trình . 4x y 2 1 4 2 8 2 4 10 1 x x y x y x Ta có hệ 10 2x 2y 5 2x 2y 5 2x 2y 5 1 y 25 1 12 Thay x vào y phương trình x (m 1)y 1 10 5 1 12 5 Ta được (m 1). 1 1 24(m 1) 10 24m 15 m . 10 5 8
59 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
PHẦN III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
x  2 y  6
x  3y  5 a.  b.  2x y   4 2x y    8
x y  10
3x y  5 c.  d.  x y   8 5x  2 y   14
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:    y x y 1 1  
x y  1  5 2 10 a.  2 b.   y x y 1
3x  2 y  10     2 5 5  x y   0      x y 20 2 3  c.  d.  x x 4 9   x   y      8 8 y  4 x  8
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
x  2 2y  3
x y 3  0 a.  b. 
 2x y  1 6
x 3  2y 1 3
 2x  5y 1
 2x  5y  2 c.  d. 
x  5y  2
x  5y  2
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:    3  
3  5  x  3y  3  5 5 1 x y  3 a.  b. 
4x y  4  2 5 x    3  1 y 1
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
4x  3y  5 
x y 1 3
  x  7  6 x y   1  0 a.  b.  2x  4  2y   1  1 4   x  
1  2  x  2 y  7  0
3x by  5
Bài 6. Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình: ax by   12 a. Có nghiệm 1; 2 b. Có nghiệm 2; 2
Bài 7. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ: 1 1 1    7 5    1   x y 3
x 1 y  2 a.  b.  1 1 1    1 1 1     x y 12
 x 1 y  2 12 THCS.TOANMATH.com| 60
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  4 1    5 2 1    8   x  2 y x  2 y
x y  3 x y 1 c.  d.  20 3    3 1 1     3
x  2 y x  2 y
 x y  3 x y 1
3x  2 y a
Bài 8. Cho hệ phương trình: 15x 10y   5
a. Có vô số nghiệm với a  1
b. Vô nghiệm với a  1
Bài 9. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5x y  10
4x  3y  10 a.  b. 
x  3 y    18 2x  5 y   8  1 6 27  1 1 x y      x y 2  2 5 10 3 4 c.  d.  9 15  2 x y       x y 18  2 2 5
Bài 10. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:     15x 8 y 46
5x  3 y  19  a.  b.  3 4 2x  9 y   31 x y   5 5     5x 4 y 20
3x  4 y  10  c.  d.  1 1
6x  8 y    17 x y  1 4 5
Bài 11. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5 x  2y  3 x y  99
2x  3y  21  a.  b. 
x  3y  7x 17 7
  x  4  3 x y   1  14 2   x   1  5  y   1  8 4   x   1  2 3y   1  5  0 c.  d.  3   x   1  2  y   1  1 8   x   1  5 3y   1  9
Bài 12. Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:   3   1 x y  3  x    3  1 y 1
Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M và N trong mỗi trường hợp sau:
a. M 1;3 và N 2; 2
b. M 1; 3 và N 2; 3
c. M 0;0 và N 3;3
d. M 1; 4 và N 4;   1
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
61 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
2x my n a. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  2; y  5 ? mx ny   5
x y m b. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  1; y  2 ?
3x  2 y n   1
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:  10 1    27 32 1    7   x 1 y  2
 2x y x  3y a.  b.  25 3    45 48 2      1
x 1 y  2
2x y x  3y
2 x  6  3 y 1  5 
4 x y  3 x y  8  c*.  d*. 
5 x  6  4 y 1  1 
3 x y  5 x y  6 
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:
3x y z  1
x  3y  2z  8  
a. 2x y  2z  5
b. 2x y z  6  
x  2 y  3z  0 
3x y z  6  HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x  2 y  6
x  2 y  6 
a. Biến đổi hệ phương trình   
2x y  4 2
 2 y  6  y  4   16   14 x  2.  6    x
x  2 y  6
x  2 y  6    3   3        
4 y 12  y  4 3y  16 16 16   y y   3  3  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 14 16 ;   .  3 3 
x  3y  5
x  3y  5 
b. Biến đổi hệ phương trình   
2x y  8 2
 3y  5  y  8   18   29 x  3.   5    x  
x  3y  5
x  3y  5    5   5        
6 y 10  y  8 5 y  18 18 18   y   y    5  5  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 29 18  ;    .  5 5 
x y  10 x y 10 
c. Biến đổi hệ phương trình    x y  8
 y 10  y  8 THCS.TOANMATH.com| 62
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|x y 10 x y 10 x  110 x  9         2 y  10  8 2 y  2 y  1 y       1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 9;   1 .
3x y  5
y  3x  5 
d. Biến đổi hệ phương trình   
5x  2 y  14 5x  2  3x 5 14  24  24 x x
y  3x  5
y  3x  5  11  11        
5x  6x 10  14 1  1x  24  24  17  y  3.  5    y    11   11  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 24 17 ;   .  11 11 
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  1 1 y   x  1 
x y  1  2
a. Biến đổi hệ phương trình  2    1 
3x  2y 10 3x  2  x 1 10     2   1  1 x  4
y   x 1
y   x 1  x  4   2   2   1   y   .4  1         y  1 3x x 2 10 2x 8  2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 4;   1  y x y 1    2 y  5  
x y 1 5 2 10
b. Biến đổi hệ phương trình    y x y 1  5y  2   
x y  2  2 5 5  5 1 y x  
2 y  5x  5y  1
5x  7 y  1  7 7      
5y  2x  2 y  2
2x  3y  2  5 1  2x  3 x   2     7 7   5 1  5 1 y x y x      x  11 7 7 7 7       15 3 1 11 y  8    2x x   2 x   7 7 7 7
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 11;8 .
c. Hệ phương trình đã cho có điều kiện là: x  8; y  4
63 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 x y   0 
3x  2 y  0  Khi đó, biến đổ 2 3 i hệ phương trình    4 9  4 
  x  8  9  y  4
 y  4 x  8  2
3x  2 y  0 
3x  2 y  0 x y       
x     y   3 4 8 9 4
4x  32  9 y  36
4x 9y  4  2  8  2 x y x    x y  3  19   3      2  12
4x 9y  4 4. y 9y  4    y     3   19  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 8 12  ;    .  19 19 
x y  20 
x y  20
d. Biến đổi hệ phương trình  x x   x   y  8 
x x  8y x  8 8
x y  20
x y  20
x y  20        8
x x  8y x
6x  8y  0 6
  y  20  8y  0
x y  20 x  80     2 y  120 y    60
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 80;60 .
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:     
x  2 2 y  3 x 2 2 y 3 
a. Biến đổi hệ phương trình   
 2x y 1 6 2
 2 2y  3  y 1 6   1 2 6  x  2 2.   3
x  2 2y  3
x  2 2y  3    5        
4y  6  y  1 6 5y  1 2 6  1  2 6 y   5   1 2 6   2 2  4 12  5 3 x  2 2.   3   x   5    5        1  2 6 1 2 6 y y     5  5  2 2  3 3 x   5   12 6 y   5 THCS.TOANMATH.com| 64
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|    
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2 2 3 3 1 2 6  ;    . 5 5        x  3 3 0 y x y
b. Biến đổi hệ phương trình   
 3x  2y 1 3 3
  3y  2y 1 3  1 3   3  3 x  3.      x x 3 y  5    5      
3y  3y  1 3    1  3 1 3 y y     5  5    
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 3 3 1 3  ;    . 5 5  
 2x  5y 1 x   5y  2
c. Biến đổi hệ phương trình   
x  5y  2
 2x  5y  1      
x   5 y  2 x 5 y 2     
 2x  5y 1 2
  5y  2  5y 1
x   5y  2
x   5y  2       2 
 5y 2 5y 1  5   
 2  1 y  1    1 x 5          x 1 5 2 1          2 1   1 yy        5 5 2 1   
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2 1 1;    . 5    
 2x  5y  2 2 
 5y2 5y  2
d. Biến đổi hệ phương trình   
x  5y  2
x   5y  2  2        y     y 2 5 1 2 2 1 2  5  y        5  2 
x   5y  2   x   5  2 x     0   5   
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2 0;   .  5 
65 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
3 5 x 3y  35 5
a. Biến đổi hệ phương trình 4xy  42 5
3 5x 34x  42 5  35 5
 y 4x42 5
15 5 x 15 5 x 1              y  2 5 y 4x 4 2 5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1; 2  5 .    3   1 x y  3 y    3  1x 3
b. Biến đổi hệ phương trình    x    3  1 y 1 x   3   1    3   1 x  3   1   y    3  1x 3  y    3  1x 3     x  
 3  1 3  1x 3  1 3 1 3x  4  3          y     4 3 4 3 4 3 3 3 1    3    y   3  3    3        4  3 4 3 x x     3  3  1 y    3     
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 4 3 1  ;     . 4  3  3 3   x   3
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
4x  3y  5 
x y 1
a. Biến đổi hệ phương trình 2x4  2y   1  1
4x  3y  5 
x y 1 4x 3y  5x 5y 1     2x  4  2y   1  1
2x  8y  4  1   3 
9x  8y  1 9 4 y   8y  1   
9x  8y  1    2      3  
2x  8y  3 x  4 y    3  2 x  4 y   2 THCS.TOANMATH.com| 66
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  27  27  29 36 y   8y  1 28 y  1  y      2  2  56       3 3  29  3 x  4y   x  4 y   x  4.     2  2   56  2  29 y   56    
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 4 29 ;   4   7 56  x   7 3
  x  7  6 x y   1  0
b. Biến đổi hệ phương trình 4   x  
1  2  x  2 y  7  0
3x  21 6x  6 y  6  0
3x  6 y  27    
4x  4  2x  4 y  14  0
6x  4 y     10
x  2 y  9
x  2 y  9 
x  2 y  9      
6x  4 y  10 6
 2 y  9  4 y  10 8  y  44 x  2     
11 . Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 11 2;   . y    2   2
3x by  5
Bài 6. Hệ phương trình: ax by   12   b    b  a. Có nghiệm   3.1 .2 5 3 2 5 1; 2     . a 1  . b 2  12 a b    12 3  2b  5 2b  2 b  1 b  1         a b  12 a b  12 a  1  12 a      11
Vậy, hệ số a  11;b  1 . 3.  2  . b 2  5 6  2b  5
b. Có nghiệm 2; 2      . a  2  . b 2  12
2a  2b  12  11  11 b b  2b  11    2  2       a b  6 11 1  a 6    a    2  2 1 11
Vậy, hệ số a   ;b  . 2 2 Bài 7. a. Điề 1 1
u kiện x  0; y  0 . Đặt ẩn phụ:  a;  b x y
67 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9 1 1 1  1  1  1    a b b   b      x y 3   Khi đó, hệ 3  12  3 phương trình      1 1 1 1    1   a b a b   x y 12  12  12  1 1  1  1  1 2b   2b b b       3 12  4  8  8         1 1 1 1 5 a b   a ba      a   12  12  8 12  24  1  1 1 b    24    8  y 8 x  Với      5 5 1 5 a      y  8  24  x 24  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 24 ;8   .  5  b. Điề 1 1
u kiện: x  1; y  2 . Đặt ẩn phụ:  a;  b x 1 y  2  7 5   1 
7a  5b  1
x 1 y  2 
khi đó, hệ phương trình    1 1 1 1 a b       12
 x 1 y  2 12   1   5  5
7a  5b  1 7 b   5b  1    12b b       12   12  144   1       a b    1 1 17    12 a b a b a       12 12  144  5  1 5  144  144 b   y  2  y   2      144  y  2 144  5  5 Với        17 1 17 144 144 a    x 1     x  1  144  x 1 144  17  17  134 y   5   (thỏa điều kiện) 161 x   17  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 161 134 ;   .  17 5  c. Điề 1 1
u kiện: x  2 y . Đặt ẩn phụ:  a;  b x  2 y x  2 y THCS.TOANMATH.com| 68
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  4 1   1
 x  2y x  2y
4a b  1
khi đó, hệ phương trình    20 3 
20a  3b  1   1
 x  2y x  2y  1 a  b  4a 1  b  4a 1  8       20a  3  4a   1  1 32a  4  1 b    2   1 1 1 a     x  3   x  2 y 8
x  2 y  8 8  Với        5 (thỏa điều kiện) 1 1 1  
x  2 y  2 y b       2  2  x  2y 2 x  3 
Kết luận, vậy hệ phương trình có nghiệm là  5 y   2 x y  3 d. Điề 1 1 u kiện:  . Đặt ẩn phụ:  a;  b x y   1 x y  3 x y  1  5 2  14   8  a
x y  3 x y 1
5a  2b  8  Khi đó, hệ 11 phương trình      3 1 
3a b  3 9 3    b  
 x y  3 x y 1  11   1 14 14  11  53 a    
x y  3  x y  
x y  3 11   11  14  14 Với        9 1 9 11 19 b       x y 1      x y    11
 x y 1 11  9  9  211 x   252   743  y   252  211 x   252
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  743  y   252
3x  2 y a
Bài 8. Cho hệ phương trình: 15x 10y   5
3x  2 y  1
3x  2 y  1
a. Với a  1 , ta có:   
15x 10 y  5 3x  2 y    1
69 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Hệ phương trình với a  1 là hệ gồm hai phương trình giống nhau (hai đường thẳng trùng nhau) nên chúng có vô số nghiệm. x  
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:  3 1 y x   2 2
Cách 2: Ta có thể nhìn nhanh số nghiệm của hệ phương trình khi lập tỉ số các hệ số của hai đường thẳng: 3 2 1 Vì: 
 nên hệ phương trình có vô số nghiệm. 15 10 5
3x  2 y a
b. Với a  1 . Ta có hệ phương trình: 15x 10y   5 3 2 a Vì a  1 nên 
 . Do đó, hệ phương trình vô nghiệm. 15 10 5
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5x y  10
15x  3y  30
a. Biến đổi hệ phương trình   
x  3 y  18
x  3 y     18 1  6x  48 x  3    
x  3 y  18 y     5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 3; 5 .
4x  3y  10
4x  3y  10
b. Biến đổi hệ phương trình    2x  5 y  8 4x  10 y    16 1  3y  26  y  2     2x  5 y  8 x     1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1; 2 .  1 6 27  x y  
5x 12 y  27 2 5 10
c. Biến đổi hệ phương trình    9 15
2x  9 y  15   x y    2 2
5x 12 y  27
10x  24 y  54    
2x  9 y  15
10x  45 y     75 21y  21  y  1    
2x  9 y  15 x     3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 3;  1 . 1 1 4 x y  2 x y  8   3 4 3
d. Biến đổi hệ phương trình    2 2  x y 18    x y  18 5 5 THCS.TOANMATH.com| 70
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  26 x  26 x  15   x  15 15    2   2 .15  y  18 y  12    x y  18 5 5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 15;12 .
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5x  3y  19 1
 0x  6 y  38
a. Biến đổi hệ phương trình:   
2x  9 y  31 10x  45 y    155 39 y  117  y  3 x  2      
5x  3 y  19 5x  9  19 y     3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2;3 . 1
 5x  8y  46  1
 5x  8y  46
b. Biến đổi hệ phương trình:  3 4   x y  
5x  3y  4  5 5 1
 5x  8y  46 1  7 y  34  y  2 x  2        
15x  9 y  12 5x  3 y  4 5x  6  4 y      2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2; 2 .
3x  4 y  10 3 4 10  a b c  c. Hệ phương trình 
có tỉ lệ giữa các hệ số là:   dạng     
6x  8 y    17 6 8 17
abc 
nên hệ phương trình vô nghiệm.
5x  4 y  20  5 4 20  a b c  d. Hệ phương trình  1 1
có tỉ lệ giữa các hệ số là:   dạng     x y  1   1   1  1
abc   4 5       4   5 
nên hệ phương trình có vô số nghiệm. x     y
Với nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:  5 hoặc  4 y x  5  x y  4   4  5
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5 x  2y  3 x y  99
a. Biến đổi hệ phương trình x3y  7x17
5x 10 y  3x  3y  99
2x 13y  99    
6x  3 y  17 6x  3 y    17
71 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9  70  19 y x   
6x  39 y  297 36 y  280  9  18        
6x  3y  17
6x  3y  17  70  70 6x  3  17    y    9   9  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 19 70  ;    18 9 
2x  3y  21 
b. Biến đổi hệ phương trình 7
  x  4  3 x y   1  14
2x  3y  21
2x  3y  21    
7 x  28  3x  3 y  3  14 10x  3 y    45 8  x  24 x  3 x  3      
3 y  21  2x 3 y  21  6 y     5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 3;5 2   x   1  5  y   1  8
c. Biến đổi hệ phương trình 3   x   1  2  y   1  1
2x  2  5y  5  8
2x  5y  11    
3x  3  2 y  2  1 3x  2 y    0
6x 15y  33 1  1y  33     6x  4 y  0 3x  2 y    0  y  3 x  2     3x  2 y y     3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 2; 3
* (Những bài toán khá đơn giản như thế này chúng ta không nên đặt ẩn phụ, bởi sẽ tạo ra nhiều
bước thực hiện để hoàn thành bài toán. Cách tốt nhất là khai triển, rồi làm gọn hệ phương trình đã
cho. Sau đó giải theo phương pháp thầy đã nêu.) 4   x   1  2 3y   1  5  0
d. Biến đổi hệ phương trình 8   x   1  5 3y   1  9
4x  4  6 y  2  5  0
4x  6 y  1    
8x  8 15 y  5  9 8x 15 y    4 8
x 12 y  2 3y  2     8x 15 y  4 4x  6 y    1  2  3 y   x    3    4      2  2 4x  6.  1    y     3   3 THCS.TOANMATH.com| 72
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 3 2  ;     4 3 
Bài 12. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:   3   1 x y  3
Biến đổi phương trình x   3  1 y 1   3   1 x y  3   3   1 x y  3     3   1 x   3   1  3   1 y  3 1    3   1 x  2 y  3 1  1 3y  1 y         3   3 1 x y  3   3   1 x y  3  1  1 y   y     3  3      1 y  3   3   x  3     3 1 x  3 1  1 y    3     3  13 3   1 3 3 1 4  3 x     3 3   1 3 3   1 3   
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 4 3 1  ;     3 3  
Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M và N trong mỗi trường hợp sau:
a. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1;3 và N 2; 2 :
Điểm M 1;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  a b   1
Điểm N 2;2 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 2  2a b 2  1 a  3  a b  3
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình   
2  2a b 8  b   3 1 8 Vậy, a  và b  . 3 3
b. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1; 3 và N 2; 3 :
73 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9
Điểm M 1; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  a b   1
Điểm N 2; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  2a b 2
 3  a ba  0 
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình   
 3  2a b b  3 a  0  Vậy,  . b  3
c. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 0; 0 và N 3;3 :
Điểm M 0;0 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: b  0   1
Điểm N 3;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  3a b 2 b  0 a  1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình    3  3a b b    0 a  1 Vậy,  . b   0
d. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1; 4 và N 4;   1 :
Điểm M 1;4 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 4  a b   1 Điểm N 4; 
1 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 1
  4a b 2
4  a ba  1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình   
1  4a b b    3 a  1 Vậy,  . b   3
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
2x my n a. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  2; y  5 mx ny   5
Thay giá trị x  2; y  5 vào hệ phương trình, ta có hệ:  5 m  
4  5m n
5m n  4  9      2m  5n  5 2m  5n  5 11   n   9 5 11 Vậy, với m   và n
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x  2; y  5 . 9 9
x y m b. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  1; y  2 .
3x  2 y n   1
Thay giá trị x  1; y  2 vào hệ phương trình, ta có hệ: THCS.TOANMATH.com| 74
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
x y m 1   2  mm  1     
3x  2 y n  1 3  4  n  1 n     6
Vậy với m  1 và n  6 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x  1; y  2 .
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:  10 1   1
 x 1 y  2 a. Hệ phương trình 
có điều kiện x  1; y  2 25 3    2
 x 1 y  2
Với x thỏa điểu kiện. Đặ 1 1 t ẩn phụ: a  ;b
, ta có hệ phương trình mới: x 1 y  2  10 1   1
 x 1 y  2 1
 0a b  1    25 3 
25a  3b  2   2
 x 1 y  2  1
30a  3b  3 5a  1 a        5
25a  3b  2 1
 0a b  1 b  1  1 1  1    a   x 1 5 Từ kết quả  5 , suy ra:   1 b  1   1  y  2 x 1  5 x  6     (thỏa điều kiện) y  2  1 y     3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 6; 3 .  27 32   7
2x y x  3y
2x y  0 b. Hệ phương trình  có điều kiện  45 48       x 3y 0 1
2x y x  3y
Với x thỏa điều kiện. Đặ 1 1 t ẩn phụ: a  ;b
, ta có hệ phương trình mới: 2x y x  3y  27 32  1   7  a
 2x y x  3y
27a  32b  7  9      45 48 
45a  48b  1 1 1     b
2x y x  3y  8
75 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ | TOÁN 9  1  1 1 a     9  2x y 9 Từ kết quả  , suy ra:  1  1 1  b    8
 x  3y 8
2x y  9 x  5     (thỏa điều kiện) x  3 y  8 y    1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 5;  1 .
2 x  6  3 y 1  5  c*. 
. Đặt a x  6 ;b y 1
5 x  6  4 y 1  1 
2 x  6  3 y 1  5 
2a  3b  5 a  1
Ta có hệ phương trình:     
5 x  6  4 y 1  1 
5a  4b  1 b  1 x  6  1    1 y  1   1 x  6  1  2 a  1  x  6  1   y 1  1 Với  , suy ra:    b   1  y 1  1 x  6  1   3  y 1    1  x  6  1  4  y 1  1 x   x  Giải   6 1 7 1    y  1  1 y    0 x    x  Giải   6 1 5 2    y  1  1 y     2 x   x  Giải   6 1 7 3    y  1  1 y     2 x    x  Giải   6 1 5 4    y  1  1 y    0
Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là: 7;0;5; 2;7; 2  ;5;0 .
4 x y  3 x y  8  d*. 
. Đặt a x y ;b x y
3 x y  5 x y  6 
4 x y  3 x y  8 
4a  3b  8 a  2
Ta có hệ phương trình:     
3 x y  5 x y  6 
3a  5b  6 b  0 THCS.TOANMATH.com| 76
CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9|
x y  2    1 a  2
x y  2 
x y  0 Với  , suy ra   b   0 
x y  0
x y  2   2
x y  0 x y  x  Giải   2 1 1    x y  0 y    1
x y   x   Giải   2 1 2    x y  0 y     1
Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là: 1;  1 1;   1 .
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:
3x y z  1
z  3x y 1  
a. 2x y  2z  5  2x y  2 3x y   1  5  
x  2 y  3z  0  x  2 y  3 
3x y   1  0
z  3x y 1
z  3x y 1
z  3x y 1   
 2x y  6x  2y  2  5  8
x y  7  4y  4   
x  2 y  9x  3 y  3  0
8x  5y  3 8x y  7   
z  3x y 1
z  3x y 1 z  1     y  1  y  1  y  1    8x 1  7 x  1 x  1   
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 1; 1;  1    
x  3y  2 x y z
3x y  6  8 3 2 8  
b. 2x y z  6  2x y  3x y  6  6  
3x y z  6 
z  3x y  6 
x  3y  23x y  6  8
x  3y  6x  2 y 12  8  
 2x y  3x y  6  6  2x y  3x y  6  6  
z  3x y  6
z  3x y  6  
5x y  4  y  4    x  0  x  0  
z  3x y  6 z  10  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 0; 4;10 .
77 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ