Chuyên đề phương trình lượng giác – Trần Duy Thúc

Tài liệu Chuyên đề phương trình lượng giác của thầy Trần Duy Thúc gồm 39 trang, tài liệu tóm tắt những công thức lượng giác thường gặp, các dạng phương lượng giác cơ bản và nâng cao được đan xen 

87 44 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

39 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 1
Chuyên đề phương trình lượng giác
Phần 1. Ôn tập công thức lượng giác
A. Lý Thuyết
I. Các công thức cơ bản
a)
1cossin
22
xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan
c)
x
x
x
sin
cos
cot
d)
x
x
2
2
cos
1
tan1
e)
x
x
2
2
sin
1
cot1
f)
1cot.tan xx
II. Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt
1) Hai cung đối nhau 2) Hai cung bù nhau 3) Hai cung khác nhau 2
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
sin)sin(
cos)cos(
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
4) Hai cung khác nhau
5) Hai cung phụ nhau
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
xxxx
xxxx
tan
2
cot ; cot
2
tan
sin
2
cos ; cos
2
sin
III. Công thức cộng
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan()3
IV. Công thức nhân đôi.
2tanx
1)sin 2x 2sinxcosx 3)tan 2x
2
1 tan x
2 2 2 2
2)cos2x cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1

V.Công thức nhân ba
3
1)sin3x 3sinx 4sin x
3
2)cos3x 4cos x 3cosx
.
VI. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo
x
t tan
2
2
1 cos2x 2cos x
2
1 cos2x 2sin x


2t
sin x
2
1t
2
1t
cosx
2
1t
2t
tanx
2
1t
VI. Công thức biến đổi tổng và tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2
)cos()cos(
2
1
sinsin
)cos()cos(
2
1
coscos
)sin()sin(
2
1
cossin
bababa
bababa
bababa
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác.
sin(a b)
1) tan a tan b
cosa cos b
sin(a b)
2) tan a tan b
cosa cos b
sin(a b)
3)cot a cot b
sin a sin b



sin(a b)
4)cot a cot b
sina sin b
5)
4 4 2 2
sin x cos x 1 2sin x.cos x
6)
6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x.cos x
B. Bài tập
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
44
cos sin cos2x x x
.
b)
4 4 2
1
cos sin 1 sin 2
2
x x x
.
c)
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cosx x x x
.
d)
sin cos
2 tan2
sin sin
x x cosx cosx
x
cosx x cosx x
.
e)
33
4sin cos 4sin cos sin4x x x x x
.
f)
55
4sin cos 4sin cos sin4x x x x x
.
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
sin5 sin 3 sin 4
tan 4
5 cos 3 s 4
x x x
x
cos x x co x
.
b)
2
cos sin 1 sin2x x x
.
c)
2
1 sin2 sin cosx x x
.
d)
cot tan 2cot2x x x
.
Bài 3. Cho
3
sin , 0;
52
xx
. Tính giá trị của biểu thức
cos cos2P x x
.
Bài 4. Cho
;
2
x
và
tan 1
4
x
Tính giá trị của biểu thức
cos sin
2
A x x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3
Bài 5. Cho
tan 2x
Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
2 sin cos
cos sin
xx
A
xx
.
b)
2
2
2 sin sin cos
3 cos 2sin cos
x x x
B
x x x
.
c)
3 2 3
2
2sin sin cos cos
3cos 2 sin cos
x x x x
C
x x x
.
d)
2
2
2 sin sin cos cos
3 cos 2 sin cos
x x x x
D
x x x
.
Bài 6. Cho
1
tan , 0;
22
xx
. Tính giá trị của biểu thức
2 sin 3 cos
1
22
5
sin 2 cos
22
xx
P
xx
.
Bài 7. Cho
2
sin , ;
32
xx
. Tính giá trị của biểu thức
2
cos
3
Px
.
Bài 8. Cho
1
sin , ;
32
xx
. Tính giá trị của biểu thức
sin2 cos2P x x
.
..........................................................................................................................
Phần 2. Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình:
sinsin x
x k2
,k Z
x k2
2. Phương trình:
coscosx
x k2
,k Z
x k2
3. Phương trình:
tan x tan k ,k Z
4. Phương trình:
cot x cot k ,k Z
B. Bài tập rèn luyện
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
6
3sin
x
b) sin(3x - 2) = 1,5 c)
1
5
2cos2
x
d) cos(3x - 15
o
) = cos150
o
e) tan(2x + 3) =
3
tan
f) cot(45
o
- x) =
3
3
g) sin3x - cos2x = 0 h)
xx 3cos
3
2
sin
i)
0
4
3cos
6
5
3sin
xx
j)
)302cos(
2
cos
o
x
x
k) cos2x = cosx l)
4
2sin
4
sin
xx
m)
1
12
sin
x
n)
2
1
6
12sin
x
o)
2
3
2
6cos
x
p)
1)5cos( x
q)
1)63tan( x
r)
36tan
x
s)
3
1
2
4
tan
x
t)
312
6
5
cot
x
u)
3
3
5
7
12
cot
x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4
v)
2
2
312sin x
w)
x)
xbx 5cos)3sin(
y)
xx
6
5
cot
4
tan
z)
xx 7
12
7
tan3cot
Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho :
a)
1
sin2
2
x
với
0 x
.
c)
1
sin
22
x
với
02x
.
b)
1
cot3
3
x
với
0
2
x
.
d)
2 cos 1 0
3
x
với
2
x
.
Bài 11. Giải các phương trình sau :
a)
2
2sin 1x
c)
sin 1 2cos 1 0xx
b)
2cos2 3 2 cos 1 0xx
d)
tan 1 tan 3 0xx
e)
cot 1 tan 3 0xx
f)
2
cos5 2sin 1xx
Bài 12. Giải các phương trình sau :
a)
sin sin3 cos 0x x x
c)
sin3 .sin2 sin4 sinx x x x
b)
2
sin5 sin 2cos 1x x x
d)
44
2cos 1 2sinxx
e)
cos2 sin cosx x x
f)
2
sin 2c os 2 1xx
Bài 13. Giải các phương trình sau :
a)
4sin cos cos2 1x x x
c)
sin3 .sin2 sin4 cos2 cos3x x x x x
b)
2
sin5 cos sin cos 5 2cos 1x x x x x
d)
2
1 cos2 sin cosx x x
e)
4cos2 sin cos sin8x x x x
f)
44
5
sin cos
8
xx
Bài 14. Giải các phương trình sau :
a)
3
4s in cos2 3sinx x x
c)
3
sin2 3cos 4cosx x x
b)
2sin2 cos sin3 1x x x
d)
2sin3 sin 1 cos 4x x x
II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng 1:
2
a sin sin 0( )x b x c
, đặt:
t sin , 1xt
. Pt
()
trở thành:
2
a0t bt c
.
Dạng 2:
2
acos s 0( )x bco x c
, đặt:
t cos , 1xt
. Pt
()
trở thành:
2
a0t bt c
.
Dạng 3:
2
atan tan 0( )x b x c
, đặt:
t tanx
. Pt
()
trở thành:
2
a0t bt c
.
Dạng 4:
2
acot cot 0( )x b x c
, đặt:
t cotx
. Pt
()
trở thành:
2
a0t bt c
.
Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1)
1cossin
22
xx
2)
22
2
2
cos2 sin
cos2 2 1
cos2 1 2 sin
x cos x x
x cos x
xx
3)
4 4 2
1
cos sin 1 sin 2
4
x x x
4)
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cosx x x x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5
5)
2
1 s2
cos
2
co x
x
6)
2
1 s2
sin
2
co x
x
7)
3
os3 4 os 3 osc x c x c x
8)
3
sin3 3sin 4 sinx x x
B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
cos2 3sin 2 0 (1)xx
Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi
2
cos2 1 2sinxx
đưa về phương
trình bậc hai theo sin.
Giải
2 2 2
(3) 1 2 sin 3 sin 2 0 2 sin 3 sin 1 0
2
2
sin 1
2 , .
1
6
sin
2
5
2
6
x x x x
xk
x
x k k Z
x
xk
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
cos 4 12sin 1 0 (2)xx
(CĐ Khối A,B,D – 2011)
Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ
bậc nâng cung của
2
12
sin
2
cos x
x
. Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x
nên ta chọn công nhân đôi của
2
cos4 2 2 1x cos x
. Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo
cos2x.
Giải
22
12
(2) 2 2 1 12. 1 0 2 3 2 2 0
2
cos x
cos x cos x cos x
Đặt
cos2 , 1t x t
. Pt trở thành:
2
1( )
3 2 0
2( )
tn
tt
tl
.
Với
1t
, ta có :
cos2 1 , .x x k k Z
Ví dụ 3. Giải phương trình:
44
cos sin cos 4 0 (3)x x x
Phân tích:Ta thấy
44
cos sin os2x x c x
, chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của
2
cos4 2cos 2 1xx
. Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen
rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t
cho nhanh.
Giải
2 2 2 2 2 2
(3) sin sin 2 2 1 0 2 2 cos2 1 0cos x x cos x x cos x cos x x
cos2 1
2
,.
1
cos2
2
2
6
x
xk
kZ
x
xk
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 6
Ví dụ 4. Giải phương trình:
2cos2 1 os3 4x c x
.
Phân tích:Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó . Thử
đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta
nghĩ đến việc đưa về cùng góc. Ta nhớ
3
os3 4 os 3 osc x c x c x
và
2
cos2 2cos 1xx
. Khi đó sẽ
được phương trình bậc 3 theo cos.
Giải
2 3 3 2
(4) 2 2cos 1 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos 3 0 x x x x x x
13
cos cos ( ) cos 1
22
x x loai x
.
cos 1 2 , . x x k k Z
1
cos 2 , .
23
x x k k Z
Ví dụ 5. Giải phương trình:
2
3
cos os 5
4
x
xc
.
Phân tích:Trước tiên ta thử hạ bậc nâng cung
2
3 1 3
os 1 os
4 2 2




xx
cc
,tới đây ta sẽ thấy mối liên hệ
giữa x và 3x/2. Không quen nhìn thì ta đặt t=x/2, khi đó phương trình sẽ có dạng
1
cos2t 1 os3
2
ct
.
Khi đó giải như Ví dụ 4.
Giải
Đặt
2
x
t
, phương trình (5) trở thành:
22
31
cos2t os 2 os 1 1 os3
22
t
c c t c t
2 3 3 2
4cos 2 1 4 os 3 os 3 os 4cos 4 os 3 0 t c t c t c t t c t
. Các em tự giaỉ tiếp nhé!!
Ví dụ 6. Giải phương trình:
2 3tan sin2 0 6 xx
.
Phân tích: Khi gặp bài toán có chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem mối liên hệ giữa các góc
trong bài toán. Bài này chưa tanx và sin2x nên ta nghĩ đến công thức
2
2
t tan sin2
1
t
xx
t
. Khi
đó bài toán trở thành phương trình đa thức.
Giải
Điều kiện:
cos 0x
. Đặt:
tantx
.Phương trình (6) trở thành:
32
2
2
2 3 0 3 2 2 0 tan ...
1
t
t t t t t x x
t
!
Các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 7. Giải phương trình:
22
2sin tan 2 7xx
.
Phân tích: Bài này nếu đặt
tan
2
x
t
đưa về phương trình đa thức theo t cũng được nhưng bậc khá
cao. Ta thử nhớ công thức
22
22
11
1 tan tan 1
cos cos
xx
xx
và
22
sin 1 cosxx
. Khi đó bài
toán đưa về phương trình trùng phương theo cos.
Giải
Điều kiện:
cos 0x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7
Cách 1:
2
2 4 2
2
2
cos 1( )
1
7 2 1 cos 1 2 2cos cos 1 0
1
cos
cos
2

xl
x x x
x
x
2
2cos 1 0 cos2 0 , .
42
k
x x x k Z

.
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là
,
42

k
x k Z
.
Cách 2:
2
2 2 2 2 4 2
22
sin 1
7 2 .cos tan 2 2tan . tan 2 tan tan 2 0
cos 1 tan
x
x x x x x x
xx
22
tan 1 tan 2( )....! x x l
.
Ví dụ 8. Giải phương trình:
8 8 2
17
sin cos cos 2 8
16
x x x
.
Giải
Ta có:
2
2
8 8 4 4 4 4 2 4 2 4
1 1 1
sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 8 8



x x x x x x x x x x
.
Pt (8)
2 4 2 4 2
1
16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1 0
8



x x x x x
2
2
2
sin 2 1( )
1 2sin 2 0 cos4 0 , .
1
84
sin 2
2

x loai
k
x x x k Z
x

Ví dụ 9. Giải phương trình:
8 8 10 10
5
sin cos 2 sin cos cos2 9
4
x x x x x
.
Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung
sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:
8 10 8 10 8 2 8 2
55
9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2
44
x x x x x x x x x x
Giải
8 10 8 10 8 2 8 2
55
9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2
44
x x x x x x x x x x
8 8 8 8
4 4 4 4
2
2
3
55
9 sin cos2 cos cos2 cos2 cos2 cos sin cos2
44
5
cos2 cos sin cos sin cos2 0
4
1
4.cos2 .cos2 1 sin 2 5cos2 0
2
1
cos2 . 4cos2 . 1 1 cos 2 5 0
2
cos2 0
2cos 2 2cos2 5










x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x
xx
. , k Z .
42
0( )
xk
VN

Ví dụ 10. Giải phương trình:
2
cos2 cos sin 2 0 10 x x x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8
Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau:
2 2 2
cos2 1 2sin ;cos 1 sin x x x x
.
Giải
2 2 2
sin 1
10 2sin 1 sin sin 2 0 3sin sin 4 0
4
sin ( )
3
2 , .
2

x
x x x x x
x loai
x k k Z
C. Bài tập rèn luyện:
Bài 15.Giải các phương trình sau:
a)
2
cos 5cos 2 0 xx
b)
2
2cos cos 1 0 xx
c)
2
cot 4cot 3 0 xx
d)
2
tan 1 3 tan 3 0 xx
e)
cos2 9cos 5 0 xx
f)
cos2 sin 3 0 xx
Bài 16.Giải các phương trình sau:
a)
032cos72sin3
2
xx
b)
07sin5cos6
2
xx
c)
03sin52cos xx
d)
01cos2cos xx
e)
1412cos3sin6
2
xx
f)
7cos12sin4
24
xx
g)
5cossin8
2
xx
Bài 17.Giải các phương trình sau:
a)
32
sin 3sin 2sin 0 x x x
b)
22
3
sin 2 2cos 0
4
xx
c)
5sin3 cos6 2 0 xx
d)
2cos2 cos 1xx
e)
42
4sin 3 12cos 3 7 0 xx
f)
2
5sin 3sin 2 0 xx
Bài 18.Giải các phương trình sau:
a)
3 tan cot 2. 2 sin x x x
.
b)
1 1 2
cos sin2 sin4

x x x
.
c)
2
68
2cos 1 3cos 0
55
xx
.
d)
3
5
sin 5cos .sin
22
xx
x
.
e)
sin sin5
35
xx
.
f)
sin5
1
5sin
x
x
.
g)
57
sin 2 3cos 1 sin ; ;2
2 2 2
x x x x
.
Bài 19.Giải các phương trình sau:
a)
2
sin2 3cos2 5 cos 2
6



x x x
.
b)
11
2sin3 2cos3
sin cos
xx
xx
.
c)
2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1
1 sin2
x x x
x
.
d)
3 3 1
cos .cos .cos sin sin sin
2 2 2 2 2

x x x x
xx
.
e)
2
cot tan sin2
sin2
x x x
x
.
f)
2
sin2 . cot tan2 4cosx x x x
.
g)
3
tan tan 1
4



xx
.
h)
1 tan 1 sin2 1 tan x x x
.
i)
3
sin2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sin 3 3 x x x x x x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9
j)
2
2
11
4 sin 4 sin 7
sin sin
xx
xx
.
k)
2
tan tan .tan3 2x x x
(ĐHQG Hà Nội 1996). l)
4 sin3 cos2 5 sin 1 x x x
III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng cơ bản :
a sin cos ( )x b x c
.
Cách giải 1:
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
22
a b c
.
Chia hai vế pt
()
cho
22
0ab
ta được:
2 2 2 2 2 2
a
sin cos
bc
xx
a b a b a b
.
Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt:
2 2 2 2
a
cos ;sin
b
a b a b
.
Phương trình trở thành:
2 2 2 2
sin .cos sin .cos sin
cc
x x x
a b a b
.
Tới đây là dạng cơ bản !!!
Cách giải 2:
Kiểm tra xem
cos 0 2
2
x
xk
có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một
họ nghiệm này.
cos 0 2
2
x
xk
, đặt:
2
22
12
t tan cos ;sin
2
11
x t t
xx
tt
. Khi đó phương
trình
()
trở thành :
2
2 0 tan ...!b c t at c b t x x
Mở rộng 1 :
a sin cos sinyx b x c
hoặc
a sin cos cosyx b x c
.
Mở rộng 2 :
a sin cos siny dcosx b x c y
.
Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 11. Giải phương trình:
3cos2 sin2 2 11xx
.
Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin
đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…!
Giải
13
11 sin2 3cos2 2 sin2 cos2 1 sin2 .cos sin cos2 1
2 2 3 3

x x x x x x
11 sin 2 1 2 , .
3 12



x x k k Z

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 10
Ví dụ 12. Giải phương trình:
31
8sin 12
cos sin
x
xx
.
Phân tích: Các em để ý không phải là luôn luôn nhưng khi thấy xuất hiện
3
thì thường là rơi vào
dạng bậc nhất theo sin và cos hoặc mở rộng của nó.!!
Giải
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x
.
2
12 8sin .cos 3sin cos 4cos 1 cos2 3sin cos x x x x x x x x
3cos 4cos2 .cos 3sin cos 3sin 2cos3 x x x x x x x
13
cos sin cos3 cos cos sin sin cos3
2 2 3 3

x x x x x x
2
6
cos cos3 , .
3
2
12




xk
x x k Z
xk
Ví dụ 13. Giải phương trình:
3
sin3 3cos9 1 4sin 3 13 x x x
.
Phân tích: Thấy
3
là ta thử nghĩ đên dạng bậc nhất theo sin và cos, nhưng bài khác góc và lệch
bậc?? Để ý tý Em sẽ thấy công thức nhân 3 (sin thì 3-4). Ta thấy
3
sin9 3sin3 4sin 3x x x
.
Giải
3
13 3sin3 4sin 3cos9 1 sin9 3cos9 1
2
1 3 1
18 9
sin9 cos9 sin 9 sin , .
72
2 2 2 3 6
54 9





x x x x x
k
x
x x x k Z
k
x



Ví dụ 14. Giải phương trình:
cos 3sin 2 os3 14x x c x
.
Phân tích: Đây là dạng mở rộng 1, em cứ giải tương tự như dạng cơ bản. Chia hai vế của phương
trình cho 2 được:
13
cos sin os3
22
x x c x
vì vế phải là hàm cos nên để cho tiện thì các em cũng đưa vế trái về hàm
cos. Tức là:
13
cos sin cos .cos sin .sin cos
2 2 3 3 3



x x x x x
.
Giải
13
14 cos sin os3 cos .cos sin .sin cos3 cos cos3 ....!!
2 2 3 3 3



x x c x x x x x x
Các em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 15. Giải phương trình:
cos 3 sin 5 3 cos 5 sin 3 15 x x x x
.
Phân tích: Đây là dạng mở rộng 2. Đưa các giá trị lượng giác cùng góc đưa về một vế. là chuyển góc
3x về một vế và 5x về một vế. Tiếp theo Em cứ giải tương tự như dạng cơ bản .
Giải
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 11
3 1 1 3
15 3sin 3 cos 3 sin 5 3cos 5 sin 3 cos 3 sin 5 cos 5
2 2 2 2
x x x x x x x x
sin 3 sin 5
63
xx

….!!! Các em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 16. Giải phương trình:
2
sin os 3cos 2 16
22



xx
cx
. (ĐH- D-2007)
Phân tích: Câu này khá cơ bản, thấy số
3
là khả năng phương trình bậc nhất theo sinx và cosx rồi.
Chỉ cần khai triển hằng đẳng thức và đưa về đúng dạng thôi.
Giải
22
16 sin os 2sin os 3cos 2 sin 3cos 1
2 2 2 2
x x x x
c c x x x
1 3 1 1
sin cos cos sin sin cos sin sin
2 2 2 3 3 2 3 6
2
6
,.
2
2





x x x x x
xk
kZ
xk
Ví dụ 17. Giải phương trình:
44
4 sin cos 3sin4 2 17 x x x
.
Phân tích: Nhớ lại
4 4 2
11
sin cos 1 sin 2 1 1 cos4
24
x x x x
. Tới đây các Em thu gọn lại sẽ ra
dạng cơ bản.
Giải
Ta có:
2
4 4 2 2 2 2 2
11
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2 1 1 cos4
24
x x x x x x x x
.
1
17 4 1 1 cos4 3sin4 2 3sin4 cos4 2
4



x x x x
sin 4 1 , .
6 6 4



x x k k Z
Ví dụ 18. Giải phương trình:
33
1
1 sin 2 cos 2 sin4 18
2
x x x
.
Phân tích: Câu rơi vào dạng đặt nhân tử chung rồi. Thầy sẽ nói kỉ phần sau.
Giải
33
18 2 sin4 2 sin 2 cos 2 0 2 sin4 2 sin2 cos2 1 sin2 cos2 0 x x x x x x x x
2 sin4 sin2 cos2 2 2sin2 cos2 0 2 sin4 sin2 cos2 2 sin4 0 x x x x x x x x x
sin2 cos2 1 0
2 sin4 . sin2 cos2 1 0
2 sin4 0( )

xx
x x x
x vn
2
4
sin2 cos2 1 sin 2 , .
42
2




xk
x x x k Z
xk
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12
Ví dụ 19. Giải phương trình:
tan 3cot 4 sin 3cos 19 x x x x
.
Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều
kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài
toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn
luyện.
Giải
22
sin cos
19 3 4 sin 3cos sin 3cos 4sin cos sin 3cos
cos sin
xx
x x x x x x x x
xx
sin 3 cos sin 3cos 2sin2 sin 3cos 0
sin 3 cos sin 3cos 2sin2 0
sin 3 cos 0
sin 3cos 2sin 2 0
x x x x x x x
x x x x x
xx
x x x
tan 3 , .
3
x x k k Z
13
sin 3cos 2sin2 sin cos sin2
22
x x x x x x
2
3
sin sin 2 , .
4
3
2
9




xk
x x k Z
xk
So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là:
4
2 ; 2 , .
39
x k x k k Z


Ví dụ 20. Giải phương trình:
33
sin cos sin cos 20 x x x x
.
Giải
2 3 2 3
20 sin sin 1 cos cos 0 sin cos cos cos 0 x x x x x x x x
2
2
cos sin cos cos 1 0
cos 0
sin cos cos 1

x x x x
x
x x x
,.
2
x k k Z
1 1 cos2
sin2 1 sin2 cos2 3( )
22
x
x x x vn
B. Bài tập rèn luyện:
Bài 20.Giải các phương trình sau:
a)
2sin 2cos 2xx
b)
sin2 3cos2 2 xx
c)
sin4 3 cos4 2xx
d)
cos 3sin 1 xx
e)
3 cos3 sin3 2 0xx
f)
cos2 2sin2 3xx
Bài 21.Giải các phương trình sau:
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13
a)
2sin2 cos2 3 cos4 2x x x
b)
2
1
sin2 sin
2
xx
c)

52
2cos 3cos
6 3 2
xx
d)
22
cos 3sin2 1 sin x x x
e)
2
5sin2 6cos 13xx
f)
2sin3 sin2 3cos2x x x
g)
sin3 sin5 3 cos5 cos3 x x x x
h)
3sin4 cos4 sin 3cos x x x x
i)
sin7 cos6 3 sin6 cos7 x x x x
j)
sin5 3cos5 2cos3x x x
Bài 22.Giải các phương trình sau:
a)



44
1
sin cos
44
xx
b)
33
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3 x x x x x
c)
2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x
d)
2cos 1 sin cos 1 x x x
e)
2cos2 6 cos sinx x x
f)
2
sin 3cos
sin 3cos 1


xx
xx
g)
3
4sin 1 3sin 3cos3 x x x
h)
sin cos4 3cos5 2 sin4 cos x x x x x
i)
4sin2 3cos2 3 4sin 1 x x x
j)
2
cos sin2
3
2cos sin 1

xx
xx
Bài 23.Giải các phương trình sau:
a)

1
tan 3
cos
x
x
b)
3
3sin6 4cos 2 1 3cos2 x x x
c)

33
5
cos cos3 sin sin3
8
x x x x
d)
3
4sin2 3cos2 5cos 3 0
2



x x x
e)
22
3
4sin 3cos2 1 2cos
24



x
xx
f)
cos2 3sin2 3sin cos 4 0 x x x x
g)
3
sin cos 2 1 sin2 sin cos 2 x x x x x
IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng 1:
22
asin sin cos cos 1 x b x x c x d
Cách 1:Chia hai vế cho
2
cos x
hoặc
2
sin x
.
Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm
này.
Bước 2: Xét
0cos x
. Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho
x
2
cos
ta được:
22
2 2 2
2 2 2 2
sin sin cos cos
1 a cos tan tan 1 tan
cos cos cos cos
x x x x d
b c x a x b x c d x
x x x x
2
tan tan 0 a d x b x c d
.
Dạng 2:
3 2 2 3
asin sin cos sin cos cos 0 2 x b x x c x x d x
Dạng 3:
4 3 2 2 3 4
asin sin cos sin cos sin cos cos 0 3 x b x x c x x d x x e x
Cách giải: Chia hai vế của (2) cho
3
cos x
hoặc
3
sin x
. Chia hai vế của (3) cho
4
cos x
hoặc
4
sin x
rồi
làm như trên.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 14
B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 21. Giải phương trình:
22
cos 3sin2 1 sin 21 x x x
.
Giải
Cách 1:
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình (21) vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình (21) nên ta chia hai vế
của phương trình (21) cho
2
cos x
được:
22
2 2 2 2
cos sin cos 1 sin
21 2 3
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
2 2 2
1 2 3tan 1 tan tan 2tan 2 3tan 0 x x x x x
tan 0
,.
tan 3
3

xk
x
kZ
xk
x
Cách 2:
22
21 cos sin 3sin2 1 cos2 3sin2 1 sin 2 1
3



x x x x x x
Các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 22. Giải phương trình:
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0 22 x x x x x
.
Giải
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình (22) vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình (22) nên ta chia hai vế
của phương trình (22) cho
3
cos x
được:
3 3 2
3 3 2 3
cos sin cos sin sin
22 4 3 0
cos cos cos cos
x x x x x
x x x x
3 2 2
1 4tan 3tan tan 1 tan 0 x x x x
3 2 2
3tan 3tan tan 1 0 tan 1 tan 3 0 x x x x x
tan 1
4
,.
3
tan
3
6


x
xk
kZ
x
xk
Ví dụ 23. Giải phương trình:
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0 23 x x x x
.
Giải
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình (23) vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình (23) nên ta chia hai vế
của phương trình (23) cho
4
cos x
được:
4 2 2 4
4 4 4
cos cos sin sin
23 3 4 0
cos cos cos
x x x x
x x x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15
2
42
2
tan 1
tan 1
4
tan 4tan 3 0 , .
tan 3
tan 3
3


xk
x
x
x x k Z
x
x
xk
Ví dụ 24. Giải phương trình:
sin2 2tan 3 24xx
.
Giải
Điều kiện :
cos 0 ,
2
x x k k Z
.
22
2 2 2
2sin cos 1 1
24 2tan . 3. 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan
cos cos cos
xx
x x x x x
x x x
32
2tan 3tan 4tan 3 0 tan 1 , .
4
x x x x x k k Z
Ví dụ 25. Giải phương trình:
3
sin sin2 sin3 6cos 25x x x x
.
Giải
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình (25) vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế
của phương trình (25) cho
3
cos x
được:
33
3 3 3
2sin sin cos 3sin 4sin cos
25 6
cos cos cos
x x x x x x
x x x
23
2 2 3
2 2 3
sin sin 1 sin
2 3 . t 4 6 2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0
cos cos cos cos
x x x
x x x x
x x x x
32
tan2
tan 2
tan 2tan 3tan 6 0 , .
tan 3
3


x arc k
x
x x x k Z
xk
x
Ví dụ 26. Giải phương trình:
sin3 cos3 2cos 0 26 x x x
.
Phân tích: Các Em nhớ lại
33
sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos x x x x x x
. Khi đó viết lại phương
trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho
3
cos x
,nhưng
nhớ phải xét
cos 0x
trước.
Giải
3 3 3 3
26 3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 3sin 4sin 4cos cos 0 x x x x x x x x x
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình
vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình
nên ta chia hai vế của
phương trình
cho
3
cos x
được:
33
2 3 3 2
3sin 1 sin cos cos 1
. 4 4 . 0
cos cos cos cos cos cos
x x x x
x x x x x x
2 3 2
3tan 1 tan 4tan 4 1 tan 0 x x x x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16
32
tan 1
4
tan tan 3tan 3 0 , .
tan 3
3


xk
x
x x x k Z
x
xk
Ví dụ 27. Giải phương trình:
32
sin cos 3sin xcos 0 27 x x x
.
Giải
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình
27
vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình
27
nên ta chia hai vế
của phương trình
27
cho
3
cos x
được:
32
22
2 3 3
sin 1 cos sin xcos
27 . 3 0 tan tan 1 1 3tan 0
cos cos cos cos
x x x
x x x
x x x x
32
tan 1
4
tan 3tan tan 1 0 , .
tan 1 2
arctan 1 2


xk
x
x x x k Z
x
xk
Ví dụ 28. Giải phương trình:
22
9
cos 3 2 3cos 4 1 sin 2 , ;2 28
23


x x x x

.
Giải
22
28 cos 2 3sin4 1 sin 2 x x x
TH1: Xét
cos 0 sin 1. xx
Khi đó phương trình
vô nghiệm.
TH2: Do
cos 0 ,
2
x x k k Z
không là nghiệm của phương trình
nên ta chia hai vế của
phương trình
cho
2
cos 2x
được:
22
2 2 2 2
cos 2 sin2 cos2 1 sin 2
23
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x x x x
x x x x
2
tan2 0
2
2tan 2 2 3 tan2 0 , .
tan 3
62

xk
x
x x k Z
x
xk

C. Bài tập rèn luyện
Bài 24.Giải các phương trình sau:
a)

22
sin 2cos 3sin cosx x x x
b)
2
sin 3sin cos 1x x x
c)
22
2sin 3cos cos2 5sin2 0x x x x
d)
22
5sin 2 6sin4 2cos 2 0x x x
e)
22
5sin 5sin2 4cos 0x x x
f)
22
2sin 3 10sin6 cos 3 2x x x
g)
44
sin cos 3sin cos 0x x x x
Bài 25.Giải các phương trình sau:
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17
a)

1
3sin cos
cos
xx
x
b)
22
sin 3cos sin2 2 x x x
c)
sin3 cos3 sin cosx x x x
d)
3
sin3 2cosxx
e)
2
sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x
f)
3
sin 4sin cos 0 x x x
g)
22
tan sin 2sin 3 cos2 sin .cos x x x x x x
h)
sin3 cos3 2cos 0 x x x
i)
3
5sin4 .cos
6sin 2cos
2cos2

xx
xx
x
j)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
tan 1 2
x
x x x
x
V. Phương trình dạng đối xứng:
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng 1:
a sin cos sin cos 0 x x b x x c
Cách giải: Đặt
2
2
2
1
sin cos , 2 sin cos sin cos
2
t
t x x t t x x x x
thay vào phương
trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức.
Dạng 2:
a sin cos sin cos 0 x x b x x c
Cách giải: Đặt
2
2
2
1
sin cos , 2 sin cos sin cos
2
t
t x x t t x x x x
.
Dạng 3:
22
a tan cot tan cot 0 x x b x x c
Cách giải: Điều kiện:
sin2 0x
Đặt
2
2 2 2 2
tan cot , 2 tan cot tan cot 2 t x x t t x x x x t
.
Dạng 4:
22
a tan cot tan cot 0 x x b x x c
Cách giải: Điều kiện:
sin2 0x
Đặt
2
2 2 2 2
tan cot tan cot tan cot 2 t x x t x x x x t
.
Dạng 5:
44
a sin cos sin2 0 x x b x c
Cách giải: Đặt
4 4 2 2
11
sin2 , 1 sin cos 1 sin 2 1
22
t x t x x x t
.
Dạng 6:
44
a sin cos cos2 0 x x b x c
Cách giải: Đặt
4 4 2 2 2
1 1 1 1
cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2
2 2 2 2
t x t x x x x t
.
Dạng 7:
66
a sin cos sin2 0 x x b x c
Cách giải: Đặt
6 6 2 2
33
sin2 , 1 sin cos 1 sin 2 1
44
t x t x x x t
.
Dạng 8:
66
a sin cos cos2 0 x x b x c
Cách giải: Đặt
6 6 2 2 2
3 3 1 3
cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2
4 4 4 4
t x t x x x x t
.
Dạng 9:
44
asin cos cos2 0 x b x c x d
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 18
Cách giải: Đặt
2
4
2
2
2
4
1
1 cos2 1
sin
sin
2
22
cos2 , 1
1 cos2 1
1
cos
cos
22
2











t
xt
x
x
t x t
xt
t
x
x
.
Chú ý:Dạng 5,6,7,8,9 thật ra có thể xem như là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác nên
các Em có thể xem lại mục II. Nên ở đây Thầy chỉ đưa ra ví dụ của dạng 1 và 2 thôi nhé!
Bài tập mẫu:
Ví dụ 29. Giải phương trình:
cos sin 3sin cos 1 0 29 x x x x
.
Giải
Đặt
2
2
2
1
sin cos , 2 sin cos sin cos
2
t
t x x t t x x x x
. Phương trình (29) trở thành:
2
2
1( )
1
3. 1 0 3 2 5 0
5
2
()
3

tn
t
t t t
tl
.
Với Đặt
1t
, ta có :
sin cos 1xx
(Đây là phương trình bậc nhất theo sin cos đã biết. Các Em tự
giải tiếp nhé..!)
Ví dụ 30. Giải phương trình:
cos sin 6sin cos 1 30 x x x x
.
Giải
Đặt
2
2
2
1
cos sin , 2 cos sin sin cos
2
t
t x x t t x x x x
. Phương trình (30) trở
thành:
2
2
1( )
1
6. 1 3 2 0
2
2
(n)
3

tn
t
t t t
t
.
Thay t trở ngược lại
các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 31. Giải phương trình:
2 cos sin2 1 31
4



xx
.
Phân tích: Phương trình có vẻ chưa đúng dạng lắm. Thật ra các Em chỉ cần biến đổi ra về cùng góc là
thấy đúng dạng ngay.
Giải
31 2 cos .cos sin .sin 2sin cos 1 cos sin 2sin cos 1 0
44



x x x x x x x x

Tới đây các Em làm tiếp pt
như trên nhé….!
Ví dụ 32. Giải phương trình:
1 sin 1 cos 2 32 xx
.
Phân tích: Các Em để ý này đã cùng góc rồi do vậy nhân phân phối và và thu gọn thôi…!
Giải
32 sin cos sin cos 1 2 sin cos sin cos 1 0 x x x x x x x x
Tới đây các Em làm tiếp pt
như trên nhé….!
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 19
Ví dụ 33. Giải phương trình:
23
sin +sin os 0 33x x c x
.
Giải
2 2 2
33 sinx+sin cos os 0 sinx 1 sinx os 1 sin 0 x xc x c x x
sin =1
1 sin sin +cos 1-sin 0
sin +cos -sin cos =0

x
x x x x
x x x x
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng để thuận lợi nhé…!
C. Bài tập rèn luyện
Bài 26.Giải các phương trình sau:
a)
3 sin cos 2sin cos 3 0x x x x
b)
sin cos 4sin cos 4 0x x x x
c)
4sin cos 2 sin cos 1 0x x x x
d)
2sin2 3 6 sin cos 8 0x x x
Bài 27.Giải các phương trình sau:
a)
sin2 2 2 sin cos 5 0x x x
b)
sin cos 7sin2 1 x x x
c)
sin3 cos3 2 sin cos 1x x x x
d)
33
1 sin cos 3sin cos 0x x x x
e)
33
2sin sin 2cos cos cos2 x x x x x
f)
cos2 5 2 2 cos sin cos x x x x
g)
33
sin cos cos2x x x
h)
2sin cot 2sin2 1 x x x
i)
33
1 cos sin sin x x x
j)
cot tan sin cos x x x x
VI. Đưa về phương trình tích:
1) Nhóm các góc phù hợp áp dụng công thức biến tổng thành tích hoặc biến tổng thành tích
Ví dụ 34. Giải phương trình:
sin5 +cos2 sin 0 34x x x
.
Phân tích: Các Em để ý góc (5x-x):2=2x nên ta sẽ nhóm sin5x và sinx lại sữ dụng công thức biến tổng
thành tích.
Giải
34 sin5 +sin cos2 0 2sin4 cos2 cos2 0 cos2 2sin4 1 0
cos2 0
2sin4 1 0

x x x x x x x x
x
x
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!
Ví dụ 35. Giải phương trình:
cos3 +cos sin4 35x x x
.
Phân tích: Các Em để ý cos3x + cosx có chưa cos2x và sin4x Em sử dụng công thức nhân đôi cũng có
chứa cos2x nên ta sẽ có nhân chung là cos2x.
Giải
35 cos3 cos 2sin2 cos2 2cos2 cos 2sin2 cos2 0
cos2 0
cos sin 2 0

x x x x x x x x
x
xx
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!
Ví dụ 36. Giải phương trình:
cos +cos2 cos3 cos4 0 36 x x x x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 20
Phân tích: Các Em để ý góc
3 4 2
22

x x x x
nên ta nghĩ đến việc nhóm
cos3 cosxx
và
cos4 cos2xx
để biến đổi thành tích.
Giải
36 cos3 cos cos4 cos 0 2cos2 cos 2cos3 cos 0 2cos cos2 cos3
cos 0
2
2
cos2 cos3 0
cos3 cos
cos3 cos2




x x x x x x x x x x x
xk
x
xk
xx
xx
xx
Các Em giải tiếp
nhé…!
Ví dụ 37. Giải phương trình:
sin +sin3 cos3 cos 0 37 x x x x
.
Giải
37 sin3 sin cos3 cos 0 2sin2 cos 2cos2 cos 0 2cos sin 2 cos2
cos 0
2
2
sin2 cos2 0
cos2 cos 2
cos2 sin2
2







x x x x x x x x x x x
xk
x
xk
xx
xx
xx
Các Em giải tiếp
nhé…!
Ví dụ 38. Giải phương trình:
2 2 2 2
sin +sin 3 cos 2 cos 4 38x x x x
.
Phân tích: Trong phương trình có bậc hai,rất tự nhiên ta thử hạ bậc nâng cung xem.
2 2 2 2
1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
sin ;sin 3 ;cos 2 ;cos 4
2 2 2 2
x x x x
x x x x
. Khi đó các hằng số tự
đã triệt tiêu đưa về cùng một vế ta sẽ thấy tương tự các bài ở trên.
Giải
1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
38 + cos8 cos2 cos6 cos4 0
2 2 2 2
cos5 0
2cos5 cos3 2cos5 cos 0
cos3 cos 0

x x x x
x x x x
x
x x x x
xx
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 39. Giải phương trình:
2 2 2
sin 2 +sin 4 sin 6 39x x x
.
Phân tích: Trong phương trình này ta không sử dụng công thức hạ bậc nâng hết vì như thế sẽ còn thừa
số tự do và không đặt nhân tử chung được. Nên ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc nâng cho
22
1 cos4 1 cos12
sin 2 ;sin 6
22


xx
xx
. Vì sao lại là
22
sin 2 ;sin 6xx
??? AK…! Vì góc
12 4
4
2
xx
x
Hoặc Em cũng có thể kết hợp
22
sin 4 ;sin 6xx
.
Giải
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 21
22
2 2 2
2
1 cos4 1 cos12
39 +sin 4 cos12 cos4 sin 4 0
22
2sin 4 sin8 sin 4 0 4sin 4 cos4 sin 4 0
sin 4 0
4cos4 1 0

xx
x x x x
x x x x x x
x
x
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 40. Giải phương trình:
2sin3 cos2 sin5 40x x x
.
Phân tích: Em để ý
2 3 5x x x
nên ta biến đổi tích thành tổng.
1
2sin3 cos2 2. sin5 cos sin5 cos
2
x x x x x x
.
Giải
1
40 2. sin5 cos sin5 cos 0
2
x x x x
Các Em giải tiếp nhé…!
2) Nhóm nhân tử chung kết hợp sử dụng phân tích tam thức bậc hai
Cần nhớ:
2
12
f x ax bx c a x x x x
,trong đó
12
,xx
là nghiệm của
0fx
.
Minh họa:
a)
2
3
2 3 2 1 1 2 3
2



f x x x x x x x
.
b)
2
3
2sin sin 3 2 sin 1 sin sin 1 2sin 3
2



f x x x x x x x
Ví dụ 41. Giải phương trình:
2
sin2 3cos 2sin sin 3 0 41 x x x x
.
Giải
2
41 2sin cos 3cos 2sin sin 3 0 cos 2sin 3 sin 1 2sin 3 0
2sin 3 0
2sin 3 cos sin 1 0
cos sin 1 0

x x x x x x x x x
x
x x x
xx
Các Em giải tiếp nhé…!
Bình luận: Trong bài giải ở trên tại sao khi khai triển
sin2 2sin cosx x x
ta lại biết kết hợp với
3cosx??? Mà không phải là 2sinx.cosx với sinx??? Vì biểu thức còn lại là
2
2sin sin 3xx
ta có thể
phân tích được thành nhân tử! Thật ra khi gặp dạng này Em cứ thử kết hợp sin2x với cos thử và kết
hợp với sinx thử và xem biểu thức còn lại có phân tích được thành nhân tử không!!
Ví dụ 42. Giải phương trình:
2
sin2 7cos 2cos sin 3 0 42 x x x x
.
Phân tích:
Hướng Thứ 1:Kết hợp
sin2 7cos 2sin cos 7cos cos 2sin 7 x x x x x x x
. Khi đó biểu thức còn
lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử:
2 2 2
2cos sin 3 2 1 sin sin 3 2sin sin 5
1 41 1 41
2 sin sin
22
x x x x x x
xx
Kết hợp vậy không được rồi phải đổi thôi…!
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 22
Hướng Thứ 2:Kết hợp
sin2 sin 2sin cos sin sin 2cos 1 x x x x x x x
. Khi đó biểu thức còn lại
Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử:
2
1
2cos 7cos 3 2 cos 3 cos cos 3 2cos 1
2



x x x x x x
. Vậy có nhân tử chung rồi
nhé
2cos 1x
…! Vậy chọn hướng thứ 2 nhé…!
Giải
2
42 sin2 sin 2cos 7cos 3 0 2sin cos sin 2cos 1 cos 3 0
sin 2cos 1 2cos 1 cos 3 0 2cos 1 sin cos 3 0
2cos 1 0
sin cos 3 0( )

x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x vn
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 43. Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin 5cos 4 0 43 x x x x
.
Phân tích:
2 2 2 2
sin2 2sin cos ;cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin x x x x x x x x
Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp
sin2 5cos 2sin cos 5cos cos 2sin 5 x x x x x x x
. Khi đó biểu
thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn
2
cos2 1 2sinxx
.
22
cos2 3sin 4 1 2sin 3sin 4 2sin 3sin 5
5
2 sin 1 sin sin 1 2sin 5
2



x x x x x x
x x x x
Thế này thì không có nhân tử chung rồi, phải đổi hướng khác thôi…!
Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp
sin2 3sin 2sin cos 3sin sin 2cos 3 x x x x x x x
. Khi đó biểu thức
còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn
.
22
cos2 5cos 4 2cos 1 5cos 4 2cos 5cos 3
3
2 cos 1 cos cos 1 2cos 3
2



x x x x x x
x x x x
Vậy có nhân tử chung rồi nhé
2cos 3x
…! Vậy chọn hướng thứ 2 nhé…!
Giải
2
43 sin2 3sin 2cos 1 5cos 4 0 sin 2cos 3 cos 1 2cos 3 0 x x x x x x x x
2cos 3 0( )
sin cos 1 0

x vn
xx
Các Em giải tiếp nhé…!
Bình luận:Ta có thể tổng quát dạng này như sau:
Dạng:
asin2 cos2 sin cos 0 x b x c x d x e
Cách giải:
Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp
asin2 cos 2 sin cos cos cos 2 sin x d x a x x d x x a x d
. Khi đó
biểu thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn
2
cos2 1 2sinxx
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 23
22
bcos2 sin 1 2sin sin 2 sin sin x c x e b x c x e b x c x e b
. Tiếp theo Em phân tích
xem có nhân tử chung không!!!
Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp
asin2 sin 2 sin cos sin sin 2 cos x c x a x x c x x a x c
. Khi đó biểu
thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn
.
22
bcos2 cos 2cos 1 cos 2 sin cos 0 x d x e b x d x e b x d x e b
. Tiếp theo Em phân
tích xem có nhân tử chung không!!!
Hai hướng trên nếu có nhân tử chung thì chỉ có thể là
2 sin a x d
hoặc
2 cos a x c
.
Ví dụ 44. Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin cos 1 0 44 x x x x
(ĐH-Khối D-2009)
Phân tích:
Hướng Thứ 1: Thử kết hợp
sin2 cos 2sin cos cos cos 2sin 1 x x x x x x x
. Khi đó biểu thức
còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn
2
cos2 1 2sinxx
.
22
cos2 3sin 1 1 2sin 3sin 1 2sin 3sin 2
sin 2 2sin 1
x x x x x x
xx
Vậy có nhân tử chung rồi nhé
2sin 1x
…! Vậy chọn hướng thứ 1 nhé…!
Giải
2
44 sin2 cos 1 2sin 3sin 1 0 cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0 x x x x x x x x
2sin 1 0
sin cos 2 0( )

x
x x vn
.
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 45. Giải phương trình:
2cos 1 2sin cos sin2 sin 45 x x x x x
(ĐH-Khối D-2004)
Phân tích: Đừng vội biến đổi vế trái vì đã là tích của hai biểu thức rồi. Thử biến đổi vế phải:
sin2 sin 2sin cos sin sin 2cos 1 x x x x x x x
. Tới đây ta thấy nhân tử chung là
2cos 1x
.
Giải
45 2cos 1 2sin cos 2sin cos sin 2cos 1 2sin cos sin 2cos 1
2cos 1 sin cos 0
x x x x x x x x x x x
x x x
Các Em giải tiếp nhé…!
3) Một số biểu thức có nhân tử chung thường gặp:
Nhóm các biểu thức thường gặp
Nhân tử chung
1 sin2 ;cos2 ;1 tan ;1 cot ;tan cot ;sin ;cos
44
x x x x x x x x

sin cosxx
1 sin2 ;cos2 ;1 tan ;1 cot ;tan cot ;sin ;cos
44
x x x x x x x x

sin cosxx
sin2 ;1 cos2 ;tan ;tan2 ;cos3 cosx x x x x x
sin x
2 2 3 3
1 cos ;sin ;sin ;1 cos ;cos2 cos x x x x x x
1 cos 1 cosxx
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 24
2 2 3 3
1 sin ;cos ;cos ;1 sin ;cos2 sin x x x x x x
Ví dụ 46. Giải phương trình:
1 sin cos sin2 cos2 0 46 x x x x
(ĐH-Khối B-2005)
Phân tích:
Cách 1 :
sin cos ;1 sin2 ;cos2x x x x
có nhân tử chung
sin cosxx
. Thật ra thì các Em cũng không
cần quá lo lắng vì Bảng trên qua nhiều không nhớ. Khi làm quen rồi thì các Em cũng không cần phải
nhớ…!
Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng
asin2 cos2 sin cos 0 x b x c x d x e
,khi đó nhân tử chung có
thể là
2cos 1x
hoặc
2sin 1x
giải như trên.
Giải
22
2
46 1 sin2 sin cos cos sin 0
sin cos sin cos sin cos sin cos 0
sin cos 2cos 1 0
x x x x x
x x x x x x x x
x x x
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 47. Giải phương trình:
3sin2 cos2 2cos 1 47 x x x
(ĐH-Khối A-2012)
Phân tích:
Cách 1 :
3sin2 ;cos2 1;cosx x x
có nhân tử chung
cosx
.
Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng
asin2 cos2 sin cos 0 x b x c x d x e
,khi đó nhân tử chung có
thể là
cosx
hoặc
2 3sin 1x
và giải như trên.
Giải
2
47 2 3sin cos 1 cos2 2cos 0
2 3sin cos 2cos 2cos 0 2cos 3sin cos 1 0
cos 0
3sin cos 1 0
x x x x
x x x x x x x
x
xx
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 48. Giải phương trình:
sin 2cos 2tan 4cot 6 0 48 x x x x
Giải
Điều kiện:
sin2 0x
.
48 sin 2cos 2 tan 2 2 2cot 1 0
sin 2cos sin 2cos
sin 2cos 2 2
cos sin
sin 2cos 0
tan 2
22
2 sin cos sin cos 0
10
cos sin




x x x x
x x x x
xx
xx
xx
x
x x x x
xx
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 49. Giải phương trình:
3
sin 2cos cos2 0 49 x x x
Giải
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 25
32
22
49 sin 2cos 2cos 1 0
2cos 1 cos 1 sin 0 2 1 sin 1 cos 1 sin 0
sin 1
1 sin 2 1 sin 1 cos 1 0
2 sin cos 2sin cos 1 0


x x x
x x x x x x
x
x x x
x x x x
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 50. Giải phương trình:
sin2 cos2
1 50
sin cos 1

xx
xx
Giải
Điều kiện:
sin cos 1xx
22
2
50 sin 2 cos2 sin cos 1
1 sin2 cos sin sin cos 0
sin cos sin cos sin cos sin cos 0
sin cos cos 1 0
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x
Các Em giải tiếp nhé…!
C.Bài tập rèn luyện
Bài 28.Giải các phương trình sau:
a)
sin5 sin3 sin 0x x x
b)
cos cos2 sin3 0 x x x
c)
2
sin5 sin 2sin 1x x x
d)

sin 2 4 sin 3 sinx x x
e)
sin6 sin2 cos4x x x
f)
cos cos cos
3 6 4
x x x
g)
sin sin2 cos cos2 x x x x
h)
sin2 sin3 sin4 cos2 cos3 cos6 x x x x x x
Bài 29.Giải các phương trình sau:
a)
sin3 cos2 sin4 cosx x x x
b)
cos cos2 cos4 cos3x x x x
c)
2
sin5 sin 2sin 1x x x
d)
cos2 .tan3 sin4x x x
e)

2
sin4 sin2 sin9 sin3 cosx x x x x
f)
sin2 sin3 sin5 sin10 0x x x x
g)
sin sin3 sin4 sin8 0x x x x
h)
3
sin3 cos2 sin cos sin cos6 0
22
xx
x x x x
i)
7 3 5
sin cos sin cos sin2 cos7 0
2 2 2 2
x x x x
xx
j)
cos2 cos4 cos6 cos cos2 cos3 2 x x x x x x
Bài 30.Giải các phương trình sau:
a)
2
3 4cos sin 2sin 1x x x
b)
2sin 1 sin 2cos sin2 cos x x x x x
c)
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x
d)
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x
e)
cos2 cos sin sin2x x x x
f)
sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x
g)
sin2 cos2 1 sin 3cos x x x x
h)
sin2 cos2 2 sin cos 3 0 x x x x
i)
9sin 6cos 3sin2 cos2 8x x x x
(ĐH-Ngoại Thương)
j)
sin2 2cos2 1 sin 4cos x x x x
k)
2sin2 cos2 7sin 2cos 4 x x x x
l)
2cos 1 sin cos 1 0 x x x
VII. Bài tập tổng hợp
Bài 31.Giải các phương trình sau:
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26
a)
32
cos cos 2sin 2 0x x x
b)
22
tan sin 2sin 3 cos2 sin cos x x x x x x
c)
3
sin 4sin cos 0x x x
d)
2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x
e)
2sin cot 2sin2 1x x x
f)
22
2sin 2sin tan
4



x x x
g)
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1

xx
x x x
h)
3
8sin cos
6




xx
i)
2cos5 cos3 sin cos8x x x x
j)
2
2sin sin2 sin cos 1 0 x x x x
k)
2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3 x x x x
l)
2
2cos3 cos 3 1 sin2 2 2 cos 2
4



x x x x
Bài 32.Giải các phương trình sau:
a)
tan3 2tan4 tan5 0x x x
b)
2
sin2 1 cos3 sin 2sin 2 0
4



x x x x
c)
2
1 sin cos 1 sin cosx x x x
d)
3
sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x
e)
3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x
f)
cos3 cos 1xx
g)
22
sin sin cos 2cos 0 x x x x
h)
cos3 sin6 cos9 0 x x x
i)
cos sin2 sin sin2 cotx x x x x
j)
3
sin4 2sin sin 3cos cos2 x x x x x
Bài 33. Giải các phương trình sau:
a)

4cos cos cos sin3
33
x x x x
b)
sin2 3cos 0xx
c)
2
sin2 2sin sin cosx x x x
d)
2
sin tan 1 3sin cos sin 3x x x x x
e)
cos cos2 sin 0x x x
f)
4sin cos 2 sin2 x x x
g)
cos2 1 2cos cos sin 0 x x x x
h)
2sin2 6cos 2sin 3 0 x x x
i)
3sin2 2cos2 cos4 1 0x x x
j)
sin2 2cos 5 cos2 4sin 5cos 3 0 x x x x x
.....................................................................................................................
Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm
Bài 34. (ĐH Khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương trình:
cos3 sin3
5 sin 2cos2 3
1 sin2



xx
xx
x
Bài 35. (ĐH Khối B - 2002) Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x
Bài 36. (ĐH Khối D - 2002) Giải phương trình:
cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x
Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A - 2002) Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3


xx
a
xx
(a là tham số)
a)Giải phương trình khi
1
3
a
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27
b) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài 38. (Db 2 -Khối A - 2002) Giải phương trình:
2
tan cos cos sin 1 tan tan
2



x
x x x x x
Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos

xx
x
x
Bài 40. (Db 2 -Khối B - 2002) Giải phương trình:
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin2

xx
x
xx
Bài 41. (Db 1 -Khối D - 2002) Giải phương trình:
2
1
sin
8cos
x
x
Bài 42. (Db 2 -Khối D - 2002) Tìm m để phương trình:
44
2 sin cos cos4 2sin2 0 x x x x m
Có ít nhất một nghiệm thuộc
0;2
.
Bài 43. (ĐH Khối A - 2003) Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
Bài 44. (ĐH Khối B - 2003) Giải phương trình:
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
Bài 45. (ĐH Khối D - 2003) Giải phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2



xx
x
Bài 46. (Db 1-Khối A - 2003) Giải phương trình:
2
cos2 cos 2tan 1 2 x x x
Bài 47. (Db 2-Khối A - 2003) Giải phương trình:
3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x
Bài 48. (Db 1-Khối B - 2003) Giải phương trình:
62
3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x
Bài 49. (Db 2-Khối B - 2003) Giải phương trình:
2
1 3 cos 2sin
24
1
2cos 1



x
x
x
Bài 50. (Db 1-Khối D - 2003) Giải phương trình:
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos

xx
x
xx
Bài 51. (Db 2-Khối D - 2003) Giải phương trình:
2cos4
cot tan
sin2

x
xx
x
Bài 52. (ĐH Khối B - 2004) Giải phương trình:
2
5sin 2 3 1 sin tan x x x
Bài 53. (ĐH Khối D - 2004) Giải phương trình:
2cos 1 2sin cos sin2 sin x x x x x
Bài 54. (Db 1-Khối A - 2004) Giải phương trình:
33
4 sin cos cos 3sin x x x x
Bài 55. (Db2-Khối A - 2004) Giải phương trình:
1 sin 1 cos 1 xx
Bài 56. (Db1-Khối B - 2004) Giải phương trình:
11
2 2 cos
4 sin cos



x
xx
Bài 57. (Db2-Khối B - 2004) Giải phương trình:
sin4 sin7 cos3 cos6x x x x
Bài 58. (Db1-Khối D - 2004) Giải phương trình:
2sin cos2 sin2 cos sin4 cosx x x x x x
Bài 59. (Db2-Khối D - 2004) Giải phương trình:
sin sin2 3 cos cos2 x x x x
Bài 60. (ĐH Khối A - 2005) Giải phương trình:
2
cos 3 cos2 cos2 0x x x
Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình:
1 sin cos sin2 os2 0 x x x c x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28
Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình:
44
3
os sin cos sin 3 0
4 4 2
c x x x x

Bài 63. (Db1-Khối A - 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình:
22
3
4sin 3cos2 1 2 os
24



x
x c x
Bài 64. (Db2-Khối A - 2005) Giải phương trình:
3
2 2 cos 3cos sin 0
4



x x x
Bài 65. (Db1-KhốiB - 2005) Giải phương trình:
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x
Bài 66. (Db2-KhốiB - 2005) Giải phương trình:
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos



x
xx
x
Bài 67. (Db1-KhốiD - 2005) Giải phương trình:
3 sin
tan 2
2 1 cos



x
x
x
Bài 68. (Db2-KhốiD - 2005) Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x
Bài 69. (ĐH Khối A - 2006) Giải phương trình:
66
2 cos sin sin cos
0
2 2sin

x x x x
x
Bài 70. (ĐH Khối B - 2006) Giải phương trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x



Bài 71. (ĐH Khối D - 2006) Giải phương trình:
os3 os2 cos 1 0c x c x x
Bài 72. (Db1-Khối A - 2006) Giải phương trình:
33
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
Bài 73. (Db2-Khối A - 2006) Giải phương trình:
2sin 2 4sin 1 0
6



xx
Bài 74. (Db1-Khối B - 2006) Giải phương trình:
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x
Bài 75. (Db2-Khối B - 2006) Giải phương trình:
cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x
Bài 76. (Db1-Khối D - 2006) Giải phương trình:
3 3 2
cos sin 2sin 1 x x x
Bài 76. (Db2-Khối D - 2006) Giải phương trình:
32
4sin 4sin 3sin2 6cos 0 x x x x
Bài 78. (ĐH Khối A - 2007) Giải phương trình:
22
1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x
Bài 79. (ĐH Khối B - 2007) Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x
Bài 80. (ĐH Khối D - 2007) Giải phương trình:
2
sin os 3cos 2
22
xx
cx



Bài 81. (Db1-Khối A - 2007) Giải phương trình:
11
sin2 sin 2cot2
2sin sin2
x x x
xx
Bài 82. (Db2-Khối A - 2007) Giải phương trình:
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x
Bài 83. (Db1-Khối B - 2007) Giải phương trình:
53
sin cos 2cos
2 4 2 4 2
x x x

Bài 84. (Db2-Khối B - 2007) Giải phương trình:
sin2 cos2
tan cot
cos sin
xx
xx
xx
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29
Bài 85. (Db1-Khối D - 2007) Giải phương trình:
2 2sin cos 1
12




xx
Bài 86. (Db2-Khối D - 2007) Giải phương trình:
1 tan 1 sin2 1 tan x x x
Bài 87. (ĐH Khối A - 2008) Giải phương trình:
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x






Bài 88. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x
Bài 89. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình:
2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x
Bài 90. (Db1-Khối A - 2008) Giải phương trình:
22
3
4sin 3cos2 1 2cos
24



x
xx
Bài 91. (Db2-Khối A - 2008) Giải phương trình:
3
2 2 cos 3cos sin 0
4



x x x
Bài 92. (Db1-Khối B - 2008) Giải phương trình:
23
sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x
Bài 93. (Db2-Khối B - 2008) Giải phương trình:
2
2
cos2 1
tan 3tan 0
2 cos



x
xx
x
Bài 94. (Db1-KhốiD - 2008) Giải phương trình:
3 sin
tan 2
2 cos 1



x
x
x
Bài 95. (Db2-KhốiD - 2008) Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x
Bài 96. (ĐH Khối A - 2009) Giải phương trình:
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
xx
xx

Bài 97. (ĐH Khối B - 2009) Giải phương trình:
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x
Bài 98. (ĐH Khối D - 2009) Giải phương trình:
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x
Bài 99. (Db1-KhốiA - 2009) Giải phương trình:
2
2sin cos 3sin2 cos sin4
0
2sin 3

x x x x x
x
Bài 100. (Db2-KhốiA - 2009) Giải phương trình:
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0 x x x x
Bài 101. (ĐH Khối A - 2010) Giải phương trình:
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x c x x
x
x



Bài 102. (ĐH Khối B - 2010) Giải phương trình:
sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x
Bài 103. (ĐH Khối D - 2010) Giải phương trình:
sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x
Bài 104. (ĐH Khối A - 2011) Giải phương trình:
2
1 sin2 os2
2sin .sin2
1 cot
x c x
xx
x

Bài 105. (ĐH Khối B - 2011) Giải phương trình:
sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x
Bài 106. (ĐH Khối D - 2011) Giải phương trình:
sin2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình:
3sin2 os2 2cos 1x c x x
Bài 108. (ĐH Khối B - 2012) Giải phương trình:
2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x
Bài 109. (ĐH Khối D - 2012) Giải phương trình:
sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30
Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình:
1 tan 2 2 sin
4



xx
Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình:
2
sin5 2cos 1xx
Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình:
sin3 cos2 sin 0 x x x
Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình:
sin 4cos 2 sin2 x x x
Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:
2 sin 2cos 2 sin2 x x x
Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 P x x
,biết
2
sin
3
x
Hướng dẫn các đề thi đại học
Bài 34. (ĐH Khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương trình:
cos3 sin3
5 sin 2cos2 3
1 sin2



xx
xx
x
Hd:
Điều kiện:
sin2 1 0x
3 3 3 3
sin3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3 sin cos 4 sin cos
sin cos 3 4 1 sin cos sin cos 1 2sin2 cos sin 1 2sin2


x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
5
5cos 2cos2 3
33
pt x x x x

.
Bài 35. (ĐH Khối B - 2002) Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x
Hd :
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
cos12 cos10 cos8 cos6 0
sin9 sin2 0 , .
92
x x x x
pt
x x x x
kk
x x x x k Z

Bài 36. (ĐH Khối D - 2002) Giải phương trình:
cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x
Hd :
32
32
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
4cos 8cos 0 k , .
2
pt x x x x
x x x k Z
Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A - 2002) Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3


xx
a
xx
(a là tham số)
a)Giải phương trình khi
1
3
a
.
b) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hd : a) Với a=1/3,
sin 2cos 3 0, . x x x R
2sin cos 1 1
sin cos 0 k , .
sin 2cos 3 3 4


xx
pt x x x k Z
xx
b)
2sin cos 1
2 sin 1 2 cos 3 1
sin 2cos 3


xx
pt a a x a x a
xx
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31
pt
có nghiệm
2 2 2
1
2 1 2 3 1 2
2
a a a a
Bài 38. (Db 2 -Khối A - 2002) Giải phương trình:
2
tan cos cos sin 1 tan tan
2



x
x x x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0 cos 0
2
x
x
.
Chú ý:
cos cos sin sin
1
22
sin 1 tan tan sin sin tan
2 cos
cos cos
2



xx
xx
x
x x x x x
x
x
x
Đs:
k2 , .x k Z
Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos

xx
x
x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
4 4 2 2 2
2
1
pt sin cos 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin3
2
2 5 2
2 sin 2 1 2sin3 0
18 3 18 3
x x x x x x x
x x x k x k
Bài 40. (Db 2 -Khối B - 2002) Giải phương trình:
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin2

xx
x
xx
Hd : Điều kiện:
sin2 0x
.
2
9
pt cos 2 5cos2 0
46
x x x k
Bài 41: (Db 1 -Khối D - 2002) Giải phương trình:
2
1
sin
8cos
x
x
Hd : Điều kiện:
.
2 2 2
35
pt 8sin cos 1 2sin 2 1 0 cos4 0 2 ; 2 ; 2
8 8 8
x x x x x k x k x k
Bài 42. (Db 2 -Khối D - 2002) Tìm m để phương trình:
44
2 sin cos cos4 2sin2 0 x x x x m
Có ít nhất một nghiệm thuộc
0;2
.
Hd : Đặt
sin2 , 0; 0;1
2



t x x t
.
có nghiệm
2
0; 3 2 3
2



x t t m
có nghiệm
0;1t
.
Đs:
10
2
3
m
.
Bài 43. (ĐH Khối A - 2003) Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
Hd : Điều kiện:
sin 0 cos 0 tan 1 x x x
.
2
cos cos sin cos sin
cos sin
pt sin sin cos
sin cos sin
cos sin 1 cos sin sin 0
4

x x x x x
xx
x x x
x x x
x x x x x x k
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32
Bài 44. (ĐH Khối B - 2003) Giải phương trình:
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
Hd : Điều kiện:
sin2 0x
.
2
pt 2cos 2 cos2 1 0
3
x x x k
.
Bài 45. (ĐH Khối D - 2003) Giải phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2



xx
x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
pt 1 sin 1 cos sin cos 0 2
4
x x x x x k x k
.
Bài 46. (Db 1-Khối A - 2003) Giải phương trình:
2
cos2 cos 2tan 1 2 x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
22
2
1
pt 2cos cos 2 1 1 2 1 cos 2cos 5cos 2 0
cos
2 1 2
3






x x x x x
x
x k x k

.
Bài 47. (Db 2-Khối A - 2003) Giải phương trình:
3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
32
pt 8cos 4cos 2 1 0
3
x x x k
.
Bài 48. (Db 1-Khối B - 2003) Giải phương trình:
62
3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x
Hd :
24
pt 3 1 cos4 2cos 4cos 1 0 x x x
42
cos2 2cos 5cos 3 0 ;
42
k
x x x x x k

.
Bài 49. (Db 2-Khối B - 2003) Giải phương trình:
2
1 3 cos 2sin
24
1
2cos 1



x
x
x
Hd : Điều kiện:
2cos 1 0x
.
pt sin 3cos 0 2 1
3
x x x k
.
Bài 50. (Db 1-Khối D - 2003) Giải phương trình:
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos

xx
x
xx
Hd : Điều kiện:
sin cos 0xx
.
2
pt 1 sin 1 cos 0 ; 2
2
x x x k x k
.
Bài 51. (Db 2-Khối D - 2003) Giải phương trình:
2cos4
cot tan
sin2

x
xx
x
Hd : Điều kiện:
sin2 0x
.
2
pt 2cos 2 cos2 1 0
3
x x x k
.
Bài 52. (ĐH Khối B - 2004) Giải phương trình:
2
5sin 2 3 1 sin tan x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33
2
sin
pt 5sin 2 3 1 sin
1 sin 1 sin

x
xx
xx
2
5
2sin 3sin 2 0 2 ; 2
66
x x x k x k


.
Bài 53. (ĐH Khối D - 2004) Giải phương trình:
2cos 1 2sin cos sin2 sin x x x x x
Hd :
pt 2cos 1 sin cos 0 2 ;
34
x x x x k x k


2
5
2sin 3sin 2 0 2 ; 2
66
x x x k x k


.
Bài 54. (Db 1-Khối A - 2004) Giải phương trình:
33
4 sin cos cos 3sin x x x x
Hd : +
cos 0x
không là nghiệm của phương trình.
+
cos 0x
, Chia hai vế của phương trình cho
3
cos x
2
pt tan 1 tan 3 0 ;
34
x x x k x k


Bài 55. (Db2-Khối A - 2004) Giải phương trình:
1 sin 1 cos 1 xx
Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx.
Bài 56. (Db1-Khối B - 2004) Giải phương trình:
11
2 2 cos
4 sin cos



x
xx
Hd : Nhân tử chung sinx + cosx.
Bài 57. (Db2-Khối B - 2004) Giải phương trình:
sin4 sin7 cos3 cos6x x x x
Hd : Sử dụng công thức sina.sinb và cosa.cosb.
Bài 58. (Db1-Khối D - 2004) Giải phương trình:
2sin cos2 sin2 cos sin4 cosx x x x x x
Hd:
1 1 1 1
pt 2sin cos2 sin3 sin sin5 sin3
2 2 2 2
x x x x x x
1
2sin cos2 sin5 sin 0 2sin cos2 cos2 sin3 0
2
x x x x x x x x
Bài 59. (Db2-Khối D - 2004) Giải phương trình:
sin sin2 3 cos cos2 x x x x
Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos
Bài 60. (ĐH Khối A - 2005) Giải phương trình:
2
cos 3 cos2 cos2 0x x x
Hd:
11
pt 1 cos6 cos2 1 cos2 0 cos6 cos2 1 0
22
x x x x x
2
2cos 2 cos2 3 0
2
x x x k
Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình:
1 sin cos sin2 os2 0 x x x c x
Hd:
2
pt sin cos 2cos 1 0 ; k2
43
x x x x k x


Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình:
44
3
os sin cos sin 3 0
4 4 2
c x x x x

Hd:
22
13
pt 1 2sin cos sin 4 sin2 0
2 2 2






x x x x
2
2sin 2 sin2 2 0
4
x x x k
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34
Bài 63. (Db1-Khối A - 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình:
22
3
4sin 3cos2 1 2 os
24



x
x c x
Hd:
5 17 5
pt cos 2 cos ; ;
6 18 18 6



x x x x x
Bài 64. (Db2-Khối A - 2005) Giải phương trình:
3
2 2 cos 3cos sin 0
4



x x x
Hd : +
cos 0x
là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm
2
xk
.
+
cos 0x
, chia hai vế của phương trình cho
3
cos x
pt tan 1 0
4
x x k
Bài 65. (Db1-KhốiB - 2005) Giải phương trình:
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
2
5
pt 2sin sin 1 0 2 ; 2
66
x x x k x k


.
Bài 66. (Db2-KhốiB - 2005) Giải phương trình:
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos



x
xx
x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
3
pt tan 1 0
4
x x k
.
Bài 67. (Db1-KhốiD - 2005) Giải phương trình:
3 sin
tan 2
2 1 cos



x
x
x
Hd : Điều kiện:
sin 0x
.
5
pt 2sin 1 0 2 ; 2
66
x x k x k


.
Bài 68. (Db2-KhốiD - 2005) Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x
Hd:
pt 2sin 1 sin cos 1 0 x x x
Bài 69. (ĐH Khối A - 2006) Giải phương trình:
66
2 cos sin sin cos
0
2 2sin

x x x x
x
Hd : Điều kiện:
2
sin
2
x
.
2
pt 3sin 2 sin2 4 0 xx
.
Bài 70. (ĐH Khối B - 2006) Giải phương trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x



Hd : Điều kiện:
sin 0 cos 0 cos 0
2
x
xx
.
cos sin 1
pt 4 sin2
sin cos 2
xx
x
xx
.
Bài 71. (ĐH Khối D - 2006) Giải phương trình:
os3 os2 cos 1 0c x c x x
Hd : Cơ bản
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35
Bài 72. (Db1-Khối A - 2006) Giải phương trình:
33
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
Hd :
2
pt cos4
2
x
.
Bài 73. (Db2-Khối A - 2006) Giải phương trình:
2sin 2 4sin 1 0
6



xx
Hd :
pt sin 3cos sin 2 0 x x x
.
Bài 74. (Db1-Khối B - 2006) Giải phương trình:
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x
Hd : Điều kiện:
cos 0x
.
2
pt cos2 tan 2 3 0 xx
.
Bài 75. (Db2-Khối B - 2006) Giải phương trình:
cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x
Hd : Nhân tử chung cosx – sinx.
Bài 76. (Db1-Khối D - 2006) Giải phương trình:
3 3 2
cos sin 2sin 1 x x x
Hd : Nhân tử chung cosx – sinx.
Bài 77. (Db2-Khối D - 2006) Giải phương trình:
32
4sin 4sin 3sin2 6cos 0 x x x x
Hd : Nhân tử chung sinx+1.
Bài 78. (ĐH Khối A - 2007) Giải phương trình:
22
1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x
Hd : Nhân tử chung cosx + sinx.
Bài 79. (ĐH Khối B - 2007) Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x
Hd :
cos4 sin7 sin 0 cos4 2sin3 1 0 pt x x x x x
Bài 80. (ĐH Khối D - 2007) Giải phương trình:
2
sin os 3cos 2
22
xx
cx



Hd : Bậc nhất theo sin và cos.
Bài 81. (Db1-Khối A - 2007) Giải phương trình:
11
sin2 sin 2cot 2
2sin sin2
x x x
xx
Hd : Điều kiện:
sin2 0x
.
2
pt cos2 2cos cos 1 0 x x x
.
Bài 82. (Db2-Khối A - 2007) Giải phương trình:
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x
Hd :
2
2cos 3cos 0
66
pt x x

Bài 83. (Db1-Khối B - 2007) Giải phương trình:
53
sin cos 2cos
2 4 2 4 2
x x x

Hd :
3
cos 2cos 2 0
24






x
pt x
Bài 84. (Db2-Khối B - 2007) Giải phương trình:
sin2 cos2
tan cot
cos sin
xx
xx
xx
Hd : Điều kiện:
sin2 0x
.
pt cos2 cos xx
.
Bài 85. (Db1-Khối D - 2007) Giải phương trình:
2 2sin cos 1
12




xx
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36
Hd : áp dung công thức sina.cosb
Bài 86. (Db2-Khối D - 2007) Giải phương trình:
1 tan 1 sin2 1 tan x x x
Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx.
Bài 87. (ĐH Khối A - 2008) Giải phương trình:
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x






Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx.
Bài 88. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x
Hd : Cách 1: chia
3
cos x
. Cách 2: Nhân tử chung là cos2x.
Bài 89. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình:
2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x
Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1.
Bài 90. (Db1-Khối A - 2008) Giải phương trình:
22
3
4sin 3cos2 1 2cos
24



x
xx
Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos.
Bài 91. (Db2-Khối A - 2008) Giải phương trình:
3
2 2 cos 3cos sin 0
4



x x x
Hd : chia
3
cos x
.
Bài 92. (Db1-Khối B - 2008) Giải phương trình:
23
sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x
Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin.
Bài 93. (Db2-Khối B - 2008) Giải phương trình:
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos



x
xx
x
Hd :
3
pt tan 1 x
.
Bài 94. (Db1-KhốiD - 2008) Giải phương trình:
3 sin
tan 2
2 cos 1



x
x
x
Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung
Bài 95. (Db2-KhốiD - 2008) Giải phương trình:
sin2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x
Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1.
Bài 96. (ĐH Khối A - 2009) Giải phương trình:
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
xx
xx

Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos.
Bài 97. (ĐH Khối B - 2009) Giải phương trình:
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x
Hd :
33
1
sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3
4
x x x x x x
.
Bài 98. (ĐH Khối D - 2009) Giải phương trình:
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x
Hd : Sử dụng công thức sina.cos
Bài 99. (Db1-KhốiA - 2009) Giải phương trình:
2
2sin cos 3sin2 cos sin4
0
2sin 3

x x x x x
x
Hd : Nhân tử chung là sin2x
Bài 100. (Db2-KhốiA - 2009) Giải phương trình:
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0 x x x x
Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37
Bài 101. (ĐH Khối A - 2010) Giải phương trình:
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x c x x
x
x



Hd : Vế trái rút gọn được mẫu.
Bài 102. (ĐH Khối B - 2010) Giải phương trình:
sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x
Hd:
2
2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0
1 cos2
2sin sin cos2 cos 2 0
2
cos2 sin cos 2 0
pt x x x x x x
x
x x x x
x x x
Vế trái rút gọn được mẫu.
Bài 103. (ĐH Khối D - 2010) Giải phương trình:
sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x
Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1.
Bài 104. (ĐH Khối A - 2011) Giải phương trình:
2
1 sin2 os2
2sin .sin 2
1 cot
x c x
xx
x

Hd : Nhân tử chung là cosx.
Bài 105. (ĐH Khối B - 2011) Giải phương trình:
sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x
Hd : Nhân tử chung là cosx.
Bài 106. (ĐH Khối D - 2011) Giải phương trình:
sin2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
Hd : Nhân tử chung là sinx + 1.
Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình:
3sin2 os2 2cos 1x c x x
Hd : Nhân tử chung là cosx.
Bài 108. (ĐH Khối B - 2012) Giải phương trình:
2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x
Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos.
Bài 109. (ĐH Khối D - 2012) Giải phương trình:
sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x
Hd : Nhân tử chung là cos2x.
Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình:
1 tan 2 2sin
4



xx
Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx.
Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình:
2
sin5 2cos 1xx
Hd :
pt sin5 cos2 xx
Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình:
sin3 cos2 sin 0 x x x
Hd : Nhân tử chung là cos2x.
Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình:
sin 4cos 2 sin2 x x x
Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1.
Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:
2 sin 2cos 2 sin2 x x x
Hd : Nhân tử chung là
sin 2x
sinx+cosx.
Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 P x x
,biết
2
sin
3
x
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38
.....................................................................................................................
Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia
Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc
thỏa mản
5sin2 6cos 0

và
0
2

. Tính giá trị của biểu
thức:
cos sin 2015 cot 2016
2



A
.
Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình:
22
sin sin cos 2cos 0 x x x x
.
Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình:
2cos5 cos3 sin cos8x x x x
.
Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình:
cos sin2 sin sin2 cot x x x x x
.
Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình:
22
3
4sin 3cos2 1 cos
24



x
xx
.
Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình:
2
sin sin2 2 sin 0
4



x x x
.
Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình:
cos2 7cos 4 0 xx
.
Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc
x
thỏa mản
tan 2x
. Tính giá trị của biểu thức:
33
3
8cos 2sin cos
2cos sin

x x x
P
xx
.
Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình:
sin2 cos sin 1 x x x
.
Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình:
2
sin2 2cos 3sin cos x x x x
.
Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình:
4sin5 sin 2cos4 3x x x
.
Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình:
22
cos 3cos 3sin 3sin 0 x x x x
.
Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:
sin2 sin cos 1 2sin cos 3 0 x x x x x
.
Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:
sin2 2sin 2cos 2 0 x x x
.
Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình:
cos2 sin3 2cos2 sin 0 x x x x
.
Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình:
2cos 1 sin 3cos 0 x x x
.
Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình:
34
sin cos 1xx
.
Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình:
sin2 3sin cos2 cos 1 x x x x
.
Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình:
cos2 4sin 1 3sin2 1 x x x
.
Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình:
2
sin2 2 3cos 2cos 0 x x x
.
Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình:
sin2 2sin 1 cos2 x x x
.
Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình:
3sin2 cos2 2cos 1 x x x
.
Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình:
2sin2 3 2 3cos sin x x x
.
Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình:
sin2 sin 2 4cos x x x
.
Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho
1
cos , ;
32



xx
. Tính
1 2tan
1 tan
x
P
x
.
Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình:
2
cos 2sin 1 cos 2 2sin x x x x
.
Bài 143. (Chuyên –Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho
3
2

x
.Chứng minh đẳng thức:
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39
1 cos 1 cos
cot
24
1 cos 1 cos




x x x
xx
.
Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình:
3
tan2 cot 1 sin4 sin 2cos sin
3 2 2



xx
x x x x
.
Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình:
2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3 x x x x
.
Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình:
cos2 sin 1 3sin2 x x x
.
Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình:
2
tan cot 2 1 sin 4cos 4sin 5 x x x x x
.
Bài 148. (Chuyên –Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình:
22
2
cos sin 2
sin sin
cos 6 6

xx
xx
x
.
Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình:
cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x
.
Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình:
cos sin sin2 cos2 1 x x x x
.
Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình:
cos 1 cos sin sin 1 x x x x
.
Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình:
4sin 2sin 2 3cos cos2 2sin 2
33

x x x x x
.
Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình:
2
sin2 2 3cos 2cos 0 x x x
.
Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình:
2cos2 sin cos 0 x x x
.
Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình:
2
cos sin 3cos 1 2cos x x x x
.
Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình:
2
1
sin sin2 1 cos cos
2
x x x x
.
Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình:
2
1 cos2
cot 2 1
sin

x
x
x
.
Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình:
sin2 cos2 1 3 sin cos x x x x
.
Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình:
2
sin 3cos 2 4cos x x x
.
Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình:
2
sin cos 1 sin2
22



xx
x
.
Không có việc gì khó
Chỉ sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí ắt làm nên!
Chủ Tịch Hồ Chí Minh
| 1/39
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Chuyên đề phương trình lượng giác
Phần 1. Ôn tập công thức lượng giác A. Lý Thuyết
I. Các công thức cơ bản sin x cos x
a) sin 2 x  cos2 x  1 b) tan x  c) cot x  cos x sin x 1 1 d) 2 1  tan x  e) 2 1  cot x  f) tan . x cot x  1 2 cos x 2 sin x
II. Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt 1) Hai cung đối nhau 2) Hai cung bù nhau
3) Hai cung khác nhau 2
cos(x)  cos x
sin(  x)  sin x
sin(x  2 )  sin x
sin(x)   sin x
cos(  x)   cos x
cos(x  2 )  cos x
tan(x)   tan x
tan(  x)   tan x
tan(x  2 )  tan x
cot(x)   cot x
cot(  x)   cot x
cot(x  2 )  cot x
4) Hai cung khác nhau 5) Hai cung phụ nhau
sin(  x)   sin x       sin
x  cos x c ; os
x  sin x
cos(  x)   cos x  2   2 
tan(  x)  tan x       tan
x  cot x c ; ot
x  tan x
cot(  x)  cot x  2   2 
III. Công thức cộng )
1 sin(a b)  sin a cos b  sin bcos a tan a  tanb ) 3 tan a (  b)  )
2 cos(a b)  cos a cos b  sin asin b 1 tan a tanb
IV. Công thức nhân đôi. 2 tanx
1) sin 2x  2 sinx cosx 3) tan 2x  2 1  tan x 2 2 2 2
2) cos 2x  cos x  sin x  1  2 sin x  2 cos x  1 V.Công thức nhân ba 3 1) sin 3x  3sinx 3 4 sin x
2) cos 3x  4 cos x  3cosx . x
VI. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t  tan 2 2 2 1  cos 2x  2 cos x 2t 1  t 2t sin x  cos x  tanx  2 2  2  2  1  cos 2x  2 sin x 1 t 1 t 1 t
VI. Công thức biến đổi tổng và tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 1
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 sin a cos b
sin(a b)sin(a b) 2 1 cos a cos b
cos(a b)cos(a b) 2 1 sin a sin b
cos(a b)cos(a b) 2
2. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b
sin a  sin b  2sin .cos 2 2 a b a b
sin a  sin b  2cos .sin 2 2 a b a b
cos a  cos b  2cos .cos 2 2 a b a b
cos a  cos b  2  sin .sin 2 2
VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a  b) sin(a  b) 1) tan a  tan b  4) cot a  cot b   cos a cos b sin a sin b sin(a  b) 4 4 2 2
5) sin x  cos x  1  2 sin x.cos x 2) tan a  tan b  6 6 2 2 cos a cos b
6) sin x  cos x  1  3sin x.cos x sin(a  b) 3) cot a  cot b  sin a sin b B. Bài tập
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 cos x sin x cos2x . sin x cos x cosx cosx d) 2 tan 2x . 1 cosx sin x cosx sin x b) 4 4 2 cos x sin x 1 sin 2x . 2 e) 3 3 4 sinx cos x 4 sin x cosx sin 4x . c) 6 6 2 2 sin x cos x
1 3 sin x.cos x . f) 5 5 4 sinx cos x 4 sin x cosx sin 4x .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: sin 5x sin 3x sin 4x a) tan 4x . cos5x cos 3x co s 4x 2 b) cos x sin x 1 sin 2x . 2 c) 1 sin 2x sin x cosx . d) cotx tanx 2cot2x . 3
Bài 3. Cho sin x ,x 0;
. Tính giá trị của biểu thức P cos x cos2x . 5 2 Bài 4. Cho x ; và tan x
1 Tính giá trị của biểu thức A cos x sin x . 2 4 2
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 5. Cho tan x
2 Tính giá trị của biểu thức sau: 2 sin x cos x 3 2 3 2 sin x sin x cos x cos x a) A . c) C . cos x sin x 2 3 cos x 2 sin x cos x 2 2 sin x sin x cosx 2 2 sin x sin x cos x cos x b) B . d) D . 2 3 cos x 2 sin x cosx 2 3 cos x 2 sin x cos x x x 1 2 sin 3 cos 1 2 2
Bài 6. Cho tan x ,x 0;
. Tính giá trị của biểu thức P . 2 2 x x 5 sin 2 cos 2 2 2 2
Bài 7. Cho sin x ,x ;
. Tính giá trị của biểu thức P cos x . 3 2 3 1
Bài 8. Cho sin x ,x ;
. Tính giá trị của biểu thức P sin2x cos2x . 3 2
..........................................................................................................................
Phần 2. Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ x    k2
1. Phương trình: sin x  sin  , k  Z  x      k2 x    k2
2. Phương trình: cos x  cos  , k  Z  x    k2
3. Phương trình: tan x  tan     k ,  k  Z
4. Phương trình: cot x  cot     k ,  k  Z B. Bài tập rèn luyện
Bài 9. Giải các phương trình sau:    3    a) sin3x    b) sin(3x - 2) = 1,5 c) 2 cos 2x    1  6  2  5   3 d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tan f) cot(45o - x) = 3 3  2   5     g) sin3x - cos2x = 0 h) sin x    cos 3x i) sin3x
  cos3x    0  3   6   4  x       j) cos  cos(2  30o x ) k) cos2x = cosx l) sin
x  sin2x   2  4   4        1    3 m) sin x   1 n) sin 12  x    o) cos6x     12   6  2  2  2
p) cos(  5x)  1  q) tan 3 (   6x)  1
r) tanx  6   3    1  5  12  3 s) tan  2x  t) cot 12x  3 u) cot  5x   4  3  6   7  3
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2
v) sin12  3x 
w) cos2x a  sin 3x x) sin 3
( x b)  cos 5x 2     5   7  y) ta  n  x  cot  x
z) cot3  x  ta  n  7x  4   6   12 
Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : 1 1 a) sin 2x với 0 x . b) cot 3x với x 0 . 2 3 2 1 c) sin x với 0 x 2 . 2 2 d) 2 cos x 1 0 với x . 3 2
Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 2 sin x 1 c) sin x 1 2 cosx 1 0 b) 2 cos 2x 3 2 cos x 1 0 d) tan x 1 tan x 3 0 e) cotx 1 tan x 3 0 f) 2 cos 5x 2sin x 1
Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin x sin 3x cos x 0 c) sin 3x.sin 2x sin 4x sinx b) 2 sin 5x sinx 2 cos x 1 d) 4 4 2 cos x 1 2 sin x e) cos 2x sinx cosx f) 2 sinx 2cos 2x 1
Bài 13. Giải các phương trình sau :
a) 4 sin x cos x cos 2x 1 c) sin 3x.sin 2x sin 4x cos2x cos 3x b) 2 sin 5x cosx sinx cos 5x 2 cos x 1 d) 2 1 cos2x sin x cos x 5
e) 4 cos 2x sin x cos x sin 8x f) 4 4 sin x cos x 8
Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 3 4 sin x cos2x 3sin x c) 3 sin2x 3 cosx 4 cos x
b) 2 sin 2x cos x sin 3x 1
d) 2 sin 3x sin x 1 cos 4x
II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 a sin x b sinx c 0( ), đặt: t sinx, t 1 . Pt( ) trở thành: 2 at bt c 0 . Dạng 2: 2 acos x bco sx c 0( ), đặt: t cosx, t 1 . Pt( ) trở thành: 2 at bt c 0 . Dạng 3: 2 atan x b tanx c 0( ), đặt: t
tanx . Pt( ) trở thành: 2 at bt c 0 . Dạng 4: 2 acot x b cotx c 0( ), đặt: t
cotx . Pt( ) trở thành: 2 at bt c 0 .
Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1) sin 2 x  cos2 x  1 2 2 cos 2x cos x sin x 1 3) 4 4 2 cos x sin x 1 sin 2x 2) 2 cos 2x 2cos x 1 4 2 cos 2x 1 2 sin x 4) 6 6 2 2 sin x cos x
1 3 sin x.cos x .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 co s 2x 1 co s 2x 5) 2 cos x 6) 2 sin x 2 2 7) 3 o c s3x 4 o c s x 3 o c sx 8) 3 sin 3x 3 sinx 4 sin x B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos2x 3 sin x 2 0 (1)
Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi 2 cos2x
1 2 sin x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải 2 2 2 (3) 1 2 sin x 3 sin x 2 0 2 sin x 3 sin x 1 0 x k2 2 sin x 1 x k2 , k Z . 1 sin x 6 2 5 x k2 6
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 cos 4x 12 sin x 1
0 (2) (CĐ Khối A,B,D – 2011)
Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ 1 cos2x bậc nâng cung của 2 sin x
. Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x 2
nên ta chọn công nhân đôi của 2 cos 4x 2cos 2x
1 . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 1 cos2x 2 2 (2) 2cos 2x 1 12. 1 0 cos 2x 3cos2x 2 0 2 t 1(n) Đặt t cos2x, t 1. Pt trở thành: 2 t 3t 2 0 . t 2(l) Với t 1, ta có : cos2x 1 x k , k Z .
Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4 cos x sin x cos 4x 0 (3)
Phân tích:Ta thấy 4 4 cos x sin x o
c s2x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos 4x 2 cos 2x
1 . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen
rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải 2 2 2 2 2 2 (3) cos x sin x cos x sin x 2cos 2x 1 0 2cos 2x cos2x 1 0 cos 2x 1 x k 2 , k Z . 1 cos 2x x k2 2 6
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ví dụ 4. Giải phương trình: 2cos 2x 1 o c s3x 4 .
Phân tích:Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó . Thử
đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta
nghĩ đến việc đưa về cùng góc. Ta nhớ 3 o c s3x 4 o c s x 3 o c sx và 2 cos2x 2 cos x 1 . Khi đó sẽ
được phương trình bậc 3 theo cos. Giải   2 x   3 3 2 (4) 2 2cos
1 1 4cos x  3cos x  4cos x  4cos x 3cos x  3  0 1 3
 cos x   cos x   (loai)  cos x 1. 2 2   1
cos x  1  x k2 ,k Z . cos x
x    k2,k Z . 2 3
Ví dụ 5. Giải phương trình: 3 2 cos  x x o c s 5 . 4 3x 1  3x
Phân tích:Trước tiên ta thử hạ bậc nâng cung 2 o c s  1 o c s 
 ,tới đây ta sẽ thấy mối liên hệ 4 2  2 
giữa x và 3x/2. Không quen nhìn thì ta đặt t=x/2, khi đó phương trình sẽ có dạng 1 cos 2 t  1 o c s3t  . 2
Khi đó giải như Ví dụ 4. Giải Đặt  x 3t 1 t
, phương trình (5) trở thành: 2 2 cos 2 t  o c s  2 o c s t 1  1 o c s3t  2 2 2 2 3 3 2
 4cos t  2 1 4 o c st  3 o c s t  3 o
c s t  4cos t  4 o
c st  3  0 . Các em tự giaỉ tiếp nhé!!
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2  3tan x  sin 2x  06 .
Phân tích: Khi gặp bài toán có chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem mối liên hệ giữa các góc
trong bài toán. Bài này chưa 2t
tanx và sin2x nên ta nghĩ đến công thức t  tan x  sin 2x  . Khi 2 1 t
đó bài toán trở thành phương trình đa thức. Giải
Điều kiện: cos x  0. Đặt: t  tan x .Phương trình (6) trở thành: 2t 3 2 2  3t
 0  3t  2t t  2  0  t  tan x  . x .. ! 2 1 t
Các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 7. Giải phương trình: 2 2
2sin x  tan x  2 7 .
Phân tích: Bài này nếu đặt  x t tan
đưa về phương trình đa thức theo t cũng được nhưng bậc khá 2
cao. Ta thử nhớ công thức 1 1 2 2 1 tan x   tan x  1 và 2 2
sin x  1 cos x . Khi đó bài 2 2 cos x cos x
toán đưa về phương trình trùng phương theo cos. Giải
Điều kiện: cos x  0.
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 6
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2 cos x  1  (l) 1 
Cách 1: 7  2 2 1 cos x 4 2 
1  2  2cos x  cos x 1  0  2 1 2 cos x cos x   2  k 2
 2cos x 1  0  cos 2x  0  x  
,k Z . . 4 2  
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là   k x , k Z . 4 2 sin x 1 Cách 2: 7 2 2 2 2 2 4 2  2
.cos x  tan x  2  2 tan . x
 tan x  2  tan x  tan x  2  0 2 2 cos x 1 tan x 2 2
 tan x 1 tan x  2  (l)....!. Ví dụ 17
8. Giải phương trình: 8 8 2
sin x  cos x  cos 2x 8 . 16 Giải Ta có:  
sin x  cos x  sin x  cos x 2 2 1 1 1 8 8 4 4 4 4 2 4 2 4  2sin . x cos x  1 sin 2x
 sin 2x 1sin 2x  sin 2   x .  2  8 8  1  Pt (8) 2 4
16 1 sin 2x  sin 2x 17    2 1 sin 2x 4 2
 2sin 2x  sin 2x 1  0  8  2 sin 2x  1  (loai)   k 2 
 1 2sin 2x  0  cos 4x  0  x   , k Z. 1  2 sin 2x  8 4  2 Ví dụ 5
9. Giải phương trình: 8 8
sin x  cos x  2 10 10
sin x  cos x  cos 2x 9 . 4
Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung
sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể: 9 5 5 8 10 8 10 8
 sin x  2sin x  cos x  2cos x  cos 2x  sin x 2 1 2sin x 8  cos x 2
1 2 cos x  cos 2x 4 4 Giải 9 5 5 8 10 8 10 8
 sin x  2sin x  cos x  2cos x  cos 2x  sin x 2 1 2sin x 8  cos x 2
1 2 cos x  cos 2x 4 4 9 5 5 8 8
 sin x cos 2x  cos x cos 2x  cos 2x  cos 2x 8 8
cos x  sin x  cos 2x 4 4  cos 2x 5 4 4
cos x  sin x 4 4
cos x  sin x  cos 2x  0 4  1  2  4.cos 2 .
x cos 2x 1 sin 2x  5 cos 2x  0    2    1    cos 2 . x 4 cos 2 . x 1    2
1 cos 2x  5  0     2   cos 2x  0    
x   k. ,k  Z. 3
2cos 2x  2cos 2x  5  0(VN) 4 2
Ví dụ 10. Giải phương trình: 2
cos 2x  cos x  sin x  2  0 10.
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: 2 2 2 cos 2x 1 2sin ;
x cos x 1 sin x . Giải sin x  1    10 2 2 2  2
 sin x 1 sin x  sin x  2  0  3
 sin x  sin x  4  0  4
sin x  (loai)  3 
x    k2 ,k Z . 2
C. Bài tập rèn luyện:
Bài 15.Giải các phương trình sau: a) 2
cos x  5cos x  2  0 b) 2
2cos x  cos x 1  0 c) 2
cot x  4cot x  3  0 d) 2
tan x  1 3 tan x  3  0
e) cos 2x  9cos x  5  0
f) cos 2x  sin x  3  0
Bài 16.Giải các phương trình sau:
a) 3sin 2 2x  7 cos 2x  3  0
b) 6cos2 x  5sin x  7  0
c) cos 2x  5sin x  3  0
d) cos 2x  cos x 1  0
e) 6sin 2 3x  cos12x  14
f) 4sin 4 x 12cos 2 x  7
g) 8sin2 x  cos x  5
Bài 17.Giải các phương trình sau: 3 a) 3 2
sin x  3sin x  2sin x  0 b) 2 2
sin 2x  2 cos x
 0 c) 5sin3x  cos6x  2  0 4
d) 2cos 2x  cos x 1 e) 4 2
4sin 3x 12cos 3x  7  0 f) 2
5sin x  3sin x  2  0
Bài 18.Giải các phương trình sau:
a) 3tan x  cot x  2.2  sin x . sin x sin 5x e)  . 1 1 2 3 5 b)   . sin 5x cos x sin 2x sin 4x f) 1. 6x 8x 5sin x c) 2 2 cos 1 3cos  0 . 5 5 5x x d) 3 sin  5cos . x sin . 2 2  5   7     g) sin 2x   3cos x  1 sin ; x x  ; 2        .  2   2   2 
Bài 19.Giải các phương trình sau:    2 a)  x x2 sin 2 3 cos 2 5  cos 2x    .
e) cot x  tan x  sin 2x  .  6  sin 2x 1 1 f) x x x 2 sin 2 . cot tan 2  4cos x . b) 2sin 3x   2cos3x  . sin x cos x    g) 3 tan x   tan x 1   . x x   2 cos 2sin 3 2  2 cos x 1  4  c) 1. 1 sin 2x
h) 1 tan x1 sin 2x 1 tan x . x 3x x 3x 1 d) cos . x cos .cos sin xsin sin  . 2 2 2 2 2 i) x x   3 sin 2 cos
3  2 3 cos x  3 3 cos 2x  8 3 cos x sin x  3 3 .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM  1   1  j) 2 4 sin x   4 sin x   7     . 2  sin x   sin x  k) 2 tan x  tan .
x tan 3x  2 (ĐHQG Hà Nội 1996).
l) 4sin 3x  cos 2x  5sin x   1
III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng cơ bản : a sin x b cosx c ( ). Cách giải 1:
 Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 a b c .  Chia hai vế pt( ) cho 2 2 a b 0 ta được: a b c sin x cos x . 2 2 2 2 2 2 a b a b a b
 Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: a b cos ;sin . 2 2 2 2 a b a bc c
Phương trình trở thành: sin x.cos sin .cosx sin x . 2 2 2 2 a b a b
Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2:x Kiểm tra xem cos 0 x
k2 có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một 2 họ nghiệm này. 2  x x 1 t 2t cos 0 x k2 , đặt: t tan cos x ;sin x . Khi đó phương 2 2 2 2 1 t 1 t trình ( ) trở thành : 2 b c t 2at c b 0 t tanx x...!
Mở rộng 1 : a sinx b cosx
c siny hoặc a sinx b cosx c cosy .
Mở rộng 2 : a sinx b cosx c siny d cosy .
Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: )
1 sin(a b)  sin a cos b  sin bcos a )
2 cos(a b)  cos a cos b  sin asin b B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 11. Giải phương trình: 3 cos 2x  sin 2x  2 1  1 .
Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin
đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải   1 3  
11  sin 2x  3 cos 2x  2  sin 2x
cos 2x  1  sin 2 . x cos  sin cos 2x 1 2 2 3 3      1  1  sin 2x  1  x
k2,k    Z .  3  12
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 3 1
12. Giải phương trình: 8sin x   12 . cos x sin x
Phân tích: Các em để ý không phải là luôn luôn nhưng khi thấy xuất hiện 3 thì thường là rơi vào
dạng bậc nhất theo sin và cos hoặc mở rộng của nó.!! Giải sin  x  0 Điều kiện:  . cos x  0   2 12  8sin .
x cos x  3 sin x  cos x  4cos x 1 cos 2x  3 sin x  cos x  3cos x  4cos2 .
x cos x  3 sin x  cos x  3 sin x  2cos3x 1 3    cos x
sin x  cos 3x  cos cos x  sin
sin x  cos 3x 2 2 3 3   x   k2      6 cos
x  cos3x    
, k Z .  3    x    k2  12
Ví dụ 13. Giải phương trình: 3
sin 3x  3 cos 9x  1 4sin 3x 13 .
Phân tích: Thấy 3 là ta thử nghĩ đên dạng bậc nhất theo sin và cos, nhưng bài khác góc và lệch
bậc?? Để ý tý Em sẽ thấy công thức nhân 3 (sin thì 3-4). Ta thấy 3
sin 9x  3sin 3x  4sin 3x . Giải     3 13
3sin 3x  4sin x  3 cos9x 1  sin 9x  3 cos9x 1   k 2 x   1 3 1      18 9  sin 9x  cos 9x   sin 9x   sin    
, k Z . 2 2 2  3  6 7 k 2   x    54 9
Ví dụ 14. Giải phương trình:
cos x  3 sin x  2 o c s3x 14.
Phân tích: Đây là dạng mở rộng 1, em cứ giải tương tự như dạng cơ bản. Chia hai vế của phương trình cho 2 được: 1 3 cos x  sin x  o
c s3x vì vế phải là hàm cos nên để cho tiện thì các em cũng đưa vế trái về hàm 2 2      cos. Tức là: 1 3 cos x  sin x  cos .cos x  sin
.sin x  cos x    . 2 2 3 3  3  Giải   1 3      14  cos x  sin x  o c s3x  cos .cos x  sin
.sin x  cos 3x  cos x   cos3 . x ...!!   2 2 3 3  3 
Các em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 15. Giải phương trình:
cos 3x  sin 5x  3 cos 5x  sin 3x 15 .
Phân tích: Đây là dạng mở rộng 2. Đưa các giá trị lượng giác cùng góc đưa về một vế. là chuyển góc
3x về một vế và 5x về một vế. Tiếp theo Em cứ giải tương tự như dạng cơ bản . Giải
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 10
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   3 1 1 3
15  3sin 3x  cos 3x  sin 5x  3cos 5x  sin 3x  cos 3x  sin 5x  cos 5x 2 2 2 2        sin 3x   sin 5x    
 ….!!! Các em tự giải tiếp nhé…!  6   3  2  x x
Ví dụ 16. Giải phương trình: sin  o c s  3 cos x  2  
16 . (ĐH- D-2007)  2 2 
Phân tích: Câu này khá cơ bản, thấy số 3 là khả năng phương trình bậc nhất theo sinx và cosx rồi.
Chỉ cần khai triển hằng đẳng thức và đưa về đúng dạng thôi. Giải   x x x x 2 2 16  sin  o c s  2sin o c s
 3 cos x  2  sin x  3 cos x 1 2 2 2 2 1 3 1   1      sin x  cos x
 cos sin x  sin cos x   sin x   sin   2 2 2 3 3 2  3  6   x    k2   6  
, k Z .   x   k2    2
Ví dụ 17. Giải phương trình:  4 4
4 sin x  cos x  3 sin 4x  2 17 . 1 1
Phân tích: Nhớ lại 4 4 2
sin x  cos x  1 sin 2x  1
1cos4x . Tới đây các Em thu gọn lại sẽ ra 2 4 dạng cơ bản. Giải 2 1 1 Ta có: 4 4
sin x  cos x   2 2
sin x  cos x 2 2 2
 2sin xcos x 1 sin 2x 1 1cos4x . 2 4    1  17  4 1
1cos4x  3sin4x  2  3sin4x cos4x  2     4        sin 4x   1
  x    k ,k    Z .  6  6 4 Ví dụ 1
18. Giải phương trình: 3 3
1 sin 2x  cos 2x  sin 4x 18 . 2
Phân tích: Câu rơi vào dạng đặt nhân tử chung rồi. Thầy sẽ nói kỉ phần sau. Giải     x   3 3 18 2 sin 4
2 sin 2x  cos 2x  0  2 sin 4x  2sin 2x  cos 2x1sin 2xcos 2x  0
 2 sin 4x  sin 2x  cos2x22sin 2xcos2x  0  2 sin 4x sin 2x cos2x2 sin 4x  0    x  x x  
sin 2x  cos 2x 1  0 2 sin 4 . sin 2 cos 2 1  0  
2  sin 4x  0(vn)   x    k  2    4
sin 2x  cos 2x  1   sin 2x       
, k Z .  4  2   x     k  2
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 11
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ví dụ 19. Giải phương trình: tan x  3cot x  4sin x  3cos x 19.
Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều
kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài
toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải   sin x cos x 19  3
 4sin x  3cos x 2 2
 sin x 3cos x  4sin xcos xsin x  3cos x cos x sin x
 sin x  3cos xsin x  3cos x 2sin 2xsin x  3cos x  0
 sin x  3cos xsin x  3cos x  2sin 2x  0
sin x  3 cos x  0
 sinx 3cosx2sin2x 0    
  tan x   3  x    k,k Z . 3  1 3
 sin x  3 cos x  2sin 2x  sin x
cos x  sin 2x 2 2   x    k2      3  sin x   sin 2x    
, k Z .  3  4   x   k2    9  4
So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là: x    k2; x
k2,k Z . 3 9
Ví dụ 20. Giải phương trình: 3 3
sin x  cos x  sin x  cos x 20 . Giải
   x 2 x  3 2 3 20 sin sin
1  cos x  cos x  0  sin x cos x  cos x  cos x  0  cos x 2
sin x cos x  cos x   1  0 cos x  0   2
sin x cos x  cos x 1    
  x   k,k Z . 2  1 1 cos 2   x sin 2x   1
  sin 2x  cos 2x  3(v ) n 2 2
B. Bài tập rèn luyện:
Bài 20.Giải các phương trình sau:
a) 2sin x  2 cos x  2
b) sin 2x  3 cos 2x  2
c) sin 4x  3 cos 4x  2
d) cos x  3 sin x  1 
e) 3 cos3x  sin 3x  2  0
f) cos 2x  2sin 2x  3
Bài 21.Giải các phương trình sau:
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1
a) 2sin 2x cos2x  3 cos 4x   2 b) 2
sin 2x  sin x  2       5 2 c) 2 cos x   3cos x       d) 2 2
cos x  3 sin 2x  1 sin x  6   3  2 e) 2
5sin 2x  6cos x  13
f) 2sin 3x  sin 2x  3 cos 2x
g) sin 3x  sin 5x  3 cos5x cos3x
h) 3 sin 4x  cos 4x  sin x  3 cos x
i) sin 7x  cos 6x  3 sin 6x  cos 7x
j) sin 5x  3 cos 5x  2cos 3x
Bài 22.Giải các phương trình sau: 4    4 1 a) sin x   cos x    b) 3 3
4sin x cos3x  4cos x sin 3x  3 3 cos 4x  3  4  4
c) 2 2 sin x  cos xcos x  3 cos2x d) 2cos x  
1 sin x  cos x 1 2
e) 2cos 2x  6 cos x  sin x
f) sin x  3 cos x
sin x  3 cos x 1 g) 3
4sin x 1  3sin x  3 cos3x
h) sin x cos 4x  3 cos5x  2  sin 4x cos x cos x  sin 2x
i) 4sin 2x  3cos 2x  34sin x   1 j)  3 2
2 cos x  sin x 1
Bài 23.Giải các phương trình sau: 1 a) tan x  3  x x   cos x b) 3 3 sin 6 4cos 2 1 3cos 2 x 3 3 5  3 
c) cos x cos3x  sin x sin 3x x x x   8 d) 4sin 2 3cos 2 5cos 3 0    2  x  3  e) 2 2 4sin
 3 cos 2x 1 2cos x   
f) cos 2x  3 sin 2x  3 sin x cos x  4  0 2  4  3
g) sin x  cos x  2 1 sin 2x  sin x  cos x  2
IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 2
a sin x bsin x cos x c cos x d   1
Cách 1:Chia hai vế cho 2 cos x hoặc 2 sin x .
Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này.
Bước 2: Xét cos x  0 . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho 2 cos x ta được:   2 2 sin x sin x cos x cos x d 2 2 1  a  bc cos x
a tan x b tan x c d  2 1 tan x 2 2 2 2  cos x cos x cos x cos x
 a d  2
tan x b tan x c d  0 . Dạng 2: 3 2 2 3
a sin x bsin x cos x c sin x cos x d cos x  02 Dạng 3: 4 3 2 2 3 4
a sin x bsin x cos x c sin x cos x d sin x cos x e cos x  03
Cách giải: Chia hai vế của (2) cho 3 cos x hoặc 3
sin x . Chia hai vế của (3) cho 4 cos x hoặc 4 sin x rồi làm như trên.
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 21. Giải phương trình: 2 2
cos x  3 sin 2x  1 sin x 2  1 . Giải Cách 1:
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình (21) vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình (21) nên ta chia hai vế 2
của phương trình (21) cho 2 cos x được:   2 2 cos x sin x cos x 1 sin x 21   2 3   2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x 2 2 2
1 2 3 tan x 1 tan x  tan x  2tan x  2 3 tan x  0 x   k tan x  0     
, k Z . tan x   3
x    k  3 Cách 2:      2 2
21  cos x  sin x  3 sin 2x  1  cos 2x  3 sin 2x  1  sin 2x  1    3 
Các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 22. Giải phương trình: 3 3 2
cos x  4sin x  3cos x sin x  sin x  0 22 . Giải
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình (22) vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình (22) nên ta chia hai vế 2
của phương trình (22) cho 3 cos x được:   3 3 2 cos x sin x cos x sin x sin x 22   4  3   0 3 3 2 3 cos x cos x cos x cos x 3 2   x x x  2 1 4 tan 3tan tan 1 tan x  0 3 2  x x x     x   2 3tan 3tan tan 1 0 tan 1 tan x  3  0    tan x  1  x     k  4    ,k Z . 3  tan x      x      3  k  6
Ví dụ 23. Giải phương trình: 4 2 2 4
3cos x  4cos x sin x  sin x  0 23 . Giải
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình (23) vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình (23) nên ta chia hai vế 2
của phương trình (23) cho 4 cos x được:   4 2 2 4 cos x cos x sin x sin x 23  3  4   0 4 4 4 cos x cos x cos x
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 14
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   x     2  k tan x  1 tan x  1   4 2 4
 tan x  4 tan x  3  0       , k Z. 2 tan x  3 tan x   3   x      k  3
Ví dụ 24. Giải phương trình: sin 2x  2 tan x  3 24. Giải
Điều kiện : cos x  0  x   
k ,k Z  . 2
  2sin xcos x 1 1 24   2 tan . x  3.
 2 tan x  2 tan x 2 1 tan x  3 2 1 tan x 2 2 2  cos x cos x cos x  3 2
 2 tan x 3tan x  4 tan x 3  0  tan x 1  x   k,k Z . 4
Ví dụ 25. Giải phương trình: 3
sin x sin 2x  sin 3x  6cos x 25. Giải
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình (25) vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế 2
của phương trình (25) cho 3 cos x được:   3 3
2sin x sin x cos x
3sin x  4sin x cos x 25    6 3 3 3 cos x cos x cos x 2 3 sin x sin x 1 sin x 2  2  3 . t 4
 6  2 tan x  3tan x 2 1 tan x 3  4 tan x 6  0 2 2 3 cos x cos x cos x cos x
x arc tan 2   k tan x  2 3 2 
 tan x  2 tan x  3tan x  6  0    
, k Z . tan x   3
x    k  3
Ví dụ 26. Giải phương trình: sin 3x  cos3x  2cos x  0 26 .
Phân tích: Các Em nhớ lại 3 3
sin 3x  3sin x  4sin ;
x cos3x  4cos x  3cos x . Khi đó viết lại phương
trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x ,nhưng
nhớ phải xét cos x  0 trước. Giải     3 x x   3 x x 3 3 26 3sin 4sin 4cos 3cos
 2cos x  0  3sin x  4sin x  4cos x cos x  0
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình  vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của 2 phương trình  cho 3 cos x được:  3 3 3sin x 1 sin x cos x cos x 1  .  4  4  .  0 2 3 3 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos xx  2  x 3  x    2 3tan 1 tan 4 tan 4 1 tan x  0
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   x      tan  1   k x 3 2 4
  tan x  tan x  3tan x  3  0    
, k Z . tan x   3   x      k  3
Ví dụ 27. Giải phương trình: 3 2
sin x  cos x  3sin x cos x  0 27 . Giải
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình 27 vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình 27 nên ta chia hai vế 2
của phương trình 27 cho 3 cos x được:   3 2 sin x 1 cos x sin x cos x 27  .  3  0  tan x 2 tan x   2
1 1 3 tan x  0 2 3 3 cos x cos x cos x cos x   tan x 1 x    k 3 2  x x x      4 tan 3 tan tan 1 0 ,  k Z   x   x     . tan 1 2 arctan 1 2   k
Ví dụ 28. Giải phương trình:  9     2 cos 3  2x 2  3 cos 4x  1 sin  
 2x,x  ;2 28   .  2   3  Giải   2 2
28  cos 2x  3 sin 4x  1 sin 2x 
TH1: Xét cos x  0  sin x  1
 .Khi đó phương trình  vô nghiệm. 
TH2: Do cos x  0  x   
k ,k Z  không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của 2 phương trình  cho 2 cos 2x được:  2 2 cos 2x sin 2x cos 2x 1 sin 2   x 2 3   2 2 2 2 cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x   x  tan 2  0  k x 2 2
 2 tan 2x  2 3 tan 2x  0    
, k Z . tan x   3    x     k  6 2 C. Bài tập rèn luyện
Bài 24.Giải các phương trình sau: 2 2 2
a) sin x  2 cos x  3sin x cos x
b) sin x  3sin x cos x  1 2 2 2 2
c) 2sin x  3cos x  cos2x  5sin 2x  0
d) 5sin 2x  6sin 4x  2 cos 2x  0 2 2 2 2
e) 5sin x  5sin 2x  4 cos x  0
f) 2sin 3x 10sin 6x  cos 3x  2 4 4
g) sin x  cos x  3sin x cos x  0
Bài 25.Giải các phương trình sau:
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1
a) 3 sin x  cos x x x x  cos x b) 2 2 sin 3cos sin 2 2
c) sin3x  cos3x  sin x  cos x d) x  3 sin3 2cos x e) 2
sin x tan x  
1  3sin x cos x  sin x  3 f) 3
sin x  4sin x  cos x  0 g) 2 2
tan x sin x  2sin x  3cos 2x  sin . x cos x
h) sin 3x  cos3x  2cos x  0 5sin 4 .cos cos 2x 1 i) 3 6sin  2 cos  x x x x j) 2 cot x 1 
 sin x  sin 2x 2 cos 2x tan x 1 2
V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng 1: a sin x  cos x  bsin xcos x c  0 1
Cách giải: Đặt  sin  cos ,
 2   sin  cos  2 2 2  sin cos  t t x x t t x x x x thay vào phương 2
trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức.
Dạng 2: a sin x  cos x  bsin xcos x c  0 1
Cách giải: Đặt  sin  cos ,
 2   sin  cos  2 2 2  sin cos  t t x x t t x x x x . 2 Dạng 3:  2 2
a tan x  cot x  btan x  cot x  c  0
Cách giải: Điều kiện: sin 2x  0 Đặt t x
x t   t   x x2 2 2 2 2 tan cot , 2 tan cot
 tan x  cot x t  2 . Dạng 4:  2 2
a tan x  cot x  btan x  cot x  c  0
Cách giải: Điều kiện: sin 2x  0 Đặt t x x t   x x2 2 2 2 2 tan cot tan cot
 tan x  cot x t  2 . Dạng 5:  4 4
a sin x  cos x  bsin 2x c  0 1 1 Cách giải: Đặt 4 4 2 2 t  sin 2 ,
x t  1  sin x  cos x  1 sin 2x  1 t . 2 2 Dạng 6:  4 4
a sin x  cos x  bcos 2x c  0 1 1 1 1 Cách giải: Đặt 4 4 2 t  cos 2 ,
x t  1  sin x  cos x  1 sin 2x  1  2 1 cos 2x 2   t . 2 2 2 2 Dạng 7:  6 6
a sin x  cos x  bsin 2x c  0 3 3 Cách giải: Đặt 6 6 2 2 t  sin 2 ,
x t  1  sin x  cos x  1 sin 2x  1 t . 4 4 Dạng 8:  6 6
a sin x  cos x  bcos 2x c  0 3 3 1 3 Cách giải: Đặt 6 6 2 t  cos 2 ,
x t  1  sin x  cos x  1 sin 2x  1  2 1 cos 2x 2   t . 4 4 4 4 Dạng 9: 4 4
a sin x b cos x c cos 2x d  0
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2     1 1 cos 2 1  t x t  4 2 x   si  n sin x       2 2 2 
Cách giải: Đặt t  cos 2x, t  1     . 2 1 cos 2x 1 t 2   1 t  4 cos x   cos x   2 2      2 
Chú ý:Dạng 5,6,7,8,9 thật ra có thể xem như là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác nên
các Em có thể xem lại mục II. Nên ở đây Thầy chỉ đưa ra ví dụ của dạng 1 và 2 thôi nhé! Bài tập mẫu:
Ví dụ 29. Giải phương trình: cos x  sin x  3sin xcos x 1  0 29 . Giải 1
Đặt  sin  cos ,
 2   sin  cos  2 2 2  sin cos  t t x x t t x x x x
. Phương trình (29) trở thành: 2 t 1(n) 2 t 1 2  t  3.
1  0  3t  2t  5  0  5 . 2 t   (l)  3
Với Đặt t 1, ta có : sin x  cos x 1(Đây là phương trình bậc nhất theo sin cos đã biết. Các Em tự giải tiếp nhé..!)
Ví dụ 30. Giải phương trình: cos x sin x  6sin xcos x 1 30. Giải 1
Đặt  cos  sin ,  2   cos sin  2 2 2  sin cos  t t x x t t x x x x . Phương trình (30) trở 2 thành: t 1(n) 2 1 t 2  t  6.
1  3t t  2  0  2 . 2 t   (n)  3
Thay t trở ngược lại  các Em tự giải tiếp nhé…!   
Ví dụ 31. Giải phương trình: 2 cos x   sin 2x  1    3  1 .  4 
Phân tích: Phương trình có vẻ chưa đúng dạng lắm. Thật ra các Em chỉ cần biến đổi ra về cùng góc là thấy đúng dạng ngay. Giải     3  1  2 cos .cos x  sin
.sin x  2sin x cos x  1
  cos x sin x  2sin xcos x 1  0     4 4 
Tới đây các Em làm tiếp pt  như trên nhé….!
Ví dụ 32. Giải phương trình: 1 sin x1 cos x  2 32 .
Phân tích: Các Em để ý này đã cùng góc rồi do vậy nhân phân phối và và thu gọn thôi…! Giải
32  sin x  cos x  sin xcos x 1  2  sin x  cos x  sin xcos x 1  0
Tới đây các Em làm tiếp pt  như trên nhé….!
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 18
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ví dụ 33. Giải phương trình: 2 3
s inx+sin x  o c s x  0 33. Giải   2 2  x xc x     c x 2 33 s inx+sin cos os 0 s inx 1 s inx os 1 sin x  0 x    
1 sin xsinx+cosx1-sinx s in =1   0  
sinx+cosx-sin c x osx=0  
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng để thuận lợi nhé…! C. Bài tập rèn luyện
Bài 26.Giải các phương trình sau:
a) 3sin x  cos x  2sin x cos x  3  0
b) sin x  cos x  4sin x cos x  4  0
c) 4sin x cos x  2sin x  cos x 1  0
d) 2sin 2x  3 6 sin x  cos x  8  0
Bài 27.Giải các phương trình sau:
a) sin 2x  2 2 sin x  cos x  5  0
b) sin x  cos x  7sin 2x 1 3 3
c) sin 3x  cos3x  2sin x  cos x 1
d) 1 sin x  cos x  3sin x cos x  0 e) 3 3
2sin x  sin x  2cos x  cos x  cos 2x
f) cos 2x  5  22  cos xsin x cos x g) 3 3
sin x  cos x  cos 2x
h) 2sin x  cot x  2sin 2x 1 i) 3 3
1 cos x  sin x  sin x
j) cot x  tan x  sin x  cos x
VI. Đưa về phương trình tích:
1) Nhóm các góc phù hợp áp dụng công thức biến tổng thành tích hoặc biến tổng thành tích
Ví dụ 34. Giải phương trình: sin 5x+cos 2x  sin x  0 34.
Phân tích: Các Em để ý góc (5x-x):2=2x nên ta sẽ nhóm sin5x và sinx lại sữ dụng công thức biến tổng thành tích. Giải
34  sin5x+sin xcos2x  0  2sin4xcos2x cos2x  0  cos2x2sin4x 1  0 cos 2x  0
 2sin4x10
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!
Ví dụ 35. Giải phương trình: cos3x+cos x  sin 4x 35.
Phân tích: Các Em để ý cos3x + cosx có chưa cos2x và sin4x Em sử dụng công thức nhân đôi cũng có
chứa cos2x nên ta sẽ có nhân chung là cos2x. Giải
35  cos3x  cos x  2sin2xcos2x  2cos2xcos x 2sin2xcos2x  0 cos 2x  0
 cosxsin2x 0
Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…!
Ví dụ 36. Giải phương trình: cos x+cos 2x  cos3x  cos 4x  0 36 .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 19
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3x x 4x  2x
Phân tích: Các Em để ý góc 
nên ta nghĩ đến việc nhóm cos3x  cos x và 2 2
cos4x cos2x để biến đổi thành tích. Giải
36  cos3x cos xcos4x cos x  0  2cos2xcos x  2cos3xcos x  0  2cos xcos2x  cos3x      cos x  0 x   kx     k    2  2
cos 2x  cos3x  0  
cos3x  cos 2x cos3x  cos 
  x
Các Em giải tiếp  nhé…!
Ví dụ 37. Giải phương trình: sin x+sin3x  cos3x  cos x  0 37. Giải
37  sin3x sin xcos3x cos x  0  2sin 2xcos x  2cos2xcos x  0  2cos xsin 2x  cos2x      x    k cos x  0 x   k 2     2  
sin 2x  cos 2x  0     
cos 2x  sin 2x cos 2x  cos  2   x    2 
Các Em giải tiếp  nhé…!
Ví dụ 38. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin x+sin 3x  cos 2x  cos 4x 38 .
Phân tích: Trong phương trình có bậc hai,rất tự nhiên ta thử hạ bậc nâng cung xem. 1 cos 2x 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos8x 2 2 2 2 sin x  ;sin 3x  ;cos 2x  ;cos 4x
. Khi đó các hằng số tự 2 2 2 2
đã triệt tiêu đưa về cùng một vế ta sẽ thấy tương tự các bài ở trên. Giải
  1cos2x 1cos6x 1cos4x 1cos8x 38  +  
 cos8x  cos 2x  cos6x  cos 4x  0 2 2 2 2  cos 5x  0
 2cos5x cos3x  2cos5xcos x  0  cos3xcosx 0
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 39. Giải phương trình: 2 2 2
sin 2x+sin 4x  sin 6x 39.
Phân tích: Trong phương trình này ta không sử dụng công thức hạ bậc nâng hết vì như thế sẽ còn thừa
số tự do và không đặt nhân tử chung được. Nên ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc nâng cho 1 cos 4x 1 cos12x 12x  4x 2 2 sin 2x  ;sin 6x  . Vì sao lại là 2 2 sin 2 ;
x sin 6x ??? AK…! Vì góc  4x 2 2 2
Hoặc Em cũng có thể kết hợp 2 2 sin 4 ; x sin 6x . Giải
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 20
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   xx 39 1 cos 4 1 cos12 2 2  +sin 4x
 cos12x  cos 4x  sin 4x  0 2 2 2 2 2  2
 sin 4xsin8x  sin 4x  0  4
 sin 4xcos 4x  sin 4x  0 2 sin 4x  0
  4cos4x10
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 40. Giải phương trình: 2sin 3x cos 2x  sin 5x 40.
Phân tích: Em để ý 2x  3x  5x nên ta biến đổi tích thành tổng. 1
2sin 3x cos 2x  2. sin 5x  cos x  sin 5x  cos x . 2 Giải   1
40  2. sin 5x  cos x  sin 5x  cos x  0 2
Các Em giải tiếp nhé…!
2) Nhóm nhân tử chung kết hợp sử dụng phân tích tam thức bậc hai
Cần nhớ: f x 2
ax bx c ax x x x ,trong đó x , x là nghiệm của f x  0 . 1   2  1 2 Minh họa:  3  a) f x 2
 2x x  3  2x   1 x     x   1 2x  3 .  2   3 
b) f x 2
 2sin x  sin x 3  2sin x   1 sin x     sin x   1 2sin x  3  2 
Ví dụ 41. Giải phương trình: 2
sin 2x  3cos x  2sin x  sin x  3  0 4  1 . Giải    x x x   2 41 2sin cos 3cos
2sin x  sin x  3  0  cos x2sin x  3  sin x  
1 2sin x  3  0   x   x x   2sin x  3  0 2sin 3 cos sin
1  0  cosxsin x1 0
Các Em giải tiếp nhé…!
Bình luận: Trong bài giải ở trên tại sao khi khai triển sin 2x  2sin xcos x ta lại biết kết hợp với
3cosx??? Mà không phải là 2sinx.cosx với sinx??? Vì biểu thức còn lại là 2
2sin x  sin x  3 ta có thể
phân tích được thành nhân tử! Thật ra khi gặp dạng này Em cứ thử kết hợp sin2x với cos thử và kết
hợp với sinx thử và xem biểu thức còn lại có phân tích được thành nhân tử không!!
Ví dụ 42. Giải phương trình: 2
sin 2x  7 cos x  2cos x  sin x  3  0 42 . Phân tích:
Hướng Thứ 1:Kết hợp sin 2x  7cos x  2sin xcos x  7cos x  cos x2sin x 7 . Khi đó biểu thức còn
lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử: 2 x x    2  x 2 2 cos sin 3 2 1 sin  sin x  3  2
 sin x  sin x  5  1   41  1   41   2  sin x  sin x      2 2   
Kết hợp vậy không được rồi phải đổi thôi…!
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 21
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Hướng Thứ 2:Kết hợp sin 2x sin x  2sin xcos x sin x  sin x2cos x  
1 . Khi đó biểu thức còn lại
Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử:  1  2
2 cos x  7 cos x  3  2cos x  3 cos x
 cos x 32cos x    
1 . Vậy có nhân tử chung rồi  2  nhé 2cos x  
1 …! Vậy chọn hướng thứ 2 nhé…! Giải   2
42  sin 2x  sin x  2 cos x  7 cos x  3  0  2sin x cos x  sin x  2cos x  
1 cos x  3  0
 sin x2cos x   1  2cos x  
1 cos x  3  0  2cos x  
1 sin x  cos x  3  0 2cos x 1  0
 sinxcosx30(vn)
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 43. Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  5cos x  4  0 43 . Phân tích: 2 2 2 2
sin 2x  2sin x cos ;
x cos 2x  cos x  sin x  2cos x 1 1 2sin x
Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp sin 2x 5cos x  2sin xcos x 5cos x  cos x2sin x 5 . Khi đó biểu
thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn 2
cos 2x  1 2sin x . 2 2
cos 2x  3sin x  4  1 2sin x  3sin x  4  2
 sin x  3sin x  5   x   5   2 sin 1 sin x     sin x   1 2sin x  5  2 
Thế này thì không có nhân tử chung rồi, phải đổi hướng khác thôi…!
Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp sin 2x 3sin x  2sin xcos x 3sin x  sin x2cos x 3 . Khi đó biểu thức
còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo cosx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn 2
cos 2x  2cos x 1 . 2 2
cos 2x  5cos x  4  2 cos x 1 5cos x  4  2 cos x  5cos x  3  x   3   2 cos 1 cos x     cos x   1 2cos x  3  2 
Vậy có nhân tử chung rồi nhé 2cos x  3 …! Vậy chọn hướng thứ 2 nhé…! Giải     x x   2 43 sin 2 3sin
2cos x 1 5cos x  4  0  sin x2cos x 3  cos x  
1 2cos x 3  0
2cos x  3  0(vn)  
sin x  cos x 1  0
Các Em giải tiếp nhé…!
Bình luận:Ta có thể tổng quát dạng này như sau:
Dạng: a sin 2x bcos 2x csin x d cos x e  0 Cách giải:
Hướng Thứ 1: Nếu kết hợp a sin 2x d cos x  2asin xcos x d cos x  cos x2asin x d  . Khi đó
biểu thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn 2
cos 2x  1 2sin x .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 22
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM x c
x e b  2  x 2 b cos 2 sin 1 2sin
csin x e  2
bsin x csin x e b . Tiếp theo Em phân tích
xem có nhân tử chung không!!!
Hướng Thứ 2: Nếu kết hợp a sin 2x csin x  2asin xcos x csin x  sin x2acos x c . Khi đó biểu
thức còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn 2
cos 2x  2cos x 1 . x d
x e b  2 x   2 b cos 2 cos 2cos
1  d cos x e  2bsin x d cos x e b  0 . Tiếp theo Em phân
tích xem có nhân tử chung không!!!
Hai hướng trên nếu có nhân tử chung thì chỉ có thể là 2asin x d  hoặc 2acos x c .
Ví dụ 44. Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x 1  0
44 (ĐH-Khối D-2009) Phân tích:
Hướng Thứ 1: Thử kết hợp sin 2x  cos x  2sin xcos x  cos x  cos x2sin x   1 . Khi đó biểu thức
còn lại Em phải viết thành bậc 2 theo sinx để phân tích thành nhân tử, tức là Em phải chọn 2
cos 2x  1 2sin x .  x x     2  x 2 cos 2 3sin 1 1 2sin
 3sin x 1  2sin x  3sin x  2
 sin x  22sin x   1
Vậy có nhân tử chung rồi nhé 2sin x  
1 …! Vậy chọn hướng thứ 1 nhé…! Giải     x x   2 44 sin 2 cos
1 2sin x  3sin x 1  0  cos x2sin x   1  2sin x  
1 sin x  2  0 2sin x 1  0  . 
sin x  cos x  2  0(vn)
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 45. Giải phương trình: 2cos x  
1 2sin x  cos x  sin 2x  sin x
45(ĐH-Khối D-2004)
Phân tích: Đừng vội biến đổi vế trái vì đã là tích của hai biểu thức rồi. Thử biến đổi vế phải:
sin 2x  sin x  2sin x cos x  sin x  sin x 2cos x  
1 . Tới đây ta thấy nhân tử chung là 2cos x 1 . Giải
45  2cos x  
1 2sin x  cos x  2sin x cos x  sin x  2cos x  
1 2sin x  cos x  sin x 2 cos x   1  2cos x  
1 sin x  cos x  0
Các Em giải tiếp nhé…!
3) Một số biểu thức có nhân tử chung thường gặp:
Nhóm các biểu thức thường gặp Nhân tử chung      
sin x  cos x 1 sin 2 ; x cos 2 ; x 1 tan ; x 1 cot ;
x tan x  cot ; x sin x  ;cos x       4   4       
sin x  cos x 1 sin 2 ; x cos 2 ; x 1 tan ; x 1 cot ;
x tan x  cot ; x sin x  ;cos x       4   4  sin 2 ; x 1 cos 2 ; x tan ; x tan 2 ;
x cos3x  cos x sin x 2 2 3 3 1 cos ; x sin ; x sin ; x 1 cos ;
x cos 2x  cos x
1cos x1cos x
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 23
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2 2 3 3 1 sin ; x cos ; x cos ; x 1 sin ;
x cos 2x  sin x
1sin x1sin x
Ví dụ 46. Giải phương trình: 1 sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0
46 (ĐH-Khối B-2005) Phân tích:
Cách 1 : sin x  cos ; x 1 sin 2 ;
x cos 2x có nhân tử chung sin x  cos x . Thật ra thì các Em cũng không
cần quá lo lắng vì Bảng trên qua nhiều không nhớ. Khi làm quen rồi thì các Em cũng không cần phải nhớ…!
Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng a sin 2x bcos 2x csin x d cos x e  0 ,khi đó nhân tử chung có
thể là 2cos x  
1 hoặc 2sin x   1 giải như trên. Giải
46  1sin 2xsin x cos x 2 2
 cos x  sin x  0
 sin x  cos x2  sin x  cos x  sin x  cos xsin x  cos x  0
 sin x  cos x2cos x   1  0
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 47. Giải phương trình: 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1
47 (ĐH-Khối A-2012) Phân tích: Cách 1 : 3 sin 2 ;
x cos 2x 1;cos x có nhân tử chung cos x .
Cách 2 :Em cứ xem đây là dạng a sin 2x bcos 2x csin x d cos x e  0 ,khi đó nhân tử chung có
thể là cos x hoặc 2 3sin x  
1 và giải như trên. Giải
47  2 3sin xcos x 1 cos2x 2cos x  0 2
 2 3 sin x cos x  2cos x  2cos x  0  2cos x 3sin x cos x   1  0 cos x  0
  3sinxcosx10
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 48. Giải phương trình: sin x  2cos x  2 tan x  4cot x  6  0 48 Giải
Điều kiện: sin 2x  0 .
48  sin x  2cos x 2tan x  2 22cot x   1  0  x x
 sin x  2cos x
 sin x  2cos x   sin 2 cos  2  2      cos x   sin x
sin x  2cos x  0 tan x  2    2 2   1     0 2
 sin x  cos x  sin x cos x  0  cos x sin x
Các Em giải tiếp nhé…!
Ví dụ 49. Giải phương trình: 3
sin x  2cos x  cos 2x  0 49 Giải
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 24
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 49 3 2
 sin x  2cos x  2cos x 1  0 2
 2cos x1 cos x 1sin x  0  2 2
1 sin x1 cos x  1 sin x  0 x    x    x  x sin 1 1 sin 2 1 sin 1 cos 1  0   2
 sin x  cos x  2sin x cos x 1  0
Các Em giải tiếp nhé…! x Ví dụ sin 2 cos 2x
50. Giải phương trình: 1 50
sin x  cos x 1 Giải
Điều kiện: sin x  cos x 1
50  sin 2x cos2x  sin x cos x 1 2 2
 1 sin 2x  cos x  sin x  sin x  cos x  0
 sin x  cos x2  sin x  cos xsin x  cos x sin x  cos x  0
 sin x  cos xcos x   1  0
Các Em giải tiếp nhé…! C.Bài tập rèn luyện
Bài 28.Giải các phương trình sau:
a) sin 5x  sin3x  sin x  0
b) cos x  cos 2x  sin 3x  0 2
c) sin 5x  sin x  2sin x  1 d) sin 2x  
4 sin 3x  sin x         
e) sin 6x  sin 2x  cos 4x f) cos x   cos x   cos x         3   6   4 
g) sin x  sin 2x  cos x  cos 2x
h) sin 2x  sin 3x  sin 4x  cos 2x  cos3x  cos 6x
Bài 29.Giải các phương trình sau:
a) sin3x cos2x  sin 4x cos x
b) cos x cos 2x  cos 4x cos3x 2
c) sin 5x  sin x  2sin x  1 d) cos2 .
x tan3x  sin4x e) x x x x  2 sin4 sin2 sin9 sin3 cos x
f) sin 2xsin 3x  sin 5xsin10x  0 x 3x
g) sin xsin 3x  sin 4x sin8x  0
h) sin 3x cos 2x  sin cos
 sin xcos6x  0 2 2 7x 3x x 5x i) sin cos  sin cos
 sin2x cos7x  0 x x x x x x  2 2 2 2 j) cos 2 cos 4 cos 6 cos cos 2 cos3 2
Bài 30.Giải các phương trình sau: 2
a) 3  4 cos x  sin x 2sin x   1 b) 2sin x  
1 sin x  2cos x  sin 2x  cos x 2 c) 2cos x  
1 2sin x  cos x  sin2x sin x
d) 3 2cos x  cos x  2  3 2cos xsin x  0
e) cos2x  cos x  sin x  sin 2x
f) sin 2x  cos 2x 3sin x cos x 2  0
g) sin 2x  cos 2x 1 sin x  3cos x
h) sin 2x  cos 2x  2sin x  cos x  3  0
i) 9sin x  6 cos x  3sin 2x  cos2x  8(ĐH-Ngoại Thương)
j) sin 2x  2cos 2x 1 sin x  4cos x
k) 2sin 2x  cos 2x  7sin x  2cos x  4 l) 2cos x  
1 sin x  cos x 1  0
VII. Bài tập tổng hợp
Bài 31.Giải các phương trình sau:
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 25
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3 2
a) cos x  cos x  2sin x  2  0 b) 2 2
tan x sin x  2sin x  3cos 2x  sin x cos x 3
c) sin x  4sin x  cos x  0
d) 2sin x 1 cos2x  sin2x 1 2cos x   
e) 2sin x  cot x  2sin 2x 1 f) 2 2 2sin x   2sin x  tan   x  4  1
2 cos x  sin x    g)  h) 3 8sin x   cos   x tan x  cot 2x cot x 1  6 
i) 2 cos5x cos3x  sin x  cos8x j) 2
2sin x  sin 2x  sin x  cos x 1  0
k) 2cos 6x  2cos 4x  3 cos 2x  sin 2x  3    l) x x    x 2 2 cos 3 cos 3 1 sin 2  2 2 cos 2x     4 
Bài 32.Giải các phương trình sau:   
a) tan3x  2 tan 4x  tan 5x  0 b) x    x 2 sin 2 1 cos 3 sin x  2sin 2x   0    4  2
c) 1 sin x cos x  1 sin x  cos x d) x x x x   x  3 sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sin x
e) 3 cos5x  2sin 3x cos2x  sin x  0
f) cos3x cos x 1 g) 2 2
sin x  sin x cos x  2cos x  0
h) cos3x  sin 6x  cos9x  0
i) cos x  sin 2x  sin x  sin 2x cot x j) 3
sin 4x  2sin x  sin x  3 cos x cos 2x
Bài 33. Giải các phương trình sau:      
a) 4 cos x cos x  cos  x      sin3x
b) sin 2x  3 cos x  0  3   3  2 2
c) sin 2x  2sin x  sin x  cos x
d) sin x tan x  
1  3sin xcosx sin x3
e) cos x  cos2x  sin x  0
f) 4sin x  cos x  2  sin 2x
g) cos 2x  1 2cos xcos x  sin x  0
h) 2 sin 2x  6 cos x  2sin x  3  0
i) 3 sin 2x  2 cos2x  cos 4x 1  0
j) sin 2x 2cos x  5  cos 2x  4sin x 5cos x  3  0
.....................................................................................................................
Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm
Bài 34. (ĐH Khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2  của phương trình:
cos 3x  sin 3x  5 sin x   2 cos 2x  3    1 sin 2x
Bài 35. (ĐH Khối B - 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x
Bài 36. (ĐH Khối D - 2002) Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0 x x
Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A - 2002) Cho phương trình: 2sin cos
1  a (a là tham số)
sin x  2 cos x  3 a)Giải phương trình khi 1 a  . 3
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
b) Tìm a để phương trình có nghiệm.  x
Bài 38. (Db 2 -Khối A - 2002) Giải phương trình: 2
tan x  cos x  cos x  sin x 1 tan x tan    2   2
2  sin 2x sin 3x 4 
Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình: tan x 1  4 cos x 4 4 sin x  cos x 1 1
Bài 40. (Db 2 -Khối B - 2002) Giải phương trình:  cot 2x  5sin 2x 2 8sin 2x 1
Bài 41. (Db 1 -Khối D - 2002) Giải phương trình:  sin x 2 8cos x
Bài 42. (Db 2 -Khối D - 2002) Tìm m để phương trình:  4 4
2 sin x  cos x  cos 4x  2sin 2x m  0
Có ít nhất một nghiệm thuộc0;2 . cos 2x 1
Bài 43. (ĐH Khối A - 2003) Giải phương trình: 2 cot x 1 
 sin x  sin 2x 1 tan x 2 2
Bài 44. (ĐH Khối B - 2003) Giải phương trình: cot x  tan x  4sin 2x  sin 2xx   x
Bài 45. (ĐH Khối D - 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin  tan x  cos  0    2 4  2
Bài 46. (Db 1-Khối A - 2003) Giải phương trình: x x  2 cos 2 cos 2 tan x   1  2
Bài 47. (Db 2-Khối A - 2003) Giải phương trình: 3  tan x tan x  2sin x  6cos x  0
Bài 48. (Db 1-Khối B - 2003) Giải phương trình: 6 2
3cos 4x 8cos x  2cos x  3  0      x  2 1 3 cos x  2sin     2 4 
Bài 49. (Db 2-Khối B - 2003) Giải phương trình: 1 2 cos x 1 2
cos x cos x   1
Bài 50. (Db 1-Khối D - 2003) Giải phương trình:  21 sin x sin x  cos x
Bài 51. (Db 2-Khối D - 2003) Giải phương trình: 2 cos 4 cot  tan  x x x sin 2x
Bài 52. (ĐH Khối B - 2004) Giải phương trình: x     x 2 5sin 2 3 1 sin tan x
Bài 53. (ĐH Khối D - 2004) Giải phương trình: 2cos x  
1 2sin x  cos x  sin 2x  sin x
Bài 54. (Db 1-Khối A - 2004) Giải phương trình:  3 3
4 sin x  cos x  cos x  3sin x
Bài 55. (Db2-Khối A - 2004) Giải phương trình: 1 sin x  1 cos x  1   
Bài 56. (Db1-Khối B - 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos x       4  sin x cos x
Bài 57. (Db2-Khối B - 2004) Giải phương trình: sin 4xsin 7x  cos3x cos 6x
Bài 58. (Db1-Khối D - 2004) Giải phương trình: 2sin x cos 2x  sin 2x cos x  sin 4x cos x
Bài 59. (Db2-Khối D - 2004) Giải phương trình: sin x  sin 2x  3 cos x  cos 2x
Bài 60. (ĐH Khối A - 2005) Giải phương trình: 2
cos 3x cos 2x  cos 2x  0
Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin x  cos x  sin 2x  o c s2x  0
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM       3
Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 o
c s x  sin x  cos x  sin 3x    0      4   4  2
Bài 63. (Db1-Khối A - 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;  của phương trình: x  3  2 2 4sin
 3 cos 2x 1 2 o c s x    2  4    
Bài 64. (Db2-Khối A - 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos x
3cos x sin x  0    4 
Bài 65. (Db1-KhốiB - 2005) Giải phương trình: 2 x x x  2 x   3 sin cos 2 cos tan 1  2sin x  0    cos 2x 1
Bài 66. (Db2-KhốiB - 2005) Giải phương trình: 2 tan
x  3tan x    2  2  cos x    x
Bài 67. (Db1-KhốiD - 2005) Giải phương trình: 3 sin tan  x   2    2  1 cos x
Bài 68. (Db2-KhốiD - 2005) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2  0  6 6
2 cos x  sin x  sin x cos x
Bài 69. (ĐH Khối A - 2006) Giải phương trình:  0 2  2sin xx
Bài 70. (ĐH Khối B - 2006) Giải phương trình: cot x  sin x 1 tan t x an  4    2 
Bài 71. (ĐH Khối D - 2006) Giải phương trình: o c s3x  o
c s2x  cos x 1  0 2  3 2
Bài 72. (Db1-Khối A - 2006) Giải phương trình: 3 3
cos 3x cos x  sin 3x sin x  8   
Bài 73. (Db2-Khối A - 2006) Giải phương trình: 2sin 2x   4sin x 1  0    6 
Bài 74. (Db1-Khối B - 2006) Giải phương trình:  2 x   2 x   2 2sin 1 tan 2 3 2cos x   1  0
Bài 75. (Db2-Khối B - 2006) Giải phương trình: cos 2x  1 2cos xsin x  cos x  0
Bài 76. (Db1-Khối D - 2006) Giải phương trình: 3 3 2
cos x  sin x  2sin x 1
Bài 76. (Db2-Khối D - 2006) Giải phương trình: 3 2
4sin x  4sin x  3sin 2x  6cos x  0
Bài 78. (ĐH Khối A - 2007) Giải phương trình:  2  xx   2 1 sin cos 1 o
c s xsin x 1 sin 2x
Bài 79. (ĐH Khối B - 2007) Giải phương trình: 2
2sin 2x  sin 7x 1  sin x 2  x x
Bài 80. (ĐH Khối D - 2007) Giải phương trình: sin  o c s  3 cos x  2    2 2 
Bài 81. (Db1-Khối A - 2007) Giải phương trình: 1 1
sin 2x  sin x    2cot 2x 2sin x sin 2x
Bài 82. (Db2-Khối A - 2007) Giải phương trình: 2
2cos x  2 3 sin x cos x 1  3sin x  3 cos x  5x    x   3x
Bài 83. (Db1-Khối B - 2007) Giải phương trình: sin   cos   2cos      2 4   2 4  2 x x
Bài 84. (Db2-Khối B - 2007) Giải phương trình: sin 2 cos 2 
 tan x  cot x cos x sin x
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   
Bài 85. (Db1-Khối D - 2007) Giải phương trình: 2 2 sin x  cos x  1    12 
Bài 86. (Db2-Khối D - 2007) Giải phương trình: 1 tan x1 sin 2x 1 tan x   
Bài 87. (ĐH Khối A - 2008) Giải phương trình: 1 1 7   4sin  x   sin x  3   4  sin x     2 
Bài 88. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin x o
c s x  3 sin x o c sx
Bài 89. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình: 2sin x 1 o
c s2x  sin 2x 1 2cos x x  3 
Bài 90. (Db1-Khối A - 2008) Giải phương trình: 2 2 4sin
 3 cos 2x 1 2cos x    2  4    
Bài 91. (Db2-Khối A - 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos x
3cos x sin x  0    4 
Bài 92. (Db1-Khối B - 2008) Giải phương trình: x x x  2 x   3 sin cos 2 cos tan 1  2sin x  0    cos 2x 1
Bài 93. (Db2-Khối B - 2008) Giải phương trình: 2 tan
x  3tan x  0   2  2  cos x    x
Bài 94. (Db1-KhốiD - 2008) Giải phương trình: 3 sin tan  x   2    2  cos x 1
Bài 95. (Db2-KhốiD - 2008) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2  0
1 2sin x cos x
Bài 96. (ĐH Khối A - 2009) Giải phương trình:    x  x 3 1 2sin 1 sin
Bài 97. (ĐH Khối B - 2009) Giải phương trình: x x x x   3 sin cos sin 2 3 cos 3
2 cos 4x  sin x
Bài 98. (ĐH Khối D - 2009) Giải phương trình: 3 cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0 2
2sin x cos x  3 sin 2x cos x  sin 4x
Bài 99. (Db1-KhốiA - 2009) Giải phương trình:  0 2sin x  3
Bài 100. (Db2-KhốiA - 2009) Giải phương trình:  2
3 2cos x  cos x  2  3 2cos xsin x  0    1 sin x  o
c s2x sin x     4  1
Bài 101. (ĐH Khối A - 2010) Giải phương trình:  cos x 1 tan x 2
Bài 102. (ĐH Khối B - 2010) Giải phương trình: sin 2x  cos 2xcos x  2cos 2x  sin x  0
Bài 103. (ĐH Khối D - 2010) Giải phương trình: sin 2x  o
c s2x  3sin x  cos x 1  0 1 sin 2x  o c s2x
Bài 104. (ĐH Khối A - 2011) Giải phương trình:  2sin . x sin 2x 2 1 cot x
Bài 105. (ĐH Khối B - 2011) Giải phương trình: sin 2x cos x  sin x cos x  o
c s2x  sin x  cos x x x x
Bài 106. (ĐH Khối D - 2011) Giải phương trình: sin 2 2 cos sin 1  0 tan x  3
Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3 sin 2x  o
c s2x  2cos x 1
Bài 108. (ĐH Khối B - 2012) Giải phương trình: 2cos x  3sin xcos x  cos x  3sin x 1
Bài 109. (ĐH Khối D - 2012) Giải phương trình: sin 3x  o
c s3x  sin x  cos x  2 cos 2x
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   
Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan x  2 2 sin x     4 
Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2
sin 5x  2cos x 1
Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin 3x  cos 2x  sin x  0
Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin x  4cos x  2  sin 2x
Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình: 2 sin x  2cos x  2  sin 2x
Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức P  1 3cos 2x2  3cos 2x ,biết 2 sin x  3
Hướng dẫn các đề thi đại học
Bài 34. (ĐH Khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2  của phương trình:
cos 3x  sin 3x  5 sin x   2 cos 2x  3    1 sin 2xHd:
Điều kiện: sin 2x 1  0 3 3  x x x x x x   x x   3 3 sin 3 cos 3 3sin 4sin 4 cos 3cos 3 sin cos
4 sin x  cos x
 sin x  cos x3 4 
1sin xcos x 
 sin x  cos x 1
  2sin 2x  cos x sin x1 2sin 2x  5
pt  5cos x  2 cos 2x  3  x   x  . 3 3
Bài 35. (ĐH Khối B - 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x Hd : 1 cos 6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12     x pt 2 2 2 2
 cos12x  cos10x cos8x  cos6x  0    k k
sin 9x sin 2x  0  x   x  , k Z. 9 2
Bài 36. (ĐH Khối D - 2002) Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0 Hd : 3
pt  4 cos x  3cos x  4 2 2 cos x  
1  3cos x  4  0  3 2
 4cos x 8cos x  0  x   k ,k Z. 2 x x
Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A - 2002) Cho phương trình: 2sin cos
1  a (a là tham số)
sin x  2 cos x  3 a)Giải phương trình khi 1 a  . 3
b) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hd : a) Với a=1/3, sin x  2cos x  3  0,x  . R
2sin x  cos x 1 1  pt
  sin x  cos x  0  x    k,k Z.
sin x  2 cos x  3 3 4
2sin x  cos x 1 b) pt
a  2  asin x  1 2acos x  3a 1
sin x  2 cos x  3
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2 2 2 1
pt  có nghiệm 2  a  1 2a  3a   1    a  2 2  x
Bài 38. (Db 2 -Khối A - 2002) Giải phương trình: 2
tan x  cos x  cos x  sin x 1 tan x tan    2  x
Hd : Điều kiện: cos x  0  cos  0 . 2 x x cos x cos  sin xsin  x  1 Chú ý: 2 2
sin x 1 tan x tan  sin x  sin x  tan   x  2  x cos x cos x cos 2
Đs: x  k 2,k Z.  2
2  sin 2x sin 3x 4 
Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình: tan x 1  4 cos x
Hd : Điều kiện: cos x  0 . 1 4 4
pt  sin x  cos x   2 2  sin 2x 2 sin 3x  1 sin 2x   2
2  sin 2xsin 3x 2       2 5 2 2
2  sin 2x1 2sin 3x  0  x   kx   k 18 3 18 3 4 4 sin x  cos x 1 1
Bài 40. (Db 2 -Khối B - 2002) Giải phương trình:  cot 2x  5sin 2x 2 8sin 2x
Hd : Điều kiện: sin 2x  0 . 9  2
pt  cos 2x  5cos 2x
 0  x    k 4 6 1
Bài 41: (Db 1 -Khối D - 2002) Giải phương trình:  sin x 2 8cos x
Hd : Điều kiện: sin x  0  cos x  0 .  3 5 2 2 2
pt  8sin x cos x  1  2sin 2x 1  0  cos 4x  0  x   k2; x   k2; x   k2 8 8 8
Bài 42. (Db 2 -Khối D - 2002) Tìm m để phương trình:  4 4
2 sin x  cos x  cos 4x  2sin 2x m  0
Có ít nhất một nghiệm thuộc0;2 .      
Hd : Đặt t  sin 2 , x x  0;  t   
0; 1. có nghiệm 2 x  0;
 3t  2t m  3 có nghiệm    2   2  t 0;  1 .  Đs: 10  m  2  . 3 cos 2x 1
Bài 43. (ĐH Khối A - 2003) Giải phương trình: 2 cot x 1 
 sin x  sin 2x 1 tan x 2
Hd : Điều kiện: sin x  0  cos x  0  tan x  1  . cos x  sin x
cos x cos x  sin xcos x  sin x pt    x x x x x x  sin  sin cos sin cos sin
 cos x sin x 2
1 cos x sin x  sin x  0  x   k 4
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2
Bài 44. (ĐH Khối B - 2003) Giải phương trình: cot x  tan x  4sin 2x  sin 2x
Hd : Điều kiện: sin 2x  0 .  2
pt  2 cos 2x  cos 2x 1  0  x    k . 3  x   x
Bài 45. (ĐH Khối D - 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin  tan x  cos  0    2 4  2
Hd : Điều kiện: cos x  0 . 
pt  1 sin x1 cos xsin x  cos x  0  x    k2  x    k . 4
Bài 46. (Db 1-Khối A - 2003) Giải phương trình: x x  2 cos 2 cos 2 tan x   1  2
Hd : Điều kiện: cos x  0 .   1   2
pt  2 cos x  cos x 2 1 1  2      1cos x 2
2 cos x  5cos x  2  0 2    cos x   .
x  2k   1   x    k2 3
Bài 47. (Db 2-Khối A - 2003) Giải phương trình: 3  tan x tan x  2sin x  6cos x  0
Hd : Điều kiện: cos x  0 .  3 2
pt  8cos x  4 cos x  2 1  0  x    k . 3
Bài 48. (Db 1-Khối B - 2003) Giải phương trình: 6 2
3cos 4x 8cos x  2cos x  3  0 Hd :    x 2  x  4 pt 3 1 cos 4 2cos 4cos x   1  0    x k 4 2 cos 2 2
 cos x  5cos x  3  0  x  
; x k . 4 2      x  2 1 3 cos x  2sin     2 4 
Bài 49. (Db 2-Khối B - 2003) Giải phương trình: 1 2 cos x 1
Hd : Điều kiện: 2cos x 1  0 . 
pt  sin x  3 cos x  0  x   2k   1  . 3 2
cos x cos x   1
Bài 50. (Db 1-Khối D - 2003) Giải phương trình:  21 sin x sin x  cos x
Hd : Điều kiện: sin x  cos x  0 .  2
pt  1 sin x 1 cos x  0  x  
k; x    k2 . 2
Bài 51. (Db 2-Khối D - 2003) Giải phương trình: 2 cos 4 cot  tan  x x x sin 2x
Hd : Điều kiện: sin 2x  0 .  2
pt  2 cos 2x  cos 2x 1  0  x    k . 3
Bài 52. (ĐH Khối B - 2004) Giải phương trình: x     x 2 5sin 2 3 1 sin tan x
Hd : Điều kiện: cos x  0 .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2 sin x
pt  5sin x  2  31 sin x 
1 sin x1 sin x  5 2
 2sin x  3sin x  2  0  x   k2; x   k2 . 6 6
Bài 53. (ĐH Khối D - 2004) Giải phương trình: 2cos x  
1 2sin x  cos x  sin 2x  sin x  
Hd : pt  2cos x  
1 sin x  cos x  0  x  
k2; x    k 3 4  5 2
 2sin x  3sin x  2  0  x   k2; x   k2 . 6 6
Bài 54. (Db 1-Khối A - 2004) Giải phương trình:  3 3
4 sin x  cos x  cos x  3sin x
Hd : + cos x  0 không là nghiệm của phương trình.
+ cos x  0 , Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x     x   2 pt tan
1 tan x  3  0  x    k; x   k 3 4
Bài 55. (Db2-Khối A - 2004) Giải phương trình: 1 sin x  1 cos x  1
Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx.   
Bài 56. (Db1-Khối B - 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos x       4  sin x cos x
Hd : Nhân tử chung sinx + cosx.
Bài 57. (Db2-Khối B - 2004) Giải phương trình: sin 4xsin 7x  cos3x cos 6x
Hd : Sử dụng công thức sina.sinb và cosa.cosb.
Bài 58. (Db1-Khối D - 2004) Giải phương trình: 2sin x cos 2x  sin 2x cos x  sin 4x cos x 1 1 1 1
Hd: pt  2sin x cos 2x  sin 3x  sin x  sin 5x  sin 3x 2 2 2 2 1
 2sin xcos 2x  sin5x sin x  0  2sin xcos2x cos2xsin3x  0 2
Bài 59. (Db2-Khối D - 2004) Giải phương trình: sin x  sin 2x  3 cos x  cos 2x
Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos
Bài 60. (ĐH Khối A - 2005) Giải phương trình: 2
cos 3x cos 2x  cos 2x  0 1 1 Hd: pt 
1cos6xcos2x  1cos2x  0  cos6xcos2x 1 0 2 2  2
 2cos 2x  cos 2x 3  0  x k 2
Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin x  cos x  sin 2x  o c s2x  0   Hd:   x x x   2 pt sin cos 2 cos 1  0  x  
k; x    k 2 4 3       3
Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 o
c s x  sin x  cos x  sin 3x    0      4   4  2 1      3 Hd: 2 2
pt  1 2sin x cos x  sin 4x   sin 2x   0     2   2   2  2
 2sin 2x  sin 2x  2  0  x   k 4
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 63. (Db1-Khối A - 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;  của phương trình: x  3  2 2 4sin
 3 cos 2x 1 2 o c s x    2  4        Hd:x     x 5 17 5 pt cos 2 cos  x  ; x  ; x     6  18 18 6   
Bài 64. (Db2-Khối A - 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos x
3cos x sin x  0    4  
Hd : + cos x  0 là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm x   k . 2
+ cos x  0 , chia hai vế của phương trình cho 3 cos x
pt  tan x 1  0  x   k 4
Bài 65. (Db1-KhốiB - 2005) Giải phương trình: 2 x x x  2 x   3 sin cos 2 cos tan 1  2sin x  0
Hd : Điều kiện: cos x  0 .  5 2
pt  2sin x  sin x 1  0  x   k2; x   k2 . 6 6    cos 2x 1
Bài 66. (Db2-KhốiB - 2005) Giải phương trình: 2 tan
x  3tan x    2  2  cos x
Hd : Điều kiện: cos x  0 .  3
pt  tan x 1  0  x    k . 4    x
Bài 67. (Db1-KhốiD - 2005) Giải phương trình: 3 sin tan  x   2    2  1 cos x
Hd : Điều kiện: sin x  0 .  5
pt  2sin x 1  0  x   k2; x   k2 . 6 6
Bài 68. (Db2-KhốiD - 2005) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2  0
Hd: pt  2sin x  
1 sin x  cos x   1  0  6 6
2 cos x  sin x  sin x cos x
Bài 69. (ĐH Khối A - 2006) Giải phương trình:  0 2  2sin x Hd : Điều kiện: 2 sin x  . 2 2
pt  3sin 2x  sin 2x  4  0 . x
Bài 70. (ĐH Khối B - 2006) Giải phương trình: cot x  sin x 1 tan t x an  4    2  x
Hd : Điều kiện: sin x  0  cos x  0  cos  0. 2 cos x sin x 1 pt  
 4  sin 2x  . sin x cos x 2
Bài 71. (ĐH Khối D - 2006) Giải phương trình: o c s3x  o
c s2x  cos x 1  0 Hd : Cơ bản
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2  3 2
Bài 72. (Db1-Khối A - 2006) Giải phương trình: 3 3
cos 3x cos x  sin 3x sin x  8 2
Hd : pt  cos 4x  . 2   
Bài 73. (Db2-Khối A - 2006) Giải phương trình: 2sin 2x   4sin x 1  0    6 
Hd : pt  sin x  3 cos x  sin x  2  0 .
Bài 74. (Db1-Khối B - 2006) Giải phương trình:  2 x   2 x   2 2sin 1 tan 2 3 2cos x   1  0
Hd : Điều kiện: cos x  0 . x  2 pt cos 2
tan 2x  3  0 .
Bài 75. (Db2-Khối B - 2006) Giải phương trình: cos 2x  1 2cos xsin x  cos x  0
Hd : Nhân tử chung cosx – sinx.
Bài 76. (Db1-Khối D - 2006) Giải phương trình: 3 3 2
cos x  sin x  2sin x 1
Hd : Nhân tử chung cosx – sinx.
Bài 77. (Db2-Khối D - 2006) Giải phương trình: 3 2
4sin x  4sin x  3sin 2x  6cos x  0
Hd : Nhân tử chung sinx+1.
Bài 78. (ĐH Khối A - 2007) Giải phương trình:  2  xx   2 1 sin cos 1 o
c s xsin x 1 sin 2x
Hd : Nhân tử chung cosx + sinx.
Bài 79. (ĐH Khối B - 2007) Giải phương trình: 2
2sin 2x  sin 7x 1  sin x
Hd : pt   cos 4x  sin 7x  sin x  0  cos 4x 2sin 3x   1  0 2  x x
Bài 80. (ĐH Khối D - 2007) Giải phương trình: sin  o c s  3 cos x  2    2 2 
Hd : Bậc nhất theo sin và cos.
Bài 81. (Db1-Khối A - 2007) Giải phương trình: 1 1
sin 2x  sin x    2cot 2x 2sin x sin 2x
Hd : Điều kiện: sin 2x  0 . x  2 pt cos 2
2cos x  cos x   1  0 .
Bài 82. (Db2-Khối A - 2007) Giải phương trình: 2
2cos x  2 3 sin x cos x 1  3sin x  3 cos x       Hd : 2 pt  2 cos x   3cos x   0      6   6   x    x   x
Bài 83. (Db1-Khối B - 2007) Giải phương trình: 5 3 sin   cos   2cos      2 4   2 4  2 3x      Hd : pt  cos 2 cos x   2  0     2   4   x x
Bài 84. (Db2-Khối B - 2007) Giải phương trình: sin 2 cos 2 
 tan x  cot x cos x sin x
Hd : Điều kiện: sin 2x  0 .
pt  cos 2x   cos x .   
Bài 85. (Db1-Khối D - 2007) Giải phương trình: 2 2 sin x  cos x  1    12 
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Hd : áp dung công thức sina.cosb
Bài 86. (Db2-Khối D - 2007) Giải phương trình: 1 tan x1 sin 2x 1 tan x
Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx.   
Bài 87. (ĐH Khối A - 2008) Giải phương trình: 1 1 7   4sin  x   sin x  3   4  sin x     2 
Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx.
Bài 88. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin x o
c s x  3 sin x o c sx Hd : Cách 1: chia 3
cos x . Cách 2: Nhân tử chung là cos2x.
Bài 89. (ĐH KhốiB - 2008) Giải phương trình: 2sin x 1 o
c s2x  sin 2x 1 2cos x
Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1. x  3 
Bài 90. (Db1-Khối A - 2008) Giải phương trình: 2 2 4sin
 3 cos 2x 1 2cos x    2  4 
Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos.   
Bài 91. (Db2-Khối A - 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos x
3cos x sin x  0    4  Hd : chia 3 cos x .
Bài 92. (Db1-Khối B - 2008) Giải phương trình: x x x  2 x   3 sin cos 2 cos tan 1  2sin x  0
Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin.    cos 2x 1
Bài 93. (Db2-Khối B - 2008) Giải phương trình: 2 tan
x  3tan x    2  2  cos x Hd : 3 pt  tan x  1  .    x
Bài 94. (Db1-KhốiD - 2008) Giải phương trình: 3 sin tan  x   2    2  cos x 1
Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung
Bài 95. (Db2-KhốiD - 2008) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2  0
Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1.
1 2sin x cos x
Bài 96. (ĐH Khối A - 2009) Giải phương trình:    x  x 3 1 2sin 1 sin
Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos.
Bài 97. (ĐH Khối B - 2009) Giải phương trình: x x x x   3 sin cos sin 2 3 cos 3
2 cos 4x  sin x 1 Hd : 3 3
sin 3x  3sin x  4sin x  sin x
3sin x sin3x. 4
Bài 98. (ĐH Khối D - 2009) Giải phương trình: 3 cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0
Hd : Sử dụng công thức sina.cos 2
2sin x cos x  3 sin 2x cos x  sin 4x
Bài 99. (Db1-KhốiA - 2009) Giải phương trình:  0 2sin x  3
Hd : Nhân tử chung là sin2x
Bài 100. (Db2-KhốiA - 2009) Giải phương trình:  2
3 2cos x  cos x  2  3 2cos xsin x  0
Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM    1 sin x  o
c s2x sin x     4  1
Bài 101. (ĐH Khối A - 2010) Giải phương trình:  cos x 1 tan x 2
Hd : Vế trái rút gọn được mẫu.
Bài 102. (ĐH Khối B - 2010) Giải phương trình: sin 2x  cos 2xcos x  2cos 2x  sin x  0 Hd: 2
pt  2sin x cos x  sin x  cos 2x cos x  2 cos 2x  0 1 cos 2  x 2sin x
 sin x  cos 2xcos x  2  0 2
 cos 2xsin x  cos x  2  0
Vế trái rút gọn được mẫu.
Bài 103. (ĐH Khối D - 2010) Giải phương trình: sin 2x  o
c s2x  3sin x  cos x 1  0
Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1. 1 sin 2x  o c s2x
Bài 104. (ĐH Khối A - 2011) Giải phương trình:  2sin . x sin 2x 2 1 cot x
Hd : Nhân tử chung là cosx.
Bài 105. (ĐH Khối B - 2011) Giải phương trình: sin 2x cos x  sin x cos x  o
c s2x  sin x  cos x
Hd : Nhân tử chung là cosx. x x x
Bài 106. (ĐH Khối D - 2011) Giải phương trình: sin 2 2 cos sin 1  0 tan x  3
Hd : Nhân tử chung là sinx + 1.
Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3 sin 2x  o
c s2x  2cos x 1
Hd : Nhân tử chung là cosx.
Bài 108. (ĐH Khối B - 2012) Giải phương trình: 2cos x  3sin xcos x  cos x  3sin x 1
Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos.
Bài 109. (ĐH Khối D - 2012) Giải phương trình: sin 3x  o
c s3x  sin x  cos x  2 cos 2x
Hd : Nhân tử chung là cos2x.   
Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan x  2 2 sin x     4 
Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx.
Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2
sin 5x  2cos x 1
Hd : pt  sin 5x  cos 2x
Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin 3x  cos 2x  sin x  0
Hd : Nhân tử chung là cos2x.
Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin x  4cos x  2  sin 2x
Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1.
Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình: 2 sin x  2cos x  2  sin 2x
Hd : Nhân tử chung là sin x  2 sinx+cosx.
Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức P  1 3cos 2x2  3cos 2x ,biết 2 sin x 3
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
.....................................................................................................................
Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia
Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc  thỏa mản 5sin 2  6cos  0 và 0   
. Tính giá trị của biểu 2    thức: A  cos
  sin 2015    cot2016      .  2 
Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình: 2 2
sin x  sin x cos x  2cos x  0 .
Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình: 2cos5x cos3x  sin x  cos8x .
Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình: cos x  sin 2x  sin x  sin 2x cot x . x  3 
Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình: 2 2 4sin
 3 cos 2x 1 cos x    . 2  4    
Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình: 2
sin x  sin 2x  2 sin x   0   .  4 
Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình: cos 2x  7 cos x  4  0 .
Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc x thỏa mản tan x  2 . Tính giá trị của biểu thức: 3 3
8cos x  2sin x  cos  x P . 3
2 cos x  sin x
Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình: sin 2x  cos x  sin x 1.
Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình: 2
sin 2x  2cos x  3sin x  cos x .
Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình: 4sin 5x sin x  2cos 4x  3 .
Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình: 2 2
cos x  3 cos x  3sin x  3sin x  0 .
Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:
sin 2x  sin x  cos x  
1 2sin x  cos x  3  0 .
Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin 2x  2sin x  2cos x  2  0 .
Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình: cos 2x  sin 3x  2cos 2xsin x  0 .
Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 2cos x 1 sin x  3 cos x  0 .
Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 3 4
sin x  cos x  1 .
Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình: sin 2x  3sin x  cos 2x  cos x 1.
Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình: cos 2x 4sin x   1  3 sin 2x  1.
Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình: 2
sin 2x  2 3 cos x  2cos x  0 .
Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình: sin 2x  2sin x 1  cos 2x .
Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình: 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1 .
Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình: 2sin 2x  3  2 3 cos x sin x .
Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình: sin 2x  sin x  2  4cos x . 1    1 2 tan x
Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho cos x   , x  ;    . Tính P  . 3  2  1 tan x
Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình: x x   x2 cos 2sin 1 cos  2  2sin x . 3
Bài 143. (Chuyên –Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho   x  .Chứng minh đẳng thức: 2
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38
Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
1 cos x  1 cos xx    cot    .
1 cos x  1 cos x  2 4 
Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình:   x x     3x x tan 2 cot 1 sin 4x  sin  x  2cos sin   .  3  2 2
Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình: 2cos 6x  2cos 4x  3 cos 2x  sin 2x  3 .
Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình: cos 2x  sin x  1 3 sin 2x .
Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình: x x    x 2 tan cot 2 1 sin
4cos x  4sin x  5 .
Bài 148. (Chuyên –Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình: 2 2 cos x  sin 2x        sin x  sin x      . 2 cos x  6   6 
Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình: cos 2x  1 2cos xsin x  cos x  0 .
Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình: cos x  sin x  sin 2x  cos 2x 1 .
Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình: cos x 1 cos x  sin xsin x   1 .
Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình:       4sin x   2sin 2x
 3 cos x  cos 2x  2sin x  2     .  3   3 
Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình: 2
sin 2x  2 3 cos x  2cos x  0 .
Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình: 2 cos 2x  sin x  cos x  0 .
Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình:  x x2 cos sin
 3 cos x 1 2cos x . 1
Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình: 2 sin x
sin 2x  1 cos x  cos x . 2 1 cos 2x
Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình:  cot 2x 1. 2 sin x
Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  1 3 sin x  cos x .
Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình: 2
sin x  3 cos x  2  4cos x . 2  x x
Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình: sin  cos 1 sin 2   x .  2 2 
Không có việc gì khó
Chỉ sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí ắt làm nên!
Chủ Tịch Hồ Chí Minh
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39