Dạng Toán Số Nguyên Tố Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ A.Bài toán
Câu 1: Chứng minh n   *thì 3
n + n + 2là hợp số
Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: 3 2
A = n − n + n −1 là số nguyên tố
Câu 3: Cho p và 2 p +1là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4 p +1là hợp số.
Câu 4: Số tự nhiên 2012 3 A = 1+ 2
là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích 2 2 Câu 5: Cho a + b a
a,b, c là các số nguyên khác 0, a  c sao cho = .Chứng minh 2 2 b + c c rằng 2 2 2
a + b + c không phải là số nguyên tố. Câu 6: Cho 4
P = n + 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Câu 7: Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố
Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n +18 và n − 41là m  5 hai số chính phương 4 m = a + 4
Câu 9: Chứng minh rằng nếu m  5 thì 4
m = a + 4a không là số nguyên tố
Câu 10: Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết
thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này
có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Câu 11: Tìm các số nguyên dương n để 1988 1987 n + n +1 là số nguyên tố.
Câu 12: Chứng minh: 9n + 2 và 12n + 3(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên Câu 13: Cho 4
P = n + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Câu 14: Số tự nhiên 2012 3 A = 1 + 2
là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Câu 15: Tìm tất cả các số nguyên dương để là số nguyên tố
Câu 16: Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố biết: 3 2
p = n − n + n −1
Câu 17: Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Câu 18: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 3
n − n chia hết cho 24 Câu 19: Cho 4
A = p trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các
ước dương của A là số chính phương.
Câu 20: Tìm các số nguyên tố x và y sao cho 2 2 x − 2 y = 1
Câu 21: Tìm các số tự nhiên n để B = (n − )2 2
8 + 36 là số nguyên tố
Câu 22: Chứng minh rằng: Nếu aN, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
Câu 23: Tìm tất cả các số nguyên dương n để (1 + n2017 + n2018) là số nguyên tố Câu 24: Cho 4
P = n + 4.Tìm tất cả các số tự nhiên .. n ..để là số nguyên tố.
Câu 25: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: 3 2
p = n − n + n −1.
Câu 26: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: . 3 2
p = n − n + n −1.
Câu 27: Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố Trang 1 B. HƯỚNG DẪN
Câu 1: Chứng minh n   *thì 3
n + n + 2là hợp số Lời giải Ta có: 3 3
n + n + = n + + n + = (n + )( 2
n − n + ) + (n + ) = (n + )( 2 2 1 1 1 1 1 1 n − n + 2) Do n
  N *nên n +1 1và 2
n − n + 2  1. Vậy 3
n + n + 2 là hợp số
Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: 3 2
A = n − n + n −1 là số nguyên tố Lời giải 3 2
A = n − n + n − = ( 2 1 n + ) 1 (n − ) 1
Để A là nguyên tố thì n −1 =1  n = 2 . Khi đó A = 5
Câu 3: Cho p và 2 p +1 là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4 p +1là hợp số Lời giải
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng
p = 3k +1; p = 3k −1 với k  1 + Nếu
p = 3k +1thì 2 p +1 = 6k + 3 = 3(2k + ) 1 Suy ra
2 p +1 là hợp số (vô lý)
+Nếu p = 3k −1,k 1thì 4 p +1 =12k − 3 = 3.(4k − ) 1
Do k  1nên 4k −1  3. Do đó 4 p +1là hợp số. Câu 4: Số tự nhiên 2012 3 A = 1+ 2
là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải 2012 3 3 nên có thể viết 2012 3 = 3n( ) 2012 n
( n)3 ( n) n ( n A )2 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2   = + = + = + = + − +  A  là hợp số   2 2 Câu 5: Cho a + b a
a,b, c là các số nguyên khác 0, a  c sao cho = .Chứng minh 2 2 b + c c rằng 2 2 2
a + b + c không phải là số nguyên tố. Lời giải 2 2 Ta có: a + b a
=  (a − c)( 2 b − ac) 2 = 0  b = ac 2 2 b + c c
Mà a + b + c = a + ac + c = a + ac + c − b = (a + c)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− b = (a + c + b)(a + c −b) Ta thấy 2 2 2
a + b + c  3do đó nếu 2 2 2
a + b + c là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau: 2 2 2 2 2 2
1)a + c − b = 1;a + c + b = a + b + c  a + b + c = 2a + 2c −1  (a − )2 1 + (c − )2 2
1 + b = 1 a = c = 1,b = 1 (ktm) 2 2 2 2 2 2
2)a + c + b = 1, a + c − b = a + b + c  a + b + c = 2a + 2c −1  (a − )2 1 + (c − )2 2
1 + b = 1 a = c = 1,b = 1 (ktm) Trang 2
3)a + c + b = 1
− , a + c − b = −( 2 2 2
a + b + c ) 2 2 2
 a + b + c = −2a − 2c −1  (a + )2 1 + (c + )2 2
1 + b = 1 a = c = −1,b = 1 (ktm)
4)a + c − b = 1
− ,a + c + b = −( 2 2 2
a + b + c ) 2 2 2
 a + b + c = −2a − 2c −1  (a + )2 1 + (c + )2 2
1 + b = 1 a = c = −1,b = 1 (ktm) Câu 6: Cho 4
P = n + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải
P = n + = n + n + − n = (n + )2 − ( n)2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 2 2
= (n − n + )(n + n + ) = (n − )2 +  (n − )2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 +1    
Vì n là số tự nhiên nên (n + )2
1 +1  2.Như vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có
(n − )2 + =  (n − )2 1 1 0 1 = 0  n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố .
Câu 7: Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: 4 a + = ( 2 a − a + ) ( 2 4 2 2 . a + 2a + 2) Vì 2 2
a   a − 2a + 2 ; a + 2a + 2
Có: a + a + = (a + )2 2 2 2 1 +1  1 a
 và a − a + = (a − )2 2 2 2 1 +1  1( a  ) 2 a + 2a + 2 =1 a =1( ) tm Vậy 4
a + 4 là số nguyên tố thì    2
a − 2a + 2 =1 a = 1 − ( ) tm
Câu 8: Tìm số tự nhiên n để n +18 và n − 41là hai số chính phương Lời giải
Để n +18 và n − 41 là hai số chính phương 2
 n +18 = p và 2
n − 41 = q ( p,q  ) 2 2
 p − q = (n +18) − (n − 4 )
1 = 59  ( p − q)( p + q) = 59  p − q =1  p = 30
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:     p + q = 59 q = 29 Từ 2 2
n +18 = p = 30 = 900  n = 882
Thay vào n − 41,ta được 2 2
882 − 41 = 841 = 29 = q
Vậy với n = 882 thì n +18 và n − 41là hai số chính phương
Câu 9: Chứng minh rằng nếu m  5 thì 4
m = a + 4 không là số nguyên tố Lời giải
m = a + 4 = (a + 4a + 4) − (2a)2 4 4 2 = ( 2 a + 2 + 2a)( 2 a + 2 − 2a)
= (a + 2a + )1+1 
 (a − 2a + ) 1 +1 = (a + )2 1 +1 (a − )2 2 2 1 +1     
Vì (a + )2  a  (a − )2 1 1 , 1  0 a
 nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a = −1
Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1nếu a = 1
Còn các trường hợp khác là tích 1 a =1 Vậy ngoài 
khi đó m = 5 thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 a = 1 −
nên m không thể là số nguyên tố. Trang 3
Câu 10: Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết
thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này
có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Lời giải
Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*)
pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau.
Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt
đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 +
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90 3 nên pn . .3
Điều này mâu thuẫn (*).
Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Câu 11: Tìm các số nguyên dương n để 1988 1987 n + n
+1 là số nguyên tố. Lời giải:
+ Với n =1 ta có 1988 1987 n + n
+1 = 1+1+1 = 3 là số nguyên tố.
+ Với n  2,n Z ta có 1988 1987 2 n + n +1  n + n +1 Mặt khác, ta có n n n (n
) n (n )662 ( )662 1988 2 2 1986 2 3 3  − = − = − ( 3 3 1 1 n −1 )   * Chú ý : n n
a − b a − b Mà 3 3
n − = (n − )( 2 n + n + ) ( 2 1 1 1 n + n + ) 1 Suy ra ( 1988 2 n − n ) ( 2 n + n + ) 1 Tương tự, 1987 n − n = n( 1986 n − ) ( 2 1 n + n + ) 1 Khi đó, 1988 1987 n + n + = ( 1988 2 n − n ) + ( 1987 n − n)+ ( 2 n + n + ) ( 2 1 1 n M + n + ) 1
Suy ra với n  2,n Z thì 1988 1987 n + n +1 là hợp số. Vậy, n =1 thì 1988 1987 n + n +1 là số nguyên tố. Câu 12:
Chứng minh: 9n + 2 và 12n + 3(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải
Chứng minh: 9n + 2 và 12n + 3(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi d = UCLN (9n + 2,12n + 3), d  N * (  9n + 2  ) d (  36n + 8  ) d Khi đó,   
 (36n + 9) − (36n + 8) (   =  n +  ) d (  n +  ) d 1 d d 1 12 3 36 9 d
Vậy, và 12n + 3(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 13: Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên Lời giải
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên. Giả sử 3
7 p +1 = m (m ) , mà p  2  m  3 Khi đó 3
p = m − = (m − )( 2 7 1 1 m + m + ) 1 (*)
Vì 7, p là các số nguyên tố, 2
m −1  1, m + m +1  1
nên từ (*) suy ra m −1 = 7 hoặc 2 m + m +1 = 7 . 3
a) m −1 = 7  m = 8  p = 73; m = 512 = 7.73 +1 , đúng. Trang 4 2 2
b) m + m +1 = 7  m + m − 6 = 0 .
Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện m  3 .
Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm. Câu 14: Cho 4
P = n + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải = + = + + − = ( + )2 −( )2 4 4 2 2 2 P n 4 n 4n 4 4n n 2 2n ( )( ) ( )2 ( )2 2 2 n 2n 2 n 2n 2 n 1 1 n 1 1 = − + + + = − + − +     
Vì n là số tự nhiên nên ( + )2
n 1 + 1  2. Như vậy muốn P là số nguyên tố thì ta phải có ( − )2 + =  ( − )2 n 1 1 0 n 1 = 0  n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố
Câu 15: Số tự nhiên 2012 3 A = 1 + 2
là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải 2012 3 3 nên có thể viết 2012 3 = 3n( ) 2012 = + = + = + ( )3 = ( + ) − +  ( )2 3 3 3n 3 n n n n   A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  A là hợp số  
Câu 16: Tìm tất cả các số nguyên dương để ( 2017 2018 1+ n + n )là số nguyên tố Lời giải Đặt: 2017 2018 A = 1+ n + n n
n = 1 Với thì A = 3 là số nguyên tố Với n 1,ta có: 2017 2018 1+ n + n = ( 2018 2 n − n ) + ( 2017 n − n) + ( 2 n + n + ) 1 2 = n ( 2016 n − ) 1 + n ( 2016 n − ) 1 + ( 2 n + n + ) 1 = ( 2016 n − ) 1 ( 2 n + n) + ( 2 n + n + ) 1 Ta lại có: n (n )672
(n )(n )671 (n )670 2016 3 3 3 3 3 n  − = − = − + + + + ( 3 1 1 1 .... 1 n − ) 1     ( 2016 n − ) ( 2 1 n + n + ) 1 . Suy ra A ( 2 n + n + ) 1 , mà 2
1  n + n +1  A nên A là hợp số.
Vậy n = 1là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện
Câu 17: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: 3 2
p = n − n + n −1 Lời giải
Biến đổi được p = ( 2 n + ) 1 (n − ) 1
Nếu n = 0;1 không thỏa mãn đề Câu
Nếu n = 2 thỏa mãn đề Câu vì p = ( 2 2 + ) 1 (2 − ) 1 = 5
Nếu n  3không thỏa mãn đề Câu vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n −1 1 và 2
n +1  n −1  1 Vậy n = 2 thì 3 2
p = n − n + n −1là số nguyên tố.
Câu 18: Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: 4 a + = ( 2 a − a + ) ( 2 4 2 2 . a + 2a + 2) Trang 5 Vì 2 2
a   a − 2a + 2 ; a + 2a + 2
Có: a + a + = (a + )2 2 2 2 1 +1  1 a
 và a − a + = (a − )2 2 2 2 1 +1  1( a  ) 2  + + =  = Vậy a 2a 2 1 a 1( ) tm 4
a + 4 là số nguyên tố thì    2
a − 2a + 2 =1 a = 1 − ( ) tm
Câu 19: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 3
n − n chia hết cho 24 Lời giải Ta có: 3
n − n = n(n − ) 1 (n + ) 1 Vì n −1; ;
n n +1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó ( 3 n − n) 8 (2)
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với ( ) 1 ;(2) suy ra
( 3n −n) 24 (dpcm) Câu 20: Cho 4
A = p trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các
ước dương của . A . là số chính phương. Lời giải
Các ước dương của A là 2 3 4
1; p; p ; p ; p Tổng các ước là 2 3 4 2
1+ p + p + p + p = n (n ) 2 3 4 2
 4 + 4 p + 4 p + 4 p + 4 p = 4n Ta có: 4 3 2 2 4 2 3 2
4 p + 4 p + p  4n  4 p + p + 4 + 4 p + 8 p + 4 p
 (2p + p)2  (2n)2  (2p + p + 2)2  (2n)2 2 2 = ( 2 2 p + p + )2 1 Do đó : 4 3 2 4 3 2
4 p + 4 p + 4 p + 4 p + 4 = 4 p + 4 p + 5 p + 2 p +1  p = 1 − (ktm) 2 1
 p − 2 p − 3 = 0   p =3(tm)  2 Vậy p = 3
Câu 21: Tìm các số nguyên tố x và y sao cho 2 2 x − 2 y = 1 Lời giải Ta có: 2 2 2 2
x − 2y = 1  2y = x −1 2  ( x − ) 1 ( x + ) 1 2
Xét trường hợp : x +1 2  x +1 = 2k (k  )  x = 2k −1 Khi đó ta có 2 2
2y 4  y 2  y = 2 (do y nguyên tố) . Từ đó suy ra x = 3
Xét trường hợp x −1 2  x +1 = 2t (t  )  x = 2t +1 Khi đó ta có: 2 2
2y 4  y 2  y = 2 (do y nguyên tố) suy ra x = 3 Câu 22: Ta có: B = (n −8)2 2 4 2
+ 36 = n −16n + 64 + 36 4 2 2
= n + 20n +100 − 36n
= (n +10)2 −(6n)2 2 = ( 2 n − 6n +10)( 2 n + 6n +10) Với n  thì 2 2
0  n − 6n +10  n + 6n +10
Nên để B là số nguyên tố thì trước hết 2
n − 6n +10 = 1 Trang 6 Hay (n − )2 3 = 0  n = 3
Thử lại , với n = 3thì B = ( − )2 2 3 8 + 36 = 37
37 là số nguyên tố nên n = 3là giá tị cần tìm
Câu 23: Đặt a2+ a + 1 = x (1)
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12
= (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5)
= (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy 2
A a −1; A a + 2; A a + a + 5 Vậy A là hợp số Câu 24: Lời giải
Đặt:A = 1 + n2017 + n2018
Với n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố Với n > 1 ta có:
1 + n2017 + n2018 = (n2018 − n2) + (n2017 − n) + (n2 + n + 1)
= n2(n2016 − 1) + n(n2016 − 1) + (n2 + n + 1)
= (n2016 − 1)(n2 + n) + (n2 + n + 1)
Ta lại có: n2016 − 1 = (n3)672 − 1 = (n3 − 1)[(n3)671 + (n3)670 + ⋯ + n3 + 1] ⋮ (n3 − 1)
⇒ (n2016 − 1) ⋮ (n2 + n + 1)
Suy ra A ⋮ (n2 + n + 1) , mà 1 < n2 + n + 1 < A nên A là hợp số
Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện. Câu 25: Cho 4
P = n + 4.Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải
P = n + 4 = n + 4n + 4 − 4n = (n + 2) − (2n)2 4 4 2 2 2
= (n − 2n + 2)(n + 2n + 2) = (n − )2 1 +1.(n + )2 2 2 1 +1    
Vì n là số tự nhiên nên (n + )2
1 +1  2 . Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n − )2 1 +1 = 1hay (n − )2 1 = 0  n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
Câu 26: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: 3 2
p = n − n + n −1. Lời giải
Biến đổi được p = ( 2 n + ) 1 (n − ) 1
Nếu n = 0;1 không thỏa mãn đề bài
Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = ( 2 2 + ) 1 (2 − ) 1 = 5
Nếu n  3không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n −1 1 và 2
n +1  n −1  1 Vậy n = 2 thì 3 2
p = n − n + n −1là số nguyên tố.
Câu 27: Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: 3 2
p = n − n + n −1 Trang 7 Lời giải
1) Biến đổi được p = ( 2 n + ) 1 (n − ) 1
Nếu n = 0;1 không thỏa mãn đề bài
Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = ( 2 2 + ) 1 (2 − ) 1 = 5
Nếu n  3không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n −1 1 và 2
n +1  n −1  1 Vậy n = 2 thì 3 2
p = n − n + n −1là số nguyên tố.
Câu 28: Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố Lời giải Ta có: 4 a + = ( 2 a − a + ) ( 2 4 2 2 . a + 2a + 2) Vì 2 2
a   a − 2a + 2 ; a + 2a + 2
Có: a + a + = (a + )2 2 2 2 1 +1  1 a
 và a − a + = (a − )2 2 2 2 1 +1  1( a  ) 2 a + 2a + 2 =1 a =1( ) tm Vậy 4
a + 4 là số nguyên tố thì    2
a − 2a + 2 =1 a = 1 − ( ) tm Trang 8