S GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
K THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN
Thi gian: 180 phút (không k thi gian giao đề)
Ngày thi: 18/3/2021
(Đề thi gm 01 trang, 05 câu)
Câu 1 (5 đim).   .
2 3 2
42
1
2 1 1
x x y xy xy y
x y xy x
Câu 2 (6 điểm). 
n
u

1
2*
1
2 2,
n n n
um
u u u n

a) Khi
3
2
m
, ci

m

.
Câu 3 (2 điểm). Tìm tác 
:f
i
1 1 , ,f x f y yf f x x y
.
Câu 4 (5 điểm). 
O

AB
. L
H
trên 
AB
(
H
không trùng
,,A O B
)
H

AB

O

C

CH

,AC BC
O

,DE
F
.
a) c 
,AB DE
CF

b) 
C
bán kính
CH

O

P
Q
 b

, , ,P D E Q

Câu 5 (2 điểm). 
1 2 167
, , ,A A A
có tính c
i)
621 1 7
2004;A A A
ii)
.
i j i j
A A A A

, 1,2, ,167ij
i
j
.
Hãy:

| | 12
i
A

1,2,...,167.i
b) Tính
167
1
.
i
i
A
--------------------Hết---------------------
  
 
THI 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
K THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Chú ý: 
Câu
Nội dung
Điểm
1
(5đ)
22
2
2
1
1
1
x y xy x y xy
x y xy
1.0

2
a x y
b xy

. Htr
2
1
*
1
a ab b
ab

2
32
2
2
20
20
*
1
1
a a a
a a a
ba
ba






; 0;1 ; 1;0 ; 2; 3ab
1.0

; 0;1ab

2
0
1
1
xy
xy
xy

1.0

; 1;0ab

2
1
; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0
0
xy
xy
xy

1.0

; 2; 3ab

2
2
3
xy
xy

2
3
3
3
1; 3
1 3 0
2 3 0
y
y
x
xy
x
x x x
xx






; 1;1 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 ; 1;3xy
1.0
2
(6 đ)
a) Bquy n, ch
1;2
n
u
1
1.0
Xét
2
2 2, 1;2f x x x x
' 2 2 0, 1;2f x x x
0.5
2
2 1 1 1
5
22
4
u u u u
. Suy ra
n
u
là dãy gi
2
1.0
T
1 , 2
suy ra
:lim 0 2
n
L u L L
.
Chuya gih, 
2
1 ( / )
22
2 ( )
L t m
L L L
Ll
1.0
Vy
lim 1
n
u
.
0.5
b) Xét
2
22f x x x
' 2 2 0 1f x x x
1
2
x
f x x
x

0.5
Bbiên
x

0
1
2

'fx
0
fx


2
2
1
f x x
0
0
Tên, ta có:
TH1:
*
1 1, lim 1
nn
m u n u
TH2:
*
2 2, lim 2
nn
m u n u
TH3:
2
0 2 2, 2 lim 2
nn
m u u n u
0.5
TH4:
1;2m
ý a) suy ra
lim 1
n
u
TH5:
2;m 
.
n
u
là dãy t
n
u
bên.
Khi ó
:lim 2
n
L u L L
Chuya gih, 
2
1 ( )
22
2 ( )
Ll
L L L
Ll
Vy
lim
n
u
.
0.5
TH6:
2
0;1 1;2mu
. Theo TH4, suy ra
lim 1
n
u
.
TH7:
2
;0 2;mu  
. Theo TH5, suy ra
lim
n
u
.
V
0;2m
thì dãy só gi
0.5
3
(2 đ)
1 1 *f x f y yf f x
Ch
1; 0 0 0x y f
0.5
C
x
; L
12
,yy
sao cho
12
f y f y
. Thay vào
*
, 
1 1 2 2 1 2
1 1 1 1y f f x f x f y f x f y y f f x y y
Suy ra
f
là ánh.
0.5
Cho
1y
, k
f
là ánh. Ta có:
1 1 1 1 1 1 , ,f x f f f x x f f x f x ax b a b
0.5
Th
0
0
1
b
a
a
thãn.
Vàm s ctìm là
0, ; ,f x x f x x x
.
0.5
4
(5 đ)
a) Ta có
2
..CACD CH CBCE
, suy
ra tiác
ABED

Q
P
M
F
E
D
C
O
A
B
H
1.0
AB
là tr
O

ABED
0.5
DE
là tr
ABED
nh
CH
0.5
CF
là tr
O
nh
CH
0.5
Suy ra
,DE AB
CF

0.5
b) 
M

,DE AB
CF
.
Ta có
PQ

C
O
nên
OC PQ
.
0.5

OC DE
.
0.5

M

C
,
O

kính
CH
. Suy ra
PQ

M
.
0.5

,DE PQ

M

OC
nên trùng nhau. Suy ra
, , ,P D E Q
 hàng.
0.5
5
(2 đ)
a) Gi
| | 1
ij
kAA
. Suy ra
. , , 1,167,
ij
A k A i j i j
(mâu thu)
0.5
Do ó
1||
ij
AA
12
i
A

, 1,2, ,167ij
i
khác
j
.
0.5

167
1
1
i
i
A
(*).
   
1
A
. 
1
1||
i
AA

2, ,167i 
   
2 3 167
, , ,A A A
     
1
A
. Do
1
12A
nên theo nguyên lí

2 15
,,AA
ph
a

1
.A
ó
15i
sao cho
i
aA
thì
1||
ij
AA
1|{ }|\
ji
A A a 
.

{\ }
j i j
A A a b

2,3, ,15j 

j
b
t nên
 (1) suy ra
i
A

12
i
A
.
0.5

1, , 1,2, ,167||
ij
A A i j
i
khác
j
suy ra:
167
167 167
11
1
( ( \{a}) {a} ( ( \{a}) |{a}|=167.11+1=1838.
i i i
ii
i
A A A

0.5

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN ĐỀ THI HÍNH THỨ
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
Câu 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực . 2 3 2
x x y xy xy y 1  4 2
x y xy  2x   1  1 u   m 
Câu 2 (6 điểm). ho số u c nh i 1  n  2 * u
u  2u  2, n    n 1 n n 3 a) Khi m
, ch ng minh số c gi i h n h u h n v tìm gi i h n 2
c nh t t cả c c gi tr c a m số u c gi i h n h u h n. n
Câu 3 (2 điểm). Tìm t t cả các h m số f :  thỏa m n iều kiện: f   x  
1 f y  yf f x 1 ,  , x y      .
Câu 4 (5 điểm). ho ường tròn tâm O ường kính AB . L i m H trên o n thẳng
AB ( H không trùng , A ,
O B ) Đường thẳng qua H vuông g c v i AB cắt ường tròn
O t i C Đường tròn ường kính CH cắt AC, BC và O lần lượt t i , D E F .
a) h ng minh rằng các ường thẳng A ,
B DE CF ồng qu
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt O t i P Q h ng minh rằng bốn i m , P ,
D E, Q thẳng h ng
Câu 5 (2 điểm). ho 167 tập hợp A , A , ,  A có tính ch t: 1 2 167
i) A A  A  2004; 1 2 6 1 7
ii) A A . A A v i i, j  1, 2, ,
 167 và i j . i j i j Hãy:
a h ng minh rằng | A |12 v i i 1,2,...,167. i 167 b) Tính  A . i i 1 
--------------------Hết---------------------
Họ v tên thí sinh: …………………………………… Số o anh: ……………………
h kí gi m th số 1:……………………… h kí gi m th số 2:…………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN
LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Chú ý: Nh ng c ch giải kh c HD m úng thì cho i m theo thang i m nh Câu Nội dung Điểm 1  2  x y
 xy 2x y xy 1 (5đ)   1   1.0  x y  2 2  xy  1 2
a x y
a ab b  1 Đặt  . Hệ tr th nh:    * b   xy 2 a b  1 3 2
a a  2a  0 a 2 a a  2    0 1.0 *     2 2 b   1 a b   1 a Từ ta c :  ; a b    0; 1;1;0; 2  ; 3   2 x y  0 V i  ; a b  0;  1 ta c hệ: 
x y  1 1.0 xy  1 2 x y  1 V i  ;
a b  1;0 ta c hệ:    ; x y    0; 1;1;0; 1  ;0 1.0 xy  0 2 x y  2  V i  ; a b   2  ; 3   ta c hệ:  xy  3   3  3 y   y      xx   x  1  ; y  3 1.0  3 
x  2x  3  0 x   1 
 2x x 3  0
Kết luận: Hệ phương trình c c c nghiệm:
 ;x y 1; 1;0; 1;1;0; 1  ;0; 1  ;3 2
a) Bằng quy n p, ch ng minh ược u  1;2   1 1.0 n
(6 đ) Xét f x 2
x  2x  2, x  1;2 0.5
f ' x  2x  2  0, x  1;2 5 Có 2
u u  2u  2 
u . Suy ra u là dãy giảm 2 1.0 n  2 1 1 1 4 Từ   1 ,2 suy ra L
  :limu L 0  L  2 . n
L  1 (t / ) m 1.0 Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L  2L  2   L  2 (l) Vậy limu  1. 0.5 n
b) Xét f x 2
x  2x  2
f ' x  2x  2  0  x  1   f xx 1  x   0.5 x  2 Bảng biến thiên x  0 1 2  f ' x   0     f x 2 2 1
f x  x   0  0 
Từ ảng iến thiên, ta có: TH1: *
m  1  u  1, n    limu  1 n n 0.5 TH2: *
m  2  u  2, n    limu  2 n n
TH3: m  0  u  2  u  2, n
  2  limu  2 2 n n
TH4: m  1;2 , tương tự ý a) suy ra limu  1 n
TH5: m  2; . u là dãy tăng Giả sử u b chặn trên. n n  Khi ó L
  :limu L L  2 n  0.5 L  1 (l) Chuy n qua gi i h n, ược: 2
L L  2L  2   L  2 (l)
Vậy limu   . n TH6: m  0; 
1  u  1; 2 . Theo TH4, suy ra limu  1. 2   n TH7: m   ;
 0  u  2; . Theo TH5, suy ra limu  . 0.5 2   n
Vậ m 0;2 thì dãy số có gi i h n h u h n 3 f   x  
1 f y  yf f x 1       * (2 đ) 0.5 Chọn x  1
 ; y  0  f 0  0
Cố nh x ; L y , y
sao cho f y f y . Thay vào * , ược 1   2  1 2
y f f x 1  f x 1 f y   f x 1 f y   y f f x 1  y y 0.5 1        1 
  2  2     1 2
Suy ra f là ơn ánh.
Cho y  1, kết hợp f là ơn ánh. Ta có: 0.5 f   x    1 f  
1   f f   x 1   x   1 f  
1  f x 1  f x  ax  , ba,b  b   0 
Thử l i th a  0 thỏa mãn.  0.5 a  1
Vậ hàm số cần tìm là f x  0, x
  ; f x  , x x   . 4 (5 đ) C a) Ta có P F D 2 C .
ACD CH C . B CE , suy 1.0
ra t giác ABED nội tiếp E Q A O H B M
AB là trục ẳng phương c a O v ường tròn  ABED 0.5
DE là trục ẳng phương c a  ABED v ường tròn ường kính CH 0.5
CF là trục ẳng phương c a O v ường tròn ường kính CH 0.5
Suy ra DE, AB CF ồng qu 0.5
b) Gọi M l giao i m c a DE, AB CF . 0.5
Ta có PQ l trục ẳng phương c a C  và O nên OC PQ .
Ta cũng ễ th OC DE . 0.5
Hơn n a M chính l tâm ẳng phương c a a ường tròn C , O v ường tròn ường 0.5
kính CH . Suy ra PQ i qua M .
Vậ DE, PQ cùng i qua M v cùng vuông g c v i OC nên trùng nhau. Suy ra 0.5 , P ,
D E,Q thẳng hàng. 5
a) Giả | A A | k  1. Suy ra A k. A , i
 , j  1,167,i j (mâu thuẫn) 0.5 (2 đ) i j i j
Do ó | A A |  1
A  12 v i i, j  1, 2, ,1
 67 và i khác j . 0.5 i j i 167 Ta sẽ ch ng minh A  1 (*). i i 1 
Thật vậ , ét tập A . Từ | A A | 1 v i i  2, ,  167 su ra mỗi tập 1 1 i A , A , ,
A ch a úng một phần tử c a A . Do A  12 nên theo nguyên lí 2 3 167 1 1
Đirichlet thì tồn t i v c th giả sử l 0.5 A , ,
A cùng ch a phần tử a thuộc A . 2 15 1
Nếu có i  15 sao cho a A thì | A A |  1 |  A A a  . j  \{ i  } | 1 i i j
Vậ : A   A \{a  }  b v i j  2,3, ,
 15 (1 Dễ th c c b là phân iệt nên j ijj
từ (1) suy ra A ch a qu 12 phần tử Tr i v i kết luận A  12 . i i
Từ (* v | A A | 1, i, j  1, 2, ,
 167 và i khác j suy ra: i j 167 167 167 0.5 A  ( ( A \ {a}) {a}  (
( A \ {a})  | {a}|=167.11+1=1838. i i i i 1  i 1  i 1 