Chuyên đề phương trình lượng giác – Đặng Thành Nam

Tài liệu gồm 54 trang với các bài toán hay và khó về chuyên đề phương trình lượng giác. Các bài toán đều được phân tích và giải chi tiết.
Tài liệu do thầy Đặng Thành Nam biên soạn.

34 17 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

142

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 3:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

143

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

144

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Phương trình lượng giác cơ bản:

cos os 2

sin sin

tan tan

cot cot

x c x k

x k

x x k

  

 



  

  

    





 





 







  







   



   





Bài 1. Giải phương trình

 

2 2

2cos os 1 os sin 2

c x c x



 

 

 

 

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

2 2 2

2cos os 1 os sin 2 1 os os 1 os sin 2

c x c x c c x c x



  

 

     

 

 









2 2

os os os sin 2 os sin 2 2

c c x c x c x x k

    

     

os sin 2 2 os2 2sin 2 4 1 (*)

c x x k c x x k       

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

 

2 2

1 5 1 5

4 1 1 2 0 .

4 4

k k k

 

        



Khi đó phương trình (*) trở thành





os2 2sin 2 1 2cos 4sin cos 0 cos cos 2sin 0

c x x x x x x x x

        

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

145

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

cos 0

, ,tan

tan

x k





 



 

 

 

   

 

 

  

 

 .

Vậy phương trình có nghiệm là

, , ,tan

2 2

x k k k



   

 

     

 

 

 .

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình





os 3 9 160 800 1

c x x x



 

   

 

 

Lời giải:

Phương trình tương đương với





 

2 2

3 9 160 800 2 , 9 160 800 3 16

3 16 0

9 24 40

9 160 800 3 2

3 5

x x x k k x x x k

x k

x x x k



         

 



 



 

 

 

  

   











Vậy với

2 10

, 25 3 5

7 31

k k

x k k

x x

   

 

    

 

   

 

 

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là





7, 31

x x    .

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

 

2 2

os 2 sin

c x x x

 

 

  

 

 

Lời giải:

Phương trình tương đương với

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

146

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

     

 

2 2 2 2

2 2

os 2 sin os 2 sin

2 2

sin 2 sin ,

2 2

c x x x c x x x

x x x k



   

  

 

   

 

   

      

   

 

   

 



  



    



   





min

3 1

0 0 0

1 4 3

x k

x k x













        



  















Vậy nghiệm của phương trình là

3 1



 .

Bài 4. Tìm nghiệm

thuộc đoạn





0;14

thỏa mãn phương trình

os3 4cos2 3cos 4 0

c x x x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với





 

3 2

4cos 3cos 4 os2 1 3cos 0

4cos 8cos 0 cos 0 ,

0 14 0 14 0,1,2,3

x x c x x

x x x x k k

x k k



    

        

       



Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

3 5 7

; ; ;

2 2 2 2

   

 



 

 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn





1,10

 của phương trình

sin os cos sin

5 5 2

xc x

 

 

Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

147

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam





 





os os 1

c x c x

 

 

Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình





os 3 9 80 40 1

c x x x



 

   

 

 

Bài 4. Giải phương trình









8 4 2

3 2 sin 16 2 0

x x x x



    

Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn





0;2



của phương trình

os3 +sin3x

5 sin os2 3

1 2sin 2

c x

x c x

 

  

 



 

Bài 6. Tìm nghiệm

;



 



 

 

thỏa mãn phương trình





2sin 2 3cos 2 2 3sin cos 7

x x x x

   

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX

Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến

đổi tương tự.

1 1

sin cos 2 sin os 2 sin 2 os

4 4

2 2

x x x c x x c x

 

 

   

     

   

 

   

 



1 3

sin 3cos 2 sin cos 2sin 2 os

2 2 3 6

x x x x x c x

 

 

   

     

 

   

 

   

 



3 1

3sin cos 2 sin cos 2sin 2cos

2 2 6 3

x x x x x x

 

 

   

     

 

   

 

   

 



BÀI TẬP MẪU

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

148

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 1. Giải phương trình:

sin3 3cos3 2sin 2

x x x

 

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

1 3

sin3 3cos3 2sin 2 2 sin3 os3 2sin 2

2 2

x x x x c x x

 

    

 

 

3 2 2 2

3 3

2sin 3 2sin 2 ,

4 23

3 2 2

3 15 5

x x k x k

x x k

x x k x k

 



  

 

 

    

 

 

     

 

 

 

 

     

 

 



Bài 2. Giải phương trình





sin cos sin 2 3 os3 2 os4 sin

x x x c x c x x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với

1 1 3 1

sin sin3 sin 3 os3 2 os4 sin sin3

2 2 2 2

sin3 3 os3 2 os4 os 3 os4

x x x c x c x x x

x c x c x c x c x



     

 

     

 

 

3 4 2 2

6 6

3 4 2

6 42 7

x x k x k

 

  



 

     

 

 

 

     

 

 

Bài 3. Giải phương trình





3 sin 2 sin os2 cos 2

x x c x x

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

149

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Phương trình tương đương với





3 sin 2 sin os2 cos 2

x x c x x

   

3 1 3 1

sin 2 os2 sin cos 1

2 2 2 2

x c x x x

   

    

   

   

os 2 sin 1 2sin sin 0

3 6 6 6

c x x x x

   

       

         

       

       

sin 0

2 ,

sin

6 2

x k

x k k

x k



 





 

 



 

 



 



    



 



 

  

 



 





Bài 4. Giải phương trình

3sin 4sin 5sin 5 0.

3 6 6

x x x

  

     

     

     

     

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3sin 4cos 5sin 5

3 2 6 6

3sin 4cos 5sin 5

3 3 6

x x x

   

  

 

     

      

     

 

     

 

     

     

     

     

Đặt

4 3

sin ; os

5 5

 

 

, khi đó phương trình tương đương với

7 9

5sin 5sin 5

3 6 24 4 2 36 6 3

k k

x x x x

       



   

           

   

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

150

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 5. Giải phương trình:





  

1 2sin cos

1 2sin 1 sin

x x





 

Lời giải:

Điều kiện:

sin 1

(*)

sin









 





Khi đó phương trình tương đương với:









cos sin 2 3 1 2sin sin 2sin cos sin 2 3 os2 sin

x x x x x x x c x x

        

1 3 3 1

cos 3sin 3 os2 sin 2 cos sin os2 sin 2

2 2 2 2

x x c x x x x c x x

       

2 2 2

6 3 2

os cos 2 ,

3 6

2 2

18 36 3

x x k x k

c x s x k

xx x k

 



 





     



   

      

 

   

   

 

      







So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:

18 3

x k

 

   



Bài 6. Giải phương trình:

os2 3sin2 3sin cos 4 0

c x x x x

    

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

1 3 1 3

os2 sin 2 cos sin 2 0

2 2 2 2

c x x x x

   

    

   

   

os 2 os 2 0 os 2 os 2 0

3 3 3 3

c x c x c x c x

   



 

       

             

       

 

       

 

os2 os 2 0 2cos 1 os 2 0

3 3 3 3

c x c x x c x

   

       

             

       

       

os 1 2 os 3 0 os 1 0

3 3 3

c x c x c x

  

  

     

          

     

  

     

  

2 2 ,

3 3

x k x k k

 

      



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

151

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 ,

x k k



 

  

 

 



Bài 7. Giải phương trình:





sin 3cos sin3 2

x x x

 

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

1 3

sin cos sin3 1 sin sin3 1

2 2 3

x x x x x



 

    

 

 

1 sin 1

1 sin3 1





 

   



 

 





  



nên phương trình tương đương với

sin 1

sin3 1

sin 1

sin3 1

x k







 

 





 

 













  





 



  



 



 







 







Bài 8. Giải phương trình:









4 4

4 sin os 3sin 4 3 1 tan 2 tan sin 4

x c x x x x x

    

Lời giải:

Điều kiện:

cos cos2 0

x x



(*).

Phương trình đã cho tương đương với:

1 sin sin 2 cos cos2

4 1 sin 2 3sin4 3 sin 4

2 cos cos2

x x x x

x x x

x x



   

   

   

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

152

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1 3

os4 3sin4 2sin 2 os4 sin 4 sin 2 sin 4 sin 2

2 2 6

c x x x c x x x x x



 

        

 

 

4 2 2

6 12

4 2 2

36 36

x x k x k

x kx x k



 



 



     



  

 

    







thỏa mãn (*).

Bài 9. Giải phương trình





3 sin2 cos sin cos2 2

x x x x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với

3 1 1 3

3sin 2 cos2 sin 3cos 2 sin 2 cos2 sin cos 1

2 2 2 2

x x x x x x x x

        

cos 2 cos 1 2cos cos 0

3 6 6 6

x x x x

   

       

          

       

       

cos 0

2 ,

cos

6 2

x k

x k k

x k





 





 

 



 



 



    



 

  



 

 





  







Vậy phương trình có nghiệm là

; 2 ; 2 ,

3 2 6

x k k k k

  

 

     

 

 



Bài 10. Giải phương trình

sin sin 2 2sin cos sin cos

6 os2

x x x x x x

c x



  



 



 

 

Lời giải:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

153

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Điều kiện:

os 0

c x



 

 

 

 

Khi đó phương trình tương đương với

 

2 2

2sin cos 2cos sin sin cos

6 os2

sin cos

x x x x x x

c x

x x

  





3 1 1

1 2sin cos 3 os2 os2 sin 2

2 2 2

x x c x c x x

     

2 2

6 3

os 2 os

6 3

2 2

6 3 4

x k

c x c

x k x k

 



 

  

 



  

 



 

    



 

 

 

      





Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm

x k



  thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm ,

x k k



 

  

 

 



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

2 2

os 3sin2 1 sin .

c x x x

  

Bài 2. Giải phương trình





4 4

4 sin os 3sin 4 2.

x c x x

  

Bài 3. Giải phương trình





2 2 sin cos cos 3 os2 .

x x x c x

  

Bài 4. Giải phương trình

2 3

2 sin 6 os 2sin 2sin .

5 12 5 12 5 3 5 6

x x x x

   

       

      

       

       

Bài 5. Giải phương trình

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

154

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 

cos sin 2 sin 2 1 3 1 2cos .

6 6

x x x x

 

   

      

   

   

Bài 6. Giải phương trình:

16cos 4 3 cos2 5 0

x x



 

   

 

 

Bài 7. Giải phương trình:

2 2

3cos tan sin 4tan sin tan 3cos

x x x x x x x

    .

Bài 8. Giải phương trình:

 

2 3 cos 2sin

2 4

2cos 1



 

  

 

 





Bài 9. Giải phương trình:

 





 

3sin 1 2 3 cos 1

sin 2 3 cos 1

x x

 





Bài 10. Giải phương trình:

1 cos 1

2 cos

sin 2



 

 

 

 

Bài 11. Giải phương trình:





3 sin2 cos sin cos2 2

x x x x

   

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

Phương trình có dạng





sin cos sin cos 0

a x x b x x c

   





sin cos sin cos 0

a x x b x x c

   

Đặt

sin cos 2; 2 sin cos .

t x x x x





 

     



 







 

     



 



Đưa về giải phương trình với ẩn là

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

155

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

3 3

1 sin os sin 2 .

x c x x

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với

   

1 sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos .

x x x x x x x x

    

Đặt

sin cos 2; 2 sin cos .

t x x x x



 

     

 

Khi đó phương trình trở thành

 

2 2

3 3 2 2

1 1

1 3 3 3 3 5 0 1 2 5 0

2 2

1 2; 2 sin cos 0 sin 2 0 , .

t t

t t t t t t t t

t x x x x k



   

 

            

   

   

 

           

 



Vậy phương trình có nghiệm là: ,

x k k



 

 

 

 



Bài 2. Giải phương trình:





2 2 sin cos sin2 1

x x x

  

Lời giải:

đặt

sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1

t x x x x t



 

 

        

 

 

 

Khi đó phương trình trở thành:

 

2 2

2 2 1 1 2 2 0 2 2 0 0 os 0

t t t t t t t c x



 

             

 

 

4 2 4

x k x k k

  

 

       



Bài 3. Giải phương trình:

 

sin cos 1

1 2 sin cos 1

2 2

sin cos 2

x x



 

  

 

 



 

Lời giải:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

156

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Điều kiện:

sin cos 2 0

x x

  

(*).

Đặt

sin cos 2 os 2, 2 sin cos

4 2

t x x c x x x





 

 

       

 

 

 

Khi đó phương trình trở thành:

 

2 2

2 1

1 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2

t t t

 

        

 

 





3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 0

t t t

       

















 





2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 2 0

t t t t t t

             

2 os 2

2 os 1

c x





 

 

 







 



 





 



 



 

 



2 ,

4 4

x k

x k k

x k



 





 





 



   



  



 









( thỏa mãn (*) ).

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 2 , 2 ,

4 2

x k k k k

 

  

 

   

 

 



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

sin cos 7sin 2 1.

x x x

  

Bài 2. Giải phương trình





 

1 2 sin cos 2sin cos 1 2.

x x x x    

Bài 3. Giải phương trình

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

157

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

sin 2 2sin 1.

x x



 

  

 

 

Bài 4. Giải phương trình





sin3 os3 2 sin cos 1.

x c x x x

   

Bài 5. Giải phương trình

 

1 1

2 2 sin 2 tan cot 0.

sin cos

x x x

x x

 

     

 

 

Bài 6. Giải phương trình:

3 3

sin os sin cos 2

x c x x x     .

Bài 7. Giải phương trình:

3 3

1 sin os sin 2

x c x x

   .

Bài 8. Giải phương trình:





2 2

sin os cos sin 2 sin cos sin 2 2

sin cos sin cos

xc x x x x x x

x x x x

    



 

Bài 9. Giải phương trình:





 

1 2 sin cos 2sin cos 1 2

x x x x    

Bài 10.Giải phương trình:

sin 2 2sin 1

x x x



 

  

 

 

Bài 11.Giải phương trình:

sin cos 4sin 2 1

x x x

  

Bài 12.

Giải phương trình:









5 1 sin 2 16 sin cos 3 0

x x x

    

Bài 13.

Giải phương trình:

 









3 3

sin cos 1 2 sin os 1 2sin 2

x x x c x x

    

Bài 14.

Giải phương trình:









3 3

2 sin os sin cos sin2 0

x c x x x x

    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

158

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 15.

Giải phương trình:









3 3

2 sin os sin 2 sin cos 2 2

x c x x x x    .

Bài 16.

Giải phương trình:

















sin cos 1 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1

x x x x x x

     

PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX

Bài 1. Giải phương trình:









2 tan sin 3 cot cos 5 0

x x x x

    

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

sin cos

2 1 sin 3 1 cos 0

cos sin

x x

   

     

   

   

 

2 3

sin cos sin cos 0

cos sin

x x x x

x x

 

    

 

 

tan

sin cos sin cos 0

x x x x



 







  



Bài 2. Giải phương trình:









3 cot cos 5 tan sin 2

x x x x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

cos sin

3 1 cos 5 1 sin 0

sin cos

x x

   

     

   

   









3 cos sin sin cos 5 cos sin sin cos

sin os

x x x x x x x x

x c x

   

  

 

3 5

cos sin sin cos 0

sin os

x x x x

x c x

 

    

 

 

Bài 3. Giải phương trình:





2 sin cos tan cot

x x x x

   .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

159

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x



(*).

Khi đó phương trình tương đương với:

   

2 2

sin cos

2 sin cos 2 sin cos sin cos sin os 1

cos sin

x x

x x x x x x x c x

x x

       

Đặt

sin cos 2 os 2, 2 sin cos

4 2

t x x c x x x





 

 

       

 

 

 

Khi đó phương trình trở thành:

 

  

2 3 2

1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2

t t t t t t t t            

2 os 2 2 ,

4 4

c x x k k

 



 

      

 

 



. thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 ,

x k k



 

  

 

 



Bài 4. Giải phương trình:

cot tan sin cos

x x x x

  

Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x



Khi đó phương trình tương đương với:

  

cos sin

sin cos sin cos sin cos sin cos 0

sin cos

x x

x x x x x x x x

x x

       

 Xét sin cos 0 tan 1

x x x x k



         .

 Xét

sin cos sin cos 0

x x x x

  

(*), đặt

sin cos 2 cos 2, 2 sin cos

4 2

t x x x x x x





 

 

        

 

 

 

Khi đó phương trình (*) trở thành:

0 1 2 1 2 2 os 1 2

2 4

t t t c x





 

            

 

 

2 1

os os 2

4 4

c x c x k

 

  



 

        

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

160

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Vậy phương trình có nghiệm là:

2 1

, 2 , , os

4 4

x k k k c

 

   

 



 

       

 

 

 

 .

Bài 5. Giải phương trình:









3 tan cot 2 2 sin 2

x x x

   .

Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x



Khi đó phương trình tương đương với:

 





 

2 2

3 sin cos

sin cos

3 2 2 sin 2 2 2 sin 2

cos sin sin cos

x x

x x x x



 

     

 

 

    

2 2 sin 2 sin 2 2sin2 3 0 sin2 1 sin 2 3 0

sin2

x x x x x

          

. thỏa mãn điều kiện.

Bài 6. Giải phương trình:

2tan cot 3

sin 2

x x

   .

Lời giải:

Điều kiện:

sin2 0



Khi đó phương trình tương đương với:

 

2 sin cos 2

tan cot tan 3 tan 3

sin 2 cos sin sin 2

x x

x x x x

 

        

 

 

2 2

sin os 2

tan 3 tan 3 ,

sin cos sin2 3

x c x

x x x k k

x x x





         



Bài 7. Giải phương trình:

 

2 2

1 1

3 12 2 3 tan cot

sin os

x x

x c x

 

   

 

 

Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

161

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Khi đó phương trình tương đương với:









2 2

3 1 tan 1 cot 12 2 3 tan cot

x x x x

     









2 2

3 tan cot 2 2 3 tan cot 0

x x x x

     

       





3 tan cot 2 3 tan cot 0 tan cot 3 tan cot 2 3 0

x x x x x x x x

         

 Xét tan cot 0

4 2

x x x k

 

     .

 Xét

2 3 2 3

tan cot tan tan 1 0

3 3

x x x x

     

tan 3

tan

x k





  



 



 



  









BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình:

2 2

4sin 3tan 1

x x

 

Bài 2. Giải phương trình:

1 tan 2 2 sin

x x

 

Bài 3. Giải phương trình:

1 3sin2 2tan

x x

 

Bài 4. Giải phương trình:





2 3 3

tan 1 sin os 1 0

x x c x

   

Bài 5. Giải phương trình:

2sin cot 2sin 2 1

x x x

  

Bài 6. Giải phương trình:





sin 2 2cos 4 sin cos tan 1 0

x x x x x

     

Bài 7. Giải phương trình:

4 3

cot os 2 1

x c x

 

Bài 8. Giải phương trình:

2 2

sin tan os cot sin2 1 cot tan

x x c x x x x x

     .

Bài 9. Giải phương trình:

1 tan

1 sin2

1 tan



 



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

162

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 10. Giải phương trình:





3 sin tan

2cos 2

tan sin

x x



 



Bài 11. Giải phương trình:









tan cot 2 tan 2 1 os3 4sin3

x x x c x x

    .

Bài 12. Giải phương trình:

1 cos

tan

1 sin







Bài 13. Giải phương trình:

1 os

tan

1 sin

c x







Bài 14. Giải phương trình:

1 tan

1 sin2

1 tan



 



Bài 15. Giải phương trình:

1 os2

1 cot2

sin 2

c x



  .

Bài 16. Giải phương trình:

tan2 cot 8cos

x x x

  .

Bài 17. Giải phương trình:

tan cot 2cot 2

x x x

  .

Bài 18. Giải phương trình:





tan cot 2 sin 2 os2

x x x c x

   .

Bài 19. Giải phương trình:

cot tan 2tan2

x x x

 

Bài 20. Giải phương trình:

6tan 5cot3 tan 2

x x x

 

Bài 21. Giải phương trình:





2 cot 2 cot3 tan 2 cot3

x x x x

   .

Bài 22. Giải phương trình:

3tan3 cot2 2tan

sin 4

x x x

   .

Bài 23. Giải phương trình:

2tan cot 2 2sin 2

sin 2

x x x

   .

Bài 24. Giải phương trình:









cot 1 2 tan cot cos sin

x x x x x

    .

Bài 25. Giải phương trình:

sin 3

2 tan

c x



 



 

 

 

 



 

 

Bài 26. Giải phương trình:





3 tan 1

3tan 4 2sin 1

cos 4

x x





 

   

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

163

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các công thức biến đổi

4 4 2

sin os 1 sin 2

x c x x

  

6 6 2

sin os 1 sin 2

x c x x

  

2 2

2tan 1 tan

sin2 ; os2

1 tan 1 tan

x x

x c x

x x



 

 

Thường gặp các phương trình dạng:

2 2

asin sin cos cos 0

x b x x c x d

   

Hoặc





3 2 2 3

sin sin cos sin cos cos sin cos 0

a x b x x c x x d x m x n x

     

Phương pháp giải:

(i). Xét trường hợp

cos 0



có phải là nghiệm của phương trình hay không.

(ii). Xét trường hợp

cos 0



, khi đó chia cả hai vế của phương trình thứ nhất và thứ hai lần lượt

cho

cos

và

cos

. Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là

tan

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình





6 6

2 sin os sin cos

2 2sin

x c x x x

 





Lời giải:

Điều kiện:

sin (*).

x 

Khi đó phương trình tương đương với

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

164

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam





6 6

2 sin os sin cos 0

x c x x x

  

2 2

3 1

2 1 sin 2 sin 2 0 3sin 2 sin2 4 0

4 2

x x x x

 

       

 

 

  

sin2 1 3sin 2 4 0 sin 2 1 ,

x x x x k k



         



Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra

lẻ suy ra

 

2 1 2

4 4

x k k

 

    

Vậy nghiệm của phương trình là

2 , .

x k k



  



Bài 2. Giải phương trình

2 2

1 11 9

sin 2 cos6 sin 3 sin sin .

2 2 2

x x

x x x 

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

11 9

1 os4 os6 1 os6 sin sin

2 2

x x

c x c x c x   

11 9

1 os4 cos 6 sin sin

2 2

x x

c x s x  

   

  

1 1

1 os10 os2 os os10 os2 cos 2 0

2 2

2cos cos 3 0 cos 1 2cos 3 0 cos 1 2 , .

c x c x c x c x c x x

x x x x x x k k



        

            



Bài 3. Giải phương trình





5sin 2 3 1 sin tan .

x x x

  

Lời giải:

Điều kiện

cos 0.



Khi đó phương trình tương đương với

   

sin

5sin 2 3 1 sin tan 5sin 2 3 1 sin

x x x x x

c x

      

 

2 2

sin 3sin

5sin 2 3 1 sin 5sin 2

1 sin 1 sin

x x

x x x

x x

      

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

165

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam









2 2

5sin 2 1 sin 3sin 2sin 3sin 2 0

x x x x x

       









2sin 1 sin 2 0

x x

   

sin , .

x k





 



   



 







Bài 4. Giải phương trình:

3 3 2

4sin 3cos 3sin sin cos 0

x x x x x

   

Lời giải:

Nhận thấy

cos 0



không là nghiệm của phương trình.

Xét

cos 0



, khi đó chia cả hai vế của phương trình cho

cos

ta được phương trình:





3 2 2

4tan 3 3tan 1 tan tan 0

x x x x

    









3 2 2

tan tan 3tan 3 0 tan 1 tan 3 0

x x x x x

        

tan 1

tan 3

x k





 







  



 





  







Bài 5. Giải phương trình:

sin sin2 sin3 6cos

x x x x

  .

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

2 3 3

2sin cos 3sin 4sin 6cos 0

x x x x x

   

Nhận thấy

cos 0



không là nghiệm của phương trình.

Xét

cos 0



, khi đó chia hai vế của phương trình cho

c x

ta được phương trình





2 2 3

2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0

x x x x

    









3 2 2

tan 2tan 3tan 6 0 tan 2 tan 3 0

x x x x x

        

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

166

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

tan 2 tan

tan 3

x k

 





 



 





  



  

 





Bài 6. Giải phương trình:

1 3sin2 2tan

x x

 

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

3 2

2tan

1 3. 2tan 2tan tan 4tan 1 0

1 tan

x x x x

      



 

tan 1

tan 1 2tan 3tan 1 0

3 17

tan

x x x

 





     











BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình:

3 3 2

os 4sin 3cos sin sin 0

c x x x x x

   

Bài 2. Giải phương trình:

3 3

sin 3sin cos sin 2

6 3

x x x x

 

   

    

   

   

Bài 3. Giải phương trình :

3 3

sin os

os2

2cos sin

x c x

c x

x x







Bài 4. Giải phương trình:





sin os2 6cos 1 2cos2

xc x x x

  .

Bài 5. Giải phương trình:





3 3

2 os 2sin

sin 2

2sin 3cos

c x x

x x







Bài 6. Giải phương trình:

sin cos 4sin 0

x x x

  

Bài 7. Giải phương trình:









sin tan 1 3sin cos sin 3

x x x x x

   

Bài 8. Giải phương trình:

2sin 2sin

x x



 

 

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

167

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 9. Giải phương trình:

8cos os3

cos

x c x



 

 

 

 





Bài 10. Giải phương trình:

sin 2 sin

sin cos

x x



 

 

 

 





Bài 11. Giải phương trình:

5sin 4 cos

6sin 2cos

2cos2

x x

  .

Bài 12. Giải phương trình:

sin 3 os 3

6 3

sin 3 cos

os 2 sin 2

6 3

x c x

x x

c x x

 

   

  

   

   

 

   

  

   

   

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Các công thức sử dụng :

i. sin sin 2sin os

2 2

a b a b

a b c

 

  .

ii. sin sin 2sin cos

2 2

a b a b

a b

 

  .

iii. cos cos 2cos os

2 2

a b a b

a b c

 

  .

iv. cos cos 2sin sin

2 2

a b a b

a b

 

   .

Lưu ý :Các thừa số chung

1 sin2 ; os2 ;1 tan ;1 cot

x c x x x

   

có thừa số chung là

sin cos

x x



1 sin2 ; os2 ;1 tan ;1 cot

x c x x x

   

có thừa số chung là

sin cos

x x



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

168

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2 2

sin ,tan

x x

 có thừa số chung là









1 cos 1 cos

x x

  .

2 2

os ,cot

c x x

 có thừa số chung là









1 sin 1 sin

x x

  .

Lưu ý với Bài tập mẫu số 5. Các bài toán thường cho dưới dạng này.

Thông thường loại toán này có dạng :













sin . cos sin 0

a b x f x f x

  

Ta phân tích được













sin sin sin

f x a b x g x

 

Khi đó phương trình trở thành :

     

 

   

sin 0

sin cos sin 0

cos sin 0

a b x

a b x f x g x

f x g x

 



   



 



Ví dụ :Giải phương trình :













2 2

9sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 2sin 9sin 7 0

x x x x x x x x

           





















6cos 1 sin 1 sin 7 2sin 0 1 sin 6cos 2sin 7 0

x x x x x x x

           

sin 1

6cos 2sin 7 0

x x









  



BÀI TẬP MẪU

Lưu ý : Nhóm các số hạng với nhau dùng công thức cộng, trừ lượng giác

Bài 1.

Giải phương trình:

sin sin2 sin3 cos os2 os3

x x x x c x c x

    

Lời giải:

Phương trình tương đương với:









sin sin3 sin 2 cos os3 os2

x x x x c x c x

    

2sin 2 cos sin2 2cos2 cos os2

x x x x x c x

   









sin 2 2cos 1 os2 2cos 1

x x c x x

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

169

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

  

os2

2cos 1 sin 2 os2 0 ,

sin 2 os2

8 2

x k

c x

x x c x k

x c x

x k



 



  





 



      





 









Vậy phương trình có nghiệm là:

2 ; ,

3 8 2

x k k k

  



 

    

 

 



Bài 2.

Giải phương trình:

1 cos os2 os3 0

x c x c x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

   

3 3

cos3 1 cos os2 0 2cos 2cos os 0

2 2 2

x x x

x x c x c

      

3 3 3

2cos os os 0 os cos cos 0

2 2 2 2 2

x x x x x

c c c x

 

    

 

 

cos 0

os 0

3 3

x k



 





 





  







 









Bài 3.

Giải phương trình:

cos os2 os3 os4 0

x c x c x c x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

   

5 3 5

cos os4 os2 os3 0 2cos os 2cos os 0

2 2 2 2

x x x x

x c x c x c x c c

      

5 3 5

cos os os 0 os cos cos 0

2 2 2 2 2

x x x x x

c c c x

 

   

 

 

os 0

cos 0 ,

os 0

5 5

x k

x x k k

x k

 



 





 





    







 





PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

170

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 4.

Giải phương trình:

sin3 sin sin 2 0

x x x

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với:





sin3 sin sin 2 0 2cos2 sin 2sin cos 0

x x x x x x x

     









sin cos os2 0 sin 2cos cos 1 0

x x c x x x x

      

  

sin 0

sin cos 1 2cos 1 0 cos 1 ,

cos

x k

x x x x k

x k













        



  













Bài 5.

Giải phương trình:

os10 os8 os6 1 0

c x c x c x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với:









os10 os6 1 os8 0 2sin8 sin 2 2sin 4 0

c x c x c x x x x

       





4sin 4 sin 2 os4 os2 0 sin 4 sin 2 sin3 sin 0

x x c x c x x x x x

     

sin3 0

sin 4 0

x k













  

















Bài 6.

Giải phương trình:

1 sin cos3 cos sin 2 os2

x x x x c x

    

Lời giải:

Phương trình tương đương với:













1 os2 os3 cos sin sin 2 0

c x c x x x x

     





2sin 2sin 2 sin sin 1 2cos 0

x x x x x

    





sin 2sin 2sin 2 1 2cos 0

x x x x

    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

171

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

  

sin 0

sin 1 2cos 1 2sin 0 cos 2 ,

2 3

sin 2 , 2

6 6

x x k

x x x x x k k

x x k x k



 





 



          



    





Bài 7.

Giải phương trình:









2sin 1 2sin 2 1 3 4cos

x x x

    .

Lời giải:













2 2

2sin 1 2sin 2 1 3 4 1 sin 4sin 1

x x x x

      

















2sin 1 2sin 2 1 2sin 1 2sin 1

x x x x

     

















2sin 1 sin 2 sin 0 sin 2sin 1 2cos 1 0

x x x x x x

       

sin 0

1 5

sin 2 , 2 ,

2 6 6

cos 2

x x k

x x k x k k

x x k



 







 



       



   





Bài 8.

Giải phương trình:





cos sin cos sin cos cos2

x x x x x x

  .

Lời giải:

Phương trình tương đương với:









2 2

cos sin cos sin cos os sin

x x x x x c x x

  













cos cos sin sin cos sin 0

x x x x x x

    

 

cos 0 cos 0

os cos sin 0 ,

cos sin tan 1

x k

x x

c x x x k

x x x

x k





 



 

 

       



 

 

 



 







Bài 9.

Giải phương trình:









2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3

x x x x

    

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

172

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:













2sin 1 3cos4 2sin 4 4 1 sin 3 0

x x x x

       

















2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0

x x x x x

       









1 2sin 3cos4 3 0

x x

   

Bài 10.

Giải phương trình:

2 3

cos sin cos 0

x x x

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với:













2 3 2

os cos sin 0 cos cos 1 sin 1 os 0

c x x x x x x c x

       









1 cos cos sin sin cos 0

x x x x x

    

Bài 11. Giải phương trình

sin 2 sin .

4 4 2

x x

 

   

   

   

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

sin 2 sin sin 2 sin sin

4 4 2 4 4 4

2cos sin sin sin 2cos 1 0

4 4 4

x x x x

x x x x x

    

  

       

        

       

       

     

       

     

     

sin 0

, .

cos

x k





 



 

 

 



 



  



  









Bài 12. Giải phương trình

os2 3sin 2 5 2 sin 3.

c x x x



 

   

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

173

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Phương trình tương đương với

   

os2 3sin 2 5 2sin 3 os2 3 1 sin 2 5 sin cos 0

c x x x c x x x x



 

         

 

 

















sin cos 5 3 sin cos cos sin 0

x x x x x x

      

  

sin cos 4sin 2cos 5 0 sin cos 0 tan 1

x x x x x x x x k



              

Bài 13. Giải phương trình

tan tan 2

sin .

tan 1 2 4

x x





 

 

 



 

Lời giải:

Điều kiện

cos 0



Khi đó phương trình tương đương với

 

   

2 2 2

1 1

cos tan tan sin cos sin cos sin sin cos

2 2

x x x x x x x x x x

      

     

1 1

sin sin cos sin cos sin cos sin 0

2 2

x x x x x x x x

 

       

 

 

sin

2 2 , .

4 6 6

sin cos 0

x k x k x k k

x x

  







           



 





(thỏa mãn điều kiện).

Bài 14. Giải phương trình

sin sin 2 sin3 1 cos os2 .

x x x x c x

    

Lời giải:

Phương trình tương đương với









      

sin3 sin sin2 1 os2 cos 2sin 2 cos sin 2 2cos cos

sin 2 2cos 1 cos 2cos 1 cos 2cos 1 2sin 1 0

x x x c x x x x x x x

x x x x x x x

        

       

















sin cos cos sin 3 sin cos 5 sin cos 0

x x x x x x x x

       

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

174

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

cos 0

1 2 5

cos 2 2 2 , .

2 2 3 6 6

sin

x x k x k x k x k k

   









               









Bài 15. Giải phương trình

9sin 6cos 3sin2 os2 8.

x x x c x

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

    

    

9sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8

9sin 6cos 1 sin 2sin 7 0

6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0

1 sin 6cos 2sin 7 0 1 sin 0 2

x x x x x

x x x x

x x x x x k



    

     

     

          

Bài 16.

Giải phương trình:

sin sin2 sin3 cos os2 os3

x x x x c x c x

    

Lời giải:

Phương trình tương đương với:









sin sin3 sin 2 cos os3 os2

x x x x c x c x

    

2sin 2 cos sin2 2cos2 cos os2

x x x x x c x

   









sin 2 2cos 1 os2 2cos 1

x x c x x

   

  

os2

2cos 1 sin 2 os2 0 ,

sin 2 os2

8 2

x k

c x

x x c x k

x c x

x k



 



  





 



      





 









Vậy phương trình có nghiệm là:

2 ; ,

3 8 2

x k k k

  



 

    

 

 



Bài 17.

Giải phương trình:

2sin os2 cos 0

x c x x

  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

175

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Phương trình tương đương với:













3 2 2

2sin 1 2sin cos 0 2sin 1 sin 1 cos 0

x x x x x x

        

















2 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 0

x x x x

      

















1 cos 2 1 cos 1 sin 1 0

x x x

     













1 cos 1 2sin cos 2 sin cos 0

x x x x x

     

     





1 cos sin cos 2 sin cos 0

x x x x x

     













1 cos sin cos sin cos 2 0

x x x x x

     

1 cos 0 cos 1

sin cos 0 tan 1

x k

x x

x x x

x k







  

 



   

 



   

  

 





Bài 18.

Giải phương trình:

2cos os2 sin 0

x c x x

  

Lời giải:

Phương trình tương đương với:









3 2 2

2cos 2cos 1 sin 0 2cos 1 cos 1 sin 0

x x x x x x

        

















2 1 sin 1 sin 1 cos 1 sin 0

x x x x

      

















1 sin 2 1 sin 1 cos 1 0

x x x

     









1 sin 1 2sin cos 2sin 2cos 0

x x x x x

     













1 sin sin cos sin cos 2 0

x x x x x

     

1 sin 0 sin 1

sin cos 0 tan 1

x k

x x

x x x

x k





 



  

 

   



 

   

 



  







Bài 19.

Giải phương trình:





sin3 cos cos2 tan tan 2

x x x x x

  .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

176

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Điều kiện:

cos . os2 0

x c x



Khi đó phương trình tương đương với:

2 2

cos .sin3 os2 sin os sin2

x x c x x c x x

 









3 2

cos 3sin 4sin sin 2cos .cos os2 sin

x x x x x x c x x

   









2 3

cos sin 3 4sin sin os2 sin 2cos

x x x x c x x x

   

 Xét sin 0

x x k



  

, thỏa mãn điều kiện.

 Xét





2 3

cos 3 4sin os2 sin 2cos

x x c x x x

  





2 2

cos 3 4sin 2cos os2 sin cos cos2 os2 sin

x x x c x x x x c x x

     





os2 sin cos 0

c x x x

  

, đối chiếu với điều kiện thì phương trình này tương đương với:

sin cos 0 tan 1

x x x x k



       .

Vậy phương trình có nghiệm là: , ,

x k k k



 

 

  

 

 



Bài 20. Giải phương trình:

1 1

2sin3 2cos3

sin cos

x x

   .

Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x



Khi đó phương trình tương đương với:

 

3 3

1 1 1 1

2 sin3 os3 2 3sin 4sin 4 os 3cos

cos sin cos sin

x c x x x c x x

x x x x

        

   

 





2 2

sin cos

2 3 sin cos 4 sin cos sin os sin cos

sin cos

x x

x x x x x c x x x

x x



      

 Xét sin cos 0 tan 1

x x x x k



         .

 Xét

 

2 3 4 1 sin cos 2sin cos 4sin cos 1 1

sin cos

x x x x x x

x x

     













sin 2 2sin 2 1 1 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1 2sin 2 1 0

x x x x x x

          

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

177

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

sin 2 1

sin 2

x k





 













   



 







 





Vậy phương trình có nghiệm là:

, , ,

4 2 12 12

x k k k k

   

 

 

     

 

 



Bài 21. Giải phương trình:





 

cos cos 1

2 1 sin

sin cos

x x



 



Lời giải:

Điều kiện:

sin cos 0

x x

 

Khi đó phương trình tương đương với





















1 sin 1 sin cos 1 2 sin cos 1 sin

x x x x x x

     









1 sin sin cos sin cos 1 0

x x x x x

     

   

sin 1

1 sin 1 cos 0 ,

cos 1

x k

x x k

x k



 



 

  





      



 



 





thỏa mãn điều kiện.

Bài 22. Giải phương trình:





2 2

3cot 2 2 sin 2 3 2 cos

x x x

  

Lời giải:

Điều kiện:

x k





Khi đó phương trình tương đương với:

 

3cos

2 2 sin 2 3 2 cos

sin

x x

  

2 2 4 2

3cos 2sin cos 2 2sin 3 2 cos sin 0

x x x x x x

    









2 2

cos 2 sin 3cos 2sin 0

x x x x

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

178

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2 2

3cos 2sin 0

2 cos cos 2 0

cos 2sin 0 2cos 3cos 2 0

x x

x x x x

 

 

  

 

 

    

 

 

cos

1 3

cos cos

x k



 











  



  



 



  

 









thỏa mãn điều kiện.

Bài 23. Giải phương trình

2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0

4 4

x x x x

 

   

    

   

   

Lời giải:

Phương trình tương đương với

      

2 2 cos sin sin cos sin 2 sin cos 2 2 sin cos 0

x x x x x x x x x

      













sin cos 4 cos sin sin 2 4 0

x x x x x

     

Ta có









2 2

4 cos sin sin 2 4 4 cos sin 2sin cos 5 sin cos

x x x x x x x x x

        

      

cos sin 4 cos sin 5 cos sin 1 cos sin 5

x x x x x x x x

         

Vậy phương trình tương đương với













cos sin cos sin 1 cos sin 5 0

x x x x x x

     

tan 1

cos sin 0

2 ,

cos sin 1 0

sin

4 2

x k

x x

x k k

x x

x k



 



  



 





 





     

 



  

 



 



 



 







Vậy phương trình có nghiệm là ; 2 ; 2 ,

4 2

x k k k k

 

   

 

     

 

 



Bài 24. Giải phương trình

 

2sin sin cos 2 sin2 sin4

x x x x x

  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

179

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

2sin sin cos 2 sin 2 .2sin 2 cos2

x x x x x x

  









2sin sin cos 2 sin2 1 cos2

x x x x x

   

 





2 2 2

2sin sin cos 2 2 sin sin 2 sin sin cos 2 sin 2 0

x x x x x x x x x

      

sin 0

2 ,

sin sin 2

sin cos 2 sin 2 0

4 3

x k

x k k

x x

x x x



 

















     

  



 

  

 





 













Vậy phương trình có nghiệm là

; 2 ; ,

4 4 3

x k k k k

  

 

 

   

 

 



BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:

Bài 1. Giải phương trình :

3 3

os sin sin cos

c x x x x

   .

Bài 2. Giải phương trình:

3 3

cos sin sin2 sin cos

x x x x x

    .

Bài 3. Giải phương trình:

3 2

cos os 2sin 2 0

x c x x

   

Bài 4. Giải phương trình:

2 3

sin sin os 0

x x c x

  

Bài 5. Giải phương trình:

cos 4sin cos 0

x x x

 

Bài 6. Giải phương trình:

3 3

2sin sin 2cos cos os2

x x x x c x

    .

Bài 7. Giải phương trình:

4cos 3 2 sin 2 8cos

x x x

 

Bài 8. Giải phương trình:

2 3 4 2 3 4

sin sin sin sin cos os os os

x x x x x c x c x c x

       .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

180

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 9. Giải phương trình:

4 4

cos sin sin 2

2 2

x x

  .

Bài 10. Giải phương trình:

   

4 2

sin 3 sin sin 3 sin 1 0

2 2

x x

    

Bài 11. Giải phương trình:

1 1

2 2 sin

4 sin cos

x x



 

  

 

 

Bài 12. Giải phương trình:

1 1 2

sin sin 2 sin 4

x x x

  .

Bài 13. Giải phương trình:

5sin3 3sin5 0

x x

 

Bài 14. Giải phương trình:

2cos2 8cos 7

cos

x x

   .

Bài 15. Giải phương trình:





os 1 cot 3

3cos

sin cos

c x x

x x

 





Bài 16. Giải phương trình:

2 2

1 sin sin os sin 2cos

2 2 4 2

x x x

x c x



 

   

 

 

Bài 17. Giải phương trình:

   

3 3

sin 1 cot os 1 tan os2

x x c x x c x

    .

Bài 18. Giải phương trình:

 

5sin 5tan

4 1 cos 0

sin tan

x x



  



Bài 19. Giải phương trình:

 

sin cos 2sin

sin sin 3

2 4 4 1 cot

x x x

x x

 

 

 

   

   

   

 



   

 

Bài 20. Giải phương trình :





2sin 1 os2 sin 2 1 2cos .

x c x x x

   

Bài 21. Giải phương trình:

os2 3sin 2 5sin 3cos 3.

c x x x x

   

Bài 22. Giải phương trình:









3 2

4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos

2sin 1

x x x x x x

    





Bài 23. Giải phương trình:

4 6

os os2 2sin 0

c x c x x

  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

181

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 24. Giải phương trình:

4cos 2cos2 os4 1

x x c x

  

Bài 25. Giải phương trình:









os2 5 2 2 cos sin cos

c x x x x

    .

Bài 26. Giải phương trình:

2sin os2 sin

x c x x

  .

Bài 27. Giải phương trình:





4sin 2 3cos 2 3 4sin 1

x x x

  

Bài 28. Giải phương trình:





sin 4 os4 1 4 sin cos

x c x x x

   

Bài 29. Giải phương trình:

 





sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3 0

x x x x x x

      

BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1. Giải phương trình:

4cos sin sin os2

6 6

x x x c x

 

   

  

   

   

Bài 2. Giải phương trình:

2 4

4sin sin sin 4 3cos os os 2

3 3 3 3

x x x xc x c x

   

       

     

       

       

Bài 3. Giải phương trình:

cos cos 4sin sin

3 2 2 6 2

x x

 

   

    

   

   

Bài 4. Giải phương trình:









2sin 5 1 2cos2 1 2sin

x x x

  

ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC

Đặt

t ax b

 

, với

nhỏ nhất, mục đích là biến đổi các biểu thức thành các cung lượng giác

,2 ,3 ,...

t t t

. Sau đó dùng công thức hạ bậc để giải phương trình với ẩn là

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

182

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình

3 1 3

sin sin .

10 2 2 10 2

x x

 

   

  

   

   

Lời giải:

Đặt

3 3

10 2 10 2

x x

t t

 



     

, khi đó phương trình trở thành

 

sin sin 3 2sin sin3 2sin 3sin 4sin

t t t t t t t



      

 

sin 0

sin 1 4sin 0 sin 2cos2 1 0

os2

t t t t

c t







      







2 ,

x k

t k

x k k

t k

x k





 



 





    



  







 







Bài 2. Giải phương trình

sin 3 sin 2 sin .

4 4

x x x

 

   

  

   

   

Lời giải:

Đặt 3 3 ;2 2

4 4 2

t x x t x t

  



       

, khi đó phương trình trở thành

 

sin 3 sin 2 sin sin3 sin cos2 3sin 4sin sin cos2

t t t t t t t t t t



 

       

 

 

 

sin 0

sin 3 4sin os2 0 sin 1 os2 0

os2 1

t t c t t c t

c t





       



 



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

183

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 

2 2 1

x k

t k

x k





  







  



 





 







Bài 3. Giải phương trình

8cos os3 .

x c x



 

 

 

 

Lời giải:

Đặt 3 3

t x x t



    

, khi đó phương trình trở thành





3 3 3 3

8cos os 3 8cos os3 8cos 3cos 4cos

t c t t c t t t t



       

 

cos 0

3cos 4cos 1 0 cos 2cos2 1 0

os2

t t t t

c t







      



 



x k

t k

x k

t k

x k





 







 



    



  











BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình

sin 2 5sin os3 .

3 6

x x c x

 

   

   

   

   

Bài 2. Giải phương trình

32cos sin6 1.

x x



 

  

 

 

Bài 3. Giải phương trình

2cos sin3 os3 .

x x c x



 

  

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

184

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 4. Giải phương trình

6 8

2cos 1 3cos .

5 5

x x

 

Bài 5. Giải phương trình

os9 2cos 6 2 0

c x x



 

   

 

 

NHÂN HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VỚI MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Giải phương trình:

sin 5cos sin

2 2

x x

x

Lời giải:

Nhận thấy

os 0



, không là nghiệm của phương trình.

Nhân hai vế của phương trình với

cos 0



, ta được:

3 3

2sin os 10cos sin os sin3 sin 2 5 os sin

2 2 2 2

x x x x

c x c x x c x x

   





3 3

3sin 4sin 2sin cos 5cos sin

x x x x x x

   





3 2

sin 5cos 2cos 3 4sin 0

x x x x

    









sin cos 1 5cos cos 1 0

x x x x

    

 Xét

sin 0 2sin os 0 sin 0 2

2 2 2

x x x

x c x k



       , do

os 0



 Xét cos 1 0

x x k



     .

 Xét

1 21

cos os

5cos cos 1 0

1 21

cos os

x c

x k

x x

x k

x c



 

 





 

 



  





    



  



 



 





PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

185

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 2. Giải phương trình:





2sin3 1 4sin 1

x x

 

Lời giải:

nhận thấy

cos 0



không là nghiệm của phương trình:

nhân hai vế của phương trình với

cos 0



, ta được













2 3

2sin3 1 4 1 os cos cos 2sin3 4cos 3cos cos

x c x x x x x x x

     

14 7

2sin3 cos3 cos sin 6 cos sin

10 5

x k

x x x x x x

x k

 



 



 



 

      



 

 



 





PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC

Sau khi biến đổi phương trình có dạng:





 

sin ,cos ,tan ,cot

F x x x x

G x x x x



Lưu ý: Khi giải phương trình dạng này ta phải xét điều kiện mẫu thức khác 0, nên khi giải xong

phải đối chiếu lại xem ngiệm có thỏa mãn điều kiện không.

Ta nên để điều kiện có nghiệm của phương trình dưới dạng thô.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình:

1 1 2

cos sin 2 sin 4

x x x

 

Lời giải:

Điều kiện:

sin4 4sin cos cos2 0

x x x x

 

(*).

Khi đó phương trình tương đương với:

1 1 2

cos 2sin cos 4sin cos cos2

x x x x x x

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

186

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam





2sin cos2 os2 1 2sin cos 2 2sin 0 2sin os2 sin 0

x x c x x x x x c x x

        

 

sin 0

sin 2sin sin 1 0 sin 1

sin

x x x x









      









Đối chiếu với điều kiện (*), thì chỉ có nghiệm

sin ,

x k





 



  



 







Bài 2.

Giải phương trình:

 

2sin os4 os2

sin cos sin 2

x c x c x

x x x

 





Lời giải:

Điều kiện:





sin cos sin 2 0

x x x

 

(*).

Khi đó phương trình tương đương với:

2sin os4 os2 0 1 os2 os4 os2 0

x c x c x c x c x c x

       





2cos 2 2cos2 0 os2 os2 1 0

x x c x c x

     

Xét

cos2 1 0 sin 2 0

x x

   

loại, do không thỏa mãn điều kiện (*).

Xét









cos2 0 cos sin cos sin 0

x x x x x

    

, đối chiếu với điều kiện (*) ta suy ra chỉ có:

cos sin 0 tan 1 ,

x x x x k k



         



là nghiệm của phương trình.

Bài 3.

Giải phương trình:

1 2sin 3 2 sin sin 2

2sin cos 1

x x x

x x

  





Lời giải:

Điều kiện:

sin 2 1



(*).

Khi đó phương trình tương đương với:

2 2

1 2sin 3 2 sin sin 2 sin2 1 2sin 3 2 sin 2 0

x x x x x x

        

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

187

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

  

sin 2 2sin 2 0 sin ,

x k

x x x k

x k





 



       



 







Đối chiếu với điều kiện (*) chỉ có nghiệm

x k



  là nghiệm của phương trình.

Bài 4.

Giải phương trình:

1 os4 sin 4

2sin 2 1 os4

c x x

x c x







Lời giải:

Điều kiện:

sin 2 0 sin 2 0

1 os4 0 os2 0

x x

c x c x

 

 



 

  

 

Khi đó phương trình tương đương với:

2 2

1 os 4 2sin 2 sin 4 sin 4 2sin2 sin 4

c x x x x x x

   





sin 2 sin 4 os2 1 0

x x c x

  

, đối chiếu với điều kiện thì phương trình này vô nghiệm.

Bài 5.

Giải phương trình:

sin sin2 sin3

cos os2 os3

x x x

x c x c x

 



 

lời giải:

Phương trình tương đương với:





 

sin 2 1 2cos

sin sin 2 sin3

3 3

cos os2 os3 os2 1 os2

x x

x x x

x c x c x c x c x



 

  

  

cos

1 2 os 0

tan 2 3

6 2 3

x mx

c x

x k x m



 







  





 



 

   



 











    











BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:

Bài 1. Giải phương trình:

sin2 2cos 1

cos

cos os3 sin3 sin

x x

x c x x x

 



  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

188

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 2. Giải phương trình:





os 1 cot 3

3cos

sin cos

c x x

x x

 





Bài 3. Giải phương trình:





3 3

2 os 2sin

sin 2

2sin 3cos

c x x

x x







Bài 4. Giải phương trình:





2 cos sin

tan cot2 cot 1

x x

x x x





 

Bài 5. Giải phương trình:

 

2 2

cot tan

16 1 os4

os2

x x

c x



 

Bài 6. Giải phương trình:

4 4

sin 2 os 2

os 4

tan cot

4 4

x c x

c x

x x

 





   

 

   

   

Bài 7. Giải phương trình:





3 os2 cot 2

2sin2 2

cot2 os2

c x x

x c x



 



Bài 8. Giải phương trình:

4 4

sin os 7

cot cot

3 6

x c x

x x

 





   

 

   

   

Bài 9. Giải phương trình:

sin sin2 sin3

cos os2 os3

x x x

x c x c x

 



 

Bài 10. Giải phương trình:

1 os2

1 cot2

sin 2

c x



  .

Bài 11. Giải phương trình:

tan3 cot 1

x x

 

Bài 12. Giải phương trình:

sin cot5

os9

x x

c x



Bài 13. Giải phương trình:

cos 2sin cos

2cos sin 1

x x x

x x





 

Bài 14. Giải phương trình:

1 os4 sin 4

2sin 2 1 os4

c x x

x c x







Bài 15. Giải phương trình:

4cos sin sin os2

6 6

sin cos

x x x c x

x x

 

   

  

   

   





BÀI TẬP TỔNG HỢP

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

189

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 1. Tìm





2;x

 

thỏa mãn phương trình





2 2 1

2 1

sin 2 sin 1

1 1 4

x x





 

  

 

 

 

Bài 2. Tìm các nghiệm

;

 

 





 

2 1 2 1 2 1

sin sin cos 0

3 3

x x x

  

  

Bài 3. Giải phương trình:

2011tan cot 2 1005 3

sin 2

x x

 

  

 

 

Bài 4. Giải phương trình:

 

sin 1

2 1 cos cot 1

sin cos

x x



  



Bài 5. Giải phương trình:

sin3 cos3 2 2 cos 1 0

x x x



 

    

 

 

Bài 6. Giải phương trình:

1 tan

16cos 4 2sin 4

4 1 tan

x x





 

  

 



 

Bài 7. Giải phương trình:

5 cos2

2cos

3 2tan







Bài 8. Giải phương trình:

1 3 7

4cos cos2 cos4 cos

2 4 2

x x x

   

Bài 9. Giải phương trình:

tan tan sin3 sin sin 2

6 3

x x x x x

 

   

   

   

   

Bài 10. Giải phương trình:

5 3 2

2sin 2sin cos cos2 sin 0

x x x x x

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

190

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 11. Giải phương trình:

   

1 cos 1 cos2 1 cos3

x x x

   

Bài 12. Giải phương trình:

3 3

sin cos cos2 tan tan

4 4

x x x x x

 

   

   

   

   

Bài 13. Giải phương trình:

2cos cos2 cos3 5 7cos2

x x x x

 

Bài 14. Giải phương trình:





2 2 3 3

tan tan sin 1 cos 0

x x x x

   

Bài 15. Giải phương trình:

 

2 2

1 8 1

2cos cos sin2 3cos sin

3 3 2 3

x x x x x



 

      

 

 

Bài 16. Giải phương trình:

 

2 2

sin sin 2

1 sin 2 0

sin 2 sin

x x

 

   

 

 

Bài 17. Giải phương trình:

 

2 2

2 1

cos cos sin 1

3 3 2

x x x

 

   

    

   

   

Bài 18. Giải phương trình:

3 3

sin sin3 cos cos3 1

tan tan

6 3

x x x x

x x

 





   

 

   

   

Bài 19. Giải phương trình:

cos3 sin 2 cos4 sin2 sin3 1 cos

x x x x x x

   

Bài 20. Giải phương trình:

 

sin cos 2sin

sin sin 3

1 cot 2 4 4

x x x

x x

 

 

 

   

   

   

 



   

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

191

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 21. Giải phương trình:

 

2 2

2 3

tan cot tan cot 2

x x x x

   

Bài 22. Giải phương trình:

sin sin sin cos 1

x x x x

   

Bài 23. Giải phương trình:





cos 3 sin2 sin 4cos2 cos 2cos 2 0

x x x x x x

     

Bài 24. Giải phương trình:

 

cos 2 cos4 tan 2 cot 1

x x x x

   

Bài 25. Giải phương trình:

2 2

3 4sin 2 2sin 4

6sin 2cos

sin

x x



 

  

 

 

 

 



 

 

Bài 26. Giải phương trình:

sin 3 8sin 2 sin 2

x x x



 

   

 

 

Bài 27. Giải phương trình:

sin

1 3

2sin sin 2sin

6 2 3 2 3

x x

  

  

     

  

     

     

Bài 28. Giải phương trình:

  

1 7

1 sin 1 cos 2sin sin 2

2 4 6

cos2

tan 1 2

x x x x



 

     

 

 





Bài 29. Giải phương trình:

 

cos4

2 2 1 cos cos2

2cos 1

x x



 

 

 

 

 

Bài 30. Giải phương trình:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

192

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.1.

 

2 2

sin9 cos sin8 cos8

2 2

x x x x   

1.2.

   

2 2

sin9 cos sin8 cos8 sin2 cos 2 0

2 2

x x x x x x

     

Bài 31. Giải phương trình:

1.1.

sin 3

2 cot

sin cos 4

x x



 



 

 

 

 

 



 

1.2.





3sin 2 1 2cos cos3

1 2cos cos2

x x x

x x

 



 

1.3.





3 sin2 3sin 2cos 3cos 5

x x x x

   

1.4.

2cos 2cos 3

4 3sin 0

sin

x x

 

 

1.5.

1 1

2 sin 2 4sin 1

sin 6 2sin

x x



   

    

   

   

1.6.

2 sin 1

tan

cos2 4cos 3 2 2

x x





 

1.7.

2 2 sin cos cos 2sin 2 3

8 2 8 2

x x

 

 

   

    

   

 

   

 

1.8.

   

2 sin cos 1 2sin 2

1 tan

sin3 sin5

x x x

x x

 

 



1.9.









2 sin 1 sin 2 3sin 1 sin 4 cos

x x x x x

   

1.10.





  

1 cos2 sin2

2 sin3 sin 1 sin

1 sin

x x

x x x



  



1.11.





2sin 3sin cos 2cos3 3

2sin 1

x x x x

  





1.12.





3cot tan 3 8cos 0

x x x

  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

193

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.13.

3 3

2 3 2

cos3 cos sin3 sin

2sin 4 2

x x x x



 





1.14.





3 cos2 cot3

4sin cos

cot3 cos2 4 4

x x

 



   

  

   



   

1.15.

3 3

cos sin

sin cos

sin2

x x



 

1.16.













9 6 6 1 cos2 3 2 sin 2 4 2 cos 2 sin

x x x x

      

1.17.

 

sin sin3 sin9

sin 3 cos 0

cos3 cos9 cos27

x x x

x x

x x x

 

   

 

 

1.18.

 

4 4

1 cot2 cot

1 6 sin cos

cos

x x



  

1.19.

cos2 3sin2 1

sin

x x



  

 



 

 

1.20.

tan tan 4tan cos tan

2 2

x x x x



 

  

 

 

1.21.

 

cos cos5 11

8sin 2 4 cos2 1

cos3 cos 2

x x



 

    

 

 

1.22.

cos 3sin 3 1

cos 3sin 1

x x

 

  

 

 

 

1.23.

2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0

4 4

x x x x

 

   

    

   

   

1.24.









sin tan 2 3 cos2 sin cos

x x x x x

  

1.25.

 

2sin sin2

2 sin 2 1

3cos 2

x x



 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.26.

sin cos 1

tan

sin cos 1 2 4

x x x

x x



 

 

 

 

 

 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

194

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.27.

 

2sin sin cos 2 sin2 sin4

x x x x x

  

1.28.

1 tan

8cos 2 sin 4

4 1 tan

x x



 



 

  

 



 

1.29.





2 sin3 cos3 sin 2 1 2 2

x x x    

1.30.

5sin 2cos3 1 5cos3 2sin 1

x x x x

    

1.31.





1 tan cos5 sin cos 2cos4 2cos2

x x x x x x

    

1.32.

   

2 2 2

2sin 1 cot 2 3 2cos 1 0

x x x



 

 

    

 

 

 

 

1.33.

 

1 2cos . os3 os

2 cos sin

1 sin 2

x c x c x

x x



 

 

 

 

 



1.34.

tan 2 2

tan3

1 2sin 2





 

 

 

 

1.35.

1 os3

cot 2sin 3

2 sin2 sin 3

x c x

x x





 

  

 



 

1.36.

 

2 1 sin 2 sin os2 0

x x c x



 

   

 

 

1.37.

4cos sin 1

4 4 2

2cos2 2cos 1

2sin

x x

 

   

  

   

   

  

1.38.









  

cos sin 2sin 2 1 4cos 2

cos sin 2sin 2 1 2

x x x x

x x x

  



  

1.39.





3 2

3 1 sin

3tan 3tan 8cos

tan 4 2

x x





 

   

 

 

1.40.

 

tan os3 2cos2 1

3 sin2 cos

1 2sin

xc x x

x x

 

 



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

195

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.41.





2 2

4 1 sin cos cos3 4sin cos

8cos sin

4 2

sin 2 1

x x x x x



   

 

 

 

 

 

 

 

 

1.42.

1 sin cos

.tan tan 2 3

sin 4 2

x x x



 

 

  

 

 

1.43.

1 cos2 1

tan 2 1

1 cos cos

x x



 

  

 



 

1.44.









2 2

2sin 2sin sin 3 sin 3 2sin 1

x x x x x

  

1.45.

 

4cos 1 sin 2 2 sin 7 sin3 cos 5

12 3

x x x x x

 

 

   

    

   

 

   

 

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/54

| | Tải xuống

Preview text:

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 3:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 142 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác 143 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Phương trình lượng giác cơ bản:
cos x  cos  x     2k 
x    2k s 
 in x  sin   
x     2k , k   
tan x  tan  x    k 
cot x  cot  x    k 
Bài 1. Giải phương trình   2 2  2 cos
cos x  1 cos  
 sin 2x  2  Lời giải:
Phương trình tương đương với   2 2  c x   c   
x   c  2 2 cos os 1 os sin 2 1
os  cos x  1 cos sin 2x  2   c  2  c
x  c  x 2 os os os sin 2   o
c s x  
 sin 2x  k 2 2  o
c s x   sin 2x  2k  o
c s2x  2sin 2x  4k 1 (*) 1 5 1 5
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 4k  2 2 2 1  1  2   k   k  0 . 4 4
Khi đó phương trình (*) trở thành 2
cos2x  2 sin 2x  1  2 cos x  4 sin x cos x  0  cos x  cos x  2sin x  0 . 144 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x  0   x   k 1    1  2
, k , tan   . tan x    2  2 x     k    1 
Vậy phương trình có nghiệm là x   k , 
  k , k , tan   .  2 2 
Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình    c   2 os
3x  9x  160x  800   1   8  Lời giải:
Phương trình tương đương với   2
3x  9x 160x  800  2
 k 2 , k   9x  160x  800  3x 16k 8
3x 16k  0
3x 16k  0       25
9x 160x  800   3x  2k2 2
9x  24k  40     3k  5 k  2  k  10 
Vậy với x, k    253k  5     x  7 x  31   
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là x  7  , x  3   1 .
Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình   1   2 os c  x  2x   sin      2  x    2  Lời giải:
Phương trình tương đương với 145 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   1     2  os c  x  2x   sin      2  x   os c    2
x  2x  sin   2  x    2    2     2 x  2x 2
  x  k 2  sin   2
x  2x  sin  2  x    , k     2 x  2x 2
   x  k 2   x  k k  0 3 1    x  0     
 k  0  x   0 1 4k 3 min  x  k   2   2 3 1
Vậy nghiệm của phương trình là x  . 2
Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn 0;14 thỏa mãn phương trình o
c s3x  4 cos 2x  3cos x  4  0 Lời giải:
Phương trình tương đương với 3
4 cos x  3cos x  4cos2x   1  3cos x  0  3 2
 4 cos x  8 cos x  0  cos x  0  x 
 k , k  2 
0  x  14  0 
 k  14  k 0,1, 2,  3 2
 3 5 7 
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là x   ; ; ;   2 2 2 2 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  1
 ,10 của phương trình   3 sin x os c  cos x sin  5 5 2
Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 146 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC c
 x   c  x  2 2 os os 1 
Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình    c   2 os
3x  9x  80x  40   1   10 
Bài 4. Giải phương trình 8 4 x  x    2 3 2 sin
16x  2x  0
Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn 0; 2 của phương trình  os c 3x+sin3x  5 sin x   os c 2x  3    1 2sin 2x    
Bài 6. Tìm nghiệm x  ; 
 thỏa mãn phương trình  2 
2sin 2x  3cos 2x  2 3sin x  cos x  7
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX
Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến đổi tương tự.  1 1       
sin x  cos x  2 sin x  os c x  2 sin x   2 os c x         2 2   4   4   1 3       
sin x  3 cos x  2 sin x 
cos x   2sin x   2 os c x       2 2   3   6     3 1       
3 sin x  cos x  2  sin x 
cos x   2sin x   2 cos x       2 2   6   3    BÀI TẬP MẪU 147 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải phương trình: sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2x Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với  1 3 
sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2x  2 sin 3x  os
c 3x   2sin 2x  2 2        3x 
 2x  k 2 x   k 2   3    3  2 sin 3x   2 sin 2x     , k      3   4 2 3x  2x k 2      x   k  3    15 5
Bài 2. Giải phương trình x  x x  c x   3 sin cos sin 2 3 os3 2 o
c s4x  sin x Lời giải:
Phương trình tương đương với 1 1 3 1 sin x  sin 3x  sin x  3 o c s3x  2 o c s4x  sin x  sin 3x 2 2 2 2   
 sin 3x  3cos3x  2cos4x  cos 3x   cos4x    6      3x 
 4x  k 2 x    k 2  6  6       2 3x 4x k 2      x   k  6    42 7
Bài 3. Giải phương trình
3 sin 2x  sin x  o
c s2x  cos x  2 148 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:
Phương trình tương đương với
3 sin 2x  sin x  o
c s2x  cos x  2  3 1   3 1    sin 2x  os c 2x    sin x  cos x   1  2 2   2 2                 2   os c 2x   sin x   1  2 sin x   sin x   0          3   6   6   6        x   k sin x   0     6  6    
 x    k 2 , k        1 sin x          6  2 x   k2  3
Bài 4. Giải phương trình          3sin x   4sin x   5sin 5x   0.        3   6   6  Lời giải:
Phương trình tương đương với            3sin x   4 cos  x   5  sin 5x          3  2   6   6         7   3sin x   4 cos
 x  5sin 5x         3   3   6  4 3 Đặt sin  ; cos 
, khi đó phương trình tương đương với 5 5     7  9  k   k 5sin x 
   5sin 5x   x     x         3   6  24 4 2 36 6 3 149 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1 2sin xcos x
Bài 5. Giải phương trình:  3
1 2sin x1 sin x Lời giải: s  in x  1  Điều kiện:  1 (*) sin x     2
Khi đó phương trình tương đương với: x  x   2 cos sin 2
3 1 2 sin x  sin x  2 sin x  cos x  sin 2x  3 o
c s2x  sin x 1 3 3 1
 cos x  3 sin x  3 os c
2x  sin 2x  cos x  sin x  os c 2x  sin 2x 2 2 2 2      2x   x   2k x   2k    6 3      2  o c s x   cos s 2x      , k        3   6     2k
2x   x   2k x     6 3  18 3  2k
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: x    , k   . 18 3
Bài 6. Giải phương trình: o
c s2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  4  0 . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:  1 3   1 3   os c 2x 
sin 2x    cos x  sin x   2  0  2 2   2 2                     os c 2x   os c x   2  0   os c 2 x     os c x   2  0            3   3    3    3             2   os c 2 x   os c x   2  0  2  cos x  1 os c x   2  0          3   3   3   3                os c x  1 2  os c x   3  0  os c x  1  0             3     3    3     x 
 k2  x 
 k 2 , k   . 3 3 150 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   
Vậy phương trình có nghiệm là: x 
 k 2 , k   .  3 
Bài 7. Giải phương trình: sin x  3 cos xsin 3x  2 Lời giải:
Phương trình tương đương với:  1 3      sin x 
cos x  sin 3x  1  sin x  sin 3x  1    2 2   3         1   sin x   1   Do   3 
nên phương trình tương đương với  1   sin 3x  1      s  in x   1     3   s   in 3x  1     x   k    6  s  in x   1      3    s  in 3x  1  
Bài 8. Giải phương trình:  4 4
4 sin x  cos x  3 sin 4x  3  1 tan 2x tan x sin 4x Lời giải:
Điều kiện: cos x cos 2x  0 (*).
Phương trình đã cho tương đương với:  1 
 sin x sin 2x  cos x cos 2x 2  4 1
sin 2x  3 sin 4x  3  sin 4x      2   cos x cos 2x  151 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 3     os c
4x  3 sin 4x  2sin 2x  os c 4x 
sin 4x  sin 2x  sin 4x   sin 2x   2 2  6      4x 
 2x  k 2 x    k  6  12    
, k   thỏa mãn (*).  5 
4x     2x  k2  x   k  6  36 3
Bài 9. Giải phương trình 3 sin 2x  cos x  sin x  cos 2x  2 Lời giải:
Phương trình tương đương với 3 1 1 3
3 sin 2x  cos 2x  sin x  3 cos x  2  sin 2x  cos 2x  sin x  cos x  1 2 2 2 2            2    cos 2x   cos x   1  2 cos x   cos x   0          3   6   6   6    x   k      3 cos x   0      6       x   k 2 , k      1  2 cos x        5   6  2   x    k 2  6   5 
Vậy phương trình có nghiệm là x    k ;  k 2 ; 
 k 2 , k    3 2 6  2
sin x sin 2x  2 sin x cos x  sin x  cos x
Bài 10. Giải phương trình  6 o c s2x    o c s x     4  Lời giải: 152 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    Điều kiện: os c x   0    4 
Khi đó phương trình tương đương với 2 2
2 sin x cos x  2 cos x sin x  sin x  cos x  6 os c 2x
1 sin x  cos x 2 3 1 1
 1 2sin x cos x  3 os c 2x  os c 2x  sin 2x  2 2 2      2x    k 2 x   k    6 3    12  o c s 2x   o c s        6  3    2x k 2      x    k  6 3  4 
Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm x   k thỏa mãn 12   
Vậy phương trình có nghiệm x  
 k , k   12 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình 2 2 o
c s x  3 sin 2x  1 sin . x
Bài 2. Giải phương trình  4 4
4 sin x  cos x   3 sin 4x  2.
Bài 3. Giải phương trình
2 2 sin x  cos x cos x  3  cos2 . x
Bài 4. Giải phương trình  x    x    x 2   3x   2 sin   6cos   2 sin   2 sin  .          5 12   5 12   5 3   5 6 
Bài 5. Giải phương trình 153 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC      
cos x  sin 2x   sin 2x   1  3     1 2cos x.  6   6    
Bài 6. Giải phương trình: 4 16 cos x 
 4 3 cos 2x  5  0   .  4 
Bài 7. Giải phương trình: 2 2
3 cos x tan x  sin x  4 tan x  sin x tan x  3 cos x .      2 x  2 3 cos x  2sin     2 4 
Bài 8. Giải phương trình:  1. 2 cos x 1 3sin x   1 2 3 cos x   1 1
Bài 9. Giải phương trình:  .
sin x 2 3 cos x   1 2 1 cos x  1 
Bài 10. Giải phương trình:  2 cos x    sin x  2 
Bài 11. Giải phương trình: 3 sin 2x  cos x  sin x  cos 2x  2
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX Phương trình có dạng
a sin x  cos x  b sin x cos x  c  0
a sin x  cos x  b sin x cos x  c  0 2  t 1
t  sin x  cos x   2; 2   sin x cos x  .    2 Đặt  2  1 t
t  sin x  cos x   2; 2   sin x cos x  .     2
Đưa về giải phương trình với ẩn là t. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình 154 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 3 3 1 sin x  o c s x  sin 2 . x 2 Lời giải:
Phương trình tương đương với   x  x3 1 sin cos
 3sin x cos x sin x  cos x  3sin x cos . x 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x   2; 2  sin x cos x  .   2
Khi đó phương trình trở thành 2 2  t 1   t 1  3 3 2 1 t  3 t  3
 t  3t  3t  5  0      t   1  2 t  2t   5  0 2 2     k  t  1
   2; 2   sin x cos x  0  sin 2x  0  x  , k .   2   
Vậy phương trình có nghiệm là: x  k , k   .  2 
Bài 2. Giải phương trình:
2 2 sin x  cos x  sin 2x  1. Lời giải:    đặt 2
t  sin x  cos x  2 cos x 
  2, 2   sin 2x  t 1   . 4    
Khi đó phương trình trở thành:    t   2 t   2 2 2
1  1  t  2 2t  0  t t  2 2  0  t  0  os c x   0    4    3  x  
 k  x 
 k , k   . 4 2 4
Bài 3. Giải phương trình:      x x sin x cos x 1 1 2 sin cos 1     2  2  0 .
sin x  cos x  2 Lời giải: 155 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Điều kiện: sin x  cos x  2  0 (*). 2    t 1
Đặt t  sin x  cos x  2 o c s x 
  2, 2  sin x cos x    . 4     2
Khi đó phương trình trở thành:  2  t  1  1 2 t   1  1        2
2  2  2t 2  t  2 2  2  2   3 2
  2t  2 2t  2  2t  2  2 2  0  t   2 2
 2t  2 2  2t  2  2  0  t  2t  
1  2t  2  2  0     2 os c x   2    t  2  4      t  1      2 os c x   1      4      x   k2 x k2    4  4   
 x  k 2
, k  ( thỏa mãn (*) ).   
 x    k2    4 4 x   k2  2    
Vậy phương trình có nghiệm là: x 
 k2 , k 2 ,
 k2 , k   .  4 2 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình
sin x  cos x  7 sin 2x  1.
Bài 2. Giải phương trình
1 2sin x cos x  2sin xcos x 1 2.
Bài 3. Giải phương trình 156 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   
sin 2x  2 sin x   1.    4 
Bài 4. Giải phương trình
sin 3x  cos3x  2 sin x  cos x  1.
Bài 5. Giải phương trình  1 1 
2  2  sin 2x 
 tan x  cot x  0.    sin x cos x 
Bài 6. Giải phương trình: 2 3 3 sin x  os c
x  sin x  cos x   2 . 2
Bài 7. Giải phương trình: 3 3 3 1 sin x  o c s x  sin 2x . 2
Bài 8. Giải phương trình: 2 2 sin x o
c s x  cos x sin x  2 sin x  cos x  sin 2x  2  0.
sin x  cos x  sin x cos x
Bài 9. Giải phương trình:
1 2sin x cos x  2sin xcos x 1 2 .
Bài 10.Giải phương trình:   
sin 2x  2 sin x x   1   .  4 
Bài 11.Giải phương trình: sin x  cos x  4 sin 2x  1 . Bài 12.
Giải phương trình: 51 sin 2x 16sin x  cos x  3  0 . Bài 13. Giải phương trình:  x  x    3 3 sin cos 1 2 sin x  o c s x   1  2 sin 2x . Bài 14. Giải phương trình:  3 3
2 sin x  cos x  sin x  cos x  sin 2x  0 . 157 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 15. Giải phương trình:  3 3
2 sin x  cos x  sin 2xsin x  cos x  2 2 . Bài 16.
Giải phương trình: sin x  cos x   1  2 sin 2x  
1  sin x  cos x 2sin 2x   1 .
PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX
Bài 1. Giải phương trình: 2 tan x  sin x  3cot x  cos x  5  0 . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với  sin x   cos x  2  1 sin x  3 1 cos x  0      cos x   sin x   2 3  
 sin x  cos x  sin x cos x   0    cos x sin x   3 tan x     2
sin x  cos x sin xcos x  0 
Bài 2. Giải phương trình: 3cot x  cos x  5 tan x  sin x  2 . Lời giải:
Phương trình tương đương với:  cos x   sin x  3  1 cos x  5  1 sin x  0      sin x   cos x 
3cos x  sin x  sin x cos x 5cos x  sin x  sin x cos x    0 sin x o c sx  3 5    
cos x  sin x  sin x cos x  0 .  sin x os c x 
Bài 3. Giải phương trình: 2 sin x  cos x  tan x  cot x . 158 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 (*).
Khi đó phương trình tương đương với: sin x cos x
2 sin x  cos x   
2 sin x cos xsin x  cos x 2 2  sin x  o c s x  1 cos x sin x 2    t 1
Đặt t  sin x  cos x  2 o c s x 
  2, 2  sin x cos x    . 4     2
Khi đó phương trình trở thành: 2  2t   3 1 t  1 
2t  2t  2  0  t  2 2
2t  2t  2  0  t  2 2      2 os c x   2  x 
 k 2 , k   
 . thỏa mãn điều kiện (*).  4  4   
Vậy phương trình có nghiệm là: x 
 k 2 , k   .  4 
Bài 4. Giải phương trình: cot x  tan x  sin x  cos x Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0
Khi đó phương trình tương đương với: cos x sin x 
 sin x  cos x  sin x  cos xsin x  cos x  sin x cos x  0 sin x cos x  
Xét sin x  cos x  0  tan x  1   x    k . 4  Xét
sin x  cos x  sin x cos x  0 (*), đặt 2    1 t
t  sin x  cos x   2 cos x x 
  2, 2   sin x cos x    . 4     2
Khi đó phương trình (*) trở thành: 2 1 t    t 
 0  t  1 2  t  1 2   2 o c s x   1 2   2  4     2 1   os c x    os
c   x  
  k 2   .  4  2 4 159 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vậy phương trình có nghiệm là:     2 1  x    k , 
   k 2 , k , os c   .  4 4 2   
Bài 5. Giải phương trình: 3 tan x  cot x  2 2  sin 2x . Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với:    2 2 3 sin x  cos sin cos x x x  3   2   2  sin 2x 
 2 2  sin 2x  cos x sin x  sin x cos x 6 
 2 2  sin 2x 2
 sin 2x  2 sin 2x  3  0  sin 2x   1 sin 2x   3  0 sin 2x . thỏa mãn điều kiện. 2
Bài 6. Giải phương trình: 2 tan x  cot x  3  . sin 2x Lời giải:
Điều kiện: sin 2x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với: 2  sin x cos x  2
tan x  cot x  tan x  3     tan x  3    sin 2x  cos x sin x  sin 2x 2 2 sin x  o c s x 2    tan x  3 
 tan x  3  x 
 k , k  . sin x cos x sin 2x 3
Bài 7. Giải phương trình:  1 1  3 
12  2 3 tan x  cot x  . 2 2     sin x os c x  Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 . 160 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Khi đó phương trình tương đương với:  2 2
3 1 tan x 1 cot x 12  2 3  tan x  cot x   2 2
3 tan x  cot x  2  2 3  tan x  cot x  0   x  x2 3 tan cot
 2 3  tan x  cot x  0   tan x  cot x 3 tan x  cot x  2 3  0   
Xét tan x  cot x  0  x   k . 4 2 2 3 2 3  Xét 2
tan x  cot x   tan x  tan x 1  0 3 3   tan x  3 x   k   3  1   tan x      3 x    k  6
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình: 2 2
4sin x  3 tan x  1 .
Bài 2. Giải phương trình: 1 tan x  2 2 sin x .
Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2x  2 tan x .
Bài 4. Giải phương trình: 2 x  3  x 3 tan 1 sin  o
c s x 1  0 .
Bài 5. Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2x 1 .
Bài 6. Giải phương trình: 2
sin 2x  2 cos x  4 sin x  cos x  tan x   1  0 .
Bài 7. Giải phương trình: 4 3 cot x  o c s 2x 1.
Bài 8. Giải phương trình: 2 2
sin x tan x  o
c s x cot x  sin 2x  1 cot x  tan x . 1 tan x
Bài 9. Giải phương trình:  1 sin 2x . 1 tan x 161 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3sin x  tan x
Bài 10. Giải phương trình:  2 cos x  2 . tan x  sin x
Bài 11. Giải phương trình:  tan x  cot x  2 tan 2x 1 cos3x  4 sin 3x . 1 cos x
Bài 12. Giải phương trình: 2 tan x  . 1 sin x 3 1 o c s x
Bài 13. Giải phương trình: 2 tan x  . 3 1 sin x 1 tan x
Bài 14. Giải phương trình:  1 sin 2x . 1 tan x 1 o c s2x
Bài 15. Giải phương trình: 1 cot 2x  . 2 sin 2x
Bài 16. Giải phương trình: 2
tan 2x  cot x  8cos x .
Bài 17. Giải phương trình: 3
tan x  cot x  2 cot 2x .
Bài 18. Giải phương trình: tan x  cot x  2 sin 2x  cos2x .
Bài 19. Giải phương trình: cot x  tan x  2 tan 2x .
Bài 20. Giải phương trình: 6 tan x  5 cot 3x  tan 2x .
Bài 21. Giải phương trình: 2cot 2x  cot 3x  tan 2x  cot 3x . 2
Bài 22. Giải phương trình: 3 tan 3x  cot 2x  2 tan x  . sin 4x 1
Bài 23. Giải phương trình: 2 tan x  cot 2x  2 sin 2x  . sin 2x
Bài 24. Giải phương trình: cot x 1 
2  tan x  cot xcos x  sin x .    sin 3x     4
Bài 25. Giải phương trình: 2 tan x    .    o c s x     4  3 tan x 1  7 2   
Bài 26. Giải phương trình: 3 tan x   4 2 sin x   1   . cos x  4  162 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các công thức biến đổi 1 4 4 2 sin x  o c s x  1 sin 2x 2 3 6 6 2 sin x  o c s x  1 sin 2x 4 2 2 tan x 1 tan x sin 2x  ; o c s2x  2 2 1 tan x 1 tan x
Thường gặp các phương trình dạng: 2 2
a sin x  b sin x cos x  c cos x  d  0 Hoặc 3 2 2 3
a sin x  b sin x cos x  c sin x cos x  d cos x   m sin x  n cos x  0
Phương pháp giải:
(i). Xét trường hợp cos x  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.
(ii). Xét trường hợp cos x  0 , khi đó chia cả hai vế của phương trình thứ nhất và thứ hai lần lượt cho 2 cos x và 3
cos x . Ta được các phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba với ẩn là tan x . BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình  6 6
2 sin x  cos x  sin x cos x  0. 2  2sin x Lời giải: 2
Điều kiện: sin x  (*). 2
Khi đó phương trình tương đương với 163 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  6 6
2 sin x  cos x  sin x cos x  0  3  1 2 2  2 1 sin 2x 
sin 2x  0  3sin 2x  sin 2x  4  0    4  2   sin 2x  
1 3sin 2x  4  0  sin 2x 1  x 
 k , k  4  5
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra k lẻ suy ra x   2k   1    k 2 4 4 5
Vậy nghiệm của phương trình là x 
 k2 , k  .  4
Bài 2. Giải phương trình 1 11x 9x 2 2
sin 2x cos 6x  sin 3x  sin sin . 2 2 2 Lời giải:
Phương trình tương đương với 11x 9x 11x 9x 1 o c s4x o c s6x 1 o c s6x  sin sin  1 o
c s4x cos s6x  sin sin 2 2 2 2 1 1  1  o c s10x  o
c s2x   o c sx  o c s10x  o
c s2x  cos x  2  0 2 2 2
 2 cos x  cos x  3  0  cos x   1  2cos x  
3  0  cos x  1  x  k 2 , k .
Bài 3. Giải phương trình x     x 2 5sin 2 3 1 sin tan . x Lời giải:
Điều kiện cos x  0.
Khi đó phương trình tương đương với 2 sin x
5sin x  2  31 sin x 2
tan x  5sin x  2  31 sin x 2 o c s x 2 2 sin x 3sin x
 5sin x  2  31 sin x  5sin x  2  2 1 sin x 1 sin x 164 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   x    x 2 2 5 sin 2 1 sin
 3sin x  2 sin x  3sin x  2  0   x   k 2 1  6  2sin x  
1 sin x  2  0  sin x    , k . 2 5  x   k 2  6
Bài 4. Giải phương trình: 3 3 2
4sin x  3cos x  3sin x  sin x cos x  0 . Lời giải:
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình.
Xét cos x  0 , khi đó chia cả hai vế của phương trình cho 3
cos x ta được phương trình: 3 x   x  2  x 2 4 tan 3 3 tan 1 tan  tan x  0 3 2  x  x  x     x    2 tan tan 3 tan 3 0 tan 1 tan x   3  0      tan  1 x k x  4     , k  tan x   3  
x    k  3
Bài 5. Giải phương trình: 3
sin x sin 2x  sin 3x  6 cos x . Lời giải:
Phương trình tương đương với: 2 3 3
2sin x cos x  3sin x  4sin x  6cos x  0
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình.
Xét cos x  0 , khi đó chia hai vế của phương trình cho 3 o
c s x ta được phương trình 2 x  x  2  x 3 2 tan 3 tan 1 tan
 4 tan x  6  0 3 2  x  x  x     x    2 tan 2 tan 3 tan 6 0 tan 2 tan x   3  0 165 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 x    k
tan x  2  tan      , k  . tan x   3  x    k   3
Bài 6. Giải phương trình:
1 3sin 2x  2 tan x . Lời giải:
Phương trình tương đương với: 2 tan x 3 2 1 3.
 2 tan x  2 tan x  tan x  4 tan x 1  0 2 1 tan x tan x  1 tan x  1  2 2 tan x 3 tan x  1 0        3  17 tan x   4
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình: 3 3 2 o
c s x  4sin x  3cos x sin x  sin x  0 .      
Bài 2. Giải phương trình: 3 3 sin x   3sin x 
 cos x  sin 2x     .  6   3  3 3 sin x  o c s x
Bài 3. Giải phương trình :  o c s2x .
2 cos x  sin x
Bài 4. Giải phương trình: sin xcos2x  6 cos x 1 2 cos 2x .  3 3 2 os c x  2 sin x
Bài 5. Giải phương trình:  sin 2x .
2 sin x  3cos x
Bài 6. Giải phương trình: 2
sin x  cos x  4sin x  0 .
Bài 7. Giải phương trình: 2
sin x tan x  
1  3sin x cos x  sin x  3.   
Bài 8. Giải phương trình: 3 2 sin x   2 sin x   .  4  166 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   3  8 cos x   cos3x    3
Bài 9. Giải phương trình:   0 . 1 cos x  2   3  sin x   2 sin x    4 
Bài 10. Giải phương trình:  0 . sin x  cos x 5sin 4x cos x
Bài 11. Giải phương trình: 3
6sin x  2 cos x  . 2 cos 2x     2  sin 3x   cos  3x      6   3
Bài 12. Giải phương trình:
  sin x  3 cos x       o c s 2x   sin 2x       6   3 
BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Các công thức sử dụng : a  b a  b
i. sin a  sin b  2sin o c s . 2 2 a  b a  b
ii. sin a  sin b  2 sin cos . 2 2 a  b a  b
iii. cos a  cos b  2 cos o c s . 2 2 a  b a  b
iv. cos a  cos b  2sin sin . 2 2
Lưu ý :Các thừa số chung 1   sin 2 ; x o c s2 ; x 1 tan ;
x 1 cot x có thừa số chung là sin x  cos x . 1   sin 2 ; x o c s2 ; x 1 tan ;
x 1 cot x có thừa số chung là sin x  cos x . 167 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2
 sin x, tan x có thừa số chung là 1 cos x1 cos x . 2 2  o
c s x, cot x có thừa số chung là 1 sin x1 sin x .
Lưu ý với Bài tập mẫu số 5. Các bài toán thường cho dưới dạng này.
Thông thường loại toán này có dạng :
a  b sin x. f cos x  f sin x  0
Ta phân tích được f sin x  a  b sin x g sin x
Khi đó phương trình trở thành :
a  b sin x  0
a  bsin x f cos x  g sin x  0  
f cos x  g sin x  0 
Ví dụ :Giải phương trình : x  x   x 2  x    x  x   2 9 sin 6 cos 1 sin 2 sin 7 0 6 cos 1 sin 2
 sin x  9sin x  7  0
 6 cos x 1 sin x  1 sin x 7  2 sin x  0  1 sin x 6 cos x  2sin x  7  0 sin x  1  
6 cos x  2sin x  7  0  BÀI TẬP MẪU Lưu ý :
Nhóm các số hạng với nhau dùng công thức cộng, trừ lượng giác Bài 1.
Giải phương trình: sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  o c s2x  o c s3x . Lời giải:
Phương trình tương đương với:
sin x  sin 3x  sin 2x  cos x  o
c s3x  cos2x
 2sin 2x cos x  sin 2x  2 cos 2x cos x  o c s2x
 sin 2x 2 cos x  
1  cos2x  2 cos x   1 168 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2  1 x    k2 o c s2x     x  x c x 3 2 cos 1 sin 2 os2 0       2   , k     sin 2x cos2x   x   k   8 2  2   
Vậy phương trình có nghiệm là: x    k2 ;  k , k  .  3 8 2  Bài 2.
Giải phương trình: 1 cos x  o c s2x  o c s3x  0 . Lời giải: 3x 3x x
Phương trình tương đương với: cos 3x   1  cos x  o c s2x 2  0  2 cos  2 cos o c s  0 2 2 2 3x  3x x  3x x  2 cos os c  cos  0  cos cos x cos  0   2  2 2  2 2   cos x  0 x   k  2     , 3 k x   o c s  0  2   2 x   k  3 3 Bài 3.
Giải phương trình: cos x  o c s2x  o c s3x  o c s4x  0 . Lời giải:
Phương trình tương đương với: 5x 3x 5x x cos x  o
c s4x   o c s2x  o
c s3x  0  2cos cos  2 cos cos  0 2 2 2 2 5x  3x x  5x x cos cos  cos  0  cos cos x cos  0   2  2 2  2 2 x   o c s  0
x    k 2  2    cos x 0    x   k , k     2  5x   o c s  0  2  2 x   k  5 5 169 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 4.
Giải phương trình: sin 3x  sin x  sin 2x  0 . Lời giải:
Phương trình tương đương với:
sin 3x  sin x  sin 2x  0  2 cos 2x sin x  2sin x cos x  0  x  x  c x   x  2 sin cos os2 0 sin
2 cos x  cos x   1  0  sin x  0  x  k  sin x cos x  1  2cos x  1 0 cos x 1           , k     x    k2  1  3 cos x   2 Bài 5. Giải phương trình: o c s10x  o c s8x  o
c s6x 1  0 . Lời giải:
Phương trình tương đương với: c x  c
x    c x 2 os10 os6 1 os8
 0  2sin 8x sin 2x  2 sin 4 x  0
 4sin 4x sin 2x cos4x  cos2x  0  sin 4x sin 2x sin 3x sin x  0   x  k sin 3x  0  3    , k    sin 4x  0   x  k  4 Bài 6.
Giải phương trình: 1 sin x  cos 3x  cos x  sin 2x  o c s2x . Lời giải:
Phương trình tương đương với:
1 cos2x   o
c s3x  cos x  sin x  sin 2x  0 2
 2 sin x  2 sin 2x sin x  sin x 1 2 cos x  0
 sin x 2 sin x  2 sin 2x 1 2 cos x  0 170 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   sin x  0  x  k   1 
sin x 1 2cos x1 2sin x 0       cos x    x    k 2 , k   2  3  1   5 sin x   x 
 k 2 , x   k 2  2  6 6 Bài 7. Giải phương trình:  x   x   2 2 sin 1 2 sin 2 1  3  4 cos x . Lời giải:  x   x      2  x 2 2sin 1 2 sin 2 1 3 4 1 sin  4sin x 1  2 sin x   1 2sin 2x  
1   2 sin x   1 2 sin x   1  2sin x  
1 sin 2x  sin x  0  sin x2 sin x   1  2 cos x   1  0   sin x  0 x  k   1  5   sin x    x 
 k 2 , x 
 k 2 , k    2  6 6  1   cos x  x    k2  2  3 Bài 8.
Giải phương trình: cos x  sin x cos x sin x  cos x cos 2x . Lời giải:
Phương trình tương đương với:  x  x x x  x  2 2 cos sin cos sin cos
cos x  sin x
 cos x cos x  sin xsin x  cos x  sin x  0   x   k cos x  0 cos x  0  2  c x  x  x 2 os cos sin  0     , k     cos x  sin x tan x  1   
 x   k  4 Bài 9. Giải phương trình:  x   x  x   2 2 sin 1 3 cos 4 2 sin 4  4 cos x  3 . 171 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:   x   x  x     2 2 sin 1 3cos 4 2 sin 4
4 1  sin x  3  0  2 sin x  
1 3cos 4x  2 sin x  4  1 2 sin x1 2 sin x  0
 1 2sin x3cos 4x  3  0 . Bài 10. Giải phương trình: 2 3
cos x  sin x  cos x  0 . Lời giải:
Phương trình tương đương với:  2 c x  x 3  x   x  x    x  2 os cos sin 0 cos cos 1 sin 1 o c s x  0
 1 cos xcos x  sin x  sin x cos x  0 .
Bài 11. Giải phương trình       2 sin 2x   sin x   .      4   4  2 Lời giải:
Phương trình tương đương với       2        sin 2x   sin x    sin 2x   sin  sin x           4   4  2  4  4  4          
 2 cos x sin x   sin x   sin x        2 cos x   1  0  4   4   4        sin x   0 x   k    4    4     , k  .   1   cos x  x    k 2   2  3
Bài 12. Giải phương trình  9  os c
2x  3sin 2x  5 2 sin x   3.    4  172 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:
Phương trình tương đương với  9  os c
2x  3sin 2x  5 2 sin x   3  os c 2x  3  
1 sin 2x  5sin x  cos x  0  4    x  x x  x   x  x2 sin cos cos sin 3 sin cos
 5sin x  cos x  0
 sin x  cos x5  3sin x  cos x  cos x  sin x  0 
 sin x  cos x4sin x  2cos x  
5  0  sin x  cos x  0  tan x  1   x    k 4
Bài 13. Giải phương trình 2 tan x  tan x 2     sin x  . 2   tan x 1 2  4  Lời giải:
Điều kiện cos x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với 1 1 2 cos x  2
tan x  tan x  sin x  cos x 2
 sin x  cos x sin x 
sin x  cos x 2 2 1  1 
 sin x sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x sin x   0   2  2   1 sin x    5   2  x  
 k  x 
 k2  x 
 k2 , k  .
 (thỏa mãn điều kiện).  4 6 6
sin x  cos x  0 
Bài 14. Giải phương trình
sin x  sin 2x  sin 3x  1 cos x  o c s2 . x Lời giải:
Phương trình tương đương với  x  x  x    c x 2 sin 3 sin sin 2 1 os2
 cos x  2 sin 2x cos x  sin 2x  2 cos x  cos x
 sin 2x 2 cos x  
1  cos x 2 cos x  
1  cos x2 cos x   1  2sin x   1  0 173 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x  0  1  2  5   cos x    x 
 k  x  
 k 2  x   k 2 x 
 k 2 , k .  2 2 3 6 6  1 sin x   2
Bài 15. Giải phương trình
9 sin x  6 cos x  3sin 2x  o c s2x  8. Lời giải:
Phương trình tương đương với 2
9 sin x  6 cos x  6 sin x cos x  1 2sin x  8
 9 sin x  6 cos x 1 sin x 2  2 sin x  7  0
 6 cos x 1 sin x  1 sin x 2sin x  7  0 
 1 sin x6 cos x  2sin x  7  0  1 sin x  0  x   k 2 2 Bài 16.
Giải phương trình: sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  o c s2x  o c s3x . Lời giải:
Phương trình tương đương với:
sin x  sin 3x  sin 2x  cos x  o
c s3x  cos2x
 2sin 2x cos x  sin 2x  2 cos 2x cos x  o c s2x
 sin 2x 2 cos x  
1  cos2x  2 cos x   1  2  1 x    k2 o c s2x     x  x c x 3 2 cos 1 sin 2 os2 0       2   , k     sin 2x cos2x   x   k   8 2  2   
Vậy phương trình có nghiệm là: x    k2 ;  k , k  .  3 8 2  Bài 17. Giải phương trình: 3 2sin x  o
c s2x  cos x  0 . 174 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:
Phương trình tương đương với: 3 x   2  x 2 2sin 1 2 sin
 cos x  0  2 sin x 1 sin x  1 cos x  0
 21 cos x1 cos x1 sin x  1 cos x  0
 1 cos x21 cos x1 sin x   1  0
 1 cos x1 2sin x cos x  2sin x  cos x  0    x  x  x2 1 cos sin cos
 2sin x  cos x  0
 1 cos xsin x  cos xsin x  cos x  2  0
 x  k 2 1   cos x  0 cos x  1      , k    
sin x  cos x  0 tan x  1     x    k  4 Bài 18. Giải phương trình: 3 2cos x  o
c s2x  sin x  0 . Lời giải:
Phương trình tương đương với: 3 2 2
2 cos x  2 cos x 1 sin x  0  2 cos x 1 cos x  1 sin x  0
 2 1 sin x1 sin x1 cos x  1 sin x  0
 1 sin x 21 sin x1 cos x   1  0
 1 sin x1 2sin x cos x  2 sin x  2 cos x  0
 1 sin xsin x  cos xsin x  cos x  2  0   x   k 2 1   sin x  0 s  in x  1  2     , k    
sin x  cos x  0 tan x  1    
 x    k  4 Bài 19. Giải phương trình: x  x x  2 sin 3 cos cos 2
tan x  tan 2x . 175 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải: Điều kiện: cos . x o c s2x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với: 2 2 cos . x sin 3x  o
c s2x sin x  o
c s x sin 2x  x  3 x  x  x  2 cos 3sin 4 sin sin 2 cos . x cos x  o
c s2x sin x  x x  2  x  x  3 cos sin 3 4sin sin o
c s2x sin x  2 cos x 
Xét sin x  0  x  k , thỏa mãn điều kiện.  Xét x  2  x 3 cos 3 4 sin
 cos2x sin x  2 cos x  x  2 2 cos
3  4sin x  2 cos x  o
c s2x sin x  cos x cos 2x  o
c s2x sin x  o
c s2x sin x  cos x  0 , đối chiếu với điều kiện thì phương trình này tương đương với: 
sin x  cos x  0  tan x  1  x   k . 4   
Vậy phương trình có nghiệm là: x 
 k , k , k   .  4  1 1
Bài 20. Giải phương trình: 2sin 3x   2 cos 3x  . sin x cos x Lời giải:
Điều kiện: sin x cos x  0 .
Khi đó phương trình tương đương với: 1 1 1 1 2sin 3x  o c s3x    2 3 3
3sin x  4sin x  4 o
c s x  3cos x   cos x sin x cos x sin x   sin x  cos x
2 3sin x  cos x  4sin x  cos x 2 2 sin x  o
c s x  sin x cos x  sin x cos x  
Xét sin x  cos x  0  tan x  1   x    k . 4 1 
Xét 23  41 sin x cos x 
 2 sin x cos x 4sin x cos x   1  1 sin x cos x  x  x   2 sin 2 2 sin 2
1  1  2 sin 2x  sin 2x 1  0  sin 2x   1  2 sin 2x   1  0 176 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   x   k  4 sin 2x  1       1  x   k sin 2x    12  2  7 x   k  12     7 
Vậy phương trình có nghiệm là: x   k ,   k ,
 k , k  .  4 2 12 12 
Bài 21. Giải phương trình: 2
cos x cos x   1  21 sin x sin x  cos x Lời giải:
Điều kiện: sin x  cos x  0
Khi đó phương trình tương đương với
1 sin x1 sin xcos x  
1  2sin x  cos x1 sin x
 1 sin xsin x  cos x  sin x cos x   1  0    x   x    k   x2 sin 1 2 1 sin 1 cos x 0        2 , k  
 thỏa mãn điều kiện. cos x  1   
x    k 2 
Bài 22. Giải phương trình: 2 2
3cot x  2 2 sin x  2  3 2  cos x Lời giải:
Điều kiện: x  k
Khi đó phương trình tương đương với: 2 3cos x 2
 2 2 sin x  2  3 2 cos x 2   sin x 2 2 4 2
 3cos x  2 sin x cos x  2 2 sin x  3 2 cos x sin x  0   2 x  x 2 cos 2 sin
3cos x  2 sin x  0 177 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2
3cos x  2 sin x  0
 2 cos x  cos x  2  0     2 2
cos x  2 sin x  0 
2 cos x  3cos x  2  0   1 cos x     2 x    k2     3
, k   thỏa mãn điều kiện.  1   3  cos x   cos x     k 2    2  3    
Bài 23. Giải phương trình 2 2 cos 2x  sin 2x cos x   4 sin x   0      4   4  Lời giải:
Phương trình tương đương với 2
2 2 cos x  sin x sin x  cos x 
sin 2x sin x  cos x  2 2 sin x  cos x  0 2
 sin x  cos x4cos x  sin x  sin 2x  4  0 Ta có  x  x  x    x  x 2 2 4 cos sin sin 2 4 4 cos sin
 2 sin x cos x  5  sin x  cos x   x  x2 cos sin
 4cos x  sin x  5  cos x  sin x  
1  cos x  sin x  5
Vậy phương trình tương đương với
cos x  sin xcos x  sin x  
1 cos x  sin x  5  0   x    k  4 tan x  1 
cos x  sin x  0         x   k 2 , 2 k    
cos x  sin x 1  0   sin x    2     4  2
x    k2      
Vậy phương trình có nghiệm là x    k ;
 k 2 ;  k2 , k    4 2  2
Bài 24. Giải phương trình 2
2sin x sin x  cos x  2 sin 2x  sin 4x 2 178 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải:
Phương trình tương đương với 2 2
2sin x sin x  cos x  2 sin 2x 
.2 sin 2x cos 2x 2 2
 2sin x sin x  cos x  2 sin 2x1 cos 2x 2  x  x  x 2 2 2 sin sin cos
 2 2 sin x sin 2x  sin x sin x  cos x  2 sin 2x  0   x  k  x  k sin x 0          x 
 k 2 , k     
sin x  cos x  2 sin 2x  0 sin x   sin 2x  4      4   2   k  4 3    2 
Vậy phương trình có nghiệm là x  k ;  k2 ;  k , k    4 4 3 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài 1. Giải phương trình : 3 3 o
c s x  sin x  sin x  cos x .
Bài 2. Giải phương trình: 3 3
cos x  sin x  sin 2x  sin x  cos x .
Bài 3. Giải phương trình: 3 2 cos x  o
c s x  2sin x  2  0 .
Bài 4. Giải phương trình: 2 3
sin x  sin x  o c s x  0 .
Bài 5. Giải phương trình: 2
cos x  4sin x cos x  0 .
Bài 6. Giải phương trình: 3 3
2sin x  sin x  2 cos x  cos x  o c s2x .
Bài 7. Giải phương trình: 3
4 cos x  3 2 sin 2x  8cos x .
Bài 8. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4
sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  o c s x  o c s x  o c s x . 179 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x x
Bài 9. Giải phương trình: 4 4 cos  sin  sin 2x . 2 2 x x
Bài 10. Giải phương trình:  x   4   x   2 sin 3 sin sin 3 sin 1  0 . 2 2    1 1
Bài 11. Giải phương trình: 2 2 sin x      .  4  sin x cos x 1 1 2
Bài 12. Giải phương trình:   . sin x sin 2x sin 4x
Bài 13. Giải phương trình: 5sin 3x  3sin 5x  0 . 1
Bài 14. Giải phương trình: 2 cos 2x  8 cos x  7  . cos x 2 o
c s x 1 cot x  3
Bài 15. Giải phương trình:  3cos x . sin x  cos x x x   x 
Bài 16. Giải phương trình: 2 2 1 sin sin x  cos sin x  2 cos    . 2 2  4 2  3
Bài 17. Giải phương trình: 3
sin x 1 cot x 3  o
c s x 1 tan x  o c s2x . 2
5sin x  5 tan x
Bài 18. Giải phương trình:
 4 1 cos x  0 . sin x  tan x 2        
sin x  cos x2 2  2 sin x
Bài 19. Giải phương trình: sin  x  sin  3x        . 2 2   4   4   1 cot x
Bài 20. Giải phương trình :
2 sin x 1 cos2x  sin 2x  1 2 cos . x
Bài 21. Giải phương trình: o
c s2x  3sin 2x  5sin x  3cos x  3.
Bài 22. Giải phương trình: 3 2
4 cos x  2 cos x 2sin x  
1  sin 2x  2sin x  cos x  0. 2 2 sin x 1
Bài 23. Giải phương trình: 4 6 o c s x  o
c s2x  2sin x  0 . 180 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 24. Giải phương trình: 4 cos x  2 cos 2x  o c s4x  1.
Bài 25. Giải phương trình: cos2x  5  22  cos xsin x  cos x .
Bài 26. Giải phương trình: 3 2sin x  o
c s2x  sin x .
Bài 27. Giải phương trình: 4sin 2x  3cos 2x  34 sin x   1 .
Bài 28. Giải phương trình: sin 4x  cos4x  1 4 sin x  cos x Bài 29. Giải phương trình: x  x   3 sin 2 cos
3  2 3 cos x  3 3 cos 2x  8 3 cos x  sin x  3 3  0
BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
Bài 1. Giải phương trình:      
4 cos x sin x  sin  x  os c 2x     .  6   6 
Bài 2. Giải phương trình:        2   4  4sin x sin x  sin
 x  4 3 cos x os c x  os c x   2         .  3   3   3   3     3 x   x 
Bài 3. Giải phương trình: cos
 x  cos x   4 sin sin       3  2 2  6 2 
Bài 4. Giải phương trình: 2sin 5x   1 2 cos 2x   1  2 sin x
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC
Đặt t  ax  b , với a nhỏ nhất, mục đích là biến đổi các biểu thức thành các cung lượng giác
t, 2t, 3t,.... Sau đó dùng công thức hạ bậc để giải phương trình với ẩn là t. 181 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình  3 x  1   3x  sin   sin  .      10 2  2  10 2  Lời giải: 3 x  3x Đặt t    
   3t , khi đó phương trình trở thành 10 2 10 2 1 sin t 
sin   3t 3
 2sin t  sin 3t  2 sin t  3sin t  4sin t 2 sin t  0 sin t  2 1 4sin t  0
sin t 2 cos 2t  1 0         1  os c 2t   2  3 x   k2  5 t  k  14      x 
 k 2 , k  t    k  5  6  4 x   k2  5
Bài 2. Giải phương trình       sin 3x 
 sin 2x sin x  .      4   4  Lời giải:   
Đặt t  x   3x 
 3t   ; 2x  2t 
, khi đó phương trình trở thành 4 4 2     t    3 sin 3  sin 2t 
sin t  sin 3t  sin t cos 2t  3sin t  4 sin t  sin t cos 2t    2   t   sin t  sin 0 2 3  4 sin t  os c
2t   0  sin t 1 os c 2t  0   os c 2t  1   182 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   x    k t  k  4     , k  
2t  2k   1   
 x   k  4
Bài 3. Giải phương trình   3  8 cos x   cos3 . x    3  Lời giải: 
Đặt t  x 
 3x  3t   , khi đó phương trình trở thành 3
3 t  c  t   3 3 3 8 cos os 3
 8cos t  cos3t  8cos t  3cos t  4 cos t cos t  0 3cos t  2 4 cos t  1 0
cos t 2 cos 2t  1 0         1  os c 2t    2   x   k    6 t   k   2 2     x    k   3
t    k   3 x  k  
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình       sin 2x   5sin x   os c 3 . x      3   6 
Bài 2. Giải phương trình   6  32 cos x   sin 6x  1.    4 
Bài 3. Giải phương trình    2 cos x   sin 3x  os c 3 . x    6  183 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 4. Giải phương trình 6x 8x 2 cos 1  3cos . 5 5
Bài 5. Giải phương trình  2  os
c 9x  2 cos 6x   2  0    3 
NHÂN HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VỚI MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 5x x
Bài 1. Giải phương trình: 3 sin  5 cos x sin 2 2 Lời giải: x Nhận thấy o c s
 0 , không là nghiệm của phương trình. 2 x
Nhân hai vế của phương trình với cos  0 , ta được: 2 5x x x x 3 3 2sin o c s  10 cos x sin o c s
 sin 3x  sin 2x  5 o
c s x sin x 2 2 2 2   3 x  x 3 3sin 4sin
 2 sin x cos x  5cos x sin x  x  3 2 sin
5cos x  2 cos x  3  4sin x  0  x  x    2 sin cos
1 5cos x  cos x   1  0 x x x x 
Xét sin x  0  2 sin o c s  0  sin
 0  x  k 2 , do o c s  0 . 2 2 2 2  
Xét cos x 1  0  x   k . 2  1   21 cos x   cos  x     k2  5 Xét 2
5 cos x  cos x 1  0     
x    k 2 1   21   cos x   cos  5 184 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 2. Giải phương trình: x  2 2sin 3 1 4sin x  1. Lời giải:
nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình:
nhân hai vế của phương trình với cos x  0 , ta được x    2  c x x  x  x  3 2sin 3 1 4 1 os cos cos 2sin 3
4 cos x  3cos x  cos x   2 x   k     14 7
 2 sin 3x cos 3x  cos x  sin 6x  cos x  sin  x      2   2  x   k  10 5
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC
Sau khi biến đổi phương trình có dạng:
F sin x, cos x, tan x,cot x  0 G sin , x cos , x tan , x cot x
Lưu ý: Khi giải phương trình dạng này ta phải xét điều kiện mẫu thức khác 0, nên khi giải xong
phải đối chiếu lại xem ngiệm có thỏa mãn điều kiện không.
Ta nên để điều kiện có nghiệm của phương trình dưới dạng thô. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình: 1 1 2   cos x sin 2x sin 4x Lời giải:
Điều kiện: sin 4x  4 sin x cos x cos 2x  0 (*).
Khi đó phương trình tương đương với: 1 1 2   cos x 2sin x cos x
4 sin x cos x cos 2x 185 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2
 2sin x cos 2x  cos2x  1  2 sin x cos 2x  2 sin x  0  2 sin x o
c s2x  sin x  0  sin x  0   sin x  2
2 sin x  sin x  
1  0  sin x  1   1 sin x   2   x   k 2 1  6
Đối chiếu với điều kiện (*), thì chỉ có nghiệm sin x    , k   2 5 x   k 2  6 Bài 2. 2
2 sin x  cos4x  cos2x Giải phương trình:  0
sin x  cos xsin 2x Lời giải:
Điều kiện: sin x  cos xsin 2x  0 (*).
Khi đó phương trình tương đương với: 2 2sin x  o c s4x  o
c s2x  0  1 o c s2x  o c s4x  o c s2x  0 2
 2 cos 2x  2 cos 2x  0  cos2x  o c s2x   1  0
Xét cos 2x 1  0  sin 2x  0 loại, do không thỏa mãn điều kiện (*).
Xét cos 2x  0  cos x  sin x cos x  sin x  0 , đối chiếu với điều kiện (*) ta suy ra chỉ có: 
cos x  sin x  0  tan x  1   x  
 k , k  là nghiệm của phương trình. 4 Bài 3. 2
1 2sin x  3 2 sin x  sin 2x Giải phương trình:  1
2 sin x cos x 1 Lời giải:
Điều kiện: sin 2x  1 (*).
Khi đó phương trình tương đương với: 2 2
1 2sin x  3 2 sin x  sin 2x  sin 2x 1  2 sin x  3 2 sin x  2  0 186 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   x   k 2    x   x   2 4 sin 2 2 sin 2  0  sin x    , k  2 3 x   k 2  4 3
Đối chiếu với điều kiện (*) chỉ có nghiệm x 
 k2 là nghiệm của phương trình. 4 Bài 4. 1 o c s4x sin 4x Giải phương trình:  2 sin 2x 1 o c s4x Lời giải: s  in 2x  0 s  in 2x  0 Điều kiện:    1 os c 4x  0 os c 2x  0  
Khi đó phương trình tương đương với: 2 2 1 o
c s 4x  2sin 2x sin 4x  sin 4x  2sin 2x sin 4x
 sin 2x sin 4x cos2x  
1  0 , đối chiếu với điều kiện thì phương trình này vô nghiệm. Bài 5.
sin x  sin 2x  sin 3x Giải phương trình:  3 . cos x  o c s2x  o c s3x lời giải:
sin x  sin 2x  sin 3x
sin 2x 1 2 cos x
Phương trình tương đương với:  3   3 .
cos x  cos2x  cos3x cos2x 1 o c s2x  1   cos      1
  2cosx  0 x x m    2  6       , m  tan 2x  3     x   k
 x    2m   6 2  3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau: 2
sin 2x  2 cos x 1
Bài 1. Giải phương trình:  cos x . cos x  o
c s3x  sin 3x  sin x 187 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 o
c s x 1 cot x  3
Bài 2. Giải phương trình:  3cos x . sin x  cos x  3 3 2 os c x  2 sin x
Bài 3. Giải phương trình:  sin 2x .
2 sin x  3cos x 1
2 cos x  sin x
Bài 4. Giải phương trình:  . tan x  cot 2x cot x 1 2 2 cot x  tan x
Bài 5. Giải phương trình:  16 1 o c s4x . o c s2x 4 4
sin 2x  cos 2x
Bài 6. Giải phương trình: 4  o c s 4x .       tan  x cot  x      4   4  3 o
c s2x  cot 2x
Bài 7. Giải phương trình:  2 sin 2x  2 . cot 2x  o c s2x 4 4
sin x  cos x 7
Bài 8. Giải phương trình:  .       8 cot x  cot  x      3   6 
sin x  sin 2x  sin 3x
Bài 9. Giải phương trình:  3 . cos x  o c s2x  o c s3x 1 o c s2x
Bài 10. Giải phương trình: 1 cot 2x  . 2 sin 2x
Bài 11. Giải phương trình: tan 3x cot x  1  . sin x cot 5x
Bài 12. Giải phương trình:  1. o c s9x
cos x  2sin x cos x
Bài 13. Giải phương trình:  3 . 2
2 cos x  sin x 1 1 o c s4x sin 4x
Bài 14. Giải phương trình:  . 2 sin 2x 1 o c s4x      
4 cos x sin x  sin  x  o c s2x      6   6 
Bài 15. Giải phương trình:  0 sin x  cos x
BÀI TẬP TỔNG HỢP 188 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Tìm x 2;  thỏa mãn phương trình 2 2x   1
 2x 1   sin  2 sin   1   x 1  x 1 4   1  2x 1 2x 1 2x 1
Bài 2. Tìm các nghiệm x  ;    2 sin  sin  cos  0 10   x 3x 3x
Bài 3. Giải phương trình:  1 
2011tan x  cot x  2 1005 3     sin 2x 
Bài 4. Giải phương trình: sin x 1 21 cos x 2 cot x   1  sin x  cos x
Bài 5. Giải phương trình:   
sin 3x  cos 3x  2 2 cos x   1  0    4 
Bài 6. Giải phương trình: 2    1 tan x 4 16 cos x   4  2sin 4x   2  4  1 tan x
Bài 7. Giải phương trình:
5  cos 2x  2cos x 3  2 tan x
Bài 8. Giải phương trình: 1 3x 7 4
4 cos x  cos 2x  cos 4x  cos  2 4 2
Bài 9. Giải phương trình:       tan x  tan x 
sin 3x  sin x  sin 2x      6   3 
Bài 10. Giải phương trình: 5 3 2
2sin x  2sin x cos x  cos 2x  sin x  0 189 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 11. Giải phương trình: 1
1 cos x1 cos 2x1 cos3x  2
Bài 12. Giải phương trình:      3 3 
sin x  cos x  cos 2x tan x  tan x       4   4 
Bài 13. Giải phương trình:
2 cos x cos 2x cos 3x  5  7 cos 2x
Bài 14. Giải phương trình: 2 2 3 x  x x   3 tan tan sin 1 cos x  0
Bài 15. Giải phương trình: 1 8    1 2
2 cos x  cos  x    2 
 sin 2x  3cos x   sin x   3 3  2  3
Bài 16. Giải phương trình: 2 2   sin x sin 2x  3 1 sin x   2  0  2 2  sin 2x sin x  
Bài 17. Giải phương trình:     2  1 2 2 cos x   cos x   sin x       1  3   3  2
Bài 18. Giải phương trình: 3 3
sin x sin 3x  cos x cos 3x 1        8 tan x  tan x       6   3 
Bài 19. Giải phương trình: 1
cos 3x sin 2x  cos 4x sin 2x 
sin 3x  1 cos x 2
Bài 20. Giải phương trình:
sin x  cos x2 2  2 sin x 2         sin  x  sin  3x 2      1 cot x 2   4   4  190 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 3
Bài 21. Giải phương trình:
tan x  cot x 2 2
 tan x  cot x  2 3
Bài 22. Giải phương trình: 2
sin x  sin x  sin x  cos x  1
Bài 23. Giải phương trình: x   x  x 2 cos 3 sin 2 sin
 4 cos 2x cos x  2 cos x  2  0
Bài 24. Giải phương trình: 3 2
cos 2x  cos 4x  tan 2x cot x   1   4
Bài 25. Giải phương trình:    3  4 sin 2x   2 sin 4x    3  2 2
 6 sin x  2 cos x    sin x     3 
Bài 26. Giải phương trình:    2 sin 3x 
 8sin x  2 sin x  2    4 
Bài 27. Giải phương trình: x sin 1 3 2 1       x    x   2sin x  sin  2sin         6   2 3   2 3 
Bài 28. Giải phương trình: 1    7
 1 sin x1 cos x 2  2 sin x   sin 2x   2  4  6 3  cos 2x tan x 1 2
Bài 29. Giải phương trình: cos 4x
2 2 1 cos x cos 2x    2 3  2 cos x  1    8 
Bài 30. Giải phương trình: 191 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2 1.1.
sin 9x  cos x 
sin8x  cos8x  2 2 2 2 1.2.
sin 9x  cos x 
sin8x  cos8x 
sin 2x  cos 2x  0 2 2
Bài 31. Giải phương trình:    sin 3x     4     1.1.  2 cot x    sin x  cos x  4 
3 sin 2x 1 2 cos x  cos 3x 1.2.  1
1 2 cos x  cos 2x 1.3.  x  x 2 3 sin 2 3sin
 2 cos x  3cos x  5 2
2 cos x  2 cos x  3 1.4.  4 3 sin x  0 x 2 sin 2  1     1 1.5. 2  sin
 2x  4 sin x  1      sin x   6  2sin x 2 2  sin x 1 x 1.6. 2  tan
cos 2x  4 cos x  3 2 2    x    3x   1.7. 2 2 sin  cos 
 cos x  2 sin 2x  3         8 2   8 2    x  x2 2 sin cos 1 2sin 2x 1.8.  1 tan x
sin 3x  sin 5x 1.9.  x   2 2 sin
1 sin 2x  3sin x  
1  sin 4x cos x
1 cos 2xsin 2x 1.10.
 2sin 3x  sin x1 sin x 1 sin x
2 sin x  3 sin x  cos x  2cos3x  3 1.11.  0 2 sin x 1 1.12. x  x  2 3cot tan 3  8 cos x  0 192 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  3 3 2 3 2
cos 3x cos x  sin 3x sin x  1.13. 8  0 2 sin 4x  2
3cos 2x  cot 3x       1.14.  4 sin  x cos  x    
cot 3x  cos 2x  4   4  3 3 cos x  sin x 1.15.
 sin x  cos x sin 2x
1.16. 9  6   6  
1 cos 2x   3  2sin 2x  4 2 cos x  2 sin x  sin x sin 3x sin 9x  1.17.   
sin x  3 cos x  0  cos 3x cos 9x cos 27x 
1 cot 2x cot x 1.18. 1  6  4 4
sin x  cos x 2  cos x 1
1.19. cos 2x  3 sin 2x  1    sin x     3  x    1.20. 2 tan
tan x  4 tan x  cos x  tan x   2  2  cos x cos 5x  11  1.21. 2   8sin 2x   4cos 2x     1 cos3x cos x  2   1 
1.22. cos x  3 sin x  3 1   
cos x  3 sin x 1   3    
1.23. 2 2 cos 2x  sin 2x cos x   4 sin x   0      4   4  1.24. 2
sin x tan x  2  3cos 2x  sin x cos x   2  2 sin x   sin 2x    4 1.25. 2 sin 2x  1       3cos x   2    4 
sin x  cos x  1  x   1.26. 2  tan   
sin x  cos x 1  2 4  193 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 1.27. 2
2sin x sin x  cos x  2 sin 2x  sin 4x 2 2     1 tan x  1.28. 4 8 cos x   2  sin 4x    2   4  1 tan x  
1.29. 2sin 3x  cos 3x  sin 2x  1   2 2
1.30. 5sin x  2 cos 3x 1  5cos 3x  2 sin x 1
1.31. 1 tan x cos 5x  sin x  cos x  2 cos 4x  2 cos 2x     1.32.  2 x   2 x       2 2sin 1 cot 2 3 2 cos x   1  0   4      1 2 cos . x cos3x o c s x     4  1.33.
 2 cos x  sin x 1 sin 2x tan 2x 2 1.34.  tan 3x    1 2 sin 2x     2  x 1 os c 3x    1.35. cot   2sin 3x    2 sin 2x  sin x  3   3  1.36.
2 1 sin 2x sin x   os c 2x  0    4       3x  4 cos x  sin  1      4   4 2  1.37.
 2 cos 2x  2 cos x 1 2 sin x
cos x  sin x2sin 2x   1  4 cos 2x 1.38.  3
cos x  sin x2sin 2x   1  2 3 1 sin x   x 3    1.39. 2
3 tan x  3 tan x   8cos  2   tan x  4 2  tan x o
c s3x  2 cos 2x 1 1.40.
 3 sin 2x  cos x 1 2 sin x 194 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4 1 sin x cos x  cos 3x  4sin x  cos x   x  1.41. 2 2  8 cos  sin x 5      4 2 sin 2x 1       2  2
1 sin x  cos x   x  1.42. .tan   tan x  2 3 2   sin x  4 2  1 cos 2x  1  1.43. 2  tan x  2 1   1 cos x  cos x  1.44. x  2 x  x 2 2sin 2sin sin 3
 sin 3x  2sin x   1         1.45. 2 4 cos x 
1 sin 2x  2sin 7x  sin 3x cos 5x          12    3  195 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Chuyên đề phương trình lượng giác – Đặng Thành Nam

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác - Kết Nối Tri Thức