68 trang 16 lượt tải

Dạng Toán Bất Đẳng Thức Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

32

Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 271 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

4 tuần trước
Danh sách Quiz
/68
Trang 1
DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A.Bài toán
Bài 1. Cho
,,x y z
dương và
1.x y z+ + =
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2x yz y xz z xy
+ +
+ + +
Bài 2: Chứng minh rằng:
22
1
2
ab+
với
1ab+
Bài 3 : Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
Bài 4 : Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 5 :
a) Chứng minh
2
10xx− +
(với mọi
)x
b) Chứng minh:
2
2
11
13
xx
xx
++
−+
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
2
2
1
1
xx
A
xx
++
=
−+
Bài 6 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2006 2007 2006P x x= − + − +
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010 2680
1
x
A
x
+
=
+
Bài 9 : Cho 3 số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
abc
+ +
Bài 10: Tìm các giá trị của
x
để biểu thức:
( )( )( )( )
1 2 3 6P x x x x= − + + +
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 12 : Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
2 3 4 100
P = + + + +
Bài 13 Cho
,ab
thỏa mãn
22
8.ab+
Chứng minh
44ab− +
Bài 14: Cho hai số
,xy
thỏa mãn điều kiện
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 0.x y x y x y− + + − =
Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
A x y=+
Bài 15 : Cho các số
,,abc
thỏa mãn
1 , , 0.abc
Trang 2
Chứng minh rằng:
23
1a b c ab bc ca+ + − − −
Bài 16 : Cho ba số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9.
abc
+ +
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi
2
abc
p
++
=
với
,,abc
là độ dài ba cạnh
Chứng minh
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

Bài 18 : Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
3.x y z+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 3
2x x y y z z
+ +
+ + +
Bài 19 : Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 20 : Cho
,0xy
thỏa mãn
2.xy+=
Chứng minh rằng :
2
2
11
8xy
xy


+ + +




Bài 21 : Cho hai số
,ab
thỏa mãn điều kiện
1.ab+=
Chứng minh :
33
1
2
a b ab+ +
Bài 22 : Chứng minh rằng
( )( )( )( )
1 3 4 6 10 0a a a a− − − − +
với mọi
.a
Bài 23 : Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +
Bài 24 : Cho
,,abc
là 3 cạnh của tam giác,
p
là nửa chu vi. CMR:
1 1 1 1 1 1
2.
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

Bài 25 : Cho
, , ,a b c d
là các số dương. Chứng minh rằng:
a b b c c d a d
b c c d d a a b
− − − −
+ +
+ + + +
Bài 26 : Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
...... 1
2 3 4 100
B = + + + +
Bài 27 : So sánh hai số sau:
( )
( )( )( )( )
2 4 8 16
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1C = + + + + +
và
32
2D =
Bài 28 : Cho số thực dương
,,abc
thỏa mãn
2016abc+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1
2015 2016 2017
a b c a b c a b c
P
a b c
+ + + + + + + −
= + +
+ + +
Bài 29 : Cho
,,abc
là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
ab bc ac
abc
a b c a b c a b c
+ + + +
+ − − + + − +
Bài 30 : Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b c a b a c
+ + + +
Bài 31 : CMR với
,,abc
là các số dương, ta có:
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


Bài 32: Cho
,,x y z
là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
22
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
Trang 3
Bài 33 : Cho các số thực
, , 1.abc
Chứng minh rằng
1 1 1 4 4 4
3
2 1 2 1 2 1a b c a b b c c a
+ + + + +
− − − + + +
Bài 34 : a) Cho
0, 0xy
và
,mn
là hai số thực. Chứng minh rằng
( )
2
22
mn
mn
x y x y
+
+
+
b) Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
1abc =
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 35 : Cho
,,abc
là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + +
+ + + + + +
Chứng minh
3
(1)
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Bài 36 : Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 37: Cho
, , 0; 3.a b c a b c + + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
+ +
+ + +
Bài 38 : Cho
, , 0.x y z
CMR:
2 2 2
2
x y z x y z
y z x z x y
++
+ +
+++
Bài 39 : Cho cc số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
a b c
1
1 b a 1 c b 1 a c
+ +
+ − + − + −
Bài 40 : Cho
3.abc+ + =
Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Bài 41 : Chứng minh rằng :
( )( )( )( )
1 3 4 6 10 0x x x x− − − − +
với mọi
x
Bài 42 : Cho
0, 0, 0x y z
và
1.x y z+ + =
Chứng minh rằng
7
2
27
xy yz zx xyz+ + −
Bài 43 : Cho các số dương
,,x y z
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1.x y z+ + =
Chứng minh rằng:
3 3 3
1
2 2 2 3
xyz
y z z x x y
+ +
+ + +
Bài 44 : a. Chứng minh
2
x x 1 0− +
(với mọi
x)
b. Chứng minh:
2
2
x x 1 1
3
x x 1
++
−+
Bài 45: Cho
x, y,z
là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
22
1 1 2
1 xy
1 x 1 y
+
+
++
Trang 4
Bài 46: CMR với
a, b,c
là các số dương, ta có:
( )
1 1 1
a b c 9
a b c

+ + + +


Bài 47: Cho
x, y,z
dương và
x y z 1.+ + =
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
9
x 2yz y 2xz z 2xy
+ +
+ + +
Bài 48: Chứng minh rằng:
22
1
ab
2
+
với
a b 1+
Bài 49: Cho
a, b,c
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a b c
3
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
Bài 50: Cho
a, b,c
là ba số dương thỏa mãn
abc 1.=
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 51: Cho biểu thức
( )
2
2 2 2 2 2
A b c a 4b c= + − −
a) Phân tích biểu thức
A
thành nhân tử
b) Chứng minh rằng: Nếu
a, b,c
là độ dài các cạnh của một tam giác thì
A0
Bài 52: Cho 3 số dương
a, b,c
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ +
Bài 53: Cho
, 0.xy
Chứng minh rằng :
22
22
43
x y x y
y x y x

+ + +


Bài 54: Biết
,,abc
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2 2 2
40a b c a b+ − −
Bài 55: Cho
,,abc
là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 56: Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
1.abc =
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 57: Cho 2 số
a
và b thỏa mãn
1; 1.ab
Chứng minh:
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
Bài 58: Chứng minh rằng:
1 1 4
a, b 0
a b a b
+
+
Bài 59: Cho
a, b,c
là ba số dương thỏa mãn
abc 1.=
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 60: Cho cc số thực dương
x, y,z
thỏa mãn
x y z 3.+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 3
2
x x y y z z
+ +
+ + +
Bài 61: Cho
x, y 0.
Chứng minh rằng :
2
2
22
yy
xx
43
yx
yx

+ + +


Bài 62: Biết
a, b,c
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Trang 5
( )
2
2 2 2 2 2
a b c 4a b 0+ − −
Bài 63: Cho 2 số
a
và b thỏa mãn
a 1; b 1.
Chứng minh:
22
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
+
+
++
Bài 64: Cho
a, b,c
là 3 cạnh của một tam gic. Chứng minh rằng:
a b c
A3
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 65: Cho
a, b,c
là ba số dương thỏa mãn
abc 1.=
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 66: Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1.abc+ + =
Chứng minh rằng:
2
a bc b ca c ab
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +
Bài 67: Cho
,,x y z
là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
22
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
Bài 68: Cho 3 số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
abc
+ +
Bài 69: Cho
, , ,a b c d
là cc số dương. Chứng minh rằng:
a b b c c d a d
b c c d d a a b
− − − −
+ +
+ + + +
Bài 70: Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
2 3 4 100
P = + + + +
Bài 71: Chứng minh rằng:
22
1
2
ab+
với
1ab+
Bài 72: Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
()a b c d e a b c d e+ + + + + + +
Bài 73: a) Cho
0, 0xy
và
,mn
là hai số thực. Chứng minh rằng
( )
2
22
mn
mn
x y x y
+
+
+
b) Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
1abc =
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 74: Cho
,0ab
thỏa mãn
1.ab+=
Chứng minh
22
1 1 25
2
ab
ba
+ + +
Bài 75: Cho
33
2.ab+=
Chứng minh rằng
2ab+
Bài 76: Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 77: Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 78: Cho
,,abc
là 3 cạnh của tam giác,
p
là nửa chu vi.
CMR:
1 1 1 1 1 1
2.
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

Bài 79: Biết
,,abc
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2 2 2
40a b c a b+ − −
Trang 6
Bài 80: Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 .A a b b c a c a b c= + + − − −
Chứng minh rằng nếu
,,abc
là 3 cạnh của một tam giác thì
0A
Bài 81: Cho bốn số dương
, , ,a b c d
. Chứng minh rằng:
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho cc số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 85: Cmr: a)
b)
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khc 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Bài 90: Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng: ;
b) Chứng minh rằng:
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Bài 92: Chứng minh cc bất đẳng thức sau:
12
a b c d
a b c b c d c d a d a b
+ + +
+ + + + + + + +
( )
2 2 2 2
x y z t x y z t+ + + + +
4 4 3 3
x y xy x y+ +
( )( )( )( )
1 2 3 4 1x x x x− − − − −
a
b
1ab+=
11
1 1 9
ab
+ +
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b c a b a c
+ + + +
8 7 2
10x x x x− + − +
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + + +
44
24a b ab+ +
32
4 1 3x x x+ +
0x
( )( )( )( )
1 3 4 6 9 0x x x x− − − − +
2 2 2
4 4 4 4 8a b c ab ac bc+ + − +
22
22
43
a b a b
b a b a

+ + +


( )
2
22
2
xy
xy
+
+
2
22
2
4
a
b c ab ac bc+ + − +
( )
4 4 4
a b c abc a b c+ + + +
( )
2
2
1 1 1 1
...
5 13 2
1nn
+ + +
++
,1n N n
( )
2
1 1 1 1
...
9 25 4
21n
+ + +
+
,1n N n
a
b
22
22
0
a b a b
b a b a


+ − +




,,abc
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
0abc+ +
3 3 3
30P a b c abc= + + −
Trang 7
a) ; b) khi .
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam gic
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam gic đó là tam gic đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Bài 97: Cho
,0ab
thỏa mãn
1.ab+=
Chứng minh
22
1 1 25
2
ab
ba
+ + +
Bài 98: Với . Hãy chứng minh cc BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Bài 99:
a) Cho
22
2ab+
. Chứng minh rằng:
2ab+
.
b) Cho a, b là cc số tùy ý. Chứng minh:
( )( )( )
2
4 1 1 0a a b a a b b+ + + + +
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam gic.
Chứng minh:
( )( )( )
abc b c a a c b a b c + − + − + −
Bài 100: Cho
a, b 0
thỏa mãn
a b 1.+=
Chứng minh
22
1 1 25
ab
b a 2
+ + +
Bài 101: Cho các số
a, b,c
thỏa mãn
1 a, b,c 0.
Chứng minh rằng:
23
a b c ab bc ca 1+ + − − −
Bài 102: Cho
33
a b 2.+=
Chứng minh rằng
a b 2+
Bài 103: Cho
a, b,c
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a b c
A3
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 104: Cho
a, b,c
là các số thực dương thỏa mãn
a b c 1.+ + =
Chứng minh rằng:
a bc b ca c ab
2
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +
Bài 105: Cho
a, b
thỏa mãn
22
a b 8.+
Chứng minh
4 a b 4− +
Bài 106: CMR với
a, b,c
là các số dương, ta có:
( )
1 1 1
a b c 9
a b c

+ + + +


Bài 107: Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2 4 4 4
A 2a b 2b c 2a c a b c .= + + − − −
Chứng minh rằng nếu
a, b,c
là 3 cạnh của một tam giác thì
A0
( )( )
2
22
a b c d
a c b d
++

+ + +


0ab bc ca+ +
0abc+ + =
,,abc
( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + + + + +
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + = + +
2xy+=
2017 2017 2018 2018
x y x y+ +
2 2 2 2
1 1 1 1 2
...
2 3 4 3
H
n
= + + + +
,2n N n
3 3 3 3
1 1 1 1 1
...
3 4 5 12
K
n
= + + + +
,3n N n
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
673
3
x y z++
=
2019xy yz zx+ +
, , 0abc
2
ab bc
b
ca
+
ab bc ca
abc
c a b
+ + + +
3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
abc
ab bc ca
+ + +
+ + + +
Trang 8
Bài 108: CMR với
,,abc
là các số dương, ta có:
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 110: Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
b c a a b c
− − − − − −
, trong đó a, b,
c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh
( )
2 2 2
a2b c ab bc ca+ + + +
với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là cc số thực dương. Chứng minh rằng:
3 3 2
5
a c a b a
a b a c b c
++
+ +
+ + +
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là cc số thực dương thỏa mãn
a b c abc+ + =
. Chứng minh rằng
1 1 1
3abc
abc

+ + + +


Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
1 1 25
( )( )
4
ab
ab
+ +
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài cc cạnh và p là nửa chu vi của một tam gic. Chứng
minh:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c



+ + + +
− − −
Bài 116: Cho a, b, c là cc số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
2
a
bc+
+
2
b
ca+
+
2
c
ab+
2
abc++
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
22
22
x y x y
x y x y
−−
++
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b
2
c
2
0 với mọi a,
b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương
,,abc
có tổng bằng
1.
Chứng minh rằng
1 1 1
9
abc
+ +
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
+ +
+ + +
.
Bài 121: Cho 
là ba số dương thỏa mãn  Chứng minh rằng:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Bài 122: Cho các số thực dương  thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Bài 123: Cho ba số dương
,,x y z
thỏa mãn
6x y z+ + =
. Chứng minh rằng
4
9
xy
xyz
+
Bài 124: Cho
, , 0abc
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
.
3 2 3 2 3 2 6
a b c
a b c b c a c a b a b c

+ + + +

+ + + + + +

Bài 125: Cho
,,abc
là cc số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Trang 9
2 2 2
1 1 1a b b c c a
bc a ac b ab c a b c
+ + +
+ + + +
+++
Bài 126: Cho
,,abc
là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
3abc+ + =
Chứng minh rằng
2 2 2
5abc+ +
Bài 127: Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
b c a a b c
− − − − − −
, trong đó
,,abc
là cc số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 129: Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
2 3 4 100
P = + + + +
Bài 130: Chứng minh
bc ac ab
abc
a b c
+ + + +
với mọi số dương
, , .abc
Bài 131: Cho
,,abc
là 3 cạnh của một tam gic . Chứng minh rằng :
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 132: Cho
,,abc
là cc số thực dương thỏa mãn
1.abc+ + =
Chứng minh rằng:
2
a bc b ca c ab
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +
Bài 133: Cho
, 0.xy
Chứng minh rằng :
22
22
43
x y x y
y x y x

+ + +


Bài 134: Biết
,,abc
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( )
2
2 2 2 2 2
40a b c a b+ − −
Bài 135: Cho
,,abc
là các số dương.
Chứng minh:
( ) ( )
2
1 1 1 27
( ) 2( )a a b b b c c c a a b c
+ +
+ + + + +
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
3
2
a b c
a b b c c a
+ +
+ + +
với
0abc
Bài 137: Cho
1ab−=
. Chứng minh
22
1
2
ab+
Bài 138: Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 139: Cho 3 số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
abc
+ +
Bài 140: Cho
,xy
thỏa mãn
1.xy
Chứng minh rằng:
22
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2 2 2
x y z xy xz yz+ + + +
với mọi
,,x y z
Bài 142: Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
1.abc =
Chứng minh rằng:
Trang 10
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 143: Cho
,,x y z
là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
22
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
Bài 144: a) Cho
,,abc
là 3 cạnh của tam giác,
p
là nửa chu vi.
CMR:
1 1 1 1 1 1
2.
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

b)Cho
, , ,a b c d
là các số dương. Chứng minh rằng:
a b b c c d a d
b c c d d a a b
− − − −
+ +
+ + + +
B. HƯỚNG DẪN
Trang 11
Bài 1 : Cho
,,x y z
dương và
1.x y z+ + =
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2x yz y xz z xy
+ +
+ + +
Lời giải
Đặt
2 2 2
2 ; 2 ; 2a x yz b y xz c z xy= + = + = +
, , 0abc
và
( )
2
1a b c x y z+ + = + + =
Chứng minh:
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


1 1 1 9
9
a b c a b c
+ + =
++
hay
2 2 2
1 1 1
9( )
2 2 2
dfcm
x yz y zx z xy
+ +
+ + +
Bài 2 : Chứng minh rằng:
22
1
2
ab+
với
1ab+
Lời giải
Theo bài ra ta có:
22
1 2 1 (1)a b a ab b+ + +
Mặt khác :
( )
2
22
0 2 0 (2)a b a ab b− − +
Từ (1) và (2) suy ra:
( )
2 2 2 2
1
21
2
a b a b+ +
Bài 3 : Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
Lời giải
Đặt
; ; , , 0x b c a y a c b z a b c x y z= + − = + − = + −
x y z a b c + + = + +
( )
2
2
yz
a a b c b c a x y z x y z a
+
= + + − + − = + + − = + =
Tương tự:
;
22
x z x y
bc
++
==
BĐT chứng minh tương đương với:
6
y z x z x y
xyz
+++
+ +
6
y x z x y z
x y x z z y

+ + + + +


do
2
ab
ba
+
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi
,,abc
và
, , 0x y z
ta có:
( )
2
2 2 2
(*)
abc
abc
x y z x y z
++
+ +
++
Trang 12
Dấu
""=
xảy ra
a b c
x y z
= =
Thật vậy, với
,ab
và
,0xy
ta có:
( )
( )
( )
2
22
2 2 2
(**)
()
ab
ab
x y x y
a y b x x y xy a b
+
+
+
+ + +
( )
2
0bx ay −
(luôn đúng)
Dấu
""=
xảy ra
ab
xy
=
Áp dụng bất đẳng thức
( )
**
ta có:
( ) ( )
22
2 2 2 2
a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + +
+ + +
Dấu
""=
xảy ra
a b c
x y z
= =
Ta có:
( )
2 2 2
3 3 3
1 1 1
1 1 1
( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc
+ + = + +
+ + + + + +
Áp dụng BĐT (*) ta có :
( )
22
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2
2
a b c a b c
a b c
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
abc
+ + + +
+ + =
+ + + + +

++


(Vì
1)abc =
Hay
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
2
a b c
ab ac bc ab ac bc a b c

+ + + +

+ + +

Mà
1 1 1
3
abc
+ +
nên
2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
ab ac bc ab ac bc
+ +
+ + +
Vậy
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
(đpcm)
Bài 5
a) Chứng minh
2
10xx− +
(với mọi
)x
b) Chứng minh:
2
2
11
13
xx
xx
++
−+
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
2
2
1
1
xx
A
xx
++
=
−+
Lời giải
a)
2
2
13
10
24
x x x

− + = − +


(với mọi x)
Trang 13
b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương
( )
2
31xx−+
được:
22
3 3 3 1x x x x+ + − +
( )
2
2
2 4 2 0 2 1 0x x x + + +
(luôn đúng)
Suy ra:
2
2
11
13
xx
xx
++
−+
( ) ( )
( )
2 2 2
2
22
2
2
22
3 1 1 3 1
1
)
11
21
2 4 2
3 3 3
11
x x x x x x
xx
c
x x x x
x
xx
x x x x
− + + + + − − +
++
=
− + − +
−
−+
= − = −
− + − +
Vậy
31MaxA x= =
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
22
2 2 2
2 4 4 1 2 1A x xy y y y x y y= − + + − + + = − + − +
Do
( ) ( )
22
0; 2 0x y y− −
Nên
( ) ( )
22
2 1 1A x y y= − + − +
Dấu “=” xảy ra
2xy = =
Vậy
12MinA x y= = =
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
22
2
31
3( 1) 3
1 1 1
11
x
x
B
x x x x
xx
+
+
= = =
+ + + +
++
Do
2
2
1 1 3
1
B
x
x
+
+
. Đẳng thức xảy ra
0x=
Vậy
30MaxB x= =
Bài 7: Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức :
2006 2007 2006P x x= − + − +
Lời giải
Ta có :
( ) ( )
2006 2007 2006
2006 2007 2006 2006 2007 2006 2007
P x x
x x x x
= − + − +
= − + − + − + − + =
Vậy
min 2007 2006 2007Px=
Bài 8: Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010 2680
1
x
A
x
+
=
+
Lời giải
( )
2
2
22
22
2010 2680
1
335 3
335 335 335 2010 3015
335 335
11
x
A
x
x
x x x
xx
+
=
+
+
− − + + +
= = − + −
++
Vậy gi trị nhỏ nhất của
A
là
335−
khi
3x =−
Trang 14
Bài 9 : Cho 3 số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9
abc
+ +
Lời giải
Từ
1
1
1
11
1
1
1 1 1
3 3 2 2 2 9
bc
a a a
ac
abc
b b b
ab
c c c
a b a c b c
a b c b a c a c b
= + +
+ + = = + +
= + +
+ + = + + + + + + + + + =
Dấu “=” xảy ra
1
3
abc = = =
Bài 10 : Tìm cc gi trị của
x
để biểu thức:
( )( )( )( )
1 2 3 6P x x x x= − + + +
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
( )( )( )( )
( )( ) ( )
2
2 2 2
1 6 2 3 5 6 5 6 5 36P x x x x x x x x x x= − + + + = + − + + = + −
Ta thấy
( )
2
2
50xx+
nên
( )
2
2
5 36 36P x x= + − −
Do dó
2
0
36 5 0
5
x
MinP x x
x
=
= − + =
=−
Bài 11 : Cho
,,abc
là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Lời giải
Đặt
0; 0; 0b c a x c a b y a b c z+ − = + − = + − =
từ đó suy ra
; ; ;
2 2 2
y z x z x y
a b c
+ + +
= = =
Thay vào ta được
1
2 2 2 2
y z x z x y y x x z y z
A
x y z x y z x z y

+++

= + + = + + + + +




Từ đó suy ra
( )
1
222
2
A + +
hay
3A
Bài 12 : Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
..... 1
2 3 4 100
P = + + + +
Lời giải
2 2 2 2
1 1 1 1
....
2 3 4 100
1 1 1 1
.....
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1 1 1
.....
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1 1 1 1 1 1 99
1 ..... 1 1
2 2 3 3 4 99 100 100 100
P = + + + +
= + + + +
+ + + +
= − + − + − + + − = − =
Trang 15
Bài 13 : Cho
,ab
thỏa mãn
22
8.ab+
Chứng minh
44ab− +
Lời giải
Ta có:
( )
2
22
02a b a b ab− +
mà
22
8ab+
nên
28ab
( )
2
22
2 8 8 16a b a b ab+ = + + + =
( ) ( )( )
2
16 0 4 4 0
4 4( )
a b a b a b
a b dfcm
+ − + + + −
− +
Bài 14 :Cho hai số
,xy
thỏa mãn điều kiện
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 0.x y x y x y− + + − =
Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
A x y=+
Lời giải
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
4 2 0 2 4 2 0
2 2 0 2 1 3 1
1 3 1
x y x y x y x y x y x y x y
x x y y x y x y x y x
x y x
− + + − = + − + + − =
+ + + − = + − + + = − +
+ − = − +
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 1 1 1 0 2x x x y x y A− + + − − + −
22
0
0 0.
0
x
A x y
xy
=
= = =
+=
Vậy
min 0 0A x y= = =
2 2 2
00
2
22
xx
A
x y y
==

=

+ = =

. Vậy
2
0
max 2
2
x
A
y
=
=
=
Bài 15 : Cho các số
,,abc
thỏa mãn
1 , , 0.abc
Chứng minh rằng:
23
1a b c ab bc ca+ + − − −
Lời giải
Vì
, 0;1bc
nên suy ra
23
;b b c c
Do đó :
23
(1)a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + − − − + + − − −
Lại có:
( )( )( )
1 1 1 1 (2)a b c ab bc ca a b c abc+ + − − − = − − − − +
Vì
, , 0;1abc
nên
( )( )( )
1 1 1 0; 0a b c abc− − − −
Do đó từ
( ) ( )
2 1 3a b c ab bc ca + + − − −
Từ (1) và (3) suy ra
23
1a b c ab bc ca+ + − − −
Bài 16 : Cho ba số dương
,,abc
có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
9.
abc
+ +
Lời giải
Từ
1
1
1
11
1
1
bc
a a a
ac
abc
b b b
ab
c c c
= + +
+ + = = + +
= + +
Trang 16
1 1 1
3 3 2 2 2 9
+ + = + + + + + + + + + =
a b a c b c
a b c b a c a c b
Dấu bằng xảy ra
1
3
abc = = =
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi
2
abc
p
++
=
với
,,abc
là độ dài ba cạnh
Chứng minh
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

Lời giải
Ta có :
1 1 4
p c p b a
+
−−
Tương tự:
1 1 4 1 1 4
;
p c p a b p b p c c
+ +
− − − −
Cộng vế với vế cc BĐT cùng chiều:
1 1 1 4 4 4
2
1 1 1 1 1 1
2
p c p b p a a b c
p c p b p a a b c

+ + + +

− − −


+ + + +

− − −

Bài 18 : Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
3.x y z+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 3
2x x y y z z
+ +
+ + +
Lời giải
Đặt
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
P
x x y y z z x x y y z z
= + + = + +
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
= − + − + −
+ + +
= + + − + +
+ + +
x x y y z z
x y z x y z
Áp dụng BĐT
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
++
và
1 1 1 1
.
4a b a b

+

+

với
,,abc
dương, dấu
bằng xảy ra
abc = =
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ; . 1 ; . 1
1 4 1 4 1 4x x y y z z

+ + +

+ + +

Bởi vậy
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 1 1
1 1 1 4
P
x y z x y z x y z x y z
= + + − + + + + − + + + + +
+ + +
3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3
. . ( )
4 4 4 4 4 4 2
dfcm
x y z x y z

= + + − − = − =

++

Trang 17
Bài 19 : Cho
,,abc
là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi
,,abc
và
, , 0x y z
ta có:
( )
2
2 2 2
(*)
abc
abc
x y z x y z
++
+ +
++
Dấu
""=
xảy ra
a b c
x y z
= =
Thật vậy, với
,ab
và
,0xy
ta có:
( )
( )
( )
2
22
2 2 2
(**)
()
ab
ab
x y x y
a y b x x y xy a b
+
+
+
+ + +
( )
2
0bx ay −
(luôn đúng)
Dấu
""=
xảy ra
ab
xy
=
Áp dụng bất đẳng thức
( )
**
ta có:
( ) ( )
22
2 2 2 2
a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + +
+ + +
Dấu
""=
xảy ra
a b c
x y z
= =
Ta có:
( )
2 2 2
3 3 3
1 1 1
1 1 1
( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc
+ + = + +
+ + + + + +
Áp dụng BĐT (*) ta có :
( )
22
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2
2
a b c a b c
a b c
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
abc
+ + + +
+ + =
+ + + + +

++


(Vì
1)abc =
Hay
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
2
a b c
ab ac bc ab ac bc a b c

+ + + +

+ + +

Mà
1 1 1
3
abc
+ +
nên
2 2 2
1 1 1
3
2
a b c
ab ac bc ab ac bc
+ +
+ + +
Vậy
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
(đpcm)
Trang 18
Bài 20 : Cho
,0xy
thỏa mãn
2.xy+=
Chứng minh rằng :
2
2
11
8xy
xy


+ + +




Lời giải
Bài toán phụ : Chứng minh rằng
( )
2
22
1
(1)
2
a b a b+ +
Chứng minh
( )
2 2 2 2
1 2 2 2a b a ab b + + +
( )
2
22
2 0 0a ab b a b − + −
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
22
2
1 1 1 1 1
2
x y x y
x y x y

+ + + + + +


(2)
Mà
2 2 2
1 1 2
22
xy
xy
x y xy xy
+
+ + + = + = +
(vì
2)xy+=
Với
,0xy
ta có:
( )
2
0
4
xy
xy
+

(vì
( ) ( )
22
0 4 )x y x y xy− +
( ) ( )
( )
( )
22
2
2
2
1 4 2 8
28
2 2 2 2 16( 2)
++


+ + + = + =



+


xy xy
x y x y
Vi x y
xy
xy
2
11
16 (3)xy
xy

+ + +


Từ (2) và (3) suy ra :
2
2
11
8xy
xy


+ + +




Bài 21 : Cho hai số
,ab
thỏa mãn điều kiện
1.ab+=
Chứng minh :
33
1
2
a b ab+ +
Lời giải
Ta có:
( )
3 3 3 3
11
10
22
a b ab a b ab+ + + + −
( )
( )
22
1
0
2
a b a b ab ab + + − + −
22
1
0
2
ab + −
(vì
1)ab+=
( )
2
2 2 2
2 2 1 0 2 2 1 1 0a b a a + − + − −
(Vì
1)ba=−
2 2 2
1
2 2 4 2 1 0 4 0 (2)
4
a a a a a a

+ − + − − +


(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.
Bài 22 : Chứng minh rằng
( )( )( )( )
1 3 4 6 10 0a a a a− − − − +
với mọi
.a
Lời giải
( )( )( )( )
( )( )
22
1 3 4 6 10 7 6 7 12 10a a a a a a a a− − − − + = − + − + +
Trang 19
Đặt
2
7 6.t a a= − +
Khi đó ta có:
( )( )( )( )
( )( )
( )
2
22
1 3 4 6 10 7 6 7 12 10 3 1 0.a a a a a a a a t− − − − + = − + − + + = + +
Bài 23 : Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +
Lời giải
Ta có:
2
22
2
22
2
22
2
22
11
0 (1)
24
11
0 (2)
24
11
0 (3)
24
11
0 (4)
24
a b a b ab
a c a c ac
a d a d ad
a e a e ae

− +



− +



− +



− +


Ta cộng
( ) ( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3 , 4
vế theo vế ta được:
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
4.
4
a b c d e ab ac ad ae
a b c d e a b c d e
+ + + + + + +
+ + + + + + +
Bài 24 : Cho
,,abc
là 3 cạnh của tam giác,
p
là nửa chu vi.
CMR:
1 1 1 1 1 1
2.
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

Lời giải
Ta có:
1 1 4 2
1 1 4 2
1 1 4 2
p a p b p a p b c
p b p c p a p c a
p c p a p c p a b
+ =
− − − + −
+ =
− − − + −
+ =
− − − + −
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 25 : Cho
, , ,a b c d
là các số dương. Chứng minh rằng:
a b b c c d a d
b c c d d a a b
− − − −
+ +
+ + + +
Lời giải
Ta có:
0
4
a b b c c d a b a b b c c d d a
b c c d d a a b b c c d d a a b
a c b d c a d b
b c c d d a a b
− − − − − − − −
+ + + + +
+ + + + + + + +
+ + + +
+ + +
+ + + +
Xét
Trang 20
( ) ( )
( ) ( )
4
1 1 1 1
4
44
. . 4 0
a c b d c a d b
b c c d d a a b
a c b d
b c d a c d a b
a c b d
a b c d a b c d
+ + + +
+ + + −
+ + + +
= + + + + + −
+ + + +
+ + + − =
+ + + + + +
đpcm
Dấu
""=
xảy ra khi
a b c d= = =
Bài 26 : Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
...... 1
2 3 4 100
B = + + + +
Lời giải
2 2 2 2
1 1 1 1
......
2 3 4 100
1 1 1 1
......
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... 1 ...... 1 1
1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100
B = + + + +
= + + + +
+ + + + = − + − + + − = −
Vậy
1B
Bài 27 : So sánh hai số sau:
( )
( )( )( )( )
2 4 8 16
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1C = + + + + +
và
32
2D =
Lời giải
( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 4 8 16
2 4 8 16
2 2 4 8 16
4 4 8 16
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
C
C
C
C
= + + + + +
− = − + + + + +
= − + + + +
= − + + +
( )( )( )
( )( )
8 8 16
16 16 32
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
C
C
= − + +
= − + = −
Vì
32 32
2 1 2−
nên
CD
Bài 28 : Cho số thực dương
,,abc
thỏa mãn
2016abc+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1
2015 2016 2017
a b c a b c a b c
P
a b c
+ + + + + + + −
= + +
+ + +
Lời giải
Ta có:
2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1
2015 2016 2017
4033 4032 4031
2015 2016 2017
a b c a b c a b c
P
a b c
b c c a a b
a b c
+ + + + + + + −
= + +
+ + +
+ + + + + +
= + +
+ + +
Đặt

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC A.Bài toán
Bài 1. Cho x, y, z dương và x + y + z = 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 + +  9 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy
Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 1
a + b  với a + b 1 2
Bài 3 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c
Bài 4 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 Bài 5 : a) Chứng minh 2
x − x +1  0 (với mọi x) 2 x + x +1 1 b) Chứng minh:  2 x − x +1 3 2 x + x +1
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A = 2 x − x +1 Bài 6 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3( x + ) 1 B = 3 2
x + x + x +1
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 2010x + 2680
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x +1 1 1 1
Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + +  9 a b c
Bài 10: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = ( x − )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c 1 1 1 1
Bài 12 : Chứng minh rằng: P = + + + ..... + 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Bài 13 Cho a,b thỏa mãn 2 2
a + b  8.Chứng minh 4
−  a + b  4
Bài 14: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện (x − y )2 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0.Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + y
Bài 15 : Cho các số a,b,c thỏa mãn 1  a, , b c  0. Trang 1 Chứng minh rằng: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 1 1 1
Bài 16 : Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + +  9. a b c a + b + c
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p =
với a,b,c là độ dài ba cạnh 2 Chứng minh 1 1 1  1 1 1  + +  2 + +   p − a p − b p − ca b c
Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + +  2 2 2 x + x y + y z + z 2
Bài 19 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 2 2  1   1 
Bài 20 : Cho x, y  0 thỏa mãn x + y = 2.Chứng minh rằng : x + + y +  8      x   y
Bài 21 : Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.Chứng minh : 3 3 1
a + b + ab  2
Bài 22 : Chứng minh rằng (a − )
1 (a − 3)(a − 4)(a − 6) +10  0 với mọi a.
Bài 23 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a(b + c + d + e)
Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. CMR: 1 1 1  1 1 1  + +  2. + +   p − a p − b p − ca b c
Bài 25 : Cho a, ,
b c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a − b b − c c − d a − d + +  b + c c + d d + a a + b 1 1 1 1
Bài 26 : Chứng minh rằng: B = + + + ...... + 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Bài 27 : So sánh hai số sau: C = ( + )( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1 và 32 D = 2
Bài 28 : Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2a + 3b + 3c +1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c −1
của biểu thức: P = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c
Bài 29 : Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh: + +
a + b + c
a + b − c −a + b + c a − b + c 2 2 2 a b c c b a
Bài 30 : Chứng minh rằng: + +  + + 2 2 2 b c a b a c  
Bài 31 : CMR với a,b,c là các số dương, ta có: (a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c
Bài 32: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 +  2 2 1+ x 1+ y 1+ xy Trang 2
Bài 33 : Cho các số thực a, ,
b c 1. Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 + + + 3  + +
2a −1 2b −1 2c −1
a + b b + c c + a
Bài 34 : a) Cho x  0, y  0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng m n ( + )2 2 2 m n +  x y x + y
b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + +  3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2
Bài 35 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c a b c  + +  + + 2 2 2 2 2 2
2 b + c c + a a + b b + c c + a a + b a b c 3 Chứng minh + +  (1)
b + c c + a a + b 2
Bài 36 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 a b c 3
Bài 37: Cho a, ,
b c  0;a + b + c = 3.Chứng minh rằng: + +  2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 2 2 2 x y z x + y + z
Bài 38 : Cho x, y, z  0.CMR: + +  y + z x + z x + y 2
Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh: a b c + + 1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
Bài 40 : Cho a + b + c = 3.Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3
a + b + c a + b + c
Bài 41 : Chứng minh rằng : ( x − )
1 ( x − 3)( x − 4)( x − 6) +10  0với mọi x
Bài 42 : Cho x  0, y  0, z  0 và x + y + z = 1. 7
Chứng minh rằng xy + yz + zx − 2xyz  27
Bài 43 : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 2 2
x + y + z =1. 3 3 3 x y z 1 Chứng minh rằng: + +  y + 2z z + 2x x + 2y 3
Bài 44 : a. Chứng minh 2
x − x + 1  0 (với mọi x) 2 b. Chứng minh: x + x + 1 1  2 x − x + 1 3
Bài 45: Cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 +  2 2 1+ x 1 + y 1+ xy Trang 3 Bài 46: CMR với  
a, b,c là các số dương, ta có: ( + + ) 1 1 1 a b c + +    9  a b c 
Bài 47: Cho x,y,z dương và x + y + z = 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 + +  9 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy
Bài 48: Chứng minh rằng: 2 2 1 a + b  với a + b  1 2
Bài 49: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c + +  3 b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 50: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3 c (a + b) 2
Bài 51: Cho biểu thức = ( + − )2 2 2 2 2 2 A b c a − 4b c
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A  0
Bài 52: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + +  9 a b c 2 2 x yx y
Bài 53: Cho x, y  0.Chứng minh rằng : + + 4  3 + 2 2   y xy x
Bài 54: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a +b −c )2 2 2 2 2 2 − 4a b  0
Bài 55: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c
Bài 56: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 1 1 2
Bài 57: Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1;b 1.Chứng minh: +  2 2 1+ a 1+ b 1+ ab
Bài 58: Chứng minh rằng: 1 1 4 +  a  ,b  0 a b a + b
Bài 59: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3 c (a + b) 2
Bài 60: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  2 2 2 x + x y + y z + z 2 2 2   Bài 61: Cho x y x y
x, y  0.Chứng minh rằng : + + 4  3 +  2 2 y x  y x 
Bài 62: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Trang 4 ( + − )2 2 2 2 2 2 a b c − 4a b  0 Bài 63: Cho 2 số 1 1 2
a và b thỏa mãn a  1; b  1. Chứng minh: +  2 2 1+ a 1+ b 1+ ab
Bài 64: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3 b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 65: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  3 a (b + c) 3 b (c + a) 3 c (a + b) 2
Bài 66: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng:
a + bc b + ca c + ab + +  2 b + c c + a a + b
Bài 67: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 +  2 2 1+ x 1+ y 1+ xy
Bài 68: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + +  9 a b c Bài 69: Cho − − − −
a,b,c, d là các số dương. Chứng minh rằng: a b b c c d a d + + 
b + c c + d d + a a + b
Bài 70: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 P = + + +.....+ 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Bài 71: Chứng minh rằng: 1 2 2
a + b  với a + b  1 2
Bài 72: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a(b + c + d + e) m n (m+ n)2 2 2
Bài 73: a) Cho x  0, y  0 và m,n là hai số thực. Chứng minh rằng +  x y x + y
b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 2 2 Bài 74: Cho  1   1  25
a,b  0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh a + + b +       b   a  2 Bài 75: Cho 3 3
a + b = 2. Chứng minh rằng a + b  2
Bài 76: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 77: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 78: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. CMR: 1 1 1  1 1 1  + +  2. + +   p − a p − b p − ca b c
Bài 79: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a +b −c )2 2 2 2 2 2 − 4a b  0 Trang 5
Bài 80: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4 4 4
A = 2a b + 2b c + 2a c − a − b − c . Chứng minh rằng nếu a,b,c
là 3 cạnh của một tam giác thì A  0
Bài 81: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: a b c d 1  + + +  2
a + b + c b + c + d
c + d + a d + a + b
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: 2 2 2 2
x + y + z + t x ( y + z + t ) . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: 4 4 3 3
x + y xy + x y
Bài 83: a) Cmr : (x − )
1 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)  1 − b) Cho các số dương  1  1 
a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Cmr : 1+ 1+  9     a  b
Bài 84: Chứng minh rằng: 2 2 2 a) a b c c b a + +  + + 2 2 2 b c a b a c b) 8 7 2
x − x + x − x +1  0 Bài 85: Cmr: a) 3 2 2 2
a + b + c +  a + b + c 4 b) 4 4
a + b + 2  4ab
Bài 86: Chứng minh rằng: a) 3 2
x + 4x +1  3x với x  0 ; b) (x − )
1 ( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 9  0; c) 2 2 2
a + 4b + 4c  4ab − 4ac + 8bc
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau: 2 2 a ba b  + + 4  3 + 2 2   b ab a x + y 2 2 ( )2
Bài 88: Chứng minh BĐT: x + y  2 2
Bài 89: a) Chứng minh: a 2 2
+ b + c ab − ac + 2bc 4 b) Chứng minh: 4 4 4
a + b + c abc (a + b + c) c) Chứng minh: 1 1 1 1 + +...+
 với nN, n 1 . 5 13 n + (n + )2 2 1 2 d) Chứng minh: 1 1 1 1 + +...+
 với nN, n 1 9 25 (2n + )2 1 4 2 2 e) Cho  a
b   a b
a và b cùng dấu. Chứng minh:  +  − +  0 2 2    b
a   b a
Bài 90: Cho ba số dương a,b,c a) Chứng minh rằng:(  
a + b + c) 1 1 1 + +  9   ;  a b c
b) Chứng minh rằng: a b c 3 + + 
b + c c + a a + b 2
Bài 91: Cho a + b + c  0 , chứng minh: 3 3 3
P = a + b + c − 3abc  0 .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau: Trang 6 2  + + a) a b c d  +   
(a +c)(b+ d); b) ab +bc + ca  0 khi a +b + c = 0 .  2 2 
Bài 93: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác a) Chứng minh rằng: 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c  2(ab + bc + ca)
b) Chứng minh rằng: (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca)thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho x + y = 2 . Chứng minh rằng: 2017 2017 2018 2018 x + yx + y .
Bài 95: a) Chứng minh: 1 1 1 1 2 H = + + +...+
với nN, n  2 2 2 2 2 2 3 4 n 3 b) Chứng minh: 1 1 1 1 1 K = + + +...+ 
với nN, n  3 3 3 3 3 3 4 5 n 12
Bài 96: Cho ba số x, y, z. a) Chứng minh 2 2 2
x + y + z xy + yz + zx ; + +
b) Khi x y z = 673 . Chứng minh xy + yz + zx  2019 . 3 2 2  1   1  25
Bài 97: Cho a,b  0 thỏa mãn a + b =1.Chứng minh a + + b +       b   a  2
Bài 98: Với a, ,
b c  0 . Hãy chứng minh các BĐT: a) ab bc +  ab bc ca 2b ; b) + +
a + b + c ; c a c a b 3 3 3 3 3 3 c) a + b b + c c + a + +
a + b + c . 2ab 2bc 2ca Bài 99: a) Cho 2 2
a + b  2 . Chứng minh rằng: a + b  2 .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: a(a + b)(a + )(a + b + ) 2 4 1 1 + b  0
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh: abc  (b + c − a)(a + c −b)(a + b − c) 2 2 Bài 100: Cho  1   1  25
a, b  0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh a + + b +       b   a  2
Bài 101: Cho các số a,b,c thỏa mãn 1  a,b,c  0.Chứng minh rằng: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 Bài 102: Cho 3 3
a + b = 2. Chứng minh rằng a + b  2
Bài 103: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3 b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 104: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a + bc b + ca c + ab + +  2 b + c c + a a + b
Bài 105: Cho a,b thỏa mãn 2 2
a + b  8. Chứng minh −4  a + b  4 Bài 106: CMR với  
a, b,c là các số dương, ta có: ( + + ) 1 1 1 a b c + +    9  a b c 
Bài 107: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4 4 4
A = 2a b + 2b c + 2a c − a − b − c .Chứng minh rằng nếu
a, b,c là 3 cạnh của một tam giác thì A  0 Trang 7 Bài 108: CMR với  
a,b, c là các số dương, ta có: (a + b + c) 1 1 1 + +  9   a b c
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a b c A = + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 110: Chứng minh rằng  1  1  1   1  1  1  a − b − c −  a − b − c −         , trong đó a, b,  b  c  a   a  b  c
c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh 2 2 2
a + b + c  2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a + 3c a + 3b 2a + +  5 a + b a + c b + c
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc . Chứng minh rằng  1 1 1 
a + b + c  3 + +    a b c
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 25 (a + )(b + ) 
. Đẳng thức xảy ra khi nào? a b 4
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1  1 1 1 + + 2   + + p − a
p −b p −ca b c   
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 a + b + c + +  a b c b + c c + a a + b 2 2 2
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh: x − y x − y  2 2 x + y x + y
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2  0 với mọi a, b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + +  9 a b c
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a b c 3 + +  . 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2
Bài 121: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2
Bài 122: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ x2 + x y2 + y z2 + z 2
Bài 123: Cho ba số dương x + y
x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 4  xyz 9
Bài 124: Cho a, ,
b c  0 Chứng minh rằng a b c 1  1 1 1  + +  . + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2  
3a + 2b + c
3b + 2c + a
3c + 2a + b 6  a b c
Bài 125: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: Trang 8 a + b b + c c + a 1 1 1 + +  + + 2 2 2 bc + a ac + b ab + c a b c
Bài 126: Cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng 2 2 2
a + b + c  5
Bài 127: Chứng minh rằng:  1  1  1   1  1  1  a − b − c −  a − b − c −         , trong đó  b  c  a   a  b  c
a,b, c là các số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 129: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 P = + + +.....+ 1 2 2 2 2 2 3 4 100
Bài 130: Chứng minh bc ac ab + +
a + b + c với mọi số dương a,b, . c a b c
Bài 131: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A = + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c
Bài 132: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng:
a + bc b + ca c + ab + +  2 b + c c + a a + b 2 2   Bài 133: Cho x y x y
x, y  0.Chứng minh rằng : + + 4  3 + 2 2   y xy x
Bài 134: Biết a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a +b −c )2 2 2 2 2 2 − 4a b  0
Bài 135: Cho a,b,c là các số dương. 1 1 1 27 Chứng minh: + + 
a(a + b) b(b + c) 2 c(c + a)
2(a + b + c)
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 + +
 với a b c  0
a + b b + c c + a 2
Bài 137: Cho a − b =1. Chứng minh 2 2 1 a + b  2
Bài 138: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c 1 1 1
Bài 139: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + +  9 a b c 1 1 2
Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy  1.Chứng minh rằng: +  2 2 1+ x 1+ y 1+ xy
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 2
x + y + z xy + xz + yz với mọi x, y, z
Bài 142: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: Trang 9 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2
Bài 143: Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 +  2 2 1+ x 1+ y 1+ xy
Bài 144: a) Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1  1 1 1  CMR: + +  2. + +   p − a p − b p − ca b c  b)Cho a, , b c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a − b b − c c − d a − d + +  b + c c + d d + a a + b B. HƯỚNG DẪN Trang 10
Bài 1 : Cho x, y, z dương và x + y + z = 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 + +  9 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy Lời giải Đặt 2 2 2
a = x + 2yz;b = y + 2xz;c = z + 2xy
a,b,c  0và a + b + c = (x + y + z)2 =1  
Chứng minh: (a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c  1 1 1 9  + +  = 1 1 1 9 hay + +  9(dfc ) m a b c a + b + c 2 2 2 x + 2yz y + 2zx z + 2xy
Bài 2 : Chứng minh rằng: 2 2 1
a + b  với a + b 1 2 Lời giải Theo bài ra ta có: 2 2
a + b 1  a + 2ab + b 1 (1)
Mặt khác : (a − b)2 2 2
 0  a − 2ab + b  0 (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( 2 2 a + b ) 2 2 1 2
1 a + b  2
Bài 3 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c Lời giải
Đặt x = b + c − a; y = a + c − b ; z = a + b − c x, y, z  0
x + y + z = a + b + c y + z
2a = a + b + c − (b + c − a) = x + y + z − x = y + z a = 2 x + z x + y Tương tự: b = ;c = 2 2 y + z x + z x + y
BĐT chứng minh tương đương với: + +  6 x y z
y x   z x   y z   + + + + +  a b 6       do +  2  x
y   x z   z y b a
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a, ,
b c  và x, y, z  0 ta có: a b c
(a + b + c)2 2 2 2 + +  (*) x y z x + y + z Trang 11 a b c Dấu " = " xảy ra  = = x y z
Thật vậy, với a,b và x, y  0 ta có: a b (a + b)2 2 2 +  (**) x y x + y  ( 2 2
a y + b x)(x + y) 2
xy(a + b)
 (bx − ay)2  0(luôn đúng) a b Dấu " = " xảy ra  = x y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b c ( + )2 c ( + + )2 2 2 2 2 a b a b c + +  +  x y z x + y z x + y + z a b c Dấu " = " xảy ra  = = x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 Ta có: a b c + + = + + 3 a (b + c) 3 3
b (c + a) c (a + b)
ab + ac bc + ab ac + bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1  1 1 1   1 1 1  + + + +     2 2 2 a b ca b c   a b c  + +  = (Vì abc = 1)
ab + ac bc + ab ac + bc
2(ab + bc + ac)  1 1 1  2 + +    a b c  1 1 1 2 2 2 1  1 1 1  Hay a b c + +  + +  
ab + ac bc + ab ac + bc 2  a b c  1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà + +  3nên a b c + +  a b c
ab + ac bc + ab ac + bc 2 1 1 1 3 Vậy + +  .(đpcm) 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 Bài 5 a) Chứng minh 2
x − x +1  0 (với mọi x) 2 x + x +1 1 b) Chứng minh:  2 x − x +1 3 2 x + x +1
c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A = 2 x − x +1 Lời giải 2 a) 2  1  3
x − x + 1 = x − +  0   (với mọi x)  2  4 Trang 12
b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương ( 2 3 x − x + ) 1 được: 2 2
3x + 3x + 3  x − x +1
x + x +   (x + )2 2 2 4 2 0 2 1  0 (luôn đúng) 2 x + x +1 1 Suy ra:  2 x − x +1 3 x + x +1 3( 2 x − x + ) 2
1 + x + x +1− 3( 2 2 x − x + ) 1 c) = 2 2 x − x +1 x − x +1 2x − 4x + 2 2( x − )2 2 1 = 3 − = 3 −  3 2 2 x − x +1 x − x +1
Vậy MaxA = 3  x = 1
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3( x + ) 1 B = 3 2
x + x + x +1 Lời giải
a) Ta có: A = x − xy + y + y − y + + = (x − y)2 + ( y − )2 2 2 2 2 4 4 1 2 +1
Do ( x − y)2  ( y − )2 0; 2  0
Nên A = ( x − y)2 + ( y − )2 2 +11
Dấu “=” xảy ra  x = y = 2
Vậy MinA =1  x = y = 2 3(x +1) 3( x + ) 1 3 b) B = = = 2 x ( x + ) 1 + ( x + ) 1 (x + ) 1 ( 2 x + ) 2 1 x +1 B Do 2 x +11
 3. Đẳng thức xảy ra  x = 0 2 x +1
Vậy MaxB = 3  x = 0
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 Lời giải Ta có :
P = x − 2006 + x − 2007 + 2006
= x − 2006 + 2007 − x + 2006  (x − 2006) + (2007 − x) + 2006 = 2007
Vậy min P = 2007  2006  x  2007 2010x + 2680
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x +1 Lời giải 2010x + 2680 A = 2 x + 1 335 −
x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335( x + 3)2 2 2 = = 335 − +  −335 2 2 x + 1 x + 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là −335 khi x = −3 Trang 13 1 1 1
Bài 9 : Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + +  9 a b c Lời giải Từ  1 b c = 1 + +  a a a  1 a c
a + b + c = 1   = 1+ + b b b  1 a b = 1 + +  c c c 1 1 1  a b   a c   b c   + + = 3 + + + + + +  3 + 2 + 2 + 2 = 9       a b cb a   c a   c b  1
Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 3
Bài 10 : Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = ( x − )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải
P = ( x − )( x + )( x + )( x + ) = (x + x − )(x + x + ) = (x + x)2 2 2 2 1 6 2 3 5 6 5 6 5 − 36
Ta thấy (x + x)2 2 5
 0 nên P = (x + x)2 2 5 − 36  3 − 6 x = 0 Do dó 2
MinP = −36  x + 5x = 0   x = 5 −
Bài 11 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A = + +  3
b + c − a
a + c − b a + b − c Lời giải
Đặt b + c − a = x  0;c + a − b = y  0;a + b − c = z  0 y + z x + z x + y từ đó suy ra a = ;b = ;c = ; 2 2 2 y + z x + z x + y 1  y
x   x z   y z 
Thay vào ta được A = + + =  + + + + +       2x 2 y 2z
2  x y   z x   z y  1
Từ đó suy ra A  (2 + 2 + 2) hay A  3 2 1 1 1 1
Bài 12 : Chứng minh rằng: P = + + + ..... + 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải 1 1 1 1 P = + + + .... + 2 2 2 2 2 3 4 100 1 1 1 1 = + + + ..... + 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1  + + + ..... + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 = 1− + − + − + ..... + − = 1− =  1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 Trang 14
Bài 13 : Cho a,b thỏa mãn 2 2
a + b  8.Chứng minh 4
−  a + b  4 Lời giải Ta có: (a −b)2 2 2
 0  a + b  2ab mà 2 2
a + b  8 nên 2ab  8 (a + b)2 2 2
= a + b + 2ab  8 + 8 =16
 (a + b)2 −16  0  (a + b + 4)(a + b − 4)  0  4
−  a + b  4(dfcm)
Bài 14 :Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện (x − y )2 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0.Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + y Lời giải (x − y )2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0  x + y − 2x y + 4x y + x − 2y = 0
 (x + 2x y + y ) + x − 2y = 0  (x + y )2 4 2 2 4 2 2 2 2 − 2( 2 2 x + y ) 2 +1= −3x +1
 (x + y − )2 2 2 2 1 = 3 − x +1 Ta có: − x +  x
  (x + y − )2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1  1
−  x + y −11 0  A  2 x = 0 A = 0  
x = y = 0.Vậy min A = 0  x = y = 0 2 2 x + y = 0 x = 0 x = 0 x = 0 A = 2    
. Vậy max A = 2   2 2 2 x + y = 2 y = 2 2  y = 2
Bài 15 : Cho các số a,b,c thỏa mãn 1  a, , b c  0. Chứng minh rằng: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 Lời giải Vì , b c 0;  1 nên suy ra 2 3 b  ; b c c Do đó : 2 3
a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca (1)
Lại có: a + b + c − ab − bc − ca = (a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1 − abc +1 (2)
Vì a,b,c 0;  1 nên (a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1  0;−abc  0
Do đó từ (2)  a + b + c − ab − bc − ca 1 (3) Từ (1) và (3) suy ra 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 1 1 1
Bài 16 : Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + +  9. a b c Lời giải Từ  1 b c = 1 + +  a a a  1 a c
a + b + c = 1   = 1+ + b b b  1 a b = 1 + +  c c c Trang 15 1 1 1
a b   a c   b c   + + = 3 + + + + + +  3 + 2 + 2 + 2 = 9       a b c
b a   c a   c b  1
Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 3 a + b + c
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi p =
với a,b,c là độ dài ba cạnh 2 1 1 1  1 1 1  Chứng minh + +  2 + +   p − a p − b p − ca b c Lời giải 1 1 4 Ta có : +  p − c p − b a 1 1 4 1 1 4 Tương tự: +  ; +  p − c
p − a b p − b p − c c
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:  1 1 1  4 4 4 2 + +  + +    p − c p − b
p − a a b c 1 1 1  1 1 1   + +  2 + +   p − c p − b p − aa b c
Bài 18 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + +  2 2 2 x + x y + y z + z 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Đặt P = + + = + + 2 2 2 x + x y + y z + z x(x + ) 1 y( y + ) 1 z (z + ) 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − x x +1 y y +1 z z +1  1 1 1   1 1 1  = + + − + +    
x y z   x +1 y +1 z +1 1 1 1 9 1 1  1 1  Áp dụng BĐT + +  và  . + 
 với a,b,c dương, dấu a b c a + b + c a + b 4  a b
bằng xảy ra  a = b = c 1 1  1  1 1  1  1 1  1  Ta có:  . +1 ;  . +1 ;  . +1       x +1 4  xy +1 4  yz +1 4  z  Bởi vậy  1 1 1   1 1 1   1 1 1  1  1 1 1  P = + + − + +  + + − . +1+ +1+ +1          x y
z   x +1 y +1 z +1  x y z  4  x y z  3  1 1 1  3 3 9 3 9 3 3 = . + + −  . − = − = (dfcm)     + + 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 Trang 16
Bài 19 : Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + +  . 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a, ,
b c  và x, y, z  0 ta có: a b c
(a + b + c)2 2 2 2 + +  (*) x y z x + y + z a b c Dấu " = " xảy ra  = = x y z
Thật vậy, với a,b và x, y  0 ta có: a b (a + b)2 2 2 +  (**) x y x + y  ( 2 2
a y + b x)(x + y) 2
xy(a + b)
 (bx − ay)2  0(luôn đúng) a b Dấu " = " xảy ra  = x y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b c ( + )2 c ( + + )2 2 2 2 2 a b a b c + +  +  x y z x + y z x + y + z a b c Dấu " = " xảy ra  = = x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 Ta có: a b c + + = + + 3 a (b + c) 3 3
b (c + a) c (a + b)
ab + ac bc + ab ac + bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1  1 1 1   1 1 1  + + + +     2 2 2 a b ca b c   a b c  + +  = (Vì abc = 1)
ab + ac bc + ab ac + bc
2(ab + bc + ac)  1 1 1  2 + +    a b c  1 1 1 2 2 2 1  1 1 1  Hay a b c + +  + +  
ab + ac bc + ab ac + bc 2  a b c  1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà + +  3nên a b c + +  a b c
ab + ac bc + ab ac + bc 2 1 1 1 3 Vậy + +  .(đpcm) 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2 Trang 17 2 2  1   1 
Bài 20 : Cho x, y  0 thỏa mãn x + y = 2.Chứng minh rằng : x + + y +  8      x   y Lời giải
Bài toán phụ : Chứng minh rằng a + b  (a + b)2 2 2 1 (1) 2 Chứng minh ( ) 2 2 2 2
1  2a + 2b a + 2ab + b
a − 2ab + b  0  (a − b)2 2 2  0
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có: 2 2 2  1   1  1  1 1  x + + y +  x + + y +       (2)  x   y  2  x y  2 2 2  1 1   x + y   2  Mà x + + y + = 2 + = 2 +     
 (vì x + y = 2)  x y   xy   xy  (x + y)2
Với x, y  0 ta có: 0  xy
(vì ( x − y)2   ( x + y)2 0  4xy) 4 1 4 2 8     xy (x + y)2 xy (x + y)2 2  2   8   2 +     2 +
  2 + 2 =16(Vi x + y = 2) 2 ( )2 xy     (x y)  +  2  1 1   x + + y + 16 (3)    x y  2 2  1   1 
Từ (2) và (3) suy ra : x + + y +  8      x   y
Bài 21 : Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.Chứng minh : 3 3 1
a + b + ab  2 Lời giải 1 1 Ta có: 3 3
a + b + ab  ( ) 3 3
1  a + b + ab −  0 2 2  (a + b)( 2 2
a + b − ab) 1 + ab −  0 2 2 2 1
a + b −  0 (vì a + b =1) 2
a + b −   a + ( − a)2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1
−1 0 (Vì b =1− a) 2 2  2 1 
 2a + 2 − 4a + 2a −1 0  4 a − a +  0 a  (2)    4 
(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.
Bài 22 : Chứng minh rằng (a − )
1 (a − 3)(a − 4)(a − 6) +10  0 với mọi a. Lời giải
(a − )(a − )(a − )(a − ) + = ( 2 a − a + )( 2 1 3 4 6 10 7
6 a − 7a +12) +10 Trang 18 Đặt 2
t = a − 7a + 6.Khi đó ta có:
(a − )(a − )(a − )(a − ) + = (a − a + )(a − a + )+ = (t + )2 2 2 1 3 4 6 10 7 6 7 12 10 3 +1  0.
Bài 23 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a(b + c + d + e) Lời giải Ta có: 2  1  1 2 2 a − b
 0  a + b ab (1)    2  4 2  1  1 2 2 a − c
 0  a + c ac (2)    2  4 2  1  1 2 2 a − d
 0  a + d ad (3)    2  4 2  1  1 2 2 a − e
 0  a + e ae (4)    2  4 Ta cộng ( )
1 ,(2),(3),(4) vế theo vế ta được: 1 2 2 2 2 2
4. a + b + c + d + e ab + ac + ad + ae 4 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a(b + c + d + e)
Bài 24 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. 1 1 1  1 1 1  CMR: + +  2. + +   p − a p − b p − ca b c Lời giải Ta có: 1 1 4 2 +  = p − a p − b
p − a + p − b c 1 1 4 2 +  = p − b p − c
p − a + p − c a 1 1 4 2 +  = p − c p − a
p − c + p − a b
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 25 : Cho a, ,
b c,d là các số dương. Chứng minh rằng: a − b b − c c − d a − d + +  b + c c + d d + a a + b Lời giải Ta có: a − b b − c c − d a − b a − b b − c c − d d − a + +   + + +  0 b + c c + d d + a a + b b + c c + d d + a a + b
a + c b + d c + a d + b  + + +  4 b + c c + d d + a a + b Xét Trang 19
a + c b + d c + a d + b + + + − 4 b + c c + d d + a a + b (     = a + c) 1 1 + +   (b + d ) 1 1 + − 4  
b + c d + a
c + d a + b   (a + c) 4 + (b + d ) 4 . . − 4 = 0
a + b + c + d
a + b + c + d  đpcm
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = d 1 1 1 1
Bài 26 : Chứng minh rằng: B = + + + ...... + 1 2 2 2 2 2 3 4 100 Lời giải 1 1 1 1 B = + + + ...... + 2 2 2 2 2 3 4 100 1 1 1 1 = + + + ...... + 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  + + + ..... + =1− + − + ...... + − =1− 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100 Vậy B  1
Bài 27 : So sánh hai số sau: C = ( + )( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1 và 32 D = 2 Lời giải C = (2 + ) 1 ( 2 2 + ) 1 ( 4 2 + ) 1 ( 8 2 + ) 1 ( 16 2 + ) 1 (2 − ) 1 C = (2 − ) 1 (2 + ) 1 ( 2 2 + ) 1 ( 4 2 + ) 1 ( 8 2 + ) 1 ( 16 2 + ) 1 C = ( 2 2 − ) 1 ( 2 2 + ) 1 ( 4 2 + ) 1 ( 8 2 + ) 1 ( 16 2 + ) 1 C = ( 4 2 − ) 1 ( 4 2 + ) 1 ( 8 2 + ) 1 ( 16 2 + ) 1 C = ( 8 2 − ) 1 ( 8 2 + ) 1 ( 16 2 + ) 1 C = ( 16 2 − ) 1 ( 16 2 + ) 32 1 = 2 −1 Vì 32 32
2 −1  2 nên C D
Bài 28 : Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2a + 3b + 3c +1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c −1
của biểu thức: P = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c Lời giải Ta có:
2a + 3b + 3c +1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c −1 P = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c
b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c Đặt Trang 20

Tài liệu liên quan: