Chuyên đề hình học giải tích không gian – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Chuyên đề hình học giải tích không gian – Lưu Huy Thưởng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
60 trang 9 tháng trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề hình học giải tích không gian – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Chuyên đề hình học giải tích không gian – Lưu Huy Thưởng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

115 58 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

142 tài liệu

Môn: Toán 12

3.8 K tài liệu

Thông tin:

60 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: MỞ ĐẦU
I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
• !"#$$#%&
'(
•)*+,
-Qui tắc ba điểm:./0%12./34,
AB BC AC
+ =
  
-Qui tắc hình bình hành:.5/5$12.64,
AB AD AC
+ =
  
-Qui tắc hình hộp:.5712.6(1′2′.′6′4,
' '
AB AD AA AC
+ + =
-Hê thức trung điểm đoạn thẳng:.89$*0%:;'12<*3+(
=4,
0
IA IB
+ =
>
2
OA OB OI
+ =
  
-Hệ thức trọng tâm tam giác:.?9$@ %:%12.<*3+(
=4,
0; 3
GA GB GC OA OB OC OG
+ + = + + =
      
-Hệ thức trọng tâm tứ diện:.?9$@ %:A"B12.6<*3+(
=4,
0; 4
GA GB GC GD OA OB OC OD OG
+ + + = + + + =
        
-Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :
≠ ⇔ ∃ ∈ =
a vaø b cuøng phöông a k R b ka
-Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kC≠D<*3+(
=4,
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
 
  
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
•2@9$E'F*:GHIIJ%7%&'(
•Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:./
, ,
a b c
4
a vaø b
H(K4,
, ,
a b c
E'⇔∃L%∈M,
c ma nb
= +
•./
, ,
a b c
E'
x
*3+(
K4, ∃L%∈M,
x ma nb pc
= + +
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
0 0
, ( , ) (0 180 )
AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
-.
, 0u v ≠
(K4,
. . .cos( , )u v u v u v=
-OJ 0 0
u hoaëc v
= =
(P*J,
. 0u v =
-
. 0u v u v⊥ ⇔ =
-
2
u u=
II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
./Q<<!<R*4J*S%7$*%70%T<(?@
, ,i j k
9$
AUQ<<!<R(VB/QW!@9$B@7U*4<!R&X9$B
@7<!R(
Chú ý,
2 2 2
1i j k= = =
$
. . . 0i j i k k j= = =
(
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
b) Tính chất:.
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R= = ∈
•
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
•
1 2 3
( ; ; )
ka ka ka ka
=
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
•
0 (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = =
•
a
H
( 0)b b ≠
⇔
( )a kb k R= ∈
1 1
1 2 3
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0)
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
⇔ = ⇔ = = ≠
=
•
1 1 2 2 3 3
. . . .
a b a b a b a b= + +
•
1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
•
2 2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
•
2 2 2
1 2 2
a a a a= + +
•
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với
, 0a b ≠
)
3. Tọa độ của điểm:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY
a) Định nghĩa:
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM x y z
⇔ =

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
•
M
∈
(Oxy)
⇔
z = 0; M
∈
(Oyz)
⇔
x = 0; M
∈
(Oxz)
⇔
y = 0
•
••
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0
b) Tính chất: .
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −

•
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
•=;70%Z;12[ITk(k≠1):
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
− − −
− − −
•=;7*0%Z:;'12,
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
•=;7@ %?:%12.,
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
•=;7@ %?:A"B12.6,
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +
4. Tích có hướng của hai vectơ:(Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho
1 2 3
( , , )
a a a a
=

1 2 3
( , , )
b b b b
=
(
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
, ; , ; ,
i j k j k i k i j
= = =
•
[ , ] ; [ , ]
a b a a b b
⊥ ⊥
•
(
)
[ , ] . .sin ,
a b a b a b
=
•
,
a b
H
[ , ] 0
a b
⇔ =
c) Ứng dụng của tích có hướng:
•Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,
a b
$
c
E'⇔
[ , ]. 0
a b c
=
•Diện tích hình bình hành ABCD:
,
ABCD
S AB AD
=
▱
 
•
Diện tích tam giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
∆
=
 
•
Thể tích khối hộp ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
:
. ' ' ' '
[ , ]. '
ABCD A B C D
V AB AD AA
=
  
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
Thể tích tứ diện ABCD:
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD=
  
  
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai
đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình
hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
. 0
, 0
, , , . 0
a b a b
a vaø b cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
5. Phương trình mặt cầu:
•5%&]*C^D %I(a; b; c)/R,
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
•5
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
J
2 2 2
0a b c d+ + − >
9$5%&]* %I(–
a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. ./
, ,a b c
(=5%m, n0
,c a b
=
,
D
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7a b m c= − − = =
/D
( ) ( ) ( )
6; 2; , 5; ; 3 , 6; 33;10a m b n c= − = − =
HT 2. _I#E':/
, ,a b c
%`aI* !,
D
( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2; 3a b c= − = =
/D
( ) ( ) ( )
4; 3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1a b c= = − =
D
( ) ( ) ( )
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1a b c= − − = = −
 "D
( ) ( ) ( )
4;2;5 , 3;1; 3 , 2;0;1a b c= = =
HT 3. =5%m0Y
, ,a b c
E',
D
( ) ( ) ( )
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2a m b m c m= = + = −
/D
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)a m m b m m c m m= + − = + + = +
HT 4. .
, , ,a b c u
(.A%/
, ,a b c
E'(20*"b
u
 
, ,a b c
,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
D
(
)
(
)
(
)
2;1; 0 , 1; 1;2 , 2;2; 1
(3;7; 7)
a b c
u
= = − = −
= −
/D
(
)
(
)
(
)
2
1; 7; 9 , 3; 6;1 , ;1; 7
( 4;13; 6)
a b c
u
= − = − = −
= − −
HT 5. .Ad/T
, , ,
a b c d
E',
D
(
)
(
)
(
)
2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , ( 2; 11;1)
a b c d= − − = − − = − − = − −
/D
(
)
(
)
(
)
2;6; 1 , 2;1; 1 , 4; 3;2 , (2;11; 1)
a b c d
= − = − = − = −
HT 6. ./
, ,
a b c
E'$
d
(.A%/7/I*E',
D
, ,
b c d ma nb
= +
CJm, n ≠ 0) /D
, ,
a c d ma nb
= +
CJm, n ≠ 0)
HT 7. .0%Z(=5%@75F**4:0%Z,
•=U%&'@7,<!<R<!R •=UQ@7,<<!<R
D
(1;2; 3)
M
/D
(3; 1;2)
M
−
D
( 1;1; 3)
M
− −
"D
(1;2; 1)
M
−
HT 8. .0%Z(=5%@7:0%Z′TAJ0%Z,
•P*T;7•P*%C<!D •P*Q<!
D
(1;2; 3)
M
/D
(3; 1;2)
M
−
D
( 1;1; 3)
M
− −
"D
(1;2; 1)
M
−
HT 9. _'$:/7/0%I*,
D
(1; 3;1), (0;1;2), (0; 0;1)
A B C
/D
(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)
A B C
− −
HT 10. ./0%12.(
•.Ad/0%12.;$%7%(
•=5%;7@ %?:∆12.(
•_0%6I12.69$5/5$(
D
(1;2; 3), (0;3;7), (12; 5; 0)
A B C
−
/D
(0;13;21), (11; 23;17), (1; 0;19)
A B C
−
D
(3; 4;7), ( 5;3; 2), (1;2; 3)
A B C
− − − −
"D
(4;2;3), ( 2;1; 1), (3; 8;7)
A B C
− −
HT 11. =UQ<!(Ox)5%0%*0%,
D
(3;1; 0)
A

( 2; 4;1)
B
−
/D
(1; 2;1), (11; 0;7)
A B
−
D
(4;1;4), (0;7; 4)
A B
−
HT 12. =U%&'<!(Oxz, Oyz)5%0%*/0%,
D
(1;1;1), ( 1;1; 0), (3;1; 1)
A B C
− −
/D
( 3;2; 4), (0; 0;7), ( 5; 3; 3)
A B C
− −
HT 13. .0%12(a'12e%&'<!R(Oxz, Oxy) ;0%Z(
•0%Z;'12[IT$f •=5%@70%Z(
D
(
)
(
)
2; 1;7 , 4;5; 2
A B
− −
/D
(4; 3; 2), (2; 1;1)
A B
− −
D
(10;9;12), ( 20;3; 4)
A B
−
HT 14. ./T0%12.6(
•.A%12.69$/T[:%7A"B(
•=5%@7@ %?:A"B12.6(
•=4;/g;T"B:A"B12.6(
•=0:TA"B12.6(
•="B%2.6S4I*!7"$a:A"BhS1(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi
D
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2)
A B C D
− − − −
/D
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 1
A B C D
− −
D
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1
A B C D
"D
(
)
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 4; 0 , 0;0;6 , 2; 4;6
A B C D
HT 15. .5712.6(1j2j.j6j(
•=5%;7[k9;(
•=0T7(
D
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5
A B D C
− −
/D
2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2
A B C A
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )
− − − −
D
(0;2;1), (1; 1;1), (0;0; 0;), '( 1;1; 0)
A B D A
− −
"D
(0;2;2), (0;1;2), ( 1;1;1), '(1; 2; 1)
A B C C
− − −
HT 16. ./T0%^CY>>lND1Cc>Y>D2CN>Y>l\D.C>N>mD(
D.A%^1⊥C^2.D^2⊥C^1.D^.⊥C^12D(
/D.A%^(12.9$%754*(
D_;7 aV:54(^*!7"$a^V(
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1:(S) 4 % I(a; b; c) $/ R:
(S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =
Dạng 2: (S) 4 % I(a; b; c) $p*0%1,
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3:(S) W;'12J9$%a,
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
.
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4:(S) p*/T0%12.6(mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
+ + + + + + =
CqD(
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
⇒
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5:(S)p*/0%12.$4 %8r%U%&'CDJ,
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6:(S)4 %8$FGJ%&]*(T)J,
– Xác định tâm J và bán kính R
′
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
+ + + + + + =
J
2 2 2
0
a b c d
+ + − >
thì (S) có  %I(–a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d
+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. =5% %$/:%&]*I*,
D
2 2 2
8 2 1 0
x y z x y
+ + − + + =
/D
2 2 2
4 8 2 4 0
x y z x y z
+ + + + − − =
D
2 2 2
2 4 4 0
x y z x y z
+ + − − + =
"D
2 2 2
6 4 2 86 0
x y z x y z
+ + − + − − =
HT 18. OF5%&]*4 %8$/M,
D
(1; 3;5), 3
I R
− =
/D
(5; 3;7), 2
I R
− =
D
(1; 3;2), 5
I R
− =
"D
(2;4; 3), 3
I R
− =
HT 19. OF5%&]*4 %8$p*0%1,
D
(2;4; 1), (5;2;3)
I A
−
/D
(0; 3; 2), (0; 0; 0)
I A
−
D
(3; 2;1), (2;1; 3)
I A
− −
HT 20. OF5%&]*4a12J,
D
(2;4; 1), (5;2;3)
A B
−
/D
(0; 3; 2), (2; 4; 1)
A B
− −
D
(3; 2;1), (2;1; 3)
A B
− −
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
HT 21. OF5%&]*;FA"B12.6J,
D
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1
A B C D
/D
(
)
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 4; 0 , 0;0;6 , 2; 4;6
A B C D
HT 22. OF5%&]*p*/0%12.$4 %r%%&'CDJJ,
D
(1;2;0), ( 1;1;3), (2;0; 1)
( ) ( )
A B C
P Oxz
− −
≡
/D
(2;0;1), (1; 3;2), (3;2; 0)
( ) ( )
A B C
P Oxy
≡
HT 23. OF5%&]*C^D4 %8$FGJ%&]*C=DJ,
D
2 2 2
( 5;1;1)
( ) : 2 4 6 5 0
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
/D
2 2 2
( 3;2;2)
( ) : 2 4 8 5 0
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
--------------------------------------------------------------------
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
•O
0
n
≠
9$O==:CαDF*:
n
*4JCαD(
Chú ý:
•
Nếu
n
là một VTPT của (
α
) thì
kn
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
α
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2 2 2
0 0
Ax By Cz D vôùi A B C
+ + + = + + >
•tF*CαD45
0
Ax By Cz D
+ + + =
5
( ; ; )
n A B C
=
9$%7O==:CαD(
•5%&'p*
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$4%7O==
( ; ; )
n A B C
=
9$,
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
3. Các trường hợp riêng
Chú ý:
•
Nếu trong phương trình của (
α
) không chứa ẩn nào thì (
α
) song song hoặc chứatrục tương ứng.
•
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
+ + =
(
α
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
.%&'CαDCβD45, CαD,
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
CβD,
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng (α
αα
α) Tính chất mặt phẳng (α
αα
α)
D = 0
(
α
) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
(
α
) // Ox hoặc (
α
)
⊃
Ox
B = 0
(
α
) // Oy hoặc (
α
)
⊃
Oy
C = 0
(
α
) // Oz hoặc (
α
)
⊃
Oz
A = B = 0
(
α
) // (Oxy) hoặc (
α
)
≡
(Oxy)
A = C = 0
(
α
) // (Oxz) hoặc (
α
)
≡
(Oxz)
B = C = 0
(
α
) // (Oyz) hoặc (
α
)
≡
(Oyz)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
•
(
α
), (
β
) cắt nhau
⇔
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
•
(
α
) // (
β
)
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = ≠
•
(
α
)
≡
(
β
)
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = =
•
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔
1 2 1 2 1 2
0
A A B B C C
+ + =
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
αα
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
α
) ta cần xác định một điểm thuộc (
α
) và một VTPT của nó.
Dạng 1:(
α
) p*0%
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
4O==
(
)
; ;
n A B C
=
,
(
α
):
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0
A x x B y y C z z
− + − + − =
Dạng 2:(
α
) p*0%
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
4&O=.
,
a b
,
Khi đó một VTPT của (
α
) là
,
n a b
=
.
Dạng 3: (
α
) p*0%
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
$IIJ%&'(
β
): Ax + By + Cz + D = 0,
(
α
):
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0
A x x B y y C z z
− + − + − =
Dạng 4: (
α
) p*Y0%'$12.,
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (
α
) là:
,
n AB AC
=
 
Dạng 5:(
α
) p*%70%Z$%7a'C"DAZ,
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n AM u
=

Dạng 6:(
α
) p*%70%Z$*4J%7a'C"D,
VTCP
u
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
α
).
Dạng 7:(
α
)p*Na'e*"
"
N
,
– Xác định các VTCP
,
a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 8:(
α
)Aa'"
$IIJa'"
N
(d
1
, d
2
chéo nhau),
lXác định các VTCP
,
a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNm
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 9:(
α
)p*0%Z$IIJa'*"
"
N
,
– Xác định các VTCP
,
a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n a b
=
.
Dạng 10:(
α
)p*%7a'C"D$*4J%7%&'CβD,
– Xác định VTCP
u
của (d) và VTPT
n
β
của (
β
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n u n
β
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 11:(
α
)p*0%Z$*4J%&'e*CβDCγD,
– Xác định các VTPT
,
n n
β γ
của (
β
) và (
γ
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n u n
β γ
=
.
Dạng 12:(
α
)p*a'C"DJ$0%ZJ%7XJ,
l Giả sử (
α
)có phương trình:
Ax z+D
0
By C
+ + =
(
)
2 2 2
0
A B C+ + ≠
.
– Lấy 2 điểm A, B
∈
(d)
⇒
A, B
∈
(
α
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
( ,( ))
d M k
α
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13:(
α
)9$FGJ%&]*C^D;0%V,
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (
α
) là:
n IH
=

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 24. OF5%&'CDp*0%Z$4O==J,
D
(
)
(
)
3;1;1 , 1;1;2
M n
= −
 /D
(
)
(
)
2;7;0 , 3; 0;1
M n
− =
D
(
)
(
)
4; 1; 2 , 0;1; 3
M n
− − =
HT 25. OF5%&'*#:;'12JJ,
D
(2;1;1), (2; 1; 1)
A B
− −
 /D
(1; 1; 4), (2;0;5)
A B
− −
 D
(2;3; 4), (4; 1; 0)
A B
− −
HT 26. OF5%&'p*0%Z$4&O=.
,
a b
JJ,
D
(1;2; 3), (2;1;2), (3;2; 1)
M a b
− = = −
 /D
(1; 2;3), 3; 1; 2), (0; 3; 4)
M a b− = − − =

HT 27. OF5%&'CαDp*0%Z$IIJ%&'
(
)
β
JJ,
D
(
)
(
)
(
)
2;1;5 ,
M Oxy
β
=
/D
(
)
(
)
1; 2;1 , : 2 3 0
M x y
β
− − + =

HT 28. OF5%&'CαDp*0%Z$9]9IIJ%&';7J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
D
(
)
2;1;5
M
/D
(
)
1; 2;1
M
−
 D
(
)
1;1;0
M
−
"D
(
)
3;6; 5
M
−
HT 29. OF5%&'CαDp*/0%12.'$JJ,
D
(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)
A B C
− − − −
/D
(0; 0;0), ( 2; 1;3), (4; 2;1)
A B C
− − −
HT 30. OF5%&'CαDp*0%1$*4Ja'p*0%2.J
J,
D
(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)
A B C
− − − −
/D
(0; 0;0), ( 2; 1;3), (4; 2;1)
A B C
− − −
HT 31. OF5%&'CαDp*0%12$*4J%&'CβDJJ,
D
( )
(3;1; 1), (2; 1;4)
: 2 3 1 0
A B
x y z
β
− −
− + − =
/D
( )
( 2; 1;3), (4; 2;1)
: 2 3 2 5 0
A B
x y z
β
− − −
+ − + =
D
( )
(2; 1;3), ( 4;7; 9)
: 3 4 8 5 0
A B
x y z
β
− − −
+ − − =
HT 32. OF5%&'CαDp*0%Z$*4J%&'CβDCγDJJ,
D
(
)
(
)
( 1; 2;5), : 2 3 1 0, : 2 3 1 0
M x y z x y z
β γ
− − + − + = − + + =
/D
(
)
(
)
(1;0; 2), : 2 2 0, : 3 0
M x y z x y z
β γ
− + − − = − − − =
HT 33. OF5%&'CαDp*0%Z$*!F:%&'CDCPDJJ,
D
(
)
(
)
(
)
:
1;2; 3 , : 2 3 5 0, 3 2 5 1 0
M P x y z Q x y z
− − + − = − + − =
/D
(
)
(
)
(
)
:
2;1; 1 , : 4 0, 3 1 0
M P x y z Q x y z
− − + − = − + − =
HT 34. OF  5 %&'CαDp**!F: %&'CDCPDEaIIJ%&
'CMDJJ,
D
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0, ( ) : 2 0
P y z Q x y z R x y z
+ − = + − − = + + − =
/D
( ) : 4 2 5 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 19 0
P x y z Q y z R x y
− + − = + − = − + =
D
( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0
P x y z Q x y R x z
− + − = + − = − + =
HT 35. OF 5%&'CαDp* *!F :%&' CDCPDE a*4J%&
'CMDJJ,
D
( ) : 2 3 4 0, ( ) : 2 3 5 0, ( ) : 2 3 2 0
P x y Q y z R x y z
+ − = − − = + − − =
/D
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0, ( ) : 2 0
P y z Q x y z R x y z
+ − = + − + = + + − =
D
( ) : 2 4 0, ( ) : 2 5 0, ( ) : 2 3 6 0
P x y z Q x y z R x y z
+ − − = + + + = − − + =
"D
( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0
P x y z Q x y R x z
− + − = + − = − + =
HT 36. OF5%&'CαDp**!F:%&'CDCPDEa0%ZJ
%7X/rkJ,
D
( ): 2 0, ( ) : 5 13 2 0, (1;2;3), 2
P x y Q x y z M k
− − = − + = =
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
HT 37. _T:&%&'I*,
D
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ − − =
/D
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
D
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
+ − − =
+ − + =
HT 38. _m, n0&%&'I*,•II •e* •H*
D
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =
 /D
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
D
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
+ + − =
− − + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
HT 39. _m0&%&'I**4J*
D
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
− + + =
+ − + =
 /D
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
m x my z
mx m y z
− − + + =
+ − + − =

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
•
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
•
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P)
⇔
,
( )
MH n cuøng phöông
H P
∈

•
Điểm M
′
đối xứng với điểm M qua (P)
⇔
2
MM MH
′
=
 
BÀI TẬP
HT 40. .%&'CD$0%Z(
•=XSZFCD( •=5%;75F*V:ZUCD(
•=5%;70%Z′TAJZp*CD(
D
( ) : 2 2 6 0, (2; 3;5)
P x y z M
− + − = −
/D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)
P x y z M
+ + − = − −
HT 41. =5%Xv%&',
D
2 3 1 0
2 3 5 0
x y z
x y z
− + + =
− + + =
/D
6 2 1 0
6 2 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
D
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 42. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*0%t$%&'CD,
D
( ) : 2 2 5 0, (1;2; 2)
P x y z N
+ + − = −
/D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)
P x y z N
+ + − = − −
D
( ) : 6 2 3 12 0, (3;1; 2)
P x y z N
− + + = −
"D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3;4)
P x y z N
− + + = −
HT 43. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
 /D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 44. =5%5wp*:%&'CDp*0%1$IIJ%&'CPDJ(=
XvCD$CPD,
D
(
)
1;2; –3 , ( ) : 2 4 4 0
A Q x y z
− − + =
( /D
(
)
3; 1; –2 , ( ) : 6 2 3 12 0
A Q x y z
− + + =
(
HT 45. =5%5wp*:%&'CDIIJ%&'CPD$0%1%7Xk
J,
D
( ) : 2 2 5 0, (2; 1; 4), 4
Q x y z A k
+ − + = − =
/D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3;4), 3
Q x y z A k
− + + = − =
HT 46. =5%5wp*:%&'CD%&'CPD%7Xk,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY
D
( ) : 3 2 3 0, 14
Q x y z k− + − = =
/D
( ) : 4 3 2 5 0, 29
Q x y z k+ − + = =
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
α
), (
β
) có phương trình: (
α
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
(
β
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
Góc giữa (
α
), (
β
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
1 2
,
n n
.
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
α β
+ +
= =
+ + + +
Chú ý:
•
(
)
0 0
0 ( ),( ) 90
α β≤ ≤
.
•
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
A A B B C Cα β
⊥ ⇔ + + =
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 47. =4v%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
 /D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
"D
4 4 2 7 0
2 4 5 0
x y z
x z
+ − + =
+ − =
D
2 2 3 0
2 2 12 0
x y z
y z
− − + =
+ + =
xD
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
x y z
x y z
− + + =
+ + − =
HT 48. =5%m04v%&'I*/rαJ,
D
0
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
90
m x my z
mx m y z
α
− − + + =
+ − + − =
=
 /D
0
2 12 0
7 0
45
mx y mz
x my z
α
+ + − =
+ + + =
=
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
•Phương trình tham số:a'dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$4O=.
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
,
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
•tF*
1 2 3
0
a a a
≠
5
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
d
a a a
− − −
= =
được gọi là phương trình chính tắc của d.
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
.a'dd
′
45%IT9]99$,
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
= +
= +
= +
$
0 1
0 2
0 3
:
x x t a
d y y t a
z z t a
′ ′ ′
= +
′ ′ ′ ′
= +
′ ′ ′
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
d // d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
a a cuøng phöông
x ta x t a
heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm
z ta z t a
⇔
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∉
a a cuøng phöông
M x y z d
⇔
0 0
,
,
′
′

a a cuøng phöông
a M M khoâng cuøng phöông
⇔
0 0
, 0
, 0
′
=
′
≠

a a
a M M
•
d
≡
d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
( , )
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
x ta x t a
heä y ta y t a aån t t coù voâ soá nghieäm
z ta z t a
⇔
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∈
a a cuøng phöông
M x y z d
⇔
0 0
, ,
′ ′

a a M M ñoâi moät cuøng phöông
⇔
0 0
, , 0
′ ′
= =

a a a M M
•
d, d
′
cắt nhau
⇔
hệ
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(ẩn t, t
′
) có đúng một nghiệm
⇔
0 0
,
, ,
′
′ ′

⇔
0 0
, 0
, . 0
′
≠

′ ′
=

a a
a a M M
•
d, d
′
chéo nhau
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
a a khoâng cuøng phöông
x ta x t a
heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm
z ta z t a
⇔
0 0
, ,
′ ′

a a M M khoâng ñoàng phaúng
⇔
0 0
, . 0
′ ′
≠

a a M M
•
d
⊥
d
′
⇔
a a
′
⊥
⇔
. 0
a a
′
=
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
.%&'CαD,
0
Ax By Cz D
+ + + =
$a'd,
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
_5,
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0
A x ta B y ta C z ta D
+ + + + + + =
CytD CqD
•
d // (
α
)
⇔
(*) vô nghiệm
•
d cắt (
α
)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
•
d
⊂
(
α
)
⇔
(*) có vô số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
. a'd,
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
CD$%&]*(S),
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =
CND
0O==:d$(S)!CD$CND%75CqD(
•
d và (S) không có điểm chung
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
d(I, d) > R
•
d tiếp xúc với (S)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
⇔
d(I, d) = R
•
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
.a'dp*M
0
$4O=.
a
$0%Z(
0
,
( , )
M M a
d M d
a
=

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau(chương trình nâng cao)
.a'*d
1
$d
2
(
d
1
p*0%M
1
$4O=.
1
a
d
2
p*0%M
2
$4O=.
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
=

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và
song song với d
1
.
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,
a a
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,
a a
.
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
=
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
( ; ; )
n A B C
=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của nó trên (
α
).
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$4O=.
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
,
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
Dạng 2:dp*0%A, B,
Một VTCP của d là
AB

.
Dạng 3:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$IIJa'∆J,
Vì d //
∆
nên VTCP của
∆
cũng là VTCP của d.
Dạng 4:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$*4J%&'CDJ,
Vì d
⊥
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5:d9$*!F:%&'CDCPD,
•
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
∈
d: bằng cách giải hệ phương trình
( )
( )
P
Q
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
,
P Q
a n n
=
•
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$*4Ja'd
1
, d
2
:
Vì d
⊥
d
1
, d
⊥
d
2
nên một VTCP của d là:
1 2
,
d d
a a a
=
Dạng 7:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
*4$ea'
∆
.
•
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
∆
.
0
H
M H u
∈ ∆
⊥
△

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.
•
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P)
∩
(Q)
Dạng 8:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$ea'd
1
, d
2
:
•
Cách 1: Gọi M
1
∈
d
1
, M
2
∈
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng d.
•
Cách 2: Gọi (P) =
0 1
( , )
M d
, (Q) =
0 2
( , )
M d
. Khi đó d = (P)
∩
(Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là
,
P Q
a n n
=
.
Dạng 9:dr%%&'CD$eXa'd
1
, d
2
:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
Tìm các giao điểm A = d
1
∩
(P), B = d
2
∩
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10:dIIJ∆$eXa'd
1
, d
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
∆
và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 11:d9$a*4*:a'd
1
, d
2
*,
•
Cách 1: Gọi M
∈
d
1
, N
∈
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MN d
MN d
⊥
⊥
, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Vì d
⊥
d
1
và d
⊥
d
2
nên một VTCP của d có thể là:
1 2
,
d d
a a a
=
.
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d
1
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
,
P d
n a a
=
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 12:d9$5F*:a'∆9U%&'CD,
•
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
∆
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
∈
∆
.
– Vì (Q) chứa
∆
và vuông góc với (P) nên
,
Q P
n a n
∆
=
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 13:dp*0%Z*4Jd
1
$ed
2
,
•
Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN
⊥
d
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 49. OF5%IT:a'p*0%Z$4O=.
a
J,
D
(1;2; 3), ( 1;3;5)
M a
− = −
 /D
(0; 2;5), (0;1; 4)
M a
− =
D
(1;3; 1), (1;2; 1)
M a
− = −
"D
(3; 1; 3), (1; 2;0)
M a
− − = −
D
(3; 2;5), ( 2; 0;4)
M a
− = −
xD
(4; 3; 2), ( 3; 0; 0)
M a
− = −
HT 50. OF5%IT:a'p*0%12J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
D
(
)
(
)
,
2;3; 1 1;2;4
A B
−
 /D
(
)
(
)
,
1; 1;0 0;1;2
A B
−
 D
(
)
(
)
,
3;1; 5 2;1; 1
A B
− −
"D
(
)
(
)
,
2;1;0 0;1;2
A B
D
(
)
(
)
A ,
1;2; 7 1;2;4
B
−
xD
(
)
(
)
,
2;1;3 4;2; 2
A B
− −
HT 51. OF5%IT:a'p*0%1$IIJa'∆J,
D
(
)
,
3;2; 4
A Ox
− ∆ ≡
 /D
(
)
2; 5; 3 , (5; 3;2), (2;1; 2)
A qua M N
− ∆ −

D
2 3
(2; 5; 3), : 3 4
5 2
x t
A y t
z t
= −
− ∆ = +
= −
"D
2 5 2
(4; 2;2), :
4 2 3
x y z
A
+ − −
− ∆ = =
HT 52. OF5%IT:a'p*0%1$*4J%&'CDJ,
D
(
)
, (P)
2;4;3 : 2 3 6 19 0
A x y z
− − + + =
 /D
(
)
,
1; 1;0 ( ) : ( )
A P Oxy
−

D
(
)
3;2;1 , ( ) : 2 5 4 0
A P x y
− + =
"D
(2; 3;6), ( ) : 2 3 6 19 0
A P x y z
− − + + =
HT 53. OF5%IT:a'9$*!F:%&'CDCPDJ,
D
( ) : 6 2 2 3 0
( ) : 3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z
+ + + =
− − − =
 /D
( ) : 2 3 3 4 0
( ) : 2 3 0
P x y z
Q x y z
− + − =
+ − + =
D
( ) : 3 3 4 7 0
( ) : 6 2 6 0
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
"D
( ) : 2 3 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
D
( ) : 1 0
( ) : 2 0
P x z
Q y
+ − =
− =
xD
( ) : 2 1 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x z
+ + − =
+ − =

HT 54. OF5%IT:a'p*0%1$*4Ja'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1; 0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
= − = +
= + = −
 /D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 1
(1; 2;3), : 2 2 , : 2
3 3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
= − =
− = − − = − +
= − = +
"D
1 2
7 3 1
(4;1;4), : 4 2 , : 9 2
4 3 12
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = +
= − = − +
= + = − −

HT 55. OF5%IT:a'p*0%1*4$ea'∆J,
D
(1;2; 2), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
=
 /D
3 2
( 4; 2;4), : 1
1 4
x t
A d y t
z t
= − +
− − = −
= − +
D
1 3
(2; 1; 3), : 1
2 2
x t
A y t
z t
= +
− − ∆ = +
= − +
"D
(3;1; 4), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
= −
HT 56. OF5%IT:a'p*0%1$eXa'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1; 0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
= − = +
= + = −
 /D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 3 2 2
( 4; 5; 3), : 3 2 , : 1 3
2 1 5
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = +
− − = − − = − +
= − = −
"D
1 2
1 3
(2;1; 1), : 2 4 , :
3 5 2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
− = − + =
= − + =
HT 57. OF5%IT:a'r%%&'(P)$eXa'd
1
, d
2

J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
D
1 2
( ) : 2 0
2
1
: , : 4 2
1 1 4
1
P y z
x t
x y z
d d y t
z
+ =
= −
−
= = = +
−
=
 /D
1 2
( ) : 6 2 2 3 0
1 2 1
: 3 2 , : 2
1 1 3
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
+ + + =
= + = −
= − = +
= + = −
D
1 2
( ) : 2 3 3 4 0
7 3 1
: 4 2 , : 9 2
4 3 12
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
− + − =
= − + = +
= − = − +
= + = − −
"D
1 2
( ) : 3 3 4 7 0
1 1
: 2 2 , : 2
3 3 3
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t
+ − + =
= − =
= − − = − +
= − = +
HT 58. OF5%IT:a'IIJa'∆$eXa'd
1
, d
2

J,
D
1
2
1 1
:
2 1 2
1 1
:
1 2 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− −
∆ = =
−
+ −
= =
−
− + +
= =
 /D
1
2
1 5
:
3 1 1
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− −
∆ = =
−
− + −
= =
+ +
= =
D
1
2
1 2 2
:
1 4 3
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− + −
∆ = =
− + −
= =
+ +
= =
"D
1
2
1 3 2
:
3 2 1
2 2 1
:
3 4 1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
+ + −
∆ = =
− −
− + −
= =
− − −
= =
−
HT 59. OF  5 % IT : a ' * 4 * :  a '  * d
1
, d
2

J,
D
1 2
3 2 2 3
: 1 4 , : 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
= + = −
= − + = −
/D
1 2
1 2 2 3
: 3 , : 1 2
2 3 4 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − +
= − + = +
= + = − +
D
1 2
2 2 1
: 1 , : 3
3 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
= + = +
= − = +
"D
1 2
2 3 1 2
: 3 , : 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − +
= − − = −
= + = +
HT 60. OF5%IT:a'd9$5F*:a'∆U%&'CDJ,
D
2 3 1
:
2 1 3
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z
+ − −
∆ = =
−
− + + =
 /D
3 2 2
:
1 2 3
( ) : 3 4 2 3 0
x y z
P x y z
− − +
∆ = =
−
+ − + =
D
1 1 3
:
1 2 2
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z
+ − −
∆ = =
−
− + − =
"D
1
:
2 1 1
( ) : 1 0
x y z
P x y z
−
∆ = =
−
+ − + =
HT 61. OF5%IT:a'p*0%1*4Ja'd
1
$ea'
d
2
J,
D
1 2
1
1 2
(0;1;1), : , :
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
= −
− −
= = =
= +

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNm
/D
1 2
2
1 1
(1;1;1), : , : 1 2
2 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
=
− +
= = = +
−
= − −
D
1 2
1 4 1 1 3
( 1;2; 3), : , :
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d
+ − − + −
− − = = = =
− − −
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 62. _Tva'd
1
, d
2
J,
D
{
1 2
1 2 4
: ; : 1 ; ; 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t
− + −
= = = − + = − = − +
−
/D
{
{
1 2
: 5 2 ; 1 ; 5 ; : 3 2 '; 3 '; 1 '
d x t y t z t d x t y t z t
= + = − = − = + = − − = −
D
{
{
1 2
: 2 2 ; 1 ; 1; : 1; 1 ; 3
d x t y t z d x y t z t
= + = − + = = = + = −
 "D
1 2
1 2 3 7 6 5
: ; :
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
HT 63. .Adr&a'I* !*(OF5a*4*:G,
D
{
{
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − − = = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4
d x t y t z t d x t y t z
= + = − = − = = − =
D
{
{
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − = + = − = −
HT 64. =5%0%:a'd
1
và d
2
,
D
{
{
1 2
: 3 ; 1 2 ; 3 ; : 1 '; 2 '; 4 '
d x t y t z t d x t y t z t
= = − = + = + = = +
/D
{
1 2
3 0
: ; : 1 ; 2 ; 3
2 1 0
x y z
d d x t y t z t
x y
+ + + =
= + = − + = −
− + =
HT 65. =5%m0a'd
1
và d
2
e*(K45%;70%:G,
D
{
{
1 2
: 1 ; ; 1 2 ; : 1 '; 2 2 '; 3 '
d x mt y t z t d x t y t z t
= + = = − + = − = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 ; 3 2 ; ; : 2 '; 1 '; 2 3 '
d x t y t z m t d x t y t z t
= − = + = + = + = + = −
D
1 2
2 4 0 2 3 0
: ; :
3 0 2 6 0
x y z x y mz
d d
x y x y z
+ − − = + + − =
+ − = + + − =
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 66. _Tva'd và %&' (P)(=5%0%CF*4D:G,
D
{
: 2 ; 1 ; 3 ; ( ) : 10 0
d x t y t z t P x y z
= = − = + + + − =
/D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z
= − = − = − − − − =
D
12 9 1
: ; ( ) : 3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =
"D
11 3
: ; ( ) : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =
D
13 1 4
: ; ( ) : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =
xD
3 5 7 16 0
: ; ( ) : 5 4 0
2 6 0
x y z
d P x z
x y z
+ + + =
− − =
− + − =
D
2 3 6 10 0
: ; ( ) : 4 17 0
5 0
x y z
d P y z
x y z
+ + − =
+ + =
+ + + =
HT 67. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
Dde(P). Ddzz(P)( Dd⊥(P). Dd⊂(P).
D
1 2 3
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
− + +
= = + − − =
−
/D
1 3 1
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−

HT 68. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
D
{
: ; 2 ; 3
d x m t y t z t
= + = − =
e
( ) : 2 5 0
P x y z
− + − =
;0%4*7/rY(
/D
2 3 0
:
2 5 0
x y
d
y z
− − =
+ + =
e
( ) : 2 2 2 0
P x y z m
+ + − =
;0%47/rl(
D
2 3 0
:
3 2 7 0
x y
d
x z
+ − =
− − =
e
( ) : 0
P x y z m
+ + + =

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
•
Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
.
0
,
( , )
M M a
d M d
a
=

•
Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
– d(M,d) = MH.
•
Cách 3: – Gọi N(x; y; z)
∈
d. Tính MN
2
theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNN
– Tìm t để MN
2
nhỏ nhất.
– Khi đó N
≡
H. Do đó d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
=

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và
song song với d
1
.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường
thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. =XS0%1Fa'd,
D
1 4
(2;3;1), : 2 2
4 1
x t
A d y t
z t
= −
= +
= −
/D
2 2
(1;2; 6), : 1
3
x t
A d y t
z t
= +
− = −
= −
D
2 1
(1; 0; 0), :
1 2 1
x y z
A d
− −
= =
"D
2 1 1
(2; 3;1), :
1 2 2
x y z
A d
+ − +
= =
−
HT 70. .A%a'd
1
, d
2
*(=XvG,
D
{
{
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − − = = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4
d x t y t z t d x t y t z
= + = − = − = = − =
D
{
{
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − = + = − = −
HT 71. .A%a'd
1
, d
2
IIJ*(=XvG,
D
{
{
d
1 2
: 3 2 , 4 3 , 2 ; : 4 4 , 5 6 , 3 2
d x t y t z t x t y t z t
= + = + = + = + = + = +
/D
1 2
1 2 3 2 3 1
: ; :
2 6 8 3 9 12
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− − −
HT 72. .A%a'd IIJ%&'CD(=XvG,
D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z
= − = − = − − − − =
/D
{
: 1 2 ; ; 2 2 ; ( ) : 8 0
d x t y t z t P x z
= − = = + + + =
D
2 1 0
: ; ( ) : 2 2 4 5 0
2 3 0
x y z
d P x y z
x y z
− + + =
− + + =
+ − − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNY
VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,
a a
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,
a a
.
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
=
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
( ; ; )
n A B C
=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của nó trên (
α
).
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 73. =4va',
D
{
{
1 2
: 1 2 , –1 , 3 4 ; : 2 – , –1 3 , 4 2
d x t y t z t d x t y t z t
= + = + = + = = + = +
/D
1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− −
D
{
1 2
2 3 3 9 0
: ; : 9 ; 5 ; –3
2 3 0
x y z
d d x t y t z t
x y z
− − − =
= = = +
− + + =
HT 74. .A%a'I**4J*,
D
1 2
7 2 15 0 7 0
: ; :
7 5 34 0 3 4 11 0
x z x y z
d d
y z x y
− − = − − − =
+ + = − − =
HT 75. =5%m04va'I*/rα,
D
{
{
0
1 2
: 1 ; 2; 2 ; : 2 ; 1 2; 2 ; 60
d x t y t z t d x t y t z mt α= − + = − = + = + = + = + =
(
HT 76. =4va'd$%&'(P),,
D
1 1 3
: ; ( ) : 2 – – 2 – 10 0
1 2 3
x y z
d P x y z
− − +
= = =
−
(
/D
{
4 4
: 1; 2 5; 3 ; ( ) : 5 4 0
d x y t z t P x z
= = + = + + + =
D
4 2 7 0
: ; ( ) : 3 – 1 0
3 7 2 0
x y z
d P x y z
x y z
+ − + =
+ + =
+ − =
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
1. Viết phương trình mặt phẳng
•
Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN\
– Một VTPT của (P) là:
,
n AB AC
=
 
.
•
Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
– Xác định VTCP
a
của d
1
(hoặc d
2
).
– Trên d
1
lấy điểm A, trên d
2
lấy điểm B. Suy ra A, B
∈
(P).
– Một VTPT của (P) là:
,
n a AB
=

.
•
Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Lấy điểm A
∈
d
1
(hoặc A
∈
d
2
)
⇒
A
∈
(P).
– Xác định VTCP
a
của d
1
,
b
của d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,
n a b
=
.
•
Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác định các VTCP
,
a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,
n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(P).
•
Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
– Xác định các VTCP
,
a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,
n a b
=
.
2. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d
•
Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.
– Khi đó: H = d
∩
(P)
•
Cách 2: Điểm H được xác định bởi:
d
H d
MH a
∈
⊥

3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d
•
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác định điểm M
′
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
′
.
•
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
′
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
′
.
– Khi đó toạ độ của điểm M
′
được xác định bởi:
'
d
MM a
H d
⊥
∈

.
4. Xc định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P)
•
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).
– Khi đó: H = d
∩
(P)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNc
•
Cách 2: Điểm H được xác định bởi:
( )
,
P
H P
MH n cuøng phöông
∈

5. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P)
•
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P).
– Xác định điểm M
′
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
′
.
•
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
′
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
′
.
– Khi đó toạ độ của điểm M
′
được xác định bởi:
( )
,
P
H P
MH n cuøng phöông
∈

.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 77. OF5:%&'(P)p*0%1$a'd,
D
4 2
(2; 3;1), : 2 3
3
x t
A d y t
z t
= +
− = −
= +
/D
2
(1; 4; 3), : 1 2
1 3
x t
A d y t
z t
= −
− = − +
= −
D
1 2 5
(4; 2; 3), :
3 4 2
x y z
A d
− + −
− = =
"D
3 2 1
(2; 1;5), :
2 1 3
x y z
A d
+ + −
− = =
HT 78. OF5:%&'(P)p*a'IId
1
, d
2
:
D
{
1 2
2 1 3
: 2 3 ; 4 2 ; 1; :
3 2 1
x y z
d x t y t z t d
+ − +
= + = + = − = =
/D
1 2
1 3 2 2 1 4
: , :
2 3 4 2 3 4
x y z x y z
d d
− + − + − −
= = = =
HT 79. OF5:%&'(P)p*a'e*d
1
, d
2
:
D
{
{
1 2
: 3 ; 1 2 ; 3 ; : 1 '; 2 '; 4 '
d x t y t z t d x t y t z t
= = − = + = + = = +
/D
{
1 2
3 0
: ; : 1 ; 2 ; 3
2 1 0
x y z
d d x t y t z t
x y
+ + + =
= + = − + = −
− + =
D
1 2
2 4 0 2 0
: ; :
2 6 0 2 7 0
x y z x z
d d
x y z y z
− − − = − − =
+ + + = + + =
"D
1 2
2 1 0 3 3 0
: ; :
1 0 2 1 0
x y x y z
d d
x y z x y
+ + = + − + =
− + − = − + =
HT 80. .a'*d
1
, d
2
(OF5%&'CDAd
1
$IIJ d
2
,
D
{
{
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − − = = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4
d x t y t z t d x t y t z
= + = − = − = = − =
D
{
{
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − = + = − = −
"D
1 2
2 1 1 1
: ; :
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d
− + − +
= = = =
−
HT 81. =5%;75F*V:0%ZUa'd$0%Z′TAJZp*a'd,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNi
D
2 2
(1;2; 6), : 1
3
x t
M d y t
z t
= +
− = −
= −
/D
1 4
(2; 3;1), : 2 2
4 1
x t
M d y t
z t
= −
= +
= −
D
2
(2;1; 3), : 1
1 2
x t
M d y t
z t
=
− = −
= − +
"D
2
(1;2; 1), : 1 2
3
x t
M d y t
z t
= −
− = +
=
HT 82. =5%;75F*V:0%ZU%&'(P)$0%Z′TAJZp*%&'(P),
D
( ) : 2 2 6 0, (2; 3;5)
P x y z M
− + − = −
/D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)
P x y z M
+ + − = − −
D
( ) : 6 2 3 12 0, (3;1; 2)
P x y z M
− + + = −
"D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3; 4)
P x y z M
− + + = −
D
( ) : 4 0, (2;1; 1)
P x y z M
− + − = −
xD
( ) : 3 2 0, (1;2;4)
P x y z M
− + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNo
ÔN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Cơ bản
HT 83. =   J B @ 7
Oxyz
   0% 1CN>\>D 2Cl>>YD $ %& ' CD,
– 3 2 – 5 0
x y z
+ =
(OF5%&'CPDp*0%12$*4J%&'CD(Đ/s:
( ) : 2 3 11 0
Q y z
+ − =
.
HT 84. =JB@7
Oxyz
F5%&'CDp*0%
(2;1;3), (1; 2;1)
A B
−
$IIJa'
1
: 2
3 2
x t
d y t
z t
= − +
=
= − −
(
Đ/s:(P):
10 4 19 0
x y z
− + − =
.
HT 85. =   J B @ 7
Oxyz
  N a '
1
( )
d
$
2
( )
d
4  5,
1
1 1 2
( );
2 3 1
x y z
d
− + −
= =

2
4 1 3
( ) :
6 9 3
x y z
d
− − −
= =
()W  5 %& ' CD A C"
1
D $
2
( )
d
(
Đ/s:(P): x + y – 5z +10 = 0
HT 86. =   J B @ 7
Oxyz
  %& ]* C^D 4  5,
2 2 2
2 6 4 2 0
x y z x y z
+ + − + − − =
(OF5%&'CDIIJ:
(1;6;2)
v
=

*4J%&'
( ) : 4 11 0
x y z
α
+ + − =
$FGJC^D(
Đ/s:(P):
2 2 3 0
x y z
− + + =
hoặc (P):
2 2 21 0
x y z
− + − =
.
HT 87. =JB@7
Oxyz
{%ZC>l>D| a'
1
1
( ) :
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
$
2
1 4
( ) :
1 2 5
x y z
d
− −
= =
(.} %r{%
1 2
, ,
M d d
*| ~%•%•€%•€‚(Oƒ„|%•€
‚} ( Đ/s:
2 2 0
x y z
+ − + =
.
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng liên quan tới mặt cầu
HT 88. =   J B @ 7
Oxyz
  a ' ",
3 3
2 2 1
x y z
− −
= =
$ %& ]* C^D,
x z
2 2 2
2 2 4 2 0
x y z y
+ + − − − + =
()W5%&'CDIIJd$QOxEaF
GJ%&]*C^D(
Đ/s: (P):
z
2 3 2 5 0
y
− + + =
hoặc (P):
z
2 3 2 5 0
y
− + − =
.
HT 89. =JB@7
Oxyz
%&]*C^D,
2 2 2
2 4 4 0
x y z x y
+ + + − − =
$%&'CPD,
3 0
x z
+ − =
(OF5%&'CQDp*0%
(3;1; 1)
M
−
*4J%&'CPD$FG
J%&]*(S).
Đ/s: (Q):
2 2 9 0
x y z
+ − − =
Hoặc (Q):
4 7 4 9 0
x y z
− − − =
Câu hỏi tương tự:
Với
2 2 2
( ) : 2 4 4 5 0
S x y z x y z
+ + − + − + =
,
( ) : 2 6 5 0, (1;1;2)
P x y z M
+ − + =
.
ĐS:
( ) : 2 2 6 0
Q x y z
+ + − =
hoặc
( ) : 11 10 2 5 0
Q x y z
− + − =
.
HT 90. =JB@7
Oxyz
%&]*C^D,
2 2 2
– 2 4 2 – 3 0
x y z x y z
+ + + + =
(OF
5%&'CDAQ<x$e%&]*C^D%7ak4/
3
r
=
(
Đ/s:(P): y – 2z = 0.
HT 91. =JB@7
Oxyz
%&]*C^D,
2 2 2
2 2 2 – 1 0
x y z x y z
+ + + − + =
$a'
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNs
2 0
:
2 6 0
x y
d
x z
− − =
− − =
(OF5%&'CDAd $e%&]*C^D%7ak4/
1
r
=
(
Đ/s: (P):
4 0
x y z
+ − − =
hoặc (P):
7 17 5 4 0
x y z
− + − =
HT 92. =JB@7
Oxyz
a'
1
1
:
2 1 1
x y z
−
∆ = =
−

2
1
:
1 1 1
x y z
−
∆ = =
− −
$
%&]*C^D,
2 2 2
– 2 2 4 – 3 0
x y z x y z
+ + + + =
(OF5F"B:%&]*C^D/F F"B4
IIJa'
1
∆
$
2
∆
(
Đ/s: CD,
3 3 2 0
y z
+ + + =
&CD,
3 3 2 0
y z
+ + − =
HT 93. =   J B @ 7
Oxyz
  %& ]* CSD 4  5
2 2 2
2 4 6 11 0
x y z x y z
+ + − + − − =
$%&'C
α
D45Nx-Nylz-o…m(OF5
%&'C
β
DIIJC
α
D$eCSD*!F9$ak4*/r
6
p
π
=
(
Đ/s:
2 2 – – 7 0
x y z
+ =
.
Câu hỏi tương tự:
a)
2 2
2 4 6 11 0
2
( ):
y z x y z
S x
+ + + + − − =
,
( ): 2 2 19 0
x y z
+ − + =
α
,
8
p
π
=
.
ĐS:
( ) : 2 2 1 0
x y z
+ − + =
β
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
HT 94. =JB@7
Oxyz
F5%&'CDp*<*4J%&'CPD,
0
x y z
+ + =
$0%ZC>N>lD%7X/r
2
(
Đ/s: (P):
0
x z
− =
hoặc (P):
x z
5 8 3 0
y
− + =
.
HT 95. =J B @ 7
Oxyz
a ' ∆,
1 3
1 1 4
x y z
− −
= =
$0%ZCm>lN>mD(OF
5%&'CDp*0%ZIIJa'∆EaXd va
'∆$%&'CD/r\(
Đ/s: (P):
4 8 16 0
x y z
− + − =
hoặc (P):
x
2 2 4 0
y z
+ − + =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
1
: ; (0; 3; 2), 3
1 1 4
x y z
M d
−
∆ = = − =
.
ĐS:
( ) : 2 2 8 0
P x y z
+ − − =
hoặc
( ) : 4 8 26 0
P x y z
− + + =
.
HT 96. =JB@7
Oxyz
a'
( ) : 1 2
1
x t
d y t
z
=
= − +
=
$0%
( 1;2;3)
A
−
(OF
5%&'CDAa'CdDIXS0%1F%&'CD/rY(
Đ/s: (P):
2 2 1 0
x y z
− − + =
.
HT 97. =JB@7
Oxyz
0%
( 1;1; 0), (0; 0; 2), (1;1;1)
M N I
− −
(OF5%&
'CDp*1$2EaXS8FCD/r
3
(
Đ/s: (P):
2 0
x y z
− + + =
hoặc (P):
7 5 2 0
x y z
+ + + =
.
HT 98. =JB@7
Oxyz
} "•€12.6} 
(1; 1;2)
A
−

(1; 3; 0)
B

( 3; 4;1)
C
−
(1;2;1)
D
(Oƒ
„|%•€‚CDp*12I† }| .ƒCD/~†}| 6ƒCD(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNu
Đ/s: (P):
2 4 7 0
x y z
+ + − =
hoặc (P):
2 4 0
x y z
+ + − =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1;2;1), ( 2;1; 3), (2; 1;1), (0;3;1)
A B C D
− −
.
ĐS:
( ) : 4 2 7 15 0
P x y z
+ + − =
hoặc
( ) : 2 3 5 0
P x z
+ − =
.
HT 99. =JBQ@7
Oxyz
0%
(1;2; 3)
A

(0; 1;2)
B
−

(1;1;1)
C
(OF5
%&'
( )
P
p*
A
$T@7
O
IXS
B
F
( )
P
/rXS
C
F
( )
P
(
Đ/s:
( ) : 3 0
P x z
− =
hoặc
( ) : 2 0
P x y
− =
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1;2;0), (0; 4;0), (0; 0; 3)
A B C
. ĐS:
6 3 4 0
x y z
− + + =
hoặc
6 3 4 0
x y z
− + =
.
HT 100. =JBQ@7
Oxyz
/0%
(1;1; 1)
A
−

(1;1;2)
B

( 1;2; 2)
C
− −
$%&'CD,
2 2 1 0
x y z
− + + =
(OF5%&'
( )
α
p*1*4J%&'CDea'
2.;8I
2
IB IC
=
(
Đ/s:
( )
α
:
2 2 3 0
x y z
− − − =
hoặc
( )
α
:
2 3 2 3 0
x y z
+ + − =
HT 101. =   J B @ 7
Oxyz
   |  ‚
1 2
,
d d
9‡ 9€ }  „|
1
2 2 3
:
2 1 3
x y z
d
− − −
= =

2
1 2 1
:
2 1 4
x y z
d
− − −
= =
−
(Oƒ„|%•€‚}‡*| ‚
1 2
,
d d
(
Đ/s: (P):
14 4 8 3 0
x y z
− − + =
HT 102. =JB@7
Oxyz
| ‚
1 2
,
d d
9‡9€}„|
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
= +
= −
=

2
2 1 1
:
1 2 2
x y z
d
− − +
= =
−
(Oƒ„|%•€‚CDIIJ
1
d
$
2
d
IXS
1
d
FCD9]XS
2
d
FCD(
Đ/s:
( ) : 2 2 – 3 0
P x y z
+ + =
hoặc
17
( ) : 2 2 0
3
P x y z+ + − =
HT 103. =   J B @ 7
Oxyz
 ƒ  „| %•€ ‚ CD  p*  {%
(0; 1;2)
A
−

(1; 0; 3)
B
|ƒ*} } %•€‡*C^D,
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2
x y z
− + − + + =
(
Đ/s: (P):
1 0
x y
− − =
hoặc (P):
8 3 5 7 0
x y z
− − + =
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
HT 104. =JB@7
Oxyz
%&'CαDAa'C∆D,
1
1 1 2
x y z
−
= =
− −
$;
J%&'CD,
2 2 1 0
x y z
− − + =
%74im
m
(=5%@70%Z:%&'CαDJQOz(
Đ/s:
(0;0;2 2)
M
−
hay
(0;0;2 2)
M
+
HT 105. =JB@ 7
Oxyz
F5 %&'(P)p* *!F d:%&
'
( ) : 2 – – 1 0
x y
=
α
( ) : 2 – 0
x z
β
=
$ ; J %& '
( ) : – 2 2 – 1 0
Q x y z
+ =
%7 4
ϕ
%$
2 2
cos
9
ϕ =
Đ/s:
( ) : 4 – 1 0
P x y z
− + + =
hoặc
( ) : 23 5 13 – 5 0
P x y z
− + + =
.
HT 106. =   J B @ 7
Oxyz
   0%
( 1;2; 3), (2; 1; 6)
A B
− − − −
$ %& '
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYm
( ) : 2 3 0
P x y z
+ + − =
(OF5%&'CPDA12$;J%&'CD%74αX%ˆ
3
cos
6
α =
(
Đ/s: mp(Q):
4 3 15 0
x y z
− + + =
hoặc (Q):
3 0
x y
− − =
.
Câu hỏi tương tự:
a)
(0;0;1), (1;1; 0)
A B
,
1
( ) ( ), cos
6
P Oxy
α
≡ =
.
ĐS: (Q):
2 1 0
x y z
− + − =
hoặc (Q):
2 1 0
x y z
− − + =
.
HT 107. =JB@7
Oxyz
a'
3 0
:
2 4 0
x y z
d
x y z
+ + − =
+ + − =
(OF5%&
'CDAa'd$;J%&'C<xyD%74
0
60
α
=
(
•
ĐS:
( ) : 2 2 2 0
P x y z
+ + − − =
hoặc
( ) : 2 2 2 0
P x y z
− − − + =
HT 108. =   J B @ 7
Oxyz
   %& '
( ) : 5 2 5 1 0
P x y z
− + − =
$
( ) : 4 8 12 0
Q x y z
− − + =
()W5%&'
( )
R
p*0%ZHJT@7<*4J
%&'CD$;J%&'CPD%74
0
45
=
α
(
Đ/s:
( ) : 0
R x z
− =
hoặc
( ) : 20 7 0
R x y z
+ + =
Câu hỏi tương tự:
a) Với
0
( ) : 2 0,( ) ( ), (2; 3;1), 45
P x y z Q Oyz M
− − = ≡ − =
α
.
ĐS:
( ) : 1 0
R x y
+ + =
hoặc
( ) : 5 3 4 23 0
R x y z
− + − =
HT 109. =JB@7
Oxyz
a'45,
1
1 1 1
:
1 1 3
x y z
− + −
∆ = =
−

$
2
:
1 2 1
x y z
∆ = =
−
(OF5%&'CDA
1
∆
$;J
2
∆
%74
0
30
=
α
(
Đ/s: (P):
5 11 2 4 0
x y z
+ + + =
hoặc (P):
2 2 0
x y z
− − − =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
1
2
:
1 1 1
x y z
−
∆ = =
−
,
2
2 3 5
:
2 1 1
x y z
− − +
∆ = =
−
,
0
30
=
α
ĐS: (P):
2 2 2 0
x y z
− − + =
hoặc (P):
2 4 0
x y z
+ + − =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
HT 110. =JB@7
Oxyz
0%1C\>c>iD(OF5%&'CDp*1e
Q@79]9;8‰K%$19$# %:%8‰K(
zI, (P):
4 5 6 77 0
x y z
+ + − =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P):
3 0
x y z
− − + =
HT 111. =JB@7
Oxyz
1CN>m>mDZC>>D(Z&'CD!wp*1ZeQ
<x<y9]9;2Cm>b>mD.Cm>m>cDCbŠmcŠmD(.A%r,
2
bc
b c
+ =
(=S45%b, c0"B%
12.d(
Đ/s:
min 96
S
=
khi
4
b c
= =
.
HT 112. =;7
,
Oxyz
0%
(2;2; 4)
A
$%&'
( ) :
P
4 0
x y z
+ + + =
(OF5
%&'CPDIIJCD$CPDe
,
Ox
Oy
;N0%2.I%12.4"B/r
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY
i(
Đ/s:
( ) : 2 0
Q x y z
+ + − =
.
HT 113. =;7
,
Oxyz
0%
(3;0; 0), (1;2;1)
A B
(OF5%&'CDp*12
$eQ<z;ZI%12.4"B/r
9
2
(
ĐS:
z
( ) : 2 2 3 0
P x y
+ − − =
.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
HT 114. =   J B ; 7 <xyz  a '
1 1 2
:
2 1 3
x y z
d
+ − −
= =
$ %& '
:
P
1 0
x y z
− − − =
(OF5a'∆p*
(1;1; 2)
A
−
IIJ%&'
( )
P
$*4
Ja'
d
(
Đ/s:
1 1 2
:
2 5 3
x y z
− − +
∆ = =
−
HT 115. =   J B ; 7 <xyz  a ' C"D 4  5, ‹
x t
= −
>
1 2
y t
= − +
>
2
z t
= +
C
t R
∈
D$%&'CD,
2 2 3 0
x y z
− − − =
(OF5%IT:a'∆r%U
CDe$*4JC"D(
Đ/s:
∆
:
1
3
1
x t
y
z t
= +
= −
= +
HT 116. =   J B ; 7 Oxyz,  0% ZCN> > mD $ a ' ∆,
1 1
2 1 1
x y z
− +
= =
−
( )W
5:a'dp*0%Ze$*4J∆(
Đ/s:d:
2 1
:
1 4 2
x y z
d
− −
= =
−
.
HT 117. =   J BQ ; 7<xyz%&'CD,-N! l NR-… m $ 0%1C>o> lD
2C\>N>mD()W5a'C6D9$5F**4:a'12UCD(
•
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P)
⇒
(Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P)
∩
(Q) suy ra phương trình (D).
HT 118. =   J B ; 7 <xyz F  5 5 F* * 4 : a '
2 0
:
3 2 3 0
x z
d
x y z
− =
− + − =
U%&'
: 2 5 0
P x y z
− + + =
(
Đ/s:
∆
:
4 16
11
13
2
2 10
x t
y t
z t
= +
= +
= +
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
1 1 2
:
2 1 3
x y z
d
+ − −
= =
,
( ) : 3 2 5 0
P x y z
− + − =
. ĐS:
1 23
: 2 29
5 32
x m
y m
z m
= +
∆ = +
= +
HT 119. =   J B @ 7 Oxyz @ A, B, C 9] 9  0% : %& '
(
)
: 6 2 3 6 0
P x y z
+ + − =
JOx, Oy, Oz()W5a' dp* %ak;F%
ABCEa*4J%&'CPD(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYN
Đ/s: d:
1
6
2
3
2
2
1 3
x t
y t
z t
= +
= +
= +
.
HT 120. =   J B @ 7 Oxyz  Y 0%
(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2)
A B C
−
$ a '
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
( )W  5 a '
∆
 p* #  % : %  12. r%  %&
'C12.D$*4Ja'd.
Đ/s:
2 1 1
:
12 2 11
x y z
− − −
∆ = =
−
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
HT 121. =   J B @ 7 <xyz  0% ZCN> > mD $ a ' d 4  5
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
(OF5:a'∆p*0%Ze$*4Ja'd
$5%;70%Z′TAJZp*d(
Đ/s:
∆
:
2 1
1 4 2
x y z
− −
= =
− −
.
8 5 4
; ;
3 3 3
M
′
− −
.
Câu hỏi tương tự:
a)
3 1 1
( 4; 2; 4); :
2 1 4
x y z
M d
+ − +
− − = =
−
. ĐS:
1 3
:
3 2 1
x y z
+ −
∆ = =
−
HT 122. =JB;7Oxyza'
1 2 2
:
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
−
$%&'CPD,x-Yy-
Nz-N…m()W5a'∆IIJ%&'CPDp*MCN>N>\D$ea'CdD(
Đ/s:
∆
:
2 2 4
9 7 6
x y z
− − −
= =
−
Câu hỏi tương tự:
a)
1 2
:
1 2 1
x y z
d
− −
= =
,
( ) : 3 2 2 0
P x y z
+ + + =
,
(2;2; 4)
M
. ĐS:
1 3 3
:
1 1 1
x y z
− − −
∆ = =
−
b)
2 2
:
1 3 2
x y z
d
− +
= =

( ) : 2 1 0
P x y z
+ − + =

(1;2; –1)
M
( ĐS:
1 2 1
:
2 9 5
x y z
− − +
∆ = =
− −
c)
2 4 1
3 2 2
x y z
− + −
= =
−
,
( ) : 3 2 3 2 0
P x y z
− − − =
,
(3; 2; 4)
M
− −
. ĐS:
3 2 4
:
5 6 9
x y z
− + +
∆ = =
−
HT 123. =   J B ; 7 Oxyz  %& '
( ) : 3 2 29 0
x y z
α
− + − =
$  0%
(4;4;6)
A
, (2;9; 3)
B
(?@
,
E F
9$5F*:
A
$
B
U
( )
α
(=7"$;
EF
(=5%5a'
∆
r%%&'
( )
α
Ea
∆
p*0%:
AB
J
( )
α
$
∆
*4J
.
AB
Đ/s:
171
14
EF =
6
: 1 7
9 11
x t
y t
z t
= +
∆ = − +
= +
HT 124. =JB;7OxyzN%&'CDCPD$a'C"D9]945,
1 1
( ) : 2 0, ( ) : 3 3 1 0, ( ) :
2 1 1
x y z
P x y z Q x y z d
− −
− + = − + + = = =
()W5a'∆r%
CPDIIJ%&'CQD$ea'CdD(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYY
Đ/s:
3 2 1
( ) :
3 2 1
x y z
+ + +
∆ = =
.
HT 125. =   J B ; 7 Oxyz  Y 0%
(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2)
A B C
−
$ a '
1 1 2
( ) :
2 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
()W5a'∆p*# %:%12.r%%&
'C12.D$*4Ja'CdD(
Đ/s:
2 1 1
:
12 2 11
x y z
− − −
∆ = =
−
.
HT 126. =   J B ; 7 Oxyz  0%
(3; 1;1)
A
−
 a '
2
:
1 2 2
x y z
−
∆ = =
%& '
( ) : – 5 0
P x y z
+ − =
(OF5:a'dp*0%1r%CD$Ja'
∆
%74
0
45
(
Đ/s: d:
3
1 –
1
x t
y t
z
= +
= −
=
Hoặc d :
3 7
1 – 8
1 – 15
x t
y t
z t
= +
= −
=
.
HT 127. =   ; 7 <xyz  a ' d,
3 2 1
2 1 1
x y z
− + +
= =
−
$ %& ' CD,
2 0
x y z
+ + + =
(?@Z9$0%:d$CD(OF5a'
∆
r%%&'CD
*4JdEaXSZJ
∆
/r
42
(
Đ/s:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
− + +
∆ = =
−
hoặc
3 4 5
:
2 3 1
x y z
+ + −
∆ = =
−
.
HT 128. =   J B @ 7 <xyz  %& ' C
α
D,
1 0
x y z
+ − − =
  a ' C∆D,
1
1 1 1
x y z
−
= =
− −
C∆′D,
1
1 1 3
x y z
+
= =
(OF5a'C"Dr%%&'C
α
D$eC∆′D>
C"D$C∆D*%$XvG/r
6
2
(
Đ/s:
0
:
1
x
d y t
z t
=
=
= − +
hoặc
:
1
x t
d y t
z
=
= −
= −
.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
HT 129. =   J B ; 7 <xyz F  5 a * 4 * :  a ',
1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
− − −
∆ = =
−
$
2
∆
,
3 7
1 2
1 3
x t
y t
z t
= +
= −
= −
(
Đ/s:
HT 130. =JB;7<xyzF5a'dp*0%
(
)
4; 5; 3
M
− −
$eX
a',
1
2 3 11 0
:
2 7 0
x y
d
y z
+ + =
− + =
$
2
2 1 1
:
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
−
(
Đ/s:
4 3
: 5 2
3
x t
d y t
z t
= − +
= − +
= −
Câu hỏi tương tự:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY\
a) M(1;5;0),
1
2
:
1 3 3
x y z
d
−
= =
− −
,
2
: 4
1 2
x t
d y t
z t
=
= −
= − +
. ĐS:
b) M(3; 10; 1) ,
1
2 1 3
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
,
2
3 7 1
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
− −
ĐS:
3 2
: 10 10
1 2
x t
d y t
z t
= +
= −
= −
HT 131. =JB;7<xyza'
1 2
,
∆ ∆
$%&'C
α
D459$
1 2
2
1 1 2
: 5 3 , : , ( ) : 2 0
1 1 2
x t
x y z
y t x y z
z t
α
= +
− + +
∆ = + ∆ = = − + + =
=
( OF  5 a ' d  p*
0%:
1
∆
JC
α
DEae
2
∆
$*4JQ<y(
Đ/s:
1 3
2
1 5
x u
y
z u
= +
=
= − +
.
HT 132. =•} •€€•€<xyza'
1
1
: 1 2
1 2
x t
d y t
z t
= +
= +
= +
a'
2
d
9$*!F:
 %& ' CD,
2 – – 1 0
x y
=
$ CPD,
2 2 – 5 0
x y z
+ + =
( ?€ 8 9| {% *† 
1 2
,
d d
( OF  5
a'
3
d
p*0%1CN>Y>D‡| Œa'
1 2
,
d d
9‡ 9€€2|.I%}
28. [8( Đ/s:
{
3
: 2; 3; 1 2
d x y z t
= = = +
HT 133. =JB;7<xyz%&'CD,
4 – 3 11 0
x y z
+ =
$a'"
,
1
x
−
…
3
2
y
−
…
1
3
z
+

4
1
x
−
…
1
y
…
3
2
z
−
(.A%r"
$"
N
*(OF5a'∆r%
UCDEa∆eX"
$"
N
(
Đ/s:
∆
:
2 7 5
5 8 4
x y z
+ − −
= =
− −
.
HT 134. =   J B ; 7 <xyz   %& ' $  a ' 4  5 CD,
x z
3 12 3 5 0
y
+ − − =
$ CPD,
x z
3 4 9 7 0
y
− + + =
 C"
D,
5 3 1
2 4 3
x y z
+ − +
= =
−
 C"
N
D,
3 1 2
2 3 4
x y z
− + −
= =
−
(
OF5a'C∆DIIJ%&'CDCPD$eC"
DC"
N
D(
Đ/s: (
∆
) :
25 32 26 55 0
4 3 10 0
x y z
y z
+ + + =
− + =
HT 135. =JB@7<xyz,%&'CD,
2 – 2 – 3 0
x y z
+ =
$a'(d
1
), (d
2
)
9] 9 4  5
4 1
2 2 1
x y z
− −
= =
−
$
3 5 7
2 3 2
x y z
+ + −
= =
−
(OF  5 a ' C
∆
D
IIJ%&'CDe
1
( )
d
$
2
( )
d
;1$2I12…Y(
Đ/s:
2 1 1
:
1 2 2
x y z
− + −
∆ = =
−
.
HT 136. =   J B @ 7 <xyz,  %& ' CD,
x
2 1 0
y z
− + + =
$  a '
1
1 2 3
:
2 1 3
x y z
d
− + −
= =

2
1 1 2
:
2 3 2
x y z
d
+ − −
= =
(OF5a'∆IIJCD*
4J
1
d
$e
2
d
;0%•4$7/rY(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYc
Đ/s:
∆
:
3
1 ;
6
x t
y t
z t
= +
= − +
= −
.
HT 137. =   J B ; 7 Oxyz   a '
1
8 6 10
( ) :
2 1 1
x y z
d
+ − −
= =
−
$
2
( ) : 2
4 2
x t
d y t
z t
=
= −
= − +
(OF5a'(d)IIJQOx$e(d
1
);1e(d
2
);2(=
12(
Đ/s d:
52
16
32
x t
y
z
= − +
= −
=
.
HT 138. =JB;7Oxyza',Cd
1
D,
23 8
10 4
x t
y t
z t
= − +
= − +
=
$Cd
2
D,
3 2
2 2 1
x y z
− +
= =
−
(
OF5a'CdDIIJQOz$eXa'Cd
1
DCd
2
D(
Đ/s AB:
1
3
4
3
17
6
x
y
z t
= −
=
= +
HT 139. =   J B ; 7 <xyz   0% 1CNmmD> 2Cm\mD> .CN\iD $ a ' C"D,
6 3 2 0
6 3 2 24 0
x y z
x y z
− + =
+ + − =
(OF5a'∆zzC"D$ea'12<.(
zI
∆
∆∆
∆
:
6 3 2 12 0
3 3 0
x y z
x y z
+ + − =
− + =
HT 140. =JBQ@7<xyz/T0%1C\>c>iD>2Cm>m>D>.Cm>N>mD>6CY>m>mD(.A%
a'AB$CD*(OF5a'(d)*4J%&'Oxy$e
a'AB, CD.
HT 141. =   J B ; 7 <xyz   a ' 4  5,
1
1 2
:
1
x t
d y t
z t
= − −
=
= +
$
2
:
1 1 2
x y z
d
= =
(_T:"
$"
N
(OF5a'dp*ZHJT;7<
e"
$*4J"
N
(
Đ/s
:
0
x t
d y t
z
=
= −
=
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1;1;1)
M
,
1
2 1
( ) :
3 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
,
2
2 2
( ) : 5
2
x t
d y t
z t
= − +
= −
= +
. ĐS:
1 1 1
:
3 1 1
x y z
d
− − −
= =
−
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYi
HT 142. =JB;7<xyzNa'45, C"
D,
4
6 2
x t
y t
z t
=
= +
= +
$C"
N
D
,
'
3 ' 6
' 1
x t
y t
z t
=
= −
= −
(?@K9$5F**4:0%8C>l>DUC"
N
D(=5%5%IT:a
'p*K*4JC"
D$eC"
D(
Đ/s (d ):
18
44
11
12
30
11
7
7
11
x
y
z
λ
λ
λ
= +
= − −
= −
HT 143. =   J B ; 7 <xyz  0% ZCm>>D $ N a ' C"
D C"
N
D J, C"
D,
1 2
3 2 1
x y z
− +
= =
>C"
N
D9$*!F: N%& ' CD,
1 0
x
+ =
$CPD,
2 0
x y z
+ − + =
(OF
5a'C"Dp*Z*4C"
D$eC"
N
D(
Đ/s AM:
1 1
3 2 5
x y z
− −
= =
−
.
HT 144. =   J B ; 7 <xyz  %& '
( ) : 2 2 0
P x y z
− + =
$ N a '
1 1 1
( ) :
1 3 2
x y z
d
− − −
= =

( )
1 2
' :
2 1 1
x y z
d
− −
= =
−
(OF5a'
( )
∆
r%%&'
CD*4Ja'CdD$ea'CdjD(
Đ/s
1 2
:
8 2 7
x y z
− −
∆ = =
− −
HT 145. =   J B ; 7 Oxyz  %& ' CD,
x
2 1 0
y z
− + − =
$  a ' C"
D,
1 2 3
2 1 3
x y z
− + −
= =
C"
N
D,
1 1 2
2 3 2
x y z
+ − −
= =
(OF5a'C∆DIIJ%&'
CD*4Ja'C"
D$ea'C"
N
D;0%•4$7/rY(
Đ/s (
∆
):
3
7
6
x t
y t
z t
= +
= +
= −
.
HT 146. =JB;7<xyz0%1Cm>m>lYD2CN>m>lD$%&'CD45,
3 8 7 1 0
x y z
− + + =
(OF5ea'"r%U%&'CD$"*4J12
;0%:a'12JCD(
Đ/s: d:
2 1
2 1 2
x y z
− −
= =
− −
HT 147. =JB@7<xyza'"
,
1 1 1
2 1 1
x y z
+ − −
= =
−
>"
N
,
1 2 1
1 1 2
x y z
− − +
= =
$ %& ' CD,
2 3 0
x y z
− − + =
( OF  5 a ' ∆ r% U %&
'CD$ea'"
"
N
(
Đ/s:
∆
∆∆
∆
:
1 2
1 3 1
x y z
− −
= =
−
.
HT 148. =   J B ; 7 <xyz F  5 a ' C"D * 4 J %& ' CD,
1 0
x y z
+ + − =
EaeXa'
1
1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
$
2
1
( ) : 1
x t
d y
z t
= − +
= −
= −
J
t R
∈
(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYo
zI, d:
1 3 2
5 5 5
x y z
− = + = +
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P):
x z
2 5 3 0
y
+ + + =
,
1
1 1
( ) :
2 1 2
x y z
d
− +
= =
,
2
2 1
( ) :
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
ĐS:
1 2 2
:
2 1 5
x y z
d
+ + +
= =
b) Với
( ) : 2 – – 5 1 0
P x y z
+ =
,
1
1 1 2
:
2 3 1
x y z
d
+ − −
= =
,
2
2 2
:
1 5 2
x y z
d
− +
= =
−
ĐS:
1 4 3
2 1 5
x y z
− − −
= =
− −
HT 149. =• } •€€•€<xyz/%&',CD,
2 – 1 0
x y z
+ + =
CPD,
– 2 3 0
x y z
+ + =

CMD,
2 – 3 1 0
x y z
+ + =
$a'
1
∆
,
2 1
2 1 3
x y z
− +
= =
−
(?@
2
∆
9$*!F:CD$CPD(OF
5a'CdD*4JCMD$eXa'
1
∆

2
∆
(
zI, d:
1 1 23
12 12 8
1 2 3
x y z
− − −
= =
−
.
HT 150. = •  }  •€ € •€ <xyz  / a '4  5
1
: 4
1 2
x t
d y t
z t
=
= −
= − +

2
2
:
1 3 3
x y z
d
−
= =
− −

3
1 1 1
:
5 2 1
x y z
d
+ − +
= =
( OF  5 a ' ∆ /F ∆ e / a '
1 2 3
, ,
d d d
9]9;0%12.I
AB BC
=
(
Đ/s:
2
:
1 1 1
x y z
−
∆ = =
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
HT 151. =   J B @ 7 <xyz   a ' C"D,
2 4
3 2
3
x t
y t
z t
= +
= +
= − +
$ %& ' CD,
2 5 0
x y z
− + + + =
(OF5a'C∆Dr%CDIIJC"D$C"D%7X
9$
14
(
Đ/s:
1
1 6 5
( ) :
4 2 1
x y z
− − +
∆ = =
hoặc
2
3 1
( ) :
4 2 1
x y z
− +
∆ = =
HT 152. =   J B ; 7 <xyz  %& ' CD,
1 0
x y z
+ − + =
$ a ', d,
2 1 1
1 1 3
x y z
− − −
= =
− −
(?@89$0%:d$CD(OF5:a'
∆
r%CD*
4JdIXS8F
∆
/r
3 2
h
=
(
Đ/s:
1 5 7
:
2 1 1
x y z
− − −
∆ = =
− −
hoặc
1 1 1
:
2 1 1
x y z
− + −
∆ = =
− −
.
Câu hỏi tương tự:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYs
a)
( ) : 2 0
P x y z
+ + + =
,
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
− + +
= =
−
,
42
h
=
.
ĐS:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
− + +
∆ = =
−
;
3 4 5
:
2 3 1
x y z
+ + −
∆ = =
−
HT 153. =   J B ; 7 <xyz  %& ' CD,
x z
2 2 9 0
y
+ − + =
$ a '
1 1 3
:
1 7 1
x y z
d
+ − −
= =
−
(OF5a'∆*4JCD$ed;%70%ZCD
%7X/rN(
Đ/s:
∆
:
19
2
11
45
11
41
2
11
x t
y t
z t
= − +
= − +
= −
hoặc
∆
:
7
2
11
39
11
29
2
11
x t
y t
z t
= − +
= +
= −
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
HT 154. =JB;7Oxyz,0%1CY>l>Da'∆,
2
1 2 2
x y z
−
= =
$%&'
CD,
5 0
x y z
− + − =
(OF5%IT:a'dp*1r%CD$Ja
'∆%74
0
45
(
Đ/s: d:
3
1
1
x t
y t
z
= +
= − −
=
hoặcd:
3 7
1 8
1 15
x t
y t
z t
= +
= − −
= −
.
HT 155. =   J B ; 7 Oxyz, F  5 a ' ∆ r%  %& '
( ) : – 1 0
P x y z
+ + =
, ea'
1 2
1 3
: ; : 1
2 2 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = −
= = +
= + = −
$;J
1
d
%74Ym
m
(
Đ/s: d:
5
1
5
x t
y
z t
= +
= −
= +
hoặc d:
5
1
5
x
y t
z t
=
= − +
= +
HT 156. =JB@7<xyz541(<2.41C>N>\D2*7Q<$4$
7".*7<!$4*7"(Z&'C12.D*4J%&'C<2.D
tan 2
OBC
=
(OF
5%IT:a'2.(
Đ/s: BC:
2
2
0
x t
y t
z
= +
= −
=
.
HT 157. =   J B @ 7 <xyz   0%
(2; 1;1), (0;1; 2)
A B
− −
$ a '
3 1
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
( OF  5 a ' ∆  p*  0% : a ' d J %& '
C<12Dr%%&'C<12D$Ja'd%74αI
5
cos
6
α
=
(
Đ/s:
∆
:
10 13 21
2 5 11
x y z
+ − +
= =
− −
hoặc
∆
:
10 13 21
6 1 1
x y z
+ − +
= =
− −
HT 158. =JB@7<xyzF5a'∆p*0%
(0;1; 2)
A
−
*4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNYu
Ja'
3 2
:
1 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
$;J%&'CD,
x
2 5 0
y z
+ − + =
%74
0
30
=
α
(
Đ/s:
∆
:
1
2
x t
y t
z
=
= +
= −
hoặc
∆
:
1
2 2
x t
y t
z t
=
= −
= − −
.
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
HT 159. =JB@7<xyz
ABC
∆
J@7[.CY>N>YD$5a1V
5a 269]99$,
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
−

2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
()W
5a'A;2.:
ABC
∆
$"B:
ABC
∆
(
•
Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH
1
( ) ( ) : 2 1 0
P d P x y z
⇒ ⊥ ⇒ + − + =
2
( ) (1;4;3)
B P d B= ∩ ⇒
⇒
phương trình
{
: 1 2 ; 4 2 ; 3
BC x t y t z
= + = − =
Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d
2
, (Q) cắt d
2
và AB tại K và M. Ta có:
( ) : 2 2 0 (2;2; 4) (1;2;5)
Q x y z K M
− + − = ⇒ ⇒
(K là trung điểm của CM).
1
: 4 2
3 2
x
AB y t
z t
=
⇒ = +
= −
, do
1
1
(1;2;5) , 2 3
2
ABC
A AB d A S AB AC
∆
= ∩ ⇒ ⇒ = =
 
.
HT 160. =   J B @ 7 <xyz 
ABC
∆
J
(1; 1;1)
A
−
$ a * *!F 9] 9 4
59$
1
1 2
:
2 3 2
x y z
d
− −
= =
− −

2
1
: 0
1
x t
d y
z t
= −
=
= +
(OF5a :4A(
Đ/s: AD là:
1 1 1
1 1
2 6
x y z
− + −
= =
−
+
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\m
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
HT 161. =JB@7Oxyz0%
(1; 2; 3)
I
−
(OF5%&]* %8$FGJQ
Oy( Đ/s:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 10
x y z
− + + + − =
.
HT 162. =JB;7<xyza',
1
2
:
4
x t
d y t
z
=
=
=
$
2
3
:
0
x t
d y t
z
= −
=
=
(.A%
1 2
,
d d
*(OF5%&]*C^D4a9$;
*4*:
1 2
,
d d
(
Đ/s:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4.
x y z
− + − + − =

Câu hỏi tương tự:
a)
1
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
,
2
2 2
: 3
x t
d y
z t
′
= −
=
′
=
. ĐS:
2 2 2
11 13 1 5
( ) :
6 6 3 6
S x y z
− + − + + =
b)
1 2
2 1 2 4 2
( ) : ,( ) :
1 2 2 1 6 2
x y z x y z
d d
− − − + −
= = = =
−
ĐS:
2
2 2
5 9
( ) : ( 2) ( 3)
2 4
S x y z
− + − + − =
HT 163. =   J B @ 7 <xyz   a ',
1
4 1 5
:
3 1 2
x y z
d
− − +
= =
− −
$
2
2 3
:
1 3 1
x y z
d
− +
= =
(OF5%&]*4/dFGJXa'
1
d
$
2
d
(
•
Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính.
Câu hỏi tương tự:
a)
1
2
:
4
x t
d y t
z
=
=
=
,
2
3
:
0
x t
d y t
z
= −
=
=
. ĐS:
2 2 2
( ) : ( 2) ( 1) ( 2) 4
S x y z
− + − + − =
HT 164. =JB;7<xyza'
1
( )
∆
45
{
2 ; ; 4
x t y t z
= = =
>
2
( )
∆
9$
*!F:N%&'
( ) : 3 0
x y
α
+ − =
$
( ) : 4 4 3 12 0
x y z
β
+ + − =
(.Ada'
1 2
,
∆ ∆
*$F5%&]*W;*4*:
1 2
,
∆ ∆
9$%a(
Đ/s:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4
x y z
− + − + − =
HT 165. =   J B ; 7 <xyz  0% 1C> lN> YD $ a ' " 4  5
1 2 3
2 1 1
x y z
+ − +
= =
−
(=XS0%1Fa'"(OF5%&]* %1FG
J"(
Đ/s:
2 2 2
( – 1) ( 2) ( – 3) 50
x y z
+ + + =
HT 166. =  JB@7<xyz  a'
5 7
:
2 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
$0%
(4;1;6)
M
(a
'de%&]*C^D4 %Z;0%12I
6
AB
=
(OF5:%&]*C^D(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
Đ/s: (S):
2 2 2
( 4) ( 1) ( 6) 18
x y z
− + − + − =
.
HT 167. =   J B ; 7 Oxyz  %& '
(
)
: 2 2 3 0
x y z
α
− + − =
$ %& ]*
(
)
2 2 2
: 2 4 8 4 0
S x y z x y z
+ + − + − − =
( _    T : %& ]* C^D $ %& '
(
)
α
( OF 
5%&]*C^′DTAJ%&]*C^Dp*%&'
(
)
α
(
Đ/s:
( )
2
2 2
( ) : 3 25
S x y z
′
+ + + =
.
HT 168. =JB;7<xyz9W5%&]*C^D/Fr%&'<!$%&'
CD,
2
z
=
9]9eC^Dak4//rN$s(
Đ/s: (S):
2 2 2
( ) ( ) ( 16) 260
x a y b z
− + − + − =
(a, b
∈
R).
HT 169. =   J B @ 7 <xyz  %& ' CD,
2 2 2 0
x y z
− − − =
$ a ' d,
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
(OF5%&]*C^D4 %8*7d8CD%7X/rN$CDeC^D
%7akC.D4//rY(
Đ/s: (S):
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
x y z
+ + + + − =
hoặc
(S):
2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
x y z
− + + + − =
HT 170. =JB;7OxyzN0%1Cm>m>\D2CN>m>mD$%&'CD,
x
2 5 0
y z
+ − + =
(
)W5%&]*C^Dp*<12$4XS %8:%&]*F%&'CD/r
5
6
(
Đ/s: (S):
x z
2 2 2
2 4 0
x y z
+ + − − =
hoặc (S):
2 2 2
2 20 4 0
x y z x y z
+ + − + − =
HT 171. =   J B ; 7 Oxyz   0%
(1; 3; 4), (1;2; 3), (6; 1;1)
A B C
− −
$ %& '
( ) : 2 2 1 0
x y z
α
+ + − =
()W5%&]*C^D4 %r%U%&'
( )
α
$p*/0%
, ,
A B C
(
="B5F*:%
ABC
U%&'
( )
α
(
Đ/s:
2 2 2
( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 25
S x y z
− + + + − =
85
'
6
S =
(đvdt)
HT 172. =   J B ; 7 Oxyz  a ' d,
1 1
3 1 1
x y z
− +
= =
$ %& ' CD,
x z
2 2 2 0
y
+ − + =
()W5%&]*C^D4 %r%Ua'd4/dFG
JCD$p*0%1C>l>D(
Đ/s:
2 2 2
( 1) ( 1) 1
x y z
− + + + =
.
HT 173. =<xyz,a'd,
1 2
1 1 1
x y z
− +
= =
$%&'CD,
2 – 2 2 0
x y z
+ + =
()W
5%&]*C^D4 %r%UdFGJ%&'CD$p*0%1CN>l>mD(
Đ/s:
2 2 2
( ) : ( – 2) ( 1) ( – 1) 1
S x y z
+ + + =
hoặc
2 2 2
20 19 7 121
( ) : – –
13 13 13 169
S x y z
+ + + =
.
HT 174. =JB;7<xyz0%
(1;2; 2)
I
−
a'∆,
2 2 3
x y z
− = + =
$%&'
CD,
2 2 5 0
x y z
+ + + =
(OF5%&]*C^D4 %8I%&'CDeT]*F"B
9$5k4*/r
8
π
(=S49W5%&'CPDA∆$FGJC^D(
zI,
2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) ( 2) 25
S x y z
− + − + + =
(Q):
6 33 30 105 0
x y z
− + − =
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\N
HT 175. =   J B ; 7 <xyz  a '
{
: ; 1;
d x t y z t
= = − = −
$ N %& ' CD,
2 2 3 0
x y z
+ + + =
$CPD,
2 2 7 0
x y z
+ + + =
(OF5%&]*C^D4 %8*7a'CdD$
FGJ%&'CD$CPD(
Đ/s: (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 1 3
9
x y z
− + + + + =
.
Câu hỏi tương tự:
a)
{
: 2 ; 1 2 ; 1
d x t y t z t
= + = + = −
,
( ) : 2 2 5 0
P x y z
+ − + =
,
( ) : 2 2 13 0
Q x y z
+ − − =
.
ĐS:
2 2 2
16 11 5
( ) : 9
7 7 7
S x y z
− + − + − =
HT 176. =   J B @ 7 <xyz  %& ' CD,
2 2 10 0
x y z
− − + =
  a ' C∆
D,
2 1
1 1 1
x y z
− −
= =
−
C∆
N
D,
2 3
1 1 4
x y z
− +
= =
(OF5%&]*C^D4%*7C∆
DFGJC∆
N
D
$%&'CD(
Đ/s: (S):
2 2 2
11 7 5 81
2 2 2 4
x y z
− + − + + =
. Hoặc (S):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9
x y z
− + + + − =
.
--------------------------------------------------------------------------------
TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng
HT 177. =JB;7<xyz0%1C>N>YD$2CY>\>D(=5%;70%Z*7%&'
CD,
1 0
x y z
− + − =
0∆Z129$%*(
Đ/s:
6 18 4 18
2; ;
2 2
M
± ±
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(4;0; 0) , (0; 0; 4)
A B
, (P):
2 2 4 0
x y z
− + − =
. ĐS:
HT 178. =JB;7<xyz0%1Cm>m>lYD$2CN>m>lD(=5%;70%Z*7%&
'CD,
3 1 0
x y z
− − + =
0∆Z129$%*(
Đ/s:
2 10 1
; ;
3 3 6
M
−
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x z
(1;1; 3), (3;1; 1),( ) : 3 8 7 4 0
A B P y
− − − + + =
.
ĐS:
2 6 6 2 6
2 ;1 ; 2
3 3 3
C
+ − − −
hoặc
2 6 6 2 6
2 ;1 ; 2
3 3 3
C
− + − +
b) Với
(1;2; 3), ( 1; 4;2),( ) : 1 0
A B P x y z
− − + + =
.
ĐS:
1 3 5 11 3 5 3
; ;
4 4 2
C
− −
hoặc
1 3 5 11 3 5 3
; ;
4 4 2
C
+ +
HT 179. =   J B @ 7 Oxyz   0%
(3;5; 4) , (3;1; 4)
A B
( =5% @ 7 0% C *7 %&
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\Y
'
( ) : 1 0
P x y z
− − − =
I%ABC ;C$4"B/r
2 17
(
Đ/s:
(4; 3; 0)
C
(7 ; 3; 3)
C
.
HT 180. =JB;7Oxyz/0%ACm>>NDBCN>lN>DCClN>m>D(OF5%&
'CABCD$5%0%M*7%&'CD,
2 2 – 3 0
x y z
+ + =
IMA…MB…MC(
Đ/s:
(2;3; 7)
M
−
HT 181. =   J B ; 7 Oxyz   0%
(0; 2;1), (2; 0; 3)
A B
−
$ %& '
( ) : 2 4 0
P x y z
− − + =
(=5%0%M*7CDIMA =MB$
( ) ( )
ABM P
⊥
(
Đ/s:
2 1 17
; ;
3 6 6
M
− −
HT 182. =  JB;7<xyz  /0%1CN>m>mD .Cm>\>mD ^Cm> m>\D(=5% @70%2
%C<!DIA<12.9$5vW(OF5%&]*p*/T0%<2.^(
Đ/s:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9
x y z
− + − + − =
HT 183. =JBQ@7<xyz0%
(0;1;2), ( 1;1; 0)
A B
−
$%&'CD,
0
x y z
− + =
(=5%;70%Z*7CDI∆Z12* ;2(
1 10 4 10 2 10 4 10 2 10 2 10
; ; ; ;
3 6 6 3 6 6
M M
− − − + − − − + − + − +
∨
Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng
HT 184. =   J B ; 7 <xyz   0% 1C> \> ND2Cl> N> \D $ a '
∆
,
1 2
1 1 2
x y z
− +
= =
−
(=5%;70%ZU
∆
I,
2 2
28
MA MB
+ =
(
Đ/s:
⇒
( 1;0;4)
M
−
HT 185. =   ; 7
,
Oxyz
  0%
(0;1;0), (2;2;2), ( 2; 3;1)
A B C
−
$ a '
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−
(=5%0%
M
Ud00A"BZ12./rY(
Đ/s:
⇒
3 3 1
; ;
2 4 2
M
− −
hoặc
15 9 11
; ;
2 4 2
M
− −
.
HT 186. =JB;7Oxyz0%ZCN>>ND$a'd,
1 3
1 1 1
x y z
− −
= =
(=5%Ud
0%12I%12Z*(
Đ/s:
2 2 2 2 2 2
2 ; ; 3 , 2 ; ;3
3 3 3 3 3 3
A B
+ + − − −
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1; 0; 1)
M
−
,
: 2
1
x t
d y t
z
=
=
=
. ĐS:
5 76 10 2 76 1 76 2 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
A B
+ + − −
hoặc
5 76 10 2 76 1 76 2 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
A B
− − + +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\\
HT 187. = J B;7Oxyz 0%1Cm> > YD$a 'd,
1
2 2
3
x t
y t
z
= −
= +
=
(=5%Ud
0%2.I%12.*(
Đ/s:
Vậy:
6 3 8 2 3
; ; 3
5 5
B
− +
và
6 3 8 2 3
; ;3
5 5
C
+ −
hoặc
6 3 8 2 3
; ;3
5 5
B
+ −
và
6 3 8 2 3
; ; 3
5 5
C
− +
HT 188. =JB;<xyz5%U<x0%1*a'C"D,
1 2
1 2 2
x y z
− +
= =
$%&
'CD,
2 – – 2 0
x y z
=
(
Đ/s: A(3; 0; 0).
HT 189. =   J B @ 7 <xyz  %& ' CD,
– 2 2 – 1 0
x y z
+ =
$  a ' ∆
,
1 9
1 1 6
x y z
+ +
= =
>∆
N
,
1 3 1
2 1 2
x y z
− − +
= =
−
(_@70%Z*7a'∆
IX
SZFa'∆
N
$XSZF%&'CD/r*(
Đ/s: M (0; 1; –3) hay M
18 53 3
; ;
35 35 35
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P):
2 2 1 0
x y z
+ + − =
,
1
3 5
:
1 1 1
x y z
− −
∆ = =
−
,
2
1 2 3
:
4 1 1
x y z
− − −
∆ = =
ĐS:
(2; 4;1)
M
,
( 1;1; 4)
M
−
HT 190. =   J B @ 7 <xyz   a '
1
1 2
:
2 1 1
x y z
− +
∆ = =
−
$
2
1 1 3
:
1 7 1
x y z
+ − −
∆ = =
−
(a*4 * :
1
∆
$
2
∆
e
1
∆
;1e
2
∆
;2(=5"B
∆<12(
Đ/s:
1
,
2
OAB
S OA OB
=
 
=
6
2
.
HT 191. =   J B ; 7 <xyz  %& ' CD,
2 2 1 0
x y z
− + − =
$  a '
1 2
1 3 5 5
: ; :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
− − − +
= = = =
− −
(=5%0%
1 2
d d
,
M N∈ ∈
IZtzzCD$CD%7
X/rN(
Đ/s: N
1
(–1;–4;0). N
2
(5;0;–5).
HT 192. = •   }  •€ € •€ <xyz  %•€ ‚ CD,
2 2 1 0
x y z
− + − =
| } |  ‚
1
1
1 3
:
2 2
x y z
d
− −
= =
−

2
3 2
5 5
:
4
x y z
d
− +
= =
(=„|%}{%
1 2
d d
,
A B∈ ∈
I12zzCD|12}CD
%•€†/~ (
Đ/s:
8 11
( 9; 2;10), 7; ;
3 3
A B
−
− −
hoặc
4 17
(3; 4; 2), 4; ;
3 3
A B
− −
−
HT 193. =JB;7<xyza'
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
$
2
:
1 1 2
x y z
d
= =
(=5%
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\c
0%Z*7
1
d
t*7
2
d
Ia'ZtIIJ%&'CD,
2012 0
x y z
− + + =
$
7"$;Zt/r
2
(
Đ/s:
3 2 5
(0;0; 0), ; ;
7 7 7
M N
− −
.
HT 194. =   J B ; 7 <xyz  a '
2 1
:
1 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
$  0%
(1; 0;0), (0;1;1), (0;0;2)
A B C
(=5%0%Z*7
d
I4v%&'CZ12D$C.12D/r
0
30
=
α
(
•
ĐS:
(0; 2;1)
M
−
.
HT 195. =   J B @ 7 <xyz   a ' 4  5,
1
1
( ) : 1
2
x t
y t
z
= +
∆ = − −
=
$
2
3 1
( ) :
1 2 1
x y z
− −
∆ = =
−
(_0%1U∆
$0%2U∆
N
I;1247"$d(
Đ/s: A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0).
HT 196. =JB;7Oxyz0%1C>l>ND2CY>l\>lND$a'
2 4
: 6
1 8
x t
d y t
z t
= +
= −
= − −
(
=5%0%8Ua'dI81-82;d(
Đ/s: I
65 21 43
; ;
29 58 29
− −
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1; 1;2), (3; 4; 2)
A B
− − −
,
2 1
:
4 6 8
x y z
d
− +
= =
− −
. ĐS:
64 9 45
; ;
29 29 29
I
− −
.
b) Với
(1;2; –1), (7; –2;3)
A B
,
2 4
:
3 2 2
x y z
d
− −
= =
−
. ĐS:
(2;0;4)
I
.
HT 197. =   J B ; 7 Oxyz   0% 1C> c> mD 2CY> Y> iD $ a ' ∆,
1 1
2 1 2
x y z
+ −
= =
−
(=5%;70%ZU∆I∆Z124"Bd(
Đ/s: Min S =
198
M(1; 0; 2).
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(0;1; 0), (2;2;2)
A B
,
1 2 3
:
2 1 2
x y z
− + −
∆ = =
−
. ĐS:
( 3;0; 1)
M
− −
,
3 2
min
2
S =
b) Với
3 1
(2; 1;1), (0;1; 2), :
1 1 2
x y z
A B
− +
− − ∆ = =
−
. ĐS:
34
( 5;8; 11), min
2
M S− − =
c) Với
1 2 1
(0;1; 2), (2; 1;1), :
1 1 2
x y z
A B
− − −
− − ∆ = =
−
. ĐS:
( 2;5; 5),min 22
M S− − =
d) Với
x
1 0
(2; 1;1), (1; 1;0), :
2 1 0
x y z
A B
y
+ − − =
− − ∆
− − =
. ĐS:
1 2 3
; ;
6 3 2
M
− −
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\i
e) Với
1 2
(1; 4;2), ( 1;2; 4), :
1 1 2
x y z
A B
− −
− ∆ = =
−
. ĐS:
12 5 38
; ;
7 7 7
M
−
.
HT 198. =JB;7Oxyz,a'C"
D,
3 1
1 1 2
x y z
− +
= =
−
C"
N
D,
2 2
1 2 1
x y z
− +
= =
−
(
Z7a'C∆Dp*0%1C>N>YDea'C"
D;0%2$ea'C"
N
D;0%.(
.A%r0%29$*0%:;'1.(
Đ/s: B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).
Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu
HT 199. =JB;7<xyz%&]*C^D,
2 2 2
4 – 6 0
x y z x y m
+ + + + =
$a'C"D
9$*!F:N%&'CD,
2 – 2 – 1 0
x y z
+ =
CPD,
2 – 2 – 4 0
x y z
+ =
$(=5%m0C^DeC"D;N0%
ZtI7"$Zt…s(
Đ/s: m = –12.
HT 200. =   J B ; 7 <xyz  %& ' CD,
3 0
x y z
+ − + =
$ %& ]* C^D,
2 2 2
6 8 2 23 0
x y z x y z
+ + − − − + =
(=5%UC^D0%ZIXSZ F%&'CD9$ 9J
(K4ˆ!F5%&]*C=D4 %Z$eCD%7ak4//r\(
Đ/s:
(4;5;0)
M
;
2 2 2
( ) :( 4) ( 5) 64
T x y z− + − + =
HT 201. =   J B @ 7 <xyz  %& ]* C^D $ %& ' CD 4  5 9$
2 2 2
( ) : 4 2 6 5 0, ( ) : 2 2 16 0
S x y z x y z P x y z
+ + − + − + = + − + =
(0%Z"7UC^D$0%t"7
UCD(=7"$e:;'Zt(_:ZtA(
Đ/s:
0
4 13 14
; ;
3 3 3
N
− −
M
0
(0;–3;4)
Câu hỏi tương tự:
a)
2 2 2
( ) : 4 4 2 0
x z
S y x y z
+
+ − − + =
;
( ) : 2 2 4 0
P x y z
+ − + =
.
ĐS:
(2 2 2;2 2; 1 2 2)
M
− − − +
,
2 1 5
; ;
3 3 3
N
− −
HT 202. = @ 7 <xyz 0%
(0;1;1), (1; 0; 3), ( 1; 2; 3)
A B C
− − − −
$ %& ]* C^D 4  5,
2 2 2
2 2 2 0
x y z x z
+ + − + − =
(=5%@70%6U%&]*C^DIA"B12.6409J(
Đ/s:
7 4 1
; ;
3 3 3
D
− −
Dạng 4: Xác định điểm trong không gian
HT 203. =JB;7<xyz%&'CαD,
3 2 – 4 0
x y z
+ + =
$0%1C\>m>mD2Cm>\>mD
(?@89$*0%:;'12(_@70%KIK8*4J%&'CαDEa
K*T@7<$CαD(
Đ/s:
1 1 3
; ;
4 2 4
K
−
.
HT 204. =   J B ; 7
,
Oxyz
  0%
(1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 3;2)
A B C
$ %& '
( ) : 2 2 0.
x y
α
+ + =
=5%;7:0%
M
/Fr
M
*0%
, ,
A B C
$%&'
( ).
α
Đ/s:
(1; 1; 2)
M
hoặc
23 23 14
; ;
3 3 3
M
−
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\o
HT 205. =JB;7
,
Oxyz
54%*^(12./F
(3; 0; 0), (0;3; 0), (0; 0;3)
A B C
(
=5%;7[^/F0T4^(12./rYi(
Đ/s:
(9;9;9)
S
hoặc
( 7; 7; 7)
S
− − −
.
Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác
HT 206. =JBQ;7<xyz/0%1C>m>mD2Cm>N>mD.Cm>m>YD(=5%;7# %:
%12.(
Đ/s: H
36 18 12
; ;
49 49 49
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS:
HT 207. =JB;7<xyz0%
( 1;3;5)
A
−

( 4;3;2)
B
−

(0;2;1)
C
(=5%@7 %a
k;F%ABC(
Đ/s:
5 8 8
; ;
3 3 3
I
−
.
HT 208. =JB;7<xyz0%ACl>m>DBC>N>lDCCl>N>YD(=5%@7 %$/
ak;F%ABC(
Đ/s:
(0; 2; 1).
I
Bán kính là
5.
R
=
HT 209. =JBQ@7Oxyz, /0%
(2;3;1)
A

( 1;2; 0)
B
−
(1;1; 2)
C
−
(=5%@7# %
V$ %ak;F%12.(
Đ/s:
2 29 1
; ;
15 15 3
H
−
14 61 1
; ;
15 30 3
I
−
HT 210. = J B@7 Oxyz /0%
( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3)
A B C
− − −
$I9$  % a
k;F%ABC()W5%&]*C^D4 %I $FGJ%&'COxzD(
Đ/s: (S):
2 2 2
( 2) ( 1) 4
x y z
+ − + − =
HT 211. =<xyz0%1CY>N>YD$a'45
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
−
$
2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
(.A%a'd
1
d
2
$0%1Hr%%7%&'(_
;7[2$.:%12./Fd
Aa2V$d
N
Aa**!F.Z:%
12.(
Đ/s:
(1;2;5)
B
; C(1;4;2)
HT 212. =JB;7<xyz% ABC4 A(3;2;3)a.Va 
BM :4B9]9459$
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
−

2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
(=7
"$;:%:%12.(
Đ/s: AB = AC = BC =
2 2
HT 213. =JB;7Oxyz5 12.6J
(
)
3; 1; 2
A
− −

(
)
1;5;1
B

(
)
2;3;3
C

4129$!9J.69$!d(=5%;70%6(
Đ/s:
164 51 48
; ;
49 49 49
D
−
HT 214. =JB;7Oxyz5ABCDJ
( 1;2;1)
A
−

(2;3;2)
B
(=5%@7[.6
$ F  5 %& ' A 5  4 /F r % 8 : 5  *7 a '
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\s
1 2
:
1 1 1
x y z
d
+ −
= =
− −
$0%64$7 %(
Đ/s:
( ) : – 4 3 0
P x y z
+ + =
..
HT 215. =JB@7Oxyz54S.ABCD4!ABCD9$5*
(1; 0; 0)
A

( 1;2; 0)
C
−

( 1;0; 0)
D
−

(0; 0; 3)
S
(?@MN9]99$*0%:;SB$CD(.A%ra'AM
$BN*4J*$@7 %:ak;F%ONB(
Đ/s:
1 7
; ; 0
6 6
I
.
HT 216. =JB;7
,
Oxyz
5*
MNPQ
4
(5; 3; 1)
M
−

(2; 3; 4)
P
−
(=5%;7[
Q
/Fr[
N
r%%&'
( ) : 6 0.
R x y z
+ − − =
Đ/s:
(5; 3; 4).
Q
−
(4;5; 3).
Q
−
HT 217. =JB@7Oxyz,5*12.6/F
(3;0; 8)
B
,
( 5; 4; 0)
D
− −
$[1*7%&
'COxyD(=5%@70%C(
Đ/s: C(–3;–6; 8)
27 6
; ; 8
5 5
C
− −
.
HT 218. =JB@7Oxyz,5*12.6/F
(1;2;0), (2; 3; 4)
A C
−
($[2r%U
%&'CPD,
2 3 0
x y z
+ + − =
(=5%;7:[6/F;7:29$vIT*!U(
Đ/s:
( 1;1;2)
B
−
. Vậy
(4;4; 6)
D
−
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\u
Dạng 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN – MAX
1. Viết phương trình mặt phẳng
HT 219. =JB@7
Oxyz
0%
(2; 1;1)
A
−
(OF5%&'CDp*0%1
$T@7<%7X9J(
Đ/s: (P):
2 6 0
x y z
− + − =
..
HT 220. =   J B @ 7
Oxyz
  0% 1Cm> N> lD $ a ' " 4  5,
1 1
2 1 3
x y z
− −
= =
()W5%&'CDp*1IIJ"$XS"JCD9$9J
(
Đ/s: (P):
7 5 77 0
x y z
+ − − =
.
HT 221. =   J B @ 7
Oxyz
  a ' CdD 4  5 % IT
{
2 ; 2 ; 2 2
x t y t z t
= − + = − = +
(?@∆9$a'p*0%1C\>m>lDIIJCdD$8ClN>m>ND9$5
F**4:1UCdD(OF5:%&'A∆$4XFCdD9$9J(
Đ/s:
( ) : 2 9 0
P x z
− − =
.
HT 222. =   J B @ 7
Oxyz
  a '
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
$ 0%
(2;5; 3)
A
( OF
5%&'CDAdIXS1FCD9$9J(
Đ/s:
max ( ,( )) 3 2
d A P
=
Khi đó: (P):
4 3 0
x y z
− + − =
.
Câu hỏi tương tự:
a)
1 1 2
: , (5;1;6)
2 1 5
x y z
d A
− + −
= =
. ĐS:
( ) : 2 1 0
P x y z
+ − + =
b)
1 2
: , (1; 4;2)
1 1 2
x y z
d A
− +
= =
−
. ĐS:
( ) : 5 13 4 21 0
P x y z
+ − + =
HT 223. =JB@7
Oxyz
0%
(0; 1;2)
M
−
$
( 1;1; 3)
N
−
(OF5%&'
CDp*ZtIXS0%
(0; 0;2)
K
F%&'CD9$9J(
Đ/s: (P):
– 3 0
x y z
+ + =
.
HT 224. =   J B @ 7
Oxyz
  %& ' CPD,
2 5 0
x y z
+ − + =
$ a '
1 1 3
:
2 1 1
x y z
d
+ + −
= =
(OF5%&'CDAa'd$;J%&'CPD%74
d(
Đ/s: (P):
4 0
y z
− + =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (Q):
2 2 – 3 0
x y z
+ + =
,
1 2
:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
−
. ĐS:
( ) : 2 5 3 0
P x y z
+ + + =
.
b) Với
1 2
( ) ( ), :
1 1 2
x y z
Q Oxy d
− +
≡ = =
−
. ĐS:
( ) : 3 0
P x y z
− + − =
.
c) Với
( ) : 2 2 0
Q x y z
− − − =
,
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= −
= − +
= +
. ĐS:
( ) : 3 0
P x y z
+ + − =
.
HT 225. =   J B @ 7
Oxyz
   0%
( 1; 1;3), (1; 0; 4)
M N
− −
$ %& ' CPD,
2 5 0
x y z
+ − + =
(OF5%&'CDp*Zt$;JCPD%74d(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcm
•
ĐS:
( ) : 4 0
P y z
− + =
.
Câu hỏi tương tự:
a)
(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) ( )
M N Q Oxy
− − ≡
. ĐS:
( ) : 6 3 5 7 0
P x y z
+ + − =
.
HT 226. =JB@7
Oxyz
a'
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −
= − +
=
(OF5%&'CD
Aa'd$;JQ<y%749J(
Đ/s: (P):
5 2 9 0
x y z
+ − + =
.
HT 227. =   J B @ 7
Oxyz
   a '
1
1 2
:
1 2 1
x y z
d
− +
= =
−
$
2
2 1
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
(OF5%&'CDA
1
d
I4v%&'CD$a'
2
d
9$9J(
Đ/s: (P) :
7 5 9 0
x y z
− + − =
.
HT 228. =JB@7
Oxyz
a'
1 2 1
:
1 1 1
x y z
d
+ − +
= =
−
$0%
(2; 1; 0)
A
−
(OF
5%&'CDp*1IIJd$;J%&'C<xyD%74d(
•
ĐS:
( ) : 2 1 0
P x y z
+ + − =
.
HT 229. =  J B @7
Oxyz
 %& ' CPD,
2 2 0
x y z
− + + =
$ 0%
(1;1; 1)
A
−
(OF
5%&'CDp*0%1*4J%&'CPD$;JQ<y%749J(
ĐS:
( ) : 0
P y z
+ =
hoặc
( ) : 2 5 6 0
P x y z
+ + − =
.
HT 230. =JB@7
Oxyz
F5%&'CDp*0%
(9;1;1)
M
e
<x<y<z;12.I0A"B<12.4d(
Đ/s: (P):
1
27 3 3
x y z
+ + =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(1;2; 4)
M
. ĐS:
( ) : 1
3 6 12
x y z
P
+ + =
HT 231. =JB@7
Oxyz
F5%&'CDp*0%
(1;2; 3)
M
e
<x<y<z;12.I/0*A
2 2 2
1 1 1
OA OB OC
+ +
4d(
•
ĐS:
( ) : 2 3 14 0
P x y z
+ + − =
.
HT 232. =JB@7
Oxyz
F5%&'CDp*0%
(2; 5; 3)
M
e
<x<y<z;12.I/0*A
OA OB OC
+ +
4d(
•
ĐS:
( ) : 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
x y z
P
+ + =
+ + + + + +
.
2) Viết phương trình đường thẳng
HT 233. =Oxyza'
1
1
:
1 2 1
y
x z
d
−
+
= =
−
$0%
(1;1; 2)
A
−

( 1;0;2)
B
−
(
OF5a'∆p*1*4JdIXSBJ∆9$d(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
Đ/s:
∆
:
1 1 2
2 5 8
x y z
− − +
= =
−
.
HT 234. =   J B ; 7 <xyz  a '
1 1
:
2 3 1
x y z
+ +
∆ = =
−
$  0%
(1;2; 1),
A
−
(3; 1; 5)
B
− −
(OF5a'dp*0%1$ea'∆IXS2F
a'd9$9J(
Đ/s:
1 2 1
:
1 2 1
x y z
d
− − +
= =
−
.
HT 235. =   J B ; 7 Oxyz   0% 1C> c> mD 2CY> Y> iD $ a ' ∆,
1 1
2 1 2
x y z
+ −
= =
−
(OF5a'dp*0%2$ea'∆;0%.I"B
%12.4d(
Đ/s:Min S =
198
; C(1; 0; 2) ;BC:
3 3 6
2 3 4
x y z
− − −
= =
− − −
.
HT 236. =   J B ; 7 Oxyz  %& ' CD,
2 5 0
x y z
+ − + =
 a '
3 1 3
:
2 1 1
x y z
d
+ + −
= =
$0%
( 2; 3; 4)
A
−
(OF5a'∆r%UCDp*0%
:d$CDEa*4Jd(=5%0%ZU∆IX1Ze(
Đ/s:
7 4 16
; ;
3 3 3
M
−
.
Câu hỏi tương tự:
a)
z
( ) : 2 2 9 0
P x y
+ − + =
1
: 3 2
3
x t
d y t
z t
= −
= − +
= +
. ĐS:
: 1
4
x t
y
z t
=
∆ = −
= +
HT 237. =   <xyz   a '
1 2
( ),( )
d d
$ %& ' CD 4  5,
1
1 2
( ) :
1 2 1
x y z
d
+ +
= =

2
2 1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
− − −
= =
>
( ) : 2 5 0
P x y z
+ − + =
( )W  5 a '
CdDIIJ%&'CPD$e
1 2
( ),( )
d d
9]9;12I7"$;12d(
Đ/s:
1 2 2
:
1 1 1
x y z
d
− − −
= =
.
HT 238. =   J B ; 7 <xyz  %& '
( ) : 3 1 0
P x y z
+ − − =
$  0%
(1; 0; 0)
A
>
(0; 2; 3)
B
−
(OF5a'dr%CDp*1$2%7X9JCdD(
Đ/s:
a)
min( ( , )) 6
d B d
=
. d:
1
0
x t
y
z t
= +
=
=
b)
max( ( , )) 14
d B d
=
. d:
1
x t
y t
z t
= +
= −
= −
HT 239. =  J B ; 7 <xyz  %& '
( ) : 2 2 5 0
P x y z
− + − =
$  0%
( 3; 0;1)
A
−
>
(1; 1; 3)
B
−
(OF5a'dp*1IIJCD$2%7Xd(
ĐS:
3 1
:
26 11 2
x y z
d
+ −
= =
−
.
HT 240. =   J B ; 7 <xyz  a '
1 2
:
2 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−
  0%
(0; 1;2)
A
−

(2;1;1)
B
(OF5a'dp*1$ea'∆IXS2Fd9$9J
CdD(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcN
Đ/s: a)
1
min( ( , ))
11
d B d =
d:
3
1 3
2 2
x t
y t
z t
=
= − +
= −
b)
max( ( , )) 18
d B d
=
d:
1
2
x t
y t
z t
= −
= − +
= −
Câu hỏi tương tự:
a)
1 0
: , (2;1; 1), ( 1;2; 0)
1 0
x y z
A B
x y z
+ + − =
∆ − −
− + − =
.
ĐS:
ax
min
1 0 2 3 0
: ; :
2 0 2 0
m
x x y
d d
y z y z
+ = + − =
+ − = − − =
b)
1 2 1
: , (3; 2;1), (2;1; 1)
1 2 1
x y z
A B
− + −
∆ = = − −
−
.
ĐS:
ax
3 2 1
:
19 3 5
m
x y z
d
− + −
= =
−
;
min
3 20 1
:
5 20 7
x y z
d
− + −
= =
− −
.
c)
1 2
: , (1;4;2), ( 1;2;4)
1 1 2
x y z
A B
− +
∆ = = −
−
.
ĐS:
ax
1 4 2
:
1 4 3
m
x y z
d
− − −
= =
− −
;
min
1 4 2
:
15 18 19
x y z
d
− − −
= =
HT 241. =JB;7<xyza'
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− −
= =
0%
(1;1; 0), (2;1;1)
A B
(
OF5a'∆p*1$*4JdIXS2F∆9$9J(
Đ/s:
∆
:
1
1
x t
y t
z t
= +
= −
= −
HT 242. =JB;7<xyzF5a'dp*
(0; 1;2)
A
−
ea'
1
1 2
:
2 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−
IXvd$a'
2
5
:
2 2 1
x y z
−
∆ = =
−
9$9J(
Đ/s: d:
29
1 41
2 4
x t
y t
z t
=
= − −
= +
Câu hỏi tương tự:
a)
1 2
2 1 0
1 1 1
(2; 1;2), : , :
1 0
2 1 1
x y z
x y z
A
x y z
+ − + =
− + −
− ∆ = = ∆
− + + =
. ĐS:
2 1 2
:
41 68 27
x y z
d
− + −
= =
−
.
HT 243. =JB;7<xyzF5a'dp*
(1; 1;2)
A
−
IIJ%&
'
( ) : 1 0
P x y z
+ − + =
IXvd$a'
x
3 0
:
2 2 0
x y z
y z
+ + − =
∆
− + − =
9$9J(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcY
•
ĐS:
1
1
2
x
y t
z t
=
= − +
= +
.
HT 244. =JB@7<xyzF5a'dp*
(1; 1;2)
A
−
IIJ%&
'
( ) : 2 3 0
P x y z
− − + =
 E a ; J a '
1 1
:
1 2 2
x y z
+ −
∆ = =
−
%7 4 9J  Cd
D(
Đ/s: a)
min(cos ) 0
α
=
d :
1 1 2
4 5 3
x y z
− + −
= =
b)
5 3
max(cos )
9
α
=
d:
1 1 2
1 5 7
x y z
− + −
= =
−
HT 245. =JB;7<xyzF5a'dp*
( 1; 0; 1)
A
− −
ea'
1
1 2 2
:
2 1 1
x y z
− − +
∆ = =
−
I4vd$a'
2
3 2 3
:
1 2 2
x y z
− − +
∆ = =
−
9$9JCdD(
Đ/s:
a)
min(cos ) 0
α
=
d :
1 1
2 2 1
x y z
+ +
= =
−
b)
2 5
max(cos )
5
α
=
d :
1 1
4 5 2
x y z
+ +
= =
HT 246. =<xyz0%
(–1; 3; –2), (–3;7; –18)
A B
$%&'CD,
2 – 1 0
x y z
+ + =
(=5%@
70%Z∈CDIZ1-Z2d(
zI,
(2;2; 3)
M
−
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
(0; 1;2), ( 1;1;3)
A B
− −
,
Ox
( ) ( )
P y
≡
. ĐS:
2 1
; ; 0
5 5
M
− −
b) Với
(1; 0; 0)
A
,
(1;2; 0)
B
,
( ) : 4 0
P x y z
+ + − =
ĐS:
c) Với
z
(1;2; 1), (3;1; 2),( ) : 2 0
A B P x y
− − − + =
. ĐS:
13 4
;1;
5 5
M
−
.
HT 247. =JB@7<xyz 0% 1C>c>mD2CY>Y>iD$a'
∆
4 5
%IT
{
1 2 ; 1 ; 2
x t y t z t
= − + = − =
(Z70%Z!wUa'
∆
:0%Z0
*%Z12;d(
Đ/s: M(1;0;2) minP =
2( 11 29)
+
HT 248. =JBQ@7<xyz%&'
( ) : 3 3 11 0
P x y z
− + − =
$0%
(3; 4;5)
A
−

(3; 3; 3)
B
−
(=5%0%
( )
M P
∈
I
MA MB
−
9J(
ĐS:
31 5 31
; ;
7 7 7
M
− −
.
Câu hỏi tương tự:
a)
( ) : 4 0
P x y z
+ + − =
,
(1;2;1)
A

(0;1;2)
B
( ĐS:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc\
b) . ĐS:
7 11
; ;1
2 2
M
HT 249. =   J B ; 7 <xyz %& ' CD,
2 2 8 0
x y z
− + + =
$  0%
(–1;2; 3), (3; 0; –1)
A B
(=5%0%Z
∈
CDI
2 2
MA MB
+
d(
Đ/s: M(0; 3; –1).
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P):
0
x y z
+ + =
, A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7). ĐS: M
≡
O(0; 0; 0).
b) Với (P):
5 7 5 0
x y z
+ − − =
,
(4;9; 9), ( 10;13;1)
A B
− −
. ĐS:
50 192 75
; ;
17 17 17
M
− −
.
HT 250. =   J B Q @ 7 <xyz  %& '
( ) : 4 0
P x y z
+ + − =
$ 0%
(1;2;1)
A

(0;1;2)
B
(=5%0%
( )
M P
∈
I
2 2
2
MA MB
+
d(
Đ/s:
5 14 17
; ;
9 9 9
M
.
HT 251. =JBQ@7Oxyz,%ABCJAC>N>cDBC>\>YDCCc>N>D$%&'
CPD,
– – – 3 0
x y z
=
( ?@ M 9$ %7 0% ! w U %& ' CPD( =5%   d  : /0* A
2 2 2
F MA MB MC
= + +
(K45%;7:Z(
Đ/s:F nhỏ nhất bằng
2
19 64 553
3.
3 9
3 3
+ =
khi M là hình chiếu của G lên (P).
Câu hỏi tương tự:
a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P):
3 0
x y z
− − − =
.
ĐS:
min 65
F
=
,
11 2 4
; ;
3 3 3
M
−
b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P):
3 – 2 0
x y z
+ + =
. ĐS:
22 61 17
; ;
3 3 3
M
−
c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P):
2 2 6 0
x y z
− + + =
. ĐS: M (0; 4; 1) .
HT 252. =JBQ@7<xyz0%
( 1;0;1)
A
−

(2; 1; 0)
B
−

(2; 4;2)
C
$%&'CD,
z
2 2 0
x y
+ + + =
(=5%;70%Z*7CDI/0*A
2 2 2
T MA MB MC
= + +
;d(
Đ/s:
(0; 0; 1)
M
−
.
HT 253. =   J B Q @ 7 <xyz  %& '
( ) : 4 0
P x y z
+ + − =
$  0%
(1;2;1)
A

(0;1;2)
B

(0;0; 3)
C
(=5%0%
( )
M P
∈
I
2 2 2
3 2
MA MB MC
+ +
d(
•
Giải tương tự như Câu 10.
HT 254. =   J B Q @ 7 <xyz  %& '
( ) : 1 0
P x y z
− + − =
$  0%
(1;2; 1)
A
−

(1; 0; 1)
B
−

(2;1; 2)
C
−
(=5%0%
( )
M P
∈
I
2 2 2
MA MB MC
+ −
d(
•
Giải tương tự như Câu 10. ĐS:
2 1 2
; ;
3 3 3
M
.
HT 255. =   J B Q @ 7 <xyz  %& '
( ) : 2 0
P x y z
− + =
$  0%
(1;2; 1)
A
−

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcc
(3;1; 2)
B
−

(1; 2;1)
C
−
(=5%0%
( )
M P
∈
I
2 2 2
MA MB MC
− −
d(
•
Giải tương tự như Câu 10. ĐS:
(
)
2; 2; 2
M
− −
.
HT 256. =   J B Q @ 7
Oxyz
  %& '
( ) : 1 0
P x y z
+ + − =
$ / 0%
(2;1; 3), (0; 6;2), (1; 1; 4)
A B C
− −
(=5%@70%
M
U%&'
( )
P
I
MA MB MC
+ +
  
;/
(
2 7 8
; ;
3 3 3
M
−
.
Câu hỏi tương tự:
a)
( ) : 2 0, (1;2; 1), (3;1; 2), (1; 2;1)
P x y z A B C
− + = − − −
. ĐS:
5 1 2
; ;
2 3 3
M
−
.
HT 257. =JB;7OxyzY0%1CY>>D2Co>Y>uD.CN>N>ND$%&'CD4
5,
3 0
x y z
+ + − =
(=5%UCD0%ZI
2 3
MA MB MC
+ +
  
d(
Đ/s:
13 2 16
; ;
9 9 9
M
−
.
43 3
min
3
T =
.
HT 258. =   J B Q @ 7 <xyz  %& '
( ) : 4 0
P x y z
+ + − =
$  0%
(1;2;1)
A

(0;1;2)
B

(0;0; 3)
C
(=5%0%
( )
M P
∈
I
3 4
MA MB MC
+ +
  
d(
Đ/s:
HT 259. =   J B Q @ 7 <xyz  %& ' CD,
x z
3 3 2 37 0
y
− + + =
$  0%
(4;1;5), (3; 0;1), ( 1;2;0)
A B C
−
( =5% ; 7 0% Z *7 CD I  /0* A I* ;   d , ^ …
. . .
MAMB MB MC MC MA
+ +
    
Đ/s:
min 3.88 5 259
S
= − =
khi
(4;7; 2)
M
−
.
HT 260. =JB@7<xyz0%
( 1; 3; 0)
B −

(1; 3; 0)
C

(0; 0; )
M a
JaŠm(=UQ
<z9!0%tI%&'Ct2.D*4J%&'CZ2.D(=5%a00:T42.Zt
d
•
BCMN
3 3
3
MOBC NOBC
V V V a
a
= + = +
đạt nhỏ nhất
⇔
3
a
a
=
⇔
3
a
=
.
HT 261. =JB;7<xyz/0%1C>c>\D2Cm>>D.C>N>D(=5%@70%6*7
a'12I7"$;'.6d(
Đ/s:
5 46 41
; ;
26 26 26
D
.
HT 262. =   J B ; 7 Oxyz  / 0%
(5; 8; 11)
A
−

(3;5; 4)
B
−

(2;1; 6)
C
−
$ a '
1 2 1
:
2 1 1
x y z
d
− − −
= =
(_;70%Z*7a'dI
MA MB MC
− −
  
;d
(
Đ/s:
11 2 1
; ;
9 9 9
M
− − −
HT 263. =   J B Q ; 7 Oxyz, 
( ) : 2 5 0
P x y z
+ − + =
0% AC lN> Y> \D $ a '
3
( ) : 1 3
2
x
d y z
+
= + = −
(?@
∆
9$a'r%UCPDp*0%:CdD$CPDEa*4
Jd(=5%U
∆
0%MIXAMe(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNci
Đ/s: Vậy
7 4 16
; ;
3 3 3
M
−
HT 264. =   <xyz   0% 1Cl> l> ND 2ClN> lN> D $ %& ' CD 4  5
3 2 0
x y z
+ − + =
(OF5%&'CPD9$%&'*#:;12(?@∆9$*!F:
CD$CPD(=5%0%Z*7∆I7"$;'<Z9$d(
Đ/s:
1 5 3
; ;
2 8 8
M
− − −
.
HT 265. =JB@7Oxyz0%
4 3 9
(2;1;5), ( ; ; )
E F
(?@∆9$*!F:%&'
: 2 1
( ) 0
P x y z
+ − + =
$
( ) : 2 7 0
Q x y z
− + − =
(=5%0%I*7∆ I,
IE IF
−
9J(
Đ/s: I(1;0;3).
HT 266. =JB@7Oxyza'
:
1 1 1
x y z
d
= =
$0%
(0;0; 3)
A

(0;3; 3)
B
(=5%
0%Z∈dI,
D
MA MB
+
d( /D
2 2
2
MA MB
+
d( D
3
MA MB
−
 
d(
Đ/s:
min( ) 3 3
MA MB
+ =
3 3 3
; ;
2 2 2
M
.
b)
5 5 5
; ;
2 2 2
M
.
c)
min 2 3 2
MA MB
− =
 
khi
3
t
=
, tức
(3;3; 3)
M
.
HT 267. =JB;7<xyz\0%1CN>\>lD2C>\>lD.CN>\>YD6CN>N>lD(=5%@70%Z
0
2 2 2 2
MA MB MC MD
+ + +
;d(
Đ/s:
M
≡
7 14
; ; 0
3 3
G
.
TUYỂN TẬP ĐỀ THI 2009 – 2013
HT 268. 2013 A (CB) =JB@7
,
Oxyz
a'
6 1 2
:
3 2 1
x y z
− + +
∆ = =
− −
$0%
(1; 7; 3).
A
OF5%&'(P)p*A$*4J
.
∆
=5%@70%M*7
∆
I
2 30.
AM
=
Đ/s:
51 1 17
(3; 3; 1); ; ;
7 7 7
M M
− − − −
HT 269. 2013 A (NC) =JB@7
,
Oxyz
%&'
( ) : 2 3 11 0
P x y z
+ + − =
$%&]*
2 2 2
( ) : 2 4 2 8 0.
S x y z x y z
+ + − + − − =
.A%(P)FGJ(S).=5%@7F0%:(P)$(S).
Đ/s:
(3;1;2)
M
HT 270. 2013 B (CB) =JB@7
,
Oxyz
0%
(3;5; 0)
A
$%&'
( ) : 2 3 7 0.
P x y z
+ − − =
OF5a'p*A$*4J(P)(=5%@70%TA:A
p*(P).
Đ/s:
( 1; 1;2)
B
− −
HT 271. 2013 B (NC) =JB@7
,
Oxyz
0%
(1; 1;1), ( 1;2;3)
A B
− −
$a'
1 2 3
:
2 1 3
x y z
+ − −
∆ = =
−
(OF5a'p*A,*4Ja'AB$
∆
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNco
Đ/s:
1 1 1
7 2 4
x y z
− + −
= =
HT 272. 2013 D (CB)=JB@7
,
Oxyz
0%
( 1; 1; 2), (0;1;1)
A B
− − −
$%&'
( ) : 1 0.
P x y z
+ + − =
=5%@75F**4AU(P)(OF5%&'p*A, B$*
4J(P).Đ/s:
( ) : 2 1 0
Q x y z
− + + =
HT 273. 2013 D (NC)=JB@7
,
Oxyz
0%
( 1;3; 2)
A
− −
$%&'
( ) : 2 2 5 0.
P x y z
− − + =
=XSAF(P)(OF%&'p*A$IIJ(P)(
Đ/s:
( ) : 2 2 3 0
Q x y z
− − + =
HT 274. 2012 A (CB) =JB@7
Oxyz
a'
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
$0%
(0;0; 3)
I
(OF5%&]*(S)4 %I$ed;0%A, BI%IAB*;I.
Đ/s:
2 2 2
8
( 3)
3
x y z
+ + − =
HT 275. 2012 A (NC) =JB@7
Oxyz
a'
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
%&'
( ) : 2 5 0
P x y z
+ − + =
$0%
(1; 1;2).
A
−
OF5a'
△
ed$(P)9]9;M, NIA9$
*0%:;MN.
Đ/s:
1 1 2
:
2 3 2
x y z
+ + −
= =
△
HT 276. 2012 B (CB) =JB@7
Oxyz
a'
1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
−
$0%
(2;1; 0), ( 2; 3;2).
A B
−
OF5%&]*p*A, B$4 %*7a'd.
Đ/s:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 17
x y z
+ + + + − =
HT 277. 2012 B (NC)=JB@7
Oxyz

(0;0; 3), (1;2; 0).
A M
OF5%&'
(P)p*A$eQ
,
Ox Oy
9]9;B, CI%ABC4@ %*7a'AM.
Đ/s:
( ) : 6 3 4 12 0
P x y z
+ + − =
HT 278. 2012 D (CB)=JB@7
Oxyz
%&'
( ) : 2 2 10 0
P x y z
+ − + =
$0%
(2;1; 3).
I
OF5%&]* %I$e(P)%7ak4//r\(
Đ/s:
2 2 2
( ) : ( 2) ( 1) ( 3) 25
S x y z
− + − + − =
HT 279. 2012 D (NC)=JB@7
Oxyz
a'
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
$0%
(1; 1;2), (2; 1; 0).
A B
− −
_@70%M*7dI%AMB*;M.
Đ/s:
7 5 2
(1; 1;0), ; ;
3 3 3
M M
− −
HT 280. 2011 A (CB): =JB@7
Oxyz
0%A(2; 0; 1), B(0; –2; 3)$%&'
( ) : 2 4 0.
P x y z
− − + =
=5%@70%M*7(P)IMA = MB = 3.
Đ/s:
(0;1;3)
M
hoặc
6 4 12
; ;
7 7 7
M
−
HT 281. 2011 A (NC): =JB@7
Oxyz
%&]*
2 2 2
( ) : 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =
$
0%
(4;4;0).
A
OF5%&'(OAB)/F0%B*7(S)$%OAB*(
Đ/s:
( ) : 0
P x y z
− + =
&
0
x y z
− − =
HT 282. 2011 B ( CB) =JB@7
Oxyz
a'
2 1
:
1 2 1
x y z
− +
∆ = =
− −
$%&
'CD,-!-RlY…m(?@89$0%:Ž$CD(=5%@70%Z*7CDIZ8*4JŽ$
4 14.
MI
=

Đ/s:
(5;9; 11)
M
−
hoặc
( 3; 7;13)
M
− −
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcs
HT 283. 2011 B (NC) =JB;7
Oxyz
a'Ž,
2 1 5
:
1 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
−
$
0%1ClN>>D2ClY>l>ND(=5%;70%Z*7a'ŽI%Z124"B/r
3 5
(
Đ/s:
( 2;1; 5); ( 14; 35;19)
M M
− − − −
HT 284. 2011 D (CB) =JB;7
Oxyz
0%A(1; 2; 3)$a'
1 3
: .
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
OF5a'∆p*0%A*4Ja'd$eQOx.
Đ/s:
1 2
: 2 2
3 3
x t
y t
z t
= +
= +
= +
△
HT 285. 2011 D (NC) =JB@7
Oxyz
a'
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
$%&'
( ) : 2 2 0.
P x y z
− + =
OF5%&]*4 %*7a'Ž//r$FGJ%&
'CD(
Đ/s:
2 2 2 2 2 2
( 5) ( 11) ( 2) 1; ( 1) ( 1) ( 1) 1
x y z x y z
− + − + − = + + + + + =
HT 286. 2010 A (CB)=JB@7
Oxyz
a'
1 2
:
2 1 1
x y z
− +
∆ = =
−
$%&'
( ) : 2 0.
P x y z
− + =
?@C9$0%:
∆
J(P)M9$0%*7
∆
(=XSMF(P)/Fr
6.
MC
=
Đ/s:
1
6
d =
HT 287. 2010 A Ct.D=JB@7
Oxyz
0%ACm>m>−ND$a'
2 2 3
:
2 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
(=XSAF∆(OF5%&]* %Ae∆;0%B$C
IBC…s(
Đ/s:
2 2 2
( 2) 25
x y z
+ + + =
HT 288. 2010 B (CB)=JB@7
Oxyz
0%
(1; 0; 0), (0; ; 0), (0;0; ),
A B b C c
4b,c
"$%&'
( ) : 1 0.
P y z
− + =
_b$c/Fr%&'(ABC)*4J%&'(P)$
XS0%OF%&'(ABC)/r
1
.
3
Đ/s:
1
2
b c
= =
HT 289. 2010 B Ct.D=JB@7
Oxyz
a'∆,
1
2 1 2
x y z
−
= =
(_@7
0%ZUQ$IXSZF∆/r<Z(
Đ/s:
( 1;0;0)
M
−
hoặc
(2; 0; 0)
M
HT 290. 2010 D C.*yD=JB@7
Oxyz
%&'CD,-!-R−Y…m$CPD,−!-
R−…m(OF5%&'CMD*4JCD$CPDIXS<FCMD/rN(
Đ/s:
( ) : 2 2 0
R x z
− + =
hoặc
2 2 0
x z
− − =
HT 291. 2010 D Ct.D=JB@7
Oxyz
a'∆
,
3
x t
y t
z t
= +
=
=
$∆
N
,
2 1
2 1 2
x y z
− −
= =
(_;70%Z*7∆
IXSZF∆
N
/r(
Đ/s:
(4;1;1)
M
hoặc
(7;4; 4)
M
HT 292. 2009 A C.*yD=JB@7
Oxyz
%&'CD,
2 2 4 0
x y z
− − − =
$%&]*
C^D,
2 2 2
2 4 6 11 0
x y z x y z
+ + − − − − =
(.A%r%&'CDe%&]*C^D%7ak(_
;7 %$/:ak4(
Đ/s:
(3; 0;2)
H
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNcu
HT 293. Nmmu1Ct.D=JB@7
Oxyz
%&'
( ) : 2 2 1 0
P x y z
− + − =
$a
'
1 2
1 9 1 3 1
: ; : .
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
+ + − − +
∆ = = ∆ = =
−
_@70%M*7a'
1
∆
I
XSMFa'
2
∆
$XSMF%&'(P)/r*(
zI,
18 53 3
(0;1; 3); ; ;
35 35 35
M M
−
HT 294. 2009 B C.*yD=JB@7
Oxyz
A"BABCD4[
(1;2;1), ( 2;1; 3), (2; 1;1)
A B C
− −
$
(0;3;1).
D
OF5%&'(P)p*A, B IXSCF
(P)/rXSDF(P).
Đ/s:
( ) : 4 2 7 15 0
P x y z
+ + − =
hoặc
( ) : 2 3 5 0
P x z
+ − =
HT 295. 2009 B Ct.D=JB@7
Oxyz
%&'CD,lN!-NRlc…m$0%1Cn
Y>m>D2C>n>YD(=a'p*1$IIJCDˆ!F5a'%$X
S2Fa'49$d(
Đ/s:
3 1
:
26 11 2
x y z
+ −
∆ = =
−
HT 296. 2009 D C.*yD=JB@7
Oxyz
0%1CN>>mD2C>N>ND.C>>mD$%&
'CD,-!-RlNm…m(_@70%6*7a'12Ia'.6IIJ
%&'CD(
Đ/s:
5 1
; ; 1
2 2
D
−
HT 297. 2009 D Ct.D=JB@7
Oxyz
a'
∆
,
2 2
1 1 1
x y z
+ −
= =
−
$%&'
CD,-N!lYR-\…m(OF5a'"r%CDI"e$*4Ja'
∆
(
Đ/s:
3 1 1
:
1 2 1
x y z
d
+ − −
= =
− −
| 1/60

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: MỞ ĐẦU
I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA' = AC '
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có: IA + IB = 0 ;
OA +OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
GA +GB +GC = 0;
OA +OB +OC = 3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
GA +GB +GC +GD = 0;
OA +OB +OC +OD = 4OG
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông(a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. OA − kOB Ta có: MA = kMB; OM = 1 − k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a vaø b không cùng phương. Khi đó: a,b,c
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb
• Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian: 0 0
AB = u, AC = v ⇒ (u,v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 180 )
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho u,v ≠ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos( , u v)
+ Với u = 0 hoaëc v = 0 . Qui ước: u.v = 0
+ u ⊥ v ⇔ u.v = 0 + 2 u = u
II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi ,
i j, k là các vectơ đơn vị,
tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 2 2 2 Chú ý:
i = j = k = 1 và i.j = i.k = k.j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ: a) Định nghĩa:
u = (x; y; z) ⇔ u = xi + y j + zk
b) Tính chất: Cho a = (a ;a ;a ), b = (b ;b ;b ), k ∈ R 1 2 3 1 2 3
• a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ±b ) 1 1 2 2 3 3
• ka = (ka ; ka ; ka ) 1 2 3 a  = b  1 1  • a b a  = ⇔  = b 2 2 a  = b  3 3 
• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
• a cùng phương b (b ≠ 0)
⇔ a = kb (k ∈ R) a  = kb  1 1  a a a  1 2 3 ⇔ a  = kb ⇔ = =
, (b , b , b ≠ 0) 2 2 1 2 3  b b b  1 2 3 a  = kb  3 3 
• a.b = a .b + a .b + a .b
• a ⊥ b ⇔ a b + a b +a b = 0 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 • 2 2 2 2
a = a + a + a • 2 2 2
a = a + a + a 1 2 3 1 2 2 a.b
a b + a b + a b • 1 1 2 2 3 3 cos(a, b ) = =
(với a, b ≠ 0 ) a . b 2 2 2 2 2 2
a + a + a . b + b + b 1 2 3 1 2 3
3. Tọa độ của điểm:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) Định nghĩa:
M (x; y; z) ⇔ OM = (x;y;z)
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:
• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chất: Cho (
A x ; y ; z ), (
B x ; y ; z ) A A A B B B
• AB = (x − x ;y −y ;z − z ) • 2 2 2
AB = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) B A B A B A B A B A B Ax kx y ky z kz  − − −  
• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): A B M  ; A B ; A B      1 − k 1 − k 1 − k  x x y y z z  + + +  
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: A B M  ; A B ; A B      2 2 2 
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x x y y y z z z  + + + + + +   A B C G  ; A B C ; A B C      3 3 3 
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: x x x x y y y y z z z z  + + + + + + + + +   A B C D G  ; A B C D ; A B C C      4 4 4 
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho a = (a , a , a ) , b = (b , b , b ) . 1 2 3 1 2 3  a a a a a a     2 3 3 1 1 2 
a,b = a ∧ b =  ; ;      = 
(a b −a b ;a b −a b ;a b −a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1)  b b b b b b  2 3 3 1 1 2 
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất:
• i , j  = k ;
j ,k  = i ; k  ,i  = j      
• [a, b] ⊥ a;
[a, b] ⊥ b
• [a,b] = a . b .sin(a,b ) • ,
a b cùng phương ⇔ [ , a b] = 0
c) Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,
a b và c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD:   S = ▱ AB,AD ABCD   1
• Diện tích tam giác ABC:   S = AB  , AC A ∆ BC  2  
• Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′: V = [A ,
B AD].AA '
ABCD.A ' B 'C ' D '
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1
• Thể tích tứ diện ABCD: V =
[AB, AC ].AD ABCD 6 Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình
hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
a vaø b cuøng phöông a  ,b  ⇔ = 0  
a, b , c ñoàng phaúng a  ,b  ⇔ .c = 0  
5. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 2 2 2
(x − a) + (y −b) + (z − c) = R • Phương trình 2 2 2
x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với 2 2 2
a +b + c −d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(–
a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2
a + b + c −d . BÀI TẬP CƠ BẢN HT 1.
Cho ba vectơ a, b , c . Tìm m, n để c a  ,b  =   :
a) a = (3;−1;−2), b = (1;2;m), c = (5;1; 7) b) a = (6;−2;m), b = (5;n;−3), c = (6; 33;10) HT 2.
Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b , c trong mỗi trường hợp sau đây: a) a = (1;−1; )
1 , b = (0;1;2), c = (4;2; 3)
b) a = (4; 3; 4), b = (2;−1;2), c = (1;2; ) 1
c) a = (−3;1;−2), b = (1;1; ) 1 , c = (−2;2; )
1 d) a = (4;2; 5), b = (3;1; 3), c = (2; 0; ) 1 HT 3.
Tìm m để 3 vectơ a,b,c đồng phẳng:
a) a = (1;m;2), b = (m + 1;2; )
1 , c = (0;m − 2;2)
b) a = (2m + 1;1;2m − 1); b = (m + 1;2;m + 2), c = (2m;m + 1;2) HT 4.
Cho các vectơ a,b,c,u . Chứng minh ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ u theo các vectơ a,b,c :
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a
 = (2;1;0), b = (1;−1;2), c = (2;2;− ) 1 a
 = (1;−7;9), b = (3;−6; ) 1 , c = (2;1;−7) a)    b)  u  = (3;7;−7)  u  = (−4;13;−6)   HT 5.
Chứng tỏ bốn vectơ a,b,c,d đồng phẳng: a) a = (−2;−6; )
1 , b = (4;−3;−2), c = (−4;−2;2),d = (−2;−11;1) b) a = (2; 6;− ) 1 , b = (2;1;− )
1 , c = (−4; 3;2),d = (2;11;−1) HT 6.
Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:
a) b , c,d = ma + nb (với m, n ≠ 0)
b) a, c,d = ma + nb (với m, n ≠ 0)
HT 7. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
• Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz
• Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M(1;2; 3) b) M(3;−1;2) c) M( 1 − ;1;−3) d) M(1;2;−1)
HT 8. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M:
• Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy a) M(1;2; 3) b) M(3;−1;2) c) M( 1 − ;1;−3) d) M(1;2;−1)
HT 9. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) (
A 1; 3;1), B(0;1;2),C(0; 0;1) b) (
A 1;1;1), B(−4; 3;1),C(−9; 5;1)
HT 10. Cho ba điểm A, B, C.
• Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
• Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
• Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. a) (
A 1;2;−3),B(0; 3; 7),C (12; 5; 0) b) (
A 0;13;21),B(11;−23;17),C (1; 0;19) c) (
A 3;−4; 7), B(−5; 3;−2),C(1;2;−3) d) (
A 4;2; 3), B(−2;1;−1),C (3; 8; 7)
HT 11. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: a) (
A 3;1; 0) , B(−2; 4;1) b) (
A 1;−2;1), B(11; 0; 7) c) (
A 4;1; 4), B(0; 7;−4)
HT 12. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: a) (
A 1;1;1),B(−1;1; 0),C(3;1;−1) b) (
A −3;2; 4), B(0; 0; 7),C(−5; 3; 3)
HT 13. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?
• Tìm tọa độ điểm M. a) A(2; 1 − ;7), B (4;5;− ) 2 b) (
A 4; 3;−2), B(2;−1;1) c) (
A 10;9;12), B(−20; 3; 4)
HT 14. Cho bốn điểm A, B, C, D.
• Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
• Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
• Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
• Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
• Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) (
A 2; 5;−3), B(1; 0; 0), C(3; 0;−2), D(−3;−1;2) b) A(1; 0; ) 0 , B (0;1; ) 0 , C (0; 0; ) 1 , D ( 2 − ;1;− ) 1
c) A(1;1; 0), B (0;2; ) 1 , C (1; 0; ) 2 , D (1;1; ) 1 d) A(2; 0; ) 0 , B (0; 4; ) 0 , C (0; 0; ) 6 , D (2; 4; ) 6
HT 15. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
• Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
• Tính thể tích khối hộp. a) A(1; 0; )
1 ,B (2;1;2),D (1; 1 − ; ) 1 ,C '(4;5;− )
5 b) A(2;5; −3), B 1 ( ;0;0),C 3
( ;0; −2), A'(−3;−1;2) c) (
A 0;2;1), B(1;−1;1), D(0; 0; 0;), A '(−1;1; 0) d) (
A 0;2;2),B(0;1;2),C (−1;1;1),C '(1;−2;−1)
HT 16. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
-----------------------------------------------------------------
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 2 2 2 2
(x − a) + (y −b) + (z − c) = R
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x + x y + y z + z
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: A B x = ; A B y = ; A B z = . I 2 I 2 I 2 AB
– Bán kính R = IA = . 2
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R′ của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với 2 2 2
a +b + c −d > 0
thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2
a + b + c −d . BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 2 2 2
x + y + z − 8x + 2y + 1 = 0 b) 2 2 2
x + y + z + 4x + 8y − 2z − 4 = 0 c) 2 2 2
x + y + z − 2x − 4y + 4z = 0 d) 2 2 2
x + y + z − 6x + 4y − 2z − 86 = 0
HT 18. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: a) I (1;−3; 5), R = 3 b) I(5; 3 − ;7), R = 2 c) I(1; 3 − ;2),
R = 5 d) I (2; 4; 3 − ), R = 3
HT 19. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: a) I(2; 4;−1), ( A 5;2; 3) b) I (0; 3; 2 − ), (
A 0; 0; 0) c) I (3; 2 − ;1), ( A 2;1; 3 − )
HT 20. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) ( A 2; 4; 1 − ), B(5;2; 3) b) ( A 0; 3; 2 − ), B(2; 4; 1 − ) c) ( A 3; 2 − ;1), B(2;1; 3 − )
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 21. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a) A(1;1; 0), B (0;2; ) 1 , C (1; 0; ) 2 , D (1;1; ) 1 b) A(2; 0; ) 0 , B (0; 4; ) 0 , C (0; 0; ) 6 , D (2; 4; ) 6
HT 22. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với:  (
A 1;2; 0), B(−1;1; 3),C (2; 0;−1)  (
A 2; 0;1), B(1; 3;2),C (3;2; 0) a)    b)  (  P) ≡ (Oxz)  (  P) ≡ (Oxy)  
HT 23. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: I  (−5;1;1)   I  ( 3 − ;2;2)  a)  b)  2 2 2  (
T) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 2 2 2  (
T) : x + y + z − 2x + 4y − 8z + 5 = 0  
--------------------------------------------------------------------
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Vectơ n ≠ 0 là VTPT của (α) nếu giá của n vuông góc với (α).
Chú ý: • Nếu n là một VTPT của (α) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của (α).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A + B + C > 0
• Nếu (α) có phương trình Ax + By +Cz + D = 0 thì n = ( ;
A B;C ) là một VTPT của (α).
• Phương trình mặt phẳng đi qua M (x ;y ;z ) và có một VTPT n = ( ; A B;C ) là: 0 0 0 0 (
A x − x ) + B(y − y ) +C(z − z ) = 0 0 0 0
3. Các trường hợp riêng Các hệ số
Phương trình mặt phẳng (α)
Tính chất mặt phẳng (α) D = 0
(α) đi qua gốc toạ độ O A = 0 (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox B = 0 (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy C = 0 (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz A = B = 0
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) A = C = 0
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) B = C = 0
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz) Chú ý:
• Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứatrục tương ứng. x y z
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: + + = 1 a b c
(α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A x + B y +C z + D = 0 1 1 1 1
(β): A x + B y +C z + D = 0 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• (α), (β) cắt nhau ⇔ A : B :C ≠ A : B :C 1 1 1 2 2 2 A B C D A B C D
• (α) // (β) ⇔ 1 1 1 1 = = ≠
• (α) ≡ (β) ⇔ 1 1 1 1 = = = A B C D A B C D 2 2 2 2 2 2 2 2
• (α) ⊥ (β) ⇔ A A + B B +C C = 0 1 2 1 2 1 2
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By +Cz + D
d (M ,(α ) 0 0 0 ) = 0 2 2 2 A + B +C
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (α) đi qua điểm M (x ;y ;z có VTPT n = ( ; A B;C ) : 0 0 0 )
(α): A(x − x + B y − y +C z − z = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Dạng 2: (α) đi qua điểm M (x ;y ;z có cặp VTCP a,b : 0 0 0 )
Khi đó một VTPT của (α) là n a  ,b  =   .
Dạng 3: (α) đi qua điểm M (x ;y ;z và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0: 0 0 0 )
(α): A(x − x + B y − y +C z − z = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (α) là:  
n = AB,AC  
Dạng 5: (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .
– Một VTPT của (α) là:  
n = AM,u  
Dạng 6: (α) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của (α).
Dạng 7: (α) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (α) là: n a  ,b  =   .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α).
Dạng 8: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
– Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d1, d2.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
– Một VTPT của (α) là: n a  ,b  =   .
– Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α).
Dạng 9: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (α) là: n a  ,b  =   .
Dạng 10: (α) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (β):
– Xác định VTCP u của (d) và VTPT n của (β). β
– Một VTPT của (α) là: n u  ,n  = . β  
– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).
Dạng 11: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):
– Xác định các VTPT n ,n của (β) và (γ). β γ
– Một VTPT của (α) là: n u  , n  = . β γ  
Dạng 12: (α) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử (α) có phương trình: Ax + By +C z+D = 0 ( 2 2 2
A + B +C ≠ ) 0 .
– Lấy 2 điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d(M,( )
α ) = k , ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (α) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (α) là: n = IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11. BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 24. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT cho trước: a) M (3;1; ) 1 , n = ( 1 − ;1;2) b) M ( 2
− ; 7; 0), n = (3; 0; ) 1 c) M (4; 1
− ;−2), n = (0;1; 3)
HT 25. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) ( A 2;1;1), B(2; 1 − ; 1 − ) b) ( A 1; 1 − ; 4 − ), B(2; 0;5) c) (
A 2; 3;−4), B(4; 1 − ; 0)
HT 26. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a,b cho trước, với:
a) M(1;2;−3), a = (2;1;2), b = (3;2;−1)
b) M(1;−2; 3), a = 3;−1;−2), b = (0; 3; 4)
HT 27. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a) M (2;1;5), (β) = (Oxy) b) M (1; 2 − ; )
1 , (β) : 2x − y + 3 = 0
HT 28. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) M (2;1; ) 5 b) M (1; 2 − ; ) 1 c) M ( 1 − ;1; ) 0 d) M (3;6; 5 − )
HT 29. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) ( A 1; 2 − ; 4), B(3;2; 1 − ), C( 2 − ;1; 3 − ) b) ( A 0; 0; 0), B( 2 − ; 1 − ; 3), C(4; 2 − ;1)
HT 30. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C cho trước, với: a) ( A 1; 2 − ; 4), B(3;2; 1 − ), C( 2 − ;1; 3 − ) b) ( A 0; 0; 0), B( 2 − ; 1 − ; 3), C(4; 2 − ;1)
HT 31. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:  ( A 3;1; 1 − ), B(2; 1 − ; 4)  ( A 2 − ; 1 − ; 3), B(4; 2 − ;1)  ( A 2; 1 − ; 3), B( 4 − ; 7; 9 − ) a)  b)  c)  (   
β) : 2x − y + 3z −1 = 0  (
β) : 2x + 3y − 2z + 5 = 0 (
β) : 3x + 4y − 8z − 5 = 0   
HT 32. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: a) M( 1 − ; 2
− ; 5),(β) : x + 2y − 3z + 1 = 0,(γ) : 2x − 3y + z + 1 = 0 b) M(1; 0; 2
− ), (β) : 2x + y − z − 2 = 0, (γ) : x − y − z − 3 = 0
HT 33. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1;2; 3
− ), (P) : 2x − 3y + z − 5 = 0, (Q): 3x − 2y + 5z − 1 = 0 b) M (2;1;− )
1 , (P) : x − y + z − 4 = 0, (Q): 3x − y + z − 1 = 0
HT 34. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) (P) : y + 2z − 4 = 0, (Q) : x + y − z − 3 = 0, (R) : x + y + z − 2 = 0
b) (P) : x − 4y + 2z − 5 = 0, (Q) : y + 4z − 5 = 0, (R) : 2x − y + 19 = 0
c) (P) : 3x − y + z − 2 = 0, (Q) : x + 4y − 5 = 0, (R) : 2x − z + 7 = 0
HT 35. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) (P) : 2x + 3y − 4 = 0, (Q) : 2y − 3z − 5 = 0, (R) : 2x + y − 3z − 2 = 0
b) (P) : y + 2z − 4 = 0, (Q) : x + y − z + 3 = 0, (R) : x + y + z − 2 = 0
c) (P) : x + 2y − z − 4 = 0, (Q) : 2x + y + z + 5 = 0, (R) : x − 2y − 3z + 6 = 0
d) (P) : 3x − y + z − 2 = 0, (Q) : x + 4y − 5 = 0, (R) : 2x − z + 7 = 0
HT 36. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước
một khoảng bằng k, với:
a) (P): x − y − 2 = 0, (Q) : 5x − 13y + 2z = 0, M(1;2; 3), k = 2
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
HT 37. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 2
 x + 3y − 2z + 5 = 0 3
 x − 4y + 3z + 6 = 0 5
 x + 5y − 5z −1 = 0 a)     b)  c)  3
x + 4y − 8z − 5 = 0  3
x − 2y + 5z − 3 = 0 3
x + 3y − 3z + 7 = 0   
HT 38. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song • cắt nhau • trùng nhau 3
 x + my − 2z − 7 = 0 5
 x − 2y + mz −11 = 0 2
 x + my + 3z − 5 = 0 a)     b)  c) 
nx + 7y − 6z + 4 = 0  
3x + ny + z − 5 = 0 nx
− 6y − 6z + 2 = 0   
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 39. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau 2
 x − 7y + mz + 2 = 0 (
 2m −1)x − 3my + 2z + 3 = 0 a)    b) 
 3x + y − 2z + 15 = 0 
mx + (m − 1)y + 4z − 5 = 0  
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By +Cz + D
d (M ,(α ) 0 0 0 ) = 0 2 2 2 A + B +C
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0. M
 H, n cuøng phöông
• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) ⇔  H  ∈ (P) 
• Điểm M′ đối xứng với điểm M qua (P) ⇔ MM ′ = 2MH BÀI TẬP
HT 40. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
• Tính khoảng cách từ M đến (P).
• Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
• Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P).
a) (P) : 2x − y + 2z − 6 = 0, M(2; 3 − ;5)
b) (P) : x + y + 5z − 14 = 0, M(1; 4 − ; 2 − )
HT 41. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng: x
 − 2y + 3z + 1 = 0 6
 x − 2y + z + 1 = 0 2
 x − y + 4z + 5 = 0 a)     b)  c)  2
x − y + 3z + 5 = 0  6
x − 2y + z − 3 = 0 3
x + 5y − z − 1 = 0   
HT 42. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P):
a) (P) : 2x + 2y + z − 5 = 0, N(1;2; 2 − )
b) (P) : x + y + 5z − 14 = 0, N(1; 4 − ; 2 − )
c) (P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, N(3;1; 2 − )
d) (P) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, N(2; 3 − ; 4)
HT 43. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng: x
 + y − z + 1 = 0 x
 + 2y − 2z + 1 = 0 2
 x − y + 4z + 5 = 0 a)     b)  c)  x
 − y + z − 5 = 0  2
x + 2y + z − 5 = 0 4
x + 2y − z − 1 = 0   
HT 44. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước. Tính
khoảng cách giữa (P) và (Q):
a) A(1;2; –3), (Q) : 2x − 4y − z + 4 = 0 .
b) A(3; 1; –2), (Q) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0 .
HT 45. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một khoảng k cho trước:
a) (Q) : x + 2y − 2z + 5 = 0, ( A 2; 1 − ; 4), k = 4
b) (Q) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, ( A 2; 3 − ; 4), k = 3
HT 46. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
a) (Q) : 3x − y + 2z − 3 = 0, k = 14
b) (Q) : 4x + 3y − 2z + 5 = 0, k = 29
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A x + B y +C z + D = 0 1 1 1 1
(β): A x + B y +C z + D = 0 2 2 2 2
Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2 n .n
A A + B B +C C cos ((α),(β ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ) = = n . n 2 2 2 2 2 2 1 2
A + B +C . A + B +C 1 1 1 2 2 2 Chú ý:
• 0 ≤ ( α β ) 0 0 ( ),( ) ≤ 90 . • ( )
α ⊥ (β) ⇔ A A + B B +C C = 0 1 2 1 2 1 2 BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 47. Tính góc giữa hai mặt phẳng: x
 + y − z + 1 = 0 x
 + 2y − 2z + 1 = 0 2
 x − y + 4z + 5 = 0 a)     b)  c)  x
 − y + z − 5 = 0  2
x + 2y + z − 5 = 0 4
x + 2y − z − 1 = 0    4
 x + 4y − 2z + 7 = 0 2
 x −y − 2z + 3 = 0  
 3x − 3y + 3z + 2 = 0 d)     e)  f)  2
x + 4z − 5 = 0     2y + 2z + 12 = 0 
4x + 2y + 4z − 9 = 0  
HT 48. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng α cho trước: (
 2m −1)x − 3my + 2z + 3 = 0   m
x + 2y + mz −12 = 0   a) m
x + (m −1)y + 4z − 5 = 0   b) x
 + my + z + 7 = 0    0  α  = 90 0  α  = 45  
-----------------------------------------------------------------
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và có VTCP a = (a ;a ;a ) : 0 0 0 0 1 2 3 x  = x +a to 1  (d) : y   = y + a t (t ∈ R) o 2
z = z +a to 3  x − x y − y z − z
• Nếu a a a ≠ 0 thì 0 0 0 (d) : = =
được gọi là phương trình chính tắc của d. 1 2 3 a a a 1 2 3
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là: x  = x + ta   x
 = x ′ + t a ′ ′ 0 1   0 1  d : y  = y +ta và d : y
′  = y′ + t a ′ ′ 0 2  0 2  z  = z + ta  = ′ + ′ ′  z z t a 0 3   0 3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  , a a′  cuøng phöông   
x + ta = x′ + t′a′ • d // d′ ⇔   0 1 0 1  
heä y + ta = y′ + t′a′ (aån ,t t ) ′  voâ nghieäm 0 2 0 2     
z + ta = z′ + t′a′   0 3 0 3    ,
a a′ cuøng phöông  , a a′ a a′  cuøng phöông , = 0   ⇔    ⇔ ⇔ 
M (x ; y ; z ) ∉ d ′      0 0 0 0 a M M ′  khoâng cuøng phöông  ,  a M M ′ 0 0   ,  ≠ 0   0 0 
x + ta = x′ + t′a′  0 1 0 1 
• d ≡ d′ ⇔
heä y + ta = y′ + t′a′ (aån ,t t )
′ coù voâ soá nghieäm 0 2 0 2
z + ta = z′ + t′a′  0 3 0 3   ,
a a′ cuøng phöông ⇔  ⇔ ,
a a ,′ M M ′ ñoâi moät cuøng phöông
M (x ; y ; z ) ∈ d ′ 0 0  0 0 0 0  ⇔    , a a′ =    ,
a M M ′  = 0  0 0 
x + ta = x′ + t′a′  0 1 0 1 
• d, d′ cắt nhau
⇔ hệ y + ta = y′ + t′a′ (ẩn t, t′) có đúng một nghiệm 0 2 0 2
z + ta = z′ + t′a′  0 3 0 3   , a a′ a a′  khoâng cuøng phöông , ≠ 0   ⇔  ⇔   , a a ,′ M M ′  ñoàng phaúng
a a′ M M′ 0 0 , . = 0    0 0   , a a′  khoâng cuøng phöông   
x + ta = x′ + t′a′
• d, d′ chéo nhau ⇔   0 1 0 1  
heä y + ta = y′ + t′a′ (aån ,t t ) ′  voâ nghieäm 0 2 0 2     
z + ta = z′ + t′a′   0 3 0 3   ⇔ ,
a a ,′ M M ′ khoâng ñoàng phaúng ⇔  ,
a a′ .M M ′ ≠ 0 0 0   0 0
• d ⊥ d′
⇔ a ⊥ a′
⇔ a.a′ = 0
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng x  = x + ta  0 1 
Cho mặt phẳng (α): Ax + By +Cz + D = 0 và đường thẳng d: y  = y +ta 0 2 z  = z + ta  0 3  Xét phương trình: (
A x + ta ) + B(y + ta ) +C (z + ta ) + D = 0 (ẩn t) (*) 0 1 0 2 0 3
• d // (α) ⇔ (*) vô nghiệm
• d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm
• d ⊂ (α) ⇔ (*) có vô số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = x + ta  0 1 
Cho đường thẳng d: y
 = y +ta (1) và mặt cầu (S): 2 2 2 2
(x − a) + (y −b) + (z − c) = R (2) 0 2 z  = z + ta  0 3 
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
• d và (S) không có điểm chung ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ d(I, d) > R
• d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ d(I, d) = R
• d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.   M M  ,a   0  d(M,d) = a
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a , d a 1
2 đi qua điểm M2 và có VTCP 2 a  ,a  .M M   1 2  1 2
d(d ,d ) = 1 2 a  ,a   1 2 
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1.
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (α).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a ,a . 1 2
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a ,a . 1 2 a .a cos(a ,a ) 1 2 = 1 2 a . a 1 2
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a ;a ;a ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = ( ;
A B;C ) . 1 2 3
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α).
Aa + Ba +Ca sin (d,(α ) 1 2 3 ) = 2 2 2 2 2 2
A + B +C . a + a + a 1 2 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và có VTCP a = (a ;a ;a ) : 0 0 0 0 1 2 3 x  = x +a to 1  (d) : y   = y + a t (t ∈ R) o 2
z = z +a to 3 
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: 0 0 0 0
Vì d // ∆ nên VTCP của ∆ cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: 0 0 0 0
Vì d ⊥ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
• Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. (  P)
– Tìm toạ độ một điểm A ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình 
(với việc chọn giá trị cho một ẩn) (  Q) 
– Tìm một VTCP của d: a n  ,n  = P Q  
• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d 0 0 0 0 1, d2: Vì d ⊥ d  
1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là: a = a ,a d d   1 2 
Dạng 7: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆. 0 0 0 0
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆. H  ∈ ∆   MH ⊥ u  0  △
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
• Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P) ∩ (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d 0 0 0 0 1, d2:
• Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
• Cách 2: Gọi (P) = (M ,d ) , (Q) = (M ,d ). Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là a n  ,n  = . 0 1 0 2  P Q  
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2.
Khi đó d = (P) ∩ (Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: M  N ⊥ d
• Cách 1: Gọi M ∈ d
1, N ∈ d2. Từ điều kiện 1 
, ta tìm được M, N. MN ⊥ d  2 
Khi đó, d là đường thẳng MN. • Cách 2: – Vì d ⊥ d  
1 và d ⊥ d2 nên một VTCP của d có thể là: a = a ,a . d d   1 2 
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1.
+ Một VTPT của (P) có thể là: n a  ,a  = . Pd   1 
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2.
Khi đó d = (P) ∩ (Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P):
• Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M ∈ ∆.
– Vì (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) nên n a  ,n  = . Q  ∆ P 
Khi đó d = (P) ∩ (Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:
• Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN. • Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
Khi đó d = (P) ∩ (Q). BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 49. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước: a) M(1;2; 3
− ), a = (−1; 3; 5)
b) M(0;−2;5), a = (0;1; 4) c) M(1; 3; 1 − ), a = (1;2; 1 − ) d) M(3; 1 − ; 3 − ), a = (1; 2 − ; 0) e) M(3; 2
− ; 5), a = (−2; 0; 4) f) M(4; 3; 2 − ), a = ( 3 − ; 0; 0)
HT 50. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) A(2;3;− ) 1 , B (1;2; 4) b) A(1; 1 − ; 0), B (0;1; ) 2 c) A(3;1;− ) 5 , B (2;1;− ) 1 d) A(2;1; ) 0 , B (0;1; ) 2 e) A(1;2; 7 − ), B (1;2; 4) f) A( 2 − ;1; ) 3 , B (4;2;− ) 2
HT 51. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A(3;2; 4 − ), ∆ ≡ Ox b) A(2; 5
− ; 3), ∆ qua M(5; 3;2),N (2;1; 2 − ) x  = 2 − 3t  x + 2 y − 5 z − 2 c) ( A 2; 5; 3), : y  − ∆  = 3 + 4t d) ( A 4;−2;2), ∆ : = =  4 2 3 z  = 5 − 2t 
HT 52. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A( 2
− ; 4; 3), (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0 b) A(1; 1 − ; ) 0 , (P) : (Oxy) c) A(3;2; )
1 , (P) : 2x − 5y + 4 = 0 d) ( A 2; 3
− ;6), (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0
HT 53. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: (
 P) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 (
 P) : 2x − 3y + 3z − 4 = 0 (
 P) : 3x + 3y − 4z + 7 = 0 a)     b)  c)  (
Q) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0  (
Q) : x + 2y − z + 3 = 0 (
Q) : x + 6y + 2z − 6 = 0    (
 P) : 2x + y − z + 3 = 0 (
 P) : x + z −1 = 0 (
 P) : 2x + y + z −1 = 0 d)     e)  f)  (
Q) : x + y + z − 1 = 0  (
Q) : y − 2 = 0 (
Q) : x + z − 1 = 0   
HT 54. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x  = 1 + 2t x  = 1 −t     x = 1 + t x  = 1 + 3t       a) (
A 1; 0; 5), d : y  3
2t , d : y  = −  = 2 + t b) (
A 2; 1;1), d : y  2 t , d : y  − = − +  = 2 − + t 1 2   1 2   z  1 t z  = +  = 1 − 3t    z  = 3 z  = 3 + t     x  = 1 −t x  = 1     x = −7 + 3t x  = 1 + t       c) (
A 1; 2; 3), d : y  2
2t , d : y  − = − −  = 2 − + t d) (
A 4;1; 4), d : y  4 2t , d : y  = −  = 9 − + 2t 1 2   1 2   z  3 3t z  = −  = 3 + t    z  = 4 + 3t z  = 1 − 2 − t    
HT 55. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆ cho trước: x  = t   x  = 3 − + 2t   a) ( A 1;2; 2), : y  − ∆  = 1 −t b) ( A 4; 2; 4), d : y  − −  = 1 − t   z  = 2t   z  = −1 + 4t   x  = 1 + 3t   x  = t   c) ( A 2; 1; 3), : y  − − ∆  = 1 + t d) ( A 3;1; 4), : y  − ∆  = 1 − t   z  = 2 − + 2t   z  = 2 − t  
HT 56. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x  = 1 + 2t x  = 1 −t     x = 1 + t x  = 1 + 3t       a) (
A 1; 0; 5), d : y  3
2t , d : y  = −  = 2 + t b) (
A 2; 1;1), d : y  2 t , d : y  − = − +  = 2 − + t 1 2   1 2   z  1 t z  = +  = 1 − 3t    z  = 3 z  = 3 + t     x  = 1 − + 3t x  = 2 + 2t     x = 1 + 3t x  = t −       c) ( A 4; 5; 3),d : y  3 2t ,d : y  − − = − −  = 1 − + 3t d) (
A 2;1; 1), d : y  2
4t , d : y  − = − +  = t 1 2   1 2   z  2 t z  = −  = 1 − 5t    z  = 3 − + 5t z  = 2t    
HT 57. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 (
 P) : y + 2z = 0   (
P) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0      x  = 2 −t  x  = 1 + 2t x  = 1−t a)       x − 1 y z  b)    d : , d : y   = =  = 4 + 2t    d  : y
 = 3 − 2t , d : y  = 2 + t 1 2  1 − 1 4   1 2         z  = 1  z  = 1 + t z  = 1 − 3t          (
 P) : 2x − 3y + 3z − 4 = 0   (
P) : 3x + 3y − 4z + 7 = 0      x  = 7 − + 3t x  = 1 + t  x  = 1−t x  = 1 c)          d)    d : y  4 2t , d : y   = −  = 9 − + 2t    d  : y
 = −2 − 2t , d : y  = 2 − + t 1 2     1 2         z  = 4 + 3t z  = 1 − 2 − tz  = 3 − 3t z  = 3 + t          
HT 58. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x y − 1 z − 1    x y − 1 z − 5 ∆  : = = ∆  : = =  2 −1 2  3 −1 1    x + 1 y z − 1  x − 1 y + 2 z − 2 a) d  : = = b) d  : = = 1  1  1 2 −1  1 4 3  x − 2 y + 1 z + 3  x + 4 y + 7 z d  : = =  d  : = = 2    3 2 1 2  5 9 1  x − 1 y + 2 z − 2    x + 1 y + 3 z − 2 ∆  : = = ∆  : = =  1 4 3  3 2 − 1 −  x − 1 y + 2 z − 2  x − 2 y + 2 z − 1 c) d  : = = d) d  : = = 1  1 4 3 1    3 4 1    x + 4 y + 7 zx − 7 y − 3 z − 9 d  : = =   d : = = 2   5 9 1 2     1 2 1 −
HT 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cho trước: x  = 3 − 2t x  = 2 + 3t     x = 1 + 2t x  = −2 + 3t       a) d : y  1 4t ,d : y  = +  = 4 − t b) d : y  3 t ,d : y  = − +  = 1 + 2t 1 2   1 2   z  2 4t z  = − +  = 1 − 2t    z  = 2 + 3t z  = 4 − + 4t     x  = 2 + 2t x  = 1 + t     x = 2 + 3t x  = 1 − + 2t       c) d : y  1 t ,d : y  = +  = 3 + t d) d : y  3 t ,d : y  = − −  = 1 − 2t 1 2   1 2   z  3 t z  = −  = 1 + 2t    z  = 1 + 2t z  = 2 + t    
HT 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P) cho trước:  x + 2 y − 3 z − 1    x − 3 y − 2 z + 2 ∆  : = = ∆  : = = a)   2 −1 3 b)   −1 2 3  (
P) : 2x − y + 2z + 3 = 0  (
P) : 3x + 4y − 2z + 3 = 0    x + 1 y − 1 z − 3    x y z − 1 ∆  : = = ∆  : = = c)   1 2 −2 d)   −2 1 1  (
P) : 2x − 2y + z − 3 = 0  (
P) : x + y − z + 1 = 0  
HT 61. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước: x  = −1  x − 1 y − 2 z  a) ( A 0;1;1), d : , d : y  = =  = t 1 2 3 1 1 z = 1+t 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 2  x − 1 y + 1 z  b) ( A 1;1;1), d : , d : y  = =  = 1 + 2t 1 2 2 −1 1 z  = −1−t  x + 1 y − 4 z x − 1 y + 1 z − 3 c) (
A −1; 2;−3), d : = = , d : = = 1 2 6 −2 −3 3 2 −5
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
• Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
• Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 62. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x − 1 y + 2 z − 4 a) d : = = ;
d : x = −1 + t;y = t
− ;z = −2 + 3t 1 2 { −2 1 3
b) d : x = 5 + 2t;y = 1 − t;z = 5 − t ;
d : x = 3 + 2t ';y = −3 − t ';z = 1 − t ' 1 { 2 {
c) d : {x = 2 + 2t; y = −1 + t; z = 1;
d : {x = 1; y = 1 + t; z = 3 − t 1 2 x − 1 y − 2 z − 3 x − 7 y − 6 z − 5 d) d : = = ; d : = = 1 2 9 6 3 6 4 2
HT 63. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng:
a) d : x = 1 − 2t;y = 3 + t;z = −2 − 3t ; d : x = 2t ';y = 1 + t ';z = 3 − 2t ' 1 { 2 {
b) d : x = 1 + 2t;y = 2 − 2t;z = t
− ; d : x = 2t ';y = 5 − 3t ';z = 4 1 { 2 {
c) d : x = 3 − 2t;y = 1 + 4t;z = 4t − 2; d : x = 2 + 3t ';y = 4 − t ';z = 1 − 2t ' 1 { 2 {
HT 64. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2:
a) d : x = 3t;y = 1 − 2t;z = 3 + t ; d : x = 1 + t ';y = 2t ';z = 4 + t ' 1 { 2 { x
 + y + z + 3 = 0 b) d :  ;
d : x = 1 + t;y = −2 + t;z = 3 − t 1 2 { 2
x − y + 1 = 0 
HT 65. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng:
a) d : x = 1 + mt;y = t;z = −1 + 2t ;
d : x = 1 − t ';y = 2 + 2t ';z = 3 − t ' 1 { 2 {
b) d : {x = 1−t;y = 3 + 2t;z = m + t ;
d : {x = 2 + t ';y = 1 + t ';z = 2 − 3t ' 1 2 2
 x + y − z − 4 = 0 x
 + 2y + mz − 3 = 0 c) d :  ; d :  1 2  x  + y − 3 = 0 2
x + y + z − 6 = 0    
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
• Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 66. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a) d : {x = 2t;y = 1−t;z = 3 + t ;
(P) : x + y + z − 10 = 0
b) d : {x = 3t − 2;y = 1− 4t;z = 4t − 5;
(P) : 4x − 3y − 6z − 5 = 0 x − 12 y − 9 z − 1 c) d : = = ;
(P) : 3x + 5y − z − 2 = 0 4 3 1 x + 11 y − 3 z d) d : = =
; (P) : 3x − 3y + 2z − 5 = 0 2 4 3 x − 13 y − 1 z − 4 e) d : = = ;
(P) : x + 2y − 4z + 1 = 0 8 2 3 3
 x + 5y + 7z + 16 = 0 f) d :  ;
(P) : 5x − z − 4 = 0 2
x − y + z − 6 = 0  2
 x + 3y + 6z −10 = 0 g) d :  ;
(P) : y + 4z + 17 = 0 x
 + y + z + 5 = 0 
HT 67. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). iv) d ⊂ (P). x − 1 y + 2 z + 3 a) d : = = ;
(P) : x + 3y − 2z − 5 = 0 m 2m − 1 2 x + 1 y − 3 z − 1 b) d : = = ;
(P) : x + 3y + 2z − 5 = 0 2 m m − 2
HT 68. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
a) d : {x = m + t;y = 2 −t;z = 3t cắt (P) : 2x −y + z − 5 = 0 tại điểm có tung độ bằng 3. x  − 2y − 3 = 0 b) d : 
cắt (P) : 2x + y + 2z − 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng –1. y  + 2z + 5 = 0  x  + 2y − 3 = 0 c) d : 
cắt (P) : x + y + z + m = 0 3
x − 2z − 7 = 0 
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
• Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a .   M M  ,a  0  d(M,d) = a
• Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d. – d(M,d) = MH.
• Cách 3: – Gọi N(x; y; z) ∈ d. Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
– Tìm t để MN2 nhỏ nhất.
– Khi đó N ≡ H. Do đó d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a , d a 1
2 đi qua điểm M2 và có VTCP 2 a  ,a  .M M   1 2  1 2
d(d ,d ) = 1 2 a  ,a   1 2 
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (α). BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: x  = 1 − 4t   x  = 2 + 2t   a) (
A 2; 3;1), d : y  = 2 + 2t b) (
A 1;2; 6), d : y  −  = 1 − t   z  = 4t −1   z  = t − 3   x − 2 y − 1 z x + 2 y − 1 z + 1 c) ( A 1; 0; 0), d : = = d) ( A 2; 3;1), d : = = 1 2 1 1 2 −2
HT 70. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a) d : x = 1 − 2t;y = 3 + t;z = −2 − 3t ;
d : x = 2t ';y = 1 + t ';z = 3 − 2t ' 1 { 2 {
b) d : x = 1 + 2t;y = 2 − 2t;z = t − ;
d : x = 2t ';y = 5 − 3t ';z = 4 1 { 2 {
c) d : x = 3 − 2t;y = 1 + 4t;z = 4t − 2;
d : x = 2 + 3t ';y = 4 − t ';z = 1 − 2t ' 1 { 2 {
HT 71. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a) d : {x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t ;
d : {x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 + 2t 1 2 x − 1 y + 2 z − 3 x + 2 y − 3 z + 1 b) d : = = ; d : = = 1 2 2 −6 8 −3 9 −12
HT 72. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng:
a) d : {x = 3t − 2;y = 1− 4t;z = 4t − 5;
(P) : 4x − 3y − 6z − 5 = 0
b) d : {x = 1− 2t;y = t;z = 2 + 2t ;
(P) : x + z + 8 = 0 x
 − y + 2z + 1 = 0 c) d :  ;
(P) : 2x − 2y + 4z + 5 = 0 2
x + y − z − 3 = 0 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a ,a . 1 2
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a ,a . 1 2 a .a cos(a ,a ) 1 2 = 1 2 a . a 1 2
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a ;a ;a ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = ( ;
A B;C ) . 1 2 3
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α).
Aa + Ba +Ca sin (d,(α ) 1 2 3 ) = 2 2 2 2 2 2
A + B +C . a + a + a 1 2 3 BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 73. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) d : {x = 1 + 2t, y = –1 + t, z = 3 + 4t ;
d : { x = 2 – t, y = –1 + 3t, z = 4 + 2t 1 2 x − 1 y + 2 z − 4 x + 2 y − 3 z + 4 b) d : = = ; d : = = 1 2 2 −1 2 3 6 −2 2
 x − 3y − 3z − 9 = 0 c) d :  ;
d : {x = 9t; y = 5t; z = –3 + t 1 2 x
 − 2y + z + 3 = 0 
HT 74. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 7
 x − 2z −15 = 0 x
 − y − z − 7 = 0 a) d :  ; d :  1 2  7
y + 5z + 34 = 0 3
x − 4y − 11 = 0    
HT 75. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng α: a) d : {x = 1
− + t;y = t
− 2;z = 2 + t ; d : { 0
x = 2 + t;y = 1 + t 2;z = 2 + mt ; α = 60 . 1 2
HT 76. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):: x − 1 y − 1 z + 3 a) d : = = ;
(P) : 2x – y – 2z – 10 = 0 . 1 −2 3 b) d { 4 4
: x = 1;y = 2 + t 5;z = 3 + t ;
(P) : x 5 + z + 4 = 0 x
 + 4y − 2z + 7 = 0 c) d :  ;
(P) : 3x + y – z + 1 = 0 3
x + 7y − 2z = 0 
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
1. Viết phương trình mặt phẳng
• Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
– Một VTPT của (P) là:   n = A , B AC   .
• Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2:
– Xác định VTCP a của d1 (hoặc d2).
– Trên d1 lấy điểm A, trên d2 lấy điểm B. Suy ra A, B ∈ (P).
– Một VTPT của (P) là:   n = a  , AB   .
• Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:
– Lấy điểm A ∈ d1 (hoặc A ∈ d2) ⇒ A ∈ (P).
– Xác định VTCP a của d1, b của d2.
– Một VTPT của (P) là: n a  ,b  =   .
• Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
– Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (P) là: n a  ,b  =   .
– Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (P).
• Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (P) là: n a  ,b  =   .
2. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d
• Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.
– Khi đó: H = d ∩ (P) H  ∈ d
• Cách 2: Điểm H được xác định bởi:  MH ⊥ ad 
3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d
• Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′.
• Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′. M  M ' ⊥ a
– Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi: d. H  ∈ d 
4. Xc định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P)
• Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).
– Khi đó: H = d ∩ (P)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 H  ∈ (P) 
• Cách 2: Điểm H được xác định bởi:  M
H, n cuøng phöôngP 
5. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P)
• Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P).
– Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′.
• Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′. H  ∈ (P) 
– Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi:  . M
H, n cuøng phöôngP  BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 77. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: x  = 4 + 2t   x  = 2 −t   a) ( A 2; 3;1), d : y  −  = 2 − 3t b) ( A 1; 4; 3), d : y  −  = 1 − + 2t   z  = 3 +t   z  = 1 − 3t   x − 1 y + 2 z − 5 x + 3 y + 2 z − 1 c) ( A 4;−2; 3), d : = = d) ( A 2;−1; 5), d : = = 3 4 2 2 1 3
HT 78. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d1, d2: x + 2 y − 1 z + 3
a) d : x = 2 + 3t;y = 4 + 2t;z = t − 1; d : = = 1 { 2 3 2 1 x − 1 y + 3 z − 2 x + 2 y − 1 z − 4 b) d : = = , d : = = 1 2 2 3 4 2 3 4
HT 79. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:
a) d : x = 3t;y = 1 − 2t;z = 3 + t ;
d : x = 1 + t ';y = 2t ';z = 4 + t ' 1 { 2 { x
 + y + z + 3 = 0 b) d :  ;
d : x = 1 + t;y = 2
− + t;z = 3 − t 1 2 { 2
x − y + 1 = 0  x
 − 2y − z − 4 = 0 x  − z − 2 = 0 c) d :  ; d :  1 2  2
x + y + z + 6 = 0 y  + 2z + 7 = 0     2
 x + y + 1 = 0 3
 x + y − z + 3 = 0 d) d :  ; d :  1 2  x
 − y + z − 1 = 0 2
x − y + 1 = 0    
HT 80. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2:
a) d : x = 1 − 2t;y = 3 + t;z = 2
− − 3t ; d : x = 2t ';y = 1 + t ';z = 3 − 2t ' 1 { 2 {
b) d : x = 1 + 2t;y = 2 − 2t;z = t
− ; d : x = 2t ';y = 5 − 3t ';z = 4 1 { 2 {
c) d : x = 3 − 2t;y = 1 + 4t;z = 4t − 2; d : x = 2 + 3t ';y = 4 − t ';z = 1 − 2t ' 1 { 2 { x − 2 y + 1 z x y − 1 z + 1 d) d : = = ; d : = = 1 2 3 −2 2 1 2 4
HT 81. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 2 + 2t   x  = 1 − 4t   a) M(1;2; 6), d : y  −  = 1 − t b) M(2; 3;1), d : y  = 2 + 2t   z  = t − 3   z  = 4t − 1   x  = 2t   x  = 2 − t   c) M(2;1; 3), d : y  −  = 1 − t d) M(1;2; 1), d : y  −  = 1 + 2t   z  = 1 − + 2t   z  = 3t  
HT 82. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (P):
a) (P) : 2x − y + 2z − 6 = 0, M(2; 3 − ;5)
b) (P) : x + y + 5z −14 = 0, M(1; 4 − ; 2 − )
c) (P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, M(3;1; 2 − )
d) (P) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, M(2;−3; 4)
e) (P) : x − y + z − 4 = 0, M(2;1; 1 − )
f) (P) : 3x − y + z − 2 = 0, M(1;2; 4)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
ÔN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Cơ bản
HT 83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P):
x – 3y + 2z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Đ/s:
(Q) : 2y + 3z − 11 = 0 .
HT 84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm (
A 2;1; 3), B(1; 2 − ;1) x  = 1 − + t 
và song song với đường thẳng d : y  = 2t . z = 3 − − 2t 
Đ/s:(P): 10x − 4y + z −19 = 0 .
HT 85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng (d ) và (d )có phương trình: 1 2 x − 1 y + 1 z − 2 x − 4 y − 1 z − 3 (d ); = = , (d ) : = =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) và (d ) . 1 2 3 1 2 6 9 3 1 2
Đ/s: (P): x + y – 5z +10 = 0
HT 86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x + y + z − 2x + 6y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v = (1;6;2) ,
vuông góc với mặt phẳng ( )
α : x + 4y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
Đ/s: (P): 2x − y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x − y + 2z − 21 = 0 . HT 87. x y + 1 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đie{m M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d ) : = = và 1 1 −2 −3 x y − 1 z − 4 (d ) : = =
. Chứng minh rằng đie{m M, d , d cùng na~m trên mộ t mặ
t pha‚ng. Vieƒt phương trı̀nh mặ t 2 1 2 5 1 2
pha‚ng đó. Đ/s: x + 2y − z + 2 = 0 .
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng liên quan tới mặt cầu HT 88. x − 3 y − 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: = = và mặt cầu (S): 2 2 1 2 2 2
x + y + z − 2x − 2y − 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). Đ/s: (P): y − z 2 + 3 + 2 5 = 0 hoặc
(P): y − 2z + 3 − 2 5 = 0 .
HT 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z + 2x − 4y − 4 = 0 và mặt phẳng (P):
x + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1
− ) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Đ/s: (Q): 2x + y − 2z − 9 = 0 Hoặc (Q): 4x − 7y − 4z − 9 = 0
Câu hỏi tương tự: Với 2 2 2
(S ) : x + y + z − 2x + 4y − 4z + 5 = 0 , (P) : 2x + y − 6z + 5 = 0, M(1;1;2) .
ĐS: (Q) : 2x + 2y + z − 6 = 0 hoặc (Q) : 11x −10y + 2z − 5 = 0 .
HT 90. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 . Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3 .
Đ/s: (P): y – 2z = 0.
HT 91. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z + 2x − 2y + 2z – 1 = 0 và đường thẳng
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  − y − 2 = 0 d :  
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính 2
x − z − 6 = 0  r = 1 .
Đ/s: (P): x + y − z − 4 = 0 hoặc (P): 7x −17y + 5z − 4 = 0 HT 92. x y − 1 z x − 1 y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆ : = = , ∆ : = = và 1 2 −1 1 2 −1 1 −1 mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó
song song với hai đường thẳng ∆ và ∆ . 1 2
Đ/s: (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 − 3 2 = 0
HT 93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2
x + y + z − 2x + 4y − 6z − 11 = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình
mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6π .
Đ/s: 2x + 2y – z – 7 = 0 .
Câu hỏi tương tự: a) 2 2 2
(S) : x + y + z + 2x + 4y − 6z −11 = 0 , (α): 2x +y −2z +19 = 0 , p = 8π .
ĐS: (β) : 2x + y − 2z + 1 = 0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
HT 94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q):
x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .
Đ/s: (P): x − z = 0 hoặc (P): 5x − 8y + z 3 = 0 . HT 95. x − 1 y − 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = =
và điểm M(0; –2; 0). Viết 1 1 4
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường
thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Đ/s: (P): 4x − 8y + z −16 = 0 hoặc (P): 2x + 2y − z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x y z − 1 a) Với ∆ : = =
;M(0; 3;−2),d = 3 . 1 1 4
ĐS: (P) : 2x + 2y − z − 8 = 0 hoặc (P) : 4x − 8y + z + 26 = 0 . x  = t 
HT 96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : y   = 1 − + 2t và điểm ( A 1 − ;2; 3) . Viết phương z = 1 
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
Đ/s: (P): 2x − y − 2z + 1 = 0 .
HT 97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M( 1 − ;1; 0), N(0; 0; 2
− ), I(1;1;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .
Đ/s: (P): x − y + z + 2 = 0 hoặc (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 .
HT 98. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với ( A 1; 1
− ;2) , B(1; 3; 0) , C(−3; 4;1) D(1;2;1) . Vieƒt phương trı̀nh mặ
t pha‚ng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đeƒn (P) ba~ng khoảng cách từ D đeƒn (P).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Đ/s: (P): x + 2y + 4z − 7 = 0 hoặc (P): x + y + 2z − 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: a) Với ( A 1;2;1),B( 2 − ;1; 3),C(2; 1
− ;1), D(0; 3;1) .
ĐS: (P) : 4x + 2y + 7z −15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z − 5 = 0 .
HT 99. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm (
A 1;2; 3) , B(0;−1;2) , C(1;1;1) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) .
Đ/s: (P) : 3x − z = 0 hoặc (P) : 2x − y = 0
Câu hỏi tương tự: a) Với ( A 1;2; 0), (
B 0; 4; 0),C(0; 0; 3) . ĐS: 6
− x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x − 3y + 4z = 0 .
HT 100. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (
A 1;1;−1) , B(1;1;2) , C( 1 − ;2; 2 − ) và mặt phẳng (P):
x −2y + 2z +1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( )
α đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng
BC tại I sao cho IB = 2IC . Đ/s: ( )
α : 2x − y − 2z − 3 = 0 hoặc ( )
α : 2x + 3y + 2z − 3 = 0
HT 101. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường tha‚ng d ,d la‡n lượt có phương trı̀nh 1 2 x − 2 y − 2 z − 3 x − 1 y − 2 z − 1 d : = = , d : = =
. Vieƒt phương trı̀nh mặ
t pha‚ng cách đe‡u hai đường tha‚ng 1 2 1 3 2 2 −1 4 d ,d . 1 2
Đ/s: (P): 14x − 4y − 8z + 3 = 0 x  = 1 +t 
HT 102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường tha‚ng d ,d la‡n lượt có phương trı̀nh d : y   = 2 − t , 1 2 1 z = 1  x − 2 y − 1 z + 1 d : = =
. Vieƒt phương trı̀nh mặ
t pha‚ng (P) song song với d và d , sao cho khoảng cách từ d 2 1 −2 2 1 2 1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P). 2 17
Đ/s:(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc (P) : 2x + 2y + z − = 0 3
HT 103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vieƒt phương trı̀nh mặt pha‚ng (P) đi qua hai đie{m ( A 0;−1;2) ,
B(1; 0; 3) và tieƒp xúc với mặ t ca‡u (S): 2 2 2
(x − 1) + (y − 2) + (z + 1) = 2 .
Đ/s: (P): x − y −1 = 0 hoặc (P): 8x − 3y − 5z + 7 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc HT 104. x − 1 y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆): = = và tạo 1 −1 −2
với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z + 1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz.
Đ/s: M(0;0;2 − 2) hay M(0;0;2 + 2)
HT 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt
phẳng (α) : 2x – y – 1 = 0 , (β) : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q) : x – 2y + 2z – 1 = 0 một góc ϕ mà 2 2 cos ϕ = 9
Đ/s: (P) : 4
− x + y + z – 1 = 0 hoặc (P) : 2
− 3x + 5y + 13z – 5 = 0 .
HT 106. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( A 1 − ;2; 3 − ), B(2; 1 − ; 6 − ) và mặt phẳng
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
(P) : x + 2y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc α thoả mãn 3 cos α = . 6
Đ/s: mp(Q): 4x − y + 3z + 15 = 0 hoặc (Q): x − y − 3 = 0 .
Câu hỏi tương tự: 1 a) (
A 0; 0;1), B(1;1; 0) , (P) ≡ (Oxy), cos α = . 6
ĐS: (Q): 2x − y + z − 1 = 0 hoặc (Q): x − 2y − z + 1 = 0 . x
 + y + z − 3 = 0
HT 107. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 
. Viết phương trình mặt 2
x + y + z − 4 = 0 
phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0 α = 60 .
• ĐS: (P) : 2x + y + z − 2 − 2 = 0 hoặc (P) : 2x − y − z − 2 + 2 = 0
HT 108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : 5x − 2y + 5z −1 = 0 và
(Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với
mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 0 α = 45 . Đ/s: ( )
R : x − z = 0 hoặc ( )
R : x + 20y + 7z = 0
Câu hỏi tương tự: a) Với 0
(P) : x − y − 2z = 0,(Q) ≡ (Oyz), M(2;−3;1),α = 45 . ĐS: ( )
R : x + y + 1 = 0 hoặc ( )
R : 5x − 3y + 4z − 23 = 0 HT 109. x − 1 y + 1 z − 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình: ∆ : = = 1 1 −1 3 x y z và ∆ : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và tạo với ∆ một góc 0 α = 30 . 2 1 −2 1 1 2
Đ/s: (P): 5x + 11y + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2x − y − z − 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x y − 2 z x − 2 y − 3 z + 5 a) Với ∆ : = = , ∆ : = = , 0 α = 30 1 1 −1 1 2 2 1 −1
ĐS: (P): x − 2y − 2z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z − 4 = 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
HT 110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các
trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
Đ/s: (P): 4x + 5y + 6z − 77 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1).
ĐS: (P): x − y − z + 3 = 0
HT 111. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục bc
Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: b + c =
. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam 2 giác ABC nhỏ nhất.
Đ/s: minS = 96 khi b = c = 4 .
HT 112. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm (
A 2;2; 4) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình
mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6.
Đ/s: (Q) : x + y + z − 2 = 0 .
HT 113. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm (
A 3; 0; 0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B 9
và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng . 2
ĐS: (P) : x + 2y − 2z − 3 = 0 .
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương HT 114. x + 1 y − 1 z − 2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng P : 2 1 3
x − y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( A 1;1; 2
− ) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc
với đường thẳng d . x − 1 y − 1 z + 2 Đ/s: ∆ : = = 2 5 −3
HT 115. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = t
− ; y = −1 + 2t ;
z = 2 + t ( t ∈ R ) và mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 3 = 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trên
(P), cắt và vuông góc với (d). x  = 1 + t 
Đ/s: ∆: y  = −3 z  = 1 +t  HT 116. x − 1 y + 1 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆: = = . Lập 2 1 −1
phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với ∆. Đ/s: x − 2 y − 1 z d: d : = = . 1 −4 2
HT 117. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1),
B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).
• Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P) ∩ (Q) suy ra phương trình (D).
HT 118. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x  − 2z = 0 d :  
trên mặt phẳng P : x − 2y + z + 5 = 0 . 3
x − 2y + z − 3 = 0  x  = 4 + 16t  11 Đ/s:∆: y  = + 13t .  2 z  = 2 +10t 
Câu hỏi tương tự: x  = 1 + 23mx + 1 y − 1 z − 2  a) Với d : = =
, (P) : x − 3y + 2z − 5 = 0 . ĐS: : y  ∆  = 2 + 29m 2 1 3
 z = 5 + 32m 
HT 119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
(P) : 6x + 2y + 3z − 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  1 x  = + 6t  2   3 Đ/s: d: y  = + 2t .  2 z  = 1 + 3t 
HT 120. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm (
A 1;2;−1),B(2;1;1);C (0;1;2) và đường thẳng x − 1 y + 1 z + 2 d : = =
. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt 2 −1 2
phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. x − y − z − Đ/s: 2 1 1 ∆ : = = 12 2 −11
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
HT 121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình x − 1 y + 1 z d : = =
. Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d 2 1 −1
và tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua d. x − 2 y − 1 z 8 5 4 Đ/s:∆: = = . M  ′  ;− ;  −    . 1 −4 −2 3 3 3
Câu hỏi tương tự: x + 3 y − 1 z + 1 x + 1 y z − 3
a) M (−4;−2; 4);d : = = . ĐS: ∆ : = = 2 −1 4 3 2 −1 HT 122. x + 1 y − 2 z − 2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
và mặt phẳng (P): x + 3y + 3 −2 2
2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d). x − 2 y − 2 z − 4 Đ/s:∆: = = 9 −7 6
Câu hỏi tương tự: x y − 1 z − 2 x − 1 y − 3 z − 3 a) d : = =
, (P) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2; 4) . ĐS: ∆ : = = 1 2 1 1 −1 1 x − 2 y z + 2 x − 1 y − 2 z + 1 b) d : = =
, (P) : 2x + y − z + 1 = 0 , M(1;2; –1) . ĐS: ∆ : = = 1 3 2 2 −9 −5 x − 2 y + 4 z − 1 x − 3 y + 2 z + 4 c) = =
, (P) : 3x − 2y − 3z − 2 = 0 , M(3;−2;−4) . ĐS: ∆ : = = 3 −2 2 5 −6 9
HT 123. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )
α : 3x − 2y + z − 29 = 0 và hai điểm ( A 4; 4; 6)
,B(2; 9; 3) . Gọi E,F là hình chiếu của A và B trên (α) . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng ∆
nằm trong mặt phẳng (α) đồng thời ∆ đi qua giao điểm của AB với (α) và ∆ vuông góc với AB. x  = 6 + t  Đ/s: 171 EF = : y  ∆  = −1 + 7t 14
z = 9 +11t 
HT 124. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: x − 1 y z − 1
(P) : x − 2y + z = 0, (Q) : x − 3y + 3z + 1 = 0, (d) : = =
. Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong 2 1 1
(P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + y + z + Đ/s: 3 2 1 ( ) ∆ : = = . 3 2 1
HT 125. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm (
A 1;2;−1),B(2;1;1),C (0;1;2) và đường thẳng x − 1 y + 1 z + 2 (d) : = =
. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt 2 −1 2
phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). x − y − z − Đ/s: 2 1 1 ∆ : = = . 12 2 −11 HT 126. x y − 2 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (
A 3;−1;1) , đường thẳng ∆ : = = , mặt phẳng 1 2 2
(P) : x – y + z −5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 0 45 . x  = 3 + t   x  = 3 + 7t   Đ/s: d: y
 = −1 – t Hoặc d : y  = −1 – 8t .   z  = 1   z  = 1 – 15t   HT 127. x − 3 y + 2 z + 1
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng (P): 2 1 −1
x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P),
vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42 . x − y + z + x + 3 y + 4 z − 5 Đ/s: 5 2 5 ∆ : = = hoặc ∆ : = = . 2 −3 1 2 −3 1
HT 128. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ): x + y − z −1 = 0 , hai đường thẳng (∆): x − 1 y z x y z + 1 = = , (∆′): = =
. Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( α ) và cắt (∆′); −1 −1 1 1 1 3 6
(d) và (∆) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng . 2 x  = 0   x  = t  
Đ/s:d : y  = t hoặc d : y  = t − .   z  = −1 + t   z  = −1  
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
HT 129. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: x  = 3 + 7tx − 7 y − 3 z − 9  ∆ : = = và ∆ : y   = 1 − 2t . 1 1 2 1 −
2 z = 1−3t  Đ/s:
HT 130. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (−4;−5; ) 3 và cắt cả 2
 x + 3y + 11 = 0 x − 2 y + 1 z − 1
hai đường thẳng: d :  và d : = = . 1 y  − 2z + 7 = 0 2  2 3 −5 x  = −4 + 3t 
Đ/s: d : y  = −5 + 2t
z = 3−t 
Câu hỏi tương tự:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = tx y − 2 z a) M(1;5;0), d : = = , d : y   = 4 − t . ĐS: 1 1 3 − −3 2
z = −1+2t  x  = 3 + 2tx − 2 y + 1 z + 3 x − 3 y − 7 z − 1  b) M(3; 10; 1) , d : = = , d : = = ĐS: d : y   = 10 − 10t 1 3 1 2 2 1 −2 −1
z = 1−2t 
HT 131. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ , ∆ và mặt phẳng ( α ) có phương trình là 1 2 x  = 2 + t  x − 1 y + 1 z + 2 : y  ∆  = 5 + 3t , ∆ : = = , ( )
α : x − y + z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 2  1 1 2 z  = t 
giao điểm của ∆ với ( α ) đồng thời cắt ∆ và vuông góc với trục Oy. 1 2 x  = 1 + 3u  Đ/s: y   = 2 .
z = −1+ 5u   x = 1 + t 
HT 132. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y
 = 1 + 2t , đường thẳng d là giao tuyến của 1  2 z  = 1 + 2t 
hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 . Gọ
i I là giao đie{m của d ,d . Viết phương trình 1 2
đường thẳng d qua điểm A(2; 3; 1), đo‡ng thời caŒt hai đường thẳng d ,d la‡n lượt tại B và C sao cho tam giác 3 1 2 BIC cân đỉnh I.
Đ/s:d : x = 2;y = 3;z = 1 + 2t 3 { HT 133. x
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = 0 và hai đường thẳng d1: = −1 y − 3 z + 1 x − 4 y z − 3 = , = =
. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm 2 3 1 1 2
trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2. x + 2 y − 7 z − 5 Đ/s:∆: = = . 5 −8 −4
HT 134. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): x + 5 y − 3 z + 1 x − 3 y + 1 z − 2 3x + 12y − z
3 − 5 = 0 và (Q): 3x − 4y + z 9 + 7 = 0 , (d1): = = , (d2): = = . 2 −4 3 −2 3 4
Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2). 2
 5x + 32y + 26z + 55 = 0
Đ/s: (∆) :  4
y − 3z + 10 = 0 
HT 135. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và hai đường thẳng (d1), (d2) x − 4 y − 1 z x + 3 y + 5 z − 7
lần lượt có phương trình = = và = =
. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) 2 2 −1 2 3 −2
song song với mặt phẳng (P), cắt (d ) và (d ) tại A và B sao cho AB = 3. 1 2 x − 2 y + 1 z − 1 Đ/s: ∆ : = = . −1 2 2
HT 136. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 và hai đường thẳng x − 1 y + 2 z − 3 x + 1 y − 1 z − 2 d : = = , d : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P), vuông 1 2 1 3 2 2 3 2
góc với d và cắt d tại điểm E có hoành độ bằng 3. 1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 3 + t  Đ/s:∆: y
 = −1 +t; . z  = 6 −t  HT 137. x + 8 y − 6 z − 10
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) : = = và 1 2 1 −1 x  = t  (d ) : y  = 2 −t
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d 2
1) tại A, cắt (d2) tại B. Tính
z = −4 +2t  AB. x  = −52 + t  Đ/s d: y  = −16 . z = 32  x  = −23 + 8t  HT 138. x − 3 y + 2 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): y
 = −10 + 4t và (d2): = = .  2 −2 1 z  = t 
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2).  1 x  = −  3  4 Đ/s AB: y  =  3  17 z  = + t  6
HT 139. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d): 6
 x − 3y + 2z = 0  
. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. 6
x + 3y + 2z − 24 = 0  6
 x + 3y + 2z −12 = 0
Đ/s ∆:  3
x − 3y + z = 0 
HT 140. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh
các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các
đường thẳng AB, CD. x  = −1− 2t 
HT 141. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: d : y   = t và 1 z = 1+t  x y z d : = =
. Xét vị trí tương đối của d 2
1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, 1 1 2
cắt d1 và vuông góc với d2. x  = t 
Đ/s d : y   = t − z = 0 
Câu hỏi tương tự: x  = −2 + 2tx + 2 y z − 1  x − 1 y − 1 z − 1
a) Với M(1;1;1) , (d ) : = =
, (d ) : y  = −5t . ĐS: d : = = 1 3 1 −2 2  3 1 −1 z  = 2 +t 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = t 
HT 142. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: (d  1) : y  = 4 + t và (d  2) z  = 6 + 2t  x  = t '  : y
 = 3t ' −6 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d 
2). Tìm phương trình tham số của đường z  = t '− 1 
thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).  18 x  = + 44λ  11  12 Đ/s (d ): y  = − − 30λ  11  7 z  = − 7λ  11 
HT 143. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với: (d1): x − 1 y + 2 z = =
; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x + 1 = 0 và (Q): x + y − z + 2 = 0 . Viết phương 3 2 1
trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2). x y − 1 z − 1 Đ/s AM: = = . −3 2 5
HT 144. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z = 0 và 2 đường thẳng x − 1 y − 1 z − 1 x − y − z (d) : = = , (d ) 1 2 ' : = =
. Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ nằm trong mặt phẳng 1 3 2 −2 1 1
(P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). x − 1 y − 2 z Đ/s ∆ : = = 8 − −2 7
HT 145. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z −1 = 0 và hai đường thẳng (d1): x − 1 y + 2 z − 3 x + 1 y − 1 z − 2 = = , (d2): = =
. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng 2 1 3 2 3 2
(P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3. x  = 3 + t 
Đ/s (∆): y  = 7 +t .
z = 6 −t 
HT 146. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
3x − 8y + 7z + 1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB
tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). x − 2 y z − 1 Đ/s: d: = = 2 −1 −2 HT 147. x + 1 y − 1 z − 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: = = ; d2: 2 −1 1 x − 1 y − 2 z + 1 = =
và mặt phẳng (P): x − y − 2z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt 1 1 2
phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . x − 1 y z − 2
Đ/s: ∆: = = . 1 3 −1
HT 148. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x  = 1 − + tx − 1 y + 1 z
x + y + z − 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d ) : = = và (d ) : y  = −1
, với t ∈ R . 1 2 −1 1 2 z = t − 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 3 2 Đ/s: d: x − = y + = z + 5 5 5
Câu hỏi tương tự: x − 1 y + 1 z x − 2 y z − 1
a) Với (P): 2x + y + z
5 + 3 = 0 , (d ) : = = , (d ) : = = 1 2 1 2 2 1 1 −2 x + 1 y + 2 z + 2 ĐS: d : = = 2 1 5 x + 1 y − 1 z − 2 x − 2 y + 2 z
b) Với (P) : 2x – y – 5z + 1 = 0 , d : = = , d : = = 1 2 3 1 2 1 5 −2 x − 1 y − 4 z − 3 ĐS: = = 2 −1 −5
HT 149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0 , (Q): x – y + 2z + 3 = 0 , x − 2 y + 1 z
(R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng ∆ : = =
. Gọi ∆ là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương 1 −2 1 3 2
trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆ , ∆ . 1 2 1 1 23 x − y − z − Đ/s: d: 12 12 8 = = . 1 2 −3 x  = t 
HT 150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình d : y   = 4 − t ,
1 z = −1+2t  x y − 2 z x + 1 y − 1 z + 1 d : = = , d : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng 2 1 −3 −3 3 5 2 1
d , d , d lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC . 1 2 3 x y − 2 z Đ/s: ∆ : = = 1 1 1
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách x  = 2 + 4t 
HT 151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): y
 = 3 + 2t và mặt phẳng (P):
z = −3 +t  x
− + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . x − 1 y − 6 z + 5 x − 3 y z + 1 Đ/s:(∆ ) : = = hoặc (∆ ) : = = 1 4 2 1 2 4 2 1
HT 152. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0 và đường thẳng: d: x − 2 y − 1 z − 1 = =
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông 1 −1 −3
góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng h = 3 2 . x − 1 y − 5 z − 7 x − 1 y + 1 z − 1 Đ/s: ∆ : = = hoặc ∆ : = = . −2 1 −1 −2 1 −1
Câu hỏi tương tự:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x − 3 y + 2 z + 1
a) (P) : x + y + z + 2 = 0 , d : = = , h = 42 . 2 1 −1 x − 5 y + 2 z + 5 x + 3 y + 4 z − 5 ĐS: ∆ : = = ; ∆ : = = 2 −3 1 2 −3 1
HT 153. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − z
2 + 9 = 0 và đường thẳng x + 1 y − 1 z − 3 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) 1 7 −1 một khoảng bằng 2.  19  7 x  = − + 2t x  = − + 2t  11  11    45  39
Đ/s: ∆: y  = −
+ t hoặc ∆: y  = + t  11  11  41  29 z  = − 2tz  = − 2t    11  11
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc HT 154. x y − 2 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng ∆: = = và mặt phẳng 1 2 2
(P): x − y + z − 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 0 45 . x  = 3 + t   x  = 3 + 7t   Đ/s: d: y
 = −1−t hoặcd: y  = −1− 8t .   z  = 1   z  = 1 − 15t  
HT 155. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng x  = 1 + t x  = 3 −t    
(P) : x + y – z + 1 = 0 , cắt các đường thẳng d : y   t ; d : y  =
 = 1 + t và tạo với d một góc 300. 1 2   1 z  = 2 + 2t z    = 1 − 2t   x  = 5 + t   x  = 5   Đ/s: d: y    = −1 hoặc d: y  = −1 + t   z  = 5 + t   z  = 5 + t  
HT 156. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành
độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tanOBC = 2 . Viết
phương trình tham số của đường thẳng BC. x  = 2 + t  Đ/s: BC: y  = −2t . z = 0 
HT 157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2; 1
− ;1),B(0;1;−2) và đường thẳng x y − 3 z + 1 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng 1 −1 2 5
(OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một góc α sao cho cos α = . 6 x + 10 y − 13 z + 21 x + 10 y − 13 z + 21
Đ/s: ∆: = = hoặc ∆: = = 2 −5 −11 6 −1 −1
HT 158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm (
A 0;1;−2) , vuông góc
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 3 y − 2 z
với đường thẳng d : = =
và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z + 5 = 0 một góc 0 α = 30 . 1 −1 1 x  = t   x  = t  
Đ/s: ∆: y  = 1 + t hoặc ∆: y  = 1−t .   z  = −2   z  = −2 − 2t  
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
HT 159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A
∆ BC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, x − 2 y − 3 z − 3 x − 1 y − 4 z − 3
phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: d : = = , d : = = . Lập 1 1 1 −2 2 1 −2 1
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của A
∆ BC và tính diện tích của A ∆ BC .
• Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH ⇒ (P) ⊥ d ⇒ (P) : x + y − 2z + 1 = 0 1
B = (P) ∩ d ⇒ B(1; 4; 3) ⇒ phương trình BC : x = 1 + 2t; y = 4 − 2t; z = 3 2 {
Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có:
(Q) : x − 2y + z − 2 = 0 ⇒ K(2;2; 4) ⇒ M(1;2; 5) (K là trung điểm của CM). x  = 1  1   AB : y  ⇒
 = 4 + 2t , do A = AB ∩ d ⇒ ( A 1;2; 5) ⇒ S = AB,AC   = 2 3  1 A ∆ BC. 2 z  = 3 − 2t 
HT 160. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ∆ BC với (
A 1;−1;1) và hai đường trung tuyến lần lượt có x  = 1 −tx y − 1 z − 2  phương trình là d : = = , d : y  = 0
. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. 1 2 −3 2 − 2 z = 1+t  x − 1 y + 1 z − 1 Đ/s: AD là: = = . −1 1 2 + 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
HT 161. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;−2; 3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục
Oy. Đ/s: 2 2 2
(x − 1) + (y + 2) + (z − 3) = 10 .
HT 162. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x  =2t   x  = 3 − t   d : y  
 =t và d : y  = t
. Chứng minh d ,d chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn 1  2  1 2 z  =4   z  = 0  
vuông góc chung của d ,d . 1 2 Đ/s: 2 2 2
(x − 2) + (y − 1) + (z − 2) = 4.
Câu hỏi tương tự: x  = 2 − 2t′  2 2 2 x − 2 y − 1 z   11  13  1 5 a) d : = = , d : y         = 3
. ĐS: (S) : x  −  + y  −  + z  +  = 1           1 −1 2 2  6 6       3 6 z  = t′  x − 2 y − 1 z x − 2 y + 4 z − 2 b) (d ) : = = ,(d ) : = = 1 2 −1 2 2 1 6 2 2  5 9 ĐS: 2   2
(S ) : (x − 2) + y
 −  + (z − 3) =    2 4 HT 163. x − 4 y − 1 z + 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d : = = và 1 3 −1 −2 x − 2 y + 3 z d : = =
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và d . 2 1 3 1 1 2
• Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính.
Câu hỏi tương tự: x  =2t   x  = 3 − t   a) d : y    =t , d : y  = t . ĐS: 2 2 2 S x − + y − + z 1 ( ) : ( 2) ( 1) ( − 2) = 4  2  z  =4   z  = 0  
HT 164. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆ ) có phương trình {x = 2t;y = t;z = 4 ; (∆ ) là 1 2
giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) : x + y − 3 = 0 và (β) : 4x + 4y + 3z − 12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng ∆ , ∆ 1 2
chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của ∆ , ∆ làm đường kính. 1 2 Đ/s: 2 2 2
(x − 2) + (y − 1) + (z − 2) = 4
HT 165. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x + 1 y − 2 z + 3 = =
. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc 2 1 −1 với d. Đ/s: 2 2 2
(x – 1) + (y + 2) + (z – 3) = 50 HT 166. x + 5 y − 7 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
và điểm M(4;1; 6) . Đường 2 −2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ/s: (S): 2 2 2
(x − 4) + (y − 1) + (z − 6) = 18 .
HT 167. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x −y + 2z − 3 = 0 và mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4y − 8z − 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α) . Viết phương
trình mặt cầu (S′) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (α) .
Đ/s: S ′ (x + )2 2 2 ( ) : 3
+ y + z = 25 .
HT 168. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng
(P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. Đ/s: (S): 2 2 2
(x − a) + (y −b) + (z − 16) = 260 (a, b ∈ R).
HT 169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và đường thẳng d: x y + 1 z − 2 = =
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) −1 2 1
theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. 2 2 2  1  2  13 Đ/s: (S): x    +  + y    +  + z    −  = 13       hoặc  6  3  6  2 2 2  11  14  1 (S): x    −  + y    +  + z    −  = 13        6   3   6
HT 170. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x + y − z + 5 = 0 . 5
Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng . 6 Đ/s: (S): 2 2 2
x + y + z − 2x − 4z = 0 hoặc (S): 2 2 2
x + y + z − 2x + 20y − 4z = 0
HT 171. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm (
A 1; 3; 4), B(1;2;−3),C (6;−1;1) và mặt phẳng ( )
α : x + 2y + 2z − 1 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (α) và đi qua ba điểm , A B,C .
Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (α) . 85 Đ/s: 2 2 2
(S ) : (x − 1) + (y + 1) + (z − 1) = 25 S ' = (đvdt) 6 HT 172. x −1 y + 1 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng (P): 3 1 1 2x + y − z
2 + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). Đ/s: 2 2 2
(x − 1) + (y + 1) + z = 1 . HT 173. x − 1 y + 2 z
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = =
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0 . Lập 1 1 1
phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0). Đ/s: S 2 2 2
( ) : (x – 2) + (y + 1) + (z – 1) = 1 2 2 2  20  19  7  121
hoặc (S) : x  –  + y    + + z     –  = .           13 13       13 169
HT 174. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2;−2) , đường thẳng ∆: 2x − 2 = y + 3 = z và mặt phẳng
(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện
là hình tròn có chu vi bằng 8π . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tiếp xúc với (S). Đ/s: 2 2 2
(S ) : (x − 1) + (y − 2) + (z + 2) = 25 (Q): 6x − 33y + 30z − 105 = 0 .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 175. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : {x = t; y = −1; z = t − và 2 mặt phẳng (P):
x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và
tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 2 2 2 4
Đ/s: (S): (x − ) 3 + (y + ) 1 + (z + ) 3 = . 9
Câu hỏi tương tự:
a) d : {x = 2 + t; y = 1 + 2t; z = 1 −t , (P) : x + 2y − 2z + 5 = 0 , (Q) : x + 2y − 2z −13 = 0 . 2 2 2  16  11  5
ĐS: (S) : x    −  + y    −  + z    −  = 9        7   7   7 
HT 176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y − 2z + 10 = 0 , hai đường thẳng (∆1): x − 2 y z − 1 x − 2 y z + 3 = = , (∆2): = =
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (∆1), tiếp xúc với (∆2) 1 1 −1 1 1 4 và mặt phẳng (P). 2 2 2  11  7   5 81 Đ/s: (S): x    −  + y    −  + z    +  =       . Hoặc (S): 2 2 2
(x − 1) + (y + 1) + (z − 2) = 9 .  2   2   2 4
--------------------------------------------------------------------------------
TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng
HT 177. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng
(P): x − y + z − 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều.   6 ± 18 4 ± 18  Đ/s: M 2  ; ;     .  2 2 
Câu hỏi tương tự: a) Với ( A 4; 0; 0
) , B(0; 0; 4) , (P): 2x − y + 2z − 4 = 0 . ĐS:
HT 178. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt
phẳng (P): 3x − y − z + 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều.   Đ/s: 2 10 1 M  ; ;  −    3 3 6
Câu hỏi tương tự: a) Với (
A 1;1;−3),B(3;1;−1),(P) : 3x − 8y + 7z + 4 = 0 .     2 6 6 2 6   2 6 6 2 6  ĐS: C 2  + ;1 − ;−2  −      hoặc C 2 − ;1 + ;−2 +    3 3 3   3 3 3  b) Với (
A 1;2; 3), B(−1; 4;2),(P) : x − y + z + 1 = 0 .   
1 − 3 5 11 − 3 5 3 1 + 3 5 11 + 3 5 3 ĐS: C  ; ;       hoặc C ; ;    4 4 2  4 4 2
HT 179. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm (
A 3; 5; 4) , B(3;1; 4) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 42
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
phẳng (P) : x − y − z − 1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 .
Đ/s: C(4;3;0) C(7 ; 3; 3) .
HT 180. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt
phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC .
Đ/s: M(2;3;−7)
HT 181. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (
A 0;−2;1), B(2; 0; 3) và mặt phẳng
(P) : 2x − y − z + 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM ) ⊥ (P) .  2 1 17  Đ/s: M −  ;− ;     3 6 6 
HT 182. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong
mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. Đ/s: 2 2 2
(x − 1) + (y − 2) + (z − 2) = 9
HT 183. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm (
A 0;1;2), B(−1;1; 0) và mặt phẳng (P): x − y + z = 0
. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho ∆MAB vuông cân tại B.
−1 − 10 −4 + 10 −2 − 10  
−4 + 10 −2 + 10 −2 + 10    M  ; ;    ∨ M  ; ;      3 6 6   3 6 6        
Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng
HT 184. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường thẳng ∆ : x − 1 y + 2 z = =
. Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho: 2 2 MA + MB = 28 . −1 1 2
Đ/s: ⇒ M(−1; 0; 4)
HT 185. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm (
A 0;1; 0), B(2;2;2),C (−2; 3;1) và đường thẳng x − 1 y + 2 z − 3 d : = =
. Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2 −1 2  3 3 1  15 9 11
Đ/s: ⇒ M −  ; − ;  hoặc   −  −  .   M ; ;     2 4 2  2 4 2  HT 186. x − 1 y z − 3
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: = = . Tìm trên d 1 1 1
hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.   2 2 2    2 2 2    Đ/s: A 2  + ; ; 3  +  , B 2  − ;− ; 3  −     . 3 3 3     3 3 3 
Câu hỏi tương tự: x  = t   5 + 76 10 + 2 76   1 − 76 2 − 2 76   
a) Với M(1; 0;−1) , d : y  = 2t . ĐS: A ; ;1,B    ; ;1      15 15     15 15  z  = 1   5 − 76 10 − 2 76   1 + 76 2 + 2 76    hoặc A ; ;1, B    ; ;1     15 15     15 15 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 43
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 1−t 
HT 187. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: y
 = 2 + 2t . Tìm trên d hai z = 3 
điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. Đ/s:    6 − 3 8 + 2 3  6 + 3 8 − 2 3  Vậy: B  ; ; 3      và C ; ; 3    5 5   5 5     6 + 3 8 − 2 3  6 − 3 8 + 2 3  hoặc B  ; ; 3      và C ; ; 3    5 5   5 5  HT 188. x − 1 y z + 2
Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : = = và mặt 1 2 2
phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0 .
Đ/s: A(3; 0; 0).
HT 189. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 : x + 1 y z + 9 x − 1 y − 3 z + 1 = = ; ∆2 : = =
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng 1 1 6 2 1 −2
cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 18 53 3 
Đ/s: M (0; 1; –3) hay M  ; ;  .   35 35 35
Câu hỏi tương tự: x − 3 y − 5 z x − 1 2 − y z − 3
a) Với (P): 2x + y + 2z −1 = 0 , ∆ : = = , ∆ : = = 1 1 1 −1 2 4 1 1
ĐS: M(2; 4;1) , M(−1;1; 4) HT 190. x − 1 y z + 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = = và 1 2 −1 1 x + 1 y − 1 z − 3 ∆ : = =
. Đường vuông góc chung của ∆ và ∆ cắt ∆ tại A, cắt ∆ tại B. Tình diện tích 2 1 7 −1 1 2 1 2 ∆OAB. 1 6 Đ/s:   S = O  , A OB . OAB   = 2 2
HT 191. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 1 = 0 và các đường thẳng x − 1 y − 3 z x − 5 y z + 5 d : = = ; d : = =
. Tìm các điểm M ∈ d , N ∈ d sao cho MN // (P) và cách (P) một 1 2 1 2 2 −3 2 6 4 −5 khoảng bằng 2.
Đ/s: N1(–1;–4;0). N2(5;0;–5).
HT 192. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt pha‚ng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0 và các đường tha‚ng x −1 y − 3 z x − 5 y z + 5 d : = = , d : = =
. Tı̀m các đie{m A ∈ d , B ∈ d sao cho AB // (P) và AB cách (P) 1 2 1 2 1 −2 2 3 4 2 mộ t khoảng ba~ng 1.  8 11 −  4 17  − − Đ/s: (
A −9;−2;10),B 7  ; ; hoặc   −     ( A 3; 4; 2),B 4; ;     3 3   3 3  HT 193. x + 1 y z − 1 x y z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = và d : = = . Tìm 1 −2 1 1 2 1 1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
các điểm M thuộc d , N thuộc d sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x − y + z + 2012 = 0 và 1 2
độ dài đoạn MN bằng 2 .  3 2 5
Đ/s: M(0; 0; 0),N −  ;− ;    .  7 7 7  HT 194. x y + 2 z − 1
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và các điểm 1 −1 1 (
A 1; 0; 0), B(0;1;1),C (0; 0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 0 α = 30 .
• ĐS: M(0;−2;1) . x  = 1 + t 
HT 195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ( ) : y  ∆  = −1 − t và 1 z = 2  x − 3 y − 1 z (∆ ) : = =
. Xác định điểm A trên ∆ 2
1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. −1 2 1
Đ/s: A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). x  = 2 + 4t 
HT 196. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường thẳng d : y  = −6t .
z = −1−8t 
Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. 65 21 43 − − Đ/s: I  ; ;  .   29 58 29 
Câu hỏi tương tự: x − 2 y z + 1 64 9 45 a) Với (
A 1;−1;2), B(3;−4;−2) , d : = = . ĐS: I  ;− ;  −    . 4 −6 −8 29 29 29 x − 2 y z − 4 b) Với (
A 1;2; –1), B(7; –2; 3) , d : = = .
ĐS: I (2; 0; 4) . 3 −2 2
HT 197. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x + 1 y − 1 z = =
. Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho ∆MAB có diện tích nhỏ nhất. 2 −1 2
Đ/s: Min S = 198 M(1; 0; 2).
Câu hỏi tương tự: x − 1 y + 2 z − 3 3 2 a) Với (
A 0;1; 0), B(2;2;2) , ∆ : = =
. ĐS: M(−3; 0;−1) , min S = 2 −1 2 2 x y − 3 z + 1 34 b) Với (
A 2;−1;1),B(0;1;−2), ∆ : = = . ĐS: M( 5 − ; 8;−11), min S = 1 −1 2 2 x − 1 y − 2 z − 1 c) Với (
A 0;1;−2), B(2;−1;1), ∆ : = = .
ĐS: M(−2; 5;−5), min S = 22 1 −1 2 x
 + y − z −1 = 0 1 2 3 d) Với (
A 2; 1;1), B(1; 1; 0), :  − − ∆    .
ĐS: M  ;− ;−  . 2  x − y − 1 = 0       6 3 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x − 1 y − 2 z  12 5 38 e) Với (  
A 1; 4;2), B(−1;2; 4), ∆ : = = . ĐS: M −  ; ;    . −1 1 2  7 7 7  HT 198. x − 3 y z + 1 x − 2 y + 2 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): = = , (d2): = = . 1 1 −2 1 − 2 1
Một đường thẳng (∆) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) tại điểm B và cắt đường thẳng (d2) tại điểm C.
Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Đ/s: B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).
Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu
HT 199. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng (d)
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 1 = 0 , (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm
M, N sao cho độ dài MN = 8.
Đ/s: m = –12.
HT 200. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 3 = 0 và mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z − 6x − 8y − 2z + 23 = 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn
nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Đ/s: M(4;5; 0) ; 2 2 2
(T ) :(x − 4) + (y − 5) + z = 64
HT 201. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là 2 2 2
(S ) : x + y + z − 4x + 2y − 6z + 5 = 0, (P) : 2x + 2y − z + 16 = 0 . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động
trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.  4 13 14 Đ/s: N −  ;− ;  M 0   0(0;–3;4)  3 3 3 
Câu hỏi tương tự: a) 2 2 2
(S) : x + y + z − 4x − 4y + 2z = 0 ; (P) : 2x +y −2z + 4 = 0 .  2 1 5 − −
ĐS: M (2 − 2 2;2 − 2;−1 + 2 2) , N  ; ;     3 3 3
HT 202. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm (
A 0;1;1),B(1; 0;−3),C (−1;−2;−3) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x + y + z − 2x + 2z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1 Đ/s: D  ;− ;  −    3 3 3
Dạng 4: Xác định điểm trong không gian
HT 203. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0)
.Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời
K cách đều gốc tọa độ O và (α).  1 1 3 Đ/s: K −  ; ;    .  4 2 4
HT 204. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm (
A 1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3;2) và mặt phẳng
(α) : x + 2y + 2 = 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm ,
A B, C và mặt phẳng ( ) α . 23 23 14
Đ/s: M(1; 1; 2) hoặc M  ; ;  −    .  3 3 3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 205. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết (
A 3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) .
Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.
Đ/s: S(9;9;9) hoặc S(−7;−7;−7) .
Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác
HT 206. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. 36 18 12 Đ/s: H  ; ;    49 49 49
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS:
HT 207. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm (
A −1; 3; 5) , B(−4; 3;2) , C (0;2;1) . Tìm tọa độ tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  5 8 8 Đ/s: I −  ; ;  .    3 3 3
HT 208. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). Tìm tọa độ tâm và bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đ/s: I(0; 2; 1).
Bán kính là R = 5.
HT 209. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm (
A 2; 3;1) , B(−1;2; 0) ,C(1;1;−2) . Tìm tọa độ trực tâm
H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  2 29 1 14 61 1 Đ/s: H  ; ;  −      I  ; ;−     15 15 3 15 30 3
HT 210. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (
A −1; 0;1), B(1;2;− 1),C (−1;2; 3) và I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz). Đ/s: (S): 2 2 2
x + (y − 2) + (z − 1) = 4 HT 211. x − 2 y − 3 z − 3
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình d : = = 1 1 1 −2 x − 1 y − 4 z − 3 và d : = =
. Chứng minh đường thẳng d 2
1, d2 và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác 1 −2 1
định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
Đ/s: B(1;2;5) ; C(1;4;2)
HT 212. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác x − 2 y − 3 z − 3 x − 1 y − 4 z − 3
trong BM của góc B lần lượt có phương trình là d : = = , d : = = . Tính độ 1 1 1 −2 2 1 −2 1
dài các cạnh của tam giác của tam giác ABC.
Đ/s: AB = AC = BC = 2 2
HT 213. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A(3; 1 − ;− ) 2 , B (1;5; ) 1 , C (2; 3; ) 3 , trong
đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. 164 51 48 Đ/s: D  ;− ;     49 49 49
HT 214. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với (
A −1;2;1) , B(2; 3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C, D
và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 1 y z − 2 d : = =
và điểm D có hoành độ âm. −1 −1 1
Đ/s: (P) : x + y – 4z + 3 = 0 .
HT 215. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, (
A 1; 0; 0) , C (−1;2; 0)
, D(−1; 0; 0) , S(0; 0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM
và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. 1 7 
Đ/s: I  ; ; 0 .   6 6 
HT 216. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3;−1) , P(2;3;− 4) . Tìm toạ độ đỉnh
Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (R) : x + y − z − 6 = 0.
Đ/s: Q(5; 3;− 4). Q(4; 5;− 3).
HT 217. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0; 8) , D(−5;−4; 0) và đỉnh A thuộc mặt
phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C.  27 6  − − Đ/s: C(–3;–6; 8) C  ; ; 8 .    5 5 
HT 218. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết (
A 1;2; 0),C (2; 3;−4) . và đỉnh B nằm trên
mặt phẳng (Q): x + 2y + z − 3 = 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên.
Đ/s: B(−1;1;2) . Vậy D(4; 4;−6) .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Dạng 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN – MAX
1. Viết phương trình mặt phẳng
HT 219. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (
A 2;−1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A
và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
Đ/s: (P): 2x − y + z − 6 = 0 .
HT 220. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x − 1 y z − 1 = =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn 2 1 3 nhất.
Đ/s: (P): 7x + y − 5z − 77 = 0 .
HT 221. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{x = −2 +t; y = −2t; z = 2 + 2t . Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình
chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa ∆ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
Đ/s: (P) : 2x − z − 9 = 0 . HT 222. x − 1 y z − 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và điểm ( A 2; 5; 3) . Viết 2 1 2
phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
Đ/s: maxd( ,
A (P)) = 3 2 Khi đó: (P): x − 4y + z − 3 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x − 1 y + 1 z − 2 a) d : = = , ( A 5;1; 6) .
ĐS: (P) : 2x + y − z + 1 = 0 2 1 5 x − 1 y + 2 z b) d : = = , ( A 1; 4;2) .
ĐS: (P) : 5x + 13y − 4z + 21 = 0 −1 1 2
HT 223. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M(0;−1;2) và N(−1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Đ/s: (P): x + y – z + 3 = 0 .
HT 224. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 5 = 0 và đường thẳng x + 1 y + 1 z − 3 d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 2 1 1 nhỏ nhất.
Đ/s: (P): y − z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x − 1 y + 2 z
a) Với (Q): x + 2y + 2z – 3 = 0 , d : = = .
ĐS: (P) : x + 2y + 5z +3 = 0 . 1 2 −1 x − 1 y + 2 z
b) Với (Q) ≡ (Oxy),d : = = .
ĐS: (P) : x − y + z − 3 = 0 . −1 1 2 x  = t − 
c) Với (Q) : 2x − y − z − 2 = 0 , d : y  = −1 + 2t .
ĐS: (P) : x + y + z − 3 = 0 . z  = 2 + t 
HT 225. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M(−1;−1;3),N(1;0;4) và mặt phẳng (Q):
x + 2y − z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• ĐS: (P) : y − z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M(1;2;−1), N(−1;1;2),(Q) ≡ (Oxy) .
ĐS: (P) : 6x + 3y + 5z − 7 = 0 . x  = 1 −t 
HT 226. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y
 = −2 +t . Viết phương trình mặt phẳng (P) z = 2t 
chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
Đ/s: (P): x + 5y − 2z + 9 = 0 . HT 227. x − 1 y + 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và 1 1 2 −1 x + 2 y − 1 z d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng 2 2 −1 2 1 d là lớn nhất. 2
Đ/s: (P) : 7x − y + 5z 9 − = 0 . HT 228. x + 1 y − 2 z + 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và điểm ( A 2;−1; 0) . Viết 1 1 −1
phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
• ĐS: (P) : x + y + 2z −1 = 0 .
HT 229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q): 2x − y + z + 2 = 0 và điểm ( A 1;1;−1) . Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
ĐS: (P) : y + z = 0 hoặc (P) : 2x + 5y + z − 6 = 0 .
HT 230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia
Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. x y z Đ/s: (P): + + = 1 . 27 3 3
Câu hỏi tương tự: x y z
a) Với M(1;2; 4) . ĐS: (P) : + + = 1 3 6 12
HT 231. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2; 3), cắt các tia 1 1 1
Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức + + có giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 OA OB OC
• ĐS: (P) : x + 2y + 3z −14 = 0 .
HT 232. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3), cắt các tia
Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA +OB +OC có giá trị nhỏ nhất. x y z • ĐS: (P) : + + = 1 . 2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15
2) Viết phương trình đường thẳng HT 233. x y −1 z +1
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và hai điểm ( A 1;1;−2) , ( B 1 − ;0;2). 1 2 −1
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới ∆ là nhỏ nhất.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x − 1 y − 1 z + 2 Đ/s: ∆: = = . −2 5 8 HT 234. x + 1 y z + 1
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và hai điểm ( A 1;2;−1), 2 3 −1
B(3;−1;−5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến
đường thẳng d là lớn nhất. x − y − z + Đ/s: 1 2 1 d : = = . 1 2 −1
HT 235. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x + 1 y − 1 z = =
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện 2 −1 2
tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. x − 3 y − 3 z − 6
Đ/s:Min S = 198 ; C(1; 0; 2) ;BC: = = . −2 −3 −4
HT 236. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + 5 = 0 , đường thẳng x + 3 y + 1 z − 3 d : = = và điểm (
A −2; 3; 4) . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đi qua giao điểm 2 1 1
của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên ∆ sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.   Đ/s: 7 4 16 M −  ; ;    .  3 3 3 
Câu hỏi tương tự: x  = 1 −t   x  = t  
a) (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0 , d : y    = −3 + 2t . ĐS: ∆ : y  = −1   z  = 3 + t   z  = 4 + t  
HT 237. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d ),(d ) và mặt phẳng (P) có phương trình: 1 2 x + 1 y + 2 z x − 2 y − 1 z − 1 (d ) : = = , (d ) : = =
; (P) : x + y − 2z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng 1 1 2 1 2 2 1 1
(d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d ),(d ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. 1 2 x − y − z − Đ/s: 1 2 2 d : = = . 1 1 1
HT 238. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 3y − z − 1 = 0 và các điểm ( A 1; 0; 0) ;
B(0;−2; 3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). Đ/s: x  = 1 + t   x  = 1 + t   a) min(d( , B d)) = 6 . d: y    = 0
b) max(d(B,d)) = 14 . d: y  = t −   z  = t   z  = t −  
HT 239. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và các điểm ( A −3; 0;1) ;
B(1;−1; 3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. x + 3 y z − 1 ĐS: d : = = . 26 11 −2 HT 240. x + 1 y z − 2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = , hai điểm ( A 0;−1;2) , 2 1 −1
B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 3t  1 
Đ/s: a) min(d( , B d)) = d: y   = −1 + 3t 11
z = 2−2t  x  = t − 
b) max(d(B,d)) = 18 d: y   = −1 + t
z = 2 −t 
Câu hỏi tương tự: x
 + y + z −1 = 0 a) :  ∆  , (
A 2;1;−1), B(−1;2; 0) . x
 − y + z − 1 = 0  x  + 1 = 0 x  + 2y − 3 = 0 ĐS: d   d max : ; : min  y  + z − 2 = 0 y  − z − 2 = 0     x − 1 y + 2 z − 1 b) ∆ : = = , (
A 3;−2;1), B(2;1;−1) . 1 2 −1 x − 3 y + 2 z − 1 x − 3 y + 20 z − 1 ĐS: d = = ; d : = = . max : 19 −3 5 min −5 20 −7 x − 1 y + 2 z c) ∆ : = = , (
A 1; 4;2), B(−1;2; 4) . −1 1 2 x − 1 y − 4 z − 2 x − 1 y − 4 z − 2 ĐS: d = = ; d : = = max : 1 −4 −3 min 15 18 19 HT 241. x − 1 y − 2 z
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , hai điểm (
A 1;1; 0),B(2;1;1) . 2 1 1
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất. x  = 1 + t 
Đ/s: ∆ : y   = 1 − tz = t − 
HT 242. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua (
A 0;−1;2) , cắt đường thẳng x + 1 y z − 2 x − 5 y z ∆ : = =
sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng ∆ : = = là lớn nhất. 1 2 1 −1 2 2 −2 1 x  = 29t  Đ/s: d: y   = 1 − − 41t
z = 2 + 4t 
Câu hỏi tương tự: x − 1 y + 1 z − 1 x
 + 2y − z + 1 = 0 x − 2 y + 1 z − 2 a) ( A 2; 1;2), : , :  − ∆ = = ∆ . ĐS: d : = = . 1 2  2 1 1 x
 − y + z + 1 = 0  41 68 −27
HT 243. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua (
A 1;−1;2) , song song với mặt x
 + y + z − 3 = 0
phẳng (P) : x + y − z + 1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng :  ∆  là lớn nhất. 2
 x − y + z − 2 = 0 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  = 1  • ĐS: y  = −1 +t . z  = 2 + t 
HT 244. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua (
A 1;−1;2) , song song với mặt x + 1 y − 1 z
phẳng (P) : 2x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : = =
một góc lớn nhất (nhỏ 1 −2 2 nhất). x − 1 y + 1 z − 2
Đ/s: a) min(cos ) α = 0 d : = = 4 5 3 5 3 x − 1 y + 1 z − 2 b) max(cos ) α = d: = = 9 1 −5 7
HT 245. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua (
A −1; 0;−1) , cắt đường thẳng x − 1 y − 2 z + 2 x − 3 y − 2 z + 3 ∆ : = =
sao cho góc giữa d và đường thẳng ∆ : = =
là lớn nhất (nhỏ nhất). 1 2 1 −1 2 −1 2 2 Đ/s: x + 1 y z + 1 a) min(cos ) α = 0 d : = = 2 2 −1 2 5 x + 1 y z + 1 b) max(cos ) α = d : = = 5 4 5 2
HT 246. Trong không gian Oxyz cho hai điểm (
A –1; 3; –2), B(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0 . Tìm tọa
độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Đ/s: M(2;2;−3) .
Câu hỏi tương tự:  2 1  a) Với (
A 0;−1;2), B(−1;1; 3) , (P) ≡ O ( xy) . ĐS: M −  ;− ; 0    5 5  b) Với (
A 1; 0; 0) , B(1;2; 0) , (P) : x + y + z − 4 = 0 ĐS: 13 4 c) Với (
A 1;2;−1), B(3;1;−2),(P) : x − y + z 2 = 0 . ĐS: M  ;1;  −    .  5 5
HT 247. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình
tham số {x = −1 + 2t; y = 1−t; z = 2t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị trí của điểm M để
chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: M(1;0;2) minP = 2( 11 + 29)
HT 248. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 3y + 3z −11 = 0 và hai điểm ( A 3;−4; 5) ,
B(3; 3;−3) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA − MB lớn nhất.  31 5 31 ĐS: M −  ;− ;    .  7 7 7 
Câu hỏi tương tự:
a) (P) : x + y + z − 4 = 0 , (
A 1;2;1) , B(0;1;2) . ĐS:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 7 11  b) . ĐS: M  ; ;1   2 2 
HT 249. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 8 = 0 và các điểm (
A –1;2; 3), B(3; 0; –1) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 2 2
MA + MB nhỏ nhất.
Đ/s: M(0; 3; –1).
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): x + y + z = 0 , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7).
ĐS: M ≡ O(0; 0; 0).  50 192 75
b) Với (P): x + 5y − 7z − 5 = 0 , (
A 4; 9;−9), B(−10;13;1) . ĐS: M −  ;− ;    .  17 17 17
HT 250. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm ( A 1;2;1) ,
B(0;1;2) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 2 2
MA + 2MB nhỏ nhất. 5 14 17 Đ/s: M  ; ; .   9 9 9 
HT 251. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng
(P): x – y – z – 3 = 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
F = MA + MB + MC . Khi đó tìm toạ độ của M. 2  19    64 553
Đ/s:F nhỏ nhất bằng 3.  + =  
khi M là hình chiếu của G lên (P).     3 9 3 3
Câu hỏi tương tự:
a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x − y − z − 3 = 0 . 11 2 4 −
ĐS: min F = 65 , M  ; ;     3 3 3 22 61 17 
b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x + 3y – z + 2 = 0 . ĐS: M  ; ;  −     3 3 3 
c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x − 2y + 2z + 6 = 0 . ĐS: M (0; 4; 1) .
HT 252. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm (
A −1; 0;1) , B(2;−1; 0) , C (2; 4;2) và mặt phẳng (P): x + y + z
2 + 2 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 2 2
T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Đ/s: M(0;0;−1) .
HT 253. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm ( A 1;2;1) ,
B(0;1;2) , C (0; 0; 3) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 2 2 2
MA + 3MB + 2MC nhỏ nhất.
• Giải tương tự như Câu 10.
HT 254. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm ( A 1;2;−1) ,
B(1; 0;−1) , C (2;1;−2) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 2 2 2
MA + MB − MC nhỏ nhất. 2 1 2
• Giải tương tự như Câu 10.
ĐS: M  ; ;    . 3 3 3
HT 255. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + 2z = 0 và các điểm ( A 1;2;−1) ,
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
B(3;1;−2) , C(1;−2;1) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 2 2 2
MA − MB − MC nhỏ nhất.
• Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M (2; 2 − ;− ) 2 .
HT 256. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y + z −1 = 0 và ba điểm (
A 2;1; 3), B(0;−6;2),C (1;−1; 4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất. 2 7 8 − M  ; ;  .   3 3 3
Câu hỏi tương tự: 5 1 2
a) (P) : x − y + 2z = 0, (
A 1;2;−1),B(3;1;−2),C (1; 2 − ;1) . ĐS: M  ; ;  −    . 2 3 3
HT 257. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương
trình: x + y + z − 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA + 2MB + 3MC nhỏ nhất. 13 2 16 43 3
Đ/s: M  ;− ;    . minT = .  9 9 9  3
HT 258. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm ( A 1;2;1) ,
B(0;1;2) , C (0; 0; 3) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất. Đ/s:
HT 259. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x − 3y + z 2 + 37 = 0 và các điểm (
A 4;1; 5), B(3; 0;1),C (−1;2; 0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = M . AMB + M .
B MC + MC.MA
Đ/s: min S = 3.88 − 5 = 259 khi M(4;7;−2).
HT 260. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(−1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , M(0; 0; a) với a > 0. Trên trục
Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất 3  3 3 •   B V CMN =V +V = a
 +  đạt nhỏ nhất ⇔ a =
⇔ a = 3 . MOBC NOBC   3  a a
HT 261. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D thuộc
đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.  5 46 41 Đ/s: D  ; ;  .   26 26 26
HT 262. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm (
A 5; 8;−11) , B(3; 5;−4) , C (2;1;−6) và đường thẳng x − 1 y − 2 z − 1 d : = =
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ 2 1 1 nhất.  11 2 1 Đ/s: M −  ;− ;  −     9 9 9
HT 263. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P) : x + 2y − z + 5 = 0 điểm A( –2; 3; 4) và đường thẳng x + 3 (d) :
= y + 1 = z − 3 . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc 2
với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  7 4 16 −
Đ/s: Vậy M  ; ;     3 3 3 
HT 264. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình
x + 3y − z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi ∆ là giao tuyến của
(P) và (Q). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất.  1 5 3 Đ/s: M −  ;− ;  −    .  2 8 8
HT 265. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(2;1;5), F(4;3;9) . Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P :
) 2x + y − z + 1 = 0 và (Q) : x − y + 2z − 7 = 0 . Tìm điểm I thuộc ∆ sao cho: IE − IF lớn nhất . Đ/s: I(1;0;3). HT 266. x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và hai điểm (
A 0; 0; 3) , B(0; 3; 3) . Tìm 1 1 1
điểm M ∈ d sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất. b) 2 2
MA + 2MB nhỏ nhất.
c) MA − 3MB nhỏ nhất. 3 3 3
Đ/s: min(MA + MB) = 3 3 M  ; ;  .   2 2 2 5 5 5
b) M  ; ;  .   2 2 2
c) min MA − 2MB = 3 2 khi t = 3 , tức M(3; 3; 3) .
HT 267. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để 2 + 2 + 2 + 2 MA MB MC
MD đạt giá trị nhỏ nhất. 7 14 
Đ/s: M ≡ G  ; ; 0   . 3 3 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI 2009 – 2013 HT 268. x − 6 y + 1 z + 2
2013 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và điểm −3 −2 1 (
A 1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với .
∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho  
AM = 2 30. Đ/s: 51 1 17
M (3;−3;−1);M  ;− ;  −     7 7 7 
HT 269. 2013 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z −11 = 0 và mặt cầu 2 2 2
(S ) : x + y + z − 2x + 4y − 2z − 8 = 0. Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
Đ/s: M(3;1;2)
HT 270. 2013 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (
A 3; 5; 0) và mặt phẳng
(P) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).
Đ/s: B(−1;−1;2)
HT 271. 2013 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm (
A 1;−1;1), B( 1
− ;2; 3) và đường thẳng x + 1 y − 2 z − 3 ∆ : = =
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ −2 1 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ/s: x − 1 y + 1 z − 1 = = 7 2 4
HT 272. 2013 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm (
A −1;−1;−2), B(0;1;1) và mặt phẳng
(P) : x + y + z − 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông
góc với (P). Đ/s: (Q) : x − 2y + z + 1 = 0
HT 273. 2013 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (
A −1; 3;−2) và mặt phẳng
(P) : x − 2y − 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trinh mặt phẳng đi qua A và song song với (P).
Đ/s: (Q) : x − 2y − 2z + 3 = 0 HT 274. x + 1 y z − 2
2012 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và điểm 1 2 1
I (0; 0; 3) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. Đ/s: 2 2 2 8
x + y + (z − 3) = 3 HT 275. x + 1 y z − 2
2012 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = mặt phẳng 2 1 1
(P) : x + y − 2z + 5 = 0 và điểm (
A 1;−1;2). Viết phương trình đường thẳng △ cắt d và (P) lần lượt tại M, N sao cho A là
trung điểm của đoạn MN. Đ/s: x + 1 y + 1 z − 2 : △ = = 2 3 2 HT 276. x − 1 y z
2012 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và hai điểm 2 1 −2 (
A 2;1; 0), B(−2; 3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Đ/s: 2 2 2
(x + 1) + (y + 1) + (z − 2) = 17
HT 277. 2012 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (
A 0; 0; 3), M(1;2; 0). Viết phương trình mặt phẳng
(P) qua A và cắt trục Ox,Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Đ/s: (P) : 6x + 3y + 4z −12 = 0
HT 278. 2012 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z + 10 = 0 và điểm
I (2;1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Đ/s: 2 2 2
(S ) : (x − 2) + (y − 1) + (z − 3) = 25 HT 279. x − 1 y + 1 z
2012 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và hai điểm 2 −1 1 (
A 1;−1;2), B(2; 1
− ; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.   Đ/s: 7 5 2
M (1;−1; 0), M  ;− ;    3 3 3
HT 280. 2011 A (CB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng
(P) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.  
Đ/s: M(0;1;3) hoặc 6 4 12 M −  ; ;     7 7 7 
HT 281. 2011 A (NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S ) : x + y + z − 4x − 4y − 4z = 0 và điểm (
A 4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Đ/s: (P) : x − y + z = 0 hoặc x − y − z = 0 HT 282. x − 2 y + 1 z
2011 B ( CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = và mặt 1 −2 −1
phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14.
Đ/s: M(5;9;−11) hoặc M(−3;−7;13)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 283. x + 2 y − 1 z + 5
2011 B (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: ∆ : = = và hai 1 3 −2
điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .
Đ/s: M(−2;1;−5);M(−14;−35;19)
HT 284. 2011 D (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng x + 1 y z − 3 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. 2 1 −2 x  = 1 + 2t  Đ/s: : △ y   = 2 + 2t
z = 3 + 3t  HT 285. x − 1 y − 3 z
2011 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = và mặt phẳng 2 4 1
(P) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Đ/s: 2 2 2 2 2 2
(x − 5) + (y − 11) + (z − 2) = 1; (x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = 1 HT 286. x − 1 y z + 2
2010 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = và mặt phẳng 2 1 −1
(P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết rằng MC = 6. Đ/s: 1 d = 6
HT 287. 2010 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng x + 2 y − 2 z + 3 ∆ : = =
. Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C 2 3 2 sao cho BC = 8. Đ/s: 2 2 2
x + y + (z + 2) = 25
HT 288. 2010 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (
A 1; 0; 0), B(0; ;
b 0),C (0; 0;c), trong đó b,c
dương và mặt phẳng (P) : y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết rằng mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và 1
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng . 3 Đ/s: 1 b = c = 2 HT 289. x y − 1 z
2010 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: = = . Xác định tọa độ 2 1 2
điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.
Đ/s: M(−1;0;0) hoặc M(2;0;0)
HT 290. 2010 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y +
z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Đ/s: (R) : x − z + 2 2 = 0 hoặc x −z −2 2 = 0 x  = 3 + t 
HT 291. 2010 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆  1: y  = t và ∆  2: z  = t  x − 2 y − 1 z = =
. Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1. 2 1 2
Đ/s: M(4;1;1) hoặc M(7;4;4)
HT 292. 2009 A (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác
định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. Đ/s: H(3;0;2)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 293. 2009 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường x + 1 y z + 9 x − 1 y − 3 z + 1 thẳng ∆ : = = ; ∆ : = =
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho 1 2 1 1 6 2 1 −2 1
khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 2 18 53 3 
Đ/s: M(0;1;−3);M  ; ;    35 35 35
HT 294. 2009 B (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh (
A 1;2;1), B(−2;1; 3),C(2;−1;1) và D(0; 3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến
(P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Đ/s: (P) : 4x + 2y + 7z −15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z − 5 = 0
HT 295. 2009 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-
3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng
cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Đ/s: x + 3 y z − 1 ∆ : = = 26 11 −2
HT 296. 2009 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt
phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).   Đ/s: 5 1 D  ; ;−1   2 2  HT 297. x + 2 y − 2 z
2009 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = và mặt phẳng 1 1 −1
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ . Đ/s: x + 3 y − 1 z − 1 d : = = 1 2 − −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59