Chuyên đề lượng giác Toán lớp 11 luyện thi THPT Quốc gia
Chuyên đề lượng giác lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia có các chủ đề sau:cung lượng và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, công thức lượng giác; hàm số lượng giác; phương trình lượng giác. mỗi chủ đề đều có kiến thức cơ bản, kỹ năng giải toán, bài tập luyện tập có lời giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án. chuyên đề được viết dưới dạng PDF gồm 51 trang. các bạn xem và tải về ở dưới.
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1
CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (3 Tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác T Cho OA (
,OM) = a . Giả sử M(x; y) . tang sin cosa = x = OH B S cotang sina = y = OK K M sina æ p ö tana = = AT ça ¹ + kp ÷ a cosin cosa è 2 ø O H A cosa cota = = BS (a ¹ kp ) sina Nhận xét: • a
" , -1 £ cosa £ 1; -1 £ sina £ 1 p
• tana xác định khi a ¹ + kp ,k Î Z
• cota xác định khi a ¹ kp ,k Î Z 2
• sin(a + k2p ) = sina
• tan(a + kp ) = tana cos(a + k2p ) = cosa cot(a + kp ) = cota
2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosa + – – + sina + + – – tana + – + – cota + – + –
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 1 p p p p 0 2p 3p p p 3 2p 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 0 1 2 3 1 3 2 0 –1 0 2 2 2 2 2 cos 1 3 1 1 2 0 - 2 - –1 0 1 2 2 2 2 2 tan 0 3 1 3 - 3 –1 0 0 3 cot 3 3 3 1 0 - –1 0 3 3
4. Hệ thức cơ bản: 2 2 1 1
sin a + cos a = 1 ; tana.cota = 1 ; 2 2 1+ tan a = ; 1+ cot a = 2 2 cos a sin a
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau æ p ö cos( a - ) = cosa sin(p -a ) = sina sin - ç a = cos ÷ a è 2 ø æ p ö sin( a - ) = - sina cos(p -a ) = - cosa cos - ç a = sin ÷ a è 2 ø æ p ö tan( a - ) = - tana tan(p -a ) = - tana tan - ç a = cot ÷ a è 2 ø æ p ö cot( a - ) = - cota cot(p -a ) = - cota cot - ç a = tan ÷ a è 2 ø 2 p
Góc hơn kém p Góc hơn kém 2 æ p ö sin(p +a ) = - sina sin + ç a = cos ÷ a è 2 ø æ p ö cos(p +a ) = - cosa cos + ç a = - sin ÷ a è 2 ø æ p ö tan(p +a ) = tana tan + ç a = - cot ÷ a è 2 ø æ p ö cot(p +a ) = cota cot + ç a = - tan ÷ a è 2 ø
II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng
sin(a + b) = sin . a cos b + sin . b cos a tan a + tan b tan(a + b) = 1- tan . a tan b
sin(a - b) = sin . a cos b - sin . b cos a tan a - tan b
cos(a + b) = cos . a cos b - sin . a sin b tan(a - b) = 1+ tan . a tan b
cos(a - b) = cos . a cos b + sin . a sin b
2. Công thức nhân đôi sin 2aæ = p 2sina ö .co 1 s+ata na æ p ö 1- tana tan +a = , tan -a = ç ÷ ç ÷ è 4 ø 1- tana è 4 ø 1+ tana 2 2 2 2
cos2a = cos a - sin a = 2 cos a -1 = 1- 2sin a 2 2 tana cot a -1 tan 2a = ; cot 2a = 2 1- tan a 2 cota 2 1- cos2a 3 sin a = sin 3a = 3sina - 4sin a 2 3 cos3a = 4 cos a - 3cosa 2 1+ cos2a cos a = 3 2 3tana - tan a tan 3a = 2 1- cos2a 2 tan a = 1- 3tan a 1+ cos2a
3. Công thức biến đổi tổng thành tích 3 a + b a - b sin(a + b)
cos a + cos b = 2 cos .cos tan a + tan b = 2 2 cos . a cos b a + b a - b sin(a - b)
cos a - cos b = - 2sin .sin tan a - tan b = 2 2 cos . a cos b a + b a - b +
sin a + sin b = 2sin .cos sin(a b) cot a + cot b = 2 2 sin . a sin b a + b a - b
sin a - sin b = 2 cos .sin sin(b - a) cot a - cot b = 2 2 sin a.sin b æ p ö æ p ö sina + cosa = 2.sin a + = 2.cos a - ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 4 ø æ p ö æ p ö
sina - cosa = 2 sin ça - ÷ = - 2 cosça + ÷ è 4 ø è 4 ø
4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos . a cos b =
écos(a - b) + cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin . a sin b =
écos(a - b) - cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin . a cos b =
ésin(a - b) + sin(a + b) ù 2 ë û B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:
+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác
định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.
+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để
xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của
cung a và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục
nằm (Ox) là trục cosin; khi a thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm
trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó
xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào
dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; - /+= -
2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:
+ Nếu biết trước sina thì dùng công thức: 2 2 sin a + os c
a =1 để tìm os
c a , lưu ý:xác sina c a
định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. tana = os ; cota = hoặc os c a sina 1 cota = tana
+ Nếu biết trước os
c a thì tương tự như trên. 4 1
+ Nếu biết trước tana thì dùng công thức: 2 1+ tan a = để tìm os
c a , lưu ý: 2 os c a
xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sina = 1 tana. os
c a , cota = tana
3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng
đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.
biến đổi một vế thành vế kia) 2 2 sin a + os c a =1 (a ±b)2 2 2
= a ± 2ab + b æ p ö
tana.cota = 1 a ¹ k , k Î ! ç ÷ (a ±b)3 3 2 2 3
= a ± 3a b + 3ab ± b è 2 ø 3 3 + = ( + )( 2 2 a b
a b a - ab + b ) 1 æ p 2 ö 1+ tan a = a ¹ + kp , k Î! 2 ç ÷ os c a è 2 ø 3 3 - = ( - )( 2 2 a b
a b a + ab + b ) 2 1 1+ cot a =
a ¹ kp , k Î ! 2 2
a - b = (a + b)(a - b) 2 ( ) sin a sina c a tana = os ; cota = os c a sina
4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:
+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai p ”
+ Chú ý: Với k Î! ta có:
sin (a + k2p ) = sina os
c (a + k2p ) = os c a
tan (a + kp ) = tana
cot (a + kp ) = cota
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: p
Bài tập 1.1: Cho < a < p . Xác định dấu của các giá trị lượng giác: 2 æ 3p ö æ p ö æ p ö a) sin -a ç ÷ b) os c a + ç ÷ c) tan (a +p ) d) cot a - ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø Giải p p p 3p æ 3p ö a) < a < p Þ p - < a - < - Þ < -a < p vậy sin -a > 0 ç ÷ 2 2 2 2 è 2 ø 5 Dạng 2:
Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc a biết: p p a) 3 13 sina = với < a < p g) tana = ,0 < a < 5 2 8 2 4 p 19 p b) os c a = ,0 < a < h) cota = - , < a < p 13 2 7 2 4 3p 1 3p c) tana = - , < a < 2p i) os c a = - ,p < a < 5 2 4 2 3p 2 p d) cota = 3 - , < a < 2p j) sina = , < a < p 2 3 2 2 p 7 p e) sina = - ,0 < a < k) tana = ,0 < a < 5 2 3 2 p p f) 4 3 os c a = 3 0,8 với < a < 2p l) cota = - , < a < 2p 2 19 2 Giải p a) Do < a < p nên os
c a < 0, tana < 0,cota < 0 2 é 4 os c a = (loai) 16 ê 2 2 2 2 5 sin a + os c a =1Þ os c a =1- sin a = Û ê 25 4 ê os c a = - (nhan) êë 5 sina 3 tana = = - 4 ; cota = - os c a 4 3 3p c) Do
< a < 2p nên sina < 0, os c a > 0,cota < 0 2 é 5 os c a = (nhan) 1 25 ê 2 2 41 1+ tan a = Þ os c a = Û ê 2 os c a 41 ê 5 os c a = - (loai) êë 41 4 sina = os c a.tana = - 1 41 ; cota = = - 41 tana 4
Các bài tập còn lại làm tương tự. 1 p a
Bài tập 2.2: Biết sin a = và < a < p . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2a; 3 2 2 p 2 2
a) Do < a < p nên cos a < 0 Þ cos a = - 2 3 6 4 2
sin 2a = 2sin a cos a = - 9 7 2 2 os c 2a = os c a - sin a = 9 4 2 7 tan 2a = ;cot a = 7 4 2 p p a p a a b) < a < p Þ < < Þ os c > 0,sin > 0 2 4 2 2 2 2 a 1- cos a a 1- cos a 3 + 2 2 2 sin = Þ sin = = 2 2 2 2 6 a 1+ cos a 3 - 2 2 os c = = 2 2 6 a a t an = 3 + 2 2;cot = 3 - 2 2 2 2
Bài tập 2.3: Tính os
c 2a,sin 2a, tan 2a biết: 5 3p p 4 p a) cos a = - , p < a < 5 ; cos a = - ,
< a < p ; cos a = , - < a < 0 13 2 13 2 5 2 p b) 3 3
sin a = - , p < a < 5 2 p c) 1 3
sin a + cos a = và < a < p 2 4 Hướng dẫn:
a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi. 12 119 sin a = - 120 ; sin 2a = ; 2 2 os c 2a = os c a - sin a = - hoặc 2 os
c 2a = 2cos a -1; 13 169 169 120 tan 2a = - 169 1 1 1 3
c) sin a + cos a = Û (sin a + cos a)2 = Û 1+ sin 2a = Þ sin 2a = - 2 4 4 4 3p p < 3 7 a < p Þ < 2a < 2p Þ os c 2a > 0; 2 os
c 2a = 1- sin 2a = 4 2 4 3 tan 2a = - 7 7 5 p
Bài tập 2.4: Cho sin 2a = - và < a < p . Tính sina, cosa 9 2 p
+ Vì < a < p nên sin a > 0,cos a < 0 2 p
+ < a < p Þ p < 2a < 2p nên cos2a có thể dương và có thể âm 2 2 14 2 os
c 2a = ± 1- sin 2a = ± 9 2 14 TH1: os c 2a = 9 1+ os c 2a 2 + 14 - c a - cos a = - = - 1 os2 14 2 ; sin a = = 2 6 2 6 2 14 TH2: os c 2a = - 9 1+ os c 2a 14 - 2 - c a + cos a = - = 1 os2 2 14 ; sin a = = 2 2 2 6 Dạng 3:
Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: 3 3 sin a + os c a a)
=1- sin a cos a Biến đổi: sin a + cos a 3 3 a + c a = ( a + a)( 2 2 sin os sin cos
sin a - sin a cos a + os c a) 2 2 sin a - os c a tan a -1 b) = Biến đổi: 2 2 sin a - os c
a = (sin a + cos a)(sin a - cos a) , chia tử và 1+ 2sin a cos a t ana +1 mẫu cho cos a c) 4 4 6 6 2 2 sin a + os c a - sin a - os c
a = sin a cos a Biến đổi: 6 6 a + c a = ( 2 2 a + a)( 4 2 2 4 sin os sin cos
sin a - sin a cos a + os c a) - d) t ana tan b = 1 1
tan a tan b Biến đổi: cot b - cot a = - cot b - cot a t anb t ana e) ( 6 6 sin a + c a) + = ( 4 4 2 os 1 3 sin a + os c a) 8 6 6 VT = sin a + os c a = 2( 2 2 sin a + os c a)( 4 2 2 4
sin a - sin a cos a + os c a) +1 = 2(sin a + os c
a) +1- 2sin acos a = 2(sin a + os c a) + (sin a + os c a)2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2
- 2sin a cos a = VP f) ( 4 4 x + c x) - ( 6 6 3 sin os 2 sin x + os c x) =1
Sử dụng a + b = (a + b)2 2 2 - 2ab và 3 3 a + b g) 2 2 2 2
tan a - sin a = tan . a sin a 2 sin a 2 2 VT =
- sin a = sin a ( 2 1+ tan a -1 = VP 2 ) os c a sin a 1+ cos a 2 h) + = 1+ cos a sin a sin a a + ( + a)2 2 2 2 sin 1 cos
sin a +1+ 2cos a + os c a VT = = = VP sin a (1+ cos a) sin a (1+ cos a) i) 4 4 2 os c
a - sin a = 2cos a -1 Sử dụng 2 2 a - b 2 1+ sin a j) 2 1+ 2 tan a = ( nếu sin a ¹ 1 ± ) 2 1- sin a 2 2 1+ sin a 1 sin a VP = = + = ... = VT 2 2 2 os c a os c a os c a 2 2 sin a - os c a 1- cot a k) =
1+ 2sin a cos a 1+ cot a sin a - cos a
(sin a -cosa)(sin a + cosa) sin a VT = = = VP ( + )2 sin a + cos sin cos a a a sin a l) 2 2 2 2 cot a - os c
a = cot a cos a 2 os c a cos a ( 2 2 1- sin a 2 ) VT = - os c a = = VP 2 2 sin a sin a m) 2 2 2 2
tan a - sin a = tan a sin a t ana sin a n) - = cos a sin a cot a 2 1+ sin a o) 2 =1+ 2 tan a 2 1- sin a 9 2 2 os c a - sin a p) 2 2 = sin . a os c a 2 2 cot a - tan a
Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau: 1 3 1 a) 4 4 2 sin a + os c
a = 1- sin 2a = + os c 4a 2 4 4 sin a + os c a = (sin a + os c
a)2 - 2sin acos a =1- 2.(sin acos a)2 1 4 4 2 2 2 2 2 =1- sin 2a ( ) 1 2 1 1 æ1- os4a c ö 1 1 3 1 2 =1- sin 2a =1- =1- + os c 4a = + os c 4a ç ÷ (2) 2 2 è 2 ø 4 4 4 4 Từ (1) và (2) suy ra đpcm b) 5 3 6 6 sin a + os c a = + os c 4a 8 8 Hướng dẫn: 3 3 + = ( + )( 2 2 x y
x y x - xy + y ) sau đó áp dụng x + y = (x + y)2 2 2 - 2xy c) 1 5 5
sin a cos a - cos a sin a = sin 4a 4 5 5 a a - a a = a a ( 4 4 c a - a) = a a ( 2 2 c a - a)( 2 2 sin cos cos sin sin cos os sin sin cos os sin os c
a + sin a) = ... 1 d) 8 8 os c a - sin a = os
c 2a - sin 4a sin 2a 4 Sử dụng 2 2
a - b = (a - b)(a + b) sau đó sử dụng a + b = (a + b)2 2 2 - 2ab os c 2a cos a - sin a e) = 1+ sin 2a cos a + sin a 2 2 2 2 os c a - sin a os c a - sin a VT = = = ... 1+ 2sin a cos a (sin a + cosa)2 2 f) cot x + t anx = sin 2x 2 2 cos x sinx os c x + sin x Hướng dẫn: + = = ... sinx cos x sin x cos x
g) cot x - t anx = 2cot 2x phân tích như trên h) sin 2x = 2sin x cos x
t anx Hướng dẫn: VT = = ... 1+ os c 2x 2 os c x 10 1- os c 2x 2 2sin x i) 2
= tan x Hướng dẫn: VT = = ... 1+ os c 2x 2 2cos x j) 1 3 3 os c
a sin a - sin a cos a = sin 4a 4
Hướng dẫn: Tương tự như câu c 3 3 sin a - os c a sin 2a k) =1+
Sử dụng hằng đẳng thức 3 3 a - b sin a - cos a 2 + -
l) cos a sin a cos a sin a - = 2 tan 2a
cos a - sin a cos a + sin a
Hướng dẫn: Quy đồng mẫu sin 2a - 2sin a a m) 2 = - tan sin 2a + 2sin a 2
Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng a 2 1- cos a = 2sin 2 1+ sin a æ p a n) 2 ö = cot - ç ÷ 1- sin a è 4 2 ø æ p ö æ p 2 a ö 1+ os c - a 2cos - ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 4 2 VT ø = = = VP æ p ö æ p 2 a ö 1- os c - a 2sin - ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 4 2 ø sin 2a + sin a 0) = t ana 1+ os
c 2a + cos a Hướng dẫn: 2sin a cos a VT = = ... 2 2cos a + cos a 2 4sin a p) 2 a 2 a 1- os c =16cos 2 2 a a 4.4sin os c Hướng dẫn: 2 2 VT = = VP 2 a sin 2 q) tan 2a = os c 4a tan 4a - tan 2a 11 2 tan 2a 1- tan 2a VT = = = ... 2 2 tan 2a 1+ tan 2 - tan 2 a a 2 1- tan 2a 3 - 4cos 2a + os c 4a r) 4 = tan a 3 + 4cos 2a + os c 4a HD: 2 os
c 4a = 2cos 2a -1 sau đó sử dụng 2 os c 2a -1 = 2 - sin a
sin a + sin 3a + sin 5a s) = tan 3a cos a + os3 c a + os5 c a
(sin5a +sin a)+sin3a VT = = ... ( os5 c a + osa c )+cos3a + t) 1 cos a a 2 2 2 tan - os c a = sin a 1- cos a 2
Sử dụng công thức hạ bậc a 2 1+ cos a = 2cos 2
Bài tập 3.3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a a) A = ( 6 6 a + c a) - ( 4 4 2 sin os 3 sin a + os c a) Sử dụng 3 3 a + b A = 1 - b) B = ( 4 4 4 sin a + os c a) - os c 4a
Sử dụng a + b = (a + b)2 2 2 - 2ab và 2 os
c 2a = 1- 2sin a B = 3 1 c) 4
4cos a - 2cos 2a - os c 4a 2 Sử dụng 2 os2a c =2cos a - 3 1 C = 2 Dạng 4:
Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau: a) A = ( 2 - a) 2 2 1 sin
cot a +1- cot a 2 os c a 2 2 2 2 2 2
A = cot a - sin .
a cot a +1- cot a = 1- sin a = sin a 2 sin a 12 2 2cos a -1 b) B = sin a + cos a 2 2 os c a - sin a B =
= cos a - sin a sin a + cos a c) C = ( + a) 3 a + ( + ) 3 1 cot sin 1 t ana os c a æ cos a ö æ sin a 3 ö 3 C = 1+ sin a + 1+ os c a = ç ÷ ç ÷ (sin a + cosa) 2
sin a + (cos a + sin a) 2 os c
a = sin a + cos a è sin a ø è cos a ø 2 2 sin a - tan a d) D = 2 2 os c a - cot a 2 2 æ 1 ö - 2 1 os sin 1 c a a - ç 2 ÷ sin a 2 è os c a ø sin os a c a ( 2 4 -sin a) 6 D = = = . = tan a 2 4 æ 1 ö 1- sin a os c a - ( 2 2 2 - os c a) os c a 1 ç ÷ os c a 2 2 è sin a ø sin a ( a + a)2 sin cos -1 e) E =
cot a - sin a cos a 2 2
sin a + 2sin a cos a + os c
a -1 2sin a cos . a sin a 2 E = = = 2 tan a 2 æ 1 ö cos . a cos cos - sin a a a ç ÷ è sin a ø 2 2 1- sin a cos a f) 2 F = - sin a 2 sin a æ 1 ö 1 2 2 F = - os c a - sin a =
- cos a + sin a =1+ cot a -1 = cot a ç 2 ÷ 2 ( 2 2 ) 2 2 è sin a ø sin a 2 2cos a -1 g) G = sin a + cos a 2 a - ( 2 2 a + c a) 2 2 2cos sin os os c a - sin a G = =
= cos a - sin a sin a + cos a sin a + cos a h) 2 H = a ( + a) 2 sin 1 cot + os c a (1+ t ana) cos a sin a 2
H = sin a (1+ cot a) 2 + os c a (1+ t ana) 2 2 2 2 = sin a + sin a + os c a + os c . a sin a cos a = a + a a + c a = ( a + a)2 2 2 sin 2sin cos os sin cos i) 2 2 2 I = os c a + os c . a cot a I= 2 cot a j) 2 2 2
J = sin a + sin . a tan a J= 2 tan a 13 2 2cos a -1 k) K =
K= cos a - sin a sin a + cos a
Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức: æ p ö æ p a) 2 2 ö A = sin a + sin -a + os c a - + sin ç ÷ ç ÷ (a -p ) A=1 è 2 ø è 2 ø p p b) 3 2 2 2 B = sin + sin - os c a B= 2 sin a 8 8 3p æ p 3p ö p Hướng dẫn: sin = os c - = os c ç ÷ 8 è 2 8 ø 8 æ p ö æ p ö æ p c) ö C = x - + c ç ÷ (p - x) 5 sin os + tan - x + tan x - C=-2cosx ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ p ö é æ p öù æ p Hướng dẫn: ö sin x - = sin - - x = -sin - x = - cos x ; ç ÷ ê ç ÷ú ç ÷ è 2 ø ë è 2 øû è 2 ø os
c (p - x) = -cos x æ 5p ö æ p ö æ p ö tan
- x = tan 2p + - x = tan - x = cot x ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ p ö tan x - = - cot x ç ÷ è 2 ø æ17p ö æ 9p d) ö
D = sin (p + x) + os c
+ x + tan (5p - x) - cot x - ç ÷ ç ÷ D=-2sinx è 2 ø è 2 ø æ17p ö æ p ö Hướng dẫn: os c + x = os c + x + 8x = -sinx ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ 9p ö é æ 9p öù æ 9p ö æ p ö æ p ö cot x - = cot - - x = - cot - x = - cot - x + 4p = - cot - x = - t anx ç ÷ ê ç ÷ú ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø ë è 2 øû è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ p ö æ p e) ö E = (p + a)-c - a + ç ÷ ( p - a) 3 sin ó cot 2 + tan - a E=-2sina ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ 3p ö æ p ö æ p Hướng dẫn: ö tan - a = tan p é ù + - x = tan - x = cot a ç ÷ ê ç ÷ú ç ÷ è 2 ø ë è 2 øû è 2 ø Bài tập 4.3: Tính: a) 2 0 2 0 2 0 2 0
A = sin 10 + sin 20 + sin 30 + ... + sin 80 ( 8 số hạng) A = ( 2 0 2 0 + )+( 2 0 2 0 + )+( 2 0 2 0 + )+( 2 0 2 0 sin 10 sin 80 sin 20 sin 70 sin 30 sin 60 sin 40 + sin 50 ) 14 = ( 2 0 2 0 + c )+( 2 0 2 0 + c )+( 2 0 2 0 + c )+( 2 0 2 0 sin 10 os 10 sin 20 os 20 sin 30 os 30 sin 40 + os c 40 ) = 4 b) 0 0 0 0 B = os10 c + os c 20 + os30 c +...+ os18 c 0 (18 số hạng) B = ( 0 0 c + c )+( 0 0 c + c )+ +( 0 0 os10 os170 os20 os160 ... os90 c + os c 180 ) = ( 0 0 c - c )+( 0 0 os10 os10 os20 c - os20 c )+...+(0+(- )1) = 1 - 25p 9p 4p 19p c) C = sin + os c + tan - cot 4 4 3 6 æ p ö æ p ö æ p ö æ p ö p p p p C = sin + 6p + os c + 2p + tan + p - cot + 3p = sin + os c + tan - cot = 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 4 ø è 3 ø è 6 ø 4 4 3 6 d) 0 0 0 0
D = tan10 .tan 20 ...tan 70 , tan 80 D = ( 0 0 t )( 0 0 )( 0 0 t )( 0 0 an10 .tan 80 tan 20 .tan 70 an 30 .tan 60 tan 40 .tan 50 ) = ( 0 0 tan10 .cot10 )..... =1 e) 0 0 0 0 E = os c 20 + os c 40 + os c 60 + ...+ cos180 E = ( 0 0 c + c )+( 0 0 c + c ) 0 os20 os160 os40 os140 + ...+ os c 180 = 1 - ( 0 c = c ( 0 0 - ) 0 os160 os 180 20 = - os
c 20 ; tương tự những phần còn lại nên 0 0 os c 20 + os c 160 = 0 )
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1. Nhận biết:
Câu 1: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là : p p A. p 120 3 B. C. 2 12p D. 2 3
Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos 45o = sin135 .o B. cos120o sin 60o =
. C. cos45o = sin 45 .o D. cos30o = sin120 .o
Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi a; b ta có: A. os( c
a +b )=cosa +cosb C. tan(a + b ) = tana + tan b tana - tan b B. os( c
a-b )=cosacosb -sinasinb . D. tan (a - b ) = 1+ tana.tan b
Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi a; b ta có: sin a a p A. 4 1+ = tan æ ö tan a 2 C. = tança + ÷ cos a 2 1- tana è 4 ø 15 B. os( c
a +b )=cosacosb -sinasinb D. sin(a + b ) = sina os c b -cosasinb p Câu 5: 3 sin là: 10 4p p p p cos B. cos C. 1- cos - cos A. 5 5 5 D. 5 2. Thông hiểu: p p Câu 6: Biểu thức 3
A = sin(p + x) - cos( - x) + cot(-x + p ) + tan(
- x) có biểu thức rút gọn 2 2 là:
A. A = 2sin x .
B. A = -2sin x C. A = 0 .
D. A = -2 cot x .
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx
B. (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx
C. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x
D. sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x
Câu 8: Tính giá trị của biểu thức P = tana - tana 2 sin a nếu cho 4 3p cosa = - ( p á a á ) 5 2 A. 12 B. - 1 3 C. D. 1 15 3 æ p Câu 9: Cho 2 ö cos x =
- < x < 0 thì sin x có giá trị bằng : ç ÷ 5 è 2 ø 3 3 - 1 - 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 p p Câu 10: Biết 5 3 sin a = ; cos b =
( < a < p ; 0 < b < ) Hãy tính sin(a + ) b . 13 5 2 2 63 A. 0 B. C. 56 D. 33 - 65 65 65
Câu 11: Với mọi số nguyên k, khẳng định nào sau đây là sai? p p A. k k cos(kp ) = (- ) 1 B. k tan( + ) = (- ) 1 4 2 p p p C. k k 2 sin( + ) = (- ) 1 D. k sin( + kp ) = (- ) 1 4 2 2 2 16 p Câu 12: Giá trị os[ c + (2k +1)p ] bằng : 3 A. 3 - B. 1 C. 1 - D. 3 2 2 2 2
Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài
quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe
gắn máy bằng 6,5cm (lấy p = 3,1416 ) A. 22054cm B. 22043cm C. 22055cm D. 22042cm
Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm .Trong
30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là: A. 2,77cm . B. 2,78cm . C. 2,76cm . D. 2,8cm. Câu 15: Cho 5
sin a + cos a = . Khi đó sin .
a cos a có giá trị bằng : 4 A. 9 3 5 1 B. C. D. 32 16 4 3. Vận dụng thấp:
Câu 16: Đơn giản biểu thức sin = x E cot x + ta được 1+ cos x A. 1 B. cosx C. sinx D. 1 sin x cos x p p p p Câu 17: Cho cot = 2 4 6 a .Tính K = sin + sin + sin 14 7 7 7 a A. a a B. - a C. D. 2 2 4
Câu 18: Đơn giản biểu thức cos x tan x F = - cot x cos x sin2x A. 1 B. 1 C.cosx D. sinx sin x cos x
Câu 19: Đơn giản biểu thức G 2 = 1 ( - sin x 2 ) cot x 2 +1- cot x A. 1 B. 1 C.cosx D. sin2x sin x cos x Câu 20: Tính 0 0 0 0
M = tan1 tan 2 tan 3 ....tan 89 17 A. 1 1 B. 2 C. 1 - D. 2 4. Vận dụng cao: 1
Câu 21:Cho sin x + cos x = và gọi 3 3 M = sin x + cos .
x Giá trị của M là: 2 1 11 11 A. 7 M = . B. M = . C. M = - . D. M = - . 8 16 16 16 a + a Câu 22: Cho 2sin 3cos tana = 3 . Khi đó có giá trị bằng : 4sina - 5cosa A. 7 . B. 7 - . C. 9 . D. 9 - . 9 9 7 7
Câu 23: Cho tana + cota = m Tính giá trị biểu thức 3 3 cot a + tan a . A. 3 m + 3m B. 3 m - 3m C. 3 3m + m D. 3 3m - m
Câu 24: Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng 1 1 1 1 1 1 x p + +
+ cos x = cos , 0 < x < . 2 2 2 2 2 2 n 2 A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. Câu 25: Biết 1 1 1 1 + + +
= 6 . Khi đó giá trị của cos2x bằng 2 2 2 2 sin x cos x tan x cot x A. 2 - . B. 2 . C. 1 - . D. 0 . 18 CHỦ ĐỀ 2:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ( 2 tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hµm sè y = sin x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ! ; */ x " Î! ta lu«n cã: 1 - £ sin x £1;
*/ Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ trªn ! vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2p . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 2. Hµm sè y = cos x. */ TËp x¸c ®Þnh: D = ! ; */ x " Î! ta lu«n cã: 1 - £ cos x £1;
*/ Hµm sè y = cos x lµ mét hµm sè ch½n trªn ! vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2p . */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π -1 3. Hµm sè y = tan x. 19 ìp ü
*/ TËp x¸c ®Þnh: D = ! \ í + kp ,k Î"ý ; î 2 þ
*/ Hµm sè y = tan x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú p ; */ §å thÞ: y 1 x -3π/2 -π -π/2 -π/4 π/4 π/2 π 3π/2 -1 4. Hµm sè y = cot x.
*/ TËp x¸c ®Þnh: D = ! \ {kp ,k Î } " ;
*/ Hµm sè y = cot x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú p ; */ §å thÞ: y 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π -1
B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 1.1 Kĩ năng cơ bản
a. D được gọi là TXĐ của hs y = f (x) Û D = { x Î ! | f (x) có nghĩa} A b.
có nghĩa khi B ¹ 0 ; A có nghĩa khi A ³ A 0 ;
có nghĩa khi B > 0 B B 20 c. 1
- £ sinx £1 ; -1 £ cosx £1 1± sinx ³ 0 &1± cos x ³ 0
d. Các giá trị đặc biệt : p
•sin x ¹ 0 Û x ¹ kp , k Î! • os c x ¹ 0 Û x ¹
+ kp ,k Î! 2 p
•sinx ¹ 1 Û x ¹ + k2p , k Î! • osx c
¹ 1 Û x ¹ k2p , k Î! 2 p
•sinx ¹ -1 Û x ¹ - + k2p , k Î ! • osx c
¹ -1 Û x ¹p + k2p , k Î! 2 p
e. Hàm số y = tanx xác định khi x ¹
+ kp ,k Î! 2
f. Hàm số y = cotx xác định khi x ¹ kp , k Î!
1.2 Bài tập luyện tập
Bài 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 1/ y = cos 2x 2/ y = sin 3x 1 3/ y = sin 4/ 2 y = cos x - 4 x Gi¶i.
1/ Do 2x Î ! , x
" Î! nªn hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = ! .
2/ Hµm sè y = sin 3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 3x ³ 0 Û x ³ 0 . VËy tËp x¸c
®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D = [0;+¥). 1 3/ Hµm sè y = 1
sin x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi Î ! Û x ¹ 0. VËy tËp x¸c x x
®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D = ! \ { } 0 . éx £ 2 - 4/ Hµm sè 2
y = cos x - 4 x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 2 x - 4 ³ 0 Û . VËy ê ëx ³ 2
tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D = ( ; -¥ 2 - ]È[2;+¥).
Bài 2: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè: 21 1- cos x 1/ y = ;
2/ y = 2 - cos3x ; sin x æ p ö æ p ö 3/ y = cot x + ; 4/ y = tan 2x - . ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 6 ø Gi¶i. 1- cos x 1/ Hµm sè y =
x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi sin x ¹ 0 Û x ¹ kp , k Î! . sin x
VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D = ! \ {kp , k Î } " .
2/ Hµm sè y = 2 - cos3x x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 2 - cos3x ³ 0. Mµ 2 - cos3x ³ 0 x
" Î! . VËy hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = ! . æ p ö
3/ Hµm sè y = cot x + x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi ç ÷ è 3 ø æ p ö p p sin x +
¹ 0 Û x + ¹ kp Û x ¹ - + kp , k Î!. VËy tËp x¸c ®Þnh cña ç ÷ è 3 ø 3 3 ì p ü
hµm sè ®· cho lµ D = ! \ í- + kp ,k Î"ý. î 3 þ æ p ö
4/ Hµm sè y = tan 2x - x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi ç ÷ è 6 ø æ p ö p p 2p p p cos 2x -
¹ 0 Û 2x - ¹ + kp Û 2x ¹
+ kp Û x ¹ + k , k Î . ! VËy ç ÷ è 6 ø 6 2 3 3 2 ìp p ü
tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ D = ! \ í + k , k Î"ý. î 3 2 þ
Dạng 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
2.1. Kĩ năng cơ bản
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x ÎD Þ -xÎD, "x
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng 22
+) Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn.
+) Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.
+) Nếu f(-x) ¹ - f(x) ¹ f(x) thì f(x) là hàm số không chẵn không lẻ.
Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn
+ Tích của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là hàm chẵn
+ Tích của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ
+ Bình phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chúng ta
có thể xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác một cách nhanh chóng để làm trắc
nghiệm nhanh chóng hơn nhiều). 2.2 Bài tập luyện tập
Bài tập: X¸c ®Þnh tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè: 1/ y = x2sin 3x 2/ y = cosx + sin2x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx – 3sinx. Gi¶i.
1/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = x2sin 3x lµ D = ! . x " Î D ta cã: */ -x Î D ;
*/ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x).
VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn ! .
2/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = cosx + sin2x lµ D = ! . x " Î D ta cã: */ -x Î D ;
*/ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x).
VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè ch½n trªn ! . ìp ü
3/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = tanx.cos2x lµ D = ! \ í + kp ,k Î"ý . î 2 þ 23 x " Î D ta cã: */ -x Î D ;
*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).
VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn D.
4/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = 2cosx – 3sinx lµ D = ! . æ p ö 5 2 æ p ö 2 æ p ö æ p ö Ta cã f - = , mÆt kh¸c f = - nªn f - ¹ ±f . ç 4÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2 è 4 ø 2 è 4 ø è 4 ø
VËy hµm sè ®· cho kh«ng ph¶i lµ hµm sè ch½n vµ còng kh«ng ph¶i lµ hµm sè lÎ.
Dạng 3: Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3.1 Kĩ năng cơ bản
Sử dụng các t/c sau : • 1
- £ sinx £1 ; -1 £ cosx £1; 0 £ sin2 x £1 ; A2 + B ³B • 2 1 - £ -sinx £1, -1 £ - osx c £1;0 £ cos x £1
• Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn [a;b] thì a
m x f (x) = f (b) ; min f (x) = f (a) [a;b] [a;b]
• Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn [a;b] thì a
m x f (x) = f (a) ; min f (x) = f (b) [a;b] [a;b] • 2 2 2 2
- a + b £ a sin x + b cos x £ a + b
3.2 Bài tập luyện tập
Bài tập: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè: æ p ö 1/ y = 2cos x - - 1
2/ y = 1+ sin x - 3 ç 3 ÷ è ø Gi¶i: æ p ö æ p ö
1/ Ta cã "xÎ ! : -1£ cos x - £ 1Þ -2 £ 2cos x -
£ 2 Þ -3£ y £ 1. VËy ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø
gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ 1, x¶y ra khi æ p ö p p cos x - = 1Û x - = k p 2 Û x = + k p 2 ,kÎ!. ç ÷ è 3 ø 3 3 24
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y lµ -3 ®¹t ®-îc khi æ p ö p p x -
= - Û x - = p + k p Û x = 4 cos 1 2 + k p 2 , kÎ!. ç ÷ è 3 ø 3 3
2/ Ta cã "xÎ ! ,0 £ 1+ sin x £ 2 Þ 0 £ 1+ sin x £ 2 Þ -3£ y £ 2 - 3. p
VËy, gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ 2 - 3, khi sin x = 1Û x = + k p 2 , kÎ!; gi¸ trÞ 2 p
nhá nhÊt cña y lµ -3, khi sin x = -1 Û x = - + k p 2 , kÎ!. 2
Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác
Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức
của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:
1) Hàm số y = sinx , y = cosx có chu kỳ T = 2p .
2) Hàm số y = tanx , y = cotx có chu kỳ T = p .
3) Hàm số y = sin(ax+b) , y = cos(ax+b), với a ¹ 2p 0 có chu kỳ T = . a p
4) Hàm số y = tan(ax+b) , y = cot(ax+b), với a ¹ 0 có chu kỳ T = . a 5) Hàm số f T f T f ± f
1 có chu kỳ là 1 , hàm số
2 có chu kỳ là 2 thì hàm số 1 2 có chu kỳ
T = BCNN (T ,T ) . 1 2 Bài tập:
Bài 1. Tìm chu kỳ của hàm số æ p ö y = 1- cos 3x - ç ÷ è 5 ø p Giải: Chu kỳ 2 T = 3 æ p
Bài 2. Tìm chu kỳ của hàm số ö y = 2cot 4 - x - ç ÷ è 3 ø p p Giải: Chu kỳ T = = 4 - 4
Bài 3. Tìm chu kỳ của hàm số 2
y = cos x + tan(2x -p ) 25 + p Giải: ta có: 1 cos 2x 2 2 cos x = ® T = = p 1 2 2 p
tan(2x -p ) ® T = 2 2 æ p
Vậy chu kỳ của hàm số là: ö T = BCNN ;p = p ç ÷ è 2 ø
Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số y = sin x cos3x Giải: Ta có : 1 1
y = sin x cos3x = - sin 2x + sin 4x 2 2 p +) Hàm số 1 2
y = - sin 2x có chu kỳ T = = p 2 1 2 p p +) Hàm số 1 2
y = sin 4x có chu kỳ T = = 2 2 4 2 æ p
Vậy chu kỳ của hàm số là: ö T = BCNN ;p = p ç ÷ è 2 ø
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1. Nhận biết
Câu 1. Tập xác định của hàm số 1 y = là? 2 sin x ìp A. ü D = ! \{kp}
B. D = ! . C. D = ! \{ } 0
D. D = ! \ í + kp ý î 2 þ
Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = cos x . B. y = sin x C. y = tan x D. y = cot x
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Hàm số y = cot x có tập giá trị là [0;p ].
B. Hàm số y = sin x có tập giá trị là[ 1; - ] 1 .
C. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [ 1; - ] 1 .
D. Hàm số y = tan x có tập giá trị là ! .
Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin 2x - 5 là: A. 2 - . B. -8. C. 5 - . D. 3. 26
Câu 5. Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
A. p . B. 2p . C. 3p . A. 4p . 2. Thông hiểu
Câu 6. Tập xác định của hàm số y = tan 2x là p p p p p p A. x π + k B. x π + kp C. x π + kp D. x π + k 4 2 2 4 8 2
Câu 7. Tập xác định của hàm số sin = x y là 1- cos x ìp A. ü
D = ! \{k2p | k Î } "
B. D = ! \ í + k2p | k Î" ý î 2 þ C. ìp ü
D = ! \{kp | k Î } "
D. D = ! \ í + kp | k Î"ý î 2 þ
Câu 8. Tập xác định của hàm số 1 y = là? 2 - cos x ìp A. ü
R . B. R \{k2p , k ÎZ}
C. R \ í + k2p,k ÎZý D. R \{ } 2 î 2 þ
Câu 9. Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D. Khẳng định nào sai?
A. f[sin(– x)] = – f(sinx).
B. f[cos(– x)] = f(cosx).
C. sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ].
D. cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ].
Câu 10. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó? 2 A. sin = x sin x cos x tan x y . B. y = . C. y = . D. y = . 1- sin x 1+ cos x 2 x + x 2 1+ sin x
Câu 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số p
y = 7 - 2cos(x + ) lần lượt là: 4 A. 2 - à v 7 . B. 2 - à v 2 . C. 5 à v 9 . D. 4 à v 7 .
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x - 4sin x + 2 là: A. 20 - . B. 1 - . C. 0 . D. 9.
Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = 4 - 2cos x - cos x là: A. 2 . B. 5. C. 0 . D. 3. 27
Câu 14. Tập giá trị của hàm sô y = tan(x - 2) là A. ! \{ } 0 B. ! \{ } 1 C. ! \{ 1 - , } 1 D. ! Câu 15. Hàm số æ p ö y = tan 4 - x-
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ ç ÷ è 2 ø p p p p A. - . B. . C. - . A. . 4 2 2 4 3. Vân dụng
Câu 16. Tập xác định của hàm số 2
y = tan x +1 là: ìp ìp p A. ü ü
D = ! \ í + kp ý B. D = ! \{kp} C. D = !
D = ! \ í + k ý î 2 þ D. î 2 2 þ
Câu17. Tập xác định của hàm số y = 1+ cos x là? ìp A. ü
R . B. R \{k2p , k ÎZ}
C. R \ í + k2p,k ÎZý
D. R \{kp,k ÎZ} î 2 þ
Câu 18. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R? A. y = x.cos2x.
B. y = (x2 + 1).sinx. C. y = cos x . D. tan = x y . 2 1+ x 2 1+ x
Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 -1 lần lượt là: A. 2 à v 2 . B. 2 à v 4 . C. 4 2 à v 8 . D. 4 2 -1 à v 7 .
Câu 20. Hàm số y = sin 2x + cos3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
A. p . B. 2p . C. 3p . A. 4p .
Câu 21. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3- 1- cos x bằng: A. 6 - 2 . B. 4 + 2 . C. 4 - 2 . D. 2 + 2 . 4. Vân dụng cao
Câu 22. Tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2m +1- cos x xác định trên R là
A. m ³ 0 . B. m £1 C. m ³1 D. m ³ 1 - 2
Câu 23. Gọi S là tập giá trị của hàm số sin x 3 y =
+ 3- cos 2x . Khi đó tổng các giá trị 2 4 nguyên của S là: A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7. 28 æ p
Câu 24. Với các giá trị nào của m thì hàm số 2 ö
y = tan x - 2(m -1)sin x + là hàm số lẻ? ç ÷ è 2 ø A. m = 2 ± . B. m = 1 ± C. m = ± 1 2 D. m ± 2 Câu 25. Hàm số 1 2x *
y = cos(2x +1) - sin(
- 3), mÎ • là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 m
3p thì giá trị của m bằng A. 1. B. 3. C. 6 . A. 2 . 29 CHỦ ĐỀ 3:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( 5 tiết)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh sin x = m (1)
B-íc1: NÕu |m|>1 ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
B-íc 2: NÕu |m| £ 1 ,ta xÐt 2 kh¶ n¨ng
- Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®-îc biÓu diÔn qua sin cña gãc ®Æc biÖt ,gi¶ sö a khi ®ã ph-¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng ®Æc biÖt. éx = a + k2p sin x = sina Û ,k Î! ê ëx = p -a + k2p
- Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®-îc qua sin cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã ta cã:
éx = arcsinm + k2p sin x = m Û ,k Î ê !
ëx = p - arcsinm + k2p
- Các trường hợp đặc biệt: p +) sin x = 1
- Û x = - + k2p , k Î! ; 2
+) sin x = 0 Û x = kp , k Î! ; p
+) sin x =1 Û x =
+ k2p , k Î!; 2
2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c cos x = m (b)
B-íc 1: NÕu m > 1ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm .
B-íc 2: NÕu m £ 1 ta xÐt 2 kh¶ n¨ng: 30
- Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®-îc biÓu diÔn qua cos cña gãc ®Æc biÖt, gi¶ sö gãca . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng éx = a + k2p cos x = cosa Û ,k Î! ê ëx = -a + k2p
- Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®-îc qua cos cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã
éx = arccos m + k2p
Ta cã: cos x = m Û ,k Î ê !
ëx = -arccos m + k2p
- Các trường hợp đặc biệt: +) cos x = 1
- Û x = p + k2p , k Î!; p
+) cos x = 0 Û x = + kp , k Î! ; 2
+) cos x =1 Û x = k2p , k Î! ;
3. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c tan x = m (c)
B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn p
cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp ,k Î ! 2
B-íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng
- Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®-îc biÓu diÔn qua tan cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö a khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng
tan x = tana Û x = a + kp ,k Î!
- Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®-îc qua tan cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®-îc
tan x = m Û x = arctan m + kp ,k Î !
NhËn xÐt: Nh- vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm
4. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c cot x = m (d)
B-íc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x ¹ 0 Û x ¹ kp k Î! 31
B-íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng
-Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®-îc biÓu diÔn qua cot cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö a khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng
cot x = cota Û x = a + kp ,k Î!
-Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®-îc qua cot cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®-îc
cot x = m Û x = arccot m + kp ,k Î!
NhËn xÐt: Nh- vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph-¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. C¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n.
Bài 1: Giải các phương trình sau: p 2 a)sin x = sin 0 b)sin 2x = - 1 sin 36
c)sin 3x =
d)sin x = 12 2 3 Giải é p é p x = + k2p x = + k2p p ê 12 ê 12 a)sin x = sin Û ê Û ê (k Î!) 12 p 11p êx p k2p ê = - + x = + k2p êë 12 êë 12 0
b)sin 2x = -sin 36 Û sin 2x = sin ( 0 36 - ) 0 0 é2x = 36 - + k360 Û ê 0 ê2x =180 - ë ( 0 36 - ) 0 + k360 0 0 é2x = 36 - + k360 Û ê 0 0
êë2x = 216 + k360 0 0 éx = 18 - + 180 k Û ê (k Î!) 0 0 êëx =108 + 180 k é p é p 2p 3x = + k2p x = + k 1 p ê 6 ê 18 3 c)sin 3x = Û sin 3x = sin Û ê Û ê (k Î!) 2 6 5 ê p 5 ê p 2p 3x = + k2p x = + k êë 6 êë 18 3 32 é 2 x = arcsin + k2p 2 ê 3 d)sin x = Û ê (k Î!) 3 2
êx = p -arcsin + k2p êë 3
Bài tập 2:Giải các phương trình sau: p 2 2 3 a) cos x = os c b) cos ( 0 x + 45 ) = c) os c 4x = - ; d) cos x = 4 2 2 4 Giải p p a) cos x = os c
Û x = ± + k2p (k Î!) 4 4 ( é + = + é = + x + ) 2 x k x k b) cos 45 = Û cos(x + 45 ) 0 0 0 0 0 45 45 360 45 360 0 0 0 = os c 45 Û ê Û ê (k Î!) 0 0 0 0 0 2 êëx + 45 = 45 - + k360 êëx = 90 - + k360 2 3p 3p 3p p c) os c 4x = - Û os c 4x = os c Û 4x = ± + k2p Û x = ± + k ,(k Î!) 2 4 4 16 2 3 3 d) cos x =
Û x = ± arccos + k2p , k Î! 4 4
Bài 3: Giải các phương trình sau: p a) tan x = 1 tan
b) tan 4x = - c ( 0 ) tan 4x - 20 ) = 3 3 3 Giải p p a) tan x = tan
Û x = + kp ,(k Î!) 3 3 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö p
b) tan 4x = - Û 4x = arctan -
+ kp Û x = arctan - + k ,(k Î ç ÷ ç ÷ !) 3 è 3 ø 4 è 3 ø 4 c) tan ( 0 4x - 20 ) = 3 Û tan ( 0 4x - 20 ) 0 0 0 0 0 0
= tan 60 Û 4x - 20 = 60 + 180 k Û 4x = 80 + 180 k 0 0
Û x = 20 + k45 ,(k Î!)
Bài 4: Giải các phương trình sau: 33 3p æ p ö 1 a) cot 3x = cot b) cot 4x = 3 - c) cot 2x - = ç ÷ 7 è 6 ø 3 Giải 3p 3p p p a) cot 3x = cot Û 3x =
+ kp Û x = + k ,(k Î!) 7 7 7 3 p b x = - Û x = (- ) 1 ) cot 4 3 4
arctan 3 + kp Û x = arctan ( 3
- ) + k ,(k Î!) 4 4 æ p ö 1 æ p ö p p p p p p c) cot 2x - = Û cot 2x -
= cot Û 2x - = + kp Û 2x = + kp Û x = + k ,(k Î ç ÷ ç ÷ !) è 6 ø 3 è 6 ø 6 6 6 3 6 2
II. Mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng gÆp.
2.1- Ph-¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l-îng gi¸c D¹ng 1: 2
asin x + bsin x + c = 0 (a ¹ 0;a, , b c Î ! ) (1)
C¸ch gi¶i: §Æt t = sin x , ®iÒu kiÖn | t | £ 1
§-a ph-¬ng tr×nh (1) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x D¹ng 2: 2
acos x + bcos x + c = 0 (a ¹ 0;a,b,c Î ! ) (2)
C¸ch gi¶i: §Æt t = cos x ®iÒu kiÖn | t | £ 1 ta còng ®-a ph-¬ng tr×nh (2) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc
hai theo t , gi¶i t×m t råi t×m x D¹ng 3: 2
a tan x + b tan x + c = 0 (a ¹ 0;a,b,c Î ! ) (3) p
C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp ,k Î! 2
§Æt t = tan x (t Î ! ) ta ®-a ph-¬ng tr×nh (3) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo t , chó ý khi t×m
®-îc nghiÖm x cÇn thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng D¹ng 4: 2
a cot x + bcot x + c = 0 (a ¹ 0;a,b,c Î ! ) (4)
C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ¹ 0 Û x ¹ kp k Î ! §Æt t = cot x
(t Î ! ). Ta còng ®-a ph-¬ng tr×nh (4) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t. 34 Bài tập minh họa:
Bài tập 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2
2cos x - 3cos x +1 = 0 (1) écos x =1 éx = k2p
Gi¶i: Ph-¬ng tr×nh (1) ê ê Û 1 Û p ,k Î ê ! cos x = êx = ± + k2p ë 2 ë 3
VËy ph-¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm.
VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2
cot x - tan x + 4sin 2x = (2) sin 2x kp
Gi¶i: §iÒu kiÖn sin 2x ¹ 0 Û x ¹ ,k Î! 2 Ta cã: 2 2 cos x sin x 2 cos x - sin x 2 (2) Û - + 4sin 2x = Û + 4sin 2x = sin x cos x sin 2x sin . x cos x sin 2x écos2x =1 2cos 2x 2 2 2 4sin 2x cos 2x 2sin 2x 1
2cos 2x cos 2x 1 0 ê Û + = Û + = Û - - = Û 1 (*) sin 2x sin 2x êcos2x = - ë 2
Ta thÊy cos 2x = 1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Do ®ã (*) Û 1 2p p
VËy ph-¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm.
cos 2x = - Û 2x =
+ k2p Û x = ± + kp k Î ! 2 3 3
2.2- Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x,cos x
a) §Þnh nghÜa: Ph-¬ng tr×nh asin x + bcos x = c (1) trong ®ã a, b, cÎ ! vµ 2 2
a + b > 0 ®-îc
gäi lµ ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x,cos x
b) C¸ch gi¶i. Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b-íc B-íc 1: KiÓm tra -NÕu 2 2 a + b < 2
c ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm -NÕu 2 2 2
a + b ³ c khi ®ã ®Ó t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ta thùc hiÖn tiÕp b-íc 2
B-íc 2: Chia c¶ 2 vÕ ph-¬ng tr×nh (1) cho 2 2
a + b , ta ®-îc 35 a b c V× a 2 b 2 ( ) + (
) =1 nªn tån t¹i gãc a sao sin x + cos x = 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b 2 2 2 2 a + b a + b cho a b = a = a cos , sin 2 2 2 2 a + b a + b
Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (1) cã d¹ng c c sin .
x cosa + sina.cos x = Û sin(x + a) = 2 2 2 2 a + b a + b
§©y lµ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n cña sin mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i
C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b-íc B-íc 1: Víi x
cos = 0 Û x = p + k2p (k Î!) thö vµo ph-¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay 2 kh«ng? x
B-íc 2: Víi cos ¹ 0 Û x ¹ p + k2p (k Î Z ) 2 x 2 2t 1- t
§Æt t = tan suy ra sin x = , cos x = 2 2 2 1+ t 1+ t 2 2t 1- t
Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 2 a + b
= c Û (c + b)t - 2at + c - b = 0 (2) 2 2 1+ t 1+ t
B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x. * D¹ng ®Æc biÖt: p
. sin x + cos x = 0 Û x = - + kp (k Î!) 4 p
. sin x - cos x = 0 Û x = + kp (k Î!) . 4
Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau 2 2 2 2
- a + b £ asin x + bcos x £ a + b tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m GTLN vµ GTNN
cña c¸c hµm sè cã d¹ng y = a sin x + b cos x ,
asin x + bcos x y =
vµ ph-¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét
csin x + d cos x
sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c . VÝ Dô minh ho¹: 36
VÝ Dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin 2x - 3cos 2x = 3 (1)
Gi¶i :C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph-¬ng tr×nh (1) cho 2 2 1 + 3 = 10 ta ®-îc 1 3 3 sin 2x - cos 2x = 10 10 10 §Æt 3 1 = a =
a . Lóc ®ã ph-¬ng tr×nh (1) viÕt ®-îc d-íi d¹ng sin , cos 10 10
cosa sin 2x - sina cos 2x = sina Û sin(2x - a) = sin x éx = a + kp k Î!
é2x -a = a + k2p ê Û Û ê p
ë2x -a = p -a + k2p êx = + kp ë 2
VËy ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy cos x = 0 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh p -Víi -
cos x ¹ 0 Û x ¹
+ kp ,k Î! . §Æt t = 2 tan x ,lóc ®ã 2t 1 t sin 2x = , cos 2x = 2 2 2 1+ t 1+ t 2 2t 1- t
Ph-¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng 2 2 - 3
= 3 Û 2t - 3(1- t ) = 3(1+ t ) Û t = 3 2 2 1+ t 1+ t
Hay tan x = 3 = tana Û x = a + kp ,k Î !
VËy ph-¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm
C¸ch 3: BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng 2
sin 2x = 3(1 + cos 2x) Û 2sin .
x cos x = 6cos x éx = a + kp écos x = 0 étan x = 3 = tana ê Û Î Û p ,k !
(sin x - 3cos x)cos x = 0 Û Û ê êx = + kp ësin x 3cos x 0 ê - = ëcos x = 0 ë 2
VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm
Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tr-íc khi b¾t tay vµo gi¶i
ph-¬ng tr×nh bëi cã mét sè bµi to¸n ®· cè t×nh t¹o ra nh÷ng ph-¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Ta xÐt vÝ dô sau:
VÝ Dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 2(sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x (2) Gi¶i: 37
Ta biÕn ®æi ph-¬ng tr×nh (2)
Û 2 sin 2x + 2(1+ cos2x) = 3 + cos2x Û 2 sin 2x + ( 2 -1)cos2x = 3 - 2 2 2 2
a = 2 ; b = 2 -1 ; c = 3 - 2a + b = 2 + ( 2 -1) = 5 - 2 2 2 2 c = (3 - 2) =11- 6 2 Suy ra 2 2 a + b < 2
c VËy ph-¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .
Ngoµi ra chóng ta cÇn l-u ý r»ng viÖc biÕn ®æi l-îng gi¸c cho phï hîp víi tõng bµi to¸n sÏ biÓu
diÔn ch½n c¸c hä nghiÖm . Ta xÐt vÝ dô sau
VÝ Dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos7x - sin 5x = 3(cos5x - sin 7x) (4) Gi¶i: (4) Û
cos7x + 3 sin 7x = 3 cos5x + sin 5x 1 3 3 1 Û cos7x + sin 7x = cos5x + sin5x 2 2 2 2 p p p p p p
Û cos cos7x + sin sin 7x = cos cos5x + sin sin5x Û cos(7x - ) = cos(5x - ) 3 3 6 6 3 6 é p p é p é p 7x - = 5x - + k2p ê 2x = + k2p x = + kp 3 6 ê ê 6 12 Û ê Û ê Û ê k Î Z p p ê 3p p kp 7x -
= p - (5x - ) + k2p ê x = + k p êx = + ê 12 2 ë 3 6 êë 2 êë 8 6
VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm.
2.3- Ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi sin x vµ cos x .
a) §Þnh nghÜa: Ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi sin x , cos x lµ ph-¬ng tr×nh. 2 2
asin x + bsin .
x cos x + ccos x = d (1) trong ®ã a, b, c, d Î ! b) C¸ch gi¶i :
Chia tõng vÕ cña ph-¬ng tr×nh (1) cho mét trong ba h¹ng tö 2 2
sin x,cos x hoÆc sin . x cos x . Ch¼ng h¹n nÕu chia cho 2
cos x ta lµm theo c¸c b-íc sau: B-íc 1: KiÓm tra: p cos x = 0 Û x =
+ kp ,k Î! xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh(1) hay kh«ng? 2
B-íc 2: Víi cosx ¹ 0 chia c¶ hai vÕ cho 2
cos x lóc ®ã ph-¬ng tr×nh (1) trë thµnh 38 2 2 2
a tan x + b tan x + c = d (1+ tan x) Û (a - d ) tan x + b tan x + c - d = 0
§©y lµ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo tan ta ®· biÕt c¸ch gi¶i.
C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc - + 2 1 cos2x 2 1 cos2x sin 2x sin x = ; cos x = ; sin . x cos x = 2 2 2
®-a ph-¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph-¬ng tr×nh bsin 2x + (c - a)cos 2x = d - c - a
§©y lµ ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin vµ cos ta ®· biÕt c¸ch gi¶i
*Chó ý: §èi víi ph-¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc n (n ³ 3) víi d¹ng tæng qu¸t
(sinn ,cosn ,sink cosh A x x x
x) = 0 trong ®ã k + h = ;
n k,h,n Î •
Khi ®ã ta còng lµm theo 2 b-íc :
B-íc 1: KiÓm tra xem cos x = 0 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hay kh«ng?
B-íc 2: NÕu cos x ¹ 0.Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh trªn cho cosn x ta sÏ ®-îc ph-¬ng tr×nh
bËc n theo tan . Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ban ®Çu. VÝ Dô Minh Ho¹:
VÝ Dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 2 2 3 cos x + 6sin .
x cos x = 3 + 3 (1)
Gi¶i: C¸ch 1: Ph-¬ng tr×nh
(1) Û 3(1+ cos 2x) + 3sin 2x = 3 + 3 Û cos 2x + 3 sin 2x = 3 é p p é p 1 3 3 p 3 2x - = + k2p x = + p Û k2 cos 2x + sin 2x = Û cos(2x - ) = ê 3 6 ê 4 2 2 2 3 2 Û ê Û ê k Î! ê p p p x k2 ê - = - + p x = + k2p êë 3 6 êë 12
VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm. p
C¸ch 2: +) Thö víi cos x = 0 Û x = + k2p k Î! vµo ph-¬ng tr×nh (1) ta cã 0 = 3 + 3 2 p
Þv« lÝ.VËy x = + k2p k Î! kh«ng lµ nghiÖm cña ph-¬ngtr×nh. 2
+)Víi cos x ¹ 0 Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho 2 cos x ta ®-îc 2 2
2 3 + 6tan x = (3 + 3)(1+ tan x) Û (3 + 3) tan x - 6tan x + 3 - 3 = 0 39 étan x =1 é p ê x = + ê kp Û 3 - 3 Û 4 k Î ê ! tan x = = tana ê êë 3 + 3 ëx = a + kp
VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm
* Chó ý: Kh«ng ph¶i ph-¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn
mét sè phÐp biÕn ®æi thÝch hîp
VÝ Dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: p 3
sin (x - ) = 2 sin x (2) 4 p
Gi¶i :Ta nhËn thÊy sin(x - ) cã thÓ biÓu diÔn ®-îc qua sin x - cos x . Luü thõa bËc ba biÓu 4
thøc sin x - cos x
ta sÏ ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng thuÇn nhÊt ®· biÕt c¸ch gi¶i 3 Ph-¬ng tr×nh (2) p é p 3 ù
Û 2 2 sin (x - ) = 4sin x Û
2 sin(x - ) = 4sin x 4 ê 4 ú ë û 3
Û (sin x - cos x) = 4sin x p
+) XÐt víi cos x = 0 Û x = + k2p k Î!. Khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng 2 p p p 3
Û sin ( + kp ) = 4sin( + kp ) Þm©u thuÉn VËy ph-¬ng tr×nh kh«ng nhËn x = + k2p 2 2 2 lµm nghiÖm
+) Víi cos x ¹ 0. Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh (2) cho 3 cos x ta ®-îc : 3 2 3 2
(tan x -1) = 4(1+ tan x) tan x Û 3tan x + 3tan x + tan x -1 = 0 .
§Æt t = tan x ph-¬ng tr×nh cã ®-îc ®-a vÒ d¹ng: 3 2 2
3t + 3t + t -1 = 0 Û (t +1)(3t +1) = 0 p
Û t =1 Û x = - + kp k Î! 4
Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph-¬ng tr×nh .VËy ph-¬ng tr×nh cã duy nhÊt 1 hä nghiÖm 40
*Chó ý: Ngoµi ph-¬ng ph¸p gi¶i ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®· nªu ë trªn cã nh÷ng ph-¬ng tr×nh cã
thÓ gi¶i b»ng ph-¬ng ph¸p kh¸c tuú thuéc vµo tõng bµi to¸n ®Ó gi¶i sao cho c¸ch gi¶i nhanh nhÊt ,khoa häc nhÊt.
VÝ Dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 1- tan x (3) =1+ sin 2x 1+ tan x Gi¶i : ì p x ¹ + kp
§iÒu kiÖn ìcos x ¹ 0 ïï 2 í Û í k Î! îtan x = 1 - p ïx ¹ - + kp ïî 4
cos x - sin x = ( cosx +sin x)2
C¸ch 1: BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng : + cos x sin x
Û cos x - sin x = ( cos x + sin x)3
Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh (3) cho 3 cos x ¹ 0 ta ®-îc : 3 2 2 3 2 2
1+ tan x - 1+ tan x tan x = 1+ tan x Û tan x + tan x + 2tan x = 0 Û tan x + tan x + 2 tan x = 0 (*) ( ) ( ) ( ) (do 2
tan x + tan x + 2 = 0 v« nghiÖm) nªn:
Ph-¬ng tr×nh (*) Û tan x = 0 Û x = kp (k ÎZ ) VËy ph-¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm
C¸ch 2: BiÕn ®æi ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng æ p ö cos x + cos x sin x ç ÷ - è 4 ø æ p ö p 2
= (cos x + sin x)2 2 Û = 2sin x + Û cot(x + ) = ç ÷ cos x + sin x æ p ö è 4 ø 4 p 2 sin x + 1+ cot (x + ) ç ÷ è 4 ø 4 p
§Æt t = cot(x + ) ta ®-îc : 4 2 p 3 t =
Û t + t - 2 = 0 Û (t - )
1 ( 2t + t + 2 = 0 Û t =1hay cot(x + ) =1 2 ) 1+ t 4 p p
Û x + = + kp Û x = kp (k Î!) 4 4
VËy ph-¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm
2.4-Ph-¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sin x vµ cos x .
a) §Þnh nghÜa: Ph-¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sin x vµ cos x lµ ph-¬ng tr×nh d¹ng 41
a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0 trong ®ã a, , b c Î! (1) b) C¸ch gi¶i: C¸ch 1: Do 2
a(sin x + cosx) =1+ sin xcos x nªn ta ®Æt p p
t = sin x + cos x = 2 sin(x + ) = 2 cos( - x) . §iÒu kiÖn | t |£ 2 4 4 2 - Suy ra t 1 sin xcos x =
vµ ph-¬ng tr×nh (1) ®-îc viÕt l¹i: 2
bt + 2at - (b + 2c) = 0 2
§ã lµ ph-¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i p p
C¸ch 2: §Æt t =
- x th× sin x + cos x = 2 cos( - x) = 2 cost 4 4 1 1 p 1 2 1
sin xcos x = sin 2x = cos( - 2x) = cos 2t = cos t - nªn ph-¬ng tr×nh (1) trë thµnh 2 2 2 2 2 2 b
bcos x + 2 cos x - + c = 0 . §©y lµ ph-¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i 2
*Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph-¬ng tr×nh a(sin x - cos x) + bsin xcos x + c = 0 2
b»ng c¸ch ®Æt t = sin x - cos x Þ 1- t sin xcos x = 2 VÝ Dô Minh Ho¹ :
VÝ Dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin x + cos x - 2sin x cos x +1 = 0 (1) Gi¶i: 2 t -1
C¸ch 1: §Æt sin x + cos x = t ®iÒu kiÖn | t |£ 2 . Lóc ®ã sin x cos x = 2 2 ét = 1 -
Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng t -1 t - 2( ) +1 = 0 2
Û t - t - 2 = 0 Û (*) ê 2 ët = 2
Víi t = 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn 42 (*) Û t = 1
- Û sin x + cos x = 1 - é p p p 1 x = - + k2p ê Û 2 sin(x + ) = 1 - Û sin(x + ) = - Û 2 k Î! 4 4 2 ê ëx = p + k2p p
C¸ch 2: §Æt z =
- x . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng 4 p p
2 cos( - x) - sin 2x +1 = 0 Û 2 cos z - sin 2( - z) +1 = 0 4 4 Û p
2 cos z - sin( - z) +1 = 0 Û 2 cos z - cos 2z + 2 = 0 2 écos z = 2 2 Û ê
2 cos z - (2cos z -1) +1 = 0 Û 2 2
- cos z + 2 cos z +1 = 0 Û (*’) ê 2 cos z = - êë 2
Ta thÊy cos z = 2 kh«ng tho¶ m·n é 3p ép 3p z = - + k2p - = + p ê x k2 ê é p Do ®ã (*’) 2 4 4 4 x = - - k2p ê Û cos z = - Û ê Û ê Û 2 k Î! 2 3p ê p 3p ê z = + k2p ê - x = + k2p ëx = p - k2p êë 4 êë 4 4
VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm
VÝ Dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh tan x - 3 cot x - sin x + 3 cos x +1 - 3 = 0 (3) Gi¶i:§iÒu kiÖn kp
sin 2x ¹ 0 Û x ¹ k Î ! 2
(3) Û tan x - sin x - 3(cot x - cos x) +1 - 3 = 0 1 3 Û
(sin x - sin xcos x + cos x) - (sin x - sin .
x cos x + cos x) = 0 cos x sin x 1 3 é 1 3 Û ( - )(sin x - sin .
x cos x + cos x) = 0 ê - = 0 (4) cos x sin x Û cos x sin x ê êsin x - sin .
x cos x + cos x = 0 ë (5) p
Gi¶i (4) Û tan x = 3 Û x = + kp k Î! 3 43 p
Gi¶i (5): §Æt t = sin x + cos x = 2 cos( - x) | t |£ 2 2 (*)Suy ra t -1 sin . x cos x = . 4 2 2 t -1 é
Ph-¬ng tr×nh (5) trë thµnh 2 t -
= 0 Û t - t -1 = 0 t =1- 2 Û 2 ê êët =1+ 2
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t = 1 + 2 bÞ lo¹i p p 1- 2
Víi t = 1- 2 ta cã 2 cos( - x)=1- 2 Û cos( - x) = = cosa 4 4 2 p p Û - x = a
± + l2p Û x = - ± a + l2p a Î! , l Î" 4 4
C¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (4) vµ (5) ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph-¬ng tr×nh 6 6 x +
VÝ Dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin cos x 2 2 8
= tan x + cot x (2) sin 2x
Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin 2x ¹ 0 . Ph-¬ng tr×nh 1 2 2 2 3 sin x cos x 1- sin 2x (2) 2
Û 8(1- sin 2x) = 2sin 2x( + ) 2 2
Û 8 - 6sin 2x = 4sin 2 . x 2 2 4 cos x sin x 2 sin 2x Û 2 2
(8 - 6sin 2x)sin 2x = 4 - 2sin 2x Û 3 2
3sin 2x - sin 2x - 4sin 2x + 2 = 0 Û ésin 2x -1 = 0 2
(sin 2x -1)(3sin 2x + 2sin 2x - 2) = 0 Û ê 2
ë3sin 2x + 2sin 2x - 2 = 0 é êsin 2x =1 é p x = + kp ê ê Û 4 ê 1 - - 7 (lo¹i) ê sin 2x = Û = a + p Î ê x k k ê ! 3 ê êx = p -a + kp ê 7 -1 ê sin 2x = = sina ê ë ë 3
C¸c nghiÖm ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sin 2x ¹ 0
D. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ì p Câu 1 ü
. íx = ± + kp ,k ÎZ ý là tập nghiệm của phương trình nào sau đây? î 6 þ 44 1 3 A. cos 2x =
B. tan x = 1 C. sin x = D. cot x = 3 2 2 æ p Câu 2 ö
. Phương trình tan x - = tan 3x ç ÷ có các nghiệm là: è 4 ø p p p kp p kp
A. x = - + kp , k Î Z B. x =
+ kp ,k ÎZ C. x = +
, k Î Z D. x = - + , k Î Z 4 4 8 2 8 2 æ 2x ö
Câu 3: Phương trình: 0 sin - 60 = 0 có nhghiệm là: ç ÷ è 3 ø 5p k3p p p k p A. x = ± +
B. x = kp C. x = + 3 kp D. x = + 2 2 3 2 2
Câu 4: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là: é é p x = k2p = + p p x k2 ê
A. x = k2p B. ê p C. x = + k2p D. 4 ê êx = + k2p 4 p ë ê 2 x = - + k2p êë 4 x
Câu 5: Giải phương trình lượng giác: 2cos + 3 = 0 có nghiệm là: 2 5p p p p A. x = ± + 5 k2p B. x = ± + 5 k2p C. x = ± + 5 k4p D. x = ± + k4p 3 6 6 3
Câu 6: Điều kiện để phương trình 3sin x + m cos x = 5 vô nghiệm là ém £ 4 - A. B. m > 4 C. m < 4 - D. 4 - < m < 4 ê ëm ³ 4
Câu7: Phương trình lượng giác: cos x - 3 sin x = 0 có nghiệm là: p p p A. x = + k2p B. Vô nghiệm
C. x = - + k2p D. x = + kp 6 6 2
Câu 8: Điều kiện để phương trình .
m sin x - 3cos x = 5 có nghiệm là: ém £ 4 - A. m ³ 4 B. 4 - £ m £ 4 C. m ³ 34 D. ê ëm ³ 4
Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x - cos x = 0 là: é p é p kp é p kp é p kp x = + kp ,k Î ê Z x = - + , k Î Z x = + , k Î Z x = + , k Î Z 8 ê 8 2 ê 8 2 ê 8 2 A. ê B. ê C. ê D. ê p ê p p p x = + lp ,l Î ê ê ê ê Z x =
+ lp ,l ÎZ x =
+ lp ,l ÎZ
x = - + lp ,l Î Z ë 4 êë 4 êë 4 êë 4 45
Câu 10. Nghiệm của phương trình sin (p cos x) =1 là: p p p
A. x = ± + k2p , k Î Z B. x = ± + kp , k Î Z C. x = ± + k2p , k Î Z D. 6 4 3 p x =
+ kp ,k ÎZ 2
Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin x - cos 2x - 2 = 0 là: p p 2p A.
+ k2p , k ÎZ B. - + k2p , k ÎZ C.
+ k2p , k ÎZ D. k2p , k ÎZ 2 2 3 æ p Câu 12 ö
. Nghiệm của phương trình cos(3x + p ) = 1 trên khoảng p - ; ç ÷ là: è 2 ø p p p 2p A. - B. - C. D. 6 3 4 3
Câu 11. Phương trình 3 + 2sin x sin 3x = 3cos 2x là: p p p A.
+ k2p , k ÎZ B. kp , k ÎZ C.
+ kp , k ÎZ D. + k2p , k ÎZ 3 2 4
Câu 12. Các nghiệm của phương trình ( x + x) 1 2 sin cos = cos 2x là: 2 3p 2p p p A.
+ k2p , k ÎZ B. -
+ kp , k ÎZ C. + k2p , k ÎZ D. - + kp , k ÎZ 2 3 6 4
Câu 13: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2
2sin x + 5sin x - 3 = 0 là: p p p p A. x = B. x = 3 C. x = 5 D. x = 6 2 2 6 p
Câu 14: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2sin x - 3sin x +1 = 0 thõa điều kiện 0 £ x < là: 2 p p p p A. x = B. x = C. x = 5 D. x = 3 2 6 6
Câu 15: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 3 sin 2x - cos 2x = 2
B. 3sin x - 4cos x = 5 p C. sin x = cos
D. 3 sin x - cos x = 3 - 4 æ p ö
Câu 16. Số nghiệm của phương trình sin x + =1 ç ÷ thuộc đoạn [p;2p ] là: è 4 ø 46 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 æ p ö
Câu 17: Số nghiệm của phương trình: sin x +
=1 với p £ x £ 5p là: ç ÷ è 4 ø A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 æ p ö
Câu 18: Số nghiệm của phương trình: 2 cos x +
=1 với 0 £ x £ 2p là: ç ÷ è 3 ø A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 19: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
cos x - cos x = 0 thỏa điều kiện 0 < x < p là: p p - A. x = B. x = 0 C. x = p D. x = 2 2
Câu 20: Phương trình: 3.sin 3x + cos3x = 1
- tương đương với phương trình nào sau đây: æ p ö 1 æ p ö p æ p ö 1 æ p ö 1 A. sin 3x - = - B. sin 3x + = - C. sin 3x + = - D. sin 3x + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 6 ø 2 è 6 ø 6 è 6 ø 2 è 6 ø 2 Câu 21 m
: Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là: 2
A. 1- 5 £ m £ 1+ 5
B. 1- 3 £ m £ 1+ 3
C. 1- 2 £ m £ 1+ 2 D. 0 £ m £ 2
Câu 22: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: p p p A. x = 5 B. x = C. x = p D. 6 6 12
Câu 23: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 4 4 A. 0 < m < B. 0 £ m £ 4
C. m £ 0; m ³ 4
D. m < 0 ; m ³ 3 3 3 3 Câu 2 sin 3x
4. Số nghiệm của phương trình
= 0 thuộc đoạn [2p;4p ] là: cos x +1 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 25: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: p p p p A. x = - ; x = 2 B. x = - ; x = 18 6 18 9 p p p p C. x = - ; x = D. x = - ; x = 18 2 18 3 47
KIỂM TRA CUỐI CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Mức độ nhận thức CHỦ ĐỀ Vận Vận Nhận Thông TỔNG dụng dụng biết hiểu thấp cao
Cung và góc lượng giác. Số câu 2 3 2 1 8
Giá trị lượng giác của một cung. Công thức Số 0.8 1.2 0.8 0.4 3.2 lượng giác (3) điểm Số câu 2 1 1 1 5 Hàm số lượng giác (2) Số 0.8 0.4 0.4 0.4 2 điểm Số câu 4 3 3 2 12
Phương trình lượng giác
cơ bản và thường gặp (4) Số 1.6 1.2 1.2 0.8 4.8 điểm Số câu 8 7 6 4 25 CỘNG Số 3.2 2.8 2.4 1.6 10 điểm
Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các
cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 0 4200 . A. 0 130 . B. 0 120 . C. 0 120 - . D. 0 420 . Câu 2: Biểu thức 2 2 2 2 2 sin .
x tan x + 4sin x - tan x + 3cos x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng : A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 3: Trên đường tròn định hướng góc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ! 0 0
AM = 30 + k45 , k ÎZ ? A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 2
Câu 4: Kết quả rút gọn của biểu thức æ sina + tana ö + 1 bằng: ç co a ÷ è s +1 ø A. 2 B. 1 + tana C. 1 D. 1 2 cos a 2 sin a 48 p p
Câu 5: Giả sử A = tan . x tan ( - x)tan
( + x) được rút gọn thành A = tan nx . Khi đó n 3 3 bằng : A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. + a a Câu 6: Tính 1 5cos B = , biết tan = 2 . 3 - 2cosa 2 A. 2 - B. 20 C. 2 D. 10 - 21 9 21 21 Câu 7: Ta có 4 a 1 b sin x =
- cos 2x + cos 4x với a,b Î ! . Khi đó tổng a + b bằng : 8 2 8 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 8: Nếu tana và tanb là hai nghiệm của phương trình x2–px+q=0 và cota và cotb
là hai nghiệm của phương trình x2–rx+s=0 thì rs bằng: A. 1 p q pq B. C. D. pq 2 q 2 p
Câu 9. Tập xác định của hàm số 1 y = là? 2 sin x ìp A. ü D = ! \{kp}
B. D = ! . C. D = ! \{ } 0
D. D = ! \ í + kp ý î 2 þ
Câu 10. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Hàm số y = cot x có tập giá trị là [0;p ].
B. Hàm số y = sin x có tập giá trị là[ 1; - ] 1 .
C. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [ 1; - ] 1 .
D. Hàm số y = tan x có tập giá trị là ! .
Câu 11. Tập xác định của hàm số sin = x y là 1- cos x ìp A. ü
D = ! \{k2p | k Î } "
B. D = ! \ í + k2p | k Î" ý î 2 þ C. ìp ü
D = ! \{kp | k Î } "
D. D = ! \ í + kp | k Î"ý î 2 þ
Câu 12. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R? A. y = x.cos2x.
B. y = (x2 + 1).sinx. C. y = cos x . D. tan = x y . 2 1+ x 2 1+ x
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 -1 lần lượt là: 49 A. 2 à v 2 . B. 2 à v 4 . C. 4 2 à v 8 . D. 4 2 -1 à v 7 . 2
Câu 14. Gọi S là tập giá trị của hàm số sin x 3 y =
+ 3- cos 2x . Khi đó tổng các giá trị 2 4 nguyên của S là: A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7. p
Câu 15. Cho biết x =
+ k2p là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A) 2sin x - 3 = 0 B) 2sin x + 3 = 0
C) 2cos x - 3 = 0 D) 2cos x + 3 = 0
Câu 16. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm
A. 3sinx – 5 = 0 B. 2cos3x – 1 = 0 C. 2cosx + 5 = 0 D . sin3x + 2 = 0
Câu 17. Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2
2sin x + 5sin x - 3 = 0 là : p p p p A. x = B. x = 3 C. x = 5 D. x = 6 2 2 6
Câu 18. Phương trình sin x + 3 cos x = 2 có nghiệm là: p p p p A. x = + k2p B. x = - + 5 kp C. x = + 5 k2p D. x = - + k2p 6 6 6 6
Câu 19. Phương trình 2 2
2sin x - 2sin xcos x + cos x =1 có nghiệm là: p A. x =
+ k2p Ú x = kp
B. x = kp Ú x = k2p 6 p p C. x =
+ kp Ú x = k D. Đáp án khác. 8 2 3
Câu 20. Phương trình
= 3tan x + 3 có nghiệm là: 2 os c x p p p p A. x =
+ kp , x = - + kp B. x = + k2p , x = + kp 2 6 2 6 p p - p
C. x = kp , x = + kp D. x =
+ kp , x = - + kp 3 2 3 50
Câu 21. Phương trình cos2x – 7cosx - 3 = 0 có nghiệm là p 5p p A). x = + k2p , x = + 2 k2p B). x = ± + k2p 6 6 3 p p
C). x = ± + k2p
D). x = ± + k2p 6 3
Câu 22. Phương trình 2 2
6sin x + 7 3 sin 2x - 8cos x = 6 có các nghiệm là: é p é p é p é 3p x = + kp ê x = + kp ê x = + kp ê x = + kp ê A. 2 ê B. 4 ê C. 8 ê D. 4 ê p ê p p 2p x = + kp ê = + p ê = + p ê = + p ê x k x k x k ë 6 êë 3 êë 12 êë 3
Câu 23. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1. p p A) x =
+ k2p B) x = p + k2p C) x = kp D) x = + kp 2 2
Câu 24. Phương trình sin8x - cos6x = 3 (sin 6x + cos8x) có các họ nghiệm là: é p é p é p é p x = + kp ê x = + kp ê x = + kp ê x = + kp ê A. 4 ê B. 3 ê C. 5 ê D. 8 ê p p ê p p p p p p x = + k ê = + ê = + ê = + ê x k x k x k ë 12 7 êë 6 2 êë 7 2 êë 9 3
Câu 25. Cho phương trình 2
cos5xcos x = cos 4xcos 2x + 3cos x +1. Các nghiệm thuộc khoảng ( p
- ;p )của phương trình là: 2p p p p p p p p A. - 2 , B. - , C. - , D. - , 3 3 3 3 2 4 2 2
------------------------------- 51