Chuyên đề phép nhân các phân thức đại số

PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: A C . AC .  . B D . B D
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép tính
Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để thực hiện yêu cầu của bài toán.
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 2 8x 4y a) . với x  0 và y  0; 3 2 15y x 2 2 9a a  9 b) . với a  3  và a  0. 3 a  3 6a
Bài 2. Nhân các phân thức sau: 2 2 4n  7m  a) .  với m  0 và n  0; 4  17m  12n  3b  6 2b 18 b) . với b  2  và b  9. 3 2 (b  9) (b  2)
Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau: 2 2 2u  20u  50 2u  2 a) . với u  5  ; 3 5u  5 4(u  5) 2 3 v  3 8 12v  6v  v b) . với v  3  và v  2  . 2 v  4 7v  21 Bài 4. Làm tính nhân: 2 3x 1 25x 10x 1 1 1 a) . với x   ; ;0; 2 2 10x  2x 1 9x 5 3 3 2 p  27 p  4 p b) . với p  4. 2 7 p  28 p  3p  9
Dạng 2. Tính toán sử dụng kết hợp các quy tắc đã học
Phương pháp giải: Sử dụng hợp lý 3 quy tắc đã học: quy tắc cộng, quy tắc trừ và quy tắc nhân để tính toán. Chú ý:
- Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau.
- Ưu tiên tính toán đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Bài 5. Rút gọn biểu thức: 4 2 3 t  4t  8 t 3t  3 a) . . với t  1  ; 3 2 4 2 2t  2 12t 1 t  4t  8 3 y 1  y  b) 2 . y   y 1
 với y  0 và y  1. 2 y  y 1 
Bài 6. Thực hiện các phép tính sau: 6 3 2 x  2x  3 3x x  x 1 a) . . với x  1  ; 3 6 3 x 1 x 1 x  2x  3 3 2 a  2a  a  2  1 2 1  b) .   
 với a  5;2;1. 3a 15  a 1 a 1 a  2 
Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 M  . . . . . , với x  1  . 2 4 8 16
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
Bài 8. Rút gọn biểu thức: P  xy, biết 3 3
(3a  3b )x  2b  2a với a  b và 2 (4a  4b) y  9(a  b) với a   . b HƯỚNG DẪN
Bài 1.Thực hiện các phép tính sau: 2 2 8x 4y 8 . x 4y 32 a) Ta có .   3 2 3 2 15y x 15y .x 15xy 2 2 2 9a a  9 9a .(a  3)(a  3) 3(a  3) b) Ta có .   3 3 a  3 6a (a  3)6a 2a Bài 2. Tương tự 1. 7n a) Kết quả ta có   2 51m 6 b) Kết quả  2 (b  9) .(b  2)
Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau: 2 2 2 2u  20u  50 2u  2 2(u  5) 2(u 1)(u 1) u 1 a) Ta có .  .  3 3 5u  5 4(u  5) 5(u 1) 4(u  5) 5(u  5) 2 3 3 v  3 8 12v  6v  v v  3 (2  v) b) Ta có .  . 2 v  4 7v  21 (v  2)(v  2) 7(v  3) 3 2 1 (v  2) (v  2)  .   (v  2)(v  2) 7 7(v  2) Bài 4. Tương tự 3 2 3x 1 25x 10x 1 5x 1 a) Ta có .   2 2 10x  2x 1 9x 2x(3x 1) . p ( p  3) b) Kết quả  7
Bài 5. Rút gọn biểu thức: 4 2 3 t  4t  8 t 3t  3 a) Ta có . . 3 2 4 2 2t  2 12t 1 t  4t  8 4 2 3 (t  4t  8).t.3(t 1) 3t   3 2 4 2 2
2(t 1).(12t 1).(t  4t  8) 2(12t 1) 3 3 1  3 3 y 1  y  y 1  y y  2y 1 b) Ta có 2 . y  y 1   .    2y  y 1 2y  y 1 y 1 2y Bài 6. Tương tự 5 6 3 2 x  2x  3 3x x  x 1 3x a) Ta có . .  3 6 3 2 x 1 x 1 x  2x  3 x 1
b) Gợi ý: a3 + 2a2 - a - 2 = (a - 1)(a + 1) (a + 2) 1
Thực hiện phép tính từ trái qua phải thu được:  3
Bài 7. Áp dụng (a-b) (a + b) = a2 - b2. Ta có: 1 1 1 1 1 M  . . . . 2 2 4 8 16
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1  .  16 16 32 1 x 1 x 1 x 2 2(a  b) 9(a  b)
Bài 8. Biến đổi được: x  ; y  3 3 3(a  b ) 4(a  b) 2 2(a  b) 9(a  b) 3(a  b)  P  . x y  .  3 3 2 2 3(a  b ) 4(a  b) 2(a  ab  b ) PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 2 8x 4y a) . với x  0 và y  0; 3 2 15y x 2 2 9a a  9 b) . với a  3  và a  0. 3 a  3 6a
Bài 2. Nhân các phân thức sau: 2 2 4n  7m  a) . với m  0 và n  0; 4  17m  12n  3b  6 2b 18 b) . với b  2  và b  9. 3 2 (b  9) (b  2)
Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau: 2 2 2u  20u  50 2u  2 a) . với u  5  ; 3 5u  5 4(u  5) 2 3 v  3 8 12v  6v  v b) . với v  3  và v  2  . 2 v  4 7v  21 Bài 4. Làm tính nhân: 2 3x 1 25x 10x 1 1 1 a) . với x   ; ;0; 2 2 10x  2x 1 9x 5 3 3 2 p  27 p  4 p b) . với p  4. 2 7 p  28 p  3p  9
Bài 5. Rút gọn biểu thức: 4 2 3 t  4t  8 t 3t  3 a) . . với t  1  ; 3 2 4 2 2t  2 12t 1 t  4t  8 3 y 1  y  b) 2 . y  y 1
 với y  0 và y  1. 2y  y 1
Bài 6. Thực hiện các phép tính sau: 6 3 2 x  2x  3 3x x  x 1 a) . . với x  1  ; 3 6 3 x 1 x 1 x  2x  3 3 2 a  2a  a  2  1 2 1  b) .   
 với a  5;2;1. 3a 15  a 1 a 1 a  2 
Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 M  . . . . . , với x  1  . 2 4 8 16
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
Bài 8.Rút gọn biểu thức: P  xy, biết 3 3
(3a  3b )x  2b  2a với a  b và 2 (4a  4b) y  9(a  b) với a   . b HƯỚNG DẪN
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 2 8x 4y 32 a) .  với x  0 và y  0; 3 2 15y x 15xy 2 2 9a a  9 3.(a  3) b) .  với a  3  và a  0. 3 a  3 6a 2a
Bài 2. Nhân các phân thức sau: 2 2 4n  7m  7n a) .    với m  0 và n  0; 4 2 17m  12n  51m 3b  6 2b 18 6 b) .  với b  2  và b  9. 3 2 2 (b  9) (b  2) (b  9) .(b  2)
Bài 3. Thực hiện phép nhân các phân thức sau: 2 2 2u  20u  50 2u  2 u 1 a) .  với u  5  ; 3 5u  5 4(u  5) 5.(u  5) 2 3 2 v  3 8 12v  6v  v (v  2) b) .  với v  3  và v  2  . 2 v  4 7v  21 7.(v  2) Bài 4. Làm tính nhân: 2 3x 1 25x 10x 1 (5x 1) 1 1 a) .  với x   ; ;0; 2 2 10x  2x 1 9x 2 . x (1 3x) 5 3 3 2 p  27 p  4 p ( p  3).p b) .  với p  4. 2 7 p  28 p  3p  9 7
Bài 5. Rút gọn biểu thức: 4 2 3 t  4t  8 t 3t  3 3t a) . .  với t  1  ; 3 2 4 2 2 2t  2 12t 1 t  4t  8 2.(12t 1) 3 y 1  y  b) 2 2 . y  y 1
  y với y  0 và y  1. 2y  y 1
Bài 6. Thực hiện các phép tính sau: 6 3 2 x  2x  3 3x x  x 1 3x a) . .  với x  1  ; 3 6 3 2 x 1 x 1 x  2x  3 x 1 3 2 a  2a  a  2  1 2 1  b) 2 .    a  a  2  
với a  5; 2; 1. 3a 15  a 1 a 1 a  2 
Bài 7. Tính hợp lý biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 M  . . . . .  với x  1  . 2 4 8 16 32
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Bài 8.Ta có 3 3 (3a  3b )x  2b  2a 2 (4a  4b) y  9(a  b) 2.(a  b) với a  b và 2 với a   . b  9.(a  b) x   y  2 2 3.(a  b).(a  ab  b ) 4.(a  b) 2 2.(a  b) 9.(a  b) 3.(a  b) P  xy    2 2 2 2
3.(a  b).(a  ab  b ) 4.(a  b) 2.(a  ab  b ) PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau 3 14x 2y 2 2 5y  2x  a)  b)    2 2 5y x 2 7 y  10 y    3 2 x  8 x  4x  7z  c)  d) 3 4 3x y .  2  5x  20 x  2x  4  5 9xy   
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau 3x  9 5  2x 2   x 16 6  a) 4x 10 x  3 b) 2x  5 4  x
Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 x 1 2x 10 P   2
x  5 x  x với x  99 2
 x 1 x 1 x  4x 1 x  2003 Bài 4. Cho K       . 2 x 1 x 1 x 1     x   a) Rút gọn K.
b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau: 12x  5 4x  3 12x  5 6  3x a) P     x  9 360x 150 x  9 360x 150 x  3y 4x  2y x  3y x  3y b) Q     3x  y x  y 3x  y x  y
Bài 6. Tìm biểu thức x biết: 2 a  a 1 a 1 x :  . 3 2a  2 a 1
Bài 7. Cho ab  bc  ca  1, chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số 2 2 2 (a  b) (b  c) (c  a) A    . 2 2 2 1 a 1 b 1 c
Bài 8. Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau 1 x x 1 x  2 x  3 x  4        1.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 HƯỚNG DẪN
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau 3 14x 2y 2 2 5y  2x  a)  b)    2 2 5y x 2 7 y  10 y    3 2 x  8 x  4x  7z  c)  d) 3 4 3x y .  2  5x  20 x  2x  4  5 9xy    Lời giải: 3 3 3 14x 2y 14 . x 2 y 28xy 28y a)     ; 2 2 2 2 2 2 5y x 5y .x 5y x 5x 2   5y . 2 2 2 2 5 2  x y x  2 2 2 1  0y x x b)       ; 2   2 3 7 y 10y 7 y .10 y 7.10 y 7 y   x  8 x  4x
 3x 8 2x 4x x2 2 3 2
x  2x  4 x(x  4) x  2 x c)     2
5x  20 x  2x  4 5x  20 2 x  2x  4 5 x  4 2 x  2x  4 5 3 4 2  7z  3x y (7z) 7x z d) 3 4 3x y        . 5  5  9xy  9xy 3y
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau 3x  9 5  2x 2   x 16 6  a) 4x 10 x  3 b) 2x  5 4  x Lời giải: 3x  9 5  2x 3 x  3 5  2x 3      4x 10 x  3 22x  5  a) x 3 2 ; 2 x 16 6 x  4x  46 6  x  4    2x  5 4  x 2x 54 x 2x  5 b)
Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 x 1 2x 10 P   2
x  5 x  x với x  99 Lời giải: 2(x 1) Rút gọn ta được P  . x 2 (99 1) 200 Với x = 99 ta có P   . 99 99 2
 x 1 x 1 x  4x 1 x  2003 Bài 4. Cho K       . 2 x 1 x 1 x 1     x   a) Rút gọn K.
b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên. Lời giải: a) Ta có 2 2 2
(x 1)  (x 1)  x  4x 1 x  2003 K   (x 1)(x 1) x 2 2 2
x  2x 1 x  2x 1 x  4x 1 x  2003   (x 1)(x 1) x 2 x 1 x  2003 x  2003    2 x 1 x x
b) Điều kiện x  0; x  1; x  1. 2003 Ta có K  1 . x 2003 Để K   thì
   x  U(2003) và x  1; x  1. x
Vậy x {2003;2003} thì K nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau: 12x  5 4x  3 12x  5 6  3x a) P     x  9 360x 150 x  9 360x 150 x  3y 4x  2y x  3y x  3y b) Q     3x  y x  y 3x  y x  y Lời giải:
a) Dùng tính chất phân phối ta có 12x  5  4x  3 6  3x  12x  5 x  9 1 P       .  
x  9  360x 150 360x 150  x  9 30(12x  5) 30
b) Dùng tính chất phân phối ta có x  3y  4x  2y x  3y  x  3y 3x  y x  3y Q       .   3x  y  x  y x  y  3x  y x  y x  y
Bài 6. Tìm biểu thức x biết: 2 a  a 1 a 1 x :  . 3 2a  2 a 1 Lời giải: 2 a  a 1 a 1 x :  3 2a  2 a 1 2 2 a 1 a  a 1 a 1 a  a 1 1 x      . 3 a 1 2a  2 (a 1) 2 a  a   1 2(a 1) 2(a 1)
Bài 7. Cho ab  bc  ca  1, chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số 2 2 2 (a  b) (b  c) (c  a) A    . 2 2 2 1 a 1 b 1 c Lời giải: Ta có 2 2 2
1 a  ab  bc  ca  a  1 a  (a  b)(a  c) (1) Tương tự 2 1 b  (b  a)(b  c) (2) Và 1 + c^2=(c + a)(c + b) (3) 2 2 2 (a  b) (b  c) (c  a)
Từ (1), (2), (3) ta có A     A  1.
(a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)
Vậy tích trên không phụ thuộc vào biến số.
Bài 8. Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau 1 x x 1 x  2 x  3 x  4        1.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 Lời giải: 1
Tích của 6 phân thức đầu tiên là . x  5
Vậy phân thức cần điền là x+5.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========