Thông tin
Quiz

Chuyên đề rút gọn phân thức

Tài liệu gồm 15 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề rút gọn phân thức, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 8 chương 2: Phân thức đại số.

Chủ đề:

Chương 6: Phân thức đại số (KNTT) 20 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:

15 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề rút gọn phân thức

182 91 lượt tải Tải xuống

RÚT GỌN PHÂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:

Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của

phân thức;

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1. Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.

Bài 1: Rút gọn phân thức

3 4

3 2

xy z

x y z



4 7

y xy

xy y







x x







x xz xy yz

  



  





 

45 3

15 3

x x







2 2

3 2 2 3

3 3

y x

x x y xy y





  

Bài 2: Rút gọn phân thức

4 4

2 2

ax a x

a ax x





 

3 2

x x x

x x

 





2 2a ab

ac ad bc bd





  

 

2 2

9 6

x a x

a x ax

 



 









 

2 2

y x x y

x y y x

 



 

3 2

x x

 





Bài 3: Rút gọn phân thức

3 2

5 6

4 10 4

x x x

x x

 



  

2 2

3 2 2 3

3 2

2 2

x xy y

x x y xy y

 



  

 

a b c

 



 

2 2 2

a b c ab

a b c ac

  



  

     

3 3 3

2 2 2

b c c a a b

a b c b c a c a b

    



    

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và

CD2.

Bài 4: Chứng minh đẳng thức.

3 3 6

)

2 3 2 6

x x x





  

3 2

2 2 6

)

4 7 12

x x

x x x x





  

Bài 5: Chứng minh đẳng thức.

4 3 2

) 1

a x x x x



    



2 2

)

2 3

x xy y x y

  



  

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.

Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của

phân thức;

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

Bài 6: Cho

x y z

a b c

  

. Rút gọn biểu thức









 

2 2 2 2 2 2

x y z a b c

ax by cz

   

 

Bài 7: Cho

ax by cz

  

. Rút gọn phân thức

     

2 2 2

ax by cz

bc y z ac x z ab x y

 



    

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của

phân thức;

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho

không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )

Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

  

2 2

x y

x y ay ax





 

2 2 3 3

4 6 9 6

ax x y ay

  



  

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

x y

9 1 3 3 2 2 1

; ; 1

1 3 1 3

x xy x y

x y

   

  

 

Dạng 5: Bài toán nâng cao.

Bài 10: Cho

x y

 

.Chứng minh rằng

2 2

x y x y

 



 

HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Rút gọn phân thức.

Bài 1:

3 4 3

3 2 2

34 2

xy z yz

x y z x

 

 

4 7

4 7 4 7

y xy

xy y

y x y

y x

y x y x y







 



 

 

  

 

5 5

x x

x x x







 



 

  

  

x xz xy yz

x z x y

x y

x z x y x y

  



  

 



 

  





 

45 3

15 3

x x



 



  

   

2 2

3 2 2 3

3 2

3 3

y x

x x y xy y

x y x y

x y

x y x y





  

 

 

 

Bài 2:

 

4 4

2 2

3 3

2 2

ax a x

a ax x

ax x a

a ax x

ax x a a ax x

a ax x

ax x a





 





 

  



 

 

 

  

3 2

2 3

2 2

x x x

x x

x x x

x x

x x x

 





 





 



 







 

   

 

  

2 2

a ab

ac ad bc bd

a a b

a c d b c d

a a b

c d a b

c d





  





  





 





 

  

 

2 2

9 6

2 2

6 9

x a x

a x ax

x a x x a x

a ax x

x a a x

x a

a x

x a

 



 

   



 

 



















 

  

2 2

y x x y

x y y x

xy x y

xy y x

xy x y

xy y x

 



 

 



 

  



 

 

  

 

3 2

1 2

1 1

x x

x x x

x x

 





 



  





 

Bài 3:

 

  

 

3 2

5 6

4 10 4

5 6

2 2 5 2

2 3

2 2 1 2

2 2 1

x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

 



  

 



  

 



  

 





  

   

  

 

  

   

 

  

2 2

3 2 2 3

2 2

3 2

2 2

x xy y

x x y xy y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x y x y x y

x y

x y x y

 



  

 



  

 



 

 



  





 

 

  

a b c

a b c a b c

a b c

 



 

   



 

  

 

  

2 2 2

a b c ab

a b c ac

a ab b c

a ac c b

a b c

a c b

a b c a b c

a b c

  



  

  



  

 



 

   



   

 



 

     

 

   

 

     

   

     

   

3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 3

b c c a a b

a b c b c a c a b

Mau a b c b c a c a b

a b c b c b a ac bc

a b c bc b c a b c

b c a a b c a b

b c a c a b

b c c a a b

a b b c c a

    



    

     

     

     

 

   

    

 

   

Ta có nhận xét

Nếu

3 3 3

0 3

x y z x y z xyz

      

Đặt ; ;

b c x c a y a b z

     

thì

x y z

  

3 3 3

x y z xyz

xyz xyz

 

    

 

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

Bài 4: Chứng minh đẳng thức.

 

  

3 3 6

)

2 3 2 6

3 2

3 6 3

2 6 2 2 3 2 3

x x x

VP VT

x x x x x





  



   

    

 

  

3 2

2 2 6

)

4 7 12

2 3 2 3

2 6 2

7 12 4 3 4

7 12

x x

x x x x

x x

VP VT

x x x x x x x

x x x





  

 



    

    

 

Bài 5: Chứng minh đẳng thức.

4 3 2

) 1

a x x x x



    



Thực hiện phép chia đa thức









5 4 3 2

1 1 1

x x x x x x

      

  

2 2

2 2 2 2

)

2 3

2 2 2

2 3 2 2 2

x xy y x y

x y x y

x xy y x xy xy y x y

x xy y x xy xy y x y x y x y

VT VP dpcm

  



  

 

     

   

       

 

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.

Bài 7: Cho

x y z

a b c

  

. rút gọn biểu thức









 

2 2 2 2 2 2

x y z a b c

ax by cz

   

 

Đặt 0 ; ;

x y z

k x ka y kb z kc

a b c

       









 

  

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x y z a b c

ax by cz

k a k b k c a b c

aka bkb ckc

k a b c

   

 

   



 



 



Bài 8: Cho

ax by cz

  

. rút gọn phân thức

     

2 2 2

ax by cz

bc y z ac x z ab x y

 



    

Áp dụng hằng đẳng thức

   

2 2 2

x y z x y z xy yz zx

       

   

  

2 2 2 2 2 2

0 0 2 0

2 1

ax by cz ax by cz a x b y c z axby axcz bycz

a x b y c z axby axcz bycz

             

      

Biến đổi mẫu thức

     

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 (2)

bc y z ac x z ab x y

bcy bcz acx acz abx aby abxy acxz bcyz

    

        

Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng













     

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x

c by ax cz b cz ax by a cz by ax

cz by ax a b c

       

        

    

Vậy

a b c



 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

  

2 2

x y

x y ay ax

x y x y

a x y y x

x y x y

a x y x y





 



 



  





  

2 2 3 3

4 6 9 6

1 2 3

2 3 2 3

2 3

ax x y ay

a x y

x y a

  



  

 



 







Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

x y

  

 

   

 

  

9 1 3 3 2 2 1

; ; 1

1 3 1 3

3 1 3 1 3 1 2 1

3 1 1

3 2 1

3 1

3 1 3 2

x xy x y

x y

x x x y y

x y

x x

   

  

 

    

 

  

 

   



    



Dạng 5: Bài toán nâng cao.

Bài 11:cho

x y

 

.chứng minh rằng

2 2

x y x y

 



 

x y

 

nên

x y

 

Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có









  

 

2 2 2 2

2 2

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x xy y

x y

 

  

  

    



(1)

Mặt khác vì

x y

 

nên

2 2 2 2

x xy y x y

   

Vậy

2 2 2 2

(2)

(1)(2)

x y x y

x xy y x y

dpcm

 



  



B.PHIẾU TỰ LUYỆN

Dạng 1: Rút gọn phân thức.

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau.

5 3 2

2 4

x y z

 

25 1

30 1

x y x

xy x







 

3 5

12 5

x x



 

60 3 2

45 2 3

xy x



Bài 2: Rút gọn các phân thức sau.

6 12

24 48

x x







 

y x x

x y y





3 3

x xy





2 3

48 12 3

y y y

 



Bài 3: Rút gọn các phân thức sau.





5 3

4 3

x x



 









3 3 3 5

25 9

x x

 



x xy x y

  

  

3 2

2 2 1

3 3

y y y

  

  

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

Bài 4: Chứng minh đẳng thức.

3 2 2

2 1 1

3 3 3

b b b

  





 

2 2

9 6 3

x a x

a x

a x ax a x

 





  

3 2

3 2 2

1 1

x x x

  



  

Bài 5: Chứng minh đẳng thức.

22yxxy













2 2

3 2 2 3

2 3 1

2 2

x xy y

x x y xy y x y

 



   

Bài 6: Cho hai phân thức

2 2 3

3 2

4 4

4 8

xy x y x

x x y

 





và

2 2

4 4

xy x y x

x x

  





với

0; 1; 2

x x x y

  

Chứng minh rằng P = Q.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức.

3 2

9 12 4

m m





 

tại

 

3 2

7 6

6 6

n n

n n n

 



  

tại

1000001



Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính.

   

a b c a b c

a b c a c b

 

   

 



 

   

 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số.

  

2 2

3 3

x y

x y x y





 

5 5 3 3

25 15 9 15

kx x y ky

  



  

(với k là hằng số khác



)

Bài 10: Cho phân thức

4 3

4 3 2

2 1

x x x

x x x x

  



   

a) Thu gọn biểu thức A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Dạng 5: Bài toán nâng cao.

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.



với



3 2 1

3 1

u u

 



với





Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2019

x x

 

 với



b) Tìm giá trị lớn nhất của

3 9 17

3 9 7

x x

 



 

HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Rút gọn phân thức.

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

5 3 2 3

2 4

14 2

)

21 3

x y z x z

x y z y

 b)

 

3 2

25 1 5 1

30 1 6

x y x x x

xy x

 









 





   

3 3 2

3 5 3 5

12 5 12 5 4 5

x x x x

x x x

  



 

  

 

3 2

60 3 2 4 3 2

45 2 3 3

xy x x

xy x y

  





Bài 2: Rút gọn các phân thức sau

Bài 3: Rút gọn các phân thức sau

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

3 2 2

2 1 1

3 3 3

b b b

  





 

2 2

9 6 3

x a x

a x

a x ax a x

 





  

3 2

3 2 2

1 1

x x x

  



  

Bài 5: Chứng minh đẳng thức

22yxxy













2 2

3 2 2 3

2 3 1

2 2

x xy y

x x y xy y x y

 



   

Bài 6: - Có:

2 2 3

3 2

4 4

4 8

xy x y x

x x y

 





và

2 2

4 4

xy x y x

x x

  





với

0; 1; 2

x x x y

  

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức

3 2

9 12 4

m m





 

tại

 

Thay m=-8 vào A ta được:

3 2

7 6

6 6

n n

n n n

 



  

tại

1000001



Thay n=1000001 vào B ta được:

Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính

   

a b c a b c

a b c a c b

 

   

 



 

   

 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số

  

2 2

3 3

x y

x y x y





 

b) (với k là hằng số khác



)

5 5 3 3

25 15 9 15

kx x y ky

  



  

Khi đó

là hằng số.

Bài 10: Cho phân thức

4 3

4 3 2

2 1

x x x

x x x x

  



   

a)Thu gọn biểu thức A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Có:

Dạng 5: Bài toán nâng cao.

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.



với



Để



nguyên thì

Ta có bảng

u-2 -1 1 -3 3

u 1 (TM) 3 (TM) 5 (TM) -1 (TM)

Vậy thì



nguyên.

3 2 1

3 1

u u

 



với





Để

3 2 1

3 1

u u

 



nguyên thì

Ta có bảng

3u+1 -1 1 -2 2

(KTM)

(TM)

-1

(TM)

(KTM)

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2019

x x

 

 với



Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019

Vậy khi x=2019

b) Tìm giá trị lớn nhất của

3 9 17

3 9 7

x x

 



 

2 2

3 9 17 10 10

1 1

3 9 7 3 9 7

3 1

2 4

x x

x x x x

 

    

   

 

 

 

 

Để B lớn nhất nhỏ nhất

Mà vì

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy MaxB = 41 khi .

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/15

| | Tải xuống

Preview text:

RÚT GỌN PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.
Bài 1: Rút gọn phân thức 3 4 17xy z 2 y  xy 2 x  25 A  B  C  3 2 34x y z 2 4xy  7 y 2 5x  x 2 x  xz  xy  yz 45x 3  x 2 2 y  x D  E  G  2 x  xz  xy  yz 15x  x  32 3 2 2 3 x  3x y  3xy  y
Bài 2: Rút gọn phân thức 4 4 ax  a x 3 2 x  x  6x 2 2a  2ab A  B  C  2 2 a  ax  x 3 x  4x ac  ad  bc  bd x  a2 2  4x y  2 2x  x  y  2 2 x  3x  2 D  E  F  2 2 3 a  9x  6ax x  2 2y  y x  2 x 1
Bài 3: Rút gọn phân thức 3 2 x  5x  6x 2 2 x  3xy  2 y a  b2 2 A  B   c 2   4x 10x  4 3 2 2 3 x  2x y  xy  2 y C a  b  c 2 2 2 a  b  c  2ab
b c3 c  a3  a b3 D  2 2 2  a  b  c  2ac F 2 a b  c 2  b c  a 2  c a b
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và CD2.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 3 3x  6 a)  2 2x  3 2x  x  6 2 2 2x  6x b)  3 2 x  4 x  7x 12x
Bài 5: Chứng minh đẳng thức. 5 x 1 4 3 2 a)  x  x  x  x 1 x 1 2 2 2x  xy  y x  y b)  2 2 2x  3xy  y x  y
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho. x y z  2 2 2 x  y  z  2 2 2 a  b  c  Bài 6: Cho 
  0 . Rút gọn biểu thức a b c ax by  cz2
Bài 7: Cho ax  by  cz  0 . Rút gọn phân thức 2 2 2 ax  by  cz A 
bc  y  z2  ac x  z2  ab x  y2
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho
không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )
Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . 2 2 x  y A   x  yay  ax 2ax  2x  3y  3ay B  4ax  6x  9y  6ay
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y . 2
9x 1 3xy  3x  2y  2 1  ; x  ; y  1 1 3x y 1 3
Dạng 5: Bài toán nâng cao. 2 2 x  y x  y
Bài 10: Cho x  y  0 .Chứng minh rằng  2 2 x  y x  y HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức. Bài 1: 3 4 3 17xy z yz 2 y  xy 2 x  25 A   B  C  3 2 2 34x y z 2x 2 4xy  7 y 2 5x  x  y x  y y  x
x  5x 5 x 5     y 4x  7y 4x  7 y xx  5 x 2 x  xz  xy  yz 45x 3  x 3 2 2 y  x D  E   G  2 x  xz  xy  yz 15x  x  32 3 x 3 2 2 3 x  3x y  3xy  y 
x  z x  y x  y x  yx  y x  y     
x  z x  y x  y x  y3 x  y2 Bài 2: 4 4 ax  a x 3 2 x  x  6x 2 2a  2ab A  B  C  2 2 a  ax  x 3 x  4x ac  ad  bc  bd ax  3 3 x  a  x  2 x  x  6 2a a  b    2 2 a  ax  x x  2 x  4
a c  d   bc  d  ax  x  a 2 2 a  ax  x  2a a  b  x  x  2 x  3  2 2  a  ax  x x  x  2 x  2 c  d a b  ax x  a x  3 2a   x  2 c  d x  a2 2  4x y  2 2x  x  y  2 2 x  3x  2 D  E  F  2 2 3 a  9x  6ax x  2 2y  y x  2 x 1
x  a  2xx  a  2x x   1  x  2  xy 2  x y  2  2 2 a  6ax  9x  2
x  1x  x  1  xy 2  y x  2 3x  aa  x  x  2 
xy x  2 y  2  3x  a2   2x  x 
xy  y  2 x  2 1 a  x    1 3x  a Bài 3: 3 2 x  5x  6x 2 2 x  3xy  2 y 2 2 A  a b  B  c 2   4x 10x  4 3 2 2 3 C x  2x y  xy  2y a  b  c x  2 x  5x  6x x  yx  2y
a b  ca b c    2 2 2x  5x  2 2 x  x  2y 2  y x  2y a  b  c  a  b  c x  x  2 x  3 x  yx  2y   22x   1 x  2 x  2y 2 2 x  y  xx  3 x  yx  2y   22x   1
x  2yx  yx  y x  2y  x2yx y 2 2 2 a  b  c  2ab
b c3 c a3  a b3 D  2 2 2  a  b  c  2ac F 2 a b  c 2  b c  a 2  c a  b 2 2 2 a  2ab  b  c  2 Mau  a b  c 2  b c  a 2  c a  b 2 2 2 a  2ac  c  b 2 2 2 2 2 
 a b  c  b c  b a  ac  bc a  b2 2  c   2
 a b  c  bcb  c  a 2 2 b  c  a  c2 2  b
a  b  ca  b c
 b  c aa b  ca  b  
 abcabc
 b  ca  ca b a  b  c 3 3 3 
b c c a  a b a  b  c  F 
a bb  cc  a Ta có nhận xét Nếu 3 3 3
x  y  z  0  x  y  z  3xyz
Đặt b  c  x;c  a  y;a  b  z thì x  y  z  0 3 3 3 x  y  z 3xyz  F    3 xyz xyz
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 3 3x  6 a)  2 2x  3 2x  x  6 3x  6 3 x  2 3 VP     VT 2 2x  x  6
x  22x 3 2x 3 2 2 2x  6x b)  3 2 x  4 x  7x 12x 2 2x  6x 2x  x  3 2x  x  3 2 VP      VT 3 2 x  7x 12x x  2
x  7x 12 xx  4x  3 x  4
Bài 5: Chứng minh đẳng thức. 5 x 1 4 3 2 a)  x  x  x  x 1 x 1
Thực hiện phép chia đa thức 5 x    x   4 3 2 1 1 x  x  x  x   1 2 2 2x  xy  y x  y b)  2 2 2x  3xy  y x  y 2 2 2 2 2x  xy  y 2x  2xy  xy  y
x  y2x  y x  y VT     2 2 2 2 2x  3xy  y 2x  2xy  xy  y
x  y2x  y x  y VT  VP  dpcm
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước. x y z Bài 7: Cho 
  0 . rút gọn biểu thức a b c  2 2 2 x  y  z  2 2 2 a  b  c  ax by  cz2 x y z Đặt    k  0  x  k ; a y  k ; b z  kc a b c  2 2 2 x  y  z  2 2 2 a  b  c  ax by  cz2  2 2 2 2 2 2 k a  k b  k c  2 2 2 a  b  c   aka bkb  ckc2 k a  b  c 2 2 2 2 2  k a b c 2 2 2 2 2  1
Bài 8: Cho ax  by  cz  0 . rút gọn phân thức 2 2 2 ax  by  cz A 
bc  y  z2  ac x  z2  ab x  y2
Áp dụng hằng đẳng thức  x  y  z2 2 2 2
 x  y  z  2xy  yz  zx
ax  by  cz  0  ax  by  cz2 2 2 2 2 2 2
 0  a x  b y  c z  2axby  axcz  bycz  0 2 2 2 2 2 2  a x  b y  c z  2
 axby  axcz  bycz  1 Biến đổi mẫu thức
bc  y  z2  ac  x  z2  ab x  y2 2 2 2 2 2 2
 bcy  bcz  acx  acz  abx  aby  2abxy  acxz  bcyz(2)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng  2 2 2 2
bcy  acx  c z    2 2 2 2
bcz  abx  b y    2 2 2 2 acz  aby  a x   c 2 2 2
by  ax  cz   b 2 2 2
cz  ax  by   a 2 2 2 cz  by  ax    2 2 2
cz  by  ax a  b  c 1 Vậy A  a  b  c
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . 2 2 x  y
A  x yayax x  yx  y  ax yy x x  yx  y
 ax yx y 1  a 2ax  2x  3y  3ay B  4ax6x 9y 6ay a  12x 3y   2x  3y2a  3 a 1  2x3
Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y 2
9x 1 3xy  3x  2 y  2 1  ; x  ; y  1 1 3x y 1 3 3x   1 3x   1 3x  y   1  2 y   1     3x   1 y 1   
  x   3x 2 y  1 3 1  y 1  3x 1 3x  2  1
Dạng 5: Bài toán nâng cao. 2 2 x  y x  y
Bài 11:cho x  y  0 .chứng minh rằng  2 2 x  y x  y
Do x  y  0 nên x  y  0
Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có x  y x  yx  y 2 2 2 2 x  y x  y    (1) x  y
x  yx  y x  y2 2 2 x  2xy  y
Mặt khác vì x  y  0 nên 2 2 2 2 x  2xy  y  x  y 2 2 2 2 x  y x  y  (2) Vậy 2 2 2 2 x  2xy  y x  y (1)(2)  dpcm B.PHIẾU TỰ LUYỆN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau. 5 3 2 3 3 14x y z 2 25x y  x   1 3x 5  x 60xy 3x  2 a) b) c) d) 2 4 21x y z 30xy  x   1 12 x  53 2 45xy 2  3x
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau. 6x 12 y  2 2x  x  3 3 xy  yx 2 3 48y 12y  3y a) b) c) d) 2 24x  48x x  2 2y  y  2 x  xy 3 y  64
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau. 5 x  3 3x 33x 5 2 x  xy  x  y 3 2 2y  y  2y 1 a) b) c) d) 2 x  4x  3 2 25  9x 2 x  xy  x  y 3 2 y  3y  y  3
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 2 b  2b 1 b 1 x  a2 2  4x a  x 2 x  3x  2 x  2 a)  b)  c)  3 2 2 3b  3b 3b 2 2 a  9x  6ax a  3x 3 2 x 1 x  x 1
Bài 5: Chứng minh đẳng thức. xy  x  2y  2 y 1 2 2 2x  3xy  y 1 a)  b)  4  4x  x2 x  2 3 2 2 3 2x  x y  2xy  y x  y 2 2 3 4xy  4x y  x 2 2xy  x  2y  x
Bài 6: Cho hai phân thức P  và Q 
với x  0; x  1; x  2 y 3 2 4x  8x y 2 4x  4x Chứng minh rằng P = Q.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức. 2 3m  2m 2 n  7n  6 a) A  tại m  8 b) B  tại n  1000001 2 9m 12m  4 3 2 n  6n  n  6
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính. a b  c2 2  a b  c C   
a b  ca c2 2  b   
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số. 2 2 x  y 5kx  5x  3y  3ky 3 a) M   b) N 
(với k là hằng số khác  ) x  y3x  3y 25kx 15x  9y 15ky 5 4 3 x  x  x 1
Bài 10: Cho phân thức A  4 3 2 x  x  2x  x 1 a) Thu gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên. 3 2 3u  2u 1 1  a) với u  2 b) với u  u  2 3u 1 3 2 x  2x  2019
Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  với x  0 . 2 x 2 3x  9x 17
b) Tìm giá trị lớn nhất của B  2 3x  9x  7 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau 5 3 2 3 3 2 14x y z 2x z 2 25x y  x   1 5x  x   1 a)  b)  2 4 21x y z 3y 30xy  x   1 6 3x 5  x 3  xx  5  3 2 x 60xy 3x  2 4  3x  2 c)   d)  12 x  53 12 x  53 4 x  52 2 45xy 2  3x 3y
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức 2 b  2b 1 b 1 x  a2 2 2 x  3x  2 x  2 a)   4x a  x c)  3 2 2  3b  3b 3b b) 2 2 a  9x  6ax a  3x 3 2 x 1 x  x 1
Bài 5: Chứng minh đẳng thức xy  x  2y  2 y  1 2 2 a)  2x  3xy  y 1 b)  4  4x  x2 x  2 3 2 2 3 2x  x y  2xy  y x  y 2 2 3 4xy  4x y  x 2 2xy  x  2 y  x Bài 6: - Có: P  và Q 
với x  0; x  1; x  2y 3 2 4x  8x y 2 4x  4x
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức 2 3m  2m 2 n  7n  6 a) A  tại m  8 b) B  tại n  1000001 2 9m 12m  4 3 2 n  6n  n  6 Thay m=-8 vào A ta được:
Thay n=1000001 vào B ta được:
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính a b  c2 2  a  b c C   
a b  ca c2 2  b   
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số 2 2 x  y 3 a) M 
b) (với k là hằng số khác  )  x  y3x  3y 5 5kx  5x  3y  3ky N  25kx 15x  9y 15ky Khi đó là hằng số. 4 3 x  x  x 1
Bài 10: Cho phân thức A  4 3 2 x  x  2x  x 1 a)Thu gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x. Có:
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên. 3 a) với u  2 u  2 3 Để nguyên thì u  2 Ta có bảng u-2 -1 1 -3 3 u 1 (TM) 3 (TM) 5 (TM) -1 (TM) 3 Vậy thì nguyên. u  2 2 3u  2u 1 1 b) với u  3u 1 3 2 3u  2u 1 Để nguyên thì 3u 1 Ta có bảng 3u+1 -1 1 -2 2 0 -1 u (TM) (TM) (KTM) (KTM) 2 x  2x  2019
Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  với x  0 . 2 x
Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019 Vậy khi x=2019 2 3x  9x 17
b) Tìm giá trị lớn nhất của B  2 3x  9x  7 2 3x  9x 17 10 10 B   1 1 2 2 2 3x  9x  7 3x  9x  7  3  1 3. x      2  4 Để B lớn nhất nhỏ nhất Mà vì Dấu “=” xảy ra khi Vậy MaxB = 41 khi .
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========