Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề phương trình nghiệm nguyên bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

24 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT:
( )
2
1+=a a k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
0x x y+ − =
HD:
( )
2
1x x y+=
=>
0
10
x
x
=
+=
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
3x y xy x y+ + =
HD:
( ) ( )
2
22
1x y x y xy xy xy+ = − = −
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
21x y x y− − + =
HD:
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
x xy y x y+ + =
HD:
( ) ( )
2
22
1x y x y xy xy xy+ = + = +
2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 8 8 4 8 0x y xy y+ + + − =
HD:
( ) ( )
22
22
2 2 2 1 9 0 3x y y+ + + = = +
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
8x y x y+ − − =
HD:
Nhân với 4 ta được:
( ) ( )
22
4 4 1 4 4 1 34x x y y− + + − + =
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 5 169x xy y− + =
HD:
( )
2
2
2 169x y y− + =
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
5 2 4 3 0x y y xy+ + − − =
HD:
( ) ( )
22
2 1 4x y y− + + =
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
22
13 6 100x y xy+ − =
HD:
( )
2
2
3 4 100x y y− + =
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
6 2 3
2 2 64x y x y+ − =
HD:
( )
2
2
64t t y+ − =
nếu đặt
3
xt=
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
11
4xy
xy
+ + + =
HD:
2
2
11
4xy
xy


− + − =





Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
( )( )
2 2 2 2
14x x y x y+ + =
HD:
( )
( )
2
2
4 2 2 2 2 2 2 2
4 1 0x x y x y x y x y x y+ + + = = − + − =
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::
22
2 2 2 6 5 0x y xy y x+ − + − + =
HD :
( )
2 2 2
2 6 2 5 0x xy y x y x− + − + + + =
=>
( ) ( )
2
2
2 4 5 0x y x y x x− − − − + + =
=>
( ) ( )
22
1 2 0x y x− − + − =
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 2 4 2 0x y x y+ − − + =
HD:
( ) ( )
22
2 1 4 4 1 0x x y y− + + − + =
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2
4 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + =
HD:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 4 2 6 10 34 0x x y z y yz z y y z z− + + + + + − + − + =
3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
=>
( )
( ) ( )
2
22
2 6 9 10 25 0x x y y y z z− − + − + + − + =
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
8x y x y+ − − =
HD:
( ) ( )
22
22
1 1 17
2 1 2 1 34
4 4 2
x x y y x y
− + + − + = = − + − =
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
9 13 20m n m n+ = + −
HD:
Nhân 4
( ) ( )
22
4 36 81 4 52 169 170m m n n− + + − + =
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
6 13 100x xy y− + =
HD:
22
( 3 ) 4(25 )x y y− = −
, mà
22
25,yy
là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
4 5 16 0x xy y− + − =
HD :
Ta có phương trình trở thành :
22
4 5 16 0x xy y− + − =
=>
( )
2
2 2 2 2
4 4 16 2 16x xy y y x y y− + + = = − + =
, Vì x,y là số nguyên nên
( )
2x y Z−
=>
( )
2
2
2 16 0 16 16 0x y y− + = = + = +
Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
2 2 2 2
5 60 37x y x y xy+ + + =
HD:
( ) ( ) ( )( )
22
22
35 60 5 3 4x y x y xy x y xy xy− = − + − = − = − −
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT
0
=>
( )( )
5 3 4 0 3 4xy xy xy− − =
.
Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4
Nếu xy=3 thì
( )
2
0x y x y− = = =
và xy=3( vô lý)
Nếu xy=4 thì
( )
2
02x y x y− = = = =
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
22
10 20 24 8 24 51 0x y xy x y+ + + − +
HD:
Biến đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 4 2 6 1 0x y x y+ + + + − −
khi
3 4 0, 4 0,2 6 0x y x y+ = + = − =
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
22
8 3 18x y x y+ − + = −
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:
5
29 30 10x x y+ − =
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn:
( )
22
1 1567y x x+ = +
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết:
2
3 3 7 0x xy x y+ − − + =
Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn :
2 3 2
4 4 8 2 4x x y z+ = − +
HD:
Ta có
2
2 4 2zz=
, Ta có :
( )
32
4 1 8 2 8x x y z

+ − +

mà 4 không chia hết cho 8
( nên không tần tại x,y,z)
4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn :
22
6 2 2 32 46 0x y xy x y+ + + + + =
Bài 24: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
3 2 4x y z xy y z+ + + + −
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên:
( )
22
2
2 2 2
3 2 4 3 1 1 0
22
yy
x y z xy y z x z
+ + + + − = − + − + −
DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
41x x y+ − =
HD :
( )
22
4 4 5x x y+ + − =
Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên :
26x y xy− + =
HD:
Ta có:
( ) ( )
1 11
1 2 6 1 2
22
x y y x y y= + − = = + − − =
( ) ( ) ( )( )
2 1 2 2 1 11 2 1 2 1 11x y y x y+ − + = = − + =
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
3 11x xy y+ + =
HD :
22
22
2
23
2 . 3 11 2
2 4 4 2 2
y y y x y y
x x y
+−
+ + − − = = − =
( ) ( )
22
2 3 8x y y+ − − =
( )( )
2 3 2 3 8x y y x y y= + + − + − + =
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
25 6x y y− = +
HD :
( ) ( )
2 2 2 2
6 25 6 9 16x y y x y y− + = = − + + =
=>
( 3)( 3) 16x y x y+ + − − =
mà
3 3 2x y x y x− − + + + =
là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 2 3x x x x y+ + + =
HD :
( )( )
( )( )
2 2 2
3 3 2 1 1 1x x x x y a y a y+ + + = = + + + − =
với
2
3a x x=+
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
1999xy−=
HD:
( )( )
1999x y x y− + =
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2x y xy+=
HD:
22
2
2 . 2. .2 4 4
2 4 4 2
y y y y
xx
− + − + + = −
=>
( )( )
2 2 2 16x y x− − + = −
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
62x y xy− = −
HD :
( )
1 11
2 6 2 1
22
xy x y x y y+ − = = + − − =
5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
( ) ( ) ( )( )
2 2 1 2 1 11 2 1 2 1 11x y y x y+ − + = = − + =
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 2 2 2
2x y x y+=
HD:
( )
2 2 2 2 2 2 2
11
2 0 2 1
22
x y x y x y y− − = = − − + =
=>
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1x y y x y− − − = = − − =
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
4xy x y=+
HD :
( )
4 4 0 4 4 16 16xy x y x y y− − = = − − + =
( ) ( ) ( )( )
4 4 4 16 4 4 16x y y x y= − − − = = − − =
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 7 8x x x x y− − − =
HD:
( )( )
( )
2 2 2 2
8 8 7 7x x x x y a a y− − + = = + =
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
8 116x x y− = −
HD:
( )
2
2 2 2
8 16 110 4 110x x y x y− + − = − = − − = −
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 5 3xy x y+ − = −
HD:
( ) ( ) ( )
3 5 15 18 3 5 3 18x y y x y y+ − − = − = + − + = −
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 2 3
6 3 10 2x y x y+ − =
HD:
( )
2 3 3
3 2 1 10 5 2x y y+ − − =
=>
( ) ( )
2 3 3
3 2 1 5 2 1 2x y y+ − + =
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 2 2 0x y xy x y+ + + + + =
HD:
( )
( ) ( )
22
22
3 2 3 2
2. . 3 2 2 3 2 0
2 4 4
xx
y
y x x x
++
+ + + + − + + =




=>
2
22
3 2 8 9 12 4 12 8
0
24
x x x x x
y
+ − − − + +

+ + =


=>
( )
2
2
2 3 2 4y x x+ + − = −
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
42
1
xy
+=
HD:
( )
4 2 4 2 0y x xy x y x+ = = − − =
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
1 1 1
3xy
+=
HD:
( ) ( )
3 3 3 0x y xy x y y + = − − =
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2xy x y− − =
HD:
6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 1 1 3 1 1 3x y y x y y x y= − − + = = − − − = = − − =
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
9x xy y+ + =
HD:
( ) ( )( )
1 1 10 1 1 10x y y x y+ + + = = + + =
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 11x x y− − =
HD :
( )
( )
2
2 2 2
2 1 12 1 12x x y x y= − + − = = − − =
=
( )( )
1 1 12x y x y− − − + =
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
33
8x y xy− = +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
38x y xy x y xy− + − = +
Đặt :
( )
3
33
8
3 8 8 3 1
31
x y a
a
ft a ab b a b a b
xy b
a
−=
−
= = + = + = − = − − = − =
=
−
( )
( )
33
27 8 3 1 27 1 215 3 1 3 1 215a a a a a U− − = − − − = −
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
1 1 1 1
66x y xy
+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( )
6 1 6 6 1 6 6 36 37x y xy xy x y x y y= + + = = − − = = − − + =
=
( ) ( ) ( )( )
6 6 6 37 6 6 37x y y x y− − − = = − − =
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 19 0x xy x y− − + + =
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 4 19 0 2 1 4 2 17x x y x y x x y x x= − − − − + = = − − − + = −
=
( )( ) ( ) ( )( )
2 1 2 2 1 17 2 1 2 17x y x x x x y− − − − = − = − − − = −
Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 2 2 0x y xy y+ + + − =
HD :
Ta có :
22
2 2 2 0x yx y y= + + + − =
Có
( )
2 2 2
' 2 2 2y y y y y = − + − = − − +
, Để phương trình có nghiệm thì :
2
1 9 3 1 3
' 0 2 1
2 4 2 2 2
y y y

= + = − + = −


Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
3 2 2 3 2 0x y x y y+ − + − + =
HD :
Có
2
' 1 4y = −
, để phương trình có nghiệm thì
2
1
' 0 0 1, 2
4
y y x x = = = = = − = −
Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 4 6 3 4 0x y x y+ + + − =
HD :
( ) ( )
22
3 6 4 3 4x x y y= + + + =
Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
5 4 2 3 0x y xy y+ − + − =
HD :
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
4 4 2 1 4 2 1 4x xy y y y x y y= − + + + + = = − + + =
Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 4 4 2 5 0x y xy x y+ + + + + =
7
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
HD :
Xét :
( )( )
2
4 0 2 2 0
yy
x x x x = − = = − + = =
Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
5 5 2 0x y x y− + + + =
HD :
Theo vi- ét ta có :
( )( ) ( ) ( )
12
12
12
5
5 5 2 1.2 1 . 2
. 5 2
x x y
xx
x x y
+ = +
= − − = = = − −
=+
Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 11x x y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( )( )
2
2
1 12 1 1 12x y x y x y− − = = − + − − =
Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 0x y xy x y+ + − − + =
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
( )
( )
22
3 1 3 0x y x y y= + − + − + =
, có :
2
2 11yy = − −
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là
là
số chính phương
=>
( )
22
2 11 5, 3y y k k Z y y− − = = = = −
Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 27xy x y− + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 2 21xy+ − =
Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
3 38x y y+ − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
1 3 35xy− + =
Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 17xy x y+ + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 1 3 1 52xy+ + =
Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
1x x xy y+ + = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
1 2 3x y x− − − =
Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 243 0xy xy y x+ − + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )
22
1 243 1 243x y y y U+ = = +
=>
( ) ( ) ( )
; 54;2 ; 24;8xy =
Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 19x xy x y− = − −
HD :
Đưa phương trình về :
( )
2
2
2 5 19
2 5 19 2 1
21
xx
x x y x y
x
−+
− + = − = =
−
Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
12y x x− = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
3
1
1
yx
x
= + +
−
8
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
15 7 9xy−=
HD :
Ta có :
2 2 2
1 1 1
3 3 3 5 21 3 3 3y y y y x y x x x= = = = − = = = =
( )
2 2 2
1 1 1
15 7 1 1 mod3x y y= − = = −
=> Vô nghiệm
Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
29 28 2000xy−=
HD :
Đưa phương trình về thành :
( )
2
5 mod7x
, Vô nghiệm
Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
1999 2000 2001xy−=
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
2
1 mod4x −
, Vô nghiệm
Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 2 2 2
82x y x y xy− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
22
7y x x y− = +
Phương trình có nghiệm
0xy==
, xét x, y # 0 =>
2
7x −
là 1 số chính phương
Đặt :
( )( )
22
77x a x a x a− = = − + = =
Tìm x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0;0 , 4; 1 , 4;2 , 4;1 , 4; 2− − − −
Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
9x xy y+ + =
HD :
Đưa phương trình vê dạng :
( )( )
1 1 10xy+ + =
Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 7 8y x x x x= + + +
HD :
Đưa phương trình thành :
( )( )
( )
2
2 2 2 2 2
8 8 7 7 4 2 7 49y x x x x z z y z= + + + = + = = + −
=>
( )( )
49 2 2 7 2 2 7z y z y= − + + +
Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
( )
2
1 4 1x x x y y+ + = +
HD :
Phương trình <=>
( )
( )
( )
2
2 3 2 2
1 4 4 1 1 1 2 1x x x y y x x y+ + + = + + = + + = +
Vì VP là 1 số lẻ =>
( )
( )
2
1 , 1xx++
là số lẻ ,
Giả sử :
( )
2
1; 1x x d+ + =
=> d lẻ , Mà :
2
2
2
1
1
1
1
xd
xd
xd
xd
+
−
=
+
+
( )
( )
2
11xx= + +
là số chính phương =>
2
1 1 0x x x+ = + = =
Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 2 2 2
x xy y x y+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1x xy y x y x y x y xy xy xy+ + = = + = + = +
0
10
xy
xy
=
=
+=
Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x y xy x y+ + = +
HD :
9
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
22
10x y x y y− + + − =
, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
( ) ( )
22
2
0 3 6 1 0 3 1 4 1 1y y y y = − − = − = −
Từ đó ta có :
0,1,2y =
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 0x y xy x y+ + − − + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
22
3 1 2 3 0x y x y y+ − + − + =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Làm giống bài trên
Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )
( )
3
22
x y x y x y+ + = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( )
2 2 2
2 3 3 0y y x x y x x

+ − + + =

TH1 : y=0 => ...
TH2 :
( ) ( )
2 2 2
0 2 3 3 0y y x x y x x = + − + + =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
( ) ( )
2
0 1 8x x x = + −
phải là 1 số
chính phương
=>
( ) ( ) ( )( )
2
8 4 4 16x x a a N x a x a− = = − − − + =
=> Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số
nguyên
Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
( )
22
73x y x xy y+ = − +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
3 3 7 3 7 0x y x y y− + + − =
Để phương trình có nghiệm thì
phải là 1 số chính phương
Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
12 6 3 28x xy y x y+ + = +
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
14 14 196
9 3 28 3
3 3 3
x x y x y x y

= − + + + = − + −


=>
22
7 0;1;4xx =
Cách 2 : Tính
Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2x xy y x y+ + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
20x y x y y+ − + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x xy y x y+ + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
10x y x y y+ − + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 3 3x xy y y− + =
10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
HD :
Đưa phương trình về dạng :
22
3 3 3 0x yx y y− + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 5 1x xy y y− + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
22
2 5 1 0x yx y y− + − − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
41xy−=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
2 2 1x y x y− + =
Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
91xy−=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
91x y x y− + =
Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
3
27x xy+=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
27x x y+=
Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
33
77x y y x+ = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( )
( )
( )
3 3 2 2
7 7 0 7 0x y x y x y x xy y x y− − − = = − + + − − =
( )
( )
22
70x y x xy y= − + + − =
TH1 :
xy=
TH2 :
( )
2
22
12
7
7 7 3
21
3
xy
x xy y x y xy xy
xy
= = =
+ + = = − = − = =
= = =
Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 10 8 96x xy y+ + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
2 3 4 96x y x y+ + =
Chú ý : Vì
( ) ( ) ( )
2 3 4 2 2 3x y x y x y+ + + = +
là 1 số chẵn nên có tính chất cùng
chẵn
Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 5 3xy x y+ − = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )
3 5 15 18 3 5 3 18x y y x y y+ − − = − = + − + = −
( )( )
5 3 18xy= − + = −
Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
1x y xyz+ + =
HD :
Giả sử :
xy
TH1 :
( )
2
2 1 2 1 1, 3x y x x z x xz x y z= = + = = − = = = = =
TH2 :
2 1 2 2 1, 2, 2x y xyz y xyz y xz x y z = + = = = = = =
hoặc
2, 2, 1x y z= = =
Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 5 19x xy x y− − + = −
HD :
11
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )( )
2 5 19 2 5 19x x y x y x x y− − − = − = − − = −
Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
4 11 4x y xy+=
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
4 11 1 1xy− − =
Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
656 657 1983x xy y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
567 1983x y x y+ − =
Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
7 3 0x xy y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 7 21xy+ − =
Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
1 1576y x x+ = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
1 1 1577 19.83x y x+ − + = =
Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2003 2004 2004 2005x x y y xy xy+ + + = + +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
1 2004 2004 1x x y y− + − − =
Bài 69: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:
32
2 2 5 1 0x y xy− + + =
12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
3 9 2x x xy y− + = − +
HD :
Phương trình tương đương với :
( )
2
2 3 9y x x x− = − +
2
3 9 2x x x= − + −
Với x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có :
2
39
2
xx
y
x
−+
=
−
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
24x y y x+ = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
4
24
2
x
y x x y
x
+
+ = + = =
+
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 1 0x y y x+ − + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
21
2 2 1
2
x
y x x y
x
−
+ = − = =
+
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
32
3 2 5 0x x y x y− + − − =
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :
( )
3 2 2
3 5 2 2x x x y y y x+ − = + = +
3
2
35
2
xx
y
x
+−
= =
+
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :
32
2
2 7 7
3
x x x
A
x
− + −
=
+
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
22
2
41
2 4 1 3 4 1 4 1 3
3
x
A x x x x x x
x
−
= − + = − + = − + +
+
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
( )
7 1 3 2x y xy− + =
HD :
ta có :
( ) ( )
7 7 3 2 7 1 2 3 2 3x y xy x xy y y x− + = = − = − = −
77
23
x
y
x
−
= =
−
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
10x y xy y x+ + − − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
1
11
1
x
y x x x y
xx
+
+ + = + = =
++
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
2 2 1 0x y x y− + + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
21
2 2 1
2
x
y x x y
x
−
+ = − = =
+
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 2 2
2 3 7 7 0x x y x y x− − − − − =
HD :
Biến đổi phương trình trở thành :
( )
3 2 2 2
2 7 7 3 3x x x x y y y x− − − = + = +
13
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
32
2
2 7 7
3
x x x
y
x
− − −
= =
+
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 4 16x y xy+ − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
3 4 16 3 4 12 4xy x y x y y− − = − = − − + = −
( ) ( ) ( )( )
3 4 3 4 3 4 4x y y y x− − − = − = − − = −
Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 4 9xy x y− − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( )( )
3 4 12 21 4 3 21x y y x y− − + = = − − =
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2 5 6xy x y− = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2 6 5 2 3 3 8xy x y x y y− − = = − − + =
( )( )
3 2 1 8yx− − =
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
( )
22
21y x x+ + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
22
22
11
22
xx
yy
xx
−−
+ = = = −
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
2 1 3 15x xy x y+ + + + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
14
1 15 2 3
23
xx
x x y x y
x
+−
+ + − = − + = − =
+
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
5 25 8 3x y xy+ = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
22
3 5 8 25 3 5 8 25xy x y x y y+ = − = + = −
2
8 25
35
y
x
y
−
=
+
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2 2 2
2 1 2xy x y x y xy+ + + = + +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 1xy y xy y x x− − − − − = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
2 1 1 1 1 1 2 1y x y x x x x y y x= − − − − − = − = − − − = −
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
21y x y+ + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2
2
1
2
y
x
y
−
=
+
14
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
5 3 2 11x y xy− = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
11 3
2 5 3 11 2 5 11 3
25
y
xy x y x y y x
y
−
− + = = − = − = =
−
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 1 0xy x y− − + =
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
5
2
3
y
x
=+
−
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
12y x x+ = +
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
3
1
1
yx
x
= + +
−
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 5 39x y xy− + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 39
2 39 3 5 12 6
35
x
y x x x
x
−
= = − − = −
−
( ) ( )
22
2 39 3 5xx= − −
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
5 3 2 11x y xy− = −
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :
( ) ( )
22
5
2 5 2 3 5 2 3
23
x
y x x x x
x
+
= + = + + = + +
+
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2
1
1
xx
y
xx
−+
=
++
HD :
Đưa phương trình trở thành :
( ) ( )
2
1 1 1 0y x y x y− + + + − =
TH1 : y=1=>x=0
TH2 :
1
1 0 3 0;1;2;3
3
x
y y y = = =
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên :
2
1
1
xx
A
xy
++
=
−
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
1
1 1 1 1 1 3
1
xy
yA x x y xy x y
xy
++
= + + = + + − = − −
−
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :
( ) ( )
21y z x yz+ = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
15
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
22
2 2 1 1 2 2 0
1
yz
x y z yz yz y z
yz
+
= = + − = − − −
−
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :
2
2
2
a
A
ab
−
=
+
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2a b ab a b k ab+ + = + = +
Chứng minh k=1=>a=4, b=3
Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
22
2003xy−=
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
2003x y x y− + =
Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
22
3 7 2002xy+=
HD:
Biến đổi phương trinhg thành:
2
22
3. 286 7
7
x
yx+ = =
và
2
286 7 16xx =
và
7 7, 14x x x= = =
Với
( )
2
7 165x y l= = =
Với
( )
2
14 202x y l= = =
Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
3 3 3
2006x y z x y z+ + = + + +
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( ) ( )
32
1 1 1 3x x x x x x x− = − = − +
Tương tự ta có:
33
3, 3y y z z−−
, Mà
2006 3
, Vậy không tồn tại x,y,z
Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :
2
3 3026
y
x +=
HD:
Xét
2
0 3026 1 3025 55y x x= = = − = = =
Xét
0 3 3
y
y =
còn
2
:3x
dư 0 hoặc 1
=>
2
3 :3
y
x +
dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý
Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :
2
2 2005
y
x −=
HD:
Với y<0 => Phương trình vô nghiệm
Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm
Nếu
2
3 2 8 2005 2 8
yy
y PT x = = = − =
=>
( )
2
5 mod8x
( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi
HD:
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông
( )
1 x y z
Ta có:
2 2 2
x y z+=
và
( )
2xy x y z= + +
(2)
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
22
2
24z x y xy x y x y z= + − = + − + +
( ) ( )
2
2
4 4 4 4x y x y z z= + − + + = + +
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2x y z x y z= + − = + = + − = +
16
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Thay
4z x y= + −
vào (2) ta được
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
5 3 2 11x y xy− = −
HD:
Đưa phương trình thành:
( )
5 11 5
2 2 5 2 3 7 2 3
2 3 2 3
xx
y x x x
xx
++
= = + = + + = +
++
Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
22
2 11x x y− − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )( )
22
2 1 12 1 1 12x x y x y x y− + − = = − − − + =
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
( )
2
12y x x− = +
HD:
Biến đôi phương trình thành:
2
23
1
11
x
yx
xx
+
= = + +
−−
Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
2
2 243 0xy xy y x+ − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
2
1 243x y y+=
Vì
( ) ( )
22
1 243 1y y y
+ = +
Bài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
x y xy+=
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
1 1 1xy− − =
Bài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
1xy x y+ = +
HD:
Biến dổi phương trình thành:
( )( )
1 1 0xy− − =
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2
6 5 8x xy x y− = − −
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
2
6 8 3
1
55
xx
yx
xx
−+
= = − +
−−
Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
33
8x y xy− = +
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( ) ( )
3
38x y xy x y xy− + − = +
, Đặt:
x y a
xy b
−=
=
Khi đó phương trình trở thành:
( )
3
3 3 3
8
3 8 8 3 1 27 8 3 1
31
a
a ab b b a a a a
a
−
+ = + = − = = − − = − −
−
( )
2
27 1 215 3 1 3 1 215a a a U− − − = −
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2 3 1 0xy x y− − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2 1 5
2
33
x
y
xx
−
= = +
−−
17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
2 2 2 2
82x y x y xy− − =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )
2
22
7y x x y− = +
(1)
Phương trình đã cho có nghiệm:
0xy==
Xét:
, 0,xy
từ (1) =>
2
7x −
là 1 số chính phương
Đặt
( )( )
22
77x a x a x a− = = − + =
=> Tìm đc x
=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)
Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
22
3 4 6 13x y x+ = +
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
( )
2
2 2 2
3 6 3 16 4 3 1 4 4x x y x y− + = − = − = −
22
4 0 4 2 1, 2y y y y y= − = = = = =
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
2
2017 2018 6051 0x xy x y+ − − − =
DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :
4 2 2
1x x y+ + =
HD:
Ta có:
( )
2
2 2 4 2 4 2
1 1 0 1x y x x x x+ = = + + =
(1)
Mặt khác
( ) ( )
22
2 4 2 2 2 2 2
2 1 1 1y x x x x x x= + + − = + − +
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
11x y x y x + = = +
4 2 4 2 2
1
1 2 1 0 1
1
y
x x x x x y
y
=
= + + = + + = = = = =
=−
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
4 4 2
31x y y− = +
HD :
Ta có :
( ) ( )
22
4 4 2 4 2 2 2 2 2
3 1 2 1 1 1x y y y y y y y y= + + = + + + = + + +
Mặt khác :
( ) ( ) ( )
22
4 4 2 4 2 2 2 2 2
3 1 4 4 3 2 3 2x y y y y y y y y= + + = + + − − = + − + +
Khi đó :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 2 4 2
1 2 1y x y x y+ + = = +
4 4 2 4 2 4 2
2 1 3 1 2 1 0, 1x y y y y y y y x= + + = + + = + + = = =
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 3 2
2 3 1 0x y y y− − − − =
HD :
Ta có :
( )
( )
3
3 3 2 3 2 2
2 3 1 3 3 1 1x y y y y y y y y= + + + = + + + − +
(1)
mặt khác :
( )
( )
3
3 3 2 3 2 2
2 3 1 3 3 1 5 2 1x y y y y y y y y= + + + = − + − + + −
Khi đó :
( ) ( )
33
3
11y x y− +
TH1 :
33
1
1
1
()
2
y
x y x
yl
=−
= = = = −
=−
18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
TH2 :
( )
3
32
1 0 1x y y x= + = = = =
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 3
1 x x x y+ + + =
HD :
Ta có :
( )
2
2 3 2 3 3
1 3 3
1 0 1
2 4 4
x x x y x x x x

+ + = + + = = + + +


Mặt khác :
( )
( )
( )
23
3 3 2 2 2
3 12 8 5 11 7 2 5 11 7 2y x x x x x x x x x= + + + − − − = + − + + +
Khi đó :
( ) ( )
33
3 3 3
01
21
10
xy
x y x y x
xy
==

+ = = + = =

= − =

Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :
432
2 2 3x x x x+ + + +
HD :
Đặt
4 3 2 2
2 2 3x x x x y+ + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2
2 3 3x x x x x x x x x y= + + + + + = + + + + =
( )
2
22
y x x= +
(1)
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
22
2 2 2
2x x y x x+ + +
Thật vậy :
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
30y x x x x y x x− + = + + = +
( )
2
2 2 2
2 3 3 1 0y x x x x= + + = + +
( )
2
2 2 2
1
1 2 0
2
x
y x x x x
x
=
= + + = + − = =
=−
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 4 19x y x+ + =
HD :
Ta có :
( )
2
2 2 2
4 6 8 38 2 2.2 .2 4 6 42x y x x x y+ + = = + + + =
( ) ( )
22
2
2 2 6 42 2 2 0x y x+ + = +
Mà
( )
2
2 2 4x +
=> Tìm x => Tìm y
Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
25xy+=
HD :
Ta có :
2
22y
mà 5 :2 dư 1=> x
2
chia 2 dư 1=> x
2
chia 8 dư 1=>2y
2
+x
2
chia 8
dư 1 hoặc 3
mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
9 5 1x y y+ = +
HD:
Nhân với 4 ta có:
2
36 20 4 4x y y+ = +
=>
( )
2
2
36 21 4 4 1 2 1x y y y+ = + + = +
Do
( )
2
36 21 3 2 1 3 2 1 9x y y+ = + = +
, mà
36 21 9x
+
=> Vô lý
vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 4 19 3x x y+ = −
HD:
Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
2 4 2 21 3 2 1 3 7x x y x y+ + = − = + = −
19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
22
72yy= − =
là số lẻ < 7=>
2
1
4
x
y
x
=
= =
=−
Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho :
2
23
x
y+=
HD:
Xét
02xy= = =
Xét
2
15xy= = = =
Vô lý
Với
2
2 2 4 :4x VT = =
dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=>
22
4 4 1:4y k k= + +
dư
1 (vl)
Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho :
2
2 57
x
y+=
HD :
TH1 : x là số lẻ :
=>
( ) ( )
21
2 1 2 2 2.4 2 3 1
n
x n n
x n n N
+
= + = = = = +
( )
( )
( )
2 3 1 3 2
n
BB= + = +
chia 3
dư 2
VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2
TH2 : x là số chẵn :
( )
( )( )
22
2 2 57 2 2 3.19
n n n
x n n N y y y= = = − = = + − =
Thấy
2 0 2 0
nn
yy+ = −
và
22
nn
yy+ −
2 57
21
n
n
y
y
+=
=
−=
hoặc
2 19
23
n
n
y
y
+=
−=
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
4 3 2 2
4 7 6 4x x x x y+ + + + =
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2 2
4 4 3 6 4 2 2 2 1 2 3x x x x x y x x x x x x+ + + + + = + + + + + + +
( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 3y x x x x= + + + + +
Ta cần chứng minh:
( )
2
22
23y x x + +
Khi đó:
4 3 2 4 2 3 2
4 7 6 4 4 9 4 12 6x x x x x x x x x+ + + + + + + + +
Vậy
( ) ( )
22
2 2 2
2 1 2 3x x y x x+ + + +
( )
2
22
22y x x= = + +
hoặc
( )
2
22
23y x x= + +
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
2 2 2
20x y z xyz+ + + =
HD:
Giả sử:
2 2 2 2 2 2 2 2
14x y z VT x y z xyz x x x x x = = + + + + + + =
2
1
20 2
2
x
xx
x
=
= = =
=
TH1: Với x=1=>
2 2 2 2 2 2 2
19
19 3
3
y z yz y y y y y+ + = + + = =
=>
2
1
6
2
y
y
y
=
=
=
Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3
20
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
TH2 : Với x=2 làm tương tự
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 1 1
1
x y z
+ + =
HD:
Giả sử:
3
1 1 3 2;3x y z x x
x
= = =
Làm tương tự bài trên
Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
1 1 1 1 1 1
+ + + + + = A
a b c ab bc ca
Có giá trị nguyên
HD:
Ta có:
. , ,Aabc ab bc ca a b c a b c= + + + + + =
có cùng tính chẵn lẻ:
Giả sử :
abc
Nếu
( )
1
3 5, 7 1
2
a
a b c A l
a
=
= = =
=
Nếu a=1=>
3, 5 1 3 2b c A A = = =
thay a=1 và A=2 vào ta được:
( )
21b c bc+ + =
hay
( )( )
2 2 5 3, 7b c b c− − = = = =
Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
9x y z xyz+ + + =
HD:
Ta có:
1 1 1 9
1GT
yz xz xy xyz
= + + + =
Giả sử:
1x y z
Khi đó:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 9 12
12 1;2;3VT z z
z z z z z
+ + + = = =
Với
1 10z x y xy= = + = −
=> tự làm
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của
4
p
là số
chính phương
HD:
Ta có:
( ) ( )
22
2 3 4 2 2 2 2
1 2 4 2 2p p p p m p p m p p+ + + + = = + + +
=>
( )
2
22
4 2 1 3m p p p= + + = =
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 4 3 2
x x y y y y+ = + + +
HD:
Biến đổi thành:
( )
( )
( )
22
2
2 2 2 2
2 3 4 1 2 1 2 1 2y y y y x y y y y+ + + + = + = + + + −
Bài 19 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
22
5x xy y− + =
HD:
Biến đổi thành:
( )
2
2 2 2
20
2 20 3 0 0,1,4
3
x y y y y− = − = = =
Xét các TH=> x
Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình :
22
12 1995y x x= + +
21
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
HD:
Biến đổi thành:
( )
2
2
6 1959 1959 45y x y= + + =
Lại có:
( ) ( )( )
2
2
1959 6 6 6x y x y x y− = + − = + + − +
, Với
52xy+
và
1959=3.653
Bài 21 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
3
yz xz xy
x y z
+ + =
HD:
Phương trình đã cho
2 2 2 2 2 2
3y z x z x y xyz= + + =
Cô si ta có:
( ) ( )
44
33
3 3 3 1VT xyz xyz xyz xyz = =
, Do
, , 0x y z
và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:
(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2 2 3 4
1y x x x x= + + + +
HD :
Với x=0=> y= 1 hoặc y=-1
Với x # 0=>
( ) ( )
22
2 2 2 2
4 2 2 5 2 2y x x x x x= + + − + +
( ) ( )
22
2 2 2
2 4 2 2 3, 1x x y x x x x= + + + = = = −
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
3 2 3
1y x x x= + + +
HD :
Từ phương trình ta có :
( ) ( )
33
3 3 3
21x y x y x + = = +
Bài 24: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
( )
5 10 2x y z t xyzt+ + + + =
HD :
Giả sử :
( )
3
2 5 10 20 10 15 15 2x y z t xyzt x y z t x yzt t t = = + + + + + = = =
Với
( )
2
1 2 5 15 15 15 2 30 2 30 3t xyz x y z x yz z z= = = + + + + = = =
TH1 :
( ) ( ) ( )( )
1 2 5 20 4 10 40 2 5 2 5 65z xy x y xy x y x y= = = + + = = + + = − − =
Giải các TH và với t=2
Bài 25: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
( )
4xyz x y z= + +
HD :
Giả sử :
( )
2
4 12 12 12 1;2;3x y z xyz x y z x yz z z = = + + = = =
Bài 26: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
2xy yz zx xyz+ + = +
HD :
Giả sử :
1x y z
3 3 2 3 3 1,2xy yz zx xy xy xy xy xy xyz xy xyz z z= + + + + = = + = = = =
Bài 27: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 1 1 1
3x y xy
+ = +
HD :
Giả sử :
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
3
xx
xy
x y xy y xy xy xy y
−
= = + − − = =
22
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
=>
12
6 1;2;3;4;5
3
yy
y
= =
Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
x y z xyz+ + =
, Giả sử :
1 3 3 1;2;3x y z xyz x y z z xy xy = = + + = =
Với
1 1, 1xy x y= = = =
Với
2 1, 2xy x y= = = =
Với
3 1, 3xy x y= = = =
Bài 29: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình :
2 3 5
x x x
+=
HD :
Ta có :
23
1
55
xx
+=
Với x=0=> Vô lý
Với x=1 đúng
Với
2 2 3 3
2,
5 5 5 5
xx
x VT VP
= =
Bài 30: Chứng min rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao
cho
( ) ( )
12x x k k+ = +
HD :
Ta có :
( )
2
2 2 2
2 1 1x x k k x x k+ = + = + + = +
Do
( )
2
22
0 1 1x x x x k = + + = +
(1)
và
( ) ( )
22
22
0 1 1 2 1 1x k x x x x x = + = + + + + = +
(2)
=>
( ) ( )
22
2
11x k x + +
Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương :
432
2 2 3x x x x+ + + +
HD :
Đặt
( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2
2 2 3 3x x x x y y x x x x+ + + + = = = + + + +
Ta cần chứng minh :
( )
2
22
2a y a +
với
2
a x x=+
Bài 32: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
( )
2
3 3 3
x y z x y z+ + = + +
HD :
Giả sử :
3
3 3 3
9
33
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +

= = + +


và không xảy ra
đấu =
8x y z= + +
, mà
1 2 3 6 6;7;8x y z x y z+ + + + = = + +
Kết hợp với phương trình đầu=>
( ) ( )
; ; 1;2;3x y z =
Bài 33: Tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của 2 số bất kỳ
cộng với 1 chia hết cho số còn lại
HD :
Giả sử 3 số đẫ cho là :
1 1 1
1 , ,
ab bc ca
a b c Z
c a b
+ + +
=
23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Nhân theo vế ta được :
( )( )( )
1 1 1
1
ab bc ca
ab bc ca abc
abc
+ + +
= + + + =
1.ab bc ca k abc= + + + =
Vì
1 4 4ab bc ca abc k+ + + =
nếu k=4=>a=b=c=1 (t/m)
Nếu k=3 thì
3 4 1 2, 1abc ab c a b = = = =
nếu k=2, hoặc k=1 xét tương tự
Bài 34 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
HD :
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :
( )
2xyz x y z= + +
Giả sử :
( )
2 2.3 6 6x y z xyz x y z z z xy = = + + = =
Xét các TH của xy
Bài 35: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là :
, ,z,t x y z t xyztxy = + + + =
Giả sử :
1 4 4 1;2;3;4t z y x xyzt x y z t t xyz xyz = = + + + = =
Xét các TH của xyz
Bài 36 :Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
17 17 17
19xy+=
HD :
Giả sử :
17 17 17
19xy+=
và
1 19xy
=>
( )
17
17 17 17 16
19 1 19 17.y y y + = +
vậy x>17=> x=y=18
thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm
nguyên dương
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho
2
xy+
và
2
yx+
đều
là số chính phương
HD :
Giả sử : y < x, Ta có :
( )
2
2 2 2
1x x y x x x + + +
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương:
432
1x x x x+ + + +
HD :
Giả sử :
4 3 2 2
1x x x x y+ + + + =
( )
( )
( )
( )
22
22
2 2 2
2 2 2 2 2y x x x x x x= = + + + + +
, Nên :
( )
( )
2
2
2
2 2 1 1 3y x x x + + = −
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên:
( )
4
43
2x x y+ − =
HD :
ta có :
( )
3 3 2
8 3 4 1y x x x= + + +
,
Đặt
3 3 2
2 3 4 2y x z x x x= = = + + +
Thấy ngày :
( )
1 0 /x y t m= − = =
Chứng minh phương trình sau không có nghiệm
24
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 40 : Chứng minh rằng
1 1 1 1
1991x y z
+ + =
chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương
HD :
Giả sử :
0 x y z
, Ta có :
1 1 1 1 3
1991x y z x
+ + =
=>
1991 3.1991x =
x có hữu hạn giá trị
Với mỗi giá trị của x =>
2
2.1991
2 .1991
1991
x
y
x

−
giá trị
=> Tương ứng với z
Bài 41: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
( )
2
25 6x y y− = +
HD:
( ) ( ) ( )( )
2
22
25 6 3 16 3 3 16x y y x y x y x y− = + = − + = = + + − − =
Bài 42: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3 4 5
x x x
+=
HD:
Phương trình đã cho viết lại thành:
34
1
55
xx
+=
Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình:
Nếu x>2 thì
34
1
55
xx
+
Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt
( )
0x y y= −
nên y
1
, Ta có :
3 4 3 4 5 5
1 1 1
5 5 5 5 3 4
x x y y y y−−
+ = = + = = + =
,
Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y
1
Bài 43: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
2 2 2 2
5 60 37x y x y xy+ + + =
HD:
Phương trình
( ) ( ) ( )( )
22
22
35 60 5 3 4x y x y xy x y xy xy= − = − + − = − = − −
Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT
0
( )( )
5 3 4 0 3 4xy xy xy= − − =
, Do x, y nguyên nên
3
.
4
xy
x y Z
xy
=
=
=
Với:
( )
2
2
3
3
0
xy
xy
x
xy
=
=
=

=
−=
( vô nghiệm)
Với
( )
2
2
4
2
2
4
0
xy
xy
xy
xy
x
xy
=
=
==
= =
= = −
=
−=
| 1/24
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: a (a + ) 2 1 = k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + x − y = 0 HD: x = 0 x( x + ) 2 1 = y =>  x +1 = 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2
x + y + 3xy = x y HD: (x+ y)2 2 2
= x y − xy = xy (xy − ) 1
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − y − x + 2y =1 HD:
x − x = y − y + = ( y − )2 2 2 2 1 1 = x(x − ) 1
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2
x + xy + y = x y HD: (x+ y)2 2 2
= x y + xy = xy (xy + ) 1 1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
4x +8y +8xy + 4y −8 = 0
HD: ( x+ y)2 +( y+ )2 2 2 2 2 2 1 = 9 = 0 + 3
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + y − x − y = 8 HD: Nhân với 4 ta được: ( 2 x − x + ) + ( 2 4 4 1 4 y − 4 y + ) 1 = 34
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 4xy + 5y =169 HD: (x− y)2 2 2 + y =169
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + 5y + 2y − 4xy −3 = 0
HD: (x− y)2 +(y+ )2 2 1 = 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 2
x +13y − 6xy =100 HD: (x− y)2 2 3 + 4y =100
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6 2 3
2x + y − 2x y = 64 HD:
t + (t − y)2 2 = 64 nếu đặt 3 x = t 1 1
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + + y + = 4 x y HD: 2 2  1   1  x − +    y −  = 4    x y  
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( 2 x + )( 2 2 x + y ) 2 1 = 4x y HD:
x + x y + x + y = x y = ( x − y)2 + x ( y − )2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 = 0
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 2 2
2x + y − 2xy + 2y − 6x + 5 = 0 HD : ( 2 2 2
x − xy + y ) 2 2
− 6x + 2y + x + 5 = 0 => (x − y) − (x − y) 2 2
− 4x + x + 5 = 0
=> ( x − y − )2 + ( x − )2 1 2 = 0
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + 4y − 2x − 4y + 2 = 0
HD: ( 2x − x+ )+( 2 2 1 4 y − 4 y + ) 1 = 0
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2
4x + 2y + 2z − 4xy − 4xz + 2yz − 6y −10z + 34 = 0
HD: ( x)2 − x(y+z)+( 2 2
y + yz + z ) + ( 2 y − y) + ( 2 2 4 2 6
z −10z ) + 34 = 0 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2
=> ( x − x − y) + ( 2
y − y + ) + ( 2 2 6 9
z −10z + 25) = 0
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + y − x − y = 8 HD:  1   1  17 x − x + + y − y + = =     (2x − )2 1 + (2y − )2 2 2 1 = 34  4   4  2
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
m + n = 9m +13n − 20 HD: Nhân 4 ( 2 m − m + )+( 2 4 36 81
4n − 52n +169) =170
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 6xy +13y =100 HD: 2 2 (x −3 ) y = 4(25− y ) , mà 2 2
y  25, y là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0 HD :
Ta có phương trình trở thành : 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0
=> x − xy + y + y = = (x − y)2 2 2 2 2 4 4 16 2
+ y =16 , Vì x,y là số nguyên nên
(x−2y)Z
=> ( x − y)2 2 2
+ y =16 = 0 +16 =16 + 0
Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 2 2 2
x + y + 5x y + 60 = 37xy
HD: (x−y)2 =−x y + xy− =(x−y)2 2 2 35 60
= 5(xy −3)(4− xy)
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT  0 => 5( xy − )
3 (4 − xy)  0 = 3  xy  4 .
Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4
Nếu xy=3 thì ( x − y)2 = 0 = x = y và xy=3( vô lý)
Nếu xy=4 thì ( x − y)2 = 0 = x = y = 2
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 2 2
10x + 20y + 24xy +8x − 24y + 51 0 HD:
Biến đổi: ( x + y)2 + ( x + )2 + ( y − )2 3 4 4 2 6
−1 0 khi 3x + 4y = 0, x + 4 = 0,2y − 6 = 0
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2
x + y −8x + 3y = 1 − 8
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 5
x + 29x −30y =10
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: 2 y ( x + ) 2 1 = 1567 + x
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 2
x + xy −3x −3y + 7 = 0
Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn : 2 3 2
4x + 4x = 8y − 2z + 4 HD: Ta có 2
2z 4 = z 2 , Ta có :  x ( x + ) 3 2 4
1 − 8y + 2z  8 
 mà 4 không chia hết cho 8
( nên không tần tại x,y,z) 3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn : 2 2
x + 6y + 2xy + 2x + 32y + 46 = 0
Bài 24: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z xy + 3y + 2z − 4 HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên: 2 2  y   y x y z xy y z x  + +  + + − = − + − +     (z − )2 2 2 2 3 2 4 3 1 1  0  2   2 
DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 4x − y =1
HD : ( 2x + x+ ) 2 4 4 − y = 5
Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên : x − y + 2xy = 6 HD:
Ta có: = x ( + y) − y = = x ( + y) 1 11 1 2 6 1 2 − y − = 2 2
2x(1+ 2y) −(2y + ) 1 =11 = (2x − ) 1 (2y + ) 1 =11
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + xy + 3y =11 HD : 2 2 2 2  y y   y   2x + y   y − 3  2  x + 2 . x +  −  − 3y  =11= − = 2      2 4   4   2   2 
( x + y)2 −( y − )2 2 3
= 8 = (2x + y + y − )
3 (2x + y − y + ) 3 = 8
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − 25 = y ( y + 6) HD : 2 x − ( 2 y + y) 2 = = x − ( 2 6 25
y + 6 y + 9) =16=> (x + y + 3)(x − y − 3) =16 mà
x − y − 3 + x + y + 3 = 2x là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x( x + )(x + )(x + ) 2 1 2 3 = y
HD : ( 2x+ x)( 2x+ x+ ) 2 3 3
2 = y = (a +1+ y)(a +1− y) = 1 với 2
a = x + 3x
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − y =1999
HD: (x−y)(x+ y)=1999
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + 2y = xy HD: 2 2  y y   y y  2  x − 2 . x +  −  + 2. .2 + 4 = 4
− => (x −2y −2)(x + 2) = 1 − 6  2 4   4 2 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x − y = 6 − 2xy HD :
xy + x − y = = x( y + ) 1 11 2 6 2 1 − y − = 2 2 4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2x(2y + ) 1 − (2y + ) 1 =11 = (2x − ) 1 (2y + ) 1 =11
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 2
x + y = 2x y HD: 1 1 2 2 2 2 2
2x y − x − y = 0 = x ( 2 2 y − ) 2 1 − y + = 2 2 => 2 x ( 2 y − ) − ( 2 y − ) = = ( 2 x − )( 2 2 1 2 1 1 2 1 2 y − ) 1 = 1
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy = 4( x + y) HD :
xy − 4x − 4y = 0 = x( y − 4) − 4y +16 =16
= x( y −4)−4( y −4) =16 = (x −4)( y −4) =16
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : x(x − )( x − )(x − ) 2 1 7 8 = y HD:
( 2x − x)( 2x − x+ ) 2
= y = a(a + ) 2 8 8 7 7 = y
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x(x − ) 2 8 = y −116 HD: x − x + − y = − = (x − )2 2 2 2 8 16 110 4 − y = 1 − 10
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy + 3x − 5y = 3 − HD: x( y + ) 3 − 5y −15 = 1
− 8 = x( y + ) 3 − 5( y + ) 3 = 1 − 8
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 3 2 3 6x y +3x 1 − 0y = 2 HD: 2 x ( 3 y + ) 3 3 2
1 −10 y − 5 = 2 => 2 x ( 3 y + ) − ( 3 3 2 1 5 2 y + ) 1 = 2
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
2x + y + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 HD: 2 2  y 3x + 2   3x + 2  2
y + 2. .(3x + 2) ( ) 2 ( ) +  + 2x − + 3x + 2 = 0 2 4  4        2 2 2  3x + 2 
8x − 9x −12x − 4 +12x + 8 => y + + = 0  
=> ( y + x + )2 2 2 3 2 − x = 4 −  2  4 4 2
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : + =1 x y HD:
4y + 2x = xy = x( y − 4) − 2x = 0 1 1 1
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : + = x y 3 HD:
 3(x + y) = xy x( y − ) 3 − 3y = 0
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − x − y = 2 HD: 5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
= x( y − )
1 − y +1 = 3 = x( y − ) 1 − ( y − ) 1 = 3 = (x − ) 1 ( y − ) 1 = 3
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x + xy + y = 9 HD: x( y + )
1 + y +1 =10 = ( x + ) 1 ( y + ) 1 =10
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 2x −11 = y HD :
= (x − x + ) − y = = (x − )2 2 2 2 2 1 12
1 − y = 12 = ( x −1− y)( x −1+ y) =12
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3
x − y = xy + 8 HD :
Ta có : ( x − y)3 + 3xy ( x − y) = xy + 8
x − y = a a − 8 Đặt : 
= ft = a + 3ab = b + 8 = a −8 = b − (3a − ) 3 3 3 1 = b − = xy = b 3a −1 ( 3a − ) 3 27
8 3a −1 = 27a −1− 215 3a −1 = 3a −1U (215) 1 1 1 1
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : + + = x y 6xy 6 HD :
Ta có : = 6( x + y) +1= xy = xy − 6x − 6y =1= x( y − 6) − 6y + 36 = 37
= x( y −6) −6( y −6) = 37 = (x −6)( y −6) = 37
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy −5x + y +19 = 0 HD :
Ta có : = 2x(x − y) −(x − y) − 4x +19 = 0 = (x − y)(2x − ) 1 − 4x + 2 = 1 − 7
= (x − y)(2x − ) 1 − 2(2x − ) 1 = 1 − 7 = (2x − )
1 ( x − y − 2) = 1 − 7
Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2y + 2xy + y − 2 = 0 HD : Ta có : 2 2
= x +2yx +2y + y −2 = 0 Có 2  = y −( 2 y + y − ) 2 ' 2
2 = − y − y + 2 , Để phương trình có nghiệm thì : 2  1  9 3 1 3  '  0 = y +
 = −  y +  = −2  y  1    2  4 2 2 2
Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 x + ( − y) 2 3 2
x + 2y − 3y + 2 = 0 HD : Có 2
' =1−4y , để phương trình có nghiệm thì 1 2
 '  0 = y  = y = 0 = x = 1 − , x = 2 − 4
Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x + 4y + 6x + 3y − 4 = 0 HD : = ( 2 x + x) + ( 2 3 6 4 y + 3y) = 4
Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 5y − 4xy + 2y −3 = 0 HD :
= (x − xy + y ) + ( y + y + ) = = (x − y)2 + ( y + )2 2 2 2 4 4 2 1 4 2 1 = 4
Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x + y + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD : Xét : 2
 = x − 4 =   0 = (x − 2)(x + 2)  0 = x =  y y
Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − ( y + 5) x + 5y + 2 = 0 HD : Theo vi- ét ta có :
x + x = y + 5 1 2 
= (x −5 x −5 = 2 =1.2 = 1 − . 2 − 1 )( 2 ) ( ) ( )
x .x = 5y + 2  1 2
Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 2x −11 = y HD :
Đưa phương trình về dạng : (x − )2 2
1 − y = 12 = ( x −1+ y)( x −1− y) = 12
Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2y + 3xy − x − y + 3 = 0 HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x 2
= x + ( y − ) x + ( 2 3 1
y − y + 3) = 0 , có : 2
 = y −2y −11, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là  là số chính phương => 2 2
y − 2y −11 = k (k Z ) = y = 5, y = 3 −
Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − 2x + 3y = 27 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x + ) 3 ( y − 2) = 21
Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x( y + ) 3 − y = 38 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x − ) 1 ( y + ) 3 = 35
Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3xy + x + y = 17 HD :
Đưa phương trình về dạng : (3x + ) 1 (3y + ) 1 = 52
Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + x +1= xy − y HD :
Đưa phương trình về dạng : (x − )
1 ( y − x − 2) = 3
Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
xy + 2xy − 243y + x = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : x( y + )2 = y = ( y + )2 1 243 1 U (243) => ( ;x y) =(54;2);(24;8)
Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy = 5x − y −19 HD : 2x − 5x +19
Đưa phương trình về : 2x −5x +19 = y(2x − ) 2 2 1 = y = 2x −1
Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y ( x − ) 2 1 = x + 2 HD : 3
Đưa phương trình về dạng : y = x +1+ x −1 7
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 15x − 7y = 9 HD : Ta có : 2 2 2
y 3 = y 3 = y = 3y = 5x − 21y = 3 = x 3 = x = 3x 1 1 1 2 2 2
=15x −7y =1= y  1 − mod3 => Vô nghiệm 1 1 1 ( )
Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
29x − 28y = 2000 HD :
Đưa phương trình về thành : 2
x  5(mod7) , Vô nghiệm
Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
1999x − 2000y = 2001 HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x  − ( 1 mod 4) , Vô nghiệm
Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 2
x y − x −8y = 2xy HD :
Đưa phương trình về dạng : y (x − ) = (x + y)2 2 2 7
Phương trình có nghiệm x = y = 0 , xét x, y # 0 => 2
x − 7 là 1 số chính phương Đặt : 2 2
x − 7 = a = ( x − a)(x + a) = 7 = Tìm x (0;0),(4;− )1,(4;2),( 4 − ; ) 1 ,( 4 − ; 2 − )
Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x + xy + y = 9 HD :
Đưa phương trình vê dạng : (x + ) 1 ( y + ) 1 = 10
Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
y = x( x + ) 1 (x + 7)(x +8) HD :
Đưa phương trình thành :
y = ( x + x)( x + x + ) = z + z = y = ( z + )2 2 2 2 2 2 8 8 7 7 4 2 7 − 49
=> 49 = (2z − 2y + 7)(2z + 2y + 7)
Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x ( 2
1+ x + x ) = 4y ( y + ) 1 HD :
Phương trình <=> + x + x + x = y + y + = (x + )(x + ) = ( y + )2 2 3 2 2 1 4 4 1 1 1 2 1
Vì VP là 1 số lẻ => ( x + ) ( 2 1 , x + ) 1 là số lẻ , 2 1  + x d 1  − x d Giả sử : ( 2 x +1; x + )
1 = d => d lẻ , Mà :  =  2 2 1  + x d 1  + x d = ( + x)( 2 1
1+ x ) là số chính phương => 2
x +1 = x +1 = x = 0
Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 2
x + xy + y = x y HD :
Ta có : x + xy + y = x y = ( x + y)2 2 2 2 2 2 2
= x y + xy = xy (xy + ) 1 xy = 0 =  xy +1 = 0
Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + y + xy = x + y HD : 8
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Đưa phương trình về dạng : 2
x − ( y + ) x + ( 2 1
y − y) = 0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
  = y − y −  = ( y − )2  = ( y − )2 2 0 3 6 1 0 3 1 4 1 1
Từ đó ta có : y = 0,1, 2
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2y + 3xy − x − y + 3 = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : 2
x + ( y − ) x + ( 2 3 1
2 y − y + 3) = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0 Làm giống bài trên
Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( + )( + ) = ( − )3 2 2 x y x y x y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 y y + 
( 2x − x) y +( 2 2 3 x + 3x ) = 0  TH1 : y=0 => ... TH2 : 2 y  = y + ( 2
x − x) y + ( 2 0 2 3 x + 3x ) = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   = (x + )2 0
1 x ( x − 8) phải là 1 số chính phương => x( x − ) 2
8 = a (aN ) = ( x − 4 − a)(x − 4 + a) =16 => Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( x + y) = ( 2 2 7
3 x − xy + y ) HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x − ( y + ) 2 3 3
7 x + 3y − 7y = 0
Để phương trình có nghiệm thì  phải là 1 số chính phương
Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
12x + 6xy + 3y = 28( x + y) HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x : 2 2 14  14  196 9x = 3 − (x + y)2 2 + 28(x + y) =
− 3 (x + y) −    3  3  3 => 2 2
x  7 = x 0;1;  4 Cách 2 : Tính 
Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + xy + y = 2x + y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x + ( y − ) 2
2 x + y − y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + xy + y = x + y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x + ( y − ) 2
1 x + y − y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 3xy + 3y = 3y 9
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 2
x −3yx + 3y −3y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − 2xy + 5y = y +1 HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 2
x − 2yx + 5y − y −1= 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − 4y =1 HD :
Biến đổi phương trình thành : ( x − 2y)(x + 2y) =1
Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − y = 91 HD :
Biến đổi phương trình thành : ( x − y)(x + y) = 91
Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 2x + xy = 7 HD :
Biến đổi phương trình thành : x ( 2 2x + y) = 7
Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3
x + 7y = y + 7x HD :
Biến đổi phương trình thành : 3 3
x − y − ( x − y) = = ( x − y)( 2 2 7 7 0
x + xy + y ) − 7(x − y) = 0
= (x − y)( 2 2
x + xy + y − 7) = 0 TH1 : x = y 7
x =1 = y = 2
TH2 : x + xy + y = 7 = ( x − y)2 2 2
= 7 − 3xy = xy  =  3
x = 2 = y =1
Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x +10xy +8y = 96 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Chú ý : Vì (x + 2y) + (3x + 4y) = 2(2x + 3y) là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên : xy + 3x − 5y = 3 − HD :
Đưa phương trình về dạng : x( y + ) 3 − 5y −15 = 1
− 8 = x( y + ) 3 − 5( y + ) 3 = 1 − 8
= (x −5)( y + ) 3 = 1 − 8
Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y +1 = xyz HD :
Giả sử : x y TH1 : 2
x = y = 2x +1 = x z = x(xz − 2) =1= x = y =1, z = 3
TH2 : x y = xyz  2y +1 = xyz  2y = xz  2 = x = 1, y = 2, z = 2 hoặc
x = 2, y = 2, z = 1
Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy − 5x + 5y = 1 − 9 HD : 10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Đưa phương trình về dạng : 2x(x − y) −5(x − y) = 1
− 9 = (2x −5)(x − y) = 1 − 9
Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 4x +11y = 4xy HD :
Đưa phương trình về dạng : (4x −1 ) 1 ( y − ) 1 =1
Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 656xy − 657y =1983 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x + y)(x −567y) =1983
Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 7x − xy − 3y = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x + ) 3 (7 − y) = 21
Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 y ( x + ) 2 1 = 1576 + x HD :
Đưa phương trình về dạng : (x + )( 2 1 y − x + ) 1 = 1577 = 19.83
Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2003x + 2004y + y = xy + 2004xy + 2005 HD :
Đưa phương trình về dạng : (x − )( 2
1 x + 2004 − 2004y − y) =1
Bài 69: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3 2
2x − 2y + 5xy +1= 0 11
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x −3x + 9 = −xy + 2y HD :
Phương trình tương đương với : y(x − ) 2
2 = x − 3x + 9 2
= x − 3x + 9 2 − x 2 x − 3x + 9
Với x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có : y = 2 − x
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x y + 2y = x + 4 HD : x + 4
Biến đổi phương trình thành : y ( 2
x + 2) = x + 4 = y = 2 x + 2
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x y + 2y − 2x +1 = 0 HD : 2x −1
Biến đổi phương trình thành : y ( 2
x + 2) = 2x −1 = y = 2 x + 2
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 2
x − x y + 3x − 2y −5 = 0 HD :
Biến đổi phương trình về dạng : 3 2
x + x − = x y + y = y ( 2 3 5 2 x + 2) 3 x + 3x − 5 = y = 2 x + 2 3 2
x − 2x + 7x − 7
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên : A = 2 x + 3 HD : 4x −1
Ta có : A = ( x − 2) + = (4x − ) 2
1 x + 3 = (4x − ) 1 (4x + ) 2 1 x + 3 2 x + 3
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 7( x − ) 1 + 3y = 2xy HD :
ta có : 7x − 7 + 3y = 2xy = 7(x − )
1 = 2xy − 3y = y (2x − ) 3 7x − 7 = y = 2x − 3
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x y + xy + y − x −1= 0 HD : x +1
Biến đổi phương trình thành : y ( 2 x + x + )
1 = x +1 = y = 2 x + x +1
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x y − 2x + 2y +1= 0 HD :
Biến đổi phương trình thành : 2x −1 y ( 2
x + 2) = 2x −1 = y = 2 x + 2
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 2
x − x y − 2x −3y − 7x − 7 = 0 HD :
Biến đổi phương trình trở thành : 3 2 2
x − x − x − = x y + y = y ( 2 2 7 7 3 x + 3) 12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 2
x − 2x − 7x − 7 = y = 2 x + 3
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3x + 4y − xy = 16 HD :
Biến đổi phương trình thành :
xy − 3x − 4y = 1
− 6 = x( y − ) 3 − 4y +12 = 4 − x( y − ) 3 − 4( y − ) 3 = 4 − = ( y − ) 3 ( x − 4) = 4 −
Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy − 3x − 4y = 9 HD :
Biến đổi phương trình thành : x( y − )
3 − 4y +12 = 21 = ( x − 4)( y − ) 3 = 21
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2xy − 5 = 6x + y HD :
Biến đổi phương trình thành :
2xy − 6x − y = 5 = 2x ( y − ) 3 − y + 3 = 8 (y − ) 3 (2x − ) 1 = 8
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : ( y + ) 2 2 2 x +1 = x HD :
Biến đổi phương trình thành : 2 2 x −1 x −1 y + 2 = = y = − 2 2 2 x x
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x + 2xy + x +1+ 3y =15 HD :
Biến đổi phương trình thành : x + x −
x + x +1−15 = − y (2x + ) 2 14 2 3 = − y = 2x + 3
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
5x + 25 = 8y −3xy HD :
Biến đổi phương trình thành : 2
xy + x = y − = x( y + ) 2 3 5 8 25 3 5 = 8y − 25 2 8y − 25 x = 3y + 5
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 2
2xy + x + y +1= x + 2y + xy HD :
Biến đổi phương trình thành : ( 2 2
xy − y ) − ( xy − y) − ( 2 2 2 x − x) = 1 − 2
= y (x − ) − y(x − ) − x(x − ) = − = (x − )( 2 2 1 1 1 1
1 2 y − y − x) = 1 −
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( y + ) 2 2 2 x +1 = y HD :
Biến đổi phương trình thành : 2 y −1 2 x = y + 2 13
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x − 3y = 2xy −11 HD :
Biến đổi phương trình thành : − y
xy − x + y =
= x( y − ) 11 3 2 5 3 11 2
5 = 11− 3y = x = 2y − 5
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − 2x − 3y +1 = 0 HD :
Biến đổi phương trình ta có : 5 y = 2 + x − 3
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y ( x + ) 2 1 = x + 2 HD :
Biến đổi phương trình ta có : 3 y = x +1+ x −1
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x − 3y + 5xy = 39 HD :
Biến đổi phương trình thành : 2x − 39 y =
= 2x − 39  3− 5x = 1 − 2  x  6 3 − 5x
= ( x − )2  ( − x)2 2 39 3 5
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x − 3y = 2xy −11 HD :
Biến đổi phương trình về dạng : x + 5 y = 2 +
= x + 5  2x + 3 = (x + 5)2  (2x + 3)2 2x + 3 2 x − x +1
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y = 2 x + x +1 HD :
Đưa phương trình trở thành : (y − ) 2 1 x + ( y + )
1 x + y −1 = 0 TH1 : y=1=>x=0 1
TH2 : y  1 =   0 =
y  3 = y x 0;1;2;  3 3 2 x + x +1
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên : A = xy −1 HD :
Biến đổi phương trình thành : x + y +1 yA = x +1+
= x + y +1 xy −1= (x − ) 1 ( y − ) 1  3 xy −1
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết : 2( y + z) = x( yz − ) 1 HD :
Biến đổi phương trình thành : 14
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2y + 2z x =
= 2y + 2z yz −1= yz −1− 2y − 2z  0 yz −1 2 a − 2
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : A = ab + 2 HD :
Biến đổi phương trình thành :
2(a + b) (ab + 2) = 2(a + b) = k (ab + 2) Chứng minh k=1=>a=4, b=3
Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2 x − y = 2003 HD:
Biến đổi phương trình thành: ( x − y)( x + y) = 2003
Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 2 2 3x + 7y = 2002 HD:
Biến đổi phương trinhg thành: 2 x 2 2 3.
+ y = 286 = x 7 và 2
x  286 = 7  x 16 và x 7 = x = 7, x =14 7 Với 2
x = 7 = y = 165(l) Với 2
x =14 = y = 202(l)
Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 3 3 3
x + y + z = x + y + z + 2006 HD:
Biến đổi phương trình thành: 3
x − x = x ( 2 x − ) 1 = ( x − ) 1 x ( x + ) 1 3 Tương tự ta có: 3 3
y − y 3, z − z 3, Mà 2006  3 , Vậy không tồn tại x,y,z
Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn : 2 3y x + = 3026 HD: Xét 2
y = 0 = x = 3026 −1= 3025 = x = 55 Xét 0 3y y  = 3 còn 2 x : 3 dư 0 hoặc 1 => 2 3y x +
: 3 dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý
Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên : 2 2y x − = 2005 HD:
Với y<0 => Phương trình vô nghiệm
Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm Nếu y 2  3 = 2 8 = = −2005 = 2y y PT x 8 => 2
x  5(mod8) ( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi HD:
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông (1 x y z) Ta có: 2 2 2
x + y = z và xy = 2( x + y + z) (2)
Khi đó ta có: z = (x + y)2 − xy = (x + y)2 2 2
− 4(x + y + z) = ( 2 2
x + y)2 − ( x + y) 2 4
+ 4 = z + 4z + 4 = (x + y − 2) = (z + 2) = (x + y − 2 = z + 2) 15
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Thay z = x + y − 4 vào (2) ta được
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x − 3y = 2xy −11 HD: 5x +11 x + 5
Đưa phương trình thành: y = = 2 +
= 2(x + 5) 2x + 3 = 7 2x + 3 2x + 3 2x + 3
Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 2
x − 2x −11 = y HD:
Biến đổi phương trình thành: ( 2 x − x + ) 2 2
1 − y = 12 = ( x −1− y)( x −1+ y) = 12
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : y ( x − ) 2 1 = x + 2 HD: 2 x + 2 3
Biến đôi phương trình thành: y = = x +1+ x −1 x −1
Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 2
xy + 2xy − 243y + x = 0 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2 2 x ( y + )2 1
= 243y Vì y  ( y + ) 1 = 243 ( y + ) 1
Bài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x + y = xy HD:
Biến đổi phương trình thành: (x− ) 1 ( y − ) 1 = 1
Bài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy +1 = x + y HD:
Biến dổi phương trình thành: ( x − ) 1 ( y − ) 1 = 0
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2
x − xy = 6x −5y −8 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2 x − 6x + 8 3 y = = (x − ) 1 + x − 5 x − 5
Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 3 3
x − y = xy +8 HD:
Biến đổi phương trình thành:
x − y = a
(x − y)3 +3xy(x − y) = xy +8, Đặt:  xy = b
Khi đó phương trình trở thành: 3 a − 8 3 3
a + 3ab = b + 8 = b − =
= a −8 3a −1= 27( 3
a − 8) 3a −1 3a −1 2
27a −1− 215 3a −1 = 3a −1 U  (215)
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy − 2x − 3y +1 = 0 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2x −1 5 y = = 2 + x − 3 x − 3 16
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2 2 2
x y − x −8y = 2xy HD:
Biến đổi phương trình thành: y ( x − ) = ( x + y)2 2 2 7 (1)
Phương trình đã cho có nghiệm: x = y = 0
Xét: x, y  0, từ (1) => 2
x − 7 là 1 số chính phương Đặt 2 2
x − 7 = a = ( x − a)( x + a) = 7 => Tìm đc x
=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)
Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2
3x + 4y = 6x +13 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2 2 2 x − x + =
− y = (x − ) = ( 2 3 6 3 16 4 3 1 4 4 − y ) 2 2
= 4− y  0 = y  4 = y  2 = y =1, y = 2
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2
x + xy − 2017x − 2018y − 6051= 0
DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn : 4 2 2
x + x +1 = y HD:
Ta có: x +   = y = x + x +  x = ( x )2 2 2 4 2 4 2 1 1 0 1 (1) 2 2 Mặt khác 2 4 2 2
y = x + x + − x = ( 2 x + ) 2 − x  ( 2 2 1 1 x + ) 1 (2) 2 2 2 Từ (1) và (2) ta có: ( 2 x ) 2  y  ( 2 x + ) 2 = y = ( 2 1 x + ) 1  y =1 4 2 4 2 2
= x + x +1 = x + 2x +1= x = 0 = y =1 =   y = 1 −
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 4 4 2
x − y = 3y +1 HD : 2 2 Ta có : 4 4 2 4 2 2
x = y + y + = y + y + + y = ( 2 y + ) 2 + y  ( 2 3 1 2 1 1 y + ) 1 2 2 Mặt khác : 4 4 2 4 2 2
x = y + y + = y + y + − y − = ( 2 y + ) − ( 2 y + )  ( 2 3 1 4 4 3 2 3 y + 2) 2 2 2 Khi đó : ( 2 y + ) 4  x  ( 2 y + ) 4 = x = ( 2 1 2 y + ) 1 4 4 2 4 2 4 2
x = y + 2y +1= y + 3y +1= y + 2y +1= y = 0, x = 1 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3 2
x − y − 2y −3y −1= 0 HD :
Ta có : x = y + y + y + = ( y + y + y + ) − y  ( y + )3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 3 3 1 1 (1)
mặt khác : x = y + y + y + = ( y − y + y − ) + y +  ( y − )3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 3 3 1 5 2 1
Khi đó : ( y − )3  x  ( y + )3 3 1 1  y = 1 − TH1 : 3 3 x y  = = 1 = x = 1 −  y = − (l)  2 17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
TH2 : x = ( y + )3 3 2 1
= y = 0 = x =1
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 3 3
1+ x + x + x = y HD : 2  1  3 3 Ta có : 2 3
1+ x + x = x + +   0 = y =   ( 2 1+ x + x ) 3 3 + x x  2  4 4 2 3 Mặt khác : 3 3 2 2
y = x + x + x + − x −
x − = ( x + ) − ( 2 3 12 8 5 11 7 2
5x +11x + 7)  (x + 2) x = 0  y =1
Khi đó : x y  (x + 2)3 = y = (x + )3 3 3 3 1 = =   x = 1 −  y = 0
Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương : 4 3 2
x + 2x + 2x + x + 3 HD : Đặt 4 3 2 2
x + 2x + 2x + x + 3 = y 2 = ( 4 3 2
x + x + x ) + ( 2 x + x + ) = ( 2 x + x) + ( 2 x + x + ) 2 2 3 3 = y =  ( + )2 2 2 y x x (1) 2 2
Vậy ta cần chứng minh ( 2 x + x) 2  y  ( 2 x + x + 2) 2 2 Thật vậy : 2 y − ( 2 x + x) 2 2
= x + x +  = y  ( 2 3 0 x + x)
y = ( x + x + )2 2 2 2 2
= 3x + 3x +1  0 x =1
y = ( x + x + )2 2 2 2 1
= x + x − 2 = 0 =  x = 2 −
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
2x + 3y + 4x =19 HD :
Ta có : x + y + x = = ( x)2 2 2 2 4 6 8 38 2 + 2.2 .
x 2 + 4 + 6 y = 42
( x + )2 + y =  ( x + )2 2 2 2 6 42 2 2  0 Mà ( x + )2 2 2 4 => Tìm x => Tìm y
Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x + 2y = 5 HD : Ta có : 2
2y 2 mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3
mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 9x + 5 = y ( y + ) 1 HD: Nhân với 4 ta có: 2
36x + 20 = 4y + 4y => x +
= y + y + = ( y + )2 2 36 21 4 4 1 2 1 Do x + = y + = ( y + )2 36 21 3 2 1 3 2 1
9 , mà 36x + 21 9 => Vô lý
vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
2x + 4x =19 −3y HD: 2 Ta có: 2 2 x + x + =
− y = (x + ) = ( 2 2 4 2 21 3 2 1 3 7 − y ) 18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x = 2 2 2
= 7 − y 2 = y là số lẻ < 7=> y = 1  =  x = 4 −
Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho : x 2 2 + 3 = y HD:
Xét x = 0 = y = 2  Xét 2
x =1 = y = 5 = Vô lý Với 2
x  2 = 2 4 = VT : 4 dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> 2 2
y = 4k + 4k +1: 4 dư 1 (vl)
Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho : x 2 2 + 57 = y HD : TH1 : x là số lẻ : n => ( ) x 2n 1 n 2 1 2 2 2.4n x n n N + = +  = = = = 2(3+ ) 1 = 2( B (3) + ) 1 = B(3) + 2 chia 3 dư 2
VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2 TH2 : x là số chẵn : = = (  ) 2 2 2 =
− 2 n = 57 = ( + 2n )( − 2n x n n N y y y ) =3.19
Thấy + 2n  0 = − 2n y y
 0 và + 2n  −2n y yy + 2n = 57 y + 2n =19 =  hoặc  y − 2n =1 y − 2n = 3
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 4 3 2 2
x + 4x + 7x + 6x + 4 = y HD: 2 Ta có: ( 4 3 2
x + x + x ) + ( 2 x + x + ) 2 = y  ( 2 x + x) + ( 2 x + x) 2 4 4 3 6 4 2 2 2 +1+ x + 2x + 3 2 2 = y  ( 2 x + x + ) + ( 2 2 1 x + 2x + 3)
Ta cần chứng minh: y  ( x + x + )2 2 2 2 3 Khi đó: 4 3 2 4 2 3 2
x + 4x + 7x + 6x + 4  x + 4x + 9 + 4x +12x + 6x 2 2 Vậy ( 2 x + x + ) 2  y  ( 2 2 1 x + 2x + 3)
= y = (x + x + )2 2 2 2 2
hoặc y = ( x + x + )2 2 2 2 3
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2 2
x + y + z + xyz = 20 HD: Giả sử: 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x y z =VT = x + y + z + xyz x + x + x + x = 4x x =1 2
= 20  x = x  2 =  x = 2 19 TH1: Với x=1=> 2 2 2 2 2 2 2
y + z + yz = 19  y + y + y = 3y = y  3  y =1 => 2 y  6 = 
Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3  y = 2 19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
TH2 : Với x=2 làm tương tự 1 1 1
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : + + =1 x y z HD: 3
Giả sử: 1  x y z = 1 
= x  3 = x 2;  3 x Làm tương tự bài trên
Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 1 1 1 1 1 1 + + + + + = A a b c ab bc ca Có giá trị nguyên HD: Ta có: .
A abc = ab + bc + ca + a + b + c = a, ,
b c có cùng tính chẵn lẻ: a =
Giả sử : a b c Nếu a  = b c  = A  (l) 1 3 5, 7 1 =  a = 2
Nếu a=1=> b  3, c  5 = 1  A  3 = A = 2 thay a=1 và A=2 vào ta được:
2(b + c) +1= bc hay (b − 2)(c − 2) = 5 = b = 3,c = 7
Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z + 9 = xyz HD: 1 1 1 9 Ta có: GT = + + + =1 yz xz xy xyz
Giả sử: x y z  1 1 1 1 9 12 Khi đó: 2 VT  + + + =
= z  12 = z  1;2;3 2 2 2 2 2   z z z z z
Với z = 1 = x + y = xy −10=> tự làm
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của 4 p là số chính phương HD: Ta có: 2 2 2 3 4 2
+ p + p + p + p = m = ( 2 p + p) 2  m  ( 2 1 2 4
2 p + p + 2) =>
m = ( p + p + )2 2 2 4 2 1 = p = 3
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 4 3 2
x + x = y + y + y + y HD: 2 2 2 Biến đổi thành: ( 2 y + y) 2
+ y + y + = ( x + ) = ( 2 y + y + ) 2 2 3 4 1 2 1 2 1 + 2 y − y
Bài 19 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 2
x − xy + y = 5 HD: 20
Biến đổi thành: (2x − y)2 2 2 2
= 20 − 3y  0 = y  = y = 0,1, 4 3 Xét các TH=> x
Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : 2 2
y = x +12x +1995 20
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD:
Biến đổi thành: y = ( x + )2 2 6
+1959 1959 = y  45 Lại có: − = (x + )2 2 1959 6
− y = (x + y + 6)(x − y + 6), Với x + y  52 và 1959=3.653 yz xz xy
Bài 21 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : + + = 3 x y z HD: Phương trình đã cho 2 2 2 2 2 2
= y z + x z + x y = 3xyz Cô si ta có: VT
(xyz)4 = xyz  (xyz)4 3 3 3 3 3 = xyz 1, Do , x y, z  0
và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:
(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 3 4
y =1+ x + x + x + x HD :
Với x=0=> y= 1 hoặc y=-1 2 2 Với x # 0=> 2 y = ( 2 x + x + ) 2 − x  ( 2 4 2 2 5 2x + x + 2) 2 2 = ( 2 x + x) 2  y  ( 2 2 4
2x + x + 2) = x = 3, x = −1
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 3
y =1+ x + x + x HD : Từ phương trình ta có :
x y  ( x + )3 = y = ( x + )3 3 3 3 2 1
Bài 24: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 5( x + y + z + t) +10 = 2xyzt HD : Giả sử :
x y z t = xyzt = ( x + y + z + t ) 3 2 5
+10  20x +10 = yzt 15 = t 15 = t  2
Với t = = xyz = ( x + y + z) 2 1 2 5
+15 15x +15 = 2yz  30 = 2z  30 = z  3
TH1 : z =1 = 2xy = 5(x + y) + 20 = 4xy =10(x + y) + 40 = (2x −5)(2y −5) = 65 Giải các TH và với t=2
Bài 25: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xyz = 4( x + y + z) HD :
Giả sử : x y z = xyz = (x + y + z) 2 4
12x = yz 12 = z 12 = z 1  ;2;3
Bài 26: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : xy + yz + zx = xyz + 2 HD :
Giả sử : x y z  1
= xy + yz + zx xy + xy + xy = 3xy = 3xy xyz + 2 = 3xy xyz = z  3 = z =1,2
Bài 27: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 1 1 1 1 + = + x y 3 xy HD : 1 1 1 1 2 1 2x −1 2x 2
Giả sử : x y = = + −  − =  = 3 x y xy y xy xy xy y 21
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 2 => 
= y  6 = y1;2;3;4;  5 3 y
Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng HD :
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
x + y + z = xyz , Giả sử : 1  x y z = xyz = x + y + z  3z = xy  3 = xy 1;2;  3
Với xy = 1 = x = 1, y = 1
Với xy = 2 = x = 1, y = 2
Với xy = 3 = x = 1, y = 3
Bài 29: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : 2x 3x 5x + = HD : x x  2   3  Ta có : + =1      5   5  Với x=0=> Vô lý Với x=1 đúng x x  2  2  3  3 Với x  2 =  ,
 = VT VP      5  5  5  5
Bài 30: Chứng min rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho x( x + ) 1 = k (k + 2) HD :
Ta có : x + x = k + k = x + x + = (k + )2 2 2 2 2 1 1
Do x  = x x + x + = (k + )2 2 2 0 1 1 (1)
và x  = (k + )2 = x + x +  x + x + = ( x + )2 2 2 0 1 1 2 1 1 (2)
=> x  (k + )2  ( x + )2 2 1 1 Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương : 4 3 2
x + 2x + 2x + x + 3 HD : 2 Đặt 4 3 2 2 2
x + x + x + x + = y = y = ( 2 x + x) + ( 2 2 2 3 x + x + 3)
Ta cần chứng minh : a y  (a + )2 2 2 2 với 2
a = x + x
Bài 32: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn : + + = ( + + )2 3 3 3 x y z x y z HD : 3 3 3 3 x + y + z
x + y + z
Giả sử : x y z = 
= x + y + z  9   và không xảy ra 3  3  đấu =
= x + y + z  8 , mà x + y + z 1+ 2+3 = 6 = x + y + z 6;7;  8
Kết hợp với phương trình đầu=> ( ; x ; y z) = (1;2; ) 3
Bài 33: Tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của 2 số bất kỳ
cộng với 1 chia hết cho số còn lại HD :
ab +1 bc +1 ca +1
Giả sử 3 số đẫ cho là : a b c  1 = , ,  Z c a b 22
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
(ab+ )1(bc+ )1(ca+ )1 Nhân theo vế ta được :
= ab + bc + ca +1= abc abc
= ab +bc + ca +1= k.abc
Vì ab + bc + ca +1 4abc = k  4 nếu k=4=>a=b=c=1 (t/m)
Nếu k=3 thì 3abc  4ab = c  1 = a = 2,b = 1
nếu k=2, hoặc k=1 xét tương tự
Bài 34 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng HD :
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :
xyz = 2( x + y + z)
Giả sử : x y z = xyz = 2(x + y + z)  2.3z = 6z = xy  6 Xét các TH của xy
Bài 35: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng HD :
Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là : ,
x y, z, t = x+ y+ z+ t = xyzt
Giả sử : t z y x 1 = xyzt = x + y + z + t  4t = xyz  4 = xyz 1;2;3;  4 Xét các TH của xyz
Bài 36 :Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: 17 17 17 x + y =19 HD : Giả sử : 17 17 17
x + y =19 và 1  x y  19 =>  ( y + )17 17 17 17 16 19 1
=19  y +17.y vậy x>17=> x=y=18
thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho 2 x + y và 2 y + x đều là số chính phương HD :
Giả sử : y < x, Ta có : x x + y x + x  ( x + )2 2 2 2 1
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương: 4 3 2
x + x + x + x +1 HD : Giả sử : 4 3 2 2
x + x + x + x +1= y 2 2 2 2 = ( y) = ( 2 x + x) 2
+ x + (x + )  ( 2 2 2 2 2
2x + x) , Nên :
( y)  ( x + x + )2 2 2 2 2 1 = 1 −  x  3
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x + )4 4 3 2 − x = y HD : ta có : 3 y = ( 3 2
8 x + 3x + 4x + ) 1 , Đặt 3 3 2
y = 2x = z = x + 3x + 4x + 2 Thấy ngày : x = 1
− = y = 0(t / m)
Chứng minh phương trình sau không có nghiệm 23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 1 1 Bài 40 : Chứng minh rằng + + =
chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương x y z 1991 HD : 1 1 1 1 3
Giả sử : 0  x y z , Ta có : + + =  x y z 1991 x
=> 1991 x  3.1991 = x có hữu hạn giá trị 2.1991x
Với mỗi giá trị của x => 2 y   2 .1991 giá trị x −1991 => Tương ứng với z
Bài 41: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2
x − 25 = y ( y + 6) HD: x −
= y( y + ) = x −( y + )2 2 2 25 6 3
=16 = (x + y + 3)(x − y −3) =16
Bài 42: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x + = HD: x x Phương trình đã cho viế  3   4  t lại thành: + =1      5   5 
Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình: x x  3   4  Nếu x>2 thì + 1      5   5 
Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt x = −y ( y  0) nên y 1, Ta có : x x − y − y y y  3   4   3   4   5   5  + =1 = + =1 = + = 1             ,  5   5   5   5   3   4 
Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y  1
Bài 43: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2 2 2
x + y + 5x y + 60 = 37xy HD: 2 2
Phương trình = (x − y) 2 2
= −x y + 35xy − 60 = (x − y) = 5(xy − 3)(4 − xy)
Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT  0 xy = 3 = 5(xy − )
3 (4 − xy)  0 = 3  xy  4 , Do x, y nguyên nên x.yZ = xy  = 4 xy = 3  x = y Với:  ( vô nghiệm) ( =  x − y)2 2 = 0 x = 3 xy = 4  x = yx = y = 2 Với  ( =  =  x − y)2 2 = 0 x = 4 x = y = 2 − 24
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức