Chuyên Đề Thể Tích Khối Đa Diện Có Yếu Tố Góc Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Chuyên đề thể tích khối đa diện có yếu tố gốc ôn thi tốt nghiệp THPT được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 62 trang. Mỗi đề thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa:
Nếu d P d P 0 ( ; ) 90 A d d' I H (P)
Nếu d P d;P d;d ' AIH với d 'là hình chiếu của d lên P 0 Chú ý:
d P 0 0 ; 90
2. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa:
Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng P và Q .
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q chính là góc giữa hai đường thẳng a và b b a c
Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước
Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua
I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông
góc với đường thẳng d.
Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b b a d I
5. Thể tích khối đa diện
a. Công thức tính thể tích khối chóp 1 V = S.h 3
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.
Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có Trang1 V
SA ' SB ' SC '
S . A ' B 'C ' = . . . V SA SB SC S . ABC
b. Công thức thể tích khối lăng trụ: V .
B h ( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƢỜNG GẶP
a)Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với
Ví dụ: Hình chóp S .A BC có S
đáy: Chiều cao của hình chóp là đô ̣ dài ca ̣nh bên cạnh bên SA vuông góc với mặt vuông góc với đáy.
phẳng đáy, tức SA ^ (A B C ) thì
chiều cao của hình chóp là SA. A C B
b)Hình chóp có 1 mă ̣t bên vuông góc với mă ̣t
Ví dụ: Hình chóp S .A BCD S
đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
có mặt bên (SA B ) vuông góc
tam giác chứa trong mă ̣t bên vuông góc với đáy.
với mặt phẳng đáy (A BCD)
thì chiều cao của hình chóp là A
SH là chiều cao của D SA B . D H B C
c)Hình chóp có 2 mă ̣t bên vuông góc với mặt
Ví dụ: Hình chóp S .A BCD S
đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của
có hai mặt bên (SA B ) và
hai mă ̣t bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
(SA D) cùng vuông góc với
mă ̣t đáy (A BCD) thì chiều D A
cao của hình chóp là SA. B C
d) Hình chóp đều:
Ví dụ: Hình chóp đều S
Chiều cao của hình chóp là đoa ̣n thẳng nối đỉnh
S .A BCD có tâm đa giác
và tâm của đáy. Đối với hình chóp đều đáy là tam đáy là giao điểm của hai
giác thì tâm là trọng tâm G của tam giác đều.
đường chéo hình vuông
A B CD thì có đường cao là A D SO. O B C
XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP
1. Diê ̣n tích tam giác vuông.
S= nửa tích 2 cạnh góc vuông. 2 2 2
Pitago: A B + A C = A C
2. Diê ̣n tích tam giác đều. 3 S= (cạnh)2. 4 3 h= (cạnh). 2 Trang2
3. Diê ̣n tích hình vuông: . S= (cạnh)2 . Pitago: 2 2 2
A B + A D = BD
.Đường chéo hình vuông bằng ca ̣nh. 2
4. Diê ̣n tích hình chữ nhật: . S= dài x rộng.
5. Diê ̣n tích hình thoi: 1 . S = .A C .BD 2 . S= 2.SABC=2.SADC
6. Diê ̣n tích hình thang:
. S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) 1 .S =
A H .(A B + CD ) 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Thể tích khối đa diện
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
Công thức tỉ số thể tích
Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SA và mặt phẳng SBC bằng 45( tham khảo hình bên). Thể tích
của khối chóp S.ABC bằng: 3 a 3 3a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 8 12 4
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy. 2. HƢỚNG GIẢI:
B1: Tính diện tích đáy
B2:tính thể tích khối lăng trụ V S.h
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể nhƣ sau: Lờigiải Trang3 ChọnA
Gọi M là trung điểm BC thì AM BC và SA BC nên BC SAM .
Từ đây dễ thấy góc cần tìm là
ASM 45 . Do đó tam giác a 3
SAM vuông cân tại A và SA AM . 2 2 3 1 a 3 a 3 a Suy ra V . . S.ABC 3 2 4 8
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 1 Câu 1.
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 2
3a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng A. 3 6a . B. 3 2a . C. 3 3a . D. 3 a . Lờigiải ChọnB 1 1 Ta có 2 3 V S .h 3a .2a 2 đ a . 3 3 Câu 2.
Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là 1 1
A. V 3Bh . B. V Bh . C. V Bh .
D. V Bh . 3 6 Lời giải Chọn D 1 Ta có V .3 . B h Bh . 3 Câu 3.
Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào? A. Tăng 4 lần.. B.Tăng 8 lần.. C.Tăng 2 lần. D.Không thay đổi. Lời giải Chọn B 1
Thể tích khối chóp là: V . B h . 3
Độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích mặt đáy tăng 2 2 4 lần.
Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần.
Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần. Câu 4.
Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 1 A. V Bh . B. V Bh .
C. V Bh . D. V Bh . 3 3 2 Lời giải Chọn B 1
Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh . 3 Câu 5.
Khối chóp S.ABCD có A , B , C , D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC .
Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD sẽ: A.Giảm phân nửa.. B.Tăng gấp đôi.. C.Tăng gấp bốn. D.Giữ nguyên.. Lời giải. Chọn D
Gọi là đường thẳng qua S và song song AC . 1 Ta có: V . B h 3
+ song song AC nên ABCD d S, ABCD d ,
ABCD h không đổi. Trang4
+ A , B , C , D cố định nên diện tích tứ giác ABCD cũng không đổi.
Vì vậy thể tích khối chóp S.ABCD sẽ giữ nguyên. Câu 6.
Cho khối chóp H có thể tích là 3
2a , đáy là hình vuông cạnh a 2 . Độ dài chiều cao khối
chóp H bằng. A. 3a . B. a . C. 4a . D. 2a . Lời giải Chọn A 3 1 1 6a 2 3 V . B h
( 2a) 2a h 3a . 2 3 3 2a Câu 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3 a .Tính chiều
cao h của hình chóp đã cho. A. h . a . B. h 2 . a . C. h 3 . a . D. h 3 . a . Lời giải ChọnC 3 1 3V 3a Ta có:V
S.h h 3 . a . 2 3 S a Câu 8.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng 3
3a . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. 3a 3a 3a A. h . B. h .
C. h 3a . D. h . 3 2 6 Lời giải ChọnC 2a2 3
Do đáy là tam giác đều nên 2 S a 3 . ABC 4 3 1 3V 3a Mà V S .h h 3 a . ABC 2 3 S a ABC 3 Câu 9.
Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên 5 lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên A. 5 lần. B. 20 lần. C.15 lần. D.10 lần. Lờigiải ChọnA
Thể tích khối chóp sẽ tăng lên 5 lần.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a . Tính thể tích của hình chóp đã cho. 3 2a 3 3 4a 3 3 a 3 3 a 3 A.V . B.V . C.V . D.V . 3 3 3 4 Lời giải ChọnC 2 Do đáy là tam giác đề a 3 u nên S . ABC 4 2 3 1 1 a 3 a 3 Mà V S .h . .4a . 3 ABC 3 4 3
Câu 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC 2a , cạnh
bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a A. 3 V a . B.V . C.V . D.V . 2 3 4 Lờigiải Trang5 ChọnB 1 Diện tích đáy 2 B S .2 a a a ABC 2
Chiều cao: h a 3 1 1 a 2 V . B h a .a
ABCA' B 'C ' 3 3 3
Câu 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 2a 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A.V B.V C.V D.V . 3 12 3 4 Lờigiải Chọn B 2 a 3
Diện tích đáy B S ABC 4
Chiều cao: h a 2 3 1 1 a 3 a 3 V . B h .a
ABCA' B 'C ' 3 3 4 12
Câu 13. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
BC 2a , góc giữa SB và ABC là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Lời giải Chọn A Trang6 S A C 30° B
Ta có AB là hình chiếu của SB lên ABC suy ra góc giữa SB và ABC là góc SBA 30 .
Tam giác ABC vuông cân tại A , BC 2a AB AC a 2 . 3 a 6 Xét S
AB vuông tại A có SA A .
B tan 30 a 2. . 3 3 1 3 1 1 a 6 a 6 Ta có 2 2 S
AB a . Vậy 2 V .S . A S . .a . ABC 2 S.ABC 3 ABC 3 3 9
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc o
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 3a 3 a A. 3 V 3a . B. V . C. 3 V a . D. V . 3 3 Lời giải Chọn C S a 60 B A a 3 D C Ta có 2 S A . B AD . a a 3 3a . ABCD Dễ thấy o
BC AB;BC SB SBA 60 . SA Xét tam giác vuông
SAB A 1v có: o o tan 60
SA AB tan 60 a 3 AB 1 1 Vậy 2 3 V S .SA a 3.a 3 a . S . ABCD 3 ABCD 3
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA a và vuông góc với đáy ABC . Biết rằng tam giác ABC đều
và mặt phẳng SBC hợp với đáy ABC một góc 30 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABC . 3 a 3 3 2a 3 a 3 3 a A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 12 3 Lời giải: Trang7 Chọn A
Gọi I là trung điểm BC, ta có SIA 30
Xét tam giác SIA vuông tại A ta có SA a AI a 3 3 Ta có AI AB AB 2 . a 2 3 Diện tích 2 2 S AB a 3 ABC 4 3 1 a 3
Thể tích V .S . A S 3 ABC 3
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
BC 2a , góc giữa SB và ABC là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Lời giải: Chọn A S A C 30° B
AB là hình chiếu của SB lên ABC suy ra góc giữa SB và ABC là góc SBA 30 .
Tam giác ABC vuông cân tại A , BC 2a AB AC a 2 . 3 a 6 SA A .
B tan 30 a 2. . 3 3 1 2 2 S AB a . ABC 2 3 1 1 a 6 a 6 2 V .S . A S . .a . S.ABC 3 ABC 3 3 9
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , tam giác SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC . Trang8 3 a 3 3a A. V . B. 3 V a . C. V . D. 3 V 3a . 2 2 Lời giải: Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB .
SAB ABC
SAB ABC AB SH ABC SH AB SH SAB AB 3 2 AB 3 SH a 3 , 2 S a 3 . 2 ABC 4 1 3 V SH.S a . S . ABC 3 ABC
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Biết SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng
SC và mặt phẳng ABCD bằng 0
30 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 4a 6 A. V . B. V . C. V D.V 7 13 4 3 Lời giải ChọnD. …
Ta có SC SD 2a 3 , 0 SI S .
C sin SCI 2a 3.sin 30 a 3 , 0 CI S .
C cosSCI 2a 3.cos30 3a . AB 3 SI
AB 2a . BC CI BI a2 2 2 2 3 a 2a 2 2 Từ đó: 2 S A . B BC 2 .
a 2a 2 4a 2 ABCD 3 1 1 4a 6 Vậy 2 V .S .SI .4a 2.a 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Trang9
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a .
Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AB . Biết rằng SC a 5 .
Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 5 3 a 15 3 a 15 3 2a 5 A. V B. V . C. V . D. V . 4 3 4 3 Lời giải Chọn C. S A D M B C Gọi a 5 a 15
M là trung điểm AB . Ta có: 2 2 MC BC MB suy ra SM . 2 2
1 a 15 a 2a 3 a a 15 Nên V . . S.ABCD 3 2 2 4
Câu 20. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích
V của khối chóp S.ABC 3 13a 3 11a 3 11a 3 11a A. V . B.V . C. V . D. V . 12 12 6 4 Lời giải Chọn B. S A C O I B
Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam 2 giác đáy. Theo đị a a 3 2 2a 3 a 3 nh lý Pitago ta có 2 AI a , và AO AI . 4 2 3 3.2 3 2 a 11a
Trong tam giác SOA vuông tại O ta có 2 SO 4a 3 3 3 1 1 a 3 11a 11a
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V . a . . 3 2 2 3 12 Mức độ 2 Câu 1.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SC tạo với
mặt phẳng SAB một góc 0
30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 2a 3 6a 3 2a A.V . B.V . C.V . D. 3 V 2a . 3 3 3 Trang10 Lờigiải ChọnA
Ta có CB SAB SC SAB SC SB 0 ; ; CSB 30 Suy ra 0 SB B .
C cot 30 a 3; 2 2
SA SB AB a 2 3 1 2a
Thể tích khối chóp : V S .SA . 3 ABCD 3 Câu 2. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , BC 2a , SA 2a , SA
vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp .
S ABCD tính theo a . 3 8a 3 4a 3 6a A. B. C. D. 3 4a 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta có S A . B CD 2 2a . ABCD 1 3 1 4a Thể tích khối chóp . S ABCD là V . SA S 2 2 .2 a a . S . ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C , AB a 5 , AC a . Cạnh bên
SA 3a và vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 5 A. . B. 3 a . C. 3 3a . D. 3 2a . 2 Lời giải Chọn B.
Vì tam giác ABC vuông tại C nên 2 2 2 2 BC
AB AC 5a a 2 . a 1 1 2 S A . C BC . .
a 2a a . ABC 2 2 1 1 2 3 V . SA S .3 .
a a a (đvtt). . S . ABC 3 ABC 3 Câu 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , BC 2a , đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA 3a . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 6a . D. 3 a . Trang11 Lời giải Chọn A S 3a D A a 2a B C 1
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có V 3 . .2 a .3 a a 2a . S . ABCD 3 Câu 5.
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SA a ,
tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 2a A. V B. 3 V 2a C. V D. V 2 6 3 Lời giải S A C B Chọn D 1 1 2
Ta có: V .S . A S 1 1 3 S . A .A . B AC . . a 2a2 a (dvtt). 3 ABC 3 2 6 3 Câu 6.
Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA ABC , tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB 5a
; BC 8a ; AC 7a , góc giữa SB và ABC là 45. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 50 3 50 50 7 A. 3 50 3a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 3 3 3 Lời giải Chọn B Trang12
AB AC BC Ta có nửa chu vi ABC là p 10a . 2 Diện tích ABC là 2 S 10 . a 5 . a 3 .
a 2a 10 3a . ABC
SA ABC nên S
AB vuông, cân tại A nên SA AB 5. 1 1 50 3
Thể tích khối chóp S.ABC là V S . A S 2 5a.10 3a 3 a . S . ABC 3 ABC 3 3 Câu 7.
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng ABC , SAB là tam
giác đều cạnh a 3 , BC a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ABC góc 60. Thể tích
của khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. 3 2a 6 . 3 2 6 Lờigiải ChọnC B A S 60o H C
Ta thấy tam giác ABC cân tại B , gọi H là trung điểm của AB suy ra BH A . C
Do SAC ABC nên BH SAC .
Ta lại có BA BC BS nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC SA SC .
Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABC 0 SCA 60 . SA Ta có 0 SC S .
A cot 60 a , AC
2a HC a 2 2
BH BC HC a 2 . 0 sin 60 1 3 a 6 V 1 BH .S BH. . SA SC . S . ABC 3 SAC 6 6 Câu 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy
và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3 3a 3 3 3a 3 3 8a 3 3 4a 3 A.V . B.V . C.V . D.V . 4 8 3 3 Lời giải Chọn C Trang13
SB ABCD Ta có:
mà AD AB AD SA .
SB AD AD ABCD
SADABCD AD
AB AD, AB ABCD SAD ABCD SA AB ; ; SAB 60
SA AD, SA SAD 3 1 1 8a 3
Ta có: SB B .
D tan 60 2a 3 . Vậy 2 V SB.S 2a 3.4a . 3 ABCD 3 3 Câu 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c ạnh a , hai mặt phẳng SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD ; góc giữa đư ờng thẳng SC và mặt phẳng
ABCD bằng 60. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . 3 a 6 3 a 6 A. 3 3a . B. . C. . D. 3 3 2a . 9 3 Lờigiải ChọnC
SAB ABCD Ta có
SAD ABCD
SA ABCD SAB
SAD SA
AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD SC ABCD , SCA 60
Tam giác SAC vuông tại A có SA AC.tan 60 a 6 . 3 Khi đó 1 1 a 6 2 V .S . A S .a 6.a . SABCD 3 ABCD 3 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , BC a 3 . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Tính thể Trang14
tích V của khối chóp S.ABCD theo a . 3 2 6a 3 2a 3 3a A. V . B. V . C. 3 V 3a . D. V . 3 3 3 Lời giải Chọn A BC SA Ta có:
BC SAB SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB. BC AB
SC SAB SC SB , , CSB 30 . BC
Xét tam giác SBC vuông tại B có tan 30 SB 3a . SB
Xét tam giác SAB vuông tại A có 2 2
SA SB AB 2a 2 . Mà 2 S A . B BC a 3 . ABCD 3 1 2a 6 Vậy V S .SA . 3 ABCD 3
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V . B. V . C. V . D. V 2 3 2 6 Lời giải Chọn.D. Ta có: 2 S a . ABCD a 2 a 6 Chiều cao SO : 0 SO O . B tan SBO .tan 60 . 2 2 3 1 1 a 6 a 6 Vậy 2 V .S .SO .a . . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . Trang15 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V . B. V . C. V . D. V 2 3 2 6 Lời giải ChọnD. Ta có: 2 S a . ABCD
Gọi M là trung điểm BC , góc giữa mặt bên (SBC ) và ( ABCD) là SMO 1 a Ta có OM AB . 2 2 a a 3 Chiều cao SO : 0 SO O . B tan SBO .tan 60 . 2 2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy 2 V .S .SO .a . . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6
Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A B ¢ C
¢ ¢có đáy là tam giác cân tại
A , AB AC 2a , CAB 120 , góc giữa (A BC ¢
) và (ABC) là 45° . Tính thể tích lăng trụ đã cho. 3 a 6 3 a 3 3 a 3 A. V . B. V . C. V . D. 3 V a 3 2 3 2 Lời giải ChọnD. ·
Gọi M là trung điểm của BC . Ta có AM ^ BC và CAM = 60° ( do DABC cân tại A ) Ta xác định đượ · c góc giữa (A BC ¢
) và (ABC) là A M ¢ A = 45° 1 1 Ta có · S = ° 2 D ABC = AB.AC.sinBAC (
. 2a)2 sin 120 = a 3 và 2 2 · ·
AM = AC cos MAC = 2a.cos60° = a ; AA¢= AM .tan A M ¢ A= a Vậy 3 V = AA .S ¢ = a
3 (đơn vị thể tích). ABC .A B ¢ C ¢ ¢ D ABC
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo đáy góc 0 60 . Thể tích của
khối chóp đó bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 36 18 Lời giải Trang16 Chọn A S 60 A C O M B 2 a 3 Ta có: S
. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC , suy ra SO ABC . ABC 4
Ta có AO là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC .
Suy ra SA ABC SA AO 0 , ,
SAO 60 . Xét tam giác SAO vuông tại O , ta có: SO 2 2 3 0 tan SAO SO A . O tan SAO AM .tan 60 . . a . 3 a . AO 3 3 2 2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy V S .SO . .a . S.ABC 3 ABC 3 4 12
Câu 15. Cho hình lăng trụ đều AB . C A B C
. Mặt phẳng (A B
¢ C) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30° và tam giác A B
¢ C có diện tích bằng 2
8a . Tính thể tích khối lăng trụ AB . C A B C . 3 2a 3 8a 3 2a A. V . B. 3 V 8a 3 . C. V . D. V . 12 6 4 Lời giải Chọn B.
Kẻ đường cao AM của tam giác ABC . Khi đó M là trung điểm của BC Þ BC ^ (A A ¢ M ) Tam giác '
A AM vuông tại A nên góc A ' MA là góc nhọn. ·
Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC) và ( ABC) bằng góc giữa A M
¢ và AM và bằng góc A MA ¢ , bằng 30°
Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác A B
¢ C trên (ABC) Suy ra o 2 S = S . o c s30 = 4a 3 . ABC A' BC 2 Đặ x 3
t AB = x > 0 . Diện tích tam giác đều ABC theo x là S = . ABC 4 2 x 3 x 3 Vậy có 2
= 4a 3 Û x = 4a Þ AM = = 2a 3 4 2 Trang17 o 1 Tam giác A M
¢ Avuông tại A , AA¢= AM.tan30 = 2a 3. = 2a . 3
Thể tích của lăng trụ AB . C A B C là 2 3 V = AA .S ¢ = 2 . a 4a 3 = 8a 3 . ABC
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B C D
có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng 4a và đường
chéo 5a .Tính thể tích hình hộp chữ nhật này. A. 3 V 3a . B. 3 V 9a . C. 3 V a . D. 3 V 6a . Lời giải Chọn B. C' D' A' B' 4a 5a D C A B 2 2 2 2
BD BD ' DD ' 9a BD 3a 3a 2 9a
ABCD là hình vuông AB B S ABCD 2 4 Vậy 3 V . B h S .AA' 9a ABCD
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB a , AC 2a . Hình chiếu
vuông góc của S lên ABC là trung điểm M của AC . Góc giữa SB và đáy bằng 60 . Thể
tích S.ABC là bao nhiêu? 3 a 3 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 12 Lời giải Chọn B. 1 3 Diện tích ABC : 2 S A . B BC a ABC 2 2 0 0
* SBM 60 SM M .
B tan 60 a 3 3 1 a Thể tíchS.ABC : V SM.S . S .ABC 3 ABC 2
Câu 18. Cho hìnhchóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , AD a . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AB , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 0
45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . Trang18 3 2 2a 3 a 3 2a 3 3a A. V . B. V . C. V . D. V 3 3 3 2 Lời giải ChọnA. Ta có 2 S 2 . a a 2a . ABCD
Do SC tạo với đáy một góc 0
45 nên SH HC . 3 1 1 2a 2 Mà 2 2 2 2 HC BH BC
a a a 2 . Vậy 2 V .S
.SH .2a .a 2 . ABCD 3 ABCD 3 3
Câu 19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , S
AD cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SBC và mặt đáy bằng o
60 . Tính thể tích S.ABCD bằng: 3 2a 3 3 8a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. 3 2a 3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm AD .
SAD ABCD Ta có:
SAD ABCD AD SH ABCD . SH AD
ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 2 2 S AB 4a . ABCD
Tam giác SBC cân tại S SM BC , mà HM BC góc giữa mặt phẳng SBC và mặt
phẳng ABCD là góc giữa hai đường thẳng HM , SM chính là góc SMH . Theo bài ra có o SMH 60 . o SH 2 .
a tan 60 2a 3 . 3 1 1 8a 3
Vậy thể tích S.ABCD : 2 V SH.S .2a 3.4a . SABCD 3 ABCD 3 3
Câu 20. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích Trang19
V của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 3 3a A.V . B.V . C.V . D.V . 4 2 4 4 Lời giải Chọn D a 2 2 . 3 3 3a 3
Diện tích đáy B S ; ABC 4 4 AB a 3 AH a 3 3 Chiều cao: 2 2 2 2
h SH SA AH 4a a a 3 2 3 1 1 3a 3 3a V . B h .a 3 S.ABC 3 3 4 4 Mức độ 3 Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD , SA a . Gọi G là trọng
tâm tam giác SCD . Tính thể tích khối chóp . G ABCD . 1 1 2 1 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 6 12 17 9 Lời giải Chọn D S N G D A M B C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và SD . Trang20 1 GM
d G, ABCD Ta có . 3 SM
d S, ABCD 1 1 1 a Ta có V d G ABCD S SA S . G ABCD , 3 . . . . 3 ABCD 3 3 ABCD 9 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB a , BC 2a . Tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC , mặt phẳng SAG tạo với đáy một góc 60 . Thể tích khối tứ diện ACGS bằng 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V B. V C. V D. V 36 18 27 12 Lời giải Chọn A S K A I C G H N B 1 2 1 a Ta có: 2 S .A . B BC a S S . ABC 2 ACG 3 ABC 3
Gọi H là trung điểm của AB SH ABC .
Gọi N là trung điểm của BC , I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI .
Ta có AB BN a BI AN HK AN .
Do AG SHK nên góc giữa SAG và đáy là SKH 60 . 1 a 2 a a 6 Ta có: BI AN 1 2
HK BI
, SH SK.tan 60 . 2 2 2 4 4 3 1 a 6 Vậy V V V .SH.S . ACGS S .ACG 3 ACG 36 Câu 3.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AC a 2, mặt phẳng SAC
vuông góc với mặt đáy ABC . Các mặt bên SAB , SBC tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau và bằng 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. V B. V C. V D. V 2 4 6 12 Lời giải Chọn D Trang21
Ta có: SAC ABC và SAC ABC AC .
Trong mặt phẳng SAC , kẻ SH AC thì SH ABC .
Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì
SAB ABC ,
SIH và SAC ABC , SKH . Mà
SIH SKH 60 nên HI HK tứ giác BIHK là hình vuông H là trung điểm cạnh AC . Khi đó tứ a a 3
giác BIHK là hình vuông cạnh
và SH HI.tan 60 . 2 2 a a 2 1 3 2 1 3 a 3 Vậy V S .SH V . . . SABC 3 ABC SABC 3 2 4 12 Câu 4.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng SCD và 2 17 ABCD bằng
. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là 17 3 a 13 3 a 17 3 a 17 3 a 13 A.V . B.V . C.V . D.V . 6 6 2 2 Lờigiải ChọnA
Gọi H là trung điểm AB SH ABCD , K là trung điểm CD CD SK HK a a
Ta có SCD, ABCD SK HK , SKH . cos SKH 17 SK 13 SH SK 2 2 Trang22 1 1 a 13 3 a 13
Vậy V .SH .S 2 . .a . 3 ABCD 3 2 6 Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình
thang là CD , cạnh bên SC a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới
mặt phẳng SHC bằng 2 6a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD ? A. 3 V 8 6a . B. 3 V 12 6a . C. 3 V 4 6a . D. 3 V 24 6a . Lời giải ChọnC S A B H D C F SAD
ABCD AD
SH ABCD
SH AD, SH SAD Ta có 2 2
SH SD DH a 3 , 2 2 2 2
HC SC SH 15a 3a 2 3a . 2 2 2 2 CD
HC HD 12a a a 11 . BF BC Ta có
BF SHC nên d B,SHC BF 2 6a . BF SH 1 1 2 S
BF.HC .2 3 .2 a 6a 6 2a HBC 2 2 1 a 2 Đặ 1 a 11
t AB x nên S
AH.AB .x ; S DH.DC AHB 2 2 CDH 2 2 1 S
CD AB AD a x a . ABCD 11 2 2 a a 11 S S S S
.x a 11 x 2 a
6 2a x 12 2 11a . AHB ABCD CDH BHC 2 2 S a a 2 11 12 2 11 a 12 2a . ABCD 1 1 Vậy 2 3 V SH.S
.a 3.12 2a 4 6a . S . ABCD 3 ABCD 3 Câu 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; biết
AB AD 2 , a CD .
a Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 0 60 . Gọi I là
trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng
ABCD . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 3 5a 3 3 15a 3 3 5a 3 3 15a A. . B. . C. . D. . 8 5 5 8 Lời giải Chọn B Trang23 .
Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với ABCD
nên SI ABCD nên SI là đường cao của S.ABCD . Kẻ IK BC
tại K . Khi đó ta chứng minh được SKI SBC; ABCD 6 0 . Ta vẽ hình phẳng
của mặt đáy. Ta có M AD BC ta chứng minh được CD là đường tủng bình của tam giác 2 2
ABM. Khi đó AM 4a; BM 2a 4a 2a 5; IM 3a . Ta có KMI AMB
IM IK 3a a 3a IK .2 . BM AB 2a 5 5 3 Khi đó 1 3a 3 1 3a 15 SI IK 3a 3a 3 .tan 60 . 3 . V .
. a 2a.2a . 5 5 3 5 2 5 Câu 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp 3 a S.OCD bằng
. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD ? 3 2 6a a 3 2 3a A. h . B. h . C. h .
D. h 2 3a . 3 3 3 Lời giải Chọn A .
Gọi x là độ dài AB ,kẻ SF AB tại F , ta có 3 x 1 1 1 a 2 3 SF V V AB .SF x
x 2 2a . S .OCD S .ABCD 2 4 12 24 3 Trang24
Do F là trung điểm của AB nên khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD gấp 2 lần khoảng FB x
cách d từ F đến mặt phẳng SBD mà EF a . sin 45o 2 2
Tính d : kẽ FE DB; FH SE , ta chứng minh được SH SBD , 1 1 1 1 1 3 a 6 2 6a FH
d , vậy h 2d . 2 2 2 2 2 2 FH FE FS a 2a 2a 3 3 . 1 Câu 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BC AD a . 2
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng 15
ABCD bằng sao cho tan
. Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a . 5 3 a 3 a 3 a 2 3 a 3 A. V . B. V . C. V . D. V . S . ACD 2 S . ACD 3 S.ACD 6 S.ACD 6 Lời giải Chọn D
Gọi H là trung điểm AB , từ giả thiết ta có: SH ABCD , SC ABCD · , SCH . 2 2 Đặ x x 15
t AB x , ta có: 2 2 2 HC BH BC a , 2 SH H . C tan a . . 4 4 5 x 3 2 x 15 x 3 Mặt khác SH . Vậy ta có: 2 a . x a . 2 4 5 2 AD BC 2 .AB 3a 2 3 1 a 3 S ; 2 S S a ; V SH.S . ABCD 2 2 ACD 3 ABCD S.ACD 3 ACD 6 Câu 9. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình chữ nhật ; AB a; AD 2a . Tam giác SAB cân ta ̣i S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Góc giữa đường thẳng SC và mp ABCD bằng
45 . Gọi M là trung điểm của SD . Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến SAC . a 1513 2a 1315 a 1315 2a 1513 A. d . B. d . C. d . D. d . 89 89 89 89 Lời giải Chọn A Trang25
Gọi H là trung điểm đoạn AB SH ABCD . 2 Xét a a 17
BCH vuông ta ̣i B , có: 2 CH 4a . 4 2 Xét a 17 a 34
SHC vuông cân ta ̣i H , có: SH ; SC . 2 2 2 2 Xét 17a a 3 2
SAH vuông ta ̣i H , có: SA a . 4 4 2
Xét ABC vuông ta ̣i B , có: 2 2 AC
a 4a a 5 . 89 2 S a . SAC 4 3 3 Ta co 1 a 17 1 a 17 ́: V
V .SH.S ; V V . S. ABCD 3 ABCD 3 S. ACD 2 6 3 1 a 17 1 89 a V V . Mà 2 V .d.S a .d 1513 d . S. ACM S. 2 ACD 12 S.MAC 3 SAC 12 89
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết AB a , SA 2SD . Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc o
60 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 3a 3 5a 3 15a A. B. C. 3 5a D. 2 2 2 Lời giải Chọn B S D C H I A a B
Gọi H là hình chiếu của S lên cạnh AD , I là hình chiếu của H lên cạnh BC , ta có
SH ABCD và BC SHI SBC; ABCD SIH o
60 . Suy ra SH a 3 . S . A SD 2x
Trong tam giác vuông SAD đặt SA 2SD 2x nên từ SH ta có a 3 . AD 5 Do đó a 15 a x . Suy ra AD 5 3 x 5 . 2 2 Trang26 1 5a 3 3 5a
Thể tích khối chóp S.ABCD là V . a .a 3 . 3 2 2
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại
S . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho
HA = 3HD . Biết rằng SA = 2a 3 và SC tạo với đáy một góc bằng 30° . Tính theo a thể tích
V của khối chóp S.ABCD . 3 8 6a 3 8 6a A. 3
V = 8 6a . B. V = . C. 3
V = 8 2a . D. V = . 3 9 Lời giải Chọn B 2 2 SH = H .
D HA = 3HD Þ SH = 3HD ìï SH ï tan SDH = = 3 ïï DH SA SA Có: 2 2 í Þ = 3 Þ SD =
= 2a Þ DA = SD + SA = 4a . ïï SA SD 3 ï tan SDH = ïïî SD 1 DH = DA = a . 4 SH SH SH Tam giác SHC có tan SCH = Þ tan 30° = Þ HC = = 3a . HC HC tan 30° Tam giác DHC có 2 2 DC =
DH + HC = 2 2a 3 1 1 8 6a Vậy V =
SH .AD.DC =
. 3a.4a.2 2a = . S.ABCD 3 3 3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a ,
SAB SCB 90 . Gọi M là trung điể 6a
m của SA . Biết khoảng cách từ A đến MBC bằng
. Thể tích của khối chóp đã cho 21 bằng 3 8a 39 3 10a 3 3 4a 13 A. . B. . C. . D. 3 2a 3 . 3 9 3 Lời giải Chọn A Trang27 S M D A I C G N B
Trong mp ABC xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD vuông tại A và C AB AD C B CD Khi đó ta có:
AB SD ; CB SD AB SA C B SC 1
Vậy SD ABCD V SD .S S .ABC 3 ABC
Có tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a 2 S a 3 ABC Ta đi tìm SD
Gọi I là trung điểm AC
vì tam giác ABC đều, ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD I BD AC BD
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và N là trung điểm BC
Vì tam giác ABC đều AN BC AN // CD , tương tự CG // BD 2 2 3 2 3a
Dễ thấy AGCD là hình thoi CD AG AN 2a 1 3 3 2 3
Xét hình chóp S.ANCD có đáy ANCD là hình thang vuông tại C, N. 6a
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng MNC bằng
vì MNC MBC . 21 S P M F H E A D C N
Trong mp ABCD gọi
E CN AD
Trong mp SAD kẻ tia At / /SD gọi
P EM At
Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng CMB
AP / /SD AP CN Khi đó ta có
APN CN AN CN a
Trong mp APN kẻ AH PN ta có AH d A MCN 6 , 21 Trang28
Mà tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a AN a 3 1 1 1 1 21 1 1 Từ AP 2a 2 2 2 AH AP AN 2 2 2 2 AP 36a 3a 4a Dễ thấy A PM S
FM SF AP 2a 2 ED CD 2
Xét tam giác EAN có CD / / AN nên (theo 1 ) EA AN 3 FD ED FD a
Xét tam giác EAP có FD / /PA nên 2 4 FD 3 PA EA PA 3 3 10a
Từ 2 và 3 ta có SD SF FD 3 3 1 1 10a 10a 3 Vậy 2 V SD.S . .a 3 . S.ABC 3 ABC 3 3 9
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC biết rằng SA SB SC a , ASB 120 , BSC 60 và ASC 90 .
Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 2 3 a 2 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 4 8 Lời giải Chọn A
Ta có SB SC a ,
BSC 60 suy ra tam giác BSC đều BC a .
Lại có SA SC a ,
ASC 90 suy ra tam giác ASC vuông cân tại S AC a 2 .
Mặt khác, SA SB a ,
ASB 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: 2 2 2 2
AB SA SB 2S . A S .
B cos ASB 3a AB a 3 .
Xét tam giác ABC có 2 2 2 2 2 2
BC AC a 2a 3a AB suy ra tam giác ABC vuông tại C . 2 1 a 2
Vậy diện tích tam giác ABC là: S AC.BC . ABC 2 2
Gọi O là trung điểm của cạnh AB suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Mà SA SB SC SO ABC . 2 3a a
Xét tam giác vuông ASO vuông tại O có 2 2 2
SO SA AO a . 2 2 2 3 1 1 a 2 a a 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: V .S .SO . . . S.ABC 3 ABC 3 2 2 12
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có AB 7cm, BC 8cm, AC 9cm . Các mặt bên tạo với đáy góc 30
. Tính thể tích khối chóp S.ABC . Biết hình chiếu vuông góc của S trên ABC thuộc miền
trong của tam giác ABC . 20 3 63 3 A. 3 cm . B. 3 20 3 cm . C. 3 cm . D. 3 72 3 cm . 3 2 Lời giải Trang29 Chọn A
AB BC AC Ta có p 12cm . 2
Diện tích tam giác ABC là S
p p AB p AC p BC 2 12 5 cm
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên ABC .
Gọi K , N , M là hình chiếu vuông góc của H trên AB, BC , CA .
Theo bài ra ta có SKH SNH SMH 30 . Ta có S KH S NH S MH vì
SHK SHN SHM 90 , SH chung,
SKH SNH SMH 30 .
Suy ra KH NH MH .
Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . S Khi đó ABC KH NH MH 5 cm . p 15
SH HK tan 30 cm . 3 1 1 15 20 3
Thể tích khối chóp S.ABC là V SH.S .12 5. cm ABC 3 . 3 3 3 3
Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có AB = AC = 4 , BC = 2 , SA = 4 3 ,
SAB = SAC = 30º . Tính thể
tích khối chóp S. ABC. A. V = 8 . B. V = 6 . C. V = 4 . D. V = 12 . S. ABC S. ABC S. ABC S. ABC Lời giải Chọn C Trang30
Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Vì DABC cân tại A (do AB = AC = 4 ) nên AM ^ BC . 2 2 1 AM = AC - MC = 15 ; S = AM .BC = 15 D ABC . 2
DSAB = DSAC (c - g - c) nên SB = SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên
mặt phẳng (ABC) suy ra H Î AM .
Áp dụng định lí cosin cho DSAB , ta có: 2 2 2
SB = SA + AB - 2 . SA .
AB cos 30° = 16 Þ SB = 4 .
DSMB vuông tại M nên 2 2 SM = SB - MB = 15 . 2 2 2
SM + AM - SA 3
Áp dụng định lí cosin cho DSAM , ta có cos SMA = = - . 2.SM .AM 5 4 2
Þ sin SMA = 1- cos SMA = . 5 4 4 15
Þ SH = SM.sin SMA = 15. = . 5 5 1 1 4 15 Vậy V = S .SH = . 15. = 4 . S . ABC 3 DABC 3 5 Cách 2:
Áp dụng định lí cosin cho DABC , ta có 2 2 2
AB + AC - BC 7 cos A = = . 2 . AB AC 8 abc Sử dụng công thức 2 2 2 V =
1- cos - cos - cos + 2 cos cos cos 6 2 A . B AC.SA 7 æ ö 7 2 2 Þ V = 1- cos 30°- cos 30°- ç ÷ ç ÷ + 2cos30 . ° cos30 . ° = 4 . 6 çè8÷ø 8
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I là giao điểm
AC và BD . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) là H sao cho H là trung
điểm của BI . Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 39x 3 39x 3 39x 3 39x A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 36 24 48 Lời giải Trang31 Chọn C x
Tam giác ABD đều cạnh x Þ BD = x Þ IH = 4 x 3
Áp dụng định lí cosin cho tam giác 2 2 ABC : AC = x + x - 2 . x . x o
c s120° = x 3 Þ IC = 2 2 2 x 3x x 13
Xét tam giác IHC vuông tại I : 2 2 HC = IH + IC = + = 16 4 4
Do tam giác SHC vuông tại H
, có SCH = (SC,(ABCD))= 45° nên tam giác SHC vuông cân x 13
tại H . Suy ra: HC = SH = 4 3 1 1 1 x 13 x 39
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD : V = . .A . C B . D SH = .x 3. . x = S.ABCD 3 2 6 4 24
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng (SBC ) là
, khoảng cách giữa SA và BC là
. Biết hình chiếu của S lên mặt 5 5
phẳng ( ABC) nằm trong tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 4 Lời giải Chọn D
Dựng hình bình hành ABCD . Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) .
Dựng đường thẳng d đi qua O , vuông góc với BC và cắt BC, AD lần lượt tại H , M .
Khi đó AD, BC ^ (SHM ) .
Trong DSHM , dựng HK ^ SM (K Î SM ) và MN ^ SH (N Î SH ) .
Ta có MN ^ SH và MN ^ BC nên MN ^ (SBC) . a 15
Vì vậy MN = d (M , (SBC)) = d ( , A (SBC)) = . 5 Trang32 a 15
Do BC / / (SAD) nên d (BC, )
SA = d (BC, (SA )
D ) = d( H , (SA )
D ) = HK . Suy ra HK = . 5
Do DSHM có hai đường cao MN = HK nên cân tại S . Suy ra O là trung điểm của MH . a 3
Ta có MH = d( A , D BC) = d( , A BC) =
(do DABC đều, cạnh bằng a ). Suy ra 2 a 3 MO = . 4
Xét hai tam giác đồng dạng MKH và MOS , ta có a 3 a 15 ´ KH MK M . O KH a 3 4 5 = Þ SO = = = . 2 2 SO MO MK 2 a æ 3ö a æ 15ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø çè 5 ÷ø 2 3 1 1 a 3 a 3 a
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = SO´ S = ´ ´ = . 3 DABC 3 2 4 8
Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng AB . C AB C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh
BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng AB C
và mặt phẳng BCC B
bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AB C
AC. 3 a 3 3 3 3a 3 a 3 3 A. B. C. D. a 3 3 2 2 Hƣớng dẫn giải Chọn D A A' B' a 6 C' 2 B B' I B A a 6 I a H a 6 C C C' AI BC a 6
Gọi I là trung điểm BC , ta có
AI BB C C và AI (trung tuyến trong AI CC 2
tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền). Kẻ IH B C
mà AI B C
suy ra AH B C
Vậy góc giữa mặt phẳng AB C
và mặt phẳng BCC B
là AHI 60 . AI a 2 Ta có IH ; 2 2
CH CI IH a tan 60 2 IH.CB Mặt khác C IH IH CH C B B BB a 3 . B B CB CH 1 1 a 6 3 V V .AI.S . .a 3.a 6 a 3 AB CA C ABB C C 3 BCC B 3 2
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và ABC 60 . Biết rằng SA SC ,
SB SD và SAB SBC . G là trọng tâm tam giác SAD . Tính thể tích V của tứ diện Trang33 GSAC . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V B. V C. V D. V 96 48 24 12 Hƣớng dẫn giải Chọn B 1 Ta có V
d G,SAC .S GSAC S AC . 3 * Tính S SA C ?
SA SC SO AC
Gọi O AC BD , do
SO ABCD .
SB SD SO BD
Kẻ OH SB , do AC SBD nên SB AHC .
Suy ra SAB SBC AH CH , , AHC 90 .
Do OH AC và OH là trung tuyến nên tam giác AHC vuông cân tại H . 1 a Khi đó a OH AC 3 và OB . 2 2 2 1 1 1 a 6
Mà tam giác SOB vuông tại O có đường cao OH nên SO . 2 2 2 OH OS OB 4 2 1 1 a 6 a 6 Vậy S .S . O AC . .a . S AC 2 2 4 8
* Tính d E,SAC ?
d G,SAC SG 2
Gọi E là trung điểm của AD thì .
d E, SAC SE 3 a
Gọi F là trung điểm của OA thì EF SAC d E SAC 1 3 ,
EF OD . 2 4 2 2 a 3 a 3
Suy ra d G, SAC
d E,SAC . . 3 3 4 6 1 1 a 3 a 6 2a Vậy V
d G,SAC 2 3 .S . . . G.SAC 3 SAC 3 6 8 48
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND . Tính thể tích
V của khối tứ diện ACMN . Trang34 1 1 1 1 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V a . D. 3 V a 36 6 8 12 Hƣớng dẫn giải Chọn D 3 1 a Cách1. Ta có V . SA S S . ABCD ABCD 3 3 3 1 1 1 1 a 2 V NH.S . . a a NDAC D AC 3 3 3 2 18 3 1 1 a 1 a 2 V MK.S . . a MABC A BC 3 3 2 2 12
A SMN 3 1 a d , .S SM N 3 18 3 1 1 2 1 a a Suy ra V N . L S . . a . a NSAM S AM . 3 3 3 2 2 18 1 1 a Mặt khác V d C SMN S d A SMN S C SMN , . SMN , 3 . . S MN 3 3 18 3 3 3 3 3 a a a a a 1 3 Vậy V V V V V V a ACMN S .ABCD NSAM NADC MABC SCMN . 3 18 18 12 18 12
Cách2. Gọi O là giao điểm của AC và BD . 3 1 a Ta có V . SA S OM //SD SD// AMC S . ABCD ABCD . Vì nên . 3 3
Do đó d N; AMC d ;
D AMC d ; B AMC 3 1 a V V V V V V ACMN N .MAC D.MAC B.MAC M .BAC S. ABCD . 4 12 ·
Câu 21. Cho lăng trụ AB . C A B C
là lăng trụ đứng, AC = a,BC = 2a góc ACB bằng 120o . Góc giữa đường thẳng AC
¢ và mặt phẳng (ABB A ¢ )
¢ bằng 30o . Tính thể tích lăng trụ đã cho. 3 13a 3 a 105 3 104a 3 105a A. V . B.V . C. V . D. V . 12 14 6 4 Lời giải Chọn B. Trang35 Kẻ C K ¢ ^ A B ¢ . Vì lăng ¢ trụ AB . C A B C
là lăng trụ đứng nên C K ¢ ^ AA . Do đó ¢ C K ¢ ^ (ABB A ¢ ) ¢ . Góc giữa AC ¢ và (ABB A ¢ ) ¢ · bằng góc C A
¢ K và bằng 30° (tam giác C A
¢ K vuông tại K nên
góc C ' AK nhọn)
Xét tam giác ABC , áp dụng định lý cosin cho cạnh AB có: 2 2 2 o 2 2 2
AB = AC + BC - 2. .
AB AC.cos120 = 7a Þ A B ¢ ¢ = 7a . 2 1 1 a o 3 S S C . A C . B sin ACB . a 2 . a sin120 ¢ ¢ ¢ = = = = . A B C ABC 2 2 2 1 1 Mặt khác S = C K ¢ .A B ¢ ¢= C K ¢ .a 7 ¢ ¢ ¢ A B C 2 2 2 Do đó 1 a 3 a 3 C K ¢ .a 7 = Û C K ¢ = 2 2 7 a o 3
Xét tam giác AKC ' vuông tại K nên AK = C K ¢ .cot30 = C K ¢ . 3 = 7
Xét tam giác A'C ' K vuông tại K nên 2 3a 2a 2 2 2 A K ¢ = A C
¢ ¢ - KC¢ = a - = 7 7 a 5 2 2 Þ AA¢= AK - A K ¢ = 7 2 3 a 5 a 3 a 105
Thể tích của lăng trụ AB . C A B C
là V = AA .S ¢ = . = . ABC 7 2 14
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B .Biết SA vuông góc với mặt phẳng
ABC , AB ,aBC a 3,SA a . Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H và cắt
SB tại K . Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V . B. V . C.V . D. V . S .AHK 20 S .AHK 30 S .AHK 60 S .AHK 90 Lời giải Chọn B.
AK SC AK Ta có , suy ra S AK BC
BC SAB H
AK SBC AK SB Vì S
AB vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB .Ta có: K C Trang36 A B V S . A SK.SH SH S. AHK . Ta có 2 2 AC
AB BC 2a V S . A S . B SC 2SC S.ABC 2 2 2 SH SH.SC SA 1 SC
AC SA a 5 , khi đó 2 2 SC SC SC 5 V SH 1 3 1 1 a 3 S.AHK , lại có V S . A .A . B BC V 2SC 10 S. ABC 3 2 6 S. ABC 3 a 3 Vậy V . S .AHK 60
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh ,
A AB AC a . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Mặt phẳng SAB hợp với
mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 4 6 12 Lời giải Chọn D. S A B K H C
Góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng đáy là góc SKH SKH 60 . 2 3 a 3 3a 3a 3 a 3 V 0 . có SH KH.tan 60 . ABC. A B C 4 2 8 2 3 1 a 3
Do đó V .SH.S ... . 3 ABC 12
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC a ; Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC . 3 a 3 a 3 a A. . B. 3 a . C. . D. . 12 6 24 Lời giải Chọn A Trang37
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AC nên SH ABC .
Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC . Khi đó, góc tạo bởi
hai mặt phẳng SAB , SAC tạo với đáy lần lượt là SEH ,
SFH cùng bằng 45. Hai tam giác S EH , S FH có
SHE SHF 90 , SH chung ,
HSE HSF 45 nên hai tam
giác bằng nhau hay HE HF . Mà ABC
là tam giác vuông cân nên H là trung điểm của AC . BC a 2 3 1 1 a a a
Ta có: SH HE . Vậy V S .SH . . . 2 2 S . ABC 3 ABC 3 2 2 12
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh
2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa mặt phẳng SBC
và mặt phẳng ABCD là 0
30 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là: 3 2a 3 3 a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. 3 2a 3 . 3 2 3 Lời giải Chọn A S A B 30° H M D C
+) Gọi H lần lượt là trung điểm của AD SH AD (vì S AD đều).
Gọi M là trung điểm của BC HM SH (vì SAD và ABCD vuông góc với nhau).
Suy ra SH ABCD
+) Tam giác SBC cân tại S SM BC , mà HM BC góc giữa mặt phẳng SBC và
mặt phẳng ABCD là góc giữa hai đường thẳng HM , SM chính là góc S MH . Theo bài ra có 0 SM H 30 . a 3
+) Vì SAD là tam giác đều cạnh 2a nên ta có SH a 3 HM a . 0 tan 30 2 S A .
B AD 2a . Vậy thể tích của của khối chóp S.ABCD là ABCD 3 1 1 2a 3 2 V .SH.S .a 3.2a . ABCD 3 ABCD 3 3
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình
chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng
góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60. Thể tích của khối chóp S.ABC là 3 5a 6 3 5a 10 3 a 210 3 a 30 A. . B. . C. . D. . 12 12 24 12 Lời giải Chọn D Trang38
(SAB) SAC SA , kẻ BE SA và GH BE ,
suy ra SAC SAB GH SAC , , HGI 60. 2 2 Đặ 7a 5a
t SH h , ta tính được 2 SA h và 2 SP h . 4 4 2 5a 2 a 2 a 2. h .h 2S BE SH.HM SAB 4 Vậy BE HG , 2 HI 2 SA 2 7a 2 SM 2 a h 2 h 4 2
Tam giác GIH vuông tại I có 2 a 2 5a 2 a 2 . h . h 2 4 IH 3 2 4 7a 15a 2a 3 2 4 2 sin 60 . h h 0 h 2 2 HG 2 4 8 4 7a a 2 2 h h 4 2 3 1 a 30 Vậy V A . B AC.SH . SABC 6 12
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ASB 60 , ASC 90 ,
CSB 120 và SA 1, SB 2 , SC 3 .
Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là 2 2 2 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 6 Lời giải S N O A C M B Chọn B
Lấy M là trung điểm của SB và lấy N SC sao cho SN 1 . Ta có SA SM SN 1 nên
hình chiếu vuông góc của S lên AMN trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN .
Ta có: AM 1 vì tam giác SAM đều (cân tại S và có một góc bằng 60 ) AN
2 vì là cạnh huyền của tam giác vuông SAN có cạnh góc vuông bằng 1. Trang39 2 2 MN
SM SN 2SM .SN.cos120 3 2
Dễ đánh giá được tam giác AMN vuông tại A nên có S AMN 2 AM .AN.MN 2. 3 3 OA 4.SAMN 2 2 4. 2 3 1 Suy ra 2 2 SO
SA AO 1 4 2 1 1 2 2 Suy ra V . . S . AMN 3 2 2 12 V 1 1 1 2
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có S.AMN suy ra V 6.V V 1 2 3 S . ABC S .AMN 2 S . ABC
Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a và AC a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB và CD . Biết MN a và MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD . Tính thể tích tứ diện ABCD . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn D
Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện ABCD như hình vẽ. Ta có: 2 2 AE
AC DE a 2 2 BC
AB AE a 3 3 1 1 a 3 Vậy V V . . a . a a 3 . ABCD 3 3 3
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm SB , N là điểm trên SC sao cho S
N 2NC , là điểm trên SA sao cho PA 2PS . Kí hiệu V , V lần lượt là thể tích khối chóp 1 2 V
BMNP và S.ABC . Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V 9 V 4 V 3 V 3 2 2 2 2 Lời giải. Chọn A Trang40
1 d N,SAB.SBMP V Ta có N.BMP 3 ; V 1 C.SAB
d C,SAB.S 3 SAB
d N,SAB NS 2 1 1 1 V 2 1 1 Suy ra ; N . S S . . BMP S . .
d C,SAB CS 3 SBM 2 BPS 2 3 SAB V 3 6 9 C.SAB
Câu 30. Cho hình chóp đều S.ABC .
D Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua . A
Mặt phẳng MNC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V , V với 1 2 V
V V . Tính tỉ số 1 . 1 2 V2 V 5 V 5 V 5 V 5 A. 1 .. B. 1 . . C. 1 . . D. 1 . V 7 V 11 V 9 V 13 2 2 2 2 Lời giải ChọnA S N E M B F A D C
Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S.ABCD . Khi đó 1 V S. . h MN SA E MC AD F. SBM , A N S . ABCD Nối cắt tại , cắt tại Tam giác có lần 3
lượt là trung điểm của BM và SB suy ra E là trọng tâm tam giác SBM. Tứ giác ACDM là
hình bình hành nên F là trung điểm . MC Ta có V V V . BNC. AEF ABCEN E.ACF V SE SN 2 1 1 1 S.ENC . V V S.ENC S. V SA SB 3 2 3 3 ABC S. ABC 2 2 1 1 V V V V . ABCEN S .ABC S .ABCD S . 3 3 2 3 ABCD Trang41 1 1 1 1 1 V S
.d E, ACF . S. h V . E. ACF AC F S . ABCD 3 3 4 3 12 1 1 5 Do đó V V V V V V V . BNC. AEF ABCEN E. ACF S . ABCD S . ABCD S . ABCD 1 3 12 12 7 V 5 Suy ra 1 V V . 2 S. 12 ABCD V 7 2 Mức độ 4 Câu 1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến SBC 6 15 30 là
, từ B đến SCA là
, từ C đến SAB là
và hình chiếu vuông góc của S 4 10 20
xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp V . S .ABC 1 1 1 1 A. B. C. D. 36 48 12 24 Lời giải ChọnB
Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC, BC, AB . Đặ 1 3 h 3
t SH h V . . h . S.ABC 3 4 12 2S 6V h 3 30 Ta có SAB S. AP 2 ABC S : h 10 SAB AB
d C;SAB 2 20
Tương tự, tính được HM 2h, HN h 2 2
PH SP SH 3h 1 Ta có S S S S HP HM 3 3 HN 3h h ABC HAB HAC HBC 2 4 12 3 3 1 Vậy V . . S.ABC 12 12 48 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt
phẳng SBC , với 45 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD . 3 8a 3 4a 3 2a A. 3 4a B. C. D. 3 3 3 Lời giải Chọn C Trang42 S D' D A H B C
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD . Khi đó DD S
// A mà SA SBC (vì SA SB , SA BC ) nên D là hình chiếu vuông góc
của D lên SBC .
Góc giữa SD và SBC là
DSD SDA, do đó SA A . D tan 2 . a tan .
Đặt tan x , x 0 ;1 . 1 1
Gọi H là hình chiếu của S lên AB , theo đề ta có 2 V .S .SH 4a .SH S . ABCD ABCD . 3 3 Do đó V
đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì tam giác SAB vuông tại S nên S . ABCD . SA SB 2 2 . SA AB SA 2 2 2
2ax 4a 4a x 2 2 x 1 x SH 2
2ax 1 x 2a a AB AB 2a 2 Từ đó max SH 2 a khi tan . 2 1 4 Suy ra 2 3 maxV . .4 a a a S . ABCD . 3 3 Câu 3.
Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC CD DB BA 2 và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn
nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng 16 3 32 3 16 3 32 3 A. . B. . C. . D. . 9 27 27 9 Lời giải Chọn B A M B D N C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC .
Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên
BM AD và CM AD AD BMC . Và có BM CM M BC cân tại. Trang43 2 BC Trong tam giác M
BC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên 2 2 MN MB 4 2 2 AD BC 2 2 AD BC 2 2
MN AB MN 4 . 4 4 4 2 2 Khi đó diệ 1 AD BC n tích tam giác M 1 BC là: S MN.BC . BC 4 M BC 2 2 4 1 2 2 1 AD BC
Thể tích tứ diện ABCD là: V . . AD S .B . C A . D 4 ABCD M BC . 3 3 4 2 2 Đặ 1 x y
t AD x , BC y ta có: V . . x . y 4 ABCD . 3 4 2 2 x y xy 2 2 x y xy 2 2
Ta có: x y 2xy . 4 2 4 2 1 xy 2 2 Do đó: V . . x . y 4 V xy xy x y ABCD 8 ABCD . Dấu bằng xảy ra khi . 3 2 6 3 xy xy 8 xy xy xy 3 4.8
xy2 8 xy 4. . .8 xy 2 2 Ta lại có: 4. . 2 2 3 27 xy Dấu bằng xảy ra khi 8 16 xy xy 4 x y . 2 3 3 3 2 4.8
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD là: tập xác định maxV ABCD 6 27 32 3 . 27 Câu 4.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của SB, BC Tính thể tích khối chóp .
A BCNM . Biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . 3 a 15 3 3a 15 3 3a 15 3 3a 15 A. . B. . C. . D. . 32 32 16 48 Lời giải Chọn B
E là trung điểm BC nên CB AE,CB SH
CB SAE CB SE .
SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên S
BC cân tại S Trang44 1
F là giao điểm của MN với SE
SF MN,SF SE . 2 AMN SBC SF MN Giả thiết
SF AMN AMN
SBC MN a SE 1 AF và SF SE nên S 3
AE cân tại A AE AS 2 2 2 2 3a a 5 2 2 AH AE . a
SH SA AH 3 3 2 2 1 1 3 a 5 a 15 V S .SH . a 3 . S. ABC ABC 3 2 . 3 3 4 2 8 3 V SM SN 1 a 15 S . AMN . V . S . V SB SC 4 AMN 32 S . ABC 3 3a 15 Vậy V V V . S. ABC S. AMN 32 Câu 5.
Cho hình chóp S.ABC có 0
AB BC a, ABC 0
120 , SAB SCB 90 và khoảng cách từ B đế 2a 21
n mặt phẳng SAC bằng
. Tính thể tích khối S.ABC . 21 3 a 5 3 a 15 3 a 15 3 a 5 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 10 10 5 2 Lời giải Chọn B S S K E D A I a a E B C B D I
Hạ SE ABC tại E có AB SE
AB SAE 0
AB AE BAE 90 . AB SA 0
Chứng minh tương tự có BCE 90 . 0
Hai tam giác vuông BCE và BAE bằng nhau suy ra CBE ABE 60 .
Gọi D là trung điểm của BE suy ra tứ giác ABCD là hình thoi và BD DE a .
Gọi I là tâm hình thoi ABCD có 1 BI
EI d B SAC 1
d E SAC d E SAC 2a 21 2a 21 , , , 3. . 3 3 21 7 CA BD
CA SEI SAC SEI . CA SE a
Hạ EK SI tại K ta có EK SAC tại K suy ra d E SAC 2 21 ,
EK EK . 7 Trang45
Tam giác SBE vuông tại E đường cao EK có 1 1 1 1 1 1 7 4 5 6a 5 SE . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 EK EI SE SE EK EI 12a 9a 36a 5 3 1 1 1 1 3 6a 5 a 15 Vậy 0 2 V S .SE B . A B . C sin120 .SE a . . . SABC 3 ABC 3 2 6 2 5 10 Câu 6.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB a , BAC 120 ,
SBA SCA 90 . 3
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Khi cos
thì thể tích khối chóp đã 4 cho bằng 3 3 3a 3 a A. 3a 3 . B. a . C. . D. . 4 4 Lời giải Chọn D
Kẻ SH ABC , H ABC suy ra SH AB và SH AC . SH AB Khi đó ta có
AB SBH AB BH . SB AB
Chứng minh tương tự ta có AC CH suy ra tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn đường kính
AH . Do đó góc BHC bằng 60 . Dễ thấy A HB A
HC HB HC nên H BC đều. ABC cân tại A
có AB a, BAC 120 2 2
suy ra BC 3a . Do đó 2 2 2 2
HB HC BC 3a . Dễ thấy S HB S
HC SB SC nên S AB S AC .
Trong mặt phẳng SAB kẻ BK S ,
A K SA .
Trong mặt phẳng SAC kẻ CK S , A K SA 1 1 .
Xét hai tam giác vuông KAB và K AC BAK CAK 1 có AB AC , (vì SAB SAC ) 1 suy ra K AB K
AC AK AK K K A K K 1 1 mà
và 1 nằm giữa S và nên 1 .
Từ đó ta có CK SA và BK CK . 2 2 2
BK CK BC 3 2 2 2BK BC 3 Do đó cos cos BKC 1 . 2BK.CK 4 2 2BK 4 Đặt SH ,
x x 0. Xét S 2 2 2 2 2
HB có SB SH HB 3a x . 1 1 1 1 1 1 Xét S
AB vuông tại B có 2 2 2 BK BA BS 2 2 2 2 BK a 3a x 2 a 2 2 3a x 2 BK . 2 2 4a x Trang46 2 2a 2 2 3a x 2 3a 2 2 3 4a x Thay vào 1 ta có x a 3 . 2 2a 2 2 3a x 4 2 2 4a x 3 1 1 1 1 a 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là .SH. .A .
B AC.sin BAC .a 3. . a sin120 . 3 2 3 2 4 Câu 7.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, M và N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh
AB, AC ( M và N không trùng với A ) sao cho mặt phẳng DMN luôn vuông góc với mặt
phẳng ABC . Gọi V , V lần lượt là thể tích lớn nhất và nhỏ nhất của tứ diện ADMN . Tính 1 2
tích V .V . 1 2 2 2 1 8
A. V .V .
B. V .V .
C.V .V .
D. V .V . 1 2 27 1 2 1 2 1 2 24 324 9 Lời giải Chọn C
Kẻ DH MN DH ABC (vì DMN ABC ). Suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC .
Như vậy M và N là hai điểm di động nhưng MN luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC .
Đặt AM x, AN y , ( 0 x 1, 0 y 1 ) 1 2 + 2 2 2
DH DA AH 1 2 DH . 3 3 3 1 3 + S
AM.AN.sin MAN xy (*) A MN 2 4 1 3 + S S S
AH.x y.sin 30
x y (**) A MN A MH A NH 2 12 Do đó 1 V 1 3 2 2 DH .S xy xy (***) ADMN 3 AMN 3 4 3 12
Mặt khác từ (*) và (**) suy ra x y 3xy , ( 0 x 1, 0 y 1 ). Trang47 2 0 t 3 0 3t 2 Đặ 4 2
t xy t x y 3t . Điều kiện: 4 t . 2 9
t 4t 0 t 9 3 9 t 0
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình 2
X 3tX t 4 2 0 1 , t . 9 3 4 2 Ta tìm t ; để
1 có 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;
1 hoặc có nghiệm kép thuộc 0; 1 9 3 1 X Ta có X
không phải là nghiệm của 1 nên 2 1 t . 3 3X 1 X 0 2 Đặ X 3X 2X t g X 2 , X 0;
1 . Ta có: g X 0 2 . 3X 1 3X 2 1 X 3
Bảng biến thiên của g X Dựa vào BBT,
1 có 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;
1 hoặc có nghiệm kép thuộc 0; 1 4 1 t 4 1 (thỏa điều kiện) hay xy . 9 2 9 2 2 2 2 2 1 Kết hợp (***) ta có V V , V V .V . 1 2 27 ADMN 24 1 24 2 27 324 Câu 8.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2 .
cm Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, .
ACD Tính thể tích V của khối chóp AMN . P 2 2 2 4 2 2 A. 3 V cm . B. 3 V cm . C. 3 V cm . D. 3 V cm . 162 81 81 144 Lời giải Chọn C Trang48 A N M P B K D H E F C 2 3
Tam giác BCD đều DE 3 DH 3 2 6 2 2 AH AD DH 3 1 1 1 1 3 S .d .FK . d . BC EFK E,FK D,BC 2 2 2 2 4 1 1 2 6 3 2 V AH.S . . . SKFE EF 3 K 3 3 4 6 AM AN AP 2 Mà AE AK AF 3 V AM AN AP 8 8 4 2 Lại có: AMNP . . V V . V AE AK AF 27 AMNP 27 AEKF 81 AEKF Câu 9.
Cho hình chóp S.ABC có AB 5 cm , BC 6 cm , CA 7 cm . Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC . Các mặt phẳng SAB , SBC ,
SCA đều tạo với đáy một góc 60 . Gọi AD , BE , CF là các đường phân giác của tam giác
ABC với D BC , E AC , F AB . Thể tích S.DEF gần với số nào sau đây? A. 3 2,9 cm B. 3 4,1 cm C. 3 3,7 cm D. 3 3,4 cm Lời giải ChọnD S E A C 60° I F D H B Trang49
Vì các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều tạo với đáy một góc 60 và hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của S
chính là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
AB BC CA
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì p 9 . 2 S Ta có : S
p p AB p BC p AC 2 6 6 6 r ABC và . p 3
Suy ra chiều cao của hình chóp là : h . r tan 60 2 2 A E F I C B D EA BA
Vì BE là phân giác của góc B nên ta có : . EC BC FA CA Tương tự : DB AB , . FB CB DC AC S AE AF AB AC Khi đó : AEF . . . S AC AB
AB BC AC BC ABC S CA CB S BC BA Tương tự : CED . , BFD . . S
CA AB CB AB S
BC CA BA CA ABC ABC Do đó, ab bc ac S S 1 , với BC a , AC b , DEF ABC
a cb c b ac a a bc b AB c 2abc 210 6 .S ABC .
a bb cc a 143 1 210 6 280 3 Suy ra V . .2 2 3 cm 3, 4 3 cm S.DEF 3 143 143
Câu 10. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối
chóp có thể tích nhỏ nhất. 3 8 3 10 3 32 A. a V . B. a V . C. 3 V 2a . D. a V . 3 3 3 Lời giải Chọn D Trang50
Giả sử SO x ta có: SI x a ; SE x a2 2 2
a x 2ax SE IE I . E SO ax
Xét SEI ∽SON ta có: NO SO NO 2 SE x 2ax 2 2 2 1 2ax 4a x
Thể tích khối chóp là: V . x 2 3 3 x 2 2 a x ax x
Xét hàm số f x 2
0 2a x x 2a 2 x 4 ax f x
; f x 0 x 4a (do 0 2a x ) x 2a2 Bảng biến thiên 3 32
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là: a V . 3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB , a AC a 3 ,
BC 2a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến a 3
mặt phẳng (SBC ) bằng
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3 2a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 5 3 5 3 3 5 Lời giải Chọn A Trang51
Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A ( do 2 2 2
AB AC BC ).
Gọi E là điểm đối xứng của B qua A ta có tứ giác DE AC
là hình chữ nhật, và tam giác EBC
là tam giác đều cạnh 2a . 1
AD (SBC) d (D, (SBC)) d ( , A (SBC))
d (E, (SBC)) 2 2a 3
Hay d (E, (SBC)) 2.d( , D (SBC)) 3
Gọi I là trung điểm của đoạn BC , ta có: BC EI , BC SI BC (SEI ) . 2a 3
Trong mp(SEI ) kẻ EH vuông góc với SI tại H . Khi đó: d (E, (SBC)) EH . 3
Ta có CD (SAC) ( Do CD SC, CD AC ) Suy ra AB (SAC) . Xét tam giác E
SB có SA vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác E
SB cân tại S .
Xét hình chóp S.EBC có đáy là tam giác đều EBC , các cạnh bên SE SB SC .
Nên gọi F EI CA ta có SF (EBC) . 2a 3 HE 2
Tam giác EHI vuông tại H nên 3 sin I . EI a 3 3 2 1 sin I 1 2a Tam giác
SIF vuông tại F nên 3
SF FI.tan I EI. a 3. . 2 3 3 2 15 1 sin I 2 1 ( ) 3 3 1 1 1 2a 2a V SF.S SF.A . B CA . . a a 3 . S . AB D C AB D 3 C 3 3 15 3 5
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Biết rằng các mặt bên của
hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích nhỏ nhất
của khối chóp S.ABC . 3 a 2 3 a 2 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 4 Lời giải Chọn C Trang52
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy ABC ; M , N , K lần lượt là hình chiếu của S
trên AB, BC, CA . 1 1 1
Vì diện tích các mặt bên của hình chóp bằng nhau nên ta có SM .AB SN.BC SK.CA 2 2 2
và vì tam giác ABC đều nên ta có SM SN SK HM HN HK .
TH1: nếu H nằm trong tam giác ABC H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC . Khi đó ta có 2 a 3 AH AN
và SA SB SC a 3 3 3 2 3a 2a 6 2 2 2
SH SA AH 3a 9 3 2 3 1 1 a 3 2a 6 a 2 V S .SH . . . S. ABC 3 ABC 3 4 3 6
TH2: Nếu H nằm ngoài tam giác ABC . Không mất tính tổng quát giả sử H nằm khác phía
với A so với đường thẳng BC
Tương tự như trên ta vẫn có HM HN HK . Vì tam giác ABC đều nên H là tâm đường 3a BN a
tròn bàng tiếp góc A và AM AB BN 1 HB : a , 2 cos60 2 2 3a 3
AH AM : cos30 :
a 3 . Vì thế cạnh SA không thể bằng a 3 SB SC a 3 2 2 2 3 1 1 a 3 a 6 2 2 2 2 SH
SB BH 3a a a 2 V S .SH . .a 2 . S. ABC 3 ABC 3 4 12 3 3 3
a 2 a 6 a 6 Vậy V min , . min 6 12 12
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB
a , BAC 120 ,
SBA SCA 90 . Trang53 3
Gọi là góc giữa SB và SAC thỏa mãn sin
, khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ 8
hơn 2a . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 6 12 24 Lời giải. Chọn C S K C D A B I
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên đáy ABC , đặt SD x 0 x 2a . AC SC Ta có
AC SDC AC DC . Tương tự ta cũng có AB DB . AC SD
Tam giác ABC cân tại A và
CAB 120 BC a 3 và
DBC DCB 60 D BC đều cạnh a 3 .
Tam giác SDC vuông tại D 2 2
SC 3a x SB . x a 3
Kẻ DK SC tại K DK SAC d ,
D SAC DK . 2 2 3a x
Gọi I BD AC , xét D
IC vuông tại C và BDC 60 DC 1 DI a
B là trung điểm của DI d B,SAC d D,SAC . 2 3 cosBDC 2
d B, SAC 3 xa 3
Theo giả thiết SB,(SAC sin SB 8 2 2 2 3a x 2 x x x a 2 2
x 3a 4ax 0 4 3 0
. So sánh với điều kiện suy ra x a . a a x 3a 3 1 a 3 Vậy V .S .SD . S.ABC 3 ABC 12
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có
DAB CBD 90º ; AB ;
a AC a 5; ABC 135 . Biết góc giữa
hai mặt phẳng ABD, BCD bằng 30 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 2 6 Lời giải. Chọn D Trang54 D E F C H a 5 A a B
Dựng DH ABC . BA DA BC DB Ta có
BA AH . Tương tự BC BH . BA DH BC DH
Tam giác AHB có AB a , o ABH 45 H
AB vuông cân tại A AH AB a .
Áp dụng định lý cosin, ta có BC a 2 . 2 1 1 2 a Vậy S .B . A B . C sin CBA . . a a 2. . ABC 2 2 2 2 HE DA Dựng
HE DAB và HF DBC . HF DB
Suy ra DBA DBC HE HF , ,
EHF và tam giác HEF vuông tại E . ax xa 2
Đặt DH x , khi đó HE , HF . 2 2 a x 2 2 2a x 2 2 HE 3 x 2a 3 1 a Suy ra cos EHF
x a .Vậy V .DH.S . 2 2 HF 4 ABCD ABC 2x 2a 3 6
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB BC a 3 ,
SAB SCB 90 và khoảng cách từ điểm A đến SBC bằng a 2 . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng A. 2 2 a . B. 2 8 a . C. 2 16 a . D. 2 12 a . Lời giải. Chọn D
Gọi H là hình chiếu của S lên ABC . BC SC Ta có: HC BC . SH BC
Tương tự AH AB . Và ABC
vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông. Gọi O AC BH , O là tâm hình vuông.
Dựng một đường thẳng d qua O vuông góc với ABCH , dựng mặt phẳng trung trực của SA
qua trung điểm J cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Trang55
Ta hoàn toàn có IJ SA IJ // AB I là trung điểm SB , hay I d SC . a 3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 2 2 r
AI IJ JA ; IJ S. ABC 2 2
Do AH // SBC d ,
A SBC d H,SBC HK .
( K là hình chiếu của H lên SC và BC SHC HK SBC ).
HK a 2 . Tam giác SHC vuông tại H SH a 6 .
Tam giác SHA vuông tại H SA 3a . SA 3a 2 2 JA r
AI a 3 S 4 r 12 a . . 2 2 S ABC mc
Câu 16. Cho hình lăng trụ đều AB . C A B C
có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a AB và A C ¢ 15 bằng
. Thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C
tính theo a bằng: 5 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn D a 15
Ta có AB / / A B
AB / / A B C d d d AB,A C
AB,A B C
B,A B C 5
Đặt AA x 0 . Tam giác CA B cân tại C , 2 2
CA CB a x . 2 2 2 1 a 1 3a 4x 1
Diện tích tam giác CA B là 2 2 2 2 S . . a a x . a a 3a 4x CA B 2 4 2 2 4 2 a 3
Thể tích lăng trụ V . x 1 4 1 a 15 1 Lại có 2 2 V 3V 3. d .S . . a 3a 4x . B.A B C
B,A B C 3 A B C 5 4 2 a 3 a 15 1 Do đó 2 2 2 2 . x . .
a 3a 4x 5x 3 15. 3a 4x x a 3 . 4 5 4 2 3 a 3 3a V . x . 4 4
Câu 17. Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' , đáy ABC là tam giác cân tại C , cạnh AB = a và góc a
BAC 30 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB
¢ bằng .Thể tích của khối 2 lăng trụ AB . C A B C
tính theo a bằng: Trang56 3 a 3 3a 3 2 3a 3 4 3a A. . B. . C. . D. . 8 3 2 3 3 Lời giải Chọn A a
Ta có AB / / A B
AB / / A B C d d d . AB,B C
AB,AB C
B,AB C 2
Đặt AA x 0 . Tính đượ a c AC BC . 3 2 1 a
Diện tích tam giác ABC là S .AC. . CB sin120o ABC . 2 4 3 2 2 2 a a 3x Tam giác CA B cân tại C , 2
CA CB x . 3 3 2 2 2 2 2 1 1 a a 3x a a a 12x
Diện tích tam giác cân CA B là S A B .CH . . . CA B 2 2 2 3 4 4 2 3 2 a
Thể tích lăng trụ là V AA .S . x ABC 4 3 2 2 1 a a a 12x
Lại có V 3V 3. d .S . . B.A B C
B,A B C 3 A B C 2 4 2 3 2 2 2 3 a a a a 12x a a Do đó . x . .
x V . 4 3 2 4 2 3 2 8 3
Câu 18. Cho hình lăng trụ đều AB .
C A' B 'C ' , có cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt a phẳng ( A B
¢ C) bằng . Thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C
tính theo a bằng: 2 3 3 2a 3 5 2a 3 2a 3 5 2a A. . B. . C. . D. . 16 16 16 8 Lời giải Chọn A Trang57
Gọi H là trung điểm của BC , I là hình chiếu vuông góc của A trên AH . a
Chứng minh được khoảng cách từ A đến ( A ' BC) là AI . 2
Đặt AA x 0 .
Xét tam giác AAH vuông tại A : 1 1 1 1 4 4 a 3
Ta có AI là đường cao: x . 2 2 2 2 2 2 AI AA AH x 3a a 2 2 2 3 a 3 a 3 3 2a
Thể tích lăng trụ là V . x S . . ABC 2 2 4 16
Câu 19. Cho lăng trụ · ABC .
D A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và 0 ABC = 120 . Góc
giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy bằng 0
60 . Đỉnh A ' cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a
thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 3 3a a 3 3 a 3 A.V = . B.V = . C.V = . D. 3 V = a 3 . 2 6 2 Lời giải Chọn C
Hình thoi ABCD cạnh ·
a , ABC = 120° nên góc BAD 60 , suy ra tam giác ABD đều cạnh a . 2 2 a 3 a 3
Diện tích đáy ABCD là S 2.S 2. . ABD 4 2
Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Ta có A H ABCD . a 3 a 3 Tính được AO , AH . 2 3
Góc giữa AA ' và mặt đáy bằng góc AAH và bằng 60° . a 3 Ta có A H
AH.tan 60 . 3 a . 3 Trang58 2 3 a 3 a 3
Thể tích lăng trụ V A H .S . a . 2 2
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với
mặt đáy một góc 45 và hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy năm fngoài tam giác ABC .
Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V . B.V . C.V . D.V . 8 4 6 24 Lời giải Chọn A
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC .
Gọi hình chiếu của H lên các cạnh AB, BC,CA lần lượt là P,Q, R .
Dễ dàng có được góc giữa các mặt bên với đáy chính là các góc
SPH SQH SRH 45 .
Vậy ta có ba tam giác vuông cân bằng nhau SHP, SHQ, SHR , suy ra HP HQ HR .
H là tâm đường tròn bàng tiếp ABC . Do ABC
đều, không mất tính tổng quát, ta coi H
là tâm đường tròn báng tiếp góc A . S a 3
Gọi r là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A thì r a a p a 2 a 3 SH r a 2 2 3 1 1 a 3 a 3 a Vậy V SH.S . S.ABC 3 ABC 3 2 4 8
Câu 21. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB 2a , góc
CAB 30 . Gọi H là hình chiếu của A trên SC . Gọi B là điểm đối xứng của B qua mặt
phẳng SAC . Tính thể tích khối chóp H.AB B . 3 2a 3 3 2a 3 3 6a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn A Trang59 1 1 1 1 1 7
Ta có BC a , AC a 3 . Ta có: 2 2 2 2 2 2 AH SA AC 4a 3a 12a 2 3a 2 3a 1 3 3a AH ; 2 2 HC AC AH ; S AH.HC HAC 7 7 2 7 2 3 1 1 3 3a a 3 3 2a 3 V S .BC .a V 2V HABC 3 HAC 3 7 7 HAB ' B HABC 7
Câu 22. Cho hình chóp tứ giá đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 0 60 .
Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC .Mặt phẳng BMN chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Lời giải Chọn A
Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD V
1 là thể tích khối chóp PD .
Q BCN và V là thể tích của khối chóp còn lại, khi đó V V V 2 1 2
MB cắt AD tại P → P là trung điểm của AD .
MN cắt SD tại Q → Q là trọng tâm của S MC VM PDQ MP MD MQ 1 1 2 1 Ta có . . . . . V MB MC MN 2 2 3 6 M .BCN 5 Mặt khácV V
V V V M .BCN M .PDQ 1 1 M .BCN 6 1 Mà S S
, d (S; ( ABCD))
d (S; ( ABCD)) M BC ABCD 2 1 V 5 7 Suy ra V V V V V V
V V :V 7 : 5 M .BCN N .MBC S . ABCD 1 2 2 1 . 2 2 12 12 Trang60
Câu 23. Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc SA và SB sao cho MA 2SM , SN 2NB ,
là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu H H2 1 và là các khối đa diện
có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng , trong đó H S H2 1 chứa điểm , V
chứa điểm A ; V và V lần lượt là thể tích của H H 1 2 1 và . Tính tỉ số . 1 2 V2 4 5 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 4 4 3 Lời giải. ChọnA
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện S.ABC .
Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của với các đường thẳng BC , AC .
Ta có NP//MQ//SC . Khi chia khối H QNC N.SMQC 1 bởi
, ta được hai khối chóp và N.QPC . V d N, SAC S N .SMQC SMQC Ta có . . V d B, SAC S B. ASC SAC
d N,SAC NS 2 .
d B,SAC BS 3 2 S AM S V AMQ 4 SMQC 5 N SMQC 2 5 10 .Suy ra . . . S AS 9 S 9 V 3 9 27 ASC ASC B.ASC V d N , QPC S N .QPC
QPC NB CQ CP 1 1 2 2 . . . . . . V d S, ABC S SB CA CB 3 3 3 27 S . ABC ABC V V V N .SMQC N .QPC 10 2 4 V 4 V 4 1 1 1 . V V V 27 27 9 V V 9 V 5 B.ASC S .ABC 1 2 2
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB BC a, 0
SAB SCB 90 . Góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC) là thỏa mãn tan 2. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm SA . Thể tích SMGB là 3 3 a a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 15 18 6 Lời giải Chọn C Trang61
Lấy điểm D sao cho ABCD là hình vuông
Ta có BC CD, BC SC BC SD , tương tự AB S . D 1 1 1 Ta có V V V V . SMGB SABG SABC S . ABCD 2 6 12 3 1 1 2a Ta có 2 V . SD S .2 . a a S . ABCD 3 ABCD 3 3 3 a Vậy V . SMGB 18
Câu 25. Cho hình lăng trụ AB . C A B C
có thể tích V . Gọi M là trung điểm AC ; N là điểm nằm trên cạnh B C
sao cho CN 2NB ; K là trung điểm AB . Hãy tính theo V thể tích khối tứ diện C M NK : 11V 2V 5V V A. . B. . C. . D. . 36 15 18 12 Lời giải Chọn D
Ta có: d C;MNK d C; AB C
d B;AB C Lại có S S S S S MNK AB C AMK MNC B NK AM AK CM CN B N B K S . S . S . S AB C AB C AB C AB C AC AB AC CB B C AB 1 1 1 2 1 1 1 S . S . S . S S AB C 2 2 AB C 2 3 AB C 3 2 AB C 4 AB C 1 V V d C MNK S d B AB C S V V C MNK 1 MNK 1 1 1 1 ; . ; . . . 3 3 4 AB C 4 B ABC 4 3 12 Trang62