Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2017 – 2018 phòng GD&ĐT Chí Linh – Hải Dương

Xin  giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2017 – 2018 phòng GD&ĐT Chí Linh – Hải Dương; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

4 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
3
6 1 10
: 2
4 6 3 2 2
x x
A x
x x x x x
với
0, 2
x x
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để
A A
.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình :
18
3
9
3
4
24
10
2
4
5
3
222
x
x
x
x
x
x
b) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0. Tính giá
trị của biểu thức: Q = P(-2) + 7P(6).
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
3 2
( 2) 2 1 0
y x y y
b) Cho 3 số nguyên tố x < y < z liên tiếp thỏa mãn
2 2 2
x y z
là một số nguyên tố. Chứng
minh rằng
2 2 2
1 2 3
x y z cũng là một số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a có
60
o
ABC . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, E thuộc
tia BC sao cho
4
3
BE BC
, AE cắt CD tại F. Trên hai đoạn AB và AD lần lượt lấy hai điểm G và H
sao cho CG song song với FH.
a) Tính diện tích hình thoi ABCD theo a.
b) Chứng minh rằng :
2
4 . 3
BG DH a
c) Tính số đo góc GOH.
Câu 5: (1,0 điểm)
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng :
3
2
a b c abc
b c c a a b a b b c c a
---------- HẾT ----------
UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 8
(Hư
ớng dẫn chấm
g
ồm 03
trang)
Câu
Phần
Nội dung đáp án Điểm
Câu 1
a
a)
2 2
3
6 1 10
: 2
4 6 3 2 2
x x
A x
x x x x x


2 2
2 1 4 10
:
2 2 2 2 2
6 2
.
2 2 6
1
2
x x x
A
x x x x x
x
A
x x
A
x
Vậy
1
2
A
x
với
0, 2
x x
0,25
0,25
0,25
0,25
b
0
1
0 2 0 2
2
A A A
x x
x
Kết hợp với ĐKXĐ
0, 2
x x
ta có x < 2;
0, 2
x x
0,25
0,5
0,
25
Câu 2
a
ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3.
18
3
9
3
4
24
10
2
4
5
3
222
x
x
x
x
x
x
2
3 2 4 9
1 4 4 6 3 3 6
1 1 1 1 4 1 1
1 4 4 6 3 3 6
1 4 1
1 3 3
3 3 4 1 3 3 1
3 1 3 3 1 3 3 1 3
4 8 0 4 2 0
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện).
V
ậy tập nghiệm của ph
ương tr
ình: S =
{0; 2}.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
b) Ta có: P(x)
(x - 1), (x - 3), (x - 5) mà P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là
1 nên P(x) có dạng: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) (x + a)
Khi đó: P(-2) + 7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 + a) +7.5.3.1.(6 + a)
= -105.(-2 + a) +105.(6 + a)
= 105.(2 – a +6 + a) = 840
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3 a
Nếu y + 2 = 0
2
y
lúc đó bài toán có dạng 0x
3
– 1 = 0 (KTM).
Nếu
2
y
thì ta có
2
3
2 1 1
2 2
y y
x y
y y
0,25
Vì x, y nguyên nên
1
2
y
nguyên =>
2
y
Ư(1)
1;1
.
Với
3
y 2 1 y 3 x 4
(loại).
Với
3
y 2 1 y 1 x 0 x 0
V
ậy số nguy
ên x,
y th
ỏa m
ãn
đ
ề b
ài là : x
=
0,
y
=
-
1
.
0,25
0,25
0,25
b
Nếu x; y; z đều không chia hết 3 thì x
2
; y
2
; z
2
chia cho 3 đều dư 1
2 2 2
x y z
chia hết cho 3 mà
2 2 2 2 2 2
x y z 3 x y z
là hợp số.
Trong 3 số x; y; z có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà x; y; z là số nguyên tố
có ít nhất một số là 3 và do x < y < z là 3 số nguyên tố liên tiếp
(x; y; z) = (2; 3; 5); (3; 5; 7)
+ Xét (x; y; z) = (2; 3; 5)
2 2 2
x y z 38 P
(Loại)
+ Xét (x ; y ; z) = (3; 5; 7)
2 2 2
x y z 83
là số nguyên tố (t/m)
2 2 2
2 2 2
1 2 3 2 3 4 29
x y z
là số nguyên tố.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
Hìn
h
vẽ
0,25
a
+) Kẻ
( )
AI BC I BC
. Tính được
2
a
BI CI
+) Áp dụng định lí Pi-ta-go tính
3
2
a
AI
+) Tính diện tích hình thoi bằng
2
3 3
. .
2 2
a a
AI BC a
Chú ý : HS có th
ể tính theo công thức diện tích h
ình thoi.
0,25
0,25
0,25
b
+) Chứng minh
BCG
đồng dạng
DHF
. .
BC BG
BC DF DH BG
DH DF
+) Theo định lý Ta-lét tính được :
3
4
BC AF DF DF
BE AE DC CD
+)
2
3 3 3
.
4 4 4
DF DC BC BG DH a
+)
2
4 . 3
BG DH a
0,25
0,25
0,25
0,25
c
+) Theo định lý Py-ta-go tính được
2 2 2 2 2
3 3
4 4
BO BC CO BC a
I
E
F
O
H
G
D
C
B
A
Mà
2
3
.
4
BG DH a
nên
2
. .
BG DH BO BO DO
+)
BG BO
DO DH
kết hợp với
0
30
GBO HDO
=>
BGO
đồng dạng
DOH
(c.g.c)
GOB DHO
+) Có
180
o
GOB GOH HOD , vì
GOB DHO
(cmt)
Nên
180
o
DHO GOH HOD . Do
150
o
DHO HOD (vì
30
o
DOH )
+)
Suy ra
0
30
GOH
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ta chứng minh được :
( )( )( ) 0
a b c b c a c a b
Ta có :
3
( )( )( )
a b c abc
b c c a a b a b b c c a
3 3 3
3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3
( )( )( )
6 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
4
1
( )( )( )
a a c a b b b a b c c c a c b abc
a b b c c a
a b c abc ab a b bc b c ca c a
ab a b bc b c ca c a abc
a b c abc
a b b c c a
Theo kết quả trên :
( )( )( ) 0
a b c b c a c a b
3 3 3
3 3 3
3 3 3
( ) ( ) ( ) 2
( )( )( ) 4
4
1 2
( )( )( )
ab a b bc b c ca c a abc a b c
a b b c c a abc a b c
a b c abc
a b b c c a
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý : Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 2 2  x 6 1   10    x  Cho biểu thức : A    :   x2  
 với x  0, x  2. 3 x 4x 63x x2    x  2  a) Rút gọn A. b) Tìm x để A  A . Câu 2: (2,0 điểm) 3 2 4 9 a) Giải phương trình :    2 x  5x  4 2 x 10x  24 3 2 x  3x 18
b) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0. Tính giá
trị của biểu thức: Q = P(-2) + 7P(6). Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2
( y  2)x  y  2y 1  0
b) Cho 3 số nguyên tố x < y < z liên tiếp thỏa mãn 2 2 2
x  y  z là một số nguyên tố. Chứng
minh rằng x  2   y  2   z  2 1 2
3 cũng là một số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a có  60o ABC 
. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho 4
BE  BC , AE cắt CD tại F. Trên hai đoạn AB và AD lần lượt lấy hai điểm G và H 3
sao cho CG song song với FH.
a) Tính diện tích hình thoi ABCD theo a. b) Chứng minh rằng : 2 4BG.DH  3a c) Tính số đo góc GOH. Câu 5: (1,0 điểm)
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. a b c 3abc Chứng minh rằng :     bc ca
ab abbcca 2 ---------- HẾT ---------- UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Phần Nội dung đáp án Điểm 2 2  x 6 1   10    x  a) A    :   x2    3 x 4x 63x x2    x  2  2 2  x 2 1  x   410 x 0,25 A    
x x  : 2 2 x 2 x  2 x  2 a 6 x  2 0,25 A   x  x  . 2 2 6 Câu 1 1 A  0,25 2 x Vậy 1 A  với x  0, x  2 0,25 2 x A  A  A  0 0,25 b 1 
 0  2 x  0  x  2 0,5 2 x
Kết hợp với ĐKXĐ x  0, x  2 ta có x < 2; x  0, x  2 0,25 ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3. 3 2 4 9    2 x  5x  4 2 x 10x  24 3 2 x  3x 18 3 2 4 9  0,25     x  
1 x  4  x  4 x  6 3  x  3 x  6  1 1   1 1  4  1 1              
 x 1 x  4   x  4 x  6  3  x  3 x  6  0,25 a 1 4 1    x 1 3 x  3 Câu 2 3 x  3 4 x   1  x  3 3 x   1    3 x   1 x  3 3 x  
1  x  3 3 x   1  x  3 0,25 2
 4x  8x  0  4xx  2  0
 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {0; 2}. 0,25
b) Ta có: P(x) (x - 1), (x - 3), (x - 5) mà P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 0,25
1 nên P(x) có dạng: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) (x + a) 0,25 b
Khi đó: P(-2) + 7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 + a) +7.5.3.1.(6 + a) = -105.(-2 + a) +105.(6 + a) 0,25 = 105.(2 – a +6 + a) = 840 0,25 Nếu y + 2 = 0  y  2
 lúc đó bài toán có dạng 0x3 – 1 = 0 (KTM). 0,25 Câu 3 a 2 y  2 y 1 1 Nếu y  2 thì ta có 3 x   y  y  2 y  2 1 Vì x, y nguyên nên
nguyên => y  2 Ư(1)   1  ;  1 . 0,25 y  2 Với 3
y  2  1 y  3  x  4 (loại). 0,25 Với 3
y  2 1 y  1 x  0  x  0 0,25
Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là : x = 0, y = -1.
Nếu x; y; z đều không chia hết 3 thì x2; y2; z2 chia cho 3 đều dư 1 2 2 2
 x  y  z chia hết cho 3 mà 2 2 2 2 2 2
x  y  z  3  x  y  z là hợp số. 0,25
 Trong 3 số x; y; z có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà x; y; z là số nguyên tố
 có ít nhất một số là 3 và do x < y < z là 3 số nguyên tố liên tiếp
 (x; y; z) = (2; 3; 5); (3; 5; 7) 0,25 b + Xét (x; y; z) = (2; 3; 5)  2 2 2
x  y  z  38P (Loại) 0,25
+ Xét (x ; y ; z) = (3; 5; 7)  2 2 2
x  y  z  83 là số nguyên tố (t/m)
 x  2   y  2   z  2 2 2 2 1 2
3  2  3  4  29 là số nguyên tố. 0,25 A G H Hìn B D h O vẽ I F 0,25 C E +) Kẻ a
AI  BC(I  BC) . Tính được BI  CI  0,25 2 0,25
+) Áp dụng định lí Pi-ta-go tính a 3 Câu 4 AI  a 2 2 0,25
+) Tính diện tích hình thoi bằng a 3 a 3 AI.BC  . a  2 2
Chú ý : HS có thể tính theo công thức diện tích hình thoi.
+) Chứng minh BCG đồng dạng DHF BC BG    BC.DF  DH.BG 0,25 DH DF
+) Theo định lý Ta-lét tính được : BC AF DF 3 DF     0,25 b BE AE DC 4 CD 0,25 +) 3 3 3 2
 DF  DC  BC  BG.DH  a 4 4 4 +) 2  4BG.DH  3a 0,25 3 3 c
+) Theo định lý Py-ta-go tính được 2 2 2 2 2 BO  BC  CO  BC  a 4 4 Mà 3 2 BG.DH  a nên 2 BG.DH  BO  BO.DO 4 0,25 +) BG BO   kết hợp với  GBO   0 HDO  30 DO DH
=> BGO đồng dạng DOH (c.g.c)   GOB   DHO 0,25
+) Có       180o GOB GOH HOD , vì  GOB   DHO (cmt)
Nên       180o DHO GOH HOD . Do    150o DHO HOD (vì  30o DOH  ) 0,25 +) Suy ra  0 GOH  30 0,25
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ta chứng minh được :
(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 0,25 a b c 3abc Ta có :   
b  c c  a a  b (a  b)(b  c)(c  a)
a(a  c)(a  b)  b(b  a)(b  c)  c(c  a)(c  b)  3abc  (a  b)(b  c)(c  a) 3 3 3
a  b  c  6abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  0,25 Câu 5
ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  2abc 3 3 3 a  b  c  4abc  1 (a  b)(b  c)(c  a)
Theo kết quả trên : (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 3 3 3
 ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a)  2abc  a  b  c 0,25 3 3 3
 (a  b)(b  c)(c  a)  4abc  a  b  c 3 3 3 a  b  c  4abc  1 2 (a  b)(b  c)(c  a) 0,25
Chú ý : Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.