Chuyên đề vị trí tương đối của hai đường tròn

Tài liệu gồm 36 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề vị trí tương đối của hai đường tròn, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 2 bài số 7 và bài số 8.

Chủ đề:

Chương 2: Đường tròn 33 tài liệu

Môn:

Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:
36 trang 9 tháng trước
Tác giả:
H
Hà Việt Anh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề vị trí tương đối của hai đường tròn

Tài liệu gồm 36 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề vị trí tương đối của hai đường tròn, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 2 bài số 7 và bài số 8.

185 93 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 2: Đường tròn 33 tài liệu

Môn: Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:

36 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1.Tính chất của đường nối tâm
-Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Chú ý:
• Nêu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
-Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2.Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn v
ới đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’;r) vói
R>r
Số điểm
chung
Hệ thức giữa d và R, r
H
ai đường tròn cắt nhau 2 R-r<d<R+r
H
ai đường tròn tiếp xúc nhau
1
- Tiếp xúc ngoài d = R + r,
- Tiếp xúc trong d = R-r
H
ai đường tròn không giao nhau
0
- Ở ngoài nhau d> R + r
- (O) đựng (O') d<R-r
- (O) và (O') đổng tâm d = 0
B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp
hai đường tròn …
Bài 1: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
và đường tròn tâm
'O
bán kính
r
(
Rr
)
.Viết các hệ thức
tương ứng giữa
r
, R và
OO'
vào bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa
OO'
r
và
R
Hai đường tròn cắt nhau 2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+) Tiếp xúc ngoài
+) Tiếp xúc trong
1
Hai đường tròn không giao nhau
+)

O
và

'O
ở ngoài nhau
+)

O
đựng

'O
0
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
và đường tròn tâm
'O
bán kính
r
.
Điền vào chỗ trống trong
bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn
OO'
R
r
14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong
17 5
9 6 4
36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối
của hai đường tròn liên quan đến trường họp hai đường
tròn cắt nhau.
Bài 3: Cho đường tròn
(,6 cm)O
và đường tròn
(,5 cm)O
có đoạn nối tâm
8OO
cm. Biết đường tròn
()O
và
()O
cắt
OO
lần lượt tại
N
,
M
(hìnhbên).
Tính độ dài đoạn thẳng
MN
.
Bài 4: Cho hai đường tròn (
O
;
4
cm) và (
O
;
3
cm) có
5OO
cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại
A
và
B
. Tính độ dài
AB
.
Bài 5: Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng
a
. Gọi
E
là trung điểm của cạnh
CD
. Tính độ dài dây cung
chung
DF
của đường tròn đường kính
AE
và đường tròn đường kính
CD
.
Bài 6: Cho hai đường tròn
12
(O ;R),(O ;Rʹ)
cắt nhau tại
K
và
H
đường thẳng
1
OH
cắt

1
O
tại
A
cắt
2
(O )
tại
B
, đường thẳng
2
OH
cắt

1
O
tại
C,
cắt
2
(O )
tại
D
.
1) Chứng minh ba điểm
A, K ,D
thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng
AC, BD,HK
đồng quy tại một điểm.
Bài 7: Cho hai đường tròn
12
(O ;R),(O ;R )
cắt nhau tại
A, B
(
12
O,O
nằm khác phía so với đường thẳng
AB
). Một cát tuyến
PAQ
xoay quanh
A



12
PO,QO
sao cho
A
nằm giữa
P
và
Q
. Hãy xác đinh
vị trí của cát tuyến
PAQ
trong mỗi trường hợp.
1)
A
là trung điểm của
PQ
2)
PQ
có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác
BPQ
lớn nhất
4)
BPQ
S
lớn nhất.
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai
đường tròn không cắt nhau.
Bài 8: Cho hai đường tròn
(;2 cm)I
và
(;3 cm)J
tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm
IJ
.
Bài 9: Cho hai đường tròn (
;4O
cm
) và (
;11O
cm
). Biết khoảng cách
23OO a


cm
với
a
là số
thực dương. Tìm
a
để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Bài 10: Cho hai đường tròn
(O;R)
và
(Oʹ;Rʹ)
tiếp xúc ngoài tại
A
với
(R Rʹ)
. Đường nối tâm
OOʹ
cắt
(O),(Oʹ)
lần lượt tại
B,C
. Dây
DE
của
(O)
vuông góc với
BC
tại trung điểm
K
của
BC
.
1) Chứng minh
BDCE
là hình thoi
2) Gọi
I
là giao điểm của
EC
và
(Oʹ)
. Chứng minh
D,A ,I
thẳng hàng
3) Chứng minh
KI
là tiếp tuyến của
(Oʹ)
.
Bài 11: Cho hai đường tròn
(O)
và
(Oʹ)
tiếp xúc ngoài tại
A
. Qua
A
kẻ một cát tuyến cắt
(O)
tại
C
, cắt
đường tròn
(O ʹ)
tại
D
1) Chứng minh
OC / /Oʹ D
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
, gọi
P
,
Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
M,N
qua
OOʹ
. Chứng
minh
MNQP
là hình thang cân và
 MN PQ MP NQ
3) Tính góc
MAN
. Gọi
K
là giao điểm của
AM
với
(Oʹ)
. Chứng minh ba điểm
N, Oʹ,K
thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
và đường tròn tâm
'O
bán kính
r
(
Rr
)
.Viết các hệ thức
tương ứng giữa
r
, R và
OO'
vào bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa
OO'
r
và
R
Hai đường tròn cắt nhau
2
R-r < OO' R r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+) Tiếp xúc ngoài
+) Tiếp xúc trong
1
OO' R r
OO' R r 0
Hai đường tròn không giao nhau
+)

O
và

'O
ở ngoài nhau
+)

O
đựng

'O
0
OO' R r
OO' R r
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
và đường tròn tâm
'O
bán kính
r
.
Điền vào chỗ trống trong
bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn
OO'
R
r
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong 12 17 5
Hai đường tròn cắt nhau 9 6 4
O
và
'O
ở ngoài nhau
36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Bài 3: Cho đường tròn
(,6 cm)O
và đường tròn
(,5 cm)O
có
đoạn nối tâm
8OO
cm. Biết đường tròn
()O
và
()O
cắt
OO
lần lượt tại
N
,
M
(hìnhbên).
Tính độ dài đoạn thẳng
MN
.
Lời giải: Ta có
6OM MN ON OM MN
.
5ON MN OM ON MN

 
.
Suyra
11 11 3OM MN O N MN OO MN MN


cm.
Bài 4: Cho hai đường tròn (
O
;
4
cm) và (
O
;
3
cm) có
5OO
cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại
A
và
B
. Tính độ dài
AB
.
Lờigiải
Áp dụng định lý Py ta go đảo cho
OAO
ta có
22 2222
543OO OA O A


.
Suy ra
OAO
vuông tại
A
.
Gọi
H
là giao của
AB
và
OO
. Vì hai đường tròn (
O
;
4
cm) và (
O
;
3
cm) cắt nhau tại
A
và
B
suy ra
OO AB
(Tính chất
đường nối tâm với dây chung)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
OO A
Ta có
222
111 12
2, 4
43 5
AH
AH
 
cm.
Do đó
22.2,44,8AB AH
cm.
Bài 5: Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng
a
. Gọi
E
là trung điểm của cạnh
CD
. Tính độ dài dây cung
chung
DF
của đường tròn đường kính
AE
và đường tròn đường kính
CD
.
Lờigiải
Gọi
DF
cắt
AE
tại
H
.
AE DF
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Tam giác
DAE
vuông tại
D
nên ta có:
222
11
D
1
.
DH DE A

Ta có
525
;D
2
DA 2
55
aaa
E a DH DF DH
.
Bài 6: Cho hai đường tròn
12
(O ;R), (O ;Rʹ)
cắt nhau tại
K
và
H
đường thẳng
1
OH
cắt

1
O
tại
A
cắt
2
(O )
tại
B
, đường thẳng
2
OH
cắt

1
O
tại
C,
cắt
2
(O )
tại
D
.
1) Chứng minh ba điểm
A, K ,D
thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng
AC, BD,HK
đồng quy tại một điểm.
Lời giải:
1) Ta có tam giác
HKD
nối tiếp dường tròn

2
O
có cạnh
HD
là đường kính nên tam giác
HKD
vuông
tại
K
suy ra:
HK KD
Tương tự ta có
HK KA
suy ra
A, K ,D
thẳng hàng
2) Các tam giác
ACH, AKH
nội tiếp đường tròn

1
O
có cạnh
HA
là đường kính nên tam giác
ACH
vuông tại
C
, tam giác
AKH
vuông tại
K
suy ra
 DC AC DH AC
(1),
H
F
E
C
D
A
B
O
2
H
K
D
E
C
B
A
O
1
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Tương tự ta có
HA BD
(2).
Lại có
HK KA HK DA(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
AC, BD,HK
đồng quy.(Ba đường cao của tam giác AHD)
Bài 7: Cho hai đường tròn
12
(O ;R), (O ;R )
cắt nhau tại
A, B
(
12
O,O
nằm khác phía so với đường thẳng
AB
). Một cát tuyến
PAQ
xoay quanh
A



12
PO,QO
sao cho
A
nằm giữa
P
và
Q
. Hãy xác đinh
vị trí của cát tuyến
PAQ
trong mỗi trường hợp.
1)
A
là trung điểm của
PQ
2)
PQ
có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác
BPQ
lớn nhất
4)
BPQ
S
lớn nhất.
Lời giải:
1) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến
PAQ
sao cho
PA AQ
.
Kẻ
1
OH
vuông góc với dây
PA
thì

1
PH HA PA
2
.
Kẻ
2
OK
vuông góc với dây
AQ
thì

1
AK KQ AQ
2
.
Nên
AH AK
.
Kẻ
2
Ax / /O,H / /O K
cắt
O
,
2
O
tại
I
thì
12
OI IO
và
Ax PQ
. Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát
tuyến
PAQ
đó là cát tuyến
PAQ
vuông góc với
IA
tại
A
với
I
là trung điểm của đoạn nối tâm
12
OO
.
2) Trên hình, ta thấy
PA HK
.
Kẻ
21
OM OH
thì tứ giác
2
MHKO
có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó
2
HK MO
. Lúc đó
2
OM
là đường vuông góc kẻ từ
2
O
đến đường thẳng
121
OH,OO
là đường xiên kẻ từ
2
O
đến đường
thẳng
1
OH
.
Nên
212
OM OO
hay

212
PQ 2HK 2O M 2O O
(không đổi). dấu đẳng thức xảy ra
MO
hay
12
PQ / /O O
. Vậy ở vị trí cát tuyến
12
PAQ / /O O
thì
PQ
có độ dài lớn nhất.
3) Qua
A
kẻ cát tuyến
CAD
vuông góc với
BA
.
I
O
2
O
1
Q
K
A
H
P
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Thì tam giác
ABC
và
ABD
vuông tại
A
lần lượt nội tiếp các đường tròn

1
O
,

2
O
nên
1
O
là trung
điểm của
BC
và
2
O
là trung điểm của
BD
. Lúc đó
12
OO
là đường trung bình của tam giác
BCD
nên
12
OO //CD
suy ra
12
PQ 2O O
(1) (theo câu b).
Lại có
BQ BD
(2),
BP BC
(3). Từ (1),(2),(3) suy ra chu vi tam giác


12 1 2
BPQ,C P Q BQ BP 2 O O R R
(không đổi). Dấu bằng có khi

PC,QD
.
Vậy chu vi tam giác
BPQ
đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến
PAQ
vuông góc với dây
BA
tại
A
.
4) Kẻ
BN PQ
thì
BN BA
.
Lúc đó

BPQ
11
SBN.PQBA.CD
22
không đổi.
Vậy
BPQ
S
đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến
PAQ
vuông góc với dây chung
BA
tại
A
.
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
Bài 8: Cho hai đường tròn
(;2 cm)I
và
(;3 cm)J
tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm
IJ
.
Lờigiải
Độ dài đoạn nối tâm
IJ
bằng :
235
cm.
Bài 9: Cho hai đường tròn (
;4O
cm
) và (
;11O
cm
). Biết khoảng cách
23OO a


cm
với
a
là số
thực dương. Tìm
a
để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Lờigiải
Q
P
O
2
O
1
D
C
B
A
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Các trường hợp có thể xảy ra là
+) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (xemhình
1
), ta có
2315 6OO R R a a


cm
.
+) Hai đường tròn tiếp xúc trong (xemhình
2
), ta có
||23|411|2OO R R a a


cm.
Vậy
6a
cm
và
2a
cm
.
Bài 10: Cho hai đường tròn
(O;R)
và
(Oʹ;Rʹ)
tiếp xúc ngoài tại
A
với
(R Rʹ)
. Đường nối tâm
OOʹ
cắt
(O),(Oʹ)
lần lượt tại
B,C
. Dây
DE
của
(O)
vuông góc với
BC
tại trung điểm
K
của
BC
.
1) Chứng minh
BDCE
là hình thoi
2) Gọi
I
là giao điểm của
EC
và
(Oʹ)
. Chứng minh
D,A ,I
thẳng hàng
3) Chứng minh
KI
là tiếp tuyến của
(Oʹ)
.
Lờigiải
1) Vì
BC
vuông góc với đường thẳng
DE
nên

DK KE,BK K C
(theo giả thiết) do đó tứ giác
BDCE
là
hình bình hành, lại có
BC DE
nên là hình thoi.
2) Vì tam giác
BDA
nội tiếp đường tròn

1
O
có
BA
là đường kính nên
BDA
vuông tại
D
. Gọi
Iʹ
là
giao điểm của
DA
với
CE
thì
0
AIʹ C90
(1) (vì so le trong với
BDA
). Lại có
AIC
nội tiếp đường tròn

2
O
có
AC
là đường kính nên tam giác
AIC
vuông tại
I
, hay
0
AIC 90
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
IIʹ
. Vậy
D,A,I
thẳng hàng.
3) Vì tam giác
DIE
vuông tại
I
có
IK
là trung tuyến ứng với cạnh huyền
DE
nên

12
KD KI KE D I
(1). Lại có
14
DC
(2) do cùng phụ với
DEC
và
43
CC
(3), vì
22
OC OI
là bán kính của đường tròn

2
O
.
Từ (1),(2),(3) suy ra


0
23 2553
II IIII90
hay
0
2
KIO 90
do đó
KI
vuông góc với bán kính
2
OI
của đường tròn

2
O
. Vậy
KI
là tiếp tuyến của đường tròn

2
O
.
5
4
3
2
1
E
I
O
2
O
1
K
D
C
B
A
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 11: Cho hai đường tròn
(O)
và
(Oʹ)
tiếp xúc ngoài tại
A
. Qua
A
kẻ một cát tuyến cắt
(O)
tại
C
, cắt
đường tròn
(O ʹ)
tại
D
1) Chứng minh
OC / /Oʹ D
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
, gọi
P
,
Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
M,N
qua
OOʹ
. Chứng
minh
MNQP
là hình thang cân và

MN PQ MP NQ
3) Tính góc
MAN
. Gọi
K
là giao điểm của
AM
với
(Oʹ)
. Chứng minh
N, Oʹ,K
thẳng hàng.
Lờigiải
a). Do hai đường tròn
(O)
và
(Oʹ)
tiếp xúc ngoài tại
A
nên
A
nằm trên
OOʹ
.Ta có
CAO DAOʹ
. Lại có
OCA OAD,Oʹ AD Oʹ DA
vì các tam giác

COA, DOʹ A
là tam giác cân. Từ đó suy ra
OCA Oʹ DA OC / /Oʹ D
b). + Vì

MP OOʹ,NQ OOʹ MP / /OOʹ MNQ P
là hình thang . Vì
M
đối xứng với
P
qua
OOʹ
,
N
đối xứng với
Q
qua
OOʹ
và
O
luôn đối xứng với
O
qua
OOʹ
nên


0
OPM OMP 90
. Mặt khác
MPQ ,PMN
cùng phụ với các góc

OPM OMP
nên
MPQ PMN
suy ra
MNQP
là hình thang cân.
(Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra
PQ
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)
+ Kẻ tiếp tuyến chung qua
A
của hai đường tròn cắt
MN,PQ
tại
R,S
thì ta có:

RM RA RN,SA SP SQ
suy ra

MN PQ 2RS
. Mặt khác
RS
cũng là đường trung bình của hình
thang nên

MP NQ 2RS
hay

MP NQ MN PQ
c). Từ câu
b
ta có

AR RM RN
nên tam giác
MAN
vuông tại
A
, từ đó suy ra

0
NAK 90
KN
là
đường kính của
(Oʹ)
, hay
N, Oʹ,K
thẳng hàng.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ
Câu 1: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Y
X
S
R
Q
P
K
M
O
O'
C
D
A
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 2: Nếu hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 3: Cho hai đường tròn
(; )OR
và
(;)Or
¢
với
Rr>
cắt nhau tại hai điểm phân biệt và
OO d
¢
=
. Chọn
khẳng định đúng?
A.
dRr=-
. B.
dRr>+
. C.
Rr d Rr-< < +
. D.
dRr<-
.
Câu 4: Cho hai đường tròn
(;8 )Ocm
và
(;6 )Ocm
¢
cắt nhau tại
,AB
sao cho
OA
là tiếp tuyến của
()O
¢
.
Độ dài dây
AB
là:
A.
8, 6AB cm=
. B.
6, 9AB cm=
. C.
4, 8AB cm=
. D.
9, 6AB cm=
.
Câu 5: Cho hai đường tròn
(;6 )Ocm
và
(;2 )Ocm
¢
cắt nhau tại
,AB
sao cho
OA
là tiếp tuyến của
()O
¢
. Độ
dài dây
AB
là:
A.
310AB cm=
. B.
610
5
AB cm=
. C.
310
5
AB cm=
. D.
10
5
AB cm=
.
Cho đường tròn
()O
bán kính
OA
và đường tròn
()O
¢
đường kính
OA
.
Câu 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn là:
A. Nằm ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Câu 7: Dây
AD
của đường tròn cắt đường tròn nhỏ tại
C
. Khi đó:
A.
AC CD>
. B.
AC CD=
. C.
AC CD<
. D.
CD OD=
.
Cho đoạn
OO
¢
và điểm
A
nằm trên đoạn
OO
¢
sao cho
2OA O A
¢
=
. Đường tròn
()O
bán kính
OA
và
đường tròn
()O
¢
bán kính
OA
¢
.
Câu 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn là:
A. Nằm ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Câu 9: Dây
AD
của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại
C
. Khi đó:
A.
1
2
AD
AC
=
. B.
3
AD
AC
=
. C.
//OD O C
¢
. D. Cả A, B, C đều sai.
Cho hai đường tròn
1
()O
và
2
()O
tiếp xúc ngoài tại
A
và một đường thẳng
d
tiếp xúc với
12
();()OO
lần
lượt tại
,BC
.
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 10: Tam giác
ABC
là:
A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân.
Câu 11: Lấy
M
là trung điểm của
BC
. Chọn khẳng định sai?
A.
AM
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
12
();()OO
.
B.
AM
là đường trung bình của hình thang
12
OBCO
.
C.
AM BC=
.
D.
1
2
AM BC=
.
Cho
1
(;3 )Ocm
tiếp xúc ngoài với
2
(;1 )Ocm
tại
A
. Vẽ hai bán kính
1
OB
và
2
OC
song song với nhau cùng
thuộc nửa mặt phẳng bờ
12
OO
. Gọi
D
là giao điểm của
BC
và
12
OO
.
Câu 12: Tính số đo
BAC
.
A.
90
. B.
60
. C.
100
. D.
80
.
Câu 13: Tính độ dài
1
OD
.
A.
1
4, 5OD cm=
. B.
1
5OD cm=
. C.
1
8OD cm=
. D.
1
6OD cm=
.
Câu 14: Cho hai đường tròn
(;20 )Ocm
và
(;15 )Ocm
¢
cắt nhau tại
A
và
B
. Tính đoạn nối tâm
OO
¢
, biết
rằng
24AB cm=
và
O
và
O
¢
nằm cùng phía đối với
AB
.
A.
7OO cm
¢
=
. B.
8OO cm
¢
=
. C.
9OO cm
¢
=
. D.
25OO cm
¢
=
.
Câu 15: Cho hai đường tròn
(;10 )Ocm
và
(;5 )Ocm
¢
cắt nhau tại
A
và
B
. Tính đoạn nối tâm
OO
¢
, biết
rằng
8AB cm=
và
O
và
O
¢
nằm cùng phía đối với
AB
. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
A.
6, 5OO cm
¢
»
. B.
6, 1OO cm
¢
»
. C.
6OO cm
¢
»
. D.
6, 2OO cm
¢
»
.
Cho nửa đường tròn
()O
, đường kính
AB
. Vẽ nửa đường tròn tâm
O
¢
đường kính
AO
(cùng phía với
nửa đường tròn
()O
). Một cát tuyến bất kỳ qua
A
cắt
();()OO
¢
lần lượt tại
,CD
.
Câu 16: Chọn khẳng định sai?
A.
C
là trung điểm của
AD
.
B. Các tiếp tuyến tại
C
và
D
của các nửa đường tròn song song với nhau.
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
C.
//OC OD
¢
.
D. Các tiếp tuyến tại
C
và
D
của các nửa đường tròn cắt nhau.
Câu 17: Nếu
BC
là tiếp tuyến của nửa đường tròn
()O
¢
thì tính
BC
theo
R
(với
OA R=
)
A.
2BC R=
. B.
2BC R=
. C.
3BC R=
. D.
5BC R=
.
Cho hai đường tròn
();( )OO
¢
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
với
(); ( )MONO
¢
ÎÎ
.
Gọi
P
là điểm đối xứng với
M
qua
;OO Q
¢
là điểm đối xứng với
N
qua
OO
¢
.
Câu 18: Khi đó, tứ giác
MNQP
là hình gì?
A. Hình thang cân. B. Hình thang. C. Hình thang vuông. D. Hình bình hành.
Câu 19:
MN PQ+
bằng
A.
MP NQ+
. B.
MQ NP+
. C.
2MP
. D.
OP PQ+
.
Cho hai đường tròn
(; )OR
và
(; )OR
¢¢
()RR
¢
>
tiếp xúc ngoài tại
A
. Vẽ các bán kính
//OB O D
¢
với
,BD
ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ
OO
¢
. Đường thẳng
DB
và
OO
¢
cắt nhau tại
I
. Tiếp tuyến chung
ngoài
GH
của
()O
và
()O
¢
với
,GH
nằm ở nửa mặt phẳng bờ
OO
¢
không chứa
,BD
.
Câu 20: Tính
OI
theo
R
và
R
¢
.
A.
RR
OI
RR
¢
+
=
¢
-
. B.
RR
OI
RR
¢
-
=
¢
+
. C.
()RR R
OI
RR
¢
-
=
¢
+
. D.
()RR R
OI
RR
¢
+
=
¢
-
.
Câu 21: Chọn câu đúng.
A.
,BD OO
¢
và
GH
đồng quy. B.
,BD OO
¢
và
GH
không đồng quy.
C. Không có ba đường nào đồng quy. D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 22: Cho hai đường tròn
()O
và
()O
¢
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ các đường kính
;AOB AO C
¢
. Gọi
DE
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(();())DOEO
¢
ÎÎ
. Gọi
M
là giao điểm của
BD
và
CE
. Tính
diện tích tứ giác
ADME
biết
60DOA =
và
6OA cm=
.
A.
2
12 3 cm
. B.
2
12cm
. C.
2
16cm
. D.
2
24cm
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 23: Cho hai đường tròn
()O
và
()O
¢
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ các đường kính
;AOB AO C
¢
. Gọi
DE
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(();())DOEO
¢
ÎÎ
. Gọi
M
là giao điểm của
BD
và
CE
. Tính
diện tích tứ giác
ADME
biết
60DOA =
và
8OA cm=
.
A.
2
12 3 cm
. B.
2
64
3
3
cm
. C.
2
32
3
3
cm
. D.
2
36cm
.
Câu 24: Cho hai đường tròn
();( )OO
¢
cắt nhau tại
,AB
. Kẻ đường kính
AC
của đường tròn
()O
và
đường kính
AD
của đường tròn
()O
¢
. Chọn khẳng định sai?
A.
2
DC
OO
¢
=
. B.
,,CBD
thẳng hàng. C.
OO AB
¢
^
. D.
BC BD=
.
Câu 25: Cho hai đường tròn
();( )OO
¢
cắt nhau tại
,AB
trong đó
()OO
¢
Î
. Kẻ đường kính
OOC
¢
của
đường tròn
()O
. Chọn khẳng định sai?
A.
AC CB=
. B.
90CBO
¢
=
.
C.
,CA CB
là hai tiếp tuyến của
()O
¢
. D.
,CA CB
là hai cát tuyến của
()O
¢
.
Cho các đường tròn
( ;10 ),( ;15 ),( ;15 )AcmBcmC cm
tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn
()B
và
()C
tiếp xúc với nhau tại
A
¢
. Đường tròn
()A
tiếp xúc với đường tròn
()A
và
()B
lần lượt tại
C
¢
và
B
¢
.
Câu 25: Chọn câu đúng nhất.
A.
AA
¢
là tiếp tuyến chung của đường tròn
()B
và
()C
. B.
25AA cm
¢
=
.
C.
15AA cm
¢
=
. D. Cả A và B đều đúng.
Câu 26: Tính diện tích tam giác
ABC
¢¢¢
.
A.
2
36cm
. B.
2
72cm
. C.
2
144cm
. D.
2
96cm
.
Câu 27: Cho đường thẳng
xy
và đường tròn
(; )OR
không giao nhau. Gọi
M
là một điểm di động trên
xy
. Vẽ đường tròn đường kính
OM
cắt đường tròn
()O
tại
A
và
B
. Kẻ
OH xy^
. Chọn câu đúng:
A. Đường thẳng
AB
luôn đi qua một điểm cố định là
H
.
B. Đường thẳng
AB
luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm
OH
.
C. Đường thẳng
AB
luôn đi qua một điểm cố định là giao của
OH
và
AB
.
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
D. Đường thẳng
AB
luôn đi qua một điểm cố định là giao của
OH
và
(; )OR
.
HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
Hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì có một điểm chung duy nhất.
Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
Hai đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung duy nhất.
Đáp án cần chọn là D.
3. Lời giải:
Hai đường tròn
(; )OR
và
(;)Or
¢
()Rr
>
cắt nhau.
Khi đó
()O
và
()O
¢
có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn
AB
.
Hệ thức liên hệ
Rr OO Rr
¢
-< < +
.
Đáp án cần chọn là C.
4. Lời giải:
Vì
OA
là tiếp tuyến của
()O
¢
nên
OAO
¢
D
vuông tại
A
.
Vì
()O
và
()O
¢
cắt nhau tại
,AB
nên đường nối tâm
OO
¢
là trung trực của đoạn
AB
.
A
B
O'
O
I
B
A
O
O'
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi giao điểm của
AB
và
OO
¢
là
I
thì
AB OO
¢
^
tại
I
là trung điểm của
AB
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
OAO
¢
ta có:
22 222
11111
4, 8 9, 6
86
AI cm AB cm
AI OA O A
=+ =+= =
¢
.
Đáp án cần chọn là D.
5. Lời giải:
Vì
OA
là tiếp tuyến của
()O
¢
nên
OAO
¢
D
vuông tại
A
.
Vì
()O
và
()O
¢
cắt nhau tại
,AB
nên đường nối tâm
OO
¢
là trung trực của đoạn
AB
.
Gọi giao điểm của
AB
và
OO
¢
là
I
thì
AB OO
¢
^
tại
I
là trung điểm của
AB
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
OAO
¢
ta có:
22 222
11111 310 610
55
62
AI cm AB cm
AI OA O A
=+ =+= =
¢
.
Đáp án cần chọn là B.
6. Lời giải:
Vì hai đường tròn có một điểm chung là
A
và
2
OA
OO OA R r
¢
=- =-
nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
Đáp án cần chọn là D.
7. Lời giải:
O'
O
A
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét đường tròn
()O
¢
có
OA
là đường kính và
()CO
¢
Î
nên
ACOD
vuông tại
C
hay
OC AD^
.
Xét đường tròn
()O
có
OA OD OAD=D
cân tại
O
có
OC
là đường cao cũng là đường trung tuyến
nên
CD CA=
.
Đáp án cần chọn là B.
8. Lời giải:
Vì hai đường tròn có một điểm chung là
A
và
OO OA O A R r
¢¢
=+ =+
nên hai đường tròn tiếp xúc
ngoài.
Đáp án cần chọn là C.
9. Lời giải:
Xét đường tròn
()O
¢
và
()O
có
1
2
OA OA
¢
=
nên
2
OA
OA
=
¢
.
Xét
OAC
¢
D
cân tại
O
¢
và
OADD
cân tại
D
có
OAD O AD
¢
=
(đối đỉnh) nên
OAD O CA
¢
=
.
C
O'
A
O
D
O O'
A
C
O'O
A
D
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra
OAD O A D
¢
=
Suy ra
OADD
∽
OAC
¢
D (g - g)
2
AD OA
AC O A
==
¢
Lại có vì
OAD O CA
¢
=
mà hai góc ở vị trí so le trong nên
//OD O C
¢
.
Đáp án cần chọn là C.
10. Lời giải:
Xét
1
()O
có
11
OB OA=
1
OABD
cân tại
1
O
11
OBA OAB=
Xét
2
()O
có
22
OC OA=
2
OCAD
cân tại
2
O
22
OCA OAC=
Mà

12
360 180OO CB+= --=
11 22
180 180 180OBAOAB OCAOAC- - +- - =
12
2( ) 180OAB OAC+=
12
90OAB OAC+ =
90BAC=
ABCD
vuông tại
A
.
Đáp án cần chọn là C.
11. Lời giải:
C
O
2
O
1
A
B
M
C
O
1
O
2
A
B
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì
ABCD
vuông tại
A
có
AM
là trung tuyến nên
2
BC
AM BM DM===
.
Xét tam giác
BMA
cân tại
MMBAMAB=
, mà
11
OBA OAB=
(cmt) nên
11 11
90OBA MBA OAB MAB OAM OBM+= + = =
.
1
MA AO^
tại
A
nên
AM
là tiếp tuyến của
1
()O
Tương tự ta cũng có
2
MA AO^
tại
A
nên
AM
là tiếp tuyến của
2
()O
Hay
AM
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Vậy phương án A, C, D đúng. B sai.
Đáp án cần chọn là B.
12. Lời giải:
Xét
1
()O
có
11
OB OA=
1
OABD
cân tại
1
O
11
OBA OAB=
Xét
2
()O
có
22
OC OA=
2
OCAD
cân tại
2
O
22
OCA OAC=
Lại có
12 1 2
/ / 180OB OC OBC OCB+=
(hai góc trong cùng phía bù nhau)
Suy ra
12 2 1
360 180OO OCBOBC+= - - =
11 22
180 180 180OBAOAB OCAOAC- - +- - =
12
2( ) 180OAB OAC+=
12
90OAB OAC+ =
90BAC=
Đáp án cần chọn là A.
13. Lời giải:
D
C
O
2
O
1
A
B
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì
1
OBDD
có
12
//OB OC
nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
22
11
1
3
OD OC
OD OB
==
suy ra
12
1
2
3
OO
OD
=
.
Mà
12 1 2 1 12
33
31 4 . .4 6
22
OO OA O A OD OO cm=+=+= = ==
.
Đáp án cần chọn là D.
14. Lời giải:
Ta có
1
12
2
AI AB cm==
.
Theo định lý Pytago ta có:
222
256 16OI OA AI OI cm=-==
22
9OI OA IA cm
¢¢
=-=
Do đó:
16 9 7( )OO OI O I cm
¢¢
=- =-=
.
Đáp án cần chọn là A.
15. Lời giải:
D
C
O
2
O
1
A
B
I
B
A
O
O'
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có
1
4
2
AI AB cm==
.
Theo định lý Pytago ta có:
22222
10 4 84 2 21OI OA A I OI cm=-=-==
22 22
54 3OI OA IA
¢¢
=-=-=
Do đó:
221 3 6,2( )OO OI O I cm
¢¢
=- = -»
.
Đáp án cần chọn là D.
16. Lời giải:
Xét đường tròn
()O
¢
có
OA
là đường kính và
()CO
¢
Î
nên
90ACO AD CO= ^
Xét đường tròn
()O
có
OA OD OAD=D
cân tại
O
có
OC
là đường cao nên
OC
cũng là đường trung
tuyến hay
C
là trung điểm của
AD
.
Xét tam giác
AOD
có
OC
¢
là đường trung bình nên
//OC OD
¢
Kẻ các tiếp tuyến
;Cx Dy
với các nửa đường tròn ta có
;Cx O C Dy OD
¢
^^
mà
//OC OD
¢
nên
Cx Dy^
.
Do đó phương án A, B, C đúng.
Đáp án cần chọn là D.
I
B
A
O
O'
x
y
C
O' O
A
B
D
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
17. Lời giải:
Ta có
3
;;
222
RRR
OB R OO O B O C
¢¢ ¢
=== =
Theo định lý Pytago ta có:
22
22
9
2
44
RR
BC OB O C R
¢
=-=-=
.
Đáp án cần chọn là B.
18. Lời giải:
Vì
P
là điểm đối xứng với
M
qua
OO
¢
Q
là điểm đối xứng với
N
qua
OO
¢
nên
MN PQ=
.
(); ( )POQO
¢
ÎÎ
Mà
;MP OO N Q OO
¢¢
^^
//MP NQ
mà
MN PQ=
Nên
MNPQ
là hình thang cân.
Đáp án cần chọn là A.
19. Lời giải:
C
O' O
B
A
D
Q
P
N
O'O
A
M
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Kẻ tiếp tuyến chung tại
A
của
();( )OO
¢
cắt
;MN PQ
lần lượt tại
;BC
Ta có
MNPQ
là hình thang cân nên
NMP QPM=
Tam giác
OMP
cân tại
O
nên
OMP OPM=
suy ra
90OMP PMN OPM MPQ QPO+=+=
OP PQ^
tại
()PO
Î
nên
PQ
là tiếp tuyến của
()O
.
Chứng minh tương tự ta có
PQ
là tiếp tuyến của
()O
¢
.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
;BA BM BN CP CA CQ== ==
suy ra
;BC
lần lượt là
trung điểm của
;MN PQ
và
22222MN PQ MB PC AB AC BC+= +=+=
.
Lại có
BC
là đường trung bình của hình thang
MNQP
nên
2MP NQ BC+=
.
Do đó
MN PQ MP NQ+= +
.
Đáp án cần chọn là A.
20. Lời giải:
Xét tam giác
IOB
có
//OB O D
¢
(gt)
Áp dụng định lí Ta-let ta có
OI OB OI R
OI OD OI R
==
¢¢ ¢¢
mà
()()O I OI OO OI OA AO OI R R
¢¢ ¢ ¢
=- =- + =-+
Q
P
N
O'O
A
M
2
1
1
H
G
I
D
O
O'
A
B
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Nên
.[()].-.()
()
OI R
OI R R OI R R OI R OI R R R R
OI R R R
¢¢¢¢
= = -+ = +
¢¢
-+
.
()
()()
RR R
OI R R R R R OI
RR
¢
+
¢¢
-=+=
¢
-
.
Đáp án cần chọn là D.
21. Lời giải:
Gọi giao điểm của
OO
¢
và
GH
là
I
¢
Ta có
//OG O H
¢
(do cùng vuông góc
GH
)
Theo định lí Talet trong tam giác
OGI
¢
ta có
IO OG R
IO OH R
¢
==
¢¢ ¢ ¢
hay
IO OI R
IO OI R
¢
==
¢¢ ¢ ¢
I
¢
trùng với
I
Vậy
,BD OO
¢
và
GH
đồng quy.
Đáp án cần chọn là A.
22. Lời giải:
1
1
2
H
G
I
D
O'
O
A
B
M
E
O'O
B
A
D
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Chứng minh tương tự câu trước ta có được
90DAE =
Mà
90BDA =
(vì tam giác
BAD
có cạnh
AB
là đường kính của
()O
và
()DO
Î
) nên
90BD AD M DA^ =
.
Tương tự ta có
90MEA =
.
Nên tứ giác
DMEA
là hình chữ nhật.
Xét tam giác
OAD
cân tại
O
có
60DOA =
nên
DOAD
đều
Suy ra
6OA AD cm==
và
60ODA =
30ADE=
.
Xét tam giác
ADE
ta có:
.tan 6.tan30 2 3EA AD EDA===
2
.6.23123
DMEA
SADAE cm===
.
Đáp án cần chọn là A.
23. Lời giải:
Xét
()O
có
OD OA OAD=D
cân tại
O
ODA OAD=
Xét
()O
¢
có
OE OA OEB
¢¢ ¢
=D
cân tại
OOEAOAE
¢¢ ¢
=
Mà
360 180OO OEDODE
¢¢
+= - - =
180 180 180 2( ) 180ODA OAD O EA O AE OAD O AE
¢¢ ¢
- - +- - = + =
90 90OAD O AE D AE ADE
¢
+ = =
vuông tại
A
M
E
O'O
B
A
D
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Mà
90BDA =
(vì tam giác
BAD
có cạnh
AB
là đường kính
của
()O
và
()DO
Î
) nên
90BD AD M DA^ =
.
Tương tự ta có
90MEA =
.
Nên tứ giác
DMEA
là hình chữ nhật.
Xét tam giác
OAD
cân tại
O
có
60DOA =
nên
DOAD
đều
Suy ra
6OA AD cm==
và
60ODA =
30ADE=
.
Xét tam giác
ADE
ta có:
8
. tan 8. tan 30 3
3
EA AD EDA===
2
864
.8.3 3
33
DMEA
SADAE cm===
.
Đáp án cần chọn là B.
24. Lời giải:
Hai đường tròn
();( )OO
¢
cắt nhau tại
A
và
B
tại
A
và
B
nên
OO
¢
là đường trung trực của
AB
OO AB
¢
^
(tính chất đường nối tâm) nên đáp án C đúng.
Xét đường tròn
()O
có
AC
là đường kính, suy ra
ABCD
vuông tại
B
hay
90CBA =
.
Xét đường tròn
()O
có
AD
là đường kính, suy ra
ABDD
vuông tại
B
hay
90DBA =
.
Suy ra
90 90 180CBA DBA+=+=
hay ba điểm
,,BC D
thẳng hàng nên đáp án B đúng.
A
B
C
O
O'
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét tam giác
ADC
có
O
là trung điểm đoạn
AC
và
O
¢
là trung điểm đoạn
AD
nên
OO
¢
là đường trung
bình của tam giác
2
DC
ACD OO
¢
=
(tính chất đường trung bình) nên đáp án A đúng.
Ta chưa thể kết luận gì về độ dài
BC
và
BD
nên đáp án D sai.
Nên A, B, C đúng, D sai.
Đáp án cần chọn là D.
25. Lời giải:
Xét đường tròn
()O
có
OC
¢
là đường kính, suy ra
90CBO CAO
¢¢
==
hay
CB O B
¢
^
tại
B
và
AC AO
¢
^
tại
A
.
Do đó
,AC BC
là hai tiếp tuyến của
()O
¢
nên
AC CB=
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên A, B, C đúng.
Đáp án cần chọn là D.
25. Lời giải:
A
B
C
O
O'
H
C'
A
'
B
C
A
B
'
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:
25 ; 25 ; 30AB BC C A cm A C AB B C cm BC BA A C cm
¢¢ ¢¢ ¢¢
=+= =+= =+=
và
A
¢
là trung điểm của
BC
(vì
15AB AC cm
¢¢
==
)
ABCD
cân tại
A
có
AA
¢
là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
AA BC
¢
^
AA
¢
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
()B
và
()C
Xét tam giác
AA C
¢
vuông tại
A
¢
ta có:
22 222
25 15 400 20AA AC AC AA cm
¢¢ ¢
=- =-==
.
Đáp án cần chọn là A.
26. Lời giải:
Ta có:
10 2
25 5
AC AB
AB AC
¢¢
===
//BC BC
¢¢
do đó
BC AA
¢¢ ¢
^
Lại có
2
12
30 5
BC AC BC
BC cm
BC AB
¢¢ ¢ ¢¢
¢¢
= ==
Xét
ABA
¢
D
có
//BC BC
¢¢
nên theo định lý Ta lét ta có:
15
12
20 25
AH BC AH
AH cm
AA BA
¢
===
¢
(do theo câu trước thì
20AA cm
¢
=
)
Diện tích tam giác
ABC
¢¢¢
là:
2
11
..12.1272()
22
SBCAH cm
¢¢
===
.
Đáp án cần chọn là B.
27. Lời giải:
H
C'
A
'
B
C
A
B
'
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì
OH xy^
nên
H
là một điểm cố định và
OH
không đổi.
Gọi giao điểm của
AB
và
OM
là
E
; giao điểm của
AB
với
OH
là
F
.
Vì
(; )OR
và đường tròn đường kính
OM
cắt nhau tại
;AB
nên
AB OM^
Lại có điểm
A
nằm trên đường tròn đường kính
OM
nên
90AOM =
Xét
OEFD
và
OHMD
có
O
chung và
90OEF OHM==
nên
OEFD
∽
OHMD
(g – g)
Suy ra
..
OE OF
OE OM OF OH
OH OM
= =
Xét
MAOD
vuông tại
A
có
AE
là đường cao nên hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
22
.OM OE OA R
==
2
2
.
R
OF OH R OF
OH
==
.
Do
OH
không đổi nên
OF
cũng không đổi.
Vậy
F
là một điểm cố định hay
AB
luôn đi qua một điểm cố định là giao của
AB
và
OH
.
Đáp án cần chọn là C.
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn

O
bán kính
OA
và đường tròn đuờng kính
OA
.
a) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn

O
và dường tròn dưìmg kính
OA
.
b) Dây
AD
của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở
C
. Chứng minh rằng
AC CD
.
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
a)
6;’4RcmR cm
.
b)
5:’3RcmR cm
.
F
E
B
A
M
O
H
29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ
xOy
cho hai điểm

1;1A
và

3; 0 .B
Vẽ các đường tròn

;Ar
và

;’Br
. Khi
3r
và
’1r
, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 4. Cho

0
,90ABC B C
, đường cao
AH
. Từ
H
kẻ
HK
vuông góc với
AB
tại
,KHI
vuông góc
với
AC
tại
I
. Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp
BHK
và đường tròn ngoại tiếp
CHI
.
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn

;OR
và
()';OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

,,'BC B O C O
. Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC
lại
I
. Chứng minh
rằng :
a)
'90SIO  ; b)
'2BC RR
.
Bài 6: Cho hai đường tròn

O
và

'O
cắt nhau tại
A
và
B
, trong đó
'O
nằm trên đường tròn

O
. Kẻ
đường kính
'OC
của dường tròn

O
.
a) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
b) Đường vuông góc với
’AO
tại
'O
cắt
CB
tại
I
. Đường vuông góc với
AC
tại
C
cắt Bài 7. Cho
hai đường tròn

11
;OR
và
22
(;)OR (với
12
RR ) tiếp xúc ngoài tại
A
; Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
BC
và
DE
(với

12
,;,BD O CE O
). Chứng minh rằng :
BC DE BD CE
Bài 8. Cho hai đường tròn

12
,OO
ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài
AB
và
CD
(với
,AD
thuộc

1
O
;
,BC
thuộc

2
O
). Nối
AC
cắt

1
O
tại
M
; cắt

2
O
tại
N
(
,MANC
). Chứng minh
rằng :
AM NC
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm
O
. Cho biết
BC
là đường kính của đường tròn lớn
và có độ dài bằng 8. Dây
CD
là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và
30BCD  . Hãy tính bán kính của đường
tròn nhỏ.
30.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Cho hai đường tròn

;OR
và

';OR
cắt nhau tại
,MN
. Biết
'24 , 10OO cm MN cm
. Tính
R
.
Bài 11: Cho hai đường tròn
();OR
và
(';')OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
với
M
thuộc

,ON
thuộc

'O
. Biết
9.'4RcmR cm
. Tính độ dài đoạn
MN
.
Bài 12: Cho hai đường tròn

;3Ocm
và
()'; 4Ocm
cắt nhau tại
A
và
B
. Qua
A
kẻ một cát tuyến cắt

O
tại

MM A
, cắt

'O
tại

NN A
. Nếu
'5OO cm
, hãy tính giá trị lớn nhất của
MN
.
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn

O
bán kính
OA
và đường tròn đuờng kính
OA
.
c) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn

O
và dường tròn dưìmg kính
OA
.
d) Dây
AD
của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở
C
. Chứng minh rằng
AC CD
.
Giải
a) Gọi
’O
là tâm dường tròn đường kính
OA
thì đoạn nối tâm
’‘OO OA OA
tức là
’dRR
. Vậy dường tròn

’O
tiếp xúc trong với

O
.
b) Vì tam giác
ACO
có cạnh
AO
là đường kính của
()’O
ngoại tiếp nên nó vuông tại
C
hay
OC
vuông góc với dây
AD
. Vậy
AC CD
.
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
c)
6;’4RcmR cm
.
d)
5:’3RcmR cm
.
Giải
a) Vì
'6 4 2R R cm cm cm d
nên hai đường tròn tiếp xúc trong
b) Vì
'5 3 8R R cm cm cm d
do dó
’’RR d RR
. Vây hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ
xOy
cho hai điểm

1;1A
và

3; 0 .B
Vẽ các đường tròn

;Ar
và

;’Br
. Khi
3r
và
’1r
, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Giải
31.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Độ dài đoạn nối tâm:
22
(3 1) 1 17dAB
(1)
Tổng hai bán kính :
’314rr
. (2)
Từ (1) và (2) ta thấy
17 4
nên hai đường tròn không giao nhau ; hai đường tròn

A
và

B
nằm ngoài
nhau.
Bài 4. Cho

0
,90ABC B C
, đường cao
AH
. Từ
H
kẻ
HK
vuông góc với
AB
tại
,KHI
vuông góc
với
AC
tại
I
. Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp
BHK
và đường tròn ngoại tiếp
CHI
.
Giãi
Trường hợp 1 :
Xét
ABC
có
90B  và
90C 
. Gọi
12
,OO lần lượt là trung điểm của
BH
và
CH
.
Vì
BHK
vuông tại
1
,KO là trung điếm của cạnh huyền
BH
nên
11 1 1
1
KO O B O H BH R
2


11
;OR
là đường tròn ngoại liếp
BHK
.
Tương tự. ta có

22
;OR
là đường tròn ngoại liếp
HIC
.
32.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có
121 2 12
RR OHOHOO nên

11
;OR
tiếp xúc ngoài tai
H
với

22
:OR
.
Trường hợp 2 :
Xét
ABC
có
90B  (hoác
90C 
) (Các hình vẽ khác ta chứng minh tương tự). Lập luận tương tự như
trường hợp 1 ta có:
12 2 1
OO R R nên
11
(;)OR và

22
:OR
tiếp xúc trong tại
H
.
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn

;OR
và
()';OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

,,'BC B O C O
. Tiếp tuyến chung trong tại
A
cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC
lại
I
. Chứng minh
rằng :
a)
'90SIO  ; b)
'2BC RR
.
Giải
a)
Ta có
,IB IA
là hai tiếp tuyến của

O
nên
12
;,I I IC IA là hai tiếp tuyến của

'O
nên
34
II Suy ra :
23
OIO I I 180 : 2 90



b) Ta có
,IB IA
là hai liếp tuyến của

O
nên
IB IA
và
IA OA
;
,IC IA
là hai tiếp tuyến của

’O
nên
IC IA
và
'IA O A
. Suy ra :
IA IB IC
.
33.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ba điếm
,, 'OAO
thẳng hàng và
’IA OO
. Áp dụng hệ thức :
2
'. ’hbc
vào tam giác vuông
’OIO
, ta có
:
2
.’ .’IA OAO A IA R R.
Mạt khác :
2BC IB IC IA
nên
2'BC RR
.
Bài 6: Cho hai đường tròn

O
và

'O
cắt nhau tại
A
và
B
, trong đó
'O
nằm trên đường tròn

O
. Kẻ
đường kính
'OC
của dường tròn

O
.
c) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
d) Đường vuông góc với
’AO
tại
'O
cắt
CB
tại
I
. Đường vuông góc với
AC
tại
C
cắt đường thẳng
'OB
ở
K
. Chứng minh rằng ba điếm
,,OIK
thẳng hàng.
a) Tam giác
’CAO
có đường trung tuyến
AO
ứng với cạnh
’CO
bằng nửa cạnh
’CO
nên
’90CAO 
. Mà

’AO
nên
CA
là liếp tuyến của

’O
tại
A
.
Tương tự ta có CB là tiếp tuyến của (O').
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì :
Từ (3), (4) (5) suy ra O, I, K cùng thuộc đường trung trực của CO’.
Vây ba điếm O, I, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho hai đường tròn

11
;OR
và
22
(;)OR (với
12
RR ) tiếp xúc ngoài tại
A
; Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài
BC
và
DE
(với

12
,;,BD O CE O
). Chứng minh rằng :
BC DE BD CE
Giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại A lần lượt cắt BC, DE tại M và N. Vì MA, MB là tiếp tuyến của

1
O
nên MA =
MB.
Vì MA, MC là tiếp tuyến cúa (O
2
) nên MA = MC => MA = MB = MC.
Chứng minh tương tự ta có : NA = ND = NE.
34.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
2BC DE MN
. (1)
Gọi giao điểm của BC và DE là K, khi đó
K
thuộc đường thẳng
12
OO => KB = KD (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau)
Mà
111
OB OD R nên
1
KO là trung trực của đoạn
12
BD O O BD .
Chứng minh tương lự ta được
12
OO CE
=> tứ giác BCED là hình thang (vì BD // CE).
Vì M, N lần lươt là trung điếm của BC và DE nên 2MN = BD + CE (2) (tính chất dường trung bình).
Từ (1) và (2) suy ra : BC + DE = BD + CE.
Bài 8. Cho hai đường tròn

12
,OO
ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài
AB
và
CD
(với
,AD
thuộc

1
O
;
,BC
thuộc

2
O
). Nối
AC
cắt

1
O
tại
M
; cắt

2
O
tại
N
(
,MANC
). Chứng minh
rằng :
AM NC
Giãi
Vẽ đường trung trực d của đoạn AB, d cắt
12
OO tại I. Khi đó IA = IB.
Ta có B và C đối xứng nhau qua
12
O O IB IC IA IC .
Kẻ
IH AC
tại H ta có HA = HC (vì
IAC
cân tại I).
Kc
1
OK AC tai K,
2
OG AC tại
12
// //GOKIHOG .
Xét hình thang ABO
2
O| (vì
12
//OA OB do cùng vuông góc với AB) ta có
12
// //dAOBO và d di qua trung
điểm của AB nên d đi qua trung điểm của
12
OO hay I là trung điểm của
12
OO .
Xét hình thang
12
OKOG có
12
// //IH O K O G và I là trung điếm của
12
OO nên H là trung điếm của
KG HK HG HA HK HC HG 
hay
22AK GC AK GC AM CN
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
35.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm
O
. Cho biết
BC
là đường kính của đường tròn lớn
và có độ dài bằng 8. Dây
CD
là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và
30BCD  . Hãy tính bán kính của đường
tròn nhỏ.
Giải
Ta có
8BC
nên bán kính đường tròn lớn là
4OC
. Vì
CA
là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ nên
0
sin30 2CD OM OM OC
.
Bài 10: Cho hai đường tròn

;OR
và

';OR
cắt nhau tại
,MN
. Biết
'24 , 10OO cm MN cm
. Tính
R
.
Giải
Gọi giao của
'OO
và MN là I. Vì
''OM ON O M O N R
nên tứ giác
'OMO N
là hình thoi
'OO MN
tại
I
là trung điểm của mỗi đoạn
'OO
và MN. Do đó
11
5; '12
22
IM MN cm IO OO cm
.
Áp dụng định lý Py ta go vào
MIO
ta có

22 22
512 13ROM IM IO cm
.
Bài 11: Cho hai đường tròn
();OR
và
(';')OR
tiếp xúc ngoài tại
A
. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN
với
M
thuộc

,ON
thuộc

'O
. Biết
9.'4RcmR cm
. Tính độ dài đoạn
MN
.
Giải
36.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có : OO' = OA + O'A = 9 + 4 = 13 (cm).
Kẻ
OH OM
tại H => tứ giác O'NMH là hình chữ nhật
=> MH = ƠN = 4 (cm); MN = O H
=> OH = OM - MH = 9- 4 = 5 (cm).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào AOO H. ta có
22 22
'' 13512MN O H OO OH
(cm)
Bài 12: Cho hai đường tròn

;3Ocm
và
()'; 4Ocm
cắt nhau tại
A
và
B
. Qua
A
kẻ một cát tuyến cắt

O
tại

MM A
, cắt

'O
tại

NN A
. Nếu
'5OO cm
, hãy tính giá trị lớn nhất của
MN
.
Giai
Kẻ
OH AM
tại
,HOK AN
tại K và
'OI O K
tại I.
=> HM = HA, KA = KN và tứ giác HOIK là hình chữ nhạt => MN = 2HK và
HK OI
.
Ta có :
’OI OO
(đường vuông góc và đường xiên)

222'10MN HK OI OO cm
Dấu “=” xảy ra
''//'OI OO I O d OO
.
Vây giá trị lớn nhất của MN bằng 10cm khi cát tuyến d song song với OO'.
----------Toán Học Sơ Đồ---------
| 1/36

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1.Tính chất của đường nối tâm
-Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Chú ý:
• Nêu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
-Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2.Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’;r) vói Số điểm Hệ thức giữa d và R, r R>r chung
Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau - Tiếp xúc ngoài 1 d = R + r, - Tiếp xúc trong d = R-r
Hai đường tròn không giao nhau - Ở ngoài nhau d> R + r 0 - (O) đựng (O') d
- (O) và (O') đổng tâm d = 0
B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn …
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết các hệ thức
tương ứng giữa r , R và OO' vào bảng sau. Hệ thức giữa OO'
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung r và R
Hai đường tròn cắt nhau 2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau +) Tiếp xúc ngoài 1 +) Tiếp xúc trong
Hai đường tròn không giao nhau
+) O và O ' ở ngoài nhau 0
+) O đựng O '
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r . Điền vào chỗ trống trong bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn OO' R r 14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong 17 5 9 6 4 36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối
của hai đường tròn liên quan đến trường họp hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3: Cho đường tròn ( ,
O 6 cm) và đường tròn (O , 5 cm) có đoạn nối tâm OO  8 cm. Biết đường tròn (O) và (O )  cắt OO
lần lượt tại N , M (hìnhbên).
Tính độ dài đoạn thẳng MN .
Bài 4: Cho hai đường tròn ( O ; 4 cm) và ( O ; 3 cm) có OO  5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và
B . Tính độ dài AB .
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ dài dây cung
chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính CD .
Bài 6: Cho hai đường tròn tại 1
(O ; R),(O2;Rʹ) cắt nhau tại K và H đường thẳng 1 O H cắt  A cắt 1 O  (O tại
2 ) tại B , đường thẳng O2H cắt  C, cắt (O ) tại D . 1 O  2
1) Chứng minh ba điểm A,K,D thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,HK đồng quy tại một điểm.
Bài 7: Cho hai đường tròn 1
(O ; R),(O2;R) cắt nhau tại A,B ( 1
O ,O nằm khác phía so với đường thẳng 2
AB ). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P O  ,Q  1 O sao cho 2 
A nằm giữa P và Q . Hãy xác đinh
vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.
1) A là trung điểm của PQ
2) PQ có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất 4) S lớn nhất. BPQ
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai
đường tròn không cắt nhau.
Bài 8: Cho hai đường tròn (I;2 cm) và (J;3 cm)tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm IJ .
Bài 9: Cho hai đường tròn ( ;4 O cm ) và ( O ;1
 1 cm ). Biết khoảng cách OO  2a  3 cm với a là số
thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R) và (Oʹ;Rʹ) tiếp xúc ngoài tại A với (R  Rʹ) . Đường nối tâm OOʹ cắt
(O),(Oʹ) lần lượt tại B,C . Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC .
1) Chứng minh BDCE là hình thoi
2) Gọi I là giao điểm của EC và (Oʹ) . Chứng minh D,A,I thẳng hàng
3) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (Oʹ) .
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (Oʹ) tiếp xúc ngoài tại A . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại C , cắt đường tròn (Oʹ) tại D 1) Chứng minh OC / /OʹD
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , gọi P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với M,N qua OOʹ . Chứng
minh MNQP là hình thang cân và MN  PQ  MP  NQ 3) Tính góc 
MAN . Gọi K là giao điểm của AM với (Oʹ) . Chứng minh ba điểm N,Oʹ,K thẳng hàng. HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết các hệ thức
tương ứng giữa r , R và OO' vào bảng sau. Hệ thức giữa OO'
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung r và R
Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r < OO'  R r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau +) Tiếp xúc ngoài 1 OO '  R r +) Tiếp xúc trong OO '  R r  0
Hai đường tròn không giao nhau
+) O và O ' ở ngoài nhau 0 OO '  R r
+) O đựng O ' OO '  R r
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O ' bán kính r . Điền vào chỗ trống trong bảng sau.
Vị trí tương đối của hai đường tròn OO' R r
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 14 8 6
Hai đường tròn tiếp xúc trong 12 17 5
Hai đường tròn cắt nhau 9 6 4
Ovà O' ở ngoài nhau 36 11 17
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau
Bài 3: Cho đường tròn ( ,
O 6 cm) và đường tròn (O , 5 cm) có
đoạn nối tâm OO  8 cm. Biết đường tròn (O) và (O )  cắt OO
lần lượt tại N , M (hìnhbên).
Tính độ dài đoạn thẳng MN . Lời giải: Ta có
OM MN ON OM MN  6 . O N
  MN O M   O N   MN  5 .
Suyra OM MN O N
  MN  11  OO  MN  11  MN  3cm.
Bài 4: Cho hai đường tròn ( O ; 4 cm) và ( O ; 3 cm) có OO  5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và
B . Tính độ dài AB . Lờigiải
Áp dụng định lý Py ta go đảo cho OAO   ta có 2 2 2 2 2 2
OO  OA O A   5  4  3 . Suy ra OAO   vuông tại A .
Gọi H là giao của AB và OO . Vì hai đường tròn ( O ; 4 cm) và (
O ; 3 cm) cắt nhau tại A và B suy ra OO  AB (Tính chất
đường nối tâm với dây chung)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO A  1 1 1 12 Ta có    AH   2,4 cm. 2 2 2 AH 4 3 5
Do đó AB  2AH  2.2, 4  4,8cm.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính độ dài dây cung
chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính CD . Lờigiải
Gọi DF cắt AE tại H .  AE DF
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 1 1
Tam giác DAE vuông tại D nên ta có:   . 2 2 2 DH DE D A a 5a 2a 5
Ta có DE  ; DA  a DH
DF  2DH  . 2 5 5 A D H E F B C
Bài 6: Cho hai đường tròn tại 1
(O ; R),(O2;Rʹ) cắt nhau tại K và H đường thẳng 1 O H cắt  A cắt 1 O  (O tại
2 ) tại B , đường thẳng O2H cắt  C, cắt (O ) tại D . 1 O  2
1) Chứng minh ba điểm A,K,D thẳng hàng.
2) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,HK đồng quy tại một điểm. Lời giải: E C B H O O 1 2 A K D
1) Ta có tam giác HKD nối tiếp dường tròn O có cạnh HD là đường kính nên tam giác HKD vuông 2  tại K suy ra: HK  KD
Tương tự ta có HK  KA suy ra A,K,D thẳng hàng
2) Các tam giác ACH,AKH nội tiếp đường tròn 
có cạnh HA là đường kính nên tam giác 1 O  ACH
vuông tại C , tam giác AKH vuông tại K suy ra DC  AC  DH  AC (1),
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Tương tự ta có HA  BD (2).
Lại có HK  KA  HK  DA (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AC,BD,HK đồng quy.(Ba đường cao của tam giác AHD)
Bài 7: Cho hai đường tròn 1
(O ; R),(O2;R) cắt nhau tại A,B ( 1
O ,O nằm khác phía so với đường thẳng 2
AB ). Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P O  ,Q  1 O sao cho 2 
A nằm giữa P và Q . Hãy xác đinh
vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.
1) A là trung điểm của PQ
2) PQ có độ dài lớn nhất
3) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất 4) S lớn nhất. BPQ Lời giải: P H A K Q O I O2 1
1) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến PAQ sao cho PA  AQ . Kẻ . 1
O H vuông góc với dây PA thì   1 PH HA PA 2 Kẻ O .
2K vuông góc với dây AQ thì   1 AK KQ AQ 2 Nên AH  AK .
Kẻ Ax / /O,H / /O2K cắt O , 2 O tại I thì O I  1 IO và Ax  2
PQ . Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát
tuyến PAQ đó là cát tuyến PAQ vuông góc với IA tại A với I là trung điểm của đoạn nối tâm 1 O O . 2
2) Trên hình, ta thấy PA  HK . Kẻ O M  2 1
O H thì tứ giác MHKO có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó HK  2 MO . Lúc đó 2
O2M là đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng 2 1 O H,O2 1
O là đường xiên kẻ từ O đến đường 2 thẳng 1 O H . Nên O M  2 1
O O hay PQ  2HK  2O M  2 2 1
2O O (không đổi). dấu đẳng thức xảy ra  M  2 O hay PQ / / 1
O O . Vậy ở vị trí cát tuyến 2 PAQ / / 1 O O thì 2
PQ có độ dài lớn nhất.
3) Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với BA .
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Thì tam giác ABC và ABD vuông tại A lần lượt nội tiếp các đường tròn  , O nên 2  1 O  1 O là trung
điểm của BC và O là trung điểm của 2 BD . Lúc đó 1
O O là đường trung bình của tam giác 2 BCD nên 1 O O2 / /CD suy ra PQ  2 1 O O (1) (theo câu b). 2
Lại có BQ  BD (2), BP  BC (3). Từ (1),(2),(3) suy ra chu vi tam giác
BPQ,C  PQ  BQ  BP  2 O O  R  1 2 1 R
(không đổi). Dấu bằng có khi P  C,Q  2  D .
Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây BA tại A . B Q O1 O 2 C D A P
4) Kẻ BN  PQ thì BN  BA . Lúc đó  1 BN.PQ  1 S không đổi. BPQ BA.CD 2 2 Vậy S
đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến BPQ
PAQ vuông góc với dây chung BA tại A .
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc
Bài 8: Cho hai đường tròn (I;2 cm) và (J;3 cm)tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm IJ . Lờigiải
Độ dài đoạn nối tâm IJ bằng : 2  3  5 cm.
Bài 9: Cho hai đường tròn ( ;4 O cm ) và ( O ;1
 1 cm ). Biết khoảng cách OO  2a  3 cm với a là số
thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau. Lờigiải
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Các trường hợp có thể xảy ra là
+) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (xemhình1), ta có
OO  R R  2a  3  15  a  6 cm .
+) Hai đường tròn tiếp xúc trong (xemhình 2 ), ta có OO |
R R | 2a  3 |
 4 11| a  2 cm.
Vậy a  6 cm và a  2 cm .
Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R) và (Oʹ;Rʹ) tiếp xúc ngoài tại A với (R  Rʹ) . Đường nối tâm OOʹ cắt
(O),(Oʹ) lần lượt tại B,C . Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC .
1) Chứng minh BDCE là hình thoi
2) Gọi I là giao điểm của EC và (Oʹ) . Chứng minh D,A,I thẳng hàng
3) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (Oʹ) . Lờigiải D 1 O O 1 2 B A K 2 4 C 5 3 I E
1) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK  KE,BK  KC (theo giả thiết) do đó tứ giác BDCE là
hình bình hành, lại có BC  DE nên là hình thoi.
2) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn 
có BA là đường kính nên BDA vuông tại D . Gọi Iʹ là 1 O 
giao điểm của DA với CE thì   0
AIʹC 90 (1) (vì so le trong với 
BDA ). Lại có AIC nội tiếp đường tròn O có 2 
AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I , hay   0 AIC 90 (2).
Từ (1) và (2) suy ra I  Iʹ . Vậy D,A,I thẳng hàng.
3) Vì tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên   KD  KI  KE  D  1 I 2 (1). Lại có   D  1 C (2) do cùng phụ với  4 DEC và   C  4 C (3), vì O C  3 2
O2I là bán kính của đường tròn O . 2 
Từ (1),(2),(3) suy ra      
I  I  I  I  I  I  0 2 3 2 5 5 3 90 hay  KIO  0 2
90 do đó KI vuông góc với bán kính O2I
của đường tròn O . Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn O . 2  2 
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (Oʹ) tiếp xúc ngoài tại A . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại C , cắt đường tròn (Oʹ) tại D 1) Chứng minh OC / /OʹD
2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN , gọi P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với M,N qua OOʹ . Chứng
minh MNQP là hình thang cân và MN  PQ  MP  NQ 3) Tính góc 
MAN . Gọi K là giao điểm của AM với (Oʹ) . Chứng minh N,Oʹ,K thẳng hàng. Lờigiải M C R N Y O O' X A K Q D S P
a). Do hai đường tròn (O) và (Oʹ) tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm trên OOʹ .Ta có   CAO  DAOʹ . Lại có    
OCA  OAD,Oʹ AD  Oʹ DA vì các tam giác COA,DOʹ A là tam giác cân. Từ đó suy ra  
OCA  Oʹ DA  OC / /Oʹ D
b). + Vì MP  OOʹ,NQ  OOʹ  MP / /OOʹ  MNQP là hình thang . Vì M đối xứng với P qua OOʹ , N
đối xứng với Q qua OOʹ và O luôn đối xứng với O qua OOʹ nên     0 OPM OMP 90 . Mặt khác  
MPQ,PMN cùng phụ với các góc   OPM  OMP nên  
MPQ  PMN suy ra MNQP là hình thang cân.
(Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)
+ Kẻ tiếp tuyến chung qua A của hai đường tròn cắt MN,PQ tại R,S thì ta có:
RM  RA  RN,SA  SP  SQ suy ra MN  PQ  2RS . Mặt khác RS cũng là đường trung bình của hình
thang nên MP  NQ  2RS hay MP  NQ  MN  PQ
c). Từ câu b ta có AR  RM  RN nên tam giác MAN vuông tại A , từ đó suy ra   0 NAK 90  KN là
đường kính của (Oʹ) , hay N,Oʹ,K thẳng hàng.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ
Câu 1: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 2: Nếu hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O ;¢r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt và OO¢ = d . Chọn khẳng định đúng?
A. d = R - r .
B. d > R + r .
C. R -r < d < R + r . D. d < R -r .
Câu 4: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O ;¢ 6cm) cắt nhau tại ,
A B sao cho OA là tiếp tuyến của (O ) ¢ .
Độ dài dây AB là:
A. AB = 8, 6cm .
B. AB = 6, 9cm .
C. AB = 4, 8cm .
D. AB = 9, 6cm .
Câu 5: Cho hai đường tròn (O; 6cm) và (O ;¢2cm) cắt nhau tại ,
A B sao cho OA là tiếp tuyến của (O ) ¢ . Độ dài dây AB là: 6 10 3 10 10
A. AB = 3 10cm . B. AB =
cm . C. AB =
cm . D. AB = cm . 5 5 5
Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O )
¢ đường kính OA .
Câu 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn là:
A. Nằm ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Câu 7: Dây AD của đường tròn cắt đường tròn nhỏ tại C . Khi đó:
A. AC >CD .
B. AC = CD .
C. AC <CD .
D. CD = OD .
Cho đoạn OO¢ và điểm A nằm trên đoạn OO¢ sao cho OA = 2O A
¢ . Đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O ) ¢ bán kính O A ¢ .
Câu 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn là:
A. Nằm ngoài nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.
Câu 9: Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C . Khi đó: AD AD A. 1 = . B. = 3 .
C. OD / /O C
¢ . D. Cả A, B, C đều sai. AC 2 AC
Cho hai đường tròn (O ) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với (O );(O ) lần 1 2 1 2
lượt tại B,C .
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 10: Tam giác ABC là: A. Tam giác cân. B. Tam giác đều.
C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân.
Câu 11: Lấy M là trung điểm của BC . Chọn khẳng định sai?
A. AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O );(O ) . 1 2
B. AM là đường trung bình của hình thang O BCO . 1 2
C. AM = BC . D. 1 AM = BC . 2
Cho (O ; 3cm) tiếp xúc ngoài với (O ;1cm) tại A . Vẽ hai bán kính O B và O C song song với nhau cùng 1 2 1 2
thuộc nửa mặt phẳng bờ O O . Gọi D là giao điểm của BC và O O . 1 2 1 2
Câu 12: Tính số đo  BAC .
A. 90 . B. 60 . C. 100 . D. 80 .
Câu 13: Tính độ dài O D . 1
A. O D = 4, 5cm .
B. O D = 5cm .
C. O D = 8cm .
D. O D = 6cm . 1 1 1 1
Câu 14: Cho hai đường tròn (O;20cm) và (O ;¢15cm) cắt nhau tại A và B . Tính đoạn nối tâm OO¢ , biết
rằng AB = 24cm và O và O¢ nằm cùng phía đối với AB .
A. OO¢ = 7cm .
B. OO¢ = 8cm .
C. OO¢ = 9cm .
D. OO¢ = 25cm .
Câu 15: Cho hai đường tròn (O;10cm) và (O ;¢ 5cm) cắt nhau tại A và B . Tính đoạn nối tâm OO¢ , biết
rằng AB = 8cm và O và O¢ nằm cùng phía đối với AB . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
A. OO ¢ » 6, 5cm .
B. OO ¢ » 6,1cm .
C. OO¢ » 6cm .
D. OO ¢ » 6, 2cm .
Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB . Vẽ nửa đường tròn tâm O¢ đường kính AO (cùng phía với
nửa đường tròn (O) ). Một cát tuyến bất kỳ qua A cắt (O )
¢ ;(O) lần lượt tại C,D .
Câu 16: Chọn khẳng định sai?
A. C là trung điểm của AD .
B. Các tiếp tuyến tại C và D của các nửa đường tròn song song với nhau.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C. O C ¢ / /OD .
D. Các tiếp tuyến tại C và D của các nửa đường tròn cắt nhau.
Câu 17: Nếu BC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O )
¢ thì tính BC theo R (với OA = R )
A. BC = 2R .
B. BC = 2R . C. BC = 3R .
D. BC = 5R .
Cho hai đường tròn (O);(O )
¢ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M Î (O);N Î (O )¢ .
Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO ;¢Q là điểm đối xứng với N qua OO¢ .
Câu 18: Khi đó, tứ giác MNQP là hình gì? A. Hình thang cân. B. Hình thang.
C. Hình thang vuông. D. Hình bình hành.
Câu 19: MN + PQ bằng
A. MP + NQ .
B. MQ + NP .
C. 2MP . D. OP + PQ .
Cho hai đường tròn (O;R) và (O ;¢R )
¢ (R > R )¢ tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ các bán kính OB / /O D ¢ với
B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO¢ . Đường thẳng DB và OO¢ cắt nhau tại I . Tiếp tuyến chung
ngoài GH của (O) và (O )
¢ với G,H nằm ở nửa mặt phẳng bờ OO¢ không chứa , B D .
Câu 20: Tính OI theo R và R¢ . + ¢ - ¢ - ¢ R R + R¢ A. R R R R R OI = . B. R R OI = . C. ( ) OI = . D. ( ) OI = . R - R¢ R + R¢ R + R¢ R - R¢
Câu 21: Chọn câu đúng.
A. BD,OO¢ và GH đồng quy.
B. BD,OO ¢ và GH không đồng quy.
C. Không có ba đường nào đồng quy.
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 22: Cho hai đường tròn (O) và (O )
¢ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB;AO C ¢ . Gọi DE
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D Î (O);E Î (O )
¢ ) . Gọi M là giao điểm của BD và CE . Tính
diện tích tứ giác ADME biết 
DOA = 60 và OA = 6cm . A. 2 12 3 cm . B. 2 12cm . C. 2 16cm . D. 2 24 cm .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 23: Cho hai đường tròn (O) và (O )
¢ tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB;AO C ¢ . Gọi DE
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D Î (O);E Î (O )
¢ ) . Gọi M là giao điểm của BD và CE . Tính
diện tích tứ giác ADME biết 
DOA = 60 và OA = 8cm . A. 64 32 2 12 3 cm . B. 2 3 cm . C. 2 3 cm . D. 2 36cm . 3 3
Câu 24: Cho hai đường tròn (O);(O ) ¢ cắt nhau tại ,
A B . Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) và
đường kính AD của đường tròn (O )
¢ . Chọn khẳng định sai? A. DC OO¢ = . B. C, , B D thẳng hàng.
C. OO¢ ^ AB .
D. BC = BD . 2
Câu 25: Cho hai đường tròn (O);(O ) ¢ cắt nhau tại ,
A B trong đó O ¢ Î (O). Kẻ đường kính O O ¢ C của
đường tròn (O) . Chọn khẳng định sai?
A. AC = CB . B. CBO ¢ = 90 . C. ,
CA CB là hai tiếp tuyến của (O ) ¢ . D. ,
CA CB là hai cát tuyến của (O ) ¢ . Cho các đường tròn ( ;
A 10cm),(B;15cm),(C ;15cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B)
và (C ) tiếp xúc với nhau tại A¢ . Đường tròn ( )
A tiếp xúc với đường tròn ( )
A và (B) lần lượt tại C ¢ và B¢ .
Câu 25: Chọn câu đúng nhất.
A. AA¢ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C ) .
B. AA¢ = 25cm .
C. AA¢ = 15cm . D. Cả A và B đều đúng.
Câu 26: Tính diện tích tam giác A¢B C ¢ ¢ . A. 2 36cm . B. 2 72cm . C. 2 144cm . D. 2 96cm .
Câu 27: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O;R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên
xy . Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B . Kẻ OH ^ xy . Chọn câu đúng:
A. Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H .
B. Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm OH .
C. Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và AB .
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
D. Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và (O;R). HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:
Hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì có một điểm chung duy nhất. Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải:
Hai đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung duy nhất. Đáp án cần chọn là D. 3. Lời giải: B O' O A
Hai đường tròn (O;R) và (O ;¢r) (R > r) cắt nhau.
Khi đó (O) và (O )
¢ có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB .
Hệ thức liên hệ R - r < OO¢ < R + r . Đáp án cần chọn là C. 4. Lời giải: A O I O' B
Vì OA là tiếp tuyến của (O ) ¢ nên OA D
O¢ vuông tại A . Vì (O) và (O ) ¢ cắt nhau tại ,
A B nên đường nối tâm OO¢ là trung trực của đoạn AB .
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi giao điểm của AB và OO¢ là I thì AB ^ OO¢ tại I là trung điểm của AB .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAO¢ ta có: 1 1 1 1 1 = + = +
AI = 4, 8cm AB = 9, 6cm . 2 2 2 2 2 AI OA O A ¢ 8 6 Đáp án cần chọn là D. 5. Lời giải:
Vì OA là tiếp tuyến của (O ) ¢ nên OA D
O¢ vuông tại A . Vì (O) và (O ) ¢ cắt nhau tại ,
A B nên đường nối tâm OO¢ là trung trực của đoạn AB .
Gọi giao điểm của AB và OO¢ là I thì AB ^ OO¢ tại I là trung điểm của AB .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAO¢ ta có: 1 1 1 1 1 3 10 6 10 = + = +  AI = cm AB = cm . 2 2 2 2 2 AI OA O A ¢ 6 2 5 5 Đáp án cần chọn là B. 6. Lời giải: O O' A OA
Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO¢ = OA -
= R - r nên hai đường tròn tiếp xúc trong. 2 Đáp án cần chọn là D. 7. Lời giải:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D C O O' A
Xét đường tròn (O )
¢ có OA là đường kính và C Î (O )¢ nên AC D
O vuông tại C hay OC ^ AD .
Xét đường tròn (O) có OA = OD OA D
D cân tại O có OC là đường cao cũng là đường trung tuyến nên CD = CA . Đáp án cần chọn là B. 8. Lời giải: A O O'
Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO¢ = OA +O A
¢ = R + r nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Đáp án cần chọn là C. 9. Lời giải: D A O O' C Xét đường tròn OA (O ) ¢ và (O) có 1 O A ¢ = OA nên = 2 . 2 O A ¢ Xét O D A
¢ C cân tại O¢ và OA D
D cân tại D có   OAD = O A
¢ D (đối đỉnh) nên   OAD = O CA ¢ .
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra   OAD = O A ¢ D Suy ra AD OA OA D D ∽ O D A ¢ C (g - g)  = = 2 AC O A ¢ Lại có vì   OAD = O CA ¢
mà hai góc ở vị trí so le trong nên OD / /O C ¢ . Đáp án cần chọn là C. 10. Lời giải: B C O A O 1 2
Xét (O ) có O B = O A O
D AB cân tại O  
O BA = O AB 1 1 1 1 1 1 1
Xét (O ) có O C = O A O
D CA cân tại O  
O CA = O AC 2 2 2 2 2 2 2 Mà    
O +O = 360 -C - B = 180    
 180 -O BA -O AB + 180 -O CA -O AC = 180 1 2 1 1 2 2  
 2(O AB +O AC ) = 180  
O AB +O AC = 90   BAC = 90 1 2 1 2  AB D
C vuông tại A . Đáp án cần chọn là C. 11. Lời giải: B M C O A 1 O2
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vì BC AB D
C vuông tại A có AM là trung tuyến nên AM = BM = DM = . 2
Xét tam giác BMA cân tại  
M MBA = MAB , mà  
O BA = O AB (cmt) nên 1 1      
O BA + MBA = O AB + MAB O AM = O BM = 90 . 1 1 1 1
MA ^ AO tại A nên AM là tiếp tuyến của (O ) 1 1
Tương tự ta cũng có  MA ^ AO tại A nên AM là tiếp tuyến của (O ) 2 2
Hay AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Vậy phương án A, C, D đúng. B sai. Đáp án cần chọn là B. 12. Lời giải: B C O O D 1 A 2
Xét (O ) có O B = O A O
D AB cân tại O  
O BA = O AB 1 1 1 1 1 1 1
Xét (O ) có O C = O A O
D CA cân tại O  
O CA = O AC 2 2 2 2 2 2 2 Lại có  
O B / /O C O BC +O CB = 180 (hai góc trong cùng phía bù nhau) 1 2 1 2 Suy ra    
O +O = 360 -O CB -O BC = 180 1 2 2 1    
 180 -O BA -O AB + 180 -O CA -O AC = 180  
 2(O AB +O AC ) = 180 1 1 2 2 1 2  
O AB +O AC = 90   BAC = 90 1 2 Đáp án cần chọn là A. 13. Lời giải:
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B C O O D 1 A 2 Vì O
D BD có O B / /O C nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có: 1 1 2 O D O C 1 O O 2 2 2 = = suy ra 1 2 = . O D O B 3 O D 3 1 1 1 Mà 3 3
O O = O A +O A = 3 + 1 = 4  O D = .O O = .4 = 6cm . 1 2 1 2 1 1 2 2 2 Đáp án cần chọn là D. 14. Lời giải: A O O' I B Ta có 1
AI = AB = 12cm . 2
Theo định lý Pytago ta có: 2 2 2
OI = OA - AI = 256  OI = 16cm 2 2 O I ¢ = O A ¢ - IA = 9cm
Do đó: OO ¢ = OI -O I¢ = 16 - 9 = 7(cm) . Đáp án cần chọn là A. 15. Lời giải:
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A O O' I B Ta có 1
AI = AB = 4cm . 2
Theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2 2
OI = OA - AI = 10 - 4 = 84  OI = 2 21 cm 2 2 2 2 O I ¢ = O A ¢ - IA = 5 - 4 = 3
Do đó: OO¢ = OI -O I¢ = 2 21 - 3 » 6,2(cm) . Đáp án cần chọn là D. 16. Lời giải: y D x C A O' O B
Xét đường tròn (O )
¢ có OA là đường kính và C Î (O )¢ nên 
ACO = 90  AD ^ CO
Xét đường tròn (O) có OA = OD OA D
D cân tại O có OC là đường cao nên OC cũng là đường trung
tuyến hay C là trung điểm của AD .
Xét tam giác AOD có O C
¢ là đường trung bình nên O C ¢ / /OD
Kẻ các tiếp tuyến Cx;Dy với các nửa đường tròn ta có Cx ^ O C
¢ ;Dy ^ OD mà O C
¢ / /OD nên Cx ^ Dy .
Do đó phương án A, B, C đúng. Đáp án cần chọn là D.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 17. Lời giải: D C A O' O B Ta có R 3R R OB = ; R OO¢ =  O B ¢ = ;O C ¢ = 2 2 2 2 2 9R R
Theo định lý Pytago ta có: 2 2
BC = OB -O C ¢ = - = 2R . 4 4 Đáp án cần chọn là B. 18. Lời giải: M N A O O' Q P
Vì P là điểm đối xứng với M qua OO¢
Q là điểm đối xứng với N qua OO¢ nên MN = PQ .
P Î (O);Q Î (O ) ¢
Mà MP ^ OO ;¢NQ ^ OO ¢  MP / /NQ mà MN = PQ
Nên MNPQ là hình thang cân. Đáp án cần chọn là A. 19. Lời giải:
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com M N A O O' Q P
Kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O);(O )
¢ cắt MN;PQ lần lượt tại B;C
Ta có MNPQ là hình thang cân nên   NMP = QPM
Tam giác OMP cân tại O nên  
OMP = OPM suy ra     
OMP + PMN = OPM + MPQ QPO = 90
OP ^ PQ tại P Î (O) nên PQ là tiếp tuyến của (O) .
Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O ) ¢ .
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BA = BM = BN;CP = CA = CQ suy ra B;C lần lượt là
trung điểm của MN;PQ và MN + PQ = 2MB + 2PC = 2AB + 2AC = 2BC .
Lại có BC là đường trung bình của hình thang MNQP nên MP + NQ = 2BC .
Do đó MN + PQ = MP + NQ . Đáp án cần chọn là A. 20. Lời giải: B D 1 1 2 O A O' I H G
Xét tam giác IOB có OB / /O D ¢ (gt)
Áp dụng định lí Ta-let ta có OI OB OI R =  = mà O I ¢ O D ¢ O I ¢ R¢ O I
¢ = OI -OO ¢ = OI - (OA + AO )
¢ = OI - (R + R ) ¢
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OI R Nên =  OI.R¢ = [
R OI -(R + R )
¢ ]  OI.R -OI.R¢ = ( R R + R ) ¢ .
OI - (R + R ) ¢ R¢ ( R R + R ) ¢
OI(R - R ) ¢ = ( R R + R ) ¢  OI = . R - R¢ Đáp án cần chọn là D. 21. Lời giải: B D 1 1 2 O A O' I H G
Gọi giao điểm của OO¢ và GH là I ¢ Ta có OG / /O H
¢ (do cùng vuông góc GH ) ¢ ¢
Theo định lí Talet trong tam giác OGI ¢ ta có I O OG R = = hay I O OI R = = I O ¢ ¢ O H ¢ R¢ I O ¢ ¢ O I ¢ R¢
I ¢ trùng với I
Vậy BD,OO ¢ và GH đồng quy. Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải: M D E B O A O'
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Chứng minh tương tự câu trước ta có được  DAE = 90 Mà 
BDA = 90 (vì tam giác BAD có cạnh AB là đường kính của (O) và D Î (O) ) nên 
BD ^ AD MDA = 90 . Tương tự ta có  MEA = 90 .
Nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật.
Xét tam giác OAD cân tại O có 
DOA = 60 nên DO D A đều
Suy ra OA = AD = 6cm và  ODA = 60   ADE = 30 .
Xét tam giác ADE ta có:  EA = A .
D tan EDA = 6. tan 30 = 2 3 2 S
= AD.AE = 6.2 3 = 12 3 cm . DMEA Đáp án cần chọn là A. 23. Lời giải: M D E B O A O'
Xét (O) có OD = OA OA D
D cân tại O    ODA = OAD Xét (O ) ¢ có O E ¢ = O A ¢  O D E ¢ B cân tại   O¢  O E ¢ A = O A ¢ E Mà    
O +O¢ = 360 -O E
¢ D -ODE = 180      
 180 -ODA -OAD + 180 -O E ¢ A -O AE ¢
= 180  2(OAD +O AE ¢ ) = 180    OAD +O A
¢ E = 90  DAE = 90  ADE vuông tại A
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Mà 
BDA = 90 (vì tam giác BAD có cạnh AB là đường kính
của (O) và D Î (O) ) nên 
BD ^ AD MDA = 90 . Tương tự ta có  MEA = 90 .
Nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật.
Xét tam giác OAD cân tại O có 
DOA = 60 nên DO D A đều
Suy ra OA = AD = 6cm và  ODA = 60   ADE = 30 .
Xét tam giác ADE ta có:  8
EA = AD. tan EDA = 8. tan 30 = 3 3 8 64 2 S = AD.AE = 8. 3 = 3 cm . DMEA 3 3 Đáp án cần chọn là B. 24. Lời giải: B O' A O C
Hai đường tròn (O);(O )
¢ cắt nhau tại A và B tại A và B nên OO¢ là đường trung trực của AB
OO¢ ^ AB (tính chất đường nối tâm) nên đáp án C đúng.
Xét đường tròn (O) có AC là đường kính, suy ra AB D
C vuông tại B hay  CBA = 90 .
Xét đường tròn (O) có AD là đường kính, suy ra AB D
D vuông tại B hay  DBA = 90 . Suy ra  
CBA + DBA = 90 + 90 = 180 hay ba điểm ,
B C, D thẳng hàng nên đáp án B đúng.
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Xét tam giác ADC có O là trung điểm đoạn AC và O¢ là trung điểm đoạn AD nên OO¢ là đường trung DC
bình của tam giác ACD OO¢ =
(tính chất đường trung bình) nên đáp án A đúng. 2
Ta chưa thể kết luận gì về độ dài BC và BD nên đáp án D sai. Nên A, B, C đúng, D sai. Đáp án cần chọn là D. 25. Lời giải: B O' A O C
Xét đường tròn (O) có O C
¢ là đường kính, suy ra  
CBO ¢ = CAO ¢ = 90 hay CB ^ O B ¢ tại B và
AC ^ AO¢ tại A .
Do đó AC,BC là hai tiếp tuyến của (O )
¢ nên AC = CB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên A, B, C đúng. Đáp án cần chọn là D. 25. Lời giải: A H B' C' B A' C
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:
AB = BC ¢ + C A
¢ = 25cm;AC = AB ¢ + B C
¢ = 25cm;BC = BA¢ + A¢C = 30cm và A¢ là trung điểm của
BC (vì A¢B = A¢C = 15cm ) ABC D
cân tại A có AA¢ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao AA¢ ^ BC
AA¢ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C )
Xét tam giác AA¢C vuông tại A¢ ta có: 2 2 2 2 2
A¢A = AC - A¢C = 25 - 15 = 400  A¢A = 20cm . Đáp án cần chọn là A. 26. Lời giải: A H B' C' B A' C AC ¢ AB¢ Ta có: 10 2 = = =  B C ¢ //
¢ BC do đó B C ¢ ¢ ^ AA¢ AB AC 25 5 B C ¢ ¢ AC ¢ B C ¢ ¢ Lại có 2 =  =  B C ¢ ¢ = 12cm BC AB 30 5 Xét AB D A¢ có B C ¢ //
¢ BC nên theo định lý Ta lét ta có: ¢ AH BC AH 15 =  =
AH = 12cm (do theo câu trước thì AA¢ = 20cm ) A¢A BA 20 25 Diện tích tam giác 1 1 A¢B C ¢ ¢ là: 2 S = B C
¢ .¢AH = .12.12 = 72(cm ). 2 2 Đáp án cần chọn là B. 27. Lời giải:
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A O E F B M H
Vì OH ^ xy nên H là một điểm cố định và OH không đổi.
Gọi giao điểm của AB và OM là E ; giao điểm của AB với OH là F .
Vì (O;R) và đường tròn đường kính OM cắt nhau tại ;
A B nên AB ^ OM
Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên  AOM = 90 Xét OEF D và OH D M có  O chung và  
OEF = OHM = 90 nên OEF D ∽ OH D M (g – g) Suy ra OE OF =
OE.OM = OF.OH OH OM
Xét DMAO vuông tại A có AE là đường cao nên hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 R 2 2
OM.OE = OA = R 2
OF.OH = R OF = . OH
Do OH không đổi nên OF cũng không đổi.
Vậy F là một điểm cố định hay AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của AB và OH . Đáp án cần chọn là C.
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
a) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O  và dường tròn dưìmg kính OA .
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C . Chứng minh rằng AC CD .
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây : a) R  6c ; m ’ R  4cm .
b) R  5cm : ’ R  3cm .
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A1; 
1 và B 3;0. Vẽ các đường tròn  ;
A r  và B; r’ . Khi r  3 và ’
r  1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Bài 4. Cho   ABC  0
B,C  90 , đường cao AH . Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K,HI vuông góc
với AC tại I . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BH
K và đường tròn ngoại tiếp CHI .
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O; R và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC, B  O,C O ' . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lại I . Chứng minh rằng : a)  SIO '  90 ;
b) BC  2 RR ' .
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B , trong đó O ' nằm trên đường trònO . Kẻ
đường kính O 'C của dường tròn O . a)
Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’). b) Đường vuông góc với ’
AO tại O ' cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt Bài 7. Cho
hai đường tròn O ; R và (O ; R ) (với R R ) tiếp xúc ngoài tại A ; Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC 1 1  2 2 1 2
và DE (với B, D  O ;C, E O ). Chứng minh rằng : BC DE BD CE 1   2 
Bài 8. Cho hai đường tròn O , O ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với , A D 1   2 
thuộc O ; B,C thuộcO ). Nối AC cắt O tại M ; cắt O tại N ( M  ,
A N C ). Chứng minh 2  1  2  1 
rằng : AM NC
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm O . Cho biết BC là đường kính của đường tròn lớn
và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và 
BCD  30 . Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Cho hai đường tròn O; R và O '; R cắt nhau tại M, N . Biết OO'  24c ,
m MN 10cm . Tính R .
Bài 11: Cho hai đường tròn ( ;
O R) và (O '; R ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với
M thuộc O, N thuộcO ' . Biết R  9c .
m R '  4cm . Tính độ dài đoạn MN .
Bài 12: Cho hai đường tròn O;3cm và (O';4c )
m cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ một cát tuyến cắt O
tại M M A , cắt O ' tại N N A . NếuOO '  5cm , hãy tính giá trị lớn nhất của MN . HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
c) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O  và dường tròn dưìmg kính OA .
d) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C . Chứng minh rằng AC CD . Giải a) Gọi ’
O là tâm dường tròn đường kính OA thì đoạn nối tâm ’ OO OA  ‘ OA tức là d R  ’
R . Vậy dường tròn  ’
O  tiếp xúc trong vớiO .
b) Vì tam giác ACO có cạnh AO là đường kính của ( ’
O ) ngoại tiếp nên nó vuông tại C
hay OC vuông góc với dây AD . Vậy AC CD .
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây : c) R  6c ; m ’ R  4cm .
d) R  5cm : ’ R  3cm . Giải
a) Vì R R '  6cm  4cm  2cm d nên hai đường tròn tiếp xúc trong
b) Vì R R '  5cm  3cm  8cm d do dó R  ’
R d R  ’
R . Vây hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A1; 
1 và B 3;0. Vẽ các đường tròn  ;
A r  và B; r’ . Khi r  3 và ’
r  1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Giải
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Độ dài đoạn nối tâm: 2 2
d AB  (3 1) 1  17 (1)
Tổng hai bán kính : r r’  3 1  4 . (2)
Từ (1) và (2) ta thấy 17  4 nên hai đường tròn không giao nhau ; hai đường tròn  A và B nằm ngoài nhau. Bài 4. Cho   ABC  0
B,C  90 , đường cao AH . Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K,HI vuông góc
với AC tại I . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BH
K và đường tròn ngoại tiếp CHI . Giãi Trường hợp 1 :  Xét ABC có 
B  90 và C  90 . Gọi O ,O lần lượt là trung điểm của BH và CH . 1 2 Vì BH
K vuông tại K ,O là trung điếm của cạnh huyền BH nên 1 1
KO  O B  O H  BH  R 1 1 1 1 2
 O ; R là đường tròn ngoại liếp BHK . 1 1 
Tương tự. ta có O ; R là đường tròn ngoại liếp HIC . 2 2 
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ta có R  R  O H  O H  O O nên O ; R tiếp xúc ngoài tai H vớiO : R . 2 2  1 1  1 2 1 2 1 2 Trường hợp 2 :  Xét ABC có 
B  90 (hoác C  90 ) (Các hình vẽ khác ta chứng minh tương tự). Lập luận tương tự như trường hợp 1 ta có:
O O R R nên (O ; R ) và O : R tiếp xúc trong tại H . 2 2  1 2 2 1 1 1
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O; R và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC, B  O,C O ' . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lại I . Chứng minh rằng : a)  SIO '  90 ;
b) BC  2 RR ' . Giải a)
Ta có IB, IA là hai tiếp tuyến của O nên  
I I ; IC, IA là hai tiếp tuyến của O ' nên  
I I Suy ra : 1 2 3 4  OIO I   
 2  I3 180 : 2  90 b)
Ta có IB, IA là hai liếp tuyến của O nên IB IA và IA OA ; IC, IA là hai tiếp tuyến của  ’ O
nên IC IA và IA O ' A . Suy ra : IA IB IC .
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Ba điếm , O ,
A O' thẳng hàng và IA OO’ . Áp dụng hệ thức : 2 h b'. ’
c vào tam giác vuông OIO’ , ta có : 2 IA  . OA ’
O A  IA  . R ’ R .
Mạt khác : BC IB IC  2IA nên BC  2 RR ' .
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B , trong đó O ' nằm trên đường trònO . Kẻ
đường kính O 'C của dường tròn O . c)
Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’). d) Đường vuông góc với ’
AO tại O ' cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng
O ' B ở K . Chứng minh rằng ba điếm O, I, K thẳng hàng. a)
Tam giác CAO’ có đường trung tuyến AO ứng với cạnh ’
CO bằng nửa cạnh ’ CO nên  CA ’ O  90 . Mà A ’
O  nên CA là liếp tuyến của  ’ O  tại A .
Tương tự ta có CB là tiếp tuyến của (O'). b)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì :
Từ (3), (4) (5) suy ra O, I, K cùng thuộc đường trung trực của CO’.
Vây ba điếm O, I, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho hai đường tròn O ; R và (O ; R ) (với R R ) tiếp xúc ngoài tại A ; Kẻ các tiếp tuyến chung 1 1  2 2 1 2
ngoài BC và DE (với B, D  O ;C, E O ). Chứng minh rằng : BC DE BD CE 1   2  Giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại A lần lượt cắt BC, DE tại M và N. Vì MA, MB là tiếp tuyến của O nên MA = 1  MB.
Vì MA, MC là tiếp tuyến cúa (O2) nên MA = MC => MA = MB = MC.
Chứng minh tương tự ta có : NA = ND = NE.
33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BC DE  2MN . (1)
Gọi giao điểm của BC và DE là K, khi đó K thuộc đường thẳng O O => KB = KD (tính chất hai tiếp 1 2 tuyến cắt nhau)
Mà O B O D R nên KO là trung trực của đoạn BD  O O BD . 1 1 1 1 1 2
Chứng minh tương lự ta được O O CE 1 2
=> tứ giác BCED là hình thang (vì BD // CE).
Vì M, N lần lươt là trung điếm của BC và DE nên 2MN = BD + CE (2) (tính chất dường trung bình).
Từ (1) và (2) suy ra : BC + DE = BD + CE.
Bài 8. Cho hai đường tròn O , O ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với , A D 1   2 
thuộc O ; B,C thuộcO ). Nối AC cắt O tại M ; cắt O tại N ( M  ,
A N C ). Chứng minh 2  1  2  1 
rằng : AM NC Giãi
Vẽ đường trung trực d của đoạn AB, d cắt O O tại I. Khi đó IA = IB. 1 2
Ta có B và C đối xứng nhau qua O O  IB IC  IA IC . 1 2
Kẻ IH AC tại H ta có HA = HC (vì IAC cân tại I).
Kc O K AC tai K, O G AC tại G  O K / /IH / /O G . 1 2 1 2
Xét hình thang ABO2O| (vì O A / /O B do cùng vuông góc với AB) ta có d / / AO / /BO và d di qua trung 1 2 1 2
điểm của AB nên d đi qua trung điểm của O O hay I là trung điểm của O O . 1 2 1 2
Xét hình thang O KO G có IH / /O K / /O G và I là trung điếm của O O nên H là trung điếm của 1 2 1 2 1 2
KG  HK HG  HA HK HC HG hay AK GC  2 AK  2GC  AM CN
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm O . Cho biết BC là đường kính của đường tròn lớn
và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và 
BCD  30 . Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ. Giải
Ta có BC  8 nên bán kính đường tròn lớn là OC  4 . Vì CA là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ nên 0
CD OM OM OC sin 30  2 .
Bài 10: Cho hai đường tròn O; R và O '; R cắt nhau tại M , N . Biết OO'  24c ,
m MN 10cm . Tính R . Giải
Gọi giao của OO ' và MN là I. Vì OM ON O ' M O ' N R nên tứ giác OMO ' N là hình thoi
OO '  MN tại I là trung điểm của mỗi đoạn OO ' và MN. Do đó 1 1
IM MN  5 ;
cm IO OO ' 12cm . 2 2
Áp dụng định lý Py ta go vào MIO ta có 2 2 2 2
R OM IM IO  5 12  13cm .
Bài 11: Cho hai đường tròn ( ;
O R) và (O '; R ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với
M thuộc O, N thuộcO ' . Biết R  9c .
m R '  4cm . Tính độ dài đoạn MN . Giải
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ta có : OO' = OA + O'A = 9 + 4 = 13 (cm).
Kẻ OH OM tại H => tứ giác O'NMH là hình chữ nhật
=> MH = ƠN = 4 (cm); MN = O H
=> OH = OM - MH = 9- 4 = 5 (cm).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào AOO H. ta có 2 2 2 2
MN O ' H OO '  OH  13  5  12 (cm)
Bài 12: Cho hai đường tròn O;3cm và (O';4c )
m cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ một cát tuyến cắt O
tại M M A , cắt O ' tại N N A . NếuOO '  5cm , hãy tính giá trị lớn nhất của MN . Giai
Kẻ OH AM tại H,OK AN tại K và OI O ' K tại I.
=> HM = HA, KA = KN và tứ giác HOIK là hình chữ nhạt => MN = 2HK và HK OI .
Ta có : OI OO’ (đường vuông góc và đường xiên)
 MN  2HK  2OI  2OO '  10cm
Dấu “=” xảy ra  OI OO '  I O '  d / /OO ' .
Vây giá trị lớn nhất của MN bằng 10cm khi cát tuyến d song song với OO'.
----------Toán Học Sơ Đồ---------
36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com