Chuyên đề tìm GTLN – GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 22 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tìm GTLN – GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

22 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN
Bài 1: Tìm GTNN của:
( )( )( )
3 4 7A x x x x= − − −
Bài 2: Tìm GTNN của:
( )( )
( )
2
1 3 4 5B x x x x= − − − +
Bài 3: Tìm min của:
( )( )( )
2 4 6 8A x x x x= + + + +
Bài 4: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 4B x x x x= + + + +
Bài 5: Tìm GTNN của:
( )( )
22
62A x x x x= + − + +
Bài 6: Tìm GTNN của :
( )( )( )( )
1 2 3 6C x x x x= − + + +
Bài 7: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
2 1 2 3 2 1D x x x x= − + + +
Bài 8: Tìm min của:
( )( )( )( )
1 2 3 4 2011C x x x x= + + + + +
Bài 9: Tìm max của:
Bài 10: Tìm GTNN của:
( )( )( )( )
1 2 3 6M x x x x= − + + +
Bài 11: Tìm min của:
( )
( )
( )
2
1 4 5 2014D x x x= + − + +
Bài 12: Tìm min của:
( )( )( )( )
B x a x b x c x d m= + + + + +
với a+d = b+c
Bài 13: Tìm GTNN của:
4 3 2
6 10 6 9C x x x x= − + − +
HD:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
4 2 2 2 2
2.3 . 9 6 9 3 3 0C x x x x x x x x x= − + + − + = − + −
Bài 14: Tìm GTNN của:
4 3 2
4 9 20 22C x x x x= − + − +
HD:
( ) ( )
4 3 2 2
4 4 5 4 4 2C x x x x x= − + + − + +
Bài 15: Tìm GTNN của:
42
27B x x x= − + +
HD:
( ) ( )
4 2 2
2 1 2 1 5B x x x x= − + + + + +
Bài 16: Tìm GTNN của:
( ) ( )
44
86D x x= + + +
HD:
Đặt:
( ) ( )
44
42
7 1 1 2 12 2 2x y D y y y y+ = = = + + − = + +
Bài 17: Tìm GTNN của :
2
9 6 4 3 1 6A x x x= − − − +
HD:
Đặt:
2 2 2
3 1 9 6 1 4 5x t t x x E t t− = = = − + = = − +
Bài 18: Tìm GTLN của:
( ) ( )
22
2 1 3 2 11A x x x= + − − + −
Bài 19: Tìm min của:
( ) ( )
44
22A x x= + + −
Bài 20: Tìm min của:
22
4 4 32 2018A x y x y= + − + +
Bài 21: Tìm min của:
22
34A x y x y= + + −
Bài 22: Tìm min của:
22
5 2 12 18B x y xy x= + + − −
Bài 24: Tìm max của:
22
3 16 8 5 2B x y xy x= − − − + +
Bài 25: Tìm min của:
22
3 4 4 2 4 26A x y xy x y= + + + − +
Bài 26: Tìm min của:
22
5 9 12 24 48 82x y xy x y+ − + − +
2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 27: Tìm max của:
22
22A x y xy x y= − − + + +
Bài 28: Tìm min của:
( ) ( )
22
31A x x= − + −
Bài 29: Tìm min của:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 2 4 3B x x x= + + + − +
Bài 30: Tìm max của:
( ) ( )
44
2 3 1 3 5F x x= − + − −
Bài 31: Tìm min của:
( ) ( )
44
37G x x= + + −
Bài 32: Tìm min của:
42
7 4 25H x x x= − + +
Bài 33: Tìm min của:
4 3 2
6 11 12 20I x x x x= − + + +
Bài 34: Tìm min của:
4 3 2
6 15 20 15K x x x x= − + − −
Bài 35: Tìm min của:
4 3 2
4 7 12 18M x x x x= − + − −
Bài 36: Tìm max của :
22
4 6 8 3N x y x y= − − + − +
Bài 37: Tìm max của:
22
3 5 2 7 23P x y x y= − − + + −
Bài 38: Tìm max cảu:
22
5 4 12 7Q x y xy y= − − + + +
Bài 39: Tìm max cảu:
22
5 4 12 7Q x y xy y= − − + + +
Bài 40: Tìm max của:
22
7 4 8 18 9R x y xy x= − − − + +
Bài 41: Tìm max của:
22
5 2 4 4 8 12A x y xy x y= − − + − −
Bài 42: Tìm max của:
22
2 5 4 2B x y xy x= − − − +
Bài 43: Tìm min của:
22
3 3 1989C a ab b x b= + + − − +
Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:
( )( ) ( )
2
1 2 3x x x m+ + +
Bài 45: Tìm GTNN của:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
22
2 2 2
2 4 4 1 2 1A x xy y y y x y y= − + + − + + = − + − +
Do:
( ) ( )
22
0, 2 0x y y− −
, Nên
( ) ( )
22
2 1 1A x y y= − + − +
Bài 46: Tìm min của:
22
2 2 8 2028B x y xy x= + + − +
Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức:
43
2 4 5A a a a= − − +
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 3A a a a a a= + − + + + +
=
( )( )
22
2 2 1 3 3a a a+ − + +
dấu bằng khi a=1
Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức :
22
2 2 2 10 17A x xy y x y= − + + − +
Bài 49: Tìm Min của:
2
5 6 1 1P x x= − − −
3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm GTNN của:
22
2 2 2 10 17A x xy y x y= − + + − +
Bài 2: Tìm min của:
22
22B x xy y x y= − + − −
Bài 3: Tìm min của:
22
33C x xy y x y= + + − −
Bài 4: Tìm min của:
22
2 6 12 2 45D x xy y x y= − + − + +
Bài 5: Tìm min của:
22
3 2 10 20E x xy y x y= − + − − +
Bài 6: Tìm max của:
22
2 4 2 10 3F x xy y x y= − + − + + −
Bài 7: Tìm min của:
( ) ( )
2
22
6 16 8 2 8 10G x ay x ay x y ay x y= − + − + + − + − +
Bài 8: Tìm max của:
22
2 4 11H x xy y x y= − + − − + +
Bài 9: Tìm min của:
22
4 5 6 11I x xy y y= + + − +
Bài 10: Tìm min của:
22
3 3 20K x y xy x y= + − + + +
Bài 11: Tìm min của:
22
2 2 2 1M x xy y y= − + − +
Bài 12: Tìm min của:
22
22N x xy y x= − + −
Bài 13: Tìm min của:
22
2 3 2 1997x xy y x− + − +
Bài 14: Tìm min của:
22
2 2 2 10Q x y xy x y= + − + −
Bài 15: Tìm min của:
22
2 2 2R x y xy y= + + −
Bài 16: Tìm min của:
22
4 5 4 16 32A x y xy y= + − − +
Bài 17: Tìm min của:
2 2 2
5 5 4 4 4 12B x y z xy yz z= + + − − − +
Bài 18: Tìm min của:
22
5 12 9 4 4C x xy y x= − + − +
Bài 19: Tìm max của:
22
22D x y xy x y= − − + + +
Bài 20: Tìm min của:
22
5 4 2 3E x y xy y= + − + −
Bài 21: Tìm GTNN của
22
3 3 3A a ab b a b= + + − − +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2
4 2 3 2 4 2 4 4P a ab b a bh ab a b= − + + + + + − −
( ) ( )
22
3 2 0a b a b= − + + −
Bài 22: Tìm min của:
( )
22
33G x xy y x y= + + − + +
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
4 2 8 6 15 0x y z x y z+ + − + − + =
Bài 24: Tìm min của:
22
2 2 2 3A x y xy x= + − − +
Bài 24: Tìm min của:
22
2 2 2 10 17B x xy y x y= − + + − +
Bài 25: Tìm min của:
22
33C x xy y x y= + + − −
Bài 26: Tìm min của:
22
2 2 5 8 22D x xy y x y= + + − −
Bài 27: Tìm min của:
22
2 9 6 6 12 2004E x y xy x y= + − − − +
Bài 28: Tìm min của:
22
2 6 12 12 45F x xy y x y= − + − + +
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :
22
3 3 3a ab b a b+ + − − +
HD:
( ) ( )
22
22
3 3 3 4 3 2 0P a ab b a b P a b a b= + + − − + = = − + + −
Bài 30: Tìm min của:
2 2 2
6 14 8 6 4A x y z yz zx xy= + + − + −
Bài 31: Tìm min của:
2 2 2
2 3 2 2 2 2 8 2000B x y z xy xz x y z= + + − + − − − +
4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức:
22
2 4 12 4 2002T x y x y xy= − − − + + +
Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức:
22
5 2 4 2 4 2023P x y xy x y= + − − − +
Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức:
22
2 2 2 2M x xy y y= + + − −
5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
DẠNG 3: PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm min của:
2
2
6 5 9
A
xx
=
−−
Bài 2: Tìm min của:
2
1
49
B
xx
=
−+
Bài 3: Tìm max của:
2
3
51
C
xx
−
=
−+
Bài 4: Tìm min hoặc max của:
2
6
23
D
xx
=
− + −
Bài 5: Tìm min hoặc max của:
2
2
8
K
x
=
+
Bài 6: Tìm min hoặc max của:
2
4
1
M
xx
=
++
Bài 7: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 8 6
21
xx
E
xx
−+
=
−+
Bài 8: Tìm min hoặc max của:
2
2
41xx
G
x
−+
=
Bài 9: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
4 6 1
21
xx
F
x
−+
=
+
Bài 10: Tìm min hoặc max của:
( )
2
10
x
H
x
=
+
Bài 11: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2016
x
I
x
=
+
Bài 12: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2000xx
D
x
−+
=
Bài 13: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2015
2015
xx
E
x
−+
=
Bài 14: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2000
x
F
x
=
+
Bài 15: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
1
21
xx
B
xx
−+
=
++
Bài 16: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 4xx
A
x
++
=
Bài 17: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2012xx
B
x
−+
=
Bài 18: Tìm cả min và max của:
2
34
1
x
K
x
−
=
+
Bài 19: Tìm min hoặc max của:
2
27 12
9
x
M
x
−
=
+
Bài 20: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 4 8
3
xx
N
x
++
=
+
Bài 21: Tìm min hoặc max của:
2
83
41
x
P
x
+
=
+
Bài 22: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
21
1
xx
C
x
++
=
+
6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 23: Tìm min hoặc max của:
2
2
1
1
xx
N
x
++
=
+
Bài 24: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
D
x
+
=
+
Bài 25: Tìm min hoặc max của:
2
21x
E
x
+
=
Bài 26: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
F
x
−
=
+
Bài 27: Tìm min hoặc max của:
2
68
1
x
G
x
−
=
+
Bài 28: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 6 17
25
xx
Q
xx
−+
=
−+
Bài 29: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 16 41
8 22
xx
R
xx
−+
=
−+
Bài 30: Tìm min hoặc max của:
6
4 3 2
27
3 6 9 9
x
A
x x x x
+
=
− + − +
Bài 31: Tìm min hoặc max của:
6
2
512
8
x
B
x
+
=
+
Bài 32: Tìm min hoặc max của:
4 3 2
2
4 16 56 80 356
25
x x x x
G
xx
+ + + +
=
++
Bài 33: Tìm min của:
2
2
1
1
x
H
x
−
=
+
Bài 34: Tìm min hoặc max của:
2
8
32
I
x
−
=
+
Bài 35: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 2010
x
P
xx
=
−+
Bài 36: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 6 5
21
xx
Q
xx
−+
=
−+
Bài 37: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 4xx
A
x
++
=
Bài 38: Tìm min hoặc max của:
2
21
2
x
B
x
+
=
+
Bài 39: Tìm min hoặc max của:
2
2
2
2
x
C
xx
+
=
++
Bài 40: Tìm min hoặc max của:
2
2
23
23
xx
D
xx
++
=
−+
Bài 41: Tìm min hoặc max của:
( )
2 2 2
4 4 2 2
1
22
x y x x y
G
x x y y
+ − +
=
+ + +
Bài 42: Tìm min hoặc max của:
( )
4
2
2
1
1
x
H
x
+
=
+
Bài 43: Tìm min hoặc max của:
2
2
34
4
x
A
x
+
=
+
Bài 44: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 2 3
1
xx
C
x
−+
=
+
7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 45: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 6 17
35
xx
H
xx
−+
=
−+
Bài 46: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 16 71
8 22
xx
I
xx
−+
=
−+
Bài 47: Tìm min hoặc max của:
2
2
41xx
K
x
−+
=
Bài 48: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 9
24
xx
N
xx
++
=
++
Bài 49: Tìm min hoặc max của:
2
4
1
x
P
x
=
+
Bài 50: Tìm min hoặc max của:
23
2 2 2
2 1999
:
3 2 3 2
x x x
Q
x x x x x
−+
=
− + − +
Bài 51: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 2 3
1
xx
A
x
−+
=
+
Bài 52: Tìm min hoặc max của:
2
68
1
x
B
x
−
=
+
Bài 53: Tìm min và max của:
2
21
2
x
C
x
+
=
+
Bài 54: Tìm min hoặc max của:
2
2
2 4 9
24
xx
D
xx
++
=
++
Bài 55: Tìm min hoặc max của:
2
83
41
x
E
x
+
=
+
Bài 56: Tìm min hoặc max của:
2
2
22
22
xx
F
xx
−+
=
++
Bài 57: Tìm min hoặc max của:
( )
4
2
2
1
1
x
G
x
+
=
+
Bài 58: Tìm min hoặc max của:
22
22
2 2 9
25
x xy y
H
x xy y
−+
=
++
Bài 59: Tìm min và max của:
2
43
1
x
I
x
+
=
+
Bài 39: Tìm min
( )
2
2 2 1
2
x
P
x
+
=
+
Bài 60: Tìm min hoặc max của:
2
2
1
1
x
J
xx
+
=
−+
Bài 61: Tìm min hoặc max của:
2
2
2
2
x
K
xx
+
=
++
Bài 62: Tìm min hoặc max của:
2
41
3
x
M
x
+
=
+
Bài 63: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 6 14
25
xx
N
x
−+
=
+
Bài 64: Tìm min hoặc max của:
2
12 13
23
x
P
xx
+
=
++
Bài 65: Tìm min hoặc max của:
2
22
53
34
y xy
Q
x xy y
−
=
−+
8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 66: Tìm min hoặc max của:
22
22
4
3 4 5
xy
R
x xy y
−
=
−+
Bài 67: Tìm min hoặc max của:
2
2
6 23
6 10
xx
A
xx
−+
=
−+
Bài 68: Tìm min hoặc max của:
2
22
9 12 5
y
B
x xy y
=
−+
Bài 69: Tìm min hoặc max của:
2
2
3 12 10
45
xx
C
xx
−+
=
−+
Bài 70: Tìm min hoặc max của:
2
22
3
25 20 5
y
D
x xy y
=
− + −
Bài 71: Tìm min hoặc max của:
( )
2
2
4 6 1
2
xx
E
x
−+
=
−
Bài 72: Tìm min hoặc max của:
2
2
4 14
21
xx
F
xx
+−
=
−+
Bài 73: Tìm min hoặc max của:
2
2
4 6 3
2 3 2
xx
G
xx
−+
=
−+
Bài 74: Tìm min hoặc max của:
22
22
32
9 6 2
x xy y
H
x xy y
−+
=
−+
Bài 75: Tìm min hoặc max của:
2
2
4 22 19
44
xx
I
xx
++
=
++
Bài 76: Tìm min hoặc max của:
2
2
9 30 7
9 6 1
xx
K
xx
+−
=
++
Bài 77: Tìm min hoặc max của:
22
22
52
2 10 7
x xy y
M
x xy y
−+
=
−+
Bài 78: Tìm min hoặc max của:
22
22
22 58 73
44
x xy y
N
x xy y
−+
=
−+
Bài 79: Tìm min hoặc max của:
2
22
86x xy
P
xy
+
=
+
Bài 80: Tìm min hoặc max của:
2
2
33
21
xx
Q
xx
−+
=
−+
Bài 81: Tìm min hoặc max của:
22
22
x xy y
R
x xy y
++
=
−+
Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức:
2
42
1
x
xx++
, GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x
HD:
Ta có :
2
42
()
1
x
Px
xx
=
++
=>
2
2
11
13
()
x
P x x
= + +
Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức:
2
2
1
( 1)
21
xx
Mx
xx
++
= −
++
HD:
Ta có :
( )
( )
2
2
2
2 1 1 1
11
1
2 1 1
1
x x x
M
x x x
x
+ + − + +
= = − +
+ + +
+
9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Đặt
1
1
t
x
=
+
, ta có:
2
2
1 3 3
1
2 4 4
M t t t

= − + = − +


Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2 2
2
3 1 3 1 3 1
3
1 1 1 1
11
x x x
B
x x x x x x x
xx
+ + +
= = = =
+ + + + + + +
++
Do
2
2
3
1 0 3
1
xB
x
+ = =
+
, Dấu bằng khi và chỉ khi x=0
Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức :
2
2
2 2012xx
P
x
−+
=
, với x#0
Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của
2
43
1
x
P
x
+
=
+
Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của
2
43
1
x
P
x
+
=
+
Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
2
33
21
xx
B
xx
−+
=
−+
Bài 89: Cho biểu thức
2
2
2 2011xx
M
x
−+
=
, với x>0, Tìm x để M có GTNN
Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của:
2
61
12 1
x
A
x
+
=
+
Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
22
32
2
x xy
A
x xy y
+
=
++
Bài 92: Cho
0x
, Tìm GTNN của :
( )
2
2 17
21
xx
Q
x
++
=
+
Bài 93: Tìm GTNN của :
2
2
2 6 6
45
xx
B
xx
++
=
++
Bài 94: Tìm GTNN của :
2
2
1
1
x
C
xx
+
=
−+
Bài 95: Tìm GTLN của:
2
2
5 21
3
x
B
x
+
=
+
Bài 96: Tìm GTLN của:
2
2
2 4 5
22
xx
C
xx
−+
=
−+
Bài 97: Tìm GTLN của:
2
2
3 6 10
23
xx
D
xx
++
=
++
10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN
Bài 1: Tìm min của:
22
3A x y=+
biết :
31xy+=
HD:
( )
2
2
1 3 3 1 3y x A x x= − = = + −
=
22
12 6 1xx−+
Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn:
2 3 13xy+=
, tìm GTNN của
22
Q x y=+
Bài 2: Tìm min của:
A xy=
biết
31xy+=
HD:
( )
2
1 3 1 3 3y x A x x x x= − = = − = − +
Bài 3: Tìm min của:
33
A a b ab= − −
biết: a – b =1
HD:
( ) ( )
3
3
1 1 1a b A b b b b= + = = + − − +
=
2
2 2 1bb++
Bài 4: Tìm max của:
.B ab=
biết:
3 5 12ab+=
HD:
Từ gt ta có:
12 5
3
b
a
−
=
, thay vào
2
12 5 5 12
3 3 3
b
B b b b
−−

= = +


Bài 5: Tìm min của:
33
C x y xy= + +
biết:
1xy+=
HD:
Từ gt=>
1yx=−
thay vào C ta được:
( )
3
32
1 2 2 1C x x xy x x= + − + = − +
Bài 6: Tìm min của:
22
2D x y=+
biết:
21xy+=
HD:
Từ gt=>
12xy=−
thay vào
( )
2
2
1 2 2D y y= − +
Bài 7: Tìm min của:
22
25E x y=+
biết:
4 3 7xy−=
HD:
Từ gt=>
47
3
x
y
−
=
thay vào E
Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của:
22
A x y=+
Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của:
3B xy=−
Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của
11
11P
ab
= − −
Bài 10: Tìm min của:
22
11
11F
ab
= + + +
, biết: a+b=1 và a,b >0
HD:
Ta có:
2 2 2 2
1 1 2 2
a b a b b a
a b a b
++
+ + + = + + +
=
22
22
84
a b a b
b a b a


+ + + +




8 4.2 2 18 + + =
Bài 11: Cho x,y thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
, Tìm max của: A= x.y
HD:
Từ gt ta có :
2
22
2
1
4 2 2
4
y
x x xy xy
x


= + − + + − + +




=>
22
1
42
2
y
x x xy
x
= − + − + +
=>
2 4 2xy xy+ =
11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 12: Cho hai số thực a,b
0, thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
b
a
a
+ + =
, Tìm min, max của:
2017S ab=+
HD:
Từ gt ta có :
22
2
22
2
11
4 2 2 2
42
bb
a a ab ab a a ab
aa

= + − + + − + + = − + − + +


=>
2 4 2017 2019 2019ab ab S+ = + =
Mặt khác :
22
2
22
2
11
4 2 2 2
42
bb
a a ab ab a a ab
aa

= + − + + + − + = − + − − +


=>
2 4 2 2017 2015ab ab ab− + = − = +
=>
2015S
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn:
2
2
2
8
8
8
y
x
x
+ + =
, Tìm min, max của:
2024A xy=+
HD:
Từ gt ta có :
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
8 16 16
8 16 2 8 8
8 4 4
y y y
x x x x xy xy
x x x


= + + = = + + = + − + + + − +




=>
22
4
8 8 8 16 8 2024 2016
2
y
x x xy xy xy A xy
x
= − + + − + = − + = − = = +
Mặt khác :
22
2
22
2
16 4
16 8 8 8
42
yy
x x xy xy x x xy
xx

= + − + + − + + = − + − + −


=>
8 16 8 2024 2032xy xy S xy− = = = +
Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
, Tìm max, min của
A xy=
Bài 15: Cho x,y
R khác 0 biết:
22
2
1
84
4
xy
x
+ + =
, Tìm x,y để
.B x y=
đạt min và đạt max
HD:
Ta có :
( )
2 2 2 2 2
22
11
4 8 4 2 4 4 4 2
44
x y x x y xy xy
xx

= + + = + − + + − + +


4 =
( )
2
2
11
2 2 4 2 4 2 4
22
x x y xy xy B xy
x

− + − + + = + = =


Mặt khác :
( )
2
2
11
4 2 2 4 2 4 2 4
22
x x y xy xy B xy
x
−

= − + + − + = − + = =


Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
. Tìm min của:
P xy=
Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của:
( )( )
22
4 3 4 3 25A x y y x xy= + + +
HD:
Ta có :
( )
2 3 3 2 2 3 3
16( ) 12 12 9 25 6 12 34A xy x y xy xy x y x y xy= + + + + = + + +
Vì x+y =1 nên
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
3 1 3x y x y x xy y x y xy xy+ = + − + = + − = −
, thay vào A
( )
22
6 12 1 3 34A x y xy xy= + − +
, Đặt xy=t khi đó :
2
6 2 12A t t= − +
Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
1xy+=
Tìm min của biểu thức:
( )( )
22
4 4 8C x y y x xy= + + +
Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của:
22
2A x y=+
HD:
12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Từ gt ta có :
32xy=−
thay vào
( )
2
22
3 2 2 6 12 9A y y y y= − + = − +
Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:
22
4x y xy+ − =
, Tìm min và max của:
22
A x y=+
HD:
Ta có :
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 8 8x y xy x y xy x y x y+ − = = + − = = − + + =
=>
22
8xy+
hay
8A
mặt khác :
( )
2
2 2 2 2 2 2
8 2 2 2 2 2 8 2 3 3 8x y xy x y xy x y x y= + − = + = + = + = + +
8
=>
22
8
3
xy+
hay
8
3
A
Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của:
33
2A x y xy= + +
HD:
Từ gt ta có :
2yx=−
thay vào A ta được :
( ) ( )
3
3
2 2 2A x x x x= + − + −
Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn:
40xy+ + =
, Tìm max của:
( ) ( )
3 3 2 2
2 3 10A x y x y xy= + + + +
HD:
Ta có : x+y= - 4, nên
( ) ( )
3
33
3 64 12x y x y xy x y xy+ = + − + = − +
,
( )
2
22
2 16 2x y x y xy xy+ = + − = −
thay vào
( ) ( )
2 64 12 3 16 2 10A xy xy xy= − + + − +
Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
1xy+=
, Tìm GTNN của
( )( )
22
4 4 8C x y y x xy= + + +
Bài 22: Cho x, y, z
R, thỏa mãn:
2 2 4x y z+ + =
, Tìm max của:
2A xy yz zx= + +
HD:
Từ giả thiết=>
4 2 2z x y= − −
thay vào A ta được :
( ) ( )
22
2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4A xy y x y x x y x y xy x y= + − − + − − = − − − + +
Bài 23: Cho x,y,z
R thỏa mãn:
6x y z+ + =
. Tìm max của:
23A xy yz zx= + +
HD:
Từ gt =>
6z x y= − −
thay vào
( ) ( )
2 6 3 6A xy y x y x x y= + − − + − −
Bài 24: Cho x,y
R thỏa mãn:
( )
22
2 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
, Tìm min và max của:
3S x y= + +
HD:
Từ gt ta có :
22
2 7 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
=>
( )
2
2
22
27
2 7 (2 7)
2 2 7 10 0
2 4 4
y
yy
x x y y
+
++

+ + + + + − =


=>
2
2
79
0
24
x y y

+ + + − =


=>
3 7 3
52
2 2 2
x y x y− + + = − + −
=>
2 3 1xy− + +
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn:
2
22
3
1
2
m
n np p+ + = −
, Tìm min, max của:
A m n p= + +
HD:
Từ gt ta có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2n np p m m n p np+ + = − = + + + =
=>
( )
2 2 2 2 2 2
( 2 2 2 ) 2 2 2 2m n p mn np mp m n p mn mp+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
2m n p m p m n+ + + − + −
=>
22m n p− + +
Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
, Tìm min, max của:
2P x y z= + +
HD:
13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Ta có :
( )
2
2 2 2 2
2 4 2 4 4P x y z x y z xy yz xz= + + = + + + + +
, nên ta nhân 6 vào gt :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
18 6 6 6 4 2 4 4 5 5 2 2 4 4x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx= + + = + + + + + + + + − − −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
18 2 2 2x y z x y x z y z= + + + − + − + −
=>
( )
2
2 18x y z+ +
18 2 18x y z− + +
Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
2 2 2
3
2 2 4 3 2
2
m n p mn mp np+ + + + + =
, Tìm min max
của:
B m n p= + +
HD:
Từ gt ta có :
2 2 2
4 4 8 6 2 4 3m n p mn mp np+ + + + + =
=>
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 5 4 2 3m n p mn mp np m n p mp np+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3m n p p m n p+ + + − + − =
=>
( )
2
3 3 1 1m n p m n p+ + = − + +
Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn:
3x y z+ + =
, Tìm min max của:
A xy yz zx= + +
HD:
Từ gt=>
3z x y= − −
thay vào
( ) ( )
33A xy y x y x x y= + − − + − −
=
22
33x y xy x y− − + +
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của:
34B xy yz zx= − + +
HD:
Từ gt ta có :
3z x y= − −
=>
( ) ( )
3 3 4 3B xy y x y x x y= − + − − + − −
=>B=
22
4 3 16 9 12x y xy y x− − − + +
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 3 4x y z+ − =
, Tìm min max của
A xy yz zx= − + +
HD:
Từ gt=>
2 3 4z x y= + −
thay vào
( ) ( )
2 3 4 2 3 4A xy y x y x x y= − + + − + + −
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 3 4x y z+ − =
, Tìm min max của:
12 3 4B xy yz zx= − −
HD:
Từ gt ta có :
2 3 4z x y= + −
thay vào
( ) ( )
12 3 2 3 4 4 2 3 4B xy y x y x x y= − + − − + −
Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
2xy+ = −
, tìm min của:
( )
33
2 15 7A x y xy= + − +
HD:
Từ x + y= -2, ta có :
( ) ( )
3
33
3 8 6x y x y xy x y xy+ = + − + = − +
thay vào
( )
2 8 6 15 7 3 9A xy xy xy= − + − + = − −
và y= - 2 - x thay vào
( )
3 2 9A x x= − − − −
Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
2xy+ = −
, Tìm min của
( )
4 4 3 3 2 2 2 2
2 2 13B x y x y x y xy x y xy= + − − + + + +
HD:
( )
4 4 3 3 2 2 2 2
2 2 13B x y x y x y xy x y xy= + − − + + + +
Từ x+y= - 2, ta có:
( ) ( )
2
22
4 4 2 2 2 2
2 2 4 2 2x y x y xy x y xy x y

+ = + − − = − −

33
68x y xy+ = −
,
22
42x y xy+ = −
, Thay vào b ta được :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
4 2 2 6 8 2 2 4 2 13B xy x y xy x y xy xy xy= − − − − + + − +
24B xy= − +
, thay
2
22y x B x x= − − = = +
Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
5xy+=
, Tìm max của:
( )
3 3 2 2
82A x y x y xy= + − + + +
HD:
14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Vì
5xy+=
nên
33
125 15x y xy+ = −
và
22
25 2x y xy+ = −
thay vào
( )
125 15 8 25 2 2A xy xy xy= − − − + +
Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của:
( ) ( )
4 4 3 3 2 2 2 2
4 20 2B x y x y x y x y xy= + − + − + − +
HD:
( ) ( )
4 4 3 3 2 2 2 2
4 20 2B x y x y x y x y xy= + − + − + − +
Vì x+y=5 nên
( )
2
4 4 2 2
25 2 2x y xy x y+ = − −
,
33
125 15x y xy+ = −
,
22
25 2x y xy+ = −
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
25 2 2 4 125 15 20 25 2 2B xy x y xy xy x y xy= − − − − − − − +
Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn:
( )
44
7 3 2x y xy xy+ − = −
, Tìm min max của:
P xy=
HD:
Từ gt=>
4 4 2 2
3 2 7x y xy x y+ − + =
=>
( ) ( )
2
2
4 2 2 4 2 2 2 2
3 121
2 4 3 7 2
4 16
x x y y x y xy x y xy

− + + − = = − + − =


=>
2
3 121
2
4 16
xy

−


Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn:
22
7 9 12 4 6 15 0x y xy x y+ + − − − =
, Tìm min max của:
2 3 5A x y= + +
HD:
Từ gt=>
( ) ( )
22
2
2 3 2.2 .3 2.2 2.3 1 3 16x y x y x y x+ + − − + + =
=>
( )
2
2
2 3 1 3 16x y x+ + + =
Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
2 2 2
3 2 5 4 2 2 5x y z xy xz yz+ + + − + =
, Tìm min max của:
P x y=+
HD:
Từ gt ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 5 2 2 2 5x y xy x y z xy xz yz+ + + + + + − + =
=>
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2 2 2 4 4 5x y x y z xy yz zx z xz x+ + + + + + + + − + =
=>
( )
2
5 5 5x y x y+ = − +
Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn:
3 2 1x y z+ + =
. Tìm min max của:
2 2 2
p x y z= + +
HD:
Từ gt ta có:
1 3 2y x z= − −
=>
2 2 2
1 9 4 6 12 4y x z x xz z= + + − + −
khi đó :
22
10 5 12 6 4 1P x z xz x z= + + − − +
Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của:
234A xy yz zx= + +
HD:
Từ gt =>
1z x y= − −
thay vào
( ) ( )
2 3 1 4 1A xy y x y x x y= + − − + − −
Bài 41: Cho x, y
R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y
HD:
Từ gt=>
12xy=−
thay vào
( )
12P y y=−
Bài 42: Cho x,y
R
+
thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của:
11
A
xy
=+
HD:
Ta có :
1 1 4 4 2
10 5x y x y
+ = =
+
Bài 43: Cho x,y
0, x+y=1, Tìm min, max của:
22
A x y=+
HD:
Từ gt=>
1yx=−
thay vào
( )
2
2
1A x x= + −
15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 44: Tìm min max của:
P x y z= + +
, biết:
2 2 2
3
1
2
y z yz x+ + = −
HD:
Từ gt =>
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2y z yz x x y z yz+ + = − = + + + =
=>
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2x y z xy yz zx x y z xy zx+ + + + + + + + − − =
=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
22x y z x y x z x y z+ + + − + − = = + +
Bài 45: Cho
22
3 2 10 14 18 0x y xy x y+ + − − + =
, Tìm min, max của:
S x y=+
HD:
Từ gt=>
( ) ( )
2
2 2 2
2 5 5 3 14 18 10 25 0x x y y y y y y+ − + − + − + − + − =
=>
( )
( )
( )
22
2
5 2 2 1 9 5 9x y y y x y+ − + − + = = + −
=>
3 5 3xy− + −
Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c
HD:
Cộng theo vế giả thiết ta được :
( )
3 3 5 72 3 72 2 72a c b a b c b+ + = = + + = −
Do
72
0 24
3
b a b c = + + =
Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho
( )( )( )
a b b c c a a b c− − − = + +
a, CMR:
2a b c++
b, Tìm GTNN của
P a b c= + +
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min
2 3 4E a b c= + −
HD:
Cộng theo vế ta được :
4
43
3
2
3 2 2
3
c
ac
ab
bc
c
=−
+ = = =

=−
do
0
0
a
b
Khi đó:
( ) ( )
2 4 3 3 3 2 4 2E c c c c= − + − − = −
Bài 48: Cho
, , 0,2 7 2014,3 5 3031x y z x y x z + = + =
, Tìm GTLN của biểu thức :
A x y z= + +
HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
5 5 5 5045 2 5045x y z y+ + = −
do
0y
nên
( )
5 5045 1009x y z x y z+ + = + +
Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR:
2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
abc
a b b c c a
++
+ + +
++
Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn:
6x y z xy yz zx+ + + + + =
, tìm min của:
2 2 2
A x y z= + +
HD:
Ta có:
12 2 2 2 2 2 2x y z xy yz zx= + + + + +
MÀ
2
21xx+
,
2
21yy+
,
2
21zz+
,
22
2xy x y+
,
22
2yz y z+
,
22
2zx z x+
nên
( )
2 2 2 2 2 2
12 3 3 3x y z x y z + + + = + +
Bài 51: Cho
2 2 2
27,x y z+ +
Tìm max
A x y z xy yz zx= + + + + +
16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
HD:
Ta có :
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 27 81x y z x y z xy yz zx x y z z y x+ + = + + + + + + + + + + +
=>
( )
9x y z+ +
, mặt khác
2 2 2 2 2 2
27
2 2 2
x y y z z x
xy yz zx
+ + +
+ + + + =
Khi
9 29 36A + =
, dấu ‘=’ khi x = y = z = 3
Bài 52: Cho
8xy yz zx++=
, Tìm min của:
4 4 4
A x y z= + +
HD:
Ta có:
( )
( )( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
64 xy yz zx x y z x y z x y z= + + + + + + = + +
( ) ( )( )
2
2 2 2 4 4 4 2 2 2
64 1 1 1x y z x y z + + + + + +
=>
64
3
A
, min
64
3
A =
Bài 53: Cho
2x
,
3xy+
, tìm min của:
22
11
P x y
x x y
= + + +
+
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn:
3ab bc ca+ + =
, Tìm min của:
2 2 2
19 3 19 3 19 3
1 1 1
abc
A
b c a
+ + +
= + +
+ + +
HD:
19 3 19 3 19 3 19 3 1 1 1
2 2 2 2 2
a b c a b c
A
b c a b c a a b c
+ + +
+ + = + + + + +
19 3 1 57 9
3. .3
2 2 2 2abc
+ +
Vì
( )
2
3
3 3 1ab bc ca abc abc= + + =
Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn:
3abc+ + =
, CMR:
2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
a b c
b c a
+ + +
+ +
+ + +
Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của:
2 2 2 2
A a b c d= + + +
HD:
Dự đoán dấu “=”
9
4
a b c d= = = =
, nên xét
2
2
9 9 81
00
4 2 16
a a a

− = − +


2 2 2
9 81 9 81 9 81
0, 0, 0
2 16 2 16 2 16
b b c c d d− + − + − +
=>
( )
2 2 2 2
9 81
0
24
a b c d a b c d+ + + − + + + +
=>
81
4
A
dấu bằng xảy ra khi
9
4
a b c d= = = =
Bài 57: Cho
2ab+=
,Tìm max của:
( )
22
A ab a b=+
HD:
Ta có:
( )
2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 4a b a b ab A ab ab a b ab+ = = + = − = = − = − +
( )
22
2 1 2 2A a b ab= − − + +
, Max
2A=
Bài 58: Cho
1x y z+ + =
, Tìm min của:
A x y z= + +
HD:
Đặt
( )
2
0x a t x t= = =
,
,y b z c==
=>
2 2 2
A a b c= + +
và
1abc+ + =
Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn:
1ab+
, Tìm min của:
11
P a b
ab
= + + +
HD:
Điểm rơi:
11
24
2
a b a
a
= = = = =
,=>
( ) ( )
11
4 4 3 4 4 3P a b a b a b
ab
= + + + − + + − +
mà
( ) ( )
1 3 3 3 3a b a b a b+ = + = − + −
=>
8 3 5P −=
Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn:
1ab+
, Tìm min của:
3 3 2 2
1 1 1
A
a b a b ab
= + +
+
17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
HD:
Điểm rơi
3 3 2 3 3 2
1 1 1 1 1
4, 8
22
ab
a b a b a b a b
= = = = = = =
++
Khi đó:
( )
5
3 3 2 2 2 2
3 3 4 6 6
1 1 1 1 1 1
5
2 2 2 2
2
A
a b a b a b ab ab
a b a b
= + + + +
+
+
Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn:
4xy+=
, tìm min của:
22
33
P x y
xy
= + +
HD :
Điểm rơi:
2xy==
khi đó:
33
2P xy
xy
+
, nên
2 8 32
4
k
xy k= = = =
khi đó:
32 1 1
2 2 64P xy
xy xy xy
= + + +
, Mà:
( )
2
1 4 1 1
2.8
44
P
xy
xy
= = +
+
Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn:
4a b c d+ + + =
, Tìm min của:
( ) ( )
22
22
1 1 1 1
11
11
M
cd
ab
= + + +
++
++
Bài 63: Cho x,y thỏa mãn:
( )( )
11 6 2015 3 0x y x y+ + − + =
, Tìm min của:
5 2016P xy x= − +
HD:
Từ gt ta có :
11 6 2015 0xy+ + =
hoặc
30xy− + =
TH1: Ta có :
11 2015
11 6 2015 0
6
x
x y y
+
+ + = = =
thay vào P
TH2: ta có:
3 0 3x y y x− + = = = +
thay vào P
Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của:
2 2 2
111
A
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
( )
22
42c b a b c+ +
, Tìm min của:
3 4 5
S
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn:
2 2 2
3abc+ + =
, Tìm min
( )
1 1 1
2P a b c
abc

= + + + + +


Bài 67: Cho
2 2 2
1x y z+ + =
, tìm min của:
2F xy yz zx= + +
Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn:
1abc+ + =
, tìm min của:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4
ab bc ca
S
a b b c c a a b c

= + + + + +

+ + +

HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
3
44
ab bc ca a b b c a c
S
a b b c c a
a b b c c a a b c b a c b c a
b a c b a c
= + + + + + = + + + + + + + + +
+ + +
+++
1 1 1 3 3 15
111
4 4 4 4 4 4
x y z
S
x y z

= + + + + + + + + + =


, dấu “=” khi
2 2 2
4, 4, 4x y z= = =
Vì đặt
ab
x
ba
+=
18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 69: Cho
( )( )
22
2 6 12 24 3 18 36P xy x y x x y y= − + + − + + +
, CMR P luôn dương với mọi x,y
R
Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn:
...xy+
, Tìm min của:
2
2
12
1
5
Py
x xy
= + + +
Bài 71: Tìm min
( ) ( )
10 10
2
16 16 2 2
22
11
1
24
xy
A x y x y
yx

= + + + − +


Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
3x y z+ + =
, Tìm GTLN của :
B xy yz zx= + +
HD:
Ta có :
( ) ( ) ( )
3B xy z x y xy x y x y= + + = + − + +


=
( ) ( )
2
22
3 3 3xy x y x y x y xy x y+ + − + = − − − + +
=
( )
2
2
33
1 3 3
24
y
xy
−−

− + + − +


Bài 73: Cho
,,x y z
>0 Tìm GTNN của:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y z
A
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
HD :
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
x y z
A
x y z y z x x y z
+ + =
+ + + + + +
dấu bằng khi
2 2 2 2 2 2
2 ,2 ,2yz y z zx x z xy x y= + = + = +
hay x=y=z
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn:
22
2 2 2 6 5 0x xy y x y− + − + + =
,
Tính giá trị của biểu thức:
2
31
4
xy
P
xy
−
=
Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn :
3x y z+ + =
, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
x y y z y z z x z x x y
P
z x x y y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Bài 76 : Cho
22
35x xy y+ + =
, Tìm Min hoặc max của biểu thức :
22
22P x xy y= − +
HD :
Ta có :
22
22
22
53
P x xy y
x xy y
−+
=
++
Bài 77 : Cho
2, 3x x y +
, y > 0 , Tìm Min của
22
11
P x y
x x y
= + + +
+
HD :
Ta có :
22
1 1 4 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4
P x y
x y x y x y x y x x y
+ = + = + + + +
++
22
51
44
P x y
xy


+ + +




, Điểm rơi cosi :
2
3
x
xy
=
+=
Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của:
2
3
1
x
S
x
+
=
+
Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
2 1 1
b a c
=+
, Tìm GTNN của:
22
a b c b
P
a b c b
++
==
−−
19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ là:
+
( )
2
0ab−
dấu “=” khi a=b
+
2a b ab+
+
2
ab
ba
+
Bài 1: Tìm min của biểu thức:
( )
21
01
1
Ax
xx
= +
−
HD:
Tách
2 2 2 1 2 1 2 1
3 3 2 . 3 2 2
1 1 1
x x x x x x x x
A
x x x x x x
− + − + − −
= + = + + + = +
− − −
Dấu ‘’ = ’’ khi
21
21
1
xx
x
xx
−
= = = −
−
Bài 2: Tìm min của biểu thức:
2
1
2
x
B
x
+
=
+
với
0x
HD:
Tách
2
4 5 5 5
2 2 4 2 5 4
2 2 2
x
A x x
x x x
−+
= = − + = + + − −
+ + +
Dấu ‘’=’’ khi
5
2 2 5
2
xx
x
+ = = + =
+
Bài 3: Tìm min của:
2
2
1
1
xx
A
xx
−+
=
++
với x > 0
HD:
Tách
2
22
1 2 2 2
11
1
11
1
x x x x
A
x x x x
x
x
+ + −
= = − = −
+ + + +
++
, mà
1 2 2
2
1
3
1
x
x
x
x
+ =
++
Bài 4: Tìm min của:
2
2
1
21
xx
A
xx
++
=
++
Bài 5: Tìm min của:
2
44xx
B
x
++
=
với
0x
HD:
Ta có:
4
4 4 4 8Bx
x
= + + + =
, dấu bằng xảy ra khi
4
2xx
x
= = =
Bài 6: Tìm min của:
2
1
x
C
x
=
−
với x >1
HD:
Ta có:
2
1 1 1 1
1 1 2 2 2
1 1 1
x
C x x
x x x
−+
= = + + = − + + +
− − −
, Dấu bằng khi
1
12
1
xx
x
− = = =
−
Bài 7: Tìm min của:
( )
1
11Bx
x

= + +


với x > 0
HD:
Tách
1
1 1 2 2Bx
x
= + + + +
, dấu bằng xảy ra khi
1
1xx
x
= = =
20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 8: Tìm min của:
( )
2
2
2
12
1
x
Ax
x

= + + +

+

với
1x −
HD:
Tách
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
2
11
1 1 2 1 2 2 2 2
1
1
A x x x
x
x

= + + + + = + + + +

+
+

Dấu bằng khi
( )
( )
( )
24
4
2
1 1 1
2 1 1 1
22
1
x x x
x
+ = = + = = + =
+
Bài 9: Tìm min của:
2
2
1
21
xx
A
xx
−+
=
−+
Bài 10: Tìm min của:
5
1
x
B
xx
=+
−
với 0 < x < 1
HD:
Ta có:
( )
51
5 5 5
5 2 5 5
11
x
x x x x
B
x x x x
−
−+
= + = + + +
−−
, dấu bằng khi
( )
51
1
x
x
xx
−
=
−
Bài 11: Tìm min của:
2
21
x
C
x
=+
−
(x > 1)
HD:
1 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2
xx
C
xx
− + −
= + = + + +
−−
, Dấu bằng khi
12
21
x
x
−
=
−
Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của:
2
2
x y x y
P
y x y x
= + − + −
HD:
Đặt
2
2
19
2
24
xy
t P t t t
yx

+ = = = − − = − −


, mà
2
19
2 2 0
24
tP

= − − =


Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của:
( )( )
x a x b
A
x
++
=
với x > 0
HD:
Ta có:
( )
2
2
2
x ax bx ab ab
B a b x a b ab a b
xx
+ + +

= = + + + + + = +


Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho
1
ab
xy
+=
, Tìm x,y để
S x y=+
đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có
( )
2
a b bx ay
S x y a b a b ab
x y y x

= + + = + + + + +


, min
( )
2
S a b=+
Dấu bằng khi
ay bx
xy
=
mà
1,
ab
x a ab y b ab
xy
+ = = = + = +
Bài 15: Tìm min của:
21
1
A
xx
=+
−
với
01x
HD:
Ta có:
2 2 2 1 2 1
3 3 2 2
11
x x x x x x
A
x x x x
− + − + −
= + = + + +
−−
, dấu bằng khi
21
1
xx
xx
−
=
−
21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD:
Đặt
,,x b c y c a z a c= + = + = +
=>
,,
2 2 2
y z x x z y x y z
abc
+ − + − + −
= = =
, thay vào VT
Ta được:
1 1 1 3 6
y z x z x y x y z x z y
x x y y z z y x x z y z
+ − + + − + + − = + + + + +
Bài 17: Cho 0<x<1, Tìm min của:
4
1
x
B
xx
=+
−
HD:
Ta có:
( )
41
4 4 4
4 4 4
11
x
x x x x
B
x x x x
−
−+
= + = + + +
−−
, dấu bằng khi
( )
41
1
x
x
xx
−
=
−
Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min
A xy=
HD:
Từ gt ta có:
11yx=−
, thay vào
( )
2
11 11A x x x x= − = − +
Bài 19: Cho
*
,x y Z
+
, Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của:
B xy=
HD:
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
22
22
4
4
x y x y
x y x y xy xy
+ − −
+ − − = = =
,
để xy lớn nhất thì
( )
2
xy−
nhỏ nhất, do x,y
Z
mà x+y=2016 và x # y=>
( )
2
1xy−
=>
2
2016 1
1005006
44
xy − =
=> Max B
Để xy nhỏ nhất thì
( )
2
xy+
lớn nhất, mà
,x y z
, Giả sử : x < y=>
1 , 2016xy
( )
2
22
1 2014xy= −
=>
22
2016 2014
2015
4
xy
−
= =
Min B
Bài 20: Tìm min của:
2
2
11
A x y
xy


= + + +




biết: x,y>0 và x+ y =1
HD:
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 4 1 4
xy
A x y x y x y
x y x y x y


+
= + + + + = + + + = + + +




Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
1
21
2
x y x y x y+ + = = +
, và
22
1
2 1 2 16x y xy xy
xy
+ = =
Khi đó :
( )
1 25
. 1 16 4
22
A + + =
Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của :
2 2 2
1 1 1
B a b c
a b c
= + + + + +
HD:
Ta có :
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
6B a b c
abc

= + + + + + +


, Từ
1 abc= + +
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1
13
3
a b c a b c a b c= + + + + = + +
và
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3
a b c a b c
+ + + +
mà
( )
1 1 1 1 1 1
99abc
a b c a b c

+ + + + = + +


=>
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 81 27
a b c a b c

+ + = + +


22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Vậy
1
27 6
3
B + +
Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của:
b c c a a b a b c
A
a b c b c c a a b
+ + +

= + + + + +

+ + +

Bài 22: Cho x,y,z
0
, Thỏa mãn:
1 1 1 1
4x y z
+ + =
, CMR:
111
1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn:
6a b c ab bc ca+ + + + + =
, Tìm min của:
3 3 3
abc
A
b c a
= + +
Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của:
2
2
11
A x y
xy


= + + +




Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của:
( )
22
2 12x y xy
A
xy
++
=
+
HD:
Ta có :
( )
( )
2
2
2 2 12
28
1
2
x y xy xy
x y xy
A x y
x y x y x y

+ − +
++


= = = + +

+ + +

, Co si
1
2xy
xy
+ +
+
=>
4A
dấu bằng khi
,0
1
1
2
41
xy
x y x y
xy
+ = = = =
=
Bài 26: Cho x,y>0 và
( )
( )
3 3 2 2
3 4 4 0x y x y x y+ + + + + + =
, Tìm min của:
11
A
xy
=+
HD:
Gt=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
1 1 2 0 2 1 1 1 1 1 0x y x y x y x x y y

+ + + + + + = = + + + − + + + + + =

Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0
Mặt khác :
1 1 2xy
x y xy xy
+−
+ = =
, mà
( )
2
12
4 4 4 1 2x y xy xy
xy xy
−
+ = = = −
Bài 27: Tìm min của:
22
22
35
x y x y
y x y x

+ − + +


Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện
1
1a
b
+
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ab
S
ba
=+
| 1/22
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN
Bài 1: Tìm GTNN của: A = x(x − )
3 (x − 4)( x − 7)
Bài 2: Tìm GTNN của: B = ( x − )( x − )( 2 1 3 x − 4x + 5)
Bài 3: Tìm min của: A = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) +8
Bài 4: Tìm GTNN của: B = (x + ) 1 ( x + 2)(x + ) 3 (x + 4)
Bài 5: Tìm GTNN của: A = ( 2 x + x − )( 2 6 x + x + 2)
Bài 6: Tìm GTNN của : C = (x − ) 1 (x + 2)(x + ) 3 (x + 6)
Bài 7: Tìm GTNN của: D = (2x − )
1 ( x + 2)( x + ) 3 (2x + ) 1
Bài 8: Tìm min của: C = (x + ) 1 ( x + 2)(x + ) 3 (x + 4) + 2011
Bài 9: Tìm max của: E = 5 + (1− x)(x + 2)(x + ) 3 (x + 6)
Bài 10: Tìm GTNN của: M = ( x − )
1 ( x + 2)( x + ) 3 ( x + 6)
Bài 11: Tìm min của: D = ( x + )( 2
1 x − 4)(x + 5) + 2014
Bài 12: Tìm min của: B = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d ) + m với a+d = b+c Bài 13: Tìm GTNN của: 4 3 2
C = x − 6x +10x − 6x + 9 HD: C = ( x −
x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − x)2 + ( x − )2 4 2 2 2 2 2.3 . 9 6 9 3 3  0 Bài 14: Tìm GTNN của: 4 3 2
C = x − 4x + 9x − 20x + 22 HD: C = ( 4 3 2
x − x + x ) + ( 2 4 4
5 x − 4x + 4) + 2 Bài 15: Tìm GTNN của: 4 2
B = x − x + 2x + 7 HD: B = ( 4 2
x − x + ) + ( 2 2 1 x + 2x + ) 1 + 5
Bài 16: Tìm GTNN của: D = ( x + )4 + ( x + )4 8 6 HD:
Đặt: x + = y = D = ( y + )4 + ( y − )4 4 2 7 1 1
= 2y +12y + 2  2 Bài 17: Tìm GTNN của : 2
A = 9x − 6x − 4 3x −1 + 6 HD: Đặt: 2 2 2
3x −1 = t = t = 9x − 6x +1 = E = t − 4t + 5 2 2
Bài 18: Tìm GTLN của: A = (2x + )
1 − (3x − 2) + x −11
Bài 19: Tìm min của: A = ( x + )4 + ( x − )4 2 2 Bài 20: Tìm min của: 2 2
A = x + 4y − 4x + 32y + 2018 Bài 21: Tìm min của: 2 2
A = 3x + y + 4x − y Bài 22: Tìm min của: 2 2
B = 5x + y + 2xy −12x −18 Bài 24: Tìm max của: 2 2 B = 3
− x −16y −8xy +5x+2 Bài 25: Tìm min của: 2 2
A = 3x + 4y + 4xy + 2x − 4y + 26 Bài 26: Tìm min của: 2 2
5x +9y −12xy + 24x − 48y +82 1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 27: Tìm max của: 2 2
A = −x − y + xy + 2x + 2y
Bài 28: Tìm min của: A = ( x − )2 + ( x − )2 3 1
Bài 29: Tìm min của: B = ( x + )2 + ( x + )2 − ( x + )2 2 1 3 2 4 3
Bài 30: Tìm max của: F = − ( x + )4 − ( x − )4 2 3 1 3 5
Bài 31: Tìm min của: G = ( x + )4 + ( x − )4 3 7 Bài 32: Tìm min của: 4 2
H = x − 7x + 4x + 25 Bài 33: Tìm min của: 4 3 2
I = x − 6x +11x +12x + 20 Bài 34: Tìm min của: 4 3 2
K = x − 6x +15x − 20x −15 Bài 35: Tìm min của: 4 3 2
M = x − 4x + 7x −12x −18 Bài 36: Tìm max của : 2 2
N = −x − 4y + 6x −8y + 3 Bài 37: Tìm max của: 2 2 P = 3
− x −5y +2x+7y −23 Bài 38: Tìm max cảu: 2 2
Q = −x −5y + 4xy +12y + 7 Bài 39: Tìm max cảu: 2 2
Q = −x −5y + 4xy +12y + 7 Bài 40: Tìm max của: 2 2 R = 7
− x −4y −8xy +18x+9 Bài 41: Tìm max của: 2 2
A = 5− 2x − 4y + 4xy −8x −12y Bài 42: Tìm max của: 2 2
B = 2 −5x − y − 4xy + 2x Bài 43: Tìm min của: 2 2
C = a + ab + b − 3x − 3b +1989
Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( x + )( x + )2 1
2 ( x + 3)  m Bài 45: Tìm GTNN của: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 HD: 2 2 Ta có: 2 2 2
A = x − 2xy + y + y − 4y + 4 +1 = (x − y) + (y − 2) +1 2 2 2 2
Do: ( x − y)  0,( y − 2)  0 , Nên A = ( x − y) + (y − 2) +1  1 Bài 46: Tìm min của: 2 2
B = 2x + y + 2xy −8x + 2028
Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức: 4 3
A = a − 2a − 4a + 5 HD: 2 A = a ( 2 a + ) − a( 2 a + ) + ( 2 2 2 2 a + 2) + 3 = ( 2 a + )( 2 2 a − 2a + )
1 + 3  3 dấu bằng khi a=1
Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2
A = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 Bài 49: Tìm Min của: 2
P = 5x − 6x −1 −1 2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm GTNN của: 2 2
A = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 Bài 2: Tìm min của: 2 2
B = x − xy + y − 2x − 2y Bài 3: Tìm min của: 2 2
C = x + xy + y −3x −3y Bài 4: Tìm min của: 2 2
D = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 Bài 5: Tìm min của: 2 2
E = x − xy + 3y − 2x −10y + 20 Bài 6: Tìm max của: 2 2
F = −x + 2xy − 4y + 2x +10y −3
Bài 7: Tìm min của: G = ( x − ay)2 + ( x − ay) 2 2 6
+ x +16y −8ay + 2x −8y +10 Bài 8: Tìm max của: 2 2
H = −x + xy − y − 2x + 4y +11 Bài 9: Tìm min của: 2 2
I = x + 4xy + 5y − 6y +11 Bài 10: Tìm min của: 2 2
K = x + y − xy + 3x + 3y + 20 Bài 11: Tìm min của: 2 2
M = x − 2xy + 2y − 2y +1 Bài 12: Tìm min của: 2 2
N = x − 2xy + 2y − x Bài 13: Tìm min của: 2 2
x − 2xy + 3y − 2x +1997 Bài 14: Tìm min của: 2 2
Q = x + 2y − 2xy + 2x −10y Bài 15: Tìm min của: 2 2
R = x + 2y + 2xy − 2y Bài 16: Tìm min của: 2 2
A = 4x + 5y − 4xy −16y + 32 Bài 17: Tìm min của: 2 2 2
B = x +5y +5z − 4xy − 4yz − 4z +12 Bài 18: Tìm min của: 2 2
C = 5x −12xy + 9y − 4x + 4 Bài 19: Tìm max của: 2 2
D = −x − y + xy + 2x + 2y Bài 20: Tìm min của: 2 2
E = x +5y − 4xy + 2y −3 Bài 21: Tìm GTNN của 2 2
A = a + ab + b − 3a − 3b + 3 HD: 2 2 Ta có: 2 2
P = a − ab + b + ( 2 4 2
3 a + bh2) + 4 + 2ab − 4a − 4b = (a − b) + 3(a + b − 2)  0 Bài 22: Tìm min của: 2 2
G = x + xy + y − 3(x + y) + 3
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + 4y + z − 2x +8y −6z +15 = 0 Bài 24: Tìm min của: 2 2
A = 2x + y − 2xy − 2x + 3 Bài 24: Tìm min của: 2 2
B = x − 2xy + 2y + 2x −10y +17 Bài 25: Tìm min của: 2 2
C = x + xy + y −3x −3y Bài 26: Tìm min của: 2 2
D = 2x + 2xy + 5y −8x − 22y Bài 27: Tìm min của: 2 2
E = 2x +9y −6xy −6x −12y + 2004 Bài 28: Tìm min của: 2 2
F = x − 2xy + 6y −12x +12y + 45
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2
a + ab + b − 3a − 3b + 3 HD:
P = a + ab + b − a − b + = P = (a − b)2 + (a + b − )2 2 2 3 3 3 4 3 2  0 Bài 30: Tìm min của: 2 2 2
A = x + 6y +14z −8yz + 6zx − 4xy Bài 31: Tìm min của: 2 2 2
B = x + 2y +3z − 2xy + 2xz − 2x − 2y −8z + 2000 3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức: 2 2 T = 2
− x − y − 4x +12y + 4xy + 2002
Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2
P = 5x + 2y − 4xy − 2x − 4y + 2023
Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2
M = x + 2xy + 2y − 2y − 2 4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức DẠNG 3: PHÂN THỨC 2
Bài 1: Tìm min của: A = 2 6x − 5 − 9x 1
Bài 2: Tìm min của: B = 2 x − 4x + 9 −3
Bài 3: Tìm max của: C = 2 x − 5x + 1 6
Bài 4: Tìm min hoặc max của: D = 2 −x + 2x − 3 2
Bài 5: Tìm min hoặc max của: K = 2 x + 8 4
Bài 6: Tìm min hoặc max của: M = 2 x + x + 1 2 3x − 8x + 6
Bài 7: Tìm min hoặc max của: E = 2 x − 2x +1 2 x − 4x +1
Bài 8: Tìm min hoặc max của: G = 2 x 2 4x − 6x +1
Bài 9: Tìm min hoặc max của: F = ( 2x + )2 1 x
Bài 10: Tìm min hoặc max của: H = ( x + )2 10 x
Bài 11: Tìm min hoặc max của: I = ( x + )2 2016 2 x − 2x + 2000
Bài 12: Tìm min hoặc max của: D = 2 x 2 x − 2x + 2015
Bài 13: Tìm min hoặc max của: E = 2 2015x x
Bài 14: Tìm min hoặc max của: F = ( x + )2 2000 2 x − x +1
Bài 15: Tìm min hoặc max của: B = ( 2 x + 2x + ) 1 2 2x + 4x + 4
Bài 16: Tìm min hoặc max của: A = 2 x 2 x − 2x + 2012
Bài 17: Tìm min hoặc max của: B = 2 x 3 − 4x
Bài 18: Tìm cả min và max của: K = 2 x + 1 27 −12x
Bài 19: Tìm min hoặc max của: M = 2 x + 9 2 3x + 4x + 8
Bài 20: Tìm min hoặc max của: N = 2 x + 3 8x + 3
Bài 21: Tìm min hoặc max của: P = 2 4x + 1 2( 2 x + x + ) 1
Bài 22: Tìm min hoặc max của: C = 2 x +1 5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 x + x +1
Bài 23: Tìm min hoặc max của: N = 2 x +1 2x +1
Bài 24: Tìm min hoặc max của: D = 2 x + 2 2x +1
Bài 25: Tìm min hoặc max của: E = 2 x 2x −1
Bài 26: Tìm min hoặc max của: F = 2 x + 2 6x − 8
Bài 27: Tìm min hoặc max của: G = 2 x + 1 2 3x − 6x +17
Bài 28: Tìm min hoặc max của: Q = 2 x − 2x + 5 2 2x −16x + 41
Bài 29: Tìm min hoặc max của: R = 2 x − 8x + 22 6 x + 27
Bài 30: Tìm min hoặc max của: A = 4 3 2
x − 3x + 6x − 9x + 9 6 x + 512
Bài 31: Tìm min hoặc max của: B = 2 x + 8 4 3 2
4x +16x + 56x + 80x + 356
Bài 32: Tìm min hoặc max của: G = 2 x + 2x + 5 2 x −1
Bài 33: Tìm min của: H = 2 x +1 8 −
Bài 34: Tìm min hoặc max của: I = 2 3x + 2 2 x
Bài 35: Tìm min hoặc max của: P = 2 x − 2x + 2010 2 2x − 6x + 5
Bài 36: Tìm min hoặc max của: Q = 2 x − 2x +1 2 2x + 4x + 4
Bài 37: Tìm min hoặc max của: A = 2 x 2x +1
Bài 38: Tìm min hoặc max của: B = 2 x + 2 2 x + 2
Bài 39: Tìm min hoặc max của: C = 2 x + x + 2 2 x + 2x + 3
Bài 40: Tìm min hoặc max của: D = 2 x − 2x + 3 2 2 x y + x ( 2 x − y ) +1
Bài 41: Tìm min hoặc max của: G = 4 4 2 2
2x + x y + y + 2 4 x +1
Bài 42: Tìm min hoặc max của: H = ( x + )2 2 1 2 3x + 4
Bài 43: Tìm min hoặc max của: A = 2 x + 4 2 3x − 2x + 3
Bài 44: Tìm min hoặc max của: C = 2 x +1 6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 3x − 6x +17
Bài 45: Tìm min hoặc max của: H = 2 x − 3x + 5 2 2x −16x + 71
Bài 46: Tìm min hoặc max của: I = 2 x − 8x + 22 2 x − 4x +1
Bài 47: Tìm min hoặc max của: K = 2 x 2 2x + 4x + 9
Bài 48: Tìm min hoặc max của: N = 2 x + 2x + 4 2 x
Bài 49: Tìm min hoặc max của: P = 4 x +1 2 3 x − 2x +1999 x
Bài 50: Tìm min hoặc max của: Q = : 2 2 2 x − 3x + 2
x − 3x + 2x 2 3x − 2x + 3
Bài 51: Tìm min hoặc max của: A = 2 x +1 6x − 8
Bài 52: Tìm min hoặc max của: B = 2 x + 1 2x +1
Bài 53: Tìm min và max của: C = 2 x + 2 2 2x + 4x + 9
Bài 54: Tìm min hoặc max của: D = 2 x + 2x + 4 8x + 3
Bài 55: Tìm min hoặc max của: E = 2 4x + 1 2 x − 2x + 2
Bài 56: Tìm min hoặc max của: F = 2 x + 2x + 2 4 x +1
Bài 57: Tìm min hoặc max của: G = ( x + )2 2 1 2 2
2x − 2xy + 9 y
Bài 58: Tìm min hoặc max của: H = 2 2
x + 2xy + 5y 4x + 3
Bài 59: Tìm min và max của: I = 2 x + 1 2(2x + ) 1 Bài 39: Tìm min P = 2 x + 2 2 x +1
Bài 60: Tìm min hoặc max của: J = 2 x − x +1 2 x + 2
Bài 61: Tìm min hoặc max của: K = 2 x + x + 2 4x +1
Bài 62: Tìm min hoặc max của: M = 2 x + 3 2 3x − 6x +14
Bài 63: Tìm min hoặc max của: N = 2 2x + 5 12x +13
Bài 64: Tìm min hoặc max của: P = 2 x + 2x + 3 2 5y − 3xy
Bài 65: Tìm min hoặc max của: Q = 2 2
x − 3xy + 4y 7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 2 x − 4 y
Bài 66: Tìm min hoặc max của: R = 2 2
3x − 4xy + 5y 2 x − 6x + 23
Bài 67: Tìm min hoặc max của: A = 2 x − 6x +10 2 y
Bài 68: Tìm min hoặc max của: B = 2 2
9x −12xy + 5y 2 3x −12x +10
Bài 69: Tìm min hoặc max của: C = 2 x − 4x + 5 2 3y
Bài 70: Tìm min hoặc max của: D = 2 2 2
− 5x + 20xy −5y 2 4x − 6x +1
Bài 71: Tìm min hoặc max của: E = ( x − 2)2 2 x + 4x −14
Bài 72: Tìm min hoặc max của: F = 2 x − 2x +1 2 4x − 6x + 3
Bài 73: Tìm min hoặc max của: G = 2 2x − 3x + 2 2 2
3x − 2xy + y
Bài 74: Tìm min hoặc max của: H = 2 2
9x − 6xy + 2 y 2 4x + 22x +19
Bài 75: Tìm min hoặc max của: I = 2 x + 4x + 4 2 9x + 30x − 7
Bài 76: Tìm min hoặc max của: K = 2 9x + 6x +1 2 2
x − 5xy + 2y
Bài 77: Tìm min hoặc max của: M = 2 2
2x −10xy + 7 y 2 2
22x − 58xy + 73y
Bài 78: Tìm min hoặc max của: N = 2 2
x − 4xy + 4 y 2 8x + 6xy
Bài 79: Tìm min hoặc max của: P = 2 2 x + y 2 x − 3x + 3
Bài 80: Tìm min hoặc max của: Q = 2 x − 2x +1 2 2
x + xy + y
Bài 81: Tìm min hoặc max của: R = 2 2
x − xy + y 2 x
Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức:
, GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x 4 2 x + x +1 HD: 2 x 1 1 Ta có : P(x) = => 2 = x + +1 3 4 2 x + x +1 2 P(x) x 2 x + x +1
Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức: M = (x  1 − ) 2 x + 2x +1 HD: 2
x + 2x +1− ( x + ) 1 +1 1 1 Ta có : M = =1− + 2 x + 2x +1 x +1 (x+ )2 1 8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 2   Đặt = t 2 1 3 3
M = t − t +1 = t − +  x +1 , ta có:  2    4 4 3(x + ) 1
Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 3 2 x + x + x +1 HD: 3(x + ) 1 3(x + ) 1 3(x + ) 1 3 Ta có: B = = = = 3 2 2
x + x + x +1 x (x + )
1 + x +1 ( 2x + ) 1 (x + ) 2 1 x +1 3 Do 2
x +1  0 = B =  3 2 x
, Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 +1 2 x − 2x + 2012
Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức : P = , với x#0 2 x 4x + 3
Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của P = 2 x + 1 4x + 3
Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của P = 2 x + 1 2 x − 3x + 3
Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = 2 x − 2x +1 2 x − 2x + 2011
Bài 89: Cho biểu thức M =
, với x>0, Tìm x để M có GTNN 2 x 6x +1
Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của: A = 2 12x +1 2 3x + 2xy
Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2 2 x + 2xy + y 2 x + 2x +17
Bài 92: Cho x  0, Tìm GTNN của : Q = 2(x + ) 1 2 2x + 6x + 6
Bài 93: Tìm GTNN của : B = 2 x + 4x + 5 2 x +1
Bài 94: Tìm GTNN của : C = 2 x − x +1 2 5x + 21
Bài 95: Tìm GTLN của: B = 2 x + 3 2 2x − 4x + 5
Bài 96: Tìm GTLN của: C = 2 x − 2x + 2 2 3x + 6x +10
Bài 97: Tìm GTLN của: D = 2 x + 2x + 3 9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Tìm min của: 2 2
A = 3x + y biết : 3x + y = 1 HD:
y = − x = A = x + ( − x)2 2 1 3 3 1 3 = 2 2 12x − 6x +1
Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: 2x + 3y = 13 , tìm GTNN của 2 2
Q = x + y
Bài 2: Tìm min của: A = xy biết 3x + y = 1 HD:
y = − x = A = x ( − x) 2 1 3 1 3 = 3 − x + x Bài 3: Tìm min của: 3 3
A = a − b − ab biết: a – b =1 HD:
a = b + = A = (b + )3 3 1
1 − b − (b + ) 1 b = 2 2b + 2b +1
Bài 4: Tìm max của: B = .
a b biết: 3a + 5b =12 HD: 12 − 5b 12 −5b  5 − 12 Từ gt ta có: a = , thay vào 2 B = b = b + b   3  3  3 3 Bài 5: Tìm min của: 3 3
C = x + y + xy biết: x + y = 1 HD:
Từ gt=> y = 1− x thay vào C ta được: C = x + ( − x)3 3 2 1
+ xy = 2x − 2x +1 Bài 6: Tìm min của: 2 2
D = x + 2y biết: x + 2y = 1 HD:
Từ gt=> x = 1− 2y thay vào D = ( − y)2 2 1 2 + 2y Bài 7: Tìm min của: 2 2
E = 2x + 5y biết: 4x − 3y = 7 HD: 4x − 7 Từ gt=> y = thay vào E 3
Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của: 2 2
A = x + y
Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: B = 3 − xy  1  1 
Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P = 1 − 1−  a  b     2 2  1   1 
Bài 10: Tìm min của: F = 1+ + 1+   
 , biết: a+b=1 và a,b >0  a   b  HD: 2 2 2 2  a + b   a + b   b   a  2 2
a b   a b  Ta có: 1+ + 1+ = 2 + + 2 +         =8 + 4 + +    +   a   b   a   b  2 2
b a   b a   8+ 4.2+ 2 =18 2 1 y Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: 2 2x + + = 4, Tìm max của: A= x.y 2 x 4 HD: 2  1   y  2 2  1   y  Từ gt ta có : 2 2 4 = x + − 2 +    x +
− xy  + xy + 2 => 4 = x − + x − + xy + 2     2  x   4   x   2 
=> xy + 2  4 = xy  2 10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 b 1
Bài 12: Cho hai số thực a,b  0, thỏa mãn: 2 2a + +
= 4 , Tìm min, max của: S = ab + 2017 2 4 a HD: 2 2 2  1   b   1   b  Từ gt ta có : 2 2 4 = a + − 2 +    a +
− ab + ab + 2 = a − + a − + ab + 2     2  a   4   a   2 
=> ab + 2  4 = ab + 2017  2019 = S  2019 2 2 2  1   b   1   b  Mặt khác : 2 2 4 = a + − 2 +    a +
+ ab − ab + 2 = a − + a − − ab + 2     2  a   4   a   2  => a
− b + 2  4 = ab  2
− = ab+ 2017  2015 => S  2015 2 8 y
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: 2 x + +
= 8, Tìm min, max của: A = xy + 2024 2 x 8 HD: 2 2 2 8 y 16 y  16   y  Từ gt ta có : 2 2 2 2 8 = x + + =16 = 2x + + = x + −8 +    x +
+ xy − xy +8 2 2 2 x 8 x 4  x   4  2 2  4   y  => 8 = x − + x +
− xy + 8 = −xy + 8 16 = xy  8
− = A = xy + 2024  2016      x   2  2 2 2  16   y   4   y  Mặt khác : 2 2 16 = x + −8 +    x +
− xy  + xy +8 = x − + x − + xy − 8     2  x   4   x   2 
=> xy − 8  16 = xy  8 = S = xy + 2024  2032 2 1 y
Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn: 2 2x + +
= 4, Tìm max, min của A = xy 2 x 4 1
Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết: 2 2 8x + y +
= 4, Tìm x,y để B = .
x y đạt min và đạt max 2 4x HD: 1  1  Ta có : 2 2 2 4 = 8x + y + = 4x + − 2 +   ( 2 2
4x + y − 4xy + 4xy + 2 2 2 ) 4x  4x  2  1  1 4 = 2x −
+ (2x − y)2 + 4xy + 2 = 4xy + 2  4 = B = xy     2x  2 2  1  1 −
Mặt khác : 4 = 2x −
+ (2x + y)2 − 4xy + 2 = 4
− xy + 2  4 = B = xy     2x  2 2 1 y
Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: 2 2x + +
= 4. Tìm min của: P = xy 2 x 4
Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: A = ( 2 x + y)( 2 4 3
4 y + 3x) + 25xy HD: Ta có : 2 3 3 2 2 A = xy
+ x + y + xy + xy = x y + ( 3 3 16( ) 12 12 9 25 6
12 x + y ) + 34xy
Vì x+y =1 nên x + y = ( x + y)(x − xy + y ) = (x + y)2 3 3 2 2
− 3xy =1− 3xy , thay vào A 2 2
A = 6x y +12(1−3xy) + 34xy , Đặt xy=t khi đó : 2
A = 6t − 2t +12
Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1Tìm min của biểu thức: C = ( 2 x + y)( 2 4
y + 4x) + 8xy
Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: 2 2
A = x + 2y HD: 11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Từ gt ta có : x = 3 − 2 y thay vào A = ( − y)2 2 2 3 2
+ 2y = 6y −12y + 9
Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: 2 2
x + y − xy = 4 , Tìm min và max của: 2 2
A = x + y HD:
Ta có : x + y − xy = = x + y − xy = = ( x − y)2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 8 + x + y = 8 => 2 2
x + y  8 hay A  8
mặt khác : = x + y − xy = x + y = + xy = x + y = + (x + y)2 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 8 2 3 3 8  8 8 8 => 2 2 x + y  hay A  3 3
Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: 3 3
A = x + y + 2xy HD: Từ gt ta có : 3
y = 2 − x thay vào A ta được : 3
A = x + (2 − x) + 2x (2 − x)
Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: x + y + 4 = 0 , Tìm max của: A = ( 3 3 x + y ) + ( 2 2 2
3 x + y ) +10xy HD:
Ta có : x+y= - 4, nên x + y = ( x + y)3 3 3
− 3xy (x + y) = 6 − 4 +12xy ,
x + y = ( x + y)2 2 2
− 2xy =16 − 2xy thay vào A = 2( 6
− 4+12xy)+3(16−2xy)+10xy
Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1 , Tìm GTNN của C = ( 2 x + y)( 2 4
y + 4x) + 8xy
Bài 22: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: 2x + 2 y + z = 4 , Tìm max của: A = 2xy + yz + zx HD:
Từ giả thiết=> z = 4 − 2x − 2 y thay vào A ta được :
A = xy + y ( − x − y) + x( − x − y) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 = 2
− x − 2y − 2xy + 4x + 4y
Bài 23: Cho x,y,z  R thỏa mãn: x + y + z = 6 . Tìm max của: A = xy + 2yz + 3zx HD:
Từ gt => z = 6 − x − y thay vào A = xy + 2y (6 − x − y) + 3x(6 − x − y)
Bài 24: Cho x,y  R thỏa mãn: 2
x + xy + (x + y) 2 2 7
+ 2y +10 = 0 , Tìm min và max của:
S = x + y + 3 HD: Từ gt ta có : 2 2
x + 2xy + 7x + 7y + 2y +10 = 0  2y + 7  2 y + 7 (2 y + 7) 2   2 ( )2 2 7 9 => 2 x + 2x +
+ 2y + 7y +10 − = 0   => 2 x + y + + y − = 0    2  4 4  2  4 3 7 3 => −
x + y +  = 5
−  x + y  −2 => 2
−  x + y + 3 1 2 2 2 2 3m
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: 2 2
n + np + p = 1−
, Tìm min, max của: A = m + n + p 2 HD: Từ gt ta có : 2 2 2 2 2 2
2n + 2np + 2 p = 2 −3m = 3m + 2n + 2 p + 2np = 2 => 2 2 2
m + n + p + mn + np + mp + ( 2 2 2 ( 2 2 2 )
2m + n + p − 2mn − 2mp) = 2
=> (m + n + p)2 + (m − p)2 + (m − n)2  2 => − 2  m+ n + p  2
Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z = 3 , Tìm min, max của: P = x + y + 2z HD: 12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Ta có : P = ( x + y + z)2 2 2 2 2 2
= x + y + 4z + 2xy + 4yz + 4xz , nên ta nhân 6 vào gt : 2 2 2
= x + y + z = ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 18 6 6 6 4 2 4 4
5x + 5y + 2z − 2xy − 4 yz − 4zx)
= (x + y + z)2 + (x − y)2 + ( x − z)2 + ( y − z)2 18 2 2 2
=> ( x + y + z)2 2 18
− 18  x + y + 2z  18 3
Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2 2 2
2m + 2n + 4 p + 3mn + mp + 2np = , Tìm min max 2
của: B = m + n + p HD: Từ gt ta có : 2 2 2
4m + 4n +8p + 6mn + 2mp + 4np = 3 => ( 2 2 2
m + n + p + mn + mp + np) + ( 2 2 2 3 2 2 2
m + n + 5 p − 4mp − 2np) = 3
=> (m + n + p)2 + ( p − m)2 + (n − p)2 3 2
= 3=> (m + n + p)2 3  3 = 1
−  m + n + p 1
Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của: A = xy + yz + zx HD:
Từ gt=> z = 3 − x − y thay vào A = xy + y (3− x − y) + x(3− x − y) = 2 2
x − y − xy + 3x + 3y
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của: B = −xy + 3yz + 4zx HD:
Từ gt ta có : z = 3 − x − y => B = −xy + 3y (3− x − y) + 4x(3− x − y) =>B= 2 2 4
− x −3y −16xy +9y +12x
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z = 4, Tìm min max của A = −xy + yz + zx HD:
Từ gt=> z = 2x + 3y − 4 thay vào A = −xy + y (2x + 3y − 4) + x(2x + 3y − 4)
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z = 4, Tìm min max của: B = 12xy − 3yz − 4zx HD:
Từ gt ta có : z = 2x + 3y − 4 thay vào B =12xy − 3y (2x + 3y − 4) − 4x(2x + 3y − 4)
Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = 2
− , tìm min của: A = ( 3 3
2 x + y ) −15xy + 7 HD:
Từ x + y= -2, ta có : x + y = ( x + y)3 3 3
−3xy(x + y) = 8 − + 6xy thay vào A = 2( 8
− + 6xy)−15xy +7 = 3
− xy −9 và y= - 2 - x thay vào A = 3 − x( 2 − − x)−9
Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = 2 − , Tìm min của 4 4 3 3 2 2
B = x + y − x − y + x y + xy ( 2 2 2 2
x + y ) +13xy HD: 4 4 3 3 2 2
B = x + y − x − y + x y + xy ( 2 2 2 2
x + y ) +13xy 2
Từ x+y= - 2, ta có: x + y = (
x + y)2 − xy − x y = ( − xy)2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 − 2x y   3 3
x + y = 6xy −8, 2 2
x + y = 4 − 2xy , Thay vào b ta được : B = ( − xy)2 2 2
− x y − ( xy − ) 2 2 4 2 2 6
8 + 2x y + 2xy (4 − 2xy) +13xy
B = −xy + 24 , thay 2 y = 2
− − x = B = x + 2x
Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = 5 , Tìm max của: 3 3
A = x + y − ( 2 2
8 x + y ) + xy + 2 HD: 13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Vì x + y = 5 nên 3 3
x + y =125 −15xy và 2 2
x + y = 25 − 2xy thay vào
A =125 −15xy −8(25 − 2xy) + xy + 2
Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: 4 4
B = x + y − ( 3 3 x + y ) − ( 2 2 x + y ) 2 2 4 20 − 2x y + xy HD: 4 4
B = x + y − ( 3 3 x + y ) − ( 2 2 x + y ) 2 2 4 20 − 2x y + xy
Vì x+y=5 nên x + y = ( − xy)2 4 4 2 2 25 2 − 2x y , 3 3
x + y =125 −15xy , 2 2
x + y = 25 − 2xy B = ( − xy)2 2 2 − x y − (
− xy) − ( − xy) 2 2 25 2 2 4 125 15 20 25 2 − 2x y + xy
Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: 4 4
x + y − 7 = xy (3− 2xy) , Tìm min max của: P = xy HD: Từ gt=> 4 4 2 2
x + y −3xy + 2x y = 7 => (   2  3  121
x − 2x y + y ) + 4x y − 3xy = 7 = ( x − y ) 2 2 3 121 4 2 2 4 2 2 2 2 + 2xy − =   => 2xy −     4  16  4  16
Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn: 2 2
7x +9y +12xy − 4x −6y −15 = 0 , Tìm min max của:
A = 2x + 3y + 5 HD:
Từ gt=> ( x)2 + ( y)2 2 2 3 + 2.2 .
x 3y − 2.2x − 2.3y +1+ 3x = 16 => ( x + y + )2 2 2 3 1 + 3x = 16
Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2 2 2
3x + 2y + 5z + 4xy − 2xz + 2yz = 5, Tìm min max của:
P = x + y HD: Từ gt ta có: ( 2 2
x + y + xy) + ( 2 2 2 2
2x + y + 5z + 2xy − 2xz + 2yz ) = 5 2
=> ( x + y) + ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 2 2
4z − 4xz + x ) = 5
=> ( x + y)2  5 = − 5  x + y  5
Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x + y + 2z = 1. Tìm min max của: 2 2 2
p = x + y + z HD:
Từ gt ta có: y = 1− 3x − 2z => 2 2 2
y =1+ 9x + 4z − 6x +12xz − 4z khi đó : 2 2
P = 10x + 5z +12xz − 6x − 4z +1
Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A = 2xy + 3yz + 4zx HD:
Từ gt => z = 1− x − y thay vào A = 2xy + 3y (1− x − y) + 4x(1− x − y)
Bài 41: Cho x, y  R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD:
Từ gt=> x = 1− 2y thay vào P = y (1− 2y) 1 1
Bài 42: Cho x,y  R+ thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của: A = + x y HD: 1 1 4 4 2 Ta có : +  = = x y x + y 10 5
Bài 43: Cho x,y  0, x+y=1, Tìm min, max của: 2 2
A = x + y HD:
Từ gt=> y = 1− x thay vào A = x + ( − x)2 2 1 14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3
Bài 44: Tìm min max của: P = x + y + z , biết: 2 2 2
y + z + yz = 1− x 2 HD: Từ gt => 2 2 2 2 2 2
2y + 2z + 2yz = 2 −3x = 3x + 2y + 2z + 2yz = 2 => ( 2 2 2
x + y + z + xy + yz + zx) + ( 2 2 2 2 2 2
2x + y + z − 2xy − 2zx) = 2
=> ( x + y + z)2 + ( x − y)2 + ( x − z)2 = = ( x + y + z)2 2  2 Bài 45: Cho 2 2
x + 3y + 2xy −10x −14y +18 = 0 , Tìm min, max của: S = x + y HD:
Từ gt=> x + x ( y − ) + ( y − )2 2 2 2 2 5 5
+ 3y −14y +18− y +10y − 25 = 0 2 2
=> ( x + y − ) + ( 2 5 2 y − 2y + )
1 = 9 = ( x + y − 5)  9 => 3
−  x + y − 5  3
Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c HD:
Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a + 3c + 5b = 72 = 3(a + b + c) = 72 − 2b  72 72
Do b  0 = a + b + c  = 24 3
Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho (a − b)(b − c)(c − a) = a + b + c
a, CMR: a + b + c 2
b, Tìm GTNN của P = a + b + c
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min
E = 2a + 3b − 4c HD:  4 c  a = 4 − 3c  a  0
Cộng theo vế ta được : 3
a + b = 2 =  =  do  b  = 3c − 2 2  b   0 c   3
Khi đó: E = 2(4−3c) +3(3c −2)−4c = 2−c Bài 48: Cho ,
x y, z  0, 2x + 7 y = 2014, 3x + 5z = 3031, Tìm GTLN của biểu thức : A = x + y + z HD:
Cộng theo vế của gt ta có: 5x + 5y + 5z = 5045 − 2y  5045 do y  0 nên
5( x + y + z)  5045 = x + y + z 1009
ab + bc + ca
Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: 2 2 2
a + b + c +  4 2 2 2 a b + b c + c a
Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = 6 , tìm min của: 2 2 2
A = x + y + z HD:
Ta có: 12 = 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx MÀ 2 2x x +1 , 2 2y y +1, 2 2z z +1, 2 2
2xy x + y , 2 2
2yz y + z , 2 2
2zx z + x nên  ( 2 2 2
x + y + z ) 2 2 2 12 3
+ 3 = x + y + z  3 Bài 51: Cho 2 2 2
x + y + z  27, Tìm max A = x + y + z + xy + yz + zx 15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức HD: 2
Ta có : ( x + y + z) 2 2 2
= x + y + z + (xy + yz + zx)  + ( 2 2 2 2 2 2 2 27
x + y + z + z + y + x )  81 2 2 2 2 2 2 x + y y + z z + x
=> ( x + y + z)  9 , mặt khác xy + yz + zx  + + = 27 2 2 2
Khi A  9 + 29 = 36 , dấu ‘=’ khi x = y = z = 3
Bài 52: Cho xy + yz + zx = 8, Tìm min của: 4 4 4
A = x + y + z HD: Ta có:
= ( + + )  ( + + )( + + ) = ( + + )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 64 xy yz zx x y z x y z x y z  ( 64 64
x + y + z )2 2 2 2  ( 4 4 4
x + y + z )( 2 2 2 64 1 +1 +1 )=> A  , min A = 3 3 1 1
Bài 53: Cho x  2 , x + y  3 , tìm min của: 2 2
P = x + y + + x x + y 19a + 3 19b + 3 19c + 3
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: ab + bc + ca = 3, Tìm min của: A = + + 2 2 2 b +1 c +1 a + 1 HD: 19a + 3 19b + 3 19c + 3 19  a b c  3  1 1 1  19 3 1 57 9 A  + + = + + + + +      3. + .3  + 2b 2c 2a 2  b c a  2  a b c  2 2 abc 2 2
Vì = ab + bc + ca  (abc)2 3 3 3 = abc 1 a +1 b +1 c +1
Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a + b + c = 3, CMR: + +  3 2 2 2 b +1 c +1 a + 1
Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của: 2 2 2 2
A = a + b + c + d HD: 2  9  9 81 Dự đoán dấu “=” 9
a = b = c = d = , nên xét 2 a −
 0 = a − a +  0   4  4  2 16 9 81 9 81 9 81 9 81 2 2 2 b − b +  0,c − c +  0,d − d +  0 => 2 2 2 2
a + b + c + d −
(a +b +c + d)+  0 2 16 2 16 2 16 2 4 81 9 => A
dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d = 4 4
Bài 57: Cho a + b = 2 ,Tìm max của: = ( 2 2 A ab a + b ) HD: Ta có: 2 2
a + b = = a + b = − ab = A = ab( − ab) 2 2 2 4 2 4 2 = 2 − a b + 4ab A = − ( 2 2 a b − 2ab + )
1 + 2  2 , Max A = 2
Bài 58: Cho x + y + z =1, Tìm min của: A = x + y + z HD:
Đặt x = a(t  ) 2
0 = x = t , y = , b z = c => 2 2 2
A = a + b + c và a + b + c = 1 1 1
Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b 1, Tìm min của: P = a + b + + a b HD: Đ  1   1  iểm rơi: 1 1 a = b =
= = 2 = 4a ,=> P = 4a + + 4b + −3    
(a +b)  4+ 4−3(a +b) 2 aa   b
mà a + b 1 = 3(a + b)  3 = 3 − (a +b)  3
− => P  8−3 = 5 1 1 1
Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b 1, Tìm min của: A = + + 3 3 2 2 a + b a b ab 16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức HD: Đ 1 1 1 1 1
iểm rơi a = b = = = 4, = 8 = = 3 3 2 3 3 2 2 a + b a b a + b 2a b Khi đó: 1 1 1 1 1 1 A = + + + +  5 5 3 3 2 2 2 2 a + b 2a b 2a b 2ab 2ab ( 3 3 a + b ) 4 6 6 2 a b 33
Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: x + y = 4 , tìm min của: 2 2
P = x + y + xy HD : Điểm rơi: k
x = y = 2 khi đó: 33 P  2xy + , nên 2xy = 8 = = k = 32 khi đó: xy 4 32 1 1 1 4 1 1 P = 2xy + +  2 64 + , Mà:  = = P  2.8 + xy xy xy xy (x + y)2 4 4
Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: a + b + c + d = 4 , Tìm min của: 1 1 1 1 M = ( + + + 2 a + ) 1 ( 2b + ) 2 2 1 c +1 d +1
Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: (11x + 6y + 2015)(x − y + )
3 = 0 , Tìm min của: P = xy − 5x + 2016 HD:
Từ gt ta có : 11x + 6 y + 2015 = 0 hoặc x − y + 3 = 0 11x + 2015
TH1: Ta có : 11x + 6 y + 2015 = 0 = y = thay vào P 6
TH2: ta có: x − y + 3 = 0 = y = x + 3 thay vào P 1 1 1
Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của: A = + + 2 2 2 a + b + c b + c + a c + a + b
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: c + b a ( 2 2 4 2
b + c ) , Tìm min của: 3 4 5 S = + +
b + c − a
a + c − b a + b − c  
Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 3, Tìm min P = (a + b + c) 1 1 1 2 + + +    a b c  Bài 67: Cho 2 2 2
x + y + z =1, tìm min của: F = xy + 2yz + zx
Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a + b + c = 1, tìm min của: ab bc ca 1  1 1 1  S = + + + + +   2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 4  a b c  HD: Ta có: ab bc ca 1  1 1 1  1 1 1 1  a b b c a cS = + + + + + = + + + + + + + + + 3     2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 4  a b c a b b c c a  4  b a c b c a  + + + b a c b a c
 1 x   1 y   1 z  3 3 15 S = + + + + + + 1+1+1+ =       , dấu “=” khi 2 2 2
x = 4, y = 4, z = 4 Vì đặt
x 4   y 4   z 4  4 4 4 a b + = x b a 17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 69: Cho P = xy (x − )( y + ) 2 2 2
6 +12x − 24x + 3y +18y + 36 , CMR P luôn dương với mọi x,y  R 1 2
Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: x + y  ... , Tìm min của: 2 P = + y +1+ 2 x 5xy 10 10   2 1 x y 1 Bài 71: Tìm min A =  +  + ( 16 16 x + y ) − ( 2 2 1+ x y 2 2 ) 2 y x 4  
Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 3, Tìm GTLN của : B = xy + yz + zx HD:
Ta có : B = xy + z ( x + y) = xy + 3
 − (x + y)  (x + y) 2  y − 3  3 − = 2
xy + ( x + y) − ( x + y)2 2 2 3
= −x − y − xy + 3x + 3y = − x + +   ( y − ) 1 + 3  3  2  4 2 2 2 x y z Bài 73: Cho , x ,
y z >0 Tìm GTNN của: A = + + 2 2 2 x + 2yz y + 2zx z + 2xy HD : 2 2 2 x y z Ta có: A  + + =1 dấu bằng khi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z y + z + x x + y + z 2 2 2 2 2 2
2yz = y + z ,2zx = x + z ,2xy = x + y hay x=y=z
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: 2 2
x − 2xy + 2y − 2x + 6y +5 = 0 , 2 3x y −1
Tính giá trị của biểu thức: P = 4xy
Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x + y + z = 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
(x + y)( y + z) ( y + z)(z + x) (z + x)(x + y) P = ( + + z + x) (x + y) ( y + z) Bài 76 : Cho 2 2
x + xy + 3y = 5 , Tìm Min hoặc max của biểu thức : 2 2
P = x − 2xy + 2y HD : 2 2 P
x − 2xy + 2 y Ta có : = 2 2 5
x + xy + 3y 1 1
Bài 77 : Cho x  2, x + y  3 , y > 0 , Tìm Min của 2 2
P = x + y + + x x + y HD : 1 1 4 1 1 1 1 1 1 Ta có : 2 2 +  =  +
= P x + y + + + x y x + y x + y 4x 4 y x 4x 4 y  5   1  x = 2 2 2 P x + + y +     , Điểm rơi cosi :   4x   4 y  x + y = 3 2 x + 3
Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của: S = x +1 2 1 1 a + b c + b
Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: = + P = =
b a c , Tìm GTNN của:
2a − b 2c − b 18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ là:
+ (a − b)2  0 dấu “=” khi a=b
+ a + b  2 ab a b + +  2 b a 2 1
Bài 1: Tìm min của biểu thức: A = + (0  x  ) 1 1− x x HD: 2 − 2x + 2x 1− x + x 2x 1− x 2x 1− x Tách A = + = 3+ +  3+ 2 . = 3+ 2 2 1− x x 1− x x 1− x x x − x Dấu ‘’ = ’’ khi 2 1 = = x = 2 −1 1− x x 2 x +1
Bài 2: Tìm min của biểu thức: B = với x  0 x + 2 HD: 2 x − 4 + 5 5 5 Tách A = = x − 2 + = x + 2 + − 4  2 5 − 4 x + 2 x + 2 x + 2 Dấu ‘’=’’ khi 5 x + 2 = = x + 2 =  5 x + 2 2 x − x +1
Bài 3: Tìm min của: A = với x > 0 2 x + x +1 HD: 2
x + x +1− 2x 2x 2 1 2 2 Tách A = =1− =1− , mà x +  2 =  2 2 x + x +1 x + x +1 1 x 1 3 x +1+ x + +1 x x 2 x + x +1
Bài 4: Tìm min của: A = 2 x + 2x +1 2 x + 4x + 4
Bài 5: Tìm min của: B = với x  0 x HD: 4 4
Ta có: B = x + 4 +
 4 + 4 = 8 , dấu bằng xảy ra khi x = = x = 2 x x 2 x
Bài 6: Tìm min của: C = với x >1 x −1 HD: 2 x −1+1 1 1 1 Ta có: C = = x +1+ = x −1+
+ 2  2 + 2, Dấu bằng khi x −1 = = x = 2 x −1 x −1 x −1 x − 1  
Bài 7: Tìm min của: B = ( x + ) 1 1 1+   với x > 0  x  HD: 1 1
Tách B = x +1+1+
 2 + 2 , dấu bằng xảy ra khi x = = x =1 x x 19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 2  x
Bài 8: Tìm min của: A = ( x + )2 1 +  + 2 với x  1 − x +1   HD: 2  1  1
Tách A = ( x + )2 1 + ( x + ) 2 1 +  (  = + + +  + x + ) 2( x ) 1 2 1  (x + ) 2 2 2 2 1 1 1 1
Dấu bằng khi 2( x + )2 1 =
= (x + )4 = = + =  ( x + ) 4 1 x 1 2 1 2 2 2 x − x +1
Bài 9: Tìm min của: A = 2 x − 2x +1 x 5
Bài 10: Tìm min của: B = + 1− với 0 < x < 1 x x HD: x 5 − 5x + 5x x 5(1− x) x 5(1− x) Ta có: B = + = +
+ 5  2 5 + 5, dấu bằng khi = 1− x x 1− x x 1− x x x 2
Bài 11: Tìm min của: C = + 2 x − (x > 1) 1 HD: x −1+1 2 x −1 2 1 1 x −1 2 C = + = + +  2 + = 2 x −1 2 x − , Dấu bằng khi 1 2 2 2 x − 1 2  x y   x y
Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của: P = + − + − 2      y x   y x  HD: 2 2 Đặ x y  1  9  1  9 t 2
+ = t = P = t − t − 2 = t − −  
, mà t  2 = P  2 − − = 0   y x  2  4  2  4
(x+a)(x+b)
Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của: A = với x > 0 x HD: 2 2
x + ax + bx + abab  Ta có: B =
= a + b + x +
a + b + 2 ab =   ( a + b) xx  Bài 14: Cho trướ a b
c hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho + =1, Tìm x,y để x y
S = x + y đạt min, Tìm min S theo a,b HD:  a b bx ay
Ta có S = ( x + y) + = a + b + +
a + b + 2 ab   , min = ( + )2 S a bx y y x ay bx a b Dấu bằng khi = mà
+ =1= x = a + ab, y = b + ab x y x y 2 1
Bài 15: Tìm min của: A = +  x  1− với 0 1 x x HD: 2 − 2x + 2x 1− x + x 2x 1− x 2x 1− x Ta có: A = + = 3+ +  3+ 2 2 = 1− x x 1− , dấu bằng khi x x 1− x x 20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a b c 3
Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR: + +  b + c c + a a + b 2 HD: + − + − + − Đặ y z x x z y x y z t x = b + ,
c y = c + a, z = a + c => a = ,b = , c = , thay vào VT 2 2 2  y z   x z   x y
x y   z x   z y  Ta được: + −1 + + −1 + + −1  3 = + + + + +  6              x x   y y   z z
y x   x z   y z x 4 Bài 17: Cho 0B = + 1− x x HD: x 4 − 4x + 4x x 4(1− x) x 4(1− x) Ta có: B = + = 4 + +  4+ 4 , dấu bằng khi = 1− x x 1− x x 1− x x
Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min A = xy HD:
Từ gt ta có: y = 11− x , thay vào A = x( − x) 2 11 = −x +11x Bài 19: Cho * , x y Z =
+ , Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của: B xy HD: 2 2 + − − 2 2 x y x y
Ta có : ( x + y) − ( x − y) ( ) ( ) = 4xy = xy = , 4
để xy lớn nhất thì ( − )2 x y
nhỏ nhất, do x,y Z mà x+y=2016 và x # y=> ( x − y)2 1=> 2 2016 1 xy  − =1005006=> Max B 4 4
Để xy nhỏ nhất thì ( + )2 x y lớn nhất, mà ,
x y z , Giả sử : x < y=>1  x, y  2016 2 2 − =  ( 2016 2014 x − y)2 2 2 1  2014 => xy  = 2015 =Min B 4 2 2  1   1 
Bài 20: Tìm min của: A = x + + y +   
 biết: x,y>0 và x+ y =1  x   y  HD: 1 1  x + y   
A = x + y + + + 4 = (x + y ) 2 2 1 2 2 2 2 +   + 4 = ( 2 2 x + y 1+ + 4   2 2 2 2 ) 2 2 x yx y   x y  1 1
Ta có : 2( x + y )  ( x + y)2 2 2 2 2
=1 = x + y  , và x + y  2 xy =1 2 xy = 16 2 2 2 x y 1 25
Khi đó : A  .(1+16) + 4 = 2 2 2 2 2  1   1   1 
Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của : B = a + + b + + c +        a   b   c  HD:  1 1 1  Ta có : B = ( 2 2 2
a + b + c ) + + + + 6  
, Từ 1 = a + b + c 2 2 2  a b c  2 2 1  1 1 1   1 1 1 
1 = (a + b + c)  3( 2 2 2
a + b + c ) 2 2 2
= a + b + c  và + +  3 + +     3 2 2 2  a b c   a b c     1 1 1  1 1 1
mà (a + b + c) 1 1 1 1 1 1 + +  9 = + +  9   => 3 + +  81= + +  27    a b c a b c 2 2 2 2 2 2  a b c a b c 21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 Vậy B  + 27 + 6 3
b + c c + a a + b a b c
Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của: A = + + + + +    a b c b + c c + a a + b  1 1 1 1 1 1 1
Bài 22: Cho x,y,z  0 , Thỏa mãn: + + = , CMR: P = + + 1 x y z 4
2x + y + z
x + 2y + z
x + y + 2z 3 3 3 a b c
Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: a + b + c + ab + bc + ca = 6, Tìm min của: A = + + b c a 2 2  1   1 
Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của: A = x + + y +      x   y  ( 2 2
2 x + y ) +12xy
Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: A = x + y HD:
(x + y)2 − xy + xy   (x + y)2 2 2 12 2 + 8xy  1  1 Ta có : A = = = 2 x + y + 
 , Co si x + y +  2 x + y x + yx + y x + yx, y  0  1
=> A  4 dấu bằng khi x + y = 1 = x = y = 2 4xy =1  1 1 Bài 26: Cho x,y>0 và 3 3 x + y + ( 2 2
3 x + y ) + 4(x + y) + 4 = 0 , Tìm min của: A = + x y HD: 3 3 2 2 Gt= ( x + ) 1 + ( y + )
1 + (x + y + 2) = 0 = (x + y + 2) (  x+ ) 1 − (x + ) 1 ( y + ) 1 + ( y + ) 1 +1 = 0  
Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0 1 1 x + y 2 − − Mặt khác : + = = , mà ( x + y)2 1 2
 4xy = 4  4xy = 1=  2 − x y xy xy xy xy 2 2 x yx y  Bài 27: Tìm min của: + −3 + + 5   2 2 y xy x  1 a b
Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện a +
 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + b b a 22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức