Chuyên Đề Số Nguyên Tố Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
1. Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
P là số nguyên tố  U ( p) = 1,  p Vd : 2, 3, 5, 7, ….
2. Định nghĩa hợp số : Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước 3. Các tính chất
a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số
b. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất
c. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
d. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn
e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất
f. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 4k 1;6n 1
g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số
h. Nếu a.b chia hết cho p ( p là số nguyên tố ) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
i. Số ước số của hợp số Giả sử 1 n 2 n *
n = p .p .... kn
p (n ,n ,...,n  N )  1 2 k 1 2 k
p , p ,......, p : Số nguyên tố *
n , n ,......, n (k  N ) 1 2 k 1 2 k
 số ước số của n là : (n +1)(n 1 + )(....(n +1) 1 2 k Vd : 2 2
100 = 2 .5  100 có : (2 +1)(2 +1) = 9 ước. Trang 1
*) Phương pháp kiểm tra một số là số nguyên tố hay hợp số Với *
n  N , n  1 ta kiểm tra theo các bước sau : - Tìm STN k sao cho : 2 2
k  n  (k +1)
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là hợp số
Bài 1: Tìm số tự nhiên n, sao cho
a. (2n + 5)(3n +1) là số nguyên tố b. 2
(n − 2)(n + n + 7) là số nguyên tố c. 2
(n +1)(n + n + 7) là số nguyên tố d. 2
n −1 là số nguyên tố Lời giải 2n + 5 1 a. Nếu n 1 → 
→ (2n + 5)(3n +1) là hợp số 3  n +1 1
Nếu n = 0 → (2n + 5)(3n +1) = 5 là số nguyên tố. Vậy n = 0
b. n = 0 → A = 3(tm);n = 1 → A = 1
− (loai);n = 2 → A = 0(loai);n = 3 → A = 11(tm) n − 2  2 +) n  3 → 
→ lahopso là hợp số 2
n + n −1 = n(n +1) −1  1 Vậy n = 0 hoặc n = 3.
c. n = 0(t / m);n  1(loai) Trang 2 n  3(loai) d. Ta có: 2
n −1 = (n +1)(n −1) →  n = 2( ) tm
Bài 2: Các số sau là số nguyên tố hay hợp sô, biết p là số nguyên tố a. 2
A = p + p + 2018 b. 2
B = p + p + 2 c. 2
p + 2000 d. D = 11...1211.....1 2017 2017 Lời giải a. 2
A = p + p + 2018 = p( p +1) + 2018 → A là số chẵn nên A là hợp số vì A lớn hơn 2 2 b. 2
B = p + p + 2 = p( p +1) + 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số c. 2 p + 2000
+) p = 2 → C : chan → là hợp số
+) p = 3 → C = 2009 7 → là hợp số +) 2
p  3 → p 3 dư 1 2
 p + 2000 3 → là hợp số vì 2000 chia 3 dư 2
d. Tổng các chữ số của D là : 2017 + 2 + 2017 chia hết cho 3 nên D chia hết cho 3 và D > 3 nên D là hợp số
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì 5 4
n + n +1 không phải số nguyên tố Lời giải
Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích được : 5 4 2 3
n + n +1 = (n + n +1)(n − n +1) Ta có : 2 3
n  1 → n + n +1;n − n +1  1 → là hợp số
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( Tự nhiên ) (a,b) sao cho a4 + 4b4 là số nguyên tố Trang 3 Lời giải Ta có: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
a + 4b = (a + 2b ) − (2ab) = (a + 2ab + 2b )(a − 2ab + 2b )
+) Nếu cặp số nguyên không cần xét a, b = 0
+) Nếu cặp số tự nhiên, ta phải xét a, b = 0
- Nếu a = 0 thì A = 4a4 ( loại )
- Nếu b = 0 thì A = a4 ( không là số nguyên tố ) - Nếu 2 2 2 2
a,b  1 → a + 2ab + 2b  a − 2ab + 2b  1 Để A là số nguyên tố a − b = 0 2 2 2 2
 a − 2ab + 2b = 1  (a − b) + b = 1  
 a = b = 1→ A = 5( )
tm → (a,b) = (1,1) b  =1 Trang 4
DẠNG TOÁN: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài toán: Tìm số nguyên tố p để 2 hoặc nhiều số phụ thuộc vào p cũng là số nguyên tố
- Tính chất : Cho q là một số nguyên tố, k là số tự nhiên khác 0, k không chia hết cho q. Khi
đó mọi dãy số cách đều gồm bốn số hạng, khoảng cách giữa các số hạng bằng k thì tồn tại
duy nhất 1 số chia hết cho q.
Vd : q = 2 , k = 3 ( k không chia hết cho q ) n ; n + 3 +) q = 3 , k = 2
n ; n + 2 ; n + 4 , chẳng hạn 3;5;  7 +) q = 5, k = 4
n, n + 4, n + 8, n + 12, n + 16 → 7,11,15,19,  23
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng đồng thời là số nguyên tố a. p + 2 và p + 10 b. p + 4 và p + 8 c. p + 10 và p + 20 d. p + 8 và p + 10 e. p + 10 và p + 14 Lời giải
a. Ta có : p p + 2, p + 10 là số nguyên tố
Xét dãy số : p + 2, p + 6, p + 10 luôn tồn tại một số chia hết cho 3 Mà : p + 2  4
P + 2 và p + 10 là số nguyên tố > 3 → p + 2 / 3; p +10 / 3 → p + 6 3 → p 3 → p = 3 Trang 5
Thử lại : p + 2 = 5, p + 10 = 13 là các số nguyên tố.
Cách 2 : ( lớp 8) xét mod 3
+) Nếu p = 3k → p = 3 → p + 2 = 5; p +10 = 13(tm)
+) Nếu p = 3k +1 → p + 2 = 3k + 3 3 → opso( h loai) +) Nếu *
p = 3k + 2 → p +10 = 3k +12 3(loai)(k  N )
Vậy p = 3. Thử lại thấy thỏa mãn
b. Xét dãy số : p +10; p +15; p + 20 3→ p=3
c. p +10; p +12; p +14
d. p + 4; p + 6; p + 8
d. p + 8; p + 9; p +10
Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp và đều là các số nguyên tố Lời giải
Gọi ba STN thỏa mãn bài toán là : p; p + 2; p + 4 ( p lẻ )
Trong ba số p, p + 2, p + 4 có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Có số 3 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3
Bài 3: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sa đồng thời là số nguyên tố
a. p + 2; p + 6; p + 8; p +14 b. p + 6; p + 8; p +12; p +14 → mod : 5
c. p + 4; p + 6; p +10; p +16; p + 22 Lời giải a. Xét dãy số : ;
p p + 2; p + 4; p + 6; p + 8 → tồn tại 1 số chia hết cho 5 Trang 6
+) p = 2 → p + 2 = 4 → loai
+) p = 3 → p + 6 = 9 → loai
 p 5 → p = 5 +) p  5 →  p = 5 
 p + 4 5 → p +14 5(loai)
b. p + 6; p + 8; p +10; p +12; p +14 5 c. ;
p p + 2; p + 4; p + 6; p + 8; p +10; p +12 +) p = 2, 3, 5 ( loại )
 p + 2 7 → p +16 7(loai) +) p  7 →  p = 7  thử lại đúng
 p + 8 7 → p + 22 7(loai)
Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho a. 2 2
p − 4; p + 4 đều là các số nguyên tố
b. p + 94; p +1994 là các số nguyên tố Lời giải a. Vì 2
p − 4 là số nguyên tố nên p > 2
+) Nếu p = 3 → thỏa mãn
+) p > 3, xét dãy số : 2 2 p − 4; ;
p p + 4 → có 1 số chia hết cho 3 2
→ p 3 → p 3 → p = 3(voly)
Cách khác : Xét số dư
+) p = 3k → p = 3 → tm +) 2 2 2 2
p = 3k +1 → p − 4 = (3k +1) − 4 = 9k + 6k − 3 = 3(3k + 2k −1) 3 → h / so +) 2 2 2 2
p = 3k + 2 → p − 4 = (3k +1) − 4 = 9k +12k + 4 − 4 = 3(3k + 4k) → h / so Trang 7 Vậy p =3
b. Xét dãy số p, p + 47, p + 94 có 1 số chia hết cho 3
+) p + 47 3 → p +1994 3 → loai → p 3 → p = 3(tm) Vậy p =3
Bài 5: Chứng minh rằng : 2 2
200 p −1;200 p +1 không thể đồng thời là số nguyên tố Lời giải Giả sử số 2 2
200 p −1;200 p +1 là số nguyên tố 2 200 p 3 Xét dãy số : 2 2 2
200 p −1;200 p ;200 p +1 → có 1 số chia hết cho 3 → 
→ p 3 → p = 3 (200,3) = 1 +) 2
p = 3 → 200.3 −1 = 1799 7(hopso) → voly → dpcm
Bài 6: Cho số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p2 – 1 cũng là số nguyên tố Lời giải
Ta đi tìm số nguyên tố p sao cho : 8p2 + 1 là số nguyên tố +) 2
p = 2 → 8 p +1 = 33 3 → loai +) 2
p = 3 → 8 p +1 = 73 là số nguyên tố
+) p  5 , khi đó : 2 2 2
p = (3k +1) → 8 p +1 = 3(8k + 3) 3 → 8 p +1 không là số nguyên tố
Hoặc xét : p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 Do đó p = 3 2
→ p = 3 → 8 p −1 = 71 là số nguyên tố. Trang 8
DẠNG TOÁN: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN NHỜ SỬ DỤNG TÍNH
CHẤT SỐ NGUYÊN TỐ A. Kiến thức
Trong nhiều trường hợp khi giải phương trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét các số nguyên tố của số dạng 2t 2t
n = a + b .
Một số tính chất của ước số nguyên tố của số n để sử dụng vào giải phương trình:
a. Mệnh đề 1. Nếu số nguyên tố = 2t p
k +1 với các số nguyên dương t, k và k lẻ, là ước của số 2t 2t
n = a + b thì p là ước số chung của a và b. Chứng minh:
+ Giả sử p không là ước số của số a thì p cũng không là ước số của số b  (a, p) = ( ,
b p) = 1. Theo định lí nhỏ Fermat thì p 1
a −  1(mod p) hay 2t k a  1 (mod p). + Tương tự 2t k b  1 (mod p) suy ra 2t 2t k k a + b  2 (mod p) *
Mặt khác sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 2t 2t 2t 2 ( ) + ( ) = ( t k k a b
a + b ).M = . n M trong đó k lẻ và M là số nguyên. Theo giả thiết 2t 2  ( t n p
a + b ) p , mâu thuẫn với *.
Tương tự p không là ước của số p thì p không là ước của số a cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy
số nguyên tố p phải là ước số chung của số a và số b.
b. Mệnh đề 2: Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau thì mọi ước số nguyên tố lẻ của a2 + b2 chỉ
có dạng 4m + 1 (mà không có dạng 4m + 3) trong đó m là số nguyên dương. Chứng minh: Trang 9
+ Xét ước số nguyên tố p = 4m + 3 = 2(2m + 1) +1. Theo mệnh đề 1 nếu p là ước số nguyên
tố của n = a2 + b2 thì p là ước số chung của a và b  p = 1, mâu thuẫn. Vì p lẻ nên p chỉ có dạng p = 4m + 1.
+ Ta thử vận dụng các tính chất trên vào giải một số phương trình nghiệm nguyên dưới đây.
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 3 x − y = 7 (1) Lời giải Phương trình (1) 2 3 3 2 2
 x +1 = y + 2  x +1 = (y + 2)(y − 2y + 4) (2)
Nếu y chẵn thì vế phải của (2) chia hết cho 4  x lẻ, 2 2
x = 2t +1  x +1 = 4t + 4t + 2 không chia hết cho 4, mâu thuẫn. Vậy y là số lẻ, 2 2
y = 2k +1 y − 2y + 4 = 4k + 3 nên nó phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + 3
(vì tích các số dạng 4m + 1 lại có dạng 4k + 1). Suy ra 2
x +1 có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề 2.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên. 2 2
Bài 2.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x + y x, y ) sao cho
là số nguyên dương và là x − y
ước số của 1995. Lời giải 2 2
Giả sử x + y = k nguyên dương và k là ước số của 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n = 3.7.19. Các x − y
số nguyên tố 3, 7, 19 đều có dạng 2(2m + 1) + 1 = 4m +3
Gọi ước chung lớn nhất của x, y là d = (x, y) thì x = du, y = dv với (u,v) =1. Theo giả thiết 2 2 2 2
x + y = k(x − y)  d (u + v ) = k(u − v) (1). Trang 10 Xét hai trường hợp:
1) k là ước số của n  k có ước số nguyên tố dạng 4m + 3.
Áp dụng mệnh đề 2 vào (1) thì 2 2
u + v không chứa các ước số nguyên tố của k nên k là ước số
của d  d = k.t . Từ (1) có 2 2
t(u + v ) = u − v , do đó 2 2 2
u  u + v  u − v  u  (1) vô nghiệm.
2) k = 5m với m là ước số của m. Lúc đó (1) trở thành 2 2
d(u + v ) = 5m(u − v) . Lập luận như trên
thì m là ước số của d. Suy ra d = m.t. Từ đó ta có 2 2
t(u + v ) = 5(u − v) (2) Từ (2) có 2 2
u + v  5(u − v) 2 2
A = u + v − 5(u − v)  0 (3) Mặt khác 2 2 2 2 2 2
4A = 4u − 20u + 25 + 4v + 20v + 25 − 50 = (2u − 5) + (2v + 5) − 50  1 + 7 − 50  0  A  0
Kết hợp với (3) phải có A= 0. u  = 3 u  = 2
Điều này xảy ra chỉ khi 2u − 5 = 1  và v=1, nghĩa là  và  v =1 v =1 x = 3m x = 2m
Từ A = 0 và (2) suy ra t = 1  d = m . Các số x, y phải tìm là  hoặc  trong đó y = m y = m
m là ước của n = 3.7.19, nghĩa là m lấy 8 giá trị sau: 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399.
Bài 3. Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương dạng 15a + 16b và 16a -15b với a,
b là các số nguyên dương nào đó. Lời giải
Giả sử 15a + 16b = m2 và 16a -15b = n2 (1) với m, n là các số nguyên dương. Khi đó: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
m + n = (15a +16b) + (16a −15b) = (15 +16 )(a + b ) = 481(a + b ) hay 4 4 2 2
m + n = 13.37(a + b ) (2) Trang 11
Các số nguyên tố 13 và 37 đều có dạng 2
p = 2 k +1 với k lẻ. Giả sử ( ,
m n) = d  m = du, n = dv với (u,v) =1 => (2) trở thành 4 4 4 2 2
d (u + v ) = 481(a + b ) (3) Vì (u,v) = 1 nên 4 4
u + v không chứa các ước số nguyên tố 13 và 37 do đó 481 là ước của d
 d = 481.t . Để cho m, n nhỏ nhất, ta lấy t = 1. Lúc đó (3) trở thành 3 4 4 2 2
481 (u + v ) = a + b (4) Từ (1) có 2 2
m − n = 31b − a hay 3 2 2
481 (u − v ) = 31a − b (5).
Có thể chọn u = v = 1 để m, n nhỏ nhất, lúc đó a = 31b và 2 2 3
a + b = 481 .2 .
Từ đó có b = 481 và a = 31.481 suy ra m = n = 481.
Bài 4. Tìm số có 3 chữ số mà có đúng 5 ước. Lời giải
Giả sử p và q là hai số nguyên tố khác nhau, khi đó pq có 4 ước đó là 1, p, q, pq và số p2q có
6 ước đó là 1, p, p2, q, pq, p2p. Do đó số phải tìm có dạng pn.
Vì số pn có n + 1 ước nên muốn có đúng 5 ước thì rõ ràng n = 4. Số p4 là số có 3 chữ số khi p = 5.
Vậy số phải tìm là 54 = 625.
Bài 5. Tìm 3 số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phương của hai số kia. Lời giải
Gọi ba số nguyên tố đó là a, b, c. Ta có 3 3
c = a − b chẳng hạn. => 2 2
c = (a − b)(a + ab + b ) . Trang 12
Muốn c là số nguyên tố thì a - b = 1, điều này chỉ xảy ra khi các số nguyên tố là a = 3, b = 2. Suy ra: c = 27 - 8 = 19.
Vậy ba số nguyên phải tìm là 2; 3; 19.
Bài 6. Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;... ta lập hai dãy số 5 = 2 +
3; 8 = 3 + 5; 12 = 5 + 7; 18 = 7 + 11; 24 = 11 + 13; ... và 6 = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 =
7.11; 143 = 11.13; ... Có hay không một số hạng nào đó của dãy thứ nhất bằng một số hạng
nào đó của dãy thứ hai. Lời giải Nhận xét:
+ Ở dãy thứ nhất các số hạng theo thứ tự là tổng của hai số nguyên tố liền nhau và tất cả số
hạng của dãy (trừ số hạng đầu là 5) đều là chẵn.
+ Ở dãy thứ hai các số hạng theo thứ tự là tích của hai số nguyên tố liền nhau và tất cả số
hạng của dãy (trừ số hạng đầu là 6) đều là lẻ.
Do đó ta có thể kết luận rằng: không có một số hạng nào của dãy thứ nhất bằng một số hạng của dãy thứ hai.
Bài 7. Tìm số nguyên tố p biết rằng p + 2 và p +4 cũng là số nguyên tố. Lời giải
Do p  1 vì 1 không phải là số nguyên tố, nên p có thể có dạng p = 3k.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 là hợp số.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 cũng là hợp số.
Do đó p chỉ có thể bằng 3 và p + 2 = 3 + 2 =5 là số nguyên tố, p + 4 =3 +4 =7 là số nguyên tố. Trang 13
Bài 8. Có bao nhiêu số có ba chữ số mà mỗi chữ số của nó là ước nguyên tố của chúng? Lời giải
Các ước nguyên tố có 1 chữ số là: 2; 3; 5 và 7.
Nếu số phải tìm bắt đầu bằng chữ số 2 thì nó phải chia hết cho 2 và tận cùng bằng 2. Chữ số
thứ hai phải là 2, vì số 232 không chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho 5 và số 272
không chia hết cho 7. Vậy số phải tìm là 222.
Tương tự số phải tìm mà bắt đầu bằng chữ số 5 thì đó là số 555.
Bây giờ nếu bắt đầu bằng 3 thì hai chữ số cuối phải tạo thành một số chia hết cho 3, do đó
chúng chỉ có thể là 3 và 3 hoặc 5 và 7.
Thử lại thấy rằng chỉ có số 333 là thích hợp.
Cuối cùng nếu bắt đầu bằng 7 thì hai chữ số cuối phải tạo thành một số chia hết cho 7. Thử
lại thấy rằng chỉ có hai số 777 và 735 là thích hợp.
Tóm lại có 5 số thỏa mãn bài ra là: 222; 333; 555; 735; 777.
Bài 9. Một xí nghiệp điện tử trong một ngày đã giao cho một cửa hàng một số máy tivi. Số
máy này là một số có ba chữ số mà nếu tăng chữ số đầu lên n lần, giảm các chữ số thứ hai và
thứ ba đi n lần thì sẽ được một số mới lớn gấp n lần số máy đã giao. Tìm n và số máy tivi đã giao. Lời giải
Giả sử số máy tivi đã giao là abc =100a +10b + c . Ta có:
100(a + n) +10(b − n) + (c − n) = n(100a +10b + c)
hay 100a +100n +10b −10n + c − n =100an +10bn + cn . Từ đó ta được: 89n
100a +10b + c = . n −1 Trang 14
Nhưng 89 là số nguyên tố nên hoặc n - 1 phải bằng 1 hoặc n phải chia hết cho n-1. Trong cả
hai trường hợp ta đều tìm được n =2 và abc =178 .
Vậy số máy tivi đã giao là 178.
Bài 10. Những số nguyên tố nào có thể là ước của số có dạng 111...11? Lời giải
Trước hết ta nhận xét rằng số có dạng 111...11 không chia hết cho 2 số nguyên tố 2 và 5.
Giả sử p là số nguyên tố khác 2 và 5. Ta hãy xét p + 1 số sau:
1, 11, 111, 1111, ....,111...11.
ít nhất hai trong các số trên khi chia cho p có số dư giống nhau, thế thì hiệu của chúng
11...1100..0 chia hết cho p.
vậy số có dạng 111...11 có ước là tất cả số nguyên tố trừ hai số nguyên tố 2 và 5. Trang 15
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó là tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố Lời giải
Gọi số nguyên tố cần tìm là : a
Theo bài ra ta có : a = b + c = d – e ( a, b, c, d là các số nguyên tố )
Dễ thấy : a = b + c > 2 → a là số nguyên tố lẻ → b,c khác tính chẵn lẻ
Giả sử b > c → c = 2
a = d − e
d,e  cha , n le Có :  →  → e = 2 a : le d  e
Vậy a = b + 2 = d – 2 → d = b + 4 → b,b + 2,b + 4 là số nguyên tố → b = 3 → a = 5,d = 7
Vậy a = 5 là số nguyên tố cần tìm
Bài 2: Giả sử p và p2 + 2 đều là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố Lời giải +) * 2
p = 3k +1(k  N ) → p + 2 là hợp số +) * 2
p = 3k + 2(k  N ) → p + 2 là hợp số +) 3
p = 3k → p = 3 → p + 2 = 29(tm) là hợp số
Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho các số b = + ; c = + ; a p a c q b
a r = c + b đều là
các số nguyên tố. CMR : Trong ba số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau Lời giải Trang 16
Trong ba số a, b, c có ít nhất 2 số có cùng tính chất chẵn lẻ, chẳng hạn b và c cùng lẻ
→ r là số chẵn → = 2 a r
→ c + b = 2 → b = c = 1 1
 p = a +1 = a +1 Khi đó 
→ p = q → KL 1
q =1 + a = a +1
Tương tự các trường hợp còn lại
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp sao cho 2 2 2
p + q + r cũng là số nguyên tố Lời giải +) Nếu p, q, r > 0 2 2 2 2 2 2
→ p ,q ,r  1(mod3) → p + q + r  3  0(mod3) → h / so 
 p,q,r = 2,3,  5
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3 → số đó là 3 →   p,q,r   = 3,5,  7
Bài 5: Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho : abc < ab + bc + ca Lời giải
Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát : Giả sử
a  b  c → abc  ab + bc + ca  3bc → a  3 → a = 2 → 2bc  2b + bc + 2c(1) → bc  2(b + c)  2.2c b = 2
→ bc  4c → b  4 → b =3
+) b = 2 → (1) : 4c  4 + 4c(dung) c   2 c  6 c = 3
+) b = 3 → (1) : 6c  6 + 5c   → c b   c = 5 Vậy bộ ba số là :
+) (2,2,p) : Với p là số nguyên tố +) (2,3,3) hoặc ( 2,3,5) Trang 17
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn a. 2 2
3x +1 = 19 y b. 2 2
5x −11y = 1 c. 2 2 x −12 y = 1 Lời giải a. Nếu x chẵn 2
→ x = 2 →13 = 19y (loai) Nếu x lẻ 2 2 2
→ 3x : le → 3x +1: chan →19y : chan → y : chan → y = 2 → x = 5 → (x, y) = (5,2) b. Nếu y lẻ 2
→11y +1: chan → x : chan → x = 2
+) Nếu y chẵn → y = 2 → x = 3 → (x, y) = (3,2)
c. Không xét được tính chẵn lẻ
+) Với y = 2 → x = 7 → tm
+) Với y > 2 → x  7 → x : le
Đặt x = 2k + 1, thay vào (1), được : 2 2 2 2
(2k +1) = 12y +1  4k(k +1) = 12y  k(k +1) = 3y (2) chan le VT (2) : chan
Vì x > 7 → k  3, y : le →
 →VT  VP VP(2) : le  Vậy x = 7, y = 2
Bài 7: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 11 là các số nguyên tố Lời giải  p = 2
Ta có : pq + 11 > 3 nên là số nguyên tố lẻ → pq : chan →  q = 2
+) p = 2 → q,q +14,2q +11: lacacsonguyento
Nếu q = 3k + 1 → q +14 : lahopso Trang 18
Nếu q = 3k + 2 → 2q +11: lahopso → q = 3k → q = 3 → tm → p = 2,q = 3
+) q = 2 → p;7 p + 2;2 p +11: lacacsonguyento
Xét số dư chia cho 3 → p = 3,q = 2(tm)
Bài 9: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số
hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp Lời giải
abba = 1001a +110b 11 → 3 :TH
+) TH1 : abba = 5.7.11 = 385 → loai
+) TH2 : abba = 7.11.13 = 1001 → tm
+) TH3 : abba = 11.13.17 = 2431 → loai
Bài 10: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: y x +1 = z Lời giải +) Nếu x lẻ y → : y
x le → x +1: chan → z = 2 → loai do z > 2 vì y z = x +1  2 → : → = 2 → 2y x chan x
+1 = z mà y  2 → z  5 +) Nếu y lẻ 2k 1 2 1 2 1 4k y k z + → = + → = + = .2 +1
Ta có: 4k : 3 1 → 2.4k : 3 2 → 4k du du
.2 +1 3 → z 3, z  5 → k ô h ng z
 → y:chan → y = 2 → z = 5
Bài 11: Tìm ba số nguyên tố p, q, r sao cho : q p
p + q = r Lời giải +) Có : 2 2
r  2 + 2 = 8 → r : le Trang 19 Nếu p, q lẻ q p
→ p + q : chan → r = 2 → loai → p,q khác tính chẵn lẻ Giả sử p chẵn, q lẻ 2 → = 2 → 2q p + q = r
+) Nếu  3 → : → = 2 +1 → 2q = 4k q q le q k .2chia3du2
q > 3 nên q không chia hết cho 3 nên q2 chia 3 dư 1 q 2
→ 2 + q 3 → r 3 → loa .id . o r  8
Vậy q  3 → q = 3 → r = 17(tm)
Vậy p = 2, q = 3, r = 17 hoặc p = 3, q= 2, r = 17 Hoặc cách khác p 2 p 2
p  3 → 2 + p = (2 +1) + ( p −1) → ho . p so 3 3
Bài 12: Tìm tất cả các số x, y sao cho a. 2 2
7x − 3y = 1 b. 2 x = 8y +1 Lời giải a. 2 2
7x − 3y = 1 → x, y khác tính chẵn lẻ
+) x = 2 → y = 3(tm); y = 2 → loai b. 2
x = 8y +1 → x : le
+) x = 3 → y = 1 → loai +) 2
x  3 → x / 3 → x : 3d 1
u → 8y +1: 3d 1
u → 8y 3 → y 3 → y = 3 → x = 5 Trang 20