



Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN ĐỀ THI HÍNH THỨ
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
Câu 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực . 2 3 2
x x y xy xy y 1 4 2
x y xy 2x 1 1 u m
Câu 2 (6 điểm). ho số u c nh i 1 n 2 * u
u 2u 2, n n 1 n n 3 a) Khi m
, ch ng minh số c gi i h n h u h n v tìm gi i h n 2
c nh t t cả c c gi tr c a m số u c gi i h n h u h n. n
Câu 3 (2 điểm). Tìm t t cả các h m số f : thỏa m n iều kiện: f x
1 f y yf f x 1 , , x y .
Câu 4 (5 điểm). ho ường tròn tâm O ường kính AB . L i m H trên o n thẳng
AB ( H không trùng , A ,
O B ) Đường thẳng qua H vuông g c v i AB cắt ường tròn
O t i C Đường tròn ường kính CH cắt AC, BC và O lần lượt t i , D E và F .
a) h ng minh rằng các ường thẳng A ,
B DE và CF ồng qu
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt O t i P và Q h ng minh rằng bốn i m , P ,
D E, Q thẳng h ng
Câu 5 (2 điểm). ho 167 tập hợp A , A , , A có tính ch t: 1 2 167
i) A A A 2004; 1 2 6 1 7
ii) A A . A A v i i, j 1, 2, ,
167 và i j . i j i j Hãy:
a h ng minh rằng | A |12 v i i 1,2,...,167. i 167 b) Tính A . i i 1
--------------------Hết---------------------
Họ v tên thí sinh: …………………………………… Số o anh: ……………………
h kí gi m th số 1:……………………… h kí gi m th số 2:…………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Chú ý: Nh ng c ch giải kh c HD m úng thì cho i m theo thang i m nh Câu Nội dung Điểm 1 2 x y
xy 2x y xy 1 (5đ) 1 1.0 x y 2 2 xy 1 2
a x y
a ab b 1 Đặt . Hệ tr th nh: * b xy 2 a b 1 3 2
a a 2a 0 a 2 a a 2 0 1.0 * 2 2 b 1 a b 1 a Từ ta c : ; a b 0; 1;1;0; 2 ; 3 2 x y 0 V i ; a b 0; 1 ta c hệ:
x y 1 1.0 xy 1 2 x y 1 V i ;
a b 1;0 ta c hệ: ; x y 0; 1;1;0; 1 ;0 1.0 xy 0 2 x y 2 V i ; a b 2 ; 3 ta c hệ: xy 3 3 3 y y x x x 1 ; y 3 1.0 3
x 2x 3 0 x 1
2x x 3 0
Kết luận: Hệ phương trình c c c nghiệm:
;x y 1; 1;0; 1;1;0; 1 ;0; 1 ;3 2
a) Bằng quy n p, ch ng minh ược u 1;2 1 1.0 n
(6 đ) Xét f x 2
x 2x 2, x 1;2 0.5
f ' x 2x 2 0, x 1;2 5 Có 2
u u 2u 2
u . Suy ra u là dãy giảm 2 1.0 n 2 1 1 1 4 Từ 1 ,2 suy ra L
:limu L 0 L 2 . n
L 1 (t / ) m 1.0 Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L 2L 2 L 2 (l) Vậy limu 1. 0.5 n
b) Xét f x 2
x 2x 2
f ' x 2x 2 0 x 1 f x x 1 x 0.5 x 2 Bảng biến thiên x 0 1 2 f ' x 0 f x 2 2 1
f x x 0 0
Từ ảng iến thiên, ta có: TH1: *
m 1 u 1, n limu 1 n n 0.5 TH2: *
m 2 u 2, n limu 2 n n
TH3: m 0 u 2 u 2, n
2 limu 2 2 n n
TH4: m 1;2 , tương tự ý a) suy ra limu 1 n
TH5: m 2; . u là dãy tăng Giả sử u b chặn trên. n n Khi ó L
:limu L L 2 n 0.5 L 1 (l) Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L 2L 2 L 2 (l)
Vậy limu . n TH6: m 0;
1 u 1; 2 . Theo TH4, suy ra limu 1. 2 n TH7: m ;
0 u 2; . Theo TH5, suy ra limu . 0.5 2 n
Vậ m 0;2 thì dãy số có gi i h n h u h n 3 f x
1 f y yf f x 1 * (2 đ) 0.5 Chọn x 1
; y 0 f 0 0
Cố nh x ; L y , y
sao cho f y f y . Thay vào * , ược 1 2 1 2
y f f x 1 f x 1 f y f x 1 f y y f f x 1 y y 0.5 1 1
2 2 1 2
Suy ra f là ơn ánh.
Cho y 1, kết hợp f là ơn ánh. Ta có: 0.5 f x 1 f
1 f f x 1 x 1 f
1 f x 1 f x ax , b a,b b 0
Thử l i th a 0 thỏa mãn. 0.5 a 1
Vậ hàm số cần tìm là f x 0, x
; f x , x x . 4 (5 đ) C a) Ta có P F D 2 C .
ACD CH C . B CE , suy 1.0
ra t giác ABED nội tiếp E Q A O H B M
AB là trục ẳng phương c a O v ường tròn ABED 0.5
DE là trục ẳng phương c a ABED v ường tròn ường kính CH 0.5
CF là trục ẳng phương c a O v ường tròn ường kính CH 0.5
Suy ra DE, AB và CF ồng qu 0.5
b) Gọi M l giao i m c a DE, AB và CF . 0.5
Ta có PQ l trục ẳng phương c a C và O nên OC PQ .
Ta cũng ễ th OC DE . 0.5
Hơn n a M chính l tâm ẳng phương c a a ường tròn C , O v ường tròn ường 0.5
kính CH . Suy ra PQ i qua M .
Vậ DE, PQ cùng i qua M v cùng vuông g c v i OC nên trùng nhau. Suy ra 0.5 , P ,
D E,Q thẳng hàng. 5
a) Giả | A A | k 1. Suy ra A k. A , i
, j 1,167,i j (mâu thuẫn) 0.5 (2 đ) i j i j
Do ó | A A | 1
và A 12 v i i, j 1, 2, ,1
67 và i khác j . 0.5 i j i 167 Ta sẽ ch ng minh A 1 (*). i i 1
Thật vậ , ét tập A . Từ | A A | 1 v i i 2, , 167 su ra mỗi tập 1 1 i A , A , ,
A ch a úng một phần tử c a A . Do A 12 nên theo nguyên lí 2 3 167 1 1
Đirichlet thì tồn t i v c th giả sử l 0.5 A , ,
A cùng ch a phần tử a thuộc A . 2 15 1
Nếu có i 15 sao cho a A thì | A A | 1 | A A a . j \{ i } | 1 i i j
Vậ : A A \{a } b v i j 2,3, ,
15 (1 Dễ th c c b là phân iệt nên j i j j
từ (1) suy ra A ch a qu 12 phần tử Tr i v i kết luận A 12 . i i
Từ (* v | A A | 1, i, j 1, 2, ,
167 và i khác j suy ra: i j 167 167 167 0.5 A ( ( A \ {a}) {a} (
( A \ {a}) | {a}|=167.11+1=1838. i i i i 1 i 1 i 1