Chuyên đề sự xác định đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn

Tài liệu gồm 32 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề sự xác định đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn.Mời bạn đọc đón xem

149 75 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

32 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN – TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Đường tròn
Đường tròn tâm
O , bán kính
0RR là hình gồm các điểm cách điểm O
một khoảng bằng
R
. Kí hiệu:
;OR
.
Vị trí tương đối
Cho đường tròn
;OR và điểm
M
.
M
nằm trên đường tròn
;OR
OM R
.
M
nằm ngoài đường tròn
;OR
OM R.
M
nằm trong đường tròn
;OR
OM R
.
Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tính chất đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối
xứng của đường tròn đó.
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là
trục đối xứng của đường tròn.
Độ dài đường tròn và diện tích hình tròn
Cho đường tròn có bán kính
R
và đường kính d .
Độ dài đường tròn (hay còn gọi là chu vi) được tính bằng công thức:
2CRd

.
Độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính
R
, độ dài l của một cung
n được tính theo công thức:
180
Rn
l
.
Diện tích hình tròn:
2
SR
.
Diện tích hình quạt tròn: Trên đường tròn bán kính
R
, cung n được tính theo công thức:
2
360 2
R
nlR
S

(với
l là độ dài cung n của hình quạt tròn).
Đường kính và dây của đường tròn
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN
Dạng 1: Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn
Bài tập mẫu
Ví dụ 1:
Cho đường tròn có bán kính là 5 cm. Tính
a) Chu vi và diện tích hình tròn.
b) Độ dài cung
60 của một đường tròn có bán kính là 5 cm.
c) Diện tích của hình quạt tròn có số đo cung là
30 .
Giải chi tiết
a) Chu vi hình tròn là: 2 2 .5 10 cmCR

 .
Diện tích hình tròn là:
22 2
.5 25 cmSR


.
b) Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn với
60 , 5 cmnR , ta có:

.5.60 5
cm
180 180 3
Rn
l

 .
c) Diện tích hình quạt tròn có số đo cung là
30 là:

22
2
.5 .30 25
cm
360 360 12
Rn
S

 .
Ví dụ 2: Tính chu vi của hình tròn có độ dài cung 30 là
5cm
.
Giải chi tiết
Gọi
R
là bán kính đường tròn.
Theo đề bài ra ta có:
.30
530 cm
180 6
RR
R
.
Chu vi hình tròn là:
22.3060 cmCR


.
Ví dụ 3:
Biết diện tích cái bàn tròn là
2
64 dm
. Tính độ dài cung
45
của cái bàn tròn đó.
Giải chi tiết
Gọi
R
là bán kính đường tròn.
Theo đề bài ra ta có:
2
64 . 8 dmRR


.
Độ dài cung
45 của cái bàn đó là:
8.45
2 dm
180 180
Rn
l
 .
Ví dụ 4: Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 5 cm.
Giải chi tiết
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông
A
BCD
có tâm
O
là giao điểm hai đường chéo.
Suy ra bán kính của nó là:
22 22
55 52
cm
22 22
AC AB BC
R

 .
Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông
A
BCD là:

2
22
52 25
cm
22
SR






.
Ví dụ 5: Một chiếc bánh pizza có đường kính là 40 cm. John nói với chủ quán là anh ta muốn ăn một
miếng bánh có diện tích hình quạt tròn là
2
100 cm
. Bác đầu bếp bối rối không biết cắt như thế nào cho
đúng, bạn hãy giúp bác đầu bếp để bác ấy có thể phục vụ vho John, anh ta đói lắm rồi.
Giải chi tiết
Để xác định nên cắt cái bánh như thế nào, ta sẽ xác định xem cần cắt cái bánh một góc bao nhiêu độ từ
tâm của cái bánh.
Bán kính của cái bánh pizza là:
40
20 cm
2
R  .
Diện tích hình quạt tròn là
2
100 cm
nên từ công thức
2
360
R
n
S
.
Suy ra
22
.360 100 .360
90
.20
S
n
R
 .
Vậy bác đầu bếp cần cắt cái bánh từ tâm một góc
90 thì sẽ đúng yêu cầu của John.
Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài tập mẫu
Ví dụ 1:
Chứng minh các định lý sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác
vuông.
Giải chi tiết
a) Giả sử tam giác
A
BC vuông tại
A
. Gọi O là trung điểm của
B
C .
Suy ra
1
2
OA BC OB OC
(tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).
Do đó, điểm
O cách đều ba đỉnh ,,
A
BC hay O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Giả sử đường tròn
O
đường kính
B
C ngoại tiếp tam giác.
Ta có:
OA OB OC (vì cùng là bán kính)
1
2
OA OB OC BC
.
Mà
OA là đường trung tuyến ứng với cạnh
B
C nên
A
BC vuông tại
A
.
Nhận xét
Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng
thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.
Ví dụ 2: Cho tam giác
A
BC
vuông tại
A
, điểm D thuộc cạnh
A
B , điểm E thuộc cạnh
A
C
. Gọi
M
,
,,NPQ lần lượt là trung điểm của ,,,DE DC BC BE . Chứng minh rằng bốn điểm ,,,
M
NPQ cùng
thuộc một đường tròn.
Phân tích đề bài
Đề bài cho các trung điểm, ta nghĩ đến việc áp dụng tính chất đường trung bình để chứng minh tứ giác
M
NPQ là hình bình hành. Mà
A
BC vuông tại
A
nên ta sẽ đi chứng mính
M
NPQ là hình chữ nhật.
Giải chi tiết
Ta có:
//
1
2
MN EC
M
NEC
(vì
M
N
là đường trung bình của
DEC
).
Ta có:
//
1
2
PQ EC
P
QEC
(vì
M
N là đường trung bình của
B
EC ).
Suy ra:
//MN PQ
M
NPQ
MN PQ
là hình bình hành. (1)
Mặt khác //QM BD (do
M
Q là đường trung bình của
B
DE ) và
90QMN BAC
(góc có cạnh tương ứng song song). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
M
NPQ
là hình chữ nhật. Các tam giác vuông
QMN
và
QPN
có chung cạnh huyền
QN
nên bốn điểm
,,,
M
NPQ
cùng thuộc một đường tròn đường kính
QN
.
Ví dụ 3: Cho hình thoi
A
BCD . Đường trung trực của cạnh
A
B
cắt
BD
tại
E
và cắt
A
C tại
F
. Chứng
minh ,EF lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác
A
BC và
A
BD .
Phân tích đề bài
Để chứng minh điểm
E
là tâm đường tròn ngoại tiếp
A
BC thì:
+ Hướng 1: Chứng minh
A
BC vuông là có E là trung điểm
của cạnh huyền.
+ Hướng 2: Chứng minh
E là giao điểm của các đường trung
trực của
A
BC
.
Giả thiết cho
A
BCD
là hình thoi nên khả năng
A
BC
vuông sẽ
không xảy ra. Lại có E thuộc đường trung trực của cạnh
A
B nên
ta có thể chứng minh theo cách 2.
Tương tự với chứng minh F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
BD .
Giải chi tiết
Gọi OACBD. Vì
A
BCD là hình thoi nên O là trung điểm của
A
C và
B
DAC tại O .
B
D là đường trung trực của đoạn
A
C .
Mà
EF là đường trung trực của
A
B (theo giả thiết) và EF BD E. Suy ra E là tâm đường tròn
ngoại tiếp
A
BC .
Chứng minh tương tự, ta cũng có F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
BD .
Ví dụ 4: Cho đường tròn
O đường kính
A
B . Vẽ đường tròn
I đường kính OA . Bán kính OC của
đường tròn
O
cắt đường tròn
I
tại
D . Vẽ
CH AB
. Chứng minh tứ giác
A
CDH
là hình thang
cân.
Phân tích đề bài
A
CDH là hình thang cân
có OAC OCA
A
CDH là hình thang
//DH AC
OH OD
OA OC
OH OD
có OA OC
A
DO CHO
Giải chi tiết
Xét
A
DO
và
CHO
có:
90ADO CHO
(giả thiết).
A
OD chung.
OA OC
(bán kính đường tròn
O
).
A
DO CHO 
(cạnh huyền – góc nhọn)
OH OD
(hai cạnh tương ứng).
//
OH OD
DH AC
OA OC
 (định lí Ta-lét đảo)
A
CDH là hình thang. (1)
Mà
OAC OCA
(do
A
OC
cân tại
O
). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
A
CDH là hình thang cân.
Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
Bài tập mẫu
Ví dụ 1:
Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 5 cm và dây 8 cmAB .
a) Tính khoảng cách từ
O
đến
A
B .
b) Gọi
I
là điểm thuộc dây
A
B
sao cho
1 cmAI
. Kẻ dây
CD
đi qua
I
và vuông góc với
A
B
.
Chứng minh
CD AB .
Giải chi tiết
a) Kẻ
OE AB E AB, suy ra
E
là trung điểm của
A
B
4 cm
2
AB
EB EA (quan hệ đường kính và dây cung).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông
OEB
, ta có:
22 2 2222
54 3 cmOE EB OB OE OB EB . (1)
Vậy khoảng cách từ
O đến
A
B
là 3 cm.
b) Ta có
413 cmIE AE AI .
Mà tứ giác
OEIF
là hình chữ nhật nên
3 cmOF IE
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
OE OF hay khoảng cách từ tâm đến hai dây
A
B
và CD bằng nhau.
A
BCD (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính
A
B , dây CD không cắt đường kính
A
B . Gọi ,HK lần
lượt là hình chiếu vuông góc của
,
A
B lên CD .
Chứng minh CH DK .
Giải chi tiết
Kẻ
OE CD E CD E
là trung điểm của CD (quan hệ đường kính
và dây cung)
EC ED. (1)
Ta có:
//
A
HBK
(cùng vuông góc với
CD
) nên tứ giác
A
HBK
là hình
thang.
Lại có // //OE AH BK và O là trung điểm của
A
B
nên OE là đường trung bình của hình thang
A
HBK
E
là trung điểm của
HK EH EK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
CH DK
(đpcm).
Ví dụ 3: Cho đường tròn
;OR . Vẽ hai bán kính
,OA OB
. Trên các bán kính
,OA OB
lần lượt lấy các
điểm
,
M
N sao cho OM ON . Vẽ dây CD đi qua ,
M
N (
M
nằm giữa C và N ).
a) Chứng minh
CM DN
.
b) Giả sử
90AOB . Tính OM theo
R
sao cho CM MN ND.
Giải chi tiết
a) Kẻ
OH CD H CD HC HD (quan hệ đường kính và dây
cung). (1)
Theo giả thiết
OM ON nên OMN cân tại OHMHN (2)
Lại có
; CH CM MH DH DN NH
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
CM DN .
b) Giả sử
CM MN ND
. Đặt
0OH x x
. Ta có:
2OM x
(vì
OMN
vuông cân);
; 3 3
M
N NH x HD HN x .
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông
HOD có:

2
2222 2 22
310
10 5
R
R
OH HD OD x x R x R x OM   .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính
của Trái Đất.
Câu 2: Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 20 cm và số đo cung là
30
.
Câu 3: Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu tăng bán kính lên gấp ba lần?
Câu 4: Biết chu vi hình tròn là 16
cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là 50 .
Câu 5: Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có
đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe
trước lăn được mấy vòng?
Câu 6: Cho tứ giác
A
BCD
có
90CD
. Gọi
,,,
M
NPQ lần lượt là trung điểm của ,,
A
BBDDC và
CA . Chứng minh rằng bốn điểm
,,,
M
NPQ
nằm trên một đường tròn.
Câu 7: Cho hình thoi
A
BCD có
60A . Gọi ,,,EFGHlần lượt là trung điểm của các cạnh
,,,
A
BBCCDDA. Chứng minh 6 điểm ,,,,,EFGHBD cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 8:
Cho hình thang
// ,
A
BCD AB CD AB CD có
60 , 2CD CD AD . Chứng minh 4 điểm
,,,
A
BCD
cùng thuộc một đường tròn.
Câu 9: Cho tam giác
A
BC có các đường cao
BH
và CK .
a) Chứng minh:
,,BKH và
C
cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
b) So sánh
K
H
và
B
C
.
Câu 10: Cho đường tròn
;OR có
A
B là đường kính,
H
là trung điểm của OB . Vẽ dây CD vuông
góc với
A
B tại H ,
K
là trung điểm của
A
C và I là điểm đối xứng của
A
qua H .
a) Bốn điểm
,,,CHOK
cùng thuộc một đường tròn.
b)
A
DIC
là hình thoi. Tính diện tích theo
R
.
Câu 11: Cho đường tròn
;OR có hai dây
,
A
BCD
bằng nhau và vuông góc với nhau tại
I
. Giả sử
2 cm, 4 cmIA IB. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
Câu 12: Cho đường tròn
;OR đường kính
A
B . Gọi ,
M
N lần lượt là trung điểm của ,OA OB . Qua
,
M
N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn
đường kính
A
B ).
a) Chứng minh tứ giác
CDFE là hình chữ nhật.
b) Giả sử
CD và EF cùng tạo với
A
B một góc nhọn 30 . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE .
HƯỚNG DẪN
Câu 1:
Đáp số: 6378,1 kmR .
Câu 2:
Đáp số:

2
100
cm
3
S
.
Câu 3:
Từ công thức diện tích hình tròn
2
SR
, suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn
sẽ tăng lên 9 lần.
Câu 4:
Đáp số:


2
80
8cm, cm
9
RS
 .
Câu 5:
Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi được một độ dài bằng chu vi của bánh xe.
Chu vi bánh xe trước là:
1
0,8 mCd
 .
Chu vi bánh xe sau là:
2
1, 5 mCd
 .
Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đi được quãng đường:
1,5 .16 24 ms

.
Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là:

g
2
ò
4
,8
n30
0
v
.
Câu 6:
Gọi
IDACB. Theo giả thiết
90 90CD DIC .
Ta có
//
M
NPQ (vì cùng song song với
A
D
).
Và
1
2
M
NPQ AD




.
Suy ra
M
NPQ là hình bình hành.
Lại có
// , //
M
NADMQBC nên
90NMQ DIC
(góc có cạnh tương ứng song song).
Do đó
M
NPQ
là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm
,,,
M
NPQ
cùng thuộc đường tròn đường kính
NQ
.
Câu 7:
Dễ dàng chứng minh được tứ giác
EFGH
là hình chữ nhật.
Gọi
OACBD.
//OE AD (vì OE là đường trung bình của
A
BD )
60OEB DAB
(đồng vị). (1)
Ta có
,,EOG thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit,
OE
và
OG
cùng
song song với
A
D
).
Mặt khác,
11
,
22
OE AD OG BC và
OE OG hay O là trung điểm của
E
G .
Suy ra
O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật EFGH .
Lại có:
11
;
22
EB AB OE AD
mà
A
BAD OEEB OEB
cân tại
E
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
OEB đều OE OB B thuộc đường tròn
O .
Tương tự có
D thuộc đường tròn
O .
Vậy 6 điểm ,,, ,,EFGHBD thuộc đường tròn
O .
Câu 8:
Gọi
I
là trung điểm của CD . Theo giả thiết suy ra ID IC AD IAD cân tại
D
.
Mà
60D  nên
IAD
đều IA ID IC . (1)
A
CD vuông tại
90ADAC.
Lại có

c.g.cACD BDC
90CBD DAC BCD vuông tại
B
.
Mà có
IB
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên IB IC ID. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
IA IB IC ID hay 4 điểm ,,,
A
BCD cùng thuộc đường tròn tâm I .
Câu 9:
a) Dễ thấy
B
HC và
B
CK là hai tam giác có chung cạnh huyền
B
C nên
bốn điểm
,, ,BCH K cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của
BC
.
b)
B
C và HK lần lượt là đường kính và dây cung của đường tròn

I .
Do đó
HK BC .
Câu 10:
a) Vì
K
là trung điểm của
A
C nên OK AC (quan hệ đường
kính và dây cung).
COK
và
COH
là hai tam giác vuông chung cạnh huyền
CO
nên bốn điểm
,,,CHOK
cùng thuộc một đường tròn đường kính
CO .
b) Tứ giác
A
DIC có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung
điểm của mỗi đường nên
A
DIC
là hình thoi.
1
22... .
2
ADIC ACD
S S AH CD AH CD .
Mà
2
22 2
3
; 2 2 2 3
24
RR
AH CD CH OC OH R R
.
2
333
.3
22
ADIC
RR
SR
Câu 11:
Ta có:
6 cmAB IA IB . Do
H
là trung điểm của
A
B nên 3 cmAH .
Lại có
1 cm 1 cmIH AH AI OK IH  (do OHIK là hình chữ nhật).
Do hai dây
A
B và
CD
bằng nhau nên
1 cmOH OK
.
Câu 12:
a) Kẻ
OH CD H CD CH DH (quan hệ đường kính và dây
cung).
Gọi
K
OH EF. Do OHM OKN OH OK CD EF
(liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Mà //CD EF nên suy ra CDFE là hình bình hành.
,,HOD KOE D O E thẳng hàng.
CDEF
là hình chữ nhật.
b) Ta có
;
2
R
OM OC R. Trong tam giác vuông HMO có:
30 ; .sin 30 2
42
R
R
HMO OH OM DF HK OH .
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông
CHO
có:
2
222 222
15 15
2
16 4 2
RR R
OH CH OC CH OC OH R CD CH
.
Vậy diện tích hình chữ nhật CDFE là:
2
15 15
..
22 4
CDFE
RRR
SCDEF
II.CÁC BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 1.
Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn,
qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Chứng minh rằng cả năm điểm A, B, C, D,
E cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có
90CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và
CA. Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Cho đường tròn (;)OR và một điểm A ở ngòai đường tròn. Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường
tròn ()O . Trên các tia AM, AN, AP, AQ lần lượt lấy các điểm ,,,
M
NPQ

sao cho M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của ,,,
A
MANAPAQ

. Chứng minh rằng bốn điểm ,,,
M
NPQ

cùng nằm
trên một đường tròn.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD,
60A . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, ,()
A
BaBCbab. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là
hình chiếu của C trên BD.
a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi M là trung điểm của AB, tìm điều kiện của a và b để 5 điểm C, D, H, K và M cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 6. Cho tam giác ABC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của HA, HB, HC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn;
b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn;
c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
• Chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định
Bài 7.
Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến 1, 5
B
Mcm . Chứng minh rằng điểm A
thuộc một đường tròn cố định.
Bài 8. Cho đường tròn
(;3 )Ocm
. Lấy điểm A bất kì trên đường tròn. Qua A vẽ tia
Ax OA
. Trên tia
Ax lấy điểm B sao cho
AB 4cm
. Gọi H là hình chiếu của A trên OB. Chứng minh rằng H thuộc
một đường tròn cố định.
Bài 9. Cho đoạn thẳng AB 4cm . Trên AB lấy điểm C sao cho AC 1cm . Vẽ tia Cx, trên đó lấy điểm
M sao cho
A
MC ABM . Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định.
• Dựng đường tròn
Bài 10. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm nằm trên đường thẳng d cho
trước.
Bài 11. Cho đường thẳng d và một điểm A cách d là 1cm. Dựng đường tròn
()O
có bán kính 1,5cm đi
qua A và có tâm nằm trên đường thẳng d.
• Các dạng khác
Bài 12. Cho tam giác ABC. Trên tia BC lấy điểm M, trên tia CB lấy điểm N sao cho
,BM BA CN CA
. Vẽ đường tròn
()O
ngoại tiếp tam gác AMN. Chứng minh rằng tia AO là tia
phân giác của góc BAC.
Bài 13. Cho hình thoi ABCD cạnh 1. Gọi
1
R
và
2
R
lần lượt là bán kính đừơng
tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng
22 22
12 12
4
R
RRR .
Bài 14. Cho 6 đường tròn cùng đi qua một điểm A. Chứng minh rằng có một
hình tròn chứa tâm của một hình tròn khác.
Bài 15. Cho 99 điểm sao cho trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có
khỏang cách nhỏ hơn 1. Chứng mình rằng trong các điểm đã cho có ít nhất 50 điểm nằm trong một
đường tròn có bán kính bằng 1.
Bài 16. Đố. Hai người chơi một trò chơi như sau:
Mỗi người lần lượt đặt một đồng xu lên một tấm bìa hình tròn. Người cuối cùng đặt được đồng xu lên
tấm bìa là người thắng cuộc. Muốn chắc thắng thì phải chơi như thế nào? (Các đồng xu đều như
nhau và không chồng lên nhau).
Bài 17. Cho đường tròn (;3)O . Lấy sáu điểm ở bên trong đường tròn, không có điểm nào trùng với O và
không có hai điểm nào thuộc cùng một bán kính. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong 6 điểm đó
có khỏang cách nhỏ hơn 3.
Bài 18. Cho sáu điểm thuộc một hình tròn (;)Or , các điểm này không có điểm nào trùng với O. Chứng
minh rằng tồn tại hai điểm trong sáu điểm ấy có khỏang cách nhỏ hơn hoặc bằng r.
Bài 19. Cho bảy điểm thuộc một hình tròn (;)Or trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì không nhỏ
hơn r. Chứng minh rằng một trong bảy điểm đó trùng với tâm của hình tròn.
HƯỚNG DẪN
Bài 1.
Đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D và đường tròn qua bốn điểm B, C, D, E có ba điểm chung
và B, C, D nên chúng phải trùng nhau.
Vậy năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Xét
A
BD có EF là đường trung bình
Suy ra
//
E
FAD
và
2
A
D
EF
.
Chứng minh tương tự ta đựơc:
//HG AD và
2
A
D
HG
.
Vậy
//EF HG và EF HG .
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.
Ta có
;
F
GD BCD HGC ADC
(cặp góc đồng vị).
Do đó
90FGD HGC BCD ADC
, dẫn tới
90FGH 
.
Hình bình hành EFGH có
90G  nên là hình chữ nhật.
Suy ra bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Trên tia AO lấy điểm O
sao cho O là trung điểm của
A
O
.
Xét
A
OM

có OM là đường trung bình nên 22OM OM R

.
Chứng minh tương tự ta được: 2ON OP OQ R
 

Vậy bốn điểm ,,,
M
NPQ

cùng thuộc đường tròn (;2)OR.
Bài 4. Vì ABCD là hình thoi nên
A
CBD
(tại O) và AC là
đường phân giác của góc A.
Do đó
12
30AA
.
Đặt độ dài mỗi cạnh của hình thoi là a.
Xét các tam giác AOB, AOD vuông tại O có:
12
30AA nên
2
a
OB OD.
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác
vuông ta có:
2
a
OE OF OG OH.
Vậy
2
a
OB OD OE OF OG OH.
Suy ra 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn
;
2
a
O



với O là giao điểm hai đường chéo hình thoi.
Bài 5.
a) Gọi O là trung điểm của CD.
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác
vuông ta có:
2
a
OH OK OC OD
.
Vậy bốn điểm H, K, C, D cùng nằm trên đường tròn
;
2
a
O



tức là đường tròn đường kính CD.
b) Dễ thấy tứ giác AMOD là hình chữ nhật. Suy ra
OM AD b.
Điểm M thuộc đường tròn đường kính CD
2
22
aa
OM OC OD b a b.
Vậy 5 điểm C, D, H, K, M cùng thuộc một đường tròn khi
và chỉ khi
2ab
.
Bài 6.
a) Dùng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác MPKJ là hình bình hành.
Ta có // ; //
J
KBCMJAD
Mà
A
DBC nên
M
JJK .
Do đó tứ giác MPKJ là hình chữ nhật.
Suy ra bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn
()O
đường kính MK hoặc PJ.
b) Chứng minh tương tự ta được tứ giác MIKN là hình chữ nhật.
Suy ra bốn điểm M,I, K, N cùng thuộc một đường tròn
()O
đường
kính MK hoặc IN.
Hai đường tròn
()O này có chung đường kính MK nên chúng
trùng nhau.
Suy ra 6 điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn đường kính MK hoặc IN.
c) Tam giác FMK vuông tại F nên điểm F nằm trên đường tròn
đường kính MK. Chứng minh tương tự ta được điểm E thuộc
đường tròn đường kính PJ, điểm D thuộc đường tròn đường kính
IN.
Từ đó suy ra 9 điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 7. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho
B
OBC .
Suy ra BM là đường trung bình của
A
BC .
Do đó
23OA BM cm
Điểm A cách điểm O cho trước một khoảng 3cm nên điểm A thuộc đường tròn
(;3 )Ocm
.
Đó là một đường tròn cố định.
Bài 8. Xét
A
OB vuông tạo A ta có:
22222
34 25OB OA AB
.
Do đó
5(cm)OB
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOB ta có
2
OH.OB OA
22
3
1, 8( )
5
OA
OH cm
OB

.
Vậy điểm
H
đường tròn
(;1,8 )Ocm
. Đó là một đường tròn cố
định.
Bài 9.
A
MC
và
A
BM có:
A
chung;
A
MC ABM (giả thiết)
nên
A
MC ABM∽ (g.g).
suy ra
A
MAC
A
BAM
2
.4.14AM AB AC
(2 )
A
Mcm . Do đó M đường tròn (A;2cm).
Đó là một đường tròn cố định.
Bài 10.
•
Phân tích:
Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện:
-
O d ;
- O nằm trên đường trung trực của AB.
• Cách dựng:
- Dựng đường trung trực của AB cắt đường thẳng d tại O.
- Dựng đường tròn
(; )OOA
, đó là đường tròn phải dựng.
• Chứng minh:
Theo cách dựng, đường tròn
(; )OOA có tâm O nằm trên đường
thẳng d.
Mặt khác, O nằm trên đường trung trực của AB nên
OA OB .
Do đó đường tròn
(; )OOA đi qua A và B.
• Biện luận:
- Nếu d không vuông góc với AB thì bài toán có một nghiệm hình.
- Nếu
dAB nhưng không phải là đường trung trực của AB thì bài toán không có nghiệm hình.
- Nếu d là đường trung trực của AB thì bài toán có vô số nghiệm hình.
Bài 11.
• Phân tích:
Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện:
-
Od ;
- (;1,5 )OAcm
• Cách dựng:
- Dựng đường tròn (;1,5 )
A
cm cắt đường thẳng d tạo O.
- Dựng đường tròn (O;1,5 )cm . Đó là đường tròn phải dựng.
• Chứng minh: Bạn đọc tự giải.
• Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình, đó là đường tròn
(O;1,5 )cm và (O ;1,5cm)
.
Bài 12. Đường tròn
(O)
đi qua hai điểm A và M nên điểm O nằm
trên đường trung trực của AM.
Mặt khác
BAM là tam giác cân nên đường trung trực của
AM cũng là đường phân giác của góc B.
Tương tự, điểm O nằm trên đường trung trực của AN cũng là
đường phân giác của C.
Xét
ABC , hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau
tại O, suy ra tia AO là tia phân giác của góc BAC.
Bài 13. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Mỗi đường chéo là đường trung trực của đường chéo kia.
Vẽ đường trung trực của AB cắt AB tại M, cắt AC tại I và cắt BD tại K.
Xét
ABD có I là tâm đường tròn ngoại tiếp và
1
IA R
.
Xét
ABC
cso K là tâm đường tròn ngoại tiếp và
2
K
BR .
A
OB AMI∽
(g.g), suy ra
OA AB
M
AAI
2
2
11 1
11 1
24
1
2
OA
OA OA
RR R
 (1)
A
OB KMB∽ (g.g), suy ra
OB AB
M
BKB
2
2
22 2
11 1
24
1
2
OB
OB OB
RR R
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra

22
22
12
11
4 OA OB
RR
 .
Do đó
22
2
12
22
12
44
RR
AB
RR
. Suy ra
22 22
12 12
4.
R
RRR .
Bài 14. Gọi
1, 2 6
,...,OO O
là tâm của 6 đường tròn cùng đi qua A.
Nối A với
1, 2 6
,...,OO O
ta được 6 tia.
• Nếu có hai tia
m
A
O
và
n
A
O
trùng nhau và độ dài đoạn thẳng
m
A
O lớn hơn hoặc bằng độ dài đoạn thẳng
n
A
O thì hình tròn
tâm
m
O chứa tâm
n
O
• Nếu cả 6 tia là phân biệt, chúng tạo thành 6 góc đỉnh A không có điểm trong chung, tổng của
chúng là
360 do đó tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 60 , giả sử
12
60OAO 
.
Xét
12
OAO , giả sử
12
OA O A khi đó
21
OO , từ đó
2
60O , dẫn tới
2
OA .
Suy ra
112
OA OO . Khi đó hình tròn
1
()O chứa tâm
2
O .
Nếu
12
OA O A thì chứng minh tương tự ta có hình tròn
2
()O chứa tâm
1
O .
Bài 15. Gọi A là một trong số 99 điểm đã cho.
Vẽ đường tròn
(;1)
A
. Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong đường tròn này thì bài toán đã giải
xong.
Nếu B là một điểm không nằm trong đường tròn (;1)
A
thì 1
A
B .
Vẽ đường tròn
(;1)B . Gọi C là một điểm trong số 97 điểm còn lại.
Theo đề bài, trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.
Ta có 1
A
B hoặc 1AC , khi đó C nằm trong đường tròn (;1)
A
hoặc
1BC
, khi đó C nằm trong đường tròn (;1)B . Như vậy hai đường tròn
(;1)
A
và (;1)B chứa tất cả 99 điểm đã cho.
Theo nguyên lí Đi-rich-lê, phải có một trong hai đường tròn chứa ít nhất
50 điểm.
Bài 16. Tấm bìa hình tròn nên tâm đối xứng là tâm của tấm bìa. Người đi
trước sẽ thắng nếu chơi theo “chiến thuật” sau”
A: Đặt đồng xu đầu tiên tại tâm của miếng bìa.
B: Đặt đồng xu thứ hai lên tấm bìa tại một vị trí nào đó.
A: Đặt đồng xu thứ ba tại vị trí đối xứng với đồng xu thứ hai qua tâm.
Cứ như thế nếu B còn có thể đặt một đồng xu tại mộ
t vị trí nào đó trên tấm bìa thì A đặt được một
đồng xu tiếp theo tạo vị trí đối xứng với nó qua tâm. Như vậy A sẽ chắc thắng.
Bài 17. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua sáu điểm đã cho. Có sáu bán kính nên tồn tại hai bán kính tạo
với nhau một góc nhỏ hơn hoặc bằng
360 : 6 60.
Giả sử đó là các bán kính OM, ON theo thứ tự đi qua hai điểm A và B.
Xét
OAB có
60O  nên tồn tại một trong hai góc
A
và
B
phải lớn hơn hoặc bằng 60.
Giả sử
60B . Do đó
OB suy ra 3AB OA OM .
Vậy 3AB .
Bài 18. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua sáu điểm đã cho.
Nếu có hai điểm trong sáu điểm cùng thuộc một bán kính thì khoảng
cách giữa hai điểm này nhỏ hơn r, bài toán được chứng minh.
Nếu không có hai điểm trong sáu điểm cùng thuộc một bán kính thì
có sáu bán kính, tồn tại hai bán tạo với nhau một góc nhỏ hơn hoặc
bằng
360 : 6 60
, giả sử
60AOB 
.
Xét
OAB có
60AOB  nên tồn tại một trong hai góc
A
và
B
phải lớn hơn hoặc bằng
60.
Giả sử
60B . Do đó
OB suy ra
A
BOAr
.
Bài 19. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử không có điểm nào trùng với tâm của hình tròn. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua bảy điểm đã
cho.
Không có hai điểm nào thuộc cùng bán kính (vì nếu chúng thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách
giữa chúng nhỏ hơn bán kính, trái giả thiết).
Bảy góc đỉnh O không có điểm trong chung, có tổng bằng
360 nên tồn
tại một góc nhỏ hơn
60, giả sử là góc AOB.
Xét
A
OB có
60AOB  nên ít nhất một trong hai góc còn lại phải lớn
hơn
60. Giả sử
60B , suy ra
A
BOAr (trái giả thiết).
Vậy tồn tại một điểm trùng với tâm hình tròn.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Sự xác định của đường tròn – Tính chất đối xứng của đường tròn
Câu 1:
Số tâm đối xứng của đường tròn là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 2: Tâm đối xứng của đường tròn là:
A. Điểm bất kì bên trong đường tròn. B. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn.
C. Điểm bất kì trên đường tròn. D. Tâm của đường tròn.
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn
A. Đường tròn không có trục đối xứng.
B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính.
C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau.
D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính.
Câu 4: Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Đường tròn có … trục đối xứng”.
A.
1
. B.
2
. C. Vô số. D.
3
.
Câu 5: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
A. Giao của ba đường phân giác. B. Giao của ba đường trung trực.
C. Giao của ba đường cao. D. Giao của ba đường trung tuyến.
Câu 6: Giao ba đường trung trực của tam giác là:
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác).
B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác (đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác).
C. Tâm đường tròn cắt ba cạnh của tam giác.
D. Tâm đường tròn đi qua 1 đỉnh và cắt hai cạnh của tam giác.
Câu 7: Cho đường tròn
(; )OR
và điểm
M
bất kỳ, biết rằng
OM R=
. Chọn khẳng định đúng?
A. Điểm
M
nằm ngoài đường tròn. B. Điểm
M
nằm trên đường tròn.
C. Điểm
M
nằm trong đường tròn. D. Điểm
M
không thuộc đường tròn.
Câu 8: Cho đường tròn
(; )OR
và điểm
M
bất kỳ, biết rằng
OM R>
. Chọn khẳng định đúng?
A. Điểm
M
nằm ngoài đường tròn. B. Điểm
M
nằm trên đường tròn.
C. Điểm
M
nằm trong đường tròn. D. Điểm
M
không thuộc đường tròn.
Câu 9: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông
ABCD
cạnh
a
.
A. Tâm là giao điểm
A
và bán kính
2Ra=
.
B. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính
2Ra=
.
C. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính
2
2
a
R =
.
D. Tâm là điểm
B
và bán kính là
2
2
a
R =
.
Câu 10: Tính bán kính
R
của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông
ABCD
cạnh
3cm
.
A.
32Rcm=
. B.
32
2
Rcm=
. C.
3Rcm=
. D.
33
2
Rcm=
.
Câu 11: Tâm của đường trong ngoại tiếp tam giác vuông là:
A. Trung điểm cạnh huyền. B. Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn.
C. Giao ba đường cao. D. Giao ba đường trung tuyến.
Câu 12: Chọn câu đúng. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
A. Bằng cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông. B. Bằng nửa cạnh góc vuông lớn hơn.
C. Bằng nửa cạnh huyền. D. Bằng
4cm
.
Câu 13: Cho tam giác
ABC
có các đường cao ,BD CE . Biết rằng bốn điểm ,,,BEDC cùng nằm trên
một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
A. Tâm là trọng tâm tam giác
ABC
và bán kính
2
3
RAI=
với
I
là trung điểm của
BC
.
B. Tâm là trung điểm
AB
và bán kính là
2
AB
R =
.
C. Tâm là giao điểm của
BD
và
EC
, bán kính là
2
BD
R =
.
D. Tâm là trung điểm
BC
và bán kính là
2
BC
R =
.
Câu 14: Cho tam giác
ABC
có các đường cao ,BD CE . Chọn khẳng định đúng.
A. Bốn điểm ,,,BEDC cùng nằm trên một đường tròn.
B. Năm điểm ,,,,AB E DC cùng nằm trên một đường tròn.
C. Cả A, B đều sai.
D. Cả A, B đều đúng.
Câu 15: Trên mặt phẳng toạ độ Ox y , xác định vị trí tương đối của điểm
(1; 1)A --
và đường tròn tâm là
gốc toạ độ
O
, bán kính
2R =
.
A. Điểm
A
nằm ngoài đường tròn. B. Điểm
A
nằm trên đường tròn.
C. Điểm
A
nằm trong đường tròn. D. Không kết luận được.
Câu 16: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , xác định vị trí tương đối của điểm
(3; 4)A --
và đường tròn tâm là
gốc toạ độ
O
, bán kính
3R =
.
A. Điểm
A
nằm ngoài đường tròn. B. Điểm
A
nằm trên đường tròn.
C. Điểm
A
nằm trong đường tròn. D. Không kết luận được.
Câu 17: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
15 ; 20AB cm AC cm==
. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
25R =
. B.
25
2
R =
. C.
15R =
. D.
20R =
.
Câu 18: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
5; 12AB cm AC cm==
. Tính bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác
ABC
.
A.
26R =
. B.
13R =
. C.
13
2
R =
. D.
6R =
.
Câu 19: Cho hình chữ nhật
ABCD
có 12 , 5AB cm BC cm==. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn
đỉnh
,,,ABC D.
A.
7, 5Rcm=
. B.
13Rcm=
. C.
6Rcm=
. D.
6, 5Rcm=
.
Câu 20: Cho hình chữ nhật
ABCD
có 8, 6AB cm BC cm==. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn
đỉnh
,,,ABC D.
A.
5Rcm=
. B.
10Rcm=
. C.
6Rcm=
. D.
2, 5Rcm=
.
Câu 21: Cho hình vuông
ABCD
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của
,AB BC
. Gọi
E
là giao điểm
của
CM
và
DN
. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm ,,,ADE M là:
A. Trung điểm của
DM
. B. Trung điểm của
DB
. C. Trung điểm của
DE
. D. Trung điểm của
DA
.
Câu 22: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
4cm
. Gọi ,MN lần lượt là trung điểm của ,AB BC . Gọi
E
là
giao điểm của
CM
và
DN
. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm
,,,AD E M
là:
A.
5Rcm=
. B.
10Rcm=
. C.
25Rcm=
. D.
5Rcm=
.
Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, đường cao 2, 8AH cm BC cm==. Đường vuông góc với
AC
tại
C
cắt
đường thẳng
AH
ở
D
.
D
H
C
B
A
Câu 23: Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
A. ,,,DHBC. B. ,, ,ABHC. C. ,,,ABDH. D. ,,,AB DC.
Câu 24: Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm ,,,ABDC.
A.
8dcm=
. B.
12dcm=
. C.
10dcm=
. D.
5dcm=
.
Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, đường cao 4, 6AH cm BC cm==. Đường vuông góc với
AC
tại
C
cắt
đường thẳng
AH
ở
D
.
D
H
C
B
A
Câu 25: Chọn câu đúng?
A.
90ABD =
. B.
DC DB=
.
C. Bốn điểm ,,,AB DC cùng thuộc một đường tròn. D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 26: Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm ,,,ABDC.
A. 6, 25dcm= . B. 12, 5dcm= . C.
6dcm=
. D.
12dcm=
.
Cho tam giác đều
ABC
cạnh bằng
a
, các đường cao là
BM
và
CN
. Gọi
O
là trung điểm cạnh
BC
.
Câu 27: Đường tròn đi qua bốn điểm ,, ,BNMC là:
A. Đường tròn tâm
D
bán kính
2
BC
. B. Đường tròn tâm
D
bán kính
BC
.
C. Đường tròn tâm
B
bán kính
2
BC
. D. Đường tròn tâm
C
bán kính
2
BC
.
Câu 28: Gọi
G
là giao điểm của
BM
và
CN
. Xác định vị trí tương đối của điểm
G
và điểm
A
với
đường tròn tìm được ở ý trước.
A. Điểm
G
nằm ngoài đường tròn; điểm
A
nằm trong đường tròn.
B. Điểm
G
nằm trong đường tròn; điểm
A
nằm ngoài đường tròn.
C. Điểm
G
và
A
cùng nằm trên đường tròn.
D. Điểm
G
và
A
cùng nằm ngoài đường tròn.
Câu 29: Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
A. ,, ,BNMC. B. ,, ,AB M N. C. ,, ,AC M N . D. Cả A, B, C đều sai.
Cho tam giác đều
ABC
cạnh bằng
3cm
, các đường cao là
BM
và
CN
. Gọi
O
là trung điểm cạnh
BC
.
Câu 30: Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm ,,,ANG M với
G
là giao của
BM
và
CN
.
A.
23
. B.
6
2
. C.
3
. D.
3
2
.
HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn.
Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn.
Đáp án cần chọn là D.
3. Lời giải:
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng.
Đáp án cần chọn là D.
4. Lời giải:
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng.
Đáp án cần chọn là C.
5. Lời giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Đáp án cần chọn là B.
6. Lời giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Đáp án cần chọn là A.
7. Lời giải:
Cho điểm
M
và đường tròn
(; )OR
ta so sánh khoảng cách
OM
với bán kính
R
để xác định vị trí tương
đối theo bảng sau:
Vị trí tương đối Hệ thức
M
nằm trên đường tròn
()O
OM R=
M
nằm trong đường tròn
()O
OM R<
M
nằm ngoài đường tròn
()O
OM R>
Đáp án cần chọn là B.
8. Lời giải:
Vì OM R> nên điểm
M
nằm bên ngoài đường tròn.
Đáp án cần chọn là A.
9. Lời giải:
O
B
A
D
C
Gọi
O
là giao hai đường chéo của hình vuông
ABCD
. Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có
OA OB OC OD===
nên
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
, bán kính
2
AC
ROA==
.
Xét tam giác
ABC
vuông cân tại
B
ta có
222
2
2
2
a
AC AB BC AC a R=+==
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
cạnh
a
là giao điểm hai đường chéo, bán kính là
2
2
a
R =
.
Đáp án cần chọn là C.
10. Lời giải:
O
B
A
D
C
Gọi
O
là giao hai đường chéo của hình vuông
ABCD
. Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có
OA OB OC OD===
nên
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
, bán kính
2
AC
ROA==
.
Xét tam giác
ABC
vuông cân tại
B
ta có
22222
32
3318 32
2
AC AB BC AC R=+=+===
Vậy
32
2
R =
.
Đáp án cần chọn là B.
11. Lời giải:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Đáp án cần chọn là A.
12. Lời giải:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Đáp án cần chọn là C.
13. Lời giải:
I
E
D
A
C
B
Gọi
I
là trung điểm của
BC
.
Xét tam giác
BEC
vuông tại
E
có
2
BC
EI IB IC== =
(vì
EI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền).
Xét tam giác
BDC
vuông tại
D
có
2
BC
DI IB IC===
(vì
DI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền).
Từ đó ta có
2
BC
ID IE IB IC====
nên
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
DEBC
và bán kính
2
BC
R =
.
Đáp án cần chọn là D.
14. Lời giải:
I
E
D
A
C
B
Gọi
I
là trung điểm của
BC
.
Xét tam giác
BEC
vuông tại
E
có
2
BC
EI IB IC== =
(vì
EI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền).
Xét tam giác
BDC
vuông tại
D
có
2
BC
DI IB IC===
(vì
DI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền).
Từ đó ta có
2
BC
ID IE IB IC====
nên bốn điểm ,,,BEDC cùng nằm trên một đường tròn có bán
kính
2
BC
R =
.
Ta thấy
IA ID> nên điểm
A
không thuộc đường tròn trên.
Đáp án cần chọn là A.
15. Lời giải:
Ta có
22
(1 0) (1 0) 2 2OA R=-- +-- = <=
nên
A
nằm trong đường tròn tâm
O
bán kính 2R = .
Đáp án cần chọn là C.
16. Lời giải:
Ta có
22
(3 0) (4 0) 5 3OA R=-- +-- =>=
nên
A
nằm bên ngoài đường tròn tâm
O
bán kính
3R =
.
Đáp án cần chọn là A.
17. Lời giải:
E
B
A
C
Vì tam giác
ABC
vuông tại
A
nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền
BC
, bán kính
là
2
BC
R =
.
Theo định lý Pytago ta có
22
25BC AC AB=+=
nên bán kính
25
2
R =
.
Đáp án cần chọn là B.
18. Lời giải:
E
B
A
C
Vì tam giác
ABC
vuông tại
A
nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền
BC
, bán kính
là
2
BC
R =
.
Theo định lý Pytago ta có
22
13BC AC AB=+=
nên bán kính
13
2
R =
.
Đáp án cần chọn là C.
19. Lời giải:
I
C
A
B
D
Gọi
I
là giao hai đường chéo, ta có
IA IB IC ID===
(vì
BD A C=
và
I
là trung điểm mỗi đường)
Nên bốn điểm
,,,ABC D cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
2
AC
R =
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông
ABC
ta có
22
13AC AB BC=+=
nên
6, 5
2
AC
Rcm==
. Vậy bán kính cần tìm là
6, 5Rcm=
.
Đáp án cần chọn là D.
20. Lời giải:
I
C
A
B
D
Gọi
I
là giao hai đường chéo, ta có
IA IB IC ID===
(vì
BD A C=
và
I
là trung điểm mỗi đường)
Nên bốn điểm
,,,ABC D cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
2
AC
R =
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông
ABC
ta có
2222
86 10AC AB BC=+=+= nên
10
5
22
AC
Rcm===
.
Vậy bán kính cần tìm là
5Rcm=
.
Đáp án cần chọn là A.
21. Lời giải:
E
I
N
M
B
A
C
D
+ Ta có
DCN CMBD=D
(c – g – c)
CDN ECN=
nên
90CNE E CN CNE CDN+=+=
suy ra
90CEN CM DN= ^
+ Gọi
I
là trung điểm của
DM
.
Xét tam giác vuông
ADM
ta có
2
DM
AI ID IM== =
. Xét tam giác vuông
DEM
ta có
2
DM
EI ID IM== =
.
Nên
2
DM
EI ID IM IA== ==
.
Do đó bốn điểm ,,,ADE M cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
2
DM
.
Đáp án cần chọn là A.
22. Lời giải:
E
I
N
M
B
A
C
D
+ Ta có
CDN ECN=
(vì cùng phụ với
CNE
) nên
90CNE E CN CNE CDN+=+=
suy ra
90CEN CM DN= ^
.
+ Gọi
I
là trung điểm của
DM
.
Xét tam giác vuông
ADM
ta có
2
DM
AI ID IM== =
. Xét tam giác vuông
DEM
ta có
2
DM
EI ID IM== =
.
Nên
2
DM
EI ID IM IA== ==
.
Do đó bốn điểm
,,,AD E M cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
2
DM
R =
.
Xét tam giác
ADM
vuông tại
A
có
4; 2
2
AB
AD cm AM cm===
nên theo định lý Pytago ta có
2222
42 25DM AD AM=+=+=.
Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm
,,,AD E M là
25
5
22
DM
Rcm===
.
Đáp án cần chọn là D.
23. Lời giải:
D
H
C
B
A
Ta có
ABCD
cân tại
A
có đường cao
AH
nên
AH
cũng là đường phân giác
CAD DAB=
.
Suy ra
ACD ABDD=D
(c – g – c) nên
90ABD ACD==
.
Lấy
I
là trung điểm
AD
. Xét hai tam giác vuông
ABD
và
ACD
có
2
AD
IA ID IB IC====
.
Nên
I
là điểm cách đều ,,,AB DC hay ,,,ABDC cùng nằm trên đường tròn tâm
I
đường kính
AD
.
Đáp án cần chọn là D.
24. Lời giải:
I
D
H
B
C
A
Từ câu trước ta có bốn điểm ,,,ABDC cùng thuộc đường tròn đường kính
AD
suy ra ta cần tính độ dài
AD
.
Vì
84BC cm BH cm==. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
AHB
ta được
22
416 25AB AH BH=+=+=
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ABD
ta có
2
2
20
.10
2
AB
AB AH AD AD
AH
====
.
Vậy đường kính cần tìm là
10cm
.
Đáp án cần chọn là C.
25. Lời giải:
I
D
H
B
C
A
Ta có
ABCD
cân tại
A
có đường cao
AH
nên
AH
cũng là đường phân giác
CAD DAB=
.
Suy ra
ACD ABDD=D
(c – g – c) nên
90ABD ACD==
và
CD DB=
nên A, B đúng.
Lấy
I
là trung điểm
AD
. Xét hai tam giác vuông
ABD
và
ACD
có
2
AD
IA ID IB IC====
.
Nên
I
là điểm cách đều ,,,ABDC hay ,,,ABDC cùng nằm trên đường tròn tâm
I
đường kính
AD
nên
đáp án C đúng.
Đáp án cần chọn là C.
26. Lời giải:
Từ câu trước ta có bốn điểm ,,,ABDC cùng thuộc đường tròn đường kính
AD
suy ra ta cần tính độ dài
AD
.
Vì
63BC cm BH cm==
. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
AHB
ta được
2222
43 5AB AH BH=+=+=
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ABD
ta có
22
2
5
.6,25
4
AB
AB AH AD AD
AH
====
.
Vậy đường kính cần tìm là
6, 25cm .
Đáp án cần chọn là A.
27. Lời giải:
D
N
M
A
B
C
Gọi
D
là trung điểm
BC
.
Xét hai tam giác vuông
BNC
và
BMC
có ,ND MD là hai đường trung tuyến.
2
BC
DN DB DC DM=== =
nên bốn điểm
,, ,BNMC
cùng thuộc đường tròn tâm
D
bán kính
2
BC
.
Đáp án cần chọn là A.
28. Lời giải:
G
D
N
M
A
B
C
Từ câu trước ta xác định vị trí tương đối của điểm
G
với đường tròn tâm
D
bán kính
2
BC
.
Gọi cạnh của tam giác đều
ABC
là
a
(0)a >
.
Ta có
G
là trực tâm
ABCD
nên
G
cũng là trọng tâm
ABCD
suy ra
1
3
GD AG=
.
D
là trung điểm ;
22
BC a
BC AD BD DC^ = =
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông
ADC
ta có
22
3
2
a
AD AC DC=-=
13 3
.
32 6
aa
GD= =
.
Nhận thấy
3
622
aaBC
GD =<=
nên điểm
G
nằm trong đường tròn tâm
D
bán kính
2
BC
.
Và
3
222
aaBC
AD =>=
nên điểm
A
nằm ngoài đường tròn tâm
D
bán kính
2
BC
.
Đáp án cần chọn là B.
29. Lời giải:
D
N
M
A
B
C
Đáp án cần chọn là A.
30. Lời giải:
I
G
D
N
M
A
B
C
Vì
G
là giao điểm của hai đường cao ,BM CN nên
G
là trực tâm
ABCD
Ta có
G
là trực tâm
ABCD
nên
G
cũng là trọng tâm
ABCD
suy ra
2
3
AG AD=
.
D
là trung điểm
3
;
22
BC
BC AD BD DC^ = =
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông
ADC
ta có
22
33
2
AD BC DC=-=
233
.3
32
AG= =
Gọi
I
là trung điểm của
AG
. Xét tam giác vuông
ANG
có
IN IA IG==
, xét tam giác vuông
AMG
có
IM IA IG==
nên
2
AG
IM IN IA IG====
.
Hay 4 điểm
,,,ANG M cùng thuộc một đường tròn bán kính
3
22
AG
R ==
.
Đáp án cần chọn là D.
-------------------- HẾT --------------------
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN – TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Đường tròn
Đường tròn tâm O , bán kính R R  0 là hình gồm các điểm cách điểm O
một khoảng bằng R . Kí hiệu: O; R .
Vị trí tương đối Cho đường tròn  ;
O R và điểm M .
M nằm trên đường tròn  ;
O R  OM R .
M nằm ngoài đường tròn  ;
O R  OM R .
M nằm trong đường tròn  ;
O R  OM R .
Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tính chất đối xứng
 Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối
xứng của đường tròn đó.
 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là
trục đối xứng của đường tròn.
Độ dài đường tròn và diện tích hình tròn
Cho đường tròn có bán kính R và đường kính d .
 Độ dài đường tròn (hay còn gọi là chu vi) được tính bằng công thức:
C  2 R   d .
 Độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính R , độ dài l của một cung
n được tính theo công thức:  Rn l  . 180  Diện tích hình tròn: 2 S   R .
 Diện tích hình quạt tròn: Trên đường tròn bán kính R , cung n được tính theo công thức: 2  R n lR S   360 2
(với l là độ dài cung n của hình quạt tròn).
Đường kính và dây của đường tròn
 Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. + Trong
một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
 Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
 Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN
Dạng 1: Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Cho đường tròn có bán kính là 5 cm. Tính
a) Chu vi và diện tích hình tròn.
b) Độ dài cung 60 của một đường tròn có bán kính là 5 cm.
c) Diện tích của hình quạt tròn có số đo cung là 30 . Giải chi tiết
a) Chu vi hình tròn là: C  2 R  2.5  10 cm . Diện tích hình tròn là: 2 2 2
S   R  .5  25 cm .
b) Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn với n  60 ,  5 R  cm , ta có:  Rn .5.60 5 l    cm. 180 180 3
c) Diện tích hình quạt tròn có số đo cung là 30 là: 2 2  R n .5 .30 25 S     2 cm . 360 360 12
Ví dụ 2: Tính chu vi của hình tròn có độ dài cung 30 là 5 cm . Giải chi tiết
Gọi R là bán kính đường tròn.  .30 RR
Theo đề bài ra ta có: 5    R  30 cm . 180 6
Chu vi hình tròn là: C  2 R  2.30   60 cm .
Ví dụ 3: Biết diện tích cái bàn tròn là   2 64
dm  . Tính độ dài cung 45 của cái bàn tròn đó. Giải chi tiết
Gọi R là bán kính đường tròn. Theo đề bài ra ta có: 2
64  .R R  8dm .  Rn 8.45
Độ dài cung 45 của cái bàn đó là: l    2 dm . 180 180
Ví dụ 4: Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 5 cm. Giải chi tiết
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo.
Suy ra bán kính của nó là: 2 2 2 2 AC AB BC 5  5 5 2 R     cm . 2 2 2 2
Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: 2  5 2  25 2
S   R         2 cm  . 2 2  
Ví dụ 5: Một chiếc bánh pizza có đường kính là 40 cm. John nói với chủ quán là anh ta muốn ăn một
miếng bánh có diện tích hình quạt tròn là 2
100 cm . Bác đầu bếp bối rối không biết cắt như thế nào cho
đúng, bạn hãy giúp bác đầu bếp để bác ấy có thể phục vụ vho John, anh ta đói lắm rồi. Giải chi tiết
Để xác định nên cắt cái bánh như thế nào, ta sẽ xác định xem cần cắt cái bánh một góc bao nhiêu độ từ tâm của cái bánh. 40
Bán kính của cái bánh pizza là: R   20 cm . 2 2  R n
Diện tích hình quạt tròn là 2
100 cm nên từ công thức S  . 360 S.360 100.360 Suy ra n    90 . 2 2  R .20
Vậy bác đầu bếp cần cắt cái bánh từ tâm một góc 90 thì sẽ đúng yêu cầu của John.
Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh các định lý sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. Giải chi tiết
a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là trung điểm của BC . 1
Suy ra OA BC OB OC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông). 2
Do đó, điểm O cách đều ba đỉnh ,
A B,C hay O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Giả sử đường tròn O đường kính BC ngoại tiếp tam giác. 1
Ta có: OA OB OC (vì cùng là bán kính)  OA OB OC BC . 2
Mà OA là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên ABC vuông tại A . Nhận xét
Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng
thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC . Gọi M ,
N, P,Q lần lượt là trung điểm của DE, DC, BC, BE . Chứng minh rằng bốn điểm M , N, P,Q cùng
thuộc một đường tròn. Phân tích đề bài
Đề bài cho các trung điểm, ta nghĩ đến việc áp dụng tính chất đường trung bình để chứng minh tứ giác
MNPQ là hình bình hành. Mà ABC vuông tại A nên ta sẽ đi chứng mính MNPQ là hình chữ nhật. Giải chi tiết MN //EC  Ta có:  1
(vì MN là đường trung bình của DEC ). MN EC  2 PQ//EC  Ta có:  1
(vì MN là đường trung bình của BEC ). PQ EC  2 MN //PQ Suy ra: 
MNPQ là hình bình hành. (1) MN PQ
Mặt khác QM //BD (do MQ là đường trung bình của BDE ) và  
QMN BAC  90 (góc có cạnh tương ứng song song). (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông QMN và QPN có chung cạnh huyền
QN nên bốn điểm M , N, P,Q cùng thuộc một đường tròn đường kính QN .
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD . Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F . Chứng
minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD . Phân tích đề bài
Để chứng minh điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì: +
Hướng 1: Chứng minh A
BC vuông là có E là trung điểm của cạnh huyền. +
Hướng 2: Chứng minh E là giao điểm của các đường trung trực của ABC .
Giả thiết cho ABCD là hình thoi nên khả năng ABC vuông sẽ
không xảy ra. Lại có E thuộc đường trung trực của cạnh AB nên
ta có thể chứng minh theo cách 2.
Tương tự với chứng minh F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Giải chi tiết
Gọi O AC BD . Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD AC tại O .
BD là đường trung trực của đoạn AC .
Mà EF là đường trung trực của AB (theo giả thiết) và EF BD E . Suy ra E là tâm đường tròn
ngoại tiếp ABC .
Chứng minh tương tự, ta cũng có F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .
Ví dụ 4: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn I  đường kính OA . Bán kính OC của
đường tròn O cắt đường tròn I  tại D . Vẽ CH AB . Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân. Phân tích đề bài
ACDH là hình thang cân    có OAC OCA ACDH là hình thang  DH //AC OH ODOA OCOH OD
 có OA OC
ADO  CHO Giải chi tiết Xét ADO và CHO có:  
ADO CHO  90 (giả thiết).  AOD chung.
OA OC (bán kính đường tròn O ).  ADO C
HO (cạnh huyền – góc nhọn)  OH OD (hai cạnh tương ứng). OH OD  
DH //AC (định lí Ta-lét đảo)  ACDH là hình thang. (1) OA OC Mà  
OAC OCA (do AOC cân tại O ). (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACDH là hình thang cân.
Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 5 cm và dây AB  8 cm .
a) Tính khoảng cách từ O đến AB .
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI  1 cm . Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB .
Chứng minh CD AB . Giải chi tiết
a) Kẻ OE AB E AB , suy ra E là trung điểm của AB AB
EB EA
 4 cm (quan hệ đường kính và dây cung). 2
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OEB , ta có: 2 2 2 2 2 2 2
OE EB OB OE OB EB  5  4  3 cm . (1)
Vậy khoảng cách từ O đến AB là 3 cm.
b) Ta có IE AE AI  4 1  3 cm .
Mà tứ giác OEIF là hình chữ nhật nên OF IE  3 cm . (2)
Từ (1) và (2) suy ra OE OF hay khoảng cách từ tâm đến hai dây AB và CD bằng nhau.
AB CD (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB , dây CD không cắt đường kính AB . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của , A B lên CD .
Chứng minh CH DK . Giải chi tiết
Kẻ OE CD E CD  E là trung điểm của CD (quan hệ đường kính và dây cung)
EC ED . (1)
Ta có: AH //BK (cùng vuông góc với CD ) nên tứ giác AHBK là hình thang.
Lại có OE//AH //BK và O là trung điểm của AB nên OE là đường trung bình của hình thang AHBK
E là trung điểm của HK EH EK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH DK (đpcm).
Ví dụ 3: Cho đường tròn  ;
O R . Vẽ hai bán kính ,
OA OB . Trên các bán kính ,
OA OB lần lượt lấy các
điểm M , N sao cho OM ON . Vẽ dây CD đi qua M , N ( M nằm giữa C và N ).
a) Chứng minh CM DN . b) Giả sử 
AOB  90 . Tính OM theo R sao cho CM MN ND . Giải chi tiết
a) Kẻ OH CD H CD  HC HD (quan hệ đường kính và dây cung). (1)
Theo giả thiết OM ON nên OMN
cân tại O HM HN (2)
Lại có CH CM MH; DH DN NH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra CM DN .
b) Giả sử CM MN ND . Đặt OH x x  0 . Ta có: OM x 2 (vì OMN  vuông cân); MN NH  ; x
HD  3HN  3x .
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HOD có:
OH HD OD x   x2 R R 2 2 2 2 2 2 2 3
R  10x R x   OM  . 10 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.
Câu 2: Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 20 cm và số đo cung là 30 .
Câu 3: Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu tăng bán kính lên gấp ba lần?
Câu 4: Biết chu vi hình tròn là 16 cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là 50 .
Câu 5: Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có
đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe
trước lăn được mấy vòng?
Câu 6: Cho tứ giác ABCD có  
C D  90 . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và
CA . Chứng minh rằng bốn điểm M , N, P,Q nằm trên một đường tròn.
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có  A 60
  . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC,CD, DA . Chứng minh 6 điểm E, F,G, H , B, D cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 8: Cho hình thang ABCD AB//CD, AB CD có   C D  60 ,  2
CD AD . Chứng minh 4 điểm ,
A B,C, D cùng thuộc một đường tròn.
Câu 9: Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK .
a) Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
b) So sánh KH và BC .
Câu 10: Cho đường tròn O; R có AB là đường kính, H là trung điểm của OB . Vẽ dây CD vuông
góc với AB tại H , K là trung điểm của AC và I là điểm đối xứng của A qua H .
a) Bốn điểm C, H ,O, K cùng thuộc một đường tròn.
b) ADIC là hình thoi. Tính diện tích theo R .
Câu 11: Cho đường tròn  ;
O R có hai dây AB,CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử
IA  2 cm, IB  4 cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
Câu 12: Cho đường tròn  ;
O R đường kính AB . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của , OA OB . Qua
M , N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau ( C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB ).
a) Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn 30 . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE . HƯỚNG DẪN Câu 1:
Đáp số: R  6378,1 km . Câu 2: 100 Đáp số: S   2 cm  . 3 Câu 3:
Từ công thức diện tích hình tròn 2
S   R , suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn
sẽ tăng lên 9 lần. Câu 4: 80
Đáp số: R  8cm, S   2 cm  . 9 Câu 5:
Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi được một độ dài bằng chu vi của bánh xe.
Chu vi bánh xe trước là: C   d  0,8 m . 1
Chu vi bánh xe sau là: C   d  1,5 m . 2
Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đi được quãng đường: s  1,5.16  24 m . 24
Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là:  30 ò v g n  . ,8 0  Câu 6:
Gọi I DA CB . Theo giả thiết  
C D  90  DIC  90.
Ta có MN //PQ (vì cùng song song với AD ).  1 
Và MN PQ AD   .  2 
Suy ra MNPQ là hình bình hành.
Lại có MN //AD, MQ//BC nên  
NMQ DIC  90 (góc có cạnh tương ứng song song).
Do đó MNPQ là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm M , N, P,Q cùng thuộc đường tròn đường kính NQ . Câu 7:
Dễ dàng chứng minh được tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Gọi O AC BD .
OE//AD (vì OE là đường trung bình của ABD )  
OEB DAB  60 (đồng vị). (1)
Ta có E,O,G thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit, OE và OG cùng song song với AD ). 1 1
Mặt khác, OE AD, OG BC và OE OG hay O là trung điểm của EG . 2 2
Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật EFGH . 1 1
Lại có: EB AB; OE AD mà AB AD OE EB O
EB cân tại E . (2) 2 2
Từ (1) và (2) suy ra OEB đều  OE OB B thuộc đường tròn O .
Tương tự có D thuộc đường tròn O .
Vậy 6 điểm E, F,G, H , B, D thuộc đường tròn O . Câu 8:
Gọi I là trung điểm của CD . Theo giả thiết suy ra ID IC AD IA
D cân tại D . Mà 
D  60 nên IAD
đều  IA ID IC . (1)  ACD vuông tại 
A DAC  90 .
Lại có ACD BDC c.g.c  
CBD DAC  90  BCD  vuông tại B .
Mà có IB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên IB IC ID . (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC ID hay 4 điểm ,
A B,C, D cùng thuộc đường tròn tâm I . Câu 9:
a) Dễ thấy BHC và BCK là hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên
bốn điểm B,C, H , K cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của BC .
b) BC và HK lần lượt là đường kính và dây cung của đường tròn I  .
Do đó HK BC . Câu 10:
a) Vì K là trung điểm của AC nên OK AC (quan hệ đường kính và dây cung).
COK và COH là hai tam giác vuông chung cạnh huyền CO
nên bốn điểm C, H ,O, K cùng thuộc một đường tròn đường kính CO .
b) Tứ giác ADIC có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung
điểm của mỗi đường nên ADIC là hình thoi. 1  S  2S
 2. .AH.CD AH.CD . ADIC ACD 2 2 3R R Mà 2 2 2 AH  ;
CD  2CH  2 OC OH  2 R   R 3 . 2 4 2 3R 3R 3  S  .R 3  ADIC 2 2 Câu 11:
Ta có: AB IA IB  6 cm . Do H là trung điểm của AB nên AH  3 cm .
Lại có IH AH AI  1 cm  OK IH  1 cm (do OHIK là hình chữ nhật).
Do hai dây AB và CD bằng nhau nên OH OK  1 cm . Câu 12:
a) Kẻ OH CD H CD  CH DH (quan hệ đường kính và dây cung).
Gọi K OH EF . Do OHM  OKN OH OK CD EF
(liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Mà CD//EF nên suy ra CDFE là hình bình hành. HOD K
OE D,O, E thẳng hàng.
CDEF là hình chữ nhật. R b) Ta có OM
; OC R . Trong tam giác vuông HMO có: 2  R R HMO  30 ;  .
OH OM sin 30 
DF HK  2OH  . 4 2
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CHO có: 2 R R 15 R 15 2 2 2 2 2 2
OH CH OC CH OC OH R  
CD  2CH  . 16 4 2 2 R 15 R R 15
Vậy diện tích hình chữ nhật CDFE là: SC . D EF  .  CDFE 2 2 4
II.CÁC BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 1. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn,
qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Chứng minh rằng cả năm điểm A, B, C, D,
E cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có  
C D  90 . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và
CA. Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Cho đường tròn ( ;
O R) và một điểm A ở ngòai đường tròn. Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường
tròn (O) . Trên các tia AM, AN, AP, AQ lần lượt lấy các điểm M , N , P ,Q sao cho M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AM , AN , AP , AQ . Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P ,Q cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD, A  60 . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, AB a, BC b(a b) . Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là
hình chiếu của C trên BD.
a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi M là trung điểm của AB, tìm điều kiện của a và b để 5 điểm C, D, H, K và M cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. Cho tam giác ABC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của HA, HB, HC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn;
b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn;
c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
• Chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định
Bài 7. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM  1,5cm . Chứng minh rằng điểm A
thuộc một đường tròn cố định.
Bài 8. Cho đường tròn ( ;
O 3cm) . Lấy điểm A bất kì trên đường tròn. Qua A vẽ tia Ax  OA . Trên tia
Ax lấy điểm B sao cho AB  4cm . Gọi H là hình chiếu của A trên OB. Chứng minh rằng H thuộc
một đường tròn cố định.
Bài 9. Cho đoạn thẳng AB  4cm . Trên AB lấy điểm C sao cho AC  1cm . Vẽ tia Cx, trên đó lấy điểm M sao cho  
AMC ABM . Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định.
• Dựng đường tròn
Bài 10. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm nằm trên đường thẳng d cho trước.
Bài 11. Cho đường thẳng d và một điểm A cách d là 1cm. Dựng đường tròn (O) có bán kính 1,5cm đi
qua A và có tâm nằm trên đường thẳng d.
• Các dạng khác
Bài 12. Cho tam giác ABC. Trên tia BC lấy điểm M, trên tia CB lấy điểm N sao cho BM B ,
A CN CA. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam gác AMN. Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc BAC.
Bài 13. Cho hình thoi ABCD cạnh 1. Gọi R và R lần lượt là bán kính đừơng 1 2
tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng 2 2 2 2
R R  4R R . 1 2 1 2
Bài 14. Cho 6 đường tròn cùng đi qua một điểm A. Chứng minh rằng có một
hình tròn chứa tâm của một hình tròn khác.
Bài 15. Cho 99 điểm sao cho trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có
khỏang cách nhỏ hơn 1. Chứng mình rằng trong các điểm đã cho có ít nhất 50 điểm nằm trong một
đường tròn có bán kính bằng 1.
Bài 16. Đố. Hai người chơi một trò chơi như sau:
Mỗi người lần lượt đặt một đồng xu lên một tấm bìa hình tròn. Người cuối cùng đặt được đồng xu lên
tấm bìa là người thắng cuộc. Muốn chắc thắng thì phải chơi như thế nào? (Các đồng xu đều như
nhau và không chồng lên nhau).
Bài 17. Cho đường tròn ( ;
O 3) . Lấy sáu điểm ở bên trong đường tròn, không có điểm nào trùng với O và
không có hai điểm nào thuộc cùng một bán kính. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong 6 điểm đó
có khỏang cách nhỏ hơn 3.
Bài 18. Cho sáu điểm thuộc một hình tròn ( ;
O r) , các điểm này không có điểm nào trùng với O. Chứng
minh rằng tồn tại hai điểm trong sáu điểm ấy có khỏang cách nhỏ hơn hoặc bằng r.
Bài 19. Cho bảy điểm thuộc một hình tròn (O;r) trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì không nhỏ
hơn r. Chứng minh rằng một trong bảy điểm đó trùng với tâm của hình tròn. HƯỚNG DẪN
Bài 1. Đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D và đường tròn qua bốn điểm B, C, D, E có ba điểm chung
và B, C, D nên chúng phải trùng nhau.
Vậy năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Bài 2. Xét A
BD có EF là đường trung bình AD Suy ra
EF //AD và EF  . 2
Chứng minh tương tự ta đựơc: AD
HG//AD và HG  . 2
Vậy EF //HG và EF HG .
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành. Ta có     FGD BC ;
D HGC ADC (cặp góc đồng vị). Do đó    
FGD HGC BCD ADC  90 , dẫn tới  FGH  90 . Hình bình hành EFGH có 
G  90 nên là hình chữ nhật.
Suy ra bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Trên tia AO lấy điểm O sao cho O là trung điểm của AO . Xét AO M
  có OM là đường trung bình nên O M
   2OM  2R .
Chứng minh tương tự ta được: O N    O P    O Q    2R
Vậy bốn điểm M , N , P ,Q cùng thuộc đường tròn ( ; O 2R) .
Bài 4. Vì ABCD là hình thoi nên AC BD (tại O) và AC là
đường phân giác của góc A. Do đó  
A A  30 . 1 2
Đặt độ dài mỗi cạnh của hình thoi là a.
Xét các tam giác AOB, AOD vuông tại O có: a  
A A  30 nên OB OD  . 1 2 2
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có: a
OE OF OG OH  . 2 a
Vậy OB OD OE OF OG OH  . 2  a
Suy ra 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn ; O    2 
với O là giao điểm hai đường chéo hình thoi. Bài 5.
a) Gọi O là trung điểm của CD.
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có: a
OH OK OC OD  . 2
Vậy bốn điểm H, K, C, D cùng nằm trên đường tròn  a O; 
 tức là đường tròn đường kính CD.  2 
b) Dễ thấy tứ giác AMOD là hình chữ nhật. Suy ra
OM AD b .
Điểm M thuộc đường tròn đường kính CD a a
OM OC OD
b   a  2b . 2 2
Vậy 5 điểm C, D, H, K, M cùng thuộc một đường tròn khi
và chỉ khi a  2b . Bài 6.
a) Dùng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác MPKJ là hình bình hành. Ta có
JK //BC; MJ //AD Mà
AD BC nên MJ JK . Do
đó tứ giác MPKJ là hình chữ nhật.
Suy ra bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn (O) đường kính MK hoặc PJ.
b) Chứng minh tương tự ta được tứ giác MIKN là hình chữ nhật. Suy ra
bốn điểm M,I, K, N cùng thuộc một đường tròn (O) đường kính MK hoặc IN. Hai
đường tròn (O) này có chung đường kính MK nên chúng trùng nhau.
Suy ra 6 điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn đường kính MK hoặc IN.
c) Tam giác FMK vuông tại F nên điểm F nằm trên đường tròn
đường kính MK. Chứng minh tương tự ta được điểm E thuộc
đường tròn đường kính PJ, điểm D thuộc đường tròn đường kính IN.
Từ đó suy ra 9 điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Bài 7. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho BO BC .
Suy ra BM là đường trung bình của ABC . Do
đó OA  2BM  3cm
Điểm A cách điểm O cho trước một khoảng 3cm nên điểm A thuộc đường tròn ( ; O 3cm) .
Đó là một đường tròn cố định.
Bài 8. Xét AOB vuông tạo A ta có: 2 2 2 2 2
OB OA AB  3  4  25 . Do đó OB  5(cm) . Áp
dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOB ta có 2 OH.OB  OA 2 2 OA 3  OH   1,8(cm) . OB 5
Vậy điểm H  đường tròn (O;1,8cm) . Đó là một đường tròn cố định. Bài 9. AMC và ABM có: A chung;  
AMC ABM (giả thiết) nên
AMC ∽ ABM (g.g). AM AC suy ra  AB AM 2  AM  . AB AC  4.1  4
AM  (2cm) . Do đó M  đường tròn (A;2cm).
Đó là một đường tròn cố định. Bài 10. • Phân tích:
Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - O  d ;
- O nằm trên đường trung trực của AB. • Cách dựng: -
Dựng đường trung trực của AB cắt đường thẳng d tại O. - Dựng đường tròn ( ; O O )
A , đó là đường tròn phải dựng. • Chứng minh:
Theo cách dựng, đường tròn ( ; O O )
A có tâm O nằm trên đường thẳng d.
Mặt khác, O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB . Do đó đường tròn ( ; O O ) A đi qua A và B. • Biện luận: -
Nếu d không vuông góc với AB thì bài toán có một nghiệm hình. -
Nếu d AB nhưng không phải là đường trung trực của AB thì bài toán không có nghiệm hình. -
Nếu d là đường trung trực của AB thì bài toán có vô số nghiệm hình. Bài 11. • Phân tích:
Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - O d ; - O  ( ; A 1,5cm) • Cách dựng: - Dựng đường tròn ( ;
A 1,5cm) cắt đường thẳng d tạo O. -
Dựng đường tròn (O;1,5cm) . Đó là đường tròn phải dựng.
• Chứng minh: Bạn đọc tự giải. • Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình, đó là đường tròn (O;1,5cm) và (O ;1,5cm) .
Bài 12. Đường tròn (O) đi qua hai điểm A và M nên điểm O nằm
trên đường trung trực của AM.
Mặt khác  BAM là tam giác cân nên đường trung trực của
AM cũng là đường phân giác của góc B.
Tương tự, điểm O nằm trên đường trung trực của AN cũng là
đường phân giác của C. Xét
 ABC , hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau
tại O, suy ra tia AO là tia phân giác của góc BAC.
Bài 13. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Mỗi đường chéo là đường trung trực của đường chéo kia.
Vẽ đường trung trực của AB cắt AB tại M, cắt AC tại I và cắt BD tại K. Xét
 ABD có I là tâm đường tròn ngoại tiếp và IA  R . 1 Xét
 ABC cso K là tâm đường tròn ngoại tiếp và KB R . 2 OA AB A
OB ∽ AMI  (g.g), suy ra  MA AI OA 1 1 1 2     2OA   4OA (1) 2 1 R R R 1 1 1 2 OB AB
AOB ∽ KMB (g.g), suy ra  MB KB OB 1 1 1 2     2OB   4OB (2) 2 1 R R R 2 2 2 2 1 1 Từ (1) và (2) suy ra   4 2 2 OA OB . 2 2  R R 1 2 2 2 R R Do đó 1 2 2
 4AB  4 . Suy ra 2 2 2 2
R R  4.R R . 2 2 R R 1 2 1 2 1 2
Bài 14. Gọi O O ,...,O là tâm của 6 đường tròn cùng đi qua A. 1, 2 6
Nối A với O O ,...,O ta được 6 tia. 1, 2 6 •
Nếu có hai tia AO và AO trùng nhau và độ dài đoạn thẳng m n
AO lớn hơn hoặc bằng độ dài đoạn thẳng AO thì hình tròn m n
tâm O chứa tâm O m n •
Nếu cả 6 tia là phân biệt, chúng tạo thành 6 góc đỉnh A không có điểm trong chung, tổng của
chúng là 360 do đó tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 60 , giả sử  O AO  60 . 1 2 Xét O
AO , giả sử O A O A khi đó  
O O , từ đó 
O  60 , dẫn tới   O A . 1 2 1 2 2 1 2 2 Suy ra
O A O O . Khi đó hình tròn (O ) chứa tâm O . 1 1 2 1 2
Nếu O A O A thì chứng minh tương tự ta có hình tròn (O ) chứa tâm O . 1 2 2 1
Bài 15. Gọi A là một trong số 99 điểm đã cho. Vẽ đường tròn ( ;
A 1) . Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong đường tròn này thì bài toán đã giải xong.
Nếu B là một điểm không nằm trong đường tròn ( ;
A 1) thì AB  1. Vẽ đường tròn ( ;
B 1) . Gọi C là một điểm trong số 97 điểm còn lại. Theo
đề bài, trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Ta có
AB  1 hoặc AC  1, khi đó C nằm trong đường tròn ( ; A 1) hoặc
BC  1, khi đó C nằm trong đường tròn ( ;
B 1) . Như vậy hai đường tròn ( ; A 1) và ( ;
B 1) chứa tất cả 99 điểm đã cho.
Theo nguyên lí Đi-rich-lê, phải có một trong hai đường tròn chứa ít nhất 50 điểm.
Bài 16. Tấm bìa hình tròn nên tâm đối xứng là tâm của tấm bìa. Người đi
trước sẽ thắng nếu chơi theo “chiến thuật” sau” A:
Đặt đồng xu đầu tiên tại tâm của miếng bìa. B:
Đặt đồng xu thứ hai lên tấm bìa tại một vị trí nào đó. A:
Đặt đồng xu thứ ba tại vị trí đối xứng với đồng xu thứ hai qua tâm.
Cứ như thế nếu B còn có thể đặt một đồng xu tại một vị trí nào đó trên tấm bìa thì A đặt được một
đồng xu tiếp theo tạo vị trí đối xứng với nó qua tâm. Như vậy A sẽ chắc thắng.
Bài 17. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua sáu điểm đã cho. Có sáu bán kính nên tồn tại hai bán kính tạo
với nhau một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 6  60 .
Giả sử đó là các bán kính OM, ON theo thứ tự đi qua hai điểm A và B. Xét OAB có 
O  60 nên tồn tại một trong hai góc A và B phải lớn hơn hoặc bằng 60 .
Giả sử B  60 . Do đó  
O B suy ra AB OA OM  3 . Vậy AB  3 .
Bài 18. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua sáu điểm đã cho.
Nếu có hai điểm trong sáu điểm cùng thuộc một bán kính thì khoảng
cách giữa hai điểm này nhỏ hơn r, bài toán được chứng minh.
Nếu không có hai điểm trong sáu điểm cùng thuộc một bán kính thì
có sáu bán kính, tồn tại hai bán tạo với nhau một góc nhỏ hơn hoặc
bằng 360 : 6  60 , giả sử  AOB  60 . Xét OAB có 
AOB  60 nên tồn tại một trong hai góc A và B
phải lớn hơn hoặc bằng 60 .
Giả sử B  60 . Do đó  
O B suy ra AB OA r .
Bài 19. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử không có điểm nào trùng với tâm của hình tròn. Vẽ các bán kính lần lượt đi qua bảy điểm đã cho.
Không có hai điểm nào thuộc cùng bán kính (vì nếu chúng thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách
giữa chúng nhỏ hơn bán kính, trái giả thiết).
Bảy góc đỉnh O không có điểm trong chung, có tổng bằng 360 nên tồn
tại một góc nhỏ hơn 60 , giả sử là góc AOB. Xét AOB có 
AOB  60 nên ít nhất một trong hai góc còn lại phải lớn
hơn 60 . Giả sử B  60 , suy ra AB OA r (trái giả thiết).
Vậy tồn tại một điểm trùng với tâm hình tròn.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Sự xác định của đường tròn – Tính chất đối xứng của đường tròn
Câu 1: Số tâm đối xứng của đường tròn là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 2: Tâm đối xứng của đường tròn là:
A. Điểm bất kì bên trong đường tròn.
B. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn.
C. Điểm bất kì trên đường tròn.
D. Tâm của đường tròn.
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn
A. Đường tròn không có trục đối xứng.
B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính.
C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau.
D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính.
Câu 4: Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Đường tròn có … trục đối xứng”. A. 1 . B. 2 .
C. Vô số. D. 3 .
Câu 5: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
A. Giao của ba đường phân giác.
B. Giao của ba đường trung trực.
C. Giao của ba đường cao.
D. Giao của ba đường trung tuyến.
Câu 6: Giao ba đường trung trực của tam giác là:
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác).
B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác (đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác).
C. Tâm đường tròn cắt ba cạnh của tam giác.
D. Tâm đường tròn đi qua 1 đỉnh và cắt hai cạnh của tam giác.
Câu 7: Cho đường tròn (O;R) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM = R . Chọn khẳng định đúng?
A. Điểm M nằm ngoài đường tròn.
B. Điểm M nằm trên đường tròn.
C. Điểm M nằm trong đường tròn.
D. Điểm M không thuộc đường tròn.
Câu 8: Cho đường tròn (O;R) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM > R . Chọn khẳng định đúng?
A. Điểm M nằm ngoài đường tròn.
B. Điểm M nằm trên đường tròn.
C. Điểm M nằm trong đường tròn.
D. Điểm M không thuộc đường tròn.
Câu 9: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a .
A. Tâm là giao điểm A và bán kính R = a 2 .
B. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính R = a 2 . a 2
C. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính R = . 2 a 2
D. Tâm là điểm B và bán kính là R = . 2
Câu 10: Tính bán kính R của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh 3cm . 3 2 3 3
A. R = 3 2 cm . B. R = cm .
C. R = 3cm . D. R = cm . 2 2
Câu 11: Tâm của đường trong ngoại tiếp tam giác vuông là:
A. Trung điểm cạnh huyền.
B. Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn.
C. Giao ba đường cao.
D. Giao ba đường trung tuyến.
Câu 12: Chọn câu đúng. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
A. Bằng cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông. B. Bằng nửa cạnh góc vuông lớn hơn.
C. Bằng nửa cạnh huyền. D. Bằng 4cm .
Câu 13: Cho tam giác ABC có các đường cao ,
BD CE . Biết rằng bốn điểm , B E, , D C cùng nằm trên
một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
A. Tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính 2
R = AI với I là trung điểm của BC . 3 AB
B. Tâm là trung điểm AB và bán kính là R = . 2 BD
C. Tâm là giao điểm của BD và EC , bán kính là R = . 2
D. Tâm là trung điểm BC
BC và bán kính là R = . 2
Câu 14: Cho tam giác ABC có các đường cao ,
BD CE . Chọn khẳng định đúng. A. Bốn điểm , B E, ,
D C cùng nằm trên một đường tròn. B. Năm điểm ,
A B, E, D,C cùng nằm trên một đường tròn.
C. Cả A, B đều sai.
D. Cả A, B đều đúng.
Câu 15: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , xác định vị trí tương đối của điểm (
A -1;-1) và đường tròn tâm là
gốc toạ độ O , bán kính R = 2 .
A. Điểm A nằm ngoài đường tròn.
B. Điểm A nằm trên đường tròn.
C. Điểm A nằm trong đường tròn.
D. Không kết luận được.
Câu 16: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , xác định vị trí tương đối của điểm (
A -3;-4) và đường tròn tâm là
gốc toạ độ O , bán kính R = 3 .
A. Điểm A nằm ngoài đường tròn.
B. Điểm A nằm trên đường tròn.
C. Điểm A nằm trong đường tròn.
D. Không kết luận được.
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 15c ;
m AC = 20cm . Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 25 . B. 25 R = . C. R = 15 . D. R = 20 . 2
Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 5cm;AC = 12cm . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 26 . B. R = 13 . C. 13 R = . D. R = 6 . 2
Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12c ,
m BC = 5cm . Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh , A , B C,D .
A. R = 7, 5cm .
B. R = 13cm .
C. R = 6cm .
D. R = 6, 5cm .
Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm,BC = 6cm . Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh , A , B C, D .
A. R = 5cm .
B. R = 10cm .
C. R = 6cm .
D. R = 2, 5cm .
Câu 21: Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là giao điểm
của CM và DN . Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm , A , D E, M là:
A. Trung điểm của DM . B. Trung điểm của DB . C. Trung điểm của DE . D. Trung điểm của DA .
Câu 22: Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là
giao điểm của CM và DN . Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm , A , D E, M là:
A. R = 5cm .
B. R = 10cm .
C. R = 2 5 cm .
D. R = 5 cm .
Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH = 2 ,
cm BC = 8cm . Đường vuông góc với AC tại C cắt
đường thẳng AH ở D . A H C B D
Câu 23: Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn? A. , D H, , B C . B. , A , B H,C . C. , A , B , D H . D. , A , B , D C .
Câu 24: Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm , A , B , D C .
A. d = 8cm .
B. d = 12cm .
C. d = 10cm .
D. d = 5cm .
Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH = 4cm,BC = 6cm . Đường vuông góc với AC tại C cắt
đường thẳng AH ở D . A H C B D
Câu 25: Chọn câu đúng? A.ABD = 90 .
B. DC = DB . C. Bốn điểm , A , B ,
D C cùng thuộc một đường tròn.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 26: Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm , A , B , D C .
A. d = 6, 25cm .
B. d = 12, 5cm .
C. d = 6cm .
D. d = 12cm .
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a , các đường cao là BM và CN . Gọi O là trung điểm cạnh BC .
Câu 27: Đường tròn đi qua bốn điểm ,
B N, M,C là:
A. Đường tròn tâm BC D bán kính .
B. Đường tròn tâm D bán kính BC . 2
C. Đường tròn tâm BC BC B bán kính .
D. Đường tròn tâm C bán kính . 2 2
Câu 28: Gọi G là giao điểm của BM và CN . Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với
đường tròn tìm được ở ý trước.
A. Điểm G nằm ngoài đường tròn; điểm A nằm trong đường tròn.
B. Điểm G nằm trong đường tròn; điểm A nằm ngoài đường tròn.
C. Điểm G và A cùng nằm trên đường tròn.
D. Điểm G và A cùng nằm ngoài đường tròn.
Câu 29: Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn? A. ,
B N, M,C . B. , A , B M, N . C. ,
A C, M, N .
D. Cả A, B, C đều sai.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm , các đường cao là BM và CN . Gọi O là trung điểm cạnhBC .
Câu 30: Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm ,
A N,G, M với G là giao của BM và CN . 6 3 A. 2 3 . B. . C. 3 . D. . 2 2 HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn. Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn. Đáp án cần chọn là D. 3. Lời giải:
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng. Đáp án cần chọn là D. 4. Lời giải:
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng. Đáp án cần chọn là C. 5. Lời giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Đáp án cần chọn là B. 6. Lời giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Đáp án cần chọn là A. 7. Lời giải:
Cho điểm M và đường tròn ( ; O )
R ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:
Vị trí tương đối Hệ thức
M nằm trên đường tròn (O) OM = R
M nằm trong đường tròn (O) OM < R
M nằm ngoài đường tròn (O) OM > R Đáp án cần chọn là B. 8. Lời giải:
Vì OM > R nên điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Đáp án cần chọn là A. 9. Lời giải: D C O A B
Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có
OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , bán kính AC R = OA = . 2 a 2
Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có 2 2 2
AC = AB + BC AC = a 2  R = 2
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a là giao điểm hai đường chéo, bán kính là a 2 R = . 2 Đáp án cần chọn là C. 10. Lời giải: D C O A B
Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD . Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có
OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , bán kính AC R = OA = . 2 3 2
Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có 2 2 2 2 2
AC = AB + BC = 3 + 3 = 18  AC = 3 2  R = 2 3 2 Vậy R = . 2 Đáp án cần chọn là B. 11. Lời giải:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp. Đáp án cần chọn là A. 12. Lời giải:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền. Đáp án cần chọn là C. 13. Lời giải: A D E B I C
Gọi I là trung điểm của BC . Xét tam giác BC
BEC vuông tại E có EI = IB = IC =
(vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh 2 huyền). Xét tam giác BC
BDC vuông tại D có DI = IB = IC =
(vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh 2 huyền). Từ đó ta có BC
ID = IE = IB = IC =
nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính 2 BC R = . 2 Đáp án cần chọn là D. 14. Lời giải: A D E B I C
Gọi I là trung điểm của BC . Xét tam giác BC
BEC vuông tại E có EI = IB = IC =
(vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh 2 huyền). Xét tam giác BC
BDC vuông tại D có DI = IB = IC =
(vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh 2 huyền). Từ đó ta có BC
ID = IE = IB = IC = nên bốn điểm , B E, ,
D C cùng nằm trên một đường tròn có bán 2 kính BC R = . 2
Ta thấy IA > ID nên điểm A không thuộc đường tròn trên. Đáp án cần chọn là A. 15. Lời giải: Ta có 2 2 OA = ( 1 - - 0) + ( 1
- - 0) = 2 < 2 = R nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2 . Đáp án cần chọn là C. 16. Lời giải: Ta có 2 2 OA = ( 3 - - 0) + ( 4
- - 0) = 5 > 3 = R nên A nằm bên ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 3 . Đáp án cần chọn là A. 17. Lời giải: A C E B
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC , bán kính là BC R = . 2
Theo định lý Pytago ta có 2 2
BC = AC + AB = 25 nên bán kính 25 R = . 2 Đáp án cần chọn là B. 18. Lời giải: A C E B
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC , bán kính là BC R = . 2
Theo định lý Pytago ta có 2 2
BC = AC + AB = 13 nên bán kính 13 R = . 2 Đáp án cần chọn là C. 19. Lời giải: A B I D C
Gọi I là giao hai đường chéo, ta có IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm mỗi đường) Nên bốn điểm AC , A ,
B C,D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 2
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có 2 2
AC = AB + BC = 13 nên AC R =
= 6, 5cm . Vậy bán kính cần tìm là R = 6, 5cm . 2 Đáp án cần chọn là D. 20. Lời giải: A B I D C
Gọi I là giao hai đường chéo, ta có IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm mỗi đường) Nên bốn điểm AC , A ,
B C,D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 2
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có 2 2 2 2
AC = AB + BC = 8 + 6 = 10 nên AC 10 R = = = 5cm . 2 2
Vậy bán kính cần tìm là R = 5cm . Đáp án cần chọn là A. 21. Lời giải: D C I E N A M B
+ Ta có DDCN = DCMB (c – g – c)  
CDN = ECN nên    
CNE + ECN = CNE +CDN = 90 suy ra 
CEN = 90  CM ^ DN
+ Gọi I là trung điểm của DM . Xét tam giác vuông DM
ADM ta có AI = ID = IM =
. Xét tam giác vuông DEM ta có 2 DM
EI = ID = IM = . 2 Nên DM
EI = ID = IM = IA = . 2 Do đó bốn điểm DM , A ,
D E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính . 2 Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải: D C I E N A M B + Ta có  
CDN = ECN (vì cùng phụ với  CNE ) nên    
CNE + ECN = CNE +CDN = 90 suy ra 
CEN = 90  CM ^ DN .
+ Gọi I là trung điểm của DM . Xét tam giác vuông DM
ADM ta có AI = ID = IM =
. Xét tam giác vuông DEM ta có 2 DM
EI = ID = IM = . 2 Nên DM
EI = ID = IM = IA = . 2 Do đó bốn điểm DM , A ,
D E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = . 2 Xét tam giác AB
ADM vuông tại A có AD = 4cm;AM =
= 2cm nên theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2 2
DM = AD + AM = 4 + 2 = 2 5 . DM 2 5
Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm , A ,
D E, M là R = = = 5 cm . 2 2 Đáp án cần chọn là D. 23. Lời giải: A H C B D
Ta có DABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác   CAD = DAB .
Suy ra DACD = DABD (c – g – c) nên  
ABD = ACD = 90 . Lấy AD
I là trung điểm AD . Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có IA = ID = IB = IC = . 2
Nên I là điểm cách đều , A , B , D C hay , A , B ,
D C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD . Đáp án cần chọn là D. 24. Lời giải: A I H C B D
Từ câu trước ta có bốn điểm , A , B ,
D C cùng thuộc đường tròn đường kính AD suy ra ta cần tính độ dài AD .
Vì BC = 8cm BH = 4cm . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được 2 2
AB = AH + BH = 4 + 16 = 2 5 . 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AB 20 ABD ta có 2
AB = AH.AD AD = = = 10 . AH 2
Vậy đường kính cần tìm là 10cm . Đáp án cần chọn là C. 25. Lời giải: A I H C B D
Ta có DABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác   CAD = DAB .
Suy ra DACD = DABD (c – g – c) nên  
ABD = ACD = 90 và CD = DB nên A, B đúng. Lấy AD
I là trung điểm AD . Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có IA = ID = IB = IC = . 2
Nên I là điểm cách đều , A , B , D C hay , A , B ,
D C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD nên đáp án C đúng. Đáp án cần chọn là C. 26. Lời giải:
Từ câu trước ta có bốn điểm , A , B ,
D C cùng thuộc đường tròn đường kính AD suy ra ta cần tính độ dài AD .
Vì BC = 6cm BH = 3cm . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được 2 2 2 2
AB = AH + BH = 4 + 3 = 5 . 2 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AB 5 ABD ta có 2
AB = AH.AD AD = = = 6, 25 . AH 4
Vậy đường kính cần tìm là 6, 25cm . Đáp án cần chọn là A. 27. Lời giải: A N M B D C
Gọi D là trung điểm BC .
Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ,
ND MD là hai đường trung tuyến. BC
DN = DB = DC = DM = nên bốn điểm ,
B N, M,C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính 2 BC . 2 Đáp án cần chọn là A. 28. Lời giải: A N M G B D C
Từ câu trước ta xác định vị trí tương đối của điểm BC
G với đường tròn tâm D bán kính . 2
Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a (a > 0) .
Ta có G là trực tâm DABC nên G cũng là trọng tâm DABC suy ra 1 GD = AG . 3 BC a
D là trung điểm BC AD ^ BD;DC = = 2 2 a 3
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có 2 2
AD = AC - DC = 2 1 a 3 a 3  GD = . = . 3 2 6 a 3 a BC Nhận thấy BC GD = < =
nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính . 6 2 2 2 a 3 a BC Và BC AD = > =
nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính . 2 2 2 2 Đáp án cần chọn là B. 29. Lời giải: A N M B D C Đáp án cần chọn là A. 30. Lời giải: A I N M G B D C
Vì G là giao điểm của hai đường cao BM,CN nên G là trực tâm DABC
Ta có G là trực tâm DABC nên G cũng là trọng tâm DABC suy ra 2 AG = AD . 3 BC D là trung điểm 3
BC AD ^ BD;DC = = 2 2 3 3
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có 2 2
AD = BC - DC = 2 2 3 3  AG = . = 3 3 2
Gọi I là trung điểm của AG . Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG , xét tam giác vuông AMG có AG
IM = IA = IG nên IM = IN = IA = IG = . 2 AG 3 Hay 4 điểm ,
A N,G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính R = = . 2 2 Đáp án cần chọn là D.
-------------------- HẾT --------------------