Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 chuyên năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 11 chuyên năm học 2020 – 2021 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN ĐỀ THI HÍNH THỨ
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
Câu 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực . 2 3 2
x x y xy xy y 1 4 2
x y xy 2x 1 1 u m
Câu 2 (6 điểm). ho số u c nh i 1 n 2 * u
u 2u 2, n n 1 n n 3 a) Khi m
, ch ng minh số c gi i h n h u h n v tìm gi i h n 2
c nh t t cả c c gi tr c a m số u c gi i h n h u h n. n
Câu 3 (2 điểm). Tìm t t cả các h m số f : thỏa m n iều kiện: f x
1 f y yf f x 1 , , x y .
Câu 4 (5 điểm). ho ường tròn tâm O ường kính AB . L i m H trên o n thẳng
AB ( H không trùng , A ,
O B ) Đường thẳng qua H vuông g c v i AB cắt ường tròn
O t i C Đường tròn ường kính CH cắt AC, BC và O lần lượt t i , D E và F .
a) h ng minh rằng các ường thẳng A ,
B DE và CF ồng qu
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt O t i P và Q h ng minh rằng bốn i m , P ,
D E, Q thẳng h ng
Câu 5 (2 điểm). ho 167 tập hợp A , A , , A có tính ch t: 1 2 167
i) A A A 2004; 1 2 6 1 7
ii) A A . A A v i i, j 1, 2, ,
167 và i j . i j i j Hãy:
a h ng minh rằng | A |12 v i i 1,2,...,167. i 167 b) Tính A . i i 1
--------------------Hết---------------------
Họ v tên thí sinh: …………………………………… Số o anh: ……………………
h kí gi m th số 1:……………………… h kí gi m th số 2:…………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Chú ý: Nh ng c ch giải kh c HD m úng thì cho i m theo thang i m nh Câu Nội dung Điểm 1 2 x y
xy 2x y xy 1 (5đ) 1 1.0 x y 2 2 xy 1 2
a x y
a ab b 1 Đặt . Hệ tr th nh: * b xy 2 a b 1 3 2
a a 2a 0 a 2 a a 2 0 1.0 * 2 2 b 1 a b 1 a Từ ta c : ; a b 0; 1;1;0; 2 ; 3 2 x y 0 V i ; a b 0; 1 ta c hệ:
x y 1 1.0 xy 1 2 x y 1 V i ;
a b 1;0 ta c hệ: ; x y 0; 1;1;0; 1 ;0 1.0 xy 0 2 x y 2 V i ; a b 2 ; 3 ta c hệ: xy 3 3 3 y y x x x 1 ; y 3 1.0 3
x 2x 3 0 x 1
2x x 3 0
Kết luận: Hệ phương trình c c c nghiệm:
;x y 1; 1;0; 1;1;0; 1 ;0; 1 ;3 2
a) Bằng quy n p, ch ng minh ược u 1;2 1 1.0 n
(6 đ) Xét f x 2
x 2x 2, x 1;2 0.5
f ' x 2x 2 0, x 1;2 5 Có 2
u u 2u 2
u . Suy ra u là dãy giảm 2 1.0 n 2 1 1 1 4 Từ 1 ,2 suy ra L
:limu L 0 L 2 . n
L 1 (t / ) m 1.0 Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L 2L 2 L 2 (l) Vậy limu 1. 0.5 n
b) Xét f x 2
x 2x 2
f ' x 2x 2 0 x 1 f x x 1 x 0.5 x 2 Bảng biến thiên x 0 1 2 f ' x 0 f x 2 2 1
f x x 0 0
Từ ảng iến thiên, ta có: TH1: *
m 1 u 1, n limu 1 n n 0.5 TH2: *
m 2 u 2, n limu 2 n n
TH3: m 0 u 2 u 2, n
2 limu 2 2 n n
TH4: m 1;2 , tương tự ý a) suy ra limu 1 n
TH5: m 2; . u là dãy tăng Giả sử u b chặn trên. n n Khi ó L
:limu L L 2 n 0.5 L 1 (l) Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L 2L 2 L 2 (l)
Vậy limu . n TH6: m 0;
1 u 1; 2 . Theo TH4, suy ra limu 1. 2 n TH7: m ;
0 u 2; . Theo TH5, suy ra limu . 0.5 2 n
Vậ m 0;2 thì dãy số có gi i h n h u h n 3 f x
1 f y yf f x 1 * (2 đ) 0.5 Chọn x 1
; y 0 f 0 0
Cố nh x ; L y , y
sao cho f y f y . Thay vào * , ược 1 2 1 2
y f f x 1 f x 1 f y f x 1 f y y f f x 1 y y 0.5 1 1
2 2 1 2
Suy ra f là ơn ánh.
Cho y 1, kết hợp f là ơn ánh. Ta có: 0.5 f x 1 f
1 f f x 1 x 1 f
1 f x 1 f x ax , b a,b b 0
Thử l i th a 0 thỏa mãn. 0.5 a 1
Vậ hàm số cần tìm là f x 0, x
; f x , x x . 4 (5 đ) C a) Ta có P F D 2 C .
ACD CH C . B CE , suy 1.0
ra t giác ABED nội tiếp E Q A O H B M
AB là trục ẳng phương c a O v ường tròn ABED 0.5
DE là trục ẳng phương c a ABED v ường tròn ường kính CH 0.5
CF là trục ẳng phương c a O v ường tròn ường kính CH 0.5
Suy ra DE, AB và CF ồng qu 0.5
b) Gọi M l giao i m c a DE, AB và CF . 0.5
Ta có PQ l trục ẳng phương c a C và O nên OC PQ .
Ta cũng ễ th OC DE . 0.5
Hơn n a M chính l tâm ẳng phương c a a ường tròn C , O v ường tròn ường 0.5
kính CH . Suy ra PQ i qua M .
Vậ DE, PQ cùng i qua M v cùng vuông g c v i OC nên trùng nhau. Suy ra 0.5 , P ,
D E,Q thẳng hàng. 5
a) Giả | A A | k 1. Suy ra A k. A , i
, j 1,167,i j (mâu thuẫn) 0.5 (2 đ) i j i j
Do ó | A A | 1
và A 12 v i i, j 1, 2, ,1
67 và i khác j . 0.5 i j i 167 Ta sẽ ch ng minh A 1 (*). i i 1
Thật vậ , ét tập A . Từ | A A | 1 v i i 2, , 167 su ra mỗi tập 1 1 i A , A , ,
A ch a úng một phần tử c a A . Do A 12 nên theo nguyên lí 2 3 167 1 1
Đirichlet thì tồn t i v c th giả sử l 0.5 A , ,
A cùng ch a phần tử a thuộc A . 2 15 1
Nếu có i 15 sao cho a A thì | A A | 1 | A A a . j \{ i } | 1 i i j
Vậ : A A \{a } b v i j 2,3, ,
15 (1 Dễ th c c b là phân iệt nên j i j j
từ (1) suy ra A ch a qu 12 phần tử Tr i v i kết luận A 12 . i i
Từ (* v | A A | 1, i, j 1, 2, ,
167 và i khác j suy ra: i j 167 167 167 0.5 A ( ( A \ {a}) {a} (
( A \ {a}) | {a}|=167.11+1=1838. i i i i 1 i 1 i 1