Chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 26 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 8 211 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.9 K tài liệu

Thông tin:
26 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 26 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

72 36 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 211 tài liệu

Môn: Toán 8 1.9 K tài liệu

Thông tin:

26 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1: Cho :
22
45a b ab+=
và
20ab
, Tính giá trị của :
22
4
ab
A
ab
=
−
HD :
Từ :
2 2 2 2
4 5 4 4 0a b ab a ab ab b+ = − − + =
( )( )
40a b a b− − =
TH 1:
4 0 4a b a b− = =
( mâu thẫn vì 2a > b)
TH 2:
2
22
1
0
43
a
a b a b A
aa
− = = = = =
−
Bài 2: Cho
và
0ba
, Tính
ab
A
ab
−
=
+
HD:
Từ:
( )( )
2 2 2 2
3 3 10 3 9 3 0 3 3 0a b ab a ab ab b a b a b+ = − − + = − − =
TH 1:
3 0 3a b a b− = =
( mâu thuẫn vì b > a > 0)
TH 2:
31
3 0 3
32
aa
a b a b A
aa
−−
− = = = = =
+
Bài 3: Cho
( )
22
9 4 20 2 3 0x y xy y x+ =
, Tính
32
32
xy
A
xy
−
=
+
HD:
Từ:
( )( )
22
9 4 20 2 9 2 0x y xy x y x y+ = − − =
TH1:
31
2
32
xx
x y A
xx
−
= = = =
+
TH2:
92xy=
(Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)
Bài 4: Cho
( )
22
2 , 0, 0x y xy y x y− = +
,Tính
xy
A
xy
−
=
+
HD:
Từ
( )( )
2 2 2 2
2 2 0 2 0x y xy x xy y x y x y− = − − = − + =
TH1:
21
2 0 2
23
yy
x y x y A
yy
−
− = = = = =
+
TH2:
0xy+=
( mâu thuẫn vì x + y # 0 )
Bài 5: Cho
0xy
và
22
2 2 5x y xy+=
, Tính
xy
A
xy
+
=
−
HD:
Từ:
( )( )
2 2 2 2
2 2 5 2 5 2 0 2 2 0x y xy x xy y x y x y+ = − + = − − =
TH1:
2
23
2
yy
x y A
yy
+
= = = =
−
TH2:
2xy=
(Mâu thuẫn vì: x > y > 0)
Bài 6: Cho
33x y z−=
và
27x y z+=
, Tính
2
22
2x xy
A
xy
−
=
+
,
,0xy
HD:
Từ gt ta có:
22
22
3 3 2
4 12 8
2 7 3
4 9 13
x y z x z
zz
A
x y z y z
zz
− = =

−−
= = = =

+ = =
+

2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 7: Cho
1xy =−
, Tính
22
11
P
y xy x xy
=+
−−
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
11
1
1
xy
xy
P
y y x x x y xy x y x y
−−
−+
= + = = =
− − − − −
Bài 8: Cho
36yx−=
, Tính giá trị của
23
26
x x y
A
yx
−
=+
−−
HD:
Ta có:
( )
2 3 6 3
36
3 6 3 6 3 1 12
2 3 6 6
yy
y
y x x y A
yy
−−
−
− = = = − = = + = + =
− − −
Bài 9: Tính biểu thức :
a,
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
A
y z x z x y x y z
= + +
+ − + − + −
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
b,
1 1 1
x y z
P
xy x yz y xz z
= − +
− + + − + + −
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của:
1 1 1
z x y
B
x y z

= − − +


Bài 11:Tình giá trị của biểu thức:
ab
A
ab
+
=
−
với b> a> 0 và
22
2 2 5a b ab+=
Bài 12: Cho
22
10
0,
3
xy
yx
xy
+
=
, tính giá trị của biểu thức:
xy
M
xy
−
=
+
Bài 13: Cho biểu thức:
2 1 5 1
,
3 1 3 1 3
aa
Pa
aa

−−
= +

−+

, Tính giá trị của P biết:
2
10 5 3aa+=
Bài 14: Cho abc=2015, Tính
2015
2015 2015 2015 1
a b c
A
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
2
2
1
a bc b c
A
ab a bc abc bc b abc ac c
= + +
+ + + + + +
( ) ( )
2
1
1
1 1 1 1
a bc b c ac c
ab ac c b c ac ac c ac c
++
= + + = =
+ + + + + + + +
Bài 15: Cho abc=2, Tính
2
2 1 2 2
a b c
B
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a b abc a b abc
B
ab a abc bc b ac abc abc a b bc bc b ac bc b
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 16: Cho abc=1, Tính
111
a b c
A
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a bc b c a bc b c
A
ab a bc abc bc b abc ac c ab ac c b c ac ac c
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính
2012
2012 1 2012 2012
a b c
B
ab a bc b ac c
= + −
+ − + + − −
HD :
3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
( ) ( )
22
2
1
1 1 1 1
a b abc a b abc
B
ab a abc bc b ac abc abc a b bc bc b ac bc b
= + + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì
1 1 1
1
1 1 1x xy y yz z zx
+ + =
+ + + + + +
HD :
( ) ( )
2
11
1
1 1 1 1
xyz xyz xyz xyz
VT VP
xyz x yz xy xyz y yz z zx xy z xz y xz z z zx
= + + = + + = =
+ + + + + + + + + + + +
Bài 19: Cho xyz=2010, CMR:
2010
1
2010 2010 2010 1
x y z
xy x yz y xz z
+ + =
+ + + + + +
HD :
2
2
1
1
x yz y z
VT
xy x yz xyz yz y xyz xz z
= + + =
+ + + + + +
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết :
2016abc =
2 2016 2 4032 3
3 2 2016 3 2 3 4032 2016
bc b ac
P
c bc b ab ac a
−−
= − +
− + − + − +
Bài 21: Tính GTBT
2 1 2 1 2 1
1 1 1
x xy y yz z zx
P
x xy xz y yz yx z zx zy
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
biết
1xyz =
HD :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1 2 1
1 1 1
yz x xy xz y yz xy z zx
P
yz x xy xz xz y yz xy xy z zx xy
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
y y z z z x x x y
y z z x x y
+ + + + + + + + +
= + +
+ + + + + +
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
y z x
y z x x z y x
= + + + + + +
+ + + + + + +
1 1 1
3
1 1 1
y z x
y z x
+ + +
= + + =
+ + +
Bài 22: Cho
10
3
a
b
=
, Tính
2
2
16 40
8 24
a ab
A
a ab
−
=
−
HD :
22
22
100 10 50
16. 40.
10 10
9 3 9
5
100 10 10
33
8. . 24. .
9 3 9
bb
a
a b A
b
bb
−
= = = = = = =
−
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
0abc+ + =
, CMR:
3 3 3
3a b c abc+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
3 3 3 3 3 3 3
33a b c a b c a b ab a b c a b c abc+ = − + = − + + + = − + + =
Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
3 3 3
3a b c abc+ + =
, CMR:
0abc+ + =
HD :
Ta có :
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3a b c a b c a b c ab bc ac abc+ + = + + + + − − − +
Vì
( )
( )
3 3 3 2 2 2
30a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + = = + + + + − − − =
Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
00a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − =
( Mâu thuẫn vì
abc
)
Nên
0abc+ + =
4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 25: Cho
( )
3 3 3
3 , , , 0a b c abc a b c+ + =
, Tính
1 1 1
a b c
P
b c a
= + + +
HD :
Ta có :
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3a b c a b c a b c ab bc ca abc+ + = + + + + − − − +
, Mà
3 3 3
3a b c abc+ + =
Nên
TH1 :
0 . . . . 1
a b b c a c c a b
a b c P
b c a b c a
+ + + − − −
+ + = = = = = −
TH2 :
( )( )( )
2 2 2
0 1 1 1 1 1 1 8a b c ab bc ca a b c P+ + − − − = = = = = = + + + =
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
a b b c c a
c a b
+ + +
==
, Tính
1 1 1
a b c
B
b c a
= + + +
HD :
Từ gt
( )
2 abc
a b b c c a
c a b a b c
++
+ + +
= = =
++
TH1 : Nếu
0 . . . . 1
a b b c a c c a b
a b c B
b c a b c a
+ + + − − −
+ + = = = = = −
TH2 : nếu
2 2 2
0 2 . . . . 8
a b b c a c c a b
a b c gt B
b c a b c a
+ + +
+ + = = = = = =
Bài 27: Cho
3 3 3 3 3 3 2 2 2
3a b b c c a a b c+ + =
, Tính
1 1 1
a b c
A
b c a
= + + +
HD :
Đặt
3 3 3
3 0 . . . .
ab x
a b b c c a y z x z x y
bc y x y z xyz x y z A
b c a bc ac ab
ac z
=
+ + + + + +
= = + + = = + + = = = =
=
. . 1
ab bc ac
bc ac ab
− − −
= = −
Hoặc :
8x y z a b c A= = = = = = =
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
==
. Tính
1 1 1
a b c
A
b c a
= + + +
HD :
Từ gt=>
a b c b c a c a b a b c
c a b a b c
+ − + − + − + +
===
++
TH1 :
0 . . 1
a b b c a c
a b c A
a c a
+ + +
+ + = = = = −
TH2 :
0 1 2 , 2 , 2 8a b c gt a b c b c a c a b A+ + = = = + = + = + = = =
Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn:
ax by c
bx ay a
cx ay b
+=
+=
+=
, CMR :
3 3 3
3a b c abc+ + =
HD :
Cộng theo vế của gt=>
( ) ( ) ( )( )
10a b c x a b c y a b c a b c x y+ + + + + = + + = + + + − =
TH1:
3 3 3
03a b c a b c abc+ + = = + + =
TH2:
3 3 3
13x y a b c a b c abc+ = = = = + + =
Bài 30: Cho
3 3 3
3a b c abc+ + =
và
0abc+ +
, Tính giá trị
( )
2 2 2
2
abc
N
abc
++
=
++
HD:
5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Từ gt
2
2
31
93
a
a b c N
a
= = = = = =
Bài 31: Cho
3 3 3
3x y z xyz+ + =
, Rút gọn
( )( )( )
xyz
A
x y y z z x
=
+ + +
HD:
Từ gt=>
1: 0 1
xyz
TH x y z A
xyz
+ + = = = = −
−
3
1
2:
2 .2 .2 8
x
TH x y z A
xxx
= = = = =
Bài 32: Rút gọn :
( ) ( ) ( )
333
2 2 2A a b c b c a c a b= + − + + − + + −
HD:
Đặt:
2 , 2 , 2a b c x b c a y c a b z+ − = + − = + − =
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 ... 0A x y z x y z xy yz zx a b c b c a c a b x y z= + + + + − − − = + − + + − + + − + + + =
Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Rút gọn:
222
111
222
A
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Ta có:
( )( )
22
1 1 1
0 0 2ab bc ca a bc a bc ab ca a b a c
abc
+ + = + + = = + = + − − = − −
Tương tự:
( )( ) ( )( )
22
2 , 2b ac b a b c c ba c a c b+ = − − + = − −
Khi đó:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 1
0
c b a c b a
A
a b a c b a b c c a c b a b b c c a
− + − + −
= + + = =
− − − − − − − − −
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và
1 1 1
0
a b c
+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
2 2 2
P
a bc b ac c ab
= + +
− + +
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Rút gọn:
222
222
bc ac ab
B
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Theo bài 26 =>
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
ab c b ac a c ab b a
bc ac ab
B
a b a c b a b c c a c b a b b c c a
− + − + −
= + + =
− − − − − − − − −
Phân tích tử => B
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và
1 1 1
0
abc
+ + =
,Rút gọn:
2 2 2
222
222
a b c
C
a bc b ac c ab
= + +
+++
HD:
Theo bài 26
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
a c b b a c c b a
abc
C
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− + − + −
= = + + =
− − − − − − − − −
Phân tích tử =>C
Bài 37: Cho a,b,c
0, và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Tính
2 2 2
bc ac ab
A
a b c
= + +
HD:
Từ gt =
3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
0
a b c a b c abc
+ + = = + + =
Khi đó:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 3
.3
abc abc abc
A abc abc
a b c a b c abc

= + + = + + = =


Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và
1 1 1
0
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
yz xz xy
A
x yz y xz z xy
= + +
+ + +
6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ac
A
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c a b c a b ab c a b c ab+ + = = + = − = + + = = + − = −
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b c a bc c a b ac+ − = − + − = −
, Khi đó:
3
2 2 2 2
ab bc ac
A
ab bc ac
−
= + + =
− − −
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
B
a b c b a c c a b
= + +
− − − − − −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a a b c bc+ + = = + = − = + + = = − − =
,
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b a c ac c a b ab− − = − − =
, Khi đó:
( )
2 2 2
3 3 3
1 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c abc
B a b c
bc ac ab abc abc
= + + = + + = =
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2 2 2 2 2 2 2
111
A
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −
HD:
Từ:
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a b c a bc+ + = = + = − = + + = = + − = −
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2c a b ac a b c ab+ − = − + − = −
, Khi đó:
1 1 1 1
0
2 2 2 2
abc
A
bc ac ab abc
− + +

= + + = =

− − −

Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c
0, Rút gọn
2 2 2
a b c
A
bc ca ab
= + +
HD:
Từ
3 3 3
03a b c a b c abc+ + = = + + =
, khi đó:
3 3 3
3
3
a b c abc
A
abc abc abc abc
= + + = =
Bài 43: Cho
( )
1 1 1
0, 0, 0, 0x y z
x y z
+ + =
, Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz xz xy
x y z
++
HD:
Với
1 1 1
,,a b c
x y z
= = =
, Áp dụng kết quả câu a ta có:
3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3
1 1 1 3 1 1 1 3
.3
yz zx xy xyz xyz xyz
xyz xyz
x y z xyz x y z x y z x y z xyz

+ + = = + + = + + = + + = =


Bài 44: Cho a+b+c=1,
1 1 1
0
abc
+ + =
, CMR:
2 2 2
1abc+ + =
HD:
Từ
( )
2 2 2
1 2 1a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + =
, (1)
Mà:
1 1 1
0 0 0
ab bc ca
ab bc ca
a b c abc
++
+ + = = + + =
, thay vào (1)=> ĐPCM
Bài 45: Cho x,y,z
0, Thỏa mãn:
x y z xyz+ + =
và
1 1 1
3
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
A
x y z
= + +
HD:
Từ:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 2 3
x y z
x y z x y z xy yz zx x y z xyz
++
+ + = + + + + + = + + + =
7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Nên
2 3 1AA+ = = =
Bài 46: Cho a,b,c
0 và
1 1 1
2
abc
+ + =
, và
a b c abc+ + =
, CMR:
2 2 2
1 1 1
2
abc
+ + =
HD:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 2 4
abc
a b c a b c ab bc ca a b c abc
++
+ + = + + + + + = + + + =
Bài 47: Cho
0, 0a b c x y z+ + = + + =
và
0
abc
x y z
++=
, CMR:
2 2 2
. . . 0a x b y c z+ + =
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn :
3abc+ + =
và
1 1 1
0
abc
+ + =
, Tính
2 2 2
A a b c= + +
HD:
Từ:
( )
2 2 2
3 2 9a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + =
, (1)
Mà:
1 1 1
00ab bc ca
abc
+ + = + + =
thay vào (1)
2.0 9 9AA+ = = =
Bài 49: Cho
1 1 1
2
abc
+ + =
và
a b c abc+ + =
, Tính
2 2 2
1 1 1
A
abc
= + +
HD:
Từ:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4
a b c a b c ab bc ca

+ + = + + + + + =


2 4 2 4 2
abc
A A A
abc
++

+ = + = =


Bài 50: CMR: Nếu
1 1 1
3
abc
+ + =
và a+b+c=abc Thì ta có:
2 2 2
1 1 1
7
abc
+ + =
Bài 51: Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
x y z
A
a b c
=++
HD:
Từ:
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1
x y z x y z xy yz zx cxy ayz bzx
A
a b c a b c ab bc ca abc
++
+ + = + + + + + = + =
(1)
Mà:
00
a b c
ayz bxz cxy
x y z
+ + = + + =
thay vào (1) ta được:
2.0 1 1AA+ = =
Bài 52: Cho
0, 2
x y z a b c
a b c x y z
+ + = + + =
, Tính
2 2 2
2 2 2
a b c
A
x y z
=++
HD:
Từ:
2 2 2
22
2 2 2 2 2
a b c a b c ab bc ca abz bcx cay
A
x y z x y z xy yz zx xyz
++
+ + = + + + + + = + =
(1)
Mà:
00
x y z
bcx acy abz
a b c
+ + = + + =
thay vào (1) ta được:
2.0 2 2AA+ = = =
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn:
1abc =
và
2 2 2
2 2 2
a b c b c a
b c a a b c
+ + = + +
, CMR trong ba số a,b,c
phải có 1 số bằng bình phương số còn lại
HD:
Đặt:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
, , , , 1
a b c b c a
x y z xyz
b c a a x b y c z
= = = = = = = = =
và
1 1 1
x y z xy yz zx
x y z
+ + = + + = + +
8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Xét tích:
( )( )( )
1 1 1 0 1, 1, 1x y z x y z− − − = = = = =
. Với
2
1x a b= = =
(ĐPCM)
Bài 54: Cho
0
x y z
a b c
= =
, Rút gọn:
( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
x y z a b c
A
ax by cz
+ + + +
=
++
HD:
Đặt
,,
x y z
k x ak y bk z ck
a b c
= = = = = = =
thay vào A
Bài 55: Cho:
2 2 2 2 2 2y z x z x y x y z
a b c
+ − + − + −
==
, trong đó a,b,c thỏa mãn:
2 2 ,2 2 ,2 2 0b c a c a b a b c+ − + − + −
, CMR:
2 2 2 2 2 2
x y z
b c a c a b a b c
==
+ − + − + −
HD:
Từ gt
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
22
z x y x y z y z x
b c a
+ − + + − − + −
=
+−
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
22
x y z y z x z x y
c a b
+ − + + − − + −
+−
=
2 2 2 2 2 2
x y z
b c a c a b a b c
==
+ − + − + −
Bài 56: Cho
1 1 1
0, 0xyz
x y z
+ + =
, Tính
2 2 2
yz zx xy
A
x y z
= + +
Bài 57: Cho
0a b c+ + =
, Tính
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
a b c
a b b c c a
++
− + − + −
Bài 58: Tính :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
2
a b c a b c ab bc ca
A
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
Bài 59: Cho
2
2 2 2 0c ab ac bc+ − − =
, Rút gọn biểu thức :
( )
( )
2
2
2
2
a a c
b b c
+−
+−
Bài 60: Cho
2 2 2
1, 1,a b c a b c+ + = + + =
và
x y z
a b c
==
, CMR:
0xy yz zx++=
HD:
Đặt:
( )
2
x y z
k xy yz zx k ab bc ca
a b c
= = = = + + = + +
(1)
Mà:
( )
2 2 2
1 2 1 0a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + + + + = + + =
thay vào (1) ta được:
0xy yz xz+ + =
Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn:
0, 0a b c ab bc ca+ + = + + =
, Tính
( ) ( )
2015 2013
2014
11A a b c= − + + +
HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét:
( )
2 2 2 2 2 2
0 2 0 0a b c a b c ab bc ca a b c+ + = + + + + + = + + =
Do đó : a=b=c=0 thay vào
( )
2015
2014 2013
1 0 1 0A = − + + =
Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
, Tính
( )( )( )
19 5 1890
1 1 1P x y z= − − −
HD:
Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét:
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0
Bài 63: Cho xyz=1,
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
, Tính
( )( )
( )
2015 1006
1 1 1 2016A x y z= − − − +
HD :
Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có :
xy yz zx
x y z xy yz zx
xyz
++
+ + = = + +
Xét tích :
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016
Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
,
Tính :
( )( )( )
15 27 2016
1 1 1A x y z= − − −
HD :
Từ gt ta có :
1 1 1
x y z xy yz zx
x y z
+ + = + + = + +
Xét
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − + + + + + − =
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0
Bài 65: Cho
2 2 2
2 2 2
1 1 1
6x y z
x y z
+ + + + + =
, Tính
2012 2013 2014
A x y z= + +
HD :
Từ gt=>
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2 0x y z
x y z

+ − + + − + + − =


2
22
1 1 1
0x y z
x y z

− + − + − =


Vì
2012 2014
,xy
luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
TH1 :
13yA= = =
TH2 :
11yA= − = =
Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và
1 1 1 1
2000abc
+ + =
, thì 1 trong ba số phải có 1
số bằng 2000
HD :
Từ gt ta có :
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
00
a b a b
a b c a b c a b c a b c ab c a b c
++
+ + = + + − = + =
+ + + + + +
( ) ( ) ( )( )( )
00a b c a b c ab a b b c c a+ + + + = + + + =


TH1 :
0 2000a b c+ = =
TH2 :
0 2000b c a+ = =
TH3 :
0 2000c a b+ = =
Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và
1 1 1
abc
abc
+ + = + +
,
CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1
HD :
Từ gt ta có :
1 1 1
a b c ab bc ca
abc
+ + = + + = + +
Xét tích :
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + − =
nên hoặc a=1 hoặc b=1
hoặc c=1
10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn
100 100 101 101 102 102
a b a b a b+ = + = +
, Tính
2015 2015
P a b=+
HD :
Từ :
( ) ( )
100 100 101 101 100 100
1 1 0a b a b a a b b= = + − + − =
(1)
và
( ) ( )
101 101 102 102 101 101
1 1 0a b a b a a b b+ = + − + − =
(2)
Từ (1) và (2)
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
101 101 100 100 100 100
1 1 1 1 0 1 1 0a a b b a a b b a a b b− + − − − − − = − + − =
Do
( )
( )
2
2
10
1
,0
1
10
a
a
ab
b
b
−=
=
=

=
−=
khi đó :
2015 2015
1 1 2P = + =
Bài 69: Cho
33
22
1
1
ab
ab
+=
+=
, Tính
2014 2014
A a b=+
(CL)
Bài 70: Cho
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +
+ = +
CMR:
n n n n
x y a b+ = +
HD:
Ta có:
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
0x y a b x a x a y b y b+ = + − + + − + =
(1)
Mà
x a b y− = −
thay vào (1) ta được:
( )( )
0b y x a b y− + − − =
TH1 :
22
0
nn
b y b y x a x y a b− = = = = = + = +
TH2 :
0 2 2x a b y x y b a x b x b y a+ − − = − = − = = = = =
=>
n n n n
x y a b+ = +
Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
x y z
A
y z z x x y
++
=
− + − + −
HD :
Ta có :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 2 0 2x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + = + + + + + = + + = − + +
Mẫu :
( )
2 2 2
2 2 2 2x y z xy yz zx+ + − + +
=
( )
2 2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3x y z x y z x y z+ + + + + = + +
Khi đó :
( )
2 2 2
2 2 2
1
3
3
x y z
A
x y z
++
==
++
Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn :
3 3 3
3x y z xyz+ + =
, Tính giá trị của biểu thức :
( )
10 10 10
10
x y z
T
x y z
++
=
++
Bài 73: Cho
0, 2016ax by cz a b c+ + = + + =
, Tính giá trị của biểu thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
bc y z ac z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
++
Bài 74: Cho
1a b c+ + =
( a, b, c khác 1 và 2), CMR :
( )( )( )
2 2 2 2 2 2
8
2 2 2
1 1 1
c ab a bc b ac bc ac ab
a b c
a b abc b c abc a c abc
+ + + + + +
+ + =
− − −
+ + − + + − + + −
Bài 75: Rút gọn :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
2
a b c a b c ab bc ca
A
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
HD :
Ta có : Đặt :
2 2 2
a b c x+ + =
và
ab bx ca y+ + =
khi đó :
( )
2
2a b c x y+ + = +
, thay vào A ta có :
11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
2 2 2
2 2 2
( 2 ) 2
2
x x y y x xy y
A x y a b c ab ab ca
x y y x y
+ + + +
= = = + = + + + + +
+ − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
a b b c c a

+ + + + +

Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn :
1
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
, Tính giá trị của:
2 2 2
a b c
Q
b c c a a b
=++
+ + +
HD:
Nhận thấy
0abc+ + =
không thỏa mãn : nên nhân vào gt với
0abc+ + =
ta được :
( )
a b c
a b c a b c
b c c a a b

+ + + + = + +

+ + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c
abc
b c b c c a c a a b a b
+ + +
+ + + + + = + +
+ + + + + +
0Q a b c a b c Q+ + + = + + =
Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, Tính giá trị của biểu thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c
A
b c c a a b
=++
− − −
HD:
Nhân
1 1 1
b c c a a b

++

− − −

vao gt ta được :
1 1 1
0
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
a b b c c a
P
b c c a c a a b a b b c
+ + +
+ + + =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
0
a b a b b c b c c a c a
P
a b b c c a
+ − + + − + + −
+ =
− − −
0P=
Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn :
1ab bc ca+ + =
, Tính
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
A
abc
+ + +
=
+ + +
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
22
1 a ab bc ca a b a c a a c a b a c+ = + + + = + + + = + +
Tương tự :
( )( )
2
1 b b a b c+ = + +
,
( )( )
2
1 c c a c b+ = + +
khi đó :
1A =
Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn:
1ab bc ca+ + =
,
Tính
( )( )( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1a bc b ca c ab
B
a b b c c a
+ − + − + −
=
− − −
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 1 2a bc a bc ab bc ca a bc ab ac a a b c b a a b a c+ − = + − − − = + − − = − + − = − −
Tương tự :
( )( )
2
21b ca b a b c+ − = − −
,
( )( )
2
21c ab c a c b+ − = − −
Khi đó :
1B =−
Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR :
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
HD :
Ta có :
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 1
a c a b
bc
a b a c a b a c a b a c a b c a
− − −
−
= = − = +
− − − − − − − −
12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Tương tự :
( )( )
11ca
b c b a b c a b
−
=+
− − − −
,
( )( )
11ab
c a c b c a b c
−
=+
− − − −
Khi đó :
1 1 1 1 1 1
VT VP
a b c a b c a b c a b c
= + + + + + =
− − − − − −
Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị :
( )( ) ( )( ) ( )( )
ab bc ca
A
b c c a c a a b a b b c
= + +
− − − − − −
HD :
Đặt :
,,
a b c
xyz
b c c a a b
= = =
− − −
khi đó :
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1 1x y z x y z xy yz zx+ + + = − − − + + = −
Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, CMR trong ba số a,b,c phải có
1 số âm, 1 số dương
HD :
Vì
1 1 1
, , 0a b b c c a
b c c a a b
= + +
− − −
Mà :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
1 1 1
0
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + =
− − − − − −
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
0
a b c a b a c b c
b c c a a b b c c a a b
b c c a a b


+++
+ + + + + =



− − − − − −
− − −



Nhận thấy Tổng B
0 =>
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
,
Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương
Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
A
a b b c c a
= + +
− − −
là bình
phương của 1 số hữu tỉ
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2
a b b c c a a b b c b c c a c a a b
a b b c c a

+ + = + + + + +


− − − − − − − − −
− − −

( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
0
a b b c c a
A A A
a b b c c a
− + − + −
+ = + =
− − −
Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ :
Bài 84: Cho a+b+c=0,
a b b c c a
P
c a b
− − −
= + +
và
c a b
Q
a b b c c a
= + +
− − −
, CMR : P.Q=9
HD :
Xét
( )( )
22
. 1 1 . 1 .
a b c a b
c c b c c a c b bc ac a c
P
a b a b a b a b ab a b ab
− − −
− − − + −

= + + = + = +

− − − −

23
22
11
cc
ab abc
+ = +
, Tương tự :
3
2
.1
aa
P
b c abc
=+
−
và
3
2
.1
bb
P
c a abc
=+
−
khi đó :
( )
3 3 3
2
. 3 9
abc
PQ
abc
++
= + =
13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
abc
A
a b a c b c b a c b c a
= + +
− − − − − −
HD :
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
1
a c b b a c c b a
A
a b b c c a
− + − + −
==
− − −
Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:
,b c a b c +
và
( )
2
2c ac bc ab= + −
,
CMR:
( )
( )
2
2
2
2
a a c
ac
bc
b b c
+−
−
=
−
+−
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2a a c a c c a c a c ac bc ab a c+ − = + − + − = + − − − + −
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
22
2 2 2a c ac b a c a c a c b a c a c+ − + − + − = − + − + −
( )( )
2 a c a c b= − − +
Tương tự ta có :
( ) ( )( )
2
2
2b b c b c b c a+ − = − − +
Khi đó :
( )
( )
2
2
2
2
a a c
ac
bc
b b c
+−
−
=
−
+−
Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2y z z x x y
x y x z y z y x z x z y x y y z z x
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
HD:
Ta có:
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 1 1 1
x y x z
yz
x y x z x y x z x z x y x y z x
− − + −
−−
= = + = +
− − − − − − − −
Tương tự ta có:
( )( )
11zx
y z y x y z x y
−
=+
− − − −
và
( )( )
11xy
z x z y z x y z
−
=+
− − − −
Cộng theo vế ta được:
Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR:
a,
( ) ( )
5 5 5 2 2 2
25a b c abc a b c+ + = + +
b,
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
5 5 5
.
5 3 2
a b c a b c
abc
+ + + +
++
=
HD:
Ta có:
( ) ( )( )
3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2
0 3 3a b c a b c abc abc a b c a b c a b c+ + = = + + = = + + = + + + +
=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2
3abc a b c a b c a b c b c a c a b+ + = + + + + + + + +
Mà:
( )
2
2 2 2
22b c a b c b c bc a bc+ = − = + = + − = −
,Tương tự ta có:
2 2 2
2c a b ac+ = −
2 2 2
2a b c ab+ = −
Nên ta có :
( )( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 2 3 2 3 2
2 2 2a b c a b c a b c a a bc b b ac c c ab+ + + + = + + + − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 2 2 2 5 5 5 2 2 2
2 2 2 5a b c abc a b c a b c abc a b c= + + − + + + + = + +
Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
a b c b a c c a b
+ + =
− − − − − −
HD:
Từ
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b c bc a a b c bc+ + = = + = − = + + = = − − =
,
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
2 , 2b a c ac c a b ab− − = − − =
, Khi đó:
( )
2 2 2
3 3 3
1 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c abc
abc
bc ac ab abc abc
+ + = + + = =
14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 90: CMR:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ +
− − −
HD :
Đăt :
2 2 2
,,
a b b c c a
x y z M x y z
a b b c c a
+++
= = = = = + +
−−−
, Ta cần CM :
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
=>
1xy yz zx+ + = −
(1)
Từ :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
0 2 2 1 2 2x y z x y z xy yz zx M+ + + + − + + = − − = =
Dấu bằng khi
00
a b b c c a
x y z
a b b c c a
+ + +
+ + = + + =
− − −
Bài 91: Cho a+b+c=0 và
2 2 2
14abc+ + =
, Tính
4 4 4
A a b c= + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
14 2a b c a b c a b b c c a= + + = + + + + +
(1). Ta lại có :
( )
2
00a b c a b c+ + = = + + =
( )
2 2 2
20a b c ab bc ca + + + + + =
( )
2 2 2 2 2 2
7 2 49ab bc ca a b b c c a abc a b c + + = − + + + + + =
, Thay lên (1)
2
14 2.49A=+
Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
0, 2010a b c a b c+ + = + + =
, Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
A a b c= + +
HD:
Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
0 2010
1005
22
a b c a b c
ab bc ca
+ + − + +
−
+ + = = = −
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2 2
2 1005 2 .0 1005a b b c c a ab bc ca abc a b c abc= + + = + + − + + = − − =
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2010 1005 2.1005A a b c a b c a b b c c a= = + + = + + − + + = − =
Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn:
2
2
1
7x
x
+=
, CMR:
5
5
1
x
x
+
là 1 số nguyên
HD :
Ta có :
5 4 3
5 4 3
1 1 1 1
x x x x
x x x x
+ = + + − +
Ta tính :
2
2
2
1 1 1
2 9 3x x x
x x x

+ = + + = = + =


,
32
32
1 1 1 1
18x x x x
x x x x
+ = + + − + =
Và
4 3 2
4 3 2
1 1 1 1
47x x x x
x x x x
+ = + + − + =
Bài 94: Cho x
0 và
1
xa
x
+=
, Tính theo a các giá trị của:
a,
3
3
1
x
x
+
b,
6
6
1
x
x
+
c,
7
7
1
x
x
+
HD :
a,
22
2
11
2x a x a
xx
+ = + = −
Nên
( )
3 2 2
32
1 1 1 1
2x x x x a a a
x x x x
+ = + + − + = − −
b,
2
63
63
11
2xx
xx

+ = + −


c,
7 3 4
7 3 4
1 1 1 1
x x x x
x x x x
+ = + + − +
15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 95: Cho x
0 và
2
2
1
xa
x
+=
, Tính theo a các giá trị của:
a,
3
3
1
x
x
+
b,
6
6
1
x
x
+
c,
7
7
1
x
x
+
HD :
Ta có :
2
2
2
1 1 1
22x x x a
x x x

+ = + − = + = +


. Làm giống bài 68
Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn :
5ab+=
và
22
5ab+=
, Tính
33
ab+
Bài 97: Cho
2
2
1
2x
x
+=
, và x > 0. Tính
6
6
6
3
3
3
11
2
11
xx
xx
A
xx
xx
+ − + −
=
+ + +
HD :
2
2
2
1 1 1
2 4 2x x x
x x x

+ = + + = = + =


và
32
32
1 1 1 1
2.2 2 2x x x x
x x x x
+ = + + − + = − =
và
2
63
63
11
22xx
xx

+ = + − =


thay vào A
Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và
2 2 2 2
x y z a+ + =
, Tính
4 4 4
A x y z= + +
theo a
HD :
Ta có :
( )
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( )a x y z A x y y z z x= + + = + + +
, Mặt khác:
( ) ( )
2
2
20x y z a xy yz zx+ + = + + + =
( ) ( )
2 4 4
2
2 2 2 2 2 2
2
2 4 4
a a a
xy yz zx xy yz zx x y y z z x xyz x y z
−
+ + = + + = + + + + + =
4
2 2 2 2 2 2
4
a
x y y z z x++=
Thay lên trên ta đươc :
44
4
2.
42
aa
a A A= + = +
Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và
2 2 2
2010,abc+ + =
Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
A a b c= + +
HD:
Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
0 2010
1005
22
a b c a b c
ab bc ca
+ + − + +
−
+ + = = = −
=>
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2a b b c c a ab bc ca abc a b c+ + = + + − + +
=
( )
2
2
1005 2 .0 1005abc− − =
=>
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2010 1005 2020050A a b c a b c a b b c c a= + + = + + − + + = − =
Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR:
( )
2
4 4 4 2 2 2
1
2
a b c a b c+ + = + +
Bài 10: CMR: Nếu
1 1 1
3
abc
+ + =
và
a+b+c=abc . Thì ta có:
2 2 2
1 1 1
7
abc
+ + =
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
0 2 0 2a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + = + + + + + = + + = − + +
( )
( )
2
2
2 2 2
4a b c ab bc ca+ + = + +
( )
( )
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2a b c a b b c c a a b b c c a abc a b c + + + + + = + + + + +
( ) ( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2a b c a b b c c a a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + = + + + + +
16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2
2 a b c a b c + + = + +
=> ĐPCM
Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn:
1,xy x y+ + = −
và
22
12x y xy+ = −
, Tính
33
A x y=+
HD :
Từ gt ta có :
( )
( )
1
13
12 4
12
xy x y
a b a
ab b
xy x y
+ + = −
+ = − =

=
= − = −
+ = −

hoặc
4
3
a
b
=−
=
Khi đó
( ) ( )
3
3A x y xy x y= + − +
Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính
a,
22
xy+
b,
33
xy+
c,
xy−
d,
55
xy+
HD :
a,
( )
2
22
2 81 28x y x y xy+ = + − = −
b,
( ) ( )
3
3 3 3
3 9 3.14.9 351x y x y xy x y+ = + − + = − =
c,
( ) ( )
22
4x y x y xy− = + −
d,
( )( )
( )
5 5 3 3 2 2 2 2
x y x y x y x y x y+ = + + − +
Bài 103: Cho x-y=2, Tính :
( )
( )
2
33
23A x y x y= − − +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
33
3x y x y xy x y− = − + −
, Mà :
( ) ( ) ( )
22
4 2.8 12 3. 4 4x y x y xy A xy xy+ = − + = = + − +
Bài 104: Cho
1ab+=
, Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( )
3 3 2 2
23C a b a b= + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3C a b a b a b a ab b a b= + − + = + − + − +
( ) ( )
2 2 2 2
23a ab b a b= − + − +
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 1a b ab a b a b ab a b= + − − + = − + − = − + = −
Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính
a,
22
xy+
b,
33
xy+
c,
xy−
,
HD :
( )
2
22
,2a x y x y xy+ = − +
b,
( )
( ) ( )
3 3 2 2
x y x y x y xy x y+ = + + − +
, mà :
( ) ( )
22
4 49 4.60x y x y xy+ = − + = +
Bài 106: Cho a+b=1, tính
( )
( )
3 3 2 2 2 2
36A a b ab a b a b a b= + + + + +
HD :
Ta có :
( ) ( )
3
33
3a b a b ab a b+ = + − +
, và
( )
2
22
2a b a b ab+ = + −
Bài 107: Cho
22
1xy−=
, Tính
( ) ( )
6 6 4 4
23A x y x y= − − +
HD :
( )( ) ( )
6 6 2 2 4 4 2 2 2 2
x y x y x y x y x y− = − + + +
, mà :
( )
2
4 4 2 2 2 2
2x y x y x y+ = − +
, thay vào ta được
Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
3 3 2 2
23C a b a b= + − +
HD :
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3C a b a b a b a ab b a b= + − + = + − + − +
=
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 3 2 1a ab b a b a b ab a b− + − + = − + − = − + = −
17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
0
2012
abc
abc
+ + =
+ + =
, Tính
4 4 4
A a b c= + +
HD:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
22a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + − + + = − + +
=>
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2012
2
24
abc
a b b c c a ab bc ca abc a b c

++
+ + = + + − + + = =


=>
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2012
2
2
A a b c a b c a b b c c a= + + = + + − + + =
Bài 110: Cho
( )
2
2 2 2
x y z x y z+ + = + +
và
, , 0x y z
, CMR:
3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
+ + =
HD :
Từ :
( )
2
2 2 2
1 1 1
0 0 0
xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
xyz x y z
++
+ + = + + = + + = = = = + + =
Khi đó :
3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
+ + =
Bài 111: CMR: Nếu
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + = + +
thì a=b=c
HD:
Từ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
00a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − =
Bài 112: Cho
2 2 2
a b c m+ + =
, Tính theo m giá trị của:
( ) ( ) ( )
222
2 2 2 2 2 2A a b c b c a c a b= + − + + − + + −
HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức:
Bài 113: Cho
2 2 2
4a b c−=
, CMR:
( )( ) ( )
2
5 3 8 5 3 8 3 5a b c a b c a b− + − − = −
HD:
( )
( )
( )
22
2 2 2 2 2
5 3 64 25 30 9 16 16 3 5VT a b c a ab b a b a b= − − = − + − + = −
Bài 114: Tìm x,y biết:
22
22
11
4xy
xy
+ + + =
HD:
22
22
11
2 2 0xy
xy

+ − + + − =


Bài 115: Tìm x,y,z biết :
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5
x y z x y z++
+ + =
HD:
2 2 2 2 2 2
0
2 5 3 5 4 5
x x y y z z
− + − + − =
Bài 116: Cho
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c
− − −
==
, CMR :
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
==
HD:
Đặt gt =k=>
2 2 2
,,
x yz y zx z xy
abc
k k k
− − −
= = =
, sau đó tính:
2 2 2
,,a bc b ca c ab− − −
rồi thay vào
18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 117: Cho
1
0,
2000
ax by cz a b c+ + = + + =
, CMR :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2000
ax by cz
bc y z ac x z ab x y
++
=
− + − + −
HD:
Từ
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
02ax by cz a x b y c z abxy bcyz acxz+ + = + + = − + +
Xét mẫu số:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
222bc y yz z ac x xz z ab x xy y− + + − + + − +
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bcy bcz acx acz abx aby a x b y c z= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c ax by cz= + + + + + + + + = + + + +
1
2000VT
abc
==
++
Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn :
ay bx cx az bz cy
c b a
− − −
==
, CMR :
( )
( )( )
2
2 2 2 2 2 2
ax by cz x y z a b c+ + = + + + +
HD:
Đặt gt=k=>
2 2 2
00
acy bcx bcx abz abz acy
k ay bx cx az bz cy
c b a
− − −
= = = = = − = − = − =
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
00ay bx cx az bz cy ay bx cx az bz cy− = − = − = − + − + − =
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
20a y b x c x a z b z c y aybx cxaz bzcy= + + + + + − + + =
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a y a z a x b x b y b z c x c y c z+ + + + + + + +
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0a x b y c z axby bycz axcz− + + + + + =
( )( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
0a b c x y z ax by cz + + + + − + + =
=>ĐPCM
Bài 119: Cho
2 2 2
,,x yz a y zx b z xy c− = − = − =
CMR :
( )( )
ax by cz x y z a b c+ + = + + + +
Với
, , 0x y z
HD:
Từ gt=>
3
3 3 3 3
3
3
x xyz ax
y xyz by ax by cz x y z xyz
z xyz cz
−=
− = = + + = + + −
−=
( )
( )
( )( )
2 2 2
ax by cz x y z x y z xy yz zx x y z a b c= + + = + + + + − − − = + + + +
Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
xy
yz
zx
+ + =
+ + =
+ + =
, Tính
2000 2000 2000
A x y z= + +
HD:
Cộng theo vế của gt ta được:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0 1x x y y z z x y z+ + + + + + + + = = = = = −
Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính
P x y z= + +
HD:
Từ gt ta có:
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2 2
1 1 4
1 1 16 1 1 1 4.16.9 1 1 1 24
1 1 9
xy
x z x y z x y z
yz
+ + =
+ + = = + + + = = + + + =
+ + =
19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:
3 3 3
12
2
4 27
x y xyz z+ − = −
, Tính giá trị của biểu
thức:
2018
6 3 2
1
6 3 2
x y z
N
x y z

+−
=−

−+

HD:
Vì
( ) ( ) ( )
3
3 3 3
33
12
2 6 3 2 108
4 27
z
x y xyz x y z xyz
−
+ − = = + + =
Áp dụng hằng đẳng thức:
3 3 3
0
3
a b c
a b c abc
a b c
+ + =
+ + = =
==
Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có:
3 3 3
3a b c abc+ + =
, mà x, y,z dương nên
6 3 2 0 6 3 2x y z x y z+ + = = =
thay vào ta có :
2018 2018
6 3 2 2 2 2
2 2 0
6 3 2 2 2 2
x y z z z z
N
x y z z z z
+ − + −
= − = − =
− + − +
Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn:
1 1 1
a b c
b c a
+ = + = +
,
CMR: abc=1 hoặc abc=-1
HD:
Từ gt=>
2
11
,,
b c c a a b
a b a b T b c c a
c b bc ca ab
− − −
− = − = − = = − = − =
Nhân theo vế:
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
2 2 2
2
10
a b b c c a
a b b c c a a b b c c a a b c
abc
− − −
− − − = = − − − − =
Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên
( )
2
11abc abc= = =
, hoặc -1
Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn:
,by cz a+=
và
ax cz b+=
và
ax by c+=
, Trong đó a,b,c là các số dương
cho trước, CMR :
1 1 1
1 1 1x y z
++
+ + +
, không phụ thuộc vào a,b,c
HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
( ) ( ) ( )
12
2 2 2 1
1
c
a b c ax by cz a b c c cz c z
z a b c
+ + = + + = + + = + = + = =
+ + +
Tương tự:
1 2 1 2
,
11
ab
x a b c y a b c
==
+ + + + + +
Bài 125: Cho
,,
a b b c c a
x y z
a b b c c a
− − −
= = =
+ + +
, Thì
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
HD:
Tính
2
11
a b a
x
a b a b
−
+ = + =
++
, Tương tự là ra
Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR:
. . . 1
a b b c a c b c a c b a
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + +
+ + = −
− − − − − −
HD:
Đặt:
22
1 , 1
a b a b
x x x
a b a b a b
+
= = + = − =
− − −
,
22
1 , 1
b c a c
y y y
b c b c b c
+
= = + = − =
− − −
22
1 , 1
c a c a
z z z
c a c a c a
+
= = + = − =
− − −
, Khi đó:
( )( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − −
Khi đó:
1xy yz zx+ + = −
20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 127: Cho
x by cz=+
và
y ax by=+
,
z ax by=+
và x+y+z khác 0.
Tính giá trị:
1 1 1
1 1 1
A
abc
= + +
+ + +
HD:
Cộng theo vế gt ta được:
( ) ( ) ( )
12
2 2 2 1
1
x
x y z ax by cz ax x x a
a x y z
+ + = + + = + = + = =
+ + +
Tương tự:
1 2 1 2
,
11
yz
b x y z c x y z
==
+ + + + + +
Bài 128: Cho
2
2
2
a by cz
b ax cz
c ax by
=+
=+
=+
và
0abc+ +
, Rút gọn:
1 1 1
2 2 2
M
x y z
= + +
+ + +
HD:
Cộng theo vế gt tacó
( )
2 2 2 2 2 2 2 2a b c ax by cz a b c ax by cz ax a a x+ + = + + + + = + + = + = +
1
2
a
x a b c
= =
+ + +
, Tương tự:
1
2
b
y a b c
=
+ + +
,
1
2
c
z a b c
=
+ + +
Bài 129: Cho
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
a b c b c a c a b
ab bc ac
+ − + − + −
+ + =
, CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số
kia
HD:
Từ gt ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c c b c a a c a b b abc+ − + + − + + − =
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 0a b c ab c b c a bc a c a b ac b+ − + + + − − + + − − =
( )( ) ( )( ) ( )( )
0a b c a b c c b c a b c a a c a b c a b b+ + + − + − + − − + − + − − =
( )( )( )
0a b c a c b b c a+ − + − + − =
c a b=+
hoặc
a c b+=
hoặc:
b c a+=
Bài 130: Cho
0ax by cz+ + =
, Rút gọn
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
++
HD:
Từ
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
02ax by cz a x b y c z abxy bcyz acxz+ + = + + = − + +
Xét mẫu số:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
222bc y yz z ac x xz z ab x xy y− + + − + + − +
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bcy bcz acx acz abx aby a x b y c z= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c ax by cz= + + + + + + + + = + + + +
Khi đó:
( )
( )
2 2 2
2 2 2
a b c ax by cz
A a b c
ax by cz
+ + + +
= = + +
++
Bài 131: Cho
0x y z+ + =
, Rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
x y z
B
y z z x x y
++
=
− + − + −
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2 0 2x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + = + + + + + = + + = − + +
Khi đó: Mẫu =
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3x y z xy yz zx x y z x y z x y z+ + − + + = + + + + + = + +
Vậy
1
3
B =
21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c
0 và
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
x y z x y z
a b c a b c
++
=++
++
, Tính
2 9 1945
2017P x y z= + + +
HD:
Từ gt=>
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0
x x y y z z
a b c a a b c b a b c c
− + − + + =
+ + + + + +
nên
0 2017x y z P= = = = =
Bài 133: Cho a,b,c là ba số thực
0 thỏa mãn:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
++
, CMR:
2015 2015 2015 2015 2015 2015
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
++
HD:
Từ gt ta có:
( )
1 1 1 1
00
b c b c
a a b c b c a a b c bc
++

− + + = + =

+ + + +

TH1:
2015 2015 2015 2015 2015 2015
1 1 1 1
0b c b c
a b b a b b
−
+ = = = − = + + =
+−
TH2:
( )( )
2
2
11
0 0 0bc a ab ac a b a c
a ab ac bc
+ = + + + = + + =
++
=> giống TH1:
Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1006
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + =
+ + + + + +
,
Tính giá trị của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 2 2
a b b c c a
M
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
HD :
( )
2M a b c= + +
Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn:
, 0,x y xyz
và
( )
( )
( )
( )
22
11x y xz yz y x yz xz− − = − −
,
CMR :
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
HD:
Từ GT ta có:
( )
( ) ( )
( )
22
11x yz y xz x yz y xz− − = − −
=
2 3 2 2 2
x y x yz y z xy z− − +
=
2 2 2 2
xy x z x yz−−
=
2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
0x y x yz y z xy z xy x z xy z x yz− − + − + + − =
=
( )
( ) ( )
2 2 2 2
0xy x y xyz yz y xz x z x y− − + − − + − =
=
( ) ( )
0x y xy xyz x y z xz yz− − + + + + =


Do x # y nên
( )
0xy xz yz xyz x y z+ + − + + =
hay
( )
xy xz yz xyz x y z+ + = + +
Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn :
2 2 2
11
,
26
a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + =
, Tính giá trị của
biểu thức:
a b c
P
b c c a a b
=++
+ + +
Bài 137: Cho
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
;
2
a b c
b c a
xy
bc
b c a
−−
+−
==
+−
, Tính giá trị của biểu thức
M x y xy= + +
22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 138: Cho biết
2
2
13
x
xx
=−
++
, Tính độ dài của biểu thức :
2
42
1
x
xx++
HD :
Từ gt ta có :
2
2
2 1 3 1 3 1 5
1
1 3 2 2 2
x x x
xx
x x x x x
− + + − − −
= = = = + + = = + =
++
Nên
2
42
2
22
1 1 1 25 21
1 1 1
44
xx
xx
x x x
++

= + + = + − = − =


Vậy
2
42
4
1 21
x
xx
=
++
(Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được
12
1
2,
2
xx==
rồi thay vào)
Bài 139: CMR:
( ) ( )
22
11
x yz y xz
x yz y xz
−−
=
−−
với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z)
HD:
Từ GT ta có:
( )
( ) ( )
( )
22
11x yz y xz x yz y xz− − = − −
=
2 3 2 2 2
x y x yz y z xy z− − +
=
2 2 2 2
xy x z x yz−−
=
2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
0x y x yz y z xy z xy x z xy z x yz− − + − + + − =
=
( )
( ) ( )
2 2 2 2
0xy x y xyz yz y xz x z x y− − + − − + − =
=
( ) ( )
0x y xy xyz x y z xz yz− − + + + + =


Do x # y nên
( )
0xy xz yz xyz x y z+ + − + + =
hay
( )
xy xz yz xyz x y z+ + = + +
Bài 140: Cho x>y>0, hãy so sánh
xy
A
xy
−
=
+
và
22
22
xy
B
xy
−
=
+
HD:
( )( )
( )
2
x y x y
A
xy
−+
=
+
, Mà
2 2 2 2 2 2
2 , 0x y xy x y x y+ + + −
nên
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y
A
xy x y x y
−−
=
+ + +
Vậy A<B
Bài 141: Cho x(m+n)=y(n+p)=z(p+m), Trong đó x,y,z là các số khác nhau và khác 0
CMR :
( ) ( ) ( )
m n n p p m
x y z y z x z x y
− − −
==
− − −
HD :
Từ giải thiết ta có :
( ) ( ) ( )
x m n y n p z p m
m n n p p m
xyz xyz xyz yz xz xy
+ + +
+ + +
= = = = +
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p m n p m n p m n p m n
xy xz yz xy xz yz
+ − + + − + + − +
==
− − −
= ĐPCM
Bài 142: Tính giá trị của biểu thức: a,
2 2 2
22
2
:
x y z yz x y z
A
x xz y yz x y z
− − + + −
=
+ − − + +
với
2 8 1
1 , , 3
3 3 3
x y z= = =
HD:
Rút gọn biểu thức
( )( )
( )( )
:
x y z x y z
x y z x y z
A
x y x y z x y z x y
+ − − +
+ − − +
==
− + + + + −
Bài 143: Cho các số a,b lần lượt thỏa mãn hệ thức:
3 2 3
3 5 2011 0, 3 5 2005 0a a a b b b− + − = − + + =
, Tính
a+b
HD:
Từ điều kiện ta có:
( ) ( )
3
1 2 1 2008 0aa− + − − =
và
( ) ( )
3
1 2 1 2008 0bb− + − + =
23
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Cộng theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 0a b a b a b a a b b a b

− + − + + − = = + − − − − − + − + + − =

=>
( ) ( ) ( )( ) ( )
22
2 1 1 1 1 2 0a b a a b b

+ − − − − − + − + =

, Vì
( ) ( )( ) ( )
22
1 1 1 1 2a a b b− − − − + − +
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
1 1 2 0
2 2 2
a b a b− + − + − +
nên a+b - 2=0=> a+b=2
Bài 144: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức:
22
5 5 8 2 2 2 0x y xy x y+ + + − + =
Tính giá trị của biểu thức:
( )
( )
3 3 2 2 2 2
36M a b ab a b a b a b= + + + + +
Bài 145: Cho x,y,z khác 0 và x-y-z=0, Tính
1 1 1
z x y
B
x y z

= − − −


Bài 146: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn:
0
a b c b c a c a b
ab bc ca
+ − + − + −
− − =
,
CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số kia
Bài 147: Cho
1 1 1
k
abc
+ + =
và a+b+c=abc, Tính k để
2 2 2
1 1 1
k
abc
+ + =
b,
2
2 1 2 2
x y z
Q
xy x yz y xz z
= + +
+ + + + + +
với xyz=2 và các mẫu thức đều khác 0
Bài 148: Tính tổng:
a,
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
A
y z x z x y x y z
= + +
+ − + − + −
,
1 1 1
x y z
P
xy x yz y xz z
= − +
− + + − + + −
với xyz=1 và các
mẫu thức đều bằng 0
Bài 149:
a, CMR:
( ) ( )
4
1 1 1
11
4 2 2
n n n n n
+ = − + + +
b, Áp dụng câu a, thu gọn:
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 3 5 ... 13
4 4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 ... 14
4 4 4 4
A
+ + + +
=
+ + + +
Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì :
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
a b c
a b c
a b a c b c b a c a c b
+ + = + +
− − − − − −
Bài 151: Chứng minh rằng : Nếu
4 4 4 4
4a b c d abcd+ + + =
và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d
Bài 152: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, CMR :
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
Bài 153: Chứng minh rằng nếu :
123
2 3 4 1
1 1 1 1
...
n
x x x x
x x x x
+ = + = + = = +
, thì
1 2 3
....
n
x x x x= = = =
hoặc :
1 2 3
. . .... 1
n
x x x x =
Bài 154: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn:
1 1 1
2
a b c
+ + =
và
a b c abc+ + =
, thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
24
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 155: Cho
2a b c p+ + =
, CMR:
( )
2 2 2
24bc b c a p p a+ + − = −
Bài 156: Cho
2 2 3 3
,,x y a x y b x y c+ = + = + =
, CMR:
3
3 2 0a ab c− + =
Bài 157: Cho
2 2 2
0, 1a b c a b c+ + = + + =
, Tính giá trị của:
4 4 4
M a b c= + +
Bài 158: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn:
( )
2
2 2 2
a b c a b c+ + = + +
, CMR:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
Bài 159: Cho
1 1 1
0
a b c
+ + =
, Tính giá trị của:
b c c a a b
M
a b c
+ + +
= + +
Bài 160: Cho
1
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
, CMR:
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
Bài 161: Cho
. . . 0a x b y c z+ + =
, Rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
. . .a x b y c z
A
bc y z ac x z ab x y
++
=
− + − + −
Bài 162: Chứng minh rằng nếu:
3x y z+ + = −
thì:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3 3 3
1 1 1 3 1 1 1x y z x y z+ + + + + = + + +
Bài 163: Cho
0, 0, 0
abc
a b c x y z
x y z
+ + = + + = + + =
, CMR:
2 2 2
.0a x by cz+ + =
Bài 164: Cho
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
, CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
Bài 165: Cho
2
2
3
1
x
xx
=
++
, Hãy tính giá trị của biểu thức:
2
42
1
x
xx++
HD:
Từ:
2
2
2 1 3
32
1
x x x
x
xx
− + + −
= = =
++
, hay
1 3 1 5
1
22
xx
xx
−−
+ + = = + =
2
42
2
22
1 1 1 21
11
4
xx
xx
x
xx

++
= = + + = + − =


, vậy
2
42
4
21
1
x
xx
=
++
Bài 166: Cho các số a, b, c thỏa mãn các hệ thức sau:
32
3
3 5 2011 0
3 5 2005 0
a a a
b b b
− + − =
− + + =
, Tính a+b
HD:
Từ điều kiện ta có:
( ) ( )
2
1 2 1 2008 0aa− + − − =
(1)
Và
( ) ( )
2
1 2 1 2008 0bb− + − + =
(2)
Cộng theo vế ta được :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 0a b a b a b a a b b a b

− + − + + − = = + − − − − − + − + + − =


( ) ( ) ( )( ) ( )
22
2 1 1 1 1 2 0a b a a b b

= + − − − − − + − + =


Vì
( ) ( )( ) ( )
22
1 1 1 1 2a a b b− − − − + − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
1 1 2 0
2 2 2
a b a b= − + − + − +
Nên
2 0 2a b a b+ − = = + =
25
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 167: Chứng minh rằng nếu:
( ) ( )
( )
22
, , 0, 1, 1
11
x yz y xz
x y xyz yz xz
x yz y xz
−−
=
−−
, thì:
( )
xy xz yz xyz x y z+ + = + +
HD:
Từ GT
( )
( ) ( )
( )
22
11x yz y xz x yz y xz= − − = − −
2 3 2 2 2
x y x yz y z xy z= − − +
2 2 3 2 2
xy x z xy z x yz= − − +
2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
0x y x yz y z xy z xy x z xy z x yz= − − + − + + − =
<=>
( )
( ) ( )
2 2 2 2
0xy x y xyz yz y xz x z x y− + + − − + − =
( ) ( )( ) ( )( )
0xy x y xyz x y x y z z x y x y= − − − + + + − + =
( ) ( )
0x y xy xyz x y z xz yz

= − − + + + + =

Do
( )
00x y xy xz yz xyz x y z− = + + − + + =
Hay
( )
xy xz yz xyz x y z+ + = + +
Bài 168: Cho
( ) ( ) ( )
x m n y n p z p m+ = + = +
, trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0, CMR :
( ) ( ) ( )
m n n p p m
x y z y z x z x y
− − −
==
− − −
HD :
Vì
0xyz
và
( ) ( ) ( )
x m n y n p z p m+ = + = +
( ) ( ) ( )
x m n y n p z p m
xyz xyz xyz
+ + +
= = =
, hay
m n n p p m
yz xz xy
+ + +
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p m n p m n p m n p m n
xy xz yz xy xz yz
+ − + + − + + − +
= = =
− − −
( ) ( ) ( )
m n n p p m
x y z y z x z x y
− = −
===
− − −
Bài 169: Rút gọn:
2 1 2 1 2 1
1 1 1
xy x yz y zx z
A
xy x y yz y z zx z x
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( )
( )( )
1
21
11
1 1 1 1
11
xy x y x y
xy x x y x y
xy x y xy x y x y
xy
+ + + + −
+ + −
= = + = + −
+ + + + + + + +
++
21
1
1 1 1
yz y y z
yz y z y z
++
= + −
+ + + + +
,
21
1
1 1 1
zx z z x
zx z x z x
++
= + −
+ + + + +
Cộng theo vế ta được A=3
Bài 170: Chứng minh rằng:
( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
2x y z x y z+ + = + +
, biết rằng: x+y+z=0
HD:
Ta có:
( ) ( )
2
2
0x y z x y z x y z

+ + = = = − + = = − +

( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2x y z xz x y z xz x y z xz= = + + = − − = = − − =
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4x y z x y x z y z x z= + + − − + =
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2x y z x y x z y z= + + = + +
4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2x y z x y z x y z x y x z y z= + + + + + = + + + + +
( ) ( )
2
4 4 4 2 2 2
2 x y z x y z= + + = + +
26
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
BGH DUYỆT
TỔ CHUYÊN MÔN DUYỆT
GIÁO VIÊN
| 1/26

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ab Bài 1: Cho : 2 2
4a + b = 5ab và 2a b  0 , Tính giá trị của : A = 2 2 4a − b HD : Từ : 2 2 2 2
4a + b = 5ab  4a − 4ab − ab + b = 0  (4a −b)(a −b) = 0
TH 1: 4a − b = 0  4a = b ( mâu thẫn vì 2a > b) 2 a 1
TH 2: a − b = 0  a = b = A = = 2 2 4a − a 3 a − b Bài 2: Cho 2 2
3a + 3b = 10ab và b a  0 , Tính A = a + b HD: Từ: 2 2 2 2
3a + 3b =10ab  3a − 9ab − ab + 3b = 0  (a −3b)(3a −b) = 0
TH 1: a − 3b = 0  a = 3b( mâu thuẫn vì b > a > 0) a − 3a 1 −
TH 2: 3a − b = 0  3a = b = A = = a + 3a 2 3x − 2y Bài 3: Cho 2 2
9x + 4y = 20xy (2y  3x  0), Tính A = 3x + 2y HD: Từ: 2 2
9x + 4y = 20xy  ( x − 2y)(9x − 2y) = 0 3x − x 1
TH1: x = 2 y = A = = 3x + x 2
TH2: 9x = 2 y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0) x − y Bài 4: Cho 2 2
x − 2y = x ,
y ( y  0, x + y  0) ,Tính A = x+ y HD: Từ 2 2 2 2
x − 2y = xy x − xy − 2y = 0  (x − 2y)(x + y) = 0 2y − y 1
TH1: x − 2y = 0  x = 2y = A = = 2y + y 3
TH2: x + y = 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) x + y
Bài 5: Cho x y  0 và 2 2
2x + 2y = 5xy , Tính A = x− y HD: Từ: 2 2 2 2
2x + 2y = 5xy  2x − 5xy + 2y = 0  (x − 2y)(2x − y) = 0 2y + y
TH1: x = 2y = A = = 3 2y − y
TH2: 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) 2 x − 2xy
Bài 6: Cho 3x − y = 3z và 2x + y = 7z , Tính A = x y  2 2 x + , , 0 y HD: 2 2 3
x − y = 3zx = 2z 4z −12z 8 − Từ gt ta có:  =  = A = = 2 2
2x + y = 7zy = 3z 4z + 9z 13 1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 1 Bài 7: Cho xy = 1 − , Tính P = + 2 2 y − xy x − xy HD: 1 1 −x + y −(x − y) Ta có: P = + = = =
y ( y − x)
x ( x − y)
xy ( x − y) − (x − y) 1 1 x 2x − 3y
Bài 8: Cho 3y − x = 6 , Tính giá trị của A = + y − 2 x − 6 HD: 3y − 6
2(3y − 6) − 3y
Ta có: 3y − x = 6 = x = 3y − 6 = A = + = 3+1=12 y − 2 3y − 6 − 6 Bài 9: Tính biểu thức : 2 2 2 x y z a, A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y + z − x
z + x − y x + y −
với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 z x y z b, P = − +
−xy + x +1 yz − y +1 xz + z − với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 1  z   x   y
Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B = 1 − 1 − 1 +      x   y  z a + b
Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A =
a + b = ab a − với b> a> 0 và 2 2 2 2 5 b 2 2 x + y 10 x − y
Bài 12: Cho y x  0, = M = xy
3 , tính giá trị của biểu thức: x + y
2a −1 5− a  1  2
Bài 13: Cho biểu thức: P = + , a   10a + 5a = 3 3a 1 3a 1  3 − +
, Tính giá trị của P biết:   2015a b c
Bài 14: Cho abc=2015, Tính A = + +
ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + 1 HD : 2 a bc b c A = + + 2
ab + a bc + abc
bc + b + abc ac + c +1 2 a bc b c ac + c +1 = + + = =
ab ( + ac + c) b(c + + ac) 1 1 1 ac + c +1 ac + c + 1 a b 2c
Bài 15: Cho abc=2, Tính B = + + ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + 2 HD : 2 2 a b abc a b abc B = + + = + + =1 2
ab + a + abc bc + b +1
ac + abc + abc
a (b +1+ bc) bc + b +1 ac (1+ bc + b) a b c
Bài 16: Cho abc=1, Tính A = + + ab + a +1 bc + b +1 ac + c + 1 HD : 2 2 a bc b c a bc b c A = + + = + + =1 2
ab + a bc + abc
bc + b + abc ac + c +1
ab (1+ ac + c) b (c +1+ ac) ac + c + 1 a b 2012c
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B = + − ab + a − 2012 bc + b +1 ac − 2012c − 2012 HD : 2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 2 a b abc a b abc B = + + = + + =1 2
ab + a + abc bc + b +1
ac + abc + abc
a (b +1+ bc) bc + b +1 ac (1+ bc + b) 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì + + =1 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx HD : xyz xyz 1 xyz xyz 1 VT = + + = + + =1=VP 2
xyz + x yz + xy
xyz + y + yz 1+ z + zx
xy ( z + xz + ) 1
y (xz +1+ z) 1+ z + zx 2010x y z Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: + + =1
xy + 2010x + 2010 yz + y + 2010 xz + z +1 HD : 2 x yz y z VT = + + =1 2
xy + x yz + xyz
yz + y + xyz xz + z +1
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac P = − +
3c − 2bc + 2016 3 − 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a x + 2xy +1 y + 2yz +1 z + 2zx +1 Bài 21: Tính GTBT P = + + xyz =
x + xy + xz +1 y + yz + yx +1 z + zx + zy +1 biết 1 HD :
yz(x + 2xy + ) 1
xz(y + 2yz + ) 1
xy(z + 2zx + ) 1 P = + + yz(x + xy + xz + ) 1
xz(y + yz + xy + ) 1
xy(z + zx + xy + ) 1
(1+ y)+ y(1+ z) 1+ z + z(1+ x) 1+ x + x(1+ y) = ( + + 1 + y)(1+ z)
(1+ z)(1+ x) (1+ x)(1+ y) y 1 1 1 z 1 x = + + + + + +
1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x
y +1 1+ z 1+ x = + + = 3 y +1 1+ z x +1 a 10 2 16a − 40ab Bài 22: Cho = , Tính A = b 3 2 8a − 24ab HD : 100 10 50 2 2 16. b − 40. b a 10 10 9 3 9 = = a = b = A = = = 5 b 3 3 100 10 10 2 2 8. .b − 24. .b 9 3 9
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a + b + c = 0 , CMR: 3 3 3
a + b + c = 3abc HD : 3
Ta có : a + b = c −  (a +b) 3 3 3 = c
−  a + b + ab(a +b) 3 3 3 3 3 = c
−  a + b + c = 3abc
Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 3 3 3
a + b + c = 3abc , CMR: a + b + c = 0 HD : Ta có : 3 3 3
a + b + c = (a + b + c)( 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ac) + 3abc Vì 3 3 3
a + b + c = abc = (a + b + c)( 2 2 2 3
a + b + c − ab − bc − ca) = 0 2 2 2 Mà 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca = 0  (a − b) + (b − c) + (c − a) = 0 ( Mâu thuẫn vì a b c )
Nên a + b + c = 0 3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức  a  b  c  Bài 25: Cho 3 3 3
a + b + c = 3ab , c ( , a ,
b c  0) , Tính P = 1+ 1+ 1+      b  c  a  HD : Ta có : 3 3 3
a + b + c = (a + b + c)( 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca) + 3abc , Mà 3 3 3
a + b + c = 3abc Nên
a + b b + c a + c −c −a b −
TH1 : a + b + c = 0 = P = . . = . . = 1 − b c a b c a TH2 : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca = 0 = a = b = c = P = (1+ ) 1 (1+ ) 1 (1+ ) 1 = 8 + + +  a  b  c
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b b c c a = = , Tính B = 1+ 1+ 1+     c a bb  c  a  HD : a + b b + c c + a
2(a + b + c) Từ gt = = = c a b a + b + c
a + b b + c a + c −c −a b −
TH1 : Nếu a + b + c = 0 = B = . . = . . = 1 − b c a b c a
a + b b + c a + c 2c 2a 2b
TH2 : nếu a + b + c  0 = gt = 2 = B = . . = . . = 8 b c a b c aa  b  c  Bài 27: Cho 3 3 3 3 3 3 2 2 2
a b + b c + c a = 3a b c , Tính A = 1+ 1+ 1+      b  c  a  HD : ab = x
a + b b + c c + a
y + z x + z x + y Đặt 3 3 3 b
c = y = x + y + z = 3xyz = x + y + z = 0 = A = . . = . . b c a bc ac abac = z  −ab b − c −ac = . . = 1
− Hoặc : x = y = z = a = b = c = A = 8 bc ac ab
a + b − c
b + c − a
c + a − ba  b  c
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: = = . Tính A = 1+ 1+ 1+     c a bb  c  a  HD :
a + b − c
b + c − a
c + a − b a + b + c Từ gt=> = = = c a b
a + b + c
a + b b + c a + c
TH1 : a + b + c = 0 = A = . . = 1 − a c a
TH2 : a + b + c  0 = gt = 1 = a + b = 2 ,
c b + c = 2a, c + a = 2b = A = 8
ax + by = c
Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: b
x + ay = a , CMR : 3 3 3
a + b + c = 3abc
cx + ay = b  HD :
Cộng theo vế của gt=> (a + b + c) x + (a + b + c) y = a + b + c = (a + b + c)(x + y − ) 1 = 0 TH1: 3 3 3
a + b + c = 0 = a + b + c = 3abc TH2: 3 3 3
x + y =1= a = b = c a + b + c = 3abc 2 2 2 a + b + c Bài 30: Cho 3 3 3
a + b + c = 3abc và a + b + c  0 , Tính giá trị N = (
a + b + c)2 HD: 4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 3a 1
Từ gt = a = b = c = N = = 2 9a 3 xyz Bài 31: Cho 3 3 3
x + y + z = 3xyz , Rút gọn A = (x+ y)(y + z)(z + x) HD: xyz 3 x 1
Từ gt=> TH1: x + y + z = 0 = A = = 1
− TH2: x = y = z = A = = −xyz 2 . x 2 . x 2x 8 3 3 3
Bài 32: Rút gọn : A = (a + b − 2c) + (b + c − 2a) + (c + a − 2b) HD:
Đặt: a + b − 2c = ,
x b + c − 2a = y, c + a − 2b = z
A = ( x + y + z)( 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx) = (a + b − c + b + c − a + c + a − b)( 2 2 2 2 2 2
x + y + z + .. ) . = 0 1 1 1
Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 1 1 1
+ + = 0, Rút gọn: A = + + a b c 2 2 2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: 1 1 1 Ta có: 2 2
+ + = 0  ab + bc + ca = 0 = a + 2bc = a + bc − ab − ca = (a −b)(a − c) a b c Tương tự: 2
b + ac = (b − a)(b − c) 2 2
,c + 2ba = (c − a)(c −b) 1 1 1
c − b + a − c + b − a Khi đó: A = ( + + = =
a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
(a −b)(b−c)(c − a) 0 1 1 1 1 1 1
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và + + = 0 P = + + a b c , Tính 2 2 2
a − 2bc b + 2ac c + 2ab bc ac ab
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 1 1 1
+ + = 0, Rút gọn: B = + + a b c 2 2 2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 => bc ac ab
ab (c − b) + ac (a − c) + ab (b − a) B = ( + + =
a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
(a −b)(b −c)(c − a ) Phân tích tử => B 2 2 2 a b c
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 1 1 1 + + = 0,Rút gọn: C = + + a b c 2 2 2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 2 2 2 2 a b c
a (c − b) 2
+ b (a − c) 2
+ c (b − a) = C = ( + + =
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
(a −b)(b −c)(c − a ) Phân tích tử =>C 1 1 1 bc ac ab Bài 37: Cho a,b,c  0, và + + = 0 , Tính A = + + a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1 1 1 1 1 3 Từ gt = + + = 0 = + + = 3 3 3 a b c a b c abc abc abc abc  1 1 1  3 Khi đó: A = + + = abc + + = ab . c = 3   3 3 3 3 3 3 a b ca b c abc yz xz xy
Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và 1 1 1 + + = 0, Tính A = + + x y z 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy 5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ab bc ac
Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c  0, Rút gọn A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b − c
b + c − a c + a − b HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = a + b = c
− = a + b + 2ab = c = a + b − c = 2 − ab Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b + c − a = 2 − b ,
c c + a −b = 2 − ac , Khi đó: ab bc ac 3 − A = + + = 2 − ab 2 − bc 2 − ac 2 2 2 2 a b c
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn B = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − a − c
c − a − b HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = a − b − c = 2bc , Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b − a − c = 2a ,
c c − a −b = 2ab , Khi đó: 2 2 2 a b c 1 3abc 3 B = + + = ( 3 3 3
a + b + c ) = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 1 1 1
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b + c − a
c + a − b a + b − c HD: Từ: 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = b + c − a = 2 − bc Tương tự: 2 2 2 2 2 2
c + a −b = 2 − a ,
c a + b − c = 2 − ab , Khi đó: 1 1 1 1
−  a +b + c A = + + = = 0   2 − bc 2 − ac 2 − ab 2  abc  2 2 2 a b c
Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + + bc ca ab HD: 3 3 3 a b c 3abc Từ 3 3 3
a + b + c = 0 = a + b + c = 3abc , khi đó: A = + + = = 3 abc abc abc abc 1 1 1 yz xz xy Bài 43: Cho
+ + = 0,(x  0, y  0, z  0) , Tính giá trị của biểu thức: + + x y z 2 2 2 x y z HD: 1 1 1 Với a = ,b = , c =
, Áp dụng kết quả câu a ta có: x y z 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz  1 1 1  3 + + = = + + = + + = xyz + + = xy . z = 3   3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x y z xyz x y z x y zx y z xyz 1 1 1 Bài 44: Cho a+b+c=1, + + = 0, CMR: 2 2 2
a + b + c = 1 a b c HD: Từ 2 2 2
a + b + c =1  a + b + c + 2(ab + bc + ca) =1, (1) 1 1 1
ab + bc + ca Mà: + + = 0 
= 0  ab + bc + ca = 0 , thay vào (1)=> ĐPCM a b c abc 1 1 1 1 1 1
Bài 45: Cho x,y,z  0, Thỏa mãn: x + y + z = xyz và + + = 3 , Tính A = + + x y z 2 2 2 x y z HD: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1
x + y + z  Từ: + + = 3  + + + 2 + + = 3  + + + 2 = 3     2 2 2 2 2 2 x y z x y zxy yz zx x y zxyz  6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Nên A + 2 = 3 = A = 1 1 1 1 1 1 1 Bài 46: Cho a,b,c  0 và
+ + = 2, và a +b + c = abc , CMR: + + = 2 a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1
a + b + c  + + = 2  + + + 2 + + = 4  + + + 2 = 4     2 2 2 2 2 2 a b c a b cab bc ca a b cabc a b c
Bài 47: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và + + = 0
a x + b y + c z = x y z , CMR: 2 2 2 . . . 0 1 1 1
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a + b + c = 3 và + + = 0 , Tính 2 2 2
A = a + b + c a b c HD: Từ: 2 2 2
a + b + c = 3  a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 9 , (1) 1 1 1 Mà:
+ + = 0  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) A+ 2.0 = 9 = A = 9 a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 49: Cho
+ + = 2 và a +b + c = abc , Tính A = + + a b c 2 2 2 a b c HD: 1 1  1 1 1  1 1 1  Từ: + + = 2  + + + 2 + + = 4   2 2 2 a b c a b cab bc ca
a + b + c   A+ 2
= 4  A+ 2 = 4  A = 2    abc  1 1 1 1 1 1 Bài 50: CMR: Nếu
+ + = 3 và a+b+c=abc Thì ta có: + + = 7 a b c 2 2 2 a b c x y z a b c 2 2 2 x y z Bài 51: Cho
+ + = 1 và + + = 0 , Tính A = + + a b c x y z 2 2 2 a b c HD: 2 2 2 x y z x y zxy yz zx
cxy + ayz +bzx  Từ: + + =1 + + + 2 + + =1 A+ 2 =1     (1) 2 2 2 a b c a b cab bc ca   abca b c Mà:
+ + = 0  ayz + bxz + cxy = 0 thay vào (1) ta được: A+ 2.0 =1 A =1 x y z x y z a b c 2 2 2 a b c Bài 52: Cho
+ + = 0, + + = 2, Tính A = + + a b c x y z 2 2 2 x y z HD: 2 2 2 a b c a b cab bc ca
abz + bcx + cay  Từ: + + = 2  + + + 2 + + = 2  A+ 2 = 2     (1) 2 2 x y z x y zxy yz zx   xyzx y z Mà:
+ + = 0  bcx + acy + abz = 0 thay vào (1) ta được: A+ 2.0 = 2 = A = 2 a b c 2 2 2 a b c b c a
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + , CMR trong ba số a,b,c 2 2 2 b c a a b c
phải có 1 số bằng bình phương số còn lại HD: 2 2 2 Đặ a b c b 1 c 1 a 1 t: x = , y = , z = = = , = , = = xyz =1 và 2 2 2 b c a a x b y c z 1 1 1
x + y + z =
+ + = xy + yz + zx x y z 7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Xét tích: ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = 0 = x =1, y =1, z =1. Với 2
x = 1 = a = b (ĐPCM) ( 2 2 2
x + y + z )( 2 2 2
a + b + c ) x y z Bài 54: Cho
= =  0 , Rút gọn: A = a b c
(ax +by +cz)2 HD: x y z Đặt =
= = k = x = ak, y = bk, z = ck thay vào A a b c
2 y + 2z − x
2z + 2x − y
2x + 2 y − z Bài 55: Cho: = =
, trong đó a,b,c thỏa mãn: a b c x y z
2b + 2c − a, 2c + 2a − ,
b 2a + 2b − c  0 , CMR: = =
2b + 2c − a
2c + 2a − b 2a + 2b − c HD:
2(2z + 2x − y) + 2(2x + 2y − z) − (2y + 2z − x) Từ gt = =
2b + 2c − a
2(2x + 2y − z) + 2(2y + 2z − x) − (2z + 2x − y)
2c + 2a − b x y z = = =
2b + 2c − a
2c + 2a − b 2a + 2b − c 1 1 1 yz zx xy Bài 56: Cho + + = 0, xyz  0 A = + + x y z , Tính 2 2 2 x y z 3 3 3 a + b + c
Bài 57: Cho a + b + c = 0 , Tính (
a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
(a +b +c )(a+b+c)2 +(ab+bc+ca)2 2 2 2 Bài 58: Tính : A = (
a + b + c)2 − (ab + bc + ca)
a + (a − c)2 2 2
Bài 59: Cho c + 2ab − 2ac − 2bc = 0 , Rút gọn biểu thức :
b + (b − c)2 2 x y z Bài 60: Cho 2 2 2
a + b + c =1, a + b + c =1, và
= = , CMR: xy + yz + zx = 0 a b c HD: x y z Đặt: 2
= = = k = xy + yz + zx = k (ab + bc + ca) (1) a b c Mà: 2 2 2
a + b + c =1  a + b + c + 2(ab + bc + ca) =1 ab + bc + ca = 0 thay vào (1) ta được:
xy + yz + xz = 0 2015 2013
Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 0, ab + bc + ca = 0 , Tính A = (a − ) 2014 1 + b + (c + ) 1 HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: 2 2 2
a + b + c =  a + b + c + (ab + bc + ca) 2 2 2 0 2
= 0  a +b + c = 0
Do đó : a=b=c=0 thay vào A = (− )2015 2014 2013 1 + 0 +1 = 0 1 1 1
Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và x + y + z = + + , Tính P = ( 19 x − )( 5 y − )( 1890 1 1 z − ) 1 x y z HD:
Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − (xy + yz + zx) + (x + y + z) −1= 0 8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0 1 1 1
Bài 63: Cho xyz=1, x + y + z = + + , Tính A = ( 2015 x − )( 1006 1 y − ) 1 ( z − ) 1 + 2016 x y z HD :
xy + yz + zx
Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x + y + z =
= xy + yz + zx xyz Xét tích : ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − (xy + yz + zx) + (x + y + z) −1= 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016 1 1 1
Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và x + y + z = + + , x y z Tính : A = ( 15 x − )( 27 y − )( 2016 1 1 z − ) 1 HD : 1 1 1
Từ gt ta có : x + y + z =
+ + = xy + yz + zx x y z Xét ( x − ) 1 ( y − ) 1 ( z − )
1 = xyz − (xy + yz + zx) + (x + y + z) −1= 0
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0 1 1 1 Bài 65: Cho 2 2 2
x + y + z + + + = 6, Tính 2012 2013 2014 A = x + y + z 2 2 2 x y z HD :  2 2 2 1   1   1   1   1   1  Từ gt=> 2 2 2 x + − 2 + y + − 2 + z + − 2 = 0        x − + y − + z − = 0       2 2 2  x   y   z   x   y   z  Vì 2012 2014 x , y
luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
TH1 : y = 1 = A = 3 TH2 : y = 1 − = A =1 1 1 1 1
Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và + + =
, thì 1 trong ba số phải có 1 a b c 2000 số bằng 2000 HD : 1 1 1 1  1 1   1 1  a + b a + b Từ gt ta có : + + =  + + − = 0  + =     a b c a + b + c
a b   c a + b + c ab
c (a + b + c) 0
(a +b)c
 (a + b + c) + ab = 0  
(a +b)(b+c)(c + a) = 0
TH1 : a + b = 0  c = 2000
TH2 : b + c = 0  a = 2000
TH3 : c + a = 0  b = 2000 1 1 1
Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và a + b + c = + + , a b c
CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1 HD : 1 1 1
Từ gt ta có : a + b + c =
+ + = ab + bc + ca a b c Xét tích : (a − ) 1 (b − ) 1 (c − )
1 = abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) −1= 0 nên hoặc a=1 hoặc b=1 hoặc c=1 9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn 100 100 101 101 102 102 a
+ b = a + b = a + b , Tính 2015 2015 P = a + b HD : Từ : 100 100 101 101 100 a
= b = a +b a (a − ) 100 1 + b (b− ) 1 = 0 (1) và 101 101 102 102 101 a
+b = a +b a (a − ) 101 1 + b (b− ) 1 = 0 (2) Từ (1) và (2) 2 2 => 101 a (a − ) 101 + b (b − ) 100
− a (a − ) 100 −b (b − ) 100 =  a (a − ) 100 1 1 1 1 0 1 + b (b− ) 1 = 0 (  a −  )2 1 = 0 a =1
Do a, b  0 =    khi đó : 2015 2015 P = 1 +1 = 2 (  b −  )2 b =  =1 1 0 3 3 a +b =1 Bài 69: Cho  , Tính 2014 2014 A = a + b (CL) 2 2 a + b =1
x + y = a + b Bài 70: Cho  CMR: n n n n
x + y = a + b 2 2 2 2
x + y = a + b HD: Ta có: 2 2 2 2
x + y = a + b  (x − a)(x + a) + ( y −b)( y + b) = 0 (1)
Mà x − a = b − y thay vào (1) ta được: (b − y)( x + a −b − y) = 0 TH1 : 2 2 − = 0 n n b y
b = y = x = a = x + y = a +b
TH2 : x + a − b − y = 0  x − y = b − a = 2x = 2b x = b = y = a => n n n n
x + y = a + b 2 2 2 x + y + z
Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A = (
y − z )2 + ( z − x)2 + ( x − y)2 HD : Ta có : 2 2 2
x + y + z =  x + y + z + ( xy + yz + zx) 2 2 2 0 2
= 0  x + y + z = 2
− (xy + yz + zx) Mẫu : 2 2 2
2x + 2y + 2z − 2( xy + yz + zx) = 2 2 2 2 2 2
x + y + z + x + y + z = ( 3 2 2 2 2 2
3 x + y + z ) 2 2 2 x + y + z 1 Khi đó : A = = 3( 2 2 2
x + y + z ) 3
Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn : 3 3 3
x + y + z = 3xyz , Tính giá trị của biểu thức : 10 10 10 x + y + z T = (
x + y + z)10
Bài 73: Cho ax + by + cz = 0,a + b + c = 2016 , Tính giá trị của biểu thức :
bc(y − z)2 + ac(z − x)2 + ab(x − y)2 A = 2 2 2 ax + by + cz
Bài 74: Cho a + b + c = 1 ( a, b, c khác 1 và 2), CMR : c + ab a + bc b + ac
bc + ac + ab + 8 + + = 2 2 2 2 2 2
a + b + abc −1 b + c + abc −1 a + c + abc −1 (a − 2)(b − 2)(c − 2)
(a +b +c )(a+b+c)2 +(ab+bc+ca)2 2 2 2
Bài 75: Rút gọn : A = (
a + b + c)2 − (ab + bc + ca) HD : Ta có : Đặt : 2 2 2
a + b + c = x và ab + bx + ca = y khi đó : (a + b + c)2 = x + 2y , thay vào A ta có : 10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 2 2
x(x + 2 y) + y
x + 2xy + y 2 2 2 A = =
= x + y = a + b + c + ab + ab + ca
x + 2 y − y x + y
1 (a +b)2 +(b+c)2 +(c + a)2   2 a b c 2 2 2 a b c
Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn : + + =1 Q = + + b + c c + a a + , Tính giá trị của: b b + c c + a a + b HD:
Nhận thấy a + b + c = 0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a + b + c = 0 ta được :   ( + + ) a b c a b c + +
= a + b + c  
b + c c + a a + b  2 a ( + ) ( + ) 2 b ( + ) 2 a b c b c a c a b c  + + + + +
= a + b + c b + c b + c c + a c + a a + b a + b
Q + a + b + c = a + b + c Q = 0 a b c
Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và + + = 0 b − c c − a a −
, Tính giá trị của biểu thức : b a b c A = + + ( b − c)2
(c −a)2 (a −b)2 HD:  1 1 1   a b c  1 1 1  Nhân + +   vao gt ta được : + + + + = 0   
b − c c − a a −b
b − c c − a a −b  b − c c − a a −b a + b b + c c + aP + ( + + =
b − c)(c − a) (c − a)(a − b) (a − b)(b − c) 0
(a +b)(a −b)+(b +c)(b −c)+(c + a)(c −a)  P + ( =  P = 0
a − b)(b − c)(c − a) 0
(a +b)2 (b+c)2 (c + a)2
Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab + bc + ca =1, Tính A = ( 2 + a )( 2 + b )( 2 1 1 1+ c ) HD : Ta có : 2 2
1+ a = ab + bc + ca + a = b(a + c) + a(a + c) = (a + b)(a + c) Tương tự : 2
1+ b = (b + a)(b + c) , 2
1+ c = (c + a)(c + b) khi đó : A =1
Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab + bc + ca =1,
( 2a +2bc− )1( 2b +2ca− )1( 2c +2ab− )1 Tính B = (
a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 HD : Ta có : 2 2 2
a + 2bc −1 = a + 2bc − ab − bc − ca = a + bc − ab − ac = a (a − b) + c(b − a) = (a − b)(a − c) Tương tự : 2
b + 2ca −1 = (b − a)(b − c) , 2
c + 2ab −1 = (c − a)(c −b) Khi đó : B = 1 −
Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR : b − c c − a a − b 2 2 2 ( + + = + +
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a HD : b − c
(a −c)−(a −b) 1 1 1 1 Ta có : ( = = − = +
a − b)(a − c)
(a −b)(a −c) a −b a −c a −b c − a 11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức c − a 1 1 a − b 1 1 Tương tự : ( = + = +
b − c)(b − a) b − c a − , b
(c −a)(c −b) c −a b− c 1 1 1 1 1 1 Khi đó : VT = + + + + + = VP a − b c − a b − c a − b c − a b − c ab bc ca
Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị : A = ( + +
b − c)(c − a) (c − a)(a − b) (a − b)(b − c) HD : Đặ a b c t : = x, = y, = z b − c c − a a − khi đó : b (x+ ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = (x − ) 1 ( y − ) 1 (z − )
1  xy + yz + zx = 1 − a b c
Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : + + = 0 b − c c − a a −
, CMR trong ba số a,b,c phải có b 1 số âm, 1 số dương HD : 1 1 1 a b c Vì a  ,
b b c, c a = + +  0 + + = b − c c − a a − Mà : 0 b b − c c − a a − ba b c  1 1 1  + + + + = 0   
b − c c − a a −b  b − c c − a a −b   a b c   a + b a + c b + c    + +  +  + +  = (   b − c) 0 2
(c −a)2 (a −b)2  (b−c)(c−a) (a−b)(b−c) (c−a)(a−b) a b c
Nhận thấy Tổng B  0 => + + = ( , b − c) 0 2
(c − a)2 (a −b)2
Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương 1 1 1
Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR : A = + + ( là bình a − b)2
(b −c)2 (c −a)2
phương của 1 số hữu tỉ HD : Ta có : 2  1 1 1  1 1 1 2 2 2 ( + +  = + + + + +
a b) (b c) (c a)  − − − 
(a −b)2 (b−c)2 (c −a)2 (a −b)(b −c) (b −c)(c −a) (c −a)(a −b)
2(a − b) + 2(b − c) + 2(c − a) A + ( − )( − )( − )
= A + 0 = A Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ : a b b c c a a − b b − c c − a c a b
Bài 84: Cho a+b+c=0, P = + + và Q = + + c a b a − b b − c c − , CMR : P.Q=9 a HD : 2 2 c
c b − c c − a c
b − bc + ac − a c
(a −b)(c −a −b) Xét . P =1+ + =1+ . =1+ .   a − b
a − b a b a − b ab a − b ab 2 3 2c 2c 3 a 2a 3 b 2b 1+ =1+ , Tương tự : . P =1+ . P =1+ ab abc b − và c abc c − khi đó : a abc ( 3 3 3
2 a + b + c ) . P Q = 3 + = 9 abc 12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 a b c A = ( + +
a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − b)(c − a) HD : 2
a (c − b) 2
+ b (a − c) 2
+ c (b − a) A = ( =
a − b)(b − c)(c − a) 1
Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b  ,
c a + b c và 2
c = 2(ac + bc − ab) ,
a + (a − c)2 2 a − c CMR: =
b + (b − c)2 2 b − c HD : 2 2 2 Ta có : 2
a + (a − c) 2 2 2
= a + c − c + (a −c) 2 2
= a + c − 2(ac −bc − ab) + (a −c) 2 2 2 ( 2 2
a + c − 2ac) + 2b(a − c) + (a − c) = (a − c) + 2b(a − c) + (a − c) = 2(a − c)(a −c +b) 2 Tương tự ta có : 2
b + (b − c) = 2(b − c)(b − c + a)
a + (a − c)2 2 − Khi đó a c : =
b + (b − c)2 2 b − c
Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR: y − z z − x x − y 2 2 2 ( + + = + +
x − y)( x − z) ( y − z)( y − x) ( z − x)( z − y) x − y y − z z − x HD: y − z
−(x − y) + (x − z) 1 − 1 1 1 Ta có: ( = = + = +
x − y)( x − z)
(x − y)(x − z) x − z x − y x − y z − x z − x 1 1 x − y 1 1 Tương tự ta có: ( = + = +
y − z)( y − x) y − z x − và y
(z − x)(z − y) z − x y − z Cộng theo vế ta được: Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR: + + ( 3 3 3 a b c ) ( 2 2 2 5 5 5 a b c a b c + + + + ) a, ( 5 5 5
a + b + c ) = abc( 2 2 2 2 5
a + b + c ) b, = . 5 3 2 HD: Ta có: 3 3 3
a + b + c =
= a + b + c = abc = abc( 2 2 2
a + b + c ) = ( 3 3 3
a + b + c )( 2 2 2 0 3 3
a + b + c ) => ( 2 2 2 + + ) 5 5 5 3 = + + + ( 2 2 + ) 3 + ( 2 2 + ) 3 + ( 2 2 3abc a b c a b c a b c b c a c a + b )
Mà: b + c = −a = b + c = (b + c)2 2 2 2
− 2bc = a − 2bc ,Tương tự ta có: 2 2 2
c + a = b − 2ac 2 2 2
a + b = c − 2ab Nên ta có : ( 3 3 3
a + b + c )( 2 2 2
a + b + c ) 5 5 5 3
= a + b + c + a ( 2 a − bc) 3 + b ( 2 b − ac) 3 + c ( 2 2 2 c − 2ab) = ( 5 5 5
a + b + c ) − abc( 2 2 2
a + b + c )  ( 5 5 5
a + b + c ) = abc ( 2 2 2 2 2 2 5
a + b + c ) 2 2 2 a b c 3 Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − a − c c − a − b 2 HD: Từ 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0 = b + c = −a = b + c + 2bc = a = a − b − c = 2bc , Tương tự: 2 2 2 2 2 2
b − a − c = 2a ,
c c − a −b = 2ab , Khi đó: 2 2 2 a b c 1 3abc 3 + + = ( 3 3 3
a + b + c ) = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
(a +b)2 (b+c)2 (c + a)2 Bài 90: CMR: + +  ( a − b) 2 2
(b−c)2 (c −a)2 HD : a + b b + c c + a Đăt : 2 2 2 = x, = y,
= z = M = x + y + z a − b b − c c − , Ta cần CM : a (x+ ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = ( x − ) 1 ( y − ) 1 (z − )
1 => xy + yz + zx = 1 − (1) 2
Từ : ( x + y + z) 2 2 2
 0  x + y + z  2
− (xy + yz + zx) = 2 − (− ) 1 = 2 = M  2 a + b b + c c + a
Dấu bằng khi x + y + z = 0  + + = 0 a − b b − c c − a Bài 91: Cho a+b+c=0 và 2 2 2
a + b + c = 14 , Tính 4 4 4
A = a + b + c HD : 2 Ta có : 2 = ( 2 2 2
a + b + c ) 4 4 4
= a + b + c + ( 2 2 2 2 2 2 14
2 a b + b c + c a ) (1). Ta lại có :
a + b + c =
= (a + b + c)2 0 = 0 2 2 2
a +b + c + 2(ab+bc +ca) = 0 2 2 2 2 2 2
ab +bc + ca = 7
−  a b +b c + c a + 2abc(a +b+c) = 49 , Thay lên (1) 2 14 = A + 2.49 2 2 2
Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0,a + b + c = 2010 , Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4
A = a + b + c HD:
(a+ b + c)2 −( 2 2 2
a + b + c ) 0 − 2010
Ta có: ab + bc + ca = = = 1005 − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= a b + b c + c a = (ab + bc + ca) − abc(a + b + c) = (− ) 2 2 1005 − 2ab .0 c = 1005 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= A = a + b + c = (a + b + c ) − 2(a b + b c + c a ) = 2010 −1005 = 2.1005 1 1
Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: 2 x + = 7 , CMR: 5 x + là 1 số nguyên 2 x 5 x HD : 1  1  1   1  Ta có : 5 4 3 x + = x + x + − x +      5 4 3 xx  x   x  2  1  1 1 1  1  1   1  Ta tính : 2 x + = x + + 2 = 9 = x + = 3   , 3 2 x + = x + x + − x + =18      2  x x x 3 2 xx  x   x  1  1  1   1  Và 4 3 2 x + = x + x + − x + = 47      4 3 2 xx  x   x  1
Bài 94: Cho x  0 và x +
= a , Tính theo a các giá trị của: x 1 1 1 a, 3 x + b, 6 x + c, 7 x + 3 x 6 x 7 x HD : 1 1 1  1  1   1  a, 2 2 x + = a x + = a − 2 Nên 3 2 x + = x + x + − x + = a      ( 2a −2 −a 3 2 ) 2 x x xx  x   x  2 1  1  b, 6 3 x + = x + − 2   6 3 xx  1  1  1   1  c, 7 3 4 x + = x + x + − x +      7 3 4 xx  x   x  14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 Bài 95: Cho x  0 và 2 x +
= a , Tính theo a các giá trị của: 2 x 1 1 1 a, 3 x + b, 6 x + c, 7 x + 3 x 6 x 7 x HD : 2 1  1  1 Ta có : 2 x + = x +
− 2 = x + = a + 2   . Làm giống bài 68 2 xx x 2 2 3 3
Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn : a + b = 5 và a + b = 5 , Tính a + b 6  1   1  6 x + − x + − 2     1 6  x   x  Bài 97: Cho 2 x +
= 2 , và x > 0. Tính A = 2 x 3  1   1  3 x + + x +     3  x   x  HD : 2  1  1 1 1  1  1   1  2 x + = x + + 2 = 4 = x + = 2   và 3 2 x + = x + x + − x + = 2.2 − 2 = 2      2  x x x 3 2 xx  x   x  2 1  1  và 6 3 x + = x + − 2 = 2   thay vào A 6 3 xx
Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và 2 2 2 2
x + y + z = a , Tính 4 4 4
A = x + y + z theo a HD :
Ta có : a = ( x + y + z )2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= A + 2(x y + y z + z x ) , Mặt khác:
(x + y + z)2 2
= a + 2(xy + yz + zx) = 0 2 4 4 −a 2 a a
xy + yz + zx =
 (xy + yz + zx) 2 2 2 2 2 2 =
x y + y z + z x + 2xyz (x + y + z) = 2 4 4 4 a 4 4 a a 2 2 2 2 2 2
x y + y z + z x =
Thay lên trên ta đươc : 4 a = A + 2. = A+ 4 4 2
Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và 2 2 2
a + b + c = 2010, Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4
A = a + b + c HD:
(a +b+c)2 −( 2 2 2
a + b + c ) 0 − 2010
Ta có: ab + bc + ca = = = 1005 − 2 2 2 => 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a = (ab + bc + ca) − 2abc (a + b + c) = (− )2 2 1005 − 2 . abc 0 = 1005 2 => 4 4 4
A = a + b + c = ( 2 2 2
a + b + c ) − ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ) 2 2 2 = 2010 −1005 = 2020050 1 1 1 1
Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a + b + c =
(a +b +c )2 4 4 4 2 2 2 Bài 10: CMR: Nếu + + = 3 và 2 a b c 1 1 1 a+b+c=abc . Thì ta có: + + = 7 2 2 2 a b c HD : 2
Ta có : (a + b + c) 2 2 2
=  a + b + c + (ab + bc + ca) 2 2 2 0 2
= 0  a + b + c = 2
− (ab + bc + ca) 2 2 ( 2 2 2
a + b + c ) = 4(ab + bc + ca) 4 4 4
a + b + c + ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ) = ( 2 2 2 2 2 2 2
4 a b + b c + c a + 2abc (a + b + c))  4 4 4
a + b + c = ( 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a )  ( 4 4 4
a + b + c ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
= a + b + c + 2a b + 2b c + 2c a 15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức  ( + + ) = ( + + )2 4 4 4 2 2 2 2 a b c a b c => ĐPCM
Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy + x + y = 1 − , và 2 2 x y + xy = 12 − , Tính 3 3
A = x + y HD : xy +  (x + y) = 1 − a + b = 1 − a = 3 a = 4 − Từ gt ta có :    =  hoặc  xy  (x + y) = 12 − ab = 1 − 2 b  = 4 − b  = 3 3
Khi đó A = (x + y) −3xy(x + y)
Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính a, 2 2 x + y b, 3 3 x + y c, x − y d, 5 5 x + y HD :
a, x + y = ( x + y)2 2 2 − 2xy = 81− 28 3 b, 3 3
x + y = ( x + y) − xy ( x + y) 3 3 = 9 − 3.14.9 = 351 2 2
c, ( x − y) = ( x + y) − 4xy d, 5 5 + = ( 3 3 + )( 2 2 + ) 2 2 x y x y x y
− x y (x + y)
Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A = ( x − y ) − ( x + y)2 3 3 2 3 HD : 3 Ta có : 3 3
x − y = ( x − y) + 3xy ( x − y) , Mà :
(x + y)2 = (x − y)2 + 4xy = A = 2.8+12xy −3.(4+ 4xy) 3 3 2 2
Bài 104: Cho a + b = 1 , Tính giá trị của biểu thức: C = 2 (a + b ) − 3(a + b ) HD: 3 3 2 2 2 2 2 2
Ta có: C = 2 (a + b ) − 3(a + b ) = 2(a + b)(a − ab + b ) − 3(a + b ) = ( 2 2
a − ab + b ) − ( 2 2 2 3 a + b )
= (a +b )− ab− (a +b ) = −(a +b − ab) = −(a+ b)2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 = 1 −
Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính a, 2 2 x + y b, 3 3 x + y c, x − y , HD :
a x + y = ( x − y)2 2 2 , + 2xy 2 2 b, 3 3 + = ( 2 2 x y
x + y )( x + y) − xy ( x + y) , mà : ( x + y) = ( x − y) + 4xy = 49 + 4.60 Bài 106: Cho a+b=1, tính 3 3
A = a + b + ab ( 2 2 a + b ) 2 2 3
+ 6a b (a +b) HD : 3 Ta có : 3 3
a + b = (a + b) − 3ab(a + b) , và a + b = (a + b)2 2 2 − 2ab Bài 107: Cho 2 2
x − y =1, Tính A = ( 6 6
x − y ) − ( 4 4 2 3 x + y ) HD : 6 6 − = ( 2 2 − )( 4 4 + ) 2 2 + ( 2 2 x y x y x y x y
x + y ) , mà : x + y = ( x − y )2 4 4 2 2 2 2
+ 2x y , thay vào ta được
Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2 2 3 a + b ) HD : Ta có: C = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2
a + b ) = (a + b)( 2 2
a − ab + b ) − ( 2 2 2 3 2 3 a + b )
= (a − ab + b ) − (a + b ) = −(a + b ) − ab = −(a + b)2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 = 1 − 16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
a + b + c = 0
Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:  , Tính 4 4 4
A = a + b + c 2 2 2
a + b + c = 2012 HD:
a + b + c = (a + b + c)2 2 2 2
− 2(ab + bc + ca) = 2
− (ab + bc + ca) 2 2 2 2 2  + +  2 a b c 2012 => 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a = (ab + bc + ca) − 2abc(a + b + c) =   =  2  4 2012
=> A = a + b + c = (a + b + c ) − 2(a b + b c + c a ) 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 1 1 1 3 Bài 110: Cho ( + + )2 2 2 2 x y z
= x + y + z và ,
x y, z  0 , CMR: + + = 3 3 3 x y z xyz HD :
xy + yz + zx 1 1 1
Từ : ( x + y + z)2 2 2 2
= x + y + z = xy + yz + zx = 0 = = 0 = + + = 0 xyz x y z 1 1 1 3 Khi đó : + + = 3 3 3 x y z xyz 2
Bài 111: CMR: Nếu (a + b + c) = 3(ab + bc + ca) thì a=b=c HD: 2 2 2 Từ: 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca = 0  (a − b) + (b − c) + (c − a) = 0 2 2 2 Bài 112: Cho 2 2 2
a + b + c = m , Tính theo m giá trị của: A = (2a + 2b − c) + (2b + 2c − a) + (2c + 2a − b) HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức: Bài 113: Cho 2 2 2
a − b = 4c , CMR: ( a − b + c)( a − b − c) = ( a − b)2 5 3 8 5 3 8 3 5 HD: 2 2
VT = ( a − b) 2 2 2
− c = a − ab + b − ( 2 2 5 3 64 25 30 9
16a +16b ) = (3a − 5b) 1 1 Bài 114: Tìm x,y biết: 2 2 x + y + + = 4 2 2 x y HD: 1  1  2 2 x + − 2 + y + − 2 = 0   2 2 xy  2 2 2 2 2 2 x y z x + y + z Bài 115: Tìm x,y,z biết : + + = 2 3 4 5 HD: 2 2 2 2 2 2  x x   y y   z z   −  +  −  +  −  = 0  2 5   3 5   4 5  2 2 2 x − yz y − zx z − xy 2 2 2 a − bc b − ca c − ab Bài 116: Cho = = , CMR : = = a b c x y z HD: 2 2 2 x − yz y − zx z − xy Đặt gt =k=> a = ,b = , c = , sau đó tính: 2 2 2 a −b , c b − c ,
a c − ab rồi thay vào k k k 17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 2 2 2
ax + by + cz
Bài 117: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = , CMR : = 2000 2000
bc ( y − z)2 + ac ( x − z)2 + ab ( x − y)2 HD: 2
Từ (ax + by + cz) 2 2 2 2 2 2
= 0  a x + b y + c z = 2
− (abxy +bcyz + acxz) Xét mẫu số: bc ( 2 2
y − yz + z ) + ac( 2 2
x − xz + z ) + ab( 2 2 2 2
x − 2xy + y ) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + ( 2 2 2 2 2 2 bcy bcz acx acz abx aby
a x + b y + c z ) = ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + ) =( + + )( 2 2 2 c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c
ax + by + cz ) 1 VT = = 2000 a + b + c ay − bx cx − az bz − cy
Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn : = = , CMR : c b a ( + + )2 = ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz x y z
a + b + c ) HD: acy − bcx bcx − abz abz − acy Đặt gt=k=> = =
= k = 0 = ay − bx = cx − az = bz − cy = 0 2 2 2 c b a 2 2 2 2 2 2
=> (ay − bx) = (cx − az) = (bz − cy) = 0  (ay − bx) + (cx − az ) + (bz − cy) = 0 = ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a y + b x + c x + a z + b z + c y ) − 2(aybx + cxaz + bzcy) = 0 => ( 2 2 2 2 2 2 + + )+( 2 2 2 2 2 2 + + )+( 2 2 2 2 2 2 a y a z a x b x b y b z
c x + c y + c z ) −( 2 2 2 2 2 2
a x + b y + c z + 2axby + 2bycz + 2axcz ) = 0
 (a +b + c )(x + y + z )−(ax +by + cz)2 2 2 2 2 2 2 = 0 =>ĐPCM Bài 119: Cho 2 2 2 x − yz = , a y − zx = ,
b z − xy = c CMR : ax + by + cz = ( x + y + z)(a + b + c) Với , x y, z  0 HD: 3
x − xyz = ax  Từ gt=> 3 3 3 3
y − xyz = by = ax + by + cz = x + y + z − 3xyz  3
z − xyz = cz  = + + = ( + + )( 2 2 2 ax by cz x y z
x + y + z − xy − yz − zx) = (x + y + z)(a + b + c) 2 x + 2y +1 = 0 
Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : 2
y + 2z +1 = 0 , Tính 2000 2000 2000 A = x + y + z  2 z + 2x +1 = 0  HD:
Cộng theo vế của gt ta được: ( 2 x + x + ) + ( 2 y + y + ) + ( 2 2 1 2 1 z + 2z + )
1 = 0 = x = y = z = 1 −
Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P = x + y + z HD: (  x + ) 1 ( y + ) 1 = 4  2 2 2 Từ gt ta có: (  x + ) 1 ( z + ) 1 = 16 = ( x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = 4.16.9 = (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = 24 (  y +  ) 1 ( z + ) 1 = 9 18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3 1 3 2 3
Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2x + y − xyz = − z 4
27 , Tính giá trị của biểu 2018 
6x + 3y − 2z  thức: N = 1 −  
6x 3y 2z  − +  HD: 3 1 2 − z 3 3 3 3 3 Vì 2x + y − xyz =
= (6x) + (3y) + (2z) =108xyz 4 27
a + b + c = 0 3 3 3
Áp dụng hằng đẳng thức: a + b + c = 3abc = a  = b = c Đặ 3 3 3
t 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: a + b + c = 3abc , mà x, y,z dương nên
6x + 3y + 2z  0 = 6x = 3y = 2z thay vào ta có : 2018 2018 
6x + 3y − 2z   2z + 2z − 2 = 2 − = 2 z N  − = 0  
6x 3y 2z    
2z 2z 2z  − + − +  1 1 1
Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn: a + = b + = c + , b c a CMR: abc=1 hoặc abc=-1 HD: 1 1 b − c c − a a − b Từ gt=> 2 a − b =
− = a − b =
,T = b − c = , c − a = c b bc ca ab
a − b b − c c − a
Nhân theo vế: (a − b)(b − c)(c − a) ( )( )( ) =
= (a − b)(b − c)(c − a)( 2 2 2 a b c −1 = 0 2 ) (abc)
Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên (abc)2 =1 = abc =1, hoặc -1
Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by + cz = a, và ax + cz = b và ax + by = c , Trong đó a,b,c là các số dương cho trướ 1 1 1 c, CMR : + + x +1 y +1
z + , không phụ thuộc vào a,b,c 1 HD:
Cộng theo vế của gt ta có:
+ + = (ax + by + cz) = a + b + c = (c + cz) = c( + z) 1 2c a b c 2 2 2 1 = = z +1 a + b + c Tương tự 1 2a 1 2b : = , = x +1
a + b + c y +1 a + b + c a − b b − c c − a Bài 125: Cho x = , y = , z =
1+ x 1+ y 1+ z = 1− x 1− y 1− z a + b b + c c + , Thì ( )( )( ) ( )( )( ) a HD: a − b 2a Tính x +1 = +1 = a + b
a + , Tương tự là ra b
a + b b + c
a + c b + c
a + c b + a
Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR: . + . + . = 1 −
a − b b − c
c − a b − c c − a a − b HD: a + b 2a 2b b + c 2a 2c Đặt: x = = x +1 = , x −1 = y = = y +1 = , y −1 = a − b a − b a − , b b − c b − c b − c c + a 2c 2a z = = z +1 = , z −1 = , Khi đó: (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 = ( x − ) 1 ( y − ) 1 (z − ) 1 c − a c − a c − a
Khi đó: xy + yz + zx = 1 − 19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 127: Cho x = by + cz và y = ax + by , z = ax + by và x+y+z khác 0. 1 1 1 Tính giá trị: A = + + 1+ a 1+ b 1+ c HD: x
Cộng theo vế gt ta được: x + y + z = (ax + by + cz) = (ax + x) = x(a + ) 1 2 2 2 2 1 = = a +1 x + y + z 1 2y 1 2z Tương tự: = , = b +1
x + y + z c +1 x + y + z
2a = by + cz  1 1 1
Bài 128: Cho 2b = ax + cz và a + b + c  0 , Rút gọn: M = + +  x + 2 y + 2 z + 2
2c = ax + by  HD:
Cộng theo vế gt tacó 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a (x + 2) 1 a 1 b 1 c = = , Tương tự: = , = x + 2 a + b + c y + 2 a + b + c z + 2 a + b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b − c
b + c − a
c + a − b Bài 129: Cho + +
=1, CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số 2ab 2bc 2ac kia HD: Từ gt ta có: ( 2 2 2
a + b − c )c + ( 2 2 2
b + c − a )a + ( 2 2 2
c + a − b )b = 2abc ( 2 2 2
a + b − c + ab)c + ( 2 2 2
b + c − a − bc)a + ( 2 2 2 2 2
c + a − b − 2ac)b = 0
(a+b+c)(a+b−c)c+(b−c+a)(b−c−a)a+(c−a+b)(c−a−b)b = 0
(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a) = 0
c = a + b hoặc a + c = b hoặc: b + c = a
bc ( y − z)2 + ca ( z − x)2 + ab ( x − y)2
Bài 130: Cho ax + by + cz = 0 , Rút gọn A = 2 2 2
ax + by + cz HD: 2
Từ (ax + by + cz) 2 2 2 2 2 2
= 0  a x + b y + c z = 2
− (abxy +bcyz + acxz) Xét mẫu số: bc ( 2 2
y − yz + z ) + ac( 2 2
x − xz + z ) + ab( 2 2 2 2
x − 2xy + y ) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + ( 2 2 2 2 2 2 bcy bcz acx acz abx aby
a x + b y + c z ) = ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 + + ) =( + + )( 2 2 2 c ax by cz b ax by cz a ax by cz a b c
ax + by + cz )
(a +b + c)( 2 2 2
ax + by + cz ) Khi đó: A =
= a + b + c 2 2 2
ax + by + cz 2 2 2 x + y + z
Bài 131: Cho x + y + z = 0 , Rút gọn: B = (
y − z )2 + ( z − x)2 + ( x − y)2 HD: 2
Ta có: ( x + y + z) 2 2 2
= x + y + z + (xy + yz + zx) 2 2 2 2
= 0  x + y + z = 2
− (xy + yz + zx) Khi đó: Mẫu = ( 2 2 2
x + y + z ) − ( xy + yz + zx) = ( 2 2 2
x + y + z ) 2 2 2
+ x + y + z = ( 2 2 2 2 2 2
3 x + y + z ) 1 Vậy B = 3 20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 4 4 4 4 4 4 x + y + z x y z
Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c  0 và = + + , Tính 4 4 4 4 4 4 a + b + c a b c 2 9 1945
P = x + y + z + 2017 HD: 4 4 4 4 4 4  x x   y y   z z  Từ gt=>  −  +  −  +  +  = 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a + b + c
a   a + b + c
b   a + b + c c
nên x = y = z = 0 = P = 2017 1 1 1 1
Bài 133: Cho a,b,c là ba số thực  0 thỏa mãn: + + = a b c a + b + , CMR: c 1 1 1 1 + + = 2015 2015 2015 2015 2015 2015 a b c a + b + c HD: 1 1  1 1  b + c b + c Từ gt ta có: − + + = 0  + =   a a + b + cb c
a (a + b + c) 0 bc 1 1 1 − 1
TH1: b + c = 0 = b = −c = + + = 2015 2015 2015 2015 2015 2015 a b b a + b − b 1 1 TH2: 2 +
= 0  bc + a + ab + ac = 0  a + b a + c = 0 2 ( )( ) a + ab + => giống TH1: ac bc 3 3 3 a b c
Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: + + =1006 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c c + ca + , a 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a
Tính giá trị của biểu thức: M = + + 2 2 2 3 2 2
a + ab + b
b + bc + c c + ca + a HD :
M = 2(a + b + c)
Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: x y, xyz  0, và x ( 2
y − xz )( − yz) = y ( 2 1
x − yz )(1− xz) , 1 1 1 CMR :
+ + = x + y + z x y z HD: Từ GT ta có: ( 2
x − yz) y ( − xz) = x( − yz)( 2 1 1 y − xz ) = 2 3 2 2 2
x y − x yz − y z + xy z = 2 2 2 2
xy − x z − x yz = 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 0
= xy(x − y) − xyz( 2 2
yz + y − xz − x ) + z ( 2 2 x − y ) = 0
= (x − y)xy − xyz
(x + y + z)+ xz + yz = 0 
Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z) = 0 hay xy + xz + yz = xyz (x + y + z) 1 1
Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : 2 2 2
a + b + c =
, a + b + c + ab + bc + ca = , Tính giá trị của 2 6 a b c biểu thức: P = + + b + c c + a a + b
(b +c −a )
(a −(b−c)2 2 2 2 2 ) Bài 137: Cho x = ; y =
, Tính giá trị của biểu thức M = x + y + xy 2bc ((b+c)2 2 − a ) 21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức x 2 2 x Bài 138: Cho biết
= − , Tính độ dài của biểu thức : 2 x + x +1 3 4 2 x + x +1 HD : 2 x 2 − x + x +1 3 − 1 3 − 1 5 − Từ gt ta có : = = = = x + +1= = x + = 2 x + x +1 3 x 2 x 2 x 2 2 4 2 x + x +1 1  1  25 21 2 x 4 Nên 2 = x + +1 = x + −1 = −1 =   Vậy = 2 2 x xx  4 4 4 2 x + x +1 21 1
(Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được x = 2, x = rồi thay vào) 1 2 2 2 2 x − yz y − xz Bài 139: CMR: =
với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z) x (1− yz) y (1− xz) HD: Từ GT ta có: ( 2
x − yz) y ( − xz) = x( − yz)( 2 1 1 y − xz ) = 2 3 2 2 2
x y − x yz − y z + xy z = 2 2 2 2
xy − x z − x yz = 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 0
= xy(x − y) − xyz( 2 2
yz + y − xz − x ) + z ( 2 2 x − y ) = 0
= (x − y)xy − xyz
(x + y + z)+ xz + yz = 0 
Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z) = 0 hay xy + xz + yz = xyz (x + y + z) x − y 2 2 x − y
Bài 140: Cho x>y>0, hãy so sánh A = B = x + và y 2 2 x + y HD:
(x − y)(x + y) 2 2 2 2 x − y x − y A = + +  + −  =  ( , Mà 2 2 2 2 2 2 x y 2xy x y , x y 0 nên A x + y)2 2 2 2 2
2xy + x + y x + y
Vậy ABài 141: Cho x(m+n)=y(n+p)=z(p+m), Trong đó x,y,z là các số khác nhau và khác 0 m − n n − p p − m CMR : = =
x( y − z)
y(z − x) z(x − y) HD : x (m + n) y (n + p)
z ( p + m) m + n n + p p + m Từ giải thiết ta có : = = = = + xyz xyz xyz yz xz xy
( p + m)−(n+ p) (m+ n)−( p +m) (n+ p)−(m+n) = = = = ĐPCM xy − xz yz − xy xz − yz 2 2 2
x − y − z + 2 yz x + y − z 2 8 1
Bài 142: Tính giá trị của biểu thức: a, A = : x = 1 , y = , z = 3 2 2
x + xz − y − yz x + y + với z 3 3 3 HD:
(x + y − z)(x − y + z) x + y − z x − y + z
Rút gọn biểu thức A = ( =
x − y)( x + y + z) : x + y + z x − y
Bài 143: Cho các số a,b lần lượt thỏa mãn hệ thức: 3 2 3
a −3a + 5a − 2011= 0,b −3b + 5b + 2005 = 0, Tính a+b HD: 3 3
Từ điều kiện ta có: (a − ) 1 + 2(a − )
1 − 2008 = 0 và (b − ) 1 + 2(b − ) 1 + 2008 = 0 22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Cộng theo vế ta được:
(a− )3 +(b− )3 +(a+b− ) = = (a+b− ) (a− )2 −(a− )(b− )+(b− )2 1 1 2 0 2 1 1 1
1  + 2(a + b − 2) = 0   2 2 2 2
=> (a + b − 2) (  a − ) 1 − (a − ) 1 (b − ) 1 + (b − ) 1 + 2 = 0   , Vì (a − ) 1 − (a − ) 1 (b − ) 1 + (b − ) 1 + 2 1 2 1 2 1 2 =
(a −b) + (a − ) 1 + (b − )
1 + 2  0 nên a+b - 2=0=> a+b=2 2 2 2
Bài 144: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 2 2
5x + 5y + 8xy + 2x − 2y + 2 = 0 3 3 2 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức: M = a + b + 3ab (a + b ) + 6a b (a + b)  z  x  y
Bài 145: Cho x,y,z khác 0 và x-y-z=0, Tính B = 1− 1− 1−      x  y  z
a + b − c
b + c − a
c + a − b
Bài 146: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn: − − = 0 , ab bc ca
CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số kia 1 1 1 1 1 1 Bài 147: Cho
+ + = k và a+b+c=abc, Tính k để + + = k a b c 2 2 2 a b c x y 2z b, Q = + +
với xyz=2 và các mẫu thức đều khác 0 xy + x + 2 yz + y +1 xz + 2z + 2 Bài 148: Tính tổng: 2 2 2 x y z x y z a, A = + + , P = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y + z − x
z + x − y
x + y − z
−xy + x +1 yz − y +1 xz + z − với xyz=1 và các 1 mẫu thức đều bằng 0 Bài 149: 4 1  1  1 a, CMR: n + = (n − ) 1 n + n   (n + ) 1 + 4 2 2    
 4 1  4 1  4 1   4 1 1 3 5 ... 13  + + + +  4  4  4   4       
b, Áp dụng câu a, thu gọn: A =
 4 1  4 1  4 1   4 1 2 4 6 ... 14  + + + +  4  4  4   4       
Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì : 3 3 3 a b c
( − )( − ) + ( − )( − ) + ( − )( − ) = a+ b+ c a b a c b c b a c a c b 4 4 4 4
Bài 151: Chứng minh rằng : Nếu a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d a b c
Bài 152: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : + + = 0
b − c c − a a − b , CMR : a b c + + = 0 (
b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 1 1 1 1
Bài 153: Chứng minh rằng nếu : x + = x + = x + = ... = x +
x = x = x = .... = x 1 2 3 n x x x x , thì 1 2 3 n 2 3 4 1
hoặc : x .x .x ....x = 1 1 2 3 n 1 1 1
Bài 154: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: + + = 2 + + = a b c và a b c abc , thì 1 1 1 + + = 2 2 2 2 a b c 23
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 155: Cho a + b + c = 2 p , CMR: 2 2 2
2bc + b + c − a = 4p( p − a) 3 Bài 156: Cho 2 2 3 3 x + y = , a x + y = ,
b x + y = c , CMR: a − 3ab + 2c = 0 2 2 2 4 4 4
Bài 157: Cho a + b + c = 0,a + b + c = 1 , Tính giá trị của: M = a + b + c
Bài 158: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( + + )2 2 2 2
a b c = a + b + c , CMR: 2 2 2 a b c + + =1 2 2 2 a
+ 2bc b + 2ac c + 2ab 1 1 1
b + c c + a a + b Bài 159: Cho + + = 0 M = + + a b c , Tính giá trị của: a b c a b c 2 2 2 a b c Bài 160: Cho + + = 1 + + = 0
b + c c + a a + b
, CMR: b + c c + a a+b 2 2 2 . a x + . b y + . c z Bài 161: Cho . a x + . b y + .
c z = 0 , Rút gọn: A =
bc(y − z)2 + ac(x − z)2 + ab(x − y)2 3 3 3
Bài 162: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 3 − thì: (x + ) 1 + (y + ) 1 + (z + ) 1 = 3(x + ) 1 (y + ) 1 (z + ) 1 a b c
Bài 163: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0
a x + by + cz = x y z , CMR: 2 2 2 . 0 a b c a b c Bài 164: Cho + + = 0 + + = 0
b − c c − a a − b , CMR: (
b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 x 2 2 x Bài 165: Cho = 2
x + x +1 3 , Hãy tính giá trị của biểu thức: 4 2 x + x +1 HD: 2 x 2 − x + x +1 3 − 1 3 − 1 5 − Từ: = = = x + +1 = = x + = 2 x , hay + x +1 3 x 2 x 2 x 2 2 4 2 x + x +1 2 2 1  1  21 x 4 = = x + +1 = x + −1 = = 2 2 x xx  , vậy   4 4 2 x + x +1 21 3 2
a − 3a + 5a − 2011= 0
Bài 166: Cho các số a, b, c thỏa mãn các hệ thức sau:  , Tính a+b 3
b − 3b + 5b + 2005 = 0 HD: 2
Từ điều kiện ta có: (a − ) 1 + 2(a − ) 1 − 2008 = 0 (1) 2 Và (b − ) 1 + 2(b − ) 1 + 2008 = 0 (2)
Cộng theo vế ta được :
(a )2 (b )2 (a b )
(a b )(a )2 (a )(b ) (b )2 1 1 2 0 2 1 1 1 1  − + − + + − = = + − − − − − + −
+ 2(a + b − 2) = 0   2 2  
= (a + b − 2) (a − ) 1 − (a − ) 1 (b − ) 1 + (b − ) 1 + 2 = 0   2 2 1 2 1 2 1 2 Vì (a − ) 1 − (a − ) 1 (b − ) 1 + (b − )
1 + 2 = (a − b) + (a − ) 1 + (b − ) 1 + 2  0 2 2 2
Nên a + b − 2 = 0 = a + b = 2 24
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 2 x − yz y − xz
Bài 167: Chứng minh rằng nếu: =    
x ( − yz) y( − xz) ,(x y),xyz 0,yz 1,xz 1 1 1 , thì:
xy + xz + yz = xyz (x + y + z) HD: 2 2
Từ GT = (x − yz) y(1− xz) = x (1− yz)(y − xz) 2 3 2 2 2
= x y − x yz − y z + xy z 2 2 3 2 2
= xy − x z − xy z + x yz 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2
= x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 0 2 2 2 2
<=> xy (x − y) + xyz (yz + y − xz − x ) + z (x − y ) = 0
= xy(x − y) − xyz(x − y)(x + y + z) + z(x − y)(x + y) = 0
= (x − y)xy − xyz
(x + y + z)+ xz + yz = 0 
Do x − y  0 = xy + xz + yz − xyz (x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz (x + y + z)
Bài 168: Cho x (m + n) = y(n + p) = z ( p + m) , trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0, CMR : m − n n − p p − m = = x (y
− z) y(z − x) z(x − y) HD :
Vì xyz  0 và x (m + n) = y(n + p) = z ( p + m)
x (m + n) y(n + p) z( p + m)
m + n n + p p + m = = = = = xyz xyz xyz , hay yz xz xy
(p+ m)−(n+ p) (m+ n)−(p + m) (n+ p)−(m + n) m − n n = p p − m = = = = = = xy − xz yz − xy xz − yz x (y
− z) y(z − x) z(x − y) xy + 2x +1 yz + 2y +1 zx + 2z +1
Bài 169: Rút gọn: A = + + xy
+ x + y +1 yz + y + z +1 zx + z + x +1 HD: xy + 2x +1
(xy+ x + y+ )1+(x − y) x − y x y Ta có: = = 1+ = + − xy + x + y +
xy + x + y + (x + )1(y+ ) 1 1 1 1 x +1 y +1 yz + 2y +1 y z zx + 2z +1 z x = 1+ − =1+ − yz , + y + z +1
y +1 z +1 zx + z + x +1 z +1 x +1
Cộng theo vế ta được A=3 2 2 2 2 4 4 4
Bài 170: Chứng minh rằng: (x + y + z ) = 2(x + y + z ) , biết rằng: x+y+z=0 HD:
Ta có: x + y + z =
= x = −(y + z) = x = −  (y + z) 2 2 0  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= x = y + z + 2xz = x − y − z = 2xz = (x − y − z ) = (2xz) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
= x + y + z − 2x y − 2x z + 2y z = 4x z 4 4 4 2 2 2 2 2 2
= x + y + z = 2x y + 2x z + 2y z 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
= x + y + z + x + y + z = x + y + z + 2x y + 2x z + 2y z = ( + + ) = ( + + )2 4 4 4 2 2 2 2 x y z x y z 25
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức BGH DUYỆT
TỔ CHUYÊN MÔN DUYỆT GIÁO VIÊN 26
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức