Đề giao lưu HSG Toán 11 cấp tỉnh năm 2019 – 2020 cụm Gia Bình – Lương Tài – Bắc Ninh

SỞ GD & ĐT BẮC NINH
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
CỤM GIA BÌNH –LƯƠNG TÀI
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn thi: Toán –Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 17/5/2020
(Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu)
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu I: (2,25 điểm) Cho hàm số 2
y  x  mx  2 có đồ thị là  P và đường thẳng 2
d : y  x  m . Tìm tất
cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt  P tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành, trong đó C  2  ; 6  , D 3  ; 7   .
Câu II: (4,75 điểm) x  x  x 
1) Giải phương trình sau: 3 sin 2 2 cos cos 2 1  2cos x tan x 1 3 4 3 3
 x  y  x y  y    1
2) Giải hệ phương trình sau:  3 3 2
4 3x  y  4 3x  5  y  2y  6y 11  2
Câu III: (4,0 điểm) 2
2x  ax  b  , khi x  1
1) Cho hàm số f  x   x 1
. Biết rằng hàm số f  x liên tục tại x  1, tính 0 bx3, khi x  1
giá trị của biểu thức 2 2
S  a  b . u u
2) Cho dãy số u thỏa mãn: n * u  2;u  , n  . Tính lim n n  1 n 1  1 . n u 3n n
Câu IV: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn    C  tâm 1 5 I ; 
 , chân đường cao hạ từ đỉnh C là điểm H . Các tiếp tuyến của C tại A và C cắt  2 2   6 8 
nhau tại M , đường thẳng BM cắt CH tại N ; 
 . Tìm tọa độ các đỉnh ,
A B, C biết điểm C thuộc  5 5 
đường thẳng  : 2x  y 1  0 và có hoành độ nguyên. Câu V: (4,0 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB  a, AC  2a . Gọi M là trung
điểm của AC . Biết rằng SA  SB  SM  a 2 .
a) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBM .
b) Gọi   là mặt phẳng di động qua S và vuông góc với  ABC  . Mặt phẳng   cắt các cạnh B ,
A BC lần lượt tại I và J . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác BIJ .
2) Cho tứ diện SABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc; SA  a, SB  b, SC  c . Lấy một điểm
M nằm trong tam giác ABC . Gọi d , d , d lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1 2 3 2 abc 2 2 2  2 ,
SA SB, SC . Chứng minh rằng: d  d  d  1 2 3 2 2 2 2 2 2 a b  b c  . c a Câu VI: (2,5 điểm) 2 2 2 2 1) Cho * n  , chứng minh rằng: 1 1 C   2 2 C   3 3
C   ... n  n C  n  nC . n n n n 2n 1  2) Cho các số thực , x y thỏa mãn 2 2
x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 3 2
P  3x  2xy 12x  4xy .
=========== Hết===========
Họ và tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh……………