Chuyên Đề Số Chính Phương Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn. Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1. Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1. Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 228 tài liệu
Môn: Toán 8 1.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa:
- Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên 2. Tính chất:
- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn
- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. B. LUYỆN TẬP :
Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho số A = 11...11122...2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2).
Chứng minh rằng A là số chính phương HD:
Ta có: 9A = 100...00100...0025 = 100...00 + 100...00 + 25 2004 2005 4012 2007
9A = 100...00 + 2.5.100...00 + 5 = (10 + )2 2 2 2006 5 , là số chính phương 2006 2006
Bài 2: Chứng minh rằng số C = 44...4488...89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên HD:
Đặt 111...11 = a = 10n = 9a +1 n
Ta có: 444...4488...89 = 444...44888...8+1 = 4 .10n a + 8a +1 n n 1 − n n 2
= a( a+ ) + a+ = a + a+ = ( a+ )2 2 4 9 1 8 1 36 12 1 6 1 = 666...67 n 1 −
Bài 3 : Chứng minh rằng số A = 11...1+ 44...4 +1 là số chính phương 2n n HD : 2 10n + 2 Biến đổi A =
khi đó A là số chính phương 3
Bài 4 : Chứng minh số B = 11...1+11...1+ 66...6+ 8 là số chính phương. 2n n 1 + n HD : Trang 1 2 10n + 8
Biến đổi tổng B =
khi đó B là số chính phương 3
Bài 5 : Chứng minh rằng số C = 44...4 + 22...2 + 88...8+ 7 là số chính phương. 2n n 1 + n HD : 2 2.10n + 7 Biến đổi C =
khi đó C là số chính phương 3
Bài 6 : Chứng minh rằng A = 22499...9100...09 cũng là số chính phương n−2 n HD : 2n n 2 n 1 2n A + +
( n−2 ) n+2 n 1 224.10 99...9.10 10 9 224.10 10 1 .10 10 + = + + + = + − + + 9 n n n n n n ( n A + + = + − + + = − + = − )2 2 2 2 1 2 224.10 10 10 10 9 225.10 90.10 9 15.10 3
Vậy A là số chính phương.
Bài 7 : Chứng minh rằng B = 11...155...56 cũng là số chính phương. HD : 10n −1 10n − n 1
B = 11...155...5+1= 11...1.10n + 5.11...1+ 1 B = .10 + 5. +1 9 9 n n n n 2 2
10 n −10n + 5.10n − 5+ 9 10n + 2 B = =
, Vậy B là số chính phương 9 3
Bài 8 : Cho a = 11...1 (2008 chữ số 1) và b = 100...05 ( 2007 chữ số 0).
Chứng minh rằng: ab + 1 là số tự nhiên. HD: 2008 10 −1 Ta có: 2008 a = 11...1= ,b = 10 + 5 9 2008 ( 2008 − )( 2008 + ) ( 1008)2 2008 2 2008 10 1 10 5 10 + 4.10 − 5+ 9 10 + 2 = ab +1= +1= = 9 9 3
Vậy ab + 1 là 1 số tự nhiên
Bài 1 : Cho m = 111...1,n = 444...4 , Chứng minh rằng m+ n + 1 là số chính phương. 2k k HD: 2k k 2k k 2 10 −1 10 −1 10 −1 10 −1
10 k −1+ 4.10k − 4 + 9 Ta có: m = ,n = = m+ n+1= + 4. +1= 9 9 9 9 9 2 10k + 2 =
, Vậy m+ n + 1 là số chính phương. 3
Bài 1: Cho số nguyên dương n và các số A = 444...4 và B = 888...8 . 2n n
Chứng minh rằng: A + 2B + 4 là số chính phương. HD:
Ta có: A = 444.....4 = 444......4000...0 + 444.....4 = 444....4.(10n − ) 1 + 888....8 2n n n n n n Trang 2 2
= 4.111....1.999....9 + B = 4.111....1.9.111....1+ B = 6.111....1 + B n n n n n 2 2 3 3 = .888....8 + B = B + B 4 n 4 2 2 2 3 3 3 3
= A + 2B + 4 =
B + B + 2B + 4 = B + 2. . B 2 + 4 = B + 2 4 4 4 4 2 2 2 3 =
.888....8 + 2 = 3.222....2 + 2 = 666....68
Vậy A+ 2B + 4 là số chính phương. 4 n n n 1−
Bài 1: Cho: A = 111...1 ( 2m chữ số 1); B = 111...1 (m + 1 chữ số 1); C = 666...6 (m chữ số 6) .
Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương HD: 2 10 m −1 m 1 10 + −1 6(10m − ) 1 Ta có: A = 111...1= và B = 111...1= và C = 666...6 = 9 9 9 + − − ( m m m − ) 2 2 1 2 6 10 1 10 1 10 1
10 m +16.10m + 64 10m + 8
Khi đó : A + B + C + 8 = + + + 8 = = 9 9 9 9 3
Mà 10m + 8 3 = 10m + 8 Z . Vậy A + B + C + 8 là số chính phương.
Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; …. Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số
48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. HD : Xét số tổng quát :
44...488...89 = 44...488...8+1 = 44...4.10n + 88...8+1 n n 1 − n n n n 10n −1 10n − n n 1 = 4.11...1.10 + 8.11...1+1= 4. .10 + 8. +1 9 9 n n 2n n n 2 2 4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 n 4.10n − + − + + +1 2.10n +1 = = = 9 9 3
Mà 2.10n +1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính phương
Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2 2
2a + a = 3b + b
Chứng minh rằng 2a + 2b +1 là số chính phương. HD: Ta có: 2 2
a + a = b + b = (a− b)( a+ b+ ) 2 2 3 2 2 1 = b (*)
Gọi d là UC(a− ;
b 2a + 2b + ) 1 với *
d N , Thì: a− b d = (a− )
b ( a+ b+ ) 2 2 2 2 2
1 d = b d = b d ,
2a+ 2b +1 d Mà : (a− )
b d = a d = (2a+ 2b) d , mà (2a+ 2b+ )
1 d = 1 d = d = 1 Do đó : (a− ,
b 2a + 2b + )
1 = 1 , Từ (*) ta được : a − ,
b 2a + 2b +1 là số chính phương
Vậy 2a + 2b +1 là số chính phương.
Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2 2
2x + x = 3y + y Chứng minh : x − ;
y 2x + 2y +1;3x + 3y +1 đều là các số chính phương. Trang 3
Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2 2n . CMR : 2
n + m không là số chính phương. HD: Giả sử: 2
n + m là số chính phương. Đặt: 2 2
n + m = k (k N) (1) n
Theo bài ra ta có: n = mp( p N) 2 2 2 2 = m = Thay vào (1) ta được : p 2 2n n +
= k = n p + 2pn = p k = n ( p + 2p) = (pk)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p Do n ( pk)2 2,
là các số chính phương, nên 2
p + 2p là số chính phương.
Mặt khác: p p + p ( p+ )2 2 2 2 2
1 = p + 2p không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy 2
n + m không là số chính phương. Bài 1: Chứng minh: 3 3 3
A = 1 + 2 + ... + 100 là số chính phương
Bài 10 : Chứng minh rằng : S= 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ ...+ k(k + ) 1 (k + )
2 thì 4S+ 1 là số chính phương. HD :
Ta có : 4S= 1.2.3(4 − ) 0 + 2.3.4(5− ) 1 + ...+ k(k + )
1 (k + 2) (k + ) 3 − (k − )1
4S= (1.2.3.4− 0.1.2. ) 3 + (2.3.4.5−1.2.3. )
4 + ...+ k(k + ) 1 (k + ) 2 (k + ) 3 − (k − ) 1 k(k + ) 1 (k + )2
4S= k(k + ) 1 (k + 2)(k + ) 3
= 4S+1= k(k + ) 1 (k + 2)(k + )
3 +1 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 nên 4S+ 1 là số chính phương.
Bài 11 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương. HD:
Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là: ,
n n +1,n + 2,n + 3 2
Xét tích: P = n(n+ )(n+ )(n+ )(n+ ) = ( 2 n + n)( 2 n + n + ) = ( 2 n + n) + ( 2 1 2 3 4 3 3 2 3 2 n + 3n) 2 2 Dễ dàng nhận thấy: ( 2
n + n) P ( 2 3 n + 3n + )
1 Vậy P không thể là số chính phương.
Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
A = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) 4 2 3
4 + y là số chính phương. HD :
Ta có : A = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) 4 + y = ( 2 2
x + xy + y )( 2 2
x + xy + y ) 4 2 3 4 5 4 5 6 + y Đặt 2 2
x + 5xy + 5y = t (t Z) Khi đó :
A = (t − y )(t + y ) + y = t − y + y = t = (x + xy+ y )2 2 2 4 2 4 4 2 2 2 5
. Vậy A là số chính phương.
Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương. HD : Trang 4
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : ,
n n +1,n + 2,n + 3(n N) . Ta có :
A = n(n+ ) 1 (n+ 2)(n+ ) 3 +1= n(n+ ) 3 (n+ 2)(n+ ) 1 +1 A = ( 2 n + n)( 2 3
n + 3n + 2) +1 , Đặt n + n = t (t N) = A = t (t + ) + = (t + )2 2 3 2 1 1
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương. HD :
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n − 2;n −1; ;
n n +1;n + 2(n N,n 2)
Xét A = (n− )2 + (n− )2 + n + (n+ )2 + (n+ )2 2 = ( 2 2 1 1 2 5 n + 2)
Nhận thấy A 5 nhưng không chia hết cho 25 vì 2
n không có tận cùng là 3 hoặc 8
Bài 1: Chứng minh rằng: n N,n 1 thì 6 4 3 2
A = n − n + 2n + 2n không thể là số chính phương. HD: Giả sử: 6 4 3 2 2
n − n + 2n + 2n = k ,(k Z) 2 2 4 = n ( 2 n − ) 2 + n (n+ ) 2
= k = (n+ ) 2 n ( 3 2 n − n + ) 2
= k = (n+ ) 2 n (n− ) 2 1 2 1 1 2 1 1 +1 = k = (n− )2
1 +1 phải là số chính phương. 2 2
Ta lại có: (n− ) (n− ) 2 + = n + ( − ) 2 1 1 1
2 1 n n , Do n = (n− )2 1 1 +1 không phải là số chính phương. Vậy 6 4 3 2
A = n − n + 2n + 2n không thể là số chính phương.
Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương HD :
Gọi a = 2k +1,b = 2m+ ( 1 , k m N)
Xét a + b = ( k + )2 + ( m+ )2 2 2 2 2 2 1 2
1 = 4k + 4k +1+ 4m + 4m+1 = ( 2 2
4 k + k + m + )
m + 2 = 4t + 2(t N) Như vậy 2 2
a + b chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2, Vậy 2 2
a + b không là 1 số chính phương
Bài 17 : Chứng minh rằng: 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 , không phải là số chính phương HD:
Ta có: A = n (n + n+ ) + (n + n+ ) = (n + )(n+ )2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Vì 2
n + 1 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương
Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương HD :
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không chia hết cho 4 (1)
Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt 2
p +1= m (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> 2 m lẻ => m lẻ
Đặt m = k + (k N) 2 2 2 2 1
= m = 4k + 4k +1= p +1= 4k + 4k +1 2
= p = 4k + 4k = 4k(k + ) 1 4 mâu thuẫn với ( 1)
Vậy p+1 không thể là số chính phương Trang 5
Lại có : p = 2.3.5.7.... là 1 số chia hết cho 3 => p −1 = 3k + 2(k N) ( Vô lý)
Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương
Bài 19 : Cho N = 1.3.5.7....2019 . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N −1;2N;2N +1
không có số nào là số chính phương. HD :
Ta có : 2N −1 = 2.1.3.5.7...2019 −1
Thấy 2N 3 = 2n −1 = 3k + 2(k N) => 2N −1 không là số chính phương
Và 2N = 2.1.3.5.7...2019 là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số chính phương
Và 2N + 1 = 2.1.3.5....2019 + 1 lẻ nên không chia hết cho 4
2N 4 = 2N +1 không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.
Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N −1,2N,2N +1 không có số nào là số chính
phương, trong đó : N = 1.3.5...1999 HD :
Ta thấy : 2N 2,2N 4 = 2N không là số chính phương
N 3 = 2N −1 2(mod )
3 = 2N −1 không là số chính phương Giả sử : 2
2N +1 = k = k lẻ 2
= 2N = k −1= (k − ) 1 (k + ) 1 4 = N 2 Vô lý Vậy ta có đpcm
Bài 21 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị là 6,
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 số chính phương. HD :
Theo tính chất : ‘ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là
1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của chúng là :
1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương
Bài 22 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: A = ( 2 + a )( 2 + b )( 2 1 1
1+ c ) là số chính phương HD:
Ta có: ab + bc + ca = 1 2 2
= 1+ a = ab + bc + ca+ a = a(a+ b) + c(a+ b) = (a+ b)(a+ c) Tương tự : 2
1+ b = (a+ b)(b + c) và 2
1+ c = (a+ c)(b + c)
Khi đó : ( + a )( + b )( + c ) = (a+ b)(b+ c)(c + ) 2 2 2 2 1 1 1 a ,
Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương 1 1 1
Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a + b + c = 0, Chứng minh rằng M = + + 2 2 2 a b c
là bình phương của 1 số hữu tỉ HD: Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (a+b+ ) 2 c 1 1 1 + + = + + − 2 + + = + + − 2. = + + 2 2 2 a b c a b c
ab bc ac a b c abc a b c 2 2 2 a b c b c a
Bài 1: Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + . 2 2 2 b c a a b c
Chứng minh rằng một trong ba số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho đa thức bậc ba f (x) với hệ số 3
x là 1 số nguyên dương và f ( ) 5 − f ( ) 3 = 2010 Trang 6
Chứng minh rằng: f ( ) 7 − f ( ) 1 là hợp số HD: Ta có: f (x) 3 2 = .
a x + bx + cx + d (a Z , + ) Theo đề bài ta có:
= f ( ) − f ( ) = ( 3 3 − )a+ ( 2 2 2010 5 3 5 3 5 − 3 )b+ (5− )
3 c = 98a +16b + 2c = 16b + 2c = 2010 − 98a
Và : f ( ) − f ( ) = ( 3 − )a+ ( 2 7 1 7 1 7 − ) 1 b + (7− )
1 c = 342a + 3(16b+ 2c) = 342a+ 3(2010− 98 ) a
= 48a+ 6030 = 3(16a+ 2010) 3 . Vì a nguyên dương nên: 16a+ 2010 1 , Vậy f ( ) 7 − f ( ) 1 là hợp số.
Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương. HD : Giả sử: 2 2
a = m + n và 2 2
b = p + q ,( , m , n , p q Z) Ta có: a b = ( 2 2 m + n )( 2 2 p + q ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .
= m p + m q + n p + n q = m p + n q + 2mnpq + m q + n p − 2mnpq 2 2
= (mp+ nq) + (mq− n ) p , ĐPCM.
Bài 1: Cho = (10n A
+10n 1− +10n−2 + ..... +10 + ) 1 (10n+1 + 5)+1.
Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p. 3+ 5 3− 5
Bài 1: Với n 2008là số nguyên dương , đặt: n n
S = a + b , Với a = ;b = n 2 2 2 n n 5 +1 5 −1
Chứng minh: S − 2 = −
. Tìm số n để S − 2 là số chính phương. n 2 2 n
Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì 5n + 3
không phải là số nguyên tố. 2 2 a a + b
Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn: = 2 2 c c + b Chứng minh rằng : 2 2 2
a + b + c không thể là một số nguyên tố
Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số 2
A = 3n + 1+ 2015b (n là số tự nhiên) là số nguyên tố hay hợp số.
Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 chữ số 1
có dạng như sau: 10101; 101010101; …..; 1010……101; ….. (n nguyên dương)
Chứng minh các số trên đều là hợp số.
Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng 4 n n + 4 là hợp số.
Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.
Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai 2
x + ax + b +1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Trang 7 Chứng minh rằng 2 2
a + b là hợp số
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số: k k k k
A = a + b + c + d là hợp số với mọi số nguyên dương k.
Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết 4
12 n dưới dạng thập phân thì
ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ.
Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2 k + 4 và 2
k + 16 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
Bài 1: Chứng minh rằng: 2p 2 2 2 q +
không thể là số chính phương, với mọi p, q là các số nguyên không âm
Bài 1: Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: 5 5 2 2
x + y = 2x y .
Chứng minh 1− xy là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: (x − y)(y − )
z (z− x) = x + y + z
Chứng minh x + y + z 27
Bài 1: Chứng minh rằng nếu ba số a, a + k và a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6 2016 2016
Bài 1: Chứng minh số (2 + 3) +(2 − 3) là số chẵn.
Bài 1: Cho 2m −1 là số nguyên tố . Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố .
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2.
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
Bài 1: Cho a + 1 và 2a + 1 (a N) đồng thời là hai số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ; B = (20182018 + 20172018)2017
Chứng minh rằng: A > B. Trang 8
Dạng 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. HD :
Ta có : 10 n 99 = 21 2n + 1 199 , tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được :
25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84
Thay n vào 3n + 1 ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153
Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40
Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 26 và n - 11 đều là lập phương của 1 số nguyên dương. HD: 3
n+ 26 = a (1) Giả sử: với * , a b N 3
n −11= b (2)
Lấy (1) –(2) theo vế ta được: 3 3
= a − b = (a− ) b ( 2 2 37
a + ab + b ) = 37 = 1.37
Mà a b và 2 2
a − b a + ab + b nên ta có: − = a = b a b +1 1 =
= b = 3 = n = 38
a + ab + b = 37 (b + )2 2 2 1 + b(b + ) 2 1 + b = 37
Bài 1 : Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương. HD:
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho: 2 2
n + 2015 = a ,n + 2199 = b = (b− ) a (b+ ) 3
a = 184 = 2 .23 Vì b − ,
a b+ a là hai số có cùng tính chẵn lẻ và b − a b + a Nên: b − a = 2 a = 45 b − a = 4 a = 21 TH1: = = n = 10 hoặc: = = n = 1 − 574 0 (loại) b + a = 92 b = 47 b + a = 46 b = 25
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương. HD: Giả sử 2 n + 12 = a và 2 n −11= b ,( ,
a b N,a b) Suy ra: 2 2
a − b = n +12 − n +11= 23 = (a+ b)(a− b) = 23.1, Vì a+ b a− b 0 a+ b = 23 a = 12 Khi đó: = = n = 132 a− b = 1 b = 11
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để : n + 18 và n − 41 là hai số chính phương.
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho: 2n −15 là bình phương của số tự nhiên.
Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để 2
n + 2018 là số chính phương
Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 + 2010 là số chính phương.
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 2
A = n + n + 6 là số chính phương. Trang 9 HD: Ta có: 2
A = n + n + 6 là số chính phương nên A có dạng : 2 2
A = n + n + = k ( * 6 , k N ) 2 2 2 2
= 4n + 4n+ 24 = 4k = (2k) − (2n+ )
1 = 23= (2k + 2n+ )
1 (2k − 2n− ) 1 = 23 2k + 2n+1= 23 k = 6 =
, Vì 2k + 2n +1 2k − 2n −1 = .
2k − 2n−1= 1 n = 5
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương.
Bài 1: Tìm các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương.
Bài 1: Tìm số tự nhiên a sao cho : 2
A = a + 10a + 136có giá trị là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n −18n −10 là một số chính phương.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức 2
x + x + 6 là một số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho: 2
n −14n − 256 là số chính phương.
Bài 1:Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: 8 11 2 2 2n + + là số chính phương?
Bài 1: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để 27 2016 4 4 4n A = + + là số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để : 9 13 2 2 2n A = + + là số chính phương
Bài 3 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho 2m+ 1 n và 2n + 1 m HD : 2m+1 n Ta có : = ,
m n lẻ. Giả sử : n m = 2n + 1 3m 2n+1 m n = m =
TH1 : 2n + 1 = m do m+ = ( n+ ) 1, 3 2 1 2 2
1 +1 n = 3 n = n = 3,m = 7
TH2 : 2n + 1 = 3m do 3m = 2n + 1 2m+ 1 = m = 1 = n = 1
Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được : (1; ) 1 ,(1; ) 3 ,(3; ) 7 ,(3; ) 1 ,(7; ) 3
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n + 2n +12 là số chính phương HD: Đặt n + n +
= k (k N) = (n + n+ ) + = k = k − (n+ )2 2 2 2 2 2 2 12 2 1 11 1 = 11
= (k + n+ ) 1 (k − n− ) 1 = 11
Nhận xét: k + n + 1 k − n −1 nên ta có các TH sau: k + n+1= 11 k = 6 TH1: =
Vậy số tự nhiên cần tìm là 4
k − n−1= 1 n = 4
Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho: n(n + ) 3 là số chính phương. HD: Trang 10 Đặt n(n+ ) 2
= a (a N) 2 2 2 2 3
= n + 3n = a = 4n +12n = 4a = ( 2 n + n + ) 2 4 12 9 − 9 = 4a = ( n+ )2 2 2
3 − 4a = 9 = (2n+ 3+ 2 ) a (2n+ 3− 2 ) a = 9
Nhận xét: 2n + 3+ 2a 2n + 3− 2a và chúng là các số dương nên ta có: 2n+ 3+ 2a = 9 n = 1 =
2n+ 3− 2a = 1 a = 2
Bài 6 : Tìm số tự nhiên n sao cho 13n +3 là số chính phương. HD: Đặt 2
n + = y (y N) = (n− ) 2 13 3 13
1 = y −16 = 13(n− )
1 = (y+ 4)(y− 4)
= (y− 4)(y+ 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y − 4 13 => y = 13k 4(k N) Khi đó:
(n− ) = ( k )2 − = k( k ) 2 13 1 13 4 16 13 13
8 = n = 13k 8k +1 Vậy với 2
n = 13k 8k + (
1 k N) thì 13n+3 là số chính phương
Bài 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n + n + 1589 là số chính phương. HD: Đặt n + n +
= m (m N) = ( n + )2 2 2 2 2 1589 4 1 + 6355 = 4m
= (2m+ 2n+ ) 1 (2m− 2n− )
1 = 6355 = 6355.1= 1271.5 = 205.31= 155.41
Nhận thấy 2m+ 2n +1 2m− 2n −1 0 và chúng là những số lẻ nên ta có các TH
Xét các Th ta có các giá trị của n là: 1588; 316; 43; 28 Bài 8 : Tìm a để 2
a + a + 43 là số chính phương HD:
Làm tương tự như trên ta có: a = 2;a = 42;a = 13 Bài 9 : Tìm a để 2
a + 81 là số chính phương HD:
Làm tương tự ta có a = 0;a = 12;a = 40
Bài 10 : Tìm a để 2
a + 31a +1984 là số chính phương HD :
Làm tương tự như các bài trên ta có :
a = 12;a = 33;a = 48;a = 97;a = 176;a = 332;a = 565;a = 1728
Bài 11 : Tìm số tự nhiên n để : 2
n + 2004 là số chính phương HD :
Làm tương tự như trên ta có : n = 500;n = 164
Bài 12 : Tìm số tự nhiên n sao cho : (23− ) n (n− ) 3 là số chính phương. HD :
Làm tương tự như trên ta có : n = 3;n = 5;n = 7;n = 13;n = 19;n = 21;n = 23
Bài 13 : Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n + 4n + 97 là số chính phương
Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để 2n + 15 là số chính phương
Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để 2
n + 2006 là số chính phương HD : Đặt 2 2 n +
= m (m N) 2 2 2006
= m − n = 2006 = (m+ ) n (m− ) n = 2006
Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác : m+ n + m− n = 2m => 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ (2)
Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=> (m+ ) n (m− )
n 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn
Bài 16 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để : 2n + 15 là số chính phương Trang 11 HD : Đặt n 2
2 +15 = k , Vì n 2 2
2 3,15 3 = k 3 = k chia 3 dư 1
2n chia 3 dư 1=> n chẵn TH1: Nếu n=0=> n 2 2 = 4 TH2: Nếu n = ( ) n n = + ( ) 2 2 2 0 mod4 2
15 3 mod4 = k 3(mod4) vô lý
Vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Vậy n=0 là số cần tìm
Bài 17 : Tìm tất các các số nguyên n để : 4 3 2
n + 2n + 2n + n + 7 là số chính phương HD : 2 Đặt 2 4 3 2
y = n + n + n + n + = ( 2
n + n + ) − ( 2 2 2 7 1 n + n + 6) 2
= y = (n + n) 2 2 2 2 1 3 + n+ + 6. hoặc : 2 y = ( 2
n + n + ) − ( 2 2 3 n + n − ) 1 2 4 Khi n = 0 hoặc 2 n = 1
− = y = 7 không phải là số chính phương Với 2 n 0, 1
− = n + n−1= (n− ) 1 (n+ ) 1 + n và − ( 2 3 n + n − ) 1 0 2 2 2 n = 2 Ta có : ( 2 n + ) 2 n y ( 2 n + n + ) 2 = y = ( 2 2 n + n + ) 1 , lúc đó : 2
n + n − 6 = 0 = n = 3 −
Bài 18 : Tìm các số nguyên dương n sao cho số S = 1.2.3...7+ n(n+ ) 1 ...(n+ )
7 có thể viết dưới dạng n
tổng các bình phương của hai số nguyên dương. HD : Giả sử : 2 2
S = a + b với * , a b N n
Dễ thấy: n(n+ ) 1 ...(n+ ) 7 64 = S 4 = ,
a b chẵn = a = 2a ,b = 2b n 1 1 Đặt n(n+ ) 1 ...(n+ ) 7 = 64k . có: 2 2
a + b = 2.3.5.6.7+16k 4 = a = 2a ,b = 2b thay vào ta lại có tiếp: 1 1 1 2 1 2 2 2
a + b = 9.5.7+ 4k 3 mod4 , Vô lý vậy không tồn tại n thỏa mãn. 2 2 ( )
Bài 19 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho 8 11 2 2 2n + + là số chính phương. HD: Gỉả sử: 8 11 n 2 + +
= a (a N) n 2 2 2 2 2
= 2 = a − 48 = (a− 4 ) 8 (a+ 4 ) 8 2 .
p 2q = (a+ 4 ) 8 (a− 4 ) 8 với ( ,
p q N), p+ q = ,
n ( p q) khi đó ta có: a+ 48= 2p
= 2p − 2q = 96 = 2q (2p−q − =
= q = 5 và p − q = 2 = p = 7 = n = 12 q ) 5.3 1 2 a− 48 = 2 Thử lại ta thấy 8 11 n 2 2 + 2 + 2 = 80
Bài 20 : Tìm các số tự nhiên n để (n − )2 2 8 + 36 là số nguyên tố HD: Ta có: (n − )2 2 4 2 4 2
8 + 36 = n −16n + 64 + 36 = n +100 −16n 2 = ( 2 n + ) 2 − n = ( 2 n + − n)( 2 10 36 10 6 n +10 + 6n) Để (n − )2 2
8 + 36 là số nguyên tố thì n +
− n = = (n− )2 2 10 6 1 3 = 0 = n = 3
Thử lại với n = = (n − )2 2 3
8 + 36 = 37 là số nguyên tố Trang 12
Bài 21 : Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng n
p = n +1 . trong đó *
n N , biết p có không nhiều hơn 19 chữ số. HD: Ta thấy n=1 thỏa mãn: Với n 1 ta có:
TH1: Nếu n lẻ thì: ( n n + ) 1 (n+ ) 1 và ( n n + ) 1 n +1 TH2: Nếu = 2 . a n
t với a 0, t lẻ. Khi đó; 2 . a 2 = = +1 a n t n n n n n +1 6 6 TH3: Nếu 2a n = thì 16 + = ( 10) + ( 3) 19 16 1 2 .16 1 10 .10 = 10 = n 16
Thử và nhận thấy n=2, n=4, n=8 thỏa mãn.
Bài 22 : Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau : p 2 2 2q 2 5 +1997 = 5 + q HD : Ta có : 2 5 p ( 1 mod ) 3 và 2 2 5 q ( 1 mod ) 3 và ( ) 2
1997 2 mod3 = q 1+ 2 −1 2(mod ) 3
Vô lý, Vậy không tồn tại p và q thỏa mãn.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của 4
p là một số chính phương. HD:
a. Vì p là số nguyên tố nên 4
p có các ước tự nhiên là: 2 3 4 1; ;
p p ; p ; p Giả sử: 2 3 4 2
+ p + p + p + p = n ( * 1 , n N ) 2 2 3 4 4 3 2 2 2
4n = 4 + 4 p + 4 p + 4 p + 4 p 4 p + 4 p + 4 p = (2 p + p) ( 1)
Mặt khác: = n = p + p + p + p + p + p + + p + p + p = ( p + p)2 2 4 3 2 4 2 3 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 2 (2)
Từ (1) và (2) n = ( p + p + )2 2 2 2 4 3 2 4 2
1 = 4n = 4 p + 4 p + 5p + 2 p +1 Do đó 4 3 2 4 3 2
4 p + 4 p + 5 p + 2 p +1 = 4 p + 4 p + 4 p + 4 p + 4 2
= 2 p − 2 p − 3 = 0
= ( p − 3)( p +1) = 0 Vì p N = p = 3
Bài 1: Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của tổng 4 số còn lại
Bài 2: Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố x để tổng các ước tự nhiên của 4
x là một số chính phương. Trang 13
Bài 5: Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 2016) sao cho xy+x và
xy+y là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau 2n 3n +
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố n để:
là một số chính phương. 11
Bài 1: Cho một số tự nhiên có 4 chữ số abcd. Biết rằng a, b,c,d là 4 chữ số liên tiếp từ nhỏ đến lớn. Biết
bacd là một số chính phương. Tìm abcd
Bài 2: Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta
thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương. Trang 14
Dạng 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: A = a a a b b b a a a trong đó a 0 và b b b = 2.a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3
và đồng thời A viết được dưới dạng 2 2 2 2
A = p .p .p .p với p , p , p , p là bốn số nguyên tố. 1 2 3 4 1 2 3 4 HD: Ta có: 6 3
A = a a a b b b a a a = a a a .10 + b b b .10 + a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 3
= a a a .10 + 2.10 .a a a + a a a = a a a ( 6 3
10 + 2.10 +1 = a a a .1002001 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 = a a a .7 .11 .13 1 2 3
Như vậy a a a phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13 1 2 3
Do b b b 1000,a 0 = 100 a a a 500 1 2 3 1 1 2 3 a a a = 289
=>10 p 23 = p17,1 1 2 3 9 = a a a = 361 1 2 3
Vậy A = 289578289 hoặc A = 361722361
Bài 2 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng
nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị
vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương HD:
Gọi abcd là số phải tìm, a, b, c, d N,0 , a , b ,
c d 9,a 0 Với ,
k m N,31 k m 100 , ta có : 2 2 abcd = k abcd = k ( =
a + )(b + )(c + )(d + ) 2 2 1 3 5 3 = m
abcd +1353 = m Do đó : 2 2
m − k = 1353 = (m+ k)(m− k) = 123.11= 41.33,(k+ m 200) m+ k = 123 m+ k = 41 m = 67 m = 37 Nên hoặc : = hoặc m− k = 11 m− k = 33 k = 56 k = 4 Vậy abcd = 3136
Bài 3 : Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn: Tích của hai số bất kỳ trong ba số ấy cộng
với 1 chia hết cho số còn lại. HD: Gọi ba số càn tìm là: , a ,
b c , giả sử : 1 c b a
Ta có: ab + 1 c và bc + 1 a và ca + 1 b , Như vậy a b c = 1 c b a , Nhân theo vế ta được :
(ab+ )1(bc+ )1(ca+ )1 abc = abc ab+bc+ca+1= abc 3ab =1 c 3 (1)
TH1 : Nếu c = 2 = (ab + ) 1 2 = ,
a b là số lẻ. Từ (1) => 2a + 2b +1 ab = 2a + 2b +1 ab
Từ đó ta tìm được a=7, b=3 3b +1 a
TH2 : Nếu c = 3 =
= 3b +1= a hoặc 3b +1= 2a 3a+1 b
Xét 3b + 1 = a = a : 3 dư 1 = a 4,3a +1 b = 9a + 3 a −1 = 12 a −1 = a = 7,b = 2 c (loại)
Xét 3b + 1 = 2a làm tương tự như trên, ta thấy không có bộ ba số nào thỏa mãn:
Vậy bộ ba số cần tìm là: 7; 3; 2 Trang 15
Bài 4 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B HD : Gọi 2
A = abcd = k , Khi đó : B = (a+ )(b + )(c + )(d + ) 2 1 1 1 1 = m ( ,
k m N,32 k m 100) Khi đó ta có : 2 2
m − k = 1111= (m− k)(m+ k) = 1111 ( 1)
Nhận xét thấy tích (m− k)(m+ k) 0 = (m− k),(m+ k) là hai số nguyên dương m− k = m =
Và m− k m+ k 200 nên (m− k)(m+ k) 11 56 = 11.101= = m+ k = 101 k = 45
Vậy hai số A = 2025,B = 3136
Bài 5 : Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau một đơn vị HD : Đặt 2
abcd = k , ta có : ab − cd = 1 với (k N,32 k 10 ) 0 Suy ra : 2
101cd = k −100 = (k −1 ) 0 (k +1 )
0 = k +10 101 hoặc k −10 101 Mà (k −1;10 )
1 = 1 = k +10 101 , lại do :
32 k 100 = 42 k + 10 10 = k + 10 = 101 = k = 91 2 = abcd = 91 = 8281
Bài 6 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau HD :
Gọi số chính phương phải tìm là : 2
aabb = n ,(a,b N ),1 a 9,0 b 9 Ta có : 2
n = aabb = 11.a0b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1)
Nhân xét thấy : aabb 11 = a + b 11
Mà 1 a 9,0 b 9 = 1 a + b 18 = a + b = 11 Thay vào (1) ta được : 2 2 n = 11 (9a + )
1 = 9a +1 là số chính phương
Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4
Vậy số cần tìm là 7744
Bài 7 : Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương HD :
Gọi số chính phương đó là : 2 3
abcd = x = y ( , x y N) Vì 3 2
y = x = y cũng là một số chính phương.
Ta có : 1000 abcd 9999 = 10 y 21 mà y là số chính phương nên y =16 = abcd = 4096
Bài 8 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó
có tổng các chữ số là một số chính phương. HD :
Gọi số phải tìm là : abcd với , a , b ,
c d N,1 a 9,0 , b , c d 9
Vì abcd là số chính phương nên d 0;1;4;5;6;
9 mà d là số nguyên tố nên d = 5 Đặt 2
abcd = k 1000 = 32 k 100 với k là 1 số có hai chữ số mà 2
k có tận cùng là 5
=> k có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của k là một số chính phương = > k=45 Vậy abcd = 2025 Trang 16
Bài 9 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu bình phương của số đó và số bởi hai chữ số của số đó
nhưng viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. HD :
Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là : ab( , a b N,1 , a b ) 9 2 2 2 2
Số viết theo thứ tự ngược lại là : ba = ab = ba = ( a+ b) − ( b + ) a = ( 2 2 10 10 99 a − b ) 11 2 2
= a − b 11= (a− b)(a+ b) 11 , Vì 0 a− b 8,2 a+ b 18 = a+ b 11= a+ b = 11 2 2 2 2 Khi đó : 2 2
ab − ba = 3 .11 (a− b) , để ab − ba là số chính phương thì a − b phải là số chính
phương do đó : a − b = 1 hoặc a − b = 4 TH1 : Nếu 2 2 2
a − b = 1 = a + b = 11= a = 6,b = 5 = ab = 65 = 65 − 56 = 33
TH2 : a − b = 4,a + b = 11 = a = 7,5( loại)
Bài 10 : Cho một số chính phương có 4 chữ số, Nếu thâm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính
phương, Tìm số chính phương ban đầu. HD : Số cần tìm là 1156
Bài 11 : Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. HD :
Gọi số phải tìm là ab( ,
a b N,1 a 9,0 b ) 9 2
Theo bài ra ta có : ab = (a+ b)3 = ( a+ b)2 = (a+ b)3 10
Khi đó ab là một lập phương và
a+b là một số chính phương Đặt 3
ab = t (t N) 2
,a + b = m (m N)
Vì 10 ab 99 = ab = 27 hoặc ab = 64
TH1 : ab = 27 = a + b = 9 là số chính phương
TH2 : ab = 64 = a + b = 10 không là số chính phương ( loại)
Bài 12 : Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 có 4 chữ số giống nhau. HD :
Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là : 2n −1,2n +1,2n + 3(n N)
Ta có : A = ( n− )2 + ( n+ )2 + ( n+ )2 2 2 1 2 1 2
3 = 12n +12n +11= aaaa = 111.a với a lẻ và1 a 9 = 12n(n+ ) 1 = 1 ( 1 101a − )
1 = 101a −1 3 = 2a −1 3
Vì 1 a 9 = 1 2a −1 17 và 2a − 1 lẻ nên 2a −13;9;1 5 = a2;5; 8 => a=5 => n=21
Bài 13 : Tìm số có hai chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. HD :
Gọi số cần tìm là : a , b ( , a b N,0 ,
a b 9,a 0)
Theo bài ra ta có : ab(a+ )
b = a + b =
a + b = a − ab + b = (a+ b)2 3 3 2 2 10 − 3ab = 3a(3+ )
b = (a+ b)(a+ b − )
1 , lại có a + b và a + b −1 nguyên tố cùng nhau do đó :
a+ b = 3a a = 4;b = 8 =
, Vậy số càn tìm có thể là 48 hoặc 37.
a+ b −1= 3+ b a = 3; b = 7 Trang 17
Bài 14 : Số 1997 được viết dưới dạng tổng của n số hợp số với nhau, nhưng không viết được tổng của
n+1 số hợp số với nhau, hỏi n bằng bao nhiêu ? HD :
Nhận thấy 4 là hợp số nhỏ nhất mà 1997 4 , 1997
Gọi n là số hợp số có tổng bằng 1997, n nhỏ nhất = n = 499 4
Lại có : 1997= 4+4+4+…+4+9 ( có 447 số 4), Vậy n= 448
Bài 15 : Phân tích số 2000 thành tổng các bình phương của 3 số nguyên dương HD :
Ta phải tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : 2 2 2
x + y + z = 2000
Chú ý : Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ dư 0 hoặc 1 Mà : 2000 4 = , x ,
y z là số chẵn, Đặt 2 2 2
x = 2x , y = 2y ,z = 2z = x + x + x = 500 1 1 1 1 2 3 Tương tự : 2 2 2
x = 2x , y = 2y ,z = 2z = x + y + z = 125 1 2 1 2 1 2 2 2 2
Không mất tính tỏng quát ta giả sử : x y z = x y z 2 2 2 => 2 2
x 125 3.x = 6 x 12 2 2 2 Với 2 2
x = 7 = y + z = 76 , mà y ,z chẵn => 2 2
y + z = 19 , với y = y ,z = z 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3
Mà 19 chia 4 dư 3, nên không tồn tại y ,z thỏa mãn : 2 2 y + z = 19 3 3 3 3 Với 2 2
x = 8 = y + z = 61 = y = 6,z = 5 = x = 32, y = 24,z = 20 2 2 2 2 2 Với 2 2
x = 9 = y + z = 44 , lập luận giống như x = 7 2 2 2 2 Với 2 2
x = 10 = y + z = 25 = y = 4,z = 3 = x = 40,y = 14,z = 12 2 2 2 2 2 Với 2 2
x = 11 = y + z = 4 = y = 2,z = 0 không thỏa mãn 2 2 2 2 2 Trang 18
Dạng 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng nếu: 2n + 1 và 3n +1,(n N) , Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 HD:
Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn
Do 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n 8 = n 8 (1)
Do 3n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,
do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà (2n+ ) 1 + (3n+ )
1 = 5n + 2 , Do đó 3n + 1 và 2n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1
=> 2n 5 và 3n 5 = n 5 (2)
Từ (1) và (2) => n BCNN (5; ) 8 = n 40
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. HD : Đặt 2 2
n +1= k ,2n +1= m ( ,
k m N) , khi đó m là số lẻ 2
= m = 2a +1= m = 4a(a+ ) 1 +1 2
m −1 4a(a+ ) 1 = n = = = 2a(a+ )
1 => n là số chẵn => n+1 lẻ => k lẻ 2 2
Đặt k = b + (b N) 2 2 1
= k = 4b(b+ )
1 +1= n = 4b(b+ ) 1 = n 8 (1) Mặt khác 2 2
k + m = 3n + 2 2(mod ) 3 . Mặt khác 2 k và 2
m chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Nên đề 2 2 k + m ( ) 2 2 mod3 = k ( 1 mod ) 3 và 2 m ( ) 2 2
1 mod3 = m − k 3 Hay (2n+ ) 1 − (n+ ) 1 3 = n 3 (2) . Mà (8; ) 3 = 1 = n 24
Bài 3 : Chứng minh rằng: 4 3 2
n − 2n − n + 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n HD: 4 3 2
n − n − n + n = n( 3 2
n − n − n + ) 2 2 2 2 2 = nn
(n − 2) − (n − 2) = n
(n− )1(n+ )1(n− 2)
Vì (n− 2)(n− ) 1 n(n+ )
1 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho
2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3
Bài 4 : Chứng minh rằng: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 HD: Ta có: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + +
= 51.5n + 8.64n = (59− )
8 .5n + 8.64n = 59.5n + 8.(64n − 5n) Vì (64n 5n − ) (64− ) 5 = 59 (đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dương đều có: 5n (5n ) 1 6n (3n 2n + − + ) 91 HD: Ta có: 5n (5n ) 1
6n (3n 2n) (25n 18n) (12n 5n + − + = − − − ) Chia hết cho 7
(25n 12n) (18n 5n = − −
− ) Chia hết cho 13. Mà (7;1 ) 3 = 1 = đpcm.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3 HD :
Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có : a + b 3 Ta có : 3 3
a + b = (a+ ) b ( 2 2
a − ab + b ) = (a+ b) ( 2 2
a + 2ab + b ) − 3ab = (a+ ) b (a+ )2 b − 3ab
Vì a + b = (a+ b)2 3
− 3ab 3 , Do vậy (a ) b (a )2 b 3ab + + − 9 Trang 19
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a −1, ,
a a +1,(a N,a 0) 3 3 Ta có: = (a− ) 3 + a + (a+ ) 3 1
1 = 3a + 6a = 3a(a− ) 1 (a+ ) 1 + 9a
Bài 8: Chứng minh rằng: 10 11 −1 chia hết cho 100 HD: Ta có: 10 − = ( − )( 9 8 + + + + ) = ( 9 8 11 1 11 1 11 11 ... 11 1 10 11 +11 + ... +11+ ) 1 Vì 9 8
11 +11 + ... +11+1 , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 Vậy 10 11 −1 chia hết cho 100
Bài 9: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng ab − a − b + 1 48 HD:
Ta có: ab − a − b +1 = (a− ) 1 (b− )
1 , Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : 2 2 a = (2n+ ) 1 ,b = (2n+ ) 3 ,n Z 2 2
Khi đó: ab a b 1 (a ) 1 (b ) 1
(2n )1 1(2n )3 1 − − + = − − = + − + − 2 = ( 2 n + n)( 2 4 4 4n +12n + ) 8 = 16n(n+ ) 1 (n+ 2) 2 2 Vì 16n(n+ ) 1 (n+ ) 2 16 và n(n+ ) 1 (n+ )
2 3 = 16n(n+ ) 1 (n+ 2) 3 , mà (3;1 ) 6 = 1 2 Nên 16n(n+ )
1 (n+ 2) 48 = ab− a− b+1 48
Bài 10 : Chứng minh rằng không thể có các số nguyên lẻ : a ,a ,a ,...,a thỏa mãn đẳng thức: 1 2 3 2000 2 2 2 2 2
a + a + a + ...+ a = a 1 2 3 1999 2000 HD:
Nhận xét: Nếu a là số nguyên lẻ thì 2 a chia cho 4 dư 1
Giả sử a = k + = a = ( k + )2 2 2 2 1 2
1 = 4k + 4k +1= 4m+1,(m Z) .
Áp dụng nhận xét trên vào bài toán ta có: Nếu a ,a ,a ,...a
đều là các số nguyên lẻ thì: 1 2 3 2000 2 2 2 2
a + a + a + ...+ a
1+1+1+ ...+1 1999 mod4 3 mod4 (1) 1 2 3 1999 ( ) ( ) Mà 2 a 1 mod4 (2) 2000 ( )
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 11 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của nó bằng 1999. HD:
Ta thấy số 3998 = 2.1999 và số A = 19991999...199939983998...3998 luôn chia hết cho 1999
( Số A có x số 1999 và y số 3998)
Tổng các chữ số của A là : (1+ 9+ 9+ ) 9 x + (3+ 9+ 9+ ) 8 y = 1999 1999− 29y 11− y 11− y Khi đó ta có : x = = 71− y +
, Vì x N =
N = y = 11= x = 60 29 28 28
Vậy số A=19991999…199939983998…3998 thỏa mãn yêu cầu đầu bài
( số A có 60 số 1999 và 11 số 3998)
Bài 12 : Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 4 HD :
Xét 7 số tự nhiên bất kỳ : a ,a ,a ,...,a 1 2 3 7
Nhật xét : trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số có tổng chia hết cho 2 Trang 20