57 trang 6 lượt tải

Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

11

Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương. Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k. Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 6: Phương trình (CTST) 11 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/57
rang 1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT
( )
2
1+=a a k
Phương pháp:
“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
0x x y+ − =
HD:
( )
2
1x x y+=
=>
0
10
x
x
=
+=
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
3x y xy x y+ + =
HD:
( ) ( )
2
22
1x y x y xy xy xy+ = − = −
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
21x y x y− − + =
HD:
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
x xy y x y+ + =
HD:
( ) ( )
2
22
1x y x y xy xy xy+ = + = +
0
10
xy
xy
=
=
+=
Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho:
1 10
1
7
x
y
z
+=
+
(*)
HD:
Từ(*) ta thấy :
10
7
x

=


thay vào (*) ta được :
1 7 7
23
33
y y z
z

+ = = = = = =


Bài 2: Tìm
*
, , ,x y z t N
thỏa mãn:
( ) ( )
31 1 40xyzt xy xt zt yzt y t+ + + + = + +
(*)
HD:
Từ (*)
1 40 1 40
31 31
xyzt xy xt zt zt
x
yzt y t yzt y t
+ + + + +
= = = + =
+ + + +
(1)
Từ (1)
40
1
31
x

= = =


, Thay
1x =
vào (1) ta suy ra :
31 31
1 9 1 9
yzt y t t
y
zt zt
++
= = + =
++
(2)
Từ (2)
31
3
9
y

= = =


thay
3y =
vào (2) ta được :
1 9 1 9
44
zt
z
tt
+
= = + =
(3)
Từ (3)
2, 4zt= = =
rang 2
Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 8 8 4 8 0x y xy y+ + + − =
HD:
( ) ( )
22
22
2 2 2 1 9 0 3x y y+ + + = = +
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
8x y x y+ − − =
HD:
Nhân với 4 ta được:
( ) ( )
22
4 4 1 4 4 1 34x x y y− + + − + =
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 5 169x xy y− + =
HD:
( )
2
2
2 169x y y− + =
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
5 2 4 3 0x y y xy+ + − − =
HD:
( ) ( )
22
2 1 4x y y− + + =
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
22
13 6 100x y xy+ − =
HD:
( )
2
2
3 4 100x y y− + =
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
6 2 3
2 2 64x y x y+ − =
HD:
( )
2
2
64t t y+ − =
nếu đặt
3
xt=
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
11
4xy
xy
+ + + =
HD:
2
2
11
4xy
xy


− + − =





Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
( )( )
2 2 2 2
14x x y x y+ + =
HD:
( )
( )
2
2
4 2 2 2 2 2 2 2
4 1 0x x y x y x y x y x y+ + + = = − + − =
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::
22
2 2 2 6 5 0x y xy y x+ − + − + =
HD :
( )
2 2 2
2 6 2 5 0x xy y x y x− + − + + + =
=>
( ) ( )
2
2
2 4 5 0x y x y x x− − − − + + =
=>
( ) ( )
22
1 2 0x y x− − + − =
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 2 4 2 0x y x y+ − − + =
HD:
( ) ( )
22
2 1 4 4 1 0x x y y− + + − + =
rang 3
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2
4 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + =
HD:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 4 2 6 10 34 0x x y z y yz z y y z z− + + + + + − + − + =
=>
( )
( ) ( )
2
22
2 6 9 10 25 0x x y y y z z− − + − + + − + =
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
8x y x y+ − − =
HD:
( ) ( )
22
22
1 1 17
2 1 2 1 34
4 4 2
x x y y x y
− + + − + = = − + − =
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
9 13 20m n m n+ = + −
HD:
Nhân 4
( ) ( )
22
4 36 81 4 52 169 170m m n n− + + − + =
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
6 13 100x xy y− + =
HD:
22
( 3 ) 4(25 )x y y− = −
, mà
22
25,yy
là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
4 5 16 0x xy y− + − =
HD :
Ta có phương trình trở thành :
22
4 5 16 0x xy y− + − =
=>
( )
2
2 2 2 2
4 4 16 2 16x xy y y x y y− + + = = − + =
, Vì x,y là số nguyên nên
( )
2x y Z−
=>
( )
2
2
2 16 0 16 16 0x y y− + = = + = +
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
3 2 4x y z xy y z+ + + + −
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên:
( )
22
2
2 2 2
3 2 4 3 1 1 0
22
yy
x y z xy y z x z
+ + + + − = − + − + −
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
22
10 20 24 8 24 51 0x y xy x y+ + + − +
HD:
Biến đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 4 2 6 1 0x y x y+ + + + − −
khi
3 4 0, 4 0,2 6 0x y x y+ = + = − =
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
22
8 3 18x y x y+ − + = −
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:
5
29 30 10x x y+ − =
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn:
( )
22
1 1567y x x+ = +
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết:
2
3 3 7 0x xy x y+ − − + =
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn :
22
6 2 2 32 46 0x y xy x y+ + + + + =
HD:
rang 4
Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 2 2 0x y xy y+ + + − =
HD :
Ta có :
22
2 2 2 0x yx y y= + + + − =
Có
( )
2 2 2
' 2 2 2y y y y y = − + − = − − +
, Để phương trình có nghiệm thì :
2
1 9 3 1 3
' 0 2 1
2 4 2 2 2
y y y

= + = − + = −


Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
3 2 2 3 2 0x y x y y+ − + − + =
HD :
Có
2
' 1 4y = −
, để phương trình có nghiệm thì
2
1
' 0 0 1, 2
4
y y x x = = = = = − = −
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 4 4 2 5 0x y xy x y+ + + + + =
HD :
Xét :
( )( )
2
4 0 2 2 0
yy
x x x x = − = = − + = =
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 4 6 3 4 0x y x y+ + + − =
HD :
( ) ( )
22
3 6 4 3 4x x y y= + + + =
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
5 5 2 0x y x y− + + + =
HD :
Theo vi- ét ta có :
( )( ) ( ) ( )
12
12
12
5
5 5 2 1.2 1 . 2
. 5 2
x x y
xx
x x y
+ = +
= − − = = = − −
=+
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 0x y xy x y+ + − − + =
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
( )
( )
22
3 1 3 0x y x y y= + − + − + =
, có :
2
2 11yy = − −
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là
là số chính phương
=>
( )
22
2 11 5, 3y y k k Z y y− − = = = = −
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x y xy x y+ + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
22
10x y x y y− + + − =
, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
( ) ( )
22
2
0 3 6 1 0 3 1 4 1 1y y y y = − − = − = −
Từ đó ta có :
0,1,2y =
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 0x y xy x y+ + − − + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
22
3 1 2 3 0x y x y y+ − + − + =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )
( )
3
22
x y x y x y+ + = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( )
2 2 2
2 3 3 0y y x x y x x

+ − + + =

rang 5
TH1 : y=0 => ...
TH2 :
( ) ( )
2 2 2
0 2 3 3 0y y x x y x x = + − + + =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
( ) ( )
2
0 1 8x x x = + −
phải là 1 số chính phương
=>
( ) ( ) ( )( )
2
8 4 4 16x x a a N x a x a− = = − − − + =
=> Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
( )
22
73x y x xy y+ = − +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
3 3 7 3 7 0x y x y y− + + − =
Để phương trình có nghiệm thì
phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
12 6 3 28x xy y x y+ + = +
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
14 14 196
9 3 28 3
3 3 3
x x y x y x y

= − + + + = − + −


=>
22
7 0;1;4xx =
Cách 2 : Tính
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2x xy y x y+ + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
20x y x y y+ − + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x xy y x y+ + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
22
10x y x y y+ − + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 3 3x xy y y− + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
22
3 3 3 0x yx y y− + − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 5 1x xy y y− + = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
22
2 5 1 0x yx y y− + − − =
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
0
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
( )
22
73x y x xy y+ = − +
HD :
Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x:
( )
22
3 3 7 3 7 0x y x y y− + + − =
(1)
Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức
phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
x y xy x y+ + = +
HD:
( )
( )
2 2 2 2
10x y xy x y x y x y y+ + = + = − + + − =
, Coi PT là ẩn x với tham số y
Ta có :
( )
( ) ( )
2
22
1 4 3 6 1y y y y y = + − − = − − +
, để PT có nghiệm thì
2
0 3 6 1 0yy = − +
( )
2
3 1 4y= −
Vì
0;1;2y Z y =
rang 6
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2
1
1
xx
y
xx
−+
=
++
HD :
Đưa phương trình trở thành :
( ) ( )
2
1 1 1 0y x y x y− + + + − =
TH1 : y=1=> x=0
TH2 :
1
1 0 3 0;1;2;3
3
x
y y y = = =
rang 7
Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp:
“ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương,
Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” .
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
2 3 3 3 15x y xy x y+ + + + =
HD:
Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y:
( )
22
3 1 2 5 15x x y y y+ + + + =
Tìm m để PT:
( )
22
3 1 2 5 15x x y y y m m+ + + + + = +
có
là số chính phương (1)
Ta có:
( )
( )
2
22
9 1 4 2 5 2 9 4y y y m y y m = + − + + = − + −
Chọn
( )
2
21my= = = −
, Khi đó (1) trở thành:
( ) ( )( )
22
3 1 2 5 2 17 2 2 1 17x x y y y x y x y+ + + + + = = + + + + =
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
41x x y+ − =
HD :
( )
( ) ( )( )
2
2 2 2
4 4 5 2 5 2 2 5+ + − = = + − = = + + + − =x x y x y x y x y
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
26x y xy− + =
HD:
Ta có:
( ) ( )
1 11
1 2 6 1 2
22
x y y x y y= + − = = + − − =
( ) ( ) ( )( )
2 1 2 2 1 11 2 1 2 1 11x y y x y+ − + = = − + =
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
3 11x xy y+ + =
HD :
22
22
2
23
2 . 3 11 2
2 4 4 2 2
y y y x y y
x x y
+−
+ + − − = = − =
( ) ( )
22
2 3 8x y y+ − − =
( )( )
2 3 2 3 8x y y x y y= + + − + − + =
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
9x xy y+ + =
HD:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
( )( )
1 1 10xy+ + =
Vì
( ) ( )
, 1 , 1 1 1; 2: 5: 10x y Z x y Z x = + + = +
, Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
25 6x y y− = +
HD :
( ) ( )
2 2 2 2
6 25 6 9 16x y y x y y− + = = − + + =
=>
( 3)( 3) 16x y x y+ + − − =
mà
3 3 2x y x y x− − + + + =
là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 2 3x x x x y+ + + =
HD :
( )( )
( )( )
2 2 2
3 3 2 1 1 1x x x x y a y a y+ + + = = + + + − =
với
2
3a x x=+
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
1999xy−=
HD:
rang 8
( )( )
1999x y x y− + =
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2x y xy+=
HD:
22
2
2 . 2. .2 4 4
2 4 4 2
y y y y
xx
− + − + + = −
=>
( )( )
2 2 2 16x y x− − + = −
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
62x y xy− = −
HD :
( )
1 11
2 6 2 1
22
xy x y x y y+ − = = + − − =
( ) ( ) ( )( )
2 2 1 2 1 11 2 1 2 1 11x y y x y+ − + = = − + =
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 2 2 2
2x y x y+=
HD:
( )
2 2 2 2 2 2 2
11
2 0 2 1
22
x y x y x y y− − = = − − + =
=>
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1x y y x y− − − = = − − =
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
4xy x y=+
HD :
( )
4 4 0 4 4 16 16xy x y x y y− − = = − − + =
( ) ( ) ( )( )
4 4 4 16 4 4 16x y y x y= − − − = = − − =
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 7 8x x x x y− − − =
HD:
( )( )
( )
2 2 2 2
8 8 7 7x x x x y a a y− − + = = + =
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
( )( )( )
2
178y x x x x= + + +
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
2 2 2
8 8 7y x x x x= + + +
Đặt:
( ) ( )( )
2
2 2 2 2
8 7 4 2 7 49 2 2 7 2 2 7 49z x x y z z y z z y z y= + = = + = = + − = − + + + =
Ta có các TH sau:
TH1:
2 2 7 1 12
2 2 7 49 9
z y y
z y z

− + = =
=

+ + = =

TH2:
2 2 7 49 12
2 2 7 1 9
z y y
z y z

− + = = −
=

+ + = =

Cả hai TH trên đều có
2
1
9 8 9
9
x
z x x
x
=
= = + = =
=−
TH3:
2 2 7 1 12
2 2 7 49 16
z y y
z y z

− + = − = −
=

+ + = − = −

TH4:
2 2 7 49 12
2 2 7 1 16
z y y
z y z

− + = − =
=

+ + = − = −

TH5:
2 2 7 2 2 7 7 0z y z y y z− + = + + = = = =
TH6:
2 2 7 2 2 7 7z y z y− + = + + = −
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
8 116x x y− = −
HD:
( ) ( )( )
2
2 2 2
8 16 110 4 110 4 4 110− + − = − = − − = − = − − − + = −x x y x y x y x y
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 5 3xy x y+ − = −
HD:
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 5 15 18 3 5 3 18 3 5 18+ − − = − = + − + = − = + − = −x y y x y y y x
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 2 3
6 3 10 2x y x y+ − =
rang 9
HD:
( )
2 3 3
3 2 1 10 5 2x y y+ − − =
=>
( ) ( ) ( )( )
2 3 3 3 2
3 2 1 5 2 1 2 2 1 3 5 2+ − + = = + − =x y y y x
Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 3 3 2 2 0x y xy x y+ + + + + =
HD:
( )
( ) ( )
22
22
3 2 3 2
2. . 3 2 2 3 2 0
2 4 4
xx
y
y x x x
++
+ + + + − + + =




=>
2
22
3 2 8 9 12 4 12 8
0
24
x x x x x
y
+ − − − + +

+ + =


=>
( )
2
2
2 3 2 4y x x+ + − = −
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
42
1
xy
+=
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 4 2 0 4 2 8 8 4 2 4 8+ = = − − = = − − + = = − − − =y x xy y x x y x x y x x
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên :
1 1 1
3xy
+=
HD:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 0 3 3 9 9 3 3 3 9 + = − − = = − − + = = − − − =x y xy x y y x y y x y y
Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2xy x y− − =
HD:
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 1 1 3 1 1 3x y y x y y x y= − − + = = − − − = = − − =
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên :
9x xy y+ + =
HD:
( ) ( )( )
1 1 10 1 1 10x y y x y+ + + = = + + =
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 11x x y− − =
HD :
( )
( )
2
2 2 2
2 1 12 1 12x x y x y= − + − = = − − =
=
( )( )
1 1 12x y x y− − − + =
Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên :
1 1 1 1
66x y xy
+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( )
6 1 6 6 1 6 6 36 37x y xy xy x y x y y= + + = = − − = = − − + =
=
( ) ( ) ( )( )
6 6 6 37 6 6 37x y y x y− − − = = − − =
Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 19 0x xy x y− − + + =
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 4 19 0 2 1 4 2 17x x y x y x x y x x= − − − − + = = − − − + = −
=
( )( ) ( ) ( )( )
2 1 2 2 1 17 2 1 2 17x y x x x x y− − − − = − = − − − = −
Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2 11x x y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( )( )
2
2
1 12 1 1 12x y x y x y− − = = − + − − =
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 27xy x y− + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 2 21xy+ − =
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
3 38x y y+ − =
rang 10
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
1 3 35xy− + =
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 17xy x y+ + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 1 3 1 52xy+ + =
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
1x x xy y+ + = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
1 2 3x y x− − − =
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 2 2 2
82x y x y xy− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
22
7y x x y− = +
Phương trình có nghiệm
0xy==
, xét x, y # 0 =>
2
7x −
là 1 số chính phương
Đặt :
( )( )
22
77x a x a x a− = = − + = =
Tìm x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0;0 , 4; 1 , 4;2 , 4;1 , 4; 2− − − −
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên :
9x xy y+ + =
HD :
Đưa phương trình vê dạng :
( )( )
1 1 10xy+ + =
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )( )( )
2
1 7 8y x x x x= + + +
HD :
Đưa phương trình thành :
( )( )
( )
2
2 2 2 2 2
8 8 7 7 4 2 7 49y x x x x z z y z= + + + = + = = + −
=>
( )( )
49 2 2 7 2 2 7z y z y= − + + +
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
41xy−=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
2 2 1x y x y− + =
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
91xy−=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
91x y x y− + =
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên :
3
27x xy+=
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
27x x y+=
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên :
33
77x y y x+ = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( )
( )
( )
3 3 2 2
7 7 0 7 0x y x y x y x xy y x y− − − = = − + + − − =
( )
( )
22
70x y x xy y= − + + − =
TH1 :
xy=
TH2 :
( )
2
22
12
7
7 7 3
21
3
xy
x xy y x y xy xy
xy
= = =
+ + = = − = − = =
= = =
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3 10 8 96x xy y+ + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
2 3 4 96x y x y+ + =
Chú ý : Vì
( ) ( ) ( )
2 3 4 2 2 3x y x y x y+ + + = +
là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
rang 11
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 5 3xy x y+ − = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )
3 5 15 18 3 5 3 18x y y x y y+ − − = − = + − + = −
( )( )
5 3 18xy= − + = −
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 5 19x xy x y− − + = −
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )( )
2 5 19 2 5 19x x y x y x x y− − − = − = − − = −
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên :
4 11 4x y xy+=
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
4 11 1 1xy− − =
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
656 657 1983x xy y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
567 1983x y x y+ − =
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên :
7 3 0x xy y− − =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )( )
3 7 21xy+ − =
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
1 1576y x x+ = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
1 1 1577 19.83x y x+ − + = =
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
2003 2004 2004 2005x x y y xy xy+ + + = + +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( )
( )
2
1 2004 2004 1x x y y− + − − =
Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:
32
2 2 5 1 0x y xy− + + =
HD :
Bài 46: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 4 9xy x y− − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( )( )
3 4 12 21 4 3 21x y y x y− − + = = − − =
Bài 47: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2 5 6xy x y− = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2 6 5 2 3 3 8xy x y x y y− − = = − − + =
( )( )
3 2 1 8yx− − =
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2 2 2
2 1 2xy x y x y xy+ + + = + +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 1xy y xy y x x− − − − − = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
2 1 1 1 1 1 2 1y x y x x x x y y x= − − − − − = − = − − − = −
Bài 49: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
22
2003xy−=
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
2003x y x y− + =
Bài 50: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
x y xy+=
rang 12
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )( )
1 1 1xy− − =
Bài 51: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
1xy x y+ = +
HD:
Biến dổi phương trình thành:
( )( )
1 1 0xy− − =
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình :
22
12 1995y x x= + +
HD:
Biến đổi thành:
( )
2
2
6 1959 1959 45y x y= + + =
Lại có:
( ) ( )( )
2
2
1959 6 6 6x y x y x y− = + − = + + − +
, Với
52xy+
và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
( )
2
25 6x y y− = +
HD:
( ) ( ) ( )( )
2
22
25 6 3 16 3 3 16x y y x y x y x y− = + = − + = = + + − − =
Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
2 6 7 25x y xy x y+ + − − =
HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
22
9 10 9 3 5 9x y xy x y− − + − =
HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2 2 2
82x y x y xy− − =
HD:
Viết lại PT đã cho dưới dạng:
( )
( )
2
22
7y x x y− = +
(1)
Dễ thấy PT có nghiệm
0xy==
,
Xét
2
, 0,(1) 7x y x = −
là số chính phương, Đặt
( )( )
22
77x a x a x a x− = = − + = =
Tìm được x, y là
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0;0 , 4; 1 , 4;2 , 4 :1 , 4; 2− − − −
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
22
2 6 7 25x y xy x y+ + − − =
HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
22
9 10 9 3 5 9x y xy x y− − + − =
HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
33
3 3 17x y xy x y+ − − =
HD :
Ta có:
( )
( )
3 3 2 2
3 3 17 3 17x y xy x y x y xy+ − − = = + − =
Do x,y nguyên dương nên:
22
1xy+
( ) ( )
22
22
17
2 17 25
31
44
xy
x y xy x y
xy
xy xy

+=
+ − = + =

= = =
−=
==


TH1 :
54
41
x y x
xy y

+ = =
=

==

hoặc
1
4
x
y
=
=
TH2 :
54
41
x y x
cy y

+ = − = −
=

= = −

hoặc
1
4
x
y
=−
=−
rang 13
DẠNG 6: ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Nhận dạng :
“ Phương trình có 1 ẩn có cùng 1 bậc, khi đó rút ẩn đó theo ẩn kia ” .
Phương pháp :
“ Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. ”
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
3 9 2x x xy y− + = − +
HD :
Phương trình tương đương với :
( )
2
2
39
2 3 9 ,
2
−+
− = − + = =
−
xx
y x x x y
x
Với
2x =
không phải là nghiệm khi đó ta có :
2
39
2
xx
y
x
−+
=
−
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
24x y y x+ = +
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
4
24
2
x
y x x y
x
+
+ = + = =
+
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 1 0x y y x+ − + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
21
2 2 1
2
x
y x x y
x
−
+ = − = =
+
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
32
3 2 5 0x x y x y− + − − =
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :
( )
3 2 2
3 5 2 2x x x y y y x+ − = + = +
3
2
35
2
xx
y
x
+−
= =
+
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :
32
2
2 7 7
3
x x x
A
x
− + −
=
+
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
22
2
41
2 4 1 3 4 1 4 1 3
3
x
A x x x x x x
x
−
= − + = − + = − + +
+
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
( )
7 1 3 2x y xy− + =
HD :
ta có :
( ) ( )
7 7 3 2 7 1 2 3 2 3x y xy x xy y y x− + = = − = − = −
77
23
x
y
x
−
= =
−
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
10x y xy y x+ + − − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
1
11
1
x
y x x x y
xx
+
+ + = + = =
++
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
2 2 1 0x y x y− + + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
21
2 2 1
2
x
y x x y
x
−
+ = − = =
+
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 2 2
2 3 7 7 0x x y x y x− − − − − =
HD :
Biến đổi phương trình trở thành :
rang 14
( )
3 2 2 2
2 7 7 3 3x x x x y y y x− − − = + = +
32
2
2 7 7
3
x x x
y
x
− − −
= =
+
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 4 16x y xy+ − =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
3 4 16 3 4 12 4xy x y x y y− − = − = − − + = −
( ) ( ) ( )( )
3 4 3 4 3 4 4x y y y x− − − = − = − − = −
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
( )
22
21y x x+ + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
22
22
11
22
xx
yy
xx
−−
+ = = = −
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
2 1 3 15x xy x y+ + + + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
2
2
14
1 15 2 3
23
xx
x x y x y
x
+−
+ + − = − + = − =
+
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2
5 25 8 3x y xy+ = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
22
3 5 8 25 3 5 8 25xy x y x y y+ = − = + = −
=>
2
8 25
35
y
x
y
−
=
+
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
22
21y x y+ + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2
2
1
2
y
x
y
−
=
+
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
5 3 2 11x y xy− = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )
11 3
2 5 3 11 2 5 11 3
25
y
xy x y x y y x
y
−
− + = = − = − = =
−
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 1 0xy x y− − + =
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
5
2
3
y
x
=+
−
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
12− = +y x x
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
3
1
1
yx
x
= + +
−
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 5 39x y xy− + =
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 39
2 39 3 5
35
−
= = − −
−
x
y x x
x
( ) ( )
22
2 39 3 5xx= − −
12 6= − x
thay vào tìm y
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
5 3 2 11x y xy− = −
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :
rang 15
( ) ( )
22
5
2 5 2 3 5 2 3
23
x
y x x x x
x
+
= + = + + = + +
+
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên dương sao cho A có giá trị nguyên :
2
1
1
xx
A
xy
++
=
−
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( )( )
1
1 1 1 1 1 3
1
xy
yA x x y xy x y
xy
++
= + + = + + − = − −
−
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x, y, z biết :
( ) ( )
21y z x yz+ = −
HD :
Biến đổi phương trình thành :
22
2 2 1 1 2 2 0
1
yz
x y z yz yz y z
yz
+
= = + − = − − −
−
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :
2
2
2
a
A
ab
−
=
+
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( ) ( )
22
22
2 2 2 2
2 2 2
a ab a b
a b b a b a a b
bA
ab ab ab
+ − +
− + − −
== = =
+ + +
( )
2
2
ab
bA a
ab
+
= = −
+
, Để A có giá trị nguyên thì :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2a b ab a b k ab+ + = + = +
Chứng minh:
1 5, 3k a b= = = =
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
HD:
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông
( )
1 x y z
Ta có:
2 2 2
x y z+=
và
( )
2xy x y z= + +
(2)
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
22
2
24z x y xy x y x y z= + − = + − + +
( ) ( )
2
2
4 4 4 4x y x y z z= + − + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2= + − = + = + − = +x y z x y z
Thay
4z x y= + −
vào (2) ta được: Còn
z x y= − −
(loại)
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
5 3 2 11x y xy− = −
HD:
Đưa phương trình thành:
( )
5 11 5
2 2 5 2 3 7 2 3
2 3 2 3
xx
y x x x
xx
++
= = + = + + = +
++
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
( )
2
12y x x− = +
HD:
Biến đôi phương trình thành:
2
23
1
11
x
yx
xx
+
= = + +
−−
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2
6 5 8x xy x y− = − −
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( )
2
6 8 3
1
55
xx
yx
xx
−+
= = − +
−−
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2 3 1 0xy x y− − + =
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2 1 5
2
33
x
y
xx
−
= = +
−−
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
2
2017 2018 6051 0x xy x y+ − − − =
rang 16
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên :
33
8x y xy− = +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
38x y xy x y xy− + − = +
Đặt :
( )
3
33
8
3 8 8 3 1
31
x y a
a
ft a ab b a b a b
xy b
a
−=
−
= = + = + = − = − − = − =
=
−
( )
( )
33
27 8 3 1 27 1 215 3 1 3 1 215a a a a a U− − = − − − = −
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 243 0xy xy y x+ − + =
HD :
Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )
22
1 243 1 243x y y y U+ = = +
=>
( ) ( ) ( )
; 54;2 ; 24;8xy =
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên :
2
2 2 5 19x xy x y− = − −
HD :
Đưa phương trình về :
( )
2
2
2 5 19
2 5 19 2 1
21
xx
x x y x y
x
−+
− + = − = =
−
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
( )
2
12y x x− = +
HD :
Đưa phương trình về dạng :
3
1
1
yx
x
= + +
−
rang 17
DẠNG 7: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :
4 2 2
1x x y+ + =
HD:
Ta có:
( )
2
2 2 4 2 4 2
1 1 0 1x y x x x x+ = = + + =
(1)
Mặt khác
( ) ( )
22
2 4 2 2 2 2 2
2 1 1 1y x x x x x x= + + − = + − +
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
11x y x y x + = = +
4 2 4 2 2
1
1 2 1 0 1
1
y
x x x x x y
y
=
= + + = + + = = = = =
=−
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
4 4 2
31x y y− = +
HD :
Ta có :
( ) ( )
22
4 4 2 4 2 2 2 2 2
3 1 2 1 1 1x y y y y y y y y= + + = + + + = + + +
Mặt khác :
( ) ( ) ( )
22
4 4 2 4 2 2 2 2 2
3 1 4 4 3 2 3 2x y y y y y y y y= + + = + + − − = + − + +
Khi đó :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 2 4 2
1 2 1y x y x y+ + = = +
4 4 2 4 2 4 2
2 1 3 1 2 1 0, 1x y y y y y y y x= + + = + + = + + = = =
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
3 3 2
2 3 1 0x y y y− − − − =
HD :
Ta có :
( )
( )
3
3 3 2 3 2 2
2 3 1 3 3 1 1x y y y y y y y y= + + + = + + + − +
(1)
mặt khác :
( )
( )
3
3 3 2 3 2 2
2 3 1 3 3 1 5 2 1x y y y y y y y y= + + + = − + − + + −
Khi đó :
( ) ( )
33
3
11y x y− +
TH1 :
33
1
1
1
()
2
y
x y x
yl
=−
= = = = −
=−
TH2 :
( )
3
32
1 0 1x y y x= + = = = =
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
2 3 3
1 x x x y+ + + =
HD :
Ta có :
( )
2
2 3 2 3 3
1 3 3
1 0 1
2 4 4
x x x y x x x x

+ + = + + = = + + +


Mặt khác :
( )
( )
( )
23
3 3 2 2 2
3 12 8 5 11 7 2 5 11 7 2y x x x x x x x x x= + + + − − − = + − + + +
Khi đó :
( ) ( )
33
3 3 3
01
21
10
xy
x y x y x
xy
==

+ = = + = =

= − =

Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :
432
2 2 3x x x x+ + + +
HD :
Đặt
4 3 2 2
2 2 3x x x x y+ + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2
2 3 3x x x x x x x x x y= + + + + + = + + + + =
( )
2
22
y x x= +
(1)
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
22
2 2 2
2x x y x x+ + +
Thật vậy :
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
30y x x x x y x x− + = + + = +
rang 18
( )
2
2 2 2
2 3 3 1 0y x x x x= + + = + +
( )
2
2 2 2
1
1 2 0
2
x
y x x x x
x
=
= + + = + − = =
=−
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
4 3 2 2
4 7 6 4x x x x y+ + + + =
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2 2
4 4 3 6 4 2 2 2 1 2 3x x x x x y x x x x x x+ + + + + = + + + + + + +
( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 3y x x x x= + + + + +
Ta cần chứng minh:
( )
2
22
23y x x + +
Khi đó:
4 3 2 4 2 3 2
4 7 6 4 4 9 4 12 6x x x x x x x x x+ + + + + + + + +
Vậy
( ) ( )
22
2 2 2
2 1 2 3x x y x x+ + + +
( )
2
22
22y x x= = + +
hoặc
( )
2
22
23y x x= + +
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của
4
p
là số chính phương
HD:
Ta có:
( ) ( )
22
2 3 4 2 2 2 2
1 2 4 2 2p p p p m p p m p p+ + + + = = + + +
=>
( )
2
22
4 2 1 3m p p p= + + = =
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2 2 3 4
1y x x x x= + + + +
HD :
Với x = 0 => y = 1 hoặc y = -1
Với x # 0=>
( ) ( )
22
2 2 2 2
4 2 2 5 2 2y x x x x x= + + − + +
( ) ( )
22
2 2 2
2 4 2 2 3, 1x x y x x x x= + + + = = = −
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
3 2 3
1y x x x= + + +
HD :
Từ phương trình ta có :
( ) ( )
33
3 3 3
21x y x y x + = = +
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho
( ) ( )
12x x k k+ = +
HD :
Ta có :
( )
2
2 2 2
2 1 1x x k k x x k+ = + = + + = +
Do
( )
2
22
0 1 1x x x x k = + + = +
(1)
và
( ) ( )
22
22
0 1 1 2 1 1x k x x x x x = + = + + + + = +
(2)
=>
( ) ( )
22
2
11x k x + +
Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương :
432
2 2 3x x x x+ + + +
HD :
Đặt
( ) ( )
2
4 3 2 2 2 2 2
2 2 3 3x x x x y y x x x x+ + + + = = = + + + +
Ta cần chứng minh :
( )
2
22
2a y a +
với
2
a x x=+
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho
2
xy+
và
2
yx+
đều là số chính
phương
HD :
Giả sử : y < x, Ta có :
( )
2
2 2 2
1x x y x x x + + +
rang 19
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương:
432
1x x x x+ + + +
HD :
Giả sử :
4 3 2 2 2 4 3 2
1 4 4 4 4 4 4+ + + + = = = + + + +x x x x y y x x x x
Ta có :
( )
( )
( )
( )
22
22
4 3 2 2 2 2
2 4 4 4 4 4 2 2 2 2y x x x x x x x x x x= + + + + = + + + + +
(1)
Mặt khác :
( )
2
4 3 2 4 3 2 2
4 4 4 4 4 4 4 9 4 4 2 2x x x x x x x x x x+ + + + + + + + = + +
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 1x x y x x y x x+ + + = = + +
4 3 2 4 3 2 2
4 4 4 4 4 4 4 5 2 1 2 3 0x x x x x x x x x x= + + + + = + + + + = − − =
1
3
x
x
=−
=
=
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên:
33
3y x x−=
HD:
Biến đổi thành:
( ) ( )
33
3
11x y x− +
, Nên
yx=
thay vào PT ta được: x=0
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 4 3 2
y y x x x x+ = + + +
HD:
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên:
3 3 2
2 3 1 0x y y y− − − − =
HD:
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên:
4 4 4 2 2 2 2
2 3 4 1 0x y z x z x z− + + + + + =
HD:
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên:
4 2 2
10 0x x y y+ − + + =
HD:
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên:
( )
4
43
2x x y− − =
HD:
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên:
33
21y x x= + +
HD:
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên:
6 3 4 2
4 4 2 3 6x y y y y− − = + +
HD:
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên:
( ) ( )
42
42
11x x y y+ + = + +
HD:
Bài 48: Tìm các số nguyên x, y không âm sao cho:
22
1x y y= + +
HD:
Nếu
01yx= = =
Nếu
1y
từ PT ta suy ra:
1y x y +
, vô lý.
rang 20
DẠNG 8: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
1x y xyz+ + =
HD :
Giả sử :
xy
TH1 :
( )
2
2 1 2 1 1, 3x y x x z x xz x y z= = + = = − = = = = =
TH2 :
2 1 2 2 1, 2, 2x y xyz y xyz y xz x y z = + = = = = = =
hoặc
2, 2, 1x y z= = =
Bài 2: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
x y z xyz+ + =
, Giả sử :
1 3 3 1;2;3x y z xyz x y z z xy xy = = + + = =
Với
1 1, 1xy x y= = = =
Với
2 1, 2xy x y= = = =
Với
3 1, 3xy x y= = = =
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau:
x y z xyz+ + =
HD:
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên Giả sử:
33x y z x x y z xyz yz = + + = =
Nếu
0 0 0z x y x y= = + = = = =
(thỏa mãn )
Nếu
0z x y z =
, Do
3yz
nên ta có các TH sau:
TH1:
12y z x x= = = + =
Vô nghiệm
TH2:
2, 1 3 2 3y z x x x= = = + = = =
TH3:
3, 1 4 3 2y z x x x y= = = + = = =
loại
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm là hoán vị của cặp nghiệm trên
Bài 4: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là :
, , ,x y z t x y z t xyzt= + + + =
Giả sử :
1 4 4 1;2;3;4t z y x xyzt x y z t t xyz xyz = = + + + = =
Xét các TH của xyz
Bài 5: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
HD :
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :
( )
2xyz x y z= + +
Giả sử :
( )
2 2.3 6 6x y z xyz x y z z z xy = = + + = =
Xét các TH của xy
Bài 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
( )
4xyz x y z= + +
HD :
Giả sử :
( )
2
4 12 12 12 1;2;3x y z xyz x y z x yz z z = = + + = = =
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
( )
5 10 2x y z t xyzt+ + + + =
HD :
Giả sử :
( )
3
2 5 10 20 10 15 15 2x y z t xyzt x y z t x yzt t t = = + + + + + = = =
Với
( )
2
1 2 5 15 15 15 2 30 2 30 3t xyz x y z x yz z z= = = + + + + = = =
TH1 :
( ) ( ) ( )( )
1 2 5 20 4 10 40 2 5 2 5 65z xy x y xy x y x y= = = + + = = + + = − − =
Giải các TH và với t=2
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
( )
57x y z t xyzt+ + + + =
HD:

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a (a + ) 2 1 = k Phương pháp:
“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + x − y = 0 HD: x = 0 x ( x + ) 2 1 = y =>  x +1 = 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2
x + y + 3xy = x y HD: (x + y)2 2 2
= x y − xy = xy (xy − ) 1
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − y − x + 2y = 1 HD:
x − x = y − y + = ( y − )2 2 2 2 1 1 = x ( x − ) 1
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2
x + xy + y = x y HD: ( xy = 0 x + y)2 2 2
= x y + xy = xy (xy + ) 1 =  xy +1 = 0
Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN 1 10
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: x + = (*) 1 7 y + z HD: 10 1 7  7
Từ(*) ta thấy : x = 
thay vào (*) ta được : y + = = y = = 2 = z = 3 7      z 3  3 Bài 2: Tìm * , x , y ,
z t N thỏa mãn: 3 (
1 xyzt + xy + xt + zt + )
1 = 40(yzt + y + t) (*) HD:
xyzt + xy + xt + zt +1 40 zt +1 40 Từ (*) = = = x + = (1)
yzt + y + t 31
yzt + y + t 31  40
yzt + y + t 31 t 31 Từ (1) = x = = 1 
, Thay x = 1 vào (1) ta suy ra : = = y + = (2) 31   zt +1 9 zt +1 9 31 zt +1 9 1 9 Từ (2) = y = = 3 
thay y = 3 vào (2) ta được : = = z+ = (3) 9    t 4 t 4
Từ (3) = z = 2,t = 4 rang 1
Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp:
Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
4x + 8y + 8xy + 4y − 8 = 0 HD:
( x + y)2 +( y + )2 2 2 2 2 2 1 = 9 = 0 + 3
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + y − x − y = 8 HD: Nhân với 4 ta được: ( 2
x − x + ) + ( 2 4 4 1 4y − 4y + ) 1 = 34
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 4xy + 5y = 169 HD: (x − y)2 2 2 + y = 169
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + 5y + 2y − 4xy − 3 = 0 HD:
(x − y)2 +( y + )2 2 1 = 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 2
x +13y − 6xy = 100 HD: (x − y)2 2 3 + 4y = 100
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6 2 3
2x + y − 2x y = 64 HD:
t + (t − y)2 2 = 64 nếu đặt 3 x = t 1 1
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + + y + = 4 x y HD: 2 2  1   1  x − +    y −  = 4 xy     
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( 2 x + )( 2 2 x + y ) 2 1 = 4x y HD:
x + x y + x + y = x y = (x − y)2 + x ( y − )2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 = 0
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 2 2
2x + y − 2xy + 2y − 6x + 5 = 0 HD : ( 2 2
x − xy + y ) 2 2
− 6x + 2y + x + 5 = 0 => (x − y)2 − (x − y) 2 2
− 4x + x + 5 = 0
=> ( x − y − )2 + ( x − )2 1 2 = 0
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + 4y − 2x − 4y + 2 = 0
HD: ( 2x− x+ )+( 2 2 1 4y − 4y + ) 1 = 0 rang 2
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2
4x + 2y + 2z − 4xy − 4xz + 2yz − 6y −10z + 34 = 0 HD:
( x)2 − x( y + z)+( 2 2
y + yz + z ) + ( 2 y − y) + ( 2 2 4 2 6
z −10z) + 34 = 0
=> ( x − x − y)2 + ( 2
y − y + ) + ( 2 2 6 9
z −10z + 25) = 0
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + y − x − y = 8 HD:  1   1  17 x − x + + y − y + = =     (2x − )2 1 + (2y − )2 2 2 1 = 34  4   4  2
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
m + n = 9m +13n − 20 HD: Nhân 4 ( 2 m − m + )+( 2 4 36 81
4n − 52n +169) =170
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 6xy +13y = 100 HD: 2 2
(x − 3y) = 4(25 − y ) , mà 2 2
y  25, y là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0 HD :
Ta có phương trình trở thành : 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0
=> x − xy + y + y = = (x − y)2 2 2 2 2 4 4 16 2
+ y = 16 , Vì x,y là số nguyên nên (x − 2y) Z
=> ( x − y)2 2 2
+ y = 16 = 0 +16 = 16 + 0
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z xy + 3y + 2z− 4 HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên: 2 2  y   y
x + y + z xy + y + z− = x − + − +     (z− )2 2 2 2 3 2 4 3 1 1  0  2   2 
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 2 2
10x + 20y + 24xy + 8x − 24y + 51  0 HD:
Biến đổi: ( x + y)2 + ( x + )2 + ( y − )2 3 4 4 2
6 −1  0 khi 3x + 4y = 0, x + 4 = 0, 2 y − 6 = 0
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2
x + y − 8x + 3y = 1 − 8 HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 5
x + 29x − 30y = 10 HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: 2 y ( x + ) 2 1 = 1567 + x HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 2
x + xy − 3x − 3y + 7 = 0 HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : 2 2
x + 6y + 2xy + 2x + 32y + 46 = 0 HD: rang 3
Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2 y + 2xy + y − 2 = 0 HD : Ta có : 2 2
= x + 2yx + 2y + y − 2 = 0 Có 2  = y − ( 2 y + y − ) 2 ' 2
2 = − y − y + 2 , Để phương trình có nghiệm thì : 2  1  9 3 1 3  '  0 = y +
 = −  y +  = 2 −  y 1    2  4 2 2 2
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 x + ( − y) 2 3 2
x + 2y − 3y + 2 = 0 HD : 1 Có 2
 ' =1− 4y , để phương trình có nghiệm thì 2
 '  0 = y  = y = 0 = x = 1 − , x = 2 − 4
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x + y + 4xy + 4x + 2 y + 5 = 0 HD : Xét : 2
 = x − 4 =   0 = (x − 2)(x + 2)  0 = x =  y y
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x + 4 y + 6x + 3y − 4 = 0 HD : = ( 2 x + x) + ( 2 3 6 4y + 3y) = 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − ( y + 5) x + 5y + 2 = 0 HD : Theo vi- ét ta có :
x + x = y + 5 1 2 
= (x −5 x −5 = 2 =1.2 = 1 − . 2 − 1 )( 2 ) ( ) ( )
x .x = 5y + 2  1 2
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2 y + 3xy − x − y + 3 = 0 HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x 2
= x + ( y − ) x + ( 2 3 1
y − y + 3) = 0 , có : 2
 = y − 2y −11, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là  là số chính phương => 2 2
y − 2y −11 = k (k Z ) = y = 5, y = 3 −
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + y + xy = x + y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2
x − ( y + ) x + ( 2 1
y − y) = 0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
  = y − y −  = ( y − )2  = ( y − )2 2 0 3 6 1 0 3 1 4 1  1
Từ đó ta có : y = 0,1, 2
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2 y + 3xy − x − y + 3 = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : 2
x + ( y − ) x + ( 2 3 1
2y − y + 3) = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0 Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : ( + )( + ) = ( − )3 2 2 x y x y x y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 y y + 
( 2x − x) y +( 2 2 3 x + 3x ) = 0  rang 4 TH1 : y=0 => ... TH2 : 2
y  = y + ( 2
x − x) y + ( 2 0 2 3 x + 3x ) = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   = ( x + )2 0
1 x ( x −8) phải là 1 số chính phương
=> x ( x − ) 2
8 = a (a N ) = ( x − 4 − a)( x − 4 + a) =16 => Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : ( x + y) = ( 2 2 7
3 x − xy + y ) HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x − ( y + ) 2 3 3
7 x + 3y − 7 y = 0
Để phương trình có nghiệm thì  phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
12x + 6xy + 3y = 28( x + y) HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x : 2 2 14  14 196 9x = 3 − (x + y)2 2 + 28(x + y) =
− 3 (x + y) −  3  3    3 => 2 2
x  7 = x 0;1;  4 Cách 2 : Tính 
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + xy + y = 2x + y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x + ( y − ) 2
2 x + y − y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + xy + y = x + y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 x + ( y − ) 2
1 x + y − y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 3xy + 3y = 3y HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 2
x − 3yx + 3y − 3y = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − 2xy + 5y = y +1 HD :
Đưa phương trình về dạng : 2 2
x − 2yx + 5y − y −1 = 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là   0
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : (x + y) = ( 2 2 7
3 x − xy + y ) HD :
Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: 2 x − ( y + ) 2 3 3
7 x + 3y − 7y = 0 (1)
Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức  phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x + y + xy = x + y HD: 2 2 2
x + y + xy = x + y = x − (y + ) x + ( 2 1
y − y) = 0 , Coi PT là ẩn x với tham số y
Ta có :  = (y + )2 − ( 2
y − y) = −( 2 1 4 3y − 6y + )
1 , để PT có nghiệm thì 2
  0 = 3y − 6y +1 0 = (y− )2 3
1  4 Vì yZ = y0;1;  2 rang 5 2 x − x +1
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : y = 2 x + x +1 HD :
Đưa phương trình trở thành : ( y − ) 2 1 x + ( y + )
1 x + y −1 = 0 TH1 : y=1=> x=0 1
TH2 : y  1 =   0 =  y  3 = y x 0;1;2;  3 3 rang 6
Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp:
“ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương,
Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” .
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x + 2y + 3xy + 3x + 3y = 15 HD:
Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y: 2
x + x(y + ) 2 3
1 + 2y + 5y = 15 Tìm m để PT: 2
x + x(y + ) 2 3
1 + 2y + 5y + m = 15+ m có  là số chính phương (1)
Ta có:  = (y + )2 − ( 2 y + y + ) 2 9 1 4 2 5
m = y − 2y + 9− 4m
Chọn m = =  = (y − )2 2
1 , Khi đó (1) trở thành: 2
x + x(y + ) 2 3
1 + 2y + 5y + 2 = 17 = (x + y+ 2)(x + 2y+ ) 1 = 17
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 4x − y = 1
HD : (x + x+ )− y = =(x+ )2 2 2 2 4 4 5
2 − y = 5 = ( x + 2 + y)( x + 2 − y) = 5
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x − y + 2xy = 6 HD:
Ta có: = x ( + y) − y = = x( + y) 1 11 1 2 6 1 2 − y − = 2 2
2x (1+ 2y) − (2y + )
1 = 11 = (2x − ) 1 (2y + ) 1 = 11
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + xy + 3y = 11 HD : 2 2 2 2  y y   y   2x + y   y − 3 2   x + 2 . x +  −  − 3y  =11= − = 2      2 4   4   2   2 
( x + y)2 −( y − )2 2
3 = 8 = (2x + y + y − 3)(2x + y − y + 3) = 8
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 9 HD:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng: (x + ) 1 (y + ) 1 = 10 Vì ,
x yZ = (x + ) 1 ,(y + )
1  Z = x +11; 2  : 5  : 1   0 , Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − 25 = y ( y + 6) HD : 2 x − ( 2 y + y) 2 = = x − ( 2 6 25
y + 6y + 9) =16 => (x + y + 3)(x − y − 3) =16 mà
x − y − 3 + x + y + 3 = 2x là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x ( x + )( x + )( x + ) 2 1 2 3 = y
HD : ( 2x+ x)( 2x+ x+ ) 2 3 3
2 = y = (a +1+ y)(a +1− y) = 1 với 2
a = x + 3x
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − y = 1999 HD: rang 7
(x − y)(x + y) =1999
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + 2y = xy HD: 2 2  y y   y y  2  x − 2 . x +  −  + 2. .2 + 4 = 4
− => (x − 2y − 2)(x + 2) = 16 −  2 4   4 2 
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x − y = 6 − 2xy HD :
xy + x − y = = x ( y + ) 1 11 2 6 2 1 − y − = 2 2 2x (2y + ) 1 − (2y + )
1 = 11 = (2x − ) 1 (2y + ) 1 = 11
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 2
x + y = 2x y HD: 1 1 2 2 2 2 2
2x y − x − y = 0 = x ( 2 2y − ) 2 1 − y + = 2 2 => 2 x ( 2 y − ) −( 2 y − ) = = ( 2 x − )( 2 2 1 2 1 1 2 1 2y − ) 1 = 1
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy = 4( x + y) HD :
xy − 4x − 4y = 0 = x ( y − 4) − 4y +16 =16 = x( y − 4) − 4( y − 4) =16 = ( x − 4)( y − 4) =16
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x ( x − )( x − )( x − ) 2 1 7 8 = y HD:
( 2x − x)( 2x − x+ ) 2
= y = a (a + ) 2 8 8 7 7 = y
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
y = x(x + ) 1 (x + ) 7 (x + ) 8 HD:
Biến đổi phương trình thành: 2 y = ( 2 x + x)( 2 8 x + 8x + ) 7 2 Đặt: 2 2 2 2
z = x + 8x = y = z + 7z = 4y = (2z+ )
7 − 49 = (2z− 2y + ) 7 (2z+ 2y+ ) 7 = 49 Ta có các TH sau:
2z− 2y + 7 = 1 y = 12
2z− 2y + 7 = 49 y = 1 − 2 TH1:  =  TH2:  = 
2z+ 2y + 7 = 49 z = 9
2z+ 2y + 7 = 1 z = 9 x = 1 Cả hai TH trên đều có 2
z = 9 = x + 8x = 9 =  x = 9 − 
2z− 2y + 7 = 1 − y = 1 − 2
2z− 2y + 7 = 4 − 9 y = 12 TH3:  =  TH4:  = 
2z+ 2y + 7 = 4 − 9 z = 1 − 6
2z+ 2y + 7 = 1 − z = 1 − 6
TH5: 2z− 2y + 7 = 2z+ 2y + 7 = 7 = y = z = 0
TH6: 2z− 2y + 7 = 2z+ 2y + 7 = 7 −
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x ( x − ) 2 8 = y −116 HD: x − x + − y = − = (x − )2 2 2 2 8 16 110
4 − y = −110 = ( x − 4 − y)(x − 4 + y) = −110
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy + 3x − 5y = 3 − HD: x ( y + ) 3 − 5y −15 = 1
− 8 = x ( y + ) 3 − 5( y + ) 3 = 1
− 8 = ( y + 3)(x − 5) = 1 − 8
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 3 2 3
6x y + 3x −10y = 2 rang 8 HD: 2 x ( 3 y + ) 3 3 2
1 −10y − 5 = 2 => 2 x ( 3 y + ) − ( 3 y + ) = = ( 3 y + )( 2 3 2 1 5 2 1 2 2 1 3x − 5) = 2
Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
2x + y + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 HD: 2 2  y 3x + 2   3x + 2  2
y + 2. .(3x + 2) ( ) 2 ( ) +  +  2x − + 3x + 2 = 0 2 4  4        2 2 2  3x + 2 
8x − 9x −12x − 4 +12x + 8 => y + + = 0  
=> ( y + x + )2 2 2 3 2 − x = 4 −  2  4 4 2
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : + =1 x y HD:
4 y + 2x = xy = y (x − 4) − 2x = 0 = y (x − 4) − 2x + 8 = 8 = y (x − 4) − 2(x − 4) = 8 1 1 1
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên : + = x y 3 HD:
 3(x + y) = xy x ( y − )
3 − 3y = 0 = x ( y − )
3 − 3y + 9 = 9 = x ( y − 3) − 3( y − 3) = 9
Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − x − y = 2 HD:
= x( y − )
1 − y +1 = 3 = x ( y − ) 1 − ( y − ) 1 = 3 = (x − ) 1 ( y − ) 1 = 3
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : x + xy + y = 9 HD: x ( y + )
1 + y +1 = 10 = ( x + ) 1 ( y + ) 1 = 10
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 2x −11 = y HD :
= (x − x + ) − y = = (x − )2 2 2 2 2 1 12
1 − y = 12 = ( x −1− y)( x −1+ y) = 12 1 1 1 1
Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên : + + = x y 6xy 6 HD :
Ta có : = 6( x + y) +1 = xy = xy − 6x − 6y = 1= x( y − 6) − 6y + 36 = 37
= x( y − 6) − 6( y − 6) = 37 = (x − 6)( y − 6) = 37
Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy − 5x + y +19 = 0 HD :
Ta có : = 2x ( x − y) − ( x − y) − 4x +19 = 0 = ( x − y)(2x − ) 1 − 4x + 2 = −17
= (x − y)(2x − ) 1 − 2(2x − ) 1 = 17 − = (2x − )
1 ( x − y − 2) = 17 −
Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 2x −11 = y HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x − )2 2
1 − y = 12 = ( x −1+ y)( x −1− y) =12
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − 2x + 3y = 27 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x + 3)( y − 2) = 21
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên : x ( y + 3) − y = 38 rang 9 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x − ) 1 ( y + 3) = 35
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3xy + x + y = 17 HD :
Đưa phương trình về dạng : (3x + ) 1 (3y + ) 1 = 52
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x + x +1 = xy − y HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x − )
1 ( y − x − 2) = 3
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 2
x y − x − 8y = 2xy HD :
Đưa phương trình về dạng : y (x − ) = (x + y)2 2 2 7
Phương trình có nghiệm x = y = 0 , xét x, y # 0 => 2
x − 7 là 1 số chính phương Đặt : 2 2
x − 7 = a = ( x − a)( x + a) = 7 = Tìm x (0;0),(4;− )1,(4;2),( 4 − ) ;1 ,( 4 − ; 2 − )
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên : x + xy + y = 9 HD :
Đưa phương trình vê dạng : ( x + ) 1 ( y + ) 1 = 10
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
y = x ( x + )
1 ( x + 7)( x + 8) HD :
Đưa phương trình thành : y = (x + x)(x + x + ) = z + z = y = ( z + )2 2 2 2 2 2 8 8 7 7 4 2 7 − 49
=> 49 = (2z − 2y + 7)(2z + 2y + 7)
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − 4 y = 1 HD :
Biến đổi phương trình thành : ( x − 2y)( x + 2y) =1
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x − y = 91 HD :
Biến đổi phương trình thành : ( x − y)( x + y) = 91
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 2x + xy = 7 HD :
Biến đổi phương trình thành : x ( 2 2x + y) = 7
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3
x + 7 y = y + 7x HD :
Biến đổi phương trình thành : 3 3
x − y − ( x − y) = = ( x − y)( 2 2 7 7 0
x + xy + y ) − 7(x − y) = 0
= (x − y)( 2 2
x + xy + y − 7) = 0 TH1 : x = y 7
x =1 = y = 2
TH2 : x + xy + y = 7 = (x − y)2 2 2
= 7 − 3xy = xy  = 3 
x = 2 = y =1
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
3x +10xy + 8y = 96 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x + 2y)(3x + 4y) = 96
Chú ý : Vì ( x + 2y) + (3x + 4y) = 2(2x + 3y) là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn rang 10
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy + 3x − 5y = 3 − HD :
Đưa phương trình về dạng : x ( y + 3) − 5y −15 = 18
− = x( y + 3) − 5( y + 3) = −18
= (x − 5)( y + 3) = 18 −
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy − 5x + 5y = 19 − HD :
Đưa phương trình về dạng : 2x ( x − y) − 5( x − y) = 19
− = (2x −5)(x − y) = 19 −
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên : 4x +11y = 4xy HD :
Đưa phương trình về dạng : (4x − ) 11 ( y − ) 1 = 1
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x − 656xy − 657 y = 1983 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x + y)( x − 567y) =1983
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên : 7x − xy − 3y = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x + 3)(7 − y) = 21
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 y ( x + ) 2 1 = 1576 + x HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x + )( 2 1 y − x + ) 1 = 1577 = 19.83
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + 2003x + 2004y + y = xy + 2004xy + 2005 HD :
Đưa phương trình về dạng : ( x − )( 2
1 x + 2004 − 2004y − y) =1
Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3 2
2x − 2y + 5xy +1 = 0 HD :
Bài 46: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy − 3x − 4y = 9 HD :
Biến đổi phương trình thành :
x ( y − 3) − 4y +12 = 21= ( x − 4)( y − 3) = 21
Bài 47: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2xy − 5 = 6x + y HD :
Biến đổi phương trình thành :
2xy − 6x − y = 5 = 2x ( y − 3) − y + 3 = 8
( y −3)(2x − ) 1 = 8
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 2
2xy + x + y +1 = x + 2y + xy HD :
Biến đổi phương trình thành : ( 2 2
xy − y ) −(xy − y) − ( 2 2 2 x − x) = 1 − 2
= y (x − ) − y(x − ) − x(x − ) = − = (x − )( 2 2 1 1 1 1
1 2y − y − x) = −1
Bài 49: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2 x − y = 2003 HD:
Biến đổi phương trình thành: ( x − y)( x + y) = 2003
Bài 50: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x + y = xy rang 11 HD:
Biến đổi phương trình thành: (x − ) 1 ( y − ) 1 = 1
Bài 51: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy +1 = x + y HD:
Biến dổi phương trình thành: ( x − ) 1 ( y − ) 1 = 0
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : 2 2
y = x +12x +1995 HD:
Biến đổi thành: y = ( x + )2 2
6 +1959  1959 = y  45 Lại có: − = (x + )2 2 1959
6 − y = ( x + y + 6)( x − y + 6) , Với x + y  52 và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2
x − 25 = y ( y + 6) HD: x −
= y ( y + ) = x − ( y + )2 2 2 25 6
3 = 16 = ( x + y + 3)( x − y − 3) = 16
Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
2x + 6y + 7xy − x − y = 25 HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
9x −10y − 9xy + 3x − 5y = 9 HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2
x y − x − 8y = 2xy HD:
Viết lại PT đã cho dưới dạng: y (x − ) = (x + y)2 2 2 7 (1)
Dễ thấy PT có nghiệm x = y = 0 , Xét 2 ,
x y  0,(1) = x − 7 là số chính phương, Đặt 2 2
x − 7 = a = (x − ) a (x + ) a = 7 = x Tìm được x, y là (0; ) 0 ,(4;− ) 1 ,(4; ) 2 ,( 4 − : ) 1 ,( 4 − ; 2 − )
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 2 2
2x + 6y + 7xy − x − y = 25 HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 2 2
9x −10y − 9xy + 3x − 5y = 9 HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3 3
x y + xy − 3x − 3y = 17 HD : Ta có: 3 3
x y + xy − x − y = = ( 2 2 3 3 17
x + y )(xy − ) 3 = 17 Do x,y nguyên dương nên: 2 2 x + y  1 x + y  =
(x + y)2 − xy  = (x + y)2 2 2 17 2 17 = 25 =  =  =  xy − 3 = 1 xy = 4 xy = 4 x + y = 5 x = 4 x = 1 x + y = 5 − x = 4 − x = 1 − TH1 :  =  hoặc  TH2 :  =  hoặc  xy = 4 y = 1 y = 4 cy = 4 y = 1 − y = 4 − rang 12
DẠNG 6: ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ Nhận dạng :
“ Phương trình có 1 ẩn có cùng 1 bậc, khi đó rút ẩn đó theo ẩn kia ” . Phương pháp :
“ Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. ”
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x − 3x + 9 = −xy + 2 y HD : 2 x − x +
Phương trình tương đương với : y ( − x) 2 3 9 2
= x − 3x + 9 = y = , 2 − x 2 x − 3x + 9
Với x = 2 không phải là nghiệm khi đó ta có : y = 2 − x
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x y + 2 y = x + 4 HD : x + 4
Biến đổi phương trình thành : y ( 2
x + 2) = x + 4 = y = 2 x + 2
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
x y + 2y − 2x +1 = 0 HD : 2x −1
Biến đổi phương trình thành : y ( 2
x + 2) = 2x −1 = y = 2 x + 2
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 2
x − x y + 3x − 2y − 5 = 0 HD :
Biến đổi phương trình về dạng : 3 2
x + x − = x y + y = y ( 2 3 5 2 x + 2) 3 x + 3x − 5 = y = 2 x + 2 3 2
x − 2x + 7x − 7
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên : A = 2 x + 3 HD : 4x −1
Ta có : A = ( x − 2) + = (4x − ) 2
1 x + 3 = (4x − ) 1 (4x + ) 2 1 x + 3 2 x + 3
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 7( x − ) 1 + 3y = 2xy HD : 7x − 7
ta có : 7x − 7 + 3y = 2xy = 7( x − )
1 = 2xy − 3y = y (2x − 3) = y = 2x − 3
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x y + xy + y − x −1 = 0 HD : x +1
Biến đổi phương trình thành : y ( 2 x + x + )
1 = x +1 = y = 2 x + x +1
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x y − 2x + 2y +1 = 0 HD : 2x −1
Biến đổi phương trình thành : y ( 2
x + 2) = 2x −1 = y = 2 x + 2
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 2
x − x y − 2x − 3y − 7x − 7 = 0 HD :
Biến đổi phương trình trở thành : rang 13 3 2
x − 2x − 7x − 7 3 2 2
x − x − x − = x y + y = y ( 2 2 7 7 3 x + 3) = y = 2 x + 3
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3x + 4y − xy = 16 HD :
Biến đổi phương trình thành :
xy − 3x − 4y = 16
− = x( y − 3) − 4y +12 = −4
x ( y − 3) − 4( y − 3) = 4
− = ( y −3)(x − 4) = 4 −
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : ( y + ) 2 2 2 x +1 = x HD : 2 2 x −1 x −1
Biến đổi phương trình thành : y + 2 = = y = − 2 2 2 x x
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
x + 2xy + x +1+ 3y = 15 HD : 2 x + x −14
Biến đổi phương trình thành : 2
x + x +1−15 = −y (2x + 3) = −y = 2x + 3
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2
5x + 25 = 8y − 3xy HD :
Biến đổi phương trình thành : 2 8y − 25 2
xy + x = y − = x( y + ) 2 3 5 8 25 3
5 = 8y − 25 => x = 3y + 5
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( y + ) 2 2 2 x +1 = y HD : 2 y −1
Biến đổi phương trình thành : 2 x = y + 2
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x − 3y = 2xy −11 HD : − y
Biến đổi phương trình thành : xy − x + y =
= x( y − ) 11 3 2 5 3 11 2
5 =11− 3y = x = 2y − 5
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : xy − 2x − 3y +1 = 0 HD : 5
Biến đổi phương trình ta có : y = 2 + x − 3
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y ( x − ) 2 1 = x + 2 HD :
Biến đổi phương trình ta có : 3 y = x +1+ x −1
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x − 3y + 5xy = 39 HD : 2x − 39
Biến đổi phương trình thành : y =
= 2x − 39  3 − 5x = ( x − )2  ( − x)2 2 39 3 5 3 − 5x
= −12  x  6 thay vào tìm y
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x − 3y = 2xy −11 HD :
Biến đổi phương trình về dạng : rang 14 x + 5 y = 2 +
= x + 5  2x + 3 = (x + 5)2  (2x + 3)2 2x + 3 2 x + x +1
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên dương sao cho A có giá trị nguyên : A = xy −1 HD : x + y +1
Biến đổi phương trình thành : yA = x +1+
= x + y +1 xy −1= (x − ) 1 ( y − ) 1  3 xy −1
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x, y, z biết : 2( y + z) = x( yz − ) 1 HD : 2y + 2z
Biến đổi phương trình thành : x =
= 2y + 2z yz −1 = yz −1− 2y − 2z  0 yz −1 2 a − 2
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : A = ab + 2 HD : 2 2 a b − 2b
a b + 2a − 2a − 2b a(ab+ ) 2 − 2(a+ ) b
Biến đổi phương trình thành : bA == = = ab + 2 ab + 2 ab + 2 2(a+ ) b = bA = a −
, Để A có giá trị nguyên thì : 2(a + b) (ab + 2) = 2(a + b) = k (ab + 2) ab + 2
Chứng minh: k = 1 = a = 5,b = 3
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi HD:
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông (1  x y z) Ta có: 2 2 2
x + y = z và xy = 2( x + y + z) (2)
Khi đó ta có: z = ( x + y)2 − xy = (x + y)2 2 2
− 4(x + y + z)
= (x + y)2 − (x + y) 2 4
+ 4 = z + 4z + 4 = (x + y − )2 = (z + )2 2
2 = ( x + y − 2) =  (z + 2)
Thay z = x + y − 4 vào (2) ta được: Còn z = −x − y (loại)
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x − 3y = 2xy −11 HD: 5x +11 x + 5
Đưa phương trình thành: y = = 2 +
= 2(x + 5) 2x + 3 = 7 2x + 3 2x + 3 2x + 3
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : y ( x − ) 2 1 = x + 2 HD: 2 x + 2 3
Biến đôi phương trình thành: y = = x +1+ x −1 x −1
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2
x − xy = 6x − 5y − 8 HD: 2 x − 6x + 8 3
Biến đổi phương trình thành: y = = (x − ) 1 + x − 5 x − 5
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy − 2x − 3y +1 = 0 HD: 2x −1 5
Biến đổi phương trình thành: y = = 2 + x − 3 x − 3
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2
x + xy − 2017x − 2018y − 6051= 0 rang 15
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3
x − y = xy + 8 HD :
Ta có : ( x − y)3 + 3xy ( x − y) = xy + 8 3
x − y = a a − 8 Đặt : 3 3 
= ft = a + 3ab = b + 8 = a −8 = b − (3a − ) 1 = b − = xy = b 3a −1 ( 3a − ) 3 27
8 3a −1 = 27a −1− 215 3a −1 = 3a −1U (215)
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
xy + 2xy − 243y + x = 0 HD :
Đưa phương trình về dạng : x ( y + )2 = y = ( y + )2 1 243 1 U (243) => ( ; x y) = (54;2);(24;8)
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2
2x − 2xy = 5x − y −19 HD : 2 2x − 5x +19 Đưa phương trình về : 2
2x − 5x +19 = y (2x − ) 1 = y = 2x −1
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : y ( x − ) 2 1 = x + 2 HD : 3
Đưa phương trình về dạng : y = x +1+ x −1 rang 16
DẠNG 7: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn : 4 2 2
x + x +1 = y HD:
Ta có: x +   = y = x + x +  x = (x )2 2 2 4 2 4 2 1 1 0 1 (1) 2 2 Mặt khác 2 4 2 2
y = x + x + − x = ( 2 x + ) 2 − x  ( 2 2 1 1 x + ) 1 (2) 2 2 2 Từ (1) và (2) ta có: ( 2 x ) 2  y  ( 2 x + ) 2 = y = ( 2 1 x + ) 1  y =1 4 2 4 2 2
= x + x +1 = x + 2x +1= x = 0 = y =1 =   y = 1 −
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 4 4 2
x − y = 3y +1 HD : 2 2 Ta có : 4 4 2 4 2 2
x = y + y + = y + y + + y = ( 2 y + ) 2 + y  ( 2 3 1 2 1 1 y + ) 1 2 2 Mặt khác : 4 4 2 4 2 2
x = y + y + = y + y + − y − = ( 2 y + ) − ( 2 y + )  ( 2 3 1 4 4 3 2 3 y + 2) 2 2 2 Khi đó : ( 2 y + ) 4  x  ( 2 y + ) 4 = x = ( 2 1 2 y + ) 1 4 4 2 4 2 4 2
x = y + 2 y +1 = y + 3y +1 = y + 2y +1 = y = 0, x = 1 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 3 2
x − y − 2y − 3y −1 = 0 HD :
Ta có : x = y + y + y + = ( y + y + y + ) − y  ( y + )3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 3 3 1 1 (1)
mặt khác : x = y + y + y + = ( y − y + y − ) + y +  ( y − )3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 3 3 1 5 2 1
Khi đó : ( y − )3  x  ( y + )3 3 1 1  y = 1 − TH1 : 3 3 x y  = = 1 = x = −1  y = − (l)  2
TH2 : x = ( y + )3 3 2
1 = y = 0 = x = 1
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 3 3
1+ x + x + x = y HD : 2  1  3 3 Ta có : 2 3
1+ x + x = x + +   0 = y =   ( 2 1+ x + x ) 3 3 + x x  2  4 4
Mặt khác : y = x + x +
x + − x − x − = (x + )2 − ( x + x + )  (x + )3 3 3 2 2 2 3 12 8 5 11 7 2 5 11 7 2 x = 0  y =1
Khi đó : x y  ( x + 2)3 = y = ( x + )3 3 3 3 1 = =  x 1  = −  y = 0
Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương : 4 3 2
x + 2x + 2x + x + 3 HD : Đặt 4 3 2 2
x + 2x + 2x + x + 3 = y 2 = ( 4 3 2
x + x + x ) + ( 2 x + x + ) = ( 2 x + x) + ( 2 x + x + ) 2 2 3 3 = y =  ( + )2 2 2 y x x (1) 2 2
Vậy ta cần chứng minh ( 2 x + x) 2  y  ( 2 x + x + 2) 2 2 Thật vậy : 2 y − ( 2 x + x) 2 2
= x + x +  = y  ( 2 3 0 x + x) rang 17
y = (x + x + )2 2 2 2
2 = 3x + 3x +1  0 x =1
y = (x + x + )2 2 2 2
1 = x + x − 2 = 0 =  x = 2 −
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 4 3 2 2
x + 4x + 7x + 6x + 4 = y HD: 2 Ta có: ( 4 3 2
x + x + x ) + ( 2 x + x + ) 2 = y  ( 2 x + x) + ( 2 x + x) 2 4 4 3 6 4 2 2
2 +1+ x + 2x + 3 2 2 = y  ( 2 x + x + ) + ( 2 2 1 x + 2x + 3)
Ta cần chứng minh: y  (x + x + )2 2 2 2 3 Khi đó: 4 3 2 4 2 3 2
x + 4x + 7x + 6x + 4  x + 4x + 9 + 4x +12x + 6x 2 2 Vậy ( 2 x + x + ) 2  y  ( 2 2 1 x + 2x + 3)
= y = (x + x + )2 2 2 2
2 hoặc y = (x + x + )2 2 2 2 3
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của 4
p là số chính phương HD: Ta có: 2 2 2 3 4 2
+ p + p + p + p = m = ( 2 p + p) 2  m  ( 2 1 2 4
2 p + p + 2) => m = ( p + p + )2 2 2 4 2 1 = p = 3
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 3 4
y = 1+ x + x + x + x HD :
Với x = 0 => y = 1 hoặc y = -1 2 2 Với x # 0=> 2 y = ( 2 x + x + ) 2 − x  ( 2 4 2 2 5 2x + x + 2) 2 2 = ( 2 x + x) 2  y  ( 2 2 4
2x + x + 2) = x = 3, x = 1 −
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 3
y = 1+ x + x + x HD :
Từ phương trình ta có : x y  ( x + )3 = y = ( x + )3 3 3 3 2 1
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho x ( x + ) 1 = k (k + 2) HD :
Ta có : x + x = k + k = x + x + = (k + )2 2 2 2 2 1 1
Do x  = x x + x + = (k + )2 2 2 0 1 1 (1)
và x  = (k + )2 = x + x +  x + x + = ( x + )2 2 2 0 1 1 2 1 1 (2)
=> x  (k + )2  ( x + )2 2 1 1 Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương : 4 3 2
x + 2x + 2x + x + 3 HD : 2 Đặt 4 3 2 2 2
x + x + x + x + = y = y = ( 2 x + x) + ( 2 2 2 3 x + x + 3)
Ta cần chứng minh : a y  (a + )2 2 2 2 với 2
a = x + x
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho 2 x + y và 2
y + x đều là số chính phương HD :
Giả sử : y < x, Ta có : x x + y x + x  ( x + )2 2 2 2 1 rang 18
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương: 4 3 2
x + x + x + x +1 HD : Giả sử : 4 3 2 2 2 4 3 2
x + x + x + x +1 = y = 4 y = 4x + 4x + 4x + 4x + 4 2 2 2 2 Ta có : ( y) 4 3 2
= x + x + x + x + = ( 2 x + x) 2
+ x + (x + )  ( 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2x + x) (1)
Mặt khác : x + x + x + x +  x + x + x + x + = ( x + x + )2 4 3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 4 4 4 9 4 4 2 2 (2) 2 2 2 2 Từ (1) và (2) ta có : ( 2
x + x)  ( y)  ( 2 x + x + ) 2 = y = ( 2 2 2 2 2 4 2x + x + ) 1 x = 1 − 4 3 2 4 3 2 2
= 4x + 4x + 4x + 4x + 4 = 4x + 4x + 5x + 2x +1= x − 2x − 3 = 0 =  x = 3 
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 3
y − x = 3x HD: 3 3
Biến đổi thành: (x − ) 3
1  y  (x + )
1 , Nên y = x thay vào PT ta được: x=0
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 4 3 2
y + y = x + x + x + x HD:
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 3 2
x − y − 2y − 3y −1= 0 HD:
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 4 2 2 2 2
x − y + z + 2x z + 3x + 4z +1= 0 HD:
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 2 2
x + x − y + y +10 = 0 HD:
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x − )4 4 3 2 − x = y HD:
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 3
y = x + 2x +1 HD:
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6 3 4 2
x − 4y − 4y = 2 + 3y + 6y HD: 4 2
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 x + (x + ) 2 1 = y + (y + ) 1 HD:
Bài 48: Tìm các số nguyên x, y không âm sao cho: 2 2
x = y + y +1 HD:
Nếu y = 0 = x = 1
Nếu y  1 từ PT ta suy ra: y x y + 1 , vô lý. rang 19
DẠNG 8: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y +1 = xyz HD :
Giả sử : x y TH1 : 2
x = y = 2x +1 = x z = x ( xz − 2) =1 = x = y =1, z = 3
TH2 : x y = xyz  2y +1 = xyz  2y = xz  2 = x = 1, y = 2, z = 2 hoặc
x = 2, y = 2, z = 1
Bài 2: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng HD :
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
x + y + z = xyz , Giả sử : 1  x y z = xyz = x + y + z  3z = xy  3 = xy 1;2;  3
Với xy = 1 = x = 1, y = 1
Với xy = 2 = x = 1, y = 2
Với xy = 3 = x = 1, y = 3
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: x + y + z = xyz HD:
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên Giả sử: x y z = 3x x + y + z = xyz = 3  yz
Nếu z = 0 = x + y = 0 = x = y = 0 (thỏa mãn )
Nếu z  0 = x y z , Do yz  3 nên ta có các TH sau:
TH1: y = z = 1 = x + 2 = x Vô nghiệm
TH2: y = 2,z = 1 = x + 3 = 2x = x = 3
TH3: y = 3,z = 1 = x + 4 = 3x = x = 2  y loại
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm là hoán vị của cặp nghiệm trên
Bài 4: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng HD :
Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là : , x , y ,
z t = x + y + z + t = xyzt
Giả sử : t z y x  1 = xyzt = x + y + z + t  4t = xyz  4 = xyz 1;2;3;  4 Xét các TH của xyz
Bài 5: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng HD :
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có : xyz = 2( x + y + z)
Giả sử : x y z = xyz = 2( x + y + z)  2.3z = 6z = xy  6 Xét các TH của xy
Bài 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : xyz = 4( x + y + z) HD :
Giả sử : x y z = xyz = ( x + y + z) 2 4
 12x = yz  12 = z  12 = z 1;2;3
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 5( x + y + z + t) +10 = 2xyzt HD :
Giả sử : x y z t = xyzt = ( x + y + z + t ) 3 2 5
+10  20x +10 = yzt  15 = t  15 = t  2
Với t = = xyz = ( x + y + z) 2 1 2 5
+15 15x +15 = 2yz  30 = 2z  30 = z  3
TH1 : z = 1 = 2xy = 5( x + y) + 20 = 4xy =10(x + y) + 40 = (2x − 5)(2y − 5) = 65 Giải các TH và với t=2
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5(x + y + z+ t) + 7 = xyzt HD: rang 20

Tài liệu liên quan: