Đề cương môn Toán cao cấp - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHƯƠNG TRÌNH PFIEV CHUYỂN GIAI ĐOẠN 2024
Trường ĐHBK, ĐH Đà Nẵng MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Chú ý: Đề thi có 02 trang. Sinh viên không sử dụng tài liệu.
Câu 1 (3,5 điểm). Trong không gian véc tơ R3, cho cơ sở chính tắc E =
{e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1)} và tự đồng cấu f định bởi:
f (x1, x2, x3) = (2x1 − 2x3, −x2 − 2x3, −2x1 − 2x2 − 2x3).
1) Xác định f (e1), f (e2), f (e3) và ma trận của f trong cơ sở E.
2) Tìm tất cả các giá trị riêng và các véc tơ riêng tương ứng của f .
3) Xác định một cơ sở của R3 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó
là một ma trận chéo. Viết rõ ma trận chéo đó.
4) Biết rằng hạt nhân của f định bởi
Ker(f ) = {v ∈ R3 | f (v) = (0; 0; 0)}
là một không gian con của R3. Tìm một cơ sở và tính chiều của Ker(f ).
5) Biết rằng ảnh của f định bởi
Im(f ) = {f (v) | v ∈ R3}
là một không gian con của R3. Tìm một cơ sở và tính chiều của Im(f ).
Câu 2 (2 điểm). Cho các hàm 2 biến thực P, Q : R2 −→ R, định bởi
P (x, y) = x3 − 3x2 − y2 + 2y + 1; Q(x, y) = xy và 2 điểm A(−5; −3), B(0; 2) trong R2.
1) Xác định các điểm dừng của hàm P trong R2.
2) Phân loại điểm dừng của hàm số P . Hàm số P có đạt giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất tại các điểm cực trị địa phương của nó không ? Vì sao ? ∫
3) Tính tích phân đường
(P dx + Q dy) trên đoạn thẳng từ A AB đến B. ∫
4) Dùng Định lý Green tính tích phân đường (P dx + Q dy) C∪BA
với C là phần parabol định bởi C : x = 4 − y2 nối từ A đến B. ∫ Suy ra tích phân đường (P dx + Q dy). C Câu 3 (2 điểm). 1) Cho chuỗi số ∞ Σ n (−3) . n! n=1
(i) Chỉ ra rằng chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Tính tổng của chuỗi.
2) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (biến x, hàm chưa
biết y lấy giá trị thực)
y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x. (∗)
(i) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (∗).
(ii) Tìm một nghiệm riêng và suy ra nghiệm tổng quát của (∗).
Câu 4 (2,5 điểm). Tỷ lệ mắc một loại bệnh cúm trong thành phố là 5%.
Một bộ kit test dùng để tầm soát bệnh cúm này. Biết rằng một người
bị bệnh thì kit test sẽ cho kết quả dương tính (chẩn đoán có bệnh)
với độ chính xác là 78%, một người không bị bệnh thì kit test cho
kết quả dương tính với tỷ lệ nhầm lẫn là 6%.
1) Một người dân của thành phố được chọn ngẫu nhiên. Tính xác
suất người đó nhận được kết quả dương tính bởi bộ kit test này.
2) Nếu một người dân của thành phố được chọn ngẫu nhiên và có
kết quả chẩn đoán dương tính bởi bộ kit test này thì xác suất
người đó bị bệnh cúm là bao nhiêu. HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHƯƠNG TRÌNH PFIEV CHUYỂN GIAI ĐOẠN 2024
Trường ĐHBK, ĐH Đà Nẵng MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (3,5 điểm). Trong không gian véc tơ R3 cho tự đồng cấu f định bởi:
f (x1, x2, x3) = (2x1 − 2x3, −x2 − 2x3, −2x1 − 2x2 − 2x3).
1) (0,5) Ma trận cần tìm chính mà ma trận xác định của f là 2 0 −2 A = 0 −1 −2 . −2 −2 −2
2) (0,5) Đa thức đặc trưng P (t) = t(t + 4)(t − 3) nên f có 3 GTR là −4, 3, 0.
(1,0) Chọn một VTR ứng với GTR −4 là v1 = (1; 2; 3); VTR
ứng với GTR 3 là v2 = (−4; −1; 2); VTR ứng với GTR 0 là v3 = (1; −2; 1)
3) (0.5) Chọn cơ sở của R3 gồm các VTR, ví dụ {v }
1, v2, v3 ở trên.
Khi đó ma trận của f trong cơ sở đó là một ma trận chéo D =
diag(−4, 3, 0).
4) (0,5) Do Ker(f ) chính là không gian riêng E0 ứng với GTR 0.
Từ kết quả trên ta biết rằng E0 có cơ sở chứa VTR là v3. Do đó dim E0 = 1.
5) (0,5) Ta có Im(f ) sinh ra bởi các véc tơ cột của A và có chiều
bằng 2. Do đó một cơ sở có thể chọn là {(2; 0; −2), (0; −1; −2)}.
Câu 2 (2 điểm). P (x, y) = x3 − 3x2 − y2 + 2y + 1; Q(x, y) = xy và 2 điểm
A(−5; −3), B(0; 2) trong R2
1) (0,5) Ta có Px ′ = 3x2 − 6x; y
P ′ = −2y + 2; Cho x
P ′ = Py ′ = 0, giải
ra 2 điểm dừng là C(0; 1), D(2; 1).
2) (0,5) Tính các giá trị ∆ = P ′′ P ′′ − (P ′′ )2 = −2(6x − 6). Ta xx yy xy có xx
P ′′ (C) = −6 < 0; ∆(C) = 12 > 0 nên C là điểm cực đại
địa phương; ∆(D) = −12 < 0 nên D là điểm yên ngựa. Dễ thấy
P (0; 1) = 2 < P (4; 0) nên hàm số không đạt GTLN tại điểm cực đại địa phương. 3) (0,5)
• Dùng tham số hóa x = 5t−5, y = 5t−3, 0 ≤ ∫ t ≤ 1 hay tính trực
tiếp bởi tham số x = y−2, −3 ≤ y ≤ 2, có I = (P dx+Q dy) = AB −1105/4. 4) (0,5) ∫ ∫∫ • Ta có J = (P dx + Q dy) = ( ∂Q − ∂P
)dA, với D là C∪BA D ∂x ∂y
miền định bởi C ∪ BA. Tính toán trực tiếp ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∂Q ∂P 2 4−y2 ( — )dA = (3y − 2)dA =
(3y − 2)dxdy = −875/12. D ∂x ∂y D −3 y−2 ∫ Suy ra
(P dx + Q dy) = J + I = −2095/6. C Câu 3 (2 điểm) 1) Cho chuỗi số ∞ Σ n (−3) . n! n=1
(i) (0,5) Dùng tiêu chuẩn D’Alembert, ta có lim |a | n+1/an
= lim 3/(n + 1) = 0 < 1 n−→∞ n→∞
nên chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) (0,5) Do ∞ Σ n x ex = , n! n=0 Σ ∞ (−3)n suy ra n=1 n! = e−3 − 1.
2) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (biến x, hàm chưa
biết y lấy giá trị thực)
y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x. (∗)
(i) (0,5) Phương trình đặc trưng r2 − 2r − 3 = (r − 3)(r +1) = 0
nên nghiệm tổng quát của pt vi phân thuần nhất liên kết là
Yc = c1e3x + c2e−x.
(ii) (0,5) Một nghiệm riêng của pt là Y0 = −e2x. Suy ra nghiệm
tổng quát của pt (*) là Y = Yc + Y0. Câu 4 (2,5)
• (0,5) Gọi A là biến cố bị bệnh trong thành phố; B là biến cố
dương tính bởi bộ kit test khi test với 1 người dân chọn ngẫu nhiên.
Ta có P (A) = 0.05, P (B|A) = 0.78, P (B|A′) = 0.06, P (A′) = 0.95. 1) (1,0) Ta có
• P (B) = P (A ∩ B) + P (B ∩ A′) = P (B | A)P (A) + P (B|A′)P (A′)
• = 0.78 ∗ 0.05 + 0.06 ∗ 0.95 = 0.096. 2) (1,0)
• Ta có P (A|B) = P(A∩B)
P (B) = P (B|A)P (A)/P (B)
• = 0.78 ∗ 0.05/0.096 = 0.40625