Chuyên đề nguyên hàm luyện thi THPT Quốc gia 2018 – Lê Bá Bảo Toán 12

Chuyên đề nguyên hàm luyện thi THPT Quốc gia 2018 – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

45 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

43 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
G
G
i
i
á
á
o
o
v
v
i
i
ê
ê
n
n
:
:
L
L
Ê
Ê
B
B
Á
Á
B
B
Ả
Ả
O
O
_
_
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
Đ
Đ
ặ
ặ
n
n
g
g
H
H
u
u
y
y
T
T
r
r
ứ
ứ
,
,
H
H
u
u
ế
ế
S
S
Đ
Đ
T
T
:
:
0
0
9
9
3
3
5
5
.
.
7
7
8
8
5
5
.
.
1
1
1
1
5
5
Đ
Đ
ị
ị
a
a
c
c
h
h
ỉ
ỉ
:
:
1
1
1
1
6
6
/
/
0
0
4
4
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n
L
L
ộ
ộ
T
T
r
r
ạ
ạ
c
c
h
h
,
,
T
T
P
P
H
H
u
u
ế
ế
T
T
r
r
u
u
n
n
g
g
t
t
â
â
m
m
B
B
D
D
K
K
T
T
8
8
7
7
B
B
ù
ù
i
i
T
T
h
h
ị
ị
X
X
u
u
â
â
n
n
,
,
T
T
P
P
H
H
u
u
ế
ế
Bµi viÕt chuyªn ®Ò:
NGUY£N HµM
LuyÖn thi THPT 2017_2018
HuÕ, th¸ng 9/2017
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số
fx
xác định trên
K
(
K
là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số
được gọi là nguyên hàm của hàm số
fx
trên
K
nếu
'F x f x
với mọi
xK
.
b. Định lí:
1) Nếu
là một nguyên hàm của hàm số
trên
K
thì với mỗi hằng số
C
, hàm số
G x F x C
cũng là một nguyên hàm của
trên
K
.
2) Nếu
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
trên
K
thì mọi nguyên hàm của
fx
trên
K
đều có dạng
F x C
, với
C
là một hằng số.
Do đó
,F x C C
là họ tất cả các nguyên hàm của
trên
K
.
Ký hiệu
df x x F x C
.
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
df x x f x
và
d'f x x f x C
Tính chất 2:
ddkf x x k f x x

với
k
là hằng số khác
0
.
Tính chất 3:
d d df x g x x f x x g x x


Chú ý:
d
d d d d
d
. . ; .
f x x
fx
f x g x x f x x g x x x
gx
g x x



3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số
liên tục trên
K
đều có nguyên hàm trên
K
.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số
sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
;0u ax b a
Nguyên hàm của hàm
số hợp
u u x
d0 xC
d0 uC
dx x C
du u C
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
d
1
1
1
x x x C


1

d
1
11
.
1
ax b x ax b C
a

1

d
1
1
1
u u u C


1

d
1
lnx x C
x

d
11
lnx ax b C
ax b a
d
1
lnu u C
u

d
xx
e x e C
d
1
ax b ax b
e x e C
a


d
uu
e u e C
d
ln
x
x
a
a x C
a

0, 1aa
d
1
.
ln
ax b
ax b
A
A x C
aA

0, 1aa
d
ln
u
u
a
a u C
a

0, 1aa
dsin cosx x x C
d
cos
sin
ax b
ax b x C
a
du usin cosuC
dcos sinx x x C
d
sin
cos
ax b
ax b x C
a
dcos sinu u u C
d
2
1
tan
cos
x x C
x

d
2
tan
1
cos
ax b
xC
a
ax b

d
2
1
tan
cos
u u C
u

d
2
1
cot
sin
x x C
x
d
2
cot
1
sin
ax b
xC
a
ax b
d
2
1
cot
sin
u u C
u
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu
f u du F u C
và
u u x
là hàm số có đạo hàm liên tục thì
d'f u x u x x F u x C
Hệ quả: Nếu
0u ax b a
thì ta có
d
1
f ax b x F ax b C
a
2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số
u u x
và
v v x
có đạo hàm liên tục trên
K
thì
d d''u x v x x u x v x u x v x x

Vì
' , 'v x dx dv u x dx dv
nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:
d du v uv v u

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Ví dụ 1: Xác định:
a)
d
2
1 2 1 .x x x
b)
d
42
3 4 2
.
x x x
x
x
c)
d
3
4
4 3 .x x x
0.x
Lời giải:
a) Ta có:
d d d
4
2
2 3 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 .
2
x
x x x x x x x x x x x x C
b) Ta có:
dd
4 2 4 2
3
3 4 2 2 3
3 4 4 2ln .
42
x x x x x
x x x x x x C
xx



c) Ta có, với
0x
:
dd
4
5
1
1
3
4
33
44
3
4
4 3 12
4 3 4 3 3 .
45
5
3
4
xx
x x x x x x x x x x C




Ví dụ 2: Xác định:
a)
d
21
4.
x
x
b)
d
2
2.
xx
e e x
c)
d
24
2
.
xx
x
ee
x
e

Lời giải:
a) Ta có:
d
21
21
4
4.
2ln 4
x
x
xC

Nhận xét:
2 1 2 1 2
4
4 4 4 1 1
.16 .2
2ln4 4ln2 ln2 ln2 ln 2
x x x
xx

(để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).
b) Ta có:
d d d
3
2
2 2 3 2
2 4 4 4 4 4 2 .
3
x
x x x x x x x x x x
e
e e x e e e x e e e x e e C
c) Ta có:
dd
2 4 3 5
35
2
2 2 .
35
x x x x
x x x x
x
e e e e
x e e e x e C
e


Ví dụ 3: Xác định:
a)
d2sin4 3cos5 1 .x x x
b)
d
22
4sin 2 6cos .x x x
c)
d
4
2sin 3 .xx
d)
d
44
sin 2 cos 2 .x x x
Lời giải:
a) Ta có:
d
cos4 3sin 5
2sin4 3cos5 1 .
25
xx
x x x x C
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
b) Ta có:
d d d
22
4sin 2 6cos 2 1 cos4 3 1 cos2 3cos2 2cos4 5x x x x x x x x x


3sin2 sin 4
5.
22
xx
xC
c) Ta có:
2
2
4 2 2
1 cos6 1
2sin 3 2 sin 3 2 1 2 cos6 cos 6
22
x
x x x x


1 1 cos12 3 cos12
1 2cos6 2cos6 .
2 2 4 4
xx
xx


Vậy
dd
4
3 cos12 3 sin6 sin12
2sin 3 2cos6 .
4 4 4 3 48
x x x x
x x x x C




d) Ta có:
4 4 2
1 1 1 cos8 3 cos8
sin 2 cos 2 1 sin 4 1 . .
2 2 2 4 4
xx
x x x
Vậy
dd
44
3 cos8 3 sin8
sin 2 cos 2 .
4 4 4 32
xx
x x x x x C




Ví dụ 4: Xác định:
a)
d2sin3 cos2 .x x x
b)
d6sin4 sin 2 .x x x
c)
dcos5 cos2 .x x x
d)
d8sin3 cos2 sin6 .x x x x
Lời giải:
a) Ta có:
dd
cos5
2sin3 cos2 sin sin5 cos .
5
x
x x x x x x x C

b) Ta có:
dd
3sin2 sin6
6sin4 sin 2 3 cos2 cos6 .
22
xx
x x x x x x C

c) Ta có:
dd
1 sin3 sin7
cos5 cos2 cos3 cos7 .
2 6 14
xx
x x x x x x C

d) Ta có:
8sin3 cos2 sin6 4 sin sin5 sin6 4sin sin6 4sin5 sin6x x x x x x x x x x
2 cos5 cos7 2 cos cos11 2cos 2cos5 2cos7 2cos11x x x x x x x x
.
Vậy
dd8sin3 cos2 sin6 2cos 2cos5 2cos7 2cos11x x x x x x x x x

2sin5 2 sin7 2sin11
2sin .
5 7 11
x x x
xC
Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:
1)
d
2
3 1 2 1 .x x x
2)
d
42
2
7 2 5
.
x x x
x
x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
3)
d
35
4.x x x
0.x
4)
d
21
9.
x
x
5)
d
2
2
3.
xx
e e x
6)
d
24
2
.
xx
x
ee
x
e

7)
d3sin2 2cos7 1 .x x x
8)
d
22
2sin 2 4cos 4 .x x x
9)
d
4
6sin 2 .xx
10)
d
44
sin cos .x x x
11)
d8sin3 cos6 .x x x
12)
d10sin2 sin8 .x x x
13)
d4cos5 cos3 .x x x
14)
d16sin2 cos3 sin6 .x x x x
Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC
Nội dung:
Để tìm nguyên hàm của hàm số
()
()
Px
Qx
, trong đó
( ), ( )P x Q x
là các đa thức, ta thực hiện như
sau:
- Nếu bậc của
()Px
không nhỏ hơn bậc của
()Qx
, thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu
biễn:
1
()
()
()
( ) ( )
Px
Px
Mx
Q x Q x

, trong đó
()Mx
là đa thức, và
1
()
()
Px
Qx
là phân thức có bậc của
nhỏ hơn bậc của
()Qx
.
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:
22
( ) ( ) ...( ) 4 0
mn
Q x x a x px q p q
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:
12
2
2
1 1 2 2
1
2
22
()
... ...
1
...
m
n
m
nn
nn
A
AA
Px
m
xa
xa
x a x px q
xa
B x C
B x C B x C
x px q
x px q x px q


- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số
1 2 1
, ,..., , ,..., .
mn
A A A B B
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.
LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
a) d b) d
4
12
3 1 4 2
4 2 1
x x x
I x I x
xx



Lời giải
a) Ta có:
d d d d
1
3 1 3( 4) 13 1
3 13 3 13ln 4
4 4 4
xx
I x x x x x x C
x x x
b) Biểu diễn:
4 3 2
4 2 47 1 1
.
2 1 2 6 12 24 24 2 1
x x x x x
xx


Lúc đó:
dd
4 3 2 4 3 2
2
4 2 31 63 1 31 63
. ln 2 1 .
2 1 2 4 8 16 16 2 1 8 12 16 16 32
x x x x x x x x x
I x x x C
xx






Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau:
a) d b) d c) d
1 2 3
2 2 2
3 1 1
4 5 6 2 3 1
I x I x I x
x x x x x
Lời giải
a) Ta có:
d d d d
1
2
3 1 3 ( 2) ( 2) 3 1 1 3 2
3 ln
( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 4 2 2 4 2
4
x x x
I x x x x C
x x x x x x x
x


b) Tương tự:
d d d d
2
2
1 1 ( 2) ( 3) 1 1 3
ln
( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 2
56
x x x
I x x x x C
x x x x x x x
xx



c) Phân tích:
2
11
1
2 3 1
21
2
xx
xx





Hướng 1:
d d d
3
2
1
1
2
11
11
2 3 1
2 1 1
22
xx
I x x x
xx
x x x x










d
1 1 1 2 2
ln ln
11
1 2 1
22
xx
x C C
xx
xx









Hướng 2:
d d d
3
2
1 1 (2 1) 2( 1)
1 2 1 1 2 1
2 3 1
xx
I x x x
x x x x
xx

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
d
1 2 1
ln 1 ln 2 1 ln
1 2 1 2 1
x
x x x C C
x x x


Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:
a) d b d c) d
23
2 2 2
2 1 2
)
5 4 5 6 3 2
x x x x x
x x x
x x x x x x
Lời giải
a) Phân tích:
2
2 1 2 1
14
14
54
x x A B
xx
xx
xx




(*)
2 1 ( 4) ( 1)
1 4 1 4
x A x B x
x x x x

Cách 1:
4
21
(*)
1 4 1 4
A B x A B
x
x x x x

21
2 1 4
4 1 3
A B A
x A B x A B
A B B


Cách 2: Từ
(*)
đồng nhất ta có:
2 1 ( 4) ( 1)x A x B x
(**)
Thay
1x
vào (**):
3 3 1.AA
Thay
vào (**):
9 3 3.BB
Lúc đó:
d d d
22
2 1 1 3 2 1 1 1
3 ln 1 3ln 4
1 4 1 4
5 4 5 4
xx
x x x x x C
x x x x
x x x x
Cách 3:
d d d d
2
2 1 3
2 1 2 1 2 3
.
4
1 4 1 4 1 4
54
x
xx
x x x x
x
x x x x x x
xx







Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a) d b) d c d
2 2 2
1 2 3
3 2 2 5
41
)
32
1 3 1
x x x x
I x I x I x
x x x
x x x

Lời giải
a) Phân tích:
2 2 2
32
2
4 4 4
( 1)( 2)
32
32
x x x x x x
x x x
x x x
x x x




[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Sử dụng đồng nhất thức:
2
4
( 1)( 2) 1 2
x x A B C
x
x x x x x x

2
4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x A x x Bx x Cx x
x
x x x x x x
2
4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)x x A x x Bx x Cx x x
(*)
Thay
vào (*), ta được:
4 2 2AA
Thay
1x
vào (*), ta được:
44BB
Thay
vào (*), ta được:
6 2 3CC
.
Lúc đó:
dd
2
1
32
4 2 4 3
2ln 4ln 1 3ln 2
12
32
xx
I x x x x x C
x x x
x x x





b) Phân tích:
2
22
1
13
( 1)
13
x A B C
x
xx
x
xx


(*)
22
22
22
1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)
1 3 1 3
1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)
x A x x B x C x
x
x x x x
x A x x B x C x x
Thay
1x
vào (*) ta được:
1
2 4 .
2
BB
Thay
3x 
vào (*) ta được:
5
10 16 .
8
CC
Thay
vào (*) ta được:
3 1 3
1 3 3 .
38
BC
A B C A

Lúc đó:
d
2
2
22
35
1
1 3 1 1 5
88
2
ln 1 . ln 3
1 3 8 2 1 8
( 1)
13
x
I dx x x x C
x x x
x
xx







c) Phân tích:
2
5 2 3 4 5
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
x A B C D E
x
x x x x
x
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1) d 2) d 3) d
3
2 2 2
2 2 1 2
4 9 5 4 3 2
x x x
x x x
x x x x x

4) d 5) d 6) d
2
2 6 2 6 2
2 3 1 1 2 4 3
x x x x
x x x
x x x x x x x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 9 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
7) d 8) d 9) d
3 3 2
2 2 3
2
1 5 17 18 5
65
12
2
x x x x x
x x x
xx
xx
xx


10) d d 12) d
3 2 5
2 2 4 2
2
2 1 1
11)
8 16
13
1
x x x x
x x x
xx
xx
x


Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
DẠNG 1:
d
cos
sin
()
x
I f x x
x
, trong đó
()fx
: đa thức.
Phương pháp: Đặt
d d
d sin d chän: d
/
( ) ( )
sin
u f x u f x x
v x x v x x

Ví dụ 1: Xác định:
a)
d1 sin2 .x x x
b)
d
2
cos .x x x x
Lời giải
a) Đặt
dd
d d chän
1
cos2
sin 2
2
u x u x
x
x x v v
Ta có:
dd
1 cos2 1 cos2
cos2 sin2
1 sin2 .
2 2 2 4
x x x x
xx
x x x x C


Đặt
dd
d d chän
2
21
cos sin
u x x u x x
x x v v x
. Ta có:
dd
22
cos sin 2 1 sin .x x x x x x x x x x

Xét
d2 1 sin .x x x
Đặt
dd
d d chän
2 1 2
sin cos
u x u x
x x v v x
Ta có:
dd2 1 sin 2 1 cos 2cos 2 1 cos 2sinx x x x x x x x x x C

.
Vậy
d
22
cos sin 2 1 cos 2sin '.x x x x x x x x x x C
DẠNG 2:
d( ).
x
I f x e x
, trong đó
()fx
: đa thức.
Phương pháp: Đặt
d d
d d chän: d
/
( ) ( )
xx
u f x u f x x
v e x v e x

Ví dụ 2: Xác định:
a)
d
2
1.
x
x e x
b)
d
2
4.
x
x x e x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Lời giải
a) Đặt
dd
d d chän
2
2
1
.
2
x
x
u x u x
e
e x v v
Ta có:
d
22
22
2
11
1.
2 2 2 4
xx
xx
x
x e x e
ee
x e x dx C


b) Đặt
dd
d d chän
2
4 2 4
xx
u x x u x x
e x v v e
. Ta có:
dd
22
4 4 2 4
x x x
x x e x x x e x e x

Xét
d24
x
x e x
. Đặt
d
d d chän
2 4 2
.
xx
u x du x
e x v v e
Ta có:
dd2 4 2 4 2 2 4 2 .
x x x x x
x e x x e e x x e e C

Vậy
d
22
4 4 2 4 2 '.
x x x x
x x e x x x e x e e C
DẠNG 3:
d
ln
()
log
a
x
I f x x
x
, trong đó
()fx
: đa thức.
Phương pháp: Đặt
d d
d d chän: d
1
ln
( ) ( )
u x u x
x
v f x x v f x x

Ví dụ 3: Xác định:
a)
d2 1 ln .x x x
b)
d
2
ln .x x x x
Lời giải
a) Đặt
d
d d chän
2
1
ln
.
21
u x du x
x
x x v v x x
Ta có:
dd
2
22
2 1 ln ln 1 ln
2
x
x x x x x x x x x x x x C

a) Đặt
dd
d d chän
2
2
2
21
ln
2
x
u x x u x
xx
x
x x v v

Ta có:
dd
2
2
22
2
21
1
ln ln
22
xx
x
x x x x x x x
xx

d
2 2 2
22
1 1 1
ln 2 1 ln ln 1 .
2 2 1 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x x C
x



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau:
d
1
sinI x x x
d
2
cos2I x x x
d
2
3
2 cosI x x x
d
2
4
2 1 cosI x x x
d
2
5
1 sinI x x x
d
2
6
cos sinI x x x x
d
2
7
sin cosI x x x x
d
cos
8
2
sinxx
Ix
x
d
9
sin
1 cos
xx
Ix
x
d
2
10
2cos 1I x x x
d
11
3
sin
cos
xx
Ix
x
d
12
sinI x x x
d
13
sinI x x
d
2
14
tanI x x x
d
2
15
2 3 cosI x x x x
d
16
2
cos
x
Ix
x
d
2
17
5 sinI x x x
d
18
cos2 1
x
Ix
x
2) Xác định các nguyên hàm sau:
d
1
x
I xe x
d
2
2
x
I x e x
d
2
2
3
1
x
I x e x
d
4
x
I e x
d
2
3
5
x
I x e x
d
6
2
x
I x x
d
2
7
21
x
I x x e x
d
cos
8
.sin2
x
I e x x
d
ln
9
xx
I e x
3) Xác định các nguyên hàm sau:
d
1
lnI x x
d
2
lnI x x x
d
2
3
lnI x x
d
4
ln xx
I
x
d
52
log 3I x x
d
6
lgI x x
d
7
2 ln 1I x x x
d
2
8
ln 1I x x x
d
2
9
lnI x x x
d
2
10
ln 1I x x
ln d
2
11
I x x x
d
32
12
lnI x x x
d
13
3
ln x
Ix
x
d
14
ln ln x
Ix
x
d
2
15
1 lnI x x
d
16
2
ln
1
x
Ix
x
d
2
17
ln 1I x x x
d
2
18
1
ln
x
I x x
x



4) Xác định các nguyên hàm sau:
d
1
cos
x
I e x x
d
2
cos lnI x x
d
3
sin .ln(tan )I x x x
d
4
5 sin2
x
I e x x
d
3
5
.sin5
x
I e x x
d
6
cos .ln 1 cosI x x x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 12 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
d
22
7
sin
x
I e x x
d
8
sin ln cosI x x x
d
2
9
lnI x x x
d
10
cos sinI x x x x
d
2
11
sin cosI x x x x
d
2
12
( ln )I x x x
Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN
Ví dụ 1: Xác định a)
dtan .A x x
b)
dcotB x x
.
Lời giải
a)
dd
sin
tan
cos
x
A x x x
x


Đặt
ddcos sint x t x x
. Khi đó:
d
ln ln cos
t
A t C x C
t
.
b)
dd
cos
cot
sin
x
B x x x
x


Đặt
ddsin cost x t x x
. Khi đó:
d
ln ln sin
t
A t C x C
t
.
Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số
fx
trong các trường hợp sau:
a)
1 cos
sin .
x
f x e x
b)
35
sin cos .f x x x
Lời giải
a)
dd
1 cos
sin .
x
I f x x e x x


Đặt
dd1 cos sin .t x t x x
Khi đó:
d
1 cos
.
t t x
I e t e C e C
b)
d d d
3 5 2 5
sin cos sin 1 cos cos .I f x x x x x x x x x
Đặt
ddcos sin .t x t x x
Khi đó:
8 6 8 6
2 5 7 5
cos cos
1 C .
8 6 8 6
t t x x
I t t dt t t dt C

Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:
a)
d
2
32
9 12
.
25
xx
Ax
xx

b)
d
1
.
1
x
Bx
x
Lời giải
a)
dd
2
2
3 2 3 2
3 3 4
9 12
.
2 5 2 5
xx
xx
A x x
x x x x


Đặt
dd
3 2 2
2 5 3 4 .t x x t x x x
Khi đó:
d
32
3
3ln 3ln 2 5 .
t
A t C x x C
t
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 13 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
b)
d
1
.
1
x
Bx
x
Đặt
dd
2
1 1 2 .t x t x t t x
Khi đó:
dd
2
3
2
11
2 2 2 2 2
3
t
t
B t t t t t C
t





2 1 5
1
2 1 2 .
33
xx
x
x C C



Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a)
d
2
ln 1
.
x
Ax
x
b)
d
.
ln ln ln
x
B
x x x
Lời giải
a)
d
2
ln 1
.
x
Ax
x
Đặt
d
dln 1 .
x
t x t
x
Khi đó:
d
3
3
2
ln 1
.
33
x
t
A t t C C
b)
d
.
ln ln ln
x
B
x x x
Đặt
dd
1
ln ln .
ln
t x t x
xx
Khi đó:
d
ln ln ln ln .
t
I t C x C
t
Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau:
a)
d
1
.
x
x
e
Ix
xe
b)
d
2
sin cos
.
sin cos
xx
Jx
xx
Lời giải
a)
d
1
.
x
x
e
Ix
xe
Đặt
d11
xx
t e dt e x

. Khi đó:
d
ln ln 1 .
x
t
I t C e C
t
a)
d
2
sin cos
.
sin cos
xx
Jx
xx
Đặt
ddsin cos cos sint x x t x x x
. Khi đó:
d
2
11
sin cos
t
J C C
t x x
t
.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1)
d
2
1 cot
.
sin
x
Ax
x
6)
d
1 3ln ln
.
xx
Fx
x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2)
d
cos ln
.
x
Bx
x
7)
d
cos2
sin cos .
x
G e x x x
3)
d
23
sin cos .C x x x
8)
d
2
1
.
1
Hx
xx
4)
d .
xx
xx
ee
Dx
ee
9)
d
2
sin2
.
4 cos
x
Ix
x
5)
d
3
32
1.E x x x
10)
d
4
cos .K x x
Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN
Ví dụ 1: Xác định a)
dtan .I x x
b)
dcot .I x x
Lời giải
a) Ta có:
d
dd
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
x
x
I x x x x C
xx
b) Ta có:
d
dd
sin
cos
cot ln sin .
sin sin
x
x
I x x x x C
xx
Ví dụ 2: Xác định a)
sin
d
sin
2
12
12
x
Ix
x
. b)
d
sin
cos cos
x
I e x x x
.
Lời giải
a) Ta có:
d sin
sin cos
d d sin
sin sin sin
2
12
1 2 2 1 1
ln 1 2 .
1 2 1 2 2 1 2 2
x
xx
I x x x C
x x x
Nhận xét: So với phép đổi biến
sin12tx
thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.
b) Ta có:
d d d d d
sin sin 2 sin
1 cos2
cos cos cos cos sin
2
x x x
x
I e x x x e x x x x e x x
sin
11
sin2 .
24
x
e x x C
Ví dụ 3: Xác định a)
d
1
x
x
I
e
. b)
d
3
1
x
x
ex
I
e
Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
d
d
d d d d
11
1 1 1 1
x x x
x
x x x x
e e e
xe
I x x x x
e e e e
ln 1 .
x
x e C
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
b) Ta có:
d
d
3
1
2
3
2
3
1
3
1 1 .
3
1
1
1
2
x
x
xx
x
x
e
ex
I e e C C
e
e



Ví dụ 4: Xác định a)
d
3
2
1
xx
I
x
. b)
3
4
d
2
.
2 3 1
x
Ix
xx

Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
. d d
d . d d
dd
22
32
2 2 2 2 2
1 1 1
1
2
1 1 1 1 1
x x x x
x x x x x x x
I x x x x
x x x x x
2
2
1
ln 1 .
22
x
xC
b) Phân tích:
3
4
2
2 2 2 2
2 3 1 '
7 3 7 9 1
2 3 2 3 . .
44
2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
xx
xx
xx
x x x x x x x x

//
22
22
2 3 1 2 3 1
2 1 2 1
7 9 7 9 1 2
2 3 . . 2 3 .
4 4 ( 1)(2 1) 4 4 1 2 1
2 3 1 2 3 1
x x x x
xx
xx
x x x x
x x x x





Suy ra:
d
/
2
2
2 3 1
7 9 1 2
2 3 .
4 4 1 2 1
2 3 1
xx
I x x
xx
xx











d
d
d d
2
2
2 3 1
21
7 9 1 9
23
4 4 1 4 2 1
2 3 1
xx
x
x x x
xx
xx



22
7 9 9
3 ln 2 3 1 ln 1 ln 2 1 .
4 4 4
x x x x x x C
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1)
d
2
3
1
x
Ix
x
2)
d
2
ln ln 4
2
xx
Ix
x

3)
d
2
x
x
ex
I
e
4)
cos tan d
sin
.
x
I e x x x
5)
sin
d
cos sin
22
2
4
x
Ix
xx
6)
d
23
xx
x
I
ee

7)
sin cos
d
cos
2.
1
xx
Ix
x
8)
d
32
.1I x x x
9)
d
22
2
21
xx
x
x e x e
Ix
e

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu
Fx
là một nguyên hàm của
trên
và
C
là hằng số thì
df x x F x C
.
B. Mọi hàm số liên tục trên
đều có nguyên hàm trên
.
C.
Fx
là họ nguyên hàm của
trên
/
; , ;a b F x f x x a b
.
D.
d
/
f x x f x
,
;x a b
.
Lời giải
Phương án C sai, vì
là một nguyên hàm của
trên chỉ kéo theo được
/
,;F x f x x a b
Chọn đáp án C.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
d0 xC
(
C
là hằng số). B.
d
1
lnx x C
x

(
C
là hằng số).
C.
d
1
1
x
x x C

(
C
là hằng số). D.
dx x C
(
C
là hằng số).
Lời giải
Ở phương án C, trường hợp
1

thì khẳng định trên sai
Chọn đáp án C.
Câu 3. Hàm số
1
cos
fx
x
có nguyên hàm trên:
A.
0; .
B.
;.
22




C.
; 2 .

D.
;.
22




Lời giải
Ta có: Vì
1
cos
fx
x
xác định và liên tục trên khoảng
;
22




nên hàm số có nguyên
hàm trên
;
22




Chọn đáp án B.
Câu 4. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
4
3?x
A.
5
3
.
5
x
x
B.
5
3
.
5
x
C.
5
3
2016.
5
x
D.
5
3
1.
5
x
Lời giải
Ta có:
/
5
44
3
3 1 3
5
x
x x x




Chọn đáp án A.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 5. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn
lại?
A.
sin2x
và
2
cos .x
B.
cos2x
và
2
sin .x
C.
2x
e
và
2
2.
x
e
D.
tan 2x
và
2
2
.
cos 2x
Lời giải
Vì
2
2
tan2 '
cos 2
x
x
nên phương án D đúng
Chọn đáp án D.
Câu 6. Nguyên hàm
của hàm số
2
1
sin
fx
x
biết
22
F




là
A.
.F x x
B.
cot .
2
F x x
C.
cot .F x x
D.
sin 1.
2
F x x
Lời giải
Ta có:
d
2
1
cot
sin
F x x x C
x
.
cot
2 2 2 2 2
F C C



. Vậy
cot
2
F x x
Chọn đáp án B.
Câu 7. Hàm số
Fx
thỏa mãn
22
31
'.
3 1 1
Fx
xx


Lúc đó,
là
A.
11
.
3 1 1
F x C
xx

B.
13
.
1 3 1
F x C
xx

C.
11
.
1 3 1
F x C
xx

D.
1
.
1 3 1
C
Fx
xx


Lời giải
Ta có:
d d d
2 2 2 2
3 1 1 1
3 1 1
3 1 1 3 1 1
F x x x x
x x x x




11
1 3 1
C
xx

Chọn đáp án C.
Câu 8. Hàm số
biết
2
' 3 2 1F x x x
và đồ thị
y F x
cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng
là
A.
2
2017.F x x x
B.
cos2 2016.F x x
C.
32
2017.F x x x x
D.
32
2016.F x x x x
Lời giải
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Ta có:
d
2 3 2
3 2 1F x x x x x x x C
.
Đồ thị
y F x
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
0 2017F
2017C
. Vậy
32
2017F x x x x
Chọn đáp án C.
Câu 9. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2 1f x x
;
1
2
x



là
A.
d
1
2 1 2 1
3
f x x x x C
. B.
d
2
2 1 2 1
3
f x x x x C
.
C.
d
1
21
3
f x x x C
. D.
d
1
21
2
f x x x C
.
Lời giải
Ta có:
d d d
1
2
1
2 1 2 1 2 1
2
f x x x x x x
3
2
21
11
2 1 2 1
3
23
2
x
C x x C
Chọn đáp án A.
Câu 10. Hàm số
3
x
F x e
là một nguyên hàm của hàm số
A.
3
.
x
f x e
B.
3
2
3.
x
f x x e
C.
3
2
.
3
x
e
fx
x
D.
3
3
1.
x
f x x e
Lời giải
Ta có:
33
/
2
'3
xx
F x e x e
Chọn đáp án B.
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số
2
1
()
sin
6
fx
x



là
A.
d( ) cot
6
f x x x C



. B.
d
1
( ) cot
64
f x x x C



.
C.
d( ) cot
6
f x x x C



. D.
d
1
( ) cot
66
f x x x C



.
Lời giải
Ta có:
ddd
22
11
( ) cot
66
sin sin
66
f x x x x x C
xx



.
Chọn đáp án A.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 19 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số
2sin4f x x
là hàm số
Fx
thỏa mãn
3
0
2
F
.
Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
cos4
2
4
x
Fx
. B.
cos4
2
2
x
Fx
.
C.
cos4
2
2
x
Fx
. D.
2cos4 2F x x
.
Lời giải
Ta có:
d
cos4
2sin 4
2
x
F x x x C
. Vì
3
0
2
F
nên
13
2
22
CC
.
Vậy
cos4
2
2
x
Fx
Chọn đáp án B.
Câu 13. Giá trị
m
để hàm số
3 2 2
4 2 2 1F x mx x m x
là một nguyên hàm của hàm số
2
12 4f x x x x
là
A.
1m 
. B.
0m
. C.
1m
. D.
2m
.
Lời giải
Ta có:
22
' 12 4 2F x mx x m f x
. Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được:
2
12 12
1
21
m
m
m
Chọn đáp án C.
Câu 14. Tính
d
2
1
4
x
x
ta được kết quả
A.
1
ln 2 2 .
4
x x C
B.
12
ln .
42
x
C
x
C.
12
ln .
42
x
C
x

D.
1
ln 2 .ln 2 .
4
x x C
Lời giải
Ta có:
d d d
2
1 1 1 1 1
4 2 2
22
4
x x x
xx
xx
x





1
ln 2 ln 2
1
ln
4
22
4
x x C x x C
Chọn đáp án C.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1
'
21
fx
x
và
01f
thì
1f
có giá trị bằng
A.
ln 2.
B.
2ln3 1.
C.
2ln3 1.
D.
1
ln 3 1.
2
Lời giải
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 20 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Ta có:
dd
11
2 1 2 1
11
2 1 ln 2 1
22
fC
x
x x x
x
x

.
1
ln1 11 1
2
0 CCf
1
ln 2 1 1
2
f x x
Vậy
1
l11 n3
2
f
Chọn đáp án D.
Câu 16. Cho hàm số
2
1
sin 2
y f x
x

. Nếu
là nguyên hàm của hàm số
fx
và đồ thị
y F x
đi qua điểm
;0
12
A



thì
là
A.
cot 2 3
2
x
Fx

. B.
cot 2 3
.
2
x
Fx
C.
cot 2 3
.
2
x
Fx

D.
3
cot 2 .
2
F x x
Lời giải
Ta có:
d
2
11
cot 2
2
sin 2
F x x x C
x
.
Đồ thị
y F x
đi qua điểm
;0
12
A



13
0 cot 0
12 2 6 2
F C C




.
Vậy
1 3 cot 2 3
cot 2
2 2 2
x
F x x

Chọn đáp án C.
Câu 17. Kết quả
d
3
ln x
x
x
là
A.
23
2
3ln ln
.
xx
x
B.
4
ln
.
4
x
C
x
C.
4
ln
.
4
x
C
D.
2
3ln .xC
Lời giải
Ta có:
d dlnx
34
3
ln ln
ln
4
xx
x x C
x

Chọn đáp án C.
Câu 18. Tính
d( ) sinF x x x x
ta được kết quả
A.
( ) sin cosF x x x x C
. B.
( ) sin cosF x x x x C
.
C.
( ) sin cosF x x x x C
. D.
( ) sin cosF x x x x C
.
Lời giải
Đặt
d d du d, sin , cosu x v x x x v x
.
Ta có:
d( ) cos cos cos sinF x x x x x x x x C
Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của
dln 2x x x
là
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 21 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
A.
22
ln 2 2ln 2 .
24
xx
x x x C
B.
ln 2 .
2
x
xC
x
C.
22
ln 2 2ln 2 .
24
xx
x x x C
D.
2
ln 2 .
4
x
x x C
Lời giải
Đặt
d d du d
2
1
ln 2 , ,
22
x
u x v x x x v
x
.
Ta có:
d d
2
1
2
2ln n
2
2
2
l
2
x
xx xx
x
xC
x


d
222
ln ln
22
1 4 1
2 2 2 2 4 ln 2
2 2 2 2
x
x x x x x x C
xx
x






22
ln 2 2ln 2
24
xx
x x x C
Chọn đáp án A.
Câu 20. Giả sử
là nguyên hàm của hàm số
21f x x
. Biết đồ thị của hàm số
và
cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị
và
là
A.
0; 1
. B.
3; 5
. C.
0; 1
và
3; 5
. D.
0; 1
và
3;0
.
Lời giải
Ta có:
d
2
21F x x x x x C
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
và
:
2
21x x C x
Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung
2
11C F x x x
.
Khi đó
22
0
1 2 1 3 0
3
x
x x x x x
x

Vậy có hai giao điểm là
0; 1
và
3; 5
.
Chọn đáp án C.
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số
3
( ) 2 3f x x
là
A.
d
3
1
2 3 2 3
4
f x x x x C
. B.
d
3
3
2 3 2 3
4
f x x x x C
.
C.
d
2
3
23f x x x C
. D.
d
3
1
2 3 2 3
4
f x x x x C
.
Lời giải
Ta có:
dd
3
23f x x x x

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 22 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Đặt
2
d d d d
32
3
2 3 2 3 3 3t x t x t t x x t t
.
Khi đó
dd
34
3
11
2 3 2 3
44
f x x t t t C x x C

.
Chọn đáp án D.
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số
sin 3
()
cos3 1
x
fx
x
là
A.
d( ) ln cos3 1f x x x C
. B.
d
1
( ) ln cos3 1
3
f x x x C
.
C.
d
1
( ) ln cos 3 1
3
f x x x C
. D.
d( ) ln cos3 1f x x x C
.
Lời giải
Ta có:
dd
sin3
cos3 1
x
f x x x
x

.
Đặt
d d d d
1
cos3 1 3sin sin
3
t x t x x x x t
Khi đó
d
d
1 1 1
ln ln cos3 1
3 3 3
t
f x x t C x C
t

.
Chọn đáp án B.
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số
1
()
2
fx
x
là
A.
d ln 2f x x x C
. B.
d 2 2ln 2f x x x x C
.
C.
d 2 2ln 2f x x x x C
. D.
d 2 2ln 2f x x x C
.
Lời giải
Ta có:
dd
1
2
f x x x
x

.
Đặt
dd
2
2 2 2 2 2t x x t x t x t t
.
Khi đó
d
dd
1
22
2
2 2 ln
tt
f x x t t t C
tt



1
2 2 ln 2 2 2ln 2x x C x x C
.
Chọn đáp án C.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 23 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số
1
()
1
x
fx
x
là
A.
d
2
10 1
3
f x x x x C
. B.
d 10 1f x x x x C
.
C.
d
3
2 1 1
x
f x x C
xx


. D.
d
2
1
1
f x x x C
x
.
Lời giải
Ta có:
dd
1
1
x
f x x x
x

.
Đặt
d d d d
2
1 1 2 2t x t x t t x x t t
.
Khi đó
d d d
2
23
21
.2 2 2 2 2
3
t
f x x t t t t t t C
t


22
1 1 4 1 10 1
33
x x x C x x C
.
Chọn đáp án A.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số
cos
( ) cot sin
x
f x e x x
là
A.
d
cos
( ) sin
x
f x x e x C
. B.
d
cos
( ) sin
x
f x x e x C
.
C.
d
cos
( ) sin
x
f x x e x C
. D.
d
cos
( ) sin
x
f x x e x C
.
Lời giải
Ta có
d d d
cos cos
( ) cot sin sin cos
xx
f x e x x x e x x x x
dd
cos cos
cos cos sin
xx
e x x x e x C

.
Chọn đáp án C.
V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:
Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:
Đúng Sai
a)
2
ln 1f x x x
và
2
1
1
gx
x
.
b)
sin
cos
x
f x e x
và
sinx
g x e
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 24 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
c)
2
1
sinfx
x
và
2
12
singx
x
x

.
d)
2
1
22
x
fx
xx

và
2
22g x x x
.
e)
1
2
x
f x x e
và
1
21
x
g x x e
.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu
Fx
là một nguyên hàm của
trên
và
C
là hằng số thì
df x x F x C
.
B. Mọi hàm số liên tục trên
đều có nguyên hàm trên
.
C.
Fx
là một nguyên hàm của
trên
/
; , ;a b F x f x x a b
.
D.
d
/
f x x f x
,
;x a b
.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
ddf x x F x C f t t F t C

.
B.
d
/
f x x f x


.
C.
ddf x x F x C f u x F u C

.
D.
ddkf x x k f x x

(
k
là hằng số).
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
d d df x g x x f x x g x x


. B.
d d ;kf x x k f x x k

.
C.
d
/
f x x f x
. D.
d d d..f x g x x f x x g x x


.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
d0 xC
(
C
là hằng số). B.
d
1
lnx x C
x

(
C
là hằng số).
C.
d
1
1
x
x x C

(
C
là hằng số). D.
dx x C
(
C
là hằng số).
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 25 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 6. Hàm số
có nguyên hàm trên
K
nếu:
A.
xác định trên
.K
B.
có giá trị lớn nhất trên
.K
C.
fx
có giá trị nhỏ nhất trên
.K
D.
liên tục trên
.K
Câu 7. Hàm số
1
cos
fx
x
có nguyên hàm trên:
A.
0; .
B.
;.
22




C.
; 2 .

D.
;.
22




Câu 8. Nếu
liên tục trên khoảng D thì:
A.
không có nguyên hàm trên D. B.
fx
có đúng một nguyên hàm trên D.
C.
fx
có hai nguyên hàm trên D. D.
có vô số nguyên hàm trên D.
Câu 9. Hàm số
4
5
f x x
có nguyên hàm trên:
A.
;. 
B.
0; .
C.
;0 .
D.
0; . 
Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
4
3?x
A.
5
3
.
5
x
x
B.
5
3
.
5
x
C.
5
3
2016.
5
x
D.
5
3
1.
5
x
Câu 11. Cho hàm số
xác định trên
.K
Hàm số
được gọi là nguyên hàm của hàm số
trên
K
nếu với mọi
,xK
ta có:
A.
'.F x f x C
B.
'.F x f x
C.
'.f x F x
D.
'.f x F x C
Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn
lại?
A.
sin2x
và
2
cos .x
B.
sin2x
và
2
sin .x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
x
e
và
.
x
e
D.
2
tan x
và
22
1
.
cos x
Câu 13. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn
lại?
A.
sin2x
và
2
cos .x
B.
cos2x
và
2
sin .x
C.
2x
e
và
2
2.
x
e
D.
tan 2x
và
2
2
.
cos x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số
3
32f x x x
là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
2
33F x x x C
. B.
4
2
32
3
x
F x x x C
.
C.
42
2
42
xx
F x x C
. D.
42
3
2
42
xx
F x x C
.
Câu 15. Hàm số
32
5 4 2F x x x x C
là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.
2
5 4 2f x x x
. B.
2
15 8 2f x x x
.
C.
2 3 2
54
4 3 2
x x x
fx
. D.
2
5 4 2f x x x
.
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số:
2
5
3y x x
x
là
A.
3
2
3
5ln
32
x
F x x x C
. B.
3
2
3
5ln
32
x
F x x x C
.
C.
3
2
3
5ln
32
x
F x x x C
. D.
2
5
23F x x C
x
.
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số
12f x x x
là
A.
23F x x C
. B.
3
2
2
2
33
x
F x x x C
.
C.
3
2
3
2
32
x
F x x x C
. D.
3
2
2
2
33
x
F x x x C
.
Câu 18. Nguyên hàm
Fx
của hàm số
2
1
sin
fx
x
biết
22
F




là
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 27 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
A.
.F x x
B.
cot .
2
F x x
C.
cot .F x x
D.
sin 1.
2
F x x
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số
2
1
sin
fx
x
trên khoảng
0;
là
A.
cot .xC
B.
cot .xC
C.
3
2cos
.
sin
x
C
x

D.
2
2cos
.
sin
x
C
x
Câu 20. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:
Đúng Sai
a)
2
23
23
xx
Fx
x

và
2
29
.
23
xx
Gx
x

b)
2
5 2sinF x x
và
1 cos2 .G x x
c)
2
5F x x
và
2
10 7.G x x x
d)
2
1
cos
Fx
x
và
2
tan 8.G x x
Câu 21. Hàm số
lnF x x
là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
0; ?
A.
1
.
x
B.
1
.
x
C.
2
1
.
x
D.
2
1
.
x
Câu 22. Nguyên hàm
Fx
của hàm số
2
2 2 7
52
fx
xx
x
là hàm số nào sau đây?
A.
7
ln 5 2 2lnF x x x C
x
. B.
7
ln 5 2 2lnF x x x C
x
.
C.
7
ln 5 2 2lnF x x x C
x
. D.
7
ln 5 2 2lnF x x x C
x
.
Câu 23. Hàm số
thỏa mãn
22
31
'.
3 1 1
Fx
xx


Lúc đó,
là
A.
11
.
3 1 1
F x C
xx

B.
13
.
1 3 1
F x C
xx

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 28 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
11
.
1 3 1
F x C
xx

D.
1
.
1 3 1
C
Fx
xx


Câu 24. Hàm số
biết
2
' 3 2 1F x x x
và đồ thị
y F x
cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng
là
A.
2
2017.F x x x
B.
cos2 2016.F x x
C.
32
2017.F x x x x
D.
32
2016.F x x x x
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số
( ) sin4f x x
là
A.
d
1
( ) cos4
4
f x x x C
. B.
d
1
( ) cos4
4
f x x x C
.
C.
d( ) cos4f x x x C
. D.
d( ) cos4f x x x C
.
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số
( ) cos 2
4
f x x




là
A.
d
1
( ) sin 2
24
f x x x C



. B.
d( ) sin 2
4
f x x x C



.
C.
d
1
( ) sin 2
24
f x x x C



. D.
d
1
( ) sin 2
24
f x x x C



.
Câu 27. Hàm số
3
x
F x e
là một nguyên hàm của hàm số
A.
3
.
x
f x e
B.
3
2
3.
x
f x x e
C.
3
2
.
3
x
e
fx
x
D.
3
3
1.
x
f x x e
Câu 28. Nguyên hàm của hàm số
2
1a)
6
( tnfx
x
là
A.
d tan
6
x
f x x C
. B.
d 6 tan
6
x
f x x C
.
C.
d
1
tan
66
x
f x x C
. D.
d 6tan
6
x
f x x C
.
Câu 29. Biết
d .f v u F v C
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
d4 3 4 3 .f x x F x C
B.
d4 3 4 3 .f x x F x C
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
d
1
4 3 4 3 .
4
f x x F x C
D.
d4 3 4 4 3 .f x x F x C
Câu 30. Hàm số
,Fx
thỏa mãn điều kiện
5
'F x x
x

là
A.
2
5
1.F x C
x
B.
2
5ln .
2
x
F x x C
C.
2
5ln .
2
x
F x x C
D.
2
5ln .
2
x
F x x
Câu 31. Nguyên hàm của hàm số
2
1
()
sin
6
fx
x



là
A.
d( ) cot
6
f x x x C



. B.
d
1
( ) cot
64
f x x x C



.
C.
d( ) cot
6
f x x x C



. D.
d
1
( ) cot
66
f x x x C



.
Câu 32. Biết một nguyên hàm của hàm số
2sin4f x x
là hàm số
thỏa mãn
3
0
2
F
.
Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
cos4
2
4
x
Fx
. B.
cos4
2
2
x
Fx
.
C.
cos4
2
2
x
Fx
. D.
2cos4 2F x x
.
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số
22
( ) sin cosf x x x
là
A.
d( ) sin2f x x x C
. B.
d
sin2
()
2
x
f x x C
.
C.
d( ) 2sin2f x x x C
. D.
d
sin2
()
2
x
f x x C
.
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2sin cos3f x x x
là
A.
d
cos4 cos2
( ) .
42
xx
f x x C
B.
d
cos4 cos2
()
42
xx
f x x C
.
C.
d
cos4 cos2
()
42
xx
f x x C
. D.
d
cos4 cos2
()
42
xx
f x x C
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 35. Nguyên hàm của hàm số
( ) 4sin2 cosf x x x
là
A.
d
2cos3
( ) 2cos .
3
x
f x x x C
B.
d
2cos3
( ) 2cos .
3
x
f x x x C
C.
d
2cos3
( ) 2cos .
3
x
f x x x C
D.
d
2cos3
( ) 2cos .
3
x
f x x x C
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2sin3 sinf x x x
là
A.
d
sin4 sin 2
( ) .
42
xx
f x x C
B.
d
sin4 sin2
( ) .
42
xx
f x x C
C.
d
sin4 sin 2
( ) .
22
xx
f x x C
D.
d
sin4 sin2
( ) .
42
xx
f x x C
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số
( ) 4cos3 cos2f x x x
là
A.
d
2sin 5
( ) 2sin .
5
x
f x x x C
B.
d
2sin 5
( ) 2sin .
5
x
f x x x C
.
C.
d
2sin 5
( ) 2sin .
5
x
f x x x C
D.
d
2sin 5
( ) 2sin .
5
x
f x x x C
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số
44
( ) sin cosf x x x
là
A.
d
3 sin 4
()
4 16
x
f x x x C
. B.
d
3 sin 4
()
4 16
x
f x x x C
.
C.
d
3 sin4
()
4 16
x
f x x x C
. D.
d
3 sin4
()
4 16
x
f x x x C
.
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số
66
( ) sin cosf x x x
là
A.
d
5 3sin 4
()
88
x
f x x x C
. B.
d
5 3sin4
()
8 32
x
f x x x C
.
C.
d
5 3sin 4
()
8 32
x
f x x x C
. D.
d
5 3sin4
()
88
x
f x x x C
.
Câu 40. Nguyên hàm của hàm số
4 4 6 6
( ) sin cos sin cosf x x x x x
là
A.
d
1 sin4
()
4 16
x
f x x C
. B.
d
1 sin 4
()
4 16
x
f x x x C
.
C.
d
1 sin4
()
4 16
x
f x x x C
. D.
d
1 sin4
()
4 16
x
f x x x C
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 41. Giá trị
m
để hàm số
3 2 2
4 2 2 1F x mx x m x
là một nguyên hàm của hàm số
2
12 4f x x x x
là
A.
1m 
. B.
0m
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 42. Nguyên hàm của hàm số
3
( ) sin .cosf x x x
là
A.
d
4
sin
()
4
x
f x x C
. B.
d
4
sin
()
4
x
f x x C
.
C.
d
2
sin
()
2
x
f x x C
. D.
d
5
sin
()
5
x
f x x C
.
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số
()
xx
f x e e

là
A.
d
xx
f x x e e C
. B.
d
xx
f x x e e C
.
C.
d
xx
f x x e e C
. D.
d
xx
f x x e e C
.
Câu 44. Cho hàm số
x
f x xe
. Giá trị
,ab
để
x
F x ax b e
là một nguyên hàm của hàm
số
là
A.
1; 1.ab
B.
1; 1.ab
C.
1; 1.ab
D.
1; 1.ab
Câu 45. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2 .5
xx
fx
là
A.
d
21
.
5 ln 2 ln 5
x
f x x C




. B.
d
51
.
2 ln 2 ln 5
x
f x x C




.
C.
d
21
.
5 ln 5 ln 2
x
f x x C




. D.
d
21
.
5 ln 2 ln 5
x
f x x C




.
Câu 46. Cho hàm số
fx
thỏa mãn các điều kiện
' 2 cos2f x x
và
2.
2
f



Khẳng
định nào sau đây sai?
A.
1
2 sin 2 .
2
f x x x
B.
2 sin2 .f x x x
C.
0.f
D.
0.
2
f




Câu 47. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2
xx
f x e e

là
A.
( ) 2
x
F x e x C
. B.
( ) 2 ln
x x x
F x e e e C
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
1
( ) 2
x
x
F x e C
e
. D.
( ) 2
x
F x e x C
.
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số
2
()
xx
f x e e

là
A.
22
4
()
2
xx
ee
F x C


. B.
22
( ) 2
xx
F x e e x C
.
C.
22
( ) 2
xx
F x e e x C
. D.
22
()
22
xx
ee
F x x C
.
Câu 49. Tính
2
21
dx
x
ta được kết quả
A.
ln 2 1 .xC
B.
2
1
.
21
C
x

C.
ln 2 1
.
2
x
C
D.
ln 2 1 .xC
Câu 50. Tính
6
13
dx
x
ta được kết quả
A.
3ln 1 3 .xC
B.
2
18
.
13
C
x
C.
2ln 1 3 .xC
D.
2ln 1 3 .xC
Câu 51. Tính
21
1
x
dx
x
ta được kết quả
A.
2 ln 1 .x x C
B.
2 ln 1 .x x C
\
C.
2 ln 1 .xC
D.
2 1 ln 1 .x x C
Câu 52. Tính
42
1
x
dx
x
ta được kết quả
A.
4 6ln 1 .x x C
B.
4 6ln 1 .x x C
C.
4 3ln 1 .x x C
D.
4 ln 1 .x x C
Câu 53. Tính
42
2
x
dx
x
ta được kết quả
A.
4 10ln 2 .x x C
B.
4 10ln 2 .x x C
C.
4 10ln 2 .x x C
D.
4 ln 2 .x x C
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 54. Biết một nguyên hàm của hàm số
2
21
fx
x
là hàm số
thỏa mãn
20F
.
Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
ln 2 1 ln 3.F x x
B.
ln 2 1 ln3.F x x
C.
2ln 2 1 ln3.F x x
D.
ln 2 1
ln 3.
2
x
Fx

Câu 55. Biết một nguyên hàm của hàm số
23
1
x
fx
x
là hàm số
thỏa mãn
14F 
.
Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
2 5ln 1 8.F x x x
B.
2 5ln 1 8.F x x x
C.
2 5ln 1 8.F x x x
D.
2 5ln 1 8F x x x
Câu 56. Tính
d
2
1
1
x
x
x
ta được kết quả
A.
2
2ln 1 .
2
x
x x C
B.
2
ln 1 .
2
x
x x C
C.
2
2ln 1 .
2
x
x x C
D.
2
ln 1 .
2
x
x x C
Câu 57. Tính
d
2
1
1
x
x
ta được kết quả
A.
1
ln 1 1 .
2
x x C
B.
11
ln .
21
x
C
x
C.
11
ln .
21
x
C
x
D.
1
ln 1 .ln 1 .
2
x x C
Câu 58. Tính
d
2
1
43
x
xx
ta được kết quả
A.
1
ln 1 3 .
2
x x C
B.
13
ln .
21
x
C
x
C.
11
ln .
23
x
C
x
D.
1
ln 1 .ln 3 .
2
x x C
Câu 59. Tính
d
2
1
4
x
x
ta được kết quả
A.
1
ln 2 2 .
4
x x C
B.
12
ln .
42
x
C
x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 34 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
12
ln .
42
x
C
x

D.
1
ln 2 .ln 2 .
4
x x C
Câu 60. Tính
d
2
2
34
32
xx
x
xx


ta được kết quả
A.
2ln 1 2 .x x x C
B.
1
2ln .
2
x
xC
x

C.
2
2ln .
1
x
xC
x

D.
2ln 1 ln 2 .x x x C
Câu 61. Tính
d
2
2
21
x
xx
ta được kết quả
A.
1
.
1
C
x

B.
2
.
1
C
x

C.
2
2ln 2 1 .x x C
D.
2
2
41
.
21
x
C
xx


Câu 62. Tính
d
2
2
44
x
xx

ta được kết quả
A.
2
.
2
C
x

B.
1
.
2
C
x

C.
2
2ln 4 4 .x x C
D.
2
2
2 2 4
.
44
x
C
xx


Câu 63. Tính
d
2
2
21
x
x
xx
ta được kết quả
A.
2
2ln 1 .
1
xC
x
B.
2
2ln 1 .
1
xC
x
C.
2
ln 1 .
1
xC
x
D.
1
2ln 1 .
1
xC
x
Câu 64. Tính
d
2
2
2 4 5
21
xx
x
xx


ta được kết quả
A.
3
2.
1
xC
x

B.
3
2.
1
C
x

C.
2
2.
1
xC
x

D.
4
2.
1
xC
x

Câu 65. Tính
d
3
2
21
x
x
ta được kết quả
A.
2
1
.
2 2 1
C
x

B.
2
1
.
21
C
x

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 35 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
C.
2
1
.
21
C
x
D.
2
1
.
2 2 1
C
x
Câu 66. Biết một nguyên hàm của hàm số
2
24
1
xx
fx
x
là hàm số
thỏa mãn
21F
.
Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
2
6 6ln 1 .F x x x x
B.
2
6 6ln 1 17.F x x x x
C.
2
6 6ln 1 17.F x x x x
D.
2
6 ln 1 17.F x x x x
Câu 67. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
2
2
2
1
xx
fx
x
?
A.
2
1
.
1
xx
Fx
x

B.
2
1
.
1
xx
Fx
x

C.
2
33
.
1
xx
Fx
x

D.
2
1
.
1
x
Fx
x
Câu 68. Hàm số
7 tan
x
F x e x
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.
2
7
cos
x
x
e
f x e
x




. B.
2
1
7
cos
x
f x e
x

.
C.
2
7 tan 1
x
f x e x
. D.
2
1
7
cos
x
f x e
x




.
Câu 69. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
1
'
21
fx
x
và
01f
thì
1f
có giá trị bằng
A.
ln 2.
B.
2ln3 1.
C.
2ln2 1.
D.
2ln3 1.
Câu 70. Nguyên hàm của hàm số
62
()
x
f x e
là
A.
d
31
1
3
x
f x x e C

. B.
d
31x
f x x e C

.
C.
d
62
1
3
x
f x x e C

. D.
d
31
1
3
x
f x x e C

.
Câu 71. Nguyên hàm của hàm số
1
()
41
fx
x
là
A.
d 41f x x x C
. B.
d 2 4 1f x x x C
.
C.
d
41
2
x
f x x C

. D.
d 4 4 1f x x x C
.
Câu 72. Hàm số
thỏa mãn
2
cos
'
4 sin
x
fx
x
là
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 36 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
A.
2
sin
.
4 cos
x
f x C
x

B.
sin
.
4 sin
x
f x C
x

C.
1
.
4 cos
f x C
x

D.
1
.
4 sin
f x C
x
Câu 73. Nguyên hàm của hàm số
1
()
2
fx
x
là
A.
d 2f x x x C
. B.
d 22f x x x C
.
C.
d 22f x x x C
. D.
d 32f x x x C
.
Câu 74. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
' 2sin2 cosf x x x
và
04f
thì
2
f



có
giá trị bằng
A.
5.
B.
6.
C.
7.
D.
8.
Câu 75. Nguyên hàm của hàm số
( ) 2 5f x x
là
A.
d
1
2 5 2 5
3
f x x x x C
. B.
d
2
2 5 2 5
3
f x x x x C
.
C.
d
1
25
3
f x x x C
. D.
d
1
25
2
f x x x C
.
Câu 76. Nguyên hàm của hàm số
( ) 4 3f x x
là
A.
d
2
4 3 4 3
9
f x x x x
. B.
d
2
4 3 4 3
3
f x x x x
.
C.
d
2
4 3 4 3
9
f x x x x C
. D.
d
2
43
3
f x x x C
.
Câu 77. Nguyên hàm
Fx
của hàm số
21
x
x
fx
e
biết
0 1,F
là
A.
2 ln 2 1
.
ln 2 1
x
x
Fx
e

B.
2
.
x
Fx
e



C.
2 ln 2
.
ln 2 1
x
x
Fx
e
D.
1 2 1 1
.
ln 2 1 1 ln2
xx
Fx
ee

Câu 78. Nguyên hàm của hàm số
3
( ) 3f x x
là
A.
d
3
3
33
4
f x x x x C
. B.
d
3
3
33
4
f x x x x C
.
C.
d
3
2
33
3
f x x x x
. D.
d
2
3
1
2
3
f x x x C
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 79. Nguyên hàm của hàm số
3
( ) 1 3f x x
là
A.
d
3
1
1 3 1 3
4
f x x x x C
. B.
d
3
3
1 3 1 3
4
f x x x x C
.
C.
d
3
1
1 3 1 3
4
f x x x x C
. D.
d
2
3
13f x x x C
.
Câu 80. Cho hàm số
2
1
sin 2
y f x
x

. Nếu
Fx
là nguyên hàm của hàm số
fx
và đồ thị
y F x
đi qua điểm
;0
12
A



thì
là
A.
cot 2 3
2
x
Fx

. B.
cot 2 3
.
2
x
Fx
C.
cot 2 3
.
2
x
Fx

D.
3
cot 2 .
2
F x x
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số
3x
f x e
là
A.
d
3
3
.
2
x
e
f x x C
B.
d
3
3
.
2
x
f x x C
e

C.
d
32
2
2
.
32
x
e
f x x C
x

D.
d
3
2
.
3
x
e
f x x C
Câu 82. Hàm số
2
1 1 2016F x x x
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.
2
1 1 C.
5
f x x x
B.
5
1 1 .
2
f x x x C
C.
5
1 1.
2
f x x x
D.
1 1 .f x x x C
Câu 83. Biết một nguyên hàm của hàm số
1
1
13
fx
x

là hàm số
Fx
thỏa mãn
2
1
3
F 
. Khi đó
là hàm số nào sau đây?
A.
2
1 3 3.
3
F x x x
B.
2
1 3 3.
3
F x x x
C.
2
1 3 1.
3
F x x x
D.
2
4 1 3 .
3
F x x
Câu 84. Biết
( ) 6 1F x x
là một nguyên hàm của hàm số
()
1
a
fx
x
. Khi đó giá trị của
a
bằng
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
A.
3
. B.
3
. C.
6
. D.
1
6
.
Câu 85. Tính
d( ) sinF x x x x
ta được kết quả
A.
( ) sin cosF x x x x C
. B.
( ) sin cosF x x x x C
.
C.
( ) sin cosF x x x x C
. D.
( ) sin cosF x x x x C
.
Câu 86. Giả sử
là nguyên hàm của hàm số
2
32f x x x
. Biết đồ thị của hàm số
Fx
và
cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị
fx
và
Fx
là
A.
0; 0
. B.
2 2;14 10 2 ; 0; 0 .
C.
; 2 2;14 10 2 ; 2 2;14 10 2 0;0 .
D.
; 1 2;4 2 2 ; 1 2;4 2 2 0;0 .
Câu 87. Tính
d
2
lnx x x
ta được kết quả
A.
22
1
2ln 2ln 1
4
xx x C
. B.
22
1
2ln 2ln 1
2
xx x C
.
C.
22
1
2ln 2ln 1
4
xx x C
. D.
22
1
2ln 2ln 1
2
xx x C
.
Câu 88. Giả sử
Fx
là nguyên hàm của hàm số
21f x x
. Biết đồ thị của hàm số
Fx
và
cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị
và
là
A.
0; 1
. B.
3; 5
. C.
0; 1
và
3; 5
. D.
0; 1
và
3;0
.
Câu 89. Tính
d( ) sin cosF x x x x x
ta được kết quả
A.
1
( ) cos2 sin 2
42
x
F x x x C
. B.
1
( ) sin2 cos2
84
x
F x x x C
.
C.
1
( ) sin 2 cos2
48
x
F x x x C
. D.
1
( ) sin2 cos2
48
x
F x x x C
.
Câu 90. Tính
d
3
()
x
F x xe x
ta được kết quả
A.
3
( ) 3 .
x
F x x e C
B.
3
( ) 3 3 .
x
F x x e C
C.
3
3
( ) .
3
x
x
F x e C

D.
3
3
( ) .
3
x
x
F x e C

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 39 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 91. Tính
d
2
()
cos
x
F x x
x
ta được kết quả
A.
( ) tan ln cosF x x x x C
. B.
( ) cot ln cosF x x x x C
.
C.
( ) tan ln cosF x x x x C
. D.
( ) cot ln cosF x x x x C
.
Câu 92. Tính
d
2
( ) cosF x x x x
ta được kết quả
A.
2
( ) 2 sin 2 cosF x x x x x C
. B.
2
( ) 2 sin cos sinF x x x x x x C
.
C.
2
( ) sin 2 cos 2sinF x x x x x x C
. D.
2
( ) 2 cos sinF x x x x x x C
Câu 93. Tính
d( ) sin2F x x x x
ta được kết quả
A.
cos2 sin 2
()
24
x x x
F x C
. B.
cos2 sin2
()
24
x x x
F x C
.
C.
cos2 sin2
()
24
x x x
F x C
. D.
cos2 sin 2
()
24
x x x
F x C
.
Câu 94. Hàm số
( ) sin cos 2017F x x x x
là một nguyên hàm của hàm số nào?
A.
( ) cosf x x x
. B.
( ) sinf x x x
.
C.
( ) cosf x x x
. D.
( ) sinf x x x
.
Câu 95. Tính
d
2
1 ln x
x
x
ta được kết quả
A.
ln 2
.
x
C
x

B.
1 ln( 1)
ln .
1
xx
C
xx

C.
1
1 ln( 1) ln| | .
x
x x C
x
D.
1 ln( 1)
ln 1 ln .xx
x
C
x

Câu 96. Để xác định
d
3
23
1x x x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số
phụ
A.
3
3
1.tx
B.
3
1.tx
C.
2
.tx
D.
3
23
1.t x x
Câu 97. Để tính
d
3
ln x
x
x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ
A.
1
.t
x
B.
ln .tx
C.
3
ln .tx
D.
3
ln
.
x
t
x
Câu 98. Kết quả
d
3
ln x
x
x
là
A.
23
2
3ln ln
.
xx
x
B.
4
ln
.
4
x
C
x
C.
4
ln
.
4
x
C
D.
2
3ln .xC
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 99. Để tính
d
2
x
xe x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ
A.
2
.tx
B.
2
.
x
te
C.
2
.
x
t xe
D.
.
x
te
Câu 100. Kết quả của
d
2
x
xe x
là
A.
2
.
x
xe C
B.
2
.
2
x
e
C
C.
2
.
x
eC
D.
2
.
x
x e C
Câu 101. Để tính
d
2
11
cos x
x
x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ
A.
2
1
.t
x
B.
1
.t
x
C.
1
cos .t
x
D.
11
cos .t
xx
Câu 102. Kết quả của
d
2
11
cos x
x
x
là
A.
1
sin .C
x
B.
1
sin .C
x

C.
43
1 1 2 1
sin cos .C
xx
xx
D.
11
sin .C
xx
Câu 103. Để tính
d
5
sin cosx x x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ
A.
cos .tx
B.
sin .tx
C.
5
cos .tx
D.
sin cos .t x x
Câu 104. Kết quả của
d
5
sin cosx x x
là
A.
4
5cos .xC
B.
6
cos
.
6
x
C
C.
4
5cos sin .x x C
D.
6
cos
.
6
x
C
Câu 105. Kết quả của
d
2
21x x x
là
A.
2
2
2
2 1 .
1
x
xC
x




B.
2
2
2 1 .
21
x
xC
x




C.
3
2
2
2
1.
3
xC
D.
2
1
1.
3
x x C
Câu 106. Để tính
d
cos sin
cos sin
xx
x
xx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số
phụ
A.
cos sin .t x x
B.
sin cos .t x x
C.
cos sin .t x x
D.
cos sin .t x x
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Câu 107. Kết quả của
d
cos sin
cos sin
xx
x
xx
là
A.
2 cos sin .x x C
B.
2 cos sin .x x C
C.
sin cos .x x C
D.
sin cos .x x C
Câu 108. Để tính
d
x
xe x
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A.
d d,.
x
u e v x x
B.
d d,.
x
u x v e x
C.
d d,.
x
u xe v x
D.
d d,.
x
u e v x
Câu 109. Kết quả của
d
x
xe x
là
A.
.
xx
e xe C
B.
2
.
2
x
x
eC
C.
.
xx
xe e C
D.
2
.
2
xx
x
e e C
Câu 110. Để tính
2
cosx xdx
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên
đặt
A.
d d, cos .u x v x x x
B.
d d
2
, cos .u x v x x
C.
d d
2
cos , .u x v x x
D.
d d
2
cos , .u x x v x
Câu 111. Kết quả của
d
2
cosx x x
là
A.
2
2 cos sin .x x x x C
B.
2
2 cos sin .x x x x C
C.
2
sin cos sin .x x x x x C
D.
2
sin 2 cos 2sin .x x x x x C
Câu 112. Để tính
dln 2x x x
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta
nên đặt
A.
d d, ln 2 .u x v x x
B.
d dln 2 , .u x v x x
C.
d dln 2 , .u x x v x
D.
d dln 2 , .u x v x
Câu 113. Kết quả của
dln 2x x x
là
A.
22
ln 2 2ln 2 .
24
xx
x x x C
B.
ln 2 .
2
x
xC
x
C.
22
ln 2 2ln 2 .
24
xx
x x x C
D.
2
ln 2 .
4
x
x x C
HẾT
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 42 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Xin phép quý thầy cô là những ngƣời sở hữu các câu hỏi có trong tài liệu, cho phép
chúng em biên tập và sử dụng để giúp cho các em học sinh thân yêu có tƣ liệu học tập. Vì
mục đích không kinh doanh nên mong quý thầy cô đồng ý ạ, chúng em xin chân thành cảm
ơn!
CLB sử dụng hệ thống sách chất lƣợng của NXBGD VN 2007, 2008, 2016 và các tài liệu
tham khảo chất lƣợng từ Page Toán học Bắc Trung Nam.
P/S: Trong quá trình sưu tầm và biên soạn chắc chắn không tránh khỏi sai sót, kính mong quí
thầy cô và các bạn học sinh thân yêu góp ý để các bản update lần sau hoàn thiện hơn! Xin chân thành
cảm ơn.
CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO.
Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế.
Email: lebabaodanghuytru2016@gmail.com Facebook: Lê Bá Bảo
Số điện thoại: 0935.785.115
| 1/43
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
Trung tâm BDKT 87 Bùi Thị Xuân, TP Huế Bµi viÕt chuyªn ®Ò: NGUY£N HµM LuyÖn thi THPT 2017_2018 HuÕ, th¸ng 9/2017
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Chuyên đề:
TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: 1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F'x  f x với mọi xK . b. Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
Gx  F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x
trên K đều có dạng F x  C , với C là một hằng số.
Do đó F x  C, C  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f
 xdx FxC .
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: f
 xdx  f x và f '
 xdx f xC
Tính chất 2: kf
 xdx k f
 xdx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f
 x gxdx f
 xdxg  xdx f x f  xdx
Chú ý: f
 x.gxdx f
 xd .x g  x  
dx;    dx    g x g  x . dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm sơ cấp
u ax ;b a  0
số hợp u ux 0dx C  0du C
dx x C
du u C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  1     1 x  1 1  d 1 x xC    ax b 1 dx  . axb     u d 1 u u C   C 1 a   1  1    1    1    1 1 1 1 1
dx  ln x C
dx  ln ax b C
du  ln u Cx ax b a u x axb 1 d x
e x e C  d axb e x eCud u
e u e Ca x axb u x a axb 1 A a dx   CA dx  .  Cu a a du   C  ln a a ln A ln a
a  0,a  1
a  0,a  1
a  0,a  1 cos ax b sin d
x x   cos x C  sin  axb   dx    C sin d
u u  cos u  Ca sin ax b cos d
x x  sin x C  cos  axb   dx   C cos d
u u  sinu Ca 1 1
tan ax b 1
dx  tan x C  dx   C
du  tan u C  2 cos x 2
cos ax ba 2 cos u 1 1
cot ax b 1
dx   cot x C  dx    C
du   cot u C  2 sin x 2
sin ax ba 2 sin u
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu f
 udu FuC và u ux là hàm số có đạo hàm liên tục thì f
 uxu'xdx FuxC 1
Hệ quả: Nếu u ax b a  0 thì ta có f
 axbdx FaxbC a
2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u ux và v vx có đạo hàm liên tục trên K thì u
 xv'xdx uxvx u'
 xvxdx
Vì v'xdx dv, u'xdx dv nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: d u v uv  d v u  
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Ví dụ 1: Xác định: 4 2 2
x  3x  4x  2 a) x   1 2x   1d .x b) d . x  c)  3 4
4 x  3 x d . x x  0. x Lời giải: 4 2 x
a) Ta có: x    x  dx   2
x x   x  dx   3 2 x x  d 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 x
x x C. 2 4 2 4 2
x  3x  4x  2  2  x 3x b) Ta có: d 3 x
x  3x  4  dx  
 4x  2ln x     C. xx  4 2 4 5 1 1   3 4 4x 3x 12
c) Ta có, với x  0 :  3 4 4 x  3 x d 3 4
x  4x  3x d 3 4 x    3x x x x C. 4 5 5   3 4
Ví dụ 2: Xác định: 2x 4x 2 e  2  e a) 2x1 4 d . x  b) x  2 x ee  d .x c) d . xx eLời giải: 2x1 a) Ta có: 2x1 4 4 dx   C.  2 ln 4 2x1 2x1 2 4 4 4 x 1 x 1 Nhận xét: 4    .16 
.2 x (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm). 2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3x 2 b) Ta có: x   x   d x    x 2x  
d   x 2x 3x   d x 2 2 4 4 4 4  4  2 x e e e x e e e x e e e x e e  C. 3 2x 4x 3x 5 e  2 xe e e c) Ta có: dx
e e e x   e   C   x  3x x 5 2 x d 2 x . e 3 5
Ví dụ 3: Xác định:
a) 2sin 4x  3cos 5x   1d .x b)  2 2
4 sin 2x  6 cos xd . x c) 4 2 sin 3 d x . x  d)  4 4
sin 2x  cos 2xd . x Lời giải: cos 4x 3sin 5x
a) Ta có: 2sin4x  3cos5x   1 dx     x  . C 2 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b) Ta có:  2 2
4 sin 2x  6 cos xdx  2
 1cos4x31cos2xdx  
3cos2x2cos4x5dx 3sin 2x sin 4x    5x C. 2 2 2 2  1 cos6x  1 c) Ta có: 4 2 sin 3x  2 2 sin 3x  2   2 1  2 cos 6x    cos 6x  2  2 1  1 cos12x  3 cos12x  1 2 cos 6x    2cos6x    . 2  2  4 4  x x x x Vậy 4 3 cos12 3 sin 6 sin12 2 sin 3 d x x   2cos6x  dx        C.  4 4  4 3 48 1 1 1 cos 8x 3 cos 8x d) Ta có: 4 4 2
sin 2x  cos 2x  1 sin 4x  1 .   . 2 2 2 4 4  3 cos8x  3 sin 8x Vậy  4 4
sin 2x  cos 2xdx   dx x     C.  4 4  4 32
Ví dụ 4: Xác định: a) 2 sin 3x cos 2 d x . x  b) 6 sin 4x sin 2 d x . x  c) cos 5x cos 2 d x . x
d) 8 sin 3x cos 2x sin 6 d x . xLời giải: cos 5x
a) Ta có: 2 sin 3x cos 2 d x x  
sinxsin5xdx  cosx C. 5 3sin 2x sin 6x
b) Ta có: 6 sin 4x sin 2 d x x  3 
cos2xcos6xdx    . C 2 2 1 sin 3x sin7x
c) Ta có: cos 5x cos 2 d x x  
cos3xcos7xdx    . C 2 6 14
d) Ta có: 8sin 3xcos 2xsin 6x  4sin x  sin 5xsin6x  4sin xsin6x  4sin 5xsin6x
 2cos5x cos7x 2cosx cos11x  2cosx  2cos5x 2cos7x 2cos11x .
Vậy 8sin 3xcos 2xsin 6 d x x  
2cosx2cos5x2cos7x2cos11xdx 2 sin 5x 2 sin 7x 2 sin11x  2sin x     C. 5 7 11
Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau: 4 2 2
x  7x  2x  5 1) 3x   1 2x   1d .x 2) d . x  2 x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3)  3 5 4 x x   d . x x  0. 4) 2x 1 9 d . x  2x 4x 2 e  2  e 5) 2x  3 x ee  d .x 6) d . xx e
7) 3sin 2x  2cos7x   1d .x 8)  2 2
2 sin 2x  4 cos 4xd . x 9) 4 6 sin 2 d x . x  10)  4 4
sin x  cos xd . x 11) 8 sin 3x cos 6 d x . x  12) 10 sin 2x sin 8 d x . x  13) 4 cos 5x cos 3 d x . x
14) 16 sin 2xcos 3xsin 6 d x . xNhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung: P(x)
Để tìm nguyên hàm của hàm số , trong đó ( P ) x , ( Q )
x là các đa thức, ta thực hiện như ( Q x) sau: - Nếu bậc của (
P x) không nhỏ hơn bậc của (
Q x) , thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu ( P x) P (x) P (x) biễn: 1  M(x)  , trong đó (
M x) là đa thức, và 1
là phân thức có bậc của ( Q x) ( Q x) ( Q x)
P (x) nhỏ hơn bậc của ( Q x) . 1
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm: m 2 n 2 ( Q ) x  (x  )
a ...(x px q)
  p  4q  0
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản: ( P x) A A A 1 2 m        
x am x px qn    ... ... 2 2
xam 1 x a x aB x C B x C B x C 1 1 2 2 n n     n   ... n1  2 2 2 x px      q x px q x px q
- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A , A ,..., A , B ,..., B . 1 2 m 1 n
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản. LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 4 3x  1 x  4x  2 a) I  dx b) I  dx   1 2 x  4 2x  1 Lời giải 3x  1 3(x  4)  13 1 a) Ta có: I  dx  dx  d 3 x  13
dx  3x  13ln x  4  C     1 x  4 x  4 x  4 4 3 2 x  4x  2 x x x 47 1 1 b) Biểu diễn:      . 2x  1 2 6 12 24 24 2x  1 Lúc đó: 4 3 2 4 3 2 x  4x  2  x x x 31 63 1  x x x 31x 63 I  dx        . d  x     
ln 2x  1  C. 2 2x  1 2 4 8 16 16 2x   1  8 12 16 16 32
Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau: 3 1 1 a) I  dx b) I  dx c) I  dx    1 2 2 2 3 2 x  4 x  5x  6 2x  3x  1 Lời giải a) Ta có: 3 1
3 (x  2)  (x  2) 3  1 1  3 x  2 I  dx  3 dx  dx   dx  ln       C 1 2 x  4
(x  2)(x  2) 4
(x  2)(x  2)
4  x  2 x  2  4 x  2 b) Tương tự: 1 1
(x  2) (x  3)  1 1  x  3 I  dx  dx  dx   dx  ln       C 2 2 x  5x  6
(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3)
x  3 x  2  x  2 1 1 c) Phân tích:  2 2x  3x  1   2x   1 1 x     2   1    x    x   1 1 1  2 
Hướng 1: I  dx  dx   d  x    3 2 2x  3x  1       2 x 1 1 x   x 1 1 x        2    2      1 1  x  1 2x  2    dx  ln  C  ln  C x  1 1 1 2x    1  x   x   2  2 1 1
(2x  1)  2(x  1)
Hướng 2: I  dx x x    2x  3x  1
x 12x d 1
x 12x  d 3 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  1 2  x  1  
dx  ln x  1  ln 2x  1  C  ln    C
x 1 2x 1 2x  1
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 3 2x  1 x x 2x x a) dx b) dx c) dx    2 2 2 x  5x  4 x  5x  6 x  3x  2 Lời giải 2x  1 2x  1 A B a) Phân tích:    2 x  5x  4
x 1x4 x1 x4 2x  1 ( A x  4)  ( B x  1)    x   1 x  4
x 1x4 (*) 2x  1
ABx 4  A BCách 1: (*)    x   1 x  4
x 1x4      
x   A Bx   A BA B 2 A 1 2 1 4     4
A B  1 B    3
Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x  1  ( A x  4)  ( B x 1) (**)
Thay x  1 vào (**): 3  3
A A  1  .
Thay x  4 vào (**): 9  3B B  3. Lúc đó: 2x  1 1  3 2x  1 1 1    dx   dx  3
dx   ln x  1  3ln x  4  C    2 2 x  5x  4 x  1 x  4 x  5x  4 x  1 x  4 2x  1 2x  1 2x   1  3  2 3  Cách 3: dx x x     x     x  5x  4
x 1x4d
x 1x4d  x  4 
x1x4 d . 2  
Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau: 2 2 2 x x  4 x  1 x a) I  dx b) I x ) I x    1 3 2 2
x  3x  2xx 2 1 x  3d c 3 x  d 5 1 Lời giải 2 2 2 x x  4 x x  4 x x  4 a) Phân tích:   3 2
x  3x  2x x 2
x  3x  2 (
x x  1)(x  2)
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 x x  4 A B C
Sử dụng đồng nhất thức:     x   (
x x  1)(x  2) x x  1 x  2 2 x x  4 (
A x  1)(x  2)  B (
x x  2)  C ( x x  1)   x  (
x x  1)(x  2) (
x x  1)(x  2) 2
x x  4  (
A x 1)(x  2)  B (
x x  2)  C ( x x  1) x  (*)
Thay x  0 vào (*), ta được: 4  2A A  2
Thay x  1 vào (*), ta được: 4  B B  4 
Thay x  2 vào (*), ta được:  6  2C C  3 . 2 x x  4  2 4  3  Lúc đó: I  dx   
dx  2 ln x  4 ln x  1  3ln x  2     C 1 3 2
x  3x  2x
x x 1 x  2  2 x  1 A B C b) Phân tích:    x  2 2  
x 1 x3 x1 (x1) x3 2 2 x  1 (
A x  1)(x  3)  (
B x  3)  C(x  1)   x  2 2  
x1 x3
x 1 x3 2 2  x  1  (
A x  1)(x  3)  (
B x  3)  C(x  1)  x   (*) 1
Thay x  1 vào (*) ta được: 2  4B B  . 2 5 Thay x  3
 vào (*) ta được: 10  16C C  . 8 3B C  1 3
Thay x  0 vào (*) ta được: 1  3
A  3B C A   . 3 8   2 3 1 5 x  1   3 1 1 5 Lúc đó: 8 2 8 I dx   
x  ln x  1  .
 ln x  3  C   2          x 2 1 x 3 d 2 x 1 (x 1) x 3  8 2 x  1 8   2 x A B C D E c) Phân tích:      x 5 2 3 4 5
x  1 (x  1) (x  1) (x  1) (x  1) 1
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3 2 2x  1 2x x 1) dx 2) dx 3) dx    2 2 2 4x  9 x  5x  4 x  3x  2 2 2x  6 x  2x  6 x  2 4)   x x x  
x  23x  d 5) 1
x 1x2x4d 6) xx3d
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 8
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3 3 2 x x 1
5x  17x  18x  5 7) dx 8) x x    2 x  6x  5 x 2x d 9) 2 x 3 2 1 x  2 d 3 2 5 x  2x x  1 x  1 10)     x   dx 11) x x 2 1
x 2 x d 12) d 4 2 2 x  8x  16 1 3 Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN sin x DẠNG 1:
I f (x) dx
, trong đó f (x) : đa thức. cosx u   f x  d / ( ) u   f (x d ) x
Phương pháp: Đặt dv  sin d
x x chän: v  sin d x x  
Ví dụ 1: Xác định: a) x   1sin2 d x . x b)  2 x xcos d x . x Lời giải u
  x  1  du  dx  a) Đặt  cos 2x sin 2 d
x x  dv  chän v    2 x  1 cos 2x cos 2x x  1 cos 2x sin 2x Ta có: x       1 sin 2 d x x    dx     C.  2 2 2 4 2 u
  x x  du  2x   1 dx Đặt  . Ta có:  2 x x d x x   2 cos
x xsin x  2x    1sin d x . x cos d
x x  dv  chän v  sin x u
  2x  1 du  2dx Xét 2x   1sin d x . x Đặt sin d
x x  dv  chän v    cos x
Ta có: 2x   1 sin d
x x  2x   1 cos x  2cos d x x   
2x 1cosx2sinxC. Vậy  2 x x d x x   2 cos
x xsin x  2x  
1 cos x  2 sin x C '. DẠNG 2:  ( ). x I f x e dx
, trong đó f (x) : đa thức. u   f x  d / ( ) u   f (x d ) x
Phương pháp: Đặt d x
v e dx chän: x
v e dx  
Ví dụ 2: Xác định: a)     2 1 x x e d . x b)  2  4  x x x e d . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải u
  x  1  du  dx  2x 2 2 x x 2 x  1 e e x  1 x e e a) Đặt 2x
. Ta có: x   2x     1 e dx   dx    C.  2x e
e dx  dv  chän v  2 2 2 4  2 2 u
  x  4x  du  2x  4dx b) Đặt 
. Ta có:  2   xd   2 4
 4  x  2 4 x x x e x x x e x e dx x
e dx  dv  chän x v e u
  2x  4  du  2dx Xét 2  4 x x
e dx . Đặt  . x
e dx  dv  chän x v e
Ta có: 2  4 xd  2  4 x  2 xd  
2 4 x 2 x x e x x e e x x e e  . C
Vậy  2   xd   2 4
 4  x 2  4 x  2 x x x e x x x e x e e C '. ln x DẠNG 3:
I f (x) dx
, trong đó f (x) : đa thức. log x a  1 u   ln x  du  dx
Phương pháp: Đặt  x
dv f(x d
) x chän: v f (x d ) x  
Ví dụ 3: Xác định: a) 2x   1ln d x . x b) x   2 ln x xd . x Lời giải  1 u
  ln x du  dx a) Đặt  x . 2x 
1dx  dv  chän 2
v x x 2 x
Ta có:  x   d x x   2
x xx  x  dx   2 2 1 ln ln 1
x xln x   x C 2   u    2x x 2x 1 ln  du  dx 2   a) Đặt x x  2  x d
x x  dv  chän v   2 2 2 x 1 x 2x  1 Ta có: x ln
  2x xx  ln 2x x   d  dx  2 2 2 x x 2 x     x x 2 2 2 1 1 x x x 1 ln  2x  1 dx  ln 
 2x x   ln x1    C. 2 2  x  1  2 2 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau: I x sin d x xI x cos 2 d x x  2 I  2x cos d x x  1 2 3 I  2x  1 cos x xI    2 x  1 sin x x I   2
x  cos x sin x x 6  d 5  d 4   2 d x  sin x x  sin x I   2
x  sin x cos x x I  dxI  dx  7  d 8 cos2x 9 1 cos x x sin x I x   2 2 cos x  1 x I  dxI x sin d x x  10 d 11 3 cos x 12
I  sin xdx  2 I x tan d x xI   2
x  2x  3 cos x x 15  d 13 14 x x I  dxI   2 x  5 sin x x I  dx  17  d 16 2 cos x 18 cos 2x  1
2) Xác định các nguyên hàm sau: x 2
I xe dx  2 x
I x e dx   1 x I x e x  3   2 d 1 2 x 2
I e dx  3 x
I x e dx   2x I d x x  4 5 6
  2 2 1 x I x x e x cos x I e .sin 2 d x xxln x I e dx  7  d 8 9
3) Xác định các nguyên hàm sau: I  ln d x xI x ln d x x  2 I  ln d x x  1 2 3 ln d x x I  
I  log x  3 xI  lg d x x  5 2  d 4 6 x I  2x ln  1xdx I x ln   2 1 x x I  ln
  2x x x 9 d 8 d 7 I  ln
  2x 1 x 2 I x ln d x x  3 2 I x ln d x x  10 d 11 12 ln x ln ln x 2 I  dxI  dxI  1 ln x x  15   d 13 3 x 14 x ln x 2  x 1 I   I x ln
  2x 1 x I   ln d x x 17   d 18 x   dx 16 2 1  x
4) Xác định các nguyên hàm sau: x I e cos d x xI  cos ln x xI  sin . x ln(tan x d ) x  2  d 1 3  5 x I e sin 2 d x x  3x I e .sin 5 d x xI  cos .
x ln 1 cos x x  6  d 4 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2x 2 I e sin d x x
I  sin x ln cos x xI  ln
  2x x x 9 d 8  d 7
I  x  cosxsin d x x 2
I x sin x cos d x x  2 I  (x ln ) x dx  10 11 12 Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN
Ví dụ 1: Xác định a) A  tan d x . x  b) B  cot d x x  . Lời giải sin x a) A  tan d x x  dx   cosx dt
Đặt t  cos x  dt  sin d
x x . Khi đó: A  
 ln t C  ln cos x C  . t cos x b) B  cot d x x  dx   sinx dt
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x . Khi đó: A
 ln t C  ln sin x C  . t
Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau: a)   1cos x f x e sin . x b) f x 3 5  sin xcos . x Lời giải a)    d 1cos x I f x x e sin d x . x
Đặt t  1 cos x  dt  sin d x . x Khi đó: t   d t 1cos x I
e t  e C  e  . C  b) I f  xd 3 5 x x d x x x    2  x 5 sin cos sin 1 cos cos d x . x
Đặt t  cos x  dt  sin d x . x t t x x
Khi đó: I   t t dt  t t  8 6 8 6 2 5 7 5 cos cos 1 dt    C   C. 8 6 8 6
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 9x  12x x  1 a) A  d . x  b) B  d . x  3 2 x  2x  5 x  1 Lời giải 3 2 2 3x   4 9 12 x x x  a) A  dx  d . x   3 2 3 2 x  2x  5 x  2x  5 d 3 t Đặt 3 2
t x x   dt   2 2 5 3x  4xd . x Khi đó: 3 2 A
 3ln t C  3ln x  2x  5 C.  t
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x  1 b) B  d . xx1 Đặt 2
t x  1  t x  1  2tdt  d . x  2t   3 1 1  t  Khi đó: B  2tdt  2 
 2t 2dt  2 2tC t  3   x 1 
2 x  1 x  5  2 x  1  2  C     C.  3  3
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:  x 2 ln 1 dx a) A  d . x  b) B  .  x
x ln x ln ln xLời giải x 2 ln 1 a) A  d . xx 3 dx 3 t ln x  1 2  
Đặt t  ln x  1  dt
. Khi đó: A t dt   C   C.  x 3 3 dx
b) B   x x x. ln ln ln 1 dt
Đặt t  ln ln x  dt  d .
x Khi đó: I
 ln t C  ln ln  lnx C. x ln x t
Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau: x e  1 sin x  cos x a) I  d . x  b) J  . x  x x e
sinxcosx d 2 Lời giải x e  1 a) I  d . x  x x e dt Đặt  1 x    1 x t e dt
e dx. Khi đó: I  
 ln t C  ln 1 xe C.  t sin x  cos x a) J    x
sin x  cos x d . 2 dt 1 1
Đặt t  sin x  cos x  dt  cos x  sin xdx . Khi đó: J     C    C  . 2 t t sin x  cos x
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 1 cot x 1 3ln x ln x 1) A  d . x  6) F  d . x  2 sin x x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cosln x 2) B  d . x  7) cos2x G e sin x cos d x . xx 1 3) 2 3 C  sin x cos d x . x  8) H  d . x  2 x x  1 xx e e sin 2x 4) D  d . x  9) I  d . xxx e e 2 4  cos x 5) 3 3 2 E x x  d 1 . x  10) 4 K  cos d x . xNhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN
Ví dụ 1: Xác định a) I  tan d x . x  b) I  cot d x . xLời giải d sin x cosx a) Ta có: I  tan d x x  dx  
 ln cos x C.    cos x cos x d cos x sinx b) Ta có: I  cot d x x  dx
 ln sin x C.    sin x sin x  sin2 1 2 x
Ví dụ 2: Xác định a) I  dx  . b)   sinx I e  cos xcos d x x . 1 sin2x Lời giải 1 s 2 in2x cos d 2x 1 1sin2x 1 a) Ta có: I  dx  dx   ln   
1sin2xC. 1 sin2x 1 sin2x 2 1 sin2x 2
Nhận xét: So với phép đổi biến t  1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn. x
b) Ta có: I   sinx ex d sin x x x e d 2 x x  d sin x 1 cos 2 cos cos cos cos x x e d    sinx dx  2 sin x 1 1  e
x  sin 2x C. 2 4 dx x e dx
Ví dụ 3: Xác định a) I   . b) I   x e  1  xe 3 1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
xe  1 xx e d x d e x e   1 I   dx  dx  dx  dx        x e  1 x e  1 x e  1 x e  1   ln x x e  1  C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  3 1 x 2 xd  3 1  e e x x x 3 b) Ta có: I   
1e  2 d1e      C   C.  x  3  3  1 1 x 1  e e 2 3 x dx 3 4x
Ví dụ 4: Xác định a) I   . b) I  d . x  2 x  1 2 2x  3x  1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích: 2
 2x 1 1. dxx d 2 3d . d d x x x x x x x x   1 1 I     d x x   d x x         2 2 2 2 2 x  1 x  1 x  1 x  1 2 x  1 2 x 1 2 
 ln x 1 C. 2 2 3 2 4 2x 3x x x   1' 7 3 7 9 1 b) Phân tích:  2x  3   2x  3  .  . 2 2 2 2 2x  3x  1 2x  3x  1 4 2x  3x  1
4 2x  3x  1
2x 3x / 1
2x 12x 1 7 9 
7 2x  3x  1/ 2 2 9  1 2   2x  3  .  .  2x  3  .     2 2 4 2x  3x  1 4
(x  1)(2x  1) 4 2x  3x  1
4  x 1 2x 1    
2x  3x  / 2 1 7 9  1 2    Suy ra: I  2x  3  .   d    x 2  4 2x  3x  1
4  x 1 2x 1     d 7  2
2x  3x    x   2x  3 1 d 9 1 9 2 1 dx   dx     2 4 2x  3x  1 4 x  1 4 2x 1   2 x x 7 2 9 9 3
 ln 2x  3x 1  ln x 1  ln 2x 1  . C 4 4 4
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3x 2
ln x  ln x  4 x e dx 1) I  dx  2) I  dx  3) I   2 x  1 2x x e  2 sin2x dx 4)   sinx I e c
. osx  tanxdx 5) I  dx  6) I   x x cos2x  s 4 in2x
e  2e  3 sin2x c . osx 2 x 2 x e  2 x x e 7) I  dx  8) 3 2
I x . 1 x dx  9) I  dx  1 cosx 2 x e  1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA: Câu 1.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
 xdx FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là họ nguyên hàm của f x trên a b / ;
F x  f x, x   ; a b . / D.  f
 xdx  f x, x   ;ab . Lời giải
Phương án C sai, vì F x là một nguyên hàm của f x trên chỉ kéo theo được /
F x  f x , x   ;
a b  Chọn đáp án C. Câu 2.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx C  ( C là hằng số). B.
dx  ln x C  ( C là hằng số). x  1  x C. x dx   C    
( C là hằng số). D. dx x C  (C là hằng số).  1 Lời giải
Ở phương án C, trường hợp   1
 thì khẳng định trên sai Chọn đáp án C. Câu 3.
Hàm số f x 1  có nguyên hàm trên: cos x         A. 0; . B.   ; . C.  ; 2 . D.  ; .    2 2   2 2  Lời giải    
Ta có: Vì f x 1 
xác định và liên tục trên khoảng   ;
 nên hàm số có nguyên cos x  2 2      hàm trên   ;
  Chọn đáp án B.  2 2  Câu 4.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x  4 3 ? x 5 3 x 5 3 x 5 3 x 5 3 A.  . x B. . C.  2016. D. 1. 5 5 5 5 Lời giải x 3 / 5   4 4 Ta có: 
x  x  3 1  x  3  Chọn đáp án A.  5   
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 5.
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos 2x Lời giải 2 Vì tan 2x' 
nên phương án D đúng  Chọn đáp án D. 2 cos 2x 1     Câu 6.
Nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    là 2 sin x  2  2 
A. F x  . x
B. F x  cot x  . 2 
C. F x  cot . x
D. F x  sin x  1. 2 Lời giải 1
Ta có: F x 
dx   cot x C  . 2 sin x         F
  cot C   C   
. Vậy F x  cot x
Chọn đáp án B.  2  2 2 2 2 2 3 1 Câu 7.
Hàm số F x thỏa mãn F 'x   
Lúc đó, F x là 3x   . 2 1 x12 A. F x 1 1    C. B. F x 1 3    C. 3x  1 x  1 x  1 3x  1 C C. F x 1 1    C. D. F x 1   . x  1 3x  1 x  1 3x  1 Lời giải   3 1 1 1
Ta có: F x    d  x  d   3x 1 d x  1  2 2 2 2    3x   1 x 1  3x1 x1 1 1  
C Chọn đáp án C. x  1 3x  1 Câu 8.
Hàm số F x biết F x 2 '
 3x  2x 1 và đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
x x  2017.
B. F x  cos 2x  2016. C. F x 3 2
x x x  2017. D. F x 3 2
x x x  2016. Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Ta có: F x   2 x x  d 3 2 3 2
1 x x x x C .
Đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017  F 0  2017
C  2017 . Vậy Fx 3 2
x x x  2017  Chọn đáp án C.  1  Câu 9.
Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2x  1 ; x    là  2  1 2 A. f
 xdx  2x 1 2x1C. B. f
 xdx  2x 1 2x1C. 3 3 1 1 C. f
 xdx   2x1C . D. f
 xdx  2x1C. 3 2 Lời giải 1 1
Ta có: f xdx  2x  d 1 x  2x 2 1 d 2x     1 2 1  x  32 2 1 1 
C  2x   1
2x  1  C Chọn đáp án A. 2 3 3 2
Câu 10. Hàm số   3 x
F x e là một nguyên hàm của hàm số A.   3x f x e . B.   3 2  3 x f x x e . 3 x e C. f x  . D.   3 3 x
f x x e  1. 2 3x Lời giải / 3 3 Ta có:     x  2 '  3 x F x e
x e Chọn đáp án B. 1
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là    2 sin x     6     1    A. f (x d
) x   cot x      C . B. f (x d
) x   cot x      C .  6  6  4     1    C. f (x d
) x  cot x      C . D. f (x d
) x  cot x      C .  6  6  6  Lời giải 1 1       Ta có: f (x d ) x  dx  d x   cot x          C .       2 2  6   6  sin x  sin x       6   6 
Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F   3 0  . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4    2 . B. F x cos 4    2 . 4 2 x
C. F x cos 4   2 .
D. F x  2cos 4x  2 . 2 Lời giải cos 4x 1 3
Ta có: F x  2sin 4 d x x   C  . Vì F   3 0  nên   C   C  2 . 2 2 2 2 x Vậy F x cos 4  
 2  Chọn đáp án B. 2
Câu 13. Giá trị m để hàm số F x 3 2
mx x   2 4 2
m  2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 12x  4x x là A. m  1  . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 . Lời giải
Ta có: F x 2 2 '
 12mx  4x m  2  f x. Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được: 1  2m  12 
m  1  Chọn đáp án C. 2 m  2  1  1 Câu 14. Tính dx  ta được kết quả 2 4  x 1 1 2  x
A. ln 2  x2  x  C. B. ln  C. 4 4 2  x 1 2  x 1 C.  ln  C.
ln x  2 .ln x  2  . C 4 2  D. x 4 Lời giải 1 1 1  1 1  Ta có: dx x   x     4  x
2x2 xd d 2
4 2  x 2  x  1   1
ln 2  x  ln 2  x   C  ln 2  x2  x C Chọn đáp án C. 4 4
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 1 ' 
và f 0  1 thì f 1 có giá trị bằng 2x  1 1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 3  1. D. ln 3  1. 2 Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 19
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 1 1
Ta có: f x  dx  d  
2x 1  ln 2x1 C . 2x  1 2 2x  1 2 f 0 1
 1 ln1C  1 C  1  f x 1  ln 2x 1 1 2 2 Vậy f   1
1  ln 3  1  Chọn đáp án D. 2 1
Câu 16. Cho hàm số y f x 
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x   
y F x đi qua điểm A
; 0  thì F x là  12  x x  A. F x cot 2 3   .
B. F x cot 2 3  . 2 2  x  C. F x cot 2 3  . D. F x 3  cot 2x  . 2 2 Lời giải 1 1
Ta có: F x 
dx   cot 2x C  . 2 sin 2x 2       1  3
Đồ thị y F x đi qua điểm A ; 0   0  F
  cot  C  0  C    .  12   12  2 6 2  x  Vậy F x 1 3 cot 2 3   cot 2x  
Chọn đáp án C. 2 2 2 3 ln x Câu 17. Kết quả dx  là x 2 3 3ln x  ln x 4 ln x 4 ln x A. . B.  C. C.  C. D. 2 3ln x  . C 2 x 4x 4 Lời giải 3 4 ln x ln x Ta có: d 3 x  ln d x lnx   C  
Chọn đáp án C. x 4
Câu 18. Tính F( ) x x sin d x x  ta được kết quả A. ( F )
x xsin x  cos x C . B. ( F )
x  sin x xcos x C . C. ( F )
x  sin x xcos x C . D. ( F )
x xsin x  cos x C . Lời giải
Đặt u x, dv  sin d
x x  du  dx, v  cos x . Ta có: ( F )
x  x cos x  cos d
x x  x cos x  sin x C
Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của x ln
 2xdx là
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 20
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 2 x x x A.
ln 2  x  2ln2  x   x C. B. ln 2  x   C. 2 4 2  x 2 2 x x x C.
ln 2  x  2ln2  x   x C. D.   x 2 ln 2   x C. 2 4 4 Lời giải 2 1 x
Đặt u  ln 2  x , dv  d x x  du  dx, v  . 2  x 2 2 2 x x Ta có: x ln
 2 xdx  nl2 x x C  2 22  x d 1 2 x     xx  2  x 2 2 1 4 1 ln  x2 d  x
ln 2  x  
 2x  4ln 2  x C 2 2  2  x  2 2  2  2 x    x 2x ln 2 
x  2ln2  xC Chọn đáp án A. 2 4
Câu 20. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1  . B. 3; 5 . C. 0; 1  và 3; 5 . D. 0; 1  và 3; 0 . Lời giải
Ta có: F x   x  d 2 2
1 x x x C .
Phương trình hoành độ giao điểm của F x và f x : 2
x x C  2x 1
Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung  C    F x 2 1
x x 1. x  0 Khi đó 2 2
x x  1  2x  1  x  3x  0  x   3
Vậy có hai giao điểm là 0; 1  và 3;5 .
Chọn đáp án C.
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x  2  3x là 1 3 A. f
 xdx  23x 3 23x C. B. f
 xdx   23x 3 23x C . 4 4 2  1 C. f
 xdx    x 3 2 3  C . D. f
 xdx   23x 3 23x C . 4 Lời giải Ta có: f  xd 3 x  2  3xdx
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 21
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Đặt 3 3 2
t  2  3x t  2  3x  3t dt   d 3 x  d 2 x t  dt . 1 1 Khi đó f  xd 3 x   t d 4
t   t C   
23x 3 23x C. 4 4
Chọn đáp án D. sin 3x
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là cos 3x  1 1 A. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . B. f (x d
) x   ln cos 3x  1  C  . 3 1 C. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . D. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . 3 Lời giải sin 3x Ta có: f
 xdx  dx  . cos 3x  1 1
Đặt t  cos 3x  1  dt  3  sin d x x  sin d x x   dt 3 1 t 1 1 Khi đó f  x d dx  
  ln t C   ln cos3x 1 C  . 3 t 3 3
Chọn đáp án B. 1
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 2  x A. f
 xdx  ln2 xC. B. f
 xdx  2 x 2ln2 xC. C. f
 xdx  2 x 2ln2 xC. D. f
 xdx  22ln2 xC . Lời giải 1 Ta có: f
 xdx  dx  . 2  x 2
Đặt t  2  x x t  2  x  t  2  dx  2t  2dt . 2 t  2 dt  2  Khi đó f  x   dx   2  dt  2  
tln t    C1 tt
 22 x ln 2 x C  2 x 2ln 2 x C . 1  
Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 22
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x  1
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là x  1 2 A. f
 xdx  x10 x1C. B. f
 xdx x10 x1C . 3 x  3 2 C. f
 xdx   C . D. f
 xdx x1  C . 2x   1 x  1 x  1 Lời giải x  1 Ta có: f
 xdx  dx  . x  1 Đặt 2
t x 1  t x  1  2tdt  dx  dx  2tdt . 2 t  2  1  Khi đó f
 xdx  .2tdt  2   2t 2d 3 t  2 t  2t    C t  3  2  x   2 1
x  1  4 x  1  C  x  10 x 1  C . 3 3
Chọn đáp án A.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số   cos ( ) x f x e
 cot xsinx là A. d cos ( ) x f x x e  sin x C  . B. d cos ( ) x f x x   e  sin x C  . C. d cos ( ) x f x x   e  sin x C  . D. d cos ( ) x f x x e  sin x C  . Lời giải Ta có    cosx   d cos ( ) cot sin x f x e x x x e sin d x x  cos d x x   cos x   d  d cos cos cos x e x x x e   sin x C   .
Chọn đáp án C.
V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN: Câu 1.
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai 1 a) f x   2
ln x  1 x  và gx  . 2 1  x b)   sinx f x e cos x và   sin x g x e .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 23
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2 c) f x 2 1  sin
và g x   sin . x 2 x x x  1 d) f x  và g x 2
x  2x  2 . 2 x  2x  2 e)   1 2 x
f x x e và       1 2 1 x g x x e . Câu 2.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
 xdx FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là một nguyên hàm của f x trên a b / ;
F x  f x, x   ; a b . / D.  f
 xdx  f x, x   ;ab . Câu 3.
Khẳng định nào sau đây là sai? A. f
 xdx FxC f
 tdt FtC. / B.  f
 xdx  f x   . C. f
 xdx FxC f
 udx FuC . D. kf
 xdx k f
 xdx (k là hằng số). Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là sai? A.  f
 x gx dx f
 xdxg
 xdx. B. kf xdx k f xd ;x k    . / C.  f
 xdx  f x. D.  f
 x.gx dx f
 xd .x g  xdx. Câu 5.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx C  ( C là hằng số). B.
dx  ln x C  ( C là hằng số). x  1  x C. x dx   C     (  (  C là hằng số). D. dx
x C C là hằng số). 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 24
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 6.
Hàm số f x có nguyên hàm trên K nếu:
A. f x xác định trên K.
B. f x có giá trị lớn nhất trên K.
C. f x có giá trị nhỏ nhất trên K.
D. f x liên tục trên K. Câu 7.
Hàm số f x 1  có nguyên hàm trên: cos x         A. 0; . B.   ; . C.  ; 2 . D.  ; .    2 2   2 2  Câu 8.
Nếu f x liên tục trên khoảng D thì:
A. f x không có nguyên hàm trên D.
B. f x có đúng một nguyên hàm trên D.
C. f x có hai nguyên hàm trên D.
D. f x có vô số nguyên hàm trên D.  Câu 9. Hàm số   4 5 f x x có nguyên hàm trên: A. ; . B. 0; . C. ; 0. D. 0;   .
Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x  4 3 ? x 5 3 x 5 3 A.  . x B. . 5 5 x 5 3 x 5 3 C.  2016. D. 1. 5 5
Câu 11. Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số
f x trên K nếu với mọi xK, ta có:
A. F 'x  f x C.
B. F 'x  f x.
C. f 'x  F x.
D. f 'x  F x  . C
Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. sin 2x và 2 sin . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 25
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. x e và x e . D. 2 tan x và . 2 2 cos x
Câu 13. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x 3
x  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x A. F x 2
 3x  3x C . B. F x 4 2 
 3x  2x C . 3 x x x x C. F x 4 2    2x C . D. F x 4 2 3    2x C . 4 2 4 2
Câu 15. Hàm số F x 3 2
 5x  4x  2x C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x 2
 5x  4x  2. B. f x 2
 15x  8x  2. x x x C. f x 2 3 2 5 4    . D. f x 2
 5x  4x  2 . 4 3 2
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số: 2 5
y x  3x  là x x 3 x 3 A. F x 3 2 
x  5ln x C . B. F x 3 2 
x  5ln x C . 3 2 3 2 x 3 5 C. F x 3 2 
x  5ln x C .
D. F x  2x  3   C . 3 2 2 x
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số f x  x   1 x  2 là x 2
A. F x  2x  3  C . B. F x 3 2 
x  2x C . 3 3 x 3 x 2 C. F x 3 2 
x  2x C . D. F x 3 2 
x  2x C . 3 2 3 3 1    
Câu 18. Nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    là 2 sin x  2  2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
A. F x  . x
B. F x  cot x  . 2 
C. F x  cot . x
D. F x  sin x  1. 2 1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là 2 sin x 2 cos x 2 cos x A. cot x  . C B. cot x  . C C.   C. D.  C. 3 sin x 2 sin x
Câu 20. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai x x x x  a) F x 2 2 3  và G x 2 2 9  . 2x  3 2x  3 b) F x 2
 5  2sin x và Gx  1 cos2 . x
c) F x  x  2 5 và Gx 2
x 10x 7. 1 d) F x  và Gx 2  tan x  8. 2 cos x
Câu 21. Hàm số F x  ln x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên 0; ? 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . x x 2 x 2 x 2 2 7
Câu 22. Nguyên hàm F x của hàm số f x   
là hàm số nào sau đây? 2 5  2x x x A. F x 7
 ln 5  2x  2ln x  C . B. F x 7
 ln 5  2x  2ln x   C . x x C. F x 7
 ln 5  2x  2ln x  C . D. F x 7
 ln 5  2x  2ln x   C . x x 3 1
Câu 23. Hàm số F x thỏa mãn F 'x   
Lúc đó, F x là 3x   . 2 1 x12 A. F x 1 1    C. B. F x 1 3    C. 3x  1 x  1 x  1 3x  1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 27
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG C C. F x 1 1    C. D. F x 1   . x  1 3x  1 x  1 3x  1
Câu 24. Hàm số F x biết F x 2 '
 3x  2x 1 và đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
x x  2017.
B. F x  cos 2x  2016. C. F x 3 2
x x x  2017. D. F x 3 2
x x x  2016.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  sin 4x là 1 1 A. f (x d
) x   cos 4x C  . B. f (x d
) x  cos 4x C  . 4 4 C. f (x d
) x  cos 4x C  . D. f (x d
) x   cos 4x C  .   
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f (x)  cos 2x    là  4  1       A. f (x d
) x  sin 2x      C . B. f (x d
) x  sin 2x      C . 2  4   4  1    1    C. f (x d
) x   sin 2x      C . D. f (x d
) x  sin 2x      C . 2  4  2  4 
Câu 27. Hàm số   3 x F x e
là một nguyên hàm của hàm số A.   3 x f x e . B.   3 2  3 x f x x e . 3 x e C. f x  . D.   3 3 x
f x x e  1. 2 3x x
Câu 28. Nguyên hàm của hàm số 2 f (x)  1 a t n là 6 x x A. f
 xdx  tan C . B. f
 xdx  6tan C . 6 6 1 x x C. f
 xdx  tan C . D. f
 xdx  6  tan C . 6 6 6
Câu 29. Biết f
 vdu FvC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f
 4x3dx  4Fx3 . C B. f
 4x3dx F4x3 . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 28
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. f
 4x3dx F4x3C. D. f
 4x3dx  4F4x3 . C 4
Câu 30. Hàm số F x , thỏa mãn điều kiện F x 5 '  x  là x 5 x
A. F x  1  C. B. F x 2   5ln x C. 2 x 2 x x C. F x 2   5ln x C. D. F x 2   5ln . x 2 2 1
Câu 31. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là    2 sin x     6     1    A. f (x d
) x   cot x      C . B. f (x d
) x   cot x      C .  6  6  4     1    C. f (x d
) x  cot x      C . D. f (x d
) x  cot x      C .  6  6  6 
Câu 32. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F   3 0  . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4    2 . B. F x cos 4    2 . 4 2 x
C. F x cos 4   2 .
D. F x  2cos 4x  2 . 2
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số 2 2 f ( )
x  sin x  cos x là sin 2x A. f (x d
) x  sin 2x C  . B. f (x d ) x    C  . 2 sin 2x C. f (x d
) x  2 sin 2x C  . D. f (x d ) x   C  . 2
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2sin xcos 3x là cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x A. f (x d ) x   C.  B. f (x d ) x     C  . 4 2 4 2 cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x C. f (x d ) x    C  . D. f (x d ) x     C  . 4 2 4 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 35. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4sin 2xcos x là 2 cos 3x 2 cos 3x A. f (x d ) x    2cos x C.  B. f (x d ) x    2cos x C.  3 3 2 cos 3x 2 cos 3x C. f (x d ) x   2cos x C.  D. f (x d ) x   2cos x C.  3 3
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2sin 3xsin x là sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x A. f (x d ) x    C.  B. f (x d ) x     C.  4 2 4 2 sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x C. f (x d ) x    C.  D. f (x d ) x    C.  2 2 4 2
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4cos 3xcos 2x là 2 sin 5x 2 sin 5x A. f (x d ) x    2sin x C.  B. f (x d ) x   2sin x C.  . 5 5 2 sin 5x 2 sin 5x C. f (x d ) x   2sin x C.  D. f (x d ) x    2sin x C.  5 5
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số 4 4 f ( )
x  sin x  cos x là 3 sin 4x 3 sin 4x A. f (x d ) x x  C  . B. f (x d
) x   x   C  . 4 16 4 16 3 sin 4x 3 sin 4x C. f (x d ) x x   C  . D. f (x d
) x   x   C  . 4 16 4 16
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số 6 6 f ( )
x  sin x  cos x là 5 3sin 4x 5 3sin 4x A. f (x d ) x x  C  . B. f (x d ) x x   C  . 8 8 8 32 5 3sin 4x 5 3sin 4x C. f (x d ) x x  C  . D. f (x d ) x x   C  . 8 32 8 8
Câu 40. Nguyên hàm của hàm số 4 4 6 6 f ( )
x  sin x  cos x  sin x  cos x là 1 sin 4x 1 sin 4x A. f (x d ) x    C  . B. f (x d ) x x  C  . 4 16 4 16 1 sin 4x 1 sin 4x C. f (x d ) x x   C  . D. f (x d ) x x   C  . 4 16 4 16
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 41. Giá trị m để hàm số F x 3 2
mx x   2 4 2
m  2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 12x  4x x là A. m  1  . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 .
Câu 42. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( ) x  sin . x cos x là 4 sin x 4 sin x A. f (x d ) x   C  . B. f (x d ) x    C  . 4 4 2 sin x 5 sin x C. f (x d ) x   C  . D. f (x d ) x    C  . 2 5
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e   là A.   d xx
f x x e e C . B.   d xx
f x x  e e C . C.   d xx
f x x e e C . D.   d xx
f x x e e C .
Câu 44. Cho hàm số   x
f x xe . Giá trị a, b để
      x F x
ax b e là một nguyên hàm của hàm
số f x là
A. a  1; b  1. B. a  1  ; b  1.
C. a  1; b  1  . D. a  1  ; b  1  .
Câu 45. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 . x 5 x f x   là xx 2  1  5  1 A. f
 xdx  .    C . B. f
 xdx  .    C .  5  ln 2  ln 5  2  ln 2  ln 5 xx 2  1  2  1 C. f
 xdx  .    C . D. f
 xdx  .    C .  5  ln 5  ln 2  5  ln 2  ln 5   
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa mãn các điều kiện f 'x  2  cos 2x và f    2. Khẳng  2 
định nào sau đây sai? A. f x 1
 2x  sin 2x .
B. f x  2x  sin 2x . 2    C. f 0  . D. f     0.  2 
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số ( ) x 2 x f x e e    là A. ( )  2 x F x
e x C . B. ( )  2 x x  ln x F x e e e C .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1
C. F(x)  2 x e   C . D. ( )  2 x F x
e x C . x e
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số  2 ( ) x x f x e e   là 2x 2  x e e  4 A. F(x)   C . B. 2x 2 ( )  x
F x e e  2x C . 2 2x 2  x e e C. 2x 2 ( )  x
F x e e  2x C .
D. F(x)    x C . 2 2 2 Câu 49. Tính dx  ta được kết quả 2x  1 1
A.  ln 2x  1  . C B.    C 2x   . 2 1 ln 2x  1 C.  C. D. ln 2x  1  . C 2 6 Câu 50. Tính dx  ta được kết quả 1  3x 18 A. 3ln 1 3x  . C B.   C 1  3x . 2 C. 2  ln 1 3x  . C D. 2 ln 1 3x  . C 2x  1 Câu 51. Tính dx  ta được kết quả x  1
A. 2x  ln x  1  . C
B. 2x  ln x  1  . C \
C. 2  ln x  1  . C D. 2x   1 ln x  1  . C 4x  2 Câu 52. Tính dx  ta được kết quả x  1
A. 4x  6 ln x 1  . C
B. 4x  6 ln x 1  . C
C. 4x  3ln x 1  . C
D. 4x  ln x 1  . C 4x  2 Câu 53. Tính dx  ta được kết quả 2  x
A. 4x  10 ln 2  x  . C B. 4
x 10ln 2  x  . C
C. 4x 10 ln 2  x  . C
D. 4x  ln 2  x  . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 54. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  2 
là hàm số F x thỏa mãn F 2  0 . 2x  1
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x  ln 2x 1  ln 3.
B. F x  ln 2x 1  ln 3. x
C. F x  2ln 2x 1  ln 3.
D. F x ln 2 1   ln 3. 2 x
Câu 55. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 3 
là hàm số F x thỏa mãn F   1  4 . 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x  2
x  5ln 1 x  8.
B. F x  2
x  5ln 1 x  8.
C. F x  2x  5ln 1 x  8.
D. F x  2x  5ln 1 x  8 2 x  1 Câu 56. Tính dx  ta được kết quả x  1 2 x 2 x A.
x  2ln x 1 C. B.
x  ln x 1 C. 2 2 2 x 2 x C.
x  2ln x 1 C. D.
x  ln x 1 C. 2 2 1 Câu 57. Tính dx  ta được kết quả 2 x  1 1 1 x  1 A. ln x   1 x   1  C. B. ln  C. 2 2 x  1 1 x  1 1 C. ln  C.
D. ln x  1 .ln x  1  C. 2 x  1 2 1 Câu 58. Tính dx  ta được kết quả 2 x  4x  3 1 1 x  3 A. ln x  
1 x  3  C. B. ln  C. 2 2 x  1 1 x  1 1 C. ln  C.
D. ln x  1 .ln x  3  . C 2 x  3 2 1 Câu 59. Tính dx  ta được kết quả 2 4  x 1 1 2  x
A. ln 2  x2  x  C. B. ln  C. 4 4 2  x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2  x 1 C.  ln  C.
D. ln x  2 .ln x  2  . C 4 2  x 4 2 x  3x  4 Câu 60. Tính dx  ta được kết quả 2 x  3x  2 x  1
A. x  2 ln x   1 x  2  . C B. x  2 ln  C. x  2 x  2 C. x  2 ln  C.
D. x  2 ln x 1  ln x  2  . C x  1 2 Câu 61. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 1 2 A.   C. B.   C. x  1 x  1 4 x   1 C. 2
2 ln x  2x  1  . C D.    C x  2x   . 2 2 1 2  Câu 62. Tính dx  ta được kết quả 2 x  4x  4 2 1 A.   C. B.   C. x  2 x  2 2 2x  4 C. 2 2
 ln x  4x  4  . C D.    C
x  4x  4 . 2 2 2x Câu 63. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 2 2 A. 2 ln x  1   C. B. 2 ln x  1   C. x  1 x  1 2 1 C. ln x  1   C. D. 2 ln x  1   C. x  1 x  1 2 2x  4x  5 Câu 64. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 3 3 A. 2x   C. B. 2   C. x  1 x  1 2 4 C. 2x   C. D. 2x   C. x  1 x  1 2 Câu 65. Tính  
x ta được kết quả 2x   d 3 1 1 1 A.   C B.   C. 2 2x  1 . 2 2x 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 34
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 C.    C D. C. 2x   . 2 1 2 2x  12 x x
Câu 66. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 2 4 
là hàm số F x thỏa mãn F 2  1. 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? A. F x 2
 x  6x  6ln 1 x . B. F x 2
 x  6x  6ln 1 x 17. C. F x 2
 x  6x  6ln 1 x 17. D. F x 2
 x  6x  ln 1 x 17. 2 x  2x
Câu 67. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x   ? x  2 1 x x x x  A. F x 2 1  . B. F x 2 1  . x  1 x  1 x x x  C. F x 2 3 3  . D. F x 2 1  . x  1 x  1
Câu 68. Hàm số    7 x F x
e  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x   x 1 A.   x e
f x e 7   .
B. f x  7e  . 2  cos x  2 cos x   x 1 C. f xx 2
 7e  tan x 1.
D. f x  7 e    . 2  cos x
Câu 69. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 1 ' 
và f 0  1 thì f 1 có giá trị bằng 2x  1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 2  1. D. 2ln 3  1.
Câu 70. Nguyên hàm của hàm số 6 2 ( ) x f x e   là 1 A. f  xd 3x1 x eC . B. f  xd 3x 1 x e   C . 3 1 1 C. f  xd 6x2 x eC . D. f  xd 3x 1 x e   C . 3 3 1
Câu 71. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 4x  1 A. f
 xdx  4x1C . B. f
 xdx  2 4x1C. 4x  1 C. f
 xdx   C . D. f
 xdx  4
 4x 1 C . 2 cos x
Câu 72. Hàm số f x thỏa mãn f 'x   là 4  sin x2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 35
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG sin x x A. f x      C B. f x sin C. 4  cos x . 2 4  sin x C. f x 1   C. D. f x 1    C. 4  cos x 4  sin x 1
Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 2  x A. f
 xdx   2x C . B. f
 xdx  2
 2  x C . C. f
 xdx  2 2x C. D. f
 xdx  3
 2  x C .   
Câu 74. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f 'x  2sin 2x  cos x và f 0  4 thì f   có  2  giá trị bằng A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 75. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2x  5 là 1 2 A. f
 xdx  2x5 2x5 C . B. f
 xdx  2x5 2x5 C . 3 3 1 1 C. f
 xdx   2x5 C . D. f
 xdx  2x5 C . 3 2
Câu 76. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4  3x là 2 2 A. f
 xdx  43x 43x . B. f
 xdx   43x 43x . 9 3 2 2 C. f
 xdx   43x 43x C . D. f
 xdx   43x C . 9 3 x
Câu 77. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2 1 
biết F 0  1, là x e x 2x  ln 2  1   A. F x  B. F x 2    . x e    . ln 2 1  e x x 2x  ln 2     C. F x  D. F x 1 2 1 1        . x e    . ln 2 1 ln 2  1  e   e  1  ln 2
Câu 78. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x x  3 là 3 3 A. f
 xdx  x3 3 x3 C . B. f
 xdx   x3 3 x3 C . 4 4 2 2 1  C. f
 xdx  x3 3 x3 . D. f
 xdx  x2 3 C . 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 36
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 79. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x  1 3x là 1 3 A. f
 xdx   13x 3 13x C . B. f
 xdx   13x 3 13x C . 4 4 1 2  C. f
 xdx  13x 3 13x C . D. f
 xdx    x 3 1 3  C . 4 1
Câu 80. Cho hàm số y f x 
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x   
y F x đi qua điểm A
; 0  thì F x là  12  x x  A. F x cot 2 3   .
B. F x cot 2 3  . 2 2  x  C. F x cot 2 3  . D. F x 3  cot 2x  . 2 2
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số   3x f x e là 3 3 x e 3 A. f
 xdx   C. B. f
 xdx   C. 2 3 2 x e 3x2 2 2e 3 2 x e C. f
 xdx   C. D. f
 xdx   C. 3x  2 3
Câu 82. Hàm số F x  x  2 1
x  1  2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 5
A. f x  x   1 x  1  C.
B. f x  x   1 x  1  C. 5 2 5
C. f x  x   1 x  1.
D. f x  x   1 x  1  . C 2
Câu 83. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  1 
 1 là hàm số F x thỏa mãn 1 3x F   2 1 
. Khi đó F x là hàm số nào sau đây? 3 A. F x 2  x  1 3x  3. B. F x 2  x  1 3x  3. 3 3 C. F x 2  x  1 3x  1. D. F x 2  4  1 3x. 3 3 a
Câu 84. Biết F( )
x  6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
. Khi đó giá trị của a 1  x bằng
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 A. 3  . B. 3 . C. 6 . D. . 6
Câu 85. Tính F( ) x x sin d x x  ta được kết quả A. ( F )
x xsin x  cos x C . B. ( F )
x  sin x xcos x C . C. ( F )
x  sin x xcos x C . D. ( F )
x xsin x  cos x C .
Câu 86. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x  2x . Biết đồ thị của hàm số F x
và f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x
và F x là A. 0; 0 .
B. 2  2;14 10 2; 0;0.
C. 2  2;14 10 2; 2  2;14 10 2 ; 0;0.
D. 1 2;4  2 2; 1 2;4  2 2 ; 0;0. Câu 87. Tính 2 x ln d x x  ta được kết quả 1 1 A. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . B. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . 4 2 1 1 C. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . D. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . 4 2
Câu 88. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1  . B. 3; 5 . C. 0; 1  và 3; 5 . D. 0; 1  và 3; 0 .
Câu 89. Tính F( )
x x sin x cos d x x  ta được kết quả 1 x 1 x
A. F(x)  cos 2x  sin 2x C .
B. F(x)  sin 2x  cos 2x C . 4 2 8 4 1 x 1  x
C. F(x)  sin 2x  cos 2x C . D. F(x) 
sin 2x  cos 2x C . 4 8 4 8 x Câu 90. Tính 3
F(x)  xe dx  ta được kết quả x x
A. F x  x   3 ( ) 3 e C.
B. F x  x   3 ( ) 3 3 e C.  3 x x  3 x x C. 3 F(x)  e C. D. 3 F(x)  e C. 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x
Câu 91. Tính F(x)  dx  ta được kết quả 2 cos x A. ( F )
x  x tan x  ln cos x C . B. ( F )
x  x cot x  ln cos x C . C. ( F )
x x tan x  ln cos x C . D. ( F )
x  x cot x  ln cos x C . Câu 92. Tính 2 F( ) x x cos d x x  ta được kết quả A. F x   2 ( )
x  2sin x  2xcos x C . B. 2 ( F )
x  2x sin x x cos x  sin x C . C. 2 ( F )
x x sin x  2x cos x  2sin x C . D. F x   2 ( )
2x x cos x xsin x C
Câu 93. Tính F( ) x x sin 2 d x x  ta được kết quả x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x A. F(x)    C . B. F(x)    C . 2 4 2 4 x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x C. F(x)     C . D. F(x)     C . 2 4 2 4 Câu 94. Hàm số ( F )
x xsin x  cos x  2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f ( )
x x cos x . B. f ( )
x x sin x . C. f ( )
x  xcos x . D. f ( )
x  x sin x . 1  ln x Câu 95. Tính dx  ta được kết quả 2 x ln x  2 1 ln(x  1) x A.  C. B.   ln  C. x x x  1 x  1 1 ln(x  1) C. 
1ln(x1)ln|x| . C D. 
 ln x 1  ln x C. x x
Câu 96. Để xác định 2 3 3 x 1 x dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. 3 3 t  1 x . B. 3 t  1 x . C. 2 t x . D. 2 3 3 t x 1 x . 3 ln x Câu 97. Để tính dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ x 1  x3 ln A. t  . B. t  ln . x
C. t   x3 ln . D. t  . x x 3 ln x Câu 98. Kết quả dx  là x 2 3 3ln x  ln x 4 ln x 4 ln x A. . B.  C. C.  C. D. 2 3ln x  . C 2 x 4x 4
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 39
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 Câu 99. Để tính x xe dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 2 A. 2 t x . B. x t e . C. x t xe . D. x t e . 2
Câu 100. Kết quả của x xe dx  là 2 x 2 e 2 2 A. x xe  . C B.  C. C. x e C. D. x x e  . C 2 1 1 Câu 101. Để tính cos dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 x x 1 1 1 1 1 A. t  . B. t  . C. t  cos . D. t  cos . 2 x x x x x 1 1
Câu 102. Kết quả của cos dx  là 2 x x 1 1 A. sin  C. B.  sin  C. x x 1 1 2 1 1 1 C.  sin  cos  C. D.   sin  C. 4 3 x x x x x x Câu 103. Để tính 5 sin x cos d x x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. t  cos . x B. t  sin . x C. 5 t  cos . x
D. t  sin xcos . x
Câu 104. Kết quả của 5 sin x cos d x x  là 6 cos x A. 4 5cos x  . C B.   C. 6 6 cos x C. 4
5cos xsin x  . C D.  C. 6
Câu 105. Kết quả của 2 2x x  d 1 x  là 2  x   x  A. 2 2 x  1    C.   B. 2 2 x  1    C.   2  x  1  2  2 x  1  2 1 C. x  3 2 2 1  C. D.
 2x x 1C. 3 3 cos x  sin x Câu 106. Để tính dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số cos x  sin x phụ
A. t  cos x  sin . x
B. t  sin x  cos . x
C. t  cos x  sin x.
D. t  cos x  sin x.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cos x  sin x
Câu 107. Kết quả của dx  là cos x  sin x A. 2
 cos x  sin x  . C
B. 2 cos x  sin x  . C
C. sin x  cos x  . C
D. sin x  cos x  . C Câu 108. Để tính x xe dx
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt A. x
u e , dv  d x . x B.  , d x u x v e d . x C. x
u xe , dv  d . x D. x
u e , dv  d . x
Câu 109. Kết quả của x xe dx  là 2 x A. x x e xe  . C B. x e C. 2 2 x C. x x xe e  . C D. x x
e e C. 2 Câu 110. Để tính 2 x cos xdx
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u x, dv xcos d x . x B. 2
u x , dv  cos d x . x C. u x d 2
cos , v x d . x D. 2
u x cos x, dv  d . x
Câu 111. Kết quả của 2 x cos d x x  là A. 2
2xcos x x sin x  . C B. 2
2xcos x x sin x  . C C. 2
x sin x xcos x  sin x  . C D. 2
x sin x  2xcos x  2sin x  . C
Câu 112. Để tính x ln
 2xdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u x, dv  ln2  xd . x
B. u  ln 2  x , dv  d x . x
C. u x ln2  x , dv  d . x
D. u  ln2  x , dv  d . x
Câu 113. Kết quả của x ln
 2xdx là 2 2 x x x A.
ln 2  x  2ln2  x   x C. B. ln 2  x   C. 2 4 2  x 2 2 x x x C.
ln 2  x  2ln2  x   x C. D.   x 2 ln 2   x C. 2 4 4 HẾT
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Xin phép quý thầy cô là những ngƣời sở hữu các câu hỏi có trong tài liệu, cho phép
chúng em biên tập và sử dụng để giúp cho các em học sinh thân yêu có tƣ liệu học tập. Vì
mục đích không kinh doanh nên mong quý thầy cô đồng ý ạ, chúng em xin chân thành cảm ơn!
CLB sử dụng hệ thống sách chất lƣợng của NXBGD VN 2007, 2008, 2016 và các tài liệu
tham khảo chất lƣợng từ Page Toán học Bắc Trung Nam.
P/S: Trong quá trình sưu tầm và biên soạn chắc chắn không tránh khỏi sai sót, kính mong quí
thầy cô và các bạn học sinh thân yêu góp ý để các bản update lần sau hoàn thiện hơn! Xin chân thành cảm ơn.
CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO.
Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế.
Email: lebabaodanghuytru2016@gmail.com Facebook: Lê Bá Bảo
Số điện thoại: 0935.785.115
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 42
CLB Giáo viên trẻ TP Huế