Chuyên Đề Rút Gọn Biểu Thức Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp:
+ So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0 A  0 A  0   A B  0 A B  0 Chú ý:  0 = Hoặc:  0 = B A  0 B    A 0   B  0 B  0 A
+ Tìm x nguyên để P nguyên: P =
 Z = BU ( ) A B
+ Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k  Z) A
+ Tìm Min Max của P =
: Nếu bậc của tử  bậc của mẫu: chia xuống chú ý dấu bằng xảy ra. B
Chú ý SD BĐT: a + b  2 ab 2 2 2  (x −1) 1− 2x + 4x 1  x + x
Bài 1: Cho biểu thức: A = − + :  2 3  3 3x + (x −1) x −1 x −1 x + x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > -1 HD: 2 x +1 a, Rút gọn được: A = x +1 2 2 x +1 x + x + 2 b, Để A  −1 thì  1 −   0 x +1 x +1 Do đó 2
x + x + 2 và x +1 phải cùng dấu 2  1  7 mà 2 x + x + 2 = x + +  0    2  4
nên x +1  0  x  −1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x  1
− , x  0, x  1 thì A > -1 2  1 3   x 1 
Bài 2: Cho biểu thức: A = + :    + 2 2   3 x − 3x  27 − 3x x + 3  
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A < -1. HD:
ĐKXĐ: x  0, x  3, x  3 − x + 3
a, Rút gọn được: A = − x x + 3 x + 3 x + 3 3 b, Để A  −1 thì −  1 −   1 
−1 0   0  x  0 x x x x (vì 3 > 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x  0, x  3 thì A <-1 Trang 1  1 2
5− x  1− 2x
Bài 3: Cho biểu thức: A = + − :  2  2
1− x x +1 1− x  x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A>0 HD:
a, ĐKXĐ: x  1 . 2
1+ x + 2 − 2x − 5+ x 1− 2x 2 x −1 2 Ta có: A = : = . = 2 2 2 1− x x −1
x −1 1− 2x 1− 2x 1 1
b, Để A  0 = 1− 2x  0 = x  , Đối chiếu với điều kiện ta được: 1 −  x  2 2 3 2
a − 4a − a + 4 Bài 4: Cho P = 3 2
a − 7a +14a − 8 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận gí trị nguyên HD: a, Ta có: 3 2
a − a − a + = a( 2 a − ) − ( 2 4 4 1 4 a − ) 1 = (a− ) 1 (a+ ) 1 (a− 4) Và 3 2 a − a + a − = ( 3
a − ) − a(a− ) = (a− )( 2 7 14 8 8 7 2
2 a − 5a + 4) = (a− 2)(a− ) 1 (a− 4) a +1
ĐKXĐ: a  1,a  2,a  4 . Rút gọn ta được: P = a − 2 a − 2 + 3 3 b, P = = 1+ a − 2 a − 2
Để P nguyên khi a-2 là ước của 3 => a 1 − ;3;  5 2 2  x 6 1   10 − x 
Bài 5: Cho biểu thức: M =  + +  :  x − 2 +  3
x − 4x 6 − 3x x + 2 x + 2     a) Rút gọn M 1
b) Tính giá trị cảu M khi x = 2 HD:
ĐKXĐ: x  0, x  2 2 2  x 6 1   10 − x  a, M = + + :    x − 2 +  3
x − 4x 6 − 3x x + 2 x + 2     2  x 6 1  6 =  − +  x
 (x − 2)(x + 2) 3(x − 2) : x + 2 x + 2  6 − x + 2 1 M = ( = x − ) 2 (x + ) . 2 6 2 − x 1 1 −1 b, Khi x =
= x = hoặc x = 2 2 2 2 3 2
y − y − 2 x −10x + 25x
Bài 6: Cho biểu thức: D = : 2 y − 2 x − 25 a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức: 2 2
x + x − 2 + 4y − 4xy = 0 HD:
a, ĐKXĐ: y  2, x  0, x  5 Trang 2
y + y − 2y − 2 x( x − x +
) y(y+ )− (y+ ) x(x− )2 2 2 10 25 1 2 1 5 Khi đó: D = : = y − (x− )5(x+ ) : 2 5 y − 2 (x− )5(x+ )5
(y+ )1(y− 2) (x+ )5(x− )5 (y+ )1(x+ )5 = . = y − 2 ( )2 x(x x x − − )5 5 b, Vì 2 2
x + x − 2 + 4y − 4xy = 0
= x − xy + y + x − = = (x − y)2 2 2 4 4 2 0 2 + x − 2 = 0 7 −
= (x − y)2 2
= 0 và x − 2 = 0 = x = 2,y = 1= D = 3 2 2 4 2 2  x − y
x + y + y − 2  4x + 4x + y − 4
Bài 7: Cho A =  +  : , Với ( 2
x  0, y  0, x  2 ,
y y  2 − 2x ) 2 2 2 2y − x
2y + xy − x
x + y + xy + x   a) Rút gọn biểu thức A 2
b) Cho y = 1 .Hãy tìm x để A = 5 HD: 2 2 2 2 2  x − y
x + y + y − 2   4x + 4y + y − 4  a, A =  +  :   2 2 2 2y − x
2y + xy − x
x + y + xy + x     2 2  x − y
x + y + y − 2 
(x+ y)(x+ )1 A =  +   y − x 
(x+ y)( y− x) . 2 2   ( 2 2x + y − 2)( 2 2x + y + 2) 2 2x + y − 2
(x+ y)(x+ )1 x +1 A = ( =
x + y)( y − x) . 2 ( 2 2x + y − 2)( 2
2x + y + 2) (2y − x)( 2 2x + y + 2) x +1 2
b, Với y = 1= A = (
= = x − x + x − = 2 − x)(2x + ) 3 2 4 8 11 7 0 2 3 5 = (x − )( 2 1 4x − 4x + ) 7 = 0 = x = 1 3 2  x +1 1 2  x − 2x
Bài 8: Cho biểu thức: Q = 1+ − − :  3 2  3 2
 x +1 x − x −1 x +1 x − x + x a) Rút gọn Q 3 5
b) Tính giá trị cảu Q biết : x − = 4 4
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên HD: 3 2  x +1 1 2  x − 2x a, Q = 1+ − − :  3 2  3 2
 x +1 x − x −1 x +1 x − x + x
x +1+ x + 1− 2( 2 x − x + ) 2 1 x − x +1 2 2 2 − x + 4x x − x +1 = 1+ ( = 1+ . x + ) 1 ( . 2 x − x + ) 1 x(x − 2)
(x− )1( 2x − x+ )1 x(x− )2 −2x(x − 2) 2 x − x + 1 = 1+ ( , ĐK: x  0; 1 − ;2 x + ) 1 ( . 2 x − x + ) 1 x(x − 2) 2 − x −1 Q = 1+ = x +1 x +1 3 5 1 − b, Với x − = = x = hoặc x = 2 (Loại) 4 4 2 Trang 3 1 − Với x = = Q = 3 − 2
c, Để Q Z = x 3 − ; 2 −  ;1 2 2  2+ x 4x
2 − x   x − 3x 
Bài 9: Cho biểu thức: A =  − −  :   2 2 3
2 − x x − 4 2 + x 2x − x    
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A>0
c) Tính giá trị của A trong TH x − 7 = 4 HD: ĐKXĐ: x  0, 2  ,3 2 2 2  2+ x 4x
2 − x   x − 3x  ( 2 + x ) 2 + x − ( − x) 2 2 4 2 x (2 − x) Ta có: A =  − −  :   = . 2 2 3
2 − x x − 4 2 + x 2x − x     (2− x)(2+ x) x(x − ) 3 2 4x + 8x x( − x)
x(x + ) x( − x) 2 2 4 2 2 4x = ( = =
2 − x)(2+ x) . x − 3
(2− x)(2+ x)(x+ )3 x−3 2 4x
b, Để A  0 =
 0 = x − 3 0 = x  3 x − 3
c, Khi x − 7 = 4 = x = 11 hoặc x = 3 (loại), Thay vào A 2  4x
8x   x −1 2 
Bài 10: Cho biểu thức: A =  +  : − 2  2 2 x 4 x    x 2x x  + − −  a) Rút gọn A b) Tìm x để A=-1
c) Tìm các giá trị của x để A<0 HD:
a, ĐKXĐ: x  0, x  2  4x
8x   x −1 2  4x(2− x) 2 2 + 8x
x −1− 2(x − 2) A =  +  : − = : 2  2 2 x 4 − x 
  x − 2x x  +  (2+ x)(2− x) x(x − ) 2 2 2 2
8x − 4x + 8x x −1− 2x + 4 8x + 4x 3− x x( + x) x(x − ) 2 4 2 2 4x = ( = = . =
+ x)( − x) : x(x − ) ( + x)( − x) : 2 2 2 2 2 x(x − ) 2
(2+ x)(2− x) 3− x x − 3 2 4x b, Để 2 A = 1 − = = 1
− = 4x + x − 3 = 0 = (x + ) 1 (4x − ) 3 = 0 x − 3 2 4x c, Để =
 0 = x − 3 0 x − 3
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên: 2 2  x − 2x 2x  1 2  M =  −  1− − 2 2 3  2 2x 8 8 4x 2x x x x  + − + −    HD:
ĐKXĐ: x  0,x  2   ( 2 2 2 x − 2)(x x x x + − )1 2 2 M =  +   2  ( . 2 x + 4) ( 2 x + 4)(x − 2) 2  x  2 x (x − 2)2 2
+ 4x (x − 2)(x + ) 1 x( 2
x − 4x + 4 + 4x) (x − 2)(x + ) 1 M = = 2(x − 2)( . . 2 x + 4) 2 x 2( 2 x + 4)(x − 2) 2 x Trang 4 x( 2 x + 4)
(x−2)(x+ )1 x+1 M = = 2(x − 2)( . 2 x + 4) 2 x 2x x +1 x +1 1
Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên, Mà
= 1+  Z = x 1 −  ;1 x x x    3(x + 2) 2 2x − x −10   5 3 3  2
Bài 12: Cho biểu thức: P = + :  + − .  3 2
x + x + x +1  (     + + −  x + ) 1 (x + )2 2 x 1 2 1 − 2x  
(x )1 x 1 x−1       a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4 HD:    3(x + 2) 2 2x − x −10   5 3 3  2 a, P + :  + − .  3 2
x + x + x +1  (     + + −  x + ) 1 (x + )2 2 x 1 2 1 − 2x  
(x )1 2(x )1 x−1        2  2 2 3x + 6 2x − x −10
10x −10 − 6x − 6 2 P =   ( +  x + ) 1 ( : . 2 x + ) 1
(x+ )1( 2x + )1 2(x− )1(x+ )1( 2x +   )1 x−1 8( 2
x + x − 2) 2(x − ) 1 P = = 4( 2 x − 4) x − 2
b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4 2(x − ) 1 2
ĐK x  1, x  2 , Để P nguyên thì  Z =
 Z = x − 2U ( ) 2 =  1  ;  2 x − 2 x − 2 Với x=3 thỏa mãn 2  6x +1
6x −1  x − 36
Bài 13: Cho biểu thức: A = + .  Rút gọn A 2 2  2
 x − 6x x + 6x  12x −12 HD:
ĐKXĐ: x  0, x  6 2  6x +1
6x −1  x − 36
(6x+ )1(x+ )6 + (6x− )1(x− 6) 2x −36 Ta có: A = + .  = . 2 2  2
 x − 6x x + 6x  12x −12 x( 2 x − 36) 12( 2 x + ) 1 2 2 2 2
6x + 37x + 6 + 6x − 37x + 6 x − 36 12(x + ) 2 1 x − 36 1 = = . = x( . 2 x − 3 ) 6 12( 2 x + ) 1 x( 2 x − 36) 12( 2 x + ) 1 x 2  x 2 1   10 − x 
Bài 14: Cho biếu thức: A = + + :    x − 2 +  2
 x − 4 2 − x x + 2  x + 2   a) Rút gọn A 1
b) Tính giá trị của A biết x = 2
c) Tìm giá trị của x để A<0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên HD: 1 −
A, Rút gọn A ta được: A = x − 2
c, Để A  0 = x  2 1 −
d, Để A Z =
 Z = x1;  3 x − 2 Trang 5  1 1  x +1
Bài 15: Rút gọn biểu thức: A = + :  2  2
 x − x x −1 x − 2x +1 HD:  1 1  x +1 1+ x (x− )2 1 x −1 A =  +  = =  x  (x − ) : 1 x −1 ( ) . 2 1 x(x x − − )1 x+1 x 2 2 2
x − y − z + 2yz x + y − z 2 8 1
Bài 16: Tính giá trị của biểu thức: A = :
, Với x = 1 ,y = ,z = 3 2 2
x + xz− y − yz x + y + z 3 3 3 HD:
(x+ y− )z(x− y+ )z x+ y− z x− y+ z A = ( = , Vì x  ,
y x + y + z  0, x + y − z  0
x − y)(x + y + ) : z x + y + z x − y 1
Thay x, y, z vào ta được: A = −2 3 3 2
11n +12n +12n + 20
Bài 17: Tìm số tự nhiên n để A = , có giá trị nguyên 2 n +1 HD: n + 8
Ta có: A = 11n +12 +
, n N , Khi A nguyên thì 2 n + 8 n +1 và 2 n + 8  n + 1 2 ( ) n +1 = n(n− )
1  7 = n = 0;1;2;3 , thử lại chọn n=0 ; 2 3x + 3
Bài 18: Cho biểu thức: A = 3 2
x + x + x +1 a) Rút gọn A
b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm GTLN của A HD: 3x + 3 3(x + ) 1 3 a, A = = = 3 2 2
x + x + x +1 x (x + ) 1 + (x + ) 2 1 x +1
b, Để A nhận giá trị nguyên thì: 2 x +1U ( ) 3 =  3 − ; 1 − ;1;  3 Nếu 2
x +1 = 1 = x = 0, A = 3 Nếu 2
x +1 = 3 = x =  2 = A = 1 3 c, A = lớn nhất khi 2
x + 1 nhỏ nhất, mà 2 x +1 1, x   R 2 x +1  2 3
x + 7  1− 2x
Bài 19: Cho biểu thức: P = − − :  2  2
 x +1 x −1 1− x  x −1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P<0 HD: 2 a, Rút gọn P = 1− 2x 2 1 b, Để P  0 =  0 = x  1− 2x 2 2 2  x x  (x − ) 1 (x − ) 3
Bài 20: Cho biểu thức: K =  + . 2 2 4 2
x − 5x + 6 x − 3x + 2 x + x +1   a) Rút gọn K Trang 6
b) Tìm giá trị lớn nhất của K HD: a, ĐKXĐ: x  1;2;3 2 2  x x  (x − ) 1 (x − ) 3 K =   ( +   x − )
3 (x − 2) (x − 2)(x − ) . 4 2 1  x + x + 1  2  2x  (x − ) 1 (x − ) 3 2 2x = K =  = K = 4 2  (   x − ) 1 (x − ) . 4 2 3  x + x + 1  x + x +1
b, Nếu x = 0 = K = 0 2 2 2 2
Nếu x  0 = K = =
 , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1 2 2 1 3  1 3 x 1  + + 2 x − + 3 x  x    2 3x + 6x + 3
Bài 21: Cho phân thức : A = ( 2x + ) 2 (x − ) 3 a) Rút gọn phân thức :
b) Tìm giá trị của phân thức khi x=4 HD:
a, ĐKXĐ: x  −1, x  3 3x + 6x + 3 (x+ )2 2 3 1 3(x + ) 1 b, A = ( = = 2x + 2)(x − ) 3 2(x + ) 1 (x − ) 3 2(x − ) 3 2 2  3x + 3 x −1
1  2x − 5x + 5
Bài 22: Cho biểu thức : A =  − −  : 3 2 x −1
x + x +1 x −1 x −1   a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A HD: a, ĐKXĐ: x  1 2 2 2 2
3x + 3− x + 2x −1− x − x −1 x −1 x + x +1 x −1 Ta có: A = . = . 3 2 3 2 x −1 2x − 5x + 5 x −1 2x − 5x + 5 1 A = 2 2x − 5x + 5 1 1 1 8 b, Ta có: A = = =  2 2 2x − 5x + 5   15 2 5 25 15  5  15 2 x − 2. x + +   2 4 16 8 x − +  4      8 2 x + x − 2
Bài 23: Cho biểu thức: A = 2 x + 5x + 6 a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên HD:
a, ĐKXĐ: x  −2; x  −3
(x− )1(x+ )2 x−1 A = ( = x + ) 2 (x + ) 3 x + 3 x −1 4 4 b, A = = 1− , đề A nguyên thì
 Z = x + 3U ( ) 4 x + 3 x + 3 x + 3 2  3+ x 3− x 4x   2x +1 
Bài 24: Cho biểu thức : P =  − +  : −1 2
3 x 3 x x − 9     x 3  − + +  Trang 7 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết: 2
2x − 5x + 2 = 0
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên 2  3x 3 3  x + 3
Bài 25: Cho biểu thức: A =  − +  : 2
x − 4 x + 2 2 − x x + 2   a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x − 2 = 4
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 2 x + 2  3x 3 3 
Bài 26: Cho biểu thức: A = . − +  2 2
x + 3x x − 4 x + 2 2 − x   a) Rút gọn biểu thức A 2
b) Tính giá trị A khi x + 7x = 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên  x + 2 16
x − 2  x + 4
Bài 27: Cho biểu thức: A = + − :  2  x 2 4 − x x 2  − +  x + 2 a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A biết: 2
x − 6x + 8 = 0 3 2
3x + x − x + 3 x + 2 1 Bài 28: Cho M = − + 4 2 2 x −1 x −1 x +1 a) Rút gọn M 3 b) Tìm x để M = 5
c) Tìm x  Z để M Z 2 2
 x +1 2+ x − x   1 x 
Bài 29: cho biểu thức: P =  +  :  −  2 3 x x − x x −1 x −1     a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 3x
c) Với x > 1, Hãy so sánh P với 3  21 x − 4 x −1  x + 3
Bài 30: Cho biểu thức: A = − − .  2
 x − 9 3 x 3 x  − +  x + 2 a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2
c) Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên âm  1 x x +1 2x −1
Bài 31: Cho biểu thức: B = + . :  2
 x 1 x −1 x 1 − −  3x − 3 a) Rút gọn B
b) Tính giá trị cảu B khi x= -3
c) Tìm x nguyên để biểu thức B có giá trị là 1 số nguyên 2 2  2+ x 4x
2 − x  x − 3x
Bài 32: Cho biểu thức: P =  − −  : 2 2 3
2 − x x − 4 2 + x 2x − x   a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P biết x − 5 = 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4 Trang 8 1
d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = P 2 x + 2x x − 5 50 − 5x
Bài 33: Cho biểu thức: P = + + 2x +10 x 2x(x + ) 5 a) Rút gọn P 1
b) Tìm giá trị của x để P=0, P= 4
c) Tìm giá trị của x để P>0, P<0 2 2 x + x  x +1 1 2 − x 
Bài 34: Cho biểu thức: P = :  + +
 ,(x  0,x  1) 2 2 x − 2x +1 x
x −1 x − x   a) Rút gọn biểu thức P −1 b) Tìm x để P = 2
c) Tìm GTNN của P khi x > 1. 2 16x − x
3+ 2x 2 − 3x  x −1
Bài 35: Cho A = x −  + −  : 2 2 2 x − 4 2 − x x + 2
x + 4x + 4x   a) Rút gọn A 3 2017 +1
b) Tính giá trị của A khi x = 2 2017 − 2016 2 2  2+ 3x 36x 2 − 3x  x − x
Bài 36: Cho biểu thức: A =  − −  : 2 2 3
2 − 3x 9x − 4 2 + 3x 2x − 3x   a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị cảu x để A nguyên dương 3 1 x − x  1 1 
Bài 37: Cho biểu thức: P = − . − 2  2 2 x 1 x 1  x 2x 1 x 1 + + + + − 
a) Tìm điều kiện của P có nghĩa và rút gọn P 1
b) Tìm các số nguyên x để nhận giá trị nguyên P Trang 9