Chuyên đề tính chất cơ bản của phân thức

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất cơ bản của phân thức
* Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A . A M  B . B M
với M là đa thức khác đa thức 0.
* Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức
bằng phân thức đã cho. Ta có: A A : N  B B : N
với N là một nhân tử chung của cả A và B. 2. Quy tắc đối dấu
* Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A  . B B
* Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A     A . B B B
IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế;
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 3 2 A 2x  4x a.  , x  2  ; 2 x  2 x  4 x  y 2 2 5 5x  5y b.  , x  y 3 A 2 3 x  8 2x 16x 1 c.  , x  0, x  2x 1 A 2 y  x x  y d.  , x  2 2  x A
Bài 2: Tìm bộ ba đa thức ,
A B,C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau: A B C   , x  1, x  3. 2 3 x  3 x  4x  3 x  27
Bài 3: Tìm bộ ba đa thức ,
A B,C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau: A x   1 B C   , x  2  2 2 3 x  4x  4 x  4 x  8
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp
tùy theo yêu cầu đề bài;
Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu.
Bài 4: Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức 1 2x và có giá trị bằng phân thức 2 12x 12x  3   
x    x , x 2, x 5 6 3 5 1
Bài 5: Biến đổi phân thức
thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 2 4x  x  3 và giá trị 4x  3 3
của hai phân thức bằng nhau với x  1; x  4
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  4 2 x 16 1
Bài 6: Biến đổi cặp phân thức và , x 
, x  0, x  4 thành cặp phân thức mới có 2x 3x 1 3
cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu.
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức;
Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.
Bài 7: Tính giá trị phân thức sau: 2 x  2x  3 a. A  , x  1 tại 3x 1  0 2 x  2x 1 x  2 b. B  , x  2; x  3 tại 2 x  4  0 2 x  5x  6
Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn 2
2x  7x  3  0 , tính giá trị của các phân thức sau: 2 x  2x 1 a. 2 2x  x 1 3 x  27 b. 2 x  2x  3
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai A C phân thức bằng nhau:  nếu A.D = B.C B D
Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao?
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a  3 a  6 a. ; với x  4; x  8 a  4 a  8 2 9x  6 3x  3x  3 2 b. ; với x  1; x  2 3x  3x  2x  2 3 x 1 3 2 x 1 2 x  2x  3
Bài 10: Cho cặp phân thức và với x  1  ;2;  4 2 x  3x  4 2 x  x  2
a. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?
b. Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau. Dạng 5: Toán nâng cao. A C Bài 11: Cho hai phân thức và
. Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng B D A' C ' A' A C ' C và thỏa mãn điều kiện  ;  . E E E B E D HƯỚNG DẪN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có 2 A 2x a) 2   A  2x x  2 x  2
5 x  y 5 x  yx  y b)   A  x  y 3 3 x  y 3  2 2 x  8 2x(x  8) c)   A  2x2x   1 2x 1 A y  x (y x) d)   A  x  2 2  x A Bài 2: A B C   x  x  x  3 (x  3)(x1)  , 1, 3. 2 x  3x  9(x 3) A B C    x  x  Chọn 2
A  1 C  x  3x  9; B  x 1 1 (x1)  , 1, 3. 2 x  3x  9 Bài 3:
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn A  x   B  x  x  C   x   2 2 ( 1)( 2); 1 x  2x  4 Bài 4: 2 2 12x 12x  3 3(2x 1) 2x 1 1 2x        x    x  x    x A , x 2, x 5 6 3 5 3 2 1 5 5  x x  5 Bài 5: 1 B B    B  x 1 2 4x  3
4x  x  3 4x  3 x   1 x 1
Vậy phân thức cần tìm là 2 4x  x  3 Bài 6: x  4 x  x   2 4 4 x 16  
Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2 2x 2x  x  4 2x  x  4 2 x 16 1 , x  , x  0, x  4 3x 1 3 Bài 7: 2 x  2x  3 x  3 A   2 x  2x 1 x 1 1 Thay x   A  2 3 x  2(loai) x  2 1 b) ta có 2 x  4  0   B   x  2  (tm) 2 x  5x  6 x  3 1  Với x  2  B  5 Bài 8: x  3 2 2x 7x 3 0      1 x   2
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 2
a) x  1; do vậy chỉ có x  3là thỏa mãn  A  2 7 1 43 b) x  1
 ;3 do vậy ta chỉ nhận x   B  2 6 Bài 9: a  3 a  6 a) ;
ta xét tích chéo a   2
3 (a  8)  a  5a  24 ; a  a   2 4
6  a  2a  24 do vậy hai a  4 a  8
phân thức không bằng nhau. 2 2 9x  6 3 3x  3x  3 3(x  x 1) 3 b)  ;   2 3x  3x  2x  2 3 x 1 x 1 x   1  2 x  x   1 x 1 Bài 10: 2 x 1 x  1x   1 x 1 2 x  2x  3 x  1x 3    x 3 ;   2 x  3x  4 x   1  x  4 x  4 2 x  x  2
x  1x  2 x  2
a) Hai phân thức trên không bằng nhau với mọi x x 1 x  3 7 b) ta xét   x  x  4 x  2 4 Bài 11: A AD C CB Với hai phân thức  và 
, để ta thấy ta nhân cả tử và mẫu của hai phân thức trên với B BD D BD
đa thức M  0 thì ta luôn được mẫu số E  B .
D M . Do có vô số đa thức M nên ta có vô số phân
thức cùng mẫu bằng hai phan thức đã cho. B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1: Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau: x  y 2 2 5 5x  5y a)  với x  y; 3 ... 3 2 2a  4a ... b)  với a  2  . 2 a  4 a  2
Bài 2: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 6b  9b 3b 3 a)  với b   ; 2 4b  9 A 2 n  m m  n b)  với m  2. 2  m A 2 2 x  2xy  y A
Bài 3: Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết:  2 2 x  y y  x
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. 4x  3 Bài 4: Cho phân thức
. Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử 2 x  5 thức là đa thức 2 A  12x  9 . x 2 8x  8x  2
Bài 5: Biến đổi phân thức 
thành một phân thức bằng nó và có tử thức là 4x  215  x A 1 2x
Bài 6: Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân
thức bằng nó và có cùng tử thức: 3 x 1 x  5 2 x  25 a) và b) và x  2 5x 4x 2x  3
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.
Bài 7: Tính giá trị của phân thức: 2x  2 a) với x  1  tại x 1 2 x  2x 1 2 3x  3x b) với x  1  tại x  2  2 x 1 2 x 1 1
Bài 8: Tính giá trị của phân thức:
với x  1; x  tại 3x 1  0 2 2x  3x 1 2
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. 9x  6 2 3x  3x  3 2
Bài 9: Cho cặp phân thức và
với x  1 và x  . Chứng tỏ cặp 2 3x  3x  2x  2 3 x 1 3
phân thức trên bằng nhau.
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 y  5y  6 2 2y  5y  3 1 Bài 10: Cho hai phân thức và
với y  2 và y  . Cặp phân thức này có 3y  6 6y  3 2 bằng nhau hay không? Dạng 5: Toán nâng cao. 2 x 1 2 x  2x  3
Bài 11: Cho cặp phân thức và
với x  1; x  2 và x  4. 2 x  3x  4 2 x  x  2
a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?
b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.
Bài 12: Tính giá trị của phân thức: 2 x 1 1 a)
với x  1 và x  tại 2x 1  3; 2 2x  3x 1 2 2 3x 10x  3 b) với x  2; x  3 tại 2 x  8x 15  0. 2 x  4x  3
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. Bài 1:
5 x  y 5 x  y x  y  2 2 x  y  2 2 5 5x  5y a) Ta có:    3 3 x  y 3 x  y 3 x  y . 3 2 2 2a  4a 2a a  2 2 2a 2 b) Ta có:    ...  2a 2 a  4
a  2a  2 a  2 Bài 2: 2 6b  9b 3b2b  3 3b 2b  3 3b a) Ta có:     A  2b  3 2 4b  9 2b2 2  3
2b 32b  3 2b 3 n  m m  n m  n b) Ta có:    A  m  2 . 2  m 2  m m  2 Bài 3: Ta có: x  2xy  y  2 2 2 2
y  2xy  x   y  x2  y  x2  y  x  y  x3 3            A  x  y x y x y y x y x . y  x 2 2   y  x
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. Bài 4: 4x  3 4x  3 2 .3x 12x  9x Ta có:   2 x  5  2x 5 3 .3x 3x 15x Bài 5: 8x  8x  2  2 2 2 4x  4x   1 22x  2 1 2x 1 1 2x Ta có:      .
4x  215  x 22x  
1 15  x 22x  
1 15  x 15  x x 15 Bài 6: 3 3. x   1 3x  3 a) Ta có:   x  2 x  2x   2 1 x  x  2
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x 1  x   1 .3 3x  3 Ta có:   5x 5 . x 3 15x x  5 x  5.x 5 2 x  25 b) Ta có:   4x 4 . x  x  5 2 4x  20x 2 x  25 Ta có: . 2x  3
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức Bài 7: 2x  2 2 x   1 2 a) Ta có: A    . 2 x  2x 1 x  2 1 x 1 2 2
Thay x  1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A    1. x 1 11 2 3x  3x 3x  x   1 3x b) Ta có: B    2 x 1 x   1  x   1 x 1 3x 3.2 Thay x  2
 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được: B    . x    2 1 2 1 Bài 8: 1
Ta có: 3x 1  0  x  3 2 x 1 x   1  x   1 x 1 Ta có: C    2 2x  3x 1  x   1 2x   1 2x 1 1  1 1 x 1
Thay x  ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được: 3 C    4  . 3 2x 1 1 2. 1 3
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. Bài 9: 9x  6 9x  6 9x  6 33x  2 3 Ta có:       1 2 3x  3x  2x  2 2 2 3x  3x  2x  2 3x  x  2 x   1 3x  2 x 1
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3x  3x  3 3 2 2 x  x   1 3 Ta có:   2 3 x 1
x  1 2x  x  1 x 1 2 9x  6 3x  3x  3 Từ   1 ,2   2 3x  3x  2x  2 3 x 1 Bài 10: 2 y  5y  6
 y  2 y 3 y  3 Ta có:     1 3y  6 3 y  2 3 2 2 y  5y  3  y  32y   1 y  3 Ta có:   2 6 y  3 32y   1 3 2 2 y  5y  6 2y  5y  3 Từ   1 ,2   . 3y  6 6y  3 Bài 11: 2 x 1 x   1  x   1 x 1 a) Ta có:     1 2 x  3x  4
x  1x  4 x  4 2 x  2x  3 x 3x   1 x  3 Ta có:   2 2 x  x  2 x  2x   1 x  2 2 2 x 1 x  2x  3 Từ   1 ,2   . 2 2 x  3x  4 x  x  2
b) Với x  1; x  2 và x  4 2 2 x 1 x  2x  3 x 1 x  3 thì    2 2 x  3x  4 x  x  2 x  4 x  2  x  
1  x  2   x  4 x  3 5 2 2
 x  3x  2  x  7x 12  4x  10  x  . 2 5
Vậy x  thì hai phân thức đã cho bằng nhau. 2 Bài 12: 1
a) Loại trường hợp x = 1 và thay x = -2 được kết quả . 5
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 7
b) Loại trường hợp x = 3 và thay x = 5 được kết quả . 2
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com