11 trang 4 lượt tải

Đề cương môn Toán cao cấp - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

8

Tínhđạohàmcấphaiy"(x)củacáchàmsốchobởiphươngtrìnhthamsố. Đề cương môn Toán cao cấp - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Tài liệu gồm 11 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.

Môn: Toán cao cấp(TCC10) 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 642 tài liệu

Tác giả:

Profile

giang le

1 ngày trước
Danh sách Quiz
/11
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang12
x
u
0 0
v
0
Chương II : ĐẠO HÀM _ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
<I>. ĐẠO HÀM : (SV tự đọc)
1.1. Đạo hàm của hàm số:
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
2. Ý nghĩa của đạo hàm
a. Ý nghĩa hình học
b. Ý nghĩa cơ học
3. Đạo hàm một phía
4. Đạo hàm trong một khoảng , đoạn
5. Điều kiện để hàm số có đạo hàm: Điều kiện cần và đủ để hàm số
y = f
(
x
)
có đạo hàm
tại x
0
là nó có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại x
0
và f '
(
x
+
)
= f '
(
x
–
)
.
6. Liên hệ giữa tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số.
1.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
1. Cho u, v là các hàm theo biến x và có đạo hàm , khi đó:
a.
(
u
v
)
'
=
u '
v '.
b.
(
uv
)
' = u 'v + uv '
(
u
/
c.
=
u ' v – uv '
,
v
2
v
s
0
d. Nếu hàm y = y
(
u
)
có đạo hàm đối với u và u = u
(
x
)
có đạo hàm đối với x .Khi đó:
y '
x
= u '
x
.y '
u
e. Nếu hàm số y = f
(
x
)
có hàm ngược x = f
–1
(
y
)
có đạo hàm tại y
0
là
(
f
–1
)
'
(
y
)
s 0
và y = f
(
x
)
liên tục tại x = f
–1
(
y
)
thì tồn tại đạo hàm f '
(
x
)
với
f
'
(
x
0
)
=
0 0 0
1
(
f
–
1
)
'
(
y
)
.
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm:
Cho u
(
x
)
là hàm theo biến
x
có đạo hàm đối với
x
là
u ' . Khi đó :
1. y = c ( c là hằng số )
y ' = 0 .
2. y = x
α
(
α
ϵ
R
)
y ' = α x
α
–1
;
y
=
u
α
(
α
ϵ
R
)
y ' = αu 'u
α
–1
.
3.
y =
y ' =
1
(
x
>
0
)
;
y =
y ' =
u '
(
u
>
0
)
2 x 2
u
4. y =
1
x
5.
y
=
e
x
y ' = –
1
x
2
y '
=
e
x
(
x s 0
)
; y =
1
u
;
y
=
e
u
y ' = –
u '
u
2
y '
=
u 'e
u
(
u
s
0
)
6.
y
=
a
x
7. y = ln x
y ' = a
x
.ln a
y ' =
1
x
;
y
=
a
u
; y = ln u
y ' = u ' a
u
.ln a
y ' =
u '
u
8. y = log
a
x
y '
=
1
x ln a
(
x s 0
)
;
y = log
a
u
y '
=
u '
u ln a
(
u
s
0
)
9.
10.
y = sin x
y = cos x
y ' = cos x
y ' = – sin x
; y = sin u
; y = cos u
y ' = u 'cos x
y ' = –u 'sin x
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang13
1– x
2
1– x
2
(
)
L
sin
2
x
13.
14.
15.
16.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctan x
y = arccot x
y ' =
y ' =
y '
=
y '
=
1
;
–1
;
1
;
1
+
x
2
–1
;
1
+
x
2
y = arcsin u
y = arccos u
y = arctan u
y = arccot u
y ' =
y '
=
y '
=
y '
=
u '
–u '
1– u
2
u '
1+ u
2
–u '
1
+
u
2
Chú ý : Nếu hàm số có dạng :
y
=
L
u
(
x
)
v
(
x
)
, u
(
x
)
>
0
thì :
y '
=
u
(
x
)
v
(
x
)
.
(
v '
(
x
)
ln u
(
x
)
+
v
(
x
)
u
'
(
x
)
L
u
(
x
)
bằng cách : + Lấy ln hai vế :
ln
y
=
v
(
x
)
.ln u
(
x
)
+ Lấy đạo hàm hai vế :
1.4. Đạo hàm cấp cao:
1. Định nghĩa : (SV tự đọc)
y '
=
v '
(
x
)
ln u
(
x
)
+
v
(
x
)
u '
(
x
)
y u x
y '
Đạo hàm của đạo hàm cấp
(
n –1
)
gọi là đạo hàm cấp n , kí hiệu
f
(
n
)
(
x
)
=
f
(
n
–
1
)
(
x
)
'
f
(
n
)
(
x
)
. Ta có :
2. Công thức Leibnitz :
Cho u = u
(
x
)
, v = v
(
x
)
là các hàm số của x , có đạo hàm đến cấp n đối với x , khi đó :
(
n
)
o
(
0
)
(
n
)
1
(
1
)
(
n
–
1
)
2
(
2
)
(
n
–
2
)
n
(
n
)
(
0
)
n
k
(
k
)
(
n
–
k
)
(
u.v
)
= C
n
u
v + C
n
u
v + C
n
u
v + + C
n
u v
=
Σ
C
n
u v
k =0
<II>.VI PHÂN :
2.1. Định nghĩa vi phân:
1. Định nghĩa 1:
với
u
(
0
)
=
u,
v
(
0
)
=
v .
Cho hàm số
y = f
(
x
)
liên tục trong lân cận U
(
x
0
)
của điểm x
0
. Cho x
0
một số gia x :
x
0
+
x
ϵ
U
(
x
0
)
(
x
còn gọi là vi phân của biến độc lập x ) . Nếu số gia của hàm :
y
=
f
(
x
0
+
x
)
–
f
(
x
0
)
được biểu diễn dưới dạng :
y
=
A. x
+
α
(
x
)
(1)
Trong đó A là hằng số không phụ thuộc vào x ,
α
(
x
)
là VCB cấp cao hơn VCB
x
khi
x → 0 thì ta nói rằng hàm số
y = f
(
x
)
khả vi tại
x
0
và biểu thức
A. x
gọi là vi phân của hàm
y = f
(
x
)
tại x
0
, kí hiệu : dy
(
x
0
)
hay df
(
x
0
)
. Ta có : df
(
x
0
)
= A. x
2. Định nghĩa 2 :
Nếu hàm số y = f
(
x
)
khả vi tại mọi
x ϵ
(
a;b
)
, ta nói
y
=
f
(
x
)
khả vi trong khoảng
(
a;b
)
.
Khi đó biểu thức vi phân
ta có : dy = df =
A. x
A. x
là một hàm theo biến x trong khoảng
(
a;b
)
, kí hiệu
dy
hay
df
,
(2)
1– u
2
11.
y = tan x
y ' =
1
= 1+ tan
2
x ; y = tan u
cos
2
x
y ' =
u '
cos
2
u
=
u
'.
(
1
+
tan
2
u
)
12.
y = cot x
y '
=
–
1
=
–
(
1
+
cot
2
x
)
;
y
=
cot u
y '
=
–
u '
=
–
u '.
(
1
+
cot
2
u
)
sin
2
u
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang14
=
(
)
(
)
x
3. Ý nghĩa của vi phân :
+ Biểu thức của vi phân A. x là bậc nhất đối với
x
, nên thông thường nó đơn giản hơn
f
+ Nếu A s 0 thì vi phân df
là VCB tương đương với số gia
f
vì số hạng còn lại ở (1) là
α
(
x
)
là VCB cấp cao hơn
x
.
2.2. Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân:
Định lí : Cho hàm số f
(
x
)
xác định trong khoảng
(
a;b
)
. Điều kiện cần và đủ để
f
(
x
)
khả vi trong khoảng
(
a;b
)
là nó khả đạo trong khoảng
(
a;b
)
. Khi đó : dy = f '
(
x
)
. x
Đặc biệt: nếu y = x dy = dx = x .Do đó, công thức dùng để tính vi phân của hàm số:
dy = f '
(
x
)
.dx
2.3. Đạo hàm cho bởi phương trình tham số:
Giả sử hàm số
x
=
x
(
t
)
y
f x cho dưới dạng tham số :
y
=
y
t
với
x
(
t
)
là hàm đơn điệu theo
t
và có
x '
(
t
)
s
0
thì ta có :
y '
x
=
y '
t
x '
t
và :
y "
2
=
(
y '
x
)
'
x
=
(
y '
x
)
'
t
x '
=
y "
t
2
.x '
t
– y '
t
.x "
t
2
(
x '
)
3
t
t
2.4. Ứng dụng của vi phân:
Giả sử hàm số y = f
(
x
)
khả vi tại x
0
, khi đó ta có : dy = f '
(
x
0
)
. x
và số gia của hàm y = f
(
x
0
+ x
)
– f
(
x
0
)
Khi
x
khá bé thì
y dy
Nên :
f
(
x
0
+
x
)
–
f
(
x
0
)
f
'
(
x
0
)
. x
f
(
x
0
+
x
)
f
(
x
0
)
+
f
'
(
x
0
)
. x
(
*
)
(
*
)
là công thức dùng để tính gần đúng một biểu thức .
2.5. Vi phân cấp cao:
Giả sử hàm số y = f
(
x
)
khả vi trên khoảng
(
a;b
)
. Vi phân dy = f '
(
x
)
.dx gọi là vi phân cấp
một của hàm số y = f
(
x
)
tại
x ϵ
(
a;b
)
. dy = f '
(
x
)
.dx là hàm theo biến x , trong đó dx
không đổi .
Nếu hàm số
dy
khả vi trên khoảng
(
a;b
)
thì vi phân của vi phân cấp một
dy
được gọi là vi
phân cấp hai của y = f
(
x
)
tại x , kí hiệu : d
2
f hay d
2
y . Ta có :
d
2
y = f "
(
x
)(
dx
)
2
.............................
d
n
y
=
f
(
n
)
(
x
)(
dx
)
n
- - - - - - - - - - - - -
<III>. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI :
3.1. Các định lí về giá trị trung bình:
1. Định lí Fermat : Giả sử hàm f
(
x
)
xác định trong khoảng
(
a;b
)
. Nếu
f
(
x
)
đạt cực trị
tại điểm c ϵ
(
a;b
)
và nếu tồn tại đạo hàm hữu hạn
f '
(
c
)
thì đạo hàm tại đó phải bằng 0 .
2. Định lí Roll: Nếu f
(
x
)
liên tục trên a;b
khả vi trong khoảng
(
a;b
)
và f
(
a
)
= f
(
b
)
thì Ec ϵ
(
a;b
)
: f '
(
c
)
=0.
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang15
(
)
=
; ;
(
)
(
)
lim = A
3. Định lí Lagrange _ Công thức về số gia giới nội:
a. Định lí Lagrange : Nếu f
(
x
)
liên tục trên a;b
, khả vi trong khoảng
(
a;b
)
f
(
b
)
– f
(
a
)
thì tồn tại điểm c ϵ
(
a;b
)
sao cho :
b. Ý nghĩa hình học :
f
'
(
c
)
=
b – a
Giả sử đường biểu diễn hàm
khoảng
(
a;b
)
là cung
AB
f
(
b
)
– f
(
a
)
f
(
x
)
trong
Tỉ số :
b – a
là hệ số góc của
tiếp tuyến tại M
(
c; f
(
c
))
.
Định lí Lagrange khẳng định rằng :
Cung AB có ít nhất một điểm mà tại
điểm đó tiếp tuyến với cung AB song
song dây cung AB .
c. Công thức về số gia giới nội:
Từ công thức :
f
(
b
)
– f
(
a
)
f ' c
b – a
(*)
Đặt
a
=
x
0
,
b
=
x
0
+
x
b
–
a
=
x
, Ec nằm giữa hai điểm
x
0
;
x
0
+
x
nên c có thể
viết :
c
=
x
0
+
θ
. x
; trong đó :
0
θ
1
Công thức (*) được viết :
f '
(
x
0
+
θ
. x
)
=
f
(
x
0
+
x
)
–
f
(
x
0
)
x
Hay :
f
(
x
0
+
x
)
–
f
(
x
0
)
=
x. f
'
(
x
0
+
θ
. x
)
(3)
(3) được gọi là công thức số gia hữu hạn
Nếu cho θ một giá trị nào đó thoả mãn 0
θ
1 . Chẳng hạn :
gần đúng được biểu thức cần tính.
θ =
1 1
thì ta tính
2
3
4. Định lí Cauchy : Giả sử
f
(
x
)
,
g
(
x
)
là hai
hàm
số
liên
tục
trên
a;b
,
khả
vi
trong
khoảng
(
a;b
)
. Khi đó trong khoảng
(
a;b
)
có ít nhất một điểm c tại đó :
L
f
(
b
)
–
f
(
a
)
g
'
(
c
)
=
L
g
(
b
)
–
g
(
a
)
f
'
(
c
)
Nếu thêm điều kiện
g '
(
x
)
s 0 với mọi x ϵ
(
a;b
)
thì công thức trên có thể viết :
f
(
b
)
–
f
(
a
)
=
f
'
(
c
)
5. Qui tắc L'Hospital:
a. Định lí 1: Giả sử hàm
g
(
b
)
–
g
(
a
)
g '
(
c
)
f
(
x
)
, g
(
x
)
khả vi ở lân cận điểm
x
0
,
f
(
x
0
)
=
g
(
x
0
)
=
0
và g '
(
x
)
s 0 ở lân cận điểm
f '
(
x
)
x
0
,
x
s
x
0
.
f
(
x
)
Nếu có :
lim = A
x→ x
0
g ' x
thì cũng tồn tại
lim = A
x→ x
0
g
x
b. Định lí 2: Giả sử hàm
f
(
x
)
, g
(
x
)
khả vi ở lân cận điểm
x
0
, trừ tại điểm
x
0
,
lim
f
(
x
)
=
;
lim
g
(
x
)
=
và
g '
(
x
)
s 0 ở lân cận điểm
x
0
.
x→ x
0
Nếu có :
x→x
0
f '
(
x
)
x→ x
0
g '
(
x
)
thì cũng tồn tại
lim
f
(
x
)
= A .
x→ x
0
g
(
x
)
y
B
A
O
a
c
b
x
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang16
(
)
0
0
0
n
k
Chú ý :
+ Nếu A = hoặc x → định lí trên vẫn đúng .
+ Khi áp dụng qui tắc L'Hospital , nếu tỉ số
f
'
(
x
)
g
'
(
x
)
lại có dạng
0
0
hoặc
thì ta có thể áp dụng
qui tắc L'Hospital lần nữa , còn nếu
E lim
f '
(
x
)
x
→
x
0
g '
(
x
)
thì chưa kết luận được
f
(
x
)
lim .
x→ x
0
g
x
3.2. Công thức Taylor và công thức Maclaurin:
Định lí : Nếu hàm f
(
x
)
xác định trên a;b
có đạo hàm hữu hạn đến cấp
(
n
+
1
)
trong
khoảng
(
a; b
)
, x
0
ϵ
(
a;b
)
. Khi đó : 6x ϵ a;b , Ec ở giữa hai điểm x
0
và x sao cho hàm
f
(
x
)
được khai triển dưới dạng :
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
'
(
x
0
)
1!
(
x
–
x
0
)
+
f
"
(
x
0
)
2!
(
x
–
x
0
)
+ +
f
(
n
)
(
x
)
n!
(
x
–
x
0
)
+
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
(
x
–
x
0
)
n+1
=
f
(
x
0
)
+
Σ
k
=
1
f
(
k
)
(
x
)
k !
(
x
–
x
0
)
+
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
(
x – x
)
n+1
(
1
)
(1) gọi là công thức Taylor của hàm
f
(
x
)
tại
x
0
.
Nếu x
0
= 0 ϵ
(
a;b
)
. Công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin:
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
Σ
k =1
f
(
k
)
(
0
)
k !
x
k
+
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
x
n
+
1
(
2
)
Với c nằm giữa 0 và x .
R
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x – x
0
)
n+1
gọi là phần dư bậc n của f
(
x
)
trong công thức Taylor và
R
n
(
x
)
=
(
n +1
)
!
x
n
+1
gọi là phần dư bậc n của f
(
x
)
trong công thức Maclaurin.
Ví dụ :Viết công thức Taylor của đa thức
P
(
x
)
= x
5
– 4x
3
+ 2x
2
+ 6x – 24 tại điểm
x
0
= –1
(hay còn nói : khai triển đa thức P
(
x
)
theo các luỹ thừa của
(
x +1
)
. Tính gần
đúng giá trị P
(
–0, 9
)
.
3.3. Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp cơ bản:
1.
y
=
e
x
2. y = sin x
3. y = cos x
4.
y =
(
1+ x
)
α
y =
1
(
α = –1
)
; y =
(
α
=
1
1
+
x
2
5. y =
(
1– x
)
α
y =
1
(
α
= –
1
)
;
y
=
(
α
=
1
1– x
2
6. y = ln
(
1+ x
)
; y = ln
(
1– x
)
Ví dụ 1: Viết khai triển Maclaurin đến số hạng thứ 10 của hàm số y =
(
1– x
2
)
e
x
.
Ví dụ 2: Viết khai triển Maclaurin của y = sin
2
x .
n
n
x
1– x
2
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang17
+
=
L
(
)
(
)
<IV>. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4.1. Khảo sát hàm số y = f
(
x
)
:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =
4.2. Khảo sát hàm cho bởi phương trình tham số:
x
=
x
(
t
)
1. Định nghĩa : Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm M x, y
với
y
=
y
t
(
t
ϵ
R
)
, trong đó
x
(
t
)
, y
(
t
)
đều là những hàm đơn trị . Khi
t
biến thiên M di chuyển vạch nên đường cong
(
C
)
, khi đó hệ phương trình trên gọi là những phương trình tham số của đường cong
(
C
)
.
2. Ví dụ :
a. Đường thẳng
(
d
)
đi qua điểm M
0
(
x
0
; y
0
)
, vectơ chỉ phương u =
(
a;b
)
có
phương trình :
x
=
x
0
+
t.cos
α
(
t
ϵ
)
y
=
y
+
t.sin
α
0
b. Đường tròn tâm I
(
a;b
)
và bán kính R có phương trình là :
x
=
a
+
R.cos t
y
=
b
+
R sin t
(
0
t
2
π
)
với t là góc hợp bởi vectơ IM
và trục Ox
c. Phương trình tham số của đường Elip :
x
a
2
y
2
b
2
1
là :
x
=
a.cos t
y
=
b.sin t
(
0
t
2π
)
với
t
là góc hợp bởi vectơ
OM
và trục
Ox
x
=
x
(
t
)
3. Khảo sát đường cong cho bởi phương trình tham số :
(
t
ϵ
)
y
=
y
(
t
)
B1: Tìm miền xác định suy ra miền biến thiên bởi các tính chất chẵn , lẻ , tuần hoàn cho cả hai
hàm số x
(
t
)
, y
(
t
)
.
B2 : Tính các đạo hàm y '
x
; y "
x
2
B3. Tìm tiệm cận : Khi t → t
0
hoặc
t → mà :
x
(
t
)
→
a
•
y
(
t
)
→
x
(
t
)
→
•
y
(
t
)
→
b
x
(
t
)
→
thì
x = a là tiệm cận đứng.
thì y = b là tiệm cận ngang.
y
(
t
)
→
a
•
y
(
t
)
→
đồng thời
x
(
t
)
y
(
t
)
–
a.x
(
t
)
→
b
thì y = ax + b
là tiệm cận xiên.
B4: Lập bảng biến thiên:
x
3
x –1
2
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang18
M
B5: vẽ đồ thị .
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi phương trình tham số
x
=
R
(
t
–
sin t
)
y
=
R
(
1
–
cos t
)
(
R
>
0
)
.
Đường
cong
này được gọi
là
đường
cyclôit
Đó là quĩ đạo của một điểm M nằm trên đường tròn bán kính R lăn không trượt trên trục Ox ,
xuất phát từ gốc O .
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi phương trình tham số :
x
=
a cos
3
t
y
=
b sin
3
t
(
a, b > 0
)
. Đường cong này gọi là đường Astrôit
at
2
x
=
1
+
t
2
Ví dụ 3: Đường cyxôit có phương trình tham số :
y
=
at
3
1
+
t
2
, t ϵ
x
=
3t
Ví dụ 4: Lá Descartes x
3
+ y
3
– 3xy = 0 có phương trình tham số :
y
=
1
+
t
3
3t
2
1
+
t
3
, t ϵ .
4.3. Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực:
1. Hệ toạ độ cực :
Trong mặt phẳng toạ độ, cho nửa trục Ox và điểm M
.
Gọi r = OM
,φ
=
.
Ox;OM
là một góc định hướng
O
x
lấy giá trị dương khi OM
quay theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ .
Điểm M hoàn toàn được xác định bởi cặp số
(
r,φ
)
, ngược lại khi cho cặp số
(
r,φ
)
thì ta xác
định được điểm
M
. Do đó cặp số
(
r,φ
)
gọi là toạ độ cực của điểm
M
và hệ toạ độ đó gọi là hệ
toạ độ cực . Trong đó :
+
O gọi là gốc cực . +
Ox gọi là trục cực
.
+
OM gọi là vectơ bán kính của M
+
φ
=
(
Ox;OM
)
gọi
là
góc cực .
Chú ý : Theo định nghĩa trên thì r
0, 0
φ
2π . Ta có thể mở rộng sao cho r và
φ
đều có
thể lấy các giá trị trong khoảng
(
– ;
)
. Khi đó cặp số
(
r,φ
)
của M gọi là toạ độ cực mở rộng
của
M .
t
(
)
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang19
y
M
O
r
y
M
O
y
=
r.sin
φ
2. Công thức liên hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Descartes:
Trong mặt phẳng cho điểm M . Đối với hệ toạ độ cực M
có toạ độ
(
r,φ
)
, đối với hệ toạ độ Descartes M có toạ độ
(
x, y
)
. Khi đó :
+ Nếu cho
(
r,φ
)
thì
:
x
=
r.cos
φ
+ Nếu cho
(
x, y
)
thì :
r
=
tan
φ
=
y
(chọn φ sao cho y và sin φ cùng dấu)
3. Phương trình của đường trong hệ toạ độ cực :
Cho hàm số r = f
(
φ
)
, đồ thị hàm số này trong hệ toạ độ cực được gọi là đường cong trong hệ
toạ độ cực và phương trình r = f
(
φ
)
được gọi là phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực .
Các ví dụ :
+ Đường tròn tâm O , bán kính R : x
2
+ y
2
= R
2
có phương trình trong hệ toạ độ cực : r = R .
+ Đường tròn tâm I
(
R; 0
)
, bán kính
R
:
x
2
+ y
2
= 2Rx
có phương trình trong hệ toạ độ cực :
r = 2R cosφ
π
π
,
–
φ
2 2
+ Đường tròn tâm I
(
0; R
)
, bán kính
R
:
x
2
+ y
2
= 2Ry
có phương trình trong hệ toạ độ cực
r
=
2R sin
φ
,
0
φ
π
r = R
r
=
2R cos
φ
,
–
π
φ
π
2 2
r
=
2R sin
φ
, 0
φ
π
4. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực:
r = f
(
φ
)
B1: Tìm miền xác định của
r = f
(
φ
)
.Xét tính chẵn,lẻ và tuần hoàn(nếu có). Suy ra khoảng
cần khảo sát.
B2: Tính r ' = f '
(
φ
)
. Xét dấu r ' = f '
(
φ
)
B3: Lập bảng biến thiên , xét sự biến thiên của r = f
(
φ
)
theo
φ
.
Để vẽ đồ thị được chính xác hơn , ta thường xác định
tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm M của nó .
Gọi V là góc dương giữa vectơ OM và vectơ chỉ phương
của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M ; gọi α là góc dương
giữa trục cực và tiếp tuyến , ta có : V = α – φ .
Do đó :
tan V =
tan α – tan φ
1+ tan α. tan φ
dy
r
'sin
φ
+
r
cos
φ
dr
Mặt khác :
tan α = =
dx
r ' cos
φ
–
r sin
φ
, trong đó : r ' =
d
φ
x
2
+ y
2
y
M
(
x; y
)
r
O
y
M
r
O
x
y
V
M
O
φ
α
x
x
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang20
cos 2φ
Suy ra : tanV =
r
r '
Bảng biến thiên:
Đồ thị
a. Ví dụ 1:Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình : r = a sin 3φ
(
a
>
0
)
.
b. Ví dụ 2: Đường hoa hồng bốn cánh có phương trình :
r
=
a sin
2
φ
(
a
>
0
)
.
c. Ví dụ 3: Đường Lemniscate de Bernoulli :
x
2
+ y
2
= a
2
(
x
2
– y
2
)
(
a > 0
)
có phương trình
trong hệ toạ độ cực là r = a .
d. Ví dụ 4 : Đường hình trái tim Carđiôit có phương trình:
r
=
a
(
1
+
cos
φ
)
(
a
>
0
)
.
r '
r
V
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang21
BÀI TẬP :
Bài 1: Tính các đạo hàm sau:
1. a.
y = arctan
1– x
1
+
x
b. y = ln
1– sin x
1+ sin x
c. y =
2. a.
y = x
c
os2
x
, với x > 0 b. y =
(
sin x
)
tan x
, với
sin x > 0
c.
y = x
e
x
.ln(sin x)
, với
x > 0
3. a. e
y
+ xy = e b.
y = tan(x – y) c. e
x
+ x
2
+ y
3
= 2 tại điểm
(
0;1
)
.
Bài 2: Tính các đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1. a.
2. a.
3. a.
y = e
ax
y =
(
x – a
)
α
y =
b.
;
α
ϵ
R
b.
b.
y = sin
(
ax + b
)
y =
(
1– x
2
)
e
x
x
2
y =
x
2
–1
c. y
c. y
c. y
=
cos
(
ax
+
b
)
= x.sin
2
x
=
2x
x
2
+
3x
+
2
Bài 3: Tính đạo hàm cấp hai y "
(
x
)
của các hàm số cho bởi phương trình tham số:
at
2
x
=
R(t
–
sin t)
x
=
Rcos
3
t
x
=
1
+
t
2
a.
y
=
R(1
–
cos t)
;
R
>
0
b.
y
=
R sin
3
t
;
R
>
0
c.
y
=
at
3
1
+
t
2
Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau:
at
2
x
=
3t
x
=
1
+
t
2
1
+
t
3
a.
y
=
at
3
1
+
t
2
b.
y
=
3t
2
1
+
t
3
Bài 5: Cho P(x) = x
5
+ 3x
4
– 2x
3
– 5x
2
+ 4 .
Viết công thức khai triển Taylor của P
(
x
)
tại điểm
x = 1
và tính gần đúng P
(
1, 01
)
.
Bài 6: chứng minh rằng phương trình: x
5
+ x
4
+ x
2
+10x – 5 = 0 chỉ có một nghiệm dương và
nghiệm dương và nghiệm này nằm trong khoảng
(
0;
1
.
2
Bài 7: Khai triển Maclaurin của các hàm số sau:
1. a.
2. a.
y
=
f
(
x
)
=
y = e
2 x– x
2
x
(với n = 3 ) b.
(với n = 5 ) b.
y = f
(
x
)
= ln
(
cos x
)
y = ln
(
sin x
(với n = 3 )
(với n = 6 )
x
3. a.
y = sin
2
x
b. y
= (1– x
2
).e
x
Bài 8 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4x x
2
– 2x + 2
2
2
1. a.
y =
x
2
+ 4
b. y =
x –1
c.
y = x +
x
2. a.
3. a.
y =
y
=
ln
(
x
2
+
1
)
b. y
=
b. y =
e
2 x
–
x
2
c. y
=
x.e
x
3
x
3
– 3x
3
x
3
x
3
– 3x
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
GVC.Phan Thị Quản
Trang22
+
2
1
x
→
π
2
→
(
)
2
Bài 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
t
2
9.1.
x
=
a cos t
; a > 0
9.2.
x
=
2t
–
t
2
9.3.
x
=
t
–
1
y
=
a sin t
Bài 10: Chứng minh rằng:
y
=
3t
–
t
3
y
=
t
t
2
–1
1. a.
e
x
1+
x ,
6
x
ϵ
R
x
2
b. 1+ rx
x
(
1
+
x
)
r
,
(
r
>
1, x
> –
1
)
2. a.
2
ln
(
1
+
x
)
x
–
2
x
2
+1
, 6x
0
b. < arctan x
x
2
+1
, 6x > 0
3.
2 ,
6
x
ϵ
R
3
x
2
+
x
+
1
4.
1
,
6a,b
ϵ
R : 0 < b < a < 1
5.
arcsin a – arcsin b
1 ,
a
2
– b
2
6a, b
ϵ
R : 0 < b < a < 1
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
(
1 1
(
x
2
–1
(
1
1. a.
lim
2
–
2
b.
lim
c.
lim
cot x
–
x
→
0
sin
x x
x
→
1
ln x
x
→
0
x
(
e
x
2
– cos 2x
ln
(
1
–
x
2
)
2. a.
lim
x.sin x
b.
lim
sin
2
x
c. lim
arcsin 3x
3. a.
x
→
0
1
lim
(
tan
π x
x
x→1
b.
lim
(
1
tan x
x→0
c. lim
(
2 –
tan
π
x
x
2a
x
2x
+
1
x→0
x
x
→
a
a
x
4. a.
lim
x
→
(
π
–
(
tan
x
)
2 x – π
b.
lim
(
sin
x
)
x
–
(
π
2
)
x→
π
2
c. lim
(
sin
x
x
–
π
5. a.
lim
(
1
–
x
)
tan
π
x
x
1
2
b. lim e
x→0
1
– x
– 2x
sin x
c. lim
(
π
–
x
→
(
sin
2x
)
cos x
6. a.
lim x
x
x→0
+
b.
x
2
.sin
1
lim
x→1
ln x – x +1
(
x
–
1
)
2
c.
lim
x→0
e
x
–1– x
x
2
Bài 12: Chứng minh rằng:
lim
x
= 0 và
lim
x – sin x
= 1 . Có thể dùng qui tắc
x→0
sin x
x
x
+
cos
x
L'Hospital để tính chúng được không? Vì sao?
arccos a – arccos b
a
2
– b
2
3
1– x
2
–1

Tài liệu khác của Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Preview text:

Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương II :
ĐẠO HÀM _ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
. ĐẠO HÀM : (SV tự đọc)
1.1. Đạo hàm của hàm số:
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
2. Ý nghĩa của đạo hàm
a. Ý nghĩa hình học
b. Ý nghĩa cơ học
3. Đạo hàm một phía
4. Đạo hàm trong một khoảng , đoạn
5. Điều kiện để hàm số có đạo hàm: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f ( x) có đạo hàm
tại x là nó có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại x và f '( x + ) = f '( x – ) . 0 0 0 0
6. Liên hệ giữa tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số.
1.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
1. Cho u, v là các hàm theo biến x và có đạo hàm , khi đó:
a. (u v) ' = u ' v '.
b. (uv)' = u 'v + uv ' ( / u
u ' v – uv ' c. , v s 0 v = v2
d. Nếu hàm y = y (u ) có đạo hàm đối với u và u = u ( x) có đạo hàm đối với x .Khi đó:
y ' = u ' .y ' x x u
e. Nếu hàm số y = f ( x) có hàm ngược x = f –1 ( y) có đạo hàm tại y0 là ( f –1 )'( y ) s 0 0
và y = f ( x) liên tục tại x = f –1 ( y ) thì tồn tại đạo hàm f '( x ) với 0 0 0 1
f '( x0 ) = ( f –1 )'( y ) . 0
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm:
Cho u ( x) là hàm theo biến x có đạo hàm đối với x là u ' . Khi đó :
1. y = c ( c là hằng số ) y ' = 0 . 2.
y = xα (α ϵ R)
y ' = α xα –1 ;
y = uα (α ϵ R)
y ' = αu 'uα –1 . 3. y = x y ' = 1
( x > 0) ; y = u y ' = u ' (u > 0) 2 x 2 u 4. y = 1 y ' = – 1 ( x s 0) ; y = 1
y ' = – u ' (u s 0) x x2 u u2 5. y = ex y ' = ex ; y = eu
y ' = u 'eu 6. y = ax
y ' = ax.ln a ; y = au
y ' = u ' au .ln a 7. y = ln x y ' = 1 ; y = ln u y ' = u ' x u 8.
y = log x y ' = 1 ( ( x s 0) ; y = log u y ' = u ' u s 0) a a x ln a u ln a 9. y = sin x y ' = cos x ; y = sin u
y ' = u 'cos x
10. y = cos x
y ' = – sin x ; y = cos u
y ' = –u 'sin x GVC.Phan Thị Quản Trang12
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
11. y = tan x
y ' = 1 = 1+ tan2 x ; y = tan u y ' = u ' =
u '.(1+ tan2 u ) cos2 x cos2 u u '
12. y = cot x
y ' = – 1 = –(1+ cot2 x) ; y = cot u y ' = –
= –u '.(1+ cot2 u ) sin2 x sin2 u 1 u ' 13. y = arcsin x y ' = ; y = arcsin u y ' = 1– x2 1– u2 – 1 –u '
14. y = arccos x y ' = ; y = arccos u y ' = 1– x2 1– u2 1 u '
15. y = arctan x y ' = ; y = arctan u y ' = 1+ x2 1+ u2 – 1 –u '
16. y = arccot x y ' = ; y = arccot u y ' = 1+ x2 1+ u2 Chú ý :
Nếu hàm số có dạng : y = Lu ( x) v( x) , u ( x) > 0 ( thì :
y ' = u ( x) v( x) . v '( x) ln u ( x) + v ( x) u '( x) L u ( x)
bằng cách : + Lấy ln hai vế : ln y = v ( x).ln u ( x) y '
+ Lấy đạo hàm hai vế :
= v '( x)ln u ( x) + v ( x) u '( x) y ' y u ( x )
1.4. Đạo hàm cấp cao:
1. Định nghĩa : (SV tự đọc) Đạo (
hàm của đạo hàm cấp (n –1) gọi là đạo hàm cấp n , kí hiệu f n) ( x) . Ta có : ( (
f n) ( x) = n–1) L f ( x) '
2. Công thức Leibnitz :
Cho u = u ( x), v = v ( x) là các hàm số của x , có đạo hàm đến cấp n đối với x , khi đó : (n) o (0) (n) 1 (1) (n–1) 2 (2) (n–2) n (n) (0) n
k (k ) (n–k )
(u.v) = C u v + C u v + C u v + + C u v = Σ n n n n C u v n k =0 (0) (0) với u
= u, v = v . .VI PHÂN :
2.1. Định nghĩa vi phân: 1. Định nghĩa 1:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trong lân cận U ( x0 ) của điểm x . Cho x một số gia x : 0 0
x + x ϵ U ( x 0
0 ) ( x còn gọi là vi phân của biến độc lập x ) . Nếu số gia của hàm :
y = f ( x0 + x) – f ( x0 )
được biểu diễn dưới dạng :
y = A. x + α ( x) (1)
Trong đó A là hằng số không phụ thuộc vào x , α ( x) là VCB cấp cao hơn VCB x khi
x → 0 thì ta nói rằng hàm số
y = f ( x) khả vi tại x0 và biểu thức A. x gọi là vi phân của hàm
y = f ( x) tại x0 , kí hiệu : dy ( x0 ) hay df ( x0 ) . Ta có :
df ( x0 ) = A. x 2. Định nghĩa 2 :
Nếu hàm số y = f ( x) khả vi tại mọi x ϵ(a;b) , ta nói y = f ( x) khả vi trong khoảng (a;b).
Khi đó biểu thức vi phân A. x là một hàm theo biến x trong khoảng (a;b) , kí hiệu dy hay df , ta có :
dy = df = A. x (2) GVC.Phan Thị Quản Trang13
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
3. Ý nghĩa của vi phân :
+ Biểu thức của vi phân A. x là bậc nhất đối với x , nên thông thường nó đơn giản hơn f
+ Nếu A s 0 thì vi phân df là VCB tương đương với số gia f vì số hạng còn lại ở (1) là
α ( x) là VCB cấp cao hơn x .
2.2. Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân:
Định lí : Cho hàm số f ( x) xác định trong khoảng (a;b) . Điều kiện cần và đủ để f ( x)
khả vi trong khoảng (a;b) là nó khả đạo trong khoảng (a;b) . Khi đó : dy = f '( x). x
Đặc biệt: nếu y = x dy = dx = x .Do đó, công thức dùng để tính vi phân của hàm số:
dy = f '( x).dx
2.3. Đạo hàm cho bởi phương trình tham số:
x = x (t ) y
Giả sử hàm số = f ( x ) cho dưới dạng tham số :
( ) với x (t ) là hàm đơn điệu theo t y = y t
và có x '(t ) s 0 thì ta có : y ' = y 't x x 't ( y ' – x ) 't y " .x ' y ' .x " t t
và : y " = ( y ' ) ' = = t 2 t 2 ( x 2 x x x ' x ' )3 t t
2.4. Ứng dụng của vi phân:
Giả sử hàm số y = f ( x) khả vi tại x0 , khi đó ta có : dy = f '( x0 ). x
và số gia của hàm y = f ( x0 + x) – f ( x0 )
Khi x khá bé thì y dy
Nên : f ( x0 + x) – f ( x0 ) f '( x0 ). x
f ( x0 + x) f ( x0 ) + f '( x0 ). x (*)
(*) là công thức dùng để tính gần đúng một biểu thức .
2.5. Vi phân cấp cao:
Giả sử hàm số y = f ( x) khả vi trên khoảng (a;b) . Vi phân dy = f '( x).dx gọi là vi phân cấp
một của hàm số y = f ( x) tại x ϵ(a;b) . dy = f '( x).dx là hàm theo biến x , trong đó dx không đổi .
Nếu hàm số dy khả vi trên khoảng (a;b) thì vi phân của vi phân cấp một dy được gọi là vi
phân cấp hai của y = f ( x) tại x , kí hiệu : d 2 f hay d 2 y . Ta có :
d 2 y = f "( x)(dx)2 ............................. (
d n y = f n) ( x)(dx)n - - - - - - - - - - - - -
. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI :
3.1. Các định lí về giá trị trung bình:
1. Định lí Fermat : Giả sử hàm f ( x) xác định trong khoảng (a;b) . Nếu f ( x) đạt cực trị
tại điểm c ϵ(a;b) và nếu tồn tại đạo hàm hữu hạn f '(c) thì đạo hàm tại đó phải bằng 0 .
2. Định lí Roll: Nếu f ( x) liên tục trên a;b khả vi trong khoảng (a;b) và f (a ) = f (b)
thì Ec ϵ(a;b) : f '(c)=0. GVC.Phan Thị Quản Trang14
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
3. Định lí Lagrange _ Công thức về số gia giới nội:
a. Định lí Lagrange : Nếu f ( x) liên tục trên a;b , khả vi trong khoảng (a;b)
f (b) – f (a)
thì tồn tại điểm c ϵ(a;b) sao cho : f '(c) = b – a
b. Ý nghĩa hình học :
Giả sử đường biểu diễn hàm f ( x) trong y
khoảng (a;b) là cung AB
f (b) – f (a) B Tỉ số : là hệ số góc của b – a
tiếp tuyến tại M (c; f (c)) . A
Định lí Lagrange khẳng định rằng :
Cung AB có ít nhất một điểm mà tại
điểm đó tiếp tuyến với cung AB song O a c b x song dây cung AB .
c. Công thức về số gia giới nội:
f (b) – f (a)
Từ công thức : f '( c) = (*) b – a
Đặt a = x , b = x + x b – a = x
, Ec nằm giữa hai điểm x ; x + x nên c có thể 0 0 0 0 viết :
c = x0 + θ . x ; trong đó : 0 θ 1
Công thức (*) được viết : f '( x0 + θ . x) = f ( x0 + x) – f ( x0 ) x Hay :
f ( x0 + x) – f ( x0 ) = x. f '( x0 + θ. x) (3)
(3) được gọi là công thức số gia hữu hạn
Nếu cho θ một giá trị nào đó thoả mãn 0 θ 1 . Chẳng hạn : θ = 1 1 ; ; thì ta tính 2 3
gần đúng được biểu thức cần tính.
4. Định lí Cauchy : Giả sử f ( x) , g ( x) là hai hàm số liên tục trên a;b , khả vi trong
khoảng (a;b) . Khi đó trong khoảng (a;b) có ít nhất một điểm c tại đó :
L f (b) – f (a ) g '(c) = L g (b) – g (a ) f '(c)
Nếu thêm điều kiện g '( x) s 0 với mọi x ϵ(a;b) thì công thức trên có thể viết :
f (b) – f (a ) = f '(c)
g (b) – g (a) g '(c)
5. Qui tắc L'Hospital:
a. Định lí 1: Giả sử hàm f ( x) , g ( x) khả vi ở lân cận điểm x , f ( x 0
0 ) = g ( x0 ) = 0
và g '( x) s 0 ở lân cận điểm x , x s x . 0 0 f '( x) f ( x) Nếu có : lim =
( ) A thì cũng tồn tại lim = A
x→ x0 g ' x
x→ x0 g ( x )
b. Định lí 2: Giả sử hàm f ( x) , g ( x) khả vi ở lân cận điểm x0 , trừ tại điểm x , 0
lim f ( x) = ; lim g ( x) = và
g '( x) s 0 ở lân cận điểm x . 0 x→ x0 x→x0 f '( x) f ( x) Nếu = có : lim A . lim
= A thì cũng tồn tại
x→ x0 g '( x)
x→ x0 g ( x) GVC.Phan Thị Quản Trang15
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chú ý :
+ Nếu A = hoặc x → định lí trên vẫn đúng . f '( x) 0
+ Khi áp dụng qui tắc L'Hospital , nếu tỉ số lại có dạng hoặc thì ta có thể áp dụng g '( x) 0 f '( x) f ( x)
qui tắc L'Hospital lần nữa , còn nếu E lim lim .
x→ x0 g '( x) thì chưa kết luận được x→ x0 g ( x )
3.2. Công thức Taylor và công thức Maclaurin:
Định lí : Nếu hàm f ( x) xác định trên a;b
có đạo hàm hữu hạn đến cấp (n +1) trong
khoảng (a; b), x0 ϵ(a;b) . Khi đó : 6x ϵ a;b , Ec ở giữa hai điểm x0 và x sao cho hàm
f ( x) được khai triển dưới dạng : (n) 2 ( x ) (n+1) 0 n ( n+1
f ( x) = f ( x ( ( ( c) (
0 ) + f '( x0 ) x – x0 ) + f "( x0 ) x – x0 ) + + f
x – x0 ) + f x – x0 ) 1! 2! n! (n +1)! n ( f k ) ( x ) (n+1) 0 k = ( f ( x ( c) ( 0 ) + Σ
x – x0 ) + f
x – x )n+1 (1) 0 k ! (n +1)! k =1
(1) gọi là công thức Taylor của hàm f ( x) tại x0 .
 Nếu x0 = 0 ϵ(a;b) . Công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin: n ( f k ) (0) ( n+1) (
f ( x) = f (0) + Σ c) Với xk + f xn+1 (
c nằm giữa 0 và x . 2) k ! (n +1)! k =1 (  n+1) ( ( R c)
n ( x) = f (
x – x0 )n+1 gọi là phần dư bậc n của f ( x) trong công thức Taylor và n +1)! ( f n+1) (c) Rn ( x) = (
xn+1 gọi là phần dư bậc n của f ( x) trong công thức Maclaurin. n +1)!
Ví dụ :Viết công thức Taylor của đa thức P ( x) = x5 – 4x3 + 2x2 + 6x – 24 tại điểm
x0 = –1 (hay còn nói : khai triển đa thức P ( x) theo các luỹ thừa của ( x +1) . Tính gần
đúng giá trị P (–0, 9) .
3.3. Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp cơ bản:
1. y = ex
2. y = sin x
3. y = cos x
4. y = (1+ x)α y =
1 (α = –1); y = (α = 1 1+ x x 2 5.
y = (1– x)α y = 1 (α = –1); y = (α = 1 1– x 1– x 2 6.
y = ln (1+ x) ; y = ln (1– x)
Ví dụ 1: Viết khai triển Maclaurin đến số hạng thứ 10 của hàm số y = (1– x2 )ex .
Ví dụ 2: Viết khai triển Maclaurin của y = sin2 x . GVC.Phan Thị Quản Trang16
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4.1. Khảo sát hàm số y = f ( x) : x3 
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x –1
4.2. Khảo sát hàm cho bởi phương trình tham số:
x = x (t ) 1. Định nghĩa :
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm M ( x, y ) với (
( ) t ϵ R ) , trong đó y = y t
x (t ), y (t ) đều là những hàm đơn trị . Khi t biến thiên M di chuyển vạch nên đường cong
(C ) , khi đó hệ phương trình trên gọi là những phương trình tham số của đường cong (C ) . 2. Ví dụ :
a. Đường thẳng (d ) đi qua điểm M 0 ( x0; y0 ) , vectơ chỉ phương u = (a;b) có
x = x + t.cosα phương trình : 0 (t ϵ )
y = y + t.sin α 0
b. Đường tròn tâm I (a;b) và bán kính R có phương trình là :
x = a + R.cos t
(0 t 2π ) với t là góc hợp bởi vectơ IM và trục Ox
y = b + R sin t x 2
c. Phương trình tham số của đường Elip : + y2 = 1 là : a2 b2
x = a.cos t
(0 t 2π ) với t là góc hợp bởi vectơ OM và trục Ox
y = b.sin t
x = x (t )
3. Khảo sát đường cong cho bởi phương trình tham số : (t ϵ )
y = y (t )
B1: Tìm miền xác định suy ra miền biến thiên bởi các tính chất chẵn , lẻ , tuần hoàn cho cả hai
hàm số x (t ), y (t ) .
B2 : Tính các đạo hàm y ' ; y " x x2
B3. Tìm tiệm cận : Khi t → t0 hoặc t → mà :
x (t ) → a •
thì x = a là tiệm cận đứng. y (t ) → x (t ) → •
thì y = b là tiệm cận ngang.
y (t ) → b x (t ) → y (t ) → a •
đồng thời x (t ) y (t ) →
L y (t ) – a.x (t ) → b
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
B4: Lập bảng biến thiên: GVC.Phan Thị Quản Trang17
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN t B5: vẽ đồ thị .
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi phương trình tham số
x = R (t – sin t )
( R > 0) . Đường cong này được gọi là đường cyclôit
y = R (1– cos t )
Đó là quĩ đạo của một điểm M nằm trên đường tròn bán kính R lăn không trượt trên trục Ox , xuất phát từ gốc O .
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi phương trình tham số :
x = a cos3 t
(a, b > 0) . Đường cong này gọi là đường Astrôit
y = b sin3 t at 2 x = 1+ t2
Ví dụ 3: Đường cyxôit có phương trình tham số : , t ϵ y = at3 1+ t 2 x = 3t  1+ t3
Ví dụ 4: Lá Descartes x3 + y3 – 3xy = 0 có phương trình tham số : , t ϵ . y = 3t 2 1+ t3
4.3. Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực:
1. Hệ toạ độ cực : M
Trong mặt phẳng toạ độ, cho nửa trục Ox và điểm M . .
Gọi r = OM ,φ = (Ox
;OM ) là một góc định hướng O x
lấy giá trị dương khi OM quay theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ .
Điểm M hoàn toàn được xác định bởi cặp số (r,φ ) , ngược lại khi cho cặp số (r,φ ) thì ta xác
định được điểm M . Do đó cặp số (r,φ ) gọi là toạ độ cực của điểm M và hệ toạ độ đó gọi là hệ
toạ độ cực . Trong đó :
+ O gọi là gốc cực .
+ Ox gọi là trục cực .
+ OM gọi là vectơ bán kính của M
+ φ = (Ox;OM ) gọi là góc cực .
Chú ý : Theo định nghĩa trên thì r 0, 0 φ 2π . Ta có thể mở rộng sao cho r và φ đều có
thể lấy các giá trị trong khoảng (– ; ) . Khi đó cặp số (r,φ ) của M gọi là toạ độ cực mở rộng của M . GVC.Phan Thị Quản Trang18
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2. Công thức liên hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Descartes:
Trong mặt phẳng cho điểm M . Đối với hệ toạ độ cực M y
có toạ độ (r,φ ) , đối với hệ toạ độ Descartes M có toạ độ
( x, y ) . Khi đó :
M ( x; y )
x = r.cosφ r
+ Nếu cho (r,φ ) thì : y
= r.sin φ O r = x2 + y2
+ Nếu cho ( x, y ) thì : tan φ = y
(chọn φ sao cho y và sin φ cùng dấu) x
3. Phương trình của đường trong hệ toạ độ cực :
Cho hàm số r = f (φ ) , đồ thị hàm số này trong hệ toạ độ cực được gọi là đường cong trong hệ
toạ độ cực và phương trình r = f (φ ) được gọi là phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực .  Các ví dụ :
+ Đường tròn tâm O , bán kính R : x2 + y2 = R2 có phương trình trong hệ toạ độ cực : r = R .
+ Đường tròn tâm I ( R; 0) , bán kính R : x2 + y2 = 2Rx có phương trình trong hệ toạ độ cực :
r = 2R cosφ π π , – φ 2 2
+ Đường tròn tâm I (0; R) , bán kính R : x2 + y2 = 2Ry có phương trình trong hệ toạ độ cực
r = 2R sin φ , 0 φ π y y y M M M r r O O O x π π r = R
r = 2R cosφ, – φ
r = 2R sin φ , 0 φ π 2 2
4. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực: r = f (φ )
B1: Tìm miền xác định của r = f (φ ) .Xét tính chẵn,lẻ và tuần hoàn(nếu có). Suy ra khoảng cần khảo sát.
B2: Tính r ' = f '(φ ) . Xét dấu r ' = f '(φ )
B3: Lập bảng biến thiên , xét sự biến thiên của r = f (φ ) theo φ .
Để vẽ đồ thị được chính xác hơn , ta thường xác định
tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm y M của nó .
Gọi V là góc dương giữa vectơ OM và vectơ chỉ phương
của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M ; gọi α là góc dương
giữa trục cực và tiếp tuyến , ta có : V = α – φ . V M
Do đó : tan V = tan α – tan φ
1+ tan α. tan φ dy
r 'sin φ + r cosφ dr O φ α Mặt khác : tan α = = , trong đó : r ' = x dx
r ' cosφ – r sin φ dφ GVC.Phan Thị Quản Trang19
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Suy ra : tanV = r r ' Bảng r ' biến thiên: r V Đồ thị
a. Ví dụ 1:Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình : r = a sin 3φ (a > 0) .
b. Ví dụ 2: Đường hoa hồng bốn cánh có phương trình : r = a sin 2φ (a > 0) .
c. Ví dụ 3: Đường Lemniscate de Bernoulli : x2 + y2 = a2 (x2 – y2 ) (a > 0) có phương trình
trong hệ toạ độ cực là r = a cos 2φ .
d. Ví dụ 4 : Đường hình trái tim Carđiôit có phương trình: r = a (1+ cosφ ) (a > 0) . GVC.Phan Thị Quản Trang20
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN BÀI TẬP :
Bài 1: Tính các đạo hàm sau: 1– x 1– sin x
1. a. y = arctan b. y = ln
c. y = 3 x3 – 3x 1+ x 1+ sin x x
2. a. y = x cos2x , với x > 0
b. y = (sin x ) tan x , với sin x > 0
c. y = x e .ln(sin x) , với x > 0
3. a. ey + xy = e
b. y = tan(x – y)
c. ex + x2 + y3 = 2 tại điểm (0;1) .
Bài 2: Tính các đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1. a. y = eax
b. y = sin (ax + b)
c. y = cos (ax + b)
2. a. y = ( x – a )α ; α ϵ R b. y = (1– x2 )ex
c. y = x.sin2 x x2
3. a. y = 3 x b. y = c. y = 2x x2 –1 x2 + 3x + 2
Bài 3: Tính đạo hàm cấp hai y "( x) của các hàm số cho bởi phương trình tham số: at 2 x =
x = R(t – sin t)
x = Rcos3t 1+ t 2 a. ; R > 0 b. ; R > 0 c.
y = R(1– cos t)
y = R sin3 t y = at3 1+ t 2
Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau: at 2 x = 3t x = 1+ t 2 1+ t3 a. b. y = at3 3t2 y = 1+ t 2 1+ t3 Bài 5:
Cho P(x) = x5 + 3x4 – 2x3 – 5x2 + 4 .
Viết công thức khai triển Taylor của P ( x) tại điểm x = 1 và tính gần đúng P (1, 01) .
Bài 6: chứng minh rằng phương trình: x5 + x4 + x2 +10x – 5 = 0 chỉ có một nghiệm dương và ( nghiệm 1
dương và nghiệm này nằm trong khoảng 0; . 2
Bài 7: Khai triển Maclaurin của các hàm số sau: x
1. a. y = f ( x) =
(với n = 3 ) b.
y = f ( x) = ln (cos x) (với n = 3 ) 2. a. ( sin x
y = e 2 x– x2
(với n = 5 ) b. y = ln
(với n = 6 ) x
3. a. y = sin2 x b.
y = (1– x2 ).ex
Bài 8 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4x x2 – 2x + 2 2 2 1. a. y = b. y =
c. y = x + x2 + 4 x –1 x
2. a. y = 3 x3 – 3x
b. y = e 2 x – x2
c. y = x.ex
3. a. y = ln ( x2 +1) b. y = GVC.Phan Thị Quản Trang21
Đề cương bài giảng chương II
ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Bài 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: t2 x =
x = a cos t
x = 2t – t 2 t –1 9.1. ; a > 0 9.2. 9.3.
y = a sin t
y = 3t – t3 y = t t2 –1
Bài 10: Chứng minh rằng: 1. a.
ex 1+ x , 6x ϵ R
b. 1+ rx (1+ x)r , (r > 1, x > –1) x2 x 2. a. ln (1+ x) x – , 6x 0 b.
< arctan x , 6x > 0 2 x2 +1 2 x2 +1 3.
2 , 6x ϵ R 3 x2 + x + 1
arccos a – arccos b 4.
1 , 6a,b ϵ R : 0 < b < a < 1 a2 – b2
arcsin a – arcsin b 5.
1 , 6a, b ϵ R : 0 < b < a < 1 a2 – b2 Bài 11:
Tính các giới hạn sau: ( 1 1 ( x2 –1 ( 1 – 1. a. lim 2 2 b. lim c. lim cot x – x→0 sin x x x→1 ln x x→0 x
( ex2 – cos 2x ln (1– x2 ) 3 1– x2 –1 2. a. lim x.sin x lim
c. lim arcsin 3x x→0 b. x→1 sin2 x x→0 1 ( π π x x x b. ( 1 ( tan 3. a. lim tan lim tan x c. lim 2 – x 2a x 2x +1 a x→0 x x→a + x 1 (
x x – π 4. a.
lim (tan x) 2 x – π
b. lim (sin x) x – (π 2) c. lim sin π – x→π x→( π x→ 2 2 2 π x 1
5. a. lim(1– x) tan
b. lim ( e – x – ( 2x ) sin x c. lim sin 2x) cos x → ( π – x 1 2 x→0 x→ 2 ln x – x +1 ex –1– x 6. a. lim xx b. lim c. lim x→0+ x→0 x→1 ( x –1)2 x2 1 x2.sin x – sin x
Bài 12: Chứng minh rằng: lim x = 0 và lim
= 1 . Có thể dùng qui tắc x→0 sin x x x + cos x
L'Hospital để tính chúng được không? Vì sao? GVC.Phan Thị Quản Trang22

Tài liệu liên quan: