PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(4 điểm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 2
x(x  2)(x  2x  2) 1
b) Rút gọn biểu thức: A = 3 5 7 2n 1    ... 2 2 2 ) 2 . 1 ( ( . 2 ) 3 . 3 ( ) 4 n(n  )12 Câu 2.(4 điểm) a) Cho 1 1 1    yz xz xy 0. Tính A    x y z 2 2 2 x y z
b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2 x  y  z – x y – 3 y – 2 z  4  0. Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. b) Cho a ,a ,..., a
là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. 1 2 2016 Chứng minh rằng: 3 3 3 A  a  a  ...  a chia hết cho 3. 1 2 2016 Câu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE  BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M
di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. (2 điểm)
Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 2 2 2 2
(a  b  c)  a  b  c 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức: P= a b c   a2  b 2 c b2  2ac c2  2ab
----------------------------------------------------------------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HUYỆN SƠN DƯƠNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Điểm a 2
x(x  2)(x  2x  2) 1 2 2
 (x  2x)(x  2x  2) 1 0.5 2đ 2 2 2 Câu 1
 (x  2x)  2(x  2x) 1 0.5 (4 = 2 2 (x  2x 1) 0.5 điểm) 0.5 4  (x 1) b 2 2 1 Ta có : 2n 1 (n  ) 1  n 1 1    2đ n(n  )12 2 2 2 2 n (n  ) 1 n (n  ) 1 => B = …=1- 1 n(n  2)  2 2 (n  ) 1 (n  ) 1 1
Ta cã a  b  c  0 th× a
a3  b3  c3  a  b3  a
3 ba  b  c3  c3  a 3 b c  c3  a 3 bc 0.5 2đ
(v× a  b  c  0 nªn a  b  c) 0.5 Theo gi¶ thiÕt 1 1 1    1 1 1 3 0.     . Câu 2 x y z 3 3 3 x y z xyz ( 4 yz xz xy xyz xyz xyz 0.5       điểm ) A 2 2 2 3 3 3 x y z x y z  1 1 1  3  xyz    xyz.  3  3 3 3  0.5  x y z  xyz b
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 2đ 2 y 3 <=> (x2 – xy +
) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 0 4 4 1 y 3 0,5
<=> (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0 2 4 0.5
Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì a
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. 2đ
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 0.5 Câu 3
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 (4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) thì 0.5 điểm)
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 0.5
V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2 + 5xy + 5y2  Z 0.5
Vậy A là số chính phương. b Dễ thấy 3
a  a  a(a 1)(a 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 2đ chia hết cho 3 0.5 Xét hiệu 3 3 3 A  (a  a  ...  a )  (a  a  ...  a )  (a  a  ...  a ) 1 2 2016 1 2 2016 1 2 2016 0.5 3 3 3
 (a  a )  (a  a )  ...  (a  a ) chia hết cho 3 1 1 2 2 2016 2016 Mà a , a ,...a
là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. 1 2 2013 0.5 Do vậy A chia hết cho 3. 0.5 D C I H O F E 0,5 A K M B Câu 4 a
∆AME = ∆CMB (c-g-c)  EAM = BCM 1 (6 2đ
Mà BCM + MBC = 900  EAM + MBC = 900 0,5 điểm )  AHB = 900 0,5 Vậy AE  BC b
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 2đ
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 0,5 1 1  HO  AC  DM 2 2 0,5  ∆DHM vuông tại H  DHM = 900 0,5
Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900
Suy ra: DHM + MHF = 1800 0,5
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng. c
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: DMF = 900  MF  DM mà IO  DM  IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 0,5 1,5đ Kẻ IK  AB (KAB)
 IK là đường trung bình của hình thang ABFD 0,5 AD  BF AM  BM AB  IK    (không đổi) 2 2 2
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định. 0,5
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB Câu 5 (a+b+c)2= 2 2 2
a  b  c  ab  ac  bc  0 0,5 ( 2 2 2 2 a a a   điểm ) 2 a  2 2 bc a  ab  ac  bc (a  b)(a  c) 0,5 2 2 Tương tự: b b  2 b  2ac (b  a)(b  c) 0,5 2 2 c c  2 c  2ac (c  a)c  b) 2 2 2 a b c P    2 2 2 a  2bc b  2ac c  2ab 2 2 2 a b c   
(a  b)(a  c) (a  b)(b  c) (a  c)(b  c) (a  b)(a  c)(b  c)   1 (a  b)(a  c)(b  c) 0,5
Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.