Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 (có lời giải)

Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 có lời giải bao gồm các chủ đề: Phương trình quy về các dạng thường gặp, phương trình chứa điều kiện, phương trình có chứa căn…Chuyên đề được viết dưới dạng PDF gồm 41 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

133 67 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

39 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương (H)
! Trang!1!
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1
Bài 1. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: (*).
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
TH1:
TH2:
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
.
Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x (2009; 2011) của phương trình :
Bài 3. Chứng minh rằng:
Bài 4. Cho: , với . Chứng minh rằng: .
( )
2
2 3 sin . 1 cos 4 cos .sin 3
2
0
2 sin 1
x
xxx
x
+- -
=
-
1
6
sin , ,
5
2
6
xk
xkl
xl
p
p
p
p
ì
¹+
ï
ï
¹Û Î
í
ï
¹+
ï
î
!
( )
2
2 3 sin . 1 cos 4 cos .sin 3 0
2
x
xxx+- -=
( )
2 3 sin 2 3 sin .cos 2 cos 1 cos 3 0xxxxxÛ+ ---=
( ) ( )
22
2 3 sin cos 3sin 2 3 sin .cos cos 0xx x xx xÛ--- +=
( )( )
3 sin cos 0
3 sin cos 3 sin cos 2 0
3 sin cos 2
xx
xx xx
xx
é
-=
Û- --=Û
ê
-=
ê
ë
3 sin cos 0 cot 3 ,
6
xx x x kk
p
p
-=Û=Û=+Î!
3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1
66 6
xx x x x
pp p
æöæö
-=Û - =Û -=
ç÷ç÷
èøèø
72
2, 2,
63
xkxkk
pp
pp
=+ =+ Î!
Î
cos sin cos 2 1 sin 2 0xx x x-- + =
2
1 sin 2
cot .
1 sin 2 4
a
a
a
p
+
æö
=-
ç÷
-
èø
( )
sin sin 2sinxy xy+= +
,kxy k¹Î+ !
p
1
tan tan
223
xy
+=
! Trang!2!
Bài 5. Giải phương trình :
Bài 6. Cho tam giác với các kí hiệu thông thường, biết: Chứng minh
rằng tam giác cân.
Bài 7. Giải phương trình sau:
Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x:
Bài 9. Cho tam giác có độ dài các cạnh là , , , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc , , lần lượt là l , l , l .
1. Chứng minh rằng:
2. Nhận dạng tam giác, biết:
Bài 10. Định a để hệ: có nghiệm duy nhất.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu thì:
Bài 12. Tìm để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những
giá trị tìm được của m:
Bài 13. Cho hai phương trình sau:
(1)
(2)
a. Giải các phương trình trên với .
b. Tìm tất cả các giá trị của để hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Bài 14. Giải hệ phương trình:
Bài 15. Tìm tất cả các giá trị sao cho:
Bài 16. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:
3 1 cot
3 tan 2 2 2 2 0
2 1 cot
x
x cos x
cos x x
-
-- + =
+
ABC
33
sin . sin . .
22 22
AB B A
cos cos=
ABC
2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 .x x cos x x+=-
2
3sin 2 sin . os2 3x x cosx c x a+++£
ABC
a
b
c
A
B
C
a
b
c
3 3.
ab bc ca
ll ll ll
cab
+++
++£
tan ( tan a+btanb).
2
C
ab a+=
2
22
cos
sin 1
ax a y x
xy
ì
+=+
ï
í
+=
ï
î
2
2xx>
2
2
2 cos sin 2
16
sin . os2
xx
xc x
+
>
m
42
3
s inx. os2 2 2
.
cos . os2 1
cym m
xc y m
ì
=- +
ï
í
=+
ï
î
73
2sin (1 sin ).sin .sinxaxax
p
=+ +
262 3
( 1)(1 ) 2sin 2sin 2( 1)a cos x x x a-+ + = + -
2a =
a
33
sin sin sin
2
.
3
cos cos cos
2
xyz
xyz
ì
++=
ï
ï
í
ï
++=
ï
î
[ ]
0; 2x
p
Î
2 cos 1 sin 2 1 sin 2 2.xxx£+ -- £
a
2
3
( ) 2 ( ) . 2 0.
223
xx
cos a x cos a x cos cos
aa
ppp
pp
æö
-- -+ + +=
ç÷
èø
! Trang!3!
Bài 17. Cho tam giác có . Chứng minh rằng:
Bài 18. Cho tam giác có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: Tính tổng số đo
góc:
Bài 19. Xét các tam giác thoả mãn ràng buộc: . Tìm giá trị lớn của biểu thức:
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi ta luôn có .
Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
Bài 23. Giải phương trình: .
Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình thỏa
mãn điều kiện
Bài 25. Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm trên khoảng
Bài 26. Trong tất cả các tam giác cho trước, tìm tam giác có lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình :
Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác , biết
Bài 29. Giải phương trình
Bài 30. Tam giác thỏa mãn đẳng thức
Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :
Bài 32. Cho tam giác có : tanA+tanC=2tanB.CMR :
Bài 33. Giải phương trình:
Bài 34. Trong tam giác biết số đo ba góc lập thành cấp số cộng với và thỏa hệ
thức . Tính số đo các góc .
Bài 35. Giải phương trình
ABC
tan tan 2 tanAC B+=
32
cos cos .
4
AC+£
ABC
.
BC AB BC
AB BC AC
+
=
-
3.AB+
ABC
{ }
,,
2
Max A B C
p
³
23
sin sin sin .PA B C=+ +
2
(2 1)(sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 0mxxxxmm+--++++=
x Î !
sin cos 1xx+³
( )
sin cos 1 sin 2 sin cos 2mx x x x x++= +++
cos 2 cos 3 sin cos 4 sin 6xxxxx+-- =
2
2x 1 2x 1 2x 1
sin sin 3 s 0
33
co
xx x
++ +
+- =
1
10
x ³
osx cos 3x os2x 1mc c+-=
5
(;)
22
pp
-
ABC
os2A os2 os2Pc c Bc C=+-
2
8cos 4 .cos 2 1 cos3 1 0xx x+- +=
ABC
sin sin sin
12
3
ABC
==
( )
22
2cos 1 cot 2sin 1 0xx x+- +=
ABC
( )
cos 2 2 cos 2 cos 2 2 0ABC+++=
;02
32
cos.
2
3
cos)(cos2)(cos
2
=+
÷
ø
ö
ç
è
æ
++---
ppp
pp
a
x
a
x
xaxa
ABC
;
4
23
coscos £+ CA
1 tan . tan 2 cos 3xx x-=
ABC
,,ABC
ABC³³
13
cos cos cos
2
ABC
+
++ =
,,ABC
æö
+= +-
ç÷
èø
p
22
59
3 sin 7 2 sin 2 cos
42 2
xx
cos x x
! Trang!4!
Bài 36. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng :
Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4
Hướng dẫn giải
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π
Bài 38. Giải phương trình:
Bài 39. Cho phương trình:
a) Giải phương trình khi .
b) Xác định tham số để phương trình có đúng một nghiệm .
Bài 40. Cho tam giác có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
Chứng minh tam giác là tam giác đều.
Bài 41. Giải phương trình : .
Bài 42. Tìm m để phương trình cos có nghiệm.
Bài 43. Tam giác có ba góc thỏa mãn hệ thức :
. Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 44. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình sau .
Hướng dẫn giải
;
22
pp
æö
-
ç÷
èø
æö
++--=
ç÷
èø
244
4 cos 16 sin cos 14 1 0
44
xx
xm m
2
(cos 1)(2cos 1)
1 sin 2 2cos .
sin
xx
xx
x
--
=- +
33
( 3)sin ( 1)cos cos ( 2)sin 0mxmxxmx++-+-+=
5m =-
m
5
,
4
x
p
éù
Îp
êú
ëû
ABC
111 111
cos cos cos
sin sin sin
222
ABC
ABC
++=++
ABC
23
33
2sin ( )sinx - os
42
0
sin os
x
cx
xc x
p
-
=
-
0
1
2
cos
1
4
22
=-
+
+
+
m
x
x
x
x
ABC
017)coscos(sin34sinsincos8 =-+++ CBACBA
cos 2 3cos 1
1
sin 1
xx
x
++
=-
+
( )( )
sin 2 sin cos 1 2 sin cos 3 0xxx xx-+- --=
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2
sin cos 1 sin cosx 1 2 sin cos 3 0
sin cos 1 si n cos 1 sin cosx 1 2 sin cos 3 0
sin cos 1 sin 2 cos 4 0
PT x x x x x
xx xx x xx
xx x x
Û+ --+- --=
Û+- ++-+- --=
Û+--+ +=
2
sin cos 1
,( )
sin 2 cos 4( )
2
2
xk
xx
k
x x VN
xk
p
p
p
=
é
+=
é
ê
ÛÛÎ
ê
ê
-=
=+
ë
ë
!
! Trang!5!
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
Bài 46. Cho với . Tính giá trị của biểu thức:
Hướng dẫn giải
Do nên . Ta có:
,
,
Khi đó:
Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số
Hướng dẫn giải
Ñieàu kieän xaùc ñònh
Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn giải
*
*
* GTNN y = 1
* y = 1
Bài 49. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
2, 2,( )
2
xk x k k
p
pp
==+ Î!
4
2
5
a=-cos
2
p
<a<p
( )
1
4
æö
p
=+ a -a
ç÷
èø
Ptancos
2
p
<a<p
00a> a<sin , cos
2
121 1
2 10
10
+a
a= = Þ a=-
cos
cos cos
22
93
1
10
10
a= - a= Þ a=sin cos sin
3
a
a= =-
a
sin
tan
cos
( ) ( ) ( )
111325
113
5
2 2 10 10
æö
=+ a a+ a=- - + =-
ç÷
èø
P tan . cos sin .
1 cot
2 cos 1
x
y
x
+
=
-
1
cos
2
sin 0
x
x
ì
¹
ï
í
ï
¹
î
( )
2
,,
3
xk
kl
xl
p
p
p
ì
¹± +
ï
ÛÎ
í
ï
¹
î
!
22
cos tanyxx=+
2
2
1
cos 1
cos
yx
x
=+ -
2
2
1
cos 2
cos
x
x
+³
1y ³Þ
24
2
1
cos cos 1 sin 0 ,
cos
xxxxkk
x
p
Û= Þ=Þ=Þ=Î!
3 cos 2 sin 2 2xx-=
31
3 cos 2 sin 2 2 cos sin 2 1
22
xx x x-=Û - =
! Trang!6!
Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc :
Hướng dẫn giải
* t = cotx ,
* (1)
(2)
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m<
Bài 51. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = R.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Xét hàm số f(t) = , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos
3
x) Û 3cosx =
4cos
3
x
cos 2 .cos sin 2 .sin 1
66
cos 2 1
6
22
6
,
12
xx
x
xk
xkk
pp
p
p
p
p
p
Û-=
æö
Û+=
ç÷
èø
Û+=
Û=- + Î!
m
0;
2
æö
ç÷
èø
p
( )
2
cot 2 1 cot 3 1 0xm xm+- -+=
0; 0
2
xt
p
æö
ÎÞ>
ç÷
èø
( )
2
cot 2 1 cot 3 1 0xm xm+- -+=
( )
2
21310tmtmÛ+ - - +=
0;
2
x
p
æö
Î
ç÷
èø
Û
'0
0
0
S
P
D>
ì
ï
Û>
í
ï
>
î
Û
1
3
3
cos cos
(7 5 2) (17 12 2) cos3
xx
x+-+ =
3
3
3cos 4 cos 3
3cos 3 4cos
(1 2) (1 2) 4cos 3cos
(1 2) 3cos 4 cos (1 2)
xx
xx
xx
xx
+-+ =-
Û+ + = ++
(1 2 )
t
t++
! Trang!7!
Û cos3x = 0 Û x = , k Î Z
Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. ê1 + 2cosxê+ ê1 + sin2xê£ 2m – 1
Hướng dẫn giải
Đặt f(x) = ç1 + 2cosxç + ç1 + 2sinxç. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x) £ 2m – 1.
Ta có f
2
(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 2ç1 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosxç
Đặt t = sinx + cosx, . Ta có:
f
2
(x) = g(t) = 6 + 4t + 2ç2t
2
+ 2t – 1ç với .
Xét sự biến thiên của g(t) ta có:
Vì f(x) ³ 0 nên ta có:
maxf(x) =
Vậy ta có: .
Bài 53. Rút gọn tổng S = trong đó n là một số tự nhiên.
Bài 54. Biết rằng sin
2
x + sin
2
y = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg
2
x + tg
2
y.
Bài 55. Rút gọn : P = .
Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có thì .
Bài 57. Trong tam giác có A = 36
0
, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử , hãy tìm cặp số nguyên
(p, q).
Bài 58. Cho . Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0).
Bài 59. Cho
. Tính giá trị của biểu thức
63
k
pp
+
22t-££
22t-££
2
2; 2
max ( ) 4( 2 1)gt
éù
-
ëû
=+
2
max ( ) max ( ) 2( 2 1)fx gt==+
322
2( 2 1) 2 1
2
mm
+
+£ -Û ³
xnnxxxxx )1cos(cos
1
...
3cos2cos
1
2coscos
1
+
+++
2
1
12
cos...
12
3
cos
12
2
cos
12
cos
++++ n
n
nnn
pppp
a
a
b
a
2
2
sin1
cos1
+
+
=
tg
tg
)sin(7)3sin(
baba
-=+
ABC
2
qp
x
+
=
bab
x
a
x
+
=+
1cossin
44
33
8
3
8
)(
1cossin
bab
x
a
x
+
=+
12
222222222
=+++ zytgxtgtgxztgtgzytgtgyxtgtg
zyxP
222
sinsinsin ++=
! Trang!8!
Bài 60. Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 61. Cho tam giác bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức đạt
giá trị lớn nhất.
Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức , trong đó .
Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số với .
Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với n là số tự nhiên.
Bài 65. Cho tam giác thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:
a) B , b) cosA+ cosC .
Bài 66. Cho tam giác thoả mãn: . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác
vuông là .
Bài 67. Tính tổng S = .
Bài 68. Chứng minh rằng: .
Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa và thoả mãn: .
Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t .
Bài 70. Tìm GTNN của hàm số .
7
5
cos
1
7
3
cos
1
7
cos
1
ppp
++=Q
ABC
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
M =
4
222
=++ cba
xcxbaT 2sinsin2 ++=
)
2
;0(
p
Îx
x
x
xfy
2
sin
2
)( +==
]
2
;
2
[
pp
-
Îx
nn
xx
xfy
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+==
22
cos
1
1
sin
1
1)(
ABC
3
p
³
4
23
£
ABC
2
1
22
=
B
tg
A
tg
ABC
10
1
2
sin
2
sin
2
sin =
CBA
0000
213sin183sin69sin39sin +++
3
2
3
735
3
7
6
cos
3
7
4
cos
3
7
2
cos
-
=++
ppp
2
p
-
2
p
ï
î
ï
í
ì
³+++
=+++
3
10
2cos2cos2cos2cos
1sinsinsinsin
tzyx
tzyx
£
6
p
£
)
2
;0(,
cos
1
sin
1
p
Î+= x
xx
y
! Trang!9!
Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: .
Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: .
Bài 73. Cho tam giác có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam
giác . Tính tỷ số trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 74. Cho tam giác vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, lần lượt là độ
dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: .
Bài 75. Giải các phương trình sau:
1/ .
2/ .
3/ .
4/
5/ .
6/
Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36
Bài 77. Cho . Tính .
Bài 78. Chứng minh rằng: .
Bài 79. Thu gọn tổng S = .
Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)...
Bài 81. Tính các tổng:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx
y
ABC
ABC
R
OH
ABC
ba
mm ,
22
2
ba
mm
r
+
xxtgxgxxxx 2sin2coscotsincossin
3333
=+++
xxxx sin.28cos22310sin2cos2 +=+
5
5sin
3
3sin xx
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+-++=-+-- )
3
cos()
3
cos(sin43)
8
(cos2)
8
cos()
8
sin(32
22
xxxxxx
ppppp
1)5sin20sin16(5sin2
24
=+- xxx
155sin20_5sin16)(5sin20sin16(
2424
=++- xxxx
0
654321037cot
0
+++++=
¢
+ g
7
cos
1
sin
1
cot
11
2222
=+++
xxxgxtg
x2sin
2
2
1
5
2
cos
5
cos =-
pp
antgnatgatgatgatgtga )1().(...3.22. ++++
)12cos2(
1
-
-
a
n
! Trang!10!
S = , P = , R =
Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x trong đó k, là
các tham số thực. Chứng minh rằng:
Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn đẳng thức sau:
PHẦN 2
Câu 1: Giải các phương trình sau đây:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
.
7
6
sin
1
7
3
sin
1
7
2
sin
1
222
ppp
++
18
7
18
5
18
888
ppp
tgtgtg ++
18
7
18
5
18
666
ppp
tgtgtg ++
)
a
+
a
2
22
³+ mM
ABC
ABC
222
4
1
22
1
2
22
1
2
22
1
2
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg
B
tg
A
tg
=
+
+
+
+
+
sin 1 sin 2 cos 2xxx+=
2
sin sin cos cosxx xx+= -
2
11
sin sin cos cos
44
xx xxÛ+ + =+ -
22
11
sin cos
22
xx
æöæö
Û+=-
ç÷ç÷
èøèø
2
cos 1
11
sin cos
sin 0
sin cos 1
22
11
cos 0
sin cos
sin cos
22
sin cos
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
é=
ì
é
í
ê
+= -
êé =
=-
î
ê
ÛÛÛ
êê
ê
£
ì
=-
êê
ë
+=-
ê
í
ê
ë
=
ê
î
ë
2
2,
cos 1
cos 0
cos 0
15
sin sin 1 0
sin
2
2
,
51
arcsin 2
2
xk k
x
x
x
xx
x
xk
km
xm
p
p
pp
=Î
é
=
é
ê
£
ì
ê
ê
£
ÛÛ
ì
ï
ê
ê
íí
-±
ê
+-=
ê
=±
î
ï
ë
î
ë
=
é
ê
æö
ÛÎ
-
ê
=- +
ç÷
ç÷
ê
èø
ë
!
Z
! Trang!11!
Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Điều kiện:
Với , không thỏa mãn điều kiện
( )
2
sin cos 3 cos 2 2xx x++ =
tan 1
2sin
cot 1
x
x
x
+
=
+
44
4( os si n ) 1 sin 2cx x x+=+
( )
2
sin cos 3 cos 2 2xx x++ =
sin 2 3 cos 2 1
1
sin(2 )
32
xx
x
p
Û+ =
Û+=
22
36
5
22
36
xk
xk
pp
p
pp
p
é
+=+
ê
Û
ê
ê
+= +
ê
ë
12
k
4
xk
xk
p
p
p
p
é
=- +
ê
ÛÎ
ê
ê
=+
ê
ë
Z
tan 1
2sin
cot 1
x
x
x
+
=
+
s inx 0
cos 0
cot 1
x
x
¹
ì
ï
¹
í
ï
¹-
î
( )
sin cos s in
.2sin
cos cos sin
sin
2 sin 0
cos
1
s in ( 2) 0
cos
sin 0
1
cos
2
xx x
pt x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
+
Û=
+
Û- =
Û-=
=
é
ê
Û
ê
=
ê
ë
0sinx =
! Trang!12!
Với
Giá trị bị loại do điều kiện
Vậy pt đã cho có họ nghiệm là:
c)
.
Câu 3: Giải phương trình .
Hướng dẫn giải
không phải là nghiệm.nhân thêm vào hai vế để đưa về pt .
Suy ra ; .
Vì nên pt có các nghiệm ; ; .
Câu 4: Giải phương trình .
Hướng dẫn giải
.
Theo BĐT Bunhiacôpski .
Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi
( )
2 k
4
xk
p
p
=- + Î0Z
cot 1x ¹-
( )
2 k
4
xk
p
p
=+ Î0Z
44
4( os si n ) 1 sin 2cx x x+=+
( )
22
2
2
4(1 2sin . os ) 1 sin 2
1
4(1 sin 2 ) 1 sin 2
2
2sin 2 sin 2 3 0
sin 2 1
3
sin 2
2
sin 2 1
4
xc x x
xx
xx
x
x
x
xkk
p
p
Û- =+
Û- =+
Û- - + =
=
é
ê
Û
ê
=-
ë
Û=
Û= + ÎZ
1
.2
4
cosx cos x =
xk
p
=
sin x
sin 4 sinxx=
2
3
k
x
p
=
2
55
k
x
pp
=+
xk
p
¹
2
2
3
xk
p
p
=± +
2
5
xk
p
p
=± +
3
2
5
xk
p
p
=± +
2
5 sin s in 2x x cosx+=+
2
5 sin 5VT x=+ ³
22 2 2
sin 2 (1 2 )(sin ) 5x cosx x cos x+£+ + =
! Trang!13!
(Hệ phương trình vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình .
Hướng dẫn giải
Ta có:
(nghiệm dương nhỏ nhất khi ).
(2) có (do nguyên).
(2) có hai nghiệm .
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất khi . Khi đó
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là .
Câu 6: Cho phương trình: .
a. Giải phương trình khi .
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Hướng dẫn giải
a. khi phương trình .
sin 2 0
2
21
sin 2cos 5
sin( ) 1; sin ;cos
55
k
x
x
xx
x
p
aa a
ì
=
ï
=
ì
ïï
Û
íí
æö
+=
ï
î
ï
+= = =
ç÷
ï
èø
î
22
() [( 21)]cos x cos x x
pp
=++
22
() [( 21)]cos x cos x x
pp
=++Û
22
[( 2 1)];kxxx
pp
=± + + Î Û!
22
22
212
(21)2
xx x k
xxx k
é
=+++
ê
=- + + +
ë
2
212 0(1)
2 2 1 2 0 (2)
xk
xx k
++ =
é
Û
ê
++-=
ë
min
12 1
(1) ;
22
k
xkx
--
Û= ÎÞ =!
1k =-
1
410 1
4
kkk
¢
D= - ³ Û ³ Þ ³
k
12
141 141
0; 0
22
kk
xx
-+ - -- -
=>=<
1
x
1k =
1min
13
0
2
x
-+
=>
1min
13
2
x
-+
=
( )
cc oos s2–2 1 1 0xm xm+++=
3
2
m =
3
;
22
x
pp
æö
Î
ç÷
èø
3
2
m =
03cos8cos405cos82cos2
2
=+-Û=+-Û xxxx
! Trang!14!
.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
phương trình .
với ta có nên không thoả mãn.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm .
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện:
.
Hướng dẫn giải
(*)
+
+
hoặc
+ (1)
+ (vì không thể xảy ra)
Ta có: hoặc .
+ Với điều kiện , chọn số nguyên . Vậy .
Câu 8: Cho phương trình (1) ( là tham số).
a. Giải phương trình (1) với .
b. Tìm để phương trình có nghiệm.
2()
3
xkk
p
p
Û=± + ÎZ
3
;
22
x
pp
æö
Î
ç÷
èø
ê
ê
ë
é
=
=
Û=++-Û
mx
x
mxmx
cos
2
1
cos
0cos)12(cos2
2
3
;
22
x
pp
æö
Î
ç÷
èø
0cos1 <£- x
1
cos
2
x =
3
;
22
x
pp
æö
Î
ç÷
èø
10mÛ- £ <
02sin1.2cossincos =+-- xxxx
2004 2005x<<
02sin1.2cossincos =+-- xxxx
1 sin 2 cos sinxxx+=+
( )( )
cos2 cos sin cos sinxxxxx=- +
( )
( ) ( )
{ }
* cos sin 1 cos sin cos sin 0xx xxxxÛ- -+ +=
( )
cos sin 0 1xxÛ-=
( )
( )
cos sin cos sin 1 2xxxx++=
( )
1 cos2 0xÛ=
( )
( )
( )
2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 0xx xÛ+ + =Û =
sin 2 0x >
( )
* cos 2 0xÛ=
sin 2 0x =
( )
sin 4 0 ,
4
xxkk
p
Û=Û= Î
!
2004 2005x<<
2552k =
638x
p
=
sin cos 1mx x m+=-
m
1m =
m
! Trang!15!
Hướng dẫn giải
a. Với . Thay vào phương trình ta được:
.
b. Phương trình có nghiệm .
Câu 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Ta có:
, .
Vậy phương trình có họ nghiệm là và , .
Câu 10: Cho phương trình . Tìm các giá trị của sao cho phương trình đã
cho có nghiệm.
Lời giải
ĐKXĐ: . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho , ta được:
Đặt , ta được phương trình:
1m =
( )
1
( )
1 sin cos 0 2 sin 0 sin 0
4444
xx x x x kx k
pppp
pp
æö æö
Û+ =Û +=Û +=Û+=Û=-+
ç÷ ç÷
èø èø
( )
2
222
11 112 1mmm mmmÛ+³- Û-³-+Û³
2
(2 3) cos 2sin
24
1
2cos
x
x
x
p
æö
---
ç÷
èø
=
cos 0x ¹
2
(2 3) cos 2sin
24
1
2cos
x
x
x
p
æö
---
ç÷
èø
=
( )
2
2 3 cos 2sin 2 cos
24
x
xx
p
æö
Û- - - =
ç÷
èø
3 cos 1 cos 0 sin 3 cos 1
2
xx xx
p
æö
æö
Û- - - - = Û - =
ç÷
ç÷
èø
èø
131 1
sin cos sin .cos cos .sin
22 2 3 32
xx x x
pp
Û- =Û - =
2
2
36
2
sin sin
7
36
2
2
6
36
xk
xk
x
xk
xk
pp
p
p
p
pp
p
pp
p
pp
é
é
-=+
=+
ê
ê
æö
Û-=Û Û
ê
ê
ç÷
èø
ê
ê
=+
-=-+
ê
ê
ë
ë
( )
k Î
!
2
2
xk
p
p
=+
7
2
6
xk
p
p
=+
( )
k Î
!
( )
sin 1 cos
cos
m
mxm x
x
++ =
m
cos 0x ¹
cos x
( )
22
tan 1 1 tan tan tan 1 0mxm m x m xmx++= + Û - -=
tan xt=
( )
2
10*mt mt--=
! Trang!16!
Do phương trình có nghiệm với mọi nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
có nghiệm .
Câu 11: Giải phương trình
Lời giải
ĐKXĐ: .
Ta có:
.
Câu 12: Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện: .
tan xt=
t
( )
*
2
0
40
4
m
mm
m
³
é
ÛD= + ³ Û
ê
£-
ë
( )
sin 2 cot 3 sin 2 2 cos 5 0
2
xx x x
p
p
æö
+++-=
ç÷
èø
sin 3 0x ¹
( )
sin 2 cot 3 sin 2 2 cos 5 0
2
xx x x
p
p
æö
+++-=
ç÷
èø
( )
( )
cos 3
cos 2 sin 2 2 cos 5 0
sin 3
cos 2 cos 3 sin 2 sin 3 2 cos 5 sin 3 0
cos 5 1 2 sin 3 0
5
10 5
2
cos 5 0
2
32 .
2
4 12 3
sin 3
2
2
32
4
43
x
xxx
x
xx xx xx
xx
xk
xk
x
xk x kk
x
xk
xk
pp
p
p
ppp
p
p
pp
pp
Û--=
Û-- =
Û- =
é
é
=+
=+
ê
ê
=
é
ê
ê
ê
ê
ê
ÛÛ=+Û=+Î
ê
ê
ê
=
ê
ê
ê
ë
ê
ê
=-+
=+
ê
ê
ë
ë
!
1
2 tan cot 2 2 sin 2
sin 2
xx x
x
+= +
2
xk
p
¹
! Trang!17!
.
Câu 13: Giải phương trình
Lời giải
.
Câu 14: Giải phương trình
Lời giải
(Điều kiện: )
.
Câu 15: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm.
( )
( )
( )
( )
2
2
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
1 cos 2
2 tan 2sin 2
sin 2
2sin
2 tan 2sin 2 2sin 2 tan
2sin cos
tan 2sin 2
4sin 4 cos 1 0
sin 2 cos 2 1 0
sin 0
2
2x 2 , .
1
33
cos 2
2
xx x
x
x
xx
x
x
xx xx
xx
xx
xx
xx
xl
kx kk
x
pp
pp
+= +
-
Û= +
Û= + = +
Û=
Û-=
Û+=
=
é
ê
ÛÛ=±+Û=±+Î
ê
=-
ê
ë
!
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6xxxx-=-
( ) ( )
( )
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos 12
cos12 cos 6 cos10 cos 8 0
sin 9 .sin 3 2 sin 9 .sin 0
sin 9 sin 3 sin 0
2 sin 9 .sin 2 .cos 0
xxxx
xx x x
xx xx
xx xx
xxx
xxx
-=-
Û- -- =- --
Û-+-=
Û- - =
Û+=
Û=
( )
sin 9 0 9
9
sin 2 0 2 .
cos 0
2
2
xxk
xk
xxk k
xk
x
xk
p
p
p
p
p
p
é
é
ê
==
é
=
ê
ê
ê
Û=Û=Û Î
ê
ê
ê
ê
ê
=
ê
=
ë
ê
=+
ë
ê
ë
!
3cos 2 sin 2xx+=
3cos 2 sin 2xx+=
2 sin x 2 3cos xÛ=-
2
cos
3
x £
( )
( )
( )
22
2
4 1 cos 4 12cos 9 cos
13cos 12 cos 0
cos 0
cos 0 , .
12
2
cos
13
xxx
xx
x
xxkk
xl
p
p
Û- =- +
Û-=
=
é
ê
ÛÛ=Û=+Î
ê
=
ë
!
m
2
cos 4 cos 0xxm-+=
! Trang!18!
Lời giải
Đặt , điều kiện .
Phương trình (1) trở thành (2).
Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm .
Lập bảng biến thiên của , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là .
Câu 16: Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm?
Lời giải
Phương trình có nghiệm .
Câu 17: Cho 3 số thực . Số nghiệm của phương trình trên khoảng
là
A. . B. . C. . D. thay đổi theo .
Lời giải
(1)
(2) (vì )
Trên khoảng thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình
sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần
tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 18: Với giá trị nào của thì phương trình có nghiệm
costx=
11t-£ £
2
cos 4 cos 0xxm-+=
( )
22
40 4ttm ftttm-+=Û =-=
[ ]
1; 1t Î-
( )
ft
53m-£ £
m
sin 2 3 cos 2 1xxm-=+
131
sin 2 3 cos 2 1 sin 2 cos 2
22 2
m
xxmx x
+
-=+Û- =
11
sin 2 cos cos 2 sin sin 2
332 32
mm
xx x
pp p
++
æö
Û-=Û-=
ç÷
èø
11
11 121 2 3 1
22
mm
mm
++
Û£Û-££Û-£+£Û-££
0abc>>>
sin cosaxb xc+=
;0
2
p
æö
-
ç÷
èø
0
1
2
,,abc
22 22 22
sin cos sin cos
ab c
axb xc x x
ab ab ab
+=Û + =
++ +
( )
sin sinx
ab
Û+=
22
01
c
ab
<<
+
;0
2
p
æö
-
ç÷
èø
sin sinuv=
Oy
m
22
cos 2 sin cos sinxxxxm+-=
! Trang!19!
Lời giải
Ta có:
.
Phương trình có nghiệm khi .
Câu 19: Gọi , là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Lời giải
Đặt , .
Ta có .
Ta được hàm số .
Bảng biến thiên:
Suy ra .
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình vô
nghiệm.
Lời giải
.
Phương trình vô nghiệm .
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
.
Lời giải
22
cos 2 sin cos sin cos 2 sin 2 2 si n 2
4
xxxxm xxm x m
p
æö
+-=Û+=Û+=
ç÷
èø
sin 2
4
2
m
x
p
æö
Û+=
ç÷
èø
12 2
2
m
m£Û- £ £
M
m
2 sin 2 cos 2 si n 2yxx x=+ -
sin cos 2 cos
4
txx x
p
æö
=+ = -
ç÷
èø
22t-££
( )
2
2
sin cos 1 sin 2txx x=+ =+
2
sin 2 1xtÞ=-
2
222,2 2ytt t=- + + - £ £
t
2-
1
2
2
y
222--
5
2
222-+
5
;222
2
Mm==--
m
( )
22 2
2 cos 4 sin cos 3mxmxxm++ =+
( )
22 2
2 cos 4 sin cos 3mxmxxm++ =+
( )
22
1 cos 2
2 4 sin cos 3
2
x
mmxxm
+
Û+ + =+
( )
22
2 cos 2 4 sin 2 4mxmxmÛ+ + =+
( ) ( )
22
222
2 16 4mmmÛ++ <+
2
11 1mmÛ<Û-<<
m
2 sin cos 1xm x m+=-
;
22
x
pp
éù
Î-
êú
ëû
! Trang!20!
không là nghiệm của phương trình.
Đặt .
Ta được phương trình .
Phương trình có nghiệm có nghiệm .
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm parabol
và đường thẳng .
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm .
Câu 22: Phương trình có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn ?
Lời giải
.
Ta có: .
.
Dấu xảy ra
Vậy có nghiệm dương bé hơn ứng với .
cos 0
2
x
=
tan
2
x
t =
2
22
21
sin ; cos
11
tt
xx
tt
-
Þ= =
++
2
22
21
2. . 1
11
tt
mm
tt
-
+=-
++
( )
2
412 01tt mÛ-+- =
;
22
x
pp
éù
Î-
êú
ëû
( )
1Û
[ ]
1; 1t Î-
( )
2
1412tt mÛ-+=
( )
2
:41Pyt t=-+
:2dy m=
2
41yt t=-+
t
-¥
1-
1
2
+¥
y
6
2-
( )
1
;
22
x
pp
éù
Î-
êú
ëû
22 6mÛ- £ £
13mÛ- £ £
( )
2
sin 3 cos 5 cos 4
3
xx x
p
æö
+=++
ç÷
èø
10
( )
2
sin 3 cos 5 cos 4
3
xx x
p
æö
+=++
ç÷
èø
2
4 sin 5 cos 4
33
xx
pp
æö æ ö
Û+=++
ç÷ ç ÷
èø è ø
22
0 sin 1 0 4sin 4
33
xx
pp
æö æö
£+£Û£ +£
ç÷ ç÷
èø èø
1 cos 4 1 4 5 cos 4 6
33
xx
pp
æö æö
-£ + £Þ £ + + £
ç÷ ç÷
èø èø
""=
2
sin 1
3
cos 4 1
3
x
x
p
p
ì
æö
+=
ç÷
ï
ïè ø
Û
í
æö
ï
+=-
ç÷
ï
èø
î
32
42,,
3
xk
xlkl
pp
p
p
pp
ì
+=+
ï
ï
Û
í
ï
+=+ Î
ï
î
!
( )
,
6
xkk
p
p
Û= + Î!
4
10
0, 1, 2, 3kkkk====
! Trang!21!
Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được
bao nhiêu điểm?
Lời giải
Điều kiện: .
.
+ Với (không thỏa điều kiện).
+ Với (thỏa điều kiện).
Biểu diễn hai họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được điểm.
PHẦN 3
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải.
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với: .
.
.
.
.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ( ).
Bài 2. Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải.
2 cos 4
cot tan
sin 2
x
xx
x
=+
( )
sin 2 0 2 ,
2
k
xxkxk
p
p
¹Û ¹ Û¹ Î!
2 cos 4
cot tan
sin 2
x
xx
x
=+
cosx sin cos 4
sin cos si n .cos
xx
xxxx
Û- =
cos 2 cos 4xxÛ=
2
2 cos 2 cos 2 1 0xxÛ--=
1
cos 2
2
cos 2 1
x
x
é
=-
ê
Û
ê
=
ë
cos 2 1 sin 2 0xx=Þ =
( )
1
cos 2 ,
23
xxkk
p
p
=- Û =± + Î!
( )
,
3
xkk
p
p
=± + Î!
4
2
(cos 1)(2 cos 1)
1 sin 2 2cos .
sin
xx
xx
x
--
=- +
sin 0 ( ).
p
¹Û¹ ÎxxmmZ
222
2 cos 3cos 1 sin 2 sin .cos 2 sin .cos-+=- +xx x xxxx
cos 2 3cos 2 sin cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 )Û-+=-- ++xx xx xx x
cos 2 2(sin cos 1) cos 2 (sin cos ) 0Û-+-- +=xx x x x x x
( )( )
cos 2 2 sin + cos 1 0Û+ -=xxx
cos 2 2 0
sin + cos 1 0
+=
é
Û
ê
-=
ë
x
xx
cos 2 2
2
().
2
2
sin
2
42
p
p
p
p
=-
é
=
é
ê
ê
ÛÛÎ
æö
ê
ê
=+
+=
ç÷
ê
ë
èø
ë
x
xk
kZ
xk
x
2
2
p
p
=+xk
Î !k
22
3
4 sin 3 cos 2 1 2 cos .
24
p
æö
-=+-
ç÷
èø
x
xx
! Trang!22!
Phương trình đã cho tương đương với .
.
.
.
.
Bài 3. Giải phương trình
Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với .
.
.
.
Bài 4. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm).
( )
3
2 1 cos 3 cos 2 1 1 cos 2
2
p
æö
-- =++ -
ç÷
èø
xx x
2 cos 3 cos 2 sin 2Û- - =-xxx
13
sin 2 cos 2 cos
22
Û- =xxx
sin 2 cos
3
p
æö
Û-=
ç÷
èø
xx
sin 2 sin
32
pp
æöæö
Û-=-
ç÷ç÷
èøèø
xx
52
22
3 2 18 3
().
5
222
32 6
pp p p
p
pp p
pp
éé
-=-+ = +
êê
ÛÛÎ
êê
êê
-=++ = +
êê
ëë
!
xxkxk
k
xxkxk
sin 2 2 cos 0.-=xx
2 sin .cos 2 cos 0-=xx x
2cos (sin 1) 0Û-=xx
cos 0
sin 1
=
é
Û
ê
=
ë
x
x
2
().
2
2
2
p
p
p
p
p
p
é
=+
ê
ÛÛ=+Î
ê
ê
=+
ê
ë
!
xk
xkk
xk
3tan 2
2 3.sin 2 3
2 sin 2 1
x
x
x
-
-
=
( )
sin 2 0
1
sin 2 *
4
os2 0
x
x
cx
³
ì
ï
ï
¹
í
ï
¹
ï
î
! Trang!23!
Khi đó: .
.
.
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
.
Bài 5. Cho phương trình: ( m là tham số).
1) Giải phương trình khi .
2) Tìm để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn .
Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với:
Û (1).
1) Với
ta có phương trình:
2) Đặt t = cos4x ta được: , (2).
sin 2
(1) 4 3.sin 2 2 3.sin 2 3 2 3.sin 2 3
cos 2
Û- =- +
x
PT x x x
x
cos2 3.sin 4 3sin 2 3 2Û=+xx x
( )
31
2
22 6
42 2
6
12
,'
5
'
42 '2
36 3
6
sin 4 sin 2 os2 sin 4 sin x
xx k
xk
kk Z
xk
xxk
xxcxx
p
p
p
p
p
pp
p
pp
æö
+
ç÷
èø
é
é
=++
=+
ê
ê
ÛÛÎ
ê
ê
ê
ê
=+
=- -+
ê
ê
ë
ë
Û= + Û=
( )
5
,',','62,'65,
12 36 3
xkx kkkZkmkmmZ
ppp
p
=+ = + Î ¹ + ¹ + Î
44 2
sin cos cos 4 .++ =xx xm
3
2
m =
m
;
44
pp
éù
-
êú
ëû
2
3 cos 4
cos 4 .
4
+
+=
x
xm
2
4 cos 4 cos 4 4 3+=-xxm
3
2
m =
2
cos 4 1
42
4 cos 4 cos 4 3 0 .
3
13
cos 4
arccos
4
442
pp
p
é
=-
=+
é
ê
ê
+-=Û Û
ê
ê
=
ê
=± +
ë
ê
ë
x
xk
xx
x
xk
2
443tt m+= -
! Trang!24!
Với thì Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình (2) có nghiệm phân biệt (3).
Xét g(t) = với ta có bảng biến thiên :
t
1
g(t)
5
3
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra Û Û
Vậy giá trị m cần tìm là: .
Bài 6. Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx.
Hướng dẫn giải
Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 .
Đáp số: .
Bài 7. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng .
Hướng dẫn giải
;
44
x
pp
éù
Î-
êú
ëû
[ ]
1; 1 .t Î-
4
;
44
x
pp
éù
Î-
êú
ëû
2
[ ]
1; 1 .t Î-
2
4tt+
[ ]
1; 1 .t Î-
1-
1
8
-
1
16
-
1
433
16
m-< -£
47 3
64 2
m<£
47 3
64 2
m<£
Û
2
2, ( )
34
xkxkkZ
pp
pp
=± + = + Î
17
2sin .cos .sin 3(cos sin cos )
4
ABC A B C+++=
! Trang!25!
Đẳng thức .
Đáp số: A = C = 30
0
; B = 120
0
.
Bài 8. Giải phương trình : .
Hướng dẫn giải
.
.
.
.
Bài 9. Giải phương trình: 2sin x + = 0.
Hướng dẫn giải
2sin x + = 0 .
.
.
Bài 10. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải
.
Û
0
2
3
cos
2
3
sin
2
3
cos
222
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
- CBA
( )
2 cos 3 sin cos 1 1xxx+-=
( )
2 cos 3 sin cos 1 1xxx+-=
cos 2 3 sin 2 2 cosxxxÛ+ =
cos 2x- cos x
3
p
æö
Û=
ç÷
èø
2x- 2
3
2x- 2
3
xk
xk
p
p
p
p
é
=+
ê
Û
ê
ê
=- +
ê
ë
3
3
3
sin x
2
Û=-
sin x sin
3
p
æö
Û=-
ç÷
èø
xk2
3
(k )
4
xk2
3
p
é
=- + p
ê
ÛÎ
ê
p
ê
=+p
ê
ë
!
2
cos2x sin 2
3 cot 3
sinx cosx
x
x
æö
+= +
ç÷
èø
2
cos2x sin 2
3 cot 3
sinx cosx
x
x
æö
+= +
ç÷
èø
! Trang!26!
Điều kiện : .
PT .
.
.
.
Đặt : . Ta có: .
Với .
.
Bài 11.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: (1).
Điều kiện: .
Phương trình (1) .
.
sin x.cos x 0 sin 2x 0 x n , n
2
p
¹Û ¹Û¹ Î!
2
cos 2x cos x sin 2x sin x
3 cot x 3
sin x cos x
+
Û+ =
2
cos x
3 cot x 3
sin x cos x
Û+ =
2
3
3 cot x
sin x
Û+ =
2
13
20
sin x sin x
Û-+=
1
t,|t|1
sin x
=>
=
é
-+=Û
ê
=
ë
2
t1(loπi)
t3t20
t2
xk2
11
6
t 2 2 sin x (k )
5
sin x 2
xk2
6
p
é
=+ p
ê
=Û =Û = Û Î
ê
p
ê
=+p
ê
ë
Z
( )
2
3
2
93
xk
k
xk
p
p
pp
é
=+
ê
ÛÎ
ê
ê
=+
ê
ë
!
( 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
Sin x x x
x
-+ -
=
+
3
sin
2
x ¹-
1
sin 2 .cos sin 2 4 cos 2 0
2
xx x xÛ-+-=
11
sin 2 cos 4 cos 0
22
xx x
æöæö
Û-+-=
ç÷ç÷
èøèø
! Trang!27!
.
.
Đối chiếu với điều kiện: .
Vậy phương trình có nghiệm: .
Bài 12. Giải hệ: .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
, ta có và .
Kết hợp với ta được: .
Cộng và ta được , thế vào ta được:
Đặt , phương trình trở thành
Û
( )
1
cos sin 2 4 0
2
xx
æö
-+=
ç÷
èø
Û
2
3
xk
p
p
=± +
2
3
xk
p
p
=+
2
3
xk
p
p
=+
(
)
(
)
(
)
22
22
111(1)
(, )
1 1 1 2 1 (2)
xx yy
xy
xx y
ì
++ ++=
ï
Î
í
ï
+- = + -
î
!
1, 1xy££
,xy"Î!
(
)
(
)
22
111xx xx++-++=
(
)
(
)
22
111yy yy++-++=
( )
1
22
22
11(3)
1 1 (4)
yy xx
xx yy
ì
++=-++
ï
í
++=-++
ï
î
( )
3
( )
4
yx=-
( )
2
(
)
22
11 121 (5)xx x+- = + -
sin , 0;
2
xtt
p
éù
=Î
êú
ëû
( )
5
1 cos si n (1 2cos )tt t+= +
2
2 cos 2 sin .cos . 1 2 1 2sin
222 2
ttt t
éù
æö
Û= +-
ç÷
êú
èø
ëû
! Trang!28!
.
Với , ta được .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là và .
Bài 13. Giải các phương trình sau: .
Bài 14.
1. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Tìm để phương trình có nghiệm thuộc [0; ].
2. Tính các góc của tam giác biết: .
Bài 15. Giải phương trình: .
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
Bài 17. Cho số thực x thỏa mãn .
Bài 18. Tính giá trị biểu thức .
Bài 19. Giải phương trình .
PHẦN 4
Bài 1. Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
3
2
3sin 4sin
222
tt
Û- =
sin 3 sin
24
t
p
Û=
4
63
4
23
tk
tk
pp
pp
é
=+
ê
Û
ê
ê
=+
ê
ë
0;
2
t
p
éù
Î
êú
ëû
1
6
2
1
2
t
x
x
t
p
p
é
=
é
ê
=
ê
Þ
ê
ê
ê
=
=
ë
ê
ë
2
( )
;xy
11
;
22
æö
-
ç÷
èø
( )
1; 1-
cos 5 5 cosxx=
( )
cos 2 1 sin 0xm xm++ +=
1m =
m
p
ABC
cos3 cos3 cos3 1,5ABC++ =-
3
2 2cos x 3cos x s inx 0
4
p
æö
-- - =
ç÷
èø
( )
42
cos sin cos sinfx x x x x=++
2
sin 2 sin
7
xx
p
æö
=+
ç÷
èø
tan
7
tan
7
x
P
p
p
æö
+
ç÷
èø
=
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
xx x
x
-+ -
=
+
3 cos sin 1
3 tan 2 2 sin 2 2
2 cos sin cos 2
xx
xx
xx x
p
æöæ ö
-
--+ =
ç÷ç ÷
+
èøè ø
! Trang!29!
Điều kiện: (*).
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: và .
Bài 2. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: (*).
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là:
Bài 3. Giải phương trình:
Bài 4. Giải phương trình:
( )
cos 2 0
42
xxkk
pp
¹Û¹ + Î!
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2 cos sin
sin 2 1
3 2 cos 2 3sin 2 2 cos 2 2 cos sin 1
cos 2 cos sin cos 2
sin 2 1
3sin 2 2 1 sin 2 2 1 sin 2 1 2 sin 2 sin 2 1 0
1
sin 2
2
4
12
5
12
xx
x
xxxxx
xxxx
x
xxx xx
x
xk
xkk
xk
p
p
p
p
p
p
-
-+ =Û- +-=
+
é
=-
ê
Û-- +-=Û +-=Û
ê
=
ê
ë
é
=- +
ê
ê
ê
Û=+ Î
ê
ê
ê
=+
ê
ë
!
12
xk
p
p
=+
( )
5
12
xkk
p
p
=+ Î!
44
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan tan
44
xx
x
xx
pp
+
=
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø
( )
4
xkk
p
p
¹± + Î!
( )
24 42 2
11
cos 4 cos 4 2 cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 .
22 4
xx xx xxkk
p
+=Û--=Û=Û=Î!
( )
.
2
k
xk
p
=Î!
s inx 1 2sin cos 2 .xx+=
2 si n 2 4 cos 3
6
0.
1 cos 3
xx
x
p
ʈ
˜
Á
+-+
˜
Á
˜
Á
˯
=
-
! Trang!30!
Bài 5. Giải phương trình:
Bài 6. Giải phương trình:
Bài 7. Giải phương trình:
Bài 8. Giải phương trình:
Bài 9. Giải phương trình:
Bài 10. Giải phương trình:
Bài 11. Giải phương trình:
Bài 12. Cho hàm số:
Giải phương trình:
a)
b)
Bài 13. Chứng minh với mọi giá trị của ta có:
Bài 14. Giải phương trình:
Bài 15. Cho phương trình sau:
a) Giải phương trình khi
b) Xác định tham số để phương trình có đúng 1 nghiệm .
Bài 16. Cho phương trình sau:
(với là tham số).
a) Khi , hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
.
2
1
cos
2
3
cos
16
9
cos
2
1
cos
16
1
2424
=-++-+ xxxx
( )
2
1 2 cos 3 sin si n 2 2 sin 2 .
4
xx x x
p
ʈ
˜
Á
++=+
˜
Á
˜
Á
˯
53
sin cos 2 cos .
24 24 2
xx x
pp
æöæö
-- -=
ç÷ç÷
èøèø
( ) ( )
3 tan 1 s inx 2 cos 5 sin 3 cos .xxxx++ = +
42
12
(1 cot 2 .cot ) 48.
cos sin
xx
xx
++ =
2(sin 3 cos ) 3 cos 2 sin 2 .xx xx+= -
22
4 sin 2 6 sin 9 3 cos 2
0.
cos
xx x
x
+--
=
( )
442
1 sin cos 2 cos 2.=+ + + +fx x x x
( )
22.fx=
( )
15.fx=+
,x
sin 1 sin 1.xx+- ³
2
sin 1 sin 2 cos cos .xxxx+- = -
( ) ( ) ( )
33
3 sin 1 cos cos 2 sin 0.mxmxxmx++-+-+=
5.m =-
m
12 12
cos sin 0
xx
m
xx
--
-+=
m
0m =
1
50;
2
x
æö
Î- -
ç÷
èø
! Trang!31!
b) Xác định
để phương trình có nghiệm .
Bài 17. Tìm thuộc khoảng nghiệm đúng phương trình:
.
Bài 18. Giải phương trình: .
Bài 19. Giải phương trình: .
Bài 20. Cho phương trình:
Tìm để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc .
Bài 21. Cho
Chứng minh rằng: .
Bài 22. Chứng minh rằng: .
Bài 23. Giải phương trình:
Bài 24. Giải phương trình:
Bài 25. Giải phương trình: .
Bài 26. Giải phương trình: .
Bài 27. Tìm để phương trình: có nghiệm
và chỉ có nghiệm ấy.
Bài 28. Giải phương trình: .
m
11
;
22
x
p
æö
Î
ç÷
+
èø
x
[ ]
0;14
cos 3 4 cos 2 3cos 4 0xxx-+-=
3
sin 2 sin
4
xx
p
æö
-=
ç÷
èø
6
3cos 4 sin 6
3cos 4 sin 1
xx
xx
++ =
++
( )
22 2
sin 4 3 sin 4 4 0.xm xm+- +-=
m
3
;2
2
p
p
éù
êú
ëû
ì
+=
ï
Î
í
+=
ï
î
!
32
32
cos 3cos .sin
vÙ˘i ,
sin 3sin .cos
xxxa
ab
xxxb
( ) ( )
++ -=
22
33
2ab ab
p
éù
+++ = "Î
êú
ëû
111
1cos82cos,0;
288 8
xxx
+-++-=
424 2
11 255
1cos cos cos cos1.
16 2 16 2
xxx x
++ =
33
3
1 sin cos sin 2 .
2
xx x
42 42
11931
cos cos cos cos
16 2 16 2 2
xx xx+- ++- =
22 2 2
cos co s 2 cos 3 cos 4 2xxxx+++=
a
cos 2 cos 4 cos 6 1axa x x++=
, , vÙ˘i
3
xkxkk
p
pp
¹± + = Î!
( )
2
sin 2 sin 4 2 3 sin 4 sin 1 0xx x x+-+=
! Trang!32!
Bài 29. Giải phương trình: .
Bài 30. Giải phương trình: .
Bài 31. Cho phương trình:
Tìm để phương trình có nghiệm.
Bài 32. Tính tổng các nghiệm của phương trình:
Bài 33. Giải phương trình:
Bài 34. Giải phương trình sau:
Bài 35. Giải phương trình sau: .
Bài 84. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
co s 2 cos 3 sin cos 4 sin 6xxxxx+-- =
( )
sin 4
1cos cos cos2
2
x
xxx-+ =
( )
22
3
sin 1 2 sin 0
4
kx kxk
æö
----=
ç÷
èø
k
23
2
2
cos cos 1
cos2 tan vÙ˘i 1;70 .
cos
xx
xx x
x
--
éù
-= Î
ëû
1110
cos sin .
cos sin 3
xx
xx
+++=
( )
2 sin cos tan 5 cot 5xx x x+=+
31cot
3 tan 2 2 2 cos 2 0
cos 2 1 cot
x
xx
xx
-
-- + =
+
( ) ( )
2
3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0xxxxx++- +--=
( ) ( )
( )
2
22
3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 si n .cos cos sin .cos sin cos 0
xxxxx
xxxxxxxx
++- +--=
Û-+ +-+-=
( ) ( )
( )
( )
22
3 sin 3 sin .cos cos sin .cos sin cos 0
3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0
sin cos 3 sin cos 1 0
xxxxxxxx
xx x xx x x x
xx xx
Û- + + - + - =
Û- - - - + - =
Û- +-=
! Trang!33!
Bài 85. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
ĐK
Khi đó phương trình đã cho trở thành
+) không thỏa mãn ĐK
+) (thỏa mãn ĐK)
Bài 86. Giải các phương trình sau đây:
2 sin 0
sin cos 0
4
1
3 sin cos 1
sin
62
x
xx
xx
x
p
p
é
æö
-=
ç÷
ê
-=
é
èø
ê
ÛÛ
ê
ê
+=
æö
ë
+=
ê
ç÷
èø
ë
( )
4
4
2 2
66
2
5
2
2
3
66
xk
xk
xkxk k
xk
xk
p
pp
p
pp
pp
p
pp
p
p
é
=+
é
ê
=+
ê
ê
ê
ê
Û+=+ Û= Î
ê
ê
ê
ê
=+
ê
ê
+= +
ë
ê
ë
!
31
3 2 2 2 cos 2 0
cos 2 1
cotx
tan x x
x cotx
-
-- + =
+
cos 2 0 cos 2 0
cos 2 0
sin 0 sin 0
sin 0
cot 1 cos sin 0
xx
x
xx
x
xxx
¹¹
ìì
¹
ì
ïï
¹Û ¹ Û
íí í
¹
î
ïï
¹- + ¹
îî
( )( )
3sin 2 3 sin cos
2 2 cos 2 0
cos 2 sin cos
3sin 2 3 cos si n
2 2 cos 2 0
cos si n cos sin sin cos
xxx
x
xxx
xxx
x
xx xx x x
--
-+=
+
--
Û++=
-+ +
( )
( )
( )
2
2
2
2
3sin 2 3 2 cos sin 2 cos 2 0
3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0
1
2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2
2
xxxx
xxx
xx x x
-+ - + =
Û-+-+- =
Û- + + = Û = =-
sin 2 1 cos 2 0xx=Þ =
1
sin 2
2
x =-
( )
22
36
2
22
33
xk xk
k
xkxk
pp
pp
pp
pp p
ìì
=- + =- +
ïï
ïï
ÛÛÎ
íí
ïï
=+ + = +
ïï
îî
!
1) sin 1 sin 2 cos 2
2) (1 t anx)sin2x=2tanx
xxx+=
-
! Trang!34!
Bài 87. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
+) §iÒu kiÖn
+) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0
+) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S:
Bài 88. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh:
cã nghiÖm
Hướng dẫn giải
+) §a PT vÒ d¹ng: (1)
+) §Æt t = cos4x víi t (-1; 0)
+) XÐt f(t) = 2t
2
+ t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn
Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0)
+) §S:
Bài 89. Giải phương trình:
Bài 90. Giải phương trình:
Bài 91. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Dùng công thức hạ bậc ta được:
Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2
Từ đó suy ra nghiệm của pt:
2
2
2 tan cot tan
sin 2
xx x
x
+= +
4
xk
p
p
=+
44 66 2
4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4xx xx xm+- +-=
(;)
84
x
pp
Î
2
2cos 4 cos 4 2 1xxm-=+
(;)
84
x
pp
Î
Þ
Î
1
(;1)
2
m Î-
33
2sin 6 cos cos 3sin 0xxxx-- ++=
os2
(sinx 2cos ) os2 sinx ( os4 1)cos
2sinx
cx
xc x c x x-+=-+
! Trang!35!
Bài 92. Giải phương tình :
Bài 93. Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
Bài 94. Giải phương trình:
Bài 95. Giải phương trình:
Bài 96. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Bài 97.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Đặt:
Ta có:
Bài 98. Cho phương trình sau:
với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
2
x
sin 2x cos2x sin x 2 cos 0
2
++- =
y cos x
p
=
13
;
42
éù
êú
ëû
2
9x
cos3x cos
4
æö
=
ç÷
èø
)
22
sin(
2
sin22coscos
2
p
+=+
xx
xx
0)
6
5sin(2)
6
sin()
3
sin(3 =++++-
ppp
xxx
sin 3 cos 3 2 2cos 1 0
4
xx x
p
æö
+- ++=
ç÷
èø
( )
sin 3 cos 3 2 2cos 1 0
4
sin 3 cos 3 2 cos sin 1 0
xx x
xx xx
p
æö
+- ++=
ç÷
èø
Û+- -+=
( )
( )
( ) ( )
sin 3 sin cos3 cos cos sin 1 0
2sin 2 cos 2sin 2 sin cos sin 1 0
2sin 2 cos sin cos sin 1 0
xx x x xx
xx xx x x
xx x x x
Û++---+=
Û---+=
Û---+=
cos - sin 2 cos ; 2; 2
4
txx x t
p
æö
éù
==+Î-
ç÷
ëû
èø
23
2(1 ) 1 0 2 1 0 1tt t t t t--+=Û-++=Û=
2
1
1: 2 cos 1 cos
44
2
2
2
xk
tx x
xk
p
pp
p
p
=
é
æö æö
ê
=+=Û+=Û
ç÷ ç÷
ê
=- +
èø èø
ë
! Trang!36!
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
Bài 99. Cho phương trình sau:
1) Giải phương trình khi .
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
Bài 100. Giải phương trình:
Bài 101. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình
.
Hướng dẫn giải
BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh
Do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ
Bài 102. Cho tam giaùc ABC Coù goùc A,B nhoïn thoûa ñieàu kieän :
.Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng
Hướng dẫn giải
Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (1) (2đ)
( )( )
2
inx
cos 1 2 cos 1
1 sin 2 2 cos
s
--
=- +
xx
xx
xxx4sin 5 cos 2sin 2 5+-=
( ) ( )
( )
x x x
xxx
xx
x
x
4sin 5 cos 2sin2 5
4sin 5 cos 4sin 5 0
4sin 5 (1 cos ) 0
cos 1
5
si n
4
+-=
Û-- -=
Û--=
=
é
ê
Û
ê
=
ê
ë
xk
xk
xk
0
00
00
360
33 59 '16 ' ' 360
146 0' 44 '' 360
=
é
ê
»+
ê
ê
»+
ë
0.
22
=+-- BSinSinBCosACosBSinAASin
0))(( £--Þ CosASinBCosBSinA
! Trang!37!
Lại có : (2) (2đ)
Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ)
a) Giải phương trình:
Bài 103. Giải phương trình:
1) Sin sinx - cos . sin
2
x + 1 = 2 cos
2
2)
2 cos
Bài 104. Giải phương trình :
3tan2x - = 0
Bài 105. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
0))((
2222
³--Þ-=- CosASinBCosBSinAACosBSinBCosASin
Þ
P
=Þ
P
=+Þ
22
CBA
sin 3 cos 3 2 2cos 1 0
4
xx x
p
æö
+- ++=
ç÷
èø
2
x
2
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
24
x
p
xx
x
-
+= 22
10
x
x
x
x
2cos2
cot1
cot1
2
2cos
3
+
+
-
-
( ) ( )
2
3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0xxxxx++- +--=
( ) ( )
( )
2
22
3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 si n .cos cos sin .cos sin cos 0
xxxxx
xxxxxxxx
++- +--=
Û-+ +-+-=
( ) ( )
( )
( )
22
3 sin 3 sin .cos cos sin .cos sin cos 0
3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0
sin cos 3 sin cos 1 0
xxxxxxxx
xx x xx x x x
xx xx
Û- + + - + - =
Û- - - - + - =
Û- +-=
2 sin 0
sin cos 0
4
1
3 sin cos 1
sin
62
x
xx
xx
x
p
p
é
æö
-=
ç÷
ê
-=
é
èø
ê
ÛÛ
ê
ê
+=
æö
ë
+=
ê
ç÷
èø
ë
( )
4
4
2 2
66
2
5
2
2
3
66
xk
xk
xkxk k
xk
xk
p
pp
p
pp
pp
p
pp
p
p
é
=+
é
ê
=+
ê
ê
ê
ê
Û+=+ Û= Î
ê
ê
ê
ê
=+
ê
ê
+= +
ë
ê
ë
!
! Trang!38!
Bài 106. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương
hoặc
Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là
Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm.
Bài 107. Giải phương trình:
Bài 108. Giải phương trình:
Bài 109. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Gi¶i (1) ta ®-îc x=k víi k
2
3
sin 1 t an .tan tan 2 3 .
2 cos
x
xx x
x
æö
+++=
ç÷
èø
cos .cos 0
2
x
x ¹
2
cos .cos sin .sin
22
sin tan 2 3 3 3 tan
cos .cos
2
xx
xx
xxx
x
x
æö
+
ç÷
++=+
ç÷
ç÷
èø
2
sin
tan 2 3 3 3 tan
cos
x
xx
x
Û++=+
2
3 tan 2 tan 3 0 tan 3xx xÛ--=Û=
1
tan .
3
x =-
tan 3 .
3
xxk
p
p
=Û=+
1
tan .
6
3
xxk
p
p
=- Û =- +
;, .
36
xkx kk
pp
pp
=+ =-+ Î!
2
3
cos ( ) 2 cos ( ) cos . os 2 0
223
xx
ax ax c
aa
ppp
pp
æö
-- -+ + +=
ç÷
èø
( )( )
2
inx
cos 1 2 cos 1
1 sin 2 2 cos
s
--
=- +
xx
xx
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
3
10
sin
2
1
210
3
sin
xx
pp
xxx 7cossin33cos =-
0sin334sin3sin20sin337coscos =-Û=-- xxxxxx
[ ]
(2) 33)2cos21(4sin2
(1) 0sin
033)2cos21(4sin2sin
0sin33)sin43(sin4sin2
2
ê
ë
é
=+
=
Û=-+Û
=--Û
xx
x
xxx
xxxx
p
ZÎ
! Trang!39!
Gi¶i (2): Ta cã (2) (3)
Áp dông B§T C«si cho 3 sè: ta có :
. Do ®ã <
Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm.
KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k víi k
Bài 110. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
PT
+)
.
+) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
=+Û xxx 4sin2cos4sin2
2
33
2
33
4sin2cos2sin4
2
=+Û xxx
2
2cos
,
2
2cos
,2sin
22
2
xx
x
=1
3
22
22
2
4
)2cos2(sin
3
2
2cos
2
2cos
2sin
xx
xx
x ³++
33
2
2cos2sin2cos2sin
22
££Þ xxxx
1
33
2
4sin2cos2sin4
2
+£+ xxx
2
33
p
ZÎ
( )
( )
2
2
sin cos 2sin sin 2 3 sin 4 3 .
2
x
xx x x++ = +-
2
1 2sin cos 1 cos 2 3 sin 4 sin 3 sinxx x x x xÛ+ +- = + -
( ) ( )
( )
2
2 4sin 2sin cos cos 2 3 si n 3 sinxxxx xxÛ- + - = -
( ) ( ) ( )
2 1 2sin cos 2 sin 1 3 sin 2 sin 1xxx xxÛ- + -= -
( )
( )
2 sin 1 3 sin cos 2 0xxxÛ- -+=
2 si n 1 0
3 sin cos 2 0
x
xx
-=
é
Û
ê
-+=
ë
3 sin cos 2 0 sin 1
6
xx x
p
æö
-+=Û -=-
ç÷
èø
22,
62 3
xkxkk
pp p
pp
Û- =- + Û=- + Î!
( )
2
1
6
2 sin 1 0 sin
5
2
2
6
xk
xx k
xk
p
p
p
p
é
=+
ê
-= Û = Û Î
ê
ê
=+
ê
ë
!
( )
5
2, 2, 2
36 6
xkxkxkk
pp p
pp p
=- + = + = + Î!
| 1/39
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC PHẦN 1 x ( + x) 2 x 2 3 sin . 1 cos - 4cos . x sin - 3 Bài 1. Giải phương trình: 2 = 0 2sin x -1 Hướng dẫn giải ì p x ¹ + kp 1 ïï Điều kiện: 6 sin x ¹ Û í , k,l Î ! (*). 2 5p ïx ¹ + lp ïî 6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: x ( + x) x 2 2 3 sin . 1 cos - 4cos . x sin - 3 = 0 2
Û 2 3 sin x + 2 3 sin .
x cos x - 2cos x (1- cos x) - 3 = 0 Û ( x - x) -( 2 2 2 3 sin cos 3sin x - 2 3 sin .
x cos x + cos x) = 0 ( é - = Û x - x)( x - x - ) 3 sin x cos x 0 3 sin cos 3 sin cos 2 = 0 Û ê
êë 3sin x - cos x = 2 p
TH1: 3 sin x - cos x = 0 Û cot x = 3 Û x = + kp , k Î! 6 æ p p ö æ p ö
TH2: 3 sin x - cos x = 2 Û 2 sin x cos - cos xsin = 2 Û sin x - =1 ç ÷ ç ÷ è 6 6 ø è 6 ø p p 2p
Û x - = + k2p Û x = + k2p ,k Î! 6 2 3
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 7p 2p x = + k2p , x = + k2p ,k Î! . 6 3 Bài 2.
Tìm tất cả các nghiệm xÎ(2009; 2011) của phương trình : cos x - sin x - cos 2x 1+ sin 2x = 0 1+ sin 2a æ p ö Bài 3. Chứng minh rằng: 2 = cot a - . ç ÷ 1- sin 2a è 4 ø x y Bài 4.
Cho: sin x + sin y = 2sin ( x + y) , với x + y ¹ kp 1
, k Î! . Chứng minh rằng: tan + tan = . 2 2 3 Trang 1 3 1- cot x Bài 5.
Giải phương trình : 3tan 2x - - 2 + 2cos2x = 0 cos2x 1+ cot x A B B A Bài 6.
Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: 3 3 sin .cos = sin .cos . Chứng minh 2 2 2 2
rằng tam giác ABC cân. Bài 7.
Giải phương trình sau: 2(sin x + 3 cos x) = 3cos2x - sin 2 . x Bài 8.
Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 2 3sin x + 2sin . x cosx + os
c 2x + a £ 3 Bài 9.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc A , B , C lần lượt là l , l , l . a b c l + l l + l l + l
1. Chứng minh rằng: a b b c c a + + £ 3 3. c a b C
2. Nhận dạng tam giác, biết: a + b = tan (a tan a+btanb). 2 2
ìïax + a = y + cos x
Bài 10. Định a để hệ: í có nghiệm duy nhất. 2 2 si ïî n x + y =1 2 2cos x + sin 2x
Bài 11. Chứng minh rằng nếu 2
x > 2x thì: > 16 2 sin . x os c 2x
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những 4 2 s ìï inx. os
c 2 y = m - 2m + 2
giá trị tìm được của m: í . 3 ïîcos .x os
c 2 y = m +1
Bài 13. Cho hai phương trình sau: 7 3
2sin x = (1+ sin p a).sin x + . a sin x (1) 2 6 2 3
(a -1)(1+ cos x) + 2sin x = 2sin x + 2(a -1) (2)
a. Giải các phương trình trên với a = 2 .
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. ì 3 3 si
ï n x + sin y + sin z = ï
Bài 14. Giải hệ phương trình: 2 í . 3
ïcos x + cos y + cos z = ïî 2
Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x Î[0;2p ] sao cho: 2cos x £ 1+ sin 2x - 1- sin 2x £ 2.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm: 3p x p x p 2
cos p (a x) 2cosp æ ö - -
(a - x) + cos .cos + + 2 = 0. ç ÷ 2a è 2a 3 ø Trang 2
Bài 17. Cho tam giác ABC có tan A + tan C = 3 2
2 tan B . Chứng minh rằng: cos A + cos C £ . 4 BC AB + BC
Bài 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: = . Tính tổng số đo AB - BC AC góc: 3A + . B p
Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max{ ,
A B,C} ³ . Tìm giá trị lớn của biểu thức: 2 2 3
P = sin A + sin B + sin C.
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2
(2m +1)(sin x - cos x) - (sin x + cos x) + 2m + 2m + 2 = 0
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x Î ! ta luôn có sin x + cos x ³1.
Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
m( sin x + cos x + )
1 = sin 2x + sin x + cos x + 2
Bài 23. Giải phương trình: cos 2x + cos3x - sin x - cos 4x = sin 6x . 2x +1 2x +1 2x +1
Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2 sin + sin - 3cos = 0 thỏa x 3x 3x 1
mãn điều kiện x ³ 10 p p
Bài 25. Tìm m để phương trình osx mc + cos3x - os c 2x = 5
1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng (- ; ) 2 2
Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P = os c 2A + os c 2B - os
c 2C lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình : 2 8cos 4 .
x cos 2x + 1- cos3x +1 = 0 sin A sin B sin C
Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết = = 1 3 2
Bài 29. Giải phương trình 2 x( + x) 2 2cos 1 cot - 2sin x +1 = 0
Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2A + 2 (cos2B + cos2C) + 2 = 0 Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm : 3px æ px p ö
cos2 p (a - x) - 2cosp (a - x) + cos .cosç + ÷ + 2 = ; 0 2a è 2a 3 ø 3 2
Bài 32. Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A + cosC £ ; 4
Bài 33. Giải phương trình: 1- tan .
x tan 2x = cos3x
Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba góc ,
A B,C lập thành cấp số cộng với A ³ B ³ C và thỏa hệ 1+ 3
thức cos A + cos B + cos C = . Tính số đo các góc , A B,C . 2 5x 9 2 æ p ö x
Bài 35. Giải phương trình co 3
s x + sin 7x = 2sin + - 2 2 cos ç ÷ è 4 2 ø 2 Trang 3 æ p p ö
Bài 36. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng - ; : ç ÷ è 2 2 ø 2 æ 4 x 4 x ö 4 cos x +16m sin + cos -14m-1 = 0 ç ÷ è 4 4 ø
Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Hướng dẫn giải
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π
(cos x -1)(2cos x -1)
Bài 38. Giải phương trình: 2 =1- sin 2x + 2cos . x sin x
Bài 39. Cho phương trình: 3 3
(m + 3)sin x + (m -1)cos x + cos x - (m + 2)sin x = 0
a) Giải phương trình khi m = 5 - . é 5pù
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x Î , p . ê 4 ú ë û
Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 1 1 1 + + = + +
cos A cos B cosC A B C sin sin sin 2 2 2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. p 2 x 3 2sin ( - )sinx - os c x
Bài 41. Giải phương trình : 4 2 = 0. 3 3 sin x - os c x 4x 2x
Bài 42. Tìm m để phương trình cos + cos - m = 0 có nghiệm. 2 x +1 2 x +1 Bài 43. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
8cos Asin B sin C + 4 3(sin A + cos B + cosC) -17 = 0 . Hãy tính các góc của tam giác đó.
cos 2x + 3cos x +1
Bài 44. Giải phương trình: = 1 - sin x +1
Bài 45. Giải phương trình sau sin 2x - (sin x + cos x - )
1 (2sin x - cos x - 3) = 0 . Hướng dẫn giải PT Û ( x + x)2 sin cos -1- (sin x + cosx- )
1 (2sin x - cos x - 3) = 0
Û (sin x + cos x - )
1 (sin x + cos x + ) 1 - (sin x + cosx- )
1 (2sin x - cos x - 3) = 0
Û (sin x + cos x - )
1 (-sin x + 2cos x + 4) = 0 éx = k2p
ésin x + cos x =1 ê Û Û ê p ,(k Î !)
ësin x - 2cos x = 4(VN) êx = + k2p ë 2 Trang 4 p
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x = k2p , x =
+ k2p ,(k Î!) 2 4 p æ p ö
Bài 46. Cho cos2a = - với < a < p . Tính giá trị của biểu thức: P = (1+ tana)cosç - a÷ 5 2 è 4 ø Hướng dẫn giải p
Do < a < p nên sin a > 0,cos a < 0 . Ta có: 2 1+ cos 2a 1 1 2 cos a = = Þ cosa = - , 2 10 10 9 3 sin a 2 2 sin a = 1- cos a = Þ sin a = , tan a = = -3 10 10 cos a 1 1 æ 1 3 ö 2 5 Khi đó: P = (1+ tana). (cosa +sina) = (1-3). ç- + ÷ = - 2 2 è 10 10 5 ø 1+ cot x
Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số y = 2cos x -1 Hướng dẫn giải ì 1 ì p ïcos x ¹ ïx ¹ ± + k2p Ñieàu kieän xaùc ñònh í 2 Û í 3 , (k,l Î!) si ïî n x ¹ 0 ïîx ¹ lp
Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y = cos x + tan x Hướng dẫn giải 1 * 2 y = cos x + -1 2 cos x 1 * 2 cos x + ³ 2 2 cos x * y ³ 1Þ GTNN y = 1 1 * y = 1 2 4 Û cos x =
Þ cos x = 1Þ sin x = 0 Þ x = kp , k Î! 2 cos x
Bài 49. Giải phương trình 3 cos 2x - sin 2x = 2 Hướng dẫn giải 3 1
3 cos 2x - sin 2x = 2 Û
cos x - sin 2x = 1 2 2 Trang 5 p p Û cos 2 . x cos - sin 2 . x sin =1 6 6 æ p ö Û cos 2x + = 1 ç ÷ è 6 ø p Û 2x + = k2p 6 p Û x = - + kp , k Î! 12 æ p ö
Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc 0; : ç ÷ è 2 ø 2 cot x + 2(m - )
1 cot x - 3m +1 = 0 Hướng dẫn giải æ p ö * t = cotx , x Î 0; Þ t > 0 ç ÷ è 2 ø * 2 cot x + 2(m - )
1 cot x - 3m +1 = 0 (1) 2 Û t + 2(m - )
1 t - 3m +1 = 0 (2) æ p ö
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x Î 0;
Û pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt ç ÷ è 2 ø ìD ' > 0 ï Û íS > 0 ïP > 0 î Û 1
keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m< 3
Bài 51. Giải phương trình 3 cos x cos (7 + 5 2)
- (17 +12 2) x = cos3x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3 3cos x 4cos x 3 (1+ 2) - (1+ 2)
= 4cos x - 3cos x 3 3cos x 3 4cos Û (1+ 2)
+ 3cos x = 4cos x + (1+ 2) x
Xét hàm số f(t) = (1+ 2)t + t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) Û 3cosx = 4cos3x Trang 6 p p Û k cos3x = 0 Û x = + , k Î Z 6 3
Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. ê1 + 2cosxê+ ê1 + sin2xê£ 2m – 1 Hướng dẫn giải
Đặt f(x) = ç1 + 2cosxç + ç1 + 2sinxç. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x) £ 2m – 1.
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 2ç1 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosxç
Đặt t = sinx + cosx, - 2 £ t £ 2 . Ta có:
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 2ç2t2 + 2t – 1ç với - 2 £ t £ 2 .
Xét sự biến thiên của g(t) ta có: 2
max g(t) = 4( 2 +1) é- 2; 2ù ë û Vì f(x) ³ 0 nên ta có: maxf(x) = 2
max f (x) = max g(t) = 2( 2 +1) 3 + 2 2
Vậy ta có: 2( 2 +1) £ 2m -1 Û m ³ . 2 1 1 1
Bài 53. Rút gọn tổng S = + + ... +
trong đó n là một số tự nhiên. cos x cos 2x cos 2x cos3x cos nx cos(n + ) 1 x 1
Bài 54. Biết rằng sin2x + sin2y = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y. 2 p 2p 3p np
Bài 55. Rút gọn : P = cos cos cos ...cos . 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 tga 2 1 + cos a
Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có = thì 3 sin( a + b ) = 7sin(a - b ) . tgb 2 1 + sin a p + q
Bài 57. Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử x =
, hãy tìm cặp số nguyên 2 (p, q). sin 4 x cos4 x 1 8 8 sin x cos x 1 Bài 58. Cho + = . Chứng minh rằng: + =
, (a > 0, b > 0). a b a + b 3 3 3 a b (a + b) Bài 59. Cho 2 2 2 2 2 2
tg xtg y + tg ytg z + tg ztg x + 2 2 2 2
tg xtg ytg z = 1. Tính giá trị của biểu thức P 2 =sin x 2 + sin y 2 + sin z Trang 7 1 1 1
Bài 60. Tính giá trị của biểu thức: Q = + + . p 3p 5p cos cos cos 7 7 7 A B C
Bài 61. Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức M = cos cos cos đạt 2 2 2 giá trị lớn nhất.
Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn 2 2 2
a + b + c = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu p
thức T = a + b 2 sin x + c sin 2x , trong đó x Î ( ; 0 ) . 2 x - p p
Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x 2
) = + sin x với x Î[ ; ]. 2 2 2 n n æ 1 ö æ 1 ö
Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = ç1+ ÷ + ç1+
÷ với n là số tự nhiên. è 2 sin x ø è 2 cos x ø
Bài 65. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng: p 3 2 a) B ³
, b) cosA+ cosC £ . 3 4 A B 1
Bài 66. Cho tam giác ABC thoả mãn: tg tg
= . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác 2 2 2 A B C 1
ABC vuông là sin sin sin = . 2 2 2 10
Bài 67. Tính tổng S = 0 0 0 0
sin 39 + sin 69 + sin183 + sin 213 . 3 2p 4p 6p 5 - 3 7
Bài 68. Chứng minh rằng: 3 cos + 3 cos + 3 3 cos = . 7 7 7 2 - p p ïì
sin x + sin y + sin z + sin t = 1
Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa và thoả mãn: í 10 . 2 2
ïcos 2x + cos 2y + cos 2z + cos 2t ³ î 3 p
Chứng minh rằng: 0 £ x, y, z, t £ . 6 1 1 p
Bài 70. Tìm GTNN của hàm số y = + , x Î ( ; 0 ) . sin x cos x 2 Trang 8 2x 4x
Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = sin + cos +1. 1 2 + x 1 2 + x
2cos2 x + cos x +1
Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = . cos x +1
Bài 73. Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam OH
giác ABC . Tính tỷ số
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. R
Bài 74. Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, m , m lần lượt là độ a b 2 r
dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: . 2 2 m + m a b
Bài 75. Giải các phương trình sau:
1/ sin3 x + cos3 x + sin3 x cot gx + cos3 xtgx = 2sin 2x .
2/ 2cos x + 2 sin10x = 3 2 + 2cos 28x.sin x . sin 3x sin 5x 3/ = . 3 5 p p p p p 2 é 2 ù
4/ 2 3 sin(x - ) cos(x - ) + 2cos (x - ) = 3 + 4 sin x + cos( - x) cos( + x) ê ú 8 8 8 ë 3 3 û 5/ 2sin 5x 16
( sin 4 x - 20sin 2 x + ) 5 = 1. 6/ 16
( sin 4 x - 20sin 2 x + 16 )( 5
sin 4 5x _ 20sin 2 5x + 5 = 1
Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36 0 + cot g70 0 3 ¢ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 1 1 1 1 Bài 77. Cho + + + = 7. Tính sin2 2x . 2 tg x cot 2 g x sin 2 x cos2 x p 2p 1
Bài 78. Chứng minh rằng: cos - cos = . 5 5 2
Bài 79. Thu gọn tổng S = tga tg
. 2a + tg2a tg . a
3 + ... + tg(na tg ). (n + ) 1 a .
Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)... (2cos 2n 1 - a - ) 1
Bài 81. Tính các tổng: Trang 9 1 1 1 p p p 8 8 5 8 7 S = + + , P = tg + tg + tg , R = p p p 2 2 2 3 2 6 sin sin sin 18 18 18 7 7 7 p p p 6 6 5 6 7 tg + tg + tg 18 18 18
Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x + a ) trong đó k,a là
các tham số thực. Chứng minh rằng: 2 2 M + m ³ 2
Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 1 2 2 2 + + = B C C A A B A B C 1+ tg tg 1+ tg tg 1+ tg tg 4tg tg tg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PHẦN 2
Câu 1: Giải các phương trình sau đây: sin x 1+ sin 2x = cos 2x Hướng dẫn giải: Ta có: 2
sin x + sin x = cos x - cos x 1 1 2
Û + sin x + sin x = + cos x - cos x 4 4 2 2 æ 1 ö æ 1 ö Û sin x + = cos x - ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø éìcos x =1 é 1 1
sin x + = cos x - êí ê
é sin x = cos x -1 si êî n x = 0 2 2 Û ê Û ê Û 1 1 ê ê + = -
ë sin x = -cos x êìcos x £ 0 sin x cos x êí ê 2 ë 2 2 ê si ëî n x = cos x
éx = k2p , k Î Z écos x =1 ê ê ìcos x £ 0 Û ìcos x £ 0 ê Û ê ï í êí 2 1 - ± 5 ê si
ëî n x + sin x -1 = 0 ê si ï n x = ± ëî 2 . éx = k2p ê Û æ ê 5 -1ö k, m Î ! x = p - arcsin ç ÷ + m2p ê ç 2 ÷ ë è ø Trang 10
Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) ( x + x)2 sin cos + 3 cos 2x = 2 t anx +1 b) = 2 sinx cot x +1 c) 4 4 4( os c
x + sin x) = 1+ sin 2x Hướng dẫn giải: a) ( x + x)2 sin cos + 3 cos 2x = 2
Û sin 2x + 3 cos 2x =1 p 1
Û sin(2x + ) = 3 2 é p p é p 2x + = + k2p ê x = - + kp 3 6 ê Û ê 12 Û ê k Î Z p 5p ê p 2x + = + k2p ê ê x = + kp ë 3 6 êë 4 t anx +1 b) = 2 sinx cot x +1 s ì inx ¹ 0 ï
Điều kiện: ícos x ¹ 0 ïcot x ¹ 1 - î ( ) sinx + cos x sinx pt Û . = 2 sinx cos x cos x + sinx sinx Û - 2 sinx = 0 cos x 1 Û sinx( - 2) = 0 cos x ésinx = 0 ê Û 1 êcos x = êë 2
Với sinx = 0, không thỏa mãn điều kiện Trang 11 1 p Với cos x =
Û x = ± + k2p (k 0 Î Z) 2 4 p
Giá trị x = - + k2p (k
0 Î Z) bị loại do điều kiện cot x ¹ 1 - 4 p
Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: x = + k2p (k 0 Î Z) 4 c) 4 4 4( os c
x + sin x) = 1+ sin 2x 2 2 Û 4(1- 2sin . x os c x) = 1+ sin 2x 1 2
Û 4(1- sin 2x) =1+ sin 2x 2 2 Û 2
- sin 2x - sin 2x + 3 = 0 ésin 2x =1 . ê Û 3 êsin 2x = - ë 2 Û sin 2x =1 p
Û x = + kp (k ÎZ) 4 1
Câu 3: Giải phương trình c . osx cos2x = . 4 Hướng dẫn giải
x = kp không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4x = sin x . k2p p k p Suy ra x = 2 ; x = + . 3 5 5 p p p Vì x ¹ 2
kp nên pt có các nghiệm x = ± + k2p ; x = ± + 3 k2p ; x = ± + k2p . 3 5 5
Câu 4: Giải phương trình 2
5 + sin x = sinx + 2cosx . Hướng dẫn giải 2
VT = 5 + sin x ³ 5 . Theo BĐT Bunhiacôpski 2 2 2 2
sinx + 2cosx £ (1 + 2 )(sin x + cos x) = 5 .
Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi Trang 12 ì kp x = si ì n 2x = 0 ï ï ï 2 í Û í
(Hệ phương trình vô nghiệm). si
ïî n x + 2cos x = 5 æ 2 1 ö si ï n(x +a) =1; sina = ;cosa = ç ÷ ïî è 5 5 ø
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 2
cos(p x ) = c [
os p (x + 2x +1)]. Hướng dẫn giải 2 2
éx = x + 2x +1+ 2k 2 2
cos(p x ) = c [
os p (x + 2x +1)] Û 2 2 p x = [
± p (x + 2x +1)]; k Î! Û ê 2 2
ëx = -(x + 2x +1) + 2k
é2x +1+ 2k = 0 (1) Û ê 2
ë2x + 2x +1- 2k = 0 (2) Ta có: 1 - - 2k 1 (1) Û x = ; k Î ! Þ x
= (nghiệm dương nhỏ nhất khi k = 1 - ). min 2 2 1
(2) có D¢ = 4k -1 ³ 0 Û k ³ Þ k ³ 1(do k nguyên). 4 1 - + 4k -1 1 - - 4k -1
(2) có hai nghiệm x = > 0; x = < 0. 1 2 2 2 1 - + 3
Suy ra nghiệm dương x nhỏ nhất khi k = 1. Khi đó x = > 0 1 1min 2 1 - + 3
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x = . 1min 2
Câu 6: Cho phương trình: cos 2x – (2m + )
1 cos x + m +1 = 0 . 3
a. Giải phương trình khi m = . 2 æ p 3p ö
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x Î ; ç ÷ . è 2 2 ø Hướng dẫn giải 3
a. khi m = phương trình Û 2cos 2x - 8cos x + 5 = 0 Û 4cos2 x - 8cos x + 3 = 0 . 2 Trang 13 p Û x = ± + k2p (k Î Z) . 3 æ p 3p ö
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x Î ; ç ÷ . è 2 2 ø é 1 2 cos x =
phương trình Û 2cos x - (2m + )
1 cos x + m = 0 Û ê . ê 2 ëcos x = m æ p 3p ö 1 với x Î ; ç
÷ ta có -1 £ cos x < 0 nên cos x = không thoả mãn. è 2 2 ø 2 æ p 3p ö
Do đó phương trình đã cho có nghiệm x Î ; ç ÷ Û 1 - £ m < 0 . è 2 2 ø
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình cos x - sin x - cos 2 .
x 1+ sin 2x = 0 thỏa mãn điều kiện: 2004 < x < 2005. Hướng dẫn giải
cos x - sin x - cos 2 .
x 1+ sin 2x = 0 (*)
+ 1+ sin 2x = cos x + sin x
cos2x = ( cos x - sin x )( cos x + sin x )
+ (*) Û ( cos x - sin x ){1- ( cos x + sin x ) cos x + sin x} = 0
Û cos x - sin x = 0 ( )
1 hoặc ( cos x + sin x ) cos x + sin x =1 (2) + ( ) 1 Û cos2x = 0 (1)
+ (2) Û (1+ sin 2x )(1+ sin 2x) =1 Û sin 2x = 0 (vì sin 2x > 0 không thể xảy ra) p
Ta có: (*) Û cos2x = 0 hoặc sin 2x = 0 Û sin 4x = 0 Û x = k , (k Î! ). 4
+ Với điều kiện 2004 < x < 2005, chọn số nguyên k = 2552 . Vậy x = 638p .
Câu 8: Cho phương trình msin x + cos x = 1- m (1) ( m là tham số).
a. Giải phương trình (1) với m = 1.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Trang 14 Hướng dẫn giải
a. Với m = 1. Thay vào phương trình ( ) 1 ta được: ( ) æ p ö æ p ö p p
1 Û sin x + cos x = 0 Û 2 sin x + = 0 Û sin x +
= 0 Û x + = kp Û x = - + kp . ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 4 ø 4 4
b. Phương trình có nghiệm Û m + ³ ( - m)2 2 2 2 1 1
Û m -1³ 1- 2m + m Û m ³ 1. æ p 2 x ö (2 - 3) cos x - 2sin - ç ÷ è 2 4
Câu 9: Giải phương trình: ø =1 2cos x Hướng dẫn giải
Điều kiện: cos x ¹ 0 . æ p 2 x ö (2 - 3) cos x - 2sin - ç ÷ è 2 4 Ta có: ø =1 2cos x ( - ) æ x p 2 ö Û 2 3 cos x - 2sin - = 2cos x ç ÷ è 2 4 ø æ æ p öö
Û - 3 cos x - 1- cos x -
= 0 Û sin x - 3 cos x =1 ç ç ÷ è 2 ÷ è øø 1 3 1 p p 1 Û sin x - cos x = Û sin . x cos - cos . x sin = 2 2 2 3 3 2 é p p é p x - = + k2p x = + k2p p p ê 3 6 ê æ ö 2 Û sin x - = sin Û ç ÷ ê Û ê , (k Î! ) . è 3 ø 6 p p 7p
êx - = p - + k2p êx = + k2p êë 3 6 êë 6 p p
Vậy phương trình có họ nghiệm là x = + 7 k2p và x =
+ k2p , (k Î! ). 2 6 m
Câu 10: Cho phương trình msin x + (m + ) 1 cos x =
. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cos x cho có nghiệm. Lời giải
ĐKXĐ: cos x ¹ 0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được: m
x + m + = m( 2 + x) 2 tan 1 1 tan
Û m tan x - m tan x -1 = 0
Đặt tan x = t , ta được phương trình: 2
mt - mt -1 = 0 (*) Trang 15
Do phương trình tan x = t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( ém ³ 0 *) có nghiệm 2
Û D = m + 4m ³ 0 Û . ê ëm £ 4 - æ p ö
Câu 11: Giải phương trình sin
+ 2x cot 3x + sin ç ÷
(p + 2x)- 2 cos5x = 0 è 2 ø Lời giải ĐKXĐ: sin 3x ¹ 0 . æ p ö Ta có: sin
+ 2x cot 3x + sin ç ÷
(p + 2x)- 2 cos5x = 0 è 2 ø cos3x Û cos 2x
- sin 2x - 2 cos5x = 0 sin 3x
Û cos 2x cos3x - sin 2xsin 3x - 2 cos5xsin 3x = 0
Û cos5x(1- 2 sin3x) = 0 é p é p p . 5x = + kp x = + k ê 2 ê 10 5 écos5x = 0 ê ê ê p p 2p ê Û Û 3x = + k2p ê Û x = + k (k Î!). 2 êsin3x ê = 4 ê 12 3 êë 2 ê p ê p 2p ê3x = p - + k2p êx = + k êë 4 êë 4 3 1
Câu 12: Giải phương trình 2 tan x + cot 2x = 2sin 2x + sin 2x Lời giải p
Điều kiện: x ¹ k . 2 Trang 16 1
2 tan x + cot 2x = 2sin 2x + sin2x 1- cos 2x
Û 2 tan x = 2sin 2x + sin2x 2 2sin x
Û 2 tan x = 2sin 2x +
= 2sin 2x + tan x 2sin x cos x
Û tan x = 2sin 2x . Û 4sin x( 2 4cos x - ) 1 = 0
Û sin x(2cos 2x + ) 1 = 0 ésin x = 0 (l) 2 ê p p Û Û 2x = ±
+ k2p Û x = ± + kp , (k Î!). 1 êcos2x = - 3 3 êë 2
Câu 13: Giải phương trình 2 2 2 2
sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x Lời giải 2 2 2 2
sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
Û 1- cos 6x -1- cos8x =1- cos10x -1- cos12x
Û (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0 Û -sin 9 .
x sin 3x - 2sin 9 . x sin x = 0
Û sin 9x(sin 3x + sin x) = 0 Û 2sin 9 . x sin 2 . x cos x = 0 é ésin 9x = 0 ê9x = k é p p x = k ê ê ê 9
Û sin 2x = 0 Û 2x = kp Û ê ê ê (k Î!).. p êcos x = 0 ê p êx = k ë êx = + kp êë 2 ë 2
Câu 14: Giải phương trình 3cos x + 2 sin x = 2 Lời giải
3cos x + 2 sin x = 2 Û 2 sin x = 2 - 2
3cos x (Điều kiện: cos x £ ) 3 Û 4( 2 1- cos x) 2
= 4 -12cos x + 9cos x 2
Û 13cos x -12cos x = 0 . écos x = 0 p ê Û 12 Û x = Û x = + kp k Î ê ! cos x = (l) cos 0 , ( ). 2 ë 13
Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
cos x - 4cos x + m = 0 có nghiệm. Trang 17 Lời giải
Đặt t = cos x , điều kiện 1 - £ t £ 1. Phương trình 2
cos x - 4cos x + m = 0 (1) trở thành 2
t - t + m = Û f (t) 2 4 0
= 4t - t = m (2).
Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t Î[ 1; - ] 1 .
Lập bảng biến thiên của f (t) , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là 5 - £ m £ 3 .
Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x - 3 cos 2x = 1+ m có nghiệm? Lời giải 1 3 1+ m
sin 2x - 3 cos 2x = 1+ m Û sin 2x - cos 2x = 2 2 2 p p 1+ m æ p ö 1+ m
Û sin 2x cos - cos 2xsin = Û sin 2x - = ç ÷ 3 3 2 è 3 ø 2 1+ m 1+ m
Phương trình có nghiệm Û £ 1 Û 1 - £ £ 1 Û 2
- £ 1+ m £ 2 Û -3 £ m £ 1. 2 2 æ p ö
Câu 17: Cho 3 số thực a > b > c > 0 . Số nghiệm của phương trình a sin x + b cos x = c trên khoảng - ;0 ç ÷ è 2 ø là A. 0 . B. 1. C. 2 .
D. thay đổi theo a, , b c . Lời giải a b c
a sin x + b cos x = c Û sin x + cos x = (1) 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b Û c
sin ( x +a ) = sin b (2) (vì 0 < < 1) 2 2 a + b æ p ö
Trên khoảng - ;0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất. ç ÷ è 2 ø
Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sin u = sin v
sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần
tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình 2 2
cos x + 2sin x cos x - sin x = m có nghiệm Trang 18 Lời giải æ p ö Ta có: 2 2
cos x + 2sin x cos x - sin x = m Û cos 2x + sin 2x = m Û 2 sin 2x + = m ç ÷ è 4 ø æ p ö m Û sin 2x + = . ç ÷ è 4 ø 2 m
Phương trình có nghiệm khi £1 Û - 2 £ m £ 2 . 2
Câu 19: Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + 2cos x - 2sin 2x . Lời giải æ p ö
Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x - , - 2 £ t £ 2 . ç ÷ è 4 ø Ta có t = ( x + x)2 2 sin cos =1+ sin 2x 2
Þ sin 2x = t -1. Ta được hàm số 2 y = 2
- t + 2t + 2, - 2 £ t £ 2 . Bảng biến thiên: 1 t - 2 2 2 y 2 - - 2 2 5 2 2 - + 2 2 5
Suy ra M = ; m = 2 - - 2 2 . 2
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( 2 m + ) 2 2
2 cos x + 4msin x cos x = m + 3 vô nghiệm. Lời giải ( 1+ cos 2x 2 m + ) 2 2
2 cos x + 4msin x cos x = m + 3 Û ( 2 m + 2) 2
+ 4msin x cos x = m + 3 2 Û ( 2 m + ) 2
2 cos 2x + 4msin 2x = m + 4 . 2 2
Phương trình vô nghiệm Û ( 2 m + ) 2 + m < ( 2 2 16 m + 4) 2 Û m < 1 Û 1 - < m < 1.
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x + m cos x = 1- m có nghiệm é p p ù x Î - ; . ê 2 2 ú ë û Lời giải Trang 19 x
cos = 0 không là nghiệm của phương trình. 2 x 2 2t 1- t
Đặt t = tan Þ sin x = ; cos x = . 2 2 2 1+ t 1+ t 2 2t 1- t Ta được phương trình 2. + . m = 1- m 2
Û t - 4t +1- 2m = 0 ( ) 1 . 2 2 1+ t 1+ t é p p ù
Phương trình có nghiệm x Î - ; Û ( ) 1 có nghiệm t Î[ 1 - ; ] 1 . ê 2 2 ú ë û Phương trình ( ) 2
1 Û t - 4t +1 = 2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol (P) 2
: y = t - 4t +1 và đường thẳng d : y = 2m .
Bảng biến thiên của hàm số 2
y = t - 4t +1 t -¥ 1 - 1 2 +¥ 6 y 2 - é p p ù
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình ( ) 1 có nghiệm x Î - ; Û 2 - £ 2m £ 6 Û 1 - £ m £ 3. ê 2 2 ú ë û æ p ö
Câu 22: Phương trình ( x + x)2 sin 3 cos = 5 + cos 4x +
có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10? ç ÷ è 3 ø Lời giải ( æ p ö æ p ö æ p ö x + x)2 sin 3 cos = 5 + cos 4x + 2 Û 4sin x + = 5 + cos 4x + . ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø è 3 ø æ p ö æ p ö Ta có: 2 2 0 £ sin x + £1 Û 0 £ 4sin x + £ 4 . ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø æ p ö æ p ö 1 - £ cos 4x +
£ 1Þ 4 £ 5 + cos 4x + £ 6 . ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø ì æ p 2 ö sin x + =1 ì p p ï ç ÷ x + = + kp ï è 3 ø ïï Dấu " = " xảy ra Û 3 2 í Û í ï æ p ö p cos 4x + = 1 - ç ÷
ï4x + = p + l2p, k,l Î ï ! î è 3 ø ïî 3 p
Û x = + kp , (k Î!)Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k = 0,k =1,k = 2,k = 3. 6 Trang 20 2cos 4x
Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x = tan x +
trên đường tròn lượng giác ta được sin 2x bao nhiêu điểm? Lời giải kp
Điều kiện: sin 2x ¹ 0 Û 2x ¹ kp Û x ¹ ,(k Î!). 2 2cos 4x x x cot x = tan x + cosx sin cos 4 Û - =
Û cos 2x = cos 4x sin 2x sin x cos x sin . x cos x é 1 cos 2x = - 2
Û 2cos 2x - cos 2x -1 = 0 ê Û 2 . ê ëcos 2x =1
+ Với cos 2x = 1Þ sin 2x = 0 (không thỏa điều kiện). 1 p
+ Với cos 2x = - Û x = ± + kp ,(k Î!) (thỏa điều kiện). 2 3 p
Biểu diễn hai họ nghiệm x = ± + kp ,(k Î!) trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm. 3 PHẦN 3
(cos x -1)(2cos x -1) Bài 1.
Giải các phương trình sau: 2 =1- sin 2x + 2cos . x sin x Hướng dẫn giải.
Điều kiện: sin x ¹ 0 Û x ¹ p
m (m Î Z ).
Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2
2cos x - 3cos x +1 = sin x - 2sin .
x cos x + 2sin .c x os x .
Û cos 2x - 3cos x + 2 = sin x - cos x(1- cos 2x) + sin x(1+ cos 2x) .
Û cos x2x - 2(sin x + cos x -1) - cos2x(sin x + cos x) = 0 . Û ( é x + =
cos 2x + 2)(sin x+cos x - ) 1 = 0 cos 2 2 0 Û . ê
ësin x+cos x -1 = 0 é cos 2x = 2 - éx = k2p ê ê æ p ö 2 ê Û Û p (k Î Z ).. sin x + = êx = + k2p ç ÷ êë è 4 ø 2 ë 2 p
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x =
+ k2p ( k Î! ). 2 x æ 3p ö Bài 2.
Giải các phương trình sau: 2 2 4sin
- 3 cos 2x =1+ 2cos x - . ç ÷ 2 è 4 ø Hướng dẫn giải. Trang 21 æ p ö
Phương trình đã cho tương đương với ( - x) 3 2 1 cos
- 3 cos 2x =1+1+ cos 2x - . ç ÷ è 2 ø Û 2
- cos x - 3 cos 2x = -sin 2x . 1 3 Û sin 2x -
cos 2x = cos x . 2 2 æ p ö Û sin 2x - = cos x . ç ÷ è 3 ø æ p ö æ p ö Û sin 2x - = sin - x . ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 2 ø é p p é 5p 2p 2x - = - x + k2p x = + ê k 3 2 ê 18 3 Û ê Û ê (k Î !). ê p p 5 ê p 2x - = + x + k2p x = + k2p êë 3 2 êë 6 Bài 3.
Giải phương trình sin 2x - 2cos x = 0. Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với 2sin .
x cos x - 2cos x = 0 .
Û 2cos x(sin x -1) = 0 . écos x = 0 Û . ê ësin x =1 é p x = + kp ê 2 p Û ê
Û x = + kp (k Î!).. p 2 êx = + k2p êë 2 3tan 2x Bài 4.
Giải phương trình: 2 3.sin 2x = - 3 . 2 sin 2x -1 Hướng dẫn giải. si ì n 2x ³ 0 ïï 1 Điều kiện: si
í n 2x ¹ (*) ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm). 4 ï ï os c 2x ¹ 0 î Trang 22 sin 2x
Khi đó: PT (1) Û 4 3.sin 2x - 2 3.sin 2x = 3 - 2 3.sin 2x + 3 . cos 2x
Û 2 3.sin 4x = 3sin 2x + 3 cos2x . 3 1 æ p Û sin 4x = sin 2x + os
c 2x Û sin 4x = sin ö 2x + ç ÷ 2 2 è 6 ø é p é p . 4x = 2x + + k2p x = + kp ê 6 ê 12 Û ê Û ê
(k,k 'ÎZ ) ê p 5p p 4x = p - 2x - + k '2p êx = + k ' êë 6 êë 36 3
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là p 5p p x = + kp , x = + k '
(k,k 'ÎZ, k ' ¹ 6m + 2, k ' ¹ 6m +5, mÎZ ). 12 36 3 Bài 5. Cho phương trình: 4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = . m ( m là tham số). 3
1) Giải phương trình khi m = . 2 é p p ù
2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn - ; . ê 4 4 ú ë û Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với: 3 + cos 4x 2 + cos 4x = . m 4 Û 2
4cos 4x + cos 4x = 4m - 3 (1). 3 1) Với m = ta có phương trình: 2 é p p écos 4x = 1 - x = + ê k 2 ê 4 2
4cos 4x + cos 4x - 3 = 0 Û 3 Û ê . êcos 4x = 1 3 p ê ë 4 x = ± arccos + ê k ë 4 4 2
2) Đặt t = cos4x ta được: 2
4t + t = 4m - 3 , (2). Trang 23 é p p ù é p p ù Với x Î - ; thì t Î[ 1; - ]
1 . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x Î - ; khi và chỉ khi ê 4 4 ú ë û ê 4 4 ú ë û
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t Î[ 1; - ] 1 . (3). Xét g(t) = 2
4t + t với t Î[ 1; - ]
1 . ta có bảng biến thiên : t 1 - 1 - 1 8 5 3 g(t) 1 - 16 1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra Û - < 4m - 3 £ 47 3 3Û < m £ 16 64 2 47 3
Vậy giá trị m cần tìm là: < m £ . 64 2 Bài 6.
Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. Hướng dẫn giải
Ta có PT Û (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 . 2p p Đáp số: x = ±
+ k2p , x = + kp (k Î Z ) . 3 4 17 Bài 7.
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin . A cos .
B sin C + 3(cos A + sin B + cos C) = . 4 Hướng dẫn giải Trang 24 2 2 2 æ 3 ö æ 3 ö æ 3 ö
Đẳng thức Û cos A - + sin B - + cosC - = 0. çç 2 ÷÷ çç 2 ÷÷ çç 2 ÷÷ è ø è ø è ø
Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200. Bài 8.
Giải phương trình : 2cos x ( 3sin x + cos x - ) 1 = 1. Hướng dẫn giải
2cos x ( 3sin x + cos x - ) 1 = 1 .
Û cos 2x + 3 sin 2x = 2cos x . æ p ö Û cos 2x- = cos x . ç ÷ è 3 ø é p 2x- = x + k2p ê 3 Û ê . p ê2x- = -x + k2p êë 3 Bài 9.
Giải phương trình: 2sin x + 3 = 0. Hướng dẫn giải 3 2sin x + 3 = 0 Û sin x = - . 2 æ p ö Û sin x = sin - . ç ÷ è 3 ø é p x = - + k2p ê 3 Û ê (k Î !) . 4p êx = + k2p êë 3 æ cos2x sin 2x ö
Bài 10. Giải phương trình: 2 3 + cot x = 3 + . ç ÷ è sinx cosx ø Hướng dẫn giải æ cos2x sin 2x 2 ö 3 + cot x = 3 + . ç ÷ è sinx cosx ø Trang 25 p
Điều kiện : sin x.cos x ¹ 0 Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹ n , n Î ! . 2 cos 2x cos x + sin 2x sin x PT 2 Û 3 + cot x = 3 . sin x cos x cos x 2 Û 3 + cot x = 3 . sin x cos x 3 2 Û 3 + cot x = . sin x 1 3 Û - + 2 = 0 . 2 sin x sin x 1 t 1(loπi) 2 é = Đặt : t =
, | t |> 1. Ta có: t - 3t + 2 = 0 Û . sin x ê ët = 2 é p x = + k2p 1 1 ê Với 6 t = 2 Û = 2 Û sin x = Û ê (k Î Z) . sin x 2 5p êx = + k2p êë 6 é p x = + k2p ê 3 Û ê (k Î!) . p 2p êx = + k êë 9 3 Bài 11. Hướng dẫn giải
(Sin2x - sin x + 4) cos x - 2 Xét phương trình: = 0 (1). 2sin x + 3 3
Điều kiện: sin x ¹ - . 2 1 Phương trình (1) Û sin 2 .
x cos x - sin 2x + 4cos x - 2 = 0 . 2 æ 1 ö æ 1 ö
Û sin 2x cos x - + 4 cos x - = 0. ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Trang 26 Û æ 1 ö cos x - ç ÷(sin 2x + 4) = 0 . è 2 ø p
Û x = ± + k2p . 3 p
Đối chiếu với điều kiện: x = + k2p . 3 p
Vậy phương trình có nghiệm: x = + k2p . 3 (ì 2 x + x +1 ï )( 2 y + y +1) =1 (1)
Bài 12. Giải hệ: í
(x, y Î ! ) . 2 ï 1+ 1- x = x î ( 2 1+ 2 1- y ) (2) Hướng dẫn giải
Điều kiện: x £ 1, y £ 1. x " , y Î ! , ta có ( 2 x + x + )( 2
1 -x + x +1) =1 và ( 2 y + y + )( 2
1 - y + y +1) =1. 2 2
ìïy + y +1 = -x + x +1 (3) Kết hợp với ( ) 1 ta được: í . 2 2
ïx + x +1 = - y + y +1 (4) î
Cộng (3) và (4) ta được y = -x , thế vào (2) ta được: 2 + - x = x( 2 1 1 1+ 2 1- x ) (5) é p ù
Đặt x = sin t,t Î 0;
, phương trình (5) trở thành ê 2 ú ë û
1+ cost = sin t(1+ 2cos t) t t t é æ t öù 2
Û 2 cos = 2sin .cos . 1+ 2 1- 2sin ê ç ÷ 2 2 2 ë 2 ú è øû Trang 27 é p 4p t = + k t t 2 t p ê 3 Û 3sin - 4sin = Û sin 3 = sin 6 3 Û ê . 2 2 2 2 4 ê p 4p t = + k êë 2 3 é p t = é 1 é p ù ê x = Với t Î 0; , ta được 6 ê ê Þ 2 . ê 2 ú ë û p ê êt = ëx = 1 êë 2 æ 1 1 ö
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ; x y) là ; - và (1; ) 1 - . ç ÷ è 2 2 ø
Bài 13. Giải các phương trình sau: cos5x = 5cos x . Bài 14. 1.
Cho phương trình: cos 2x + (m + )
1 sin x + m = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0;p ]. 2.
Tính các góc của tam giác ABC biết: cos3A + cos3B + cos3C = 1 - ,5 . æ p ö
Bài 15. Giải phương trình: 3 2 2cos x - - 3cos x - sinx = 0 . ç ÷ è 4 ø
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x) 4 2
= cos x + sin x + cos xsin x . æ 2p ö
Bài 17. Cho số thực x thỏa mãn sin x = 2 sin + x . ç ÷ è 7 ø æ p ö tan + x ç ÷ è 7
Bài 18. Tính giá trị biểu thức P ø = . p tan 7
(sin 2x - sin x + 4) cos x - 2
Bài 19. Giải phương trình = 0 . 2sin x + 3 PHẦN 4 æ 3p ö
æ cos x - sin x ö 1
Bài 1. Giải phương trình sau: 3tan 2x - 2sin 2x - + 2 = ç ÷ ç ÷ è 2 ø
è cos x + sin x ø cos2x Hướng dẫn giải Trang 28 p p
Điều kiện: cos2x ¹ 0 Û x ¹ + k (kÎ!) (*). 4 2
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với: sin 2 2 x (cosx-sin x) 1 3 - 2 cos2x + =
Û 3sin 2x - 2 cos 2x + 2(cos x -sin x)2 2 = 1 cos2x cos x + sin x cos2x ésin 2x = 1 - 3sin 2x 2 ( 2
1 sin 2x) 2(1 sin2x) 2 1
2sin 2x sin 2x 1 0 ê Û - - + - = Û + - = Û 1 êsin2x = êë 2 é p x = - + kp ê 4 ê ê p Û x = + kp (kÎ!) ê 12 ê 5p êx = + kp êë 12 p 5p
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x = + kp và x =
+ kp (kÎ!) . 12 12 4 4 sin 2x + cos 2x
Bài 2. Giải phương trình: 4 = cos 4x . æ p ö æ p ö tan - x tan + x ç 4 ÷ ç 4 ÷ è ø è ø Hướng dẫn giải p
Điều kiện: x ¹ ± + kp (kÎ!) (*). 4
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với: 1 1 p 2 4 4 2 2
+ cos 4x = cos 4x Û 2 cos 4x - cos 4x -1 = 0 Û cos 4x = 1 Û x = k (kÎ!). 2 2 4 kp
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x = (kÎ!). 2
Bài 3. Giải phương trình: sinx 1+ 2sin x = cos 2 . x Ê p ˆ 2sin 2x + 4cos x Á ˜ - Á ˜ + 3 Á Ë 6 ˜¯
Bài 4. Giải phương trình: = 0. 1- cos3x Trang 29 1 4 1 2 9 4 3 2 1
Bài 5. Giải phương trình:
+ cos x - cos x +
+ cos x - cos x = . 16 2 16 2 2 Ê p ˆ
Bài 6. Giải phương trình: ( + x) 2
1 2cos3 sin x + sin 2x = 2sin 2 Á x ˜ + Á ˜. Á Ë 4 ˜¯ æ 5x p ö æ x p ö 3x
Bài 7. Giải phương trình: sin - - cos - = 2 cos . ç ÷ ç ÷ è 2 4 ø è 2 4 ø 2
Bài 8. Giải phương trình: 3 tan x + 1(sinx + 2cos x)= 5(sin x + 3cos x). 1 2
Bài 9. Giải phương trình: + (1+ cot 2 . x cot x) = 48. 4 2 cos x sin x
Bài 10. Giải phương trình: 2(sin x + 3 cos x) = 3 cos 2x - sin 2 . x 2 2
4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos 2x
Bài 11. Giải phương trình: = 0. cos x
Bài 12. Cho hàm số: f ( x) 4 4 2
= 1+ sin x + cos x + 2cos x + 2. Giải phương trình:
a) f ( x) = 2 2.
b) f ( x) =1+ 5.
Bài 13. Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có: sin x + 1- sin x ³ 1.
Bài 14. Giải phương trình: 2
sin x + 1- sin x = 2cos x - cos . x
Bài 15. Cho phương trình sau:
(m + ) 3 x +(m - ) 3 3 sin
1 cos x + cos x - (m + 2)sin x = 0.
a) Giải phương trình khi m = 5. -
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm .
Bài 16. Cho phương trình sau: 1- 2x 1- 2x cos - sin
+ m = 0 (với m là tham số). x x æ ö a) Khi m = 1
0 , hãy tìm tất cả các nghiệm x Î 50 - ;- của phương trình. ç ÷ è 2 ø Trang 30 æ 1 1 ö
b) Xác định m để phương trình có nghiệm xÎ ; . ç ÷ è 2 + p 2 ø
Bài 17. Tìm x thuộc khoảng [0;14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x - 4cos 2x + 3cos x - 4 = 0 . æ p ö
Bài 18. Giải phương trình: 3 sin x - = 2 sin x . ç ÷ è 4 ø 6
Bài 19. Giải phương trình: 3cos x + 4sin x + = 6 .
3cos x + 4sin x +1
Bài 20. Cho phương trình: 2 x + ( 2 m - ) 2 sin 4
3 sin 4x + m - 4 = 0. é3p ù
Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc ; 2p . ê 2 ú ë û ìï 3 cos x + 2 3cos .
x sin x = a Bài 21. Cho í vÙ˘i , a bÎ ! ïî 3 sin x + 2 3sin .
x cos x = b 2 2
Chứng minh rằng: 3 (a+ b) + 3 (a- b) = 2 . 1 1 1 é p ù
Bài 22. Chứng minh rằng: 1+ + + cos8x = 2 cos , x "x Î 0; . ê ú 2 8 8 ë 8 û 1 1 25 5
Bài 23. Giải phương trình: 1+ 4 cos x - 2 cos x + 4 cos x + - 2 cos x = 1. 16 2 16 2 3
Bài 24. Giải phương trình: 1+ 3 sin x + 3 cos x = sin 2 . x 2 1 1 9 3 1
Bài 25. Giải phương trình: 4 2 4 2
+ cos x - cos x +
+ cos x - cos x = . 16 2 16 2 2
Bài 26. Giải phương trình: 2 2 2 2
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 . p
Bài 27. Tìm a để phương trình: acos2x + a cos 4x + cos6x = 1 có nghiệm x ¹ ± + kp , x = kp , vÙ˘i k Î ! 3 và chỉ có nghiệm ấy.
Bài 28. Giải phương trình: x x + ( 2 sin 2 sin 4
2 3sin x - 4sin x +1) = 0 . Trang 31
Bài 29. Giải phương trình: cos2x + cos3x - sin x - cos 4x = sin 6x . x
Bài 30. Giải phương trình: ( - x + x ) sin 4 1 cos cos cos2x = . 2 æ 3 ö
Bài 31. Cho phương trình: 2 2 - k sin x - ç ÷
(1-2k)sin x-k = 0 è 4 ø
Tìm k để phương trình có nghiệm.
Bài 32. Tính tổng các nghiệm của phương trình: 2 3 cos x - cos x -1 2 cos2x - tan x = vÙ˘i xÎ 1 é ;70ù. 2 cos ë û x
Bài 33. Giải phương trình: 1 1 10 cos x + + sin x + = . cos x sin x 3
Bài 34. Giải phương trình sau: 2 (sin x + cos x) = tan 5x + cot 5x 3 1- cot x
Bài 35. Giải phương trình sau: 3tan 2x - - 2 + 2 cos2x = 0 . cos2x 1+ cot x
Bài 84. Giải phương trình: ( + ) 2 3 1 cos x + ( 3 - ) 1 sin .
x cos x + sin x - cos x - 3 = 0 Hướng dẫn giải ( 3+ ) 2 1 cos x + ( 3 - ) 1 sin .
x cos x + sin x - cos x - 3 = 0 Û 3 ( 2 cos x - ) 2 1 + 3 sin .
x cos x + cos x - sin .
x cos x + sin x - cos x = 0 2 2 Û - 3 sin x + 3 sin .
x cos x + cos x - sin .
x cos x + sin x - cos x = 0
Û - 3 sin x(sin x - cos x) - cos x(sin x - cos x) + sin x - cos x = 0
Û (sin x - cos x)( 3sin x + cos x - ) 1 = 0 Trang 32 é æ p ö 2 sin x - = 0
ésin x - cos x = 0 ê ç ÷ è 4 ø Û ê Û ê
ë 3 sin x + cos x =1 ê æ p ö 1 êsin x + = ç ÷ ë è 6 ø 2 é p x = + kp é p ê 4 x = + kp ê ê 4 p p ê ê
Û x + = + k2p Û x = k2p (k Î ê !) ê 6 6 ê ê 2p p 5p êx = + k2p êx + = + k2p ë 3 êë 6 6 3 1- cotx
Bài 85. Giải phương trình: 3tan2x - - 2 + 2cos 2x = 0 cos 2x 1+ cotx Hướng dẫn giải ìcos 2x ¹ 0 ìcos 2x ¹ 0 ï ï ìcos 2x ¹ 0 ĐK si í n x ¹ 0 Û si í n x ¹ 0 Û í si ï ï î n x ¹ 0 cot x ¹ 1 -
cos x + sin x ¹ 0 î î
Khi đó phương trình đã cho trở thành 3sin 2x - 3 sin x - cos x - 2 + 2cos 2x = 0 cos 2x sin x + cos x 3sin 2x - 3 cos x - sin x Û ( + + = x - x)( x + x) 2 2cos 2x 0 cos sin cos sin sin x + cos x
3sin 2x - 3 + 2(cos x - sin x)2 2 + 2cos 2x = 0
Û 3sin 2x - 3 + 2(1-sin 2x) + 2( 2 1- sin 2x) = 0 1 2 Û 2
- sin 2x + sin 2x +1 = 0 Û sin 2x =1;sin 2x = - 2
+) sin 2x = 1Þ cos 2x = 0 không thỏa mãn ĐK ì p ì p 2x = - + k2p x = - + kp 1 ï ï ï ï
+) sin 2x = - (thỏa mãn ĐK) 3 6 Û í Û í (k Î!) 2 p 2p ï2x p k2p ï = + + x = + kp ïî 3 ïî 3
Bài 86. Giải các phương trình sau đây:
1) sin x 1+ sin 2x = cos 2x 2) (1- t anx)sin2x=2tanx Trang 33
Bài 87. Giải phương trình: 2 2
2 tan x + cot x = tan x + sin 2x Hướng dẫn giải +) §iÒu kiÖn
+) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0 p
+) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S: x = + kp 4
Bài 88. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 4 4 6 6 2
4(sin x + cos x) - 4(sin x + cos x) - sin 4x = m p p
cã nghiÖm x Î ( ; ) 8 4 Hướng dẫn giải +) §a PT vÒ d¹ng: 2
2cos 4x - cos 4x = 2m +1 (1) p p
+) §Æt t = cos4x víi x Î ( ; ) Þ tÎ(-1; 0) 8 4
+) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn
Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0) 1
+) §S: m Î (- ;1) 2
Bài 89. Giải phương trình: 3 3 2
- sin x - 6cos x + cos x + 3sin x = 0 os c 2x
Bài 90. Giải phương trình: (sinx - 2cos x) os
c 2x + sinx = ( os
c 4x -1)cos x + 2sinx
Bài 91. Giải phương trình: Hướng dẫn giải
Dùng công thức hạ bậc ta được:
Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2
Từ đó suy ra nghiệm của pt: Trang 34
Bài 92. Giải phương tình : 2 x sin 2x + cos2x + sin x - 2cos = 0 2 é ù
Bài 93. Cho hàm số y = 1 3
cosp x . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên ; ê 4 2ú ë û æ ö
Bài 94. Giải phương trình: 2 9x cos3x = cos ç ÷ è 4 ø x p 2
Bài 95. Giải phương trình: cos x + x
cos x = 2 2 sin sin( + ) 2 2 2 p p p
Bài 96. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 sin(x - ) + sin(x + ) + 2 5 sin( x + ) = 0 3 6 6 æ p ö
Bài 97. sin 3x + cos3x - 2 2cos x + +1 = 0 ç ÷ è 4 ø Hướng dẫn giải Ta có: æ p ö
sin 3x + cos3x - 2 2cos x + +1 = 0 ç ÷ è 4 ø
Û sin3x + cos3x - 2(cos x - sin x) +1= 0
Û sin3x + sin x + cos3x - cos x - (cos x - sin x) +1= 0
Û 2sin 2xcos x - 2sin 2xsin x - (cos x - sin x) +1= 0
Û 2sin 2x(cos x - sin x) - (cos x - sin x) +1= 0 æ p ö
Đặt: t = cos x - sin x = 2 cos x + ;t Î é- 2; 2 ù ç ÷ 4 ë û è ø Ta có: 2 3
2(1- t )t - t +1 = 0 Û 2
- t + t +1 = 0 Û t = 1 éx = k2p æ p ö æ p ö 1 t 1: 2 cos x 1 cos x ê = + = Û + = Û ç ÷ ç ÷ p è 4 ø è 4 ø 2 êx = - + k2p ë 2
Bài 98. Cho phương trình sau: với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. Trang 35
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
Bài 99. Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình khi .
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
(cos x - )1(2cos x - )1 Bài 100. Giải phương trình: 2
=1- sin 2x + 2cos x sinx Bài 101.
Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình
4sin x + 5 cos x - 2sin 2x = 5 . Hướng dẫn giải BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh
4sin x + 5 cos x - 2sin 2x = 5
Û (4sin x - 5) - cosx(4sin x - 5) = 0
Û (4sin x - 5)(1 - cosx) = 0 écos x = 1 ê Û 5 si ê n x = êë 4
Do ®ã ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ éx = k 0 360 êx 0 » 33 59'16' + k 0 360 ê êx 0 » 146 0'44' + k 0 360 ë Bài 102.
Cho tam giaùc ABC Coù goùc A,B nhoïn thoûa ñieàu kieän : 2 Sin A - . 2
SinA CosB - SinBCosA + Sin B = 0 .Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng Hướng dẫn giải
Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 Þ (SinA - CosB)(SinB - ) CosA £ 0 (1) (2đ) Trang 36 Lại có : 2 2 2 2
Sin A - Cos B = Sin B - Cos A Þ (SinA - CosB)(SinB - ) CosA ³ 0 (2) (2đ) P P
Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB Þ A + B = Þ C =
Þ Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ) 2 2 æ p ö a)
Giải phương trình: sin 3x + cos3x - 2 2cos x + +1 = 0 ç ÷ è 4 ø Bài 103.
Giải phương trình: x x æ p x ö
1) Sin sinx - cos . sin2x + 1 = 2 cos2 ç - ÷ 2 2 è 4 2 ø x 2) 2 cos x - x = 2 + 2 10 Bài 104. Giải phương trình : 3 1- cot x 3tan2x - - 2 + 2cos 2x = 0 cos 2x 1+ cot x Bài 105. Giải phương trình: ( + ) 2 3 1 cos x + ( 3 - ) 1 sin .
x cos x + sin x - cos x - 3 = 0 Hướng dẫn giải ( 3+ ) 2 1 cos x + ( 3 - ) 1 sin .
x cos x + sin x - cos x - 3 = 0 Û 3 ( 2 cos x - ) 2 1 + 3 sin .
x cos x + cos x - sin .
x cos x + sin x - cos x = 0 2 2 Û - 3 sin x + 3 sin .
x cos x + cos x - sin .
x cos x + sin x - cos x = 0
Û - 3 sin x(sin x - cos x) - cos x(sin x - cos x) + sin x - cos x = 0
Û (sin x - cos x)( 3sin x + cos x - ) 1 = 0 é æ p ö 2 sin x - = 0
ésin x - cos x = 0 ê ç ÷ è 4 ø Û ê Û ê ë + = ê 3 sin x cos x 1 æ p ö 1 êsin x + = ç ÷ ë è 6 ø 2 é p x = + kp é p ê 4 x = + kp ê ê 4 p p ê ê
Û x + = + k2p Û x = k2p (k Î ê !) ê 6 6 ê ê 2p p 5p êx = + k2p êx + = + k2p ë 3 êë 6 6 Trang 37 æ x ö 3 Bài 106.
Giải phương trình: sin x 1+ tan . x tan + tan x + 2 3 = . ç ÷ 2 è 2 ø cos x Hướng dẫn giải x ĐKXĐ: cos .
x cos ¹ 0 . Phương trình đã cho tương đương 2 æ x x ö cos . x cos + sin . x sin ç 2 2 ÷ 2 sin x ç
÷ + tan x + 2 3 = 3 + 3 tan x x ç cos . x cos ÷ è 2 ø sin x 2 Û
+ tan x + 2 3 = 3 + 3 tan x cosx 2
Û 3 tan x - 2 tan x - 3 = 0 Û tan x = 1 3 hoặc tan x = - . 3 p tan x = 3 Û x = + kp. 3 1 p tan x = - Û x = - + kp. 3 6 p p
Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là x =
+ kp; x = - + kp , k Î . ! 3 6
Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm. 3p x p x p 2 cos p (a x) 2cosp æ ö - - (a - x) + cos . os c + + 2 = 0 ç ÷ 2a è 2a 3 ø
(cos x - )1(2cos x - )1 Bài 107. Giải phương trình: 2
=1- sin 2x + 2cos x sinx æ 3p x ö 1 æ p 3x ö Bài 108. Giải phương trình: sinç - ÷ = sinç + ÷ è 10 2 ø 2 è10 2 ø Bài 109.
Giải phương trình: cos x - 3 3 sin x = cos 7x Hướng dẫn giải
cos x - cos 7x - 3 3 sin x = 0 Û 2sin 3x sin 4x - 3 3 sin x = 0
Û 2sin 4xsin x 3
( - 4sin 2 x) - 3 3 sin x = 0 sin é x = (1) 0
Û sin x[2sin 4x 1
( + 2cos 2x) - 3 3]= 0 Û ê ë2sin 4x 1 ( + 2cos 2x) = 3 3 (2)
Gi¶i (1) ta ®-îc x=kp víi kÎ Z Trang 38 3 3 2 3 3
Gi¶i (2): Ta cã (2) Û 2sin 4x cos 2x + sin 4x =
Û 4sin 2x cos 2x + sin 4x = (3) 2 2 cos2 x x 2 2 2 2 cos 2x cos 2x (sin 2x cos 2x) 2 2 cos2 2
Áp dông B§T C«si cho 3 sè: sin 2x, , ta có : 1 = 2 3 sin 2x + + ³ 3 2 2 2 2 4 3 3 2 2 2 2 2
Þ sin 2x cos 2x £ sin 2x cos 2x £
. Do ®ã 4 sin 2x cos 2x + sin 4x £ +1< 3 3 3 3 2
Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm.
KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x=kp víi kÎ Z x Bài 110. Giải phương trình: ( x + x)2 2 sin cos + 2sin
= sin x(2 3sin x + 4 - 3). 2 Hướng dẫn giải PT 2
Û 1+ 2sin x cos x +1- cos x = 2 3 sin x + 4sin x - 3 sin x Û ( - x) + ( x x - x) = ( 2 2 4sin 2sin cos cos
2 3 sin x - 3 sin x)
Û 2(1- 2sin x) + cos x(2sin x - )
1 = 3 sin x (2sin x - ) 1 é2sin x -1 = 0 Û (2sin x - )
1 ( 3sin x - cos x + 2) = 0 Û êë 3sinx-cosx+2=0 æ p ö
+) 3 sin x - cos x + 2 = 0 Û sin x - = 1 - ç ÷ è 6 ø p p p
Û x - = - + k2p Û x = - + k2p , k Î! . 6 2 3 é p x = + k2p 1 ê +) 6
2sin x -1 = 0 Û sin x = Û ê (k Î!). 2 5p êx = + k2p êë 6 p p 5p
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - + k2p , x = + k2p , x = + k2p (k Î!) 3 6 6 Trang 39