Chuyên Đề Số Học Tổng Hợp Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng nếu: 2n + 1 và 3n + 1,(n N) , Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 HƯỚNG DẪN:
Do 2n + 1 là số chỉnh phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn
Do 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n 8 = n 8 (1)
Do 3n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,
do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà (2n + ) 1 + (3n+ )
1 = 5n + 5 , Do đó 3n + 1 và 2n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1
=> 2n 5 và 3n 5 = n 5 (2)
Từ (1) và (2) => n BCNN (5; ) 8 = n 40
Bài 2: Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: A = a a a b b b a a a a  0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 trong đó và 1 b b b = 2.a a a
A = p .p .p .p
p , p , p , p 1 2 3
1 2 3 và đồng thời A viết được dưới dạng 2 2 2 2 1 2 3 4 với là 1 2 3 4 bốn số nguyên tố. HƯỚNG DẪN: Ta có: 6 3
A = a a a b b b a a a = a a a .10 + b b b .10 + a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 3
= a a a .10 + 2.10 .a a a + a a a 6 3
= a a a 10 + 2.10 +1 = a a a .1002001 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 2 3 2 2 2 = a a a .7 .11 .13 1 2 3 Như vậy a a a
1 2 3 phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13
Do b b b  1000,a  0 = 100  a a a  500 1 2 3 1 1 2 3 a a a = 289
=>10  p  23 = p17,1  1 2 3 9 =  a a a = 361  1 2 3
Vậy A = 289578289 hoặc A = 361722361
Bài 3: Cho số A = 11...11122...2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2), Chứng minh rằng A là số chính phương HƯỚNG DẪN:
Ta có: 9A = 100...00100...0025 = 100...00 + 100...00 + 25 2004 2005 4012 2007
9A = 100...00 + 2.5.100...00 + 5 = (10 + )2 2 2 2006 5 , là số chính phương 2006 2006
Bài 4: Chứng minh rằng số C = 44...4488...89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng
bình phương của 1 số tự nhiên HƯỚNG DẪN:
Đặt 111...11 = a = 10n = 9a + 1 n
Ta có: 444...4488...89 = 444...44888...8+ 1 = 4 .10n a + 8a+1 n n 1 − n n 2  
= a( a+ ) + a+ = a + a+ = ( a+ )2 2 4 9 1 8 1 36 12 1 6 1 =  666...67  n 1 −  Trang 1
Bài 5: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập
phương của chúng chia hết cho 3 HƯỚNG DẪN :
Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có : a + b 3 Ta có : 3 3
a + b = (a+ ) b ( 2 2
a − ab + b ) = (a+ b) ( 2 2
a + 2ab + b ) − 3ab
(a )b(a )2 b 3ab = + + −     Vì a + b = (a+ b)2 3
− 3ab 3 , Do vậy (a+ ) b (a+ )2 b − 3ab 9  
Bài 6: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 HƯỚNG DẪN:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a −1, ,
a a +1,(a N,a  0) 3 3 Ta có: = (a − ) 3 + a + (a+ ) 3 1
1 = 3a + 6a = 3a(a− ) 1 (a+ ) 1 + 9a
Bài 7: Chứng minh rằng: 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 , không phải là số chính phương HƯỚNG DẪN:
Ta có: A = n (n + n+ ) + (n + n+ ) = (n + )(n+ )2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Vì 2
n + 1 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng: 10 11 − 1 chia hết cho 100 HƯỚNG DẪN: Ta có: 10 − = ( − )( 9 8 + + + + ) = ( 9 8 11 1 11 1 11 11 ... 11 1 10 11 +11 + ...+11+ ) 1 Vì 9 8
11 +11 + ... +11+1 , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 Vậy 10 11 − 1 chia hết cho 100
Bài 9: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: A = ( 2 + a )( 2 + b )( 2 1 1
1+ c ) là số chính phương HƯỚNG DẪN:
Ta có: ab + bc + ca = 1 2 2
= 1+ a = ab + bc + ca + a = a(a+ b) + c(a+ b) = (a+ b)(a+ c) Tương tự : 2
1+ b = (a+ b)(b + c) và 2
1+ c = (a+ c)(b + c)
Khi đó : ( + a )( + b )( + c ) = (a+ b)(b + c)(c +  ) 2 2 2 2 1 1 1 a  ,
Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương + +
Bài 10: Chứng minh rằng: n 2 n 2n 1 5 + 26.5 + 8 59 HƯỚNG DẪN: Ta có: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + +
= 51.5n + 8.64n = (59− )
8 .5n + 8.64n = 59.5n + 8.(64n − 5n) Vì (64n 5n − ) (64− ) 5 = 59 (đpcm)
Bài 11 : Chứng minh rằng: 4 3 2
n − 2n − n + 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n HƯỚNG DẪN: 4 3 2
n − n − n + n = n( 3 2
n − n − n + ) 2 2 2 2 2 = nn
 (n − 2) − (n − 2) = n 
(n− )1(n+ )1(n−2) Trang 2
Vì (n − 2)(n − ) 1 n(n+ )
1 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số
chia hết cho 2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3
Bài 12: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a + b + c = 0 , Chứng minh rằng 1 1 1 M = + +
là bình phương của 1 số hữu tỉ 2 2 2 a b c HƯỚNG DẪN: Ta có: 2 2 1 1 1  1 1 1  1 1 1   1 1 1  (a+b+ ) 2 c  1 1 1 + + = + + − 2 + + = + + − 2. = + + 2 2 2 a b c  a b c
 ab bc ac  a b c abc  a b c        
Bài 13: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng
ab − a − b + 1 48 HƯỚNG DẪN:
Ta có: ab − a − b + 1 = (a − ) 1 (b − )
1 , Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : 2 2 a = (2n+ ) 1 ,b = (2n+ ) 3 ,n Z 2 2    
Khi đó: ab − a − b + 1 = (a − ) 1 (b− ) 1 = (2n+ ) 1 −1 (2n+ ) 3 −1     2 = ( 2 n + n)( 2 4 4 4n +12n + ) 8 = 16n(n+ ) 1 (n+ 2) 2 2 Vì 16n(n + ) 1 (n+ ) 2 16 và n(n+ ) 1 (n+ )
2 3 = 16n(n+ ) 1 (n+ 2) 3 , mà (3;1 ) 6 = 1 2 Nên 16n(n + )
1 (n+ 2) 48 = ab− a− b+1 48
Bài 14: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào
chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương HƯỚNG DẪN:
Gọi abcd là số phải tìm, a, b, c, d  N,0  , a , b ,
c d  9,a  0 Với ,
k m N,31 k  m  100 , ta có : 2  2 abcd = k   abcd = k  ( = 
a + )(b + )(c + )(d + ) 2 2 1 3 5 3 = m
abcd +1353 = m Do đó : 2 2
m − k = 1353 = (m+ k)(m− k) = 123.11= 41.33,(k+ m  200) m+ k = 123 m+ k = 41 m = 67 m = 37 Nên  hoặc :  =  hoặc  m− k = 11 m− k = 33 k = 56 k = 4 Vậy abcd = 3136
Bài 15: Tìm các số tự nhiên n để (n − )2 2 8 + 36 là số nguyên tố HƯỚNG DẪN: Ta có: (n − )2 2 4 2 4 2
8 + 36 = n −16n + 64 + 36 = n +100 −16n 2 = ( 2 n + ) 2 − n = ( 2 n + − n)( 2 10 36 10 6 n +10 + 6n) Trang 3 Để (n − )2 2
8 + 36 là số nguyên tố thì n +
− n = = (n− )2 2 10 6 1 3 = 0 = n = 3
Thử lại với n = = (n − )2 2 3
8 + 36 = 37 là số nguyên tố Trang 4